Ingenieria de control moderna Ogata 5ta. Ed

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1.

CAPITULO

IX

Introducción a los sistemas de control

1-1. I a

I

Introducción

n:^,-,

r

1

t-4. Diseño y compensación de .ir,"_u, áJ';;";"11:l .:1.'::: :: l-5. Contenido del libro ..... capÍruro

z.

Modelado matemático de sistemas de control

2-1. Introducción ...,..

2

Función O"

trunrt.r"n.i" y

? a" r"rp""rr"'i*puiro .......... 2-3. Sistemas de control autom¿ticos :. .....lurPurbu 2-4. Modelado en el espacio de estados 2-5' Representación en el espacio ¿" "rrJ", ¿. rirr"-", ¿" ".uu.ion;, ;;i;_ , renciales escalares .

üerr_ae 3_i lfgl:::,:.:"1ô:::Ír", ;;;";;;i"á, """ ;;:";;,; Ejemplos de problemas y soluciones Problemas

c.rpÍrur,o ¡.

4 7 9 10

t3 13 15

t1 29 35

39 42 45

Modelado matemático de sistemas mecánicos y sisfemas eréctricos 3- 1. Introducción . 3-2. Modelado -ur"'o¿,i.o ¿" ,iri.-", ......

60 63

.

;;"i;";

t#

63 63

7 vi

Contenido

3-3.

CAPÍTULO

4.

Ejemplos de problemas y soluciones

86

Problemas

91

Modelado matemático de sistemas de fluidos y sistemas térmicos

100

4-1. Introducción 4-2. Sistemas de nivel de líquido 4-3. Sistemas neumáticos 4-4. Sistemas hidráulicos 4-5. Sistemas térmicos

100 101

106

r23 136


CApÍTULO

72

Modelado matemático de sistemas eléctricos

5.

....

"

'

140

Problemas

153

Análisis de la respuesta transitoria y estacionaria .... ...

159

5-1. Introducción 5-2. Sistemas de Primer orden 5-3. Sistemas de segundo orden 5-4. Sistemas de orden suPerior 5-5. Análisis de la respuesta transitoria con MATLAB " 5-6. Criterio de estabilidad de Routh .. .. y derivativa 5-1 . Efectos de las acciones de control integral

159 161

.

164

.

t79 183

212

en el comporta-

miento del sistema lluvrllv

5-8.

Errores en estado estacionario en 1os sistemas de control con realimenta-

ción unitaria Ejemplos de pro blemas y soluciones

....

6.

263

Análisis y diseño de sistemas de control por el método del lugar de las raíces 269

6-1. Introducción 6-2. Gráficas del lugar de las raíces 6-3. 6-4.

6-5.

269 210

"

de las raíces con MATLAB " Lugar de 1as ra?ces de sistemas con realimentación Diseño de sistemas de control mediante el método del lugar de las raí-

Gráficas del

ces

lular

positiva

..


7_4.

Diagramas áe ma-enitud logarítmica respecto de la

308

347

"

394

Análisis y diseño de sistemas de control por el método de la respuesta en

fiecuencia 7-1. Introducción 7-2. Diagramas de Bode 7-3. Dialramas Polares

303

321 330 342

Problemas 7.

290

311

6-6. Compensación de adelanto " " 6-1. Compensación de retardo " " 6-8. Compensación de retardo-adelanto 6-9. ComPensación Paralela

CApÍTULO

225

231

'

Problemas

CApÍTULO

2t8

fase

398 398 403 421 443

Contenido V¡i 7

-5.

7-6. 1-7. 7-8. 1-9.

t-10. 7

-tl.

7-12. 7-13.

Criterio de estabilidad de Nyquist Análisis de estabilidad Análisis de estabilidad relariva Respuesta en frecuencia en lazo cerrado de sistemas con realimentación

unitaria Determinación experimental de funciones de transferencia . Diseño de sistemas de control por el método de la respuesta en frecuencia Compensación de adelanto Compensación de retardo Compensación de retardo-adelanto .


8.

.....

Diseño de controladores pID mediante el método de respuesta en frecomputacional

Modificaciones de los esquemas de control PID .. . . .. . . Control con dos grados de libertad Método de asignación de ceros para mejorar las características de respuesta

Análisis de sistemas de control en el espacio de estados ...

648

definidos por su

.

Diseño de sistemas de control en el espacio de estados

10-1. Introducción ....

l0-2. 19 1 10-4. 10-5. 10-6.

I0-7.

582 590 592

648

649 6s6 660

.

668 675

682

Ejemplos de problemas y soluciones Problemas 10.

511

641

9-3. Transformación de modelos de sistemas con MATLAB . .. 9-4. Solución de la ecuación de estado invariante con el tiempo 9-5. Algunos resultados útiles en el análisis vectorial-matricial 9-6. Controlabilidad 9-7. Observabilidad

CAPÍTULO

568

614

9-1. Introducción ... 9-2- Representaciones en el espacio de estados de sistemas función de transferencia

511

s95

Ejemplos de problemas y soluciones Problemas 9.

493 502

567

Reglas de Ziegler-Nichols para la sintonía de controladores pID

cuencla

CAPÍTULO

486

49r

567

Introducción

8-4. Diseño de controladores PID mediante el método de optimización 8-5. 8-6. 8-7.

417

561

Controladores PID y controladores PID modificados ...

8-1. 8-2. 8-3.

4s4 462

521

Problemas

CAPÍTULO

445

688

720

.....

Asignación de polos Solución de problemas de asignación de polos con Diseño de servosistemas .

722

722

MATLAB

Observadores de estado

Diseño de sistemas reguladores con observadores . Diseño de sistemas de control con observadores .......

..

..

.

.

723 735 739

751 718 786

Prólogo

Este libro introduce conceptos importantes en el análisis y diseño de sistemas de control. Los lectores encontrarán un libro de texto claro y comprensible para seguir un curso en la universidad sobre sistemas de control..Está escrito para estudiantes de ingeniería mecánica, eléctrica, aeroespacial o química. Se supone que el lector ha completado los siguientes prerrequisitos: cursos de carácter introductorio sobre ecuaciones diferenciales, transfbrmada de Laplace, análisis vectorial-matricial, análisis de circuitos, mecánica y termodinámica. Las revisiones principales hechas en esta edición son como sigue:

o o o o

o

Se ha ampliado la utilización de MATLAB para obtener la respuesta de sistemas de control a diferentes entradas. Se demuestra la utilidad del enfoque de optimización computacional con MATLAB. A 1o largo de todo el libro se han añadido nuevos problemas como ejemplos. Con el fin de proporcionar espacio a temas más importantes se han suprimido ciertos materiales de ediciones previas que tienen una importancia secundaria. Los grafos de flujo de señal se han eliminado del libro. También se suprimió un capítulo sobre la transformacla de Laplace. En su lugar se presentan las tablas de transformada de Laplace y el desarrollo en fracciones simples con MATLAB en los Apéndices A y B respectivamente. En el Apéndice C se da un corto resumen sobre el análisis vectorial-matricial.

Esta edición de Ingeniería de Control Moderna está organizada en diez capítulos. El contenido del libro es el siguiente: El Capítulo I presenta una introducción a los sistemas de control. El Capítulo 2 trata el modelado matemático de sistemas de control. Se presenta también en este capítulo una técnica de linealización de modelos matemáticos no lineales. El Capítulo 3 analiza el modelado matemático de los sistemas mecánicos y eléctricos. El Capítulo 4 trata el moclelado de los sistemas fluídicos (tales como sistemas de nivel de líquido, sistemas neumáticos _v sisremas hidráulicos) y sistemas térmicos.

X

Prólogo

El Capítulo 5 trata el análisis de la respuesta transitoria y el estado estacionario de los sistemas de control. MATLAB se utiliza extensivamente para el análisis de la respuesta transitoria. El capítulo presenta el criterio de estabilidad de Routh para el análisis de estabilidad de los sistemas de control. También se estudia el criterio de estabilidad de Hurwitz. El Capítulo 6 aborda el análisis y diseño de sistemas de control mediante el lugar de las raíces, incluyendo los sistemas con realimentación positiva y los sistemas condicionalmente estables. Se estudia con detalle la representación del lugar de las raíces con MATLAB. Se estudia el método del lugar de 1as raíces para el diseño de compensadores de adelanto, retardo y retardoadelanto.

El Capítulo 7 presenta el análisis y diseño de sistemas de control mediante la respuesta

en

frecuenciá. Se trata el criterio de estabilidad de Nyquist de una forma fácilmente comprensible. Se analiza el método de los diagramas de Bode para el diseño de compensadores de adelanto, retardo y retardo-adelanto. El Capítulo 8 estudia los controladores PID básicos y modificados. Se presentan con cierto detalle loi métodos computacionales (en MATLAB) para obtener valores óptimos de los parámetros de los controladores que satisfacen ciertos requisitos de las características de la respuesta escalón.

El Capítulo 9 presenta un análisis básico de los sistemas de control en el espacio de estados. Se introducen los conceptos de controlabilidad y observabilidad. El Capítulo 70 analiza el diseño de sistemas de control en el espacio de estados. El estudio incluye la asignación de polos, observadores de estado y control óptimo cuadrático. A1 final del capítulo se presenta un análisis introductorio de los sistemas de control robusto. El libro se ha estructurado con la finalidad de facilitar la comprensión gradual de la teoría del control al estudiante. Se ha tratado de evitar cuidadosamente razonamientos con un fuerte contenido matemático en la presentación del material. Se proporcionan demostraciones matemáticas cuando contribuyen a la comprensión de los temas presentados. Se ha realizado un esfuerzo especial para proporcionar ejemplos en puntos estratégicos de forma que el lector obtenga una mejor comprensión de la materia que se analiza. Además, se ofrecen al final de cada capítulo, excepto en el Capítulo 1, una serie de problemas resueltos (problemas de tipo A). Se anima a1 lector a que estudie con cuidado todos estos problemas para obtener una comprensión más profunda de los temas analizados. Además, se proponen muchos problemas (sin solución) al final de cada capítulo, excepto en el Capítulo 1. Los problemas no resueltos (problemas de tipo B) se pueden utilizar para que el alumno los resuelva en casa o como parte de un examen. Si este libro se usa como texto para un curso semestral (56 horas de clase) se puede cubrir la mayor parte del material omitiendo ciertas partes. Debido a la abundancia de problemas ejemplos y problemas resueltos (problemas A) que pueden responder a muchas de las posibles preguntas que el lector pueda plantearse, este libro puede también servir como un texto de auto estudio para aquellos ingenieros que ya trabajan y que desean estudiar teoría de control básica. Quisiera expresar mi agradecimiento a los siguientes revisores de esta edición del libro: Mark Campbell, Cornell University; Henry Sodano, Arizona State University; y Atul G. Kelkar, Iowa State University. Finalmente deseo expresar mi más sincero reconocimiento a Ms. Alice Dworkin, Associate Editor, Mr. Scout Disanno, Señor Managing Editor, y a todas las personas que han estado involucradas en este proyecto, por la rapidez y el excelente trabajo de producción de este

libro. Katsuhiko Ogata

.

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lntroducción 0 los sistemos de control

l-

|

lntroducción Las teorías de control que se utilizan habitualmente son la teoría de control clásica (también denominada teoría de control convencional), la teoría de control moderno y la teoría de control robusto. Este libro presenta el tratamiento del análisis y diseño de sistemas de control basado en la teoría de control clásica y teoría de control moderno. En el Capítulo 10 se incluye una breve introducción a la teoría de control robusto. El control automático ha desempeñado un papel vital en el avance de la ingeniería y la ciencia. El control automático se ha convertido en una parte importante e integral en los sistemas de vehículos espaciales, en los sistemas robóticos, en los procesos modernos de fabricación y en cualquier operación industrial que requiera el control de temperatura, presión, humedad, flujo, etc. Es deseable que la mayoría de los ingenieros y científicos estén familiarizados con la teoría y la práctica del control automático. Este libro pretende ser un texto en sistemas de control para un nivel avanzado en el bachillerato o en la universidad. Todos los materiales necesarios se incluyen en el libro. La matemática relacionada con las transformadas de Laplace y el análisis vectorial y matricial se presentan en apéndices separados.

Breve revisión de los desarrollos históricos de la teoría

trol.

y práctica del con-

El primer trabajo significativo en control automático fue el regulador de velocidad centrífugo de James Watt para el control de la velocidad de una máquina de vapor, en el siglo dieciocho. Minorsky, Hazen y Nyquist. entre muchos otros, aportaron trabajos importantes en las

2

lngeniería de control moderna etapas iniciales dei desanollo de la teoría de control. En 1922, Minorsky trabajó en controladores

automáticos para el guiado de embarcaciones, y mostró que la estabilidad puede determinarse a partir de las ecuaciones diferenciales que describen el sistema. En 1932, Nyquist diseñó un procedimiento relativamente simple para determinar la estabilidad de sistemas en lazo cerado, a partir de la respuesta en lazo abierto a entradas sinusoidales en estado estacionario. En 1934, Hazen, quien introdujo el término sen)omecanismos para los sistemas de control de posición, analizó el diseño de los servomecanismos con relé, capaces de seguir con precisión una entrada cambiante.

Durante la década de los cuarenta, los métodos de la respuesta en frecuencia (especialmente los diagramas de Bode) hicieron posible que los ingenieros diseñaran sistemas de control lineales en lazo cenado que cumplieran los requisitos de comportamiento. En los años cuarenta y cincuenta muchos sistemas de control industrial utilizaban controladores PID para el control de la presión, de la temperatura, etc. A comienzos de la década de los cuarenta Z\egler y Nichols establecieron reglas para sintonizar controladores PID, las denominadas reglas de sintonía de Zie' gler-Nichols. A finales de los años cuarenta y principios de los cincuenta, se desarrolló por com-

pleto el método del lugar de las raíces propuesto por Evans. Los métodos de respuesta en frecuencia y del lugar de las raíces, que forman el núcleo de la teoría de control clásica, conducen a sistemas estables que satisfacen un conjunto más o menos arbitrario de requisitos de compor-tamiento. En general, estos sistemas son aceptables pero no óptimos desde ningún punto cle vista. Desde el final de la década de los cincuenta, el énfasis en los problemas de diseño de control se ha desplazado del diseño de uno de los posibles sistemas que funciona adecuadamente al diseño de un sistema óptimo respecto de algún criterio. Confbrme las plantas modernas con muchas entradas y salidas se vuelven más y más complejas, la descripción de un sistema de control moderno requiere una gran cantidad de ecuaciones. La teoría de control clásica, que trata de los sistemas con una entrada y una salida, pierde su potencialidad cuando se trabaja con sistemas con entradas y salidas múltiples. Hacia 1960, debido a la disponibilidad de las computadoras digitales fue posible el análisis en el dominio del tiempo de sistemas complejos. La teoría de control moderna, basada en el análisis en el dominio del tiempo y la síntesis a partir de variables de estados, se ha desanollado para manejar Ia creciente complejidad de las plantas modernas y los requisitos cada vez más exigentes sobre precisión, peso y coste en aplicaciones militares, espaciales e industriales. Durante los años comprendidos entre 1960 y 1980, se investigó a fondo el control óptimo tanto de sistemas determinísticos como estocásticos, así como el control adaptativo y con aprendizaje de sistemas complejos. Desde la década de los ochenta hasta la de los noventa, los avances en la teoría de control moderna se centraron en el control robusto y temas relacionados. La teoría de control moderna se basa en el análisis en el dominio temporal de los sistemas de ecuaciones diferenciales. La teoría de control moderna simplificó el diseño de los sistemas de control porque se basa en un modelo del sistema real que se quiere controlar. Sin embargo, la estabilidad del sistema depende del enor entre el sistema real y su modelo. Esto significa que cuando el controlador diseñado basado en un modelo se aplica al sistema real, éste puede no ser estable. Para evitar esta situación, se diseña el sistema de control definiendo en primer lugar el rango de posibles errores y después diseñando el controlador de fbrma que, si el error del sistema está en dicho rango, el sistema de control diseñado permanezca estable. El método de diseño basado en este principio se denomina teoría de control robusto. Esta teoría incorpora tanto la aproximación de respuesta en frecuencia como la del dominio temporal. Esta teoría es matemáticamente muy compleja.

Capítulo 1. lntroducción a los sistemas de control 3

Como esta teoría requiere una base matemática de nivel de licenciados, la inclusión de la teoría de control robusto en este libro está limitada únicamente a aspectos introductorios. El lector interesado en cletalles sobre la teoría de control robusto debería cursar previamente un curso de control de una licenciatura en una universidad.

Definiciones.

Antes de analizar los sistemas de control, deben definirse ciertos términos

básicos.

Variable controlada y señal de control o variable manipulada. La variable controlada es la cantidad o condición que se mide y controla. La señal de control o variable manipulada es la cantidad o condición que el controlador modifica para afectar el valor de la variable controlada. Normalmente, la variable controlada es la salida del sistema. Cc¡ntrolar significa medir el valor de la variable controlada del sistema y aplicar la variable manipulada al sistema para conegir o limitar la desviación del valor medido respecto del valor deseado. En el estudio de la ingeniería de control, es necesario definir términos adicionales que se precisan para describir los sistemas de control.

Plant&s.

Una planta puede ser una parte de un equipo , fal vez un conjunto de los elementos que funcionan juntos, y cuyo objetivo es efectuar una operación particular. En máquina de una este libro se llamará planta a cualquier objeto físico que se va a controlar (como un dispositivo mecánico, un horno de calefacción, un reactor químico o una nave espacial).

Procesos. El Diccionario Merriam-Webster define un proceso como una operación o un desarrollo natural progresivamente continuo, marcado por una serie de cambios graduales que se suceden unos a otros de una forma relativamente fija y que conducen a un resultado o propósito determinados; o una operación artificial o voluntaria que se hace de forma progresiva y que consta de una serie de acciones o movimientos controlados, sistemáticamente dirigidos hacia un resultado o propósito determinado. En este libro se llamará proceso a cualquier operación que se va a controlar. Algunos ejemplos son los procesos químicos, económicos y biológicos. es una combinación de componentes que actúan juntos y realizan un objetivo determinado. Un sistema no está necesariamente limitado a los sistemas físicos. El concepto de sistema se puede aplicar a fenómenos abstractos y dinámicos, como los que se encuentran en la economía. Por tanto, la palabra sistema debe interpretarse en un sentido amplio que

Sistemas, Un sistema

comprenda sistemas físicos, biológicos, económicos y similares.

Perturbaciones. Una perturbación es una seña1 que tiende a afectar negativamente el valor de la salida de un sistema. Si la perturbación se genera dentro del sistema se denomina interna, mientras que una perturbación exÍerna se genera fuera del sistema y es una entrada. Control realimentsdo. El control realimentado se refiere a una operación que, en presencia de perturbaciones, tiende a reducir la diferencia entre la salida de un sistema y alguna entrada de referencia, y 1o realiza tomando en cuenta esta diferencia. Aquí sólo se especifican con este término las perturbaciones impredecibles, ya que las perturbaciones predecibles o conocidas siempre pueden compensarse dentro del sistema.

r 4

lngeniería de control moderna

l-2 Ejemplos de sistemas de control En esta sección se presentarán algunos ejemplos de sistemas de control.

Sistema de control de velocidad. El principio básico del regulador de velocidad de Watt para una máquina se ilustra en el diagrama esquemático de la Figura l-1. La cantidad de combustible qu" ,á admite en la máquina se ajusta de acuerdo con la diferencia entre la velocidad de la máquina que se pretende y la velocidad real. La secuencia de acciones puede describirse del modo siguiente: el regulador de velocidad se ajusta de modo que, a la velocidad deseada, no fluya aceite a presión en ningún lado del cilindro de potencia. Si li velocidad real cae por debajo del valor deseado debido a una perturbación, la disminución de la fuerza centrífuga del regulador de velocidad provoca que la válvula de control se mueva hacia abajo, aportando más combustible, y la velocidad del motor aumenta hasta alcanzar el valor deseado. Pór otra parte, si la velocidad del motor aumenta por encima del valor deseado, el incremento en la fuirza centrífuga del regulador provoca que la válvula de control se

mueva hacia ariba. Esto disminuye el suministro de combustible, y la velocidad del motor

se

reduce hasta alcanzar e1 valor deseado. En este sistema de control de velocidad, la planta (el sistema controlado) es la máquina y la variable controlada es la velocidad de la misma. La diferencia entre la velocidad deseada y la velocidad real es la señal de error. La señal de control (la cantidad de combustible) que se va a aplicar a la planta (la máquina) es la señal de actuación. La entrada externa que se aplica para uit"rur la variable controlada es la perturbación. Un cambio inesperado en la carga es una perturbación.

Sistema de control de temperatura. La Figura 1-2 muestra un diagrama esquemático del control de temperatura de un horno eléctrico. La temperatura del horno eléctrico se mide mediante un termómetro, que es un dispositivo analógico. La temperatura analógica se convierte a una temperatura digital mediante un convertidor A/D. La temperatura digital se introduce en un contro[ador mediante una interfaz. Esta temperatura digital se compara con la temperatura de entrada programada, y si hay una discrepancia (error) el controlador envía una seña.l al

Aceite a + baja tensión .

Váhula piloto

I

{

Combustible+

Cerrar

Abrir

Vállula de control

Figura

t-

1-1.

Sistema de control de velocidad

Capítulo 1. lntroducción a los sisiemas de controi 5 Termómet¡o

Interfaz Controlador

t-a-rrt^d" I i programaaa Amplificador

Figura

1-2.

I

Interfaz

Sistema de control de temperatura.

calefactor, a través de una interfaz, amplificador y relé, para hacer que la temperatura del horno adquiera el valor deseado.

Sistemas empresar¡ales. Un sistema empresarial está formado por muchos grupos. Cada tarea asignada a un grupo representará un elemento dinámico del sistema. Para la coffecta

operación de este sistema áeben establecerse métodos de realimentación para informar de los Iógros de cada grupo. El acoplamiento cruzado entre los grupos funcionales debe reducirse a un minimo para evitar retardos de tiempo que no son deseables en el sistema. Cuanto más pequeño sea dichó acoplamiento, más regular será el flujo de señales y materiales de trabajo. Un sistema empresarial es un sistemaer lazo cerrado. Un buen diseño del mismo reducirá el control administrativo requerido. Obsérvese que las perturbaciones en este sistema son la falta de personal o de materiales, la interrupción de las comunicaciones, los errores humanos, etc. El establecimiento de un buen sistema de estimación, basado en estadísticas, es imprescindible para lograr una administración adecuada. Obsérvese que es un hecho bien conocido que el comportamiento de tal sistema puede mejorar mediante el uso de tiempo de previsión o anticipación. Con el propósito de aplicar la teoría de control para mejorar el comportamiento de este sistema, se debe representar la característica dinámica de los grupos componentes del sistema mediante un conjunto de ecuaciones relativamente simples. Aunque es ciertamente un problema difícil obtener representaciones matemáticas de los grupo, .o-ponentes, la aplicación de técnicas de optimización a los sistemas empresariales mejora significativamente el comportamiento de tales sistemas. Considérese, como ejemplo, una estructura organizativa en ingeniería que está constituida por una serie de grupos tales como gestión, investigación y desarrollo, diseño preliminar, experimentos, diseño de producto y delineación, fabricación y ensamblaje y verificación. Estos grupos se interconectan para constituir el sistema completo. Tal sistema se puede analizar reduciéndolo al conjunto más elemental de componentes necesarios que proporciona los detalles analíticos requeridos y representando las características dinámicas de cada componente mediante un conjunto de ecuaciones simples. (El comportamiento dinámico de este sistema se puede determinar a partir de la relación entre los resultados progresivos y el tiempo.) Se puede dibujar un diagrama de bloque funcional utilizando bloques para representar las actividades funcionales e interconectar líneas de señal para representar la salida de información

6


Investigación

v desarrollo

Figura

1-3.

Diagrama de bloques de un sistema de organización en ingenierÍa.

o producto de la operación del sistema. En la Figura 1-3 se muestra un posible diagrama

de

bloque.

Sistema de control robusto. El primer paso para el diseño de un sistema de control es la obtención del modelo matemático de la planta u objeto de control. En realidad, cualquier modelo de una planta que se quiere controlar incluirá un effor debido al proceso de modelado. Esto es, la planta real difiere del modelo que se va a utilizar en el diseño del sistema de control. Una aproximación razonable para asegurar que el controlador diseñado basado en un modelo

funcionará adecuadamente cuando se utilice con la planta real, consiste en asumir desde el comienzo que existe una incertidumbre o error entre la planta real y su modelo matemático e incluir dicha incertidumbre o error en el proceso de diseño del sistema de control. El sistema de control diseñado basado en esta aproximación se denomina sistema de control robusto. ó(r) y que el modelo matemático de Si se supone que la planta t"uiqu. se desea controlar "r la planta real es G(s), esto es

: G(s) :

G(r)

modelo de la planta real que tiene una incertidumbre A(s) modelo de la planta nominal que se va a utilizar en el diseño del sistema de control

é(r) y G(s) pueden

estar relacionados por un factor multiplicativo del tipo

G(s): G(s)[l + A(s)] o por un factor aditivo

d(r):G(s)+a(s) o de otras formas. Puesto que no se conoce la descripción exacta de la incertidumbre o error A(s), se utiliza una estimación de A(s) y en el diseño del controlador se emplea esta estimación, W(s). I4(s) es una función de transferencia escalar del tipo

llA(s)ll.- < llly(s)ll-,

:

max lw(jc'i)l

0-
donde lllV(s)ll- es e1 máximo valor de lWQro)l para 0 ( o.; ( oc y se denomina norma H infinito de I4z(s). Si se utiliza el teorema de la pequeña ganancia, el proceso de diseño conlleva la determinación del controlador K(s) que satisfaga la desigualdad,

iMs)l 1

+ K(s)G(s)ll,

Capítulo 1. lntroducción a los sistemas de control 7 donde G(s) es la función de transferencia del modelo utilizada en el proceso de diseño, K(s) es la función de transferencia del controlador y W(s) se escoge como una función de transferencia que aproxima A(s). En la mayoría de los casos prácticos, se debe satisfacer más de una desigualdad dependientes de G(s), K(s) y IV(s). Por ejemplo, para garantizar la estabilidad robusta y el comportamiento robusto se requiere que se satisfagan las dos desigualdades siguientes l,V-"t.s '.. lKt.slGtsl '-^ llll < I 'l ."'' I + K(s)Grs)

ll

ll

ll

llll w.t'l ll

para estabilidad robusta

,

| < | para comportamiento I

l+rKtstG(s)ll,

robusto

(En la Sección 10-9 se deducirán estas desigualdades). Hay muchas desigualdades de este tipo que se tienen que satisfacer en muchos sistemas diferentes de control robusto. (Estabilidad robusta significa que el controlador K(s) garantiza la estabilidad interna de todos los sistemas que pertenecen a un grupo de sistemas que representan el sistema de la planta real. Comportamiento robusto significa que el comportamiento especificado se satisface para todos los sistemas que pertenecen a este grupo). En este libro se supone que se conocen con precisión todas 1as plantas de los sistemas de control que se presentan, excepto las plantas que se discuten en la Sección 10-9, en la que se presentan aspectos introductorios de la teoría de control robusto.

I -3 Control

en lazo cerrado en comparac¡ón con control en lazo abierto Sistemas de control real¡mentados. Un sistema que mantiene una relación determi-

nada entre la salida y la entrada de referencia, comparándolas y usando la diferencia como medio de control, se denomina sistema de control realimentado. Un ejemplo sería el sistema de control de temperatura de una habitación. Midiendo la temperatura real y comparándola con la temperatura de referencia (temperatura deseada), el termostato activa o desactiva el equipo de calefacción o de enfriamiento para asegurar que 1a temperatura de la habitación se mantiene en un nivel confortable independientemente de las condiciones externas. Los sistemas de control realimentados no se limitan a la ingeniería, sino que también se encuentran en diversos campos ajenos a ella. Por ejemplo, el cuerpo humano es un sistema de control realimentado muy avanzado. Tanto la temperatura corporal como la presión sanguínea se conservan constantes mediante una realimentación fisiológica. De hecho, la realimentación realizaLLna función vital: hace que el cueryo humano sea relativamente insensible a las perturbaciones externas, permitiendo que funcione de forma adecuada en un entorno cambiante.

Sistemas de control en lazo cerrado. Los sistemas de control realimentados se denominan también sistemas de control en ktzo cerrctdo. En la práctica, los términos control realimentado y control en lazo cerrado se usan indistintamente. En un sistema de control en lazo cerrado, se alimenta al controlador la señal de eror de actuación, que es la diferencia entre la señal de entrada y la señal de realimentación (que puede ser la propia señal de salida o una función de la señal de salida y sus derivadas y/o integrales), con el fin de reducir el error y llevar la salida del sistema a un valor deseado. El término control en lazo cerrado siempre implica el uso de una acción de control realimentado para reducir el er:ror del sistema.

8

lngenierÍa de control moderna

Sistemas de control en lazo ab¡erto. Los sistemas en los cuales la salida no riene efecto sobre la acción de control se denominan sistemas de control en lazo abierto. En otras palabras, en un sistema de control en lazo abierto no se mide la salida ni se realimenta para compararla con la entrada. Un ejemplo práctico es una lavadora. El remojo, el lavado y el centrifugado en la lavadora operan con una base de tiempo. La máquina no mide la señal de salida, que es la limpieza de la ropa. En cualquier sistema de control en lazo abierto, la salida no se compara con la entrada de referencia. Así, a cada entrada de referencia le corresponde una condición de operación fija; como resultado de ello, la precisión del sistema depende de la calibración. Ante Ia presencia de perturbaciones, un sistema de control en lazo abierto no realiza la tarea deseada. En la práctica, el control en lazo abierto sólo se usa si se conoce la relación entre la entrada y la salida y si no hay perturbaciones internas ni externas. Es evidente que estos sistemas no son de control realimentado. Obsérvese que cualquier sistema de control que opere con una base de tiempo está en lazo abierto. Por ejemplo, el control de tráfico mediante señales operadas con una base de tiempo es otro ejemplo de control enlazo abierto.

Sistemas de control en lazo cerrado en comparac¡ón con s¡stemas en lazo

abierto. una ventaja del sistema de control

enlazo cerrado es que el uso de la realimentación vuelve la respuesta del sistema relativamente insensible a las perturbaciones externas y a las variaciones intemas en los parámetros del sistema. Es así posible usar componentes relativamente poco precisos y baratos para obtener el control adecuado de una planta determinada, mientras que hacer eso es imposible en el caso de un sistema en lazo abierto. Desde el punto de vista de estabilidad, el sistema de control en lazo abierto es más fácil de desarrollar, porque la estabilidad del sistema no es un problema importante. Por otra parte, la estabilidad es un gran problema en el sistema de control en lazo cenado, que puede conducir a coregir en exceso errores que producen oscilaciones de amplitud constante o cambiante. Debe señalarse que, para los sistemas en los que se conocen con anticipación las entradas y en los cuales no hay perturbaciones, es aconsejable emplear un control enTazo abierto. Los sistemas de control enlazo cerrado sólo tienen ventajas cuando se presentan perturbaciones y/o variaciones impredecibles en los componentes del sistema. Obsérvese que la potencia nominal de salida determina en forma parcial el coste, peso y tamaño de un sistema de control. El número de componentes usados en un sistema de control en lazo cerado es mayor que el que se emplea para un sistema de control equivalente en lazo abierlo. Por tanto, e1 sistema de control en lazo cerrado suele tener costes y potencias más grandes. Para disminuir la potencia requerida de un sistema, se emplea un control en Tazo abierto siempre que pueda aplicarse. Por lo general, una combinación adecuada de controles en lazo abierto y enlazo cerrado es menos costosa y ofrecerá un comportamiento satisfactorio del sistema global. La mayoría de los análisis y diseños de sistemas de control presentados en este libro son sistemas de control enlazo cerado. En ciertas circunstancias (por ejemplo, si no hay perturbaciones o la salida es difícil de medir) pueden ser deseables los sistemas de control en lazo abierto. Por tanto, es conveniente resumir las ventajas y desventajas de utilizar sistemas de control en lazo abierto. Las ventajas fundamentales de los sistemas de control en lazo abierto son las siguientes:

1. 2. 3.

Construcción simple y facilidad de mantenimiento. Menos costosos que el correspondiente sistema enlazo cerrado.

No hay problemas de estabilidad.

Capítulo 1. lntroducción a los sistemas de control

4.

I

Convenientes cuando la salida es difícil de medir o cuando medir la salida de manera precisa no es económicamente viable. (Por ejemplo, en el caso de la lavadora, sería bastante costoso proporcionar un dispositivo para medir la calidad de la salida de la lavadora, es decir, la limpieza de la ropa lavada.)

Las desventajas fundamentales de los sistemas de control en lazo abierto son las siguientes:

l-4

1.

Las perturbaciones y los cambios en la calibración originan errores, y la salida puede ser diferente de lo que se desea.

2.

Para mantener la calidad requerida en la salida, es necesaria la recalibración de vez en cuando.

Diseño y compensación de sistemas de control Este libro presenta aspectos básicos del diseño y compensación de los sistemas de control. La compensación es la modificación de la dinámica del sistema para que se satisfagan unas especificaciones determinadas. Las aproximaciones al diseño de sistemas de control y compensación que se presentan en este libro son la aproximación mediante el lugar de las raíces, la respuesta en frecuencia y la aproximación en el espacio de estados. El diseño de sistemas de control utilizando estos métodos se presenta en los Capítulos 6, '7, 9 y 10. El diseño de sistemas de control basado en compensadores PID se presenta en el Capítulo 8. En el diseño real de un sistema de control, el que se utilice un compensador electrónico, neumático o hidráulico debe decidirse en parte en función de la naturaleza de la planta que se controla. Por ejemplo, si la planta que se controla contiene fluidos inflamables, debe optarse por los componentes neumáticos (tanto un compensador como un actuador) para eliminar la posibilidad de que salten chispas. Sin embargo, si no existe el riesgo de incendio, los que se usan con

mayor frecuencia son los compensadores electrónicos. (De hecho, es común transformar las señales no eléctricas en señales eléctricas, debido a la sencillez de la transmisión, mayor precisión, mayor fiabilidad, una mayor facilidad en la compensación, etcétera.)

Especificaciones de comportamiento. Los sistemas de control se diseñan para realizar tareas específicas. Los requisitos impuestos sobre el sistema de control se dan como especificaciones de comportamiento. Las especificaciones pueden venir dadas como requisitos en la respuesta transitoria (como, por ejemplo, la máxima sobreelongación y el tiempo de asentamiento en la respuesta a un escalón) y requisitos en el estado estacionario (como, por ejemplo, el error en estado estacionario frente a una entrada tipo rampa). Las especificaciones de un sistema de control se deben dar antes de que comience el proceso de diseño. Para problemas de diseño rutinarios, las especificaciones de comportamiento (las cuales relacionan la precisión,la estabilidad relativa y la velocidad de respuesta) se proporcionan en términos de valores numéricos precisos. En otros casos, se ofrecen una parte en términos de valores numéricos precisos y otra parte en términos de planteamientos cualitativos. En este último caso, puede ser necesario modificar las especificaciones durante el proceso del diseño, ya que es posible que las especificaciones dadas nunca se cumplan (debido a que los requisitos producen conflictos) o conduzcan a un sistema muy costoso. Por lo general, las especificaciones de comportamiento no deben ser más restrictivas de lo necesario paru realizar la tarea definida. Si la precisión de una operación en estado estable es de vital importancia para un sistema de control, no se deben pedir especificaciones de comportamiento más restrictivas de lo necesario sobre la respuesta transitoria, ya que tales especifica-

710


ciones requerirán componentes costosos. Recuérdese que la parte más importante del diseño de un sistema de control es la precisión en el planteamiento de las especificaciones de comportamiento con el fin de obtener un sistema de control óptimo para el propósito deseado. es el primer paso para llevar al sistema a un comportamiento satisfactorio. Sin embargo, en muchos casos prácticos, ajustando úni-

Gompensación del s¡Stema. Establecer la ganancia

camente la ganancia tal vez no proporcione la alteración suficiente en el comportamiento del sistema para cumplir las especificaciones dadas. Como ocufre con frecuencia, incrementar el valor de la ganancia mejora el comportamiento en estado estacionario pero produce una estabilidad deficiente o, incluso, inestabilidad. En este caso, es necesario volver a diseñar el sistema (modificando la estructura o incorporando dispositivos o componentes adicionales) para alterar el comportamiento general, de modo que el sistema se comporte como se desea. Este nuevo diseño o u¿i"lOn de un dispositivo apropiado se denomina compensacióru. IJn elemento insertado en el sistema para satisfacer las especificaciones se denomina compensador. El compensador modifica el comportamiento deficiente del sistema original.

diseño.

En la aproximación de prueba y effor para el diseño de un del sistema de control y se ajustan los parámetros de matemático sistema, se parte de un modelo que proceso requiere más tiempo es la verificación del comun compensador. La parte de este portamiento del sistema mediante un análisis, despues de cada ajuste de los parámetros. El diseñador debe utilizar un programa para computador como MATLAB para evitar gran parte del cálculo numérico que se necesita para esta verificación. Una vez obtenido un modelo matemático satisfactorio, el diseñador debe construir un prototipo y probar el sistema en lazo abierto. Si se asegura la estabilidad absoluta en lazo abierto, el diseñador ciena el lazo y prueba el comportamiento del sistema en lazo cerrado. Debido a los efectos de carga no considerados entre los componentes, la falta de linealidad, los parámetros distribuidos, etc., que no se han tenido en cuenta en el diseño original, es probable que el comportamiento real del prototipo del sistema difiera de las predicciones teóricas. Por tanto, tal vez el primer diseño no satisfaga todos los requisitos de comportamiento. Mediante el método de prueba y effor, el diseñador debe cambiar el prototipo hasta que el sistema cumpla las especificaciones. Debe analizar cada prueba e incorporar los resultados de este análisis en la prueba siguiente. El diseñador debe conseguir que el sistema final cumpla las especificaciones de compor-

Procedimientos de

tamiento y, al mismo tiempo, sea fiable y económico.

I

-5 Contenido del libro E1

libro está organizado en l0 capítulos. A continuación

se describe brevemente

el contenido de

cada capítulo.

El Capítulo I presenta una introducción al libro. En el Capítulo 2 se aborda el modelado matemático de sistemas de control descritos mediante ecuaciones diferenciales lineales. Concretamente, se presentan las funciones de transferencia y las ecuaciones diferenciales que describen a los sistemas. También se analizan las ecuaciones en el espacio de estados. Se utiliza MATLAB para transformar modelos matemáticos descritos mediante funciones de transferencia al espacio de estados y viceversa. Este libro trata los sistemas lineales en detalle. Si el modelo matemático de cualquier sistema es no lineal, necesita ser linealizado antes de poder aplicar las teoías que se presentan en este libro. En este capítulo se incluye una técnica para linealizar modelos matemáticos no lineales.

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Capítulo 1. lntroducción a los sistemas de

control

11

El Capítulo 3 aborda el modelado matemático de sistemas mecánicos y sistemas eléctricos que aparecen frecuentemente en los sistemas de control. El Capítulo 4 frafa el modelado matemático de sistemas de fluidos y sistemas térmicos, que son usuales en los sistemas de control. Los sistemas de fluidos incluyen sistemas de nivel de líquidos, sistemas neumáticos y sistemas hidráulicos. Además en este capítulo se presentan los sistemas térmicos tal como los sistemas de control de temperatura. El Capítulo 5 presenta el análisis de la respuesta transitoria de la respuesta en estado estacionario de los sistemas de control definidos mediante tunciones de transf-erencia. Se proporcionan también detalles de los análisis de la respuesta transitoria y de la respuesta en estado estacionario con MATLAB. Además se presenta cómo obtener diagramas tridimensionales con MATLAB. Asimismo, en este capítulo se presenta el análisis de estabilidad basado en el criterio de estabilidad de Routh y se analiza brevemente el criterio de estabilidad de Hurwitz. El Capítulo 6 expone un análisis del lugar de las raíces de los sistemas de control. Se trata de un método gráfico para determinar las localizaciones de todos los polos en lazo cerrado a partir del conocimiento de las posiciones de los polos en lazo abierto y de los ceros del sistema en lazo cerrado cuando un parámetro (normalmente la ganancia) varía desde cero hasta infinito. Este método fue desanollado por W. R. Evans en las inmediaciones de 1950. En

la

actualidad

MATLAB permite obtener la gráfica del lugar

de las raíces de forma sencilla y rápida. Este capítulo presenta tanto la obtención manual del lugar de las raíces como la generación del lugar utilizando MATLAB. También se aborda en este capítulo el diseño de sistemas de control utilizando

compensadores de adelanto, de atraso y de adelanto-atraso. El Capítulo 7 presenta el método de análisis de la respuesta en frecuencia de los sistemas de control. Este es el método más antiguo de análisis y diseño de sistemas de control y 1o desarrollaron durante los años 1940-1950 Nyquist, Bode, Nichols y Hazen entre otros. Este capítulo presenta detalles de la respuesta en fiecuencia de los sistemas de control utilizando la técnica de compensadores de adelanto, la técnica de compensadores de atraso y la de adelanto-atraso. El método de respuesta en frecuencia era el método de análisis y diseño comúnmente utilizado hasta que el método en el espacio de estados se convirtió en el más popular. Sin embargo, desde que el método de diseño de control robusto H infinito ha ganado en popularidad, la respuesta en frecuencia vuelve a estar de moda. El Capítulo 8 trata los controles PID básicos y modificados tales como los controladores PID con varios grados de libertad. El controlador PID tiene tres parámetros: ganancia proporcional, ganancia integral y ganancia derivativa. En los sistemas de control industriales más de la mitad de los controladores empleados son controladores PID. El comporlamiento de los controladores PID depende de las magnitudes relativas de estos tres parámetros. La determinación de las magnitudes relativas de estos tres parámetros se denomina sintonía de los controladores PID. Ziegler y Nichols propusieron las denominadas a comienzos de 1942. Desde entonces se han propuesto numerosas reglas de sintonía. Hoy en día la fabricación de controladores PID tiene sus propias reglas de sintonía. En este capítulo se presenta un procedimiento de optimización para computadora utilizando MATLAB para determinar los tres parámetros de forma que se satisfagan las características de una respuesta transitoria dada. Este procedimiento se puede extender para determinar los tres parámetros de forma que se satisfaga cualquier característica dada. El Capítulo 9 presenta el material básico para el análisis de las ecuaciones de estados. Se

analizan completamente los conceptos de controlabilidad y observabilidad, los conceptos más importantes de la teoría de control moderno, debidos a Kalman. En este capítulo se deriva la solución de las ecuaciones de estado.

I 14


respuesta transitoria o de la respuesta en frecuencia de sistemas Iineales con una entrada y una salida invariantes en el tiempo, la representación mediante la función de transferencia puede ser más conveniente que cualquier otra. Una vez obtenido un modelo matemático de un sistema, se usan diversos recursos analíticos, así como computadoras para estudiarlo y sinteti-

zarlo.

Simplicidad contra prec¡s¡ón. Al obtener un modelo matemático se debe establecer un compromiso entre la simplicidad del mismo y la precisión de los resultados del análisis. Al obtener un modelo matemático razonablemente simplificado, a menudo resulta necesario ignorar ciertas propiedades físicas inherentes al sistema. En particular, si se pretende obtener un modelo matemático de parámetros concentrados lineal (es decir, uno en el que se empleen ecuaciones diferenciales), siempre es necesario ignorar ciertas no linealidades y parámetros distribuidos que pueden estar presentes en el sistema dinámico. Si los efectos que estas propiedades ignoradas tienen sobre la respuesta son pequeños, se obtendrá un buen acuerdo entre los resultados del análisis de un modelo matemático y los resultados del estudio experimental del sistema físico. En general, cuando se resuelve un problema nuevo, es conveniente desarrollar primero un modelo simplificado para obtener una idea general de la solución. A continuación se desarrolla un modelo matemático más completo y se usa para un análisis con más pormenores. Se debe ser consciente de que un modelo de parámetros concentrados lineal, que puede ser válido si opera en baja frecuencia, tal vez no sea válido en frecuencias suficientemente altas, debido a que la propiedad no considerada de los parámetros distribuidos puede convertirse en un factor importante en el comportamiento dinámico del sistema. Por ejemplo, la masa de un resorte puede pasarse por alto en operaciones en baja frecuencia, pero se convierte en una propiedad importante del sistema en altas fiecuencias. (Para el caso en el que el modelo matemático tiene en cuenta consideraciones de errores, se puede aplicar Ia teoría de control robusto. La teoría cle control robusto se presenta en el Capítulo l0) Sistemas lineales. Un sistema se denomina lineal si se aplica el principio de superposición. Este principio establece que la respuesta producida por la aplicación simultánea de dos funciones de entradas diferentes es la suma de las dos respuestas individuales. Por tanto, para el sistema lineal, la respuesta a varias entradas se calcula tratando una entrada cadayez y sumando los resultados. Este principio permite desarrollar soluciones complicadas para la ecuación diferencial lineal a partir de soluciones simples. Si en una investigación experimental de un sistema dinámico son proporcionales la causa y el efecto, lo cual implica que se aplica el principio de superposición, el sistema se considera lineal. Sistemas lineales invariantes y var¡antes en el tiempo. Una ecuación clif'erencial lineal si sus coeficientes son constantes o son f-unciones sólo de la variable independiente. Los sistemas dinámicos formados por componentes de parámetros concentrados lineales invariantes con el tiempo se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo coeficientes constantes. Tales sistemas se denominan sistemas lineale,s inuariantes en el -de tiempo (o lineales de coeftcientes consÍenfe.r). Los sistemas que se l"epresentan mediante ecuaes

ciones diferenciales cuyos coeficientes son funciones del tiempo, se denominan sistemas lineales uariantes en el tiempo. Un ejemplo de un sistema de control variante en el tiempo es un sistema de control de naves espaciales. (La masa de una nave espacial cambia debido al consumo de

combustible.)

llK

Capítulo 2. Modelado matemático de sisiemas de

control 15

Contenido del capítulo. En la Sección 2-1 se ha presentado una introducción al modelado matemático de sistemas dinámicos. La Sección 2-2 presenta la función de transferencia y la

respuesta-impulso. La Sección 2-3 introduce los sistemas de control automático y la Sección 2-4 unáliru conceptos del modelado en el espacio de estados. La Sección 2-5 presenta una representación en el espacio de estados de sistemas dinámicos. La Sección 2-6frata la transfbrmación de modelos matemáticos con MATLAB. Por último, la Sección 2-7 analiza la linealización de mo-

delos matemáticos no lineales.

2-2 Función de transferencia y de respuesta-impulso En la teoría de control, a menudo se usan las funciones de transferencia para caracterizar las

relaciones de entrada-salida de componentes o de sistemas que se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo. Se comenzará por definir la función de transferencia, para proseguir con el cálculo de la función de transferencia de un sistema de ecuaciones diferenciales. A continuación se analiza la función de respuesta-impulso.

Función de transferenc¡a. La Junción cle transferencia de un sistema descrito mediante una ecuación diferencial lineal e invariante en el tiempo se define como el cociente entre la transformada de Laplace de la salida (función de respuesta) y la transformada de Laplace de la entrada (función áe excitación) bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales son cero. Considérese el sistema lineal e invariante en el tiempo descrito mediante la siguiente ecua-

ción diferencial:

o,$'+'t;rt'

*

:

...

t a, ,i-r o,y

but\'

+l)¿"+

...

t

b,, ,i + b^x

(n2m)

donde.v es la salida del sistema y x es la entrada. La función de transferencia de este sistema es el cociente de la transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada cuando todas las condiciones iniciales son cero, o

Función rle rranslerencia

- G(.s) í-*H _

Y(s)

1.n,,.,.,"n..

iniei,rrcs cero

_

X(s)

A partir del concepto de función de transf'erencia, es posible representar la dinámica de un algebraicas en s. Si la potencia más alta de s en el denominador de sistemá mediante ".uuiio.r"res igual an,el sistema se denomina sistema de ordenn-ésimo. la lunción de transferencia Comentarios acerca de la función de transferencia. La aplicación del concepto de cle transferencia está limitada a los sistemas descritos mediante ecuaciones dif'erenciales lineales invariantes en el tiempo; sin embargo, el enfoque de la función de transferencia se usa extensamente en el análisis y diseño de dichos sistemas. A continuación se presentan algunos comentarios importantes relacionaclos con la función de transferencia. (Obsérvese que en la lista, los sistemas a l,os que se hace referencia son aquellos que se describen mediante una ecuación dif-erencial lineal e invariante en el tiempo.)

función

t' 16


1.

La función de transferencia de un sistema es un modelo matemático porque es un método operacional para expresar la ecuación diferencial que relaciona la variable de salida con la variable de entrada.

2.

La función de transferencia es una propiedad de un sistema, independiente de la magnitud y naturaleza de la entrada o función de excitación.

3.

La función de transferencia incluye las unidades necesarias para relacionar la entrada con la salida; sin embargo, no proporciona información acerca de la estructura física del sistema. (Las funciones de transferencia de muchos sistemas físicamente diferentes pue-

den ser idénticas.)

4.

Si se conoce la función de transferencia de un sistema, se estudia la salida o respuesta para varias formas de entrada, con la intención de comprender la naturaleza del sistema.

5.

Si se desconoce la función de transferencia de un sistema, puede establecerse experimentalmente introduciendo entradas conocidas y estudiando la salida del sistema. rJna vez establecida una función de transferencia, proporciona una descripción completa de las características dinámicas del sistema, a diferencia de su descripción física.

lntegral de convolución. Para un sistema lineal e invariante en el tiempo, la función transferencia G(s)

de

es

crrr

:

/(t) X(s)

donde X(s) es la transformada de Laplace de la entrada e IZ(s) es la transformada de Laplace de la salida, y se supone que todas las condiciones iniciales involucradas son cero. De aquí se obtiene que la salida I(s) se escribe como el producto de G(s) y X(s), o bien

Y(s)

: G(s)X(s)

(2_r)

Obsérvese que la multiplicación en el dominio complejo es equivalente a la convolución en el dominio del tiempo (véase Apéndice A), por lo que la transformada inversa de Laplace de la Ecuación (2-1) se obtiene mediante la siguiente integral de convolución:

y(t)

:

t,

x(r)g(t

-

r) dr

Pt

: I s(T)x(r -t\dt Jo donde tanto g(/) como x(r) son 0 para r

Respuesta-impulso.

<

0.

Considérese la salida (respuesta) de un sistema para una entrada impulso unitario cuando las condiciones iniciales son cero. Como la transformaáa de Laplace de la función impulso unitario es la unidad, la transformada de Laplace de la salida del sistema es

Capítulo 2.

tr,4odelado matemático de

sistemas de

control 17

la Ecuación (2-2) proporcioLa transformada inversa de Laplace de la salida obtenida mediante de Laplace de G(s)' o bien na la respuesta-impulso del sistema. La transformada inversa

y, 'tc(r)l : se denomina respuesta-impulso. Esta respuesta

s(/)

g(0 también

se denomina

función de ponderación

del sistema. de un sistema lineal a una entrada De este modo, la respuesta-impulso g(r) es la respuesta La transformada de Laplace de esta impulso unitario cuando las condiciones iniciales son cero. la función de transferencia y la resfunción proporciona la función de transferencia' Por tanto, contienen la misma información puesta-impulso de un sistema lineal e invariante en el tiempo por 1o tanto es posible obtener información completa sobre las sobre la dinámica del sistema. con una entrada impulso y se mide la características dinámicas del sistema si se excita el sistema duración muy corta comparada con las respuesta. (En la práctica, una entrada pulso con una un impulso') constantes de tiempo significativas del sistema se considera

2-3 Sistemas de control automáticos mostraf las funciones cle cada Un sistema de control puede tener varios componentes' Para se usa u.na representación denominada componente en la ingeniería de control, por lo general se explica qué es un diagrama de blolugar, primá en diagrama cle bloques.En esta sección,

a los sistemas de control automático' ques. A continuación se presentan aspectos.introducórios un método para obtener los diaexpone se Después que incluyen diversas u""ion", de control. técnicas para simplificar tales gramas de bloques de sistemas físicos Y, Por útiimo, se analizan diagramas.

es una representación DiagfamaS de blOqUeS. Un diagrama de bloques de u-n sistema Tales diagramas señales' de y flujo el componénte gráfica de las funcion", qrr" lleva a cabo-iada A diferencia de una represenmuestran las relacione, ."irt"nt"* entre los diversos componentes. tiene la ventaja de indicar de tación matemática puramente abstracta, un diagrama de bloques forma más realista el flujo de las señales del sistema real'

se enlazan unas con otras mediante En un diagrama de bioques todas las variables del sistema es un símbolo para representar bloques funcónales. El blóque funcionalc simplemente bloque para producir la salida' Las bloque el hace de entrada señal toút" la la operación se introducen en los bloques funciones de transferencia de los componentes por lo general la dirección del flujo de señales' corespondientes, que se conectan mediante flechai para indicar las flechas' Por tanto' un diagrama de Obsérvese que la señal sólo puede pasar en la direcáón de propiedad unilateral' bloques de un sistema de control muestra explícitamente una punta de flecha que señala el bloqrres..La de dügrama del La Figura 2-1 muestra un elemento del bloque representa la salida' Tales bloque indica la entrada, y la punta de flecha-que se aleja flechas se conocen como señales.

-ut"*ati*!o"

Figura

2-'1

.

Elementos de un diagrama de bloques'

I' 18


Obsérvese que las dimensiones de la señal de salida del bloque son las dimensiones cle la señal de entrada multiplicadas por las dimensiones de la función de transferencia en el bloque. Las ventajas de la representación mediante diagramas cle bloques de un sistema estriban en que es fácil formar el diagrama de bloques general de todo el sistema con sólo conectar los bloques de los componentes de acuerdo con el flujo de señales y en que es posible evaluar la contribución de cada componente al desempeño general del sistema. En general, la operación funcional del sistema se aprecia con más facilidad si se examina el diagrama de bloques que si se revisa el sistema físico mismo. Un diagrama de bloques contiene

información relacionada con el comportamiento dinámico, pero no incluye información de la construcción física del sistema. En consecuencia, muchos sistemas diferentes y no relacionados pueden representarse mediante el mismo diagrama de bloques. Debe señalarse que, en un diagrama de bloques, la principal fuente de energía no se muestra explícitamente y que el diagrama de bloques de un sistema determinado no es único. Es posible dibujar varios diagramas de bloques diferentes para un sistema, dependiendo del punto de vista del análisis.

Punto de suma. Remitiéndose a la Figura 2-2, un círculo con una cruz es el símbolo que indica una operación de suma. El signo más o el signo menos en cada punta de flecha indica si la señal debe sumarse o restarse. Es importante que las cantidades que se sumen o resten tengan las mismas dimensiones y las mismas unidades.

Figura2-2.

Punto de suma.

Punto de ramiiicación. IJn punto de ramificación es aquel a partir del cual la señal cle un bloque va de modo concurrente a otros bloques o puntos de suma.

Diagrama de bloques de un s¡stema en lazo cerrado. La Figura 2-3 muesrra un ejemplo de un diagrama de bloques de un sistem a enlazo cerrado. La salida C(s) se realimenta al punto de suma, donde se compara con la entrada de referencia R(s). La naturaleza en lazo cerado del sistema se indica con claridad en la figura. La salida del bloque, C(s) en este caso, se obtiene multiplicando la función de transf'erencia G(s) por la entradu ul bloqu", E(.r). Cualquier sistema de control lineal puede representarse mediante un diagrama de bloques formado por puntos de suma, bloques y puntos de ramificación. Cuando la salida se realimenta al punto de suma para compararse con la entrada, es necesario convertir la forma de la señal de salida en la de la señal de entrada. Por ejemplo, en un sistema de control de temperatura, por lo general la señal de salida es la temperatura controlacla. La señal de salida' que tiene la dimensión de la temperatura, debe convertirse a una fuerza, posición o voltaje antes de que pueda compararse con la señal de entrada. Esta conversión se consigue mediante el elemento de realimentación, cuya función cle transferencia es 11(s), como se aprecia en la Figura 2-4.La función del elemento de realimentación es modificar la salicla antes de compararse con la entrada. (En la mayor parte de los casos. el elemento de realimentación es un ,"nro, que mide la salida de la planta. La salida del sensor se compara con la entrada y se genera la señal de error.) En este ejemplo, la señal de realimentación que retorna al punto de suma para compararse con la entrada es B(s)

:

/{s)C(.s).

Capítulo 2. Modelado matemático de sistemas de Punto

Punto

de suma

de bifurcación

I

L

I

I

I

I

Figura

conirol 19

2-3.

Figura

Diagrama de bloques de un

2-4.

Sistema en lazo cerrado

sistema en lazo cerrado.

Función de transferenc¡a en lazo abierto y función de transferenc¡a de la trayectoria directa. Remitiéndose a la Figura 2-4, el cociente de la señal de realimentación B(s) entre la señal de error E(s) se denomina función de transferencia en lazo abíerfo. Es decir, Función de transferencia en lazo abierto

: P : E(s)

G(s)11(s)

El cociente entre la salida C(s) y la señal de error E(s) se denomina./unción de transJerencia de Ia trayectoria directa, por lo que, Función de transferencia de la trayectoria directa

:

C(s)

:

G(s)

",

Si la función de transferencia de la trayectoria de realimentación 11(s) es la unidad, la función de transferencia en lazo abierto y la función de transferencia de la trayectoria directa son iguales.

Función de transferenc¡a en lazo cerrado. Para el sistema 2-4,la salida C(s) y la entrada R(s) se relacionan del modo siguiente:

C(s):

G(s)E(s)

u,":;i:] Si

se

que aparece en la Figura

_13,u,

elimina E(s) de estas ecuaciones, se obtiene C(s)

:

G(s)[R(s)

11(s)C(s)]

o bien,

C(s) G(s) R(s) I + G(s)H(s)

(2-3)

La función de transferencia que relaciona C(s) con R(s) se denomina./anción de transferencia en lazo cerrado. Esta función de transferencia relaciona la dinámica del sistema enlazo cerrado con la dinámica de los elementos de las trayectorias directa y de realimentación. A partir de la Ecuación (2-3), C(s) se obtiene mediante G(s) c(s): I + ..:-R(s) G(s)//(s)

r 20


Por tanto, la salida del sistema enlazo cerrado depende claramente tanto de la función de transferencia en lazo cerrado como de la naturaleza de Ia entrada.

Obtención de funciones de transferencia en cascada, en paralelo y real¡mentadas (en lazo cerrado) utilizando MATLAB. En el análisis de sistemas de control, frecuentemente se necesita calcular funciones de transferencia en cascada, funciones de transferencia conectadas en paralelo y funciones de transferencia realimentadas (en lazo cerado). MATLAB tiene funciones adecuadas parea obtener las funciones de transf'erencia en cascada, paralelo y realimentada (lazo cerrado). Supóngase que hay dos componentes G,(s) y G2(.s) conectadas de diferentes formas como se muestra en la Figura 2-5 (a), (b) y (c), donde C'{.s)

: numl.

Gr(s):

denl

num2 den2

Para obtener las funciones de transferencia del sistema en cascada, en paralelo o realimentado (lazo cerrado) se utilizan las siguientes instrucciones:

: :

s e r i e s (numl d e nl,num2 de n2) parallel(numl denl ,num2den2) fnum,denf : fe e db ack(numl de nl,num2 den2)

9lnum de n] lnumdenf

Como ejemplo, se considera el caso en el que

G'(s)

:

10 s2 + 2,

numl

a 19:

denl

El Programa 2-l en MATLAB calcula C(s)/R(s) Obsérvese que la instrucción

:

Gr(s)

:

5 .s f 5 -:

num2 den2

num/den para cada situación de G'(s) y Gz(s).

9printsys(numden') muestra el num./den [esto es, la función C(s)/R(s)] del sistema considerado. (a)

(b)

Figura

2-5.

(a) Sistema en cascada: ib) s¡stema paralelo; (c) sisiema realimentado (lazo cerrado).

Capítulo 2. Modelado matemático de sistemas de control 21

MATLAB Programa tr.,m1

^óñ1 num2

:

¡10J

:

t1 L!

2-1

;

,

1nl

: [0 5]; den2 : [1 5]; Inum, den] : series printsys (num, den) num/den :

(num1, den1,num2,den2)

FL* R; á-

;

:< i4 ffi ñ)u nJt

50

s"3+7s"2120s*50 Inum, den] : para11e1 (numl, printsys (num, den) num/den :

;e -f

den1, num2, den2

5s"2+20s*100 s"3 +'1 s"2 + 2os -1- 5o Inum, den] : feedback(numl, den1,num2,den2 printsys (num, den) num/den : L0s * 50 s"3 +'1 s"2 + 2os * 1oo

)

4 ffi

l-r fn

r-¡ f.'

-¡' u/ ;}F

)

Controladores automáticos. Un controlador automático compara el valor real de la salida de una planta con la entrada de referencia (el valor deseado), determina la desviación y produce una señal de control que reduce la desviación a cero o a un valor pequeño. La manera en la cual el controlador automático produce la señal de control se denomina acción de conlrol. La Figura 2-6 es un diagrama de bloques de un sistema de control industrial que consiste en un controlador automático, un actuador, una planta y un sensor (elemento de medición). El controlador detecta la señal de error, que por lo general, está en un nivel de potencia muy bajo, y la Controlador automático Detector de error

l

Entrada de

I

referencia

I

Punto

de

r

[ .onrigr-,u I

Figura

2-6.

Diagrama de bloques de un sistema de control industrial, formado por un controlador automático, un actuador, una planta y un sensor (elemento de medición).

22


La salida de un controlador automático se alimenta un motor hidráulico o un motor eléctrineumáticos, válvula a un actuador, como un motor o una la entrada para la planta de acuerdo produce que potencia co. (El actuador es un dispositivo de se aproxime a la señal de entrada de salida con la señal de control, á fin d" que la señal de referencia.) El sensor, o elemento de medición, es un dispositivo que convierte la variable de salida en otra variable manejable, como un desplazamiento, una presión o un voltaje, que pueda usarse para comparar la salida con la señal de entrada de referencia. Este elemento está en la trayectoria áe realimentación del sistema en lazo cerrado. El punto de ajuste del controlador debe convertirsense en una entrada de referencia con las mismas unidades que la señal de realimentación del

amplifica a un nivel

1o suficientemente alto.

sor o del elemento de medición.

Clasificación de los controladores industriales. Los controladores industriales se clasifican. de acuerdo con sus acciones de control, como:

1. 2. 3. 4. 5. 6.

De dos posiciones o controladores on-off Controladores ProPorcionales Controladores integrales Controladores proporcionales-integrales Controladores proporcionales-derivativos Controladores proporcionales-integrales-derivativos

La mayoría de los controladores industriales emplean como fuente de energía la electricidad o un fluidó presurizado, como el aceite o el aire. Los controladores también pueden clasificarse, según el tipó de energía que utilizan en su operación, como neumáticos, hidráulicos o electróni.or. ¡,t tipó de controladoi que se use debe decidirse basándose en la naturaleza de la planta y las condiciones de operación, incluyendo consideraciones tales como seguridad, costo, disponibilidad, fiabilidad, precisión, peso y tamaño.

Acción de control de dos pos¡c¡ones o de encendido y apagado (on/off). En un

sistema de control de dos posiciones, el elemento de actuación sólo tiene dos posiciones fijas, que, en muchos casos, son simplemente encendido y apagado. El control de dos posiciones o de encendido y apagado es relativamente simple y barato, razón por la cual su uso es extendido en sistemas de control tanto industriales como domésticos. Supóngase que la señal de salida del controlador es u(r) y que la señal de effor es e(¡). En el controi de dos posiciones, la señal l.r(r) permanece en un valor ya sea máximo o mínimo, dependiendo de si la señal de effor es positiva o negativa. De este modo,

u(t)

:

U¡

para e(r)

>

0

: Uz,

Para e(t)

<

0

donde U, y U, son constantes. Por lo general, el valor mínimo de Ur es cero o - U1. Es común que los controladores de dos posiciones sean dispositivos eléctricos, en cuyo caso se usa extensamente una válvula eléctrica operada por solenoides. Los controladores neumáticos proporcionales con ganancias muy altas funcionan como controladores de dos posiciones y, en ocasiones, se denominan controladores neumáticos de dos posiciones. Las Figuras 2-7(a) y (b) muestran ios diagramas de bloques para dos controladores de dos posiciones. El rango en el que debe moverse la señal de error antes de que ocurra la conmuta-

Capítulo 2. Modelado matemático de sistemas de

control 23

Salto diferencial

Figura 2'7. (a) Diagrama de bloques de un controlador on-off ; (b) diagrama de bloques de un controlador con salto diferencial'

ción se denomina breche cliferencial. En la Figura 2-1(b) se señala una brecha dif-erencial- Tal brecha hace que la salida clel controlador u(t) conserve su valor presente hasta que la señal de etror se haya desplazado ligeramente más allá de cero. En algunos casos, la brecha diferencial es el resultado de una fricción no intencionada y de un movimiento perdido; sin embargo, con frecuencia se provoca de manera intencional para evitar una operación demasiado frecuente del mecanismo de encendido y apagado. Considérese el sistema cle control de nivel de líquido de la Figura 2-8(a), donde se utiliza la válvula electromagnética de la Figura 2-8(b) para controlar el flujo de entrada. Esta válvula está abierta o cerrada. Con este control de dos posiciones, el flujo de entrada del agua es una constante positiva o cero. Como se aprecia en la Figura 2-9,|a señal de salida se mueve continuamente entre los dos límites requeridos y provoca que el elemento de actuación se mueva de una posición fija a la otra. Obsérvese que la curva de salida sigue una de las dos curvas exponenciaNúcleo de hierro

móvil Núcleo magnético

(a)

Figura

2-8.

(b)

(a) Sistema de control de nivel de líquidos; (b) válvula electromagnética

0/ Figura2-9. Curvadenivel h(t) frenteafparael sistemamostradoenlaFigura2-8(a)

r 24


les, una de las cuales corresponde a la curva de llenado y la otra a la curva de vaciado. Tal oscilación de salida entre dos límites es una respuesta común característica de un sistema bajo un

control de dos posiciones. En la Figura 2-9 se observa que, para reducir la amplitud de la oscilación de salida, debe disminuirse la brecha diferencial. Sin embargo, la reducción de la brecha diferencial aumenta la cantidad de conmutaciones de encendido y apagado por minuto y reduce la vida útil del componente. La magnitud de la brecha diferencial debe determinarse a partir de consideraciones tales como la precisión requerida y la vida del componente.

Acción de control proporc¡onal.

Para un controlador con acción de control proporcional, la relación entre la salida del controlador u(i) y la señal de error e(r) es:

u(t)

:

Kue(t)

o bien, en cantidades transformadas por el método de Laplace,

{/(s)

Kp

E(s)

donde Ko se considera la ganancia proporcional. Cua(uiera que sea el mecanismo real y la forma de la potencia de operación, el controlador proporcional es, en esencia, un amplificador con una ganancia ajustable.

Acción de control integral. de 1a salida del controlador a(r)

se

En un controlador con acción de control integral, el valor cambia a una razón proporcional a la señal de error e(t).

Es decir,

du(r)

_:Keft) dr o bien ft

ult)

: Ki I

eft) dr

Jo

donde K¡ es una constante ajustable. La función de transferencia del controlador integral es

u9 _x, E(s) r Acción de control proporc¡onal-integral. La acción de control de un controlador proporcional-integral (PI) se define mediante

u(t)

:

Kpe(t) +

e(t) dr

71,

i

*


o la función de transferencia del controlador

es

/ '"'li,' E(s)

U(s)

-rr)l\

Acción de control proporc¡onal-derivativa. La acción de control de un controlador proporcional-derivativa (PD) se define mediante de(t) u(tl: Kf(t) -r KrT¿ I

y la función de transferencia

es

u(s)-K-,fr,s) E(s)

I"

Acción de control proporcional-integral-derivativa. La combinación de la acción

denomide control proporcional, laacción de control integral y la acción de control derivativa se

na acción áe óontrol proporcional-integral-derivativa. Esta acción combinada tiene las ventajas de cada una de las tres aóciones de control individuales. La ecuación de un controlador con esta acción combinada está dada Por

u(t):

Kpe(t) +

de(

?1,

eft\ dr

+ Xuf o

t\

¿,

o la función de transferencia es

t,/(s) / + | : Ke(r ;r;;

¡,*

r" \

)

donde Ku es la ganancia proporcional, Z¡ es el tiempo integral y Z¿ es el tiempo derivativo' El diagráma de bloques dé un controlador proporcional-integral-derivativo aparece en la Figura 2-10.

Figura

2-10.

Diagrama de bloques de un controlador proporcional-integ ral-derivativo.

Un sistema en lazo cerrado suieto a una perturbación. La Figura 2-11 muestra un sistema en lazo cerrado sujeto a una perturbación. Cuando se presentan dos entradas (la entrada de referencia y la perturbación) en un sistema lineal, cada una de ellas puede tratarse de

7 26

lngeniería de control moderna Perturbación D(s)

Figura 2-11. Sistema en lazo cerrado sujeto a perturbaciones'

forma independiente; y las salidas correspondientes a cada entrada pueden sumarse para obtener la salida cómpleta. La fbrma en que se introduce cada entrada en el sistema se muestra en el punto de suma mediante un signo más o un signo menos' Considérese el sistema que se muestra en la Figura 2-11. A1 examinar el efecto de la perturbación D(s), podemos suponer que el sistema está inicialmente relajado, con un error cero; después se puede calcular la respuesta Cr(s) sólo para la perturbación. Esta respuesta se encuentra a

pafiir de Gz(s)

Crr(s)

[

D(s)

*

G,1,s]Gr(s)H(s)

por otra parte, si se considera la respuesta a la entrada de referencia R(s), se puede suponer que la perturbaóión es cero. Entonces, la respuesta Co(s) a la entrada de referencia R('s) se obtiene a

partir de G'(s)G:(s)

Cn(s)

R(s) I + G1(s)G2(s)H(.s) La respuesta a la aplicación simultánea de la entrada de ref-erencia y la perturbación se obtiene sumando las dos respuestas individuales. En otras palabras, la respuesta C(s) producirla por la aplicación simultánea de la entrada de ref-erencia R(s) y la perturbación D(s) se obtiene mediante

C(s):

Co(s)

-l

Cr(s)

Gz(s)

IG,(s)R(s) -l G1(s)G2(s)H(r)'"'

+

D(^s)l

Considérese ahora el caso en el que lGr(s)H(s)l ) I y lG1(s)Gz(s)H(s)l ) 1. En este caso, la función de transferencia en lazo cemado C'¡(s)/D(s) se hace casi cero. y se suprime el ef-ecto de la perturbación. Esta es una ventaja del sistema en lazo cerrado. Por otra parte, la función de transferencia en lazo cerrado C¡(s)/R(s) se aproxima a l/H(s) conforme aumenta la ganancia de G¡(s)Gr(s)11(s). Esto significa que si lG'(s)Gz(s)H(s)l ) 1, entonces la función de transferencia en lazo cerrado Co(s)/R(s) se vuelve independiente de G'(s) y Gz(^s) y se hace inversamente proporcional a H(s), por lo que las variaciones de G'(s) y G2(s) no afectan a la función de transferencia en lazo cerrado Cn(s)/R(s). Es fácil observar que cualquier : 1. tiende a igualar la entrada y sistema en lazo cerado con una realinentación unitaria, H(s) la salida.


el diagrama de Procedimientos para dibuiar un diagrama de bloques. Para dibujar dicomportamiento el que describen ecuaciones bloques de un sistemu,'pri-".o se escriben.lis

se toma las transformadas de Laplace de estas y se representa individualmente ecuaciones, suponiendo que las condiciones iniciales son cero, de Laplace' Por último' se intemétodo en forma de bloques cadá ecuación transformada por el gran los elementos en un diagrama de bloques completo' Las ecuaciones para el cirComo ejemplo, considérÁe el circuito RC de la Figura 2-12(a').

námico de cada

.o-pon"nt.. A continuación

cuito son

. €¡t:.R err: I

€o

(2-4)

iat

(2-5)

c

(2-5), con condiciones iniciales iguales a Las transfbrmadas de I-aplace de las Ecuaciones (2-4) y cero, resultan E,(s) E,(,s) (2-6)

-

/(s):

E,(s)

R,

:

/ (.s)

(2-1)

a,

correspondiente aparece en La Ecuación (2-6) representa una operación de suma' y el diagrama la Figura 2-12('c)',Si se integran la Figura 2-12(b). La Ecuación (2-7) representa el bloque de general para el sistema' tal como aparece estos dos elementos se obtiene el cliagrama de bloques en la Figura 2-12(d). que los bloques pueReducción de un diagrama de bloques. Es importante señalar

ve afectada por el bloque siguiente' den conectarse en serie, sólo'si la entrada de un bloque no se en un bloque único' Si hay efectos de carga entre los componente*, ., né."tutio combinarlos sin carga puede sustiCualquier nú-"ro'áe bloques en cascada que representen componentes el producto de las funtuirse con un solo bloque, cuya función de transferéncia sea simplemente ciones de transferencia individuales.

(c)

(d)

Figura2-'12'(a)CircuitoFC:(b)diagramadebloquesdelaEcuación(2-6);(c)diagrama - d" bloques de la Ecuación (z-l¡, (d) diagrama de bloques del circuito RC.

7 28


Un diagrama de bloques complicado que contenga muchos lazos de realimentación se simplifica mediante un reordenamiento paso a paso. La simplificación de un diagrama de bloques mediante reordenamientos y sustituciones reduce de manera considerable la labor necesaria para el análisis matemático subsecuente. Sin embargo, debe señalarse que, conforme se simplifica el

diagrama de bloques, las funciones de transferencia de los bloques nuevos se vuelven más complejas, debido a que se generan polos y ceros nuevos.

EJEMPLo

2-'t

Considere el sisrema que aparece en la Figura 2-13(a). Simplifíquese este diagrama. Si se mueve el punto suma del lazo de realimentación negativa que contiene Hrhacia afuera del lazo de realimentación positiva que contiene É11, se obtiene la Figura 2-13(b). Si se elimina ellazo de realimentación positiva se obtiene 1a Figura 2-13(c). La eliminación del lazo que contiene H2lGt onginala Figura 2-13(d). Por último, si se elimina el lazo de realimentación se obtiene la Figura 2-13(e).

R

(b) +

(c)

GtGz

1-

G1G2H1

(d)

Figura 2-13. (a) Sistema con múltiples lazos; (b)-(e) reducciones (e)

sucesivas del diagrama de bloques mostrado en (a).

Capítulo 2. Modelado matemático de sistemas de control 29 el proObserve que el numerador de la función de transferencia en lazo cerrado C(s)/R(s) es igual a es ducto de la función de transferencia en el camino directo' El denominador de C(s)/R(s) 1

+

|

(producto de las funciones de transferencia alrededor de cada lazo)

: 1 + (- GtGzHl + G2G3H2 + GG2G3) :1- GtGzHl + G2G3Hz+ G:GZG3

(El lazo de realimentación positiva da lugar a un tétmino negativo en el denominador')

2'4 Modelado en el espacio de estados control en En esta sección se presenta un material introductorio sobre el análisis de sistemas de el espacio de estados.

Teoría de control moderna. La tendencia moderna en los sistemas de ingeniería es hay buena cia una mayor complejidad, debido sobre todo a que se requieren tareas más complejas pueden y salidas y múltiples precisión. Los sistemas complejos pueden tener múltiples entradas exigentes vez más ser variantes en el tiempo. óebido a la necesidad de cumplir requisitos cada del sistema y el en el comportamiento de los sistemas de control, el aumento en la complejidad fácil acceso a las computadoras a gran escala, la teoría moderna de control, que es una nueva desde aproximación al análisis y diseño de los sistemas de control complejo, se ha desarrollado por sí de estado El concepto estado. de concepto en el 1960. Esta nueva aproximación se basa dinámica mismo no es nuevo, puesto que ha existido durante bastante tiempo en el campo de la ciásica y en otros campos.

Teoría de control moderna frente a teoría de control convencional. La tendencia de control moderla contrasta con la teoría de control convencional en que su formulación es

aplicable a sistemas de múltiples-entradas, múltiples-salidas, que pueden ser lineales o no lineales' invariables en el tiempo o uuriubl"r en el tiempo, mientras que la teoúa convencional sólo es aplicontrol cable a sistemas de una entrada-una salida invariantes en el tiempo. Además' la teoría de modema es esencialmente una aproximación en el dominio temporal, mientras que la teoía de control convencional es una aproximación en el dominio de la frecuencia compleja. Antes de continuar. se debe definir estado, variables de estado, vector de estado y espacio de estados.

El estado de un sistema dinámico es el conjunto de variables más pequeño (llama: /0, junto con el das ¿-ariables cle estado), de forma que el conocimiento de estas variables en t conocimiento de la entrada parat ) /s, determinan completamente el comportamiento del siste-

Estado.

)

to. ma en cualquier t Obsérvese que el concepto de estado no está limitado a sistemas físicos. Es aplicable a sistemas biológicos, sistemas económicos, sistemas sociales y otros'

VariableS de eStadO. Las variables de un sistema dinámico son las variables que constituyen el menor conjunto de variables que determinan el estado del sistema dinámico' Si al menos un sistese necesitan n variables x1, x2, ..., xnpara describir completamente el comportamiento de inicial y estado el dada ma dinámico (de forma que una vez que la entrada pafa t ) t, está entonen / : /0 está especificado, el estado futuro del sistema está determinado completamente), ces tales n variables son un conjunto de variables de estado'

30


Obsérvese que las variables de estado no necesitan ser físicamente medibles o cantidades observables. Se pueden seleccionar como variables de estado variables que no representan cantidades físicas y aquellas que no son medibles ni observables. Tal libertad en la elección de las variables de estado es una ventaja de los métodos en el espacio de estados. Sin embargo, prácticamente es conveniente seleccionar para las variables de estado cantidades físicamente medibles, si esto es posible, porque las leyes de control óptimo requerirán realimentar todas las variables de estado con una ponderación adecuada.

Vector de estado. Si

se necesitan n variables de estado para describir completamente el comportamiento de un sistema dado, entonces esas ¡z variables de estado se pueden considerar como las n componentes de un vector x. Este vector se denomina üeclor de estctdo. Un vector de estado es, por lo tanto, un vector que determina unívocamente el estado del sistema x(r) en cual-

quier instante del tiempo t entrada u(t'¡ para

t2

>

to, una vez que se conoce el estado en /

:

/0

y

se especifica la

t0.

Espacio de estados. El espacio ¡¿-dimensional cuyos ejes de coordenadas están fbmados r,, eje x2, ..., eje x,,, donde x1, x2, ...,,rrn son las variables de estado, se denomina espacio

por el eje

de estados. Cualquier estado se puede representar como un punto en el espacio de estados.

Ecuaciones en el espacio de estados. En el análisis en el espacio de estados se centra la atención en los tres tipos de variables que aparecen en el modelado de los sistemas dinámicos; las variables de entrada, las variables de salida y las variables de estado. Como se verá en la Sección 2-5,larepresentación en el espacio de estados de un sistema dado no es única, salvo que el número de variables de estado es el mismo para cualquiera que sea la representación en variables de estado de un mismo sistema. El sistema dinámico debe contener elementos que recuerden los valores de la entrada para t 2 tr Puesto que los integradores en un sistema de control en tiempo continuo sirven como dispositivo de memoria, las salidas de tales integradores se pueden considerar como las variables que describen el estado interno del sistema dinámico. Así las salidas de los integradores sirven como variables de estado. El número de variables de estado para definir completamente la dinámica del sistema es igual al número de integradores que aparezcan en el mismo. Sea un sistema de múltiples entradas-múltiples salidas con n integradores. Supóngase también que hay r entradas rut(r), ut(.r'¡, ..., u,(t) y r¿ salidas,lr(/),,y2(r, ...,,-v,,,(/).Se definen las n salidas de los integradores como variables de estado: x'(r), xz(t),...,.x,,(r). Entonces el sistema se puede describir mediante

i,(r) : .f{.x¡ ir.(t)

:

x2, ..., x,,', Lt¡1 Lt2, ...,

u,;

t)

f2(r1, x., ..., x,, tt¡, u2, ..., u,; t)

(2-8)

:

i,,(t) Las salidas

lr(/),

: f,,(rr,

xz, ..., .Y,',

Lt11

ü2, ..., u,', t)

yz(r), ...,,t',,,(r) del sistema se obtienen mediante

: .r':(¡) : ,r'r(¡)

Sl(,rr, -rz, ...,

.\,,

.g:(-rr, ,ru, ...,

x,l u1, u.y ..., u,l l)

Lt1, u2,

..., u,; t) \2-9)

i

tr'¿. i{l'r'Éfr ti{t}A Li i: i"h i'iA{.ifi it{gl,l{.qfirfi 0t i ai'tPlJ! llFl- &tT1i!

U


Si se define

x(/)

:

f(x, u, r)

-t2' ...' I,,'' Ll1, U2, ..., u,, XZ, ..., X,r', U1, U2, ..., u,;

:

Él1r

fi:rl

:

:rl

[r,,',. X,, Ut,

v(1)

:

l;l

g(x, u, r)

UZ,

.'',

U,,

x", Ut, uz, ..., u,;

:

r:,'

:

..., Xr.l U1, U2,

,u(0:

..

fi:l

las Ecuaciones (2-8) y (2-9) se convierten en

: y(r) : x(0

f(x, u, r)

(2-10)

g(x, u, ¡)

(2-11)

donde la Ecuación (2-10) es la ecuación de estado y la Ecuación (2-ll) es la ecuación de la salida. Si las funciones vectoriales f y/o g involucran explícitamente el tiempo /, el sistema se denomina sistema variante con el tiempo. Si se linealizan las Ecuaciones (2-10) y (2-11) alrededor del estado de operación, se tienen las siguientes ecuaciones de estado y de salida linealizadas:

i(0:A(r)x(r)+B(0u(¡)

(2.12)

v(r):C(0x(¡)+D(¡)u(O

(2.13)

donde A(r) se denomina mafriz de estado, B(r) matnz de entrada, C(¡) matriz de salida y D(0 matriz de transmisión directa. (Los detalles de la linealización de sistemas no lineales en torno al estado de operación se analizan en la Sección 2.7 .) En la Figura 2-14. aparece un diagrama de bloques que representa las Ecuaciones (2-12) y (2-13).

Figura2-14.

Diagrama de bloques del sistema de control lineal en tiempo continuo representado en el espacio de estados.

32


el sisiema se dey g no involucran el tiempo r explícitamente'y Si las funciones vectoriales f (2-12) Q-13) se simplitiempo . En este caso, las Ecuaciónes nomina sistema invariante con el fican

a

i(r):

(2-t4)

Ax(r) + Bu(r)

(2-1s)

Í(0:Cx(r)+Du(r)

LaEcuación(z-|4)eslaecuacióndeestadode.lsi¡telalinealeinvarianteconeltiempoyla libro se concentra en los raliáa para el mislgsistema' Este de ecuación la (2-15) es Ecuación las Ecuaciones (2-14) y (2-15)'. o.,,ación rle estado \ sistemas ¿",.'iioJ*"¿iunt" Acontinuaciónsepresenta.,n"1",np]opu,uobt"n"'unaecuacióndeestadoyunaecuaclon de salida.

EJEMPLo

2-2

que el sistema es lineal' que aparece en la Figura 2-15' Se supone Considere el sistema mecánico la masa es la salida' El de y0) y et á"sptatamiento La fuerzaexterna u(r) es la "nt udi ui J*"*u, de una fuerza externa' ausencia en ¿" equilibrio desplazamiento y(r) se mide a n#;J;;ti"io" y una sola salida. Este sisteñiie". unu sola entrada del sistema es ecuación la e puttl. del diagrama, my

+

bY

(2-t6)

*lq: '

u{i)Estesistemaesdesegundoorden,.locualsignificaquecontienedosintegradores.Slse y x'(t) como las vanables de estado x'(r) definen

: y(¡) rll) : i(t)

xr(/)

--1 Y(t

a continuación se obtiene

xt:xz 1

1 i.: -m (*l
Figura 2-15' Sistema mecánico.

o bien

(2-11)

it:xz kbl -x2t-u ;,: --,(¡mmm La ecuación de salida

(2-18)

es

(z-\9)

!:xt (2-17) y (2-18) se escriben como En una forma matricial, las Ecuaciones

ol

H:[i*

-,1H. rl' tn)

(2-20)


2-15' Figura 2-16. Diagrama de bloques del sistema mecánico mostrado en la Figura

La ecuación de salida, representada por la Ecuació¡ (2-19), se escribe como

y:

tl t[;l

(2.2t)

(2-21) es una ecuación de salida para La Ecuación (2-20) es una ecuación de estado y la Ecuación estándar: forma la el sistema. Las Ecuacion es (2-20) y (2-21) están en

i:Ax*Ba y:Cx*Du donde

c: [l 0], D:0 ma. Observe que las salidas de los integradores son variables de estado.

Correlación entre funciones de transferenc¡a y ecuac¡ones en el espacio de estados. A continuación se mostrará cómo obtener la función de transferencia de un sistema con una sola entrada y una sola salida a partir de las ecuaciones en el espacio de estados' Considérese el sistema cuya función de transferencia se obtiene mediante

Y(t) u(s)

: crrr

Q-22)

Este sistema se representa en el espacio de estados mediante las ecuaciones siguientes:

i:Ax*Ba r': Cx -l Du

(2-23) (2-24)

Laplace de donde x es el vector de estado, u es la entrada e l' es la salida. Las transformadas de mediante (2-2D (2-23) y obtienen se las Ecuaciones

sX(sl

AX(s) + BU(s)

(2-2s)

)'(s):CX(s)+DU(s)

(2-26)

- x(0):

7 34


entre la transform¿rda de Lacomo la función de transt-erencia se definió antes como el cociente las condiciones iniciales place de la salida y la transformada de Laplace de Ia entracla, cuando tiene qtte se tanto. Por son cero, se supone que x(0) en la Ecuaci ón (2-25) es cero.

sX(s)

- AX(s): BU(s)

o bien

- A)X(s): BU(s)

(sI Premultiplicantlo por (.iI

- A)

I en ambos miembros de esta última ecuación' se obtiene

X(s)

:

(sI

- A) lBu1.s¡

Q-21)

se llega a Sustituyenclo la Ecuación Q-21) en la Ecuaci ón Q-26')'

f(s)

: ic(sl - A) ln + l]u1'¡

(2-28)

DespuésdecompararlaEcuación(2-28)conlaEcuación(2-22)seobservaque G(s): C(sI - A) rB + D

(2-29)

términos de A, B, cy D' Esta es tu e^pr.slón de la función de transferencia en (2-29) contiene Obsérvese que el segundo miembro cle la Ecuac ión G(s) se escribe como

(sI A) 1' Por tanto'

Q(s¡ G(s):b.r_4

al polinomio característico de G(s). donde o(s) es un polinomio en s, Por tanto, |sI - A| es igual polos de G('s)' En otras palabras, los valores propios de A son idénticos a los

EJEMPL0

apafece en la Figura 2-15. Las ecuaciones en el espa(2-20)y (2-21). Se obtendrá la cio de estados para el sistema se obtienen mediante las Ecuaciones en el espacio de estados' ecuaciones las de partir función de transferencia para este sistema a (2-29)' obtiene se la Ecuación Sustituyendo A, B, C y D en

2-3 Considere de nuevo el sistema mecánico que

G(s): C(sI A)-'B + D

:'t[,:t[',;]][;]' [,

1l '[o-]

-r r,_rl l.l mJ L,n orl

Lm)

b-

Capítulo 2. Modelado maiemático de sistemas de control 35

Lomo

[, ll_l

'

-r I

f

,

b

l'-,n

'l

I 'l ll,_rl ,,,b-*!l m) rt Lm l I

n,

nr

(Consúltese el Apéndice C para el cálculo de la inversa de una matriz Se tiene que

[,*9 nt tlr t I ll Gtrr=l' ot,,f1-ol

) x ?\

:l

*L m ,llI' ;l

:;?t^,k I

que es la función de transferencia del sistema. La misma función de transferencia se obtiene de la

Ecuación (2-16).

Matriz de transferencia. A continuación, considérese un sistema con entradas y salidas múltiples. Supóngase que hay r entradas u1, It2, ..., u,Y nz salidas -1r1,,12, ...,,)',,. Se define

I [,,,-l l.ll,,.l I t': r-l ,'1. "-l,l [,

,

L,

_l

L,;,1

La matriz de transf'erencia G(.r) relaciona la salida Y(s) con la entrada U(s), o bien

Y(s):

G(s)U(s)

:

- A)

donde G(s) está dada por

G(s)

C(sI

'B + D

[El cálculo de esta ecuación es el mismo que el de la Ecuación (2-29).1Como el vector de entrada u es de dimensión r y el vector de salida y es de dimensión m,la matriz de transferencia G(s) es una matriz de m x r.

2-S Representación en el espacio de estados de sistemas de ecuaciones diferenciales escalares Un sistema dinámico formado por una cantidad finita de parámetros concentrados se describe mediante una serie de ecuaciones dif'erenciales. en las cuales el tiempo es la variable independiente. Con la notación matricial. puede expresarse una ecuación diferencial de ¡r-ésimo orden mediante una ecuación dif-erencial matricial de primer orden. Si ¡z elementos del vector son un conjunto de variables de estado. la ecuación diferencial matricial es una ecuación de estctdo.En

¡' 36


esta sección se presentan métodos para obtener representaciones en el espacio de estados de sistemas en tiempo continuo.

Representac¡ón en el espacio de estados de sistemas de orden t? representados mediante ecuac¡ones diferenciales lineales en las que la función de excitación no cont¡ene términos derivados. Considérese el siguiente sistema de ¡¿-ésimo orden: (tt

(n)

I)

!Iq1'

*"'Ia,

(2.30)

riIa,,\:u

Si se considera que el conocimiento de y(0), ,v(0), ...,

t't

t'(0),

junto con la

entrad a

u(f)

para

t

)

0,

determina totalmente el comportamiento f'uturo del sistema, se puede tomar,v(r), ,(0, ...,t'' ,t'(0 como un conjunto de n variables de estado. (Matemáticamente, tal elección de variables de estado es muy conveniente. Sin embargo, en la práctica, debido a que los términos que contienen las derivadas de orden superior no son exactos, por los efectos de ruido inherentes en cualquier situación práctica, tal elección de las variables de estado puede no ser conveniente.) Si se define

rr:) xz: li '.

(tt l)

xr,:

,y

entonces, la Ecuación (2-30) se escribe como f1 :X2

;^ :f: :

i,

1

:X,

i, :

o,Jt

Q1X,

I

U

o bien

*:

Ax

*

(2-3 1)

B¿¿

donde

A: [1:]

0l 00 :: 00 -on

an

I

0

0

0

I

0

0

:

:

0

1

0

-Q1

I

un

2

B:

:

Capítulo 2. futodeiado matemático de s¡stemas de control 37

La salida se obtiene mediante

v:[l

0l

0

[l

o bien

rr:Cx

(2-32t

donde

C:II

O

0l

fObsérve se que D en la Ecuaci ón (2-24) es cero.] La ecuación diferencial de primer orden (2-31) es la ecuación de estado, y la ecuación algebraica (2-32) es la ecuación de salida.

Obsérvese que la representación en el espacio de estados para la función de transferencia del sistema

r(s)

t{s)

snlars'1+

lctn 1sla,

también se obtiene mediante las Ecuaciones (2-31) y (2-32).

Representac¡ón en el espac¡o de estados de sistemas de orden n representadas mediante ecuac¡ones d¡ferenc¡ales lineales en las que la función de excitación contiene términos derivados. Si la ecuación diferencial del sistema contiene derivadas de

la función de excitación. tales como

(")

(n I)

!laty

tu) (n t) f ...Ie,,_ri-la,y:brrulb1 u +...+b,, rú+b,u

(2-33)

El problema principal al definir las variables de estado para este caso radica en los términos que están derivados. Las variables de estado deben ser de tal modo que eliminen las derivadas de u enla ecuación de estado. Una forma de obtener una ecuación de estado y una ecuación de salida es definir las siguientes n variables como un conjunto de ¡z variables de estado:

:.) - Fou xz: i - 0nú- Bp:ir- pp ¡::) - foü - Bp - B2u: i7 xr

(2-34)

fzu

:

-lJ, p

7 38

lngenrería de control moderna

donde Bu,

fi,, [J.,..., f, , se detenninan apartir

de

Po - tttl

- allo 0z: bz - atfrt

frt:

bt

azpo

(2-3s)

h:bt-atfJz-azft-azfo :

lJ, t: b,-t -

at[Jn

2 "' - an z.íJt - a,

t[Ju

y unicidad de la solución Con esta elección de variables de estado está garantizada la existencia un conjunto de variables de elección única la de la ecuación de estado. (obsérvese que esta no es obtiene de estado.) con la elección actual de variables de estado, se

i1:x2-l i2:4*

BP Pzu

(2-36)

i,,t:x,*8,,-,u Qr-rxz

in: -a,Jt-

arx,,

donde B,,está dado Por

[J,: b,- atf, | - "'-

ctn tfrt

- a,

I

[)nu

,fiu

A-2-6.) En términos de las ecuaciones ma[Para obtener la Ecuaciót (2-36), véase el Problema triciales, la Ecuación (2-36) y la ecuación de salida se escfiben como

-0 0

;, i2

I 0

o

0

1

"'

0 :

Án xn

I

000 --Q,

- Qn

1

|

-Q,

y:[1 0 ."

2

"'

ll,

r

P',

0]

L:].,. o bien

*:Ax*Bu

(2-37)

t,:CxlDu

(2-38)

Capítulo 2. l"4odelado matemático de sistemas de

conirol 39

donde J1

0

I

0

X2

0

0

0

0

1

A:

:

xnl 0,

xn

Qr,

an 2

I

-Ql

f, F,

R:

c:tl

:

l),

0 ... 01, D:lto:bo

I

lJ,

En esta representación en el espacio de estados, las matrices A y C son exactamente las mtsmas que para el sistema de la Ecuación (2-30). Las derivadas del segundo miembro de la Ecuación t2-33) sólo afectan a los elementos de la matriz B. Obsérvese que la representación en el espacio de estados para la función de transferencia

Y(s) _

t(s)

b¡¡s"

5"

* b;" 1 + ...+

* alsn + ... * 1

se obtiene también a partir de las Ecuaciones (2-37)

b,,

,,s

a,r-1s

I

*

b,, e,,

y (2-38).

Existen muchas formas de obtener representaciones en el espacio de estados de los sistemas. .{l-gunas de ellas se presentan en este capítulo. En el Capítulo 9 se presentan métodos para obtener representaciones canónicas de sistemas en el espacio del estado (tales como una forma canónica controlable, una forma canónica observable, una forma canónica diagonal y una forma canónica de Jordan).

MATLAB se puede utilizar para obtener representaciones de sistemas en el espacio

de

estados a partir de las representaciones de función de transferencia. Esto se presenta en la Sección 2-6.

2-6 Transformac¡ón de modelos matemáticos CON

MATLAB

Iv{ATLAB es bastante útil para transformar el modelo del sistema de función de transferencia al espacio de estados y viceversa. Se comenzará con el análisis de la transformación de la función de transferencia al espacio de estados. Sea la función de transferencia en lazo cerrado

Y(s) U(s)

polinomio numerador en

num

s

poiinomio denominador en

s

den

I

40


Una vez que se tiene esta expresión de la función de transferencia, la instrucción en MATLAB

[A, B, C, D] : tf2ss (num,den) calculará la representación en el espacio de estados. Es importante observar que la representación en el espacio de estados de cualquier sistema no es única. Hay muchas (infinitas) representaciones en el espacio de estados para el mismo sistema. La instrucción en MATLAB calcula una de esas posibles representaciones.

Transformac¡ón de la función de transferenc¡a al espac¡o de estados. Considérese la función de transferencia del sistema

IZ(s)

U(s)

s

(s

+

10)(s2

+ 4s +

16)

(2-3e)

s3+14s2*56s-t160

Hay muchas (infinitas) representaciones posibles en el espacio de estados para este sistema. Una representación posible en el espacio de estados es I 0

[;,]

v:u

,;l[']

-56

[-,,:

.[-,l]'

[*'-l o

', L;:]

+

[0]z

Otra posible representación en el espacio de estados (entre las muchas alternativas)

[,] t u: ro

,

'i -'ll[,] .[:]'

, ,, llll +

roru

es

(2-40)

(2-4t)

L,,l MATLAB transforma la función de transferencia dada por la Ecuación (2-39) en la representación en el espacio de estado dada por las Ecuaciones (2-40) y Q-al). Para el sistema del ejemplo considerado aquí, el Programa 2-2 de MATLAB calcula las matrices A, B, C y D.


MATLAB Programa

2-2

num: [1 0]; den: [1 14 56 160]; [A,B,C,D] : tf2ss (num,den) A: -L4 -56 -160 100 010 b-

1 0 0

C:

Transformac¡ón del espacio de estados a la función de transferenc¡a. Para obtener la función de transferencia a partir de las ecuaciones en el espacio de estados, se utiliza la si-euiente instrucción : [num,

iu se debe especificar

den]

: ss2tf

(A, B, C, D,

iu)

para sistemas con más de una entrada. Por ejemplo, si el sistema tiene tres

entradas(ul,u2,a3),entoncesiudebeserol,2o3,dondelserefiereaul,2au2y3au3. Si el sistema sólo tiene una entrada, entonces se puede utilizar Inum, den]

:ss2tf

(A, B, C, D)

o bien [num, den]

En el caso en

el

:ss2tf

(A, B, C, D, 1)

que sistema tenga múltiples entradas y múltiples salidas véase el Proble-

ma A-2-12. EJIMPLO

2'4

Obtenga la función de transferencia del sistema definido por las siguientes ecuaciones en el espacio de estados:

[,]i v:

01 00 5 -25 [*,-l

[1

' '' L;:l

:l['l.[

,'i]'

42


El Programa 2-3 de MATLAB calculará la función de transferencia del sistema dado' Dicha función obtenida está dada Por )i(s)

u(s)

25s+5 s3+5s2+25s+5

MATLAB Programa 2-3

n- iO I 0; O 0 l; D !

Lw - rn.

,q.

c- t1 0 0l; D: lol ; [num, num

-5 -25

-51;

-'l ?nl

den] - ss2tf (A,B, C,D) t

-

i

0 0.0000 25.0000 5.0000

I

f

den

1.O0OO 5.0000 25.0000 5.0000

***** E1 mismo resulLado se puede obtener inLroducíendo la siguiente orden' ***** [num,den] - ss2tf (A'B'C,D, 1)

% %

0 0.0000 25.0000 5.0000 den: 1.OOOO 5.0000 25.0000 5.0000

num

2-7 Linealizaclón de modelos matemáticos no lineales Sistemas no l¡neales. Un sistema

es no lineal si no se aplica el principio de superposi-

ción. Por tanto, para un sistema no lineal la respuesta a dos entradas no puede calcularse tratando cada entrada alavez y sumando los resultados. Aunque muchas relaciones físicas se representan a menudo mediante ecuaciones lineales, en la mayoi parte de los casos las relaciones reales no son verdaderamente lineales. De hecho, un estuclio cuidadoso de los sistemas físicos revela que incluso los llamados < sólo lo son en rangos de operación limitados. En la práctica, muchos sistemas electromecánicos, hidráulicos, neumáticos, etc., involucran relaciones no lineales entre las variables. Por ejemplo, la salida de un componente puede saturarse para señales de entrada grandes. Puede haber una zona muerta que afecte a las señales pequeñas. (La zona muerta de un componente es un rango pequeño de viriaciones de entrada a las cuales el componente es insensible.) Puede ocurrir una no linealidad de la ley cuadrática en algunos componentes. Por ejemplo, los amortiguadores que se utilizan en los sistemas físicos pueden ser lineales para operaciones a baja velocidad, pero pueden volverse no lineales a altas velocidades, y la fuerza de amortiguamiento puede hacerse pro-

porcional al cuadrado de la velocidad de operación.

Linealización de sistemas no l¡neales. En la ingeniería de control, una operación normal del sistema puede ocurrir alrededor de un punto de equilibrio.

I

las señales pueden consi-

Capítulo 2.

I'v4odelado matemático de sistemas de

control 43

derarse señales pequeñas alrededor del equilibrio. (Debe señalarse que hay muchas excepciones a tal caso.) Sin embargo, si el sistema opera alrededor de un punto de equilibrio y si las señales involucradas son pequeñas, es posible aproximar e1 sistema no lineal mediante un sistema lineal. E,ste sistema lineal es equivalente al sistema no line¿il. considerado dentro de un rango de operación limitado. Tal modelo linealizado (lineal e inr¡ariante con el tiempo) es muy importante en la ingeniería de control. El procedimiento de linealización que se presenta aquí se basa en el desarrollo de la función no lineal en series de Taylor alrededor del punto de operación y la retención sólo del término lineal. Debido a clue no se consideran los términos de orden superior del desarrollo en serie de Taylor. estos términos no considerados deben ser suficientemente pequeños; es decir, las variables sólo se desvían ligeramente de l¿r condición de operación. (De otro modo, el resultado sería

inexacto.)

Aproximación lineal de modelos matemáticos no lineales. Con la finalidad de obtener un modelo matemático lineal para un sistema no lineal, se supone que las variables sólo se desvían ligeramente de alguna condición de operación. Considérese un sistema cuya entrada es ,r(r) y cuya salida es l'(0. La relación entre.t'(/) y x(r) se obtiene mediante

r :.f(¡)

(2-42s

Si la condición de operación normal corresponde a i, v, la Ecuación (2-42) se expande en senes de Taylor alrededor de este punto, del modo siguiente: v

:

l(-r)

df :/(i) +a(r

,r)

]|l2 f l- ' . (.r 2l dr-

.il- + ...

(2-43)

,lnnde las derivrdas ,l.f ,t.r. ¿:.1 ¿1.... se evalúan en x : .i. Si la variación x - .i es pequeña. posible no considerar los términos de orden superior en x .i. Entonces, la Ecuación (2-43) escribe como

v

-,'" +

f1r

r)

es se

(2-44)

donde

t : /(;)

K:!l drl,:, La Ecuación (2-44) puede reescribirse como

Y t:

K(x

-

r-)

(2-4s)

,_'- - ,r es proporcional a x - .i. La Ecuación \2-45) da un modelo matemático lineal para el sistema no lineal obtenido mediante la Ecuación (2-42) cerca del punto de opera-

que indica que

ción -r : x, ,y : !. A continuación, considérese un sistema no lineal cuya salida.y es una función de dos entradas ,\-r y -rl, de modo que r'

:

/(-r¡,

,r2)

(2-46)

v 44

Ingeniería de control moderna

Con la finalidad de obtener una aproximación lineal para este sistema no lineal, es posible expandir la Ecuación (2-46) en series de Taylor alrededor del punto de operación normal it. ir. Entonces, la Ecuación (2-46) se convierte en

y:

f'(xv

xz)

¿f

.[#u'

_

-l

11)-l " (x2-x2)l ('x2

I

I f i2f +-l--it¡, 2t

d't - i,lt + 2 CX "-:" 1CX2 ^l

I ixi

ilf

^

(x1

-

x')(x2

-

x2)

- .-ll-f "' --trl - I

t _,(,f;

('xt

: ir. Cerca del punto de operación nordonde las derivadas parciales se evalúan en -{r : ir.xz A continuación, el modelo matemásuperior. de orden términos mal, es posible no considerar los de operación normal se obtiene condición la de tico lineal de este sistema no lineal alrededor mediante

-t:

y

Kr(xr

- it) * K2Q2 -

x2)

donde

af K1

-^l ('f

l

1.,

af

Kz: lx"

!1 :.f

1' -Y2

:

-f 2

La técnica de linealización presentada aquí es válida alrededor de la condición de operación. Sin embargo, si las condiciones de operación varían ampliamente, tales ecuaciones linealizadas no son adecuadas y deben manejarse ecuaciones no lineales. Es importante recordar que un modelo matemático determinado, que se use en el análisis y el diseño, puede representar con precisión la dinámica de un sistema real para ciertas condiciones de operación, pero puede no ser preciso para otras.

EJEMPL0

2-5 Linealice la ecuación no

lineal

?.:

xy

en la región 5 ( x ( 7, 10 < -y ( 12. Encuentre el error si la ecuación linealizada se utiliza para calcular el valor de z cuando; : 5, y : 10.

Puestoquelaregiónconsideradaestádadapor5(¡(7,10
t:

i: ii: i:

11. Entonces lineal cerca del punto

66. Se va a obtener la ecuación linealizada a partir de la ecuación no ó.

r::

I l.


Desarrollando la ecuación no lineal en series de Taylor alrededor del punto x considera¡ los términos de orden más alto, se tiene

: i, y:

y y sin

z ¿:atx-it+bly-rl donde

u-

ór-r-v I

-" -y^ I dr lr:i..u:,

ótxvl b:-:-l 0)

I

- ll

:t:6

I

l.:i,r':y

De ahí la ecuación linealizada es z

- 66: l1(¡ -

6) + 6(v

-

11)

o bien

z:ltx+6y-66 Cuando

r:

5, y

:

10, el valor de z dado por la ecuación linealizada es

z:

L1x+ 6y

-

66

:

55 + 60

-

66

:

49

Elvalorexactodezesz-ry:50.Elerrores,porlotanto,50-49:1.Entérminosdeporcentaje el error es deI 2 %.

EJEMPTOS DE PROBLEMAS Y SOTUCIONES A-2-1.

Simplifique el diagrama de bloques de la Figura 2-17.

Solución. Primero, se mueve el punto de ramiflcación de la trayectoria que contiene H, fuera del lazo que contiene 112, como se aprecia en la Figura 2-18(a). Después la eliminación de dos lazos da lugar a la Figura 2-18(b). Al combinar dos bloques en uno se obtiene la Figura 2-18(c).

A-2-2.

Simplifique el diagrama de bloques de la Figura 2-19. Obtenga la función de transferencia que relaciona C(s) con R(s).

Figura 2-17 . Diagrama de bloques de un sistema.

t

46


(b)

R(s) l--, - r-t:-1 c(.sr I l+GHr

(c)

I

Figura

2-1g.

Diagrama de bloques simplificado para el sistema mostrado en la Figura 2-17

Figura

2-19.

Diagrama de bloques de un sistema

(c)

Figura 2-20. ee:-cción del diagrama de bloques mostrado en la Figura 2-19.

'

Capítulo 2. l',4ooelado matemático de sistemas de control 47 la Figura l-19 se modifica para obtener el que se mLlestra directa menor. se obtiene la Figura 2-20(b), que se la tra-vectoria en la Figura 2-20(a). Eliminando l-l0tcl. Así. la función de transferencia C(s)/R(s) se Fi-qura que la muestra en a la se simplifica consigue mediante

Solución.

E,l dia-erama de bloques de

C(s)

- - GtC. - G, )

I

R(s

T'ambién se obtiene el rnismo resultado procediendo del modo siguiente. Como la señal X(.s) es la suma de dos señales G,R(,i) y R(i), se tiene qtre

X(.i)-GrR(s)+R(s) La señal de salida C(s) es la suma de G2X(s) y R(i). Por tanto, C(.i)

:

G:X(.i; + R(s)

:

GzlGrR(s)

+ R(s)l +

R(s)

Así se obtiene el mismo resultado que antes:

ttt'-"",+c,* r

R(r.)

A-2-3.. Simplifique el diagrama de bloques que

se muestra en la Figura 2-21. Después, obtenga la

función

de transferencia en lazo cerrado C(s)tR(s).

Figura2-21. Diagrama de bloques de un sistema.

entre G3 y G. al lado derecho dei lazo que contiene Gt, G¿y I12. Después se mueve el punto de suma entre G¡ y G2 a la izquierda del primer punto de suma. Véase la Figura 2-22(zt). Si se simplifica cada 1azo, el diagrama de bloques se puecle modificar como se muestra en la Figura 2-22(b). En la Figura 2-22(c) se muestran los resultados de la simplificación; a partir de ella, se obtiene como f'unción de transf'erencia en lazo cerado Ct.sl Rt.rt la siguienle:

Solución. Primero se mueve el punto de la rama

c(,i) R(s)

G1G2G1Ga

| + G.G.Ht + GlGlH) -

G2G3H3

+

G.G)G3G|H tH2

( 48


Gz Gq

\ + G3GaH2

Gr G2G3 G4

l+ Gt Gt H t + G3 Ga H2-

G2 G3 H3

+

G1 G2 G3 Ga H1 H2

(c)

Figura

A-2-4.

2-22.

Reducciones sucesivas del diagrama de bloques mostrado en la Figura 2-21

.

Obtenga las funciones de transferencia C(s)/R(s) y C(s)/D(s) del sistema que se muestra en la Figura 2-23.

Solución. A partir

Figura2-23.

de la Figura 2-23 se obtiene

U(s):G¡R(s)+G.,E(s) C(s): GnlD(s) + GrU(s)l

(2-41)

E(s):R(s)-HC(s)

(2-4e)

(2-48)

Sistema de control con entrada de referencia y entrada de perturbaciones.

Sustituyendo la Ecuación (l--17) en la Ecuación (2-48) se obtiene c(-s)

:

GoD(s): G$PlGfR(s) + G.E(s)l

Sustituyendo la Ecuación rl--19len la Ecuación (2-50) se obtiene

(2-s0)

Capítulo 2. Modelado matemático de sistemas de control 49 C(s)

:

G,,D(s)

+ G1G,,{G¡R(s) + G.[R(s)

-

l1C(s)]]

Si se resuelve esta última ecuación para C(s) se obtiene C(s)

-t G1G,,GJIC(s): G,,D(s) * Gpr(G¡ + G,)R(s)

De ahí.

c(s):

G,,D(s)

+ G'Gn(G¡+ G.)R(s) 1 + GgPGJI

(2-s1)

Observe que la Ecuación (2-51) da la respuesta C(s) cuando están presentes tanto la entrada de referencia R(s) como la entrada de perturbación D(s). Para encontrar la función de transferencia C(s)/R(s), se considera D(s) :0 en la Ecuación (2.51). Entonces se obtiene

C(s),

GtGp(GJ+

G,.)

R(s) I + GtGt,G,H Asimismo, para encontrar la f-unción de transf'erencia C(s)/D(s), se considera R(s) ción (2-51). Entonces C(s)/D(s) está dada por

:

0 en la Ecua-

C(s)

Gp _ D(s) 1 + G1G.G,.H

La Figura 2-24 muestra un sistema con dos entradas y dos salidas. Calcuiar C'(s)/R1(s), C,(s)/ R2(s), C2(s)/R1(s)

y

C2(s)/R2(s). (Para calcular las salidas para R,(s), suponga que R2(s) es cero, y

viceversa.)

Rr

R2

Figura

Solución. A partir

2-24.

Sistema con dos entradas y dos salidas

de la figura se obtiene C1

:G1(R1

-GtCl)

c2: G1(R2

GzC)

(2-s2) (2-s3)

Si se sustituye la Ecuación (2-53) en la Ecuación (2-52) se obtiene

ct:

Gr[Rr

- G3G4(R2 GzCr)]

Si se sustituye la Ecuación (2-52) en la Ecuación 12-53.t se obtiene

(2-s4)

50


c2:

G4lRz

-

G2G1(R\

- G{)l

Si se resuelve la Ecuación (2-54) para C', se obtiene

- GtGiGlRz cr: G,Rr I GtG2CjG4

(2-56)

Si se resuelve la Ecuación (2-55) para C2, se sigue

Cz-

-G1G2GaR1 + G4R2 7 GtGlG jG4

(2-5'7)

Las Ecuaciones (2-56) y (2-57) se pueden cornbinar en la fbrma de matriz de transferencia de la siguiente manera:

Gl

t!:l

I

I

-Gl itG2G;,G,

l-

Gl

Cr(s)

I

G1G2G1G4

G1G.G4

Cr(s)

I

(

I

I It;,1

G1

G1G2t tGz(Gz(G1

Entonces las funciones C' (s)/R r(s ), cr (s)/n" )/R2( :(s)' ). fbrma

Rr(s)

G,G 3zG tGq

jzG.j4 G]tG2C

L

Rr(s)

GtG3G4

]1 GtG zG..1 tGt

l

(s)i )/R2(s) se pueden obtener de la z(s)/Rr (s) y Cr(¡

C,G,G,

Cr(s)

R:(r)

I

c:(s)

GtG2G3Gt' R:(s) | -

G1G2G1G1 G4

GtGzG3G4

Observe que las Ecuaciones (2-56) y (2-51) dan las respuestas Ct y Cz, respectivamente, cuando están presentes ambas entradas Rl Y R:. Observe que cuando Rz(s) : 0, el diagrama de bloques original se puede simplificar como se muestra en las Figuras 2-256) y (b). De forma sinrilar, cuando Rr(r) - 0, el diagrama de bloques original se puede simplificar como se muestra en las Figuras Z-25(c) y (d). A partir de estos diagramas de bloques simplificados se pueden obtener Cr(s)/Rr(s), Cz(s)/Rr(s), Cr(s)/Ru("i) y Cz(s)/ R2(s), como se muestra en el lado derecho del correspondiente diagrama de bloques.

Ct_ Rr

1

c)_ R1

-

G1

Gt

I

G) G|G1

GzGq

GlGTGjGa

Figura 2-25. Diagrama de bloques simplificado y f unciones de transferencia en lazo cerrado asociadas (continúa).

i VtfililuAD nE ZAIIAIiL j,.roThlA I)É eAilPl-lt 0EL

Aflt Capítulo 2. h4odelado matemático de sistemas de control 51

cl R2

(d)

- GC.G.G^

c2_

:+

R2

2-25.

Figura

A-2-6.

G, G, G, I

G4

I - Gt GtG.. G^

(Continuación.)

Demuestre que, para el sistema descrito por la ecuación dif'erencial

,j;+

a¡1-

+

a2\:

+ a7,-: bllii + bú +

b2u

i \u

(2-s8)

las ecuaciones de estado y de salida se obtienen, respectivamente, mediante

I

[]l

/?_{q

)': [1

0

.

(2-60)

''[i'] ^'

donde las variables de estado se definen mediante

¡r : ,v

\t¡u

- [t¡ú Bp : i1 - l]p x¡ : I - []oii - fiú lJzu : iz x2:'1;

{Jzu

v llo

:

bo

f t -- bt -

atlJr¡

{lz- bz atlJt - azlJo llt: bt - atlJz azpt solución. A partir de la definición

thfJo

de las variables de estado rz y

r:,

se tiene que

i1: :'2* []p i,:x1 *l)2u A fin de obtener la ecuación para

,i'-,.

,y': -a1.i'

primero se considera, de la Ecuación (2-5g), que a.r:

-

a3y

\

+ bo'it'+ b,ü i b,ú -l b.tt

(2-61) (2-62)

7 52

lngeniería de control moderna Como

xz:i-[]oü pú-llzu

se tiene que

i.:Y lln'ii llii-{l2i ::'-:,:, -';'* -"i,)!?^.'::o.o'1"'iolo"

rt'ü

''ú

'!;:-

- Pp) az\oú - ctzpú - at\ - llou) - a3Bstr + b;í + bú + b2ú * b3u - llo'it'- IJú - fzi - aéz - a2r2 - djxl + (bo - lli'ii + (bl Bt - Qvpúü + (.bz - Fz atlJt at[]n)u + (bt - atlJz a2fi1 - a7!¡1)u : - aét - azxz - ttjxl I (b3 - atlJz- a'81 - ojl)¡)u -

az!

-

Bsú

a$j-a2x2-a3x1 I8¡u Por lanto, se obtiene

i3:

-273-11

-

ct2x2- a:x1

I B3u

Q-63)

matricial, se obCombinando las Ecuaciones (2-61), (2-62) y (2-63) en una ecuación dif'erencial de estado x' variable de la la definición de partir a (2-59). Asimismo,

tiene la Ecuación seobtienelaecuacióndesalidaproducidaporlaEcuación(2-60).

A-Z-7.

por Obtenga la ecuación en el espacio de estados y la ecuación de salida definida

f(s)- 2s3+s2+s+2 U(s) s3+4s2*5s*2 Solución. A partir de la función .y

de transferencia dada, la ecuación diferencial del sistema es

+ +y + 5) + 2y

:

2'ii

+ ü + ú + 2u

puede Si se compara esta ecuación con la ecuación estándar dada por la Ecuación (2-33), se

reescribir se encuentra

,ii+ a,ji +

a¡ + at! :

at:4' bo: 2,

az: 5' bt : 1,

btlii +

bi

+ b2i

as:2 bz: 1,

*

bt:

fuu

2

Si se refiere a la Ecuación (2-35) se obtiene

[]o: bo: 2

ft:bt atlJo:7-4x2: -1 pz: bz- aJJt - azfio: 1 4 x (-7) - 5 x 2: : b: - ttt7z - az.lJt - azlJo llz :2 .l ^ 19-5 x (-1)-2x2: -43 En referencia a la Ecuación t2-3'1) se define

rr-) fiou:Y-2u -t::ir -fltu:it+lu : l9tt 'rt - iz - \zu iz

19


control 53

Entonces, refiriéndose a la Ecuación (2-36).

it:'t'-7u i2: ,r3 * I9u i3 :

d3-Yr

- -2xt

- a1x1 t B3u 5"rz 44 - 43u a2x1

De ahí, la representación en el espacio de estados del sistema es

; ,[;] l-, 5 ;][,]

r:r:r 3 L',1

-

["1

y:rr o otl",l*2, L.;l Esta es una posible representación en el espacio de estados del sistema. Hay muchas otras (infinitas). Si se utiliza MATLAB, se obtiene la siguiente representación en el espacio de estados:

-i -;

r:r:f L',j Io

:lti].[i].

I

v:l t -e

-r,lrr',1*r, L',1

Véase el programa MATLAB 2-4. (Observe que todas las representaciones para el mismo sistema son equivalentes.)

MATLAB Programa

2-4

ñ..ñ

-

-

rlon

-

la t. 11

1

1

al z)i

A

q

)1

[A,B,C,D] : tf2ss(num, den)

-4 -5 -2 100 010 L 0 0

-t D2

-9

-2

7

54


A-2-8.

que aparece en la Figura 2-26' Obtenga el moclelo en el espacio de estados clel sistema con retardo' La salida de cada SOIUCión. El sistema contiene un integrador y dos integradores Se define la salida de la estado de variable una integrador o integraclor con retardo puá" ,". como -rj' Así' se obtiene sensor del y salida la x2 como planta como xt,li salida del controladof Xr(s)

l0

X.(s)

.i*5

X:(s)

1

-

.l

U(.s)

X.¡(s)

X¡(s) I Xr(s) s * I(.r):

I

Xr(î)

que puede reescribirse como sX1(s)

:

-5Xr(s) +

10Xz(s)

sX2(s): -X¡(s)+U(s) .sXj(s):X1(s)-X3(s) )i(s)

:

Xr(s)

Sensor

Figura2-26. Sistema de control' ecuaciones precedentes se obtiene Tomando la transfbrmada inversa de Laplace de las cuatro

jr :-5x1 *10x2 iz: -x''lu j: : xr -tj ,v:Jt eu la forma estándar se obtiene mediante Por tanto, un modelo en el espacio de estados clel sistema

[::] [

L,,l L r': [l

i ':o ?]il.l -[11,,

' o

'll.'l

L'l

Capítulo 2. Modelado matemático de sistemas de control 55 Es importante observar que esta no es la única representación en el espacio de estados del sistema. Son posibles muchas otras representaciones en el espacio de estados. Sin embargo, el número de variables de estado es igual en cualquier representación en el espacio de estados del mismo sistem¿r. En este sistema, las variables de estado son tres, sin considerar cuáies se elijan como variables de estado.

A-2-9.

Obtenga un modelo en el espacio de estados para el sistema que aparece en la Figura 2-27(a).

Solución.

Primero, obsérvese que (¿lr * ó)/i como

+ Ul? incluye una derivada. Tal clerivada

se

evita si

se

modifica (a.i

asfb )

.s-

/

b\l

ln+-l\ ,{,/ r

Utilizando esta modificación, el diagrama de bloques de la Figura 2-21(a) se convierte en el que se muestra en la Figura 2-27(b). Defínanse las salidas de los integradores como variables de estado, tal como se aprecia en la

Figura 2-27(b). Después, a partir de la Figura 2-21(b) se obtiene Xr(s) X2(s)

+ rz[U(s) Xr(s)] X:(s)

U(s)

X,(s) )/(.r)

J

_! J

-

Xr(s)

(a)

(b)

Figura2-27.

(a) Sistema de control; (b) diagrama de bloques modificado.

56


que puede modificarse como

: X2(s) + a[U(.s) Xr(s)] sX2(s) : -bX{s) + bU(s) (s) : Xt(s)

sXr(s)

Tomando Ia transformada inversa de Laplace de las tres ecuaciones anteriores, se obtiene

axy*x2lau ir: iz: -bxt-lbu ]:rt Si se reescriben las ecuaciones de estado y de salida en la forma matricial estándar, se obtiene

[,]:[ ; ;]l;:1.[;]' [", ) -ll ollLx:-.1'l

I

A-2-lO.

Obtenga una representación en el espacio de estados del sistema que se muestra en la Figura 2-28(a).

Solución.

En este problema, primero se expande (s

+ z)/(s * p) en fracciones

simples.

I) l+ 7. s+p se convierte K/[s(s * a)] en el producto de Kls y l/(s + a). Después, se vuelve a dibujar el diagrama de bloques como aparece en la Figura 2-28(b). Definiendo un conjunto de variables de estado, según se aprecia en la Figura 2-28(b), se obtienen las ecuaciones si-

A continuación,

guientes:

i1 : -trxli

12

iz: -Kxt * Kxj I Ku it: Pxt*k k-ilxt l:rr

P)u

Si se reescribe la ecuación se obtiene

ti'] [ "t,, i

l[,].[.],]'

y:, ,r[].] Observe que la salida del integrador y la salida de los integradores con retardo de primer orden tl/(s + a) y (. p) (s + p)l se eligen como variables de estado. Es importante recordar que la salida del bloque (s -- :) (s + p) de la Figura 2-28(a) no puede ser una variable de estado, por-

-

que este bloque contiene una derivada, s

*

z.


Figura

A'2'11.

2-28'

(a) sistema de

i*,lll ;f"ii:'*ffi i:

control 57

broques con ras variabres

obtenga la función de transferencia del sistema definido por

r:l:l ,

Ln,J

L

y:tt , Solucién' Si se refiere

j i][,].ii].

l

,,[]-l L".l

a la Ecuación (2-29), la función de transferencia G(s) está dada por

G(s):C(sI-A¡-ltr+o En este problema, las matrices A, B, C y D son

^:fsiil':lil

c: [1 0 0], D:0

De ahí,

G(s): [1 0

:tl 0

0]

0l

Il' [r l'*t 0

0

-t sf1

,i,l

0

1

I

1

r+l

(s+1)(s+2) 1

0

t+2 I

(s+l)r(s+Z)

lil

--. _ls * l)' (r+t)2(s+2) 1

s3+4s2*5s*2

f'J

58


A-2-12.

cuando el sisterna tiene más de Considere un sistema con múltiples entradas y múltiples salidas. una salida, la instrucción

INUM,den]

: ss2tf (A,B,C,o,iu)

cada entrada' (Los coeticientes del nucalcula la función de transferencia de todas las salidas a

meradorsedevuelvenenlamatrizNUMcontantasfilascomosalidashaya)' Considere el sistema definido Por

[;l: [-,: -l][l. [l l][;l Lttl

:

[; ?]l ;tl - Ll il[;,]

funciones de transferencia son: Y1(s)/ Este sistema tiene dos entradas y dos salidas. Las cuatro la salida ilr' se supone que la U,trl, t¡rllUr(s), )'r(s)/Uz(s) y y.(s)/Ut(s)' (Cuando se considera entrada &2 es c€ro, Y viceversa')

solución. El Programa 2-5 en MATLAB origina las cuatro funciones MATLAB Programa 2'5

LO 1;-25 -41; t1 1;0 L); tl 0;0 L); t0 O;O 0l; INUM,den] : ss2tf (A,B,C'D,1)

ee: C: o:

NUM:

01 00-25

4

den: L4 INUM,den]

25

: ss2Lf (A,B'C,D'2)

NUM:

o 1.0000 5.0000 0 1.0000 -25.0000 den : 25

de transferencia'

Capítulo 2. Modelado matenrático de sistemas de control 59 Esta es la representación en

MATLAB

fr(s) ur(s) fr(s) ur(.i) A-2-13.

de las cuatro funciones de transferencia siguientes:

* -1 s2 + 4r + 25'

)':(s) UrG)

s

I:(s) uz!)

.i*5 +

s2

+

25'

z:

x2

,t.s

25

+ 4s +

s2

25

s-25 + 4s +

s2

25

Linealícese la ecuación no lineal

en la región deflnida por 8

Solución.

( x{

10, 2

.¡

(x' .v)

+

{ ¡- (

4x-v

*

6-v2

4.

Se detine

: z' : *' + 4xY *

6Y2

Entonces z

- f @,r-) : /(i, r,

_r

(x i) . {,t [# -

,,].:'

,:,-

*

dondei:9,,t:3. Como los términos de mayor orden en la ecuación expandida son pequeños, despreciando esos términos de orden más alto, se obtiene

z

z,:

Ktlx i) + K2$ t)

donde

i/

K,: íl".x I l¡:¡-,r:i

i Kz:.{'}t'lI |

':.i. r':r

z.: I + 4it +

2i + 4r:2 x 9 + 4 x

3

:

30

-4xi12y:4x9 +12x3:12 6y2

:

92

+ 4 x 9 x 3 + 6 x 9 - 243

Así.

z

- 243: 30(x

9) + 72(t,

-

3)

De ahí una aproximación lineal de la ecuación no lineal dada cerca del punto de operación es

: 30x

72v +

243:0

62


B-2-A. Obtenga Llna representación

en e1 espacio de es-

tados del sistema de la Figura 2-35.

B-2-71. Considere un sistema definido por las siguientes ecuaciones en el espacio de estados:

: llll,l

L::l:[

-Lil"

\ r 'Ll:]

Figura 2-35. Sistema de control.

B-2-9.- Considere el sistema descrito mediante

Obtenga la función G(s) del sistema.

B,-2-12. Obtenga la matriz de transferencia del sisternr definido por

,ii+3i+2i:tt Obtenga una representación en el espacio de estado del sistem¿r.

[',][:i:]tr,l[ri]t;:rl

B-2-lO. Considere el sistema descrito mediante

ti I f + |

*,1:

L

r':il

tllx, l_1,-1,

.. ,ll',t 0ll[xl

fr:l:¡;l:l[:r]

Lr l B'-2-13. Linealice la

I

Lr:l

Obtenga la función de transf-erencia del sistema.

* 3-12 por 2 ( x ( 4, 10 ( y (

z,: en la región definida

ecu¿rción no lineal

x2

+

Sx,l

lZ.

B'-2-14. Encuentre para una ecuación linealizada para

] : 0,2¡3 alrededor de un punto x : 2.

b-

Modelodo moternótico de sistemos mecónicos y sistemos eléctricos

3-

I

lntroducción Este capítulo presenta el modelaclo matemático de sistemas mecánicos y de sistemas eléctricos. En el capíti¡lo 2 se obtuvieron los modelos matemáticos de un circuito Lléctrico simple y de un sistema mecánico sencillo. En este capítulo se consiciera el modelado matemático de una v¿rriedad de sistemas mecánicos y sistemas eléctricos que pueden aparecer en los sistemas de control. La ley fundamental que controla los sistemas mecánicos es la seguncla ley cle Newton. E,n la Sección 3-2 se aplica esta ley a diversos sister-nas mecánicos y se calculan los modelos como función de transferencia y en el espacio de estados. Las leyes básicas que co'troran los circuitos eréctricos son las reyes de Kilchhoff. En Ia Sección 3-3 se obtienen los modelos como función de transf'erencia y en el espacio de estados de diversos circuitos eléctric.s y sistemas de ampliricadores operacionales que pueden aparecer en muchos sistemas de control.

3'2 Modelado matemático de sistemas

mecánicos

Fsta sección presenta en primer lugar sistemas sencilios de resortes y sistemas simples de amor_ tiguadores. Después calcula los módelos corno función cle transf'erencia y en el espacio de esta_ dos de diversos sistemas mecánicos.

64


EJEMPLO 3-1

SevaaobtenerlaconstantedelresortedelossistemasquesemuestranenlasFiguras3-1(a)y(b)' 'valenteknseobtienede

respectivamente'

11^rc:-.,-^r 1¡lq\r la der resorte equr para los resortes en paralelo [Figura 3-1(a)], la constante

k1x'lk¡:F:k'qx k.r:

k1

*

k2

es la misma' Así' 3-1(b)]' la fuerza en cada resofie Para los resortes en serie [Figura

k2@-Y):F

kJ:F, se obtiene Si se elimina y de esas dos ecuaciones

/F\

krlr-;l:F xr'u \

o bien

kt+k2k' krx=F+;-F----;-r K1 ^1

fr'o para este caso es La constante equivalente del resorte

F

l--

êq f

ktkz

kt+k2

I

11

-+kt k2

(b)

(a)

por dos.resortes en paralelo;

formado Figura -(o) (a) Sistema ' ''-'- 3-1. en serie' siitema formado por dos resortes

fricEJEMPLo3-2Sevaaobtenerelcoeficientedefricciónviscosaequivalenteb"oparacadaunodelosslstemasque es oi oispositlvo que proporciona u. aceite se muesrran en las Figuras 3-2(a) t iol El aceite' de "Áortiguador lleno pistón y un cilindro

Está formado por un ción viscosa o amortiguamiento. a que el aceite r" áritru ¿h pirtán y el cilindro, debido resisre cualquier movimiento retati'vJ "1L. al otro' El pistón del lado un de plstán¡ ¿" orificios e" "t debe fluir alrededor del pistón t"

",.Js

amortiguadoresencialmenteuu,*u"energía.Estaerrergíaabsorbidasedisipacomocaloryel potencial' no almacena energía cinética ni amofiiguador

capítulo 3. Modelado matemático de sistemas mecánicos y sistemas eléctricos 65

b1

r--€--r llt))lll---r---f-e-r------f I

I

L*+

I

b,

L L L-

(a)

Figura

(a)

b.

--__L

L

(b)

3-2.

(a) Dos amortiguadores conectados en paralelo; (b) dos amortiguadores conectados en serie.

La fuerza / debida a los amorliguadores .f

: b{i - i)

es

+ bz6

- i) :

(bt +

b)(i - i)

En términos del coeficiente de fricción viscosa equivalente b,r, la fuerua

f:

b,r(y

/

está dada por

- i)

De ahí,

bru:

(b)

La fuerza / debida a los amortiguadores

b1

*

b2

es

f:bíi-;):b,(i-i)

(3-1)

donde z es el desplazamiento de un punto entre el amortiguador b, y el amortiguador b, (Observe que la misma fuerza se transmite a través del eje.) De la Ecuación (3-1), se tiene (b1

-t

n)i:

b2'j,

+ bri

o bien

:_

I

bt+b) |D¡\"

-f

D rX

I

En términos del coeficiente de fricción viscosa equivalente b.r,lafierza

f:

b.q(i

- i)

Si se sustituye la Ecuación (3-2) en la Ecuación (3-1), se tiene

Así,

De ahí, h:

"eq

brbt

b|+b2

I

11

-+b1 b2

(3'2)

/ está dada por

66


EJEMPLo

3-3

Considérese el sistema masa-resorte-amortiguador montado en un carro, srn masa, que aparece en la Figura 3-3. Se va a obtener un modelo matemático de este sistema, suponiendo que el carro está inmóvil durante un / < 0 y que el sistema masa-resorteamortiguador también está inmóvil durante un / < 0. En este sistema, a(l) es el desplazamiento del caro y la entrada para el sistema. En r 0. el calro se mueve a una velocidad constante o bien ¿i constante. El desplazamiento y(l) de la masa es la salida. (El desplazamiento en relación con el piso.) En este sistema, rr representa la masa, ó clenota el coeficiente cle fricción viscosa y ft es Ia constante del resorte. Se supone que la u V que el resofie es lineal; es decir, la fuerza de fiicción clel amortiguador es proporcional a

:

:

-

fuerza del resorte es proporcional a y

i-

a.

Carro sin masa

Figura

3-3.

Sistema resorte-masa-amortiguador montado sobre un carro.

Para sistemas traslacionales, la segunda ley de Newton establece que

-t^:, z F es la suma de las fuerzas que actúan sobre la masa. Aplicando la segunda ley de Newton al sistema presentado y considerando que el caüo no tiene masa, se obtiene

donde nr es una masa, a es la aceleración d,l,lu

tlv Iil.';: dt-

/dt' r1¿r\ bl"-.Ik¡-rr) \d¡ dt )

o bien

,l)

v

n,O,', 1U

dt'

dtt

*k'v -b,1,i,

ku

La ecuación representa un modelo matemático del sistema considerado. Si se toma la transformada de Laplace de cada témino de esta última ecuación se obtiene (ms2

Si

se toma

+ bs + k)r(s): (bs + a)u(s)

el cociente entre Í(s) y U(s),

se encuentra que la función de transferencia del sis-

tema es Función de transferencia

:

G(r)

: Y(s) -- U(r)

bs

r

*

k

tns' 1 bs

--k

Tal representación mediante 1a función de transferencia de un modelo matemático se usa con mucha frecuencia en la ingeniería de control.

Capítulo 3. Modelado matemático de sistemas mecánicos y sistemas eléctricos 67

A continuación se obtendrá un modelo en el espacio de estados de este sistema. Primero se comparará la ecuación diferencial para este sistema

* i:.bkbk *i * *!:;ú ;u con la forma estándar

j; + aó

*

azy

:

boii +

bú +

b2u

e identificaremes ay a2, bo, bt y b2 del modo siguiente:

or:

bkb or: Á, *,

bo: o,

b,

:

k

Á,

bz: n1

Refiriéndose a la Ecuación (2-35), se tiene que

flo: bo: 0 lJt

:

bt

- or¡r:

b m

k /b\2 lJz:bz- otlJt az\o:-m {\m/ }

Por tanto, refiriéndose la Ecuación (2-34), se define

xr

a:)-lsou:!

r::ir -llp:i¡ A partir de la Ecuación (2-36),

se tiene que

it:xzt0ú:xz:-u i2: y la ecuación de salida

',

m

b m

b

k

-a2x1

-a¡2* $r": -;*t --r,+lm'

rk lm

- (il'1"

se convierte en

I:rt

o bien

r:l:[J.

'u][r]

y: rr

-lr'ril

rH]

(3-3)

(3-4)

Las Ecuaciones (3-3) y (3-4) dan una representación en el espacio de estados del sistema. (Observe que esta no es la única representación en el espacio de estados. Hay infinitas representaciones más en el espacio de estados para el sistema.)

68


EJEMPLQ

3-4

Obtenga la función de transferencia Xr(s)/U(s) del sistema mecánico que se muestra en la Figu-

n3-4.

3-4.

Figura

Sistema mecánico.

Las ecuaciones del movimiento para el sistema presentado en la Figura 3-4 son

:

- k2(x1 x) - b(il - it¡ + u mziz: -k3x2- k2(x2 xr) - b(it- it)

m1i:

-k1x¡

Simplificando, se obtiene

* k)x1 : biz + k2x2 * m2i" + bi2 + &2 i fu)x2: bi1 * k2x1

m1i, +

bí

+ &t

u

Tomando las transformadas de Laplace de estas dos ecuaciones, suponiendo condiciones iniciales nulas, se obtiene

: : lm2s2 + bs + (k2+ fr:)lXz(x)

fmrs2

+ bs * (k1+ kz)lXr(s)

(bs

+ k)xz$) + u(s)

(3-s )

(ós

+ kz)xr(s)

(3-6)

Si se resuelve la Ecuación (3-6) para X2(s), se sustituye en la Ecuación (3-5) y se simplifica, obtiene í(mrs2

+ bs *

:

k1

(m2s2

*

+

k2)(mzs2

bs

*

k2

+

*

bs

-f kz+ b) -

(bs

+

se

k2)21x1(r)

ft3)U(s)

de donde se sigue

U(s)

* k3 i k2)(m2sz * bs * k2 + h) mrsz

Xr(s)

(m62 + bs

*

k1

+ bs -l

k2

(bs + k)2

(3-7)

De las Ecuaciones (3-6) y (3-7) se tiene

Xz(s) u(.,l - i;¡

bs

-t

+ bt + k, i k2)fut2s2 *

k2

bs

*

k2

+ k)

-

(bs

+ k)2

(3

-8)

Las Ecuaciones (3-7) y (3-8) son las funciones de transferencia Xr(s)/U(s) y X2$)lU(s),respectivamente.

EJEMPL$

montado en un carro manejado por un motor aparece en la Figura 3-5(a)' Este es un modelo del control de posición de un propulsor primario espacial para despegues. (El objetivo del problema del control de posición es conservar el propulsor primario espacial en una posición vertical.) El péndulo invertido es inestable porque puede girar en cualquier momento y en

3-5 Un péndulo invertido

capítulo 3. Modelado matemático de sistemas mecánicos y sistemas eléctricos 69

'

i lj i

Figura

3-s.

(a) sistema de pénduro invertido; (b) diagrama de cuerpo ribre.

cualquier dirección, a menos que se le aplique una fuerza de control conveniente. Aquí se considera sólo un problema en dos dimensiones, en el cual el péndulo sólo se mueve en el plano de la página. Se aplica al carro la fuerza de control z. Supóngasé que el centro de gravedad dle ta barra ór"penduloêstá en su centro geométrico. Obténgase un moáelo matemáticJpara este sistema. Sea 0 el ángulo de la barra respecto de la línea vertical. Sean además las coordenadas (x, y) del centro de gravedad de la barra del péndulo (*c, yd. De este modo,

xc: x * /sen0 y6 : lcos 0

70


Para obtener las ecuaciones de movimiento para el sistema, considérese el diagrama de cuerpo libre que aparece en la Figura 3-5(b). El movimiento rotacional de la bana del péndulo alrededor de su centro de gravedad se describe mediante

I0

:

-

Vlsen?

(3-9¡

Hl cos9

donde 1 es el momento de inercia de la barra alrededor de su centro de gravedad. El movimiento horizontal del centro de gravedad de la barra del péndulo se obtiene mediante

,)

a

nr¡t.r*/senet:H

(3-10)

El movimiento vertical del centro de gravedad de la barra del péndulo d2

/,r;/.

(/cos 0l

: V

tttg

es

(3-r

l)

El movimiento horizontal del carro se describe mediante

M

tlzx

(3-12)

*:u-H

Como se debe mantener el péndulo invertido en posición vertical, se puede suponer que 0(r) y 0(¡) son pequeños, de forma que sen0=0,cos 0: 1y OOz : O. Entonces, las Ecuaciones (3-9) a (3-11) se iinealizan del modo siguiente:

r0:vt]-Ht

(3-

:¡1 0:V-mg tnli+t41

l3)

(3- 14)

(3-1s)

A partir de las Ecuaciones (3-12) y (3-14), se obtiene

'Y.11

lM-m)i+mtl:u

(3- 1 6)

A partir de las Ecuaciones (3-13), (3-la) y (3-15), se obtiene

I0:ntgl1-Hl : mglI - lQni + ntt|'; o bien

(t + ml2)0

*

mti -- tngt1

*# (.3-17)

Las Ecuaciones (3-16) y (3-17) describen el movimiento del sistema del péndulo invertido en el carro. Constituyen un modelo matemático del sistema.

EJEMPLO

3-6

Considere el sistema de péndulo invertido que se muestra en la Figura 3-6. Como en este sistema la tnasa se concentra en 1o aito de ia varilla, el centro de gravedad es el centro de la bola del péndulo. Para este caso, el momento de inercia del péndulo respecto de su centro de gravedad es pequeño, y se supone que 1: 0 en la Ecuación (3-17). Entonces el modelo matemático para este sistema es el siguiente: (3- I 8) (M + m)i mI1: u

*

ml20

+

mti:

mgl7

(3- r e)

Las Ecuaciones (3-18) y (3-19) se pueden modificar como

Mlq: (M * m)g0 Mi: u - mg]

w

& iier éill

(3-20) (3-2 I )


Figura

3-6.

Sistema de péndulo invertido.

La Ecuación (3-20) se.obtuvo eliminando "i de las Ecuaciones (3-18) y (3-19). La Ecuación (3-21) se obtuvo eliminando 0 de las Ecuaciones (3-18) y (3-19). De la Ecuación (3-20) se obtiene que la función de transf-erencia de la planta es

@(s) - U(s) Mls2

1

(M + m)g

u(,,

J'i,'' r)(,

Jry,)

La planta del péndulo invertido tiene un polo en el eje real negativo [s : - qMT;nMtl.'Gl V otro en el eje real positivo ft : flMlit"tMD"t Sl Por tanto. la planta es inestable en lazo abierto. Sean las variables de estado x1, x2, x,, y xa siguientes:

xt:

0

x¿:

0

J3:jf

x+: i Observe que el ángulo 0 indica la rotación de la varilla del péndulo respecto al punto P, y x es la posición del carro. Si se consideran 0 y x como las salidas del sistema, entonces

[u,l l0l

[*,1

': L';-l: L.l: I,l

(Observe que tanto 0 como ¡ son cantidades fácilmente medibles.) Entonces, a partir de la definicién de variables de estado y de las Ecuaciones (3-20) y (3-21), se obtiene

xt:xz . M*m fr:-eIt--U .MIMI : .m

j-¡

,

Xt:

1

x+ PXt

M"

I M

*-u

72


En términos de las ecuaciones vectoriales, se tiene

100 M*m Mts 000 001 0 0

ri

m

0 0

--P M"

tt 00

tll: lo o

0

[tl¡l

(3-22)

[*'l (3-23)

I

'rEl Las Ecuaciones (3-22) y (3-23) dan una representación en el espacio de estados del sistema del péndulo invertido. (Observe que la representación en el espacio de estados del sistema no es única. Hay infinitas representaciones para este sistema.)

3-3 Modelado matemático de sistemas eléctricos Las leyes fundamentales que gobiernan los circuitos eléctricos son las leyes de corrientes y voltajes de Kirchhoff. La ley de corrientes de Kirchhoff (la ley de nodos) plantea que la suma algebraica de todas las corientes que entran y salen de un nodo es cero. (Esta ley también puede plantearse del modo siguiente: la suma de las corientes que entran a un nodo es igual a la suma áe las corrientes que salen del mismo.) La ley de voltajes de Kirchhoff (la ley de mallas) establece que en cualquier instante determinado la suma algebraica de los voltajes alrededor de cualquiár malla en un circuito eléctrico es cero. (Esta ley también se plantea del modo siguiente: la suma de las caídas de voltaje es igual a la suma de las elevaciones de voltaje alrededor de una malla.) Un modelo matemático de un circuito eléctrico se obtiene aplicando una o ambas leyes de Kirchhoff.

Esta sección trata primero los circuitos eléctricos sencillos y después presenta el modelado matemático de sistemas con amplificadores operacionales. Considérese el circuito eléctrico que aparece en la Figura 3-1 . El circuito está formado por una inductancia L (henrios), una resistencia R (ohmios) y una capacitancia C (faradios). Aplicando la ley de voltaje de Kirchhoff al sistema, se obtienen las ecuaciones si-

Gircuito LRC.

guientes:

di Lr!'o': L-+Ri+ dt

"

L!,0,:,,,

(3-24)

(3-2s)


Figura

3-7.

Circuito eléctrico

Las Ecuaciones (3-24) y (3-25) dan un modelo matemático del circuito. Un modelo mediante la función de transferencia del circuito también se obtiene del modo siguiente. Se toma la transformada de Laplace de las Ecuaciones (3-24) y (3-25) y se suponen condiciones iniciales iguales a cero, para obtener Ls1(s.t -1

11

R/(s)t--lt.s) L.t

ll ¿

1{st

-E¡(.s)

:,E,(s)

Si se supone que ei es Ia entrada y e,,7a salida, la función de transferencia de este sistema resulta ser

8,,('s) E,(s) LCs2 + RCs * 1

I

(3-26)

Un modelo en el espacio de estados del sistema, como el que aparece en la Figura 3-7, obtiene del modo siguiente. Primero, se observa que la ecuación dif'erencial para el sistema obtiene a partir de la Ecuación (3-26) como

¿,' +\¿,+Lo:Ln, L'' LC'' LC Después, si se definen las variables de estado mediante tt:

€o

xz:

é,,

v las variables de entrada y salida mediante

u: e¡ !: e":

xt

se obtiene

[,]

:

0 1

t rc l ' : tl

l,][;1 .[;]. ''

[]l

Estas dos ecuaciones dan un modelo ma temát ico del sistema en el espacio de estados.

se se

74


Figura

3-8.

Sistema eléctrico'

Muchos sistemas realimenFunciOnes de tranSferenC¡a de elementos en cascada' el sistema de la Figutados tienen componentes que se cargan uno al otro. Considérese ü entrada I e"b salida. Las capacitancias C1 y C2 no cambian inira 3-8. Supóngase qu.", ", (la parte R.C]) produce un efecto de cialmente. Se verá que en la segunda etapa del circuito para este sistema son carga en la primera etapa (la parie R,C,)' Las ecuaciones

á I,t, -

á J,,,

i2)ctt

*

i,) rtr + R,iz

Rvil:

.¿

(3-27)

e¡

Ii

ttr

:o

!t,.0':

(3-28)

1-?g

r

)

','

(3-27) a (3-29) y se suponen condiSi se considera la transformada de Laplace de las Ecuaciones ciones iniciales de cero, se obtiene I

;C

ll,r.rl

- /,t.rtl . R,/,{s) :

l-30)

E¡(s)

r

0

(3-3 1)

r.s

I

^ 11,(s) - 1r(s)l * R212(s) + a,, 1r(s) : C rs I

1

¿;

r,trr

: E,(s)

(3-32)

en términos de /.(s), Si se elimina 1,(s) de ias Ecuaciones (3-30) y (3-31) y se escribe E,(s) encuentra que la función de transferencia entre E,(s) y Et(s) es E,(.s)

: E,(r) -

1 1n,C,r+ 1)(Rf-.,r+

1)*R,Crs R,CrR2C2s2+(RlCr +R,c|*R1C2)s*

I

se

(3-33)

la interacción de El término R1c's en el denominador de la función de transferencia representa las dos raíces del denodos circuitos RC sencillos. Como (RrCl + RzC2+ RrCt)' > 4RtC8"C2' minador de la Ecuación (3-33) son reales' de modo que la El análisis presente muestra que, si se conectan dos circuitos RC en cascada' no es el general transferencia de función la segundo, salida del primer circuito es la entrada del de la función obtiene se que, cuando a debe se producto de l,r(R,c1s + 1) y 1,'(R.C,s + l). Esto cargada' no está que salida la transferencia para un circuiio aisládo, se supone implícitamente

Gapítulo 3. Modelado matemático de sistemas mecánicos y sistemas eléctricos 75

En otras palabras, se supone que la impedancia de carga es infinita, lo cual significa que no se entrega potencia en la salida. Sin embirrgo, cuando se conecta el segundo circuito a la salida clel primero, se entrega cierta cantidad de potencia y, por tanto, se viola la suposición de que no hay carga. Consecuentemente, si la función de transferencia de este sistema se obtiene bajo la suposición de que no hay carga, la suposición no es válida. El grado del efecto de carga determina la cantidad de modificación de la función de transferencia.

lmpedancias comple¡as. En las funciones de transferencia para circuitos eléctricos,

a

menuclo resulta conveniente escribir las ecuaciones transfbrmadas directamente mediante el método de Laplace, sin escribir las ecuaciones dif'erenciales. Considérese el sistema que aparece en la Figura 3-9(a). En este sistema, Zt y Zz representan impedancias complejas. La impedancia compleja Z(s) de un circuito de dos terminales es el cociente entre E(s), la transformada de Laplace del voltaje a través cle las terminales, e 1(s), la transfbrmada de Laplace de la corriente a

través del elemento, suponiendo que las condiciones iniciales son cero; por tanto,

Z(s):

Etsl

1(s). Si los elementos de dos terminales son una resistencia R, una capacitancia C o una inductan-

l, la impedancia compleja se obtiene mediante R, 1/Cs o Ls, respectivamente. Si se conectan impedancias complejas en serie, la impedancia total es la suma de las impedancias complejas individuales. Recuérdese que el enfbque de impedancias sólo es válido si todas las condiciones iniciales involucradas son cero. Como las funciones de transferencia requieren condiciones iniciales cero, el enfoque de impedancias se aplica para obtener la función de transt-erencia del circuito eléctrico. Este enfbque simplifica mucho la obtención de tunciones de transferencia de circuitos eléctricia

cos.

Considérese el circuito que aparece en la Figura 3-9(b). Supóngase que los voltajes €¡ Y €,, son la entrada y la salida del circuito, respectivamente. Por tanto, la función de transferencia de este circuito es 8,,(.s)

E'(s)

ZzG)

- Z(s)-t

Z2$)

I R,

Zz:

Para el sistema de la Figura 3-7,

Zt:

Ls

I C.s

Por tanto. la función de transferenctaE,,(s)f E¡(s) se encuentra del modo siguiente: I

ft

E,(s) E¡(s)

L.s*Rf

I

LCs2rRCsrt

Cs

que es, por supuesto, idéntica a la Ecuación (3-26').

Figura

3-9.

Circuitos eléctricos.

76


EJEMPL0

3-7

Considérese de nuevo el sistema que se muestra en la Figura 3-8. Obténgase la función de transfercncia Eo@)f E¡(s) utilizando la aproximación de la impedancia compleja. (Los condensadores C, y C2 no están cargados inicialmente.) El circuito que se muestra en la Figura 3-8 se puede transforma¡ tal y como se aprecia en la Figura 3-10(a), que a su vez se puede modificar como aparece en la Figura 3-10(b). En el sistema que se muestra en la Figura 3-10(b) la corriente 1se divide en dos corrientes, 11 e 12. Obsérvese que

Z2I1:

(23 +

ZiI2,

11

-l 12: I

se obtiene

t,: '

Z,+2" Zt+23+Zr

L 22+23+24

Obsérvese que

-

I htz. f E¡(s):Ztllz)l t-lZ,-l_ _ _lt 22+z\+24) Zor

L Z,Z, E.(s):Z"I,: I - z,+23tz4 se obtiene

E"(s)

E¡(s) Si se sustituye Zt

:

Ry

ZzZ+

Z{22 + 23 +

4: ll9p), Zz :

Rz.

y

Z) + 4(4 + 24)

Za:

1l(C2s) en esta última ecuación se obriene

1l Cls

E"(s)

C2s

.* (^,.á)

E (s)

^,(¿r+R,+*!) 1

R1C1R2C2s2

+ (RlCr + R2Cz* R,Cr)s * I

que es la misma que se mostró en la Ecuación (3-33).

(a)

Figura

3-10.

(b)

(a) El circuito de la Figura 3-B en términos de impedancias; (b) diagrama del circuito equivalente.

? Capítulo 3. Modelado matemático de sistemas mecánicos y sistemas eléctricos 77

(b)

(a) Figura3-1

1.

(a) Sistemaformadopordoselementosencascadasincarga;

(b) unsistemaequivalente.

Funciones de transferenc¡a de elementos en cascada sin

carga.

La función de

transferencia de un sistema formado por elementos en cascada sin carga se obtiene eliminando la entrada y la salida intermedias. Por ejemplo, considérese el sistema que aparece en la Figura 3-11(a). Las funciones de transferencia de los elementos son

Grtst

:,-X,(s) Y G2$): X.(s) "fr)

Si la impedancia de entrada del segundo elemento es infinita, la salida del primer elemento no se modifica si se conecta al segundo. En este caso, la función de transf'erencia del sistema completo se convierte en

X,(.s)X,(s) X,(-s) ' u(s): xJsr .' _.' : - X,{s)Xr{.s)

C,1.s)Gr(s)

Por tanto, la función de transferencia del sistema completo es el producto de las funciones de transferencia de los elementos individuales. Esto se aprecia en la Figura 3-11(b). Como ejemplo, considérese el sistema que aparece en la Figura 3-12. La inserción de un amplificador de aislamiento entre los circuitos para obtener características sin carga se usa a menudo cuando se combinan circuitos. Como los amplificadores tienen impedancias de entrada muy altas, un amplificador de aislamiento insertado entre los dos circuitos justifica la suposición de que no hay carga. Los dos circuitos RC sencillos, aislados mediante un amplificador como el que aparece en la Figura 3-12, tienen efectos de carga insignificantes y la función de transf-erencia de todo el circuito es igual al producto de las funciones de transf-erencia individuales. Por tanto, en este caso,

i:lll

:(.#),or(-,;-) K (R'C¡s+1)(R2C2s+1)

Figura 3-12. Sistema eléctrico

78


Gontroladores electrón¡cos. En lo que sigue se analizan los controladores electrónicos que usan amplificadores operacionales. Se comienza por obtener las funciones de transferencia de los circuitos con amplificadores operacionales simples. A continuación se obtienen las funciones de transferencia de algunos de los controladores con amplificadores operacionales. Por último, se proporcionan en una tabla los controladores con amplificadores operacionales y sus lunciones de translerencia.

Amplificadores operac¡onales. Los amplificadores operacionales, también conocidos como amp ops, se utilizan con fiecuencia para amplificar las señales de los circuitos sensores. También se utilizan a menudo en los filtros que sirven para compensación. La Figura 3-13 rnuestra un amp op. Es una práctica común seleccionar la tierra como 0 volts y medir los voltajes de entrada e t y ez. en relación con ella. La entrada e , hacia la terminal negativa del amplificador está invertida y la entrada e, hacia la terminal positiva no lo está. Por consiguiente, la entrada total al amplificador se convierte en e2- e,. De este nrodo, para el circuito de la Figura 3-13, se tiene que

e,,: K(e2-er)- -Kte,

c:)

donde las entradas et y ez pueden ser señales de cd o ca y K es la ganancia diferencial o la ganancia de voltaje. La magnitud de Kes, aproximadamente, de 105 - i0o para las señales de ccl y señales de ca que tienen frecuencias menores que unos 10 Hz. (La ganancia diferencial disminuye con la frecuencia de la señal y se estabiliza alrededor de la unidad para frecuencias de 1 MHz - 50 MHz.) Obsérvese que el amp op amplifica la diferencia entre los voltajes e, y e.. Tal amplificador se denomina amplificador diferencial. Como la ganancia del amp op es muy alta, es necesario tener una realimentación negativa de la salida hacia la entrada para hacer estable el amplificador. (La realimentación se lleva a cabo de la salida hacia la entrada inversora para que la realimentación sea negativa.) En el amp op ideal no fluyen coruientes en los terminales de entrada y el voltaje de salida no se ve afectado por la carga conectada al terminal de salida. En otras palabras, la impedancia de entrada es infinita y la impedancia de salida es cero. En un amp op real, tluye una corriente muy pequeña (casi insignificante) hacia una terminal de entrada, y la salida no se carga demasiado. En el análisis que se hace aquí, se supone que los amp ops son ideales.

Figura

3-13. Amplificadoroperacional

Amplificador inversor. va a obtener el voltaje de salida

Figura 3-14. Amplificador inversor.

Considérese el amplificador operacional de la Figura 3-14. Se e,,.

_-1


La ecuación para este circuito se obtiene del modo siguiente. Se definen: €i- €' . rl ' Rl

11- "'-

"., R-

Como sólo fluye una corriente insignificante hacia el amplificador, la corriente Ir debe ser igual a la coriente i,. Por tanto,

€i €, :r, _ n,, Rr R,

Como K(0

- e'):

€,,y

K)

1, e'debe ser casi cero, o

e'=0.

Por tanto. se tiene que

or:_nu Rl R2 o bien

o,,: -

R"

urn,

De esta manera, el circuito que se muestra es un amplificador inversor. Si Rt

:

Rr, el circuito

amp op mostrado funciona como un inversor de signo.

Amplificador no inversor. La Figura 3-15(a) muestra un amplificador no inversor. La Figura 3-15(b) contiene un circuito equivalente a este último. Para el circuito de la Figura 3-15(b), se tiene que

/

R,

e.l\ e,,: Kle -\ Rr+R. / donde K es la ganancia diferencial del amplificador. A partir de esta última ecuación, se obtiene

/ R,

e, -- |

" Como K

)

1, si R,/(Rr

E,sta ecuación obtiene

*

R.)

r\

I

\R, - R2 K)'''

> l/K, entonces, / l jle, R.\ ','-ll \ R,/'

el voltaje de salida

e,,. Como

€uy €¡tienen los mismos signos, el circuito

amp op de la Figura 3-15(a) es no inversor.

Figura 3-15. (a) Amplificador operacional no inversor; (b) circuito equivalente.

80


EJEMPLO

3-8

La Figura 3-16 muestra un circuito eléctrico que contiene un amplificador operacional. Obténgase la salida eo. Se definen

€¡-

,

. ^d(e'¡):c-. clt

€'

l1

'Rl

e,,)

4:

€'-

€o R2

Si se considera que el flujo de la corriente hacia el amplificador es insignificante, se tiene que

iy:

i2

t

i3

Por tanto,

€¡ €'

Rr Como

e'*

^d(e' - e"l -L

e'

dt

eo

Rz

0, se tiene que

€¡ R1

^drn

eo

dt

R2

Si se calcula la transformada de Laplace de esta última ecuación, y se supone una condición inicial cero, se tiene que E,(s) Rl

*1 LE^(s) RrCs

R2

que se puede escribir como

_ _Rz I E¡(s) R1 R2Cs * E"(s)

1

El circuito con amp op de la Figura 3-16 es un circuito de retardo de primer orden. (La Tabla muestra otros circuitos que contienen amp ops junto con sus funciones de transferencia.)

Figura

3-16.

Circuito de retardo de primer orden utilizando un amplificador operacional.


Enfoque de impedanc¡as para obtener funciones de transferencia. Considérese el circuito con amp op de la Figura 3-17. De forma similar al caso de los circuitos eléctricos que se analizaron antes, el enfoque de impedancias se aplica a los circuitos con amp op para obtener sus funciones de transferencia. Para el circuito de la Figura 3-17, se tiene que

E,(s)

Como

E'1.s)

= 0,

- E'(s) _E'(s) - E,,(s) Z2 Z1

se tiene

8,,(s) E,(s)

- -

Zr(s)

zt(s)

(3-34)

*** 7*

'* ;ñ

#.f', *'á -') fr

fa, -"'F r-i

alir'- i.*

/"'.t' 4¿,e -'trr. #ntu n¿{

'-l b s-l f- \'c> o-,

Figura 3-17. Circuito con amplificador operacional.

+:

zuEltPL0 3-9 Remitiéndose al circuito con amp op de la Figura 3-16, obtenga la función de transferencia E.(s)lE¡(s) mediante el enfoque de impedancias. Las impedancias complejas ZtG) y 4G) para el circuito son

Z1(s):R1

y 4ts):

1 : R' 1 R"Cs*1 Cs*-R2

Por tanto, la función de transferencia E,(s)/E¡(s) se obtiene como

E,(s) _

E (s)

Zr(s) Z{s)

R2 I \ R2Cs +1

que es, por supuesto, igual a la obtenida en el Ejemplo 3-8.

Redes de adelanto o atraso que ut¡l¡zan ampl¡ficadores operacionales. La Figura 3-18(a) muestra un circuito electrónico que utiliza un amplificador operacional. La fun-

82


Red de adelanto o retardo

Fisura

3'18'

(a) circuito

Inversor de signo

con amprificador operac¡onar

'"lgl5'x';?3::3l1:;;,:x'iJ?,."ji:il:"

ción de transferencia para este circuito se obtiene del modo siguiente. Se define la impedancia de entrada y la impedancia de realimentación como Zt y Zr, respectivamente. Entonces,

Z,'

-

R,

R¡C¡s

-

Z.: I

R2 R2C2s

*

1

De ahí, refiriéndose a la Ecuación (3-34), se tiene I

E(s)

E

(s)

Zr._ _RrRrC,s-|

I

Zl

I

R¡ RzCrs

f

s*-Rrcr

: -C, c"l

-{+-

(3-3s)

RtC,

Obsérvese que la función de transferencia de la Ecuación (3-35) contiene un signo menos. En este caso, el circuito es de inversión de signo. Si tal inversión de signo no es conveniente en la aplicación actual, se conecta un inversor de signo a la entrada o a la salida del circuito de la Figura 3- I 8(a). En la Figura 3- l8(b) se muestra un ejemplo. El inversor de signo tiene la función de transferencia de E,,(.s)

_ _ R+ E(s) R3

El inversor de signo tiene la ganancia siguiente función de transferencia:

de

R./R.. Por lo tanto, la red de la Figura

3- I 8(b) tiene la

I

s*E,(s)_RrRoR'C,s*1_ R4C1 RlCl E (s) R'R. RrCrs * I R.C, --rf 1

Rr.Cz

:K:t Tsi_l :Krlsf I

s* sf-

I T I

uT

(3-36)

Capítulo 3. Modelado matemático de sistemas mecánicos y sistemas eléctricos 83 donde R+Ct

T: R1C1, aT: R2C2, K, :

RzCz

Considérese que r/

-.

R.C,

RlCr

RrC^

^'o-R,crffi-R,R..'

Rz.Cr. L-

RtC'

K,.a: R,R,,/(R,R3). Obsérvese que esta red, cuya función de transferencia se muestra en la Ecuación (3-36), es una red de adelanto si R1C1 ) RrCr, o a < l. Si RrCr < RzCz. se trata de una red de atraso. E,sta red tiene una ganancia de

Controlador PID que utiliza ampl¡f¡cadores operac¡onales. La Figura 3-19 muestra un controlador electrónico proporcional-integral-derivativo (controlador PID) que utiliza amplificadores operacionales. La función de transf-erencia E(s)/E,(s) se obtiene mediante E(s)

E,(s)

Zl

donde 7

RrCr,s

'

*

I

Czs

Por tanto

#: (%#)('+') Si

se considera que

E,(s)

: E(s)

R4 R3

7..

Figura 3-19.

Controlador Pl D electrónico

84


se tlene que

E,,(s)

E( s) E(s) _ 8,,(s)

*

RaR, (R'C1s

4G)-E(tE(t-R.R, R^R, / R,C,

R,R,

R4(RlCr

R2C2s

- RrC,

+

I

"l

RrC,

\

R2C2s

R2C2)

R¡R,CZ

['

+t)

1)(R2C2s

T-

-l R,Cls

)

1 T(RlCr + RrCr)s

R 1C1R2C2

RtCl +

RzC2

']

(3-31)

Obsérvese que el segundo circuito con amplificador operacional funcrona como un lnversor de signo, al igual que como un ajustador de ganancia. Cuando un controlador PID se expresa como

E.(.s) / + T, :/
\

,*Tot)

rlrr

se denomina ganancia proporcional, ?", tiempo integral y Z, tiempo derivativo. A partir de la Ecuación (3-31) se obtiene que la ganancia proporcional K,,, el tiempo integral T,y el tiempo

K.

derivativo I¿ son

Ku: T¡: 'r-

''-

+

R4(R1C1

R2C2)

R3RlC2

I

Rp, +

kc,

RlCtRzC2

R,cr

+

R2c)

Cuando el controlador PID se expresa como

Ell: K +\_t /' s E, ls)

K.s

Ko se denomina ganancia proporcional, K, ganancia integral y

K, ganancia derivativa. Para

este

controlador

K,: K:' .. :

R4(RrCr

+

R2C2)

R3RlC2 R4

R-¡RrC2 R1R2Cr

K,t

R3

La Tabla 3-1 muestra una lista de circuitos con amplificadores operacionales que se utilizan como controladores o compensadores.

capítulo 3. Modelado matemático de sistemas mecánicos y sistemas eléctricos g5 Tabla

3'1.

circuitos amplificadores operacionales que se pueden ulilizar como compensadores.

Acción G(s)

de control

I

: E"(sl -: 4(s)

Circuitos de amplificador operacional

R+ Rz

P

R: Rr

I

R1

z

R3 R1C2s

3

Ro

PD

R,

- -

R, R,

4

Rr

Ra R2 (R1C1s

6

'7

PID

R:

Rr

retardo

+ l)(R2Crs +

R5

Rj

1)

R2C2s

* Rj R1 R2C2s *

R6 R1 [(R1

7

R2C2s

R+ Rz RrCr.r

Adelanto o retardo

Adelanto-

*

R+ R.z RzCzs

PI

R:

5

l)

lR,c,.r

*

(R1C1s

R..)C1s

+

+

1)[(R2

1

I

1l(R2C2.r

+

Ra)C2s

+ r)

+

1]

86


EÜEMPLOS DE PROBTEMAS Y SOTUCTONES A-3-1.

La Figura 3-20(a) muestra un diagrama esquemático de un sistema de suspensión de un automóvil. Conforme el automóvil avanza porun camino, los desplazamientos verticales de las llantas funcionan como una excitación de movimiento para el sistema de suspensión del automóvil. El movimiento de este sistema consiste en un desplazamiento del centro de la masa y un giro alrededor del centro de la masa. El modelado matemático del sistema completo es bastante complicado. Una versión muy simplificada del sistema de suspensión aparece en la Figura 3-20(b). Suponiendo que el movimiento r¡ en el punto P es la entrada al sistema y el movimiento vertical x., del cuerpo es la salida, obtenga la función de transferenciaX,,(s)lX¡(s). (Considere el movimiento del cuerpo sólo en la dirección vertical.) El desplazamiento x., se mide a partir de la posición de equilibrio en ausencia de la entrada r¡.

Solución. La ecuación de movimiento para el sistema nti,,

I

b(i,,

de la Figura 3-20(b) es

- i,) + k1x.,

x¡)

-

0

o bien

mi,, + bi,,

I kro: bi¡ + kr.í

Si se toma Ia transformada de Laplace de esta últirna ecuación, y se suponen condiciones iniciales de cero, se obtiene (ms2

+

ós

+ k)x,(s)

:

(bs

+ k)X¡(s)

Por tanto, la función de transf'erencia X,(s)/X,(s) se obtiene mediante

X,(s) bs -l k X,(s) + bs + k ^t2

Centro de masas Cuerpo del coche

(a)

Figura 3-20. (a) Sistema de suspensión de un automóvil; (b) sistema de suspensión simplificado.

(b)


A-3'2.

Obtenga la función de transferencia Y(s)lU(s) del sistema de la Figura 3-21. La entrada ¿r es un desplazamiento. (Al igual que el sistema del problema A-3-1, esta es una versión simplificada de un sistema de suspensión de un automóvil o una motocicleta.)

Solución. Suponga que los desplazamientos ,y e y se miden respectivamente a partir de las posiciones en estado estacionario en ausencia de entrada u. Aplicando la segunda ley de Newton al sistema. se obtiene

mti: k2Q - x) + ó(.y - t k(u ") nt¡ : - k2St - x) b(i i)

x)

Por tanto, se tiene que

mj i bi + (¿r + k2)x : bi -r k..y * m2¡, + by + kil : bi -l k2x

kru

Tomando Ia transfbrmada de Laplace de estas dos ecuaciones y suponiendo condiciones iniciales de cero, se obtiene

lm62 + bs

+ (k1+ ftr)lx(s)

fm2sz

+

bs

:

(ós

+ k2)y(s) + ft¡U(s)

+ k2ly(s): (ós +

kz)X(s)

E,liminando X(s) de las dos últimas ecuaciones, se tiene

(ntrs2+bsrk1 +

kr)

*.r2 +

bs

-f

- b, + b

k"

--: I(.i) :

(bs

+ ft2)I(s) +

ft1U(s)

de lo cual se deduce

y(s) u(s)

A-3-3.

_ tt1pt2s4

*

-l

m..¡bs3

k(bs + k2) + [kp2 -f (m1 t

Figura

3-21.

Sistema de suspensión.

(m1

m2)k2]s2

+ krbs + krk,

Obtenga la representación en el espacio de estados del sistema mostrado en la Figura 3-22.

Solución.

Las ecuaciones del sistema son

mijt I bjtl + k(,vy m¡2+ kgt2

:0 .yr) : u ¡,z)

88


Las variables de salida para este sistema son yt e y2. Se definen las variables de estado como

rr:]r : -Il xz:lz

¡z

^+-iz Entonces se obtienen las siguientes ecuaciones:

xt-x2

i2--f

1

h1t

bit-k(yr !)l

bk

11

iz: x+ .1 x+:

I k(yz -vr) + ¿¿l : llL2

-xzl tftl

kt

k l7l2

"{1

x3

t712

ft|1

rj

l-u

tft2

De ahí, la ecuación de estado es

01 _k

00

lIll

b

k

l7l1

lfLl

00

[i]

01

k

k 0

l1l2

y la ecuación de salida

0

0

lÍ12

[i][i]

es

[;]

:[; :

?

'rEl

Figura

3-22.

Sistema mecánico.

Obtenga la función de transf'erencia X.(s)lX¡(s) del sistema mecánico que aparece en la Figu-

ra 3-23(a). Calcúlese además la función de transferencia del circuito eléctrico de la Figura 3-23(b). Demuestre que las funciones de transferencia de los dos sistemas tienen una forma idéntica y, por tanto, son sistemas análogos.

Solución. En la Figura 3-23(a) se supone que los desplazamientos .r,, ro e y se miden desde su-s posiciones en reposo. Entonces las ecuaciones de movimiento para el sistema mecánico de la Figura 3-23(a) son br(i, - i") + k{xi x.) : br(i. - y¡

bz(i.-il:k*

Gapítulo

3.

Modelado matemático de sistemas mecánicos y sistemas

eléctricos 89

Tomando la transformada de Laplace de estas dos ecuaciones y suponiendo condiciones iniciales de cero. tenemos

ór[sx¡(s)

-

sx"(s)] +

ft,[X,(s)

X"(s)]

:

b2lsX,,(s)

-

sI(s)l

:

kzY(.s)

b2lsX.(s')

s)z(s)l

Si se elimina I(s) de las dos últimas ecuaciones, se obtiene

brts&(s)

-

k,[X,(s)

sX,(s)l +

-

X,(s)]

b2sX.(s)

t,rrY@ - b.s-k,

o bien (b1s

+ k,tX,{.s)

/ I k, - b,, - (b,, \

b,' \ })X,,1s.¡ l),s -r kl/

lrrs,

Por tanto, la flnción de transferencia X"(s)/{(s) se obtiene como

(fr

X,,(s)

X'(s)

/b, (0,

'. 'X? '. ') \/b.

\

b,

s -t 'J(;, ' )+"*',

'*

Para el sistema eléctrico de la Figura 3-23(b),la función de transferencta E,,(s)f E¡(s) resulta ser

n, +

E,(s)

I

(R1C1^r+1)(R2C2s+1)

Cu,

I

E (s) t

l/Rrl - C.s -rR,i

I '

(R1C1s+l)(RrC2s+l)*R2C1s

Crs

La comparación de las funciones de transferencia demuestra que los sistemas de las Figuras 3-23(a) y (b) son análogos.

l

(a)

l l

(b)

Figura 3-23. (a) Sistema mecánico; (b) sistema eléctrico análogo.

l i i l I

j ¡

_l

90


A-3's.obtengalastuncionesdetransf.erenciaE.,(s)/E,(s)delasredesdepuenteenTqueSemuestraen las Figuras 3-2a(a) Y (b)'

Figura ¡-25(a)' r pueden representarse por la red deselamuestra Ambas redes de puente en en la Ficomo Értu ."d se pued" modlficat complejas. impedancias donde se utilizan gura 3-25(b)' que En la Figura 3-25(b)' observe

solución.

It:

Iz

I Iv

I2Z1

:(Zt+ZDI3

comple¡as; puente en f.en.términos de impedancias Figura 3-25. (a) Circuitos de (b) red equivalente'

capítulo 3. Modelado matemático de sistemas mecánicos y sistemas eléctricos 91 De ahí,

21+zt

Z,

r-'r

I.-LL. ' Z,lzl+24'

t1

' Zrtzt+21',

lt

-

Entonces los voltajes E,(s) y 8.,(s) se pueden obtener como

E¡(s)-ZJ2+4ll Z,\2, - Z¡

f :lZ,-

I

/,+z\tzÁl'

I

Z:(Zt I Z, Z)t + Zt(Z\ ) Z¿t ,

zt!z\

24

E,(s):2313+Z2Il Z,Z,

211 Z,rZa _Z3Zt

-

Zz(Zt + Z,

-

Zat

Z1t Zt-Za

tl,

De ahí la función de transferencia Q,(s)/E¡(s) de la red de la Figura 3-25(a) se obtiene como

E,(s) Z3Zt+22(21 +4+Z) E¡(r) Z2(Zt + 23 + Z) + Z1Z3 + Z¿4

(3-38)

Para las redes de puente en Tque se muestran en la Figura 3-24(a) se sustituye

Z,

- R.

z":

1 Crr

Z.: R.

z,:

1

C:r

en la Ecuación (3-38). Entonces, se obtiene que la función de transf'erencia E,(s),,4(s) es

E,,(s) E,(.s)

- o- ¿:r) t (o-ro* l).n'-R Cr. \ C.t) o' '

.-',,

RC1RC2s2

RC,RC2.r2

(o

-t

2RC2s

-l

I

C:s

1

+ (2RC2+ RC,)s +

I

De forma similar, para las redes de puente en Zque se muestran en la Figura 3-24(b), se sustituye I 7^:t¿. z.:1 Rt. t,: '.t: Cr. /z: Cr.

Z^

-

R,

en la Ecuación (3-38). Entonces la f'unción de transferencta 8,,(s)lE,(s) se obtiene como

E"(s) E¡(.s)

r r - o'(a, /t - I - n'J\ c'' a, r I r 1R, /t \ R'f T . R,l*c,

'\Cs Cs

/

CsCs

*2R,Cs+ I R¡CR)Cs2 +(2R1C *R,C).r* R1CR2Cs2

I

I

Cs

92


A-3-6.

Obtenga la función de transf'erencia E"(s)lE¡(s) del circuito con amplificador operacional de la Figura 3-26.

Figura 3-26. Circuito con amplificador operacional'

Solución. El voltaje del punto A es I

et:

tk'

*

e")

e"

La versión transformada mediante el método de Laplace de esta última ecuación Er(s) El voltaje en el punto B

-

I 2

lÁ,(s) +

es

E,,(s)'l

es 1

E"(sl

"

Como

[E¿(s)

EIG)]K

:

8,,(s) y

:

Cs1 I R"*_ -Cs -E,(.i)

K)

R,Cr*l

1, se debe tener E¿(s)

11 :2 lE;(sl l- E,(s)l

RzCs+

:

E'(s)

E¡(s). Por tanto,

I

De esta forma.

E"(s)_ RzCs-1:, E¡(s) R2Cs*1

s-

I OtC

s+-

1

RzC

A-3-7.

Obtenga la función de transferencia E.(s)lE,(.s) del circuito con amplificador operacional de la Ftgura 3-27 en función de las impedancias complej as Z r, Zr, Zz y Z^ Utilice la ecuación calculada para obtener la función de transferencia E"(s)lE,(s) del circuito con amplificador operacional que se muestra en la Figura 3-26.

capítulo 3. Moderado matemático de sistemas mecánicos y sistemas eréctricos 93

Figura3-27. Solución-

Circuito con amplificador operacional.

A parlir de Ia Figura 3-27, se obtiene

E,(q_a(O_E¿(s)-E(s) 23 21 o bien

E,(r)

-

Z.\

(1

Ea(sl:

+:

z3

-ZJ E^(.sl

(3-3e)

E,(st

(3-40)

)Eerst:

E6(s)

:

Z.

4+22 -

si se sustituye la Ecuación (3-40) en la Ecuación (3_39), se obtiene z4z1

+2422-z4zl

: - Z? zÊ'tt)

z4(zt + 22) de la que se obtiene que la función de transferencia

¿"(s)_

{(s)/{

(s) es

Z4Z2-2321

E¡(s) 4Qt + 4) Para encontrar la función de transferencia ra 3-26 se sustituye

I

Zt: -' L,f

(3-41) l

{(s)/{

7n:R..

(s) del circuito que

Zt:

Rt,

Z":R.

en la Ecuación (3-41). El resultado es

E,(s)

E¡('s)

R,R,

I

- R,,Cr -

o,l] -/ \(s 'o,)

R2Cs

Rzcs

-

*

que es, por supuesto, el mismo que se obtuvo en el problema 4_3_6.

| I

se

muestra en la Figu-

94


A-3-8.

Obtenga la función de transf'erencia E,(s)/8,(s) del circuito con amplificador operacional de la

Figura 3-28. se obtienen las corrientes ecuaciones de los nodos en los nodos A y B.

Solución. En primer lugar

En el nodo A se tiene

it, i2,

:" 'o', i.'Rr-Rrdt

i¡:'o 'n,

r-¡ '.r:R:.

/5-t,

ir

i..,

l* e i.. Después se utilizan las

: cr+

de,' ¿,

ir: ir* l', l i., o bien €¡- €A _€A €,, + Ri Rr

En el nodo B se tiene l,,

+a C.4 dt R)

(3-42)

: l., o bien (4 nt-(t

deu

(3-43)

¿'

Reescribiendo la Ecuación (3-42) se tiene

de' "'l-- ll C, "' ,lt \R,

(¡ l\ I + -f -ler: " Rr R2 R,/

(',, t

3-44

r

Rr

De la Ecuación i-l-43t. se sigue deo

et: -R2Cz *

(3-45

)

Si se sustituye la Ecuación (3-45) en la Ecuación (.3-44), se obtiene

de" ( r lt I d2,',,\ /l / C'( R'C' "'-' ,,t.l+l- \Rr ': R2r--R,)lt-R'C') dt- Rl , ,

(','

Rr

Tomanclo la transformada ile Laplace de esta última ecuación, suponiendo condiciones iniciales nulas, se obtiene

L¡\r ' c,crnr.rrE.rs,

Figura

* f: - ] - -] ), R,c,tsc,,{r) '- u,,,r, "'- ' ' " Rt " \R, R, R,)

3-28.

Circuito con amplificador operacional.

u'1" Rl

capítulo 3. Modelado matemát¡co de sistemas mecánicos y sistemas eléctricos 95 A partir de la cual

se obtiene

la función de transl-erencia E,(s)/E,(s) como

E.(s)

E¡(s) A-3'9'

R1C1R2C2s2

+

lR2C2 + RrC2

+

(Rr/R3)R2C2ls

+ (R¡/Rj)

Considere el servo sistema que se riuestra en la Figura 3-29(a). El motor mostrado es un servomotor, un motor de cc diseñado específicamente para utilizarse en un sistema de control. El sistema opera de la fbrma siguiente. un par de poteniiórnetros actúan como instrumentos de medida del error' Estos convierten las posiciones de entrada y salida en señales eléctricas proporcionales' La orden de la señal de entrada determina la posición angular d"l .";i;;;; J""iirunr. o.l potenciómetro de la entrada. La posición angulau es la entrJda de" referencia al sistema,

y

el potencial eléctrico del brazo es proporcional a la posición angular del brazo. El clesplazamiento de la posición de salida determina la posición ungt,iu. del conácto deslizante del poienciómetro cie salida' La dif'erencia entre la posición angular áe entrada r y la posición angulaide la sali¿a es la señal de error ¿. o bien

e:r

c

La diferencia de potencial €, - €,: ¿,. es el error de voltaje, donde e,. es proporcional a r y e,. es proporcional a c; esto es, ¿r. : Krr y e,: K¡c, donde K,, es una constante de proporcionalidacl. El error de voltaie que aparece en las terminales clel potenciómetro se amplifica por el amplificaclor cuya ganancia constante es K,. El voltaje cle salida de este amplificadoi se apiicu al inducido cjel

circuito del motor de cc. se aplica un voltaje fijo al arrollamiento de excitación. Si existe error' el motor desarrolla un par para rotar la carga de salida de forma que se re¿uzca

cero. Para una corriente de campo constante, el par desarrollado por el motor es

T: donde

Entrada de

K,

K2i,,

es la constante der par del motor e i., es la comiente cler inducido.

refercncia Pontenciómetro dc entrada

-ri

I

Potenciómetro de salida

:[i'

:_ _11ii -'rt,-.::ir

,/

ri

o de entrada

(', ti + ll

I

I

Dispositivo de medrda del error

_lr

-

Amplificador

___.1 Carga

(a)

(c)

Figura 3-29.

un

el eror

(a) Diagrama esquemático de un servo sistema; (b) diagrama de bloques del sistema; (c) diagrama de bloques simplificado.

a

96


inducido un voltaje proporcional al producto cuando el inducido está girando, se induce en el p.1^yl flujo constante, el voltaje inducido e, es directamente del flujo y la velocidao ungiru.. p.opoáionut a la velocidad angular d0ldt'obien

,o: Ur# la constante de la fuerza contraelectromotriz del donde e¡, es el fuerza contraelectrom ottiz, Kles del motor' rno,o., y 6 es el desplazamiento angular del eje y el desplazami.nao ul_g.llT^del eie del motor 6 el entrs transferJncia de función la obtenga de diagrama y de 6loques para este sistema un voltaje enor ¿¿.. obtenga también un diagrama bloques simplificado cuando Lo es despreciable'

está controlada por la

por inducido Solución. La velocidad de un servomotor cc controlado la salida del amplificador.) La ecuaK¡e,.es eo: inducido del 6ui.nrion tensión del inducido ",. ción diferencial para el circuito del inducido

,,,*

at

o bien

di.

L,:nt

+

es

nR.,i,,

+ €h:

€u

d0

R,,i,,

+ K.-: 'dt

(3-46)

La ecuación para el equilibrio del par es

&t¡

Jo " dt' -+l'o

do

3-41¡

Kzio

dl':

del motor, carga y tren de engranaje referido al eje donde Js es la inercia de la combinación del y tren de encarga motor' del la combinación de motor y b¡ es el coeficiente de fricción viscosa granaje referido al eje del motor' (3-41)' se obtiene Eiirninu,tdo i,, dé las Ecuaciones (3-46i) y

@(s) E"(s)

_

KtKr.

s(fus + R,)(/6s

(3-48

* b) -t K2K3s

t

n vecei de engranaje es tal que el eje de salida gira Se supone que la razón de engranaje del tren en cada revolución del eje del motor' Así.

C(s):

n@(s)

La relación entre Eu(s), R(s) y C(s) es

8,,(s):

Ko[R(s)

-

C(s)]

:

(3-50,

KoE(s)

EldiagramadebloquesdeestesistemasepuedeconstfuirapartirdelasEcuaciones(3-48)'(3-49' dé ffansferencia en el camino directo de y (3-50) como se muestra en la Figura 3-29b).La función este sistema es

G(s):

C(s) @(s) E,(s'l

K¡K1K2n

y función de transferencia G(s) en el camino direcCuando L" es pequeño, se puede despreciar, la to se convierte en K¡K1K2nf Rn KoKlK2n

G(s):

s[R,("/ss+bú+K2Ki

,ror'+ (ro-,

T)t

capítulo 3. Modelado matemático de sistemas mecánicos y sistemas eléctricos 97 El término lbo + (K2&lR")ls indica que efectivamente la fuerza contraelectromotriz del motor incrementa la fricción viscosa del sistema. La inercia Js y el coeficiente de fricción viscosa bo + (K2&f R") se refieren at eje del motor. Cuando se multiplican _/¡ y bo + (K2K3lR"i) por lln2,la inercia y el coeficiente de fricción viscosa se expresan en función de la salida del eje. Si se intro-

ducen nuevos parámetros definidos por

: B: K: J

Jrln2 Íbo

:

+

momento de inercia ref'eri
:

coeficiente de fricción viscosa referido a la salida del eje

KoK62fnR"

la función de transferencia G(s) dada por la Ecuación (3-51) se simplifica de la forma

Gts)

:

K r

Js'

*

B¡

o bien G(s)

:

K...

s(I,,s

*

1)

donde

K...: "B

K

1,,,:'

J B

R,,JO

R,,bu

-

K2K

\

Así, el diagrama de bloques del sistema de la Figura 3-29(b) se puede simplificar al que aparece en la Figura 3-29(c).

PROBTEMAS $-31. ,.:.,--

Obtenga el coeficiente de fricción viscosa equi_ ir-q del sistema de la Figura 3-30.

B-3-2. Obtenga modelos matemáticos de los sistemas mecánicos de las Figuras 3-3I(a) y (b). -r (Salida)

u(f) (Fuerza de entrada)

Sin fricción

Figura

3-30.

Sistema de amortiguadores.

(a)

x (Salida)

(Fuerza de entrada)

Sin fricción (b)

Figura

3-31. Sistemas mecánicos.

98


n'l

de esa1 y donde 3-32, Figura tados clel sistema mecánico de la salidas' son e ¡1. son entradas e .v,

B-3-3. Obtenga una representación en el espacio

llilllil

ll

Figura

3-34.

Sistema de péndulo invertido'

y Obtenga la función de transt'erencia Xr('i)/U(s) Fila en X:(s)i U(s) del sistema mecánico que se muestra gura 3-35.

8-3'6.

Figura

3-32.

Sistema mecánico'

B-3-4. Considere el sistema del pénduio accionado por

resorte de la Figura 3-33. Suponga que la fuerza del repénsofle que actÚra sobre el péndulo es cero cuando el que la también dulo eitá vertical, o bien 0 - 0. Suponga de ángulo que el y fricción involucrada es insignificante oscilación 0 es pequeño. Obtenga un modelo matemático del sistema.

Figura

3-35'

B-g-7. Obtenga la función cle transf-erencia E,(s)¡E¡(s) del circuito eléltrico que se muestra en la Figura 3-36'

Figura

+ nt8

Figura 3-33. Sisiema de péndulo carga-resorte' Remitiénclose a los Ejemplos 3-5 y 3-6, considere el sistema del péndulo invertido de la Figura 3-34' Suponga que la maia del péndulo invertido es n y que está

B-3-5.

equitativamente a lo largo de la longitud de la barra. (El centro de gravedad del péndulo se ubica en el centro de la barra.) Suponiendo que 0 es pequeño, obtenga moclelos matemáticos para el sistema en^forma de lcuaciones diferenciales, funciones de transferencia y ecuaciones en el espacio de estado.

Sistema mecánico'

3-36.

Circuito eléctrico'

B-3-8. Considere ei circuito eléctrico que se muestra

en la Figura 3-37. Obtenga la función de transferencil E,(.|tE,is) utilizando la aproximación de diagramas de bloques.

R1

R2

il.t¡¡ul¿u

Figura 3-37. Circuito eléctrico.


B-3-9. Obtenga la función

de transferencia del sistema ..3Jtnco de la Figura 3-38. Dibuje un diagrama esque-'.::ico de un sistema mecánico anáioso.

Figura

3-40.

Cicuito con amplificador operac¡onal.

B'-3-12. Utilizando Figura

3-38.

la

aproximación de impedancias,

obtenga la función de transferencia E"(s)/E,(s) del circuito con amplificador operacional de la Figura 3-41.

Circuito eléctrico.

S3- t 0. Obtenga la función de transf'erencia E,(s)/,E, (s) ,.. --rcuito con amplificador operacional de la Figu-

- :-:9.

Figura

FEura 3-39. Circuito con amplificador operacional.

g'.'1t

1

.

Obtenga la tunción de transferencia E (s)/E, (s)

"r:__.-'-:"-uito

con amplificador operacional de la Figu-

3-41

.

Circuito con amplificador operacional"

B-3-13. Considere el sistema que se muestra en la Figwa 3-12. Un servomotor cc controlado por inducido mueve una carga con un momento de inercia -/.. El par desarrollado por el motor es ?- EI momento de inercia del rotor del motor es -/,,. Los desplazamientos angulares del rotor del motor y del elemento de carga son 0,,, y 0, respectivamente. La razón de engranaje es n 0 f 0,,,. Obtenga la función de transferencia @(s)/8,(s).

:

1

Figura

3-42.

Sistema servomotor de controlado por armadura.

Modelodo motemÓtico de sistemos de fluidos y sistemos térmicos 4-l lntroducción Debido a Este capítulo trata el modelado matemático de sistemas de fluidos y sistemas térmicos. o líquidos sean fluidos qu" ,on el medio más versátil para transmitir señales y potencia, los -ya sí entre dif'erencian gases se y gur"r-, tienen un amplio uró .n la industria. Los líquidos los tári.ur*nt" por su fatá de compresibilidad relativa y por el hecho de que un líquido puede tener de la una superficié tiU.", en tanto que un gas se expande para llenar su recipiente' En el campo gases e hidrátto que aire usan fluidos ingeniéría, el término neuntátiro desciibe los sistemas de /lt'o clescribe los sistemas que usan aceite. En primer lugar se presentan los sistemas de nivel de líquido que se utilizan frecuentemente Después se introducen los conceptos de resistencia y capacitancia en los pro."ro, áe "or-rirol. para describir la dinámica de taies sistemas. Entonces se tratan los sistemas neumáticos. Estos y en el campo de .sistemas se emplean mucho en la automatización de la maquinaria de producción que conneumáticos los circuitos uso un amplio tienen Por ejemplo, los controladores automáticos. de contipos diversos y encuentran se mecánica, energía en comprimi-do aire vierten la energía del troladores neumáticos en la industria. Despué-s se presentan los servosistemas hidráuiicot. Éstos de son ampliamente utilizados en las maquinirias de las herramientas de sistemas. los sistemas y los controlacontrol aéreos, etc. Se discuten los aspeótos básicos de los servosistemas hidráulicos fácildores hidráulicos. Tanto los sistemai neumáticos como los hidráulicos se pueden modelar térmicos sistemas se tratan mente utilizando los conceptos de resistencia y capacitancia. Por último masimples. Tales sistemas involucran transferencia de calor de una sustancia a otra. Los modelos térmicas. y capacitancias temáticos de estos sistemas se pueden obtener utilizando resistencias

ContenidO del capítulO. La Sección 4-1 acaba de presentar el material introductorio del 4-3 capítulo. La Sección 4-2 trata la respuesta de los sistemas de nivel de líquido. La Sección

capítulo 4. Modelado matemático de sistemas de fluidos y sistemas térmicos 101 aborda los sistemas neumáticos

-en

particular los principios básicos de los controladores

neumáticos. La Sección 4.4 estudia en primer lugar los sistemas servohidráulicos y después presenta los controladores hidráulicos. Por último, la Sección 4-5 analiza los sistemas térmicos v obtiene modelos matemáticos para tales sistemas.

4-2 Sistemas de nivel de líquido Al analizar sistemas que implican el flujo de líquidos, resulta necesario dividir los regímenes de flujo en laminar y turbulento, de acuerdo con la magnitud del número de Reynolds. Si el número de Reynolds es mayor que entre 3000 y 4000, el flujo es turbulento. El flujo es laminar si el número de Reynolds es menor que unos 2000. En el caso laminar, tiene lugar un flujo estable en las corientes, sin turbulencia. Los sistemas que contienen un flujo laminar se pueden representar mediante ecuaciones diferenciales lineales. Con frecuencia los procesos industriales implican un flujo de líquidos a través de tubos y tanques conectados. El flujo en tales procesos resulta a menudo turbulento y no laminar. Los sistemas que contienen un flujo turbulento se representan a menudo mediante ecuaciones diferenciales no lineales. Sin embargo, si la región de operación está limitada, tales ecuaciones diferenciales no lineales se pueden linealizar. En esta sección se discutirán modelos reales matemáticos linealizados de sistemas de nivel de líquido. Si se introduce el concepto de resistencia y capacitancia para tales sistemas de nivel de líquido, es posible describir en formas simples las características dinámicas de tales sistemas.

Resistencia y capac¡tanc¡a de sistemas de nivel de líquido. Considérese el flujo a través de un tubo corto que conecta dos tanques. La resistencia R para el flujo de líquido en tal tubo se define como el cambio en la diferencia de nivel (la diferencia entre el nivel de líquido en los dos tanques) necesaria para producir un cambio de una unidad en el caudal; es decir,

R:

cambio en la diferencia de nivel. m

cambio en la velocidad de flujo, m3/seg

Como la relación entre el caudal y la diferencia de nivel es distinta para el flujo laminar y el flujo turbulento, en Io sucesivo se consideran ambos casos. Considérese el sistema de nivel de líquidos que aparece en la Figura 4-I(a). En este sistema el líquido sale a chonos a través de la válvula de carga a un lado del tanque. Si el flujo a través de esta restricción es laminar, la relación entre el caudal en estado estable y la altura en estado estable en el nivel de la restricción se obtiene mediante

Q: KH donde Q : caudal del líquido en estado estable, K : coeficiente, m2lseg H : altura en estado estable, m Para el

m3/seg

[.tNMFnS'nAn [¡ü ¿Af{AG0ZA [itFt.tnTüe,&

flujo laminar, la resistencia R¡ se obtiene como

n,: dHH

A:

a

La resistencia del flujo laminar es constante y análoga a la resistencia eléctrica.

fif

r..lMPtJs {lüL

A[f

ii!

102


Váh ul¡r de control

O+u, T -j _Dr4_-l

l_t

H+

h

Q,

q"

+

Resi stencta

Capacitancra C

R

(a)

Figura

4-1

.

de altura frente al caudal' (a) Sistema de nivel de líquidos; (b) curva

se obtiene merestricción, el caudal en estado estable Si el flujo es turbulento a través de la

diante

donde O :

: I/ :

K

o:

K"rH

m3/seg caudal del líquido en estado estable'

coeflciente, m2's/seg altura en estado estable' m

se obtiene a partir de La resistencia R, para el flujo turbulento

R.:ry ,dQ Como de la Ecuación (4-1) se obtiene

dQ: se tlene que

dH

:2

dQK Por tanto,

K 2

-dH

"lH

oo :za

rlH :z"l-n "[a ZH

,a-

R.:

embargo' R, depende_ del caudal y 1a altura' Sin El valor de la resistencia de flujo turbulento pequeños' son caudal el y en altura constante si los cambios en la

el

valor de R¿ se considera

Usandolaresistenciadeflujoturbulento,larelaciónenfteQyHseobtienemediante

o:2H R, partir de los cambios en la altura y en el caudal' a

Tal linealización es válida, siempre y cuando susvaloresrespectivosenestadoestable,seanpequeños.

(4-1)' que del coeficiente K de la Ecuación En muchos casos prácticos, se descono"" "iuio, la resistencia se deterárea áe restricclón' En tales casos' depende del coeficienl. O. nu¡o y del

capítulo 4. Modelado matemático de sistemas de fiuidos y sistemas térmicos 103 mina mediante una gráfica de la curva de la altura tiente al caudal, basacla en datos experimentales y midiendo la pendiente de la curva en la condición de operación. Un ejemplo de tal gráfica aparece en la Figura 4-1(b). En la figura, el punto P es el punto de operación en estado estable. La línea tangente a la curva en el punto P intersecta la ordenada en el punto 10, É1). Por tanto, 1a pendiente de esta línea tangente es 211 2. Como la resistencia R, en el punto de operación p se obtiene mediante Zn¡Q.ta resistencia R, es la pendiente de la curva en el punto de operación. Considérese la condición de operación en la vecindad del punto P. Se define como /z una desviación pequeña de la altura a partir del valor en estado estable y como 4 el pequeño cambio conespondiente del f1ujo. A continuación, la pendiente de la curva en el punto P está dada por Pendiente de la curva en el punto P

:L :

:R.

q

La aproximación lineal se basa en el hecho de que la curva real no difiere mucho de su línea tan-qente si la condición de operación no varía mucho. La capacitancia C de un tanque se define como el cambio necesario en la canticlad cle líquido almacenado, para producir un cambio de una unidad en el potencial (altura). (El potencial es la cantidad que indica el nivel de energía del sistema.)

C:

cambio en el líquido almacenado, m3 cambio en la altura, m

Debe señalarse que Ia capacidad (mt) y la capacitancia (m2) son diferentes. La capacitancia del tanque es igual a su área transversal. Si esta es constante, la capacitancia es constante para cualquier altura.

Sistemas de nivel de

líquido.

Considérese el sistema que aparece en la Figura 4-1(a).

Las variables se definen del modo siguiente:

a:: caudal en estado estable (antes de que haya ocurido un cambio), m,/seg

4¡

H: h:

desviación pequeña de la velocidad de entrada de su valor en estado estable, mr/seg desviación pequeña de la velocidad de salida de su valor en estado estable, m3/seg altura en estado estable (antes de que haya ocunido un cambio), m desviación pequeña de la altura a partir de su valor en estado estable, m

Como se señaló antes, un sistema se considera lineal si el flujo es laminar. Aunque el flujo el sistema se puede linealizar si los cambios en las variables se mantienen pequeños. A partir de la suposición de que el sistema es lineal o linealizado, la ecuación diferencial de este sistema se obtiene del modo siguiente. Como el caudal de entrada menos el caudal de salida durante el pequeño intervalo de tiempo dr es igual a la cantidad adicional almacenada en el tansea turbulento,

que, se observa que C

dh

:

(q¡

-

q,,)

dt

A partir de la definición de resistencia, la relación enfre q(, y ft se obtiene mediante ct^

-

h

R

La ecuación diferencial para este sistema para un valor constante de R se convierte dh *ra*h:Rq,

en

(4-2)

104


Obsérvese que RC es la constante de tiempo del sistema. Si se toma la transformada de Laplace en ambos miembros de la Ecuación (4-2), y se supone la condición inicial de cero, se obtiene

(RCs

+

1)11(s)

: RO,(s) donde H(s): 9lhl y

Si 4r se considera la entrada y

/z

Q¡G)

:

.9[q,]

la salida, la función de transferencia del sistema

H(s)

es

R

Q,G)

f

RC.r

I

No obstante, si 4,, se toma como la salida, y la entrada es la misma, la función de transferencia

Q,(.s)

1

Q¡G) RCs *

donde se ha usado la relación

O.(s)

:

es

I R

1

H(sl

Sistemas de nivel de líquido con ¡nteracc¡ón. Considérese el sistema que aparece en la Figura 4-2.8n este sistema interactúan los dos tanques. Por tanto, la función de transferencia del sistema no es el producto de las dos funciones de transferencia de primer orden. En lo sucesivo, sólo se supondrán variaciones pequeñas de las variables a partir de los valores en estado estable. Usando los símbolos definidos en la Figura 4-2, se obtienen las ecuaciones siguientes para este sistema:

L#:n, c,#:

Q

(4-3)

- et

(4-4)

h2

(4-5)

Rn:'|t

,,#: r,

(4_6)

Qz

Si 4 se considera la entrada y ezla salida, la función de transferencia del sistema QrG)

Q@ Q+q

RrC1R2C2s2

+

(RrCr

+

R2C2

f

RrC,)s

t

I

es

(:4-l)

T

-+q

Ht!ht H2+

..>

h2

@ : Caudal en estado estacionario

H¡ : Nivel de líquido en estado H2: Estacionario del tanque 2

Q+ qt

Figura

4-2.

Sistema de nivel de líquidos con interacción

1

Capítulo 4. Modelado matemático de sistemas de f luidos y sistemas térmicos 105 Es instructivo obtener la Ecuación (4-7), función de transf'erencia de los sistemas que interactúan, mediante una reducción del diagrama de bloques. A partir de las Ecuaciones (4-3) a (4-6), se obtienen los elementos del diagrama de bloques, tal como aparece en la Figura 4-3(a). Si se conectan las señales de manera adecuada, se puede construir un diagrama de bloques, como el de la Figura 4-3(b). Es posible simplificar este diagrama de bloques, tal como aparece en la Figura 4-3(c). Simplificaciones adicionales llevan a cabo en las Figuras 4-3(d) y (e). La Figura 4-3(e) es equivalente a la Ecuación (4-1).

H¡(r) K>\

Q¡t,t

l -A-Li|*

*l al*

H/s) T;--l

Ou(.*)

I

Hz(r)

osEF

t-

[.1:13'

?r(s)

QzG) (a)

(e)

Figura 4-3. (a) Elementos del diagrama de bloques del sistema mostrado en la Figura 4-2; (b) diagrama de bloques del sistema; (c)-(e) reducciones sucesivas del diagrama de bloques.

106


Obsérvese la similitud y la diferencia entre la función de transferencia obtenida mediante la Ecuación (4-'7 ) y la que se obtuvo con la Ecuación (3-33). El término R2C1s que aparece en el denominador de la Ecuación (4-7) ejemplifica 1a interacción entre los dos tanques. Asimismo, el término RlCrs en el denominador de la Ecuación (3-33) representa la interacción entre los dos

circuitos RC de la Figura 3-8.

4-3 Sistemas neumáticos En las aplicaciones industriales es frecuente equiparar los sistemas neumáticos y los sistemas hidráulicos. A continuación se ofrece una breve comparación de estos dos tipos de sistemas.

Comparación entre s¡stemas neumát¡cos y s¡stemas hidráulicos. El fluido suele encontrarse en los sistemas neumáticos es el

que

aire; en los sistemas hidráulicos es el aceite.

Y

son principalmente las propiedades distintas de los fluidos incorporados las que caracterizan las diferencias entre estos dos sistemas. A continuación se listan estas diferencias:

1. 2. 3. 4. 5. 6.

El aire y los gases son compresibles, en tanto que el aceite no lo es. El aire carece de la propiedad lubricante y siempre contiene vapor de agua. El aceite funciona como un fluido hidráulico al igual que como lubricante' La presión de operación normal de los sistemas neumáticos es mucho más baja que la de los sistemas hidráulicos. Las potencias de salida de los sistemas neumáticos son considerablemente menores que las de los sistemas hidráulicos. La precisión de los actuadores neumáticos es deficiente a bajas velocidades, en tanto que la precisión de los actuadores hidráulicos es satisfactoria en todas las velocidades. En los sistemas neumáticos, se permite un cierto grado de escape externo, pero debe evitarse el escape interno debido a que la diferencia de presión efectiva es bastante pequeña. En los sistemas hidráulicos se permite un cierto grado de escape interno, pero debe evitarse el escape externo.

7. 8.

9.

En los sistemas neumáticos no se requieren tubos de recuperación cuando se usa aire, en tanto que siempre se necesitan en los sistemas hidráulicos. La temperatura de operación normal de los sistemas neumáticos es de 5 a 60'C (41 a 140'F). Sin embargo, el sistema neumático opera en el rango de 0 a 200'C (32 a 392'F). Los sistemas neumáticos son insensibles a los cambios de temperatura, a diferencia de los sistemas hidráulicos, en los cuales la fricción de los fluidos provocada por la viscosidad depende en gran parte de la temperatura. La temperatura de operación normal de los sistemas hidráulicos es de 20 a 70"C (68 a 158"F).

Los sistemas neumáticos no corren el riesgo de incendiarse o explotar, al contrario que los sistemas hidráulicos.

A continuación

se empieza con un modelado matemático de los sistemas neumáticos. Des-

pués se presentarán los controladores neumáticos proporcionales. Se ofrecerá un análisis detallado del principio mediante el cual operan los controladores proporcionales. Después, se tratarán los métodos para obtener acciones de control derivativa e integral. En todos los análisis. se enfatizarán los principios fundamentales en lugar de los detalles de la operación de los mecanismos reales.

capítulo 4. Modelado matemático de sistemas de fluidos y sistemas térmicos 107

Sistemas neumát¡cos. Las últimas décadas han visto un gran clesanollo de los controladores neumáticos de baja presión para sistemas de control industrial, que en la actualidad se usan ampliamente en los procesos industriales. Entre las razones para que estos controlaclores resulten atractivos están que son a prueba de explosiones, son sencillos y son fáciles de mantener. Resistencia y capac¡tancia de los s¡stemas de presión. Muchos procesos industriales y controladores neumáticos incluyen el flujo de un gas, que puede ser aire, en recipientes a presión conectados a través de tuberías. Considérese el sistema a presión de la Figura 4-4(a). EI caudal clel gas a través de la restricción es una función de la diferencia de presión del gas p¡ pu. Tal sistema de presión se caracteriza en términos de nna resistencia y una capacitancia. La resistencia R del flujo de gas se define del modo siguiente:

^

cambio en la diferencia de presión del gas, Ibr/ft2

cambio en el caudal. lblses .r bien

d(LPt (4-8)

dq

Jonde d(AP) es un cambio pequeño en la diferencia de presión clel gas y rtq es un cambio pequeño en el caudal. El cálculo del valor de la resistencia R del flujo de gas puede llevar mucho Ile mpo' Sin embargo, experimentalmente se determina con faciliclad a partir de una gráfica de la lit-erencia de presión frente al caudal, calculando la pendiente de la curva en una condición de .rperación determinada, como se aprecia en la Figura 4-4(b).

La capacitancia del recipiente a presión

C: [-]

se define mediante

cambio en el gas almacenado, lb cambio en la presión del gas, lbr/fi2

blen

C:-

(a)

Figura

dm

:VL do

dp

dp

(4-9)

(b)

4-4. (a) Diagrama esquemático de un sistema de presión; (b) curva de la diferencia de presión frente al caudai.

108


donde

C: ¡l? : p: V: p:

capacitancia, lb-ft2Ab, masa del gas en el reciPiente, lb

presión del gas, lb¡/ft2 volumen del recipiente, ft3 densidad, lb/fC

La capacitancia del sistema de presión depende del tipo de proceso de expansión implícito. La capacitancia se calcula mediante la ley de los gases ideales. Si el proceso de expansión del gas es politrópico y el cambio de estado del mismo está entre isotérmico y adiabático, entonces

,G) : +: p

constante

:

K

(4- r0)

donde ,2 : exponente politrópico. Para los gases ideales, R

o pr: *T

pi:nf

: presión absoluta, 1b¡/ft2 : volumen ocupado por 1 mol de un gas, ft3/lb-mol oR R : constante universal de los gases, frlbr/lb-mol Z: temperatura absoluta, "R u: volumen específico del gas, ft3/lb M: peso molecular del gas por mol, lb/lb-mol

donde p

¿r

Por tanto

oA T: nu :'-: ,PM

Rgu"r

:

(4-1r)

constante de gas, ft-lbr/lb "R. El eiponente politrópico n es unitario para la expansión isotérmica. Para la expansión adiabática, n es igual al cociente entre los calores específicos co/c,,, donde co es el calor específico a presión constante y cu es el calor específico a volumen constante. En muchos casos prácticos, el valor de n es aproximadamente constante y, por ende, la capacitancia se considera constante. El valor de dplctp se obtiene a partir de las Ecuaciones (4-10) y (a-11). De la Ecuación (4-10) donde Rgu"

se tiene

clP: KttP"

' dP

o bien

dp_ I : p" :p ttp Knp" t prp" ' p, Sustituyendo la Ecuación (4-11) en esta última ecuación se obtiene

dp_ dp

I nR"u"T

Capítulo 4. Modelado matemático de sistemas de f luidos y sistemas térmicos 109

La capacitancia C se obtiene como V

(4-12)

nRsrT La capacitancia de un recipiente determinado es constante si la temperatura permanece constante. (En muchos casos prácticos, el exponente politrópico ¡z es aproximadamente 1.0 - l.2para gases en recipientes metálicos sin aislamiento.)

Sistemas de presión. Considérese el sistema de la Figura 4-4(a). Si sólo se suponen desviaciones pequeñas en las variables a partir de sus valores en estado estable respectivos, este sistema se considera lineal. Se definen

P: : p,, : V: r?? : 4: p: p,

presión del gas en el recipiente en estado estable (antes de que ocuffan cambios en la presión), lb¡/ft2 cambio pequeño en la presión del gas que entra, lbr/ft2 cambio pequeño en la presión del gas en el recipiente, lbr/ft2 volumen del recipiente, ft3 masa del gas en el recipiente, lb caudal del gas,lb/seg densidad del gas, lbift3

Para valores pequeños de p,y p,,, la resistencia R obtenida mediante la Ecuación (4-8) se vuelve constante y se escribe como

P:P¡-Po q

La capacitancia C se obtiene mediante

1a

Ecuación (4-9), o bien

c: dm ú) Como el cambio de presión dp., multiplicado por la capacitancia C es igual al gas añadido al recipiente durante d/ segundos, se obtiene C

dp,,:

q

dt

o bien

^dp,, P¡ drR

p,,

lo cual se escribe como dn RC '." dr

Si p, y p,, se consideran la entrada sistema es

t Po:

P¡

y la salida, respectivamente, la función de transferencia del

P,(s) I P'(s) RCs *

1

donde RC tiene la dimensión del tiempo y es la constante de tiempo de1 sistema.

1

10


Amplificadores neumáticos de tobera-aleta. La Figura 4-5(a) muestra un diagrama

de potencia para este amesquemático de un amplificador neumático de tobera-aleta. La fuente conpliiicador es un suministro de aire a una presión constante. El amplificador de tobera-aleta presión trasera la vierte los cambios pequeños en la posición de la aleta en cambios grandes en la pequeña cantide por medio controla grande se de la tobera. Por tanto, una salida Áe energía dad de energía necesaria para posicionar la aleta' y expulsa de la En la Figura a-5(a) el aire presurizado se alimenta a través del orificio se es de 20 psi-l cont'olador la presión de suministro P. para tal

tobera hacia la uletu. Én g"n"rul, 0.01 in (0'2-5 mmt (una gravitacional de t.4 igr/cm2¡. El diámetro del orificio está en el orden de y el áe la tobera está en el orden de 0.016 in (0.4 mm). Para asegurar un funcionamiento grande que el diámetro del udecuudo del amplificador, el diámetro de la tobera debe ser más orificio. presión tlasera Al operar este sistema, la aleta se posiciona contra Ia abertura de la tobera' La se acerca a la la aleta conforme cle la tobera P6 se controla mediante la distancia X tobera-aleta. y, en consecuencia' aumenta la tobera, aumenta la oposición al flujo del aire a través de la tobera por medio de la aleta' srt presión trasera P,, de la tobera. Si la tobera está completamente cerrada aleja de la tobera' de presión trasera P,, se vltelve igual a la presión de suministro P.' Si la aleta se no ha¡ prácticamente in), 0'01 cle (en orden el -ndo qu" la distancia tobera-aleta sea amplía que depenmínimo valor un restricción para el f1ujo, y la presión trasera P¡, de la tobera adquiere P.,') presión ambiental la de del dispositivo toberalaleia. (La presión posible más baja será contra la aleta' es necesilt1o fuerza una opone aire de que chorro el a Obsérvese que, debido trazar lo más pequeño posible el diámetro de la tobera' P¡, de la tobera con La Figura 4-5(b) contiene una curva típica que relaciona la presión trasera se utiliza en la curva la de lineal y casi la distancia X tobera-aleta. La parte con gran inclinación de desplazamientos los de rango operación real del amplificadoi de tobera-aleta. Debido a que el a salida' presión de la la aleta está limitado a un valor pequeño, también es pequeño el cambio en menos que la curva esté muy inclinada. Comc El amplificador de tobeia-aleta convierte el desplazamiento en una señal de presión' para grande salida de potencia una requieren los sistemas de control de procesos industriales incremento el insuficiente es general por lo operar válvulas con actuadoies neumáticos grandes, relé neumático funciona por lo de potencia del amplificador de tobera-aleta. En consecuencia, un general como un amplificaclor de potencia conectado con el amplificador de tobera-aleta' Entrada Ph

Orificio

Ps

+

Aleta

{ A válvula de control

Figura 4-5. (a) Diagrama esquemático de un amplificador neumático de tobera-aleta; (b) cuiva característica asociada a la presión de la tobera trasera y a la distancia tobera-aleta'

]L

ilLlli, tdt

capítulo 4. Modelado matemáiico de sistemas de fluidos y srstemas térmicos

1

11

Tobera

contrapresión P¿ +

siefil +

+

Pc

- :1.::tfo : :::E P,

,

A válvula neumática

A la atmósfera A válvula neunática

+

D

(a) Figura

4-6.

Suministro de aire Pe

(b)

(a) Diagrama esquemático de un relevador con escape; (b) diagrama esquemático de un relevador sin escape.

Relés neumát¡cos. En la práctica, en un controlador neumático, el amplificador de tobera-aleta actúa como el amplificador de primera etapa y el relé neumático como el amplificador de segunda etapa. El relé neumático es capaz de manejar un flujo de aire grande. La Figura 4-6(a) contiene un diagrama esquemático de un relé neumático. Conforme aumenta la presión trasera de la tobera P¿,, la válvula del diafragma se mueve hacia abajo. La apertura hacia la atmósfera disminuye y la apertura para la válvula neumática aumenta, por lo cual rumenta la presión de control P... Cuando la válvula de diafiagma cierra la abertura hacia la itmósfera, la presión de control P,. se vuelve igual a la presión de suministro P". Cuando disminuve la presión trasera de la tobera P 6, y la válvula de diafiagma se mueve hacia arriba y cierra ei suministro de aire, la presión de control P. disminuye hasta la presión ambiental Po. Por tal razón, se hace que varíe la presión de control P,. de 0 psig a una presión de suministro completa, por lo eeneral de 20 psig. El movimiento total de la válvula de diafiagma es muy pequeño. En todas las posiciones de ia r álvula, excepto en la posición en la que se ciena el suministro de aire, el aire continúa escapando a la atmósfera, incluso después de que se obtiene la condición de equilibrio entre la prestón trasera de la tobera y la presión de control. Por tanto, el de la Figura 4-6(a) es un tipo de relé üon escape.

Existe otro tipo de relé, sin escape. En este, el escape del aire se detiene cuando se obtiene la condición de equilibrio y, por tanto, no hay una pérdida de aire presurizado en una operación en estado estable. Sin embargo, obsérvese que el relé sin escape debe tener un alivio atmosférico para liberar la presión de control P.. de la válvula con actuador neumático. La Figura 4-6(b) muestra un diagrama esquemático de un relé sin escape. En cualquier tipo de relé, el suministro de aire se controla mediante una válvula, que a su vez se controla mediante la presión trasera de la tobera. Por tanto, la presión ftasera cle la tobera se convierte en una presión de control con la amplificación de la potencia. Como la presión de control P. cambia casi instantáneamente con las modificaciones en la presión trasera de Ia tobera P,,, la constante del tiempo clel relé neumático es insignificante en comparación con las otras constantes de tiempo más grandes del controlador neumático y la planta. Obsérvese que algunos relés neumáticos funcionan en acción inversa. Por ejemplo, el relé de 1a Figura 4-7 es un relé de acción inversa. En é1, confbrme aumenta la presión trasera de la tobera P7,, la válvula de esf'era es impulsada hacia el asiento inferior, por lo cual disminuye la presión de control P,,. Por consiguiente, se trata de un relé de acción inversa.

l

l :

l l l

l {

I

I ¡

I I

I

I

I I

_-l

112


Tobera

contrapresión P¿

A la atmósfera

A válvula neumática

t

i:Tlil'F: Figura

4-7.

Relevador de acción inversa.

Controladores neumáticos proporc¡onales (de tipo fuerza-distancia). En la industria se usan dos tipos de controladores neumáticos, el denominado de fuerza-distancia 1' el de fuerza-balance. Sin tener en cuenta lo distintos que pueden parecer los controladores neumáticos industriales. un estudio cuidadoso mostrará la estrecha similitud en las funciones del circuito neumático. Aquí se considerarán controladores neumáticos del tipo de fuerza-distancia.

La Figura 4-8(a) muestra un diagrama esquemático de semejante controlador proporcional. El amplificador de tobera-aleta es el amplificador de la primera etapa y la presión trasera de ia tobera se controla mediante la distancia de la tobera-aleta. El amplificador de tipo relé constituye el amplificador de la segunda etapa. La presión trasera de la tobera determina la posición de la válvula de diafragma para el amplificador de la segunda etapa, que es capaz de manejar una cantidad grande de flujo de aire. En la mayor parte de los controladores neumáticos, se emplea algún tipo de realimentación neumática. La realimentación de la salida neumática reduce la cantidad de movimiento real de la aleta. En lugar de montar la aleta en un punto fijo, como se aprecia en la Figura 4-B(b), suele colocarse como pivote en los fuelles de realimentación, como se observa en la Figura 4-8(c). La cantidad de realimentación se regula introduciendo un enlace variable entre el fuelle de realimentación y el punto de conexión de la aleta. A su vez la aleta se convierte en un enlace flotante. Se mueve tanto por la señal de error como por la señal de realimentación. La operación del controlador de la Figura 4-8(a) es la siguiente. La señal de entrada para el amplificador neumático de dos etapas es la señal de enor. El incremento en la señal de enor mueve la aleta hacia la izquierda. Este movimiento, a su vez, aumenta la presión trasera de la tobera y la válvula de diafragma se mueve hacia abajo. Esto provoca un aumento en la presión de control. Este incremento hace que el fuelle F se expanda y mueva la aleta hacia la derecha, con cual se abre la tobera. Debido a esta realimentación, el desplazamiento de tobera-aleta es mu\ pequeño, pero el cambio en la presión de control puede ser grande. Debe señalarse que la operación adecuada del controlador requiere que el fuelle de realimentación mueva la aleta menos que el movimiento provocado por la pura señal de error. (Si estos dos movimientos son iguales, no se producirá una acción de control.) Las ecuaciones para este controlador se obtienen del modo siguiente. Cuando el error es cero. o ¿ : 0, existe un estado de equilibrio con la distancia tobera-aieta igual a Í, el desplazamiento 1o

del fuelle igual a f-, el desplazamiento del diafragma igual a Z. la presión trasera de la tobera

Capítulo 4. Modelado matemático de s¡stemas de fluidos y sistemas térmicos

1

13

-:\ \4 -\*

b" a+b

\ ,f

%.Fl "'s' (0

(e)

Figura

4-8.

(a) Diagrama esquemático de un controlador proporcional neumático de tipo fuerza-distancia; (b) aleta montada en un punto fijo; (c) aleta montada en los fuelles de realimentación; (d) desplazam¡ento x como resultado de la suma de dos pequeños desplazamientos; (e) diagrama de bloques para el controlador; (f) diagrama de bloques simplificado para el controlador.

igual a F¡,, y la presión de control igual a P.. Cuando existe un effor, la distancia toberaaleta, el desplazamiento del fuelle, el desplazamiento del diafragma, la presión trasera de la to, bera y la presión de control se desvían de sus valores de equilibrio respectivos. Supóngase que estas desviaciones son x, y, z, pt, y p,, respectivamente. (La dirección positiva para cada variable de desplazamiento se indica mediante una punta de flecha en el diagrama.) Suponiendo que la relación entre la variación en la presión trasera de la tobera y la variación en la distancia tobera-aleta es lineal, se tiene que

Pu: Kfi

(4- 13)

1

14


de diafragma' clonde K1 es una constante positiva' Para la válvula

Po:

é-14t

Kzz

la válvula de diafragma determina Ia presión donde K2 es una constante positiva. La posición de tul que la relación entre p. y z es lineal, entonces de control. Si la válvula Oe Oiatragmu

",

P,,:

(4- l5

KzZ

t

las Ecuaciones (4-13), (4-14) y (a-15)' se obtiene donde K3 es una constante positiva. A partir de

KtKz Kj x: Kx p,:-ñrr: t donde K

: Kt&lKzes una constante

(4-16'

que positiva. Para el movimiento de la aleta, se tiene

x:

ba ('a'lb -' o+h -

\'

(4-11

¡

es pertinente: El fuelle funciona como un resorte y la ecuación siguiente (4- 18

AP,': kr! donde

I

elasticidad equivalente, que es la A es el área et'ectiva del fuelle y ft" es la constante de

fuelle' rigidez provocada por la acción del lado corugado del

están dentro de un rango lineal' se obSuponiendo que todas las variaciones de la-.-s variables partir de las Ecuaciones (4-16) , (4'1'7) y (4-18' tiene un diagrama de bloques para este sistema a se aprecia con claridad que el mismo como se aprecia en la Figura 4-8(e). En la Figura 4-8(e) de realimentación' La función de transcontrolador neumático de"la Figura 4-8(a) es un sistema ferencia entre P. y e se obtiene mediante b

P,(s) E(s)

a-l

b

-K aA I +K o+bl,

:K,

(4-t9

como P,, Y e son proporcioLa Figura 4-B(0 contiene un diagrama de bloques simplificado' denomina cctntrolador neumático pro' nales, el controlador neumático de ta Figura +-S(a) se ganancia del controlador neumáticc porcional. como se observa en la Ecuación 14-19), la que conecta la aleta' [El enlace que proporcional varía en gran medida si se ajusta el enlace todos los controladores proporcionale' conecta la aleta no aparece en la Figura a-8(a).1 En casi para variar la ganancia ajustandc comerciales existe una perilla de ajuste u otro mecanismo este enlace. una dirección y e1 fuelle de realimenComo señaló antes, la señal de enor movió la aleta en grado más pequeño' Por tanto' el ef-ecto de' tación la movió en la dirección opuesta, pero en un

realimentaciór reducii la sensibilidad defcontrolador' El principio de amplia' proporcional usa con frecuencia para obtener controladores de banda

fuelle de realimentación se

es

q

l

capítulo 4. Modelado matemáiico de sistemas de fluidos y sistemas térmicos

1

l5

P¡

P"

P,

P.

(b)

Figura

4-9.

(a) Controlador neumático sin mecanismo de realimentación; (b) curvas P, frente a Xy p"frente a X

Los controladores neumáticos que no tienen mecanismos de realimentación [lo que significa que un extremo de la aleta está fijo, tal como en la Figura a-9(a)l tienen una alta sensibilidad y se denorninan cc¡ntroladores neumático,s cle dos posiciones o cr¡nlroladores neumáticos cle encendi'lo t' apagado. En semejante tipo de controlador, sólo se requiere un pequeño movimiento entre

la tobera y la aleta para generar un cambio completo dL la presión de control máxima a la mínima. Las curvas que relacionan p,, con x, y p, con x se presentan en la Figura 4-9(b).

obsérvese que un cambio pequeño en xprovoca un cambio grun,l. en p¡,,lo que"hace que la .' álvula de diafragma quede completamente abierta o cerrada.

j-

Controladores neumáticos proporcionales (del tipo fuerza-balance). La Figura

10 muestra un diafragma esquemático de un controlador neumático proporcional de fuerza-ba-

iance' Los controladores de fuerza-balance se usan ampliamente en la industria. Se los conoce '-omo controladores apilados. El principio de operación básico no es diferente del que emplea el "-Lrntrolador de fuerza-distancia. La principal ventaja clel controlador fuerza-balance es que elimina muchos enlaces mecánicos y uniones de pivote, con lo cual reduce los ef'ectos de la fricción. A continuación se considera el principio del controlaclor de fuerza-balance. En el controlador de 1a Figura 4- 10, la presión de la entrada de referencia P,. y lapresión de salida p,, se alimentan nacia grandes cámaras de diafiagma. Obsérvese que un controlador neumático de fuerza-balance :tí]o opera sobre señales de presión. Por tanto, es necesario convertir la entrada de referencia y la .alida del sistema en las señales de presión correspondientes. P1:lt(P,+p,) Atmósfera

+

Presión de entrade 0e relerencla Presión de s¡lida

Suministro

Presión 0e conüol

de ¿ire

F,.+ p,.

Figura

4'10.

Diagrama esquemático de un controrador neumático proporcionar de tipo fuerza-balance.

1

16


este controlador emplea una aleta' A1 igual que en el caso del controlador de fuerza-distancia, inferior es la En la Figura 4-10, la abertura perforada en la cama

una tobera y algunos orificios. la tobera funciona como una aleta' tobera. El diafragma qo" up-".. justo éncima de la Figura 4-10 se resume así: 20 psig de aire de La operación ¿et cont álador iuerza-balance una presión reducida en la cámara fluyen desde un *u*inirt o a través de un orificio, provocando de la tobera. El flujo a través de la inferior. El aire de esta cámara escapa a la atmósféra a través incremento y tu olr-*o.ión de la presión a través de la misma' Un robera depende d" l" igual' permanece salida P, de referencia P, al tiempo que la presión de en la presión ¿" ru la tobeentre "rrtruáu disminuyendo la brecha provoca que el vástago de la válvula se mueva ttacia i6a¡o, presión de control P. aumente' Supóngase que ra y el diafragma de la aleta. Esto provoca que la @-20) P'

;;;;

- Pn

Pn:

Sip.:0,existeunestadodeequilibrioconladistanciatobera-aleta : (donde k < .onirot igual a P-.. En este estado de equilibrio ' Pt P'ft

X: donde d es una constante.

$::#ff;';"';óy

igual a XylaPresiónde

l)y

(4-21t

u(P,At

se definen las pequeñas variacione: En esre caso se obtiene la ecuación siguiente:

"ll?j':11"::1j:1':".*:fJ"1'

or"J;r";::##'íik"r'r"i,,,"-p""rir"á"nt". x + x:

ul(P,,1' P,)A,

-

(4-22t

(P. + P,lkAl

De las Ecuaciones (4-21) y (4-22), se obtiene

x:

a.lp,(l

-

-

k')At

Ar)l

(4-23t

diseño de los controladores neumáticos' la En este punto, se debe examinar la cantidad x. En el de que x/a es un término mucho más pequedistancia tobera-aleta ," ftu"" muy pequeña. En vista 0 ño que p,(1 - k)A1 o P,(Az - A1)' es decir, para p" +

x

-a 4 P,(.1

;
f

A')

en nuestro análisis'

A continuación

se vuelve a escrihir 1¡

siguiente: Ecuación (4-23) para que refleje esta suposición del modo p,,(7

y la función de transferencia entre

- k)A1: P"(42

en P,, Y P" se convlerte

p.(s)_+_\ I P,,(s) At l- k

:K^ Y

la Figura 4-10 es proporciodondepn se define mediante la Ecuación (4-20). El controlador-de fr tiende a uno' Obsérvese confotme nal. El valor del uu*"n,á de la ganancia Kp se incrementa de entrada y salida de la los tubos de que el valor de ft depende de lostiámetros de los orificios la resistencia al flujo en el confonne cámara de realimentación. (El valor de k tiende a la unidad

orificio de tubo de entrada

se hace más pequeña')


Válvulas con actuador neumát¡co. Una característica de los controles neumáticos es que emplean casi exclusivamente válvulas con actuador neumático. Una válvula con actuador neumático proporciona una gran potencia de salida. (Como un actuador neumático requiere una entrada de potencia grande para producir una salida de potencia grancle, es necesario üntar con una cantidad suficiente de aire presurizado.) En las válvulas con actuador neumático prácticas, las características de la válvula tal vez no sean lineales; es decir, es posible que el flujo no sea directamente proporcional a la posición del vástago de la válvula y también pued"n e"ilstu otros ef'ectos no lineales, como la histéresis Considérese el diagrama esquemático de una válvula con actuador neumático como la de la Fi-eura 4- I I . Supóngase que el área de1 diafragma es A. Suponga también, que cuando el error es celo la presión de control es igual a P, y el desplazamiento de la válvula ei igual a X. Fn el análisis siguiente, se consideran algunas variaciones pequeñas en las variables y se linealiza la válvula con actuador neumático. Se definen las variaiiones pequeñas en la presión de control y en el desplazamiento de la válvula conespondiente como p, x, respectivamente. Co! mo un cambio pequeño en la fuerza de presión neumática aplicada al diafragma vuelve a posicionar la carga, formada por el resorte, la fricción viscosa y lá masa, la ecuación de balance de la tuerza se convierte en

Ap,: : : á k:

donde ltt

mi + bi +

kx

masa de la válvula y vástago de la válvula coeficiente de fricción viscosa constante del resorte

Si las fuerzas producidas por la masa y la fricción viscosa son insignificantes, entonces esta última ecuación se simplifica a

AP":

kx

La función de transferencia entre -{ y pc se convierte en

X(s)

A

P.(.t:

l:

F,+

Figura 4-1

1.

P,

K'

+Q+q¡

Diagrama esquemático de una válvula actuadora neumática.

l l

1

18


donde X(s)

{'Ix] y P.,(s) : 91p,.).Si

:

dor neumáti"o, entonces,

",

flujo a través de la válvula con actua. p.opor.ionot"u'i, el cambio en el desplazamiento del vástago de la válvula' 4¡, el cambio en el

elr) : X(.s)

donde Q¡G) te en

:

rctl

!l(q,) y Ko es una constante' La función de transferencia entre 4¡ Y P,, se convier-

donde K,. es una constante. neumático está entre 3 r La presión de control estándar pafa este tipo de válvula con actuador limitado por la carrera que se permite a15 psig. El desplazamiento del vásiago de la válvula está viaje más largo, es posible enOiairalma y sóio es de unas cuantas:pulgadas. Si se necesita un plear una combinación de pistón-resorte'

debe limitarse a u:' En las válvulas .on uciuador neumático, la fuerza de fiicción-estática del aire' la acla compresibilidad a valor bajo para no provocar una histéresis excesiva. Debido posición de. la en effor un ción de control tal vez no sea positiva; es decir, puede producirse de un' comportamiento el vástago de la válvula. El uso de un posicionador áe válvula mejora válvula con actuador neumático.

Principio básico para obtener una acc¡ón de control derivativa. Ahora tarán los métodos poru obt"n",

se preser-

princruna acción de control derivativa. Se volverá a enfatizar el

pio y no los detalles del mecanismo real' . es insertar : ----! -- el^,:-inverso c' ' Él principio básico para generar la acción de control que se requiere el sistema de l' la función de transf'erencia deseada en la trayectoria de realimentación. Para Figura 4-12, la función de transferencia en lazo cenado es

_ G(s) R(s) 1 + G(s)I1(s) C(s)

Si lG(s)/1(s)l

) l, entonces C(^s)/R(s) se puede modificar de la forma C(s) I R(s)

1/(s)

insertará un elemento qu' Por tanto. si se desea una acción de control proporcional-derivativa, se tenga la función de transferencia 1/(Zs t l) en el camino de realimentación'

Figura 4-12. Sistema de control

Capítulo 4. Modelado matemático de sistemas de fluidos y sistemas térmicos 119

(a) Figura

4-13.

(b)

(a) Controlador proporcional neumático; (b) diagrama de bloques del controlador.

Considérese el controlador neumático de laFigura4-13(a). Si se consideran cambios pequeños en las variables, se puede dibujar un diagrama de bloques de este controlador, como se muestra en Ia Figura 4- 13(b). A partir del diagrama de bloques se observa que el controlador es de tipo

proporcional. Ahora se mostrará que la adición de una restricción en la trayectoria de realimentación negativa cambia el controlador proporcional en un controlador proporcional-derivativo, el cual se conoce como controlador PD. Considérese el controlador neumático de la Figura 4-14(a). Si se suponen de nuevo cambios pequeños en el error, la distancia tobera-aleta y la presión de control, podemos resumir lar operación de este controlador del modo siguiente. Se supone primero un cambio escalón pequeño en e.

I)

"+b o

"H, (c)

Figura 4-14. (a) Controlador neumático proporcional-derivativo; (b) cambio escalón en e y los cambios asociados en xy pc frente a f; (c) diagrama de bloques del controlador.

120


La restricción R evttar¡ En este caso, el cambio en la presión de control pc sefá instanláneo' presión p,.Pot tanto' er de el cambio momentáneamente que el fuelle de realimentación-détecte actuador neumáticc' con válvula fuelle de realimentación no responderá momentáneamente y la el fuelle de tiempo, pasa el detectará el efecto .o*pt",o dei movimiento de la aleta. Conforme y el cambi'x tobera-aleta distancia realimentación sr e^pandirá o se contraerá. El cambio en la estadc En 4-14(b)' la Figura como en en la presión de control p., se dibujan frente al tiempo /, L; ordinario' de realimentación estable, el fuelle de realimentación iunciona como un mecanismo proporcional-derivativo es de tipo curva de p. fiente a / muestra claramente que este controlador a este controlador neumáLa Figura 4-I4(c)Áo"r,tu el diagrama de bloques que coffesponde área del fuelle y ft" es la constante de. tico. En el diagrama de bloques, K es una constanie, A ás el entre P, Y e se obtiene a partir de resorte equivalente del fueile. La función de transferencia diagrama de bloques, del modo siguiente:

b _K

q*b

P.(s) E(s)

I I-

KaAl

''albk,RCs+l má'

1)ll suele ser mucho En semejante controlador, la gananciadelazolKaAll@+ b)k,(R!|t se simplifica para producir P.(s)/E(s) por'tantó, transferencia de la función grande que la unidad.

P'(s)E(s) donde

x,: 'aA

bk-

-^

K-(li -

T,ts)

7,,:

RC

de transferencia l/(RCs f l) e: Por tanto, el retraso en la realimentación negativa' o la función a un controlador proporcicel camino de realimentación, modifica el co'ntrolador proporcional nal-derivativo. abierta' la acción de corObsérvese que, si la válvula de realimentación está completamente cerada, la actrol se vuelve proporcional. Si la válvula de realimentación está completamente banda estrecha' ción de control se vuelve proporcional (de encendido y apagado) de

obtención de una acción de control neumática proporc¡onal-integral'

conside-

cambios pequeños en las r¿rese el controlador proforcionul de la Figura 4-13(a). Suponiendo positiva cambia est' riables, se demostrara qu" fu adición dJun retardo en la realimentación controlador PI como conocido proporcional-integral, controlador proporcionai a un controlador cuya operación es la sig.uiente; e Considérese el controlador neumático de la Figura 4-15(a), ninguna restricción' E' fuelle representado por I se conecta a la fuente de presión de control sin través de una restricciórfuelle representado por II se conecta a la fuente de presión de control a que la presión trasera en l: provocará Esto error. el en Supóngaie un.u*bio escalón pequeño "

instantáneamente un cambio etobera cambie de manera instantánea. Por ende, también ocurrirá al fuelle II, habr: la presión de control f.. n"UiOo a la restricción de la válvula en la trayectoria fluirá a trar:' el aire tiempo' pasa el Conforme válvula. tu pr"rión a través de 1a un descenso valor de ¡' el "n II alcanzará fuelle del presión en la de la válvula, de un modo tal que el cambio cantid;: una aleta la que moverá modo de o contraerá, Por 1o tanto, el fuelle II se expandirá presión trasera: que la provocará Esto e' original adicional en la dirección del desplazamiento como se observa en la Figura 4-15(b)' en la tobera cambie de fbrma "oniinuu, adopta una forma tal que canceObsérvese que la acción de control integral en el controlador proporcional' control el originalmente la lentamente la realimentación que aportó


b

a+h

0

a+h

(d)

Figura 4-15. (a) Controlador neumático proporcional-integral; (b) cambio escalón en e y los cambios asociados en xy pcfrente a f; (c) diagrama de bloques del controlador; (d) diagrama de bloques simplificado.

La Figura 4-15(c) muestra un diagrama de bloques de este controlador, suponiendo variaciores pequeñas en las variables. Una simplificación de este diagrama de bloques produce la Figura :-15(d). La función de transferencia de este controlador es b

P.(s) E(s)

a-fb

Ka A/

t*o-bk,('

I

\

ocr*'J

122


del resorte equivalente del donde K es una constante, A es el área del fuelle y k" es la constante b)k"(Rcs + l)ll > 1,lo cual ocuffe con regularidad' la funsi

fuelle combinado. lKaARCsll@+ ción de transferencia se simplifica a

P(s) E(s)

l\

/

T¡s

/

donde

bk

T,:

K.: IaA -' .

RC

Obtención de una acc¡ón de control neumát¡ca proporcional-integral-deriva' Figuras 4-14(a) y 4-15(a tiva. Una combinación de los controladores neumáticos de las como controlador PID' L' produce un controlador proporcional-integral-derivativo, conocido La Figura 4-16(b 4-16(a) muestra un diagrama esquemático de dicho controlador' Figura

de variaciones pequeñas er muestra un diagrama de bloques de este controlador en el supuesto las variables.

P.* (R¡

>> R,)

(b)

Figura

-

4-16.

(a) controlador neumático proporcional-integral-derivativo; (b) diagrama de bloques del controlador'

capítulo 4. Modelado matemático de sistemas de fluidos y sistemas térmicos 12g

La función de transf'erencia de este controlador

es

bK

ath

P.(s) E(s)

1+

KaA (R,C - R,7C)s a*b k, (R¿Csfl)(R,Cs*l)

Sr se define

T,: R,C, se considera que, bajo una operación

T,)

T,t, se obtiene

T,¡

:

nomal, lKaA(T,

P,(s) . bk, E(s) ' aA =bk., 'aA

:

R¿C

-

T,¡)sll@ 1- b)k,(T¿s

+ l)(f.s +

>1

(7,¡s*l)(fs+l) (.7,-

7,,)s

T,lT,s2tfs+1

Kr( 1 +

T¡S

,l * r,')

@-24)

donde

K,,:

bk, aA

La Ecu¿rción (4-24) indica que el controlador de la Figura 4-16(a) es un controlador proporcional-integral-derivativo (un controlador pID).

,4-4 Sistemas hidráulicos Ercepto para los controladores neumáticos de baja presión, tara vez se ha usado el aire comprinlido para el control continuo del movimiento áe dispositivos que tienen masas significativas

>Lrjetas a fuerzas de carga externas. Para estos caror, po,

hidráulicos-

lo generál

se prefieren los co-ntroladores

Sistemas hidráulicos. El uso de la circuitería hidráulica en las máquinas-helamienra, itrs sistemas de control de aeronaves y operaciones similares se ha extendido debido a factores t¡les como su positividad, precisión, flexibilidad, una alta razón cle peso-potencia, sus rápidos :lrranques' paro e inversión, que realiza con suaviclacl y precisión, atí.o-ola simpliciclad

.rperaciones.

de sus

en los sistemas hidráulicos esrá en algún punro entre 145 y 5000 ," ,-llro::.:lónde (entre I y lgeración lbi/pl-s35 MPa,l..I: especiales, la presión de operación puede >ubir hasta 10000 lb¡/ptg2 170 l-{riut_aplicaciones Mpa.). por el mismo r"qu"ri*i.nto de potencia, el peso y el tamaño de la unidad hidráulica se reducen a fin de aumentar la presión dei suministro. Los sistenas hidráulicos de alta presión proporcionan una fuerza muy grande. permiten un posicionanliento preciso de acción rápida de cargas pesadas. Es común úni combinación de sistemas electrónicos e hidráulicos debido a que así sé combinan las ventajas del control electrónico y la potencia hidráulica.

124


ciertas ventajas y desventajas y desventaias de los sistemas hidráulicos' Hay son las

otros' Algunas de las ventajas ventajas en el uso de los sisiemas hidráulicos en lugar de siguientes: 1.

2. 3.

4.

5. 6.

de disipar el calor generado en El f'luido hidráulico funciona como lubricante, además

e1

sistema hacia un intercambiador de calor conveniente' pequeño pueden desaruollar Los actuadores hidráulicos de un tamaño comparativamente fuerzas o pares grandes. más alta para arranques. Los actuadores hidráulicos tienen una velocidad de respuesta paros e inversiones de velocidad rápidos'

continuas. intermitentes. Los actuadores hidráulicos operan sin daño bajo condiciones invertidas y de pérdida de velocidad' aporta flexibilidad al diseño' La disponibilidad de actuadores lineales y rotacionales la disminución de la velocidad Debido a los bajos escapes en los actuadores hidráulicos, cuando se aplica una carga es pequeña'

Sin embargo, varias desventajas tienden a limitar su uso'

1. 2. 3. 4.

con la potencia eléctrica' No es tan sencillo contar con la potencia hidráulica como que el de un sistema eléctrico comEl costo de un sistema hidráulico puede ser más alto parable que realice una función similar' se usen fluidos resistentes al fuego Existen riesgos de incendio y explosión, a menos que el sistema tiende mantener un sistema hidráulico libre de escapes' Debido a que es difícil a ser comPlicado.

5.

adecuado de un sisteEl aceite contaminado puede provocar f'allos en el funcionamiento ma hidráulico.

6.Comoresultadodelascaracterísticasnolinealesyotrascondicionescomplejasimplíci. es muy complicado' tas, el diseño de los sistemas hidráulicos complejos deficientes de amortiguncaracterísticas tienen 7. por lo general, los circuitos hidráulicos pueden ocunir o desaadecuada, forma de miento. Si un circuito hidráulico no se diseña de operación' parecer fenómenos inestables, dependiendo de las condiciones

que el sistema hidráu

Comentarios, Es necesaria una atención especial a fin de asegurar Como la viscosidad lico sea estable y satisfactorio en todas las condiciones de operación'

de.

y Ia fricción d' fluido hidráulico at'ecta de manera significativa los efectos del amortiguamiento a la temperatura de operació: los circuitos hidráulicos, deben realizarse pruebas de estabilidad más alta posible.

embargo' en ocasione' casi todos los sistemas hidráulicos son no.lineales' Sin | " r-l -^l' -^-*:i:solt' complejidad su reducir v permitir sistemas no lineales con el fin de r ^ c^^^:
ü;it*";;e ", Ñ;i;";#;l;,

servomotor hidráulico' E' ServOsistema hidráulicO. La Figura 4-11(a) muestra un por una válvula piloto y un a'controlado esencialmente un amplificador de potencia hidráulico de presión que actúa: t'uerzas las que de tuador. La válvula piloto es balanceada, en el sentido grande se controla mediante una válvusobre ella están balanceadas. Una salida de potencia muy la piloto, que se posiciona con muy poca potencia' (a) suelen f-abricarse más anchc' En la práctica, los puertos que aparecen en la Figura 4-11 un escape a través de las válvula' que las válvulas conespondientás. En este caso, siempre ha.v

Capítulo 4. Modelado matemático de sistemas de fluidos y sistemas

Po

Ps

térmicos 125

t,f1

po

:

]l

I

-lr

I

(b)

Figura 4-17. (a) Servosistema hidráulico; .. (b) diagrama ampliado del área del orificio de la válvula

.

Tal escape mejora tanto la sensibilidad como la linealidad del servomotor hidráulico. En el análisis siguiente se supone que los puertos se han hecho más anchos que las válvulas, es decir, que las válvulas están subajustadas. [obsérvese que, en ocasiones, una señal intermitente, señal de alta frecuencia de amplitud muy pequeña (con respecto al desplazamiento máximo de la válvula)' está sobreimpuesta al movimienü ¿e la válvulá piloto. Está también mejora la sensibilidad y la linealidad' Asimismo, caso hay un escape a través de la válvula.l se aplicará la técnica de :lt" linealización que se presentó en la Secció n 2-7 paraobtener un mo-

"l

delo matemático lineali zado de1 ,"ruo-oio, hidráulico. Se supone que la válvula está subajustada, que es simétrica y que admite un fluido hidráulico sometido a una presión alta dentro de un cilindro de potencia que contiene un pistón grande, a fin áe que se establezca una fuerza hidráulica grande con el propósito cle movei una carga. En la Figura 4-r7(b) se_tiene un diagrama ampliado del área del orificio de la válvula. Se definen las áreas cle ros orificios de ra riárvura en los pu"r,o, r, 2, 3,4, como Ar, Ar., At, A+, respectivamente. Asimismo, se definen los caudares a tiavés de íos puertos 1, 2, 3,4, como qr,

126


ez, et, r7a, respectivamente. Obsérvese que, como la válvula es simétrica, se supone que el desplazamiento ,{ es pequeño, se obtiene

/r"

At:

AzY

Az:44.

Si

\

a ^ At--A.,:k(t*r) \- / /.. \ Az:A,:o( ;-') \./

donde k es una constante. Además, se supondrá que la presión de retorno pnenla línea de retorno es pequeña y, por tanto, que puede pasarse por alto. Entonces, remitiéndose a la Figura 4-11(a),los caudales a través de los orificios de la válvula son

tr ,- ^: c,,6- n(;.') Qz.:

czAz

: c,n6- n(} -,)

4t:

ctAt

: c,uíuÁ(;.

4+:

czA+

tr,*

^

I

: c,,E€.

I

C1: cftrE{¡,y C::

crt
donde "i :

4

-

rtt ' Q+: c,

Vt^ , (;t .

,.)

-

El caudal del lado derecho del pistón de potencia al drenaje

4:

ctz

ez:

c,

uF,(]

es igual a este q

.) y

(4-25

se obtiene mediante

Ct6(:* ') - c,^,,6, n(; -')

En el análisis presente se supone que el fluido es incompresible. Puesto que la válvula simétrica se tiene gue Qt: 4ty ez: e+. Igualando 4tY cl:, se obtiene

P'-Pt:Pz o bien

P,:

Pt

I

Pz

Si se define la diferencia de presión a través del pistón de potencia como Ap o

Lp: pt

Pz

entonces

P,t LP P,-- Z

P,l):--2

AP

e.

capítulo 4. Modelado matemático de sistemas de fluidos y sistemas térmicos 127 Para la válvula simétrica de la Figura 4-l'7(a),la presión en cada lado del pistón de porencia es (.1 l2)p, cuando no se aplica una carga, o Lp:0. Conforme se desplaza la válvula de bobina,

la presión en una línea aumenta, a medida que la presión en la otra línea disminuye en la misma cantidad,

En ténninos de p., y Ap, se vuelve a escribir el caudal obtenido mecliante la Ecuación (44

25), como

Q: 4t - Q+:

Ct

Considerando que la presión cle suministro p., es constante, el caudal q se vuelve a escribir como una función del desplazamiento de la válvula -r y la dif'erencia cle pr"iión Ap, o bien

e:

Ct

Aplicando la técnica de linealización para este caso presentada en la Secció n linealizada alrededor del punro ¡,: : i, Lp : Lp, q : d es

q q:

a(x

- i) + b(Lp

Lp¡

2-'7

.la ecuación (4-26)

donde

4 (1

:.f

t.*, t41

:. if

p,+ Lp

I

i."l jr:i.A7,:a¡;

h: rr/:

,'AP

-Cr

l

l;oft=ñ(;.1 ;rft=ñ(; ll "

I

l,:

i. a¡=a7;

Los coeficientes

¿7 y ó se denominan coeficientes cle uált:ula. La Ecuación (4-26) es un modelo matemático linealizado de la válvula cle bobina cerca de un punto de operación ¡ : i, Lp : Li, q:4. Los valores de los coeficientes de válvula ay bvaríincon el punto de operación. Obsérvese que e .f l6Lp es negativo y, por tanto, b es negativo. Como el punto de operación normal es aquel en el que,i : 0, A7r : 0, q : O, cerca clel punto de operación normal, la Ecuación (4-26) se cont,ierte en

e:

Ké

-

KzLp

(4-27

donde

(C,

-

t;

C:)J'2'>

Kt

-

K:

-(Cr + C2) ' 4.-:'2. , > 0 ¡,,

0

)

128


Figura

4-1g.

Curvas características del servomotor hidráulico linealizado.

de bobina cerca del La Ecuación (4-27) es un modelo matemático linealizado de la válvula q:0). obsérvese que, en este tipo de sistema, es más importante la origen (': 0, cerca de este ui orig"n porque la operación del sistema, por lo general, ocurre ,"glón cercana ^p:0' punto.

líneas rectas son las La Figura 4-18 muestra esta relación linealizada entre q' x y AP. Las curvas consiste en de lamilia curvas características del servomotor hidráulico linealizado. Esta líneas rectas paralelas parametrizadas por x' pequeñas, de forma que el En este análisis, ," ,upon" que las fuerzas reactivas de carga son escape y la compresibilidad del aceite se pueden pasar por alto'

durante un tiempo d/ es Refiriéndose a la Figura 4-17(a), se obierva que el caudal de aceite 4 pistón A veces la densidad del área el igual a la potencia de1 íesptazamiento del pistóndy veces del aceite p. Así. se obtiene

APdY: qdt Obsérvese que para un caudal

velocidad

lylal.Vor tanto, si

q

será la dado cuanto más grande sea el área del pistón A, menor

ár"uA del pistón

"f dyldt

se hace menor, las otras variables permanecen

sehará mayor. Además, un aumento en el caudal q producirá de respuesta un aumento en la velocidad dá 1a potencia del pistón, lo que originará un tiempo menor. La Ecuación (4-27) se puede escribir ahora como constantes, pero la velocidad

ll or:E(o'*La fuerzadesarrollada por la potencia del pistón

dv\

APA)

es igual a la diferencia de presión AP veces el

área del pistón A o bien Fuerza desanollada por el pistón

:

A LP

:L(u,'-

^,*)

capítulo 4. Modelado matemático de sistemas de fluidos y sistemas térmicos 12g Para una fuetza máxima dada, si la diferencia de presión es suficientemente alta, el área del pistón, o el volumen de aceite en el cilindro, se pueden hacer pequeños. Por lo tanto, para minimizar el peso del controlador, se debe proporcionar una presión suficientemente elevada. Supóngase que la potencia del pistón mueve una carga que consiste en una masa y una fuerza viscosa. Entonces, la fuerza desarrollada por la poten.io ¿"r pistón se aplica a la carga masa y

fricción, y se obtiene

mi+by:fru,r-Api) o bien

.. (. A'p\ AK, .j''(r, o'r)i: *^

(4-28)

donde ¡z es la masa de la carga y á el coeficiente de fricción viscosa. Supóngase que el desplazamiento de la válvula piloto r es la entrada y el desplazamiento del pistón de potencia y es la salida, a partir de la Ecuación (4-28) se observa qur tu función de transferencia para el servomotor hidráulico es Y(s)

x(s)

'[(î,) 's(Zs

uo!o',"Y,]

(4-2e)

* l)

donde

K: bK,

-,7

AO

'V

mK. -¿--

bK¿*

Az¡t

AK, Kl En la Ecuación (4-29) se observa que la función de transferencia es de segundo orden. Si el coctente mKrf(bKr+ Azp) es despreciable o lo es la constante de tiempo Z, la función de transf'erencia f(s)/X(s) se puede simplificar de la forma

r(s)

X(s)

r.

obsérvese que un análisis más detallado muestra que si se tienen en cuenta el escape de aceite, la compresibilidad (incluyendo los efectos del aire disuelto), la expansión de las tublrías y efectos parecidos, la función de transferencia es

I(s)

X(s)

s(Z1s

f

l)(Zrs

+

1)

donde Tt Y Tz son constantes de tiempo. De hecho, esas constantes de tiempo dependen del volumen del aceite que opera en el circuito. Cuanto menor sea el volumen, menores serán las constantes de tiempo.

130


Controladores h¡dráulicos integrales. El servomotor hidráulico de la Figura 4-19 es T)e forun amplificador y actuador de la pot"n.iu hidráulica, controlado por una válvula piloto. carga para de masas 4-17, Figura la ma similar al servosistema hidráulico que se muestra en

insignificantes, el servomotor de la Figura 4-19 funciona como un integrador o un controlador integral. Dicho servomotor constituye la base del circuito de control hidráulico. vías Én el servomotor hidráulico de ia Figura 4-I9,la válvula piloto (una válvula de cuatro Ia de manguito el puerto en riene dos áreas en la bobina. Si el ancho del área es menor que el que el anchas más son válvula, se dice que esta última es sin solap¿. Las válvulas con solatrte (Si 1'r puerto. del al puerto. Una válvula con solape cero tiene un área cuyo ancho es idéntico se sinhidráulicos válvula piloto es una válvula con solape cero, el análisis de los servomotores plifica.) de En el análisis presente, se supone que el fluido hidráulico es incompresible y que la fuerza hifuerza la inercia del pistón de potencia y d" lr-.utga es insignificante en comparación con con soladráulica deipistón de potencia. También se supone que la válvula piloto es una válvula válvul¡ pe cero y que la veloóidad del flujo del aceite es proporcional al desplazamiento de la piloto.

La operación de este servomotor hidráulico es la siguiente. Si la entrada -rr mueve la válvul" piloto a ia derecha, se descubre el puerto II y, por tanto, se introduce aceite a alta presión en eel iado derecho del pistón de potencia. Como el puerto I está conectado al puerto de drenaje' haci: que f-luye El aceite drenaje. al regresa potencia pistón de aceite del lado izquier¿6 ¿át el cilindro de potencia está a alta presión; el aceite que fluye fuera del cilindro de potencide' hacia el drenajé está a baja presión. La diferencia resultante en la presión de ambos lados izquierda' a la pistón de potencia provocará que se mueva pistór Obsérvese que ól caudal dé aceite 4(kg/se^g) por dr(seg) es igual al desplazamiento del tanto' Por p(kg/m3)' aceite del por ta OenslAad de potencia drr(m) por el área del pistón A(-Ii Ap dt,

:

q

ctr

(4-3t'i

Debido a la suposición de que el caudal de aceite q es proporcional al desplazamiento x de válvula piloto, se tiene que

q: K¡t

(4-31

donde K, es una constante positiva. A partir de las Ecuaciones (4-30) y (a-31) se obtiene

AP

dv

o--Ké

A( eilc t'oj9 pfeslon

ilr lYl Válvu1a piloto

Cilindro de potcncta

Figura

l'

4-19. Servomotor hidráulico.

Gapítulo

4.

Modelado matemático de sistemas de fluidos y sistemas

térmicos 131

La transfbrmada de Laplace de esta última ecuación, suponiendo una condición inicial nula, produce

ApsY(s): K,X(s) o bien

donde

K

:

Ks)_ K, _{ X(s) Aps r Ktl@il.

trolador integral.

Por ende, el servomotor hidráulico de la Figura 4-19 funciona como un con-

Controladores h¡dráulicos proporc¡onales. Se ha mostrado que el servomotor de la Figura 4-19 funciona como un controlador integral. Este servomotor se modifica en un controlador proporcional mediante un enlace de realimentación. Considérese el controlador hidráulico de Ia Figura 4-20(a). El lado izquierdo de la válvula piloto está unido al lado izquierdo del pistón de potencia mediante un enlace ABC. Este enlace es flotante y, por tanto, no se mueve alrecledor de

un pivote fijo. En este caso, el controlador opera del modo siguiente. Si la entrada ¿ mueve la válvula piloto a ia derecha, se descubrirá el puerto II y el aceite á alta presión fluirá a través del puerto II hacia el lado derecho del pistón de potencia e impulsará éste a la izquierda. El pistón áe potencia, al moverse a la izquierda, arrastrará el enlace de realimentaciónABC con é1, ion lo cua-l moverá la r'álvula piloto a la izquierda. Esta acción continúa hasta que el pistón del piloto cubre otra vez los puertos I y II. En la Figura 4-20(b) se dibuja un diagrama cle tloques clei sistema. La función de transferencia entre f(s) y E(s) se obtiene mediante

K

r(s) _ E(s)

alb s Ka II ts a-tb

c_onsiderando que, en condiciones de operación normales, se tiene que

última ecuación se simplifica

a

r(s): -

É(s)

b d

lKalfs(a+ b)ll

:K..t'

a

;iT (a) (b) Figura 4-20' (a) servomotor que actúa como un controrador proporcionar; (b) diagrama de bloques del servomotor.

> l, esta

132


La función de transf'erencia entre 1r y e se convierte en una constante. Por lo tanto, el controlador hidráulico de la Figura 4-20(a) funciona como un controlador proporcional, cuya ganancia es Kr,. Esta ganancia se ajusta modificando de manera efectiva la razón bla de la palanca. (El mecanismo de ajuste no se muestra en el diagrama.) De esta manera, se ha visto que la adición de un enlace de realimentación hace que el servomotor hidráulico funcione como un controlador proporcional.

Amortiguadores. El amortiguador de la Figura 4-21(a) funciona como un elemento de diferenciación. Supóngase que se introduce un desplazamiento escalón a la posición del pistón ¡. En este caso, el desplazamiento ¿ iguala momentáneamente a y. Sin embargo, debido a la fuerza del resorte, el aceite fluirá a través de la resistencia R y el cilindro regresará a la posición original. Las curvas y fiente at y z frente a / se muestran en la Figura 4-21(b). Se va a obtener la función de transferencia entre e1 desplazamiento ¡ y el desplazamiento ,\'. Se definen las presiones existentes en ambos lados del pistón como P,(lbrlplg') y Pr(1br/plg2). respectivamente. Supóngase que la fuerza de inercia implícita es insignificante. Después, la fuerza qve funciona sobre el pistón debe equilibrar la fuerza del resorte. Por tanto,

A(Pr-Pr):kz, donde

A: k:

área de pistón, plg2 constante del resorte, lb¡/plg

El caudal q se obtiene mediante

,:P,-P,R donde

q: :

caudal a través de la restricción, lb/seg resistencia al flujo en la restricción, 1br-seg/plg2-lb

R

Como el caudal a través de la restricción durante dr segundos debe ser igual al cambio en la masa del aceite del lado izquierdo del pistón durante los mismos dr segundos, se obtiene q

donde p

dt

:

:

Ap(d¡,

-

dz)

densidad, lb/plg3. (Se supone que el fluido es incompresible o que p Esta ú1tima ecuación puede reescribirse como

:

constante.,

dy_tlz_Q-:Pt Pz_ kz dr dt Ap RAp RA2 p o

I

L*

v (a)

I (b)

Figura 4-21. (a) Amortiguador; (b) cambio escalón en y y el cambio asociado en (c) diagrama de bloques del amortiguador.

(c) z f rente

a

f

;

capítulo 4. Modelado matemático de sistemas de fluidos y sistemas térmicos 133 o bien

dy

k,

_dz

* dt dr

RArp

Tomando las transformadas de Laplace de ambos miembros de esta última ecuación, y suponiendo condiciones iniciales nulas. se obtiene

sr(s):

sZ(s)-r

trn !^ RA'p

Por tanto, la función de transferencia de este sistema se convierte en

Z(s)

_

.t

Ks) ,+-L

RA'P

sea

RAzplk: z. (obsérvese

que RA'plktiene dimensiones de tiempo.) Entonces

Z(s)_ Ts _ )'(s) Ts-t1

I

l+1

Zs

Claramente, el amortiguador es un elemento diferenciador. La Figura 4-21(c) muestra una representación del diagrama de bloques para este sistema.

Obtención de una acción de control hidráulica proporc¡onal-integral. La Figura 4-22(a) muestra un diagrama esquemático de un controlador hidráulico proporcional-integral. La Figura 4-22(b) es un diagrama de bloques del mismo. La función de tiansferencia y(s)iE(s) se obtiene mediante

bK alb.s

Y(s)

Ka T 1+_ aIb Zsl-l

E(s)

\

b

Área=A

) a

::laceite=p

n¡-b

\ Resistencia = R (a)

Fígura

4-22'

(b)

(a) Diagrama esquemático de un controlador hidráulico proporcional-integral; (b) diagrama de bloques del controlador.

134


En un controlador semejante, bajo una operación normal, lKctTll(.a + b)(Ts

+ 1)ll >

1, con lo

que resulta que

)'(s) _ E(s)

r,('

.;r)

donde b

K,,: ,a -,

T¡: T:;

RA2

p

Por lo tanto, el controlador de la Figura 4-22(a) es un controlador proporcional-integral (un controlador PI).

Obtención de una acc¡ón de control hidráulica proporcional-derivativa. La

Fi-

gura 4-23(a) muestra un diagrama esquemático de un controlador hidráulico proporcional derivativo. Los cilindros están fijos en el espacio y los pistones se mueven. Para este sistema, obsérvese que

k(y-z):A(Pz-P) Pr- Pt ,R qdt: pAdz, Por tanto

A J:¿+,qR:z*_ ' k'

RA2

k

p

dz.

dt

o bien

Z(s) I'(s)

I Zs

f

1

c

\ / \

q

bR

I/

[-51 I' lprl p,l (b)

Figura

4-23.

(a) Diagrama esquemático de un controlador hidráulico proporcional-derivativo; (b) diagrama de bloques del controlador.

Capítulo 4. Modelado matemático de sistemas de f luidos y sistemas térmicos 135 donde

7:M'P k

La Figura 4-23(b) muestra un diagrama de bloques para este sistema. A partir del diagrama de bloques, la función de transferencia Ks)/E(s) se obtiene como

bK alb.s uKl La*b s Is*1

f(s) Et

Bajo una operación normal,

se

.st

I

tiene que laKll@

+ b)s(Zs + 1)ll >

1. Por tanto,

I(s)

E(r):K,'(l-Ts) donde

K,,-

b

á,

RA2 r'¡ I-

k

De este modo, el controlador de la Figura 4-23(a) es un controlador proporcional-derivativo (un controlador PD).

Obtención de una acción de control hidráulica proporc¡onal-¡ntegral-deriva-

tiva.

La Figura 4-24 muestra un diagrama esquemático de un controlador hidráulico proporcional-integral-derivativo. Es una combinación de un controlador proporcional-integral y un con:rolador proporcional-derivativo. Si los dos amortiguadores son idénticos, la función de transferencia Z(.s')lY(s) se puede obtener como

z(s)

Y(s)

T1T2s2

IrJ + (Zr + ZT)s -l

1

,Para el cálculo de la función de transferencia, consúltese el Problema A-4-9.)

.I

t

\ /

l

\ b

_l

Area = A

Figura

4'24.

Diagrama esquemático de un controlador hidráulico proporcional-integral-derivativo.

136


b

t+b Irs

a

,+b

T1 T2 s2

+ (I1 + 2I2)s +

1

Figura4-25.DiagramadebloquesdelsistemamostradoenlaFigvra4-24'

La función de tran' En la Figura 4-25 semuestra un diagrama de bloques para este sistema' ferencia f(s)/E(s) se puede obtener como

\

E(s)

s

b

Y(s)

a-lb 1* aK a-ro - -s

l"l s T1T2s2

+ (zr +

2T)s'l

I

En condiciones normales de operación del sistema se tlene

laK t_la+bs

Zrs

T1T2s2+(71

+27)s*l

>l

De donde

r(s)

b T1T7s2

E(s)

a

: Kot

+ (zr + 2T)s -l I 7rs

K.

I

K,¡s

.t

donde rlt'n-

bT,+2T, o

Tl

bl ^,---. ' aTt

b

K¿: - Tz a.

proporclon: Por lo tanto, el controlador que se muestra en la Figura 4-24 es un controlador integral-derivativo (controlador PID)'

4-5 Sistemas térmicos una sustancl¡ Los sistemas térmicos son aquellos que involucran la transferencia de calor de aunque la capacitan-'-l otra. Estos sistemas se analizan en términos de resistencia y capacitancia,

¡lL

elementos de pa-'otérmica y la resistencia térmica tal vez no se representen con precisión como Para log:;r sustancias' las todas en distribuidos están metros concentrados, como, por lo general, para slmf embargo' Sin distribuidos' análisis precisos, deben utilizarse modelos de parámetros : modelo un mediante representa ficar el análisis, aquí se supondrá que un sistema térmico se fluio al resistencia por una ' parámetros concentrados, que las sustancias que se caracterizan que se caracterizan p: las sustancias que y insignificante térmica capacitancia calor tienen una de calor' una capacitancia téimica tienen una resistencia insignificante ai flujo


El calor fluye de una sustancia a otra de tres formas diferentes: por conducción, por convección y por radiación. Aquí sólo se considerarán la conducción y la convección. (La transferencia de calor por radiación sólo se aprecia si la temperatura del emisor es muy alta en comparación con la del receptor. La mayor parte de los procesos térmicos en los sistemas de control de procesos no involucran transferencia de calor por radiación.) Para la transferencia de calor por conducción o convección,

cl:KL0 : A0: K:

donde

e1

17

flujo de calor, kcal/seg dif-erencia de temperatura, nC

coeficiente, kcal/seg nC

coeficiente K se obtiene mediante

K:

KA

por conducción

AX' --, - HA,

: A: AX: 11 :

donde ft

por convección

conductividad térmica, kcal/m seg oC área normal para

flujo de calor,

m2

espesor del conductor, m

coeficiente de convección, kcal/m2 seg"C

Resistencia y capac¡tanc¡a térmicas. La resistencia térmica R para la transferencia de calor entre dos sustancias se define del modo sisuiente:

R:

cambio en la diferencia de temperatura, uC cambio en el flujo de calor, kcal/seg

La resistencia térmica para una transferencia de calor por conducción o por convección se obtiene mediante

R:d(L?) : dqK

!

Como los coeficientes de conductividad y convección térmica son casi constantes, la resistencia térmica para la conducción o Ia convección es constante. La capacitancia térmica C se define mediante

C:

cambio en el calor almacenado, kcal cambio en la temperatura, oC

o bien

C:mc : c:

donde ri¿

masa de la sustancia considerada, kg

calor específico de la sustancia. kcalikg "C

138


Sistemas térmicos. Considérese el sistema que aparece en la Figura 4-26(a').

Se supone

que el tanque está aislado para eliminar las pérdidas de calor hacia el aire circundante. Tambiérse supone que no hay almacenamiento de calor en el aislamiento y que el líquido del tanque est. perf'ectamente mezclado, por lo que tiene una temperatura estable. De este modo, se usa una sol: temperatura para describir la del líquido en el tanque y la del líquido que sale' Sean

oi : 6,,

temperatura en estado estable del líquido que entra, "C uC temperatura en estado estable del tíquido que sale,

:

G: M: c: R: C:

velocidad de flujo del líquido en estado estable, kg/seg

H:

entrada del flujo de calor en estado estable, kcal/seg

masa del líquido en el tanque, kg

calor específico del líquido, kcal/kg "C resistencia térmica, "C seg/kcal caPacitancia térmica, kcal/"C

Supóngase que la temperatura del líquido que entra se mantiene constante y que el flujo-d. calor de entrada al sistema (el calor que proporciona el calefactor) cambia repentinamente de H ' n + h,, donde h, representa un cambio pequeño en el flujo de calor de entrada. El flujo de calt-: de salida cambiará, entonces, de fbrma gradual, de H a H -l ho. La temperatura del líquido qu. sale también cambiará de @,, a @,, + 0. Para este caso, /t,,, C y R se obtienen, respectivamente '

como

It,r:

Gc9

C:

MC

0l

R

La ecuación diferencial para este sistema

(a) Figura

4-26.

Gc

es

cd]

- ;

hu

:

(h,

-

h.) dr

Líquido caliente

(b)

(a) Sistema térmico; (b) diagrama de bloques del sistema.

capítulo 4. Modelado matemático de sistemas de fluidos y srstemas térmicos 139 o bien d0 h"

'*:'' que puede reescribirse como

d0 orat0:Rtt Obsérvese que la constante de tienpo del sistema es igual a RC o M/G segundos. La función de le, se obtiene mecliante

transferencia que relaciona 0 con

@(.s)

RCsfl

H'(s)

donde @(s) : y,l](t)l y H¡(s) :9,lhi@1. En la práctica, la temperatura del líquido que entra puede fluctuar y actuar como una perturbación de carga. (Si se pretende mantener una temperatura de salida constante, puede instalarse un controlador automático que ajuste el flujo de calor de entrada, con el propósito de compensar las fluctuaciones en la temperatura del líquido que entra.) Si la temperatura del líquido que entra cambia repentinamente de @, a 6,* ii,, mientras que el flujo de calor de entrada A y eiflu¡o de 1íquido G se conservan constantes, el flujo de calor de salida cambiari de 11 a H + h,, y la temperatura del líquido que sale cambiará de @, a 6"+ 0. La ecuación dif'erencial para este caso es

Ctl1: (Gc?,- h,,)dt o bien d0 C-clt :

-

Gc1¡

h,,

que puede reescribirse como d0

RC

--r0-0,

dt

La tunción de transf-erencia que relaciona 0 y 0, se obtiene mediante

@(s)

I

@¡(s)

RCs

*

I

donde @(s) : Y.l9(t)l y @¡(s) : 9,[0,(r)1. Si este sistema térmico está sujeto a cambios en la temperatura del líquido que entra y en el tlujo de calor de entrada, en tanto que el flujo del líquiclo se conserva constante, el cambio 0 en la temperatura del líquido que sale se obtiene mediante la ecuación siguiente: RC

d0

th

+0:0¡+Rhi

La Figura 4-26(b) muestra un diagrama de bloques que corresponde a este caso. Obsérvese que el sistema tiene dos entradas.

140


EJEMPTOS DE PROBTEMAS Y SOTUCIONES A-4-1.

En el sistema de nivel de líquido de la Figura 4-27, suponga que el cau
O: K"aH: o.ol v[¡1 Suponga también que cuando el caudal de entrada Q¡ es 0.015 mt/seg, la altura p€rtn&rece con:tante. Para r < 0 el sistema está en estado estacionario (Q¡ : 0.015 m'/seg). En ¡ - 0la válvula c. entrada se cierra y, por tanto, no hay entrada para / ) 0. Encuentre el tiempo necesario para vaci* el tanque a la mitad
Solución.

Cuando la altura es estacionaria, el caudal de entrada es igual al de salida. Por tant' : 0 se obtiene a partir de

la altura H,, en t

:

0.015

0.01

J¡1"

o bien

H":2'25

m

> 0 es

La ecuación para el sistema para /

- cdH :

Qdf

o bien

dH

0

-0.01\t

Por tanto.

dH

ln -:0.00-5d/ Suponga Que, en I

-

/1,

H

-

1.125 m Integrando ambos miembros de esta última ecuación.

obtiene

If

t.125

dH

Jrr., -Iu

- | t 0.005td¡- 0.005r, J,

De aquí se sigue que t.,l-ul),rr'r',r'

:2fr'2s - z1E.x --

0.005r,

o hien

t,

-

175.7

Por tanto, la altura se reduce a la mitad del valor original (2.25 m) en 175.7 seg.

Q¡

>-

Jq

Capacitancia

Figura

4-27.

Sistema de nivel de líquidos


A'4-2.

Considere el sistema de nivel de líquido de la Figura 4-28.Enel sisrema, Q, y Qrson caudales de entrada en estado estable Y Ht y Hz son las alturas en estado estable. I-u, .*ti¿u¿. s q,r, q,r, hr, hr, Qt Y 4o se consideran pequeñas. Obtenga una representación en el espacio de estados para el sistema cuando hty hz son las salidas y 4¡ry Q¡z son las entradas.

Solucién.

Las ecuaciones para el sistema son C1dh1

: (q¡ - q)

dt

(4-32)

ht-h, n, -qt

(4-33)

C2dh2: (qt -f q¡z- q.)dt

(4-34)

h2

R2: s'

(4-3s)

La eliminación de q1 de la Ecuación (4-32), utilizando la Ecuación (4-33), da como resultado

t T -;,(,, -:')

(.4-36)

La eliminación de q1 y qo de la Ecuación (4-34), usando las Ecuaciones (4_33) y (4_35),lleva a

dht ¿,

| /h, : crl

Defina las variables de estado xt y xz mediante

h, *

^,

xt: xz: las variables de entrada ut

!

uz mediante

: uz: ut

y las variables de salida

!t e lz mediante

o" ;,)\ ft,

(4-37)

ht hz

Q¡t

4¡z

lr: ht: !2.: hz:

xt xz

Entonces las Ecuaciones (4-36) y @-37) se escriben como

.111 xr: -nú"r*oC ,. Qt

+q

I

*t*"u, /t

l\

I

T

t+ =D<-)

6JJc*-Qz+q¡z

+Qt+Qz+Qo

Figura

4-28.

Sistema de nivel de líquidos

142


E,n

la fonna de la representación matricial estándar, se tiene

I

R'Cr

R,Cz

,,-]

l:

/t f_+

1

\R,C:

^

tl ¡t / ]t;:l

:, )ll

I

que es la ecuación de estado, y

lt,l-[;?][::i que es la ecuación de salida.

A-4-3.

El valor de la constante del

gas para cualquier gas se determina a partir de obsen,aciones expe:mentales precisas de valores simultáneos de p, t y T. Obtenga la constante del gas R"1." p&ro el aire. Observe que a 32"F y 14.7 psia. el volum." específico del aire es de i2.39 ft3/ib. A continuación obtenga la capacitancia de un recipienrc presión de 20 ftl que contiene aire r 1 60"F. Suponga que el proceso de expansión es isotérmic

Solución.

pL^ Ruir"

11.1

T

x

114

x

12.39

460+32

:

53.3 ft-lbr/lb"R

Remitiéndose a la Ecuación (4-12). la capacitancia de un recipiente a presión cle 20 ft3 es

nRoi,,T 1x53.3x620

:6.05x10 t lb-

lbr/fr'

Observe que, en términos de las unidades del SI, R.,,,." se obtiene mediante Rni,"

:

287 N-m/kg K

En el sistema de presión neumático de la Figura 4-29(.a.) suponga que, para ¡ < 0, el sistema e..en estado estable y que la presión de todo el sistema es P. También suponga que los dos fuel .

sonidénticos.En¡:0,lapresióndeentradacarnbiadePaF*Tr,.Acontinuación,laspresior. en losl'uelles ly2cambiarindePaP ¡,, ydeFaF + pr. r'especlivamente. Lacupacidari , volumen) cle cada fuelle es de 5 x 10 am3, y la dif'erencia de presión de operación A7;1la dif-ere . cia entre p¡ ! pt o la diferencia entre ptl p) está entre 0.5 x lOs N/mr y 0.5 x 105 N/r-

:.lp(N/m2) 0.5

Válvula

--I-Y/ p,r"o o "c

I

Figura

4-29.

R:

Válvula

x

lo5

2

(a) Sistema de presión neumático; (b) curvas de diferencia de presión frente al caudal másico.

Capítulo 4. Modelado matemático de sistemas de f luidos y sistemas térmicos 143 La Figura 4-29(b) contiene los caudales másicos correspondientes (kg/seg) a través de las válvulas. Suponga que los t-uelles se expanden o se contr¿len en forma lineal con las presiones de aire que se les aplican, que la constante del resorte equivalente del sistema de fuelles es ft - I x 105

N/myquecadafuelletieneun áreaA:15

x l0

am2.

Definiendo corlro ,r el desplazamiento del punto medio de la varilla que conecta dos fuelles, encuentre la función de transferencia X(.r)/P;(,i). Suponga que el proceso de expansión es isotérmico y que la temperatura del sistema completo permanece en 30"C.

Solución.

Remitiéndose a la Sección zl-3, la función de transferencia P1(s)/P¡(s) se obtiene

COITIO

pr(s)

I

:

(4-38)

P¡(s) Rlcs*l De manera similar, la función de transf-erencia P,(s)P'(s) es

Pz(s) Pr(s)

I

R2Cs

*

(4-re)

I

La fuerza que aciúa sobre el fuelle 1 en la dirección x es A(P + pi) y la fuerza que actúra sobre el fuelle 2 en la dirección x negatila es AtP * ¡r). La fuerza resultante se equilibra con ftx, fuerza del resorte equivalente del lado corrugado del fuelle. AQtt

- P):

kt

o bien

A[P¡(s)-Pr(s)l-ÁX(s)

(4-40)

Remitiéndose a las Ecuaciones (4-38) y (a-39), se observa que

P

rsr- P2{r)-

(^.:

r R,c]; ,)"',,,

R2Cs

R

lCs

(R1Cr+ l)(R2Cs+ l)

P;(s)

Sustituyendo esta últirna expresión en la Ecuación (4-40) y reescribiendo esta, la función de tr¿rnslerenciu Xl.r r P,{.s) :e obtiene como

X(s) A

(RzC

RlC)s

l

(4-41)

P¡(s) k(R1Cs+ l)(R2Cs+ 1)

l

Los valores numéricos de las resistencias promedio R, y R2 son

l :l

R,' D t"

ao 0.5 105 -.:0.16J,10t" tlt¡1 3 l0

d

N/ml I

k-e/seg

L,o 0.5 l0) N/m2 ' Iw .-0.311 wJJJz le|i_ ,r,, - I.5' lo 5 kg/seg

tl

El valor numérico de la capacitancia C de cada fuelle

es

:

287 N-m/kg K. (Véase el Problema A-4-3.) En consecuencia,

x R.C:0.333 x R1C:

0.

167

l0r0 x 5.7-5 x

l0 e l0ro x 5.75 x 10 e:

I

I

I

I I N

V 5xl0 I :5.75 " l0 " kc nR,¡,.f 1.287 t273+301 N/m' donde R,,'."

l

9.60 seg 19.2 seg

144


Sustituyendo los valores numéricos de A, k, X(s) P¿(s)

A-4-5.

R{

y R2C en la Ecuación (4-41), se obtiene

1.44

x l0

7s

(9.6s+1X19.2s+1)

Dibuje un diagrama de bloques del controlador neumático de la Figura 4-30. A continuaci

:.

obtenga la función de transferencia de este controlador. Suponga que R¿ ( R¡. Si se elimina la resistencia R.7 (y se sustituye con una tubería del tamaño de la línea), ¿,-, acción de control se obtiene? Si se elimina la resistencia Rr (y se sustituye con una tubería ¡. tamaño de la línea), ¿qué acción de control se obtiene? Suponga que cuando e : 0, la distancia tobera-aleta es igual a X y \a presión de c.:igual a P-.. En este análisis. se supondrán desviaciones pequeñas de los valores de refer.

Solución. trol

es

-

cia respectivos, del modo siguiente:

: : p" : p1 :

eror

¿

señal de

.n

cambio pequeño en la distancia tobera-aleta

pequeña

cambio pequeño en la presión de control

p¡ :

I:

cambio pequeño en la presión del fuelle de control

I debido a un cambio

cambio pequeño en la presión del fuelle de control

II debido

pequeño en la presiór

a un cambio pequeño en la presrc

desplazamiento pequeño en el extremo inferior de la aleta

En este controlador, p. se transmite al tuelle I a través de la resistencia R.7. AsimiSÍlo, p rr transmite al fuelle II a través de la serie de resistencias R,¡ y R¡. Una relación aproximada entre iP.,

€S

Pr(s)

P.(s) donde Z¿ : R¿C transferencia

donde

I¡

:

R¡C

:

R¿Cs

f

T¿s*1

I

tiempo derivativo. Asimismo, p, y pll se relacionan mediante la función :,

Pu(s) I Pr(s) R¡Cs*1

:

I

Z¡s+1

tiempo integral. La ecuación del balance de la fuerza para los dos fuelles e:

(py- pfiA

- k¡ e

Ps :

--r+r-Figura

4-30.

Diagrama esquemático de un controlador neumático.

capítulo 4. Moderado matemático de srstemas de fruidos y sistemas térmicos 14s donde ft' es la rigiclez de los dos fuelles conectados y A es el área transversal de los mismos. La relación entre las variables ¿. .r e v es

,: La relación entre las variables p. y

u

o

a- b "- o*h'

,,

,y es

p,,: Kx

(r<

>

0)

A partir de las ecuaciones recién obtenidas, se dibuja un diagrarna de bloques del controlador, como aparece en la Figura ul-3 l(a). La simplificación de esteiiagrama de bloques

se cla en la

Figura 4-31(b).

La función de transferencia entre p.(s) y E(s)

es

b

P,(.r):

a-lb

1+K;hi(1#')(#)

E(s)

Para un controlador práctico, en una operación normar,^]KaA T,slr@

mucho mayor que la unidad T¡ Y modo siguiente:

P,(s) . bk,(T¡s

+

1X4rs

+

)

1)

E(s)

r b)k,(T¡s * l)(2.¡s + r)ll es i,t. Por tanto, la función d" t anrí'"rencia se simplifica del

'*(+ ,:,-- r,,)=r,,(, ***a,,) hk.

K,.: -: 'nA Por tanto, el controrador de la Figura 4-30 es proporcionar-integral-derivativo. b

"+b 0

"+h

b

.+b

(a + b) k,lT,s + t

)iI¿.r +

¡

(b)

Figura 4-31.

(a) Diagrama de bloques del controlador neumático mostrado en la Figura 4-30; (b) diagrama de bloques simplificado.

146


Si se elimina la resistencia R,7 o R,¡ : 0, la acción se convierte en la de un controlador proporcional-i ntegral. Si se suprime la resistencia R¡, o Rr : 0, la acción se convierte en la de un controlador propor' cional de banda estrecha o la de un controlador de dos posiciones. (Observe que las acciones de los dos fuelles de realimentación se cancelan una a la otra y que no hay realimentación.)

A-4-5.

Las válvulas de bobinas reales tienen un solape o un subsolape debido a las tolerancias de manufactura. Considere las válvulas de bobina con solape o subsolape de la Figura 1-32(a') y (b). Trace las curvas que relacionan el área del puerto descubierta A frente al desplazamiento r.

Solución. Para la válvula con solape, existe una zona muerta entre - I ,,, y I x1y, o bier. I rn < r < I x¡. La Figura 4-33(a) muestra la curva del área del puerto descubierta A frente a. Tal válvula con solape no funciona como válvula de control. Para la válvula con subsolape, en la Figura 4-33(b) se muestra la curva del área del puerto. fiente al desplazamiento x. La curva ef'ectiva para la región con subsolape tiene un¿r pendiente mí, alta, lo que representa una mayor sensibilid¿id. Por lo general, las válvulas que se usan para e control tienen un subsolape. desplazarr-riento -r.

-.l Alta

Alta

Baja presión

presión

(a) Figura

4-32.

Baja prcsión

presión (b)

(a) Válvula de bobina con solape; (b) válvula de bobina sin solape

Area expuesta a alta presión Are¿r

efectlva

Arca cxpuesta a baja presión (a)

4-33.

(b)

(a) Curva del área del puerto descubierta A frente al desplazamiento para la válvula con solape; (b) curva del área del puerto A frente al desplazamiento para la válvula sin solape.

Figura

A-4-T

.

x x

La Figura 4-34 muestra un controlador hidráulico de tubos a choro. El fluido hidráulico Se rxpe : del tubo a chono. Si el tubo a chorro se calxbia hacia la derecha de la posición neutral, el pisr, de potencia se mueve a la izquierda, y viceversa. La válvula de tubo ¿i chorro no se usa tanto con. la válvula de aleta, debido a un gran flujo nulo, a una respuesta más lenta y a características ir' predecibles. Su principal ventaja estriba en su insensibilidad a los f'luidos sucios.


t

orf;',i,',',* Figura

4-34.

Controlador hidráulico de tubos a chorro.

Suponga que el pistón de potencia se conecta ¿r una carga ligera, cle modo que la fuerza cie inercia del elernento de la carga es insignificante en comparación con Ia fuerza hidráulica que desamolla el pistón de potencia. ¿Qué tipo de acción de control produce este controlador?

Solución. Deflna como,r

el desplazamiento de la tobera a choro a partir cle la posición neutr¿rl y como.v el desplazamiento del pistón de potencia. Si la tobera a chono se mueve a la derecha un desplazamiento r pequeño. el aceite fluirá al lado derecho ilel pistón de potencia y el aceite del lado izquierdo del pistón de potencia regresará al drenaje. E,l aceite que fluye hacia el cilindro cle potencia está a una presión alta; el aceite que fluye desde el cilindro cle potencia al clrenaje está a una presión baja. La diferencia de presión resultante provoca que el pistón de potencia se rrlleva a 1a izquierda. Para un desplazamiento pequeño de la tobera a choro x, el caudal qhaciael cilinclro de potencia es proporcional a -r; es decir,

4: Ké Para el cilindro de potencia,

Apd,t: qdt donde A es el área del pistón de potencia y p es la densidad del aceite. De este modo

dl¡ _ u _1 : K, dt Ap Ap donde

K

:

Ktl(Af,)

-

x:Kx

constante. Por tanto, la función cle transf'erencia ),(,r)/X(s) es Y(,s)

:Í X(s) .t El controlador produce la acción de control integral.

148

lngenlería de control moderna

A-4-8-

Explique la operación del sistema de control de velocidad de la Figura 4-35

Figura

4-35.

Sistema de control de velocidad.

Solución. Si la velocidad de la máquina aumenta, el soporte deslizable del controlador de e. , ras se mueve hacia ariba. Este movimiento funciona como entracla para el controlador hidrául--

Una señal de error positiva (un movimiento hacia ariba del soporte deslizante) provoca que : pistón de potencia se mueva hacia abajo, se reduzca la apertura de la válvula de cornbustib,: disminuya la velocidad de la máquina. La Figura 4-36 muestra un diagrarna de bloques de :., sistema.

A partir del diagrama de bloques, la función de transferencia )z(s)/E(s)

Y(s)

r

ttz

_ t(s) a, *

se obtiene como

J a2

l+

bs

K

b,s]_k

s

0t

ay

I

ct.

Si se aplica la condición siguiente,

lu,ósKl latla2ás+k.il'

Figura

4-36.

l>t

Diagrama de bloques del sistema de control de velocidad mostrado en la Figura 4-35.

capítulo 4. Modelado matemático de sistemas de fluidos y sistemas térmicos 149 la función de transferencia y(s)lE(s) se convierte en

/(s)

o2 ctllarbs rk

-

Eo o,. o,

El controlador

A-4'9.

az/

bs - ",\'r

Á\ ltr)

^ de velocidad tiene una acción de control proporcional-integral.

Calcule la función ile transferencra Z(s)lY(s) del sistema hidráulico que se muestra en la Figura 4-31 . Suponga que los dos amortiguadores del sistema son idénticos.

Solución- Para calcular las ecuaciones del sistema, se supone que la fuerza F se aplica en el extremo derecho del eje produciendo un desplazamiento y. (Todos los desplazamientosl, ),, y z se miden desde las respectivas posiciones de equilibrio cuando no existe fueiza aplicada en el extremo derecho del eje.) Al aplicar la fuerza F, la presión P1 se hace mayor que li presión pi, o bien P t > P\. De forma similar, pz > pz. Para el balance de fuerzas se tiene la siguiente ecuación:

kzj

w)

:

A(P¡

Como

-

P\) + A(P2

kp: A(P1

- pi)

P\)

(4-42) (4-43)

v

Pt-P\

4r:

n

se tiene

k¿:

ARql

Como también

4tdt:

Aldw

se tiene

-

dz)p

ql:A(w_¿)p o bien

l''w ¿- AtRp Si se define A2Rp: B (B es el coeficiente de fricción viscosa), entonces

w ,.:k" B"

(4-44)

Además, para el lado derecho del amortiguador se tiene

q2dt De ahí,

4z:

(Pz

-

P)IR,

:

Ap tlw

se obriene 01

A(Pz

Ap

-*np

o bien A(Pz

Área =

P):

Pi)

BW

I

Figura 4-37. Sistema hidráulico

(4-4s)

150


Si se sustituyen las Ecuaciones (4-43) y (a-45) en la Ecuación (4-42) se tiene

k¡

k2w

:

k¡. -t

Biv

Calculando la transfbrmada de Laplace de esta última ecuación, suponiendo condiciones inicial;, nulas, se obtiene (4--1t kzY(s) : (ft2 + Bs)lV(s) + kfls) Tomando la transformada de Laplace de la Ecuación (4-44), suponiendo condiciones iniciales n-las. se obtiene lV(

rl

-

l, * Bs Ztsl B.r

{4-r-

Si se utiliza la Ecuación (4-41) para eliminar lV(s) de la Ecuación (4-46), se obtiene

k.)'t.rl

(, : (k. I Br) * Bs Z(.sl * U,

ktZt.tt

a partir de la cual se obtiene como función de transferencia Z(s)lY(s) Z(s)

kzs

/tsl

B.s2

-

k,],

\.2kt r

Multiplicando el numerador y el denominador de

esta

ft'*' B

última ecuaciónpor Bl&1k2), se obtiene

B

Z(s)

kl

.t

/(.s) 82 . l2B (,k, '- * [*, Si se define Blk,

-

Tt,

Blk2:

72, la

r,)' '

t

función de transferencia Z(s)/f(s)

Z(s)

rr.rA-4-10.

B\

es

Zrs

r,

r',2 +

17r

* 2r').\

I

Considerando desviaciones pequeñas de la operación de estado estable, dibuje un diagrama .r bloques del sistema de calefacción de aire de la Figura 4-38. Suponga que las pérdidas de ca- " en el medio ¿imbiente y la capacitancia de calor de las partes de metal del calefactor son insrq¡ flcantes.

Solución.

@: @, : G: M:

Se deflnen

temperatura en estado estable del aire cle entrada, uC temperatura en estaclo estable clel aire de sali
flujo de la masa del aire a través de la cámara de calefacción, kg/seg masa del aire que contiene la cámara de calef'acción, kg

Figura

4-38.

Sistema de calefacción de aire.

capítulo 4. Moderado matemático de sistemas de fruidos y sistemas térmicos

: calor específico del aire, kcal/kg.C R : resistencia térmica, "C seg/kcal C: capacitancia térmica del aire que contiene la cámara a: lu¡o de calor de entrada en estado estable, kcal/seg

151

c

de calefacción

:

Mr.,kcal/,,C

Suponga que el flujo de calor de entrada cambia repentinamente de -É1 a H + h y que la temperatura del aire de entrada cambia repentinamente ae @ a O, + 0,. En este caso, la temperatura del aire de salida cambiari de O., a O,, t n,,.

La ecuación que describe el comportamiento clel sistema C

cl}.

:

lh +

Gc(0¡

es

0,,)l (If

o bien ,10..

, i,'=h+CcrA,-t),,t Considerando que

Gc:-

I

R

se obtiene

de., C _:h+ drR

I

(t),-t)t

o bien

RC,t!: ,lt

_ (t,,: Rh r

H,

Tomando las transformadas de Laplace de ambos miembros de esta última ecuación tuyendo la condición inicial 0o(0) : 0, se obtiene

@"(s):

Rt RC'+

111(s)

+

a6, a ,

y

susti-

@i(s)

El diagrama de bloques del sistema que corresponde a esta ecuación aparece en la Figura 4-39.

I : I

l l J

i I I

! ¡

Figura

A-4-ll'

4-39.

I I I

Diagrama de broques del sistema de calefacción de aire mostrado en la Figura 4_3g.

I

considere el sistema del terlnómetro delgado cle mercurio con paredes de vidrio cle la Figura zl-40' Suponga que el termómetro está a una remperarura estable , nu" en ¡ 0 se sumerge en un baño a una temp_eratút" o l/r,, clon
:

*

ói;ñ.;;uio"t!ni.1

* el cambio .n lu **p"rotura del termómetro 0 satisfhga la condición- 0(0) : O. Obtenga un modelo matemático para el sistema' Asimismo, determine un sistema eléctrico análogo al'riste-a del termómetro. Solución' Se obtiene un moclelo matemático para el sistema, considerando el balance del calor del modo siguiente: el calor que entra al termóÁetro durante di ,"g es c7 dr. dondeq es el

flujo

de

152

lngeniería de control moderna Termómetro

Figura4-40.Sistemadeltermómetfodelgadodemercurioconparedesdevidrio. en la capacitancia térmica calor hacia el termómetro. Este calor se almacena

c

del termóme:r

porlocualSutemperatufaseelevacll.Portanto,laecuacióndebalancedecalores

,¿6: qdt Como la resistencia térmica R se escribe como

L0 R-d(Lq ,rt:l

elflujodecalor4seobtiene,enfuncióndelaresistenciatérmicaR,como {.@

q:--

+

0,,¡

-¡

donde @ * 06 es la temperatura del baño y la Ecuación (4-48) puede reescribirse como

c

-

(@

--

+ 0)

-01,

-

e

R

6 + e es la temperatura del termómetro'

Por t

d0 0o- 0

¿':

n

o bien d0

RC.+0:0b dt

(

termómetro' La Ecuación (4-49) es un modelo matemático del sistema del análogo para el sistema del eléctrico (4-4g), sistema un la Ecuación a Remitiéndose metro se escribe como

o, un circuito eléctrico

de.

T

t-

e',--

te

€¡

en la Figura 4-41 fepresentado mediante esta úitima ecuación apafece

mostrado en la Figura 4-4C Figura 4-41 . Analogía electrónica del sistema de termómetro


PROBTEMAS 3""4"1. Considere el sistema del tanque de agua cónico - ir_:ura 1-42; el flujo a través de la válvula es turbu. .e relaciona con la altura 11 mediante

0 -0.005\ ,-'

:

H

-s el caudal medido en mr/seg y nga que la altura es 2 m en /

:

:

60 seg?

:

H

está en me-

0. ¿Cuál será la

B-4-3. Para el sistema neumático de Ia Figura ¿l-421, suponga que los valores de la presión del aire y el desplazamiento de los arrortiguadores en estado estacionario son P y X, respectivarnente. Suponga también que la presión de entrada cambia de P a F * 7',, donde pr es un pequeño cambio en la presión de entrada. Este cambio provocará que el desplazamiento de los amortiguadores varíe una pequeña cantidad x. Suponiendo que la capacitancia de los arnortiguadores es C y que la resistencia de la válvula es R, obtenga la función de transt-erencia que relaciona ,r y 7;,.

P+p,,

;i

¡rr¡

t^r12. Sistema de tanque de agua cónico.

Figura

4-44. Sistema neumático.

I."-a.Z- - rnsidere el sistema de control de nivel de lí, -: .: Figura 4-43. El controlador es de tipo pro_ -.. El punto de funcionamiento del controlador

-, .

un diagrama de bloques del sistema supo-_-: los cambios en las variables son pequeños. -- .: tunción de transf'erencia entre el nivel del se-

::que y la entrada de perturbación

::._l,i Él erTor en estado estacionario . perturbaciót1 e,¡ es un escalón

Q*q, -_.>

&*-q, re-'a 4-43.

Sistema de control de nivel de líquidos.

->Q+qo

154


Fi-sB-4-5. Considere el controlador neumático de la

B-4-4. La Figura 4-45 muestra un controlador neumáti-

tiene lr ra4-46.Suponiendo que el relevador neumático : Kp¡, (donde K > 0)' deterr ' característii¿rs de que p. i'L n. tu u..iOn de control de este controlador' La entrad¡

de que co. El relevadár neumático tiene la característica control de de-acción tipo i, J *uo, donde K > 0' ¿Qué proOu."'.tt. controlador? Calcule la función de transferencia P.(s)/E(s).

controlador es e Y la salida P,'

Señal de error de actuación

Aleta

i+

Figura 4-45.

Controlador neumático.

PL,+ Pt'

- -----1\ )a+r < -r Orificio

+

Figura

4-46.

Controlador neumático'

r,

capítulo 4. Moderado matemático de sistemas de fluidos y sistemas térmicos

$-4*6. La Figura ' ,..

:

.

4-47 muestra un controlador neumáti_ :eñal e es la entracla y el cambio en la presión cle -,; es la salida. Obtenga la función c,le tiansf-eren_ ' E{s). Suponga que el relé neumático tiene la ca_

;:.:i.a

de que ¡-l

:

Kpt,, donde

K>

B-4-7. Considere el controlador neumático

la Figu_

ra 4.48. ¿,Qué clase de acción de control produce este controlador? Suponga que el relé neumático tiene la ca_ racterística de quep,. : Kl¡n, donde K > 0.

0.

Scñal de

eror

de actuación

r--l I I I

--L>

155

4-47. Controlador neumático Señal cle error dc actuación e

Figura4-48. Controladorneumático.

156


B-4-8. La Figura 4-49 muestra una válvula

de aleta co-

locada entre dos toberas opuestas. Si la aleta se mueve li-seramente a la derecha, se produce un desequilibrio de presión en las toberas y el pistón de potencia se mueve a la izquierda, y viceversa. Con frecuencia se usan dispositivos como este en los sistemas de seguimiento hidráulicos colno válvulas de primera etapa en las servoválvulas de dos etapas. Este uso se da porque es posible que se requiera una fuerza considerable para impulsar válvulas de bobina rnás grandes que la que produce la fuerza de flujo en estado estable. Para reducir o compensar esta fterza, se emplea con frecuencia una configuración de r'álvulas de dos etapas, se usa una válvula de aleta o una tobera a chorro como válvula de primera etapa para apofiar la fuerza necesaria, con el propósito de impulsar la válvula de bobinas de la segunda etapa.

sistema de la Figura 4-50 y a continuación encuentre l: función de transf'erencia entre y y x, donde x es la pre-

sión de aire e ¡' es el desplazamiento del pistón de potencia.

li ttY Aceite bajo presión

,-l Aceite bajo presión

Figura 4-50. Diagrama esquemático de un servomotor hidráulico.

L. Figura

4-49.

Válvula de aleta.

La Figura 4-50 ofiece un diagrama esquemático de un servomotor hidráulico en el cual se amplifica la señal de error en dos etapas mediante una tobera a choro y una válvula piloto. Dibuje un diagrama de bloques del

es un diagrama esquemático I un sistema de control de elevación de aeronaves. La:rtrada al sistema es el ángulo de deflexión 0 de la palari;uL de control y la salida es el ángulo de elevación @ Su"' ponga que los ángulos 0 y @ son relativamente peqr:ños. Demuestre que, para cada ángulo 0 de la palanca -lu control, existe un ángulo de elevación @ correspondie:,u

B-4-9. La Figura 4-51

(en estado estable).

Acerte bajo presión

'L.r*[-]'L

Figura 4-51 . Sistema de control de elevación de aeronaves.

Gapítulo

4.

Modelado matemático de sistemas de fluidos y sistemas

3.4-10. Considere el sistema de control de nivel de lí_ : - je la Figura 4-52.IJn controlador integral hidráu_ - :ineja la válvula de entrada. Suponga que el caudal : : ,r;d& en estado estable es @ y que el caudal de sali_ . : i:ttdo estable también es e. que la altura en esta: ...¡le es E, qte el desplazamiento de la válvula pi-.-. estado estable es X - . en estado estable es

:

0 y que la posición de la

Z Se supone que el punto de . . ,R corresponde a la altura en estado eshbje H. El ,J: consigna está fijo. Suponga también que el cau- :- entrada de perturbación q¿, que es una cantidad ' : . ,: -¡. se aplica al tanque del agua en r : 0. Esta per_ -":.:

-.in

hace que la altura cambie de H

aE + h.Este

--:.-,pro\¡oca un cambio en el caudal de salida

:

me_

.; . A través del controlador hidráulico, el cambio - .,trra provoca una modificación en el caudal de en_

.--

--- :: Q a Q + q¡.(El

controlador integral tiende

a

" ,:r.:r la altura lo más constante posible en presencia

:: -

--:baciones.) Se supone que todos los cambios son

-.t.rJades pequeñas.

térmicos 1s7

Se supone que la velocidad de la potencia del pistón (válvula) es proporcional al desplazamiento de la válvula piloto x, o bien

Q: dt

u."

donde K, es una constante positiva. Se supone también que el cambio en el caudal entrante q, es negativamente proporcional al cambio en la apertura de la válvuia y, o bien 4¡

: -K'J

donde K,. es una constante positiva. Suponiendo los siguientes valores numéricos para el sistema,

C:2m2, ct:0.25

m,

: b:

R

0.5

seg/m2,

0.15 m,

K,

: I m2lseg

Kr:4segl

obtenga la función de transferencia H(s)le,t(.s).

C (Capacitancia)

Q+qo R (Resistencia

Figura

4-52.

)

Sistemas de control de nivel de líquidos

j

158


B-4-'l 1. Considere el controlador de la Figura 1-53. La entrada es la presión de aire p¡ medida desde alguna presión de referencia F en estado estable y la salida es el desplazamiento .l'del pistón de potencia. Obtenga la función de transf'erencia y(s)iP, (s).

+

Airep¡ (Entrada)

,1,

Figura4-53.

Controlador.

(Salida)

9-4-12. Un termopar tiene una constante de tiempo o: 2 seg. Un termopozo tiene una constante de tiempde 30 seg. Cuando el termopar se inserta en el termopc* zo, este dispositivo de medición de temperatura se cons.dera un sistema de dos capacitancias. Determine ias constantes de tiempo del sistema conbinado termopar-termopozo. Suponga que el peso dr termopar es de 8 g y que el peso del termopozo es c40 g. También suponga que son iguales los calores es5' cíficos del termopar y el termopozo.

Anólisis de lo respuesto

tronsitorio y estocionorio

5-

l

lntroducción En capítulos anteriores se.planteó que el primer paso para analízar un sistema de control era obtener un modelo matemático del mismo.'Un, u", obtenido tal modelo, existen varios métodos para el análisis del comportamiento del sistema. un sisrema 3.t:::::::l::1::::ii:^"1:i1t f".1 insranráneade conrror no se conoce con anticipación, ul:*o.j1 y ra enirada

R:i:::i::,:,::.]::1

";;;.;;';;;;#fi.1;ill'lL?iiill :::;1;;;:"¡*ru;;;il"ili;:ffiñ';'I"r*:':icurvas; tal el det";*;;;;;;H;,#;:,ifi::;;;

1.".i""::""1::::'.:T:,:j"'1":':l:i fbrma anatírica o medianre

!:.:::r:" de corte.

es

ca^so

En el análisis y diseño de sisternas de r:ontrol, se debe tener una base de comparación del comportamiento de diversos sistemas de control. Esta base se configura especificanclo las señales prueba parriculares

v.o*pu.unJ;ü;;;ñ;rii;l",

3::|ffff.e

s;sremas

o.riu,

señares

Muchos criterios cle diseño se basan en tales señales o en la respuesta del sistema a los cambios en las condiciones iniciares (sin señales;. r"¡,t", deprueba se.rusrifica porque existe una corelación entre las caracterí;ticut á. ..rfu"*u ¿" un sistenra para una señal de entrada de prueba común y la capacidad del sistema de manejar

p;;;;;;.;iffia.

las señales cle entrada reales.

señales de prueba

típicas.

Las señales

cle

prueba que se usan regula'ne'te son tuncio-

.r,*r rlá"ür;;*J;, : realizar con ffi ,T:j:':,..i1llpi:-l*ábola" racilidact analisis'malemáticc,s v experimen,;r"J:'J:i:il?ffit;-J":[:i: ya ;::::il: que las señales impulso. erc con

fulrcioncs dcl rir'ntpo mur rinrpie,

sol.l

160


Laformadelaentradaalaqueelsistemaestarásujetocon-mayorfiecuencia.enUn&opel;.

típicas se debe usar para anaTizat las cara;ción normal ¿"t"r-lnu.uáf ¿" fu, señales de entrada qL-'' sistema^de control son funciones del tiempo terísticas del sistema. Si las entradas para un u; si Asimismo' prueba' señal de cambian en forma gruJ.rui, una función rampa será-una.buena pru'de señal buena onu función escalón será una sistema está sujeto a perlurbaciones repentinur, r:: una función impulso será la mejor' Una de.choque, u¿us ba; y para un sistema-ffiio u comportamien:' el general "nt lo señales de prueba+or diseñado un sistema de control con base en las prue --'" es satisfactorio' El uso de tales señales de real.s u¿us r"rprr"ro u iu, del sistema base. misma "ot la "n .á-i"nu"""nto de todos los sistemas sobre p"rr"il"

""-p*u, "l

La respuesta en el tier:Respuesta transitoria y respuesta en estado estacionario' y la respuesta en estaJ la respuesta transitoria po de un sistema de control .ónrtu de dos partes: la quá va del estado inicial al estado final' P'r¡' a r"ii"r" ," estacionario. f-u r"rpu"riui**ito.iu la salida del siste:-" se entiende la manera como se comporta respuesta en estado ;;i;;;ti" escribir como puede se del sistema c(r) conforme r tiende a infinito. Por tanto, la respuesta

c(t):cr,fcr.(r) y el de la ecuación es la respuesta transitoria donde el primer término del miembro derecho ;;;á" término es la respuesta en el estado estacionario'

"'

en estado estacionar¡o. A];Estabilidad absoluta, estabilidad relativa y error prll de pédecir su.compoftamiento diniT]::â señar un sistema de control, se debe ser capaz JL' comportamlento lo.r;";ponenres. La óaracter?stica más importante del ;;i."il.Hi;;;; ti ol es la estabilidad absoluta, es decir, sistemu-á" L'r brrls'''::'*.i' de un námico namrco (ls ' r de cualquier "\:tlt:1"^::-?t^t:ll: perturbació: "ont ausencta ;;;; ;;r en si' equilibrio en está inestable. Un sistema de control cor invariante e lineal un sistema de control entrada, la salida permanece en el mismo estado.

tt,:::11" 1:.t."t:*"tt""^:t:it*::::tj:Tffl tiempo es crÍrr;u' sisiema á" .ontrol lineal e invarianre con el un ffi1"ju"];;i""ái.lá-r;i.rut. indefinida de fbrma menre estable ,i tu, or"iiuciones de la salida continúan T.t:t:::i:]""t: cuando el sistema está suleto a rr";tl equilibrio de estado su de u salida diverge ,in tímite fartir condicióninicial.Enrealidad,lasalidadeunsistemafísicopuedeaumet*1"1':,:::]:j:: \ mecánicas, o el sistema puede colapsarse o á;,-;;;*de esrar l;i;a; por,,detenciones>cierra magnitud, por lo cual ya no se aplican excede una

tiempo es estable si ta sutl¿a termina por regresar.^

verse no lineal ";;^;;ü-ralüa ecuaciones diferenciales lineales.

der sistema i,1qul' ilil"'i"';il;il;;;lJi*ponuntes esrán 9'.,1' :"1,b1':9^1*l:l:',. la estabiiiiad relativa v el error en estado e:: .r. 1

1 --^lî:-.^

-, ^1 ^*^*

o-

p.

aoforln

d"#;';;i;i, ffi'iliffi;"".á"rií"r^"i0" implica un almacenamiento de| energía,la i -,--.^ r^ salida ^-li¡. :iffi|;:¡:'#'i""riJ","; á" "ont or físico no sucede. a ra. e1trll1 *, r:T:*1,"",:::::.1 :i;ffi;, ;;;u" *i"""rru sujero a una entrada, trans alcanzar un estado estacionario' La respuesta -

--l:^r^

^:-^

|.ilil;il;Ñ,"-r;;i-,,ori" antes defrecuencia, muestra oscilaciones , ^:1^^:^-^^ 4ntPi antes ^*^*+i-".,'{ac amortiguadas con ;fi:ff##;;;;t;"ip.a",i.", r- ,-^,:^ -^ coinc ^^:no de un sisrema en estado estacionario ,^-^î^-^-:^ r ;Ttr H ilXá#J,"t;.ñ"*ñ"éii;";;r'd" sisrema riene un error en esrado estacionario. e1 que ¿*" * ;"#i'##:;il";;;á", r -- t^L^ ^--^*:-^* un sisrema de control, se debe examinar el cc n:ffi:Ht";il;J¿;;"r ,irr"-u. Alyanalizar ooto¡i nn ori n ',1^ estacionario. el comportamiento en estado ^

^1

portamiento oe ta rerpuesia trarrsitoria

sistem;' Este capítulo se relaciona con las respuestas de los las señales aperiódicas-(io-o fut funciones escalón' 1"11",111b-"]","^tT*tt^? :i::lr:T:""j 5-2tratala :,1i#'ffrL;Y""r"li"'r*ción 5_1 presenta el marerial introductorio. La Sección

contenido del capítulo.

puesta de ros

,i,t"-J,""¿"-ni¡""i.i1a1

10"":'*:'"i;" ::ri:i-".11"ri;i":'; análisis derallados d; de los sisremas de segundo orden. Si.presentan Sección 5-4 estudr: La orden' ,u*ñ"'iÁp;lt" il los siiemas cle segundó

iJ::#il1ilril'# respuesra escalón,

"T:"-tr'::i::

rl

{

,l

'l{

Capítulo 5. Análisis de la respuesta transitoria y estacionaria 161

análisis de respuesta transitoria de los sistemas de orden superior. La Sección 5-5 ofrece una introducción al enfoque de MATLAB para la solución de reipuesta transitoria. La Sección 5-6

presenta un ejemplo de un problema de respuesta transitoria solucionado con MATLAB. La Sección 5-7 expone el criterio de estabilidad de Routh. La Sección 5-B examina los ef'ectos de las acciones de control integral y derivativo en el comportamiento del sistema. por último, la Sec-

ción 5-9 trata los errores en estaclo estacionario de los sistemas de control con realimentación

unitaria.

5-2 Sistemas de pr¡mer orden Considérese el sistema de primer orden de la Figura 5-l(a). Físicamente, este sistema representa un circuito RC, un sistema térmico o algo similar. La Figura 5-1(b) presenta un diagiama de bloques simplificado. La relación entrada-salida se obtiene mediante

c(s)

R(s)

Zs

*

(s-l)

I

En lo sucesivo, se analizan las respuestas del sistema a entradas como la función escalón unitario, rampa unitaria e impulso unitario. Se supone que las condiciones iniciales son cero. Obsérvese que todos los sistemas que tienen la misma función de transferencia presentarán la misma salida en respuesta a la misma entracla. Para cualquier sistema físico dado, la respuesta

matemática recibe una interpretación física.

Respuesta escalón un¡tario de sistemas de primer orden. Como la rransformada l/s, sustituyendo R(s) : 1/.ren la Ecuación (5_l), se

de Laplace de la función escalón unirario es

obtiene

1 c(s): Is-|l

I s

Si se desanolla C(s) en fracciones simples se obtiene

ctsl

:- tTll rsJl-.

(s-2)

,+rlrl

Si se toma la transformada inversa de Laplace de la Ecuación (5-2), se obtiene

c(t¡:1-e'i''

(s-3) Parat>0 La Ecuación (5-3) plantea que la salida c(r) es inicialmente cero y al final se vuelve unitaria. Una característica importante de tal curva de respuesta exponencial c(r) es que, para t : T, elvalor de c'(r) es 0.632' o que la respuesta c(t) alcanzó 63.2Vo de su cambio total. Estó se aprecia con facilidad sustituyendo / : Z en c'(r). Es decir,

c(T):l

(ar Figura

5-1.

e t:0.632

(b)

(a) Diagrama de bloques de un sistema de primer orden; (b) diagrama de bloques simplificado.

162


(:(i)=|-altiT)

tilt

4T

3T

2T

0I

5T

Curva de respuesta exPonencial.

Figura 5-2.

de tiempo I, más rápida es la respuesl' obsérvese que, confbrme más pequeña es la constante respuesta exponencial es que la perdel sistema. Otru .uru"i"rlrti.u'i1nportante de la curva de :0 es 1/Z' ya que diente de la línea de tangente en t

I

drl

,t,l,:',: T'

tt

-l

t

I

l':o

r

5--

T

de respuesta tntctr : La salida alcanzará el valor tinal en t T si mantuviera su velocidad curva de respuesta c(t) disminu'' ' A partir de la Ecuación (5-4) se observa que la pendiente de la :0 a cero en t : de forma monótona de llT eL t 't' la Ecuación (5-3) aparece en 'i La curva de respuesta exponencial c(r) obtenida mediante exponencial ha ido de 0 a 63 1': Figura 5-2.Enuna constante de tiempo, la curva de respuesta 86'5Va del valor final' E: del valor final. En dos constantes de tiempo, la respuesta alcanza del valor tinal' P''t:37,47 y 57, ro rárÑi" alcanza gS, és.z y 99.37o,respectivamente, del valor final' Como se observa en '" ranro, para r > 47, h ;J;;;r;" permanece dentró del 2Vo sólo después de un tienlr*' Ecuación (5-3), el estadá estaci,onario se alcanza matemáticamente del tiempo de respuesta es la 1t-:' infinito. Sin embargo, en la práctica, una estimación razonable valor final' ' línea de 2Vo del gitud de tiempo que necesitá la curva de respuesta para alcanzar la cuatro constanles de tiemPo.

como la transformada :* Respuesta rampa unitar¡a de sistemas de pr¡mer orden' Laplacedelafunción;;p;unitariaes 1/sr,seobtienelasalidadelsistemadelaFigura5-1'' Cts)

l1 Zsf 1s2

Desarrollando C(s) en fracciones simples se obtiene C(s)

: ITT2-L-

,r2 .s Zs*1

(5-5), se obtiene Tomando la transformada inversa de Laplace de la Ecuación

c(t):tDe este modo. la señal de eror e(r)

TlTe'lr,

para/>0

es

e(t):r(t')-c(t) :T(l_ e'ir)

capítulo 5. Anárisis de ra respuesta transitoria y estacionaria 163 ,(t) c{.t)

027 Figura

conforme ¡ tiende

maaZo

5-3. a

4T

6T

Respuesta a rampa unitaria del sistema mostrado en la Figura 5-1(a).

infinito,

e

'ir

se aproxima a cero y, por tanto,

la señal de error e(r)

se aproxi-

e(m): T La entrada rampa unitaria y la salida del sistema se muestran en la Figura 5-3. El error después

de la entrada rampa unitaria es igual a T para una / suficientemente grunJ". cuanto más pequeña es la constante de tiempo r, menor es el error en estado estacionario Jespués de la entrada .á-pu.

Respuesta ¡mpulso un¡tar¡o de sistemas de primer orden. para entrada impulso : I y la salida der sistema de la Figura s-t¡u; pu"a"n obtenerselacomo

. unitario, R(s)

c(s)

: =f

fr+

(s-7)

I

La transformada inversa de Laplace de la Ecuación (5_7) produce I

c(t):-r-ttr,

parat>0

La curva de respuesta obtenida mediante la Ecuación (5-g) aparece en la Figura

(s-8) 5_4.

0T2T3T4Tt T2T3T4TI Figura

5-4'

Respuesta a impurso unitario der sistema mostrado en ra Figura 5-1(a).

164


Una propiedad importante de tos sistemas lineales e invariantes con el tiem'

po.

En el análisis anterior, se demostró que, para la entrada rampa unitaria, la salida c(r)

c(i¡

: ¡

T

I Te'tr,

parat>0

es

[VéaseEcuación(5-6)]

para la entrada escalón unitario, que es la derivada de la entrada rampa unitaria, la salida c(r) e.

r'(r): I - e

''r.

parat>

0

[Véase Ecuación (5-3)]

por último, para la entrada impulso unitario, que es la derivada de la entrada escalón unitario. salida c(r)

1'

es

I .c(t): ¡e ''

parat

)0

[Véase Ecuación (5-8)]

que -l Una comparación de las respuestas del sistema para estas tres entradas indica con claridad sisten" del la respuesta respuesta a la derivada de una señal de entrada se obtiene diferenciando puü tu señal original. También se observa que la respuesta para la integral de la señal original ': lbti"n" integrando la respuesta del sistema para la señal original y determinando las constanl:" si.t'de integracián a partir de la condición inicial de salida cero. Esta es una propiedad de los y 1'' el tiempo con y variables mas lineales e invariantes con el tiempo. Los sistemas lineales sistemas no lineales no poseen esta propiedad.

5-3 Sistemas de segundo orden En esta sección, se obtendrá la respuesta de un sistema de control típico de segundo orden p':li una entrada escalón, rampa e impulso. Aquí se considera un servomotor como ejemplo de -nl sistema de segundo orden.

Servosistema. El servosistema que se muestra en la Figura 5-5(a) consiste en un contl':* lador proporcional y elementos de carga (elementos de inercia y fricción viscosa). Se supone q'"'t se desea iontrolar la posición de salida c de forma que siga a la posiqión de entrada r. La ecuación para los elementos de carga es

Jó+B¿:T donde Z es el par producido por el controlador proporcional de ganancia K. Tomando la transl "r mada de Lapláce á ambos laáos de esta última ecuación, suponiendo condiciones iniciales nul¿r' se obtiene

-¡s2C(s)+BsC(s):z(s) Por tanto, la función de transf'erencia entre C(s) y Z(s) es I C(s) Z(s) s(-rs f

B)

Utilizando esta función transformada, la Figura 5-5(a) se puede redibujar como se muestra er Figura 5-5(b), que se puede modificar como se muestra en la Figura 5-5(c). La función de trar ferencia en lazo cerrado se obtiene entonces como

K C(s) R(s) Js2 + Bs + K

KIJ

s' + 1tr¡J;r + (K ¡

Tal sistema en el que la función de transferencia en lazo cerado posee dos polos se denom-r sistema de segundo orden. (Algunos sistemas de segundo orden pueden contener uno o dos cerc':

Capítulo 5. Análisis de la respuesta transitoria y estacionaria 165 B

lTr

Figura

5-5.

(a) Servosistema; (b) diagrama de bloques; (c) diagrama de bloques simplificado.

Respuesta escalón de sistemas de segundo lazo cerrado del sistema de la Figura 5-5(c)

La función

cle transf-erencia en

K

c(s) _

R(t

orden.

es:

(5-e)

Js2+Bs+K

que puede reescribirse como C(s)

R(.i) f s l.s*-*

lll/

sl,

Kl

t

L zL 1¡yzJ)- r lL'

-

B

2r

,ET

:)

Los polos en lazo cerrado son complejos si 82 - 4JK < 0, y son reales si 82 análisis de la respuesta transitoria, es conveniente escribir

K.B j : -i''

,:

2Úu,

-

-4JK)0.Enel

20

donde o se denomina atenuación; otn, frecuencict natural no amortiguatla,y (,factor cle amortiguamienÍo relatiuo del sistema. El factor de amortiguamiento relativo ( ei el"cociente entre el amortiguamiento real .B y el amortiguamiento crítico B, :2JJK o bien q:_:-

B'

2JJK

166


Figura

5-6.

Sistema de segundo orden.

En términos de ( y (o,,, el sistema de la Figura 5-5(c) se convierte en el que aparece en la F:' gura 5-6, y la función de transferencia en lazo cerrado C(s)/R(s) obtenida mediante la Ecu"ción (5-9) se escribe como

C(s)

R(s)

(D1

s2

+

2-(at,,s

+ otl

Esta forma se denomina fornta estándar del sistema de segundo orden El comportamiento dinámico del sistema de segundo orden se describe a continuación e: términos de dos parámetros (y 0t,,. Si 0 < ( < I, los polos enlazo cenado son complejos conj-gados y se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s. El sistema, entonces, se denomrr, subamortiguado y la respuesta transitoria es oscilatoria. Si ( = 0, la respuesta transitoria no .: amortigua. Si ( : 1, el sistema se denomina críticamente amortiguado. Los sistemas sobr:amortiguados coresponden a ( > 1. Ahora se obtendrá la respuesta del sistema que aparece en la Figura 5-6 para una entra;i escalón unitario. Se considerarán tres casos diferentes: el subamortiguado (0 < ( < 1), el crític,mente amortiguado (( : 1) y el sobreamortiguado (( > 1).

l)

Caso subantortiguado (0

< ( < l): en este caso, C(s)/R(s) se escribe

c(s)

0)rt

(s

R(s)

donde ,,,t0:

como

2

-|

-l .ia4¡i)(s

(rrrn

I (a.t,

jr,.,j)

ot,nE - (. La frecuencia

atu se denomina .frecuencict natural amortiguacla. una entrada escalón unitario, C(s) se escribe como )

a),,

c(s): (.s-flgo,,s+(t-);.)s .l^)

(s-1,

La transformada inversa de Laplace de la Ecuación (5-1 1) se obtiene con facilidad si escribe de la lorma siguienre:

Cl.s):

1 s

:1

+ 2-(0,

s

s- I

2iu.t,,s

s

(s*

s

f

I

t';,

(o,,

lut,,l:

- ,t)

_\0)n

ts

f

,r,r,,)r

En el Capítulo 2 se mostró que

v,t (s* ,t (a, ,2s

()nl

f

--l uJl

: e

v [,,_#iü] :"

rtDhí

cos O).tl

',,'senu,,¡r

*

r,r;

C(s

I

".

Capítulo 5. Análisis de la respuesta transitoria y estacionaria 167 Por tanto, la transformada inversa de Laplace de la Ecuación (5-11) se obtiene como

9.

'[c(s)]

:

c(r)

- |- e

,,t(cosu.,or

í\

-

senoÍ

)

'n= :-:,sen

: I

(,,r,,r

t

*'

Vl

.' - ran t/L '

)

parut >

0

(5-12)

Este resultado se obtiene directamente usando una tabla de transformadas de Laplace. A partir de la Ecuación (5-12) se observa que la frecuencia de oscilación transitoria es la fiecuencia natural

amortiguada úrd y que, por tanto, varía con el factor de amortiguamiento relativo (. La señal de error para este sistema es la dif'erencia entre la entrada y la salida, y es

e(t):r(t)-c(t) :'r'(/ cos tu,7l i- :,r"n -,,,). \ / VI-c-

para r

)o

Esta señal de error presenta una oscilación sinusoidal amortiguada. En estado estacionarig, o en t: .n, no existe un error entre la entrada y la salida. Si el factor de amortiguamiento relativo ( es igual a cero, la respuesta se vuelve no amortiguada y las oscilaciones continúan indefinidamente. La respuesta c(l) para el caso del amortigua-

miento cero se obtiene sustituyendo

c(/)

(:

0 en ra Ecuación (5- l2), lo cual produce

: I - cos(r,¡/,

paru

t>0

(s- 13)

Por tanto, a partir de la Ecuación (5-13), se establece que r,-lr representa la fiecuencia natural no amortiguada del sistema. Es decir. or, es la fiecuencia a la cuaf el sistema oscilará si el amortiguamiento disminuyera a cero. Si el sistema lineal tiene cualquier cantidad de amortiguamiento, no se puede observar experimentalmente la frecuencia natural no amortiguada. La freirencia que se observa es la fiecuencia natural amortiguada od! que es igual u ot,nñ-¡,. Esta frecuencia siempre es menor que la frecuencia natural no u-oriiguada. Un au-ento en ( reduciría la frecuencia natural amortiguada ro.r. Si ( aumenta más de la uniclad, la respuesta se vuelve sobreamortiguada y no oscilará.

2) Cctso críticttntente anTortiguaclo (( : 1): si los clos polos de C(s)/R(s) son casi iguales, el sistema se aproxima mediante uno críticamente amortiguaáo. Para una entrada escalón unitario, R(s) : 1/s y C(s) se escribe como al?

C1s.¡ _

(s

-f

(s- r4)

rr;,,)2s

La transformada inversa de Laplace de la Ecuación (5-14) se encuenrra como

c(r)

: I - e.'](1 * rt¡,,t),

Este resultado se obtiene suponiendo que

(

utilizando el límire siguienre:

r* j.]j,.|: i'l rl

;t

t>

O

(s_ 1s)

se aproxima a la uniclad en la Ecuación (5-12) y

lín.r

.-r

pa"a

t"nt"'€(1 Q)

^.,/l -('

nl

168


Caso sobreamortiguado (( > 1): en este caso, los dos polos de C(s)/R(s) son reales negitivos y diferentes. Para una entrada escalón unitario, R(s) : l/s y C(s) se escriben como

3)

c(s):

2 (D.-

(s-l(ot,,-|r.r-rn

,r,4'

rltr * (o-t,- ot,"l(

-

(5-lt D,

La transformada inversa de Laplace de la Ecuación (5-16) es:

c(r):l+

2J?

ztF-

- r| |I

- r(( r J('¿ ttt -

u 1i+ ulF)o,,t r)

u G 1E*\'"'

"

(D-. ,-l "

l-/ e r ¡2_¡\I \ sl -v5

+)

pafat>0

(5-

1

sz: (( - ,/(- l\nr,. Por tanto, la respuesta c(r) incluye di, donde sr : (( + \Eja,y términos exponenciales que decaen. Cuando ( es apreciablemente mayor que la unidad, uno de los dos exponenciales que decae disminuye mucho más rápido que el otro, por lo que el término exponencial que decae más ráp-do puede pasarse por alto (corresponde a una constante de tiempo más pequeña). Es decir, si - , se localiza mucho más cerca del eje jor que sr (lo cual significa que ls2l ( ls'l), para una solrción aproximada se puede no considerar -s,. Esto se permite debido a que el efecto de Jr 3la respuesta es mucho más pequeño que el de -sr, ya que el término que incluye s, en la Ecu.ción (5-17) se descompone mucho más rápido que el término que tiene a sr. Una vez desaparec-do el término exponencial que decae más rápido, la respuesta es similar a la de un sistema ¡. primer orden, y C(s)/R(s) se aproxima mediante:

tr=

(on - atnu C(s) R(s) sl(utn-urn\

tr=

.t.

sfs2

Esta forma aproximada es una consecuencia directa de que los valores iniciales y los valor;. finales tanto del C(s)/R(s) original como del aproximado coincidan. Con la función de transferencia aproximada C(s)/R(s), la respuesta escalón unitario se obtl=ne como C(s)

(ot, - at,

: (s

1 (u,tn ,,rr,{t

lt,

La respuesta del tiempo c(t) es, entonces,

c(t)

: I- e ((-. ;' 1tt')nr,

parat

l

O

Esto proporciona una respuesta escalón unitario aproximada cuando uno de los polos de

C(

-'

R(s) puede pasarse por alto. La Figura 5-7 contiene una familia de curvas c(r) con diversos valores de (, donde la abscln:l es la variable adimensionaT {,),,t. Las curvas sólo son funciones de í y se obtienen apartir de L.


1.8 1.6 1.4 1..2

c(¡)

1.0

0.8 0.6 0.4 0.2

561

art

Figura

5-7.

Curvas de respuesta a escalón unitario del sistema mostrado en la Figura 5-6.

Ecuaciones (5-12), (5-15) y (5-17). El sistema descrito mediante estas ecuaciones estaba inicialmente en reposo. Obsérvese que los dos sistemas de segundo orden que tienen el mismo ( pero diferente ro,, presentarán la misma sobreelongación y mostrarán el mismo patrón oscilatorio. Se dice que tales sistemas tienen la misma estabilidad relativa. Es importante observar que, para los sistemas de segundo orden, cuyas funciones de transferencia en lazo cerrado son dif-erentes de las obtenidas mediante la Ecuación (5-10), las curvas de respuesta escalón se ven muy distintas de las que aparecen en la Figura 5-7. En la Figura 5-7 se observa que un sistema subamortiguado con ( entre 0.5 y 0.8 se acerca al valor final con mayor rapidez que un sistema críticamente amortiguado o sobreamortiguado. Entre los sistemas que responden sin oscilación, un sistema críticamente amortiguado presenta la respuesta más rápida. Un sistema sobreamortiguado siempre es lento para responder a las entradas.

Definiciones de las especif¡cac¡ones de respuesta transitoria. En muchos casos prácticos, las características de desempeño deseadas del sistema de control se especifican en términos de cantidades en el dominio del tiempo. Los sistemas que pueden almacenar energía no responden instantáneamente y presentan respuestas transitorias cadavez que están sujetos a entradas o perturbaciones. Con frecuencia, las características de desempeño de un sistema de control se especifican en términos de la respuesta transitoria para una entrada escalón unitario, puesto que esta es fácil de generar y es suficientemente drástica. (Si se conoce la respuesta a una entrada escalón, es matemáticamente posible calcular la respuesta para cualquier entrada.) La respuesta transitoria de un sistema para una entrada escalón unitario depende de las condiciones iniciales. Por conveniencia al comparar respuestas transitorias de varios sistemas, es una práctica común usar la condición inicial estándar de que el sistema está en reposo al inicio, por 1o cual la salida y todas las derivadas con respecto al tiempo son cero. De este modo, las características de respuesta se comparan con faciiidad. La respuesta transitoria de un sistema de control práctico muestra con frecuencia oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar el estado estacionario. ,A'1 especificar las características de la

170


respuesta transitoria de un sistema de control para una entrada escalón unitario, es común espec,ficar lo siguiente:

1. 2. 3. 4. 5.

2.

3. 4,

rÍllfil

Tiempo de retardo, /, Tiempo de subida, /,. Tiempo pico, to

d[ül

Sobreelongación, M,,

rM

imm

Tiempo de asentamiento,

/s

Estas especificaciones se definen enseguida

1.

,idilü

y aparecen en forma gráfica en la Figura 5-8.

Tiempo de retardo /r: el tiempo de retardo es el tiempo requerido para que la respuesi alcance la primera vezla mitad del valor final. Tiempo de subida, /,.: el tiempo de subida es el tiempo requerido para que la respues:i pase del l0 al90%, del 5 al 957o o del 0 al 1007a de su valor final. Para sistemas su:amortiguados de segundo orden, por lo general se usa el tiempo de subida de 0 a 100': Para sistemas sobreamortiguados, suele usarse el tiempo de levantamiento de l0 a 90': Tiempo pico, ro: el tiempo pico es el tiempo requerido para que la respuesta alcance . primer pico de sobreelongación. Sobreelongación máxima (porcentaje), Mr:\a máxima sobreelongación es el máximo r .lor del pico de la curva de respuesta, medido a partir de la unidad. Si el valor final ¡r estado estacionario de la respuesta es diferente de la unidad, es frecuente utilizar el pi.:centaje de sobreelongación máxima. Se define mediante PorcentaJe de sobreelongación máxima

: t(-LI t!" ) y c(ú)

1007a

La cantidad de sobreelongación máxima (en porcentaje) indica de manera directa la esr.-

bilidad relativa del sistema. Tiempo de asentamiento, /.!: El tiempo de asentamiento es el tiempo que se requie:: para que la curva de respuesta alcance un rango alrededor del valor final det tamal: especificado por el porcentaje absoluto del valor final (por lo general, de 2 o 5E;). E. tiempo de asentamiento se relaciona con la mayor constante de tiempo de1 sistende control. Los objetivos del diseño del sistema en cuestión determinan qué criterio ,e, error en porcentaje utilizar. Las especificaciones en el dominio del tiempo que se han proporcionado son muy imporrrtes, ya que casi todos los sistemas de control son sistemas en el dominio del tiempo; es dec:

5.

c(¡) Tolerancia permitida

lr

Figura

5-8.

Curva de respuesta a escalón unitario con

tct,

t,

tp,

Mpy t"

Capítulo 5. Análisis de la respuesta transitoria y estacionaria 171 deben presentar respuestas de tiempo aceptables. (Esto significa que el sistema de control debe modificarse hasta que la respuesta transitoria sea satisf'actoria.) Obsérvese que todas estas especificaciones no se aplican necesariamente a cualquier caso determinado. Por ejemplo, para un sistema sobreamortiguado no se aplican los términos tiempo pico y sobreelongación máxima. (En los sistemas que producen effores en estado estacionario para entradas escalón, este error debe conservarse dentro de un nivel de porcentaje especificado. En la Sección 5-9 se incluyen análisis detallados de los errores en estado estacionario.)

Algunos comentar¡os sobre las especificaciones de la respuesta transito-

r¡a.

Excepto para ciertas aplicaciones en las que no se pueden tolerar oscilaciones, es conveniente que la respuesta transitoria sea suficientemente rápida y amortiguada. Por tanto, para una respuesta transitoria conveniente de un sistema de segundo orden, el factor de amortiguamiento relativo debe estar entre 0.4 y 0.8. Valores pequeños de ((( < 0.4) producen un valor de la sobreelongación excesivo en la respuesta transitoria, y un sistema con un valor grande de ¡(í > 0.8) responde con lentitud. Más adelante se mostrará el conflicto entre la sobreelongación máxima y el tiempo de subida. En otras palabras, tanto la sobreelongación máxima como el tiempo de subida no pueden hacerse más pequeños de fotma simultánea. Si uno de ellos se reduce, el otro necesariamente aumenta. contrn

tiempo de

ar

de segundo orden y espec¡f¡cac¡ones de la respuesta trans¡toria. A obtendrá el tiempo de subida, el tiempo pico, la sobreelongación máxima y el amiento del sistema de segundo orden obtenido mediante la Ecuación (5-10).

Estos valores

ndrán en términos de

Tiempo de . niendo que c(r,)

y 0t,,. Se supone que el sistema está subamortiguado.

-(

/": si se remite a la Ecuación (5-12), se obtiene el tiempo de subida

/r supo-

,oque (s- 18)

Como

¿

\onl'|

+ 0, se obtiene la ecuación siguiente a partir de la Ecuación (5-18): ( COS tu,/f' * Sen ur,71,. - 0 -+

',/l - í' Como rr;, o."/1 - (t: otuy (a,: o, se tiene /_ / 1

Vl-s

tan odt,. :

//

LDJ

(o

Por tanto, el tiempo de subida /, es

t,:

I

tan

0)rj

ft(+) :

p

0)rt

(5- 1e)

donde B se define en la Figura 5-9. Es evidente que para un valor pequeño de /,, r.o, debe ser grande.

Figura

5-9.

Definición del ángulo /i.

172


Tiempo píco./,,: si se remite a la Ecuación (5-12), se obtiene el tiempo pico diferenciando c(r) respecto al tiempo y suponiendo que esta derivada es igual a cero. como

dc ./ , ""(cos,r,,, iu,,,r' -,, .r[.. /', l- r, '' ",'(,,,,,sen ru,// .. l y los términos de coseno de esta última ecuación I -- t,,.se simplilica a dcl

';,1 ,-

(sen

'o,tr,t

sentt,l t"''

t )

_, cos,,,,,l )

se cancelan uno

,7L-.e

c,.

-"i":

al ofro, dc:fclt,evaluada;

o

Esta última ecuación da lugar a la ecuación siguiente: st-fi (D¿f ,,

o bien t'),¡t,,

:

0

: 0. n. 2n. 3r.

...

como el tiempo pico corresponde al primer pico sobreelongación máximo, e)(ttp : z. por tan:

!4: ,

(5--

(,),J

El tiempo pico /u corresponde a medio ciclo de la frecuencia de oscilación amortiguada. Sobreelongación nítrüna M,,: la sobreelongación máxima se presenta en el tiempo pico o .: t : tu: nf oto.Por tanto, a partf de la Ecuación (5-12), M,, se óbtiene como

Mr:c(t,,)-l

: n

ill

/\ '".tn ' 'at( cos n T -+ t v/l (oito,,)r : ((r\'l ít), e

Ll

;'

rI

,.n n ) I

l-5-_

(oiot,i)n El porcentaje de sobreelongación máxima x I00%. ", la" unidad, entonces se necesita utilizar la Si el valor final c(cc) de la salida no es ecuacr,

ltit

:lLl

r

siguiente:

:tfif

M"

- '(m) -'(Í")c(.:rt)

,,r1Ü

Tiempo de asentantiento t.\: para un sistema subamortiguaclo de se-eundo orden, la respuesta

sitoria se obtiene a partir de la Ecuación (5-12),

ran .--=(/

).

para r

>

tr-

0

Las curvas 1 -l (e t''t ./-= (') son las curvas envolventes de la respuesta transitoria para Lr.entrada escalón unitario. La curva de respuesta c(r) siempre p"r-un.." dentro de un pai de ci-:, vas envolventes, como se aprecia en la Figura 5-10. La conriunte cle tiempo de estas curvas e., volventes es l/rru,,. La velocidad de decaimiento de la respuesta transitoria depende del valor de la constante :,

tiempo I /(at,,. Para un

l

r.'r,,

determinado, el tiempo de asentamiento I, es una función del factor

,,

'dlfl

d

.rfl

rlii*

Capítulo 5. Análisis de la respuesta transitoria y estacionaria 17g

Figura 5-10. Par de curvas

:i:HyiljñlilJÍ,:,¡ú,ff;:;:,"',u

a escarón unitario

amortiguamiento relativo (. A partir de la Figura 5-7, se observa que, para el mismo ú)ny paraun rango de ( entre 0 y 1 el tiempo de asentamiento /. para un sist-rila ligeramente u-oíiigruao más.grande que para un sistema amortiguado de mánera ", moderada. para un sistema sobreamortiguado, el tiempo de asentamiento /" se-vuelve más grande debido al inicio lento de la respuesta. El tiempo de asentamiento quscoresponde a Jna banda de tolerancia d,e l2a/a o *5vo se mide en función de ta consrante de tiempo T : rl(a,a partir d" h;;;;;;;;" ," *,"u; 5_7 puru diferentes valores de (. Los resultados se muestran en la Figura 5-r1. para 0 < ( < 0.9, si se utlliza el criterio del 2%, /s es aproximadamente cuatro u.ces la constante de tiempo del sistema. Si se emplea el criterio clel 57o, t, es aproximadamente tres veces la constante de tiempo. obsérvese que el tiempo de asentamiento alcanza un valor mínimo alrededor de ( : 0.76--lf,ara el criterio del 2vo) o de (:0.68 (para el criterio d,el5To), y o"rprer-uumenta casi linealmente para valores grandes de (. Las disContinuidades en lur .uiuá, o"iu nlgu* 5-1 I surgen debido a que infinitesimal en el varor de ( puede provocar un finito en ;;ñ;; asenra_

H""frT:t"

"r-ui8

"i

Por conveniencia, cuando se comparan las respuestas de los sistemas, por lo general se define el tiempo de asentamiento tr como

t": 4T: 44 o

(c,.tn

(criterio del

27o)

(s-22)

(crirerio del 5Io;

(s-23)

o bien J.1 t,: 5t : _: o

_

.

lOn

obsérvese que el tiempo de asentamiento es inversamente proporcional al producto del factor de amortiguamiento relativo y la frecuencia natural no amortiguada del sistema. como el valor de ( se determina, por lo g"n"tui, a partir de los requerimientos dé la sobreelongación máxima permisible'.el tiempo de asentamiento se detemina principalmente mediante la frecuencia natural no amortiguada a-),. Esto significa que la duración dél periodo transitorio puede variarse, sin modificar la sobreelongación máxima, ajuitando ra frecuencii naturar no amofiigu ada ot,.

174


6T _i _ :_ !l: :l

:_-

:- - -l - -l - -:

-

2ol, Banda dc tolerancia

:4r c co i

9, 3T a

E a a tr

a2T

0.3

0.5

0.4

1.0

0.9

0.8

0.7

0.6 L

Figura 5-1

1.

Tiempo de asentamiento

fs

f

rente a las curvas ¡'

debe ser -sli: A partir del análisis anterior, es evidente que, para una respuesta rápida, 0r,, el factt: de asentamiento' tiempo el Para limitar la sobreelongación máxima MrY panreducir la sobreelon-ei:rr entre relación amoftiguamiento relativJ ( no debe ser demasiado pequeño. La .n porJentaj e Mny el factor de amortiguamiento relativo ( se presenta."t lu ll:llui-]13. sobre; u"r" qu., ,i.t t-io, de amortiguamiento relativo está entre 0.4 y 0'7, el porcentaje de y 4Vc' 25 entre está gación máxima para la respuesta escalón '

% 100

':

90 80 10 60

Mp

,', ;

'

li ;

I

((s)

a,'

-

M,,:Máximasobreclongación

.

50

40 30 20 10

(-)

!,

Figura 5-12. Mrfrenle a la curva

'

Capítulo 5. Análisis de la respuesta transitoria y estacionaria 175 Es importante darse cuenta de que las ecuaciones que se han obtenido para el tiempo de subida, tiempo de pico, sobreelongación máxima y tiempo de asentamiento son válidas únicamente para el sistema de segundo orden estándar definido por la Ecuación (5-10). Si el sistema de segundo orden contiene uno o dos ceros, l¿r forma de la curva de respuesta a un escalón unitario será bastante dit-erente de las que se muestran en la Figura 5-7. ¡JEMPL0

(:

0.6 y ot,.: 5 rad/seg. Se va a obtener el tiempo de subida r,, el tiempo pico /r,, la sobreelongación máxirna M, y el tiempo de asentamiento ¡, cuando el sistema está sujeto a una entrada escalón unitario.

5-1 Considere el sistema

de la Figura 5-6, en el que

A partir de los valores dados de ( y

ro,, se

obtiene

(Dd:

ú),1

:4yo:(ot,:3

Tiempo de subiclct /,: el tiempo de subida es

3.t4

tr

-

li

donde B se obtiene mediante IJ

:

tan

.1 fan' :0.93rad

ti)d: o

3

Por lo tanto, el tiempo de subida /. es

t,-

3.14

- 0.93 4

:0.55seg

Tientpo pico tr'. el tiempo pico es

t¡,:

tr 3.14 : tu¿ o

0.795

se-e

Sobreelongación máxima Mp: la sobreelongación máxima es

Mn: e

(oito,,)n

- e

(.3i4)t

3'la:0.095

Por tanto, el porcentaje de sobreelongación máxima es 9.57o. Tiempo de asentamiento t.'. para el criterio del 27o, el tiempo de asentamiento es

44 o3

1.33 seg

Para el criterio del 5Va, J-) t.. - -

'03

1 seg

Servosistema con real¡mentación de veloc¡dad. La derivada de la señal de salida se Al obtener la derivada de la señal de posición de salida es conveniente utilizar un tacómetro en lugar de dif'erenciar físicamente la señal de usa para mejorar el comportamiento del sistema.

salida. (Obsérvese que la dif'erenciación amplifica los efectos del ruido. De hecho, si existen ruidos discontinuos, la dif'erenciación amplifica estos más que la señal útil. Por ejemplo, la salida de un potenciómetro es una señal de voltaje discontinua porque, confbrme el cursor del potenciómetro se mueve sobre la bobina. se inducen voltajes en las vueltas de intercambio y, por tanto, se generan transitorios. Por tal razón. a la salida del potenciómetro no debe seguirle un elemento de

diferenciación.)

176


(b)

Figura

5-13.

(a) Diagrama de bloques de un servosistema; (b) diagrama de bloques simplificado.

El tacómetro, generador especial de cc, se utiliza frecuentemente para medir la velocidad 'lr un proceso de diferenciación. La salida de un tacómetro es proporcional a la velocidad ansu.,ü" del motor. Considérese el sistema de seguimiento de la Figura 5-13(a). En este aparato se realiment: señal de velocidad a la entrada, junto con la señal de posición, para producir una señal de er:ln En cualquier sistema de seguimiento, tal señal de velocidad se genera con facilidad mediante tacómetro. El diagrama de bloques de la Figura 5-13(a) se simplifica, tal como se aprecia er. Figura 5-13(b). y se obtiene

üüi

c(s) R(s)

K -f KK,,)s Jsz + 18

*K

Comparando la Ecuación (5-24) con la Ecuación (5-9), se observa que la realimentación de r =r cidad tiene el efecto de aumentar el amortiguamiento. El factor de amortiguamiento relativo -

convierte en

B+KKh

zttfJ La frecuencia natural no amortiguada atn: no se ve afectada por la realimentación "Ettmáxima para una entrada escalón unitaric velocidad. Considerando que la sobreelongación controla manejando el valor del factor de amortiguamiento relativo (, se reduce la sobreelon¡ ción máxima ajustando la constante de realimentación de velocidad Kopara que ( esté entre v 0.1. Recuérdese que la realimentación de velocidad tiene el efecto de aumentar el factor de tiguamiento relativo sin afectar a la frecuencia natural no amortiguada del sistema. EJEMPLO

5'2

an-i.'¡

Para el sistema de la Figura 5-13(a), determine los valores de la ganancia K y la constante de reaimentación de velocidad K¡,para que la sobreelongación máxima en la respuesta escalón unitar:; sea 0.2 y el tiempo pico sea I seg. Con estos valores de K y K¡ obtenga el tiempo de subida 1 ei tiempo de asentamiento. Suponga que ,/ : 1 kg-m2 y que B : i N-m/radlseg.

Capítulo 5. Análisis de la respuesta transitoria y estacionaria 177 Determinación de los ualores de K y K¡,: La sobreelongación máxima Mo se obtiene mediante la Ecuación (5-21) como

M,r: e ((rt/l ;'¡n Este valor debe ser 0.2. Por tanto.

e-(.{i"t't-9"

-

0.2

o bien

(n -

1 t1 -:1.61

,/t - (' lo cual lleva

a

(: El tiempo pico

rn se

especifica como

I

0.456

seg; Por tanto, a partir de la Ecuación (5-20),

tp:

7t

-uJrl

=1

o bien

@a: Como

(

es 0.456,

o,,

3.14

es

:

ú)¿

u)-:

3.53

utt ;' Como la frecuencia natural o,, es igual JlJ,^ K : Jatf,: (D|: 12.5 N-m Por tanto, K¡ a partir de la Ecuación (5-25),

2,/Qr B z,t,Rr

Kn: ' Tiempo de letsantamiento

t,'.

r

,a

A partir

:

0. 178 seg

de la Ecuación (5-19), el tiempo de levantamiento /, es

¡

n-- ú)¿ fi

donde

$

:

- ú)., tan | --i : tan-' 6

Por tanto, /, es r"

Tiempo de asent(tmiento

ts'.

:

1.95

0.65 seg

Pata el criterio del,27a, 4

/.:-:2.48seg o

Para

el criterio del

5Va,

J

6

1.86 seg

:

l.l0

178


Respuesta impulso de sistemas de segundo

orden.

Para una entrada impulso ur : l. La respuesta r,

tario r(l), la transformada de Laplace correspondiente es la unidad, o R(s) pulso unitario C(^s) del sistema de segundo orden de la Figura 5-6 es 2

@,,

c(s): ) ^) S-+¿\(uns+u;j La transformada inversa de Laplace de esta ecuación da la solución en el tiempo para la respu;' r"a c(t), del modo siguiente:

Para0<(<1, clil Para

Para

( : l,

: :!-.d Vr--(

''"'sen

,r,uñ (t,

('t"t, c(t) : ¡q2,¡¿

para

t )-

para

t>

(5-i:

o

(-5---

O

( > l,

c\t)- --2L, (' 2."/

'' ,'ít

l),r,,,

I

2'E-

- --:!:¿

r.*. i r,,',,,r,

para

1

>

0

(s-:

Obsérvese que, sin tomar la transformada inversa de Laplace de C(s), también se obtiene el tie:--

po de respuesta c(1) diferenciando la respuesta escalón unitario correspondiente, ya que la ti ción impulso unitario es la derivada con respecto al tiempo de la función de escalón unitario. Ela Figura 5-14 aparece una familia de curvas de respuesta impulso unitario obtenida mediante t-. Ecuaciones (5-26) y (5-21) con diversos valores de (. Las curvas c(.t)fat,, se dibujan frente ¡i variable adimensional o,í y, por tanto, sólo son funciones de (. Para los casos críticamer., amortiguado y sobreamortiguado, la respuesta impulso unitario siempre es positiva o cero: . decir, c(r) ) 0. Esto se aprecia en las Ecuaciones (5-27) y (5-28). Para el caso subamortiguac la respuesta impulso unitario c(r) oscila alrededor de cero y toma valores tanto positivos cor negativos. 1.0

0.8 0.6 0.4 0.2

c(/)

"ho 0.2 0.4 0.6 -0.1J

1.0

u

¿

4

ó o,l

Figura

5-14.

E

10

t2

Curvas de respuesta a impulso unitario del sistema mosirado en la Figura 5-6.


Respuesta a un impulso unitario

Figura

5-15'

Curvas de respuesta a impulso unitario del sisiema mostrado en la Figura 5-6.

A partir del análisis anterior, se concluye que si la respuesta impulso c(l) no cambia de signo, el sistema es críticamente amofiiguado o sobreamortiguado, en cuyo caso la respuesta escalón correspondiente no se sobrepasa pero aumenta o disminuye en forma monótona y tiende a un valor constante. La sobreelongación para la respuesta impulso unitario del sistema subamortiguado se da en

-- -"z

11

!"

donde

0<(<

[La Ecuación (5-29) se puede obtener igualando rtcldt a cero elongación máxima es c(I),n¡.

;') :,u,r^r(.; . tun ' "/l . t ' " v/l-;'

(s-29)

y resolviendo para /.] La

sobre-

<, <

(5-30)

donde 0

t

[La Ecuación 5-30) se puede obtener sustituyendo la Ecuación (5-2g) en la Ecuación (5-26).] Como la respuesta impulso unitario es la derivada con respecto al tiempo de la tunción de respuesta escalón unitario, la sobreelongación máxima Mrpara la respuesta escalón unitario se encuentra a partir de la respuesta impulso unitario corresponiliente. Es decir, el área bajo la curva de respuesta impulso unitario desde r : 0 hasta el tiempo del primer cero, tal como aparece en la

Figura5-l5,es7+Mp,dondeM,,eslasobreelongaciónmáxima(paralarespuestaescalónuni-

tario) obtenida mediante la Ecuación (5-21). El tiempo pico /r, (para la r"rpu"riu escalón unitario) obtenido mediante la Ecuación (5-20) corresponde al tiempo en que la respuesta impulso unitario cruza primero el eje de tiempo.

5-4 Sistemas de orden super¡or Rn esta sección se presentará un análisis de la respuesta transitoria de los sistemas de orden supe-

rior en términos generales. Se verá que la respue.sta de sistemas de orclen superior es la suma las respuestas de sistemas de primer orden y segundo orden.

de

180


Figura 5-16. Sistema de control'

Respuesta transitoria de los s¡stemas de orden super¡or. Considérese el

siste:-,-

de la Figura 5-16. La función de transferencia en lazo cerrado es

_ G(s) R(s) 1 + G(s)F1(s) C(s)

(s--;

En general, G(s) y 11(s) se obtienen como cocientes de polinomios en s, o bien p(s)

G(s):q(sl

-

n(s)

v

H(s): d(s) -

donde p(s), q(s), ¡z(s) y d(s) son polinomios en s. A continuación, la función de transf-erencia lazo cerraclo obtenida con la Ecuación (5-3l) se escribe como C(s)

p(s)d(.s)

R(s)

q(s)d(s) + p(s)n(s)

b,,-1s I e1,s" l Qls'' + "' + Q,, f l

b¡¡s"

I

blsn' 1 + ...

*

b,n

(ltl(n)

Q,

La respuesta transitoria de este sistema a cualquier entrada determinada se obtiene mediante ur"i simulación por computador (véase Sección 5-5). Si se pretende una expresión analítica para la re -puesta transitoria, es preciso factorizar el polinomio del denominador. fPuede usarse MATL-\: para encontrar las raíces del polinomio del denominador. Utilícese la orden roots (den) ' I Ur, vez facforizados el numerador y el denominador, C(s)/R(s) se escribe como

_ K(s f ¿r)(s * zz) "'(s * 2,,) R(s) (s -l p1)(s * pz)" '(s t P,,) C(s)

A continuación se examina el comportamiento de respuesta de este sistema para una entraütr escalón unitario. Considérese primero el caso en el que todos los polos en lazo cenado son realr. y distintos. Para una entrada escalón unitario, la Ecuación (5-32) se escribe

a !'. a; C(s):-+ ) s i=,s+Pi : -p¡. (Si el sistema contiene polos múltiples, entonces C( ' terndrá términos de polos múltiples.) [El desanollo en fracciones simples de C(s) dado por i, Ecuación (5-33), se puede obtener fácilmente con MATLAB. Utilice la orden residual.l Si todos los polos en lazo cerrado se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s, 1.r. magnitudes relativas de los residuos determinan la importancia relativa de las componentes e: donde a¡ es el residuo de1 polo en ,r


la fbrma desaruollada de C(s). Si hay un cero en lazo cerrado cerca de un polo enlazoceffado, el residuo en este polo es pequeño y el coeficiente del término de respuesta transitoria que corresponde a este polo se vuelve pequeño. Un par polo-cero cercanos entre sí se cancelarán

efectivamente uno al otro. Si un polo se localiza muy lejos del origen, su residuo puede ser pequeño. Los valores transitorios que corresponden a tal polo remoto son pequeños y duran un tiempo corto. Los términos en la forma desarrollada ¿e Ó(s) que tienen ,"ri¿uo, muy pequeRos contribuyen poco a la respuesta transitoria, por lo que pueden pasarse por alto. Si se hace esto, el sistema de orden superior se aproxima mediante uno de orden inferitr. (Tal aproximación nos permite con frecuencia estimar las características de respuesta de un sistema de orden superior a partir de las de uno simplificado.) A continuación, considérese el caso en el que los polos de C(s) están fbrmados por polos reales y pares de polos complejos conjugados. Un par de polos complejos conjugados produce un término de segundo orden en s. Como la forma factonzadade la ecuación característica de orden superior está formada por términos de primer y segundo orden, la Ecuación (5-3) se vuelve a escribir como C(s)

: tl ') 'l o,, - Ir 4(s+(ror)frrotrnEl . ,lr .sLp.¡ A,l ,s2+2(ro.trs+otf,

(q )-

2r:

n)

donde se supone que los polos en lazo cerrado son distintos. [Si los polos en lazo cerado contienen polos múltiples, C(s) debe contener términos de polos múltiplesl. A partir de esta última ecuación, se observa que la respuesta de un sistema de orden tup"rio, está compuesta cle varios términos que contienen las funciones simples encontradas en las respuestas de los sistemas de primer y segundo orden. Por tanto, la respuesta escalón unitario c(r),latransformada inversa de Laplace de C(s), es

c(t): a + \

* L

are p"

,.^,

-f L

-^,,,ISefl

bre io,'otcoscorrlt

u.rr'frjt.

-

;f,t

parat>0

(s-34)

En este caso' la curva de respuesta de un sistema estable de orden superior es la suma de un número de curvas exponenciares y curvas sinusoidares amortiguadas. Si todos los polos en lazo cerrado se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s, los términos exponenciales y los términos sinusoidales amortiguador ¿" tu Ecuación fs-á+l se aproximarán a cero' conforme el tiempo / aumente. Por tanto, la salida en estado estacionario es

c(ut)

:

a.

Supóngase que el sistema que se considera es estable. Por tanto, Ios polos en lazo cerrado que se localizan lejos del eje ja tienen partes reales grandes y negativas. Los términos exponenciales que corresponden a estos polos llegan a cero con mucha rapidez. (Obsérvese qu" iu distancia horizontal del polo en lazo cerrado al eje jo determina el tiempo de asentamiento de los transitorios producidos por tal polo. Cuanto más pequeña es la distancia, más prolongado es el tiempo de asentamiento.) Recuérdese que los polos en lazo cenado determinan el tipo cle respuesta transitoria, mientras que los ceros en lazo cenado determinan principalmente la fárma de lá respuesta transitoria. Como se vio antes, los polos de la entrada R(s) producen los términos de La respuesta

en

estaclo

estacionario en la solución, mientras que los polos de C(s)/R(s) se introducen en los términos exponenciales de la respuesta transitoria y/o en los términos sinusoidales amortiguados de la res-

182


en los términos expone:i puesta transitoria. Los ceros de C(s)/R(s) no at-ectan a los exponentes .iul"r, pero afectan a las magnitudes y a los signos de los residuos' en lazo cer:al isu' cenado' polos en lazo los de partes reales las do se determina mediante el cociente de L'i' cerrado' polos enlazo los en evaluados r-esiduos los que mediante las magnitudes relativas de ceros' los de como cenado polos enlazo los de magnitudes de los re-siduos dependen tanto ceros cerca' los polos en 1¡: Si los cocientes de las partes reales son superiores a 5 y no hay transitoria, debid¡ 'i la respuesta de el cómportamiento cerrado más cercanos al ejá;ro dominarán lentamente' L '' que se disminuyen transitoria que cofresponden a los términos de la respuestf de la respue'comportamiento el sobre dominantes polos .n lazo cerrado que tienen efectos los pol :"' mucha fiecuencia' Con cerraclo. laz.o en transitoria se denominan polos dominantes dor-polos Los conjugado. par complejo un de dominantes en lazo ."rruáo aparecen en forma cenado' en lazo polos los todos entre nantes en lazo cenado son loi más importantes ajuste para que exista un r]r Es frecuente que la ganancia de un sistema de orden superior se de tales polos en -Ll presencia La cerrado' lazo en de polos dominantes .J,rtpt"¡ot conjugados muerta' el huel': zona la como tales linealidades, sistema estable reduce el efecto de las no (backtash) y la fricción de Coulomb.

polos dominantes en lazo cerrado. La dominancia relativa de los polos

I

de un sistema lineal ''r lazo cerrado en el plano -' !' lazo cerado se determina a partir de la ubicación de-los polos en

Análisis de estabilidad en et plano compleio. La estabilidad

plano J' entonces.confor::'': alguno de estos polos se encuentra en el semiplano derecho del transitoria aumentará de for::'r aumenta el tiempo producirá el modo dominanti, y la respuesta un sistema inestable' Para :i:L monótona u oscilará con una amplitud creciente. Esto representa con el tiempo' Si no ocu::L sistema, tan pronto como se .on..iu la alimentación, la salida aumenta el sistema puede termir-'u una saturación en el sistema y no se incluye una detención mecánica, indefini;¡ por dañarse y fallar, ya que lá respuesta dá un sistema físico real no puede aumentar ceff;-rti lazo polos en él ,irt"*a de control lineal normal no se permiten los mente. por ende,

"n se encuentran a la izqur'':en el semiplano derecho del plano s. Si todos los polos en lazo cerrado

Esto represe:':; eje-jat, cualquier respuesta transitoria termina por alcanzar el equilibrio. un sistema estable. propiedad del sistema mismo y no depe r eue un sistema lineal sea estable o inestable es una polos de la entrada, o de la fu:de de la entrada ni de la función de excitación del sistema. Los sólo contribure:- ¡ ción de excitación, no afectan a la propiedad de estabilidad del sistema, sino de est;: * problema los términos de respuesta en estado esiacionario en la solución' Por tanto, el semiplano de::lidad absoluta se soluciona con facilidad al no elegir polos en lazo cerado en el cerrado sobre el -r': cho del plano s, incluyendo el eje7o. (Matemáticamente, los polos en lazo reduce ni crece con el tiempo' Sin embargo' -::r 7rl producirán oscilacion"r, .uyo amplitud no se a una velociCC los casos prácticos en los que Éoy ruiao, la amplitud de las oscilaciones aumenta por el nivel Af tu pótencia del ruido. Por tanto, un sistema de control no debe tels da

iiel

determinada polos en lazo cerrado en el eje io.)

en el ser'Obsérvese que el solo tle.nó ¿e que todos los polos en lazo cerrado se encuentren :o'r plano izquier¿o det plano s no guruntiru caracteristicas satisfactorias de respuesta transitoria' eie del lr'-¡' r¡r ios poto, dominante.s complejoi conjugados en lazo cerraclo se encuentran cerca ;s: a fin ¡"rpu"rtu transitoria pr"r"ntuiá osciláciones excesivas o será muy lenta. Por esta razón, c'-c es necesario gaiantizar características de respuesta transitoria rápidas y bien amortiguadas, plano comp'=del determinada región una en encuentren se sistema del los polos en lazo cerrado óomo la región delimitada por el área sombreada de la Figura -5-17'

¡o,

control ;n Como la estabilidad relatña y el comportamiento transitorio de un sistema de en :r lazo cerrado se relacionan directamente con el patrón de polos y ceros en lazo cenado

capítulo 5. Anárisis de

ra respuesta transitoria y

estacionaria 1gg

En esta región

Figura 5-17. Región del plano complejo que satisface las condiciones í > 0.4 y t" < 4lo.

plano s' con frecuencia es necesario ajustar uno o más parámetros para obtener los patrones conVenientes. Los efectos de los parámetros que varían sobre los polos de un sistema en lazo cenado se analizarán con detalle en el Capítulo 6.

5-5 Análisis de la respuesta transitoria CON

MATLAB

Introducción. El procedimiento práctico para clibujar las curvas de respuesta temporal de slstemas de orden mayor que segundo ei mediante simuláción con computaclor. En esta sección se presenta el enfoque computacional para el análisis de la respuesta transitoria con MATLAB. En particular se discute la respuesta eicalón, impulso, rampa y lo, ."rpu.stas a otras entradas simples. Representación

de sistemas lineales en MATLAB. La función de transferencia un sistema se representa mediante dos arravs de números. Considérese el sistema

_ 2s -t 25 R(s) ;+4r+25

cle

C(s)

(s-3s)

Este sistema se representa como dos arays, cada uno cle los cuales contiene los coeficientes de los polinomios en potencias decrecientes de s del modo sisuiente:

num: 12 251 den: [1 4 25] Una representación alternativa

es

num: [0 2 25] den: [1 4 25]

184


se añaden los ceros, la dime:Esta expresión se comPleta añadiendo un cero. Obsérvese que si

sión de los vectores vectores Y

<>

<> se

es la misma. Una ventaja de añadir los ceros es que pueden sumar directamente. Por ejemplo,

]

<>

num

*

[O 2 25) + lI 4 : t1 6 501

den --

1--'

25]

transferencia en 1¡-:-l Si se conocen num y den (el numerador y denominador de la función de cerrado), intrucciones del tiPo

step

(num, d.en)

step (num, den' t)

,

step, t es el tiempo especr:* generarán gráficas de respuestas escalón unitario. (En el comando cado por el ,^ _ donde se conocen la matnz ¡u Para un sistema de control definido en el espacio de estados, transmisión directa D de 'un estado A, la matriz de control B,lamattizde saúda C y la maftizde ecuaciones en el espacio de estados, el comando

usuario.)

,

setp (A, B, C, D, t)

step (A, B, C, D)

t queda determinado generará gráficas de respuestas escalón unitario. El vector de tiempo step. comandos los ááti"u-"rrt" cuando no se incluye de manera explícita en la respuesta para obtener que el comando srep(sys) se puede utilizar

au'r

obsérvese

unitario de un sistema. Primero se define el sistema mediante sYS: tf (num,den) o bien sYS

:

ss (A, B, C, D)

se introduce Entonces, para obtener, por ejemplo, la respuesta escalón unitario,

step

(

sYs

)

en el computador.

en cuando los comandos srep tienen argumentos en el lado izquierdo, como ty, x, tl : steP (num, den, t)

[y,x, t1 : steP(A,B,C,D, iu) [y,x, tl : steP(A,B,C,D, iu, t)

plot pafa vel no apalece una gráfica en la pantalla. Por tanto, es necesario usar un comando del sis¡¡ estado del de respuesta. Las matiices y y x contienen la salida y la respuesta c: columnas (v tantas tiene "uruu, respectivame'nte, evaluadas en los puntos de tiempo de cálculo t' : fila y una estados salidas y una fila para cada elemento en t. x tiene tantas columnas como cada elemento en t.) de 1as entrada: Obsérvese, en la Ecuación (5-36), que el escalar iu es un índice dentro especificadc sistema y especifica qué entrada se va a usar para la respuesta',y t es el tiempo tal como ap' el usuari,o. Si el sistema contiene múltiples entradas y salidas, el comando step ' una para ce en la Ecuación (5-36), produce una serie de gráficas de respuestas escalón' combinación de entrada Y salida de

(Véanse los detalles en el Ejemplo 5-3.)

*:AxtBu y:Cx*Du

Capítulo 5. Análisis de la respuesta transitoria y estacionaria 195 i,JfilllPLO


siguiente:

-;lnl.[i

Hl:h:

[;]:t; lnl.[:

;][;;l

s][;;]

Obtenga las curvas de respuesta escalón unitario. Aunque no es necesario obtener la expresión de la función de transferencia para el sistema, a fin de conseguir las curvas de respuesta escalón unitario con MATLAB se obtendrá tal expresión como referencia. Para el sistema definido mediante

i:Ax*Bu y:Cx*Du la matriz de transferencia G(s)

es aquella que relaciona

Y(s)

:

y(s) y u(s) del modo siguiente:

G(s)U(s)

Tomando la transformada de Laplace de las ecuaciones en el espacio de estados, se obtiene

sX(s) Al

obtener la maúiz de transferencia (5-37), se obtiene

: Y(s) :

BU(s) (5-37) CX(s) + DU(s) (5-38) se supone que x(0) : 0. Después, a partir de la Ecuación AX(s) +

x(0)

X(s):(sI-A)-lnu(s)

(s-3e)

Sustituyendo la Ecuación (5-39) en la Ecuación (5-3g), se obtiene

:

Y(s)

IC(sI

- A)

1g

+ DIU(s)

Por tanto, la matriz de transferencia G(s) se obtiene mediante

G(s)

:

C(sI

- A)

18 + D

La matnz de transf'erencia G(s) para el sistema determinado G(s)

:

C(sI

- A)

se convierte en

'B

[r olls+t ll'lr tl :[o 'Jl-u' ,] L; ;l

:F**[J,;l][l I I s-l :r:+la65Lr*r.,

;]

.sl

ósl

Por tanto,

[l:i]

:

['l l

":i;,.,

LF;-6-l

sl

T= ltl:ll ,;+s+6i]

1

86


Corno el sistema contiene dos entradas y dos salidas, se definen cuatro funciones de transf-erencia, dependiendo de qué señales se consideran como entrada y cuáles como saiida. Observe que. cuando se considera la señal ü1 cofilo la entrada, se supone que la señal ¿12 es cero, y viceversa. La. cuatro funciones de transferencia son s )"(s) Ufr):s:+s+65 6.5 )'z(s) U.tsl s2-s--b.5

,s- I U,(s) s2+s+6.5 I'r

(s)

Yz(s) s * 7.5 U,tst ,t'r-6.5'

Se supone que il1 y a2 son tunciones escalón unidad" Las cuatro curvas de respuesta escalón duales se dibuian mediante el comando

indir:-

step(A,B,C,D) El programa MATLAB 5-1 produce cuatfo cufvas de respuesta escalón. Las curvas se muestran .: la Figura 5-18. (Observe que el vector tiempo t se determina de fbrma automática puesto que orden no incluye t.)

MATLAB Programa 5-l

a: f-1 e: [1 C: 11 n-t0

-I;6.5 0l; 1;I 0]; 0;0 tl; 0;0 0l;

ófóni

R

A

f-

n)

Respuesta escalón

Par¿t

.ó

Pala: U2

U1

0.6

06

0.4

0.4

0.2

0.2

0

-0.2

-0.2 -0.,+

':E=

12

-0.4

É

2

2

1.5

1.5

1

I

0.5

05

N ¿

F

0

0

Tiempo (seg)

Figura 5-18. Curvas de respuesta a escalón unitario

Capítulo 5. Análisis de la respuesta transitoria y estacionaria Para dibujar dos curvas de respuesta escalón para la entrada ¿rr en un diagrama, respuesta escalón para la entrada ¿/, en otro diagrama, se utilizan los comandos

y

187

curvas de

step(4,8,C,D,1)

STep(A,8,C,D,2) respectlvamente' El Programa MATLAB 5-2 es un programa para dibujar dos curvas de respuestir escalón para la entracla /lr en un diagrama y dos curvas de respuesta escalón para la entrada ¿r. en otro diagrama. La Fig'ra 5-19 muestra ros cros diagramas, uno respuesta escalón' (Este programa de MATLAB "u.io

f";;d;;;;;;j;;

utiliza órdenes de texto. Refiérase al siguiente

párrafo para estos comandos.)

MATLAB Programa 5-2

***** En este progirama se representan las Curvas d.-o % respuesta escalón de un sistema que tiene clos entradas %(rf7V u2) ydos salidas (VIVy2) ***** % ***** Se representa en primer lugar la curva de respuesta % escalón cuando la entrada es u1. A continuación se % representa la curwa de respuesta escalón cuando 1a entrada ***** %

%

es u2

%

***** fntroducir

las matrices A, B, C, y

D

*****

A = t-L -L;6.5 O,; B: 11 L;L 0l; C: tf O;0 Ll; D:tO 0;0 0l; % ***** para represent.ar la curva de respuesta escafón % cuando la entrada es u1, introduzca la orden % 'step(A,8,C,D,1) ' ***** step(A,8,C,D,1) grid t.it1e ( 'Respuesta a un escalón: Entrada : u1 (u2:0) ') text(3.4, -0.06,'y1 ,) text(3.4, L.4,'y2') ***** A continuación se representa ]a curva de respuesta escalón cuando la entrada es u2. Introduzca 1a orden %'step(A,B,C,D,2), *x*** %

%

SIep(A,8,C,D,2) grid title ('Respuesta a un escalón: Entrada : u2 (u1 :O)') text(3,0.74,,yI,) text (2. B, 1. 1 , ,y2, )

188


Respuesta a un escalón: Entrada

= ul

(u2 = 0)

-úl E

=G

-

0.5

123456 TiemPo (seg) (a) Respuesta a un escalón: Entrada

=

u2

(u\ = 0)

1.6

1.4 1.2

I

E o. E

o.s II A

0.4

n) 0

-0.2

t234s6 Tiempo (seg) (b)

Figura 5-19. Curvas de respuesta a escalón' (a) (b) u, es la entrada (ur

u1

:0).

Escritura de texto en la pantalla de las gráficas.

text(3.4,I.4,'Y2']l

:

0);

Para escribir texto en la pantai

las gráficas, introduzca, por ejemplo, los enunciados siguientes:

text(3.4,-0.06,'Y1')

es la entrada (ue

Capítulo 5. Análisis de la respuesta transitoria y estacionaria 1gg

El primer enunciado le indica a la computadora que escriba 'yl', empezando en las coordenadas x :3'4, 0.06. De modo similar, el segundo enunciado le indica a la computadora que escriba 'Y2', empezando en las coordenadas x :3.4, y : 1.4. [Véanse el programa MATLAB 5-2 y la Figura 5-19(a).1 Otra forma de escribir un texto o textos en una gráfica es utilizar el comando grexr. La sintaxis

es

gtext ( 'text'

)

Cuando se ejecuta gtext, el computador espera hasta que el cursor se posiciona (utilizando el ratón) en la pantalla en la posición deseada. Cuando sá pulsa el botón izquierdo del ratón, el texto encerrado en comillas simples se escribe en el dibujo en la posición seialada por el cursor. Se puede utllizar cualquier número de comandos grexr en una gráfica. (Véase, por ejemplo, el

Programa 5-15 de MATLAB).

Descripción en MATLAB de un s¡stema estándar de segundo orden. como ya

se dijo, el sistema de segundo orden

G(s)

2

:

0)n

se denomina sistema de segundo orden estándar. Dadas

printsys

(num,

(5-40)

s-+¿l@ns+@;

den)

a,y (, el comando

printsys

o

(num, den, s )

lmpflme num/den como un cociente de polinomios en J. Considérese, por ejemplo, el caso en el que @,:5 radlseg y (:0.4. El programa -MATLAB 5-3 genera el sistema estándar de segundo oiden donde @n: 5 radlseg ( : y 0.4. MATLAB Programa 5-3

wn:5; damping-ratio : 0.4; fnumO, den¡ : ord2 (wn, damping*ratio) num : 5 ^2 *numO ; printsys (num, den, 's' ) num/den :

;

atr c

,

l

Aa

L

.E ¿J

Obtención de la respuesta escalón un¡tar¡o de un s¡stema dado como función de transferenc¡a. Considérese la respuesta escalón unitario del sistema dado por G(s)

:

25

s2+4s+25

190


El programa MATLAB 5-4 produce la gráfica de la respuesta escalón unitario de este sisten; En la ñigura 5-20 se muestra un dibujo de la curva respuesta escalón unitario' det:]ObsJrvese en la Figura 5-20 (y en muchas otras) que las etiquetas de los ejes x e ,} se ti¿-r: se dif'erente' de forma y eje ¡r minan de forma automitica. Si se-quiere etiquetar el eje r el co:r'ii etiquete x se que eje en el que modificar el comando step. Por ejemplo, si se quiere i. r.n, y el eje I como 'Entiada y Sahcli', se utiliza el comando respuesta escalón con ''rr¡ argumentos en el lado izquierdo siguientes

c: steP (num, den, t) o, de forma más general,

Iy, x,

tl :

step (num, den, t)

plot (t, y) . Véase, por ejemplo, el Programa MATLAB 5-5 y la Figura -{-

y utilizar la orden

MATLAB Programa

5-4

Z ------

Respuesta a un escalón unitario

z*****Introduzcaefnumeradoryeldenomlnadordelafunción ***** % de transferencia num: [25] ; A^^ %

-

11

A

,ql

***** Introduzca la siguiente orden de respuesta escalón *****

step

(num, den)

***** Introduzca grid y el título de 1a gráfica grid title ('Respuesta a un escalón unitario de G(s) :25/ (s'2+4s+25) Z

Respuesta a un escalón unitario G('r) = 251('s2+4's+25)

0

0

0,5

I

1.5

2

2.5

Tiempo (seg)

Figura 5-20. Curva de respuesta a escalÓn unitario.

3

Capítulo 5. Análisis de la respuesta transitorja y estacionaria 191

MATLAB Programa 5-5 Pespuescd ¿ un escafón unj tari o .-- [25]; den: [1425); t - 0:0-01:3; [y,x, t] : step(num,den, t) Plot ( t, y) grid title ('Respuesta a un escalón unitario de G(s) -25/ (s"2+4s+25) ') xlabel ( 't Seg' ylabel ( 'Salida' o¿

-

num

¡

)

Respuestr

l

1.4

un escalón uniturio Cr.sl = 25 (¡:+zl.'+25

)

1.2

0

0.5

I

1.5 /

Figura 5-21

.

2

2.5

Seg

Curva de respuesta a escalón un jtario.

Obtención de gráficas de respuesta escalón un¡tar¡o en tres dimensiones ut¡l¡zando MATLAB. MATLAB permite dibujar gráticas en tres dimensiones fácilmente. Los comandos para obtener dibujos en tres dimensiones son y . La diferencia entre las gráficas dibujadas con > y es que en la primera sólo ie clibujan las líneas y en la segu;da los espacios entre las líneas se colorean. En este texto se utiliza únicámente el comando <. :JEHPL0

5-4

Considere el sistema en lazo ceffado definido por

c(s): R(s)

s2

+ 2;s

+l

(La tiecuencia natural subamortiguada ot,, está normalizada a 1.) Dibuje las curvas de respuesta escalón unitario c(r) cuando

( tiene los siguientes valores

i:

0, 0.2, 0.4,0.6, 0.8,

También dibuje una gráfica en ires dimensiones.

1

0

192


El Programa 5-6 es un programa ilustrativo en MATLAB para dibujar un diagrama en tres dimensiones para las curvas de respuesta escalón unitario de este sistema de segundo orden. En las Figuras 5-22(a) y (b) se muestran las curvas resultantes. Observe que se ha utilizado etr comando mesh ( t, zeta, y' ) para obtener el dibujo en tres dimensiones. El comando mesh (y, producirá el mismo resultado. lObserve que el comando mesh (t., zeta, y' ) o mesh (v, ) produci¡á el mismo dibujo en tres dimensiones que el de la Figura 5-22(b), excepto que el eje "r y el eje _r están intercambiados. Véase el Problema A-5-15.1 Cua¡do se requiere resolver un problema utilizando MATLAB y la solución incluye cálculo. repetitivos, se puede simplificar el programa en MATLAB de diferentes maneras. Una forma usuade simplificar los cálculos consiste en utilizar >. En este libro muchos programas en MATLAB utilizan
MATLAB Programa 5-6 % %

------* Gráficas bidimensional y tridimensional de 1a respuesta escafón de un sistema de segundo orden esLandar con wn : 1

eoy

zéLa: 0, 0 .2, 0.4, 0.6, 0.8, y1. ------t:0:4.2:I0¡ zeta: t0 0.2 0.4 0.6 0.8 1l; forn:1:6; num: [1] ; den: 1L 2*zet-a (n) 1l ; ly(1:51,n),x, tl : step(num,den, t) ; end %

Para representar un díagrama

%p1ot(t,v).

bidimensional, introduzca la orden

plot ( t, y) grid title ( 'Respuest.a a un escalón unitarío con \omega_n : y \zeta:0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1') xlabel ( 't (segi) ') y1abe1 ( 'Respuesta'

1

)

text ( 4.1,1.86, '\zeta : 0' ) text(3.5,1.5,'0.2') text ( 3 . 5, 1 .24 , '0 .4' ) text(3.5,1.08,'0.6') text(3.5,0.95,'0.8') text(3.5,0.86,'1.0')

% Para representar un diaqrama tridimensional, introduzca la orden mesh(t,zet:a,y') .

mesh(t, zeta.y') title (Respuesta tridimensional a un escalón unitario) x1abe1 't Seg' ) \ y1abe1 r\ \¿cLa -^!^ ' zl-abe1 'Respuesta' ) ,/

Capítulo 5. Análisis de

j

l¿

respuesta trans¡tor¡a y

Representación a un escalón unitario con Iv 0,0.2,0.4, 0.6, 0.8. I

lt-

(-

Respuesta tridimensional a un escalón unitario

2

1.5

o o.

I

o

d,

0.5

0 I

4

t Seg

.'nrt"

u;rl;"jilflÍffi:

(b)

bidimensionales de tas curvas de respuesta - - - * ""'*

r¡r g,¿r¡."J1,101ffi

*rt":

.t"i;3 l; I

de respuesta a escalón ,nitai¡o.

j"r

ro

estacionaria 193

194


Obtención del tiempo de subida, tiempo de pico, máxima sobreelongación tiempo de asentamiento utilizando MATLAB. MATLAB se puede utilizar cle forma c,, veniente para obtener el tiempo de subida, el tiempo de pico, la máxima sobreelongación r tiempo de asentamiento. Considérese el sistema definido por

c(s) _ R(s)

25

s'+

6s

+

25

Con el Programa en MATLAB 5-7 se obtiene el tiempo de subida, el tiempo de pico, la már:: sobreelongación y el tiempo de asentamiento. En Ia Figura 5-23 se presenta una curva de r.,puesta escalón unitario para este sistema, para verificar el resultado obtenido con el Prosr,,MATLAB 5-7. Obsérvese que este programa se puede aplicar a sistemas de orden más alto r,,:r" se el Problema A-5-10).

MATLAB Programa 5-7

"a ----- Este es un proqrama MATLAB para encontrar el tiempo de subida % tiempo de pico, sobreelongación máxima, y tiempo de asentamiento del % sistema de segundo orden y sistemas de orden superior Z ------ Eneste ejemplo se supone que zeta : 0.6 ywn : 5 ¡,'-

-

l1f,l L-r

.

) '

den: [1 6 251 t - 0:0.005:5; ly,x, tl : step (num, den, t) ; r:I; whlley(r) <1.0001; r-rl tiempo-subida : (r 1)*0.005 tiempo-subida:

rm

d8

0.5550 fymax, tp] : max (y) ; tiempo-plco : (tp - 1) *0. 005 t-iempo--pico :

üm ,,.l$$r{

0.7850

r$4'lfÍl

sobreeIong ación*max : lanax- 1 sobreel ong'ac ión-max 0.0948 s:1001; while y(s) 0.98 &y(s) < 1.02; tiempo-asentamiento '(s-1)*0.005 t i empo-asentami ento 1.1850

S:

S_

impulse (num, den) impulse (A, B, C, D)

Iy,x,t] : impulse [y, x, tJ : impulse ly, x,rl - impulse

(num, den) (num, den,

(A, B, C, D

t)

Gapítulo 5. Anárisis de ra respuesta trans¡toria y estacionaria Respuesta cscalón

1.1

: ,:

lgs

0.8

a ;06 0.4

0.2

0

0.5

I

1.5

)s

1

ri.5

3.5

Tierlpo (seg)

Figura

5-23.

Curva de respuesta a escalón unitario.

[y, x, t j : impulse (A, B, C, o, iu)

[y,x, t] - impulse (A,B,

C,D,

(s-42)

iu, t)

(s-43) El comando impulse (num, den) dibuja la respuesta impulso unitario en la pantalla. El comando impulse (A, B, c, D) produce una serie de gráficas de respuesta impulso unitari ltano, una para cada combinación de entrada y salida del sistema

i:AxfBu Y:Cx*Du con el vector de tiempo determinado automáticamente. obsérvese que, en las Ecuaciones (5-42) y (5-43)' el escalar iu es un ínclice clentro de las entradas del sistema y especifica cuál entrada se va a usar para la respuesta impulso. obsérvese también que si la orden utilizada no incluye explícitamente, el vector de tiempo se determina automáticamente. si la orden incluye el vector de tiempos proporcinado por el usuario' como las órdenes dadas en las Ecuaciones (5-41) y (5-a3),.rt. u".io. especifica los tiempos en los que se va a calcular la respuesta impulso. Si se invoca MATLAB con el argumento en el lado izquierdo ty,x, tl, como en el caso de [v'x,t] : impulse(A,B,c,n), el comando devuelve las respuestas de salida y del estado del sistema y el vector de tiempo t. No se dibuja una gráfica en la pantalla. Las matrices y y x contienen las respuestas de salida y del estado del sistema evaluaclas en los puntos de tiempo t. (v tiene tantas columnas como salidas y una fila para cada elemento en r. x tiene tantas columnas como variables de estado y una tila para cada elemento en t.) para clibujar la curva de respuesta, se debe incluir una orden plot, tal como plot (t, y) . ¡JEMPL0

5-5 obtenga

ra respuesta impurso

unitario del sistema siguiente:

C(s) Rts) -

I -t-\

.rr r

Q.25

r

1

196


El Programa MATLAB 5-8 es una de las posibilidades. En la Figura 5-24 aparece la curva

,a lllrillfilll

respuesta resultante.

MATLAB Programa 5-8 Á^h:t1nr1l.

impulse (num, den)

;

grid title('Respuestaaun

impulso

unitarío

de

G(s1:I/ (s'2+0.2s+1) ')

Respuesta a un impulso unitario G(s)

= 1/(s2+0.2s+1)

1

0.8 0.6 0.r+

€ E

0.2

o 0

0.2

0.4 0.6 0.8

0 5 10 1s 20 2s 30 3s .+0 45

50

Tiempo (seg)

Figura

5-24.

Curva de respuesta a impulso unitario.

Enfoque alternativo para obtener la respuesta ¡mpulso.

Obsérvese Que, cu;

las condiciones iniciales son cero, la respuesta impulso unitario de G(s) es igual a la respu: escalón unitario de sG(s). Considérese la respuesta impulso unitario del sistema del Ejemplo 5-6. Como R(s) la entrada impulso unitario. se tiene que

Ctsl R(s)-

Ctsl

:

I

Gts)

- s' + o.2t -

s2+0.2s-F

I

|

s

Por tanto, se convierte la respuesta impulso unitario de G(s) en la respuesta impulso de sG(s).

Si se introducen los siguientes num y den en MATLAB,

"::: :; l ,o',,

-

I

Capítulo 5. Análisis de la respuesta transitoria y estacionaria 1g7

y se usa el comando de respuesta unitaria, como

se incluye en el Programa MATLAB 5-9, se obtiene una gráfica de la respuesta impulso unitario del siiema que aparece en la Figura 5-25.

MATLAB Programa 5-9

num: [1 0] ; den : [1 0.2 Il st.ep (num, den)

;

,.

grid title('Respuesta aun impulso unitario de sG(s) : s/ (s,'2 + 0.2s + 1) ,) Respuesta a un escalón unitario de sG(s) = s/15:a9.2"*

I

1 ¡¡

0.E

0.6 0.4

9 0)

.= 9.

EO -0.2 0.4

-0.6 0.8

r)

5

10 15 20 25 30 35 40 45

s0

Ticmpo (seg)

Figura

5-25.

Curva de respuesta a un impulso unitario obtenida como la respuesta a un escalón unitario de sG(s) : sl(* + 0.2s + 1).

Respuesta rampa. ,. lízar el comando step para

No hay un comando rampa de MATLAB. Por tanto, es necesario utiobtenei la respuesta tl-pu. Específicamente, para obtener la respuesta rampa del sistema con función de transferencia G(s), diuídut" G(s) entre s y utilícese el comando de respuesta escalón. por ejemplo, considérese el sistema enlazo cerrado

_ 2s-t R(s) s2+s+1 Para una entrada rampa unitaria, R(s) : l/.f. por tanto, C(s)

1

2s+1 c(s): u'l*1 1- (s2+sl I s2 ll,s s "r'+s+ 1

Para obtener la respuesta rampa unitaria de este sistema, introdúzcanse el numerador y el denominador siguientes en el programa MATLAB:

num: i2 den:

'l

I

.

[1 1 1 0];

198


y utilícese el comando de respuesta escalón. Véase el Programa MATLAB 5-10. En la ra 5-26 aparece la gráfica obtenida mediante este programa. MATLAB Programa 5-10

- Respuesta a una rampa unitaria ***** % La respuesta a una rampa unitaria se obtiene como % la respuesta a un escafón unítario de G(s) /s ***** Z ***** Introduzca ef numerador y e1 denominador de G (s) /s ***** %

¡"* ¡{an:

-

l1 t-

I! I . L

t.] L!

1

1

nl. vl,

***** Especifique los puntos de tiempo de cáfculo (como t : 0:0.1:7) % e introduzca entonces fa orden de respuesta a un escalón: % c: step(num,den,t) ***** t : 0:0.1:10; c: step(num,den,t); % ***** Para representar la respuesta a una rampa, añada fa entrada de % referencia a 1a gráfica. La entrada de referencia es t. Añada como % argumento de 1a ordenplot- lo sigruiente: t, t, ' '. Así 1a ordenplot % queda como sigrue: plot (t, c, 'o' ,t,L, ' - t ) ***** plot(t,c,'o',t,t,' -' ) % ***** Añada grid, title, xlabel, e ylabel ***** %

titfe('Respuesta auna rampa unitaria del sistema G(s) : (2s+1)/ (s"2+s+1 xlabef ( 't Seg' ; y1abel ( 'Entrada y Salida' ) Respuesta a una rampa unitaria del sistema G(s): (2s + l)/(.r2 +.r +1)

.

:

t.é-

t

t

t.óP'."

E

t!=

pl

:/:

,4;v ñ/ n' // "/ rq'/:

,/'.

,:8./ f r"

.:

-d./

rY'

.l

{.. 0t

0

2345618

9

t Seg

Figura 5-26.

Curva de respuesta a una rampa unitaria.

l0


Respuesta rampa un¡tar¡a de un s¡stema definido en el espacio de estados. A

continuación, se trata la respuesta rampa unitaria del sistema en el espacio de estados. Considérese el sistema descrito mediante

i:Ax*B¡z r.':CxtD¡¡

donde ¿¿ es la función rampa unitaria. A continuación, se considera un ejemplo sencillo para explicar el método. Supóngase el caso en el que

lol A:lt oL rl B:l;1. ,1. I l I,I

xrOr

:0. C-lt 01. D:l0l

Cuando las condiciones iniciales son cero, la respuesta rampa unitaria es la integral de la respuesta escalón unitario. Por tanto, la respuesta rampa unitaria se obtiene mediante

r

:: I

Jo

A partir de la Ecuación (5-44), se obtiene

(s-44)

vdl

i:.r:¡r

(s-4s)

Sea

Z:J: Entonces, la Ecuación (5-45) se convierte en

r¡:fl

(s-46)

Combinando la Ecuación (5-46) con la ecuación original en el espacio de estados, se obtiene

til t i i ¡:ro

, ,,[i

3l[,]

.[j]

(s-41)

(s-48)

]

donde la ¿r que aparece en la Ecuación (5-41) es la función escalón unitario. Esas ecuacir)nes se pueden escribir como

*: AAx * BBz ¡: ccx -f DDu

clonde

[^r:] ^¡t-:::l ;] L¿i¡l [

t:l:LoJ rBr AA:l-r -r 0l:l iql BB:lrl:l;l LL cc:¡o 0 rt. ""-L;l

'

DD_tlt

Obsérvese que x3 es el tercer elemento de x. Una gráfica de la curva de respuesta rampa unitaria :(¡) se obtiene introduciendo el Programa MATLAB 5-11 en la computadora. La Figura 5-27 muestra una gráfica de la curva de respuesta rampa unitaria obtenida de este programa MRfLng.

2O0


MATLAB Programa 5-11

------ Respuesta a una rampa unitaria ***** La respuesta a una rampa unitaria se obtiene añadiendo una nueva % variable de est.ado x3. La dimensión de la ecuación de estado % se amplía en uno ***** % ***** Introduzca las matrices A, B, C, y D de la ecuación de estado oriqina_ % Y la ecuación de salida ***** A- l0 I;-L -I); B: tO; Ll; % %

c: 11 0l; D: [o] ;

***** Introduzca fas matrices A, B, C, y D de la nueva, % ecuación de estado ampliada y de la ecuación de salida ***** ea: [A zeros(2,L\ ;C 0] ; BB- [B;01; cC: t0 0 1l; DD - [0] ; % ***** Introduzca la orden de respuesta a un salto: sLep(AA,BB,CC,DD¡ "**tt "a lz,x,Ll lz,x, L) : step (AA, BB, CC, DD) ; % ***** Para representar x3 añada 1a ent.rada rampa unitaria en la gráfica ***** % introduciendo la siguíente orden: plot(t,x3,'o,,L,t,'-'¡ x3 t0 0 1l*x'; ploc(r-,x3,'o',t,L,'-') qrid title ( 'Respuesta a una rampa unitaria, ) xlabel ( 't Seq' ) ylabel ( 'Entrada y Salida' ) %

Respuesta a una rampa unitaria

t0

1 E

3s :4

EI

3

2 1

0

0

1

2

3

4

I

5

6

7

8

9

l0

Seg

Figura 5-27. Curva de respuesta a una rampa unitar¡a.

Obtención de la respuesta frente a una entrada arb¡trar¡a. Para obtener la lsim. Comandos como

puesta frente a una entrada arbitraria, se puede utlltzar el comando

Capítulo 5. Análisis de la respuesta transitoria y estacionaria 2O1

lsim(num,den,r,t) lsim(A,B,C,D,u, t) y : lsim(num, den, r, t) y: lsim(A,B,C,D,u,t) -generarán la respuesta a ra f'unción entrada temporal (véanse rambién los problemas A-5_14 a A_S_16). EJE['!PL0

5-6 utilizando la orden 1sim,

r

#y¿xfffi'fffl

ji,,ri:rgr:

o u. véanse los dos ejemplos siguientes

obtenga la respuesta frente a una rampa unitaria del siguiente sistema:

c(s) I ntrl=11,', se puede escribir el Programa 5-72 enMATLAB en el computador para obtener la respuesta fiente a la rampa unitaria. En ra Figura 5-2g se muestra la gráfica qu" ," obti"n".

MATLAB Programa 5-12 % ------- Respuesta num: [2 1] ; den: [1 1 1] ; t : 0:0 .L:L};

cr

una rampa

y:1sim(num,den,r,t); plot(t, r,',,,t,y,'o, ) grid title (' Respuesta a una rampa unitaria obtenida con la orden,, f sim,,, ) xlabel ( 't Seq' ) ylabel ( 'EnLrada en rampa unitaria y salida def sistema, ) text (6 .3, 4.6,'Entrada en rampa unitaria, ) text (4 .15,9.0,'Salida' )

Respuesta a una rampa unitaria obtenida con la orclcn

.,Isin',

12

e

t0 "6

'o

8

6

a 4

Entrada en rampa unitaria 4

o -o

2

c

!¡)

0w

,

' 012345678

,

¡

,

t

,

,

IO

t Seg

Figura

5-28.

Curva de respuesta a rampa unitaria.

202


EJEMPLO

5-7

Considere el sistema

[;;l:[-1 'J]Hl.[?], y: rr r,[]] Utilizando MATLAB, obtenga las curvas de respuesta y(l) cuando la entrada a está dada por

1. a : entrada . u:e _¡ z.

escalón unitario

Suponga que el estado inicial es x(0)

:

0.

Un posible programa en MATLAB que produce las respuestas de este sistema a la entraiu escalón unitario [u: l(t)l y la entrada exponencial lu: e-tf es el Programa 5-13. Las curvas ir respuesta que se obtienen se muestran en las Figuras 5-29(a) y (b), respectivamente.


t:O:0.L:L2; A: t-1 0.5;-1 0l; B: lo;11; c: tl 0l; D: [O] ; % Para la entrada en escalón unit.ario u : 1 (t) , ? use fa orden "y : step (A, B, C, D, 1, t) ' . y: step(A,B,C,D,I,L); plot ( t, y) grid title ( 'Respuesta a un escalón unitario' ) xlabel ( 't Seg' ) ylabel ( 'Salida' ) Z Para la respuesta a una entrada exponencial u : exp (-t) , % use la orden z : lsim(A, B, C, D, u, t) . u: exp(-t) ; z : lsim(A, B, C, D, u, t) ; plot(t,u,'*',L,2,' o' ) grid title ( 'Respuesta a una entrada exponencial u : exp (-t) ' ) xlabef('tSeg') ylabel ( 'Ent.rada exponencial y salida del sistema' ) text (2 .3, 0. 49,'Entrada exponencial' ) Lext ( 6 .4,0 .28, 'Salida' )


Respuesta a un escalón unitario 1.4

t.2

0.8 !

a

0.6

0.4

oo

6

I

Seg

(a)

Respuesta a una entrada exponencial ri

t.2

o

:

e-r

0.8

E

-ú

E

o.o

=

o+ 3 o o

ó

0.2

€

trU r!

--0 -t))

!

6

I

Seg

(b)

Figura

5-29.

(a) Respuesta a escalón unitario; (b) respuesta a entrada Lt: e '.

Respuesta a cond¡c¡ones ¡n¡ciales. A continuación se presentan unos cuantos métodos para obtener la respuesta a condiciones iniciales. Los comandos que se pueden utilizar son o . En primer lugar se presenta un método para obtener la respuesta a condiciones iniciales utilizando un ejemplo simple. Después se analizará la respuesta a la condición inicial cuando el sistema está dado en la forma de espacio de estados. Por último, se presentará un comando para obtener la respuesta de un sistema descrito en el espacio de estados.

204

lngeniería de conirol moderna

EJEMPLO 5.8

ConsidereelsistemamecánicodelaFigura5-30,enelqueia:1kg,b:3N-seg/myA:i

/:0la masam se tira hacia abajo, de modo que ¡(0):0'l m y qu: 0.05 rnlseg. El desplazamiento i(l) se mide a partir de la posición de equilibrio anies dÉ que la masa se tire hacia abajo. Obtenga el movimiento de la masa sujeto a las condicioo¡s iniciales. (Suponga que no existe una función de excitación extema') La ecuación del sistema es

N/m. Suponga que en

i(0)

:

mi -t bi -r kx :

con la condición inicial ¡(0) :

o

0.1 m y i1o.l :

0.05 m/seg' (x está medido desde la posición equilibrio.) La transformada de Laplace de esta ecuación del sistema produce

m¡s2X(s¡ s¡(0)

-;(0)l + b[sX(s) - r(0)] + ftX(s) :

o bien (ms2

Figura 5-30. Sistema mecánico

+

Ds

+ k)X(s) : nx(O)s

:

't

0

tni(}) + óx(0)

Despejando X(s) de esta última ecuación y sustituyendo los valores numéricos dados, se obtieu

x(s)

: n¿s(O)s*r¿¡(0)+bx(O) *s2+bs+k

-

0.1s

+

0.35

,:t 3--2-

Esta ecuación se puede escribir como

X(s)

o. 1s2

+ 0.35s I r

. - s'*3s*2

Por tanto, el movimiento de la masa se obtiene como la respuesta escalón unitario del sistenu¡ siguiente:

(]t.s)

0.1s2

+

0.35s

- .r'+3s*2

El Programa MATLAB 5-14 proporciona una gráfica del movimiento de la

masa.

La

sráfr:iüri

aparece en la Figura 5-31.

MATLAB Programa 5-14 Respuesta a condición inicial ---*----se convierte a una respuesl,a % ***** La respuesta del sistema a condición inicial modificando el numerador de1 polinomio ***** % en escalón unitario % **** Introduzca el numerador y el denominador de la función G(s) **** % de transferencia num: [0.1 0.35 0]; den- [1 3 2]; ***** % ***** Introduzca la siguienLe orden de respuesta a un salto %

step

(num, den)

en 1a qráfica ***** % ***** Introduzca grid y title grid title ( ,Respuesta del sistema de resorte-masa-amortiguador a condición inicial'

Capítulo 5. Análisis de la respuesta transitoria y estacionaria 2Os Respuesta del sistema resorte-masa-amortiguador a condición

0.12

inicial

3

E

{

o.oo

0.5

1.5

22.53

3.5

4.5

Tiempo (seg)

5'31.

Figura

so

Respuesta del slstema mecán¡co considerado en el Ejemplo 5-8.

Respuesta a cond¡ciones ¡n¡ciales (enfoque en el espacio de estados, caConsidérese

1).

el sistema definido mediante

* : Ax,

x(0)

:

xo

(s-4e)

la respuesta urs ^\¿., x(l) wu4rruu cuando )s se sbptrurllua especifica ra la conolclon condición lnlcla iniciar x(0). (Niinguna función * entrada I1-1:o*ner de externa actúa sobre este sistema.) Supóngase que x es un ve( primero, tome ras

"",,t1'."-""11*':"il#il:%'""ffiT*tTffi'rH:"Jilt1XÍ1ili"ü:lrl sX(s) - x(0): AX(s)

Esta ecuación puede reescribirse como

sX(s):AX(s)+x(0)

(5-50)

Tomando la transformada inversa de Laplace de la Ecuación (5_50), se obtiene

i:

Ax + x(0) ó(r)

(s-s I )

(Obsérvese que, tomando la transformada de Laplace de una ecuación diferencial y después la transformada inversa de Laplace de la ecuación tiansformada mediante el sistema dé Laplace, se genera una ecuación diferencial que contiene las condiciones iniciales.)

Ahora se define

i:

x

(s-s2)

A continuación, la Ecuación (5-51) se escribe como

:

Ai, + x(0) é(r) Integrando la Ecuación (5-53) con respecto a /, se obtiene ü

donde

i:

Az

* x(0)1(¡) :

B:xlOl.

Az-r Bu

y:lÍ)

(s-53)

(s-s4)

206


si

se

tanto' remite a la Ecuación (5-52), el estado x(r) se obtiene mediante i(r). Por

x: ú:

Az

(-i-r:

t Bu

condiciones La solución de las tscuaciones (5-54) y (5-55) proporciona la respuesta a las ciales. inicial x(0) se obtiene Resumiendo, la respuesta de la Ecuación (5-49) para la condición pejando las siguientes ecuaciones en el espacio de estados:

i: x: donde

B

::rL-

¡¡"'

Az-t Bu Azi_Bu

: x(0), u:

l(.t)

de respue;ru-" A continuación se presentan los comandos de MATLAB para obtener las curvas que el vector de tiempo donde no se especifica el vector de tiempo t (esto es, se permite determinado automáticamente por MATLAB)' %

EsPecificar las matrices

''ruuu

AYB

lx, z, r-l : stetr (A, B,A, B) ; xl : [1 0 0 ... O] *x'; x2: l0 1 0 ... 0l *x';

;¡rr: ,o o o ... 1l*x'; Plot(t,xl,t,x2, " ' ,t,xn) (por ejemplo, permitiendo que la duración del tiemp' los siguientes con = tp con el incremento At) se utilizarán

Si elegimos el vector de tiempo computac*ión vaya desde dos de MATLAB:

t =0at

t

At: tp; % Especificar las matrices A Y B lx, z,L) : steP(A,B,A,e, 1, t) ; *1 :t1 O 0...01*x';

r:

O;

.2:10

1 0...01*x';

rtr:¡0

0 0...11*x';

plot(t,xl (Véase el Ejemplo 5-9.)

,t,x2,

.

'. ,t,xn)


Respuesta a cond¡ciones in¡c¡ales (enfoque en el espacio de estados, ca-

so

2).

Considérese el sistema definido mediante

: Ax, y: Cx

;i

x(0)

:

(s-56)

x,,

r5-57)

(Supóngase que x es un vector de dimensión n y que y es un vector de dimensión m)' Igual que en el caso 1, si se define

ú:x se obtiene la ecuación siguiente:

i : Lz + x(0)1(¡) :

Az

't Btt

(s-s8)

donde

B Considerando que x

: i,la

: x(0),

u: l(t)

Ecuación (5-57) puede escribirse

v:cit

r

5-59

I

Sustituyendo la Ecuación (5-58) en la Ecuación (5-59)' se obtiene

y:

C(Az + Bu)

:

CLz

t

CBU

(s-60)

La solución de las Ecuaciones (5-58) y (5-60)' reescritas de la fbrma

z: LzI Bu Y: CAz f CB¿¿ :

u: l(t), proporciona

la respuesta del sistema para condiciones iniciales determinadas. A continuación aparecen los comandos de MATLAB para obtener las curvas de respuesta (curvas de salida yt liente aL,y2 fiente a t, ...,1.'::n frente a t) para dos casos: donde

B

x(0) y

Cuando el vector de tiempo r no se especifica (esto es, el vector de tiempo determina automáticamente con MATLAB): Caso

A.

Especificar las matrices A, B Y C ly, z, L) : steP (A,B,C*A,C*B) ; y1 :[1 0 0...0]"y'; v2-10 L 0...01*y'; %

o o...ll*v'; ^lto plot (L,yL,t,y2, .. ., t,r¡n)

t

se

208


Caso

B.

r

Cuando el vector de tiempo

se especifica:

: U: AT: tp; % Especificar las maLrices A, B y C ¡y, z, t) : step(A,B,C*A,C*8, 1, t) ; y1 : t1 0 0...01*y'; y2:10 L 0...01"y,; E

j to u 0...11*o,.

^ (t,y1, t,y2, .. ., plot EJEMPLO

5-9

r,r,m)

Obtenga la respuesta del sistema sujeto a las condiciones iniciales dadas.

[;]:t s il[,] [;[] :[?l o bien

* : Ax,

x(0)

:

xn

Obtener la respuesta del sistema a las condiciones iniciales dadas se convierte en despejar la respuesta escalón unitario del sistema siguiente:

i:Lz+Bu x:Az*Bu donde

B:x(0),

u:L(t)

Por tanto, el Programa MATLAB 5-15 sirve para obtener la respuesta. Las curvas de respuesr"

resultantes se muestran en la Figura 5-32.


t : 0:0.01:3; A:

tO

B:

12;

1.-1n

Jl -tr].

t

Il ; lx, z, Ll : step(A, B,A,B, 1, t)

v1

:

l1 L¿

nl*..r. U]

^

;

?

x2: [0 1¡ *r, plot (t,x1, 'x, ,L,x2,'-,) grid title ( 'Respuesta a condición inícia}, xlabel ( 't Seg, ) ylabel ( 'Variables de estado xI y x2' ) qtext('x1') gtext ('x2' ¡

)

Capítulo 5. Análisis de la respuesta transitoria y estacionaria 2Og

Respuesta a condición inicial

k

_l o

'o

EO ,tr

1

-3'o

1.5

1

0.5

2

2.5

3

I Seg

Figura

5-32.

Respuesta del sistema del Ejemplo 5-9 a condición inicial"

Obtención de la respuesta a condic¡ones ¡niciales ut¡l¡zando el comando In¡-

tial.

Si el sistema está descrito en el espacio de estados, entonces la siguiente orden

initlal

(A, B, C, D,

Iinitial condition] , t)

producirá la respuesta a las condiciones iniciales. Supóngase que se tiene el sistema definido mediante

i:Ax*Ba, v:Cx-lDu

x(0):xn

donde

^: [-,3 -l]

B:

tsl

c:t0

01,

D:O

-:[?] el comando se puede utilizar como se muestra en el Programa 5-16 de MATLAB para obtener la respuesta a la condición inicial. Las curvas de respuesta.rr(/) y xr(r) se

Entonces

muestran en la Figura 5-33. Son las mismas que aparecen en la Figura 5-32.

210



t: A: B: c: D:

0:0. 05:3;

L0 1;-10 -51; IO;0];

l0 0l; [0];

[y, x] : initial (A, B, C ,D, 12; L) , L) ; x1 : [1 0]*x' ;

x2-10 1l*x';

plor (L,x', 'o', t, xl,t,x2,'x' ,t-,x2) grid title ( 'Respuesta a condición inicial' xlabel ( 't Seg' ) y1abe1 ( 'Variables de estado xL y x2')

)

dtéYll'v1'\

qtext ('x2'

\

Re:puesta a condición inici¡l

2 J1

il c !

30 ! ;l 'i

,rr

s 1

)

0

0.5

I

t.5

2.5

2

3

I Seg

Figura 5-33. Curvas de respuesta a condición ¡n¡cial. EJEMPL0

5-10 Considere el siguiente sistema que está sujeto

a condiciones iniciales. (No hay fuerzas exter..i,

presentes.)

-ji+8t+t7i+10¡.:0 )(0) : 2, .y(0) : l. Obtenga la respuesta _¡,(r) a condiciones iniciales dadas. Si se definen las variables de estado como

Xt : )'

XZ:

)1

J::

ii

i(0)

:

0.5

Capítulo 5. Análisis de la respuesta transitoria y estacronaria 211 se obtiene

la siguiente representación en el espacio de estados para el sistema

[t,-l I o

r ol[,.] f",torl l-zl o ,ll;, 1 l;,,;; l-l;l II n ' ,l L'.1 L 1",

'o

t-_

v:rr o

'l [;;

I

]

1".,;;l

L,

1

'1", 1"._l

En el Programa 5-17 en MATLAB se muestra un posible programa en MATLAB para obtener la respuesta r,(r). En la Figura 5-34 se muestra la curva de respuesta resultante.

MATLAB Programa 5-17 | - n. n ntr - i n

-

A- tO 1 0r0 0 1;-10 -L7 -Bl; B: lo;o;ol; c: t1 0 0l; D: lOl; y : initiat (A,B,C, D, 12 ;L; 0. 51, r) ; plot ( t, y) grid title ( 'Respuesta a condición inicial' xlabel ('t (segr) ') ylabe1 ( 'Salida y,

)

¡

Respuesta a condición inicial

2.5

-a a/)

0.5

0t23

45678e I (seg)

Figura 5-34.

Respuesta a condición inicial.

l0

212


5-ó Criterio de estabilidad de Routh El problema más importante de los sistemas de control lineal tiene que ver con la estabilidad decir, ¿en qué condiciones se vuelve inestable un sistema? Si es inestable, ¿cómo se estabil:-i' polo' *[l; En la Sección 5-4 se planteó que un sistema de control es estable si y sólo si todos los los siste::'ttl' de La mayoría s' plano del izquierdo lazo cerrado se encuentran en el semiplano forma la de cerrado lazo en lineales en lazo cerrado tienen funciones de transferencia c(s) R(s)

I

b¡sn'lbls^l+

bn., ,s

t arrs" f a1s" + "' + a,

¡s

I

b,r,

_ B(s)

f tl,,

A(.s)

donde las a y las b son constantes y nr ( n. Un criterio simple, conocido como el criten'' que se encuell-*liüilllll estabilidad de Routh, permite determinar la cantidad de polos en lazo cerrado (El polinomio pL" polinomio. el que factorizar tener en el semiplano derecho del plano s sin incluir parámetros que MATLAB no puede manejar') Lnxtt

de estabilidad de Routh dice si exist'r Este ;: no raíces inestables en una ecuación polinomial, sin tener que obtenerlas en realidad' rio de estabilidad sólo se aplica a los polinomios con una cantidad finita de términos. Cuanc oL't' aplica el criterio a un sistema de control, la información sobre la estabilidad absoluta se característica. directamente de los coeficientes de la ecuación El procedimiento en el criterio de estabilidad de Routh es el siguiente:

Criterio de estabilidad de Routh. El criterio

1.

Se escribe el polinomio en s de la forma siguiente: 4115 f

¡¡ I -f l71J '

lo,,s*4,,:0

donde los coeflcientes son cantidades reales. Se supone que a,i cualquier raíz cero. ,,

I

0; es decir, se eli:

Si alguno de los coeficientes es cero o negativo, ante la presencia de al menos un c ciente positivo, hay unaraíz o raíces imaginarias o que tienen partes reales positir 'r' tal caso, el sistema no es estable. Si sólo interesa la estabilidad absoluta, no es nece continuar con el procedimiento. Obsérvese que todos los coeficientes deben ser p'' vos. Esta es una condición necesaria, como se aprecia a partir del argumento slgul; Un polinomio en s con coeficientes reales siempre puede factorizarse en factores lin='¡ ycuadráticostalescomo(s + a)y 1s2 + bs * c),donde a,by c sonnúmerosreale' . iactores lineales producen las raíces reales y los factores cuadráticos producen las r' complejas del polinomio. El factor 1s2 + bs * c) produce las raíces con partes reale : gativas sólo si b y c son ambas positivas. Para todas las raíces que tienen partes r: negativas, las constantes a,b, c,... deben ser positivas en todos los factores. El proc de cualquier cantidad de factores lineales y cuadráticos que contengan sólo coeficl' positivos siempre produce un polinomio con coeficientes positivos. Es importante lu, qu" la condición de que todos los coeficientes sean positivos no es suficiente ur"gurur la estabilidad. La condición necesaria, pero no suficiente, para la estabilid¡i que todos los coeficientes de la Ecuación (5-61) estén presentes y tengan un slgno P' vo. (Si todas las a son negativas, se hacen positivas multiplicando ambos miembros ,

ecuación por

-

1.)


3.

Si todos los coeficientes son positivos, se ordenan los coeficientes del polinomio en filas

y columnas de acuerdo con el patrón siguiente:

's'

sn1 ,n -2 J'3cl 4 sn_

s2 sl

a0

u2

Q4 a6

Q1

Qj

Q5

bl

b2

hb4

c2

c1

cq

d2

d3

d4

cll

€t

Q7

e2

.f,

r8r o

El proceso de formar filas continúa hasta que no quedan más elementos. (El número total de filas es n f 1.) Los coeficientes bt, b2:bj, etc., se evalúan del modo siguiente:

, ,l:r

OIAZ

-

QoQz

A1

, D2:

QtQ+

QoAt

Ql

,

D1

:-

QtQo - QoAt

-

Q1

La evaluación de las b .continiahasta que todas las restantes son cero. Se sigue el mismo patrón de multiplicación cruzada de loi coeficientes de las dos filas anteriores al evaluar las c, las d,las e, etc. Es decir,

t'r

bp. : --,

a1b,¡

D1

('r:+ -bl

bp. -

bpy 'b1 --. _ _-

('1:

a1b7

alba

214


dt:

c.b.

b,C,

C1

. ctbt - b(t d.: - - C1 Este proceso continúa hasta que se completa la n-ésima fila. El afray completo de coefi¿ientes es triangular. Obsérvese que, al desarollar el array, una fila comple'l divide entre, o se multiplica por, un número positivo para simplificar el cálculo num-: subsecuente sin alterar la conclusión de la estabilidad. El criterio de estabilidad de Routh plantea que el número de raíces de la Ecu'(5-6 l) con partes reales positivas es igual al número de cambios de signo de los c' cientes de la primera columna del array. Debe señalarse que no es necesario conoc3: valores exactos de los términos de la primera columna; sólo se necesitan los signt'. condición necesaria y suficiente para que todas las raíces de la Ecuación (5-61) s¡ cuentren en el semiplano izquierdo ilel plano .r es que los coeficientes de la Ecu¡: (5-61) sean positivos y que todos los términos de la primera columna del array te signo positivo. EJEMPL$

5-11

Se va a aplicar

el criterio de estabilidad de Routh al siguiente polinomio de tercer orden: oort + orr2

*

a2s

* at:

donde todos los coeficientes son números positivos.

0

El

array de coeficientes se :

vierte en

,t

att

a7

,2

(11

ej

A:AZ .rt

-

AOQI

A1

so

a3

La condición de que todas las raíces tengan partes reales negativas se obtiene mediante A1A2

EJEMPL0

5-12 Considere el polinomio

)

A¡A1

siguiente:

ra+2s3+3s2+4s+5:o el array de coeficie (Las dos primeras filas se obtienen directamente del polinomio dado. Los términos restantej obtienen de estos. Si faltan coeficientes en el array, se sustituyen con ceros.) Se va a seguir el procedimiento que se acaba de presentar para construir


s*i35 s3 z 4

sol35 ,3 Z / Y 12 0 ,2 15

o

,2 l5 sl -6 o-

s'

.tt. o.f-

-)

La segunda fila se divide entre

2.

-1

-)

En este ejemplo, hay dos cambios de signo en los coeficientes de ia primera columna. Esto significa que existen dos raíces con partes reales positivas. Observe que el resultado no se modifica cuando los coeficientes de cualquier fila se multiplican por, o se dividen entre, un número positivo para simplificar el cálculo.

Casos espec¡ales. Si el término de la primera columna de cualquier fila es cero, pero los términos restantes no son cero, o no hay términos restantes, el término cero se sustituy" aon un número positivo muy pequeño € y se evalúa el resto del array. Por ejemplo, consicléresá la Ecuación

s3+2s2*s*2:o El array de coeficientes

(s-62)

es

s3 l1 ,t22

st o ¡: so2

¿;

Si el signo del coeficiente que está encima del cero (e) es el mismo que el signo que está debajo

de.é1, quiere decir que hay un par de raíces imaginarias. En rearidad, la Ecuación (5-62) riene dos

raícesens:

*j.

Sin embargo, si el signo del coeficiente que está encima del cero (e) es opuesto al del que está debajo, quiere decir que hay un cambio de signo. Por ejemplo, para la ecuación "3

el array de coeficientes

-

3s

+ 2 :(s

-

l)2(s + 2)

:

o

es

Un cambio de signo:

t: ,/

(" Un cambio de signo

I -3 0r¿ 2 -3 -

2

(" 2

Hay dos cambios de signo

en los coeficientes de la primera columna. Por lo tanto hay dos raíces en el semiplano derecho s. Esto coincide con el resultado correcto indicado por la forma factori_

zada de la ecuación polinomial.

216


Si todos los coeficientes de cualquier fila son cero, significa que existen raíces de igual nitud que se encuentran radialmente opuestas en el plano s, es decir, dos raíces con magnitu iguales y signos opuestos y/o dos raíces imaginarias conjugadas. En este caso, la evaluación resto del arreglo continúa mediante la formación de un polinomio auxiliar con los coeficientes la última fila y mediante el empleo de los coeficientes de la derivada de este polinomio en la siguiente. Tales raíces con magnitudes iguales y radialmente opuestas en el plano J se encuen: despejando el polinomio auxiliar, que siempre es par. Para un polinomio auxiliar de gradc existen n pares de raíces iguales y opuestas. Por ejemplo, considérese la ecuación: s5

El array de coeficientes

+

2sa

-l

z4s3

* 48s2 -

25s

-

50

:

o

es

s5 r 24 -25 so 2 48 - 50 .- Polinomio auxiliar P(s)

s3oo

L

il

Todos los términos del renglón s3 son cero. (Obsérvese que tal caso ocuffe sólo en una fila nr: rada impar.) Después se forma el polinomio auxiliar a partir de los coeficientes del renglón -,polinomio auxiliar P(s) es P(s)

:2s4 +

48s2

-

50

lo cual indica que hay dos pares de raíces de igual magnitud y signo opuesto (esto es, dos r reales con la misma magnitud pero signos opuestos o dos raíces complejas conjugadas en < imaginario). Estos pares se obtienen resolviendo la ecuación del polinomio auxiliar P(s) : derivada de P(s) con respecto a,r es

dP(s) _ gs3+96s ds

Los coeficientes de la última ecuación, es decir, 8 y 96, sustituyen los términos de la fila consiguiente, el array de coeficientes se convierte en

s

24 -25 48 -50

Jtl

s4z .r3

i

8

*- Coeficientes de dP(s)lds

96

st 24 -50 o sl llz.i so -50 Se observa que hay un cambio de signo en la primera columna del array nuevo. Por tan-; ecuación original tiene una raíz con una parte real positiva. Despejando las raíces de la

del polinomio auxiliar

2s4+48s2-50:o se obtiene

s2: 1,

sz

: -25

o bien

s: *1,

s: *j5

lfi

capítulo 5. Anárisis de ra respuesta transitoria y estacionaria 217 Estos dos pares de raíces.de P(s) son una parte de las raíces de la ecuación original. De hecho, la ecuación original se escribe en forma facforizada der modo siguiente:

(s

+

1)(s

-

1)(s +

j5)(s -.r5)(s + 2)

:

O

Es evidente que la ecuación originar tiene una raíz con una parte real positiva.

Análisis de estabilidad relativa. El criterio de estabilidad de Routh proporciona la respuesta a la pregunta de la estabilidad absoluta. Esto, en muchos casos prácticos, no es suficiente. Por lo general, se requiere información acerca de la estabilidad relativi del sistema. Un enfbque

útil para examinar la estabilidad relativa es cambiar el eje del plano s estabilidad de Routh. Es decir, se sustituye .t:.t-o

(o

:

y aplicar el criterio de

constante)

en la ecuación característica del sistema, se escribe el polinomio en términos ¿e i, y se aplica el criterio de estabilidad de Routh al nuevo polinomio 3. gt núr*ro de cambios dL signo en la primera columna del array desarrollado para el polinomio "n 3 igual a la cantidad raíces que se localizan a la derecha de la línea verticall "n tanto, ", esta prueba revelade Por la cantidad de raíces que se encuentran a la derecha de Ia rínea vertical s : - o.

Aplicación del criterio de estabilidad de Routh al análisis de un sistema de con-

trol'

El criterio de estabilidad de Routh tiene una utilidad limitada en el análisis de un sistema

de control lineal' sobre todo porque no sugiere cómo mejorar la estabilidad relativa ni como estabilizar un sistema inestable. Sin émbargo, es posible detárminar los ef'ectos de cambiar uno o dos

parámetros de un sistema si se examinan los valores que producen inestabilidad. A continuación se considera el problema de determinar el rango ¿e estabiti¿ad para el valor de un parámetro. Considérese el sistema de la Figura 5-35. Se va a determinai el rango de valores de K para la estabilidad. La función de transferencia enlazo cerrado es

c(s) s(s'

R(s)

La ecuación característica

f

.i

+

K l)(s -f 2¡ -f K

es

st+3s3+3s2f2s-lK:o El array de coeficientes se convierte en 4 1

^f

1

,t,t

-)

2

7

5

,tt

2-1K

so

K

Figura

5-35.

3K 20 K

Sistema de control.

218


dellrr para la estabilidad, K debe ser positivo, y todos los coeficientes de la primera "otu*n¿ serlo también. Por tanto,

t4 9

>K>0

Cuando K: +, el sistema se vuelve oscilatorio y, matemáticamente, la oscilación se maniri en una amplitud constante. se p '¡' Obsérvese que los rangos de los parámetros de diseño que conducen a la estabilidad den determinar utilizando el criterio de estabilidad de Routh'

5-7 Efectos de las acc¡ones de control integral y derivativa en el comportamiento del sistema s'' En esta sección se investigarán los efectos de las acciones de control integral y derivativa para apr-; simples, sistemas los el comportamiento de un sistema. Aquí sólo se considerarán con claridad los efectos de las acciones de control integral y derivativa en el comportamient¡

un sistema.

Acción de control integral. En el control proporcional de una planta, cuya funciór.

rut

transferencia no posee un integrador 1/s, hay un effor en estado estacionario' o desplazante:il' (offset), en la respuesta para una entrada escalón. Tal offset se elimina si se incluye la acctor control integral en el controlador. En el control integral de una planta, la señal de control, que es la señal de salida a parti: controlador. es en todo momento el área bajo la curva de la señal de error hasta tal mome:Lrrli La señal de control u(r) tiene un valor diferente de cero cuando la señal de error e(l) es c' como se aprecia en la Figura 5-36(a). Esto es imposible en el caso del controlador proporcic: lya que una señal de control dif'erente de cero requiere una señal de error diferente de cero' : señal de error diferente de cero en estado estacionario significa que hay una equivalencia' ' Figura 5-39(b) muestra la curva e(r) frente a t y la curva u(r) correspondiente frente a / cuanc controlador es de tipo proporcional. Obsérvese que la acción de control integral, aunque elimina el ofTset o el error en esestacionario, puid" conducir a una respuesta oscilatoria de amplitud decreciente lenta o. inci de amplitud creciente, y ambos casos, por lo general' se consideran indeseables'

"tt

= ',

-'l-t'

ti{t)

l/(¡l I

{

¡7^---'-,,,,-I

I

\

(a)

5-36. (a) Gráficas de las curvas de e(t) y u(f) con señales de control distintas de cero cuano: la señal de error es cero (control integral); (b) gráficas de las curvas de e(¿) y u(f) con señal de contrc' cero cuando la señal de error es cero (control proporcional)'

Figura

Capítulo 5. Análisis de la respuesta trans¡toria y estacionar¡a

219

Figura 5-37. S¡slema con control proporcional.

Control proporc¡onal de s¡stemas. Se mostrará que el control proporcional de un sistema sin un integrador originará un effor en estado estacionario fiente a una entrada escalón. Se verá que tal error se puede eliminar si se incluye una acción de control integral en el controlador. Considérese el sistema que se muestra en la Figura 5-37. Se va a obtener el enor en estado estacionario de la respuesta escalón unitario del sistema. Se define G(s) Como

¿(s)

_

R(s)

C(s)

R(s)

R(s)

:l-' Cls) R(s) 1+c(t I

el eruor E(,r) está dado por I

E(s)-. f ^ 1 G(.s) Para la entrada escalón unitario R(s)

:

e.,

:

l+_Is*r

R(t) 1

l/s, se tiene

E(s)

El error en estado estacionario

1

Rrs)

Ts -t

Is*1 lKs

es

lím e(t) :1i^s¿(s)

t-.t

s-o

: fi- lll . .o Is + 1 + K

K+

I

Tal sistema sin un integrador en el camino directo siempre tiene un error en estado estacionario como respuesta a un escalón. Dicho eror en estado estacionario se denomina off'set. La Figura 5-38 muestra la respuesta escalón unitario y el offset. c(tl ,

Desviacirin

I

Figura

5-38.

Respuesta a escalón unidad y offset.

220


Figura 5-39. Sistema con control integral. Considérese el sistema que se muestra en la Figura 5es El controlador es de tipo integral. La función de transferencia en lazo cerrado del sistema

Control integral de sistemas.

c(s)

K

R(s)

s(Zsf1)+K

De ahí

E(s)

_

R(s)

R(s)

-

C(s)

_

R(s)

+ 1) s(Zs*1)+K s(Zs

escalón unitar Como el sistema es estable, el error en estado estacionario como respuesta a un siguiente: manera la de final valor del se puede obtener aplicando el teorema e."

:

I

lím sE(s) .s-0

: Iín t217't + 1; rs'z + r+ /( ; 1

"'¿

:0

por tanto, el control integral del sistema elimina el error en estado estacionario en respuesta a i: proporcional' que p::escalón unitario. Esta es*una mejora importante respecto al simple control duce un offset.

Respuesta a perturbac¡ones de par (control proporcional). Se va a investigai I

efecto dá una pertuibación de par que ocuffe en el elemento de carga. Considérese el sistem¿ 'r* de ¡-rla Figura 5-40. El controlador proporcional produce un par T.pata posicionar el elemento perturbaciór la par de El viscosa. y friccign "'s una inercia ¿. gu, q"o" consiste en el momenio representa mediante D. : 0,1a función de transferencia er Suponiendo que la entrada de referencia es cero, o R(s) C(s) y D(s) se obtiene mediante

I C(s) + K, + bs D(s) Jsz

Figura

5-40.

Sistema de control con par de perturbación'


Por tanto,

E(s)_ C(s)_ _ D(s) D(s) Js2+bs+K,

El error en estado estacionario producido por un par de perlurbación escalón de magnitud Z, obtiene mediante er,

:

se

lím sE(s) s-0

:

-s

lím

T,t

iJ.¡s2 -r bs -l Ko 7,1

KP

En el estado estacionario, el controlador proporcional apofta el par - T¿, que tiene igual magnitud pero signo opuesto que el par de perturbación To.La salida en estado estacionario producida por el par de perturbación escalón es

^ -T¿ (r,_ ",,_q El error en estado estacionario se reduce si se incrementa el valor de la ganancia Ko. Sin embargo, acrecentar este valor haría que la respuesta del sistema fuera más oscilatoria.

Respuesta a perturbac¡ones de par (control proporc¡onal-integral). para eliminar el offset debido a una perturbación de par, el controlador proporcional se sustituye por un controlador proporcional-integral, y luego, mientras existe una señal de error, el controlador desarolla un par para reducir este effor, siempre y cuando el sistema de control sea estable. La Figura 5-41 muestra el control proporcional-integral del elemento de carga, formado por el momento de inercia y una fricción viscosa. La función de transferencia en lazo cerado entre C(s) y D(s) es c(s) _ D(s)

Js'

I

Ante la ausencia de la entrada de referencia, o

E(s)

: -

Figura

5-41

.

*

r(t):

K^s

-l

JK

0, la señal de error se obtiene de

s Js3

,<,,tt

bs'

+

bs2

+

Kps

+?

,(s)

+IlliJ

Control proporcional-integral de un elemento de carga formado por un momento de inercia y una fricción viscosa.

222


Figura 5-42. Control ¡ntegral de un elemento de carga formado por un momento de ¡nercia y una fricción viscosa.

Si este sistema de control es estable, es decir, si las raíces de la ecuación característica

Jsr -r bsr l- K,,s t' +

u: T.

-

n

tienen partes reales negativas, el eror en estado estacionario en la respuesta a un par de pertu:":firi ción escalón unitario se obtiene aplicando el teorema de valor final del modo siguiente:

e..

:

:

lím sE(s) s-0 1

- .t'

tím ,s

:0

+0

Js'fb,s-fK,,lt;i '

K,,

S

li

por tanto, el error en estado estacionario para el par de perturbación escalón se elimina controlador es del tipo proporcional-integral. Obsérvese que lá u.iiOn de control integral agregada al control proporcional convirtió etema, originalmente de segundo orden, en uno de tercer orden. Por ende, el sistema de co: puecle voÑerse inestable para un valor grande de K,,, ya que las raíces de la ecuación caracte: ca pueden tener partes ráales positivas. (El sistema de segundo orden siempre es estable .' coeficientes de la ecuación diferencial del sistema son todos positivos.) Es importante señalar que, si el controlador fuera integral, como en la Figura 5-42, el siempre se volvería inestable, porque la ecuación característica

srs

Js3+bs2+K:o tendría raíces con partes reales positivas. Tal sistema inestable no se puede usar en la prácObsérvese que, en el sistema de la Figura 5-41,la acción de control proporcional tie¡,",ri estabilizar el mismo, en tanto que la acción de control integral tiende a eliminar o reducir el :''r en estado estacionario en respuesta a diversas entradas. una acción de control derivativa se agre-qa -un controlador con alta sensibilidad obtener de controlador proporcional, aporta un modo que responde a la velocidad del camhres ventaja de u.sar una acción de control derivativa que la magnitud del enor se vuelva tl.' ile antes y produce una conección significativa ".ro1" inicia una acción correctiva opc prevé el enor. siado grande. Por tanto. el control derivativo y tiende a aumentar la estabilidad del sistema.

Acción de control derivativa. Cuando

il

ill

il{

,ül

:lln

Gapítulo 5. Análisis de la respuesia transitoria y estacionaria

229

(b)

Figura

5-43.

(a) Control proporcional de un sistema con carga de inercia; (b) respuesta a una entrada escalón unitario.

Aunque el control derivativo no afecta en forma directa al enór en estado estacionario. añade amortiguamiento al sistema y, por tanto, permite el uso de un valor más grande que la ganancia K, lo cual provoca una mejora en la precisión en estado estacionario. Debido a que el control derivativo opera sobre la velocidad de cambio del error. y no sobre el error mismo, este modo nunca se utiliza solo. Siempre se emplea junto con una acción de control proporcional o proporcional-integral.

Control proporc¡onal de sistemas con carga de inercia. Antes de analizat el efecto de una acción de control derivativa sobre el comportamiento de un sistema, se analizará el control proporcional de una carga de inercia. Considérese el sistema de la Figura 5-43(a). La función de transferencia en lazo cerraclo se obtiene mediante C(s) _ Kp R(s) Js2 + K,, Como las raíces de la ecuación característica

Js2+Kn:g son imaginarias, la respuesta a una entrada escalón unitario oscila indefiniclamente, como se observa en la Figura 5-43(b). No son convenientes los sistemas de control que muestran tales características cle respuesta. Se que la adición de un control derivativo estabilizará el sistema.

'erá

Control proporc¡onal-derivativo de un s¡stema con carga de inercia. Se va a

modificar el controlador proporcional para obtener un controlador proporcional-derivativo cuya función de transferencia sea K,,(l + Z,rs). El par que desarrolla el controlador es proporcional a K,,(.e t Td\.El control derivativo es esencialmente de previsión, mide Ia velocidad instantánea de1 error, predice la sobreelongación signilicativa adelantándose en el tiempo y produce una respuesta adecuada antes de que ocurra una sobreelongación demasiado grande.

224


(b)

(a)

Figura 5-44. (a) Control proporcional-derivativo de un sistema con carga de inercia; (b) respuesta a entrada escalón unitario.

Considérese el sistema de la Figura 5-44(a). La función de transferencia en lazo cerrado

obtiene mediante

¡':

Ko(l * T¿s) Js2+KrTos+Ko

c(s) R(s)


Js2+KoTos*Ko:0 tiene ahora dos raíces con partes reales negativas para valores positivos de J, K, y Z¿. Por tant" el control derivativo introduce un efecto de amortiguamiento. La Figura 5-44(b) presenta u:;,l curva de respuesta común c(t) para una entrada escalón unitario. Es evidente que la curva ¡i respuesta muestra una marcada mejora sobre la curva de respuesta original de la Figura 5-44t b

Control proporcional-derivativo de sistemas de segundo orden. Si se usa ur¡ acción de control proporcional-derivativo, se obtiene un equilibrio entre un comportamient. aceptable para una respuesta transitoria y un comportamiento aceptable en un estado estacionaric Considérese el sistema de la Figura 5-45.La función de transferencia en lazo cerrado es

K, * C(s) R(s) Jsz + ¡B *

Kos Ko)s

t

K,,

El eror en estado estacionario para una entrada rampa unitaria

es

B

"Kr La ecuación característica

es

Jsz

+

18

-f

K¿)s

-t

K,,: O

Por tanto, el coeficiente de amortiguamiento efectivo de este sistema es B Como el factor de amortiguamiento relativo ( de este sistema es

r-

Figura

5-45.

B+Kd 2!/ KpJ

Sistema de control.

*

K¿ en lugar de

-=

Capítulo 5. Análisis de la respuesta transitoria y estacionaria 225 es posible obtener tanto el error en estado estacionario ¿". para una entrada rampa, como la sobreelongación máxima para una entrada-qscalón pequeña, si se hace que B sea pequeño, K, sea grande y K¿, 1o suficientemente grande para que ( esté entre 0.4y 0.7.

5-8 Errores en estado estacionario en los sistemas de control con realimentación unitaria Los errores en un sistema de control se pueden atribuir a muchos factores. Los cambios en la entrada de referencia provocan errores inevitables durante los periodos transitorios y también pueden producir effores en estado estacionario. Las imperfecciones en los componentes del sistema, tales como la fricción estática, juego o bamboleo y la deriva del amplificador, al igual que el envejecimiento o el deterioro. provocan effores en el estado uniforme. Sin embargo, en esta sección no se analizarán los errores producidos por las imperfecciones de los componentes del sistema. Más bien, se investigará un tipo de error en estado estacionario provocado por la incapacidad del sistema de seguir determinados tipos de entradas. Cualquier sistema de control físico sufre, por naturaleza, \n effor en estado estable en respuesta a ciertos tipos de entrada. Un sistema puede no tener un error en estado estacionario para una entrada escalón, pero el mismo sistema puede exhibir un error en estado estacionario diferente de cero ante una entrada rampa. (La única forma de eliminar este error es modificar la estructura del sistema.) El que un sistema determinado exhiba un error en estado estacionario para un tipo específico de entrada depende del tipo de función de transferencia en lazo abierto del sistema. lo cual se analizará a continuación.

Clasificación de los sistemas de control. Los sistemas de control se clasifican de acuerdo con su capacidad de seguir entradas escalón, rampa, parábola, etc. Este es un esquema de clasificación razonable, porque las entradas reales con frecuencia se consideran combinaciones de las entradas mencionadas. Las magnitudes de los errores en estado estacionario producidos por estas entradas individuales indican la bondad del sistema. Considérese el sistema de control con realimentación unitaria con la siguiente función de transferencia en lazo abierto G(s): G(s)

:

K(T.s-ll)(T¡,s + l)...(2,,,s*

1)

rtqz,s+ l)(zrs+ l)...(zos+ l¡

Este sistema contiene el término sN en el denominador, que representa un polo de multiplicidad ^¡y' en el origen. El esquema de clasificación actual se basa en la cantidad de integraciones indicadas por la función de transferencia en lazo abierto. Un sistema se denomina de tipo 0, de tipo 1, de tipo 2, ..., si ¡/ : 0, N - I, N : 2,..., respectivamente. Téngase en cuenta que esta clasificación es diferente de la que se basa en el orden del sistema. Conforme el número del tipo es mayor, mejora la precisión; sin embargo, aumentar el número del tipo agrava el problema de la estabilidad. Siempre es necesario un equilibrio entre la precisión en estado estacionario y la estabilidad relativa. En la práctica, es muy raro tener sistemas de tipo 3 o superiores, pues, por lo general, resulta difícil diseñar sistemas estables que tengan dos o más integradores en la trayectoria directa.

226


Se verá clespués que, si G(s) se escribe para que cada término del numerador y el denomtn'' tlor, excepto el término sN, tienda a la unidad, conforme s tiende a cero, entonces la ganancia e

lazo abierto K está directamente relacionada con el enor en estado estacionario.

Errores en estado estacionar¡o. Considérese el sistema de la Figura 5-46.La funcic' de transt-erencia en lazo cerado es

C(s)

G(s)

_

R(s)

1

+

G(s)

La función de transf'erencia entre la señal de eror e(t) y la señal de entrada r(r) El.s)

es

C(s) I R(s) I + G(s)

I

R(s)

donde el error e(¡) es la diferencia entre la señal de entrada y la señal de salida. El teorema del valor final ofrece una fbrma conveniente de determinar el comportamiento estado estacionario de un sistema estable. Como E(s) es

;:

I

E(.rt--; + ^ I G(s) el error en estado estacionario

Rt.s)

es

e..:

,lím

e(r)

:

lím sEt.r) -

sR(s)

l'1, f I Ctrl

Las constantes de error estático deflnidas a continuación son figuras de mérito de los sistema. :,, control. Cuánto más altas sean las constantes, más pequeño es el enor en estado estacionario. I un sistema determinado, la salida puede ser la posición, la velocidad, la presión, la temperatu. * etc. Sin embargo, la forma física de la salida no viene al caso en el análisis actual. Por tanto. .: 1o sucesivo se denominará a la salida, a la razón de cambio de la sall-etc. Esto significa que, en un sistema de control de temperatura, representa la ten',', ratura de salida, < representa larazón de cambio de la temperatura de salida, etcéte:-

Figura

5-46.

Sistema de control.

Constante de error de posición estát¡ca

Kp.

El error en estado estacionario del si.

r

ma para una entrada escalón unitario es

"":

sl1 : 1íT r + c(l) , r-

La constante de error de posición estática K,,

o, :

Gttlr

se define mediante

1T

Por ende, el error en estado estacionario en términos de la constante de K,, se obtiene mediante

I

€r,

lilÍl

G(s) : G(0)

l+Kt,

'liiiil

eror

ll de posición estáI,-;ir


Para un sistema de tipo 0,

-t l)(Tts + l). ,": lS K(T,s (Z1sf1)(T2s+l)... -K Para un sistema de tipo 1 o mayor,

K(Ts +t l)(Z6s + 1)... "'tbr I,s + ll1frs + l).

K,,:lím"\'qr " , -o su{

'

para 1/

)

I

De este modo' para un.sistema.de tipo 0, la constante de emor de posición estática K,, es finita, mrentras que, para un sistema de tipo 1 o mayor, K, es infinita. Para una entrada escalón unitar]o, en estado estacionario ¿"s se resume como sigue: "t ",'o. I

€r,

d."

:

l+K'

para sistemas de tipo 0

0,

para sistemas de tipo

I

o mayor

que

fil¿T:Í,.?#Ít:::f::lli,il

ra respuesra de un sisrema de conrror de reari_ ,*::lû ilil:T::1iffi #?ili.:i::,".1,s1:.rt*il#"í::ffi "":J*iJ#trJ"":"#l1,hl?:_ ü" to erar :i ;:"n' n :iil: :; ;; ;:?Í':ffiil' : i'1,L::H' : ilf :'l I :^+: -ry t'.il;l;'¡tnJi,;'i'H,fi:ffiT':Í,T_.*i:¡; " :trüül]:ffilT",T:,1.",:1",?_,llTll.

;ññ #ffi

r

;i:31?:'1l}:*:t":::::::*:l1r.r*::;r?.ii;",#'"T"'J,',T;:i*'#Xill,iJXiÍl;*: l',",1*;:#J:,:iÍ:"":::n:,;ñff.;;;;i"";::il1"J#J,ff :;:::;:Xffjff ':iñlil;

slstema debe ser uno o mavor.

Constante de error

de velocidad estática K,. El error en estado estacionario del sis_ tema con una entrada rampa unitaria se obtiene mediante

e..: lím r r 'o I + G(s)

I .s2

lím

_-

1

.'-o sG(s)

La constante de error de velocidad estática K, se define mediante K,,

:ili.:i""il:;;x,"jt"o"

:

lím sG(s)

estacionario en función de la consranre de enor de velocidad esrárica K,.

se

I

Aquí se usa el rérmino ,t: r,"r"r,)o"rl^* ,-oresar er effor en esrado esracionario para :na entrada rampa' La dimensión :::?: del e'or de, velocidád

*:t:"t#TT$;u"ro"loua

no

",

un

"o".^*

;g;"1;;"


K,.:

lím s-0

ra del

e'or

:r Es r" velocidad, ,iro un'..ror en ra posición debido a

sK(I.,s+l)(Zus+1)... {I,r r Illf.s + l)...

:0

der sisrema.

228


0t Figura

5-47.

Para un sistema de tipo

Respuesta de un sistema de tipo 1 con realimentación unitaria para una rampa de entrada.

l,

:

K,,

lím i-0

tK(.T,,s

*

1)(2,,s

+

1)'..

s(71.s*1)(Z2s+l).

:K

Para un sistema de tipo 2 o mayor,

K,.:

lím s+O

* l)(I¡,i- l) sN1f,s+ l.¡(Irs+ ll'.. sK(.T,,s

El enor en estado estacionario e.. "

-

eq.

I K,.

para la entrada rampa unitaria se resume del modo sisuien.: para sistemas de tipo 0

para sistemas de

€r,

I

¿'.:-:0. '" ,(,

paraN)2

at,

tipo

I

para sistemas de tipo 2 o mayor

El análisis anterior indica que un sistema de tipo 0 es incapaz de seguir una entrada ronrp; :' el estado uniforme. El sistema de tipo I con realimentación unitaria sigue la entrada rampa . un error finito. Operando en estado estacionario, la velocidad de salida es igual a la velocidac -, entrada, pero hay un error de posición. Este error es proporcional a la velocidad de la entra'es inversamente proporcional a la ganancia K. La Figura -5-47 muestra un ejemplo de la respu... de un sistema de tipo I con realimentación unitaria para una entrada rampa. El sistema de ri: o mayor sigue una entrad¿r rampa con un enor de cero en estado estacionario.

Constante de error de aceleración estática

Ka. El enor en estado estacionarir. -

sistema con una entrada parábola unitaria (entrada de aceleración), que se detine mediante

r r(t\: -.

parat>0

:0.

para/<0

1

2

;

capíturo 5' Anárisis de ra respuesta transitoria y estacionaria 22g se obtiene a partir de

"..:lsút: : La constanre de error de aceleració"

I

tírni;c(sl

"r,ári;;

4:

se define mediante la ecuación

lS

De esta manera, el error en estado estacionario

s'G(s)

es

a-:!Ko Obsérvese que el etrot parábola, eJun eno.

el error en estado esracionario producido por una enrrada

Los valores de K""$;Tl:J¿Tn' se obtienen del modo siguiente: Para un sistema de tipo 0,

szK(r,s+Dl(rus+r)...

Ko Para un sistema de

qr,"

tipo l,

Kn: lím

r-(.)

+-¡7r"1 ¡-

:0

+ r)l(T,,s + 1)... s(fs + l)(Trs + 1)...

:0

+ l)le¡,s + 1)...

:K

,szK(T"s


4:1'$ Para un sistema de tipo 3 o mayor,

K" "o :

,szK¡T,,s

ffi

t(T¡s -r I t... f,I,|l, : ,1ri rttr,.r-r lrt¿i+ tím

'

,

¡-

oo.

para N

)- J

Por tanto, el error en estado estacionario para la entrada parábola unitaria €."

: o,

para sistemas de tipo 0 y tipo

es

1

1

e..: "' K' €".

:

para sistemas de tipo 2

0' para sistemas de tipo 3 o mayor obsérvese que tanto los sistemas de tipo.O como los de tipo I son incapaces de seguir una entrada parábola en estado estacionario. Ei sistema,d";rp; 2";; realimentación unitar; puede seguir una entrada parábola con una señal de.enor finita. La Figura 5-4g muestra un ejemplo de la respuesta de un sistema de tipo 2 con realimentación uniturl? u una entrada parábola. El sistema de tipo 3 o mayor con realimentación unitaria ,igr. unu *trada parábola con un er¡or de cero en estado uniforme.

230


0¡ Figura

5-48.

Respuesta de un sistema de tipo 2 con realimentación unitaria a una entrada paraból :.:

Resumen. La Tabla 5-1 resume los eruores en estado estacionario para los sistemI y de tipo 2 cuando están sujetos a diversas entradas. Los valores finitos pri

tipo 0, de tipo

errores en estado estacionario aparecen en la línea diagonal. Sobre la diagonal, los enor;i estado estacionario son infinitos; bajo la diagonal, son cero. Tabla 5-1 . Error en estado estacionario en función de la ganancia Entrada escalón

r(t):

1

Entrada rampa

:

r(t)

t

K

Entrada aceleración

r(r¡

: \ t'

1

Sistema tipo 0

1+K

ata

1

Sislema tipo

1

Sistema tipo 2

0

0

K

0

c{)

t)

1 K

Recuérdese que los términos error de posición, error de uelocidad y error de aceler;: significan desviaciones en estado estacionario en la posición de salida. Un error de veloi finito implica que, después de que han desaparecido los transitorios, la entrada y la sali;,1 mueven a la misma velocidad, pero tienen una diferencia de posición finita. Las constantes de error Kp, K, y K, describen la capacidad de un sistema de realiment¡ unitaria de reducir o eliminar el error en estado estacionario. Por tanto, indican el comportar:

to en estado estacionario. En general, es conveniente aumentar las constantes de error, al tie que se conserva la respuesta transitoria dentro de un rango aceptable. Si hay un conflicto eni:i constante de eror de velocidad estática y la constante de error de la aceleración, esta últirr¿ considera menos importante que la primera. Debe señalarse que, para mejorar el comportam: en estado estacionario se aumenta el tipo del sistema agregando uno o más integradores ,l trayectoria directa. Sin embargo, esto introduce un problema de estabilidad adicional. Por l.neral, es difícil realizar el diseño de un sistema satisfactorio con más de dos integradores en en la trayectoria directa.


EJEMPTOS DE PROBLEMAS Y SOTUCIONES A-s-f

'

En el sistema de la Figura 5-49, x(t) es el desplazamiento de enrrada y 0(r) es el desplazamiento angular

de salida' suponga que las masas involucradas son tun pequeRas que pueden no considerarse y que todos los movimientos tiener la restricción de ser pequenos; por tanto, el sistema se

considera lineal. Las condiciones iniciales para,r y 0 ,on .".J, ol(0_) :0 y 0(0_) : O. Oe_ muestre que este sistema es un diferenciador. Después, obtenga la respuesta aq4 .rancto una entrada escalón unitario. "14 "s

Solución. La ecuación para el sistema

es

b(i

L(i¡

:

krT

o bien

L0+

k

;Lt):.¡ l)

La transfbrmada de Laplace de esta última ecuación, con condiciones iniciales cero. da

(, .:.)rr,r : sX(s) Y, por tanto,

@(s)

x(s)

1

L s

+ (klb)

En este caso, se trata de un sistema diferenciador. Para la entrada escalón unitario X(s) : l/s, la salida @(s) se convierte en

@@::

I s

+ (klb)

La transfbrmada inversa de Laplace de @(s) produce

0@::e

Figura

5-49.

kb),

Sistema mecánico.

232


0t Figura

5-50.

Entrada escalón unitario y la respuesta de sistema mecánico mostrado en la Figura 5-49.

Observe que, si el valor de kfb es grande, la respuesta 0(r) se aproxima a una señal pulso aprecia en la Figura 5-50.

A-5-2.

com

,rl

Con frecuencia se usan trenes de engranajes en sistemas de seguimiento para reducir la velocr:i, aumentar el par u obtener la transferencia de potencia más eficiente, haciendo coincidir el m.:r' bro de manejo con la carga determinada. Considere el sistema de tren de engranajes de la Figura 5-51. En este sistema, un motor m--r'u, una carga mediante un tren de engranajes. Suponiendo que la rigidez de los ejes del tren de en-s:,::l jes es inhnita (no existe juego o bamboleo ni deformación elástica) y que el número de dienr¡' ,nl cada engranaje es proporcional al radio del mismo, obtenga el momento de inercia equivalente . r coeficiente de fricción viscosa equivalente referido al eje del motor y con el eje de la carga.

EnlaFigura5-51,elnúmerodedientesenlosengranajes l,2,3y4esNl,Nz,N3yNare.-',., tivamente. Los desplazamientos angulares de los ejes I, 2 y 3 son 0r 0zy 01, respectivamente i mr tanto,02101: NtlNzy 0zl0z: NtlN+. El momento de inercia y el coeficiente de fricción rr., ',il de cada componente del tren de engranajes se representan mediante J1, br; J.r,b2;y J3, ój, re>re: tivamente. (Jzy bt incluyen el momento de inercia y la fiicción de la carga.)

Engranaje I Eje

Par de entrada del motor Tnt (t)

2

brl Engranaje

Engranaje 2

3

t*la^-E¡e 3

o-) Engranaje

4

Par de carga

,\! Figura 5-51

.

Sistema de tren de engranajes.

TL (.t)


Solución'

Para este sistema de tren de engranajes, se obtienen las tres ecuaciones siguientes.

Para el eje 1,

Jt01+ bpt donde

es el par desarrollaclo por er motor reposo del tren de carga. para el eje 2,

f,,

J202

+

i

y z,

b102

T1

_ T*

(5-63)

es el par cre carga en el engranaje

I T3: T2

I debido

al

(5_64)

donde Z: es el par transmitido al engranaje 2 y Tj es el par de carga en el engranaje 3 clebido al reposo del tren de engranajes. Como el trabajo realizadt por el eingrana¡e 1 es i-eual al del engranaje 2,

Tfty:720, o si Nt/N, < l, la relación de tercer

e.je,

T,: ' T,N' 'Nl

engr;rnajes reduce la velocidad, al igual que aumenta el par. para el

J.i).+b.0.tr,:7^

(s-65)

donde 7¿ es el par de carga y 11 es el par transmitido al engran a.ie 1.

Tr:

T.

\y

z1 se reiacionan mecliante

lN, N-r

y

03

y 0,

se relacionan mediante

La eliminación de 21, Tz, Tt y

.. ().N.' : N, N,' ().: - 1/.* H,N. N1

I.

l1ü, r h,t't, -\

de las Ecuaciones (5_63), (5_64) y (5_65) produce

rJrir_ brú,t-

iljil

rJ,ij. , b,i,1 Trt

-_ 7,,,

Eliminando 0zY 0t de esta última ecuación, y escribiendo la ecuación resultante en función de {i, sus derivadas con respecto al tiempo, se obtiene

y

f,' (tl),,' (il]) (;l)",Ji; +

[r,

+

('i);,.

(,i)',(,1)'u.f,,

*('i)6-,*)":

(5-66)

"

Por tanto, el momento de.inercia equivaiente y el coeficiente de fiicción del tren de engranajes referido a la flecha l, se obtienen, réspectivamlnte, mediante

.

r,",,

rN,\' ,N' \j,N,12 - r, * (r, ) ,, (r.) (;.*) ,.

r Nr \-' lt,,r: h1- (r. u. ' )

/N' \', N, r2 l

r.)(;;) ,,

Asimismo' el momento de inercia y el coeticiente de fricción viscosa equivalentes del tren de engranajes, referido a la flecha cle cnrga {eje -1.¡, se obtienen, respectivamente, mediante

l..u

- l,,

/N, 'r

(

rN,\:/N,

,:

. ul),, (;,) (;]),

. (,1)".. (,T)'('i);

234


Por tanto, la relación entre ./1..,

)

Jj",, es ./1",r

y aquella entre ót"o y bj"o

:

(**)'(H)' /-,.u

es

(*o)'(**)' b,.o

ulcr¡

y de inercia equivalente se determina mediante las relacione. -,, "/2 ./3 en un momento engranajes N,/N, y N¡,,''N¿. Para los trenes de engranajes que reducen la velocidad, por lo -uen--.-. las relaciones Nrl'N. y N./Na son menores que la unidad. Si Nl,"'N2 < I y N:,"N+ ( 1, el efecto c= y .,/3 en el momento de inercia equivalente ./¡.., es insignificante. Para el coeficiente de fric. viscosa equivalente b1.., del tren de engranajes se aplican comentarios similares. En funciór. :, momento de inercia equivalente -/,"., y el coeficiente de fricción viscosa equivalente b1"o la E'-, ción (5-66) se simplifica para dar

El efecto de

/,".,dr

*

bt.q}r + nT¿- 7,,

donde

NrN: il -

NzN+ -

Cuando el sistema de la Figura 5-52(a) está sujeto a una entrada escalón unitario, la salid. :,: sistema responde como se aprecia en la Figura 5-52(b). Determine los valores de K y T a pan.: ia curva de respuesta.

.üri

Solución. La sobreelongación

máxirna de25.47o corresponde

(:0.4.A

partir de la

cun.

respuesta, se tiene que

tr:3 En consecuencia,

:

7t ,1,

'

@.t

t',.¡'l

,(

rr-rr,.",/-1

-

0.4t

-:3

(b)

Figura

5-52.

(a) Sistema en lazo cerrado; (b) curva de respuesta a escalón unitario

¡i

Capítulo 5. Análisis de la respuesta transitoria y estacionaria

zgs

De :rquí se deduce que ttt,,

A partir del diagrama de bloques,

: l.l4

se tiene que

c(s)

K

R(s)

Is2 + .i

+K

de donde

:

'u',

yf

lRr 2,r't,, -T-

-

Por tanto. los vaiores de T y K se determinan como I

2(r,t,, 2x0.4x1.14 K -- ,.ti,T =

A-5'4'

l.l4r .

l.o9

:

1.09

_- 1.42

Detemine los valores de K y k del sistema en lazo cerraclo de la Fi-gura 5-53 para que la sobreelongación máxima de-Ia respuesta escalón unitario sea del 25To y eltiempo pico selcle 2 seg. : Suponga que

"r

I

kg_m2.

Solución. La función

de transferencia en lazo cerrado es

c(s)

n,rl -,lrr Sustituyendo "/

: I

K

- rt, -

kg-ml en esta última ecuación c(s)

_

R("r)

La sobreelongación máxima M,,

se tiene que

K

.r2

Observe que en este problema

r,.t,,:

¡<

i K,

+ Kfts + K

2(ct,,: Kk

es

in"tl

M,':e

ir

que se especifica como 25c/o. pot tanto,

c !'r'

,j

:0.25

de donde

(r

\l -:

i-

1.386

Figura 5-53. Sistema en lazo cerrado.

236


o bien

(

El tiempo pico

11,

:

0.404

Y, por tanto

se especifica como 2 seg.

7t

tt,: -:2 uJ,l o bien

c,r,¡:

1.57

En este caso la frecuencia natural no amortiguada

a),

:

r.r), es 1.5'7

1.12

/t'

("2

K -- coi':

7'122

./ r -

Por tanto, se obtiene

k:;: A-5-5.

:

2'95 N-m

2'0.404'1.72 :0.471 L%

2Íu'

seg

La Figura 5-54(a) muestra un sistema vibratorio mecánico. Cuando se aplica al sistema una fr---"'L de 2 lb (entrada escalón), la masa oscila como se aprecia en la Figura 5-54(b). Determine ¡¡¡. ' del sistema a partir de esta curva de respuesta. El desplazar-niento ¡ se mide a partir de la por. rmr

de equilibrio.

Solución. La función de transferencia

de este sistema es

X(.r) I P(s) tns' I b.s *

k

Como P(s)

-

2 .t

se obtiene

Xl.s)

-

2

r(ri.s'*ásl

ft)

de 1o cual se deduce que el valor en estado estacionario de x es

x(cc)

:

lím sX(s)

s-o

2 - :k :

0.1 ft

P(2-lb fuerza)

(a)

Figura

5-54.

(b)

(a) Sistema vibratorio mecán¡co; (b) curva de respuesta a un escalón

capíturo 5' Anárisis de

ra respuesta transitoria

y estacionaria 2g7

Por tanto,

:

k Observe que

Mo:

9.5Vo corresponde a

:

(

20 tb¡/ft

0.6. El tiempo pico trse obtiene mediante

7tv tp

7T

(t)¿ ot,uñ]

0.84-r,

La curva experimental muestra qle tp :2 seg. por tanto, 3.14

@r: Como arl

: kl*:

:

2x0.8

201m, se obriene

20

20

2: t.96' , r: @; (Observe que

I

1.96 radlseg

slug

:

I lbr-seg2/ft.) Después á

5.2 slug

A'5-6-

:

2(at,m

:

2 x 0.6

x

166 lb

se determina a

partir de

b

2(r,: b

:

1.96

x

5.2

:

l2.2lb¡lfíseg

considere la respuesta escarón unitario del sistema de segundo orden

c(s) _ R(s)

2

u)h

s2+2(at,s+al,

i:

amortig-uada,-cambia como una serie geométrica

:*l*l^t:3,"T'-"1-1":ip:.i"i:i"1-ente ta amplirud ., iguur u ,,i".i1,.1,il,"#::':,1 ll,îlí,I^r:!,':t¿,?,I!f*,liu^plitud ,, - k j "l?* r : :r l"lry * "-_i;d)1;;;;""'0" a4 amplitui es igual 'I ¿ ) r.i'sz"; o..prer"á" .2nf cicro de tr.

oo,

oscilación, la -,i2f El.lalogaiitmo delirazónde,@to\)3n. ¿es,1 "trl las sucesi "-(o/at)5n. ritmoctecrem,ntot.Deteim;:ii:d;i,':"?X"J"hiX'"ff :ii:'j:.:fi srstema :l'JÍff.Í'*:fj"i:""r: de segundo orden. Descri_ d:::Ttlar exferiment"r_*t" r"."i;;d;;;;;;;;;;:";,""Hili."!'j,íijil,,

amplitud ¿s

l:"'llÍ:i:::?

con la que decae la oscilación

solución. Se define Ia amplitud de la oscilación de salida en / : /, como x,, : tp.+ (i.- l)T (z : periodo

donde de oscilación) . La razónde amplitud por un periodo de oscilación

ti

amortiguada es

'tt : I2

(ola\)n "

e*

)t^

e¿lÓ

'"''3':

u.\Í :

,,,,-

"''z

t I -

'

Por tanto, el logaritmo decremental á es d:ln-:

Xt X2

)."* /tvr-l

¿

Es una función exclusivamente del coeficiente de amortiguamiento (. por tanto, el coeficiiente de amortig,amiento ( se puede determinar utilizando el logiritmo decrámental.

t^:l:j::r,ltlT,i:".:*pu.img1ta]

3.}::::f

::,i:.,"T:1"^:::oger cercano a la unidad. Entonces.

n ro

del coeficiente de amorriguamienro

( a partir de ta razón

,u¡¡.i.nt"-.n;;-;.",á.'ü;r;;';;#;'i"'í),)i,",'!J; Y, 'l) : otn rz;t Jt

x,t

:2

238


o bien

-{1 ln : (,r r,,

1)

__2'ín .. l-('

De ahí

A-5-7.

En el sistema de la Figura 5-55, los valores numéricos de m, b y k son m: I kg, ó: 2 N-... y tr: 100 N/rn. La masa se desplaza 0.05 m y se libera sin velocidad inicial. Encuer,:, frecuencia observada en la vibración. Además, encuentre la amplitud cuatro ciclos desf -: desplazamiento x se mide a partir de la posición de equilibrio.

Solución. La ecuación de movimiento para el sistema

es

mi+bi*Lr:0 Sustituyendo los valores numéricos para m, b y k en esta ecuación se tiene Figura 5-55. Sistema de masa-resorteamortiguador.

i+2,r+ 100¡:0 donde las condiciones iniciales son x(0) - 0.05 y jr(O) - 0. A partir de esta última ecuac frecuencia natural no amortiguada ot,,

,v

el factor de amortiguamiento relativo ( resulta:.

co,,:10. (:0.

I

La frecuencia observada en realidad en la vibración es la frecuencia natural amortigua.-

(r)¿: En el análisis actual,

i(0)

0r0i :9.95

o),./t ,=: 10Ji

se obtiene como cero. Por tanto,

(/) de lo que se deduce que, en

:

_r10)¿

Í:

/=\

- -",t( cos tu,¡t

t

I

, ''

l-;

rad/seg

la solución r(/) se escribe -sen

lr,¡l

/

c,:

)

nT, donde Z:2ttfo.t,,,

x(rtT):

r(Q)¿'-íro"nr

En consecuencia. la amplitud cuatro ciclos después se convierte en

r(47)

: r(0)¿ in','tr : ¡(0)¿ (0 1)(r0)(:1)(0 631s) : 0.05e 2 s26 - 0.05 x 0.07998 - 0.004 m

Obtenga tanto la solución analítica como la computacional de la respuesta escalón unirr: sislemil de orden alto siguiente:

C(s)

3s2

R9-ffi

+

25s2

+ 72s +

80

lObtenga 1a expansión en fiacciones sin'rples de C(s) con MATLAB cuando R(s) es ur..

ción escalón unitario.l

r

Gapítulo 5. Análisis de la respuesta transitoria y estacionaria 23g

deI4ATLAB 5-18 proporciona la curva de respuesra escalón unirallticion' El Progr;rma en la Figura -5-56. También origina la expansión fra.ciones simpies cle C(s) :i:.:l:.ip**e \lgu tenle: "n

c1":r-'3"125"1;:t+so r 8s' F +$sr , 96s -

80

1

r.

- j0.1119 -0.2813 + j0.11tg s-r2 - j4 ,; r2 rj1 0.4375 0.315L_ I - _-

-0.2813

!

.r' r-

_ :

2

{s

-0.5626(.r +

l;tl4-

r 2)l

2) *

(0.3438) x

1,¡¡¡

0.4315 0.3'75

sr 2

1r.-r

-, ¿l

a;

r

2))'r


% ------Respuesta a escalónunitario de C(s) /n(s) ydesarrollo en fracciones simples de C (s) __ __ _ num: [3 25 ]2 801 ; %

den- [1 8 40 96 B0]; step (num, den)

;

v: [0 3 0 1.2]; axis(v) , grrid % Para obtener ef desarrollo en fracciones simples % introduzca 1as órdenes % numl : 13 25 j2 8Ol; % denl: t1 B 40 96 BO Ol; % lr,p,kl : resldue(num1,den1) numl : [25 j2 80] ; denl: [1 I 40 96 80 0]; tr,p,kl : residue(num1 ,den1 ) -0.2813 - A.Itrgi -0.2813 +0.L7L9i

-4.43t5 -0.3750 1.0000 -2.0000+4.OOOOi

-2 . 0000 - 4. 0o0oi -2.0000 -2.0000 0

k-

tl

de C(s),

240


Respuesta a un escalón

0.8 E

E

0.6

0.4

0

0.5

I

1.5

2

2.5

Tiempo (seg)

Figura

5-56.

Curva de respuesta a un escalón unitario.

Por tanto, la respuesta temporal c(l) está dada por

c(t)

: -

0.5626e 2'cos4t + 0.3438e 2',sen4t 0.4375e t,

-

0.375tr-t' +

En la Figura 5-56 se observa el hecho de que la curva

1

cle respuesta es

una curva expone:-

-r,

superpuesta a una sinusoide amortiguada.

A-5-9.

Cuando un sistema en lazo cerrado involucra un numerador con dinámica, Ia curva de resp-- ;r a un escalón unitario puede presentar una sobreelongación grande. Obtenga la respuesta . -l escalón unitario del siguiente sistema utilizando MATLAB:

C(s): n1r.¡

+4 5' r a, -¡ a 10s

Obtenga también la respuesta a una rampa unitaria con MATLAB.

Solución' El Programa de MATLAB

5-19 calcula la respuesta del sistema a un escalón u :,i unitaria. En las Figuras 5-57(a) y (b) se muestran, respectivamente, la cur, respuesta al escalón unitario y a la entrada rampa unitaria junto con la entrada rampa unit;: Observe que la curva de respuesta al escalón unitario presenta una sobreelongación de r,ur del 2l5Vo. La curva de respuesta a la rampa unitaria tiende a la curva de entrada. Estos f'en, :1, nos se producen por la presencia de un término derivativo grande en el numeraclor.

rio y

a una rampa

.utr

Capítulo 5. Análisis de la respuesta transitor¡a y estacionaria 241


- [10 4l ; den: 11 4 4l; t:0:0.A2:I0; y : step (num, den, t) ; plot ( t, y) grid title ( 'Respuesta a un escalón unit.ario , xlabel ( 't (seAr) ' ) ylabel ( 'Salida' ) numl : [10 4l; denl:[1 4 4 O]; y1 : step (num1, den1, t ) ; plot (t, t, '- , ,t,VI) v: [0 10 0 10] ; axis (v) ; grid title ( 'Respuesta a una rampa unitaria, xlabel ( 't (sec) ,) ylabel ( 'Entrada rampa unitaria y salida, text ( 6 . 1, 5, 0, 'Entrada rampa unitaria , text (3 .5,1 .1, 'Salida') num

)

)

)

)

Respuesta a un escalón unitario

l0

Respuesta a una rampa unitaria

9 8 7

6 É

o

É

5

4

!

tr

@

2

I 0

456 I (seg) (a)

Fr

gura

5-57'

456 I (seg) (b)

(a) curva de respuesta a un escalón. unitario; (b) curva de respuesta a una rampa unitaria junto con entrada rampa un¡taria.

242


A-5-10.

Considere el sistema de orden alto definido por

c(s) R(s)

6.3223.t2

rt +

613

+ l8,r +

+ 11.3223s2 +

12.81I

lSs

+

12.8r

r

Dibuje la curva de respuesta a un escalón unitario de este sistema utilizando MATLAB. O: ga también utilizando MATLAB el tiempo de subida, el tiempo de pico, la máxima sobre. grción y el tiempo de asentamienlo.

Solución. El Programa de MATLAB

5-20 dibuja la curva de respuesta a un escalór.r un

y calcula el tiernpo de subida, el tiempo de pico, la máxima sobreelongación y el tien,:, asentamiento. En la Figura -5-58 se muestra la curva de respuesta a un escalón unitario.

MATLAB Programa 5-20 Este programa representa la respuesta a un escalón -unitario, así como encuentra e1 tiempo de subida, tiempo % de pico, sobreelongración máxima, y tiempo de asentamiento ? En este programa e1 tiempo de subida se calcula como el % tiempo requerido para que la respuesta pase del 1O% % al 90% de su walor final. % %

num: [ 6.3223 18 12.BLLI; den - [1 6 LI.3223 18 12.BLLI; t-0:0.42:24; [y,x, t1 - step(num,den, t) ; plot ( t, y) grid title ( 'Respuesta a un escalón unitario' xlabel ( 't (seq) ' ) y1abe1 ('Salida y(t) ')

)

L; while y(11) < 0.1, 11: 11*1; end;

rI:

12 - 1; while y(r2) < 0.9, 12: 1211; end; tiempo-sub¡6u : (12-11 ) *0 . 02

t.iempo-subida 0.5800

fyrax, tp] : max (y) ; tiempo-pico - (tp-1) *0. tiempo-pico :

02

1.6600

sobreelongacion-max - ymax

1

sobreelongacion-max 0

.6782

s:1001;whiley(s) >0.98&y(s) <1.02; s-s r' empo-asenLam-en¿o : (s L) *0.02 tiempo-asentamiento 10.0200

1; end;

",:

capítulo 5' Anárisis de ra respuesta transitoria y estacionaria 24g Respuesta a un escalón unitario

1.8 1.6 1.4 1.2

I

Al

0.8 0.6 0.1 0.2 0

0

2

1

6

8

l0

12 14 16

lr,l

20

I (seg)

Figura

A-5-l

l.

5-58.

Curva de respuesta a un escalón unitario

Consiclere el sistema en lazo cerrado definido por

o;

c(s) R(s)

s1

+

2-.r,rns

utilizando un <, escriba un programa en sistema en los cuatro casos siguientes: Caso

l:

( : O.:,

@u

:

I

Caso

2:

( : O.S,

co,

:

2

Caso3: (:0.1 , Caso 4: ( : O.A, solución' que son:

Se deflne

otl,:

+,u1,

MATLAB

para obtener la respuesta de este

:.n:4 tD,,

ay

:

6

2(o4:

ó. Entonces , a y

f1 4 76

b tienencada

uno cuatro elementos,

361

b: i0.6 2 5.6 9.61 Utilizando los vectores a y b, el pro-elrama de MAI.LAB 5-21 calculará las curvas de respuesta al escalón unitario que se muestran en la Figura 5_59.

244



a- [1 4 L6 36] b- t0.6 2 5.6 t:0:0.1:B; y : zeros (BL,4) ; for r - L:4; num: [a(i) ] ;

6l

den- [1 b(i) a(i)]; y( :, i) - step(num,den, t) end

plot (t ,y (: ,1) , !JI IO

title ( 'Respuesta a un escalón unitario para cuatro casos' xlabel ( 't Seg' ) ylabel ( 'Salidas' gtext ( '1' gl-ext('2') gtext ( '3' ) gtext ( '4' ) )

)

Respuesta a un escalón unitario para cuatro casos

t.4 1.2

I

0.E

:9 a

0.6

0.4

0.2

0!

0

I ¡ Seg

Figura

5-59.

Curvas de respuesta a un escalón unitario para cuatro casos.

)

Capítulo 5. Análisis de la respuesta transitoria y estacionaria

A'5-12'

245

utilizando MATLAB,obtenga la respuesta a una rampa unitaria del sistema de contror en lazo cerrado cuya función de transferencia en lazo cerrado es c(s)

s*10

R(s)

s3+6s2+9"+lo

obtenga también la respuesta de este sistema cuando la entrada está dada por

r:e Solucién' El Programa de MATLAB 5-22 carculala respuesta a una rampa unitaria y la respuesta a la entrada exponencial , : , "'. Las curvas de ráspuesta que resultan se muestran en las Figuras 5-ó0(a) y (b). respectivamente.

MATLAB Programa 5-22 %

---------

Respuesta a una rampa

unltaria

- [1 10] ; den: [1 6 9 10]; t: O:0.1:10; r: t,. y : _LSam(num, den, r, t),. plot (t ,T, ,-' ,r,,y, ,o'J grid title ( 'Respuesta a una rampa unitaria con ra orden ,, lsirn,, xfabel ( 't Seg' ) y1abel ( 'satida' ) text (3 .2,6 .5, ,Entrada rampa unitaria, ) text (6. 0, 3. 1,'Salida' ) num

% ---------

po<ñr,ócr ,uoyucsud

a entrada

11 : exp (_0.5t)

num: [0 0 1 10]; den: [1 6 9 10]; t:0:0.L:L2; 11 : exp (-0.5*t) ; y1 : lsirn(num,den, rI ,t-); plot(t, rL,, -,, t,vI,, o, ) grid title ( 'Respuesta a la entrada 11 : exp (-0.5t) xlabel ( 't Seg' ) ylabel ( 'Entrada y salida, ) text(1 .4,0.15,'Entrada 11 : exp(_0.5t), ) text (6 .2,0 .34, ,Salj-da' )

,

)

,)

246

lngeniería de control moderna Respuesta a una rampa unitaria con la orden

"Isim"

t0 9 8

7

Entrada rampa unitaria 6

E

5

a 4 Salida

3

2 I

0r

56

0

r

l0

Scg (a)

Respuesta a la entrada r1 = ¿-o

5t

1

0.9 0.8

Entra<1ar,:gost 0.1

E

=

.e""% o"

0.6 0.5 _o

-ú

o

0.4 _o

t!

o

0.3

o o o o o o o

o ar'

Salida

o

0.2 -o 0.1

o o o o

0

4

6

8

l0

12

I seg (b)

5-60. (a) Curva de respuesta a rampa unitaria; (b) respuesta a entrada exponencial e o5t.

Figura

r-

A-5-13.

Obtenga la respuesta del sistema en lazo ceffado definido por C(s)

5

R(s)- "i2+s+5

cuando la entrada r(r) está dada por

r(.t):2 + r [La entrada r(/) es una entrada escalón de magnitud 2 más una rampa unitaria.]


Solución. El Programa MATLAB 5-23

es una posible solución. En la Figura 5-61 se muestra la curva de respuesta resultante junto con un dibu;o de la función de entrada.


- l5l ; den: [1 1 5] ; t - 0: O. 05 : 10; r:2iL; c - fsim(num, den, r, t) ; plot (t ,r,'-' , t, c, 'o' ) grid title('Respuesta a la entrada r(t) - 2 I L' xlabel ( 't Seg' ylabel('Salida c(t) yentrada r(r) : 2 + t, num

\t

)

Respuesta a la entrada r(t¡

)

- 2 *,

+ N

l8 3

Eo o

= tt

2345678 1

Seg

Figura5-61. Respuestaaentrada r(t)

A'5-14.

:

2+

t.

Obtenga la respuesta del sistema que se muestra en la Figura 5-62 cuanclo l¿i entr.ada r(r) está

dada por

I

rlt):11 [La entrada r(r) es una entrad¿i aceleración unitaria.] R(s)


248



en lazo cerrado es

2 C(s):r'r-s+2 R1r.¡

El Programa MATLAB 5-24 calcula la respuesta a la aceleración unitaria. En la Figura -5-t: muestra la respuesta resultante junto con la entrada aceleración unitaria.


- [2] ; den: [1 L 2); t - 0 : 0 .2:La; r:0.5*L."2; y: lsim(num,den,r,t); plot(t,T,' -',L,y,'o',t,y,'-' grid title ( 'Respuesta a aceleración unitaria' ) xlabel ( 't Seq' ylabel ( 'Entrada y salida' ) text (2 .I,21 .5, 'Entrada aceleración unitaria' text (7 .2 ,1 .5, 'Salida' ) num

)

)

)

Respuesta a aceleración unitana 50 45

40 35

30

Entrada aceleración unitaria 25 tr

20

Ld

15

l0 5

0

2

3

4

6

s

7

8

9

I Seg

Figura 5-63.

A-S-15.

Respuesta a entrada aceleración unitaria.

Considere el sistema definido por

c(s) _ R(s)

s'+

2í.t

+

1

l0

capíturo 5' Anárisis de ra respuesta transitoria y estacionaria 24g donde ( : 0, 0.2, 0.4, 0.6,0.g y 1.0. Escriba un programa en MATLAB utilizanclo un para obtener ras gráficas en dos y en tres dimensiones de la salida del sistema. La entrada es una función escalón unitario.

solución'

El Programa MATLAB 5-25 es una posible solución para obtener los diagramas en dos y en tres dimensiones. La Figura 5-64(a) es el dibujo de las curvas de respuesta al escalón unitario para distintos valores de (. La Figura 5-64(b) es er dibujo en tres dimensiones obtenido utilizando el comando , y la Figura 5_ó4(c) se ha obtenido

;;;r";;;siones

utilizando el comando . (Estos dos dibujos en tres dirnensiones son prácticamente iguales. La única dif'erencia es que el eje l y el eje ¡ están intercambiados.)

,11-\TLAB

programa

5_25

. _= Respuestas a un escalón unitario,) . =- , Seg') . r::_ 'salidas') i : '\zeta : 0') , :._ '4.2') =.;-_'0.4') : --_ 0.6') ." __ 0.8,) ::_ '1.0')

.

:

':= :ibujar una grráfica tridimensional, introduzca las órdenes : mesh (v) o rnesh (y, ) " ' :: strarán dos qráficas tridimensionales, usando en una ,,mesh (y) ,, y en 1a otra ---:-(y') ". Las dos gráficas son iguales, excepto que se intercambian fos ejes x e y. = :::.:=.:=-

'Representación tridimensionaf de 1a respuesta escalón con ra orden ('n, donde n : L,2,3, 4,S, 6, ) i 'puntos de tiempo de cálculo, ) t 'salidas')

. _= 'Represent.ación tridimensional de la respuesta escafón con la ::=r-, "mesh(y transpose),, ,) - ":=- ( 'puntos de tiempo de cálculo, ) .::- ( 'n, donde n : I,2 ,3 , 4,5 6, , . -:- ( 'Salidas') )

,,mesh

(y) ,, ,

.

)

25O


Resnucsta a un escrlón unilario

6

Represenleción ¡ridrnension¡1 de l¡ resfuesta con l¡ orden lnesh(y)'

Rcpresentación tridiDensiott¿tl c1c cruvas de lcspuesta esc¡lón utrt-: utiliz¡ndo la orden mesh(v transpose)'

esc¿11ót

Puntos dc iienrpo dc cálculo

5-64. (a) Gráfica bidimensional de las curvas de respuesta a un escalón unitario; (b) gráfica tridimensional de las curvas de respuesta a un escalón unitario con la orden "mesh(y)"; (c) gráfica tridimensional de las curvas de respuesta a un escalón unitario con la orden "mesh(y')".

Figura

A-5-t6.

Considérese el sistema sujeto a la condición inicial descrita a continuación.

t 0 I l;, 1-l o o ,\ t*,r

L,,t

L

;

0r ['l rl--

;l

L;.l

['l:l]- t-i I Lr:[l]

L;,1

\-lr , t'[:.l .1.._] (No hay entracla o función forzante en este sistema.) Obténgase la respuestal(r) fiente, la condición inicial utilizando las Ecuaciones (5-58) ¡' (5-601.


solución. El programa x4{rL.AB_.5 26 es un posible programa en MA.TLAB basaclo en las Ecuaciones (5--58) y (-5-6o). En Ia Figura -5-65 se mllestra la curva cle la respuesta obtenicla. (obsérvese que este problema se resolvió en el Ejemplo 5-16 utilizanJo tu or.t"n . La curva de la respuesta obtenida aquí es la misma que se mostró en la Figura -5-34.)


t:0:0.05:10; A: i0 1 0;0 0 L;-Ia -Ij -81; B: 12;1;0.51; c: 11 0 0l ; IY,x, t] : step(A,8, C*A,C*B, 1, t) plot ( t, y)

;

grrid; t.it1e ( 'Respuest.a a condición inicial xlabel ( ,t (seq) ' )

ylabel ( 'salida y'

,

)

)

Respuesta a coudición inicial

2.5

1.5

=

a

0.5

45

t0 I (seg)

Figura

A-5-l

7.

5-65'

Respuesta y(f) a entrada acereracrón unitaria.

Considere la siguiente ecuación característica:

s'++Kr.3+s2+.r*l:o Detennine el rango de valores de Kpara la estabilidad. Solución. El array de coeficientes de Routh es ,f

J

I 3

J-

Jl .\

l)

K

K-l K IC

K-1 i

l1 IO

252


Para la estabilidad, es necesario que

K>O

K-1 _>0 K

I? _>0

KI

A partir de la primera y segunda condición, Kdebe ser mayor que el término

1 Vel6

1. Para

K

> I, obserr; -r-ul

1)l siempre es negativo, ya que

K 1 re K

1+K(1 -41

1( l

l

<0

Por tanto, no es posible cumplir con las tres condiciones en fonna simultánea. Por tal existe un valor de K que permita la estabilidad del sistema.

A'5'18.

razt':

rL

Considere la ecuación característica obtenida mediante

u¡¡s"*a1s" |+e.,\"'2+"

+a,,

1s1-

a,r-0

:-"-'

El criterio de estabilidad de Hurwitz, que se presenta a continuación, ofrece las condi.

'r,rrrr',.

para todas las raíces que tienen partes reales negativas en función de los coeficientes del ', '' nomio. Como se planteó en el análisis del criterio de estabilidad de Routh, de la Seccit: : para todas las raíces que tengan partes reales negativas, todos los coeficientes de las r¿ :. ser positivos. Esta es una condición necesaria, pero no suficiente. Si no se satisf'ace estA . r,,ürir' ción, quiere decir que algunas de las raíces tienen partes reales positivas, son imaginaria. cero. Una condición suficiente para que todas las raíces tengan partes reales negativas sc ne mediante el siguiente criterio de estabilidad de Hurwitz: si todos los coeficientes del p mio son positivos, arréglelos en el determinante siguiente:

0

a3 at a1

0

QO A¡

A1 O0

4,,:

a5 0+

(1,,

o3

arrl a, -2 d,r-3

0

0

0

au

0

ar,

a,t44,2

0

t-,

0

1

an

donde los ceros se sustituyen por a" si s > ¡¿. Para todas las raíces que tienen partes -: negativas, es necesario y suficiente que los menores principales de 4,, sean positivos. L.. nores principales sucesivos son los determinantes siguientes:

a1 ag

a3

az¡-

t

a2

Q2¡

z

A¡: 0a, 0

dondea-,:0sis>

az¡. t

(.i

-

1

, 2. ...,

tt

1)

A¡

n. (Se observa que se incluyen algunas condiciones para los determir de orden inf-erior en las condiciones para los determinantes de orden superior.) Si todo.

Capítulo 5. Análisis de la respuesta trans¡toria y estacionaria 2Sg determinantes son positivos_, y si se ha supuesto ao ), O,el estado de equilibrio del sistema cuya ecuación característica se obtiene mediante la Ecuación (5-67) es asintóticamente estable. observe que no se necesitan valores exactos de los determinantes; sólo se requieren los signos de estos determinantes para el criterio de estabilidad. Ahora considere la siguiente ecuación característica: ,nso

+

a,s-'

*

azs2

+

a1s

* aa:

Q

Obtenga la condición para la estabilidad mediante el criterio de estabilidad de Hurwitz.

solución-

Las condiciones para la estabilidad son que todas las a sean positivas y que

A,

: Ila. a,l'l-- o,o, -' at lu¡

ara, > 0

I

lo, o1

o

lo (;r

o3

A:: lon o1 a¿ : a1(a2aj ap) - u¡¡a23 : u.\(Ltp2 - a¡a.1| - alua > 0 Es evidente que todas las ¿,son positivas y que, si se satisface la condición a: > 0, también se cumple la condición Az > 0'Por tanto, paraiodas las raíces de la ecuación característica determinada que tengan partes reales negatitas, es necesario y suficiente que todos los coeficientes de a sean positivos y A¡ > 0.

A-5-19.

Demuestre que la primera columna del anay de Routh de

s'la.,s" l+arsn 2+

+an,pi_a,r:0

se obtiene mediante

a, A. :: 1, 4,. 'ArA2

Ln

-

a,t

donde

at100 a3a2a11

A,:

a5 42,

(4:0

Aq a3

A2

.0 .0 .0 , (nlr)1) .: .ar

I

sik>n

Solución. El array de coeficientes I

de Routh tiene la forma de (l¡

O

t

b1

o3 a5 b2 b.

(1

C¡

Oy

::

254

Ingeniería de control moderna de Routh es l. El término siguiente primera columna eS d1, QUe es igual a a1. El término siguiente es ó1' que es igual a

El primer término de la primera columna del aray

de

upz- at _Lz A1 ctt El término que sigue en la primera columna

es

f,r¡t 2btc4

-

utbz _

cl' que es igual a

nrl

F

|

,,,-l¿?1

bl

fuPa-rt5l -r'rl u, -l

a1 aiat*

apzaz-

uqs

A10t - 01

-4, L2 Los términos restantes cle ia primera columna clel array de Routh

Se

encuentlln 9n

it--

simiiar. El array de Routh tiene lapropiedad de que los últimos ténninos dif-erentes de cero de quier columna son iguales; es decir, si el array se obtiene mediante

A¡ A¡

d+

d6

CLt 0t

A,,

Ctl

bt b2

b1

C1

C¡

dt

d2

€1

€t

Cj

ft entonces 07

y si el array

: C3: eZ: 8t

se obtiene mediante

A¡ ü2 Ct+ a1d1a50 bt b2 b3 C1 C¡ 0 dj d2 €1 0

A6

Jt entonces

ct6- b3: d:: ft En cualquier caso, ei último término de la primela columna es igual a .1,¡, o bien

,rr:

A, (In L,,-:A,

4,, ,

¡-'

Capítulo 5. Análisis de la respuesta transitoria y estacionaria 2Ss Por ejemplo, si

¡¿

:

4, entonces

I 0 0l la, l", (t'l0C

u

i

ol

',tl :

Ltt II 1,,, tt ú1 : ttt * - 1", 04 d. o¡ o.l: I 0aâ¡a2 ^ l.r-, + ¿1.¡ o o^ 't 0t a6 0,, a5 ¿.r-s 115 a4 ,,^l lrr O 0 0 ,;l ": I 000o" I

1

L3cta

I

Por tanto, se ha demostrado que la prirnera coiumna del anay de Routh se obtiene mediante

I' A-5-2O.

A2

Ar,

A,

A3

Ar' a2'

a,1

Demuestre que ei criter:io de estabilidad de Routh y el criterio de estabilidad de Hurwitz son

equivalentes.

Solución.

Si se escriben los determinantes de Hurwitz en la fbrma trianf¡ular

o,:

l''0,2

(i

:

1,2, ..., n)

I

lo

(l¡,

en la que todos los elementos debajo de la línea diagonal son cero y todos los elementos sobre la línea diagonal son cualquier número, las condicio-nes de Hurwitz;arala

esta¡ilidad asintóti-

ca se convierten en

L¡

: atlay

...e¡¡

) 0,

(i

:

1,2, ..., n)

que equivalen a las condiciones

all ) 0.

a¡¡

)>

0.

e,.,n

Ahora se demostrará que est¿ts condiciones equivalen

a1)0,

ó,>0,

)

0

a

cl>0.

donde a1, bt, ct, ..., son los erementos de la primera columna en el array de Routh. Por ejemplo. considere ei siguiente deterilinante cle Hurwitz, que coresponde a

^-

l\,

-

I

l0 ut o,

o

ot,

arl

(t: url

se altera si se resta de la ¡-ésima fila la i-ésima Restando de la segunda fila a,f u,, veces la primera fila. se obtiene

A1 -

4:

o4 or ,,,l ln, d: e1 a^l lun

I

El determinante no

i:

fila multiplicado por

ft.

256


att : at AO

AZz:Az--43 A1

o')

tt¡t - d¡

o,

A1

A¡

dZ+:

AO

-

A1 A1

Asimismo, restando de la cuarta fila la tercera fila multiplicado por

asf a1

resulta

o¡ a5 cttl d¡> 0¡t orol o1 a1 asl 0 aqs a+¿l

la" lo A,:t ' |0 l^^t l0

|

donde

-uo

AqZ: AZ A1

A3

u0

^

Att:

Q¿

-A1

A5

A continuación, restando de la tercera fila la segunda fila multiplicada por alfa22resuhz

lort a1 05 ut I o a¡t a¡t u,^l " A,:t I

' l0 Q d* i*l l0 0 a*

I

o++l

donde Q1

AZZ:A3--AZt

u)2

A3+:

A1

AS

-

AZq

azz

Por último, restando de la última fila la segunda fila multiplicada por árrloT resulta

lott

¡*:lo I0

e1 a5

o, I

a¡t att atol

ó" o'l:

o',ol

lo o o

uool

donde A^^

á0, ^ : A^^ At -A*

t

Capítulo 5. Análisis de la respuesta transitoria y estacionar¡a 257

A partir de este análisis,

se observa que

:

La

ct1p22a¡a41

Lj : ct1pt2ajy L2: a11cb2 Lt : att Las condiciones de Hurwitz para la estabilidad asintótica

a,>0,

az>0,

a3>0,

Ao>0,

se reducen a las condiciones

at, ) 0,

a22)

0,

¿z¡¡

)

0,

a¿+

)

:

0

0,

El array de Routh para el polinomio ct,.,sl

donde au > 0 y ,r :

+

*

ors3

+ajs *

ars2

rza

4, se obtiene a partir de

ag a2 at a3 b1 b2

01

C1

dl

A partir

de este array de Routh se observa que

Qlt : üt

ot-_ a¿ "o u-r--

h,

a1

att:az-¿r.:453:r, u"+

-

ac+

-

oo' azt

u'o

: ol -

tl

r

(La última ecuación se obtiene utilizando el hecho de que ay: 0, á++: a+ y aa b2: Por tanto, las condiciones de Hurwitz para la estabilidad asintótica se transforman en

at)0,

bt>0,

ct>0,

d1.'1

dt>0

De esta manera, se demuestra que las condiciones de Hurwitz para la estabiliclad asintótica se reducen a las condiciones de Routh para la estabilidad asintótica. El mismo argumento se extiende para los determinantes de Hurwitz de cualquier orden, y es posible estabiecer la equivalencia entre el criterio de estabilidad de Routh y el criterio de estabilidad de Hurwitz.

A-5-21.

Considere la ecuación característica ra

+

2s3

+

(,+

+ K)rt +

9s

+ 25 :

0

Utilizando el criterio de estabilidad de Hurwitz, determine el rango de K para la estabilidad

Solución.

Comparando la ecuación característica dada .rr

-

?s3

+ (4 + K)s2 +

9s

+ 25

:

o

258


con la ecuación característica estándar de cuarto orden

+ a,s3 +

aus4

+

aas2

ajs

I aa:

0

se tiene

cr¡:7,

a1

:2,

u2:4IK,

at-9,

aa:25

El criterio de estabilidad de Hurwitz indica que Aa está dado por lrt,

A3

0

0

n,- : l"n

ü2

a1

0

A1

Aj

(lo

A2

l0 ln

0 út

Para que todas las raíces tengan partes reales negativas es n ecesario y suficiente que los me: res principales sucesivos a Aa sean positivos. Los menores principales sucesivos son

L1

- lall:

A.

: lo, n.l -

2

lnu o.l I 1,,, (r¡ 0

A, - 1,,,, Ltz ir1 :

o (tt r/-¡ I

el

+Kll:2K-

4 2

I

4

o

|

e

0l

2

el

- K zsl: rsr

roe

I

Para que todos los menores principales sean positivos. se requiere que sitivos. Por tanto, se exige que

A,(l

-

1,2,3)

sean -,

2K I >0 t8K 109 > 0

de lo cual se obtiene que la región de K para la estabilidad es

tr A-S-22. Explique por qué el control

109

,,

proporcional de una planta que no posee una propiedad de inte_. .

ción (lo que significa que la función de transf'erencia de la planta no inch"rye el f'actor 1/.r) :- rr un ofTset en la respuesta a las entr¿rdas escalón.

Solución.

Considere, por ejemplo, el sistema de la Figura 5-66. En estado unifbrme. . fuera igual a una constante r diferente de cero, entonces e :0 y u: Ke: 0, resultando :Lu, ¿ - 0, lo cual contradice la suposición de que c : r: constante dif-erente de cero. Debe existir un offset dif-erente de cero para la operación adecuada de un sistema de ¡ r' trol. En otras palabras, en estado estacionario, si ¿ fuera igual a r(1 + 19, entonces ¿1 : j

(1

+Áfyc-Krl(\ +lQ, locualprovocaríalaseñaldeerrorsupuestae-ri(.l *K).Por-r

to, el offset de ri(1

+

Á') debe existir en tal sistema.


Capítulo 5. Análisis de la respuesta transitoria y estacionaria 2Sg

A-5'23'

El diagrama cle bloques de la Figura 5-67 muestra un sistema de control de velocidad en el cual el miembro de salida del sistema está sujeto a una perturbación de par. En el diagrama, f2,(s), o(s)' z(s) y D(s) son las transfbrmadas de Laplace de la velocidad de ref'erencia. la velociclad de salida, el par de excitación y el par de perturbación, .".p".,iuu'',ente. En ausencia de un par de perturbación, la velocidad de salida es igual a la velocidad de ref.erencia. D(')

I

5-67.

Figura

Diagrama de bloques de un sistema de control de velocidad.

Investi-eue la respuesta de este sistema para un par de perturbación escalón unitario. Suponga que la entrada de referencia es cero, es clecir, O,(s) :0.

solución' La Figura 5-68 es un diagrama de bloques mocliflcado, conveniente para el análisis presente. La función de transferencia en lazo ceraclo es Qo(.í)

Js*K

D(s) donde

o¡(s)

perturbación'

es la transformada de Laplace cle la velocidad de salida producida por el par de Par¿r

estable es

un par de perturbación escalón unitario, la velociáad de salida en estacio

co,r(r,):

lím sfJ¡(s) r+O

:lím"'tt./s

s

*

K

t

K

A partir de este análisis se concluye que, si se aprica un par de perturbación escarón al miembro de salida del sistema, se producirá una velocidad de emor tal que el par del motor resultante cancelará exactamente el par de perturbación. Para clesanollar el par del motor es necesario que

exista un enor-en la velocidad para que se produzca un par diferente cle cero. (La discusión continúa en ei problem a A_5-24.¡

\l*E'¡r

Ltr-[

Figura

5'68.

Diagrama de bloques del sistema de contror de velocidad de la Figura 5_67 cuando O,(s) O.

:

260


A-5'24.

En el sistema considerado en el Problema A-5-23, se pretende eliminar lo más posible los .* res de velocidad producidos por los pares de perturbación. ¿Es posible cancelar el efecto de un par de perturbación en estado estacion¿rrio para Qu: :.1 par de perturbación constante aplicado al miembro de salida no produzca un cambio de r ¡ ,dad en estado estable?

Solución.

Suponga que se elige un controlador conveniente cuya función de transf'er¿ -r.

sea G.(.r), como se observa en la Figura 5-69. E,n ausencia de la entrada de referencia. 1¡r ,-. ción de transf'erencia en lazo cerrado entre la velocidad de salida QD(.s') y el par de perturb;,

ilr

D(s)

es

I

QoG) D(.i)

Js

I

1+

Js

G.(s)

I

,/,r *

G.(s)

La velocidad de salida en estado estable producida por el par de perturbación rio es a,tp(rn) : lím slZ¿(s)

esc¿rlón

r+0

sl

:lím-

.,,0 ./s

*

G,.(s) s

I

G,(0) Para satisfacer el requerimiento de que

up(.co) se debe seleccionar

G.(0)

:

:0

cc. Esto se comprende si se elige

G.(,): { s

Una acción de control integral seguirá corrigiendo hasta que el error sea cero. Sin em:este controlador presenta un problema de estabilidad, debido a que la ecuación caracre:. tendrá dos raíces imaginarias. Un método para estabilizar un sistema como éste es agregar un modo proporcional :

trolador, o elegir G,,(s)

:

K, +

K s

D(s)

Figura

5-69.

Diagrama de bloques de un sistema de control de velocidad


Figura 5-70. Diagrama de bloques del sistema de control de velocidad de la Figura 5-69 cuando G"(s) _ Ko + (Kl s) y O,(s)

:

O.

Con este controlador, el diagrama de bloques de la Figura 5-69, ante la ausencia de la entrada de referencia, se convierte en el de la Figura 5_70. La función de transferencia en lazo cerrarlo

Qo(s)lD(s) se convierte en

QoG)

Js2+Krs+K

D(s)

.

rlo

Para un par de perturbación escalón unitario, ra velocidad de salida en estado estaciona-

es

ap(1r.):

2

lím ^rQo(s) : ,-o

lím ..0-/s. --|r K,,sl

I _:0 K

.t

Por tanto, se observa que el controlador proporcional-integral elimina el error de velocidad en estado estacionario.

El uso de una acción de control integral ha aumentado el orden del sistema en l. (Esto tiende a producir una respuesta oscilatoria.,.) En el Problema actual, un par de perturbación escalón provocará un e,.or transitorio en la velocidad de salida, pero el error se tonvertirá en cero en estado estacionario. El integrador proporciona una salida dif'erente de cero con un error de cero. (La salida diferente ¿e cero clel integrador produce un par del motor que cancela exactamente el par de perturbación.) observe que el integrador de la función de transferencia ie la planta no elimina el eror en estado estacionario debido a un par de perturbación escalón. para eliminar dicho error, se ilebe tener un integrador antes der punto en ór que se introduce er par de perturbación.

A-5-25'

considere el sistema de la Figura 5-7 l(a).El error en estado estacionario para una entrada rampa unitaria es ¿(< 2(/ot,,.Demtestre que el error en estado estacionario se elimina para seguir una entrada rampa si Ia entrada se incorpora al sistema a través de un filtro p.opÁ..1onur-a"rivativo' como se observa en la Figura s-71(b), y el valor d" establece en forma proporcional. Observe que el enor e(r) se óbtiene mediante r(t) _

:

t;;

c(t).


en lazo cerrado

c(s)

R(s)

(1 s2 +

+

del sistema de la Figura 5_71(b)

ks)col,

2(to,.s

+ uf,

Por tanto,

ntsr

(a)

Figura

5-71.

- Cfsl: (

+ 2(u,s c,ltks --2 s2 + 2(r.o,,s + u)k )o,,,

,s2

(b)

(a) Sisrema de control; (b) sistema de control con filtro de entrada.

es

262


Si la entrada es una rampa unitaria, el error en estado estacionario

e(r'1: r(.r) -

es

r)

c(

,1 .l -f L(t)..,\

/

lím.il -.a

,-o \,i'*2fru,,.r

l\(Dn _.

),

- 0),K

(o;

Por tanto, si se selecciona ft como l.6

2(: lUl

el error en estado estacionario después de una entrada rampa es igual a cero. Observe que. existen variaciones en los valores de ( y/o rr;, debido a los cambios ambientales o al en\ejemiento, puede producirse un eñor en estado estacionario diferente de cero para una respue: rampa.

A-5-26.

Considere el sistema estable de control con realimentación unidad con una función de ttan.: rencia de trayectoria clirecta G(.s). Suponga que la función de transferencia en lazo cerrad. escribe como C(s)

_ (4,s + l)(Z¿,s + 1) "'(4,s + l) I + G(s) (I1s + l)(72.i + 1) "'(2,,.i + 1)

_ G(s)

R(s)

(n{n)

Demuestre que

f'

:

r(t)

Solución.

Sean

donde e(r)

,,U

ctt

:

(rt + rz +

+

7,,)

-

(7,,

+

Tb

+ ... + 2,,,)

- c(r) es el error en la respuesta escalón unitario. Asimismo, demuestre ;-, 11 : 1I' * T, I . . + 7,,) (7,,+ Tt,+ "' +7,,,) K, s-0 lím sCt.rl (2.,s

*

l)(Z¿,.i

+ 1)...

:

P(s)

(Z1s

+

1)(72s

+ 1)... (I,,s + l) -

O(s)

(.7,,,s

*

1)

v

Por tanto, C(s)

_ P(s)

R(s)

O(.r')

P(s)

-: Q\'\) ûnitario, R(s) : l/s y E(.s)

Para una entrada escalón

O("i)

E(sl

-:-O(¡)

sQls

Rrsr

Pt r

sr

capítulo 5' Anárisis de

l; e6*

Como el sistema es estable,

f

'

('ll)

| .) o

ra respuesta transitoria

y estacionaria

26g

converge a un valor constante. Obsérvese que Er

,r')

tlt = lím.r - -- lím Etsl .o '-{r .\

Por tanto.

Ptsl O(s),+o sOG)

¿(t\tlt -- lím

f

,,'

,.

- llm

:

e

tst

p'(,)

,-o e(.r) +,iQ,(s) lím iQ'(r) - p'(s)l s+ll

: T,,+Tb+.

I'S

I7,,,

"'t'i ri1e,G): Tt+T)+.. *

7,,

se tlene que

I"

e(.t)

dt

:

(71

+

T2

I

+

7,,)

-

(7,,

+

Tb

+ ... + 7,,,)

Para una entrada esca lón unitario r(r), como

r'

| Jo

,v¡

¿,

6l¡)

-

I

-^ -o I + c(r)

lím .¡

I - I ,-r' I r Gt.r') .s -

se tiene que I _ sl : -:-_ K lím sOl

(7, + T,

I

I

R(,.1 - ,. llm

...

I

7,,)

lím r

+ll

_ (7,,+ Tt,+ ... +

.r.Gtst

I

K,

l.il,)

Observe que ios ceros en el semiplano izquierdo del plano (es decir, 7,,, Tt,, .. ,f,, positivos) aumentan K,.. Los polos cerca crel origen provocan constantes de eroi o.'".i..iárt";il: menos que haya ceros cercanos.

PROBIEMAS t" 5.- I . Un termómetro requiere de un minuto para al_ -.--:.: el 98Vc del valor final de la respuestu u unu .. :,:.ión. Suponiendo que el termómetro "n,.u_ es un sistema , r-_¡ir orden, encuentre la constante de tiernpo.

:.

:1 termómetro se coloca en un baño, .uyu ,"lr-t_ -:,r cambia en forma lineal a una velocidad de -.r. uqué error muestra ei termómetro?

-.-

$"5-2. Considere la respuesta escalón unitario de

:--.

- ::

un de control iealimentado unitariamente cuya fun_ transferencia en lazo abierto es

G(s) =

s(s

+

1)

Obtenga el tiempo de subicla, el tiernpo pico, la sobre_ elongación máxima y el tiempo ¿" ur.nturi.nto.

B-5-3-

Consiclere el sistema en lazo cerrado dado por

c(s)

('')?,

Rr.r)- ,t;l,,rr,

-

r,;

Determine los valores de ( y at,para que el sistema res_ ponda a una entrada escalón .on ,nu sábreelongación de aproximadamente el 5Va y con un tiempo de asitamien_ to de 2 seg. (Utilice el criterio del 2Vo..)

264


B-5-4. Considere el sistema de la Figura 5-72. lnicíalmente el sistema está en reposo. Suponga que el carro se

Suponga que ex:iste un registro de una oscilación anrr': guada, tal como aparece en la Figura 5-73. Determir.:

pone en movimiento mediante una fuerza de impulso unitario. ¿,Puede detenerse mediante otra fuerza de im-

factor de amortiguamiento relativo de la gráfica.

( del sistema r p -

pulso equivalente?

Fuerza impulsiva ó(r)

Figura 5-72. Sistema mecánico.

Figura 5-73. Oscilación amortiguada.

B-5-5. Obtenga la respuesta impulso unitario y la res-

B-5-7. Considere el sistema de la Figura 5-74(a). El tor de amortiguamiento relativo de este sistema es 0. 1:' la fiecuencia natural no amortiguada es de 3.16 rad.,Para mejorar la estabilidad relativa, se emplea ufl& r;:

puesta escalón unitario de un sistema realimentado unitariamente cuya función de transferencia en lazo abierto sea

mentación tacométrica. La Figura 5-74(b) muestri

2sf1 G(s): I 8-5-6.

Se sabe que un sistema oscilatorio tiene la sisuiente lunción de transferencia: 2

G(s):

s2+2(ot,,s+of,

como del sistema de realimentación tacométrica. T.-. bién dibuje las curvas de error frente al tiempo pa:- ; respuesta rampa unitaria de ambos sistemas.

(a)

(b)

Figura

5-74.

-"

sistema de realimentación tacométrica. Determine el valor de K¡ para que el factor de a: tiguamiento relativo del sistema sea 0.5. Dibu.je cu . de respuesta escalón unitario tanto del sistema on; '-

(a) Sistema de control; (b) sistema de control con realimentación tacométrica.


B-5-8. Remitiéndose al sistema de la Figura 5-75, de_ ,j-::rne 1os valores de K y k tales que el sistema tenga un ",: r de amortiguamiento ( de 0.7 y una frecuencia na_ Lr'., no amortiguada o,, d,e l radlseg.

B-5-9. Considere el sisrema de la Figura 5-76. Determi",: :. ,. alor de ft de modo que el factor cle amortiguamien_

- :-a

0.5. Después obtenga el tiempo de subida r,, el

-:!r pico /r,, la sobreelongación máxima Mu y el tiem_ r :. lsentamiento /, en la respuesta escalón unitario. j

8.5-

1

2.

Utilice MATLAB para obtener la respuesta es-

,. .. unitario, la respuesta rampa unitaria y la respuesta '--..rr unitario del sistema siguiente: C(s) _ l0 R(s) ,s2 + 2s +

- ,:,ri

R(.r)

Bl:[-,' :']Bl.[:']. ):[l

'[:]

donde u es la entrada e y es la salida.

B-5-12. Obtenga de forma analítica y de fbrma computacional el tiempo de subida, el tiempo de pico, la máxi_ ma sobreelongación y el tiempo de asentamiento como respuesta a un escalón unitario del sistema en lazo cerra_ do dado por

10

y C(s) son transformadas de Laplace de la en_

r':.:: f ¡) y Ia salida c(r),

B-5-l l. Utilizando MATLAB, obtenga la respuesra es_ calón unitario, rampa unitaria e impulso unitario del sis_ tema siguiente:

respectivamente.

Figura

Figura

c(s) _ R(s)

5-75.

5-76.

Sistema en lazo de control.

Diagrama de bloques de un sistema.

.i r)

s2+2s+36

266


B-5-13. La Figura 5-77 muestra tres sistemas. El sistema I es un sistema de control de posición. El sistema II es un sistema de

control de posición con acción de con-

trol PD. El sistema III es un sistema de control de posición con realimentación de velocidad. Compare las respuestas escalón unitario, de impulso unitario y rampa unitaria de los tres sistemas. ¿Qué sistema es mejor con

B-5-14. Considere el sistema de control de posici. llttr la Figura 5-78. Escriba un programa de MATLAB :;lur obtener una respuesta escalón unitario y una respL:r'"iirui rampa unitaria del sistema. Trace las curvas de I fiente a r, r2(t) frente r, -t,(r) frente t, y e(t) frente ¡ .: -' de e(t) : r(t) x1(r)l para la respuesta a un escalór -:n tario y la lespuesta il una rampa unitari¡.r.

respecto a la velocidad de respuesta y la sobreelongación máxima en la respuesta escalón?

Sistema

I

Sistcma

ll

Sistema

III

Figura 5-77. Servosistema pos¡cional (sistema l), servosistema posicional con acción de control PD (sistema ll), y servosistema posicional con realimentación de velocidad (sistema lll).

Figura 5-78. Sistema de control de posición,

Capítulo 5. Análisis de la respuesta transitor¡a y estacionaria 267

$.5-15. Obtenga, utilizanclo MATLAB, la curva |:

-::.r

cle

escalón unitario para el sistema cle control con

.- ^ .:rr¡ción ,. _t:no es

unidad cuya flnción cle transferencia en

l0

,

ir

:

i,

"

;demás, utilizando MATLAB, el tiempo de Asentamlento en la curva de respuesta a un

:,.-.:¡ario.

I"5;16.

su_

el

es_

También dibuje

. *::rma en tres dimensiones de las curvas de

$- 5- 1 7.

+ 3i +

2,r,

: 0,

],(0)

: 0.1,

)(0)

:

0.05

8-5-20. Determine el rango de valores de K para la es_ tabilidad de un sistema de control con realimentación unitaria cuya función de transferencia en lazo abierto es

G(s):

Considere el sistema en lazo cerrado definido

C(s)_ 2(s+l R(s) ,i2 + 2;.r + I --: _ :0.2,0.4,0.6, 0.8 y 1.0. Dibuje, utilizando iB. r-rn dia-9rama en dos climensiones de l¿ts cur_ - ::ipuesta -: a un impulso unitario.

l_

i dada.

il-mpo de pico, la máxima sobreelongación y

tJ

ma dada por

Obtenga la respuesta .v(l), sujeta a la condición inicial

s(s+2)(s+zl)

:.

B-5-19. Considere la ecuación diferencial de un siste_

res_

Considere el sistema de segundo orclen defini_

s(s+1)(s+2)

B-5-21. Considere la ecuación característica siguiente: .ta + 2s3 + (4 + r\Or. + 9s + 25 : o Utilizando el criterio cle estabiliclad de Routh, cleterminar el rango de estabilidad de K.

B-5-22. Considere el sistema en lazo cerrado que

se

muestra en ia Figura -5-79. Determine el rango de estabi_ lidad para K. Suponga que K > 0. R(')

C(s)- .r*1 R(s) s2 + 2(s _r I

-. - : 0.2,0.4,0.6,0.8 y Dibuje un diagrama en ' - :.:n:iones de las curvas1.0. de respuesta a un escalón

Figura 5-79. 5-79. Sistema de lazo cerrado.

.i*

I-5-18. Obtenga ia respuesta a una rampa unitaria del ':

_

:elinido por

[:]:t ? ili;].H. 'Bl

',-. , -i una entrada rampa unitaria. Utilice el coman_ . :,:. para obtener la respuesta.

::'rura 5-80. (a) Sistema de control de altitud de satélites inestables; (b) sistema estabilizado,

8-5-23. Consiclere el sistema

cle control de altitud cle

satélites qlle se muestra en la Figura -5_g0(a). La salicla de este sistema otiece constanteslscilaciones no desea_ das. El sisterna puede ser estabilizado mediante el uso de realimentación tacométrica, como se muestra en la Figu_ ra 5-80(b). K/ - 4, ¿qué valor de K,, llevará a que el !i coeficiente de amortiguamiento relativo sea 0.6?

268


8-5-24. Considere el servosistema con realimentación

B-5-27. Considere un sistema

.¡cométrica que se muestra en la Figura 5-81. Determire los rangos de estabilidad para K y K* (.K¡, debe ser

tación unitaria cuya función de transferencia

de control con real:: en

abierto es

ptrsitiva.) Gl,r)

8-5-25. Considere el sistema

i:Ax londe la matriz A

^: ,-\

se conoce como la matriz de Schwarz). Pruebe que la

primera columna de la matriz de Routh de la ecuación característica sI - A] :0 está lbrmada por l, b1, b2 ¡ ó'ó3.

8-5-26. Considere un sistema de control con realimentación unitaria con la función de transf'erencia en lazo

R(s)

Ks s2

-f

B)

variar los valores de K y B. Trace curvas de re.:. rampa unitaria para valores de K pequeño, mei.-r grande, suponiendo que -B es constante.

b2 -bl

c(s) _

+

tado estacionario como respuesta c unc rcmpn unt::..

10 01

,-errado:

K s("r.r

Analice los efectos que se obtienen sobre el error .r

se obtiene mediante

[*'

-

b

laslb

Determine la función de transferencia en lazo abiefo G(s). Demuestre que el error en estado estacionario en la respuesta rampa unitaria se obtiene mediante

'

B-S-28. Si la trayectoria directa de un sistema c¡ '; al menos un elemento de integración, la salid; . cambiando mientras haya un error presente. La s. -* detiene cuando el error es exactamente cero. Si s. , duce al sistema una perturbación exterrra, es con\ i:L tener un elemento de intesración entre el eiemer.-" mide e1 elror y el punto donde se introduce ia pe::r ción, a tin de que el efecto de la perturbación ert.r; haga cero en estado estacionario. Demuestre que, si la perturbación es una i,lL rampa, el error en estado estacionario provocado p-: perturbación rampa sólo se elimina si dos integ: preceden al punto en el que se introduce la pertur'i,-

ilIIT

I

llllllt

,iiiiiilii.

llJllliÍlilllllrr iilllfiiilll

r

ill|

,'

qlt

rl

tilttiilIilliltütitü

Figura

5-81.

l)lllllfi

Servosistema con realimentación tacométrica.

tr

tii

lllllllllllllli tilli

,lriIllilillllu fllu']r'

illliltil

tilrii[

lllllllilililltilillrirÍi

llllLlLlllillLl i

i

tiiüllflllr"uillll,.:rir'r

]\rl,

lliiiiiiLi, rllllllrlliflirr

''r"iilllL

I

;,i.ru

-, rilllil :::

Anólisis y diseño de sistemos de control por

el método del lugor

de los roíces ó-

I

lntroducción La caracfeística básica de la

respuesta transitoria de un sistema en lazo cerrado se relaciona estrechamente con la localización de los polos en lazo cerrado. Si el sistema tiene una ganancia de lazo variable, la localización de los polos en lazo cerrado depende del valor de la ganincia de lazo elegida. Por tanto, es importante que el diseñador conozca cómo se mueven lós polos en lazo cerado en el plano s conforme varíala ganancia delazo. Desde el punto de vista del diseño, un simple ajuste de la ganancia en algunos sistemas mueve los polos en lazo cerado a las posiciones deseadas. A continuación el problema de diseño se centra en la selección de un valor de ganancia adecuado. Si el ajuste de la ganancia no produce por sí solo un resultado conveniente, será necesario añadir un compensador al sistema. (Este tema se analiza con detalle en las Secciones 6-6 a 6-9.) Los polos enlazo cerrado son las raíces de la ecuación característica. Si esta tiene un grado superior a 3, es muy laborioso encontrar sus raíces y se requerirá de una solución con computadora. (MATLAB proporciona una solución sencilla para este problema.). Sin embargo, simplemente encontrar las raíces de la ecuación característica puede tener un valor limitado, debido a que a medida que varía la ganancia de la función de transferencia en lazo abierto, la ecuación característica cambia y deben repetirse los cálculos. W. R. Evans diseñó un método sencillo para encontrar las raíces de la ecuación característica, que se utiliza ampliamente en la ingeniería de control. Este método se denomina método del lugar de las raíces, y en él se representan las raíces de la ecuación característica para todos los valores de un parámetro del sistema.

270


A continuación se pueden localizar sobre la gráfica resultante las raíces correspondierti: parámetro. Observe que el parámetro es, por lo general' la -Qan':' un valor determinado á. "rt" en lazo abi'-cia, aunque es posible usar cualquier otra variable de la función de transf'erencia la funciór: -' to. A menos qu" ,. indique 1o contrario, aquí se supondrá que la ganancia de de ce¡' " valores' forlos los que puede adoptar transferencia en lazo abiárto es el parámetro in lin ito.

los efectos Que t1:-: Mediante el método del lugar de las raíces, el diseñador puede predecir '' ganancia o añadir polos en la localización de los polos enlazo cettado, variar el valor de la bien el método p':' ceros en lazo abierto. Poitanto, es conveniente que el diseñador comprenda manual o medi:: : generar los lugares de las raíces del sistema en lazo cerado, ya sea de fbrma el uso de programas de computadora como MATLAB' Al diseñar un sistema de control lineal, encontramos que el método del luger de las rlrr;los polos y cero: :I resulta muy útil, debido a que indica la forma en la que deben modificarse del siste:-lazo abierto para que la rerpuerta cumpla las especificaciones de comportamiento aproximados con much¡ :'-Este método es particularmente conveniente para obtener resultados pidez.

se ptr.-' Debido a que generar los lugares de las raíces usando MATLAB es muy sencillo,

tiempo y esfue:pensar que aiUu¡aitos lugares de-las raíces de forma manual es una pérdida de por la comp'- * generados una buenalorma de interpretar los lugares de las raíces Sin coS& i-': manual. "*burgo, de forma dora es adquirir la experiencia de dibujar los lugares de las raíces de las raíces' además, proporciona con mucha rapidez una idea global de los lugares

:-' Contenido del capítulo. La estructura del capítulo es la siguiente: la Sección 6-l conce: los " detalla sentó una introducción del método del lugar de las raíces. La Sección 6-2 para dibujrl implícitos en el mismo y presenta algunos ejemplos del procedimiento general

lugares de las re:::rr lugares de las raíces. La Sección 6-3 anahzala generación cle gráficos de los en lazo cerrarj' ''r sistema el cuando especial caso con MATLAB. La Sección6-4 trata como del lug' 'Ln enfoque del generales aspectos realimenta positivamente. La Sección 6-5 presenta de sistenl¡' ¡t diseño el estudia las raíces al diseño de sistemas en lazo cenado. La Sección 6-6 coni':r'' de técnica a la compensación por adelanto. La Sección 6-1 se dedica

control utilizando Finalmen:' sación por retardo. La Sección 6-8 analiza la compensación por retardo-adelanto'

'iil

Sección 6-9 presenta la técnica de compensación paralela'

6-2 Gráficas del lugar de las raíces Condiciones de ángulo y magnitud. ción de transferencia en lazo cerrado

Considérese el sistema de la Figura 6-1. La

'r"

es

C(s)

G(s)

R(s) I + G(s)H(.i) La ecuación característica para este sistema en lazo cenado se obtiene haciendo que el den. nador del lado derecho de la Ecuación (6-1) sea igual a cero. Es decir. 1

+ G(s)H(s):0

-Ll*

Capítulo 6. Análisis y diseño de sistemas de control por el método del lugar de jas

Figura 6-1

.

raíces 271

Sistema de control.

o bien G(s)11(s)

: -

I

(.6-2)

Aquí

se supone que G(s)11(s) es un cociente cle polinomios en s. [En la Sección 6-7 se extiende el análisis para el caso en el que G(s)H(s) contiene el retardo de transporte e ''.] Debido a que G(s)H(s) es una cantidad compleja, la Ecuación (6-2) se divide en dos ecuaciones igualando, respectivamente, los ángulos y magnitudes de ambos lados, para obtener:

Condición de ángulo:

/G(s)H(s):

*

180'(2k

+

Condición de magnitud: iG(s)H(s)l

t) :

(ft

:

0, 1,2, ...)

(6-3)

(6-4)

1

Los valores de s que cumplen tanto las concliciones de ángulo como las cle magnitud son las raíces de la ecuación característica, o los polos en lazo cenaclo. El lugar de las raíces es una gráfica de los puntos del plano complejo que sólo satisfacen la condición de ángulo. Las raíces de la ecuación característica (los polos en lazo cetrado) que coresponden a un valor específico de la ganancia se determinan a partir de la condición de magniturl. Los cletalles de la aplica-

ción de las condiciones de ángulo y magnitud para obtener los polos en lazo cerrado

presentan más adelante en esta sección. En muchos casos, G(s)I{s) contiene un parámetro de gananci a K, se escribe como

l+

K(s

f

:,)(.s

(s + p1)(s

-

t

...(s

-

p.') ... (s

f

..:)

*,,,)

se

y laecuación característica

:0

p,,)

Entonces, los lugares de las raíces para el sistema son los lugares ile los polos en lazo cerrado cuando la ganancia K varía de cero a infinito. Obsérvese que, para empezar a dibujar los lugares de las raíces de un sistema mediante el método analizado aquí, se debe conocer la localización cle los polos y los ceros de G(s)I1(s). Recuérdese que los ángulos de las cantidades complejas que se originan a partir de los polos y los ceros en lazo abierto para el punto de prueba s se miden en senticlo contrario al de las agujas del reloj. Por ejemplo, si G(s)11(s) se obriene mediante G1s.tÉt1e1

:

f ;,) * p')(.i + p2)(s 'l p.)(s -t K(s

(.s

pa)

272


Punto de prueba --.....-...

>

--.-\

(a)

Figura6-2.(a)y(b)Diagramasquemuestranlamedicióndeángulosdelospolos y los ceros en lazo abierto con el punto de prueba s'

donde

-pr

Y

el ángulo de Pz son polos complejos conjugados,

lc(s)H(s): Ót- 0r- 0r.- 0r-

G(s)l{s)

es

0o

reloj, como se mue:::donde ór, 0r, 02, 0z y 0a se miden en sentido contrario al de las agujas del es en las Figurá, O-Zqo; y (b). La magnitud de G(s)H(s) para este sistema ¡ctstHts¡1'

I

,

A1A2A3A4

Ar, A3, A+y B' son las magnitudes de las cantidades complejas s I p1' s I pc' s p+y s * tr, respectivamente' como se muestra en la Figura 6-2(a)'

donde s

:,lti

Ar,

conju.bür¿ru"r" que, debido a que los polos complejos conjugados y los ceros complejos al eje real' los lu;" dos en lazo abierto, si existen, siempie se sitúan simétricamente con respecto sólo es necesario ci res de las raíces siempre son simétricos con respecto a este eje' Por tanto'

truir la mitad superiór de los lugares de las raíces y dibujar la imagen especular de la n-.superior en el plano s inferior.

EjemploS iluStrativoS. A continuación

se presentarán dos ejemplos para construir

g:-'

resultan muy senc -rr cas dél lugar de las raíces. Aunque las realizaciones mediante computador gráfico, combinadc cálculo e1 para la co*nstrucción de los lugaies de las raíces, aquí se usará las raÍce' rlli: que deben situarse 1os en una observación, para determinar los lugares de las raíces a c il gráfica ayudará aproximación la ecuación característica del sistema enlazo cerrado. Esta ilill cuanc plano complejo el en prender mejor cómo se mueven los polos en lazo cerraclo c sencillos ' sistemas utilicen se sóio -u"u"n los polos y los ceros en lazo ábi"tto. Aunque :-:tl eiemplo, el procedimiento para encontrar los lugares de las raíces' para sistemas de orden 'r:

rior no resulta más comPlicado.

de ángulos .v magnitudes están implícitas en el aná- ' \ en ei de las ordenadas' cu': es necesario u.sar las mismas diviiiones en el eje de las abscisas se dibuien los lugares de las raíces sobre papel para grátlcas'

Debido a que las

-"di.iorl.s, gráficas

Capítulo 6. Análisis y diseño de sistemas de control por el método del lugar de las

zuEMPL0

6-1

raíces 273

Considere el sistema de la Figura 6-3. (Se supone que el valor de la ganancia K es no negativo.) Para este sistema.

G(s)

:

K

r{s):

s(s+1)(s+2)

1

Se dibuja la gráfrca del lugar de las raíces y después se determina el valor de K tal que el factor de amortiguamiento relativo ( de los polos dominantes complejos conjugados en lazo abierto sea 0.5. Para el sistema dado, la condición de ángulo es

rc@:

:-b-fs+t-ls+2 : * 180"(2fr + l) (,t: 0, 1,2, ...) La condición de magnitud es

lc(s)l

:

K I

s(s+1)(s+2)

l:'

Un procedimiento común para dibujar la gráfica del lugar de las raíces es el siguiente:

1. Determinar los lugares de las raíces sobre el e.je real. El primer paso al construir una gráfica del lugarde lasraíces es situarlos polos enTazo abierto, s:0, s: -1 ys: -2, enel plano complejo. (En este sistema no hay ceros en lazo abierto.) Las localizaciones de los polos en lazo abierto se señalan mediante cruces. (En este libro las localizaciones de los ceros en lazo abierto se indicarán con círculos pequeños.) Observe que los puntos iniciales de los lugares de las raíces (los puntos que corresponden a K: 0) son los polos enTazo abierto. Los lugares de raíces individuales para este sistema son tres, que coincide con el número de polos en lazo abierto. Para deteminar los lugares de las raíces sobre el eje real, se selecciona un punto de prueba, s. Si el punto de prueba está en el eje real positivo, entonces

/1:/s+t:fs+2:0" Esto demuestra que no es posible satisfacer la condición de ángulo. Por tanto, no hay un lugar de las raíces sobre el eje real positivo. A continuación, se selecciona un punto de prueba sobre el e¡e real negativo entre 0 y - l. Así,

Á: 180",

ls +

t:

fs

+2:0"

Por tanto.

-b-fs+t-fs+2:

Figura

6-3.

180o

Sistema de control.

274


y se satisface la condición de ángulo. Así, la parte del eje real negativo entre 0 y I forma pant del lugar de las raíces. Si se selecciona un punto de prueba entre - I y 2, entonces

ft--ls+t:180o, fs*2:0" v

-1!-fs+1-fs+2:-360" Se observa que no se satisf'ace la condición de ángulo. Por tanto, el eje real negativo de - I a - l no fbrma parte del lugar de las raíces. Asimismo, si se sitúa un punto de prueba sobre el eje rea negativo de -2 a -.Í-., se satisface la condición de ángulo. Por tanto, existen lugares de las raíc¡s sobre el eje real negativo entre 0 y - I y entre -2 y cr..

2. Determinar las asíntotas de los lwgares de lcts raíces.Las asíntotas de los lugares de 1:' raíces, conforme s tiende a infinito, se determinan del modo siguiente. Si se selecciona un punto or prueba muy lejano ai origen, entonces lím G(s)

: li¡¡

K s(s

+

1Xs

+ 2)

:lím- K s- z

s't

y la condición de ángulo se convierte en

-3

1!:

+ 180"(2k +

(k:0,

1)

1.2....)

o bien

Angulos de asíntotas

:

+ 180'(2ft

+

1)

(ft

:

0, 1.2. ...)

Dado que el ángulo se repite a sí mismo conforme K varía, los ángulos distintos para las asíntoi.xb. se determinan como 60o, -60'y I80". Por tanto, hay tres asíntotas. La única que tiene el ángir de 180" es el eje real negativo. Antes de dibujar estas asíntotas en el plano complejo, se debe encontrar el punto en e1 !'j,i,t cofian el eje real. Como

G(s):

K

s(s+1)(s+2)

si un punto de prueba se sitúa muy lejos del origen, G(s) se puede escribir como

G(s):

K f-JJ J3,.2,

-t-

Para valores grandes de s, esta última ecuación se aproxima mediante

o¡t¡=,.,

K

{G:

a ¡f-

Un dibujo del lugar de las raíces de G(s) de la Ecuación (6-5) está cornpuesto de tres líneas recui. Esto se puede ver de la siguiente manera. La ecuación del lugar de las raíces es

:

*180"(2ft

+

1)

o bien 3

/s +

1: * 180'(2ft + 1)

la cual se puede escribir como

/s1l=+60"(24-l)

capítulo 6' Análisis y diseño de sistemas de control por el método del lugar de las Sustituyendo s

:

o

raíces 27s

* jro en esta última ecuación, se obtiene

fo+ jrt¡*1: f60.(2ft+

ran.ú)

--

o;

ó0..

1)

-ó0o.

00

Aplicando la tangente a ambos lados de esta última ecuación.

o*7 la cual se puede escribir collto

- t6,

"ñ,

o1-1

o*

o

(t)

I

*-:O

r¿:0

/1

Estas tres ecuaciones representan tres líneas rectas tal y como se muestra en la Figura 6-4. Las tres líneas rectas que se muestran son las asíntotas. Estas se.unen en _ l. por tanto, el punto s abscisa de la intersecclol.ol]as la ur-totu, y.1 .¡...ut_." obtiene er denominador der rado derecho de la Ecuación (6-5).a.".o y d".p".¡uiáo r. Las asíntota--s ,on.uri parte de los lugares de las raíces en regiones muy lejanas ut o.ig.'n.'

igr"l;;;

3'

:

Detetminar el nunto de rupturtt. Para dibujar con precisión Ios lugares de las raíces,

debe encontrar el punto de ruptura, u p*ri.a"r en los polos en 0 v I (cuanáo K aumenta)

*

::"il,áJ::?"1""#rr,,H:

r.

se .iul tur,ru-u.'o"i r"g". J" r"s raíces que se originan

oer e¡e ,eai

co'esponde a un punto"i":* .n er praná,

"n

ñ;;;;"" ár

"*r-nuy

sobre plano compre_ raíces múltiptes de la

Existe un método sencillo para encontrar el punto de ruptura. A continuación se muestra dicho método. Se escribe la ecuación .*u.t".irti.u.o'_u

l'(s):B(s)+KA(s):0

o+1+1=0

Figura

6-4.

Tres asíntotas.

(6-6)

276


donde A(s) y B(.s) no contienen K. Observe que

l(s) :

¿.f(s)

:

0 tiene raíces múltiples en los puntos doncle

o

d.,s

Esto se observa del modo siguiente: suponga que.l(s) tiene raíces múltiples de un orden r, donde r 2 2. En este caso, /(s) se escribe como

"f(s)

:

(s

-

sr)'(s

-

sz)

... (s

-

s")

Si se diferencia esta ecuación con respecto a s y establecemos df(s)lds en s

:

sr, se obtiene

df" $\l

| ds l':", -0

Esto significa que múltiples raíces de (6-6) se obtiene

/(s)

df $)

;:

(6-j,

satisfarán la Ecuación (6-7).

B'{s)

-KA'ts)

A partir de la Ecuación

-o

(6-8

donde

e'1'.¡

: d4(t), ds

u'rr,:ou'," ds

El valor específico de K que producirá raíces múltiples de la ecuación característica

se obtiene de

la Ecuación (6-8) como

r: -

B'(s')

A'(s)

Si se sustituye este valor de K en la Ecuación (6-6), se obtiene

/rsr

- Btsr ít

A(s)

:

o

o bien B(s)A'(s)

-B'(s)A(s): g

(6-9

Si se despeja la Ecuación (6-9) para s, se obtienen los puntos en los que hay raíces múltiples. Po; otra pafte, a partir de la Ecuación (6-6) se obtiene

K:

ds

B(s) A(s)

At(r)

Si dKlds se hace igual a cero, se obtiene lo mismo que en la Ecuación (6-9). Por tanto, los punto: de ruptura se determinan sencillamente a partir de las raíces de

dK

a:0 Debe señalarse que no todas las soluciones de la Ecuación (6-9) o de rtKlds: 0 corresponden . los puntos de ruptura reales. Si un punto en el cual rlKtds :0 está sobre el lugar de las iaíces. s. trata de un punto de ruptura real o un punto de ingreso. De otro modo. si en un punto en el cu¿. dKlds :0, el valor de K tiene un valor positivo real, este punlo es un punto de ruptura o un punri de ingreso real.

Capítulo 6' Análisis y diseño de sistemas de control por el método del lugar de las

+ 1:

Para el ejemplo actual, la ecuación caracteística G(s)

K

s(s+l)(s+2)

Haciendo dKlds

:0

raíces 277

0 se obtiene mediante

+1:0

K: _ 1s3+3s2+2s¡ se obtiene

dK

(3s'+6s+2):0 ,tr: -

s:-0.4226,

r:

-15714

Dado que el punto de ruptura debe encontrarse sobre el lugar de las raíces entre 0 y - l, es evidente que r : -0.4226 corresponde al punto de ruptura real. El punto : r - 1.5774 no está sobre el lugar de las raíces. Por tanto, no es un punto de ruptura o de ingreso real. De hecho, el cálculo de los valores de Kque corresponden a s: -0.4226 y s: _ t.sh+da porresultado

: *0.4226 K: -0.3849, pafa s: - 1.5774 K:0.3849.

para.r

4. Determinar los puntos en donde el lugar de las raíces cruza el eje imaginario. Estos puntos se encuentran mediante el criterio de estabilidad de Routh del moio sigulente. Dado que la ecuación caracteística para el sistema actual es s3+3s2+2s+K:o La tabla de Routh se convierte en

,3L2 s23K .s1

so

6-K -'.-t K

El valor de K que iguala con cero el término

s1 de la primera columna es K : 6. Los puntos de cruce con el eje imaginario se encuentran después despejando la ecuación auxiliar obtenida de la fila sr; es decir,

3s2+K:3s2+6:o que produce

,:

xj

",,ñ

: t

frecuencias en los puntos de cruce con el eje imaginario son, por tanto, ro u6.. nt vator de ganancia que coresponde a los puntos de 6. "rü"".r ", Una aproximación altemativa es suponer que enla ecuación característica, igualar L as

K: : ja

con cero tanto la parte imaginaria como la real y despuéi oespejar a.t y K. pa¡a el sistema actual, la ecuación característica, con s : ja_r, es o bien

Qa)3+3Qa)2+2Qa)+K:0 (K

-

3c't2¡ +

j(2o

-

a;3)

:

0

Si se igualan a cero tanto la pafie real como la imaginaria de esta última ecuación. se obtiene

K

-

3rt¡2

:0,

2a

-

a3

:0

278

lngenrería de control moderna

Figura de donde

6-5.

Construcción de un lugar de las raíces'

ot-+lz,

K-*6 o o¡:0,

K:0

: l-\'E' y el valor de K en ic' Por tanto. los lugares cle las raíces cruzan el eje imaginario en tu sobre el eje real tocará e1 eje raíces puntos de .ru.""., 6. Asimismo, una rama dét tugar de las : imaginario en or 0. 1t el origen, como si 5. Selecciornr un punto de pnteba en unT uecindad amplio del eje jo-t prueba está sobre 1o' punto,de un Si de ángulo. muestra en la Figura 6-5, y aplicar la condición punto de prueb; el Si 18Oo' ser * debe + 03, et 02 ángulos, tres los de lugares de las raíóes, la s.rÁa (La suma d¡ condición. no satisface la condición de ángulo, seleccione otro hasta que se cumpla tal Contiprueba.) punto de el moverse debe los ángulos en el punto de prueúa indicará en qué dirección de ángulo' la condición que satisfagan puntos de suficiente núe eJe proceso y sitúe una cantidad 6.

Dibujar

los lugctres

de lus raíces,tomando como base la información obtenida en los paso'

anteriores, tal y como se muestra en la Figura 6-6'

Figura

6-6.

Gráfica del lugar de las raíces.


'

raíces 2Zg

Detenninar un par de polos dominantes complejos conjugaclos en lazo cerrado tales que el .fac,tor de amortíguamiento relatiuo ( sea 0.5. Los polos enlazocerrado con ( 0.5 se encuentran sobre.las líneas que pasan por el origen y forman ros ángulos con el eje real negativo. A parrir de la Figura 6-6, tares polo. .n turo ..oádo ó.i ." nen del modo siguiente: 7

: t.orttl:-t.or-l-oJ:l;ó; ;; ¿: ;i.

sr

:

sz:

-0.3337 + j0.5780,

EI valor de K que produce tales polos se encuentra

a

siguiente:

6:

:

ls(s

-0.3331

-

j0.5780

partir de la condición de magnitud, del modo

+ l)(s + 2)ls:

0.3332+¡o.s78o

1.0383

Usando este valor de K, el tercer polo se encuentra en s : 2.3326. observe que, a partir del paso 4, se aprecia que para K:6, los polos dominantes en lazo cerrado se encuentran sobre el eje imaginario en s : Con este valor de K, el sistema mostrará Xj oscilaciones sostenidas. Pata K > 6, los polos dominantes "ñ. en lazo cerrado se encuentran en el semiplano derecho del plano s, produciendo un sistema inestable. Por último' observe que, si es necesario, se establece con facilidad la parametrización de los lugares de las raíces en términos de K mediante la condición ae magnlÑ. sencillamen¡e ," un punto sobre un lugar de las raíces, se miden las magnitudes "lig" de la-s tres cantidades complejas-s,

lys+2ysemultiplicanestasmagnitudes; i.1 dicho punto, o bien

elproductoesigualalvalordelagananciaKen

+ ll.ls +

2l:

K

Laparametnzación del lugar de las raíces se realiza de una manera sencilla utilizando MATLAB (r'éase la Sección 6-3).

EJEMPLO 6.2

En este ejemplo se dibuja la gráfica del lugar de las raíces de un sistema con polos complejos conjugados enlazo abierto. Considere el sistema de la Figura 6-7 . para este sistema. G(s) donde

K

)

K(s 1 2t : -'=_-. s'*2s*.1

É(s)

:

I

0. Se observa que G(s) tiene un par de polos comprejos conjugados en

s: -1 + j"h,

s: -1 -j.rñ

Un procedimiento común para dibujar la gráfica del lugar de las raíces es el siguiente: 1' Determinar los lugares cJe las raíces sobre el eie real. Para cualquier punto de prueba s sobre el eje real, la suma de las contribuciones angulares de los polos complejos conjugarfos es de 360o, como se observa en Ia Figura 6-8. Por tantol el efecto netá oe tos-potos complejos conjugados es cero sobre el eje real. Lalocabzación del lugar de las raíces sobre el eje real se determina a partir del cero en lazo abierto sobre el eje real negativo. una prueba sencilla revela que una sección del eje real negativo, aquella qu" ," entre - 2 i * co, es una parte del lugar de las

"n.u.ntra raíces' Se observa que, dado qu. .ri. lugar geométrico se encuentra ántre dos ceros (en s : -2 y s : - oo)' es en realidad parte de dos lugares de las raíces, cada uno de los cuales empieza en uno K(s + 2)

s2+2s+3

Figura

6-7.

Sistema de control.

280


Figura

6-8.

Determinación del luEar de las raíces sobre el eje real.

de los dos polos complejos conjugados. En otras palabras, dos lugares de las raíces ingresan en la parte del eje real negativo entre - 2 y at. Como existen dos polos enlazo abierlo y un cero, hay una asíntota que coincide con el eje real negativo.

-

2.

Determinar el ángulo de salidct de los polos complejos conjugados en lazo abierto. La pre-

sencia de un par de polos complejos conjugados en lazo abierto requiere la determinación del ángu1o de salida a partir de los mismos. El conocimiento de este ángulo es importante, debido a que el lugar de las raíces cerca de un polo complejo proporciona infomación con respecto a si el lugar geométrico que se origina en el polo complejo emigra hacia el eje real o se tiende hacia la asíntota.

En la Figura 6-9, si se elige un punto de prueba y se mueve en la vecindad misma del polo complejo enlazo abierto en s : -p1, ocuffe que la suma de las contribuciones angulares del polo en s -* pzy el cero en .r : - z1 se considera sin alteración para el punto de prueba. Si el punto de prueba estásobreel lugardelasraíces, lasuma de dt -0ry -?zdebe ser +180'(2¿ f l),dondek:0, 1. 2, .... Por tanto, en este ejemplo,

ó\ o bien

0r

Figura

:

-

(0t + ei)

18oo

6-9.

:

+180"(2ft

- 0i+ di :

+ l)

180'- 0t+

ót

Determinación del ángulo de salida.

capítulo 6' Análisis y diseño de sistemas de control por el método del lugar de las

raíces 2g1

En este caso, el ángulo de salida es

0r "o"t:t1"

3'

:

l80o

-

*

:

:

lg0. 90o + 55" 145o las raíces es simétrico con respecro al eje real, el ángulo de salida del polo

1;'".:t}ffi.t"

Detetminar el punto

cle

0z

dr

ingreso.Existe un punto de ingreso en el cual se integran un par de r:uu*'niu.'para este probrema, el punto de ingreso

i#Httitif:L1:j|t1"::To"uunJo

K: -

s2+2s+3

se tlene que

dK

-

(2s

d,g

de donde se obtiene

..

"n.u"n-

s*2

+ 2)(s + 2) - (s2 + 2s + (s + 2)2

3)

:0

s2+4s+l:o

o bien

s: -3.7320 o s: _0.2680 observequeelpunto s: - 3'7320estásobreellugardelasraíces.portanto,setratadeunpunto.e rngreso real' (observe que' en el punto s: l.ilzo. el valor cre ta ganancia correspondiente K:5'464t.)comoer de ingreso' (para el

4'

nunros-- -0.2ó80no.r,¿'.n""i1";;J,rrr:,1:r.r.puedeserunpunro es

p'nto

,: -

0.26g0, er valor o" gunun;iu ;;;;;i."re es K : - r .464r.) Dibuiar una gráfica clel lugar de las raíces, pttrtir de la información obtetdda

pasos anteriores Pata determinar '

en los .a loi lugares de las raíce-s de una forma precisa, varios puntos mediante p,frela y .,'or-"no" punto de. ingreso y loi potos deben encontrarse complejos en razo abierto' (Para facilitar tt oibuio á. "i tug* de las t" gratilu o"i iaíces, s" deie encontrar ra dirección en la cual se moverá el punto de pruóa .orllon¿o mentalmente los cambios de los ángulos de los r La Figura 6-10 müstra

HiT#rrT:

"r";;;ñ;

comprera del rugar

{ = 0.7 linea

Fígura

6-10.


á. ru, .ui...

para er sisrema

282

lngeniería de control moderna se encuentra aplicandt'

el lugar de las raíces El valor de la ganancia K en cualquier punto sobre (uéur" la lección 6-4)'^Por ejemplo' el valor de A la condición de magnitud o utilizando MAiL,qg en laro cerrado tienen el factor de amortiguamient" en el cual los polos ."t"pr"i"t .""¡ugados la Figura 6- 10' y calculandt' u .ituunáo-lu, raíces, como se muestra en relativo ( : 0.1 ,. "n"u"rit el valor de K del modo siguiente:

+

1(: l(r

l-

t -ju7.xs+t+iufztl s+2

I,

:,.,0

r.6r,tl.7o

el valor de K (véase la Sección 6-4)' O bien utilizando MATLAB para encontrar de un de las raíces en el plano complejo es parte lugar ,ir,"t"u, el Se observa que, en Lt'= sistemas' los de parte ".i" se obtiene en la mayor círculo. Dicho lugar de las raíces circular no dtr' cero' y un polos dos contienen que sistemas lugares de las raíces circulares se obtienen en estos lugafes obtengan que se el sistemas, tales en polos y dos ceros, o un pofoláo, ceros. Incluso la situación de los polos y los.ceros involucrados' - -:- de las raíces circulares d;;d;¡t circular. se neceslt¿ para mostrar cómo se'obtiene en el sistema actuaf un lugar de las. raíces de ángulo e' condición la actual' Para el sistJma derivar la ecuación para dicho lugar geométrico'

ls+2- ls+ I -i',6'-

ls+

r+i'h':

*180"t2k+

: ó * jol dentro de esta última ecuación' se obtiene + ja¡- i't5' - lo + | +io+ i ''D': f o +2+ia - lo + |

Si se sustituye s

1)

+180'(2k +

1)

la cual se puede escribir como

ran

(#)

-'1an

o bien

,^^-'(J)

:'r80"t2ft+r)

(?#) "^'(*f)

,/r*J2\:,un ,( "'\*,*0",r*.,,

*,un

\o+2)=

\ o+l /

Tomandolatangenteaambosladosdeestaúltimaecuaciónyusandolarelación

tan(xir;:

tuntttun) { tanxtanY

(6- t,

1

se obtiene

,^n["n

(=fl

+

ran

(';J)]

--''nf

o bien

o*1

o*l

:€*)(#) que se puede simPlificar

a

2o(o + l)

C; i-,¡-r, o bien

r80't2k r "n ('+) t

a --+0 o*2| Í-

(!)

0 o+/- ^

(!)

o+1

o[(o+212*ot2-3] :0

Esta última ecuación es equivalente

tu:Q

o (n F 2¡2 + L'tt: l\ j)-

rr]


raíces 2gg

Estas dos ecuaciones coresponden a los iugares de las ¡aíces del sistema actual. observe que la primera ecuación, (,) 0, conesponde al eje real. El eje real desde s oc coffespon-2 a., de a un lugar de las raíces para K 0.Laparte restante del eje real corresponde a un lugar de las raíces cuando Kes negativo. (En el sistema actual, Kes no negativo.) La segunda ecuación para el lugar de las raíces es una ecuación de un círculo con centro ,2, o en o y radio igual a .16. Esta parte del círculo a la izquiercla de los polos complejos conjuga<]os correspánde al ligar de las

:

:

)

:

: -

:0

raíces para K>0. La parte restante del círculo coriespond" ál'trgu. de las raíces cuando Kes negativo. Es importante observar que las ecuaciones que se interpretan con facilidacl para el lugar de las raíces sólo se obtienen para sistemas sencillos. No se recomienda intentar obtener las ecuaciones para los lugares de las raíces en sistemas complicados que tengan muchos polos y ceros. Tales ecuaciones son muy complicadas y su configuración en ei plano-complejo es difícil de visualizar.

Resumen

de las reglas generales para constru¡r los lugares de las raíces. para un.sistema complejo en lazo abierto con muchos polos y ceros, puede parecer complicaclo construir una gráfica del lugar de las raíces, aunque en realidad no és difícil si se aplican las reglas para construir dicho lugar. Situando los puntos y las asíntotas específicos y calculando los ángu-

los de salida de los polos complejos y ios ángulos de llegada u lo* complejos, se puede const¡uir la forma generar de los lugares de las raíces sin diticulta¿. "".o, A continuación se resumen las reglas y el procedimiento general para construir los lugares de las raíces del sistema de la Figura 6- I l. Primero, obtenga la ecuación característica

I + G(s)H(s) :0 A continuación, vuélvase a ordenar esta ecuación para que el parámetro de interés aparezca como el factor multiplicativo, en la forma

l+

K(s (.s

f

zr)(,r * :z) ...(s * ¿,,,) p,)(s -r p) . .. (s * p,)

*

:0

(6-r r)

En estos análisis, se supone que er parámetro de interés es la ganancia K, donde K > 0. (si Í = o' que corresponde al caso de realimentación positiva, deb-e modificarse la condición

de

temas con parámetros de interés diferentes a la gananciu ¡uéur" la sección 6_6).

1'

situar los polo's

\

ceros

tle G(i)H(s) en el plctno s. Las rentes del ltrgar cle las rctíces empiezan en los polos en laz.o abierto \ tetmincut en los cerr¡,s (ceros.finito, o ,rro, en inJinito). A partir de la forma factorizada de la iunción de transferencia en lazo abierto, sitúense los polos

:l!-l]-

^"''O'f-+

ct'¡

Y

Figura 6-1

1.

Sistema de control.

284


y los ceros en lazo

abierto en el plano s. fObsérvese que los ceros en lazo abierto son los de y los polos de H(s).1 Obsérvese que los lugares de las raíces son simétricos con respecto al eje real del plano -i. debido a que los polos y ceros complejos sólo aparecen en pares conjugados. Una gráfica del lugar de las raíces tendrá tantas ramas como raíces tenga la ecuación característica. Debido a que, por 1o general, el número de polos en lazo abierto es mayor que el de ceros. el número de ramas es igual al de los polos. Si el número de polos en lazo cerrado es igual ai número de polos en lazo abierto, el número de ramas individuales del lugar de las raíces que terminan en los ceros finitos en lazo abierto será igual al número ¡r¿ de ceros en lazo abierto. La. t'L - ti7 ramas restantes terminan en infinito (.n - m ceros implícitos en infinito) a lo largo de la. G(s)11(,r), mientras que los ceros en lazo cerrado son los de G(s)

asíntotas.

Si se incluyen los polos y los ceros en infinito, el número de polos en lazo abierto es igual n, de ceros en lazo abierto. Por tanto, siempre se puede plantear que los lugares de las raíces empie zan en los polos de G(s)11(s) y terminan en los ceros de G(s)H(s) conforme K aumenta de cero *

infinito, donde los polos y los ceros incluyen los finitos y los infinitos en el plano

s.

2. Determinar los lttgares de las raíces sobre el eje reol . Los lugares de las raíces sobre ; eje real se determinan a partir de los polos y los ceros en lazo abierto que se encuentran sobre e Los polos y los ceros complejos conjugados de la función de transferencia en lazo abierto r: afectan a la localización de los lugares de las raíces sobre el eje real, porque la contribución c. ángulo de un par de polos o ceros complejos conjugados es 360u sobre el eje real. Cada parte c. lugar de las raíces sobre el eje real se extiende sobre un rango de un polo o cero a otro polc cero. Al construir los lugares sobre el eje real, selecciónese un punto en éste. Si el número to.de polos y ceros reales a la derecha de este punto de prueba es impar, este punto se encuentra .el lugar de las raíces. Si los polos y ceros en lazo abierto son simples, el lugar de las raíces r .fbrma complementaria alternan segmentos a lo largo del eje real.

3. Delenninar las asíntola,s de los lugares de la,s raíces. Si el punto de prueba s se si:-lejos del origen, se considera que no cambia el ángulo de cada cantidad compleja. Entonces. -cero en lazo abierto y un polo en lazo abierto cancelan los ef-ectos del otro. Por tanto, los lu-er:. de las raíces para valores de ,s muy grandes deben ser asintóticos para líneas rectas cuyos án-uu (pendientes) se obtengan mediante Angulos de las asíntotas

: ¡n : Aquí, k : donde

¡¿

: + l8O"(2ir + l) n-nt

(/r

:

0, 1,2, ...)

número de polos finitos de G("r)f1(s) número de ceros finitos de G(,r)H(s)

0 corresponde a las asíntotas con el ángulo más pequeño con el eje real. Aunqu. supone un número infinito de valores, a medida que aumenta, el ángulo se repite a sí mismo ,, cantidad de asíntotas distintas es n. - n7. Todas las asíntotas cortan el eje real. El punto de intersección se obtiene del modo siguier'. si se desarollan el numerador y el denominador de la función de transferencia en lazo abiertc

",

resultado

es

G(sX1(s):

-f z.t + s" I (pt -l pr.-l ... I p)s"

Kfs'n

+

(21

1

* ... - pp....ptl


raíces 2Bs

Si un punto de prueba se localiza muy lejos del origen, entonces, dividiendo el denominador entre el numerador, se puede escribir G(s)l(s) como

G(s)I{s):

K

sn'* +

l@t -f pz -f

...-l p,) -

(¿r

+ zz.* ...-f 2,,)]s"-^-1 + ...

o bien G(s)11(s)

K

:

(pt

["*

I

pz

t ..' l- p,) (zy -l 7. + nm

(6-12)

La abscisa de la intersección de las asíntotas y el eje real se obtiene igualando a cero el denominador del lado derecho de la Ecuación (6-12) y despejando s, o (6-13)

[El Ejemplo 6-1 muestra por qué la Ecuación (6-13) da la intersección.] Una vez que se encuentra la intersección, es fácil dibujar las asíntotas en el plano complejo. Es importante señalar que las asíntotas muestran el comportamiento de los lugares de las raíces para lsl ) l.Una ramificación del lugar de las raíces puede enconffarse en un lado de la asíntota comespondiente o puede atravesar esta de un lado al otro.

4' Encontrar los puntos de ruptura y de ingreso. Debido a la simetría conjugada de los lugares de las raíces' los puntos de ruptura y de ingreso se encuentran sobre el eje real o bien aparecen en pares complejos conjugados. Si un lugar de las raíces se encuentra entre dos polos en lazo abierto adyacentes sobre el eje real, existe al menos un punto de ruptura entre dichos dos polos. Asimismo, si el lugar de las raíces está entre dos ceros aclyacentes (un cero puede localizarse en - cc) sobre el eje éal, siempre existe al menos un punto de ingreso entre los dos ceros. Si el lugar de las raíces se encuentra entre un polo en lazo abierto y un cero (finito o infinito) sobre el eje real, pueden no existir puntos de ruptura o de ingreso, o bien pueden existir ambos. Supóngase que la ecuación característica se obtiene mediante B(s)+KA(s):O Los puntos de ruptura y los puntos de ingreso corresponden a las raíces múltiples de la ecuación característica. Por tanto, como se analizó en el Ejemplo 6-1, los puntos de ruptura y de ingreso se determinan a partir de las raíces de

dK

ds

B'(s)A(s)

-

B(s)A'(s)

¿t(")

:0

(6-14)

la prima indica una diferenciación con respecto a s. Es importante señalar que los puntos de ruptura y los puntos de ingreso deben ser las raíces de la Ecuaci ón (6-I4),uunq* no todas las donde

raíces de la Ecuación (6-14) son puntos de ruptura o de ingreso. Si una raíz real de la Ecuación (6-14) se encuentra en la parte clel eje real del lugar de la-s raíces, es un punto de ruptura o cle ingreso real' Si una raíz real de la Ecuación (6-1a) no esrá en la parte del eje real del lugar de las raíces, esta raíz no corresponde a un punto de ruptura ni a un punto de ingreso. Si dos raíces rr s,, de la Ecuación (6-1zl) son un par complejo conjugado, y*ri no es seguro que están en los lugares de las raíces. es necesario verificar el vaior de K correspondiente. Sfel

s:

y

valor

286


de K que corresponde alaraíz s : s¡ de dKlds:0 es positivo, el punto r : .e¡ eS un punto de ruptura o de ingreso real. (Como se supone que K es no negativo, si el valor obtenido de K es negativo, el punto J : ,r1 flo es de ruptura ni de ingreso.)

5. Determinar el ángulo de salicla (ítngulo de llegada) de un lttgar cle las raíces a partir cl, un polo complejo (un cero comple.io). Para dibujar los lugares de las raíces con una precisiór. razonable. se deben encontrar las direcciones de los lugares de las raíces cercanas a los polos r ceros complejos. Si se selecciona un punto de prueba y se mueve en la cercanía precisa del polt complejo (o del cero complejo), se considera que no cambia la suma de las contribuciones angulares de todos los otros polos y ceros. Por tanto, el ángulo de llegada (o ángulo de salida) de. lugar de las raíces de un polo complejo (o de un cero complejo) se encuentra restando a 180" 1' suma de todos los ángulos de vectores, desde todos los otros polos y ceros hasta el polo complei. (o cero complejo) en cuestión, incluyendo los signos apropiados. Ángulo de salida desde un polo complejo

:

180" (suma de los ángulos de vectores hacia el polo (suma de los ángulos de vectores hacia el polo Ángulo de llegada a un cero complejo : 180" - (suma de los irngulos de vectores hacia el cero f (suma de los ángulos de vectores hacia el cero

*

complejo en cuestión desde otros polos complejo en cuestión desde los ceros)

t

complejo en cuestión desde otros ceros complejo en cuestión desde los polos)

El ángulo de salida se muestra en la Figura 6-12.

6, Encontrar los ¡tuntos donde lcts lugares de los roíces cruz.an el eje imttginario. Los pc: tos donde los lugares de las raíces cruzan el eje 7cr.l se encuentran con f-acilidad por medio ¿: (a) el criterio de estabilidad de Routh, o (b) suponiendo que s -- jo en la ecuación característr¡ -. igualando a cero la parte real y Ia parte imaginaria y despejando oty K. En este caso, los valo:.' encontrados de o representan las frecuencias en las cuales los lugares de las raíces cruzan el -., imaginario. El valor de K que coresponde a cada frecuencia de cruce proporciona la gananci; .r el punto de cruce. 7. Tontando una serie tle ¡tuntos de prtteba en la cercanía clel origen tlel plano s, clibt,, los lugares de las raíces. Determínense los lugares de las raíces en la cercanía del eje jr,.t " . origen. La parte más importante de los lugares de las raíces no está sobre el eje real ni en.-. asíntotas, sino en la parte cercana al eje jo y al origen. La forma de los lugares de las raíce. 'r esta región importante del plano s debe obtenerse con suficiente precisión. (Si se necesita la " ' ma precisa del lugar de las raíces, se puede utilizar MATLAB mejor que el cálculo realizac i mano para obtener el lugar de las raíces.)

An-gulo de

Figura

6-12.

Construcción del lugarde las raíces. [Angulo de salida

-

1B0o

101

+ 02]+

(h.l

capítulo 6' Análisis y diseño de sistemas de contror por

er método der rugar de ras

raíces 2gz

l; ,í".",i*,:íilY,;iíi cada ramificación der ru_ ::i:::::::!: .y:punro específico de:?ff,J",Tffi:i:lti,f j:r"iiil,ml1;*::i":xiüi::;:,i:n:.fl . ;l,T ;;H*:#:?":*,:,:,:1:f ü:;r""i;ffi i',;:T'"'J"nf JffiiJ:iillr'"ü: 3;,;:['"1T"",.]1:j.1,"^l: illil.,T#,3;"::,::,:il::i11";¿¡ de ros rugare' o. ü;;;H ru,,u¡..''*;;#;,'::? continuos i;Jiffi::Tl";",",1ii33'iji ff,i"T:fff con K.) i;:u" :,T"tJHhT;

0,,,1,.'#l::3i,f.[T;;:'fft'; :;T:lo,'.' punro r sobre er rugar de ras raíces se obriene ir K:

pro{ucto

{g_lallongitucles entre el punto ., y los polos producto de las longitudes entre. el punto ., y los ceros

(Se puede uririzar MATLAB t-ilXTT:ll'*::1 ilji #HJ,:'",xi Ji[:i:::: Í,: i:X f:it':"..".:"aríricamenre 1:qil f,!:'0i."' Jon ¡: üil;.:.:ff . !; :": : l ;;f" il::' ilffi j,: j i : * * : *, f iji iffi :! :¿1;l l, re re a n, o bi * o "1 il'AT:#l';iX1? ji'"T¿:,""x jíXS*l*:i*:::ú!;'.ffi'J".1;i'.lffi1Ji:i*T:[l j:i#i:,: Aiffi ".il,.i,:;m,f a pio x m n de ;ü ;'; ;;; #Hifi ['ü.i11_hl"; # :f Sección il:iiH ?6-3. "%"it':ri{:11?iiiülFiliiiliiü';x'i::H;[:':i: ",: :: nci

,

a

i

a c i

ó

e

;:i

a z

:

a

e

i,1U

XT

comentarios acerca.de ras gráficas_ der rugar de ras raíces. Se observa que la .r, i"".ton ¿" tru-nrJ¿;;.;;" razo abierro

ecuación caracrerística der sisrem,

es

G(.s)11(s)

* b,,,) : K(s"'+bts",t+ ,y" -f e1"^" t * ,,. +i,

(nlm)

;'"#l;"'J5'il Xi,l"'ffiiiiJ"i'"1;':?:,.,*'i1,"^.f:-:',,:,0"" der numerador de G(s)H(i) es ffi 1T¿5:li::i,:T,t"Ji;:::*;.:"*:'","T::1qTffi TJ:!i,T#'JT::3;i'Jl;#: lll;?l,irti;:il"#."J,i*:**::1üi"F,';'#'::"H.1"íS:;":#ff '"T¿.¿?o fi fiffil';::iilll"*',T"r.,'*:iru.xii]l;'"r."il'#:::'"'fi :'l1ffi :[::'.Í:#J; r,á. ; *i;ü'..fi ;;1ffiJÍ ^,3.i::,_ lT.,:: j*: I _" : ":,"j;;;;il.: 0," Jfi i: ; ;:,1 Esta infbrmación es " .flf^:::".l,Tl "T:T " ;:.i:1 llffi: ll l:.-, s;;;;;i ;; ¿" ,os po,os y ceros provoca ,liiliü,;;:n:::"'i:: it;*¡f"i1',,"j#11:'"':li;:ion uw rd) rdrues' La-hlgura que un cambio 6-13 muestra ;lTn"ilif;i::üffi'tr,T:flX'"'riÍii,',y::"1.ililiii:Tü';[h'::':"fiJ#::;::?:T: i

de las raíces. raíces.

lise¡o el hecho de en rs -Ó--" vrr la siiuacion JtludLrutr ;;ffue un cero o polo hará muy diferente la gráiic¿ J"l lunu,.

Figura

6-13.

Gráfica del lugar de las raíces

288


Cancelación de los polos G(s) con los ceros de

H(s).

Es importante señalar que si

el denominador de G(s) y el numerador de H(s) contienen factores típicos, los polos y ceros en lazo abierlo correspondientes se cancelarán unos con otros, reduciendo el grado de la ecuación característica en uno o más órdenes. Por ejemplo, considérese el sistema de la Figura 6-14(a). (Este sistema tiene una realimentación de velocidad.) Si se modiflca el diagrama de bloques de la Figura 6-14(a) para obtener el de la Figura 6-14(b), se aprecia con claridad que G(s) y 11(s) tienen un factor común s f 1. La función de transferencia en lazo cerado C(s)/R(s) es


c(s)

K

R(s)

s(sflXs+2)+K(s+1)

es

[s(s+2)+41(s+1):0 Sin embargo, debido a la cancelación de los términos (s tiene que

1+G(s)F1(s):1+ ,s(.\'

1) que aparecen en G(s)

y H(s), se

+ 1) s(s+1)(s+2) K(s

+2)+K s(s

La ecuación característica reducida

+

+

2)

es

s(s+2)+K:0 La gráfica del lugar de las raíces de G(s)FI(s) no muestra todas las raíces de la ecuación caract-' rística; sólo las raíces de la ecuación reducida. Para obtener el conjunto completo de polos en lazo cerrado, se debe agregar el polo cancel.clo de G(s)H(s) a aquellos polos en lazo cerrado obtenidos en la gráfica del lugar de las raíces c. G(s)¡/(s). No debe olvidarse que el polo cancelado de G(s)H(s) es un polo en lazo cenado dsistema, como se observa en la Figura 6--l4(c).

G(s)

11(s)

(b) Figura

(c

6-14.

)

(a) Sistema de control con realimentación de velocidad; (b) v (c) diagramas de bloques modif icados


las

raíces 2gg

configuraciones típicas de poros y ceros y sus correspondientes rugares de raíces' Para concluir esta sección,

se muestra la Tabla 6-1, que contiene varias configuraciones de polos y ceros en.lazo abierto y sus conespondientes lugares de las raíces. La forma de los lugares de las raíces sólo depende de la separaci-ón relativa dJlos polos y ceros en lazo abierde polos en laio abierto es mayor que el número de ceros finiros en tres o más, ::.,^:,i:]número exlste un valor de la ganancia K más allá del .uát to, lugares de las raíces entran en el semiplano derecho.del plano s y' por tanto, el sistema puede volierse inestable. un sistema estable debe tener todos sus polos en lazo cenado en el semiprano izquierdo der plano s.

Tabla

6-1.

Configuraciones de polos_ceros en lazo abierto y los correspondientes lugares de las raíces.

290


Obsérvese que, una vez que se ha adquirido cierta experiencia con el método, resulta fácil

evaluar los cambios en los lugares de las raíces debidos a las modificaciones en el número 1'' situación de los polos y ceros en lazo abierto, visualizando las gráficas de los lugares de las raíces que se producen de las diversas configuraciones de polos y ceros.

Resumen. A partir de los análisis anteriores, es evidente que se puede dibujar un diagra-

ma razonablemente preciso del lugar de las raíces para un sistema determinado, siguiendo reglas sencillas. (Se sugiere al lector que estudie los diversos diagramas de los lugares de las raíces que aparecen en los problemas resueltos al final del capítulo.) En las etapas de diseño preliminares. no se necesitan las localizaciones precisas de los polos en lazo cerrado. Con frecuencia sólo se necesitan sus localizaciones aproximadas para hacer una estimación de la representación del sistema. Por tanto, es importante que el cliseñador tenga Ia capacidad de dibujar con rapidez los lugares de las raíces para un sistema determinado-

ó-3 Gráficas del lugar de las raíces con MATLAB En esta sección se presenta la aproximación de MATLAB para generar las gráficas del lugar

de

las raíces.

Gráfica de los lugares de Ias raíces con MATLAB. A1 dibujar los lugares de las raíces con MATLAB. se utiliza la ecuación del sistema obtenida por la Ecuación (6-11), que se escribe como

I + Knu*: den

o

donde num es el polinomio del numerador y den es el polinomio del denominador. Es decir.

num

:

(s

f

¡1)(s

-l z.)...(s f

;,,,)

* "' f ;,,,),i'' I + "' ! z.ta.z"'2,, den : (s + P')(s t P.)" '(s * P,) : s" + (pt -l pzt "'*p,,)s" l+ "' I I,Pz"'p, :

s'"'

+

(21

-l

7r

Observe que ambos vectores, num y den, deben escribirse en potencias decrecientes de s. Un* orden de MATLAB que se usa con frecuencia para dibujar los lugares de Ias raíces es

rlocus

(num, den)

Con esta orden, se dibuja en la pantalla la gráfica del lugar de las raíces. El vector de ganancil' K se determina de forma automática. (El vector K contiene todos los valores de ganancias parIos cuales se van a calcular los polos en lazo cerrado.) Para los sistemas definidos en el espacio de estados, rlocus (A,B,c,n) dibuja el lugar d. las raíces del sistema con el vector de ganancias automáticamente determinado. Obsérvese que las órdenes

r ocus(n¡n,den,K) y rlocus -r.-- utilizan el vector de ganancias K proporcionado por el usuario

)']r'1

capítulo 6' Análisis y diseño de sistemas de control por el método del lugar de las Si se quiere dibujar los lugares de las raíces con las marcas , o , o bien , x la orden siguiente:

r : rfocus (num, den) plot (r, ,o , ) o plot (r, ,x,

,

raíces 2g1

, es necesario usar

)

Es instructivo dibujar los lugares de las raíces mediante las marcas 'o, o bien ,x,, debido aque cada polo en lazo cerrado cálculado se muestra-de forma gráfica;en alguna parte de los lugares de las raíces estas marcas se muestran de una forma deni y en otra parte aparecen separadas. MATLAB produce su propio conjunto de valores a" guno;.ius que se utllizanpara obtener una gráfica del lugar de las raíces' Lo tonsigue medianre .i*lr,rnu rnt"rnu á" der ramaño

hfiTr*:imismo, EJEMPLo

MATLAB usa la iaracterística auromárica de rijar "¿"p,i.ion h ;;;i" del eje de la

6-3 Considere el sistema de control

de la Figura-6-15. Dibuje er diagrama del lugar de las raíces con una razón de aspecto cuadrada para que una línea unu pendiente de 1 sea una línea realmente de 45'' para dibujar el lugar de ras raíces escoja ra"on rigri."t" región:

-6{¡(6, donde

¡

or¿jon

-6(.y(6

y son las coordenadas del eje real y der eje imaginario, respectivamente. el fin de establecer la región áe ta grátca en pantálla puru e

con esta orden, una

qu" sea cuadrada, introduzca la

;."

(v) ; axis ( 'square'

j*'r:"

)

,."'o,""." a" 1 estará realmente a 45", y no inclinada por la forma irregular de la pantalla. Para este problema, el denominador se obtiene como un producto de términos de primer y segundo orden' Por tanto, se deben multiplicar estos términos para obtener un polinomio en s. La multiplicación de estos términos se realiza de una manera sencilla mediante la orden de convolución, tal y como se muestra a continuación. Defina

a: s (s * 1): b:s2+4s*16:

t1 1

b: t1 4

0l 1_61

Después utilice la siguiente orden:

rv(a, Observe que conv ( a,

salida del ordenador

b)

b)

proporciona el producto de dos polinomios, a y b. observe la siguiente

a: [1 1 0]; b: 11 4 1^1 . c : conv (a, b) 20

I6

Kls + 3l

n". 1,¡¡¡" - lc,

Figura 6-'t5.

Sistema de control,

292


Por tanto, el polinomio del denominador es

den: [1 5 20 L6 se

0]

Para encontrar los polos complejos conjugados en lazo abierto (las raíces de s2 + 4s roots de la sisuiente manera:

+

16

:

01.

utiliza la orden

v¡¡+!v =: !vvLr

/L\ \u/

-2.0000 +3.464Ii -2.0000 -3.46AIi Por tanto, el sistema tiene los siguiente ceros y polos en lazo abierto:

: -3 s:0, s: -1, s: -2+j3.4641

abierto:

Ceros en lazo Polos en lazo abierto:

s

El Programa MATLAB 6-l dibujará el lugar de las raíces para este sistema. La gráfica aparece er la Figura 6-16.

MATLAB Programa 6-l Z ¡..r

--*------

11 Lr

Lugar de 1as raíces 2I

J)

.

t

den- [1 5 20 t6 0]; rlocus (num, den) v- [-6 6 -6 6l; axis (v) ; axis ( 'square' ) grid; title ('Lugar de 1as raíces Observe que en el Programa

de G(s)

MATLAB 6-l

: K(s + 3) / ls(s + 1) (sn2 + 4s + 16)l

en lugar de

den: [1 5 20

L6

1 0],

11

0l

se introduce

den - conw ( [1

4

161

)

Los resultados son los mismos. Lugar de las raíces de G(,i) = K(s + 3)/[s(s +

1.¡(,i2

+ 4s + 16)l

6

1

o2 tr

'l-

!'0

o

if ,z I

-6

-6-4-20216 Eje real

Figura

6-16.

Gráfica del lugar de las raíces

Capítulo

EJEMPL0

6-4

6.

Análisis y diseño de sistemas de contror por er método der rugar de ras

raíces 2g3

Considere el sistema cuya función de transferencia en lazo abierto G(s)F(s) es G(s)11(s)

:

K

s(s+0.5)(s2+0.6s+ t0) K

s4+1.1s3+to.3s2+ss No hay ceros en lazo abierto. Los polos en lazo abiierto se localizan en

s: -0.3 - j3.l490,s: -0.5vs:0.

.r: -0.3 + j3.14g0,

Si se introduce en la computadora el Programa MATLAB 6-2, se obtiene la gráfica del lugar de las raíces de la Figura 6-17.

MATLAB Programa 6-2 Z -----*--Lugar de fas raíces nun: [1] ; den: [1 L.I 10.3 5 0]; r : rlocus (num, den) ; plot (r, 'o' ) v: [-6 6 -6 6l; axis(v) grid title('Lugrar de fas raíces de G(s) : X/[s(s * 0.5) xfabel ( 'Eje ReaI') y]abel ( ,Ej e rmag' )

(s ^2

+ O.6s+10) ],

)

Observe que, en las regiones cerca de ¡ : -0.3,y : 2.3 y¡ : -0.3, y :,2.3,dos lugares tienden uno al otro. Cabe preguntarse si estas dos ramas deben tocarse o no. para exploraiesta situación, se pueden dibujar los lugares de las raíces utilizando pequeños incrementos de K en la región crítica.

Lugar de las raíces de G(s) K/[s(r+0.5)(.s2+0.6s+ I 0)] =

'-o

So

+

tr

o

r¡'

B. oq'ôocooo^B "u^ o" o "o o vo ^

-2024 Eje real

Figura 6-17.


)

l

294


Lugar de las raíces de G(s) = K/[s(s+0.5X,r2+0.6s+10)l

'l

ót

ñ(, il

E

t!l

T

1

3

-4-32-10123 Eje real

Figura

6-18.


Con una aproximación convencional de prueba y enor o utilizando la orden rlocf ind, la cual se presenta más adelante en esta sección, se obtiene que la región específica de interés es 20 < K ( 30. Introduciendo el Programa MATLAB 6-3, se obtiene ei lugar de las raíces que se muestra en la Figura 6-18. A partir de este gráfico, es evidente que las dos ramas que se aproximrn en la mitad superior del plano (o en la mitad inferior del plano) no se tocan.

MATLAB Programa 6-3 Z

Lugar de las raíces

--*------

h..ñ:

t11 Lrl,

.

den: [1 1.1 10.3

5

wl -^.n a.tn. w):)A,n 1.2n. K3 : 30:5:1000;

K: [Kl R2 K3) ; r : rlocus (num, den, K) ; plot (r, 'o' ) v: f -4 4 -4 4l ; axis (v) grid title ( 'Lugar de las raíces xlabef ( 'Eje Real' ) ylabe1 ( 'Eje Imag' )

EJEMPL0

6-5

de

G

(s) : K/ [s (s *

(s"2*0.6s*10)l')

Considere el sistema de la Figura 6-19. Las ecuaciones del sistema son

x:Ax*Ba Y:CxfDa u:r-\,


Figura

6-19.

raíces 295

Sistema de control enlazo cerrado.

En este problema de ejemplo se obtiene el lugar de las raíces del sistema definido en el espacio de estados. Por ejenrplo, se considera el caso donde las matrices A, B, C y D, son

^:[_,,1 c: t1 0

_,i

i] .:I j] D:

01,

(6- 1 s)

tOl

El lugar de las raíces para este sistema se obtiene con MATLAB mediante la siguiente orden:

rlocus (A, B, C, D) Esta orden producirá la misma gráfica del lugar de las raíces que se obtiene mediante la orden rlocus (num, den), donde num y den se obtienen de

lnum,den]

: ss2tf (A,B,C,D)

del modo siguiente:

num- [0 0 1 0] den- | 1 14 56

160 l

El Programa MATLAB 6-4 generará la gráfica del lugar de las raíces de la Figura 6-20.

MATLAB Programa 6-4

--------- LugTar de las raíces a:[0 1 0r0 0 1;-160 -56 *I4); Z

P: D

lñ.1. Lvttt

1A1. t

r=)

c: t1 0 0l; D: [0] ; K : 0 : 0 . 1 :400; rl

ocus (A, B, C ,D,K)

;

v: [-20 20 -2A 20] ; axis (v) grid title ( 'Lugar de 1as raíces de sistema definido

en

el espacio de estados')

296


Lugar de

1as raíces

del sistema definido en el espacio de estados

20 15

10

o{

Po E

o

if

-5 -10 15

20

-20

15 -10

5

0

5

10

1s

20

Eje real

Figura 6-20.

Gráfica del lugar de las raíces del sistema definido en el espacio de estados, donde A, B, C y D se obtienen de la Ecuación (6-15).

Lugares de las raíces con I constante y

constante.

Recuérdese que en el plan complejo la razón de amortiguamiento de un par de polos complejos conjugados se puede e\.presar en función del ángulo 95. el cual se mide desde el eje real negativo. como se muestra en Figura 6-21(a), con @n

(

(:cos@ Con otras palabras, las líneas conÍazón de amortiguamiento ( constante son radiales que pas¡: por el origen como muestra la Figura 6-21(b). Por ejemplo, unarazón de amortiguamiento de [) -' requiere que los polos complejos se encuentren sobre una línea que pase por el origen con án-s:los de *60" con el eje real negativo. (Si la parte real de un par de polos complejos es positiva. que significa que el sistema es inestable, el cor:respondiente ( es negativo.')Larazón de amon--

(a)

Figura

6-21

.

(a) Polos

(b)

complejos; (b) líneas de amortiguamiento - constante.


raíces 2g7

guamiento determina la.localización angular de los polos, mientras que la distancia del polo al origen se determina mediante la frecuenJia natural no amortigu ada e)n.El lugar de las raíces para úl¡? constante son círculos. Para dibujar las líneas con constante ( y los círculos con constante (Dil en el lugar de las raíces con MATLAB se utiliza la orclen sqrid.

Dibujo de las rej¡llas polares en el lugar de las raíces. La orden

sgrid superpone líneas de razón de amortiguamiento constante (( : 0 _ 1 con incremento 0.1) y círculos de o,, constante en el dibujo Jer Iugar de ras raíces.'véase er Programa MATLAB 6-5 y el gráfico resultanre en la Figura 6_22.

MATLAB Programa 6-5

sgrid v: [-3 3 -3 3] ; axis (v) ; axis ( 'square' ) title ( 'Constant \zeta Lines and Constant \omega_n Circles, x1abel ( 'Real Axis' ) yJ abel { 'Imag Axis' )

Si sólo se desean líneas para algún ( constante en particular (por ejemplo, las líneas para o.s y (: 0.707) y círculos para alguna (on constante en particuiar (pór elemplo, l,os .ír.ulo, para (Dn: 0.5, ru,, : I y o.t,: 2'), se utiliza la siguiente orden:

(

:

ssrid(t0.5, a.iOll,10.5. 1,, 2)\ i constante y círculos de ro,, constante

Si se.desea superponer ríneas de

anteriormente en un lugar de las raíces cle un sistema con

num: [0 0 0 den-- Lt 4 5 Líneas 0.64

{

0.-5

como los mencionados

1] OJ

constantes y círculos a,, constantes

0

0.

r6

0.76 0.86

.:r

0,9.+

i

--^ .=

0:985 U

0.98s

i¡'

-t

0.9,{

0.86 0.7 6

0.6.{ --1

li. llr

-3_2_10121 Eje real

Figura

6-22,

Líneas de

:

constante y círculos de on constante.

298


introduzca el Programa MATLAB 6-6 en la computadora. muestra en la Figura 6-23.

El lugar de las raíces resultante

MATLAB Programa 6-6

num: [1] ; den: [1 4 5 0]; K : O:0.01:1000; r - rlocus (num, den, K) Plot(r,'-');v:[-3

ssríd('0.5, o.1a1l, qrid title

(

1

,21)

'Lugar de 1as raíces con \Líneas : 0. 5 y

a

y z Lrrquau> ^-'--^--l

--

-2 2l; axis(v); axis('square')

10.5,

^^

0 .7 A1

zeLay \omeqa-n :

r \ /

xlabel ('Real Axis' ) ; y label (' Imag Axis' ) gtext('\omega-n-2'¡ gtext ( '\omega-n : 1' ¡ gtext (' \omega-n : 0. 5' ) %Colocar una marca 'x' en cada uno de los 3 polos en fazo abierto n1-avl

/ rvr

\

gtext ( 'x' qtext ( 'x'

) )

Si se desea eliminar todas las líneas de ( constante o todos los círculos de co, constsllte :: utilizan los corchetes vacíos [] en los argumentos de la orden ssrid. Por ejemplo, si se quie:: únicamente superponer la línea de razón de amortiguamiento ( : 0.5 y ningún círculo de constante en el lugar de las raíces que se muestra en la Figura 6-23, se utiliza la orden

ssrid(0.5, tl) Lugar de las raíces con líneas ( - 0.5 y 0.707 y círculos o,,: 0.5. I, y 2

\-

.9

0.107

(=05

0.5

't¡ 6(,

E

o

if-O.5

-2

-2.5 -2 -1.5 -l

0.5 0

r.r

i

I

Eje real

Figura 6-23.

Líneas de

constante y círculos de (')n constante superpuestos sobre la gráfica del lugar de las raíces.

í

Capítulo

6. Análisis

y diseño de sistemas de contror por er méiodo der rugar de ras

Figura

6-24.

raíces 2gg

Sistemas de control.

Sistemas

condic¡onalmente estabtes. Sea el sistema de realimentación negativa que se muestra en la Figura 6-24' se puede representar el lugar de las raíces para este sisíema apticando las reglas generales y el procedimiento daclo para"su construcción uru'. MATLAB

t para obtener la gráfica del lugai de ias raíces. EI programa MATLAB 6-7 dlbujaráel diagrama del lugar de las raíces pa.a el sistema. En la Figura 6--25 se muesffa ra gráfica. MATLAB Programa 6-7

num: l1 ) A1 den: conv(conv([1 4 O], ú 6l), tL L.4 1l ); rlocus (num, den) ; v: l-7 3 -5 5l ; axis (v) ; axis ( ,square, ) grid title ( 'Lugrar de las raíces de G(s) : K(s"2 + 2s t 4) / Is(s + 4) (s + 6) (s n2 + 1.4s + text(1.0, 0.55,'K : 12, )

text(1.0,3.0,'K:73') text(I.A, 4.15,,K : 154,

1)

I ,)

)

Se puede ver del diagrama del lugar cle las raíces cle la Figura 6-25 queeste sistema es solo establepararangos limitados del valoideK-qûees 0 < K < 12y i3 < K < r54.El sistema se hace inestable para 12 < K < 73 y 154 < K. (Si K toma un valor inestable, el sisiema r" pr"a" deteiiorar o hacerse no linear debido ción que pueda existir.) Tar sistema se ilama condicionalmente estable.

JffiT:t-ffiffi;:nnl

Lugar de las raíces de

K:154 .

K-73 o

Fr $o o _t

K-t2

i¡

a

--)

-5

-7

-6 -5

-3 -2 -l Eje real

Figura

6-25.

Lugar de ras raíces de un sistema condicionarmente estabre.

300


En la práctica, Ios sistemas condicionalmente estables no son deseables. La estabilidad coldicional es peligrosa pero ocurre en ciertos sistemas particular, un sistema que tiene camino directo inestable. Este camino directo inestable-en puede ocurir si el sistema tiene un laz menor. Es aconsejable evitar tal estabilidad condicional ya que si por cualquier razón la gananc.cae por debajo del valor crítico, el sistema se hace inestable. Obsérvese que la adición de una r¡de compensación adecuada eliminará la estabilidad condicional. [Si se añade un cero el lugar -. las raíces se doblará hacia la izquierda. (Véase la Sección 6-5.) Por lo tanro la estabilidad conc , cional se puede eliminar introduciendo una compensación adecuada.l L.

Sistemas de fase no mínima. Si todos los polos v ceros cle un sistema se encuentran el semiplano izquierdo del plano s, el sistema se denomina de f'ase mínima. Si un sistema tiene menos un polo o un cero en el semiplano derecho del plano s, el sistema se considera de fase :. mínima. El término de fase no mínima proviene de las características de cambio de fase de :sistema cuando está sujeto a entradas sinusoidales. Considérese el sistema de la Figura 6-26(a). Para este sistema, Gts)

: K(l

r,at

Z,s)

. t,

(4' >

o)'

11(s)

:

1

Este es un sistema de fhse no mínima, debido a que hay un cero en el semiplano derecho ¿. plano ,r. Para este sistema, la condición de ángulo se convierte en

/G(')

:

:

*180"(2ft+

1)

(.k: 0, 1,2, ...)

o bien

:0"

(6-

Los lugares de las raíces se obtienen a partir de la Ecuación (6-16). La Figura 6-26(b) mue. una gráfica del lugar de las raíces para este sistema. A partir clel cliagran-ra, se observa qu. sistema es estable si la -eanancia K es menor que 11Z,,. ¡. _ ''T

I

/ ;=,) lt

I

r

i//

\ l

(a) Figura

6-26

rl'r

(a) sistema de fase no mínima; (b) gráfica del lugar de las raíces.

K*r

Capítulo 6. Análisis y diseño de sistemas de control por el método del lugar de las Lugar de raíces de G(s)

-

K(1

-

raíces 301

0.s.i)/[s(s + 1)]

6 r*" frV^

r:3 :l ttt ñ -a: pq8

OI

€(, bT

'a= \J

ñ ñ

-l

C)l

€r?l =Ü

ñn¡ *F ü*P

ER

-J

,4 -2

E'l*

t23

-t

Eje real

Fígura 6-22. Gráfica del lugar de las raíces de G(s)

-

K(1

-

0 5s)

s(s +

1)

Para obtener el lugar de las raíces con MATLAB, introduzca el numerador y denominador como siempre. Por ejemplo, si Z : 1 seg y T, : 0.5 seg introduzca el siguiente numerador y denominador en el programa: t-0.s 1l

den :

t1 1

0l

El programa MATLAB 6-8 proporciona el lugar de las raíces que se muestra en la Figura 6-27. MATLAB Programa 6-8

num: [-0.5 1]; den: [1 1 0]; KA - U:U.U.L:JU,.

k2:30:1:100; K3:100:5:500; K: [k1 k2k3]; rfocus (num, den, K) v : l-2 6 -4 4l ; axis (v) ; axis ( ,square, ) grid title('Lugar de las raíces deG(s) : X(1 - 0.5s) / [s(s + 1) ], ) %colocar una marca 'x' en cada uno de 1os 2 polos en razo abierto %Cofocar una marca 'o' en e1 cero en lazo abierto gtext ( 'x' ) qtext ( 'x') -fóvr/,^r\ vs!^L\

u

/

Ortogonalidad de los lugares de las raíces y los lugares de gananc¡a constanConsidérese el sistema cuya función de transferencia en laá abierto c¡r;rr¡"¡. En el pla-

te.

no G(s)H(s), los lugares de lG(s)I1(s)l : una constante son círculos con centro "i en el origen y los lugares correspondientes /G(s)É1(s) : + l 80'(2k + I : Xft 0, 1, 2, ...) se encuentran sobre el eje

302


Plano G(s) H(s)

Plano G(s) H(s)

/GG) n(s)

=+180o(2[+l)

\

G(.s)

Figura

6-28

H(r) = constantc

Gráficas de los lugares de las raices de ganancia constante y de fase constante en el plano G(s)H(s).

real negativo del plano G(s)H(.s), como se aprecia en la Figura 6-28. lObsérvese que el pla: complejo empleado aquí no es el plano s, sino el plano G(.r)H(.r).1 Los lugares de las raíces y los lugares de ganancia constante en el plano .t son mapeos de l lugares de /G(s)H(s) : + 180'(2k + l) y de lG(.s)H(.s)l : una constante, en el plano G(s)H(r Debido a que los lugares de fhse constante y de ganancia constante en el plano G(s)H(.s) : ortogonales, los lugares de las raíces y los lugares de ganancia constante en el plano ,r son on gonales. La Figura 6-29(a) muestra los lugares de las raíces y los lugares de ganancia constar para el sistema siguiente: G(s)

:

K(s

i

2)

11(i):

I

i1

(a)

rbl

Figura 6-29. Gráficas de los lugares de las raíces y los lugares de gaância constante. (a) Sistema con G(s) : K(s + )l(* * 2s- 3), H(s) : 1; (b) sistemacon G(sr = K'sis - 1)(s+ 2)1, H(s) - 1.


raíces gO3

obsérvese que, como la configuración de polos y ceros es simétrica con respecto al eje real, los lugares de ganancia constante también son siméiricos con respecto al mismó eje. - I a Figura 6-29(b) muestra los lugares cle las raíces y los lugares de gananóia constante para

el sistema:

G(s):

K

H(s):

s(s*lXs*2)

I

Obsérvese que, como la configuración de los polos en el plano s es simétrica con respecto al eje real y la línea paralela hacia el eje imaginario que pasa alravés del punto (o : t, ,, j 0), los lugares de ganancia constante son simétricos con iespecto a la líneá o.¡ : 0 (ejereal) y la línea

6

-

l.

, De las Figuras 6-29(a) y (b), obsérvese que cada punto en el plano s tiene su coffespondiente valor de K. Si se utlliza la orden rfocf ind (presentacla a continúación), MATLAB darrí el valor de-K de un punto determinaclo y los polos en laro cerrado más próximos conesponclient", u

valor de K.

.r"

Localización del valor de la gananc¡a Ken un punto arb¡trar¡o en el lugar de las En el análisis cle sistemas in lazo cerrado .on MATLAB, a menudo ," q.rÉr" encon-

raíces.

trar.el valor de la ganancl.a rK en un punto arbitrario sobre el lugar de las raíces. Ésto se puede realizar con la orden rlocfind:

: rlocf ind(num,

den)

La orden rlocfind, que debe seguir a la orden rlocus, superpone unas coordenadas x-y móviles sobre la pantalla. Mediante el ratón, se localiza et o.ig"n de las.oo.¿.nuJor"r-v sobre el punto-.deseado del lugar de las raíces, y se pulsa el botón del ratón. A continuación'n¿Árr-eg visualiza por pantalla las coordenadas de eie punto, el valor de la ganancia en ese punto y los polos en lazo cerrado correspondientes a ese válor de la ganancia. . Si el punto seleccionado no se encuentra sobre el lugir de las raíces, tal como el punto A en la Figura 6-29(a), la orden rlocfind devuelve las coordeñadas del punto seleccionado, el valor de la ganancia de ese punjo, tal como K:2, y las localizaciones deios polos en lazo cenaclo, tales c.omo los puntos B y C correspondientes a ese valor de K. [Observe que cada punto en el plano s tiene un valor de ganancia. Véase, por ejemplo, las trigurai 6-29¡a) y (b).1

6-4 Lugar de las raíces de sistemas con realimentación positiva Lugares de las

raíces para sistemas con real¡mentación positivax. En un sisrema de control complejo puede haber un lazo interno con realimentación positiva como el de la Figura 6-30' Por lo general, un lazo semejante se estabiliza mediante el lazo externo. A continuación se centrará la atención únicamente en el lazo interno de realimentación positiva. La función de transf-erencia en lazo cerrado clel lazo interno es


C(s)

G(.s)

R(.s) I -

G(.s)11(s)

es

t-Grsr111s; 'r' Ref'erencia W-4

:g

(6-17)

304


Figura

6-30.

Sistema de control.

Esta ecuación se despeja de forma parecida a como se hizo el desarrollo del método del lugar las raíces de la Sección 6-2. Sin embargo, debe cambiarse la condición de ángulo. La Ecuación (6-11') se escribe como

G(s)¡1(s)

:

c=

1

que es equivalente a 1as dos ecuaciones siguientes:

/G(i)H(s):

oo

lc(sX1(s)l

I

:

* k360o (ft:0,

1,2,...)

La suma total de todos los ángulos a partir de los polos y ceros en lazo abierto debe ser iguat 0'+ /1360o. Por tanto, el lugar de las raíces ocupa un lugar de 0", en contraste con el lugar :. l80" que se consideró antes. La condición de magnitud no cambia. Para ilustrar la gráfica del lugar de las raíces para el sistema con realimentación positiva. ,: ufllizarán como ejemplo las siguientes funciones de transf-erencia G(s) y H(s).

G(s):

i (s * 3)(s2 i K(s

2¡

2s

-t 2)'

H(s)

:

I

Se supone que la ganancia

K es positiva. Las reglas generales para construir los lugares de las raíces que se vieron en la Sección ó-deben modificarse de la forma siguiente: La regla 2 se modfficct del mr¡do ,siguiente: si el número total de polos reales y ceros reales a derecha de un punto de prueba sobre el eje real es un número par, este punto de prueba se e. , cuentra en el lugar de las raíces. La regla 3 se moclifica del modo siguiente: Ángulos de las asínrotas:

: m:

donde ¡r

+ ft360" -]l 1

(k:

0, 1,2, ...)

número de polos flnitos de G(.s)11(s) número de ceros finitos de G(s)11(s)

La regla 5 se mr¡difica del modo siguiente: cuando se calcula el án-eulo cle salida (o el ángulo ,, llegada) a partir de un polo complejo en lazo abierto (o de un cero complejo), se deben restar Jl 0o la suma de todos los ángulos de los vectores que parten de todos 1os otros polos y ceros hael polo complejo (o el cero complejo) en cuestión, inciuyendo los si-enos adecuados.

capítulo 6' Análisis y diseño de sistemas de control por el método del lugar de las raíces 305

. Las otras reglas para construir la gráfica del_lugar de las raíces no cambian. Ahora se aplicaran ras reglas modificadas para constiuir ra gráfica"deir"ñ

1'

J"G raíces. - t,- j,s: -3) v cero (s - 2) 3;T¿::miii"T;:1,*'*,9'.0:l:'^g:-0," I0 + fj, s. o,, p i, o,';; ;; ¿li5i :l [:",1i;:':"',l#',t'i]*r: -:":y""-",:;-,i, ;.á, " á" rí,"";r?.1#ir,;;i::T,"#,lfÍli "ffi :ili::#':: igual que en :i el lf:,?l',"::,i1.:":y1¡

:

r

2.

3'

,.JL""iá.1á";#;;: j;-_;1

Ánguto de la

4'

;;

caso de los sistemu, .on Defermine lnc lugares l"---^. de A^1^^ -^.^^- sobre et eje real. Exitsten las raíces lugares de las raíces sobre el 3:,:lTti¡.tos eje real enrre - 1y + r_ y enrre Determine las asíntotas de ros lugares de las raíces. para el sistema actuar.

*rr lBo,, +*'ug: 3- I

asíntor":

Esto significa simpremente que las asíntotas están sobre el eje real. Determine los puntos de ruptura y de ingreso. como la ecuación característica (s

-|

3)(^r2

*

2s

f

2)

-

K(s

3)(.tr

+

2s

se obtiene

u

^:

_(t |

+ 2) :

es

O

a )¡

s -12

Diferenciando K con respecto a s, se obtiene

dK d.s

Obsérvese que 2s3

5'

+

tls2

+ 20s+

10

: :

2s3+11.12+2os+ lo (s + 2)2

+ 0.g)(s2 + 4.7s + 6.24) 2(s + 0.8)(s + 2.35 + j0.77)(s + 2.35 2(s

i0.77)

El punto r.r - - u'o 0.8 usta está erl en el rugar lugar de las raíces. raí Como este punto se encuentra entre dos ceros (un cero finito y un c"io infinito), es un punto Dunto de .e ingreso inoreqn roor real. rLos ^..-.^^ ^. puntos ,rn, t o s ari sracen I a con¿i ói o :t n d;;,iüi; ruptura ni de ingreso. ^n

il"T

y:;#'i;ü ;T:""1:#:$:

.l,rp

Encuentre el ángulo de salida del lugar de las raícesâ partir de un polo complejo. para poio complejo en r : el -I +.j, ef a,igufá de salida g es

0:0'-

o bien

2J" o

6'

_

:

-

900

+ 45.

-J2"

(El ángulo de salida del polo complejo _ _ _ r 1 j es72,.) Seleccione un punto de prueba en la proximidad del ejeiat y el origen, y aplique la conánguio' Localiie un nu-eio surici.nie ¿e;;;;á;q"" satisfagan la condición

f|tT,::"

de

La F'igura 6-3 I muestra los lugares de las raíces para el sistema con realimentación positiva actual' Los lugares de ras raíces uiui..* .on lír";;

i;;;.urui'ponr"uaur.

Obsérvese que, si

K>

(s*3Xsr-t2s+-2 s-t2

306


J0)

-.¡2 x

I

.:----J-----{---l--

54-r-2u

{

.¡1

0l2tr - jl

,-*

j2

.

Gráfica del lugar de las raíces para un sistema de realimentación K(s + 2)/t(s + 3)(f + 2s + 2)1, H(s) 1. negativa con G(s)

Figura 6-31

-

-

unataíz real se introduce en el semiplano derecho del plano s. Por tanto, para valores de K nlr'. res que 3, el sistema se vuelve inestable. (Para K > 3, el sistema debe estabilizarse con un 1i.: externo.) Obsérvese que la función de transferencia en lazo cerrado para el sistema con realimentae - positiva se obtiene mediante

CG)

K(s

G(s)

R(s) I - G(sX1(s)

(s

+ 2l

+ 3)(s2 + 2s + 2) - K(s +

2)

Para comparar esta gráfica del lugar de las raíces con la del sistema con realimentación

ne _¡--

tiva correspondiente, se muestran en Ia Figura 6-32 Ios lugares de las raíces para el sistema realimentación negativa cuya función de transferencia en lazo cerrado es

:

K(s + 2)

c(s)

R(s)

¡

(s

+ 3)(sr -t

2s

-t 2) + K(s +

2')

La Tabla 6-2 muestra varias gráficas del lugar de las raíces de sistemas con realimentac i negativa y positiva. Las funciones de transferencia en lazo cerrado se obtienen mediante

R 7+GH' CG R: GH'

para sistemas con realimentación negativa

para sistemas con realimentación positiva

-l

j3 j2 j1

-5-432-1

( Figura 6-32.

Gráfica del lugar de las raíces para un sistema de realimentación negativa con G(s) -K(s+2)ll(s+3Xd +2s+ 2)l H(s)-1


raíces gO7

donde GH es la función de transf'erencia en lazo abierto. En la Tabla 6-2, los lugares de las raíces para los sistemas con realimentación negativa se dibujan con líneas y curvas gruesas y los de los sistemas con realimentación positiva se dibujan con líneas y curvas discontinuas.

Tabla

6-2.

Gráficas de lugares de las raíces de sistemas con realimentación negativa y positiva.

,-l t,

,l1T---*. I

t.

-]l

i\ .tN

¡.1

'-V

-J----r

,'-\a '_/

I

--r----rI---\ tl

o

I

I

roL

nl

-i{-f ---*,.

(f

út

I

i-L

OI o

t. ):/',

'tY

_I_o-ll_

,l

_

-

*

\o

Las líneas y curvas gruesas corresponden a los sistemas con realimentación negativa: las líneas y curvas discontinuas conesponden a los sistemas con realiment¿rlión positiva.

308


ó-5 Diseño de sistemas de control mediante el método del lugar de las raices

de un sistema de control' "puede ser una fbrma senci' planta la de la dinámica de bemos que una modificación adecuada que no sea posib ' puede embargo sin Esto de .u-pli, las especificaciones de comportamiento. En estos ca''' modificable' y no es fijada planta está la que en muchas situaciones prácticas ya supone qtte 'se texto, En este planta. la de los a se deben ajustar otros pa.ámetros distintoi planta está dada y es inalterable. no se puede lograr '. En la prácticá, el lugar de las raíces de un sistema puede indicar que parámetro aju't*(o otro algún ganancia la moclificando .o,nportu-iento desead6 simplemente los valores de 'para todos estable ser no puede ble). De hecho, en algunos casos, el sistema de las raíce ' lugar el modificar necesario es Entonces ganancia (o de otro parámetro ajustable). para cumplir 1as especificaciones de comportamiento' ' nt próUtema de diseño, se convierte en mejorar el comportamiento del sistema mediante 'control se reduce al diseño '' inserción de un compensador. La compensación de un sistema de no deseables e inalterabi'' características las compensar un filtro cuyas características tienden a de la planta.

consideración preliminar de diseño. En la construcción

de las r;Diseño med¡ante el lugar de las raíces. El diseño por el método del lugar

polos y ceros a la función :' ces se basa en redibujar el lugár de las raíces del sistema añadiendo las raíces pase por los polos etransf'erencia en lazo abierto"del sistema y hacer que el lugar de de las raíces eS QUe :: lazo cerrado deseados en el plano s. La característica del diseño del lugar par de polos dominantes' E>basa en la hipótesis de qu" et sistema en lazo cenado tiene un a las característic-' significa que los ef-ectos de los ceros y polos adicionales no af'ectan mucho de la respuesta. ganancia (o de cu; Cuando se diseña un sistema de control, si se requiere un ajuste de la '' quier otro parámetro), se deben modificar los lugares de las rajces originales introduciendo ' y/o cer' polos ümp"nsador udecuaio. Una vez comprendidos los ef-ectos de la adición de los polo' localizaciones de los sobre el lugar de las raíces, se pueden determinar con facilidad las como se desee' En ese :las raíces de lugar el a construir para volver los ceros del compensador lugares de las raíces c' cia, en el diseño róalizado Áediante el método del lugar de las raíces' los poc'a construir mediante la utilización de un compensador' con el fin de sistema se vuelven colocar un par de polos dominantes en lazo cerrado en la posición deseada.

compensación en ser¡e y compensación en paralelo (o mediante realimenta' Ción). Las Figuras 6-33(a) y ftl muestran los diagramas de compensación que suelen utihz': en *" puiu los sistemas de contról realimentados. La Figura 6-33(a) muestra la configuración ';

con7pet1j"" quá el compensador G,.(s) se coloca en serie con la planta. Este esquema se denomina ción en serie. alternativa a la compensación en serie es la realimentación de las señales de algun

Una

'

interno resultan'' elementos y la colocación de un compensador en el camino de realirnentación tal y como se muestra en la Figura o-::(u). Esta compensación se denomina compensación 'r paralelo o compensación mediante realimentación' los sistemas de control, se observa que. por 1o -seneral. e1 problema se reduc- Al "o-p"niu, apropiado cle un compensador en serie o en paralelo. I-a elección entre la colrlper::un diseño del sister-ción en serie y la compensación en paralelo depende de la naturaleza de las señales la experiencia c-: los niveles cle potencia en los diferentes puntos, los componente> disponibles' diseñador. Ias consideraciones económicas, etc'

Gapítulo

6'

Análisis y diseño de sistemas de control por el método del lugar de las

raíces 3Og

Gr(s)

Figura

6'33'

(a) compensación en serie; (b) compensación en pararelo o mediante realimentación

en.serie

es más sencilta que la compensación en paralelo; sin 3::.f.::i^"-1T^ryiri1ión en serie frecuenremenre_requiere il: :::T::;t,1._""Tf:,'_":l:n "_püil;"d;;"r""¿i*|frJiii; i * i yru, or,e. e, uq' qrorcrr'v'ru. \_rdr¿1 svlrar la olsrpaclon :' de potencia, potenci el com_ ¿1: l ::.-T""lli.,: ii l "" bajo introduce en el punro de energía más en el camino direcro.) obsérvese Obsérvese *:ti*:^r:^::,tir_,r" ]li"l,l liilii:lt l:T"l: d" componenre, ,"qu"r1do, en la compe"r";,ór;;^;;;lá""r",á;":

ñi;;;'€*: ll;ilffiffi

en LTj::::,1"1T"::j:::Tl:i:T:'-9"'lu 'o-pln,u.ión '"'i",;;;;;" ; ;H*';;i*";'; lu transferencia áe energía va de un;i;;i; ffi;:##J:',1-J" * ::.li:i":li*,,*olo:," 1:."

l*t i::::lil !,9 " 6 L:T::",1".::1ryTu"ió'en

tación de velocidacl.

e seanariza en

p,i-";

r;;;;;, #;';;I';."#ffi:lJn

pararelo utilizando el diseño ¿" un

,".i"

"n rirt"Jl;";;rffiiüffiilH:

compensadores

utilizados normalmente. Si se necesira un compensador para cumplir las especificaciones de comportamiento, el diseñador debe realizar :-un dispositivo físico que tenga incorporada la función dé transferencia del compensadorA estos efectos, se han utilizado numerosos diipositivos físicos. De hecho, en la literatura encuentran muchas ideas útiles para construir físicamente los compensadores. Si una entrada sinusoidal seiplica a la entrada de una red, y la salida en estado estacionario (que también es sinusoidal) tiene un adelanto cle fase, Ia red sá denomina red de ua"iunto. 1t_u magnitud del ángulo cle adelanto de fase es una función de la frecuencia de entracla.) Si la salida en estado estacionario tiene un retardo de fase, la red se denomina recl de retardo. En una red de retardo-adelanto' ocur:ren tanto un retardo de fase como un adelanto de fase en la salida pero en diferentes regiones de frecuencia; el retardo de fase se produce en la región de baja frecuencia y el adelanto de f-ase en la región de alta frecuencia. un cámpensador que tenga la característica de una red de adelanto, una red de retardo o una red de retardo-adelanto se denomina compensador de adelanto' compensador cle retardo o compensador de retardo-adelanto, respectivamente. Entre los muchos tipos de compensadorés, los que más se utilizan son los compensadores de adelanto' los de retardo, los de reárdo-adelanto y los de realimentación de velocidad (tacómetros)' En este capítulo se limitará el análisis a estos tipos. Los compensadores de adelanto, de retardo v de rerardo-adelanro pueden ser dispositivos eiecrrónt.", que usen amplificadores operacionales) o reáes RC (eléctricas, mecánicas, neumáticas, hidráuli_ cas o una combinación de ellas) y amplificaclores.

ü;;;;

";"Hoil]'"."r.,

310


Figura 6-34. (a) Gráfica del lugar de las raíces del sistema de un solo polo; (b) gráfica del lugar de las raíces de un sistema de dos polos; (c) gráfica del lugar de las raíces de un sistema con tres polos.

Frecuentemente los compensadores serie que se utilizan en los sistemas de control son lL'i compensaclores de adelanto, retardo y retardo-adelanto. Los controladores PID que se emplei: normalmente en los sistemas de control industriales se analizan en el Capítulo 8. Se observa que al cliseñar un sistema de control por los métodos del lugar de las raíces o de -, respuesta en fiecuencia el resultado final no es único, ya que la mejor solución o solución óptin:puede no estar definida de fbrma precisa si se dan las especificaciones en el dominio del tienlp o de la frecuencia

Efectos de la adición de polos. La adición de un polo a la función de transferencie ¡lazo abierto tiene el ef-ecto de desplazar el lugar de las raíces a la derecha, lo cual tiende a disn. nuir la estabilidad relativa del sistema y el tiempo de asentamiento de la respuesta. (Recuérde'. que la adición del control integral añade un polo en el origen, lo cual hace que el sistema '. vuelva menos estable.) La Figura 6-3¿l muestra ejemplos de los lugares de las raíces que prese:tan el ef'ecto de la adición de uno o dos polos a un sistema de un único polo. Efectos de la adición de ceros. La adición de un cero a la función de transf'erencia -' lazo abierto tiene el ef-ecto de desplazar el lugar de las raíces hacia la izquierda, lo cual tiende -

Figura

(a) Gráfica del lugarde las raíces de un sistema con tres oclos ib). (c) y (d) gráficas del lug: de las raíces que muestran los efecios de la adición de un ce'c a srsiema de tres polos.

6-35.

capítulo 6' Análisis y diseño de sistemas de control por el método del lugar de las raíces

O1 1

hacer el sistema más estable, y se acelera el tiempo de asentamiento de la respuesta. (Físicarr vLru vrr 14 t3,1:,":" lutrututr ue cre transierencr" Lranslerencla

á.f."-i';;;""s-*

il:T:;*iil':::,::,:T:.::,:l

*,"el; al sistema un control derivativo. El ef'ecto de este control ees introducir un grado de anticipación la respuesra rransiroria.) La Figura 6-35(a) #Trt;?:::

-;r;;" ;Íffiff i::::: j ,:!01,,(.| y (d) muestrán ras grancas d;i iü;;;l;,";;rd ;il""i1*..fii'fi}:"'l: cero al sistema de la Figura 6- 35(a), esre se vuelve esrabre para rod;;l;;;ffi;. i; ;il;?:ü: :l":]t:,"-l"lT:t:T:

6-6 Compensación de adelanto .oTpgnsación de sistemas de conrror ur y Hil*::t:,:Ít*t::::,:T:: yll introclucción.1 Ju J del método del rugar ¿á lu,,ui.", para el aisená y.u_pen_ ¡rrtr

:l:]:i"}|:,:,':::^11,11i1{eliminar r,t:l:T"t rle,conrrol. En esra sección ll.:t-"1^0,"^

::::i::,:^.,10::ll

estudiaremo,

.t

deseada. Fl.problema principal enronces

posiciones deseactas "n comportamiento.

::::::l]T

.l plono_"

¿i

¿lr"¡"o-áJffiffi;;#;'ffii-

,. .";;i;;;;#;:"1uiJ.,,'¿i¿';

i¡,-u q"; *; ."ripi"" t", ;;.;#;;icaciones de

compensadores de- adelanto y compensadores de retardo. Exisren muchas tbrmas de obtener compensadores de adeianto en tiempo continuo 1o analógicos), como, por ejemplo' las redes electrónicas.que usan amplificadores óperacionales, redes RC eléctricas y sistemas de amortiguadores mecániCos. La Figura 6-36 muestra un circuito electrónico que utiliza amplificadores operacionales. La función de transferencia para este circuito se obruvo en cúi;;i;3 del modo siguienre Ivéase Ecuación (3-36)l: "l I .i+_ I _ R+Ct RrCr :R.Ro : tr¡tsl RrR, R:C:., + R,C' - ^t+_ R.Ct

E,,(s)

R,Crs

*

I

7"s*

I

1

s* s*-

I T I

xT

Figura 6-36. circuito erectrónico que consiste en una red de aderanto si R,c, > Rrc, una red de at'aso si R.C, . RrCr.

(6-I8t

312


(a)

(b)

Figura 6-37. Configuraciones de polos y ceros: (a) red de adelanto; (b) red de retardo.

donde

7": R¡C¡.

tT : R2C.- * :

R.,C'

Otr.,

Obsérvese que Rr.Ct R:R+ I R2c':RrR;' 7:R,c, c.c. R,c, en continuo de K,a: R2R4/(RlR3).

K'7:

R1c

Esta red tiene una ganancia A partir de la Ecuación (6-lB) se observa que esta es una red de adelanto si

RtCl > R-C' a"< I y una red de retardo si R,C, < R.C2. Las configuraciones de polos y ceros de est¿l :.: cuando R,C, > Rz.Czy R,C, < RrC,, se muestran en las Figuras 6-37(a) y (b), respectivamet. . Técnicas de compensac¡ón de adelanto basadas en el método del lugar de las

raíces. El método del lugar

de las raíces es muy poderoso en el diseño cuando se incorp.'-,.r las especificaciones en términos de las cantidades en el dominio del tiempo, tales como el fac. de amortiguamiento relativo y la frecuencia natural no amortiguada de los polos dominantes ,r Iazo cerrado, la sobreelongación máxima, el tiempo de levantamiento y el tiempo de asent¿rmie:, Considérese un problema de diseño tal que el sistema original sea inestable para todos valores de la ganancia o estable pero con características no deseables de la respuesta transit,,- En este caso, es necesario volver a construir el lugar de las raíces en la proximidad del eje ' del origen para que los polos dominantes en lazo cerrado estén en posiciones deseadas e: , plano complejo. Este problema se soluciona introduciendo un compensador de adelanto ade¡ - do en cascada con la función de transf'erencia del camino directo.

Los procedimientos para diseñar un compensador de adelanto para el sistema de la Fi5--6-38 mediante el método del lugar de las raíces se plantean del moclo siguiente:

1. A partir de las especiticaciones

de comportamiento. deternrine la localización dese--* para los polos dominantes en lazo cerado.

Figura 6-38. Sistema de contro

capítulo6' Análisisydiseñodesistemasdecontrol porel métododel lugardelasraíces 313

2.

sisrema sin c,ompensar (sisrema origi_

il,1.T:*:,leeil:i,-:Í::i.i:1,:L:*]::,:u,_"::j.r

3,X'];ilTilil'i;'i"""i,*::t:il'll,*:*,nqa3";";;;il;ñ;ffi:i:':i:':il:;:l:: ü. ;:nil'i";Jü; 5' ;i;#','lri:: %:f: :l'ff : :::?f,, :l':Tj":colnensador l' :: ::1. "1" de adelanro ri

3.

""""J1;;; ;"i;r"l""¿::;:';

{1t :::"1T^::i:'i:::l:_1 pasar por las localizaciones "l lnantes en lazo cerrado. deseadas para Ios polos domi Suponga que el compensador cle adelánto G.(s)

es

I

.sfZs*l :K _T U,(r):Kx' tTs -l 'l s*-

(0
I

a"T

4.

donde e y 7 se determinan a partir cle la deficiencia de ángulo. K. se cletermina a partir del requisito cle la ganancia eilazo abierto.

derermine ra rocarización der poro y ::ff:::y"".:1.#:iillil,11,l;lj.e enl estatico, er c9mn.;';il;:'j.*i";';""',ffi',"r] liffi;?"'i"""""T:j-::"1?::::i::::":-':.T 11-e s,.": se imponen o;"J;;q;ñ;;;",;;',:;',;;#:,iil:"_jffi:l: *,":,*i"9:"::,^"i? un valor valor más t¡Ác. grande orqnrTo d,e Ao K,,,lo k l^ qu" r^ ^,,^ ^^ ¿"r"uUl..

&: 5.

Determine el valor de la magnitud.

",

sG, (s)G(s)

lS

K. del

birilesl-q;J

: 4."

;ffi;;,.;T";:i;;l;

lT sG.(s)

compensaclor de adelanto a partir de

:J j;il::*l:::t":l*"1^1*"_ 1"*.":se

la condición

de

que,.

cumprido rodas ras especifi. lT;#;,;"'::il:ilff; dgbe renefirqe el nrnô,li*i^-+^ r^ 01,11Á r:- 2,,tqil :i";"r;;"i JJil"JJ,ii;#l,"jlffi::; 3il",,l",tif',.Ji"r,::.::::1.,1T^,1"cumplir con vvrr todas LUU.D rds las ssp€clrlcaclones' especificaciones.

HJ,

Si se requiere de una constante cle 5t error estático grande, una recl de retardó o converrir et compensador de adelanro adelanto en ,n ::j:::"'lj'^""aj:'"1::j:r::qa compensador de retardo_adelanto. un

en.tazo ceraclo que se han seteccionado ,?.0'.."f:":*:,r, :::'J:]:: l:-rnol,^:, !)vrd rlroolncar modificar la r" ;r-,,*;;;aiü sltuación

no son real_

#;"TJHffi::i:,':l1l:: cerado [ffi..."fi'::,:,ff;::,i,i:.::?,. seleccionados. (Los polos en lazo cerrado diferenl diferentes de los dominantes modifican la res_ ;:1lff :'ffi Ji:",: iJ:l:XTT'iJ,i::T:::"i,*:::*:'"-1lt;;ai;er"i"";,.;ffi #:ffi .",iunt"r.) 'sLtrbarlo

Asimisrio, ,",

a ,",.J,,.'.Ti:l,i:,t:: ff]::":^]ilo.!:r*.do la respuesta si se iitúan cerca del

I*ll,"J',liiff:"fffii",."t";

"r*"".

EJEMPL0

6'6 ctnsidere el;tj:*t

de control de posición de la Figura 6-39(a). La función de rransferencia der

G(s):.(,h La gráfica del lugar de las raíces para este sistema se muestra en la Figura 6-39(b). La f.unción de transferencia en lazo cerrado para el sistema es

c(s): R(s)

l0 s2

+ s + lo

10

(s

+ 0.5 +73.1225)(s +

Los polos enlazo cerrado se localizan en

s:-0.5+j3.1225

0.5

- j3.t22s)

314


(a) Figura 6-39. (a) Sistema de control; (b) gráfica

(b)

del lugar de las raíces.

El f'actor de amortiguamiento relativo tle los polos en lazo cerrado es ( : t1/Z\, l0 : 0.1581. L. fiecuencia natural no amortiguada de los polos en lazo cenado es (D,r:." 10: -1.1623 radises Como el f'actor de amortiguamiento es pequeño, el sistema tendrá una gran sobreelongación en la respuesta a un escalón lo que no es deseable. Se desea diseñar un compensador de adelanto G..(s) tal como se muestra en la Figura 6-40(a) de fonna que los polos en lazo cerado clominantes tengan el factor de amortiguamiento ( : 0.-5 y l; fiecuencia natural no amortiguada {0,, - 3 rad/seg. La localización de los polos en lazo cenadtdominantes se pueden determinar a partir de s2

+

z_¿co,,s

+

ot,2.

:

s2

+ 3s + 9 -

(s

+

1.5 +.i2.5981)(s

+ t.5 -

.¡2.5981)

como sigue: 1.5

+ i 2.5981

Polo en

(a) Figura

6-40.

(b)

(a) Sistema compensado; (b) localización del polo en lazo cerrado deseado

capítulo6' Análisisydiseñodesistemasdecontrol porel métododel lugardelasraíces

3ls

lvéase Figura 6-40(b)'l En algunos casos, después de que se haya obtenido el lugar de las raíces del sistema original, los polos áomnunt"t Lnlu'ro cena¿b ," .u"u.n a la localización deseada con un simple aiuste de la qanancia. sin emua.gl"Jrro no ocune en el sistema actual. por tanto. introducirá ,n .orrrp.nridor de adelanto se .n ñ.-i.iy..roria directa. A continuación se muestra un p.o."oi,ri"niJgeneral para determinar el compensador de lanto' Primero' encuentre, la suma'de l";';;üi;. adeen la rócaüzacion desea.ta de uno de los polos dominantes en lazo cerrado con ros p"r"; t-;;;,, enrazoabierto ,l.i ,irt",oo originar, y ¿etermine el dngulo necesario d que se va a agregar para que la suma total de ros ánguros sea igual a! l80or2k- ll.El compensadorOea¿el-anto'¿ebeconrribuir^.ri"argrf"@.tSi el ángulo/es suficientemente grande, tar vez se r"qui.*n áá, o ;.;üil;"""" Iugar de una.) Suponga que el compensador de á¿.rurioó.rr) -ár;;;. tiene la siguiente función de transf.erencia:

.s*1

G.(s)

: K,-t Zs*1 zZs*l

T

'

s*-

(0
l' xT

El ángulo desde el polo en el origen al polo en lazo cerado dominante deseado en : .,' es 120"' El ángulo desde el pol'o - 1,5 +j2.59g 1 Jporo "r en lazo..,'uáo á"rludo es 100.g94n. por tanto la deficiencia del ángulo es"n;: -i lo

Deficiencia del

t, oá*:::::3i"r:]:

ángulo: lg0o _ l20o _ ¡00.g94":

_40.g94,,

debe estar conrribuido por un compensador de adelanro. *.10;8e4o

3L'.',il*:j:::i::i:1"i";'::^T,".T".:";;;;;i;; ffi' #'r;H"il'il:ffi3?l11'!,",,r,"

presentaremos dos soluciones al problema.

Método

1'

Hay muchas fonnas de determinar la

localización del cero y del polo del compensador de adelanto' A continuación.. p....niu un procedimiento con ei propósito de obtener el tnayor val.r posible para a' {observe que un valor más grande o. o profor.iona un valor mayor de K' En la mryoría de los c.asos- cuanlo mayorsea 1a,K,.,n.¡or..,.ra.i.át,n-portun-,,i.nto

Primero dibuje una línea horizontullr. pir. p-Jr.t punro e. localización deseada paradel sistema..¡ uno de los polos dominantes en lazo cerrado'.erto.olT."fonde a la r¡nea p¿ ¿e-ia Figura 6-41. Dibuje línea que conecre er punto p con el o.ig.nuna nii*cione_er á"ú; ;;f-man las ríneas pA po, y como se muestra en la citada figura. Dibuje dos líneas-pc v ¿¿ q,é-i¡.*en ángulos cle * Q/2 con la bisectriz PB'Las interseccio"nes de ei y ió-rgnel eje real negativo proporcionan la 1ocarización necesaria para el polo y el cero o" ro ,.É,r o" uo.lun,o. p*ir;;;;l';l.,,p.nrrdo, diseñado hará de P un punto sobre el lugar de las raíces ¿et sisiema -compensado. La ganancia en lazo abierto se determina mediante la condición O" rrlugniiud.-En el sistema actual, el ángulo ,1" C?rl J.i polo en lazo ce*ado deseado es

:l

I

l.\:

Figura

6-41.

1.5+72.5a81

-

-220.8e4"

Determinación der poro y er cero de una red de aderanto

316


lazo cerrado deseado. el Por tanto, si se necesita hacer que el lugar de las raíces pase por el polo en punto' Siguiendo el procedieste en 40.894' con contribuir debe adelanto de @: compensador de adelanto' miento de diseño anterior, se detelmina el cero y el polo del compensador cada Refiriéndose a la Figura 6-42, si biseccionamos el ángulo APO y tomamos 40.894"/2 a como sigue: se encuentlan y cero polo del clel lado. entonces la localización

cero en

s:

-1,9432

poloens:-4,6458 Así G.(s) se puede dar como I

s*" T c (.s): K, ,r s*-AT

K,

,s+1.9432 .s

r

-

u:

4.6458

:

0'418') 1.913214'6458 (Para este compensador el valor de a es de magnitud partir la condición de a El valor de K. se puede determinar

I

s

+ 1.9432 l0

I

lr t-+t+ss rr,- lrl- ,

j2sqhr

l)l

K.:lls -4.6458r(s. l0t.s r 1.9412)

|

l,,.:'r:su*r

_ r¡.--o, aral -

por Por tanto, el compensador de adelanto que acabamos de diseñar viene dado

G,tsr

:

1.2281

* --

s

1.9432

Entonces la función de transferencia en lazo abierlo del sistema diseñado es G, rs)Grsr

-_ 1.2287

+ I.9432\ l0 [, _ __ar/ rt, _ /.s

y la función de transferencia en lazo cerrado resu'lta c(s) _ R(s)

+ 1.9432) s(s + l)(s + 4.6458) + 12.281(s +

6-42.

r

ser

12.281s

12.287(s

Figura

t

1.9432)

s3

+ 5.646s' +

+ 23.816 16.933s

+

Determinación del polo y el cero de una red de adelanto'

23.876


raíces g17

Figura 6-43. Gráfica der rugar de ras raíces der sistema compensado. Es conveniente comprobar el valor de la constante de error de velocidad estática Ku parael sistema que acabamos de diseñar

K,:

lím sG.(s)G(s)

s+0

:rímslr.rrv s + 1.9432 _t l0 I s-0

s

L

+ 4.6458

s{s

+

1)J

:5.139 Observe que el tercer polo en lazo cerrado del sistema diseñado se obtiene si se divide la ecuación característica entre los factores conocidos del modo siguiente: s3

+

5.646s2

+

16.933s

+23.875: (s-r

1.5 + j2.5981)(s

+

1.5

-j2.5981)(s +2.65)

El método de compensación anterior permite colocar los polos dominantes enlazo cerrado en -los puntos deseados del plano complejo. El tercer polo en s :--2.65 está relativamente próximo al cero añadido en s: -1.9432. Por tanto, el efecto de este polo sobre la respuesta transitoria es

relativamente pequeño. Como no se ha impuesto ninguna restricción sobre el polo no dominante y no se ha definido una especificación relacionada con el valor del coeficiente estático de velocidadse concluye que el diseño actual es satisfactorio.

Método 2. Si escogemos el cero del compensador de adelanto en r : I de forma que se cancele el polo de la planta en s : - l, entonces el polo del compensador se debe colocar en : s - 3. (véase Figura 6-44.) De donde se sigue que ei compensadoi de adelanto es

t G.(s):6.'s*3 r

El valor de K" se puede determinar a partir de la condición de magnitud.

I s+l l0 iK, |' -r- 3 sls - ltl.

:

|

t.)rl2.5qst

I

318


Figura

6-44.

Polo y cero del compensador.

ls(s+-llL

:0.e

K. ' |I l0 |l,

r.5rl2r'5r

Por tanto

G.(s)

:

0.9

sf

1

j-F

3

La función de transl'erencia en lazo abierto del sistema diseñado es

s*l

10

0.9,, I .(._

G,r¡)Grsl

9

-r* _:, D

La función de transf-erencia en lazo cerrado del sistema compensado

es

9 C(s) R(r) rl-3r -9

Obsérvese que en el caso presente el cero del compensador de adelanto cancelará a un polo de * planta, dando lugar a un sistema de segundo orden en lugar de un sistema de tercer orden con-

:ucedía con el Método l.

La constante de error de velocidad estática en este caso se obtiene como sigue:

*,

:

lT,

sG,

(srct.r)

tel 1'*.1

;

_

r,

:, l

Método 1 da un valor más grande para la constante de error :. que el sistema diseñado por el Método 1 tendrá un enor en esta; velocidad estática. Esto signilica estacionario más pequeño en el seguimiento de entradas en rampa que el que se obtiene con = sistema diseñado por el Método 2. Para dif'erentes combinaciones de un cero y un polo dei compensador que den una contribuci,40.894", el valor de K,, será distinto. Aunque se puede conse-euit' un ciet'to cambio en el valor ¿. de K, alterando la localización polo-cero del compensador de adelanto. si se desea un mayor aumer.. en el valor de Ku, entonces se debe cambiar de un compensador de adelanto a un compensador ¡. retardo-aclelanto. Se ve que el sistema diseñado por el

Gomparación de las respuestas escalón y rampa de los sistemas compensado l sin compensar, A continuación se comparan las respuestas a un escalón y a unil rampa nnitr,

capítulo6' Análisisydiseñodesistemasdecontrol porel métododel lugardelasraíces 31g de los tres sistemas: el sistema original no compensado, el sistema diseñado por el Método I sistema diseñado por el Método v el z. g" p."*.""*a 6-9 de para obtener las curvas de p.og.un'a empleado "i respuestc u un "l representan unitli9, donde nur¡r y denr merador y er denominrdor deí "r.-"'rnn el nu:istema oir.nroo'po.

MATiñ';'á

er Mérocro I ¡ nrri y den2 ro Método 2 También. num y den misrno por er ,. ..pr.rr priu"r!0..r.n,* ar sisrerna la Figura 6-45 se muestran lu. no compensado. En .u.uur'J"-;;il;;; a un escarón unirariooriginar ,isultantes. En er prosra_

\IATLAB programa

6_9

Respuesta a escalón unitario de sistemas compensado y no compensado*****

:-:n1 : lL2.2B7 23 .87 61 ; :=r1 : [1 8.646 16.933 23.8761; :::n2 : [9];

j=r2:[1 3 9]; ::'::t: [10]; :=r: I L 1_ 10]; : : O : 0 . 05 : 5; r - -- step {nurnl, den1, t ¡ :-- : sEep (num2, den2, r) _ _ sLep(num,den, t); _:_¡t (L, cI,' _,, L, c2,, ;:-d

.,J:i

¡1:$:;"

a escalón

unitario

de sisremas compensado y no compensado,

,--abe1 ( 'Salidas cL, c2 y c,\ -:xc (I.57,L.48, ,sistema compensado (Método ,) 1) : :r: (0 . 9, 0 . 48, ,Siste*_ .o*plrr=ado (Métod o 2) , ) :=:
ñt .i 3 E

0.8

=

\lsir,.nrá

(a

0.ó

Figura

)

6'45.

.,n .on.o"n.ri

Respuestas a escarón unitario de ros sistemas diseñados y sin compensar.

320


ma 6-10 de MATLAB se da el programa empleado para obtener las curvas de respuesta a una rampa unitaria, de los sistemas diseñados, donde se utiliza la orden step para obtener las respuestas a una rampa unitaria utilizando los numeradores y denominadores para los sistemas diseñados por el Método 1 y el Método 2 como sigue:

: [L2.281 23.876]; denl:[1 5.646 16.933 23.816 0]; nrr*2: [9J; den2:[1 3 9 0];

numl

En la Figura 6-46 se muestran las curvas de respuesta a una rampa unitaria resultantes


**x** Respuesta a una rampa unitaria de los sistemas compensado***** numl : |i2 .281 23 . B1 6) ; denl: l1 5.646 16.933 23.876 num2: [9]; den2:[1 3 9 0]; Z

!L

-

A ntr - tr -A W. VJ. J V:

-

l

c1: step(num1,den1,t) c2 : step (num2, den2. L) b, plot(t,c1,'-' ') ,L,c2,' grid t.it1e (' Respuesta a una rampa unitaria de los sistemas compensado' ) xlabel ( 't Seg' ) ylabel ( 'Entrada en Rampa Unitaria y Salidas cI y c2' ) text (2. 55, 3.8,'trntrada' ) text ( O .55 ,2. B, 'sistema compensado (Método 1 ) ' ) text (2.35, 1.75,'sistema compensado (Método 2)' ) Respuesta a una rampa unitaria de los sistemas compensados

N

d ?5 t -"

=

-1

"o

'E É

¿.J

;^ c,

É,.

ú

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-3.5 4

4.5

5

t Seg

Figura

6-46.

Respuestas a rampa unitaria de los sistemas diseñados


raíces 321

Al examinar estas curvas de respuesta se observa que el sistema compensado diseñaclo por el Método 1 exhibe en la respuesta a un escalón una sobreelongación un poco más grande queia del sistema compensado diseñado por el Método 2. Sin embargo el primero tiene una mejor caracterís-

tica de respuesta que el último para la entrada en rampa unitaria. Así pues es dificit decir qué

diseño es mejor. La decisión sobre cuál escoger debería hacerse por los iequerimientos de Ia respuesta (tales como sobreelongación más pequeña para entradas tipo escalón o enores en estado estacionaros más pequeños en el seguimiento de rampas o entradas cambiantes) que se espera que tenga el sistema diseñado. Si se requiriesen ambas especificaciones entonces se podría-usar un compensador de retardo-adelanto. (Véase la Sección 6-8 para la técnica de compensación de retardo-adelanto.)

6-7 Compensación de retardo Compensador de retardo electrónico usando amplificadores operac¡onales. La contiguración del compensador de retardo electrónico usando amplificadores operacionales es igual a la del compensador de adelanto de la Figura 6-36. si se elige RrC, ) R,c, en el circuito de la Figura 6-36, este se convierte en un compensador de retardo. A partir de la misma figura, la función de transferencia del compensador cle retardo se obtiene mediante I

s-|-T s*

t

lJr

donde

T: R,Cr, []T: R2C2,

O:ffi,

l,

^ K:'

R,C,

R.C,

Obsérvese que se utiliza B en lugar de a en las expresiones anteriores. [En el compensador de adelanto se utiliza fl para indicar larazón R2C2I1¡R€), que era menor que l, o 0 < a < l.l En este capítulo siempre se supondrá que 0 < s" < I y que B > l.

Técnicas de compensac¡ón de retardo basadas en el método del lugar de las Consiclérese el problema de encontrar una red cle compensación adecuacla lara un sistema que

raíces.

presenta características satisfactorias de la respuesta transitoria, pero características no satisfactorias en estado estacionario. En este caso la compensación consiste, esencialmente. en incrementar la ganancia en lazo cerraclo sin modific¿rr de iorma notable las características cle la respuesta transitoria. Fsto quiere decir que no debe cambiarse de manera significativa el lugar de las raíces en la proximidad de los polos dominantes en lazo cerrado, sino que debe incrementarse la ganancia en lazo abierto tanto como se necesite. E,sto se consigue si se coloca un compensador de retardo en cascada con la función de transf-erencia del caminó directo determinada. Para evitar un cambio apreciable en los lu-eares de las raíces, la contribución de ángulo de la red de retardo debe limitarse a un valor pequeño, por ejemplo 5u. Para asegurar esto, se sitúan el polo y el cero de la red de retardo relativamente cerca uno del otro y cercaáel origen del plano s. De este modo, los polos en lazo cerrado del sistema compensado ,álo ,. alejarán"ligeramente de sus situaciones originales. Por tanto. la característica de la respuesta transitoria cambiará muy

poco.

¿

322


Considérese un compensador de retardo G.(s), en el que 1

s* Is*1 ^ ^T _ G(sl:KIJ '' llT.s + I -K 'l s_|-

(6-

1Y

IJT

Si se sitúan el cero y el polo del compensador de retardo muy cerca uno del otro, en s : s1, donc. .rr es uno de los polos dominantes en lazo cer:rado, las magnitudes.r, + (llT) y sr * tli(|T serán casi iguales. o bien

G,(.t')l

s,* 'T

:

I LT/

K,

'

.r,

-

I

-/\

-1-

IJTI

Para hacer que la contribución de ángulo de la parte de retardo del compensador sea pec¡ueñl requiere

--)- <

Esto implica que, si la ganancia K. del compensador de retardo se hace igual a l, la caracterí:. -. de la respuesta transitoria no se alterará. (Esto significa que la ganancia global de la funciór, -, transferencia en lazo abierto se incrementará en un factor de p, donde ll > 1 .) Si el polo y e1 ;.se colocan muy cerca del origen, puede aumentarse el valor de B. (Se usa un valor grande isiempre que sea posible larealización física del compensador de retardo.) Se debe señalar qLi: , valor de I debe ser grande, pero no es indispensable conocer su valor exacto. Sin embar-tt . debe ser demasiado grande, a fin de evitar diflcultades en el momento de realizar el compcns,de retardo de fase mediante componentes físicos. Un incremento en la ganancia significa un incremento en las constantes de eror estátie¡ la función de transferencia en lazo abierto del sistema no compensado es G(,r), la constanr: -: error estático de velocidad K, del sistem¿r no compensado es K,,

:

lím sG(s)

Si el compensador se selecciona como el que se obtiene de la Ecuación (6 l9), entonces, pLr- : sistema compensado con la función de transferencia en lazo abierto G.(s)G(s), la constan-. -,, enor estático de velocidad .R,. se convierte en

U,

:

lT sG.(s)G(s)

:

lím G.(s)K,:

K,.|JK,,

eror de velocidad estática del sistema no compensado. Por tanto, si el compensador se obtiene mediante la Ecuación (6-19), la constani: error estático de velocidad se incrementa en un facrlr k,lJ, clonde R. tiene un valor cercan¡ donde K,. es la constante de

unidad.

-úl t,


raíces g2g

EI principal efecto negativo de la compensación de retardo es que el cero del compensador que se generará cerca del origen da lugar a un polo en lazo cerrado cerca del origen. Este polo en lazo cerrado y el cero del compensador generárán una larga cola de pequeña amplitud en la respuesta a un escalón, aumentándose de esta manera el tiempo de asentamiento.

Procedimientos de diseño para ta compensación de retardo mediante el método del lugar de las raíces. El procedimiento para diseñar compensadores de retardo

para el sistema de la Figura 6-47 mediant" él -étodo del lugar de las raíces se plantea clel modo siguiente (se supone que el sistema no compensado cumple las especificacione.s de la respuesta transitoria mediante un simple ajuste de la ganancia; si no sucede así, consulte la Sección 6-g): 1.

,

Dibuje la gráfica del lugar de las raíces para el sistema no compensado, cuya función de transf-erencia en lazo abierto sea G(s). En función de las especiiicaciones de la

transitoria, sitúe los polos dominantes en lazo cenado lugu, de las raíces. "n "ide Suponga que la función de transferencia del compensador Átardo es

c.{s) --

k,P##:k

respuesta

,+1

+

t+_pr Así, la función de transferencia en lazo abierto clel sistema compensado se convierte en G.(.r)G(s).

3. 4'

calcule la constante de error estático especificada en el problema. Determine el incremento necesario en la constante de eior estático para satisf-acer las

5'

Determine el polo y el cero del compensador de retardo que producen el incremento necesario en la constante de error estático sin modifi.u, ápr"iiublemente los lugares cle las raíces originales. (observe que la razón entre el valor áe la ganancia requerido en las especificaciones y la ganancia que se encuentra en el sistema no compensado es larazón entre la distancia del cero al origen y la del polo al origen.) Dibuje una nueva gráfica del lugar dL las raíces para el ,irt"tnu no compensado. Localice los polos dominantes enlazo cerrado deseados iobre el lugar de las raices. (Si la contribución de ángulo de la red de retardo es muy pequeña, es decir, de pocos grados, ros lugares de las raíces originales y los nuevos serán casi idénticos. Sin embargo, habrá una ligera discrepancia entre ellos. A continuación localice, sobre el nuevo lugar de las raíces, los polos dominantes en lazo cerado deseados partir a de las especifiJaciones de la respuesta transitoria.) Ajuste la ganancia É. .t"t compensador a partir cle la condición de magnitud, para que los polos dominantes en lazo cenado se encuentren en la localización;;r""d;i¿. ;;;;ximadamente l).

6'

7

'

especificaciones.

Figura

6.47. Sistema de control.

324


EJEMPLO


de la Figura 6-48(a). La función de transferencia del camino directo es

G(.'):

1.06

s(s+l)(s+2)

La gráfica del lugar de las raíces para el sistema se muestra en la Figura 6-48(b). La función

de

transt-erencia en lazo cenado es

c(s)

1.06

R(s)

s(s+l)(s+2)+1.06 1.06

(s

+ 0.3307 - j0.5864)(s + 0.3307 + 10.5864)(s + 2.3386)

Los polos dominantes en lazo cerado son

s:

-0.3307+j0.5864

El f'actor de amortiguamiento de los polos dominantes en lazo cerr¿rdo es (:0.2191. La fiecuencia natural no amortiguada de los polos dominantes en lazo cerrado es 0.673 rad/seg. La constante de error estático de velocidad es 0.53 seg 1. Se pretende inerementar la constante de error estático de velocid¿rd K,. hlsta cerca de 5 seg sin modificar notablemente la localización de ios polos dominantes en lazo cerrado. Para cumplir con esta especificación, se inserta un compensador de retardo como el obtenidt mediante la Ecuación (6-19) en cascada con la función de transf'erencia del camino directo determinada. Para incrementar la constante de error estático de velocidad en un factor de aproximadamente 10, se selecciona []: l0 y se sitúan el cero y el polo del compensador de retardo en 0.05ys: *0.005,respectivamente.Lafuncióndetransf'erenciadel compensadorderetardo se convierte en .i + 0.05 Gls):K^ * ().005 .i

Polos en lazo cerrado

(a)

Figura

6-48.

(b)

(a) Sistema de control; (b) gráfica del lugar de las raíces.


Figura

6-49.

raíces g2S

Sistema compensado.

La contribución de ángulo de esta recl de retardo cerca de un polo dominante en lazo cerrado aproximadamente

es

de 4". Debido a que esta contribución de angulo no es demasiado pequeña, exis-

te un cambio mínimo en el nuevo lugar
La función de transferencia en lazo abierto del sistema compensado G-(s)Gls)

-

+ 0.0.5 s + 0.005 s

es

1.06

rls*1)ts*2)

K(s + 0.05) s(s+0.005)(s+1)(s+2) donde

1r:

1.06,4.

El diagrama de bioques del sistema compensado se muestra en la Figura 6-49. Lagráfica

lugar

de las raíces para el sistema compensado cerca de los polos dominantes en lazo cerrado se muestra en.la Figura 6-50(a), junto con el lugar de las raíces oiiginal. La Figura 6-50(b) muestra la gráfica del lugar de las raíces del sistema compensado cerca del_origen. El"programa MATLAB 6-li genera las gráficas del lugar de las raíces de las Figuras 6_50(aJ y @)

Lugar de las raíces del sistema compensado y no compensaclo

Lugar de las raíces del sistema compensado cerca del origen

2

0.5

1.5

Sistema no

compensad,ó -f

/,

0.5

Polo en Sislerna

0

la;¿o

cer"ao

onglnat- //

compentn¿o

0.4

:

0.3

.revó polo e

i, ¿o cerrado

a

il

---!1

E 60

-{.5

0.1

0

o -0.1

if

-1

-0.2 *0.3

\

-0.4

-1.5

-0.5

\

--l

0.2

-2.5 -2 -1.5 _1 _0.5 0 0.5 Eje real (a)

I

-0.4

-0.2 0

0.2

0.4

Eje real (b)

Figura 6-50. (a) Gráfica del lugar de las raíces del sistema compensado y del sistema

no compensado; (b) gráfica del lugar de las raíces del sistema compensado cerca del origen

326



***** Lugar de 1as raíces del sistema compensado yno compensado ***** % *x*** fnt.roduzca fos numeradores y denominadores de 1os % sistemas compensado y no compensado ***** numc : [1 0.05] ; denc : [1 3.005 2.AI5 0.01 0] ; num: 11.061 ; den: 11 3 2 0l; % *** fntroduzca fa orden rlocus. Represente e1 lugar de las raíces de ambos % sistemas*** rlocus (numc, denc ) hold Current plot held rlocus (num, den) v: [-3 L -2 2]; axis(v); axis('square') grid text ( -2 .8, 0. 2,' Sistema compensado t ) text ( -2.8,1".2, 'Sistema no compensado' ) text (-2 . B, 0 . 58, 'Pofos en fazo cerrado originales ' ) text(-0.1, 0.85,'Nuevos polos' ) Lext (-0 .I, A.62,' en lazo cerrado' ) tit.1e ( 'Lugiares de fas raíces de fos sistemas compensado y no compensado' ) hold Current plot released Z ***** Represente el luqar de fas raíces del sistema compensado cerca % del origell ***** rlocus (numc, denc ) v: [-0.6 0.6 -0.6 0.6]; axis(v); axis('square') grid tit.le('Lugar de fas raíces de1 sistema compensado cerca de1 origen') %

Si el factor de amortiguamiento relativo de los nuevos polos dominantes en lazo cerado no cambia, los polos se obtienen a partir de la nueva gráfica del lugar de las raíces del modo siguiente: s1

--0.31

sz:

+j0.55.

-0.31 - j0.55

La ganancia en lazo abierto K se determina de la condición de magnitud como sigue:

_

K:l

:

isr.t

+

I

0.005)1.s

-

l.¡1s

* 2tl I

s+0.05

l,:

o.-rr+10.55

1.0235

Por tanto, la ganancia del compensador
(

se determina como

^ K L0235 K..: ' 1.06 1 06

0.9656


raíces 327

Así, la función de transferencia del compensador de retardo diseñado es

G.ls)

s+0.05 20s+1 :0.q656r*ooos-9.65620011I

(ó-20)

Entonces, el sistema compensado tiene la siguiente función de transferencia en iazo abierto:

Gr(s)

: s(s

1.0235(s + 0.05) + 0.005)(s + l)(s +

La constante de error estático de velocidad K"

",

:

lS

2)

s(200s

5.12(20s

+

+ l)(s +

1)(0.5s

1)

+ l)

es

sG1(s)

:

5.12 seg-l

En el sistema compensado, la constante de error estático de velocidad ha aumentado a 5. 12 seg 1, o 5.1210.53 : 9.66 veces su valor original. (El error en estado estacionario para entradas rampa ha disminuido alrededor deI l0 Vo del valor del sistema original.) Por tanto, se ha obtenido e1 objetivo de diseño de incrementar la constante de error estático de velocidad hasta cerca de 5 seg 1. Observe que, debido a que el polo y el cero del compensador de retardo están muy cerca uno del otro y muy cerca del origen, sus efectos sobre la forma de los lugares de las raíces originales son pequeños. Con excepción de la presencia de un pequeño lugar de las raíces cerrado cerca del origen, los lugares de las raíces de los sistemas compensado y sin compensar son muy similares entre sí, a pesar de que la constante de eror estático de velocidad del sistema compensado es 9.66 veces más grande que la del sistema sin compensar. Los otros dos polos en lazo cerado para el sistema compensado se encuentran del modo siguiente:

sz:

-2.326,

s¿

: - 0.0549

El haber añadido un compensador de retardo incrementa el orden del sistema de 3 a 4, incorporando un polo en lazo cerrado adicional cerca del cero del compensador de retardo. (El polo en lazo cerrado añadido ens: -0.0549 estácerca del ceroen s: -0.05.) Esteparde un ceroy unpolo crea una larga cola de amplitud pequeña en la respuesta transitoria, como se verá después en la respuesta a un escalón unitario. Debido a que el polo en s: -2.326 está muy lejos del ejeTrr-l en comparación con los polos dominantes en lazo cerado, su efecto sobre la respuesta transitoria también es pequeño. Por tanto, se consideran los polos en lazo cerrado en s : -0.31 * j0.55 como

los polos dominantes en lazo cerrado. La frecuencia natural no amortiguada de los polos dominantes en lazo cerrado del sistema compensado es 0.631 rad/seg. Este valor es aproximadamente un 6Vo menor que el valor original, 0.673 radlseg. Esto implica que la respuesta transitoria del sistema compensado es más lenta que la del sistema original. La respuesta tendrá un mayor tiempo de asentamiento. La máxima sobreelongación de la respuesta a un escalón aumentará con respecto a la del sistema compensado. Si se toleran estos efectos adversos, la compensación de retardo, tal y como se analiza aquí, presenta una solución satisfactoria al problema de diseño planteado. A continuación se comparan las respuestas frente a rampa unitaria del sistema compensado con las del sistema sin compensar y se comprueba que el comportamiento en estado estacionario es mucho mayor en el sistema compensado que en el sistema sin cornpensar. Para obtener la respuesta a una rampa unitaria con MATLAB, se utiliza la orden step para el sistema C(s)/[sR(s)]. Debido a que C(s)/[sR(s)] para el sistema compensado es

c(s) sR(s)

1.0235(s

s[s(s

* 0.005Xs + 1)(s + 2) + 1.0235(s + 0.05)l 1.0235.s

ss

+

+ 0.05)

3.005s0

+

0.0512

* 2.0r5s3 + 1.0335s2 + 0.05 l2s

328


se tiene que

numc: t1.0235 0.05121 denc : [1 3.005 2.0L5 1.0335 0.0512 Asimismo, C(s)/tsR(s)l para el sistema sin compensar

c(s) sR(s)

0]

es

1.06

s[s(s*1)(s+2)+1.06]

- F+ #;

1.06

f

+ r'tlbs

Por tanto.

num: [1.06] den:[1 3 2 1.06

0]

El programa MATLAB 6-12 genera la gráfica de las respuestas a una rampa unitaria' La Figuen estado ra 6-5i muestra el resultado. Es evidente que el sistema compensado presenta un etror al seguir le estacionario mucho más pequeño (un 10 % del eror en estado estacionario original) entrada de la rampa unitaria.


***x* Respuesta a una rampa unitaria de sistemas compensado ***** % y no compensado la respuesta % ***** La respuesLa auna rampa unitaria se obtiene como ***** (s) / tsR(s) I % escalón uniLario de C ***** fntroduzca fos numerad.ores y denominadores de C1 (s) / tsn(s) I % %yc2(s)/ lsR(s)1, donde C1 (s) yC2 (s) son las transformadas de Laplace los sistemas compensad.o y no compensado, respectivamente. *****

%

%

de

numc: [1.0235 0.0512]; denc : [1 3.005 2.015 1.0335 0.0512 0] ; num: [1.06] ; den: 11 3 2 1.06 % ***** Especifique el rango de tiempo (taf como t: % fa orden step y fa orden P1ot. : step (numc, denc, t ) - scep (num, den, t) ; plot(t, c1-,' -',L,c2,' . grid text (2 .2,27 ,'Sistema compensado' ) ; text (26 ,2L.3,'sistema no compensado' ) title ( 'Respuesta a una rampa unitaria

e introduzca

clc2

y no compensado'

)

x1abel ( 't Segr' ) ;

ylabel ( 'Salidas ct

Y

c2'

)

Los siscer,as comPensado


.50

raíces 32g

Respuesta a una rampa unitaria de los sistemas compensado y no compensado

4.0

35

u:o

tzs €zo 15 10 5

0!0

r0 15 20 25 I

Figura

6-51'

30

Seg

Respuestas frente a una rampa unitaria de los sistemas compensado y sin compensar. [El compensador se obtiene de la Ecuación (6_20).]

El Programa MATLAB 6-13 genera las curvas de respuesta a un escalón unitario de los

temas compensado

y sin compensar. Dichas curvas

sisse muestran en la Figura 6-52. Observe que

el sistema compensado de retardo presenta una mayor sobreelongación máxima y unu ..rp.r.rtu más lenta que el sistema sin compensar original. Observe que el par forma¿o por el polo .n


***x* Respuestas escalón unitario de sístemas compensado y no compensado ***** % ***** fntroduzca los numeradores y denominadores de los ? sistemas compensado y no compensado ***** % %

: t1.0235 0.A5L2l ; : [1 3.005 2.0I5 1.0335 0.0512] ; num: I1.061; ¡lan r uc-r-- 11 Lr 2) z. 1r.u6]; % * **** Especlfique el rango de tiempo (tal % fas órdenes stepyplot-. ***** numc

denc

como

t :

t:0:0.1:40; : st.ep (numc, denc, t) ; : step (num, den, t) ; plot ( L , c\ , ' _' , L , c2 , , . , ) grid text ( L3 ,1 .1-2, , Sistema compensado ' ) text ( 13 . 6, 0 . BB, 'Sistema no compensado , ) title ( 'Respuesta a un escalón unitario de sistemas xlabef ( 't Seg' ) ylabel ( 'Salidas c1- v c2,)

0 : 0 . 1 : 40

)

e

introduzca

c1 c2

compensado y no compensado

,

)

330


_Respuestas escalón unitario de sistemas compensado y no compensado 1.4

1.2

1\

,

Sistema no compensado

N

>

sistema compensado

0.8

É^ = (r.6

0.2

0!

0

5

l0

1s

20 /

Figura

6-52.

25

30

3s

.t0

Seg

Respuestas a un escalón unitario de los sistemas compensado y sin compensar. [El compensador se obtiene de la Ecuación 6-20.]

s : -0'0549 y el cero en s : 0.05 genera una cola larga de amplitud pequeña en la respuesri transitoria. Si no se pretende obtener una sobreelongación máxima mayor y una resplresta más lenu. es necesario utilizar un compensador de retardo-adelanto tal y como se presenta en la Sección 6-5.

Comentarios. Se observa que en ciertas circunstancias tanto el compensador de adelar. como el de retardo pueden satisfacer las especificaciones dadas (tanto las especificaciones de respuesta transitoria como las del estado estacionario). Por tanto, cualquiera de ellos Se pue.: utilizar.

ó-8 Compensac¡ón de retardo-adelanto La compensación de adelanto básicamente acelera la respuesta e incrementa la estabilidad :. sistema. La compensación de retardo mejora la precisión en estado estacionario del sistema. pc: reduce la velocidad de la respuesta. Si se desea mejorar tanto la respuesta transitoria como la respuesta en estado estacionar deben utilizarse de lbrma simultánea un compensador de aclelanto y un compensador de retar¿ Sin embargo, en lugar de introducir un compensador de adelanto y un compensador de retar; ambos como elementos independientes, es más económico utilizar únicamente un compensa. de retardo-adelanto. La compensación de retardo-adelanto combina las ventajas de las compensaciones ile reta¡: y de adelanto. Debido a que el compensador de retardo-adelanto posee clos polos y dos ceros. compensación aumenta en 2 el orden del sistema, a menos que ocuna una cancelación de polo. ceros en el sistema compensado.

.

Gompensador electrón¡co de retardo-adelanto utilizando ampl¡f¡cadores opere

c¡onales.

La Figura 6-53 muestra un compensador electrónico

cle retardt-adelanto que util--

-


Red de retardo-adelanto

Figura

raíces 331

lnversor de signo

6-53. Compensadorde

retardo-adelanto.

amplificadores operacionales. La función de transferencia para este compensador se obtiene del modo siguiente. La impedancia compleja 21 se obtiene a partir de

111 :__!_

zt R,+-l ,

R'

CIJ

o bien (R¡C¡s

-¡ L

+

l)Rr

,R'- R.,)qt I

Del mismo modo, la impedancia compleja Z.

se obtiene mediante

(R,C,s

+

I )R,

''-tnr-ntcrr+r Por tanto, se tiene que

E(s) E,(s)

22 Zt

R+ (Rr

f

R3

R1C1s _|.

f I

R.)C,s

I

R,C2s (Rz

*

f

1

Ro)C1s

*

I

El inversor de signo tiene la función de transferencia E"(s)

E(r)

_ _ Ro R5

Asi, la función de transf'erencia del compensador de la Figura 6-53

Á,,t.rl_ E,,tsl Et.sl

E,t.s)

RrRo

: E(.s) 6,rsr

R.R,

frR,

L

-

R,rC,s

R,Ct'

+ llI

-I

es

R2C.s

ll (R,

*

- Rr,C,

I

_r-

I

Se define

Zr:(Rr+R3)Cr,

T.

-: ^,'

RrCr.

T2:

R2C2,

lJT2: G2 +

R4)C2

\6-2r)

332


Por tanto, la Ecuación

(6-2I)

se convierte en

('.;)('. i) ll ';Jlrrr'': ')- ('. n)('.;)

fi (r¡sr l \¡ r,s+ t o E'{') ";

8,,(s)_

\

o

(6-i-

donde

R,

-R.

R' l-R'

RzRrR6

'

Rr +

R.r

+

R.l

RlR3Rs R2

Obsérvese que, con fiecuencia, 7 se selecciona igual a p.

Técnicas de compensación de retardo-adelanto basadas en el método del luga" de Ias raíces. Considérese el sistema de la Figura 6-54. Supóngase que se utiliza el compe .

sador de retardo-adelanto:

t\t\/

I /,s-l-

l\

:^(=)(,'.t) \

r,/

s-l-

\

''-

ltr:l

a la parte de adelanto del compensador

Al diseñar los compensadores de retardo-adelanto,

se consicleran dos casos: "l

*

[] y

",'

:

Caso l. ','* IJ. En este caso, el proceso de diseño es una combinación del diseño del c, pensador de adelanto con el del compensador cle retardo. El procedimiento de diseño par.* compensador de retardo-adelanto es el siguiente:

1. 2.

,

A partir de las especificaciones de comportamiento dadas, determine la localizacirin -, seada petra Ios polos domin¿rntes en lazo cerado. Utilice la función de transf-erencia en lazo abierto sin compensar G(.s). para determin; deficiencia de ángulo @ si los polos dominantes en lazo cerraclo estuviesen en la posi.deseada. La parte de adelanto de fase del compensador cle retardo-adelanto debó cor .'

3.

buir a este ángulo

@.

Suponiendo que después selecciona un de la pnrte de retardo

I,

suficientemente grande para que la magnr

*'7.

,r,

' *-

s,

I

I

lir.


-

"


raíces 33g

se acerque a la unidad, de modo que s : Jl es uno de los polos dominantes en lazo cerrado, elija los valores de T1 y 7 a partir de la siguiente igualdad:

/l f -,,:a

i.s,

l'

l"*"'

lTt I a elección

de T, y ? no es única. (pueden escogerse muchos conjuntos de valores y T y). A continuatión determine el valor de K. a partir de la condición de magnitud:

f -I '7, K. ,s,+1" s,

Gts,

t

:l

'71

4'

Si se especifica la constante de eror estático de velocidad K", determine el valor de

que satisfaga el requisito para K,.. La constante de ne mediante K,,

:

eror estáticó de velocidad

/

K,. se obtie-

lím sG.(s)G(s)

s-0

I t\ I I\ /.s* -\/ s* - \

-r,iru.(jJ(J; \ :

I'S

r,/

\

pr,lJ',',

rr. I c{¡

donde K. y I se determinaron en el paso 3. por tanto, dado el val orc eK,,' el valor depse determina a partir de esta última ecuación. Después, usando el v ilor delFde determitnado de este modo, seleccione un valor de Z, tal que

irt

l'*r-, l_-rt=l l.r, + _l I

i"

t¡r,l

(El procedimiento de diseño anterior se ilustra en er Ejempro 6-8.) Caso 2' y: IJ. Si se requiere que en la Ecuación (6-23) y: l],el procedimiento de diseño anterior para el compensador de retardo-adelanto se modifica del modo siguiente: 1' A partir de las especificaciones de comportamiento dadas, determine la localización deseada para los polos dominantes en lazo cenado.

334


2.

El compensador de retardo-adelanto obteniclo

G,(s)

:

(Z,s K,

(l

*

,-

medi¿rnte la Ecuación (6-23) se

+l) :K,

1)(2,.s

- rr

r)r/rr:,

modifica

a

('.+)('_';) (

('.f)('.^t)

6-)

J.

donde / > l. La función de transferencia en lazo abierto del sistema compensado e: G,(s)G(s). Si se especifica la constante de error estático de velocidad K,. determine e1 valor de la constante K,. a partir de la ecuación siguiente: K,. 3.

:

:

lím sG,(.s)G(s)

lírn sK,G(.i)

Para tener los polos doninantes en lazo cerrado en la localización cleseada. calcule l¡ contribución requerida del ángulo 91 de la parte cle aclelanto de fase del compensador d; retardo-adelanto. Para el compensador de retardo-adelanto. seleccione una Z, suficientemente grancle. cor-. el fin de que

¡,'7, l-

I I

'*

.s, se aproxime a la unidad, de modo Que s

do. Determine los valores de

z, y

f

lJT.

:

Jr sea uno de los polos dominantes en lazo cen';-,a pafiír de las condiciones cle magnitud y de ángulo:

/

/.s,

r\

f -\

.{j)o,,, \

5.

r,l l1 i.s, f lTl L:Q I

lr,

Utilizando el valor de

/

:l

t)

que se acaba de calcul ar, seleccione Z. de modo que

.r,*'72

rt t

I

+l 1

^f

rlr.

5n<

El valor de

fT., la constante de tiempo mayor del compensador de retardo-adelanto, no clebe .." demasiado grande con el fln de que pueda materializarse físicamente. (un ejemplo ilel diseñc, :, un compensador de retardo-adelanto cuando ^,,: fi se muestra en el Ejemplo 6-9.)

Capítulo 6. Análisis y diseño de sistemas de control por el método del lugar de las EJEMPL0

6-8

raíces 33S

Considere el sistema de control rle la Figura 6-55. La función de transferencia del camino directo es 4

:

G(s)

s(s

+ 0.5)

Este sistema tiene polos en lazo cerrado en

s:

-0.2500 +j1.9843

EI factor de amofiiguamiento relativo es 0.125, la fiecuencia natural no amortiguada es de 2 rad/seg y la constante de error estático de velocidad es de 8 seg l. Se desea que el factor de amortiguamiento relativo de los polos dominantes en lazo cerrado sea igual a 0.5, aumentar la frecuencia natural no amortiguada a 5 rad/seg y la constante de error está1. tico de velocidad a 80 seg Diseñe un compensadoi apropiado para-cumplir todas las especificaciones de compoftamiento. Supóngase que se utiliza un compensador de retardo-adelanto que tiene la función de transferencia

l.-t\/^, r\

c.r,r-,<,f

r lf_? I

l.,*:-l[, r/\ t-

\

;>,

/i>rr

|

fir,l

donde 1 no es igual a B. En este caso, el sistema compensado tiene la función de transferencia

G,(s)C(s) ur\ "vrJ':

/

tt/

\

r,//1\

t\

¡ r,ll r.l_

/.s F- \/r* K.l "'1. ;-*

\

, , -' l"''' ftr,l

A partir de las especificaciones de comportamiento, los polos dominantes en lazo cerrado estar en

s:

Debidoaque

deben

2'50+i4'33

la parte de adelanto de fase del compensador de retardo-adelanto debe contribuir con 55o para que el lugar de las raíces pase por la localización deseada de los polos dominantes en lazo cenado. , _ Para diseñar la parte de adelanto de fase del compensador, primero se determina la localización

del cero y el polo que dan una aportación de 55". Exlsten *u.ñur opciones de conseguir esto, pero aquí se elige el cero en r: 0.5, para que cancele el polo.n r: -0.5 de la plánta. univez elegido el cero, el polo se sitúa de modo que la contribución de ángulo sea 55". Mebiante un cálculo sîmple o un análisis gráfico, el polo debe situarse en s 5.02. Por tanto, la parte de a¿elanto de fase del compensador de retardo-adelanto se convierle en

I

u'

s+-T,

s*0.5

-:u'

sf-

s

*

5.02

T1

Figura 6-55.

Sistema de control.

336


Así, 5.02 y:0j:10.04

Tt:2, A continuación

se determina

el valor de K, a partir de Ia condición de magnitud:

4 , I s-0.5 ' + + r 5.02 r(.s 0.5)l|

:l

I

-2.s

¡4 33

De este modo,

+

K,:j Its " | +

5.021s

I

|l,

¿s

-6.26 i+.¡¡

La parte de retardo de fase del compensador se diseña del modo siguiente. Primero se determina el valor de B que satisfaga el requisito sobre la constante de error estático de velocidad:

K,:

lím sG.(s)G(s)

s+0

:

lím sK. I Gis) B

s-0

y

u4 : líms(6.26)-1 - :4.988ú:80 i .0 10.04.s(s t 0.5) Por tanto,

f

se determina como

ll:

t6.04

Por último, se elige un valor de T2 suficientemente grande para que

lrl I ,s* lT.

I

| -; i l

lra-l I 16'0472lr

=' 2.s

ia. r r

Se deben elegir varios valores paraT2 y comprobar si la magnitud y condiciones de ángulo scsatisfactorias. Después de cálculos sencillos tenemos que Z2 : 5

1

> magnitud >

0.98,

,2,70" < ángulo < 0"

Como 12 5 (o cualquier otro número mayor que 5) satisface los dos requisitos anteriores. ,: = selecciona

Tz:

5

Ahora la función de transferencia del compensador de retardo-adelanto diseñado se obtiene diante

,-l

/,.'\/

Gs-ó^'}(;ó-)(=) 2 /\ \ /s'0.5t,/ :6'26(,

t6.04 s-0.2

rtor/(,-or=rJ

_

l0(2s + 1X5s + 1) (0.1992s+1X80.19s+11

\ 5f

n--"-


raíces 3g7

El sistema compensaclo tendrá la función de transferencia en lazo abierto G.'(s)G(s)

25'04(s

+ o'2)

- s(s+5.02)(s+0.01241)

Debido a la cancelación de los términos (s + 0.5), el sistema compensado es de tercer orden. (Matemáticamente esta cancelación es exacta, pero en la práctica no lo es, debido a que, por lo general, rl obtenerel modelo maremárico del s¡srema ron ne.ésrrias,rg"";.;;;;;i*r.iun., y. como resur_ tado' las constantes de tiempo no son exactas.) La gráfica del lugar de las raíces del sistema compensado se muestra en la Figura 6-56(a). una vista ampliada de la gráfica del lugar de las raíces cerca del origen se muestra en Ia Figura 6-56(b). Debido a que la"contribucióná. anguro J" ru parte de retardo de f'ase del compensador de retardo-adelanto ,r-ruy p.qr.ou, sólo hay un cambio pequeño en la localización de los polos dominantes ", en lazo cenado u párti. de la localización de-

seada,s: -2.5+j4.33.

s(s s3

+ 5.02)(s + 0.0124j)+ 25.04(s + 0.2) :

+ 5.0325s2 + 25.1 026s+ 5.008

:

(

s

+ 2.1123 + j 4.27 56)(s + 2.4

0

123 - j4.2756)(s + 0.2078)

:

0

De hecho, los nuevos polos en lazo cerrado se localizan en

s-

-2.4123+j4.2756

: 0.491. De este modo, el sistema compensado cumple todas las especificaciones de comportamiento requeridas. El tercer polo en lazo cenado ¿el sistema compensado se localiza en s:--0.2078. como este polo está muy cerca del cero en s : - 0.2, el efecto de este polo sobre la respuesta es pequeño. (observe que, en generar, si un polo y un cero están cercanos entre sí sobre el eje real negátlvo cerca del origen, su combinación producirá una larga cola de amplitud pequeña en la respuesta transitoria.) Las curvas de respuesta a un escalón unitario y las curvas de respuesta a una rampa unitaria antes y después de la compensación se muestran en la Figura 6.52. (óbservese una larga cola de pequeñas amplitudes en la respuesta a un escalón unitario del sistema compensado.) El nuevo factor de amortiguamiento relativo es (

t0

Lugar de las raíces del sistena compensado

Lugar de las raíces del sistema compensado cerca del origen 0.2s

::

/-

0.2 0. 15

a

0.1

,/ /

0.0s bo

0

o -0.05

it

-0. I

-0.15 -0.2 0.25 0

Eje real

-0.5

0.4

-0.3

_0.2

-0. I

Eie real

(u)

(b)

Figura 6-56. (a) Gráfica der rugar de ras raíces der sistema compensado; (b) gráfica del lugar de las raíces cerca del origen.

338


Respuesta escalón unitario de sistemas compensado y no compensado 1.8 1.6 1.4

L2 I

6

0.8 0.6 0.4 0.2 0

45678 I Seg (a)

R-espuesta rampa unitaria de sistemas compensados

t0

y no compensados

Error en estado estacionario del sisterna compensado = 0.0 t25 Error en estado estacionario del sistema

9 8

no compensado = 0. I 25 7 6

E

5

a 4 j

2 1

0

0

I

2

3

4

5 I

6

7

9

8

10

Seg

(b)

6'57. Curvas de respuesta transitoria para el sistema compensado y el sistema sin (a) Curvas de respuesta a un escalón unitario; (b) curvas de respuesta a una rampa unitaria

Figura

EJEMPLO 6-9 Considere el sistema de control del Ejemplo 6-8. Suponga que se utiliza un compensador de r:

do-adelanto de la forma obtenida medianre la Ecuación (6-24), o bien

('.;)('.;) '(,*

G,(s): K

áX'.

([]

^-t)

>

1)


raíces 33g

Suponiendo que las especificaciones son iguales a las obtenidas en el Ejemplo 6-g, diseñe un compensador G..(s). Las localizaciones deseadas para los polos dominantes en lazo cenado están en

s: -2.50+

j4.33

La función de transf-erencia en lazo abierto del sistema compensado

es

t\/

/

t\ t'- i,/(. ,r) o G.rsrGr.,r _ o '(,- 4)/,n I ) srsr o5r

\

r,/

\"

[tr,)

Como el requisito sobre la constante de error estático de velocidad K,, es de 80 seg-r, se tiene que

",

Por tanto,

:

sG.(s)G(s)

lS

:

lS ", *: *O:

&: La constante de tiempo 7, y el valor de

f

ro

l0

se determinan a

partir de

ir1

/s+-l I Ttl It l¡"l /.r + -l I r,lr:

:l

:55"

I

-u.s+;+.-r.r

ll1^defic-iencia de ángulo de 55o se obtuvo en el Ejemplo 6-8.) Haciendo referencia a la Figura 6-58, es fácil localizar los punros A y B tales que

/APB:55", -:+ PB8 (Utilice un método gráfico o un método trigonométrico.) EI resultado AO-

es

- 2.-t8, BD: s.:+

o bien

T,

1

- 2.-r8 - ^: - 0.420. Il:

8.34Tt

-

3.503

Por tanto, la parte de adelanto de fase de la red de retardo-adelanto se convierte en

"¡ 'o('1! \r * g.34/ Para la parte de retardo de f-ase, se selecciona

lrl I r F-

I l-l

r'

|

I

l¡l-'' l.r + _l II 3.503r,1 - , ir ^2.I

I'

7.1.3.r

r,

tal que satisface las con
340


Figura

6-58.

Determinación de la localización deseada de polos y ceros.

Mediante sencillos cálculos encontramos que si escogemos ?'2 : 5, entonces

I > magnitud > 0.98, y si escogemos

Z2 :

1.5n

< ángulo <

0o

10, entonces

1>magnitud>0.99,

-

lu < ángulo < 0"

Como Z2 es una de las constantes de tiempo del compensador de retardo-adelanto, no debería ser d¿masiado grande. Si 12 : 10 puede ser aceptable desde un punto de vista práctico, podemos seleccion': Tz.

:

10. Entonces

ll /Jzr:3503"10:0'0285

Por tanto, el compensador de retardo-adelanto se convierte en G'

tsr

/.r-2..18\¡ r- 0.1 \ - ' lo'(. - s.:+/ (;- o or*, )

El sistema compensado tendrá la función de transf'erencia en lazo abierto G,.(s)G(s)

:

(s

+

40(s+2.38Xs+0.1) + 0.0285)s(s -

8.34)ts

0.5)

En este caso no ocuffe una cancelación y el sistema compensado es de cuarto orden. Debido a que ,contribución de ángulo de la parte de retardo de fase de la red de retardo-adelanto es rnuy pequeña. 1i, polos dominantes en lazo cerrado se localizan muy cerca de ia posición deseada. De hecho, la localiz'ción de ios polos dominantes en lazo cerrado se puede encontrar a partar de la ecuación característi¡cono sigue: La ecuación característica del sistema compensado es: (s

+ 8.34)(s + 0.0285),r(s + 0.5) + 40(s + 2.38)(s + 0.1) :

La ecuación caractedstica sa

:

+

0

es

*

+ 99.3188s + 9.52 (s + 2.4539 + i4.3099)(s + 2.4539 j,1.3099)(.' + 0.1003)(s + 3.8604) 8.8685s3

44.1279s2

:

0


raíces 541

Los polos en lazo cerrado dominantes se localizan en

s:

-2.4539 + i4.3099

Los otros polos en lazo cerrado se encuentran en

:

s : - 3.8604 -0.1003; Dado que el polo en lazo cerra
,Respuestas 1.6

escalón unita¡lo de sistemas compensado y no compensado

Sistema

.f1-'.

compensado .j' 1.4

'

:

Si$tema no compensado ..'//

',

"r' ',

o1 = ú

:

:

,i'

0.9

0.6

\i**-.'

,

0.4 0.2

0.5

1.5

2.5

/

3.5

4.5

Seg

(u) Respuestas rampa unitaria de sistemas compensado y no compensado 4

3.5

2.5

(t

Sistema compensado

2

I

Seg

(b)

Figura 6-59. (a) Curvas de respuesias a un escalón unitario para los sistemas compensado y sin compensar; (b) curvas de respuesta a una rampa unitaria para ambos sistemas.

342


La máxima sobreelongación en la respuesta a un escalón del sistema compensado es aproximadanrente un 387o. (Esta es mucho mayor que la máxima sobreelongación del 2l%o en el diseño presentado en el Ejemplo 6-8.) Si 'i : [], es posible disminuir un poco la máxima sobreelongación del 38o/o pero no hasta el 20Vo, como ocufle en este ejemplo. Observe que al no requerir ", : fi, se tiene un parámetro adicional para jugar con él y poder reducir la máxima sobreelongación.

6-9 Compensac¡ón paralela Hasta aquí se han presentado las técnicas de compesación serie utilizando compensadores de adelanto, retardo o retardo-adelanto. En esta sección se discute la técnica de compensación parrlela. Debido a que en el diseño de la compensación paralela el controlador (o compensador) se encuentra en un lazo secundario, el diseño puede parecer más complicado que en el caso de l. compensación serie. Sin embargo, no será complicado si se reescribe la ecuación característic: p¿ira que tenga Ia misma tbrma que la ecuación característica para los sistemas de compensaciór. serie. En esta sección se presenta un problema de diseño sencillo de compensación paralela.

Principio básico para diseñar s¡stemas de compensación paralelos.

Hacienci.

referencia a la Figura 6-60(a), la función de transferencia en lazo cerrado para el sistema cc¡: compensación serie es

C

G,G

n: t-ccu La ecuación característica

es

I + G,GH

:0

Dadas G y H, el problema de diseño consiste en determinar el compesador G,. que satisf'aga .especificación.

(b)

Figura 6-60.

(a) Compensación serie; (b) compensaclón paralela o realimentada.


raíces 343

La función de transferencia en lazo cerrado para el sistema con compensación paralela fFigura 6-60(b)l es C

GtGt 1+GzG,+G1G2H

R La ecuación característica

es

1

+ GS2H -r GzG, :0

Dividiendo esta ecuación característica en la suma de los términos que no contiene

GG. ' :o I + GIG2H

l* Si se deflne

G,: la Ecuación (6-25)

'

se convierte en

I

I

G.., se obtiene

(6-2s)

G.

'

I + G.G)H G,6,,:

g

como G¡ es una función de transferencia fija, el diseño de G. llega a ser igual que en el caso de la compensación serie. por tanto, el mismó método de dirseño se apliica al sistema compensaclo

paralelo.

Sistemas

con real¡mentac¡ón de velocidad. un sistema con realimentación de velocidad (sistema de realimentación con tacómetro) es un ejemplo de sistemas compensados paralelos' El controlador (o compensador) en estos sistemu, ,n elemento de ganancia. del elemento realimentado en un lazo secundario se ", determinar cuidadosamente La ganancia debe para que el sistema completo satisfaga las especificaciones de diseño dadas. La característica del sistema de realimentación de velocidad es que el parámetro variable no aparece como un factor multiplicativo en la función de transferencia de laio abierto; por tanto, no es posible la aplicación directa de la técnica de diseño del lugar de las raíces. sin emlargo, sl'se.""ririu" la ecuación característica de tal forma que el parámetro variable aparezcacomo un factor multiplicativo, es posible ufllizar el método del lugar de las raíces puru diseño. un ejemplo de diseño de un sistema"i de control utilizando la técnica de compensación

la

se presenta en

EJEMPL0 6-f

0

parale-

el Ejemplo 6-10.

Considere el sisrema de la Figura 6-61. Dibuje la gráfica del lugar de las raíces. A continuación determine el valor de kpara que el factor o" u*oitiguu-ientoáe to. poro, áo-inantes en lazo cerrado sea 0.4. En este caso el sistema contiene realimentación de velocidad. La función de transf-erencia en Iazo abierto es Función de transferencia en lazo abierto

Figura 6-61.

:

20

s(s+1)(s+4)+20ks

Sistema de control.

344


Observe que la variable k no aparece como un factor multiplicativo. La ecuación característica para el sistema es

+ 5r2*4s

s3

*

zoks

+2o:o

(6-261

Se define

20k: K La Ecuación (6-26) se convierte en

s3+5r2*4s*Ks+20:o

(6-27

Dividiendo ambos lados de la Ecuación (6-27) por la suma de los términos que no contienen K,

t

se

obtiene Ks

lr ', *, o bien

-^:o Ks

1+-:0 (s+j2)(s-j2)(s+s)

(6-28

La Ecuación (6-28) tiene la forma de la Ecuación (6-11).

A continuación se dibuja el lugar de las raíces del sistema dado por la Ecuación (6-28). Obene que los polos en lazo abierto se localizan ens - j2, -i2, s -5, y el cero en lazo abierto se localiza en s 0. El lugar de las raíces existe sobre el eje real entre 0 y - 5. Por tanto,

:

t:

:

Iím

. 'n

Ks

_

(s + j2l,s

:

lím

- l2lfs + S) . 'q s'

Se tiene

Ángulos de las asíntotas

:

+180"(2¿

+

1)

: *900

La intersección de las asíntotas con el eje real se calcula a partir de

ri* *l r'+

5s2

---L:

donde

+ 4s +

K . - 5sK* ... :lím *- 1s t z.s)2

rm 20 *'j 12 *

El ángulo de salida (ángulo 0) del polo

0:

180"

-

;; :;;r"

90o

-

21.8o

obtiene como sigue:

+ 90o:

158.2o

:

Por tanto, el ángulo de salida del polo " j2 es 158.2". La Figura 6-62 muestra la gráfica del lus,rr de las raíces para el sistema. Observe que dos ramas del lugar de las raíces parten de los polos .'l -t j2 y terminan en los ceros en el infinito. La rama restante parte del polo en s s - 5 y terrr:' na en el cero en s 0. Observe que los polos en lazo cerrado ( A.4 deben encontrarse en líneas rectas que pasan p:r el origen y hacen ángulos de *66.42'con el eje real negativo. En este caso, hay dos interseccion*¡ de la rama del lugar de las raíces en el semiplano superior s y la línea recta de ángulo 66.42o.F.r

:

:

:

:

tanto, los dos valores de K darán un factor de amortiguamiento relativo cerrado igual a 0.4. En el punto P el valor de K es

K:lIrs + i2xs -s i2xs + 5)lI I

l._

:8.e801 r.o_+e0.72._loó5

Por tanto,

K

(

k: 20 _: 0.4490 en el punto P

de los polos en l:.:r

Capítulo

6.


raíces 34s

j6 j5

s=-2.1589 +j4.9652

j4 s=-I.0490 +j2.4065

j3 j2 s=

jt

-2.9021

0 -.j1

-:i2

*j3

-j4 .i5

-j6

Figura 6-62. Gráfica der rugar de ras raíces para er sistema de ra Figura

6_61.

En el punto e, el valor de Kes

":l

Por tanto,

+ j2)(s

Para

k:

j2)(s

:28.260 -2_1589 + j4.9652

k

f:Hjtfft

-

:

K

ñ: 1.4130

en el punro

dos soluciones para este problema. Para k

s:

-1.0490 + j2.4065,

s:

:

_1.0490_

e

0.44g0los rres polos en lazo cer.rado se

j2.4065, ,g:_2.9021

1.4130 los tres polos enlazo cerrado se localizan en

s:

-2.1589 + j4.9652,

Es importante señalar oue e]

991o

s:

_2.1589 _

_0.6823

en el origen es el cero. en,lazo abierto pero no es er cero en lazo originar qu. .n*ioa en ra rigu.a o-oi no

..

;:tri"; *:";';;'i::f;*",1* "q* "i;i;,.*a G(s) R(s)

j4.g652, s:

_

20

s(s+1)(s+4)+20(t+ks)

346


El cero en lazo abierto en.r : 0 se introdujo en el proceso para modificar la ecuación característica para que la variable K : 20k apareciese como un factor multiplicativo. Se han obtenido dos valores diferentes de k para satisfacer el requisito de que el factor de amortiguamiento de los polos dominantes en lazo cerrado sea igual a0.4.La función de transferencia en lazo cerrado con k

:

0.4490 viene dada por

c(s)

20

R(s)

s3+5s2+12.98s+20 z0

(s

+

1.0490 +j2.4065)(s

La función de transferencia en lazo cerrado con k

c(s)

20

R(s)

s3+5s2 +32.26s+20

:

+

1.0490

-

j2.a065)(s + 2.9021)

1.4130 está dada por

20

(s

+ 2.1589 + j4.9652)(s + 2.1589 - j4.9652)(s + 0.6823)

-

Observe que el sistema con k 0.4490 tiene un par de polos complejos conjugados dominantes en 1.4130 el polo real en lazo cerrado en s lazo cerrado, mientras que en el sistema ft - 0.6823 es dominante, y los polos complejos conjugados en lazo cerrado no son dominantes. En este caso la característica de la respuesta está principalmente determinada por el polo real en lazo cerrado. A continuación se comparan las respuestas a un escalón unitario de ambos sistemas. El Prograrna MATLAB 6-14 se puede utilizar para dibujar las curvas de la respuesta a un escalón en un único diagrama. Las curvas resultantes de la respuesta a un escalón unitario [c1(it) para k:0.4490 y c2(t) para 1.41301 se muestran en la Figura 6-63.

:

:

K:

MATLAB Programa 6-14 % %

***** Introduzca los numeradores y denominadores de sistemas : 0 .4490 y k : 1.4130, respectivamente. *****

k

numl: l20l; denl : 11 5 L2.98 20); num2: l20l; den2 : [1 5 32.26 201 ; |

-

n.n

f .in.

c1 : step (num1, den1, t) ; c2 : step (num2, den2, t) ; plot(L,cT,L,c2) text (2.5,7.L2,'k : 0.4490' \ text ( 3 .1 ,0. 85, 'k : 1 .4130 ' ) grid title ( 'Respuestas escalón unit.ario xlabef ( 't Seg' ) ylabel ( 'Salidas cL y c2')

de dos

sistemas'

)

con


raíces g47

Respuestas escalón unita¡io de dos sistemas k = 0.4490

k

= 1.413{t

N >1

:

0.6

= a

56 / Seg

Figura 6-63' curvas de la respuesta a un escalón unitario para el sisiema de la Figura 6-61 cuando el factor de amortiguamiento ( de los polos dominanies en lazo ceriado es igual a 0.4 (hay dos posibres varores de kque dan un factor de amortiguamiento ( iguar a 0.4).

1".r,:,i:q::j;6_t^r::.ll"r"a

que tarespuesta,del sisrema con

fr:

0.44s0 es oscilaroria. (Er

u,n;;;'á;;';;;:$:r::l 'ffi'";ffJ:";

;:T3,i"j:i'::,:jy""::":i:i l: ,'sór!.sobre debidas u ro, porJr"., :? :Ti.*ri.,:X.::" k: r.4t30 tas oscilaciones * T: jli'il;;;; r;. j ; fi e* ffi;, J:il: ;. ;,'.'"i::.*" nencial i: :t-'-',: l::3q il' T " debida ali polo : en lazo cerraclo en s 't" -0.6g23. f)::^:::::

ra,.,p,.*u

(que presenla

una respuesta más rápida con una sobreelongación .!:-^,r:l!lo tiene una caracterísra d" ,*;;;;;

;"l,i"llll"^..0.::"1"1 :""Ii^tl"? ,:T

iseescogería k-0.4490. *.:',"^1,"

una respuesta

ilil";;ü ;.:i'#iltJ'j:; p.;,;'"ü'o;;"r:,,.j[;ffi:'l

sobreamorrigu.Ai;;,;t.

EJEMPTOS DE PROBTEMAS Y SOTUCIONES Dibuje los lugares de las raíces para el sistema cle la Figura 6-64(a). (Se supone que la ganancia K positiva') observe que para valores pequeños o grandes de K er sistema es sobreamortiguaclo y para valores medios es

de K es subamortiguardo.

solución- El procedimiento

l' 2' 3'

para clibujar los rugares de ras raíces es er siguiente:

Sitúe los polos y ceros en lazo abierto sobre el plano complejo. Existen lugares de las raíces sobre el eje real negativo entre 0 l y entre -2 y _3.

y

El número de polos en lazo abierto y el de ceros finitos son iguales. Esto significa asíntotas

en la región compleja del plano s. Determine los puntos de ruptura y de ingreso.

l+

qr,re

no hay

La ecuación característica para el sistem¿r es

348


(a) Figura

(Dl

6-64.

(a) Sistema de control; (b) gráfica del lugar de las raíces

o bien s(.s

+ l)

K: - (s+2)(s+3) Los puntos de ruptura y de ingreso se determinan a partir de

f(s+2Xs+3)12

d.s

a(s+0.634)(s+2.36ó)

-úl-t;l-t-

:0 del modo siguiente:

0.634.

2.366

Observe que ambos puntos están sobre los lugares de las raíces. Por tanto, son puntos de 0.634, el valor de K es tura y de ingreso reales. En el punto s :

K--

(

0.634x0.366) (1.366)(2.366)

Asimismo.ens: -2.36ó.

K:

( 2.366)( 1.366) :14 ( 0.366X0.63'11

(Debido a que el punto s : -0.634 se encuentra entre dos polos, es un punto de ruptu:' debido a que el punto s : -2.366 se encuentra entre dos ceros. es un punto de ingreso.

capítulo 6' Análisis y diseño de sistemas de control por el método del lugar de las raíces 34g

4'

Determine un número suficiente-de puntos que satisfagan la condición de ángulo. (Se que el lugar de las raíces es un círcuio i 1.5 que atraviesa ros puntos de obtiene con centro ruptura "n ) La gráfica del lugar de las raíces para esté sirtemá-se muesrra en ra Figu-

I"fuf,*oTtt

,?"r...::";:Tr":1.":ty:::":,:**

11a.

c¡alruier vator positivo de K, puesto que todos los

0.0t8tcoi;;;d* fi;r;

Los vatores uv r\ --- pequeños K (0 rvrevr¡vr de K \< u.u/ró, colTesponden a un sistema sobreamortiguado \v \< r\ Los valores medios de K (0.0718 < K < l4) coÁsponden a un sistema subamortiguado. subamorriorrcrrn por Dn. ,ir+i últiK (14 < n1 .o'.".po"Jen a un sistema

l11""rJ:tr':,Tlg:'

,ou."u*o",Í,*'Já[5."Éll;

!1

ffili:'|

" lT"?:"1;',fr'":iJi:1

queño de K.

El valor de K debe ajustarse para que el comportamiento del sistema sea óptimo, de acuerdo con un índice de comportamiento deteiminado.

A-6-2.

Dibuje los lugares de las raíces para el sistema de la Figura 6_65(a). solución' Existe unlugarde las raíces sobre elejerealentre lospuntos

Las asíntotas se determinan del modo siguiente:

Ángulos de las asíntotu,

: É 18012k + 1) :90".-90o .l_l

La intersección de las asíntotas y el eje real se encuentra a partir de

0+0+3.6-1

3-1

:

-1.3

(a)

Figura 6-65.

r


- -1 ys:

-3.6.

350


Como la ecuación característica es

r" + 3.6r'+ K(s + l)

-

o

se tiene que

.lt". 'J.os-

A--

r-,_|

Los puntos de ruptura y de ingreso se encuentran a partir de

,l!( - (3r' * 7.2,)t r ll ' tst(s -r l),1s

3'6t',

-

n

o bien

s3+3.3s2+3.6s:o de donde se obtiene

,i_0,

s:-1.65+j0.9367, s-

1.65

i0'936'7

El punto s : 0 corresponde al punto de ruptura real. Pero los puntos s : - I .65 -l i 0.9367 no . ni cle ruptura ni de ingreso, debicto a que los valores de la ganancia K correspondientes se conr i-:

ten en cuntidades complejas. Para veriflcar los puntos en los que las ramas del lugar de las raíces ctuzan el eje imaginal se sustituye s -.iot en la ecuación característica.

far)3 + 3.6Qul¡2

i

Kjro + K

-

0

o bien

.iat(K ro2¡ : 6 Observe que esta ecuación se satisface sólo si rl : 0, K: 0. Debido a la presencia de un :doble en el origen, el lugar de las raíces es tangente al eje j ot en (, : 0. Las ramas del lugar d. (K

-

3.6ro2¡ +

raíces no cruzan el eje.ftl. La Figura 6-65(b) es un dibujo del lugar de las raíces p¿ua este siste:

Dibuje los lugares de

l¿rs

raíces para el sistema de la Figura 6-66(a).

Solución. Existeunlugardelasraícessobreel ejerealentreelpllnto.t: 0.4ysángulos de ias asíntotas se obtienen de1 modo siguiente: Angulos de las asíntotas

+ 180"(2ft +

-

1)

3l

: 90',

90n

La intersección de las asíntotas y el eje real se obtiene a partir de

0+0+3.6

)-

0.4

3l

A continuación se buscan los puntos de ruptura. Como s3

+

3.6.i2

*

Ks

1.6

1a ecr-ración

* o.+K:

se trene que

K_

: -

.r3

+

3,6.t'

.i

*

0.-l

o

característica es

3.6 -

-

Capítulo

6. Análisis

y diseño de sistemas de contror por er método der rugar de ras raíces

35r

(b)

Figura

6-66.


Los puntos de ruptura y de ingreso se encuentran a partir de

Ll[ _

ttsF

,31

. 7.2r]f_- 0.4) - (,\r r -t.6s2r

de donde se obtiene s3

o bien

+2.4s2

+ I.44s:o

s(s+ i.2)2:0 Portanto, los puntos de ruptura ode ingreso están en.r:0y unaraíz doble' cuando hay una raíz doble en crKlds: o

este punto.

El valor de la ganancia Ken el punto.,

:

_

K: ,.+1.óil sr4 r,

Esto significa que con

s: -

s: -

1.2 es

3.6s2

1.2,

gues:

_

1.2 es

i:uiue¡: ;;

_0.r,

K:1.32 la ecuación característica +

: -

r.,

1.2, lo que se comprueba fácilmente del modo siguiente: s3

r.2. observe

en el punto s

tiene una raíz trrple en el punto

+ 4.32s+ 1.72g: (s + 1.2¡3:

g

Por tanto, hay tres ramas clel lugar de las raíces en el punto s : - L2.Los ángulos de salida en el punto r : - 1 '2 de las ramas del lugar de las raíces que se aproximan a las asíntotas g0"/3, son f 1 es decir, 60" y - 60o. (Véase el problema A_6-4.)

352


Por último, se examina si las ramas del lugar de las raíces cruzan el eje imaginario. Sustituyenen la ecuación característica, se tiene que

do s

: jo

Qro)3

+ 3.6Qo)2 + KQto) + 0.4K:

0

o bien

- a?¡: g Esta ecuación se satisface sólo si al : 0, K: 0. En el punto a¡: 0, el lugar de las raíces es tan(0.4K

-

3.6a2¡ + jo¡(K

gente al ejeja-l por la presencia de un polo doble en el origen. No hay puntos en los que las ramas del lugar de las raíces crucen el eje imaginario. Un dibujo de los lugares de las raíces para este sistema aparece en la Figura 6-66(b).

Haciendo referencia al problema A-6-3, obtenga las ecuaciones para las ramas del lugar de las raíces del sistema de la Figura 6-66(a). Demuestre que las ramas del lugar de las raíces cruzan el eje real en el punto de ruptura en los ángulos *60o.

Solución.

Las ecuaciones para las ramas del lugar de las raíces se obtienen a partir de la condi-

ción de ángulo lKts + 0.4t

I

¡" - zs': * lSo"t2k + lr

que puede reescribirse como f Sustituyendo

s:

*

o

s+0.4-21!- /s+3.6:

+180'(2fr+

1)

ja-r se obtiene

f o + jo¡ + 0.4

-

2f o +

ja -

f o + ja¡ +

3.6:

+180"(2ft

+ l)

o bien

/

(D

tan ('.r-)

\

./ar\ / ut \ -2tan'\;1 t^" (- *J:

+180'(2tr+ l)

Volviendo a ordenar. se obtiene

u) \ ./t¡\ ./u¡\ tan'(_l:tan-'{"'}*tun'f ) \u/ \o10.41 \o/

./ ran rf

/ u) *_ \ }-t80"r2tr+ll \o*3.6/

Tomando las tangentes a ambos lados de esta última ecuación, y considerando que ,un

u''

) * ,rn",ro * ,,-] : '( L \"-3.6/ I o-13.6 f,un

u)

se obtiene (t)

(t)

(D

o+oA;

;*"**

@0)

_ 1+_ o-1 0.4 o

(t)

I

_9 o

(t)

o*3.6

que se simplifica a

an - at(o * 0.4'¡ ot(o * 3.6) -t uto (o | 0.4)o * ut2 6(.o - 3.61 - ,'¡:

-

Capítulo 6. Análisis y diseño de s¡stemas de control por el método del lugar de las

raíces 3S3

o bien r,t(o3

+ 2.4o2 + l.4lo +

1.6la2

+

6@2)

:

0

que puede simplificarse todavía más a

*

rofo(o Para o

*-

1.2)2

+ (a +

1.6)ro21

:

g

1.6, se puede escribir esta última ecuación como

.[, -

@

+ t2)

*,"_,

/=][.

:,

',, /=]

de donde se obtienen las ecuaciones para el lugar de las raíces del modo siguiente:

a.¡:

0

,u:

(o

*

l.2t

T

-r

!o+1.ó

a,r

(D-

(ot l.2l I

!o -

t.6

La ecuación o-r : 0 representa el eje real. El lugar de las raíces para 0 ( K ( co está entre los puntoss: -0.4ys: 3.6. (Elejerealquenoesestesegmentoyelorigens:0correspondeal lugar de las raíces para - oo ( K < 0.) Las ecuaciones

u¡:*(o+1.2)

T

-"

{o+

(6-2e)

1.6

representanlasramascomplejaspara0(K(at.Estasdosramasseencuentranentreo:-1.6 y o : 0' fVéase la Figura 6-66(b).] Las pendientes de las ramas de los lugares de las raíces plejas en el punto de ruptura Ecuación (6-29) en el punto o

(o: - 1.2) se encuentran calculando los valores : - L2.

itt :

Vo¿ Como

A-6-5'

tan t."/3 :

t

d,e

dalclo

comd.e la

."/:

60", las ramas del lugar de las raíces cortan al eje real con ángulos de

f

60..

Considere el sistema de la Figura 6-67(a). Dibuje los lugares de las raíces para el sistema. observe que para valores pequeños o grandes de K el sistema es subamortiguado y para valores me¿ios de

K es sobreamortizado.

Solución. Existe un lugar de las raíces sobre el eje real entre el origen las asíntotas de las ramas de este lugar se obtienen como Ángulos de las asíntotas

-

-F

180"(2ft

+

1)

:

y-

co. Los ángulos de

60', -600. 1g0.

La intersección de las asíntotas y el eje real se localiza sobre el eje rear en

,-

_

'*?*':-.3333 3

. Los puntos de ruptura y de ingreso se encuentran a partir de ción característica es s-t+-+s:+5s*K:o

dKlds:

0. Debido a que la ecua-

354


i3

\

(b)

Figura

6-67.

(a) Sistema de control; (b) gráfica del Iugar de las raíces.

se tiene que

K:

(s3+4"r2+5s)

Ahora se establece

dK

(3s'I 8s 5):0

ds de donde se obtiene

.i

- - 1,

1.6661

Debido a que estos puntos están sobre los Iugares de las raíces, son puntos de ruptura y de in-sre., reales.(Enel puntos--l,elvalordeKes2,yenelpunto.r:-1.666i,elvalordeKesl.8-51. El ángulo de salida de un polo complejo en la mitad superior del plano .r se obtiene a partir dr 0 o bien

-

180"

0

- 153.43" 90'

:

63.430

La rama del lugar de las raíces a partir del polo complejo en la mitad superior del plano "i corta a. eje real en,r: - 1.6667. A continuación se determinan los puntos donde las ramas del lu-{ar cle las raíces cruzan el eje imaginario. Sustituyendo s:.jtt.t en la ecuación característica, se tiene que Qor)3

+ 1(jot)2

*

+

K:

c,t]¡

:

5(,jot)

o hien

(K a

paltir de la cual

1to2) +

.jr,t(5

0

g

se obtiene

r'..r:*./5,

K:20

obien r'r-0.

K-0

capítulo 6' Análisis y diseño de sistemas de control por el método del lugar de las raíces 35S

Lrs

ramas der rugrr de ras raíces cruzan er eje imaginario en

del lugar de las raíces sobre el eje rear toca el eje Ju) en diagrama

u):

ú/ = ,Á

,

,,,

:

,,Á

La rama

0. La Figura ó_67(b) muestra el

de los lugares de las raíces para el sistema. observe que' debido a que este sistema es de tercer orden, existen tres polos en lazo cerrado. I a naturaleza de la respuesta del sistema a una entrada determinada depende

de las situaciones de

los polos en lazo cerrado.

Para 0 < K< r.g52, existe un conjunto de polos comprejos conjugados en razo cerrado y un polo real en lazo cerrado' Para 1.852 t ,, hay tres polos reales -"lhtocerraclo. por ejemplo, los polos en lazo cenado se localizan "en "

: - 1.667, s : - l, s

Para 2

.r

: -0.667,

.r:-7

para

K

-

1.g52

ParaK:)

< K, hay un conjunto

tema sobreatnortiguado. Los valores grandes de

K

(2 <

K)

a un sistema subamortiguado' Para valores grandes de K el sistema responcle mucho más rápido que para valores más pequeños de K. A-6-6.

corresponden

Dibuje los lugares de las raíces para el sistema de la Figura 6_6g(a).

solución- Losporosenrazo abierto selocarizanen,r:0, s: Existe un lugar de_las raíces sobre el eje real entre los puntos encuentran del modo siguiente:

Ángulos de las asínrotas --

+ 180"(2ft + l)

4

-1, s: 2+.i3y.s: -2 j3. s:0 y s: -1. Las asíntotas se

:45",-4-5"'135'.-13-5'

-654_3

(b)

Figura

6-68.


356


La intersección de las asíntotas y el eje real se encuentra a partir de

0+1+2+2 4

1.25

Los puntos de ruptura y de ingreso se encuentra a partir de dKlds

K:

-s(s +

1)(s2

*

4s

-

0. Considerando que

* 13): -(.r1 + 5s3 + ljs2 + l3s)

se tiene

dK

(4rr ;; -

l5s2

I 34s I- 13)

-o

con lo que se obtiene

0.46-t, .r' : -

1

.642 +

i2.061, r : -

1.642 -.i2.061

: -0.467 está sobre un lugar de las raíces. Por tanto, se trata un punto de ruptura real. LosvaloresdelagananciaKcorrespondientesalospuntoss:-1.642+j2.061 soncantidade: El punto s

complejas. Como los valores de ganancia no son positivos reales, estos puntos no son de ruptura nl de ingreso.

El ángulo de salida del polo complejo en la mitad superior del plano 0

-

180"

s es

- 123.69' 108.44' 90'

o bien

0

A continuación

-

142.73"

se buscan los puntos donde los lugares de las raíces cruzan el eje lor. Debido -

que la ecuación característica es

sa+5s3rlls2+l3s+K:o si se sustituye

.s

-.jo

dentro de ella, se obtiene

(jto)a + 5(7ro)5(7ro)3

+

17(jot)2

+

13Qa¡)

+K

-

0

o bien

(K

* roa

\7c02; +

jrtt(l3

-

5r,r:1

:

g

de donde se obtiene

a,t:11.6125, K:3'7.41 obien ro-0,

K:0

Las ramas del lugar de las raíces que se tienden al serniplano derecho del plano s cruzan el e-. imaginario en (o : + 1.6125. Asimismo, la rama del lu-sar de las raíces sobre el eje real toca el e'. imaginario en (o : 0. La Figura 6-68(b) muestra un dibujo de los lu-qares de las raíces para . sistema. Observe que cada rama del lugar de las raíces qr:e tiende al semiplano derecho del plano

cruza su propia asíntota.


A-6-7'

raíces gS7

Dibuje los lugares de las raíces del sistema de control de la Figura 6-69(a).Determine el rango de valores de la ganancia K para la estabilidad.

Solución. Los polos enlazo abierto se localizan en s: l, s: Existe un lugar de las raíces sobre el eje real entre los puntos.r: las ramas del lugar de las raíces se encuentran del modo siguiente: Ángulos de las asíntotu,

:é

180"(2k

+

1)

3

_2 + j^,8 y s _ _2 _ j I y s * -oo. Las asíntotas"E de

:60",

60", 180.

La intersección de las asíntotas y el eje real se obtiene como

-t+2+2 : -1 Los puntos de ruptura y de ingreso se rocalizan a partir

K: - (s- l)(s2f4s* j):

cle

_qs3

dKlds:0.

Comcr

+3s2+3s j)

se tiene que

dK

d": -(3s2+6s+3):0

de donde

(^r+l¡2:g

(a)

Figura 6-69.

(b)


358


Por tanto, la ecuación dKlds:0 tiene una raíz doble en s : L (Esto significa que la ecuación característica tiene una raíz triple en s : l.) El punto de ruptura se localiza en s : l. Las tres ramas del lugar de las raíces se encuentran en este punto de ruptura. Los ángulos de salida de las ramas en el punto de ruptura son * 180.'/3, es decir, 60" y -60n. A continuación se determinan los puntos donde las ramas del lugar de las raíces cruzan el eje imaginario. Obsen'e que la ecuación característica es

(s-1X.i2*4s*1)+K:0 o bien I .l .s--.{s -Js- I

s:.i

Si se sustituye

K-0

en la ecuación, se obtiene

a.r

(.¡ro)t

+

+ 3f ar) 1 + K:

3(7ar)2

0

Reescribiendo esta última ecuación se obtiene

tK -7

3t'¡2t

,,,2)

-jt'il3

-

0

Esta ecuación se satisf'ace cuando

rl:+.1.

K:7+3t,;2:16

Lasramasdellugardelasraícescruzanel

o or-0,

K-.7

ejeimaginarioenrr:*.3(clondeK:16)yo-('

(donde K:1). ComoelvalordelagananciaKenelorigenesT,elrangodevaloresdelaganancia K para la estabilidad es

7

La Figura 6-69(b) muestra una gráfica del lugar de las raíces. Obsérvese cómo todas las rana. son líneas rectas.

El hecho de que las ramas del lugar de las raíces son líneas rectas se puede demostrar com. sigue: Como la condición de ángulo es

(s

1)(s

+ 2 + iv5)(.i +

2

j.",,,,5)

-+180"(24-+ l)

se tlene

- /t :

Sustituyendo s

f

o

o

I

1 .j c.t

i. J:il80"r2k+ l)

- /t+z+j,fi-/.'+u

en la última ecuación,

1+ jro + f o + 2+

jo + j -1+ f o +2 + jrt j'E:

+180,'(2ft

+ l)

o bien

f

o+2+ j(o+,f!+

f

o+2+ jko ,1t:

f

o

1+ it,t + 180.(2ft+ t)

que se puede escribir como

run

,l''- \'t)*,"n -rlu'--.,3r \ o,2/ \ o*2)

trn (;-,)-txo'r2k-tt


raíces 35g

Tomando las tangentes a ambos lados de esta última ecuación, se obtiene

+.",6

rrr

o) 2

-

+ot

o-1"E 2

_(,_1,J)(+:)

o-1

o bien

2to(o

*

2)

a)

o2+1o+4 o2+3

o1

que se puede simplificar a

2rr(o -l 2)(.o

-

1)

:

o(o2 + 4o

i I

02¡

o bien

oi):g

c,\.3o2+6o: 3_ Haciendo nueva simplificación en esta última ecuación

,(" *, . j5,)(". 1o

l\

,

r:'u):0 /

VJ

que define tres líneas: I

oiI*

I

oi7-r-o:0

-r.o:0, v/3

V,3 Por tanto, las ramas del lugar de las raíces tienen tres líneas. observe que los lugares de las raíces para K > 0 tienen partes de las rectas que aparecen en la Figura 6-69(b). (Observe que cada recta empieza a partir de un polo en lazo abierto y tiende a infinito en la dirección de 1g0", 60,' o - 60.,, medidos a paftir del eje rear.) La parte restante de cada recta coffesponde a K < 0.

A-6-8'

Considere un sistema de control con realimentación unitaria con la siguiente función de transf.erencia f-eedfbrward

G{rt

K

- .;l

,* -

z1

Utilizando MATLAB, dibuje el lugar de las raíces y sus asíntotas.

Solución' Dibujar un diagrama los lugares de las raíces transferencia en lazo abierto se obtiene mediante

Gl,i):

y las asíntotas. como la función

K

¡r¡

-

lr(.r

r-

2.¡

.rr

| 3.r2'

2,

la ecuación para las asíntotas se obtiene del modo siguiente: considerando que ,KK K K

lím

, 3s-, rI 2.r . ',, .r'l .r'l 3.i.'.'. ,., rt 2.r-lím

.

3s'+*3s*l

la ecuación para las asíntotas se obtiene mediante

G,ls):-(s _K * t)'

(s+l)1

de

360


Por tanto, para el sistema, se tiene que

num: [1] den: [1 3 2 0l y para las asíntotas,

numa: l1l

dena: [1 3 3

Al

1]

usar las siguientes órdenes root-locus y plot

r : rfocus (num, den) : rlocus (numa, dena) plot ( [r al ) a

r y de a debe ser el mismo. Para asegurar esto, se incluye la constante de ganancia K en los comandos. Por ejemplo, el número de filas de

:0:0.1:0.3; K2:0.3:0.005:0.5; K3 : 0.5: 0.5:10; K4:10:5:100; K: [Kt K2 K3 K4] r : rlocus (num, den, I{) a : rlocus (numa, dena, K) Y: [r a] ptot (y, ,_,) K1

El programa MATLAB 6-15

generará una gráfica del lugar de las raíces

y de sus asíntotas

como se muestra en la Figura 6-70.

MATLAB Programa 6-15 %

----------

nrrm

:

Lugar de las raaces

l1 I . Lrl,

den: [1 3 2 0]; numa: [1]; dena: [1 3 3 Il; K1 :0:0.1:0.3; K2:0.3:0.005:0.5; K3:0.5:0.5:10; K4:10:5:100; K: [K1 K2 K3 K4); r : rfocus (num, den, K) ; a : rlocus (numa, dena, K) ; y-

LL

d);

plot (y, '-' ) v: [_4 4 _4 axis (v) grid title('Lugar de 1as raíces de G(s) - K/ [s (s * y asíntotas' xfabef ( 'Eje Real' ) y1abe1 ( 'Eje Imag' ) % ***** Los polos en lazo abierto se dibujan manualmente

)

r:


raíces g61

Gráfica del lugar de las raíces de G(s) = Á:/[(515+l)(s+2)] y asíntotas

4

J

2

a

1

É

'Fo

0

; i¡

I

2

3

-4

-43¿_l

01234 Ejc real

Figura 6-70. Gráfica del lugar de las raíces. Es posible dibujar dos o más gráficas en un diagrama mediante ra orden hord El Programa usa la orclen hold. La gráfica del lugar de las raíces resultante se muestra en la Figura 6-71.

MATLAB 6-16

MATLAB Programa 6-16 o__

ó ---Luqar de 1as raíces num: [1] ; den- [1 3 2 O]; numa: 11 l: dena-11 3 ? 'ir K1 :0:0.1:0.3; K2 -A.3:0.005:0.5; K3:0.5:0.5:10; K4:10:5:100; K: [K1 R2 K3 K4] ; r: rfocus (num, den, K) ; a : rlocus (numa, dena, K) plot (r, ,o' ) hold Current plot held plot (a, '-') ,.

¡¡v :

I

I rA

rA

A

-+

+t;

axis(v)

grid title('Lugarde las raíces deG(s) :K/ [s(s * 1) (s + 2) yasíntotas, ] x1abe1 ( 'Eje Real , ) ylabel ( 'Eje rmag' )

)

362


Gráfica del lugar de las raíces de G(s) = f¡¡.t1"*t,(.r+2)l y asíntotas 1

:E:: tÍf: :

'''

3

:

,F

:

2

1

,,/d,: 50

0

E

il

o @i@ :----1

áJ-* \"T-1

i

\-t

I

i

\q

:

2

\o

.\o_: -.-.t

i

3

.-.

U

.\ó-::

:....-.--.-.--.\ü .h

4

43210123 Fje rcal

Figura 6-71 . Gráfica del lugar de las raíces.

A-6-9.

Dibujar el lugar de las raíces y las asíntotas para un srstema con realimentación unitaria con si-guiente funció n de tran sf'erencia feedforward

:

G(s)

:

K

(s2+2s+2)(s2+2.i+5)

Determinar los puntos exactos donde el lugar de las raíces atraviesa el eje

solución.

lc'.r.

La función de transf-erencia f'eedforward G(s) se puecle escribir corno

c(s): Obsérvese que cuando s tiende a

K

.r'a+4s3*11s2*l4s*lo

infinito lím G(s)

lím G(s):

K 11n

.l+1,

= J+llím

:

escribir como

se puecle

sa+4s3*lls2+l4s+lo K

st+4s3+6s2+4s+1 K

1ím

(,rr

donde se ha utilizado Ia siguiente fórmula: (s

*

a)a

:

sa

+

4as3

+

6a2s2

+

4tfs

La expresión

K

lím G(.s) lim -"' - ,":" ,':'; 1s_ I;, da Ia ecuación para 1as asíntotas.

I

ul

capítulo 6' Análisis y diseño de sistemas de control por el método del lugar de las raíces 363

se que

El programa MATLAB 6-17 calcula el lugar de las raíces el numerador y denominaclor de G(s) son

num: fLl den: 11 4 rI Para e[ numerador y denominador de las asínroras

14

y sus asíntotas. obsérve-

101

,lj]] G(,

numa: [1] dena- [1 4 6

cle G(s)

urilizamos

1l

4

La Figura 6-72 muestra la gráfica clel lugar de las raíces y de las asíntotas. Como la ecuación característica para el sistema es (s2

+ 2s +

2)(,r2

*

2s

*

-5)

+

K:

o

MATLAB Programa 6-17 J3

-- ---

Diagrama del lugar de

num: [1] ; den: [1 4 II 14 10] ; numa: [1]; dena: [1 4 6 4 Il; r : rrocus (num, den) ; plot (r, '-' ) hold Current plot held plot (r. 'o, )

_Las

raíces

rlocus(numa,denat;

v: L b 4 -5 5l;axis(v);axis(,square,) grid t:lcle ( 'Lugar de las raíces y Asíntotas , ) Gr'áflca del lugar de las raíccs v asúttotas

5 4

3

2

c

I

tr b¡ d

0

.: o

itr

-t -). 3

-4 -5 Eje real

Fígura

6-72.

Gráfica del lugar de las raíces y asíntotas.

364


los puntos donde el lugar de las raíces atraviesa el eje imaginario se pue
s

:

l]oi2 -

:

qata

2j@

-

+ 2ll0o)2 + 2jut + 5l + K

llor2 + l0 + ¡O -f j(-4to3 + 14ro):

g

e igualando la parte imaginaria a cero. El resultado es

r¡

: * 1.8708

Así pues los puntos exactos donde el lugar de las raíces atraviesa el ej 7ro son .o : * 1.8708. I-su; lando la parte real a cero, se obtiene el valor de la ganancia en los puntos de cruce K : 16.25.

A-6-10.

Considere un sistema de control con realimentación unitaria con la función de transferenc, feedforward G(s) dada por:

G(s):

K(s

+

1)

(s2+2s +2)(s2

+2s+5)

Dibujar el lugar de las raíces con MATLAB.

solución.

La función de transferencia feedforward G(s) se puede escribir como

G(s)

:

+ 1) sa+4s3*11s2+14s+lo K(s

El Programa MATLAB 6-18 es un posible programa en MATLAB para dibujar el lugar

de

raíces. En la Figura 6-73 se muestra el lugar de las raíces resultante.

MATLAB Programa 6-18 nrrm

-

tl Lr

1l rl,

.

den: [1 4 LL 14 K1 - 0:0.2:200; V):').n

n a.1

10]

;

tr-

K3:2.5:0.5:10; LA : 1n.1 . trn.

K: [K1 K2 K3 ]K4) ; r: rlocus (num, den, K) ; plot (y, 'o' ) v: [-B 2 -5 5] ;axis (v) ;ax.LS('square') grid title ( 'Lugar de las raíces deG(s) :K(s+ xlabel ( 'Eje Real' ) y1abe1 ( 'Eje Imaq' )

(s"2+2si2)

* 2s *

5)

Capítulo

G.

5


raíces 36s

Gráfica del lugar de las raíces de G(s) = K(s + I )/[(s2 + 2s + 2)(s2 + 2s + 5)]

4

3

2

e

I oo

g oAm) a %

0

G

o

¡¡

-1

--)

4 -5 -5

-4

-3

-1

Eje real

Figura 6-73. Gráfica del lugar de las raíces.

A-6-t

t.

obtenga la función de ftansferencia der sistema mecánico de la Figura ó_74. Suponga que er desplazamiento rr es la entrada y er desprazantiento -r, es la sarida del sistema. Solución' A partir del diagrama se obtiene la siguiente ecuación de movimiento:

br(i,*i"):Ur(i"-i) bíi, - il: ky Tomando las transformadas de Laplace de estas dos ecuaciones, suponiendo condiciones iniciales cero y eliminando I(s), se obtiine b1

X"(s)_ bz _7s+1 X¡(s) bt + b? _ ,. -f * bt+b27s+t Egura 6-74. Sistema

Esta es la función de transferencia entre X"(s) y

-'recánico.

se obtiene

bt k.:T.

&(s). Si se define b"

b1+b2

X"(s) Zs * &ts) "xTs*1

s*-

1

s*-

Este sistema mecánico es una red de adelanto mecánica.

I

T 1

aT

366


A'6.12-

Obtenga la función de transferencia del sistema mecánico de la Figura 6-75. Suponga que el ri es la entrada y el desplazamiento x., es la salida.

desplazamiento

Solución.

Las ecuaciones de rnovimiento para este sistema son

bz(i¡-

in¡ +

k.q.r, _t.): ó,(i.

-.)

b,(i.-j):ft,,r' Tomando las transfbrmadas de Laplace de estas dos ecuaciones, y suponiendo condiciones iniciales de cero, se obtiene

b2lsX¡(s) sx,(,r)l +

ft:l&(s)

D1[sX.,(s)

: s(.i)l :

X.(s)l

b[sX.(..s)

-

.rl/(s)]

ftr(s)

Si se elirnina )'(s) de las dos últimas ecuaciones, la función de transferencia X.,(s)/X,(s)

se

obtiene como

(l '. ')(t ,. ,)

X,(s) Figura 6-75. Sistema mecánico.

X,r.i) (u: ,. \^l

'X; '* ')* I

'

Se deflne

rt:;,b. si

se esco-een kt,

b, b I y bt tal que existe un f

b,

T.-:- Ar' que satisface la siguiente ecuación:

b, b- b. T. ;^l +;^2 +: - il) + fr,

Ut

>

1)

(6_30

^r

Entonces &r(s)¡X,(s) se simplifica como

X,(r) (Z1s + 1)(Z2s + l) X,tst /7, \ {;r+t)r/tlrt+tr \/) /

('. ¡X'

/

.

B\/

',t) I\

('*li('*^)

[Obsérvese que dependiendo de la elección kt, k2, b 1 y bt, no existe un /i que satisfaga la Ecuación (6-30).1 Si existe un tal p y si para un sr dado (rlonde .r : sl es uno de los polos en lazo cerradir dominantes del sistema de control para el cual se desea utilizar este clispositivo mecánico) lar condiciones siguientes se satisf'acen:

*'7,

1

.s,

1 '0" entonces el sistema mecánico que se muestra en la Fi-eura 6-75 actúa como un compensador de retardo-adelanto.


Compensador de

Figura

A-6-13.

6-76.

adelanto

raíces 367

Vehiculo espacial

Sistema de control de un vehículo espacial

Considere un modelo para un sistema de control de un vehículo espacial, como el que se muestra en la Figura 6-76. Diseñe un compensador de adelanto G..(s) tal que el fhctor de :rmortiguarnien-

to relativo sean 0.5

( y la fiecuencia

natural no amortiguadato,.de los polos dominantes en lazo cerraclo

y 2 rad/seg, respectivamente.

Solución. Primer intento: Suponga que el compensador de adelanto G,.(s) es

c,trr

l\

/.IT

,.
"t.-,I

\'- -/

A partir de las especificaciones dadas, cerrado deben localizarse en

(:0.-5 y rttn:2 s

:

_

rad/seg, los polos dominantes en lazo

I t.i vJ

Primero se calcula la deflciencia del ángulo en este polo en lazo cerrado.

Deficiencia del án-eulo

- - 120" : -

10.8934"

120"

+

190"

70.8934"

El compensador de adelanto debe compensar esta deficiencia del ángulo. Existen muchas formas de determinar las situaciones del polo y el cero de la red de adelanto. Se selecciona el cero del compensador en s: 1. A continuación, haciendo ref'erencia a la Figura 6-17, se tiene la siguiente ecuación: 1.13205

rl

-

tan(90"

70.8934)

:

0.3,1641

¡1.73205

Figura

6-77. Determinación del polo

de la red de adelanto

368


o bien

t.73205

x:1*

:6

0.34641

Por tanto,

G-(s) '

s*l : K..'s*6

El valor de K. se determina a partir de la condición de magnitud

ls+ll 1 K.l 'ls+6s'0. ls+ll,I I

rr.J

:r

del modo siguiente:

K,

+6 )rt(0. ls*

s*l

lq

!| l":-rni.5

:

11 2ooo

Así.

s* I G.(s):ll.2s+6 Como la función de transferencia en lazo abierto queda

s*l : ll.2 (s+6)s2(0.1s+l)

G.(s)G(s)I{s)

-

11.2(s

+

oiF+l;t

1)

- ó"

una gráfica del lugar de las raíces del sistema compensado se obtiene fácilmente con MATLAB introduciendo num y den, y usando la orden rfocus. El resultado se muestra en la Figura 6-78 Lugar de las raíces del sistema compensado

a

'u

Y

tr

s+

o

ñ' -5

l0 Figura

-5

0

5

It)

Eje real

6-78. Gráfica del lugar de las raíces del sistema compensado.


raíces 369

Respuesta escalón unitario del sistema compensado

.d 6

0

I

2

3

4

5

6

7

8

9

l0

I Seg

Figura

6-79. Respuesta a un escalón unitario del sistema compensado.

La función de transferencia en lazo cerrado para el sistema compensado queda

11.2(s+1X0.ls+1)

C(s)

R(s)

(s

+

6)s2(0.1s

+

1)

+

11.2(s

+ t)

La Figura 6-79 muestra la curva de respuesta a un escalón unitario. A pesar de que el factor de amortiguamiento de los polos dominantes en lazo ceffado es 0.5, presenta una sobreelongación mucho más grande de la esperada. Una revisión cuidadosa de la gráfica del lugar de las raíces revela que la presencia del cero en s : - I incrementa el valor de la sobreelongación máxima. [En general, si un cero o ceros en lazo cerrado (compensador de cero o ceros) se encuentran a la derecha del par de polos dominantes complejos conjugados, los polos dominantes no serán muy dominantes.l Si la rnáxima sobreeelongación no se puede tolerar, el compensador de cero(s) debería modificarse de tal fbrma que el cero(s) casi cancele al polo(s) real en lazo cerrado. En el diseño actual, se desea modificar el compensador de adelanto y disminuir la máxima sobreelongación. Una forma de evitar esto es modificar el compensador de adelanto, tal y como se presenta en el intento siguiente. Segundo intento: Para modificar la forma de los lugares de las raíces, es posible usar dos redes de adelanto, tales que cada una contribuya con la mitad del ángulo de adelanto necesario, 70.8934"12:35.4467". Se selecciona la localización de los ceros en.r : -3. (Esta es una elección arbitraria. Es posible elegir otra localización, como s : -2.5 o s: -4.) Una vez elegidos dos ceros en s - - 3, la localización necesaria de los polos se determina tal y como se muestra en la Figura 6-80, o bien 1.73205

rr-l

. - tan (40.89334" - 35.4467"¡ : tan5.4466o : 0.09535

de donde se obtiene

-r,:1*

1.73205 0.09535

:19.1652

370


Figura

6-80. Determinación del polo de la recl de adelanto.

Por tanto, el compensador de adelanto tenclrá la siguiente función de transferencia:

G,rsr

El valor de K.

se determina a

tr3

-r,{ r ¡

1r

t9.

ló52/

partir de la conclición de magnitud clel modo

* (, *'#r,)'],.i

si_guiente:

,l , ,.,

o bien

K'

:

171'3864

De esta forma, el compensador de adelanto recién diseñado es

u.(, r -- t74.38ó4

/

' *-L

)' \.' + tO.rO:z/

Así, la función de transf'erencia en lazo abierto se convierte en

r I3 )' | \¡ -r 19. 1652) r 0 fs|

C.rsrcl.rrHrs.¡: 174.-lg64,

|

La Figura 6-81(a) muestra una -Qráfica del lugar cle las raíces para el sisterna compensado. observe que no hay un cero en lazo cetrado cerca del origen. Una vista ampliada clie la gráfica de . lugar de las raíces cerca del origen se muestra en la Figura 6-g1(b). La función de transferencia en lazo cemado se convierte en

c(.')

R(s)

114.3864(.s

(s

+

19.1652),r.10.1,

+ 3)r(0. ls + I ) + t) + 17u1.3864(s

Los polos en lazo cemado se encLlentralt clel ntoclo sisuiente

:

s: -l + j1.73205 .i : -9.1847 + i 7..+811 .t : 21.9606

+-]f

Capítulo 6. Análisis y diseño de sistemas de contror por er método der rugar de ras

20

raíces 371

Lugar de las raíces del sistema compensatlo

I5

¡Polo

de lazo cerrado

l0 i il -

ll

o

-t0 t5 20

-30

25

20

-

1.5 - 10

--s

10

Eje real (a)

Lugar cle las raíces del sistenla compensaclo cerca del origen 3

oPolo de lazo ccrrado

c

'-

É

-

(,

i

rf

-l -2 -3

-4-3-2_t0t-) Eje real (b)

Figura

6-81.

(a) Gráfica der rugar de ras raíces der sistema compensado; (b) gráfica del lugar de las raíces

cerca del origen.

Las Figuriis 6-82(a) y (b) muestran la respuesta a un escalón unitario y la respuesta a una rampa unitari¿r del sistema compensado. La curva cle respllesta a un escalón unitario es razonable v la respuesta a una rampa unitaria parece aceptable. observe que, en la respuesta r*0. ,Jtr"l ria' la salida se aclelanta ligerarr-rente a la entracla. Esto """ una se debe a que el sistema" tiene función de transf'erencia realimentada de 1/(0.1s + 1). Si se dibuja la señal de realimentación fiente a ¡. junlo con lu entracla de rr.rurrrpri unitr'ia. lu prirnera nu se uderantrr,, ., i;';;;;;;;;;;:.; estado estacionario. Véase la Figura ó_gl(c).

372


Respuesta escalón unitario del sistema compensado 1.4

1.2

€

0.8 (,h

0.4

0.2

56

l0

I Seg (a)

Rcspuesta rampa unitaria del sistema compensado

Señal de realimentación en respuesta rampa unitar 5

4.5

¿1

/i

'=

I {

!

Salida o ¡J tr

¿ -

: s E1 'co

7¡'

¡=

o

(i

"

)<

J.)

>. 2.5

q2

a' c o

o.

1.5

Serial de realimcntación

E

trll

EI 0.5

E

É |ll

I Seg

0.5 0

I

(b)

Seg

(c)

Figura 6-82. (a) Respuesta a un escalón unitario del sistema compensado; (b) respuesta a una rampa unitaria del sistema compensado; (c) gráfica de la señal de realimentación frente a f en la respuesta a una rampa unitaria.

A-6-14.

Considere un sistema con una planta inestable, como el de la Figura 6-83(a). Utilizando el método del lugar de las raíces, diseñe un controlador proporcional derivativo (es decir, determine lo¡ valores de K,, Y Z.) tal que el factor de amorliguamiento relativo ( del sistema en lazo cerradc, sea 0.7 y la frecuencia natural no amortiguada .r,? sea 0.5 rad/seg.

Solución.

y.r:

Observe que la función de transf'erencia en lazo abierto tiene dos polos en s lfT¿,que se desconoce en este punto.

l.085 y un cero

en,s:

-

L08j


raíces 373

o j3

j2

a-

-4

-3

Polo en lazo cerrado

( -jl 166.026" \I \ -/ -=\

rl

2.039

7 -1.08s

-jt j2

-j3 (b)

Figura

6-83.

(a) Control PD de una planta inestable; (b) diagrama del lugar

de las raíces para el sistema. Como los polos en lazo cerrado deseados deben tener calizarse en

ro,:0.5

rad/seg

y

(:0.j,

deben lo_

s:0.5 f t80" !4s.slz" (( : 0.7 corresponde a una línea que forma un ángulo de 45 .573" con el eje real negativo.) por tanto, los polos en lazo cemado deseados están en

s:-0.35+j0.357 Los polos en lazo abierlo y el polo en lazo cerrado deseado de la mitad superior ¿el plano se localizan en el diagrama de la Figura 6-83(b). La deficiencia de ángulo en el punto s: 0.35+j0.357 es

-166.026"

25.913.

+ 180.- -11.939"

Esto significa que el cero en s: llTndebe contribuir con 11.939", los mismos que, a su vez, determinan la localización del cero del modo siguiente:

I

r: --: T¿

2.039

374


Por tanto, se tiene que

K,,(.1

El valor de

?17

*

- r.(+: * r) :

T,¡s):

K,,Tt(s+ 2.039)

es

Tu

El valor de la ganancia K/, se determina

I

,r

:

a

I

ZllZg:

0.4904

partir de la condición de rnagnitud del modo siguiente

+ 20lc)

/o,r,,'friffi/,,,.,,,n.,, --, o bien

KrTu:

6999.5

Por tanto,

K,,:

6999.5

0.1904

:

14.273

Sustituyendo T¿ f Kp por sus valores numéricos en la Ecuación (6_31), se obtiene Kp(.t

+

T¿s)

:

11,273(l + 0.4902ts)

:

6999.5(s

+ 2.039)

que proporciona la función de transferencia deseada del controlaclor proporcional derivativo.

A-6-15.

Considere el sistema cle control de la Figura 6_g4. Diseñe un compensador de retardo G,.(s) ta, que la constante de error estático de velocidad K, sea 50 seg I sin modificar notablemente lr localización original de los polos en lazo cenado, que están en s: _2

t

solución-

Se supone que ra

función de transf'erencia

s+

U,(.r)

crer compensador de

I

T

: 'l J'+_

tB>l)

lJr

Figura

ti¡ii

¡r/0,

6-84. Sistema de control

retardo es:

capítulo 6' Análisis y diseño de sistemas de control por el método del lugar de las Debido a que K,. se especifica como 50

u

=

r,

seg

raíces g7s

se tiene que

,:

1,g,.6,,,r,--lo

k,lrz.s -- so

Por tanto,

K,ll:20 Ahora. :e seleeciona

k. _ l.

De este modo.

lJ Se

toma

r

:

10.

A

continu¿rción, er compensador de retarclo se obtiene mediante

G..(s)

La contribución

s:

2 + 7.rG

:20

de ángulo del

s

:

compensador

es

re..ll,

,,,,.t

*

i+

--

tan

:

_

0.

1

0.005

de retardo en el polo en lazo

- t'n ' \6 lg

cenado

I

"G 1.995

1.3616,'

es_ pequeña. La magnitud de G..(s) en r. : _ 2 + j 6 es 0.9g 1. por tanto, el cambio en la localizactón de los polos dominantes en lazo cenado es muy pequeño. La función de transf'erencia en razo abierto del sistema se convierte

que

en

G..(s)G(s)

s

La función de transt'erencia en lazo cerraclo C(s)

* 0. I l0 + 0.005 .i(s + ,X)

s

: es

lOs*1

R(.r)

con el tin de comparar la car¿icterística de la respuesta transitoria antes y clespués de la compensación' las respuestas a un escaión unitario y u *u rampa unitaria de los sistemas compensados y sin compensar se muestran en las FigLrras 6-g-5(a) y qb¡, ,"rp..tivamente. Er enor en estado estacionario en la respuesta a una rampa unitaria se muestra en la Figura 6-g5(c).

376


Respuestas escalón unitario de sistemas compensado y no compensado 1.2

-,,\_

Sistema compensado

-.-

Sislema no compensado 0.8

!

=

0.6

0.4

0.2

0

456 (a)

_Respuestas rampa unitaria de sistemas compensado y no compensado

l09 8

a

Sistema compensado tiene un error en estado estacionario rle 0.02

7

E

6

! 5

!

4

t!

3

Sistema sin compensaÍ tiene un en estado estacionario de 0.4

eror

2

I 0

2345678 / Seg (b) Respuesta rampa unitaria (35

,10)

1[

E

,::t r7 s

E D

Sistenu compensadó

I

;rl

'\

,.i

35.5

sia,aau no compensado

I

3sL 35

35.5

36 36.5 3'7 37.s 38 38.5 39 39.5

40

I Seg (c)

6-85. (a) Respuestas a un escalón unitario de los sistemas compensado y sin compensar; (b) respuestas a una rampa unitaria de ambos sistemas; (c) respuestas a una rampa un¡taria que muestran los errores en estado estac¡onario.

Figura


A-6-16.

raíces 377

Considere un sistema de control con realimentación unitaria cuya función de transferencia de camino directo se obtiene mediante

G(s):

10

s(.r+2)(s+8)

Diseñe un compensador tal que los polos dominantes enlazo cenado se localicen en y la constante de error estático de velocidad K, sea igual a 80 seg 1.

s:

2tj2

^"h

Solución. La constante de error estático de velocidad del sistema sin compensar es : ]€ :0.625. como se requiere que K,,: 80, se necesita inerementar la ganancia en lazo

,K.

abierto en 128. (Esto implica que se necesita un compensador de retardo.) La gráfica del lugar de las raíces del sistema sin compensar revela que no es posible llevar los polos dominantes en lazo

a 2 -f j2y6 .on sólo un ajuste de la ganancia. Véase la Figura 6-86. (Esto significa que también se necesita un compensador de adelanto.) Por tanto, se utilizará un compensador de cerado

retardo-adelanto. Se supone que la función de transf'erencia del compensador de retardo-adelanto es

/ 1\/ l\ i.r* \/s+-\ GJs): donde K,. :

tlrzl

128. Esto se debe a que

K.

y

"{jJ{,..-l \ z,/ \

-

11g

sG.(s)G(s)

:

lím sK.Gls)

: & 10 : 16

80

K,: 128. La deficiencia de ángulo en el polo deseado en lazo cerrado deseado t: I rJlvJes

se obtiene

.\-

Deficiencia del ángulo

:720,'+

90"

+ 30" - 1g0.,:60.,

La parte de adelanto del compensador de retardo-adelanto debe contribuir a este ángulo. Para seleccionar z1 se utiliza el método gráfico que se presentó en la Sección 6-g. Lugar de las raíces de G(s) = 10/[s(s+2Xs+8)]

l0

I Polo en lazo cenado decidido,

6

4

ó

)

Po ú)

.=

El

Á

Polo en lazo cenado conjugado complejo

6

-10

l0

-5

0

5

10

Eje real

Figura

6'86.

Gráfica del lugar de las raíces de G(s)

:

1O/ts(s

+ 2)(s +

8)1.

378


La parte de adelanto debe cumplir las siguientes condiciones:

Lr\ /'' -zl\

'"['=1"''"1 rtl 1,,

-

|

\

,

¡..

l

,

La prirnera condición se simplifica como

utilizando el mismo método que el aplicado en la Sección 6-8. el cero (s : (s : []lTr) se determinan del rnodo siguiente:

IIJ

ri-lzo'

.,

lizr) y el poli

:'tt':s

Véase la Figura 6-87. Por tanto, el valor de p se detennina como

[]

:

14.419

Para la parte de retardo del compensador, se selecciona

_I :

0.01

[]Tt

Figura

6-87.

Determinación gráfica del cero y el polo de la parte de adelanto del compensador


raíces g7g

Así,

I

:0.1442

T.

Considerando que /

.r,

I

+

0. 1442

:oe8'r7

|

.- ,- i

2 l2\

r

la contribución del ángulo de la parte de retardo es 1.697" y la contribución de magnitud es 0'9837 Esto significa que los polos dominantes en lazo cerrado se encuentran cerca de la posi-

ción deseacla

s:

2+

j2 \ i. por

tanto. el compensaclor diseñado,

-

/st 7lQ_1¡s I 0.r4a21 ''8(, .rrrr/( .., r, /

c'(s)

es aceptable' La función de transf'erencia de camino directo del sistema compensado resulta

G.(i)G(s):

+

+

+ 0.1442) 53.35)(s + 0.01)(s + 2)(s +

1280(s s(.i

3.7X.r

8)

La Figura 6-88(a) muestra una gráfica del lugar de las raíces clel sistema compensado. La Figura 6-88(b) muestra una gráfica arnpliada del rugar de las raíces cerca del origen.

Lugar de las raíces del sistema cornpensado

Lugar de las raíces del sistcma compensado cerca dcl origen

l0 8 6

.,t

=

3o

b0

-=

Polo en lazo cerrado deseado

4

N

2

\

0

\

E

il

o in -2

I

-1 -6 -u

-60

L

-60

-20

0 Eje real

20

40

60

-i0 l0

\

-5

0

Eje real

(a)

(b)

Figura 6-88. (a) Gráfica del lugar de las raíces del sistema compensado; (b) gráfica dei lugar de las raices cerca del origen.

380


_Respuestas escalón 1.4

unitario de sistemas compensado y no compensado

Sistema compensado

€ a-,

0.6

0.4

5

I Seg (a)

lRespuestas

rampa unítaria de sistemas compensado y no compensado

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

l0

I Seg (b)

Figura

6-89.

(a) Respuestas escalón unitario de los sistemas compensado y no compensado (b) respuestas rampa unitaria de ambos sistemas.

Para verificar el comporlamiento del sistema mejorado del sistema sin compensar, véanse i. respuestas a un escalón unitario y las respuestas a una rampa unitaria de los sistemas compen:: dos y sin compensar de las Figuras 6-89(a) y (b), respectivamente.

A-6'17-

Considere el sistema de la Figura 6-90. Diseñe un compensador de retardo-adelanto tal que.-

constante de error estático de velocidad K,. sea de 50 seg- r y lanzónde amortiguamiento rela: vo ( de los polos dominantes en lazo cerrado sea 0.5. (Seleccione el cero de la farte de adelar., del compensador de retardo-adelanto para cancelar el polo en .r I de la pünta.) Detenni:., todos los polos en lazo cerrado del sistema compensado.

: -

Capítulo 6. Análisis y diseño de sistemas de contror por er méiodo der rugar de ras

Solución.

raíces gg1

utiliza el

G.(s):

donde B >

K,:

lím sG"(s)G(s)

s-0

,-o

- /7.

(¡ '*

\ t

)tltrzs

. + r)

s(s

*

lXs + 5l

-K,5 La especificación

K,:50 seg I determina

Ahora se serecciona parte de adelanto queda

el valor de K..:

K': 250 z1 : 1 para que s * (7fTr) cancere el término (s + 1) de la planta. La s*l ,_tJ

Para la parte de retardo del compensador de retardo-adelanto se necesita que

Í

rl

"nr J l--, I |l--t, l" ' ttr,l l

I

l'''i, .0" -j'"' /---i l',

r

*

,,

donde s : r'r es uno de los polos dominantes en lazo cerrado. para s rencia en lazo abierto se conviene en

G.{s¡)G(s¡

,= o

(L1) \sr

: _ lrrs, * 5) ,'.E;, - /l/ ¡r(sr--] "

:

s1

la función de transfe-

I

+ pxr, l_5;

382


Considerando que en .r -

.r1 Se

satisfacen las condiciones de magnitud y de ángulo, se tlene que

t6-l?

K, ^ ',r'r(,r¡ fft1,s,

r

t6-3lr

_-:_180''1 2/<-1.¡

+51

- 0, 1, 2, ...En las Ecuaciones (6-32) y (6-33), B y.i' son incógnitas. Como el factor de amortiguamiento relativo ( de los polos dominantes en lazo cerrado se especifica como 0.-5, el polo en lazo cerr¿do .r : .rl queda donde ft

rr

-

-.r +.i./3-r

donde -r todavía no está determinada. Observe que la condición de magnitud, Ecuación (6-32), se puede reescribir como

-t

:

250, se tiene que

( Considerando que

K,

&

+t.,/l¡f

x + l)

=

= + j--/:rlt-, + s +7",,?r.¡l

.. q; *l -.1"'.

,.5

- *i -

3.r2

-

l-' (6-31

125

La condición de ángulo, Ecuación (6-33), puede reescribirse como lK

r-i.lxlt

/'r

-

,20, r,,n

.r f+tu/.l.rrr .rI-5+i..lxr

r+il

,an

( ):.,) :

,80,,

o bien

**''(*):,,.

,"''(19)

Se necesita despejar p y x en las Ecuaciones (6-34)

y error,

se encuentra que

ll

(6--1:

y (6-3-5). Mediante varios cálculos de prueb,

- 16.025, ,r :

1.9054

Por tanto.

rr

-

1.905,1+jv/3

(1.90.54)

-

1.9054

+

j3.3002

La parte de retardo del compensador de retardo-adelanto se determina del modo siguienr. considerando que el polo y el cero de la parte de retardo del cornpensador deben localizarse ce¡.del origen, se selecciona

_I -

0.01

lJTz

Es decir. 1

T)

:

0.16025 o bien

fi :

6.2-5

capítulo 6' Análisis y diseño de sistemas de control por el método del lugar de las raíces 3g3 Con la elección de 7,

:

6.25, se tiene que

1.9054 +.i3.3002

-

+

0.1602-5 |

1.90s1+ j3.3002 +

1.11515 + j3.3002 1.89054 + j3.3002

r.90-54 + j3.3002

+

0.01

i

j:nn'*'

(6-36)

0.16025

r.9054 + i3.3002 + 0.01

(6--r7)

Como

-

- 6.25 es aceptable. cién diseñado se escribe como la elección de Tt

5,,

<

l.g37n

<

0,,

A continuación, el compensador de retardo-adelanto

/ .tr I rrrr0. ""-lf' "' 1602.5r \ s ' 16.025 / \ r' -r U.0l / tiene la -siguiente función de transferencia en lazo abierto:

^^ (r):2s01 G Por tanto, el sistema compensado

re-

I

2.50rs - 0. lb{)25) U,.(.r)(/lJl-ffi La Figura 6-91(a) muestra una gráfica del lugar de las raíces del sistema compensaclo. La Figura 6-91(b) muestra una gráfica arnpliada del lugar de las raíces cerca der oriqen. La función de transferencia en lazo cerrado se convierte en

c(s) _ R(')

250(s

+ 0.16025)

Los polos en lazo ceraclo se localizan en t.g.t08 _r /.r.2.159

= 0.1684 s : - 17.205 ¡

observe que Ios polos dominantes en lazo cerrado,l : - 1.830g dominantes en lazo cerrado.r : *s1 supuestos en el cálculo ae

+ j3.2359 difieren cle los polos

f

y rr.Las pequeñas ciesviacio-

nes de los polos dominantes en lazo cenado , - - r.sioi + j3.235g a partir s : *s1 : - l'9054 + i3.3002 se deben a las aproximaciones implícita:s ai detenninár

de retardo del compensador [véanse las Ecuaciones (6_36) (6-3Zjl. V

de

la parte

384


Lugar de las raíces del sistema compensado t5

G

So o

iil

-5 -10 -15

-20

-10 -5

0

Eje real (a) Lugar de las raíces del sistema compensado cerca del origen

0.8 0.6 0.4

'i o)

So E

.gt -o z F.t

\__/

o.4

-0.6 0.8

-l l

-0.5

0

0.5

1

Eje real (b)

Figura 6-91 . (a) Gráfica del lugar de las raÍces del sistema compensado; (b) gráfica del lugar de las raíces cerca del origen.

Las Figuras 6-92(a) y (b) muestran, respectivamente, la respuesta a un escalón unitario y la respuesr; . una rampa unitaria del sistema diseñado. Observe que el polo en lazo cerrado en s - 0. 1684 casi canc;. el cero en s - 0. 16025. Sin embargo, este par formado por un polo y un cero en lazo cerrado localiza; .

:

:

cerca del origen produce una larga cola de amplitud pequeña. Como el polo en lazo cerrado ,l1 .205 se localiza muy lejos a la izquierda, en comparación con los polos en lazo cerado -s: -1.8308 +i3.2359,elef'ectodeestepolorealsobrelarespuestadelsistematambiénesmuypeque: Por tanto, los polos en lazo cerrado en s: - 1.8308 + j3.2359 son en realidad polos dominantes en l;: cerado que determinan la característica de respuesta del sistema en lazo cenado. En la respuesta a u:rampa unitaria, el enor en estado estacionario al seguir la entrada rampa unitaria termina por convertirse .-

1lK,:

+:

0.02.

capítulo 6' Análisis y diseño de sistemas de control por el método del lugar de las raíces 3g5 Respuesra escalón unitario del sisrema compensldo

€ a

I Seg (a) Respuesta rampa unitaria del sistema compensado

10 9 8

1 6

E a

5

4 -)

2 I 0

56 r Seg

(b)

Figura

6-92.

(a) Respuesta a un escalón unitario del sistema compensado; (b) respuesta a una rampa unitaria del sistema compensado.

A-6'18'

La Figura 6-93(a) es un diagrama de bioques de un modelo para un sistema de control de cambio de posición. La función de transf'erencia en lazo ."rruao foiuôste sistema es

c(s)

nrrr

:

+

0.1

^llolrr-

o,

2s

(s

- or

2(.r + 0.05) + 0.04i7 + j2.4189)(s + 0.0417 j2 4J89Xsl 0J167) -

La respuesta a un escarón unitario de este sistema se muestra en la Figura 6-93(b). La respuesta muestra las oscilaciones de alta frecuencia al inicio de la misma] J"Ui¿o u los polos en

386


2.s

+ 0.1

.",*0 l"*¿

Giróscopo cle velocidad

Respucsta escalón unitario de sistema no corrpensado

0.9 0.8

07

o =

o6

;-

il.5

04 0.1 0.2 0.1 0

0

50

100

150

200

250

300

Tiempo (seg) (b)

Figura 6-93. (a) Sistema de control de cambio de posición; (b) respuesta a un escalón unitario s - -0.0417 +.t2.1189. La respuesta la controla el polo en s : 0.0167. El tiempo de asenr¡miento es de aproximadamente 240 segundos. Se desea acelerar Ia respuesta, así como eliminar el comportamiento oscilatorio al inicio dla misma. Diseñe un compensador adecuado tal que los polos dominantes en lazo cerrado esté:

en,r-

l-lJl\

-'r.

Solución. La Figura 6-94

muestra un diagrama de bloques para el sistema compensado. Ob-

serve que el cero en lazo abierto en .r : 0.05 y ei polo en lazo abierto en s : 0 un poli -generan en lazo cerado entre s : 0 y .t : 0.0-5. Tal polo en lazo cerrado se convierte en un polo ilonrinante en lazo cerrado y desacelera la respuesta. Por tanto, es necesario sustituir este cero por unr que se localice bastante iejos del ejejo, por ejemplo, un cero en s : 4.

Servohidráulico

Giróscopo de velocidad

Figura

6-94.

Sistema de control de cambio de posición compensado.


raíces gg7

Ahora se selecciona el compensador de la tbrma siguiente:

: ó,t"1i]1 2s + 0.1

G"(s)

A continuación. la funcirin de transt-erencia en lazo abierto del sistema compensaclo queda C, (.s)C1,s)

s*zl 1 2s*0. 2s *0. I s.r.: F0. l¡.,4 : G,^ (sl -- -- s*4 s(s'f 0. |.s +4) --

^ -'

1

C..r.r

)

Para determinat é..1r¡ mecliante el método del lugar de las raíces, se necesita encontrar la cleticiencia de ángulo en el polo en lazo cerado deseado s : + f-u cleficiencia del ángulo se encuentra del siguiente modo:

j2/5

-2

Deficiencia del ánguro

: :

r43.09g" _

r20"

-

109.642"

+

60,,

+

lgou

132.13"

Por tanto, el compensador de adelanto Q 1r¡ oeue aportar 132.73o . como la deficiencia de ángulo es de 132.13". se necesitan dos compensadores dé adelanto qr. upoÁ-6ó.365.,cada uno. por tanto, G,.(s) tendrá la siguiente forma:

: - (,:;1'

c,(sr Suponga que se eligen dos ceros en s res de adelanto se obtienen a partir de

:

3.4611 o bien

\, ,

tan

2. A continuación. los dos polos de los compensado-

(90"

66.365)

:

0.4316169

3.1641

'

0.4376169

:9.9158 (Véase Figura 6-95.) por ranto. ^

C,(.sr

-- ,<

s=

/

t I )

\-

( +_^ \s 9.91-s8/

)

-2 +.i243

Figura 6-95. polo y cero de G.1s).

388


El compensador G.(s) completo para el sistema queda

G+2)2 'r*4 G.(s):e.rrlij1 "' {s * O.Ul5g)r- r ' '2s. 0. I :K. 2s

0.

I

El valor de K. se detetmina a partir de la condición
c.(s)G(s)' -

u '''

{s + 9.9158)2sts2

.0.Lr .4)

la condición de magnitud queda

I 'v

|

t.t

l- 2)2(.s

. 4l

I I

(s t- 9.9158)'¡(s' t 0.Lr + 4t/.

_

,

2 ,r)r

r

Por tanto,

Its + s.gl5gt2s(s) r

k.

0. l.i r 4tl (r - 2)-ls , 4l l. ., ,:. ¡

I :88.022'7

De este modo, el compensador G.(s) queda

r 2)rrs + 4) qq5ti,^-o.ll ts

c'(r) -- 88'0227

"

La función de transf'erencia en lazo abierto se obtiene mediante c. (s)G(sl'

88'0227(r ¿ 2)2(r + 4)

- (s

-

9.9158.¡2s1sr

-

0.Lr r 4)

La Figura 6-96 muestra una gráfica del lugar de las raíces para el sistema co¡'rpensado. En

la

gráfica se.indican los polos en lazo cerrado para ei sistema compensado. Los polos en lazo cenado, las raíces de la ecuación característica (.i

+

9.9158)2s¡s2

+ 0.I.i + 4) + 88.0227(s +

Lr-rgar de las

2)2(.r

+

4):

O

raíccs del slstelna compensaclo

15

10

. a

a

I

Po E

l.l'

-5

l5

Polo en lazo cerado

l5

-10

-5

0

_5

10

15

Eje real

Figura

6-96. Gráfica

der rugar de ras raíces der sistema compensacro.

Capítulo 6. Análisis y diseño de sistemas de control por el método del lugar de las son los siguientes:

s: s: s:

raíces 389

-2.0000+ j3.4641 -7.5224 + j6.5326 -0.8868

Ahora que se ha diseñado el compensador, se examina la característica de la respuesta transitoria con MATLAB. La función de transferencia enlazo cerrado se obtiene a partir de

88.0227(s+2)2(s+4)

c(s) _

R(s) (s + 9.9158)2s(s2 + 0.1s + 4) + 88.O227(s + Z)z(s + 4) Las Figuras 6-97(a) y (b) muestran las gráficas de la respuesta a un escalón unitario

y

de la

respuesta a una rampa unitaria del sistema compensado. Estas curvas de respuesta muestran que el sistema diseñado es aceptable. Respuesta escalón unitario del sistema compensado 1.4

€

-

0.8

0.6

0r 0

0.5 1

1.5 2

2.5 3

3.5 4

4.5

r Seg (a) Respuesta rampa unitaria del sistema compensado

>1

€ El .

0123456 I Seg (b)

Figura

6-97.

(a) Respuesta a un escalón unitario del sistema compensado; (b) respuesta a una rampa unitaria del sistema compensado.

390


A-6-19.

Considere el sistema de la Figura 6-98(a). Determine el valor de aparaque el factor de amortiguamiento ( de los polos dominantes en lazo cerrado sea 0.5.

Solución. La ecuación característica

es

lO(s * a) :0 l+ s(s+l)(s+8)

La variable

¿1 no es un factor multiplicativo. Por tanto, es necesario modificar la ecuación característica. Entonces la ecuación car"acterística se puede escribir como

13

+

9s2

*

lSs -l- loa

:

o

Si se reescribe esta ecuación tal que o aparezca como un f'actor multiplicativo que¿a: 10o :0 l+ .t1sr+9r+18¡ Se define

lüt-

K

Por tanto, la ecuación característica queda

K : l+ s1,r2+9,r+18)

(,

Observe que la ecuación característica tiene una fbrma adecuada para la construcción de la grát:ca del lugar de las raíces.

(a) Figura6-98.

(a) sistemadecontrol; (b) gráficadel

(b)

lugardelasraícesdondeK:10a.

capítulo 6' Análisis y diseño de sistemas de control por el método del lugar de las raíces 391 Estesistematienetrespolos yningúncero. Los trespolosestánen una rama del lugar de las raíces se encuentra sobre er eje rear

s:0,s:

entre los puntos

Además, hay otra rama entre los puntos s : -6 y.r: _ c.r. Las asíntotas para el lugar de las raíces se catulan como sigue:

: 11x0"(zt + l) : 60', 3

Ángulos de las asíntota,

,,.

:

3

y.r: :

0ys

6.

_3.

60o, I 80'

La intersección de las asíntotas y el eje real se obtiene a partir de

0+3+6

.t: -

-

--)

Los puntos de ruptura y cle ingreso se calculan a partir de

K: Calculando

-(s3 +

9s2

+

dKlrls:

0, donde

lgs)

dK

,,r:-13s2+18s+18):g se obtiene

s2+6s+6:o o bien

s:-1.268, s:-1.732 El punto

'i: - 1'268 se encuentra sobre una rama del lugar cle las raíces. por tanto, el punto 268 es un punto de ruptura. Pero el punto s : -4.132no se encuentra sobre el lugar de las raíces y, por tanto, no es punto de ruptuá ni de ingreso. A continuación se buscan los puntoi donde las ramas del lugar de las raíces cortan al eje imaginario. Se sustituye s: jat en la ecuación característica s

: -

1

,r3

+

9.r2

*

lg.r

como slgue: Qcu)3

* K:

+ 9(jttt)2 + l8(7ra) +

o bien

(K de donde se obtiene

o : +3 r12,

K: :

g

:9o2 : 162 o bien

r,_¡

-

K

o

9ctt2)

+ lrr;(lg -,u2y

Q

: 0,

K:

0

Los puntos de corte están en tE y el correspondiente varor
rama del lugar de las raíces en er semiprano superior 60o con el eje real negativo. Los poloi dominantes

s:

1+

j1.132. s:

y una

I-

En estos puntos el valor de la por tanto. -eanancia K es 2g.

K

ct--:2.8 10

lí".u;;;;e j1.132

392


Al

tener el sistema dos o más polos que ceros (de hecho, tres polos y ningún cero), el tercer polo localizar sobre el eje real negativo debido a que la suma de los tres polos cerrados es 9. Por tanto, el tercer polo se encuentra en

se puede

-

9-(-1+ jt.732) (-1-

j1.132)

o bien 7

A-6-20.

Considere el sistema de la Figura 6-99(a). Dibuje el lugar de las raíces del sistema cuando la ganancia ft de la realimentación de velocidad varía de cero a infinito. Determine el valor de l. para que los polos en lazo cerrado tengan un factor de amortiguamiento ( de 0.7.

Solución. La función

de transferencía en Iazo abierto es

Función de transf'erenc

ia

enlazoabierto

10

- (s+l+l0k)s

Como ft no es un factor multiplicativo, hay que modificar la ecuación para que k aparezca comt factor multiplicativo. Como la ecuación característica es

s2+s+10fts+lo:o se reescribe esta ecuación como sigue: 1Ofrs :0 l+ s'*s*10

(6.3S

Se define

t}k:

K

La Ecuación (6-38) queda

l*.

Ks

.r' *,s

*

l0

:0

j4 j3 K = 3.421

j2

jt -1 -6 -5 -4

-3-2-10

I

-j1 la

-j3 -j4 (a)

(b)

Figura 6-99. (a) Sistema de control; (b) gráfica del lugar de las raíces donde

K:

10k

I Capítulo 6. Análisis y diseño de sistemas de control por el método del lugar de las observe que el sistematiene uncero

ens:0

en.r: -0.5

y dospolos

raíces 393

+ j3.1225. comoel

sistema tiene dos polos y un cero, existe la posibilidad de tener un lugar de las raíces circular. De hecho, como se verá a continuación, este sistema tiene un lugar de las raíces circular. por la condición de ángulo

:

+180'(2k+

1)

se tiene

/1- /s+0.5+ j3.t225- fs+0.5 j3.t225: Sustituyendo s

:

o

I

jar en esta última ecuación y reagrupando,

fo + 0.5 + j(a¡ + 3.1225) + fo + 0.5 + j(ro -

3.1225)

*180"(2,t+ t) se obtiene

: fo + jo¡+ t80o(2ft + t)

que se puede reescribir como

./u,, 1.122-5\ ¡ru\ ran't,/,u-3.1225\ _- | ran - \ o+0.5 - (:)+180"12kFt.¡ \ ar0.5 /lttan,l / \"/-' Tomando tangentes a ambos lados de esta última ecuación se obtiene at

-l 3.7225

ro

-

3.1225

or0.5 o*0.5 t 3.t225\(u 3. t22s |' (,', \ \ a-0.5 /\

a 0.5 )

Simplificando,

2ot(o + 0.5)

(o +

0.5)2 (rrt

Lt)

3.12252)

o bien

t0+trr2.t:0 donde

o

observe que

bien

o2

+

rt¡z

:

70

(r:0

corresponde a K

corresponde al eje real. El eje real negativo (entre s:0 y , - - r) >0 y el eje real positivo corresponde a K < 0. La ecuación

o2+to2-10

:

:

es una ecuación de un círculo con centro en o 0, r,¡ 0 con radio igual a ,r/t0. una parte de este círculo la cual se encuentra a la izquierda de los polos complejos se cbrrespondé con el lugar de las raíces para K > 0. La parte del círculo que se encuentra a la derechf de los polos complejos se corresponde con el lugar de las raíces para K < 0. La Figura 6-99(b) muesira la grática del lugar de las raíces.

Como se requiere que ( : 0.7 para los polos en lazo cerrado, hay que buscar la intersección del lugar de las raíces circular con una línea que fbrma un ángulo de 45.57" (observe que cos 215.57o : 0.7) con el eje real negativo. La intersección es en s : 2.214 + j2.25g. La ganancia Kcorrespondiente a ese punto es 3.12l .Por tanto, el valor deseado de la ganancia de realimentación de velocidad k es

K

A:--0.3421 10

394


PROBTEMAS 8-6-1.

Dibuje los lugares de las raíces para el sisrema de control en lazo cerrado con K(s

de trayectoria directa:

+ l)

G(,s):- . s-

H(s)

.

-

1

c(.sl

B-G-z.

Dibuje los lugares de las raíces para el sistema de control en lazo cerrado con

B-6-3.

s(s

*

H(s):

1)(s2+21.i+-5)'

I

Dibuje los lugares de las raíces para el sistema

con

G(s):

--- ,K r s(s 0.5)1.r'' *

0.6s

Ht'l -

+ l0t

I

8-6-4.

Demuestre que los lugares de las raíces para un sistema de control con

G(s)

:

K1,ir+6s+10) t2 + 2.t + lo

H(s):

I

son arcos de círculo con centro en el origen y con radio

igual

a.u/ñ.

K

Kls + s-(s

*

G,,(s)H,,(s)

K

: 13

+

rl.oo68s2

0.21

1{s)

:

8-6-lO. Considere el sistema con realimentación unitaria cuya función de transferencia de trayectoria direcG("i)

:

s(sr+4s+ll)'

K

-.rG+ t)

El lugar de ganancia constante para el sistema para ul valor de ganancia determinado K se define mediante i*

I

-1.$;

9)

2.3g25

Utilizando MATLAB, dibuje el lugar de las raíces y la.

siguiente ecuación:

KI l-ll I lrl

Dibuje los lugares de las raíces para el sistema de control en lazo cerrado con

+

+ 5.3515s +

rsíntotas parr el sistema.

8-6-6.

K(s

,

Demuestre que la ecuación para las asíntotas es

ta es

:

_ tl

8-6-9. Considere el sistema cuya función de transt-erencia en lazo abierto es K(s 0.6661) G(s)f1(.r) : so + 3.3401s3 -f i.0325,s)

Dibuje los lugares de las raíces para un sistema de control en lazo cerrado con Gtst

4,

r1r, _

Dibuje los lugares de las raíces para el sistema. Si el valor de la ganancia se fija a 2, ¿dónde se localizan los po-

8-6-5.

G(s)

:

los en lazo cerrado?

K

:

G(s)

8-6-8. Considere un sistema de control con realimentación unitaria con la si-euiente función de transfelenci¡

F(s):

I

Localice los polos en lazo cemado sobre los lugares de las raíces de modo que los polos dominantes en lazo cerado tengan un factor de amortiguamiento igual a 0.5. Determine el valor correspondiente de la ganancia K.

B-G-7. Dibuje el lugar de las raíces

para el sistema de la Figura 6-100. Determine el ran-qo de valores de la ganancia K.

Figura 6-'100- Sistema de control.

lrr.r

Demuestre que el lugar de -ganancia constante pirr* 0 < K < cc, puede venir dado por

lo(o+ l)*o212 *toz-I( Dibuje el lugar de ganancia constante para 10 y 20 sobre el plano s.

K: l, l. .

l. Considere el sistema de la Figura 6-101. D buje el lugar de las raíces con MATLAB. Localice 1. polos en lazo cerrado cuando la ganancia K es igual a _ B-O-l

Figura 6-1 01. Sistema de control.

.

capítulo 6' Análisis y diseño de sistemas de control por el método del lugar de las raíces 3gs

8-6-12. Dibuje los diagramas de los l"rgares de 8-6-15. Determine los valores de K, T, y Z, clel siste_ raíces para el sistema de f'ase no mínima de las Figuras ma de la Figura 6-105 tales que los polos clominantes en 6-102(a) y (b), respectivamenre. lazo cerrado tengan el tactor cle amórtiguamiento relati_

las

vo ( : 0.5 y la

ro,:

frecuencia natural

no

amortisuada

3 rad/seg.

Figura 6-105. Sistema mecánico.

8-6-16.

Figura

6-102.

(a) V (b) Sistemas de fase no mínima.

8-6-13. Considere el sistema mecánico de la Figura 6-103. Está formado por un resorte y dos amortiguado_ res. Obtenga la función de transf'ereñcia del sistema. Bl desplazamiento _rr es la entrada y el desplazamiento xu es la salida. Este sistema, ¿es una red de aáelanto mecáni tr ullo red de retardo?

Considere el sistema de control de la Fieura Determine la gananci a K y la constante de tie;;; Zdel controlador G.(s) para que los polos en lazo cena_ do se localicen en s : -2 + j2. 6- 106.


8-6-17.

Considere el sistema de la Figura 6_107. Di_ qu" los polos do_ minantes en lazo cerrado se localicen en s: 2+ j213. Dibuje la respuesta a una enrada escalón del sistema di_ señado con MATLAB. señe un compensador de adelanto pu.u

Figura 6-103. Sistema mecánico. 8-6-


14.

Considere el sistema de la Figura 6_ I 04. Dibu_ je los lugares de las raíces para el sistema. Determine el r alor de K tal que el factor áe amorliguamiento relativo ( de los polos dominantes en lazo ."r.uáo sea 0.5. Después, determine todos los polos en lazo cerrado. Dibuje la curva de la respuesta a un escalón unitario con tllAti,qg.

Figura 6-104.

Sistema de control.

8-6-18.

Considere el sisrema de la Figura 6_10g. Di_

señe un compensador tal que los polos do]ninantes en la_ zo cerrado se localicen en I

r: - +jl.


396


8-6-19.

Haciendo ref'erencia al sistema de la Figura 6-109, diseñe un compensador tal que la constante de error estático de velocidad K,. sea de 20 seg-l sin que se modifique de forma notable

(s

: -2

X

jzJ,

la localización original

de un par de polos complejos conju-

gados en lazo cerrado.

8-6-22. Considere el sistema de control de ia Figura 6-112. Diseñe un compensador tal que la curva de respuesta a un escalón unitario muestre una máxima sobreelongación deI30Vo o menor y un tiempo de asentamiento nosuperiora3seg.

Figura 6-109. Sistema de control. Figura 6-1

B'6-20.

Considere el sistema de control de posición angulur de la Figura 6-110. Los polos dominantes en lazo cerrado se localizan en s : 3.60 + j4.80. El f-actor de amortiguamiento relativo ( de los polos dominantes en lazo cenado es 0.6. La constante de eror estático de velocidad K,. es 4.1 seg l, 1o que significa que, para una entrada rampa de 360'/seg, el eror en estado estacionario al seguir la entrada rampa es

12.

Sistema de control.

B.-6-23. Considere el sistema de control de la Figura 6-113. Diseñe un cornpensador tal que la curva de respuesta a un escalón unitario muestre una máxima sobreelongación del 257o o menor y un tiempo de asentamiento

nosuperiora5seg.

0i 3ó0"/seg-,:87.ti" e, K, 4.1segl Se desea disminuir ¿¿. a un I0o/o del valor presente, o incrementar el valor de la constante de eror estático cle velocidad K,, a 47 seg 1. También se busca conservar el f'actor de amortiguamiento relativo ( de los polos dominantes en lazo cerrado en 0.6. Se permite un pequeño cambio en Ia frecuencia natural no amortiguacla ro,, de los polos dominantes en lazo cenado. Diseñe un compensador de retardo adecuado para incrementar la constante de error estático de velocidad al valor deseado.

Figura 6-1

13.

Sistema de control.

B.6-24.

Considere el sistema de la Figura 6-114, que incluye una realimentación de velocidad. Determine lc: valores de la ganancia de amplificador K y la ganancr. de realimentación de velocidad K/,, tales que se satisfr,gan las si_guientes especificaciones:

1.

El factor de amortiguamiento de los polos en

laz

cerrado es 0.5. Figura 6-1

10.

Sistema de posición angular.

B-G-ZI . Considere el sistema cle control de la Figurit 6-111. Diseñe un compensador tal que los polos dominantes en lazo cenado se localicen en.r

: - 2 -f j2,,3 y

.,

J.

El tiempo de asentamiento es (2 segundos. La constante de eruor estático de velocidad K, seg

1.

0
la constante de error estático de veiociclad K,. sea de -\(J ses

Figura

6-1

11.

Sistema de control.

Figura

6-1

14.

Sistema de control.

2j

Capítulo 6, Análisis y diseño de sistemas de control por el método del lugar de las

8-6-25.

Considere el sistema de la Figura 6-115. El sistema dispone de realimentación de velocidad. Determine el valor de la ganancia K para que los polos dominantes en lazo cerrado tengan un factor de amortiguamiento de 0.5. Utilice el valor de la ganancia K caIculado para obtener la respuesta a un escalón unitario del

raíces 397

B-G-26. Considere el sistema de la Figura 6-116. Dibuje el lugar de las raíces cuando a varia de 0 a 8. Determine el valor de a para que el factor de amortiguamiento de los polos dominantes en lazo cerrado sea 0.5.

sistema.

K

("+D("+A Figura

Figura 6-1

15.

Sistema de control.

6-116.

Sistema de control.

B'6-27. Considere el sistema de la Figura 6-117. Dibuje el lugar de las raíces cuando el valor de k vafia de 0 a oo. ¿Qué valor debe tener ft para que el factor de amortiguamiento de los polos dominantes en polo cerrado sea igual a 0.5? Calcule la constante de error estático de velocidad del sistema con este valor de k.

Figura

6-1

17.

Sistema de control.

8-6-28. Considere el sistema de la Figura 6-118. Suponiendo que el valor de la ganancia K varía de 0 a oo, dibuje el lugar de las raíces cuando K7,: 0.1,0.3 y 0.5. Compare las respuestas a una entrada escalón unitario para el sistema en los tres siguientes casos:

(1) K:10, (2) K:10, l3\ K: 10,

K¿:

0.1

K¡:

0.3

Kn:

0'5


Anól¡sis y diseño de sistemos

de control por el método de lo respuesto en frecuencic 7

-l

lntroducción Con el término respuesta en frecuencia, se quiere hacer referencia a la respuesta de un sistema en estado estacionario a una entrada sinusoidal. En los métodos de respuesfa en fiecuencia, la fl.ecuencia de la señal de entrada se varía en un cierto rango, para estudiar la respuesta resultante. En este y en el próximo capítulo se presentan los métodos de respuesta en frecuencia para el análisis y diseño de sistemas de control. La infbrmación que se extrae de dichos análisis es dif'erente a la obtenida en el análisis del lugar de las raíces. De hecho, los métodos de la respuesta en frecuencia y del lugar de las raíces se complementan. Una ventaja del método cle la respuesta en frecuencia es que se pueden utilizar los datos que se obtienen de las mediclas sobre ei sistema físico sin deducir su modelo matemático. Los ingenieros de control deben familiarizarse con am-

bos métodos. Los métodos de respuesta en frecuencia fueron desan'ollados en los años 1930 y 1940 por N¡quist, Bode y Nichols, entre otros. Los métodos de respuesta en frecuencia son los más potentes en li teoía de control convencional. También son indispensables para la teoría de control robusto. El criterio de estabilidad de Nyquist permite averiguar la estabilidad relativa y absoluta de los sistemas lineales en lazo cerrado a partir del conocimiento de sus características de frecuencia en lazo abierto. Una ventaja del método de la respuesta en frecuencia es que las pruebas de la respuesta en frecuencia son, en general, sencillas y pueden ser muy precisas con el uso de -eeneradores de señales sinusoidales y un equipo de medición preciso. A menudo las funciones de transferencia de los componentes complicados se determinan experimentalmente mediante pruebas de la respuesta en frecuencia. Además. este método tiene lá venraja cle que permite diseñar un sistema en el que se eliminen los efectos no deseados clel ruido así como extenáer este análisis y diseño a ciertos sistemas de control no lineales.

Ingenieria de control moderna Ogata 5ta. Ed

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