Introducción

INTRODUCCIÓN. De la mecá mecáni nica ca de mate materi rial ales es se sabe sabe,, que que para para la sele selecc cció ión n de elem elemen ento toss estructurales se basa en tres características: resistencia, rigidez y estabilidad. Una columna es un elemento cargado axialmente, sometido a compresión, el cual tiene su secci sección ón tran transv svers ersal al muy peque pequeña ña comp compara arada da con con su long longititud, ud, por por lo que que al aplicársele una carga, allara primero por pandeo, antes que por aplastamiento. !as cargas que puede soportar una columna pueden ser conc"ntricas, cuando se aplican sobre su centroide, o exc"ntricas, cuando se aplican a cierta distancia de su e#e centroidal. $uando se incrementa la longitud de una columna, disminuye su capacidad de soportar carga. $uando la excentricidad es pequeña y la columna es corta, la lexión lateral es despreciable, comparada con el eecto de la compresión% por el contrario al aumentar la longitud, una pequeña excentricidad puede producir un gran esuerzo de lexión.

1

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CARGA EXCÉNTRICA. &n la práctica, las columnas se diseñan para una carga que pueda serle aplicada en orma exc"ntrica, ya sea intencionalmente, o bien, por razones accidentales. &n esta sección se estudiara el problema del pandeo de las columnas en una orma die diere rent nte. e. 'bse 'bserv rvan ando do que que la carg carga a P que que se apli aplica ca a una una colu column mna a nunc nunca a es perectamente c"ntrica. !lamando e a la excentricidad de la carga, es decir, la distancia entre la línea de acción de P y y el e#e de la comuna (igura a), la carga exc"ntrica dada se reemplaza reemplaza por una uerza uerza c"ntrica c"ntrica P y un par de M A de moment momento o M A= P e (igura b).

Figura 1.

&s claro que sin importar que tan pequeña sea la carga P y y la excentricidad e, el par M A causara alguna lexión en la columna (igura *). + medida que la carga exc"ntrica se incrementa, tanto el par M A como la uerza axial P aumentan y ambos provocan que la columna se lexione más. isto así, el problema del pandeo no es cuestión de determinar cuánto tiempo la columna columna va a permanecer recta y estable estable ba#o una carga creciente, creciente, sino cuanto puede lexionarse la columna ba#o una carga creciente, sin que el esuerzo permisible sea excedido y sin que la delexión máxima y máx sea excesiva. -rimero se escribirá y resolverá la ecuación dierencial de la curva elástica. Dibu#ando el diagrama de cuerpo libre de una porción AQ de de la columna y escogiendo los e#es, como se muestra, se alla que el momento lector en Q es: es:







M =− Py − M A = Py − Pe

/ustituyendo el valor de M en la ecuación de la curva elástica, se obtiene: 2

d y M − P Pe y− = = 2 EI EI EI dx

0rasponiendo el t"rmino que contiene a y y aciendo: P

2

=

P EI

/e tiene: 2

d y dx

2

+ P 2 y =− P2 e

!a solución general de la ecuación anterior será: y = A sen px + B cos px −e

(*)

!as constantes A y B se obtienen de las condiciones de rontera de la siguiente igura. 1aciendo x 23, y 23 en la ecuación anterior, se tiene: B =e

1aciendo luego x = L , y =0 , se escribe: A sen pL= e (1 −cospL )

4ecordando que: pL pL cos sen pL= 2 2

5 2

−cos pL = 2 sen

1

pL 2

2

(a)







/ustituyendo A y B en la ecuación (*), se obtiene la ecuación de la curva elástica:

(

y = e tan

pL 2

)

sen px + cospx −1

(b)

&l valor de la delexión máxima se alla aciendo x 2 L67 en la ecuación (b). /e tiene:

(

y max =e tan

¿e

(

2

sen

pL 2

pL 2

sen

+ cos2

cos

pL 2

pL 2

pL 2

+cos

pL 2

−1

)

)

−1

(

y max =e sec

pL 2

−1

)

4ecordando la ecuación de la órmula de &uler para columnas articuladas, se escribe:

[

y max =e sec

(√ )− ] p L EI 2

1

(7)

8ótese en la expresión obtenida que y max se vuelve ininita cuando:

√

p L π = EI 2 2

+unque la delexión no se ace ininita realmente, sin embargo, se vuelve inaceptablemente grande y P no debe llegar al valor crítico que satisace la ecuación anterior. 4esolviendo la ecuación anterior para P se tiene que es el valor: 2

π EI Pcr = 2 L

4esolviendo la ecuación anterior para EI y reemplazando en (7), la delexión máxima







&l esuerzo máximo σ max ocurre en la sección de la columna en donde el momento lector es máximo, es decir, en la sección transversal a trav"s del punto medio C y se obtiene obtiene sumando los esuerzos normales debidos, debidos, respectivament respectivamente, e, a la uerza axial y al momento lector e#ercido en esa sección. /e tiene: σ max =

P M max C + A I

(c)

Del diagrama de cuerpo libre de la porción AC de la columna de la siguiente igura, se alla que: M max= Py max + M A = P ( y max + e ) 2 /ustituyendo este valor en (c) y recordando que I = Ar , se escribe:

σ max =

[

( y max + e ) c P 1+ 2 A r

]

(d)

/ustituyendo y máx por el valor obtenido en la ecuación (7), σ max =

[

P ec 1 + 2 sec A r

Una orma alternativa para σ max σ max =

( √ )] P L EI 2

()

se obtiene sustituyendo y max de (9) en (d). +sí:

(

√ )

P ec π P 1 + 2 sec A 2 Pcr r

(e)

!a ecuación obtenida puede usarse con cualquier condición de extremo, siempre que se use el valor apropiado de la carga crítica. 8ót 8ótese ese que, que, como como σ max no varía varía line lineal alme ment nte e con con la carg carga a P , el prin princi cipi pio o de superposición no se emplea en la determinación del esuerzo debido a la aplicación simultánea de varias cargas% debe calcularse primero la carga resultante y luego puede usarse la ecuación () o la (e) para determinar el esuerzo correspondiente. -or la







P = A

σ max 1+

ec r

2

sec

(

√ )

P Le 2 EA r

1

&n donde la longitud eectiva se utiliza para lograr que la órmula sea aplicable a varias condiciones de extremo. ;sta es la órmula de la secante, la cual deine la uerza por unid unidad ad de área, área, P A 6 A, que que caus causa a un esu esuerz erzo o máxi máximo mo espe especi ciiica cado do σ max en una columna con relación eectiva de esbeltez, Le/r , para un valor dado de la relación 2 ec / r , donde e es la excentricidad excentricidad de la carga aplicada. aplicada. 8ote que como P A 6A aparece en ambos miembros, es necesario recurrir a un m"todo de prueba y error para resolver la ecuación trascendental y obtener el valor de P A 6 A correspondiente a una columna y condiciones de carga dadas. !a órmula de la secante proporciona el esuerzo de compresión máxima en la columna con una unción del esuerzo de compresión promedio P / A, del módulo de elasticidad E y de dos dos razo razone ness adim adimen ensi sion onal ales es:: la rela relaci ción ón de esbe esbeltltez ez L / r relaci ción ón de r y la rela excentricidad: Relaciónde Relación de excentricidad=

ec r²

$omo $omo su nomb nombre re lo impl implic ica a la rela relaci ción ón de exce excent ntri rici cida dad d es una una medi medida da de la excentricidad de la carga comparada con las dimensiones de la sección transversal. /u valor num"rico depende de la posición de la carga, pero sus valores comunes se encuentran en el intervalo de 3 a 9 y sus valores más comunes son menores que *. +l analizar una columna podemos utilizar la órmula de la secante para calcular el esuerzo de compresión máxima cuando se conoce la carga axial P y y su excentricidad e. !uego, el esuerzo máximo se puede comparar con el esuerzo permisible para determinar si la columna es adecuada para soportar la carga.

MÉTODO DE ESFUERZOS PERMISIBLES. PERMISIBLES. &l esuerzo máximo de compresión en una columna cargada exc"ntricamente se puede calcular en orma aproximada% es decir: σ max =

P Mc P Pec + = + A I A I









&ste procedimiento resultante suele ser conservador, pero tiene la venta#a de ser más sencillo de aplicar. &ste m"todo no es aplicable solo a columnas con un valor moderado de L / r r, puesto que los momentos lexionantes secundarios (adicionales) debidos a la lexión elástica, no son despreciables en el caso de elementos largos y con cierta esbeltez. MÉTODO DE ITERACCIONES ITERACCIONES.. &n una columna cargada exc"ntricamente, la mayor parte del esuerzo total puede resu resultltar ar del mome moment nto o apli aplica cado. do. /in /in emba embarg rgo, o, el esue esuerzo rzo admi admisi sibl ble e en lex lexió ión n generalmente es mayor que el esuerzo axial permisible. De manera que para una columna particular es deseable lograr alg
Donde σ ab es el esuerzo máximo admisible en lexión, &n orma seme#ante, el área Aa que se requiere para la uerza axial - es: Mc A a = σ aa

Donde σ aa es el esuerzo medio axial permisible para el elemento que actua como colu column mna, a, y que que depen depende de del del valo valorr de la relaci relación ón L/r . -or -or lo tanto tanto,, el área área tota totall A necesaria para una columna sometida a una uerza axial y a un momento lexionante es:







carga perm permis isib ible le,, all allada ada en la parte parte a, se b) /i la carga aplica como se muestra a un punto a *.=3> cm. del e#e geom"t geom"tri rico co de la colu column mna, a, dete determ rmin ine e la dele delexi xión ón orizontal del tope de la columna y el esuerzo normal 6 máximo en la columna. $onsidere E= 2 x 10 Kg / cm ² .

A = 22.84 cm ² I =332.99 cm

4

r =3.81 cm

SOLUCION: Longitud efectiva. $omo la columna tiene un extremo i#o y uno libre, su longitud eectiva es: Le =2 (2.44 m )=4.88 m= 488.00 cm cm 

Carga crítica. Usando la órmula de &uler, se escribe: 2 π EI π ( 2 x 10 Kg / cm ² ) ( 332.99 cm  ) Pcr = Pcr =27, 600.78 = 600.78 Kg =27.600 !on L e ² ( 488.00 cm) ² 2

6

4

Carga admisible y esfuerzo. -ara un actor de seguridad de 7, se tiene: a )







[ (√ ) ]

y m= e sec

π

[

P −1 =( 1.905 cm ) sec Pcr

2

( )− ]=( π

2 √ 2

1

1.905 cm

) (2.252−1 )

y m=2.385 cm 

&l máximo esuerzo normal se obtiene con la ecuación del esuerzo máximo:

σ m =

σ m =

[

( √ )]

P ec π P 1+ sec A r² 2 Pcr

13.800 !on 2

22.84 c m

[

1+

( 1.905 cm) ( 5.08 cm ) sec ( 3.81 cm )2

( )] π

2 √ 2

σ m =( 0.604 !on / cm ² ) [ 1 + 0.667 ( 2.252) ]

σ m =1.511 !on / cm ².







PROBLEMA 2. Una barra AB de latón que sobre sale del costado de una máquina está cargada en el extremo B por una uerza P=680.39 Kg que cm !a act
SOLUCI!N: Carga Carg a cr crít ític ica. a. $ons $onsid ider eram amos os esta esta barra barra como como una una colu columna mna esbe esbeltlta a que que esta esta empotrada en el extremo + y libre en el extremo A. -or tanto la carga ca rga crítica: Pcr =

π ² EI 4 L ²

(a)

&l momento de inercia para el e#e con respecto al cual ocurre la lexión es: I =

$b

3

12

=

( 3.048 cm ) (1.524 cm) ³ 12

=0.8991 cm4

-or lo tanto, la expresión para la carga crítica es: 6

π ² ( 1 x 10 Kg / cm ² )( 0.8991 cm Pcr = 4 L ²

4

)

=

2,218,440 Kg−cm

L ²

2

(b)







!ongitud. -ara determinar la longitud máxima permisible de la barra. /ustituimos el valor límite de % de 0.305 cm , e =1.143 cm y P=680.39 &g , y luego sustituimos la expresión para Pcr de la ecuación c. -or tanto:

[ √

0.305 cm=( 1.143 cm) sec

(

π

680.39 Kg

2

2,218,440 / L ²

)− ] 1

!a
&mpleando radianes y resolviendo esta ecuación, obtenemos L=1.27 cm  -or lo que la longitud máxima permisible de la barra es: Lmax =1.27 cm .

/i se emplea una barra más larga, la delexión excederá el valor permisible de 3.93> cm.









CONCLUSIÓN. $omo conclusión del presente traba#o, se puede decir que toda columna es diseñada con el ob#etivo de soportar cargas de distintas magnitudes, dicas cargas pueden ser c"ntricas o cuando la carga no se aplica directamente en el centroide de la columna, se dice que la carga es exc"ntrica ya que genera un momento momento adicional que disminuye disminuye la resistencia del elemento, de igual orma, al aparecer un momento en los extremos de la columna debido a varios actores, ace que la carga no act






BIBLIOGRAFÍA.

Mecánica de materiales (7a. Edición). Autor: Cames . Eere y Aerry C. Eoodno. Editorial: $engage !earning.

Mecánica de materiales (5a. Edición). Autor: Ferdinand -. Aeer, &. 4ussell Conston Cr., Con 0. DeGol, David F. azureH.

Introducción

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