INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES / INGENIERIA CIVIL INDUSTRIAL GRUPO Nº 4 Carlos Schmalz Cañas – Chistian Cárcamo Navarrete – Sergio Rodrigo Cárcamo Obando 1.- Muebles modernos arma dos clases de alacenas a partir de madera cortada: normal y de lujo. Las alacenas normales se pintan de blanco, y las de lujo se barnizan. La pintura y el barnizado se hacen en un departamento. El departamento de ensamble puede producir un máximo de 200 alacenas normales y 150 de lujo por día. Para barnizar una unidad de lujo se necesita el doble de tiempo que para pintar una normal. Si el departamento de pintura y barnizado sólo se dedicara a unidades de lujo, podría terminar 180 diarias. La empresa estima que las utilidades unitarias son $100 por alacena normal y $140 por alacena de lujo. Formule el problema de programación lineal que permita determinar el programa óptimo de producción diaria y resuélvalo en forma gráfica. DESARROLLO: Si el departamento de pintura y barnizado solo puede barnizar 180 unidades de lujo al día, y tomando en cuenta que para barnizar una unidad de lujo se necesita el doble de tiempo que para pintar una normal. Implica que, el departamento de pintura y barnizado solo podría terminar 360 unidades de alacenas normales diarias.
RECURSO
ACTIVIDAD ALACENAS NORMALES ALACENAS DE LUJO
DEPARTAMENTO DE ENSAMBLE UTILIDAD POR UNIDAD
i.-
x1
x2
CANTIDAD DE RECURSO DISPONIBLE
1
1
350
100
140
VARIABLES DE DECISIÓN; x1 = N° de unidades de Alacenas Normales color blanco a producir por día. x2 = N° de unidades de Alacenas de Lujo barnizadas a producir por día.
ii.-
FUNCIÓN OBJETO Y RESTRICCIONES; MAX
Z = 100 x1 +140 x 2
S. A.
x1 + x 2 ≤ 350 x1 ≤ 360 x 2 ≤ 180 x1 , x 2 ≥ 0
⇒ ⇒
x 2 = −(10 / 14 ) x1 + ( Z / 140 )
R1 ; x 2 ≤ −x1 + 350
⇒ ⇒
R2 ;
x1 ≤ 360
R3 ;
x 2 ≤ 180
El Punto A se determina directamente de R3
⇒
x 2 = 180
Pto . A = (0,180 )
El Punto B se determina haciendo R1 = R3
⇒
x 2 = 180
x 2 = −x1 + 350 180 = −x1 + 350 x1 = 170 Pto .B = (170 ,180 )
El Punto C se determina haciendo R1 = 0 ⇒
x2 = 0 x 2 = −x1 + 350 0 = −x1 + 350 x1 = 350 Pto .C = (350 ,0)
Optimizando Z = 100 x1 +140 x 2 , resulta entonces; Z A = 100 * 0 +140 * 180 = 25 .200 . − ZB
= 1 0 0
*1 7 0
+ 1 4 0
*1 8 0
= 4 2 .2 0 0
.−
Z C =100 * 350 +140 * 0 = 35 .000 . −
Por lo tanto, la Utilidad máxima optimizada es $42.200.-, y ocurre en el Punto B, cuando se producen 170 Alacenas normales diarias ( x1 = 170 ) y 180 Alacenas de lujo diarias ( x 2 = 180 ). 42 .200 = 100 x1 +140 x 2 x 2 = −(10 / 14 ) x1 + (4.220 / 14 )
MAX
⇒
2.- MG Auto tiene tres plantas en: Los Ángeles, Detroit y New Orleans, y dos centros principales de distribución en Denver y en Miami. Las capacidades de las tres plantas durante el próximo trimestre serán: 1000, 1500 y 2000 autos. Las demandas trimestrales en los dos centros de distribución son 2300 y 1400 autos. El kilometraje entre las fábricas y los centros de distribución aparecen la siguiente tabla: Denver 1000 1250 1275
Los Ángeles Detroit New Orleans
Miami 2690 1350 850
(TABLA 1; KILOMETRAJE ENTRE FABRICAS Y CENTROS DE DISTRIBUCIÓN.-)
La empresa transportista cobra 8 centavos por kilómetro y por auto. Formule el modelo de programación lineal que minimice el costo total de transporte, identifique las variables de decisión, la función objetivo y las restricciones. DESARROLLO: El costo de transportar cada auto se determina del costo “8 centavos por kilómetro y por auto” que cobra la empresa de transporte multiplicado por la cantidad de kilómetros a desplazar cada auto (TABLA 1.-). La siguiente tabla muestra el costo de transportar cada auto desde el origen a cada destino. Los Ángeles; Detroit;
“i=1” “i=2”
Denver “j=1” 8000 10000
Miami “j=2” 21520 10800
New Orleáns; “i=3” 10200 6800 (TABLA 2; COSTO DE TRANSPORTAR CADA AUTO ENTRE FÁBRICAS Y CENTROS DE DISTRIBUCIÓN.-)
i.-
VARIABLES DE DECISIÓN; xij = Cantidad de autos a transportar el próximo trimestre entre fabricas
“i” y Centros de Distribución “j”, xij ≥ 0 ; ∀ ( i =1,2,3 ; j =1,2 ). ii.-
FUNCIÓN OBJETO Y RESTRICCIONES; MIN
=
Z
3
2
∑∑C ij xij
i =1 j =1
MIN
MIN
Z
=
Z
=
C11 x11 C 21 x 21
+ C12 x12 + C 22 x 22
C31 x31
+
+ +
C32 x32 + 21520 x12 + 10800 x 22 + 6800 x32
8000 x11 10000 x 21 10200 x31
+ +
S .A.
x11 x 21 x31
+ + +
x12 x 22 x32
≤ 1000 ≤ 1500 ≤ 2000
x11 x12
+ +
x 21 x 22
+ +
x31 x32
Restricciones de la OFERTA.-
= 2300 = 1400
Restricciones
de
la
DEMANDA.xij ≥ 0 ; ∀ ( i =1,2,3 ; j =1,2 ) 3.- Una compañía produce dos tipos de calculadoras, un modelo estándar, cuya utilidad es de $5 por unidad, y un modelo de lujo, cuya utilidad es de $8. La compañía estima que su red de distribuidores puede manejar a lo más 1.000 calculadoras a la semana. La compañía puede obtener un suministro de semanal regular de sólo 5.000 chips necesarios para las calculadoras; cada calculadora estándar necesita 3 de estos chips, mientras que cada calculadora de lujo requiere de 6. La compañía dispone de 2500 H-H a la semana; cada calculadora estándar demanda 3 H-H y cada calculadora de lujo necesita 2. a) Formule el P.P.L. a fin de maximizar la utilidad total b) Resuélvalo usando el método Simplex
DESARROLLO: a)
RECURSO CHIPS
ACTIVIDAD CALCULADORAS CALCULADORAS DE ESTÁNDAR LUJO
x1
x2
3
6
CANTIDAD DE RECURSO DISPONIBLE 5000
H-H DISTRIBUIDORES UTILIDAD POR UNIDAD
i.-
3 1
2 1
5
8
2500 1000
VARIABLES DE DECISIÓN; x1 = N° de Calculadoras Estándar a producir por semana. x2 = N° de Calculadoras de Lujo a producir por semana.
ii.-
FUNCIÓN OBJETO Y RESTRICCIONES; MAX
Z = 5 x1 + 8 x2
S. A.
3 x1 + 6 x2 ≤ 5000 3 x1 + 2 x2 ≤ 2500 x1 + x2 ≤1000 x1, x2 ≥ 0
b)
FORMA ORIGINAL
MAX
Z = 5 x1 + 8 x2
S. A.-
3 x1 + 6 x2 ≤ 5000 3 x1 + 2 x2 ≤ 2500 x1 + x2 ≤1000 x1, x2 ≥ 0
FORMA AUMENTADA
Z
−
5 x1
−
8 x2
+
0
+
0
+
0
=
0
0
+
3x1
+
6 x2
+
x3
+
0
+
0
=
5000
0
+
3x1
+
2 x2
+
0
+
x4
+
0
=
2500
0
+
x1
+
x2
+
0
+
0
+
x5
=
1000
x1
,
x2
,
x3
,
x4
,
x5
≥
0
Variabl e Básica
N° de Ec.
Z
COEFICIENTES
Z
x1
x2
x3
x4
x5
Lado Derecho
(0)
1
-5
-8
0
0
0
0
x3
(1)
0
3
6
1
0
0
5000
x4
(2)
0
3
2
0
1
0
2500
1250
x5
(3)
0
1
1
0
0
1
1000
1000
R0 = (8) R1 + R0
Z
(0)
1
-1
0
8/6
0
0
40000/6
R1 = (1 / 6) R1
x2
(1)
0
3/6
1
1/6
0
0
5000/6
R2 = ( −2) R1 + R2 x 4
(2)
0
12/6
0
-2/6
1
0
5000/6
Razón
5000/6 833,3
5000/3
≈
≈ 166
6,6 5000/12 6,6
≈ 41
R3 = ( −1) R1 + R3
x5
(3)
0
3/6
0
-1/6
0
1
1000/6
Z
(0)
1
0
0
1
0
12/6
42000/ 6
R1 = ( −3 / 6) R3 + R1x 2
(1)
0
0
1
2/6
0
-1
4000/6
R2 = ( −12 / 6) R3 + Rx24
(2)
0
0
0
2/6
1
-24/6
1000/6
(3)
0
1
0
-2/6
0
12/6
2000/6
R0 = R3 + R0
R3 = 2R3
x1
10000/3 3,3
≈ 33
Por lo tanto; x1 = (2000 / 6) = 333 ,33 x 2 = ( 4000 / 6) = 666 ,66 x3 = 0
x 4 = (1000 / 6) = 166 ,66 x5 = 0
Z MAX = (42000 / 6) = 7000
Solución Óptima ( x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 ) =(333 ,33 ;666 ,66 ;0;166 ,66 ;0)
Z (Óptimo)
= 7.000.-
La cantidad óptima de N° de calculadoras Estándar a fabricar por semana es = 333,33.La cantidad óptima de N° de calculadoras de Lujo a fabricar por semana es = 666,66.La utilidad óptima por semana es de $7.000.En el punto donde se lograr la utilidad óptima, quedan 166,66 H-H de holgura.
4.- Desarrollos Alfa posee 800 acres de terreno en un lago. Antes prácticamente no había reglamento a los desarrollos habitacionales en torno al lago. Las orillas del mismo hoy están pobladas con casas de campo, y debido a la carencia de servicios de alcantarillado, hay muchas fosas sépticas, en su mayor parte mal instaladas. A través de los años, las filtraciones de las fosas sépticas han ocasionado un grave problema de contaminación de agua. Para mitigar el degradamiento de la calidad del agua, las autoridades municipales aprobaron reglamentos estrictos para todos los desarrollos futuros:
i.
ii. iii. iv.
Sólo se pueden construir casas para una, dos y tres familias, y las casas unifamiliares deben ser por lo menos el 50% del total. Para limitar la cantidad de fosas sépticas, se requieren tamaños mínimos de lote de 2; 3 y 4 acres para las casas con una, dos y tres familias, respectivamente. Se deben establecer áreas de recreo de 1 acre cada una, en una proporción de, al menos, una por 200 familias. Para preservar la ecología del lago, no se debe bombear agua subterránea para uso doméstico ni de riego.
El presidente de Desarrollo Alfa estudia la posibilidad de desarrollar los 800 acres de la empresa. El nuevo desarrollo incluirá casas para una, dos y tres familias. Se estima que el 15% de los acres se debe asignar a calles de servicios comunitarios. Alfa estima que los ingresos por las diversas unidades de habitación serán: Unidades de habitación Rendimiento neto Por unidad (U$)
Una
Dos
Tres
10.000
12.000
15.000
El costo de conectar el servicio de agua es proporcional a la cantidad de unidades construidas. Sin embargo, el municipio cobra un mínimo de U$ 100.000 por el proyecto. Además, el aumento de la capacidad actual del sistema de abastecimiento de agua se limita a 200.000 galones por día, durante la temporada alta. Los datos siguientes resumen el costo de conectar el servicio de agua, y también el consumo de agua, suponiendo familias de tamaño promedio: Unidades de habitación Costo del servicio de agua por unidad (U$) Consumo de agua por unidad (gal/día)
Una
Dos
Tres
Parques y jardines
1000
1200
1400
800
400
600
840
450
Formule el modelo de programación lineal para este problema, identifique las variables de decisión, la función objetivo y las restricciones.
DESARROLLO: Como el presidente de Desarrollo Alfa estima que el 15% de los 800 acres son destinados a calles de servicios comunitarios; implica que solo quedaran disponibles el 85% de esos 800 acres, o sea, 680 acres para el nuevo desarrollo. RECURSO
RECURSO UTILIZADO POR UNIDAD DE PRODUCTO
CANTIDAD
TAMAÑO DE LOTES CONEXIÓN DE AGUA ABASTECIMIENTO DE AGUA UTILIDAD POR UNIDAD
i.-
HABITACIONE S PARA UNA FAMILIA
HABITACIONE S PARA DOS FAMILIAS
HABITACIONE S PARA TRES FAMILIAS
x1
x2
x3
x4
2
3
4
1
680 ACRES
1.000
1.200
1.400
800
$ 100.000
400
600
840
450
200.000 (gal/día)
10.000
12.000
15.000
0
ÁREAS DE RECREO
DE RECURSO DISPONIBLE
VARIABLES DE DECISIÓN; x1 = N° de Unidades de habitaciones a construir para una familia. x2 = N° de Unidades de habitaciones a construir para dos familias. x3 = N° de Unidades de habitaciones a construir para tres familias.
x 4 = N° de Unidades de áreas de recreo a construir.
ii.-
FUNCIÓN OBJETO Y RESTRICCIONES; MAX
Z =10 .000 x1 +12 .000 x 2 +15 .000 x 3
S. A.
2 x1 + 3 x 2 + 4 x3 + x 4 ≤ 680
⇒
x1 +1,5 x 2 + 2 x3 + 0,5 x 4 ≤ 340 1.000 x1 +1.200 x 2 +1.400 x3 +800 x 4 ≥100 .000
⇒
x1 +1,2 x 2 +1,4 x3 + 0,8 x 4 ≥100 400 x1 + 600 x 2 + 840 x3 + 450 x 4 ≤ 200 .000 ⇒ x1 +1,5 x 2 + 2,1x3 +1,125 x 4 ≤ 500 x1 , x 2 , x3 , x 4 ≥ 0
N° total de casas a construir = ( x1 + x 2 + x3 ) , según reglamento municipal resulta:
⇒
x1 ≥ 0,5( x1 + x 2 + x3 ) 0,5 x1 − 0,5 x 2 − 0,5 x3 ≥ 0
Además, el N° de familias se determina al multiplicar el N° total de casas a construir por su correspondiente cantidad de familias, por lo tanto; N° total de familias = ( x1 + 2 x 2 + 3 x3 ) , en consecuencia al reglamento municipal, resulta;
( x1 + 2 x 2 + 3 x3 ) = x4 200
⇒
x1 + 2 x 2 + 3 x3 − 200 x 4 = 0
