Grado en Ingeniería Aeroespacial Introducción a la Mecánic Mecánicaa Orbital Mariano Marcos Ingeniería de los Procesos de Fabricación Dept. Ingeniería Mecánica y Diseño Industrial
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Junio 2012
Grado en Ingeniería Aeroespacial Introducción a la Mecánica Orbital Índice Introducción Ley de Gravitación Universal Problema de un Cuerpo Velocidades Cosmonáuticas Órbitas Terrestres Bibliografía
Grado en Ingeniería Aeroespacial Introducción a la Mecánica Orbital Índice Introducción Ley de Gravitación Universal Problema de un Cuerpo
Los Planetas y el Sol residen en esferas cristalinas concéntricas centradas en la Tierra (Arquímedes, s. IV a.C.)
Velocidades Cosmonáuticas Órbitas Terrestres Bibliografía
Modelo ptolemaico basado en los epiciclos (Ptolomeo de Alejandría, s. I a.C.)
Modelo copernicano heliocéntrico Usa epicicloides (Copérnico, s. XV, Galileo, S. XVI)
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(Kepler, s. XVII)
Modelo ticótico geocéntrico Basado en observaciones (Tycho Brahe, s. XVI) 1. La órbita de cada planeta es una elipse con el Sol en uno de sus focos. 2. Una línea que una el Sol con un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales (Ley de Áreas). 3. El cuadrado del periodo orbital de cada planeta es directamente proporcional al cubo del semieje mayor de la elipse de la órbita del planeta.
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1. Publica
Philosphia Mathematica
Naturalis
Principia
2. Demuestra las Leyes de Kepler 3. Demostración basada en Principios Básicos (Newton) 4. Demostración basada en el Cálculo Infinitesimal (Newton)
Bibliografía
Newton, s. XVII
Formas de abordar el problema: 1. Método directo (Newton): Dada la fuerza, se calcula el movimiento 2. Método inverso (Newton-Kepler): conocido el movimiento, se calculan las fuerzas
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Lagrange, s. XVII
Laplace, s. XVII
Gauss, s. XVIII
Poincaré, s. XIX
Einstein, s. XX
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1. Se considerará el movimiento orbital de un cuerpo en el caso en que solamente depende del campo gravitatorio producido por otro y que éste tiene una masa mucho mayor ( problema de un cuerpo). 2. Se considera que el Campo Gravitatorio es un campo de fuerzas central y conservativo 3. Se desprecian los efectos de otras fuerzas (atmosférica, rotación cuerpo, fricción, radiaciones) y otros cuerpos 4. Se consideran cuerpos esféricos perfectos (simetría) y de masa uniformemente distribuida y densidad constante
Grado en Ingeniería Aeroespacial Introducción a la Mecánica Orbital
M
m
r
Índice Introducción Ley de Gravitación Universal
F = m g
Problema de un Cuerpo
F = − G
Velocidades Cosmonáuticas Órbitas Terrestres
M m r 2
r
r
g=−
µ r 2
r r
Bibliografía
F = G
Mm 2
r
= µ
m 2
r
Parámetro de Gravitación Constante de KEPLER
µ = G M 3.986 ×
1014 m3.s-2
g = −G
M r 2
r r
Intensidad de Campo Aceleración de la Gravedad
Grado en Ingeniería Aeroespacial Introducción a la Mecánica Orbital
M Introducción Ley de Gravitación Universal
F = − G
Problema de un Cuerpo Velocidades Cosmonáuticas
m
r
Índice
MT m
r
(RT + H )
2
Órbitas Terrestres Bibliografía
r = RT + H
g0
=G
r MT 2
RT
Derivada de Campos creados por masas puntuales (cuerpos con simetría esférica) Se aplica cuando las distancias entre los cuerpos es mucho mayor que sus dimensiones Aplicables a Órbitas Planetarias Difícilmente aplicable a otras relaciones entre distancias (válido en superficie terrestre)
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Grado en Ingeniería Aeroespacial Introducción a la Mecánica Orbital Índice Introducción
m
r
M
Ley de Gravitación Universal
M
Problema de un Cuerpo Velocidades Cosmonáuticas
V g
Órbitas Terrestres
= −G
Bibliografía
M
=−
r
µ r
g = − ∇V g Fuerzas Centrales: Línea de Acción pasa por un punto fijo Campo Conservativo: Puede definirse un Potencial El movimiento tiene lugar en un plano
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•
Grado en Ingeniería Aeroespacial Introducción a la Mecánica Orbital
Movimiento orbital de un cuerpo de masa m sometido a la fuerza gravitatoria de otro de masa M mucho mayor (M >> m) en el que se sitúa el origen de coordenadas (este cuerpo se considera primario) El sistema de referencia ligado a M se considera inercial
•
Índice Introducción Ley de Gravitación Universal Problema de un Cuerpo
•
•
•
Se admiten las Leyes de Newton Se admiten las Leyes de Kepler
Velocidades Cosmonáuticas
1. La órbita de cada planeta es una elipse (cónica) con el Sol en uno de sus focos.
Órbitas Terrestres Bibliografía
M
m
b
Perigeo
e= Apogeo
a
a
2
−b
2
EXCENTRICIDAD
a Ra
=
a (1 + e ) = RT + ha
R p
=
a (1 − e ) = RT + hp
Grado en Ingeniería Aeroespacial Introducción a la Mecánica Orbital
Movimiento orbital de un cuerpo de masa m sometido a la fuerza gravitatoria de otro de masa M mucho mayor (M >> m) en el que se sitúa el origen de coordenadas (este cuerpo se considera primario) El sistema de referencia ligado a M se considera inercial
•
Índice Introducción Ley de Gravitación Universal Problema de un Cuerpo
•
•
•
Se admiten las Leyes de Newton Se admiten las Leyes de Kepler
Velocidades Cosmonáuticas Órbitas Terrestres Bibliografía
2.
Ley de Áreas. Una línea que una el Sol con un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales
M Perigeo
m
En la órbita elíptica el desplazamiento es rápido en el perigeo y lento en el apogeo En el caso de órbitas muy excéntricas la masa m permanece casi estática en el apogeo
Apogeo
Grado en Ingeniería Aeroespacial Introducción a la Mecánica Orbital
Movimiento orbital de un cuerpo de masa m sometido a la fuerza gravitatoria de otro de masa M mucho mayor (M >> m) en el que se sitúa el origen de coordenadas (este cuerpo se considera primario) El sistema de referencia ligado a M se considera inercial
•
Índice Introducción Ley de Gravitación Universal
•
•
Se admiten las Leyes de Newton Se admiten las Leyes de Kepler
Problema de un Cuerpo
•
Velocidades Cosmonáuticas
3.
Órbitas Terrestres Bibliografía
El cuadrado del periodo orbital de cada planeta es directamente proporcional al cubo del semieje mayor de la elipse de la órbita del planeta.
M Perigeo
•
•
Demostrable a partir de las leyes de Newton Adecuación del Sistema de Referencia como Sistema Inercial
m
2
T = 2
Apogeo
4π
µ
a
3
Grado en Ingeniería Aeroespacial Introducción a la Mecánica Orbital
Movimiento orbital de un cuerpo de masa m sometido a la fuerza gravitatoria de otro de masa M mucho mayor (M >> m) en el que se sitúa el origen de coordenadas (este cuerpo se considera primario) El sistema de referencia ligado a M se considera inercial
•
Índice Introducción Ley de Gravitación Universal Problema de un Cuerpo Velocidades Cosmonáuticas
•
•
•
Se admiten las Leyes de Newton Se admiten las Leyes de Kepler
APROXIMACIÓN AL CASO CIRCULAR
Órbitas Terrestres
Fcf
Bibliografía
Fcp M
2
T = 2
4π
µ
3
r
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Se admiten las Leyes de Newton y las Leyes de Kepler
Índice Introducción Ley de Gravitación Universal
2
−G
M m r 2
r
r
=m
d r
r =
2
dt
h
2
1
µ 1 + e cosθ
=
p 1 + e cosθ
Problema de un Cuerpo
h = r
Velocidades Cosmonáuticas
2
Órbitas Terrestres
d θ dt
Bibliografía
Fcf Fcp Apoapsis
M F c
m Periapsis
Grado en Ingeniería Aeroespacial Introducción a la Mecánica Orbital •
Se admiten las Leyes de Newton y las Leyes de Kepler
Índice Introducción Ley de Gravitación Universal Problema de un Cuerpo Velocidades Cosmonáuticas Órbitas Terrestres Bibliografía
ÓRBITAS TERRESTRES
Grado en Ingeniería Aeroespacial Introducción a la Mecánica Orbital •
Se admiten las Leyes de Newton y las Leyes de Kepler
Índice Introducción Ley de Gravitación Universal Problema de un Cuerpo Velocidades Cosmonáuticas Órbitas Terrestres Bibliografía
ÓRBITAS TERRESTRES
Grado en Ingeniería Aeroespacial Introducción a la Mecánica Orbital •
Se admiten las Leyes de Newton y las Leyes de Kepler
Índice Introducción Ley de Gravitación Universal Problema de un Cuerpo
ENERGÍA
E = E C + U =
1 2
mv + mV 2
Velocidades Cosmonáuticas Órbitas Terrestres Bibliografía
E =
1
µ 2
2
2
h
(e
2
− 1) =
µ 2 p
(e
2
− 1)
Grado en Ingeniería Aeroespacial Introducción a la Mecánica Orbital Índice Introducción Ley de Gravitación Universal Problema de un Cuerpo Velocidades Cosmonáuticas Órbitas Terrestres Bibliografía
http://waowen.screaming.net/revision/force&motion/ncananim.htm
Grado en Ingeniería Aeroespacial Introducción a la Mecánica Orbital Índice Introducción
1.
Ley de Gravitación Universal Problema de un Cuerpo
2.
Velocidades Cosmonáuticas Órbitas Terrestres Bibliografía
v C =
Velocidad de satelización, vC. Es la velocidad que hay que proporcionar, en la dirección adecuada, a un cuerpo situado a una distancia r del centro de atracción para que mantenga una órbita circular. Velocidad de escape (o parabólica), vP. Es la mínima velocidad que hay que proporcionar, en la dirección adecuada, a un cuerpo situado a una distancia r del centro de atracción para que venza el campo gravitatorio. El cuerpo sigue una trayectoria parabólica, que lo alejaría hasta el infinito (con relación al centro de atracción), al que llegaría con velocidad nula.
µ r
v P =
2
µ r
Grado en Ingeniería Aeroespacial Introducción a la Mecánica Orbital Índice Introducción Ley de Gravitación Universal Problema de un Cuerpo Velocidades Cosmonáuticas Órbitas Terrestres Bibliografía
2
d r
2 dr
2
µ
− − r = − r d θ r d θ h 2
2
2
Grado en Ingeniería Aeroespacial Introducción a la Mecánica Orbital Índice Introducción Ley de Gravitación Universal Problema de un Cuerpo
a Semieje mayor e Excentricidad
Velocidades Cosmonáuticas
i Inclinación
Órbitas Terrestres
Ascensión recta del nodo ascendente
Bibliografía
Argumento del perigeo Anomalía verdadera (ángulo en la dirección del movimiento del satélite entre el perigeo y la posición de éste)
Grado en Ingeniería Aeroespacial Introducción a la Mecánica Orbital Índice Introducción Ley de Gravitación Universal
1.
GEOSÍNCRONAS, mTO = nTT. Geoestacionaria (periodo de 23 horas, 56 minutos y 4 segundos) Molniya (periodo de 11 horas, 28 minutos y 2 segundos) Tundra (periodo de 23 horas, 56 minutos y 4 segundos) 2. HELIOSÍNCRONAS. Su tiempo solar local no varía sobre un punto específico (TN es el periodo de traslación). •
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Problema de un Cuerpo Velocidades Cosmonáuticas Órbitas Terrestres Bibliografía
Grado en Ingeniería Aeroespacial Introducción a la Mecánica Orbital GEOESTACIONARIAS (GEO) Índice Introducción Ley de Gravitación Universal
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Problema de un Cuerpo Velocidades Cosmonáuticas Órbitas Terrestres Bibliografía
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La órbita geoestacionaria se define por la condición de que el punto subsatélite(intersección de la vertical del satélite con la superficie terrestre) es un punto fijo de la Tierra Se trata de una órbita circular, situada en el plano ecuatorial terrestre, con movimiento de Oeste a Este y con velocidad orbital angular igual a la velocidad de rotación sidérea de la Tierra Hg=35786 km. Velocidad de satelización VC=3070 m/s. Utilizada por satélites de telecomunicación
Grado en Ingeniería Aeroespacial Introducción a la Mecánica Orbital ALTAMENTE ELÍPTICAS (HEO) Índice Introducción Ley de Gravitación Universal Problema de un Cuerpo Velocidades Cosmonáuticas Órbitas Terrestres Bibliografía
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Molniya (perigeo desde 500 km y apogeo a 40000 km; e=0.75). Satélites de comunicaciones rusos y misiones al exterior Tundra (perigeo a 25000 Km y apogeo 50000 km con e = 0.25). Sirius Sat. Los satélites colocados en estas orbitas pasa la mayoría del tiempo orbital sobre una misma zona seleccionada
Grado en Ingeniería Aeroespacial Introducción a la Mecánica Orbital Índice Introducción Ley de Gravitación Universal Problema de un Cuerpo
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Velocidades Cosmonáuticas Órbitas Terrestres Bibliografía
J.E. Prussing, B.A. Conway, Orbital Mechanics, Dover, 1993 Damián Rivas, Aeronaves y Vehículos Espaciales, Universidad de Sevilla, Febrero de 2007 H. Curtis, Mecánica Orbital para estudiantes de Ingeniería, Elsevier, 2009 J.D. Anderson, Introduction to flight . McGraw Hill, 2000
