UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA ELE CTRÓNICA
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Capítulo 3 Diseño de Controladores por Localización de Polos en Tiempo Discreto 3.1 Introducción Una de las técnicas de control en espacio de estado es el Control por Localización de Polos, que en nuestro caso, veremos su versión discreta. Recordemos que esta técnica se basa en la elección de los polos deseados de lazo cerrado, los cuales deben ubicarse dentro del c írculo unitario, incluyendo z = 1. Al igual que los demás métodos o técnicas de control en espacio de estado, la técnica por Localización de Polos exige que todos los estados deben estar disponibles; en caso de no serlo se deben implementar observadores o estimadores de estado, que nos permitan obtener los estados estimados del proceso, los cuales constituirán entradas a cada elemento del controlador.
3.2 Diseño de Regulador por Localización de Polos En este tipo de configuración, la señal de control sólo depende de la ganancia
del
controlador y de las variables de estado, es decir, no está presente la referencia (r = 0), por por lo que, el sistema de control permite el ajuste de la salida del sistema en función de los polos deseados. En la figura 3.1 se presenta el esquema del regulador por localización de polos a lazo cerrado.
u(k)
H
x(k+1)
Iz-
x(k)
G -K Figura 3.1: Sistema del Regulador por Localización de Polos Discreto a lazo cerrado.
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Ecuación de la planta o proceso:
x(k 1) Gx(k ) Hu(k )
(3.1)
Ecuación del Regulador:
u(k ) K x(k )
(3.2)
Ecuación de Estado del Sistema de control en Lazo Cerrado:
Reemplazando la ecuación (3.2) en la ecuación (3.1), se obtiene: x(k 1) Gx(k ) H K x(k ) x(k 1) (G HK ) x(k )
(3.3)
Luego, la ecuación característica correspondiente será: zI (G HK ) 0
(3.4)
Suponiendo que hemos diseñado el regulador, es decir, hemos determinado los valores de la matriz ganancia K, entonces las raíces de la ecuación característica de lazo cerrado dada por (3.4) deben ubicarse dentro del círculo unitario, incluyendo z = 1. Pasos de Diseño usando el método general:
1. Verificar controlabilidad del proceso discreto
M H GH G n1 H
Si Rango M n , entonces el proceso es completamente controlable (CC), luego proseguir con el siguiente paso. 2. Determinar la ecuación característica del proceso (lazo abierto) zI G z n a1 z n a2 z n an1 z an 1
2
donde a1 , a2 , , an son los coeficientes de la ecuación característica del proceso. 3. Elegir polos deseados de lazo cerrado 1 , 2 ,, n
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4. Determinar la ecuación característica deseada ( z 1 )( z 2 ) ( z n ) z n 1 z n1 2 z n2 n1 z n donde
1 , 2 , , n son
los coeficientes de la ecuación característica.
5. Si el modelo del proceso no está en su forma canónica controlable, entonces se determina la matriz de transformación T, así:
T MW donde M es la matriz de controlabilidad y W es la matriz de pesos dada por:
a n1 a n 2 W a1 1
an2
a1
1
a n 3
1
0
1
0
0
0
0 0
6. Determinar la matriz ganancia del regulador: K n an
n1
an1
1
a1 T 1
Pasos de Diseño usando el método de Ackermann:
1. Verificar controlabilidad del proceso discreto M H GH G n1 H Si Rango M n , entonces el proceso es completamente controlable (CC), luego proseguir con el siguiente paso.
2. Elegir polos deseados de lazo cerrado 1 , 2 ,, n
3. Determinar la ecuación característica deseada ___________________________________________________________________
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p( z ) ( z 1 )( z 2 )( z n ) z n 1 z n1 2 z n2 n1 z n 4. Determinar la ecuación característica matricial P (G) G n 1G n1 2 G n2 n1G n I
5. Determinar la matriz ganancia K del regulador: K 0 0 0 1 M 1 P (G)
Pasos de Diseño usando el método práctico:
1. Verificar controlabilidad del proceso discreto
M H GH G n1 H
Si Rango M n , entonces el proceso es completamente controlable (CC), luego proseguir con el siguiente paso. 2. Elegir polos deseados de lazo cerrado 1 , 2 ,, n
3. Determinar la ecuación característica deseada ( z 1 )( z 2 )( z n ) z n 1 z n 2 z n n1 z n 0 1
donde
1 , 2 , , n
2
( I )
son los coeficientes de la ecuación característica de lazo
cerrado deseada.
4. Determinar la ecuación característica de lazo cerrado zI (G HK ) 0 z n f 1 ( K ) z n1 f 2 ( K ) z n 2 f n1 ( K ) z f n ( K ) 0
( II )
5. Determinar la matriz ganancia del regulador Igualando los coeficientes de las ecuaciones (I) y (II):
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f n ( K ) n f n 1 ( K ) n 1
f 2 ( K ) 2 f 1 ( K ) 1 Se obtiene los valores de k 1 , k 2 , , k n entonces: K k 1
k 2
k n
Ejemplo 3.1 Un determinado proceso discreto tiene la siguiente representación:
x1 (k 1) 0.3 0.2 x1 (k ) 1 u (k ) x ( k 1 ) x ( k ) 0 . 5 0 2 0 2 x1 (k ) y (k ) 1 0.4 x ( k ) 2 Suponer que los polos deseados de lazo cerrado están localiz ados en 0.1, es decir: 1
2 0.1
Determinar la matriz ganancia del regulador y la salida “ y” en tiempo estacionario. Solución
Resolvamos por el método de Ackermann: 1. Verificar controlabilidad del proceso discreto
1 0.3 0 0 . 5
M H GH
Rango M 2 n , entonces el proceso es completamente controlable (CC) 2. Elegir polos deseados de lazo cerrado Los polos deseados ya fueron dados, y son: 1
2 0.1
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3. Determinar la ecuación característica deseada p( z ) ( z 0.1)( z 0.1) z 2 0.2z 0.01 Que es de la forma entonces
1
0.2 ;
p( z ) z 1 z 2 2
2
0.01
4. Determinar la ecuación característica matricial P (G) G 2 1G 2 I 2
0.3 0.2 0.3 0.2 1 0 0.2 0.01 P (G) 0 . 5 0 0 . 5 0 0 1 0.26 0.1 P (G) 0 . 25 0 . 11
5. Determinar la matriz ganancia K del regulador: K 0 1 M 1 P (G)
1 K 0 1 0
0.6 0.26
2 0.25
0.1 0.11
K 0.5 0.22
Nota: Para el ejemplo 3.1 usar los métodos general y práctico para diseñar el
regulador por localización de polos.
3.3 Diseño del Servocontrolador tipo 1 por Localización de Polos cuando la planta tiene integrador La figura 3.2 muestra el esquema de un controlador para la variable de estado x 2, empleando una ley de control de realimentación de estados que involucra a la matriz de ganancia del controlador, la referencia y la señal de salida. De dicha figura, considerando como salida al estado x 2(k) se obtiene la siguiente ley de control:
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u(k ) k 1 x1 (k ) k 3 x3 (k ) k n xn (k ) k 2 [r (k ) x2 (k )]
k 1
k 2
k 3
x1 (k ) x2 (k ) k n x3 (k ) k 2 r (k ) ( ) xn k
K x(k ) k 2 r (k )
(3.5)
x(k) r(k)
k 2
u(k)
+
x(k+1) = Gx(k)+Hu(k)
+
C
y(k) = x2(k)
-
-
-
k 1
k 3
k n
Figura 3.2: Esquema del Controlador Optimo Proporcional.
Reemplazando la ecuación (3.5) en (3.1) se obtiene: x(k 1) Gx(k ) Hu(k )
(G HK ) x(k ) H k 2 r (k )
(3.6)
Aplicando la transformada z a la ecuación (3.6) se obtiene la siguiente solución de la ecuación de estado en términos de z:
x( z ) ( zI G HK ) 1 H k 2 r ( z )
Reemplazando esta última ecuación en la expresión de la salida, tenemos: ___________________________________________________________________
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(3.7)
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y( z ) Cx( z ) C ( zI G HK ) 1 H k 2 r ( z )
(3.8)
Para obtener la salida en estado estacionario, como respuesta a una referencia escalón unitario, aplicamos la propiedad del valor final lim y(k ) y ss lim k
z 1
z 1
y ss lim z 1
z ( z 1) z
y( z )
C ( zI G HK )1 H k 2 R( z )
(3.9)
Para un perfecto seguimiento, la salida y = 1 (escalón unitario), condición que debe cumplirse si C(zI-G+HK)-1 Hk2 =1.
Pasos de diseño del controlador:
Son los mismos que para el regulador. La diferencia en este caso es que la salida controlada tiende a un valor de referencia normalmente diferente de cero, lo cual se obtiene aplicando el teorema de valor final ya anotado líneas arriba.
3.4 Diseño del Servocontrolador tipo 1 por Localización de Polos cuando la Planta no tiene integrador El esquema de control mostrado en la figura 3.3 se utiliza cuando la planta no presenta un polo en el origen, teniendo como referencia un escalón.
r(k)
v(k)
u(k)
K I
v(k-1)
-
H
z I
z-1I Control integral
x(k)
y(k)
C
G K Planta con realimentación del estado
Figura 3.3: Controlador tipo 1 cuando la planta no tiene integrador
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Las ecuaciones de estado del proceso y del integrador constituyen una ecuación de estado ampliada, lo que conlleva al diseño de la matriz ganancia ampliada, conformada por los elementos k 1 , k 2 , , k n1 , k n conformantes de K , y una ganancia k i correspondiente al integrador. Un esquema más sencillo de diseñar e implementar, es el correspondiente al regulador con una ganancia k o fuera del bucle de control, con la cual podrá lograrse obtener error estacionario nulo, es decir, la salida será igual a la referencia en tiempo estacionario. En la figura 3.4 se muestra el esquema de un servocontrolador. x(k)
r(k) k o
+
u(k)
x(k+1) = Gx(k)+Hu(k)
C
y(k) = x2(k)
-
-
-
k 1
k 2
k n
Figura 3.4: Esquema del Controlador de seguimiento.
Las ecuaciones de estado y de salida de la planta viene dada por: x(k 1) Gx(k ) Hu(k ); y(k ) Cx(k )
(3.10) (3.11)
Del esquema de la figura 3.4 se puede obtener la siguiente ley de control:
u (k ) k 1 x1 (k ) k 2 x2 (k ) k n xn (k ) k o r (k )
k 1
k 2
k 3
x1 (k ) x2 (k ) k n x3 (k ) k o r (k ) ( ) xn k
u (k ) K x(k ) k o r (k )
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(3.12)
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Reemplazando la ecuación (3.12) en la (3.10) se obtiene: x(k 1) Gx(k ) Hu(k )
(G HK ) x(k ) H k o r (k )
(3.13)
Aplicando transformada Z a la ecuación (3.13), y considerando condiciones iniciales nulas, se obtiene: x( z ) ( zI G HK ) H k o r ( z ) 1
(3.14)
En forma idéntica, aplicando transformada Z a la ecuación 3.11, tendremos:
y( z ) Cx( z )
(3.15)
Reemplazando ecuación (3.14) en la ecuación 3.15, obtenemos:
y( z ) Cx( z ) C ( zI G HK ) 1 H k o r ( z )
(3.16)
Para obtener la salida en estado estacionario, como respuesta a una referencia escalón unitario, aplicamos el teorema del valor final:
lim y(k ) lim k
z 1
z 1 z
y( z )
C ( zI G HK ) 1 H k o
(3.17)
Los pasos de diseño para determinar K son los mi smos que los obtenidos para el regulador.
Ejemplo 3.2 Considerando el modelo del proceso del ejemplo 3.1 que a continuación
reescribimos:
x1 (k 1) 0.3 0.2 x1 (k ) 1 u (k ) x ( k 1 ) x ( k ) 0 . 5 0 1 0 2 x1 (k ) y(k ) 1 0.4 x ( k ) 1 Suponer que los polos deseados de lazo cerrado está n localizados en 0.1, es decir: 1
2 0.1
Determinar: ___________________________________________________________________
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a) La matriz ganancia del regulador y la salida “ y” en tiempo estacionario para una referencia escalón unitario. b) Si la salida en tiempo estacionario no llega al valor de la referencia, entonces determinar una ganancia fuera de bucle k o que permita obtener tal objetivo.
Solución
a) La matriz ganancia K ya lo obtuvimos en el ejemplo 3.1, por lo que ahora determinaremos la salida en tiempo estacionario aplicando el teorema del valor final, usando el esquema de la figura 3.4. y( z ) C ( zI G HK ) 1 H k 2 r ( z ) Donde:
z (0.3 k 1 ) zI (G HK ) 0.5
zI (G HK )1
(0.2 k 2 ) z (0.2 k 2 ) z 0 . 5 z ( 0 . 3 k ) 1 2 z (0.3 k 1 ) (0.5k 2 0.1)
(0.2 k 2 ) k 2 z 0 . 5 z ( 0 . 3 k ) z 1 0 y( z ) 1 0.4 2 z (0.3 k 1 ) (0.5k 2 0.1) ( z 1)
y( z )
( z 0.2)k 2
z
2 z (0.3 k 1 ) (0.5k 2 0.1) ( z 1)
0.22 z 0.044
; siendo : k 1 0.5; k 2 0.22
z
z 0.2 z 0.01 ( z 1) 2
Luego, la salida en tiempo estacionario será: y ss lim y(k ) lim k
z 1
z 1 z
y( z )
lim C ( zI G HK ) 1 H k 2 z 1
lim z 1
0.22 z 0.044 z 0.2 z 0.01 2
0.176 0.81
0.2172 1
Otra forma de verificar, es determinando si el modelo del proceso tiene integrador. Veamos:
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z 0.3 0.2
0.5
z
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z 2 0.3 z 0.1 ( z 0.5)( z 0.2)
No contiene integrador, entonces e ss 0 , es decir y ss r
b) Calculemos entonces la ganancia fuera de bucle: y( z ) C ( zI G HK ) 1 H k o r ( z ) (0.2 k 2 ) k o z 0 . 5 z ( 0 . 3 k ) z 1 0 y( z ) 1 0.4 2 z (0.3 k 1 ) (0.5k 2 0.1) ( z 1)
( z 0.2)k o
z
z 0.2 z 0.01 ( z 1) 2
y ss lim z 1
lim z 1
z 1
y ( z ) z z 1 ( z 0.2)k o
z
z z 2 0.2 z 0.01 ( z 1) 0.8k 0 0.81
lim z 1
( z 0.2)k o z 0.2 z 0.01 2
1
1 k o 1.0125
3.5 Diseño de Observadores por Localización de Polos En el método de diseño de ubicación de polos, se supuso que todas las variables de estado estaban disponibles; sin embargo, en la práctica no todas las variables de estado pueden estar disponibles para la realimentación. En este caso, es necesario estimar las variables de estado no disponibles, evitando la diferenciación de una variable de estado para encontrar otra, debido a que la diferenciación indicada disminuiría la relación señal a ruido. El método que permite estimar las variables de estado recibe el nombre de
observador de
estado. Si el observador de estado permite estimar todas las variables de estado, independientemente de si algunas de ellas se encuentran disponibles para medición directa, se denomina
observador de estado de orden completo . En el caso de que sólo se requiere
estimar las variables de estado no medibles, se denomina
observador de estado de orden
mínimo. En nuestro caso usaremos un observador de orden completo. Considerando el esquema de la figura 3.5 podemos escribir las ecuaciones de estado y de salida de la planta, así como las ecuaciones del observador de estados. Veamos.
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Ecuaciones de estado y de salida de la planta:
x(k 1) Gx(k ) Hu(k )
(3.18)
y (k ) Cx(k )
(3.19)
Proceso o planta u(k)
x(k 1) Gx(k )
Hu(k )
y(k) C
~(k ) x
+ ~(k 1) G x ~(k ) x
Hu(k )
~(k ) y
C
-
Ke Observador de estados Figura 3.5: Esquema del observador de orden completo.
Ecuaciones de estado del observador:
~(k 1) G x ~(k ) Hu(k ) K y(k ) y ~(k ) ; y ~(k ) C x ~(k ) x e Siendo x el vector de estados que se debe aproximar por el estado observado x~ del modelo dinámico dado por la ecuación (3.20). ~(k 1) G x ~(k ) Hu(k ) K C x(k ) x ~(k ) x e ~(k 1) (G K C ) x ~(k ) Hu(k ) K Cx(k ) x e
e
(3.20)
Restando (3.20) de (3.18), obtenemos:
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~(k 1) (G K C ) x(k ) (G K C ) x ~(k ) x(k 1) x e e ~(k 1) (G K C )( x(k ) x ~(k )) x(k 1) x e
e(k 1) (G K e C )e(k )
(3.21)
~(k 1) es el error de observación, y K es la matriz ganancia del donde: e(k ) x(k ) x e observador. La idea es que el error de observaci ón tienda a cero. La matriz ganancia del observador tiene la siguiente forma:
k e1 k e 2 K e k en
Pasos de diseño empleando el método práctico:
1. Verificar observabilidad:
C CG N C T CG n1
G T C T
(G T ) n1 C T
Si Rango N = n, entonces el proceso o planta es completamente o bservable (C.O.)
2. seleccionar los polos deseados del observador:
1 , 2 , , n
3. Determinar el polinomio característico deseado: ( z 1 )( z 2 )( z n ) 0 z n 1 z n1 2 z n 2 n1 z n 0
( I )
4. Determinar el polinomio característico deseado de lazo cerrado, considerando la matriz ganancia del observador: zI (G K e C ) z n f 1 ( K e ) z n1 f 2 ( K e ) z n 2 f n1 ( K e ) z f n ( K e ) 0
( II )
5. Determinar K e : Igualando los coeficientes de (I) y (II), se obtiene:
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f 1 ( K e ) 1
k e1 k K e e 2 k en
f 2 ( K e ) 2
f n ( K e ) n
Ejemplo 3.3 Considerando el modelo de un proceso, dado por:
x1 (k 1) 0.3 0.1 x1 (k ) 1 u (k ) x ( k 1 ) x ( k ) 0 . 5 0 2 1 0 x1 (k ) y(k ) 1 0.4 x ( k ) 1 Diseñar un observador de estados de orden completo, considerando que los polos deseados de lazo cerrado son: 1
2 0.2
Solución
1. Verificar observabilidad:
1 G T C T 0.4
N C T
0.5 0.1
Rango N = 2 = n, entonces el proceso es completamente observable (C.O.) 2. Seleccionar los polos deseados del observador:
1
2 0.2
3. Determinar el polinomio característico deseado: ( z 0.2)( z 0.2) z 2 0.4 z 0.04 0
( I )
4. Determinar el polinomio característico de lazo cerrado, considerando la matriz ganancia del observador: zI (G K e C ) 0
(0.3 k e1 ) (0.1 0.4k e1 ) 0 . 5 k 0 . 4 k e2 e2
(G K e C )
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zI (G K e C )
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z (0.3 k e1 )
(0.1 0.4k e1 )
(0.5 k e 2 )
z 0.4k e 2
z 2 (0.3 k e1 0.4k e 2 ) z (0.02k e 2 0.2k e1 )
( II )
5. Determinar K e : Igualando los coeficientes de (I) y (II), se obtiene:
0.02k e 2 0.2k e1 0.04 0.3 k e1 0.4k e 2 0.4
Resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos que: k e1 1 ;
k e 2 0.3
K e 1 0.3
T
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