integral.doc

MATEMATIKA MATEMATIKA Kelas XII Program IPA

MODUL INTEGRAL

Coba kalian perhatikan gambar kubah di bawah ini! Tahukah kalian bagaimana cara menentukan luas dan volume dari kubah tersebut ? Ternyata konsep-konsep integral yang yang akan akan kita kita pelaja pelajari ri dapat dapat menolo menolong ng untuk untuk menyel menyelesa esaikan ikan permasa permasalah lahan an terseb tersebut. ut. Integr Integral al merup merupaka akann sala salahh satu satu baha bahasa sann dalam dalam kalk kalkul ulus us yang yang meru merupak pakan an caba cabang ng matematika.

A. Integ Integra rall Ta Tak Te Tentu 1. Pengert Pengertian ian integra integrall

Untuk mengetahui pengertian integral akan lebih mudah jika kita pahami dulu materi turunan yang telah dipelajari sebelumnya. e"inisi # Integral merupakan antiturunan sehingga jika terdapat "ungsi $%&' yang kontinu pada interval (a, b) diperoleh

d % F % x '' dx

* $+% x x' * f % x x'. ,ntiturunan

dari f % x % x x' adalah mencari "ungsi yang turunannya adalah f % x' ditulis ∫ f f % x x' d x

ecara umum dapat kita tuliskan #  f % x x' dx * $+% x x' dx * $% x x' / C Catatan# integral f % x f % x x' d x # disebut unsur integrasi dibaca 0 integral x' terhadap x0 ∫ f f % x x' $% x x'

C

# disebut integran %yang diitegralkan' # dise disebu butt "un "ungs gsii asa asall %"u %"ung ngsi si prim primit itiv ive e "un "ungs gsii poko pokok' k' # disebut konstanta 1 tetapan integrasi 23

MATEMATIKA Kelas XII Program IPA

4erhatikan tabel dibawah ini ! 4endi"erensialan $%&' &6 / 7& &6 / 7& / 6 &6 / 7& - 8 &6 / 7& / 7 &6 / 7& /C dengan C * konstanta ∈ 9

$5%&' * "%&' 6& / 7 6& / 7 6& / 7 6& / 7 6& / 7

4engintegralan :erdasarkan tabel diatas dapat kita simpulkan bahwa dari $%&' yang berbeda diperoleh $5%&' yang sama sehingga dapat kita katakan bahwa jika $5%&' * "%&' diketahui sama maka "ungsi asal $%&' yang diperoleh belum tentu sama. 4roses pencarian "ungsi asal $%&' dari $5%&' yang diketahui disebut operasi invers pendiferensialan ( anti turunan' dan lebih dikenal dengan nama operasi integral. ;adi secara umum perumusan integrasi dasar sebagai berikut# Integral fungsi aljabar

2. ∫ k d x 6.

∫ x

7.

∫ ax

n

dx = n

* k x / C x

n +2

n +2 a

dx =

+ C  bila n < -2

x n n + 2=

+2=

+ c dengan n ≠ −2

>. ∫ % f % x' ± g % x''dx = ∫ f % x'dx ± ∫ g % x'dx . ∫ a. f % x 'dx = a ∫ f % x 'dx dimana a konstanta sebarang. Integral fungsi trigonoetri

2. ∫ sin x dx = − cos x + C 6.

∫

sin% ax + b' dx = −

2 a

cos% ax + b' + C

7. ∫ cos x dx = sin x + C >.

∫

cos%ax + b' dx =

2 a

sin% ax + b' + C

Untuk mengerjakan integral "ungsi trigonometri akan digunakan kesamaan-kesamaan sebagai berikut berikut ini#

2@


1.

2.

3.

sin6 x /cos6 x * 2 sin6 x * cos6 x *

2

>. sin x. cos x *

6

sin 6 x 2

2

. 2 A cos x * 6 sin6

6 %2- cos 6 x'

6 2

2

6 %2 / cos 6 x '

8. 2 / cos x * 6 cos6 6

x

x

!onto" soal #

2. ∫

d& *

x ?

x

8

8

+ C > >

6.

∫

7.

∫

>.

∫ sin

7

d& *

x

∫ x

2 7

d& *

%6 x 6 − ? x + 7'dx = xdx =

6

. ∫ >dx

x 7 7 = x 7 + C > > 7

6 x 7 7

−

? x 6 6

2

+ 7 x + C 2

2

∫ 6 %2=− cos 6 x'dx = 6 x − > sin 6 x + C

= > x / C

Lati"an soal # 6

∫ x

−

2

2. ∫ %6 − 7x' d&.

8.

6. ∫ 6sinxdx

3. ∫ %cos x + sin 6 x' d&.

6

7. ∫ %2 + >.

∫

7

. ∫ x

x 6 x

@. ∫ cos

x ' d&.

6 x − 2

7

x

6

d&.

x d&.

6

B. ∫ 7 x% x + 2' d&.

d&.

d&

2.

∫ 7

dx x

?

d&.

$. %egunaan integral tak tentu

Degunaan integral tak tentu cukup banyak diantaranya adalah untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan kecepatan jarak dan waktu. 2B


4erhatikan contoh berikut # Sebuah molekul bergerak sepanjang suau garis koordina dengan persamaan percepaan a(!" #12 $ 2% m&deik. 'ika kecepaanna pada  " ) adalah 2) m&deik. *enukan persamaan kecepaan moleku lersebu +

4enyelesaian#

4ercepatan molekul a% ' * -26 /6> ehingga # v * ∫ a dt v * ∫ %−26 + 6>' dt v * -8 6 / 6> / C pada t* vo * 6 m1detik maka 6 *  /  / C C * 6 ;adi persamaan kecepatannya adalah v * -8 6 / 6> / 6 Lati"an soal #

2. Decepatan suatu benda bergerak adalah v% ' *  / 6 . ;ika s+% ' * v% ' dengan s% ' adalah jarak benda pada saat t detik. Tentukan rumus umum jarak benda tersebut! 6. iketahui rumus percepatan a% ' *  6 / 2 dan kecepatan v%' * 8. Tentukanlah rumus kecepatan v( t' jika a%t' * v+% '! 7. iketahui turunan "ungsi f dinyatakan dengan f ++% x' * 8 x6 A 6 x / 8 dan f %6' * -3. maka rumus "ungsi tersebut adalah .... >. Eradien garis singgung di tiap titik % x,' suatu kurva ditentukan oleh rumus f F% x' * 7 x%6 A x'. ;ika kurva tersebut melalui titik %-2' tentukan persamaannya! . ebuah kurva y * "%&' melalui titik %6'. ;ika persamaan gradiennya adalah f F% x' * 6 x A > tentukan persamaan kurva tersebut! &. Integral Tertentu

Integral tertentu dinotasikan dengan b

∫ f % x' d& * [ F % x'] * $%b' A $%a' b

a

a

Deterangan# f % x' adalah integran yaitu f % x' * $+% x'

a b adalah batas-batas pengintegralan (a b) adalah interval pengintegralan

!onto" soal # 6

2.

∫ x −6

6

7

d& *

2 >   > x  * −6

2 2 > >  > %6'  −  > %−6'  * % > A > ' * 

6


6

6.

6

2  2  2  % x 6 + > x' d& *  x 7 + 6 x 6  *  %6' 7 + 6%6' 6  −  %C' 7 + 6%C' 6  7  7  7 C C

∫

* %@17 / @ ' A %  /  ' * 2 η

η

6

6

7.

cos 6 x d&*

6 7

η

2

6 %2 + cos 6 x' d& *  6 x + > sin 6 x   C 6

2

∫

∫

C

C

2

π  π 2 π 2  2 π 2 . + sin 6% '  * % − C' + %C − C' = 6  6 6 > > 6 6 >

* Lati"an soal # 2

∫ %2 − x

2.

6

' d x * ....

−2 >

∫ %

6

x +

C

2 x

' d x * ....

C

7 ∫ %6 − x ' d& * .... −6

p

>. Carilah nilai p bila

∫ x%2 − x' d& *  pG ! C

7

. elidiki apakah ∫ > x

>

7

dx +

2 >

8. ∫

2

C

x

dx *

∫ > x

>

7

dx =

∫ > x

7

7

dx

2

....

η

3.

∫ sin xdx * .... C

2 1 6η

@.

∫ sin 6 xdx * .... 2 1 >η

6

B.

∫ % x

6

− 8 x + @'dx = ... .

C C

2. ∫ cos xdx * .... −η

!. Teknik Pengintegralan 1. Integral 'ubstitusi

4ada bagian ini akan dibahas teknik integrasi yang disebut metode substitusi. Donsep dasar dari metode ini adalah dengan mengubah integral yang kompleks menjadi bentuk yang lebih sederhana. 62


:entuk umum integral substitusi adalah sebagai berikut. du

∫ ( f %u ' dx )dx = ∫ f %u'du !onto" soal #

a. Tentukan ∫ 6 x% x + 7' dx ! b. Tentukan ∫ sin x.cos x dx ! 6

>

7

4enyelesaian# du

a. Hisalkan u * x 6 + 7  maka

dx

ehingga diperoleh ∫ 6 x% x

6

∫ 6 x u

+ 7' > dx *

* ∫ u * * b. Hisalkan u * sin x maka

du dx

ehingga diperoleh ∫ sin

du

= 6 x atau dx =

2

>

6 x >

6x

du

u ? + C

? 2 6 % x + 7' ? + C ?

= cos x atau dx =

x.cos x dx *

7

* ∫ u * *

du

2 > 2

>

∫ u 7

7

du cos x

cos x

du cos x

du

> u + C

sin > x + C

$. Integral Parsial

Teknik integral parsial ini digunakan bila suatu integral tidak dapat diselesaikan dengan cara biasa maupun dengan cara substitusi. 4rinsip dasar integral parsial adalah sebagai berikut. y * u .v →

dy * du.v / u.dv ∫ dy * ∫ v du / ∫ u dv y * ∫ v du / ∫ u dv 66


u.v * ∫ v du / ∫ u dv ∫ u dv * u.v - ∫ v du pengintegralan parsial integral tak tentu

pengintegralan parsial integral tertentu b

∫

∫ u v5 * uv - ∫ u5v

b

u v5 * [ uv]

b a

-

a

∫

u5v

a

b

∫ u dv * uv - ∫ v du

∫ b

u dv * [ uv]

a

b a

-

∫

v du

a

!onto" soal #

Tentukan ∫ x

6

sin x

d x !

4enyelesaian# !ara 1# dengan menggunakan rumus ∫ u dv * uv - ∫ Hisal # u * x6 → du = 6 xdx dv * sin x d x → v = ∫ sin xdx * - cos x

sehingga diperoleh ∫ x

6

sin x

v du

d x * x6. %-cos x' - ∫ %− cos x'6 xdx * x6. %-cos x' / ∫ cos x.6 xdx * - x6.cos x / 6 % x.sin x - ∫ sin xdx ' * - x6. cos x / 6 x. sin x /6 cos x / C

elain cara di atas dapat pula diselesaikan dengan cara sebagai berikut # untuk menentukan integral parsial bentuk ∫ udv yang turunan ke-k dari u adalah  dan integral ke- k dari v selalu ada.

!ara $#

iturunkan (

&6

iintegralkan sin &

- 6&

- cos &

/ 6

- sin &

- 

cos &

67


e"erensialkan sampai nol ehingga diperoleh

∫ x

6

⋅ sin xdx * - x6. cos x

/ 6 x. sin x /6 cos x / C

Lati"an soal #

elesaikan integral berikut dengan teknik substitusi atau integral parsial! 8. ∫ 7 x% x

∫ x ⋅ sin x dx ∫ 6 x x − >dx ∫ x + 3dx

2. 6. 7. >. .

6

7

6

+ ?' ? dx

3. ∫ 6 x. sin % x + 7' dx @. ∫ x 6 ⋅ sin xdx B. ∫ − x x + 3dx 2. ∫ 7 x ⋅ sin 8 xdx 6

6

∫ 7 x % x − 3' dx ∫ − 6 x. cos % x + 7'dx ?

D. Penggunaan Integral Tertentu. 1. Penggunaan Integral Tertentu) untuk eng"itung Luas Daera". Luas *aera" antara kur+a *engan subu , atau subu -

y



y * "%&'

&*a

 

&*a

&*b

%a'

y

&*b

&

&

y *"%&'

y2 * "%&'

y

% b'

y* sin & y6 * g%&' 

a

b

&



%c'

a

b %d'

Deterangan# %a' uas daerah di atas sumbu & %b' uas daerah di bawah sumbu & 6>

&


%c' uas daerah dibatasi oleh dua kurva %d' uas daerah dibatasi oleh y * sin& ari gambar diatas luas daerah yang diarsir # b

, *

∫ f % x' a

: *

d&

C *

2

a

a

b

− ∫ f % x'dx = ∫ f % x'dx

b

∫ % (

b

b

− ( 6 'dx

 *

a

∫ sin xdx a

!onto" soal #

Jitunglah luas daerah yang dibatasi oleh# 2. y *6& - 6 untuk  ≤ x ≤ 6 6. y2* &6 dan y6 * 6& /7 π 7. y * cos & untuk ≤ x ≤

6

7π 6

4enyelesaian# 2. y *6& - 6 Eambar dibawah memperlihatkan daerah yang dibatasi oleh kurva y*6&- 6 y* 6&-6 y  * 2 / 6



2

6

&

-2 -6 6

2* ∫ %6 x − 6'dx = [ x 6 − 6 x ]26 = % 66-26'-%6.6 A 6.2'* %>-2'-%>-6'*7-6*2 2 2

6* ∫ %6 x − 6'dx = [ x 6 − 6 x]2C = 26 − 6.2 = −2 C

;adi luas *2/ − 2 * 6 satuan luas 6. y2 * &6 dan y6 * 6& / 7 Eambar dibawah memperlihatkan daerah yang dibatasi oleh kurva . y2 * &6 dan y6 * 6& / 7 y

y*6&/7 6


B

-2

y*&6



menentukan batas-batasnya y2 - y6 *  jadi diperoleh 6 & - 6&-7* &2* -2 dan &6* 7 %& /2'%& A 7 '* %-2' sebagai batas bawah dan %7' sebagai batas atas.

7

7

*

∫ %6 x + 7' − x

6

d&

−2

    * 76 + 7.7 − .77  − − 26 + 7.%−2' − .%−27 ' 7 7    

7

*

2 7  6  x + 7 x − 7 x  −2

2



2

2 

* B − %2 − 7 + ' 7   * 2

6 7

satuan luas

atau dengan menggunakan cara cepat % khusus untuk luas yang dibatasi oleh dua kurva yang belum diketahui batas-batasnya'.  * ,

,

8a 6

ehingga luas menjadi # y * 6& / 7 - &6  * b6->.a.c * >- >.%-2'.7 *28 *

28 28 8.%−26 '

=

8> 8

= 2C

6 7

satuan luas

7. y * cos & 7π 6

 * - ∫ cos xdx * - [ sin x]

y

π

7π 6 π

6

* -%sin

7π 6

A sin

6 π

6

'

2 

y * cos & π

7π

6

6

&

Lati"an soal #

68

* - %-2 - 2' * 6 satuan luas


2. Jitunglah luas daerah yang dibatasi oleh garis dan kurva yang terdapat pada tiap soal berikut # a. y * 7& / > sumbu & dan garis & * 6 dan & * 8. b. y* 7& / > dan sumbu & c. y * 8& dan y6 * &6 A 6&. d. & * @ / 6y A y6  sumbu y  dan garis y * -2 dan y * 7 e. y * &7 sumbu & dan garis & *  dan & * 2. 6. engan menggunakan pengintegralan hitunglah luas daerah yang diarsir pada gambar berikut ini.

y

y K*7



y

2

 &

%a'

y*%&/2'6

-2  2 %b'

&

y*

x

y y



7

y*&-2

%e'

>

&

π

-2



2

-2 -6

&

-

π

6

π



6

-2 %c'

&

y*cos & %d'

$. Penggunaan integral tertentu) untuk eng"itung +olue ben*a /utar.

4engertian benda putar adalah suatu bentuk bidang datar yang diputar sejauh 78o terhadap suatu garis pada bidang datar tersebut sebagai sumbu putarannya perhatikan gambar berikut#

63


:MNTUD :I,NE ,T,9 2. ,

:

2.

J,I 4MNE,H,T,N 2. O,:C diputar dengan ,: sebagai pusat sumbu putar. ,

C :

C5 6.

C

C

6. O:C diputar dengan : ebagai pusat sumbu putar. C

:



 :

7.

D

C5 7.4ersegi panjang ,:C diputar dengan DH sebagai pusat sumbu putar.



H

D

N



H Lolume benda putar mengelilingi sumbu & y

N

" f(x!

b

L*

∫

π % f % x'

6

d&

∆ x

a

D

,

!

f(x!

:

x2

L*

∫

π (

6

d&



a

x6

d sumbu y 6. Lolume benda putar  mengelilingin y 6@ c

b

&


d

L * π ∫ % f % ('' 6 dy c

( 6

L * π ∫ x dy 6

& * "%y'

(2

 7. Lolume benda putar yang dibatasi oleh dua kurva.

&

b

∫

L * π {% f 2 % x' − % f 6 % x' P d& dengan " 2%&' G " 6 %&' yang mana a Q & Q b 6

6

a x 6

6 6 L * π ∫ % ( 2 − ( 6 ' d& x2

!onto" soal #

2. Jitunglah volume benda putar yang terjadi jika yang daerah dibatasi kurva y * & / 2 & *   & * 6 dan sumbu & diputar mengelilingi sumbu & sejauh 78o. y 4enyelesaian # y*&/2 2 

-2

L * π ∫ f

∫

*

2 7  6  7 x + x + x  * C

68 7

6

C

C 6

π

∫

% x' d& * π % x + ' dx * π % x 6 + 6 x + 2' dx

C

*

6

6

6

6

π

&

6

2 7 68  2 7  6 % . 6 6 6 ' % C + C 6 + C' * π % + + − '  7 7. 7 

π

satuan volume

6. Jitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi y * %& - 6'6 sumbu y  y *  dan y * 7 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 78o. 4enyelesaian# 6B


dimana %& - 6'6 * y menjadi & * 7

L * π ∫ x

7

6

d(

2

6

( 6 +

7

* π ∫ %

C

* π 

/6

(

∫

( + 6' d( = π % ( + > ( + >'d( 6

C

C 7

@  2  B  ( ( + > (  = π  .7 6 + .7 7 + >.7 =  + @ 7 + 26π 7 7 C 6  6 

@

y

y * %& - 6'6

7

6

&

Lati"an soal #

2. Jitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva berikut diputar mengelilingi sumbu R sejauh 78o. a. b. c.

y * 7& - 6 dan y * &6 y * & - 2 dan y * 7 - & y * sin &  C ≤ x ≤

2

π

6

6. Jitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva berikut diputar mengelilingi sumbu K sejauh 78o.  a. y * x dan y * 2 b. y * & / 2 untuk 2Q y Q > c. y * B − x 6  garis y * -B dan y * B U0I %OMPETEN'I $

A. &ubu"kan tan*a silang 23 /a*a alternatif ja4aban ang /aling te/at5

2. ,nti derivati" dari "%&'*

2 7

x 7 − 8 x 6 + @ x adalah

a. &6 A 26& / @ / C

c.

b. &7 - 8&6 / & / C

d.

2 B 2 7

...

x − 7 x + @ x + C >

7

6

e.

2 26

x − 6 x + > x + C >

7

6

x + 8 x + @ + C 6

6. iketahui "5%&'*6&-7 merupakan turunan dari "%&' "%2'*-8 "ungsi "%&' adalah ... a. &6 - 7& - >

b. &6 - 7& / >

c. &6 - 7& - @ 7

d. 6&6 - 7& - >

e. 6&6 - 7& / >


6

∫ %> x + a' d&*26 maka nilai a adalah ...

7. ;ika

−6

a. 8

b. 7

c. 6

d. 2

e. 

>. uas daerah yang dibatasi oleh kurva y * &6 A 28 sumbu R sumbu K dan & * > adalah ... satuan luas a. @ .

2

b. >6

7

∫

c. >@

7

d. >7

e. 62

2

%2 +

a. & -

6

' d& * ... 6 x 2 2 + C b. &- 7 + C x x

2

c. &/ + C

2

e. &- + C

d. -6&-7 /C

x

x

8. Lolume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y * @ - 6& garis & * 2 dan garis & * 7 diputar mengelilingi sumbu & adalah ... a. 7>

6 7

b. 7> π

π

c. 7

6 7

d. @2

π

2 7

e. 277

π

2 7

π

3. uas daerah yang diarsir pada gambar dibawah adalah.........satuan luas y

a.6 y * & /7

d.8

?

b. 27

8

?

e. 

8

2

c.3

6

2 8

? 8

& y * -&6 / B 2

@. Nilai

∫ ? x%2 − x'

8

d& * S.

C

a.

3? ?8

b.

2C ?8

c.

?

d. −

?8

3 ?8

e. −

2C ?8

B. ∫ 7 x. cos 6 x d& * ... a. 7& sin 6& / 7 cos 6& /C

c.

b. 7& sin 6& / cos 6& /C

d. e.

7

x sin 6 x −

7

cos 6 x + C 6 > 7 7 x sin 6 x + cos 6 x + C 6 > 7 7 x sin 6 x − cos 6 x + C 6 >

2. ;ika daerah yang diarsir pada gambar di bawah diputar mengelilingi sumbu & sejauh 78o maka volum benda putar yang terjadi adalah ... 72


y

y*&



6

a. 7B b. 22.

6

π

∫ a.

b.-

2

x 6

x − >

> 2

>

2 x 2

x + >

c. 8 π satuan volume

satuan volume

2

% x 7 −

&

satuan volume

π

277



6B

d.

6

π

62

e.

6

π

satuan volume

satuan volume

'd& * .... + C

c.

+ C

d.

x

2 > 2

>

x + >

2

x − >

x 2

x

+ C

e.

2 >

x > −

2 x

6

+ C

+ C

2

η

7

26.

∫ %7 cos x − ? sin x' d& * ...

2 8

η

a. > A > 7 c. 2/ 7 e. .- > / 7 b. 2- 7 d. -2 / 7 27. uas daerah yang dibatasi oleh kurva y * >& / > y * &6 garis & *  dan garis & * 6 adalah...satuan luas a. 2@

6 7

b.2>

6 7

c.27

2

d.@

7

6 7

2>. uas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini adalah... y y * &6 A 8& / B



7

a. B satuan luas b. 3

2 6

satuan luas

& c. 8 satuan luas d. >

2 6

e. 7 satuan luas

satuan luas

2. ;ika $ ′% x' * @ x A 6 dan $%' * 78 maka $% x' * S 76

e.6

6 7


a. @ x6 A 6 x A 2B b. @ x6 A 6 x A 2>

c. > x6 A 6 x A 3> d. > x6 A 6 x A >

e. > x6 A 6 x - B

a

∫ 6 x + 7dx = 2@  dengan

28.

a G 2  maka nilai a ....

o

a. 6 7

6

∫ x

23.

b. 7 7

c. >

d. 

e. 8

dx = .....

2

a. 2

b.

@

2 c. −

B

d. −

B

2C

e. . −

B

26 B

2@. ∫ sin x cos x dx * ... sin8 x / C 2 8 8 cos x / C

a. b.

2

8

∫ x%

c. A 28 sin8 x / C d. A 28 cos8 x / C

2 >

sin> x / C

2

+ x 'dx = ... x 6 2 a. x x + x 7 + c c. 7 7 6 2 b . x 6 x + x 7 + c d. 7 7

2B. Jasil

e.

6

2 6 x x + x + c 7 7 6 2 x 6 x + x 7 + c 7 7

e.

6

2 6 x x + x + c 7 7

6. Tuliskan rumus integral yang menyatakan daerah yang di arsir pada gambar di bawah! y

y * &6 A 2

7



6

&

6

a.

∫ % x

− 2'dx

c.

∫ % x

2

−2

6

2

∫ % x

b.

6

6

6

− 2' dx

C

d.

∫ % x

C

6

6

− 2'dx − 2' dx

C

6

∫ x

7

∫ % x

−2

&. %erjakan soal6soal berikut ini *engan benar 5

2.

e.

dx = ....

−6

77

6

− 2'dx


6.

∫ %7

2

x −

x

+ 8'dx = S

7. uas daerah yang di arsir pada gambar adalahS. y 

-2  -2 7 >

>.

6



&

∏

∫ sin 2

2

x

d& *....

∏

. iketahui

d(

= > x + ? dan y * 26 untuk & * -6 persamaan kurvanya adalah....

dx

8. Lolume benda putar yang terjadi jika daerah pada kuadran pertama yang dibatasi oleh kurva ( = 2 −

x

6

>

 sumbu R sumbu K diputar mengelilingi sumbu R adalah...

3. Lolume benda putar yang terjadi jika daerah pada kuadran pertama yang dibatasi oleh kurva & * y6 / 2 sumbu R garis y * 2 diputar mengelilingi sumbu K adalah... @. Decepatan suatu benda yang bergerak dide"inisikan sebagai v * 6t / > . ,pabila jarak yang di tempuh benda tersebut setelah bergerak 6 detik adalah 2 meter maka jarak yang di tempuh benda tersebut setelah bergerak  detik adalah ... 2

B.

∫ x

6

% x − 8'dx = ...

−2

7 6

2. Jasil dari

∫ x

x 6 − 6 d& * ....

8

7>


%UN!I 0A7A&AN LATI8AN ULANGAN

2. M 6. , 7. : >. : . , 8. , 3. , @. C B.  2. ,

22. 26. 27. 2>. 2. 28. 23. 2@. 2B. 6.

C : C ,  : : , , ,

URAIAN

2.  6. 6 x 7. >. . 8. 3.

?

x + 8 x − 6 x + C

? 8

satuan luas

6 6 ( = 6 x 6 + ? x + 2>

28 2? 6@ 2?

π

satuan volume

π

satuan volume

@. >7 meter B. -> 2.

?8 7

7

integral.doc

Recommend Documents