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INTRODUÇÃO À
GEOMETRIA Dl.FERENCIAL
I~
Blucher
KETI TENENBLAT Professora Emérita da Universidade de Brasília (UnB)
INTRODUÇÃO À GEOMETRIA DIFERENCIAL '
2ª edição revisada
Introdução à geometria diferencial © 2008 Keti Tenenblat 2ª edição - 2008 1a reimpressão - 2011 Editora Edgard Blücher Ltda.
Blucher Rua Pedroso Alvarenga, l .245, 4° andar 04531-012 - São Paulo -SP- Brasil Tel.: 55 (11) 3078-5366
[email protected] www.blucher.com.br
FICHA CATALOGRÁFICA
Tenenblat, Keti Introdução à geometria diferencial / Keti Tenenblat ·· 2ª. ed. São Paulo: Blucher, 2008. Bibliografia. ISBN 978-85-212-0467-l 1. Geometria diferencial l. Título.
É proibida a reprodução total ou parcial por quaisquer meiÓs, sem autorização escrita da Editora.
08-06319
Todos os direitos reservados pela Editora Edgard Blücher Ltda.
fndices para catálogo sistemático: 1. Geometria diferencial 51 6. 7
CDD·Sl 6.7
AS. S. Chem (in memoriam)
Prefácio
Esta é a segunda edição deste livro que tem o objetivo de servir como texto para um curso introdutório de Geometria Diferencial, em nível de graduação. Apresentamos a teoria local de curvas e superficies, no espaço euclidiano, admitindo como pré-requisitos os cursos básicos de cálculo diferencial e equações diferenciais. No Capítulo O, relacionamos os principais resultados do cálculo vetorial e do cálculo diferencial.para funções de várias variáveis, que serão utilizados, freqüentemente, nos capítulos seguintes. Sugerimos que a leitura do texto seja iniciada com o estudo de curvas planas, Capítulo 1, recordando os conceitos do Capítulo O, à medida que se tornarem necessários.· A teoria local clássica de curvas no espaço é introduzida no Capítulo II e a de superficies, no Capítulo III. Tendo em vista o caráter introdutório do curso, o estudo das superficies é desenvolvido para superficies parametrizadas regulares. Estas surgem naturalmente como uma extensão do conceito de curva parametrizada regular. No Capítulo. IV, julgamos conveniente ineluir o método do triedro móvel, como um método alternativo ao clássico, para o estudo local das superf~:cies. Procuramos ilustrar os conceitos e os resultados da teoria apresentados no texto, por meio de vários exemplos e :figuras. No :final de cada seção, incluímos uma série de exercícios. Esta edição difere pouco da anterior. Foi introduzida uma seção ao :final do Capítulo III, indicando algumas aplicações da computação gráfica, usando o programa "ACOGEO". Este programa permite visualizar tanto as curvas e superfícies no espaço euclidiano como ·os principais resultados· da teoria de geometria diferencial apresentados no livro. Desejamos agradecer aos alunos e colegas que leram criticamente este texto. Agradecimentos especiais são devidos a Manfredo_ P. do Carmo pelas sugestões e a José Anchieta Delgado pelas contribuiçõe~ na primeira edição deste livro. Finalmente, agradecemos a Hailton G. Reis pela digitação desta edição, a Rosângela Maria da Silva pela cuidadosa revisão e a Patrícia Fernandes do Nascimento por diversas :figuras do texto.
Conteúdo
Capítulo O- CÁLCULO NO ESPAÇO EUCLIDIANO 1. Cálculo Vetorial no Espaço Euclidiano ................................................................ 1 2. Cálculo Diferencial no Espaço Euclidiano ......................................................... 12
Capítulo 1 - CURVAS PLANAS 1. Curva Parametrizada Diferenciável .................................................................... 28 2. Vetor Tangente; Curva Regular........................................................................... 32 3. Mudança de Parâmetro; Comprimento de Arco ................................................. 36 4. Teoria Local das Curvas Planas; Fórmulas de Frenet.. ...................................... .42 5. Teorema Fundamental das Curvas Planas ......................................................... .52
Capítulo.II- CURVAS NO ESPAÇO 1. Curva Parametrizada Diferenciável .................................................................... 55 2. Vetor Tangente; Curva Regular; Mudança de Parâmetro ................................... 57 3. Teoria Local das Curvas; Fórmulas de Frenet .................................................... 61 4. Aplicações ........................................................................................................... 71 5. Representação Canônica das Curvas .................................................................. 78 6. Isometrias do IRP; Teorema Fundamental das Curvas ......................................... 81 7. Teoria do Contato .................................................~: ............................................ 97 8. Involutas e Evolutas .......................................................................................... 104
Capítulo ill TEORIA LOCAL DE SUPE~íCIES 1. Superficie Parametrizada Regular .................................................................... 109 2. Mudança de Parâmetros .................................................................................... 125 3. Plano Tangente; Vetor Normal .......................................................................... 131
X 4. Primeira Forma Quadrática .............................................................................. 138 5. Segunda Forma Quadrática; Curvatura Normal ............................................... 152 6. Curvaturas Principais; Curvatura de Gauss; Curvatura Média ......................... 160 7. Classificação dos Pontos de uma Superficíe ..................................................... 174 8. Linhas de Curvatura; Linhas Assintóticas; Geodésicas .................................... 187 9. Teorema Egregium de Gauss; Equações de Compatibilidade; Teorema Fundamental das Superficies ............................................................. 207 10. Aplicações Computacionais ............................................................................ 212
Capítulo IV MÉTODO DO TRIEDRO MÓVEL l. Formas Diferenciais em ~2 ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 217 2. Triedro Móvel; Equações de Estrutura ............................................................. 233 3. Aplicações: Teorema de Bonnet; Teorema de Bãcklund .................................. 254
Referências Bibliográficas ........................................................................................ 266
Índice Alfabético Remissivo ..................................................................................... 268
Capítulo O CÁLCULO NO ESPAÇO EUCLIDIANO
No estudo de curvas e superfícies, serão utilizados os conceitos fundamentais do cálculo vetorial e do cálculo diferencial de funções de uma ou mais variáveis. Por esse 1TIOtivo, julgamos conveniente reunir neste capítulo inicial as noções necessárias, muito embora, admitindo que são do conhecimento do leitor.
1. Cálculo Vetorial no Espaço Euclidiano Denotamos por JR3 o espaço euclidiano de dimensão três, isto é, o conjunto
(x, y, z), chamados pontos de . A distância entre dois pontos Pl =(xi, y1, z1) e p2 = (x2, y2, z2) é
de termos ordenados de números reais p dada por
Dados dois pontos distintos PI e p2 de JR3 , o segmento orientado de PI a p2 é chamado vetor. O comprimento do seirnento é dito módulo do
vetor. Portanto, a cada vetor podemos associar uma direção, um sentido e o módulo. Se w é o vetor determinado pelo segmento orientado de p1 a p2, então (x2 - x1, Y2 - YI, z2 - z1) são as componentes do vetor w. Dizemos que dois vetores são iguais_ se têm o mesmo módulo, direção e sentido. Portanto, dois vetores são iguais se, e só se, têm as mesmas componentes. Vamos incluir o vetor nulo de componentes nulas, que denotamos por
O. Observamos que existe uma correspondência bijetora entre os pontos e os
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vetores de JR3 . Daqui por diante, vamos nos referir aos pontos ou vetores de JR3 indistintamente. Dados dois vetores w1 e w2 de componentes w1 = (xi, Yl, z1) e w2 (x2, Y2, z2), definimos a soma w1 + w2 como sendo o vetor de componentes w1 +w2 =(xi Yl +Y2, z1 +z2). Se  é um número real, definimos o produto  w como sendo o vetor de componentes  w = ( Âx, Ây, Âz). O conjunto de vetores de JR3 com essas operações é um espaço vetorial, isto é, são satisfeitas as oito propriedades seguintes: w1 +w2 = w2 +w1, (w1 +w2) +w3 = w1 + (w2 +w3), o+w1 =w1, w1 +(-w1)
O,
onde w1, w2, w3 são vetores, e se w1 (x1, y1, zi), -w1 indica o vetor de componentes -w1 =(-xi, -yi, -zi). Além disso, se Â.1 e Â.2 são números
Â.1 (À2 w1) = (À1 Â2) w1, (À1 + Â2) w1
Â.1 w1 + Â.2 w1,
Â1(w1 +w2) =Â.1 w1 +Â1 w2, 1 W1
O módulo de um vetor w
W}.
(x, y, z) é dado por
Um vetor w é dito unitário se lwl = 1. Os vetores wi, w2, · · ·, Wn são ditos linearmente dependentes se existem números reais Â.1, Â.2, · · ·, Íl,i nem todos nulos, tais que Â.1 w1 + Â.2 w2 + · · · + Íl,i Wn
O.
3
Os vetores w1, w2, · · ·, w11 são ditos linearmente independentes se não são linearmente dependentes, isto é, para toda combinação linear desses vetores da forma Â1 W1 +..:t2 W2 +···+Â.n Wn
tem-se Â1 = Â2 = · · · = Ân
0,
O.
1.1 Exemplos
a) Os vetores w1 (1, 2, O), w2 =(O, 1, 1) e w3 (2, 5, 1) são linearmente dependentes, pois 2w1 + w2 - w3 O. b) Todo conjunto de vetores que contém o vetor nulo é linearmente dependente. e) Os vetores e1 = (1, O, O), e1 =(O, 1, O) e e3 (O, O, 1) são linearmente independentes. d) Os vetores w1 (1, 2, O), w2 =(O, 1, 1) e w3 = (4, 5, 2) são linearmente independentes. e) Qualquer subconjunto .de vetores linearmente independentes é linearmente independente. Se wi, w2, · · ·, w11 são vetores linearmente independentes e w é um vetor que pode ser expresso como combinação linear de w1, w2, · · ·, w 11 , então decorre da definição de vetores linearmente independentes que esta combinação linear é única, isto é, se
então Â1 Âi, Â2 Â2, · ·., Ân Â,z. Os vetores e1 = (1, O, O), e1 =(O, 1, O), e3 =(O, O, 1) são linearmente independentes e, além disso, todo vetor w = (x, y, z) de IR3 pode ser expresso, de modo único, como combinação linear de ei, e1 e e3 na forma
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Um conjunto de vetores B é dito uma base de R 3 se todo vetor de R 3 pode ser expresso como combinação linear dos vetores de B e B é um conjunto de vetores linearmente independentes. O conjunto B = {ei, e2, e3} do Exemplo 1.1 c) é denominado base canônica de Observamos que quaisquer três vetores linearmente independentes de JR 3 formam uma base de JR3 . Reciprocamente, toda base de JR3 é formada por três vetores linearmente independentes. Se { u1, u2, u3 } é uma base de JR3 , e se w azq + bu2 + cu3, então os números reais a, b, c são ditos coordenadas do vetor w na base { u 1, u2, u3}. 1.2 Exemplo. O vetor w = (6, 10, 3) tem coordenadas 6, 10, 3 na base canônica de JR3 . Se consideramos a base u1=(1,2, O), u2 (O, 1, 1), u3 (4, 5, 2), então as coordenadas de w nesta base são 2, 1, 1, pois w = 2u1 +u2 +u3.
As coordenadas de um vetor dependem da base escolhida. De modo geral, -_c:.ccc.c_-, __ cc_cccc.:c_
J>m·ém, o vetor nulo
tem coordenadas todas nulas em qualquer base. Seja { u1, u2, u3 } uma base de R 3 e
então { w1 , w2,
w1
a11 u1 +a21 u2 +a31 u3,
w2
a12
u1
+a22 u2 +a32 u3,
W3
a13
u1
+a23
w3 } ~,uma base
ui +a33 u3,
se, e só se, o determinante
Neste caso, o determinante é dito determinante de mudança de base. Dados dois vetores w1 e w2 de componentes (ou seja, coordenadas na base canônica de R 3) w1 = (x1, y1, z1) e w2 = (x2, y2, z2), o produto
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interno (ou produto escalar) de w1 e w2 é definido como sendo o número real dado por
(w1, w2)
x1 x2 + Yl Y2
z2.
Em particular, temos que (w, w) = lwl 2 para todo vetor w. É fácil verificar que o produto interno satisfaz as seguintes propriedades:
(w1, w2) = (w2, w1),
(À w1, w2)
=
(w1, À w2)
Â
(w1, w2),
(w1, w2 +w3) = (wi, w2) + (w1, w3), (w1, w1) ~O, (wi, w1) =O se, e só se, w1
O,
onde w1, w2, w3 são vetores de R 3 e  é um número real. Uma outra propriedade importante é a desigualdade de Cauchy-Schwarz: se w 1 e w2 são vetores de R 3 , e!ltão
A igualdade se verifica se, e só se, w1 e w2 são linearmente dependentes. Se w1 e w2 são vetores não-nulos, o ângulo e entre w1 e w2 é a solução da equação satisfazendo o :S e :S 1C. Dois vetores w1 e w2 são ditos ortogonais se (wi, w2) =O. Segue-se dessa definição que w1 e w2 são ortogonais se, e só se, w1 = O ou w2 = O OU O ângulo (} entre W} e W2 é JC/2. A base canônica ei = (1, O, O), e1 (O, 1, O), e3 (O, O, 1) de ~3 é formada por vetores unitários e dois a dois ortogonais. Uma base formada por vetores unitários e dois a dois ortogonais é dita uma base ortonormal (ou referencial ortonormal).
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w1
=
a11 u1 +a21 u2 +a31 u3,
w2
a12 u1 +a22 u2 +a32 u3,
W3
a13 u1 + a23 u2 + a33 u3.
Dizemos que as bases { u1, u2, u3} e {w1, w2, w3} têm a mesma orientação se o determinante de mudança de base é positivo, isto é,
Duas bases ordenadas têm orientação oposta quando o determinante de mudança de base é negativo. No caso particular de duas bases ortonormais, observamos que o determinante de mudança de base é igual a ± 1.
1.3 Exemplo. Consideremos as bases {e1, e1, e3} e {w1, w2, w3} e3} é base cané)nicª~~e w1 = 1(2, -2, 1), w2 = 1(2, 1, -2), w3 =1(1, 2, 2). Estas bases ortonormais têm a mesma orientação, já que o determinante de mudança de base é igual a 1. Dados dois vetores w1 e w2 de componentes w1 = (x1, YI, z1) e w2 =
(x2, y2, z2), o produto vetorial de w1 e w2, denotado por w1 x w2, é definido como sendo o vetor de componentes
O produto vetorial satisfaz as seguintes propriedades: a) Jw1 X w2J
= JwiJ
b) (w1 x w2, w1) c) w1 x w2
Jw2J sen8, onde 8 é O ângulo entre WI e w2;
= (w1
x w2, w2) =O;
= O se, e só se,
w1 e w2 são linearmente dependentes;
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onde w1, w2, w3 são vetores e  é um número real. De um modo geral, o produto vetorial não é associativo, isto é, w 1 x (w2 x w3) =!= (w1 x w2) x w3. Segue-se da propriedade a) que lw1 x w2I é a área do paralelogramo determinado por w1 e w2. Dados três vetores w1, w2, w3, o número real (w1, w2 x w3) é denominado produto misto de w1 , w2, w3. Se os vetores têm componentes
então XI
(w1, w2 x w3)
=
YI z1
Como consequência das propriedades do determinante, temos que
(w3, w2 x w1) = -(w2, w1 x w3) = -(w1, W3 x w2). Em particular,
Além disso, (w1, w2 x w3) =O se, e só se, w1, w2, w3 são linearmente dependentes. Se (u1, u2 x u3) é uma base ortonormal, então
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Não é difícil verificar que duas bases ordenadas e ortonormais de IB.3
{ u 1,
u2, u3} e {w1, w2, w3} têm a mesma orientação se, e só se,
e têm orientações opostas se, e só se, (u1, u2 x u3)
= -(w1,
w2 x w3).
Dados um ponto po (xo, yo, zo) de IB.3 e um vetor não-nulo w = (a, b, e), a reta que passa pelo ponto po paralela ao vetor w é o conjunto de pontos p de IB.3 , tais que p
= Po +tw,
-=
< t < =,
isto é, o conjunto dos pontos (x, y, z) de IB.3 tais que (x, y, z) = (xo+ta, Yo+tb, zo+tc), -=
< t < =.
Dados um ponto po = (xo, Yo, zo) de IB.3 e dois vetores linearmente independentes w1 = (a1, b1, c1) e w2 = (a2, b2, c2), o plano ortogormal ao vetor w1 x w 2 que passa por po é o conjunto de pontos p de IB.3 tais que
(p- po, w1 x w2) =O. Equivalentemente, o plano gerado pelos vetores w1 e w1 é o conjunto dos pontos p
= (x, y, z)
de IB.3 , tais que p- Po
-= < u
< =,
-= < v
= uw1 +vw2,
< =, ou seja,
Se po, PI e p2 são três pontos não-colineares de IB.3 , então o plano que passa por esses pontos é o conjunto dos pontos p E IB.3 tais que (p-po, (pi - po) x (p1 -po)) =O.
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Dizemos que um subconjunto não-vazio W de IB.3 é um subespaço vetorial de IB.3 se, para cada par de vetores w1, w2 E W e À número real, os vetores w1 +w2 e À w1 pertencem a W. Pode-se verificar facilmente que todo plano de IB.3 que contém a origem é um subespaço vetorial de IB.3 . Analogamente, toda reta que passa pela origem é um subespaço vetorial de IB.3 . Uma base de um subespaço vetorial W de IB.3 é um conjunto de vetores linearmente independentes de W tal que todo vetor de W é uma combinação linear desses vetores. Se W é um plano de IB.3 passando na origem, então dois vetores linearmente independentes de W formam uma base do plano. No caso de uma reta em IB.3 , passando na origem, qualquer vetor não-nulo da reta é uma base. Concluímos esta seção observando que, com um tratamento inteiramente análogo, podemos introduzir os conceitos apresentados em IB.3 para um espaço euclidiano IB.11 de dimensão n. Entretanto, para o estudo da teoria local de curvas e superfícies, utilizaremos apenas os espaços euclidianos IB.2 e IB. 3 . 1.4 Exercícios 1. Considere os vetores u 1 = (2, 1) e u2
= (1, 3)
de IB.2 . Verifique que:
a) u 1 e u2 são vetores linearmente independentes; b) para todo vetor v =(a, b) de IB.2 , existem números reais x, y tais que v = xu1 +yu2. Obtenha x e y em termos de a e b.
2. Verifique que os vetores u1 = (1, 2, -2), (2, -2, -1) são dois a dois ortogonais.
u2
= (2,
1, 2) e u3
3. Verifique que o ângulo entre os vetores (1, 2, 1) e (2, 1, dobro do ângulo entre os vetores (1, 4, 1), (2, 5, 5).
=
1) é o
4. Obtenha um vetor não-nulo de IB.3 , ortogonal aos vetores (2, 1, -1) e
(1, -1, 2).
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5. Considere o vetor u1
(1, 2, -1 ).
a) Obtenha dois vetores não-nulos de IR.3 u2, u 3, ortogonais a u 1 e ortogonais entre si. b) Seja v um vetor ortogonal a u 1. Prove que v é uma combinação linear dos vetores u2, u3 obtidos em a). 6. Sejam w1 e w2 dois vetores de IR.3. Verifique que: a) lw1 +w21 2 b) Jw1
lwd 2 +2(w1, w2)+lw2j2;
w21 2 = lwd 2 -2 (w1, w2) + lw21 2;
c)Jw1+w2! 2
Jw1
w21 2 =4(w1,w2);
d) w1 e w2 são ortogonais se, e só se, lw1 +w2I
lw1
w2J.
7. Sejam wi, w2, w3 vetores linearmente independentes de IR.3. Prove que todo vetor de IR.3 pode ser expresso de uma única forma como combinação linear de w1, w2, w3. 8. Considere uma base ortonormal {ui, u2, u3} de IR.3 . Se w a2w2+ a3 u3 é um vetor unitário, prove que as constantes ai, são os cossenos dos ângulos ei formados por w e ui.
9. Considere o vetor v1 (1, 2) de .JR.2. Obtenha um vetor v2 de IR.2 ortogonal a v1 , de modo que a base {v1. v2} tenha a mesma orientação que a base canôt:rica.de IR.2. 10. Seja v1 = (x, y) um vetor unitário de IR.2. Prove que uma base ortonormal v1, v2 de IR.2 tem a mesma orientação que a base canônica se, e só se, v2
(-y, x).
11. Obtenha a equação do plano que passa pelo ponto (1, 2, -3) e é paralelo ao plano determinado por 3x -y + 2z
4.
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12. Dois planos de JR.3 que se intersectam determinam dois ângulos que são os mesmos formados pelas retas normais aos planos. Obtenha esses = 1 e y +z =
ângulos para os planos determinados pelas equações
2. 13. Obtenhaaequaçãodoplanoquecontémospontos (1, 1, -1), (3, 3, 2) e (3, -1, -2). Obtenha um vetor normal ao plano. 14. Considere os vetores
w1
= (2, 3, -4)
e w2
(O, 1, 1).
a) Obtenha a equação do plano determinado por w 1 e w2, isto é, o plano que contém a origem e os pontos w1 e w2. b) Seja v = sw1 +tw2, onde s e t são escalares. Verifique que, para cada escolha de s e t, v é um ponto do plano obtido em a). c) Reciprocamente, prove que todo ponto do plano é da forma sw1 + tw2. Obtenha os escalares s ·e t para o ponto (-4, 11). 15. Determine uma equação da reta no plano JR.2 que: a) contém o ponto (1, 2) e é paralela ao vetor (3, 4); b) contém o ponto (-1, O) e é ortogonal ao vetor (2, 3); c)contémospontos (O, 2) e (1, -1). 16. Obtenha uma equação da reta em JR.3 que contém o ponto (2, 1, -3) e é ortogonal ao plano determinado pela equação 4x
3y + z
5.
17. a) Prove que, se w1 e w2 são vetores não-nulos de JR.3 e w1 x w2 =O, então w1
= Âw2
para algum núméro real  não-nulo.
b) Se w1 x w2 =/= O, prove que w1 e w2 são vetores não-nulos que não são paralelos.
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18. Verifique a identidade de Lagrange
19. Sejam w 1 e w2 dois vetores de IR3 linearmente independentes. Prove que: a) w1, w2, w1 x w2 formam uma base de IR3; b) se (w, w1) =O e (w, w2) =O, então w = Àw1 x w2 para algum número real À. 20. Considere os planos de IR3 determinados pelas equações (p- p 0 , w1 )
= O, onde w1 w = w1 x w2.
O e (p- po, w2) pendentes. Seja
=
e w2 são vetores linearmente inde-
a) Verifique que a reta determinada por p
= po + tw
está contida nos
dois planos. b) Prove que, se p é um ponto que pertence a ambos os planos, então
JL--:::Po+tow.
2. Cálculo Diferencial no Espaço Euclidiano Nesta seção, vamos rever os conceitos básicos do cálculo diferencial em espaços euclidianos e enunciar os resultados relevantes para o estudo de curvas e superfícies em IR3 • ·
Umafunção vetorial a de um subconjunto I de IR em IR3, denotada ---+ IR3 , é uma correspondência que, para cada t E I, associa a(t) E IR3 .
por
Uma função vetorial
a : I e IR ---+ IR3 pode ser representada por a(t)
= (x(t), y(t), z(t)),
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onde as funções reais de a.
X,
y, z: I-----+ lR são denominadas funções coordenadas
Daqui por diante vamos considerar as funções vetoriais definidas em um intervalo aberto I de R Se
f é uma função real e a
e f3 são funções vetoriais definidas em I,
então as funções a + f3, f a, (a, f3) , a x f3 são definidas da forma usual, isto é, para todo t E /,
(a+f3)(t) = a(t)+f3(t), (fa)(t)
f(t)a(t),
= (a(t), f3(t)), (a x f3)(t) = a(t) x f3(t). (a, /3) (t)
Dizemos que o limite de uma função vetorial a (t) é L quando t se aproxima de to, e denotamos por lim a(t) =L
t-+to
quando, dado qualquer e > O, existe 8 > O tal que, se O < Jt - to J < 8,
= (x(t), y(t), z(t)) e L = (R1, Ri, R3 ), lim x(t) = R1, lim y(t) = R2, limz(t) = R3 . t-+to t-+to t-+to
então Ja(t)-LJ
t-+to
=L
se, e só se, .
então Lem-
bramos que as propriedades usuais de limite para funções reais verificam-se para funções vetoriais. Uma função vetorial a : I
e lR-----+ JR3 é contínua em to E I
se lim a(t) t-+to
=
a(to). Dizemos que a é contínua se a é contínua em t, para todo t E/. Uma função vetorial a é contínua em to se, e só se, as funções coordenadas de a são contínuas em to. Se a e f3 são funções vetoriais contínuas em I e f é uma função real contínua, então as funções a+ /3, fa, (a, /3) e a x f3 são contínuas. Uma função vetorial a : I-----+ JR3 é dita diferenciável em to E I se existe lim a(t) - a(to) t-+to t - to~ '
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que denotamos por a'(to). Dizemos que a é diferenciável se a é diferenciável para todo t E J. Uma função a(t) = (x(t), y(t), z(t)) é diferenciável em to se, e só se, as funções coordenadas de a são diferenciáveis em to. Neste caso,
a'(to)
= (x'(to), y'(to), z'(to)).
Se a : I ~ JR 3 é diferenciável, então a função a' : I ~ IR3 que, para cada t E J, associa a' (t) é também uma função vetorial chamada derivada de primeira ordem de a. Se a função a' é também diferenciável, temos uma nova função vetorial, chamada derivada de segunda ordem de a, que denotaremos por a". De modo análogo, definimos as derivadas de ordem superior. Usaremos também a seguinte notação para as derivadas de a:
da a '() t =dt,
2
d (dª) dt a "(t ) = dt
= ddt2a '
etc.
Uma funç.ão vetorial a é dita diferenciável de classe C'° se existem as derivadas de todas as ordens de a. ---observarrfffS que~-se-a é diferenciável em tà, -então a é contínua em to. Além disso, as seguintes propriedades se verificam: - Se -a e}lsão funções vetoriais diferenciáveis em I e fé uma função real diferenciável em I, então a+ /3, f a, (a,
/3)
e a x
/3
são diferenciáveis e
d(a+/3) =da+ d/3 dt dt dt' =!da+ df a - dt dt dt '
d,Ua,)
d (a, /3) =(da dt dt ' d(a x /3) _da dt - dt X
f
/3\ +(a /
/3
+a
X
d/3 \ ' dt / ' d/3 dt .
Seja a(t) uma função vetorial diferenciável em I e t = J(r), onde é uma função real diferenciável em um intervalo aberto J e IR tal que
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f(J) e I. Então, a função composta (a o J)(r) = a(J(r)) é diferenciável em J e
d(aof) dr
da dt dt dr·
Esta propriedade é denominada regra de cadeia. Se a é uma função vetorial diferenciável (C°°) em I, então, para todo inteiro n > O e to E J, temos que
, a" (to) a(t) = a(t0 ) +a (to)(t-to) + -- (t-to) 2 + ··· 2
aCn)(to) n + n.1 (t-to) + Rn(t, to), . Rn - e, denormna . da desenvo1vrmento . ( (t' to) ) =O, t E I . Esta expressao onde hm t--+to
t - to n
de a na fórmula de Taylor em to. A seguir, vamos considerar funções vetoriais de várias variáveis. Uma função (ou aplicação) F de um subconjunto A de IRn em IRm, denotada por F : A e IRn ~ IRm, é uma correspondência que, para cada p E A, associa um único ponto F (p) E IRm. Uma tal função pode ser representada por
ou, considerando p =(xi,··· ,xn),
F(x1,··· ,xn) = (F1(x1,··· ,xn),··· ,Fm(x1,·· · ,xn)). As funções
Fi : IRn
~
IR, i = 1, 2, · · · , m, são ditas funções coordenadas de
F.
Embora o nosso interesse esteja apenas nos casos em que n e m assumem os valores 1, 2 ou 3, vamos enunciar os conceitos e resultados básicos para o caso geral. Dadas duas funções F, G: A e IRn ~ IRm e f: A e IRn ~IR, podemos definir as funções F + G, JG, (F, G) e F x G (essa última se m = 3) de forma análoga à das funções vetoriais de IR em IR3 .
16
Uma aplicação F : JRIZ ---+ IRm é dita linear se, para todo par de pontos p e q em JRll e  E IR, temos
F(p+q) =F(p) +F(q), F(1p)
= 1F(p).
Se F é linear, então F(O) =O. Além disso, como consequência das propriedades acima, temos que F é determinada pelos seus valores em uma base de JRll. Em particular, considerando a base canônica de JRll, e 1 = (1, O,··· ,O), e1 =(O, 1, O,··· ,O),··· ,en =(O, O,··· ,O, 1), se (a11, a21,··· ,ami), (a12, a22,··· ,am2),
a11x1 +a12x2 + ···+a1nXn, a21x1 +a22x2 + ···+a2nXn,
Fm(p) onde p = (x1, x2, · · · ;"Xn)·E JRll. Reciprocamente, se as funções coordenadas de F são desta fol-ma, então F é linear. Portanto, para cada função linear H'·i·---~-~----"'-·-.:.c"'----····--'-""-"- ,_podemos associar a matriz dos coeficientes
17
chamada matriz associada à aplicação linear F, relativamente às bases canônicas de JRll e IRm. Reciprocamente, toda matriz m x n determina uma aplicação linear de IR11 em IRm. Seja A uma matriz (não-nula) m x n, isto é, com m linhas e n colunas. Consideremos um número inteiro r tal que 1::; r::; min{m,n}. Uma submatriz r x r de A é uma matriz obtida, a partir de A, eliminando m - r linhas e n - r colunas de A. O posto de uma matriz A é o maior inteiro r para o qual existe uma submatriz r x r de A cujo determinante não se anula. No caso particular de uma aplicação linear F: JR 3
---+
IR3 , pode-se provar
que F é bijetora, isto é, F é injetora (pontos distintos têm imagens distintas) e sobrejetora (todo ponto de JR 3 é imagem de algum ponto por F) se, e só se, a imagem da base canônica de IR3 é uma base de IR3 , o que é equivalente a dizer que o determinante da matriz associada a F é não-nulo ou que a matriz tem posto 3. Se F : IR2
JR3 é uma aplicação linear, então F é injetora se, e só se, a imagem da base canônica de IR2 forma um conjunto de vetores linearmente independentes de JR 3 ou, equivalentemente, se a matriz associada a F tem posto 2. ---+
A seguir, vamos rever os conceitos de limite e continuidade para funções de várias variáveis. Inicialmente, vamos introduzir a noção de bola aberta em um espaço euclidiano JRll. Uma bola aberta em JRll de centro po E IR11 e raio
ê
> O é o conjunto,
denotado por Be(po), do_s pontos p E JRll que distam de po menos que
ê,
isto é, B e (po)
= {p E IRn;
IP - Po 1 < ê} ·
Dizemos que um subconjunto A de IR11 _é aberto em JR11 se para todo p E A existe uma bola aberta Be(p)
e A.
Um subconjunto aberto de JRIZ que contém
um ponto po E JRIZ é denominado uma vizinhança de Po em IRn.
Um
subconjunto D de JRIZ é dito fechado em JRll se o seu complemento, isto é,
18
]Rn - D, é aberto em JRn. Um ponto p 0 E JRn é um ponto de acumulação de um subconjunto S de :IR" se, para toda vizinhança V de p, V n S contém pelo menos um ponto distinto de p. Pode-se verificar que um subconjunto de JRn é fechado em ]Rn se, e só se, contém todos os seus pontos de acumulação. O fecho de um conjunto S e :IR" é a união de S com o conjunto de seus pontos de acumulação. Um ponto p de um conjunto S e JRn é dito um ponto interior de S se existe uma bola aberta Be(p) em JRn, tal que Be(p) e S. O conjunto de todos os pontos interiores de S é denominado interior de S. Afronteira de um conjunto Se :IR" é o fecho de S menos o interior de S. Dizemos que um conjunto S e :IR" é limitado se existe uma bola aberta
Be(p) de JRn tal que Se Be(p). Um conjunto S e JRn é dito conexo se não existem dois abertos A 1 e A 2 em JRn, tais que A1nA 2 =0, A1nS, A2nS sãonãovazioseScA 1 UA 2. Isto é, Se JRn é conexo se, para quaisquer abertos A1 e A2 em JRn tais que e e , ou Se A2. Pode-se provar que os únicos subconjuntos conexos de :IR são os intervalos. Dizemos que um subconjunto S de JRn é compacto se é fechado e limitado. Os conceitos de limite e continuidade . de uma função de duas ou mais variáveis são introduzidos de maneira análoga ao caso de uma variável. Uma função F : A .C ]Rn --+ JRm, onde A é aberto em JRn, tem limite L quando p E A tende a po se, dado qualquer e> O, existe o> O tal que, se
. O< IP-::-:Pol.< o, então !F(p)-LI
p-+po
Dizemos que uma função F : A e ]Rn
--+
JRm, onde A é aberto em ]Rn, é
19
contínua em po
A se lim F(p)
p->po
F(po).
F é dita contínua em A (ou simplesmente contínua) se F é contínua em p,
para todo p E A. Uma função F : A e Rn B e R 11 , onde A e B são abertos de Rn, é dita um homeomorfismo se F é injetora, contínua, F (A) = B e a função inversa p-l : B---+ A é também contínua. Neste caso, A e B são ditos homeomoifos. Pode-se provar as seguintes propriedades: Seja F: A e Rn---+ Rm uma função definida em um aberto A de R 11 e cujas funções coordenadas são Fi, i = 1, · · · ,m. Então, lim F(p) L se, e p->po
só se, para cada i, lim Fi (p) = Li, onde Li são as coordenadas de L. F é p->po
contínua em po E A se, e só se, parà cada i = 1, · · · , m,
é contínua em po. Sejam F : A e Rn ---+ R e G: B e R ---+ JRk funções tais que F (A) e B, onde A e B são abertos de R 11 e Rm respectivamente. Se F é contínua em Po E A e G é contínua em F (po), então a função composta G o F : A e Rn---+ JRk é contínua em p 0 • Segue-se que, se F é contínua em A e G é contínua em B, então GoF é contínua em A. 111
111
Se F é uma função .contínua definida em um conjunto conexo, então a imagem de F é um conjunto COI!C;:XO. Se F é uma função contínua definida em um conjunto compacto, então a imagem de F é um conjunto compacto. No caso particular de uma função real contínua F : A seguintes propriedades se verificam:
e
R 12
---+
.IR, as
Se po E A é tal que F(po) >O, então existe uma vizinhança V de po tal que, para todo p E V, F(p) >O.
20
Se A é compacto, então a função F tem um máximo e um mínimo, isto é, existem pontos PI e p2 em A tais que, para todo p E A, F (pi) :::::; F (p) :::::; F(p2).
Se A é conexo e a imagem de F assume os valores a, b E "IR, a< b, então para todo e E "IR, tal que a < e < b, existe p E A satisfazendo F (p) e. Se A é conexo e F não se anula, então a função F não muda de sinal. A seguir vamos rever a noção de diferenciabilidade de funções vetoriais de várias variáveis. Seja F : A e "JR.11 ~ "JR.111 uma função definida em um aberto A e "JR.11 • Fixemos p 0 E A e w um vetor não-nulo de "JR.11 • A derivada direcional de F em p 0 na direção de w é o vetor . F(po +tw) -F(po) 1rm ' t---+0 t
quando esse limite existe. ,~_ _ _ _C_on_siderando a ba_s_e_c;~ônica {ei, · · · , _e11 }
de "JR.11 , _ as derivadas direcionais de F em Po nas direções dos vetores da base são denominadas ,____________ d?rimc!aspgrciais de F em po. Se F(x1,··· ,xn)
= (F1(x1,··· ,xn),··· ,F, (x1,··· ,x
11 )),
11
parcial de F em Po na direção de ei é denotada por
então a derivada
~: (po)
ou Fxi(po) e
é igual a
______________S__e___ ~:(p) existe, para todo p E A, então temos definida uma função aF :A ~ mm -a lN..
~
. -a aF (p) . As d enva . d as parciais .. que, para cada p E A , associa ~
da função aaF são denominadas derivadas de segunda ordem de F. Assim, Xj
sucessivamente, definimos as derivadas parciais de ordem superior. A notação
21
usada para as derivadas parciais de segunda ordem é
Para as derivadas parciais de terceira ordem, usamos
Dizemos que uma função F : A existe uma aplicação linear de ffi.
11
e
ffi. 11
em ffi.
111
~ ffi.m ,
é diferenciável em p 0 se
denotada por dFp 0 : ffi. 11
~
ffi.111 ,
tal que, para todo vetor w E ffi.11 , F(po+w) =F(po) +dFp0 (w) +R(w),
onde lim Rl(wl) =O. A aplicação dFp 0 é denominada diferencial de F em w---+0
W
po. A função F é dita diferenciável se F é diferenciável em p, para todo pEA.
Pode-se verificar que, se F é diferenciável em p 0 , então, para todo vetor wEffi.11 , v. (
d rpo w
)
=·l· F(po +tw)-F(po) · . rm .., . . t---+to t
Portanto, se F é diferenciável em po, então a derivada direcional de F em
Po eJ:áste, em qualquer direção. Observamos que a recíproca não é verdadeira, isto é, uma função pode ter todas as derivadas direcionais em um ponto, sem ser diferenciável no ponto. Seja F: A
e
ffi.11
~ ffi.m
uma função diferenciável em p 0 E A. Como
dFp 0 : ffi.11 ~ ffi.m é uma aplicação linear, temos a matriz associada a dFp 0 ,
22 relativamente às bases canônicas de Rn e Rm, dada por
onde , · · · , Fm são as funções coordenadas de F. A matriz acima é denominada matrizjacobiana de F em po. Quando m n, o determinante da matrizjacobiana de F em Po é dito ojacobiano de F em po. Pode-se provar as seguintes propriedades: Se F : A e !Rn _, Rm é diferenciável em po E A, então F é contínua em Se F, G: A e Rn _, Rm e f: A_, R são funções diferenciáveis em po, então as funções F + G, fG, (F, G) e F x G (essa última quando m 3) c11tere:nc:mveis em PO· Se todas as derivadas parciais de primeira ordem de uma função F : A e Rn -T Rm são contínuas em A, então F é diferenciável. Dizemos que uma função F : A e Rn _, Rm é diferenciável de classe ck, k ~ 1 (resp. e=) se as derivadas parciais de F até ordem k (resp. de todas as ordens) existem e são contínuas. Não é difícil verificar que uma aplicação linear F : Rn _, Rm é diferenciável de classe e=. ·Além disso, para todo p E !Rn, dFp = F. De fato, se w E Rn, então lim F(p+tw)-F(p) t ...... o
t
lim F(p)+tF(w)-F(p) =F(w), t ......
o
t
onde na segunda igualdade usamos o fato de F ser linear. Pode-se provar que, se todas as derivadas parciais até ordem k de uma
23
função F : A
e
191.11
___,
m;m são contínuas ,então essas derivadas parciais não
dependem da ordem de diferenciação, isto é, Fxixj
Fxp:1 , etc.
A fórmula de Taylor, que vimos para uma função de uma variável, estendese ao caso de uma função de várias variáveis. Em particular, se F é uma função diferenciável (C"'), de duas variáveis x e y, então, para todo inteiro
n >O e (xo, yo), temos que F(x, y)
F(xo, yo) +hF_,(xo, yo) +kFy(xo, Yo)
+
+ ;, (h 2Fxx(xo, Yo) + 2hkF;.;y(xo, Yo) + k2 F)ry,(xo, Yo)) + · · · +
~ (h'JaJn~ (xo, yo) + nhn-I k a ~n~a (xo, Yo) + · · · n. X X y
) + ... k11 anp ayi (xo, Yo) +
onde h = x - xo, k = y-yo e R11 é uma função de x, y, xo, Yo que satisfaz a propriedade lim (x,y)-+(xo,Yo)
l(x, y)
Rn =0. (xo, yo)l 11
Esta expressão é o desenvolvimento de F na fórmula de Taylor em torno de
(xo, Yo). A regra da cadeia para funções de várias variáveis é dada no seguinte teorema: Sejam F : A
e
JR; 11
___,
JRm e G : B
abertos A e B tais que F(A)
e
e
JRm ___, JRk funções definidas nos
B. Se F é diferenciável em po E A e G
é diferenciável em FCP o), então a funçãó composta G o F : A e JR11 diferenciável em Po e d(GoF)p 0 = dGF(po) odFpo·
JRk é
24
Uma função F diferenciável de classe função inversa
ck
(resp. C'°), que tem uma
também diferenciável de classe
nominada um difeomorfismo de classe Lembramos que, se
f :I e
ck
ck
(resp. e=), é de-
(resp. e=).
R _,, R é uma função diferenciável definida
O, para todo t E I, então f é uma função constante. O resultado análogo para funções de várias variáveis é o seguinte: Seja f : A e R 11 -+ R uma função diferenciável definida em um conjunto R, é identicaaberto e conexo A. Se a diferencial de f em p, d fp : R 11 mente nula, para todo p E A, então f é constante em A. Observamos que dfp é uma aplicação linear, portanto, a condição dfp O, para todo p EA, é equivalente a dizer que todas as derivadas parciais de primeira ordem de f se anulam, para todo p E A. em um intervalo aberto I tal que f'(t)
Vamos concluir esta seção enunciando um resultado fundamental do cál~;·---------·-
_culo_diferencial, que é o teorema da função inversa: Seja F : A e R 11 ___, R 11 uma função diferenciável de classe
ck (resp.
C'°)
e po E A tal que dFp 0 é injetora. Então, existe uma vizinhança U de po, contida em A, tal que F(U) é aberto em R 11 e a restrição de F a U é um difeomorfismo de classe ck (resp. C"°), de U sobre F(U). Observamos que, para utilizar esse teorema, há várias formas de verificar que dFp0 é injetora. De fato, como dFp 0 : R 11 R 11 é uma aplicação linear, as seguintes condições são equivalentes: a) dFp 0 é injetora; b)Se dFp 0 (w) O, então w =O; c) A matrizjacobiana de F em po tem posto n; d) O jacobiano de F em po é não-nulo.
25
Como consequência do teorema da função inversa, temos um outro resultado importante, que é o teorema da função implícita: Sejam F: A e JR.11+111 -+ lR.11 uma função diferenciável de classe ck (resp. e) e F1, · · · ,F11 as funções coordenadas de F. Denotaremos por x
(x1,··· ,xn), y= (yi, ... ,ym) e (x, y) = (x1,··· ,xn, Y1,··· ,ym) os pontos , respectivamente. Fixados (a, b) E A e e E Il.{11 tal que de JR.11 , JR.111 e F(a, b) e, seamatrizdeterminadapor b), i,j= l,··· ,n temposto n (isto é, determinante não-nulo), então existe uma vizinhança U de b em JR.111 e uma única função G : U e JR.111 -+ Il.{11 , diferenciável classe e), tal que G(b) a e F(G(y), y) e, para todo y EU.
ck (resp.
Os resultados relacionados neste capítulo podem ser encontrados com mais detalhes em [1, 2], [5] e [14]. Finalmente, queremos observar que, para maior simplicidade, no desenvolvimento da teoria local de curvas e superfícies, vamos considerar apenas funções diferenciáveis de classe e, embora a teoria possa ser desenvolvida para funções de classe ck,k ~ 3. Usaremos o termo função diferenciável para indicar uma função diferenciável de classe e. 2.1 Exercícios
L Considere as seguintes funções F : JR. 2 a) F(x, y)
-+
JR.3 :
(x, y1 x+y);
b) F(x, y) = (x cosy, x seny, 2.x); c) F(x, y) = (x
(x+y) 2 , (x+y)3).
Em cada caso, verifique que F é diferenciável e obtenha a matriz jacoonde dFp não é injetora: biana. Indique os pontos p E lR. uma função contínua tal que F(Ãx, Ãy) = F(x, y), para todo (x, y) E JR.2 -{(O, O)} e  um número real nãonulo. Prove que F é limitada, isto é, a função F tem um máximo e um
2. Seja F:
{O}
-+
26 mínimo. (Sugestão: Considere a função F restrita a uma circunferência de raio unitário). 3. Verifique que a função F(x, y, z) = (z, x, y) é um difeomorfismo de IR3 e obtenha a diferencial de F em p.
f: IR3 ---+ IR definida por J(x, y, z) =x2+y2+z2. f é diferenciável e que a diferencial de f em p =
4. Considere a aplicação Verifique que
(xo, yo, zo) é dada por dfp(w)=2
,
wEIR3 .
5. Sejaa:IcIR--+IR2 (ou IR3 ) umafunçãodiferenciáveltalque a'(t)
#
O, para todo t E J. Prove que, para todo to E I, existe e> O tal que a, restrita ao intervalo (to - e, to + e), é injetora. 6. Seja F : A
e
IR2 ---+ IR3 uma função diferenciável tal que dFp é injetora,
para todo p E A. Prove que, para cada po E A, existe uma vizinhança
U de
c;()ntida em A, tal que F, restrita a U, é injetora.
7. Seja F: A
e
IR3 ---+IR uma função diferenciável de classe
ck
(resp.
(xo, yo, zo) E A e F(xo, Yo, zo) =e. Verifique que, se F'z(xo, yo, zo) #-O, então existe uma vizinhança U de (xo, Yo) em IR2 ,
C'º). Seja
U
eA
e uma única função G : U
ck (resp. C"')
e
IR2 ---+ IR diferenciável de classe
tal que G(xo, Yo) =zo e F(x, y, G(x, y)) =e, para todo
(x,y)EU. 8. Obtenha uma aplicação linear F : IR2 ---+ IR2 , cuja imagem da base canônica de JR2 , e1 = (1, O), e1 =(O, 1) é dada por F(e1) = (2, 1) e F(e 2 ) = (1, O). Verifique que F é bijetora, obtenha a função inversa p- I e a diferencial de F em p E JR 2 . 9. Seja T : IR2 ---+ IR2 uma translação por a, isto é, T(p) =a+ p onde a, p E IR2 . Verifique que T preserva distância entre pontos, isto é, para
27
todo p, q E R 2 , 1T (p)
- T (q) 1 =
IP - q 1.
10. Considere uma base ortonormal { w 1, wi} de R 2 . Prove que existe um única aplicação linear e: R 2 ---+ R 2 tal que C(ei) = Wi, i = 1, 2, onde {e 1, ei} é a base canônica de R 2 . Verifique que C é bijetora e que preserva produto interno, isto é, (C(p), C(q)) = (p, q), para todo p, q E R 2 . Conclua daí que, dadas duas bases ortonormais {w 1 , wi} e {w1, w2} de R 2 , existe uma única aplicação linear C: R 2 ---+ R 2 tal que C(wi) = wi, i = 1, 2. Verifique que nessas condições C preserva produto interno e, portanto, preserva distância. 11. Sejam p e q pontos de R 2 , { w1, wi} e {w1, wi} duas bases ortonormais de R 2 . Verifique que existe uma função F : R 2 ---+ JR2 que satisfaz as seguintes condições: F(p) = q, dFp(wi) = wi, i = 1, 2 e F preserva distância entre pontos. Obtenha F seguindo estas etapas: Usando os Exercícios 8 e 9~ considere a aplicação linear C tal que C(wi) = Wi e a translação T por q C(p). Defina F = ToC.
Capítulo I CURVAS PLANAS
1. Curva Parametrizada Diferenciável Uma curva no plano é descrita dando-se as coordenadas de seus pontos como funções de uma variável independente. 1.1 Definição. Uma curva parametrizada diferenciável do plano é uma aplicação diferenciável a de classe e=, de um intervalo aberto I e R em R 2 . A variável t E I é dita parâmetro da curva, e o subconjunto de R 2 dos pontos a(t), t E J, é chamado traço da curva. Observamos que uma curva parametrizada diferenciável do plano é uma aplicação a: I-+ R 2 que para cada t associa a(t) = (x(t), y(t)), onde as funções x(t) e y(t) são diferenciáveis de classe CC<). 1.2 Exemplos a) A aplicação
. a(t)
=
(xo +at, Yo +bt), t E R,
onde a2 + b2 =J. O, é uma curva parametrizada diferenciável cujo traço é uma linha reta passando pelo ponto (xo, Yo), paralela ao vetor de coordenadas (a, b) (ver Figura 1). b) A aplicação
a, que para cada a(t)
=
t E
R associa
(cost, sent),
29
é uma curva parametrizada diferenciável cujo traço é uma circunferência de centro na origem e raio igual a 1.
(a,b)
Figura 1
e) A curva parametrizada diferenciável
a(t)
(cost (2cost- l), sent (2cost
é denominada cardióide e tem o traço da Figura 2.
Figura 2
1)), t E
30
d) A curva parametrizada diferenciável que, para cada t E ( -
~, ~) ,
associa
a(t) = (2 sen 2 t, 2 sen 2 t tg t) tem o traço da Figura 3.
YA
!
! i
1 !
! !
/1
l l
:
1
i
! {2,t:ll!
Figura 3
A aplicação
a(t) = (t, ltl), t E IR, não é uma curva parametrizada diferenciável, já que em t =O (ver Figura 4).
!ti
não é diferenciável
31
X
Figura 4
A aplicação
(t, O)
a(t)
{(t,
se t::; O,
t 2 sen ~) set >O,
Figura 5
não é uma curva parametrizada diferenciável (ver Figura 5), já que a função se t ::; O,
y(t)
se t >O,
32
não é diferenciável de classe
e=.
(Observe que existe a derivada de primeira
ordem de y(t), Vt E~). Duas curvas parametrizadas diferenciáveis podem ter o mesmo traço. Por exemplo,
a(t) f3(r)
(t, 2t), t E~' (2r+ 1, 4r+2), r E~'
têm o traço da Figura 6.
Y1J' i
! i l
/
/
V'""'
/I
X
Figura 6
2. Vetor Tangente; Curva Regular 2;1 Definição. Seja a: 1--+ ~2 uma curva parametrizada diferenciável que,
a cada t E 1, associa a(t)
= (x(t), y(t)).
O vetor
a'(t) = (x'(t), y'(t)) é chamado vetor tangente a a em t.
33
A definição de vetor tangente coincide com a noção intuitiva que temos de um vetor tangente a uma curva, isto é, um vetor cuja direção é a direção limite de cordas, determinadas por um ponto a(t) e pontos próximos a(t +h), quando h tende para zero. De fato, fixado t E/, para h =!= O tal que t + h E/,
a(t+h)- a(t) h 1
é o vetor de a(t) a a(t + h) multiplicado pelo escalar h (ver Figura 7). Observamos que
. a(t+h)-a(t) 1i m - - - - - h
h-+0
é exatamente a definição da derivada da função a em t.
"~t+h)-G!(t)
G!( t+h)
t
t+h
Figura 7
2.2 Exemplo. Seja a:~---+ ~2 a curva parametrizada diferenciável que, para cada t E ~' associa
a(t)
= (cost (2cost- l)'.
sent (2cost- l)).
O vetor tangente a a em t é igual a
a' (t) = ( sent -2 sen2t, 2 cos2t - cost).
34
Observamos que um vetor tangente a uma curva
a é definido no parâ-
metro t, e não no ponto a(t), pois, como pode ser visto no Exemplo 2.2
a ( ~)
=a(-~)
=O (ver Figura 2) e, no entanto, a' ( ~) =/= a' ( -~) . 2
Portanto, o vetor tangente ao traço da curva na origem de IR não está bem definido. Para o desenvolvimento da teoria local das curvas, é preciso que exista
a para cada valor do parâmetro t; para isso, é suficiente que o vetor tangente a a seja não-nulo para todo t. Portanto,
uma reta tangente a uma curva
restringiremos o nosso estudo apenas às curvas que satisfazem essa condição.
2.3 Definição. Uma curva parametrizada diferenciável
regular se 'Vt
E
a :I
__,. IR
2
é dita
I, a'(t) =/=O.
Dentre os Exemplos 1.2 de curvas parametrizadas diferenciáveis, apenas o exemplo d) não é uma curva regular, pois nesta curva
a' (O) =O.
2.4 Definição. Seja a: I __,. IR2 uma curva regular. A reta tangente a a em to E I é a reta que passa por a(to) na direção de a'(to), isto é, a reta dada pela função
g(r) = a(to) +ra'(to), r E IR. 2.5 Exercícios 1. Sejam a e b constantes não-nulas. Verifique que a aplicação a(t)
=
.(gc;9st, b sent), t E IR, é uma curva parametrizada diferenciável. Descreva o traço de
a.
O que representa geometricamente o parâmetro
t?
2. Obtenha uma curva regular a: JR _,. IR2 tal que a(O)
(t2, d).
= (2, O)
e a'(t)
=
35
3. Determine o ponto de interseção do eixo ox com a reta tangente à curva a(t) = (t, t 2 ) em t = 1. 4. Seja a: I __,. IR2 uma curva regular. Prove que la'(t)I é constante se, e só se, para cada t E I, o vetor a" (t) é ortogonal a a' (t). 5. Considere a aplicação
a(t) = ( sent, cost+log (tg ~)), t E (0,n). Prove que: a) a é uma curva parametrizada diferenciável; b) a'(t)-/= O para todo t-/=
n
2;
c) o comprimento do segmento da reta tangente, compreendido entre a(t) e o eixo y, é constante igual a 1. O traço desta curva é chamado tratriz. 6. Seja F: IR2 __,.IR uma aplicação diferenciável. Considere (xo, yo) E IR2 tal que F(xo, Yo) =O e F}(xo, Yo) + FJ'(xo, Yo) -/=O. Prove que o conjunto dos pontos (x, y) de IR2 próximos de (xo, yo) tal que F (x, y) = O é o traço de uma curva regular. 7. Considere um círculo de raio a rolando sobre o eixo dos x sem deslizamento. Um ponto dessa circunferência descreve uma ciclóide. Supondo que, para o tempo t =o; o ponto da circunferência coincide com a origem do sistema de coordenadas, obtenha uma curva parametrizada diferenciável cujo traço é a ciclóide. Esta curva é regular? 8. Um círculo e de raio r rola externamente sobre um círculo fixo C, de raio R. Um ponto da circunferência de e descreve uma epiciclóide. Supondo que, para o tempo t =O, o ponto da circunferência e está em contato com a circunferência C, obtenha uma curva parametrizada
diferenciável cujo traço é a epiciclóide. Descreva a epiciclóide para o caso particular em que r = R. 9. Considere o conjunto C {(x, y) E JR.2 ; +y3 3axy} denominado fólio de Descartes. Obtenha uma curva parametrizada diferenciável cujo traço é
e,
de tal forma que o parâmetro t seja a tangente do
ângulo compreendido entre o eixo dos x e o vetor posição (x, y). 10. Seja a(t) = (f(t), g(t)), t E R, uma curva regular e P = (xo, Yo) um ponto fixo do plano. A curva pedal de a em relação a P é descrita pelos pés das perpendiculares baixadas de P sobre as retas tangentes à curva a. Obtenha uma curva parametrizada cujo traço é a curva pedal de a em relação a P Determine a curva pedal de uma circunferência: a) em relação ao seu centro e b) em relação a um ponto P da circunferência.
3. Mudança de Parâmetro; Comprimento de Arco Já vimos na seção 1 que duas curvas planas podem ter o mesmo traço. Dada uma .curva regular a, podemos obter várias curvas regulares que têm o mesmo traço que a, da seguinte forma: 3.1 Definição. Sejam I e J intervalos abertos de curva regular e h: J
-r
a :I
-r
R 2 uma
I uma função·diferenciável (C°°), cuja derivada de
primeira ordem é nã9:-nula em todos os pontos de J e tal que h(J) = !. Então, a função composta
f3
aoh : J
-r
JR.2
é uma curva regular, que tem o mesmo traço que a, chamada reparametrização de a por h. A função h é dita mudança de parâmetro (ver Figura 8).
37
~
)
~
~
''*"(h(•l l
;/
X
Figura 8
3.2 Exemplos a) Consideremos a curva regular
a(t)
(a cost, a sent), t
E
IR,
onde a=/-= O é constante. Seja h(s) = ~' s E R. A reparametrização de a por h é a curva
[3(s)
=
aoh(s)
(a
cos~,
a
sen~). ·
b)A curva
[3(r)
(-2r+l, -4r+2), rEIR,
é uma reparametrização de
a(t) = (t, 2t), t E IR. Basta considerar a mudança de parâmetro h(r)
-2r + 1, r E IR.
Uma mudança de parâmetro h é uma função estritamente crescente ou decrescente, portanto é bijetora. Além disso, se [3 é uma reparametrização de a por h, então a é uma reparametrização de [3 por h- 1•
38
A orientação de uma curva regular plana a é o sentido de percurso do traço de a. Seja
f3
uma reparametrização de
f3
e
a
então
f3
e
a
a
por h. Se h é estritamente crescente,
têm a mesma orientação. Se h é estritamente decrescente, então
têm orientações opostas.
No Exemplo 3.2 b),
f3
e
a
têm orientações opostas (ver Figura 9).
y ~(.r)
X
Figura 9
Seja a : 1 - 7 IR 2 uma curva regular e fixemos t0 e t 1 do intervalo /. Subdividindo o intervalo [to, t1] nos pontos to= ao < a1 < · · · < a 11 t1, e ligando retilineamente os pontos a(ao), a(a1 ), · · · , a(a 11 ), obtemos uma linha poligonal cham~da_poligonal inscrita à curva entre a(to) e a(t 1). Esta poligonal tem um comprimento. Consideremos agora todas as poligonais inscritas à curva entre a(to) e a(t1 ). Como a é uma curva regular (na realidade, é suficiente que a derivada de primeira ordem da função
a
exista e seja contínua), pode-se verificar ([1], [5] e [14]) que existe o limite superior do conjunto dos comprimentos dessas linhas poligonais, e é igual a
!
a' (t) ldt, que é chamado comprimento de arco da curva a de to a t1.
ti 1
to
39
A aplicação s(t)
1t la'
(t)ldt é denominada função comprimento de
to
arco da curva a a partir de to. Esta função é diferenciável de classe
e=,
pois a é uma curva regular. 3.3 Definição. Uma curva regular a : I
--+
JR2 é dita parametrizada pelo
comprimento de arco se, para cada to, t1 E J, to da curva a de to a t1 é igual a t1
s ti,
o comprimento do arco
to. Isto é,
t1
1
la'(t)ldt
to
JR2 está parametrizada pelo comprimento de arco se, e só se, Vt E I, 1a' (t) 1 = 1. 3.4 Proposição. Uma curva regular a : I
Demonstração. Suponhamos a parametrizada pelo comprimento de arco e fixemos to E J. Consideremos a função s: I--+ :IR, que, para cada t E J,
1
a' (t) jdt. Se to S t , então, por hipótese,
1
to - t; se t S to'." então -s(t) t E J, s(t)
a' (t) 1 =
1
t
j º a' (t) ldt 1
1
associa s(t) =
t0 , e s'(t)
=
~ ["
a' (t) 1dt
1
1. Como s'(t)
to - t.
=
1
Pôrt~to, para todo
la'(t)I, concluímos que
1, Vt E J. A recíproca é imediata.
o 3.5 Exemplo. A aplicação
a (t)
(a cos ~, asen ~) , t E :IR,
onde a =J O, é uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco,
já que
la'(t)i
1, Vt E :IR.
A seguir, veremos que toda curva regular
f3,
onde
f3
a admite uma reparametrização
está parametrizada pelo comprimento de arco.
3.6 Proposição. Seja a : I---+ IR2 uma curva regular e s : I---+ s(I) e IR a função comprimento de arco de a a partir de to. Então existe a função inversa h de s, definida no intervalo aberto J = s(I), e f3 =a oh é uma reparametrização de a, onde f3 está parametrizada pelo comprimento de arco. Demonstração.
a é uma curva regular, portanto, s'(t)
= la'(t)I >O,
isto é, s é uma função estritamente crescente. Logo, existe a função inversa dh ds de s, h: J---+ J. Como Vt E I, h(s(t)) = t, temos que ds dt = 1, portanto, dh 1 1 -=-=-->0 ds s'(t) la'(t)I ·
Concluímos que f3(s) =a o h(s), s E J, é uma reparametrização de a e d a dh 1 a' (t) 1 . _ dt ds = la'(t)I = 1. Portanto, pela Propos1çao 3.4, f3 está i=-;~~---o'ai-ran'1·~:il'r1-z~-ú:-1a·····'· ·-·camprimenfo de arco. . . .
D A aplicação f3 da Proposição 3.6 é dita uma reparametrização de a pelo comprimento de arco. Observamos que essa reparametrização não é única,
pois depende da função comprimento. de arco, que, por sua vez, depende de to fixado. Usando a Proposição 3.6, vamos obter uma reparametrização pelo com-
primento de arco das· ·seguintes curvas regulares. 3.7 Exemplos a) Consideremos a(t) = (at+c, bt+d), t E IR e a2 +b 2 =/=O. Seja s(t) a função comprimento de arco de a a partir de to = O, isto é, s(t)
=
l
va 2 +b 2 dt= ../a2+b2t.
41
A função inversa de s é dada por h(s) =
s , s E IR. Portanto, v'a2+b2
f3
=
a oh, que a cada s associa
f3(s) =(a v'a2s+b2 +c, b v'a2s+b2 +d)'
é uma reparametrização de a pelo comprimento de arco. b) Consideremos a curva a(t) =(é cost, é sent), t E IR, chamada espiral logarítmica. Verificamos que 1a' (t) 1 = -J2 é e, portanto, a função comprimento de arco de a, a partir de to= O, é s(t)
= -Jjj -Vi.
A função inversa é dada por
h(s)=log(~+1). Portanto, f3(s) = ((
~ + 1) cos(log( ~+ 1)), ( ~ + 1)
sen(log(
~+ 1)))
é uma reparametrização de a pelo comprimento de arco. 3.8 Exercícios 1. Verifique que as curvas regulares a(t) = (t, é), t E IR, e (log r, r), r E (O, 00 ) , têm o mesmo traço. 2. Calcule o comprimento do arco da catenária (ver[9], pág. 39) a(t) = (t, cosht), t E IR,
entre t = a e t = b. 3. Obtenha uma reparametrização da ciclóide a(t) =(a( t - sent), a (l - cost)),
pelo comprimento de arco.
O< t < 2n,
f3 (r)
=
42
4. Teoria Local das Curvas Planas; Fórmulas de Frenet Na seção anterior, vimos que toda curva regular do plano pode ser reparametrizada pelo comprimento de arco. Consideremos uma curva regular
a(s)
= (x(s), y(s)), s E I,
parametrizada pelo comprimento de arco s. Para cada s E I, a'(s) é um vetor unitário, que denotamos por t(s), isto é,
t(s)
=
(x'(s), y'(s)).
Seja n(s) um vetor unitário ortogonal a t(s), tal que a base ortogonal de ffi. 2 formada por t(s) e n(s) tem a mesma orientação que a base canônica e1
= (1, O),
e2
=(O, 1) de ffi. 2 (ver Figura 10), isto é, n(s) = (-y'(s), x'(s)).
,_,=----------- __O _____C()]ljunto
de vetores t(s) e n(s) é dito referencial de Frenet da curva
a em s.
Figura 10
A reta normal a a em so é a reta que passa por a(so) na direção de
n(so).
43
Observamos que t(s) e n(s) são funções de I em JR.2 , diferenciáveis de classe e=, e, para cada s E I, os vetores de ffi. 2 , t'(s) e n'(s) podem ser escritos como combinação linear de t(s) e n(s). Como t(s) é unitário, temos que t' (s) é ortogonal a t(s) (ver 2.5 Exercício 4) e, portanto, t'(s) é proporcional a n(s). Este fator de proporcionalidade, denotado por k(s), é chamado curvatura de a em s, isto é,
t'(s) = k(s)n(s). Considerando a curva a(s)
=
(x(s), y(s)), s
E
I, segue-se da definição
que
k(s) = (t'(s), n(s)) = (a"(s), n(s)). Portanto,
k(s) = -x"(s)y'(s) +y"(s)x'(s). Analogamente, como n(s) é unitário, temos que n'(s) é ortogonal a n(s) e, portanto, n'(s) é proporcional a. t(s). Como
(n'(s), t(s)) = -x'(s)y"(s) +x"(s)y'(s), concluímos que
n'(s) = -k(s)t(s). Resumindo, se a : I--+ JR.2 é uma curva regular, parametrizada pelo comprimento de arco s, então o referencial de Frenet t(s), n(s) satisfaz as equações t' (s)
k( s) n (s),
n' (s)
-k(s )t(s),
que são as fórmulas de Frenet de uma curva plana. A função jk(s) 1 = 1a" (s) 1 indica a velocidade com que as retas tangentes mudam de direção. De fato, fixemos s 0 E I e consideremos os vetores tangentes a' (s 0 ) e a' (so + h), onde so + h E I. Seja
(h) o ângulo formado
44 por a'(so) e a'(so+h), istoé, Os
cos(h)
(a'(so), a'(so+h)).
Então, lim (hh) indica a velocidade com que as retas tangentes mudam de h-+0
direção. Como para todo h
la'(so+h)
a'(so)I
2 sen (h) 2 '
concluímos que
Jk(so)I
Ja"(so)J = lim
h
4.1 Exemplos a) Seja a(s) uma curva parametrizada pelo comprimento de arco cujo traço é uma reta. Então, a curvatura é identicamente nula. De fato, seja
a(s)
(as+xo, bs+yo), s
E J,
onde a e b são constantes e a2 +b 2 1. Como t(s) temos que t' (s) = O e, portanto, k(s) = O, Vs E J. b) Consideremos a curva
a(s)
= a'(s)
é constante,
(a+b cosi, c+b senJ;), s E IR, b >O,
cujo traço é uma circunferência de centro (a, e) e raio b. Neste caso,
t(s)
(- sen~, cosÊ),
n(s)
(-cosJ;, - seni).
Logo,
k(s)
(t'(s), n(s))
45
Consideremos agora uma reparametrização de
s
f3 (s) = (a + b cos b' e Então, a curvatura de f3 (s) é igual a
~
a, dada por
b sen
s z/
(ver Figura 11).
t(.s)
o
.s) '
Figura 11
Observamos que o sinal da curvatura depende da
ori~ntação
da curva.
Mais adiante veremos a interpretação geométrica do sinal da curvatura. O referencial de Frenet e a curvatura foram definidos para curvas regulares parametrizadas por comprimento de arco. Como vimos na Proposição 3.6, toda curva regular admite uma tal reparametrização, entretanto, gostaríamos de poder realizar o estudo das curvas sem ter que, necessariamente, mudar a parametrização. A seguir, vamos considerar o referencial de Frenet e a curvatura de uma curva regular com qualquer parâmetro. Seja a:/ - t IR2 uma curva regular de parâmetro qualquer r E/. Consideremos
f3 : J
IR2 uma reparametrização de ,a pelo comprimento de arco
s, isto é, f3(s(r)) a(r). Se t(s), n(s) é o referencial de Frenet de f3(s) e k(s) é a curvatura, então diremos que t(r) = t(s(r)), n(r) n(s(r)) é o referencial de Frenet de a, e k(r) = k(s(r)) é a curvatura.
46
4.2 Proposição. Seja a(r)
= (x(r), y(r)), r E J, uma curva regulaJ:
Então,
t(r) -
-
(x'' y') J (x')2 + (y')2'·
k(r)
n(r)
=
(-y', x') J(x')2 + (y')2;
-x"y' + x'y'' ((x')2 + (y')2)3/2.
=
Demonstração. Seja f3 (s) uma reparametrização de a por comprimento de arco. Derivando f3 (s(r))
= a(r) , temos d/3 ds = a'(r) ds dr
e d
2
f3 ( ds ) '
ds2
onde
dr
d[J d's
+ ds
(1)
,,
dr2 =a (r),
ds I dr= Ja (r)J.
(2)
(3)
E, portanto,
d2s (a' (r), a" (r)) dr 2 Ja'(r)J Considerando que a(r) = (x(r), y(r)), segue-se de (1) e (3) que t(r) -
(x', y')
- v(x')2 + (y')2
Pela definição de vetor normal, temos
(-y', x') n(r) = J(x')2 + (y')2 Como
/ d2f3 ) k(s(r)) = \ ds 2 (s(r)), n(r) ,
(4)
47
concluímos usando ( 1) a (4) que
k(r)
-x''y' + x'y'' ((x')2 + (y')2)3/2 · D
4.3 Exemplo. Consideremos a espiral logarítmica
a(r) =(e,. cosr, e,. senr), r E R Então,
e, portanto, k(r)
a'(r)
e,.(cosr
a"(r)
e·(-2senr, 2cosr),
=
1
r-:;
v2er
senr, senr+cosr),
•
A seguir, veremos a interpretação geométrica do sinal da curvatura. Seja
a(s) = (x(s), y(s)), s
E J, uma curva regular parametrizada pelo compri-
mento de arco. O vetor tangente t(s) =a' (s) é unitário e, portanto, a" (s) é ortogonal a a'(s). Fixemos so E 1 e suponhamos que k(so) =!=-O. Observamos que a reta tangente a
a em so,
T(s) = a(so) + (s-so) a'(so), divide o plano em dois semiplanos. Considerando a expansão de a(s) em séries de Taylor, em tomo de s0 , temos
a(s)
= a(so)+(s-so) a'(so)+ (s - 2so)
2
a"(so)+R(s),
onde R(s) é uma função vetorial, tal que lirn ( R(s) )2 =O. Portanto, ..
S-+So
a(s)-T(s)=
S-SQ
(s s ) 2 a"(so)+R(s). 2
°
48
Como a(s) - T(s) é um vetor no sentido do semiplano que contém a(s), concluímos da última igualdade que, para todo s suficientemente próximo de s 0 , a"(so) tem o sentido do semiplano que contém os pontos a(s).
Yt
y
l
t (so)
1.,,~l.
i 7 !
oC(so) k(sohO
k(s0 )<0
Figura 12
Como k(so)
=
(a"(so), n(so)), concluímos que, se k(so) >O, então n(so) tem o mesmo sentido de a"(so), e se k(so)
49
Figura 13
Uma involuta de uma curva regular f3 é uma curva que é ortogonal às retas tangentes de f3. Portanto, se f3 é evoluta de a, então a é uma involuta de
{3. Observamos que o ângulo entre duas curvas regulares que se interceptam é definido como sendo o ângulo en~e os vetores tangentes às curvas no ponto de interseção. 4.4 Exercícios 1. Obtenha a curvatura das seguintes curvas regulares: a) a(t)
= (t, t4 ), t E lR;
b) a(t)
(cost (icost
c) a(t)
(t, cosht), t E lR (catenária).
1), sent (2cost
2. Considere a curva regular a(t) (t, t 2 -4t de t a curvatura de a é máxima?
1)), t E lR (cardióide);
3), t E lR. Para que valor
3. Considere a elipse f3 (t) (a cost, b sent), t E lR, onde a> O, b > O e a # b. Obtenha os valores de t onde a curvatura de f3 é máxima e
mínima.
50
4. Seja a(s) (x(s), y(s)) uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco, e sejam n(s) o vetor normal e k(s) a curvatura de a. Considere a família de curvas
f3(s,r)
= a(s) + rn(s),
-ê
Sr Sê.
a) Prove que as curvas f3(s,ro) e f3(so,r), onde roe so são constantes, são regulares para s suficientemente pequeno. b) Prove que as curvas f3(s,ro) e /3(so,r) são ortogonais. c) Verifique que a curvatura
k da curva f3(s,ro) é igual a - k k. 1 +ro
5. Seja r r( e) uma curva regular dada em coordenadas polares. Verifique que o comprimento do arco da curva de 80 a 81 é obtido por
e a curvatura
k(8) =
2(r') 2 - rr'' + r2 (r2 + (r')2)3/2
6. Seja a(s), s E JR, uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco. Prove que, se a curvatura k(s) é uma função estritamente monótona, então a(s) não tem auto-interseção. (Sugestões: a) Suponha que o primeiro ponto de auto-interseção é a(a) = a(b). Considere k' > O, a(a) a(b) = (0,0), o eixo x na direção de a'(a) e o laço da curva de a(a) a a(b) contido no semiplano y;:.::: O. Obtenha uma contradição calculando J:yk' ds. b) Considere a curva f3(s) = a(s) + n(s)/k(s) e k' >O (ver Exercício 9). · Verifique que 'r/s > so, l/3(s) /3(so)I < fs~
l/3'(s)ids = l/k(so) 1/k(s) e l/3(s) que a(s) não admite auto-interseção.)
/3(so)I < 1/k(so). Conclua
51
7. Determinar as curvas que têm a seguinte propriedade: o segmento das retas normais compreendido entre a curva e o eixo do x tem comprimento constante. 8. Verifique que a curvatura da tratriz (2.5 Exercício 5) é proporcional ao comprimento da reta normal compreendida entre o ponto da curva e o eixo dos y. 9. Seja a(s) uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco
s. A evoluía de a é a curva definida por /3(s) = a(s) + k~s) n(s), onde n(s) é o vetor normal e k(s) é a curvatura de a. Prove que:
f3 é uma curva diferenciável se k(s) i= OVs. b)Suponhaque k(s)#O, Vs, então f3 éregularse k'(s)#O, Vs.
a)
c) Nas condições do item b), o vetor tangente à evoluta em s é paralelo ao vetor normal a
a
em s.
1O. Seja a(s) uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco
s e tal que k( s) > O, Vs. Verifique que o comprimento do arco da evoluta de a entre so e s1 é igual à diferença entre os raios de curvatura em
so e
s1.
11. Obtenha a evoluta da elipse. 12. Sejam a(t) e f3(t) curvas regulares do plano tal que, para todo t, a reta determinada por a (t) e
/3 (t)
é ortogonal a a e f3 em t. Verifique
que o segmento de reta de a(t) a /3(t) tem comprimento constante. 13. Verifique que a reta normal a
a
em s é ortogonal à curva determi-
nada pelos centros de curvatura nos pontos em que a curvatura de a é máxima e mínima. 14. Uma curva plana a(B),
é o centro de curvatura de
e E 1, a
tem a seguinte propriedade: Se c(B)
em e' Q( e) é a projeção de
a (e)
sobre
r 52
o eixo Ox e T (e) é o ponto de interseção da reta tangente a a em e com este eixo, então a área do triângulo cQT é constante. Obtenha a curva a (e) onde o parâmetro e é o ângulo que a reta tangente forma com o eixo Ox.
5. Teorema Fundamental das Curvas Planas O teorema a seguir mostra que a curvatura determina uma curva plana a menos de sua posição no plano. Mais precisamente: 5.1 Teorema fundamental das curvas planas
e
IR, existe uma curva regular a (s), parametrizada pelo comprimento de arco s, cuja curvatura é a) Dada uma função diferenciável k(s), s E I
k(s). b) A curva a (s) acima é única quando fixamos a (so)
= Po
e a' (so)
=
2
vo, onde v0 é um vetor unitário de JR . - --c)Se-aiias-curvas a(s) e f3(s) têm a mesma curvatura, então diferem por sua posição no plano, isto é, existe uma rotação L e uma translação T em JR2 tal que a(s)
= (LoT)(f3(s)).
Demonstração. a) Consideremos e(s)
=
1s
k(s)ds, onde so E I é fixo.
so
Fixemos um ponto po = (xo, Yo) de IR2 e À E R Definimos uma curva a(s) = (x(s),y(s)) por
xo+ls
x(s)
cos(e(s)+À)ds,
so
y(s)
=
Yo +
1s
sen( e(s) +À )ds.
so
Vamos verificar que a curva a assim definida está parametrizada pelo com-
53
primento de arcos e sua curvatura é k(s). Como o referencial de Frenet é
= ( cos(e(s)+À),
t(s)
a'(s)
n(s)
( - sen(e(s)+À), cos(e(s)+À) ),
sen(e(s)+À) ),
temos que 1 a' (s) 1 = 1 e a curvatura de a é dada por
(t'(s), n(s)) = e'(s) =k(s). b) Seja a(s) = (x(s), y(s)) uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco s, cuja curvatura é k(s). Segue das equações de Frenet que
// y ") = k( -y,I (X,
X ') ,
isto é, x(s) e y(s) satisfazem as equações
x''
-ky''
y"
-kx'.
Portanto, segue do teorema de unicidade de solução do sistema de equações diferenciais que, fixados a(so) [13], [9]). e) Sejam a e
f3
= po
e a' (so)
= vo,
a curva a é única. (Ver
duas curvas que têm a mesma curvatura. Fixado so,
existe uma rotação L e uma translação T de JR2 tal que a curva ã =Lo To f3
= a(so) e a =Lo To f3.
satisfaz ã(so) Portanto,
ã'(so)
= a'(so).
Segue-se do item b) que ã =a.
D 5.2 Exercícios 1. Caracterize todas as curvas regulares planas que têm curvatura constante. 2. Prove que toda curva regular plana cuja curvatura é da forma
k(s)
1
= --b, as+
a "=I O,
54
é uma espiral logarítmica. .
3. Detennme as curvas planas de curvatura k(s)
1
= --h-. cos s
4. Determine as curvas regulares do plano cujas retas tangentes se interceptam em um ponto fixo. 5. Determine as curvas regulares do plano cujas retas normais se interceptam em um ponto fixo.
Capítulo II CURVAS NO ESPAÇO
Neste capítulo será desenvolvida a teoria local de curvas no espaço euclidiano Jlt3 . Como veremos a seguir, muitos conceitos básicos para curvas no espaço são introduzidos de modo análogo ao de curvas planas.
1. Curva Parametrizada Diferenciável 1.1 Definição. Uma curva parametrizada diferenciável de Jlt3 é uma aplica-
ção diferenciável a, de classe C'°, de um intervalo aberto I variável t E I é o parâmetro da curva, e o subconjunto de pontos a(t), t E J, é o traço da curva.
em Jlt3 . A formado pelos
e Jit
Observamos que uma curva parametrizada diferenciável de Jlt3 é uma aplicação a(t) = (x(t), y(t), z(t)), t E/, onde x(t), y(t) e z(t) são funções diferenciáveis de classe C'°. 1.2 Exemplos a) A aplicação
a(t)
=
(xo+at, Yo+bt, zo+ct), t E Jlt,
onde a 2 + b2 + c2 -=J O é uma curva parametrizada diferenciável, cujo traço é uma linha reta passando pelo ponto (xo, yo, zo) e paralela ao vetor de coordenadas (a, b, e). b) A curva parametrizada diferenciável
a(t) =(a cos t, a sen t, bt)
56 t E
JR, a> O, b ::j: O é a hélice circulm: O traço desta curva está contido no
cilindro x2 + y2 a2. Se a(t1) e a(t2) são dois pontos que têm as duas primeiras coordenadas respectivamente iguais, então as terceiras coordenadas diferem por um múltiplo de 2nb (ver Figura 14).
y
K
Figura 14
e) A aplicação
(et cost, d sent, d), t E JR,
a(t)
é uma curva parametrizada diferenciável, que tem o traço da Figura 15.
Z/,\
:
1
y
K
Figura 15
57
1.3 Definição. Uma curva parametrizada diferenciável a : I plana se existe um plano de JR3 que contém a(I).
---+
é dita
O Exemplo 1.2 a) é uma curva plana.
2. Vetor Tangente; Curva Regular; Mudança de Parâmetro As noções de vetor tangente, curva regular e mudança de parâmetro para curvas no espaço são motivadas pelas mesmas considerações já vistas para curvas planas, portanto, serão introduzidas sem muitos comentários. uma curva parametrizada difeSeja a(t) = (x(t), y(t), z(t)), t E I e renciável. O vetor tangente a a em t E I é o vetor a' (t) = (x' (t), y' (t), z' (t) ). A curva a é regular se 'í/t E/, a'(t) =f- O. A reta tangente à curva regular a em to E I é a reta que passa por, a(to) na direção de a' (to), isto é, a reta dadapelafunção g(r) a(to)+ra'(to), rER Sejam I e J intervalos abertos de IR, a : I ---+ JR 3 uma curva regular e h : J---+ I uma função diferenciável e=, cuja derivada de primeira ordem é não-nula em todos os pontos de J e tal que h(J) = J. Então, a função composta
f3 =
a oh :J
---+
:IR3
é uma curva regular, que tem o mesmo traço que a, chamada reparametrização de a por h. A função h é a mudança de parâmetro. Observamos que, se f3 é uma reparametrização de a por h, então a é uma reparametrização de f3 por h- 1 •. A orientação de uma curva regular a é o sentido de percurso do traço de a. Uma reparametrização f3 de a tem orientação igual (resp. oposta) à de a se a mudança de parâmetro é estritamente crescente (resp. decrescente).
58 2.1 Exemplo. A curva
a(s)
.ri' .ri' .ri) ,
= ( cos
sen
s E IIR,
é reparametrização da hélice circular
f3(t)
= (cost,
pela mudança de parâmetro h(s)
.ri'
=
sent, t),
s E IIR.
Seja a(t), t E 1, uma curva regular de 1!R3 . O comprimento do arco da curva a de to a t1 é dado por t1
1
la'(t)ldt
to
e a função comprimento de arco da curva a a partir de to é
s(t)
=
t1
1
la'(t)ldt.
to
Uma curva regular a : 1 __, 1!R3 é dita parametrizada pelo comprimento de arco se para cada to, t1 E 1, to ::; t1, t1
1
la'(t)jdt
= t1
to.
to
2.2 Proposição~.· Uma curva regu.lar a : 1 __, 1!R3 está parametrizada pelo
comprimento de a;co se, e só se, Vt E/, ja'(t)I
= 1.
Como ocorre com as curvas planas, toda curva regular no espaço admite uma reparametrização pelo parâmetro comprimento de arco. 2.3 Proposição. Sejam a: 1__,1!R3 uma curva regu.lar e s: 1 __, s(I) e 1IR
a função comprimento de arco de a a partir de to. Então, existe a função
59
inversa h de s, definida no intervalo aberto J = s(I), e f3 =a oh é uma reparametrização de a, onde /3 está parametrizada pelo comprimento de arco. A aplicação
f3
desta proposição é denominada uma reparametrização de
a pelo comprimento de arco. As demonstrações dessas duas proposições são idênticas às correspondentes do Capítulo I. 2.4 Exercícios 1. Verifique que as aplicações
= (t, a(t) = (t,
a) a(t)
t 2 , t 3 ), t E IR,
b)
t 2 +2, t 3 +t), t E IR,
são curvas regulares. 2. Verifique que a aplicação
(t, O, e-fz-) a(t) = { O (t,e-fz-,o)
se t
se t =O,. se t>O,
é uma curva regular. 3. Prove que a aplicação a(t)
= (1 +cost,
sent, 2sen~), t E IR, é uma
= ; x2 +
curva regular cujo traço está contido na .,interseção do cilindro C
{(x, y, z) E IR y2+z2 =4}.
3
;
(x- l)
2
+y2 = 1}
e da esfera S= {(x, y, z) E IR
3
4. Obtenha uma curva regular em IR3 cujo traço coincide com a· interseção do cilindro C = {(x, y, z) E IR3 ;
x2 +y2 = 1}
5. Obtenha a curva regular tal que a(O)
= (2,
e o plano x+2y+z = 1.
3, 1) e a' (t)
= (t 2 , t, d).
60
6. Dê a equação da reta tangente à curva a(t) = (2t 2 +1, t-1, 3t 3 ) em to E JR, onde a(to) é o ponto de interseção do traço da curva com o plano xz. 7. Seja a : I -----+ lR3 uma curva regular. Prove que 1a' (t) 1 é constante se, e só se, 'í/t E/, a"(t) é ortogonal a a'(t). 8. a)Verifiquequeacurva a:(0,=)----+JR3 dadapor a(t)=(t, é uma curva plana.
-;-t,
1
1 -/)
b) Verifique que toda curva regular de JR 3 , cujas funções coordenadas são polinômios de grau menor ou igual a dois, é uma curva plana. 9. Se a : I-----+ JR3 uma curva regular, prove que Vto E/, existe um intervalo abert~ue contém to, no qual a é injetora. 10. Seja a : I-----+ JR3 uma curva regular. Prove que 'ílto E/, existe um intervalo aberto J que contém to e existem funções diferenciáveis F, G tal que o traço de a restrito a J está contido no conjunto "=~-----~------ -{(x, y, z) E JR3 ;F(x, y, z) = G(x, y, z) =O}. 11. Verifique que a curva
a(s) = onde u(s)
(~u(s),
= s+ v's2 +1,
1 u 2 (s),
~ log(u(s))),
está parametrizada pelo comprimento de arco.
12. Considere a curva regular a(t) = (2t, t 2 , logt), t E (O, =). Obtenha a função comprilnento de arco a partir de t = 1. Verifique que os pontos (2, 1, O) e (4, 4, log2) pertencem ao traço de a e calcule o comprimento de arco de a entre esses pontos. 13. Obtenha uma reparametrização pelo comprimento de arco das curvas
= (r! cost, r! sent, r!), t E JR; a(t) = (2 cosh2t, 2senh 2t,4t), t E JR.
a) a(t) b)
61
14. Seja a(t) uma curva regular. Prove que, se f3(s) e y(s) são duas reparametrizações de a por comprimento de arco, então s = ± s+a, onde a é uma constante.
3. Teoria Local das Curvas; Fórmulas de Frenet No capítulo anterior, vimos que a teoria local das curvas planas está contida essencialmente nas fórmulas de Frenet, que são obtidas considerando um diedro ortonormal associado naturalmente a uma curva plana. A seguir, vamos desenvolver um estudo análogo, considerando um triedro ortonormal associado a uma curva regular de ~3 . Seja a: I-----+ ~3 uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco. A velocidade com que as retas tangentes mudam de direção é denominada curvatura de a, isto é, 3.1 Definição. Se a : I -----+ ~3 - é uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco, então a curvatura de a em s E I é o número real
k(s) =la" (s)j. 3.2 Exemplos a) Consideremos a curva parametrizada pelo comprimento de arco
a(s)=(acos;,a sen;,o), sE~, cujo traço é uma circunferência contida no plano x o y, de raio a> O. A curvatura de a é k(s) b) A curva regular
a(s)=
(
= ~' a
Vs E R
(1 +s)z3 (1-s)z3 s ) , , v'2 3 3
, sE(-1,1),
62 está parametrizada pelo comprimento de arco e 1
k(s)
= J8(1-s2).
A proposição seguinte caracteriza as retas como sendo as curvas de curvatura identicamente nula. 3.3 Proposição. Seja a : 1 ---+ JR3 uma curva regular parametrizada
pelo comprimento de arco. Então, a(I) é um segmento de reta se, e só se, k(s) =0, Vs E/. Demonstração. Se a(I) é um segmento de reta, então a(s) = p + vs, onde p E JR3 e v é um vetor unitário de JR3 . Portanto, \;/ s E J, a' (s) = v e
a"(s) =O, donde k(s) = ja"(s)l =O. Reciprocamente, se 1a" (s) 1 = O, Vs E 1, então a" (s) = O. Integrando , = 1. Integrando novamente, obtemos a(s) = p+vs, cujo traço é um segmento de reta. D Se a : I---+ JR3 é uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco, então ja'(s)j
=
1 implica que a"(s) é ortogonal a a'(s). Portanto,
\;/ s E 1 onde k(s) =/=- O, isto é, na direção de a" (s).
a" (s)
=/=-
O, podemos definir um vetor unitário
3.4 Definição. Seja a : I---+ JR3 uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco tal que k(s) > O. O vetor
n(s)
=
a" (s) k(s)
é denominado vetor normal a a em s. A reta normal a a em so E 1 é a reta que passa por a (so) na direção do vetor normal n (s 0 ).
63
Denotando por t(s) o vetor unitário a'(s), temos que t(s) e n(s) são vetores ortonormais e
= k(s)n(s).
t' (s)
A seguir, definimos um terceiro vetor que, junto com t e n, forma uma base ortonormal de JR3 . 3.5 Definição. Seja a : 1 ---+ JR3 uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco tal que k(s) >O. O vetor binormal a a em s é b(s)
= t(s)
x n(s).
O referencial ortonormal t(s), n(s), b(s) é o triedro de Frenet da curva a
em s. Cada par de vetores do triedro _d.e Frenet determina um plano. O plano de JR que contém a(s) e é normal ao vetor t(s) é o plano normal à curva a em s. O plano que contém a(s) e é normal a b(s) é denominado plano osculador, e o plano que contém a(s) e é normal a n(s) é.o plano retificante da curva a em s (ver Figura 16). 3
b(.s)
1' 1
pl.ano no:rma.l ! l i F - - - - - 7 n( .s)
pl.ano i:etificante
1 ~(.s)
I
1 1 iç,.
t:(.s)
\
pl.azío o.s cul.adoi:
\
1 1
Figura 16
64
Observamos que b'(s) é paralelo a n(s). De fato, derivando b(s) t(s) x n(s), obtemos
b'(s)
t'(s)xn(s)+t(s)xn'(s) t(s) x n'(s).
Portanto, b'(s) é ortogonal a t(s). Como jb(s)j 1, temos que b'(s) é ortogonal a b(s). Donde concluímos que b'(s) é paralelo a n(s), isto é, b' (s) é igual ao produto de n (s) por um número real. 3.6 Definição. O número real i-(s) definido por b'(s) nominado torção da curva em s.
i-(s)n(s) é de-
Exi~m11lo. Vamos obter o triedro de Frenet, a curvatura e torção da hélice circular parametrizada pelo comprimento de arco
a(s)
onde a > Oé uma cqnstante.
t(s) =--;:::;;;;::===;;:.(-a sen--;=;=s=;:, a cos--;:::;;::s=::::, a11 (s)
_-_a_ ( cos --;:=;=s=::;;:, :st::u --;=;=s===;:,
k(s) = ja11(s)j =
2 a b2.
a+
O) ,
b),
Portanto,
a"(s) n(s) = k(s) b(s)
(
s - cos -;:::::;===:;:,
= t(s) x n(s)
b1 (s)
Observamos que, se a(s) é uma curva regular de R 3 , então k(s) 2::: O (em contraste com a definição do capítulo anterior de curvatura de uma curva plana), enquanto a torção pode ser negativa ou positiva. O módulo da torção mede a velocidade com que o plano osculador varia. De fato, fixado so E I, consideremos os vetores binormais b(so) e b(so + h), onde so + h E 1. Seja 0 h a velocidade com que varia o vetor binormal ou, equivalentemente, o plano osculador. -Como
lb(so+h)-b(so)I
= 2 sen
concluímos que
li-(so)I
lb'(so)I = lim'O
A interpretação geométrica do sinal da torção será dada adiante, na seção 5. Se a: I JR3 é uma curva regular_parametrizada pelo comprimento de arco e tal que k(s) >O, \;/ s E I, então o triedro de Frenet da curva a em s é um referencial ortonormal de JR3 . Portanto, podemos obter os vetores 1 1 t (s), n (s) e b'(s) como combinação linear de t(s), n(s) e b(s). Já vimos
66 que
t'(s)
k(s)n(s),
b'(s)
1:(s)n(s).
Vamos obter a expressão para n'(s). Como
n(s)
b(s) x t(s),
derivando temos
n'(s)
b'(s) x t(s) +b(s) x t'(s).
Substituindo b' e t' pelas expressões acima, obtemos
n' (s)
-1:(s )b(s) - k(s )t(s).
Resumindo, se a : I -+ JR:.3 é uma curva regular, parametrizada pelo comprimento de arco, e tal que k(s) >O, Vs E/, então o triedro de Frenet definido por
n(s)
a"(s) la"(s)I' b(s)
t(s) x n(s) satisfaz as equações
t' (s)
k(s)n(s),
n'(s)
-k(s)t(s)-1:(s)b(s),
b'(s)
,;(s)n(s),
que são denominadas fórmulas de Frenet. Na próxima seção e nos exercícios seguintes, veremos algumas das aplicações das fórmulas de Frenet. O triedro de Frenet, a curvatura e a torção foram definidos para uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco. A proposição seguinte permite obter a curvatura e a torção de uma curva regular com qualquer parâmetro, sem precisar reparametrizá-la pelo comprimento de arco.
67 3.8 Proposição. Seja a : I --+ JR.3 uma curva regular de parâmetro t e
f3 : J--+ JR.3 uma reparametrização de a pelo comprimento de arco, isto é, f3(s(t)) = a(t), Vt E/. Sejam k(s) >O e i-(s) a curvatura e a torção de /3 em s E J, então ja'(t) x a"(t)I la'(t)l3 (a'(t) x a"'(t), a"(t)) la'(t) x a"(t)1 2
k(s(t)) i-(s(t))
Demonstração. Derivando em relação a t a expressão f3(s(t)) = a(t), obtemos
d/3 ds ds dt =
ª
'( ) t'
(1)
2 2 2 d f3 (ds) d/3 d s _ "( ) ds2 dt + ds - a t ·
(2)
~;=la' (t)I,
(3)
(a"(t), a'(t)) =----la'(t)I
(4)
Como
temos que d 2s
Segue de (1) e (2) que 3
2
a' (t) x a" (t) = ( -ds) -d/3 x -d f32 . dt ds ds Portanto,
I
la'(t) x a"(t)J = ldsl3 ld2/32 dt ds '
68
f3 está parametrizada pelo comprimento de arco ,e ortogona1 a d2 ' () dsf3 . Conclunnos, usando 3 , que
onde usamos o fato de que d f3
e, portanto, ds
2
k(s(t))
= 1~~1
la'(t) x a"(t)I
la'(t)l 3
Para obter a expressão da torção, vamos utilizar os vetores normal e binormal de f3, que são dados por
n(s(t)) b(s(t)) Substituindo (3) e (4) em (1) e (2) e usando a expressão de k(s(t)), obtemos
n(s(t))
=
a"(t)la'(t)1 2 a'(t) (a"(t), a'(t)) la'(t)lla'(t) x a"(t)I a'(t) x a"(t) la'(t) x a"(t)I.
Derivando a última igualdade em relação a t, temos
db ds(s(t))
a' x a"' la'lla' x a"I
Como
i-(s(t)) = (
(a' x a"', a' x a") a' x a" la'lla' x a"l 3
~~ (s(t)), n(s(t))),
concluímos que
i-(s(t)) =
(a'(t) x a"'(t), a"(t)) la'(t) x a"(t)j2
As expressões k(s(t)) e i-(s(t)) obtidas na proposição acima são, respectivamente, a curvatura e a torção de a em t. D
69 3.9 Exercícios 1. Considere as seguintes curvas regulares:
a) a(t)
(4 cost, 5-5 sent, -3 cost), t
JR,
b) {3(t) = (1-cos t, sent, t), t E R, c) y(t) =(é~ e-t,
Vi t), t E R.
Reparametrize essas curvas por comprimento de arco, obtenha o triedro de Frenet, a curvatura e a torção de cada curva. 2. Calcule a curvatura e a torção das seguintes curvas:
a) a(t) = (t, t 2 , t 3 ), b) f3 (t) c) y( t)
= (cost,
sent, é),
(t, cosh t, senh t) .
3. Obtenha uma curva parametrizada cujo traço é a interseção do plano xoy com o plano normal à curva a(t) (cost, sent, t) em t = l 4. Seja a: I-+ R 3 uma curva regular, parametrizada pelo comprimento de arco, tal que k(s) > O,\:/ s E!. Obtenha a"' (s) como combinação linear do triedro de Frenet de a em s. 5. Seja a: I-+ R 3 tima curva regular. Prove que: a) Se todas as retas tangentes a a têm um ponto em comum, então o traço de a é um segmento de reta. b) Se para cada t E 1 os vetores a 11 (t) e a'(t) são colineares, então a(!) é um segmento de reta. 6. Seja a(t) uma curva regular onde t é um parâmetro qualquer. a) Verifique que
a 11 (t) é paralelo ao plano osculador de a em t.
70
b) Prove que o plano osculador de a em to é dado pelos pontos P de IR3 tal que (P- a(to), a'(to) x a"(to)) =O. c) Obtenha o plano osculador da curva a em t
=
1, onde
7. Verifique que os planos normais da curva
a(t) =(a sen 2 t, a sent cost, a cost), t E IR, passam pela origem. 8. Determine
a(t) = (t, sent,
a (t) = (a cos t + b sen t, a sen t + b cos t, e sen 2t), t E IR. 11. Seja a(s) uma curva regular. Verifique que o vetor binormal b(so) é a posição limite da perpendicular às retas tangentes a a em so e s1, quando s1 tei:ide para so. 12. Seja a(s) uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco cuja curvatura não se anula. A curva t(s) sobre a esfera unitária, definida pelos vetores tangentes a a, é denominada indicatriz esférica
tangente de a. a) Verifique que o vetor tangente à indicatriz é paralelo ao vetor normal de a em pontos correspondentes.
71
b) Prove que a curvatura k1 e a torção -r1 da indicatriz são dadas por
k2+-r2
kT =
k2
'
't'1
=
h' -k'-r k(k2 + -r2)"
c) Obtenha as curvas para as quais a indicatriz esférica tangente degenera em um ponto. 13. A curva b(s) definida pelos vetores binormais a uma curva regular a é denominada indicatriz esférica binormal de a. a) Prove que sua curvatura k1 e sua torção -r2 são dadas por
ki =
k2+-r2 't' 2
'
h' -k'-r -r2 = -r(k2 + -r2)"
b) Para que curvas a indicatriz esférica binormal degenera em um ponto?
4. Aplicações Como primeira aplicação das fórmulas de Frenet, veremos que as curvas planas são caracterizadas pelo fato de terem torção identicamente nula. 4.1 Lema. Seja a : I--+ IR3 uma curva regular de curvatura não-nula. Se a é uma curva plana, então o plano osculador de a independe do parâmetro e é o plano que contém o traço de a. Demonstração. Podemos supor a(s) parametrizada pelo comprimento de arco. Como a é uma curva plana, existe um plano de JR3 que contém a(I). Seja v um vetor não-nulo ortogonal a este plano. Provaremos que v é paralelo a b(s), Vs E/. Fixado so E I, então Vs E/,
(a(s)- a(so), v) =O.
72
Derivando, temos
(a'(s),
v) =O,
(a"(s),
v) =O,
portanto,
(t(s), v) =O,
k(s) (n(s), v)
O.
Como k(s) >O, concluímos que v é ortogonal a t(s) e n(s). Portanto, v é paralelo a b(s), \:/ s E /, isto é, o plano osculador de a não depende do parâmetro e contém a(!).
o Como consequência desse lema, temos 4.2 Proposição. Seja a : I -+ R 3 uma curva regular, de curvatura nãonula. Então, a é uma curva plana se, e só se, "C O. Demonstração. Consideremos a parametrizada pelo comprimento de arco. Se a é uma curva plana, então, pelo lema anterior, b(s) é constante, ~~----partarit0,-7/(s)-;;-io~Vs E/. Donde concfoillios que "t(s) (b'(s), n(s)) O, \:/s E/. Reciprocamente, se "t(s) O,\:/ s E/, então b'(s) O e b(s) = b é constante. Fixado so E/, consideremos a função f(s) = (a(s) - a(so), b). Vamos provar que f(s) =:=O. Derivando obtemos f'(s) (a'(s), b) = (t(s), b) O, portanto, f(s) é constante. Como f(so) O, concluímos que f(s) =O, isto é, a(I) está contido no plano que contém a(so) e é ortogonal ao vetor b.
o A proposição seguinte caracteriza uma curva regular cujo traço está contido em uma circunferência. 4.3 Proposição. Seja a : I -+ R3 uma curva regular. Então, o traço de a está contido em uma circunferência de raio a > O se, e só se, a torção
73
't'
O e a curvatura k
=a1
Demonstração. Podemos considerar a(s) parametrizada pelo comprimento de arco. Suponhamos que a(I) está contido em uma circunferência a(s) - cl 2 a 2 e, pela proposição anterior, de centro e e raio a. Então, 1 para todo s E J, 't'(s) O e
(a(s)
e, b) =O,
onde b(s)
b é constante. Portanto, a(s)-c é ortogonal a b. Derivando duas vezes a expressão 1a (s) c! 2 = a2 , obtemos (a'(s), a(s)-c) =O e
(a"(s), a(s)-c) =
1.
Como a(s)-c é ortogonal aos vetores t(s) e b, temos que a(s)
e é
paralelo a n(s). Portanto, segue-se da última relação que
la"(s)lla(s)
cl
1,
logo 1 a Para provar a recíproca, consideremos a aplicação. diferenciável
k(s)
la"(s)I
= -.
f :I
~
3
JR definida por
f(s)
a(s) +an(s).
Vamos provar que f(s) é constante. Usando. as fórmulas de Frenet, temos que
f(s)
t(s)+an'(s) t(s) +a(-k(s)t(s)- 't'(s)b(s)).
74 Como -r(s) =O e k(s) =
~' a
concluímos que f'(s) =O. Portanto, f(s)
é constante, isto é, a(s) +an(s)
=c
= c. Logo,
la(s)-cl =a, ou seja, o traço de a está contido em uma circunferência de centro c e raio
a. D
A hélice circular a(t) =(a cost, a sent, bt), t E IR, a> O, tem a propriedade de que o vetor tangente forma um ângulo constante com o eixo Oz. Este é um caso particular de uma classe de curvas que têm essa propriedade. 4.4 Definição. Uma curva regular a : I ---+ IR3 é uma hélice se existe um vetor unitário v que forma um ângulo constante com a'(t), Vt E I, isto é, (a'(t), v) é constante.
1a'(t)1 a(t) =(e' cost, e' sent, e'), t E IR, é unia hélice (ver Figura 15),pois a'(t) formaumânguloconstantecomovetor (O, O, 1).
A seguir daremos uma caracterização das hélices. 4.6 Proposição. Seja a : I---+ IR3 uma curva regular de curvatura e torção ·.
k
não-nulas. Então, a é uma hélice se, e só se, - é constante. 't"
Demonstração. Podemos supor a parametrizada pelo comprimento de arco. Se a é uma hélice, então existe um vetor unitário v tal que (a' (s), v) ê constante .. Portanto, (a"(s), v) O, isto é, k(s) (n(s), v) =O. Como k(s) #O, segue-se que v pertence ao plano determinado por t(s) e b(s), para cada s E I. Então, seja v = cos B(s) t(s) + sen B(s) b(s).
75
Derivando e usando as fórmulas de Frenet, obtemos
o = -
sen e(s) e'(s) t(s)
+
+ (k(s) cos e(s) + -r(s) + cos e(s) e'(s) b(s).
sen e(s)) n(s)
+
Portanto, Vs E I,
= o, cos e(s) e'(s) = o, sen e(s) e' (s)
k(s) cos e(s) + -r(s) sen e(s)
= o.
As duas primeiras equações determinam B'(s) =O, Vs E I. Portanto, B(s) é constante. Além disso, a constante cos e é não-nula, pois, caso contrário, teríamos -r(s) =O, o que contradiz a hipótese. Segue da terceira igualdade k, R. k, :fix que - e constante. ec1procamente, se - e constante, emos e tal que 't"
tg
e=
't"
k 't"
.
Então, V= COS
8 t(s) + sen 8 b(s)
é um vetor unitário constante e V s E I, (t(s), v) =cose é constante. Portanto, a é uma hélice. D Outras aplicações das fórmulas de Frenet serão apresentadas nos exercíc10s. 4. 7 Exercícios
1. Considere uma curva regular a : I ---+ ffi.3 , parametrizada pelo comprimento de arco, tal que k(s) > O, Vs E I. Prove que: a) Se todos os planos osculadores dé
a têm um ponto em comum, então
a é uma curva plana. b) Se todos os planos osculadores são paralelos, então a curva é plana.
76
2. Seja a uma curva regular, parametrizada por comprimento de arco e k(s) >O. A reta normal a a em s é uma reta que passa por a(s) na direção de n (s). Prove que, se todas as retas normais têm um ponto em comum, então o traço de a está contido em uma circunferência. 3. Considere uma curva a(t) =(a cost, a sent, f(t)).
Determine
f (t) para que
a) os vetores normais de a sejam ortogonais ao eixo Oz; b) a seja uma curva plana. 4. Seja a: I ~ IJR3 uma curva regular, parametrizada pelo comprimento de arco, tal que k(s) >O e -r(s) =/=O Vs E I. a) Se a(J) está contida em uma esfera S, centrada em e em raio r, IP- cl =r},· então-
F#=~-------isto-é,S-={p E IJR3;
1 k!(s) e= - k(s) n(s) - k2(s)-r(s) b(s)
a(s) e, portanto,
1
2
··(
r = - k2 (s) + .
.·
1
b) Reciprocamente, se k2 (s)
+
(
k!(s) ) k2(s)-r(s)
k!(s) ) k2(s)-r(s).
2
2
é constante igual a
r2 e
k!(s)=/= O, então a(J) está contido em uma esfera de raio r. 5. Verifique que a curva regular a(t) =(a sen 2t, a sent cost,a cost), t E IIR, tem o traço contido em uma esfera. Além disso, todos os planos normais de a passam pela origem.
77
6. Seja
a :I
~ IJR3 uma curva regular cujo traço está contido em uma es-
fera de raio a> O. Prove que a curvatura k de 1? k ?:_ -1 • Quando e' que k
=-a
a
a, satisfaz a propriedade
7. Verifique que as curvas
a) a(t)
= (i,
e-~,
Vi t), t E IIR,
b) f3 (t)
= (t + -/3
sen t, 2 cos t,
vf3 t -
sen t), t E IIR, são hélices.
8. Prove que a curva
a(t)
=
(at, bt 2 , ct 3 ), t E IIR,
é uma hélice se, e só se, 3ac = ±2b2 . 9. Verifique que o vetor binormal de uma hélice circular forma um ângulo constante com o eixo do cilindro sobre o qual está a hélice. 10. Seja a: I-+ IJR3 uma hélice circular, parametrizada pelo comprimento de arco. Considere A
e I,
tal que todos os planos osculadores de
a
em s E A têm um ponto em comum exterior à hélice. Prove que a(A) está contido em um plano. 11. Prove que a é uma hélice se, e só se, existe um vetor unitário u de
IJR3 que forma um ângulo constante com os vetores binormais de
a.
12. Seja a : I-+ IJR3 uma hélice, eu o vetor unitário fixo que forma um ângulo constante
e
com a'(t). Seja s(t) a função comprimento
de arco de a a partir de t =O. Considere a curva f3(t) = a(t) -
s(t) cos
eu
e prove que:
a) f3 (I) está contida no plano que passa por a(O) e é ortogonal a u; b) a curvatura de f3 é igual a k/ sen 2 e, onde k é a curvatura de a.
78
13. Seja a : I---+ JR3 uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco. Prove que a é uma hélice se, e só se, Vs E !, as retas que passam por a(s), na direção de n(s), são paralelas a um plano fixo. 14. Prove que a indicatriz esférica tangente ou binormal (ver Exercícios 12 e 13 da seção anterior) de uma curva a é uma circunferência se, e só se, a é uma hélice.
5. Representação Canônica das Curvas Consideremos uma curva regular a(s) = (x(s), y(s), z(s)), s E!, parametrizada pelo comprimento de arco e de curvatura k(s) =/=-O, Vs E!. Para investigar o comportamento da curva em uma vizinhança de um de seus pontos, vamos expandir a função vetorial a (s) pela fórmula de Taylor. Sem perda de generalidade, vamos fixar s = O e vamos considerar o sistema de coordenadas de JR3 tal que a(O) =(O, O, O), t(O) = (1, O, O), n(O) =(O, 1, O), b(O) = (O, O, 1). Então,
--
. -s2 ... ·- s3 a(s) = a(O) +a' (O)s +a" (O) + a (O) ! + R, 21 3 111
onde R contém potências de s de ordem maior ou igual a quatro. Usando as fórmulas de Frenet, temos
a' (O) = a" (O)
t (O),
= k(O)n(O),
111
a (O)/ = k(O)n' (O)+ k' (O)n(O) = -k2(0)t(O) + k' (O)n(O) -k(O)-r(O)b(O). Portanto,
a(s) ~
(s- k'~O) s }(o) 3
+ e~) s2 +/(~O)
s n(O)3)
k(O)-r(O) s 3 b(O) +R. 6
79
Devido à escolha desse sistema de coordenadas, temos que
x(s)
y(s) z(s)
!c2(0)
s - - - s 3 +R1 6 ' k(O) 2 /((O) 3 - - s +--s +R2 2 6 '
k(O)-r(O) 6
(5)
s 3 +R3,
onde R = (R1, R1, R3)· As expressões (5) fornecem o que é chamado de representação canônica da curva a em uma vizinhança de s = O. Desta representação de a podemos tirar as seguintes conclusões: 5.1 Proposição. Seja a(s) uma curva regular IR3 de curvatura não-nula
Vs E !. Fixado so
E
!, as seguintes propriedades se verificam:
a) Para todo s szificientemente próximo de so, a(s) pertence ao semi-espaço determinado pelo plano retificante, que contém n(so). b) Se a torção -r(so) < O, então para todo s szificientemente próximo de so, a(s) pertence ao semi-espaço determinado pelo plano osculador, que contém -b(so) (resp. b(so)) ses< so (resp. s > so), (ver Figura 18). c) Se -r(so) >O, então, para todos szificientementepróximode so, a(s) pertence ao semi-espaço determinado pelo plano osculad01; q_ue contém b(s) (resp. -b(so)) se s < so (resp._ s > so). Demonstração. Sem perda de generalidade, podemos supor que s 0
=
JR3
O e que o sistema de coordenadas de é tal que a(O) é a origem e 3 t(O), n(O), b(O) é a base canônica de JR . Nessas condições, temos a representação canônica de a dada por (5). Desta representação concluímos que: a) Como k(O) >O, para s suficientemente próximo de O, y(s) >O (ver Figura 17).
80
pl.ano :retificante
y
Figura 17
b) Se -r(O) O), temos que z(s) O) (ver Figura 18). c) É inteiramente análogo a b).
D
z 11'
! ! b(O),k
!
n(O)
y
pl.ano ·osculado;r
i\ Figura 18
Observamos que os itens b) e c) da Proposição 5.1 fornecem a interpretação geométrica do sinal da torção.
81
5.2 Exercícios 1. a) Considere uma crrcunferência de raio r. Sejam Po e P dois pontos dessa circunferência e s(::; nr) o comprimento de arco da circunferência de Po a P. Se h = 2r sen !_ é o comprimento da corda PoP, 2r verifique que, para s suficientemente pequeno, a diferença Ih - si é aproximadamente dada por s 3 / 3 ! (2r )2, ou seja, é da ordem s 3 .
a : I-----+ JR 3 uma curva regular. Prove que a diferença entre o comprimento de um arco da curva a suficientemente pequeno e o da
b) Seja
corda correspondente é da ordem s 3 , onde s é o comprimento do arco. 2. Seja a(t), t E I, uma curva regular de curvatura não-nula. Fixado
to
E
I, verifique que é possível escolher um sistema de coordenadas
cartesianas e reparametrizar a curva pelo comprimento de arco s de modo que, numa vizinhança de
to, a é aproximadamente da forma
s:( ) = (.
-
u
s
ko
2 ko-ro s3) '.
s, 2 s '
6
onde ko e -ro são a curvatura de torção de a em to. a) Obtenha a curva 8 correspondente ao ponto (1, O, O) da circunferência a(s)
= (coss,
sens, O).
b) Obtenha a curva 8 correspondente ao ponto (1, O, O) da hélice
a(t) = (cost, sent, t).
6. Isometrias de JR3 ; Teorema Fundamental das Curvas No capítulo anterior, vimos que a curvatura determina uma curva plana a menos de sua posição. Nesta seção, veremos que a curvatura e a torção determinam uma curva de JR 3 a menos de sua posição no espaço. A fim de precisar este resultado, vamos considerar inicialmente a noção de isometria.
82 6.1 Definição. Uma aplicação F : JR3
preserva distâncias, isto é, Vp, q E JR
3
JR3 é uma isometria de JR3 se
,
IF(p) -F(q)I
=IP
qj.
6.2 Exemplos
a) A transformação identidade de JR3 é uma isometria. b) Seja a um ponto fixo de JR 3 . A aplicação T: JR3 - t p
JR
3
,
que, para cada
associa T(p)=a+p JR3 ,
é uma isometria de denominada translação por a. e) Consideremos a aplicação F que, para cada ponto (x, y, z) E JR3 , associa
F(x,
y, z) = (x cos e-y
sen e,
X
sen
e
cose,
onde O < e < 2rc é fixo. Então, F é uma isometria de JR3 , denominada rotação em torno do eixo Oz. d) A aplicação definida por
F(x, y, z) = (-x, -y, -z) é uma isometria de JR3 , denominada aplicação antipoda. 6.3 Proposição.
a) Se F e G são isometrias de JR3 , então F o G é uma isometria. b) Se F e G são translações, então F o G = G o F é uma translação. e) Se T é uma translação por a, então T é inversível e translação por -a.
r- 1
é uma
d) Dados dois pontos p e q de JR3 , existe uma única translação T tal que T(p) q.
83 Demonstração. a) Segue trivialmente da definição. b) Se F é uma translação por a e G é uma translação por b, então F o G é urna translação por a+ b. c) Seja T(p) a+ p e considere G(p) =-a+ p. Então, To G(p) Go T(p) = p. Portanto, G = r- 1 • d) Considere a translação por q - p, isto é, T (v) = q - p + v, v E . Então, T(p) = q. Para provar a unicidade, consideremos T e T translações por a e b respectivamente, tais que T (p) T(p) = q. Então, T (p) T(p) O, daí concluímos que a= b, portanto, T = f'. D 3 6.4 Definição. Urna transformação ortogonal de IPL é uma aplicação linear C: IPL3 _,. JPL3 que preserva produto interno, isto é,
(C(p), C(q)) = \p, q), Vp,q E IPL3 • Não é difícil verificar que os f:xernplos 6.2 a, c, d são transformações ortogonais. Observamos que uma transformação ortogonal C, sendo urna aplicação linear, satisfaz as seguintes propriedades: C(O) O; C é diferenciável e a diferencial de C em qualquer ponto p de IPL3 coincide com C, isto é, dCp(v) = C(v) (ver Capítulo O). A seguir, vamos relacionar as transformações ortogonais com as isometrias de IPL3 • 6.5 Proposição. Toda transformação ortogonal é uma isometria.
Demonstração. Seja C: JPL3
_,.
IPL3 uma transformação ortogonal. Corno
C é uma aplicação linear, ternos que, Vp, q E JPL3 ,
!C(p)
e
C(q)l 2 = IC(p
q)l 2 = (C(p
q), C(p
preserva produto interno, portanto,
IC\p)
C(q)l 2
\p-q, p-q) = lp-qj 2 .
q)).
84
Concluímos que IC(p) - C( q) 1 = IP - ql' isto é,
e
é uma isometria. D
É fácil ver que nem toda isometria é uma transformação ortogonal. Basta considerar uma translação por a# O. A proposição seguinte dá uma condição para que uma isometria seja uma transformação ortogonal. 6.6 Proposição. Se F : JR 3
---+
JR3 é uma isometria tal que F(O) =O,
então F é uma transformação ortogonal.
Demonstração. Inicialmente, vamos provar que F preserva produto interno. Sejam p e q pontos de JR 3 . Como consequência das propriedades do produto interno, temos que (F(p), F(q))
= ~ (IF(p)l 2+
2 2 IF(q)l - IF(p)-F(q)l ).
Como F é uma isometria e F(O) =O, temos que
f-"-'-~j'-·-·-----·------·-------- 1-r- 1 -u , F(q))
1
= 2 (IPl 2+M 2
2 lp-ql ),
portanto, (F(p), F(q))
= (p, q).
Falta provar que F é uma aplicação linear, isto é, que F(ap + bq) aF(p) + bF(q) para todo a, b E 1R e IF(ap+bq)-aF(p)
p, q E JR3 . Consideremos
bF(q)l
2
=
= IF(ap+bq)l2 +a2IF(p)l2 +h21F(q)l2-2a (F(ap+bq), F(p)) -2b (F(ap+bq), F(q))
+
+2ab (F(p), F(q)) =
= lap+bql2 +a2IPl2 +b2lql2-2a (ap + bq, p) - 2b (ap + bq, q) + 2ab (p, q) = lap+bq-ap-bql 2 =O,
=
=
85
onde na terceira igualdade usamos o fato de que F preserva o produto interno. D A seguir, veremos que toda isometria de JR pode ser obtida, de uma única 3
forma, como composta de uma translação e uma transformação ortogonal. 6.7 Teorema. Se F: JR3 ---+ JR3 é uma isometria, então existe uma única translação T e uma única transformação ortogonal C, tal que F = T oC. Demonstração. Existência: Seja T a translação por F(O), então segue-
se da Proposição 6.3 que r- 1 é a translação por -F(O) e a aplicação composta r- 1 oF é uma isometria. Como r- 1F(O) =O, pela Proposição 6.6 y-l oF é uma transformação ortogonal que denotamos por C. Portanto, F=ToT- 1 oF=ToC. Unicidade: Sejam T e t translações, C e C transformações ortogonais tais que F =To C =to C. Então, C = y-l o to C e O= C(O) = r- 1 o T(O). Segue-se da Proposição 6.3 q~e y-l o T é a translação por O, isto é, r- 1 o t =identidade, logo, t = T. Portanto, TC = TC, e C = C. D 6.8 Exemplos a) A aplicação
F(x, y, z)
= (1 +x, 2+y, -z), (x, y, z)
E JR
3
,
é uma isometria e F =To C, onde T é a translação por (1, 2, O) e C é a transformação ortogonal C(x, y, z) = (x, y, -z). b) A aplicação
F(x y z) ' '
v'3 4-y ' 7+-x+-z v'3 1 ) 1 = ( -x--z 2
2 '
'
2
2
é uma isometria e F =To C, onde T é a translação por (O, 4, 7) e C é a
86 transformação ortogonal
C(x, y, z)
(!x- J3 z 2
-y 2 ' ' 2
+-21
z) .
A seguir, veremos que toda isometria é diferenciável e que a diferencial de uma isometria em cada ponto de Jll3 preserva produto interno. Se F : Jll3 -+ Jll3 é uma função diferenciável, então, para cada p E Jll3 , a diferencial de F em p é uma aplicação linear dFp: Jll3 -+ Jll3 definida por (ver Capítulo O) dFp(v) = dd (F(p+tv))I . t t=O 6.9 Proposição. Com a notação anterior, seja F = To C uma isometria
de R 3 , então F é diferenciável e \f p
E
Jll3 e v
E
Jll3 , dFp(v)
= C(v).
Demonstração. F é diferenCi~vel pois é composta de aplicações diferenciáveis. Se T uma translação por a, então
F(p+tv) = ToC(p+tv) =a+C(p+tv) =a+C(p)+tC(v). Portanto,
dFp(v) =
~(a+C(p)+tC(v))I,,
C(v). D
Como consequência imediata da proposição, obtemos 6.10 Corolário. Se F é uma isometria de Jll3 , então \f p E Jll3 , dFp preserva produto interno, isto é,
(dFp(v), dFp(w))
= (v, w),
\fv, w E Jll3 .
87
Segue deste corolário que, se F: JR. 3 -+ JR. 3 é uma isometria, então adiferencial de F em p E JR.3 leva iuna base ortonormal v1 1 v2, v3 de JR.3 em outra base ortonormal dFp(v1) 1 dFp(v2), dFp(v3). Dizemos que a isometria F preserva orientação se as duas bases têm a mesma orientação, isto é,
· Dizemos que F inverte orientação se as duas bases têm orientação oposta, isto é,
(dFp(vi) x dFp(v2) 1 dFp(v3)) = -(v1 x v2, v3). Desta definição decorre que F preserva (resp. inverte) orientação se, e só se, o determinante da matriz associada a dFp é igual a 1 (resp. -1 ). 6.11 Exemplo. A isometria
F(x 1 y, z)
(2+x, -y1 4+z)
inverte orientação e
preserva orientação. 6.12 Proposição. Sejam p e q pontos de JR.3, v1, v2, v3 e wi, w2, W3 referenciais ortonormais de JR. 3 : Então, existe uma única isometria F de JR.3
tal que F(P)
q e dFp(vt)
Wt, i
= 1, 2, 3.
Demonstração. Existência: Seja C: JR. 3 -+ JR. 3 a aplicação linear, tal que C(vi) = Wt, i = 1, 2, 3, isto é, se v E JR.3 , v av1 +bv2 +cv3, então
C(v) =
aC(v1) +bC(v2) +cC(v3) aw1 +bw2+cw3.
=
88
Como os referenciais são ortonormais, concluímos que C preserva produto interno. Portanto, C é uma transformação ortogonal. Seja T a translação por q C(p). Então, a isometria F = To C satisfaz as condições exigidas. De fato,
F(p) = ToC(p)
q-C(p)+C(p) =q,
e pela Proposição 6.9, temos
Unicidade: Suponhamos que F
F
ToC e
t
o
C
satisfazem as
condições da proposição, isto é,
F(p)=F(p)
q,
dFp(vi) = dFp(vi) = Da última relação temos que C(vt)
ULJ~-~---- }!11_~a.i:_e~, temos que
t T
e e.
= C(vt)
Wj.
Wt·
e e e são aplicações t o e(p) = q' isto é, T e
Como
e
Portanto, T o (p) são translações que levam C(p) em q. Concluímos da Proposição 6.3 que
t,
donde F
F. IR3 ,
a e uma isometria F de então F o a uma curva regular que difere de a apenas pela sua posição no espaço. Dadas uma curva regular
6.13 Definição. puas curvas regulares a,/) : I existe isometria F -de IR3 , tal que /) = F o a.
--i-
D é
IR3 são congruentes se
O próximo resultado relaciona o triedro de Frenet, a curvatura e a torção em pontos correspondentes de duas curvas congruentes.
6.14 Proposição. Seja a: I --i- IR3 uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco, tal que a curvatura k(s) >O, \Is E/. Seja F uma
89
isometria de Jtt3 e ã = F o a. Então, ã é uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco e Vs E 11 k(s)
k(s),
t(s)
±-r(s),
t(s)
dFa(s) (t(s) ),
ii(s)
dFa(s)(n(s)),
b(s)
±dFa(s)(b(s)),
onde k, i, etc. são a curvatura, torção, etc. de ã e o sinal é se F preserva orientação (resp. inverte orientação).
+
(resp. - )
Demonstração. ã é diferenciável pois F e a são diferenciáveis. Além disso, segue-se da definição de diferencial de F em a(s) que
ã'(s)
= dFa(s)(a'(s)),
(6)
logo,
jã'(s)I = ldFa(s)(a'(s))I
ja'(s)I = 1,
onde a segunda igualdade decorre do Corolário 6.10. Portanto, ã é parametrizada pelo comprimento de arco. Faremos a demonstração no caso em que F preserva orientação. De (6) temos que (7) daí
t'(s)
dFa(s)(t'(s)).
Como dFa(s) preserva produto interno, temos que
k= jã"(s)j ii(s)
ã" (s) k(s)
= jt'(s)j = jdFa(s)(t'(s))j
dFa(s) (a" (s)) k(s)
dFa(s)
lt'(s)j =k(s),
(ª"k(s)(s))
dFa(s)(n(s)).
(8)
90 F preserva orientação, portanto,
(dFa(s)(t(s))
X
dFa(s)(n(s)), dFa(s)b(s)) =
= (t(s) x n(s), b(s)) = (dFa(s)(t(s)
X
n(s)), dFa(s)(b(s))),
logo obtemos que
dFa(s)(t(s))
X
dFa(s)(n(s))
dFa(s)(t(s)
X
n(s)).
(9)
Segue-se de (7), (8) e (9) que
b(s) = t(s)
X
ii(s) = dFa(s)(b(s)).
Finalmente,
~(s)
(b(s), n(s)) (b'(s), n(s))
= (dFa(s)(b'(s)), dFa(s)(n(s))) = i-(s).
Analogamente, demonstra-se o caso em que F inverte orientação, observando que (9) passa a ser
dFa(s)(t(s))
X
dFa(s)(n(s))
= -dFa(s)(t(s) X n(s)). o
A proposição anterior afuma, o que é natural de se esperar, que duas curvas congruentes·têm a mesma curvatura e torção (a menos de sinal). O teorema fundamental das curvas mostra que esta propriedade caracteriza as curvas congruentes. Além disso, o teorema prova que, dadas duas funções diferenciáveis quaisquer, sendo uma delas positiva, existe uma curva regular de JR.3 que admite essas funções como curvatura e torção. Mais precisamente.
91
6.15 Teorema fundamental das curvas a) Dadas duas funções diferenciáveis, k(s) > O e i-(s), s E I e IR, existe uma curva regular a(s) parametrizada pelo comprimento de arco, tal que k(s) é a curvatura e i-(s) é a torção de a em s. b)Acurva a(s) éúnicasefixarmosumponto a(so)=poEJIR3, a'(so)=vi, a"(so) = k(so)v2, onde v1 e v2 são vetores ortonormais de IR3 . c) Se duas curvas a(s) e f3 (s) têm a mesma curvatura e torção (a menos de sinal), então a e f3 são congruentes.
Demonstração. Vamos iniciar provando c). A idéia é considerar uma
isometria F conveniente e a curva ã seguida provar que ã f3.
F o a que é congruente a
a, em
Fixemos so E/ e suponhamos que 't"a = i-p (resp. 't"a =-i-p). Usaremos os índices a e f3 para indicar a curva à qual se refere a curvatura, torção, etc. Seja F a isometria de JJR3 , tal que F( a(so)) = f3(so) e dFa(so)(ta(so))
=
np(so),
dFa(so) (na(so)) dFa(so)(ba(so))
tp(so),
=
bp(so) (resp. dFa(so)(ba(so))
Observamos que a existência de F é garantida pela Proposição 6.12. Seja ã = F o a, denotaremos por k, -!, etc., a curvatura, torção, etc., relativos à curva ã. Segue-se da Proposição 6.14 e da escolha de F que ã(so) = f3(so),
k -!
ka 't"a
kp, i-p (resp.
t
= -'t"a
=i-p),
ii(so)
= np(so),
b(so)
b13(so).
Para provar que ã = /3, basta mostrar que t tp, pois neste caso teremos ã(s) f3(s) constante e, como ã(s0 ) = f3(so), poderemos concluir que
92
ã(s)
= f3(s), Vs E J.
Consideremos a função
f: I
IR, que a cada s
EI
associa
f(s) = ll(s) - t13 (s)l 2+ ln(s) - n13(s) 12 + lb(s) - b13 (s) J2. Não é difícil verificar que f'(s)
O, Vs E J, portanto, f(s) é constante.
Como f(so) =O, concluímos que f(s) =O e l = t13. a) Para provar a existência de a, veremos que basta mostrar que existe um referencial ortonormal t(s), n(s), b(s) que satisfaz as fórmulas de Frenet e em seguida definir a(s)
=
1s
t(s)ds.
so
Denotemos por t(s) (t1(s), t2(s), t3(s)), n(s) (n1(s), n2(s), n3(s)), b(s) = ( b1 (s), b2(s), b3 (s)). Queremos provar a existência de funções ti(s), ni(s), bi(s), 1 :::; i:::; 3 que satisfazem o sistema de nove equações diferenciais
tf(s)
k(s)ni(s),
n~(s)
-k(s)tt(s)
b~(s)
7:(s )ni(s).
7:(s)bi(s), 1 :::; i:::; 3,
(10)
Do teorema de existência e unicidade de soluções de sistemas de equações diferenciais ordinárias (ver por exemplo [13]), concluímos que, fixados os valores de ti(so), ni(so), bi(so), 1 :::; i:::; 3, para um so E J, existe uma única solução do sistema acima. Em particular, existe uma única solução
ti(s), ni(s), bi(s),
1;::; i $ 3,
do sistema (10) quando fixamos
t(so)
(t1(so), t2(so), t3(so))
(1, O, O),
n(so)
(n1(so), n2(so), n3(so)) =(O, 1, O),
b(so)
(b1(so), b2(so), b3(so))
(11)
(O, O, 1).
Vamos provar que esta solução t(s), n(s), b(s) é um referencial ortonormal. Para isso, consideremos o seguinte sistema de equações para as funções
93
(t(s),t(s)), (n(s),n(s)), (b(s),b(s)), (t(s),n(s)), (t(s),b(s)), (b(s),n(s)):
d 2k(t, n), ds (t, t) d -2k(t, n) 27: (b, n), ds (n, n) d ds (b, b) - 27: (b, n), d ds (t, n) = k(n, n)-k(t, t) -1: (t, b), d k(b, n)+7:(t, n), ds (t, b) d 7:(n, n)-k(t, b)-7:(b, b), ds (b, n)
(12)
com a condição inicial (t(so), t(so)) (n(so), n(so)) (b(so), b(so)) = 1, (t(so), n(so)) (t(so), b(so)) (b(so), n(so)) =O. A solução para este problema de valor inicial é única e é dada pelas funções (t(s), t(s)) (t(s), n(s)
(n(s), n(s))
(b(s), b(s))
= (t(s), b(s)) =
=1,
(b(s), n(s)) :=O.
De fato, basta substituir estas funções no sistema acima para verificar que formam uma solução do sistema. Portanto, a solução de (10) com a condição inicial (11) forma um referencial ortonormal para todo s. Além disso, b(s) t(s) X n(s), já que esta condição é satifeita para S SQ. Definimos a curva a(s) =.
r t(s)ds.
lso
Como t(s) . é um vetor unitário,
obtemos que a está parametrizada pelo comprimento de arco s. Além disso, a'(s) = t(s) e a"(s) = t'(s). Segue-se de (10) que a"(s) = k(s)n(s). Como n(s) é unitário e k(s) > O, temos que n é o vetor unitário na direção de a", ou seja, n é o vetor normal a a e, portanto, k(s) é a curvatura de a, e concluímos de (10) que 7: é a torção de a.
94 b) Provar que a curva a é única, quando fixamos a(so) = po, a'(so) = vi e a" (so) = k(so)v2, onde v1 e v2 são vetores ortonormais de ffi.3 , corresponde a provar, inicialmente, que existe uma única solução do sistema (10), quando fixamos t(so) = v1, n(so) = v2 e b(so) =vi x v2. Este fato decorre do teorema de existência e unicidade de solução de um sistema de equações diferenciais lineares. Obtida esta solução t(s), n(s), b(s), prova-se que é um referencial ortonormal usando o sistema (12). Como a curva a deve satisfazer a'(s)
t(s), concluímos que a(s)
= po +
1s so
t(s)ds. D
6.16 Exercícios
1. Se Ta indica translação por a e C uma transformação ortogonal, verifique que C o Ta = Tqa) o C. 2. Prove que toda isometria F de R 3 possui inversa p- l que também é uma isometria. Se F TaoC, obtenha p-l como composta de uma translação e uma transformação ortogonal. ~i~~~~·---~·-············-·-~-·-············~········
3. Verifique se as seguintes funções são isometrias de ffi.3 . Em caso afirmativo, obtenha a função como composta de uma translação e uma transformação ortogonal. a) F(x, y, z)
= (x, y, z), V(x, y, z)
E JR.3 ,
b) F(x,y,
(2-y,z-3,x+1),
e) F(x, y, z)
;n_(x-z, .J2y, x+z).
1
4. Considere uma isometria F To C e rc o plano que passa por um 3 ponto p de R , ortogonal ao vetor v. Prove que F ( TC) é o plano que passa por F(p) ortogonal ao vetor C(v). 5. Considere os pontos p = (1, -2, O) e q =(O, O, 1) e os referenciais
v1
(1/J2, O, 1/J2), v2
(O, 1, O), v3 = (1/J2, O, -1/J2) e
95
w1=(2/3,2/3,1/3), w2 (-2/3, 1/3, 2/3), w3 (1/3, -2/3, 2/3). Obtenha a isometria F de IH!.3 tal que F (p) = q e dFp (vi) = wi, para i = 1, 2, 3. 6. a) Verifique que toda translação preserva orientação. b) Verifique que a isometria F (x, y, z) ção.
(-x, -y,
inverte orienta-
7. Seja F: iR3 -T uma aplicação diferenciável, tal que Vp E iR3 , dFp preserva produto interno. Prove que F é uma isometria. 8. Verifique que a curva a(t) = (2 cost, 2 sent, 2t), t E iR, e a curva f3(t) = (t+V3 sent, 2 cost, V3 t sent) são congruentes. Obtenha a isometria F tal que F o a = f3.
a, f3 : 1 iR3 curvas regulares congruentes, tal que Vs E 1, k(s) > O. Prove que existe uma única isometria F tal que F o a f3,
9. Sejam
exceto quando 't' = O e neste caso existem exatamente duas. 1O. Sejam a, ã : 1 -7 iR3 curvas regulares, parametrizadas pelo comprimento de arco, tal que, para cada s E J, a curvatura e a torção de a e ã em s não se anulam. Prove que, se os vetores binormais das duas curvas coincidem, isto é, b(s) b(s), então a e ã são congruentes. 11. Determine a éurva cuja curvatura é dada' pela função k(s)
/f,
s >O, e a torção 't'(s) =O.
12. Seja a(s) uma curva regular de curvatura k(s)
a sen_:_ e a torção 2a 't'(s) = 2a, a> O. Verifique que o traço de a está contido em uma esfera de raio a.
13. Prove que uma curva regular
a, cuja curvatura não se anula, tem torção 1
96
constante
1
'1: = - ,
a
_/.. , a -r- O se, e so se,
a(t) onde (!1 , h, f3)
a
(j
f1(t)dt,
j fi(t)dt, j f3(t)dt),
F x F' e F é uma função vetorial tal que
IF (t) !=
1
e (F, F' xF") #O. 14. Verifique que, se uma curva regular tem a curvatura k(s) =
~ as
e torção
'l:(s) = bs, onde a e b são constantes, então a curva admite uma parametrização da forma
onde A, B e e são funções de a e b.
15. Duas curvas a (t) e
f3 (t)
são ditas curvas de Bertrand se em pontos
~'~i'-'--..--·-..·---~~---c_1_m~_T1e_E.=.>n_o__n~r1-~~-r:L_t~e_s. têm a mesma reta .1:1()_!1P._éll~ Prove que
a) a distância entre pontos correspondentes é constante;
bfo ângulo entre as retas tangentes de pontos correspondentes é constante.
16. Seja a(s) uma curva regular cuja torção não se anula. Prove que a) existe uma curva
f3
tal que a e
f3
são curvas de Bertrand se, e só
se, a curvatura e a torção de a satisfazem a uma relação da forma
ak(s)+b'l:(s)
=1,
onde a e b são constantes; b) existe mais de uma curva
f3
tal que a e
se, e só se, a é uma hélice circular.
f3
são curvas de Bertrand
97
7. Teoria do Contato JR3 , dentre todas as retas de IR3 que passam por a (to), intuitivaménte, parece-nos que a reta tangente a a em to é aquela Dada uma curva regular a : 1
que tem maior "contato" com a curva. Além disso, dentre todos os planos que contêm a reta tangente a a em to, o plano osculador parece ter maior "contato" com a curva. A fim de precisar melhor essas idéias, consideremos a seguinte 7.1 Definição. Sejam a : 1-+ JR3 e f3 : l-+ JR3 curvas regulares tal que
a(to) = f3(to), onde to E Jnl. Dizemos que a e f3 têm contato de ordem n em to (n inteiro 2::. 1) se todas as derivadas de ordem ::; n das funções a e f3 coincidem em to e as derivadas de ordem n + 1 em to são distintas. 7.2 Exemplos a) As curvas a(t) contato de ordem n
(t, t11 , O); t
E
e f3(t) = (t, O, O), t E IR, têm
1 em t =O.
b) As curvas regulares a(t) = (t, cosht, O), t E IR, e p(t)
(t,
1 2
2t +
1, O), t E IR, têm contato de ordem 3 em t =O. Observamos que, se a e f3 são curvas regulares tais que a(to)
f3(to)
e todas as derivadas de ordem ::; n de a e f3 coincidem em to, então a e
f3 têm contato de ordem 2::. n em to. 7.3 Proposição. Seja a: 1-+ JR3 uma curva regu.lar. Uma reta f3 tem
contato 2::. 1 com a em to se, e só se, f3 é a reta tangente a a em to. Demonstração. Seja f3 : IR -+ siderar definida por
f3(t)
uina reta qualquer, que podemos con-
a+ (t-to)v
98
onde v é um vetor não-nulo de R 3 e a E R 3 . Se f3 e a têm contato ~ 1 em to, então a
f3(to) = a(to),
v
f3'(to)=a'(to).
Portanto, a(to) + (t
f3(t) isto é, f3 é a reta tangente a
a
to)a'(to),
em to. A recíproca é imediata.
D Na teoria de curvas planas, consideramos a noção de raio de curvatura e círculo osculador. Analogamente, para uma curva regular no espaço a(s), cuja curvatura k(s) não se anula, definimos o raio de curvatura de a em
1
s, p(s) = k(s) e o círculo osculador de raio p(s) e centro em
c(s) = a(s) + p(s)n(s) denominado centro de curvatura. A proposição seguinte mostra que o círculo oscufador tem contato de ordem ~ 2 com a curva.
7.4 Proposição. Seja a : I _,.
uma curva regular parametrizada pelo
comprimento de arco s, tal que k(s)
/3 (s), s
#O,
\f s E J. Fixado so E J, seja
R, uma curva parametrizada pelo comprimento de arco tal que /3(so) = a(so) e o traço de f3 é o círculo osculador a a em so. Então, a e f3 (ou uma reparametrização de f3) têm contato de ordem ~ 2. E
Demonstração. Sejam t(so), n(so) e b(so) o triedro de Frenet da curva
a
em so. Como o traço de temos que \f s E R,
f3
(/3(s)
está contido no plano osculador de a(so), b(so)) =O.
a
em so, (13)
99
Além disso,
f3(s)
1
a(so)- k(so) n(so)
1 Considerando a derivada de (13) e (14) em s
12
k2(so).
(14)
so, obtemos
(/3' (so), b(so))
O,
(/3' (so), n(so))
O.
Portanto, /3'(so) = ±t(so). Se /3'(so) t(so) =a' (so), considerando as derivadas de segunda ordem de (13) e (14) em s = so, temos que
(/3"(so),b(so)) (/3" (so), n(so)) Como l/3'(s)I
O, =
k(so).
1, temos que /3"(so) é ortogonal a /3'(so) e, portanto,
(/3" (so)~ t(so)) =O. Logo concluímos que
/3 11 (so)
=
k(so)n(so) = a" (so),
isto é, a e f3 têm contato de ordem
2". 2.
Se /3'(so) = -t(so), _consideramos o argumento acima para a reparametrização da curva
~(s) = /3(2so -s). D A seguir, definimos a noção de contato entre uma curva e um plano. 7.5 Definição. Seja a: 1-. JR 3 uma curva regular e 1C um plano de JR3 que contém um ponto p = a (to), para algum to E!. Dizemos que a e 1C têm contato de ordem
2". n (resp.
n) em p se existe uma curva regular
100
J3 : l-+ JR3 tal que J3 (l) e n e a e J3 têm contato de ordem ~ n em to (resp. n em to e não existe cmva em n que tem contato de ordem > n com a em to). Todo plano de JR3 que contém a reta tangente a uma cmva a em to tem contato de ordem ~ 1 com a cmva a em to. Dentre esses planos, destaca-se o plano osculador que tem contato de ordem ~ 2. Mais precisamente: 7 .6 Proposição. Seja a : I-+ JR3 uma curva parametrizada pelo compri-
mento de arco, de curvatura não-nula, e n um plano de JR3 que passa por a(so). Então, a e n têm contato de ordem ~ 2 se, e só se, n é o plano osculador de a em so. Demonstração. Se
a e n têm contato de ordem
~
2, então existe uma que podemos supor parametrizada pelo compricmva regular ã : l-+ mento de arco, tal que so E Inl, ã(l) e n e ã e a têm contato de ordem ~'f~~-·~~-~-2--em so;-Portanto,
JR3
l(so)
t(so),
ã"(so)
a"(so).
Segue-se que a e ã têm o mesmo plano osculador em s 0 . O plano n é o plano osculador de ã em so, pois ã(l) e n (ver Lema 4.1), portanto, concluímos que n é o plano osculador de a em s 0 • A recíproca é uma consequência imediata da proposição anterior.
o Observamos que, se a torção de a em so é não-nula, então a e o plano osculador em so têm contato de ordem igual a 2 (ver Exercício 4). De modo análogo à Definição 7.5, pode-se introduzir o conceito de contato entre uma curva e uma esfera (ver Exercício 9). No caso de uma cmva a(s) cuja torção -r(s) não se anula, definimos a esfera osculatriz de a em so
101
como sendo a esfera de JR3 de raio
R(so)
p(so) + (p'(so))2 't'(so)
e centro, denominado centro de curvatura esférica,
p'(so) C(so) = a(so) + p(so)n(so) +-(-) b(so), 't' so onde p(s0 ) é o raio de curvatura. A esfera osculatriz tem contato de ordem ,;::: 3 com a curva (ver Exercício 9).
7. 7 Exercícios 1. Seja a : I --+ JR3 uma curva regular, parametrizada pelo comprimento de arco. Se para todo s E I, k(s) >O, então prove que a reta tangente a a em s, Vs E I, tem contàto de ordem 1 com a. Dê um exemplo de curva regular que tem contato de ordem 2 com uma de suas retas tangentes. É possível obter uma curva regular, que tem contato de ordem ,;::: n, com uma de suas retas tangentes, para todo inteiro n ,;::: 1? Justifique.
JR3 e f3 : l--+ JR3 curvas regulares que têm contato de 2. Sejam a : I ordem n em to E I n l. Se F : JR 3 --+ R 3 é um difeomorfismo, prove que F o a e F o f3 têm contato de ordem n em to. 3. Considere duas curvas regulares a(t) = (t,y(t), O) e ã(t) = (t,y(t),O), t E I, que têm contato de ordem n em to E I. Prove que: a) Se n é ímpar, existe uma vizinhança J de to em I, tal que Vt E J, y(t) -y(t) não muda de sinal (ver Figura 19).
102
Figura 19
b) Se n é par, então existem e y(t2)
t1
e t2 E I, tal que y(t1)
y(t1) < O
(t2) > O (ver Figura 20).
4. Seja a(s), s E I, uma curva parametrizada pelo comprimento de arco. Prove que, se k(so) e T(so) são não nulos, então o plano osculador a contato de orden.iigual_ a2.
y ~{tl
ri( t)
Figura20
5. Se a(s) é uma hélice círcular, prove que a curva c(s), determinada pelos centros de curvatura de a, também é uma hélice circular. Deter-
103
mine uma hélice circular a de tal modo que os traços de a e e estejam contidos no mesmo cilindro. 6. Determine as condições que uma curva a (s) deve satisfazer para que o centro da esfera osculatriz seja o mesmo para todo s. 7. Seja a(s), s E!, uma curva regular. Suponha que a curvatura k(s) e a torção -r(s) de a não se anulam. Seja c(s) a curva descrita pelos centros de curvatura de a. Prove que a curvatura de e é dada por
(p') R)2 + (
p2 d [( R 3 -r ds
1
p'
p-r2R2
-rp
)2] i l
onde p é o raío de curvatura de a e R o raío de curvatura esférica de
a. 8. Prove que, se o raio de curvatura esférica de uma curva a é constante, então a curvatura de a é constante ou o traço de a está contido em uma esfera. 9. Seja a(s), s E/, uma curva parametrizada pelo comprimento de arco s. Consideremos uma esfera em JR;.3 de centro e e ráio a > O
Dizemos que a e S têm contato de ordem 2: n (resp. = n) se existe curva f3(s), tal que f3(s) ES, Vs ea e f3 têm contato de ordem 2'.n em so (resp. = n e não existe curva f3 contida em S que tem contato de ordem > ~ com a). Prove que: e
e
a) Se S é uma esfera que tem contato de ordem 2: 1 com então o centro de S pertence ao plano normal de a em so.
a em so,
b) Se S é uma esfera que tem contato de ordem 2: 2 com a em so, então o centro de S pertence à reta que passa pelo centro de curvatura de a em so na direção do vetor binormal b(so).
104
2:: 2 com a em so intercepta o plano osculador de a em so ao longo do círculo osculador em so.
e) Uma esfera que tem contato de ordem
d) A esfera osculatriz de
a em so tem contato de ordem 2:: 3 com a
em so. 10. Obtenha a ordem de contato da curva a(s)
{(x, y, z)
E
JR3;
+y2 + i2 =
= (s, r, O)
e a esfera S =
r 2 }, onde r é uma constante positiva.
1 L Sejam a(s) uma curva regular,
n um plano de IR3 e S uma esfera.
a) Suponha que a(s) e n têm contato de ordem n em so. Prove que, se n é ímpar, então, para s suficientemente próximo de so, a(s) pertence a um mesmo semi-espaço de IR3 determinado por par, então existem
s1
e
s2
n. Se n é
tal que a(s1) e a(s2) pertencem a semi-
espaços distintos determinados por n (isto é, a atravessa o plano n). b) Suponha que a(s) e S têm contato de ordem n em so. Prove que, se n é ímpar, então, para s suficientemente próximo de so, a(s) ----..-.ertence·a-um: mesmo subespaço de JR3 ·(interior ou exterior à esfera) determinado por S. Se n é par, então existem
e a(s2)
s1
e
s2
tal que a(s1)
pertencem a subespaços distintos determinados por S.
8. Involutas e Evolutas a de IR3 determina duas famílias de curvas, que são as .fuvoiutas e evolutas de a. O estudo das evolutas de uma
Nesta seção veremos que uma curva
curva no espaço difere bastante de estudo das evolutas de uma curva plana. +, ........... - -Uma curva plana tem uma única evoluta descrita pelos centros de curvatura
(ver seção 4 do Capítulo I), enquanto que uma curva no espàço tem uma família infinita de evolutas. Como veremos a seguír, as curvas descritas pelos centros de curvatura ou pelos centros de curvatura esférica de uma curva
a,
cuja torção não se anula, não são evolutas de
a.
Entretanto, existe uma.
105
generalização natural, para curvas no espaço, do conceito de involuta de uma curva plana. Uma vez definida uma involuta ã de uma curva a, é natural definir a como sendo uma evoluta de ã.
8.1 Definição. Seja a (s), s E /, uma curva regular de IR3 . Uma involuta de a é uma curva ã(s) tal que, \Is E!, ã(s) intercepta a reta tangente a
a em s ortogonalmente. Supondo que a(s) parametrizada pelo comprimento de arco, vamos obter a família das involutas de a. Como ã(s) pertence à reta tangente a a em
s, então
ã(s) = a(s) + À(s)t(s). Além disso, ã'(s) deve ser ortogonal a t(s), isto é,
(t+Ã't+Ât 1 ,
t) =o.
Portanto,
l+;t'(s) =O, ou seja,
À(s) =a
s,
onde a é uma constante arbitrária. Daí concluímos que uma involuta de a é dada por
ã(s)
a(s) + (a-s)t(s).
(15)
Como a é arbitrária, essa equação representa uma família infinita de involutas de a. As curvas são distintas para escolhas diferentes da constante a. A família de involutas de uma curva pode ser interpretada geometricamente do seguinte modo. Se desenrolarmos uma corda que está sobre a curva, de tal forma que a parte desenrolada é mantida esticada na direção da tangente à curva e o restante da corda permanece sobre a curva, então nesse movimento todo ponto da corda descreve uma involuta da curva (ver Figura 21).
106
Figura 21
8.2 Definição. Se ã é uma involuta de
a, então definimos a como
sendo uma evoluta de ã. Suponhamos que ã (s) é parametrizada pelo comprimento de arco, tal que a curvatura k(s) =/= O, 'í/ s. Vamos denotar por l, fí, b o triedro de Frenet de ã. Para obter a evoluta a de ã, observamos que, pela definição de involuta de a para cada s, o segmento de reta determinado por a(s) e ã(s) é ortogonal a ã(s) em s e tangente a a em s. Portanto, podemos considerar
a(s) = ã(s) + Â(s)n(s) + µ(s)b(s).
(16)
Vamos determinar as funções À e µ. Derivando (16) e usando as equações de Frenet, temos que
a'
(1
Âk)l + (Ã' + µi)fí + (µ' -Â i)b.
Como a' é paralelp a Âfí + µb, obtemos Â
µ(Â 1 + µi) Logo,
1
k' Â(µ'
Âi}
107
Portanto,
onde a é uma constante arbitrária. Como À
1/k, obtemos que
Concluímos de (16) que
a(s)
ã(s)+ k(~)fi(s)+ kts) cotg ( / Us+a) b(s)
(17)
representa a família infinita de evolutas de ã. Se a torção i'(s) não é nula, então segue-se trivialmente de (17) que a curva determinada pelos centros de curvatura de ã não é uma evoluta de ã. Além disso, se consideramos a curva C(s) determinada pelos centros de curvatura esférica de ã, então C(s) não é uma evoluta de ã, pois C'(s) é paralelo a b(s), enquanto o vetor tangente a uma evoluta de ã é paralelo a 1
-
k(s) fi(s) + µb(s). Observamos que, se a curva ã de R 3 é plana, isto é, i' =O, a única evoluta plana de ã está contida no plano osculador, portanto, é obtida de (17) considerando a= .n/2, o que mostra que a família de evolutas de uma curva plana de R 3 contém a curva determinada peloscentros de curvatura. As outras evolutas de ã são hélices. 8.3 Exercícios 1. Seja a uma curva regular cuja curvatura não se anula. Dentre as involutas de a, determine as que são curvas regulares. 2. Prove que as involutas de uma hélice circular são curvas planas.
108
3. Seja a(s) uma curva regular. Prove que a curva determinada pelos centros de curvatura de a é uma evoluta de a se, e só se, a é uma curva plana. 4. Seja a(s) uma curva parametrizada pelo comprimento de arco, tal que k(s) :/=O, Vs. Prove que a curvatura k e a torção i da involuta ã de a, isto é, ã(s) a(s) +(a s)t(s), são dadas por
-
k! 1: k1:' - (a-s)k(7:2+1c2r
"(;-------
5. Sejam a1 (s) e a2(s) duas evolutas distintas de uma mesma curva ã(s) e seja B(s) o ângulo formado pelos vetores tangentes a a1 e a2 em s. Verifique que e(s) é constante. 6. Seja a(s) uma curva, parametrizada pelo comprimento de arco, cuja curvatura não se anula. Para cada s, considere uma reta /!. do plano normal a a em s que forma um ângulo B(s) com n(s). Prove que, se uma outra curva [3 (umaevoluta de a), então de = 1:, - de a. Al'em d'isso, a razao - entre a curvatura ds e a onde 1: e' a torçao torção de [3 é igual a -cotg e. 7. Verifique que as evolutas de uma curva regular plana de JR.3 são hélices. 8. Obtenha as involutas da circunferência a(s) fique que são todas congruentes.
(cos s, sen s, O). Veri-
9. Verifique que ~ catenária a (t) = (t, e cosh ! , O) pode ser reparametrizada pelo comprimento de arco por e
[3(s)
=
a(t(s))
s (e arcsenh - , e
O).
Obtenha as involutas de [3. Trace o gráfico da involuta obtida com a constante a= O em (15). (Esta involuta é uma tratriz).
Capítulo III TEORIA LOCAL DE SUPERFÍCIES
l.. Superfície Parametrizada Regular Neste capítulo, vamos investigar as propriedades geométricas locais de superfícies no espaço euclidiano JR.3 . O conceito de superfície parametrizada será introduzido de modo análogo ao de curvas. Assumimos que temos um sistema de coordenadas cartesianas x, y, z em JR.3 e consideramos uma função X(u, v) (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), de duas variáveis u, v que variam e_m um aberto U e JR.2 • Para cada (u, v) E U, X(u, v) determina um ponto de JR.3 . Denotamos por S o subconjunto de JR.3 formado pelos pontos X(u, v). A fim de que possamos utilizar as técnicas de cálculo diferencial no estudo de superfícies, vamos exigir a diferenciabilidade da função X. Além disso, vamos nos restringir ao estudo de superfícies que em cada ponto admitem um plano tangente. 1.1 Definição. Uma superficie parametrizada regular ou simplesmente uma superficie é um aplicação X : U e JR.2 -+ ~3 , onde U é um aberto de JR.2 , tal que: a)X é diferenciável de classe C""; b) Para todo q = (u, v) EU, a diferencial de X em q, dXq: JR.2 -+ JR.3 , é injetora. As variáveis u, -v são os parâmetros da superfície. O subconjunto S de
obtido pela imagem da aplicação X
6 denominado traço de
X.
110
1.2 Observações. a) A aplicação X(u, v)
(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) é diferenciável de
classe C" quando as funções x, y, z têm derivadas parciais de todas as ordens contínuas. b) A condição b) da Definição 1.1 vai garantir a existência de plano tangente em cada ponto da superficie. Vejamos algumas formas equivalentes de expressar essa condição. Sejam e 1 , e2 a base canônica de IR.2 e ê 1 , a base canônica de IR.3 . Para cada q = (u 0 , vo) EU, sabemos que a matriz associada a dXq nas bases canônicas (ver Capítulo O) é a matrizjacobiana
J(uo, vo)
=
a(uo, vo)
dx u
a)uo, vo)
dx
()y au (uo, vo)
()y a/uo, vo)
dz du (uo, vo)
dz dv (uo, vo)
Denotando esses dois vetores por Xi 1 (uo, vo) e Xv(uo, vo) respectivamente, observamos que as seguintes afirmações são equivalentes: b.l) dXq é injetora; b:2) a matriz J(u 0 , vo) tem posto 2; b.3) os vetores Xi 1 (uo, vo), Xv(uo, v0 ) são linearmente independentes;
b.4) Xii(ito, vo) xXv(uo, vo) #O. Se X : U e IR.2 -+ IR.3 é uma superficie parametrizada, então, fixado um
111
ponto (uo, vo) EU, as curvas
u
1--7
X(u, vo),
v
1--7
X(uo, v),
são chamadas curvas coordenadas de X em (uo, v0 ). Os vetores x;,(uo, v0 ) e Xv(uo, vo) são os vetores tangentes às curvas coordenadas (ver Figura 22). z
X
Figura 22 1.3 Exemplos
a) Sejam Po = (xo, yo, zo) um ponto de JR3, a= (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) vetores linearmente independentes de JR3: Consideremos a aplicação X: JR2 -+ JR3 que, para cada (u, v) E JR2 , associa X(u, v)
po + ua + vb, isto é,
X(u, v)
= (xo+ uai +vb1, .Po+ua2 +vb2, zo +ua3 +vb3).
Então, X é uma superfície parametrizada regular, pois X é diferenciável e os vetores x;, =a, Xv b são linearmente independentes. A aplicação X descreve um plano de JR3 que passa pelo ponto p 0 , ortogonal ao vetor a x b (ver Figura 23). As curvas coordenadas de X descrevem retas do plano, paralelas aos vetores a e b respectivamente.
=
112
Figura23
b) A aplicação
X(u,
v) (u, v,-~(d+au+bv)),
onde (u, v) E JR2 e a, b, e i= O são constantes, é uma superfície parametrizada regular, cuja imagem é o plano de JR3 , dado por
§= {(x, y, z) E JR3 ; ax+by+cz+d
O}.
e) Seja
(u, v, u + ~), (u, v) 2
X(u, v)
2
E JR ,
onde a e b são constantes não-nulas. A aplicação X é diferenciável e os vetores x;, (1, O, 2u/a2 ) Xv =(O, 1, 2v/b2 ) são linearmente independentes para todo (u., v) E JR2 . Portanto, X é uma superfície parametrizada regular, cuja imagem é o ptzrabolóide elitico (ver Figura 24)
As curvas coordenadas descrevem as parábolas obtidas pela interseção de S com os planos paralelos a xoz e yoz.
113
X
Figura24 d) Consideremos a aplicação X : U
e JR2 --t JR3
definida por
X(u, v) =(a sen v cos u, a sen v sen u, a cos v), onde a> O e U =:IR x (O, n) Figura 25).
{(u, v) E JR2 ; u E :IR e O< v < n} (ver
u
Figura25 A aplicação X é diferenciável e os vetores
x;,
(-a sen v sen u, a sen v cos u, O),
Xv
(a cos v cos u, a cos v sen u, -a sen v),
114
são linearmente independentes, para todo (u, v) E U. De fato,
já que v E (O, n). A imagem de X é a esfera centrada na origem de raio a, menos os dois pólos. As curvas coordenadas são os meridianos e paralelos da esfera. e) As aplicações
X(u, v)
(u, v,
X(u, v) =
(u, v, {(u, v) E JR.2 ; u2 +v2 < a 2 }, são su-
onde a> O e (u, v) varia em U
perfícies parametrizadas regulares cujas imagens são os dois hemisférios da esfera, centrada na origem de raio a (ver Figura 26).
\7
X(U) X
Figura 26
Os Exemplos b ), c) e e) são casos especiais de uma família de superfícies parametrizadas, cujas imagens são gráficos de funções diferenciáveis. Mais precisamente.
115
1.4 Proposiçao. Se f(u, v) é umafimção real diferenciável, onde (u, v) E U, aberto de JM;. 2 , então a aplicação X(u, v) (u, v, f(u, v)) é uma superficie parametrizada regular, que descreve o gráfico da função f. Demonstração. A diferenciabilidade de X decorre do fato de que as funções coordenadas de X são diferenciáveis. A matriz jacobiana de X é igual a
~ ~fv
J= (
fu
)
'
que tem posto 2, para todo (u, v).
D
1.5 Exemplo. Dessa proposição temos que a aplicação
X(u,v)=(u,v,:~ ~),
(u,v)EJM;.
2
,
onde a e b são constantes não-nulas, é uma superfície parametrizada regular, cujo traço é o parabolóide hiperbólico (ver Figura 27)
S
{ (x, y, z) E JM;.
3
;
z
~ ~}.
z
y
X
Figura 27
116
A proposição a seguir fornece uma família de superfícies parametrizadas, que descrevem o conjunto de pontos de R 3 , obtidos pela rotação do traço de uma curva regular plana em tomo de uma reta deste plano que não intercepta a curva. 1.6 Proposição. Seja a(u) = (f(u), O, g(u)), u E I regular tal que f( u) não se anula. Então, a aplicação X(u, v)
= (f(u)
e
R, uma curva
cos v, f(u) sen v, g(u)),
onde u E I e v E R é uma superficie parametrizada regular.
Demonstração. Como a é uma aplicação diferenciável, temos que as funções coordenadas de X são diferenciáveis. Os vetores
x;, Xv
(/ (u)
cos v,
= (- J(u)
f (u)
sen v, g' (u)),
sen v, J(u) cos v, O),
são linearmente independentes, pois
já que a é uma curva regular e f não se anula. Portanto, concluímos que X é uma superfícíe parametrizada regular. D A aplicação X da Proposição 1.6 é denominada supeifzcie de rotação da curva a em tomo do eixo Oz. A curva a está contida no plano xOz, e o eixo de rotação Oz não intercepta a curva, já que J(u)-=/=- O (ver Figura 28). As curvas coordenadas X(uo, v) e X(u, vo) são os paralelos e meridianos da superfície de rotação (ver Figura 28).
117
Observamos que, se a é uma curva regular de R 3 , cujo traço está contido num plano n, e /!, é uma reta deste plano que não intercepta a curva, podemos escolher um sistema de coordenadas de ffi. 3 de tal forma que n é o plano xoz e f, o eixo Oz. Portanto, pela Proposição 1.6, obtemos uma superfície de rotação da curva a em tomo de f. z V
X
i 1
~
u
1
o j
u
I
1
y
X
Figura 28 1.7 Exemplos de superfícies de-rotação a) A superfície
X(u, v) =(a cos v, a sen v, u), onde (u, v) E R 2 , descreve o cilindro circular, que é obtido pela rotação da reta a(u) =(a, O, u) em tomo do eixo Oz (ver Figura 29). z
X
Figura 29
118
b) Consideremos a catenária
a(u)
=
u a
(u, a cosh-, O), u E IR!,
onde a > O é constante. A superfície
X(u, v)
u u (u, a cosh- cos v, a cosh- sen v), a
a
X
(u, v) ·E R 2 , descreve o catenóide, que é obtido pela rotação da catenária a em tomo do eixo Ox (ver Figura 30). e) Seja a(u) = (a+r cosu, O, r senu), u E IR!, onde O< r
Figura 31
119
Considerando a rotação de de rotação
X(u, v)
a em torno do eixo
Oz, obtemos a superfície
((a+r cos u) cos v, (a+r cos u) sen v, r sen u),
(u, v) E JR2 , que descreve o toro (ver Figura 32). z
y
X
Figura 32 Observamos que o traço de uma superfície parametrizada regular X( u, v) admite auto-interseção, isto é, podem existir dois pontos distintos (uo, vo) =J.
(ur, vr), tal que X(uo, vo) =X(ur, vi). Por exemplo, em umasuperficie de rotação
X(u, v)
(f(u) cos v, f(u) sen v, g(u)),
onde u E l e v E JR, temos X(u, O) =X(u, 2n), para todo u E/. Outro exemplo de uma superfície que admite auto-interseção é dado por
X(u, v)
(cos u (2 cos u
1), sen u (2 cos u
1), v),
(u, v) E JR2 .
O traço de X é o subconjunto de JR3 gerado pelas retas que passam por
a(u)
= (cos u (2 cos u-1), sen u (2 cos u
paralelas ao eixo Oz (ver Figura 33).
I), O) (ver Capítulo I, l.2c))
120
X
Figura 33 No estudo de curvas, vimos que uma curva regular a(t), t E I e admite auto-interseção, entretanto, existe um subconjunto l e I tal que a restrita a l é injetora (ver Capítulo II, 2.4 Exercício 9). A proposição a seguir mostra que a propriedade análoga se verifica para superfícies. [T~--·-··-~···-··-1:s-:Pri[)pl>si1;ã(]'~ Seja X :
U- e JR2 ···=-+ JR3 uma· superficie parametrizada
regular. Para todo (uo, vo) EU, existe um aberto Ü Ü e ·x restrita a Ü é injetiva.
e
U, tal que (uo, vo) E
Demonstração. Se X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) é regular, então a matriz jacobiana de X em (uo, vo) tem posto 2. Suponhamos, sem perda de generalidade, que
Consideremos a função F: U =-+ JR2 que, para cada (u, v) E U, associa F(u, v) = (x(u, v), y(u, v)). Usando o teorema da função inversa, segue-se
121
de (1) que existe um aberto Ü, (uo, vo) E Ü e U tal que F restrita a ü é inversível, em particular, F restrita a Ü é injetora. Portanto, concluímos que X restrita a Ü é injetiva.
o 1.9 Exemplo. A superficie do Exemplo 1.3 d)
X(u, v) =(a senv cosu, a senv senu, a cosv), onde a> O e U = {(u, v) E IR;. 2 ; u E IR;. e O< v < n}, não é uma aplicação injetora. Entretanto, X é injetora quando restrita a um domínio Ü I x (O, n), onde I é um intervalo aberto de IR;. de comprimento menor ou igual a 2n. Neste caso, o traço de X é a esfera menos um meridiano. Na definição de uma superficie parametrizada X( u, v), exigimos a condição da matriz jacobiana de X, J(u, v), ter posto 2, para todo (u, v) do domínio de X. Se X : U e _,. _IR;.3 é uma aplicação diferenciável tal que, para (uo, vo) EU, J(uo, vo) não tem posto 2, então dizemos que (uo, vo) é um ponto singular de X. Se para todo (u, v) EU, J(u, v) tem posto 1, então X representa uma curva, como ocorre, por exemplo, em
X(u, v)
(u+v, (u+v) 2 , (u+v) 3 ).
Podem aparecer pontos singulares pela escolha da aplicação X ou pela natureza da superficie. Um exemplo do primeiro caso é () da esfera descrita por (ver Exemplo 1.3 d)
X(u, v)
(a senv cosu, a senv senu, a cosv),
onde tivemos que considerar o domínio d~ X, como sendo u E IR;. e O< v < n. Excluímos assim os dois pólos da esfera, já que (u, O) ou (u, n) são pontos singulares de X. Entretanto, geometricamente não há diferença entre o pólo norte ou pólo sul e qualquer outro ponto da esfera. O traço da aplicação X
122
no Exemplo 1.3 e) inclui o pólo norte. Um exemplo do segundo caso é dado pelo cone circular descrito por X(u, v)
= (au
cosv, au senv, ub),
onde a e b são constantes não-nulas. Os pontos singulares (O, v) correspondem ao vértice do cone, que é um ponto particular do cone. Pode-se verificar que toda superfície parametrizada regular cujo traço está contido no cone exclui o vértice. Essas considerações mostram que devemos escolher convenientemente as aplicações X. Além disso, no caso de superfícies como a esfera, elipsóide, etc. devemos considerá-las como "união" de traços de superfícies parametrizadas regulares. Esta forma de abordar o estudo de superfícies é feita em cursos mais avançados (ver por exemplo [6]), principalmente quando são incluídas propriedades geométricas globais das superfícies. Entretanto, para o estudo das propriedades locais, é suficiente considerar as superfícies parametrizadas regulares. Vamos encerrar esta seção com a segumte proposição. 1.10 Proposição. Seja F : R.3 -7 R. uma aplicação diferenciável. Consideremos o conjunto S { (x, y, z) E R.3 ; F(x, y, z) =e}, onde c é um número real. Se Po = (xo, yo, zo) E Sé tal que F}(po) +FJ(po) =/=O, então o conjunto dos pontos (x, y, z) E S, suficientemente próximos de po, é o traço de uma superfície parametrizada regular. Demonstração. Suponhamos que Fz(po) =/=O. Segue-se do teorema da função-ímplícita (ver Capítulo O) que uma aplicação diferenciável
(x, y,
123
é uma superfície parametrizada regular (Proposição 1.4) cujo traço descreve pontos de S próximos de Po. De maneira inteiramente análoga, provam-se os casos em que F.,(po) =f O ou Fy(po) =f O. D 1.11 Exercícios 1. Obtenha uma superfície parametrizada regular cujo traço descreve { (x, y,
a) o elipsóide S
z)
+y2 + ~
3
E R. ;
= 1} menos dois
pontos; b) o hiperbolóide de uma folha
x2S- { (x, y, z) E R. 3., a2
+ y2 b2 -
c) o hiperbolóide de duas folhas
s
3
{
(x,y,z)ER.;
:?
d) o cone de uma folha menos o vértice S
{ (x, y, z) E R.3 -(O, O, O); z
e) S { (x, y, z) E R.3 ; reais positivos.
+ (3y2-z) 2
Jx2+y2};
1}, onde a, b, e são números
Descreva em cada caso as curvas coordenadas e obtenha um subconjunto do domínio da parametrização onde ela é injetiva. 2. Verifique que a aplicação
X(u, v)
(au cosh v, bu senh v, u2 ),
onde u E R. - {O}, v E R. e a e b são constantes não-nulas, é uma superfície parametrizada regular, que descreve o parabolóide hiperbólico menos um ponto.
124
3. Verifique que as aplicações a) X(u, v) =(O, u, v), (u, v) E JR2 , b) X(u, v) = (u+v, 2(u+v), u), (u, v) E JR2 , c) X(u, v)
(cosu, 2 senu, v), (u, v) E JR 2 ,
são superficie parametrizadas regulares. Descreva o traço de X na forma S
{ (x, y, z)
E
JR3 ; F(x, y, z)
O}.
4. Considere uma curva regular
a(s)
(x(s), y(s), z(s)), s E I
e JR.
Seja S o subconjunto de JR3 gerado pelas retas que passam por a(s), paralelas ao eixo Oz. Dê uma condição suficiente que deve satisfazer a curva
a para que S seja o traço de uma superficie parametrizada
regular. 5. Seja a(t)
(t, t 2 , t 3 ), t E JR. Verifique que X(u, t)
a(t) +ua'(t),
é uma superficie parametrizada regular. 6. Seja a(t) = (acost, a sent, bt), t E JR,
a> O, b =fa O, uma hélice circu-
lar. Para cada t E JR, considere a reta que passa por a(t) e intercepta ortogonalmente o eixo Oz. Obtenha uma superficie parametrizada regular cujo traço é o conjunto de pontos obtido pela união dessas retas. Esta superficie é denominada helicóide. 7. Seja a(u)=l(f(u), O,g(u)), uElR, umacurvaregulartalque J(u)=fa
O. Verifique que a aplicação
X(u, v) = (J(u) cosv, J(u) senv, g(u) +av), (u, v) E JR2 , onde a é constante, é uma superficie parametrizada regular. Descreva as curvas coordenadas de X. Descreva a superficie X quando: a) g(u)
é constante; b) a= O.
125
8. Verifique que a aplicação
X(u, v) = (u cosv, senv,
{(x, y, z)
E
IR.3 ; ax = yz}.
9. Seja X(u, v) uma superfície parametrizada regular. Prove que, se F: IR.3 - t IR.3 é uma difeomorfismo, então = F o X é uma superfície parametrizada regular.
2. Mudança de Parâmetros Duas superfícies parametrizadas podem ter o mesmo traço. Por exemplo, as superfícies
X(u, v)
(u+v, u
Y(ü, v)
(ü,
v, 4uv),
v, ü2 -v 2 ),
têm o mesmo traço S = {(x , y, z) E IR.3; z =
(u, v) E IR.2 ,
(ü, v) Elfl2 ,
x2 -y2}, que é um parabolóide
hiperbólico. Dada a superfície parametrizada regular X, podemos obter várias superfícies parametrizadas que têm o mesmo traço que X, da seguinte forma.
2.1 Proposição. Seja X : U e IR.2 - t IR.3 uma superficie parametrizada regular. Se h: Ü e IR.2 - t U é uma aplicação diferenciável, cujo determinante da matrizjacobiana não se anula, e h(Ü) U, então Y =X oh é uma superficie parametrizada regular que tem o mesmo traço que X.
126
Demonstração. A aplicação Y é diferenciável, pois é composta de funções diferenciáveis. Seja
X(u, v)
(x(u, v), y(u, v), z(u, v)),
h(ü, v)
(u(ü, v), v(ü, v)).
Vamos verificar que Y(ü, v) =X o h(ü, v) satisfaz a condição Como
x
Yv i= O.
ax au ax av ay au ()y av (}z au (}z az) ( au dÜ + av ()ü au oü + av ()ü au ()ü + av dÜ ' ax au ax av ay au ()y av az au av) ( au av + av dv au av + av av au av + av av
j
temos que:
Portanto,
auav au dÜ av) .
Yi1 X Yv =.x;, xXv ( ()ü av -
Como .x;, x Xv i= O e o determinante da matriz jacobiana de h não se anula, concluímos que Yü x Yv i= O. D A aplicação Y dá proposição anterior é denominada uma reparametrização de X por h, e h é dita uma mudança de parâmetros. Observamos que uma mudança de parâmetros não precisa ser necessariamente injetiva. Uma aplicação pode ter o determinante da matriz jacobiana não-nulo sem ser injetiva, como, por exemplo, h (u, v) (eu cos v, eu sen v), (u, v) E JR2 .
127
2.2 Exemplos
a) A superficie
Y(ü, v)
(ü, v, ü 2
v2 ), (ü, v)
E ~.2,
é uma reparametrização de
X(u, v)
=
(u+v, u v, 4uv), (u, v)
por h:lR2 ---tlR2 , onde h(u, v)
E
JR2 ,
l(ü+v, ü-v).
b) Consideremos as superficies parametrizadas
X(u, v)
(u, )a2 -u2-v2, v),
(u, v) EU, onde U = {(u, v) E JR2 ; u2 +v2 < a2 } e Y(ü, v)
(a senv cosü, a senv senü, a cosv),
{(ü, v) E JR2 ; O< ü < n, O< v < n}. Então, Y é uma reparametrização de X por h: Ü U, onde h(ü, v) =(a senv cosü, a cosv). O traço de X e Y é um hemisfério da esfera (ver Figilra 34). (ü, v) E
ü
/1 X( U) =Y( Ü)
y
V
u
Figura 34
128
No Exemplo 2.2 a), a superfície Y é uma reparametrização de X, que
. No Exemplo b), X é uma descreve o gráfico da função f(x, y) = x2 1 reparametrização de Y por h- (observe que, neste caso, h é inversível) e o traço de Y é o gráfico da função f(x, z) =
A proposição
seguinte prova que, localmente, toda superfície admite uma reparametrização, que descreve o gráfico de uma função diferenciável. 2.3 Proposição. Seja X : U
e
IR2
ffi. 3 uma superficie parametrizada
regular. Para cada (uo, vo) EU, existe um aberto V, (uo, vo) E V e U e uma mudança de parâmetros h : Ü - t V, tal que o traço de Y =X oh é o gráfico de uma função diferenciável.
Demonstração. Consideremos X(u, v)
(x(u,-v), y(u, v), z(u, v)).
Sem perda de generalidade, suponhamos que
Se F: U
e
ffi.2
-t
ffi.2 é definida por F(u, v) = (x(u, v), y(u, v)), então,
segue-se do teorema da função inversa que existe um aberto V, (uo, vo) E V e U, tal que F restrita a V admite inversa p-l diferenciável. Seja Ü F(V) e denotemos por h: Ü - t V a inversa de F. Vamos verificar que a reparametrização Y = X o h descreve o gráfico de uma função diferenciável.
129
De fato, se (ü, v) E Ü, então Y(ü, ii) =
(xoh(ü, ii), yoh(ü, ii), zoh(ü, ii)) = (Foh(ü, v), zoh(ü, ii)).
Como h é inversa de F, concluímos que Y(ü, ii) = (ü, ii, zoh(ü, ii)),
isto é, Y descreve o gráfico da função diferenciável z oh.
D 2.4 Exemplo. Consideremos a superfície
X(u, v) = (cosu, senu, v), (u, v) E IR2 , que descreve o cilindro circular. Fixado o ponto ( Í, O) E IR2 , consideremos a vizinhança desse ponto V { (u, v) E IR2 ; O< u < 11:, v E IR}. Então, a restrição de X ao aberto V admite uma reparametrização Y(ü, v) = (ü,
ii), onde
1<ü
< 1, ii E
que descreve o gráfico da função .JI -ü 2 (ver Figura 35).
Figura 35
130
Observamos que, dada uma superfície parametrizada regular X(u, v), obtemos uma reparametrização X(ü, v)
X oh(ü, v) de X, considerando a mudança de parâmetros h( ü, v) (ü + c 1 , v+ c 2 ), que é uma translação do plano. Portanto, para investigar as propriedades geométricas da superfície X em torno de um ponto (uo, vo), podemos supor que uo O e vo =O, o que faremos mais adiante quando for conveniente. 2.5 Exercícios 1. Descreva o traço das seguintes superfícies parametrizadas regulares
X(u, v)
(u, v, O), (u, v) E JH?.2;
X(u, v)
(u cos v, u sen v, O), u E JR
O, v E R
Restringindo convenientemente o domínio de X, obtenha uma mudança
á"---------·-·····-·---~d~~e~~E:1.~!1:'~~~-·h1tal que X
X oh.
2. Descreva o traço das seguintes superfícies a)
X(u, v)
(au coshv, bu senh v, u 2 ), ui= O, v E JR;
X(ü, v)
(a (ü+v), b (ü-v), üv), (ü, v)
E
JR 2.
b)
X(u, v)
(a coshu coshv, b coshu senh v, .e senh u), (u, v) E JR2 ,
X(ü, v)
(
a ü v' b 1 + üv e üii
ü+v
ü+v
1)' (ü, v) E JR2 ü+v
{O, O}.
Em cada caso, restringindo convenientemente os dominios, verifique que uma das superfícies é uma reparametrização da outra.
131
3. Verifique qúe uma reparametrização do catenóide
X(u, v)
=
(u, coshu cosv, coshu senv), (u, v) E ~.2,
é dada por
X(ü, v) =(are senh ü,
Vl +ü 2 cosv, Vl +ü 2 senv),
(u, v)
2 ER .
Obtenha a mudança de parâmetros. 4. Considere uma superficie de rotação da forma
X(u, v) = (f(u) cosv, f(u) senv, u), (u, v) EU, onde U = I x R e I é um intervalo aberto de R. Para cada (uo, vo) E
e
U, e uma mudança de parâ-
metros h : Ü ~ V tal que o traço de Y
X o h é o gráfico de uma
U, obtenha um aberto V, (uo, vo) E V função diferenciável.
3. Plano Tangente; Vetor Normal Seja X(u, v), (u, v) EU e R 2 , uma superficie parametrizada regular. Con., siderando u e v como funções diferenciáveis de um parâmetro t, t E I
e R,
obtemos uma curva diferenciável a(t) =X(u(t), v(t)) cujo traço está contido na superficie descrita por X. Dizemos que
a é uma curva da superficie.
Vamos definir um vetor tangente-à superficie como sendo o vetor tangente a uma curva da superficie. Mais precisamente,
3.1 Definição. Se X(u, v) é uma superficie parametrizada regular, dizemos que um vetor w de R 3 é um vetor_ tangente a X em q (uo, vo) se w = a' (to), onde a (t) = X (u(t), v(t)) é uma curva da superficie, tal que
(u(to), v(to))
(uo, vo) (ver Figura 36).
132
(u(t),v(t)~
V
Figura 36
Os vetores Xu(uo, vo) e Xv(uo, vo) são vetores tangentes a X em (u 0 , vo), já que são tangentes às curvas coordenadas de X.
3.2 Definição. O plano tangente a X em (uo, vo) é o conjunto de todos os vetores tangentes a X em (uo, vo), que denotamos por TqX, onde q (uo, vo). Observamos que os conceitos de vetor tangente e plano tangente são definidos em um ponto (uo, vo) do domínio ·de X e não no ponto p =X( uo, vo), já que a superfície parametrizada X pode ter auto-interseção. A seguir, verefuos que o plano tangente TqX é o plano de ~3 gerado por X,.,(q) e Xv(q).
3.3 Proposição. Seja X(u, v) uma superficie parametrizada regular e q (uo, vo). Então, TqX é o conjunto de vetores obtidos como combinação linear de X,.,(uo, vo) e Xv(uo, vo).
133
Demonstração. Se w E TqX, então w = a'(t0 ), onde a(t) =X(u(t), v(t)) e (u(to), v(to)) (uo, vo). Portanto,
a'(to) =
w =
:i (X(u(t)),
v(t))I,..,.
Xu(uo, vo) u'(to) +Xv(uo, vo) v'(to), isto é, w é uma combinação linear dos vetores Xu e Xv em (uo, vo). Reciprocamente, suponhamos que w
aXu(uo, vo) +hXv(uo, vo),
então existe uma curva a(t) da superfície tal que (u'(O), v'(O)) e a' (O) w. De fato, basta considerar
a(t) onde u(t)
uo +at e v(t)
(uo, vo)
X(u(t), v(t)),
vo +bt. D
Por definição de superfície parametrizada regular, Xu e Xv são vetores linearmente independentes. Portanto, segue-se da proposiÇão anterior que TqX é um plano de JR.3 , gerado por Xu e Xv (ver Figura 37). Observamos que, em geral, Xu e Xv não são ortogonais, nem unitários.
Figura 37
134
3.4 Definição. Se X(u, v) é uma superfície e q um vetor de
JR3
= (uo, vo),
dizemos que
é normal a X em q se é ortogonal a TqX, isto é, é ortogonal
a todos os vetores tangentes a X em q. Dado um plano tangente TqX, existe uma única direção normal a este plano e, portanto, existem exatamente dois vetores unitários normais a X em
q. Daqui por diante, vamos fixar o vetor unitário normal a X em q como sendo o vetor
x;,xXv
N () q Se o domínio da superfície X
= lx;1 xXvl (q). é um aberto U e JR2 ,
U, temos uma aplicação diferenciável N : U
então, variando (u, v) E
3 -+ JR ,
denominada aplicação
normal de Gauss, definida por ( v) = Nu, uuajo!.•vu1
x;,xXv(
1x;, xXvl
u, v),
está contida na esfera unitária, centrada na origem (ver Figura
38).
Figura 38
135
3.5 Exemplos a) Seja X(u, v) = (u, v, vl - u2 -v2 ), (u, v) EU, onde U = {(u, v) E JR2 ; u2 +v2 < l}. Consideremos o ponto q = (u 0 , v0 ) =(O, O). Pela Proposição 3.3, os vetores x;,(O, O)= (1, O, O) e Xv(O, O)= (O, 1, O) formam uma base do plano tangente TqX. Portanto, todo vetor tangente a X em q é da forma (a, b, O), onde a,b E :IR e o vetor normal é N(O, O)= (O, O, 1) (ver Figura 39). b) Se X(u, v) = (u, v, u2 +v2), (u, v) E JR2 , então o plano tangente a X em (u, v) é gerado pelos vetores x;, = (1, O, 2u) e Xv =(O, 1, 2v), e
- (-2u, -2v, 1) Nu, . ( v) v4u 2 +4v2 + 1
z N
X
Figura 39
3.6 Observação. · Se X = X oh é uma reparametrização de X, pela mudança de parâmetros h, então o plano tangente a X em q é igual ao
plano tangente a X em h(q), entretanto, N(q) = ±N(h(q)), onde N (resp. N) é o vetor normal a X (resp. X) em q (resp. h(q)). O sinal é positivo
136
(resp. negativo) se o determinante da matriz jacobiana de h é positivo (resp. negativo). De fato, se X(ü, v) =X(h(ü, v)), denotando por (u, v) h(ü, v) e ij = (ü, v), temos
Xa(ii)
Xv(q) Portanto, como o determinante da matrizjacobiana de h, J(h) não se anula, temos que X;,(q), Xv(q) e Xu(h(q)), Xv(h(q)) são bases do mesmo plano de llt3 • Além disso,
(X;, xXv)(q) Daí concluímos que N(q) se detJ(h)
(Xu xXv)(h(q))detJ(h).
= N(h(q))
se detJ(h) >O, e N(q)
-N(h(q))
3.7 Exemplo. Se X(u, v) = (cosu, senu, v), (u, v) E R 2 , então Xu = (- senu, cosu~ O) e Xv (O, O, 1), portanto, ~·--·--~------···---··
N(u, v) = (cosu, senu, O). Seja X(ü, v) (cosv, senv, ü), (ü, v) E R 2 , isto é, X é uma reparametrização de X por h(ü, v) = (v, ü). Então (ver Figura 40), z
Figura40
137
N(ü, v) = (-cosv, Observe que detJ( h)
senv, O)
-N(h(ü, v)).
-1.
3.8 Exercícios
1. Considere a superfície X( u, v) = (u, v, f( u, v)), onde f: U e JR.2 __, R é uma função diferenciável. Obtenha a aplicação normal N(u, v). 2. Seja F: ffi. 3 __, R uma aplicação diferenciável. Considere o conjunto S {(x, y, z) E ; F(x, y, z) e}, onde e é um número real. Se po E S é tal que gradF(po) :j=. O, já vimos na Proposição 1.10 que o conjunto de pontos p (x, y, z) E S, suficientemente próximos de po, é o traço de uma superfície parametrizada regular. Verifique que o vetor grad F (p) é normal a esta superfície. 3. Considere o cilindro circular descrito por
X(u, v)
(a cosu, a senu, v), (u, v) E R 2 , a> O.
Descreva a imagein da aplicação normal de Gauss, sobre a esfera unitária. 4. Considere o cone circular menos o vértice descrito por
X(u, v) = (u sena cosv, u sena senv, u cosa), u >O, v E R,
1
onde O < a < é uma constante. Descreva a imagem da aplicação normal de Gauss sobre a esfera unitária.
4. Primeira Forma Quadrática Para desenvolver a teoria local das superfícies, vamos introduzir duas formas quadráticas. A primeira, qué veremos a seguir, está relacionada com o comprimento de curvas em uma superfície, ângulo entre vetores tangentes e área . de regiões da superfície. A .segunda, que veremos na próxima seção, está relacionada com a curvatura das curvas da superfície. Mais adiante, no teorema fundamental das superfícies, veremos que essas duas formas quadráticas detenninam localmente uma superfície a menos de sua posição no espaço. 4.1 Definição. Seja X : U
e
JR2
-t
uma superfície piiametrizada
regular, 'ri q E U, a aplicação
Iq: TqX
IR
w ----'l-lq.(w)
r.
(w, w)
lwl 2
é denominada a primeira forma quadrática de X em q.
F ~:
H·••-·-·--~---CnnsidernuJJ>sUil1a superfícieda
eµmponto q = (u 0 , v0 ).
Então, um vetor w E TqX é da forma
onde a, b E lEt Portanto,
Usando a notação
E(uo, vo)
(X;1,Xi1) (110, vo),
F(uo, vo)
(Xi,, Xv) (uo, vo),
G(uo, vo)
(Xv, Xv) (uo, vo),
temos que
Iq(w) =a2 E(uo, vo)+2abF(uo, vo)+b 2 G(uo, vo).
139'
Variando (u; v), temos funções E(u, v), F(u, v) e G(u, v) diferenciáveis, que são denominadas coeficientes da primeira forma quadrática. As funções E, F" e G satisfazem as seguintes propriedades: a) E(u, v) >O e G(u, v) >O para todo (u, v), pois os vetores x;1 e Xi, são nulos; b) E(u, v)G(u, v) F 2 (u, v) >O. De fato, c~nio
lx;1 xXvl
2
+ (.x;1, Xv) 2 lx;11 2 1Xvl2 ,
temos que
4.2 Exemplos a) Seja X(u, v) = Po+uw1 +~2, (u, v) E R 2, onde Po E R 3 e w1, w2 são vetores ortonormais de JR;. 3 ; isto é, X descreve o plano ortogonal a w 1 x
que passa por po. EntãÓ, Xu(u, ·v) =w1 e Xv(u, v) =wz. Como w1 e w2 são ortonormais, obtemos que os coeficientes da primeira forma quadrática são as funções constantes E(u, v) 1, F(u, v) O, G(u, v) = 1. b) Consideremos a superficie
w2
X(u, v)
(cosu, senu, v), (u, v) E R 2 ,
que descreve o cilindro circular S = {(x, y, z) E R 3 ; x2 1}. Os coeficientes da primeira forma quadrática são também dados por E(u, v) = G(u, v) = 1, F(u, v) =O. e) Seja X(u, v) =(a senv cosu, a senv senu, a cosv),
onde a > O é constante, u E R e O < v· < n, a superficie que descreve uma esfera centrada n~ origem de raio a. Então,
E(u, v)
= a2
sen 2v, F(u, v) =O, G(u, v) = a2 .
140
d) Consideremos a superfície
X(u, v)
(v cosu,
V
senu, bu), (u, v) E
ne.
A descrição geométrica dessa superfície é dada da seguinte forma.
Seja
a(u)=(cosu, senu, bu) urna hélice circular. Para cada u existe urna única reta ortogonal ao eixo Oz, que passa por a( u). O traço de X é o conjunto de pontos de Jffi.3 , obtido pela união dessas retas, que é denominado helicóide. Os coeficientes da primeira forma quadrática de X são dados por
E(u, v)
= v2 +b2 ,
F(u, v) =O, G(u, v) = 1.
e) Consideremos urna superfície de rotação
X(u, v) = (f(u) cosv, f(u) senv, g(u)), onde uEIClffi., vElffi. e f(u) >0. Então,
E(u, v)
v) G(u, v)
(f (u)) 2 + (g' (u) )2,
o, j2(u).
Observamos que uma mudança de parâmetros, embora modifique os coeficientes da primeira forma quadrática, mantém invariante a primeira forma quadrática. De fato, se X(ü, v) X o h(ü, v) é urna reparametrização de X, pela mudança de parâmetros h, então já vimos na Observação 3.6 da seção anterior que, para todo ij (ü, v), os planos tangentes TqX e coincidem. Portanto, se w pertence a este plano, então
n(ij)x
onde l e I denotam as primeiras formas quadráticas de X e X respectivamente.
141
A seguir, veremos que os conceitos de comprimento de uma curva da superficie, ângulo entre vetores tangentes e área de uma região da superficie estão relacionados com a primeira forma quadrática. SejaX(u, v) umasuperficieparametrizadaregular. Se a(t) =X(u(t), v(t)),
t E 1 e~' é uma curva diferenciável da superficie, então, para to, t, o comprimento de to a t1 é dado por
t1 E!,
tos
t1la'(t)ldt=1t1 lq(t) (a' (t) )dt, 1to to onde usamos o fato de que a' (t) é um vetor tangente à superficie em q(t) = (u(t), v(t)). Se w 1 e w2 são vetores não-nulos tangentes a X em q = (u, v), então O ângulo Ü Se S 1r formado por WI e W2 é dado por (w1, w2) cose lw1llw2[ · Para expressar cose em termos da primeira forma quadrática, observamos que w1 + w2 é um vetor tangente a· X em q e (w1 +w2, w1 +w2) lwil 2 +2(w1, w2)+lw21 2. Portanto,
cose
Iq(w1 +w2)-Iq(w1)-Iq(w2) 2Jlq(w1)Iq(w2)
Se duas curvas da superficie a(t) X(u(t), v(t)) e f3(r) (Xu(r), v(r)) são tais que (u(to), v(to)) = (u(ro), v(ro)), então o ângulo e com que as curvas se intersectam é dado por
cose
(a'(to), /3'(ro)) [a' (to) 11/3' (ro) 1·
Em particular, o ângulo formado pelas curvas coordenadas de X(u, v) em
(uo, vo) é dado por cose=
(Xi,, Xv) ( ) IXullXvl uo, vo
F(uo, vo) JE(uo, vo)G(uo, vo)
142
Portanto, concluímos que as curvas coordenadas de uma superfície X( u, v) se intersectam ortogonalmente se, e só se, F(u, v) O para todo (u, v). Segue do Exemplo 4.2 e) que os paralelos e os meridianos de uma superfície de rotação se intersectam ortogonalmente. A seguir, vamos definir a noção de área de regiões de uma superfície, usando a primeira forma quadrática. Uma região D do plano é um subconjunto de ~2 fechado e limitado, cujo interior é homeomorfo a uma bola aberta de e cujo bordo, homeomorfo a uma circunferência, é formado por um número finito de traços de curvas regulares. Se X : U e ~2 -7 ~3 é uma superfície regular e D e U é uma região de ~2 , então dizemos que X(D) é uma região da supe1ficie X. 4.3 Definição. Seja X : U
regular e D u'"'uva.
eU
e
~3 uma superfície parametrizad,a
uma região de ~2 , tal que X restrita ao interior de D é
A área da re[Qão X(D) _é~a~ap~r
A(X(D)) =
j LVEG-F2dudv,
onde E, F, G são os coeficientes da primeira forma quadrática de X. Uma justificativa geométrica para essa definição está baseada no seguinte fato. Fixemos um ponto (uo, vo) E D. A área do paralelogramo formado pelos vetores Xi1(ilo, vo) e Xv(uo, vo) é dada por !Xz1(uo, vo) xXv(uo, vo)I. Este valor é aproximadamente igual à área de uma região em X(D) onde D e D é um retângulo com vértice em (u 0 ,. v0 ) e cujos lados são paralelos aos eixos coordenados u e v (ver Figura 41). Além disso, lembramos que
!x;1 x Xv 1 VE G - F 2. Uma justificativa detalhada pode ser encontrada nos livros de cálculo de funções de várias variáveis (ver, por exemplo, [2] e [5]).
143
N
Figura 41
Vamos verificar que a área de uma região da superficie é invariante por · mudança de coordenadas. Seja X(u, v) =X o h(ü, v) uma reparametrização
:JR3 e h : ü e ---+ U é uma mudança e D e U regiões do plano tais que D de coordenadas. Sejam h(D). Então, A(X(D)) =A(X(D)). De fato, se h(ü, v) (u, v), então
e IR2 De Ü
de X por h, onde X: U
j h)kz1xXvldüdv j klXuxXvlldetJ(h)ldüdv=J Jn!XuxXvldudv, onde J(h) denota a matrizjacobiana de h e a última igualdade decorre do teorema de mudança de variáveis para integrais duplas.
:JR2 ---+ :JR3 é uma superficie regular e Q é um subconjunto de X(U) que pode ser decomposto em um número finito de regiões, então definimos a área de Q e.orno soma das áreas das regiões da decomposição. Pode-se provar que esta soma não depende da maneira como Q é decomposta. Se X: U
e
4.4 Exemplo. Consideremos a superficie de rotação
X(u, v) = ((a+r cosu) cosv, (a+r cosu) senv, r senu), (u, v)
E :JR2 , O<
r
144
X(D) é o toro e X restrita ao interior de D é injetiva. Daí concluímos que a área do toro é igual a
A(X(D)) =
j kIXu xXvldudv =loire loire r(rcosu +a)dudv
4n2ar.
Nos Exemplos 4.2 a) e b) apresentamos superfícies parametrizadas, que descrevem o plano e o cilindro circular, tendo os mesmos coeficientes .da primeira forma quadrática. Este é um caso particular de uma classe de superfícies que têm essa propriedade. A fim de estudar tais superfícies, vamos considerar superfícies parametrizadas regulares X: U e JER2 --+ JER 3 tal que a aplicação X é injetiva. Nesse caso, diremos que X é uma superficie simples. Como já vímos na Proposição 1.8, dada uma superfície parametrizada regular X, obtemos uma superfície simples restringindo convenientemente o domínio de X.
4.5 Definição. Sejam X(u, v) e X(u, v), (u, v) EU e JER2 , superfícies z1-~-smiPLe8.-.D'1Z{;m;;5 que X e X são supedldes isométricas se, para todo (u, ~)EU, os coeficientes da primeira forma quadrática de X e X coincidem, isto é, E(u, v) =E(u, v), F(u, v) =F(u, v) e G(u, v) G(u, v). Se duas superfícies simples X e X têm o mesmo domínio U, então podemos definir uma correspondência bijetora entre os traços das superfícies. De fato, se X(U) S e X(U) = S, como X e são injetivas, existem · 1 1 as funções inversas ·x- : S --+ U e : S --+ U. Portanto, a aplicação
s __, s, definida por
édada por
q,- 1
x-
=X ox-
1,
é bijetora (ver Figura 42), e sua inversa
X ox-1.
Se X e X são superfícies isométricas, então a aplicação
145
(ver Exercício 11 ).
Figura42
4.6 Exemplos
a) Seja S a região dei plano obtida por
X(u, v)
(u, v, O), O< u < 2n:, v E JR,
e S o cilindro circular menos um meridiano descrito por
X(u, v) X e
(cosu, senu, v), O< u < 2n:, v E lR.
X são superfícies simples e são isométricas. A isometria
S~
S
(ver Figura 43) consiste em enrolar a região do plano em tomo do cilindro de tal forma que os segmentos horizontais de S são levados nos paralelos do cilindro menos um ponto, e as retas verticais de S, nos meridianos. b) Consideremos a região do helicóide S descrita por
X(u, v)
(v cosu, v senu, u), u E JR, O< v < 2n:.
Seja S o catenóide menos um meridiano dado por X(ü,
v) = (ü, coshü cos v, coshü sen v), ü E JR, O< v < 2n:.
146
z V
t l
'' 'i
l i
s
.~--++------
1
i
!/
0!-----l--21t-+U
y
j
/--+---. . ~i 1
1
Figura 43
Considerando a seguinte mudança de coordenadas
u = senh ü, v =
v,
WL~L---~--~-- ___ c~Q!.YJ!JlQ_S a reparametrização de X, Y(u, v)
= (arcsenhu,
Vl+u2 cosv, Vl+u2 senv),
Figura 44
147
onde u E IR, v E IR, O < v
< 2n.
As superfícies X e Y são isométricas, já
que os coeficientes da primeira forma quadrática são iguais a E(u, v) = 1, F(u, v) =O, G(u, v) = 1 +u2 .
Geometricamente, a isometria =X oY- 1 transforma os paralelos (menos um ponto) e as catenárias do catenóide nos arcos de hélice e retas do helicóide, respectivamente (ver Figura 44). Observamos que, se X e
X
são superfícies isométricas, então as pro-
priedades ge·ométricas das superfícies, que dependem apenas da primeira forma quadrâtica, são preservadas pela isometria. Por exemplo, se a(t) é uma curva da superfície X e é a isometria entre os traços de X e X, então o comprimento de a é igual ao comprimento de o a. Na proposição a seguir, veremos que esta propriedade caracteriza as superfícies isométricas.
X: U-+ IR3 superficies simples, S =X(U) e S = X(U). X e X são isométricas se, e só se, a aplicação : S -+ S, 4.7 Proposição. Sejam X,
definida por =X ox- 1 , preserva comprimento de curvas, isto é, para toda curva a de X, o comprimento de a é igual ao comprimento da curva o a.
Demonstração. Seja a(t) = X(u(t), v(t)) uma curva regular de X e a(t) = (a(t)). Como =Xox- 1 , temos que ã(t) =X(u(t),v(t)). Portanto, a' (t)
x;
ã'(t)
X;1 u'(t) +Xv v'(t),
1
u' (t)
+Xv v' (t),
148
e os comprimentos das curvas a e ã de to a t1 são dados por
R(a)
1ti V(u E+2u'v' F+(v') 1t V(u') Ê+2u'v'F+(v') 1 2 )
2
Gdt,
2
2
Gdt.
to
1
t(ã)
to
Se X e X são isométricas, então decorre da igualdade dos coeficientes da primeira forma quadrática que
e(a) = t(ã). Reciprocamente, suponhamos que, para toda curva a, os comprimentos de a e ã = tfJ (a) coincidem, então vamos provar que X e X são isométricas. Seja q (uo, vo) um ponto de U. Consideremos uma curva a(t) =X(u(t), v(t)), onde
u(t)
uo+at,
v(t)
vo +bt,
a, b são constantes que não se anulam simultaneamente e t E (-e, e) tal que (u(t), v(t)) EU. Sejam s(t) e s(t) as funções comprimento de arco respectivamente de a e ã, de to a t. Como para todo t, s(t) = s(t), derivando esta relação, temos que
a2 E(u(t), v(t))+2abF(u(t), v(t))+b 2 G(u(t), v(t)) = a2 Ê(u(t], v(t)) +2abF(u(t), v(t)) +b2 G(u(t), v(t)), para todo t. Em particular para t =O, obtemos
a2 (E(q) -Ê(q)) + 2ab (F(q) -F(q)) + b2 (G(q)- G(q)) =O, que se verifica para quaisquer constantes a e b. Portanto,
E(q)
Ê(q), F(q) = F(q), G(q)
G(q).
149
Como q é um ponto arbitrário de U, concluímos que X e
X
são isométricas. D
4.8 Exercícios
1. Considere a superfície X(u, v) = (u+v, u
v, 4uv), (u, v) E lR.2 ,
e uma reparametrização de X dada por
X(ü, v)(ü, v, ü 2 -v 2 ), (ü, v) ElR.2 . Verifique que, se h é a mudança de parâmetros tal que
X
X oh e
q = (ü, v) , então os coeficientes da primeira forma quadrática de X em q diferem dos coeficientes da primeira forma quadrática de X em h(ij). (Observe que as primeiras formas quadráticas coincidem:
lq
1'1(q))·
2. Considere a superfície X(u, v)
= (v cosu,
v senu, v), u E lR e v >O,
e a curva a(t) =X( v'2t, e1), t E JR. Obtenha as coordenadas de a'(t) na base Xu, Xi,. Prove que, para todo t, a' (t) bissecta o ângulo formado por Xi1 e Xv. 3. Seja X(u, v) uma superfíaie tal que os coeficientes da primeira forma quadrática são E= 1, F O, G(u, v) = h(u, v). Prove que duas curvas coordenadas da forma X(ui, v), X(u2, v) determinam segmentos de mesmo comprimento nas curvas v constante. Verifique que esta propriedade é satisfeita por toda superfície da forma X(u, v)
onde
f
= (u
cosv, u senv, /(v)),
é uma função diferenciável.
150
4. Considere uma superfície
X(u, v) = (u, v, f(u, v)), (u, v) onde
E
JR2 ,
f é uma função real diferenciável.
a) Verifique que as curvas coordenadas de X são ortogonais se, e só se, fxfy=O.
b) Se D é uma região de JR2 , prove que a área de X(D) é dada por A(X(D)) =
j ln J1 +.!}+ /J dxdy
e que A(X(D)) ~A(D). Quando é que A(X(D))
A(D)?
5. Considere a esfera unitária descrita por
X(u, v) = ( senv cosu, senv senu, cosv), u E JR, O< v < JC, e a curva a(t) = X(u(t), v(t)), onde u(t) = logcot (~ - ~), v(t) = n t -n t n 2
'2
rr;-~-----~-----------~--~r)-(;alcule
< <1·
o c:ompri1me11to da curva a(t).
b) Considere os paralelos X(u, v0 ), onde v0 é uma constante. Verifique que a curva a intercepta os paralelos formando um ângulo constante. 6. Seja X(u, v) uma superfície e a(t) = X(u(t), v(t)) uma curva regular de X, que bissecta o ângulo formado pelas curvas coordenadas de X. Obtenha as equações diferenciais que devem ser satisfeitas pelas funções u(t) e v(t), em termos dos coeficientes da primeira forma quadrática de X. 7. Considere as duas famílias de curvas a(t) = X(u(t), v(t)), da superfície
X(u, v) = (u cosv, u senv, av+b), que satisfazem a condição ((u(t)) 2 +a2 )(v'(t)) 2 (u'(t)) 2 fique que as curvas intersectani-se ortogonalmente.
O. Veri-
151
8. Calcule a área do elipsóide S { (x, y, z) E IR.3 ;
1}, onde
a, b, e são números reais positivos.
X: U e IR.2 - t IR.3 superfícies simples e D e U uma região do plano. Prove que, se X e X são isométricas, então as áreas A (X(D))
9. Sejam X,
e A(X(D)) coincidem. 10. Seja a(s) = (x(s), y(s), O), s E IR, uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco, tal que a é injetiva. Considere a superficie cilíndrica S descrita por
X(s, v) = (x(s), y(s), v),
(s, v) E IR.2 .
Verifique que existe uma isometria entre S e o plano IR.2 . 11. Seja x: U - t IR.3 uma superficie simples e S =X(U). Fixados PI, pz E S, considere a família das curvas regulares de X que ligam PI a pz. A
distância intrínseca de PI a· pz em S, denotada por d(pI, pz), é o ínfimo dos comprimentos dessas curvas. a) Verifique que d(pi, pz) ~ !P1 - P2I· b) Sejam X, e X: U - t R 3 superfícies isométricas, S
X(U) e S = S - t S preserva distância intrínseca entre pontos correspondentes, isto é, se PI, pz E S, então d(p1, pz) = d(
X(U). Prove que a isometria
respectivamente. 12. Considere o cone menos o vértice descrito por
X(r, O) onde O<
(r
e
-e
)
sena cos(--), r sen_a sen(--), r cosa , sena sena
a< Í e 2a é o ângulo no vértice do cone. Seja X(r, e)
(r cos e, r sen e, O) o plano descrito em coordenadas polares. Verifique
152
que X e X restritas ao domínio 2n sena} são isométricas.
u = {(r, e)
E
JR2 ; r
>o, o< e<
13. Seja a(u) (f(u), O, g(u)), u E I e JR, uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco, tal que a é injetiva e f(u) >O. Considere as superfícies de rotação
X(u, v)
(f(u) cosv, f(u) senv, g(u)),
Xa(u, v) = (af(u)
cos~, af(u) a
seu.:'.., a
2 luf1' )1-a (!')2du), 0
para todo u E /. Prove que as superfícies X onde a# O e I/' (u) 1~ e Xa são isométricas quando restringimos convenientemente o domínio das aplicações X e Xa.
5. Segunda Forma Quadrática; Curvatura Normal O estudoaaspropriedades geométricas locais de uma superfície regular depende de duas formas quadráticas, das quais definimos a primeira na seção anterior. A segunda será introduzida nesta seção e veremos que está relacionada ao estudo das curvaturas de curvas da superfície. 5.1 Definição. Seja X : U e JR2 -+ JR3 uma superfície parametrizada regular. Fixado q (uo, vo) EU, a segunda forma quadrática de X em q é uma aplicação II,/: TqX-+ JR, que para cada vetor w E TqX associa Ilq (w) da seguinte forma: se a(t) = X(u(t), v(t)) é uma curva diferenciável da superfície,tal que (u(to), v(to)) q e a'(to) = w, então definimos IIq(w) = (a"(to), N(uo, vo)), onde N é o vetor normal a X. Vamos verificar que IIq(w) não depende da curva escolhida. Seja w =
aXu(uo, vo) +bXv(uo, vo), e consideremos uma curva a(t) =X(u(t), v(t))
153
tal que (u(to), v(t))
q e a'(to)
(u(to), v(to))
w, isto é,
(uo, vo), (u'(to), v'(to)) =(a, b).
Como
a'(t) = u'(t)Xu(u(t), v(t)) +v'(t) Xv(u(t), v(t)) e
u"(t)Xu(u(t), v(t))+(u'(t)) 2 Xim(u(t), v(t))+
a"(t)
+ 2u'(t)v'(t)Xitv(u(t), v(t)) + (v (t)) 2 Xvv(u(t), v(t)) + + v"(t) Xv(u(t), v(t)), 1
temos que Ilq(w)
(a"(to), N(uo, vo)) a2 (Xim, N) (uo, vo) + 2ab (x;,v, N) (uo, vo) +
+ b2
(Xvv,N) (uo, vo),
onde a última expressão não depende da curva a. Usando a notação
e(uo, vo)
{Xuu, N) (uo, vo),
f(uo, vo)
(Xuv, N) (uo, vo),
g(uo, vo)
(Xvv, N) (uo, vo),
temos que Ilq(w)
a2 e(uo, vo)+2abf(uo, vo)+b 2 g(uo, vo).
Variando (u, v), temos funções diferenciáveis e(u, v), f(u, v), g(u, v), que são denominadas coeficientes da segunda forma quadrática da superficie parametrizada X.
154
5.2 Definição. Seja X(u, v) uma superfície parametrizada regular e q =
(uo, vo). A função curvatura normal em q é uma aplicação k11 :
{O} -+
Ill que, para cada vetor w E TqX não-nulo, associa
k ( ) = Ilq(w) 11 w Iq(w). w #O, então k11 (.:lw) = k11 (w) para todo número real  #O. De fato, seja w =a x;1 (uo, vo) + b Xv(uo, vo), onde (a, b) #(O, O). Denotando por eo, fo, go os coeficientes da segunda forma quadrática em (u 0 , vo), temos 5.3 Observação. Se w E
k11 (w) =
2 Ilq(Âw) _ _ .:l 2 a_ ( 'l .::___ __:___ _.....:::;_;_ Iq .11, w)
=
llq(w) = k ( ) lq(w) 11 w.
Como consequência desse fato, podemos falar na curvatura nonnal em q fr'=:·-,--··--·---Si:~irtâiiWnaâir·eçi'io tangente à superfície. Antes de dar alguns exemplos, vejamos a interpretação geométrica da curvatura normal e da segunda forma quadrática. Seja w um vetor unitário de
TqX e o:(s)
X(u(s), v(s)) uma curva regular da superfície, parametrizada q e o:'(so) = w. Se a pelo comprimento de arco, tal que (u(so), v(so)) curvatura de a em so, k(so) #O, então k11 (wj
= IIq(w) = (o:"(so), N(u(so), v(so))) k(so) (n(so), N(u(so), v(so))) k(so) cose,
onde n(s0 ) é o vetor normal a a em so e
(2)
e
vetores n(so) e N(u(so), v(so)) (ver Figura 45).
é o ângulo formado pelos
155
N(u(so) ,v(so)
l
Figura45
Como Ilq (w) e k11 ( w) não dependem da curva a escolhida, vamos aplicar a relação (2) para a curva mais conveniente. Esta curva é a chamada seção normal da superficie determinada por w, que é obtida pela interseção do traço de X(u, v), para (u, v) suficientemente próximos de (uo, vo), com o plano que passa por X(uo, vo), ortogonal a w x N(uo, vo) (ver Figura 46).
Figura 46
Nestas condições, a seção normal é o traço de uma curva regular plana definida por a (s) =X (u(s), v(s)), parametrizada pelo comprimento de arco, tal que
156
(u(so), v(so)) (uo, vo) e {3 1 (so) w. Se k(so) O, isto é, {3 11 (so) =O, então kn(w) IIq(w) O. Se k(so) >O, então o vetor normal n(so) = ±N(uo, vo) e, portanto, segue-se de (2) que
k11 (w) =llq(w) = ±k(so). Portanto, concluímos que, se w é um vetor unitário tangente à superfície em
q, então
lkn(w)!
é igual à curvatura da seção normal em q determinada por
w.
Observamos que, se w é um vetor não-nulo de TqX, então IIq(w)
lwl
2k
11
(w),
isto é, jIIq(w)I é igual à curvatura da seção normal a X em q,
determinada por w, multiplicada por
lwl 2 .
Segue-se da Observação 3 .6 que, se
X= X oh
é uma reparametrização de
X, pela mudança de coordenadas h, então a segunda forma quadrática e a curvatura normal de em éj, e de X em h(éj), permanecem inalteradas ou mudam de sinal se N(q) =N(h(q)) ou N(q) -N(h(q)) respectivamente.
~=-';---··········-·---s..•..4-~E_x. . empios a) Se X(u, v) é uma superfície parametrizada regular que descreve um plano de JR3 , então a curvatura normal e a segunda forma quadrática são identicamente nulas. De fato, todas as seções normais são retas que têm curvatura nula.
b) Consideremos a superfície
X(u, v) a> O, u E :IR, O
v<
(a senv cosu, a senv senu, a cosv), 7C,
que descreve a esfera de raio a. Como todas as
seções normais são circunferências de raio a, e o vetor normal
N(u, v)
(- senv cosu, - senv senu,
cosv)
aponta para o interior da esfera, concluímos que a curvatura normal é constante igual a l/a e a segunda forma quadrática IIq(w) é igual a para todo q = (u, v) e w E TqX.
!wl 2 /a,
157
e) Seja
X(u, v)
(r cosu, r senu, v),
r > O, (u, v) E JR2 , a superfície que descreve o cilindro circular. Vamos calcular os coeficientes da primeira e segunda formas quadráticas de X e verificar que existem direções tangentes em que a função admite um máximo e um mínimo. Como
x;,
(-r senu, r cosu, O),
.Xi,= (O, O, 1), N(u, v)
= x;, xXv (u, v) = (cosu, X
) senu, O ,
Xuu(u, v) = x;,v(u, v) =(O, O, O),
(O, O, O),
Xvv temos que
r2 , F(u, v)
E(u, v) e(u, v)
=
O, G(u, v) = 1,
-r, f(u, v) =O, g(u, v)
O.
Portanto, se w = a x;, + b Xv é um vetor tangente a X em q = ( u, v), então
= a2 r2 + b2 , IIq(w) = -a2r. Iq(w)
Logo, para um vetor w não-nulo, temos
kn (W)
=
-a 2 r 2 2 b2 . ar+
Observamos que k11 ( w) :; O e a igualdade k11 ( w) =O ocorre se, e só se, a e b #- O. Se a
#- O,
então
O
158
1 Portanto, kn (w) 2::. e essa última igualdade ocorre quando b O. Conr cluímos que a função k11 admite um máximo e um mínimo nas direções de Xv e
.x;,
respectivamente. d) Consideremos a superfície
X(u, v)
(u, v, J- -1i), (u, v)
E
~2 ,
que descreve o parabolóide hiperbólico (ver Figura 47). Calculando os coeficientes da primeira e segunda formas quadráticas em q = (O, O) , obtemos
E(O, O)= 1,
e(O, O)= -2,
F(O, O)
O,
f(O, O)
O,
G(O, O)
g(O, O)= 2.
z
Figura47 Portanto, se w =
â.x;1(0, O) +bXv(O, O) Iq(w) IIq(w)
e, para
w# O,
=
E TqX, temos que 2
a2 +b -2a
2
1,
,
+ 2b 2 ,
159
Então concluímos que k11 assume o valor máximo 2 e o mínimo -2, nas direções de Xv e }{,_1 respectivamente. e) A superfície
X(u, v)
=
(u, v, u3 - 3uv2), (u, v)
JR2
'
descreve a chamada sela de macaco (ver Figura 48). É fácil verificar que os coeficientes da segunda forma quadrática se anulam em q (O, O). Portanto, a curvatura normal e a segunda forma quadrática em q são funções nulas.
Figura48
5.5 Exercícios
1. Obtenha a segunda forma quadrática e a função curvatura normal das seguintes superfícies: a) Superfície de rotação X(u, v)
(f(u) cosv, f(u) senv, g(u)).
b) Superfície que descreve o gráfico de uma função diferenciável
X(u, v)
=
(u, v, f(u, v)).
160
uma superfície parametrizada regular e X : V -+ Jll3 2. Seja X : U -+ uma reparametrização de X pela mudança de parâmetros h : V -+ U. Relacione os coeficientes da primeira e segunda formas quadráticas de X em ij E V com os de X em h(ij). 3. Seja X uma superfície parametrizada regular. Consideremos duas curvas da superfície a(s) e f3(s) parametrizadas pelo comprimento de arco tal que a(so) f3(so). Prove que, se a e f3 têm o mesmo plano osculador em so, então a e f3 têm a mesma curvatura em so, desde que o plano osculador não seja tangente à superfície X. 4. Considere a superfície
X(u, v)
=
(f(u), g(u), v),
onde a(u) = (f(u), g(u), O) é uma curva regular. Verifique que, para cada q = (u, v), existe uma direção w, tangente a X em q, para a qual a curvatura normal se anula.
6. Curvaturas Principais; Curvatura de Gauss; Curvatura Média Na seção anterior, apresentamos vários exemplos em que obtivemos explicitamente a função curvatura normal e verificamos que essa função admitia um máximo e um míriimo. Esse é um resultado geral que provaremos a seguir. Os valores máximo e mínimo da função curvatura normal em um ponto q serão chamados curvaturas principais e, a partir destas, definiremos a curvatura de Gauss e a curvatura média. Nesta seção, denotaremos por Eo, Fo, Go, eo, fo e go os coeficientes da primeira e segunda formas quadráticas de uma superfície parametrizada regular X(u, v) em um ponto q (uo, vo).
161
6.1 ProposiÇão. Sejam X(u, v) uma supe1jfoie parametrizada regular e k 12 a função curvatura normal de X em q
(uo, vo). Então, existem vetores
unitários e ortogonais w1, w2 E TqX tais que k1
k11 (w1) e k1 = k11 (w2)
são os valores mínimo e máximo da função k11 •
Demonstração. Se k11 é uma função constante, então quaisquer dois vetores unitários e ortogonais de TqX satisfazem as condições da proposição. Suponhamos que k 11 não é constante. Consideremos a função
{(O, O)}
k11
:
1R2
-
IR definida por
k11 (a,
b) = k11 (aX11 (q) +bXv(q)), (a, b)-/= (O, O),
isto é,
a2 eo + 2ab lo + b2 go a2 Eo+2abFo+b2 Go ·
Esta função é diferenciável já que (a, b)-/= (O, O). Além disso, para todo
Â-/=
Âb) = k11 (a, b). Portantó, para obter os valores mínimo e máximo da função kn, basta restringir kn à circunferência e de de raio 1 dada por a2 + b2 = 1. Como k11 é contínua, então existem pontos ( a1, br) e (a2, b2) de e tais que O,
k11 (Ãa,
(3) são respectivamente o n;únimo e o máximo da função
k
12
restrita a C (ver
Capítulo O). Portanto,
k1 :::; k11 (a, b):::; k1, para todo (a, b)
1R2 \{(O, O)}. Além disso, como k 11 não é constante,
k1 < k1. Consideremos agora os vetores de TqX WJ
a1X11 (q)+b1Xv(q),
w2
a2 Xu (q) + b2 Xv (q).
162
Pela própria definição de
k11 ,
temos que, para todo w E TqX \ O,
Vamos provar que w1 e w2 são vetores ortogonais. Como (ar , b r) e (a 2 , b2 ) dão o mínimo e o máximo da função k11 , então as derivadas parciais de
k11
são nulas nestes pontos. Calculando essas derivadas parciais e
usando (3), obtemos as seguintes expressões
(eo-k1Eo)a1 (eo - k1Eo) a2
(/o -k1Fo) ar (/o - k1Fo) a2
+ + + +
Uo -k1Fo) b1 =O,
(4)
(!o -k2Fo) b2 =O,
(5)
(go-k1Go) b1 =0,
(6)
(go-k2Go) b2 =O.
(7)
Se a 1, a2, b1, b2 são não-nulos, então subtraímos a equação (4) multiplicada por a2 da equação (5) multiplicada por a1, em seguida subtraímos a equação (6) multiplicada por b2 da equação (7) multiplicada por b1. Finalmente, "-'-'-----som~mdQ as_e_g_l!_ªções obtidas, temo_s_ que
Como k1
# k1,
concluímos que
De modo análogo, prova-se que w1 e w2 são ortogonais quando algum dos números a1, a2, .b1, -b2 se anula. Observamos que obtivemos dois vetores
af bf = 1, i =
+ ortogonais w1, w2, não necessariamente unitários (embora J,2), gue dão o mínimo e o máximo da função k11 • Considerando w1 como k11 (Àw)
= kn(w),
w2
w2 = lw2 I'
wi
= lwrl'
'l/Â
#O, concluímos que
condições da proposição.
w1
e
w2
satisfazem as D
163
Com a notação da proposição anterior, os vetores w 1 e w2 são chamados vetores principais de X em q e as curvaturas k1, k2 são denominadas curvaturas principais de X em q. As direções de TqX determinadas pelos vetores principais são chamadas direções principais. O produto das curvaturas principais K(q) = k 1k2 denomina-se curvatura gaussiana de X em q e a semi-soma de k 1 e k 2 , H(q) = ki;k2 , é chamada curvatura média de X em q. Segue-se dessas definições que as curvaturas
principais de X em q são as soluções da equação
x2-2H(q)x+K(q) =O. Observamos que uma mudança de parâmetros pode alterar o sinal da curvatura média, entretanto, a curvatura gaussiana permanece inalterada. Mais precisamente, seja X= X oh uma reparametrização de X por h. Denotemos por K, f-I, k11 (resp. K, H, k11 ) a curvatura gaussiana, curvatura média e a função curvatura normal de X em q (resp. de X em h(q)). Já vimos na seÇão anterior que kz = ±kn, em que o sinal é positivo se detJ( h) > o e negativo se detJ(h) < O. Portanto, as curvaturas principais de X em ij e de X em h (q) permanecem inalteradas ou mudam ambas de sinal. Daí concluímos que H(q)
= ±H(h(q))
e K(q) =K(h(q)).
6.2 Exemplos a) Se X é uma superfície parametrizada regular que descreve um plano,
já vimos que a curvatura normal em qualquer ponto é identicamente nula, portanto, as curvaturas principais são k1 = k2 = O e todo vetor unitário é um vetor principal. Concluímos que a curvatura gaussiana e a curvatura média são identicamente nulas. b) No Exemplo 5.4 b), vimos que a esfera de raio a> O descrita por X(u, v) =(a senv cosu, a senv senu, a cosv),
u E IR, O< v < n, tem a curvatura normal k11 = ~ para todo (u, v). Portanto,
164
todo vetor unitário tangente é um vetor principal e as curvaturas principais são
k1 =k2 l/a. Concluímos que K= 1/a2 e H l/a. e) Consideremos o cilindro circular descrito por X(u, v) = (r cosu, r senu, v),
r >O, (u, v) E JR.2 . Como vimos no Exemplo 5.4 c), para todo q
(u, v), a
curvatura normal satisfaz
l :=:; kn :=:;O
r e assume o mínimo e o máximo nas direções tangentes às curvas coordenadas. Portanto, considerando os vetores unitários nessas direções, temos que w1
(-
senu, cosu, O),
w2
são os vetores principais em q = (u, v), e ki O são as curvaturas principais. Portanto,
=(O, O, 1),
= kn(wi) = -~,
k1
kn(w2)
1
K==.O e H==.--. 2r
d) No Exemplo 5.4 e), vimos que a curvatura normal da superficie
X(u, v)
= (u,
v, u3
3uv2), (u, v) E JR.2 ,
em q =(O, O), é identicamente nula. Portanto, as curvaturas principais em q são nulas, e K(q) = H(q) O. · Mais adiante,_.usagdo a demonstração da proposição anterior, obteremos · um método algébrico para calcular as curvaturas principais a partir dos coeficientes da primeira e segunda formas quadráticas. Antes, porém, vamos provar que as curvaturas principais ki e k1 determinam a curvatura normal em qualquer direção. Mais precisamente: 6.3 Proposição. (Fórmula de Euler) Sejam X(u, v) uma superficie parametrizada regular, q = (uo, vo), k1 , k2 as curvaturas principais de X
165
em q e w1, w2 vetores principais em q. Para todo vetor w E TqX tal que
lwl = 1,
se COSO W}
W
+ sen0 Wz,
então
Demonstração. Consideremos
tais que ki que
w1
-
a1x;1(q)+b1Xv(q),
w2
=
azx;,(q) +b2Xv(q),
= kn(w1)::::; kn(w2) = w
kz. Como w = cosew1
+ senew2,
temos
(cose a1 + sene a2)Xu+ (cose b1 + sene b2)Xv.
Portanto, kn(w)
(cose a1 + sen.8 a2) 2 eo+ 2(cose a1 + sene a2)(cose b1 + sene b2)fo+ (cose b1 + sene b2) 2 go,
+ +
onde eo, fo, go são os coeficientes da segunda forma quadrática de X em q. Desenvolvendo a expressão acima, obtemos que kn(w)
cos2 e k1 + sen2 e k2 +2A sene cose,
onde A= a1a2 eo + (à1b2 +a2b1) fo''+b1b2 go. Vamos provar que a constante A é nula. Como kn (w) ::::; kz, temos que, para todo e,
Logo, cos2 e(k2
k1)-2A sene cose~o.
166
Portanto, para todo
e =/= n /2, (8)
Suponhamos que
A> O, então existe e = ~-A., A. suficiente2A tg e > k2 - lei' o que contradiz (8). Analogamente,
A=/= O.
mente pequeno tal que se A< O, então existe
Se
e= n/2 +A.
tal que 2A tg
e> k1 -k1,
o que nova-
mente contradiz (8). Concluímos que A= O. Portanto,
kn(w)
= cos2 e k 1 + sen 2 e k2. D
Na proposição seguinte, obteremos a curvatura média H(q) e a curvatura gaussiana K(q) a partir dos coeficientes da primeira e segunda formas quadráticas.
6.4 Proposição. Seja X(u, v) uma superficie parametrizada regulm: Se i;==~-~·--
_3_::::::_fao,_11.o), então H(q) K(q) =
1 eoGo - 2foFo + Eogo
E0 Go-F~
2
eogo- !~ EoGo-F~.
Demonstração. Se um número real ko é uma curvatura principal em q, na direção de w
= ao x;, (q) + bo Xv (q),
+ +
. (eo -koEo) ao (!o -koFo) ao
então
(!o -koFo) bo =O,
(go -koGo) bo =O.
De fato (compare com a demonstração da Proposição 6.1), corno ko é o valor mínimo ou máximo da função 2
2
a eo + 2ab fo + b go (a, b) E a 2 Eo+2abFo+b 2 Go'
~2 \
{ ( 0 , 0 )},
167
em (ao, bo), obtemos o sistema de equações acima calculando as derivadas parciais dessa função em (ao, bo). Segue-se do fato de que (ao, bo) é uma solução não-trivial do sistema que o determinante
1
eo koEo fo-koFo
fo-koFo go-koGo
1
=Ü,
isto é, ko satisfaz a equação ?.
.r-
2foFo + Eogo
eoGo
EoGo - F~
x+
eogo - f~ EoGo - F~
=0.
Pela relação entre os coeficientes de uma equação do segundo grau e as raízes d~ equação, concluímos que H(q) K(q)
1 eoGo - 2foFo + Eogo
2
E0 Go-F~
eogo- f~ EoGo-F~.
D A proposição que acabamos de demonstrar permite calcular a curvatura gaussiana K(u, v) e a curvatura média H(u, v) de uma superfície parametrizada regular X(u, v) a partir dos coeficientes da primeira e segunda formas quadráticas. Em seguida, resolvendo a equação x2-2H(u, v)x+K(u, v) =O,
obtemos as curvaturas principais k1 e kz da superfície. A seguir, veremos como obter os vetores principais de k1 e kz.
6.5 Proposição. Seja X(u, v) uma superficie parametrizada regulm: Um vetor não-nulo w = aox;1 (q) +boXv(q) tangente a X em q = (uo, vo) é uma
168
direção principal de curvatura principal ko se, e só se, ao, bo satisfazem o sistema de equações (eo -koEo) ao+ (/o
koFo) bo =O, (9)
(/o -koFo) ao+ (go - koGo) bo
O.
Demonstração. Se w é uma direção principal e ko = k12 ( w) é uma curvatura principal, então já vimos na demonstração da proposição anterior que (9) se verifica. Reciprocamente, se ao, bo satisfazem (9), então, como (ao, bo) é uma solução não-trivial de (9),
eo-koEo 1 !o koFo
fo-koFo go-koGo
1-o -
·
Concluímos, usando a demonstração da Proposição 6.4, que ko é uma curPara provar que w é uma direção principal, vamos provar que k12 (w) =ko. Suponhamos que ao e bosão não-nulos. Somando a primeira equação de (9) multiplicada por ao com a segunda multiplicada por bo, obtemos
Portanto,
kn(w)= eoaÕ+2foaobo+gobÕ ·· Eo ifo+2Fo aobo+Go b20
ko.
Se ao= O ou bo =O, obtém-se facilmente que k12 (w) = ko.
D Observamos que as soluções do sistema (9) fornecem direções principais. Para obter os vetores principais, basta considerar os vetores unitários nessas direções.
169
6.6 Exemplos a) Consideremos o parabolóide hiperbólico descrito por
X(u, v)
(u, v, v2 -u2 ),
(u, v)
E
JR.2 .
Já vimos no Exemplo 5.4 d) que E(O, O)= 1, F(O, O)= O, G(O, O) e(O, O)= -2, /(O, O)
1,
O, g(O, O)= 2.
Segue-se da Proposição 6.4 que H(O, O)= O e K(O, O)= -4. Considerando as soluções da equação x2 - 4 = O, concluímos que as curvaturas principais em q =(O, O) são k1 = -2, k2 2. As direções principais são as soluções do sistema (8), quando substituímos ko respectivamente por k1 e k2. Portanto, obtemos o vetor principal w1 =Xu(O, O)= (1, O, O) para k1 -2 e wi Xv(O, O)= (O, 1, O) para k2 2. b) Consideremos o conjunto de pontos de JR 3 obtido pela rotação da curva a(u) =(O, u, u3 ), -1 < u < 1 em tomo da reta z = 1 contida no plano yoz. Esta superfície, chamada Chapéu de Scherlock, é dada por
X(u, v) -1
V
E
((l-u3 ) cosv, u, (l-u3 ) senv+ 1),
lR. (Figura 49).
y.
z
Figura49
170
Para todo v E
temos que
E(O, v)
1,
F(O, v) =O,
G(O, v)
1,
e(O, v)
O,
f(O, v)
g(O, v)
-1.
Portanto, K(O, v) =O e H(O, v) cipais em (O, v) são k 1
O,
1/2 para todo v. As curvaturas prin-
-1 e k1 =O e os vetores principais são Xv(O, v) = (- senv, O, cosv),
x; (0, v) =(O, 1, O). 1
Dentre as superfícies de lft3 , destacam-se as que têm a curvatura gaussiana constante, e as que têm curvatura média nula. Uma superfície que tem a curvatura média identicamente nula é denominada superficie mínima. Dize------mo~n1ue-u.ma St1perfície tem curvatura gaussiana constante se a função K é constante. O plano é um exemplo de superfície mínima cuja curvatura gaussiana é constante igual a zero. Não é difícil verificar que a catenóide e o helicóide são superfícies mínimas (Exercícios 3 e 7 de 6.7). Observamos que, em uma superfície mínima, O, temos que a curvatura gaussiana K ::; O. De fato, como H =
k1
e, portanto, K = k1k2 ::; O. Além do plano, o cilindro circular tem curvatura gaussiana identicamente
nula (Exemplo 6.2 c)). A esfera de raio a > O é uma superfície de curvatura gaussiana K 1/a2 (Exemplo 6.2 b)). A pseudo-esfera obtida pela rotação da tratriz tem curvatura gaussiana constante igual a
1 (Exercício 5).
As superfícies mínimas e as superfícies de curvatura gaussiana constante têm propriedades geométricas interessantes. Por exemplo, pode-se provar
171
que, se X e X são superfícies que têm a mesma curvatura gaussiana constante, então, restringindo convenientemente os domínios de X e X, existe uma isometria entre os traços de X e X. Em uma superfície mínima, se considerarmos uma região suficientemente pequena, pode-se provar que a área dessa região é menor que a área de qualquer outra superfície que tem a mesma fronteira da região.
6. 7 Exercícios 1. Sejam X(u, v) uma superfície parametrizada regular e q
(uo, v0 ). Prove que um vetor w = a .x;1 ( q) + b Xv (q) é um vetor principal de X em q se, e só se,
b2 Eo Fo eo fo
ª2
Go
O.
2. Considere a esfera de raio a > O descrita por
X(u, v)
(a senv cosu, a senv senU, a cosv),
u E .IR, v E (O, n). Verifique que a curvatura gaussiana é constante igual a 1/ a 2 , usando a Proposição 6.4. Dê um exemplo de uma curva regular de X cuja curvatura k é constante e diferente de 1/a.
3. Prove que o helicóide X(u, v) = (v cosu, v senu,-bu),
b >O,
é uma superfície mínima cuja curvatura gaussiana K satisfaz a relação
-l/b 2 S:K
172
a) H(q) b) H(q)
!(kn(8) +kn ( 8 + ~));
= ~(k11 (81) +kn(82) + ···+kn(8m)),
onde 8i=2ni/m, i= 1, 2,···, me m >2; c) H(q)
-1
lo2rc k (8)d8.
2n o
11
5. Considere a superfície de rotação gerada pela tratriz
t
1r
a(t) = ( sent, O, cost+log(tg2")), t E (0,2). Esta superfície é denominada pseudo-esfera. Verifique que sua curvatura gaussiana é constante igual a -1. 6. Verifique que a curvatura gaussiana de um hiperbolóide de uma folha é negativa. 7. Verifique que a catenóide é uma superfície mínima.
X(u, v)
= (f(u)
cosv, f(u) senv, g(u)).
Obtenha K(u, v) e H(u, v) em função de f, g e suas derivadas. Verifique que, se a curva geratriz (!( u)), O, g( u)) é parametrizada pelo comprimento de arco, então a curvatura gaussiana é dada por
!" f
9. Obtenha a cilrvatura gaussiana e a curvatura média de um elipsóide. 10. Considere a superfície
X(x, y)
(x, y, f(x,y)),
que descreve o gráfico de uma função diferenciável f(x, y). Obtenha
K(x, y) e H(x, y).
173
a) Prove qúe X tem curvatura gaussiana identicamente nula se, e só se,
fxxfyy
f~
O.
b) Verifique que X é uma superfície mínima se, e só se, (1 + /}) fyy + (1 + f}) fxx
-2/x fy fxy
O.
11. Verifique que a superfície
X(u, v)
(u, v, uv), (u, v) E IR.2 ,
possui as seguintes propriedades:
a) K(u, v)
-t
O quando r-t
oo.
12. Considere a superfície da forma
X(u, v) = (u, v, h(u) +i(v)), onde h e
e são funções reais diferenciáveis.
a) Verifique que X é mínima se, e só se,
e"
h"
1 + (h') 2
-
=a,
1+
onde a é uma constante. b) Mostre que as únicas superfícies mínimas deste tipo são dadas por
íl ô h(u) = -Iogcos(au+b), f(v) = logcos(-av+ b), a
a
onde a, b, íl, 8 são constante e a =J. O ou
h(u)
ílu+b, f(v)
onde íl, ô, b são constantes.
ôv+b,
174
13. Determine as superficies de rotação que têm curvatura gaussiana constante (ver Exercício 8). 14. Verifique que, para toda superficie de rotação, as direções tangentes aos meridianos e paralelos são direções principais. 15. Uma superficie parametrizada regular X(u, v), (u, v) EU e R. 2 , é denominada uma superficie de Weingarten, se existe uma relação entre as curvaturas principais, isto é, existe uma função diferenciável l/f :
JR2 _,. JR, não-constante, tal que lJf(k1(u, v), k1(u, v)) O para todo (u, v) EU. Por exemplo, as superficies mínimas e as superficies de curvatura gaussiana constante são superficies de Weingarten. Prove que: a) Se X é uma superficie de Weingarten, então
dk1 du dk1 dv b)O
dk2 du dk2
o.
de rotação
X(u,
v) (u cosv, usenv, ~:),
onde a é uma constante não-nula, é uma superficie de Weingarten, pois
k2 (u, v)-a2 kf (u, v)
O.
7. Classificaç&,o dos Pontos de uma Superfície Nesta seção, veremos que o sinal da curvatura gaussiana em um ponto q permite o estudo do comportamento da superfície em pontos próximos de q. Inicialmente, vamos considerar a seguinte classificação.
7.1 Definição. Seja X(u, v) uma superficie parametrizada da regular. Dizemos que q = ( u, v) é um ponto
175
a) elitico se K(q) >O; b) hiperbólico se K(q)
a) Todos os pontos de uma esfera são elíticos. b) A origem em um parabolóide hiperbólico (ver Exemplo 6.6 a)) é um ponto hiperbólico. e) Todo ponto de um cilindro é parabólico. No chapéu de Sherlock descrito no Exemplo 6.6 b), vimos que os pontos da forma (O, v) são parabólicos. d) Todo ponto do plano é planar. Na sela do macaco (ver Exemplo 5.4 e)), a origem é um ponto planar. e) O toro descrito por
X(u, v)
((a+r cosu) cosv, (a+r cosu) senv, r senu),
(u, v) E R. 2 , onde O< r
ponto hiperbófico
1 Figura 50
176
Sejam X(u, v) uma superfície parametrizada regular e q = (uo, vo). O sinal da curvatura gaussiana em q permite determinar, para (u, v) próximos de q, a posição dos pontos X( u, v), relativamente ao plano tangente erri
q. Se No é o vetor unitário normal à superfície em q, podemos identificar TqX com o plano de JR3 que passa por X(q) ortogonal a N 0 • Com essa identificação, denominamos os conjuntos {p E JR3 ; (p-X(q), No)> O} e {p E JR3 ; (p-X(q), No)< O} (resp. {pE1R3 ; (p-X(q),N0 )
;:::o}
e {pEJR3 ; (p-X(q),No)
:::;o})
de semi-espaço (resp. de semi-espaços fechados) determinados por TqX. Em um ponto elítico, as curvaturas principais têm sinais iguais, portanto, as concavidades das curvas da superfície neste ponto estão voltadas para um mesmo semi-espaço determinado por TqX. Em um ponto hiperbólico, como as curvaturas principais têm sinais distintos, existem curvas na superfície cu-
liL"L_____JªS__c_onç_:1y_1çtactes:_eE;tao voltadas para os .dois semi-espaços determinados por
7.3 Proposição. Sejam X(u, v), (u, v) E U
e JR2
uma superficie parametrizada regular e q = (uo, vo). Se q é um ponto elítico, então existe uma vizinhança W de q, W e U; tal que X(W) está contida em um dos semi-espaços fechados determinados pelos planos tangentes TqX. Se q é um ponto hiperbólico,_.entiJco em toda vizinhança W de q, W e U, existem q 1 e qz tais que X(q 1), X(q2) pertencem a semi-espaços distintos determinados por TqX. Demonstração. Suponhamos, sem perda de generalidades, que o ponto q =(O, O) EU. Consideramos a função que, para cada (u, v) EU, associa
h(u, v)
= (X(u,
v)-X(q), ·No),
177
onde No
x;, xXv
(
= Jx;, X Xv J O,
O).
Figura 51 Observamos que o sinal da função h(u, v) indica o semi-espaço determinado por TqX, ao qual X(u, v) pertence. Consideremos o desenvolviment
X(u, v)
X(O, O) +x;1 (0, O) u+Xv(O, O) v+ 1
2
2
+2(Xuu(O, O) u +2Xi1v(O, O) uv+Xw(O, O) v-) +R(u, v), onde R(u, v) é de grau maior ou igual a 3 em relação a u e v. Denotando por eo, fo, go os coeficientes da segunda forma quadrática em q =(O, O), segue-se que
h(u, v)
1
2
2
2(eo u +2fo uv+go v-) + (R(u, v), No)= 1
onde w = lim
(u, v)--+(O, O)
-
IIq(w) +R(u, v), 2 u x;,(q) + v Xv(q), definimos R(u, v) = (R(u, v), No) e temos R(u, v) =O. Portanto, para w =/=O, temos que 1
2
-
h(u, v) = k11 (w)JwJ +R(u, v),
2
(10)
178
onde k11 é a função curvatura normal em q. Suponhamos que q é um ponto elítico, então kn (w) tem o mesmo sinal para todo w. Como
lim
(u, v)-;.(0, O)
R(u, v) =O, para todo (u, v) suficientemente
próximo de (O, O), então h(u, v) tem o mesmo sinal que k11 • Concluímos que existe uma vizinhança W -de q tal que X(W) está contido em um dos semi-espaços fechados determinados por TqX. Se q é um ponto hiperbólico, então kn muda de sinal. Portanto, existem vetores não-nulos w1 = u1 Xi 1(q) +v1 Xv(q) e w2 = u2Xi1 (q) +v2Xv(q) tais que kn(w1) O. Como para todo número real  não-nulo,
kn(Âw1) = kn(wi) O, concluímos de (10) que, para toda vizinhança W de q, existe  suficientemente próximo de O tal que h(Âu1,Âv1) O, isto é, X(Âiq,Âv1) e X(Âu2,Âv2) pertencem a semi-espaços distintos determinados por TqX.
D Se q é um ponto parabólico ou planar de uma superfície X(u, v), então, ~~~í----------___ J::_:::_-=-=--""-:.:_!__v:) próximo de q, a posição do ponto X(u, v), relativamente ao
plano tangente TqX, não é determinada. De fato, se consideramos o cilindro circular
X(u, v) =(a cosu, a senu, v), (u, v) E IR2 e q = (uo, v0 ), então q é parabólico e X(u, v) pertence a um dos semiespaços fechados determinados por TqX. Enquanto que, para um ponto parabólico q =(O, vo) do chapéu de Scherlock
X(u, v) = ((1-u 3 ) cosv, u, (l-u3 ) senv+ 1), -1
X(u, v)
= (u, v, u3 -3uv2), (u, v)
E IR3 ,
179
(ver Exemplo 5.4 e)), temos que q é um ponto planar e existem pontos X(u, v) nos dois semi-espaços determinados pelo plano tangente a X em
q. Isto já não ocorre para os pontos de um plano, que são todos planares. A seguir vamos considerar os pontos de uma superfície em que as curvaturas principais coincidem. 7.4 Definição. Seja X: U
e IR2 --+ IR3 uma superfície parametrizada regu-
lar. Um ponto q E U é dito ponto umbílico da superfície X se as curvaturas principais de X em q coincidem. Em um ponto umbílico q de uma superfície X, a curvatura normal de qualquer vetor não-nulo é constante igual a k 1 = k2 . Consequentemente, todo vetor unitário de TqX é um vetor principal.
7.5 Observação. Para toda superfície parametrizada regular X(u, v), segue-se das definições de curvatura gaussiana e de curvatura média que H 2 (u, v) -K(u, v) 2:: O. De fato, H 2 (u, v) -K(u, v) = (k1 -k2) 2/4 2:: O. Portanto, um ponto q = (u, v) é umbílico se, e só se, H 2 ( q) - K( q)
= O.
7.6 Exemplos a) Todo ponto planar de uma superfície é um ponto umbílico. Em particu-
lar, todo ponto de um plano é umbílico. b) Todo ponto de umà esfera é um ponto umbílico (ver Exemplo 5.4 b)).
e) Consideremos o parabolóide elítico descrito por X(u, v) v2), (u, v) E IR2 . Então, q =(O, O) é um ponto umbílico.
=
(u, v, u2 +
A proposição seguinte dá uma caracterização de um ponto umbílico em termos dos coeficientes da primeira e segunda formas quadráticas. 7.7 Proposição. Seja X: U
e IR2 --+ IR3 uma superficie parametrizada
regular. Um ponto q E U é umbílico se, e só se, existe um número real  tal
180
que eo
ÂEo,
fo
ÂFo,
go
= ÂGo,
onde Eo, Fo, Go, eo, fo, go indicam os coeficientes da primeira e segunda formas quadráticas em q. Neste caso, À é igual às curvaturas principais de X em q.
Demonstração. Se q é um ponto umbílico, então, V w E TqX, w #O, temos que kn(w) =À é constante. Isto é,
IIq(w) = Âlq(w). Portanto, se w
aX11 (q) +bXv(v), então
a2 eo+2ab fo+b 2 go = a2ÂEo+2ab Fo+b 2 ÂGo.
Em particular, se w =X11 (q), obtemos eo ÂEo. Analogamente, se w À Go e, finalmente, usando essas duas igualdades e Xv( q), obtemos go +Xv(q), obtemos fo =ÂFo. Reciprocamente, se os coeficientes da primeira e segunda formas quadráticas em q são proporcionais, então, para todo w E TqX, w #O, temos
consequentemente, kn (w) = À, isto é, q é um ponto umbílico de X.
o Vamos utilizar· a proposição anterior no seguinte exemplo. 7.8 Exemplo. Consideremos o elipsóide menos dois pontos, descrito por X(u, v)
(a senu cosv, b senu senv, c cosu),
onde O < u < n e v E JR. Vamos obter seus pontos umbílicos quando as constantes a, b, c satisfazem a relação a > b > c > O.
181
Inicialmente, observamos que os coeficientes da primeira e segunda formas quadráticas de X são dados por
E(u, v)
a2 cos2 u cos2 v+b2 cos2 u sen 2 v+c2 sen 2 u,
F(u, v)
(-a 2 +b2 ) senu cosu senv cosv,
G(u, v)
a 2 sen 2 u sen 2 v+b 2 sen 2 u cos2 v, -abc sen 3 u
e(u, v)
f(u, v) g(u, v) =
O, -abc sen 3 u
portanto, a curvatura gaussiana K(u, v) >O, para todo (u, v). Pela Proposição 7.7, um ponto (u, v) é umbílico se, e só se,
e(u, v)
= ÃE(u, v),
f(u, v)
ÃF(u, v), g(u, v)
= ÃG(u, v),
onde À é igual às curvaturas principais de X em (u, v). Neste caso, À i= O, já que K(u, v) >O. Como f O, temos que (u, v) é umbílico se, e só se, F = O e eG gE, isto é, cosu senv cosv =O,
eG
gE.
Como a> b >e> O, é fácil ver que não existe (u, v) satisfazendo as equações acima, tal que cosu =O ou cosv =O. Portanto, senv O, e da segunda equação obtemos que
Logo concluímos que
a2-b2 sen 2 u = --.,,..--
182
Portanto, os pontos umbílicos são os que satisfazem
a2-b2
senv=O,
sen 2 u = - - -
e
Os pontos correspondentes no elipsóide são os quatro pontos de coordenadas
x
±a~,
O,
y
±e~.
z
Nos Exemplos 7 .6, vimos que todos os pontos de uma esfera ou de um plano são umbílicos. A seguir, veremos que estas são essencialmente as únicas superfícies com esta propriedade. Antes, porém, vamos obter algumas relações que serão úteis daqui por diante. Sejam X: U e
--+
~ 3 uma superfície parametrizada regular e N: U--+
~3 a aplicação definida por N(u, v) ~~ZI (u, v), (u, v) EU. Consideremos as seguintes funções constantes definidas em U :
(Xu(u,v), l'f(y, y))
O,
(Xv(u, v), N(u, v)) =O, (N(u, v), N(u, v)) Tom~do
= 1.
as derivadas em relação a u e v para cada função, obtemos
(x;,, M,) (Xi1, Nv)
= -e, - (x;,v, N) = - /,
(11)
-,- (X;m, N)
(12)
(Xv, Nu)
(Xvu 1 N)
-f,
(13)
(Xv, Nv) -
(Xvv, N)
-g,
(14)
(M,, N) = o,
(15)
o.
(16)
(Nv, N)
A seguir, vamos provar que uma superfície X(u, v), cujos pontos são todos umbílicos e cujo domínio U
e
R 2 é conexo (ver Capítulo O), tem o
183
traço contido eni uma esfera ou em um plano. A propriedade de U ser conexo pode ser sempre satisfeita restringindo-se convenientemente o domínio de X.
7.9 Proposição. Seja X: U e JR.2 JR.3 uma superficie parametrizada regular onde U é um subconjunto aberto e conexo de JR. 2 • Se, para todo q E U, q é um ponto umbílico de X, então a curvatura gaussiana K é cons,tante em U e K;:::: O. Além disso, se K =O, então X(U) está contido em . um plano, e se K
1
>O, então X(U) está contido em uma esfera de raio VK.
Demonstração. Como todo (u, v) EU é um ponto umbílico de X, segue-se, da Proposição 7.7, que existe um número real íl(u, v) tal que e(u, v)
= íl(u, v)E(u, v),
f(u, v)
= íl(u, v)F(u, v),
g(u, v)
íl(u, v)G(u, v).
Além disso, íl (u, v) coincide com as curvaturas principais de X em ( u, a) Inicialmente, vamos provar que íl (u,
v).
v) é constante em U. Como U
é conexo, basta verificar que as derivadas parciais de íl são identicamente nulas. Substituindo e
ílE na relação ( 11) obtemos· (17)
Analogamente, substituindo f
ílF em (13) e (12), obtemos respectiva-
mente
(Nu +ílx;,, Xv) =O,
(18)
(Nv+ílXv,Xv) =O.
(19)
Finalmente, substituindo g= ílG em (15), obtemos (20) Segue-se de (15) e (16) que N;,1 e Nv são vetores tangentes a X, portanto,
N;,, + ílx;, e Nv + ílXv são também vetores tangentes. Concluímos de (17) e (18) que
N 11 +ílX11 =O,
(21)
184
e das equações (19) e (20), que (22)
Nv+AXv =O.
Derivando (21) em relação a v e (22) em relação a u e subtraindo, obtemos
Âvx;, -Ai,Xv =O. Como x;, e Xv são linearmente independentes, temos que Âv = Ai, = O em U e, portanto, como U é conexo, concluímos que À é uma função constante em U. Consequentemente, a curvatura gaussiana K
= À2
;::::
O é constante
em U. b) Se K = O, isto é, À = O· em U, então, segue-se de (21) e (22) que Nu =
Nv = O em U. Como U é conexo, temos que N é constante. Vamos provar que X(U) está contido em um plano ortogonal a N. De fato, fixado q E U, consideremos a função (X(u, v)-X(q), N) , que se anula em q = (u, v). Como as derivadas parciais desta função são identicamente nulas, segue-se que a função é constante em U, isto é,
(X(u, v)-X(q),N) =O. Portanto, X(U) está contido no plano, que contém X(q), ortogonal a N. c) Se K
= À 2 > O,
consideramos a função 1
h(u, v) =X(u, . v)+ IN(u, v). Segue-se de (21) ~ (2_2) que as derivadas parciais desta função se anulam, portanto, h(u, v) ~e é constante em U. Além disso, 1 1 1 1 IX(u,v)-ci= xN(u,v) =m= yK_" 1
Portanto, concluímos que X(U) está contido em uma esfera centrada em e . 1 e d e raio vK. D
185
7.10 Exercícios 1. Classifique o ponto q
= (O, O)
para as seguintes superfícies e indique a posição de X(u, v) em relação ao plano tangente TqX, para (u, v) suficientemente próximos de q.
a)X(u, v) = (u, v, u2+v4 ), b)X(u, v) = (u, v, u2 -v3 ), c) X(u, v) = (u, v, u2 + au 3 + bv2), onde a e b são números reais constantes. 2. Verifique que: a) Se X é uma superfície de curvatura gaussiana K
X(u, v) = (u, v, Ju2 +v2), são parabólicos. 5. Sejam X(u, v) úma superfície e a(t) = X(u(t)), v(t)) uma curva regular de X tal que o plano tangente a X em (u(t), v(t)) é constante independente de t. Prove que, para todo t, (u(t), v(t)) é um ponto planar ou parabólico de X. 6. Seja X(u, v) uma superfície e N(u, v) o vetor normal unitário. Prove que Nu x Nv = K(Xz, xXv), onde K é a função curvatura gaussiana de X.
186
7. Considere a superfície de rotação gerada pela curva regular a(u)
(J(u), O, u), onde f: 1---;. JR. é tal que f(u) >O. Prove que todos os pontos d.a superfície são parabólicos se, e só se, a superfície descreve um cilindro circular ou um cone. 8. Considere uma superfície parametrizada regular X(u, v) e uma curva
regular, parametrizada pelo comprimento de arco a(s) =X( u(s)), v(s) ), de curvatura não-nula. Prove que, se k11 (a' (s)) = O para todo s, então
li-(s)I = J-K(u(s), v(s)).
9. Sejam X(u, v) uma superfície e q = (uo, vo) um ponto não-umbílico. Prove que: a) As direções determinadas por .x;,(q) e Xv(q) são direções principais em q se, e só se, F(q) f(q) O. b) Se Xu(q) e Xv(q) são direções principais, então as curvaturas principais em q são dadas por
k 1=
e(q) E(q)'
k - g(q) 2-
G(q)'
10. Considere o chapéu de Scherlock descrito por
X(u, v) = ((1-u3 ) cosv, u, (1 -1
< u < 1,
u3 ) senv+ 1),
v E JR.. Verifique que, em toda vizinhança W de um ponto
parabólico (O, vo), existem pontos qi e q2 tais que X(q 1), X(q 2 ) pertencem <(semi-espaços distintos determinados pelo plano tangente a
X em (O, vo).
11. Verifique que todos os pontos de uma superfície da forma X(u, v)
(u cosv, u senv, f(v)),
onde f é uma função diferenciável, estritamente monótona, são hiperbólicos.
187
12. Seja X(u, v), (u, v) EU e ~2 , uma superfície parametrizada regular e q =(O, O). Considere um plano de ~3 paralelo ao plano tangente a X em q, passando pelo ponto X (q) + E N (q), onde E é uma constante suficientemente pequena. Seja C o conjunto dos pontos da superfície que interceptam este plano. Prove que: a) Se q é um ponto elítico, então os pontos (u, v) E U, tais que X(u, v) E C, descrevem aproximadamente uma elipse. b) Se q é um ponto hiperbólico, então os pontos (u, v) EU, tais que E C, descrevem aproximadamente uma hipérbole.
X(u, v)
8. Linhas de Curvatura; Linhas Assintóticas; Geodésicas Se X(u, v), (u, v) EU, é uma superfície parametrizada regular de JR3 e u e v são funções diferenciáveis de um parâmetro t, t E 1 e ~' então a curva diferenciável a(t) =X(u(t), v(t)) é uma curva da superfície X. Se a é regular, dizemos que a é uma curva regular da superfície. Dentre as diversas curvas regulares de uma superfície, vamos apresentar três tipos de curvas que merecem um estudo especial. São as chamadas linhas de curvatura, linhas assintóticas e as geodésicas.
8.1 Definição. Seja X(u, v) uma superfície parametrizada regular. Uma curva regular a(t) X(u(t), v(t)), t E 1 e Ift, é uma linha de curvatura da superfície X se, para todo t E/, o vetor a'(t) é uma direção principal de X em (u(t), v(t)). 8.2 Exemplos a) Toda curva regular de um plano é uma linha de curvatura. b) Toda curva regular de uma esfera é uma linha de curvatura. e) Os paralelos e os meridianos de uma superfície de rotação são linhas de curvatura (Exercício 2).
188 A seguir, vamos obter as equações diferenciais que permitem determinar as linhas de curvatura de uma superfície. 8.3 Proposição. Seja a(t) =X(u(t), v(t)), tE I
e .IR,
uma curva regu1ar de uma supelflcie parametrizada regular X( u, v). Então, a é uma linha de curvatura de X se, e só se, u(t) e v(t) satisfazem
(v')2 -ilv' (t/)2 E F G
f
e
o,
(23)
g
onde E, F, G, e, f, g são os coeficientes da primeira e segunda formas quadráticas de X em (u(t), v(t)). Demonstração. Segue-se da Proposição 6.5 que o vetor não-nulo
a'(t) =u'(t)Xi1 (u(t), v(t))+v'(t)Xv(u(t), v(t)) é uma direção principal se, e só se,
(e-k11 (a 1 (t))E) u'(t)+(f-k11 (a 1 (t))F) v'(t)
O,
(f-k11 (a 1 (t))F) u1 (t)+(g-k11 (a 1 (t)) G) v'(t)
O,
onde os coeficientes das formas quadráticas estão sendo considerados em
(u(t), v(t)). Efüninando k11 (a'(t)) nas equações acima, obtemos que a é uma linha de curvatura se, e só se, as funções u(t) e v(t) satisfazem (23). D 8.4 Exemplo. Considerando o helicóide descrito por
X(u, v)
= (u
cosv, u senv, v)
(u, v) E JR2 ,
vamos determinar suas linhas de curvatura. Os coeficientes da primeira e
189
segunda formas quadráticas são dados por
E(u, v)
1,
F(u, v)
e(u, v)
O,
f(u, v)
o,
G(u, v)= l+u2 , 1
g(u, v) =O.
Segue-se da proposição anterior que uma curva a(t) =X(u(t), v(t)) é uma lipha de curvatura se, e só se, as funções u(t) e v(t) satisfazem a equação
1 + u2 (v')2 -
Vl +u2
1
(u')2 =O,
v'l +u2
o que é equivalente a dizer que u(t) e v(t) satisfazem uma das seguintes equações
v' = V
I
u'
=
zl
Resolvendo a primeira equação, obtemos
u(t)
senh(t+b), v(t)=a+t,
e, resolvendo a segunda, temos
ü(t) = senh (t+b), v(t)
a
t,
onde a e b são constantes quaisquer. Portanto, concluímos que as linhas de curvatura do helicóide são dadas por
a(t)
= (senh (t+b)
cos(a+t), senh (t+b) sen(a+t), a+t),
f3(t) = (senh (t+b) cos(a t), senh (t+b) sen(a-t), a-t). A proposição seguinte permite uma outra caracterização das linhas de curvatura.
190
8.5 Proposição. ( Olinde Rodrigues) Seja a(t) X(u(t), v(t)), t E I e IR, uma curva regular de uma superftcie parametrizada regular X(u, v). Então, a é uma linha de curvatura de X se, e só se, existe umajimção Â(t) tal que, para todo t E J, dN dt+Â(t) a'(t) =O, onde N(t) N(u(t), v(t)). Neste caso, Â(t) principal de X em (u(t), v(t)).
k11 (a 1 (t)) é uma curvatura
Demonstração. Suponha que a é uma linha de curvatura. Considere Â(t) k11 (a'(t)). Vamos provar que, para todo t, o vetor tangente a X em
(u(t), v(t)), definido por
w(t)
w(t)
a;
1
+k11 (a (t)) a'(t),
1
Nu u' +Nv V+k11 (a (t)) (x; 1 u' +Xv v'),
segue-se das relações (11) a (16) da seção anterior que -eu' - fv' +k11 (a 1(t)) (Eu' +Fv1) = -(e-k11 (a'(t)) E) u' -(f-k11 (a 1(t))F) v'.
Analogamente,
(w, Xv) =
k11 (a 1(t))F) u'
(g-k11 (a 1 (t)) G) v'.
Como k11 (a'(t)) é uma direção principal, decorre da Proposição 6.5 que (w, .x;,) = (w, Xv) O, isto é, w(t) =O. Portanto, ~~ + Â(t) a'(t) =O, onde Â(t) =kn(a'(t)).
191
+ íl(t)a'(t)
Reciprocamente, se vetor com
x;
1
O, então o produto interno desse
e Xv se anula, isto é,
(e
(f -
+ (f - íl F) v1 O, íl(t) F) u + (g- íl G) v' =O.
íl(t) E) u
1
1
Portanto, segue-se da Proposição 6.5 que a' (t) é uma direção principal de X em (u(t), v(t)), cuja curvatura principal é íl (t), ou seja, íl(t) Concluímos que a é uma linha de curvatura.
=k
11 (
a' (t)).
o A seguir, veremos que por cada ponto não-umbílico, de uma superfície parametrizada regular, passam duas linhas de curvatura. Mais precisamente:
8.6 Proposição. Seja X(u, v), (u, v) EU e R 2 , uma supe1jlcie parametrizada regular. Se (uo, vo) EU é um ponto não-umbílico de X, então existe uma vizinhança V de (uo, vo), V e U, de pontos não-umbílicos, tal que, para todo q E V, existem duas linhas de curvatura a (t) =X( u(t), v(t)) satisfazendo (u(O), v(O)) = q. Demonstração. Como (uo, vo) não é um ponto umbílico de X, segue-se da Observação 7.5 que H 2 (uo, vo)
K(uo, vo) >O.
Da continuidade da função H 2 - K em U, decorre que existe uma vizinhança V de (uo, vo), V
e
U, onde esta função é posfriva. Portanto, V não contém
pontos umbílicos. Fixado q E V, queremos provar a existência de duas curvas da superfície,
a(t)
X(u(t), v(t)) tais que as funções u(t) e v(t) satisfazem (ver Propo-
sição 8.3)
(v')2 -u1v1 (u') 2 E F G =0 e
f
g
192
e (u(O), v(O)) = q. Considerando essa condição como uma equação do segundo grau em v', temos que o discriminante é igual a (u')24(EG-F 2 )2(H2 -K), que é positivo. Portanto, podemos fatorar o determinante acima em duas equações diferenciais da forma A u1 +B v' =O. O teorema de existência e unicidade de soluções para equações diferenciais [11] fornece as soluções dessas duas equações com a condição inicial (u(O), v(O)) = q.
D Observamos que, se (uo, vo) é um ponto umbílico de uma superfície
X(u, v), então, nada podemos afirmar a respeito da existência de linhas de curvatura passando por (uo, vo). Por exemplo, no parabolóide elítico X(u, v) (u, v, u2 +v2), o ponto (O, O) é umbílico e existem infinitas linhas de curvatura X(u(t), v(t)) tais que (u(O), v(O)) =(O, O) (ver Exercício 3). Já no caso do elipsóide, pode-se provar que não existem linhas de curvatura passando pelos seus pontos umbílicos. A seguir, vamos introduzir o conceito de linha assintótica. Iniciamos defiuma
-- 8.7 Definição.
assintótica. Sejam X : U
e JR2 ~ JR3
uma superfície parametrizada
regular e q um ponto de U. Uma direção tangente a X em q, para a qual a curvatura normal se anula, é chamada direção assintótica de X em q. Podemos determinar a quantidade de direções assintóticas em q em termos da curvatura gaussiana em q. 8.8 Proposição. Sejam X: U
e JR2 ~ JR3
uma superficie parametrizada
regular e q um ponta de U. a) Se q é um ponta elítica, então não existem direções assintóticas em q. b) Se q é hiperbólica, então existem exatamente duas direções assintóticas em q.
193
c) Se q é paràbólico, então existe uma única direção assintótica, que é também principal. d) Se q é planar, então toda direção é assintótica. Demonstração. Todos os casos decorrem da fórmula de Euler para a curvatura normal (Proposição 6.3),
onde k1 e ki são as curvaturas principais em q, w cose w1 + sen e w 2 é um vetor unitário tangente em q, e w1, w2 são os vetores principais. As direções assintóticas são determinadas pelos valores de e que anulam a expressão acima de k11 ( w). a) Se K(q) >O, então k1 e ki têm o mesmo sinal, portanto, k11 (w) =!= O, 'v'w =!=O.
b) Se K(q)
ki
O. Portanto, para todo w =/=O, k11 (w) =O. D
8.9 Definição. Seja X( u, v) uma superfície parametrizada regular. Uma curva regular a(t) =X(u(t), v(t)), t E I e JR., é uma linha assintótica de X, se, para todo t E l, a'(t) é uma direção assintótica de X em (u(t), v(t)). 8.10 Exemplos a) Toda curva regular de um plano é uma linha assintótica (ver item d) da Proposição 8.8).
194
b) Se X(u, v) é uma superfície regular e a(t) = X(u(t), v(t)) é uma reta, então a é uma linha assintótica de X.
A seguir, vamos obter as equações diferenciais que permitem determinar as linhas assintóticas de urna superfície. 8.11 Proposição. Seja a(t) =X(u(t), v(t)), t E I C R, uma curva regular de uma super.fieie X( u, v). Então, a é uma linha assintótica de X se, e só
se, asfimções u(t), v(t) satisfazem a equação
e (u') 2 + 2f u'v'
(v') 2
O,
(24)
onde e, f, g são os coeficientes da segunda forma quadrática de X em (u(t), v(t)). Demonstração. Segue-se da definição acima que a é uma linha assintótica de X quando kn(a'(t)) O, para todo t, isto é, as funções u(t) e v(t)
o Na proposição que segue, vamos provar a existência de linhas assintóticas em uma vizinhança de um ponto hiperbólico. 8.12 Proposição. Seja X(u, v), (u, v) EU e R 2 , uma superficie parame-
trizada regula1: Se (uo, vo) EU é um ponto hiperbólico de X, então existe uma vizinhança .V dê (uo, vo), V C U, de pontos hiperbólicos tal que, para todo q E V, existem duas linhas assintóticas, a(t) =X(u(t), v(t)), satisfazendo (u(O), v(O)) = q. Demonstraç~o. Corno (uo, vo) é um ponto hiperbólico, temos que a curvatura K(uo, vo)
195
Fixado q E V, queremos obter duas curvas a(t) =X(u(t), v(t)), tais que as funções u(t), v(t) satisfazem a equação
e (u') 2 +2f u'v' + g (v') 2 =O, onde (u(t), v(t)) E V e (u(O), v(O)) = q. , Como os pontos (u(t), v(t)) E V são hiperbólicos, temos que eg-f2
O. O teorema de existência e unicidade de
equações diferenciais lineares [11] fornece as soluções dessas equações com a condição inicial (u(O), v(O)) = q.
D 8.13 Exemplo. Consideremos o helicóide descrito por
X(u, v) = (u cosv, u sen v, v), (u, v)
E ~2 .
Vamos obter suas linhas assintóticas. Os coeficientes da segunda forma quadrática são dados por
e= O,
1
f(u, v)
g=O.
Neste caso, a equação (24) se reduz a 2
---===u'v' =O. Portanto, temos as equações u'
O, v' = O. Concluímos que as curvas coor-
denadas são as linhas assintóticas: A seguir, vamos introduzir a noção de curva geodésica de uma superfície. As geodésicas são as curvas mais importantes das superfícies.
8.14 Definição. Seja X(u, v) uma superfície parametrizada regular. Uma curva regular a(t) =X(u(t), v(t)) é uma geodésica da superfície X se, para todo t E J, a"(t) é um vetor normal a X em u(t), v(t).
196
8.15 Observação. Se a(t) =X(u(t), v(t)) é uma geodésica da superficie
X, então la'(t)I é constante. De fato, como a"(t) é normal a X em (u(t), v(t)), em particular (a"(t), a'(t)) =O. Concluímos que d
dt la'(t)l 2 = 2 ( a"(t), a'(t)) =O. Se a(s)
= X(u(s),
v(s)) é uma curva, parametrizada pelo comprimento
de arco, cuja curvatura não se anula, então podemos obter uma condição necessária para que a seja uma geodésica, envolvendo o triedro de Frenet. De fato, se a(s) é uma geodésica, então a"(s) e, portanto, o vetor normal
n(s) é normal à superficie. Daí temos que n(s)
=
±N(u(s), v(s)).
Segue-se das equações de Frenet que dN
± ds (u(s), v(s)) = -k(s) t(s)
-r(s) b(s),
(25)
onde t (s) e b (s) indicam respectivamente o vetor tangente e o vetor binormal de a em s. 8.16 Exemplos a) Toda reta contida em uma superficie é uma geodésica da superficie. b) Consideremos uma esfera de raio r >O. Veremos que todo círculo
máximo, parametrizado pelo comprimento de arco, é uma geodésica da esfera, e reciprocamente, toda geodésica da esfera tem o traço contido em um círculo máximo. De fato, todo círculo máximo, parametrizado pelo comprimento de arco, tem o vetor a" apontando para o centro da esfera, portanto, normal à esfera. Reciprocamente, se a é uma geodésica da esfera, podemos supor a parametrizada pelo comprimento de arco. Segue-se do Exercício 6 da seção
197
4.7 do Capítulo Ir que a curvatura k(s) 2': }. >O. Portanto, da relação (25), temos que
dN
± ds = -k(s) t(s) - -r(s) b(s). Por outro lado, toda curva da esfera é uma linha de curvatura e kn (a' (t))
±~. r
=
Segue-se da Proposição 8.5 que
dN 1 ds ±; t(s) =O, onde o sinal nas duas equações acima é positivo (resp. negativo) se n(s)
=
N(u(s), v(s)) (resp. n(s) = -N(u(s), v(s))). Concluímos dessas duas relações que k(s) = }. e -r(s) =O, isto é, o traço de a está contido em um círculo máximo da esfera (ver Proposição 4.3, Capítulo II). Observamos que a recíproca que acabamos de provar pode ser obtida mais facilmente usando a Proposição 8.18, que veremos mais adiante. A seguir, vamos obter as equações diferenciais que permitem obter as geodésicas de uma superfície. Consideremos uma superfície parametrizada regular X(u, v), (u, v) EU
e ffi.2 .
Como para cada (u, v) EU os vetores
x;,, Xv, N são linearmente independentes, temos que Xuu, Xuv, Xvv, Nu e Nv podem ser expressos como combinação linear de x;,, Xv, N. Isto é,
Xvv
r} 1.x;, + I'T 1Xv + a11N, r}ix;, + I'T 2Xv + a12N, ri2x;, + I'~2Xv + a22N,
M,
b11Xu +b12Xv,
Nv
b21x;, + b22Xv,
x;/l/ Xuv
rt,
(26)
onde os coeficientes aij, bij devem ser determinados. Nas duas últimas igualdades, usamos o fato de que Nu e Nv são vetores tangentes à superfície. Os coeficientes
rt são ditos símbolos de Christoffel da superfície X.
198
Considerando o produto interno das três primeiras relações em (26) com N, obtemos
a11 =e, a12 =
f, a22
(27)
g.
Para determinar os outros coeficientes, consideramos o produto interno de cada uma das relações em (26) com x;1 e Xv, obtendo
rj 1E+rT1F
(x;m, x;,)
1 2Eu,
rl +rr10 =
(Xuu, Xv)
F;_, - 2Ev,
rbE+rT2F
(x;1v1 x;,)
rbF+rf2 G
(x;,v, Xv)
ri 2 E+r~2F
(Xvv, x;,) = Fv
ri 2F+r~2 G
(Xvv, Xv)
b11E +b12F
= (Mo x;,)
1
=
1 2Ev, 1 2Gu, 1 2.Gu,
(28)
1 2Gv, -e,
bnF+b12G -
{Nu, Xv) = - /,
b21E +b22F
(Nv, Xu) = -
b21-F+b22G
(Nv, Xv)
f,
-g,
onde usamos (11) a (14), da seção 7, nas quatro últimas relações. Resolvendo as duas primeiras equações de (28) para r} 1 e seguintes para rb ·e rf2 e assim sucessivamente, obtemos
rr 1,
as duas
199
(29)
eF-fE b12 = EG-F2'
b11
(30)
gF-fG EG-F 2 '. 8.17 Proposição. Seja a(t) =X(u(t), v(t)), t E I e JR., uma curva regular de uma superficie X(u, v). Então,' a é uma geodésica de X se, e só se, as funções u(t), v(t) satisfazem o sistema de equações
onde
u" + (u') 2 ri1+2u'v' rb + (v') 2 rh
o,
v'' + (u') 2 rt1 +2u'v' rt2 + (v') 2r~2
o,
rt são os símbolos de Christojfel da superficie X.
(31)
Demonstração. Por definição, a(t) é uma-'geodésica de X se, e só se, para todo t E/, a"(t) não tem componente tangencial à superfície. Vamos obter
a" (t) como combinação linear de
.x;" Xv, N
e, em seguida, exigindo
que os coeficientes de Xu e Xv sejam nulos, obteremos o sistema de equação
(31).
a'
u' Xu+v' Xv,
a" -
u" Xu + (u') 2 Xim + 2u'v' Xi1v + (v') 2 Xvv + v" Xv.
200 Substituindo Xuu, Xuv e Xvv pelas relações (26), obtemos a" =
[u" + (u') 2 r} 1 +2u'v' r}i + (v') 2 rhJ Xu+
+ [v" + (u') 2 rt 1 +2u1v1 rfi+ (v') 2 r~2] + [(u')2 e+2u1v1 f + (v') 2 g] N.
Xv+
Concluímos que a(t) = X(u(t), v(t)) é uma geodésica de X se, e só se, u(t) e v(t) satisfazem o sistema de equações diferenciais (31 ). D Observamos que decorre das relações (29) que os símbolos de Christoffel só dependem dos coeficientes da primeira forma quadrática e suas derivadas. Portanto, segue-se da Definição 4.5 de superfícies isométricas e do fato de que as geodésicas são caracterizadas pelo sistema de equações (31) que, se duas superfícies são isométricas, então as geodésicas de uma superfície são levadas em geodésicas da outra superfície, através da isometria. O teorema de existência para geodésicas afirma que, por cada ponto da ---·~-superfic!e~-passa uma geodésica-tangente·ã-qualquer vetor dado. ·Mais pre-
cisamente: 8.18 Proposição. Seja X(u, v), (u, v) EU e IR2 , uma superficie parametrizada regular. Para todo q E U e para todo vetor não-nulo w E TqX, existe e> O e uma única geodésica a(t) = X(u(t), v(t)), t E (-e,e), da superficie X, tal que (u(O), v(O)) = q e a'(t) = w. Demonstração. Se q (uo, vo), consideremos w a .x;,(uo, vo) + bXvCuo, v0 ). Pelo teorema de existência e unicidade de soluções de equações diferenciais, existem e> O e funções u(t), v(t) definidas em (-e, e) satisfazendo o sistema (31), com as condições iniciais fixadas u(O) = uo, v(O) = vo, u'(O) a e v'(O) b. Além disso, tais funções são únicas. Segue-se da proposição anterior que a curva a(t) =X(u(t), v(t)) é uma geodésica de X
201
tal que (u(O), v(O)) = q e a'(O)
= w. D
A Proposição 8.18 garante a existência de uma única geodésica definida em um intervalo (-e,e). Vamos descrever uma forma de obter a geodésica definida em um intervalo maior possível. Sejam a1 (t) X(u1 (t), v1 (t) ), t E 11, e a2(t) =X(u2(t), v2(t)), t Eh, geodésicas satisfazendo as condições (u1 (O), v1 (O)) (u2(0), v2(0)) = q e a{(O) =~(O) w. Pela unicidade da proposição, temos que a1 e a2 coincidem em li nI2. Usando esse argumento para todas as geodésicas nessas condições, obtemos uma única geodésica maximal (isto é, definida no intervalo maior possível) satisfazendo as condições iniciais. 8.19 Exemplos a) Consideremos um plano de IR3 • Sabemos que as retas do plano são geodésicas. Usando a Proposição 8.18, podemos concluir que estas são as únicas geodésicas do plano. De fato, fixados um ponto q e um vetor w ---1 O tangente em q, existe uma única reta do plano passarido por q e tangente a w, que é uma geodésica. Pela unicidade da Proposição 8.18, concluímos que as retas são as únicas geodésicas de um plano. É claro que poderíamos chegar a essa mesma conclusão usando o sistema de equações (30), pois os símbolos de Christoffel para o plano são identicamente nulos. b) Com um argumento análogo ao anterior, concluímos que os círculos máximos são as únicas geodésicas de uma esfera. e) Consideremos o cilindro circular descrito por
X(u, v) = (cosu, senu, v), (u, v) E IR2 . Vamos obter as geodésicas do cilindro. Inicialmente, observamos que os meridianos e os paralelos de X, parametrizados pelo comprimento de arco, são geodésicas, já que os meridianos são retas e os paralelos são circunferências a (s) com a 11 ( s) normal ao cilindro. Vamos provar que, fixado q (uo, vo),
202
além do meridiano e paralelo que passam por X( q), as hélices são as únicas geodésicas de X passando por X( q). Não é difícil verificar que as hélices a(t) =X(u(t), v(t)), que satisfazem
(u(O), v(O)) = (uo, vo), são da forma a(t) = (cos(at+uo), sen(at+uo), ct+vo), t E IR, onde a e e são constantes não-nulas e estas curvas satisfazem o sistema (30), portanto, são geodésicas do cilindro. Usando a Proposição 8.18, por um argumento análogo ao do Exemplo a), concluímos que os meridianos, os paralelos e as hélices são as únicas geodésicas do cilindro. Poderíamos obter as geodésicas do cilindro usando a observação, feita anteriormente, de que uma isometria entre superfícies preserva geodésicas. De fato, consideremos a isometria
X(u, v) = (cosu, senu, v), O< u < 2n, v E IR. A isometria
203
Observamos que, entre os três tipos de curvas apresentadas nesta seção, as geodésicas são as mais importantes. Pode-se provar que, se uma curva
a(s) =X(u(s), v(s)), s E J, é uma geodésica de uma superfície X, então, para todo so, s 1 E 1 suficientemente próximos, o arco da curva a de so a s1 tem comprimento menor que o de qualquer outra curva da superfície que liga a(so) a a(s1 ). Além disso, dados dois pontos p e ft de uma superfície, se existe uma curva da superfície de p a ft cujo comprimento é menor ou igual ao de qualquer outra curva da superfície que liga p a ft, então a curva é uma geodésica. Devido a essas propriedades, as geodésicas desempenham um papel no estudo das superfícies equivalente ao das retas na geometria euclidiana do plano. As demonstrações dessas propriedades podem ser encontradas em [6] e serão omitidas, já que fogem ao caráter introdutório deste texto.
8.20 Exercícios 1. Seja X(u, v) uma superfície que não tem pontos umbílicos. Verifique que as curvas coordenadas são linhas de curvatura se, e só se, O. Neste caso, as curvaturas principais são dadas por k ( i
f =F =
) _ e(u, v) g(u, v) u, v - E( u, V ) , kz(u, v) = G (u, V ) .
2. Verifique que os meridianos e paralelos de uma superfície de rotação são linhas de curvatura. 3. Considere a superfície
X(u, v) = (u, v, u2 +v2),
(u, v)
2
E ~ .
Verifique que q =(O, O) é um ponto umbílico que satisfaz a seguinte propriedade: para todo vetor não-nulo w tangente a X em q, existe uma linha de curvatura a(t) =X(u(t), v(t)) tal que (u(O), v(O)) e a'(O)
= w.
=q
204
4. Seja a(s) = X(u(s), v(s)), s E I e R, uma curva regular de uma superfície X. Prove que, se o traço de a está contido em um plano :rc, que forma um ângulo constante com o plano tangente a X ao longo da curva, então a é uma linha de curvatura de X. 5. Seja X(u, v), (u, v) EU e R 2 , uma superfície cujas curvas coordenadas são linhas de curvatura. Suponha que a curvatura gaussiana de X não se anula, então a aplicação N(u, v), onde N é o vetor normal a X, é uma superfície parametrizada regular (veja Exercício 6 da seção 7.1 O). Prove que os coeficientes da primeira forma quadrática de. N são dados por E= de X.
,q, F =O, G= ~'
onde k1 e k1 são as curvaturas principais
6. Considere duas superfícies X(u, v) e X(u, v), (u, v) EU e R 2 . Seja a uma curva comum às duas superfícies, isto é, a(t) =X(u(t), v(t)) = X(u(t), v(t)). Suponha que o ângulo entre as duas superfícies é constante ao longo de a. Verifique que a é uma linha de curvatura de X se, e 7. Seja X(u, v) uma superfície. Verifique que as curvas coordenadas são linhas assintóticas se, e só se, e = g O. 8. Seja X(u, v) = (u, v, f(u, v)) . uma superfície que descreve o gráfico de uma função diferenciável f. Obtenha as equações diferenciais que determinam..as linhas de curvatura e as linhas assintóticas de X. 9. Obtenha as linhas assintóticas de um hiperbolóide de uma folha. 10. Seja a(s) X(u(s), v(s)) uma curva regular de uma superficie X. Prove que a é uma linha assintótica de X se, e só se, para cada s, a curvatura k(s) O ou o plano osculador de a em s é tangente à superficie.
205
11. Prove que, em um ponto hiperbólico de uma superfície, as direções principais bissectam as direções assintóticas. 12. Seja X uma superfície em que todos os pontos são hiperbólicos. Prove que, se as linhas assintóticas são ortogonais, então X é uma superfície mínima. 113. Seja a uma curva regular de uma superfície. Prove que o traço de a é um segmento de reta se, e só se, a é uma geodésica e uma linha assintótica da superfície.
14. Considere uma superfície de rotação gerada pela curva a(s). Verifique que todo meridiano, parametrizado pelo comprimento de arco, é uma geodésica. Além disso, o paralelo que passa por a(s) é uma geodésica se, e só se, a'(s) é paralelo ao eixo de rotação. 15. Seja X(u, v) uma superfície e a(s) uma curva de X, parametrizada pelo comprimento de arco. Prove que: a) a é uma geodésica e uma linha de curvatura de X se, e só se, uma curva plana contida em um plano ortogonal a X ao longo de
a é a.
b) a é uma linha de curvatura e uma linha assintótica de X se, e só se, o traço de a está contido em um plano tangente a X ao longo de a. 16. Determine as geodésicas de um cone de uma folha menos o vértice. 17. Seja X( u, v), (u, v) E U c-lll2 , uma superfície que tem todos os pontos parabólicos. Verifique que, para cada q E U, existe uma única linha assintótica a(t) X(u(t), v(t)) tal que (u(O), v(O)) q. Prove que o traço de a é um segmento de reta. 18. Considere a superfície
X(u, v) = (u cosv, usenv, f(u)+cv), (u, v) Elll2 ,
206
onde e é uma constante não-nula. Verifique que as curvas de X ortogonais às hélices u cte são geodésicas. 19. Considere o toro descrito por
X(u, v) = ((a+r cosu) cosv, (a+r cosu) senv, r senu), (u, v) E IR2 . Verifique que apenas duas geodésicas têm o traço contido em um plano paralelo ao plano xy. 20. Considere a superfície X(u, v)
(u, v, uv). Verifique que:
a) As curvas coordenadas de X são linhas assintóticas. b) As linhas de curvatura de X podem ser representadas por are senh v± are senh u =e, onde e é uma constante. c) A curva determinada por u = v é uma geodésica de X.
~'~----------
1L Sej~ X(u, v)
2
= (u, v, f(u, v)), (u, v) E IR , onde f
diferenciável, tal que f(u, é uma geodésica de X.
=
f (u,
é uma função v). Verifique que a curva v = O
22. Seja a(s) =X(u(s), v(s)) uma curva da superfície X, parametrizada pelo comprimento de arco. Prove que, se a é uma linha de curvatura de X tal que o seu plano osculador forma um ângulo constante com o plano tangente a X ao longo da curva, então a é uma curva plana. 23. Seja X(u, ~) uma superfície cujos coeficientes da primeira forma quadrática são E, F, G. Prove que: a) A curva X(u, vo), onde vo é constante, é uma geodésica se, e só se, O e Ev = 2Fu para todo (u, vo). b) A curva X(uo, v), onde uo é constante, é uma geodésica se, e só se, Gv O e Gu 2Fv para todo (uo, v).
207
9. Teorema Egregium de Gauss; Equações de Compatibilidade; Teorema Fundamental das Superfícies Nesta seção, veremos um dos teoremas mais importantes da teoria das superfícies, que afirma que a curvatura gaussiana, definida a partir da segunda forma quadrática, depende somente da primeira forma quadrática. Em seguida, veremos a importância da primeira e segunda formas quadráticas para a teoria das superfícies no teorema fundamental das superfícies. Inicialmente, lembramos que, se X(u, v) é uma superfície e N é a aplicação normal de Gauss, então, como vimos na seção anterior, Xim, Xi,v, Xvv são combinações lineares de x;1, Xv e N. Além disso, Nu, Nv, por serem tangentes à superfície, são combinações lineares de X';, e Xv. Os coeficientes destas combinações lineares, que foram obtidas em (29) e (30), não são independentes, pois devem satisfazer as relações
(Xzw)v
(x;1v )u,
(Xvv)u =
(Xz1v )v,
Nz,v
=
(32)
Nvu·
Substituindo (26) em (32), cada equação de (32) se reduz a anular uma combinação linear de x;1 , Xv e N. Como esses são vetores linearmente independentes de JR3 , anulando os coeficientes dessas combinações lineares, obteremos nove relações, das quais destacamos as seguintes: -EK
(r12)u-(rf1)v+rbrt1-ri
+(rt2)
2
r}1r~2'
(33)
onde K é a curvatura gaussiana e
erl2 +f(rf2 rf 1) -grf 1, gll = erl2 + f (r~2 rb)-grf2·
ev- fu =
(34)
fv -
(35)
As outras seis relações são formas equivalentes dessas três relações. A equação (33) é dita equação de Gauss e as relações (34) e (35) são chamadas equações
208
de Codazzi-Mainardi. As equações de Gauss e de Codazzi-Mainardi são ditas equações de compatibilidade. A seguir, veremos com detalhes as relações que resultam da primeira equação de (32). Substituindo (26) e (27) da seção anterior na primeira equação de (32), temos que
ª(1 2 )= av r11.x;,+r11Xv+eN
ª(1 2 r12.x;1+r12Xv+ /N ) .
Efetuando essas derivadas parciais e substituindo Xim, x;1v, Xvv, Nu e Nv em função de .x;0 Xv e N pela relações (26), obtemos as seguintes equações após a substituição dos coeficientes bu de N 11 e Nv pelas relações (30), obtidas na seção anterior: eg-/2 F EG-F 2 eg-J2 -E EG-F 2
(ri2)u (ri1)v + rbri1 rl1rI2 + rf2ri2 ri1r~2, erb + /(rf2 -r}1)
As duas últimas equações são precisamente as equações (33) e (34). De modo análogo, considerando os coeficientes de .x;,, Xv e N das duas últimas equações de (32), obtemos outras seis relações. Em particular, o coeficiente de N da segunda equação de (32) fornece a relação (35). Como os símbolos de Christoffel só dependem da primeira forma quadrática, da equação de Gauss (33) obtemos o seguinte resultado, que é um dos teoremas mais importantes da teoria de superficies.
9.1 ~eorema Egregium de Gauss. A curvatura gaussiana só depende da primeira forma quadrática. Como consequência desse teorema, temos que superficies isométricas têm a mesma curvatura gaussiana em pontos correspondentes. Observamos que a recíproca dessa propriedade, em geral, não é verdadeira. Isto é, podem
209 existir superficies X(u, v) e X(u, v) que não são isométricas, mas cujas curvaturas gaussianas coincidem (ver Exercício 4). Porém, no caso particular de superficies X e
X
de mesma curvatura gaussiana constante, pode-se
provar que, restringindo convenientemente o domínio de X e isometria entre os traços de X e
X,
existe uma
X.
Observamos que o teorema Egregium de Gauss permite concluir que determinadas superficies não são isométricas. Por exemplo, não existe uma isometria, portanto, uma transformação que preserva comprimento de curvas, entre uma região do plano e uma região da esfera, já que a curvatura gaussiana do plano é identicamente nula e a curvatura da esfera é estritamente positiva. De modo análogo, pode-se concluir que o toro e o cilindro ou a esfera e o toro não são isométricos mesmo nos restringindo a regiões dessas superficies. A importância das equações de compatibilidade deve-se ao fato de que os coeficientes da primeira e segunda formas quadráticas, satisfazendo tais equações, determinam uma superficie, a menos de sua posição no espaço. Este é precisamente o conteúdo do seguinte teorema, cuja demonstração envolve conhecimentos de equações diferenciais parciais. 9.2 Teorema fundamental das superfícies. Sejam E, F, G, e, f, g
funções reais diferenciáveis definidas em um aberto conexo U e Jm.2 , tais que E > O, G > O, E G - F 2 > O. Se as funções satisfazem as equações de Gauss e Codazzi-Mainardi, então a) Existe uma superficie parametrizada regular X : U --+ Jm.3 tal que as funções E, F, G, e, f, g são coefi.cientes da primeira e segunda forma quadráticas de X. b) Se X e X são duas superficies satisfazendo a), então existe um movimento rígido lfl de Jm.3 tal que X= lJloX. Ao leitor interessado em prosseguir seus estudos em geometria, recomendamos a leitura de [6, 8, 10, 12, 16, 17, 19], que incluem propriedades globais de curvas e superficies.
210
9.3 Exercícios 1. Seja X(u, v) uma superfície tal que as curvas coordenadas são ortogonais. Prove que, neste caso, a equação de Gauss se reduz a
e as equações de Codazzi-Mainardi são dadas por
2EG(ev- fu)-(Eg+Ge)Ev- f(EGu-GEu) 2EG(fv
O,
(Eg+Ge)Gu-f(EGv-GEv) =0.
2. Seja X( u, v) uma superfície tal que as curvas coordenadas são linhas de curvatura. Verifique que, neste caso, as equações de Codazzi-Mainardi são da forma
3. SejaX(u, v) uma superfície parametrizada regular sem pontos umbílicos e tal que as curvas coordenadas são linhas de curvatura. Se k1 e k1 são as curvaturas principais de X, verifique que as equações de Codazzi-Mainardi são dadas por a(IogVE)
av a(Iog./G)
au
4. Verifique que as superfícies
X(u, v)
(u cosv, u senv, logu),
X(u, v) =
(u cosv, u senv, v),
211
onde u >O e O< v < 2n, têm a mesma curvatura gaussiana, mas não são isométricas. 5. Verifique que não existe isometria entre regiões de duas quaisquer das seguintes superfícies: cilindro, toro, esfera, catenóide. 6. Considere as funções E= 1, F =O, G = 1, e= -1, f =O, g O, definidas em JR2 . Obtenha uma superfície parametrizada regular, que tenha as funções dadas, como coeficientes da primeira e segunda formas quadráticas. 7. Considere as funções E= 1, F =O, G sen 2 u, e l, f O e 2 g = sen u, definidas para O< u < n, v E R Verifique que o traço da superfície, cujos coeficientes da primeira e segunda formas quadráticas são as funções acima, está contido em uma esfera. 8. Seja X(u, v) uma superfície. Verifique que: a) A curvatura gaussiana é dada por
1
+ Fz1v - 2Guu c) K=
1
1
~R--G V li
EG
1
2
2
o ~E 2 1
1 V
2Gu
~Ev
E
F
2Gu
F
G
1
1
2Eu F;., - 2Ev E
F
F
G
212
10. Aplicações Computacionais Vamos concluir este capítulo com algumas aplicações de computação gráfica na teoria de superfícies parametrizadas regulares. Mais precisamente, vamos aplicar métodos numéricos e gráficos na visualização de linhas de curvatura, curvas assintóticas e geodésicas, que são curvas especiais da superfícies. Na Proposição 8.6, provamos que, em uma vizinhança V de um ponto não-umbílico da superfície, existem duas linhas de curvatura passando por qualquer ponto de V. Todo ponto desta vizinhança deve ser não-umbílico. Na Proposição 8.12, provamos que, em uma vizinhança V de um ponto hiperbólico da superfície, existem duas curvas assintóticas passando por qualquer ponto de V. Todo ponto desta vizinhança deve ser hiperbólico. Finalmente, na Proposição 8.18, provamos que, fixado um ponto qualquer p da superfície e fixado qualquer vetor w "#O tangente em p, existe uma geodésica que passa por p tangente a w. Essas três propriedades sobre essas curvas especiais da superfície são resultados de existência dessas curvas, provados com base no teorema de existência e unicidade de soluções de equações diferenciais ordinárias, com condições iniciais dadas. Na seção 8 deste capítulo, vimos alguns exemplos simples. Entretanto, dada uma superfície, em geral não é possível obter essas curvas explicitamente. Os resultados de existência permitem que sejam usados métodos numéricos e gráficos para visualizar as curvas. A seguir, veremos alguns exemplos, obtidos com o programa ACOGEO (Apoio Computacional à Geometria Diferencial) [4]. Consideremos uma superfície parametrizadaregularX(u, v) e V e JR2 uma vizinhança que não contém pontos umbílicos. Para obter as linhas de curvatura a(t) X(u(t), v(t)), inicialmente resolvemos a equação diferencial (23) para (u(t), v(t)) (integrando ou usando métodos numéricos) nos pontos da vizinhança V. Como cada ponto (uo, vo) de V não é umbílico, passam duas soluções de (23) por este ponto. Em seguida, considerando a imagem dessas
213
Figura 52 curvas pela parametrização, obtemos as linhas de curvatura X(u(t), v(t)) sobre a superfície. Vamos visualizar as linhas de curvatura da sela do macaco (Exemplo 5 .4) em uma região que exclui a origem que é um ponto umbílico.
Figura 53 Inicialmente, resolvemos a equação (23) em cada uma das quatro regiões
214
Figura 54
(-1, O) x ( -1, O), (-1, O) x (O, 1), (O, 1) x (O, 1) e (O, 1) x ( -1, O), que não contêm pontos umbílicos. A Figura 52 permite visualizar soluções (u(t), v(t)) da equação (23) em cada uma das quatro regiões do plano. A Figura 53 mostra as linhas de curvatura na sela do macaco, que são as imagensX(u(t), v(t)) destas curvas pela parametrização X da sela do macaco.
-"'"-·--~··_ _C_o_n_si::..:.d_er:_e_m_~º.-s.__umª superficie_p~~~~~_a_da regular X( u, v) e V
e
~2
uma vizinhança de pontos hiperbólicos. Para obter as curvas assintóticas a(t) =X(u(t), v(t)}, inicialmente resolvemos a equação diferencial (24) para (u(t), v(t)) na vizinhança V (integrando ou usando métodos numéricos). Como cada ponto (uo, vo) de V é hiperbólico, passam duas soluções de (24) por (uo, vo). Em seguida, considerando as imagens dessas soluções pela parametrização, obtemos as linhas de curvahlrà .X(u(t), v(t)). Vamos visualizar as curvas assintóticas da sela do macaco em uma região que exclui a origem, já que a origem não é um ponto hiperbólico.
A Figura 54 visualiza soluções (u(t), v(t)) da equação (24) em cada uma das quatro regiões do plano, (-1, O) x (-1, O), (-1, O) x (O, 1), (O, 1) x (O, 1) e (O, 1) x ( -1, O). Cada uma dessas regiões só tem pontos hiperbólicos. As
215
curvas assintóticas sobre a sela do macacao são exibidas na Figura 55, que mostra a imagem X(u(t), v(t)) dessas curvas pela parametrização X da sela do macaco.
Figura 55
Como vimos na Proposição 8.17, uma geodésica a(t) =X(u(t), v(t)), de uma superfície parametrizada regular X(u, v), é determinada pelas soluções (u(t), v(t)) do sistema de equações (31), com condições iniciais u(to), v(to)) e u' (to), v' (to)) dadas.
A Figura 56 permite visualizar as soluções de (31) para a sela do macaco, em uma vizinhança da origem. A Figura 57 mostra as geodésicas que são as imagensX(u(t), v(t)) dessas curvas pela parametrização da superfície.
216
Figura 56
Figura 57 Observamos que as curvas apresentadas nesta seção são exemplos de aplicações da computação gráfica na visualizção da geometria diferencial. Outras aplicações podem ser encontradas no programa ACOGEO [4], que inclui curvas, superficies e os teoremas fundamentais das curvas e superficies.
Capítulo IV MÉTODO DO TRIEDRO MÓVEL
A teoria das superfícies, apresentada no capítulo anterior, foi desenvolvida considerando os vetores x;,, Xv, N associados a uma superfície X(u, v). Para cada (u, v), esses vetores formam uma base de JR3 que, de modo geral, não é ortonormal. Neste capítulo, vamos desenvolver a teoria das superfícies utilizando o chamado método do triedro móvel. Esse método, que foi introduzido por E. Cartan, consiste essencialmente em escolher adequadamente, paracadapontodasuperfície, uma base ortonormal e1(u, v), e1(u, v), e3(u, v) de JR3 de tal forma que os vetores e1, e1 são tangentes à superfície. Vamos iniciar introduzindo a noção de formas diferenciais em JR2 .
1. Formas Diferenciais em JR2 Consideremos o espaço vetorial R 2 e denotemos por JR2* o espaço dual de R 2 , isto é, o conjunto das aplicações lineares de R 2 em R. O espaço dual, munido com as operações usuais de funções, é um espaço vetorial. Dada uma base e1, e1 de R 2 , definimos uma base f1, h de JR2 * por: Ji(ej) O se i =/= j, e fi(ej) 1 se i j, L.:s; i, j::::; 2. fi, h é chamada base dual de e1, e1. Denotemos por q
(u, v) os pontos de um aberto U de R 2 . Daqui por
diante,vamosdenotarpor -#ü (1, O), .Jv=(O, 1) abasecanônicade IR2 . Denotemos também por u e v as projeções de U e IR2 em IR na primeira e segunda coordenadas, respectivamente. As funções u e v são diferenciáveis e, para cada q EU, as diferenciais de u e v em q, duq, dvq formam a base dual da base canônica de R 2 . Portanto, se consideramos um vetor
218
V= (a, b) E JR.2, isto é, V
a
+b Ív' então duq(V)
a e dvq(V) = b.
1.1 Definição. Uma forma de grau 1 ou uma I-forma em um aberto U
de JR.2 é uma aplicação m que, para cada q EU, associa mq E JR. 2 *. Isto é, mq é uma função linear de JR.2 em lR. e, portanto, mq é da forma mq
P(q) duq+Q(q) dvq.
m é dita uma forma diferencial de grau 1 ou uma I-forma diferencial em U
se P e Q são funções diferenciáveis de U em JR.. 1.2 Exemplos a) Com a notação anterior, definindo du e dv como sendo as aplica-
ções que, para cada q EU, associam duq e dvq, temos que du e dv são 1-formas diferenciais. b) Seja f(u, v) uma função diferenciável (C"°) de um aberto U de JR. 2 em JR.. Então a aplicação df: U _,. JR.2*, que para cada q EU, associa dfq, a diferencial de
f
em q, é uma 1-forma diferencial, pois dfq
= fu(q) duq + fv(q) dvq.
(1)
Para verificar esta igualdade, observamos que, se q = (uo, vo), então, para todo vetor V = (a, b) E JR.2 , temos que
dfq(V)
: f(uo+ta, vo+tb)I t t=O fu(uo, vo) a+ fv(uo, vo)b fu(q) duq(V) + fv(q) dvq(V),
e concluímos a igualdade (1). e) Observamos que, se m é uma 1-forma diferencial em U
e JR.2 ,
então,
fixados q E U e um vetor V E JR.2 , mq(V) é um número real. Por exemplo,
219
consideremos a 1-forma diferencial definida por m = (2u - v) du -
U2 dv,
P du + Q dv, onde P e Q são as funções definidas por P( u, v)
isto é, m
v e Q(u, v) = -u2 . Sejam q = (2, 1) e V=
2u
mq
1, -2), então
P(2, 1) duq + Q(2, 1) dvq 4dvq,
3 duq e, portanto, mq(V) = 5.
A soma de 1-formas diferenciais soma de funções, isto é,
m +{ó
m
e {ó em U
e
IR 2 é definida como
é uma 1-forma diferencial que, para cada
q EU associa
Se
m é uma 1-forma diferencial em
U
e IR2
e f: U
-+
IR é uma função
diferenciável, definimos o produto fm como sendo a 1-forma diferencial tal que, para cada q E U, associa
(fm)q
f(q) mq.
Segue-se dessas definições que, se m = P du + Q dv e {ó são formas diferenciais em U e IR2 , então m +{ó= (P+P) du+ (Q+ Q) dv. Se
f é uma função real diferenciável em
U, então
fm = (JP) du+ (JQ) dv, onde
fP
e
JQ
são as funções produto.
P du + Qdv
220
1.3 Exemplo. Consideremos as 1-formas diferenciais
e a função f( u, v)
Sejam
= u-
úJ
(u+v) du+dv,
iJJ
v du - u dv,
v. Então,
m+iJJ
(u +2v) du+ (l -u) dv,
fm
(u 2 -v2 ) du+(u-v) dv.
m e {]) 1-formas diferenciais em U e
~2 . Dizemos que
são linearmente independentes se, para todo q EU,
úJq
e
mq
m e {])
são linearmente
independentes como elementos do espaço vetorial ~ *. 2
Segue-se desta definição que
m = P du + Q dv e {]) = P du + Q dv são
linearmente independentes se, e só se, para todo q,
P(q) P(q)
-
Q(q) Q(q)
i= o.
A seguir, vamos definir duas operações de produto para 1-formas diferenciais. Para isso, lembramos que uma aplicação B : ~2 x ~2
---+
~ é dita
bilinear se for linear em cada componente, isto é, para quaisquer vetores
Vi, Vi, V3
E ~2 e números reias
a e b
B(aVi +BVi, V3) = aB(Vi, V3) +bB(Vi, V3), B(V1, aVi +bV3) = aB(Vi, Vi) +bB(Vi, V3). Uma aplicação B : ~2 x ~2
---+ ~
é dita alterada ou anti-simétrica se
B(Vi, Vi)= -B(Vi, Vi). 1.4 Definição. Sejam m e {]) 1-formas diferenciais em um aberto U de ~ . o produto tensorial de (J) e m, denotado por (J) ® {jJ ou simplesmente 2
221
milJ, é uma aplicação que, para cada q E U, associa uma transformação
bilinear ( milJ )q : IR2 x IR2 ---+IR definida por
onde
Vi, Vi
2
E IR •
Observamos que a bilinearidade de (mm )q decorre da linearidade de mq e Wq. Na definição acima, a ordem dos fatores
me
m deve ser observada,
já que mm em geral é diferente de mm. Por exemplo, dudv
=/=-
dvdu, pois
O produto tensorial mm será denotado por m2 • A operação de produto tensorial satisfaz as seguintes propriedades.
1.5 Proposição. Sejam m, ilJ, m 1-formas diferenciais em um aberto U de IR2 e f : U ---+ IR uma fanção diferenciável. Então, a) ( m + m) m b)
= mm+ mm, m( m + m) = mm+ mm,
c) (fm)m = m(fm) = fmm, d) sem =Pdu+Qdv e êQ=Pdu+Qdv, então
mm =PP du 2 + PQ dudv + QP dvdu + QQ dv2, onde fmm é a aplicação que, para cada q EU, associa f(q)( milJ)q·
Demonstração. a) Para cada q E U e para vetores Vi,
Vi
E IR2 , temos que
222
[(ru+m)m]q(Vi, V2) =
(ru+m)q(Vi) mq(Vi) (ruq(Vi)+mq(Vi)) mq(Vi)
=
ruq(Vi) mq(Vi) + mq(Vi) m(Vi) (rum)q(Vi, V2) + (mm)q(Vi, V2)
=
(rum+mm)q(Vi, V2), onde, na terceira igualdade, usamos a propriedade de distributividade de números reais. Como a igualdade acima se verifica para todo q, Vi e V2, concluímos a demonstração da propriedade a). De modo inteiramente análogo, demonstram-se as propriedades b) e e). d) Se
ru = P du + Q dv e
m
P du + Q dv, então
rum= (Pdu+Qdv)(Pdu+Qdv). Portanto, segue-se das propriedades a), b) e c) que
rum
PP du 2 + PQ dudv + QP dvdu + QQ dv2 .
o 1.6 Exemplo Consideremos as 1-formas diferenciais
ru
(u+v) du+dv,
m
(u
v) du+dv.
Então, segue-se da propriedade d) da Proposição 1.5 que
rum mru
(u 2 -v2) du 2 + (u+v) dudv+ (u-v) dvdu+dv 2' (u 2
v2 )du2+(u
v)dudv+(u+v)dvdu+dv2.
A partir do produto tensorial de duas 1-formas, podemos definir uma outra operação chamada produto exterior.
223
1. 7 Definição. Sejam úJ e tiJ 1-formas diferenciais em um aberto U e
R . O produto exterior de w e m, denotado por w /\ m, é uma aplicação que, para cada q E U, associa uma transformação bilinear e alternada (w /\ tiJ )q: R 2 x R 2 R definida por 2
1.8 Observação. Segue-se dessa definição que, para quaisquer vetores
Vi, Vi
2
ER ,
Portanto,
(du/\dv)q
(:u'
:v) = 1,
du/\du· dv/\dv=O, du /\ dv = -dv /\ du.
O produto exterior satisfaz as seguintes propriedades
1.9 Proposição. Sejam m, tiJ e U de R 2 . Então, a) w /\ (m+ w) b) ( m+ m) /\
w
m1-fonnas diferenciais em um aberto
m /\ m+ m /\ m;
m /\ m+ m/\ w;
c) (Jm)/\tiJ d) se m
m/\(fiõ) =fm/\m; Pdu+Qdv e iõ Pdu+Qdv, então m /\ iõ = (PQ
e) m /\ m= -m /\ m;
QP) du /\ dv;
224
f) ro e tiJ são linearmente independentes se, e só se, para todo q E U, temos (ro /\ tiJ)q =!:O.
Demonstração. a) Para cada q EU, ternos que
(ro/\(ro+m))q = (ro(ro+m))q-((ro+m)ro)q= (roro )q + (rom )q - ( roro )q ( (j) /\ tiJ)q .+ (ro /\ m )q,
(mro )q =
onde, na segunda igualdade, usamos as propriedades a) e b) da Proposição 1.5. Corno a igualdade acima se verifica para todo q E U, concluímos a demonstração da propriedade a). De modo inteiramente análogo, demonstramos as propriedades b) e c). d) Se ro
P du + Q dv e tiJ
ro /\ tiJ
P du + Q dv, então
(P du+ Q dv) /\_(P du + Q dv).
Usando as propriedades a), b) e c), ternos que
ro /\ tiJ
PP du/\du+P Q du/\dv+QP dv/\du+ QQ dv/\dv.
Como vimos na Observação 1.8, du/\.du=dv/\dv Portanto,
O e du/\dv= -dv/\du.
ro /\ tiJ = (PQ - QP) du /\ dv. A propriedade e) decorre trivialmente de d). Para provar f), consideramos ro = P du + Q dv e tiJ = P du + Q dv. Já vimos que ro e tiJ são linearmente independentes se, e só se, para todo qE U,
P(q) P(q) Q(q) Q(q)
#0.
225
Como (du/\dv)q não é uma aplicação identicamente nula (ver Observação 1.8), concluímos, da propriedade d), que ( m/\ iõ )q =f. O.
D 1.10 Exemplos a) Consideremos as 1-formas diferenciais
m
(2u+v) du- (u 2 -v) dv,
iõ
udu+vdv.
Então, 1
m /\ iõ = (u3 + v2 + uv) du /\ dv. b) Se Vi= (a1, bi) e Vz = (a2, b2) são vetores de R 2, então, segue-se da definição de produto exterior que, para todo q,
1
a1
(du/\dv)q(Vi, Vz) 1
b1
1
a2 b2 ·
1.11 Definição. Uma forma diferencial de grau 2 ou uma 2-forma diferencial em um aberto U de R 2 é uma aplicação que, para cada q E U, associa uma transformação bilinear e alternada
q
f(q) (du/\dv)q,
onde f é uma função diferenciável de U em R A 2-forma será denotada por f du/\dv. Segue-se da propriedade d) da Proposição 1.9 que o produto exterior de duas formas diferenciáveis de grau 1 é uma 2-forma diferencial. A soma de 2formas diferenciais é definida como soma de funções, isto é, se f du/\dv e ~ = J du /\ dv, então a soma de e ~ é uma 2-forma diferencial
+~
(f + ]) du/\dv.
226 Se h é uma função real diferenciável, o produto h
h
= (hf) du/\dv.
f :U e
IR2 -----+ IR é dita uma O-forma diferencial
em U. No Exemplo 1.2 b), vimos que, dada uma O-forma diferencial
f,
a apli-
cação df é uma 1-forma diferencial. A seguir, vamos introduzir o conceito de diferencial exterior de uma 1-forma obtendo uma 2-forma.
1.12 Definição. Seja m = P du + Q dv uma 1-forma diferencial. A diferencial exterior de m, denotada por d m , é a 2-forma diferencial definida por
dm = dP /\du+dQ /\dv.
---A-diferencial exterior satisfaz as seguintes propriedades:
1.13 Proposição. Sejam de
IR2
e
a) Se
m e tiJ 1-formas diferenciais em um aberto
f : U -----+ IR uma função diferenciável. m = P du + Q dv, então d m = (Qu Pv) du /\ dv;
b) d(df) =O; c) d(m+m) =dm+dm;
d) d(fm) =df Aw+ f dm; onde Qu e Pv indicam as derivadas parciais das funções Q e P.
Demonstração. a) Se
m = P du + Q dv,
então
dm
= dP /\du+dQ /\dv.
U
T
227 Substituindo dP = P,_1 du + Pv dv e d Q = Qu du + Qv dv na expressão anterior e usando as propriedades do produto exterior, concluímos que
= (Qu -
d (JJ
b) Como d f
= fu du + fv dv,
Pv) d u /\ dv.
segue-se de a) que
d(df) = Uvu- Íuv) du/\dv =O.
c) Se
m = P du + Q dv e iiJ = P du + Q dv, então
m+ iiJ = (P+P) du+ (Q+ Q) dv. Portanto, d(m + iiJ)
= d(P+ P) /\du + (Q+ Q) /\dv.
Como a diferencial de uma soma de funções em um ponto q é igual à soma das diferenciais das funções em q, temos que d(m+ iiJ)
= (dP+dP) /\du+ (dQ+dQ) /\dv.
Usando as propriedades do produto exterior, temos d( m+ iiJ)
= dP /\du+ dP /\du+dQ /\dv+dQ /\dv,
e concluímos que d(m+iiJ) =dm+diiJ.
d) Se
m = Pdu + Qdv, então fm
= JP du+ fQdv.
Portanto, d(fm)
Como
fP
= d(fP) /\ du + d(JQ) /\ dv.
é um produto de funções para todo q, d(fP)q
= dfq P(q) + J(q) dPq,
(2)
228
isto é, d(!P) =Pdf + f dP.
Substituindo essa expressão e a análoga para d(JQ) em (2), obtemos que d(fm)
= (P df + f
dP) /\du+ (Q df + f dQ) /\dv,
e usando as propriedades do produto exterior, concluímos que d(fm)
df /\ (P du+ Q dv) + f (dP /\du+dQ /\dv)
=
df /\ m+ fdm.
D
A teoria apresentada nesta seção é uma breve introdução ao estudo de formas diferenciais em ~2 e é basicamente suficiente para desenvolver o método do triedro móvel. Vamos concluir esta seção com algumas observações sobre temos de formas diferenciais, que serão úteis mais adiante. O conceito de temo de formas ---·-·-·dtierenc1ais surge naturalmente quando consideramos uma aplicação diferencial F : U e ~2 ---+ ~3 . Se F é definida por F(u, v)
= (F 1 (u,
v), F 2 (u, v), F 3 (u, v)),
então, para cada q = (u, v) E U, a diferencial de F em q é a aplicação linear dFq : ~2 ---+ ~ 3 que, para cada V E ~2 , associa
Observamos que dF 1 , dF 2 , dF 3 são 1-formas diferenciais em U. Portanto, é natural considerar dF = (dF 1 , dF 2 , dF 3 ) como um temo de 1formas diferenciais em U. 1.14 Definição. Um terno (ordenado) de 1-formas em U e ~2 é uma aplicação .Q que, para cada q E U, associa uma transformação linear
T
229 n.
::.t.q :
m2 ---+ .tK m3 , isto · ' e,
.tK
onde m1 , m2 , m3 são 1-formas em U . .Q é um terno de 1-formas diferenciais se m1 , m2 e m3 são 1-formas diferenciais. Se .Q e .Õ são dois temos de 1-formas diferenciais em U
e
IR 2 e
f
é
uma função real diferenciável em U, definimos a soma .Q + .Õ e o produto
f.Q como soma e produto de funções. Mais precisamente, se .Q
= (rol , m2 , m3) ,
então,
e
f.Q Se F: U
e
IR 2
---+
= (! m1 ,
f m2 , f m3 ).
IR3 é uma aplicação diferenciável, cujas funções coor-
denadas são F 1 , F 2 , F 3 e m é uma 1-forma diferencial em U, definimos
F m como sendo o temo de 1-formas diferenciais
Segue-se das definições anteriores que, se F : U
e
IR2
---+
IR 3 é uma
aplicação diferenciável, cujas funções coordenadas são F 1 , F 2 , F 3 , então o temo de 1-formas dF
= (dF 1, dF 2 , dF 3 ) dF
= F,_
1
é igual a
du + Fv dv,
onde F,_1 e Fv são as derivadas parciais de F(u, v). De modo inteiramente análogo, definimos- um-terno-de-2-formas diferen-
ciais em U
e
IR2 como sendo uma aplicação
que, para cada q E U,
230
associa uma transformação l/>q : R 2 x R 2 -r R 3 cujas funções coordenadas (l/>l)q, ('1>2)q, ( + ~ e o produto f é uma 2-forma diferencial em U, definimos
F
como sendo o temo de 2-formas diferenciais
onde F 1 , F 2 , F 3 são as funções coordenadas de F. A diferencial exterior de um temo .Q =
(
m2 , m3 ) de !-formas dife-
renciais é definida por
Portanto, d.Q é um temo de 2-formas diferenciais. ~~~~--_Segue:se dessa definição e da propriedade b) F: U R 2 -r R 3 é uma aplicação diferenciável,
e
da Proposição 1.13 que, se então
d(dF) =O.
(3)
Quanto ao produto exterior, se .Q ( m 1 , m2 , m3 ) é um temo de 1-formas diferenciais e
(m 1 /\ w, ai/\ m, m3 /\ m).
De modo análogo, definimos m /\ .Q. Observamos que, a partir das propriedades já obtidas para formas diferenciais, obtém-se facilmente as correspondentes para temos de formas diferenciais.
231
1.15 Exercícios
1) Considere as formas diferenciais
m v2 du, iJJ
= v du
ro =
u dv,
(u 2
1) du+dv,
oponto q
(-2, 1) eosvetores
Vi
(2,-3), Vi=(l,2).
m /\ iJJ, m /\ ro e iJJ /\ ro.
a) Obtenha as 2-formas
b) Calcule o valor das formas
m, iJJ,
ro
em q nos vetores
Vi
e
Vz.
e) Calcule o valor das 2-formas do item a) em q para o par de vetores (Vi, V2). 2) Seja m P du + Q dv e V JR.2 , mq(V) P a+ Q b.
(a, b). Verifique que, para todo q
E
3) Seja f: JR.2 --+ lR. uma função diferenciável. Obtenha a diferencial das funções / 3 e log( 1 + / 2 ) em termos de df. 4) Considere as funções a) f(u, v)
vu + v 2
2,
(u, v) #(O, O),
b) J(u, v) = sen(u, v). Obtenha df e calcule dfq(V), onde q = (1, O) e V= (2, 1). 5) Sejam f e g funções reais diferenciáveis em JR.2 . Obtenha as seguintes diferenciais em termos de d f e dg : a) d(fdg), b) d(fdg+ gdf), c) d((f -g)(df +dg)),
d) d(gfdf) +d(fdg).
232
6) Se
f
e g são funções reais diferenciáveis em IR 2 , verifique que
df /\dg =
1
Íu fv gu gv
du /\dv.
1
7) Seja f(u, v) uma função real diferenciável. Verifique que, para cada q e V E IR2 ,
dfq(V) 8) Se
= (gradf(q),
V).
m é uma forma de grau 1 em U e IR2 e
é uma 2-forma em U,
verifique que úJ
Pdu+Qdv,
f du/\dv,
onde, para cada q E U, P(q) = Wq (
f(q)
= Wq (
9) Sejam
m e
:u),
Q(q) = Wq (
:v)
e
:u' :V). m 1-formas diferenciais em
U
e
IR2 . Se existe V um
vetor não-nulo de IR2 e q EU tal que Wq(V) = Wq(V) =O, prove que
(m/\m)q=O.
e
IR2 tomando
úJ
uma 1-forma
10) Sejam F e G aplicações diferenciáveis de um aberto U valores em JR3 , .Q um temo de 1-formas diferenciais e diferencial e:qi U. Prove que: a) A aplicação
úJ
Wq
= (.Q, G)
= (nq,
que, para cada q EU, associa a função
G(q))
: JR2
-+
Vr--+
IR
(nq(V),
G(q)),
onde (, ) é o produto escalar de JR3 , é uma 1-forma diferencial em U. Em particular, (dF, G) é uma 1-forma diferencial.
233
b) A diferencial exterior da função real (F, G) é a 1-forma diferencial dada por
d (F, G) c) d(Fm)
= dF /\ m + F
= (dF, G) + (F, dG).
dm.
2. Triedro Móvel; Equações de Estrutura Seja X: U
e
IR 2
-+ IR
3
uma superfície parametrizada regular. Denotemos por
q = (u, v) os pontos de U. Um triedro móvel associado à superfície X é um temo de funções diferenciáveis e 1 , e2, e3 de U em JR 3 tal que, para todo q E U, o conjunto de vetores e1 (q), e2 (q), e3 (q) é uma base ortonormal de JR3 e e 1 (q), e2 (q) são vetores tangentes à superfície X em q. Segue-se dessa definição que os vetores er (q), e2 ( q) formam uma base no plano tangente TqX e e3 (q) é um vetor normal à superfície X em q. Observamos que um triedro móvel existe para qualquer superfície parametrizada regular. De fato, basta considerar, por exemplo, er (q)
Xu (
= 1x;,1 q)
Além disso, podemos sempre nos restringir a triedros tais que
2.1 Exemplos. a) Consideremos uma superfície de rotação
X(u, v) = (f(u) cosv, f(u) senv, g(u)) gerada por uma curva regular a(u) = (f(u), O, g(u)), onde a função f não se anula. Como os vetores x;, e Xv são ortogonais, as funções definidas por
x;, xXv e3---- !x;, xXvl'
234
formam um triedro móvel associado a X. b) Seja X(u, v), (u, v) EU e JR;. 2 uma superfície regular. Consideremos uma aplicação V: U---* JR;.3 definida por
V(u, v)
a(u, v) Xi 1 (x, v) +b(u, v) Xv(u, v),
onde a e b são funções reais diferenciáveis, que não se anulam simultaneamente. V(u, v) é um vetor não-nulo do plano tangente a X em (u, v). A partir da aplicação V, vamos definir um triedro móvel associado a X da seguinte forma:
Como as funções a e b são arbitrárias, este exemplo mostra que existe uma infinidade de triedros móveis associados a uma superfície. e) Se X(u, v) é uma superfície parametrizada regular, sem pontos umbílicos, então podemos associar a X um triedro móvel tal que ei, e1 são vetores ~r-----~~-princ~ipiiis: De fato, vimos no capítulo anterior (Exemplo 1 da seção 6.7)) que um vetor w = aXz1 +bXv é uma direção principal de X em (u, v) se, e só se, b2 -ab a2 E F G =0. e f g Considerando essa igualdade como uma equação de segundo grau em b, temos que o discriminante é igual a 4a 2 (EG-F 2 ) 2 (H2 -K), que é positivo, já que a superfíeie não tem pontos umbílicos. Portanto, as duas soluções da equação acima fornecem as duas direções principais w e w de X em (u, v). Concluímos que
é um triedro móvel associado a X tal que e 1 e e2 são vetores principais.
235
e3
Seja ei, e1, um triedro móvel associado a uma superficie parametrizada regular X : U e IR 2 ~ IR3 . Para cada q E U e cada V E R 2 , temos que
dXq (V) pertence ao plano tangente a X em q. Como os vetores e 1 ( q), e2 ( q) formam uma base de TqX, temos que dXq (V) é uma combinação linear de e1 (q) e e1(q). Isto é,
onde
(dXq(V),
e1
(q)),
( dXq (V), e1 (q)) . De modo análogo, considerando as funções diferenciais ei : U ~ JR3 , i 1, 2, 3, temos que, para cada q E U, a diferencial de ei em q é uma aplicação linear (dei)q: R 2 ~ R 3 • Como os vetores e1(q), e2 (q), e3(q) formam uma base ortonormal de Ili3 , para cada V E IR 2 , (dei)q(V) é uma combinação linear dos elementos dessa base, isto é,
onde
Para cada q, temos que (ro1)q, (mi)q e (rou)q são funções lineares de 2 R em IR, portanto, ro1, mi, e rou são 1-formas diferenciais em U. Considerando os temos de 1-formas em U, dX e dei (veja seção 1 desse capítulo), as expressões anteriores podem ser escritas da seguinte forma:
dX
W1
ei +mi e1,
Wn
ei + roi2 e1 + IDi3 e3,
(4) 1 ::; i::; 3,
(5)
236
onde ro1
(dX, ei) ,
ID.2
(dX, e1),
Wij
(dei, ej),
(6) 1:::::; i, j:::::; 3,
são 1-formas diferenciais em U. Além disso, como dX
= .x;, du + Xv dv
e
dei= (ei)u du + (ei)v dv, segue-se de (6) que
(.x;,, e1) du + (Xv, e1) dv,
(7)
((ei)zo ej) du+((ei)v, ej) dv. A seguir, vamos verificar que qualquer 1-forma diferencial em U é uma combinação linear de úJ1 e @i. Como, para cada q E U, os dois pares de vetores .x;, (q), Xv( q) e ei (q), e1 (q) formam bases do plano tangente TqX, temos que (8) onde a11 = (.x;,, ei), a12 = (.x;" e1), funções diferenciáveis em U tais que
a21
=
(Xv, ei),
a22
=
(Xv, e1) são
l(q)#O. Decorre de (7) que. a11 a12
du + a21 dv, du + a22 dv.
(9)
Portanto, úJ1 /\
ID.2
= 1a11 ª121 a21 a22
du /\ dv.
Dessas relações concluímos que ro 1 e roi são 1-formas linearmente independentes. Portanto, qualquer 1-forma diferencial em U é uma combinação
237
linear de W1 e ID.2 em que os coeficientes são funções diferenciáveis. Além disso, observamos que, se Vi e Vi são os vetores de JR2 tais que
então i=j, i=}j,
1~i,j~2.
(10)
De fato, decorre de (8) que er e1
onde a matriz
onde (10).
bij
:u :v e
.x;, + b12 Xv, b21 x;, + b22 Xv, b11
é a inversa da ma_triz
ªij·
Portanto,
é a base canônica de JR 2 .. Usando (9), obtemos a propriedade
Dizemos que ro1, Wi é o co-referencial do triedro móvel associado à superfície e as formas roij, 1 ~ i, j ~ 3, são denominadas formas de conexão do triedro. As formas definidas acima satisfazem certas relações que serão obtidas a seguir. 2.2 Proposição. Seja e1, e1, e3 um triedro móvel associado a uma superficie X : U e JR 2 ----+ JR3 • O co-referencial e as formas de conexão satis-
238
fazem as seguintes relações:
(11)
= -Wjii 1:::; i, j:::; 3, dw1 = Wi /\ Wi.1, d úJi = W1 /\ W12 , W1 /\ W13 + úJi /\ úJi3 = Ü,
Wij
(12) (13) (14)
d W12
= W13 /\ úJ.32,
(15)
d W13
= W12 /\ úJi3 ,
(16)
d úJi3
= úJi 1 /\ W13 ·
(17)
Demonstração. e 1, e2, e 3 são funções diferenciáveis definidas em U, tais que, para cada q E U, e 1(q), e2 ( q), e 3 (q) são vetores ortonormais de IR3 . Portanto, podemos considerar as funções diferenciáveis em U, definidas por
(ei, ej) = Ôij,
1 :::; i, j:::; 3,
~-- __ ºll~e Ôij = 1, se i = }, e Ôij =O, se i-=/=- }. Tomando a diferencial de cada
uma dessas funções, obtemos para cada i, j
e segue-se de (6) que
Wij
=
-Wji·
Em particular, roii =O.
Para provar as relações (12), (13) e (14), observamos que
d(dX)
=O (ver
(3) da seção antegor), Portanto, decorre de (4) que d(e1 W1
+ e1 Wi) =O,
isto é, e1 dw1 +dei/\ W1
Substituindo
de 1
e
(dw1 - Wi /\ Wi.1) e1
de 2
+ e1 droi + de2 /\ Wi =O.
pela relação (5) e considerando (11), obtemos que
+ (droi -
W1 /\
ro12)
e1 - ( W1 /\ W13
+ Wi /\ úJi3) e3 =O,
239
e concluímos que (12), (13) e (14) são satisfeitas. Analogamente, como para cada i, (5) que
1:::; i:::; 3, d(dei) =O, obtemos usando
3
L d(eJWiJ) =O,
J=l isto é, para cada i, 3
3
J=l
j=l
L dei/\ WiJ + L e1 dwiJ =O.
Substituindo de1 pela relação (5), temos 3
L
j,k=l
3
WJk /\ WiJ ek +
L ek dwik =O.
J=l
Portanto, para cada i, k, 1 :::; i, k:::; _3, 3
d (J)ik =
L Wij /\ Wjk, J=l
e concluímos, usando (11), que as relações (15), (16) e (17) são verificadas.
D As relações (11) a (17) são ditas equações de estrutura e são fundamentais para o estudo da teoria local das superfícies em JR 3 .
2.3 Exemplo. Consideremos uma superfície de rotação X(u, v)
= (f(u)
cosv, f(u) senv, g(u)),
f(u) >O, e o triedro móvel associado a X, definido por (ver Exemplo 2.1)
240
Vamos obter o co-referencial m1, mi e as formas de conexão WiJ desse triedro móvel. Como
concluímos que
m1
=
V(!')2 + (g1)2
du.
Analogamente,
logo,
mi=fdv. Vamos determinar as formas de conexão
m12, W13
e mi3.
Portanto,
m = i2
-J U')2f + (t)2 dv.
Analogamente, obtemos (013
g'f' -g!" ---;::==== -J (!')2 + (t)2 du , g dv. (!')2 + (t)2
v
Seja e1, e1, e3 um triedro móvel associado a uma superfície X: U e IR2 --+ JR3 , m1 , mi oco-referencial e Cllij as formas de conexão. Já vimos que
241
qualquer 1-forma em U é uma combinação linear de m1 e mi, portanto, as 1-formas
W13
e mi3 podem ser expressas por
+ h 12 mi, h11 W1 + h21 mi.
h 11 mi3
W1
(18)
Substituindo essas expressões em (14), obtemos
(h12 -h21)
W1
/\mi= O.
Como m1 e mi são linearmente independentes, concluímos que (19)
A proposição seguinte mostra que
m12,
como combinação linear de
W1
e mi, é determinada pelas relações (12) e (13). 2.4 Proposição. A forma diferencial W12 é determinada pelas equações (20) (21)
Demonstração. Sejam m12 e lÕ12 1-formas diferenciais, satisfazendo as equações (20) e (21). Vamos provar que m12 = lÕ12. De fato, como dm1
mi/\ mi1,
d W1
mi /\ lÕi 1 ,
obtemos por subtração
Analogamente, considerando a segunda equação, temos 0 = W1 /\ ( W12 - ffi12).
242
Como
m12
ã>12
é uma combinação linear de
úJ1
e mi, podemos escre-
ver úJ12 - ã>12 A úJ1 +B mi. Substituindo esta expressão nas duas últimas equações e usando o fato de que úJ1 e mi são linearmente independentes, obtemos que A= B =O, e concluímos que
úJ12
ã>12.
D A seguir, vamos desenvolver a teoria apresentada no capítulo anterior, usando um triedro móvel associado a uma superfície. Consideremos uma superficie X : U e JR.2 --+ JR. 3 e q um ponto de U. Já vimos que a primeira forma quadrática Iq em q é uma aplicação que, para cada vetor tangente w E TqX, associa Iq(w) (w, w). Observamos que, como w E TqX, temos que w = dXq(V), onde V E JR.2 . Portanto,
Iq(dXq(V))
=
(dXq(V), dXq(V)).
Isto é, podemos considerar a primeira forma quadrática em q como uma aplicação de JR. 2 em JR, denotada também por Iq, que, para cada V E JR.2 , associa
Iq(V)
=
(dXq(V), dXq(V)).
(22)
Vamos fazer considerações análogas para a segunda forma quadrática. Sejam w E TqX um vetor tangente e a(t)
X(u(t)), v(t)) uma curva dife= q, a'(to) = w. No capítulo anterior, definimos a segunda forma quadrática IIq em q como sendo a aplicação que, para w E TqX, associá
renciável da superficie tal que (u(to), v(to))
Ilq(w)
(a"(t0 ),N(q)),
onde N(q) é o vetor normal a X em q. Para cada t, temos
(a'(t), N(u(t), v(t))) =O. Portanto,
(a"(to),N(q))+\a'(to),
~~(to))
O,
243
e Ilq(w)
( w,
~~(to)).
Corno w é um vetor tangente à superfície em q, temos que w = dXq(V) para algum vetor V de R 2 . Além disso, a' (to) = w. Da igualdade dXq (V) =
dN
a'(to), segue-se que V
(u'(to), v'(to)) e, portanto, dt(to)
dNq(V).
Logo,
IIq(dXq(V))
-(dXq(V), dNq(V)).
Isto é, podemos considerar a segunda forma quadrática em q como urna aplicação de R 2 em R, denotada também por Ilq, que, para cada V E R 2 , associa
(dXq(V), dNq(V)).
(23)
Sejam ei, e1, e3 um triedro móvel associado a urna superfície X: U 2
3
e
©2, COij, 1 ::; i, j::; 3, o co-referencial e as formas de conexão do triedro. Corno dX = C01 ei + ©2 e1, segue-se de (22) que a primeira forma quadrática é dada por
R --+ R
e
C01,
1
(dX, dX) =
cof + co},
isto é, para cada ponto q E U e cada vetor V E R 2 ,
Analogamente, corno e3 é normal à superfície, segue-se de (23) que a segunda forma quadrática é dada por
isto é, para cada ponto q E U e cada vetor V E R 2 ,
244 A seguir, vamos relacionar os coeficientes da primeira e segunda formas quadráticas da superfície X com o co-referencial e as formas de conexão de um triedro móvel associado. Consideremos a matriz A (q) definida por
qEU,
a (a),
a (a),
e x;, dXq Xv dXq primeira forma quadrática, que
segue-se, da definição dos coeficientes da
(24) onde A1 denota a transposta da matriz A. Analogamente, como
segue-se, das relações (11) a (14) da seção 7 do capítulo anterior, que
(25)
Finalmente, considerando (18), isto é, ffi13
ú.>i3
+ h12 <.Oi, h11 ro1 + h12 <.Oi, h11
W1
245
onde h 12
h21,
obtemos de (25) que
( í {)
(26)
A partir dessas relações vamos verificar que as curvaturas principais, cur-
vatura média, e curvatura gaussiana da superfície são determinadas pelas funções hij, 1 5:. i, j 5:. 2. 2.5 Proposição. Com a notação anterior, k é uma curvatura principal da supeificie se, e só se, k é solução da equação
h11
1
h21
k
1- o.
h12 h22-k -
Demonstração. Já vimos na seção 6 do capítulo anterior que k é uma curvatura principal se, e só se,
1
e-kE f-kF
f-kF g-kG
1
o.
Com a notação matricial utilizada acima, decorre de (24) e (26) que e (
kE kF
f-kF) g-kG
A (h11-k h21
e detA =!=O. Portanto, k é uma curvatura principal se, e só se,
hn -k 1
h21
o.
D Segue-se da Proposição 2.5 que as curvaturas principais são as soluções da equação
246
Como a curvatura gaussiana K é o produto das curvaturas principais e a curvatura média H é a semi-soma das curvaturas principais, decorre dessa equação que K
H
h11h22
h11
hf2,
+
(27) (28)
2
2.6 Proposição. Seja e1, e1, e3 um triedro móvel associado a uma superficie X. Então, as formas diferenciais m1, úJ:2 e Wij satisfazem as seguintes equações: dm12 = -m13 /\ OJ:23
-K m1 /\ l0:2,
(29)
l01 /\ l0:23 + m13 /\ l0:2
2H m1 /\ l0:2.
(30)
Demonstração. Considerando as expressões
l013 -
h11 l01 + h12 l0:2,
OJ:23 -
h11 m1 + h12 l0:2 ,
onde h12 = h11, temos que
(hn m1+h120J:2)/\(h21 m1 +h22 l0:2) (hn h12 -hf2) m1 /\ OJ:2. Portanto, segue-se de (15) e (27) que
Analogamente, temos que
Portanto, segue-se de (28) que
247
D A equação (29) é denominada equação de Gauss e as equações (16) e (17) são ditas equações de Codazzi-Mainardi. Mais adiante, como consequência da Proposição 2.9, veremos que essas equações são precisamente as equações que já vimos no tratamento clássico apresentado no capítulo anterior. Como consequência da equação de Gauss (29), prova-se facilmente o teorema Egregium de Gauss.
2. 7 Teorema Egregium de Gauss. A curvatura gaussiana só depende da primeira forma quadrática. Demonstração. Consideremos um triedro ortonormal e1, ez, e3 associado a uma superfície. Já vimos que a primeira forma quadrática é dada por 1 = ro[ + Além disso, pela Proposição 2.4, temos que ro12 é determinada pela equações (12) e (13). Segue-se que ro12 só depende da primeira forma quadrática e do triedro escolhido. Portanto, considerando a equação de Gauss
ro?.
e o fato de que K não depende do triedro (equação (27)), concluímos que K só depende da primeira forma quadrática.
D A teoria apresentada nessa seção depende ~a escolha do triedro móvel, principalmente, da escolha de e1, ez. Portanto, dados dois triedros móveis e1, ez, e3 e ê1, ê2, e3 associados a uma superfície X, onde e3 = e3, precisamos saber relacionar as formas diferenciais associadas aos dois triedros. Observamos que estamos considerando triedros tais que (e3, e1xe1)=1. 2.8 Proposição. Seja X: U e JR2 -+ JR3 uma superficie. Consideremos dois triedros móveis e1, e1, e3 e ê1, ê2, e3 associados a X e 8 (u, v),
248
(u, v) EU, uma função real diferenciável tal que, e1
cose e1 + senB e1,
e1
- sen
e e1 +cose e1.
Então, ill1
cos B W1 + sen B e1,
iJJi
- sen
e l01 + cos e mi'
ill12
dB +m12,
W13
cos
@i3
-
onde W1, mi, OJ;.j (resp. W1,
e l013 + sen e mi3' sen e l013 + cos e mi3 '
iJJi, Wij)
são as formas diferenciais associadas
ao triedro e1' e1, e3 (resp. e1' e1, e3)·
Demonstração. Por definição de ill1 , temos que
Segue-se de (4) e da expressão de e1 que
e concluímos que ill1 Analogamente, como
= cos B m1 +
iJJi = (dX,
iJJi = -
sen B mi.
e1) , temos que
sen fJ W1 + cos fJ mi.
Por definição de ill12, temos que
249
Segue-se da expressão de ê1 que
dê1
=-
sene de
e1
+cose de e1 +cose dei+ sene de2.
Substituindo essa expressão e
e2 na relação anterior e usando (6) e (11 ),
concluímos que ill12
=de+ m12.
Analogamente, segue-se de W13
=
(dê1, e3) e CÕi3
ill13
cos e W13 + sen e W23,
lÔi3
- sen e l013 + cos e illi3.
= (dê2,
e3) que
D A seguir, vamos verificar que as equações (29), (16) e (17) são precisamente as equações de Gauss e Codazzi-Mainardi do Capítulo III. Inicialmente, vamos considerar a seguinte proposição.
2.9 Proposição. Seja X(u, v) uma superficie parametrizada regular, cujas coordenadas são ortogonais. Consideremos o triedro móvel ei
=
Xu IXul'
Xv e2 = IXvl'
Então, l01
VE du,
W12
- (VE)v du + (VG)u dv
l013
VE(e du+ f dv),
Wi3
= VG(f du+gdv),
./G
./E
1
1
(31)
mi= v'Gdv,
'
(32) (33) (34)
onde E, G, e, f, g são os coeficientes da primeira e segunda formas quadráticas de X.
250
Demonstração. As formas
Substituindo dX
e mi são dadas por
m1
= x;, du +Xv dv,
x;,
e1
= IXul
e e1
Xv
= IXvl
nas igualdades
acima e usando o fato de que x;, e Xv são ortogonais, obtemos (31 ). Pela Proposição 2.4, m12 é determinada pelas equações d W1
mi /\ mi 1 ,
d mi
W1 /\ W12.
Como m12 é da forma m12 = a du + b dv, substituindo essa expressão nas equações acima e usando (31 ), temos que
-(VE)vdu/\dv
a VGdu/\dv,
(VG) 11 du/\dv
b VE du/\dv,
e obtemos que a= -( VE)v/VG e b = (VG) 11 /../E, isto é, m12
As formas
mi3
= (de2,
W13
e3).
(./Eh··- - --(-VG-k - ·
= - - - du+-- dv. ../G ../E
e mi3 são obtidas das expressões
Substituindo
e1
= IXul
x;,
e
e3
= e1
W13
=
(dei, e3)
e
x e1 nessas relações,
obtemos 1
W13
VE(edu+fdv),
mi3
VG (! du+ g dv).
1
D 2.10 Observação. Nas condições da proposição anterior, considerando ffi13
mi3
+ h 12 mi , h11 m1 + h21 mi,
h 11
W1
251
temos que e
h11
=E'
(35)
De fato, segue-se de (31 ), (33) e (34) que
../E du+h12 VGdv= ~ du+ ~ dv,
l013
=h11
mi3
= h11 ../E du + h12
VG dv = Jo. du + }o dv.
Dessas equações obtemos as relações (35). Como consequência da Proposição 2.9, vamos verificar que as equações (29), (16) e (17) são as equações de Gauss e Cadazzi-Mainardi do capítulo anterior. De fato, substituindo a derivada exterior de m12 dada pela expressão (32) na equação de Gauss
dm12 =--K W1 /\mi, e usando (31 ), obtemos que
Portanto,
K= _- _ 1
[((VE)v) vc + ((VG)u) VE.
VffG __
V
l li
'
que é a equação de Gauss clássica, obtida no capítulo anterior (ver Exercício 1 da seção 9.3). Analogamente, substituindo (31), (32), (33) e a diferencial exterior de l013 e mi3 nas equações
mi3,
d l013
W12 /\
d mi3
mi 1 /\ l013 )
252
obtemos 2EG (ev - fu) 2EG (fv-gu)
(Eg+ Ge) Ev- f( EGu
GE11 )
O,
+ (Eg+ Ge) Gu - J (EGv -GEv) =O,
que são as equações de Codazzi-Mainardi, obtidas no capítulo anterior (ver Exercício 1 da seção 9.3). Ao leitor interessado no estudo de superfícies com abordagem de formas diferenciais, recomendamos a leitura de (3, 7, 15].
2.11 Exercícios 1) Seja X : U
e
JR.2 -+ JR.3 urna superfície. Verifique que
Xv-(Xv, e1) e1 IXv- (Xv, e1) e11' formam um triedro móvel associado a X. 2) Se X: U e JR.2 -+ JR.3 é urna superfície regular e e1, e2, e3 é um triedro móvel associado a X, então toda forma diferencial úJ em U é dada por
úJ = !1 W1
onde W1,
+h
coi, W12
mi. Verifique a igualdade
são as formas associadas ao triedro móvel.
3) Considere o toro descrito por
X(u, v) = ((a+rcosu) cosv, (a+rcosu) senv, rsenu). Seja e1, e1,
e3
o triedro móvel associado a X, definido por e 1
1
253
ei x e1. Verifique que: C01
(a+ rcosu) dv,
COi
rdu,
C012 (013
ú>i3
senu dv, -cosudv,
= -du.
4) Considere o plano menos a origem descrito por
X(u, v) = (ucosv, u senv, O), ui= O, v E IR. Obtenha o co-referencial e as formas de conexão do triedro móvel e 1 , e1, associado a X onde e1 e e1 são tangentes às curvas coordenadas. Verifique que as curvatura gaussiana e a curvatura média de X são nulas, usando a Proposição 2.6. e3
5) Seja X: U e IR2 -r IR3 urna superfície parametrizada regular. Verifique que w é urna direção assintótica de X em q E U se, e só se, w dXq(V) onde o vetor V E IR2 é tal que
6) Seja e1, e1, e3 um triedro móvel associado a urna superfície parametri-r IR3 . Se co1, eoi, COij são oco-referencial e zada regular X: U e as formas de conexão deste triedro, verifique que: a) Se w E TqX, q E U, então a curvatura normal de X em q na direção de w é dada por
254
b) Se w
= cos e e 1 + sen e e1,
então
kn(w) =h11 cos2 B+2h12 serre cose+h22 sen 2 e. 7) Considere um triedro móvel e 1 , e 2 , e3 associado a uma superfície parametrizada regular X, tal que e 1 , e 2 são direções principais. Verifique que neste caso
onde ki e k1 são as curvaturas principais da superfície. 8) Seja X: U
e IR2 ---+ JR3 uma superfície parametrizada regular. Verifique
que w é uma direção principal de X em q E U se, e só se, w = dXq (V), onde o vetor V E IR2 é tal que
9) Seja ei, e 2 , e3 um triedro móvel associado a uma superfície parametrizada regular X(u, v). Considere uma curva diferenciável da superfície a(s) =X(u(s), v(s)), s E I e IR, tal que a'(s) = ei (u(s), v(s)). Verifique que a é uma geodésica se, e só se, para todo s, (m12) q(s) (V (s)) O, onde q(s) = (u(s), v(s)) e V(s) = (u'(s), v'(s)) E JR2 .
=
3. Aplicações: _Teorema de Bonnet, Teorema de Bãcklund Como já observamos anteriormente, a teoria local das superfície pode ser desenvolvida pelo método do triedro móvel. O ponto fundamental deste método consiste em escolher o triedro mais adequado para o problema geométrico que está sendo considerado. A título de ilustração, nesta seção, vamos apresentar dois resultados clássicos: o teorema de Bonnet, que relaciona superfícies de curvatura gaussiana constante positiva com superfícies de curvatura média
255
constante, e o teorema de Bãcklund, que fornece uma transformação entre superfícies de mesma curvatura gaussiana constante negativa. Inicialmente, vejamos a seguinte caracterização de superfícies parametrizadas regulares.
3.1 Lema. Uma aplicação diferenciável X: U e IR2 ---+ JR 3 é uma superficie parametrizada regular se, e só se, existem funções diferenciáveis f e J de U em IR3 e ]-formas diferenciais m e m em U tais que as seguintes condições são satisfeitas: a) V q E U, f( q) e ]( q) são vetores linearmente independentes de IR3; b) m e m são 1-formas linearmente independentes; c) VqEU, dXq=lOqf(q)+mq](q). Neste caso, f (q) e ]( q) geram o plano tangente à superficie em q. Demonstração. Se X(u, v) é uma superfície parametrizada regular, então .x;" Xv e as formas di/, dv satisfazem as três condições do lema. Reciprocamente, suponhamos que f, J, m, m satisfazem as condições do lema. Vamos provar que, para todo q EU, dXq é injetiva, isto é, se V é um vetor de IR2 tal que dXq(V) =O, então V= O. De fato, se dXq(V) =O, então, usando a condição c), temos que
as funções
mq(V) f(q)
+ mq(V) f(q) =O.
Segue-se de a) que
Portanto, (m!\m)q(V,V) =0, para todo V E IR2 . Em particular, se V =f- O, podemos escolher
V
tal que V
V formam uma base de IR . Como ( m !\ m)q é bilinear, concluímos que (m !\ m)q =O, o que contradiz b). Portanto, V= O.
e
2
256
Se as propriedades a) e b) são satisfeitas, então decorre trivialmente de c) que /( q) e ]( q) geram o plano tangente a X em q.
D 2
__,. IR3
3.2 Proposição. Seja X : U e IR uma superficie parametrizada regulw; de curvatura média H e curvatura gaussiana K. Consideremos a aplicação X definida por
X(u, v)
X(u, v) +a N(u, v), (u, v) EU,
onde, N( u, v) é normal a X e a é uma constante tal que 1 - 2aH + a 2K # O. Então, X é uma superficie parametrizada regular e as curvaturas fI e de X são dadas por
fI 1-2aH+
Demonstração. Consideremos um triedro móvel e1, ez, X tal que e3 N. Como
temos que
e3
associado a
é diferenciável e
Portanto, (36) As !-formas
m1 -
a
W13
e mi
a
0Ji3
são linearmente independentes, já que
257
Portanto, decorre do Lema 3.1 que X é uma superfície parametrizada regular e podemos associar a X o triedro móvel (37) Denotemos por cõ1 ,
Wi,
tiJij as ! -formas deste triedro de
X. Como
comparando com (36), temos
(38) Segue-se de (37) que
1 'S i, j-::;_ 3.
(39)
Pela Proposição 2. 6, temos que
Portanto, substituindo (38) e (39) nesta equação e usando a Proposição 2.6 para a superficie X, obtemos que
e concluímos que
De modo inteiramente análogo, considerando a equação
obtemos que
258
e concluímos que K
I-2aH+
o As superficies da proposição anterior são ditas superficies paralelas. Como consequência dessa proposição, vamos obter o teorema de Bonnet. Esse teorema mostra que o estudo local das superficies de curvatura média constante não-nula é essencialmente equivalente ao estudo das superficies de curvatura gaussiana constante positiva. Mais precisamente: 3.3 Corolário. (Teorema de Bonnet) Para cada superficie de curvatura média constante igual a c #O, sem pontos umbílicos e parabólicos, podemos associar duas superfícies paralelas, uma de curvatura gaussiana igual a 4c2 e a outra de curvatura média -c. Reciprocamente, para cada superficie de curvatura gaussiana constante _____ p..Qsitiv_q_jgual a 4c2 e sem pontos umbílicos, podemos associar duas superficies paralelas cujas curvaturas médias são iguais a c e -c respectivamente. Demonstração. Seja X(u, v) uma superficie parametrizada regular, de curvatura média constante H(u, v) c #O. Consideremos a aplicação
onde e3 ( u, v) é diferenciável, unitário, normal a X, para o qual H (u, v) = c . Como a superficie X não tem pontos parabólicos, temos que a constante 1/2c satisfaz as condições da proposição anterior. Portanto, X é uma superfície cuja curvatura gaussiana é dada por 4c2 • Analogamente, como a superficie X não tem pontos umbílicos, temos
259
que a constante
c
satisfaz as condições da proposição anterior. Portanto, 1 c
X+-e 3 é uma superfície cuja curvatura média é igual a -c. Reciprocamente, seja X(u, v) uma superfície parametrizada regular de curvatura gaussiana igual a 4c2 . Consideremos
1 X=X + c e3, 2
X
X-
1 e3 2c '
onde e3 é normal a X e c >O. Como a superfície X não tem pontos 1 umbílicos, as constantes satisfazem as condições da proposição anterior. Concluímos que as curvaturas médias de iguais a -c e c.
e X são respectivamente
D Observamos que no teorema de Bonnet a exigência da superfície não ter pontos umbílicos (e parabólicos) é essencial para garantir a existência das superfícies paralelas nas condições acima. Por exemplo, a esfera unitária é uma 1, entretanto, uma das "superfícies" superfície de curvatura gaussiana K paralelas à esfera, a uma distância 1, se reduz a um ponto. No Exercício 2, a seguir, damos um exemplo de superfície cuja curvatura gaussiana K = 1, sem pontos umbílicos, à qual se pode aplicar o Teorema de Bonnet. A seguir, vamos provar o teorema de Bãcklund. Inicialmente, vamos introduzir um novo conceito.
=
JR.3 e X : X e JR.2 3.4 Definição. Sejam X : U e JR.2 JR3 superfícies simples, isto é, superfícies que não têm auto-interseção, S X(U) e S = X(Ü). Uma congruência pseudo-esférica entre S e S é uma aplicação bijetora .e : S ~ tal que eo X e .e- 1 oX são diferenciáveis e são satisfeitas
s
260 as seguintes condições: a) para todo p E S, os pontos p a
p = R(p)
determinam uma tangente a S
s;
e b) a distância de p a p é igual a uma constante r que independe de p; c) o ângulo entre as retas normais de S e
e=!= o que independe de
S em
p e
p é igual a uma constante
p.
O teorema de Bãcklund, que veremos a seguir, mostra que congruências pseudo-esféricas só existem entre superfícies que têm a mesma curvatura gaussiana constante negativa (o que justifica a denominação de congruência pseudo-esférica). No Exercício 5 a seguir, damos um exemplo de superfícies relacionadas por uma congruência pseudo-esférica.
~----
3.5 Teorema de Bãcklund. Se R é uma congruência pseudo-esférica entre S e S, tal que a distância entre pontos correspondentes é igual à _ _c;onstante r e o ângulo entre as normais de pontos correspondentes é igual à constante e =!=O, então as supe-rficies têm curvatura gaussiana constante sen 2 e igual a - - - r2
Demonstração. Seja X(u, v) a superfície simples cujo traço é S. Consideremos ( ) _ f oX(it, v)-X(u, v) ei u, v - IRoX(u, v)-X(u, v)I º
Segue-se da definição de congruência pseudo-esférica que e 1 (u, v) é diferenciável e é tangente a X em (u, v), já que e1 (u, v) está na direção da reta determinada por X(u, v) e R(X(u, v)). Portanto, a partir de e1, podemos fixar um triedro móvel e1, e2, RoX(u, v) E S são dados por
e3
associado a X. Além disso, os pontos
X(u, v) =X(u, v) +r e1 (u, v).
(40)
261
Como e1 (u, v) ·é também tangente a
X
em (u, v), considerando o item c) da
definição de congruência pseudo-esférica, podemos associar a triedro móvel
X
o seguinte
(41) cos e e2 + sen e e3'
(42)
- sen e e2 + cos e e3.
(43)
Vamos denotar por m1 , mi, miJ (resp. iõ1 , iõi, iõu) as 1-formas associadas ao triedro e1, e2, e3 (resp. e 1, e2, e3) de X (resp. X). Considerando a diferencial de (40), temos
dX = dX +r dei. Portanto,
Por outro lado,
d.X = iõ1 e1 +iõi e2 = iõ1 e1 + iõi (cos e e2 + sen e e3)' onde a última igualdade decorre de (42). Comparando as duas expressões de
dX, obtemos iõ1
= m1,
iõi iõi
cos 8 =mi+ r W12, sen e = r
(013.
Dessas duas últimas equações, concluímos que
1 m12 = - - mi+cotge
r
W13.
(44)
262 Vamos calcular a curvatura gaussiana K de X, usando a equação de Gauss
d OJ12 = -úJ13 /\ úJ.23
-K OJ1 /\ úJ.2.
Segue-se de (44) e das equações de estrutura que dro12
=
1
d úJ.2 + cotgO d OJ13
r
1
- - ro1 /\ OJ12
r
OJ12 /\ (
+ cotge ro12 /\ úJ.23
~ OJ1 + cotgO úJ.23) •
Substituindo OJ12 pela expressão (44), obtemos
d úJ12 =
1
W1 /\ úJ.2
+ cotg2 8 úJ13 /\ úJ.23.
Portanto, usando a equação de Gauss, temos que
__-K
ro1 /\ úJ.2 = (
e concluímos que
K
:~ + cotg2 e K)
ro1 /\ úJ.2
sen 2 e
Analogamente, por simetria, obtemos que a curvatura gaussiana de sen 2 8
X é igual
a
o O teorema de.Bãcklund mostra que congruências pseudo-esféricas só existem entre superfícies de mesma curvatura gaussiana constante negativa. A princípio, poderia parecer que tais congruências são raras, devido às condições exigidas na definição. Entretanto, pode-se provar que, dada uma superfície X de curvatura gaussiana constante negativa, existe uma família a dois parâmetros de superfícies, relacionadas com X através de congruências pseudo-esféricas. Esse resultado geométrico clássico é chamado transformação de Bãcklund,
263
e pode ser utili.iado no estudo de certas equações diferenciais parciais nãolineares (ver, por exemplo, [18, 19]).
3.6 Exercícios 1) Seja X uma superfície parametrizada regular de curvatura média H e curvatura gaussiana K. Verifique que H e K satisfazem uma relação da forma
a+2bH+cK=O, onde a, b e e são constantes se, e só se, a superfície X é paralela a uma superfície mínima ou uma superfície de curvatura gaussiana constante. 2) Considere a superfície de rotação
X(u, v) =(a cosu cosv, a cosu senv,
fou yl-a2 sen2tdt),
onde < u < ~' v E IR, _e a é uma constante tal que O< a< 1. Seja ei, ez, e3 o triedro móvel associado a X_ tal que e 1 =Xu, e1 =
x;,
IXvl'
e3 = ei x ez.
a) Verifique que m1 = du,
fO:l = a cos u dv,
l012
acosu CO:l3
=
-a senu dv, v'l -a2 sen 2 u CO:l • a cosu
b) Usando a) prove que a superfície não tem pontos umbílicos e a cur1. vatura gaussiana K c) Obtenha as duas superfícies paralelas a X de curvatura média constante. 3) Considere o helicóide
X(u, v)
(v cosu, v senu, bu),
b>
o,
e a aplicação X(u, v) =X(u, v) +aN(u, v), onde N é o vetor normal a X e a é uma constante tal que O < a < b. Verifique que é uma superfície parametrizada regular cujas curvaturas K e fI satisfazem as seguintes relações: a O
-a
(Use o Exercício 3 da seção 6.7 do capítulo anterior). 4) Sejam X e X : U e IR.2 --+ IR.3 superfícies simples relacionadas por uma congruência pseudo-esférica. Considere w = dXq(V) um vetor tangente a X em q. Verifique que: a) Se w é uma direção assintótica de X, então w= dXq(V) é uma direção assintótica de X. b) Se w é uma direção principal de X, então w = dXq(V) é uma direçãQ principal de (Use Exercícios 5 e 8 da seção anterior). 5) Considere a pseudo-esfera descrita por X(u, v) = (sechu cosv, sechu senv, u-tghu), u >O, O< v < 2n, e a superfície
X =X +cos cotghuXu+ sen
!
onde ( u, v) é definida por cotg = -v sech u. Verifique que a aplicação /l, que, para cada X(u, v), associa X(u, v) f(X(u, v)), é uma congruência pseudo-esférica tal que a distância entre pontos correspondentes é igual a 1 e as retas normais em pontos correspondentes são ortogonais.
265
A pseudo-esfera descrita pela aplicação X do Exercício 5 pode ser visualizada na Figura 58, onde consideramos o domínio da função, -3 ~ u ~ 3 e O~ v ~ 21C. Observamos que a curva determinada por X(O, v) é formada por pontos de singularidade, isto é, pontos onde a superfície não é regular. A superfície descrita pela aplicação
X
do Exercício 5, também tem pontos
de sigularidade, e pode ser visualizada na Figura 59, onde consideramos o domínio da função -4, 5 ~ u ~ 4, 5 e -4, 5 ~ v ~ 4, 5.
Figura 58
Figura 59
O Exercício 5 fornece um exemplo de duas superfícies de mesma curvatura gaussiana constante negativa associadas por uma congruência pseudoesférica. Essas superfícies estão associadas por uma transformação de Bãcklund. O leitor interessado poderá se aprofundar no estudo dessa e de outras transformações entre superfícies que têni propriedades geométricas especiais em [18, 19].
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[18] TENENBLAT, K. Transformações de superficies e aplicações. 13° Colóquio Brasileiro de Matemática, IMPA, 1981. [19] TENENBLAT,.K. Transformations ofmanifolds and applications to differential equations. Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics 93, London: Addison Wesley Longman, 1998. [20] WILLMORE, T.J. An introduction to differential geometry. London: Oxford University Press, 1959.
Índice Alfabético Remissivo
ACOGEO, 212-216, 265 Contato Aplicação linear, 16 de curva e plano, 99 matriz associada, 17 de curvas, 97 Área, 142, 150 Co-referencial, 23 7 Bãcklund Curva teorema de, 260 assintótica, 193, 194, 214 transformação de, 262, 265 orientação de, 38, 57 Bonnet parametrizada, 28, 55 teorema de, 258 parâmetro de, 28, 55 Base, 4 pedal, 36 dual, 217 plana, 57, 72 ortonormal, 5 regular, 34, 57 Cardióide, 29, 49 reparametrização de 36, 40, 57 Catenária, 41 representação canônica, 79 Catenóide, 118, 131, 145, 172 traço de, 28, 55 ·-~------ehapeu-de-Scherlock, 169, -186 Curvas Ciclóide, 35 congruentes, 88, 95 Cilindro, 117, 145, 157, 164, 201 coordenadas, 111 Círculo osculador, 48, 98 de Bertrand, 96 Comprimento de arco, 38, 58 Curvatura, 61 Cone, 123, 137, 185 centro de, 48, 98, 101 Congruências pseudo-esféricas, 259, de curva plana, 43, 46 264 gaussiana, 163, 170, 172,208, Conjunto, 211, 246, 256, 260 aberto, 17 média, 163, 166, 170,246,256 compacto, 18 normal, 154, 161, 254 conexo, 18 raio de, 48, 98 fechado, 17 Curvaturas principais, 163, 167, 245 fecho de, 18 Derivada :fronteira de, 18 direcional, 20 limitado, 18 parcial, 20
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Difeomofisrrio, 24 Função Direção assintótica, 192 diferencial de, 21 Direções principais, 163 diferenciável, 13, 21 Elipsóide, 123, 180 injetora, 17 Epiciclóide, 35 limite de, 13, 18 sobrejetora, 17 Equações de Codazzi-Mainardi, 208, 210, vetorial, 12 247,249 Gauss compatibilidade, 208 aplicação normal de, 134 estrutura, 23 9 equação de, 207, 210, 247, 249 Gauss,207,210,247,249 teorema Egregium de, 208, 247 Esfera, 113, 127, 156, 163, 171, Geodésica, 195, 199-203, 216 196 Hélice, 74-78 osculatriz, 100 circular, 56, 202 Espaço dual, 217 Helicóide, 124, 140, 145, 171, 195 Espiral logarítmica, 41, 54 Hiperbolóide, 123, 172 Evoluta, 48, 51, 106 . Homeomorfismo, 19 Fecho, 18 Indicatriz esférica Fólio de Descartes, 36 binormal, 71 Formas de conexão, 237 tangente, 70 Formas diferenciais de grau 1, 218 Interior, 18 Involuta, 49, 105 diferencial exterior de, 226 linearmente independentes, 220 Isometria, 144 de R 3 , 82-88 produto exterior de, 223 Linha produto tensorial, 220 assintótica, 193, 194, 214 soma de, 219 de curvatura, 187, 190, 213 temo de, 229 Formas diferenciais de grau,f, 225 Matriz. associada a aplicação linear, 17 temo de, 230 jacobiana, 22 Fórmula posto de, 17 de Taylor, 15, 23 Orientação de bases, 6 de Euler, 164 Parabolóide Fórmulas de Frenet, 66 elítico, 112, 179 de curvas planas, 43 hiperbólico, 115, 125, 158, 169 Função Plano, 111 antípoda,82 normal, 63 bijetora, 17 osculador, 63, 71, 79 19 contínua, 13, retificante, 63 coordenada, 13
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Superfícies isométricas, 144 paralelas, 258 Teorema da função implícita, 25 da função inversa, 24 de Bãcklund, 260 de Bonnet, 25 8 Egregium de Gauss, 208, 247 fundamental das curvas, 52, 91 fundamental das superfícies, 209 Torção, 64, 79 Toro, 119, 143, 175,206,252 Transformação linear, 16 ortogonal, 83-85 Translação, 26, 82-85, 94 Tratriz, 35, 51, 172 Triedro de Frenet, 63 -·i~~-··-----·-.normal,42,62 móvel, 233 1 Rotação, 82 Vetor ! Seção normal da superfície, 155 binormal, 63 Segunda forma quadrática, 152, 242 normal, 62, 134 coeficientes da, 153 tangente à curva, 32, 57 Sela do macaco, 159, 212-216 tangente à superfície, 131 Símbolos de Christoffel, 197 Vetores Superfície ângulo entre, 5, 141 de rotação, 116, 131, 143, 152, linearmente dependentes, 2 172,239,263 linearmente independentes, 3 de Weingarten, 174 ortogonais, 5 mínima, 170, 173 principais, 163 parametrizada regular, 109 produto interno de, 5 parâmetros de, 109 produto misto de, 7 região da, 142 produto vetorial de, 6 reparametrização de, 126 Vizinhança, 17 simples, 144 tr~ço de, 109 1
Plano tangente, 132 Ponto de acumulação, 18 elítico, 175, 176 hiperbólico, 175, 176, 194, 205 interior, 18 parabólico, 175 planar, 175 umbílico, 179, 183 Posto de matriz, 17 Primeira forma quadrática, 138, 242 coeficientes da, 139 Pseudo-esfera, 172, 264 Referencial de Frenet, 42, 63 Regra da cadeia, 15, 23 Reta, 28 tangente, 34, 57
Introdução à geometria diferencial é um livro que introduz os conceitos básicos de geometria diferencial. A teoria local de curvas e de superfícies no espaço euclidiano é apresentada para estudantes que tenham completado os cursos básicos de cálculo diferencial e equações diferenciais ordinárias. Os conceitos e resultados fundamentais da teoria clássica de curvas e superfícies parametrizadas são dese!lvolvidos e ilustrados, por meio de vários exemplos e figuras, selecionados para estimular a percepção e a visualização dás propriedades geométricas. Além disso, cada seção inclui uma série de exercícios que permitem rever e fixar a teoria apresentada. O texto contém uma indicação de aplicações da computação gráfi~a para a visualização de alguns tópicos selecionados de geometria diferencial. O último capítulo introduz o método do triedro móvel como um método alternativo ao clássico, embora menos intuitivo, para o estudo local das superfícies e de suas propriedades.
Keti Tenenblat É professora emérita da Universidade de Brasília (UnB) e já foi membro do corpo docente da UFRJ. Concluiu a Licenciatura, o Mestrado e o Doutorado em Matemática pela Universidade Federal do Rio de janeiro (UFRJ), University of Michigan e IMPA, respectivamente. Atuou como professora visitante em diversas universidades brasileiras. e estrangeiras, sendo, inclusive, palestrante em um número considerável de conferências em universidades e congressos científicos nacionais e internacionais. É membro da Academia Brasileira de Ciências, do World Academy for Developping Countries (TWAS) e recebeu o Prêmio Nacional da.Ordem de Mérito Científico. Além disso, foi presidente da Sociedade Brasileira de Matemática (SBM), membro do Comitê de Matemática do Conselho Nacional de Ciêrida e Tecnologia (CNPq), representante da área de Matemática e coordenadora da Comissão de Avaliação dos programas junto à CAPES. Possui várias publicações, entre livros e artigos de pesquisa em diversos tópicos na área de Geometria Diferencial publicados em periódicos especializados internacionais. Hoje é também editora-chefe da revista Matemática Contemporânea, publicada pela SBM. ·
www.blucher.com.br ISBN 978-85-212-0467-1
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li
9 788521 204671
Blucher
