INTRODUCCIÓN Uno de los criterios para determinar la estabilidad de cuerpos en flotación es la altura Metacéntrica, que para una orientación dada de un cuerpo, si la altura metacéntrica es positiva, el cuerpo tendrá un equilibrio estable. Este concepto es aplicable a todos los cuerpos flotantes en general, independientemente de la forma de su sección transversal. Por lo tanto, se dice, que cuando el centro de gravedad de un cuerpo está situado debajo del centro de flotación, y el cuerpo esté sometido a algún cambio o desplazamiento angular por pequeño que sea, siempre existirá un momento a restaurar al cuerpo, llevándolo así a su posición original. Pero el equilibrio de cuerpos no está limitado únicamente a estos casos sino que existen diversos casos en la práctica en donde el centro de gravedad está por encima del centro de flotación. La estabilidad de un cuerpo se rige por la posición del punto llamado metacentro con relación al cuerpo de gravedad. Para evaluar la altura metacéntrica de cuerpos flotantes se dispone de un montaje de laboratorio, el cual nos permite con mediciones directas en laboratorio evaluar el estado de equilibrio de los cuerpos flotantes.
OBJETIVOS • •
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El ensayo para determinación del metacentro. Sirve para estudiar de la estabilidad de un cuerpo flotante.
Determinar la altura metacéntrica y a partir de este dato, la posición del metacentro. Variar la altura metacéntrica con el ángulo de escora. Diferenciar la gravedad de empueje.
FUNDAMENTO TEÓRICO Un cuerpo que está flotando libremente deberá cumplir las siguientes condiciones para que se encuentre en equilibrio: • El empuje deberá ser igual a la fuerza gravitacional actuante sobre el cuerpo. • El centro de gravedad del cuerpo y su centro de flotación deberán estar sobre la misma línea vertical, además, se debe considerar que se pueden presentar efectos de desplazamiento lineal y angular del cuerpo. El equilibrio de cuerpos flotantes no está limitado a aquellos casos en donde el centro de gravedad del cuerpo se encuentre situado por debajo del centro de flotación. Existen en la práctica un gran número de casos en los cuales el centro de gravedad está por encima del centro de flotación.
Equilibrio Estable Se dice que un cuerpo se encuentra en equilibrio si por algún cambio de su posición original, por pequeño que este sea, existan fuerzas o momentos tendientes a restaurar el cuerpo a dicho punto.
Un cuerpo que se encuentre flotando sobre un líquido en reposo, posee una estabilidad de flotación en el sentido vertical.
Estabilidad lineal Es un tipo de estabilidad que presenta un cuerpo cuando al tener un pequeño desplazamiento lineal en cualquier dirección, se presentan fuerzas restauradoras que tienden a regresar al cuerpo a su posición original. Estas fuerzas actuarían únicamente en la misma dirección pero en sentido contrario.
Estabilidad Rotacional Es un caso más complejo que el anterior en donde se presentan fuerzas restauradoras con pequeños desplazamientos angulares, por lo tanto, generando momentos estabilizantes en el cuerpo. Un cuerpo completamente sumergido en un líquido, es rotacionalmente estable sólo cuando su centro de gravedad está por debajo de su centro de flotación. Para la estabilidad rotacional de un cuerpo sumergido, el centro de gravedad G del cuerpo está arriba del centroide C (también conocido como centro de flotación) del volumen desplazado, y una rotación angular pequeña produce un momento que continuará impulsando la rotación; por tanto, el cuerpo es inestable y se vuelca. El centro de gravedad G del cuerpo está por debajo del centroide C, una rotación angular pequeña produce un momento restaurador y el cuerpo es estable.
En la estabilidad rotacional de un cuerpo flotante, si el centro de gravedad está por debajo del centroide, el cuerpo es siempre estable, como lo indicado en la figura, aunque un cuerpo puede ser estable, a pesar de que el centro de gravedad esté por encima del centroide, como se muestra en la figura, cuando el cuerpo gira, el centroide del volumen del líquido desplazado se mueve a un nuevo punto, C’. Si el centroide C’ se desplaza lo suficiente, surge un momento restaurador y el cuerpo es estable. Esta estabilidad se evalúa con la altura metacéntrica (distancia GM).
Equilibrio Inestable Se dice que un cuerpo se encuentra en equilibrio inestable cuando cualquier pequeño desplazamiento angular desarrolla un par de fuerzas que tenderá a incrementar el mismo.
Centro de gravedad El centro de gravedad (c.g.) es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas de gravedad que actúan sobre las distintas porciones materiales de u n cuerpo, de tal forma que el momento respecto a cualquier punto de esta resultante aplicada en el centro de gravedad es el mismo que el producido por los pesos de todas las masas materiales que constituyen dicho cuerpo. En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo producen un momento resultante nulo. El c.g. de un cuerpo no corresponde necesariamente a un punto material del cuerpo. Así, el c.g. de una esfera hueca está situado en el centro de la esfera que, obviamente, no pertenece al cuerpo. Propiedades del centro de gravedad La resultante de todas las fuerzas gravitatorias que actúan sobre las partículas que constituyen un cuerpo pueden reemplazarse por una fuerza única, , esto es, el propio peso del cuerpo, aplicada en el centro de gravedad del cuerpo. Esto equivale a decir que los efectos de todas las fuerzas gravitatorias individuales (sobre las partículas) pueden contrarrestarse por una sola fuerza, , con tal de que sea aplicada en el centro de gravedad del cuerpo, como se indica en la figura. Un objeto apoyado sobre una base plana estará en equilibrio estable si la vertical que pasa por el centro de gravedad corta a la base de apoyo. Lo expresamos diciendo que el c.g. se proyecta verticalmente (cae) dentro de la base de apoyo. Además, si el cuerpo se aleja ligeramente de la posición de equilibrio, aparecerá un momento restaurador y recuperará la posición de equilibrio inicial. No obstante, si se aleja más de la posición de equilibrio, el centro de gravedad puede caer fuera de la base de apoyo y, en estas condiciones, no habrá un momento restaurador y el cuerpo abandona definitivamente la posición de equilibrio inicial mediante una rotación que le llevará a una nueva posición de equilibrio.
Cálculo del centro de gravedad
El centro de gravedad de un cuerpo viene dado por el único vector que cumple que:
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En un campo gravitatorio uniforme, es decir, uno en que el vector de campo gravitatorio es el mismo en todos los puntos, la definición anterior se reduce a la definición del centro de masas:
En el campo gravitatorio creado por un cuerpo material cuya distancia al objeto considerado sea muy grande comparado con las dimensiones del cuerpo y del propio objeto, el centro de gravedad del objeto vienen dado por:
Ejemplo. Dada una barra homogénea de longitud L, orientada hacia un planeta lejano, y cuyo centro de masa dista una distancia Dc.m.,del centro del planeta, el centro de gravedad de la barra está situado a una distancia del centro del planeta dado por:
Centro de masas El centro de masas de un sistema discreto o contínuo es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuviera aplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema. De manera análoga, se puede decir que el sistema formado por toda la masa concentrada en el centro de masas es un sistema equivalente al original. Normalmente se abrevia como c.m..
Cálculo del c.m. de un sistema
Distribución discreta de materia Para un sistema de masas discreto, formado por un conjunto de masas puntuales, el centro de masas se puede calcular como:
, masa de la partícula i-ésima. , vector de posición de la masa i-ésima respecto al sistema de referencia asumido.
Distribución cuasidiscreta de materia En el caso de un sistema de cuerpos cuasipuntuales, o cuerpos que distan entre sí mucho más que las dimensiones de cada uno de los cuerpos, el cálculo anterior resulta bastante aproximado.
Distribución continua de materia Para sistemas de masas continuos o distribuciones continuas de materia debemos recurrir al Cálculo Infinitesimal e Integral, de modo que la expresión anterior se escribe en la forma:
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Distribución de masa homogénea: Si la masa está distribuida homogéneamente, la densidad será constante por lo que se puede sacar fuera de la integral haciendo uso de la relación
siendo V el volumen total. Para cuerpos bidimensionales (superficies) o monodimensionales (líneas) se trabajará con densidades superficiales y longitudinales respectivamente. Para el caso de cuerpos con densidad uniforme, el c.m. coincidirá con el centroide del cuerpo.
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Distribución de masa no homogénea: Los centros de masas en cuerpos de densidad variable pueden calcularse si se conoce la función de densidad
. En este caso se calcula el cm de la siguiente forma.
CENTROIDES El centroide es un punto que define el centro geométrico de un objeto. Su localización puede determinarse a partir de formulas semejantes a las utilizadas para determinar el centro de gravedad o el centro de masa del cuerpo, el centroide nos ayuda a encontrar el punto en el que se concentra las fuerzas que actúan sobre una figura irregular, o figuras geométricas no muy conocidas, por ejemplo el centroide nos ayudaría a encontrar el punto en el que se concentran las fuerzas de un puente
El CENTROIDE es un concepto puramente geométrico que aplica sobre cualquier figura lineal, plana o sólida. Sólamente tiene que ver con su forma, por lo cual es inalterable. Es decir que el centroide nunca cambiará ya que no depende de las propiedades físicas del material con los cuales ha sido construido el objeto. El centroide va a coincidir con el centro de gravedad solo si el cuerpo tiene peso específico constante y si el cuerpo tiene un eje de simetria, el centroide estará ubicado normalmente sobre ese eje.
Donde At = A1 + A2 + A3 ...... (AREA TOTAL DE LA FIGURA) X = (A1X1 + A2X2 + A3X3) / At Y= (A1Y1 + A2Y2 + A3Y3) / At
Donde At = A1 + A2 + A3 ...... (AREA TOTAL DE LA FIGURA) X = (A1X1 + A2X2 + A3X3) / At Y= (A1Y1 + A2Y2 + A3Y3) / At
