INTRODUCCIÓN

FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C.

MATEMÁTICAS FINANCIERAS

INTRODUCCIÓN

La presente antología, se ha realizado de manera que pueda usarse como complemento de las actividades a realizar con sus respectivos docentes, o como manual para el curso de Matemáticas Financieras; es muy importante que los docentes, nos hagan saber sus comentarios y sugerencias, para retroalimentar los temas y subtemas contenidos en el programa de estudios. Cada unidad empieza con los objetivos , un sumario del capítulo, desarrollo de los temas, problemas resueltos y problemas propuestos; en próxima edición, se anexaran las tablas para la amortización, formularios generales y los resultados de los ejercicios propuestos. Es muy importante recalcar el buen uso del manejo de las calculadoras, para llevar a buen termino, la solución de los ejercicios que se proponen. El uso de las literales empleadas varían de un autor a otro y de un docente a otro; pero sin duda alguna todas llegan al mismo resultado. Sin más que agregar y esperando sus comentarios se despide de ustedes.

UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO A.C.



ÍNDICE

UNIDAD 1. INTERÉS SIMPLE. 1.1. Objetivos. 1.2. Definiciones. 1.3. Fórmulas básicas. 1.4. Cálculo de interés simple y monto. 1.5. Cálculo de la tasa de interés. 1.6. Cálculo del valor presente. 1.7. Ejercicios propuestos. 1.8. Interés simple exacto y ordinario. 1.9. Cálculo del tiempo exacto y aproximado. 1.10. Ejercicios propuestos. 1.11. Pagarés. 1.12. Ejercicios propuestos 1.13. Ecuaciones de valor a interés simple. 1.14. Descuento simple. 1.15. Descuentos de pagarés. 1.16. Problemas propuestos. UNIDAD 2. INTERÉS COMPUESTO. 2.1. Introducción. 2.2. Definición. 2.3. Monto compuesto con períodos de capitalización fraccionarios 2.4. Tasa nominal y efectiva de interés. 2.5. Aproximación de la tasa de interés. 2.6. Aproximación del tiempo. 2.7. Problemas resueltos. 2.8. Problemas propuestos. 2.9. Valor presente. 2.10. Valor presente para el caso de un período de conversión fraccionario. 2.11. Ecuaciones de valor a interés compuesto. 2.12. Tiempo equivalente.



UNIDAD 3. ANUALIDADES. 3.1. Introducción. 3.2. Clasificación de las Anualidades. 3.3. Anualidades simples ciertas ordinarias. 3.3.1. Valor de las Anualidades. 3.3.2.Monto y valor actual de las Anualidades Simples Ciertas Ordinarias. 3.3.3.Problemas resueltos. 3.3.4.Problemas propuestos. 3.3.5.Cálculo de la renta en una anualidad cierta ordinaria. 3.3.6.Cálculo del tiempo o plazo de una anualidad. 3.3.7.Cálculo de la tasa de interés de una anualidad simple cierta ordinaria. 3.3.8.Problemas resueltos. 3.3.9.Problemas propuestos. 3.4. Anualidades Anticipadas. 3.4.1.Introducción. 3.4.2.Símbolos utilizados en las anualidades anticipadas. 3.4.3.Monto y valor actual de las anualidades simples ciertas anticipadas. 3.4.4.Problemas resueltos. 3.4.5.Problemas propuestos. 3.5. Anualidades diferidas. 3.5.1.Introducción. 3.5.2.Símbolos utilizados en las anualidades diferidas. 3.5.3.Valores de las anualidades diferidas simples ciertas. 3.5.4.Problemas resueltos. 3.5.5.Problemas propuestos. 3.6. Anualidades diferidas. 3.6.1.Introducción. 3.6.2.Símbolos utilizados en las anualidades generales. 3.6.3.Conversión de una anualidad general ordinaria en una anualidad simple. 3.6.4.Monto y valor actual de las anualidades. 3.6.5.Cálculo de la renta en una anualidad general cierta ordinaria. 3.6.6.Otros métodos de cálculo de los valores de las anualidades. 3.6.7.Problemas resueltos. 3.6.8.Problemas propuestos. 3.6.9.Cálculo del tiempo o plazo de una anualidad general. 3.6.10. Cálculo de la tasa de interés de una anualidad general.



3.6.11. Problemas resueltos. 3.6.12. Problemas propuestos. 3.7. Anualidades generales anticipadas. 3.7.1.Introducción. 3.7.2.Problemas resueltos. 3.7.3.Problemas propuestos. 3.8. Anualidades variables. 3.9. Anualidades continuas. 3.10. Anualidades a interés continuo. 3.11. Anualidades a interés continuo con pagos en flujos continuos. 3.12. Problemas resueltos. 3.13. Problemas propuestos. UNIDAD 4. AMORTIZACIÓN. 4.1. Introducción. 4.2. Tablas de Amortización. 4.3. Interés en el valor de un bien adquirido. 4.4. Extinción de deudas consolidadas. 4.5. Fondos de Amortización. 4.6. Tablas de fondos de amortización. 4.7. Problemas resueltos. 4.8. Problemas propuestos. UNIDAD 5. DEPRECIACIÓN. 5.1. Introducción. 5.2. Conceptos. 5.3. Método de Línea Recta. 5.4. Método de Porcentaje Fijo. 5.5. Método de Suma de Dígitos. 5.6. Método de Depreciación por Unidad de Producción o Servicio. 5.7. Método por fondos de Amortización. 5.8. La Depreciación en las épocas inflacionarias. 5.9. Resumen. 5.10. Problemas resueltos. 5.11. Problemas propuestos.



UNIDAD 6. BONOS. 6.1. Definiciones. 6.2. Precios del bono en una fecha de pago de intereses. 6.3. Compra a premio o descuento. 6.4. Precio del bono comprado entre fecha de pago de interés. 6.5. El precio cotizado de un bono. 6.6. Tasa de redituabilidad. 6.7. Bonos con fecha opcional de redención. 6.8. Un bono de anualidad. 6.9. Emisión seriada de bonos. 6.10. Problemas resueltos. 6.11. Problemas propuestos. Bibliografía.



OBJETIVOS

1



Enseñar los factores que entran en juego en el cálculo del interés simple.



Capacitarlo para manejar estos factores.



Aplicarlos en la solución de problemas frecuentes en las matemáticas financieras.

SUMARIO 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. 1.9. 1.10. 1.11. 1.12. 1.13. 1.14. 1.15. 1.16.

Objetivos. Definiciones. Fórmulas básicas. Cálculo de interés simple y monto. Cálculo de la tasa de interés. Cálculo del valor presente. Ejercicios propuestos. Interés simple exacto y ordinario. Cálculo del tiempo exacto y aproximado. Ejercicios propuestos. Pagarés. Ejercicios propuestos. Ecuaciones de valor a interés simple. Descuento simple. Descuentos de pagarés. Problemas propuestos. 1. INTERÉS SIMPLE


1.1


OBJETIVOS

 Capacitarlo para manejar estos factores y aplicarlos a la solución de problemas.  Aprender definiciones, manejar conceptos y factores básicos que serán utilizados en esta unidad. 1.2

DEFINICIONES

 Es la cantidad pagada por el uso de dinero obtenido en préstamo.  Es la cantidad producida por la inversión del capital.  Es el producto del capital, por la tasa de interés, por el tiempo, su unidad es $,en donde la tasa y el tiempo, sus tasas deben de ser congruentes.  Es cuando únicamente el capital gana intereses por todo el tiempo que dura la transacción, al interés vencido al final del plazo se le conoce como interés simple. 1.3 FORMULAS BÁSICAS I= C i t ……………(1) I= S - C…………….(2) S= C + I……………(3) S= C + C i t S= C ( 1 + i t)……..(4) NOTACIÓN : I = interés simple ($) C = capital ($) S = Monto……….. ($) ¡ = Tasa de interés (%) t = Tiempo (días, meses, años)



1.4 CALCULO DEL INTERÉS SIMPLE Y MONTO Ejemplo 1.

( I

Y

S)

Determinar el interés simple sobre $ 750 al 4% durante ½ año. ¿Cuál será el monto? En éste caso c = $750, ¡ = 0.04 y t = ½ año ó 6/12, por lo cual: Solución a).

I= C i t ………………………..(1) I= ($ 750) (0.04) (1/2) I= $ 15 S= C + I ……………………….(3) S= $750 + $15 S= $ 765.00

Solución b)

S= C ( 1 + i t)…………………..(4) S= $750 [ 1 + (0.04)(6/12) ] S= $ 765.00 I = S – C…………………………(2) I = $765 - $750 I = $ 15

1.5 CALCULO DE LA TASA DE INTERÉS (i) Ejemplo 2. ¿ A que tasa de interés simple, el monto de $ 2,000 será $ 2110 en un año ?



En este caso S= $2110, c= $ 2,000, t= 1 año, i =?, por lo cual: I=s–c I = $2110 - $2,000 I = $110 I=Cit I Ct

= i

$ 110 = i ($2000)(1 año) 0.055 = i 5½%= i calculo del tiempo ( t ) Ejemplo 3. ¿En que tiempo el monto de $2000 será $2125 al 5% de interés simple? En este caso: s= $ 2125, C= $2000, i = 5%, t =? Por lo cual : I=S–C I =$ 2125 - $ 2000 I = $125 I=Cit I = t C i $ 125 = t ($2000)(0.05) 1.25 = t 1 ¼ años = t 1 año 3 meses = t



1.6 CALCULO DEL VALOR PRESENTE ( C) Encontrar el valor presente, al 6% de interés simple, de $1,500 con vencimiento en 9 meses. En este caso, s=$1500, l=0.06, t=9/12, c=? Por lo cual: c= c= c=

5 1+ i t $ 1500 1+(0.04 (9/12)

$1435.41

1.7 EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Encontrar el Interés simple y el monto de $1000 (a) al 41/2 durante 1 año (c) al 31/2% durante ½ año durante 15 meses (b) al 51/4 durante 2 años (d) al 6% durante 8 meses durante 10 meses.

(e) al 4% (f) al 5%

2.- ¿A que tasa de interés simple?. (a)el monto de $4000 será $4900 en 3 años (b)el monto de $720 será $790 en 10 meses 3.- X compro un radio en $1245 Dio un anticipo del 10% y a cargo pagar el resto en 3 meses, más un cargo de $10 ¿Que tasa de interés simple pago? 4.- ¿En que tiempo el monto de $4000 será $4250 al 5% de interés simple? 5. -¿En que tiempo se duplica una cantidad de dinero en BANAMEX al t% de interés simple? 6. - ¿Qué suma debe ser al 5% para tener $1000 después de 8 meses?



EJERCICIOS GRUPO 2 1. Encontrar el Monto y el interés simple de. (a) $ 7,500 durante 9 meses al 51/2% (c) $ 6000 durante 5 meses al 6%. (b) $ 18,000 durante 10 meses al 41/2% (d) $ 9000 durante 4 meses al 33/4%. 2. Hallar la tasa de interés sabiendo que el monto de $16,500 es: (a) $16,775 en 4 meses (b) $17,050 en 10 meses 3Que capital produce en 8 meses (a) 480 al 6% (b) 500 al 5% 4En qué tiempo un capital de $3,000 (a) produce $900 al 71/7% de interés simple (b) alcanza un monto de $3,450 al 5% de interés simple EJERCICIOS GRUPO 3 1 Calcular el interés simple de (a) $2000 durante 3 años al 0.75% mensual (b) $10,000 durante 4 años al 5% semestral (c)$25,000 durante 1 año 3 meses al 6% semestral (d) $4,000 durante 2 años 3 meses al 0.5% mensual 2 Calcular el interés Exacto de: (a)$7000 durante 105 días al 8% (b)$4000, el 16 de Nov. Si fue firmado el 16 de julio del mismo año. (c) $6000 durante 4 meses el 9%



3 El propietario de una casa recibe el 15 de Mayo de 1998 las 3 ofertas que se detallan. ¿Cuál es la mejor, si el rendimiento es del 9%? (a) $60,000 al contado y un pagaré al 10 de Sep. De 2000 por $32,600. (b) $30,000 a 120 días y $63,500 al 180 días. (c) $20,000 al contado y un pagare con intereses del 8% por $71,000 a 120 días. 4 Una persona descuenta un pagaré al $20,000 el 15 de Mayo con vencimiento el 13 de Agosto y recibe solo $19,559.90 ¿A qué tasa de descuento racional o matemático le fue descontado el pagare? 5 Una persona debe $20,000 c/venc. A 3 meses, y $16,000 con vencimiento a 8 meses propone pagar su deuda mediante 2 pagos iguales a un vencimiento a 6 meses y 1 año respectivamente. Determinar el valor de los nuevos pagares con el 8% de rendimiento. ( tome como fecha focal dentro de un año) 1.8 INTERÉS SIMPLE EXACTO Y ORDINARIO INTRODUCCIÓN: DOS PROBLEMAS TÍPICOS DE INTERÉS SIMPLE SON: (a)Hallar el interés simple sobre $2000 al 5% durante 50 días (b)Hallar el interés sobre $1500 al 6%, del 20 de Marzo de 1999 al 11 de Mayo del 2000. Estos dos problemas resuelven aplicando I=cit. sin embargo, debido a las variaciones en las practica comercial, pueden darse dos respuestas diferentes en el primer problema y no menos de cuatro en el segundo. La diversidad de resultados se origina en las diferentes practicas para estimar t. DEFINICIÓN - El interés simple Exacto: (ISE) se calcula sobre la base del año de 365 días. - (366 en años bisiestos).



- El interés Simple Ordinario (ISO) se calcula con base en un año de 360 días. El uso del año de 360 días simplifico algunos cálculos, sin embargo, aumento el interés cobrado por el acreedor. EJEMPLO 5 (a)Determinar el interés exacto y ordinario sobre $ 2000 al 5%, durante 50 días. En este caso, c=$2000, i=0.05, t=50 días, por lo cual. ISE=c i t = ($2000) (0.50) (50/365)=$13.70 ISO=c i t =($2000)(0.05) (50/360)=$13.89 1.9 CALCULO DEL TIEMPO, EXACTO Y APROXIMADO DEFINICIÓN:  Calculo Exacto del Tiempo: como su nombre lo indica, es el numero exacto de días, tal como se encuentra en el calendario; aplicando la siguiente formula, en base a la tabla I. (Dff-Dfi) + (dif. Años x 365) + (bisiestos)  Calculo aproximado del tiempo: se hace suponiendo que cada mes tiene 30 días y cada año 360 días; y se obtiene restando la fecha final de la inicial.  Debe pasar por año bisiesto y por todo el mes de febrero para considerarlo. EJEMPLO 5 a) Hallar el interés Exacto Ordinario, con tiempo exacto y aproximado de: $1500 al 6% del 20 de Marzo de 1999 al 11 de Mayo del 2000. Tiempo exacto por formula: (131-79) + (1x365) + (1) + 52+ 365 + 1 = 418 t. exacto Tiempo Exacto por calendario:



11+30+31+30+31+31+30+31+30+31+31+29+31+30+11=418 M A M J J A S O N D E F M A M Tiempo Aproximado:

11:05:00 20:03:99

41: 04 00 20: 03 99 21: 01 1 x30 x360 21+30+360= 411 tiempo aproximado

ISE c/t. exacto = c i t = (1500)(0.60)(418/366)= $102.79 por que paso por todo febrero en año bisiesto ISE c/t. APROXIMADO = C i t = ($1500) (0.60) (411/366) = $101.06 ISO c/t. EXACTO = C i t = ($1500 (0.06) (418/360) = $104.50 (SISTEMA BANCARIO) =Cit = ($1500) (0.60) (411/360)= $102.75 EL ISO c/tiempo exacto es el método que produce mayor interés ¿Con cual cobra el banco y con cual paga el banco?. 1.10 EJERCICIOS PROPUESTOS 1 Determinar en forma aproximada y exacto el tiempo transcurrido de la fecha de tu nacimiento al día de hoy. 2 Determinar en forma aproximada y exacta el tiempo transcurrido entre el 25 de enero de 1998 al 15 de Mayo del 2000. 3 Determinar en forma exacta y aproximada el tiempo transcurrido entre el 15 de septiembre de 1999 al 15 de febrero del 2000. 4 Comparar el interés exacto y ordinario sobre $2,500 al 5% del 15 de Abril al 25 de Julio de 1999, con tiempo aproximado. 5 Determinar, de acuerdo con el sistema bancario, el interés simple sobre $4280 al 6% del 21 de Marzo al 25 de julio del 2000.



6 Determinar, de acuerdo al sistema bancario, el interés simple sobre $3575 al 43/4% durante 80 días. 7 Hallar el interés Simple Ordinario y exacto de. (a)$900 durante 120 días al 5% (b)$1200 durante 100 días al 6% (c) $1600 durante 72 días al 4% (d)3000 durante 146 días al 3% (e)$1000 del 6 de agosto de 1999 al 14 de Diciembre del 2000 al 4% (f) 1750 del 10 de junio de 1998 al 1 de noviembre de 1998 al 5% (g)$2500 del 21 de Enero de 1999 al 13 de agosto del 2000 al 41/2% (h)$2000 del 18 de octubre de 1999 al 6 de febrero del 2000 al 51/4%. 1.11 PAGARÉS DEFINICIÓN: un pagaré es una promesa escrita de pago de una determinada cantidad de dinero, con intereses o sin ellos, en una fecha dada, suscrita por un deudor a favor de un acreedor. En un pagaré intervienen los siguientes elementos. - Plazo: Es el tiempo especificado explícitamente en el documento (numero de meses) o (numero de días). - Valor Nominal. Es al suma Estipulada en el documento. - Fecha de Vencimiento: Es la fecha en al cual debe ser pagada la deuda. - Valor de Vencimiento: Es la suma que debe ser pagada en la fecha de vencimiento. En un pagaré, en el cual no se estipule intereses, el valor nominal es igual al valor del vencimiento; en caso contrario, el valor al vencimiento siempre será mayor que el valor nominal. Para determinar la fecha de vencimiento de un pagaré procederemos como sigue: (a)Si el plazo esta dado en meses, el tiempo se determinara aproximadamente. (b)Si el plazo este dado en días, el tiempo de determinara exactamente.

EJEMPLO 6



En una pagaré firmado el 15 de Enero, con vencimiento de 3 meses por $5,000 con un interés del 6% Fecha plazo 15/01 3 meses

fecha de vencimiento valor al vencimiento 15 de abril S=c (1+ i t) S= $5,000[1+(0.06)(3/12)] S= $5075

1.12 EJERCICIOS PROPUESTOS 1 Determinar para cada uno de los siguientes pagarés la fecha de vencimiento y el valor al vencimiento. Suma Nominal Fecha plazo Tasa de interés a) $2500 1 de Marzo 4 meses 6% b) $3000 15 de junio 150 días 4% 2 Determinar la fecha de vencimiento y el valor al vencimiento de cada una de los siguientes pagarés. Valor nominal a) $2000 b) $3000 c) $1250 d) $2500 e) $1600 f) $3200 g) $1500 h) $2750

Fecha 25 de abril 5 de marzo 10 de junio 1 de enero 10 de febrero 28 de nov. 5 de agosto 5 de julio

Plaza 3 meses 8 meses 4 meses 7 meses 120 días 45 días 60 días 135 días

Tasa de interés 51/2% 5% 6% 4% 7% 8% 6% 6%

3. Un pagaré a 10 meses por $3,000 al 6%, es suscrito el día de hoy. Determinar su valor dentro de 4 meses, suponiendo un rendimiento de 5%.

1.13 ECUACIONES DE VALOR



Definición: en algunas ocasiones es conveniente para un deudor cambiar el conjunto de sus obligaciones por otro conjunto. Para efectuar esta operación, tanto el deudor como el acreedor deben de estar de acuerdo con al tasa de interés que han de utilizarse y en la fecha que se llevará a cabo. EJEMPLO 7 En la fecha, B debe $1,000 por un préstamo con vencimiento en 6 meses, contratado originalmente a 11/2 años a la tasa de 4% y debe, además, $2,500 con vencimiento en 9 meses, sin intereses. El desea pagar $2,000 de inmediato y liquidar el saldo mediante un pago único dentro de un año. Suponiendo un rendimiento de 5% y considerando la fecha final dentro de un año, determinar el pago único mencionado. Fecha focal 6

meses

1060 DIAGRAMA DE TIEMPO 0 $2,000

$2500 6

9

3 meses

12 meses

2000[1+(0.05)(1)]x=1060[1+(0.05)(6/12]+2500[1(0.05)(3/12] $2100+ x =$1086.50+$2531.25 X =$1086.50+$2531.25 - $2100 X =$1517.75 EJERCICIOS GRUPO 6 1 Determinar el valor de las siguientes obligaciones, el día de hoy, suponiendo una tasa de 4% de interés simple: $1000 con vencimiento el día de hoy, $2000 con vencimiento en 6 meses con intereses del 5% y $ 3000 con vencimiento en un año con intereses al 6%. Utilizar el día de hoy como fecha focal. 2 Resolver el problema anterior, considerando que la fecha focal esté un



año después. 3 X debe $500 con vencimiento en 2 meses, $1,000 con vencimiento en 5 meses y $1500 con vencimiento en 8 meses. Se desea saldar las deudas mediante 2 pagos iguales, uno con vencimiento en 6 meses y otro con vencimiento en 10 meses. Determinar el importe de dichos pagos suponiendo un interés del 6%, tomando como fecha focal la fecha al final de 10 meses. 4 X debe a Y $1000 pagaderos dentro de 6 meses, sin intereses, y $ 2000 con intereses del 4% por 1 ½ años, con vencimiento dentro de 9 meses. Y esta de acuerdo en recibir 3 pagos iguales, un inmediato, y otro dentro de 6 meses y el tercero dentro de un año. Determinar el importe de cada pago utilizando como fecha focal la fecha dentro de un año, suponiendo que Y espera un rendimiento del 5% en la operación. 1.14 DESCUENTO SIMPLE INTRODUCCIÓN El valor presente C de una cantidad S con vencimiento a una fecha posterior, puede ser interpretado como el valor descontado de S. A la diferencia del monto con el capital se le conoce como descuento simple de S a una tasa de interés, o sea el descuento racional sobre S. DEFINICIÓN : El descuento simple, es aquel que se descuente sobre una cantidad (S) del cuál se obtiene el valor presente u otorgado, ya descontado. Al descuento bancario, se le conoce frecuentemente como interés por adelantado. FORMULAS : D= S d t....................................(1) C= S –D ...................................(2) C= S – Sdt C= S (1- d t)..............................(3) Ejemplo Nº 8



Hallar el descuento simple sobre una deuda de $ 1500 con vencimiento en 9 meses a una tasa de descuento del 6% ¿cuál es el valor presente de la deuda? Por lo tanto, S= $ 1500, d= 0.06, t = 9/12 meses, D= Sdt D = ($1500)(0.06)(9/12) D = $ 67.50 ( descuento simple ) C = S-D C = $1500 - $67.50 C = $ 1432.50 ( valor presente). NOTACIÓN : D = Descuento simple o racional ($) S = Monto ($) d = tasa de descuento (%) t = tiempo (días, meses, años ) c = valor presente ($) 1.15 DESCUENTO DE PAGARÉS INTRODUCCIÓN Un pagaré puede ser vendido una o más veces antes de la fecha de vencimiento. Cada comprador descuenta el valor del documento al vencimiento desde la fecha de la venta hasta la fecha de vencimiento a su tasa de descuento fijada. Ejemplo Nº 9 ¿Cuál es el importe de la venta del siguiente pagaré, al señor tomas Martínez. 5 meses antes del vencimiento, a la tasa de descuento del 8%? DIAGRAMA DE TIEMPO


1/1


4/1

9/1

____________________________________________________________ Valor nominal Importe de la venta Valor al vencimiento $3000 $ 2,977.33 $3080 - Descuento por 5 meses al 8% a)

I=Cit I = ($3000)(0.04)(8/12) I = $ 80

valor al vencimiento S = C+I S = $ 3000+ $ 80 S = $ 3080

b)

El periodo de descuento es 5 meses D=Sdt D = ($3080) (0.08) (5/12) D = $ 102.67

c)

Tomas Mtz; le paga a Pérez $ 2977.33 y obtiene la posesión del documento. Sí Mtz. La conserva hasta el vencimiento ( 1 de septiembre) recibirá de Jaime p. García el valor al vencimiento, o sea $ 3080.00

Importe de venta C= S-D C = $3080-$102.67 C = $ 2977.33

1.16 PROBLEMAS PROPUESTOS 1. ¿Cuál es el valor actual de una serie de bonos que totalizan $1200 y cuyo vencimiento es dentro de un mes, suponiendo una tasa de interés del 6%? ¿Cuál es el descuento racional? 2. Determinar el valor al 1º de mayo de un pagaré, sin intereses, de $1500 pagadero el 15 de junio, suponiendo una tasa de interés simple de 5% ¿cuál es el descuento racional? 3. Hallar el valor actual, al 5% de descuento simple de: (a) $1000 con vencimiento en 1 año. (b) $1200 con vencimiento en ½ año. (c) $800 con vencimiento en 3 meses. 4. Un banco carga el 6% de interés por adelantado (6% de descuento



simple). Si x firma un documento por $2000 a 5 meses. ¿Qué cantidad recibirá el banco? 5. ¿Qué tasa de interés simple paga x, en el problema 4? 6. Determinar el valor del documento a 5 meses que x debe firmar con el objeto de recibir $2000 del banco, del problema 4. 7. Un pagaré de $ 1000 a tres meses, sin intereses, firmado el 5 de mayo fue descontado el 26 de junio al 6%. Determinar el valor de la transacción. 8. Un documento por $2500 a 6 meses, con intereses al 6%, fechado el 20 de marzo, fue descontado el 7 de julio al 5%. Hallar el importe de la operación. 9. un documento por $3000 a 240 días con intereses al 5%, fechado el 10 de Agosto de 1997 fue descontado el 16 de febrero de 1998 al 4%. Hallar el importe de la operación. EJERCICIOS GRUPO 8 1.

Una hipoteca tiene un valor de $1200 al vencimiento. Determinar su valor 5 meses antes del vencimiento. Suponiendo un rendimiento de 4 ½ % de interés simple. ¿Cuál es el descuento racional?

2.

X recibirá un dividendo de $750 el 14 de junio ¿cuál es su valor el 30 de Abril suponiendo un rendimiento de 5% de interés simple? ¿Cuál es el descuento racional?

3.

Un documento por $600 establece 5% de interés simple por 120 días. Si B descuenta el documento 30 días antes del vencimiento para obtener 4% de interés simple ¿cuál es el descuento?

4.

Determinar el descuento simple sobre: (a) $3500 por 60 días al 4% de descuento simple. (b) $5000 por 90 días al 3 ½ % de descuento simple. (c) $1200 por 4 meses al 5% de descuento simple.



(d) $2500 del 5 de marzo al 10 de abril, al 6% de descuento simple. (e) $4000 del 10 de octubre al 13 de noviembre, al 5½% de descuento simple. (f) $ 3000 del 15 de septiembre al 30 de octubre, al 4 ½ % de descuento simple. 5: Un banco carga el 6% de interés simple por adelantado (o sea el 6% de descuento simple). En prestamos a corto plazo. Determinar la cantidad recibida por una persona que solicite.


2


OBJETIVOS 

Capacitarlo para manejar los factores que intervienen en los cálculos del interés compuesto



Enseñar los análisis matemáticos que conducen al desarrollo de las fórmulas para el cálculo de montos, tasas y tiempo.



Aplicarlos en la solución de problemas frecuentes en las matemáticas financieras.

SUMARIO Unidad 2. Interés Compuesto. 2.13. Introducción. 2.14. Definición. 2.15. Monto compuesto con períodos de capitalización fraccionarios 2.16. Tasa nominal y efectiva de interés. 2.17. Aproximación de la tasa de interés. 2.18. Aproximación del tiempo. 2.19. Problemas resueltos. 2.20. Problemas propuestos. 2.21. Valor presente. 2.22. Valor presente para el caso de un período de conversión fraccionario. 2.23. Ecuaciones de valor a interés compuesto. 2.24. Tiempo equivalente.



2. INTERÉS COMPUESTO 2.1 INTRODUCCIÓN En aquellas transacciones que abarcan un periodo largo de tiempo, el interés puede ser manejado de dos maneras: (1) A intervalos establecidos, el interés vencido se paga mediante cheque o cupones. El capital que produce los intereses permanece sin cambio durante el plazo de la transacción. En este caso, estamos tratando con intereses simples. (2) A intervalos establecidos, el interés vencido es agregado al capital (por ejemplo en las cuentas de ahorro). En este caso, se dice que el interés es capitalizable o convertible en capital y en consecuencia, también gana interés. El capital aumenta periódicamente y el interés convertible también aumenta periódicamente durante el periodo de transacción. La suma vencida al final de la transacción es conocida como monto compuesto. A la diferencia entre el monto compuesto y el capital original se le conoce como interés compuesto. Ejemplo 1. (a) Hallar el interés simple sobre $ 1000 por 3 años al 5% de interés simple. Hallar el interés compuesto sobre $ 1000 por 3 años y el interés de 5% es convertible anualmente en capital. (a) l = Cit = 1000(0.05) 3 = $ 150.00 (b) El capital original es $ 1000. El interés por un año es 1000(0.05) = $50 El capital original del primer año es 1000 + 50 = $1050. El interés sobre el nuevo capital por un año es 1050(0.05) = $52.50 El capital al final del segundo año es 1050 + 52.50 = $1102.50 El interés sobre el nuevo capital por un año es: 1102.50(0.05) = $52.12 El capital al final del tercer año es 1102.50+55.12 = $1157.62 El interés compuesto es 1157.62 – 1000 = $ 157.62



2.2 DEFINICIÓN El interés puede ser convertido en capital anualmente, semestralmente, trimestralmente, mensualmente etc. El número que el interés se convierte en un año se conoce como frecuencia de conversión. El periodo de tiempo de interés se establece entre dos conversiones sucesivas se conoce como período de interés o conversión. La tasa de interés se establece normalmente como tasa anual. Por “interés al 6%” se extiende que el 6% se convierte anualmente de otra forma, la frecuencia de conversión se indica expresamente, esto es, 4% convertible semestralmente, 5% convertible trimestralmente, etc. En problemas que implican interés compuesto, tres compuestos son importantes (a) el capital original, (b) la tasa de interés por periodo y (c) el número de periodos de conversión durante todo el plazo de la transacción. Ejemplo 2. Una cierta cantidad es invertida durante 8 años al 7% convertible trimestralmente. El periodo de conversión es 3 meses; la frecuencia de conversión es 4. La tasa de interés por periodo de conversión es Tasa anual de intereses = Frecuencia de conversión

0.07= 0.0175 ó 1 3/4 4

El número de periodos de conversión es (numero dado de años) (frecuencia de conversión) = 8 ½ x 4 = 34 EL MONTO COMPUESTO. Sea un capital C invertido a la tasa i por periodo de conversión y designemos con S al monto compuesto de C al final de n periodos de conversión. Puesto que C produce Ci de interés durante el primer periodo de conversión, al final de dicho periodo produce a C + Ci= C (1 + i). En otras palabras, el monto de un capital al final de un periodo de conversión se obtiene multiplicando en capital por el factor (1 + i). En consecuencia, al final del segundo periodo de conversión el capital es c(1 + i) (1 + i) = C (1 + i) 2 al final del tercer periodo de conversión, el monto es C (1 + i)2 (1 + i) = C (1 + i) y así sucesivamente. La sucesión de montos. C(1 + i), C (1 + i) 2, C (1+i) 3



Forma una progresión geométrica cuyo n-esimo término es S = C (1+i) n El factor (1+ I) n es el monto compuesto de A a la tasa i por periodo, por n periodos de conversión y será conocido como monto compuesto de 1. Para una i y una n dadas, el monto compuesto puede ser obtenido mediante al teorema binominal utilizando logaritmos. En caso de tasas comunes de interés, el valor puede ser leído directamente de tablas preparadas específicamente. Para el cálculo de S aproximado a centavos, utilizaremos únicamente tantos decimales como dígitos tenga C expresado en centavos. Este procedimiento en ocasiones causará un error de un centavo. Ejemplo 3. Si se invierten $1000 durante 8 ½ al 7% convertible trimestralmente, tenemos que, C = 1000, i = 0.0175, n= 34 y S = C(1 + i) n = 1000 ) 1.0175) 34 = 1000)1.803725) = $1803.72 El interés compuesto es 1803.72 --- 1000 = $803.72 Ejemplo 4. El 20 de marzo de 1945, se invirtieron $ 200 en un fondo que pagaba el 5% convertible semestralmente, ¿Cuál era el importe del fondo el 20 de septiembre de 1961?. C = 200, i = 0.025, n = 33 y S = C (1 + i) n = 200(1.025) 33 = 200(2.25885) = $451.77 2.3

MONTO COMPUESTO CON PERIODOS DE CONVERSIÓN FRACCIONARIOS

La formula (1) se deriva con la suposición de que n es entero. En teoría puede ser aplicable para n entero o fraccionario. Al evaluar la formula cuando n es fraccionario, en ocasiones se utilizaran las tablas IV y VI; en otros casos será necesario utilizar los logaritmos.



Ejemplo 5. Hallar el monto compuesto (teórico) de $ 3000 en 6 años 3 meses al 5% En este caso C = 3000 i = 0.05 y n 25/4 por tanto. S = 3000(1.05) 23/4 3000(1.05) 6 (1.05) ¼ En la practica raramente se aplica el procedimiento anterior. En su lugar se determina el monto compuesto correspondiente a los periodos de conversión y se aumenta con interés simple por el periodo fraccionario de conversión a la tasa anual estipulada. A menos que se diga otra cosa, deberá entenderse en futuras aplicaciones que este último sistema será el utilizado. Ejemplo 6. Resolver el ejemplo anterior aplicando interés simple en el periodo de conversión fraccionario. Aplicamos interés compuesto por 6 periodos (años) e interés simple sobre el monto compuesto por ¼ año, es decir S= 3000(1.05) 6 (1+1.05 (1/4)) = 3000(1.340096) (1.0125) = $ 4070.54 Nota: Esta regla es más practica para simplificar los cálculos, produce un resultado ligeramente mayor que la regla teórica. 2.4 TASAS NOMINAL Y EFECTIVA DE INTERESES Se dice que dos tasas anuales de interés con diferentes periodos de conversión son equivalentes si se producen el mismo interés compuesto al final de un año. Ejemplo 7. Al final de una año el monto compuesto de $100 al (a) 4% convertible trimestralmente es 100 (1.01) 4 = $104.06 (b) 4.06% convertible anualmente es 100(1.0406) = $104.06



Por tanto, 4% convertible trimestralmente y 4.06% convertible anualmente son tasas equivalentes. Cuando el interés es convertible más de una vez en un año, la tasa anual dada se conoce como tasa nominal anual o simplemente tasa nominal. La tasa de interés efectivamente ganada en un año se conoce como tasa efectiva anual o como tasa efectiva. En el ejemplo 7 (a), 4% es la tasa nominal mientras que en (b) 4.06 es la tasa efectiva. Como se mostró, 4.06 es la tasa efectiva equivalente a una tasa nominal de 4% convertible trimestralmente. Ejemplo 8. Hallar la tasa efectiva de interés i equivalente a una tasa nominal de 5% convertible mensualmente. En un año el monto de 1 a la tasa efectiva i será 1 + i y al 5% convertible mensualmente será (1 + 0.05/12) 13 Haciendo vemos que

1 + i = (1 + 0.05/12) 12 i = (1+ 0.05/12) 12 - 1 = 1.05116190 - 1 = 0.05116190 o sea 5.116%

Ejemplo 9. Hallar una tasa nominal j convertible trimestralmente equivalente a una tasa efectiva de 5%. En un año, el monto de 1 a la tasa j convertible trimestralmente es (1 + j/4) y al 5% efectivo es 1.05. Haciendo 4

(1 + j/4) 4 = 1.05 vemos que 1 + j/4 = (1.05) ¼ Por tanto, j = 4 [(1.05)1/4 -1 ] = 4(0.01227223) = 0.04908892 o sea 4.909% Nota: Ciertos autores definen y tabulan valores de jp ( a la tasa i) = p [ (1 +i) 1/p - 1) ]



2.5 APROXIMACIÓN DE LA TASA DE INTERÉS Dados C, S y n en la ecuación (1), puede ser aproximada ya sea interpolando en la tabla IV o utilizando logaritmos. Ejemplo 10. ¿A que tasa nominal j convertible semestralmente el monto de $100 será $215 en 15 ½ años? En este caso C = 100, S = 215, n = 31. Será i = j/2; de la ecuación (1) tenemos: 215 215 = 100(1 + i) 31

y (1 + i) 31 = 100

= 2,1500

En la tabla IV encontramos que (1.025) 31 = 2.15000677, por lo cual i = 0.025 y j = 2i = 0.05 o sea 5% Ejemplo 11. ¿A que tasa nominal j convertible trimestralmente el monto de $1250 será $1900 en 10 años? En este caso C = 1250, S = 1900, n = 40; de (1) tenemos que, 1900 = 1250 (1 + i) 40

y (1+i) 40 =

1900 1250

= 1,5200

Aproximado a cuatro decimales las cifras de la tabla IV, tenemos que (1.01)40 = 1.4889 y (1.0125)40 = 1.6436, cercano a 1.5200. Vemos claramente que la tasa i buscada debe estar entre 1% y 1 ¼ % estando mas cerca de 1%. Ahora, coloquemos a continuación junto a cada paréntesis rectangular la diferencia de las dos cantidades indicadas. (En este caso escribimos i – 0.01 = x) 0.025

0.01 i 0.125

0.1547

1.4889 1.5200 1.6436

0.0311


X

0.0025


0.0311

0.0311

0.1547

0.1547

De la proporción = encontramos que por tanto i = 0.01 + x = 0.01050 y j = 4i = 0.0420 y 4.20%

= 00050,

Ejemplo 12 Resolver el ejemplo 11, usando logaritmos. De la igualdad 1900=1250 (1+i) 40 tenemos Log 1900=log 1250+40 log (1+i) Por tanto Log (1+ I) = log 1900 – log 1250 = 3278574 – 3096910 40 40 = 0.04546 De donde 1+ i = 1.01052 o sea 4.208%

i = 0.01052

y j = 4i = 0.04208

2.6 APROXIMACIÓN DEL TIEMPO Conocidos C, S e, i, el tiempo n de la formula (1) puede ser calculado interpolando en la tabla IV o aplicando logaritmos. Ejemplo 13. ¿En que tiempo el monto de $2000 será $ 3600 al 4% convertible semestralmente? C= 2000, S= 6350, i = 0.02; de la formula (1) tenemos 3650 = 2000 (1.02)n y (1.02) n =

3650 = 1.8250 2000



En la tabla IV, encontramos (1.02) 30 = 1.81136158 y (1.02) 31 = 1.84758882 Es decir, que el tiempo requerido esta entre 30 y 31 periodos de conversión, o sea entre 15 y 15 ½, existiendo un monto ligeramente mayor en la cuenta. Si el interés se carga por periodos de conversión fraccionarios, el tiempo puede ser estimado en forma similar a la del ejemplo 11. La información se maneja así:

1

30 n 31

x 0.0362

1.8114 1.8250 1.8476

0.0135

De la relación x = 0.0136 , x = 0.38 y n = 30 + x = 30.38, periodos de 1 0.0362 conversión. El tiempo es 15,19 años, aproximadamente. 2.7 PROBLEMAS RESUELTOS 1. Una cierta cantidad es invertida por 6 años, 7 meses, al 6% convertible mensualmente. Hallar la tasa de interés i por el periodo de conversión y él numero de periodos n. El periodo de conversión es un mes; la frecuencia de conversión es 12. Por tanto, i = 0.06/12 = 0.005 o sea ½ % y n = 6 x 12 + 7 = 79 periodos de conversión. 2. Una cierta cantidad es invertida al 8% convertible trimestralmente, del 10 de octubre de 1954 al 10 de enero de 1962. Hallar la tasa de interés i por el periodo de conversión y el numero de periodos n. El periodo de conversión es 3 meses; la frecuencia de conversión es 4. Por tanto, i = 0.08/4 = 0.02 o sea 2% y


Año 1962 1954 Restando 7

Mes 1 10 3


n = 7 x 4 + 1 = 29 periodos de conversión

3. X obtiene un préstamo de $ 600 acordando pagar el capital con interés de 3% convertible semestralmente. ¿Cuánto debe al final de 4 años? C = 600, i = 0.015, n = 8, por tanto S = C (1+ i )n = 600 (1.015)n = 600 (1.12649) = $675.89 4. Acumulado $ 2500 por 5 ¼ años al 4% convertible mensualmente. C = 2500, i = 0.04/12 = 0.01/3, n = 63; ya que S = C (1 + i ) n = 2500 (1 + 0.01/3) 63 = 2500 (1.233247) = $3083.12 NOTA: Escribimos i = 0.01/3 puesto que de otra forma i seria un décimo ilimitado. 5.

El 1º de Febrero de 1948, X obtuvo un préstamo de $ 2000 al 5% convertible trimestralmente. ¿Cuánto debía el 1º de agosto de 1960? C = 2000, i = 0.0125, n = 50; ya que, S = C (1 + i)n = 2000 (1.0125) 50 = 2000 (1.861022) = $3722.04

6. Seis años después de que X abrió una cuenta de ahorros con $ 2500 ganados intereses al 2 ½ % convertible semestralmente, la tasa de interés fue elevada al 3% convertible semestralmente. ¿Cuánto había en la cuenta 10 años después del cambio en la tasa de interés? En los primeros 6 años C = 2500, i = 0.025, n = 12, y S = 2500(1.0125)12 En los siguientes 10 años C = 2500(1.0125) 12, i = 0.025, n = 20, Por tanto, S = C = 2500(1.0125) 12 $3908.42

(1.015)20 = 2500(1.160755)(1.346855) =

7. Acumular $ 2000 por 6 años, al 4.2%, convertible trimestralmente. C = 2000, i = 0.0105, n = 24 y S = 2000(1.0105) 24



Es este caso no nos sirve la tabla IV por lo cual S se determina usando logaritmos. Log S = log 200 + 24 log 1.0105 = 3.301030 + 0.108871 = 3.409901 y S = $ 2569.80 8. Hallar el monto compuesto de $ 1000 por 20 años al 5%, convertible mensualmente. C = 1000, i = 0.05/12, n = 240 y S = 1000(1 + 0.05/12)240 = 1000(1 + 0.05/12)150 (1 + 0.05/12)90 = 1000(1.865822)(1.45358) = $ 2712.64 9. La tabla dada a continuación, nos da el monto de $ 1 a interés simple y a interés compuesto al 6%. El crecimiento comparativo se ilustra en la grafica adjunta. Año 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Monto a interés simple 1,000 1,060 1.120 1,180 1,240 1,300 1,360 1,420 1,480 1,540 1,600

Monto a interés compuesto 1,000 1,060 1,124 1,191 1,262 1,338 1,419 1,504 1,594 1,689 1,791

10. Hallar el monto compuesto teórico de, (a) $ 500 por 7 años, dos meses; al 4 ½ %; (b) $ 1500 por 6 años, 7 meses; al 5.2%, convertible semestralmente. (a) C = 500, i = 0.045, n = 43/6, y S = 500(1.045)43/6 = 500(1.045)7(1.045)1/6 = 500 (1.36086)(1.00736) = $ 685.44



(b) C = 1500, i = 0.026, n = 79/6, y S = 1500(1.026) 79/6 log S = log 1500 + 79/6 log 1.026 = 3.176091 + 0.146776 = 3.322867 y S = $2103.10 11. Hallar el monto compuesto de, (a) $ 500 por 7 años, 2 meses al 4 ½ %; (b) $ 1500 por 6 años, 7 meses; al 5.2%, convertible semestralmente. (a) Utilizamos interés compuesto por 7 periodos de conversión e interés simple por dos meses, con lo cual S = 500(1.045) 7 (1 + 0.045/6) = 500(1.36086)(1.0075) = $ 685.53 (b) Utilizamos interés compuesto por 13 periodos de conversión e interés simple por 1 mes, con lo cual S = 1500(1.026) 13 (1 + 0.025/12) = 1500(1.026) 13(1.0043) Log S = log 1500 + 13 log 1.026 + log 1.0043 = 3.176091 + 0.144911 + 0.001864 = 3.322866 y S = $ 2103.10 12. Hallar la tasa efectiva i equivalente a j = 0.0525 convertible trimestralmente. En un año, el monto de la tasa es 1 + i y la tasa j = 0.0525 convertible trimestralmente es (1.0131225) 4; Igualando 1 + i = (1.013125) 4 encontramos i = (1.013125) 4 – 1 Ahora log (1.0131) 4 = 4(0.0056523) = 0.022609 Y (1.0131) 4 = 1.0534 Por tanto

i = 0.0534 o sea 5.34%

13. Hallar la tasa nominal j, convertible mensualmente, equivalente al 6% convertible semestralmente.



En un año, el monto de $1 a la tasa nominal j, convertible mensualmente, es (1 + j/12) 12 y al 6% convertible semestralmente es (1.03) 2 . Haciendo (1 + j/12) 12 = (1.03) 2 encontramos 1 + j/12= (1.03) 1/6 y j = (12 ) (1.03) 1/6 -1 = 12(0.00493862) = 0.05926344 o sea 5.926% 14. Hallar la tasa nominal j, convertible semestralmente, equivalente al 4.2% efectivo. En un año, el monto de $1 a la tasa nominal j, convertible semestralmente, es (1 + j/2); y al 4.2% efectivo es 1.042. Igualando (1 + j/2) 2 = 1.042 tenemos j = 2 [(1.042) ½ - 1] Aplicando logaritmos, log (1.042) ½ = ½ (0.0178677) = 0.0089338 Y (1.042) ½ =1.02078, por tanto j = 2[1.02078 - 1] = 0.04156 o sea 4.156% 2.8 PROBLEMAS PROPUESTOS 15. Hallar la tasa de interés i por periodo de conversión y él numero n de periodos de conversión cuando se invierte un capital C: (a)por 5 años al 4% (b)por 8 años al 5% (c) por 6 años al 4 ½% convertible semestralmente (d)por 10 años al 3 ½ convertible semestralmente (e)por 5 ½ años al 4% convertible trimestralmente (f) por 6 años 9 meses, al 6% convertible trimestralmente (g)del 10. de enero de 1960 al 1º. Julio de 1971 al 5% convertible semestralmente. (h)Del 15 de marzo de 1947 al 15 de septiembre de 1963, al 3 ½ convertible semestralmente. (i) Del 18 de agosto de 1948 al 18 de febrero de 1957, al 6%



convertible trimestralmente. (j) Del 20 de enero de 1955 al 20 de julio de 1962, al 6% convertible mensualmente. (k) Del 30 de septiembre de 1947 al 30 de marzo de 1963, al 3% convertible mensualmente. Resp.

(a) i = 0,4 n = 5. (b) i = 0.05, n = 8 (c) i = 0.0225, n = 12 (d) i = 0.0175, n = 20 (e) i = 0.01, n = 22 (f) i = 0.015, n = 27

(g) i = 0.025, n= 23 (h) i = 0.0175, n = 31 (i) i = 0.015, n = 34 (j) i = 0.005, n = 90 (k) i = 0.0025, n = 186

16. (a) Comparar el monto simple y el monto compuesto de $ 100 por un año al 6%. Sacar conclusiones (b) Comparar el monto simple y el monto compuesto de $100 por 5 años al 6%. Sacar conclusiones. 17. Hallar el monto compuesto de $ 100 al 5% por (a) 10 años, (b) 20 años. (c). 30 años. En forma aproximada ¿cuándo el monto compuesto es el doble del capital original?. Resp. (a) $169.89, (b) $265.33, (c) $432.19, después de 15 años. 18. Hallar el monto compuesto de: (a)$750 por 6 años al 4% convertible semestralmente. (b)$750 por 6 años al 4% convertible trimestralmente. (c) $1500 por 8 ½ años al 3% convertible trimestralmente. (d)$1500 por 7 años 8 meses al 5% convertible mensualmente. Resp. (a) $951.18 (b) $952.30 (c) $1919.46 (d) $2199.00 19. Un padre coloca $ 500 en una cuenta de ahorros al nacer su hijo, Si la cuenta paga el 2 ½% convertible semestralmente, ¿cuánto habrá al cumplir 18 años el hijo?. Res. $781.97 20. Se estima que un terreno boscoso cuyo valor es de $ 75.000 aumentara su valor cada año en 4% sobre el valor del año anterior durante 12 años. ¿Cuál será su valor al final de dicho plazo? Res. $120.077.42 21. Una póliza total de $10.000 cuyo vencimiento fue el 1º. De mayo de



1962, fue dejada en la compañía de seguros al 3 ½% convertible anualmente. ¿Cuál fue su valor el 1º. De mayo de 1970? Res. $ 13.169.09 22. X desea un préstamo de $ 2000 por 2 años. Le ofrecen el dinero al (a) 5% convertible trimestralmente, (b) 5 8/8 % convertible semestralmente, (c) 5 ½ % de interés simple. ¿Qué oferta debe aceptar? Res. (a). 23. Acumular $ 2000 por 6 años al 6.4% convertible semestralmente. Res. $2918.70 24. Acumular $ 1500 por 7 ½ años al 5.2% convertible trimestralmente. Res. $ 2209.90 25. Mediante la regla practica, hallar el monto compuesto de: (a)$1000 por 8 años, 5 meses al 4% convertible semestralmente. Res. $ 1395.67 (b)$1500 por 6 años, 10 meses al 5% convertible trimestralmente. 26. ¿Qué tasa convertible anualmente es equivalente al 6% convertible trimestralmente? Res. 6.136% 27. Hallar la tasa nominal convertible trimestralmente equivalente al 5% convertible semestralmente. Resp. 4.969% 28. Hallar la tasa nominal convertible mensualmente equivalente al 5% convertible semestralmente Resp. 4.949% 29. Hallar la tasa nominal convertible semestralmente a la cual el monto de $ 2500 es $ 3250 en 5 años. Resp. 5.312% 30. Hallar la tasa nominal convertible trimestralmente a la cual el monto de $3500 es $500 en 5 ½ años. Resp. 6.849% 31. Hallar la tasa nominal convertible mensualmente a la cual el monto de $3250 es $400 en 8 años. 32. Cuantos años se necesitaran para que:



(a)$1500 aumenten al doble, al 6% convertible trimestralmente? (b)El monto de $ 2500 sea $ 6000 al 5% convertible semestralmente? (c) El monto de $ 4000 sea $5000 al 4% convertible mensualmente? (d)El monto de $4000 sea $7500 al 4.6% convertible trimestralmente Resp.(a) 11.64, (b) 17.73, (c) 5.59, (d) 13.74 2.9 EL VALOR PRESENTE A la tasa i, por periodo de conversión, de un monto S con vencimiento en n periodos de conversión es la suma C tal que invertida ahora a la tasa dada de interés alcanzaría el monto S después de n periodos de conversión. Del capitulo 7 tenemos, S = C (1 + i)n De donde, C = S(1 + i)-n En la tabla V se dan valores para el factor de descuento (1 + i) -n, para diferentes tasa y plazos. Cuando no es aplicable la tabla V, deben utilizarse logaritmos. Ejemplo 1. Hallar el valor presente de $ 2000 pagaderos en 6 años, suponiendo un rendimiento a la tasa de 5% convertible semestralmente. S = 2000, i = 0.025, n = 12 de (1) tenemos C = S (1 + i) –n – 2000(1.025)-12 = 2000(0.743556) = $1487.11 Ejemplo 2. Hallar el valor presente de $2000, pagaderos en 6 años, suponiendo un rendimiento a la tasa de 5% convertible semestralmente. S = 500, i = 0.011, n = 21 por tanto



C = 500(1.011)-21 Log C = log500 – 21 log 1.011 = 2.698970 – 0.099775 = 2.599195 C = $397.37 PARA HALLAR EL VALOR PRESENTE de un pagare con interés, hallar: (a) El monto de la deuda al vencimiento. (b) El valor presente del monto encontrado en (a. Ejemplo 3. Suponiendo una tasa de rendimiento efectivo de 4% hallar el valor presente de una deuda de $ 2500 contratada con intereses al 6% convertible trimestralmente, pagadera en 8 años. (a) El valor al vencimiento es S = 2500 (1.015)82 = 2500(1.610324) = $4025.81 (b) El valor presente de $ 4025.81 pagadero en 8 años al 4% efectivo es: C = 4025.81(1.04)-8 = 4025.81(0.730690) = $2941.62 2.10 VALOR PRESENTE PARA EL CASO DE UN PERIODO DE CONVERSIÓN FRACCIONARIO Cuando el tiempo en una parte fraccionaria del periodo de conversión, el valor presente puede ser encontrado en forma similar al caso del interés compuesto mediante la regla teórica y la regla practica. Ejemplo 4. Hallar el valor presente de $3000 pagaderos en 8 años 10 meses suponiendo un rendimiento de 4% convertible trimestralmente. S = 3000, i = 0.01, n = 106/3; por tanto C = 3000(1.01) –106/3



Regla teórica. Haciendo uso de las tablas V y VII tenemos C = 3000(1.01) – 106/3 = 3000 (1.01) –35 (1.01) –1/3 = 3000(0.705914)(0.996689) = $2110.73 Regla practica. En este caso n =106/3 = 35 1/3 descontamos S por 6 periodo (él numero mayor entero de periodos de conversión más próximo al plazo dado) y le sumamos interés simple por 36 – 35 1/8 = 2/8 de periodo de conversión, es decir por dos meses, por tanto. C = 3000(1.01)-36 (1 + 0.04/6) = 3000(0.698925)(3.02/3) = $2110.75 2.11 ECUACIONES DE VALOR Una ecuación de valor se obtiene igualando en una fecha de comparación focal, la suma de un conjunto de obligaciones con otro conjunto de obligaciones. En él capitulo 4 se hizo notar que cuanto se trata con interés simple, dos conjuntos de obligaciones que son equivalentes en una cierta fecha pueden no serlo en otra distinta. Cuando se trata con interés compuesto, dos conjuntos de obligaciones que son equivalentes en una fecha también lo son el cualquier otra. Ejemplo 5. M debe a N $1000 pagaderos en 2 años y $3000 pagaderos en 5 años. Acuerdan que M liquide sus deudas, mediante un pago único al final de 3 años sobre la base de un rendimiento de 6% convertible semestralmente. 1000 0

1

2

3000 3

4

5 años

Designemos con X el pago requerido. Tomando el final del tercer año como fecha focal, la deuda de $ 1000 está vencida en un año y su valor es 1000 /1.03)2, la deuda de $3000 vence en dos años y su valor es 3000 (1.03)-4, mientras que el valor del pago X es X en la fecha local. Igualando



la suma de los valores de las deudas con el valor del pago único en la fecha focal tenemos. X = 1000(1.03)2 + 3000 (1.03)-4 Tomando la fecha inicial como fecha focal, la ecuación de valor es: (b) X (1.03)-4 = 1000 (1.03)-4 + 3000(1.03)-10 Tomando el final del quinto año como fecha focal, la ecuación de valor es: (c) X (1.03)4 = 1000(1.03)6 + 3000 (a)

Nótese que las tres ecuaciones de valor son equivalentes, por ejemplo (b) puede ser obtenida de (a) multiplicando esta ultima (1.03) -6 y (c) puede ser obtenida de (b) multiplicando esta por (1.03) 10. Sin embargo, si tomamos 100 años después como fecha focal, la ecuación de valor correspondiente puede ser obtenida de (b) multiplicando esta por (1.03) 300. De todas las ecuaciones que puedan formarse (a) es visiblemente la más simple para determinar X. Utilizándola tenemos X = 1000(1.03)2 + 3000(1.03)-4 = 1000(1.060900) + 3000( 0.888487) = $ 3726.36 Ejemplo 6 M debe $1000 pagaderos en 1 año y $3000 pagaderos en 4 años. Acuerda pagar $2000 de inmediato y el resto en 2 años. ¿Cuánto tendrá que pagar al final del 2º año suponiendo un rendimiento de 5% convertible semestralmente?

0 2000

1

2

3

4 años

X

Designemos con X el pago requerido. Tomando como fecha focal el final del 2º año, la deuda de $ 1000 está vencida 1 año y su valor es 1000 (1.025)8, mientras que la deuda de $3000 vence en 2 años y su valor es 3000 (1.025)-4 Analógicamente el pago de $2000 está vencido dos años de la fecha focal y su valor es 2000 (1.025)4, mientras que el pago X vale X.



Igualando la suma del valor de los dos pagos y de las dos deudas, tenemos 2000(1.025)4 + X = 1000(1.025)2 + 3000(1.025)-4 Por tanto, X = 1000(1.025)2 + 300081.025)-4 – 2000(1.025)-4 = 1050.62 + 2717.85 – 2207.63 = $1560.84 2.12 TIEMPO EQUIVALENTE La fecha en la cual un conjunto de obligaciones, con vencimiento en fechas diferentes, puede ser liquidado mediante un pago único igual a la suma de las distintas deudas, se conoce como fecha de vencimiento promedio de las deudas. El tiempo por transcurrir hasta dicha fecha se conoce como tiempo equivalente. Ejemplo 7. ¿Cuál es el tiempo equivalente para el pago de unas deudas de $1000 con vencimiento de 1 año y $3000 con vencimiento en 2 años suponiendo un rendimiento de 4% convertible trimestralmente?

0

1

2

3

4

5

6

4m 7 4000

8

periodos de conversión (trimestre)

Designemos con x (años) el tiempo equivalente. Tomando el día de hoy como fecha focal, la ecuación de valor es 400081.01)-4 = 1000(1.01)-4 + 3000(1.01)-8 Entonces: (1.01)-4 =1000(1.01)-4 + 3000(1.01)-8 = 3731.43 = 0.9328575 4000 4000


3




OBJETIVOS Reconocer, definir y clasificar los diferentes tipos de anualidades.



Identificar y manejar los distintos factores que intervienen en las anualidades.



Aplicarlos en la solución de problemas de montos o valores futuros, valores actuales, rentas de anualidades, tasas de interés y tiempos o plazos. SUMARIO

Unidad 3. Anualidades. 3.1. Introducción. 3.2. Clasificación de las Anualidades. 3.3. Anualidades Simples Ciertas Ordinarias. 3.3.1. Valor de las Anualidades. 3.3.2. Monto y valor actual de las Anualidades Simples Ciertas Ordinarias. 3.3.3. Problemas resueltos. 3.3.4. Problemas propuestos. 3.3.5. Cálculo de la renta en una Anualidad Simple Cierta Ordinaria. 3.3.6. Cálculo del tiempo o plazo de una anualidad. 3.3.7. Cálculo de la tasa de interés de una anualidad simple cierta ordinaria. 3.3.8. Problemas resueltos. 3.3.9. Problemas propuestos. 3.4. Anualidades Anticipadas. 3.4.1. Introducción. 3.4.2. Símbolos utilizados en las Anualidades Anticipadas. 3.4.3. Monto y valor actual de las Anualidades Simples Ciertas Anticipadas. 3.4.4. Problemas Resueltos. 3.4.5. Problemas Propuestos. 3.5. Anualidades Diferidas. 3.5.1. Introducción. 3.5.2. Símbolos utilizados en las Anualidades Diferidas. 3.5.3. Valores de las Anualidades Diferidas Simples Ciertas. 3.5.4. Problemas Resueltos. 3.5.5. Problemas propuestos.

3.6. Anualidad General Caso Especial. 3.6.1. Introducción. 3.6.2. Símbolos utilizados en las anualidades generales. 3.6.3. Conversión de una anualidad general en una anualidad simple. 3.6.4. Monto y valor de las anualidades generales ciertas ordinarias. 3.6.5. Cálculo de la renta de una anualidad general cierta ordinaria. 3.6.6. Otros métodos de cálculos de los valores de las anualidades. 3.6.7. Problemas resueltos. 3.6.8. Problemas propuestos. 3.6.9. Cálculo del tiempo o plazo de una anualidad general. 3.6.10. Cálculo de la tasa de interés de una anualidad general. 3.6.11. Problemas resueltos. 3.6.12. Problemas propuestos 3.7. Anualidades Generales Anticipadas. 3.7.1. Introducción. 3.7.2. Problemas resueltos. 3.7.3. Problemas propuestos. 3.8. Anualidades Variables. 3.9. Anualidades Continuas. 3.10. Anualidades a interés continuo. 3.11. Anualidades a interés continuo con pagos en flujos continuos. 3.12. Problemas resueltos. 3.13. Problemas propuestos.



3. ANUALIDADES 3.1 INTRODUCCIÓN En matemáticas financieras la expresión anualidad se emplea para indicar el sistema de pago de sumas fijas a intervalos iguales de tiempo. Por costumbre se usa la palabra anualidad, que en un sentido propio de las finanzas no significa pagos anuales sino simplemente pagos a intervalos regulares de tiempo. Así son anualidades los dividendos sobre acciones, los fondos de amortización, los pagos a plazos, los pagos periódicos de las compañías de seguros y en una forma más general, los sueldos y todo tipo de rentas son anualidades. Definición. Una anualidad es una sucesión de pagos periódicos iguales. 3.2 CLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADES Los factores financieros que intervienen en las anualidades y sus formas de pago, determinan diferentes tipos de anualidades. Para su estudio ordenado es necesario clasificarlas y definirlas. Renta. El valor de cada pago periódico recibe el nombre de renta. Período de pago o período de la renta. El tiempo que se fija entre dos pagos sucesivos en el período de pago o período de la renta. Tiempo o plazo de una anualidad. El intervalo de tiempo que transcurre entre el comienzo del primer período de pago y el final del último es el tiempo o plazo de una anualidad. Renta anual. La suma de los pagos hechos en un año es la renta anual. Tasa de una anualidad El tipo de interés que se fija es la tasa de una anualidad y puede ser nominal o efectiva. Las anualidades según su tiempo se agrupan en dos clases que son: anualidades ciertas y anualidades eventuales o contingentes. Son



anualidades ciertas aquellas anualidades cuyas fechas, inicial y terminal se conocen por estar estipuladas en forma concreta. Anualidades contingentes son aquellas en las que el primer pago o el ultimo, es decir la fecha inicial y/o la fecha final dependen de algún suceso previsible pero cuya fecha de realización no se puede fijar. Anualidades perpetuas o perpetuidades Son una variación de las anualidades ciertas en las que la duración del pago es ilimitada. Según la forma como se estipule el pago de la renta o anualidad, se originan las anualidades ordinarias o vencidas y las anualidades anticipadas. Una anualidad es ordinaria o vencida si el pago de la renta se hace al final del periodo de pago. Es anticipada si el pago se efectúa al principio del período de pago. De acuerdo con las definiciones anteriores las anualidades se clasifican en la siguiente forma: ANUALIDADES CIERTAS Ordinarias o vencidas Diferidas Perpetuas Perpetuas diferidas

Anticipadas Diferidas Perpetuas Perpetuas diferidas

ANUALIDADES EVENTUALES O CONTINGENTES Ordinarias o vencidas Diferidas Perpetuas Perpetuas diferidas

Anticipadas Diferidas Perpetuas Perpetuas diferidas

Cada una de las distintas formas de anualidades presenta variantes en la forma de calcular sus valores, según el número de pagos en el año y número de períodos de capitalizaciones anuales que estipule el tipo de interés.



Si el período de capitalización coincide con el período de pago se dice que las anualidades son anualidades simples. 3.3 ANUALIDADES SIMPLES CIERTAS ORDINARIAS. Son aquellas cuyo período de pago coincide con el período de capitalización. 3.3.1 VALOR DE LAS ANUALIDADES El valor de las anualidades calculado a su terminación es el monto de ella. El valor de la anualidad calculado a su comienzo es su valor actual o presente. Estos valores se pueden también calcular en fechas intermedias, en tal caso se refiere a: monto de la parte vencida o valor actual de las anualidades por vencer. Así por ejemplo una renta de $ 2000 pagaderos cada final de año durante 6 años tendrá un monto S al finalizar los 6 años y tendrá un valor actual o presente A en su fecha inicial. 0

1

2

3

4

5

A 2000 2000 2000 2000 2000 parte vencida - fecha intermedia - parte por vencer

6 2000 S

Transcurridos 2 años se tiene una fecha intermedia que separa la parte vencida de la anualidad de la parte por vencer tal como se muestra en el gráfico. El cálculo de los valores de la anualidades se puede hacer comenzando con un caso general que incluya las diferentes formas de anualidades. Pero desde un punto de vista didáctico es conveniente guiar el aprendizaje, comenzando por los casos de más frecuente aplicación para finalizar con un tratamiento general de ellas; de acuerdo con este método hemos desarrollado los acápites que siguen. 3.3.2 MONTO Y VALOR ACTUAL DE LAS ANUALIDADES SIMPLES CIERTAS ORDINARIAS Este tipo de anualidades es el más frecuente y por esto cuando se dice simplemente anualidad, se supone que se trata de una anualidad



simple cierta ordinaria. La tasa de interés es por lo general una tasa de interés nominal anual. En caso de que la tasa no sea nominal se aclarará diciendo tasa efectiva anual. Si la tasa dada es nominal, sin especificación de período de capitalización, la tasa efectiva en el período de pago es el cociente entre la tasa nominal y el número anual de pagos. Símbolos que se utilizan en las anualidades R = pago periódico de una anualidad o renta. i = tasa efectiva por período de capitalización. j = tasa nominal anual. m = numero de capitalizaciones en el año. j(m)=tasa nominal con m períodos de capitalizaciones en el año. n = número de períodos de pago. S = monto de una anualidad. A = valor actual o presente de una anualidad. Cálculo del monto. Los pagos R efectuados al final de cada período ganan interés compuesto hasta la fecha final. Estableciendo la ecuación de equivalencia para la fecha final como fecha focal, tendremos 0 1

2

3

n - 1 n períodos R

R

R

Cada pago efectuado al final de período capitaliza los intereses en cada uno de los períodos que le siguen. El primer pago acumula durante (n-1) períodos, el segundo durante (n-2) períodos y así sucesivamente hasta el último pago que no gana intereses ya que su pago coincide con la fecha de término. Los montos respectivos de los pagos R comenzando por el último serán R,R(1+i),R(1+i)2, ,R(1+i)n-2 + R(1+i)n-1. El monto total S de la anualidad es igual a la suma de los montos producidos por las distancias rentas R, o sea: S=R+R(1+i)+R(1+i)2+...+R(1+I)n-2+R(1+I)n-1



Los términos del segundo miembro forman una progresión geométricamente de n términos, razón (1+i) y primer término R. Aplicando la fórmula de la suma dada en 0.11 se tiene:

A(rn – 1) S= r - 1

R[(1 – i)n – 1] S= (1 – i) - 1

;

(1 – i)n – 1 S=R i Si el valor de cada pago R es de una unidad monetaria, el monto S corresponderá al monto de una anualidad de uno por período y se expresa con el símbolo s n i que se lee s sub n al i, sustituyendo este símbolo en la fórmula (26a) se obtiene:

(1 – i)n – 1 i

s n i= S=Rsni Los valores de s n i = se pueden calcular utilizando logaritmos. En la práctica los cálculos se efectúan utilizando tablas que tienen tabulados estos valores. La tabla V incluida al final de este libro, tiene los valores de s n i calculados para las tasas y números de períodos que se utilizan en los problemas que se presentan en esta obra. Algunos autores expresan i en tanto por ciento y escriben, por ejemplo, s 20 3% para expresar el monto de 1 en 20 periodos al 3% efectivo en el periodo. Nosotros utilizaremos la expresión decimal y escribiremos s 20 0.03 . Valor actual o presente de una anualidad es aquella cantidad A de dinero que con sus intereses compuestos, en el tiempo de la anualidad, dará un monto equivalente al monto de la anualidad. Formando la ecuación de equivalencia, utilizando como fecha focal la fecha final, se tiene: 0

1

2

R

n –1 n per

R

A A(1 + i)n = S

R

R

R S

(1 – i)n – 1


A(1 + I)n = R n


i

(1 – i) – 1 (1 + I)-n i 1 – (1 + I )-n A=R i A=R

Si el valor de cada pago R es de una unidad monetaria, el valor actual A es el valor actual de una anualidad de 1 por período y se expresa con el símbolo a n i ( a sub n al i ), sustituyendo este símbolo en (27ª) se obtiene:

1 – (1 + I )-n a ni= i A = Ra n i Los valores de a n i se pueden calcular por logaritmos; en la práctica se utiliza para los cálculos, tablas que tienen tabulados estos valores. La tabla VI incluida al final de este libro, tiene los valores de a n i de uso frecuente en los problemas que se ofrecen en esta obra. En la misma forma que el símbolo s n i el valor de i se acostumbra expresarlo en % y en decimal y se escribe a 20 3% para expresar el monto de 1 en 20 periodos al 3 %. Nosotros utilizaremos la forma decimal o sea el tanto por uno que hemos venido usando en los capítulos anteriores y escribiremos a 10 0.03 . 3.3.3 PROBLEMAS RESUELTOS Ejemplo 1. Una persona que viaja fuera de su localidad deja una propiedad en alquiler por 5 años, con la condición que se pague $ 9000 por trimestre vencido que serán consignados en una cuenta de ahorros que paga 8% nominal anual. Hallar el monto en los 5 años y el valor actual del contrato de alquiler. S = Rs n i 0.08 R = 9000; j = 0.08; m = 4; i= 4 =0.02; n= 4*5=20 S= 9000s 20 0.02 ; en tabla V, s 20 0.02 = 24,29736980 S = 9000(24,29736980) = $ 218.676,33 A= Ra n i = 9000a 20 0.02 En tabla VI, a 20 0.02 = 16,35143334 A= 9000(16,35143334) = $ 147.162,90



Ejemplo 2. Tasas que no figuran en las tablas. Hallar el monto y el valor actual de una anualidad de $ 5000 pagadera semestralmente durante 7 años 6 meses al 8,6 % capitalizable semestralmente. 0.086 1 R = 5000; j= 0.086; m=2; i= 2 = 0,046; n = 72 (2)= 15 S 5000s 15 0,043 Para I= 0,043 sn i no figura en la tabla y es necesario calcular aplicando logaritmos o utilizando una calculadora.

(1 + i)n – 1 (1 + 0,043)15 – 1 S= R = 5000 i 0,043 Se calcula primero (1,043)15 X = (1,043)15 log X = 15log1,043 log X = 15(0,018284) = 0,274260 X= 1,88049 0,88049 1,88049 - 1 S= 5000 0,043 = 50000,043 S=$102.382,55 1-(1 + i)-n Valor actual A= 5000 i

1- (1,043)-15 0,043

logX = -15log)1,043) = -15(0,018284) = -0,274260 logX = 9,725740 – 10 X= 0,53179 1-0,53179 0,46821 A=5000 0,043 =5000 0,043 A= $ 54.443,02

Ejemplo 3. Número de períodos mayores que el máximo de las tablas.



Cuan do el número de períodos es mayor que el máximo de las tablas, los valores se calculan aplicando los métodos que se indican en los problemas 8 y 18 de este capítulo. En este ejemplo desarrollaremos una solución que es de uso frecuente. Hallar el monto y el valor actual de una anualidad de $ 100 mensuales pagaderos durante 15 años al 9% nominal convertible mensualmente. 0,09 R= 100; j=0,09; m=12; i=

12

=0,0075; n=15(12)=180

S= 100s 180 0,0075 (1 + 0,0075)180 - 1 S=100 0,0075 (1,0075)180 =(1,0075)100(1,0075)80 utilizando la tabla I (1,0075)180 =2,11108384(1,81804398) = 3,83804327 S= 100

2,83804327 = $ 37.840,57 0,0075

valor actual A = 100ª180 0,0075 A=100 1 –0,0075 (1 + 0,0075)-180 (1,0075)-180 = (1,0075)-100(1,0075)-80 utilizando la tabla II (1,0075)-180 = 0,47369033(0,55004170)=0,26054942 1 – 0,26054942 0,73945058 A= 100 0,0075 =100 0,0075 A=$ 9859,34

Problemas resueltos 1.Una persona deposita $2000 al final de cada año durante 15 años en una cuenta de ahorros que paga el 8% de interés. Hallar el monto al



efectuar el último pago. R= 2000; i =0,08; n = 15 S=Rsn i = 2000s 15 0,08 S= 2000(27,15211393) = $54.304,23 2. Una persona desea comprar una renta de $20.000 pagadera semestralmente durante los próximos 10 años. Hallar a la tasa del 6% el costo de la anualidad. R= 20.000; j=0,06; m=2; i=0,03; n =2(10)=20 A= Ran i = 20.000a 20 0,03 A=20.000(14,87747486)=$297.549,50 3. Una compañía vende neveras con una cuota inicial de $1000 y 16 cuotas mensuales de $500. Si se carga el 15% con capitalización mensual, hallar el valor de contado. valor de contado = cuota inicial + valor actual de las mensualidades valor de contado = cuota inicial + Ra

n i

cuota inicial = 1000; R=500; n=16; j=0,15; m=12; i=

0,15 12

=0,0125

valor de contado = 1000 + 5000ª 16 0,0125 valor de contado = 1000 + 500(14,42029227)=$ 8210,15

4. Una persona debe pagar una anualidad de $6000 trimestral durante 10 años. Si no efectúa los 4 primeros pagos,¿cuánto debe pagar al vencer la quinta cuota para poner al día su deuda, si la tasa de la operación es del



10% con capitalización trimestral? Se calcula el monto parcial hasta el quinto pago. 0

1

5

30 periodos

s

s

S= monto parcial; R=6000; j=0,10; m=4; i= 0,10 / 4 =0,025; n =5 S= 6000s5 0,025 = 6000(5,25632852)=$31.537,97 5. Una persona debe pagar durante 10 años una anualidad de $5000 semestrales pactados al 8%. Al efectuar el noveno pago desea liquidar el saldo con un pago único ¿Cuánto debe pagar en la fecha del noveno pago para liquidar la deuda? 0

1

9

20 periodos

A` Al efectuar el noveno pago quedan 20 – 9=11 pagos Pago único= R +A`(R es el valor de cada anualidad y A` el valor actual de los 11 pagos pendientes) R=5000; j=0,08; m=2; i=0,08 / 2 = 0,04 Pago único = 5000 + 5000ª 11 0,04 = 5000 + 5000(8,76047671) = 48.802,38 6.Al cumplir su hijo 10 años, el padre decide consignar semestralmente en una cuenta de ahorros que paga el 9% nominal, la cantidad de $2000. Si hace estas consignaciones durante 5 años consecutivos, calcular la cantidad que tendrá en su cuenta el hijo al cumplir 21 años. 0

1

2

10 años

3

11

23 años

11 años

15 años 21 años de edad S` S Primero se calcula el monto S` de las consignaciones durante 5 años. R= 2000; j=0,09; m=2; i= 0,09/2=0,045; n=11 S`= 2000s 11 0,045 = 2000(13,84117879) S´=$ 27.682,36 El monto cuando el hijo cumple 15 años, hecho el último pago, es de $ 27.682,36 y esta suma gana interés compuesto durante 12 periodos hasta que el hijo cumpla 21 años de edad.



S=C(1 + i )n C=$ 27.682,36; i=0,045; n=2(6)=12 S=$27.682,36(1+0,045)12 S=$27.682,36(1,69588143)=$46.946 7. Demostrar que (1+i)s n i =s n + 1 i –1

(1 – i)n – 1 (1 – i)n+1 – (1+i) (1+i)s n i = (1+i) i = i n+1 (1 + i)n+1 – 1 (1 + i) – 1-i i (1+i)s n i = = i i i (1+i)s n i =s n+1 i –1

8. Demostrar que a h+k i = a h i + (1+i)-h a k i a h+k i

1 – (1+I)-h-k = i

1 – (1+I)-h-k + (1+I)-h-(1+I)-h-k a h+k i = i 1 – (1+I)-h (1+i)-h[1+(1+i)-k] a h+k i = + i i a h+k i = a h i + (1+i)-h a k i 3.3.4 PROBLEMAS PROPUESTOS 9. Calcular el monto y el valor actual de las siguientes anualidades ciertas ordinarias: a) $ 2000 semestrales durante 81/2 años al 8% capitalizable semestralmente. b) $ 4000 anuales durante 6 años al 7,3% capitalizable anualmente. c) $ 200 mensuales durante 3 años 4 meses capitalizable mensualmente, al 8% con capitalización mensual. 10. Una persona deposita $5000 cada final de año en una cuenta de ahorros que abona el 8% de interés. Hallar la suma que tendrá en su cuenta al cabo de 10 años al efectuar el último depósito.



11. Calcular el valor de contado de una propiedad vendida en las siguientes condiciones: $20.000 de contado, $ 1000 por mensualidades vencidas durante 2 años 6 meses y un ultimo pago de $ 2500 un mes después de pagada la última mensualidad. Para el cálculo utilice el 9% con capitalización mensual. 12. calcular el valor de contado de un equipo industrial comprado así: $ 6000 de 4 contado y 12 pagos trimestrales de $ 2000 con 12% de interés capitalizable trimestralmente. 13. ¿ Cuál es el valor de contado de un equipo comprado con el siguiente plan: $ 14,000 de cuota inicial, $ 1600 mensuales durante 2 años 6 meses con un último pago de $2500 si se carga el 12% con capitalización mensual? 14. Una mina en explotación tiene una producción anual de $8.000.000 y se estima que se agotará en 10 años. Hallar el valor actual de la producción, si el rendimiento del dinero es del 8%. 15. En el problema 14 si se estima que al agotarse la mina habrá activos recuperables por valor de $1.500.00 encontrar el valor actual incluidas las utilidades si éstas son el 25% de la producción. 16. Una persona recibe tres ofertas para la compra de su propiedad. a) $400.00 de contado b) $190.00 de contado y $50.00 semestrales durante 21/2 años. c) $210.00 de contado y $20.00 trimestrales durante 3 años ¿Que oferta es más conveniente si el interés es 12% nominal anual? 17. Un señor puso al nacer a su hija y en cada uno de sus sucesivos cumpleaños $ 1500 en una cuenta que abona el 8%. Al cumplir su hija 12 años aumentó sus consignaciones a $3000. Calcular la suma que tendrá a su disposición la hija al cumplir 18 años. 18. Demostrar que s h+k i = s h i + (1 + i)h s k i. 19. Una persona deposita $100 al final de cada mes en una cuenta que abona el 6% de interés capitalizable mensualmente. Calcular su saldo en la cuenta al cabo de 20 años.



20. ¿ Cuál es el valor actual de una renta de $500 mensuales que se recibirá durante 15 años? Calcular con el 6% capitalizable mensualmente. Hacer el cálculo (a) utilizando la tabla II, (b) utilizando la fórmula desarrollada en el problema 18. 21. Demostrar que s h+k i = (ah i + s k i )(1+i)h 22. Demostrar que: (a) (1+i)a n i = a n-1 i + 1 (b) (1+i)sn i = s n+1 i - 1 23. Demostrar que para h >k; s h – k i = s h i - (1+i)h a k i 24. Demostrar que para h>k; s h-k i = (1+i)-k s h i - a k i 25. Demostrar que para h>k; a h-k i = a h i –(1+i)-hs k i 26. Demostrar que :

1

sn+mi

1 / sn =

i

1/ sn iS

m

i

+ (1 + i) m

3.3.5 CÁLCULO DE LA RENTA EN UNA ANUALIDAD SIMPLE, CIERTA ORDINARIA Es frecuente e importante la necesidad de conocer el importe de los pagos periódicos para lograr un determinado resultado, así por ejemplo: ¿ Cuál es el pago mensual que se debe hacer para cancelar el valor de una propiedad en un cierto número de años? ¿Qué cantidad de dinero habrá que colocar, periódicamente, en un fondo de amortización, para cancelar una obligación a largo plazo?¿Con qué cuotas periódicas se puede cancelar una mercancía, conocido el valor de contado y la tasa de interés?

Dos son los problemas que se presentan, según se conozca: El monto a cancelar en fecha futura o el valor actual que se debe de cancelar mediante pagos periódicos.



(a)

Cálculo de la renta cuando se conoce el monto De la fórmula (26b) S= Rs n i Se obtiene R= S 1 / s n i El símbolo 1 / s n i recibe el nombre de factor del fondo de amortización y es el valor de la renta de una anualidad cuyo monto ascenderá a una unidad monetaria después de n pagos a la tasa i por período de pago. El valor de este factor, para las tasas que con frecuencia se utilizan en esta obra se encuentran en la tabla VIII para valores de n desde 1 hasta 100. (b) Cálculo de la renta cuando se conoce el valor actual. De la formula (27b) A= Ra n i Se obtiene R= A 1/ a n i El símbolo a n i recibe el nombre de factor de amortización y es el valor de la renta de una anualidad que amortiza una deuda de una unidad monetaria en n pagos a la tasa de i por período de pago. En esta obra no hemos incluido la tabla para los valores del factor de amortización; el lector deberá calcular los valores de 1 /a n i utilizando la tabla VII que tiene los valores de 1 / s n i y aprovechando la siguiente relación: De (26a) s n i = (1+i)1 –1 / i Se obtiene 1/ s n i = i / (1+i)n –1 De (27a) a n i = 1-(1+i)-n / i Se obtiene 1/a n i = i/ 1-(1+i)-n Sumando i al valor de 1/ s n i se obtiene i + 1 / s n i = i / [(1+i)n –1]+i = i+i(1+i)n-1 / (1+i)n-1 i +1 / s n i = i/ 1-(1+i)n de donde 1/ a n i = 1/ s n i + i Los valores de 1/ a n i se obtienen sumando i al correspondiente valor



de 1 / 1/ s n i Ejemplo 4. Calcular los depósitos semestrales necesarios en una cuenta de ahorros que paga el 8% con capitalización semestral, para obtener en 5 años un capital de $20.000 R= S 1/ s n i S= 20.00; j ) 0,08; m=2; i= 0.04; n=10 R= 20.00 1/ s 10 0,04 =20.00(0.08329094) R= $ 1665,82 Ejemplo 5. Calcular los pagos por semestres vencido, necesarios para cancelar el valor de $ 100.00 de una propiedad comprada a 8 años plazo con el interés del 9% capitalizable semestralmente. R= A 1/ a n i A= 100.00; j=0,09; m=2; i= 0,09/2=0,045 n=8*2=16 R = 100.000 (1/

a

16 0,045) = 100.000 ( 1/ s 16 0,045 + i)

1/ s 16 0,045 = 0,04401537 1/ s 16 0,045 = 0,04401537 + 0,045 = 0,08901537 R = 100.000(0,08901537) Pagos semestrales = R = $ 8901,54 3.3.6 CALCULO DEL TIEMPO O PLAZO DE UNA ANUALIDAD Si en (26a) o (27a) se conocen el monto S o el valor actual



A, la tasa y la renta R, se puede calcular el valor de n o sea el numero de pagos. Utilizando logaritmos, (26a) y (27a) se pueden resolver para n así por ejemplo: (26a)

S = R ( (1 + i)n – 1)/1) Si = R (1 + i)n – R R (1 + i)n = Si + R log R + n log (1 + i) = log (Si + R) n log (1 + i) = log (Si + R) – log R n = (log (Si + R) – log R)/ log (1 + i)

En la práctica el cálculo de n se efectúa utilizando ecuaciones de equivalencia o interpolando entre dos valores de las tablas. Ejemplo 6. ¿Cuántos pagos semestrales de $ 600 se deberán hacer para cancelar una deuda de $ 4500 con el 7% de interés capitalizable semestralmente? $ 4500 es el valor actual de la deuda; para el cálculo del número de pagos aplicamos: A = Ra n

i

A = 4500; R = 600; j =0,07; m = 2; i = 0.07/2 = 0.035 4500 = 600 a n an

0.035

0.035

= 4500 / 600 = 7,5

En la tabla VI columna del 3 ½% no existe para n entero el valor 7,5 ya que este valor se encuentra comprendido entre: as

0.035

= 6,87395554 y a 9

0.035

= 7,60768651

Si por algún motivo se necesita calcular un valor decimal aproximad del numero de periodos, se puede proceder por interpolación así:



a 9 corresponde 7,60768651 a n corresponde a 8 corresponde 6,87395554 a 8 corresponde 1 es a 0,73373097 como n – 8 es a

7,50000000 6,87395554 0,62604446

1/0,73373097 = n – 8 / 0,62604446 n – 8 = 0,62604446/0,73373097 = 0,853 n = 8,853 periodos semestrales En las actividades financieras se acostumbra dar soluciones practicas optando por cualquiera de las dos alternativas que se expresan a continuación: (a)

Aumentar el pago correspondiente al ultimo periodo entero (en nuestro caso el 8). Utilizar el entero superior, efectuando un pago menor en el ultimo periodo. (en nuestro ejemplo se trabajaría con 9 periodos efectuando un pago menor al final del noveno periodo)

(b)

Estas soluciones no enteras dan origen a las anualidades impropias o variables que son aquellas cuyos pagos o rentas no son iguales. Si en nuestro ejemplo optamos por la alternativa (b) se tendrá que efectuar un ultimo pago menor que los anteriores y suficiente para cancelar exactamente el saldo remanente que queda después de efectuar los 8 primeros pagos. Para calcular el valor del ultimo pago se plantea una ecuación de equivalencia. Escogiendo la fecha inicial como fecha focal, tendremos para A = 4500; r = 600; j = 0,07; m = 2; i = 0.07/2 = 0,035 ; n = 9 0 4500

1

2...

8

9

600

600

600

X

4500 = 600 a 8 0.035 + X (1 + 0,035) –9 4500 = 600(6,87395554) + X(0,73373097) 4500 = 4124,37 + 0.73373097X

periodos



X = (4500 – 4124,37) / 0,73373097 = $ 511,94 La anualidad, en este caso impropia, esta formada por 8 pagos semestrales de $ 600 c/u y un ultimo pago de $ 511,94 al final del noveno semestre Para el cálculo del ultimo pago pudimos interpolación hecha anteriormente y tendríamos: (0,62604446 / 0,73373097)(600) = 511,94

aprovechar

la

Para demostrar que las dos formas de cálculo son iguales basta observar que 0,62604446 = 7,5000000 – 6,87395554 y que (600)(0,62604446/0,73373097)=((7,500000-6,87395554) (600) =(4500 – 4124,37) / 0,73373097 = $ 511,94 Observe también que a 9 i - a 8 i = ( 1 + i)-9

/0,73373097)

Demostración [(1 – (1 + i)-9) /i ] - [(1 – (1 + i) -8) /i ] = [(1 + i)-8 - (1 + i)-9 ] /i a9

i

-a8

i

= ( 1+ i)-9 [ (1 + i) – 1] / i = (1 + i)-9

Para una demostración general de que la interpolación obtenida multiplicada por la renta es igual al valor encontrado por medio de ecuaciones de equivalencia, estudie el problema 54. De lo anterior podemos enunciar: Cuando el valor a n i = A / R es resuelto por interpolación, la parte decimal de n es la parte de la renta R que se debe pagar en el final del período, que corresponde al entero superior, para cubrir totalmente el valor de la anualidad.

3.3.7

CALCULO DE LA TASA DE INTERÉS ANUALIDAD SIMPLE CIERTA ORDINARIA

DE

UNA

La tasa i de una anualidad puede ser incógnita cuando se



conocen los demás elementos de una anualidad; por lo general los valores de i correctos desde un punto de vista matemático, resultan ficticios en la práctica. Así por ejemplo si el calculo da para i el valor 7,32563%, desde el punto de vista matemático es correcto, pero tal valor no es utilizado en la practica y se tomara como tasa aproximada el valor 7 1/3%. La tasa aproximada de interés se acostumbra calcularla por interpolación con lo que se obtienen valores suficientemente aproximados para cualquier propósito. Este método lo ilustraremos con el ejemplo que sigue: Ejemplo 7. Una compañía de seguros ofrece por un pago inmediato de $ 90,000.00 una renta de $ 5000 pagadera durante 30 años al comprador o a sus herederos. ¿Qué tasa de interés abona la compañía de seguros? an i =A/R A = 90.000; R = 5000; n = 30 a 30 i = 90.000 / 5000 = 18 Para encontrar los valores de a n i entre los cuales se halle comprendido el valor 18,000000, buscamos en la tabla VI en la línea correspondiente a n = 30. Estos valores son: para

a 30

para

a 30

= 17,29203330; i = 0,04

i

i

= 18,39204541; i = 0,035

Observe que mientras los valores de a 30 i aumentan, lo valores de i disminuyen. Para nuestro valor a 30 i = 18 calculamos i por interpolación. a

0,035 corresponde 18,39204541 a i corresponde

a

0,040 corresponde 17,29203330 a 0,040 corresponde 17,29203330

-0,005 es a

1,10001211 como i – 0,040 es

a

18,00000000 0,70796670



- 0,005 / 1,10001211 = i – 0,040 / 0,70796670 i – 0,040 = (-0,005)(0,70796670) / 1,10001211 = - 0,003218 i = 0,036782 tasa = 3,6782 (tasa matemática) tasa = 3 ¾% (tasa práctica o real) Ejemplo 8. Una persona ha depositado al final de cada mes $ 1000 en una cuenta de ahorros; al cabo de 5 años tiene en su cuenta la suma de $ 70.542 ¿Qué tasa nominal promedio ha ganado? sn

i

=S/R

S = 70.542; R = 1000; m = 12; n = 5(12) = 60 periodos Para encontrar los valores de s 60 i entre los cuales se halle comprendido el valor ; de s 60 i = 70,542 / 1000 = 70,542; buscamos en la tabla V en la línea correspondiente a n = 60. Estos valores son: Para i = 0,005; (1/2 %); s 60 i = 69,77003051 Para i = 0,00583; (7/2 %); s 60 i = 71,59290165 Para nuestro valor s 60 i = 70,542 calculamos i por interpolación a 0,00583 corresponde 71,59290165

a i

a 0,00500 corresponde 69,77003051

a 0,005 corresponde 69,77003051

0,00083

es a

corresponde 70,54200000

1,82287114 como i – 0,005

es

a 0,77196949

0,00083 / 1,82287114 = (i – 0,005) / 0,77196949 i – 0,005 = 0,00083 (0,77196949) / 1,82287114



i – 0,005 = 0,00035 i = 0,00535 (mensual) tasa = 0,00535 (12) = 0,0642 (matemática) tasa = 6 ½% nominal anual (practica) 3.3.8 PROBLEMAS RESUELTOS 9.- Un comerciante vende televisores en $ 6500 precio de contado. Para promover sus ventas idea el siguiente plan de ventas a plazos con cargo del 1% mensual de interés. Cuota inicial de $ 1200 y el saldo en 18 abonos mensuales. ¿Cuál es el valor de las mensualidades? R = A/an

i

A = 6500 - 1200 = 5300; n = 18; i = 0,01 R = 5300 / a 18 0,01 = 5300 / 16,39826858 R = $ 323,20 valor cuota mensual 10.- Para mantener en buen estado cierto puente es necesario repararlo cada 6 años con un costo de $ 85.000. El concejo del municipio al cual pertenece el puente decide establecer una reserva anual para proveer los fondos necesarios para las reparaciones futuras del puente. Si esta reserva se deposita en una cuenta que abona el 8% de interés, hallar el monto de la reserva anual. R = S/an

i

S = 85.000; i = 0,08; n = 6 R = 85.000 / s 6

0,08

= 85.000 / 7,33592904

R = $ 11.586,81 11.- Una obligación se debe cancelar en 4 años con pagos semestrales de $ 10.000. El deudor conviene con su acreedor en cancelar la deuda en 6 años con abonos semestrales. Hallar el valor



de los nuevos pagos si la tasa pactada es del 10% convertible semestralmente.

Designemos por X los nuevos pagos y establezcamos la ecuación de equivalencia utilizando como fecha focal la flecha inicial. 0 X

1

2

10.000 X

8

10.000

10.000 a 8 X

=

... 10.000 X

0,05

= X a 12

10.000

a

8

0,05

9

10

11

12

X

X

X

X

0,05

/

a

12

0,05

= 64632,1276 /

8,86325164 X = $ 7292,15 12.- Un empleado puede ahorrar $ 800 mensuales e invertirlos en una compañía financiera que abona el 9% convertible mensualmente. ¿En cuanto tiempo juntara $ 55.000? Calcular el tiempo y el deposito final. S = R sn

i

S = 55.000; R = 800; j = 0,09; m = 12; i = 0,0075 sn

0,0075

= 55.000 / 800 = 68,75

En la tabla V en la columna de i = 0,0075; ( 3/4%) encontramos s 55

0,0075

= 67,76883409 y s 56

0,0075

= 69,27710035

 sea que el empleado debe hacer 55 depósitos de $ 800 y un ultimo deposito X al final del mes 56. para determinar el valor de X planteamos una ecuación de equivalencia escogiendo como



fecha focal el final del mes 56. 0

1

2

55

56

800

X

... 800

800 55.00 = 800 s 55

0,0075

(1 + 0,0075) + X

En el problema 7 demostramos que s n i (1 + i) = s sea X = 55.000 – 800 (s 56 0,0075 - 1). X = 55.000 – 800 (68,27710035) = 55.000 – 54.621,68 X = $ 378,32

n+1

i

- 1 o

Si este mismo problema se resuelve por interpolación se tiene a 56 corresponde 69,27710035

a n

a 55 corresponde 67,76883409

a 55 corresponde 67,76883409

1 es a

n – 55

1,50826626 como

corresponde 68,75000000 es

a

0,98116591

1 / 1,50826626 = (n – 55) / 0,98116591 n – 55 = 0,98116591 / 1,50826626 = 0,6505 La interpretación de la parte decimal, o fracción de periodo, es distinta de la interpretación dada en el ejemplo 6.6 para a n i = A/R; en efecto, si en la proporción 1 / 1,50826626 = (n – 55) / 0,98116591 reemplazamos: 1,50826626 = s 56 0,98116591 = s n i - s 55 i n- 55 = 0,6505 = (s n

pero s n s 55 i

i

= S/R; s 56

i

i

- s 55

- s 55

i

i

i

) / ( s56

= s 55 i (1 + i) + 1; s 56

i

i

- s 55 i)

- s 55 i = s 55 i (1 + i) + 1 -


de donde: 0,6505 = (S/R - s i] /( s 55 I + 1)

55 i


) /(s

55

i

(1 + i)+1 - s

55

i

) = [S/R - s

55

como

is 55 i +1 = i [(1+i)55 - 1 / i] + 1 = (1 + i)55

luego i)55

[0,6505 = S/R - s 55 i ] / (1 + i)55 = ( S – R s 55 i ) / R (1 +

o sea

0,6505 R(1 + i )55 = S - R s 55

para

R = 800; i = 0,0075 520,40(1 + 0,00785)55 = S - R s 55

i

0,0075

S - R s 55 i es el saldo final de 55 periodos y es igual a 0,6505 R(1 + i)55 que es el valor al cabo de 55 periodos de 0,6505 R pagados en la fecha inicial de la anualidad. En nuestro caso el pago inicial seria de $ 520,40. Para una demostración general estudie el problema 55. de lo anterior podemos enunciar: Si el valor s n i = S/R es resuelto por interpolación la parte decimal de n es la parte de la renta R que se debe pagar en la fecha inicial para cubrir el valor total de la anualidad en un numero de periodos igual al entero que resulta de despreciar la parte decimal de n. 13. Cierta maquina puede ser comprada con $ 4590 al contado o $ 450 de cuota inicial y 18 cuotas mensuales de $ 280 c/u, calcular (a) la tasa nominal de interés cargado, (b) la tasa efectiva de interés cargado. (a) a n i = A/R A = 4590 – 450 = 4140; n = 18; m = 12; R = 280


a

18 i


= 4140 / 280 = 14,785714

En la tabla VI encontramos que para n = 18; a 18 0,02 = 14,99203125 a 18 0,025 = 14,35336363 sea que i esta comprendido entre 2% y 2 ½% y la tasa nominal entre 24% y 30%. Para afinar el resultado procedemos por interpolación. a 0,020 corresponde

14,99203125

a i

a 0,025 corresponde

14,35336363

a 0,025 corresponde 14,35336363

-0,005

es a 0,63866762 como


i – 0,025

es

a 0,43235037

-0,005 / 0,63866762 = (i – 0,025) / 0,43235037 i – 0,025 = -0,005(0,43235037) / 0,6386676 = 0,0033847 i = 0,0216153 Tasa anual convertible mensualmente = 0,0216153 (12)(100) = 25,93836% Tasa práctica = 26% convertible mensualmente. (b) Designando por i la tasa efectiva se tiene para j = 0,26; m = 12 aplicando (20) i = (1 + 0,26/12)12 - 1 i = 29,33% 14.- Una persona compra una póliza que le asegura una renta de $20.000 cada final de año durante los próximos 15 años. Desea cambiar su póliza por otra que le asegure una renta de $ 30.000. ¿Durante cuanto tiempo recibirá la nueva renta, si la tasa de interés es 8%? Formamos una ecuación actuales en la fecha inicial.

de

equivalencia

con

los

valores


20.000 a

15 0,08


= 30.000 a

n 0,08

a

n 0,08

= 20.000 a

a

n 0,08

= [20.000 (8,55947869) / 30.000] = 5,706319

15 0,08

/ 30.000

En la tabla VI columna del 8% encontramos a 7 0,08 = 5,20637006 y a 8 0,08 = 5,74663894 entre estos valores interpolamos a

8 corresponde

5,74663894

a n


a

7 corresponde

5,20637006

a 7


1

es a 0,54026888 como

i–7

es

a

0,49994894

1/ 0,54026888 = (n – 7 ) / 0,49994894 (n – 7 ) = 0,49994894 / 0,54026888 = 0,9253704 n = 7,9253704 Recibiría la renta de $ 30.000 durante 7 años y un pago final al terminar el octavo año de 0,9253704(30.000) = $ 27.761,11 3.3.9 PROBLEMAS PROPUESTOS 15.- ¿Cuando se debe depositar al final de cada trimestre, en un fondo de inversiones que abona el 10% convertible trimestralmente para acumular $ 50.000 al cabo de 5 años? 16.- ¿Una compañía debe redimir una emisión de obligaciones por $ 3.000.000 dentro de 10 años y para ello establece reservas anuales que se depositaran en un fondo que abona el 7%. Hallar el monto de la reserva anual. 17.- ¿Qué suma debe depositar anualmente en un fondo que abona el 6%, para proveer la sustitución de los equipos de una compañía que tienen un costo de $ 8.000.000 y una vida útil de 6 años, si el valor de salvamento se estima en 15% del costo? 18. Enrique Pérez compro una casa cuyo valor es de $ 180.000 al contado. Pago % 50.000 al contado y el saldo en 8 pagos iguales por trimestre vencido . si en la operación se le carga el


19.

20. 21. 22.

23.


10% de interés nominal, hallar el valor de los pagos trimestrales. Una maquina que vale $ 18.000 de contado, se vende a plazos con una cuota inicial de $ 3000 y el saldo en 18 cuotas mensuales, cargando el 16% de interés convertible mensualmente. Calcular el valor de las cuotas. Sustituir una serie de pagos de $ 10000 al final de cada año, por el equivalente en pagos mensuales vencidos, con un interés del 8% convertible mensualmente. Sustituir una serie de pagos de $ 10000 al principio de cada año, por el equivalente en pagos mensuales vencidos con un interés del 8% convertible mensualmente. Una persona sustituye un seguro total de $ 300.000 por una renta anual, con la condición de que se pagara a el o a sus herederos durante 20 años. Si la compañía de seguros opera con el 7% de interés, hallar el valor de la renta anual. El valor actual de una renta de $ 10000 por año vencido es de $ 100.000. si la tasa de interés es del 6%, calcular el tiempo indicando la solución matemática y la solución practica.

24. El valor actual de una renta de $4000 por trimestre vencido es de $ 60.000. Si la tasa de interés es del 7% convertible trimestralmente, hallar el tiempo indicando la solución matemática y la solución practica. 25. El monto de una renta de $ 10000 por año vencido es de $ 100000. si la tasa de interés es del 6% calcular el tiempo indicando la solución matemática y la solución matemática y la solución práctica 26. El monto de una renta de $ 4000 por trimestre vencido es de $ 60.000. si la tasa de interés es del 8% convertible trimestralmente, calcular el tiempo indicando la solución matemática y la solución práctica 27. Una deuda de $ 20000 con interés del 10% capitalizables semestralmente se conviene en cancelarla con pagos semestrales de $ 4000, encontrar el numero de pagos y el valor del pago final. 28. Una persona compra maquinaria por valor de $ 60.000 y conviene en pagar $ 15000 como cuota inicial y el saldo en cuotas de $ 12000 trimestrales con el 12% convertible trimestralmente. Encontrar el numero de pagos y el valor del


29.

30. 31.

32. 33.

34.

35.

36.


pago final. Un empleado puede ahorrar $ 350 mensuales. Si los consigna en una cuenta de ahorros que paga el 8% convertible mensualmente, (¿en cuanto tiempo y con que pago final lograra ahorrar $ 30.000? ¿Qué interés deben producir unas imposiciones de $ 300 mensuales para que se conviertan en $ 4500 en un año? Un televisor cuyo valor de contado es de $ 48000 se puede adquirir con un pago inicial de $ 800 y 12 pagos mensuales de $ 400 cada uno. Hallar la tasa convertible mensualmente que se carga. ¿Qué tasa nominal convertible trimestralmente se debe establecer para que 24 depósitos de $500 trimestrales den un monto de $ 16000 al efectuar el ultimo pago? Una persona necesita reunir $ 10000 en 8 años y con este fin hace depósitos iguales cada fin de año en un banco que abona el 6% de intereses. Transcurridos 4 años el banco eleva la tasa al 8% Hallar el valor de los depósitos anuales antes y después de que el banco elevara la tasa de interés. Una persona deposita hoy $ 10000 en una cuenta de ahorros que abona el 8% de interés. Transcurridos 3 años decide hacer nuevos depósitos cada final de años de modo que transcurridos 5 años tenga al efectuar el ultimo deposito $ 60000 Hallar el valor de los depósitos anuales Los dueños de una mina de carbón desean vender acciones pagando el 12% de dividendos anuales. Se estima que la mina producirá $ 400000 de utilidad anual durante los próximos 10 años después de los cuales estará agotada. Para cubrir el valor de las acciones acumular reservas anuales e un fondo de amortización que abona el 8% de interés. Hallar el valor máximo de las acciones que pueden emitir. Demostrar que cuando el valor a n i = A/R es resuelto por interpolación para el valor de n, la parte decimal de n es la parte de la renta R que se debe pagar en el final del periodo que corresponde al entero superior a n; para cubrir totalmente el valor de la anualidad.

Sugerencia: Demuestre primero que a n + 1 i – a n i = (1 + i)n+i 37. Demostrar que cuando el valor a n i = S/R es resuelto por interpolación para el valor de n la parte decimal de n es la



parte de la renta R que se debe pagar en la fecha inicial, para cubrir el valor total de la anualidad en un numero de periodos igual al entero que resulta de despreciar la parte decimal de n. Sugerencia: Demuestre primero que s n + 1 i – s n i = (1 + i)n 38. El beneficiario de una póliza de seguro por $ 200.00 recibirá $ 20.000 de inmediato y posteriormente $ 10.000 cada 3 meses. Si la compañía paga el 8% convertible trimestralmente, hallar el numero de pagos de $ 10.000 y el pago final tres meses después el ultimo pago completo. 39. En el problema anterior, ¿qué suma adicional se debería agregar al ultimo pago de $10.000 para cancelar totalmente el beneficio? 40. ¿Qué oferta es mas conveniente por una propiedad que vale $ 100.000: (a) $ 35.000 al contado y 12 pagos mensuales de $ 3000. (b) $ 35.000 al contado y un pago de $ 75.000 a un año plazo.

3.4 ANUALIDADES ANTICIPADAS 3.4.1 INTRODUCCIÓN En los negocios es frecuente que los pagos periódicos se efectúen al comienzo de cada periodo; tal es el caso de la renta de terrenos, edificios y oficinas cuyo alquiler se paga a principio de periodo. Las ventas a plazos suelen estipular una serie de pagos al comienzo de los periodos convenidos en el contrato de venta. En los seguros ya sean dótales, de vida o de protección contra riesgos, las pólizas, por lo general estipulan que el asegurado debe pagar sus cuotas o primas de seguro, al comienzo de cada periodo. En estos casos se usa la expresión “el pago vence a principio del periodo”. Definición: Una anualidad anticipada e inmediata esa una sucesión de pagos o rentas que se efectúan, o vencen, al principio del periodo de pago. En este capitulo estudiaremos las anualidades simples ciertas anticipadas. Las distintas variantes que se presentan según él numero de periodos de capitalización y él numeró de pagos en el año se estudiaran en él capitulo correspondiente al tratamiento general de las anualidades.



Para comparar las anualidades anticipadas con las anualidades vencidas es muy útil el siguiente diagrama. Anualidades

1

1

2

2

3

vencidas n-2

n-1

Anualidades

n

n-1

n

anticipadas

3.4.2

SÍMBOLOS UTILIZADOS ANTICIPADAS

EN

LAS

ANUALIDADES

Todos los símbolos tienen el mismo significado que el definido en las anualidades ordinarias o vencidas así: R = pago periódico o renta i = tasa efectiva por periodo de capitalización J = tasa nominal anual M = numero de capitalizaciones en el año J(m)= tasa nominal con m capitalizaciones en el año N = numero de periodos de pago S = monto de una anualidad A = valor actual o presente de una anualidad Algunos autores utilizan los símbolos: a   para el valor actual o presente de una anualidad anticipada de una unidad monetaria por periodo durante n periodos a la tasa i por periodo.



S  para el monto de una anualidad anticipada de una unidad monetaria por periodo durante n periodos a la tasa i por periodo. Nosotros no consideramos necesario utilizar estos dos últimos símbolos ya que no se requieren nuevas formulas para él calculo de los valores de las anualidades anticipadas ni tablas distintas de las que ya hemos descrito. Daremos algunas relaciones útiles para él calculo del monto y del valor actual de las anualidades anticipadas y explicaremos diferentes métodos para obtenerlas. 3.4.3 MONTO Y VALOR ACTUAL DE LAS ANUALIDADES SIMPLES CIERTAS ANTICIPADAS Existen diferentes formas para calcular tanto el monto como el valor actual de las anualidades anticipadas, de estas daremos dos formas que consideramos las más simples y las de mayor utilidad en el planteamiento de los problemas. Sea el diafragma de una anualidad anticipada de R por periodo. -1

0

1

2

R

R

R

n-2 R R

n-1

n R S

Observemos que al agregar el ultimo pago R se obtiene el monto de una anualidad vencida de R por periodo pagadera durante n+1 periodos su monto es Rsn+1 i, restando a este valor el ultimo pago R que se habia agregado se obtiene el monto de una anualidad anticipada de R por periodo pagadero durante n periodos. S= Rsn+1 i - R S= R(sn+1 i - 1) El mismo resultado se puede obtener planteando la siguiente ecuacion de equivalencia, utilizando como fecha focal el final del periodo n1; vease el diagrama, en el se advierte que el pago R en el periodo n-1 se puede considerar como el ultimo pago de una anualidad vencida que se



indica en el periodo –1 S(1+i)-1 = Rs n i S= Rs n i (1+i) reemplazando el valor s n i Se tiene S= R(1+i)n-1 (1+i)= R (1+i)n+1-1-i i i S=R[1+i)n+1-1-i]= R[(1+i)n+1-1-1] i

i

i

S= R (s n+1 i -1) (s n+1 i -1) es el monto de una anualidad anticipada de una unidad monetaria pagada durante n periodos a la tasa i por periodo. Calculo del valor actual. Si en el diagrama suprimimos el primer pago R se tiene una anualidad vencida de R por periodo pagadera durante n-1 periodos. 0

1

2

n-1

n

.... R A

R

R

R

Su valor actual es R n-1 i. Agregando a este valor el primer pago R que se había suprimido se obtiene el valor actual de una anualidad anticipada de R por periodo pagadera durante n periodos. A= Ra n-1 i + R A= R (an-1 i + 1) Este mismo resultado se puede obtener planteando la siguiente ecuación de equivalencia, utilizando como fecha focal la fecha inicial. A – R = Ra n-1 i A= Ra n-1

i

+ R



A = R (a n-1 i + 1) (a n-1 i + 1) es el valor actual de una anualidad anticipada de una unidad monetaria pagadera durante n periodos a la tasa i por periodo. El tratamiento de los problemas que involucran anualidades anticipadas, por lo general, no es diferente a lo tratado en los problemas de las anualidades vencidas. En todo caso recomendamos al lector plantear las ecuaciones de equivalencia y no atenerse a la simple aplicación de las formulas, ya que estas resultan muy limitadas ante la gran variedad de problemas que frecuentemente se presentan en matemáticas financieras. Ejemplo 1. Una compañía deposita al principio de cada año $20,000 en una cuenta de ahorros que abona el 7%. ¿A cuanto ascenderán los depósitos al cabo de 5 años? S= R sn+1 i - 1 R= 20,000; i= 0,07; n=5 S= 20,000(s6 0,07 –1)= 20,000(6,15329074), ver tabla V S= $123,065,81 Ejemplo 2. Una compañía alquila un edificio en $4000 mensuales y propone al propietario pagarle el alquiler anual a principio de cada año, con la tasa del 12% convertible mensualmente. Hallar el valor del alquiler anual. A= R an-1 i +1 R= 4000; j= 0,12; i= 0,01; n=12 A = 4000(a11 0,01 +1 = 4000 (11,36762825), ver tabla VI A = $45,470,51 3.4.4 PROBLEMAS RESUELTOS 1. El dueño de una propiedad avaluada en $400,000 recibe por ella las siguientes ofertas: (a)$100,000 al contado y el saldo en 6 pagos



trimestrales de $55,000 cada uno. (b) 20 pagos mensuales de $22,000 cada uno, efectuando el primer pago de inmediato. Tasa de interés del 12% nominal. ¿Qué oferta le conviene mas? Se calcula el valor actual de cada oferta. (a) A = 100,000 + 55,000 a 6 0,03 A = 100,000 + 55,000(5,41719144) A = $397,945,50 (b)

A = 22,000(a 20-1 0,01 + 1) = 22.000 (18,2260085) A = $400.972,20 Es preferible la oferta (b.

2. Un comerciante vende neveras a $7500 al contado. Promueve su venta a plazos en 18 meses sin cuota inicial, con un recargo del 24% convertible mensualmente. Hallar la cuota periódica o renta. A = R an-1

i

+1

R=A a n-1 i +1 A = 7500; j = 0,24; m=12; n=18 R= 7500 15,29187188

= $ 490,45

3. Un comerciante estima que puede aumentar sus ventas, ofreciendo televisores que valen $4200 de contado en cuotas mensuales de $300 cada una y sin cuota inicial. Hallar él numero de cuotas si se carga el 18% de intereses convertibles mensualmente. A = R (a n-1 i +1) A= 4200; R= 300; j= 0,18; m = 12; i = 0,015 4200 = 300 a n-1 a n-1

0,015

+1

= 4200 -1 = 13 300

0,015



En la tabla VI columna del 1 ½ %, el valor 13 esta comprendido entre a 14 0,015 y a15 0,015 cuyos respectivos valores son: 12,543381150 y 13,34323301. Como en el ejemplo 6.6, procedemos por interpolación. a 15 corresp... 13,34323301 a 14 corresp... 12,54338150 1

es a

0,79985151

a n-1 corresp... 13,00000000 a 14 corresp... 12,54338150 como

1

n-15 es a 0,45661850

=

n-15

0,79985151 0,45661850 n-15 = 0,45661850 = 0,57087909 0,79985151 n = 15,57087909 respuesta matemática. Respuesta practica: 15 pagos de $300 y un ultimo pago al principio del periodo 16 de 0,57087909(300)=$171,26. 4. Una deuda de $40,000 se cancela con 10 pagos trimestrales, por trimestre anticipado, de $4450.¿qué tasa de interés se ha cargado? A = R (a n-1 i +1) A = 40.000; R = 4450; m = 4; n = 10 40.000 = 4450 (a 10-1 i + 1) a9

i

a9

i

= 40.000 - 1 4450 = 8,98876400 – 1 = 7,98876400

Buscamos en la tabla VI en la línea correspondiente a n = 9, los valores más próximos a 7,98876400 son: a 9 0,025 = 7,97086553 y a 9 0,02 = 8,16223671; para nuestro valor calculamos i por interpolación.



A 0,020 corresp... 8,16223671 a i corresp... 7,98876400 A 0,025 corresp... 7,97086553 a 0.025 corresp... 7,97086553 - 0,005 es a 0,19137118

como i – 0,025 es a 0,01789847

-0,005 = 0,19137118

i - 0,025 0,01789847

i - 0,025 = (-0,005)0,01789847 = 0,0004671 0,19137118 i = 0,0245329 j = 4(0,0245329) tasa matemática = 9,813% tasa practica = 9 5/6% 3.4.5 PROBLEMAS PROPUESTOS 5.

Resolver el problema 1 planteando una ecuación de equivalencia para cada oferta.

6.

Resolver el problema 3 planteando una ecuación de equivalencia.

7.

Calcular el valor de contado de una propiedad vendida a 15 años plazo con pagos $3000 mensuales por mes anticipado; Si la tasa de interés es del 12% convertible mensualmente.

8.

Calcular el valor de contado de un equipo medico que se vende a dos años de plazo, con el 9% de interés convertible trimestralmente; Con pagos trimestrales anticipados de $4000 y un ultimo pago de $3200 a los 2 años 3 meses.

9.

Una persona recibe tres ofertas para la compra de su propiedad: (a) $400.000 de contado; (b) $190.000 de contado y $50.000 semestrales durante 21/2 años; (c) $20.000 por trimestre anticipado durante 3 años y un pago de $250.000 al finalizar el cuarto año. ¿qué oferta



debe preferir si la tasa de interés es del 8%? 10. Para establecer un fondo de $1.000.000 se consigna a principio de cada año $120.000 en una cuenta de ahorros que abona el 8%. Calcular el tiempo, utilizando algoritmos. 11. ¿Cuál es el valor actual de una renta de $500 depositada a principio de cada mes durante 15 años en una cuenta de ahorros que gana el 9% convertible mensualmente?(Véase el problema 20 del capitulo 6). 12. Un comerciante vende maquinas de tejer a $12.500 precio de contado. Para promover sus ventas decide venderlas en 18 plazos mensuales cargando el 2% mensual de intereses. ¿Cuál es el valor de las mensualidades? 13.

¿Qué suma debe depositarse a principio de cada año en un fondo que abona el 6%, para proveer la sustitución de los equipos de una compañía que tienen un costo de $2.000.000 y una vida útil de 5 años, si el valor de salvamento se estima en el 10% del costo?

14. Sustituir una serie de pagos al principio de cada año, por el equivalente en pagos mensuales anticipados, con un interés del 9% convertible mensualmente. 15. Sustituir una serie de pagos al principio de cada año, por el equivalente en pagos mensuales anticipados, con un interés del 9% convertible mensualmente.

3.5 ANUALIDADES DIFERIDAS 3.5.1 INTRODUCCIÓN



Es frecuente en los negocios que algunas circunstancias obliguen a que el primer período de pago comience en una fecha futura, hasta después de transcurrido un cierto tiempo desde el momento inicial o de convenio. Es decir no coincide la fecha inicial de la anualidad con la fecha del primer pago. En estos casos se dice que la anualidad es diferida. Definiciones una anualidad diferida es una anualidad cuyo plazo comienza después de transcurrido un intervalo de tiempo. Intervalo de aplazamiento es el tiempo que transcurre entre la fecha inicial, o fecha de valoración de la anualidad, y la fecha del primer pago. Para medir el intervalo de aplazamiento, se utiliza como unidad el tiempo que corresponde a un periodo de pago. Así por ejemplo: si dentro de 2 años se efectuara el primer pago de una anualidad vencida de $R por semestre y cuyo plazo es de 3 años, tendremos 0

1

2

3

4

5

6

R

R

R

R

R

R

R

7

8

9

10

Semestres

F = fecha inicial de la anualidad vencida Tiempo transferido = 3 periodos semestrales Tiempo o plazo de la anualidad = 7 periodos Tiempo total = tiempo diferido más tiempo de la anualidad. Por lo general las anualidades diferidas se analizan como anualidades ordinarias o vencidas; de manera que en los problemas al hablar de una anualidad diferida se supone que es vencida.

3.5.2

SÍMBOLOS DIFERIDAS

UTILIZADOS

EN

LAS

ANUALIDADES

Los símbolos utilizados en las anualidades diferidas tienen el mismo



significado que los utilizados en las anualidades estudiadas en los capítulos 6 y 7. Algunos autores separan para su análisis dos grupos de anualidades diferidas anticipadas, y utilizan los mismo símbolos pero encerrados en un recuadro así, Nosotros no utilizaremos estos símbolos porque consideramos que no son necesarios, y además nuestra experiencia nos ha permitido apreciar que su uso es perjudicial, debido a que en el tratamiento de los problemas crea confusiones a los estudiantes de matemáticas financieras. 3.5.3 VALORES DE LAS ANUALIDADES DIFERIDAS SIMPLES CIERTAS Para el cálculo de los valores no se requieren nuevas formulas ni tablas distintas de las que ya hemos descrito en los capítulos anteriores. El lector debe comprender la importancia de analizar los problemas utilizando diagramas que le permitan determinar cuidadosamente el tiempo diferido y el tiempo de pago; para luego plantear las ecuaciones de equivalencia que conducen a la correcta solución. No es conveniente memorizar formulas o procedimientos ya que estos resultan inútiles ante la gran variedad de problemas que suelen representarse. El lector debe desarrollar su propia imaginación y creatividad en el tratamiento de los problemas. Cálculo del valor actual. Sea una anualidad vencida, diferida k periodos, de $ R por período pagaderos durante n periodos a la tasa i por periodo. Dibujando un diagrama se tiene: 0

1

2

k

k+1

k+2



A





R Tiempo diferido

k + n - 1 k + n periodos

R

R

R

Tiempo de anualidad

Formando una ecuación de equivalencia, utilizando como fecha focal el final del período k , se tiene, siendo A el valor actual o presente en la fecha inicial,

¬


A (1+i )k = Ra n i De donde A = R (1+i )-k a n

¬


i

Otro método para calcular el valor de las anualidades diferidas, consiste en tratarlas como diferencia entre dos anualidades no diferidas, así: 0 1 períodos

2

k-1

k

k+1



A1 R 0

R 2

II

k + n -1 k + n



R 1

k + n -2

R k-1

R

R

R

R

k



A2 R 0

R

1

R 2

k-1



n III

R

A3

k

k+1



R

R

¬ ¬

EL VALOR ACTUAL DE I ES EL VALOR ACTUAL DE II ES

A1 = Ra k+n A2 = Ra k i

EL VALOR ACTUAL DE III ES

A3 = A1 - A2

¬

A3 = Ra k+n

i -

¬

Ra k

k + n -2

R

k + n -1 k +

R

i

i

De donde el valor actual A de la anualidad diferida k período es:

¬ Ra¬

A = R( a k+n

i -

k I

)

En el problema 8 del capitulo 6 se demostró que a k+n = a k

i

+(1+i) -k a

k

i



sustituyendo en la formula 33 se tiene A = R [ ak i + (1+i) –k an i - ak i ] A = R (1+i) –k a n i

o sea

La formula (34) ofrece algunas ventajas para el calculo y por esto es mas utilizado que la formula (33). Ejemplo 1. calcular el valor actual de una renta de $5000 semestrales si el primer pago se debe de recibir dentro de 2 años y el ultimo dentro de 6 años, si la tasa de intereses es del 8% convertible semestralmente. Dibujemos el diagrama que corresponde a las condiciones del problema. 0

1

2

3

4

5

6

11

12 semestres

¨¨ ¨¨ A

5000 5000 5000

5000 5000

El intervalo es de 3 periodos y el tiempo de pago tiene 9 periodos A = R (a k+n i

a

k

R= 5000; j= 0.08; m= 2;

i) I=0.04;

k= 3; n; 9

A = 5000(a12 0,04 – a 13 0,04) A = 5000(9,38507376 – 2,77509103) = 5000(6,60998273) A = $ 33,049,91 Si aplicamos la formula (33) el calculo se desarrolla así: A = r(1+i) –k a n i



A = 5000(0,88899636)(7,43533161) A = $ 33.049,91 Cálculo del monto. El monto de la anualidad diferida es el propio monto de la anualidad correspondiente al tiempo de pago. Su cálculo fue tratado en los capítulos 6 y 7. Calculo de la renta. Para el cálculo de la renta se despeja, según el caso, el valor R en la formula (33) o en la fórmula (34) Utilizando la fórmula (33) A = r(1+ i) –k a n i , despejando R se tiene A(1+i) k R= ani Utilizando la fórmula (34) R = (a

- a k i ), despejando R se tiene

n+k i

A R= a n+k i - a k

i

Ejemplo 2. Al cumplir un joven 12 años, su padre deposita $ 50.000 en un fondo universitario que abona el 8% , para que al cumplir el hijo 18 años reciba una renta anual suficiente para costear 4 años sus estudios universitarios. Hallar el costo anual de los estudios. 0 1

2

3

4

5

A A = $ 50.000; i = 0,08; 50.000

6

7

8

9

R R R k = 5; n = 4 50.000

R


R=n


= a5 + 4

0,08

-a 5

0,08

6,246888791 – 3,99271004

50.000 R=

= $ 22.181,04 2,25417787

Cálculo del tiempo. Estos problemas del cálculo del tiempo son poco frecuentes. Hay dos tiempos distintos que pueden calcularse: el tiempo diferido y el tiempo de la anualidad. Para el tiempo diferido se tiene: A = R(1+i) –k a n i A (1+i)

–k

= R a ni R a ni

k

(1+i) = A Luego se produce como en los capítulos anteriores, por la interpolación o aplicando logaritmos. Para el tiempo de la anualidad se tiene: A = R(1+i) –k a n i A(1+i) k a ni = R Luego se procede por interpolación o aplicando logaritmos. Ejemplo 3. Alguien deposita en un banco que abona el 7%, la suma de $ 100.000, para que dentro de 5 años le pague una renta de $ 20.000 anuales; hallar el número de pagos.



A = R(1+i) –k a n i 0 1

2

3

4

5

6

A R R R R R A = $ 100.000; R= 20.000 i = 0,07; k = 4 –4 100.000 = 20.000(1+0,07) an 0,07 100.000(1+0,07) –4 an 0,07 = = 5(1,31079601) 20.000 Este valor esta comprendido entre a 9 = 7,0235854;

0,07

= 6,15123255 y a 10

0,07

luego por interpolación a 10 corresponde 7,02358154 a n corresponde 6,55398005 a 9 corresponde 6,51523225 a 9 corresponde 6,51523255 1 es a 0,50834929 como n – 9 es a 0,03874780

1 = 0,50834929

n-9 0,03874780

0,50834929 n-9 =

= 0,0762227 0,03874780 Respuesta matemática n = 9,0762227

Respuesta práctica: 9 pagos anuales de $ 20.000 y un último pago al final del décimo año de $ 20.000(0,0762227) = $ 1524,46. Cálculo de la tasa. Rara vez se presentan en la práctica problemas en los que sea necesario calcular la tasa de una anualidad diferida. Para el cálculo de la tasa, las fórmulas que hemos estudiado conducen a



ecuaciones de grado superior, que en la mayoría de los casos es necesario resolver por tanteos. Ejemplo 4. Una persona entrega $ 39.000 a un banco con el objeto de que dentro de 5 años le inicie el pago de 12 anualidades de $ 6000. hallar la tasa de interés que abona el banco. A = R(1+i) –k a n i 0 1

2

3

4

5

6

15

6000 6000 A = 39.000

R= 6000

16

6000 6000 k = 4; n = 12

39.000 = 6000 (a 12 +4 i - a 4 i ) 39.000 a 16 i - a 4 i = =6,5 6000 Procediendo por tanteo en la tabla VI, se busca, restando mentalmente los valores para n = y n = 4, el valor que más se aproxime a 6,5. Así se encuentra que está comprendido entre las siguientes diferencias. Para la tasa del 6% 6,6407866

a

16 0,06

Para la tasa del 6 ½ %. a 6,34196558

- a

16 0,065

- a

4 0,06

= 10,10589527 – 3,46510661 =

4 0,065

= 9,76776418 – 3,42579860 =

Respuesta práctica: La tasa está comprendida entre 6% y 6 ½ %. En el caso que se desee o sea necesaria una mayor aproximación, se procede por interpolación lineal. 3.5.4 PROBLEMAS RESUELTOS 1. Alguien desea establecer un fondo, de manera que un hospital que



estará terminado dentro de 5 años, reciba para su funcionamiento una renta anual de $ 25.000 durante 20 años. Hallar el valor del fondo si gana el 8% de interés. A = R(1+i) –k a n i 0 1

2

R= 25.000;

3

4

5

6

23

R

R

R

24 25 años R

R

I= 0,08 K = 4; n = 21

A=25.000 = a 25

0,08

- a

4 0,08

)

A = 25.000 (10,67477619 – 3,31212684) A = $ 184.066,23 2. Una persona deposita hoy $ 60.000 en un banco que abona el 7% para dentro de 5 años se le comience a pagar una renta que se le cancelará semestralmente durante 10 años. Hallar la renta semestral que recibirá. 0 1 2 9 10 11 29 30 semestres 60.000 A= 60.000;

R

R

R

R

J=0,07; M=2 ; I= 0,35; K = 9; n = 21

A=60.000 = a 21+ 9 0,35 - a 9 0 ,035 R=(18,39204541-7,60768651) 60.000 De donde R = =$ 5563,61 10.78435890

3. una persona deposita en un banco $ 500 cada final de mes durante 4 años consecutivos. Hallar la suma que tendrá en su cuenta 7 años después del último depósito, si el banco abona el 6% convertible mensualmente.


0

1 500

2 500

47

48

500

500


49

132 meses x

R= 500; n= 48; i= 0,005. no hay intervalo diferido; esta es una anualidad vencida cuyo monto S queda diferido K períodos para su cobro, K = 84. Para el cálculo establecemos una ecuación de equivalencia utilizando la fecha final como fecha focal X=500s 48 0,005 (1 + 0,005 ) 84 = 500(54,09783222)(1,5203664) X= $ 41.124,35 3.5.5 PROBLEMAS PROPUESTOS 4. Una compañía adquiere unos yacimientos de mineral; los estudios de ingeniería muestran que los trabajos preparatorios y vías de acceso demorarán 6 años. Se estima que los yacimientos en explotación rendirán una ganancia anual de $ 2.400.000. suponiendo que la tasa comercial de interés es del 8% y que los yacimientos se agotaran después de 15 años continuos de explotación, hállese el monto de la renta que se espera obtener. 5. En el problema 4 hállese el valor de utilidad que se espera obtener, en el momento de la adquisición de los yacimientos. 6. una ley de incentivos para la agricultura, permite a un agricultor adquirir equipos por valor de $ 80.000 para pagarlos dentro de 2 años con 8 cuotas semestrales. Si la ley fija el 6% de interés para estos préstamos, hallar el valor de las cuotas semestrales. 7. Una compañía frutera sembró cítricos que empezarán a producir dentro de 5 años. La producción anual se estima en $ 400.000 y que ese rendimiento se mantendrá por espacio de 20 años. Hallar con la tasa del 6% el valor actual de la producción. 8. ¿Con cuánto se puede comprar una renta de $ 10.000 trimestrales pagadera durante 15 años, debiendo comenzar el primer pago dentro de 12 años, si la tasa de interés es de 8% capitalizable



trimestralmente? 9. Alguien deposita $ 100.000 en un banco, con la intención de que dentro de 10 años se le pague a él o a sus herederos una renta de cada mes. ¿Durante cuántos años se pagará esta renta si el banco abona el 6% convertible mensualmente? 10. Hallar el precio de contado de una propiedad comprada con el siguiente plan: Una cuota inicial de $ 30.000; 6 pagos trimestrales de $ 10.000 debiendo efectuar el primer pago dentro de un año y un pago final de $ 25.000 6 meses después de pagada la última cuota trimestral. Calcular con el 12 % convertible trimestralmente. 11. Una deuda contraída al 8% nominal, se debe cancelar con 8 cuotas semestrales de $ 20.000 c/u, con la primera cuota a pagar dentro de 2 años. Sustituirla por una obligación equivalente pagadera con 24 cuotas trimestrales, pagándose la primera cuota de inmediato. 12. Una compañía concesionaria de la explotación de un hotel, por 15 años contados desde su inauguración; el hotel será puesto en servicio dentro de 2 años. Se estima que los ingresos brutos mensuales serán de $ 250.000. hallar con la tasa del 12 % convertible mensualmente, el valor actual de los ingresos brutos. 13. En el problema 12 hallar el monto de los ingresos brutos que se esperan obtener. 14. Por un pago de inmediato de $ 180.000 una compañía de seguros ofrece pagar, transcurridos 10 años, una renta de $5500 al comienzo de cada mes durante 5 años. Hallar la tasa aproximada que paga la compañía. 15. Una deuda de $ 30.000 con interés del 12% capitalizable semestralmente, se conviene en cancelarla de inmediato con pagos semestrales de $ 5000. hallar el número de pagos y el valor final del pago final. 16. Un empleado consigna $ 300 a principios de cada mes en una cuenta de ahorros que paga el 8% convertible mensualmente.¿En cuánto tiempo y con qué pago final logrará ahorrar $ 30.000? 17. un televisor cuyo valor de contado es de $ 4000 se puede adquirir con 12 pagos mensuales anticipados de $ 400 cada uno. Hallar la tasa de interés que se carga. 18. ¿A que tasa nominal, 25 depósitos trimestrales de $ 500 por trimestre anticipado, darán un monto de $ 16.000 tres meses después de efectuado el último pago?



19. Deducir de fórmula del monto para anualidades anticipadas, utilizando las propiedades de las progresiones geométricas. 20. Deducir la fórmula del valor actual para anualidades anticipadas, utilizando las propiedades de las progresiones geométricas.



OBJETIVOS

4



Aprender los esquemas principales de amortización de deudas y a combinarlos para crear nuevos sistemas.



Aprender los métodos para calcular el valor de cuotas de amortización, las tasas de interés, saldos insolutos y a preparar cuadros de amortización.



Aplicarlos para manejar los sistemas de amortización que ofrecen las corporaciones financieras.

SUMARIO Unidad 4. Amortización. 4.1. Introducción. 4.2. Tablas de Amortización. 4.3. Interés en el valor de un bien adquirido. 4.4. Extinción de deudas consolidadas. 4.5. Fondos de Amortización. 4.6. Tablas de fondos de amortización. 4.7. Problemas resueltos. 4.8. Problemas propuestos.

4. AMORTIZACIÓN 4.1 INTRODUCCIÓN



Se dice que un documento que causa intereses está amortizado cuando todas las obligaciones - contraídas (tanto capital como intereses) son liquidadas mediante una serie de pagos (generalmente iguales), hechos en intervalos de tiempos iguales. Ejemplo 1. Una deuda de $5000 con intereses al 5% convertible semestralmente se va a amortizar mediante pagos semestrales iguales R en los próximos 3 años, el primero con vencimiento al término de 6 meses. Hallar el pago.

0

R

R

R

R

R

R

1

2

3

4

5

6 5000

períodos de interés Los 6 pagos R constituyen una anualidad cuyo valor presente es $5000. Por tanto Ra6.025  5000 yR  5000

1  $907.75 a6.025

Amorticemos una deuda A amparada con un documento que causa intereses, mediante una serie de n pagos de R cada uno, tal como en el ejemplo 1. Cada pago R se aplica en primer lugar para el pago del interés vencido en la fecha del pago; la diferencia se utiliza para disminuir la deuda. En consecuencia, la cantidad disponible para disminuir la deuda aumenta con el transcurso del tiempo. La parte de la deuda no cubierta en una fecha dada se conoce como saldo insoluto o capital insoluto en la fecha. El capital insoluto al inicio del plazo es la deuda original. El capital insoluto al final del plazo es 0 en teoría, sin embargo, debido a la práctica de redondear al centavo más próximo, puede variar ligeramente de 0. El capital insoluto justamente después de que se ha efectuado un pago es el valor presente de todos los pagos que aún faltan por hacerse. 4.2 TABLA DE AMORTIZACIÓN Para efectos contables es conveniente preparar una tabla que



muestre la distribución de cada pago de la amortización respecto a los intereses que cubre y a la reducción de la deuda. Ejemplo 2. Construir una tabla de amortización para la deuda del ejemplo 1.

Período 1 2 3 4 5 6 Totales

(a) (b) (c) Capital Interés vencido insoluto al al final del Pago principio del período período 5000,00 125,00 907,75 4217,25 105,43 907,75 3414,93 85,37 907,75 2592,55 64,81 907,75 1749,61 43,74 907,75 885,60 22,14 907,75 446,49 5446,50

(d) Capital pagado al final del período 782,75 802,32 822,38 842,94 864,01 885,61 5000,01

La tabla se llena por renglones como sigue: El capital insoluto (a) al principio del primer período es la deuda original de $5000. El interés vencido (b) al final de ese mismo período es 5000(0,025)=$125. El pago semestral (c) es $907,75, de los cuales se utilizan $125 para el pago del interés vencido y $907,75 – 125=$782,75 se utilizan para el pago del capital (d). Al principio del segundo período del capital insoluto (a) es 5000782,75=$4217,25. Al término de este período el interés vencido (b) es 4217,25(0,025)=$105,43. Del pago (c) de $907,75-105,43=$802,32 para pago del capital (d). Al principio del tercer período, el capital insoluto (a) es 4217,25.802,32=$3414,93 y así sucesivamente. Cuando tiene que hacerse un gran número de pagos, debe revisarse la tabla ocasionalmente durante su elaboración. Ejemplo 3. En el ejemplo 1, hallar el capital insoluto justamente después del 4° pago y comparar con la cifra de la tabla del ejemplo 2. El capital insoluto P justamente después del 4° pago es el valor presente de los 6-4=2 pagos que aún faltan por hacerse. En consecuencia



P=907.75a2.025=$1749.62 4.3 INTERÉS EN EL VALOR DE UN BUEN ADQUIRIDO Cuando se compra un bien mediante una serie de pagos parciales, el interés del comprador del bien, en cualquier tiempo, es aquella parte del precio del bien que ha pagado. Al mismo tiempo, el interés del vendedor del bien, es aquel que queda por pagarse, esto es, el capital insoluto en la fecha. Claramente vemos que Interés del comprador + interés del vendedor = precio de venta. Ejemplo 4. M compra una casa en $25.000 paga $10.000 de cuota inicial y el saldo lo amortiza con intereses al 6% convertible mensualmente, mediante pagos iguales al final de cada mes en los próximos 10 años. ¿Cuál es el interés justamente después de hacer el 50° pago periódico? El pago periódico es

R  15.000

1 a120.005

 $166.53 El

capital insoluto

Justamente después del 50° pago periódico es 166.53ª70.005=$9815.18. Del precio de venta de $25.000, M debe aún $9815.18. Su interés en la propiedad es 25.000-9815,18=15.184,82. 4.4 EXTINCIÓN DE DEUDAS CONSOLIDADAS Cuando una deuda contraída mediante la emisión de bonos con intereses en amortizada, cada pago se aplica para cubrir los intereses correspondientes vencidos y para redimir un cierto número de bonos. Los pagos periódicos no pueden permanecer iguales, sin embargo tienen que ser lo más similares que sea posible. Por ejemplo, si la denominación de los bonos es $100 y se dispone de $712,86, serán redimidos 7 bonos; si se dispone de $763,49, se redimirán 8 bonos. Ejemplo 5. Construir una tabla para la liquidación mediante 6 pagos anuales, lo



mas iguales posible, de una deuda de $30.000 contraída mediante la emisión de bonos de $100 con intereses al 5%. La deuda de $30.000 con intereses al 5%, será liquidada mediante 6 pagos anuales iguales de R  30.000

1 a6.05

 $5910,52

Al término del primer año, el cargo por intereses es 30.000(0.05). Quedan disponibles 5910,52-1500=$4410.52 para el retiro de 44 bonos. Quedan ahora 300-44=256 bonos que representan un capital insoluto al principio del segundo año de $25.600. Al final del segundo año, el cargo por intereses es 25.000(5,05)=$1280. Hay disponibles 5910.52-1280$4630.52 para el retiro de 46 bonos. Quedan ahora 256-46=210 bonos, que representan un capital insoluto al principio del tercer año de $21.000 y así sucesivamente. TABLA QUE MUESTRA LOS PAGOS PARA LA EXTINCIÓN DE UNA DEUDA CONSOLIDADA Período 1 2 3 4 5 6 Totales

Capital insoluto al principio del período 30.000,00 25.600,00 21.000,00 16.100,00 11.000,00 5.600.00

Interés vencido 1500,00 1280,00 1050,00 805,00 550,00 280,00 5465,00

Número de bonos retirados 44 46 49 51 54 56 300

Pago periódico 5.900,00 5.880,00 5.950,00 5.905,00 5.950,00 5.880,00 35.465,00

4.5 FONDOS DE AMORTIZACIÓN En el método de fondo de amortización para liquidar una deuda, el acreedor recibe el interés pactado en su vencimiento y el valor nominal de la deuda al término del plazo. Con el objeto de poder hacer el último pago, el deudor crea un fondo por separado en el cual hace depósitos periódicos iguales durante el plazo, de tal forma que justamente después del último



depósito, el fondo importa el valor de la deuda original. Es de suponerse que el fondo gana intereses, pero no necesariamente a la misma tasa que carga el acreedor. Ejemplo 6. Una deuda de $5000 con vencimiento al término de 5 años, sin intereses, va a ser liquidada mediante el sistema de fondo de amortización. Si se van a hacer 5 depósitos anuales iguales, el primero con vencimiento en un año, en un fondo donde gana el 3%, hallar el importe de cada depósito. El monto de los 5 depósitos anuales de R cada uno, justamente después de efectuado el último es $5000; por tanto Rs5.03  5000

y

R  5000

1 s5.03

 $941,78

Ejemplo 7. Una deuda de $5000 que devenga intereses al 5% convertible semestralmente va a ser liquidada mediante el método de fondo de amortización. Si se van a hacer 8 depósitos semestrales iguales, el primero con vencimiento en 6 meses, en un fondo que paga el 3% convertible semestralmente, hallar, (a) el importe R de cada depósito, y (b) el costo semestral C de la deuda. (a)

R  5000

1 s8.015

 $592,92

(b) El cargo semestral por intereses es 5000(0,025)=$125. El costo semestral de la deuda es el cargo por intereses más el depósito periódico en el fondo de amortización, en consecuencia

C  125  592,92  $717,92

4.6 TABLA DEL FONDO DE AMORTIZACIÓN El crecimiento del fondo de amortización del ejemplo 7 se muestra en



la siguiente tabla: TABLA DEL FONDO DE AMORTIZACIÓN

Período

(a) Aumento de interés

1 2 3 4 5 6 7 8 Totales

0 8,89 17,92 27,08 36,38 45,82 55,82 65,13 256,62

(b) Depósito 592,92 592,92 592,92 592,92 592,92 592,92 592,92 592,92 4743,36

(c) (d) Incremento al Importe del fondo fondo al final del período 592,92 592,92 601,81 1194,73 610,84 1805,57 620,00 2425,57 629,30 3054,87 638,74 3693,61 648,32 4341,93 658,05 4999,98 4999,98

Al final del primer período se efectúa un depósito (b) de $592,92 y constituye tanto el incremento al fondo (c) como el importe del fondo (d) al final del primer período. Al final del segundo período el aumento por intereses (a) es 592,92(0,015)=$8,89, el depósito (b) es $592,92 y el incremento en el fondo (c) es 8,89+592,92=$601,81, y el importe del fondo (d) es 592,92+601,81=$1194,73. Al final del tercer período, el aumento por interés (a) es 1194,73(0,015)=$17,92, el depósito (b) es $592,92, el incremento en el fondo (c) es 17,92+592,92=$610,84, y el importe del fondo (d) es ahora 1194,73+610,84=$1805,57, y así sucesivamente. La diferencia de $0,02 en la última cifra de (d) es debida al redondeo de cada cifra a la centena. Al construir una tabla de fondo de amortización es recomendable comprobar las cifras ocasionalmente. Ejemplo 8. En el ejemplo 7, hallar : (a)El importe del fondo justamente del 5° depósito; (b) cuánto del incremento al fondo por el 6° depósito es debido a intereses. (a) El importe del fondo justamente después del 5° depósito es 592,92 s5,015=$3054,88 (b) El aumento por intereses al efectuarse el 6° depósito es el interés



producido en un período por el monto en el fondo justamente después del 5° depósito, en consecuencia, el incremento es 3054,88(0,015)=$45,82. 4.7 PROBLEMAS RESUELTOS 1.- Un comerciante pide un préstamo de $20,000 para renovar la tienda. Acuerda amortizar la deuda, capital e intereses al 4 ½%, mediante pagos anuales iguales por lo próximos 8 años, el primero con vencimiento en un año. Hallar, (a) el costo anual de la deuda, (b) el capital insoluto justamente después del 6º. Pago, y (c) en cuanto se reduce la deuda con el 4º. pago. (a) el pago anual es

R  20,000

1 a

 $3032.19

s .. 045

(b) el capital insoluto justamente después del 6º. pago es 3032.19 a 2.045  $5678.28

(c) el capital insoluto justamente después del 3er. pago es 3032.19 a 5.045  $13,311.24 El interés vencido cuando sea hecho el 4º.pago es 13,311.24(0.045)=$599.01. El 4º. Pago reduce la deuda en 3032.19599.01=$2433.18. 2.- Una deuda de $3600 con intereses al 6% convertible semestralmente se va a amortizar mediante pagos semestrales de $900 cada uno, el primero con vencimiento al término de 6 meses, junto con un pago parcial final si fuera necesario. Construir una tabla. Hallar en forma independiente el capital insoluto justamente después del tercer pago. Tal como en el capítulo 10, tenemos 900 an.03=3600 y an.03=4 Por lo que, la tabla XIII, vemos que se requieren 4 pagos completos. La construcción de la tabla es similar a la del ejemplo 2.

Período

Capital insoluto al principio del período

Interés vencido al final del período

Pago

Capital pagado al final del período


1 2 3 4 5

3600,00 2808,00 1992,24 1152,01 286,57

Totales


108,00 84,24 59,77 34,56 8,60 295,17

900,00 900,00 900,00 900,00 295,17

792,00 815,76 840,23 865,44 286,57

3895,17

3600,00

El capital insoluto requerido puede encontrarse sin que sea necesario determinar primero el pago final (parcial). De la línea de tiempo 3600 0

P 1

2

3

4

5

tenemos que el capital insoluto P justamente después del tercer pago es P=3600(1.03)3-900 s3.03 =3600(1.092727)-900(3.09090)=$1152.01 3.- Una deuda de $500.000 distribuida en 100 bonos de $1000,500 bonos de $500 y 1500 bonos de $100 que pagan intereses de 4% convertible semestralmente, será amortizada en los próximos 5 años mediante pagos semestrales lo más iguales posible. Construir una tabla. Si los pagos semestrales fueran iguales, cada uno sería de R  500.000

1 a10.02

 $55.663,26

No hay ninguna estipulación sobre la distribución de la suma disponible en cualquier período entre las tres denominaciones. En la tabla dada a continuación, $35.000 de la suma disponible se han utilizado para redimir 10 de los bonos de $1000 y 50 de los bonos de $500. Período Capital Interés Número de bonos Pago insoluto vencido redimidos Semestral $1000 $500 $100 1 500.000,00 10.000,00 10 50 107 55.700,00


2 3 4 5 6 7 8 9 10 Totales

454.300,00 407.700,00 360.200,00 311.700,00 262.300,00 211.900,00 160.500,00 180.000,00 54.500,00


9.086,00 8.154,00 7.204,00 6.234,00 5.246,00 4.238,00 3.210,00 2.160,00 1.090,00 56.622,00

10 10 10 10 10 10 10 10 10 100

50 50 50 50 50 50 50 50 50 500

116 125 135 144 154 164 175 185 195 150 0

55.686,00 55.654,00 55.704,00 55.634,00 55.646,00 55.638,00 55.710,00 55.660,00 55.590,00 556.622,0 0

Una deuda de $100,000 en forma de bonos de $1000 que devengan intereses al 3% se amortizaran durante los próximos 5 años mediante pagos anuales lo más iguales posibles. Los bonos están cotizados en el mercado de valores a 90. Construir una tabla. Decir que un bono está cotizado a 90 significa que un bono de $1000 puede ser comprado. En consecuencia el valor presente de la deuda es $90,000 y la tasa de interés es

pagopor int erés 30 1   0.03 . precio 900 3

El pago

semestral igual, necesario para liquidar la deuda seria. R  90,000



1 a

5.03

1

 90,000 1 3

 a5.03



2 1 1     3  a5.03 a5.03 

  

=90,000(0.2204391)=$19.839052 El interés vencido al final del primer año es 100,000(0.03)=$3000. Quedan disponibles 19.839,52 – 3000=16.839,52 con lo cual pueden redimirse 19 bonos de $900 cada uno. La tabla completa es la siguiente

Periodo

Capital Insoluto

Interés Vencido

1

100,000.00

3,000.00

Numero de bonos Costo de adquiridos los bonos 19

17,100.00

Pago total anual 20,100.00


2 3 4 5 Totales

81,000.00 62,000.00 42,000.00 21,000.00


2,430.00 1,860.00 1,260.00 630.00 9,180.0 0

19 20 21 21

17,100.00 19,530.00 18,000.00 19,860.00 18,900.00 20,160.00 18,900.00 19,530.00 90,0 99,180.00

00.00

5.- La compañía XYZ obtiene un préstamo de $10,000 por 5 años al 6% convertible semestralmente. Con el objeto de pagar el capital al término de lo s5 años, se establece en una cuenta de ahorros que paga el 4% convertible semestralmente, un fondo de amortización mediante depósitos semestrales iguales, el primero con vencimiento en 6 meses. Hallar, (a), el costo semestral de la deuda (b) la tasa nominal convertible semestralmente que la compañía está pagando para liquidar la deuda. (a) El cargo por intereses es 10,000(0.03)=$300. El depósito periódico en el fondo de amortización es 10,000 1 s10.02

 $913.27

El costo semestral de la deuda es 300 + 913.27= $1213.27. (b) En lugar de pagar ahora $10,000 la compañía XYZ paga $1213.27 al final de cada seis meses durante los próximos 5 años. Sea la tasa nominal requerida 2i convertible semestralmente, Tenemos que 1213.27 a10i  10,000

o sea

1 1213.27   .121327 a10i 10,000

6.- M desea un préstamo de $20,000 a 6 años. El banco nacional, presta el dinero al 51/2% si la deuda se amortiza en anualidades. El banco Regional el dinero al 5% si el interés se paga anualmente y el capital al término de 6 años. Si se establece un fondo de amortización, pagando el 3% mediante depósitos anuales iguales, el primero con vencimiento en 1 año, ¿Qué plan es más barato y cuánto se ahorraría anualmente aceptándolo? Si se utiliza el plan del Banco Nacional, el costo anual de la deuda sería: R1  20,000

1 a6.055

 $4003.58



Si se utiliza el plan del Banco Regional, el costo anual de la deuda sería: R1  20,000  20,000

1 s6.03

 $4091.95

El plan del Banco Nacional es 4091.95 anualmente

4003.58=$88.37 más barato

7.- Resolver el ejemplo 10 si al término de 20 años la propiedad puede ser vendida en $5,000.00 Sea V el precio de compra requerido. En este caso el cargo por intereses es 0.05V y el valor de reventa, esto es V-5000. Por lo tanto 0.05V  (V  5000)

s20.035

 25,000

y

25,000  5000 V

1

S20.035 25000  5000(.035361)   $294,944.72 1 . 08536108 0.05  S20.035

8.- Se estima que una mina tendrá un rendimiento neto anual de $75,000 en los próximos 10 años, al término de los cuales podrá venderse en $10,000. Hallar el rendimiento anual que obtendría un comprador sobre su inversión si paga $375,000 por la mina y el fondo de reembolso se acumula al 4%. Designemos con r el rendimiento anual requerido. El interés ganado por el inversionista es 375,000 y el depósito anual en el fondo de reembolso es

365,000

1 S100.04

.Por lo cual


375,000r  365,000

1 S10.0.04

 75,000


y

75,000  365,000 r

375,000

1 S10.0.04

 11.89%

4.8 PROBLEMAS PROPUESTOS 1.- Hallar el pago anual necesario para amortizar una deuda de $5,000 con intereses al 4 ½%,en 12 años .

2.- Hallar el pago trimestral que debe hacer M para amortizar una deuda de $5,000 con intereses al 4% convertible trimestralmente en 10 años.

3.- Una deuda de $10,000 con intereses al 6% convertiblemente trimestralmente está siendo amortizada mediante pago trimestrales iguales durante los próximos 8 años. Hallar, (a) el capital insoluto justamente después del 12º. Pago, (b) el capital insoluto justamente antes del 15º. Pago. (c) la distribución del 20º. pago respecto al pago de interés y a la reducción del capital.

4.- Una persona obtiene un préstamo de $10,000 con intereses al 3172%. L deuda será liquidada mediante un pago de $2,500 al término de 4 años, seguido de 6 pagos anuales iguales, (a)Hallar el pago periódico necesario, (b) Hallar el capital insoluto justamente después del tercer pago periódico. (c)¿Qué parte del último pago se aplica al pago de intereses? 5.- Construir una tabla para la amortización de (a) una deuda de $4,000 con intereses al 4%, mediante 5 pagos anuales iguales (b) una deuda de $6,000 con intereses al 6%, convertible semestralmente mediante 6 pagos semestrales iguales.



6.- Construir una tabla para el pago de una deuda de $200,000 en bonos de $1,000 que devengan intereses al 3%, durante un período de 5 años, procurando que el costo anual se lo más igual posible.

7.- Construir una tabla para el pago de 5 bonos de $10,000 cada uno, 20 bonos de $1,000 cada uno, 35 bonos de $500 cada uno y 125 bonos de $100 cada uno, pagando 4% por los próximos 6 años, procurando que el costo anual sea lo más igual posible.

8.-Hallar el importe del depósito anual que es necesario hacer en un fondo de amortización que paga e 4 ½% efectivo, para liquidar una deuda de $25,000 con vencimiento en 10 años.

9.- una empresa obtiene un préstamo de $50,000 a 10 años, acordando pagar intereses de 5% al final de cada año, y al mismo tiempo, establecer un fondo de amortización para el pago del capital, (a) Hallar el costo anual de la deuda si el fondo paga el 3 ½%, (b),¿cuánto habrá en el fondo justamente después del /o. depósito? (c)¿Qué tanto del incremento al fondo en la fecha del 5º. Depósito es debido a intereses.

10.- Una deuda de 475,000 va a ser liquidada al término de 20 años, teniéndose que pagar intereses de 4% convertible trimestralmente, cada tres meses. Puede establecerse un fondo de amortización mediante depósitos trimestrales iguales, el primero de los cuales vencería en tres meses, ganando el fondo intereses de 3% convertible trimestralmente.



Hallar, (a) el costo trimestral de la deuda, (b) la tasa nominal convertible trimestralmente a la cual podría ser amortizada la deuda con el mismo gasto trimestral.

11.- El 1º. de Junio de 1960, una institución empezó a hacer depósitos anuales de R cada uno de un fondo que produce el 3% efectivo para poder disponer de $15,000 anuales durante los siguientes 5 años, con los cuales redimirá unos bonos emitidos. Los primeros bonos vencen el 1º. de Junio de 1970. Hallar R si el último depósito en el fondo se hace, (a) el 1º. De junio de 1970, (b) el 1º de junio de 1974.


5


OBJETIVOS 

Reconocer y aplicar los diferentes métodos de depreciación.



Aplicar las fórmulas correctas y realizar los cuadros de depreciación que se presentan.



Aplicarlos en la solución de problemas en el campo financiero y contable.

SUMARIO Unidad 5. Depreciación. 5.1. Introducción. 5.2. Conceptos. 5.3. Método de Línea Recta. 5.4. Método de Porcentaje Fijo. 5.5. Método de Suma de Dígitos. 5.6. Método de Depreciación por Unidad de Producción o Servicio. 5.7. Método por fondos de Amortización. 5.8. La Depreciación en las épocas inflacionarias. 5.9. Resumen. 5.10. Problemas resueltos. 5.11. Problemas propuestos.

5. DEPRECIACIÓN 5.1 INTRODUCCIÓN Desde el momento mismo que se adquiere un bien ( a excepción de



los terrenos y algunos metales), éste empieza a perder valor por el transcurso del tiempo o por el uso que se le da. Esta pérdida de valor es conocida como depreciación y debe reflejarse contablemente con el fin de: 1. Determinar el costo real de los bienes o servicios que se general con dichos activos. 2. Establecer un fondo de reserva que permita reemplazar el bien al final de su vida útil. En este trabajo se estudiará la depreciación , así como los distintos métodos que se emplean para calcularla. En la última parte se analizaran también los problemas que se presentan en épocas inflacionarias y que obligan a realizar ajustes en los métodos de valuación y depreciación de los activos. 5.2 CONCEPTO La pérdida de valor que sufren un activo físico como consecuencia del uso o del transcurso del tiempo es conocida como depreciación. La mayoría de dichos activos, a excepción de los terrenos, tiene una vida útil durante un periodo finito de tiempo. En el transcurso de tal periodo estos bienes van disminuyendo su valor y esta perdida de valor es reflejada por la depreciación. Contablemente se realiza un cargo a los resultados por la depreciación del bien, y en contrapartida, se crea un fondo para contar con los recursos necesarios para reemplazarlo al concluir su vida útil. Los cargos periódicos que se realizan son llamados cargos por depreciación. La diferencia entre el valor original y la depreciación acumulada a una fecha determinada se conoce como valor en libros. El valor en libros de un activo no corresponde necesariamente a su valor de mercado. En tiempos de alta inflación este puede llegar a ser varias veces superior, pues aquel, refleja únicamente la parte del costo original que esta pendiente de ser cargada a resultados. Al valor que tiene el activo al final de su vida útil se le conoce como valor de salvamento o valor de desecho, y debe ser igual al valor en libros



de esa fecha. La base de depreciación de un activo es igual a su costo original menos su valor calculado de salvamento y esa cantidad que debe ser cargada a resultados en el transcurso de su vida útil activa. En el caso de los activos que no pueden reemplazarse se utiliza el concepto de agotamiento, esto es la perdida progresiva de valor por la reducción de su cantidad aprovechable. Es el caso de los minerales que, por la extracción de que son objeto, van disminuyendo paulatinamente su capacidad y su valor, hasta que se agotan totalmente. Así pues, dos son los objetivos de la depreciación: 1. Reflejar en los resultados la pérdida de valor del activo 2. Crear un fondo interno para financiar la adquisición de un nuevo activo al finalizar la vida útil del antiguo. En épocas inflacionarias este segundo objetivo se logra sólo en forma parcial, pues los precios de los nuevos activos serán considerablemente mayores a los de los antiguos. Existen diversos métodos para determinar el cargo anual por depreciación. Cada uno de ellos presenta ventajas y desventajas que serán analizadas en cada sección. En este trabajo se utilizará la siguiente notación: C= Costo original del activo S= Valor de Salvamento (S puede ser negativo) N= Vida útil calculada en años B= C – S= Base de depreciación del activo. Dk= Cargo por depreciación por el año K (1< k < n) Ak= Depreciación acumulada al final del año k. (0 < k < n), Do = 0 y Dn = B Vk = Valor en libros al final del año k (0 < k < n) Vo = C y Vn = S



dk = Tasa de depreciación por el año K (1 < k < n)

5.3 MÉTODO DE LÍNEA RECTA Es el método más simple y el mas utilizado. En muchos piases, como México, es el único aprobado por las autoridades para cumplir con las disposiciones fiscales al respecto.



Este método supone que la depreciación anual es la misma durante toda la vida útil del activo. De acuerdo con ello, la base de depreciación se divide entre el numero de años de vida útil calculada y se determina el cargo que anualmente se hará al fondo de reserva y a los resultados. Al final de la vida útil, la depreciación acumulada más el valor de salvamento del bien debe ser igual al valor de reposición. DK =

C-

B = n =D

Sn

(1.1) (1.2)

AK = K D

(1.3)

VK = C - KD

La depreciación acumulada crece cada año en una cantidad fija y el valor en libros disminuye en la misma cantidad. D

V

C

D D D

3

2

1

1

2

3

N

1

2

S 3 N

GRÁFICA 1.1 Ejemplo 1. 1. Se compra un equipo de computo con valor de $ 16 000 000 y se calcula que su vida útil será de cuatro años antes de que deba ser reemplazado por equipo más moderno. Su valor de desecho se calcula en $ 2 500 000.



a) Determínese la depreciación anual por el método de línea recta. b) Elabórese una tabla de depreciación. Solución: Utilizando la fórmula (1.1) se tiene: B C-S D= n = v D =

16 000 - 2 500

13 = 500 4

4

D=3 375 Así la depreciación anual será de $ 3 375 000, cantidad que se incrementara en el fondo de reserva para depreciación y disminuirá en el valor en libros del activo. Esto se refleja claramente en la tabla (1.1) TABLA 1.1 Años 0 1 2 3 4

Depreciación Anual 0 3 375 000 3 375 000 3 375 000 3 375 000

Depreciación Acumulada 0 3 375 000 6 750 000 10 125 000 13 500 000

Valor en Libros 16 000 000 12 625 000 9 250 000 5 875 000 2 500 000

Ejemplo 2. Un equipo nuclear con costo de $35 000 000 tiene una vida útil de 6 años, al final de los cuales se calcula que alcanzara un nivel de obsolescencia que obligara a cambiarlo por un modelo nuevo. Su valor de



salvamento será de $ 1 000 000 y se prevé que deberá realizarse una inversión adicional de $ 2 000 000 para desmontarlo y deshacerse de él. a) Determínese el cargo anual por depreciación b) Elabórese una tabla de depreciación. Solución: Aplicando nuevamente la fórmula 1.1 se obtiene: CD B n =S n = 35 000 - (- 1 000) D= 6 D = 36 000 En este caso el valor de salvamento es negativo, pues si bien se recupera $ 1 000 000 por la venta del equipo, debe realizarse una erogación de $ 2 000 000 para desmontarlo y deshacerse de él. Así su valor neto de salvamento es de - $ 1 000 000. Esto puede observarse en la tabla 1.2. Años 0 1 2 3 4 5 6

TABLA 1.2 Depreciación Depreciación Anual Acumulada 0 0 6 000 000 6 000 000 6 000 000 12 000 000 6 000 000 18 000 000 6 000 000 24 000 000 6 000 000 30 000 000 6 000 000 36 000 000

Ventajas: 1) Es de fácil aplicación. Desventajas:

Valor en Libros 35 000 000 29 000 000 23 000 000 17 000 000 11 000 000 5 000 000 (1 000 000)



1) No toma en cuenta los intereses que genera el fondo de reserva. 2) Los activos fijos tienden a depreciarse en una mayor proporción en los primeros años que en los últimos. ( Esto compensa el hecho de que en los primeros años los gastos de mantenimiento y reparación son menores, en tanto que aumentan con el transcurso de los años; en esta forma se logra distribuir los costos de inversión y operación en el tiempo)

5.4 MÉTODO DE PORCENTAJE FIJO Este método tiene en consideración el hecho de que la depreciación es mayor en los primeros años de uso y menor en los últimos. Para reflejarlo se carga un porcentaje fijo del valor en libros disminuye cada año



y, por tanto, la depreciación disminuye también consecuentemente. La depreciación anual estará dada por la formula. DK = V K - 1d

(1.4)

El valor en libros al final del primer año estará dado por: V1 = V0 - V0d = C - Cd ( 1d) Donde V es el valor en libros y d la tasa de depreciación anual fijada. En el segundo año, el valor en libros estará dado por: V2 = V1 - V1d = V1 (1 - d) = C ( 1- d)(1 d)

Y en el tercero será:

V3 = V2 - V2d = V2 (1 - d) = C ( 1- d)(1 - d) (1 - d) Por tanto, se esta en presencia de una progresión geométrica cuyo termino común es (1 –d). El valor en libros al final de cada año puede determinarse utilizando la formula. VK = C ( 1 – d)k (1.5) En el ultimo año, el valor de salvamento será igual al valor en libros. S = C ( 1 – d)n = Vn ( 1.6) Dados S y n, se puede determinar la tasa de depreciación utilizando la formula 1.6. Este método solo puede aplicarse si el valor de salvamento es positivo; de lo contrario, la formula (1.6) carecería de sentido. En caso de que el valor de desecho calculado fuese 0, pude sustituirse por 1 para poder aplicar dicha fórmula.



Ejemplo 1. Una compañía compra una camioneta para el reparto de su mercancía en $ 7 500 000. calcula que su vida útil será de 5 años y que al final de ella su valor de desecho será de $ 1 000 000. a) Determínese la tasa de depreciación d que debe aplicarse. b) Elabórese la tabla de depreciación correspondiente. Solución: En este caso se conoce el valor de desecho y el numero de años de vida útil. Se aplica la formula (1.6) y se despeja d. S 1 000 1 000 7 500

=C(1n d) 7 500 ( 1 =5 (1 - d)5 d)

= ( 1 - d)5 1.333333 1/ =1-d (1.3333333) 3 .

=1-d

5

66832506

d =1d = 0.668325 d = 33.1675 0.33167494 %

Este porcentaje se aplica para calcular la tabla 1.3 de depreciación correspondiente: De existir diferencia, debida al redondeo de las cifras, esta se ajusta en el último cargo por depreciación. TABLA 1.3


Años 0 2 3 4 5

Depreciación Anual -.2 487.56 1 662.50 742.57 496.28


Depreciación Acumulada -.2 487.56 4.150.06 6 003.72 6 500.00

Valor en Porcentaje de Libros Depreciación 7 500 000 0.331675 5.012.44 / 3 349.94 / 1 496.28 / 1 000.00 /

Ejemplo 2. Se adquiere un equipo de troquelado con valor de $ 28 750 000 y se calcula que su tasa de depreciación es de 30%. Su esperanza de vida es de siete años. a) b) c) d)

Elabórese una tabla de depreciación de los primeros cuatro años. Encuéntrese el valor en libros al final del quinto año Determínese el cargo de depreciación del sexto año. Determínese el valor teórico de desecho. TABLA 1.4 Años 0 1 2 3 4

Depreciación Depreciación Anual Acumulada 0 0 8 625 8 625 6 037.5 14 662.50 4 226.25 18 888.75 2 958.38 21 847.13

Solución: a) utilizando la formula 1.4 Dd = Vk – 1d

Valor en Libros 28 750 20 125 14 087.50 9 861.25 6 902.87



se determinan los valores de la tabla 1.4 b) Utilizando la formula 1.5 se determina el valor en libros al final del quinto año. Vk Vk V5 V5

= = = = c)

C(1 – d)k 28 750 (1 – 0.30)5 28 750 (0.16807) 4 832.01 El cargo de depreciación por el sexto año se obtiene utilizando la formula 1.1

Dk D6 D6 D6

= = = =

Vk-1d V5d 4 832.01(0.30) 1 449.60

d) El valor teórico de desecho se calcula utilizando la formula 1.6 S S S S

= C(1 – d)n = 28 750(1-0.30)7 = 28 750 (0.08235430) = 1 449.60 Ejemplo 3.

El costo de un equipo de precisión es de $ 10 000 000 se espera que su vida útil será de tres años y que su valor de desecho será igual a 0. a) determínese el porcentaje de depreciación que debe aplicarse b) Elabórese una tabla de depreciación. Solución: Para determinar el porcentaje de depreciación se aplica la formula 1.6 y se despeja d, pues, como en el ejemplo 1.4.1, se conoce el valor de desecho y el numero de años de vida útil:



S = C (1-d)n 0 = 10 000 000 (1 – d)3 Sin embargo, como ya se menciono antes, esta formula carece de significado si el valor de desecho es igual a 0, pues su resultado seria indeterminado. Por tanto, se sustituye el 0 por el 1 y se aplica nuevamente la formula. 10 000 000 ( 1 – d)3 ( 1 – d)3 = 1/ 10 000 000 d= 0.99535841 El efecto de una tasa de depreciación como esta se refleja en la tabla 1.5 TABLA 1.5 Años 0 1 2 3

Depreciación Depreciación Anual Acumulada 0 0 9 953 500 9 953 500 46 284 9 999 784 215 9 999 999

Valor en libros 10 000 000 46 500 216 1

En este caso, prácticamente el total de la depreciación es cargado al primer año y puede no ser conveniente la utilización de este método. Ejemplo 4. Resuélvase el ejemplo 1.3.1 utilizando el método de porcentaje fijo. Se sabe que el costo del equipo es de $ 16 000 000 su vida útil, de cuatro años, y su valor de desecho, de $ 2 500 000. a) Determínense los cargos anuales por depreciación. b) Elabórese una tabla de depreciación Solución: En primer lugar debe determinarse el porcentaje de depreciación



anual. Utilizando la formula 1.6 se tiene: S = C (1- d)n 2 500 = 16 000 (1 – d)4 2 500 = (1 – d)4 16 000 d = 0.37128329 d = 37.13% Conocida la tasa de depreciación se aplica en la fórmula 1.4 Dk = VK-1d y se elabora la tabla de depreciación TABLA 1.6 Años 0 1 2 3 4

Depreciación Depreciación Anual Acumulada 0 0 5 940.8 5 940.8 3 734.98 9 675.78 2 348.18 12 023.96 1 476.04 13 500.00

Valor en Libros 16 000 10 059.2 6 324.22 3 976.04 2 500.00

La diferencia resultante por el redondeo se ajusto en el ultimo cargo. Como puede observarse, los cargos son más elevados en los primeros años y después se ajustan a la baja. Ventajas: 1) Es un método relativamente fácil de aplicar 2) Asigna un mayor cargo por depreciación a los primeros años, que es cuando los bienes efectivamente pierden un mayor valor Desventajas: 1) Como el método de línea recta, no tiene en cuenta los intereses que



genera el fondo de la reserva.

5.5 MÉTODO DE SUMA DE DÍGITOS El método de suma de dígitos, al igual que el de porcentaje fijo, es un método acelerado de depreciación que asigna un cargo mayor a los primeros años de servicio y lo disminuye con el transcurso del tiempo. Para determinar el cargo anual se multiplica la base de depreciación del activo



por una fracción que se obtiene de la siguiente manera: 1. Se suman los dígitos (suma de dígitos) de 1 a n de los años de vida esperada del activo. Ejemplo: si un activo tiene una vida esperada de cuatro años, se suman los dígitos enteros correspondientes a los años de servicio esperado: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 Esta cifra también puede determinarse utilizando la siguiente fórmula: n (n +1) (1.7) S= 2 Ejemplo En el caso anterior se tiene: S=

4 (4 +1) 2

S=

4 (5) 2

S = 10 La cifra así obtenida será el denominador de la fracción. 2. los dígitos correspondientes a los años de la vida útil del activo se ordenan inversamente al tiempo y así , inversamente, se asignan cada uno de los años de vida útil. Estos serán los numeradores de la fracción. Ejemplo: En el caso del activo con vida de cuatro años se tiene: Año 1 2 3 4 Años en orden Invertido 4 3 2 1 Suma de dígitos 10 10 10 10 Fracción que 4/10 3/10 2/10 1/10 Se deprecia



3. La fracción así obtenida se multiplica por la base de depreciación del activo (C – S) y se obtiene el cargo anual. Así, se tiene que: n D1 = s

(C – S)

n-1 D2 = s (C – S)

1 Dn = s

(C – S)

Y generalizando Dk = n – k + 1(C – S) s

(1.8)

La depreciación acumulada (Ak) se obtiene multiplicando la base de depreciación ( C – S ) por la suma de las fracciones acumuladas hasta ese año. Ejemplo 1. Se compre mobiliario de oficina con valor de $ 8 975.000. se espera que su vida útil sea de cinco años y que tenga un valor de desecho de $ 2 000 000. a) Elabórese la tabla de depreciación usando el método de suma de dígitos. Solución: 1. Se determina la base de depreciación B= C-S B = 8 975 – 2000 B = 6 975 2. Se calcula el denominador de la fracción ( suma de dígitos) S= n= 5 S=

n (n +1) 2 5 (6) 2



S= 15 3. Se determinan los numeradores de las fracciones. Año Numerador Fracción

1 5 5 /15

2 4 4/15

3 3 3/15

4 2 2/15

5 1 1/15

Cabe destacar que 5/15 + 4/15 + 3/15 + 2/15 + 1/15 = 15/15 4. Se multiplica cada fracción por la base de depreciación para determinar el cargo de cada año. Este procedimiento puede simplificarse con la utilización de las formulas (1.7) y (1.8), como se vera en el siguiente ejemplo: TABLA 1.7 Año 0 1 2 3 4 5

Fracción 5/15 4/15 3/15 2/15 1/15

Base de Depreciación Depreciación Anual 0 0 6 975 2 325 6 975 1 860 6 975 1 395 6 975 930 6 975 465

Depreciación Acumulada 0 2 325 4 185 5 580 6 510 6 975

Valor en Libros 8 975 6 650 4 790 3 395 2 465 2 000

Ejemplo 2. Resuélvase el ejemplo 1.3.1 utilizando el método de suma de dígitos. El costo del equipo es de $ 16 000 000, su vida útil, de 4 años y su valor de desecho, de $ 2 500 000.



a) Determínense los cargos anuales por depreciación b) Elabórese una tabla de depreciación Solución: La base de depreciación se calcula por: B= C – S B= 13 500 La suma de dígitos se tiene por: S=

n (n +1) 2

S = 10 Los cargos anuales por depreciación se tienen por: DK = n – k + 1 (C – S) s D1 = 5 400 D2 = 4 050 D3 = 2 700 D4 = 1 350 13 500 = C - S Con estos elementos se construye la siguiente tabla: TABLA 1.8 Año

Depreciación Anual

Depreciación Acumulada

Valor el Libros


0 1 2 3 4

0 5 400 4 050 2 700 1 350


0 5 400 9 450 12 150 13 500

16 000 10 600 6 550 3 850 2 500

Ejemplo 3. Se construye un edificio para albergar las oficinas de una empresa. El costo del terreno fue de $25 000 000 y el valor de la construcción fue de $ 60 000 000. la vida útil del inmueble se calcula n 20 años, y su valor de desecho, en $ 10 000 000 a) Cual es el valor en libros al cabo de cinco años si se aplica el método de suma de dígitos. Solución: En primer lugar se calcula la base de depreciación. B = 50 000 Nótese que se considero únicamente el valor de la construcción, pues los terrenos, como se menciono, no se depreciación. El denominador de la fracción se calcula utilizando la formula 1.7 S = 210 La depreciación acumulada se obtiene por la suma de las fracciones de los cinco primeros años multiplicada por la base de la depreciación. A5 = 21 428.57 En valor en libros será el resultante de restar al costo original la depreciación acumulada. Así el valor en libros del edificio al cabo de cinco años será de: $ 38 571 430



Ventajas: 1) Este método asigna un cargo mayor de depreciación a los primeros años de uso del activo. Desventajas: 1) No toma en cuenta los intereses que genera el fondo de reserva

5.6 MÉTODO DE DEPRECIACIÓN POR UNIDAD DE PRODUCCIÓN O SERVICIO Al adquirir un activo se espera que de servicio durante un determinado periodo de tiempo ( años, días, horas) o bien, que produzca una cantidad determinada de kilos, toneladas, unidades, kilómetros,



etcétera. Si se conoce la vida esperada del bien en función de estos parámetros, puede depreciarse de acuerdo con las unidades de producción o servicio que ha generado durante un periodo determinado. Ejemplo 1. Una compañías arrendadora de autos adquiere un automóvil para su flotilla, con un costo de $ 8 700 000. la compañía calcula que la vida útil del automóvil para efectos de arrendamiento es de 60 000 km. y que, al cabo de ellos, el valor de desecho da la unidad será de $ 3 000 000. el kilometraje recorrido por la unidad durante los tres primeros años fue: Años 1 2 3 a) b)

Kilómetros 24 000 22 000 14 000

Determínese el monto de depreciación por kilómetro recorrido. Elabórese la tabla de depreciación correspondiente. Solución: En primer lugar se determina la base de depreciación

B = 5 700 Esta base de depreciación se distribuye entre el kilómetro “útil” para efectos de arrendamiento con el fin de encontrar la depreciación por kilómetros. d x km = 5 700 60 000 d x km = $ 95 La depreciación por kilómetro es de $ 95 000. conociendo este dato, la tabla 10.9 de depreciación correspondiente. TABLA 1.9 Año

Kilómetros

Depreciación

Depreciación

Valor en


0 1 2 3

Recorridos 0 24 000 22 000 14 000


Anual 0 2 280 000 2 090 000 1 330 000

Acumulada 0 2 280 000 4 370 000 5 700 000

Libros 8 700 000 6 420 000 4 330 000 3 000 000

Ejemplo 2. Una maquina fotocopiadora tiene una vida esperada de 600 000 copias. Su costo de adquisición es de $ 3 000 000 y su valor de salvamento es de $ 1 200 000. el numero de copias obtenidas durante cuatro años de operación fue el siguiente. 180 000

200 000

140 000

y

80 000

a) Determínese la depreciación por copia b) Elabórese la tabla de depreciación correspondiente. Solución: Se determina la base de depreciación B = 1 800 Se divide la base de depreciación entre el numero de unidades de producción esperadas. 1800 / 600 = 3.00 El monto de depreciación por fotocopia procesada es de $ 3.00 c) Se elabora con estos datos la tabla 1.10 de depreciación correspondiente: TABLA 1.10


Año

Fotocopias

0 1 2 3 4

0 180 000 200 000 140 000 80 000


Depreciación Anual 0 540 000 600 000 420 000 240 000

Depreciación Acumulada 0 540 000 1 140 000 1 560 000 1 800 000

Valor en Libros 3 000 000 2 460 000 1 860 000 1 440 000 1 200 000

Ejercicio 3. Se compra un equipo de computo con un valor de $ 16 000 000 y se calcula que su vida útil será de cuatro años y presto un servicio de 3 500 horas en el primer año; 4 500 el segundo año, 4 000 en el tercero y 3 000 en el cuarto año, antes de que deba ser reemplazado por equipo mas moderno. Su valor de desecho se calcula en $ 2 500 000. a) Determínense los cargo anuales por depreciación b) Elabórese la tabla de depreciación correspondiente. Solución: Se determina la base de depreciación. B = 13 500 El total de horas de vida útil se tiene por: 2 500 + 4 500 + 4 000 + 3 000 = 15 000 La depreciación por hora de trabajo se determina dividiendo la base de depreciación entre las horas de vida útil. 13 500 000 / 15 000 = 900 Los cargos anuales por depreciación pueden verse en la tabla 1.11 TABLA 1.11 Año

Horas de Trabajo

Depreciación Anual

Depreciación Acumulada

Valor en Libros


0 1 2 3 4

0 3 500 4 500 4 000 3 000

0 3 150 000 4 050 000 3 600 000 2 700 000


0 3 150 000 7 200 000 10 800 000 13 500 000

16 000 000 12 850 000 8 800 000 5 200 000 2 500 000

Ventajas: 1) Es de fácil aplicación. 2) Asigna la depreciación en relación directa con las unidades de producción o servicio que efectivamente se general durante el periodo de referencia. Desventajas: 1) Se requiere experiencia previa para determinar la producción durante la vida útil del activo. 2) No considera los intereses ganados por el fondo de reserva.

5.7 MÉTODO DEL FONDO DE AMORTIZACIÓN Este método toma en consideración los intereses que gana el fondo de reserva que se va constituyendo; por lo tanto, el incremento anual en el fondo estará dado por la suma del cargo anual por depreciación mas los intereses ganados en el periodo de referencia.



La aportación anual al fondo de amortización se deriva de la formula que se utiliza para la anualidad. Para determinar el pago periódico se despejaba R. En este caso M = B, pues es el momento que se debe acumular al cabo de n años a una tasa de interés i, y R = D, el cargo anual que debe realizarse al fondo. Por lo tanto se tiene la fórmula. i DK = B (1 + i)n - 1 Para determinar la depreciación acumulada Ak se calcula el monto de un pago periódico D a un plazo k y a una tasa de interés i por periodo. AK = D

i (1 + i)K - 1

El monto acumulado al cabo de n años debe ser igual, como ya se señaló, a la base de depreciación del activo. Ejemplo 1. Se adquiere mobiliario nuevo para un hotel. Su costo de adquisición es de $ 40 000 000 y se calcula que tenga una vida útil de cinco años, al cabo de los cuales su valor de desecho será de 0. El interés vigente es de 50%. a) Determínese el cargo anual por depreciación utilizando el método del fondo de amortización b) Elabórese la tabla de depreciación correspondiente. Solución: Se calcula en primer lugar la base de depreciación.



B = 40 000 Acto seguido, utilizando la formula (1.9) se determina el cargo anual por depreciación. i DK = B DK = 40 000 0.60 5 n (1 + i) - 1 (1 + 0.60) - 1 D = 2 530 108 La aportación que se debe hacer anualmente al fondo de amortización es de $ 2 530 108. La tabla 1.12 de depreciación que se elabora es equivalente a una tabla de amortización, pero con la adición de una columna para anotar el valor en libros. Como puede observarse en épocas de inflación y altas tasas de interés el monto de las aportaciones que realiza la empresa es relativamente pequeño, pues el grueso de la depreciación esta dado por los intereses que ganados por el fondo. Esta situación se invierte si los intereses que gana el fondo son bajos. TABLA 1.12 Años

Deposito Anual

0 1 2 3 4 5 Total

0 2 530 108 2 530 108 2 530 108 2 530 108 2 530 108 12 650 540

Intereses Ganados 0 0 1 415 065 3 946 968 7 833 214 * 14 051 213 27 349 460

Depreciación Anual 0 2 530 108 4 048 173 6 477 076 10 363 322 16 581 321 40 000 000

Depreciación Acumulada 0 2 530 108 6 578 281 13 055 357 23 418 679 40 000 000

Valor en Libros 40 000 000 37 469 892 33 421 719 26 944 643 16 581 321

* Esta cantidad es en realidad igual a 14 051 207, pero se ajusto en 6 unidades para rectificar los errores de redondeo

Ejemplo 2. Resuélvase el problema anterior considerando una tasa del interés del 10%. Solución:



La base de la depreciación es de $ 40 000 y a partir de ella, se calcula D. DK = 40 000

(10.10 + 0.10)5

-1 D = 6 551.90 Se elabora la tabla 1.13 de depreciación y se tiene. El efecto financiero de los interese ganados por el fondo de reserva puede ser, como ya se vio, muy importante, y por ello es conveniente tomarlo en cuenta. TABLA 1.13 (En miles de pesos) Año 0 1 2 3 4 5 Total

Deposito Anual 0 6 551.90 6 551.90 6 551.90 6 551.90 6 551.90 32 759.50

Intereses Ganados 0 0 6 551.90 655.19 1 375.90 2 168.70 * 3 040.71 7 240.50

Depreciación Anual 0 6 551.90 7 207.09 7 927.80 8 720.60 9 592.61 40 000

Depreciación Acumulada 0 6 551.90 13 758.99 21 686.79 30 407.39 40 000.00

Valor en Libros 40 000.00 33 448.10 26 241.01 18 313.21 9 592.61

*Este valor se ajustó para compensar el error de redondeo.

Ejemplo 3. Una sociedad cooperativa adquiere un barco para pesca del camarón, con valor de $ 500 000 000. calculan que su vida útil sea de 20 años, al cabo de los cuales su valor de desecho será 10% de su costo. Deciden depreciarlo utilizando el método del fondo de amortización y considerando



una tasa promedio de interés de 40%. a) Determínese el cargo anual por depreciación b) ¿Cuál es la depreciación acumulada y el valor en libros al cabo de 10 años? c) ¿ Al cabo de 15 años? Solución: Se determina la base de la depreciación. B = 450 Utilizando al formula 1.9 se calcula el cargo anual por depreciación. DK = B

i (1 + i)n - 1

El cargo anual por depreciación es de $ 215 392.79 b) La depreciación acumulada al cabo de 10 años se obtiene utilizando la formula 1.10 AK = D

i (1 + i)K - 1

Ak = 15 037 359.82 El valor en libros se obtiene restando la depreciación acumulada del costo original. Vk = C – Ak V10 = 500 000 000 – 15 037 359.82 V10 = 484 962 640.2 Como puede notarse, el fondo se incrementa aceleradamente en los últimos años debido al crecimiento significativo que tienen los intereses generados por el fondo. Ejemplo 4.



Se compró un equipo de computo con valor de $ 16 000 000 y se calcula que su vida útil será de cuatro años, antes de que deba ser reemplazado por equipo mas moderno. Su valor de desecho se calcula en $ 2 500 000, considerando que el fondo gana un interés de 50%. Solución: Se tiene una base de depreciación de $ 13 500 000 ya que: Aplicando la fórmula 1.9 se tiene que: La aportación anual al fondo de amortización es de $ 1 661.538 La tabla de amortización queda como sigue: TABLA 1.14 Año 0 1 2 3 4 Total

Deposito Anual 0 1 661.54 1 661.54 1 661.54 1 661.54 6 646.16

Intereses Ganados 0 0 830.77 2 076.93 * 3 946.14 6 853.84

Depreciación Depreciación Anual Acumulada 0 0 1 661.54 1 661.54 2 492.31 4 153.85 3 738.47 7 892.32 5 607.68 13 500.00 13 500.00

Valor en Libros 16 000.00 14 338.46 11 846.15 8 107.68 2 500.00

*Este valor se ajusto para compensar el error de redondeo.

5.8 LA DEPRECIACIÓN EN ÉPOCAS INFLACIONARIAS Al inicio de este trabajo se menciono que dos son los objetivos de la depreciación: 1. Determinar el costo de lo real de los bienes o servicios que se



generan como un activo y, 2. establecer un fondo de reserva que permita reemplazarlos al final de su vida útil. En épocas inflacionarias el rápido incremento de los precios de todos los bienes y servicios impide que un sistema de depreciación basado en costos históricos cumpla con los objetivos arriba mencionados, pues al mantenerse la base de depreciación sin actualizar, los precios de los bienes no revelaran los costos actuales de producción, ni el fondo que se establezca permitirá reemplazar al bien. En esta sección se harán algunas consideraciones con respecto a los problemas arriba mencionados y presentaran alternativas para el tratamiento financiero de la depreciación. El valor de reposición. Cuando las organizaciones enfrentan situaciones de alta inflación sus encargados de las finanzas tienen una gran responsabilidad: hacerlas productivas descontando el efecto de la inflación. Una empresa puede mostrar grandes utilidades en sus estados financieros, pero si el porcentaje de incremento que ha tenido de un año a otro no compensa la perdida del poder adquisitivo ocasionada por la inflación, dicha empresa estará sufriendo perdidas en términos reales. Si a ello se aúna el hecho de que tales utilidades aparentes se repartan entre los accionistas, lo que estará sucediendo es que la empresa se estará descapitalizando y en pocos años afrontara serios problemas de liquidez que pueden llevarla incluso a la quiebra. Un elemento que deberá actualizarse, por tanto, en forma constante, es la depreciación para efectos financieros. Para hacerlo se usa el concepto de valor de reposición; esto es el importe que se necesitará desembolsar en el futuro para reponer un activo que se encuentra en servicio en un momento determinado. Este calculo resulta complejo, pues influyen varios factores: a) La vida útil esperada del activo b) La obsolescencia del activo. c) La inflación esperada.


a)


Vida útil esperada del Activo.

Son los años durante los cuales se considera que el activo podrá funcionar rentablemente. b)

La obsolescencia.

Si bien un activo puede tener una vida útil de 10 años, puede ser que el avance tecnológico haga necesario su cambio con anterioridad, al aparecer equipos que hagan la misma función con un costo sensiblemente menor. c)

La tasa de inflación esperada.

Para poder conocer el valor de reposición de una activo es necesario calcular la inflación promedio esperada para los años de vida útil. Este calculo es cada vez más complejo, pues la variabilidad de las políticas económicas de los piases, su interdependencia cada vez mayor en el ámbito mundial, y la presencia de variables ajenas al control de las mismas, hace muy difícil la predicción del comportamiento de esta variable en el mediano plazo ( 3 a 5 años) y prácticamente imposible en el largo plazo. A pesar de estas dificultades es necesario realizar los esfuerzos necesarios para calcular dicho valor de reposición, en el entendido que se trata de valores esperados que serán ajustados cada vez que se requiera. Una vez conocidos los datos anteriores, el calculo del valor de reposición es sencillo. Ejemplo 1. ¿Cuál es el valor de reposición de un equipo cuyo costo de adquisición es de $ 5 000 000, si su vida útil esperada es de cuatro años y se prevé que la inflación promedio anual será de 45%? Solución: Se aplica la formula del monto a interés compuesto y se obtiene: M = C (1 + i)n M = 22 102.53



El valor de reposición esperado es de $ 22.102 millones en cuatro años. Ejemplo 2. Si el valor de estos equipos ha estado disminuyendo 5% cada año en términos reales como resultado de los avances tecnológicos y de la utilización de nuevos materiales más económicos, ¿Cuál seria el valor de reposición esperado? Solución: Si se considera que el equipo tuviera valor constante de $ 5 000 000 al cabo de un año su precio sería 5 % menor; al cabo de dos años, 5% menor y así sucesivamente. Esto puede expresarse matemáticamente como sigue (V.R.C. = Valor de reposición a precios constantes): V.R.C. = 5 000 (0.95)(0.95) (0.95) (0.95) V.R.C. = 5 000 (0.95)4 V.R.C = 4072.53125 Al valor así obtenido se le aplica la inflación esperada de 45% durante los próximos cuatro años. M = C( 1+i)n M = 4 072.53125 (1 + 0.45)4 M= 18 002 649.84 El mismo resultado puede obtenerse si se disminuye el valor de reposición obtenido en el ejemplo 1.8.1 V.R. = 22 102.53 (1 - 0.05)4 V.R. = 22 102.53 (0.95)4 V.R. = 18 002.648.83 La diferencia en los resultados se debe al redondeo de las cifras.



Una vez terminado el valor de reposición se procede a calcular los cargos anuales por depreciación de acuerdo con los sistemas previamente vistos. El valor de reposición puede calcularse también anualmente, ajustando los costos históricos de acuerdo con los índices de inflación que proporciona el Banco de México o mediante avalúo realizado por peritos. Una vez determinado dicho valor se ajustaran también los cargos anuales por depreciación. Estos ajustes y reevaluaciones no son admitidos por las autoridades para efectos fiscales, pero a pesar de ello es muy necesario que sean consideradas para efectos financieros, con el fin de prevenir las consecuencias mencionadas. No es el objetivo desarrollar aquí ampliamente este tema, pero si se desea destacar la importancia que tiene reflejar en los estados financieros los efectos que produce la inflación, con el fin de contar con información veraz para la toma de decisiones.

OBJETIVOS


6




Reconocer, definir y clasificar bonos.



Resolver los métodos para calcular el precio de los bonos y sus cotizaciones.

SUMARIO Unidad 6. Bonos. 6.12. Definiciones. 6.13. Precios del bono en una fecha de pago de intereses. 6.14. Compra a premio o descuento. 6.15. Precio del bono comprado entre fecha de pago de interés. 6.16. El precio cotizado de un bono. 6.17. Tasa de redituabilidad. 6.18. Bonos con fecha opcional de redención. 6.19. Un bono de anualidad. 6.20. Emisión seriada de bonos. 6.21. Problemas resueltos. 6.22. Problemas propuestos.

6. BONOS 6.1

DEFINICIONES

UN BONO es una promesa escrita de pago de:



a) Una suma fija llamada valor de redención, en una fecha dada llamada fecha de redención. b) Pagos periódicos llamados pagos de intereses, hasta la fecha de redención. La descripción completa de un bono comprende i. Su denominación o valor nominal. Casi invariablemente es un múltiplo de $100. ii. La tasa de interés. Por ejemplo, 6% pagadero el 1º. De febrero y el 1º. De agosto; abreviando sería el “6%, FA”. iii. La fecha de redención, por ejemplo el 1º. De octubre de 1985. Normalmente se redime un bono en una fecha de pago de intereses. iv. El valor de redención. Cuando el valor de redención y el valor nominal son idénticos se dice que el bono es redimible a la par. De otra forma, el valor de redención se expresa como un porcentaje del valor nominal, omitiéndose la palabra “por ciento”. Por ejemplo, un bono de $1000 redimible en $1050 se expresa como “un bono de $1000 redimible a 105”. Ejemplo 1. Un bono de $500, 4% EAJO, redimible el 1º de octubre de 1990 a 102, estipula a) El pago de $500 (1.02)=$510 el 1º de octubre de 1990. b) Pagos trimestrales de 500 (0.01) = $5 los días 1º de enero, 1º de abril, 1º de julio y 1º de octubre de cada año, desde su emisión hasta el 1º de octubre de 1990 inclusive. 6.2

PRECIO DEL BONO EN UNA FECHA DE PAGO DE INTERESES

Si Un bono en una fecha de pago de intereses, adquiere el derecho de recibir ciertos pagos futuros. No recibirá el pago de interés vencido en la fecha de la compra. Ejemplo 2. Un inversionista que compró el 1º de enero de 1960 un bono de $ 1000, 5%, EJ, redimible a la par el 1º de julio de 1988 recibirá. a) $1000 el 1º de julio de 1988.



b) 57 pagos semestrales de $25 cada uno, el primero con vencimiento el 1º de julio de 1960. Si un bono redimible a la par es comprado en una fecha de pago de intereses a su valor nominal, el inversionista ganará precisamente la tasa de interés estipulada en el bono. Si desea obtener una tasa mayor, debe comprar el bono a un precio más bajo que el valor nominal; si está dispuesto a ganar una tasa menor, estará dispuesto a pagar un precio arriba del valor nominal. Ejemplo 3. Un bono de $1000, 4%, MS, redimible a la par el 1º de septiembre de 1997, es comprado el 1º de marzo de 1962 con el propósito de ganar el 5% convertible semestralmente. Hallar el precio de compra p. El comprador recibirá: a) $1000 el 1º de septiembre de 1997. b) 71 pagos semestrales de $20 cada uno, siendo el primero el 1º de septiembre de 1962. En el siguiente diagrama veremos que:

0

20 20 20

1000 20 20 20

1

69

2

3

3/629/623/639/68

Períodos de interés

70 71 9/97

P = 1000(1.25)-71 + 20 a n

i

= 1000(0.173223) + 20(33.0711) = $ 834.64

FÓRMULAS. Sea F el valor nominal y V el valor de redención de un bono. Sea r la tasa de interés por período de interés del bono, i la tasa del inversionista por período y n el número de periodos de interés desde la fecha de compra (suponiendo que coincide con una fecha de pago de intereses) hasta la fecha de redención. El precio de comprar P está dado por



P = V(1 + i)-n + Fr a

1)

n i

Esta formula requiere el uso de dos tablas. En el problema 3, se desarrollan las siguientes dos fórmulas: Fr P=

) (1 + i)-n

+(Vi

y

Fr 2)

i

P = V + (Fr – Vi) a n

i

3)

Ambas tienen la ventaja de requerir el uso de una sola tabla. Su aplicación es opcional. Véase el problema 4. 6.3 COMPRA A PREMIO O DESCUENTO Se dice que un bono es comprado a premio si su precio de compra P es mayor que su valor de redención V. El premio es P – V. Se dice que un bono es comprado a descuento si su precio de compra P es menor que su valor de redención V. El descuento es V-P. Ejemplo 4. El bono del ejemplo 3 fue comprado con descuento de 1000 – 834.64 = $165.36. El bono del problema 1 fue comprado a premio de 1147.28 – 1000 = $ 146.28. El valor en Libros de un bono en cualquier fecha es la suma invertida en el bono en dicha fecha. El valor en libros de un bono en la fecha de su compra (suponiendo que coincide con una fecha de pago de intereses) es el precio de compra; el valor en libros en la fecha de redención es el valor de redención. El cambio del valor en libros durante la vida del bono se muestra con claridad construyendo una tabla de inversión. Ejemplo 5.



Un bono de $1000, 4% EJ, redimible a la par el 1º de Enero de 1967 es comprado el 1º de Julio de 1964, para que reditúe el 6% convertible semestralmente. Construir una tabla de inversión. El precio de compra del bono es: P = 1000(1.03)-5 + 20 a 5, 03 = $ 952.20 El 1º de Julio de 1964 el valor en libros del bono es $954.20. Al termino del primer periodo de intereses, el interés vencido sobre el valor en libros es $954.20(0.03) = $28.63, mientras que el pago por intereses del bono es $20. Por tanto 28.63 – 20 = $8.63 del interés vencido no se cobra, por lo cual puede decir el inversionista que tiene $8.63 más, invertidos en el bono, que lo que tenia al principio del periodo. El nuevo valor en libros del bono es 954.20 + 8.63 = $962.83. Al final del segundo periodo de interés, el interés vencido es 962.83(0.03) = $28.88, el pago de intereses del bono es $20, y el nuevo valor en libros es 962.83 + 8.88 = $971.71 y así sucesivamente.

Periodo

Valor en libros al principio del periodo

Intereses vencidos sobre el valor en libros 28.63 28.88 29.15 29.43 29.71

Pago de intereses del bono

Cambio del valor en libros

1 954.20 20.00 8.63 2 962.83 20.00 8.88 3 971.71 20.00 9.15 4 980.86 20.00 9.43 5 990.29 20.00 9.71 6 1000.00 Totales 145.80 100.00 45.80 El valor en libros al principio de cualquier periodo es simplemente el precio al cual el bono debe ser comprado para que produzca el rendimiento deseado por el inversionista. puede ser calculado en forma independiente, varias veces, como un método de comprobación de la tabla. Puesto que el bono del ejemplo 5 fue comprado con descuento, es



costumbre utilizar el término acumulando el descuento para llevar el valor en libros hasta el valor de redención. Véase el problema 5 para la tabla de inversión de un bono comprado a premio. 6.4

PRECIO DEL BONO COMPRADO ENTRE FECHAS DE PAGO DE INTERESES

Para hallar el precio de compra de un bono entre dos fechas de pago de intereses, que produzcan un cierto rendimiento: a) b)

Hallar el precio de compra en la última fecha que se pago intereses, Acumular la suma encontrada en (a) a intereses simple (aplicando la tasa de intereses del comprador) hasta la fecha de compra.

Ejemplo 6. Un bono de $1000, 4 ½ %, EJ. Redimible a 105 el 1º de Enero de 1985, se compra el 20 de Septiembre de 1962, esperando un rendimiento de 6% convertible semestralmente. Hallar el precio de compra P y el valor en libros del bono. 10, 50 22, 50

22, 50

22, 50

7/1/62 9/20/622 1/1/68

7/1/68

44

P1

62p

22, 50 45 1/1/85

La fecha de pago de intereses inmediata anterior al 20 de Septiembre de 1962, es el 1º de Julio de 1962. El precio de compra en dicha fecha, que proporcionaría un rendimiento de 6% convertible semestralmente es: P1 = 1050(1.03)-45 + 22.50 a45, 03 = $829.33 Esta cantidad se acumula del 1º de Julio de 1962 al 20 de Septiembre de 1962. (81 días exactamente) al 6% de interés simple. Por tanto: P = P1 1 + 0, 06 ( 81 ) = 829.33(1.0135) = $840.53 360



El valor en libros del bono el 20 de Septiembre de 1962. No es el precio de compra. El vendedor del bono lo ha conservado por 81 días después del último pago de interés y por tanto, está obligado a participar del siguiente pago de intereses. Esta parte fraccionada del pago de interés. 81/180 (22.50) - $10.12, es conocida como interés redituable. El comprador debe considerar que este interés redituable esta incluido en el proceso de compra, por lo que el valor en libros del bono, al 20 de Septiembre de 1962 es Precio de compra – interés redituable – 840.53 – 10.12 = $830.41 6.5 EL PRECIO COTIZADO DE UN BONO En problema tratado anteriormente es hallar el precio que el comprador debe pagar por un bono dado, con el objeto que gane la tasa de interés deseada. En cierto sentido, el problema es tanto académico, ya que no hay seguridad que un bono en particular pueda ser comprado al precio requerido. Mas importante es el problema de determinar la tasa de interés que obtendrá el comprador, si compra un bono determinado a un precio dado y lo conserva hasta su redención. Los bonos son generalmente ofrecidos al “precio contenido”, expresando como un porcentaje del valor nominal, sin embargo el termino por ciento se omite. Por ejemplo, un bono de $1000 cuyo precio cotizado es $975 estaría cotizado a 97 ½ . el precio cotizado generalmente no es el precio que paga el comprador. El precio cotizado es lo que previamente se ha designado como valor en libros. Será el precio de compra (mas conocido como precio neto) es el precio cotizado mas el interés redituable.

Ejemplo 7. Un bono de $1000, 3 ½ %, MS se redimirá el 1º de Marzo de 1975. Hallar el precio neto al 14 de Junio de 1962, si ha sido cotizado a 95 8/4. El precio cotizado es $957.50; el pago de intereses es $17.50. Del 1º



de marzo de 1962 al 14 de Junio de 1962 son 105 días; el interés redituable es 105/180 ( 17.50) = $10.21. El precio neto es 957.40 + 10.21 = $967.71. Puesto que el comprador paga el precio cotizado más el interés redituable, el precio cotizado también se conoce como precio con intereses. 6.6 TASA DE REDITUABILIDAD Las instituciones de inversión utilizan tablas con las cuales puede ser obtenida la tasa de redituabilidad ya sea en forma directa o mediante interpolación. Dichas tablas son muy voluminosas para ser incluidas aquí. En sustitución daremos dos métodos para obtener aproximadamente la tasa de redituabilidad. a)

Método de promedios. La tasa de redituabilidad por periodo de intereses es aproximadamente igual a: Producto promedio por periodo Valor promedio en libros

Ejemplo 8. Un bono de $1000, 6%, EJ. Redimible a 110 el 1º de Julio de 1987, esta cotizado en 125 al 1º de Enero de 1962. Hallar por el método de promedios la tasa de redituabilidad suponiendo que es comprado en la fecha mencionada. En la fecha de compra, el valor en libros del bono es $1250 y en la fecha de redención será $1100. El valor promedio en libros es: ½ (1250 + 1100) = $1175 Si se conserva el bono hasta su redención, el comprador recibirá 51 pagos de intereses de $30 cada uno, además del valor de redención de $1100, esto es $2630. Puesto que paga $1250 por el bono, el producto total durante los 51 periodos de interés es 2630. 1250 = $1380 y el producto promedio por periodo es 1380/51 = $27.06. La tasa por periodo de interés es 27.06/1175 = 0.023, aproximadamente y la tasa de



redituabilidad es 4.6% convertible semestralmente. b) Método de interpolación. Este método requiere del precio de

compra del bono sobre la base de dos tasas de intereses, en tal forma que un precio sea menor y otro mayor al precio cotizado dado. En esencia, estamos calculando las cifras que necesitamos, correspondientes a las tablas mencionadas para bonos. Ejemplo 9. Aproximar mediante el método redituabilidad del bono del ejemplo 8.

de

interpolación

la

tasa

de

En el ejemplo 8 se obtuvo mediante una simple aproximación la tasa de 4.6% convertible semestralmente. Las tablas V y XIII nos permiten hallar rápidamente los precios de compra que reditúen 4% y 5% convertible semestralmente al 1º de enero de 1962, designadas por P = 1100(1.02)-51 + 30 a 51

02

= $1354.30

Y Q = 1100(1.028)-51 + 30 a 51

025

= $ 1171.62

Interpolando entre estos dos valores, tenemos: 0.2 0.005 i 0.25

x

1354.30 -182.68 1250.00 -104.30 1171.62 104.30 x= (0.005) = 0.00285 182.68 i = 0.02 + 0.00285

y la tasa de redituabilidad es 4.57% convertible semestralmente. En el ejemplo 9 la interpolación ha estado entre las tasas de 2% y 2 ½ % disponible es nuestras tablas. Estrechando estos límites, obtendríamos mayor precisión, el problema es que debemos utilizar logaritmos en los cálculos.



Ejemplo 10. Aproximar la tasa de redituabilidad del bono del ejemplo 8 utilizando para la interpolación las tasas de 2 ¼ % y 2.3% por período de interés. Tenemos P = 1100(1.0225)-51 + 30

1-(1.0225)-51 = 353.64 + 904.68 0.0225

= $1258.32 1-(1.02) -51

y Q = 1100(1.028)-51 + 30

= 344.93 + 895.33 0.023

= $1240.26 Interpolando entre estos dos valores, tenemos 0.0225 0.005 i 0.028

1258.32 -18.06 1250.00 1240.26

x

-8.32

8.32 x=

(0.005) = 0.00023 18.06

i = 0.0225 + 0.00023 = 0.02273 y la tasa de redituabilidad es 4.546% convertible semestralmente. Véase problema 9.

6.7 BONOS CON FECHA OPCIONAL DE REDENCIÓN Con el objeto de estar en posición de tomar ventaja de cualquier futura baja en la tasa de interés, en ocasiones las compañías emiten bonos previendo que pueden ser redimidos antes de la fecha normal de redención. Al calcular el precio que se está dispuesto a pagar por ellos, el



inversionista debe suponer la fecha de redención más desfavorable para él. De esta forma tendrá la certeza de obtener la redituabilidad deseada y quizá más. Ejemplo 11. Un bono de $1000, 6%, MS, será redimido a la par el 1º de septiembre de 1988, sin embargo, puede ser redimido a la par el 1º de septiembre de 1973 o en cualquier fecha de pago de intereses posterior. Hallar, (a) el precio de compra y el valor en libros al 12 de mayo de 1962, que reditúe por lo menos 4% convertible semestralmente, (b) la utilidad del inversionista, (c) la tasa de redituabilidad si el bono es redimido el 1º de septiembre de 1980. En este caso la tasa estipulada en el bono excede la tasa de redituabilidad deseada por lo que el bono será comprado a premio. El valor en libros del bono se reduce gradualmente hasta que alcanza el valor nominal en la fecha de redención (véase el problema 5). El inversionista debe calcular el precio con la suposición de que el bono será redimido en la fecha más próxima (1º de septiembre de 1973) ya que de otra forma el valor en libros sería mayor que el valor de redención, si el bono se redimiera en dicha fecha. a) Al 1º de marzo de 1962, el precio de compra que reditúa 4% convertible semestralmente es P1 = 1000(1.02)-23 + 30 a 23

.02

= $ 1182.93

Y al 12 de mayo de 1962 es P = P1 1 + 0, 02 ( 72 ) = 1182.93 (1.008) = $1192.39 180 El valor en libros al 12 de mayo de 1962 es 1192.39 – 30(2/5) = $ 1180.39 b) El valor en libros al 1º de septiembre de 1973 debe haber llegado a $1000. En cada fecha posterior de pago de intereses, el inversionista recibirá 30-20 = $10 en exceso de la recuperación esperada. Al 1º de septiembre de 1980, el monto de dichos excesos es 10 s 14 0.02 = $ 159.74



c) Tomando como fecha de redención el 1º de septiembre de 1980, el precio de compra del bono que reditúa 5% convertible semestralmente es P1 = [1000(1.025)-37 + 30 a 37

,0.25

] 1 + 0.025 ( 72 ) 180

= 1119.79(1.01) = $ 1130.99 y para que reditúe 4% convertible semestralmente sería P1 = [1000(1.02)-37 + 30 a 37

,02

] 1 + 0.02 ( 72 ) 180

= 1259.69(1.008) = $ 1269.77 los valores en libros respectivos serían Q1 = 1130.99 – 30(2/5) = $ 1118.99 Y Q1 = 1269.77 – 30(2/5) = $ 1257.77 Por lo cual 0.02 0.005

x

i 0.25

1257.77 -138.78 1180.39 1118.99

-77.88

77.38 x=

(0.005) = 0.00279 138.78

i = 0.02 + 0.00279 = 0.02279 y la tasa de redituabilidad requerida es 4.558% convertible semestralmente. Véase el problema 10. 6.8 UN BONO DE ANUALIDAD de valor nominal F, es un contrato para el pago de una anualidad cuyo valor presente a la tasa del bono es F. Ejemplo 12. Un bono de anualidad a 15 años por $20,000, con intereses al 6%



convertible semestralmente será liquidado en 30 pagos semestrales iguales, el primero con vencimiento en 6 meses. Hallar el precio de compra al término del 5º año, para ganar el 5% convertible semestralmente. El pago periódico es 20,000

1 a 30

= $ 1020.39 ,03

El comprador está comprando el derecho de cobrar los restantes 20 pagos, el primero de los cuales vence en 6 meses. Por lo tanto el precio que redituará 5% convertible semestralmente es P = 1020.39 a 20

,0.25

= $ 15,907.02

6.9 EMISIÓN SERIADA DE BONOS Cuando una emisión de bonos va a ser redimida periódicamente en lugar de todos en la misma fecha, se dice que los bonos son de emisión seriada. Puede pensarse Ejemplo 13. Una emisión seriada de bonos de $20,000.00 con intereses al 6% convertible semestralmente va a ser redimida mediante pagos de $5000 en 15 años. Hallar el precio de compra de la emisión que reditúe 5% convertible semestralmente. Los bonos seriados son equivalentes a tres bonos ordinarios, uno con valor nominal de $5000 redimible a la par en 10 años, otro con valor nominal de $5000 redimible a la par en 12 años, y otro con valor nominal de $10,000 redimible a la par en 15 años. El precio de compra requerido es la suma de los precios de los tres bonos que reditúen el 5% convertible semestralmente, por lo cual P = 5000(1.025)-20 + 150 a 24 ,0.25 + 5000(1.025) –24 + 150 a 30 ,025 + 10,000(1.025)-30 + 300 a 30 ,0.25 = $ 21,883.38



6.10 PROBLEMAS RESUELTOS 1. un bono de $1000, 6%, EJ, redimible a la par el 1º de julio de 1998, es comprado el 1º de julio de 1961, para ganar el 5% convertible semestralmente. Hallar el precio de compra P.

0

30

30

30

1

2

3

30

P = 1000(1.025)-54 + 30 a 54

,02

= $ 1147.28

30

100 30

53

54

Periodos de interés

2. Un bono de $1000, 5%, MS, redimible a 102 al 1º de septiembre de 1990, es comprado el 1º de marzo de 1962, para ganar el 4% convertible semestralmente. Hallar el precio de compra P. 25 0 3/62

25

25

1 9/62

2

25 3

100 25

56 57 3/90 9/90

P = 1020(1.02)-57 + 25 a 57

,02

= $ 1175.61

Periodos de interés

3. Sea F el valor nominal y V el valor de redención de un bono. Sea r la tasa de interés por período, del bono, i la tasa de inversionista por período y n el número de períodos de interés. Demostrar que el precio de compra, P es: (a) P = Fr + V - Fr (1 + i)-n i i -n P = V(1 + i) + Fr a n i

y

(b) P= V + ( Fr – Vi) a n

= V(1 + i)-n + Fr 1 – (1 + i)-n = V(1 + I)-N + i = Fr + (V - Fr ) (1 + i)-n i i a)

P = V(1 + i)-n + Fr a n

i

Fr i

i

Fr (1 + i)-n i



= V – V + V(1 + I)-n + Fr a n i = V – V[1-(1+I)-n] + Fr a n = V – Vi 1 – (1+i)-n + Fr a n i = V + (Fr – Vi) a n i

i

4. Un bono de $1000, 3 ½%, FA, es redimible a 105 el 1º de febrero de 1985. Hallar el precio de compra el 1º de febrero de 1965, que reditúe 5% convertible semestralmente, utilizando, (a) la fórmula 2), y (b) la fórmula 3). P = Fr + V - Fr (1 + i)-n i i = 1000(0.0175) + 1050 – 1000(0.0175 ) 0.025 0.025

a)

(1.025)-40

= 700 + 350(0.37243) = $ 830.35 b) P = V + (Fr – Vi) a

n i

= 1050 + (17.50 – 26.25) a 40

,025

5. Construir una tabla de inversión para un bono de $1000, 5%, FA, redimible a 103 el 9 de agosto de 1970, comprado el 1º de febrero de 1967, para que reditúe 4% convertible semestralmente. Tenemos que P = 1030(1.02)-7 + 25 a 7

,02

= $ 1058.48

El valor en libros en la fecha de la compra es $1058.48. al término del primer período, el interés vencido sobre dicho valor en libros, a la tasa del inversionista es 1058.48(0.02) = $ 21.17 mientras que el pago de interese del bono es por $25. La diferencia 25 – 21.17 = $3.83 es para amortizar el capital; en consecuencia, al principio del segundo período, el valor en libros del bono se reduce a 1058.48 – 3.83 = $1054.64, y así sucesivamente.

Periodo


1

1058.48

Intereses vencidos sobre el valor en libros 21.17

Pago de intereses del bono 25.00

Cambio del valor en libros 3.83


2 3 4 5 6 7 8


1054.65 1050.74 1046.75 1042.69 1038.54 1034.31 1030.00

21.09 21.01 20.94 20.85 20.77 20.69

25.00 25.00 25.00 25.00 25.00 25.00

3.91 3.99 4.06 4.15 4.23 4.31

Como el bono fue comprado a premio, es costumbre hablar de amortizar el capital para llevar el valor en libros al valor de redención. 6. Un bono de $1000, 4%, JD, redimible el 1º de diciembre de 1995 a la par, es comprado el 31 de marzo de 1961 para que reditúe el 5% convertible semestralmente. Hallar el precio de compra y el valor en libros en dicha fecha. Al 1º de diciembre de 1960, la fecha del último pago de interés anterior al día de la compra, el precio de compra que reditúa 5% convertible semestralmente es 1000 (1.025)-70 + 20 a 70

,025

= $ 835.51

Al 31 de marzo de 1961 (120 días después) el período de compra es 835.51 1 + 0.05 ( 120 ) = $ 849.44 360 El interés redituable (del 1º de diciembre de 1960 al 31 de marzo de 1961) es 20(120/180) - $13.33 y el valor en libros requerido es 849.44 – 13.33 = $ 836.11

Solución alterna: El valor en libros del bono al 1º de diciembre de 1960, que reditúa 5% convertible semestralmente es 1000(1025)-70 + 20 a 70

,025

= $835.51



y en la fecha del siguiente pago de interese, 1º de junio de 1961 es 1000(1.025)-80 + 20 a 70

,025

= $ 836.40

interpolando entre las dos cantidades, encontramos el valor en libros al 31 de marzo de 1961, o sea 835.51 + 2/8 (836.40 – 835.51) = $ 836.10 por lo cual el precio de compra es 836.10 + 13.33 = $ 849.43 7. Un bono de $ 1000. 6%,MN, es redimible a la par el 1º de noviembre de 1965. Es comparado el 30 de junio de 1962, para que reditúe 4% convertible semestralmente. Hallar el precio de compra y el valor en libros en la fecha de compra. Construir una tabla de inversión. El precio de compra al 1º de mayo de 1962, que reditúa 4% convertible semestralmente es P = 1000(1.02)-r + 80 a 7

,02

= $1064.72

El precio de compra al 30 de junio de 1962 es 1064.72 1 + 0.02 ( 60 ) 180

= $ 1071.82

mientras que el valor en libros es 1071.82 – 30 ( 60 ) = 1061.82 180 La tabla se construye como en el problema 4 excepto en el primer renglón donde el valor en libros es el del 30 de junio de 1962, el día de la compra y el interés vencido y el pago de intereses del bono son por 2/3 de período de interés.


Periodo


1 2 3 4 5 6 7

1061.82 1055.98 1047.10 1038.04 1028.80 1019.38 1009.77


Intereses vencidos sobre el valor en libros 14.16 21.12 20.94 20.76 20.58 20.39 20.20

Pago de intereses del bono 20.00 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00

Cambio del valor en libros 5.84 8.88 9.06 9.24 9.42 9.61 9.80

8. En el bono del problema 7, cuál es el precio neto y el precio con intereses al 30 de junio de 1962, sobre la base de un rendimiento de 4% convertible semestralmente. El precio neto es el precio de compra de $1071.82. El precio con intereses es el valor en libros de $1061.82. El precio con interés estaría cotizado como 106 1/8 ya que, en la práctica, el precio cotizado siempre se da en octavos. 9. Un bono de $1000, 3%, EJ, redimible a la par el 1º de julio de 1977, es comprado en $ 952.50 el 1º de julio de 1963. Hallar la tasa de redituabilidad convertible semestralmente. Puesto que al 1º de julio de 1963, el precio de compra que reditúa 3% convertible semestral es $1000, la tasa buscada será mayor. El precio que reditúa 3 ½% convertible semestralmente es 100(1.0175)-28 + 15 a 28

,0175

= $ 945.03

Por lo cual la tasa buscada está entre 3 y 3 ½ % convertible semestralmente. Tenemos que: 0.0025

0.015 i 0.175

x

1000.00 -54.97 952.50 945.03

-47.50



de donde x = 47.50 (0.025) = 0.00216 54.97 i = 0.015 + 0.00216 = 0.01716 y la tasa de redituabilidad es 3.432 % convertible semestralmente. 10.

Un bono de $1000, 3%, EJ, es redimible a la par el 1º de julio de 1990, pero puede ser redimido el 1º de julio de 1980 o en cualquier fecha posterior de pago de intereses. (a) Hallar el precio de compra al 1º de julio de 1963 que reditúe por lo menos 4% convertible semestralmente. (b) Hallar la utilidad del inversionista si el bono es redimido el 1º de julio de 1985

Para que la tasa de redituabilidad requerida es superior a la tasa del bono, el bono debe ser comprado con descuento. En esta forma, el valor en libros aumenta gradualmente hasta que alcanza el valor nominal en la fecha de redención (véase el ejemplo 5). Por tanto el inversionista debe calcular el precio con la suposición que el bono será redimido en la última fecha posible. a) El 1º de julio de 1963, el precio de compra que reditúa 4% convertible semestralmente es 1000(1.02)-54 + 15 a 54

,02

= $ 835.80

b) Al 1º de julio de 1985, el valor en libros del bono se habrá incrementado hasta el valor en libros en esa fecha sobre la base de redituabilidad del 4% convertible semestralmente, esto es 1000(1.02)-10 + 15 a 10

,02

= $ 955.09

Puesto que el inversionista recibirá $1000 en dicha fecha, su utilidad es 1000 – 955.09 = $ 44.91. 6.11 PROBLEMAS PROPUESTOS


11.


En cada uno de los casos siguientes, hallar el precio del bono que reditúe la tasa deseada: Valor nominal

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h)

$ 1000 $ 500 $1000 $ 100 $1000 $ 500 $1000 $ 500

Redimible La par en 25 años La par en 15 años 105 en 10 años 110 en 20 años La par en 5 años La par en 3 años 102 en 2 ½ años 105 en 2 ½ años

Pago de intereses 4 % semestral 4% semestral 5% trimestral 4% semestral 5% anual 6% semestral 3% semestral 4% semestral

Redituabilidad 6% semestral 5% semestral 3% trimestral 3% semestral 4% anual 5% semestral 6% semestral 5% semestral

Resp. (a) $742.72; (b) $447.67; (c) $1209.32; (d) $ 120.47; (e) 4 1044.52; (f) $ 513.77; (g) $ 948.56; (h) $ 510.48 12.

Construir una tabla de inversión para cada uno de los bonos del problema 11 (e) – (h).

13.

En cada uno de los casos siguientes, hallar el precio de compra del bono que reditúe la tasa dada:

VALOR NOMINAL a) $1000 b) $1000 c) $ 100 d) $ 500

REDIMIBLE A La par el 1º de dic. 1986 La par el 1º de nov.1988 105 el 1º julio 1975 102 el 1º oct. 1995

PAGO DE INTERESES 4% JD 5% MN 5% EJ 5% AO

FECHA DE COMPRA 30 de agosto 1960 22 sept. 1962 18 abril 1960 30 dic. 1963

QUE REDITÚE 5% semestral 6% semestral 3½% semestral 4% semestral

Resp. (a) $864.71; (b) $888.97; (c) $122.01; (d) $598.55 14.

Para cada uno de los bonos del problema 13, hallar el precio “con intereses” el día de la compra. Resp. (a) $854.71; (b) $868.97; (c) $120.51; (d) $592.30

15.

En cada uno de los casos siguientes, hallar la tasa de redituabilidad



convertible semestralmente, mediante interpolación: VALOR NOMINAL a) $1000 b) $1000 c) $1000 d) $1000

REDIMIBLE A

PAGO DE INTERESES La par el 1º enero 1988 3½% EJ La par el 1º marzo 1987 3 5 MS 105 el 1º agosto 1990 5% FA 103 el 1º dic. 1989 6% JD

PRECIO COTIZADO 93 90 110 112

FECHA 1º de julio 1960 1º marzo 1962 1º febrero 1962 1º julio 1963

Resp. (a) 3.922%; (b) 3.615%; (c) 4.493%; (d) 5.230% 16.

Un bono de $1000, 4%, EJ, es redimible a la par el 1º de enero de 1975, pero puede ser redimido el 1º de enero de 1968 o en cualquier fecha posterior de pago de intereses. (a) Hallar el precio de compra el 1º de enero de 1961, que reditúe por lo menos 5% convertible semestralmente. (b) Si el bono es redimido el 1º de julio de 1970, ¿cuál es la utilidad del inversionista y qué tasa convertible semestralmente redituará el bono? Resp. (a) $900.18; (b) $39.85; 5.365%

17.

Un bono de $1000, 5%, EJ, es redimible a la par el 1º de enero de 1975, pero puede ser redimido el 1º de enero de 1968 o en cualquier fecha posterior de pago de intereses. (a) Hallar el precio de compra el 1º de enero de 1961, que reditúe por lo menos 4% convertible semestralmente. (b) Si el bono es redimido el 1º de julio de 1970, ¿cuál es la utilidad del inversionista y qué tasa convertible semestralmente redituará el bono? Resp. (a) $1060.54; (b) $26.02; 4.228%

18.

Hallar el precio de compra de un bono de anualidad de $5000, a 15 años con intereses al 6% anual, comprado al término del 8º año, para que reditúe 4 ½ %. Resp. $ 3033.68


19.


Hallar el precio de compra de un bono de anualidad de $10,000, a 10 años con intereses al 4% convertible semestralmente, comprado al término de tres años para que reditúe 5% convertible semestralmente. Resp. $7149.81

20.

Una compañía emite $300,000 en bonos al 5% y acuerda redimirlos mediante pagos de $150,000 al término de 5 y 10 años. Hallar el precio pagado por un banco el día de la emisión, que le redituará 4%. Resp. $318,844.07

21.

Sustituir V(1 +i)-n = K y Fr = gV Makeham

en 1) para obtener la fórmula de

P = K + g ( V – K) i Utilizar la fórmula para resolver el problema 11. 22.

Una emisión de $50,000 en bonos seriados, con intereses al 4% convertible semestralmente, con vencimientos de $500 cada 6 meses por los próximos 5 años, es comparada para que reditúe 3% convertible semestralmente. Hallar el precio de compra utilizando la fórmula de Makeham. Sugerencia K = 5000 a 10 ,015 y g = 0.02 Resp. $51,296.36


BIBLIOGRAFÍA.

FRANK AYRES JR. Matemáticas Financieras. Mc-Graw-Hill, 1990. PORTUS-GOVINDEN-LINCOYAN. Matemáticas Financieras. Mc-Graw-Hill, 1991. DE LA CUEVA, B. Matemáticas Financieras. Porrúa, 1986. DÍAZ MATA ALFREDO. Matemáticas Financieras. Trillas, 1994.


INTRODUCCIÓN

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