UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS – ARMADAS – ESPE ESPE INVESTIGACIÓN OPERATIVA I Nombre: Andrés López Fecha: 05/06/2016 DEBER 2 Ejercicio 1: 2.4b.2 Una compañía fabrica dos productos, A y B. El volumen de ventas de A es por lo
menos 80% de las ventas totales de A y B. Sin embargo, la compañía no puede vender más de 100 unidades de A por día. Los dos productos utilizan una materia prima, cuya disponibilidad máxima diaria se limita a 240 libras al día. Las proporciones de utilización de la materia prima son 2 libras para cada unidad de A y 4 libras para cada unidad de B. Los precios unitarios de A y B son de 20 y 50 dólares, respectivamente. r espectivamente. a) Determine la mezcla óptima de los dos productos. b) Determine el valor por cambio unitario en la disponibilidad de la materia prima y su rango de aplicabilidad. aplicabilidad. 1) Función objetivo = = () ) = 20 + 50
2) Restricciones o limitaciones ≥ 0.8 0.8 ( ( + ) ≤ 100 2 + 4 ≤ 240
3) Igualdades 0.20 − 0.8 0.8 = 0 (1) = 100 100 (2) (2) 2 + 4 = 240 240 (3) (3)
4) Gráfica
5) Puntos
(1 3) 0.20 − 0.8 0.8 = 0 2 + 4 = 240 (80, (80, 20)
(1 2) 2) 0.20 − 0.8 0.8 = 0 = 100 (100, (100, 10)
6) Solución ( , )() ) = 20 + 50 (80,20) 80,20)() ) = 20(8 0(80) + 50(20) = 260 2600 (100, (100, 10) 10)() ) = 20(1 20(100 00)) + 50( 50(10) 10) = 2500 2500 : () ) = 2600 2600 = 80 = 20
c) Utilice el análisis de sensibilidad para determinar el efecto de cambiar la demanda máxima del producto A por ± 10 unidades. 1) Restricciones o limitaciones -10 unidades ≥ 0.8 ( + ) ≤ 90 2 + 4 ≤ 240
2) Igualdades 0.20 − 0.8 = 0 (1) = 90 (2) 2 + 4 = 240 (3)
3) Gráfica
4) Puntos
(1 3) 0.20 − 0.8 = 0 2 + 4 = 240 (80, 20)
(1 2) 0.20 − 0.8 = 0
= 90 (90,15)
5) Solución ( , )() = 20 + 50 (80,20)() = 20(80) + 50(20) = 2600 (90, 15)() = 20(90) + 50(15) = 2550 = 2600 − 2600 = 0
6) Restricciones o limitaciones +10 unidades ≥ 0.8 ( + ) ≤ 110 2 + 4 ≤ 240
7) Igualdades 0.20 − 0.8 = 0 (1) = 110 (2) 2 + 4 = 240 (3)
8) Gráfica
9) Puntos
(1 3) 0.20 − 0.8 = 0 2 + 4 = 240 (80, 20)
(1 2) 0.20 − 0.8 = 0 = 110 (110, 5)
10) Solución ( , )() = 20 + 50 (80,20)() = 20(80) + 50(20) = 2600 (90, 15)() = 20(110) + 50(5) = 2450
: () = 2600 = 80 = 20 = 2600 − 2600 = 0
No existe cambio si la demanda de producto aumenta o disminuye en 10 unidades Ejercicio 2: 2.4b.8 ChemLabs fabrica dos productos de limpieza para el hogar, A y B procesando dos
tipos de materia prima, I y II. El procesamiento de una unidad de materia prima I cuesta 8 dólares y produce 0.5 unidad de solución A y 0.5 unidad de solución B. Además, el procesamiento de una unidad de materia prima II cuesta 5 dólares y produce 0.6 unidad de solución A y 0.4 unidad de solución B. La demanda diaria de la solución A es entre 10 y 15 unidades y la solución de B es entre 12 y 20 unidades. a) Encuentre la mezcla óptima de A y B que debe producir ChemLabs 1) Función objetivo = = () = 8 + 5
2) Restricciones o limitaciones
0.5 + 0.6 ≥ 10 0.5 + 0.6 ≤ 15 0.5 + 0.4 ≥ 12 0.5 + 0.4 ≤ 20
3) Igualdades 0.5 + 0.6 = 10 (1) 0.5 + 0.6 = 15 (2) 0.5 + 0.4 = 12 (3) 0.5 + 0.4 = 20 (4)
4) Gráfica
5) Puntos
(2 3) 0.5 + 0.6 = 15 0.5 + 0.4 = 12 = 12 = 15 (12, 15)
6) Solución ( , )() = 8 + 5 (12, 15)() = 8(12) + 5(15) = 171 : () = 171 = 12 = 15
b) Determine el valor por cambio de unidad en los límites de la demanda de los productos A yB 1) Restricciones o limitaciones +1 unidad de A y B 0.5 + 0.6 ≥ 11 0.5 + 0.6 ≤ 16 0.5 + 0.4 ≥ 13 0.5 + 0.4 ≤ 21
2) Igualdades 0.5 + 0.6 = 11 (1) 0.5 + 0.6 = 16 (2) 0.5 + 0.4 = 13 (3) 0.5 + 0.4 = 21 (4)
3) Gráfica
4) Puntos
(2 3) 0.5 + 0.6 = 16 0.5 + 0.4 = 13 = 14 = 15 (14, 15)
5) Solución ( , )() = 8 + 5 (14, 15)() = 8(14) + 5(15) = 187
6) Restricciones o limitaciones -1 unidad de A y B 0.5 + 0.6 ≥ 9 0.5 + 0.6 ≤ 14 0.5 + 0.4 ≥ 11 0.5 + 0.4 ≤ 19
7) Igualdades 0.5 + 0.6 = 9 (1)
0.5 + 0.6 = 14 (2) 0.5 + 0.4 = 11 (3) 0.5 + 0.4 = 19 (4)
8) Gráfica
9) Puntos
(2 3) 0.5 + 0.6 = 14 0.5 + 0.4 = 11 = 10 = 15 (10, 15)
10) Solución ( , )() = 8 + 5 (10, 15)() = 8(10) + 5(15) = 155 : () = 155 = 10
= 15 : = 171 − 181 = −16 = 171 − 155 = 16
Al realizar los cambios se aumenta o disminuye, dependiendo el caso, el precio total en 16 dólares Ejercicio 3: 2.2B.6 Ahorros S.A. desea invertir una suma que genere un rendimiento anual mínimo
de $10,000. Dispone de dos grupos accionarios: acciones selectas y alta tecnología, con un rendimiento anual promedio de 10 y 25%, respectivamente. Aunque las acciones de alta tecnología dan más rendimiento, son más arriesgadas, y Ahorros desea limitar la cantidad invertida en ellas a un máximo de 60% del total. ¿Cuál es la cantidad mínima que debe invertir Ahorros en cada grupo de acciones para alcanzar la meta de inversión? 1) Función objetivo = = () = +
2) Restricciones o limitaciones 0.1 + 0.25 ≥ 10000 0.6 − 0.4 ≥ 0
3) Igualdades 0.1 + 0.25 = 10000 (1) 0.6 − 0.4 = 0 (2)
4) Gráfica
5) Solución : () = 52631.58 = 21052.63 = 31578.95 í
Ejercicio 4: 3.2-3 Hoy es su día de suerte, Acaba de ganar un premio de $10.000. Dedicará $4.000 a
impuestos y diversiones, pero ha decidido invertir los otros $6.000. Al oír las nuevas, dos amigos le han ofrecido una oportunidad de convenirse en socio en dos empresas distintas, cada una planeada por uno de ellos. En ambos casos, la inversión incluye dedicar parte de su tiempo el siguiente verano y dinero en efectivo. Para ser un socio completo en el caso del primer amigo debe invertir $5 000 y 400 horas, y su ganancia estimada (sin tomar en cuenta el valor del dinero en el tiempo) sería $4.500. Las cifras correspondientes para el segundo caso son $4 000 y 500 horas, con una ganancia estimada de $4 500. Sin embargo, ambos amigos son flexibles y le permitirían participar con cualquier fracción de participación que quiera. Si elige una participación parcial, todas las cifras dadas para la sociedad completa (inversión de dinero y tiempo, y la ganancia) se pueden multiplicar por esta fracción. Como de todas formas usted busca un trabajo de verano interesante (máximo 600 horas), ha decidido participar en una o ambas empresas en alguna combinación que maximice su ganancia total estimada. Usted debe resolver el problema de encontrar la mejor combinación. a) Formule un modelo de programación lineal. b) Use el método gráfico para resolver el modelo, ¿cuál es su ganancia total estimada? 1) Función objetivo
= ó 1 = ó 2 () = 4500 + 4500
2) Restricciones o limitaciones ≤ 1 ≤ 1 400 + 500 ≤ 600 5000 + 4000 ≤ 6000
3) Gráfica
4) Solución : () = 6000 = 0.667 ó 1 = 0.667 ó 2
Ejercicio 5: 4.7 David, LaDeana y Lydia son socios únicos y trabajadores de una compañía que fabrica
relojes finos. David y LaDeana, cada uno de ellos, tienen disponibilidad de trabajar un máximo de 40 horas semanales en la compañía, mientras que Lydia cuenta con un máximo de 20 horas semanales. La compañía fabrica dos tipos de relojes: un reloj de pie y uno de pared. Para fabricar uno, David (ingeniero mecánico) ensambla las partes mecánicas internas del reloj mientras que
LaDeana (ebanista) fabrica las cubiertas de madera labrada a mano. Lydia es responsable de tomar órdenes y enviar los relojes. Se muestra en seguida el tiempo requerido para cada una de estas tareas. Tiempo requerido Tarea:
Reloj de pie
Reloj de pared
Ensamble de mecanismo de reloj
6 horas
4 horas
Cubierta de madera labrada.
8 horas
4 horas
envió
3 horas
3 horas
Cada reloj de pie fabricado y enviado proporciona una ganancia de $300, mientras que cada reloj de pared da una ganancia de $200. Ahora, los tres socios quieren determinar cuántos relojes de cada tipo deben producir por semana para maximizar la ganancia total. a) Formule un modelo de programación lineal para este problema. b) Use el método gráfico para resolver el problema. c) Despliegue el modelo en una hoja de cálculo. 1) Función objetivo = = () = 300 + 200
2) Restricciones o limitaciones 6 + 4 ≤ 40 8 + 4 ≤ 40 3 + 3 ≤ 20
3) Gráfica
4) Solución : () = 1666.67 = 3 = 3
d) Usar el informe de sensibilidad para determinar si esta solución óptima sigue óptima si la estimación de la ganancia unitaria para los relojes de pie cambia de $300 a $375 (sin más cambios en el modelo). 1) Función objetivo = =
() = 375 + 200
2) Restricciones o limitaciones 6 + 4 ≤ 40 8 + 4 ≤ 40 3 + 3 ≤ 20
3) Gráfica
4) Solución : () = 1916.67 = 3 = 3 = 1667.67 − 1916.67 = −249
Se observa que se mantienen 3 relojes de cada tipo e) Repita la parte d si, además de este cambio en la ganancia unitaria de relojes de pie, la ganancia unitaria estimada para relojes de pared también cambia de $200 a $175. f) Use el análisis gráfico para verificar sus respuestas en las partes d y e.
1) Función objetivo = = () = 375 + 175
2) Restricciones o limitaciones 6 + 4 ≤ 40 8 + 4 ≤ 40 3 + 3 ≤ 20
3) Gráfica
4) Solución : () = 1875 = 5 = 0 = 1667.67 − 1875 = −207.33
Se observa que con el cambio resulta más conveniente fabricar solo 5 relojes de pie
g) Para aumentar la ganancia total, los tres socios acordaron que uno de ellos aumentará ligeramente el máximo de horas de trabajo por semana. La elección de quién de ellos se basará en quién aumentaría más la ganancia total. Use el informe de sensibilidad para efectuar esta elección. (Suponga que no hay cambios en las estimaciones originales de las ganancias unitarias) PRIMER CASO
1) Función objetivo = = () = 300 + 200
2) Restricciones o limitaciones 6 + 4 ≤ 41 8 + 4 ≤ 40 3 + 3 ≤ 20
3) Gráfica
4) Solución : () = 1666.67
= 3 = 3 SEGUNDO CASO
1) Función objetivo = = () = 300 + 200
2) Restricciones o limitaciones 6 + 4 ≤ 40 8 + 4 ≤ 41 3 + 3 ≤ 20
3) Gráfica
4) Solución : () = 1691.67 = 4 = 3
TERCER CASO
1) Función objetivo = = () = 300 + 200
2) Restricciones o limitaciones 6 + 4 ≤ 40 8 + 4 ≤ 40 3 + 3 ≤ 21
3) Gráfica
4) Solución : () = 1700 = 3 = 4
h) Explique por qué uno de los precios unitarios es igual a cero. Se puede deber a la cercanía de los valores a la función objetivo y la falta de una restricción que aclare que los valores principales no pueden ser 0 i)
¿Es válido usar los precios del informe de sensibilidad para determinar el efecto si Lydia cambiara su número máximo de horas disponibles de trabajo a la semana d e 20 a 25? Si es así, ¿cuál sería el aumento en la ganancia total? 1) Función objetivo = = () = 300 + 200
2) Restricciones o limitaciones 6 + 4 ≤ 40 8 + 4 ≤ 40 3 + 3 ≤ 25
3) Gráfica
4) Solución : () = 1833.33
= 2 = 7 = 1667.67 − 1833.33 = −165.66
La ganancia tendría un aumento de 165.66 dólares j)
Repita la parte i si, además del cambio para Lydia, David también cambiara su número máximo de horas disponibles semanales de 40 a 35. k) Use el análisis gráfico para verificar su respuesta en la parte j. 1) Función objetivo = = () = 300 + 200
2) Restricciones o limitaciones 6 + 4 ≤ 35 8 + 4 ≤ 40 3 + 3 ≤ 25
3) Gráfica
4) Solución :
() = 1750 ó 1 = 3 = 5 ó 2 = 1 = 8
Con los cambios se observa que pueden existir 2 soluciones posibles para obtener la ganancia máxima
