Integração Integração Numérica
Integração Integração numérica •
•
Os prob proble lema mass de int integr egração ação numé numéri ricca sur surgem, gem, por por exempl emplo o, quan quando do é nece necess ssár ário io obt obter inform ormaçõe açõess de área área molh molhad ada a e rai raio o hidr idráuli áulicco de uma seção seção trans transve verrsal de um rio rio,, def defini inida da por por par pares de pon pontos x e ! "amb ambém sur surgem quan quand do é nec neces essá sári rio o discr screti# ti#ar uma funç unção anal anal$$tic tica cont$ ont$n nua, de forma qu que sua área se%a mantida!
Integração numérica 48 46 44 42 40 38 36 34 32 30 0
20
40
60
80
100
120
140
Integração numérica •
Idéia básica da integração numérica ⇒ substituição da função f(x) por uma ra#oavelmente no intervalo &a, b'!
Integração numérica
•
(ubstituição da função f(x) por uma função p(x) b
b
a
a
∫ f ( x)dx ≈ ∫ p( x)dx
Integração numérica •
O uso desta técnica decorre do fato de) –
–
por ve#es, f*x+ ser uma função muito dif$cil de integrar, contrariamente a um polinmioa .nica informação sobre f*x+ ser um con%unto de pares ordenados!
/étodos de integração numérica mais utili#ados •
01rmulas de Ne2ton34otes! –
5egra do "rapé#io simples, x67a e xn7b-
–
5egra do "rapé#io composta, x67a e xn7b-
–
,
67
n7
!
5egra do trapé#io simples f(x) x1
∫ f ( x)dx
x0
≈
h 2
[ f ( x ) + f ( x )] 0
f(x1)
1
fx
I = (b − a ) ⋅
f (a ) + f (b ) 2 x0
x1
Aproxima a área sob a curva pela área de um trapézio
x
5egra do trapé#io simples
Intervalo &a, b' relativamente pequeno!
aproximação do valor do integral é aceitável!
Intervalo &a, b' de grande amplitude!
aproximação inadequadapode3se subdividi3lo em n sub3intervalos, e em cada um a função é aproximada por uma função linear!
5egra do trapé#io composta
Intervalo &a, b' de grande amplitude! (oma da área de n trapé#ios, cada qual definido pelo seu sub3intervalo!
5egra do trapé#io composta
01rmula) xm
h
h
∫ f ( x)dx ≈ 2 [ f ( x ) + f ( x )] + 2 [ f ( x ) + f ( x )] 0
1
1
2
x0
+
h
... + [ f ( x N 1 ) + f ( x N )] 2
−
(1 os termos f*x6+ e f*xn+ não se repetem, assim)
x N
∫
x0
f ( x)dx ≈
h 2
( f ( x0 ) + 2 f ( x1 ) + ... + 2 f ( xn −1 ) + f ( x N ))
5egra do trapé#io composta Exemplo: Estimar o valor de ∫ (1 + x ) dx 4
2
−1 /
2
0
pela regra dos trapézios com dois pontos
x
y=(1+x²)-1/2
0,0
1,00000
4,0
0,24254
Regra do Trapézio Simpes! 2 pontos *x676,6 e x879,6+ I7h:;<*6=8+7;x*8,66666=6,;9;>9+ " 2,4#50#
x
y=(1+x²)-1/2
0,0
1,00000
2,0
0,44(22
4,0
0,24254
Regra do Trapézio $omposta! % pontos *x676,6,x8 7;,6,x; 79,6+ I7h:;*6=;8=;+78x*8,66666=;x6,99?;;= 6,;9;>9+ " 2,1%&'
5egra do trapé#io composta Exemplo: Estimar o valor de ∫ (1 + x ) dx 4
2
−1 /
2
0
x
y=(1+x²)-1/2
0.0
1,00000
0.5
0,89445
1.0
0,70711
1.5
0,55475
Regra do Trapézio $omposta! ' pontos
2.0
0,44722
I7*6,>:;+x*6=;8=;;=;@=;9=;>=;A=;?=B+ 72,0'%&
2.5
0,37138
3.0
0,31623
3.5
0,27473
4.0
0,24254
Regra do Trapézio Simpes! 2 pontos *x676,6 e x879,6+ I7h:;<*6=8+7;x*8,66666=6,;9;>9+ " 2,4#50#
Regra do Trapézio $omposta! % pontos *x676,6,x8 7;,6,x; 79,6+ 7
6
8 ; 7 x ,
x ,
,
" ,
A apox!ma"#o paa 9 po$%o& ' melo, ao *e o alo eal ' 2,0947.
•
•
Cxerc$cio) 4alcular a integral abaixo, usando a regra dos trapé#ios composta, para dois e para seis !
I =
3, 6
1
3
x
∫
dx
5egra do trapé#io 3 Crro
Crro)
ERRO! f(x)
C7ID"
" 3 valor da integral numérica! I 3 valor da integral obtida pela integração de f*x+!
f(x1)
f(x0)
x0
x1
x
5egra do trapé#io 3 Crro )rro da Regra do Trapézio Simpes
E ( f ) =
−
(b − a)3 12
f ´´(ξ ) = −
h
3
12
f ´´(ξ ),
para um certo ξ ∈ ]a, b[
)rro da Regra do Trapézio $omposta N
E N ( f ) =
−
h3
∑ 12 f ´´(ξ ) = − i
i =1
Nh 3 f ´´(ξ i ) 12
5egra do trapé#io 3 Crro 1
I = ∫ e dx , x
)*empo) (e%a
0
calcule uma aproximação para I usando a 5egra dos "rapé#ios (imples! Cstime o erro cometido!
h = b − a = 1− 0 = 1 x1
∫ f ( x)dx
x0
≈
h 2
1
[ f ( x ) + f ( x )] 0
1
∫
x
I = e dx ≈ 0
1 2
(e
0
+e
)
1
∫
I = e x dx ≈ 1,859141 0
5egra do trapé#io 3 Crro Cstimativa do erro cometido)
E TR
E TR
e1
=
≤
(1)3 12 1 12
= máx
x∈[ 0 ,1 ]
e x
ξ e , ξ ∈ (0,1)
máx
x∈[ 0 ,1]
e x
≈
0,226523
5egra de (impson f(x)
Aproxima a área sob a curva pela área de um po n m o e grau o s.
f(x1)
f(x2)
fx
x0
x1
x2
x
5egra de (impson
01rmula) x2
∫
f ( x )dx ≈
x0
x0
3
[ f ( x0 ) + 4 f ( x1 ) + f ( x2 )]
4onsiderando n sub3intervalos *n deve ser um n.mero par+)
x n
∫
h
f ( x)dx ≈
h 3
[ f ( x0 ) + 4 f ( x1 ) + 2 f ( x2 ) + 4 f ( x3 ) + L + 2 f ( xn
−2
) + 4 f ( xn −1 ) + f ( xn )]
Cxemplo Exemplo: Estimar o valor de ∫ (1 + x ) 4
2
−1 /
2
dx
0
Regra de 1+% se Simpson! % pontos *x676, x8 7 ;!6 e x;79,6+ I7h:@<*6=98=;+7;:@*8!6 = 9<6!99?;;=6!;9;>9+ " 2,020'5
egra
e
se
mpson!
pon os
I7h:@*6=98=;;==9@=9+7 8:@*8!6=9<6!?6?88=;<6!99?;;= =9<6!@8A@; = 6!;9;>9+ "
Regra de 1+% se Simpson! ' pontos I7h:@*6=98=;;==9@=;9=>=;A=9?=B+7
A apox!ma"#o paa 9 po$%o& ' melo, ao *e o alo eal ' 2,0947.
x
y=(1+x²)-1/2
0.0
1,00000
0.5
0,89445
1.0
0,70711
1.5
0,55475
2.0
0,44722
2.5
0,37138
3.0
0,31623
3.5
0,27473
4.0
0,24254
Cxerc$cios •
4alcular as integrais abaixo, usando a regra de 8:@ de (impson, para ; e para A subintervalos a letra a+ e para ; e 9 subintervalos a letra b+) 1.3
•
a+
1.0
1.6
•
•
∫
x x
b+ sen( x) dx 1.2 Eembrar que o cálculo de funções trigonométricas deve ser feito em radianos!
