Ejercicio de Matemáticas – Áreas con Integrales.
EJERCICIOS DE ÁREAS CON INTEGRALES Ejercicio nº 2.- Las siguientes gráficas corresponden a las funciones: y = x 3 − 2 x
e
y =
x 3 2
Y 8 6 4 2 − 8
− 6
− 4
− 2
y = x 2
4
3
−
2x 6
X
8
− 2
y =
x 2
− 4
3
− 6
Calcula el área del de la figura limitada por :
Solución: 3
x
3
3
2
2
− 2 x − x = x − 2 x 3
x
2
− 2 x = 0 →
3
x
− 4 x = 0 →
(
2
x x
− 4)= 0 →
x 1
= −2, x 2 = 0, x 3 = 2.
• Hay dos puntoss: [-2, 0]; [0, 2] 3 x 4 • G( x ) = x − 2 x = − x 2 2 8
∫
• G( − 2) = −2; G( 0 ) = 0; G ( 2 ) = −2
1
Ejercicio de Matemáticas – Áreas con Integrales. • Área del recinto I =
G( 0)
Área del recinto II =
− G( − 2) = 2
G( 2)
− G(0 ) = 2
• Área total = 2 + 2 = 4u2 Ejercicio nº 2.- Dada la gráfica de la función f (x):
Y f(x )
2 1 I
− 2
1
− 1
2
X
II
− 2 saiendo que el área del recinto I es 2 u 2 y que el área del recinto II es
19 u2 , calcula : 2
2
∫ f ( x ) −2
Solución:
2
∫ 2f ( x ) = "rea recinto −
I - "rea recinto II = 2 −
1! − 1 2 = u 2 2
2
Ejercicio de Matemáticas – Áreas con Integrales.
Ejercicio nº 3.- 2
Calcula
∫ f ( x ), siendo : !
x 2 + 1 f ( x ) = 2
si
! ≤ x < 1
si
1 ≤ x ≤ 2
Solución:
• #ntre 0 y 1: G1 ( x )
=
G1 ( 1) = 1
3
x 2 ( x + 1) = ∫ 3
4 ; 3
G1 (
+ x
0) = 0
4
∫ ( x + 1) = G ( 1) − G ( 0) = 3 2
1
0
1
• #ntre 1 y 2: G2 ( x ) =
G2 (
∫ 2 = 2x
2 ) = 4;
G2 ( 1) =
2
2
∫ 2 = G ( 2) − G (1) = 4 − 2 = 2 1
2
2
• $or tanto: 2
∫
f ( x ) =
0
4 10 +2= 3 3
3
Ejercicio de Matemáticas – Áreas con Integrales.
Ejercicio nº 4.- Calcula el área comprendida entre la función y = x 2 − 1 y el e$e X en el inter#alo [ !, 2]"
Solución:
• $untos de corte con el e%e X : x 2 − 1 =
0 →
x 1 = −1 , x 2 = 1
&olo nos sir'e
x
= 1 en el inter'alo [0, 2].
• (ene)os dos recintos: I [0, 1]; II [1, 2]
• G( x ) = ∫ ( x 2 − 1) = • G( 0 ) = 0; G (1) =
3
x
3 −2
3
− x ;
G (2 ) =
2 3
• Área del recinto I = G(1) − G ( 0 ) =
Área total =
2 3
2 4 * + = = 2u2 3 3 3
• +a r"ica no es necesaria; la inclui)os para 'isualiar el resultado: Y 3 2 1 II
− 2
− 1
I
1
2
3
X
− 1
y = x 2 − 1
4
Ejercicio de Matemáticas – Áreas con Integrales. Ejercicio nº 5.- 2
%alla el área comprendida entre la cur#a y = 2 x & 2 x ' 1 y la recta y ( ) x & 3"
Solución:
• 2 x 2 + 2 x − 1 − ( 4 x + 3 ) = 2 x 2 − 2x − 4
• 2 x 2 − 2 x − 4 = 0 →
• G ( x ) =
2
x
− x − 2 = 0 → 3
2 x ∫ ( 2 x 2 − 2 x − 4) =
3
G( 2)
=
=
x 1 = −1 1± 1+ 8 → 2 x 2 = 2
− x 2 − 4 x
3
/ • G( − 1) = ;
x
−20 3
• Área = ( 2) − ( − 1) = ! u2
• +as r"icas no son necesarias, pero las in clui)os para 'isualiar el resultado:
Y 10 8 6 4 2 − 8
− 6
− 4
y = 4 x + 3
− 2
2
4
6
8
X
− 2
y = 2 x 2 + 2 x − 1
5
Ejercicio de Matemáticas – Áreas con Integrales. Ejercicio nº 6.- %alla el área limitada por la función y = x 3 + x 2 − 2 x y el e$e X "
Solución:
• $untos de corte con el e%e X : x 1 = 0 x + x − 2 x = 0 → x ( x + x − 2) = 0 → − 1 ± 1+ 8 − 1± 3 x = 1 = → 2 x = 2 2 x 3 = −2 3
2
2
• Hay, entonces, dos recintos: I [ − 2, 0 ] ; II [ 0, 1 ] • G ( x ) =
•
G( − 2)
4
x ∫ ( x 3 + x 2 − 2 x ) =
4
8 =− ; 3
G( 0)
G( 1)
= 0;
+
=
x 3
3
− x 2
− 12
• Área del recinto I = G( 0 ) − G ( − 2 ) =
G(1) − G ( 0 ) =
Área del recinto II =
8 3
12
8 3/ 2 = u 3 12 12
• Área total = +
• +a r"ica no es necesaria, pero la inclui)os para 'isualiar el resultado: Y 4
2
−
4
−
2
2
−
y
=
x
3
+
x
2
−2
4
X
2
x
6
Ejercicio de Matemáticas – Áreas con Integrales.
Ejercicio nº 7.- Calcula el área del recinto limitado por las cur#as y = x 2 − 1 e y = 1 − x 2 "
Solución:
• x 2 − 1 − (1 − x 2 ) = 2x 2 − 2 • 2 x 2 − 2 = 0 • G( x ) =
→ x 1 = −1 , x 2 = 1
∫ ( 2 x
• G( − 1) =
2
4 ; 3
2 x 3 − 2) = − 2x 3
G (1) =
−4
3
• Área = G(1) − G ( − 1) =
8 2 u 3
+as r"icas no son necesarias, pero las i nclui)os para 'isualiar el resultado:
Y y = x 2 − 1 2 1
− 2
− 1
1
2
X
− 1 − 2
y = 1 − x
2
7
Ejercicio de Matemáticas – Áreas con Integrales.
Ejercicio nº 8 %alla el área del recinto limitado por la función f ( x ) = x 3
− ) x
y el e$e X "
Solución:
• $untos de corte con el e%e X : x 3 − 4 x =
x x 2 − 4 =
0 →
0
→ x 1 = −2, x 2 = 0, x 3 = 2
• Hay dos recintos : I [ − 2, 0 ] ; II [ 0, 2 ] 4
• G ( x ) =
x ∫ ( x 3 − 4 x ) =
G ( − 2)
G( 0 )
•
= −4;
4
= 0;
− 2 x 2 G( 2)
= −4
• Área del recinto I =
G ( 0)
− G( − 2) = 4
Área del recinto II =
G ( 2)
− G( 0) = 4
• Área total = 4 + 4 = 8 u2 • +a r"ica no es necesaria, pero la inclui)os para 'isualiar el resultado:
4
2
− 4
− 2
2
4
X
− 2
f ( x ) = x
3
−4
x
8
Ejercicio de Matemáticas – Áreas con Integrales. Ejercicio nº 2
Calcula el área limitada por la paráola y = x !1, la recta y = ) x - 3 y el e$e " "
Solución:
• x 2 + 1 − ( 4 x − 3 ) = x 2 − 4 x + 4 2 x − 4 x + 4 = 0
→
x =
2
Hay un recinto [0, 2].
∫
• G( x ) = ( x 2 − 4 x + 4) = • G( 2) =
8 ; 3
3
x
3
− 2 x 2 + 4 x
G( 0 ) = 0
• Área = G( 2) − G ( 0 ) =
8 2 u 3
• +as r"icas no son necesarias, pero las inclui)os para 'isualiar el resultado:
Y 10 8 6 4 2 − 8
− 6
− 4
− 2
2 − 2
4
6
8
X
y = 4 x − 3
y = x 2 + 1
9
Ejercicio de Matemáticas – Áreas con Integrales. Ejercicio nº #$ Calcula el área comprendida entre las cur#as y = 2 x 2 − * x ,
y = x 2 − 2 x
y
x = −1"
Solución:
• 2 x 2 − x − ( x 2 − 2 x ) = x 2 − 3x • x 2 − 3 x = 0
→ x 1 = 0, x 2 = 3
• Hay dos recintos: I [-1, 0]; II [0, 3] 3 x 2 • G( x ) = ( x − 3 x ) = − 3 2 −11 −! • G( − 1) = ; G ( 0 ) = 0; G (3 ) = * 2
∫
2
3
x
11 * ! • Área del recinto II = G( 3 ) − G ( 0 ) = 2 11 ! 1! 2 • Área total = + = u * 2 3 • +as r"icas no son necesarias, pero las inclui)os para 'isualiar el resultado: • Área del recinto I = G ( 0 ) − G ( − 1) =
Y 10 8 6 y = x
4
2
−
2x
2 − 8
− 6
− 4
2
− 2
4
6
8
X
− 2 − 4
2 y = 2 x − 5 x
1
