INTRODUCCIÓN En muchas ramas de las matemáticas y su aplicaciones, los cuerpos R y C juegan un rol fundamental. Desde algún tiempo atrás se ha venido estudiando las consecuencias de reemplazar en aquellas teorías, R ó C por un cuerpo valuado no-Arquimediano. Esta historia empezó en álgebra y teoría de números, cuando Hensel descubre los cuerpos p-ádicos en 1909, Kürschak introduce la noción general de valor absoluto sobre un cuerpo arbitrario en 1913 y Ostrowski clasi…ca los valores absolutos sobre el cuerpo de los números racionales Q en 1917. A partir partir de 1930 el análisis análisis p-ádico p-ádico empieza empieza a desarr desarroollarse con los trabajos de Schnirlermann acerca de la teoría básica de series de potencia y funciones analíticas p-ádicas. De 1940 en adelante, el análisis funcional p-ádico se ve fortalecido con los trabajos de Monna, Serre, Mahler, Van der Put, Dieudonné, etc. En el presente trabajo estudiaremos estudiaremos algunos aspectos del análisis p-ádico y del análisis funcional p-ádico, más precisamente, estudiaremos el espacio de Banach no-Arquimediano de las funciones continuas de…nidas sobre el anillo de los enteros p-ádicos Z p y probaremos que cada una de estas funciones tiene una representación representación canónica como una serie de funciones polinomiales, denominada base de Mahler. Con este objetivo hemos dividido el trabajo en cinco capítulos. En el primer capítulo introduciremos introduciremos el cuerpo de los números p-ádicos Q p y su anillo de enteros Z p y analizaremos algunas de sus propiedades algebraicas y topológicas. Los conceptos de continuidad y diferenciabilidad sobre Z p serán desarrollados desarrollados en el capítulo 2, allí estudiaremos estudiaremos sus analogías y diferencias diferencias con el análisis real. También demostraremos que toda función continua sobre Z p puede ser uniformente aproximada por una función localmente constante. La noción general de bases normales sobre espacios de Banach no-Arquimedianos será presentada en el capítulo 3. En el capítulo 4 exhibiremos explícitamentre una base normal (numerable) de el espacio de las funciones continuas p-ádicas, consistente en funciones continuas polinomiales, denominada base de Mahler, que además nos dará una versión p-ádica del teorema de Weierstrass (aproximación uniforme de funciones continuas por medio de polinomios). En el capítulo 1
5, como aplicaciones, caracterizaremos, usando los coe…cientes de Mahler, las funciones continuas sobre Z p que son diferenciables, diferenciables, estrictamente estrictamente diferenciables diferenciables y de Lipschitz, Lipschitz, respectivamente. Finalmente presentaremos otra base normal del espacio de las funciones continuas p-ádicas formada por funciones localmente constantes, llamada base de Van der Put, y su relación con la base de Mahler. Napoleón Caro Tuesta.
2
Capítulo 1 El Cuerpo Q p de los Números p-ádicos En este capítulo estudiaremos brevemente el valor absoluto p-ádico y la métrica pádica sobre el cuerpo de los números racionales Q, cuyo completamiento como espacio métrico dará origen al cuerpo Q p de los números p-ádicos. Analizaremos también algunas propiedades algebraicas y topológicas de Q p y presentaremos el anillo de los enteros p-ádicos Z p , objeto central de nuestro estudio.
1.1. 1.1.
Valore alores s Absol Absoluto utos. s.
De…nición 1.1.1
Sea Sea K un cuerpo. Un valor absoluto sobre K es una aplicación
j j : K ! R que satisface las siguientes condiciones:
j j 0 8 x 2 K.
(i) x
(ii) ii) x = 0
jj
, x = x = 0 3
(iii) iii) xy = x y
j j j j j j 8 x; y 2 K
(iv) iv) x + y + y
j
j jxj + jyj 8 x; y 2 K (Desigualdad Triangular)
Si j j es un valor absoluto sobre K, entonces se dice que el par (K ( K, jj) es un cuerpo valuado. Observaciones:
1) Un valor absoluto j j sobre K es llamado no-Arquimediano si cumple la condición (iv 0 ) x + y + y
j
j m m ax( a x(jxj ; jy j) 8 x; y 2 K (Desigualdad Triangular Fuerte)
( iv 0 ) implica (iv ( iv)), pero lo recíproco no es cierto en general como veremos Es claro que (iv
en el ejemplo 1.2. 2) Si un valor absoluto no cumple (iv0 ) será denominado Arquimediano. La proposición 1.1.1 justi…cará estas denominaciones. 3) Algunas propiedades simples de un valor absoluto j j que se deducen directamente de la de…nición son:
j1j = 1, jxj = 1 si x jxj = jxj ,
n
= 1 para algún n
x1 = x 1
jj
si
2 N, x6 =0
Ahora veamos algunos ejemplos: Ejemplo 1.1 Un ejemplo poco interesante de valor absoluto sobre cualquier cuerpo K es
j0j = 0 = 0 y j el denominado valor absoluto trivial y y que se de…ne como: jxj = 1 si x 6 Es fácil ver que se trata de un valor absoluto no-Arquimediano.
4
Ejemplo 1.2
Sea Sea K C cualquier subcuerpo del cuerpo de los números complejos C.
El valor absoluto usual sobre C restringido a K origina un valor absoluto sobre K. Este es Arquimediano pues:
j1 + 1j = 2 > 1 > 1 = j1j : Usaremos la notación j j1 cuando nos referimos al valor absoluto usual. Ejemplo 1.3 Para
an X n ( a0 ; : : : ; an
2 R [X ] dado por f f = a 0 + a1 X + X + + cualquier polinomio no nulo f 2
2 R a 6= 0) ponemos d (f ) f ) = n (el grado de f ). Si además de…nimos n
1 si f es el polinomio nulo, entonces (con las convenciones obvias sobre el 1) tenemos las siguientes reglas para d : símbolo formal 1 d (f ) f ) =
d (f + g) g )
max a x (d (f ) f ) ; d (g ))
d (f g)
=
d (f ) f ) + d + d (g )
2 R [X ] de…nimos: Sea Sea > 1 un número real. Para f 2 jf j =
8< :
d(f )
9= ;8
f; g
2 R [X ]
6= 0 si f 6
si f = 0:
0
A partir de las reglas para d se sigue que:
9 j j jjjj = 8 ; j j j jj j f + g fg
max ax ( f ; g )
=
También trivialmente: jf j 0
f g
f; g
2 R [X ]
8f 2 2 R [X ] y j jf j = 0 , f = 0:
En vista de que R [X ] no es un cuerpo, extendemos los anterior a su cuerpo de frac-
ciones R (X ), el cuerpo de las funciones racionales, del modo siguiente: 1
jsj = jf j jgj
,
= f g 1 ; f; g 2 R [X ] , g 6 = 0. donde s = f
j j es un valor absoluto no-Arquimediano sobre R (X ). Entonces j 5
Ejemplo 1.4
= 0, podemos escribir a = Sea Sea p un número primo en Z. Si a 2 Q y a 6
b k p ; donde k Z y (b; p) = (c; p) = 1: El entero k está unívocamente determinado c a: Si denotamos éste como V p p (a (a) y de…nimos V V p p (0) = , donde el símbolo formal por por a:
2
1 1 1 es usado con las convenciones: n + 1 = 1 8n 2 Z, 1 + 1 = 1, 1 > n 8n 2 Z; queda establecida una aplicación V : Q ! Z [f1g que satisface las siguientes propiedades: p
V (a (a) = 1 , a = a = 0 p
V (ab (ab)) = V (a (a) + V + V (b (b) 8a; b 2 Q p
p p
p
V (a (a + b + b)) m m{n {n (V (a (a) ; V (b (b)) 8a; b 2 Q p
p
p
La aplicación V p es llamada Valuación p-ádica :
2 R tal que 0 < < 1. Se de…ne el valor valor absoluto p-ádico (respecto a Ahora sea 2
) sobre Q como:
jj
p; p;
: Q a
!
R
8< :
7! jaj
p; p; =
V p (a) ; si a = 0
6
; si a = 0:
0
j j p; No es difícil ver que j p; es un valor absoluto en el sentido de la de…nición 1.1.1, que además cumple la desigualdad triangular fuerte:
ja + b + bj m m ax a x p; p;
j j j j
a p; p; ; b p; p; :
En consecuencia es no-Arquimediano. Un resultado que necesitaremos más adelante es el siguiente: Proposición 1.1.1
Sea Sea a 2 N escrito en base p
a = a = a 0 + a + a1 p + p + ::: ::: + + a as ps
(as = 0 s
6
6
2 N [ f0g)
y s (a) =
P s
ai la suma de sus dígitos. Entonces la valuación p-ádica de a! (el factorial
i=0
de a) está dado por V p (a (a!) =
a
s (a) p 1
Prueba.
(a!) es el mayor exponente de p que …gura en la factorización de a! Sabemos que V p (a
De la teoría de números se tiene: V p (a (a!) =
a p
a p2
+
+ ::: + ::: +
a ps
pero
a p a p2 a
ps1 a ps
= a1 + a + a2 p + p + ::: ::: + + a as1 ps2 + as ps1 = a2 + a + a3 p + p + ::: ::: + + a as ps2 = as1 + pa + pas = as
Así a = a0 + p + p
a p
a
ps1 a ps
= a1 + p + p
.. .
= as1 + p + p = as
7
a p a p2
a ps
sumando ambos miembros: a + V + V p (a (a!) = s (a) + pV + pV p (a (a!)
de donde V p (a (a!) =
Observación: La
a
s (a) . p 1
propiedad Arquimediana de los números reales establece que el con-
junto de los números números naturales naturales no es acotado. En el caso no-Arquimedian no-Arquimedianoo ocurre lo contrario, más precisamente tenemos la siguiente: Proposición 1.1.2 Un
valor absoluto j j sobre un cuerpo K es no-Arquimediano si y
jn;1 n;1j 1 8 n 2 Z: sólo si j Prueba:
Una elegante demostración elaborada por Artin se puede encontrar en [6] , pág 541. Proposición 1.1.3
jaj =6 jbj, entonces:
Sea Sea j j j un valor absoluto no-Arquimediano sobre K. Si a; b 2 K y
ja + b + bj = m = max a x (jaj ; jbj) : Prueba.
Supongamos sin pérdida de generalidad que jaj < jbj. Luego
ja + b + bj m m ax a x (jaj ; jbj) = jbj : De otro lado:
jbj = j(a + b + b)) + ( a)j m m ax a x (ja + b + bj ; jaj) : Pero jaj = jaj, entonces
jbj m m ax a x (ja + b + bj ; jaj) 8
y como jbj > jaj necesariamente jbj ja + b + bj : Observaciones:
1) El enunciado de la proposición 1.1.2 es conocido como el “Principio del Triángulo Isósceles”. 2) Esto no debería ser sorprendente en el caso del valor absoluto j j p; p; sobre Q, pues lo que dice es que si dos números racionales (enteros) son divisibles por diferentes
potencias de p, entonces su suma es divisible precisamente por la menor potencia de p:
1.2. 1.2.
Mét étri rica ca indu induci cida da por un val valor or abso absolu luto to..
Si j j es un valor absoluto sobre K , la aplicación d :
K
K ! 7! (a; b)
R d (a; b) = a
j bj
claramente de…ne una métrica sobre K, que lo convierte en un cuerpo topológico, es decir, las operaciones que de…nen la estructura algebraica de K son continuas. Si j j es un valor absoluto no-Arquimediano sobre K, la distancia d (a; b) = ja bj
satisface las siguiente propiedad: d (a; c)
m m ax a x (d (a; b) ; d (b; c)) 8a;b;c 2 K
conocida como desigualdad de ultramétrica. De lo anterior se deduce entonces que (Q; d1) y (Q; d p; ) son cuerpos topológicos (para cada primo p ), donde: d1 (a; (a; b) = a
j bj (a; (a; b) = ja bj
1
d p;
p; p;
(métrica (métrica usual) (métrica (métrica p-ádica p-ádica respecto a ). 9
Con el objetivo de comparar las topologías de…nidas sobre Q por estas métricas, tenemos la siguiente: De…nición 1.2.1 Sean
j j j y j j j dos valores absolutos sobre K. Diremos que j j j y j j j 1
2
1
2
son equivalentes si ellos inducen la misma topología sobre K. Una caracterización se debe a la siguiente: Proposición 1.2.1 Sean
j j j y j j j dos valores absolutos sobre K j j y j j j son K . Entonces j 1
2
1
2
9 > 0 tal que equivalentes si y sólo si 9 jxj
1
= ( x 2 )
jj
8 x 2 K.
Prueba.
Ver por ejemplo [1] ; pág 35. Corolario 1.2.1 Sean ;
2 R tales que 0 < ; ; < 1 y p un número primo en Z. j j y j j j inducen la misma topología sobre Q. Entonces los valores absolutos j p; p;
p; p;
Prueba.
Ln ( ) = > 0 se tiene que a p; Tomando = p; = Ln ( )
j j Luego, según la proposición 1.2.1 j j y j j p; p;
p; p;
j j a p; p;
8a 2 Q.
son equivalentes.
1 p
De ahora en adelante trabajaremos con = : En consecuencia, el valor absoluto pádico (normalizado) y la métrica p-ádica (normalizada) sobre Q serán respectivamente:
jaj
p p
=
d p (a; (a; b) =
8< :
pV p (a)
, si a 6 =0
, si a = 0
0
a
2Q
ja bj 8a; b 2 Q p p
Ya sabemos que Q es un espacio métrico con la distancia inducida por el valor absoluto p-ádico, en este contexto, tiene sentido hablar de convergencia de sucesiones, sucesiones de Cauchy, etc. Examinemos algunos ejemplos que nos permitan cumplir con el objetivo planteado antes de la de…nición 1.2.1. 10
Ejemplo 1.5 La
= p n es nula (o in…nitesimal) en (Q; d p ). sucesión an = p
En efecto:
(an ) = n , se tiene que Como V p (a
ja j = p = p n p p
n
=
1 pn
! 0 , si n ! 1:
( Q; d1 ) : Sin embargo es evidente que esta sucesión no converge en (Q Ejemplo 1.6 La
embargo bn !
1
1
+ p p + p p 2 + + p n1 no converge en (Q; d1 ) : Sin sucesión bn = 1 + p +
p en (Q; d ). En efecto: p
bn
1
1
p
p p
= 1 + p + p + + p p2 + 1 pn = 1 p
+ pn1 1
1
p
p p
1
1
p
p p
pn = 1 p p p 1 = n 0 . p
!
1 2
Por ejemplo para p = 3, 1 + 3 + 32 + + 3n1 ! , si n ! 1 Observación: Los ejemplos anteriores muestran que
j j y j j p p
1
no son equivalentes.
( Q; d p ) y (Q ( Q; dq ), donde p y q son ¿Y que hay de (Q son dos primos diferentes? Ejemplo 1.7
j j p p y j j jq fuesen equivalentes, debe existir > 0 tal que Si j jxj
p p
=
j j xq
8 x 2 Q.
(*)
( Q; d p ) ; an ! 0: 0 : Considérese la sucesión a n = p n. Ya vimos en el ejemplo 1 que en (Q
Por (*) es claro que también en (Q; dq ) ; an ! 0. Sin embargo: n
ja j = j p p j n q
q
11
=1
! 1
(¡Contradicción!). En conclusión: Si p = q , entonces
j j no es equivalente a j j :
6
p p
q
La pregunta natural que surge es ¿Existirán otros valores absolutos no triviales sobre Q; que no son equivalentes al usual y al p-ádico (para cada primo p )?.
El siguiente teorema debido a Ostrowski da una respuesta negativa Proposición 1.2.2 (Ostrowski)Todo
valor absoluto no trivial sobre Q es equivalente a
j j para algún primo p ó al valor absoluto usual j j j
1 :
p p
Prueba.
Consultar [7], pág 3. Observaciones:
1) Recordemos que en cualquier espacio métrico toda sucesión convergente es una sucesión de Cauchy. Aquellos espacios donde la proposición recíproca es cierta, son los denominados Espacios Métricos Completos. 2) Bien sabido es que (Q ( Q; d1 ) no es completo, por ejemplo la sucesión a1 = 1; a2 = 1; 4; a3 = 1; 41; 41; a4 = 1; 414::: 414:::
es de Cauchy, pero no es convergente en Q. La pregunta natural es entonces: ¿Qué ocurre con (Q ( Q; d p )? Veamos el siguiente: Ejemplo 1.8 Para p = p = 5 podemos podemos construir inductivamente
(an ) de números una sucesión (a
enteros tales que a2n + 1
n
0m 0 mod od (5 )
od (5n ) y an+1 a n mod
como sigue:
12
Elegimos a1 = 2. Supóngase que para n 1 hemos hallado an tal que a2n + 1
n
0m 0 mod od (5 ) :
b 5n , para algún b 2 Z (que Necesitamos an+1 , dicho entero debe cumplir an+1 = an + b5
debemos encontrar). encontrar).
+ b55n)2 + 1 0m 0 mod od (5n+1), osea Requerimos que (an + b 2
2 2n
n
an + 1 + 2a 2an b5 + b 5
0m 0 mod od
5n+1 :
od (5n ), sólo necesitamos hallar b 2 Z tal que 2an :b + :b + c c 0mod od (5), Como a2n + 1 0mod
a2n + 1 donde c = . Como 5 - 2an , dicho b existe. la sucesión (an ) así construida es 5n n; am an mod od (5n) : Pero (an ) no puede ser de Cauchy en (Q; d5 ), pues para m
convergente en Q, de otro modo, si a ! a en (Q; d ), entonces a + 1 ! a + 1 . Pero ja + 1j 51 ! 0. Así a a + 1 = 0 2 Q lo cual es imposible. En consecuencia (Q; d ) no 5
n
2
n
2
n
2
5
2
5
n
es completo.
Más generalmente tenemos la siguiente: Proposición 1.2.3 (Q; d p ) no es completo en relación a ninguna de la métricas p-ádicas. Prueba:
Consultar [5], pág 29. Es necesario entonces, construir construir un cuerpo que extienda Q y el valor absoluto p-ádico, de modo que éste sea completo con la métrica inducida.
1.3.
El Cuerpo Q p de los números p-ádicos.
De…nición 1.3.1
Sea Sea F y K dos cuerpos con valores absolutos j j1 y j j2 ; respectivamente.
( K; j j2 ) es una completación de (F ( F; j j1 ) si se satisfacen las siguientes condiDiremos que (K
ciones:
13
(i) Existe una inyección i : F
! K tal que j ji (a)j = jaj 8 a 2 F 2
(ii) ii) K es completo con respecto a
1
j j j : 2
(iii) iii) i (F) es denso en K con respecto a la métrica inducida por
j j j :
(K; Proposición 1.3.1 Sean (K
2
j j ) y (L (L; j j ) dos completaciones del cuerpo valuado (F (F; j j ) ii)) de la de…nición antecon inyecciones i : F ! K y j : F ! L (que satisfacen (i) y (ii) rior), respectivamente. Entonces (K; j j ) y (L; j j ) son isomorfos en el siguiente sentido: Existe un isomor…smo algebraico : K ! L tal que i = j que además cumple j (x)j = jxj 8x 2 K. 2
3
1
2
3
3
2
Prueba:
Ver [11], pág 15. Observación: En
el sentido de la proposición anterior, una completación (si existe) es
única. En realidad es posible probar que todo cuerpo valuado valuado tiene una completación, completación, sin embargo, como nuestro interés radica en la métrica p-ádica, sólo haremos un bosquejo ( Q; d p ) de la completación de (Q Proposición 1.3.2 El
siguiente conjunto:
C = (xn )/ (xn ) es una sucesión de Cauchy en (Q; d p )
f
g
dotado de las operaciones: (xn) + (y ( yn) = (xn + y + yn ) (xn ) (yn) = (xn yn )
tiene estructura de anillo conmutativo con unidad. Prueba:
Ver por ejemplo [3] ; pág 9
14
Proposición 1.3.3 El
conjunto
! 0 en (Q; d )g
N = (xn ) C / C / xn
f
2
p
es un ideal maximal de C: Prueba:
Ver por ejemplo [3], pág 10 C Gracias a la proposición anterior, el anillo cociente N es un cuerpo.
De…nición 1.3.2 El
cuerpo
denotado por Q p :
C será llamado Cuerpo de los números p-ádicos y será N
[( an )] donde (a ( an ) es una Cada elemento de Q p es por tanto una clase de equivalencia [(a ( Q; d p ) : sucesión de Cauchy en (Q
A continuación dotaremos de un valor absoluto a Q p . Proposición 1.3.4 La
siguiente aplicación
j j :
Q p [(a [(an)]
! R 7! lm ja j n!1
n p p
de…ne un valor absoluto no-Arquimediano sobre Q p tal que n
jQ j = jQj = f p p
p p
: n
2 Zg
Prueba:
Ver por ejemplo [3], pág 11 Ahora no es difícil probar la siguiente: Proposición 1.3.5 Q p con
j j
completación de Q;
p p
el valor absoluto introducido en la proposición 1.3.4 es una
:
15
Prueba:
Ver por ejemplo [3], pág 12. Observación: El valor absoluto presentado en la proposición 1.3.4 seguirá siendo deno-
tado por j j p p , en vista que extiende el valor absoluto p-ádico de Q.
Prop Propied iedad ades es Algeb Algebra raica icas s de Q p
1.4. 1.4.
Proposición 1.4.1 El
conjunto
n2
o j j
Z p = x
Q p / x p p
1
es un dominio de integridad, cuyo cuerpo de fracciones es Q p : Prueba:
Ver por ejemplo [3], pág 13. De…nición 1.4.1 El
anillo de los los ente enter ros dominio de integridad Z p será llamado anillo
p ádicos.
Proposición 1.4.2 El
anillo de los enteros p-ádicos Z p es un anillo local cuyo único
ideal maximal es
n 2
pZ pZ p = x
Además de eso:
o
Q p / x p p < 1 < 1 :
jj
(i) El cuerpo pZZpp es isomorfo al cuerpo F p (El cuerpo de los enteros residuales residuales módulo p) (ii) ii) Q
\Z
p
= Z( p) =
2 a b
Q = ( p; b) = 1 (El anillo de fracciones de Z con respecto al
conjunto multiplicativo Zn h pi, es decir, la localización de Z en el ideal primo h pi). Prueba:
Ver por ejemplo [3], pág 14. 16
De…nición 1.4.2 El
cuerpo pZZ será llamado cuerpo residual de de Q p : p
p
Proposición 1.4.3 El
anillo de los enteros p-ádicos Z p es un dominio de ideales prin-
cipales, más precisamente sus ideales son los ideales principales
h0i y p Z k
p
n2
= x
Q p / x p p
j j p
Más aún: Z p
2
pZ p Z p Z p
\
p
k
o
( k 2 N):
pk Z p = 0
hi
k2N
Prueba:
Consultar [10], pág 6.
1.5. 1.5.
Topol opolog ogía ía de Q p
Ya sabemos que el valor absoluto j j p p induce una métrica sobre Q p .
Sea a 2 Q p y r > 0 un número real. De…nición 1.5.1 La
bola abierta de centro a y radio r es el conjunto
n 2
Br (a (a) = x
Q p tal que x
j aj < r p p
o
:
La bola cerrada de centro a y radio r es el conjunto
n2
Br [a [a] = x
o j j
Q p tal que x
a p p
r :
Observación: Usando este lenguaje observamos que el anillo de los enteros p-ádicos Z p
es la bola cerrada de centro 0 y radio 1, en tanto que su único ideal maximal pZ p es la bola abierta de.centro 0 y radio 1 .
17
Proposición 1.5.1 En
el espacio métrico Q p se cumplen las siguientes propiedades:
(i) Si b B r (a (a), entonces Br (a (a) = B r (b (b) :
2
(ii) ii) Si b B r [a [a], entonces Br [a [a] = B r [b [b] :
2
(iii) iii) El conjunto Br (a (a) es abierto y cerrado en la métrica inducida por
j j j :
(iv) iv) El conjunto Br [a [a] es abierto y cerrado en la métrica inducida por
p p
j j j : p p
Prueba:
Ver [5] , pág 19. Observaciones:
1) Las propiedades i) y ii) nos dicen que cualquier punto de la respectiva bola actúa como “centro” de la misma. 2) Las propiedades iii) y iv) garantizan la existencia de subconjuntos de Q p que son simultáneamente abiertos y cerrados. Proposición 1.5.2 La topología
Q p es ceroinducida por el valor absoluto p-ádico sobre Q
dimensional, es decir, tiene una base formada por conjuntos simultáneamente abiertos y cerrados. Más aún, es totalmente disconexa, osea, la componente conexa de cualquier punto x 2 Q p es el conjunto unitario fxg : Prueba:
Ver [5] , pág 21. Observaciones:
1. En realidad las proposiciones proposiciones anteriores anteriores se cumplen cumplen debido a que j j p p es noArquimediano, así que cualquier cuerpo no-Arquimediano no-Arquimediano (o Ultramétrico) Ultramétrico) tiene las mismas mismas propiedades. 18
2. Sabemos que todo número entero n 1 admite un desarrollo en base p n = a = a 0 + a + a1 p + p +
t
+ a p ; t
0
a
i
< p;
at = 0 :
6
Las siguientes proposiciones mostrarán que todo número p-ádico admite un “desarrollo in…nito” en base p y que de hecho N es denso en Z p . Proposición 1.5.3 (Desarrollo de Hensel)
(i) Todo número p-ádico x
gente en Q p : x =
X
2 Q admite un desarrollo único en forma de serie conver p
ara algú algún n n0 xn pn , para
nn0
2 Z; donde x 2 Z n
y 0 x n < p
8n n : 0
jxj p p = pn0 . más aún j (ii) ii) El anillo de los enteros p-ádicos Z p es igual al conjunto de las series de la forma: x =
X
xn pn
n0
Prueba:
Ver por ejemplo [4], pág 12. Proposición 1.5.4 N es denso en Z p . Prueba:
Ver [4] , pág 13. Proposición 1.5.5 Z p es compacto. En consecuencia Q p es localmente compacto. Prueba:
Ver [4] , pág 14. 19
Capítulo 2 Continuidad y Diferenciabilidad sobre Z p Una propiedad básica de las funciones continuas en el análisis p-ádico es que ellas pueden ser aproximada aproximadass uniformemen uniformemente te por funciones localmente constantes. Estudiaremos con cierto detalle este hecho. También presentaremos la noción de funciones diferenciables y de funciones estrictamente diferenciables, estas últimas en analogía, con las funciones de clase C 1 del análisis real.
2.1. 2.1.
Fun uncio cione nes s Con Contin tinua uas s sobr sobre e Z p:
De…nición 2.1.1 Una
f : Z p ! Q p es llamada continua continua en el punto a 2 Z p ; función f
8 " > 0 9 > 0 tal que x 2 Z p y j jx aj p p < implica jf (x ( x) f (a ( a)j p p < ": si 8 implica que j
Si f es continua en todo punto a de Z p, diremos que f es continua sobre Z p . Ejemplo 2.1 Para
cada c 2 Q p, la función f c : Z p x
! 7! 20
Q p f c (x (x) = c
de…ne una función continua sobre Z p : Estas son las denominadas funciones constantes. Ejemplo 2.2
sobre Z p .
( x) = xn es continua Sea Sea n 2 N. La función f : Z p ! Q p de…nida por f (x
En efecto: Sea a
Entonces: 2 Z . Primero supongamos que a 6= 0. Entonces: p
n
n
n1
n2
jf (x ( x) f (a ( a)j = jx a j = jx aj jx + x a + ::: + ::: + + xa xa jx aj max jaj a x jxj p p
p p
p p
p p
0kn1
nk p
k p
n2
+ an1 p p
j
(*)
Luego si jx aj p p < jaj p p, se tiene que jxj p p = jaj p p (principio del “triangulo isósceles”).
Entonces
max a x
0kn1
Por tanto, en (*)
j j j j
x pnk a pk = a pn :
jj
n p
jf (x ( x) f (a ( a)j jaj jx aj p p
En consecuencia: Dado " > 0;
jx aj
p p
< implica implica que xn
n
j a j
p p
9 = m{n {n
implica que jxn j = jxjn < ": que
j j ! a p p ;
< ":
Si a = 0. Dado " > 0 podemos tomar =
Ejemplo 2.3 Para
p p
p p
xm pm
m0
> 0 tal que si x
2Z
p
y
p " > 0. De este modo si x 2 Z y jxj < n
p
= x
n p
j yj
En efecto:
P
jj
cada n 2 N , podemos de…nir una función continua f : Z p ! Q p tal
jf (x ( x) f (y ( y )j Para x = x =
" a pn
2 Z . Ponemos p
f (x ( x) =
X
m0
21
xm pnm
8 x; y 2 Z : p
Para probar que f satisface lo requerido, supongamos que x =
X
xm p
m
; y =
m0
X
ym pm
m0
= y y j x yj p p = p j para algún j son elementos de Z p tales que x 6
Entonces
2 f0; 1; 2;:::g.
x0 = y 0 ; x1 = y = y 1;:::;x j 1 = y j 1 y x j = y j
6
Luego
jf (x (x) f (y ( y )j = p = p
nj
p p
:
Así
jf (x ( x) f (y (y )j
p p
= x
n p
j yj :
De otro lado, sea a 2 Z p y " > 0. Entonces existe =
jx aj
p p
implica que < implica
jf (x ( x) f (a ( a)j
p p
= x
n p
j aj
p " > 0 tal que si x 2 Z n
p
y
< n = ":
En consecuencia consecuencia f es continua sobre Z p : Observaciones:
1. En el ejemplo 3, hemos usado el desarrollo de Hensel de un entero p-ádico. 2. Una manera de construir más ejemplos de funciones continuas sobre Z p nos da la siguiente:
22
Proposición 2.1.1 Sean f; g : Z p
! Q funciones continuas y c 2 Q . Entonces las p
p
g; cf y f:g son continuas sobre Z p : funciones funciones (de…nidas (de…nidas puntualmente puntualmente)) f + g; = 0 8 x 2 Z p ; f g también es continua sobre Z p : Si además g (x) 6 Prueba:
La demostración es similar al caso real. Observaciones:
1. Como consecuencia de los ejemplos 1) y 2) y de la proposición anterior se deduce que toda función polinomial f (x ( x) = a 0 + a + a1 x + ::: + ::: + + a an xn; n
2 N; a 2 Q ; x 2 Z j
p
p
de…ne una función continua sobre Z p : 2. Si denotamos con C (Z p ! Q p ) el espacio de las funciones continuas sobre Z p , la
proposición anterior anterior muestra muestra que de hecho C (Z p ! Q p ) es un Q p-espacio vectorial.
3. A continuación veremos otro modo de construir más funciones continuas sobre Z p :
2.2. 2.2.
Inter In terpola polació ción n p-ád p-ádica ica..
De…nición 2.2.1
Sea Sea n 7! an (n 2 N) una sucesión en Q p. Diremos que ésta puede
interpolada (p-ádicamente) (p-ádicamente) si existe f : Z p ! Q p una función continua tal que ser interpolada f (n ( n) = a n
8 n 2 N.
Observaciones
1. Como N es denso en Z p ; el cual es compacto compacto (proposicio (proposiciones nes 1.5.4 y 1.5.5 respecrespectivamente) y Q p es un espacio métrico completo, podemos utilizar la proposición 10 del capítulo 7 .de [8], pág 177 para concluir que: n 7! a n puede ser interpolada 23
si y sólo si n 7! an es uniformemente continua en N (N con la métrica p-ádica). Además Además dicha extensión f es única.
2. La observación anterior puede enunciarse así: Una sucesión a1 ; a2 ;::: en Q p puede ser interpolada si y sólo si 8 " > 0; 0 ; 9 n 0 2 N tal que jn mj p p p n0 implica que
< ": . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( * )
ja a j n
m p p
En realidad no es necesario considerar todos los enteros enteros positivos n, m para los cuales
jn mj p p p
n0
, es su…ciente su…ciente comprobar comprobar (*) sólo para n, m que di…eren por una potencia p otencia
grande de p: Más precisamente tenemos el siguiente resultado: Proposición 2.2.1 Sean a1 , a2 ,::: una sucesión en Q p .
sólo si para cada " > 0
9 n 2 N / n = m = m + + p p 0
n0
Ésta puede ser interpolada si y
jan amj p p < " .. .. .. . (**) implica que j
Prueba:
Si n 7! an es uniformente continua, entonces para cualquier " > 0 existe n0
2N
para el cual se cumple (*). En particular si n = m + p + p n0 , desde que ésto implica que n0
jn mj = j p p j = p = p p p
p p
n0
.
Ahora veamos que la condición (**) implica la continuidad uniforme de n 7! a n. En
efecto: Dado " > 0, existe n0 2 N para el cual se veri…ca (**). Sean n; m 2 N tales que
jn mj p . Entonces n m es divisible por p b 2 N. Entonces a a a = a p p
n0
n0
+ bp n0 para algún luego n = m + bp
b
n
m
X
m+ jp
n0
m+( j 1) pn0
j =1
:
La condición (**) implica que el valor absoluto p-ádico de cada uno de los sumandos es menor que " . Por la desigualdad triangular fuerte se concluye que jan amj p p < ": Observación: En
algún sentido, que una sucesión n
7!
an sea de Cauchy es una
propiedad opuesta a la continuidad uniforme de ésta. De hecho es posible probar que si n 7! an es una sucesión de Cauchy no constante de números p-ádicos, ésta no puede
ser interpolada (Ver [11], pág 99).
24
Ahora veamos algunos ejemplos: Ejemplo 2.4 Para
cada j 2 N, la sucesión 1 j ; 2 j ; 3 j ;::: puede ser interpolada.
En efecto: Sean n; m
2 N, entonces
j
j
n
m
p p
j j j j j j j j j j =
n
m p p n j 1 + n j 2m + ::: + ::: + + nm nm j 2 + m j 1 p p
n
m p p max a x
n j pk m pk
1k j 1
n
m p p :
Lo que prueba que n 7! n j es uniformemente continua. La a…rmación se sigue entonces
de la observación 1. Ejemplo 2.5 La
n 7! ( 1)n puede ser interpolada si y sólo si p = p = 2. En efecto: sucesión n
n = m m + + 2 n0 , entonces Si p = 2 y n; m 2 N son tales que n = n
m
j(1) (1) j = 2
( 1)
m+2n0
(1)
m
2
m
= ( 1)
j
j 2
( 1)
2n0
1 = 0 < " 2
( 1)n puede ser interpolada. (n0 2 N puede ser tomado de manera arbitrario). Así (
= 2, entonces p es impar. Luego si n; m 2 N son Recíprocamente, Recíprocamente, supongamos supongamos que p 6
= m + + 2n0 (n0 2 N es cualquiera) entonces: tales que n = m n
m
j(1) (1) j
p p
= ( 1)
j
m
j p p
pn0
( 1)
De este modo (1)n no puede ser interpolada. Ejemplo 2.6
1
p p
= 2 p p = 1:
jj
Sea Sea a 2 Q p. Entonces la sucesión: 1; a ; a2 ;::: puede ser interpolada si y
ja 1j p p < 1: 1 : sólo si a 2 B 1 (1), es decir, si y sólo si j
Denotaremos con ax (x 2 Z p ; a 2 B 1 (1)) la (única) función que extiende continua-
mente la sucesión mencionada a Z p . Dicha función cumple las siguientes propiedades:
25
Para x; y 2 Z p : ax
2
B1 (1)
ax+y = ax ay ax = (ax )1
(Para los detalles, ver [11], pág 101). Ejemplo 2.7
2 C (Z p ! Q p). La sucesión n n 7! an de…nida por a a0 = 0 y an = f 2 Sea Sea f
claramente satisface la siguiente relación: an+1
P
n1
f ( j ( j)) ;
j =0
a = f 8n 0 = f (n (n) n
a0 = 0 n 7! a n puede ser interUtilizando la proposición 2.2.1 , es posible probar que la sucesión n
polada p-ádicamente, cuya (única) extensión continua a Z p, denotada por Sf : Z p ! Q p es solución de la ecuación funcional
Sf : (x + 1)
Sf (x ( x) = f (x (x) ; 8x 2 Z : p
Más aún es la única solución. Todo ésto podemos resumirlo en la siguiente: Proposición 2.2.2
C (Z ! Q ) tal que p
Sea Sea f
2 C (Z ! Q ). Entonces existe una única función Sf 2 p
p
p
Sf : (x + 1)
Sf (x ( x)
= f (x ( x) ;
Sf (0) = 0: Suma Inde…nida de f . Dicha función será llamada Suma
26
8x 2 Z
p
n
Prueba:
Consultar [11], pág 105. Observación: En el capítulo 4: 4: calcularemos calcularemos los coe…cien co e…cientes tes y
el desarrollo de Mahler de
Sf en términos de los coe…cientes de Mahler de f , lo que nos permitirá abordar algunos
ejemplos.
2.3.
Func uncione iones s Localmen Localmente te Constan Constantes. tes.
De…nición 2.3.1 Una
función f : Z p ! Q p es llamada localmente constante si para
x 2 Z p existe U U x un entorno abierto de x x tal que su restricción a U U x \Z p es constante. cada x
Es claro que toda función localmente constante de f : Z p ! Q p es continua.
En análisis real, el concepto de función localmente constante es de poco interés, pues no existen muchas de ellas, excepto las constantes. Este es el caso cuando dichas funciones estan de…nidad sobre intervalos. En el caso p-ádico, la situación es diferente como lo muestran los siguientes ejemplos: Ejemplo 2.8
U = B r (0) donde 0 < r < 1 . Entonces la función característica de U , Sea Sea U
es decir,
X
U U
: Z p x
es localmente constante.
!
Q p
8< 7! :
1 ; x U 0 ;
2 x 2 Z n U p
Esto se desprende del hecho que U y Z p n U son cerrados y abiertos simultáneamente
en Q p (Ver proposición 1.5.1). Ejemplo 2.9 Para x
2 Z consideremos su expansión p-ádica p
x = x = x 0 + x + x1 p + p + ::: ::: + + x xn pn + :::;
27
x n 2 Z y 0 0 x n p 1. En virtud de la unicidad de la expansión podemos de…nir donde x
para cada n 2 N [ f0g la función
f n : Z p x
! 7!
Q p f n (x (x) = x n
De esta manera para cada n 2 N [ f0g, f n es localmente constante. En efecto: Sea Sea x 2 Z p y U x = B
1
pn
(x)
Z . Entonces si y 2 B p
1
pn
(x), entonces
j j j j
jyj máx y x ; x máx ( 1/ p 1/ p ; 1) = 1 p p
p p
p p
n
Luego y 2 Z p. En consecuencia, si y = y = y 0 + y + y1 p + p + y y2 p2 + :::
es su desarrollo p-ádico, necesariamente yn = xn, pues de lo contrario j y xj p p
(Contradicción!).
p1
n
Así f n (y (y) = y n = x = x n = f n (x (x) ;
por tanto f
B 1 (x)\Zp
= cte .
pn
Ejemplo 2.10 Para
cada x 2 Z p, la sucesión x p
n
n
Q p y como éste es completo, existe ! (x) = lm x p n!1
n0
es una sucesión de Cauchy en
2 Q . Más aún la función !, así p
de…nida, es localmente constante. Probemos con detalle cada una de estas a…rmaciones:
(a) Sea x = x x 0 + x1 p + x2 p2 + :::;un entero p-ádico, la sucesión x p Sea x =
de Cauchy en Q p . En efecto:
n
n0
es una sucesión
< 1 y x p0 x 0 mod p mod p (Por el Pequeño Teorema de Fermat) se tiene Como jx x0 j p p < 1
28
jx p0 x0j p p < 1. Luego que j p
p
jx x j
= x
j x j
0 p p
0 p p
j
x p1 + x p2 x0 + ::: + ::: + + x x p01 p p
Ahora es posible probar por inducción que
pn+1
x
Si n = 0
p0+1
x
p0
x
p p
pn
x
j p p
j xj máx p
= x n+1
Si suponemos que x p
p p
1 pn
<
p
x
n
x
x0 p p < 1 < 1::
j
8 n 0: 0 :
p
p
0 p p
0
x j ; jx x j ; jx
= x p + , donde p p <
j j j
0 p p
0
j
x p p < 1
1 (Hipótesis Inductiva) pn
Entonces pn+2
x
pn+1
= x
p
p p
n
= x p + = x p
n+1
n
+ px p + ::: + ::: + + p
Luego si m; n 2 N [ f0g y m > n se tiene que
x p
m
n
p
x
n
p p
máx
0 j m(n+1)
mj
x p
p
x
m(j 1)
p p
1 pn
En consecuencia consecuencia x p es de Cauchy en Q p y siendo Q p completo existe w (x) = l{m {m x p n!+1
n
en Q p :
Así podemos de…nir w : Z p x
! 7!
Q p n
w (x) = l{m {m x p n!+1
(b) La función ! , arriba de…nida, tiene la propiedad de ser localmente constante.
29
En efecto: = B jxj (x) si x 6 = 0 en Z p : Sea Sea U x = B p
jy xj p p < jxj p p. Luego De este modo, si y 2 U x , entonces j
j j j j
jyj máx p p
x
y p p ; x p p = x p p
j j 1; 1 ;
por tanto y 2 Z p : Más aún
X P n
n
y p = (x + (y (y
n
n
p
x))
= x p +
k=1
Pero
X pn
n
p n x p k (y k
k=1
jy xj p p < jxj p y pues j Se sigue que
x)
k
j j n
p k
máx
1k pn
p p
X p pn k
pn pnk x (y k
n
x p p
k
p p
pn
pn pnk x (y k
l{m {m
n!+1
k=1
x)
k
y
=0
En (*) n
n
w (y) = l{m {m y p = l{m {m x p = w (x) : n!+1
n!+1
Así f jU \Z es constante. x
p
= B 1 (0) Z p : En el caso que x = 0. Podemos tomar U 0 = B p
1 p
jyj p p < , por tanto Luego si y 2 U 0 entonces j
n
y p
j j p1 : n
= y p p p
30
pn
k
(*)
! j j j j
1: 1 :
p p
x)
x pk
n
x p
Así n
w (y) = l{m {m y p = 0 = w (0) : n!+1
De este modo f jU \Z también también es constante constante.. x
p
Observaciones
1. Si denotamos con Loc (Z p ! Q p ) el conjunto de las funciones localmente cons-
tantes f : Z p ! Q p , entonces entonces Loc (Z p ! Q p ) forman un Q p-subespacio vectorial vectorial de
C (Z ! Q ) : p
p
2. La siguiente proposición prueba que toda función continua puede ser uniformemente aproximada por una función localmente constante.
C (Z ! Q ) y " > 0. Entonces existe una función local jf (x ( x) g (x)j < "; 8 x 2 Z : mente constante g : Z ! Q tal que j
Proposición 2.3.1
Sea Sea f 2 p
p
p
p
p
p p
Prueba.
( x) g (x)j p p < ". Esta es En Z p de…nimos la siguiente relación: x y si y sólo si jf (x
una relación de equivalencia en Z p , la re‡exividad y la simetría son obvias, veamos la transitividad: ( x) f (y ( y)j p p < " y jf (y ( y) f (x ( x)j p p < ": Si x y y y z entonces jf (x
Usando la desigualdad ultramétrica se tiene que
jf (x ( x) f (z ( z )j máx p p
j
f (x ( x)
j
f (y ( y)j ; jf (y ( y) f (z ( z ) p p
p p
< ":
[ x] su clase de equivalencia, es decir, Para cada x 2 Z p, denotemos con [x
n 2
[x] = y
Z p tal que f (x ( x)
j
f (y ( y)j
p p
o
<"
A…rmamos que [x] es cerrado y abierto simultáneamente en Z p . En efecto:
31
Sea y 2 [x [ x], entonces jf (x (x) f (y ( y )j p p < " . Como f es continua en y existe > 0 tal
(y) \ Z p implica que jf (z ( z ) f (y ( y )j p p < ". De donde: que z 2 B r (y
jf (z ( z ) f (x ( x)j máx p p
j
f (z ( z )
j
f (y ( y )j ; jf (y ( y) f (x ( x) p p
p p
< ":
[ x], por lo tanto B r (y (y ) \ Z p [x [ x], lo que prueba que [x [ x] es abierto en Z p : Osea z 2 [x
De otro lado
[x] = Z p
[ n
[y ] ;
y 2Zp ; =x y6
[ x] es cerrado en Z p : por lo tanto [x ( xi )i2I una familia de representantes de cada clase de equivalencia. Sea (x = j U i \ U j = y Z p = Denotemos Denotemos con U i = [xi ],entonces si i 6
abierto y cerrado en Z p :
S
U i , donde cada U i es
i2I
De…nimos De…nimos ahora g : Z p ! Q p como g (x) = f (x ( xi ) si x 2 U i , resulta así que g
2 Loc (Z ! Q )
Observación: Si
nos dirá que
p
p
y
jf (x ( x) g (x)j < "; 8 x 2 Z : p p
p
utilizamos el lenguaje del siguiente capítulo, la proposición ante-rior
Loc (Z ! Q ) es denso en el p
p
Q p -espacio de Banach no-Arquimediano
C (Z ! Q ) : p
2.4. 2.4.
p
Fun uncio cione nes s Difer Diferen encia ciabl bles es sob sobre re Z p:
De…nición 2.4.1
M ! Q p una función. Si Sea Sea (M; d) un espacio métrico y f : X
a M es un punto de acumulación de X y b
2
2 Q , escribiremos p
lm f (x ( x) = b
x!a
32
si para cada " > 0 existe > 0 tal que x 2 X y 0 < d (x; a) < implica implica que
jf (x ( x) bj
p p
< ":
Como Z p es un espacio métrico(subespacio métrico de Q p) con la distancia p-ádica y Q p es un cuerpo topológico, tiene sentido entonces la siguiente: De…nición 2.4.2
f es diferenSea Sea f : Z p ! Q p una función y a 2 Z p. Diremos que f
ciable en a si existe
f (x ( x) x!a x lm
f (a (a) a
Observaciones:
1. Como Z p es un conjunto cerrado en Q p , cualquiera de sus puntos (y sólo ellos) son puntos de acumulación de Z p : diferenciable ble 2. En el caso que f es diferencia
en a,
el límite (de la de…nición 2.4.2) será
denotado con f (a) : 0
3. Al igual que en el análisis real, se puede probar fácilmente (por ejemplo) que si f =cte, entonces entonces f (a) = 0; 0
8 a 2 Z . También si p
f (x ( x) = a 0 + a + a1 x + ::: + ::: + + a an xn ; n
2 N; a 2 Q ; x 2 Z j
p
p
es una función polinomial, entonces 0
f (a) = a 1 + 2a 2 a2 a + ::: + ::: + + na nan an1 ,
8a 2 Z
p
4. Es claro que si g 2 Loc (Z p ! Q p ), entonces g (a) = 0;
8 a 2 Z . Luego es una 2 C (Z ! Q ) y " > 0 entonces consecuencia consecuencia directa de la proposición 2.3.1 que si f 2 (x) g (x)j < " 8 x 2 Z : existe g : Z ! Q tal que g 0 y jf (x 0
p
p
p
0
p
p
p p
33
p
5. El conjunto f : Z p ! Q p tal que f (a) = 0; 8 a 2 Z p es un Q p-subespacio de 0
C (Z ! Q ) que contiene las funciones localmente constantes, sin embargo (a dife p
p
rencia del análisis real para funciones de…nidas sobre intervalos) esta inclusión es propia como lo muestra la siguiente:
Proposición 2.4.1 Existe f : Z p
! Q inyectiva tal que f (a) = 0; 8 a 2 Z : 0
p
p
Prueba:
En el ejemplo 2.3 de la parte 2.1, hemos construido (para cada n 2 N) una función
! Q tal que
f : Z p
p
n p
jf (x ( x) f (y ( y )j = jx yj 8 x; y 2 Z : p p
p
Esta claramente satisface lo pedido. Observaciones
1. En análisis real las funciones de Lipschitz de orden mayor que uno de…nidas sobre un intervalo son las constantes, sin embargo la función mostrada en la proposición anterior no es constante y es de Lipschitz de orden n (una para cada n 2 N). 2. El Teorema del Valor Medio es un referente del análisis real. Este a…rma que si f :
! R es una función continua, que es diferenciable sobre ha; bi, existe 2 ha; bi ( b) f (a ( a) = f ( ) (b a). Como consecuencia, si f (x) = 0 8x 2 ha; bi tal que f (b implica que f es constante. Esto no es verdadero para funciones p ádicas, pues [a; b]
0
0
existen funciones no constantes cuya derivada es idénticamente nula, como fue visto
en la proposición anterior. 3. El Teorema de Rolle a…rma que si f : [a; b] ! Res una función continua, que es ( a) = f (b ( b) = 0, entonces existe 2 ha; bi tal que diferenciable sobre h a; bi y f (a f ( ( ) = 0. En el contexto del análisis p-ádico no se tiene una versión similar, como
lo muestra el siguiente ejemplo: 34
Sea f : Z p ! Q p tal que f (x ( x) = x p x. Entonces f (0) (0) = f = f (1) (1) = 0; 0; f 0 (x) = px p1
1:
Desde que jf 0 (x) + 1 j p p = j px px p1 j p p j p pj p p = p1 < 1 , se sigue que f 0 (x) 6 =0
8 x 2 Z . p
3. Otra anomalía de las funciones p-ádicas es lo relativo a la invertibilidad local de = 0, entonces f funciones (continuamente) diferenciables. En análisis real, si f 0 (a) 6
es localmente invertible en un entorno de a . Esto no ocurre en el ambiente p-ádico, como lo muestra la siguiente: Proposición 2.4.2 Existe
una función diferenciable f : Z p ! Q p tal que 0
f (x) = 1 x
8 2Z
p
para la cual
f ( p ( pn) = f pn
p2n ;
8 n 2 N,
como consecuencia, consecuencia, f no es inyectiva en ningún entorno de cero. Prueba
Para cada n 2 N sea
n2
Bn = x
2n
n
Z p : x
j p j < p p p
o
Entonces por la desigualdad ultramétrica: jxj p p = p n ; 8 x 2 B n :
:::; son disjuntas dos a dos. En consecuencia las bolas B 1; B2; :::;
De…nimos f : Z p x
! 7!
Q p f (x ( x) =
8>< >:
x
p
x
2n
; si x ;
35
2 B si x 2 Z n n
p
S 1
Bn
n=1
Como pn 2 B n , entonces
f ( p ( pn ) = p n
p
2n
(*)
De otro lado pn p2n 2= B m 8 m 1 , de lo contrario contrario p n p2n 2 B m para algún m 2 N;
pn p2n j p p = p m , osea pn = p m , luego n = m: = m: entonces j p
Además
p p
n
2n
m
p p
p p
< p2m ;
de donde j p2n j < p2m, osea p2m < p2m (¡contradicción!). Así
8 2 8>< 2 >: 2 n S f pn
De (*) y (**)
p2n = p n
f ( p ( pn ) = f pn
Veamos ahora que f (x) = 1; x 0
g (x) = x
p2n
(**)
p2n :
Z p, para ello probaremos que
f (x ( x) =
p2n ; x B n 0
; x
1
Z p
Bn
n=1
tiene derivada cero. En efecto:
g es localmente constante en Z p
Y en el origen:
n f0g, luego 8 x 2 Z ; x 6= 0 g (x) = 0: 0
p
g (x) x!0 x
0
g (0) (0 ) = lm m = 0 y x 2 Z p n Ahora si x 6
S 1
Bn
n=1
g (0) = lm g (x) : 0 x x!0
g (x) = 0: x
En tanto que si x 2 B n se tiene que
y como x ! 0 , n ! + 1:
g (x) x
p p
j g (x)j = jxj
p p
p p
36
p2n = n = p n p
Entonces g (0) = 0: 0: 0
De otro lado sea Br (0) \ Z p un entorno de 0 (podemos suponer que r 1 ). Para n 2 N tal que pn < r se tiene que pn
como
2 B (0) y también p p 2 B (0) y
\Z : p
2n
r
f ( p ( pn ) = f pn f no puede ser inyectiva en Br (0)
n
r
p2n ;
Observación:
Se hace entonces necesario, introducir un nuevo concepto de manera que podamos contar con algunos resultados análogos a los del análisis real, como inyectividad e invertibilidad local.
2.5.
Func uncione iones s Estri Estrictam ctamen ente te Difere Diferencia nciable bles s sobr sobre e Z p
De…nición 2.5.1
Sea Sea f : Z p ! Q p una función.
primer cociente diferencial 1 f de f como la siguiente aplicación: De…nimos el primer 1f : Z p
Z n ! 7! (x; y ) p
Q p 1 f (x; (x; y ) =
f (x ( x) x
f (y (y ) y
= x g : donde = f(x; y ) 2 Z p tal que y = x
Si f es diferenciable en el punto a 2 Z p y además existe lm
1f (x; (x; y )
(x;y )!(a;a)
0
y es igual a f (a) ,
f es estrictamente diferenciable en a. diremos que f estrictamente Si f es estrictamente diferenciable en a 8 a 2 Z p, diremos que f es estrictamente
diferenciable sobre Z p .
37
Observación: Para
funciones real valuadas,de…nidas sobre algún intervalo [a; [ a; b], el con-
cepto arriba introducida, equivale a ser de clase C 1 . Ahora sí, tenemos los siguientes resultados: Inyectividad loca locall de Funciones estrictamente diferenciaProposición 2.5.1 ( Inyectividad bles) Supongamos que f f : Z p
! Q es una función estrictamente diferenciable en a 2 Z p
p
= 0. Entonces existe un entorno U de a tal que: y que f (a) 6 0
jf (x ( x) f (y ( y )j = p p
j j 0
f f (a)
x
p p
y p p
(x; y
2 U \ \ Z ) : p
En otras palabras f f (a) es una isometría sobre un entorno de a: 0
En particular f es inyectiva sobre un entorno de a. Prueba
" = f f (a) p p > 0 existe un entorno U de a de modo tal que Por de…nición 2.5.1, para " = 0
U; x 6= y entonces si x; y 2 U
f (x (x) x
f (y ( y ) y f (a) 0
0
< f f (a) : p p
p p
Luego por el “Principio del Triángulo Isósceles”
osea
f (x ( x) x
f (y ( y) y
jf (x ( x) f (y ( y )j = p p
j j 0
= f f (a)
p p
0
f f (a)
x
p p
p p
;
y p p :
Proposición 2.5.2 ( Invertibilidad Invertibilidad local local para para funciones estrictamente diferen-
ciables) Supongamos que f : Z p f (a) = 0. Sea B 0
6
! Q es estrictamente diferenciable en a 2 Z y que p
p
Z una bola abierta que contiene el punto a tal que p
f (x ( x) = sup x =y x6 x;y2B
f (y ( y) y f (a) 0
38
0
< f f (a) :
p p
p p
i) Entonces f aplica cada bola abierta contenida en B sobre una bola abierta. Más concretamente:
(b) B entonces f (B ( B" (b (b)) = B " (f ( f (b (b)) donde " = f f (a) p p ": Si B" (b 0
0
0
ii) La inversa local g de f g : B : B " (f ( f (a ( a)) 0
! B (" (") a
( a) y g (f (a ( a)) = f (a) es estrictamente diferenciable en f (a 0
0
1
:
Prueba:
Observamos que por la proposición anterior, dicha bola B existe y también. Más = y; y ; entonces aún, si x; y 2 B con x 6
f (x ( x) x
f (y (y ) y
Ahora veamos la demostración:
0
= f f (a) : p p
p p
( B" (b (b)), entonces z = f (x ( x) para algún x 2 Z p tal que jx bj p p < ": i) Sea z 2 f (B
Luego
jz f (b ( b)j = jf (x ( x) f (b ( b)j = p p
p p
j j 0
f f (a)
p p
x
0
0
b p p < f f (a) " = " = " : p p
( f (b ( b)), entonces jf (b ( b) cj p p < " : Recíprocamente: Sea c 2 B " (f 0
0
( x) = c tiene solución para algún x 2 Z p con Es necesario probar que la ecuación f (x
jx bj < ": p p
De…nimos la aplicación ' (x) = x
( x) c f (x ; f (a) 0
(b) : donde x 2 B " (b (b)) B " (b (b). En efecto: A…rmamos que ' (B" (b
39
Sea z 2 ' (B" (b (b)) entonces z = ' (x) para algún x 2 B " (b (b) : Luego
jz bj = j' (a) bj máx p p
p p
j j j
!
f (a ( a) f (b ( b) p p f (b ( b) c p p b p p ; ; f (a) p p f (a) p p
a
0
j
j
j j
j j j 0
< ":
Así ' : B : B " (b (b)
! B (b (b) "
Además
j' (x) ' (y)j
p p
= x
f (x ( x) c f (a) 0
0
p p
p p
0
p p
Denotando con c =
0
0
j
p p
p p
0
p p
p p
0 < c < 1 y , vemos que 0 < f (a) p p 0
y + f (y ( y ) c f (x ( x) f (y ( y) = (x y) f (a) f (a) jx yj f f (a) f (x jx yj : ( x) f (y ( y ) = jf (a)j jf (a)j xy
j
j' (x) ' (y)j c jx yj ; 8 x; y 2 B (b (b) : p p
"
p p
(b) es cerrado en el espacio (completo) Q p , se Así ' es una contracción y como B" (b
deduce del Teorema del Punto Fijo de Banach que ' tiene un único punto …jo x, = f (x ( x) donde x 2 B " (b (b) : osea ' (x) = x o lo que es lo mismo c = f
ii) La inversa local g : B " f (a) (f (a ( a))
j j 0
p
! B (a (a) "
es un múltiplo escalar de una isometría, en consecuencia es continua. z ; t 2 B "jf (a)j (f (a ( a)) tales que z 6 = t: Entonces Sean z; 0
p
g (z ) 1 g (z; t) = z
g (t) = t
z g (z )
t g (t) 40
1
=
f (g (g (z )) g (z )
f (g ( g (t)) g (t)
1
= (1f (g ( g (z ) ; g (t)))1 :
Luego lm
1 g (z; t) =
(z;t)!(f (a);f (a))
=
lm
(z;t )!(f (a);f (a))
lm
(1f (g ( g (z ) ; g (t)))1 1
(u;v)!(a;a)
(1 f (u; ( u; v ))
41
0
= f (a)
1
:
Capítulo 3 Bases Normales de Espacios de Banach no-Arquimedianos En este capítulo introduciremos los espacios de Banach no-Arquimedianos sobre Q p , en analogía con los “clásicos”. También presentaremos la noción de base normal de un espacio de Banach no-Arquimediano sobre Q p y estudiaremos su relación con las bases algebraicas (bases de Hamel) de ciertos espacios vectoriales “cercanos”. Como consecuencia de esta relación obtendremos una condición su…ciente que garantizará la existencia de una base normal.
3.1. 3.1.
Espa Espacio cios s de Ban Banac ach h no-A no-Arq rqui uime media diano nos s sobre sobre Q p
De…nición 3.1.1
norma sobre sobre E es una Sea Sea E un espacio vectorial sobre Q p . Una norma
aplicación
k k : E ! R : E ! que satisface las siguientes condiciones:
k k 0 8 x 2 E .
(i) x
(ii) ii) x = 0
kk
, x = x = 0: 42
(iii) iii) x = p p x
k k j j k k 8 2 Q ; 8 x 2 E: E :
(iv) iv) x + y + y
k
p
k máx (kxk ; kyk) 8 x; y 2 E (Desigualdad Triangular Fuerte).
espacio normado sobre Q p es un par (E; ( E; k k), donde E E es un espacio vectorial Un espacio
k k es una norma sobre E Q p y k E . Escribiremos simplemente E E en lugar de (E; ( E; k k) : sobre Q Observaciones:
( iv)) en lugar de la desigualdad 1. La razón por la cual se exige que una norma cumpla (iv
triangular triangular clásica (iv ( iv 0 ) kx + y + y k kxk + ky k, es debido a que en el análisis p-ádico, la mayoría de normas que “ocurren naturalmente” satisfacen dicha propiedad. Sin ( iv)), por ejemplo: embargo, existen espacios que satisfacen (iv 0 ) ; pero no (iv 1
l (Q p ) =
(
1
Q / kak =
a = (an)n1
p
es un Q p espacio vectorial tal que
anterior y además
X j j 1) an p p <
n=1
k k satisface (i), (ii) ii), (iii) iii) de la de…nición ka + b + bk kak + kbk (a, b 2 l (Q )), pero no satisface la 1
p
iv), pues para en = ( m;n desigualdad triangular fuerte (iv) m;n )m1 (donde m;n m;n es el
“delta de Kronecker”) tenemos ken k = 1 y si n 6 = r ,
ke + e + e k = 1 + 1 = 2 > 2 > max a x (ke k ; ke k) = 1 n
r
n
r
(x; y ) 7! kx yk de…ne una ultramétrica 2. Si k k es una norma sobre E , la aplicación (x;
sobre E , que lo convierte en un espacio vectorial topológico.
De…nición 3.1.2 Diremos
que E es es un espacio de Banach no-Arquimediano so-
bre bre Q p si E es completo como espacio métrico con respecto a la distancia inducida (x; y )
7! kx yk :
Veamos algunos ejemplos de espacios de Banach no-Arquimedianos sobre Q p : 43
Ejemplo 3.1
Sea Sea n 2 N. El conjunto Q pn = x = (x1 ;:::;xn )/ xi
2 Q ; 8 1 i ng :
f
p
j j
kxk = máx xi p p con su estructura habitual de Q p - espacio vectorial y con la norma k 1in
es un Q p -espacio de Banach no-Arquimediano. Ejemplo 3.2 El
( 1; 2 ;:::) ;:::) espacio l 1 (Q p ) que consiste de todas las sucesiones acotadas (
de número p-ádicos, con su estructura usual de Q p espacio vectorial y con la norma
k( ; ;:::) ;:::)k = sup j j 1
2
n2N
n p p
es Q p -espacio de Banach no-Arquimediano. Ejemplo 3.3 El
espacio S c de las sucesiones convergentes en Q p dotado de la misma
norma que del ejemplo anterior, es un espacio de Banch no-Arquimediano sobre Q p . Ejemplo 3.4
Sea Sea X un conjunto no vacío cualquiera. Una función f : X
si sup acotada si
nj
f (x ( x) p p : x
j
o
2 X
es …nito.
!Q
p
es
! Q p) el conjunto de todas las funciones acotadas f : X ! ! Q p: Entonces (X ! Sea Sea B (X ! ! Q ) es un Q -espacio de Banach no-Arquimediano con las operaciones:
B (X (X
p
p
(f + g) g ) (x) = f (x ( x) + g + g (x) (x X ) X )
2 (x 2 X; X ; 2 Q )
(f ) f ) (x) = f (x ( x)
y con la norma
p
nj
o
kf k = sup f (x ( x)j : x 2 X Observación: Si X = f1;:::;ng y X = N, obtenemos respectivamente (previa identi… p p
cación) los espacios de Banach de los ejemplos 1) y 2). Así B ( 1;:::;n
f
n p
g!Q )=Q p
44
y B (N (N Ejemplo 3.5 El
! Q ) = l p
1
(Q p )
espacio C (Z p ! Q p ) constituido por todas las funciones continuas f :
! Q es un Q -espacio de Banach no-Arquimediano con la norma
Z p
p
p
kf k
1 =
sup
nj
f (x ( x) p p : x
j
2Z
p
o
(la norma de la converg convergencia encia uniforme) uniforme)
Observe que como Z p es compacto, entonces kf k1 < 1: Ejemplo 3.6 También
es un Q p -espacio de Banach no-Arquimediano el espacio de las
S 1 (Z p ! Q p ) con la norma kf k1 = máx (kf k1 ; k'1 f k) funciones funciones estrictamen estrictamente te diferenciab diferenciables les S
donde:
k' f k = sup 1
(
nj
o
kf k = sup f (x ( x)j : x : x 2 Z y f (x ( x) f (y ( y) = y tal que x; y 2 Z ; x 6 xy
Ejemplo 3.7 Sean E y F dos
1
p
p p
p
p p
)
espacios normados sobre Q p : El conjunto
L (E; F ) ! F / T es lineal y continua g F ) = fT : E ! con su estructura habitual de Q p -espacio vectorial y con la norma ( x)k kT k = sup kT k (x es un esp espacio acio normado normado sobr sobre e Q . xk p
=0 =0 x6
L (E; F ) F ) también lo es. Si F es un Q p - espacio de Banach no-Arquimediano, entonces L
En particular, E 0 = L (E; Q p ) (el dual es un Q p -espacio de Banach no-Arquimediano)
45
3.2.
Suma Suma Dire Directa cta de Espacio Espacios s de de Ban Banac ach h no-Arqu no-Arquime ime-dianos sobre Q p
De…nición 3.2.1
Sea Sea (E i )i2I una familia de espacios normados sobre Q p . La suma
directa algebraica de de esta familia es el Q p-espacio normado
M ( E i =
i2I
x = (xi )
Y 2
E i tal que xi = 0;
i2I
)
8 i 2 I nJ; donde J I …nito.
equipado con la norma del supremo:
kxk = sup = sup kx k = máx kx k ; si x = (x ) i
i2I
i2I
i
i
Observaciones:
1. A pesar que cada E i es un Q p -espacio de Banach no-Arquimediano, puede suceder que la suma directa algebraica ejemplo:
L
E i no sea de Banach, como lo muestra el siguiente
i2I
Tomemos I = N y E i = Q p ; 8 i 2 N. En este caso se denota (como en el caso clásico)
L
Q p = Q p(1) :
i2N
Ahora consideremos la siguiente sucesión en Q p(1)
x1 = (1; (1; 0; 0; 0:::) :::) x2 = (1; (1; p; 0; 0; 0:::) :::)
x3 = 1; p ; p2 ; 0; 0;:::
xn = 1; p ; p2 ;:::;pn1 ; 0; 0;:::
46
.. .
Para m > n xm
x
n
luego
kx x k = máx m
n
= 0;:::; 0; pn;:::;pm1 ; 0;:::
nj j p p
n
:::; p p p p ; :::;
j
m
oj p p
= p n =
1 pn
(1) ( xn ) es de Cauchy en Q p , sin embargo En consecuencia (x embargo esta sucesión sucesión no conver converge ge
en Q p(1) . En efecto: Supongamos que 9 a 2 Q p(1) tal que l{m {m xn = a = a en Q p(1)
(*)
n!+1
;:::) donde r 2 N, a j 2 Q p ; 0 j r. Como a 2 Q p(1) , entonces entonces a = (a0 ;:::;ar ; 0;:::)
Luego para n > r :
xn = 1;p;:::;p r1 ; pr ; pr+1;:::;pn1 ; 0; 0;::: :
Entonces:
kx ak = máx n
nj 1
r
a0 p p ; :::; :::; p p
j a
j
j o ; p pr+1 p p ; :::; :::; p pn1 p p
r p p
p (r+1)
osea kxn ak p (r+1), lo cual contradice (*). En consecuencia consecuencia
L
(1)
Q p = Q p
no es Q p-Banach.
i2N
2. Necesitaremos completar
L
E i , lo que dará origen a la siguiente noción:
i2I
De…nición 3.2.2
suma directa Banach de La suma de una familia (E i)i2I de Q p-espacios de
Banach no-Arquime no-Arquimedianos dianos E i es el espacio
M ( ^
E i =
i2I
Y
x = (xi ) "
) k k!
E i tal que xi
i2I
47
0
equipado con la norma del supremo
kxk = sup = sup kx k ; i
i2I
si x = (xi ) "
L ^
E i :
i2I
Observación:
En este contexto kxik ! 0 signi…ca que 8 " > 0, el conjunto I x (" (") = i I : xi > " es …nito.
f2 k k
g
Es precisamente la condición kxik ! 0 la que garantiza que kxk < 1:
La justi…cación de la terminología usada en la de…nición 3.2.2 se debe a la siguiente:
Proposición 3.2.1 La
suma directa Banach
métrico de la suma algebraica
L
^
E i es la completación como espacio
i2I
E i :
i2I
Prueba:
L
Consulta [10], pág 184. Ejemplo 3.8
8 i 2 I , donde E es Q p-Banach, entonces = E 8 Si E i = E
M
E i = E (I )
i2I
En este caso
L ^
I
E
=
Y
E
i2I
E es el espacio de las sucesiones en E que convergen a cero (en el
i2I
sentido de la observación anterior). (I ; E ) para referirnos a Usaremos la notación C 0 (I
También se usan las siguientes notaciones: C 0 (I (I ) = C 0 (I (I ; Q p ) ;
L ^
E:
i2I
C 0 (E (E ) = C 0 (N (N; E ) ; C 0 = C = C 0 (N (N) = C 0 (N (N; Q p ) :
48
Corolario 3.2.1
Sea Sea E un Q p -espacio de Banach ultramétrico. Entonces la función
suma : E (I ) x
tiene una única extensión continua Prueba:
P
! 7!
E (x) =
P
xi
i2I
: C 0 (I (I ; E )
! E .
Consultar [10], pág 185.
3.3. 3.3.
Base Ba ses s Norma ormale les s
De…nición 3.3.1
Sea Sea I un conjunto no vacío y i
Q p espacio de Banach no-Arquimediano E:
7!
ai una aplicación de I en un
De…nimos:
i) lmai = a (en E ) si " > 0; 0 ;
8 8
i2I
ii) ii)
P
ai = s (en E ) si " > 0; 0 ;
8 8
i2I
J 1 J se tiene: que J
9 J I , …nito tal que k ka ak < "; 8 i 2 I n J: i
9 J I , …nito tal que para todo J conjunto …nito tal 1
X ai
s < ":
i2J 1
En este caso, diremos que la familia (ai ) es sumable con suma s. Observación: No
es difícil probar que las de…niciones anteriores coinciden con las no-
ciones clásicas sobre convergencia de sucesiones y series en E cuando I = N. De…nición 3.3.2
base normal (BN)de Una base (BN)de un Q p-espacio de Banach no-Arquime no-Arquimediano diano
E es es una familia (ei )i2I de elementos de E que que cumple las siguientes dos condiciones: [BN 1] BN 1] Cada x
2 E puede ser representado por una serie sumable x = x 2 Q 8i 2 I y además l lmx = 0: i
p
i2I
i
49
P
xi ei , donde
i2I
P
[BN 2] BN 2] En cualquier representación x =
xi ei, se tiene que x = sup = sup xi p p
k k k
i2I
Observaciones:
i2I
j j
1. En virtud de la condición BN1: lmxi = 0, luego sup jxi j p p < 1: i2I
2. Si x =
P P xi ei =
i2I
yi ei, entonces
i2I
(xi
i2I
y )e i
i
= 0: De donde
j y j = k0k = 0; luego
sup xi i2I
P
i2I
i p p
xi = y = y i ;
8 i 2 I :
Es decir, la representación dada en BN1 es única. 3. kei k = 1; 8 i 2 I : Veamos ahora algunos ejemplos: Ejemplo 3.9
(I ; Q p ) el Q p -espacio de Banach no-Arquimediano presentado Sea Sea E = C 0 (I
en la sección anterior. Para cada i 2 I , consideremos la familia i = ( ijij ) j2I , donde ij ij =
8< :
1 ; i = j = j 0 ; i = j
6
Entonces ( i)i2I es una base normal de E: Ejemplo 3.10 En
el próximo capítulo probaremos con detalle que la familia numerable
de funciones continuas: Bn : Z p ! Q p , n 2 N[ f0g; donde para cada x 2 Z p : B0 (x (x) = 1 y Bn (x (x) =
x (x
1) ::: (x n + 1) ; n 2 N: n!
Base de Mahler . constituyen una base normal de E = C (Z p ! Q p ), denominada Base Ejemplo 3.11 También
probaremos en el capítulo 5 que las funciones localmente cons-
tantes en : Z p ! Q p (que las de…niremos precisamente ahí) forman otra base normal de
C (Z ! Q ), denominada ésta base base de Van der Put p
p
50
E un Q p -espacio de Banach ultramétrico y (e ( ei )i2I una base norSea Sea E
Proposición 3.3.1
mal de E . Entonces: i) Existe una única aplicación lineal continua: f : E
! ! C (I (I ; Q ) 0
p
( ei ) = i : tal que f (e ii) ii) f es un isomor…smo de Q p espacios de Banach no-Arquimedianos, es decir, f es
un isomor…smo como Q p -espacios vectoriales y además una isometría. Prueba:
Dado x 2 E , entonces x = x =
P
xi ei por la condición BN1.
i2I
Además ya vimos que dicha representación es única, entonces de manera natural
( x) = de…nimos f (x
P
xi i y se comprueba fácilmente que f cumple i) y ii).
i2I
Observaciones
! C 0 (I (I ; Q p ) es un isomor…smo de Q p -espacios de Banach se prueba que 1. Si f : E ! (f 1 ( i ))i2I es una base normal de E :
Diremos que ésta es la base normal canónica de…nida por f 2. ¿Existirá alguna relación entre una base normal de E y y una base algebraica (base de Hamel) de algún K-espacio vectorial ligado a E ? Veremos que sí, pero antes veamos veamos la siguiente: siguiente: Proposición 3.3.2
Sea Sea E un Q p -espacio de Banach no-Arquimediano, entonces:
i) E 1 = x E tal que x
k k 1g es un Z -módulo.
f 2
p
ii) ii) E 2 = x tal que pZ p Z p y x E 1 es un Z p-submódulo de E 1 :
f
e
iii) iii) E E =
E 1 E 2
2
2 g
K-espacio vectorial, donde K K = pZZ = F p es el cuerpo residual de Q Q p . es un K p
p
51
Prueba:
Consultar por ejemplo [10], pág 189. E 1 = E E es es la proyección E 2 E . canónica, canónica, entonces ( (ei ))i2I es una base (de Hamel) del -espacio vectorial E
Proposición 3.3.3
e e
( ei ) es una base normal de E E y : E E 1 ! Si (e y :
K K
Prueba:
Observemos primero que k eik = 1;
luego tiene sentido (ei ) :
e Pe
8 i 2 I (Observación 3 de la de…nición 3.3.2)
= (x) 2 E E , donde x 2 E 1 E . Como (e ( ei ) es una base normal de E por Sea ahora x = p or
x = BN1 se tiene que x =
xi ei , donde x = sup xi p p y lmxi = 0:
k k j j I …nito tal que jx j < 1 < 1;; 8 i 2 I n J: Entonces 9 J 1 ; 8 i 2 I , por lo tanto jx j = 1; 8 i 2 J: Como kxk 1, se sigue que jx j 1; De este modo si i 2= J; x 2 pZ p Z , luego x e 2 E , por tanto (x e ) = 0: i2I
i2I
i p p
i p p
i
= (x) = Así x =
e e
E: E:
P
xi (ei ) =
i2I
i p p
p
P
2
i i
i i
xi (ei ) y como J es …nito, la familia ( ( (ei ))i2I genera
i2J
De otro lado, supongamos que
X
i (ei ) = 0;
i2J
donde J I …nito.
Como i 2 K = pZZ = F p ; i = [ai ] ; ai 2 Z p : p
p
P P X X
x = Consideremos el elemento x =
Entonces x 2 E 2 , pues (x) =
ai ei , donde a i = 0 si i = J:
ai ei =
i2J
2
i2I
[ai ] (ei ) =
i2J
i (ei ) = 0
i2I
Luego kxk < 1, así sup jaij p p < 1: De ésto se deduce que 8 j 2 J; ja j j p p sup jaij p p < 1, i2I
osea a j 2 pZ p Z p ; 8 j 2 J; por lo tanto j = 0; 8 j 2 J:
( (ei ))i2I es linealmente independiente. En consecuencia consecuencia (
52
Corolario 3.3.1 Dos
bases normales de E tienen tienen la misma cardinalidad.
Prueba
e
E tienen Es consecuencia directa del hecho que dos bases algebraicas (de Hamel) de E tienen
la misma cardinalidad. Observación
También se cumple la recíproca de la proposición anterior con una condición adicional como vemos en la siguiente: Proposición 3.3.4
Sea Sea E un Q p-espacio de Banach tal que n
kE k = jQ j = f p p p p
: n
2 Zg :
e
( (ei ))i2I es una base algebraica (de Hamel) del K-espacio vectorial E E , entonces (e ( ei )i2I Si (
es una base normal de E: Prueba:
Consultar [1], pág 82. Corolario 3.3.2
E un Sea Sea E un Q p -espacio de Banach no-Arquimediano tal que kE k = jQ p j p p ,
entonces E posee posee una base normal. Prueba
e
Bastará observar que el K-espacio vectorial E p osee una base algebraica (de Hamel). E posee
C ! Q ) ; kk) posee una base normal.
Proposición 3.3.5 ( (Z p
p
Prueba:
Denotando con E =
kE k
1
= Q p p p. En efecto:
C (Z ! Q ) y usando el corolario anterior, bastará ver que p
p
j j
53
Sea f 2 2 E , entonces jf j p p : Z p ! jQ pj p p es continua y como Z p es compacto, el conjunto A =
nj
f (x ( x) p p / x
j
2Z
p
o
es un subconjunto compacto de R. Luego
kf k
1 =
sup A A
2 jQ j : p p p
= p n , para algún n 2 Z. Entonces Recíprocamente si 2 jQ p j p p, entonces = p
la función f : Z p
kf k
1 =
n
j p p j = p = p p p
n
! Q de…nida por f (x ( x) = p 8 x 2 n
p
= :
54
Z p, es tal que f
2 E y
Capítulo 4 La base normal de Mahler de
C
Z p
! Q p
La ultima proposición del capítulo anterior mostró que C (Z p ! Q p ) tiene una base
normal. En este capítulo exhibiremos explícitamente una base normal (numerable) de
C (Z ! Q ), la base de Mahler, que además nos dará una versión p-ádica del teorema de p
p
Weierstrass (aproximación uniforme de funciones continuas por medio de polinomios).
4.1. 4.1.
Prel Prelim imin inar ares es
De…nición 4.1.1
[x] el anillo de polinomios en una indeterminada con coe…Sea Sea Z p [x
cientes en Z p . [x] de…nidos por: Los polinomios en Z p [x B0 (x (x) = 1
(x) = y Bn (x
x (x
1) ::: (x n + 1) ; n 2 N n!
polinomios binomiales. son llamados polinomios
55
Observaciones:
(x) utilizando el símbolo formal 1. Es frecuente denotar los polinomios binomiales B n (x
x n
(para cada n 2 N[ f0g):
(x) es de grado n . 2. Es claro que para cada n 2 N[ f0g, el polinomio binomial Bn (x (x) induce una función continua. 3. Cada polinomio binomial B n (x Bn : Z p x
! 7!
Q p Bn (x (x)
4. Una fórmula que se deduce directamente de la de…nición anterior es la siguiente: Bn (x (x + 1) = B = B n (x (x) + B + Bn1 (x (x)
Proposición 4.1.1
j
Sea Sea n
8x 2 Z ; 8n 2 N: p
2 N[ f0g. El valor absoluto p-ádico de B ( p ( p ) ; para cada j
n
2 N[ f0g tal que 0 j p ; es n
n
jB ( p ( p )j = p = p j
(nr)
donde
p p
r = V = V p p ( j ( j)) :
Prueba.
Si j = 0, el resultado es trivial. Supongamos pues que j 2 N:
Utilizando las propiedades establecidas en el capítulo I V p (B (B j ( p ( pn )) = V p p (( p (( pn )!)
n
[V ( j ( j!) !) + V + V (( p (( p j)!)] j )!)] p
p
pues ( pn )! B j ( p ( p ) = j! j ! ( pn j)! j )! n
56
(*)
Como pn = 1:pn, usando la proposición 1.1.1 se tiene que pn V p (( p (( p )!) = p n
1 1
pues s ( pn) = 1: De otro lado, supongamos que: j = a 0 + a + a1 s + ::: + ::: + + a ar pr + ::: + ::: + a as ps ( j)) = r , entonces ar 6 = 0 y ai = 0; 0 i < r: y que V p ( j
Entonces
j = a r pr + ::: + ::: + a as ps ;
de donde ps+1 ps+2
pn
j s+1
p p
= ( p
r
a ) p ( p 1) p 1) p r
+ ( p ( p
1a
r +1
) pr+1 + ::: + ::: + ( p ( p
1 a ) p s
s
s+1
=
.. .
n1
= ( p
1) p 1) p
n1
:
sumando se obtiene: pn j = ( p
r
a ) p +( p +( p 1 a r
r +1
) pr+1 +:::+( :::+( p
s
s+1
1 a ) p +( p 1) p 1) p s
+:::+( :::+( p p
1) p 1) p
Entonces s ( j) j ) = ar + a + ar+1 + ::: + ::: + + a as s ( pn
j) j )
= ( p =
a ) + ( p ( p 1 a ) + ::: + ::: ( p 1 a ) + ( p ( p 1) + ::: + ::: + + ( p ( p 1) ( p 1) (n r) + 1 s ( j) j ) r
r+1
s
57
n1
luego s ( j) j ) + s + s ( pn
j) j ) 1 = ( p 1) (n r) :
En (*) pn n V p (B (B j ( p ( p )) = p
n
n
1 j s ( j) j ) + p + p j s ( p j) j ) 1 p 1
s ( j) j ) + s + s ( pn j) j ) = p 1
1
entonces V p (B (B j ( p ( pn)) =
( p
1) (n r) = n r ; ( p 1)
osea V p (B (B j ( p ( pn)) = n
r
Así j jB j ( p ( pn )j p p = p = p (nr), donde r = V = V p p ( j ( j)). Proposición 4.1.2
2 C (Z p ! Q p) : Sea Sea f : Z p ! Q p una función continua, es decir, f 2
Para cada n 2 f0; 1; 2;:::g sea
n = sup
nj
f (x ( x)
f (y ( y)j : jx y j p p p
p p
n
o
:
{m n = 0: Entonces l{m n!+1
Prueba.
Como Z p es compacto y f continua, entonces f es uniformemente continua. Sea " > 0 dado, entonces 9 > 0 tal que x; y
" jf (x (x) f (y ( y )j < : 2
2 Z y jx yj p
p p
< implica que
p p
{m pn = 0 (en R), existe n0 2 N de modo que si n n0 entonces En vista que l{m n!+1
p
n
< :
Luego si n n0 y x; y 2 Z p son tales que jx yj p p pn implica que jx y j p p < , " 2
luego jf (x ( x) f (y ( y)j p p < :
58
Por lo tanto n = sup
nj
De…nición 4.1.2 El
f (x ( x)
f (y ( y)j : jx y j p p p
n
p p
o
" < "; 2
8 n n . 0
operador
r : C (Z ! Q ) ! C (Z ! Q ) p
p
p
p
de…nido por
rf (x 2 C (Z ! Q ) ( x) = f (x ( x + 1) f (x ( x) donde f 2 p
p
y x 2 Z p
es llamado llamado operador diferencia …nita. Proposición 4.1.3 El
cada n 2 N
r es un operador lineal, además para operador diferencia …nita r
X n
n
r f (x (x) =
( 1)n j
j =0
n (f (x ( x + j + j)) j
f (x ( x))
(x
2Z ) p
Prueba.
La linealidad de r es clara.
Para la segunda parte procedemos así:
rf (x ( x) r f (x ( x) 2
= f (x (x + 1) = =
3
r f (x ( x)
= =
f (x ( x)
r (rf (x ( x)) = f (x ( x + 2) f (x ( x + 1) f (x ( x + 1) + f + f (x ( x) f (x (x + 2) 2f (x ( x + 1) + f + f (x ( x) r r f (x ( x) = f (x ( x + 3) 2f (x ( x + 2) + f + f (x ( x + 1) f (x ( x + 2) + 2f 2f (x ( x + 1) f (x ( x) f (x (x + 3) 3f (x ( x + 2) + 3f 3f (x ( x + 1) f (x ( x)
2
59
Por inducción
X n
n
r f (x (x) =
j
( 1)
j =0
X X X n
n f (x ( x + n + n j
De otro lado:
( 1)n j
j) j ) =
j =0
n
( 1)n j
n
0 = (( 1) + 1) =
j =0
luego
n
0 = f (x ( x) ;0 =
( 1)n j
j =0
n f (x ( x + j + j)) j
(*)
n ; j
n f (x ( x) j
(**)
En consecuencia, de (*) y (**)
X X n
n
n
r f (x (x) = r f (x ( x) 0 = Entonces
n j
j =0
n
n
r f (x ( x) = Observación: En
( 1)
n f (x ( x + j + j)) j
( 1)n j
j =0
n (f (x ( x + j + j)) j
X n
( 1)n j
j =0
f (x ( x)) :
n f (x ( x) j
vista que en C (Z p ! Q p ) estamos trabajando con la norma
kf k
1
=
nj
f (x ( x) p p : x
j
2Z
p
o
;
2 C (Z p ! Q p) y (f n)n2N es una sucesión en C (Z p ! Q p), entonces: es fácil ver que si f 2 f n converge uniformemente a f en Z p si y sólo si f n
kf f k ! 0 en R . n
! f en C (Z ! Q ), es decir, p
p
1
Proposición 4.1.4
2 C (Z p ! Q p). La sucesión de funciones continuas (rnf ) f 2 f )n2N Sea Sea f
! 0 en C (Z p ! Q p) : converge uniformemente a la función nula en Z p y por lo tanto rnf ! Prueba. n
i) Primero probaremos que r p f ! ! 0 uniformemente en Z p: 60
En efecto: Si
usamos la proposición 4.1.3 pn
pn
r
f (x ( x) =
X
( 1) p
n
j
B j ( p ( pn ) (f (x ( x + j + j))
j =0
f (x (x)) :
De donde:
r j p
n
f (x ( x) p p
pn j
max a xn
( 1)
0 j p
p p
B j ( p ( pn ) p p f (x ( x + j + j))
jj
j
f (x ( x)
p p
en virtud de la desigualdad triangular fuerte. ( j)) ; 0 j p n , por las proposiciones 4.1.1 y 4.1.2 se tiene que: Luego si r j = V p p ( j
r pn
f (x ( x) p p
(nrj )
max a x p
0 j pn
rj = max a x p 0rj n
(nrj )
rj
Como n r j se tiene que (n r j ) 0 , luego p(nr ) 1: 1 : j
Así
r pn
f (x ( x) p p
(*)
max a x rj = r
0rj n
Pero cuando n ! + 1; r ! + 1: Por la proposición 4.1.2 l{m {m r = 0
r !+1
n
! 0 uniformemente en Z p: Así en (*) r p f ! ii) Como rf 2 2 C (Z p ! Q p) su norma está dada por:
krf k
1
= sup f (x ( x + 1) x2Zp
j
f (x (x)j
p p
.
Pero para cada x 2 Z p
jf (x ( x + 1) f (x ( x)j m m ax a x p p
j
61
j k k
f (x ( x + 1) p p ; f (x ( x) p p
j j
f
1
entonces
krf k kf k
1 :
1
De esta última desigualdad se deduce que si n 1 ; n2 2 N y n1 n 2 : n1
n2
kr f k kr f k De otro lado, para cada n n
p
mn
2
1
N sea mn =
:
Por (*)
Lnn , entonces es fácil ver que Ln p
kr f k r 1
(**)
pmn
n
1
f
1
(***)
Además si n ! + 1 entonces mn ! + 1: mn
! 0 uniformemente en Z p: Entonces por la parte (i) r p f ! En consecuencia consecuencia rn f ! ! 0 uniformemente en Z p: (Ver (***))
4.2. 4.2.
El Teore eorema ma de Mah ahle ler. r.
Proposición 4.2.1 (Teorema de Mahler) La familia de funciones continuas Bn : Z p
! Q
n 2 N[ f0g (de…nidas por los polinomios binomiales B B n (x (x)) forman una base normal con con n
C (Z p ! Q p), denominada base base de Mahler. Más explícitamente: de C (i) Para cada f
2 C (Z ! Q ) existen únicos elementos a ; a ; : : : de Q (los “coe p
0
p
P nj j
…cientes …cientes de Mahler” Mahler” de f ) tales que f =
1
n!1
n
2 N[ f0g, a
n
=
k k k
r f (0) (0) . n
1
= sup
an p p / n
o 2 [f g P N
(ii) ii) Si a0 , a1 ; : : : es una sucesión nula en Q p , entonces
0
1
n=0
continua de Z p en Q p . 62
p
an Bn (la “expansión de Mahler” de
n=0
f ), l{m {m an = 0 en Q p y f
1
: Más aún, para cada
an Bn de…ne una función
p
Prueba.
(i) Sea f
2 2 C (Z ! Q ) y a = r f (0) (0) para cada n 2 N [ f0g : p
p
n
n
Como n
n
jr f (0) (0)j kr f k p p
1
por la proposición 4.1.4 se tiene que l{m {m an = 0 en Q p
(*)
n!+1
Ahora probaremos que para cada x 2 Z p 1
f (x ( x) =
X
an Bn (x (x) ;
n=0
lo cual junto con (*) mostrará lo requerido por la condición B.N.1 de la de…nición 3.3.1. Pero primero trabajemos con x = x = n n 2 N. Ya vimos en la demostración de la proposición 4.1.3 que
X 8 2 X 9= ) r r ; 9>= >; ) r r k
k
r f (x ( x) = entonces
i=0
k
k
r f (0) (0) = Luego: 0
r f (0) (0) = f = f (0) (0) r f (0) (0) = f = f (1) (1) 1
0
k f (x (x + k + k i
( 1)i
( 1)i
i=0
2
k f (k ( k i
f (0) (0)
f (2) (2) =
63
2
k
N
i) :
1
f (1) (1) =
r f (0) (0) = f = f (0) (0) 2r f (0) (0) = 2(f 2(f (1) (1) f (0)) (0)) r f (0) (0) = f = f (2) (2) 2f (1) (1) + f + f (0) (0) 1
i) ;
f (0) (0) +
0
f (0) (0) + 2
1
f (0) (0)
f (0) (0) +
0
r f (0) (0)
9>> => ) >;
0
r f (0) (0) = f = f (0) (0) 3r f (0) (0) = 3(f 3(f (1) (1) f (0)) (0)) 3r f (0) (0) = 3(f 3(f (2) (2) 2f (1) (1) + f + f (0)) (0)) r f (0) (0) = f = f (3) (3) 3f (2) (2) + 3f 3f (1) (1) f (0) (0) 1 2
3
3
f (3) (3) =
2
r f (0) (0) + 3r f (0) (0) + +3r f (0) (0) + r f (0) (0) 1
0
Ahora se sigue fácilmente por inducción que
Xr P n
f (n ( n) =
i=0
( n) = entonces f (n
n
n i . Pero a i = f (0) (0) i
ai Bi (n (n) ;más aún f (n ( n) =
i=0
i > n.
Luego si x 2 N;
y Bi (n (n) =
i
r f (0) (0)
P 1
n , i
ai Bi (n (n), pues Bi (n (n) = 0 para
i=0
1
f (x ( x) =
X
an Bn (x (x) , donde an =
n=0
n
r f (0) (0)
(**)
Ahora extenderemos esta igualdad para cada x 2 Z p : Para cada n 2 N sea
n
gn =
X
ak Bk
2 C (Z ! Q ) :
k=0
p
p
( gn )n1 es una sucesión de Cauchy en C (Z p ! Q p ) : A…rmamos que (g En efecto:
Si m > n y x 2 Z p
X
m
jg
m
(x (x)
g (x (x)j = n
p p
ak Bk (x (x)
k=n+1
max a x
+1km n+1
p
j j j j ak p p Bk (x (x) p p
(x)j p p 1; 1 ; 8 x 2 N, por densidad de N en Z p se deduce que Como jBk (x
jB (x (x)j 1; 1 ; 8 x 2 Z : k
p p
64
p
()
Luego en ()
jg
(x (x)
m
g (x (x)j n
p p
max a x
n+1 +1km
j j
()
ak p p
En vista que l{m {m jan j p p = 0. Para " > 0; 0; 9 n 0 2 N tal que n n0 ) jan j p p < ": n!+1
Luego si m > n n0 implica que jan+1j p p ; :::; :::; jam j p p < ": Así max a x
+1km n+1
En ()
jg
(x (x)
m
j j
ak p p < ":
g (x (x)j < "; 8 m > n n ; 8 x 2 Z : n
0
p p
p
En consecuencia consecuencia
kg g k "; 8 m > n m
n 1
n0:
Como C (Z p ! Q p ) es un Q p -espacio de Banach no-Arquimediano existe g 2 C (Z p ! Q p )
de modo que g n ! g en C (Z p ! Q p ). Osea
1
n
g = l{m {m gn = l{m {m n!+1
X X
n!+1
ak Bk =
an Bn en
C (Z ! Q )
n=0
k=0
p
p
Además si x 2 N 1
g (x) =
X
an Bn (x (x) = f (x ( x)
por (**)
n=0
g = f f en N y como N es denso en Z p y f y g son continuas en Z p esta igualdad osea g =
se extiende a Z p, es decir 1
f (x ( x) = g (x) =
X
an Bn (x (x) ;
n=0
donde a n = rn f (0) (0) y l{m {m an = 0 en Q p : n!+1
Finalmente probaremos que
kf k
1
= sup [f0g n2N[f0
65
ja j
n p p
8 x 2 Z ; p
para satisfacer la condición B.N.2 de la de…nición 3.3.1 En efecto:
kf k
1 =
(por densidad de N en Z p )
sup f (x (x) p p = sup f (m ( m) p p
x2Zp
j
j
Pero
j
m2N
X
j
m
jf (m ( m)j
p p
=
an Bn (m (m)
n=0
luego
j j max ax
an p p
0nm
sup an p p
p p
n0
j j
(a)
kf k sup ja j 1
n0
n p p
De otro lado para cada n 2 N [ f0g n
(por la parte (ii))
n
ja j = jr f (0) (0)j kr f k kf k n p p
1
p p
1
en la demostración de la proposición 4.1.5. Luego sup an p p n0
(b)
j j kf k
1
De (a) y (b) obtenemos lo deseado
P n
(ii) ii) Para cada n
2 N[ f0g, sea f = a B 2 C (Z ! Q ). La sucesión (f ( f ) es de Cauchy en C (Z ! Q ), en efecto: Si m > n, kf f k = sup jf (x (x) f (x (x)j n
j
j
p
p
n n0
j =0
p
p
m
n 1
y como
X m
jf (x (x) f (x (x)j m
n
p p
=
se sigue que m
n 1
a j B j (x (x)
j =n+1
kf f k
j j
max a x
+1 j m n+1
max a x
n+1 +1 j m
p
a j p p
66
m
x2Zp
j j j j a j p p B j (x (x) p p
max a x
n+1 +1 j m
{m a j = 0 en Q p , y en vista vista que l{m j !1
n
p p
j j
a j p p ;
se obtiene lo a…rmado. De otro lado C (Z p ! Q p ) es un Q p - espacio de Banach no-Arquimediano, entonces existe
1
2 C (Z ! Q ) ;
l{m {m f n
n!1
p
{m f n es presisamente pero l{m
p
Corolario 4.2.1 (Teorema
n!1
X
an Bn .
n=0
de Weierstrass, versión p-ádica) Funciones continuas sobre
Z p pueden ser uniformemente aproximadas por funciones polinomiales. Prueba:
2 C (Z p ! Q p), por el Teorema de Mahler existen (únicos) elementos a0, a1; : : : Sea f 2
de Q p tales que f =
P 1
an Bn en ( (Z p
C ! Q ) ; kk
n=0
p
1)
una función polinomial tal que f n converge uniformente a f en Z p .
4.3. 4.3.
! f en (C (Z ! Q ) ; kk p
p
P n
Si de…nimos la sucesión de funciones (f n )n0 , donde f n =
ai Bi, claramente f n es
i=0
1)
o equivalentemente f n
Ejem Ejempl plos os de de expan expansi sion ones es de Mah Mahle ler r
Ejemplo 4.1
a 2 B 1 (1) Q p y a a x 2 C (Z p ! Q p ) la función continua que interpola Sea Sea a
la sucesión 1; a ; a2 ;:::; (ver ejemplo 2.6 de la sección 2.2 del capítulo 2). Por el teorema de Mahler
1
x
X X
a =
an Bn (x (x) ;
n=0
donde
n
an =
n
r f (0) (0) =
n j a = (a j
( 1) j
j =0
1)
(Esta última igualdad es consecuencia del Binomio de Newton). Luego
1
ax =
X n=0
(a
1)
67
n
Bn (x (x)
n
Ejemplo 4.2
Sea Sea f 2 C (Z p ! Q p ) y supongamos que
Mahler. Entonces
1
xf (x ( x) =
X
P 1
an Bn (x (x) es su expansión de
n=0
n (an + a + an1) Bn (x (x) :
n=1
En efecto:
Supongamos que
1
xf (x ( x) =
X
bn Bn (x (x)
n=0
es su expansión en base de Mahler, luego por el Teorema de Mahler, los coe…cientes bn son calculados del siguiente modo:
X n
bn =
r
n
(xf )(0) xf )(0) =
( 1)n j
j =0
n jf ( j ( j)) : j
Entonces: b0 = 0
X 1
b1 =
( 1)1 j
j =0
1 jf ( j ( j)) = f (1) (1) ; j
(0) = f = f (1) (1) f (0) (0) y a0 = f = f (0) (0) : pero a1 = r1 f (0) = b 1 b0 ) b 1 = 1 (a1 + a + a0 ) Entonces a1 = b
X 2
b2 =
( 1)2 j
j =0
2 jf ( j ( j)) = j
2f (1) (1) + 2f 2f (2) (2)
(1) = b = b 1 = a 0 + a + a1 y f (2) (2) = a = a 2 + 2a 2 a1 + a + a0 y como f (1) + a1 ) + 2 (a2 + 2a 2 a1 + a + a0 ) = 2 (a2 + a + a1) : Entonces b2 = 2 (a0 + a + a1 ) De donde b2 = 2 (a2 + a
Ahora es fácil ver por inducción que b0 = 0
+ an1 ) y bn = n (an + a
68
8 n 1
Ejemplo 4.3 Para m
2 N [ f0g, sea 1
m
x =
X
am;n Bn (x (x)
n=0
su expansión en la base de Mahler. 1 : Entonces a0;0 = 1 y am;0 = 0; 8 m 1:
Además para n 2 N
X X n
a0;n =
( 1)n j
n j
( 1)n j
n m j ; m j
j =0
y
n
am;n =
j =0
= (( 1) + 1)n = 0
1; 1 ; n 1
Usando el ejemplo anterior tenemos la siguiente relación am;n = n (am1;n + a + am1;n1 ) ; m Ejemplo 4.4
1; 1 ; n 1: 1 :
Sea Sea g 2 C (Z2 ! Q2) la función continua que interpola la sucesión N n
! Q 7! (1) 2
n
(ver ejemplo 2.5 de la sección 2.2 del capítulo 2). Entonces si
1
g (x) =
X
an Bn (x (x)
n=0
es su expansión en la base de Mahler, an
= =
P P n
n
r g (0) = (1) n
n
i=0
( 1)
i=0
n i
i
n i
n
g (n
= ( 1)n 2n
69
P
i) = = (2) n
i=0
( 1)i
n i
( 1)ni
Luego si denotamos g (x) = (1)x , entonces 1
X
x
( 2)n Bn (x (x) ;
( 1) =
Ejemplo 4.5
Sea Sea f =
P
n=0
1
an Bn
n=0
8 x 2 Z : 2
2 C (Z ! Q ). Entonces su suma inde…nida Sf (Ver p
p
Supongamos que Sf =
P
P 1
proposición 2.2.2) tiene la expansión de Mahler Sf =
an1Bn . En efecto:
n=1
1
bn Bn . Entonces b0 = 0, pues Sf (0) (0) = 0. Utilizando las
n=1
fórmulas fórmulas Sf (x ( x + 1)
(x + 1) = B = B n (x (x) + B + Bn1 (x (x) y Bn (x
Sf (x ( x) = f (x (x)
( n 2 N),
podemos escribir 1
X
1
an Bn (x (x) = f (x ( x) =
n=0
X
1
bn Bn (x (x + 1)
n=1
1
=
X X
bn Bn (x (x)
n=1
1
X X
bn Bn1 (x (x) =
n=1
En consecuencia consecuencia
X
bn+1 Bn (x (x)
n=0
1
8 x 2 Z . p
1
an Bn = f = f =
n=0
bn+1Bn ;
n=0
= a n y como la representación es única, bn+1 = a
8n 2 N[ f0g.
Comentario: A pesar que en el análisis no-Arquimediano no se dispone de un concepto
semejante al de producto interno, es posible desarrollar un marco teórico similar al de las bases de Hilbert para los espacios “clásicos”. Lo que haremos es presentar algunos conceptos básicos de esta teoría,tales como el de ortogonalidad y el de base ortonormal de un espacio normado sobre Q p , para …nalmente probar que la base (normal) de Mahler es (en este nuevo contexto) una base ortonormal de C (Z p ! Q p ) 70
4.4. 4.4.
Orto Or togo gona nali lida dad d
De…nición 4.4.1 Sean x; y elementos
de un Q p- espacio normado (E; k k). Diremos
que x es ortogonal a y (lo cual denotaremos por x ? y ) si
kxk = m = m{n {n fkx yk : : 2 Q g p
Observaciones:
1. La de…nición anterior puede interpretarse diciendo que la distancia de x al espacio y : 2 Q p g es precisamente k xk, o que 0 es la “mejor unidimensional Q p y = fy :
aproximación” de x en Q p y:
2. Una de…nición similar puede ser dada para espacios de Banach sobre R o C, sin embargo, si el espacio no es de Hilbert la relación ? puede no ser simétrica. Por
ejemplo en R 2 con la norma k(a; b)k = jaj1 + jbj1 (la norma de la suma), según la de…nición anterior anterior (1; (1; 0) es ortogonal a (1; (1 ; 2), pero (1; (1; 2) no es ortogonal a (1; (1; 0) :
3. Una propiedad crucial es que en este contexto la relación ? es simétrica. simétrica. Probemos esta a…rmación: a…rmación:
Proposición 4.4.1
Sea Sea (E; k k) un espacio normado sobre Q p y sean x, y 2 E .
(a) Si x
k k yk kxk entonces k kx yk kyk (b) Si x ? y entonces y ? x . Prueba:
(a) y = (y
k k k x) + x + xk m m ax a x (ky xk ; kxk) = kx y k (b) Sólo necesitamos probar que k y xk kyk 8 2 Q . Esto es evidente para = 0. Si 6 = 0 tenemos que: p
ky xk = jj
p p
j j k k x
1 y
71
p p x = x , pues x
k k
? y: y :
Luego utilizando la parte (a ( a) se deduce que ky xk ky k. Esta simetría hace que ? sea importante y se mani…esta en la siguiente de…nición
altérnativa:
Proposición 4.4.2
Sea Sea (E; k k) un espacio normado sobre Q p y sean x, y 2 E . En-
kx + x + y y k = m = max a x (kxk ; ky k) tonces x ? y si y sólo si para cada ; 2 Q p se cumple k Prueba:
Supongamos x ? y y sean ; 2 Q p . Si = = 0 o = = 0, la igualdad de arriba es obvia.
= 0 y 6 = 0; entonces Supongamos pues que 6
kx + x + y y También
k j j k j j
ky + y + x x
= p p x
= p p y
y
j j k k k k j j k k k k
p p x = x ; pues x
x
? y: y :
p p y = y , pues pues y
? x
max a x (kxk ; ky k) kx + x + y y k y como kx + x + y y k m m ax a x (kxk ; ky k) (en por lo tanto m
virtud de la desigualdad triangular fuerte), se obtiene la igualdad.
x + y y k = max a x (kxk ; ky k) Recíprocamente, supongamos que k x +
8: 2 Q . En p
= max a x (kxk ; ky k) kxk. En consecuencia particular particular para = 1 se tiene que kx yk = m x
? y: y :
Motivados por la proposición anterior tenemos la siguiente: De…nición 4.4.2
Sea Sea (E; k k) un espacio normado sobre Q p. Una sucesión de vec-
ortogonal si para cada n 2 N y escalares tores x1 ; x2 ; : : : ; no nulos de E es llamada ortogonal 1 ; 2 ; : : :
2Q . p
X n
i=1
i xi = max a x ( i xi ) . 1in
k k
kxnk = 1 8 n 2 N, la sucesión es llamada ortonormal. ortonormal. Si además k 72
La diferencia con el concepto “clásico” de ortogonalidad es demostrado otra vez en la siguiente: Proposición 4.4.3
(E;
Sea Sea x1 ; x2 ; : : : ; una sucesión ortogonal en un Q p-espacio normado
k k) y sea y ; y ; : : : una sucesión en E tal ky x k < kx k 8n 2 N. Entonces tal que k 1
2
n
n
n
y1; y2 ; : : : es una sucesión ortogonal. Prueba:
Sean 1 ; : : : ; n 2 Q p, denotemos con x =
principio del triángulo isósceles kyik = kxik
X n
ky xk
=
i=1
P n
i xi y con y =
i=1
P n
i yi. En virtud al
i=1
8 1 i n; luego
j jk k j j k k k k
i (y (yi
xi )
max a x
1in
i p p yi
xi
no todos los i son ceros) < (si no < max a x
1in
= x .
i p p xi
Se sigue entonces que
kyk = kxk = max a x
1in
De…nición 4.4.3
j j k k j j k k i p p xi
= max a x
1in
i p p yi
:
Sea Sea (E; k k) un espacio de Banach no-Arquimediano sobre Q p . Una
base ortonormal de E si: sucesión e0 ; e1 ; : : : de elementos no nulos de E es es una base (i) e0 ; e1 ; : : : es una sucesión ortonormal. (ii) ii) Para cada x E existen escalares 0 ; 1 ; : : :
2
2 Q tales que x = p
Observaciones:
P 1
n en .
n=0
( ii)) es en el sentido de la norma. 1. La igualdad (ii x = 2. Si también x =
P 1
n=0
n en (0 ; 1 ; : : :
2 Q ) entonces p
73
n
8 2 N. En efecto:
= n n
0=
P 1
(n
n=0
m
) e , entonces si y n
n
P
m
=
(n
n=0
) e , es claro que n
n
X
j
m
0 = =
luego jn n j p p = 0
k0k =
l{m {m ym = l{m {m
m!1
l{m {m max a x
m!1 0nm
k k
j
n
( n
m!1
j
n p p
n ) en
n=0
= sup
j n
n0
n p p
8n 2 N[ f0g, en consecuencia = = 8n 2 N[ f0g. n
n
( ii)) es única. Es decir, la representación en (ii
3. Ahora estamos en condiciones de probar la siguiente: Proposición 4.4.4 La
( (Z p
C ! Q ) ; k k p
1)
base (normal) de Mahler B0; B1; : : : es una base ortonormal de
.
Prueba:
(i) En vista que la sucesión (Bn)n0 es una base normal de ( (Z p
C ! Q ) ; k k
deduce que kBn k1 = 1
p
, se
1)
8 n 2 N[ f0g (ver observación 3 de la de…nición 3.3.2). Ahora sean ; ; : : : ; 2 Q . Entonces 0
1
n
p
.
k B + + B k j B (0)j = j j kB k 0
0
n
0
n 1
0
0 p p
p p
0 1
Por la proposición 4.4.1 (a) se sigue que
k B + + B k k B + + B k 0
0
n
1
n 1
1
n
n 1
:
También
k B + + B k j B (1)j = j j kB k 1
1
n
1
n 1
1
1 p p
p p
.
1 1
Continuando en este camino
k B + + B k 0
0
n
n 1
max a x ( i Bi
0in
74
k
1)
k
= max a x
0in
j j i p p
y como k 0 B0 + + n Bnk1
max a x ( i Bi
0in
triangular fuerte), se obtiene que
k
k B + + B k 0
0
n
n 1
1)
k
(en virtud virtud de la desigual desigualdad dad
= max a x ( i Bi 0in
k
1)
k
.
( Bn )n0 es ortonormal. Por lo tanto la sucesión (B (ii) ii) Gracias al teorema de Mahler, para cada f 0 , 1 ; : : :
2 Q tales que f = p
P
2 2 C (Z ! Q ) existen (únicos) escalares
1
n Bn :
n=0
75
p
p
Capítulo 5 Aplicaciones de la base de Mahler y su relación con la base de Van der Putt Pu Uno de los aspectos interesantes de la expansión de Mahler de una función continua
2 2 C (Z ! Q ) es la existencia de condiciones simples sobre los coe…cientes de Mahler
f
p
p
que nos permitirán establecer si f es diferenciable, de Lipschitz o estrictamente diferenciable. Presentaremos también la base normal de Van der Put de C (Z p ! Q p ) consistente de
funciones localmente constantes y su relación con la base de Mahler.
5.1. 5.1.
Carac Caracter teriza izació ción n de funcio funcione nes s difer diferen encia ciabl bles es vía su expansión de Mahler
2 C (Z p ! Q p) y a 2 Z p: Sea f 2
Entonces la función
' : Z p x
! 7!
Z p ' (x) = x + a + a
76
es continua, luego f '
2 C (Z ! Q ) : p
p
Usando el Teorema de Mahler 1
f ' (x) =
X
an Bn (x (x)
n=0
' (0) ! 0 si n ! 1. donde a n = rn f
' (x) = f (' ( ' (x)) = f (x ( x + a + a)), además por inducción es fácil ver que Pero f n
n
r f ' (0) = r f (a ( a) 8 n 2 N[ f0g Así
1
f (x ( x + a + a)) =
X
bn Bn (x (x)
n=0
( a) ! 0 si n ! 1. donde b n = rnf (a
Ahora podemos probar la siguiente:
Proposición 5.1.1 (Caracterización de funciones diferenciables por sus coe…-
cientes de Mahler)
2 C (Z p ! Q p) y a 2 Z p. Entonces f es diferenciable en a si y sólo si Sea Sea f 2 bn = 0 en Q p ; donde bn = n!+1 n lm
En este caso
1
0
f (a) =
X
( 1)
n=1
n1
b n = n
n
r f (a ( a)
1
X
( 1)
n
r f (a ( a)
n1
n
n=1
Prueba
Supongamos que f es diferenciable en a, osea existe f (a) : 0
77
De…nimos g : Z p x
!
Q p
7!
g (x) =
8< :
f (x ( x + a + a)) f (a (a) ; x=0 x f (a) ; x = 0
6
0
Claramente g 2 C (Z p ! Q p ). Usando su expansión de Mahler. 1
g (x) =
X
cn Bn (x (x) ;
n=0
donde c n = rn g (0) ! 0; 0 ; si n ! 1. Luego
1
f (x ( x + a + a)) = f (a ( a) + xg + xg (x) = f (a ( a) +
X
(*)
cn Bn (x (x)
n=0
pero xBn (x (x) = (x
n) B (x (x) + nB + nB (x (x) = (n + 1) B n
n
(x (x) + nB + nBn (x (x)
n+1
8n 2 N[ f0g
En (*) 1
f (x ( x + a + a)) = f (a ( a) +
X X X
cn [(n [(n + 1) Bn+1 (x (x) + nB + nBn (x (x)]
n=0
1
= f (a ( a) +
[cn1nBn (x (x) + c + cn nBn (x (x)]
n=1
1
= f (a ( a) +
n (cn1 + c + cn) Bn (x (x)
n=1
pero ya vimos que 1
f (x ( x + a + a)) =
X
bn Bn (x (x) , donde b n =
n=0
78
n
r f (a ( a)
Por unicidad de los coe…cientes de Mahler (Ver Capítulo 3., referente a bases normales) bn = n = n (cn1 + c + cn ) ;
8 n 1
de donde: bn = c n1 + c + cn n
! 0; 0 ; si n ! + 1 en Q . p
bn = 0, entonces para x = 0 en Z p n!1 n
{m Recíprocamente, Recíprocamente, supongamos supongamos que l{m f (x ( x + a + a)) x 1 x
f (a ( a) =
6
1
X
bn B n (x (x) = x n=1
1
X
bn Bn1 (x (x n n=1
1) ;
1 n 0 , se tiene que
pues Bn (x (x) = Bn1 (x (x 1) ; n 1; 1 ; x 2 Z p ; x 6 =0 Como
bn n
!
1
X
bn Bn1 (x (x n n=1
1) 2 C (Z ! Q ) : p
p
b n = n
X
Luego si x ! 0 1
X
bn f (a) = Bn1 ( 1) = n n=1 0
5.1. 5.1.1. 1.
1
X
( 1)
n1
n=1
1
( 1)
n=1
n
r f (a ( a)
n1
n
Ejem Ejempl plos os
Ejemplo 5.1
( x) = ax Sea Sea a 2 B1 (1) Q p y f (x
sección 4.3 del capítulo 4)
2 C (Z ! Q ) (Ver ejemplo 4.1 de la p
p
Sea Sea b 2 Z p, entonces
X n
n
r f (b ( b) =
( 1)
j =0
n j
X n
n b+ j n j a = a b ( 1)n j a = a b (a j j j =0
79
n
1)
()
jaj = 1. Luego: Como ja 1j p p < 1 , se deduce del Principio del Triángulo Isósceles que j
r
n
f (b (b) n
=
p p
ab (a
1)
n
n
n p
ja 1j = jnj p p
p p
Como jQ p j p p = jQj p p = f pm/ m 2 Zg. Entonces
ja 1j = p = p
m
p p
para algún m > 0 en Z: En vista que en R p
l{m {m
mn
2
=+ :
1
n
n!+1
> 0;; 9 n 0 2 Z tal que n n 0 implica que p Para 1 > 0
mn
2
> n:
Luego para n n 0 , supongamos que el desarrollo en base p de n es n = a = a 0 + a + a1 p + p + ::: ::: + + a as ps ;
(n) = r s < Entonces V p (n
as = 0; ps
6
n
mn = p r y en (*) , luego n p p = p 2
j j
r
n
f (b ( b) n
En consecuencia si n ! +1
p p
pmn = r = p mn+r < p p
r
n
f (b ( b) n
! X
mn
2
0
p p
( x) = a x es diferencia Luego por la proposición 5.1.1 f (x diferenciable ble en b, más aún 1
0
f (b) =
X
( 1)
n
r f (b ( b) =
n1
n
n=1
(ver ( )), entonces
1
n
( 1) a
n=1
1
X
( 1)n f (b) = a (a n n=1 0
b
80
b
n
1)
(a
1) n
n
( x) = a x , tenemos que Como b 2 Z p fue tomado arbitrariamente y f (x 1
X
( 1)n f (x) = (a ) = a (x n n=1 0
Ejemplo 5.2
0
x
x
1)
n
;
8 x 2 Z : p
g 2 C (Z2 ! Q2 ) la función del ejemplo 4.4 de la sección 4.3, es decir, Sea Sea g
g (x) = ( 1)x ; x
2Z : Sea Sea b 2 Z , entonces 2
p
n
X r
n
r g ( b) = Además
( 1)
n j
j =0
n
g (b) n
2
n ( 1)b+ j = ( 1)b ( 2)n : j
b
( 1) ( 2) = n
n
2
2n = n
De manera similar al ejemplo anterior se puede probar que
r
n
g (b) n
!
0
2
2
si n ! +1:
g es diferenciable en b y como b fue tomado arbitrariaLuego por la proposición anterior g
mente en Z2 , tenemos 1
0
g (x) =
X
( 1)
n1
n=1
Ejemplo 5.3 Aquí
( 2)n ( 1) = n
x
1
X
2n ( 1) ; n n=1
x
8 x 2 Z
2
presentamos una función continua que no es diferenciable en 0 , para
ello consideremos: f : Z p x
! 7!
Q p f (x ( x) =
P
pn B pn (x (x)
n0
2 C (Z p ! Q p) : {m pn = 0 en Q p, se sigue de la parte (ii (ii)) del teorema de Mahler que f 2 Como l{m n!1
81
De otro lado por la unicidad de los coe…cientes an de Mahler, estos deben ser an =
8< :
pm ; 0
= p m si n = p
; en otro otro ccaso aso
para algún m 2 N [ f0g
;:::) es tal que Luego la subsucesión (a1 ; a p ; a p2 ; a p3 ;:::) a pm pm = m = 1, pm p
la cual no converge a cero en Q p . Así f no es diferenciable en 0 2 Z p
5.2. 5.2.
Carac Caracter teriza izació ción n de func funcion iones es de Lip Lipsc schi hitz tz vía su su expansión de Mahler.
De…nición 5.2.1 Una
de Lipschitz cuando existe una consfunción f : Z p ! Q p es de
jf (x ( x) f (y ( y)j p p M jx y j p p tante real positiva M tal que j
8x; y 2 Z . p
A continuación daremos un criterio que nos permita caracterizar las funciones continuas sobre Z p que son de Lipschitz: Proposición 5.2.1 (Caracterización
f = Mahler) Una función función f
j j n an p p
n0
P 1
2 C (Z ! Q ) es de Lipschitz si y sólo si la sucesión
an Bn
n=0
de funciones de Lipschitz por sus coe…cientes de p
p
es acotada en R.
Prueba:
Consultar por ejemplo [10], pág. 227 ó [11], pág 159. Ejemplo 5.4 En
( x) = como f (x
P 1
el ejemplo 5.3 vimos que la función continua f : Z p ! Q p de…nida
pn B pn (x (x) no es diferenciable en 0 0 , sin embargo, f es de Lipschitz desde
n=0
82
j j 8< j j j : 8< j j :
que la sucesión real n an p p
j
, en otr otro caso aso
0
1 , si n = p = p m para algún m
n an p p =
Ejemplo 5.5 Si
= p m para algún m 2 N[ f0g , si n = p
pm p pm p p
n an p p =
osea
sólo toma los valores 0 y 1, en efecto:
n0
0 , en otr otro caso aso
de…nimos g : Z p ! Q p tal que g (x) =
2 N[ f0g
P 1
pn B p2n (x (x) ; entonces g es
n=0
{m pn = 0. De otro lado sus coe…cientes de Mahler an son continua en Z p, pues l{m n!1
an =
luego n an p p =
j j
=
8< : 8< j j :8 <: j j P 2 C pm
= p 2m para algún m 2 N[ f0g , si n = p
, en otr otro caso aso
0
p2m p pm p p 0
pm 0
Ejemplo 5.6
Sea Sea f =
1
n=0
, en otr otroo caso caso
= p 2m para algún m 2 N[ f0g si n = p
en otro caso
por lo tanto la sucesión n an p p Lipschitz.
= p 2m para algún m 2 N[ f0g , si n = p
an Bn
n0
no es acotada en R, en consecuencia g no es de
! Q ). Entonces por el ejemplo 4.5 su suma
(Z p
p
P j j
inde…nida Sf tiene la expansión de Mahler Sf =
j j n an p p
n0
1
an1 Bn . Claramente la sucesión
n=1
es acotada en R si y sólo si n an1 p p
n0
es acotada en R. En consecuencia,
si f es de Lipschitz entonces Sf también es de Lipschitz.
83
5.3. 5.3.
Carac Caracter teriza izació ción n de funcio funcione nes s estri estricta ctame men nte diferenciables vía su expansión de Mahler.
Proposición 5.3.1 (Caracterización
de funciones estrictamente diferenciables por sus
2 C (Z p ! Q p) cuya expansión de Mahler es f f 2 f = coe…cientes de Mahler) Sea f
{m n jan j p p = 0 en R. Entonces f es estrictamente diferenciable si y sólo si l{m n!1
P 1
an Bn .
n=0
Prueba:
Consultar por ejemplo [10] ; pág 232 ó [11], pág 160. Ejemplo 5.7 Si
(x) = de…nimos f : Z p ! Q p tal que f (x
P 1
p2n B pn (x (x), entonces f es
n=0
{m p2n = 0 en Q p : Sus coe…cientes de Mahler son: continua en Z p ; pues l{m n!1
8< : 8< j j : an =
Luego
n an p p =
p2m
= p m para algún m 2 N[ f0g , si n = p
, en otr otroo caso caso
0
pm 0
= p m para algún m 2 N[ f0g , si n = p
, en otr otroo caso caso
{m n jan j p p = 0 en R, por lo tanto f es estrictamente diferenciable. En consecuencia consecuencia l{m n!1
Ejemplo 5.8
Sea Sea f 2 C (Z p ! Q p ) : Si f es estrictamente diferenciable entonces f es
{m n jan j p p = 0 en R R entonces la sucesión de Lipschitz. Para ésto bastará observar que si l{m n!1
j j n an p p
n0
es acotada en R.
En consecuencia la función del ejemplo 5.5 no estrictamente diferenciable.
Ejemplo 5.9
Sea Sea f
2 C (Z ! Q ). Si f es estrictamente diferenciable entonces Sf p
p
es estrictamente diferenciable. En efecto: Supongamos que la expansión de Mahler de f es f =
P 1
n=0
an Bn, entonces Sf =
l{m {m n an1 p p = 0 en R.
n!1
j
j
P 1
n=1
an1Bn ; luego l{m {m n an p p = 0 en R si y sólo si n!1
84
j j
5.4. 5.4.
La bas base e norm normal al de de Van Van der der Pu Put de
C (Z p ! Q p)
ar ar+1 a1 + + ::: + ::: + + a0 + a + a1 p + p + a a2 p2 + ::: su 1 r r p p p parte entera p-ádica de x como expansión p-ádica (desarrollo de Hensel). De…nimos la parte de x
De…nición 5.4.1
Sea Sea x 2 Q p y x =
[x] p =
ar ar+1 a 1 + + ::: + ::: + pr pr1 p
(x))n0 de…nida como: La sucesión (xn (x
xn (x (x) = p pn x p = n
ar ar+1 a 1 + + ::: + ::: + + a0 + ::: + ::: + + a an1 pn1 r r 1 p p p
es llamada llamada sucesión estándar de x: Observaciones:
1. Para cada n 2 N [ f0g
jx x (x (x)j n
p p
= an pn + an+1 pn+1 + ::: p p
en consecuencia l{m {m xn (x (x) = x en Q p :
1 ; pn
n!1
2. La sucesión estándar de un elemento x negativos.
2
Z p consiste solamente de enteros no
3. Escribiremos m C x si m es uno de los números x0 ; x1 ; x2 ;::: Proposición 5.4.1 Las
:::; denidas como funciones e0 ; e1 ; :::;
em : Z p
!
Q p
x
7!
em (x (x) =
son localmente constantes. 85
8< :
1 ; si m C x 0 ; otro caso
Prueba.
Sea m 2 N [ f0g y a 2 Z p :
(a) = 1 signi…ca que m C a Si em (a
+ a1 p + p + a a2 p2 + :::, Como m C a entonces m = xn (a (a) ; para Supongamos que a = a0 + a
algún n 2 N [ f0g : Así
m = a = a 0 + a + a1 p + p + ::: ::: + + a an1 pn1 n = 0, es claro que m = 0: si n 1. En el caso que n =
Sea r 2 N de modo que r > m y U a = B p (a ( a) Z p : r
Luego si x 2 U a entonces jx aj p p < pr . De este modo si x = x = x 0 + x + x1 p + p + x x2 p2 + ::::
Entonces x0 = a = a 0 ; x1 = a = a 1 ;:::;xn1 = a = a n1 ; (x) = 1; 8 x 2 U a Z p : por lo tanto m C x, en consecuencia em (x
(a) = 0 signi…ca que m no es ningún elemento de la sucesión estándar de a, Si em (a
= 0: luego m 6
= B p (a (a) Z p ; em (x (x) = 0 De modo análogo se prueba que si x 2 V a = B m
Observaciones:
1. Para cada n 2 N [ f0g ; em 2 C (Z p ! Q p ), pues por la proposición anterior em es localmente constante.
2. Sea m 2 N escrito en base p m = a = a 0 + a + a1 p + p + ::: ::: + + a as ps ;
86
donde a s 6 = 0: Entonces escribiremos m = a = a 0 + a + a1 p + p + ::: ::: + + a as1 ps1 :
Observamos que jm m j p p = jas ps j p p = p s Además como ps
osea s
s+1
m < p ) s log p log p log m (s ( s + 1) 1) log log p
log m < s + 1, por lo tanto s = s = log p log p
Proposición 5.4.2 Las
2 log m log p log p
N.
funciones e0 ; e1 ;::: introducidas en la proposición 5.2.2 forman
C (Z p ! Q p) denominada base base de Van der Put. una base normal de C 2 C (Z p ! Q p) tiene la expansión Además si f 2 1
f (x ( x) =
X
am em (x (x) ;
m=0
(0) y am = f = f (m ( m) f (m ( m ) para m 2 N: entonces a0 = f (0) Prueba.
2 C (Z p ! Q p) y supongamos que existen a 0; a1; :::; :::; 2 Q p tal que Sea f 2 1
f (x ( x) =
X
an en (x (x) ;
n=0
8 x 2 Z : p
Entonces f (0) (0) = a = a 0: f (m m) = Sea m 2 N, entonces f (
P
an y f (m ( m ) =
mCn
P
an . Digamos que
mCn
m = b = b 0 + b + b1 p + p + b b2 p2 + ::: + ::: + b bs1 ps1 + bs ps
87
Entonces x0 (m (m) = 0 = x 0 (m (m ) x1 (m (m) = b0 = x 1 (m (m )
.. . xs1 (m (m) = b0 + b + b1 p + p + ::: ::: + + b bs2 ps2 = x s1 (m (m ) xs (m (m) = m = x = x s (m (m )
También xs+k (m (m) = x s (m (m ) = m ;
8 k 1
y xs+1 (m (m) = m = m = x x s+k (m (m) ;
Por lo tanto
8 k 1
s+1
f (m ( m) =
X
s
( m) = y f (m
axj (m ( m)
j =0
X
axj (m ( m )
j =0
De donde f (m ( m) f (m ( m ) = a x +1 (m (m) = a m , osea s
am = f (m ( m)
(+)
f (m ( m
) ;
ésto prueba la última parte de la proposición. Ahora veamos que (em)m0 es efectivamente una base normal de C (Z p ! Q p ). Para
ello consideremos la sucesión m
gm =
X
(f (k ( k)
k=1
f (k ( k
)) ek
2 C (Z ! Q ) ; p
p
max a x
j
m
1
Luego si n > m 1
X n
kg g k m
m 1
=
k=m+1
(f (k ( k )
f (k ( k
)) ek
1
88
+1km n+1
f (k ( k)
f (k ( k
jk k
) p p
ek
1
Pero kek k1 = 1, entonces
kg g k m
m 1
max a x
+1km n+1
j
f (k (k )
j
f (k ( k
()
) p p
De otro lado lm f (m (m) f (m ( m) = 0. En efecto: m!1
Sea " > 0 dado. Como f es uniformemente continua en Z p existe > 0 tal que
x; y
2 Z y jx yj < implica implica que p
p p
()
jf (x ( x) f (y ( y)j < " p p
= p s(m) , donde Pero por la observación 2, jm m j p p = p s (m) =
log m log p log p
log m log p log p
>
1;
R : luego lm jm m j p p = 0 en R: m!+1
Así para > 0 existe m 0 2 N tal que si m m 0
jm m j
p p
< :
Luego por ()
jf (m ( m) f (m ( m )j
p p
< ":
( gm )m1 es de Cauchy en C (Z p ! Q p ) Usando este último resultado en () vemos que (g
y como C (Z p ! Q p ) es Q p -Banach -Banach existe 1
lm gm =
m!+1
X
(f (m ( m)
m=1
f (m ( m
)) em
2 C (Z ! Q ) p
p
De…nimos 1
g = f = f (0) (0) e0 +
X
m=1
(f (m ( m)
f (m ( m 89
)) em
2 C (Z ! Q ) p
p
Así g (0) = f = f (0) (0) y por lo probado en (+) g (m)
g (m
)
= f (m ( m)
f (m ( m
)
Entonces por inducción f (m ( m) = g (m) ;
8 m 2 N [ f0g :
Y como N es denso en Z p y f y g son continuas en Z p, se tiene que f = g en Z p : De este modo
1
X
(f (m ( m)
lm f (m ( m)
f (m ( m
f = f (0) (0) e0 +
f (m ( m
m=1
Más aún como m!+1
)
)) em
= 0;
tenemos satisfecha la condición BN1 de la de…nición 3.3.2. Para culminar veamos BN2
kf k
1 =
sup f (x ( x) p p =
x2Zp
j
j
sup m2N[f0 [f0g
(0) = a = a 0 y f (m ( m) = (pues N es denso en Z p) y como f (0)
jf (m ( m)j
p p
P
an ; m
nm
Entonces
kf k
sup
1
m2N[f0 [f0g
1: 1 :
ja (m)j : p p
De otro lado
ja j = jf (0) (0) j kf k 0 p p
y
jf (m ( m) f (m ( m )j max ax p p
p p
j
1
j k k 8
f (m ( m) p p ; f (m ( m) p p
j j
90
f ;
m
1
Entonces sup m2N[f0 [f0g
ja (m)j kf k
En consecuencia consecuencia kf k1 = sup ja (m)j p p :
1
p p
m0
Observación: También es posible probar que la sucesión de funciones e0 , e1 , : : : es una
base ortonormal de C (Z p ! Q p ), en el sentido de la de…nición 4.4.3.
5.5. 5.5.
Relac Re lación ión en entre tre las base bases s de Mah Mahler ler y de de Van Van der der Put
( Bn )n0 y la base de Van der Put (e (en )n0 tienen la misma cardinaLa base de Mahler (B
lidad (ambas son numerables), ésto era algo ya previsible de acuerdo al corolario de la proposición 3.3.3. Además por la proposición 3.3.1 existe un único isomor…smo ' :
C (Z ! Q ) ! C (Q (Q ) p
p
0
p
de Q p -espacios de Banach tal que ' (Bn) = n ;
8 n 0
También por la misma proposición existe un único isomor…smo :
C (Z ! Q ) ! C (Q (Q ) p
p
0
de Q p -espacios de Banach de modo que (en ) = n ;
91
8 n 0
p
En consecuencia consecuencia 1
C (Z ! Q ) ! C (Q (Q ) ! C (Z ! Q ) p
p
0
p
p
p
= 1 ' es un isomor…smo de Q p -espacios de Banach tal que
(Bn ) = e n ;
8 n 0: 0 :
Osea “transforma” la base normal de Mahler en la base normal de Van der Put de
C (Z ! Q ) p
p
92
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