Lq q¨ + + Rq ˙ + + C 1 q = V = V ((t) −
L q
R V ( V (t)
V ( V (t) V (t) q (t) V ( V (t)
C
V ( V (t)
ENTRADA V (t )
q (t)
SISTEMA
SAÍDA q(t )
V (t)
q¨ 2
n
m di y dk x αi i = β k k dt dt i=0 k=0
αi
β k
x(t)
y(t)
n m
α1 ˙y + α0 y = β 1 ˙x + β 0 x
1 ˙ (β 1 ˙x + β 0 x y = α −
− α y) 0
t
t
0
y(t ˙ )dt = y(t)
− y(0) = α
y(t) = y(0) + α1
1
−
t
0
1
1
−
t
0
[β 1 ˙x(t ) + β 0 x(t )
[β 1 ˙x(t ) + β 0 x(t )
0
− α y(t )]dt 0
− α y(t )]dt
1
−
y(t) = y(0) + α1 [β 1 x(t) + β 0
t
0
x(t )dt
−α
0
t
0
y(t )dt ]
C 1
C 2
C 3
x(t)
t0 C 1
C 2
C 3 α1
1
−
C 3 y0
α2 y¨ + α1 ˙y + α0 y = β 2 x ¨ + β 1 ˙x + β 0 x
3y + ˙ 2y = x(0) = 0
−7x˙ + 4x
y(0) = 0
simulink
|++ |+-
y(t)
-7 Sine Wave
Integrator1
1/3
Gain3 1 s
Integrator Gain1
4 Gain2
Scope
Gain
2
1 s
-7
1/3
Sine Wave
Integrator1
Scope Gain
Gain3 1 s
Integrator Gain1
4
2
Gain2
plot plot(tout,y)
tout
1 s
x To Workspace1
-7
1/3
Sine Wave
Scope Gain
Gain3
Integrator1
1 s
Integrator Gain1
4
2
Gain2
arquivo = fopen('dados.txt','wt'); for i=1:length(y) fprintf(arquivo,'%f %f %f\n',tout(i),x(i),y(i)); end fclose(arquivo);
m k
m F (t) kx
−
d2 x = F (t) dt2
− kx
1 s
y To Workspace
m = k =
F
Step
To Workspace2
1 s
1 s
Integrator2
Integrator3
10 Gain2
1 Scope
Gain1 Integrator
Step1
1 s
x To Workspace
Integrator1
1 s
Gain 25
t
t + ∆t
t + ∆t ∆t ∆t = t =
1 2 1 mvma´x = kx 2ma´x 2 2
1,0
(a) l a n i s o d e d a d i s n e t n I
Sinal 1
0,5 0,0 1,0
(b)
Sinal 2
0,5 0,0 1,0
(c) Sinal 1 - Sinal 2
0,5 0,0 0
2
4
6
8
Tempo (s)
xma´x =
1 vma´x ω0
ω0 ω0 =
k = 5 rad/s m
vma´x F ∆t = mv ma´x ∆t =
F =
vma´x = xma´x =
±
T
≈
f
≈
10
0,2
(a)
0,1
0,0 -0,1 -0,2 10
(b)
8 6 4 2
I = F x ∆t = rea = 10 x 0,1 = 1 Ns
0 0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
Tempo (s)
plot(tout,[0.5*25*x.*x,0.5*25*v.*v,0.5*25*x.*x+0.5*25*v.*v)
2
x
2
x
x.*x
4,5
5,0
dados=fopen('dados.txt','wt'); for i=1:length(tout) K(i)=0.5*1.0*v(i)*v(i); U(i)=0.5*25*x(i)*x(i); fprintf(dados,'%f %f %f %f\n',tout(i),K(i),U(i),K(i)+U(i)); end fclose(dados);
F
Step
To Workspace2
10 Gain2
1 s
1 s
Integrator2
Integrator3
1 Scope
Gain1 Integrator
Step1
1 s
x To Workspace
Integrator1
1 s
Gain 25
U + K =
2
x
plot
du/dt
v
Derivative
To Workspace1
0,6 0,4 0,2 0,0
10
8 6 4 2
∆
0 0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
F To Workspace2
1 s
1 s
Integrator2
Integrator3
10 Repeating Sequence
Gain2
1 Scope
Gain1 Integrator
1 s
x To Workspace
Integrator1
1 s
Gain
du/dt
v
Derivative
To Workspace1
25
6,0
(a)
4,0 2,0
Emec = K + U U
K
0,0
(b)
0,5
0,0
-0,5
10,0 5,0 0,0
(c)
0
2
4
6
Tempo (s)
8
10
clc figure for i=1:length(tout) plot(x(i),0,'o','MarkerSize',40,'MarkerFaceColor','r'); axis([min(x),max(x),-2,2]); xlabel('Posição x (m)'); ylabel('Posição y (m)'); mov(i)=getframe(gcf); end movie2avi(mov,'myfirstmovie.avi','compression','None');
length(tout)
tout for plot
x(i) y(i)=0 'o' 'MarkerSize',40
'MarkerFaceColor' ,'r'
axis([x0,x,y0,y]) min(x) max(x) x
xlabel ylabel getframe
gcf mov(i)
movie2avi mov 'myfirstmovie.avi' 'compression','None'
movie2avi VideoWriter
2
2
1.5
1.5
1
1
0.5 ) m ( y o ã ç i s o P
0.5 ) m ( y o ã ç i s o P
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
-0.2
-0.1
s2 s3
0
0.1
0.2 Posição x (m)
0.3
0.4
0.5
-2
0.6
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2 Posição x (m)
0.4
0.5
0.6
s4 xi = s1
x5
0.3
x4
s5
x5 xi s1
x
s1
s4
y xi = D + xi = 2d + 4w
w
s2 s3
s4 w =
1 (D 4
h =
− 2d + x )
√
i
H 2
H
−w
2
h
H xi(ma´x) H min
D + xi(ma´x) = 2d + 4H min 1 H min = (D 4
− 2d + x
1 H min = C (D 4
´x) i(ma
− 2d + x
)
´x) i(ma
)
C D d s1
C xi
w
=
H min
s5
clc figure for i=1:length(tout) % Parâmetros de construção da mola D=1.5; % Comprimento total (m) d=0.5; % Comprimento dos conectores (m) C=1.2; % Fator de correção w=0.25*(D-2*d+x(i)); % Cateto horizontal de um segmento da espira H=C*0.25*(D-2*d+max(x));% Comprimento de um segmento da espira h=sqrt(H^2-w^2); % Cateto vertical de um cateto da espira % Coordenadas dos segmentos da mola x1=x(i)-d; y1=0; x2=x1-w; y2=-h; x3=x2-2*w; y3=h; x4=-D+d; y4=0; x5=-D; y5=0; % Representação gráfica da mola plot([x(i),x1],[0,0],'k','LineWidth',2); hold on; % s1 plot([x1,x2],[y1,y2],'k','LineWidth',2); % s2 plot([x2,x3],[y2,y3],'k','LineWidth',2); % s3 plot([x3,x4],[y3,y4],'k','LineWidth',2); % s4 plot([x4,x5],[y4,y5],'k','LineWidth',2); % s5 % Representação gráfica da partícula plot(x(i),0,'o','MarkerSize',40,'MarkerFaceColor','r'); hold off; % Definição dos eixos horizontal e vertical axis([-D,max(x),-2,2]); xlabel('Posição x (m)'); ylabel('Posição y (m)'); % Captura da imagem mov(i)=getframe(gcf); end % Conversão das imagens no filme movie2avi(mov,'mysecondmovie.avi','compression','None');
x x1 = x i d x2 = x 1 w x3 = x 2 2w x4 = D + d x5 = D
− − − − −
plot plot
y y1 = 0 y2 = h y3 = h y4 = 0 y5 = 0
−
plot plot hold on
hold all
plot
plot plot
hold off
s1
s3 2
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5 ) m ( y o ã ç i s o P
) m ( y o ã ç i s o P
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4 -0.2 Posição x (m)
0
0.2
0.4
0.6
-2
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4 -0.2 Posição x (m)
0
0.2
0.4
0.6
x4 D + xi = 2d + 8w w w = h
H
1 (D 8
− 2d + x ) i
x
y
x1 = x i d x2 = x 1 w x3 = x 2 2w x4 = x 3 2w x5 = x 4 2w x6 = D + d x7 = D
y1 = 0 y2 = h y3 = h y4 = h y5 = h y6 = 0 y7 = 0
− − − − − − −
− −
2
2
1.5
1.5
1
1
0.5 ) m ( y o ã ç i s o P
0.5 ) m ( y o ã ç i s o P
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4 -0.2 Posição x (m)
0
0.2
0.4
0.6
-2
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4 -0.2 Posição x (m)
0
0.2
0.4
n nw w =
1 (D 4n
− 2d + x ) i
num=10; % Número de espiras da mola plot([x(i),x(i)-d],[0,0],'k'); hold all; % Construção da n espiras for n=1:1:num; plot([x(i)-d-4*(n-1)*w,x(i)-d-w-4*(n-1)*w],[0,-h],'k',... [x(i)-d-w-4*(n-1)*w,x(i)-d-3*w-4*(n-1)*w],[-h,h],'k',... [x(i)-d-3*w-4*(n-1)*w,x(i)-d-4*w-4*(n-1)*w],[h,0],'k'); end plot([-D+d,-D],[0,0],'k');
0.6
clc figure for i=1:length(tout) % Parâmetros de construção da mola D=2.5; % Comprimento total d=0.5; % Comprimento dos conectores C=0.3; % Fator de correção num=10; % Números de espiras da mola w=(0.25/num)*(D-2*d+x(i)); % Cateto horizontal de um segmento H=C*0.25*(D-2*d+max(x)); % Comprimento de um segmento h=sqrt(H^2-w^2); % Cateto vertical de um segmento % Representação gráfica da mola plot([x(i),x(i)-d],[0,0],'k','LineWidth',2); hold all; % Construção de n espiras for n=1:1:num; plot([x(i)-d-4*(n-1)*w,x(i)-d-w-4*(n-1)*w],[0,-h],'k',... [x(i)-d-w-4*(n-1)*w,x(i)-d-3*w-4*(n-1)*w],[-h,h],'k',... [x(i)-d-3*w-4*(n-1)*w,x(i)-d-4*w-4*(n-1)*w],[h,0],'k',... 'LineWidth',2); end plot([-D+d,-D],[0,0],'k','LineWidth',2); % Representação gráfica da partícula plot(x(i),0,'o','MarkerSize',40,'MarkerFaceColor','r'); hold off; % Definição dos eixos horizontal e vertical axis([-D,max(x),-2,2]); xlabel('Posição x (m)'); ylabel('Posição y (m)'); % Captura da imagem mov(i)=getframe(gcf); end % Conversão das imagens no filme movie2avi(mov,'mygreatmovie.avi','compression','None');
w = H C min =
1 n C =
n =
C = C min =
n =
C>
1 n
2
2
1.5
1.5
1
1
0.5 ) m ( y o ã ç i s o P
0.5 ) m ( y o ã ç i s o P
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1
-1.5
-1.5
-2 -2.5
-2
-1.5
-1 Posição x (m)
-0.5
0
0.5
-2 -2.5
-2
-1.5
-1 Posição x (m)
-0.5
clc figure for i=1:length(tout)-1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Gráficos da força em função do tempo % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% subplot(2,1,1) k = 25; % Constante da mola % Gráficos plot([tout(i),tout(i+1)],[F(i),F(i+1)],'b'); hold all; plot([tout(i),tout(i+1)],[-k*x(i),-k*x(i+1)],'k'); % Formatação dos eixos axis([0,10,-20,10]); xlabel('Tempo (s)'); ylabel('Força (N)'); legend('Externa - F_{ext}','Elástica - F_e'); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Representação gráfica do sistema massa-mola % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% subplot(2,1,2) % Parâmetros de construção da mola D=2.5; % Comprimento total
0
0.5
d=0.5; % Comprimento dos conectores C=0.4; % Fator de correção num=15; % Números de espiras da mola w=(0.25/num)*(D-2*d+x(i)); % Cateto horizontal de um segmento H=C*0.25*(D-2*d+max(x)); % Comprimento de um segmento h=sqrt(H^2-w^2); % Cateto vertical de um segmento % Representação gráfica da mola plot([x(i),x(i)-d],[0,0],'k'); hold all; for n=1:1:num; plot([x(i)-d-4*(n-1)*w,x(i)-d-w-4*(n-1)*w],[0,-h],'k',... [x(i)-d-w-4*(n-1)*w,x(i)-d-3*w-4*(n-1)*w],[-h,h],'k',... [x(i)-d-3*w-4*(n-1)*w,x(i)-d-4*w-4*(n-1)*w],[h,0],'k'); end plot([-D+d,-D],[0,0],'k'); % Vetores de força % Força externa plot([x(i),x(i)+F(i)/max(F)],[0,0],'b','LineWidth',2); plot([x(i)+F(i)/max(F),x(i)+F(i)/max(F)*(1-0.1)],... [0,F(i)/max(F)*0.2],'b','LineWidth',2); plot([x(i)+F(i)/max(F),x(i)+F(i)/max(F)*(1-0.1)],... [0,-F(i)/max(F)*0.2],'b','LineWidth',2); text(x(i)+F(i)/(max(F)),0.5,'\fontsize{15} F_{ext}',... 'HorizontalAlignment','left','VerticalAlignment','middle',... 'Color','b'); % Força elástica plot([x(i),x(i)-k*x(i)/max(F)],[0,0],'k','LineWidth',2); plot([x(i)-k*x(i)/max(F),x(i)-k*x(i)/max(F)*(1-0.1)],... [0,k*x(i)/max(F)*0.2],'k','LineWidth',2); plot([x(i)-k*x(i)/max(F),x(i)-k*x(i)/max(F)*(1-0.1)],... [0,-k*x(i)/max(F)*0.2],'k','LineWidth',2); text(x(i)-k*x(i)/max(F),0.5,'\fontsize{15} F_e',... 'HorizontalAlignment','right','VerticalAlignment','middle'); % Representação gráfica da partícula plot(x(i),0,'o','MarkerSize',40,'MarkerFaceColor','r'); hold off; % Formatação dos eixos axis([-D,max(x)+1,-2,2]); xlabel('Posição x (m)'); ylabel('Posição y (m)'); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Captura da imagem % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% mov(i)=getframe(gcf); end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Conversão das imagens no filme % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% movie2avi(mov,'mybestmovieofalltime.avi','compression','None');
subplot(m,n,p) m
n
×
p
10
10 Externa - F ext
5 ) N ( a ç r o F
0
) N ( a ç r o F
-5
-10 -15 -20 0
Elástica - F e
0 -5
-10 -15
1
2
3
4
5 Tempo (s)
6
7
8
9
10
2
-20 0
1
2
3
4
5 Tempo (s)
6
7
8
9
10
2
1
1
) m ( y o ã 0 ç i s o P
Fe
) m ( y o ã 0 ç i s o P
Fext
-1
-2 -2.5
Externa - F ext
5
Elástica - Fe
Fe
Fext
-1
-2
-1.5
-1
-0.5 Posição x (m)
0
0.5
1
-2 -2.5
1.5
-2
-1.5
-1
-0.5 Posição x (m)
0
0.5
1
1.5
text(x,y,'Nome','HorizontalAlignment','left','VerticalAlignment',... 'middle','Color','b').
3
3
2 ) m 1 ( y o ã 0 ç i s o -1 p
2
F1
) m 1 ( y o ã 0 ç i s o -1 p
F2 p1
p2
-2 -3 -1.5
F1
F2
p1
p2
-2 -1
-0.5
0
0.5 1 posição x (m)
1.5
Partícula 1
2
2.5
3
-3 -1.5
Partícula 2
-1
-0.5
0
0.5 1 posição x (m)
Partícula 1
1
1.5
1
1 ) s / m 0.5 (
) s 0.5 / m (
1 ) s / m 0.5 (
) s 0.5 / m (
e 0 d a d i c -0.5 o l e -1 v
e 0 d a d i c o -0.5 l e v
e 0 d a d i c -0.5 o l e -1 v
e 0 d a d i c o -0.5 l e v
-1.5
-1
-1.5
-1
0 posição x (m)
0.5
1.2
1.4 1.6 posição x (m)
1.8
-2 -0.5
0 posição x (m)
2
2.5
3
Partícula 2
1.5
-2 -0.5
1.5
0.5
m = m roda + m pneu
1.2
1.4 1.6 posição x (m)
1.8
M = 41 M carro
1.8
1.07
1.8
1.07
1.06
1.06
) m (
1.6
) m (
1.6
1.05
1.2
o ã ç i s o P
M e d 1.04 o ã ç i s 1.03 o P
1.4
1.2
1.02
M ) m (
1.05
M e d 1.04 o ã ç i s 1.03 o P
1.4
1.02
1 0
5
0.8
10 Tempo (s)
15
20
o ã ç i s o P
0.6
0.6 m
) m (
M
1
0
0.6
0.2
0
3
3.2
3.4 3.6 Posição (m)
3.8
0
15
20
5
10 Tempo (s)
15
20
0.58
) m ( 0.56 m e d 0.54 o ã 0.52 ç i s o P 0.5
0.4
0.2
0
0.48 -0.2
10 Tempo (s)
0.6
m
0.58
) m ( 0.56 m e d 0.54 o ã 0.52 ç i s o P 0.5
0.4
5
0.8
0.48 5
10 Tempo (s)
15
20
-0.2
1 0.2
1 0.4 1 0.6 Posição (m)
1 0.8
11
0
m M