UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMÓN FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL
APOYO DIDÁCTICO EN LA ENSEÑANZA Y APRENDISAJE DE LA ASIGNATURA DE “HORMIGON ARMADO”
Trabajo Dirigido por Adscripción, Presentado Para Optar al Diploma Académico de:
LICENCIATURA EN INGENIERÍA CIVIL
PRESENTADO POR: REYNALDO COLQUE ANDIA
TUTORES: M.Sc. Ing. Grover Dante López Loredo Ing. Felipe Ramiro Saavedra Antezana
COCHABAMBA – BOLIVIA
Julio, 2014
DEDICATORIA A mi padre Eusebio Colque Alave y madre Valeria Andia León por su apoyo incondicional y sus consejos.
A mis abuelos Santos Andia Ríos y Klotilde León Cruz que me enseñaron a valorar las cosas.
A mis tíos Alfredo Andia León y Leonardo Andia Rodríguez que supieron guiarme y aconsejarme. A los estudiantes de la carrera de Ingeniería Civil Y a todos los amigos que ayudaron y apoyaron en todo momento.
[email protected]
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AGRADECIMIENTOS A Dios por darnos la luz y guía espiritual para nuestro crecimiento tanto intelectual como moral. A mis padres, abuelos y tíos por brindarnos todo el amor y cariño, por sus desvelos, sus sacrificios, su amistad y compañerismo. A la Universidad Mayor de San Simón por abrirnos las puertas y cobijarnos hasta la culminación de nuestros estudios. Al M.Sc. Ing. Grover Dante López Loredo y Ing. Felipe Ramiro Saavedra Antezana por ser guía y consejeros a lo largo de la elaboración del documento. A los docentes por sus consejos y enseñanzas, haciendo de nosotros personas de bien. Y a todos nuestros amigos que nos ayudaron y nos apoyaron en todo momento.
¡Muchas Gracias!
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FICHA RESUMEN En el documento se presenta la teoría, ejercicios resueltos y propuestos para la materia de Hormigón Armado, el trabajo está basado en la norma Americana ACI 318-11 y sigue los fundamentos de diseño del estado límite ultimo de resistencia y servicio, el objetivo es de brindar un documento que contenga los casos que se presenta en la construcción civil a los estudiantes de la carrera de Ingeniería Civil. En la actualidad la demanda hace que los edificios sean cada vez más altos y esbeltos, consecuentemente se debe plantear soluciones de análisis y diseño acordes a las condiciones, es decir soluciones complejas y rápidas. El análisis y diseño contemporáneo casi siempre está acompañado por un software, pero aunque las computadoras aumentan la productividad de diseño, sin duda tienden al mismo tiempo a reducir el ´sexto sentido´ del proyectista. El documento presenta diez capítulos que se resumen a continuación: Introducción al hormigón armado, trata de la historia, propiedades mecánicas de los materiales que constituyen el concreto estructural y los avances tecnológicos de hormigón armado como la fibra de vidrio, hormigón de alta resistencia y software. Cargas mínimas de diseño para edificios, se presenta la carga muerta, carga viva, carga de viento, carga de nieve, carga de sismo, etc., también se presenta combinación de cargas que es uno de los cambios más importantes de la norma ACI 318-11. Análisis y diseño de secciones a flexión, se presenta las etapas del hormigón armado cuando están sometidas a cargas de flexión, las hipótesis de diseño para vigas y columnas, vigas simplemente armadas, vigas en T, L u otra forma, vigas doblemente armadas, y diseño de losas macizas en una dirección y losas nervadas en una dirección. Análisis y diseño de secciones a corte, corte es la base para entender la mecánica del concreto estructural, se presenta los criterios de diseño, tipos de refuerzo por corte, refuerzos económicos. Análisis y diseño de secciones a torsión, se presenta una introducción a la teoría de la elasticidad, el capítulo está enfocado en diferenciar la torsión de compatibilidad y torsión de equilibrio. Integridad Estructural: desarrollo de la adherencia, es uno de los capítulos más importantes, porque en el respectivo capitulo en globalizan los criterios de diseño desde diversos puntos de vista, se comenta sobre longitud de desarrollo a tracción y compresión, empalmes, porcentajes de acero continuo e interrumpido, reglas de armado. Análisis y diseño de losas, se presenta el método directo, método del marco equivalente, diseño de escaleras, el ejemplo más resaltante se encuentra en este capítulo, el ejemplo se trata de la comparación entre el método de diseño directo de la ACI y el diseño mediante un software, al validar el diseño de la losa se concluyeron cosas interesantes. Diseño de columnas, se presenta el diseño de columnas sometidas a carga axiales, uni axial, bi axial, y columna esbeltas, en el diseño de columnas bi axiales se presentó tres métodos: método de la ACI, método general, método de la PCA y se procedió a la validación de los respectivos métodos. Diseño de muros de cortante, se presenta las condiciones de diseño definidas por la norma ACI, análisis de muros de corte donde se realiza una comparación de deformaciones por cortante. Método de bielas y tirantes, se presenta una introducción del procedimiento que debe seguir el método, es importante diferenciar las regiones B y D. iii
ÍNDICE GENERAL DEDICATORIA……………………………………………………………………………...…i AGRADECIMIENTO………………………………………………………………………….ii FICHA RESUMEN ………………………………………………………………………..…iii ÍNDICE GENERAL…………………………………………………………………………..iv ÍNDICE FIGURAS…...……………………………………………………………………………….xv ÍNDICE TABLAS…..…………………………………………………………………………….…xxiv
CAPÍTULO 1: INTRODUCCIÓN AL HORMIGÓN ARMADO ..................................... 1 1.1) ANTECEDENTE HISTORICO .................................................................................................................... 1 1.2) HORMIGÓN Y HORMIGÓN ARMADO .................................................................................................... 5 1.2.1) HORMIGÓN ............................................................................................................................................. 5 1.2.2) HORMIGÓN ARMADO ........................................................................................................................... 5 1.3) VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL HORMIGÓN ARMADO ............................................................... 6 1.3.1) VENTAJAS DEL HORMIGÓN ARMADO ............................................................................................. 6 1.3.2) DESVENTAJAS DEL HORMIGÓN ARMADO ..................................................................................... 6 1.4) COMPATIBILIDAD ENTRE EL HORMIGÓN Y EL ACERO................................................................ 6 1.5) CEMENTO ...................................................................................................................................................... 7 1.5.1) CLASIFICACIÓN DEL CEMENTO PORTLAND .................................................................................. 7 1.5.2) FABRICACIÓN DE CEMENTOS PORTLAND EN BOLIVIA .............................................................. 8 1.6) AGREGADOS ................................................................................................................................................. 9 1.6.1) AGREGADO FINO ................................................................................................................................. 10 1.6.2) AGREGADO GRUESO .......................................................................................................................... 11 1.7) AGUA ............................................................................................................................................................. 12 1.7.1) CALIDAD DEL AGUA .......................................................................................................................... 12 1.8) ACERO DE REFUERZO ............................................................................................................................. 13 1.8.1) GRADOS Y RESISTENCIAS ................................................................................................................ 15 1.8.2) IDENTIFICACIÓN DEL ACERO .......................................................................................................... 16 1.8.3) CURVAS DE ESFUERZO Y DEFORMACIÓN UNITARIA ................................................................ 18 1.8.4) RESISTENCIA A LA FATIGA .............................................................................................................. 19 1.8.5) BARRAS DE REFUERZO REVESTIDAS ............................................................................................ 19 1.8.6) TABLAS DE ÁREAS Y PESOS DE LAS BARRAS ESTÁNDAR ....................................................... 20 1.9) ADITIVOS ..................................................................................................................................................... 22 1.10) PROPIEDADES DEL HORMIGÓN......................................................................................................... 23 1.10.1) PROPIEDADES DE HORMIGÓN FRESCO ....................................................................................... 23 1.10.1.1) CONSISTENCIA ........................................................................................................................... 23 1.10.1.2) DOCILIDAD Y TRABAJABILIDAD ........................................................................................... 23 1.10.1.3) HOMOGENEIDAD ....................................................................................................................... 23 1.10.2) PROPIEDADES DEL HORMIGÓN ENDURECIDO .......................................................................... 23 1.10.2.1) PESO ESPECÍFICO ....................................................................................................................... 23
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1.10.2.2) COMPACIDAD ............................................................................................................................. 24 1.10.2.3) PERMEABILIDAD DEL HORMIGÓN ........................................................................................ 24 1.10.2.4) DURABILIDAD DEL HORMIGÓN ARMADO .......................................................................... 24 1.11) RESISTENCIA DEL HORMIGÓN .......................................................................................................... 25 1.11.1) RESISTENCIA A LA COMPRESIÓN DEL HORMIGÓN.................................................................. 25 1.11.1.1) CARGAS DE CORTA DURACIÓN ............................................................................................. 26 1.11.1.2) CARGAS ACTUANTES A LARGO PLAZO ............................................................................... 28 1.11.1.3) FATIGA ......................................................................................................................................... 28 1.11.2) RESISTENCIA DEL HORMIGÓN A TRACCIÓN ............................................................................. 29 1.11.3) RESISTENCIAS DEL HORMIGÓN A ESFUERZOS COMBINADOS ............................................. 30 1.11.4) RESISTENCIA A CORTE DEL HORMIGÓN .................................................................................... 31 1.11.5) MÓDULO DE ELASTICIDAD DINÁMICA ....................................................................................... 31 1.11.6) MÓDULO DE ELASTICIDAD ESTÁTICO ........................................................................................ 31 1.11.7) MÓDULO DE POISSON ...................................................................................................................... 32 1.11.8) CONTRACCIÓN DEL HORMIGÓN ................................................................................................... 32 1.11.9) FLUJO PLÁSTICO ............................................................................................................................... 33 1.12) AVANCES TECNÓLOGICOS DEL HORMIGÓN ARMADO ............................................................. 34 1.12.1) HORMIGÓN REFORZADO CON FIBRAS ........................................................................................ 34 1.12.2) HORMIGÓN DE ALTA RESISTENCIA ............................................................................................. 35 1.12.3) EL IMPACTO DEL SOFTWARE EN HORMIGÓN ARMADO ......................................................... 37 1.13) PROBLEMAS PROPUESTOS .................................................................................................................. 38
CAPÍTULO 2: CARGAS MÍNIMAS DE DISEÑO PARA EDIFICIOS .........................39 2.1) INTRODUCCIÓN......................................................................................................................................... 39 2.1.1) FUNDAMENTOS DE DISEÑO ............................................................................................................. 40 2.1.2) CÓDIGOS DE DISEÑO .......................................................................................................................... 42 2.2) TIPOS DE CARGAS .................................................................................................................................... 43 2.2.1) DE ACUERDO A LA VARIABILIDAD RESPECTO AL TIEMPO ..................................................... 43 2.2.2) DE ACUERO AL ÁREA DE APLICACIÓN ......................................................................................... 43 2.2.3) DE ACUERDO AL MODO DE APLICACIÓN ..................................................................................... 43 2.2.4) DE ACUERDO A LA NATURALEZA Y SU ORIGEN ........................................................................ 43 2.3) CARGAS MUERTAS ................................................................................................................................... 44 2.4) CARGAS VIVAS .......................................................................................................................................... 50 2.4.1) DEFINICIONES ...................................................................................................................................... 51 2.4.2) CARGAS NO ESPECIFICADAS ........................................................................................................... 52 2.4.3) CARGAS VIVAS DISTRIBUIDAS UNIFORMEMENTE .................................................................... 52 2.4.3.1) CARGAS VIVAS REQUERIDAS .................................................................................................. 52 2.4.3.2) PROVISIÓN DE CARGAS DE DIVISIÓN .................................................................................... 52 2.4.3.3) CARGA PARCIAL .......................................................................................................................... 52 2.4.4) CARGAS VIVAS CONCENTRADAS ................................................................................................... 52 2.4.5) CARGAS EN PASAMANOS, PASAMANOS, SISTEMAS DE CONTENCIÓN DE VEHÍCULOS ... 52 2.4.5.1) CARGAS EN LOS SISTEMAS DE BARANDAS Y PASAMANOS ............................................ 52 2.4.5.2) CARGAS SOBRE SISTEMAS DE BARRAS DE SUJECIÓN ....................................................... 53 2.4.5.3) CARGAS SOBRE SISTEMAS DE CONTENCIÓN DE VEHÍCULOS ......................................... 53 2.4.5.4) LAS CARGAS SOBRE ESCALERAS FIJAS ................................................................................. 53 2.4.6) CARGAS DE IMPACTO ........................................................................................................................ 53 2.4.6.1) GENERALIDADES ......................................................................................................................... 53 2.4.6.2) ELEVADORES ................................................................................................................................ 54
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2.4.6.3) MAQUINARIA ................................................................................................................................ 54 2.4.7) REDUCCIÓN DE LAS CARGAS VIVAS ............................................................................................. 54 2.4.7.1) GENERALIDADES ......................................................................................................................... 54 2.4.7.2) REDUCCIÓN DE LAS CARGAS VIVAS UNIFORMES .............................................................. 54 2.4.7.3) CARGAS VIVAS PESADAS .......................................................................................................... 55 2.4.7.4) GARAJES PARA VEHÍCULOS DE PASAJEROS ........................................................................ 55 2.4.7.5) USOS DE ENSAMBLAJE ............................................................................................................... 55 2.4.7.6) LIMITACIONES EN LOSAS UNIDIRECCIONALES .................................................................. 55 2.4.8) REDUCCIÓN DE CARGAS VIVAS DE TECHO ................................................................................. 55 2.4.8.1) GENERALIDADES ......................................................................................................................... 55 2.4.8.2) TECHOS PLANOS, INCLINADOS Y CURVOS ........................................................................... 55 2.4.8.3) TECHOS DE PROPÓSITO ESPECIAL .......................................................................................... 56 2.4.9) DISPOSICIÓN DE LA CARGA VIVA .................................................................................................. 60 2.5) CARGA DE VIENTO ................................................................................................................................... 66 2.5.1) CARACTERISTICAS DEL VIENTO .................................................................................................... 66 2.5.1.1) VARIACIÓN DE LA VELOCIDAD DEL VIENTO CON LA ALTURA ...................................... 66 2.5.1.2) TURBULENCIA DEL VIENTO ..................................................................................................... 67 2.5.1.3) PERIODO DE RETORNO ............................................................................................................... 68 2.5.1.4) NATURALEZA DINÁMICA DEL VIENTO ................................................................................. 69 2.5.2) DEFINICIONES IMPORTANTES ......................................................................................................... 69 2.5.3) CATEGORIA DE EXPOSICIÓN ........................................................................................................... 71 2.5.4) CLASES Y FACTORES DE IMPORTANCIA ...................................................................................... 72 2.5.5) MÉTODOS DE ANÁLISIS ..................................................................................................................... 74 2.5.5.1) MÉTODO 1-PROCEDIMIENTO SIMPLIFICADO ....................................................................... 74 2.5.5.1.1) ALCANCE ................................................................................................................................ 74 2.5.5.1.2) SISTEMAS PRINCIPALES RESISTENTES A FUERZAS DE VIENTO .............................. 74 2.5.5.1.3) COMPONENTES Y REVESTIMIENTO................................................................................. 75 2.5.5.1.4) PROCEDIMIENTO DE DISEÑO ............................................................................................ 75 2.5.5.1.5) SISTEMA PRINCIPAL RESISTENTES A FUERZA DE VIENTO ....................................... 75 2.5.5.1.6) COMPONENTES Y REVESTIMIENTOS .............................................................................. 76 2.5.5.1.7) REVESTIMIENTO PERMEABLE AL AIRE .......................................................................... 76 2.5.5.2) MÉTODO 2- PROCEDIMIENTO ANALÍTICO............................................................................. 76 2.5.5.2.1) ALCANCE ................................................................................................................................ 76 2.5.5.2.2) LIMITACIONES ...................................................................................................................... 76 2.5.5.2.3) PROCEDIMIENTO DE DISEÑO ............................................................................................ 77 2.5.5.2.4) VELOCIDAD BÁSICA DEL VIENTO ................................................................................... 77 2.5.5.2.5) FACTOR DE IMPORTANCIA ................................................................................................ 79 2.5.5.2.6) EXPOSICIÓN ........................................................................................................................... 79 2.5.5.2.7) EFECTOS TOPOGRÁFICOS .................................................................................................. 83 2.5.5.2.8) FACTOR DE EFECTO DE RÁFAGA ..................................................................................... 85 2.5.5.2.9) CLASIFICACIONES DE ENCERRAMIENTO ...................................................................... 87 2.5.5.2.10) PRESIÓN DE LA VELOCIDAD DEL VIENTO ................................................................... 88 2.5.5.2.11) COEFICIENTE DE PRESIÓN Y FUERZA ........................................................................... 88 2.5.5.2.12) CARGAS DE VIENTO DE DISEÑO EN EDIFICACIONES CERRADAS Y PARCIALMENTE CERRADAS .............................................................................................................. 92 2.5.5.3) MÉTODO 3 – PROCEDIMIENTO DE TÚNEL DE VIENTO ....................................................... 93 2.5.5.3.1) ALCANCE ................................................................................................................................ 93 2.5.5.3.2) CONDICIONES DE LA PRUEBA .......................................................................................... 93 2.5.5.3.3) RESPUESTA DINÁMICA ....................................................................................................... 94 2.5.5.3.4) LIMITACIONES ...................................................................................................................... 94 2.6) CARGA DE NIEVE, 𝑺 ................................................................................................................................ 103 2.6.1) CARGA DE NIEVE EN EL SUELO, 𝒑𝒈 ............................................................................................. 103 2.6.2) CARGA DE NIEVE EN TECHOS PLANOS, 𝒑𝒇 ................................................................................ 103 2.6.2.1) VALORES MÍNIMOS DE 𝒑𝒇 EN TECHOS DE PENDIENTE BAJA ........................................ 104
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2.6.2.2) FACTOR DE EXPOSICIÓN, 𝑪𝒆 ................................................................................................... 104 2.6.2.3) FACTOR TÉRMICO, 𝑪𝒕 ............................................................................................................... 105 2.6.2.4) FACTOR DE IMPORTANCIA, 𝑰 .................................................................................................. 106 2.6.3) CARGAS DE NIEVE SOBRE CUBIERTAS EN PENDIENTE, 𝒑𝒔 ................................................... 106 2.6.3.1) FACTOR DE PENDIENTE EN CUBIERTAS CÁLIDAS, 𝑪𝒔 ..................................................... 107 2.6.3.2) FACTOR DE PENDIENTE EN CUBIERTAS FRÍAS, 𝑪𝒔 ........................................................... 107 2.7) CARGA DE LLUVIA ................................................................................................................................. 110 2.8) CARGAS SÍSMICAS.................................................................................................................................. 110 2.9) FACTORES DE CARGA ........................................................................................................................... 111 2.10) ANALISIS ESTRUCTURAL ................................................................................................................... 113 2.10.1) ANÁLISIS ELÁSTICO ....................................................................................................................... 114 2.10.2) ANÁLISIS APROXIMADO ............................................................................................................... 115 2.10.3) LUZ DE CÁLCULO ........................................................................................................................... 117 2.11) EJERCICIOS RESUELTOS ................................................................................................................... 118 2.12) PROBLEMAS PROPUESTOS ................................................................................................................ 130
CAPÍTULO 3: ANÁLISIS Y DISEÑO DE SECCIONES A FLEXIÓN ....................135 3.1) INTRODUCCIÓN....................................................................................................................................... 135 3.2) COMPORTAMIENTO DE VIGAS DE HORMIGÓN ARMADO ........................................................ 135 3.2.1) ETAPA DEL CONCRETO NO AGRIETADO .................................................................................... 136 3.2.1.1) MOMENTO DE AGRIETAMIENTO ........................................................................................... 136 3.2.2) CONCRETO AGRIETADO: ETAPA DE ESFUERZOS ELÁSTICOS ............................................... 136 3.2.3) FALLA DE LA VIGA: ETAPA DE RESISTENCIA ÚLTIMA ........................................................... 138 3.2.3.1) MOMENTOS ULTIMOS O NOMINALES DE FLEXIÓN .......................................................... 138 3.3) ANÁLISIS POR RESISTENCIA DE VIGAS DE ACUERDO CON EL CÓDIGO ACI ..................... 139 3.3.1) DISEÑO POR ESFUERZOS DE TRABAJO VERSUS RESISTENCIA ............................................. 139 3.3.2) VENTAJAS DEL DISEÑO POR RESISTENCIA ................................................................................ 140 3.3.3) SEGURIDAD ESTRUCTURAL ........................................................................................................... 141 3.3.4) OBTENCIÓN DE EXPRESIONES PARA VIGAS .............................................................................. 141 3.3.4.1) Hipótesis de diseño ......................................................................................................................... 142 3.3.4.1.1) Equilibrio de las fuerzas y compatibilidad de las deformaciones............................................ 142 3.3.4.1.2) Hipótesis de diseño # 1 ........................................................................................................... 143 3.3.4.1.3) Hipótesis de diseño # 2 ........................................................................................................... 144 3.3.4.1.4) Hipótesis de diseño # 3 ........................................................................................................... 144 3.3.4.1.5) Hipótesis de diseño # 4 ........................................................................................................... 145 3.3.4.1.6) Hipótesis de diseño # 5 ........................................................................................................... 145 3.3.4.1.7) Hipótesis de diseño # 6 ........................................................................................................... 147 3.3.5) SECCIONES BALANCEADAS, SECCIONES CONTROLADAS POR TRACCIÓN Y SECCIONES CONTROLADAS POR COMPRESIÓN O SECCIONES FRÁGILES .......................................................... 150 3.3.6) FACTORES DE REDUCCIÓN DE RESISTENCIA ϕ......................................................................... 151 3.3.7) PORCENTAJE MÍNIMO DE ACERO ................................................................................................. 158 3.3.8) PORCENTAJE DE ACERO DE EQUILIBRIO.................................................................................... 158 3.4) DISEÑO DE VIGAS RECTANGULARES Y LOSAS EN UNA DIRECCIÓN .................................... 160 3.4.1) CRITERIOS DE DISEÑO ÓPTIMO ..................................................................................................... 160 3.4.1.1) Dimensiones de la viga ................................................................................................................... 161
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3.4.1.2) Deflexiones ..................................................................................................................................... 161 3.4.1.3) Estimación del peso de la viga ....................................................................................................... 161 3.4.1.4) Selección de varillas ....................................................................................................................... 162 3.4.1.5) Recubrimiento ................................................................................................................................ 162 3.4.1.6) Separación, separación mínima y máxima entre varillas ................................................................ 164 3.4.1.7) Redistribución de momentos .......................................................................................................... 166 3.4.1.8) Cuantía económica de acero ........................................................................................................... 166 3.4.1.9) Ratio de diseño .............................................................................................................................. 167 3.4.2) MÉTODOS PARA DISEÑAR VIGAS SIMPLEMENTE ARMADAS ............................................... 168 3.4.2.1) Uso de tablas del apéndice en función de la cuantía geométrica, 𝝆................................................ 168 3.4.2.2) Uso de tablas del apéndice en función de la cuantía mecánica, 𝝎 ................................................. 168 3.4.2.3) Uso de la ecuación para 𝝆 y área de acero...................................................................................... 168 3.4.3) EJERCICIOS RESUELTOS.................................................................................................................. 169 3.4.4) REFUERZO SUPERFICIAL PARA VIGAS CON ℎ > 900 𝑚𝑚 ........................................................ 180 3.4.5) PAQUETES DE BARRAS .................................................................................................................... 184 3.4.6) VIGAS EN VOLADIZO ....................................................................................................................... 184 3.4.7) VIGAS CONTINUAS ........................................................................................................................... 185 3.4.8) LOSAS MACIZAS EN UNA DIRECCIÓN ......................................................................................... 194 3.5) ANÁLISIS Y DISEÑO DE VIGAS T ........................................................................................................ 195 3.5.1) ANCHO EFECTIVO DE LA VIGA T .................................................................................................. 198 3.5.2) MÉTODOS DE DISEÑO DE VIGAS T ............................................................................................... 200 3.5.2.1) Método del par................................................................................................................................ 200 3.5.2.2) Método específico para vigas T ...................................................................................................... 205 3.5.3) ACERO MÍNIMO Y DISEÑO DE VIGAS T PARA MOMENTO NEGATIVO ................................ 207 3.5.4) VIGUETAS EN LOSAS NERVADAS ................................................................................................. 208 3.5.5) EJERCICIOS RESUELTOS.................................................................................................................. 210 3.6) ANÁLISIS Y DISEÑO DE VIGAS L ........................................................................................................ 215 3.6.1) SECCIONES SIMÉTRICAS ................................................................................................................. 215 3.6.2) SECCIONES ASIMÉTRICAS .............................................................................................................. 217 3.7) ANÁLISIS Y DISEÑO DE SECCIONES RECTANGULARES CON REFUERZO DE COMPRESIÓN .............................................................................................................................................................................. 218 3.7.1) DEFORMACIÓN UNITARIA DEL ACERO DE COMPRESIÓN ...................................................... 218 3.7.2) PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS DE VIGAS CON ACERO EN COMPRESIÓN ......................... 220 3.7.2.1) Caso 1: El acero de compresión fluye ............................................................................................ 220 3.7.2.2) Caso 2: El acero de compresión no fluye ....................................................................................... 227 3.7.3) EJERCICIOS RESUELTOS.................................................................................................................. 236 3.8) PROBLEMAS PROPUESTOS .................................................................................................................. 244
CAPÍTULO 4: ANÁLISIS Y DISEÑO DE SECCIONES A CORTE .......................256 4.1) INTRODUCCIÓN....................................................................................................................................... 256 4.2) COMPORTAMIENTO DE VIGAS A CORTE ....................................................................................... 256 4.2.1) RESISTENCIA DE UNA VIGA ELÁSTICA NO AGRIETADA ........................................................ 257 4.2.2) ESFUERZO DE CORTE PROMEDIO ENTRE FISURAS .................................................................. 260 4.3) HORMIGÓN DE PESO LIGERO,𝝀 ......................................................................................................... 261 4.4) AGRIETAMIENTO POR CORTANTE EN VIGAS DE HORMIGÓN ARMADO ............................ 261 4.5) REFUERZO DE CORTE EN EL ALMA ................................................................................................. 263
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4.5.1) TIPOS DE REFUERZO ........................................................................................................................ 263 4.5.1.1) ESTRIBOS ABIERTOS PARA VIGAS CON TORSIÓN DESPRECIABLE .............................. 263 4.5.1.2) ESTRIBOS CERRADOS PARA VIGAS CON TORSIÓN CONSIDERABLE ........................... 264 4.5.1.3) CONTROL DEL ANCHO DE GRIETAS DIAGONALES ........................................................... 265 4.5.2) COMPORTAMIENTO DE LAS VIGAS CON REFUERZO EN EL ALMA ...................................... 266 4.5.2.1) GRIETAS DIAGONALES............................................................................................................. 266 4.5.2.2) TIPOS DE REFUERZO A CORTE ............................................................................................... 267 4.6) SEGURIDAD ESTRUCTURAL ................................................................................................................ 268 La resistencia nominal al corte, 𝑽𝒏, se calcula como: ..................................................................................... 268 4.7) DISEÑO POR CORTANTE ...................................................................................................................... 269 4.7.1) RESISTENCIA DEL HORMIGÓN AL CORTANTE .......................................................................... 269 4.7.1.1) LÍMITE PARA 𝒇´𝒄 ........................................................................................................................ 270 4.7.2) RESISTENCIA DEL ACERO AL CORTANTE .................................................................................. 270 4.7.2.1) ESTRIBOS VERTICALES ............................................................................................................ 270 4.7.2.2) ESTRIBOS INCLINADOS ............................................................................................................ 272 4.8) REQUISITOS DEL CÓDIGO ACI ........................................................................................................... 274 4.8.1) REQUERIMIENTO MÍNIMO A CORTANTE .................................................................................... 274 4.8.2) REFUERZO MÍNIMO A CORTANTE ................................................................................................ 274 4.8.3) SEPARACIÓN MÁXIMA DE ESTRIBOS VERTICALES ................................................................. 275 4.8.4) LONGITUDES DE DESARROLLO PARA ESTRIBOS VERTICALES ............................................ 275 4.8.5) CÁLCULO DE LA MÁXIMA FUERZA DE CORTE MAYORADO, 𝑽𝒖. ......................................... 276 4.8.6) RESTRICCIONES PARA VIGAS DE GRAN PERALTE, VOLADIZOS CORTOS Y LAS MÉNSULAS ......................................................................................................................................................................... 278 4.8.7) REQUISITOS PARA VIGUETAS ........................................................................................................ 278 4.9) PROCEDIMIENTO DE DISEÑO PARA LA ARMADURA DE CORTE ............................................ 279 4.10) SEPARACIÓN ECONÓMICA DE LOS ESTRIBOS ........................................................................... 280 4.10.1) RATIO DE DISEÑO .......................................................................................................................... 281 4.11) RESISTENCIA AL CORTANTE DE MIEMBROS SOMETIDOS A FUERZAS AXIALES ........... 281 4.12) REQUISITOS PARA EL DISEÑO POR CORTANTE EN VIGAS DE GRAN PERALTE ............. 282 4.13) EJERCICIOS RESUELTOS ................................................................................................................... 284 4.14) PROBLEMAS PROPUESTOS ................................................................................................................ 304
CAPÍTULO 5: ANÁLISIS Y DISEÑO DE SECCIONES A TORSIÓN ...................307 5.1) INTRODUCCIÓN....................................................................................................................................... 307 5.2) COMPORTAMIENTO DE SECCIONES A TORSIÓN ......................................................................... 308 5.2.1) COMPORTAMINETO DE VIGAS A TORSIÓN DE HORMIGÓN SIMPLE .................................... 308 5.2.1.1) TORSIÓN UNIFORME ................................................................................................................. 308 5.2.1.1.1) TORSIÓN PURA EN SECCIONES PRISMÁTICAS ............................................................ 308 5.2.1.2) TORSIÓN UNIFORME EN SECCIONES CERRADAS DE PAREDES DELGADAS ............... 315 5.2.2) COMPORTAMIENTO DE VIGAS A TORSIÓN DE HORMIGÓN ARMADO ................................ 316 5.2.2.1) TORSIÓN PURA ........................................................................................................................... 316 5.2.2.2) COMBINACIÓN DE TORSIÓN, FLEXIÓN Y CORTE .............................................................. 319 5.3) TIPOS DE REFUERZO ............................................................................................................................. 320
ix
5.4) ANALOGÍA DE LA CERCHA ESPACIAL ............................................................................................ 322 5.5) TORSIÓN CRÍTICA .................................................................................................................................. 324 5.6) CUÁNDO SE REQUIERE REFUERZO DE TORSIÓN SEGÚN EL ACI ........................................... 326 5.7) TIPOS DE MOMENTOS TORSIONALES ............................................................................................. 327 5.7.1) TORSIÓN DE EQUILIBRIO ................................................................................................................ 327 5.7.2) TORSIÓN DE COMPATIBILIDAD..................................................................................................... 329 5.8) LÍMITE DEL ANCHO DE FISURAS ...................................................................................................... 331 5.9) DISEÑO DEL REFUERZO POR TORSIÓN .......................................................................................... 332 5.9.1) RESISTENCIA A TORSIÓN DE LOS ACEROS TRANSVERSALES (𝑨𝒕) ...................................... 332 5.9.1.1) ÁREA MÍNIMA DE ESTRIBOS DE TORSIÓN Y CORTE ........................................................ 334 5.9.2) RESISTENCIA A TORSIÓN DE LOS ACEROS LONGITUDINALES (𝑨𝒍) .................................... 335 5.9.2.1) ÁREA MÍNIMA DE REFUERZO LONGITUDINAL PARA TORSIÓN, 𝑨𝒍, 𝒎𝒊𝒏 .................... 337 5.10) RATIO DE DISEÑO ................................................................................................................................ 337 5.11) CONDICIONES ADICIONALES DEL ACI .......................................................................................... 338 5.12) LA APLICACIÓN DEL MÉTODO DEL DISEÑO DEL CÓDIGO ACI PARA LA TORSIÓN ...... 338 5.13) EJERCICIOS RESUELTOS ................................................................................................................... 341 5.14) PROBLEMAS PROPUESTOS ................................................................................................................ 379
CAPÍTULO 6: INTEGRIDAD ESTRUCTURAL-DESARROLLO DE LA ADHERENCIA .........................................................................................................382 INTRODUCCIÓN....................................................................................................................................... 382 6.1) COMPORTAMIENTO DEL DESARROLLO DE LOS ESFUERZOS DE ADHERENCIA .............. 383 6.1.1) ADHERENCIA DE ANCLAJE ............................................................................................................ 383 6.1.2) ADHERENCIA POR FLEXIÓN ........................................................................................................... 384 6.1.3) MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE LA ADHERENCIA ...................................................... 386 6.1.4) LONGITUD DE DESARROLLO ......................................................................................................... 388 6.2) CORTE Y DOBLADO DE LAS BARRAS DE REFUERZO ................................................................. 389 6.3) LONGITUDES DE DESARROLLO PARA EL REFUERZO A TRACCIÓN ..................................... 394 6.4) LONGITUDES DE DESARROLLO PARA VARILLAS EN RACIMO ............................................... 401 6.5) GANCHOS .................................................................................................................................................. 403 6.6) LONGITUDES DE DESARROLLO PARA VARILLAS DE COMPRESIÓN .................................... 409 6.7) DESARROLLO DE LA ARMADURA DE FLEXIÓN – REQUISITOS GENERALES ..................... 409 6.7.1) DESARROLLO DEL REFUERZO PARA MOMENTO POSITIVO................................................... 412 6.7.2) DESARROLLO DEL REFUERZO PARA MOMENTO NEGATIVO ................................................ 413 6.8) INTEGRIDAD ESTRUCTURAL .............................................................................................................. 414
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6.8.1) RECOMENDACIONES PARA CALCULAR LOS PUNTOS DE CORTE DEL REFUERZO .......... 414 6.8.2) REGLAS BÁSICAS DE INTEGRIDAD ESTRUCTURAL ................................................................. 414 6.9) EMPALMES DEL REFUERZO ............................................................................................................... 416 6.9.1) EMPALMES A TRACCIÓN ................................................................................................................ 417 6.9.2) EMPALMES A COMPRESIÓN ........................................................................................................... 417 6.10) EJERCICIOS RESUELTOS ................................................................................................................... 418 6.11) PROBLEMAS PROPUESTOS ................................................................................................................ 446
CAPÍTULO 7: ANÁLISIS Y DISEÑO DE LOSA EN DOS DIRECCIONES ..............453 7.1) INTRODUCCIÓN....................................................................................................................................... 453 7.1.1) MÉTODOS DE ANÁLISIS ................................................................................................................... 454 7.1.1.1) El planteamiento semielástico de ACI ............................................................................................ 454 7.1.1.2) Teoría de las líneas de fluencia ....................................................................................................... 454 7.1.1.3) Teoría al límite para placas ............................................................................................................. 455 7.1.1.4) Método de las franjas...................................................................................................................... 455 7.1.2) TIPOS DE LOSAS ................................................................................................................................ 455 7.2) ANÁLISIS DE LOSAS EN DOS DIRECCIONES................................................................................... 458 7.3) ESTADO LÍMITE ÚLTIMO DE SERVICIO EN LOSAS ..................................................................... 458 7.3.1) LOSA SIN VIGAS INTERIORES ........................................................................................................ 458 7.3.2) SECCION EFECTIVA DE UNA VIGA ............................................................................................... 460 7.3.3) LOSA CON VIGAS INTERIORES ...................................................................................................... 460 7.4) MÉTODOS DE DISEÑO SEGÚN EL CÓDIGO ACI ............................................................................. 461 7.4.1) MÉTODO DE DISEÑO DIRECTO ...................................................................................................... 461 7.4.2) MÉTODO DEL MARCO EQUIVALENTE ......................................................................................... 461 7.4.3) DISEÑO PARA CARGAS LATERALES ............................................................................................ 462 7.5) MÉTODO DIRECTO SEGÚN EL CÓDIGO ACI .................................................................................. 462 7.5.1) FRANJAS DE COLUMNA Y FRANJA CENTRAL ........................................................................... 462 7.5.2) LIMITACIONES DEL MÉTODO DIRECTO DEL ACI...................................................................... 463 7.5.3) DISTRIBUCIÓN DE MOMENTOS EN LOSAS ................................................................................. 465 7.5.3.1) Momentos mayorados negativos y positivos .................................................................................. 466 7.5.3.2) Momentos mayorados en las franjas de columna ........................................................................... 467 7.6) CONSIDERACIONES DE DISEÑO ......................................................................................................... 470 7.6.1) DISEÑO DE UNA PLACA INTERIOR PLANA ................................................................................. 470 7.6.2) COLOCACIÓN DE LAS CARGAS VIVAS ........................................................................................ 471 7.7) CORTE EN LOSAS .................................................................................................................................... 471 7.7.1) CONSIDERACIONES DE RESISTENCIA A CORTE EN LOSAS .................................................... 472 7.7.2) TRANSMICIÓN DE MOMENTOS Y CORTANTES ENTRE LOSAS Y COLUMNAS ................... 474 7.7.2.1) Tensiones de corte y resistencia al corte ......................................................................................... 476 7.8) MOMENTOS FACTORIZADOS EN COLUMNAS Y MUROS ........................................................... 480 7.9) ABERTURAS EN LOS SISTEMAS DE LOSAS ..................................................................................... 480 7.10) EJERCICIOS RESUELTOS ................................................................................................................... 482
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7.11) MÉTODO DEL PORTICO EQUIVALENTE ....................................................................................... 579 7.11.1) DISTRIBUCIÓN DE MOMENTOS PARA MIEMBROS NO PRISMÁTICOS ............................... 579 7.11.2) INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................... 579 7.11.3) PROPIEDADES DE LAS VIGAS LOSAS ......................................................................................... 581 7.11.4) PROPIEDADES DE LAS COLUMNAS ............................................................................................ 582 7.12) ANÁLISIS Y DISEÑO DE ESCALERAS .............................................................................................. 589 7.12.1) CLASIFICACIÓN DE ESCALERAS SEGÚN SU APOYO LONGITUDINAL ............................... 589 7.12.1.1) Escalera de un tramo .................................................................................................................... 589 7.12.1.2) Escalera de dos o más tramos ....................................................................................................... 589 7.12.2) CARGAS EN ESCALERA ................................................................................................................. 590 7.12.3) DIMENSIONAMIENTO..................................................................................................................... 590 7.13) PROBLEMAS PROPUESTOS ................................................................................................................ 598
CAPÍTULO 8: COLUMNAS: CARGA AXIAL Y FLEXIÓN COMBINADAS .............602 8.1) INTRODUCCIÓN....................................................................................................................................... 602 8.1.1) TIPOS DE COLUMNAS....................................................................................................................... 603 8.1.1.1) POR LA POSICIÓN DE LA CARGA ........................................................................................... 603 8.1.1.2) POR LA RIGIDEZ Y DIMENSIONES DE LA COLUMNA ........................................................ 604 8.1.1.3) POR EL TIPO DE ESTRIBO ......................................................................................................... 604 8.2) CAPACIDAD POR CARGA AXIAL PURA DE LAS COLUMNAS .................................................... 606 8.3) PRECAUCIONES DE SEGURIDAD PARA COLUMNAS ................................................................... 607 8.4) RESISTENCIA DE COLUMNAS CORTAS CON POCA EXCENTRICIDAD .................................. 607 8.5) COLUMNAS ZUNCHADAS ..................................................................................................................... 608 8.6) CONDICIONES DEL CÓDIGO ACI ....................................................................................................... 610 8.7) COMENTARIOS SOBRE EL DISEÑO ECONOMICO DE COLUMNAS .......................................... 612 8.8) DISEÑO DE COLUMNAS CORTAS SOMETIDOS A CARGA AXIAL Y FLEXIÓN ...................... 613 8.8.1) CARGA AXIAL Y FLEXIÓN .............................................................................................................. 613 8.8.2) CENTROIDE PLASTICO ..................................................................................................................... 615 8.8.3) DESARROLLO DE LOS DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN ........................................................... 617 8.8.3.1) CONCEPTOS Y SUPOSICIONES ................................................................................................ 618 8.8.4) MODIFICACIONES DEL CÓDIGO ACI A LOS DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN DE COLUMNA ......................................................................................................................................................................... 619 8.8.5) PROCEDIMIENTOS DE DISEÑO ....................................................................................................... 620 8.8.5.1) DISEÑO DE COLUMNAS USANDO LOS ÁBACOS DE LA ACI ............................................ 620 8.8.5.2) DISEÑO DE COLUMNAS USANDO EL MÉTODO GENERAL ............................................... 621 8.8.5.3) DISEÑO DE COLUMNAS USANDO LAS TABLAS DE LA PCA ............................................ 625 8.8.6) FACTOR DE REDUCCIÓN DE CAPACIDAD ................................................................................... 628 8.8.7) COLUMNAS SOMETIDAS A FLEXIÓN BIAXIAL .......................................................................... 628 8.8.7.1) RESISTENCIA CON INTERACCIÓN BIAXIAL ........................................................................ 629 8.8.7.2) SUPERFICIES DE FALLA ........................................................................................................... 631 8.8.7.3) MÉTODO DE LAS CARGAS RECÍPROCAS DE BRESLER ..................................................... 632 8.8.7.4) MÉTODO DEL CONTORNO DE LAS CARGAS DE BRESLER............................................... 633 8.8.7.5) MÉTODO DEL CONTORNO DE LAS CARGAS DE LA PCA .................................................. 635 8.9) EJERCICIOS RESUELTOS ..................................................................................................................... 639
xii
8.10) COLUMNAS ESBELTAS ........................................................................................................................ 678 8.10.1) INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................... 678 8.10.1.1) PANDEO EN COLUMNAS ELÁSTICAS CARGADAS AXIALMENTE ................................ 680 8.10.2) MARCOS CON Y SIN DESPLAZAMIENTO LATERAL ................................................................ 683 8.10.2.1) DETERMINACIÓN DE LOS FACTORES 𝒌 CON NOMOGRAMAS ...................................... 683 8.10.2.2) DETERMINACIÓN DE FACTORES 𝒌 MEDIANTE ECUACIONES ...................................... 687 8.10.2.3) CONSIDERACIÓN DE LOS EFECTOS DE LA ESBELTEZ.................................................... 687 8.10.2.3.1) ANÁLISIS DE PRIMER ORDEN USANDO PROPIEDADES ESPECIALES DE LOS MIEMBROS ........................................................................................................................................... 688 8.10.2.3.2) RADIO DE GIRO ................................................................................................................. 689 8.10.2.3.3) LONGITUD NO APOYADA DE ELEMENTOS EN COMPRESIÓN, 𝒍𝒖 ......................... 690 8.10.2.3.4) LONGITUD EFECTIVA DE ELEMENTOS EN COMPRESIÓN, 𝒍𝒆 ................................ 690 8.10.2.3.5) COMO EVITAR COLUMNAS ESBELTAS ....................................................................... 691 8.10.3) FALLA POR MATERIAL Y FALLA POR ESTABILIDAD ............................................................. 692 8.10.4) MÉTODOS DEL CÓDIGO ACI PARA EL TRATAMIENTO DE LOS EFECTOS DE ESBELTEZ ......................................................................................................................................................................... 692 8.10.5) AMPLIFICACIÓN DE MOMENTOS DE COLUMNAS EN MARCOS SIN DESPLAZAMIENTO LATERAL ....................................................................................................................................................... 693 8.10.5.1) CURVAS DE INTERACCIÓN DE COLUMNAS ESBELTAS ................................................. 693 8.10.5.2) MAGNIFICADOR DE MOMENTO PARA ELEMENTOS ARTICULADOS EN SUS EXTREMOS Y CARGADOS SIMÉTRICAMENTE ................................................................................. 694 8.10.5.3) EFECTO DE MOMENTOS DE EXTREMO DESIGUALES EN LA RESISTENCIA DE L A COLUMNA ................................................................................................................................................. 696 8.10.5.4) PROCEDIMIENTO DE DISEÑO PARA MARCOS SIN DESPLAZAMIENTO LATERAL ... 699 8.10.6) AMPLIFICACIÓN DE LOS MOMENTOS EN LAS COLUMNAS DE MARCOS CON DESPLAZAMIENTO LATERAL ................................................................................................................... 700 EJERCICIOS RESUELTOS ............................................................................................................................. 702 8.11) PROBLEMAS PROPUESTOS ................................................................................................................ 725
CAPÍTULO 9: MUROS DE CORTANTE ..................................................................754 9.1) INTRODUCCIÓN....................................................................................................................................... 754 9.2) CRITERIOS DE DISEÑO ......................................................................................................................... 755 9.3) REQUISITOS DEL ACI PARA MUROS DE CORTANTE ................................................................... 758 9.4) ANALISIS DE MUROS DE CORTE ........................................................................................................ 761 9.4.1) ENERGÍA DE DEFORMACIÓN POR EFECTO DEL MOMENTO FLECTOR ................................ 762 9.4.2) ENERGÍA DE DEFORMACIÓN POR EFECTO DE LA FUERZA CORTANTE.............................. 762 9.4.3) DEFORMACIÓN POR FLEXIÓN Y CORTANTE PARA MUROS DE CORTE .............................. 764 9.5) EJERCICIO RESUELTO .......................................................................................................................... 768 9.6) PROBLEMAS PROPUESTOS .................................................................................................................. 772
CAPÍTULO 10: MÉTODO DE BIELAS Y TIRANTES ..............................................773 10.1) INTRODUCCIÓN..................................................................................................................................... 773 10.2) NOTA HISTÓRICA ................................................................................................................................. 774
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10.3) BASES DEL MÉTODO ............................................................................................................................ 775 10.4) VIGAS DE GRAN PERALTE ................................................................................................................. 775 10.5) CLARO DE CORTANTE Y REGIONES DE COMPORTAMIENTO ............................................... 776 10.6) LA ANALOGIA DE LA ARMADURA .................................................................................................. 777 10.7) DEFINICIONES ....................................................................................................................................... 778 10.7.1) TIPOS DE BIELA ............................................................................................................................... 778 10.8) REQUISITOS DEL CODIGO ACI PARA EL DISEÑO DE BIELA Y TIRANTE ............................ 780 10.9) SELECCIÓN DE UN MODELO DE ARMADURA.............................................................................. 781 10.10) ANGULOS DE LOS PUNTALES EN LOS MODELOS DE ARMADURAS ................................... 783 10.11) PROBLEMAS RESUELTOS ................................................................................................................. 784 10.12) PROBLEMAS PROPUESTOS .............................................................................................................. 795
BIBLIOGRAFÍA .......................................................................................................798
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ÍNDICE DE FIGURAS 1.1 – El panteón construida en Roma a.C, edificación dedicada a los dioses 2 1.2 – Faro de Eddystone en las costas de Cornish Inglaterra 2 1.3 – Bote de hormigón armado construido en 1848 3 1.4 – Vigas de hormigón con y sin armadura de refuerzo 5 1.5 – Agregado fino y agregado grueso 10 1.6 – Corte longitudinal de la barra de refuerzo según la norma brasilera. 13 1.7 – Vista longitudinal de la barra de refuerzo según la norma brasileña. 13 1.8 – Marcas de las barras corrugadas del sistema estándar. 18 1.9 – Curva de esfuerzo y deformación unitaria de aceros según ASTM 18 1.10 – Amplificación de la figura 1.9 19 1.11 – Curva esfuerzo deformación unitaria para varias tasas de deformación en compresión concéntrica 26 Figura 1.12 – Curva esfuerzo deformación unitaria a compresión uniaxial, típicas para hormigón de densidad normal con 𝒘𝒄 = 𝟐𝟑𝟎𝟎 𝒌𝒈/𝒎𝟑 27 Figura 1.13 – Curva esfuerzo deformación unitaria a compresión uniaxial, típicas para hormigón liviano con 𝒘𝒄 = 𝟏𝟔𝟎𝟎 𝒌𝒈/𝒎𝟑 28 Figura 1.14 – Fibra de acero aplicado al hormigón 34 Figura 1.15 – Fibra de vidrio para reforzar el hormigón 34 Figura 1.16 – Taipéi 101, edificio de hormigón de alta resistencia con 101 pisos 36 Figura 2.1 – Modelo del túnel de viento: Pentominium, Dubai. (Courtesy of CPP Wind Engineering 39 Figura 2.2 – Funciones del Ingeniero Estructural 41 Figura 2.3 – Casos de posición de la carga viva 61 Figura 2.4 – Planta tipo de la estructura 62 Figura 2.5 – Techo de dos aguas 65 Figura 2.6 – Influencia de la exposición del terreno a la variación de la velocidad del viento con la altura 67 Figura 2.7 – Variación de la velocidad del viento con el tiempo: en un instante 𝒕 la velocidad es 𝑽𝒕 = 𝑽 + 𝑽´ 68 Figura 2.8 – Edificación abierta 70 Figura 2.9 – Edificación cerrada 70 Figura 2.10 – Edificación parcialmente cerrada 71 Figura 2.11 – Velocidades eólicas de Bolivia 78 Figura 2.12 – Factor topográfico 𝑲𝒛𝒕-Método 2 84 Figura 2.13 – Factor topográfico 𝑲𝒛𝒕-Método 2 (cont.) 85 Figura 2.14 – Coeficientes de presión interna 88 Figura 2.15 – Coeficientes de presión externa 90 Figura 2.16 – Coeficientes de presión externa (cont.) 91 Figura 2.17 – Estructura con carga de viento 95 Figura 2.18 – Distribución de la presión de diseño debido al viento 98 Figura 2.19 – Edificio resistente a fuerzas de viento 99 Figura 2.20 – Estructura con carga de nieve 108 Figura 2.21 – Distribución de la carga de diseño debido a la nieve 110 Figura 2.22 – Diagramas y ecuaciones de momentos y cortantes en vigas 115 Figura 2.23 – Condiciones de análisis por coeficientes (ACI 8.3.3) 116 Figura 2.24 – Coeficientes de momentos y cortantes (ACI 8.3.3) 117 Figura 2.25 – Edificio con sistema de viguetas 118 Figura 2.26 – Entrepiso de losa maciza con vigas 121 Figura 2.27 – Áreas de influencia para losa en dos direcciones 122 Figura 2.28 – Áreas de influencia para losa en una dirección 123 Figura 2.29 – Áreas de influencia del entrepiso 124 Figura 2.30 – Cargas últimas sobre la viga 2A-2E 125 Figura 2.31 – Cargas últimas sobre la viga A1-A4 126 Figura 2.32 – Envolvente de corte de la viga 2A-2E 127 Figura 2.33 – Envolvente de corte de la viga A1-A4 128 Figura 2.34 – Envolvente de momento de la viga 2A-2E 129 Figura 2.35 – Envolvente de momento de la viga A1-A4 129 Figura 3.1 – Unión de losa, vigas y columnas a la espera del vaciado 135 Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura
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Figura 3.2 – Etapa del hormigón no agrietado 136 Figura 3.3 – Etapa de esfuerzos elásticos 137 Figura 3.4 – Etapa de la resistencia última 138 Figura 3.5 – Desventajas del método WSD 140 Figura 3.6 – Deformación unitaria y esfuerzos cuándo se alcanza la carga última 142 Figura 3.7 - Relación esfuerzo-deformación para la armadura 143 Figura 3.8 - Variación supuesta de la deformación específica 144 Figura 3.9 - Condiciones reales de esfuerzo-deformación para resistencia nominal en elementos solicitados a flexión 146 Figura 3.10 - Distribución rectangular equivalente de los esfuerzos en el hormigón (ACI) 149 Figura 3.11 – Factor de resistencia 150 Figura 3.12 – Deformación unitaria de la sección transversal para cada falla 151 Figura 3.13 - Factores de reducción de la resistencia φ para el Método de Diseño por Resistencia 152 Figura 3.14 - Variación de φ en función de la deformación neta por tracción, 𝜀𝑡, y de la relación 𝑐/𝑑𝑡 para armaduras de acero Grado 420 ó 60 153 Figura 3.15 – Factor de reducción de resistencia para todo tipo de acero 153 Figura 3.16 – Factor de reducción de resistencia para todo tipo de acero, para c/dt 154 Figura 3.17 - Condición de deformación unitaria, se debe notar que 𝒅𝒕 es el peralte efectivo respecto al acero que está más cerca de la cara de tracción 154 Figura 3.18 - Condición de deformación unitaria para para área de acero máximo 155 Figura 3.19 - Capacidad de resistencia a momento versus cuantía de acero 157 Figura 3.20 - Condición de deformación balanceada en flexión 159 Figura 3.21 – Distancia mínima al borde, varillas longitudinales en un nivel 163 Figura 3.22 – Distancia mínima al borde, varillas longitudinales desfazadas 164 Figura 3.23 – Separación para varillas longitudinales en un nivel 165 Figura 3.24 – Separación para varillas longitudinales desfasadas 165 Figura 3.25 – Separación mínima entre barras 166 Figura 3.26 – Viga simplemente apoyada 169 Figura 3.27 – Diagrama de momento 170 Figura 3.28 – Armado de la sección transversal 173 Figura 3.29 – Detalle de armado 176 Figura 3.30 – Sección transversal de la viga 177 Figura 3.31 – sección transversal de viga triangular 178 Figura 3.32 – Refuerzo superficial para vigas y viguetas de gran altura 180 Figura 3.33 – Viga simplemente apoyada 181 Figura 3.34 – Diagrama de momento 182 Figura 3.35 – Armadura principal y superficial 183 Figura 3.36 – Configuración de varillas en paquete 184 Figura 3.37 – Viga en voladizo, momento, deformada y armado 185 Figura 3.38 – Viga continua, diagrama de momento, deformada y ubicación de la armadura positiva y negativa 186 Figura 3.39 – Viga continua de tres vanos y cargas de servicio 187 Figura 3.40 – Diagrama de momento 189 Figura 3.41 – Diagrama de momento 193 Figura 3.42 – Vista en planta de losa maciza de entrepiso 194 Figura 3.43 – Sistema de entrepiso vaciada monolíticamente en el que se genera la viga L y T 195 Figura 3.44 – Viga T en 3D, ancho efectivo, alma, ala y altura de la viga 196 Figura 3.45 – Viga T interior continua, diagrama de momentos en la parte superior, secciones 1-1, 2-2 y 3-3 de la viga T en la parte inferior 196 Figura 3.46 – Corte transversal de la viga T, sección 1-1 a momento negativo, sección 2-2 a momento positivo y sección 3-3 a momento negativo 197 Figura 3.47 – Viga T cuándo el esfuerzo de compresión está dentro del patín 197 Figura 3.48 – Viga T cuándo el esfuerzo de compresión alcanza el alma 198 Figura 3.49 – Diversas secciones transversales de viga T 198 Figura 3.50 – Distribución de esfuerzos de compresión por flexión 199 Figura 3.51 – Distribución de esfuerzos de compresión por flexión rectangular equivalente 199
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Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura
3.52 – Vista 3D, ancho efectivo de la viga T 3.53 – Ancho efectivo de vigas T y L 3.54 – Vista magnificada de la viga T de la figura 3.53 3.55 – Sección transversal de la viga 3.56 – Sección transversal de la viga 3.57 – Sección transversal de la viga 3.58 – División de una viga T en partes rectangulares 3.59 – Viga T con patín en tracción y fondo del alma en compresión ( viga rectangular) 3.60 – Sección transversal de una losa nervada 3.61 – Sección transversal de una viga T y una losa maciza 3.62 – Sección transversal y propuesta de armado 3.63 – Armado de la sección 3.64 – Sección transversal 3.65 – Vista 3D del sistema de entrepiso dónde se muestra la viga L 3.66 – División de una viga L en partes rectangulares 3.67 – Sección transversal de una viga L y su respectiva diagrama de deformación unitaria 3.68 – Sección transversal de una viga con acero en compresión y tracción 3.69 – Diagrama de deformación unitaria y diagrama de esfuerzos de una viga doblemente armada 3.70 – División de una viga doble armada en vigas imaginarias 3.71 – Sección transversal 3.72 – Armado de la sección 3.73 – Sección transversal y distribución de la armadura 3.74 – Sección transversal 3.75 – Armado de la sección 3.76 – Sección transversal y distribución de la armadura 3.77 – Sección transversal y propuesta de armado 3.78 – Armado de la sección 3.79 – Sección transversal y propuesta de armado 3.80 – Armado de la sección 4.1 – Fisuras a causa de fuerzas cortantes 4.2 – Fuerzas internas de una viga simplemente apoyada 4.3 – Distribución de esfuerzo cortante 4.4 – Etapa de la resistencia última 4.5 – Fuerzas cortantes y normales en una viga homogénea no fisurada 4.6 – Esfuerzo promedio entre dos fisuras 4.7 – Grietas por flexión – cortante 4.8 – Grietas por cortante en el alma 4.9 – Estribo de rama múltiple 4.10 – Estribos anchos 4.11 – Estribos anchos 4.12 – Estribos con empalme de traslape 4.13 – Estribos de uso común 4.14 – Estribos cerrados confinados 4.15 – Analogía de la armadura 4.16 – Estribos cerrados confinados 4.17 – Resistencia a cortante de estribos verticales 4.18 – Diagrama de fuerzas resistentes a corte de estribos inclinados 4.19 – Amplificación de la figura anterior 4.20 – Detalles de estribos 4.21 – Condiciones típicas del apoyo para localizar la fuerza 𝑉𝑢 4.22 – Condiciones de apoyo para localizar la fuerza 𝑽𝒖 en la cara del apoyo 4.23 – Ménsula que soporta la reacción de la viga 4.24 – Requisitos de refuerzo a corte 4.25 – Casos de vigas de gran peralte 4.26 – Viga y sección transversal 4.27 – Diagrama de fuerzas cortantes
199 200 200 201 202 204 205 208 209 209 210 213 213 215 216 217 218 219 220 222 225 225 230 233 233 236 239 240 243 256 257 258 259 259 260 262 262 263 264 264 264 265 265 267 268 271 272 272 276 277 277 278 280 283 284 285
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Figura 4.28 – Detalle de armado 287 Figura 4.29 – Elevación y sección transversal de la viga 287 Figura 4.30 – Diagrama de fuerzas cortantes para el caso 1 288 Figura 4.31 – Diagrama de fuerzas cortantes para el caso 2 289 Figura 4.32 – Envolvente de fuerzas cortantes 289 Figura 4.33 – Diagrama de fuerzas cortantes 290 Figura 4.34 – Detalle de armado 292 Figura 4.35 – Diagrama de fuerzas cortantes 292 Figura 4.36 – Diagrama de fuerzas cortantes 293 Figura 4.37 – Detalle de armado 295 Figura 4.38 – Sección transversal de la viga 296 Figura 4.39 – Sección transversal de la columna 297 Figura 4.40 – Losa nervurada 302 Figura 4.41 – Corte A-A 302 Figura 5.1 – Kylesku bridge, scotland (1984) 307 Figura 5.2 – Fuerzas internas de una viga simplemente apoyada 309 Figura 5.3 – Tensiones en un elemento diferencial 309 Figura 5.4 – Membrana inflada sobre una sección sólida 312 Figura 5.5 – Tensión tangencial en un contorno cerrado 312 Figura 5.6 – Curvas de nivel de una membrana 313 Figura 5.7 – Elementos rectangulares sometidos a torsión 314 Figura 5.8 – Diagrama de cuerpo libre de una membrana con presión 314 Figura 5.9 – Sección cerrada de paredes delgadas 315 Figura 5.10 – Esfuerzos principales y fisuras debido a torsión pura 317 Figura 5.11 – Curva de torsión para viga rectangular 318 Figura 5.12 – Propagación estable de fisuras 318 Figura 5.13 – Propagación inestable de fisuras 319 Figura 5.14 – Esfuerzo de corte y fisuras debido a torsión combinada 320 Figura 5.15 –Estribos cerrados (éstos son frecuentemente imprácticos) 321 Figura 5.16 – Estribos U traslapados que se usan como refuerzo por torsión, pero que no son satisfactorios 321 Figura 5.17 – Sin hormigón de confinamiento en ninguno de los dos lados, ganchos a 135º necesarios en ambos extremos de la varilla superior. 321 Figura 5.18 – Confinamiento lateral proporcionado por la losa en el lado derecho, gancho a 90º permitido en ese lado para la varilla superior. 322 Figura 5.19 – Confinamiento lateral proporcionado en ambos lados por la losa de hormigón, ganchos a 90º permitidos en ambos extremos de la varilla superior. 322 Figura 5.20 – Esfuerzos de torsión y cortantes en una viga hueca y sólida 323 Figura 5.21 – Analogía del tubo de pared delgada y armadura espacial imaginaria 324 Figura 5.22 – Parte del ala sobresaliente efectivo para torsión 326 Figura 5.23 – Ejemplos de torsión de equilibrio 328 Figura 5.24 – Torsión de la viga A-B de la estructura vista en la figura 5.23(c) 328 Figura 5.25 – Torsión de compatibilidad 329 Figura 5.26 – Diagramas de torsión de compatibilidad 330 Figura 5.27 – Analogía del tubo de pared delgada 332 Figura 5.28 – Analogía del reticulado espacial 332 Figura 5.29 – Diagrama de cuerpo libre para el equilibrio vertical de la cara 2 333 Figura 5.30 – Valores de 𝑨𝒐𝒉 334 Figura 5.31 – Fuerzas internas de la combinación de torsión y momento 335 Figura 5.32 – Lado de la armadura espacial, reemplazado por la fuerza 𝑽𝟐 de corte 336 Figura 5.33 – Sección transversal 341 Figura 5.34 – Armado de la sección 344 Figura 5.35 – Viga en volado 345 Figura 5.36 – Diagrama de esfuerzos internos 346 Figura 5.37 – Armado de la sección 350 Figura 5.38 – Vista parcial del sistema de cubierta prefabricado 351 Figura 5.39 – Corte A-A 352
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Figura 5.40 – Eje de los estribos 355 Figura 5.41 – Vista longitudinal de la viga de borde A-B 359 Figura 5.42 – Vista transversal de la viga A-B 359 Figura 5.43 – Vista transversal de la viga A-B 360 Figura 5.44 – Vista en planta y corte transversal 1-1 361 Figura 5.45 – Sección transversal de la viga a diseñar 362 Figura 5.46 – Diagrama de momentos y cortantes de la vigueta 1-2 364 Figura 5.47 – Diagrama de esfuerzos internos de la viga de borde A-B 365 Figura 5.48 – Diagrama de cuerpo libre inicial 365 Figura 5.49 – Diagrama de cuerpo libre medio 366 Figura 5.50 – Diagrama de cuerpo libre final o resultante 366 Figura 5.51 – Diagrama de momento torsor redistribuido 367 Figura 5.52 – Torsión de equilibrio de l a viga de borde A-B 369 Figura 5.53 – Torsión de compatibilidad de la viga de borde A-B 370 Figura 5.54 – Re-distribución de momentos de la vigueta 1-2 371 Figura 5.55 – Propiedades geométricas de la viga A-B 372 Figura 5.56 – Vista longitudinal de la viga de borde A-B 378 Figura 5.57 – Vista transversal de la viga A-B 378 Figura 5.58 – Vista transversal de la viga A-B 378 Figura 6.1 – Falla por falta de adherencia 382 Figura 6.2 – Esquema de esfuerzos de adherencia de una viga simplemente apoyada 383 Figura 6.3 – Relación entre los cambios de esfuerzo en una barra y los esfuerzos de adherencia 384 Figura 6.4 – Esfuerzo de adherencia promedio en vigas 385 Figura 6.5 – Mecanismos de transferencia de la adherencia 386 Figura 6.6 – Tipos de falla por adherencia 388 Figura 6.7 – Viga simplemente apoyada y sección transversal 390 Figura 6.8 – Diagrama de momentos 391 Figura 6.9 – Diagrama de momentos debido a las solicitaciones versus capacidad 393 Figura 6.10 – Sección transversal 398 Figura 6.11 – Sección transversal 400 Figura 6.12 – Sección transversal 402 Figura 6.13 – Centroide de un racimo de 3 varillas 403 Figura 6.14 – Ganchos a 180° y 90° 404 Figura 6.15 – Estribos colocados perpendicularmente a la barra en desarrollo, espaciados a lo largo de la longitud de desarrollo 𝒍𝒅𝒉 406 Figura 6.16 – Estribos colocados paralelamente a la barra en desarrollo, espaciados a lo largo del gancho más el doblez 406 Figura 6.17 – Viga empotrada y sección transversal 407 Figura 6.18 – Gancho de 180º 408 Figura 6.19 – Gancho de 90º 408 Figura 6.20 – Desarrollo de la armadura de flexión para momento negativo 410 Figura 6.21 – Desarrollo de la armadura de flexión para momento positivo 411 Figura 6.22 – Vano izquierdo 418 Figura 6.23 – Armado de la viga 420 Figura 6.24 – Diagrama de envolvente de momento y corte 421 Figura 6.25 – Longitud de armadura continua/interrumpida de momento positivo 424 Figura 6.26 – Envolvente de momento negativo 425 Figura 6.27 – Longitud de armadura continua/interrumpida de momento negativo 428 Figura 6.28 – Armado de la viga 428 Figura 6.29– Geometría de los vanos 429 Figura 6.30 – Sección transversal de la viga 429 Figura 6.31 – Diagrama de momentos y cortantes 430 Figura 6.32 – Armado de la viga 434 Figura 6.33 – Vista en planta con espaciamiento 441 Figura 6.34 – Plano en elevación – lado izquierdo 444 Figura 6.35 – Secciones transversales – lado izquierdo 444
xix
Figura 6.36 – Plano en elevación – lado derecho 445 Figura 6.37 – Secciones transversales – lado derecho 445 Figura 6.38 – Envolvente de momento para vano típico interior 449 Figura 6.39 – Envolvente de momento para vano exterior con soporte exterior construida de manera integral con la columna 450 Figura 6.40 – Envolvente de momento para vano exterior con soporte exterior construida de manera integral con una viga spandrel o viga maestra 451 Figura 6.41 – Envolvente de momento para vano exterior con soporte exterior con discontinuidad 452 Figura 7.1 – Losa sin vigas, falla por transferencia de cortante 453 Figura 7.2 – Líneas de fluencia en una losa apoyada en sus cuatro lados. 454 Figura 7.3 – Sistema de losas 457 Figura 7.4 – Detalle de los ábacos 457 Figura 7.5 – Sección efectiva de una viga 460 Figura 7.6 – Definición de las franjas de diseño (ACI 13.3.4) 463 Figura 7.7 – Condiciones para la aplicación del análisis por coeficientes 464 Figura 7.8 – Secciones críticas para determinar los momentos negativos de diseño 465 Figura 7.9 – Momentos en las franjas de diseño 466 Figura 7.10 – Ayuda para simplificar el cálculo de C, constante de la sección transversal que define las propiedades torsionales 468 Figura 7.11 – Secciones efectivas de viga y de losa para el cálculo de la relación de rigidez 𝜶 469 Figura 7.12 – Extensiones mínimas para el refuerzo en losas sin vigas (ACI 12.11.1) 470 Figura 7.13 – Ubicaciones críticas para la resistencia a corte en losas 472 Figura 7.14 – Corte directo en un apoyo sobre columna interior 473 Figura 7.15 – Secciones críticas de transferencia de corte en las losas planas 473 Figura 7.16 –Área tributaria, sección crítica y tipos de refuerzo por cortante 474 Figura 7.17 –Transferencia del momento negativo en un apoyo exterior de losa sin vigas 475 Figura 7.18 – Parámetros para 𝒃𝟏 y 𝒃𝟐 476 Figura 7.19 – Distribución de las tensiones de corte por transferencia de momento por excentricidad de corte en una unión losa – columna 477 Figura 7.20 – Propiedades de las secciones para el cálculo de las tensiones de corte – columnas rectangulares 479 Figura 7.21 – Propiedades de las secciones para el cálculo de las tensiones de corte – columnas circulares interiores 480 Figura 7.22 – Aberturas permitidas en los sistemas de losas sin vigas para 𝒍𝟐 > 𝒍𝟏 481 Figura 7.23 – Planta tipo de losa con vigas 482 Figura 7.24 – Franja este – oeste: losa con vigas 484 Figura 7.25 – Franja norte – sur: losa con vigas 485 Figura 7.26 – Sección transversal de la viga de borde L y viga central T 486 Figura 7.27 – Factores de distribución del nudo 2B 492 Figura 7.28 – Factores de distribución del nudo 1B 497 Figura 7.29 – Procedimiento de distribución 500 Figura 7.30 –Posibilidades para determinar la constante torsional 501 Figura 7.31 –Configuración para la máxima constante torsional 501 Figura 7.32 –Configuración para la máxima constante torsional 502 Figura 7.33 –Diagrama de momentos torsores 514 Figura 7.34 – Planta tipo de losa sin vigas 515 Figura 7.35 – Franja este – oeste: losa sin vigas 517 Figura 7.36 – Franja norte – sur: losa con vigas 518 Figura 7.37 – Área de influencia de la columna B1 534 Figura 7.38 – Área de influencia de las columnas del eje B 534 Figura 7.39 – Área crítica de la columna B1 535 Figura 7.40 – Centro del perímetro de corte de la columna B1 535 Figura 7.41 – Centroide del perímetro de corte 536 Figura 7.42 – Área de influencia de las columnas del eje B 540 Figura 7.43 – Área de influencia crítica de la columna B2 541 Figura 7.44 – Área de influencia de las columnas del eje A1 546
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Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura
7.45 – Área de influencia crítica de la columna A1 547 7.46 – Distribución de esfuerzos de corte 547 7.47 – Área de influencia de las columnas A1 552 7.48 – Área de influencia crítica de la columna A1 553 7.49 – Planta tipo de losa sin vigas 554 7.50 – Vista en planta de la estructura 556 7.51 – Vista de la elevación A 557 7.52 – Estructura en 3D, deformada debido a la carga muerta 565 7.53 – Diagrama de momento M11 566 7.54 – Diagrama de momento M22 567 7.55 – Sistema de entrepiso exportado con su respectiva carga debido al peso de muro exterior 568 7.56 – Franja este – oeste: losa sin vigas en SAFE 12.0.0 569 7.57 – Franja norte – sur: losa con vigas en SAFE 12.0.0 570 7.58 – Momento por franja este – oeste (kN*m): losa sin vigas en SAFE 12.0.0 571 7.59 – Momento por franja norte – sur (kN*m): losa con vigas en SAFE 12.0.0 572 7.60 – Acero requerido de la franja este – oeste (mm2): losa sin vigas en SAFE 12.0.0 573 7.61 – Acero requerido de la franja norte – sur (mm2): losa con vigas en SAFE 12.0.0 574 7.62 – Plano de acero superior generada por SAFE 12.0.0 (sin editar) 575 7.63 – Plano de acero inferior generada por SAFE 12.0.0 (sin editar) 576 7.64 – Comparación de momentos 577 7.65 – Comparación del acero requerido 578 7.66 – Franja equivalente a un pórtico 580 7.67 – Pórtico equivalente para la franja sombreada de la figura 7.66 por carga vertical 581 7.68 – Sistema de losa sin vigas 582 7.69 – Encuentro entre viga y columna 583 7.70 – Losa sin vigas 584 7.71 – Sección de rigidez torsional 586 7.72 – Rigideces en vigas y columnas 587 7.73 – Momentos balanceados del pórtico equivalente 588 7.74 – Diagrama de momentos en los ejes de la columna 589 7.75– Escalera de un tramo 589 7.76– Escalera de tres tramos 590 7.77– Partes de una escalera 590 7.78 – Geometría de la escalera 592 7.79 – Armado de la escalera 597 8.1 – Columna en construcción 602 8.2 – Columna con carga axial 603 8.3 – Columnas con cargas excéntricas 603 8.4 – Estribos cerrados 605 8.5 – Estribos en espiral 605 8.6 – Resistencia de una columna cargada axialmente 606 8.7 – Carga aplicada a una excentricidad mínima 607 8.8 – Propiedades geométricas de zunchos 610 8.9 – Disposiciones típicas de estribos 612 8.10 – Columna sometida a carga con excentricidades cada vez mayores 615 8.11 – Columna asimétrica 616 8.12 – Deformaciones unitarias en la columna 617 8.13 – Diagrama de interacción de columna 619 8.14 – Disposición de varillas para utilizar los ábacos de la ACI 620 8.15 – Suposiciones de diseño, diagrama de esfuerzos y deformaciones 622 8.16 – Distribuciones de deformaciones correspondientes a los siete estados del diagrama de interacción 623 8.17 – Notación y convención de signos para diagrama de interacción 624 8.18 – Armados que se pueden diseñar mediante las tablas de la PCA 626 8.19 – Variación de 𝝓 628 8.20 –Superficie de interacción biaxial 629
xxi
Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura
8.21 – Flexión biaxial con respecto a un eje diagonal 8.22 – Superficie de interacción con ángulo y carga constante 8.23 – Simbología utilizada para carga biaxial 8.24 – Superficies de falla 8.25 – Método de las cargas recíprocas 8.26 – Contorno de cargas de Bresler para 𝑷𝒏 constante en la superficie de falla 𝑺𝟑 8.27 – Curvas de interacción para el método del contorno de las cargas de Bresler 8.28 – Contorno de cargas de la superficie de falla 𝑺𝟑 sobre un plano de 𝑷𝒏 constante 8.29 – Contorno de cargas adimensionales para 𝑷𝒏 constante 8.30 – Superficie de falla 𝑺𝟒(𝑷𝒏𝑷𝒐, 𝑴𝒏𝒙𝑴𝒏𝒐𝒙, 𝑴𝒏𝒚𝑴𝒏𝒐𝒚) 8.31 – Relación de resistencia al momento biaxial 8.32 – Aproximación bilineal de un contorno de carga adimensionalizado 8.33 – Sección transversal 8.34 – Sección transversal 8.35 – Sección transversal 8.36 – Distribución de barras longitudinales 8.37 – Plano de detalle de la columna 8.38 – sección transversal 8.39 – peraltes efectivos para 𝑴𝒖𝒙 8.40 – Diagrama de deformación unitaria para 𝜺𝒔 = 𝟎 8.41 – Diagrama de deformación unitaria para 𝜺𝒔 = 𝟏/𝟐𝜺𝒚 8.42 – Diagrama de deformación unitaria para 𝜺𝒔 = 𝜺𝒚 8.43 – Diagrama de deformación unitaria para 𝜺𝒔 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟓 8.44 – Diagrama de deformación unitaria para 𝜺𝒔 >>> 𝟎. 𝟎𝟎𝟓 8.45 – Diagrama de interacción para 𝑴𝒖𝒙 8.46 – peraltes efectivos para 𝑴𝒖𝒚 8.47 – Diagrama de deformación unitaria para 𝜺𝒔 = 𝟎 8.48 – Diagrama de deformación unitaria para 𝜺𝒔 = 𝟏/𝟐𝜺𝒚 8.49 – Diagrama de deformación unitaria para 𝜺𝒔 = 𝜺𝒚 8.50 – Diagrama de deformación unitaria para 𝜺𝒔 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟓 8.51 – Diagrama de deformación unitaria para 𝜺𝒔 >>> 𝟎. 𝟎𝟎𝟓 8.52 – Diagrama de interacción para 𝑴𝒖𝒚 8.53 – sección transversal 8.54 – Carga axial en columna deflectada 8.55 – Diagrama de cuerpo libre 8.56 – Carga y momento en una columna 8.57 – Estados de equilibrio 8.58 – Equilibrio de una columna doblemente articulada 8.59 – Número de medias curvas senoidales 8.60 – Posibles soluciones de ecuación de Euler 8.61 – Concepto de longitud efectiva en columnas idealizadas 8.62 – Factores de longitud efectiva para elementos comprimidos en pórticos indesplazables 8.63 – Factores de longitud efectiva para elementos comprimidos en pórticos desplazables 8.64 – Consideración de columnas esbeltas 8.65 – Radio de giro, 𝒓 8.66 – Longitud no apoyada, 𝒍𝒖 8.67 – Longitud efectiva, 𝒍𝒆 (pórtico arriostrado) 8.68 – Longitud efectiva, 𝒍𝒆 (pórtico no arriostrado) 8.69 – Fallas en una columna por material y estabilidad 8.70 – Construcción de diagramas de interacción de columnas esbeltas 8.71 – Momentos en una columna deflectada 8.72 – Efecto de momentos desiguales en los extremos 8.73 – Efecto de la relación 𝑴𝟏𝑴𝟐 en el diagrama de interacción de las columnas esbeltas 8.74 – Diagrama de momento equivalente 8.75 – Convención de signos para la relación 𝑴𝟏𝑴𝟐 columnas esbeltas 8.76 – Planta tipo del edificio
630 630 631 631 632 633 635 636 636 637 637 639 640 641 644 644 649 650 650 651 653 655 657 659 662 662 663 664 665 666 667 669 671 678 679 679 680 680 681 681 682 685 686 688 690 690 690 691 692 694 694 696 697 698 698 702
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Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura
8.77 – Planta tipo del edificio 8.78 – Plano de detalle de la columna A3_arriostrado 8.79 – Planta tipo del edificio 8.80 – Planta tipo del edificio 8.81 – Plano de detalle de la columna C1_no arriostrado 9.1 – Vista del muro de cortante en el edificio 9.2 – Vista en planta de un piso soportado por muros de cortante 9.3 – Muros de cortante alrededor de elevadores y escaleras 9.4 – Vista en planta del entrepiso con muros de corte 9.5 – Muro de cortante 9.6 – Idealización de una viga en volado o muro de corte 9.7 – Muro de corte 9.8 – Muro de corte sujeta a carga horizontal 9.9 – Armado del muro de corte 10.1 – Viga de gran altura 10.2 – Pasos del método 10.3 – Claro de cortante 10.4 – Regiones B y D 10.5 – Grietas de cortante 10.6 – Analogía de la armadura 10.7 – Biela prismática 10.8 – Biela en abanico 10.9 – Biela en botella 10.10 – Viga corta de gran peralte con el modelo de entramado 10.11 – Diferentes tipos de nodos de armadura 10.12 – Dos armaduras de bielas y tirantes supuestas adicionales 10.13 – Viga de borde 10.14 – Reticulado preliminar 10.15 – Geometría del nodo C 10.16 – Geometría del nodo A 10.17 – Desarrollo de la armadura del tirante dentro de la zona nodal extendida 10.18 – Detalle de la armadura del tirante 10.19 – Modelo de bielas y tirantes alternativo 10.20 – Diseño de una ménsula 10.21 – Disposición del reticulado 10.22 – Detalle de armado
703 711 712 712 724 754 755 756 757 758 765 767 768 771 773 774 776 777 778 778 779 779 779 782 782 783 784 785 787 788 789 790 790 791 792 794
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ÍNDICE DE TABLAS Tabla 1.1 Clasificación del cemento según la naturaleza de su composición .......................................................... 8 Tabla 1.2 Tipos de cemento fabricados en Bolivia ................................................................................................... 9 Tabla 1.3 Materiales nocivos en los agregados finos ............................................................................................ 11 Tabla 1-4 Requisitos de amasado y curado ............................................................................................................ 12 Tabla 1.5 Tamaño de barras según la norma ASTM .............................................................................................. 14 Tabla 1.6 Tamaño de barras comunes en nuestro medio ....................................................................................... 15 Tabla 1.7 Tensión mínima de fluencia según ASTM .............................................................................................. 15 Tabla 1.8 Requisitos mínimos de resistencia según la norma ASTM ..................................................................... 16 Tabla 1.9 Tipos de aceros importados y comerciales en Bolivia ........................................................................... 17 Tabla 1.10 Planilla de aceros para vigas y columnas ............................................................................................ 20 Tabla 1.11 Planilla de aceros para losas, 𝒎𝒎𝟐/𝒎 de ancho .............................................................................. 21 Tabla 1.12 Rangos de resistencia a la tracción del hormigón ............................................................................... 30 Tabla 2-1 Cargas muertas mínimas de diseño ....................................................................................................... 46 Tabla 2-2 Cargas muertas mínimas de diseño (continuación) ............................................................................... 47 Tabla 2-3 Pesos específicos de materiales para cargas de diseño ......................................................................... 48 Tabla 2-4 Pesos específicos de materiales para cargas de diseño (continuación) ................................................ 49 Tabla 2-5 Pesos específicos de materiales para cargas de diseño (continuación) ................................................ 50 Tabla 2-6 Cargas vivas mínimas uniformemente distribuidas y concentradas, 𝑳𝒐................................................ 57 Tabla 2-7 Cargas vivas mínimas uniformemente distribuidas y concentradas, 𝑳𝒐 (continuación) ....................... 58 Tabla 2-8 Cargas vivas mínimas uniformemente distribuidas y concentradas, 𝑳𝒐 (continuación) ....................... 59 Tabla 2-9 Factor de carga viva del elemento ......................................................................................................... 60 Tabla 2-10 Categoría y ocupación de edificios y otras estructuras para flujos, viento, sismo y nieve .................. 73 Tabla 2-11 Factor de importancia I para cargas de viento ................................................................................... 74 Tabla 2-12 Factor de importancia I para cargas de viento ................................................................................... 79 Tabla 2-13 Coeficientes de la presión de velocidad 𝑲𝒉 y 𝑲𝒛 ............................................................................... 82 Tabla 2-14 Constantes de exposición del terreno .................................................................................................. 86 Tabla 2-15 Factor de exposición, 𝑪𝒆 ................................................................................................................... 105 Tabla 2-16 Factor de exposición, 𝑪𝒆 ................................................................................................................... 106 Tabla 2-17 Factor de importancia, 𝑰 (Carga de nieve) ........................................................................................ 106 Tabla 4-1 Resumen de los pasos necesarios para los estribos verticales ............................................................ 279 Tabla 4-2 Requisitos de resistencia a corte .......................................................................................................... 280 Tabla 4-3 Resistencia al corte ∅𝑽𝒔 en función del tamaño de barra y la separación ......................................... 281 Tabla 4-4 Separación versus longitud .................................................................................................................. 295 Tabla 6-1 Factores que se utilizan en las expresiones para determinar las longitudes de desarrollo requeridas para varillas corrugadas en tracción (ACI 12.2.4) ...................................................................................................... 396 Tabla 6-2Ecuaciones simplificadas para la longitud de desarrollo (ACI 12.2.2) ................................................ 398 Tabla 6-3 Empalmes por traslapo en tracción ..................................................................................................... 417 Tabla 7-1 Espesores mínimos de losas sin vigas interiores ................................................................................. 459 Tabla 7-2 Distribución de los momentos estáticos totales para un tramo extremo .............................................. 466 Tabla 7-3 Porcentaje del momento interior negativo de diseño que debe resistir la franja de columnas. .......... 467 Tabla 7-4 Porcentaje del momento exterior negativo de diseño que debe resistir la franja de columnas. .......... 467 Tabla 7-5 Porcentaje del momento positivo de diseño que debe resistir la franja de columnas. ......................... 468 Tabla 7-6 Coeficientes de momento para un vano final ....................................................................................... 490 Tabla 7-7 Losa con vigas interiores y exteriores ................................................................................................. 507 Tabla 7-8 Losa con vigas interiores y exteriores ................................................................................................. 508 Tabla 7-9 Losa con vigas interiores y exteriores ................................................................................................. 509 Tabla 7-10 Losa con vigas interiores y exteriores ............................................................................................... 510 Tabla 7-11 Subdivisión de momentos a las franjas .............................................................................................. 511 Tabla 7-12 Subdivisión de momentos a las franjas .............................................................................................. 512 Tabla 7-13 Coeficientes de momento para un vano final ..................................................................................... 521 Tabla 7-14 Losa sin vigas interiores y exteriores ................................................................................................ 528 Tabla 7-15 Losa sin vigas interiores y exteriores ................................................................................................ 529 Tabla 7-16 Losa sin vigas interiores y exteriores ................................................................................................ 530 Tabla 7-17 Losa sin vigas interiores y exteriores ................................................................................................ 531 Tabla 7-18 Subdivisión de momentos a las franjas .............................................................................................. 532
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Tabla 7-19 Subdivisión de momentos a las franjas .............................................................................................. 533 Tabla 7-20 Datos de piso ..................................................................................................................................... 559 Tabla 7-21 Fuente de masa .................................................................................................................................. 559 Tabla 7-22 Centro de masa y rigidez ................................................................................................................... 559 Tabla 7-23 Sumario de masa por diafragma ........................................................................................................ 559 Tabla 7-24 Sumario de masa por piso.................................................................................................................. 560 Tabla 7-25 Propiedades del material – sumario .................................................................................................. 560 Tabla 7-26 Propiedades del material – concreto ................................................................................................. 560 Tabla 7-27 Propiedades del material – refuerzo .................................................................................................. 560 Tabla 7-28 Secciones tipo marco – sumario ........................................................................................................ 560 Tabla 7-29 Secciones tipo marco (parte 1 de 2)................................................................................................... 561 Tabla 7-30 Secciones tipo marco (parte 2 de 2)................................................................................................... 561 Tabla 7-31 Secciones Shell – sumario .................................................................................................................. 561 Tabla 7-32 Secciones Shell – sumario .................................................................................................................. 561 Tabla 7-33 Asignaciones a marcos – secciones ................................................................................................... 562 Tabla 7-34 Asignaciones a losas – sumario ......................................................................................................... 562 Tabla 7-35 Asignaciones a losas – secciones ....................................................................................................... 562 Tabla 7-36 Cargas paternas ................................................................................................................................. 563 Tabla 7-37 Viento automático – ASCE 7-05 ........................................................................................................ 563 Tabla 7-38 Carga de shell – uniforme.................................................................................................................. 564 Tabla 7-39 Combinaciones de carga.................................................................................................................... 564 Tabla 7-40 Piso max/prom Desplazamientos ....................................................................................................... 564 Tabla 7-41 comparación del método manual versus SAFE 12.0.0 ....................................................................... 577 Tabla 8-1 Resultados de los estados..................................................................................................................... 661 Tabla 8-2 Resultados de los siete estados ............................................................................................................ 669 Tabla 8-3 coeficientes para momento último uniaxial ......................................................................................... 673 Tabla 8-4 coeficientes para momento último uniaxial ......................................................................................... 675 Tabla 8-5 Resumen de resultados ......................................................................................................................... 677 Tabla 8-6 Inercia de las secciones ....................................................................................................................... 689 Tabla 8-7 Resultados de las combinaciones de la columna A3 ............................................................................ 704 Tabla 8-8 Momentos amplificados de la columna A3, para todas las combinaciones ......................................... 708 Tabla 8-9 Resultados de las combinaciones de la columna C1 ............................................................................ 713 Tabla 8-10 Momentos amplificados de la columna C1, para todas las combinaciones ....................................... 717 Tabla 8-11 Momentos amplificados de la columna C1, para todas las combinaciones ....................................... 720 Tabla 8-12 Momentos amplificados de la columna C1, comparación de los dos métodos .................................. 720
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CAPÍTULO 1: INTRODUCCIÓN
AL HORMIGÓN ARMADO Durante siglos el hombre busco la manera de construir estructuras que alcanzarán los cielos, actualmente esto es posible gracias al hormigón armado y sus avances tecnológicos, un claro ejemplo es el edificio Burj Khalifa, ubicado en Dubái, considerado desde el año 2007 el edificio más alto del mundo, con sus 825 metros de altura. Construido con hormigón armado de alta resistencia. Burj Khalifa Marca uno de los grandes avances logrados por el hombre en la construcción de edificios de gran altura.
1.1) ANTECEDENTE HISTORICO En la antigüedad los romanos utilizaron una especie de cemento denominado puzolana, encontraron depósitos de ceniza volcánica arenosa cerca del monte Vesubio y en otros lugares de Italia, el cual mezclaron con cal viva, agua, arena y grava, dejando endurecer la mezcla, el producto resultante fue una sustancia rocosa el cual usaron coma material de construcción. Este material rocoso se puede considerar como un hormigón relativamente pobre con una baja resistencia, en comparación con los hormigones actuales; pero algunas estructuras de hormigón hechas por los romanos siguen en pie hoy en día tal es el caso del panteón (edificación dedicado a los dioses) construido a.C. en roma Italia (figura 1.1).
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Figura 1.1 – El panteón construida en Roma a.C, edificación dedicada a los dioses
Se puede decir que los romanos fueron los primeros en realizar construcciones con cemento; pero el verdadero avance para la utilización del cemento hidráulico como material de construcción se hiso entre los siglos XVIII-XIX, por personajes que mencionaremos a continuación: John Smeaton (Inglaterra), ingeniero que reconstruyo en 1758 el faro de Eddystone en la costa de Cornish (figura 1.2), en el cual descubre mediante ensayos que el mortero formado por puzolana más caliza con alta proporción de arcilla, es la que mejor resultado da frente a las aguas saladas ya que la presencia de arcillas en la cal mejora el fraguado de las mismas bajo el agua.
Figura 1.2 – Faro de Eddystone en las costas de Cornish Inglaterra
Parkes (Inglaterra), descubrió en 1796 un depósito de piedra de cemento natural (piedra caliza con 35% de arcilla) que fue vendido como “cemento romano”. Vicat (Francia), científico que fue pionero en proponer las normas para la fabricación del cemento en 1818, mediante mezclas de productos calizos y arcillosos, el sistema de fabricación que empleo fue el de vía húmeda. Aporto estudios sobre el fraguado, endurecimiento y los efectos destructivos del agua de mar sobre el hormigón. Joseph Aspdin (Inglaterra), albañil que en 1824 patento el cemento portland, denominado de esta manera debido al gran parecido en dureza y color a las piedras de la cantera ubicada en la copyright©rcolquea
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isla de Portland Inglaterra. Realizando numerosos ensayos de calcinado de piedra caliza y arcilla pulverizada en la estufa de su cocina, además moliendo después la escoria o Clinker, Aspdin obtuvo un polvo fino de color verdoso, el que hoy conocemos como cemento portland1. Los primeros usos de hormigón armado como material de construcción de elementos estructurales no son bien conocidos, muchos de los trabajos iniciales al igual que el cemento hidráulico fueron hechos entre los siglos XVIII-XIX en Europa. A continuación daremos a conocer a los pioneros que aportaron al descubrimiento y desarrollo del hormigón armado. Joseph Louis Lambot (Francia), construyo un bote (figura 1.3) de hormigón armado a partir de una malla de alambres con varillas paralelas y un espesor de cuatro centímetros. Lambot mostro su bote en la exposición mundial de París en 1855.
Figura 1.3 – Bote de hormigón armado construido en 1848
Joseph Monier (Francia), fabricante de macetas, patento distintos tipos de sistemas de construcción entre los años de 1867-1883 empezando con la patente de tinas o receptáculos y depósitos de hormigón, reforzadas con una malla de alambre de acero. Su meta reconocida al trabajar con este material era obtener un bajo peso sin tener que sacrificar resistencia, esto gracias a la adecuada y razonable distribución de los aceros. Monier llego ser dueño de patentes como durmientes, losas de piso, arcos, puentes peatonales, edificios y otros elementos de hormigón armado en Francia y Alemania. Francois Coignet (Francia), ingeniero que desarrollo métodos básicos de diseño, en 1861 publicó un libro titulado principios de la construcción, en la cual hace énfasis a la debilidad del hormigón a la tracción. Propone el concepto de refuerzo de acero metálico ahogado en las áreas de tracción de un elemento estructural de hormigón. Coignet también fue el primero en darse cuenta que la adición de mucha agua a la mezcla reducía considerablemente la resistencia del hormigón. Francois Hennebique (Francia), albañil que patento en 1879 sistemas de construcción con hormigón armado resistentes al fuego, baso todas sus patentes en resultados experimentales. 1
(McCormac C., 2011, pág. 3) copyright©rcolquea
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Hennebique en 1892 llego a formar una organización con más de 62 oficinas en todo el mundo. La firma Hennebique cerro en los años de 1960 habiendo ejecutado unos 150000 proyectos desde su creación). Conrad Freytag y G. A. Wayss (Alemania), ingenieros que adquirieron en 1884 las patentes Monier, para la construcción de estructuras de hormigón armado en Alemania. Consolidaron su empresa constructora con el nombre de Wayss and Freytag. Impulsaron investigaciones sobre el análisis y comportamiento del hormigón armado desde su empresa. Fritz Von Emperger (Austria), ingeniero que publico su libro en 1897 sobre el estudio que realizo del hormigón armado, usando las leyes y reglas de la mecánica aplicada a la construcción, llego así a fundar la actual teoría de cálculo, basándose en los resultados de numerosos ensayos mecánicos de estructuras de hormigón armado. Emmil Morsch, ingeniero que es reclutado por la firma Wayss and Freytag, en 1901, como ingeniero jefe y responsable de la línea de investigación de dicha empresa. Realizo numerosos ensayos, paralelamente al ingeniero Emperger y sentó las bases de lo que hoy conocemos como método elástico o método clásico. Aporto también con la comprensión de la resistencia al corte y la torsión en elementos de hormigón armado. William E. Ward (Estados Unidos), ingeniero que construyo el primer edificio de hormigón armado en Estados Unidos en la ciudad de Port Chester (Nueva York), en 1875. En 1883 presento un artículo ante la American Society of Mechanical Engineers donde afirma haber obtenido la idea del hormigón armado al observar a trabajadores ingleses en 1867 intentando limpiar el cemento endurecido de sus herramientas de acero. Thaddeus Hyatt (Estados Unidos), abogado que por razones políticas termino desarrollando actividades de constructor en Inglaterra. Fue probablemente la persona en analizar correctamente los esfuerzos de una viga de hormigón armado y en 1877 publicó su libro denominado (un resumen de algunos experimentos con hormigón de cemento portland combinado con hierro como material de construcción). En este libro elogio el uso de hormigón armado y dijo que “las vigas de acero tienen que aceptarse con base en un acto de fe”. E. L. Ransone, (Estados Unidos), de San Francisco, supuestamente usó hormigón reforzado en los primeros años de la década de 1870 y fue el inventor de las varillas corrugadas o retorcidas, para la que obtuvo una patente en 1884. De ahí en adelante se produjeron progresivamente avances considerables en el campo del hormigón armado, por lo que surgió la necesidad de contar con normas que reglamenten los métodos de construcción, este echo impulso a los países como Alemania, Inglaterra y Estados Unidos a publicar sus primeras normas. La British Standard, norma inglesa publicada en 1915, la norma DIN-1045 que se publicó en Alemania en 1932 y la norma Americana ACI-3182 que fue publicada en 1947. En las dos últimas décadas las muchas investigaciones teóricas y experimentales realizadas, dieron como resultado teorías y normas que evolucionaron rigurosamente, para llevar a la práctica la construcción de estructuras de hormigón armado. Los conceptos de construcción con hormigón armado condujeron a elementos estructurales que no solo fueron más fuertes, que los fabricados con hormigón simple, sino que también poseían la ductilidad de la que carecen los elementos de hormigón. 2
(American Concrete Institute, 2011) copyright©rcolquea
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1.2) HORMIGÓN Y HORMIGÓN ARMADO 1.2.1) HORMIGÓN El hormigón es un material semejante a la piedra, el hormigón se obtiene mediante una mezcla cuidadosa de cemento, arena, grava y agua. El cuerpo del material consiste en agregado fino y grueso, el cemento y el agua interactúan químicamente para unir las partículas de agregado y conformar una masa sólida. El agua es necesaria para la reacción química y además para la trabajabilidad del hormigón y para que pueda ser llenado en el encofrado. Se puede obtener hormigón con un amplio rango de propiedades mediante el ajuste de las proporciones de los materiales constitutivos, un rango de propiedades se puede obtener mediante la utilización de cementos especiales (cemento de alta resistencia inicial), agregados especiales, aditivos y mediante métodos especiales de curado. Las propiedades del hormigón dependen de las proporciones de la mezcla, el cuidado, condiciones de humedad y temperatura desde el momento en que se vacía al encofrado hasta su endurecimiento total. El hormigón es muy resistente a la compresión, pero el hormigón es un material relativamente frágil, con una baja resistencia a la tracción. 1.2.2) HORMIGÓN ARMADO Para contrarrestar la limitación resistente de tracción del hormigón, se consideró factible utilizar acero para reforzar el hormigón debido a su alta resistencia a la tracción, principalmente en aquellos sitios donde la baja resistencia a la tracción del hormigón limitaría la capacidad portante del elemento, el refuerzo usualmente conformado por barras circulares de acero, con deformaciones apropiadas para proporcionar adherencia. Cuándo las barras estén completamente rodeadas por la masa de hormigón endurecido, comienza a formar parte integral del elemento. La combinación de hormigón y acero es conocida como hormigón armado, la cual combina muchas de las ventajas de cada uno: costo relativamente bajo, resistencia al clima y al fuego, resistencia a la compresión, fácil moldeo del hormigón, alta resistencia a la tracción del acero, mayor ductilidad y tenacidad del acero. Las propiedades entre el hormigón y el acero generan una combinación celestial para los ingenieros, en conclusión podemos decir que generalmente, las compresiones son resistidas por el hormigón y las tracciones por el acero. Ver figura 1.4.
Figura 1.4 – Vigas de hormigón con y sin armadura de refuerzo
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1.3) VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL HORMIGÓN ARMADO 1.3.1) VENTAJAS DEL HORMIGÓN ARMADO El hormigón armado ha llegado a ser un material de construcción de mucha importancia, puede usarcé en casi todas las estructuras sean grandes o pequeñas, el gran éxito de este material de construcción puede entenderse si se consideran sus numerosas ventajas. Algunas de estas son las siguientes: Posee una formidable resistencia a la compresión por unidad de costo en comparación a otros materiales. Es un material resistente al fuego, ya que con un apropiado recubrimiento de hormigón sobre las varillas de acero, puede resistir incendios de mediana intensidad. Es un excelente material de construcción en presencia del agua, este hecho lo convierte en el más económico y apropiado, para la construcción de elementos estructurales en contacto con los suelos. Una característica del hormigón es la posibilidad de vaciarlo o moldearlo en una gran variedad de formas, desde una simple viga hasta grandes arcos de puente. Las estructuras de hormigón armado son muy rígidas gracias a que las mismas se construyen monolíticamente. Requiere poco mantenimiento a través del tiempo. Es un material que tiene una vida de servicio prolongada en comparación a otros materiales, esto se debe a que el hormigón no pierde resistencia con el tiempo, por lo contrario la resistencia aumenta con paso de los años, debido al largo proceso de solidificación de las partículas de cemento. La gran resistencia a tracción de las varillas de refuerzo. 1.3.2) DESVENTAJAS DEL HORMIGÓN ARMADO Para realizar una construcción con hormigón armado, se tiene que estar consciente tanto de sus puntos débiles, así como de sus puntos fuertes. Alguna de sus desventajas son las siguientes: Requiere de encofrados o cimbras para que el hormigón tome forma y adquiera resistencia suficiente para sostenerse por su propia cuenta. El costo de la construcción con hormigón armado se hace más cara cuando más cimbras o encofrados se usen. La baja resistencia por unidad de peso y volumen hace que las estructuras de hormigón armado sean pesadas y muy grandes lo cual es considerable en construcciones de gran claro o edificios altos. El poco control de calidad que se efectúa en el proceso de vaciado y curado del hormigón armado, afecta la resistencia del mismo. 1.4) COMPATIBILIDAD ENTRE EL HORMIGÓN Y EL ACERO La combinación de acero y hormigón conforma un material compacto y resistente. Las ventajas de cada material compensan las desventajas del otro, un ejemplo claro se presenta cuando el acero de refuerzo compensa al hormigón por su baja resistencia a la tracción, ya que el acero tiene una resistencia a la tracción 100 veces mayor a la del hormigón y la resistencia a compresión del acero es quince veces más que la resistencia a compresión del hormigón. El
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acero es un material mucho más costoso que el hormigón, por esta razón de economía se utiliza la combinación del hormigón y el acero3. El hormigón se utiliza para resistir los esfuerzos de compresión y el acero para resistir los esfuerzos de tracción; pero también se utiliza refuerzo para resistir esfuerzos de compresión, especialmente cuando se desea reducir la sección transversal de elementos a compresión, es el caso de las columnas de los primeros pisos de edificios altos. La buena adherencia entre el hormigón y el acero hace que no existan deslizamientos entre los dos materiales, permitiendo que trabajen como una sola unidad para contrarrestas los esfuerzos requeridos. Las principales características para que el acero y el hormigón funcionen de forma conjunta son: Finalmente el hormigón y el acero trabajan juntos respecto a los cambios de temperatura ya que sus coeficientes de dilatación térmica son muy similares, el acero tiene un coeficiente de dilatación de 10.10 × 10−6 (1⁄℃) y del hormigón varía entre 7 × 10−6 a 12.10 × 10−6 (1⁄℃), con un promedio de 9.5 × 10−6 (1⁄℃). La resistencia a corrosión del acero es pobre, por el contrario el hormigón tiene una excelente protección contra la corrosión del acero. La resistencia al fuego del acero es pobre, debido a su alta conductividad térmica, por el contrario la conductividad térmica del hormigón es baja. Los daños producidos por incendios están protegidos por la superficie exterior del hormigón, es decir el hormigón proporciona un aislamiento térmico al refuerzo. 1.5) CEMENTO Los cementos son conglomerantes hidráulicos, esto es debido a que los productos componentes del mismo mezclados con agua forman pastas que fraguan y endurecen, dando lugar a elementos estructurales mecánicamente resistentes y estables, tanto en el aire, como en el agua. Los componentes primarios del cemento son: calizas con alto contenido de óxidos de calcio y sílice constituidos normalmente por arcillas. Una variedad de cemento hidráulico mundialmente conocido es el cemento portland, por su fácil uso en cualquier clase de construcción, ya que solo requiere combinarse con agua y algún tipo de agregado para lograr una sustancia rocosa muy resistente. Prácticamente el cemento portland es un clinker finamente pulverizado, producido por la cocción a temperaturas elevadas, de mezclas que contienen cal, aluminio, hierro y sílice en cantidades definidas, para lograr las propiedades deseadas. 1.5.1) CLASIFICACIÓN DEL CEMENTO PORTLAND Los distintos tipos de cementos nacionales son clasificados según a la naturaleza de sus componentes en: Cemento portland; denominado con la letra “I”; cemento hidráulico producido al pulverizar clinker y una o más formas de sulfatos de calcio como adición de molienda, cuyas proporciones de sus componentes están indicadas en la tabla 1.1, los distintos tipos de estructuras de hormigón hechos con cemento portland adquieren a las 2 semanas resistencia suficiente para retirar el encofrado y aplicar cargas moderadas. Tales estructuras de hormigón alcanzan sus resistencias
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de diseño aproximadamente a los 28 días y después continúan ganando resistencia a un menor ritmo. Cemento portland con puzolana; denominado con las letras “IP”; cemento hidráulico que consiste en una mezcla homogénea de clinker, puzolana natural (material silíceo o silicoaluminoso) y una o más formas de sulfatos de calcio como adición de molienda, cuyas proporciones de sus componentes están indicadas en la tabla 1.1. Los hormigones elaborados a partir del cemento IP, son conocidos por su alta resistencia final, baja permeabilidad, reducido calor de hidratación y gran durabilidad. Generalmente este tipo de cemento es usado en hormigones expuestos a cloruros y sulfatos, como es el caso de losas de fundación, presas, zonas marinas de perforación, etc. Cemento portland con filler caliza; denominado con las letras “IF”; cemento hidráulico que consiste en una mezcla homogénea de clinker, filler caliza (material inorgánico constituido por carbonato de calcio) y una o más formas de sulfatos de calcio como adición de molienda, cuyas proporciones de sus componentes están indicadas en la tabla 1.1. Los hormigones elaborados a partir del cemento IF son conocidos por su rápida adquisición de resistencia, baja permeabilidad, elevado calor de hidratación y gran durabilidad. Este tipo de cemento es usado en construcciones que tiene tiempo limitado de ejecución, reparaciones de emergencia y para el uso de hormigón lanzado. Cemento puzolanico; denominado con la letra “P”; producido por la mezcla homogénea de un material conocido como puzolana (material silíceo o silicoaluminoso) y el hidróxido de calcio (componente del clinker), finamente molido, cuyas proporciones de sus componentes están indicadas en la tabla 1.1. Este cemento P es conocido porque alcanza baja resistencia mecánica, y su fraguado es un poco más lento que el del cemento portland. Por esta razón, puede ser considerado como un cemento para aplicaciones de albañilería. Clasificación del Cemento Según la Naturaleza de su Composición
ón ac i n g Clinker esi
Tipos de Cementos
D
I
95-100%
Cemento Portl and con puzol ana
IP
70-94 %
Cemento Portl and con fi l l er cal i za
IF
80-94%
Cemento puzol ani co
P
>60%
Cemento Portl and
Componentes Principales Puzolana Natural
Filler Caliza
6-30%
0 - 5% 6-15%
<40%
Componentes Adi ci onal es 0 - 5% 0 - 5% 0 - 5%
Tabla 1.1 Clasificación del cemento según la naturaleza de su composición
1.5.2) FABRICACIÓN DE CEMENTOS PORTLAND EN BOLIVIA En Bolivia existen distintas empresas que fabrican una gran variedad de cementos, las cuales mencionaremos con detalle en la tabla 1.2.
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Empresa SOCIEDAD BOLIVIANA DE CEMENTO SOBOCE S.A. "PLANTA VIACHA" SOCIEDAD BOLIVIANA DE CEMENTO SOBOCE S.A. SOCIEDAD BOLIVIANA DE CEMENTO SOBOCE S.A. COOPERATIVA BOLIVIANA DE CEMENTO Y SERVICIOS LTDA COBOCE FABRICA NACIONAL DE CEMENTO S.A. FANCESA ITACAMBA CEMENTO S.A.
Logo
Tipo
Norma
I-30
NB 011:2005
IP-40
NB 011:2005
IP-30
NB 011:2005
IP-30
NB 011-95
IP-40
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IP-30
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IP-40
NB 011:2005
IP-30
NB 011:2005
IP-40 I-30 I-40 IP-30
NB 011:2005 NB 011:2005 NB 011:2005 ASTM C 595-06
IP-40
UNE-EN 197-1-00
IF-30
NB 011:2005
Nota: la desicnación de los tipos de cementos es alfanumerico por ejemplo; el cemeto IP-30, el codigo IP hace referencia al cemento Portland con Puzolana. El numero treinta indica una capacidad de compresión de 30 Mpa.
Tabla 1.2 Tipos de cemento fabricados en Bolivia
1.6) AGREGADOS Los agregados usados en hormigón significan 3/4 partes del total del volumen de la mezcla. Son materiales granulares, inertes y pueden ser de origen natural, como son las rocas, tanto en el estado en que se encuentran (canto rodado) como procesadas por trituración (piedra partida o chancada), u otros materiales suficientemente duras que permitan obtener partículas de forma y tamaño estable tales como las arcillas expandidas o las escorias de alto horno, que llegan hacer agregados artificiales. Generalmente los agregados se dividen en dos grandes grupos que son (figura 1.5): 1. Agregados finos 2. Agregados gruesos
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Figura 1.5 – Agregado fino y agregado grueso
1.6.1) AGREGADO FINO El agregado fino o arena se define como: Las partículas de agregado menores de 4.75 𝑚𝑚 y mayores de 75 µ𝑚, o también como la porción de materia que pasa por el tamiz No. 4 (4.75 𝑚𝑚) y es retenido en la tamiz No. 200 (75 µ𝑚). Los agregados finos se clasifican por su procedencia en: a) Arena natural: Agregado fino, resultado de la desintegración y abrasión natural de las rocas. b) Arena de trituración: Agregado fino de partículas angulares que se produce por trituración y procesamiento mecánico de la roca. El agregado fino para poder ser usado sin problemas adversos en la producción de hormigón, deben cumplir ciertos requisitos de calidad como: Está constituida por partículas limpias, de perfiles angulares duros, compactos, resistentes y libres de productos químicos absorbidos. El agregado fino deberá cumplir las normas sobre granulometría. El agregado fino debe estar libre de impurezas orgánicas, materiales muy finos que pasen el tamiz No 200, carbón, lignito u otros materiales de peso ligero, partículas suaves, terrones de arcilla, partículas deleznables y otros materiales finos que puedan afectar la hidratación y adherencia da la pasta de cemento. Las partículas de agregado fino no deben ser desmenuzables o susceptibles de resquebrajamiento, ya que aumentan la probabilidad de provocar agrietamientos y disminuir la resistencia del hormigón. En tabla 1.3 se detalla los distintos materiales nocivos en el agregado fino que afectan al hormigón.
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Materiales Nocivos en los Agregados Finos Efecto en el hormigón Normas Afectan el fragua y elendurecimiento. ASTM C 40 AASHTO T 21 Impurezas orgánicas Puede causar deterioros. ASTM C 87 AASHTO T 71 Material más fino que el Afecta a la adherencia, aumenta la ASTM C 117 AASHTO T 11 tamiz No 200 ( 75 µm) demanda de agua requerida. Carbón, lignito u otros Afecta la durabilidad, puede causar ASTM C 123 AASHTO T 113 materiales ligero manchas y erupciones. Particulas blandas Afecta la durabilidad. ASTM C 235 Terrones de arcilla y Afecta la trabajabilidad y la ASTM C 142 AASHTO T 112 particulas deleznables. durabilidad, puede causar Horsteno de densidad Afecta la durabilidad, puede causar ASTM C 123 AASHTO T 113 relativa inferior a 2,40 erupciones. ASTM C 295 ASTM C 227 ASTM C 289 Causa expansión anormal, afogarado ASTM C 295 Agregados reactivos con ("viboritas", acocodrillamiento piel ASTM C 342 AASHTO T 303 los álcalis de cocodrillo) ASTM C 586 ASTM C 1260 ASTM C 1293 Sustancia
Tabla 1.3 Materiales nocivos en los agregados finos
1.6.2) AGREGADO GRUESO El agregado grueso o grava se define como: Las partículas de agregado mayores de 4.75 𝑚𝑚, es decir, el retenido en la malla No 4 (4.75 𝑚𝑚). El agregado grueso se define según su procedencia en: a) Grava natural: agregado proveniente de la desintegración natural y abrasión natural de materiales pétreos o bien del procesamiento de conglomerados con adherencia débil. Las gravas naturales proporcionan hormigones más dóciles y trabajables, requieren una menor cantidad de agua. En la selección del agregado grueso se tiene que cuidar que sean duras y limpias, que no contenga ningún tipo de arcilla ni material orgánico ya que estos debilitan el hormigón. b) Piedra triturada o machacada: Es resultado de la trituración artificial de roca, piedras boleadas o pedruscos grandes, sus caras poseen aristas bien definidas. La piedra triturada proporciona una mayor trabazón que se refleja en una mayor resistencia del hormigón, especialmente en tracción y en general con una mayor resistencia química. Requiere una mayor cantidad de agua a causa del polvo producido por el machacado, lo que ocasiona una menor resistencia mecánica y un aumento de finos en el hormigón. Los agregados gruesos tienen que cumplir ciertos requerimientos para su uso en la fabricación de hormigón: El agregado grueso tiene que estar constituida por partículas limpias, duras, resistentes, libres de recubrimiento de arcillas y de otros materiales finos que afecten la hidratación y adherencia en la fabricación de hormigón. Las partículas de agregado grueso no deben ser desmenuzables o susceptibles de resquebrajamiento, ya que aumentan la probabilidad de provocar agrietamientos y disminuir la resistencia del hormigón.
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El tamaño máximo nominal del agregado grueso no debe sobrepasar los siguientes límites de la sección 3.3.2. de la norma ACI 318 -11: 1/5 de la menor separación entre los lados del encofrado, 1/3 del espesor de la losa, 3/4 del espaciamiento mínimo libre entre las barras o alambres individuales de refuerzo. 1.7) AGUA El agua se puede utilizar de dos maneras en las estructuras de hormigón armado: a) Agua para la dosificación del hormigón: tiene como objetivo la hidratación del cemento, aumentar la trabajabilidad del hormigón, para el correcto vaciado en el encofrado. Se debe cuidar mucho la relación agua material cementante, porque el exceso de agua incrementa la evaporación de huecos que reducen la resistencia del hormigón. b) Agua de curado: evita la desecación superficial, mejora la hidratación del cemento, el curado debe controlarse, porque puede ser más peligroso. No se debe curar el hormigón con agua caliente. 1.7.1) CALIDAD DEL AGUA El agua a utilizar tanto para el amasado como para el curado del hormigón debe ser: limpia, cristalina, contenido mínimo de sustancias disueltas, contenido mínimo de sustancias orgánicas, debe utilizarse agua potable que cumpla con las especificaciones de la tabla 1.4. REQUISITOS DE AGUA DE AMASADO Y CURADO Limitación Determinación IBNORCA ASTM Grado de acidez PH >= 5 >=4 Sustancias disueltas totales <= 15 g/l Sulfatos <=1 g/l <=3 g/l Cloruros expresados en ion <=6 g/l Hidratos de carbono 0 0 Sustancias orgánicas <= 15 g/l
Tabla 1-4 Requisitos de amasado y curado
Sulfatos; provoca reacciones expansivas y deterioro. Cloruros; el agua a utilizar para preparar hormigón armado; hormigón en el cual se empotre a elementos metálicos y hormigón que se coloque a encofrados de metal galvanizado no debe contener cantidades perjudiciales de cloruro. El problema que se presenta por causa de cloruros es la corrosión en las armaduras. El reglamento de la American Concrete Institute, ACI318 – 114 en la tabla R4.3.1, limita el contenido de ión cloruro soluble en agua para construcciones nuevas. Carbonatos y bicarbonatos alcalinos; el agua debe tener menos de 2000 partes por millón (𝑝𝑝𝑚) de sólidos disueltos totales, si tiene más de 2000 partes por millón de sólidos disueltos se debe someter a ensayos para determinar su efecto a la resistencia y al tiempo de fraguado del hormigón. El agua para la dosificación debe tener materias orgánicas menor a 15 𝑔𝑟/𝑙, no debe ser agua verdosa. Agua salada; el agua de mar no es adecuado para elaborar hormigón, porque aumenta la corrosión del acero, la corrosión aumenta más si el elemento de hormigón armado está ubicado en un ambiente cálido y húmedo.
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(American Concrete Institute, 2011, pág. 64) copyright©rcolquea
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Acidez del agua; el PH es un indicador de acidez de una sustancia, el PH en el agua puede variar entre 0 y 14, cuando el PH de una sustancia es mayor de 7, es una sustancia básica; cuándo el PH de una sustancia está por debajo de 7, es una sustancia ácida. Algunas recomendaciones sugieren que el PH en el agua para el hormigón debe estar entre 5 y 8, no debe utilizar agua con PH inferior a 5. 1.8) ACERO DE REFUERZO Las barras corrugadas estándar de refuerzo son laminados en caliente o frío, con estrías o resaltos que sobresalen. Las normas caracterizan los tamaños y corrugaciones de las barras modernas para refuerzo, fijando especificaciones mínimas para el espaciamiento, altura de las corrugaciones y aberturas permisibles. En las figuras 1.6 y 1.7 se muestra una barra corrugada típica de acero de refuerzo con las características consideradas por la norma brasilera, el acero de refuerzo viene con una longitud de 12 metros.
Figura 1.6 – Corte longitudinal de la barra de refuerzo según la norma brasilera.
Figura 1.7 – Vista longitudinal de la barra de refuerzo según la norma brasileña.
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Las barras de refuerzo vienen corrugadas, con el objetivo de aumentar la resistencia al deslizamiento entre el acero y el hormigón, es decir aumenta la adherencia entre el hormigón y el acero. Las barras de refuerzo se denominan por números, que están en función del diámetro de la sección transversal, los números de cada barra se designa de acuerdo al acercamiento de diámetro de 1/8 de pulgada. Ejemplo. Una barra # 5 tiene un diámetro de 5/8 de pulgada, esto para el sistema inglés. En la actualidad las barras de refuerzo se denominan por números, que están en función del diámetro de la sección transversal, donde los diámetros están expresados en milímetros. En 1997 algunos fabricantes de barras anunciaron que comenzarían la producción de barras designadas con sus dimensiones métricas equivalentes (conversión “soft metric”). El sistema de conversión “soft metric” consiste simplemente en asignarle a los productos las dimensiones métricas equivalentes, sin realizar ningún cambio físico en las dimensiones de los productos. El sistema de conversión “hard metric” implica redimensionar los productos para fabricarlos en nuevos tamaños, métricos y racionales. Ejemplo. Una barra de 4/8 de pulgada tiene 12.7 milímetros, esto implica que la barra se la reconoce como Nº 13 (según el sistema “soft metric”). La tabla 1.5 contiene un listado completo de todos los tamaños de barras especificados por la ASTM (sistema “soft metric”). Pulgada -libra Sistema métrico Nº Diámetro (pulg) Nº Diámetro (mm) 3 0,375 10 9,5 4 0,500 13 12,7 5 0,625 16 15,9 6 0,750 19 19,1 7 0,875 22 22,2 8 1,000 25 25,4 9 1,128 29 28,7 10 1,270 32 32,3 11 1,410 35 35,8 14 1,693 45 43,0 18 2,257 57 57,3
Tabla 1.5 Tamaño de barras según la norma ASTM
La tabla 1.6 contiene un listado completo de los tamaños de barras que se utilizan en nuestro medio, aceros en el sistema inglés y sistema internacional, en Bolivia generalmente existen aceros de acuerdo al sistema internacional.
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HORMIGÓN ARMADO Pulgada -libra Sistema métrico Diámetro (pulg) Nº Diámetro (mm) 1/4 6 6 8 8 3 3/8 9,5 9,5 10 10,0 4 1/2 12 12,0 5 5/8 16 16,0 6 3/4 20 20,0 8 1 25 25,0 10 1 1/4 32 32,0 40 40,0
Nº 2
Tabla 1.6 Tamaño de barras comunes en nuestro medio
Las especificaciones ASTM contienen requisitos para barras en unidades inglesas y unidades métricas (SI). Por esto las especificaciones ASTM tienen denominaciones dobles (A615 y A615M), lo mencionado se resume en la tabla 1.7. Especificación ASTM
A615 y A615M
A955 y A955M
A996 y A996M A706 y A706M
Grado/Tensión mínima de fluencia Pulgada - libra Sistema métrico (ksi) (Mpa) 40 280 60 420 75 526 40 280 60 420 75 526 40 280 50 350 60 420 60 420
Tabla 1.7 Tensión mínima de fluencia según ASTM
La tensión de fluencia mínima requerida varía ligeramente en las especificaciones ASTM correspondientes a las barras especificadas de acuerdo al sistema métrico. Por ejemplo, la ASTM especifica tensiones de fluencia de 420 𝑀𝑃𝑎, lo que corresponde aproximadamente a 60.9 𝑘𝑙𝑏/𝑖𝑛2, y si transformamos 60 𝑘𝑙𝑏/𝑖𝑛2 , daría por resultado una tensión de fluencia métrica de 413.8 𝑀𝑃𝑎; por tal razón no existe concordancia entre el sistema inglés y el sistema métrico, por tal razón se procede con el sistema de conversión “hard metric”. Si el diseño y la construcción se la realizan con el código ACI 318-11, el uso de barras designadas por el sistema métrico tendrá una influencia de 1.5% respecto al sistema inglés, es decir aumenta la resistencia en 1.5%. 1.8.1) GRADOS Y RESISTENCIAS En la actualidad las barras con esfuerzo de fluencia de 414 𝑀𝑃𝑎, reemplazaron a las barras con esfuerzo de fluencia de 276 𝑀𝑃𝑎, que se utilizó mucho hace 25 años atrás. Se optó por usar las barras de 414 𝑀𝑃𝑎, debido a que son económicas y reducen la congestión del acero en el encofrado. Las barras con esfuerzo de fluencia de 518 𝑀𝑝𝑎 se están utilizando en columnas. El copyright©rcolquea
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grado del acero de refuerzo está de acuerdo a la resistencia de fluencia del refuerzo, es decir, el acero con esfuerzo de fluencia de 414 MPa, es conocido como un refuerzo de grado 60. En la tabla 1.8 se denominaron los aceros que actualmente existen en el mercado inglés, sus grados y denominaciones (según el sistema “soft metric”). Resumen de requisitos minimos de resistencia de la ASTM Resistencia mínima a la Especificación Grado o fluencia PRODUCTO tipo ASTM Klb/pulg2 Mpa
A615
Barras de refuerzo
A616 A617 A706
Parrilla de barras corrugadas Barras recubiertas con zinc Barras recubiertas con epóxico Alambre liso
Grado 40 Grado 60 Grado 75 Grado 50 Grado 60 Grado 40 Grado 60 Grado 60
40 60 75 50 60 40 60 60 78
276 414 518 345 414 276 414 414 538
Resistencia máxima a la tensión
Kg/cm2 Klb/pulg2 Mpa
Kg/cm2
483 621 690 552 621 483 621 552
4925,9 6333,3 7037 5629,6 6333,3 4925,9 6333,3 5629,6
552
5629,6
2814,8 4222,2 5277,8 3518,5 4222,2 2814,8 4222,2 4222,2 5488,9
70 90 100 80 90 70 90 80
A184
Igual que para barras de refuerzo
A767
Igual que para barras de refuerzo
A775
Igual que para barras de refuerzo
A82
70
483
4925,9
80
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Tabla 1.8 Requisitos mínimos de resistencia según la norma ASTM
La soldadura de barras para la fabricación de entramados de refuerzo, reducen la resistencia a la ductilidad, por tanto la ASTM A706, establece restricciones especiales sobre el tipo de acero y el procedimiento de soldadura. El código ACI permite utilizar aceros con refuerzo de fluencia de hasta 552 𝑀𝑃𝑎, estos aceros tienen una alta resistencia, pero no tienen una plataforma de fluencia, es decir el rango de ductilidad tiende a reducirse, por lo tanto para que el acero fluya se exige que la deformación unitaria no exceda a 0.0035. Los aceros con alta resistencia son utilizados en las columnas de los primeros pisos de edificios altos. 1.8.2) IDENTIFICACIÓN DEL ACERO Es muy importante que el constructor sepa identificar las barras de refuerzo, el constructor debe ser capaz de identificar el diámetro y el grado del refuerzo. Para prevenir errores en la construcción, las barras tienen marcas de identificación, en el mercado boliviano, podemos encontrar el CA 50 s Belgo, es un acero para hormigón producido por la ArcelorMittal, conforme a la Norma Brasileña NBR 7480 grado CA 50, el acero Belgo tiene bajo contenido de carbono, aleaciones rigurosamente controladas y se somete a un enfriamiento electrónicamente controlado.
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(Nilson, 2001, pág. 53) copyright©rcolquea
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En Bolivia se encuentra aceros de las industrias Belgo de Brasil, Acindar de Argentina y Arequipa de Perú; la tabla 1.9 especifica los diámetros que existen en las respectivas industrias. Diámetro nominal (mm)
BELGO (BRASIL) 500* 600** Mpa Mpa
ACINDAR
AREQUIPA
(ARGENTINA)
(PERU) 420* Mpa
420* Mpa
4,2 5 6 7 8 9,5 10 12 16 20 25 32 40 * Laminado en caliente ** Laminado en frío (denominan hilos o alambres)
Tabla 1.9 Tipos de aceros importados y comerciales en Bolivia
El sistema de identificación del acero Belgo, que es el más utilizado en Bolivia se presenta en el orden siguiente: Marca que identifica el diámetro de la barra de refuerzo (existe barras de refuerzo de 6 a 32 mm). Marca que identifica al taller de laminación o fabricante que la produjo, generalmente se la identifica con una letra o símbolo. Marca que identifica el grado de la barra o esfuerzo de fluencia mínimo. El grado de la barra se indica con número, el grado se especifica con el número 50 que describe un esfuerzo de fluencia de 500 𝑀𝑃𝑎. Marca que identifica el tipo de acero, según la ASTM.
S Para acero lingote, que cumple con los requisitos de la ASTM A615 N Para acero lingote nuevo, que cumple con la ASTM A615. R Para acero de riel, que cumple con la ASTM A617. A Para acero de eje, que cumple con la ASTM A617. W Para acero de baja aleación, que cumple con la ASTM A706. En la figura 1.8 se ilustra las marcas de barras corrugadas del sistema brasilero.
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Figura 1.8 – Marcas de las barras corrugadas del sistema estándar.
1.8.3) CURVAS DE ESFUERZO Y DEFORMACIÓN UNITARIA Las dos características principales de la barra de refuerzo son su punto de fluencia (generalmente igual en tracción y compresión) y su módulo de elasticidad lineal, que es prácticamente igual para todos los aceros de refuerzo, el módulo de elasticidad del acero es de 200000 𝑀𝑃𝑎. La curva esfuerzo deformación unitaria en su tramo inicial tiene una influencia significativa en el comportamiento de elementos de hormigón reforzado. La curva esfuerzo deformación de aceros, que cumplen con las especificaciones ASTM, se muestran en las figuras 1.9 y 1.10. La curva esfuerzo deformación que rige el acero de grado 40 (acero con esfuerzo de fluencia de 276 𝑀𝑃𝑎), muestra una notable plataforma de fluencia, es decir, una plataforma donde la deformación unitaria aumenta bajo un esfuerzo constante. Posteriormente para deformaciones unitarias mayores, los esfuerzos aumentan a una tasa menor, proceso que se conoce como endurecimiento por deformación. La curva llega a un punto máximo, punto en el cuál alcanza la resistencia a tracción, luego la curva empieza a descender hasta llegar a la rotura. Aceros de refuerzo con alto contenido de carbón, es decir aceros con un esfuerzo de fluencia de 414 𝑀𝑃𝑎, presentan una plataforma de fluencia relativamente pequeña en relación al acero con un esfuerzo de fluencia de 276 𝑀𝑃𝑎, es decir inician de inmediato el endurecimiento por deformación. En conclusión el esfuerzo de fluencia del acero debe tomarse para una deformación unitaria de 0.00356. Curva esfuerzo deformación Grado 40
Grado 60
Grado 90
Grado 75
Esfuerzo (Mpa)
1000 800 600 400 200 0 0
50 100 150 Deformación unitaria, 0,001 pulg/pulg
200
Figura 1.9 – Curva de esfuerzo y deformación unitaria de aceros según ASTM
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Esfuerzo (Mpa)
Curva esfuerzo deformación amplificada Grado 40
Grado 60
Grado 75
Límite
Grado 90
1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 0
10 15 3.5 5 Deformación unitaria, 0,001 pulg/pulg
20
Figura 1.10 – Amplificación de la figura 1.9
1.8.4) RESISTENCIA A LA FATIGA Los puentes de hormigón armado, presenta un gran número de ciclos de esfuerzo, generalmente debido a las cargas vivas vehiculares y cargas de impacto, por lo tanto el acero como el hormigón están sujetos a la fatiga. Las fisuras por fatiga generalmente ocurren en puntos donde existe concentración de esfuerzos, la fatiga reduce el área no fisurada de la sección transversal del acero, esto puede llegar a una falla súbita y frágil. La fatiga es independiente de la resistencia a fluencia del acero, el rango de esfuerzos que se encuentra entre el esfuerzo máximo y el esfuerzo mínimo, no está susceptible a la fatiga. 1.8.5) BARRAS DE REFUERZO REVESTIDAS Generalmente en la construcciones civiles como tableros de puentes, estacionamientos, puertos, estructuras marítimas, y plantas de tratamiento de aguas residuales están sometidos a condiciones climáticas adversas, que requieren barras de refuerzo galvanizadas o revestidas con sustancias epóxicas, con el fin de minimizar la corrosión del refuerzo7. La norma ASTM A767 “Standard Specification for Zinc-Coated (Galvanized) Steel Bars for Concrete Reinforcement”, incluye requisitos para aceros revestidos con zinc. La norma ASTM A775 “Standard Specification for Epoxy – Coated Reinforcing Steel Bars”, incluye requisitos para aceros revestidos con sustancias epóxicas.
7
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1.8.6) TABLAS DE ÁREAS Y PESOS DE LAS BARRAS ESTÁNDAR Las tablas 1.10 y 1.11 siguientes muestran las áreas transversales y pesos de las barras estándar. Nº de barra (in) (mm)
2
Peso unitario
Diámetro (in)
(kg/m (mm) (lb/pie) )
PLANILLA DE ACEROS PARA VIGAS Y COLUMNAS NÚMERO DE BARRAS 1 2 3 4 5 6 7
8
9
10
SECCION TRANSVERSAL As (mm2)
6
1/4
0,24
6
0,15
0,22
28,27
56,55
84,82
113,10
141,37
169,65
197,92
226,19
254,47
282,74
7
2/7
0,28
7
0,20
0,30
38,48
76,97
115,45
153,94
192,42
230,91
269,39
307,88
346,36
384,85
8
1/3
0,31
8
0,27
0,40
50,27
100,53
150,80
201,06
251,33
301,59
351,86
402,12
452,39
502,65
9,5
3/8
0,37
9,5
0,37
0,56
70,88
141,76
212,65
283,53
354,41
425,29
496,18
567,06
637,94
708,82
10
2/5
0,39
10
0,41
0,62
78,54
157,08
235,62
314,16
392,70
471,24
549,78
628,32
706,86
785,40
4
12
1/2
0,47
12
0,60
0,89
113,10
226,19
339,29
452,39
565,49
678,58
791,68
904,78
1017,88
1130,97
5
16
5/8
0,63
16
1,06
1,58
201,06
402,12
603,19
804,25
1005,31
1206,37
1407,43
1608,50
1809,56
2010,62
20
4/5
0,79
20
1,66
2,47
314,16
628,32
942,48
1256,64
1570,80
1884,96
2199,11
2513,27
2827,43
3141,59
1
3
8
25
0,98
25
2,59
3,85
490,87
981,75 1472,62
1963,50
2454,37
2945,24
3436,12
3926,99
4417,86
4908,74
10
32
1 1/4 1,26
32
4,24
6,32
804,25 1608,50 2412,74
3216,99
4021,24
4825,49
5629,73
6433,98
7238,23
8042,48
40
1 4/7 1,57
40
6,63
9,87 1256,64 2513,27 3769,91
5026,55
6283,19
7539,82
8796,46 10053,10 11309,73 12566,37
45
1 7/9 1,77
45
8,39 12,49 1590,43 3180,86 4771,29
6361,73
7952,16
9542,59 11133,02 12723,45 14313,88 15904,31
Tabla 1.10 Planilla de aceros para vigas y columnas
CONDICIONES PARA EL SISTEMA INGLES Gravedad en Cochabamba(pie/seg2)= 32,19 Masa por unidad de volumen del refuerzo(lb/pie3)= 15,23 Peso por unidad de volumen del refuerzo(lb/pie3)= 490,2
CONDICIONES PARA EL SISTEMA METRICO Gravedad en Cochabamba(m/seg2)= 9,81 Masa por unidad de volumen del refuerzo(kg/m3)= 800,4 Peso por unidad de volumen del refuerzo(kg/m3)= 7852
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HORMIGÓN ARMADO PLANILLA DE ACEROS PARA LOSAS
Nº de barra Diámetro
Inglés
2
Metro
6
8
9,5
1/4
1/3
3/8
(in)
3
(mm) 6,0 8,0 9,5 Área de (in2) 0,044 0,078 0,11 la sección (mm2) 28,27 50,27 70,88
S E P A R A C I Ó N
(in) 3,94 4,13 4,33 4,53 4,72 4,92 5,12 5,31 5,51 5,71 5,91 6,10 6,30 6,50 6,69 6,89 7,09 7,28 7,48 7,68 7,87 8,27 8,66 9,06 9,45 9,84 10,24 10,63 11,02 11,42 11,81
(mm) 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300
282,74 269,28 257,04 245,86 235,62 226,19 217,49 209,44 201,96 194,99 188,49 182,41 176,71 171,36 166,32 161,57 157,08 152,83 148,81 144,99 141,37 134,64 128,52 122,93 117,81 113,10 108,75 104,72 100,98 97,50 94,25
502,65 478,71 456,95 437,09 418,88 402,12 386,65 372,33 359,04 346,66 335,10 324,29 314,16 304,64 295,68 287,23 279,25 271,70 264,55 257,77 251,33 239,36 228,48 218,54 209,44 201,06 193,33 186,17 179,52 173,33 167,55
708,82 675,07 644,38 616,37 590,68 567,06 545,25 525,05 506,30 488,84 472,55 457,30 443,01 429,59 416,95 405,04 393,79 383,15 373,06 363,50 354,41 337,53 322,19 308,18 295,34 283,53 272,62 262,53 253,15 244,42 236,27
4
5
8
10
11
10
12
16
20
29
32
35
2/5
1/2
5/8
4/5
1
1 1/7
1 1/4
1 3/8
10,0
12,0
16,0
20,0
25,0
29,0
32,0
35,0
0,122
0,175
0,312
0,487
0,761
1,024
1,247
1,491
78,54
113,1
201,06 314,16 490,87 660,52 804,25 962,11
25
SECCION TRANSVERSAL As (mm2) 785,40 1130,97 2010,62 3141,59 4908,74 748,00 1077,11 1914,88 2991,99 4674,99 714,00 1028,15 1827,84 2855,99 4462,49 682,96 983,45 1748,37 2731,82 4268,47 654,50 942,48 1675,52 2617,99 4090,62 628,32 904,78 1608,50 2513,27 3926,99 604,15 869,98 1546,63 2416,61 3775,95 581,78 837,76 1489,35 2327,10 3636,10 561,00 807,84 1436,16 2243,99 3506,24 541,66 779,98 1386,63 2166,61 3385,34 523,60 753,98 1340,41 2094,39 3272,49 506,71 729,66 1297,17 2026,83 3166,93 490,88 706,86 1256,64 1963,49 3067,96 476,00 685,44 1218,56 1903,99 2974,99 462,00 665,28 1182,72 1847,99 2887,49 448,80 646,27 1148,93 1795,19 2804,99 436,33 628,32 1117,01 1745,33 2727,08 424,54 611,34 1086,82 1698,16 2653,37 413,37 595,25 1058,22 1653,47 2583,55 402,77 579,98 1031,09 1611,07 2517,30 392,70 565,49 1005,31 1570,80 2454,37 374,00 538,56 957,44 1496,00 2337,50 357,00 514,08 913,92 1428,00 2231,25 341,48 491,73 874,18 1365,91 2134,23 327,25 471,24 837,76 1309,00 2045,31 314,16 452,39 804,25 1256,64 1963,50 302,08 434,99 773,32 1208,30 1887,98 290,89 418,88 744,67 1163,55 1818,05 280,50 403,92 718,08 1122,00 1753,12 270,83 389,99 693,32 1083,31 1692,67 261,80 376,99 670,21 1047,20 1636,25
6605,20 6290,67 6004,73 5743,65 5504,33 5284,16 5080,92 4892,74 4718,00 4555,31 4403,47 4261,42 4128,25 4003,15 3885,41 3774,40 3669,56 3570,38 3476,42 3387,28 3302,60 3145,33 3002,36 2871,83 2752,17 2642,08 2540,46 2446,37 2359,00 2277,66 2201,73
8042,48 7659,50 7311,35 6993,46 6702,07 6433,98 6186,52 5957,39 5744,63 5546,54 5361,65 5188,70 5026,55 4874,23 4730,87 4595,70 4468,04 4347,29 4232,88 4124,35 4021,24 3829,75 3655,67 3496,73 3351,03 3216,99 3093,26 2978,70 2872,31 2773,27 2680,83
9621,13 9162,98 8746,48 8366,20 8017,61 7696,90 7400,87 7126,76 6872,24 6635,26 6414,09 6207,18 6013,21 5830,99 5659,49 5497,79 5345,07 5200,61 5063,75 4933,91 4810,57 4581,49 4373,24 4183,10 4008,80 3848,45 3700,43 3563,38 3436,12 3317,63 3207,04
Tabla 1.11 Planilla de aceros para losas, 𝒎𝒎𝟐 /𝒎 de ancho
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1.9) ADITIVOS Además del hormigón y el refuerzo, generalmente se utilizan aditivos para mejorar el hormigón, existen varios tipos de aditivos: Aditivos generadores de aire Aditivos aceleradores Aditivos retardadores Aditivos plastificantes Aditivos súper plastificantes Aditivos reductores de permeabilidad Cenizas volantes y microsílica Aditivos aceleradores; reducen el tiempo de fraguado y aceleran el desarrollo inicial de resistencia. El cloruro de calcio es muy utilizado por su bajo costo, pero tiene la desventaja de producir corrosión en el acero, existen aditivos aceleradores patentados sin cloruros. Aditivos generadores de aire; producen aire en el hormigón en forma de pequeñas burbujas dispersas, esto mejora la manejabilidad y la durabilidad, reduciendo la segregación durante el vaciado. Los aditivos generadores de aire disminuyen la densidad del hormigón, por lo tanto disminuyen su resistencia, está disminución de resistencia se puede balancear mediante la reducción de agua, de tal forma que no se pierda la manejabilidad. Aditivos retardadores; retardan el fraguado, contrarrestan los efectos aceleradores provocados por las altas temperaturas, también mantienen la trabajabilidad del hormigón. Aditivos plastificantes; son compuestos orgánicos e inorgánicos que se utilizan para reducir el agua de una mezcla de hormigón. Los plastificantes trabajan reduciendo la fuerza entre las partículas. Aditivos súper plastificantes; se utilizan para producir hormigón de alta resistencia, para llegar a un hormigón de alta resistencia, el aditivo súper plastificante debe reducir la relación agua material cementante, de tal forma que se mantenga los altos asentamientos para la trabajabilidad8. Aditivos reductores de permeabilidad; reduce la velocidad de carga del agua a través del hormigón, el aditivo cumple la función de obturar los poros, capilares, fisuras, micro fisuras del hormigón que normalmente se generan de los esfuerzos internos de tracción, durante el proceso de hidratación, endurecimiento, evaporación del agua de amasado; también el aditivo se debe incorporar para que exista una adecuada trabajabilidad. La permeabilidad del hormigón se pierde cuando no es correctamente dosificado, uno de los métodos para reducir la permeabilidad es aumentar el periodo de curado y reducir la relación agua cemento menor a 0.5. Cenizas volantes y microsílica; no son aditivos para el hormigón, pero se utilizan para reemplazar una parte del cemento portland. Las cenizas volantes son sub – productos de gases producidos en plantas que generan energía mediante el uso del carbón, las cenizas volantes reaccionan con el hidróxido de calcio en presencia de humedad para formar un material cementante. Las cenizas volantes y la microsílica se utilizan mucho para llegar a hormigón de alta resistencia. Al utilizar ceniza volante y microsílica se reduce la relación agua – materiales
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cementantes en lugar de la relación agua - cemento. La relación agua – materiales cementantes puede llegar en algunos casos hasta 0.219. 1.10) PROPIEDADES DEL HORMIGÓN Para una mejor comprensión de las propiedades del hormigón, los dividimos en dos grupos: hormigón fresco y hormigón endurecido. 1.10.1) PROPIEDADES DE HORMIGÓN FRESCO 1.10.1.1) CONSISTENCIA Es la mayor facilidad que tiene el hormigón o mortero en estado fresco para deformarse, o la capacidad de fluidez de un hormigón o mortero. La consistencia varia con una multitud de factores tales como cantidad de agua de amasado, tamaño máximo, granulometría y forma de los agregados, pero el que más influye es la cantidad de agua. Los métodos para determinar la consistencia son: el cono de Abrans, la mesa de sacudidas y consistometro de vebe. 1.10.1.2) DOCILIDAD Y TRABAJABILIDAD Es una propiedad del hormigón o mortero fresco que determina si este es manejable, transportable y trabajable sin perder su homogeneidad. La trabajabilidad hace referencia al mezclado, vaciado y compactado en obra. La docilidad está en función de la consistencia, homogeneidad y otros factores como: el uso de áridos con canto rodado y no áridos machacados, mayor cantidad de agua, la cantidad de cemento y el uso de plastificantes en la mezcla de hormigón. 1.10.1.3) HOMOGENEIDAD Es la cualidad por la cual los diferentes componentes del hormigón aparecen regularmente distribuidos en toda la masa, de manera que si se toman dos muestras de distintos lugares de un mismo hormigón o mortero resultan prácticamente iguales. La homogeneidad se consigue con un buen amasado y es afectada por la decantación y segregación. Decantación o separación de los agregados gruesos por una parte y los finos por otra, provocado generalmente por la gran cantidad de agua, tamaño máximo de los agregados, por la excesiva vibración en obra o en el transporte y por la puesta en obra en caída libre. La segregación ocurre cuando los agregados gruesos caen al fondo y el mortero queda en la superficie, causado generalmente cuando la mezcla es muy fluida. 1.10.2) PROPIEDADES DEL HORMIGÓN ENDURECIDO 1.10.2.1) PESO ESPECÍFICO El peso específico del hormigón se define como peso por unidad de volumen, los factores que influyen en el tipo de peso específico que va a tener los hormigones son los agregados, la granulometría y el método de compactación, por ejemplo: El peso específico del hormigón será relativamente proporcional al peso específico de los agregados utilizados.
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Entre mayor cantidad de agregados gruesos contengan y que tan compactado este la mezcla, será mayor el peso específico. El peso específico del hormigón es liviano cuando su valor no es mayor que 1850 𝑘𝑔𝑓/𝑚3, normal cuando su valor en aproximadamente de 2400 𝑘𝑔𝑓/𝑚3 y pesado cuando su valor varía desde 2880 𝑎 5600 𝑘𝑔𝑓/𝑚3. Todos estos valores están en función de los factores mencionados anteriormente. 1.10.2.2) COMPACIDAD Ligada íntimamente al peso específico, depende de los mismos factores que esta, en especial del método de compactación empleado. Una buena compacidad no solo proporciona resistencia mecánica frente a esfuerzos, impactos, desgastes, etc., sino mayor resistencia física contra efectos de deshielo, congelamiento y química frente a agentes agresivos. Entre menor sea la red capilar mayor su compacidad. 1.10.2.3) PERMEABILIDAD DEL HORMIGÓN El hormigón es un material permeable, es decir que al estar sometido a una presión de agua exterior, se produce escurrimiento a través de su masa, o puede penetrar por capilaridad. El grado de permeabilidad del hormigón depende de su constitución, estando normalmente comprendido su coeficiente de permeabilidad entre 10.6 𝑦 10.10 𝑐𝑚/𝑠. 1.10.2.4) DURABILIDAD DEL HORMIGÓN ARMADO Durante todo el tiempo en que las estructuras de hormigón son puestas en funcionamiento, están expuestas a todo tipo de agentes nocivos externos e internos que si no son tomados debidamente en cuenta afectan con la vida útil de las mismas. La durabilidad de las estructuras de hormigón armado depende mucho de las mezclas de hormigón, que deben ser dosificadas para cumplir con la relación máxima agua material cementante y otros requisitos basados en la clase de exposición asignado al elemento estructural de hormigón. Para asignar el tipo de exposición a elementos estructurales de hormigón, la norma ACI 318-11 cuenta con la tabla 4.2.1 (Categorías y clases de exposición), en la cual clasifica el tipo de exposición en cuatro categorías las cuales son: Categoría de exposición “F” Categoría de exposición “S” Categoría de exposición “P” Categoría de exposición “C” Categoría de exposición F: para hormigón exterior expuesto a la humedad y a ciclos de congelamiento y deshielo, con o sin productos químicos descongelantes. En lugares muy fríos donde el hormigón está expuesto a grandes cambios de temperatura, haciendo que el hormigón se congele, desarrollando presión de poros, que ocasionan que la estructura de hormigón falle, así mismo los vacíos de aire incorporados en la mezcla de hormigón alivianan esta presión. Los hormigones expuestos a efectos de congelamiento, deshielo y productos químicos descongelantes “F1, F2 y F3”, deben contener vacíos de aire en la mezcla como se especifica en la tabla 4.4.1 (Contenido total de aire para hormigón expuesto a ciclos de congelamiento y deshielo) de la norma ACI 318-11. La tolerancia en el contenido de aire incorporado puede ser ±1.5 puntos porcentuales. copyright©rcolquea
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La relación agua material cementante en estos tipos de hormigones, está en función de la severidad de la exposición, en la tabla 4.3.1 (requisitos para el hormigón según la clase de exposición) de la norma ACI 318-11, proporcionan la relación agua material cementante y valores mínimos de 𝑓´𝑐 . Para los hormigones que están expuestos a productos químicos descongelaste “F3”, la cantidad máxima de puzolanas, incluida la ceniza volcánica, humo de sílice y escoria, no debe exceder los límites establecidos en la tabla 4.4.2 (Requisitos para hormigón sometido a clase de exposición F3) de la norma ACI 318-11. Categoría de exposición S: para hormigón en contacto con suelo o agua que contenga cantidades perjudiciales de iones sulfatos solubles en agua, como se define en la tabla 4.2.1 de la ACI318-11. El sulfato es un agente que ocasiona la desintegración del hormigón; por lo que el hormigón expuesto a concentraciones perjudiciales de sulfatos, procedentes del suelo y el agua, debe fabricarse con cemento resistente a los sulfatos. En la tabla 4.3.1 (requisitos para el hormigón según la clase de exposición) de la norma ACI 318-11, se enumeran los distintos tipos apropiados de cemento, la máxima relación agua material cemento y la mínima resistencia a la compresión 𝑓´𝑐 . Categoría de exposición P: para hormigón en contacto con agua y que requiere baja permeabilidad. Para estructuras de hormigón que requieran una baja permeabilidad por estar en contacto directo con el agua y donde las otras condiciones de exposición definidas en la tabla 4.2.1 de la (Categorías y clases de exposición) norma ACI 318-11 no se apliquen. El medio principal para obtener una baja permeabilidad es usando una baja relación agua material cemento; también puede lograrse una baja permeabilidad optimizando los materiales cementantes usados en la mezcla del hormigón. Un método de ensayo que da un indicador basado en desempeño sobre la baja permeabilidad del hormigón es la ASTM C1202 y que es más confiable para las evaluaciones en laboratorio que para la aceptación basada en las pruebas de obra. Categoría de exposición C: para hormigón reforzado y preesforzados expuestos a condiciones que requieren protección adicional del refuerzo contra la corrosión. Un problema grande es la corrosión u oxidación de las barras de refuerzo en las estructuras de hormigón. Para que exista corrosión en los elementos de hormigón armado, debe existir una fuente de oxígeno y humedad propagada en este mismo. Para proteger el refuerzo contra la corrosión, las concentraciones máximas de iones cloruro solubles en agua, los ensayos deben hacerse a una edad de 28 a 42 días. Los límites establecidos en la tabla R4.3.1 (Limites de iones cloruro para construcciones nuevas) de la norma ACI 31811, deben aplicarse a los cloruros aportados por los componentes del hormigón tales como el cemento y aditivos. 1.11) RESISTENCIA DEL HORMIGÓN 1.11.1) RESISTENCIA A LA COMPRESIÓN DEL HORMIGÓN El acero de refuerzo se produce en planta, entonces el productor garantiza la calidad, mediante controles sistemáticos especificados por la norma ASTM; pero el hormigón es producido en o muy cerca del sitio de construcción, entonces el control de calidad debe instituirse en el sitio de construcción, el control del hormigón requiere mucha excelencia profesional porque el copyright©rcolquea
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ingeniero debe construir de tal forma que alcance las propiedades definidas en la mesa de cálculo. Debe observarse que en la figura 1.11 la forma de la curva esfuerzo – deformación unitaria presenta importantes variaciones al considerar varios hormigones con la misma resistencia de cilíndrica y aún para el mismo hormigón sometido a diferentes condiciones de carga, la respectiva figura muestra curvas a diferentes velocidades de carga, desde uno que corresponde a una aplicación de carga relativamente rápida (0.001 𝑝𝑢𝑙𝑔/𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜) hasta uno que corresponde a una aplicación de carga extremadamente lenta (0.001 𝑝𝑢𝑙𝑔/𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑝𝑜𝑟 100 𝑑í𝑎𝑠), de la figura 1.11 podemos concluir lo siguiente: El tramo descendente de las curvas que indica la desintegración interna del material es mucho más pronunciado para las velocidades rápidas de carga que para las lentas. Las resistencias máximas alcanzadas son muchos menores para cargas lentas o tasas lentas de deformación. Curva esfuerzo deformación
Esfuerzo en el hormigón / f´´c
1.2 1
100 días 1 día
0.8
1 hora
0.6
1 min
0.4 0.2 0 -0.2 0
0.001 0.002 0.003 Deformación unitaria εu pulg/pulg
0.004
Figura 1.11 – Curva esfuerzo deformación unitaria para varias tasas de deformación en compresión concéntrica10
Mencionaremos las principales propiedades en compresión del hormigón en función de la velocidad de carga: 1.11.1.1) CARGAS DE CORTA DURACIÓN El comportamiento de una estructura depende de las relaciones esfuerzo deformación del material, el hormigón se utiliza principalmente para resistir esfuerzos de compresión, por lo tanto resulta de interés fundamental la curva esfuerzo – deformación unitaria a la compresión. Los ensayos para medir la resistencia a compresión se realizan en hormigón sin refuerzo de altura igual a dos veces el diámetro, generalmente de 15𝑥30 centímetros. Los moldes impermeables de esta configuración se llenan con hormigón, la operación de colocación debe seguir la norma ASTM C172, “Standard Method of Sampling Freshly Mixed Concrete” y la 10
(Nilson, 2001, pág. 40) copyright©rcolquea
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norma ASTM C31, “Standard Practice for Making and Curing Concrete Test Specimens in the Field”. Para el ensayo, los cilindros se deben curar a aproximadamente 21 °𝐶, hasta los 28 días, si utilizamos cemento de endurecimiento rápido a los 7 días podemos realizar el ensayo, en el laboratorio se somete el cilindro a una tasa de carga especificada, la resistencia a compresión obtenida de varios ensayos se conoce como resistencia cilíndrica a compresión uniaxial (𝑓´𝑐 ) y es la principal propiedad del hormigón para propósitos de diseño. El código ACI especifica que deben ensayarse un par de cilindros por cada 115 𝑚3 de hormigón o por cada 465 𝑚2 de área superficial colocada, pero más de una vez al día. El resultado de los ensayos de resistencia de diferentes mezclas con dosificaciones idénticas muestra una dispersión inevitable, que ocasionalmente presentan resultados menores a la resistencia especificada del cilindro, por lo tanto para asegurar una resistencia adecuada del hormigón a pesar de esta dispersión, el código ACI recomienda que la calidad del hormigón es satisfactoria (para probetas curadas en forma estándar) si: ACI 5.6.3.3 (a); el promedio de todos los conjuntos de tres ensayos de resistencia consecutivos es igual o mayor al valor requerido de 𝑓´𝑐 . ACI 5.6.3.3 (b); ningún resultado de un ensayo de resistencia individual (el promedio de un par de ensayos sobre cilindros) está por debajo del valor de 𝑓´𝑐 requerido en más de 3.5 𝑀𝑃𝑎 cuando 𝑓´𝑐 es 35 𝑀𝑃𝑎 o menor; o por más de 0.10𝑓´𝑐 cuando 𝑓´𝑐 es mayor a 35𝑀𝑃𝑎. La figura 1.12 muestra un conjunto típico de las curvas esfuerzo – deformación para hormigón de peso normal (2300 𝑘𝑔𝑓/𝑚3) y de 28 días de edad, obtenidas a partir de ensayos de compresión uniaxial realizadas con velocidades de carga normales y moderadas. La figura 1.13 muestra curvas de esfuerzo - deformación correspondiente a hormigones livianos con peso de 1600 𝑘𝑔/𝑚3. Curva esfuerzo deformación Esfuerzo f´´c (Mpa)
100 80 60 40 20 0 0
0.001 0.002 0.003 Deformación unitaria εu pulg/pulg
0.004
Figura 1.12 – Curva esfuerzo deformación unitaria a compresión uniaxial, típicas para hormigón de densidad normal con 𝒘𝒄 = 𝟐𝟑𝟎𝟎 𝒌𝒈/𝒎𝟑 11
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(Nilson, 2001, pág. 38) copyright©rcolquea
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La curva de la figura 1.12 y 1.13 tiene una porción inicial relativamente elástica y lineal donde el esfuerzo y la deformación son proporcionales, luego comienzan a inclinarse hacia la horizontal alcanzando la resistencia máxima, la resistencia a la compresión esta entre una deformación unitaria de 0.002 y 0.003, para hormigón de densidad normal, y de 0.003 a 0.0035 para hormigón liviano. Todas las curvas muestran un tramo descendente a partir de la resistencia máxima, hasta llegar a la ruptura. Curva esfuerzo deformación 80
Esfuerzo f´´c (Mpa)
70 60 50 40 30 20 10 0 0
0.001 0.002 0.003 Deformación unitaria εu pulg/pulg
0.004
Figura 1.13 – Curva esfuerzo deformación unitaria a compresión uniaxial, típicas para hormigón liviano con 𝒘𝒄 = 𝟏𝟔𝟎𝟎 𝒌𝒈/𝒎𝟑 12
La resistencia a la compresión uniaxial 𝑓´𝑐 para hormigones de densidad normal in – situ están comúnmente en el rango de 21 – 35 𝑀𝑃𝑎 y puede llegar hasta aproximadamente 41 𝑀𝑃𝑎 para hormigón prefabricado y pre esforzado. El ensayo de compresión uniaxial se obtiene a los 28 días de vida del hormigón, sin embargo, el cemento continúa su hidratación y por tanto su endurecimiento, durante mucho tiempo a una taza relativamente menor. 1.11.1.2) CARGAS ACTUANTES A LARGO PLAZO Para algunos materiales de ingeniería, como el acero, la resistencia y las relaciones esfuerzo – deformación unitaria son independientes de la velocidad y de la duración de la carga. La figura 1.11 ilustra la pronunciada influencia del tiempo, en este caso relacionando con la velocidad de aplicación de carga, para definir el comportamiento del hormigón bajo carga. La principal razón para esto es que el hormigón fluye bajo carga, mientras que el acero no presenta flujo plástico bajo condiciones prevalecientes en edificios, puentes y construcciones similares. 1.11.1.3) FATIGA Cuándo el hormigón está sometido a cargas dinámicas, la resistencia a la fatiga es considerablemente menor que la resistencia a cargas estáticas, la teoría menciona que la 12
(Nilson, 2001, pág. 38) copyright©rcolquea
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resistencia a la fatiga está entre el 50 al 60 por ciento de la resistencia a cargas estáticas, para 2000000 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠. Para otro tipo de esfuerzos como esfuerzo de compresión por flexión en vigas de hormigón armado, tracción por flexión en vigas no reforzadas o en el lado de tracción de vigas reforzadas, el límite de fatiga es aproximadamente el 55 por ciento de la resistencia estática correspondiente. La resistencia a la fatiga del hormigón no solo depende de la resistencia estática, también depende la humedad, edad del hormigón y de la velocidad de aplicación de carga. 1.11.2) RESISTENCIA DEL HORMIGÓN A TRACCIÓN El hormigón contiene un gran número de grietas muy finas, las grietas tienen poca importancia para hormigones sometidos a cargas de compresión, porque las cargas de compresión ocasionan que las grietas se cierren y permiten la transmisión de las cargas de compresión, pero no ocurre lo mismo para cargas de tracción, por esto la resistencia a la tracción del hormigón varía entre 8 al 15 % de la resistencia a compresión. La resistencia a la tracción normalmente se desprecia en los cálculos, pero es una importante propiedad que afecta el tamaño y la extensión de las grietas, la resistencia a la tracción del hormigón tiene un efecto reductor en las deflexiones de los miembros13. El estudiante podrá preguntarse, ¿Por qué no se supone que el hormigón resiste una parte de la tracción en un miembro a flexión y el acero el resto?, la razón es que el hormigón se agrieta bajo deformaciones unitarias de tracción tan pequeñas que los esfuerzos tan bajos en el acero hasta ese momento, harían su uso antieconómico. La resistencia a tracción del hormigón varía aproximadamente en proporción a la raíz cuadrada de 𝑓´𝑐 , la resistencia es muy difícil de medir bajo cargas axiales directas de tracción, debido a problemas de equipo en el laboratorio. Como consecuencia de los problemas para medir la resistencia a la tracción, se ha desarrollado dos pruebas algo indirectas para medir la resistencia del hormigón, estas son la prueba del módulo de rotura y la prueba radial del cilindro o prueba indirecta. Prueba del módulo de ruptura; mide la resistencia a la tracción del hormigón en flexión, el módulo de ruptura se mide al cargar una viga rectangular de hormigón de 15 ∗ 15 ∗ 75 centímetros (con apoyos simples a 24 pulgadas entre centros) a la falla con cargas concentradas iguales en los tercios del claro, de acuerdo con el método ASTM C782002. El módulo de ruptura 𝑓𝑟 se determina entonces con la fórmula de flexión. ℎ 𝑀 (2 ) 𝑀𝑐 6𝑀 𝑃𝐿 𝑓𝑟 = = = = 𝐼 1/12𝑏ℎ3 𝑏ℎ2 𝑏ℎ2 Dónde: 𝑏: ancho de la viga. ℎ: peralte de la viga. 𝑀 es 𝑃𝐿/6 que es el momento calculado. La sección de la ACI 9.5.2.3 proporciona un módulo de ruptura 𝑓𝑟 igual a 0.62𝜆√𝑓´𝑐 donde 𝑓𝑟 se mide en 𝑀𝑃𝑎.
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El valor de 𝜆 depende del agregado que se reemplazó con material ligero. Si solo se reemplaza el agregado grueso (hormigón de arena y peso ligero), 𝜆 vale 0.85. Si la arena también se reemplaza con material ligero (hormigón de peso ligero global), 𝜆 vale 0.75. La interpolación lineal está permitida entre los valores de 0.85 y 1.0, así como también de 0.75 𝑎 0.85 cuando se usa el reemplazo parcial con material ligero. Alternativamente, si se especifica la resistencia a la tracción radial promedio del hormigón ligero, 𝑓𝑐𝑡 , en la sección 8.6.1 del código ACI 31811 se define 𝜆 como: 𝑓𝑐𝑡 𝜆= ≤ 1.0 0.56√𝑓´𝑐 Para hormigón de peso normal y para hormigón que tiene agregado fino de peso normal y una mezcla de agregado ligero y agregado grueso de peso normal, 𝜆 = 1.0. Prueba radial del cilindro o prueba indirecta; el cilindro se coloca acostado en una máquina de prueba y se le aplica una carga de compresión uniforme a lo largo del cilindro, que está apoyado a todo lo largo de la base. El esfuerzo de tracción en que ocurre la rotura se denomina resistencia radial del cilindro, y puede calcularse con la siguiente expresión: 2𝑃 𝑓𝑡 = 𝜋𝐿𝐷2 Dónde: P: la fuerza máxima de compresión L: longitud D: diámetro del cilindro En la tabla 1.12 se resume rangos de valores típicos para resistencias determinadas a partir de los ensayos de tracción indirecta, tracción directa y a partir del módulo de rotura. Rangos aproximados de resistencia a la tensión del hormigón Concreto de peso Concreto de peso normal (lb/pulg2) liviano (lb/pulg2) Resistencia a la tensión directa f´t 3 a 5√f´c 2 a 3√f´c Resistencia a la tensión indirecta ft 6 a 8√f´c 4 a 6√f´c 8 a 12√f´c 6 a 8√f´c Modulo de rotura fr Tipo de ensayo
Tabla 1.12 Rangos de resistencia a la tracción del hormigón14
1.11.3) RESISTENCIAS DEL HORMIGÓN A ESFUERZOS COMBINADOS La estructura de hormigón está sometido a la vez al efecto de varios esfuerzos que actúan a la vez en diferentes direcciones, por ejemplo el caso de vigas, la mayor parte del hormigón está sometido simultáneamente a esfuerzos de compresión y de corte, en losas y zapatas a compresión en dos direcciones perpendiculares más cortante. Mediante los métodos de mecánica estructural, cualquier estado de mecánica estructural, puede descomponerse a tres
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esfuerzos perpendiculares entre sí, es decir el análisis será en tres dimensiones 𝑥, 𝑦 y 𝑧 (3D), donde los esfuerzos principales pueden ser de tracción o compresión. Si el esfuerzo en la dirección 𝒙 es cero, entonces el estado de esfuerzos es biaxial; si el esfuerzo en la dirección 𝒙 & 𝒚 es cero, entonces el estado de esfuerzos es uniaxial. Es fácil conocer mediante los ensayos uniaxiales, los esfuerzos de tracción o compresión, por lo tanto a partir de los ensayos uniaxiales, podemos conocer el estado de fuerzas biaxial y triaxial. En la actualidad a pesar de las continuas investigaciones, no existe una teoría general de la resistencia del hormigón bajo esfuerzos combinados. Las teorías del hormigón, como la del esfuerzo máximo, deformación máxima, la teoría de Mohr – Coulomb y la del esfuerzo cortante octaédrico no han tenido éxito completo. Estudios recientes han confirmado que el enfoque de mecánica de fracturas no lineal puede usarse con éxito para estudiar la propagación de grietas de tracción. 1.11.4) RESISTENCIA A CORTE DEL HORMIGÓN Es extremadamente difícil obtener en pruebas, fallas por cortante puro que no están afectados por otros esfuerzos, en el diseño de elementos de hormigón armado no debe preocuparnos las inconsistentes pruebas de la resistencia por cortante, porque las aproximaciones del diseño están basadas en suposiciones tan conservadoras de la resistencia al corte. 1.11.5) MÓDULO DE ELASTICIDAD DINÁMICA El módulo de elasticidad dinámico, que corresponde a deformaciones unitarias instantáneas muy pequeñas, se obtiene usualmente por medio de pruebas sónicas. Es entre 20 y 40% mayor que el modulo elástico y es aproximadamente igual al módulo inicial. Cuando las estructuras se analizan por cargas sísmicas o de impacto, el uso del módulo dinámico parece ser apropiada. 1.11.6) MÓDULO DE ELASTICIDAD ESTÁTICO El concreto no tiene un módulo de elasticidad bien definido. Su valor varía con las diferentes resistencias del concreto, con la edad de este, con el tipo de carga, característica y proporciones de cemento y los agregados. Además hay varias definiciones diferentes de modulo. El modulo inicial es la pendiente del diagrama de esfuerzo-deformación en el origen de la curva. El modulo por tangente es la pendiente de una tangente a la curva de algún punto de esta, por ejemplo el 50% de la resistencia ultima del hormigón. A la pendiente de una línea trazada del origen a un punto de curva entre 25 y 50% de su resistencia ultima a compresión, se le llama modulo por secante. La sección 8.5.1 del código ACI318-11 establece la siguiente expresión que puede usarcé para calcular el módulo de elasticidad del hormigón, de tal forma que su peso unitario “ 𝑤𝑐 ” este entre 1440 y 2560 𝑘𝑔/𝑚3 . 𝐸𝑐 = 𝑤𝑐1.5 (0.043)√𝑓𝑐´ Dónde:
𝐸𝑐 : Modulo de elasticidad en (N/mm2) o (MPa). 𝑤𝑐 : Peso unitario en (kg/m3). copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO 𝑓𝑐´ : Resistencia a la compresión a los 28 días en (MPa).
Para hormigones de peso normal la ecuación usada para calcular el modulo elástico es: 𝐸𝑐 = 4700√𝑓𝑐´ Para hormigones de alta resistencia superiores a 41 𝑀𝑃𝑎 y menores a 62 𝑀𝑃𝑎, el módulo de elasticidad se calcula con la ecuación: 𝑤𝑐 1.5 ) 2320
𝐸𝑐 = [3.32√𝑓𝑐´ + 6895] (
1.11.7) MÓDULO DE POISSON Al someter un cilindro de concreto a cargas de compresión, este no solo se acorta a lo largo, sino que también se extiende lateralmente. La proporción de esta expresión lateral respecto al acortamiento longitudinal se denomina módulo de poisson. Su valor varía de aproximadamente 0.11 para hormigones de alta resistencia hasta 0.21 para hormigones de baja resistencia, con un valor propio de aproximadamente 0.16. No parece haber ninguna relación directa entre el valor de esta proporción y la relación agua-cemento, cantidad de curado, etc. 1.11.8) CONTRACCIÓN DEL HORMIGÓN Cuando los materiales de hormigón se mezclan, la pasta consistente en cemento y agua llena los vacíos entre los agregados y los amalgama. Esta mezcla necesita ser suficientemente manejable o fluida de modo que pueda fluir entre las varillas de refuerzo y entre el encofrado. Para lograr la fluidez requerida se usa más agua (quizás el doble) que la necesaria para que el cemento y el agua reaccionen químicamente (hidratación). Después de que el hormigón se ha curado y comienza a secarse, el agua adicional que se usó en el mezclado comienza a aflorar en la superficie, donde se evapora. Como consecuencia, el hormigón se contrae y se agrieta. Las grietas resultantes reducen la resistencia a cortante de los miembros estructurales y dañan el aspecto de la estructura. Además, las grietas permiten que el refuerzo quede expuesto a la atmosfera, o a productos químicos tales, como descongelados, aumentando por consiguiente la posibilidad de corrosión. La contracción continua durante muchos años, pero bajo condiciones comunes probablemente 90% se da durante el primer año. Además, cuanto mayor es el área superficial de un miembro en proporción a su volumen, mayor es la contracción; es decir, los miembros con secciones transversales pequeñas se contraen más que aquellos con secciones transversales grandes. La cantidad de contracción depende mucho del tipo de exposición, por ejemplo, si el hormigón se ve sometido a mucho viento sobre el curado, su contracción será mayor, igualmente, una atmosfera húmeda implica menos contracción, mientras una seca implica mayor contracción. También debe considerarse que es conveniente usar agregados de baja absorción, como el granito y muchas piedras calizas. Cuando se usan ciertas pizarras y areniscas absorbentes como resultado puede ser ½ o aun 2 veces la contracción que resulta con otros agregados. Para minimizar la contracción es deseable: Mantener en un mínimo la cantidad de agua para mezclado. copyright©rcolquea
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El curado debe cumplir con las condiciones necesarias. Colar el hormigón para muros, pisos y otros elementos constructivos grandes en secciones pequeñas (lo que permite que parte de la contracción ocurra antes de colar la siguiente sección). Proponer juntas constructivas para controlar la posición de las grietas. Usar refuerzos por contracción. Emplear agregados densos y no porosos. 1.11.9) FLUJO PLÁSTICO Bajo cargas de compresión sostenidas el hormigón continuara deformándose durante largos periodos, después de que ocurra la deformación inicial, la deformación adicional se llama fluencia plástica o sedancia. Si se aplica una carga de compresión a un miembro de hormigón, se presenta un acortamiento inmediato o instantáneo elástico. Si la carga se deja en su lugar por mucho tiempo, el miembro continuara acortándose durante años y la deformación final usualmente será igual aproximadamente dos o tres veces la deformación inicial. Si la carga a largo plazo se retira el miembro recobrara la mayor parte de su deformación elástica y algo de su deformación plástica. Si la carga vuelve a actuar tanto la deformación elástica como la plástica se desarrollaran nuevamente. La magnitud del flujo plástico depende mucho de la magnitud de los esfuerzos presentes, es casi directamente proporcional al esfuerzo mientras el esfuerzo sostenido no sea mayor que aproximadamente la mitad de 𝑓´𝑐 , más allá de este valor la cadencia crece rápidamente. Las cargas a largo plazo no solo generan fluencia plástica, sino que también influye adversamente en la resistencia del hormigón. Para cargas sostenidas en especímenes cargados concéntricamente por un año más, pude darse una reducción de la resistencia de aproximadamente 15 a 25%; así, un miembro cargado con una carga sostenida de 85% de su resistencia ultima a la compresión, 𝑓´𝑐 puede ser satisfactoria por un cierto tiempo, pero pude fallar después. Otros factores que afectan la fluencia plástica son: Cuanto mayor sea el tiempo de curado previo a la aplicación de las cargas menor será la fluencia plástica. El curado a vapor, que acelera la adquisición de la resistencia, reduce también la fluencia plástica. Los hormigones de alta resistencia manifiestan una menor fluencia plástica que los de baja resistencia, para esfuerzos de la misma intensidad. Sin embargo, los esfuerzos aplicados en hormigones de alta resistencia son probablemente muchos mayores que los aplicados en hormigones de alta resistencia y este hecho tiende a causar un incremento de la fluencia plástica. La fluencia plástica aumenta con la temperatura, alcanza su valor máximo cuando el hormigón está entre 150 y 160 º𝐹. A mayor humedad menor será el agua de poro libre que pueda escapar del hormigón, la fluencia plástica adquiere un valor casi del doble a 50% de humedad que a 100%. Obviamente es muy difícil distinguir entre la contracción y la fluencia plástica. Los hormigones con el mayor porcentaje de pasta cemento-agua tienen la mayor fluencia plástica porque es la pasta y no los agregados, la que fluye plásticamente. Esto es particularmente cierto si se usa como agregado piedra caliza. Obviamente la adición de refuerzo de las zonas de compresión del hormigón reduce mucho la fluencia plástica, ya que el acero manifiesta muy poca fluencia plástica bajo copyright©rcolquea
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esfuerzos ordinarios. Conforme ocurre la fluencia plástica del hormigón el refuerzo tiende a impedirlo y a tomar cada vez mas parte de la carga. Los miembros grandes del hormigón (es decir, aquellos con relaciones grandes de volumen a área superficial) fluirán proporcionalmente menos que los miembros delgados más pequeños donde el agua libre tiene distancias menores que recorrer para escapar. 1.12) AVANCES TECNÓLOGICOS DEL HORMIGÓN ARMADO 1.12.1) HORMIGÓN REFORZADO CON FIBRAS En los últimos años existe un notable interés en el hormigón armado con fibras y actualmente se llevan a cabo numerosas investigaciones. Las fibras son materiales de acero, plástico, vidrio y otros materiales. La adición de fibras van normalmente de 1 a 2% del volumen de hormigón, está adición mejora las características del hormigón, la figura 1.14 y 1.15 muestra la fibra de acero y la fibra de vidrio15.
Figura 1.14 – Fibra de acero aplicado al hormigón
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Figura 1.15 – Fibra de vidrio para reforzar el hormigón
(McCormac C., 2011, pág. 20) copyright©rcolquea
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Las principales características que presenta el hormigón con el uso de fibras son: La resistencia a compresión del hormigón armado es casi la misma si la mezcla es con fibra o sin fibra. Los hormigones resultantes son generalmente más firmes y tienen más resistencia al agrietamiento y al impacto. El uso de fibras aumenta la versatilidad del hormigón al reducir su fragilidad. El refuerzo de fibras con barras de refuerzo proporciona refuerzo en la dirección de la barra, pero las fibras distribuidas de manera aleatoria proporcionan resistencia adicional en todas direcciones. La fibra de vidrio ordinaria se deteriora al entrar en contacto con la pasta de cemento, por esto es necesario las fibras de vidrio resistentes a los álcalis. Las fibras utilizadas actualmente tienen una longitud aproximada de ¼ a 3 pulgadas y un diámetro que va de 0.01 a 0.03 pulgadas. Para mejorar la adherencia con el hormigón las fibras pueden tener ganchos o estar retorcidas y las superficies exteriores de las fibras pueden ser modificadas químicamente para aumentar la resistencia. La mejora obtenida en la tenacidad (energía total absorbida al romper un miembro en flexión) del hormigón al agregar fibras depende de la relación de aspecto (longitud y diámetro) de las fibras, la forma y la textura de las fibras también afectan la tenacidad. La norma ASTM C1018 es el método de prueba para determinar la tenacidad del hormigón armado con fibras. Las fibras no incrementan apreciablemente la resistencia del hormigón, pero ofrecen resistencia a la abertura del hormigón, en consecuencia aumenta la ductilidad y tenacidad del hormigón. El uso de fibras aumenta considerablemente los costos, pero en realidad, a largo plazo, si las vidas incrementadas de servicio del hormigón armado con fibras son consideradas, entonces resultan económicamente favorables. Si las fibras están por encima de 0.6 𝑘𝑔/𝑚3 , entonces reducen el revenimiento, caso contrario se mantiene el revenimiento del hormigón. El hormigón armado reforzado con fibras de acero es muy usado en pavimentos de autopista, pistas de aeropuerto, cascarones delgados, productos pre colado, así como algunos parches y cubiertas. El hormigón armado reforzado con fibras de vidrio es muy usado para aplicaciones lanzadas como el hormigón lanzado. 1.12.2) HORMIGÓN DE ALTA RESISTENCIA En la actualidad el estudio de hormigón de alta resistencia, está marcando un notable avance, porque las exigencias estructurales aumentan. El edificio de hormigón armado más alto del mundo hasta el 2009, es el Taipéi 101 (figura 1.16), que se encuentra en el centro de Taiwán.
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HORMIGÓN ARMADO Este edificio, nombrado como ‘’Taipéi 101’’ se distingue por sus 508 metros de altura, 101 pisos sobre la superficie (no aconsejable para quién tenga vértigo) y 5 pisos en el subsuelo, sus oficinas para acoger a 12000 personas. Está ubicado en el centro de Taiwán. El Taipéi 101 es tan grande que se piensa que su peso de 700000 toneladas ha podido reabrir una antigua falla geológica que podría causar futuros terremotos. Sin embargo hay geólogos que dicen que esto no es cierto, el peso de tierra excavada es igual al peso del Taipéi 101, lo cual significa que no hubo un cambio en la fuerza ejercida a la falla. En la zona más alta, incluye una gran esfera de acero y hormigón colgado de cables, que ocupa varios pisos y sirve para dar equilibrio y soportar vientos fuertes y terremotos. Para la construcción de esta mega estructura se utilizó hormigón de alta resistencia. Figura 1.16 – Taipéi 101, edificio de hormigón de alta resistencia con 101 pisos
Actualmente el edificio más alto del mundo es el Burj Khalifa, ubicado en Dubai, uno de los hitos que ha establecido este edificio es la altura alcanzada por su estructura de hormigón armado que en noviembre de 2007 se llega a bombear hormigón a la planta 156, situada a 601 metros de altura, algo insólito hasta entonces, a partir de dicha cota la estructura pasa a ser de acero. El TAIPEI 101 y el BURJ KHALIFA utilizan hormigón de alta resistencia. Se denomina hormigón de alta resistencia al hormigón que alcanza la resistencia a compresión uniaxial en el rango de 42 a 84 𝑀𝑃𝑎 o más. Para la dosificación de hormigón de alta resistencia se utiliza materiales cuidadosamente seleccionados, como cemento, arena, grava, aditivos súper plastificantes reductores de agua de alto rango, cenizas volantes y microsílica y control de calidad muy cuidadoso durante la producción. La aplicación más usual de hormigón de alta resistencia, se presenta en las columnas de los primeros pisos de edificios altos, donde el uso de hormigón normal resultaría en secciones transversales muy grandes, con la pérdida de espacio útil. A continuación presentamos las características del hormigón de alta resistencia: El hormigón de alta resistencia, aunque más costosa, aumenta la superficie útil de cada piso. El hormigón de alta resistencia resulta más económico respecto a aumentar acero en un hormigón normal. El hormigón de alta resistencia presenta mayor módulo de elasticidad. El hormigón de alta resistencia presenta un menor coeficiente de flujo plástico que resulta en deflexiones instantáneas. El diagrama esfuerzo deformación del ensayo de compresión uniaxial del hormigón de alta resistencia presenta un rango más extenso de respuesta lineal elástica. copyright©rcolquea
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El hormigón de alta resistencia presenta un comportamiento frágil, que puede traer desventajas. El hormigón de alta resistencia presenta una deformación unitaria reducida con respecto al hormigón normal. El hormigón de alta resistencia presenta una durabilidad mejorada y una resistencia a la abrasión. El hormigón de alta resistencia se aplica a estructuras costa afuera para la explotación de petróleo, edificios para parqueo, realces en tableros para puentes, rebosaderos en presas, bodegas y losas industriales pesadas. En la actualidad las exigencias estructurales, especialmente las exigencias de edificios altos están generando un uso más amplio del hormigón de alta resistencia. El requisito fundamental del hormigón de alta resistencia es la baja relación agua – material cementante, en hormigón normal la relación agua – cemento va de 0.4 a 0.6 en peso, pero para hormigón de alta resistencia la relación agua – material cementante puede llegar a 0.25 o menor, se utiliza súper plastificantes con el objetivo de mantener un adecuado manejo del hormigón durante el vaciado, es decir los súper plastificantes aumentan el asentamiento y revenimiento. 1.12.3) EL IMPACTO DEL SOFTWARE EN HORMIGÓN ARMADO En los últimos tiempos la disponibilidad de computadoras personales marca una influencia significativa en el análisis y diseño de estructuras de hormigón armado. El cálculo estructural es implícito y además consume mucho tiempo los cálculos de forma manual; pero con una computadora el proyectista puede reducir considerablemente el tiempo para un análisis estructural y realizar análisis alternativos con el tiempo ahorrado. La computadora puede reducir el tiempo de análisis estructural, pero al mismo tiempo tiende a reducir el sexto sentido del proyectista, esto puede ser un problema muy serio para los ingenieros jóvenes que no tienen experiencia profesional. En la actualidad la mayoría de las Universidades americanas para la enseñanza de hormigón armado, utilizan el pizarrón, complementándose con algunos ejemplos en computadora. Se sugiere investigar el manejo de programas aplicados en ingeniería estructural, los respectivos programas son: Autocad structural detailing (aplicado a planos estructurales) Autodesk revit structure 2011(aplicado a la simulación de estructuras en 3D) Autodesk robot structural analysis professional 2012 (aplicado al análisis de estructuras) Safe (aplicado al diseño de losas) Etabs (aplicado al análisis de edificios) Pca-slab y pca- col (aplicado al diseño de vigas y columnas) Cypecad (aplicado al análisis y diseño de estructuras) Catya (aplicado al análisis avanzado de estructuras y modelos espaciales)
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1.13) PROBLEMAS PROPUESTOS Mencione los aditivos utilizados en las mesclas de hormigón ¿Cuál es el propósito de cada uno de ellos? Problema 1.1 ¿Qué es la relación de Poisson y cuál es la importancia en hormigón armado? Problema 1.2 ¿Qué factores influyen en el flujo plástico del hormigón? Problema 1.3 ¿Qué se puede hacer para reducir el flujo plástico del hormigón? Problema 1.4 ¿Cuál es el efecto del flujo plástico en columnas de hormigón reforzado sometidos a cargas axiales de compresión? Problema 1.5 ¿Por qué se utiliza gas de sílice en hormigones de alta resistencia y cuál es su efecto? Problema 1.6 ¿Por qué la superficie de las varillas de refuerzo presentan corrugaciones? Problema 1.7 ¿Cuáles son las varillas de refuerzo con dimensiones aproximadas en el “sistema métrico”? Problema 1.8 ¿Por qué a veces se utiliza varillas recubiertas con epóxido? Problema 1.9 ¿Cuál es el diámetro y área de la sección transversal de una varilla de refuerzo #5 (sistema inglés)? Problema 1.10 ¿Cuáles son las industrias de acero que dominan el mercado boliviano? Problema 1.11 ¿Indique las propiedades de las fibras de acero y de vidrio? Problema 1.12 ¿Indique las especificaciones que debe cumplir el agua para el amasado del hormigón? Problema 1.13 ¿Qué es fluencia? Problema 1.14 ¿Qué es ductilidad? Problema 1.15 ¿Indique el significado de la identificación del acero 8 BELGO 50 S? Problema 1.16 ¿Qué ocurre cuándo el agua para el amasado del hormigón tiene un PH igual a 12? Problema 1.17 ¿Qué especifica la denominación “soft metric” y “hard metric” según las notas de la ACI? Problema 1.18 ¿Por qué se utiliza generalmente la norma ACI 318? Problema 1.19 ¿Mencione los tipos de ensayo para modelar el esfuerzo de tracción uniaxial del hormigón? Problema 1.20 ¿Qué es el módulo de elasticidad? Problema 1.21 ¿Qué es el ensayo de compresión uniaxial del hormigón? Problema 1.22 ¿Indique las propiedades de compatibilidad entre el hormigón y el acero? Problema 1.23 ¿Qué es expansión térmica, la expansión térmica es la misma en el hormigón y el acero? Problema 1.24 ¿Qué es conductividad térmica, diferencie la conductividad térmica entre el acero y el hormigón? Problema 1.25 ¿Indique las teorías que idealizan los esfuerzos combinados en estructuras de hormigón armado? Problema 1.26 ¿Cuál es la diferencia entre hormigón y hormigón armado?
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CAPÍTULO 2: CARGAS MÍNIMAS DE DISEÑO EDIFICIOS
PARA
2.1) INTRODUCCIÓN Una estructura debe considerarse como un sistema o conjunto de elementos que se combinan ordenadamente para cumplir una función dada, para predecir el comportamiento, la resistencia y las deformaciones, de los elementos estructurales es necesario describir los diferentes tipos de carga que actúan sobre la estructura. En la figura 2.1 se presenta el modelo de un edificio a escala en el túnel de viento para simular la carga debido al viento.
Figura 2.1 – Modelo del túnel de viento: Pentominium, Dubai. (Courtesy of CPP Wind Engineering & Air Quality Consultants.)
Las cargas son fuerzas o solicitaciones externas que actúan sobre una estructura, los esfuerzos son las fuerzas internas que resisten las cargas y producen tracción y compresión en la estructura, la fuerza de compresión tiende a acortar y la fuerza de tracción tiende a estirar a un elemento, las fuerzas de corte tienden a hacer que unas partes de deslicen con respecto a otras, también existen fuerzas normales (carga axial) y momentos de flexión y de torsión que son generados por las fuerzas internas. Una vez estimada las magnitudes de las cargas de diseño, el siguiente problema consiste en determinar cuál será la peor combinación de éstas y que pueda presentarse en un momento dado, es decir que un ingeniero también debe considerar la posibilidad de que algunas de estas cargas podrían actuar de forma simultánea sobre la estructura. Por ejemplo: ¿podría estar un puente carretero completamente cubierto con hielo o nieve, y además sujeto a las cargas dinámicas de copyright©rcolquea
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camiones pesados viajando a gran velocidad en todos los carriles y a un viento lateral de 150 𝑘𝑚/ℎ𝑟, o es más razonable considerar una combinación de cargas más leve?. Finalmente, la estructura se diseña de modo que pueda soportar la combinación más desfavorable de cargas que es probable que ocurra mientras dure. 2.1.1) FUNDAMENTOS DE DISEÑO La base fundamental de un elemento estructural es su resistencia, el cual debe ser lo suficiente para resistir las solicitaciones de carga, por lo tanto el ingeniero diseñador, debe dimensionar los elementos, de tal forma que el concreto y el refuerzo sean adecuados para resistir las fuerzas resultantes de ciertos estados de carga. Las estructuras de concreto armado que tengan influencia de cargas cercanas a la falla, estarán en el rango inelástico no lineal del diagrama esfuerzo deformación. El concreto alcanzará su resistencia máxima y su falla subsecuente cuando los esfuerzos y deformaciones son aproximadamente proporcionales, por otro lado el acero reforzara por encima de la zona de fluencia, por lo tanto la resistencia nominal de un elemento debe calcularse en base al comportamiento inelástico de los materiales. Un elemento estructural debe ser verificado a cargas normales de servicio, es decir verificar un elemento estructural de tal forma que su deformación este en un rango admisible. Algunas décadas atrás, el hormigón armado se diseñaba tomando en cuenta un comportamiento elástico, esto implica que no se pueden ajustar los factores individuales de carga para representar la incertidumbre de las cargas. La principal función del ingeniero estructural es el diseño de elementos que generan una estructura, el ingeniero debe buscar un punto de equilibrio entre la seguridad y la economía, de tal forma que resista en forma segura los efectos que actuarán sobre ella a través de su vida útil. Estos efectos son solicitaciones debidas a las cargas generadas por naturaleza física. Los principales aspectos del comportamiento en el diseño de una estructura son: Estado límite de resistencia, las solicitaciones externas de cargas generaran esfuerzos internos y reacciones, que pueden generar falla en la estructura. Estado límite de servicio, las deformaciones traducidas en deflexiones y agrietamientos, que van a presentarse en la estructura, cuando este cargada bajo condiciones de servicio. A continuación presentamos un diagrama de las funciones del Ingeniero Estructural:
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ASPIRACIONES CREATIVAS
CONCEPCIÓN
CONDICIONES TÉCNICAS
CONCEPTO ESTRUCTURAL
SOLICITACIONES
MODELO ESTRUCTURAL
GEOMETRIA,MATERIALES, ETC
MODELO MATEMATICO
ANALISIS ESTRUCTURAL REACCIONES
INGENIERIA ESTRUCTURAL
RESPUESTA ESTRUCTURAL
SOLUCION MATEMATICA
ESFUERZOS
ESTADO LIMITE DE RESISTENCIA
DEFORMACIONES
ESTADO LIMITE DE SERVICIO SEGURIDAD ESTADO LIMITE DE FATIGA
ESTADO LIMITE DE RESISTENCIA AL FUEGO
MATERIALES DISEÑO ESTRUCTURAL MANO DE OBRA CONSTRUCCIÓN
MAQUINARIA Y EQUIPO UTILIZACIÓN
ECONOMIA GASTOS GENERALES
MANTENIMIENTO
FUNCIONALIDAD UTILIDAD
IMPUESTOS
Figura 2.2 – Funciones del Ingeniero Estructural
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HORMIGÓN ARMADO 2.1.2) CÓDIGOS DE DISEÑO El diseño de elementos de hormigón debe estar en función de reglamentos o normas que especifiquen las características de los materiales, criterios de análisis estructural, etc. Las cargas mínimas de diseño y la combinación de cargas para las cuales las estructuras deben diseñarse suelen especificarse en los códigos de construcción. El material que se presenta aquí está basado en la ASCE16 Standard Mínimum Design Loads for Buildings and Other Structures (Norma ASCE, Cargas mínimas de diseño para edificios y otras estructuras) de la Sociedad Americana de Ingenieros Civiles (ANSI/ASCE 7-10), que por lo común se menciona como la ASCE7 Standard y es quizá la norma que se usa con mayor amplitud en la práctica. La ASCE 7 presenta una información detallada sobre el cálculo de cargas muertas, vivas y cargas ambientales. Las cargas descritas en los códigos por lo común se basan en un estudio probabilista y son las mínimas para las que deben diseñarse los diversos tipos de estructuras; sin embargo, el ingeniero debe decidir qué tipo de cargas incide en la estructura, además de las consideradas por el código, y de ser así, debe diseñar esa estructura para que resista las cargas adicionales. El American Concrete Institute17 (ACI) es un líder en la reglamentación del hormigón estructural, el ACI publico el reconocido Building Code Requeriments for Estructural Concrete, que es una norma de diseño para la construcción de edificios de hormigón armado. El ACI no es un documento oficial, es más que todo un documento utilizado por la mayoría de los diseñadores y constructores de estructuras de hormigón armado. El ACI publica importantes revistas y normas para el análisis y diseño de estructuras de hormigón armado, el documento normativo del American Concrete Institute se formuló gracias a las investigaciones de científicos, ingenieros y aficionados de diversas partes del mundo; los investigadores formularon journals que contenían criterios de diseño, por lo tanto el ACI se formuló en base a journals. Estados Unidos de América es un país que marca una notable influencia de códigos en Latinoamérica, esto hace más fácil tener el acceso a normas americanas. Consecuentemente la mayor parte de los puentes vehiculares de los Estados Unidos, están diseñados de acuerdo a las especificaciones para puentes de la AASHTO (American Associaton of State Highway and Transportation Officials), el código mencionado tiene disposiciones que siguen las dadas por la ACI. El diseño de puentes de vías férreas se la realiza de acuerdo con las especificaciones del AREA (Manual of Ralway Engineering), el respectivo código para puentes de vías férreas sigue muchos aspectos del código ACI. Atención! Las normas generan disposiciones que sirven únicamente como recomendación, el diseñador o constructor, debe confiar en el entendimiento de los principios básicos de la mecánica estructural y un conocimiento profundo de la naturaleza de los materiales, es decir el proyectista puede realizar algunas modificaciones de diseño y en construcción.
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(ASCE STANDARD [ASCE/SEI 7-10], 2010) (American Concrete Institute, 2011) copyright©rcolquea
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2.2) TIPOS DE CARGAS Las cargas que actúan sobre las estructuras comunes se pueden agrupar en función de la variabilidad respecto al tiempo, de acuerdo al área de aplicación, al modo de aplicación y su naturaleza y origen. 2.2.1) DE ACUERDO A LA VARIABILIDAD RESPECTO AL TIEMPO Se clasifican en dos: Cargas estáticas; son fuerzas que se aplican con lentitud y luego permanecen casi constantes, como el peso propio de un entrepiso, en otras palabras son cargas que no varían en función del tiempo. Cargas dinámicas; son fuerzas que varían con el tiempo provocando una aceleración o vibración apreciable, incluyen las cargas repetidas, como las cargas móviles de los camiones o trenes sobre puentes, cargas de impacto como un peso que cae y choca contra una estructura o la onda de choque de una explosión que choca y rebota en una estructura. En otras palabras son cargas que varían en función del tiempo, por ejemplo la carga de viento varía en función del tiempo. 2.2.2) DE ACUERO AL ÁREA DE APLICACIÓN Se clasifica en tres clases: Cargas concentradas; son fuerzas que tienen superficies de contacto tan pequeñas que resultan insignificantes en comparación con toda el área de superficie del elemento de soporte, y de acuerdo al sistema internacional se puede medir en 𝑘𝑁. Cargas lineales; son fuerzas constantes que están distribuidas por unidad de longitud o una franja del elemento de soporte, por ejemplo el peso propio debido al muro que incide a la viga, se puede medir en 𝑘𝑁/𝑚. Cargas de superficie; son fuerzas distribuidas en una unidad de área o sobre una superficie del elemento de soporte, por ejemplo la carga debido al piso que incide en la losa, se mide en 𝑘𝑁/𝑚2 . 2.2.3) DE ACUERDO AL MODO DE APLICACIÓN Básicamente se las puede clasificar en tres: Carga axial; es aquella cuya resultante pasa por el centroide de una sección en consideración y es perpendicular al plano de aplicación, este tipo de cargas rara vez puede darse en una columna, se la puede medir en 𝑘𝑁. Carga excéntrica; es una fuerza perpendicular al plano de la sección en consideración pero que no pasa por el centroide de la sección, y por tanto genera flexión al elemento, la situación indicada generalmente se produce en las columnas, se la mide en 𝑘𝑁. Carga torsional; fuerzas que no pasan por el centro de cortante de la sección en consideración y están inclinadas en relación al plano de la sección o en ese plano, por lo tanto, tuercen al elemento estructural, un ejemplo se puede dar en una viga con volado, se la puede medir en 𝑘𝑁 ó 𝑘𝑁/𝑚. 2.2.4) DE ACUERDO A LA NATURALEZA Y SU ORIGEN Están descritas por su variabilidad con respecto a la magnitud, tiempo y ubicación:
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Cargas muertas; debido al peso propio del sistema estructural y cualquier otro material que este sujeto a él de manera permanente, por ejemplo carga debido al peso propio del piso, contrapiso, losa, viga, columna, etc. Cargas viva; son aquellas cuyas magnitudes o posiciones, o ambos aspectos, varían a causa del uso de la estructura, por ejemplo la carga viva que dependa de la función de la estructura, que puede ser edificios destinados a departamentos familiares o edificios destinados a salas de baile y tiendas comerciales. Cargas ambientales; son causadas por los fenómenos ambientales, como la nieve, viento, sismo, etc. Estrictamente hablando estas son cargas vivas, pero son el resultado del ambiente en el que la estructura se encuentra. Por ejemplo un edificio destinado a hotel, de 50 pisos y ubicado en una playa costera está destinado a fuerzas horizontales provocadas por el viento. 2.3) CARGAS MUERTAS Son aquellas cargas que se mantienen constantes en magnitud o las variaciones a lo largo del tiempo son raras o de pequeña magnitud, están fijas en posición durante la vida de la estructura y tienen un tiempo de aplicación prolongado. En general, la carga muerta consiste en el peso propio de la estructura y el peso de todos los materiales de construcción incorporados en el edificio y apoyados sobre el miembro en cuestión. Las cargas muertas son debidas a paredes, pisos, techos, cielo rasos, escaleras, elementos divisorios, terminaciones, revestimientos, sistemas de calefacción, acondicionador de aire, plomería, sistema eléctrico y otros ítems arquitectónicos y estructurales incorporados de manera similar. La experiencia ha demostrado que existen situaciones que si no se considera todas las cargas que actúan sobre la estructura, pueden reducir la futura utilidad del edificio o reducir su margen de seguridad. Según la norma ASCE 7-10 las consideraciones a tener en cuenta son: Cargas permanentes; se aconseja no solo ser prudente en el uso de los valores tabulados, sino ser lo más preciso posible en la consideración de las medidas geométricas de los elementos estructurales y arquitectónicos. Se ha dado el caso de numerosos ejemplos en los cuales los pesos reales de los elementos y materiales de construcción han excedido en la obra a los valores usados en el diseño. Instalaciones futuras; cuando parezca probable la realización de instalaciones o modificaciones futuras, se deberán prever las cargas correspondientes, también se lo llama la atención a la posibilidad de cambios temporarios en el uso del edificio. Particiones; se debe prestar especial consideración a los tipos y posiciones probables de las particiones (paredes o tabiques divisorios), ya que una previsión insuficiente de particiones puede reducir la futura sobrecarga del edificio. Cuando las particiones sean de ladrillo macizo y no estén ubicados sobre vigas, se deberán tener en cuenta su efecto sobre las losas realizándose los cálculos correspondientes mediante la consideración de cargas lineales o por unidad de área. Cuando las particiones sean livianas (de ladrillo hueco o placas con bastidor), generalmente resulta práctico tener en cuenta su efecto considerando las particiones como cargas uniformemente distribuidas, que se adicionan a las sobrecargas previstas para el destino del local considerado. Para la determinación de las cargas muertas con propósito de diseño, se deben usar los pesos reales de los materiales y elementos constructivos. Sin embargo, el peso de la estructura no se conoce con anticipación al diseño y suele suponerse con base a la experiencia pasada, una vez copyright©rcolquea
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que se ha analizado la estructura y se han determinado los tamaños de los elementos, se calcula el peso real mediante el uso de esos tamaños y los pesos unitarios de los materiales. Entonces, se compara el peso real con el supuesto y si es necesario se revisa el diseño. Las cargas muertas se obtendrán multiplicando los volúmenes o superficies considerados en cada caso, por los correspondientes pesos específicos que se encuentran en las tablas 2.3, 2.4, 2.5 (c); la tabla 2.1 y 2.2 muestra las cargas por unidad de área debido al peso propio de los componentes. Estas tablas de materiales y componentes de construcción pretenden mostrar la práctica común llevada a cabo entre diseñadores y corresponden a la norma ASCE 7-10, en el capítulo C3 de cargas muertas18. Algunos materiales para los cuales se da un solo valor, en realidad, tienen una considerable variación en el peso, el valor promedio que se da es adecuado para uso general, pero cuando hay razón para sospechar una desviación considerable, se debe determinar el peso real.
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(ASCE STANDARD [ASCE/SEI 7-10], 2010, pág. 397) copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO Tabla 2-1 Cargas muertas mínimas de diseño19 Componente
CIELO RASO Cartón de fibra acústica Fibra de yeso (por cada 3 mm de espesor) Conducto mecánico permisible Revoque de yeso en tejas de hormigón Revoque de yeso en listones de madera Sistemas de perfiles canal de acero suspendidos Varillas metálicas suspendidas y revoque de cemento Varillas metálicas suspendidas y revoque de yeso Sistemas de suspención con maderas cepilladas CUBIERTAS, TECHOS Y MUROS Tablillas delgadas de asbesto-cemento Tablillas delgadas de asfalto Tejas de cemento Tejas de arcilla (con mortero añadir 0,49 kN/m2) Bloques de tierra cocida en forma de libro, 50 mm. Bloques de tierra cocida en forma de libro, 75 mm. Ludowici Romana Española Composición: Tres capas de techos prearmados o preparados Cuatro capas de filtro y grava Cinco capas de filtro y grava Tonelero o estaño Techos de asbesto cemento corrugado Cubierta de tablero metálico, 20 grados Cubierta de tablero metálico, 18 grados Tablero de madera, 50 mm. (Pino asbesto) Tablero de madera, 75 mm. (Pino asbesto) Fibra de cartón, 25 mm. Revestido con yeso Aislador de tableros de techo Vidrio celular Vidrio fibroso Cartón de fibra Perlita Espuma de poliestireno Espuma de poliuretano con revestimiento Maderas en capas (por cada 3 mm de espesor) Aislamiento rígido (de 25 mm) Cielo lígero, vigas metálicas, vidrio armado de 9 mm. Pizarra de 4,7 mm Pizarra de 6,3 mm
19
Carga 𝑘𝑔𝑓/𝑚 2
𝑘𝑁/𝑚 2
5 3 20 25 40 10 75 50 13
0,05 0,03 0,20 0,25 0,39 0,10 0,74 0,49 0,12
20 10 80 0 60 100 50 60 95 0 5 28 30 5 20 13 15 25 40
0,20 0,10 0,78 0,00 0,59 0,98 0,49 0,59 0,93 0,00 0,05 0,27 0,29 0,05 0,20 0,12 0,15 0,25 0,39
4 10 4 6 8 4 1
0,04 0,10 0,00 0,03 0,05 0,07 0,04 0,01
3 2 4 40 35 50
0,02 0,02 0,04 0,39 0,34 0,49
(ASCE STANDARD [ASCE/SEI 7-10], 2010, pág. 399) copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO Tabla 2-2 Cargas muertas mínimas de diseño (continuación) Componente
Techo de membrana de agua Bituminosos, recubiertos con grava Bituminosos, superficie suave Líquidos aplicados Láminas de capa simple Madera entablada (por 25 mm de espesor) Teja de madera PISOS LLENOS Hormigón de cenizas, por 25 mm Hormigón liviano, por 25 mm Arena, por 25 mm Hormigón de piedra, por 25 mm PISOS TERMINADOS Bloques de asfalto (50 mm), mortero de 25 mm Acabado de cemento (25 mm) con relleno de hormigón Piso de cerámica o baldosa (75 mm), en mortero de 25 mm Piso de cerámica o baldosa (75 mm), en mortero de 50 mm Acabado de concreto (por 25 mm de espesor) Piso de madera dura Piso de asfalto o linoleum, 6,25 mm Mármol y mortero en relleno de concreto de piedra Pizarra (por cada mm de espesor) Piso plano sólido de 25 mm, con base de mortero Contrapiso, 19 mm. Terrazo directamente sobre losa (38 mm) Terrazo en relleno de concreto de piedra (25 mm) Terrazo en concreto de piedra de 50 mm (25 mm) Bloques de madera sobre masilla (75 mm) Bloques de madera en base de mortero de 13 mm (75 mm) PARTICIONES CON BASTIDOR Particiones con aceros móviles Travesaños de madera o acero, yeso de 13 mm a cada lado Travesaños de madera, 50x100 mm, no revocado Travesaños de madera, 50x100 mm, revocado en un lado Travesaños de madera, 50x100 mm, revocado en dos lados
Carga 𝑘𝑁/𝑚 2 𝑘𝑔𝑓/𝑚 2 28 8 5 4 15 15
0,27 0,07 0,05 0,03 0,15 0,15
45 40 40 60
0,44 0,39 0,39 0,59
150 160 80
1,47 1,57 0,78
115
1,13
70 20 5 165 75 115 15 95 160 160 50 80
0,69 0,20 0,05 1,62 0,74 1,13 0,15 0,93 1,57 1,57 0,49 0,78
20 40 20 60 100
0,20 0,39 0,20 0,59 0,98
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HORMIGÓN ARMADO Tabla 2-3 Pesos específicos de materiales para cargas de diseño20 Material Aluminio Bituminosos Asfalto Grafito Parafina Petróleo crudo Petróleo refinado Petróleo Gasolina de petróleo Betún Alquitrán Latón Bronce Muro de piedra puesta Cemento pórtland suelto Teja de cerámica Carbón vegetal o de leña Ceniza llena Ceniza seca en masa Carbón Antracita apilada Bituminoso apilado Lignito apilado Turba seca apilada Hormigón simple Ceniza Agregado de escoria expandida Haydite Escoria Piedra (incluso grava) Vermiculite, perlite agregados (máximo) Otro agregado liviano con capacidad de carga (máximo) Hormigón armado Ceniza Escoria Piedra (incluso grava) Tonelero Corcho comprimido Tierra (no sumergida) Arcilla seca Polvo de arcilla Arcilla y grava seca Limo mojado suelto Limo mojado compacto Lama líquida Arena y grava, seca y suelta
20
Peso específico 𝑘𝑁/𝑚 3 𝑘𝑔𝑓/𝑚 3 2720 26,68 1296 2160 896 880 800 736 672 1104 1200 8416 8832 2304 1440 2400 192 912 720
12,71 21,19 8,79 8,63 7,85 7,22 6,59 10,83 11,77 82,56 86,64 22,60 14,13 23,54 1,88 8,95 7,06
832 752 752 368
8,16 7,38 7,38 3,61
1728 1600 1440 2112 2304 800 1680
16,95 15,70 14,13 20,72 22,60 7,85 16,48
1776 2208 2400 8896 224
17,42 21,66 23,54 87,27 2,20
1008 1760 1600 1248 1536 1728 1600
9,89 17,27 15,70 12,24 15,07 16,95 15,70
(ASCE STANDARD [ASCE/SEI 7-10], 2010, pág. 404) copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO Tabla 2-4 Pesos específicos de materiales para cargas de diseño (continuación) Componente Arena y grava, seca y compacta Arena y grava húmeda Tierra (sumergida) Arcilla Suelo Lodo o fango de río Arena o grava Arcilla con arena o grava Vidrio Grava seca Yeso Cartón de yeso Hielo Hierro Fundido Forjado Plomo Cal Hidratada y suelta Hidratada y compacta Mampostería de piedra labrada Granito Piedra caliza, cristalina Piedra caliza, de masa de granos redondos Mármol Arenisca Mampostería de ladrillo Duro (bajo absorción) Intermedio (absorción media) Suave (alta absorción) Mampostería de hormigón Liviano, de peso unitario Intermedio, de peso unitario Normal, de peso unitario Mampostería de lechada de cemento
Carga 𝑘𝑔𝑓/𝑚 2 𝑘𝑁/𝑚 2 1760 1020
17,27 10,01
1280 1120 1440 960 1040 2560 1664 1120 800 912
12,56 10,99 14,13 9,42 10,20 25,11 16,32 10,99 7,85 8,95
7200 7680 11360
70,63 75,34 111,44
512 720
5,02 7,06
2640 2640 2160 2768 2304
25,90 25,90 21,19 27,15 22,60
2080 1840 1600
20,40 18,05 15,70
1680 2000 2160 2240
16,48 19,62 21,19 21,97
2448 2352 2208 2496 2192 2080 720 576
24,01 23,07 21,66 24,49 21,50 20,40 7,06 5,65
1328
13,03
Mampostería de piedra no labrada
Granito Piedra caliza cristalina Piedra caliza de masa de granos redondos Mármol Arenisca Mortero de cemento o limo Particleboard Madera contraplacada Revestido de piedra (no sumergida) Caliza
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HORMIGÓN ARMADO Tabla 2-5 Pesos específicos de materiales para cargas de diseño (continuación) Componente Arenisca Piedra bruta o sin labrar Basalto, granito y gneiss Caliza, mármol y cuarzo Lutita Pizarra Roca verde, hornablenda Barro cocido arquitectónico Espacios vacios llenos Espacios vacios no llenos Estaño Agua Fresca Mar Madera Ceniza blanda comercial Ciprés sureño Pino abeto, pino oregon de la regíon costera Pino dobladillo Roble comercial, blanco y rojo Pino amarillo, de la región sureña Pino gigantesco o de California Pino abeto, rojo y blanco Pino abeto occidental Zinc en papel enrollado Arena Limpia y seca De río y seca Escorias Cantera Cantera zarandeada Máquina Arena Pizarra Acero laminado en frío
Carga 𝑘𝑔𝑓/𝑚 2 𝑘𝑁/𝑚 2 1440
14,13
1536 1520 1312 1472 1712
15,07 14,91 12,87 14,44 16,79
1920 1152 7344
18,84 11,30 72,04
992 1024
9,73 10,05
656 544 544 448 752 592 448 464 512 7184
6,44 5,34 5,34 4,39 7,38 5,81 4,39 4,55 5,02 70,48
1440 1696
14,13 16,64
1120 1728 1536 832 2752 7872
10,99 16,95 15,07 8,16 27,00 77,22
2.4) CARGAS VIVAS Las cargas vivas son cargas móviles o en movimiento, es decir varían con el tiempo en magnitud o posición, o en ambos aspectos. La magnitud y distribución son inciertas en un momento, y sus máximas intensidades a lo largo de la vida de la estructura no se conocen con precisión. Al cambiar su posición, estas pueden estar total o parcialmente en su sitio o no estar presentes. Las cargas vivas consisten principalmente en cargas vivas debidas al uso y ocupación y cargas vivas de techo. Las cargas vivas debidas al uso y ocupación son aquellas cargas originadas por el uso y la ocupación de un edificio u otra estructura, son ocasionadas por las personas, camiones, grúas, copyright©rcolquea
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automóviles, cargas que se mueven bajo su propio impulso, mobiliario, equipo movible, muros de partición provisionales y toda carga que puede ser desplazada. Por lo común, las cargas vivas de los edificios se especifican como cargas superficiales uniformemente distribuidas y concentradas. En las tablas 2.6, 2.7 y 2.8, se presenta las cargas vivas mínimas típicas, estas cargas están tomadas de la tabla 4-1 de la norma ASCE 7-10. Cuando se selecciona el destino para el diseño de un edificio o una estructura, el propietario y/o proyectista del edificio u otra estructura deberá considerar la probabilidad de cambios de destino posteriores, considerando cargas más pesadas que las contemplan originalmente. No necesariamente se seleccionarán las cargas más livianas apropiadas para el primer destino. El propietario debe asegurar que no se coloque o se permita colocar sobre cualquier piso o techo de un edificio u otra estructura, una carga viva mayor que aquella para la cual un piso o techo fueron diseñados. 2.4.1) DEFINICIONES Escalera fija; una escalera que está permanentemente unida a una estructura, edificio o equipo. Sistema de barras de agarre; una barra, anclaje y accesorios asociados al sistema estructural, para el soporte del peso corporal en lugares tales como baños, duchas, bañeras y armarios. Sistema de barandilla; un sistema de componentes, que incluye anclajes y anexos al sistema estructural, cerca de los lados abiertos de una superficie elevada, esto con el fin de minimizar la posibilidad de una caída de la superficie elevada causada por personas, equipos, o material. Sistema de pasamanos; un carril sujetado con la mano como guía y soporte, y anclajes y anexos asociados al sistema estructural. Helipuerto; una superficie estructural que se utiliza para aterrizaje, despegue, rodaje y estacionamiento de helicópteros. Carga viva; Una carga producida por el uso y funcionamiento del edificio u otra estructura de otra índole que no incluye construcción o cargas ambientales, tales como la carga de viento, cargas de nieve, carga de lluvia, carga sísmica, carga de inundación, o carga muerta. Carga viva de techo; una carga en el techo producida por: (1) durante el mantenimiento de los trabajadores, el equipo y los materiales y (2) durante la vida de la estructura por los objetos inestables, tales como jardineras o pequeños accesorios decorativos similares que no sean de funciones relacionadas. Caja de pantalla; un edificio o una parte de la misma, en su totalidad o en parte de auto soporte, los cuales tienen paredes y un techo de protección solar que utiliza fibra de vidrio, aluminio, plástico, o material de red de similar peso ligero, que contenga una ocupación o uso tales como piscinas exteriores, patios o cubiertas, e instalaciones de producción hortícolas y agrícolas. Sistema de barrera para vehículos; un sistema de componentes, los cuales incluyen los anclajes y los accesorios adjuntos al sistema estructural que se encuentran cerca a los lados abiertos o muros de garaje, losas o rampas, que actúa como un freno para vehículos.
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2.4.2) CARGAS NO ESPECIFICADAS Para los servicios o usos no designados en este capítulo, la carga viva se determinará de acuerdo con un método aprobado por la autoridad que tiene jurisdicción. 2.4.3) CARGAS VIVAS DISTRIBUIDAS UNIFORMEMENTE 2.4.3.1) CARGAS VIVAS REQUERIDAS Las cargas vivas usadas para el diseño de edificios y otras estructuras serán las cargas máximas previstas por el pretendido uso u ocupación, pero en ningún caso será menor que la unidad mínima distribuida uniformemente de las cargas requeridas por las tablas 2.6, 2.7 y 2.8, incluyendo cualquier reducción permitida. 2.4.3.2) PROVISIÓN DE CARGAS DE DIVISIÓN En edificios de oficinas u otros edificios donde las divisiones serán levantadas o reorganizadas, la provisión para división de peso siempre será realizada, en caso de que las particiones estén o no estén mostradas en los planos. La carga de división no deberá ser inferior a 0,72 𝑘𝑁/𝑚2. EXCEPCIÓN: Una carga viva de división no es requerida donde el mínimo requerido especificado de carga viva supera 3,83 𝑘𝑁/𝑚2 . 2.4.3.3) CARGA PARCIAL La intensidad total de la reducción adecuada de la carga aplicada sólo a una parte de una estructura o miembro será registrada si se produce una carga más desfavorable efecto de la misma intensidad aplicada sobre la estructura completa o miembro. Las cargas vivas de techo serán distribuidas como se especifican en las tablas 2.6, 2.7 y 2.8. 2.4.4) CARGAS VIVAS CONCENTRADAS Los pisos, techos y otras superficies similares serán diseñadas para soportar con seguridad las cargas vivas distribuidas uniformemente, que están previstas en el apartado 2.4.3 o la carga concentrada, en kilonewtons (𝑘𝑁), dadas en la Tabla 2.6, lo que produce los máximos efectos de carga. A menos que sea especificada, la concentración indicada, será asumida para ser distribuida uniformemente sobre un área de 762𝑚𝑚 por 762 𝑚𝑚 y será localizada a fin de producir los efectos de las cargas máximas en los miembros. 2.4.5) CARGAS EN PASAMANOS, PASAMANOS, SISTEMAS DE CONTENCIÓN DE VEHÍCULOS 2.4.5.1) CARGAS EN LOS SISTEMAS DE BARANDAS Y PASAMANOS Todos los sistemas de pasamanos y barandas deben ser diseñados para resistir una carga única concentrada de 0,89 𝑘𝑁 aplicada en cualquier dirección, en cualquier punto de la baranda o la barra superior y para transferir esta carga a través de los soportes a la estructura para producir el máximo efecto de carga sobre el elemento que se trate. Además, todos los sistemas de pasamanos y barandas deben ser diseñados para resistir una carga de 0,73 𝑘𝑁/𝑚 aplicada en cualquier dirección a lo largo de la barandilla o pasamanos superiores. Esta carga no necesita ser asumida para actuar simultáneamente con la carga especificada en el párrafo anterior, y la carga no necesita ser considerada para las siguientes funciones: 1. Para una y dos familias de las viviendas. 2. Fábrica, industrial, almacenamiento y trabajos, en áreas que no son accesibles al público y que sirven a un número de ocupantes no mayor a 50. copyright©rcolquea
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Carriles intermedios (todos aquellos excepto el pasamanos), y paneles fillers se diseñarán para soportar una carga horizontal aplicada normal de 0,22 𝑘𝑁 en un área que no exceda 305 𝑚𝑚 por 305 𝑚𝑚, incluidas las aberturas y el espacio entre los rieles y situada a fin de producir el efecto de carga máxima. Las reacciones debido a esta carga no son requeridas para ser superpuestas con las cargas especificadas en los párrafos anteriores. 2.4.5.2) CARGAS SOBRE SISTEMAS DE BARRAS DE SUJECIÓN Los sistemas de barras deberán estar diseñadas para resistir una sola carga concentrada de 1,11 𝑘𝑁 aplicada en cualquier dirección en cualquier punto de la barra de apoyo para producir el efecto de la carga máxima. 2.4.5.3) CARGAS SOBRE SISTEMAS DE CONTENCIÓN DE VEHÍCULOS Los sistemas de vehículos de barrera para pasajeros deberán estar diseñados para resistir una sola carga de 26,70 𝑘𝑁 aplicada horizontalmente en cualquier dirección para el sistema de barrera, y tendrán anclajes o accesorios capaces de transferir esta carga a la estructura. Para el diseño del sistema, la carga será asumida para actuar en alturas entre 460 𝑚𝑚 y 686 𝑚𝑚 por encima del losa o superficie de la rampa (elevador), seleccionado para producir el efecto de carga máxima. La carga será aplicada sobre una superficie que no exceda de 305 𝑚𝑚 por 305 𝑚𝑚 y situada de modo que produzca los efectos de carga máxima. No es necesario que esta carga actúe conjuntamente con cualquier barra o sistema de cargas de barandas, las mismas están especificadas en la Sección 2.4.5.1. Los sistemas de barrera de vehículos en garajes con capacidad para camiones y autobuses estarán diseñados de acuerdo con las especificaciones del diseño de puente AASHTO LRFD. 2.4.5.4) LAS CARGAS SOBRE ESCALERAS FIJAS La carga viva mínima de diseño sobre las escaleras fijas con escalones deberá ser una sola carga concentrada de 1,33 𝑘𝑁, y será aplicada en cualquier punto para producir el efecto de carga máxima en el elemento que se considere. El número y la posición de unidades adicionales de concentrados de carga viva será un mínimo de 1 unidad de 1,33 𝑘𝑁 por cada 3,05 𝑚 de la altura de la escalera. Donde los rieles de escaleras fijas se extienden por encima de una losa o plataforma en la parte superior de la escalera, la extensión de cada lado del tren deberán estar diseñados para resistir una sola carga viva concentrada de 0,445 𝑘𝑁 en cualquier dirección a cualquier altura hasta la parte superior de la extensión de la riel lateral. Las escaleras con peldaños de barco en lugar de escalones tendrán cargas mínimas de diseño como las escaleras, definidas en la Tabla 2.6. 2.4.6) CARGAS DE IMPACTO 2.4.6.1) GENERALIDADES Las cargas vivas detalladas en las secciones 2.4.3 a 2.4.5 se inferirán para incluir asignación adecuada para condiciones de impacto frecuentes. Se dispondrá de las provisiones necesarias en el diseño estructural para usos y cargas que involucren vibración inusual y fuerzas de impacto.
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2.4.6.2) ELEVADORES Todos los elementos sometidos a cargas dinámicas de ascensores deberán estar diseñados para cargas de impacto y límites de desviación establecidos por ASME A17.1. 2.4.6.3) MAQUINARIA Para los fines de diseño, el peso de la maquinaria y cargas móviles deberá ser incrementado como sigue para tener en cuenta el impacto: (1) la luz de la maquinaria, eje/pozo o impulsado por motor, 20 por ciento, y (2) máquina de movimiento alternativo o energía impulsada por unidades, 50 por ciento. Todos los porcentajes deberán ser incrementados donde sea detallado por el fabricante. 2.4.7) REDUCCIÓN DE LAS CARGAS VIVAS 2.4.7.1) GENERALIDADES Con excepción de las cargas vivas uniformes del techo, todos los demás cargas vivas mínimas distribuidas uniformemente, 𝐿𝑜 en Tabla 2.6, se permitirán ser reducidas de acuerdo con los requisitos de las secciones 2.4.7.2 a 2.4.7.6. 2.4.7.2) REDUCCIÓN DE LAS CARGAS VIVAS UNIFORMES Sujeto a las limitaciones de las secciones 2.4.7.3 a 2.4.7.6, los miembros, cuyo valor de 𝐾𝐿𝐿 𝐴𝑇 es de 37,16 𝑚2 o más son permitidas para ser diseñados con el fin de una reducción de la carga viva de acuerdo con la siguiente fórmula: En el SI: 4.57 𝐿 = 𝐿𝑂 (0.25 + ) √𝐾𝐿𝐿 𝐴𝑇 donde: 𝐿: El diseño de la carga viva reducida por 𝑚2 de área soportada por miembro. 𝐿𝑜 : El diseño no reducido de carga viva por 𝑚2 del área soportada por el miembro (véase la Tabla 2.6). 𝐾𝐿𝐿 : el factor elemento de carga viva (véase la Tabla 2.9). 2 𝐴𝑇 : área tributaria en 𝑚 . 𝐿 no deberá ser inferior a 0.50𝐿𝑜 para los miembros que soportan a una losa y 𝐿 no deberá ser inferior a 0.40𝐿𝑜 que soportan a los miembros de dos o más losas. EXCEPCIÓN: Para los miembros estructurales en una o dos viviendas familiares que soportan más de una carga de losa, la siguiente reducción de la carga viva deberá ser admitida como una alternativa a la siguiente ecuación: 𝐿 = 0,7(𝐿𝑜1 + 𝐿𝑜2 + ⋯ ) 𝐿𝑜1 + 𝐿𝑜2 + ⋯ son las cargas vivas de piso no reducidas aplicables a cada uno de los múltiples niveles de planta soportados, eso sin tener en cuenta el área tributaria. El efecto de la carga viva de piso reducida, 𝐿, no deberá ser menor que la producida por el efecto de la más grande carga de piso no reducida en un nivel dado de la planta que actúa por sí solo.
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2.4.7.3) CARGAS VIVAS PESADAS Las cargas vivas que excedan 4,79 𝑘𝑁/𝑚2 no deberán ser reducidas. EXCEPCIÓN: Las cargas vivas para los miembros que soportan dos o más pisos se le permitirán ser reducidos en un 20 por ciento. 2.4.7.4) GARAJES PARA VEHÍCULOS DE PASAJEROS Las cargas vivas no se reducirán en garajes de vehículos de pasajero. EXCEPCIÓN: Las cargas vivas para los miembros que soportan dos o más pisos se le permitirán ser reducidos en un 20 por ciento. 2.4.7.5) USOS DE ENSAMBLAJE Las cargas vivas no se reducirán en los usos de ensamblaje. 2.4.7.6) LIMITACIONES EN LOSAS UNIDIRECCIONALES El área tributaria, 𝐴𝑡 , para losas unidireccionales no podrá exceder un área definida por el vano de la losa y con la normal del vano de 1,5 veces el vano de la losa. 2.4.8) REDUCCIÓN DE CARGAS VIVAS DE TECHO 2.4.8.1) GENERALIDADES El mínimo de las cargas vivas de techo uniformemente distribuidas, 𝐿𝑜 en la Tabla 2.6, serán permitidas ser reducidas conforme con los requisitos de las secciones 2.4.8.2 y 2.4.8.3. 2.4.8.2) TECHOS PLANOS, INCLINADOS Y CURVOS Los techos ordinariamente planos, inclinados y curvos, toldos y marquesinas distintos a los de construcción de la tela apoyada por una estructura esqueleto, se aprueba que estén diseñados para una carga viva de techo reducida, como se detalla en la ecuación de 𝐿𝑟 u otras combinaciones de control de cargas, cualquiera que produzca el mayor efecto de carga. En estructuras como invernaderos, donde el andamiaje especial se utiliza como superficie de trabajo para los trabajadores y materiales durante el mantenimiento y las operaciones de reparación, una carga en el techo más bajo que la especificada en la ecuación de 𝐿𝑟 no se utilizará a menos que sea aprobado por la autoridad correspondiente. En tales estructuras, la mínima carga viva de techo será de 0,58 𝑘𝑁/𝑚2 . En el SI: 𝐿𝑟 = 𝐿𝑜 𝑅1 𝑅2
Donde
0.58 ≤ 𝐿𝑟 ≤ 0.96
Donde: 𝐿𝑟 : la carga viva de techo reducida por 𝑚2 de la proyección horizontal sustentada por el miembro. 𝐿𝑜 : Diseño de carga viva de techo no reducida por 𝑚2 de la proyección horizontal soportada por el miembro (Véase la Tabla 2.6). La reducción de los factores 𝑅1 y 𝑅2 se determinará de la siguiente manera: En el SI: copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO 𝐴𝑇 ≤ 18.58 𝑚2 1 𝑅1 = {1.2 − 0.011𝐴𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎 {18.58 𝑚2 < 𝐴𝑇 < 55.74 𝑚2 0.6 𝐴𝑇 ≥ 55.74 𝑚2
Donde 𝐴𝑇 : Área tributaria en 𝑚2 apoyado por el miembro y 𝐹≤4 1 𝑅2 = {1.2 − 0.05𝐹 𝑝𝑎𝑟𝑎 {4 < 𝐹 < 12 𝐹 ≥ 12 0.6 Donde, para un un techo inclinado, 𝐹 = 0,12 ∙ 𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒, con la pendiente expresada en puntos porcentuales y, para un arco o cúpula, 𝐹: la proporción de la elevación del vano multiplicada por 32. 2.4.8.3) TECHOS DE PROPÓSITO ESPECIAL Los techos que tienen una función de habitabilidad, tales como los techos de los jardines, con fines de ensamblaje, u otros fines especiales se les permite tener su carga viva reducida y uniformemente distribuida de acuerdo con los requisitos de la Sección 2.4.7.
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HORMIGÓN ARMADO Tabla 2-6 Cargas vivas mínimas uniformemente distribuidas y concentradas, 𝑳𝒐 21 Ocupación o uso
Apartamentos (ver residencial) Accesos a sistemas de piso Uso de oficinas Uso de computadoras Armerías y salas de adiestramiento Areas de reunión y teatros Sillas fijas (aseguradas al piso) Pasillos Sillas móviles Plataformas (Asamblea) Pisos de escenarios Balcones y terrazas
Pasillos de accesos de mantenimiento Corredores Primer piso Otros pisos, de la misma forma para la ocupación atendida excepto lo indicado Comedores y restaurantes Viviendas (ver residenciales) Rejilla del cuarto de máquinas de los ascensores(en un área de 50 mm por 50 mm) Construcción de piso de placa ligera terminada (en un área de 25 mm por 25 mm) Salidas de incendio Solamente en viviendas de una sola familia Escaleras de manos fijas Garajes Unicamente para autos de pasajeros Camiones y buses Pasamanos, barandillas y las barras de agarre Helipads Hospitales Quirófanos, laboratorios Sala de pacientes Corredores por encima del primer piso Hoteles (ver Residencial) Bibliotecas Salas de lectura Salas de estantes Corredores por encimas del primer piso
21
Uniforme 𝑘𝑁/𝑚 2
Concentrada 𝑘𝑁
2,4 4,79 7,18ᵃ
8,9 8,9
2,87ᵃ 4,79ᵃ 4,79ᵃ 4,79ᵃ 7,18ᵃ 1,5 veces la carga viva para la ocupación servido. No requerida para exceder las 4,79 1,92
1,33
4,79ᵃ
4,79ᵃ 1,33 0,89 4,79 1,92 Ver sección 4,5 1,92ᵃ˴ᵇ˴ᶜ ᶜ Ver sección 4,5 2,87ᵈ˴ᵉ no reducible
e,f,g
2,87 1,92 3,83
4,45 4,45 4,45
2,87
4,45
a,h
7.18 3,83
4,45 4,45
(ASCE STANDARD [ASCE/SEI 7-10], 2010, pág. 17) copyright©rcolquea
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Tabla 2-7 Cargas vivas mínimas uniformemente distribuidas y concentradas, 𝑳𝒐 (continuación) Ocupación o uso Fabricación Liviano Pesado Edificios de oficinas Salas de archivo y equipo deberán estar diseñados para cargas más pesadas basados Vestíbulos y corredores de planta baja Oficinas Corredores por encima del primer piso Instituciones penales Pabellones Corredores Usos recreativos Bolos, salas de billar, y usos similares Salas de baile y salones de baile Gimnasios Revisión de gradas, tribunas y gradas Estadios y Arenas con asientos fijos (sujeto al piso) Residencial Viviendas uni y bi familiares Áticos inhabitables sin depósitos Áticos inhabitables con depósitos Áticos habitables y dormitorios Todas las demás zonas, excepto las escaleras Todas las demás ocupaciones residenciales Habitaciones privadas y corredores de servicio a
Habitaciones públicas y corredores de servicio Techos
Uniforme 𝑘𝑁/𝑚2
Concentrada 𝑘𝑁
6ᵃ 11,79ᵃ
8,9 13,4
4,79 2,4 3,83
8,9 8,9 8,9
1,92 4,79 3,59ᵃ 4,79ᵃ 4,79ᵃ 4.79a,k 2,87a,k
0.48l 0.96m 1,44 1,92 1,92 4,79
Techos simples planos, inclinados, y curvos 0.96n Techos utilizados al uso en techos de jardín 4,79 Techos utilizados con fines de reunión así como función de así como función servicio de servicio Techos utilizados para otras ocupaciones ᵒ ᵒ Toldos y marquesinas Construcción de tejido apoyada en una estructura de armazón 1,33 se aplica al 0,24 no reducible esqueleto de la estructura Recinto de pantalla con bastidor de soporte 0.24 no reducible 0.89 se aplica y aplicado solo a sólo a miembros del marco de miembros de marco del techo, soporte del techo. no la pantalla. Toda las otras construcciones 0,96
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Tabla 2-8 Cargas vivas mínimas uniformemente distribuidas y concentradas, 𝑳𝒐 (continuación) Ocupación o uso Elementos principales del techo, expuesto a un trabajo de piso Nodos simples de la cuerda inferior de entramados del techo o cualquier nodo a lo largo de los miembros estructurales primarios de soporte de los techos manufactureros, almacenes y garajes de reparación. Todos los otros miembros principales del techo Todas las superficies de techo sujetos a trabajos de mantenimiento Escuelas Aulas Corredores por encima del primer piso Corredores de planta baja Portillos, costillas tragaluces y techos accesibles Aceras, calzadas vehiculares y patios con sometidos a transito de camiones Escaleras y salidas de emergencia de incendios
Uniforme 𝑘𝑁/𝑚 2
Concentrada 𝑘𝑁 8,9
1,33 1,33 1,92 3,83 4,79
4,45 4,45 4,45 0,89
11.97a,p
35.60q
4,79
300p
solo para viviendas unifamiliares y para dos familias 1,92 Áreas de almacenamiento de los techos falsos 0,96 Depósitos de almacenamiento (se diseñarán para cargas más pesadas si es necesario para el previsto almacenamiento) Liviano 6ᵃ Pesado 11,97ᵃ Tiendas Venta al por menor Planta baja 4,79 Plantas altas 3,59 Venta al por mayor, todos los pisos 6ᵃ Barreras vehiculares Ver sección 4,5 Pasarelas y plataformas elevadas (que no sean vías de salida) 2,87 Patios y terrazas peatonales 4,79ᵃ
300p
4,45 4,45 4,45
a
Reducción de cargas vivas para este uso no está permitido en la Sección 4.7 a menos que se apliquen excepciones especificadas. b
Pavimentos en garajes o partes de un edificio utilizado para el almacenamiento de vehículos de motor deberán estar diseñados para las cargas vivas distribuidas uniformemente, especificadas en la Tabla 4-1 o en la siguiente carga concentrada: (1) para garajes restringidos a los vehículos de pasajeros con capacidad para no más de nueve pasajeros, 13,35 𝑘𝑁 que actúa sobre un área de 114 𝑚𝑚 por 114 𝑚𝑚, y (2) para estructuras de estacionamiento mecánicos sin losa o cubierta que se utilizan para el almacenamiento de los vehículos de pasajeros solamente de 10 𝑘𝑁 por rueda. c
Diseñado para camiones y autobuses será por AASHTO LRFD especificaciones de diseño de puentes, sin embargo, las provisiones para carga de fatiga y dinámica y asignación no están obligados a ser aplicados. La carga uniforme será de 1,92 𝑘𝑁/𝑚2 cuando el helicóptero de la base de diseño tiene un máximo peso de despegue de 13,35 𝑘𝑁 o menos. Esta carga no se reduce. e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r22 d
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(ASCE STANDARD [ASCE/SEI 7-10], 2010, pág. 19) copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO Tabla 2-9 Factor de carga viva del elemento Elemento Columnas interiores Columnas exteriores sin losas en voladizo Columnas de borde con losas en voladizo Columna de esquina con losas en voladizo Vigas de borde sin losas en voladizo Vigas interiores Todos los miembros no identificados incluyendo: Vigas de borde con losas en voladizo Vigas en voladizo Losas en una dirección Losas en dos direcciones Miembros sin provisión de transferencia continua de corte en sus vanos
𝐾𝐿𝐿
4 4 3 2 2 2 1
2.4.9) DISPOSICIÓN DE LA CARGA VIVA EL análisis estructural requiere la consideración de varias configuraciones de cargas, por ejemplo, dos tramos adyacentes cargados producirán el máximo esfuerzo de corte alrededor de la columna, mientras que tramos con cargas alternadas podrían producir los máximos momentos flectores. En este sentido, se considera dos estados de carga viva: la carga viva con toda su intensidad, o sólo en una parte de la estructura o el elemento estructural; si ello produce los efectos más desfavorables que la misma carga viva aplicada sobre toda la estructura o sobre el elemento estructural. Para cubrir los diferentes escenarios de cargado, es necesario generar casos de carga viva basados en los patrones de carga mostrados en la figura 2.3. Patrón de carga Nº 1; todos los tramos cargados con la carga muerta y viva, ver figura 2.3 (a). Patrón de carga Nº 2; todos los tramos cargados con la carga muerta y los tramos alternos impares cargados con carga viva, ver figura 2.3 (b). Patrón de carga Nº 3; todos los tramos cargados con la carga muerta y los tramos alternos pares cargados con carga viva, ver figura 2.3 (c). Patrón de varga Nº 4; todos los tramos cargados con la carga muerta y dos tramos adyacentes cargados con carga viva, ver figura 2.3 (d).
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Figura 2.3 – Casos de posición de la carga viva
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Ejemplo 2.1 En la figura se muestra las áreas de influencia de la columna interior, borde y de esquina de la planta tipo correspondiente a un edificio de 5 pisos destinado al uso de oficinas en los pisos 3 y 4, y los pisos 1 y 2 a la venta de indumentaria deportiva (tiendas de venta al por menor). Determine la carga viva reducida en caso de ser posible, por 𝑚2 de área apoyada en las columnas.
Figura 2.4 – Planta tipo de la estructura
Datos: 𝑘𝑁 𝑘𝑁 < 4.79 2 → 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑟 2 𝑚 𝑚 𝑘𝑁 𝑘𝑁 = 3.59 2 < 4.79 2 → 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑟 𝑚 𝑚
𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑣𝑖𝑣𝑎 (𝑝𝑖𝑠𝑜 3 𝑦 4), 𝐿𝑜(3−4) = 2.4 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑣𝑖𝑣𝑎 (𝑝𝑖𝑠𝑜 1 𝑦 2), 𝐿𝑜(1−2) Solución:
Paso 1: Verificar si es posible reducir la carga viva uniformemente distribuida, 𝐿𝑜 . La reducción es posible realizar sí: 𝐾𝐿𝐿 𝐴𝑇 > 37.60 𝑚2 → 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑟 𝐿𝑜 ! 𝐾𝐿𝐿 = 4 → 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 2.9 Columna interior: 6 6 4.85 7.95 𝐴𝑇 = ( + ) ( + ) = 38.4 𝑚2 2 2 2 2 𝐾𝐿𝐿 𝐴𝑇 (4 𝑝𝑖𝑠𝑜) = 4 ∙ 38.4 ∙ 1 = 153.6 𝑚2 > 37.60 𝑚2 → 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑟 𝐿𝑜 ! 𝐾𝐿𝐿 𝐴𝑇 (3 𝑝𝑖𝑠𝑜) = 4 ∙ 38.4 ∙ 2 = 307.2 𝑚2 > 37.60 𝑚2 → 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑟 𝐿𝑜 ! copyright©rcolquea
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𝐾𝐿𝐿 𝐴𝑇 (2 𝑝𝑖𝑠𝑜) = 4 ∙ 38.4 ∙ 3 = 460.8 𝑚2 > 37.60 𝑚2 → 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑟 𝐿𝑜 ! 𝐾𝐿𝐿 𝐴𝑇 (1 𝑝𝑖𝑠𝑜) = 4 ∙ 38.4 ∙ 4 = 614.4 𝑚2 > 37.60 𝑚2 → 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑟 𝐿𝑜 ! Columna de borde: 6 5.74 4.47 𝐴𝑇 = ( + )( ) = 13.12 𝑚2 2 2 2 (4 𝐾𝐿𝐿 𝐴𝑇 𝑝𝑖𝑠𝑜) = 4 ∙ 13.12 ∙ 1 = 52.48 𝑚2 > 37.60 𝑚2 → 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑟 𝐿𝑜 ! 𝐾𝐿𝐿 𝐴𝑇 (3 𝑝𝑖𝑠𝑜) = 4 ∙ 13.12 ∙ 2 = 104.96 𝑚2 > 37.60 𝑚2 → 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑟 𝐿𝑜 ! 𝐾𝐿𝐿 𝐴𝑇 (4 𝑝𝑖𝑠𝑜) = 4 ∙ 13.12 ∙ 3 = 157.44 𝑚2 > 37.60 𝑚2 → 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑟 𝐿𝑜 ! 𝐾𝐿𝐿 𝐴𝑇 (4 𝑝𝑖𝑠𝑜) = 4 ∙ 13.12 ∙ 4 = 209.92 𝑚2 > 37.60 𝑚2 → 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑟 𝐿𝑜 ! Columna de esquina: 4.85 6.83 𝐴𝑇 = ( )( ) = 8.28 𝑚2 2 2 𝐾𝐿𝐿 𝐴𝑇 (4 𝑝𝑖𝑠𝑜) = 4 ∙ 8.28 ∙ 1 = 33.12 𝑚2 > 37.60 𝑚2 → 𝑛𝑜 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑟 𝐿𝑜 ! 𝐾𝐿𝐿 𝐴𝑇 (3 𝑝𝑖𝑠𝑜) = 4 ∙ 8.28 ∙ 2 = 66.24 𝑚2 > 37.60 𝑚2 → 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑟 𝐿𝑜 ! 𝐾𝐿𝐿 𝐴𝑇 (2 𝑝𝑖𝑠𝑜) = 4 ∙ 8.28 ∙ 3 = 99.36 𝑚2 > 37.60 𝑚2 → 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑟 𝐿𝑜 ! 𝐾𝐿𝐿 𝐴𝑇 (1 𝑝𝑖𝑠𝑜) = 4 ∙ 8.28 ∙ 4 = 132.48 𝑚2 > 37.60 𝑚2 → 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑟 𝐿𝑜 ! Paso 2: Determinar el multiplicador de reducción de carga viva, 𝑅𝑀. 4.57 𝑅𝑀 = 0.25 + √𝐾𝐿𝐿 𝐴𝑇 Columna interior 𝑅𝑀(4 𝑝𝑖𝑠𝑜) = 0.25 + 𝑅𝑀(3 𝑝𝑖𝑠𝑜) = 0.25 + 𝑅𝑀(2 𝑝𝑖𝑠𝑜) = 0.25 + 𝑅𝑀(1 𝑝𝑖𝑠𝑜) = 0.25 +
4.57 √153.6 4.57 √307.2 4.57 √460.8 4.57 √614.4
= 0.62 = 0.51 = 0.46 = 0.43
Columna de borde 𝑅𝑀(4 𝑝𝑖𝑠𝑜) = 0.25 + 𝑅𝑀(3 𝑝𝑖𝑠𝑜) = 0.25 + 𝑅𝑀(2 𝑝𝑖𝑠𝑜) = 0.25 + 𝑅𝑀(1 𝑝𝑖𝑠𝑜) = 0.25 +
4.57 √52.48 4.57 √104.96 4.57
√157.44 4.57 √209.92
= 0.88 = 0.70 = 0.61 = 0.56 copyright©rcolquea
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Columna de esquina 𝑅𝑀(4 𝑝𝑖𝑠𝑜) = 1 4.57 𝑅𝑀(3 𝑝𝑖𝑠𝑜) = 0.25 + = 0.81 √66.24 4.57 𝑅𝑀(2 𝑝𝑖𝑠𝑜) = 0.25 + = 0.71 √99.36 4.57 𝑅𝑀(1 𝑝𝑖𝑠𝑜) = 0.25 + = 0.65 √132.48 𝑅𝑀 > 0.5 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑠𝑜𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑙𝑜𝑠𝑎 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑅𝑀 > 0.4 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑠𝑜𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎 𝑚á𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑙𝑜𝑠𝑎 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 Paso 3: Determinar la carga viva reducida, 𝐿 = 𝐿𝑜 (𝑅𝑀) Columna interior 𝑘𝑁 𝑚2 𝑘𝑁 𝐿(3 𝑝𝑖𝑠𝑜) = 2.4 ∙ 0.51 = 1.224 2 𝑚 𝑘𝑁 𝐿(2 𝑝𝑖𝑠𝑜) = 3.59 ∙ 0.46 = 1.6514 2 𝑚 𝑘𝑁 𝐿(1 𝑝𝑖𝑠𝑜) = 3.59 ∙ 0.43 = 1.54 2 𝑚 𝐿(4 𝑝𝑖𝑠𝑜) = 2.4 ∙ 0.62 = 1.488
Columna de borde 𝑘𝑁 𝑚2 𝑘𝑁 𝐿(3 𝑝𝑖𝑠𝑜) = 2.4 ∙ 0.70 = 1.68 2 𝑚 𝑘𝑁 𝐿(2 𝑝𝑖𝑠𝑜) = 3.59 ∙ 0.61 = 2.19 2 𝑚 𝑘𝑁 𝐿(1 𝑝𝑖𝑠𝑜) = 3.59 ∙ 0.56 = 2.01 2 𝑚 𝐿(4 𝑝𝑖𝑠𝑜) = 2.4 ∙ 0.88 = 2.11
Columna de esquina 𝑘𝑁 𝑚2 𝑘𝑁 𝐿(3 𝑝𝑖𝑠𝑜) = 2.4 ∙ 0.81 = 1.94 2 𝑚 𝑘𝑁 𝐿(2 𝑝𝑖𝑠𝑜) = 3.59 ∙ 0.71 = 2.55 2 𝑚 𝑘𝑁 𝐿(1 𝑝𝑖𝑠𝑜) = 3.59 ∙ 0.65 = 2.33 2 𝑚 𝐿(4 𝑝𝑖𝑠𝑜) = 2.4 ∙ 1 = 2.4
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Ejemplo 2.2 En la figura se muestra la geometría de una cercha con un ancho de 15 m y una longitud de 8 m. Determinar en caso de ser posible la carga viva de techo reducida.
Figura 2.5 – Techo de dos aguas
Datos: 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: ℎ = 3.0 𝑚, 𝑏 = 15 𝑚, 𝑡 = 8 𝑚, 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙𝑒𝑠 = 𝑏𝑛 = 1.875 𝑚 𝑘𝑁 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠: 𝐿𝑜𝑟 = 0.96 2 𝑚 Solución: Paso 1: Determinar el área tributaria, 𝐴𝑇 de la correa central. 𝐴𝑇 = 𝑡
𝑏𝑛 1.875 =8 = 16.16 𝑚2 𝐶𝑜𝑠𝛼 𝐶𝑜𝑠21.80
Paso 2: Determinar los factores de reducción, 𝑅1 , 𝐹 𝑦 𝑅2 . Factor de reducción 𝑅1 : 𝑆í (𝐴𝑇 = 16.16 𝑚2 ) < 18.58 𝑚2 → 𝑅1 = 1.0 Factor 𝐹 en techos inclinados: 𝐹 = 0.12 ∙ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = 0.12 ∙ tan 𝛼 = 0.12 ∙ tan 21.8 ∙ 100 = 4.80 Factor de reducción 𝑅2 : 𝑆í 4 < (𝐹 = 4.80) < 12 → 𝑅2 = 1.2 − 0.05𝐹 = 1.2 − 0.05 ∙ 4.8 = 0.96 Paso 3: Determinar la carga viva reducida de techo, 𝐿𝑟 . 𝐿𝑟 = 𝐿𝑜𝑟 𝑅1 𝑅2 = 0.96 ∙ 1.0 ∙ 0.96 = 0.92
𝑘𝑁 𝑚2
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2.5) CARGA DE VIENTO Una revisión de la literatura técnica de ingeniería durante los pasados 150 años revela muchas referencias a fallas estructurales causadas por el viento, acaso las más tremendas han sido las fallas en los puentes, tal como la del puente Tay en Escocia en 1879 (que causó la muerte de 75 personas) y el puente Tacoma Narrows (Tacoma, Washington) en 1940. Pero también se han tenido algunas fallas desastrosas durante el mismo periodo en edificios ocasionados por el viento, tal como el edificio Union Carbide en Toronto en 1958. Es importante notar que un gran porcentaje de las fallas en edificios debidas al viento han ocurrido durante su construcción23. En años recientes se ha investigado exhaustivamente el tema de las cargas de viento. No obstante, más estudio es necesario, ya que el cálculo de las fuerzas del viento no puede considerarse de ninguna manera como una ciencia exacta. La magnitud y la duración de las cargas del viento varían con la localidad geográfica, la altura de las estructuras sobre el terreno, tipos de suelo alrededor de las estructuras, proximidad de otros edificios, posición dentro de la estructura y carácter del viento. El capítulo 6 de la especificación ASCE 7-0524 proporciona tres procedimientos para estimar las presiones de viento, aunque el uso de las ecuaciones es algo complicado, el trabajo puede simplificarse considerablemente con las tablas presentadas en la especificación. Sin embargo, se advierte al lector que tales tablas son para edificios en forma regular. Si se considera un edificio de geometría irregular o no usual, podría ser necesario tener que llevar a cabo estudios en túneles de viento. 2.5.1) CARACTERISTICAS DEL VIENTO El flujo de viento es complicado porque muchas situaciones de flujo provienen de la interacción del viento con las estructuras. Sin embargo, la ingeniería en viento, ha simplificado las cargas de diseño del viento, distinguiendo las siguientes características25.
La variación de velocidad del viento con la altura. La turbulencia del viento. Periodo de retorno. La naturaleza dinámica de interacción de la estructura con el viento.
2.5.1.1) VARIACIÓN DE LA VELOCIDAD DEL VIENTO CON LA ALTURA La viscosidad de aire reduce su velocidad del viento mientras más se acerca a la superficie del suelo, tal incidencia se puede ver en la figura 2.6. Un efecto de viento que retarda ocurre en los estratos del viento cerca del suelo, y estos estratos interiores a su vez sucesivamente desaceleran los estratos exteriores. La altura en que la velocidad deja de aumentar es llamada la altura en declive, y la correspondiente velocidad, la velocidad en declive. Esta característica de variación de velocidad del viento con altura es un fenómeno bien comprendido, tan evidenciado por presiones del diseño más altas especificadas en las elevaciones más altas en la mayoría de códigos de construcción. En alturas de aproximadamente 1200 ft (366 m) por encima del suelo, la velocidad del viento es virtualmente no afectado por la fricción, y su movimiento depende solamente de prevalecer una estación y los efectos locales del viento. La altura a través de la cual la velocidad del viento 23
(McCormac C., 2011, pág. 31) (ASCE STANDARD [ASCE/SEI 7-05], 2006) 25 (Bungale S, 2005, pág. 3) 24
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es afectada por la topografía es llamada el estrato atmosférico del límite. La velocidad del viento de perfil dentro de este estrato está dado por: 𝑉𝑧 = 𝑉𝑔 (𝑍⁄𝑍𝑔 )
1⁄𝛼
Dónde 𝑉𝑍 : Velocidad media del viento a una altura 𝑍 por encima del suelo. 𝑉𝑔 : Gradiente de la velocidad del viento asumido como constante por encima del estrato límite. 𝑍: Altura por encima del nivel del suelo. 𝑍𝑔 : Altura nominal de estrato del límite, que depende de la exposición (los Valores para 𝑍𝑔 es dado en la figura 2.6) 𝛼 Coeficiente de poder.
Figura 2.6 – Influencia de la exposición del terreno a la variación de la velocidad del viento con la altura
2.5.1.2) TURBULENCIA DEL VIENTO La noción de viento es turbulenta, una definición matemática sucinta de turbulencia es difícil de dar, excepto para manifestar que ocurre en el flujo del viento porque el aire tiene una viscosidad muy baja, aproximadamente de un dieciseisavo de la viscosidad del agua. Cualquier movimiento de aire en las velocidades mayores de 2 𝑎 3 𝑚/ℎ (0.9 𝑎 1.3 𝑚/𝑠) está agitado, causando copyright©rcolquea
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partículas de aire para moverse al azar en todas las direcciones. Esto es en contraste un flujo laminar de partículas de fluidos pesados, cuál se mueve predominantemente y paralelamente a la dirección de flujo. Para los propósitos estructurales de ingeniería, la velocidad de viento se consideró que tenga dos componentes: un componente promedio de velocidad que aumenta con la altura, y uno turbulento donde la velocidad permanece igual sobre altura (ver figura 2.6). De modo semejante, las presiones del viento son proporcionales al cuadrado de las velocidades, también fluctúa como se muestra en la figura 2.7. La presión total 𝑃𝑡 en cualquier instante 𝑡 esta dada por la relación: 𝑃𝑡 = 𝑃̅ + 𝑃´ Dónde 𝑃𝑡 Presión en un instante 𝑡 𝑃̅ Presión común o promedio 𝑃´ : La fluctuación instantánea de presión
Figura 2.7 – Variación de la velocidad del viento con el tiempo: en un instante 𝒕 la velocidad es 𝑽𝒕 = 𝑽 + 𝑽´
2.5.1.3) PERIODO DE RETORNO En muchas ciencias de ingeniería la intensidad de ciertos acontecimientos es una función del intervalo de recurrencia de duración. Por ejemplo, en la hidrología la intensidad de lluvia esperada en una región es considerado en términos de un el período de ida y vuelta porque la lluvia esperada una vez en 10 años es menos que el esperado una vez cada 50 años. De modo semejante, la velocidad de diseño de viento varía con los períodos de ida y vuelta. Por ejemplo, el viento más rápido está a 33 𝑓𝑡 (10 𝑚) por encima de suelo en Dallas, correspondiente a un el período de ida y vuelta de 50 años, donde la velocidad es 67 𝑚𝑝ℎ (30 𝑚/𝑠), comparada para una velocidad de 71 𝑚𝑝ℎ(31.7 𝑚/𝑠) para un intervalo de recurrencia de 100 años. Un viento de período de ida y vuelta de 50 años de 67 𝑚𝑝ℎ (30 𝑚/𝑠) es un promedio común, Dallas experimentará un viento más rápido que 67 𝑚𝑝ℎ en un plazo de 50 años?. Un período 1 de ida y vuelta de 50 años concuerdan con una probabilidad de ocurrencia de 50 = 0.02 = 2 %. Así la oportunidad para que un viento exceda las 67 𝑚𝑝ℎ (30 𝑚/𝑠) ocurrirá en Dallas en un copyright©rcolquea
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plazo de un año dado es 2 %. Suponga que un edificio es diseñado para una duración de una vida de 100 años usando una velocidad del viento del diseño de 67 𝑚𝑝ℎ. ¿Cuál es la probabilidad que este viento excederá la velocidad de diseño dentro de la vida útil de la estructura?. La probabilidad que esta velocidad del viento no será excedido en cualquier año es 49/50. La probabilidad que esta velocidad no será excedida en 100 años en fila es (49/50)100 . Por consiguiente, la probabilidad que esta velocidad del viento será excedida al menos una vez en 100 años es 49 100 1−( ) = 0,87 = 87% 50 Esto significa que si bien un viento con probabilidad bajo anual de ocurrencia (algo semejante como un viento de 50 años) se usa para diseñar estructuras, allí todavía existe una probabilidad alta. Se recomienda un periodo de retorno de: 20 años para determinar el confort de los ocupantes ante tormentas de viento. 50 años para dimensionar los elementos estructurales resistentes a cargas laterales. 2.5.1.4) NATURALEZA DINÁMICA DEL VIENTO A diferencia del flujo promedio de viento, que puede ser considerado como estático, cargas de viento asociadas con impetuosidad o turbulencia cambia rápidamente e incluso abruptamente, creando efectos mucho más tremendos que lo que si las mismas cargas fuera aplicado gradualmente. La carga de viento, por consiguiente, necesita ser estudiado como si fueran de naturaleza dinámica. La intensidad de una carga del viento depende de la rapidez con que varía y también de la respuesta de la estructura. Por consiguiente, si las presiones en un edificio son creados por una ráfaga de aire, que primero puede aumentar y después puede decrecer, puede ser considerado como estática o dinámico que depende en gran medida en la respuesta dinámica de la estructura para cuál es aplicado. Del anterior párrafo se puede concluir que: Si la ráfaga de viento alcanza su máxima intensidad y luego se desvanece en un tiempo menor que el periodo del edificio, sus efectos son dinámicos. Si la duración de la ráfaga es mayor que el periodo del edificio, sus efectos pueden considerarse estáticos. 2.5.2) DEFINICIONES IMPORTANTES Estructura abierta; una edificación que tiene cada muro con al menos 80% de aberturas. Esta condición se expresa para cada muro mediante la ecuación: 𝐴𝑜 ≥ 0.8𝐴𝑔 Donde: 𝐴𝑜 : área total de las aberturas en un muro que recibe presión externa positiva, en 𝑚2 . 𝐴𝑔 : el área bruta de un muro en el cual 𝐴𝑜 ha sido identificada, en 𝑚2 .
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Figura 2.8 – Edificación abierta
Edificación cerrada; una edificación que no cumple con los requisitos para edificaciones abiertas o parcialmente cerradas.
Figura 2.9 – Edificación cerrada
Edificación parcialmente cerrada; una edificación que cumple con las siguientes dos condiciones: o El área total de aberturas en un muro que recibe presión positiva externa excede la suma de las áreas de aberturas en el balance de la envoltura de la edificación (muros y techo) por más de 10%. 𝐴𝑜 > 1.10𝐴𝑜𝑖 o El área total de aberturas en un muro que recibe presión externa positiva excede 0.37 𝑚2 o 1% de área de dicho muro, el que sea menor, y el porcentaje de aberturas en el balance de la envoltura de la edificación no excede 20%. 𝐴𝑜 > 0.37𝑚2 𝑜 > 0.01𝐴𝑔 , el que sea menor, y 𝐴𝑜𝑖 /𝐴𝑔𝑖 ≤ 0.20. Dónde:
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HORMIGÓN ARMADO 𝐴𝑜𝑖 : la suma de las áreas de aberturas en la envoltura de la edificación (muros y techo) sin incluir 𝐴𝑜 , en 𝑚2 .
Figura 2.10 – Edificación parcialmente cerrada
Edificación baja; edificaciones cerradas o parcialmente cerradas que cumplen con las siguientes condiciones: o Altura de techo ℎ media menor o igual a 18 𝑚. o La altura de techo ℎ media no excede la dimensión horizontal más pequeña. Edificación diafragma; una edificación cerrada o parcialmente cerrada en la cual las cargas de viento se transmiten a través de diafragmas de piso y techo hacia el sistema principal resistente a fuerzas de viento vertical. Edificación u otra estructura de forma regular; una edificación u otra estructura que no tiene irregularidades geométricas inusuales en la forma espacial. Edificación u otra estructura flexible; edificaciones esbeltas y otras estructuras que tienen una frecuencia natural fundamental menor que 1 𝐻𝑧. Edificación u otra estructura rígida; una edificación u otra estructura cuya frecuencia fundamental es mayor o igual a 1 𝐻𝑧. 2.5.3) CATEGORIA DE EXPOSICIÓN Se definen cuatro categorías de exposición: Categoría de exposición A Grandes centros urbanos con al menos 50% de las edificaciones con alturas mayores a 20 𝑚. Categoría de exposición B Áreas urbanas y suburbanas, áreas boscosas, otro terreno con numerosas obstrucciones cercanamente espaciadas que tienen el tamaño de viviendas familiares individuales o más grandes que tienen alturas promedio menores que 10 𝑚. La exposición B se aplicará donde la condición de rugosidad de la superficie del terreno prevalece en la dirección de barlovento por una distancia de al menos 800 𝑚 o 10 veces la altura de la edificación, lo que sea mayor. Categoría de exposición C Terreno abierto, llanuras y sabanas con obstrucciones dispersas que tienen alturas promedio menores a 10 𝑚. copyright©rcolquea
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Categoría de exposición D Áreas costeras planas no obstruidas expuestas a flujo de viento desde el océano abierto por una distancia de al menos 1610 𝑚. 2.5.4) CLASES Y FACTORES DE IMPORTANCIA Las edificaciones están clasificadas en cuatro categorías de importancia: Categoría I; edificaciones y estructuras relacionadas cuyo fallo implica bajo riesgo para la vida humana incluyendo pero no limitado a facilidades rurales, de almacenaje o temporales. Categoría II; edificaciones de ocupación normal públicas o privadas (vivienda, oficinas, comercio, etc.). Adicionalmente, está incluye facilidades riesgosas no clasificadas como categoría III si se asegura que cualquier daño o derrame tóxico puede ser controlado inmediatamente. Categoría III; facilidades riesgosas o edificaciones de alta ocupación públicas o privadas. Categoría IV; facilidades esenciales tales como hospitales, estaciones de bomberos y policía y albergues designados para huracanes. El factor de importancia 𝐼, toma en cuenta el riesgo de la vida humana y los daños a la propiedad en el caso de falla de la estructura. Las edificaciones u otras estructuras están clasificadas en cuatro categorías de importancia, tal como se muestra en la tabla 2.10 y 2.11.
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Tabla 2-10 Categoría y ocupación de edificios y otras estructuras para flujos, viento, sismo y nieve26 Ocupación o uso
Categoría
Edificaciones u otras estructuras que presentan un bajo riesgo para la vida humana en la eventualidad de fallo incluyendo, pero no limitadas a: -Facilidades agrícolas -Algunas facilidades temporales -Facilidades de almacenaje menores Todas las edificaciones y otras estructuras excepto las catalogadas en las Categorías I, III y IV Edificaciones y otras estructuras que presentan un riesgo sustancial para la vida humna en la eventualidad de fallo incluyendo, pero limitado a: -Edificaciones y otras estructuras donde más de 300 personas se congregan en un área. -Edificaciones y otras estructuras con escuelas primarias, escuelas secundarias o facilidades de cuidado durante el día con capacidad para más de 150 personas. -Edificaciones y otras estructuras para capacidad de más de 500 personas para colegios o facilidades de educación de adultos -Facilidades para el cuidado de la salud con capacidad de 50 o más pacientes residentes pero que no tienen facilidades de cirugía o tratamiento de emergencia. -Prisiones y facilidades de detención -Estaciones de generación de energía y otras facilidades de servicio público no incluidas en la categoría IV Edificaciones y otras estructuras que contienen cantidades suficientes de substancias tóxicas, explosivas u otras substancias riesgosas que son peligrosas para el público si se liberab incluyendo, pero limitadas a: -Facilidades petroquímicas -Facilidades de almacenamiento de combustible -Facilidades de fabricación o almacenaje de químicos riesgosos -Facilidades de fabricación o almacenaje de explosivos Las edificaciones y otras estructuras que están equipadas con contenciones secundarias de sustancias tóxicas, explosivas u otras sustancias riesgosas (incluyendo, pero no limitadas a tanque de pared doble, dique de tamaño suficiente para contener un derrame o explosión dentro de los límites de propiedad de la facilidad y prevenir la liberación de cantidades dañinas de contaminantes al aire, suelo, aguas aubterráneas y agua de superficie) o atmósfera (donde sea apropiado) serán elgibles para clasificación como estructura de En regiones propensas a huracán, las edificaciones y otras estructuras que contengan sustancias tóxicas, explosivas, u otras sustancias riesgosas y no califican como estructura de categoría IV serán elegibles para clasificación como estructuras de categoría II para cargas de viento si estas estructuras son operadas de conformidad con procedimientos obligatorios aceptables a la autoridad que tiene jurisdicción y las cuales disminuyen efectivamente los efectos del viento sobre elementos estructurales críticos o las que alternativamente protegen contra liberaciones de productos dañinos durante y después de los huracanes. Edificaciones y otras estructuras designadas como facilidades esenciales incluyendo, pero no limitadas a: -Hospitales y otras facilidades para el cuidado de la salud que tienen facilidades de cirugía o tratamiento de emergencia -Estaciones de bomberos, rescate y policía y garajes para vehículos de emergencia. -Albergues designados para terremoto, huracán, u otra emergencia. -Centros de comunicación y otras facilidades requeridas para respuesta a emergencia. -Estaciones de generación de energía y otras facilidades de servicio público requeridas en una emergencia. -Estructuras auxiliares (incluyendo, pero no limitadas a torres de comunicación, tanques de almacenamiento de combustible, torres de enfriamiento, estructuras de subestación eléctrica, tanques de almacenamiento de combustible, torres de enfriamiento, estructuras de subestación eléctrica, tanques de almacenamiento de agua para combatir fuego u otras estructuras que alojan o sostienen agua u otro material o equipo para combatir fuego) requeridas para la operación de estructura de categoría IV durante una emergencia. -Torres de control de aviación, centros de control de tráfico aéreo y hangares de aeronaves de emergencia. -Edificaciones y otras estructuras que tienen funciones críticas de defensa nacional.
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I
II
III
IV
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HORMIGÓN ARMADO Tabla 2-11 Factor de importancia I para cargas de viento27
Categoría I II III IV
Regiones no propensas u huracán y Regiones propensas a huracán regiones propensas a huracán con con 𝑉 = 137 − 161 𝑘𝑚/ℎ (85-100 mph) 𝑉 > 161 𝑘𝑚/ℎ (100 mph) 0,87 1,00 1,15 1,15
0,77 1,00 1,15 1,15
Nota: Las categorías de clasificación de edificación y estructura están listadas en la Tabla 2.10.
2.5.5) MÉTODOS DE ANÁLISIS La norma de cargas de la ASCE 7-05 presenta tres métodos, el alcance del primer método es restringido, el segundo método tiene más opciones de aplicación, el método 2 se puede utilizar mediante programas como SAP 2000 y Etabs, y el tercer método es aplicado a cualquier tipo de estructura, los métodos son: Método 1-Procedimiento simplificado (estructuras cerradas solamente) Método 2-Procedimiento analítico. Método 3-Procedimiento de ensayos por túnel de vientos. 2.5.5.1) MÉTODO 1-PROCEDIMIENTO SIMPLIFICADO 2.5.5.1.1) ALCANCE Una edificación cuyas cargas de viento de diseño son determinados de conformidad con esta sección deberá cumplir todas las condiciones de 2.5.5.1.2. y 2.5.5.1.3. Si una edificación califica únicamente bajo 2.5.5.1.3 para el diseño de sus componentes y revestimiento, entonces su sistema principal resistente a fuerza de viento deberá ser diseñado mediante el método 2 o método 3. 2.5.5.1.2) SISTEMAS PRINCIPALES RESISTENTES A FUERZAS DE VIENTO Para el diseño de los sistemas principales resistentes a fuerzas de viento la edificación debe cumplir todas las condiciones siguientes: 1. Que la estructura sea una edificación de diafragma simple. 2. Que la construcción se una edificación baja. 3. Que la edificación sea cerrada u se ajuste a las provisiones de escombro llevado por viento. 4. Que la estructura se una edificación de forma regular. 5. Que la estructura no esté clasificada como una edificación flexible. 6. Que la edificación no tenga características de respuesta que hagan que esta esté sujeta a carga de viento transversal, efusión de vórtices, inestabilidad debido a galopamiento y aleteo; y que no tenga una ubicación de sitio para el cual los efectos de canalización o azotamiento en la estela de las obstrucciones de barlovento merezcan consideración especial.
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7. Que la edificación tenga un corte transversal aproximadamente simétrico en cada dirección ya sea con un techo plano, o un techo de dos aguas o de cuatro aguas con 𝜃 ≤ 45º. 8. El edificio es eximido de casos de carga de torsión indicado en la nota 5 de la figura 6.10 de la norma ASCE 7-05, o los casos de carga de torsión definidas en la nota 5 no controla el diseño de MWFRSs (sistema principal resistente a fuerza de viento) del edificio. 2.5.5.1.3) COMPONENTES Y REVESTIMIENTO Para el diseño de componentes y revestimiento la edificación debe llenar todas las condiciones siguientes: 1. Que la altura media de techo sea ℎ ≤ 18 𝑚. 2. Que la edificación sea cerrada y se ajuste a las previsiones de escombro llevado por viento. 3. Que la construcción sea una edificación o estructura de forma regular. 4. Que la edificación no tenga características de respuesta que hagan que esté sujeta a carga de viento transversal, efusión de vórtices, inestabilidad debido a galopamiento y aleteo; y no tenga una ubicación de sitio para el cual los efectos de canalización o azotamiento en la estela de las obstrucciones de barlovento merezcan consideración especial. 5. Que la edificación tenga ya sea un techo plano, o un techo de dos aguas con 𝜃 ≤ 27º. 2.5.5.1.4) PROCEDIMIENTO DE DISEÑO 1. La velocidad básica del viento 𝑉 será determinada de conformidad con la sección 2.5.5.2.6. Se asumirá que el viento procede de cualquier dirección horizontal. 2. Un factor de importancia I será determinado de conformidad con la tabla 2.11. 3. Una categoría de exposición será determinado de conformidad con la sección 2.5.3. 4. Un coeficiente de ajuste de exposición y altura, 𝜆, será determinado a partir de la figura 6.2 de la norma ASCE 7-05. 2.5.5.1.5) SISTEMA PRINCIPAL RESISTENTES A FUERZA DE VIENTO La presión de viento de diseño simplificado, 𝑝𝑠 , para los sistemas principales resistentes a fuerza de viento de las edificaciones bajas de diafragma simple representa las presiones netas (suma de internas y externas) a ser aplicadas a las proyecciones horizontales y verticales de las superficies de la edificación según se muestra en la figura 6.2 de la norma ASCE 7-05. Para las presiones horizontales (Zonas A, B, C, D), 𝑝𝑠 es la combinación de las presiones netas de barlovento y sotavento. 𝑝𝑠 será determinada por las siguientes ecuaciones: 𝑝𝑠 = 𝜆𝑘𝑧𝑡 𝐼𝑝𝑠30 Donde: 𝜆: factor de ajuste para altura y exposición de la edificación de la figura 6.2 de la ASCE 7-05. 𝐾𝑧𝑡 : factor topográfico definido en la sección 2.5.5.2.19 y evaluada a una altura media de techo, ℎ. 𝐼: Factor de importancia como fue definido en la tabla 2.11. 𝑝𝑠30 : Presión del viento de diseño simplificada para exposición B, a ℎ = 9 𝑚, y para 𝐼 = 1.0 a partir de la figura 6.2 de la norma ASCE 7-05. Presiones mínimas para sistema resistente libre de viento: copyright©rcolquea
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Los efectos de carga de las presiones del viento de diseño de la sección 6.4.2.1 de la ASCE 705 no serán menores que el caso de carga mínima de la sección 6.1.4.1 de la ASCE 7-05 asumiendo las presiones, 𝑝𝑠 , para las zonas A, B, C y D todas iguales a +479 𝑘𝑁/𝑚2, mientras se asumen las zonas E, F,G y H todas iguales a 0 𝑁/𝑚2 . 2.5.5.1.6) COMPONENTES Y REVESTIMIENTOS La presión neta del viento de diseño, 𝑝𝑛𝑒𝑡 , para los componentes y revestimiento de edificaciones diseñadas utilizando el Método 1 representa las presiones netas (suma de presiones internas y externas) a ser aplicadas de forma normal a cada superficie de la edificación como se muestra en la figura 6.3 de la ASEC 7-05. 𝑃𝑛𝑒𝑡 será determinada mediante la siguiente ecuación: 𝑝𝑛𝑒𝑡 = 𝜆𝑘𝑧𝑡 𝐼𝑝𝑛𝑒𝑡30 Donde: 𝜆: factor de ajuste para altura y exposición de la edificación de la figura 6.3 de la ASCE 7-05. 𝐾𝑧𝑡 : factor topográfico definido en la sección 2.5.5.2.19 y evaluada a una altura media de techo, ℎ. 𝐼: Factor de importancia como fue definido en la tabla 2.11. 𝑝𝑛𝑒𝑡30: Presión neta del viento de diseño simplificada para exposición B, a ℎ = 9 𝑚, y para 𝐼 = 1.0 a partir de la figura 6.3 de la norma ASCE 7-05. Presiones mínimas para componentes y revestimientos: Las presiones positivas del viento de diseño, 𝑝𝑛𝑒𝑡 , de la sección 6.4.2.2 de la ASCE 7-05 no serán menores que +479 𝑘𝑁/𝑚2, y las presiones negativas de viento del diseño, 𝑝𝑛𝑒𝑡 de la sección 6.4.2.2 de la ASCE 7-05 no serán menores que −479 𝑘𝑁/𝑚2. 2.5.5.1.7) REVESTIMIENTO PERMEABLE AL AIRE Las cargas de viento de diseño determinadas a partir de la figura 6.3 de la ASCE 7-05 serán utilizadas para todo revestimiento permeable al aire a menos que datos de prueba o literatura reconocida aprobados demuestren cargas más bajas para el tipo de revestimiento permeable al aire que se considera. 2.5.5.2) MÉTODO 2- PROCEDIMIENTO ANALÍTICO 2.5.5.2.1) ALCANCE Una edificación u otra estructura cuyas cargas de viento de diseño son determinados de conformidad con esta sección deberán cumplir todas las condiciones siguientes: 1. Que la construcción u otra estructura sea una edificación o estructura de forma regular. 2. Que la construcción u otra estructura no tenga características de respuesta que hagan que éstas estén sujetas a carga de viento transversal, efusión de vórtices, inestabilidad debido a galopamiento o aleteo; o que no tenga una ubicación de sitio para la cual los efectos de canalización o azotamiento de la estela de obstrucciones de barlovento merezcan consideración especial. 2.5.5.2.2) LIMITACIONES Las previsiones de la sección 2.5.5.2 toman en consideración el efecto de amplificación de carga causado por ráfagas en resonancia con las vibraciones en la dirección del viento de edificaciones copyright©rcolquea
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flexibles u otras estructuras. Las edificaciones u otras estructuras que no cumplen los requisitos de la sección 2.5.5.2.1, o que tienen características de respuesta o formas usuales, serán diseñadas utilizando literatura reconocida que documente dichos efectos de carga de viento o utilizará el procedimiento de túnel de viento especificado en la sección 2.5.5.3. 2.5.5.2.2.1 Protectores No habrá reducciones en la presión de la velocidad del viento debido a protección aparente proporcionada por edificaciones y otras estructuras o características del terreno. 2.5.5.2.2.2 Revestimiento permeable al aire Las cargas de viento de diseño determinadas a partir de la sección 2.5.5.2 serán utilizadas para el revestimiento permeable al aire a menos que datos de ensayos aprobados o literatura reconocida den prueba de cargas más bajas para el tipo de revestimiento permeable al aire que se considera. 2.5.5.2.3) PROCEDIMIENTO DE DISEÑO 1. La velocidad básica del viento V y el factor de direccionalidad del viento 𝐾𝑑 serán determinadas de conformidad con la sección 2.5.5.2.6. 2. Factor de importancia I será determinado de conformidad con la sección 2.5.4. 3. Categoría de exposición o las categorías de exposición y el coeficiente de presión de la velocidad del viento 𝐾𝑧 o 𝐾ℎ , según sea aplicable, serán determinados para cada dirección del viento de conformidad con la sección 2.5.5.2.18. 4. Factor topográfico 𝐾𝑧𝑡 será determinado de conformidad con la sección 2.5.5.2.19. 5. Factor de efecto de ráfaga 𝐺 𝑜 𝐺𝑓 , según sea aplicable, será determinado de conformidad con la sección 2.5.5.2.20. 6. Clasificación de encerramiento será determinada de conformidad con la sección 2.5.5.2.21. 7. Coeficiente de presión interna 𝐺𝐶𝑝𝑖 será determinado de conformidad con la sección 2.5.5.2.23.1 8. Coeficiente de presión externa 𝐶𝑝 𝑜 𝐺𝐶𝑝𝑓 , o el coeficiente de fuerza 𝐶𝑓 , según sea aplicable, serán determinados de conformidad con las secciones 2.5.5.2.23.2 o 2.5.5.2.23.3 respectivamente. 9. La presión de la velocidad del viento 𝑞𝑧 o 𝑞ℎ , según sea aplicable, será determinada de conformidad con la sección 2.5.5.2.22. 10. La carga de viento de diseño 𝑝 𝑜 𝐹 será determinada de conformidad con las secciones 2.5.5.2.24, 6.5.13, 6.5.14 y 6.5.15, donde 6.5.13, 6.5.14 y 6.5.15 están en la ASCE 7-05, según sea aplicable. 2.5.5.2.4) VELOCIDAD BÁSICA DEL VIENTO La velocidad básica del viento, 𝑉, utilizada en la determinación de las cargas de viento de diseño sobre edificaciones y otras estructuras será la proporcionada en el mapa de zonificación de viento básico nacional de cada país excepto por lo previsto en las secciones 2.5.5.2.4.1 y 2.5.5.2.4.2. Se asumirá que el viento procede de cualquier dirección horizontal. El mapa de zonificación de viento de Bolivia se muestra en la figura 2.11.
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Figura 2.11 – Velocidades eólicas de Bolivia
2.5.5.2.4.1 Regiones especiales de viento La velocidad básica del viento será incrementada donde los registros o la experiencia indiquen que las velocidades del viento son más altas que las reflejadas en el mapa de zonificación de viento básico nacional de cada país. Terreno montañoso, desfiladeros, y regiones especiales mostradas en el mapa de zonificación de viento básico nacional de cada país serán estudiados por condiciones de viento inusuales. La autoridad que tiene jurisdicción ajustará, si fuese necesario, los valores dados en el mapa de zonificación de viento básico nacional para representar velocidades de viento local más altas. Dicho ajuste será basado en información meteorológica y un estimado de la velocidad básica del viento obtenido de conformidad con las previsiones de la sección 2.5.5.2.4.2 2.5.5.2.4.2 Estimación de las velocidades del viento básico a partir de datos climáticos regionales Los datos climáticos regionales serán utilizados en lugar de las velocidades de viento básico dadas en el mapa de zonificación de viento básico nacional solamente cuando: (1) procedimientos aprobados de análisis estadístico de valores extremos han sido empleados para reducir los datos; y (2) la duración de registro, error de muestreo, tiempo de pro mediación, altura del anemómetro, calidad de datos, y exposición del terreno del anemómetro han sido tomados en cuenta. En regiones propensas a huracán, las velocidades de viento derivadas de técnicas de simulación serán utilizadas, en lugar de las velocidades de viento básico dadas en el mapa de contorno de viento nacional, solamente cuando (1) se utilizan procedimientos aprobados de simulación o análisis estadístico de valores extremos (el uso de datos de velocidad de viento de huracán en todas las áreas del Gran Caribe) y (2) las velocidades del viento de diseño resultantes del estudio copyright©rcolquea
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no deberán ser menores que la resultante de la velocidad de viento con periodo de recurrencia de 500 años dividido entre la √1.15. 2.5.5.2.4.3 Limitación Los tornados no han sido considerados en el desarrollo de las distribuciones de la velocidad básica del viento. 2.5.5.2.4.4 Factor de direccionalidad del viento El factor de direccionalidad del viento, 𝑘𝑑 , será determinado a partir de la tabla 2.12. Este factor será aplicado únicamente cuando se utilice en conjunto con las combinaciones de carga especificados en las secciones 2.3 y 2.4 de la norma ASCE 7-05. Tabla 2-12 Factor de importancia I para cargas de viento28 Factor de direccionalidad del Viento, Kd Tabla 6-4 Tipo de estructura Edificaciones Sistemas Principal Resistente a Fuerza de Viento Componentes y revestimiento Techos Arqueados Chimeneas, Tanques, y Estructuras Similares Cuadradas Hexagonales Redondas Señales Macizas Señales Abiertas y Armadura de Celosía Torres de Armaduras Triangulares, cuadradas, rectangulares Todas las demás secciones transversales
Factor de direccionalidad Kd*
0,85 0,85 0,85 0,90 0,95 0,95 0,85 0,85 0,85 0,95
*El factor de direccionalidad 𝐾𝑑 ha sido calibrado con combinaciones de las cargas especificadas en la sección 2. Este factor se aplicará únicamente cuando sea utilizado en conjunto con las combinaciones de carga especificados en 2.3 y 2.4.
2.5.5.2.5) FACTOR DE IMPORTANCIA Un factor de importancia, 𝐼, para la edificación u otra estructura será determinado a partir de la tabla 2.11 basado en las categorías de la edificación y estructura catalogadas en la tabla 2.10. 2.5.5.2.6) EXPOSICIÓN Para cada dirección de viento considerada, una categoría de exposición que refleje adecuadamente las características de la rugosidad del terreno e irregularidades de la superficie será determinada para el sitio en el que la edificación o estructura deberá ser construida, se deberá tomar en cuenta las variaciones en la rugosidad de la superficie del terreno que se originan de la topografía y vegetación naturales así como rasgos construidos. 28
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2.5.5.2.6.1 Direcciones y sectores del viento Para cada dirección de viento seleccionada en la que las cargas de viento deberán ser evaluadas, la exposición de la edificación de la construcción o estructura será determinada por los dos sectores de barlovento que se extienden 45º hacia cualquier lado de la dirección de viento seleccionada. Las exposiciones en estos dos sectores serán determinadas de conformidad con las secciones 2.5.5.2.6.2 y 2.5.5.2.6.3 y la exposición resultante en las cargas de viento más altas será utilizada para representar los vientos de esa dirección. 2.5.5.2.6.2 Categorías de rugosidad de la superficie Una rugosidad de la superficie del terreno dentro de cada sector de 45º será determinada para una distancia por barlovento del sitio como se define en la sección 2.5.5.2.6.3 de las categorías definidas más adelante, para el propósito de asignar una categoría de exposición como son definidas en la sección 2.5.5.2.6.3. Rugosidad de superficie B: Áreas urbanas y suburbanas, áreas boscosas u otro terreno con obstrucciones numerosas cercanamente espaciadas que tienen el tamaño de viviendas familiares sencillas o más grandes. Rugosidad de superficie C: Terreno abierto con obstrucciones dispersas que tienen alturas generalmente menores que 9.1 𝑚. Esta categoría incluye campo abierto plano, pastizales, y todas las superficies acuáticas en regiones propensas a huracán. Rugosidad de superficie D: Áreas planas no obstruidas y superficies acuáticas fuera de regiones propensas a huracán. Esta categoría incluye marismas suaves, salinas, superficies heladas continuas. 2.5.5.2.6.3 Categorías de exposición Exposición B: la exposición B se aplicará donde la condición de rugosidad de la superficie del terreno, según fue definido por la rugosidad de superficie B, prevalece en la dirección de barlovento por una distancia de al menos 792 𝑚 o 20 veces la altura de la edificación, lo que sea mayor. Excepción: para edificaciones cuya altura de techo media es menor que o igual a 9.1 𝑚, la distancia de barlovento puede se reducida a 457 𝑚. Exposición C: la exposición C se aplicará para todos los casos donde las exposiciones B o D no se aplican. Exposición D: la exposición D se aplicará donde la rugosidad de la superficie del terreno, según lo definido por la rugosidad de superficie D, prevalece en la dirección de barlovento por una distancia de al menos 1524 𝑚 o 20 veces la altura de la edificación, lo que sea mayor. La exposición D se extenderá tierra adentro desde la línea costera por una distancia de 200 𝑚 o 20 veces la altura de la edificación, lo que sea mayor. Para un sitio ubicado en la zona de transición entre categorías de exposición, será utilizada la categoría resultante en las fuerzas de viento máximas. Excepción: una exposición intermedia entre las categorías anteriores es permitida en una zona de transición bajo el supuesto de que la misma está determinada mediante un método de análisis proporcional definido en literatura reconocida. 2.5.5.2.6.4 Categoría de exposición para sistemas principales resistentes a fuerza de viento 2.5.5.2.6.4.1) Edificaciones y otras estructuras
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Para cada dirección de viento considerada, las cargas de viento para el diseño del sistema principal resistente a fuerza de viento determinadas a partir de la figura 2.14 y 2.15 estarán basadas en la categoría de exposiciones definidas en la sección 2.5.5.2.6.3. 2.5.5.2.6.4.2) Edificaciones bajas Las cargas de viento para el diseño de los sistemas principales resistentes a fuerza de viento para edificaciones bajas serán determinadas utilizando una presión de la velocidad de viento, 𝑞ℎ , basada en la exposición resultante de las cargas de viento máximas para cualquier dirección del viento en el sitio cuando se utilizan los coeficientes de presión externa 𝐺𝐶𝑝𝑓 dados en la figura 6.10 de la norma ASCE 7-05. 2.5.5.2.6.5 Categoría de exposición para componentes y revestimiento Las presiones de diseño para componentes y revestimientos para todos los edificios y otras estructuras serán basadas en la exposición dando como resultado la carga de viento más alto para cualquier dirección en el lugar. 2.5.5.2.6.6 Coeficiente de exposición de la presión de la velocidad del viento Con base en la categoría de exposición determinada en la sección 2.5.5.2.6.3, un coeficiente de exposición de la presión de la velocidad del viento 𝐾𝑧 o 𝐾ℎ , según sea aplicable, será determinado a partir de la tabla 2.13. Para un sitio localizado en un área de transición entre las categorías de exposición, es decir, cerca de una superficie rugosa, intermedian valores de 𝐾𝑧 𝑜 𝐾ℎ , estos valores se muestran en la tabla 2.13, está permitido utilizar un método de análisis racional definido por la literatura reconocida.
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HORMIGÓN ARMADO Tabla 2-13 Coeficientes de la presión de velocidad 𝑲𝒉 y 𝑲𝒛 29
Coe ficie nte s de Expos ición de la Pre s ión de Ve locidad Kh y Kz Tabla 6-3
Altura por e ncima de l nive l de l te rre no, z pies (m) 0-15 (0-4,6) 20,00 (6,1) 25,00 (7,6) 30 (9,1) 40 (12,2) 50 (15,2) 60 (18) 70 (21,3) 80 (24,4) 90 (27,4) 100 (30,5) 120 (36,6) 140 (42,7) 160 (48,8) 180 (54,9) 200 (61,0) 250 (76,2) 300 (91,4) 350 (106,7) 400 (121,9) 450 (137,2) 500 (152,4)
Exposición (Nota 1) B Caso 1
0,7 0,7 0,7 0,7 0,76 0,81 0,85 0,89 0,93 0,96 0,99 1,04 1,09 1,13 1,17 1,2 1,28 1,35 1,41 1,47 1,52 1,56
Caso 2 0,57 0,62 0,66 0,7 0,76 0,81 0,85 0,89 0,93 0,96 0,99 1,04 1,09 1,13 1,17 1,2 1,28 1,35 1,41 1,47 1,52 1,56
C D Casos 1 y 2 Casos 1 y 2 0,85 1,03 0,9 1,08 0,94 1,12 0,98 1,16 1,04 1,22 1,09 1,27 1,13 1,31 1,17 1,34 1,21 1,38 1,24 1,4 1,26 1,43 1,31 1,48 1,36 1,52 1,39 1,55 1,43 1,58 1,46 1,61 1,53 1,68 1,59 1,73 1,64 1,78 1,69 1,82 1,73 1,86 1,77 1,89
Notas: 1.
Caso 1: a. Todos los componentes y revestimiento. b. Sistema principal resistente a fuerza de viento en edificaciones bajas diseñadas utilizando la figura 6-10.
Caso 2: a. Todos los sistemas principales resistentes a fuerza de viento en las edificaciones excepto aquellos en edificaciones bajas diseñadas utilizando la figura 6-10. b. Todos los sistemas principales resistentes a fuerza de viento en otras estructuras. 2.
El coeficiente de exposición de la presión de la velocidad del viento 𝐾𝑧 puede ser determinado a partir de la siguiente formula: Para 15 𝑓𝑡 ≤ 𝑧 ≤ 𝑍𝑔 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑧 < 15 𝑓𝑡 2 ⁄𝛼
3. 4. 5.
29
2 ⁄𝛼
𝐾𝑧 = 2.01(𝑧⁄𝑧𝑔 ) 𝐾𝑧 = 2.01(15⁄𝑧𝑔 ) Nota: 𝑧 no deberá ser tomada menor de 30 𝑓𝑡 para el caso 1 en exposición B. 𝛼 y 𝑧𝑔 se tabulan en la tabla 6-2. La interpolación lineal para valores intermedios de la altura 𝑧 es aceptable. Las categorías de exposición están definidas en 6.5.6.
(ASCE STANDARD [ASCE/SEI 7-05], 2006, pág. 79) copyright©rcolquea
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2.5.5.2.7) EFECTOS TOPOGRÁFICOS 2.5.5.2.7.1 Incremento de la velocidad del viento sobre colinas, crestas y taludes Los efectos del incremento de la velocidad del viento en colinas aisladas, crestas, y taludes que constituyen cambios abruptos en la topografía general, ubicados en cualquier categoría de exposición, deberán ser incluidos en el diseño cuando las edificaciones y otras condiciones de sitio y ubicación de estructuras cumplen todas las condiciones siguientes: 1. La colina, cresta o talud está aislado y liberado de obstrucción en barlovento por otras características topográficas similares de altura comparable para 100 veces la altura de la característica topográfica (100𝐻) o 3.22 𝑘𝑚 lo que sea menor. Esta distancia será medida horizontalmente desde el punto en el que la altura 𝐻 de la colina, cresta o talud sea determinada. 2. La colina, cresta o talud sobresale por encima de la altura de las características del terreno en barlovento dentro de un radio de 3.22 𝑘𝑚 en cualquier cuadrante por un factor de dos o más. 3. La estructura está ubicada como se muestra en la figura 2.12 en la mitad superior de una colina o cresta o cerca de la cresta de un talud. 4. 𝐻 ⁄𝐿ℎ ≥ 0.2 y 5. 𝐻 es mayor que o igual a 4.5 𝑚 para las exposiciones C y D y 18 𝑚 para la exposición B. 2.5.5.2.7.2 Factor topográfico El efecto de incremento de la velocidad del viento será incluido en el cálculo de las cargas de viento de diseño utilizando el factor 𝐾𝑧𝑡 : 𝐾𝑧𝑡 = (1 + 𝐾1 𝐾2 𝐾3 )2 Donde 𝐾1 , 𝐾2 y 𝐾3 están dados en la figura 2.12 y 2.13. Si el sitio en el que está ubicado la estructura no cumple las condiciones de la sección 2.5.5.2.19.1 entonces 𝐾𝑧𝑡 = 1.0
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Factor topográfico, Kzt - Método 2 Figura 6-4 V(z)
z
z
Velocidad creciente
V(z)
x(Barlovento)
Velocidad creciente
V(z)
x(Sotavento)
x(Barlovento)
x(Sotavento) H/2
H/2
H
H lh
lh
H/2
H/2
CRESTA DE 2-D COLINA 3-D AXIAL SIMÉTRICA
TALUD
Multiplicadores Topográficos para la exposición C Multiplicador 𝐾1 Multiplicador 𝐾2 Multiplicador 𝐾3 𝐻/𝐿ℎ Cresta Talud Colina 3-D 𝑥/𝐿ℎ Talud Los demas 𝑧/𝐿ℎ Cresta Talud Colina 3-D 2-D 2-D axial simétrica 2-D casos 2-D 2-D axial simétrica 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50
0,29 0,36 0,43 0,51 0,58 0,65 0,72
0,17 0,21 0,26 0,30 0,34 0,38 0,43
0,21 0,26 0,32 0,37 0,42 0,47 0,53
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00
1,00 0,88 0,75 0,63 0,50 0,38 0,25 0,13 0,00
1,00 0,67 0,33 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,50 2,00
1,00 0,74 0,55 0,41 0,30 0,22 0,17 0,12 0,09 0,07 0,05 0,01 0,00
1,00 0,78 0,61 0,47 0,37 0,29 0,22 0,17 0,14 0,11 0,08 0,02 0,00
1,00 0,67 0,45 0,30 0,20 0,14 0,09 0,06 0,04 0,03 0,02 0,00 0,00
Notas: 1.
Para valores de 𝐻/𝐿ℎ , 𝑥/𝐿ℎ y 𝑧/𝐿ℎ diferentes a aquellos que se muestran, la interpolación lineal está permitida.
2.
Para 𝐻/𝐿ℎ > 0.5, asuma
3.
Los multiplicadores están basados en el supuesto de que el viento se aproxima a la colina o talud a lo largo de la dirección de la pendiente máxima. Anotación: 𝐻: Altura de la colina o talud relativa al terreno de barlovento, en pies (metros). 𝐿ℎ : Distancia a barlovento de la cresta hasta donde la diferencia en la elevación del terreno es la mitad de la altura de la colina o talud, en pies (metros). 𝑘1 : Factor para representar la forma de la característica topográfica y el efecto de máximo incremento de velocidad. 𝐾2 : Factor para representar la reducción en el incremento de velocidad con la distancia a barlovento o sotavento de la cresta. 𝑥: Distancia (a barlovento o sotavento) desde la cresta hasta el sitio de la edificación, en pies (metros). 𝑧: Altura por encima del terreno local, en pies (metros). 𝜇: Factor de atenuación horizontal. 𝛾: Factor de atenuación de la altura.
4.
𝐻 𝐿ℎ
= 0.5 para evaluar 𝐾1 y sustituya 2𝐻 por 𝐿ℎ para evaluar 𝐾2 y 𝐾3 .
Figura 2.12 – Factor topográfico 𝑲𝒛𝒕 -Método 230
30
(ASCE STANDARD [ASCE/SEI 7-05], 2006, pág. 45) copyright©rcolquea
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Factor topográfico, Kzt - Método 2 Figura 6-4 (cont.) Ecuaciones: 𝐾𝑧𝑡 = (1 + 𝐾1 𝐾2 𝐾3 )2 𝐾1 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑎𝑏𝑎 𝑜
𝐾2 = 1 − 𝐾3 = 𝑒 −
𝑥 𝜇𝐿ℎ
𝑧⁄𝐿
Parámetros para Incremento de la Velocidad sobre Colinas y Taludes 𝜇 𝐾1 / 𝐻/𝐿ℎ Forma de la colina Exposi Barlovento Sotavento de 𝛾 D B C Crestas BiDimensionales (o valles con H negativa en 𝐾1 / 𝐻/𝐿ℎ
1,30
1,45
1,55
3,00
1,50
1,50
Taludes BiDimensionales
0,75
0,85
0,95
2,50
1,50
4,00
Colinas TriDimensionales Axial Simétricas
0,95
1,05
1,15
4,00
1,50
1,50
Figura 2.13 – Factor topográfico 𝑲𝒛𝒕 -Método 2 (cont.)31
2.5.5.2.8) FACTOR DE EFECTO DE RÁFAGA 2.5.5.2.8.1 Estructuras rígidas Para las estructuras rígidas como fueron definidas en la sección 2.5.2, el factor de efecto de ráfaga será tomado como 0.85 o calculado mediante la fórmula: 1 + 1.7𝑔𝑄 𝐼𝑧 𝑄 𝐺 = 0.925 ( ) 1 + 1.7𝑔𝑣 𝐼𝑧 𝐼𝑧̅ = 𝑐(10⁄𝑧̅)1/6 Donde: 𝐼𝑧̅ : la intensidad de turbulencia a la altura 𝑧̅ donde 𝑧̅= a la altura equivalente de la estructura definida como 0.6ℎ pero no menor que 𝑧𝑚𝑖𝑛 para todas las alturas de edificación ℎ. 𝑧𝑚𝑖𝑛 y 𝑐 están catalogadas para cada exposición en la tabla 2.14; 𝑔𝑄 y 𝑔𝑣 serán tomados como 3.4. La respuesta de entorno 𝑄 está dado por: 𝑄=√
1 𝐵+ℎ 0.63
1 + 0.63 (
𝐿𝑧̅
)
Donde 𝐵 𝑦 ℎ están definidas en la sección 6.3 de la ASCE 7-05.
31
(ASCE STANDARD [ASCE/SEI 7-05], 2006, pág. 46) copyright©rcolquea
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𝐿𝑧̅ : la escala de longitud integral de turbulencia en la altura equivalente está dada por: 𝐿𝑧̅ = 𝑙(𝑧̅⁄10)𝜖̅ En la que 𝑙 y 𝜖̅ son las constantes catalogadas en la tabla 2.14. Tabla 2-14 Constantes de exposición del terreno32
Constantes de Exposición del Terreno Tabla 6-2
Exposic ión
𝛼
𝑍𝑔 (𝑚)
𝑎
𝑏
𝛼̅
𝑏̅
𝑐
1/7
0,84
1/4,0
0,45
0,30
97,54
1/3,0
9,14
𝑙 (𝑚)
𝑍𝑚𝑖𝑛 𝑚 ∗
B
7,00
365,76
C
9,50
274,32
1/9,5
1,00
1/6,5
0,65
0,20
152,40
1/5,0
4,57
D
11,50
213,36
1/11,5
1,07
1/9,0
0,80
0,15
198,12
1/8,0
2,13
∗ 𝑍𝑚𝑖𝑛 : Altura mínima utilizada para asegurar que la altura equivalente 𝑧 es mayor que 0.6ℎ o 𝑍𝑚𝑖𝑛 . Para edificaciones con ℎ ≤ 𝑍𝑚𝑖𝑛 , se tomará 𝑧 como 𝑍𝑚𝑖𝑛 .
2.5.5.2.8.2 Estructuras sensibles dinámicamente o flexibles Para estructuras sensibles dinámicamente o flexibles según se define en la sección 2.5.2 el factor de efecto de ráfaga será calculado por: 1 + 1.7𝐼𝑧̅ √𝑔𝑄2 𝑄 2 + 𝑔𝑅2 𝑅 2 𝐺𝑓 = 0.925
1 + 1.7𝑔𝑣 𝐼𝑧̅
( 𝑔𝑄 y 𝑔𝑣 serán tomados como 3.4 y 𝑔𝑅 está dado por: 𝑔𝑅 = √2 ln(3600𝑛1 ) +
) 0.577
√2 ln(3600𝑛1 )
𝑅: el factor de respuesta resonante, está dado por: 1 𝑅 = √ 𝑅𝑛 𝑅ℎ 𝑅𝐵 (0.53 + 0.47𝑅𝐿 ) 𝛽 𝑅𝑛 =
32
7.47𝑁1 (1 + 10.3𝑁1 )5/3 𝑛1 𝐿𝑧̅ 𝑁1 = 𝑉̅𝑧̅
(ASCE STANDARD [ASCE/SEI 7-05], 2006, pág. 78) copyright©rcolquea
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1 1 − 2 (1 − 𝑒 −2𝜂 ) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜂 > 0 𝜂 2𝜂 𝑅𝑙 = 1.0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜂 = 0 Donde el subíndice 𝑙 en la ecuación de 𝑅𝑙 será tomado como ℎ, 𝐵 y 𝐿 respectivamente, donde ℎ, 𝐵, 𝐿 están definidas en la sección 6.3 de la ASCE 7-05. 𝑛1 : frecuencia natural de la edificación. 𝑅𝑙 : 𝑅ℎ estableciendo 𝑛 = 4.6𝑛1 ℎ⁄𝑉̅𝑧̅ 𝑅𝑙 =
𝑅𝑙 : 𝑅𝐵 estableciendo 𝑛 = 4.6 𝑛1 𝐸𝐵 ⁄𝑉̅𝑧̅ 𝑅𝑙 : 𝑅𝐿 estableciendo 𝑛 = 15.4𝑛1 𝐿⁄𝑉̅𝑧̅ 𝛽: razón de amortiguamiento, por ciento del crítico 𝑝𝑖𝑒 𝑉̅𝑧̅ : velocidad media del viento horaria (𝑠𝑒𝑔) a la altura 𝑧̅ determinada a partir de la siguiente
ecuación. 𝑧̅ 𝛼 ) 𝑉 10 Donde 𝑏̅ y 𝛼̅ son las constantes catalogadas en la tabla 2.14. 𝑉̅𝑧̅ = 𝑏̅ (
𝑉: velocidad básica del viento en 𝑚𝑝ℎ. 2.5.5.2.8.3 Análisis racional En lugar del procedimiento definido en las secciones 2.5.5.2.8.1 y 2.5.5.2.8.2, la determinación del factor de efecto de ráfaga por medio de cualquier análisis racional definido en la literatura reconocida está permitida. 2.5.5.2.8.4 Limitaciones Donde se combinan, los factores de efecto de ráfaga y los coeficientes de presión (𝐺𝐶𝑝 , 𝐺𝐶𝑝𝑖 𝑦 𝐺𝐶𝑝𝑓 ) están dados en figuras y tablas, el factor de efecto de ráfaga no será determinado en forma separada. 2.5.5.2.9) CLASIFICACIONES DE ENCERRAMIENTO 2.5.5.2.9.1 General Para el propósito de determinar los coeficientes de presión interna, todas las edificaciones serán clasificadas como cerradas, parcialmente cerradas, o abiertas según lo definido en la sección 2.5.2. 2.5.5.2.9.2 Aberturas Se hará una estimación de la cantidad de aberturas en la envoltura de la edificación para determinar la clasificación de encerramiento según lo definido en la sección 2.5.5.2.9.1. 2.5.5.2.9.3 Escombros llevados por el viento El revestimiento en edificios localizados dentro de las regiones de escombros llevados por el viento estará protegidas con un impacto resistente al revestimiento o sea betún resistente al impacto según los requisitos especificados en ASTM El886 y ASTM El996 u otros métodos aprobados de prueba y otros criterios de función. La resistencia de impacto de misiles estará en función de Niveles del Misil y las Zonas del Viento especificadas en ASTM El886 y ASTM E1996. EXCEPCIONES: copyright©rcolquea
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1. Glaseando en la categoría II, III, o IV edificios intravenosos localizados sobre 18.3 𝑚 por encima del suelo y sobre 9.2 𝑚 por encima del agregado salen a la superficie techos localizado dentro de 458 𝑚 del edificio será permitido para ser desprotegido. 2. El betún en la Categoría I de los edificios será permitido para estar desprotegido 2.5.5.2.9.4 Clasificaciones múltiples Si por definición una edificación se ajusta a las especificaciones de ¨abierta¨ y ¨parcialmente cerrada¨, esta será clasificada como una edificación ¨abierta¨, una edificación que no cumple con cualquiera de las definiciones de “abierta” o “parcialmente cerrada” serán clasificada como una edificación “cerrada”. 2.5.5.2.10) PRESIÓN DE LA VELOCIDAD DEL VIENTO La presión de la velocidad del viento, 𝑞𝑧 , evaluada a la altura 𝑧 será calculada mediante la siguiente ecuación: 𝑞𝑧 = 0.613𝐾𝑧 𝐾𝑧𝑡 𝐾𝑑 𝑉 2 𝐼 (𝑁⁄𝑚2 ); 𝑉 𝑒𝑛 𝑚/𝑠 Donde: 𝐾𝑑 : Factor de direccionalidad del viento definido en la sección 2.5.5.2.4.4. 𝐾𝑧 : Coeficiente de exposición de presión de la velocidad del viento definido en la sección 2.5.5.2.6.6. 𝐾𝑧𝑡 : Factor topográfico definido en la sección 2.5.5.2.7.2. 𝑞ℎ : Presión de la velocidad del viento calculada mediante el uso de la ecuación de 𝑞𝑧 a la altura media del techo ℎ. El coeficiente numérico 0.613 será utilizado excepto donde datos climáticos suficientes estén disponibles para justificar la selección de un valor diferente de éste factor para una aplicación de diseño. 2.5.5.2.11) COEFICIENTE DE PRESIÓN Y FUERZA 2.5.5.2.11.1 Coeficiente de presión interna Los coeficientes de presión interna, 𝐺𝐶𝑝𝑖 , serán determinadas a partir de la figura 2.14 basados en las clasificaciones de encerramiento de la edificación determinada a partir de la sección 2.5.5.2.9. Sis . Prin. Re s is t. A Fue rza de Vie nto/Comp. Y Re v.-Mé todo 2 Figura 6-5 Coe ficie nte de Pre s ión Inte rna, Gcpi Edificacione s ce rradas , parcialme nte ce rradas y abie rtas Clas ificación de e nce rramie nto Edificaciones abiertas Edificaciones parcialmente cerradas Edificaciones cerradas
Todas las alturas
Muros y techos
𝐺𝐶𝑝𝑖 0,00 +0,05 -0,05 +0,18 -0,18
Notas: 1. 2. 3.
Los signos más y menos significan las presiones que actúan hacia y desde las superficies internas, respectivamente. Los valores de 𝐺𝐶𝑝𝑖 serán utilizados con 𝑞𝑧 o 𝑞ℎ como se especifica en 6.5.12. Dos casos serán considerados para determinar los requisitos de carga crítica para la condición apropiada: i. Un valor positivo de 𝐺𝐶𝑝𝑖 aplicado a todas las superficies internas. ii. Un valor negativo de 𝐺𝐶𝑝𝑖 aplicado a todas las superficies internas.
Figura 2.14 – Coeficientes de presión interna33
33
(ASCE STANDARD [ASCE/SEI 7-05], 2006, pág. 46) copyright©rcolquea
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2.5.5.2.11.1.1) Factor de reducción para edificación de gran volumen, 𝑅𝑖 Para una edificación parcialmente cerrada que contienen un volumen grande no particionado, único, el coeficiente de presión interna, 𝐺𝐶𝑝𝑖 , será multiplicado por el siguiente factor de reducción, 𝑅𝑖 . 𝑅𝑖 = 1.0 𝑜 𝑅𝑖 = 0.5 1 + (
1
≤ 1.0
𝑉𝑖
√1 + 22.800 𝐴
𝑜𝑔
)
Dónde: 𝐴𝑜𝑔 : Área total de aberturas en la envoltura de la edificación (muros y techo, en 𝑝𝑖𝑒𝑠 2) 𝑉𝑖 : Volumen interno no participado, en 𝑝𝑖𝑒𝑠 3 2.5.5.2.11.2 Coeficiente de presión externa 2.5.5.2.11.2.1) Sistemas principales resistentes a fuerza de viento para sistemas principales resistentes a fuerzas. Los coeficientes de presión externa para los sistemas principales resistentes a fuerza de viento 𝐶𝑝 están dados en las figuras 2.15, 2.16, 6.7 y 6.8 (6.7 y 6.8 ver la norma ASCE 7-05). El factor de efecto de ráfaga y los coeficientes de presión externa combinadas 𝐺𝐶𝑝𝑓 , están dados en la figura 6.10 de la ASCE 7-05 para edificaciones bajas. Los valores del coeficiente de presión y el factor de efecto de ráfaga en la figura 6.10 de la ASCE 7-05 no serán separados.
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Sistema Principal Resistente a Fuerza de Viento - Método 2 Figura 6-6 Coeficiente de Presión Externa, Cp Edificaciones cerradas, parcialmente cerradas
VIENTO .
𝑞𝑧 𝐺𝐶𝑝
?
𝑞ℎ 𝐺𝐶𝑝
B
𝑞𝑧 𝐺𝐶𝑝
𝑞ℎ 𝐺𝐶𝑝
h
Z
𝑞ℎ 𝐺𝐶𝑝
L PLANO
Muros y techos
𝑞ℎ 𝐺𝐶𝑝
𝑞ℎ 𝐺𝐶𝑝
𝑞ℎ 𝐺𝐶𝑝
Todas las alturas
L ELEVACIÓN
TECHOS DE DOS AGUAS, DE CUATRO AGUAS
VIENTO .
𝑞ℎ 𝐺𝐶𝑝 𝑞ℎ 𝐺𝐶𝑝 B
𝑞ℎ 𝐺𝐶𝑝 ?
𝑞𝑧 𝐺𝐶𝑝
𝑞𝑧 𝐺𝐶𝑝 L PLANO
𝑞ℎ 𝐺𝐶𝑝
𝑞𝑧 𝐺𝐶𝑝 ?
h
h
𝑞ℎ 𝐺𝐶𝑝
𝑞ℎ 𝐺𝐶𝑝
𝑞ℎ 𝐺𝐶𝑝
L
L
ELEVACIÓN
ELEVACIÓN
TECHOS DE PENDIENTE ÚNICA O A UN AGUA (NOTA 4) 𝑞ℎ 𝐺𝐶𝑝 VIENTO
𝑞𝑧 𝐺𝐶𝑝
𝑞ℎ 𝐺𝐶𝑝 𝑞𝑧 𝐺𝐶𝑝
B
𝑞ℎ 𝐺𝐶𝑝
𝑞ℎ 𝐺𝐶𝑝 ?
h
𝑞ℎ 𝐺𝐶𝑝 L PLANO
𝑞ℎ 𝐺𝐶𝑝
L ELEVACIÓN
TECHO DE MANSARDA (NOTA 8)
Figura 2.15 – Coeficientes de presión externa34
34
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Siste ma Principal Re siste nte a Fue rza de Vie nto - Mé todo 2 Figura 6-6 (Cont.) Coe ficie nte de Pre sión Exte rna, Cp Edificacione s ce rradas, parcialme nte ce rradas Coe ficie nte de pre sión de muro, Cp 𝐶𝑝 Supe rficie 𝐿/𝐵 Muro de barlovento Todos los valores 0,8 0-1 -0,5 Muro de sotavento 2,00 -0,30 >=4 -0,20 Todos los valores Muro lateral -0,70
Todas las alturas
Muros y techos
Utilizar con 𝑞𝑧 𝑞ℎ
𝑞ℎ
Coe ficie nte de pre sión de te cho, Cp, para se r usados con qh Dirección del viento
Barlovento Ángulo,𝜃 (grados)
ℎ/𝐿
10 15 20 25 30 35 -0,7 -0,5 -0,3 -0,2 -0,2 0,0* <=0,25 -0,18 0,0* 0,2 0,3 0,3 0,4 Normal al -0,9 -0,7 -0,4 -0,3 -0,2 -0,2 caballete 0,5 -0,18 -0,18 0,0* 0,2 0,2 0,3 para -1,3** -1,0 -0,8 -0,5 -0,3 -0,2 𝜃 ≥ 10º >=1,0 -0,18 -0,18 -0,18 0,0* 0,2 0,2 Distancia horizontal a p artir Normal al 𝐶𝑝 del eje de barlovento caballete para 0 a h/2 -0.9,-0.18 𝜃 ≥ 10º <=0,5 H/2 a h -0.9,-0.18 y paralelo h a 2h -0.5,-0.18 al caballete >2h -0.3,-0.18 para todo 0 a h/2 -1,3**,-0,18 𝜃 >=1,0 >h/2 -0,7,-0,18
Sotavento Ángulo, 𝜃 (grados) 45 0,4
>=60#
10
15
>=20
0,01 𝜃 -0,3
-0,5
-0,6
0,0* 0,01 𝜃 -0,5 -0,5 -0,6 0,4 0,0* 0,01 𝜃 -0,7 -0,6 -0,6 0,3 *Se provee el valor para propósitos de interpolación **El valor puede reducirse linealmente con el área sobre la cual es aplicable como sigue Área (pies cuad.) Factor de Reducción <= 100 (9,3 sq m) 1,0 200 (23,2 sq m) 0,9 >= 1000 (92,9 sq m) 0,8
Notas: 1. 2.
3.
4. 5. 6. 7.
Los signos más y menos significan presiones que actúan hacia y desde las superficies, respectivamente. Se permite interpolación lineal para valores de 𝐿 ⁄𝐵, ℎ⁄𝐿 y 𝜃 diferente a los que se muestran. La interpolación será llevada a cabo únicamente entre valores del mismo signo. Donde no se da valor del mismo signo, asuma 0.0 para propósitos de interpolación. Cuando dos valores de 𝐶𝑝 están listados, esto indica que la pendiente de techo de barlovento está sujeta ya sea a presiones positivas o negativas y la estructura del techo será diseñada para ambas condiciones. La interpolación para razones intermedias de ℎ⁄𝐿 es este caso se llevará a cabo únicamente entre valores de 𝐶𝑝 del mismo signo. Para techos de una sola pendiente, la superficie total del techo es una superficie de barlovento o de sotavento. Para edificaciones flexibles utilice la 𝐺𝑓 apropiada según lo determinado por la sección 6.5.8. Refiérase a la figura 6.7 para cúpulas y a la figura 6.8 para techos arqueados. Anotación: 𝐵: Dimensión horizontal de la edificación, en pies (metros), medida normal a la dirección del viento. 𝐿: Dimensión horizontal de la edificación, en pies (metros), medida paralela a la dirección del viento. ℎ: Altura media del techo en pies (metros), con excepción de que la altura del alero se utilizará para 𝜃 ≤ 10º. 𝑧: Altura por encima del terreno, en pies (metros). 𝐺: Factor de efecto de ráfaga. 𝑞𝑧 , 𝑞ℎ : Presión de la velocidad del viento, el libras por 𝑝𝑖𝑒 2 (𝑁⁄𝑚 2 ), evaluada a la altura respectiva. 𝜃: Ángulo del plano del techo desde la horizontal, en grados.
8. 9.
Para techos con mansardas, la superficie horizontal superior y la superficie inclinada de sotavento serán tratadas como las superficies de sotavento de la tabla. Excepto para los MWFRS´s en el techo compuesto por pórticos resistentes a momento, el cortante horizontal total no será menor que el determinado cuando se descartan las fuerzas de viento sobre las superficies del techo.
#Para pendientes de techo mayores que 80º, utilice 𝐶𝑝 = 0.8.
Figura 2.16 – Coeficientes de presión externa (cont.)35
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2.5.5.2.11.2.2) Componentes y revestimiento El factor de efecto de ráfaga y los coeficientes de presión externa combinados 𝐺𝐶𝑝 , para componentes y revestimiento, están dados en las figuras 6.11 a 6.17 de la ASCE 7-05. Los valores de coeficiente de presión y el factor de efecto de ráfaga no serán separados. 2.5.5.2.11.3 Coeficientes de fuerza Los coeficientes de fuerza, 𝐶𝑓 están dados en las figuras 6.20 a 6.23 de la ASCE 7-05. 2.5.5.2.11.4 Aleros de techo 2.5.5.2.11.4.1) Sistema principal resistente a fuerza de viento Los aleros de techo serán diseñados para una presión positiva sobre la superficie del fondo de los aleros de techo de barlovento correspondiente a 𝐶𝑝 = 0.8 en combinación con las presiones determinadas del uso de las figuras 2.15, 2.16 y 6.10 que está en la ASCE 7-05. 2.5.5.2.11.4.2) Componentes y revestimiento para aleros de techo Para todas las edificaciones, los aleros de techo serán diseñados para presiones determinadas de los coeficientes de presión dados en las figuras 6.11B, C y D de la ASCE 7-05. 2.5.5.2.11.5 Pretiles 2.5.5.2.11.5.1) Sistema principal resistente a fuerza de viento para pretiles Los coeficientes de presión para el efecto de los pretiles en las cargas de MWFRS están dados en la sección 6.5.12.2.4 de la ASCE 7-05. 2.5.5.2.23.5.2) Componentes y revestimiento para pretiles Los coeficientes de presión para el diseño de elementos de componente y revestimiento de los pretiles son tomados de los coeficientes de presión de muro y techo como especifica en la sección 6.5.12.4.4 de la ASCE 7-05. 2.5.5.2.12) CARGAS DE VIENTO DE DISEÑO EN EDIFICACIONES CERRADAS Y PARCIALMENTE CERRADAS 2.5.5.2.12.1 General 2.5.5.2.12.1.1) Convención de signos La presión positiva actúa hacia la superficie y la presión negativa actúa alejándose de la superficie. 2.5.5.2.12.1.2) Condición de carga crítica Los valores de las presiones externas e internas serán combinados algebraicamente para determinar la carga más crítica. 2.5.5.2.12.1.3) Área tributaria mayor que 65 𝑚2 Se permitirá el diseño de elementos componente y revestimiento con áreas tributarias mayores que 65 𝑚2, utilizando las previsiones para sistemas principales resistentes a fuerza de viento. 2.5.5.2.12.2 Sistemas principales resistentes a fuerza de viento 2.5.5.2.12.2.1) Edificaciones rígidas de cualquier altura Las presiones del viento de diseño para el sistema principal resistente a fuerza de viento de edificaciones de todas las alturas serán determinadas mediante la siguiente ecuación: 𝑝 = 𝑞𝐺𝐶𝑝 − 𝑞𝑖 (𝐺𝐶𝑝𝑖 )
(𝑁⁄𝑚2 )
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𝑞: 𝑧𝑧 para muros de barlovento evaluados a la altura 𝑧 por encima del terreno. 𝑞: 𝑞ℎ para muros de sotavento, muros laterales y techos avaluados a la altura ℎ. 𝑞𝑖 : 𝑞ℎ para muros de barlovento, muros laterales, muros de sotavento, y techos de edificaciones cerradas y para evaluación de la presión interna negativa en edificaciones parcialmente cerradas. 𝑞𝑖 : 𝑞𝑧 para evaluación de la presión interna positiva en edificaciones parcialmente cerradas donde la altura 𝑧 es definida como el nivel de la abertura más alta en la edificación que podría afectar la presión interna positiva. Para edificaciones ubicadas en regiones de escombros llevados por viento, la vidriería que no es resistente a impacto o protegida con una cubierta resistente a impacto, será tratada como una abertura de conformidad con la sección 2.5.5.2.21.3. Para la evaluación de la presión interna positiva, 𝑞𝑖 puede ser evaluada conservadoramente a la altura ℎ(𝑞𝑖 = 𝑞ℎ ). 𝐺: Factor de efecto de ráfaga de la sección 2.5.5.2.8. 𝐶𝑝 : Coeficiente de presión externa de la figura 2.15 y 2.16 del presente documento o 6.8 de la ASCE 7-05. 𝐺𝐶𝑝𝑖 : Coeficiente de presión interna de la figura 2.14. 𝑞 y 𝑞𝑖 serán evaluados utilizando la exposición definida en la sección 2.5.5.2.6.3. La presión será aplicada simultáneamente sobre los muros de barlovento y sotavento y sobre las superficies de techo según lo definido en las figuras 2.15, 2.16 del presente documento y 6.8 de la ASCE 7-05. La norma ASCE 7-0536 especifica más artículos que definen la presión sobre edificaciones bajas, edificaciones flexibles, pretiles, casos de carga de viento de diseño, componentes y revestimiento y cargas de viento de diseño sobre edificaciones abiertas y otras estructuras, se recomienda estudiar las secciones mencionadas para entender de mejor manera los casos para determinar la presión interna y externa. Las tablas y las figuras presentadas en la sección del método 2 presentadas en el respectivo documento, son las más importantes y comúnmente utilizadas, son tablas que se aplican a sistemas principales resistentes a fuerzas de viento. Los casos de cargas sobre complementos y revestimientos, techos, cúpulas, estructuras abiertas, etc., se presentan en las tablas y figuras de la norma ASCE 7-05. 2.5.5.3) MÉTODO 3 – PROCEDIMIENTO DE TÚNEL DE VIENTO 2.5.5.3.1) ALCANCE Las pruebas de túnel de viento serán utilizadas donde sea requerido por la sección 2.5.5.3.2. Las pruebas de túnel de viento serán permitidas en lugar de los métodos 1 y 2 para cualquier edificación o estructura. 2.5.5.3.2) CONDICIONES DE LA PRUEBA Las pruebas de túnel de viento, o pruebas similares que emplean fluidos distintos al aire, usados para la determinación de las cargas de viento de diseño para cualquier edificación u otra estructura, serán ejecutadas de conformidad con esta sección. Las pruebas para la determinación
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de las fuerzas medias y fluctuantes y de las presiones deberán llenar todas las condiciones siguientes: 1. La capa límite atmosférica natural ha sido modelada para representar la variación de la velocidad del viento con la altura. 2. Las escalas de macro-longitud (integral) y micro-longitud fundamentales de la componente longitudinal de la turbulencia atmosférica son modeladas aproximadamente a la misma escala que la utilizada para modelar la edificación o la estructura. 3. La edificación u otra estructura modeladas y las estructuras que las rodean y la topografía son geométricamente similares a sus contrapartes a escala real, excepto que, para edificaciones bajas que cumplen los requisitos de la sección 2.5.5.2.1, se permitirán pruebas para la edificación modelada en un sitio de exposición sencillo como lo definido en la sección 2.5.5.2.6.3. 4. El área proyectada de la edificación u otra estructura modelada y sus alrededores es menor que el 8% del área de la sección transversal de prueba a menos que se haga una corrección por efecto de bloqueo. 5. La pendiente o gradiente de presión longitudinal en la sección de prueba de túnel de viento está representada. 6. Los efectos del número de Reynolds sobre las presiones y fuerzas son minimizados, y 7. Las características de respuesta de la instrumentación del túnel de viento son consistentes con las mediciones requeridas. 2.5.5.3.3) RESPUESTA DINÁMICA Las pruebas para el propósito de determinar la respuesta dinámica de una edificación u otra estructura serán de conformidad con la sección 2.5.5.3.2. El modelo estructural y análisis asociado representarán la distribución de masa, rigidez y amortiguamiento. 2.5.5.3.4) LIMITACIONES 2.5.5.3.4.1 Limitaciones sobre velocidades de viento No se permitirá variación de las velocidades básicas del viento con dirección a menos que el análisis para velocidades de viento sea conforme a los requisitos de la sección 2.5.5.2.4.2. 2.5.5.3.4.2 Escombros llevados por el viento El betún en edificios en regiones de escombros llevados por el viento estará protegido de conformidad con la sección 2.5.5.2.9.3.
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Ejemplo 2.3 Determinar la presión dinámica del viento sobre la cubierta de dos aguas correspondiente a un edificio no industrial no esencial, mostrado en la figura, si la zona presenta una velocidad de viento de 𝑉 = 150 𝑘𝑚/ℎ, la topografía es llana, el terreno se halla en una zona suburbana.
Figura 2.17 – Estructura con carga de viento
Datos: 𝐶𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑧𝑜𝑛𝑎: 𝑈𝑏𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛: 𝑐𝑏𝑏𝑎, 𝑜𝑐𝑢𝑝𝑎𝑐𝑖ó𝑛: 𝑒𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑛𝑜 𝑒𝑠𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑅𝑢𝑔𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑟𝑒𝑛𝑜: á𝑟𝑒𝑎 𝑠𝑢𝑏𝑢𝑟𝑏𝑎𝑛𝑎, 𝑡𝑜𝑝𝑜𝑔𝑟𝑎𝑓í𝑎: 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑎, 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜: 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎: 𝑑𝑜𝑠 𝑎𝑔𝑢𝑎𝑠
𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: 𝐿 = 12 𝑚, ℎ𝑡 = 2.2 𝑚, ℎ1 = 4.5 𝑚 𝑘𝑚 𝑚 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑏á𝑠𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜: 𝑉 = 150 = 41.67 , ℎ 𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑐ℎ𝑎 𝑒𝑛 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑁 − 𝑆, 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑀𝑊𝐹𝑅𝑆´𝑠 Solución: Paso 1: Determinar la altura media del tejado, de acuerdo a la figura 2.17 se obtiene: ℎ𝑡 2.2 ℎ = ℎ1 + = 4.5 + = 5.6 𝑚 2 2 ℎ 5.6 = = 0.467 𝐿 12 Paso 2: Determinar la categoría de ocupación Según la tabla 2.10 la ocupación es de: categoría II. Paso 3: Determinar la exposición de la estructura Al ubicarse en un área suburbana la rugosidad superficial del terreno es: rugosidad superficial B. La categoría de exposición es: exposición B. copyright©rcolquea
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Paso 4: Determinar el factor de direccionalidad del viento, 𝐾𝑑 Según la tabla 2.12, el factor de direccionalidad de viento para el sistema principal resistente a la fuerza de viento, es: 𝐾𝑑 = 0.85 Paso 5: Determinar el factor de importancia, 𝐼. Según la tabla 2.11 puede verse que el factor de importancia para cargas de viento en estructuras no esenciales, con categoría II, es: 𝐼 = 1.0 Paso 6: Determinar el coeficiente de presión de la velocidad del viento, 𝐾𝑧 El coeficiente de la ley de potencias, 𝛼, según la tabla 2.14 para la exposición B es: 𝛼 = 7.0 La altura de la gradiente, 𝑧𝑔 , según la tabla 2.14 para la exposición B es: 𝑧𝑔 = 365.76 𝑚 Determinado los valores de las tablas, se determina el coeficiente de exposición para la presión de velocidad. Para una altura por encima del terreno de 𝑧 = 5.6 𝑚 se tiene: 2⁄𝛼
𝑧 𝑃𝑎𝑟𝑎 4.6 𝑚 ≤ 𝑧 ≤ 𝑧𝑔 → 𝐾𝑧 = 2.01 ( ) 𝑧𝑔 ⁄7.0
5.6 2 𝐾𝑧 = 2.01 ( ) 365.76
= 0.61
Paso 7: Determinar el factor topográfico, 𝐾𝑧𝑡 Como la estructura está ubicado en un terreno llano, el factor es: 𝐾𝑧𝑡 = 1.0 Paso 8: Determinar la presión de velocidad de viento, 𝑞ℎ 𝑞ℎ = 0.613𝐾𝑧 𝐾𝑧𝑡 𝐾𝑑 𝑉 2 𝐼 = 0.613 ∙ 0.61 ∙ 1.0 ∙ 0.85 ∙ 41.672 ∙ 1.0 = 551.89 𝑁/𝑚2 Paso 9: Determinar el efecto de ráfaga, 𝐺 Se asume que la estructura es rígida, por lo tanto: 𝐺 = 0.85 Paso 10: Determinar el coeficiente de presión interna, 𝐺𝐶𝑝𝑖 Según la tabla 2.14 en edificaciones parcialmente cerradas: Coeficiente de presión interna positiva: 𝐺𝐶𝑝𝑖 = +0.55 Coeficiente de presión interna negativa: 𝐺𝐶𝑝𝑖 = −0.55 Paso 11: Determinar el coeficiente de presión externa o coeficiente de fuerza, 𝐶𝑝 o 𝐺𝐶𝑝 del techo, la dirección del viento es perpendicular a la pendiente de la cubierta. Para el lado de barlovento: copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO ℎ
Al ingresar a la tabla 2.16 con 𝜃 = 19.83º y 𝐿 = 0.467, se observa que el ángulo 𝜃 = 19.83º ℎ
ℎ
ℎ
se halla entre los ángulos de 15º y 20º, la relación de 𝐿 = 0.467 está entre 𝐿 ≤ 0.25 y 𝐿 = 0.5, ℎ
por lo que es necesario interpolar valores de 𝜃 y 𝐿 para hallar valores de 𝐶𝑝 : Caso 1: ℎ
Calcular 𝐶𝑝 para 𝐿 = 0.467 cuando 𝜃 = 15º. ℎ ⁄𝐿
𝐶𝑝
0.25 0.467 0.5
-0.5 𝑥 = −0.67 -0.7
ℎ 𝐿
Calcular 𝐶𝑝 para = 0.467 cuando 𝜃 = 20º. ℎ ⁄𝐿
𝐶𝑝
0.25 0.467 0.5
-0.3 𝑥 = −0.39 -0.4
𝜃
𝐶𝑝
15 19.83 20
-0.67 𝑥 = −0.39 -0.39
Calcular 𝐶𝑝 cuando 𝜃 = 19.83º.
Caso 2: ℎ 𝐿
Calcular 𝐶𝑝 para = 0.467 cuando 𝜃 = 15º. ℎ ⁄𝐿
𝐶𝑝
0.25 0.467 0.5
0.0 𝑥 = −0.16 -0.18
ℎ
Calcular 𝐶𝑝 para 𝐿 = 0.467 cuando 𝜃 = 20º. ℎ ⁄𝐿
𝐶𝑝
0.25 0.467 0.5
0.2 𝑥 = −0.03 0.0
𝜃
𝐶𝑝
15 19.83 20
-0.16 𝑥 = −0.03 -0.03
Calcular 𝐶𝑝 cuando 𝜃 = 19.83º.
Para el lado de sotavento: Al ingresar a la tabla 2.16 con 𝜃 = 19.83º y ℎ⁄𝐿 = 0.467 se obtiene: 𝐶𝑝 = −0.6 copyright©rcolquea
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Paso 12: Calcular la presión de diseño del viento, 𝑝 Sustituyendo los valores de 𝑞ℎ , 𝐺, 𝐶𝑝 y 𝐺𝐶𝑝𝑖 en la respectiva ecuación, se obtiene las cargas de la presión de la velocidad de viento de diseño. Caso 1: Para el lado de barlovento se tiene: 𝑝 = 𝑞ℎ 𝐺𝐶𝑝 − 𝑞ℎ (±𝐺𝐶𝑝𝑖 ) 𝑝𝑎𝑟𝑎
𝑝 = 551.89 ∙ 0.85 ∙ (−0.39) − 551.89(+0.55) = −486.49 𝑁/𝑚2 →
𝑝𝑎𝑟𝑎
𝑝 = 551.89 ∙ 0.85 ∙ (−0.39) − 551.89(−0.55) = +120.59 𝑁/𝑚2 →
𝐺𝐶𝑝𝑖 + 𝐺𝐶𝑝𝑖 −
Para el lado de sotavento se tiene: 𝑝 = 𝑞ℎ 𝐺𝐶𝑝 − 𝑞ℎ (±𝐺𝐶𝑝𝑖 ) 𝑝𝑎𝑟𝑎
𝑝 = 551.89 ∙ 0.85 ∙ (−0.6) − 551.89(+0.55) = −585.00 𝑁/𝑚2 →
𝑝𝑎𝑟𝑎
𝑝 = 551.89 ∙ 0.85 ∙ (−0.6) − 551.89(−0.55) = +22.07 𝑁/𝑚2 →
𝐺𝐶𝑝𝑖 +
𝐺𝐶𝑝𝑖 −
Caso 2: Para el lado de barlovento se tiene: 𝑝 = 𝑞ℎ 𝐺𝐶𝑝 − 𝑞ℎ (±𝐺𝐶𝑝𝑖 ) 𝑝𝑎𝑟𝑎
𝑝 = 551.89 ∙ 0.85 ∙ (−0.03) − 551.89(+0.55) = −317.61 𝑁/𝑚2 →
𝑝𝑎𝑟𝑎
𝑝 = 551.89 ∙ 0.85 ∙ (−0.03) − 551.89(−0.55) = 289.47 𝑁/𝑚2 →
𝐺𝐶𝑝𝑖 +
𝐺𝐶𝑝𝑖 −
Para el lado de sotavento se tiene: 𝑝 = 𝑞ℎ 𝐺𝐶𝑝 − 𝑞ℎ (±𝐺𝐶𝑝𝑖 ) 𝑝𝑎𝑟𝑎
𝑝 = 551.89 ∙ 0.85 ∙ (−0.6) − 551.89(+0.55) = −585.00 𝑁/𝑚2 →
𝑝𝑎𝑟𝑎
𝑝 = 551.89 ∙ 0.85 ∙ (−0.6) − 551.89(−0.55) = +22.07 𝑁/𝑚2 →
𝐺𝐶𝑝𝑖 +
𝐺𝐶𝑝𝑖 −
La figura 2.18 muestra la aplicación de la carga de viento sobre la cubierta.
Figura 2.18 – Distribución de la presión de diseño debido al viento
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Ejemplo 2.4 Determinar la fuerza de diseño del viento sobre el sistema principal de resistencia de fuerza – viento del edificio de la figura en dirección N-S, la edificación es cerrada, la zona presenta una velocidad de viento de 𝑉 = 145 𝑘𝑚/ℎ, la topografía es homogénea, la estructura está localizada en una zona abierta.
Figura 2.19 – Edificio resistente a fuerzas de viento
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Datos: 𝐶𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑧𝑜𝑛𝑎: 𝑈𝑏𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛: 𝑐𝑏𝑏𝑎, 𝑜𝑐𝑢𝑝𝑎𝑐𝑖ó𝑛: 𝑒𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑛𝑜 𝑒𝑠𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑅𝑢𝑔𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑟𝑒𝑛𝑜: 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜, 𝑡𝑜𝑝𝑜𝑔𝑟𝑎𝑓í𝑎: 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑎, 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜: 𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎: 𝑑𝑜𝑠 𝑎𝑔𝑢𝑎𝑠
𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: 𝐿 = 20.54 𝑚, 𝐵 = 29.48 𝑚, ℎ𝑝𝑖𝑠𝑜𝑠 = 3.5 𝑚, ℎ𝑇 = 19 𝑚 𝑘𝑚 𝑚 = 42.28 , ℎ 𝑠 𝑃ó𝑟𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝐻º𝐴º, 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑀𝑊𝐹𝑅𝑆´𝑠
𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑏á𝑠𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜: 𝑉 = 145
Solución: Paso 1: Determinar la categoría de ocupación Según la tabla 2.10 la ocupación es de: categoría II. Paso 2: Determinar la exposición de la estructura Al ubicarse en un terreno abierto la rugosidad superficial del terreno es: rugosidad superficial C. La categoría de exposición es: exposición C. Paso 3: Determinar el factor de direccionalidad del viento, 𝐾𝑑 Según la tabla 2.12, el factor de direccionalidad de viento para el sistema principal resistente a la fuerza de viento, es: 𝐾𝑑 = 0.85 Paso 4: Determinar el factor de importancia, 𝐼. Según la tabla 2.11 puede verse que el factor de importancia para cargas de viento en estructuras no esenciales, con categoría II, es: 𝐼 = 1.0 Paso 5: Determinar el coeficiente de presión de la velocidad del viento, 𝐾𝑧 El coeficiente de la ley de potencias, 𝛼, según la tabla 2.14 para la exposición C es: 𝛼 = 9.5 La altura de la gradiente, 𝑧𝑔 , según la tabla 2.14 para la exposición C es: 𝑧𝑔 = 274.32 𝑚 Determinado los valores de las tablas, se determina el coeficiente de exposición para la presión de velocidad. Para las alturas por encima del terreno de 𝑧 = 5 𝑚 − 8.5 𝑚 − 12 𝑚 − 15.5 𝑚 − 19 𝑚 se tiene: 2⁄𝛼
𝑧 𝑃𝑎𝑟𝑎 4.6 𝑚 ≤ 𝑧 ≤ 𝑧𝑔 → 𝐾𝑧 = 2.01 ( ) 𝑧𝑔 ⁄9.5
𝐾𝑧(𝑝𝑖𝑠𝑜 1)
5.0 2 = 2.01 ( ) 274.32
= 0.865
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8.5 2 9.5 𝐾𝑧(𝑝𝑖𝑠𝑜 2) = 2.01 ( ) = 0.967 274.32 12 2⁄9.5 𝐾𝑧(𝑝𝑖𝑠𝑜 3) = 2.01 ( ) = 1.04 274.32 ⁄ 15.5 2 9.5 𝐾𝑧(𝑝𝑖𝑠𝑜 4) = 2.01 ( ) = 1.098 274.32 19 2⁄9.5 𝐾𝑧(𝑡𝑒𝑐ℎ𝑜) = 2.01 ( ) = 1.146 274.32 Paso 6: Determinar el factor topográfico, 𝐾𝑧𝑡 Como la estructura está ubicado en un terreno llano, el factor es: 𝐾𝑧𝑡 = 1.0 Paso 7: Determinar la presión de velocidad de viento, 𝑞𝑧 𝑞𝑧(𝑝𝑖𝑠𝑜 1) = 0.613𝐾𝑧 𝐾𝑧𝑡 𝐾𝑑 𝑉 2 𝐼 = 0.613 ∙ 0.865 ∙ 1.0 ∙ 0.85 ∙ 40.282 ∙ 1.0 = 731.26 𝑁/𝑚2 𝑞𝑧(𝑝𝑖𝑠𝑜 2) = 0.613𝐾𝑧 𝐾𝑧𝑡 𝐾𝑑 𝑉 2 𝐼 = 0.613 ∙ 0.967 ∙ 1.0 ∙ 0.85 ∙ 40.282 ∙ 1.0 = 817.49 𝑁/𝑚2 𝑞𝑧(𝑝𝑖𝑠𝑜 3) = 0.613𝐾𝑧 𝐾𝑧𝑡 𝐾𝑑 𝑉 2 𝐼 = 0.613 ∙ 1.04 ∙ 1.0 ∙ 0.85 ∙ 40.282 ∙ 1.0 = 879.21 𝑁/𝑚2 𝑞𝑧(𝑝𝑖𝑠𝑜 4) = 0.613𝐾𝑧 𝐾𝑧𝑡 𝐾𝑑 𝑉 2 𝐼 = 0.613 ∙ 1.098 ∙ 1.0 ∙ 0.85 ∙ 40.282 ∙ 1.0 = 928.24 𝑁/𝑚2 𝑞ℎ(𝑡𝑒𝑐ℎ𝑜) = 0.613𝐾𝑧 𝐾𝑧𝑡 𝐾𝑑 𝑉 2 𝐼 = 0.613 ∙ 1.146 ∙ 1.0 ∙ 0.85 ∙ 40.282 ∙ 1.0 = 968.82 𝑁/𝑚2 Paso 8: Determinar el efecto de ráfaga, 𝐺 Se asume que la estructura es rígida, por lo tanto: 𝐺 = 0.85 Paso 9: Determinar el coeficiente de presión interna, 𝐺𝐶𝑝𝑖 Según la tabla 2.14 en edificaciones parcialmente cerradas: Coeficiente de presión interna positiva: 𝐺𝐶𝑝𝑖 = +0.18 Coeficiente de presión interna negativa: 𝐺𝐶𝑝𝑖 = −0.18 Paso 10: Determinar el coeficiente de presión externa o coeficiente de fuerza, 𝐶𝑝 o 𝐺𝐶𝑝 del muro, la dirección del viento es de N-S. Para el lado de barlovento: Al ingresar a la tabla 2.16 con
𝐿 𝐵
=
20.54 29.48
= 0.697: 𝐶𝑝 = 0.8
Para el lado de sotavento: Al ingresar a la tabla 2.16 con 𝐿⁄𝐵 = 20.54⁄29.48 = 0.697 se obtiene: 𝐶𝑝 = −0.5
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Paso 11: Calcular la presión de diseño del viento, 𝑝 Sustituyendo los valores de 𝑞ℎ , 𝐺, 𝐶𝑝 y 𝐺𝐶𝑝𝑖 en la respectiva ecuación, se obtiene las cargas de la presión de la velocidad de viento de diseño. Para el lado de barlovento se tiene: 𝑝 = 𝑞𝑧 𝐺𝐶𝑝 − 𝑞ℎ (±𝐺𝐶𝑝𝑖 ) 𝑝𝑎𝑟𝑎
𝑝𝑝𝑖𝑠𝑜 1 = 731.26 ∙ 0.85 ∙ (0.8) − 968.82(+0.18) = 322.869 𝑁/𝑚2 →
𝑝𝑎𝑟𝑎
𝑝𝑝𝑖𝑠𝑜 1 = 731.26 ∙ 0.85 ∙ (0.8) − 968.82(−0.18) = 671.64 𝑁/𝑚2 →
𝐺𝐶𝑝𝑖 −
𝑝𝑎𝑟𝑎
𝑝𝑝𝑖𝑠𝑜 2 = 817.49 ∙ 0.85 ∙ (0.8) − 968.82(+0.18) = 381.506 𝑁/𝑚2 →
𝑝𝑎𝑟𝑎
𝑝𝑝𝑖𝑠𝑜 2 = 817.49 ∙ 0.85 ∙ (0.8) − 968.82(−0.18) = 730.281 𝑁/𝑚2 →
𝑝𝑎𝑟𝑎
𝑝𝑝𝑖𝑠𝑜 3 = 879.21 ∙ 0.85 ∙ (0.8) − 968.82(+0.18) = 423.475 𝑁/𝑚2 →
𝑝𝑎𝑟𝑎
𝑝𝑝𝑖𝑠𝑜 3 = 879.21 ∙ 0.85 ∙ (0.8) − 968.82(−0.18) = 772.250 𝑁/𝑚2 →
𝑝𝑎𝑟𝑎
𝑝𝑝𝑖𝑠𝑜 4 = 928.24 ∙ 0.85 ∙ (0.8) − 968.82(+0.18) = 456.816 𝑁/𝑚2 →
𝑝𝑎𝑟𝑎
𝑝𝑝𝑖𝑠𝑜 4 = 928.24 ∙ 0.85 ∙ (0.8) − 968.82(−0.18) = 805.891 𝑁/𝑚2 →
𝑝𝑎𝑟𝑎
𝑝𝑡𝑒𝑐ℎ𝑜 = 968.82 ∙ 0.85 ∙ (0.8) − 968.82(+0.18) = 484.41 𝑁/𝑚2 →
𝐺𝐶𝑝𝑖 + 𝐺𝐶𝑝𝑖 − 𝐺𝐶𝑝𝑖 + 𝐺𝐶𝑝𝑖 − 𝐺𝐶𝑝𝑖 + 𝐺𝐶𝑝𝑖 −
𝐺𝐶𝑝𝑖 +
𝑝𝑎𝑟𝑎
𝑝𝑡𝑒𝑐ℎ𝑜 = 968.82 ∙ 0.85 ∙ (0.8) − 968.82(−0.18) = 833.185 𝑁/𝑚2 →
𝐺𝐶𝑝𝑖 +
𝐺𝐶𝑝𝑖 −
Para el lado de sotavento se tiene: 𝑝 = 𝑞ℎ 𝐺𝐶𝑝 − 𝑞ℎ (±𝐺𝐶𝑝𝑖 ) 𝑝𝑎𝑟𝑎
𝑝𝑝𝑖𝑠𝑜 1 = 968.82 ∙ 0.85 ∙ (−0.5) − 968.82(+0.18) = −586.136 𝑁/𝑚2 →
𝑝𝑎𝑟𝑎
𝑝𝑝𝑖𝑠𝑜 1 = 968.82 ∙ 0.85 ∙ (−0.5) − 968.82(−0.18) = −237.361 𝑁/𝑚2 →
𝑝𝑎𝑟𝑎
𝑝𝑝𝑖𝑠𝑜 2 = 968.82 ∙ 0.85 ∙ (−0.5) − 968.82(+0.18) = −586.136 𝑁/𝑚2 →
𝑝𝑎𝑟𝑎
𝑝𝑝𝑖𝑠𝑜 2 = 968.82 ∙ 0.85 ∙ (−0.5) − 968.82(−0.18) = −237.361 𝑁/𝑚2 →
𝑝𝑎𝑟𝑎
𝑝𝑝𝑖𝑠𝑜 3 = 968.82 ∙ 0.85 ∙ (−0.5) − 968.82(+0.18) = −586.136 𝑁/𝑚2 →
𝑝𝑎𝑟𝑎
𝑝𝑝𝑖𝑠𝑜 3 = 968.82 ∙ 0.85 ∙ (−0.5) − 968.82(−0.18) = −237.361 𝑁/𝑚2 →
𝑝𝑎𝑟𝑎
𝑝𝑝𝑖𝑠𝑜 4 = 968.82 ∙ 0.85 ∙ (−0.5) − 968.82(+0.18) = −586.136 𝑁/𝑚2 →
𝑝𝑎𝑟𝑎
𝑝𝑝𝑖𝑠𝑜 4 = 968.82 ∙ 0.85 ∙ (−0.5) − 968.82(−0.18) = −237.361 𝑁/𝑚2 →
𝑝𝑎𝑟𝑎
𝑝𝑡𝑒𝑐ℎ𝑜 = 968.82 ∙ 0.85 ∙ (−0.5) − 968.82(+0.18) = −586.136 𝑁/𝑚2 →
𝑝𝑎𝑟𝑎
𝑝𝑡𝑒𝑐ℎ𝑜 = 968.82 ∙ 0.85 ∙ (−0.5) − 968.82(−0.18) = −237.361 𝑁/𝑚2 →
𝐺𝐶𝑝𝑖 + 𝐺𝐶𝑝𝑖 − 𝐺𝐶𝑝𝑖 + 𝐺𝐶𝑝𝑖 − 𝐺𝐶𝑝𝑖 + 𝐺𝐶𝑝𝑖 − 𝐺𝐶𝑝𝑖 + 𝐺𝐶𝑝𝑖 − 𝐺𝐶𝑝𝑖 + 𝐺𝐶𝑝𝑖 −
Paso 12: Calcular la presión de diseño de viento, 𝑃 𝑃 = 𝑃𝑏𝑎𝑟𝑙𝑜𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 + 𝑃𝑠𝑜𝑡𝑎𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑃𝑝𝑖𝑠𝑜 1 = 322.869 + 586.136 = 909.005 𝑁/𝑚2 copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO 𝑃𝑝𝑖𝑠𝑜 2 = 381.506 + 586.136 = 967.642 𝑁/𝑚2 𝑃𝑝𝑖𝑠𝑜 3 = 423.475 + 586.136 = 1009.611 𝑁/𝑚2 𝑃𝑝𝑖𝑠𝑜 4 = 456.816 + 586.136 = 1042.952 𝑁/𝑚2 𝑃𝑡𝑒𝑐ℎ𝑜 = 484.41 + 586.136 = 1070.546 𝑁/𝑚2
Paso 13: Calcular la fuerza de diseño de viento total, 𝐹 𝐹 = 𝑃𝐴𝑇 𝑃𝑝𝑖𝑠𝑜 1 = 909.005 ∙ 7.2 ∙ 5.25 = 34360.389 𝑁 𝑃𝑝𝑖𝑠𝑜 2 = 967.642 ∙ 7.2 ∙ 3.5 = 24384.578 𝑁 𝑃𝑝𝑖𝑠𝑜 3 = 1009.611 ∙ 7.2 ∙ 3.5 = 25442.197 𝑁 𝑃𝑝𝑖𝑠𝑜 4 = 1042.952 ∙ 7.2 ∙ 3.5 = 26282.3904 𝑁 𝑃𝑡𝑒𝑐ℎ𝑜 = 1070.546 ∙ 7.2 ∙ 1.75 = 13488.880 𝑁 2.6) CARGA DE NIEVE, 𝑺 Es la carga ocasionada por la acumulación de nieve en techos, es influenciado por los factores climáticos, la geometría del techo y la exposición del techo al viento. Una pulgada de nieve equivale aproximadamente a 24.525 𝑁/𝑚2 , pero puede ser mayor en elevaciones menores, donde la nieve es más densa. Para diseñar techos se usa cargas de nieve de 490.5 a 1962 𝑁/𝑚2 , la magnitud depende principalmente de la pendiente del techo y en menor grado de su tipo de superficie. Los valores mayores se usan para techos horizontales y los menores para techos inclinados. La nieve tiende a resbalar en los techos con pendiente, sobre todo en aquellos con superficies de metal o de pizarra. Una carga de aproximadamente 98.1 𝑁/𝑚2, podría usarse para pendientes de 45º y una de 392.4 𝑁/𝑚2 para techos a nivel. Para estudiar la carga de nieve se seguirá el código ASCE 7-0537. 2.6.1) CARGA DE NIEVE EN EL SUELO, 𝒑𝒈 Esta carga es usada en la determinación de la carga de nieve de diseño. La carga de diseño de la nieve para una estructura se basa en la carga de la nieve sobre el suelo, la determinación se obtiene de la localización geográfica, de códigos de construcción o de datos meteorológicos de la región en estudio. La determinación de la carga de nieve en el suelo de cualquier sitio deberá basarse en un análisis estadístico de valores extremos con una probabilidad de excedencia del 2%. Debido a que en nuestro medio no contamos con regiones meteorológicos, la carga de nieve puede tomarse conservadoramente mayor o igual al valor mínimo de 490.5 𝑁/𝑚2. 2.6.2) CARGA DE NIEVE EN TECHOS PLANOS, 𝒑𝒇 Una vez que se ha establecido la carga de nieve sobre el suelo, se determina la carga de diseño de la nieve para el techo de la estructura considerando factores como la exposición de la
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(ASCE STANDARD [ASCE/SEI 7-05], 2006, pág. 81) copyright©rcolquea
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estructura al viento, características térmicas, geométricas y funcionales. En la mayor parte de los casos, se tiene menos nieve sobre los tejados que sobre el suelo. La norma ASCE 7-05 recomienda que la carga de nieve, 𝑝𝑓 en techos con pendientes menores a 5º deberá calcularse en 𝑁/𝑚2 utilizando la siguiente ecuación: 𝑝𝑓 = 0.7𝐶𝑒 𝐶𝑡 𝐼𝑝𝑔 El valor de 𝑝𝑓 debe ser mayor o igual que los siguientes valores mínimos de techos de pendiente baja: Cuando 𝑝𝑔 ≤ 0.96 𝑘𝑁/𝑚2 , usar: 𝑝𝑓 = 𝐼𝑝𝑔 Cuando 𝑝𝑔 > 0.96 𝑘𝑁/𝑚2 , usar: 𝑝𝑓 = 0.96𝐼 Donde: 𝑝𝑓 : Carga de nieve en techos planos, en 𝑁/𝑚2 𝑝𝑔 : Carga de nieve en el suelo, en 𝑁/𝑚2 𝐶𝑒 : Factor de exposición, se determina según la tabla 2.15. 𝐶𝑡 : Factor térmico, se determina según la tabla 2.16. 𝐼: Factor de importancia, se determina según la tabla 2.17. 2.6.2.1) VALORES MÍNIMOS DE 𝒑𝒇 EN TECHOS DE PENDIENTE BAJA El mínimo valor de 𝑝𝑓 a aplicarse en: 1. Techos de pendiente única con pendientes < a 15º. 21.3 2. Techos con dos y cuatro aguas con pendientes ≤ a 2.38 y 𝑊 + 0.5 con 𝑊 en metros, en techos curvos donde el ángulo vertical del alero a la corona es menor a 10º; 𝑊 es la distancia horizontal del alero a la cumbrera, en metros. 2.6.2.2) FACTOR DE EXPOSICIÓN, 𝑪𝒆 Los factores de exposición se tratan en dos escalas. 1. En la ecuación de carga de nieve en techos planos, el factor numérico 0.7, denota un factor de exposición básico, que considera reducción de carga por viento, es decir que toma en cuenta el efecto general del viento, el cual es probable que sople algo de nieve hacia fuera de los tejados. 2. El efecto local del viento, el cual depende del tipo de terreno en particular se refiere al terreno que circunda la estructura y la exposición de la cubierta, es tomado en consideración por medio del factor de exposición 𝐶𝑒 se debe obtener de la tabla 2.15.
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HORMIGÓN ARMADO Tabla 2-15 Factor de exposición, 𝑪𝒆 38 Exposición del techo Categoría de terreno
Totalmente expuesto
Parcialmente expuesto
Protegida
B (ver sección de categorías de exposición) 0,9 1,00 1,20 C (ver sección de categorías de exposición) 0,9 1,00 1,10 D (ver sección de categorías de exposición) 0,8 0,9 1,0 Encima de la línea de arboles, en áreas montañosas 0,7 0,8 N/A Áreas donde no existe arboles en un radio de 3 km 0,70 0,8 N/A La categoría de terreno y las condiciones de esposición de la cubierta elegidas deben ser representativa de las condiciones previstas durante la vida de la estructura. Se debe determinar un factor de exposición para cada techo de una estructura. Definiciones: Cubiertas parcialmente expuestas; son todos los techos excepto las que se indican a continuación: Cubiertas totalmente expuestas; son los techos expuestos en todos sus lados sin la protección (**) aportada por el terreno, por estructuras más altas o por árboles. Los techos que contienen varias piezas grandes de equipo mecánico, parapetos que se extienden por encima de la altura de la carga balanceada de nieve ℎ𝑏 , u otras obstrucciones, no se incluyen en esta categoría. Cubiertas protegidas; son los techos ubicados muy cerca o entre los árboles tipo coníferas que califican como obstrucciones. (**)Las obstrucciones, comprendidas en una distancia de 10ℎ𝑜 brindan protección, siendo ℎ𝑜 la altura de la obstrucción por encima del nivel del techo. Si las únicas obstrucciones son unos pocos árboles de hojas caducas que están sin hojas en invierno, se deberá utilizar la categoría “techo totalmente expuesto”, excepto para terreno de categoría “A”. Se hace notar que éstas son alturas por encima de la cubierta. Las alturas utilizadas para establecer las categorías de terreno en el apéndice A son alturas por encima del suelo. N/A no aplicable.
2.6.2.3) FACTOR TÉRMICO, 𝑪𝒕 Con el factor térmico, 𝐶𝑡 , se toma en cuenta el hecho de que habrá más nieve sobre las cubiertas de estructuras no calientes que en las que lo están. El valor de 𝐶𝑡 se determina de acuerdo a la tabla 2.16.
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(ASCE STANDARD [ASCE/SEI 7-05], 2006, pág. 92) copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO Tabla 2-16 Factor de exposición, 𝑪𝒆 39
Condición térmica𝑎 Todas las estructuras excepto las que se indican a continuación Estructuras mantenidas justo por encima del congelamiento y otras con cubiertas frías ventiladas en las cuales la resistencia térmica, R, entre el espacio ventilado y el espacio calefaccionado sea > 4,4 Kxm2/W (Kelvin metro cuadrado por watt) Estructuras no calefaccionadas y estructuras intencionalmente mantenidas bajo el punto de congelamiento Invernaderos contimuamente calefaccionados 𝑏 con una cubierta con resistencia térmica, R<0,4 Kxm2/W (Kelvin metro cuadrado por watt)
𝐶𝑡 1 1,1
1,20 0,85
Notas: a
Estas condiciones deben ser representativas de aquellas condiciones previstas para los inviernos durante la vida de la estructura. b
Los invernaderos continuamente calefaccionados son aquellos con una temperatura interior constantemente mantenida de 10ºC o más, en cualquier punto a 1 𝑚 sobre el nivel de piso durante los inviernos y que tengan un asistente de mantenimiento constante, o un sistema de alarma de temperaturas para avisar en caso de falla de la calefacción.
El factor térmico, 𝐶𝑡 , especificado en la tabla 2.16 determina si una cubierta es fría o cálida. Los valores para superficies lisas se deben utilizar solamente en la superficie de la cubierta que no tiene obstrucciones y cuando debajo de los aleros se disponga del espacio suficiente para contener toda la nieve que se desliza fuera de ellos. Se considera que una cubierta no tiene obstrucciones cuando no existen objetos sobre su superficie que impidan el deslizamiento de la nieve que se acumula sobre ella. Las superficies lisas incluyen metal, pizarra, vidrio y en aquellas membranas bituminosas, de goma y plásticos con una superficie suave. Las membranas con una capa de agregado o superficie granular mineral no se deben considerar suaves. Así mismo, las tejas de asfalto, listones y tejas de madera no se deben considerar lisas. 2.6.2.4) FACTOR DE IMPORTANCIA, 𝑰 Con el factor de importancia, 𝐼, se considera la vida humana y el daño a la propiedad, en el caso de falla de la estructura. Los valores de 𝐼 que deben usarse se obtendrán de la tabla 2.17. Tabla 2-17 Factor de importancia, 𝑰 (Carga de nieve)40
Categoría I II III IV
𝐼
0,80 1,00 1,10 1,20
2.6.3) CARGAS DE NIEVE SOBRE CUBIERTAS EN PENDIENTE, 𝒑𝒔 Las cargas de nieve que actúan sobre una superficie con pendiente se realizan sobre la proyección horizontal de esa superficie. La carga de nieve sobre una cubierta con pendiente, 𝑝𝑠 ,
39 40
(ASCE STANDARD [ASCE/SEI 7-05], 2006, pág. 93) (ASCE STANDARD [ASCE/SEI 7-05], 2006, pág. 93) copyright©rcolquea
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se obtiene multiplicando la carga de nieve sobre la cubierta plana, 𝑝𝑓 , por el factor de pendiente de la cubierta, 𝐶𝑠 : 𝑝𝑠 = 𝐶𝑠 𝑝𝑓 Los valores de 𝐶𝑠 en cubiertas cálidas como en cubiertas frías, están determinados de la siguiente manera: 2.6.3.1) FACTOR DE PENDIENTE EN CUBIERTAS CÁLIDAS, 𝑪𝒔 Las cubiertas cálidas son aquellas que tienen un factor térmico, 𝐶𝑡 ≤ 1.0 1. En superficies lisas, sin obstrucciones; que permitan el deslizamiento de la nieve fuera de los aleros, el factor de pendiente de cubierta, 𝐶𝑠 , se debe determinar mediante: 1.0 𝑝𝑎𝑟𝑎 0º ≤ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 < 5º 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 − 5º 𝐶𝑠 = {1.0 − 𝑝𝑎𝑟𝑎 5º ≤ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 ≤ 70º 65º 0.0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 > 70º En cubiertas no ventiladas, la resistencia térmica, 𝑅 será ≥ 5.3º𝐶𝑥𝑚2/𝑊. En cambio, las cubiertas cálidas ventiladas, presentan una resistencia térmica 𝑅 ≥ 3.5º𝐶𝑥𝑚2/𝑊. Una cubierta cálida se considera ventilada cuando el aire exterior puede circular libremente bajo ella, desde sus aleros hasta la cumbrera. 2. Todas las superficies que no verifiquen las condiciones establecidas; el factor de pendiente de cubierta, 𝐶𝑠 , se deberá determinar mediante: 1.0 𝑝𝑎𝑟𝑎 0º ≤ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 < 30º 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 − 30º 𝐶𝑠 = {1.0 − 𝑝𝑎𝑟𝑎 30º ≤ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 ≤ 70º 40º 0.0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 > 70º 2.6.3.2) FACTOR DE PENDIENTE EN CUBIERTAS FRÍAS, 𝑪𝒔 Las cubiertas frías son aquellas con un coeficiente térmico 𝐶𝑡 > 1.0 En cubiertas frías con un coeficiente 𝐶𝑡 = 1.1 1. Superficies lisas, sin obstrucciones; que permita el deslizamiento de la nieve fuera de los aleros, el factor de pendiente de cubierta, 𝐶𝑠 , se debe determinar utilizando: 1.0 𝑝𝑎𝑟𝑎 0º ≤ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 < 10º 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 − 10º 𝐶𝑠 = {1.0 − 𝑝𝑎𝑟𝑎 10º ≤ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 ≤ 70º 60º 0.0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 > 70º 2. Sobre todas las otras cubiertas frías; con un coeficiente 𝐶𝑡 = 1.1, el factor de pendiente de cubierta, 𝐶𝑠 , se debe determinar utilizando: 1.0 𝑝𝑎𝑟𝑎 0º ≤ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 < 37.5º 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 − 37.5º 𝐶𝑠 = {1.0 − 𝑝𝑎𝑟𝑎 37.5º ≤ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 ≤ 70º 32.5º 0.0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 > 70º En cubiertas frías con un coeficiente 𝐶𝑡 = 1.2 1. Superficies lisas, sin obstrucciones; que permita el deslizamiento de la nieve fuera de los aleros, el factor de pendiente de cubierta, 𝐶𝑠 , se debe determinar utilizando: copyright©rcolquea
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1.0 𝑝𝑎𝑟𝑎 0º ≤ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 < 15º 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 − 15º 𝐶𝑠 = {1.0 − 𝑝𝑎𝑟𝑎 15º ≤ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 ≤ 70º 55º 0.0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 > 70º 2. Sobre todas las otras cubiertas frías; con un coeficiente 𝐶𝑡 = 1.2, el factor de pendiente de cubierta, 𝐶𝑠 , se debe determinar utilizando: 1.0 𝑝𝑎𝑟𝑎 0º ≤ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 < 45º 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 − 45º 𝐶𝑠 = {1.0 − 𝑝𝑎𝑟𝑎 45º ≤ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 ≤ 70º 25º 0.0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 > 70º Estos factores de pendiente se basan en las consideraciones de que es más probable que la nieve resbale hasta caer de los techos empinados, en comparación con los poco profundos, y que es más probable que se funda más nieve y resbale de los tejados de las estructuras calentadas que de las que no lo están. Ejemplo 2.5 Determinar la carga de diseño de la nieve para la cubierta de armazón de dos aguas de edificio de escuela primaria, mostrado en la figura, la carga de nieve a nivel del terreno es de 1.23 𝑘𝑁/𝑚2, el terreno presenta varios árboles dispersos.
Figura 2.20 – Estructura con carga de nieve
Datos: 𝐶𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑧𝑜𝑛𝑎: 𝑈𝑏𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛: 𝐸𝑙 𝑎𝑙𝑡𝑜, 𝑜𝑐𝑢𝑝𝑎𝑐𝑖ó𝑛: 𝑒𝑠𝑐𝑢𝑒𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑘𝑁 𝑅𝑢𝑔𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑟𝑒𝑛𝑜: á𝑟𝑏𝑜𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑠, 𝑝𝑔 : 1.23 2 , 𝑐𝑢𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑎𝑔𝑢𝑎𝑠 𝑚
𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: 𝐿 = 12 𝑚, ℎ𝑡 = 1.1 𝑚, ℎ1 = 4.5 𝑚 𝑐𝑒𝑟𝑐ℎ𝑎 𝑒𝑛 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑁 − 𝑆, 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑀𝑊𝐹𝑅𝑆´𝑠 Solución: Paso 1: Determinar la categoría de ocupación Según la tabla 2.10 la ocupación es de: categoría III.
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Paso 2: Determinar la exposición de la estructura Al ubicarse en un área con obstrucciones dispersas la rugosidad superficial del terreno es: rugosidad superficial B. La categoría de exposición es: exposición C. Paso 3: Determinar la exposición del techo Los árboles dispersos proporcionan una exposición del tipo: parcialmente expuesto Paso 4: Determinar el factor de exposición, 𝐶𝑒 Según la tabla 2.15 con la categoría de terreno C y exposición del techo como parcialmete expuesto se encuentra: 𝐶𝑒 = 1.0 Paso 5: Determinar el factor térmico, 𝐶𝑡 La estructura es calentada, según la tabla 2.16 el factor térmico resulta ser: 𝐶𝑡 = 1.0 Paso 6: Determinar el factor de importancia, 𝐼. Según la tabla 2.17 puede verse que el factor de importancia para cargas de nieve en escuelas primarias, con categoría de ocupación III, es: 𝐼 = 1.1 Paso 7: Determinar la carga de nieve sobre el techo plano, 𝑝𝑓 La carga de nieve sobre techo plano, se calcula aplicando la siguiente ecuación: 𝑝𝑓 = 0.7𝐶𝑒 𝐶𝑡 𝐼𝑝𝑔 = 0.7 ∙ 1.0 ∙ 1.0 ∙ 1.1 ∙ 1.23 = 0.947 𝑘𝑁/𝑚2 Verificación de la carga de nieve mínima en techos planos Como la pendiente de 𝜃 = 10º es menor que 𝜃 = 15º, resulta la necesidad del cálculo del valor mínimo de la carga de nieve. 𝑘𝑁
Como 𝑝𝑔 = 1.23 𝑚2 > 0.96 𝑘𝑁/𝑚2 entonces: 𝑘𝑁 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 𝑚2 La carga de nieve de diseño en techos planos resulta ser el mayor de las dos cargas: 𝑘𝑁 𝑃𝑓(𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑜) = 1.056 2 𝑚 𝑃𝑓,𝑚𝑖𝑛 = 0.96𝐼 = 0.96 ∙ 1.1 = 1.056
Paso 8: Determinar el factor de pendiente, 𝐶𝑠 El factor de pendiente en cubiertas cálidas con pendiente comprendida entre 0º < 𝜃 = 10º < 30º es: 𝐶𝑠 = 1.0 Paso 9: Determinar la carga de nieve de diseño en la cubierta inclinada 𝑘𝑁 𝑝𝑠 = 𝐶𝑠 𝑃𝑓(𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑜) = 1.0 ∙ 1.056 = 1.056 2 𝑚 La figura 2.18 muestra la aplicación de la carga de nieve sobre la cubierta. copyright©rcolquea
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Figura 2.21 – Distribución de la carga de diseño debido a la nieve
2.7) CARGA DE LLUVIA Aunque las cargas de nieve son un problema más severo que las cargas pluviales en los techos comunes, la situación puede invertirse en los techos horizontales, especialmente aquellos localizados en lugares con clima cálido. Si el agua en un techo sin pendiente se acumula más rápidamente que lo que tarde en escurrir, el resultado se denomina encharcamiento; la carga aumentada causa que el techo se flexione en forma de plato hondo, que entonces puede contener más agua, lo que a su vez causa mayores deflexiones, etc. Este proceso continua hasta que se alcanza el equilibrio o el colapso de la estructura. El encharcamiento es un problema muy serio, como lo atestigua el gran número de fallas que ocurren en techos horizontales debido al encharcamiento. Se afirma que casi el 50% de las demandas contra los constructores de edificios, tienen que ver con los sistemas de techo. El encharcamiento es uno de los temas principales en tales litigios41. 2.8) CARGAS SÍSMICAS Muchas zonas del mundo están en “territorio sísmico” y en tales zonas es necesario considerar fuerzas sísmicas en el diseño de todos los tipos de estructuras. A través de los siglos ha habido fallas catastróficas en edificios, puentes y otras estructuras durante los sismos. Se ha estimado que alrededor de 50000 personas perdieron la vida en el sismo de 1988 en Armenia. Los sismos de Loma Prieta en 1989 y de Northridge en 1994 en California, causaron miles de millones de dólares en pérdidas por daño a las propiedades, así como una considerable pérdida de vidas. El sismo de 2008 en la provincia de Sichuan, China, causó 69000 muertes y otros 18000 desaparecidos. Los terremotos recientes han demostrado claramente que el edificio o puente promedio que no ha sido diseñado para resistir fuerzas sísmicas puede ser destruido por un terremoto que no sea particularmente severo. La mayoría de las estructuras pueden diseñarse y construirse económicamente para resistir las fuerzas generadas durante la mayoría de los terremotos. Por otra parte, el costo de proporcionar resistencia sísmica a estructuras existentes (llamado remodelación) puede ser extremadamente alto. Algunos ingenieros estiman que las cargas sísmicas que se consideran en el diseño son meramente incrementos porcentuales de las cargas de viento. Sin embargo, esta suposición es 41
(McCormac C., 2011, pág. 31) copyright©rcolquea
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incorrecta, ya que las cargas sísmicas son diferentes en su acción y no son proporcionales al área expuesta del edificio, sino más bien proporcional a la distribución de la masa del edificio sobre el nivel considerado. Otro factor a ser considerado en el diseño sísmico es la condición del suelo. Casi todo el daño estructural y pérdida de vidas en el terremoto de Loma Prieta ocurrieron en áreas con suelo de arcilla suave. Parece ser que esos suelos amplificaron los movimientos de la roca subyacente. Debe entenderse claramente que los terremotos afectan a las estructuras de manera indirecta. El suelo se desplaza y como las estructuras están conectadas a éste, también se desplazan y vibran. Como consecuencia, diversas deformaciones y esfuerzos son causados en toda la estructura. De la información anterior se puede entender que los sismos no producen ninguna fuerza externa en las estructuras sobre el nivel del suelo. Los procedimientos para estimar las fuerzas sísmicas, tales como los presentados en el capítulo 12 de ASCE 7-05, son muy complicados. Como consecuencia, por lo general se estudian en los cursos de análisis estructural avanzado, tales como dinámica estructural o diseño para resistencia sísmica42. 2.9) FACTORES DE CARGA Los factores de carga son números, casi siempre mayores que 1.0, que se usan para aumentar las cargas estimadas aplicadas a las estructuras. Se usan para cargas aplicadas a todos los tipos de miembros, no solamente vigas y losas. Las cargas se aumentan para considerar las incertidumbres involucradas el estimar sus magnitudes. ¿Con qué precisión puede estimar las mayores cargas eólicas o sísmicas que alguna vez se aplicarán al edificio que ahora ocupa usted?¿Cuál es el grado de incertidumbre que está presente en su respuesta?. Usted debe observar que los factores de carga para cargas muertas son mucho más pequeños que los usados para cargas vivas y ambientales. Obviamente, la razón es que podemos estimar las magnitudes de las cargas muertas más exactamente que las magnitudes de las otras cargas. En este aspecto, usted notará que las magnitudes de las cargas que permanecen en su lugar por largos periodos son mucho menos variables que las cargas aplicadas por periodos breves tales como el viento y la nieve43. La sección de la ACI 9.2 presenta los factores de carga y las combinaciones que se deben usar para el diseño de concreto reforzado. La resistencia requerida 𝑈, o la capacidad de carga de un miembro específico de concreto reforzado, deben ser igual cuando menos al valor más grande obtenido al sustituir valores en las ecuaciones 9-1 a 9-7 del ACI. 𝑈 = 1.4𝐷
(𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝐴𝐶𝐼 9 − 1)
𝑈 = 1.2𝐷 + 1.6𝐿 + 0.5(𝐿𝑟 𝑜 𝑆 𝑜 𝑅) (𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝐴𝐶𝐼 9 − 2) 𝑈 = 1.2𝐷 + 1.6(𝐿𝑟 𝑜 𝑆 𝑜 𝑅) + (1.0𝐿 𝑜 0.5𝑊) (𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝐴𝐶𝐼 9 − 3) 𝑈 = 1.2𝐷 + 1.0𝑊 + 1.0𝐿 + 0.5(𝐿𝑟 𝑜 𝑆 𝑜 𝑅)
(𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝐴𝐶𝐼 9 − 4)
𝑈 = 1.2𝐷 + 1.0𝐸 + 1.0𝐿 + 0.2𝑆 (𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝐴𝐶𝐼 9 − 5) 𝑈 = 0.9𝐷 + 1.0𝑊 (𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝐴𝐶𝐼 9 − 6) 𝑈 = 0.9𝐷 + 1.0𝐸
(𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝐴𝐶𝐼 9 − 7)
Donde: 42 43
(McCormac C., 2011, pág. 32) (McCormac C., 2011, pág. 79) copyright©rcolquea
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𝑈: Carga de diseño o última que la estructura necesita poder resistir. 𝐷: Carga muerta.} 𝐿: Carga viva. 𝐿𝑟 : Carga viva de techo. 𝑆: Carga de nieve. 𝑅: Carga pluvial. 𝑊: Carga eólica. 𝐸: Efectos sísmicos o de carga de terremoto. Cuando sea necesario considerar los efectos de impacto, deberán incluirse con las cargas vivas según la sección de la ACI 9.2.2. Tales situaciones ocurren cuando esas cargas se aplican rápidamente, tal como los garajes de estacionamiento, elevadores, muelles de carga y otros. Las combinaciones de carga presentadas en las ecuaciones 9-6 y 9-7 del ACI contienen un valor de 0.9𝐷. Este factor 0.9 considera los casos en donde las cargas muertas mayores tienden a reducir los efectos de otras cargas. Un ejemplo obvio de tal situación puede ocurrir en edificios altos que están sujetos a viento lateral y a fuerzas sísmicas donde el volteo puede ser una posibilidad. Como consecuencia, las cargas muertas se reducen aproximadamente 10% para tener en cuenta situaciones donde pudieron haber sido sobreestimadas. El lector debe darse cuenta que los tamaños de los factores de carga no varían en proporción a la importancia de la falla. Usted puede pensar que deberían usarse factores de carga mayores para hospitales o edificios altos que para establos de ganado, pero ése no es el caso. Los factores de carga se desarrollaron con la hipótesis de que los proyectistas considerarían la seriedad de una posible falla al especificar la magnitud de sus cargas de servicio. Además, los factores de carga de la ACI son valores mínimos y los proyectistas tienen toda la libertad de usar factores mayores si así lo desean. Sin embargo, la magnitud de las cargas eólicas y las cargas sísmicas, reflejan la importancia de la estructura. Por ejemplo, según la ASCE 7-05 un hospital debe diseñarse para una carga de terremoto 50% mayor que para un edificio comparable con menos consecuencias serias de falla. Para algunas situaciones especiales, la sección de la ACI 9.2 permite reducciones en los factores de carga especificados. Estas situaciones son los siguientes: En las ecuaciones 9-3 a 9-5 del ACI el factor usado para las cargas vivas se puede reducir a 0.5, excepto para los garajes, para las áreas destinadas a asambleas públicas y todas las áreas donde las cargas vivas exceden de 4.79 𝑘𝑁/𝑚2. Cuando W corresponda a cargas de viento a nivel de servicio, debe utilizarse 1.6W en vez de 1.0W en las ecuaciones 9-4 y 9-6 y 0.8W en lugar de 0.5W en la ecuación 9-3. Frecuentemente, los códigos de construcciones y las referencias de carga de diseño convierten las cargas sísmicas a valores de nivel de resistencia (es decir, efectivamente ya se han multiplicado por un factor de carga). Ésta es la situación supuesta en las ecuaciones 9-5 y 9-7 del ACI. Sin embargo, si se especifican fuerzas sísmicas como cargas de servicio, será necesario usar 1.4E en estas dos ecuaciones. El ejemplo 2.6 presenta el cálculo de cargas factorizadas para una columna de concreto reforzado usando las combinaciones de carga del ACI. El valor más grande obtenido se llama combinación de carga crítica o gobernante y es el valor que debe usarse en diseño. Observe que los valores de las cargas eólicas y sísmicas pueden ser diferentes, dependiendo de la dirección de esas fuerzas y puede ser posible que el signo de esas cargas sea diferente (es decir, compresión o tracción).
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Ejemplo 2.6 Las cargas axiales de compresión por gravedad para una columna de edificio se han estimado con los siguientes resultados: 𝐷 = 667.23 𝑘𝑁, carga viva de techo 𝐿𝑟 = 266.893 𝑘𝑁 y cargas vivas de pisos 𝐿 = 1334.466 𝑘𝑁. Viento a compresión 𝑊 = 311.376 𝑘𝑁, viento a tracción 𝑊 = 266.893 𝑘𝑁, carga sísmica de compresión 𝐸 = 222.411 𝑘𝑁, carga sísmica de tracción 𝐸 = 177.929 𝑘𝑁. Determine la carga crítica de diseño usando las combinaciones de carga del ACI. Solución: (9-1) 𝑈 = 1.4(667.23) = 934.122 𝑘𝑁 (9-2) 𝑈 = 1.2(667.23) + 1.6(1334.466) + 0.5(266.893) = 3069.269 𝑘𝑁 (9-3a) 𝑈 = 1.2(667.23) + 1.6(266.893) + 1.0(1334.466) = 2562.171 𝑘𝑁 (9-3b) 𝑈 = 1.2(667.23) + 1.6(266.893) + 0.5(311.376) = 1383.393 𝑘𝑁 (9-3c) 𝑈 = 1.2(667.23) + 1.6(266.893) + 0.5(−266.893) = 1094.258 𝑘𝑁 (9-4a) 𝑈 = 1.2(667.23) + 1.0(311.376) + 1.0(1334.466) + 0.5(266.893) = 2579.964𝑘𝑁 (9-4b) 𝑈 = 1.2(667.23) + 1.0(−266.893) + 1.0(1334.466) + 0.5(266.893) = 2001.69𝑘𝑁 (9-5a) 𝑈 = 1.2(667.23) + 1.0(222.411) + 1.0(1334.466) + 0.2(0) = 2357.553 𝑘𝑁 (9-5b) 𝑈 = 1.2(667.23) + 1.0(−177.929) + 1.0(1334.466) + 0.2(0) = 1957.213 𝑘𝑁 (9-6a) 𝑈 = 0.9(667.23) + 1.0(311.376) = 911.883 𝑘𝑁 (9-6b) 𝑈 = 0.9(667.23) + 1.0(−266.893) = 333.614 𝑘𝑁 (9-7a) 𝑈 = 0.9(667.23) + 1.0(222.411) = 822.918 𝑘𝑁 (9-7b) 𝑈 = 0.9(667.23) + 1.0(−177.929) = 422.578 𝑘𝑁 El valor máximo que gobierna es la combinación 9-2=3069.269 𝑘𝑁. Observe que el volteo no es un problema. Para la mayor parte de los problemas de ejemplo presentados en este documento, en el interés de reducir el volumen de los cálculos, sólo se especifican cargas muertas y vivas. Como consecuencia, la única combinación de factores de carga usualmente aplicada en este punto es la presentada por la ecuación 9-2 del ACI. Ocasionalmente, cuando la carga muerta es muy grande comparada con la carga viva, también es necesario considerar la ecuación 9-1. 2.10) ANALISIS ESTRUCTURAL Sin importar el método de diseño que se utilice, la determinación de las solicitaciones en los elementos se realiza asumiendo un comportamiento lineal y elástico de la estructura hasta su carga última. El diseño final de los elementos estructurales en un edificio de pórticos o estructuras continuas está basado en la determinación del máximo momento, corte, carga axial, torsión y/o otros efectos de carga. El efecto de continuidad de los elementos que conforman una estructura de hormigón armado se debe a que el hormigón se vacía en una sola operación dando como resultado unidades monolíticas, en estas la carga de una sola luz se transmite hacia los demás elementos adyacentes, como el caso de una viga continua, como resultado de la aplicación de la carga, todos los elementos de la estructura continua quedan sometidos a una curvatura, y por tanto, también a momento flector. copyright©rcolquea
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En general, se pueden utilizar los métodos clásicos de resolución de estructuras, el método aproximado o métodos más modernos como el análisis matricial y los elementos finitos. Debido a que las losas continuas, las vigas continuas y los pórticos son estructuras estáticamente indeterminadas o también llamadas hiperestáticas. Existen más de dos procedimientos para el cálculo de los momentos y cortantes para el análisis estructural, pero mostraremos las dos más conocidas: Análisis elástico. Análisis aproximado. 2.10.1) ANÁLISIS ELÁSTICO Es un método de análisis analítico de elementos de pórticos, y estructuras continuas y no continuas, para la determinación de la resistencia (momentos, cortantes, normales y reacciones) y las deformaciones de las estructuras sometidas a varios tipos de cargas. En la figura 2.22 se muestran las ecuaciones y las condiciones para la determinación de esfuerzos internos (momentos, cortantes y normales) bajo condiciones de carga diversas. Entre los diversos métodos para el análisis elástico de vigas y pórticos continuos, como el teorema de los tres momentos, distribución de momentos, el segundo teorema de castigliano, etc., Sólo resultan útiles para el análisis de vigas con pocas luces o pórticos simples. Para los casos más complicados que generalmente son muy complicados, los respectivos métodos resultan excesivamente tediosos y se prefieren otras alternativas y se prefieren otras alternativas. Actualmente, con la amplia disponibilidad de computadoras, los métodos manuales han sido reemplazados por análisis matriciales, que ofrecen soluciones rápidas con un alto grado de precisión. Hoy en día existe una infinidad de programas disponibles para el análisis y diseño estructural, entre las más conocidas está el SAP 2000, Etabs 2013, Safe, etc., que dependen del CSI, Robot Milenium, Revit, que dependen de AUTODESK, y el programa que genera planos constructivos con gran precisión, el programa denominado CYPECAD. Algunas estructuras especiales requieren análisis especial y para tales situaciones se recomienda utilizar CATIA, los programas mencionados se basan en el método de los elementos finitos y pueden seguir un análisis lineal y no lineal. Para el análisis de elementos estructurales y aplicar el método de bielas y tirantes, es necesario un programa que modele la estructura en 3D dimensiones.
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Figura 2.22 – Diagramas y ecuaciones de momentos y cortantes en vigas
2.10.2) ANÁLISIS APROXIMADO Es un método de análisis de elementos de pórticos y estructuras continuas mediante el uso de coeficientes de momento y cortante, al utilizar el método estamos generando la envolvente de momentos y cortantes. La envolvente se define como la suma de todas las combinaciones generadas por la combinación de las cargas, es decir la envolvente transpone los momentos o cortantes generadas por las combinaciones, transpone para poder visualizar los momento máximos. Las formulas y métodos de diseño para la determinación de la resistencia y las deformaciones están basados en la teoría estructural, verificación con pruebas de laboratorio y de campo, así como por observación de estructuras bajo condiciones de servicio, que garantizan que una estructura sometida a las cargas especificadas no sufrirán daños estructurales. El código ACI provee un método de análisis de vigas continuas que se encuentra en la sección de la ACI 8.3.3, y losas en dos direcciones que se encuentra en la sección de la ACI 13.6. copyright©rcolquea
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Cuando las vigas y losas en una dirección forman parte de un pórtico o una construcción continua, la sección de la ACI 8.3.3 provee coeficientes para hallar momentos y fuerzas cortantes aproximados para el análisis de cargas gravitacionales. Los coeficientes aproximados pueden ser utilizados para las condiciones mostradas en la figura 2.23, para aplicar la sección ACI 8.3.3 se debe cumplir con las siguientes condiciones:
Figura 2.23 – Condiciones de análisis por coeficientes (ACI 8.3.3)
1. Exista dos o más vanos. 2. Los tramos sean aproximadamente iguales, sin que el mayor de los tramos adyacentes exceda en más de 20% al menor. 3. Las cargas estén uniformemente distribuidas. 4. La carga viva no mayorada 𝐿 no exceda en 3 veces la carga muerta no mayorada 𝐷. 5. Los elementos tengan una sección transversal uniforme a lo largo del tramo. Para el cálculo de los momentos negativos, se toma como el promedio de las luces libres de los vanos adyacentes. Estos coeficientes se muestran en la figura 2.24. Para el diseño de pequeños edificios arriostrados, el procedimiento de diseño aproximado proporciona resultados aceptables, mientras que para edificios más complejos puede ser utilizado únicamente para el pre dimensionado de sus elementos.
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Figura 2.24 – Coeficientes de momentos y cortantes (ACI 8.3.3)
2.10.3) LUZ DE CÁLCULO Apoyos no monolíticos; la luz de los elementos que no estén construidos monolíticamente con sus apoyos debe considerarse como la luz libre más la altura del elemento, pero no debe exceder la distancia entre los centros de los apoyos. 𝑙𝑐á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 = 𝑙𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 + ℎ 𝑙𝑐á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 ≤ 𝑙𝑒𝑗𝑒𝑠 copyright©rcolquea
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Pórticos y vigas continuas; en el análisis estructural de pórticos o elementos continuos para determinar los momentos, la luz debe considerarse como la distancia entre los centro de los apoyos. 𝑙𝑐á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 = 𝑙𝑒𝑗𝑒𝑠 Losas macizas o nervadas continuas construidas monolíticamente con sus apoyos; con luces libres no mayores de 3 𝑚, sean analizadas como losas continuas sobre apoyos simples, con luces iguales a las luces libres de la losa, despreciando el ancho de las vigas. Y para vigas construidas integralmente con sus apoyos, se permite diseñar usando los momentos en la cara de los apoyos. 𝑙𝑐á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 = 𝑙𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 2.11) EJERCICIOS RESUELTOS Ejemplo 2.7 Determinar los momentos y fuerzas de corte mayorados de las viguetas del sistema de entrepiso nervado del edificio de la figura, utilizando el método de los coeficientes aproximados de momento y corte. Las columnas interiores son de 450𝑥450 𝑚𝑚, las columnas exteriores son de 400𝑥400 𝑚𝑚, el ancho de las vigas es de 400 𝑚𝑚, el espaciamiento entre viguetas es de 600 𝑚𝑚, la carga muerta en el sistema de entrepiso es de 6.38 𝑘𝑁/𝑚2 e incluye el peso propio de los elementos, la carga viva es de 2.94 𝑘𝑁/𝑚2 .
Figura 2.25 – Edificio con sistema de viguetas
Datos: 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑓´𝑐 = 21 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, ℎ𝑜𝑟𝑚𝑖𝑔ó𝑛 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: 𝑐𝑜𝑙. 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠 = 450𝑥450 𝑚𝑚, 𝑐𝑜𝑙. 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠 = 400𝑥400 𝑚𝑚 copyright©rcolquea
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𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑔𝑎 = 𝑏 = 400 𝑚𝑚, 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑣𝑖𝑔𝑢𝑒𝑡𝑎𝑠 = 𝑠 = 600 𝑚𝑚 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠: 𝐿 = 2.94 𝑘𝑁/𝑚2 , 𝐷 = 6.38 𝑘𝑁/𝑚2 Solución: Paso 1: Calcular la carga última sobre la vigueta, 𝑤𝑢 𝑤𝑢 = (1.4𝐷)𝑠 = 1.4 ∙ 6.38 ∙ 0.60 = 5.360 𝑘𝑁/𝑚 𝑘𝑁 𝑤𝑢 = (1.2𝐷 + 1.6𝐿)𝑠 = (1.2 ∙ 6.38 + 1.6 ∙ 2.94)0.6 = 7.416 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 𝑚 Paso 2: Determinar la longitud libre de cada tramo, 𝑙𝑛 Longitud nominal para tramos: 𝑙𝑛𝐴𝐵 = 𝑙𝐴𝐵 − 𝑏 = 9 − 0.4 = 8.6 𝑚 𝑙𝑛𝐶𝐷 = 𝑙𝐶𝐷 − 𝑏 = 9 − 0.4 = 8.6 𝑚
𝑙𝑛𝐵𝐶 = 𝑙𝐵𝐶 − 𝑏 = 9 − 0.4 = 8.6 𝑚
𝑙𝑛𝐷𝐸 = 𝑙𝐷𝐸 − 𝑏 = 9 − 0.4 = 8.6 𝑚
𝑙𝑛𝐸𝐹 = 𝑙𝐸𝐹 − 𝑏 = 8.6 − 0.4 = 8.2 𝑚 Longitud nominal para apoyos:
𝑙𝑛𝐵 𝑙𝑛𝐶 𝑙𝑛𝐷 𝑙𝑛𝐸
𝑙𝑛𝐴 = 𝑙𝑛𝐴𝐵 = 8.6 𝑚 𝑙𝑛𝐴𝐵 + 𝑙𝑛𝐵𝐶 8.6 + 8.6 = = = 8.6 𝑚 2 2 𝑙𝑛𝐵𝐶 + 𝑙𝑛𝐶𝐷 8.6 + 8.6 = = = 8.6 𝑚 2 2 𝑙𝑛𝐶𝐷 + 𝑙𝑛𝐷𝐸 8.6 + 8.6 = = = 8.6 𝑚 2 2 𝑙𝑛𝐷𝐸 + 𝑙𝑛𝐸𝐹 8.6 + 8.2 = = = 8.4 𝑚 2 2 𝑙𝑛𝐹 = 𝑙𝑛𝐸𝐹 = 8.2 𝑚
Paso 3: Determinar la fuerza de corte última mayorada, 𝑉𝑢 𝑤𝑢 𝑙𝑛𝐴 7.416 ∙ 8.6 𝑉𝑢𝐴 = = = 31.89 𝑘𝑁 2 2 1.15𝑤𝑢 𝑙𝑛𝐵 1.15 ∙ 7.416 ∙ 8.6 𝑉𝑢𝐵(𝑖𝑧𝑞) = = = 36.672 𝑘𝑁 2 2 𝑤𝑢 𝑙𝑛𝐵 7.416 ∙ 8.6 𝑉𝑢𝐵(𝑑𝑒𝑟) = = = 31.89 𝑘𝑁 2 2 𝑤𝑢 𝑙𝑛𝐶 7.416 ∙ 8.6 𝑉𝑢𝐶(𝑖𝑧𝑞) = = = 31.89 𝑘𝑁 2 2 𝑤𝑢 𝑙𝑛𝐶 7.416 ∙ 8.6 𝑉𝑢𝐶(𝑑𝑒𝑟) = = = 31.89 𝑘𝑁 2 2 𝑤𝑢 𝑙𝑛𝐷 7.416 ∙ 8.6 𝑉𝑢𝐷(𝑖𝑧𝑞) = = = 31.89 𝑘𝑁 2 2 𝑤𝑢 𝑙𝑛𝐷 7.416 ∙ 8.6 𝑉𝑢𝐷(𝑑𝑒𝑟) = = = 31.89 𝑘𝑁 2 2 copyright©rcolquea
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Paso 4: Determinar los momentos últimos positivos y negativos, 𝑀𝑢 ± Momentos en los tramos: 2 𝑤𝑢 𝑙𝑛𝐴𝐵 7.416 ∙ 8.62 = = 39.178 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 14 14 2 𝑤𝑢 𝑙𝑛𝐵𝐶 7.416 ∙ 8.62 = = = 34.280 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 16 16 2 𝑤𝑢 𝑙𝑛𝐶𝐷 7.416 ∙ 8.62 = = = 34.280 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 16 16 2 𝑤𝑢 𝑙𝑛𝐷𝐸 7.416 ∙ 8.62 = = = 34.280 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 16 16 2 𝑤𝑢 𝑙𝑛𝐸𝐹 7.416 ∙ 8.22 = = = 35.618 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 14 14
+ 𝑀𝑢𝐴𝐵 = + 𝑀𝑢𝐵𝐶 + 𝑀𝑢𝐶𝐷 + 𝑀𝑢𝐷𝐸 + 𝑀𝑢𝐸𝐹
Momentos en los apoyos: 2 𝑤𝑢 𝑙𝑛𝐴 7.416 ∙ 8.62 = = = 22.854 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 24 24 2 𝑤𝑢 𝑙𝑛𝐵 7.416 ∙ 8.62 − 𝑀𝑢𝐵(𝑖𝑧𝑞) = = = 54.849 𝑘𝑁 ∙ 𝑚∎ 10 10 2 𝑤𝑢 𝑙𝑛𝐵 7.416 ∙ 8.62 − 𝑀𝑢𝐵(𝑑𝑒𝑟) = = = 49.862 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 11 11 2 𝑤𝑢 𝑙𝑛𝐶 7.416 ∙ 8.62 − 𝑀𝑢𝐶(𝑖𝑧𝑞) = = = 49.862 𝑘𝑁 ∙ 𝑚∎ 11 11 2 𝑤𝑢 𝑙𝑛𝐶 7.416 ∙ 8.62 − 𝑀𝑢𝐶(𝑑𝑒𝑟) = = = 49.862 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 11 11 2 𝑤𝑢 𝑙𝑛𝐷 7.416 ∙ 8.62 − 𝑀𝑢𝐷(𝑖𝑧𝑞) = = = 49.862 𝑘𝑁 ∙ 𝑚∎ 11 11 2 𝑤𝑢 𝑙𝑛𝐷 7.416 ∙ 8.62 − 𝑀𝑢𝐷(𝑑𝑒𝑟) = = = 49.862 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 11 11 2 𝑤𝑢 𝑙𝑛𝐸 7.416 ∙ 8.42 − 𝑀𝑢𝐸(𝑖𝑧𝑞) = = = 47.570 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 11 11 2 𝑤𝑢 𝑙𝑛𝐸 7.416 ∙ 8.42 − 𝑀𝑢𝐸(𝑑𝑒𝑟) = = = 52.327 𝑘𝑁 ∙ 𝑚∎ 10 10 2 𝑤𝑢 𝑙𝑛𝐹 7.416 ∙ 8.22 − 𝑀𝑢𝐹 = = = 20.777 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 24 24 − 𝑀𝑢𝐴
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Ejemplo 2.8 Determinar los momentos y fuerzas de corte mayorados de la viga A2-E2 y 1A-4A del sistema de entrepiso nervado del edificio de la figura, utilizando el método de los coeficientes aproximados de la ACI. Las columnas son de 300𝑥300 𝑚𝑚, las vigas son de 250𝑥500 𝑚𝑚, la losa es maciza con un espesor de 140 𝑚𝑚, la carga viva es de 2.94 𝑘𝑁/𝑚2.
Figura 2.26 – Entrepiso de losa maciza con vigas
Datos: 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑓´𝑐 = 21 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, ℎ𝑜𝑟𝑚𝑖𝑔ó𝑛 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙, 𝑤𝑐 = 24
𝑘𝑁 , 𝑚3
𝑘𝑁 𝑘𝑁 , 𝑤𝑙𝑎𝑑𝑟𝑖𝑙𝑙𝑜6ℎ = 11.768 3 , 𝑟𝑒𝑐 = 30 𝑚𝑚 3 𝑚 𝑚 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 = 300𝑥300 𝑚𝑚, 𝑣𝑖𝑔𝑎𝑠(𝑏 = 250𝑚𝑚 − ℎ = 500𝑚𝑚), ℎ𝑓 = 140𝑚𝑚 𝑤𝑦𝑒𝑠𝑜 = 10.983
𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎 𝑏𝑎 𝑎, ℎ𝑝𝑖𝑠𝑜 1 = 3.20 𝑚; 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠, ℎ𝑝𝑖𝑠𝑜 = 2.8 𝑚 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠: 𝐿 = 2.45 𝑘𝑁/𝑚2 Solución: Paso 1: Determinar la carga última que incide sobre las vigas del sistema de entrepiso Determinar las cargas superficiales en las losas copyright©rcolquea
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Carga muerta, 𝐷 𝑤𝐷,𝑙𝑜𝑠𝑎 = 𝑤𝑐 ℎ𝑓 = 24 ∙ 0.14 = 3.36 𝑤𝐷,𝑐𝑒𝑟á𝑚𝑖𝑐𝑎 = 0.785
𝑘𝑁 𝑚2
𝑘𝑁 𝑚2
𝑤𝐷,𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑝𝑖𝑠𝑜 = 𝑤𝑐 𝑒𝑐𝑝 = 24 ∙ 0.03 = 0.72
𝑘𝑁 𝑚2
𝑤𝐷,𝑐𝑖𝑒𝑙𝑜𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜𝑦𝑒𝑠𝑜 = 𝑤𝑦𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑐𝑓 = 10.983 ∙ 0.02 = 0.22 𝑤𝐷,𝑙𝑢𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎𝑠 = 0.147
𝑘𝑁 𝑚2
𝑘𝑁 𝑚2
𝑤𝐷 = 𝑤𝐷,𝑙𝑜𝑠𝑎 + 𝑤𝐷,𝑐𝑒𝑟á𝑚𝑖𝑐𝑎 + 𝑤𝐷,𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑝𝑖𝑠𝑜 + 𝑤𝐷,𝑐𝑖𝑒𝑙𝑜𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜𝑦𝑒𝑠𝑜 + 𝑤𝐷,𝑙𝑢𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎𝑠 𝑤𝐷 = 3.36 + 0.785 + 0.72 + 0.22 + 0.147 = 5.232
𝑘𝑁 𝑚2
Cargas vivas, 𝐿 𝑤𝐿,𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑖ó𝑛𝑝𝑟𝑜𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 = 0.735
𝑘𝑁 𝑘𝑁 𝑤𝐿,𝑜𝑐𝑢𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 = 2.45 2 2 𝑚 𝑚
𝑤𝐿 = 𝑤𝐿,𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑖ó𝑛𝑝𝑟𝑜𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 + 𝑤𝐿,𝑜𝑐𝑢𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 = 0.735 + 2.45 = 3.185
𝑘𝑁 𝑚2
Utilizando la combinación Nº 2 de la ACI, magnificamos las cargas superficiales 𝑘𝑁 𝑤𝑢 = 1.2𝑤𝐷 + 1.6𝑤𝐿 = 1.2 ∙ 5.232 + 1.6 ∙ 3.185 = 11.374 2 𝑚 Distribuir la carga superficial última sobre la viga La distribución de cargas superficiales hacia las vigas está en función de las áreas de influencia mostradas en la figura 2.27 y 2.28, en losas que trabajan en dos direcciones las áreas de influencia se dividen en trapecios y triángulos, en losas que trabajan en una dirección se distribuye en rectángulos. Para cada tipo de área existe una ecuación para distribuir las cargas:
1≤
𝑙𝑠 ≤ 2 → 2 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 (2𝐷) 𝑙𝑙
Figura 2.27 – Áreas de influencia para losa en dos direcciones
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𝑙𝑠 < 1 → 1 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 (1𝐷) 𝑙𝑙 Figura 2.28 – Áreas de influencia para losa en una dirección
Área trapezoidal: Área triangular: Área rectangular:
𝑤𝑙 = 𝑤𝑠 =
𝑤𝑢 𝑙𝑠 3−(𝑙𝑠 ⁄𝑙𝑙 )2
3 𝑤𝑢 𝑙𝑠
𝑤𝑙 =
(
2
)
3 𝑤𝑢 𝐴𝑖 𝑙𝑙
Dónde: 𝑙𝑙 : Luz larga 𝑙𝑠 : Luz corta 𝑤𝑙 : Carga sobre la luz larga 𝑤𝑠 : Carga sobre la luz corta 𝐴𝑖 : Área de influencia En la figura 2.29 se muestra el área de influencia del sistema de entrepiso:
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Figura 2.29 – Áreas de influencia del entrepiso
En la figura 2.29 podemos visualizar que todas las losas trabajan en dos direcciones. Ahora podemos determinar las cargas que inciden de la losa a la viga Para la viga 2A-2E: Tramo 2A-2B y 2D-2E 𝑤𝑢 𝑙𝑠 11.374 ∙ 4.5 𝑤𝑠𝐴𝐵 = 2 =2 = 34.122 𝑘𝑁/𝑚 3 3 𝑤𝑠𝐷𝐸 = 𝑤𝑠𝐴𝐵 = 34.122 𝑘𝑁/𝑚 Tramo 2B-2C y 2C-2D 𝑤𝑢 𝑙𝑠 11.374 ∙ 4 𝑤𝑠𝐵𝐶 = 2 =2 = 30.331 𝑘𝑁/𝑚 3 3 𝑤𝑠𝐶𝐷 = 𝑤𝑠𝐵𝐶 = 30.331 𝑘𝑁/𝑚 Determinar las cargas lineales sobre las vigas: 𝑤𝐷,𝑣𝑖𝑔𝑎 = 𝑤𝑐 ℎ𝑏 = 24 ∙ 0.5 ∙ 0.25 = 3 𝑘𝑁/𝑚 𝑤𝐷,𝑚𝑢𝑟𝑜 = 𝑤𝑙𝑎𝑑𝑟𝑖𝑙𝑙𝑜6ℎ 𝑒𝑚𝑢𝑟𝑜 (ℎ𝑝𝑖𝑠𝑜 − ℎ𝑣𝑖𝑔𝑎 ) + (𝑤𝑦𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑖𝑛𝑡 + 𝑤𝑚𝑜𝑟𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑒𝑥𝑡 )(ℎ𝑝𝑖𝑠𝑜 − ℎ𝑣𝑖𝑔𝑎 ) 𝑤𝐷,𝑚𝑢𝑟𝑜 = 11.768 ∙ 0.1(2.8 − 0.5) + (10.983 ∙ 0.02 + 20.398 ∙ 0.02)(2.3) = 4.15 𝑘𝑁/𝑚 copyright©rcolquea
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Magnificando la carga muerta sobre la viga: 𝑘𝑁 𝑚 Sumando la carga que llega de la losa y la carga sobre la viga, tendremos la carga última de diseño: Para la viga 2A-2E: Tramo 2A-2B y 2D-2E 𝑤𝑢𝑣 = 1.2𝐷 + 1.6𝐿 = 1.2 ∙ 7.15 + 1.6 ∙ 0 = 8.58
𝑤𝑢𝐴𝐵 = 𝑤𝑠𝐴𝐵 + 𝑤𝑢𝑣 = 34.122 + 8.58 = 42.702 𝑘𝑁/𝑚 𝑤𝑢𝐷𝐸 = 𝑤𝑠𝐷𝐸 + 𝑤𝑢𝑣 = 34.122 + 8.58 = 42.702 𝑘𝑁/𝑚 Tramo 2B-2C y 2C-2D 𝑤𝑢𝐵𝐶 = 𝑤𝑠𝐵𝐶 + 𝑤𝑢𝑣 = 30.331 + 8.58 = 38.911 𝑘𝑁/𝑚 𝑤𝑢𝐶𝐷 = 𝑤𝑠𝐶𝐷 + 𝑤𝑢𝑣 = 30.331 + 8.58 = 38.911 𝑘𝑁/𝑚
Figura 2.30 – Cargas últimas sobre la viga 2A-2E
Para la viga A1-A4: copyright©rcolquea
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Tramo A1-A2 y A3-A4 𝑤𝑢 𝑙𝑠 3 − (𝑙𝑠 ⁄𝑙𝑙 )2 11.374 ∙ 4.5 3 − (4.5⁄6)2 𝑤𝑙12 = ( )= ( ) = 20.793 𝑘𝑁/𝑚 3 2 3 2 𝑤𝑙34 = 𝑤𝑙12 = 20.793 𝑘𝑁/𝑚 Tramo A2-A3 𝑤𝑙23 =
𝑤𝑢 𝑙𝑠 3 − (𝑙𝑠 ⁄𝑙𝑙 )2 11.374 ∙ 4.5 3 − (4.5⁄5)2 ( )= ( ) = 18.682 𝑘𝑁/𝑚 3 2 3 2
Sumando la carga que llega de la losa y la carga sobre la viga, tendremos la carga última de diseño: Para la viga A1-A4: Tramo A1-A2 y A3-A4 𝑤𝑢12 = 𝑤𝑙12 + 𝑤𝑢𝑣 = 20.793 + 8.58 = 29.373 𝑘𝑁/𝑚 𝑤𝑢34 = 𝑤𝑢12 = 29.373 𝑘𝑁/𝑚 Tramo A2-A3 𝑤𝑢23 = 𝑤𝑙23 + 𝑤𝑢𝑣 = 18.682 + 8.58 = 27.262 𝑘𝑁/𝑚
Figura 2.31 – Cargas últimas sobre la viga A1-A4
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Paso 2: Determinar la fuerza de corte última mayorada, 𝑉𝑢 Para la viga 2A-2E: 𝑤𝑢 𝑙𝑛𝐴 42.702 ∙ 4.5 𝑉𝑢𝐴 = = = 96.080 𝑘𝑁 2 2 1.15𝑤𝑢 𝑙𝑛𝐵 1.15 ∙ 40.806 ∙ 4.25 𝑉𝑢𝐵(𝑖𝑧𝑞) = = = 99.720 𝑘𝑁 2 2 𝑤𝑢 𝑙𝑛𝐵 40.806 ∙ 4.25 𝑉𝑢𝐵(𝑑𝑒𝑟) = = = 86.713 𝑘𝑁 2 2 𝑤𝑢 𝑙𝑛𝐶 38.911 ∙ 4.0 𝑉𝑢𝐶(𝑖𝑧𝑞) = = = 77.822 𝑘𝑁 2 2 𝑤𝑢 𝑙𝑛𝐶 38.911 ∙ 4.0 𝑉𝑢𝐶(𝑑𝑒𝑟) = = = 77.822 𝑘𝑁 2 2 𝑤𝑢 𝑙𝑛𝐷 40.806 ∙ 4.25 𝑉𝑢𝐷(𝑖𝑧𝑞) = = = 86.713 𝑘𝑁 2 2 1.15𝑤𝑢 𝑙𝑛𝐷 1.15 ∙ 40.806 ∙ 4.25 𝑉𝑢𝐷(𝑑𝑒𝑟) = = = 99.72 𝑘𝑁 2 2 𝑤𝑢 𝑙𝑛𝐸 42.702 ∙ 4.50 𝑉𝑢𝐸(𝑖𝑧𝑞) = = = 96.080 𝑘𝑁 2 2
Figura 2.32 – Envolvente de corte de la viga 2A-2E
Para la viga A1-A4: 𝑤𝑢 𝑙𝑛1 29.373 ∙ 6 = = 88.119 𝑘𝑁 2 2 1.15𝑤𝑢 𝑙𝑛2 1.15 ∙ 28.317 ∙ 5.5 𝑉𝑢2(𝑖𝑧𝑞) = = = 89.552 𝑘𝑁 2 2 𝑤𝑢 𝑙𝑛2 28.317 ∙ 5.5 𝑉𝑢2(𝑑𝑒𝑟) = = = 77.872 𝑘𝑁 2 2 𝑤𝑢 𝑙𝑛3 28.317 ∙ 5.5 𝑉𝑢3(𝑖𝑧𝑞) = = = 77.872 𝑘𝑁 2 2 1.15𝑤𝑢 𝑙𝑛3 1.15 ∙ 28.317 ∙ 5.5 𝑉𝑢3(𝑑𝑒𝑟) = = = 89.552 𝑘𝑁 2 2 𝑤𝑢 𝑙𝑛4 29.373 ∙ 6.0 𝑉𝑢4(𝑖𝑧𝑞) = = = 88.119 𝑘𝑁 2 2 𝑉𝑢1 =
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Figura 2.33 – Envolvente de corte de la viga A1-A4
Paso 3: Determinar los momentos últimos positivos y negativos, 𝑀𝑢 ± Para la viga 2A-2E: Momentos en los tramos: 2 𝑤𝑢 𝑙𝑛𝐴𝐵 42.702 ∙ 4.52 = = 61.766 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 14 14 2 𝑤𝑢 𝑙𝑛𝐵𝐶 38.911 ∙ 4.02 = = = 38.911 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 16 16 2 𝑤𝑢 𝑙𝑛𝐶𝐷 38.911 ∙ 4.02 = = = 38.911 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 16 16 2 𝑤𝑢 𝑙𝑛𝐷𝐸 42.702 ∙ 4.52 = = = 61.766 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 14 14
+ 𝑀𝑢𝐴𝐵 = + 𝑀𝑢𝐵𝐶 + 𝑀𝑢𝐶𝐷 + 𝑀𝑢𝐷𝐸
Momentos en los apoyos: 2 𝑤𝑢 𝑙𝑛𝐴 42.702 ∙ 4.52 = = = 54.045 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 16 16 2 𝑤𝑢 𝑙𝑛𝐵 40.806 ∙ 4.252 − 𝑀𝑢𝐵(𝑖𝑧𝑞) = = = 73.706 𝑘𝑁 ∙ 𝑚∎ 10 10 2 𝑤𝑢 𝑙𝑛𝐵 40.806 ∙ 4.252 − 𝑀𝑢𝐵(𝑑𝑒𝑟) = = = 67.005 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 11 11 2 𝑤𝑢 𝑙𝑛𝐶 38.911 ∙ 4.02 − 𝑀𝑢𝐶(𝑖𝑧𝑞) = = = 56.599 𝑘𝑁 ∙ 𝑚∎ 11 11 2 𝑤𝑢 𝑙𝑛𝐶 38.911 ∙ 4.02 − 𝑀𝑢𝐶(𝑑𝑒𝑟) = = = 56.599 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 11 11 2 𝑤𝑢 𝑙𝑛𝐷 40.806 ∙ 4.252 − 𝑀𝑢𝐷(𝑖𝑧𝑞) = = = 67.005 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 11 11 2 𝑤𝑢 𝑙𝑛𝐷 40.806 ∙ 4.252 − 𝑀𝑢𝐷(𝑑𝑒𝑟) = = = 73.706 𝑘𝑁 ∙ 𝑚∎ 10 10 2 𝑤𝑢 𝑙𝑛𝐸 42.706 ∙ 4.52 − 𝑀𝑢𝐸 = = = 54.045 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 16 16 − 𝑀𝑢𝐴
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Figura 2.34 – Envolvente de momento de la viga 2A-2E
Para la viga A1-A4: Momentos en los tramos: 2 𝑤𝑢 𝑙𝑛12 29.373 ∙ 62 = = = 75.531 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 14 14 2 𝑤𝑢 𝑙𝑛23 27.262 ∙ 5.02 + 𝑀𝑢23 = = = 42.597 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 16 16 2 𝑤𝑢 𝑙𝑛34 29.373 ∙ 62 + 𝑀𝑢34 = = = 75.531 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 14 14 Momentos en los apoyos: + 𝑀𝑢12
2 𝑤𝑢 𝑙𝑛1 29.373 ∙ 62 = = = 66.089 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 16 16 2 𝑤𝑢 𝑙𝑛2 28.317 ∙ 5.52 − 𝑀𝑢2(𝑖𝑧𝑞) = = = 85.659 𝑘𝑁 ∙ 𝑚∎ 10 10 2 𝑤𝑢 𝑙𝑛2 28.317 ∙ 5.52 − 𝑀𝑢2(𝑑𝑒𝑟) = = = 77.872 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 11 11 2 𝑤𝑢 𝑙𝑛3 28.317 ∙ 5.52 − 𝑀𝑢3(𝑖𝑧𝑞) = = = 77.872 𝑘𝑁 ∙ 𝑚∎ 11 11 2 𝑤𝑢 𝑙𝑛3 28.317 ∙ 5.52 − 𝑀𝑢3(𝑑𝑒𝑟) = = = 85.659 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 10 10 2 𝑤𝑢 𝑙𝑛4 29.373 ∙ 62 − 𝑀𝑢4 = = = 66.089 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 16 16 − 𝑀𝑢1
Figura 2.35 – Envolvente de momento de la viga A1-A4
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2.12) PROBLEMAS PROPUESTOS Problema 2.1 La planta que se muestra en la figura se muestra las áreas de influencia de la columna interior, borde y de esquina. La planta corresponde a un edificio de 5 pisos destinado al uso de oficinas, pero el último piso corresponde a un gimnasio. Determinar la carga viva reducida en caso de ser posible por 𝑚2 de área apoyada en las columnas; además determinar la carga sobre las vigas de tal forma que el muro exterior tiene un muro soguilla de ladrillo gambote y los muros interiores sobre las vigas son de ladrillo de 6 huecos (soguilla).
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Problema 2.2 Determinar la fuerza de presión y succión debido al viento, la fuerza del viento va de Norte a Sur y de Este a Oeste, el sistema principal de resistencia está formado por vigas y columnas. La edificación es cerrada, la zona presenta una velocidad de viento de 160 𝑘𝑚/ℎ, la estructura está ubicada en una zona abierta y encima de una colina aislada, el desnivel del terreno 𝐻 = 30 𝑚, la distancia a barlovento de la cresta hasta donde la diferencia en la elevación del terreno es la mitad de la altura de la colina es 𝑙ℎ = 50 𝑚, la distancia de la cresta hasta la edificación es de 12 m.
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Problema 2.3 Determinar la fuerzas de presión y succión externa de viento sobre el galpón metálico de dos aguas, el galpón metálico es un astillero naval que esta ubicado en Puerto Villarroel, el terreno se halla en un área suburbano, la zona presenta una velocidad de viento de 120 𝑘𝑚/ℎ, la topografía es llana. Todas la figuras de la respectiva figura están en milímetros. La dirección del viento es perpendicular al lado débil de la estructura.
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Problema 2.4 Determinar las cargas de diseño de la nieve para el techo del ejercicio 2.3. Considere que la carga de nieve a nivel del suelo es de 1.28 𝑘𝑁/𝑚2 , debido a la existencia de árboles cerca del edificio, supóngase que el factor de exposición es de 𝐶𝑐 = 1. Problema 2.5 Determine la carga debido a la nieve para el techo del ejercicio 2.2, considere que la carga de nieve a nivel del suelo es de 0.78 𝑘𝑁/𝑚2, supóngase que el factor de exposición es de 𝐶𝑐 = 1.1. Problema 2.6 Determinar la carga debido a la nieve para una cubierta plana de un edificio, la carga de nieve al nivel del suelo es 0.90 𝑘𝑁/𝑚2. La cubierta alta no ventilada de 26 m de largo y 18 m de ancho está calefaccionada. El edificio está en campo abierto y plano, sin árboles u otras estructuras que ofrezcan protección. Problema 2.7 Determinar la carga de nieve de diseño para un auditorio de 200 personas. Grandes árboles de hojas caducas están ubicados en un área cerca de la entrada, la cubierta de dos aguas no ventilada tiene una pendiente de 32º, revestida con tejas coloniales, la longitud del edificio es de 25 m. Problema 2.8 Una columna de un edificio está sometido a las siguientes cargas: carga muerta de compresión de 240 𝑘𝑁, la carga viva de compresión de piso es 100 𝑘𝑁, la carga viva de techo de compresión es de 42 𝑘𝑁, la carga de nieve en compresión es de 44 𝑘𝑁. Determinar la combinación de cargas gobernante para el diseño de la columna? Se puede utilizar el concepto de envolvente en el diseño de columnas? Problema 2.9 Una viga es parte de un sistema estructural de entrepiso de un edificio de oficinas públicas. El entrepiso está sometido a cargas muertas y vivas, el momento máximo causado por la carga muerta es de 70.61 𝑘𝑁 ∙ 𝑚, el momento por la carga viva es de 91.6 𝑘𝑁 ∙ 𝑚, estos momentos se presentan en la misma posición de la viga por lo tanto se pueden combinarse. Determine el momento máximo flexionante mayorado. Cuál es la combinación de cargas que gobierna? Determine el momento máximo generado por la envolvente y el momento a 𝑙/3 de la viga si la luz de la viga es de 6 𝑚. Problema 2.10 Determinar los momentos y fuerzas de corte mayorados de las viguetas del sistema de entrepiso con losa nervada en una dirección de la figura, utilice cualquier método de análisis estructural, por ejemplo el método de los tres momentos, métodos energéticos, matriz de rigidez, etc. La sección de las columnas interiores es de 400𝑥400 𝑚𝑚, las exteriores son de 300𝑥300 𝑚𝑚, el ancho de las vigas es de 200 𝑚𝑚, la carga muerta en los pisos es de 2.942 𝑘𝑁/𝑚2 no incluye el peso propio de los elementos, la carga viva es de 2.452 𝑘𝑁/ 𝑚2 .Además determinar los momentos, fuerzas de corte y momentos de torsión de todas las vigas.
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CAPÍTULO 3: ANÁLISIS Y DISEÑO DE SECCIONES A FLEXIÓN 3.1) INTRODUCCIÓN En este capítulo se introduce los conceptos fundamentales que rigen el comportamiento a flexión de los elementos de hormigón armado, las hipótesis de diseño y análisis, y las prescripciones reglamentarias que se deben satisfacer. Salvo otra indicación, nos referiremos a vigas y losas en una dirección de hormigón armado, para diferenciarlo en esta introducción de los elementos sometidos a flexo-compresión como columnas y tabiques. La figura 3.1 muestra parte de la armadura de una futura viga de hormigón armado, en ella también se observa la prolongación desde el nivel inferior de las barras de la columna donde se apoya la viga, la viga transversal, el nudo y el fondo de encofrados de madera de la futura losa de hormigón armado. Lo que se quiere expresar con esta figura es que la viga forma parte de un sistema estructural, y cuando se la diseñe y analice se entienda que no se trata de un elemento aislado; es decir la viga trabaja monolíticamente con los demás elementos estructurales.
Figura 3.1 – Unión de losa, vigas y columnas a la espera del vaciado
En este capítulo se desarrollara el análisis y diseño de vigas a flexión, las vigas de hormigón armado no son homogéneas debido a que están conformados de dos materiales diferentes, por consiguiente, los métodos usados en el análisis de vigas de hormigón armado son distintos a las vigas conformadas por acero o madera. Sin embargo los principios fundamentales que los comprenden son esencialmente los mismos. 3.2) COMPORTAMIENTO DE VIGAS DE HORMIGÓN ARMADO Las solicitaciones externas e internas como la carga muerta, viva, viento, sismo, temperatura, etc. generan flexión y deformación en una viga, a medida que las solicitaciones aumentan sobre una viga de concreto con refuerzo a tracción la viga llega hasta el límite y falla. Antes de que falle, la viga pasa por tres etapas:
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3.2.1) ETAPA DEL CONCRETO NO AGRIETADO Esta etapa ocurre cuándo las solicitaciones son mínimas, el hormigón en tracción no se agrieta porque sus tensiones son menores que el módulo de ruptura (esfuerzo de tracción por flexión cuándo el concreto comienza a agrietarse), la sección transversal total de la viga resiste a flexión, resiste a compresión a un lado del eje neutro y a tracción en el otro lado. La figura 3.2 muestra la variación de las deformaciones unitarias y los esfuerzos cuándo la viga está sometida a cargas pequeñas o mínimas.
ACI 9.5.2.3 El código ACI establece que el momento de agrietamiento de una sección se puede determinar con la ecuación 9-9 del ACI: 𝑓𝑟 𝐼𝑔 𝑀𝑐𝑟 = 𝑦𝑡 𝑦𝑡 : Distancia del eje centroidal de la sección a su fibra extrema en tensión 𝑓𝑟 : Módulo de ruptura del concreto
𝑓𝑟 = 0.62𝜆√𝑓´𝑐 𝜆: factor de modificación de peso de hormigón
Figura 3.2 – Etapa del hormigón no agrietado
3.2.1.1) MOMENTO DE AGRIETAMIENTO Mientras la sección transversal de la viga no se agriete, el efecto de las barras de acero es casi despreciable en las propiedades de la viga, por tanto se puede obtener esfuerzos aproximados de flexión en la viga en base a las propiedades de la sección transversal de la viga. EL código ACI31S-1144 define el momento de agrietamiento de una sección transversal, ver la sección 9.5.2.3. 3.2.2) CONCRETO AGRIETADO: ETAPA DE ESFUERZOS ELÁSTICOS Cuándo las solicitaciones son mayores que las solicitaciones mínimas, los esfuerzos de tracción de la viga son iguales al módulo de ruptura, a esto se denomina momento de agrietamiento, 𝑀𝑐𝑟 . En esta etapa las grietas comienzan a formarse, y se extiende rápidamente hasta cercanías del eje neutro, las grietas se presentan en lugares donde el momento de las solicitaciones es mayor que el momento de agrietamiento, tal como se muestra en la figura 3.3(a). En esta atapa el hormigón en la zona agrietada no puede resistir los esfuerzos de tracción, por lo tanto el acero debe resistirlos; esta etapa continua hasta que el esfuerzo en compresión sea 44
(American Concrete Institute, 2011) copyright©rcolquea
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aproximadamente la mitad de la resistencia a compresión 𝑓′𝑐 . La figura 3.3(b) muestra los esfuerzos y deformaciones unitarias que varían linealmente respecto al eje neutro, la variación lineal se presenta bajo condiciones normales de carga de servicio. Las cargas de servicio o de trabajo se presentan cuándo la estructura está en servicio o en uso.
Figura 3.3 – Etapa de esfuerzos elásticos
Cuándo el momento generado por las solicitaciones es muy grande, el esfuerzo en la zona de tracción resulta mayor al módulo de ruptura, cuándo ocurre esto significa que el hormigón en la zona de tracción esta agrietada por lo tanto se puede desechar en los cálculos de flexión. La hipótesis mencionada en el capítulo 1, es decir la adherencia perfecta entre el hormigón y el acero, implica que las deformaciones unitarias entre el acero y el hormigón serán iguales en las distancias proporcionales del eje neutro. Pero los esfuerzos correspondientes no serán iguales porque el módulo de elasticidad es diferente en cada material. La relación modular se define como el cociente del módulo del acero y el módulo del concreto. 𝐸𝑠 𝑛= 𝐸𝑐 Si la relación modular de una viga es 10, significa que el esfuerzo del acero es diez veces el esfuerzo del hormigón a la misma distancia del eje neutro.
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3.2.3) FALLA DE LA VIGA: ETAPA DE RESISTENCIA ÚLTIMA Esta etapa se presenta bajo las siguientes condiciones: Cuándo la carga crece entonces el esfuerzo de compresión resulta mayor que 0.5𝑓′𝑐 , las grietas de tracción se desplazan aún más arriba. Los esfuerzos de compresión dejan de ser lineales. La variación de esfuerzos y deformaciones de esta etapa se presenta en la figura 3.4.
Figura 3.4 – Etapa de la resistencia última
3.2.3.1) MOMENTOS ULTIMOS O NOMINALES DE FLEXIÓN Para analizar vigas mediante el estado límite último de resistencia, se supone que las varillas de refuerzo en tracción trabajan hasta su punto de cedensia antes de que falle el hormigón en el lado de compresión. El momento último o nominal de flexión se analiza cuándo el esfuerzo del hormigón en la parte de compresión sea mayor que 0.5𝑓′𝑐 , en este caso el diagrama de esfuerzos ya no varía como una línea recta con respecto al eje neutro; más bien su comportamiento se vuelve no lineal, tal como se muestra en la figura 3.4. Para facilitar los cálculos se forma una equivalencia de esfuerzos de compresión generada por el hormigón, esta equivalencia consiste en reemplazar el diagrama de esfuerzos de compresión real o parecida a una parábola por una distribución de esfuerzos rectangular, este cambio implica que debemos mantener dos parámetros: La resultante del diagrama real y del diagrama de cálculo debe ser la misma. El centro de gravedad de la resultante de ambos diagramas debe ser la misma. copyright©rcolquea
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3.3) ANÁLISIS POR RESISTENCIA DE VIGAS DE ACUERDO CON EL CÓDIGO ACI 3.3.1) DISEÑO POR ESFUERZOS DE TRABAJO VERSUS RESISTENCIA Para analizar el comportamiento de estructuras de hormigón armado se siguen dos líneas de pensamiento: La planteada por Rither que sigue un diagrama de tensiones no lineal. La planteada por Tedesco que sigue un diagrama de tensiones y deformaciones lineal. En la actualidad existe una combinación del enfoque lineal y no lineal, antiguamente las normas eran simples y ahora son complicadas. En la primera mitad del siglo XX, gran parte de las estructuras de hormigón armado se la diseño por el método de esfuerzos de trabajo (diseño por esfuerzos permisibles o diseño lineal). Este método es frecuentemente conocido como WSD (Working Stress Design). El procedimiento que sigue este método es el siguiente: Se calcula las cargas muertas y vivas, llamadas cargas de trabajo o cargas de servicio. Se determina las dimensiones de la estructura. Se verifica que los esfuerzos calculados por medio de la sección transformada no exceda los valores límites o permisibles. En la segunda mitad del siglo XX, la teoría LRFD ganó rápidamente terreno en el diseño de estructuras de hormigón armado, el cambio de teorías de diseño, de esfuerzos de trabajo por el diseño del estado límite último de resistencia y servicio se debe a factores como: El diseño por resistencia última usa un enfoque más racional que el método de diseño de esfuerzos de trabajo (WSD). El diseño por resistencia última utiliza una consideración más realista del concepto de seguridad. Conduce a diseños más económicos. El método de diseño por el estado límite último de resistencia o diseño por resistencia, implica que las cargas muertas y vivas se multiplican por ciertos factores de carga, los valores resultantes se llaman cargas factorizadas; los miembros se seleccionan de manera que teóricamente fallen justo bajo las cargas factorizadas sean aplicadas. Según McCormac45 casi todas las estructuras serán diseñadas por el método de diseño por resistencia, pero es conveniente que el estudiante esté familiarizado por el método WSD, por las siguientes razones: Algunos ingenieros utilizan el método WSD para diseñar estructuras que contienen líquidos, como tanques de agua, porque cuando los tanques de agua se diseñan por el método WSD, el agrietamiento es considerablemente menor por los tanto tiene menos filtraciones. El proyectista que diseña tanques también puede utilizar el método de diseño por resistencia, siempre y cuando realice un control del ancho de agrietamiento. La norma ACI318-11 requiere que se tenga conocimientos del método WSD para calcular el momento de inercia para analizar las deflexiones. La norma ACI318 combina dos estados: el estado límite último de resistencia (ELUR) y el estado límite último de servicio (ELUS).
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(McCormac C., 2011, pág. 63) copyright©rcolquea
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En la figura 3.5 se presenta las desventajas del método WSD en comparación con el diseño por resistencia. El método WSD no considera diferentes factores de seguridad contra el colapso No considera la posibilidad del incremento de variación de cargaas
No considera diferentes factores de seguridad para cargas muertas y vivas
No considera las variaciones en la resistencia y la carga Figura 3.5 – Desventajas del método WSD
El código ACI concluyó por primera vez en 1956 un apéndice de diseño por resistencia, en 1963 el código puso a la par el método de resistencia con el método de esfuerzos de trabajo, en 1971 se recomendó utilizar más el método de resistencia. De 1971 hasta 1999 el código permitió usar el método de esfuerzos de trabajo, pero a partir del código de 2002 no hay permiso para usar el WSD. 3.3.2) VENTAJAS DEL DISEÑO POR RESISTENCIA Ventajas del método de diseño por resistencia, con respecto al método de esfuerzos de trabajo:
Diseño por resistencia
Diseño por esfuerzos de trabajo
• Se utiliza una teoría mas consistente • Se utiliza un factor de seguridad mas realista, diferentes factores de seguridad para carga muerta, viva y ambientales • Tendra un factor de seguridad mas uniforme contra el colapso, aprovecha mejor la resistencia del acero, y diseños más económicos • Diseño flexible: se pueden usar grandes secciones con porcentajes pequeños de acero, o secciones pequeñas con porcentajes grandes de acero • El método toma la forma no lineal del diagrama esfuerzo deformación unitaria
• Se usaba el método de área transformada para vigas y diseño por resistencia para columnas • Se usaba el mismo factor de seguridad para cargas muertas, vivas y ambientales. • aprovecha parcialmente la resistencia del acero. • Diseño rígido
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3.3.3) SEGURIDAD ESTRUCTURAL El enfoque para la seguridad estructural es la incertidumbre entre la capacidad de la estructura y las solicitaciones o cargas; las solicitaciones se multiplican por factores que generalmente son mayores que uno, las cargas resultantes o factorizadas se utilizan para diseñar la estructura. La capacidad de la estructura depende de la incertidumbre en la construcción, resistencia de los materiales y las dimensiones, para calcular la capacidad real se multiplica la resistencia última teórica (llamada resistencia nominal) por el factor ∅ de reducción de resistencia que varía de 0.9 a 0.65. La seguridad y la base de estructuras de Hormigón Armado están basadas en la siguiente ecuación: ∅𝑀𝑛 ≥ 𝑀𝑢 ∅𝑀𝑛 ≥ 𝛾1 𝑄1 + 𝛾2 𝑄2 +. … + 𝛾𝑛 𝑄𝑛 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 ≥ 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑅𝑒𝑞𝑢𝑒𝑟𝑖𝑑𝑎 (𝑀𝑢 ) 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 = 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑅𝑒𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 (∅) ∗ 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙
∅: 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑀𝑛 : 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑀𝑢 : 𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 ú𝑙𝑡𝑖𝑚𝑎. 𝛾1 : 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠
𝑄𝑛 : 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑖𝑜, 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑛𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎 3.3.4) OBTENCIÓN DE EXPRESIONES PARA VIGAS La bases de Hormigón Armado se determinan experimentalmente, es decir el ACI tiene un enfoque determinístico en cambio la norma Española es probabilística, la teoría se sustenta en base a experimentos; es decir no es analítico; las pruebas de laboratorio de vigas de Hormigón Armado demuestran que las deformaciones unitarias son proporcionales a la distancia del eje neutro. Los esfuerzos de compresión varían aproximadamente en forma lineal hasta que el esfuerzo máximo sea aproximadamente igual a 0.5𝑓´𝑐 , pero cuándo los esfuerzos son mayores el esfuerzo de compresión no es lineal, la figura 3.6 muestra la deformación unitaria y los esfuerzos cuándo alcanza la carga última, la respectiva figura se basa en las hipótesis que se detallas a continuación.
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Figura 3.6 – Deformación unitaria y esfuerzos cuándo se alcanza la carga última
3.3.4.1) Hipótesis de diseño 3.3.4.1.1) Equilibrio de las fuerzas y compatibilidad de las deformaciones El cálculo de la resistencia de un elemento mediante el método de diseño por resistencia exige que se satisfagan dos condiciones básicas46: Equilibrio estático, exige que las fuerzas de compresión y tracción que actúan en la sección transversal para la resistencia última estén en equilibrio. Compatibilidad de deformaciones, exige que también se satisfaga la compatibilidad entre las deformaciones del hormigón y de la armadura bajo condiciones últimas. Las hipótesis de diseño permitidas, se desprecian algunas de las propiedades de los materiales y se establecen otros límites más conservadores; esto implica la posibilidad de que la resistencia última sea menor que la obtenida mediante ensayos. La figura 3.7 presenta la curva esfuerzo deformación de la armadura y la curva esfuerzo deformación de diseño de la armadura, la tensión de diseño no debe ser mayor que la resistencia a fluencia del acero para una deformación unitaria de fluencia igual a 0.0035.
46
(Portland Cement Association, 2008, págs. 6-3) copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO Curva esfuerzo deformación Grado 60
Curva de diseño
700
600
𝐷𝑒𝑠𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑎𝑟 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑜
Esfuerzo (Mpa)
500
400
300
𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 200
100
0 0
20
40
60
80
100
120
140
Deformación unitaria, 0,001 pulg/pulg
Figura 3.7 - Relación esfuerzo-deformación para la armadura
3.3.4.1.2) Hipótesis de diseño # 1 Las deformaciones específicas en la armadura y en el hormigón se deben suponer directamente proporcionales a la distancia desde el eje neutro. En otras palabras, se asume que las secciones planas normales al eje de flexión permanecen planas luego de la flexión; los ensayos de laboratorio demostraron que las deformaciones en la armadura y en el hormigón son directamente proporcionales a la distancia desde el eje neutro. Está hipótesis es válida desde la carga nula hasta la carga última, como se muestra en la figura 3.8. De acuerdo a la figura 3.8 podemos deducir por relación de triángulos la deformación unitaria en la zona de tracción. 𝑐 𝑑−𝑐 𝑑−𝑐 = → 𝜖𝑡 = 𝜖𝑢 𝜖𝑢 𝜖𝑡 𝑐
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Figura 3.8 - Variación supuesta de la deformación específica
3.3.4.1.3) Hipótesis de diseño # 2 La máxima deformación utilizable en la fibra comprimida extrema del hormigón se asumirá igual a 𝝐𝒖 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟑. La deformación unitaria en la zona de compresión del hormigón simple y armado, según lo demuestran los en sayos de laboratorio es de 0.003 a 0.004; algunos estudios demuestran que la máxima deformación disminuye a medida que aumenta la resistencia a la compresión del hormigón, el código ACI318 adopta una deformación de 0.003 para un diseño razonablemente conservador. 3.3.4.1.4) Hipótesis de diseño # 3 La tensión en la armadura 𝒇𝒔 por debajo de la tensión de fluencia 𝒇𝒚 se tomará como 𝑬𝒔 por la deformación específica del acero 𝝐𝒔 . Para deformaciones 𝒇 específicas mayores que 𝒚⁄𝑬 , la tensión en la armadura se considerará 𝒔 independiente de la deformación e igual a 𝒇𝒚. Para tensiones por debajo de la tensión de fluencia, la tensión es proporcional a la deformación específica. Para el diseño práctico, se desprecia el aumento de la resistencia debido al efecto de endurecimiento por deformación de la armadura. La fuerza desarrollada en la armadura de tracción o de compresión es función de la deformación específica en la armadura 𝜖𝑠 , y se puede calcular de la siguiente manera: Si: 𝜖𝑠 ≤ 𝜖𝑦 → 𝑓𝑠 = 𝐸𝑠 𝜖𝑠 → 𝐴𝑠 𝑓𝑦 = 𝐴𝑠 𝐸𝑠 𝜖𝑠 Si: 𝜖𝑠 ≥ 𝜖𝑦 → 𝑓𝑠 = 𝐸𝑠 𝜖𝑦 = 𝑓𝑦 → 𝐴𝑠 𝑓𝑦 = 𝐴𝑠 𝑓𝑦 Siendo 𝜀𝑠 el valor del diagrama de deformación correspondiente a la ubicación de la armadura más traccionada; ver figura 3.8. Para el diseño la norma ACI318 recomienda que el módulo de elasticidad, 𝐸𝑠 se tome como 200000 𝑀𝑃𝑎. copyright©rcolquea
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ACI10.3.3
HORMIGÓN ARMADO
Para refuerzo de grado 60, la deformación unitaria en el acero es 0.002 en la condición de balance
𝜖𝑦 =
𝑓𝑦 𝐸𝑠
=
420 200000
= 0.00207
3.3.4.1.5) Hipótesis de diseño # 4 En el diseño de los elementos de hormigón armado solicitados a flexión se deberá despreciar la resistencia a la tracción del hormigón. La resistencia a la tracción del hormigón solicitado a flexión, es conocida cómo módulo de rotura, la resistencia a tracción es de aproximadamente 8% a 12% de la resistencia a compresión. La resistencia a la tracción del hormigón se desprecia en el diseño por resistencia; pero se debe tomar en cuenta la resistencia a tracción del hormigón para análisis de fisuración y las flechas (estado límite último de servicio). 3.3.4.1.6) Hipótesis de diseño # 5 La relación entre la tensión de compresión en el hormigón y la deformación específica del hormigón se deberá suponer rectangular, trapezoidal, parabólica o de cualquier otra forma que de origen a una predicción de la resistencia que concuerde en forma sustancial con los resultados de ensayos. Esta hipótesis reconoce la distribución inelástica de las tensiones en el hormigón cuando está sujeto a tensiones elevadas, A medida que se va acercando a la tensión máxima, la tensión – deformación del hormigón deja de ser lineal. En la práctica, la distribución real de las tensiones de compresión en el hormigón es compleja y desconocida, para simplificar los cálculos se recomienda utilizar una distribución de tensiones parabólica, trapezoidal y rectangular; con cualquiera de ellas se obtiene un resultado razonable. Para la resistencia última teórica de un elemento solicitado a flexión, la distribución de tensiones se debería ajustar en buena medida a la variación real de las tensiones, como se muestra en la figura 3.9. Para ajustar el diagrama de esfuerzos de compresión se sigue los siguientes parámetros: La tensión máxima se indica como 𝑘3 𝑓´𝑐 La tensión media como 𝑘1 𝑘3 𝑓´𝑐 La profundidad desde el baricentro de la distribución parabólica aproximada hasta la fibra comprimida extrema como 𝑘2 𝑐, siendo 𝑐 la profundidad del eje neutro.
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HORMIGÓN ARMADO
Figura 3.9 - Condiciones reales de esfuerzo-deformación para resistencia nominal en elementos solicitados a flexión
La resistencia nominal al momento, 𝑀𝑛 , se puede calcular aplicando la condición de equilibrio de fuerzas y momentos de la siguiente manera: De la condición de equilibrio de fuerzas de la figura 3.9, donde compresión es igual a tracción: 𝐶=𝑇 ó 𝑘1 𝑘3 𝑓′𝑐 𝑐𝑏 = 𝐴𝑠 𝑓𝑠𝑢 De modo que: 𝑐=
𝐴𝑠 𝑓𝑠𝑢 𝑘1 𝑘3 𝑓′𝑐 𝑏
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UMSS De la condición de equilibrio de momentos: 𝑀𝑛 = (𝐶 ó 𝑇)(𝑑 − 𝑘2 𝑐) 𝑘2 𝐴𝑠 𝑓𝑠𝑢 = 𝐴𝑠 𝑓𝑠𝑢 (𝑑 − ) 𝑘1 𝑘3 𝑓′𝑐 𝑏 Se llega a la máxima resistencia cuando la deformación específica de aplastamiento del hormigón en la última fibra de compresión es igual a 0.003. Cuándo se produce el aplastamiento, 𝜖𝑠𝑢 puede ser mayor o menor que la deformación específica de fluencia, 𝜀𝑦 = 𝑓𝑦 ⁄𝐸𝑠 .
HORMIGÓN ARMADO ACI 10.2.7.3 Para 𝑓´𝑐 entre 17 y 28 MPa, el factor 𝛽1 se debe tomar como 0.85. Para 𝑓´𝑐 superior a 28 MPa, 𝛽1 se debe disminuir en forma lineal a razón de 0.05 por cada 7 MPa, sin embargo, 𝛽1 no debe ser menor de 0.65. Para: 17 ≤ 𝑓´𝑐 ≤ 28 𝑀𝑃𝑎 → 𝛽1 = 0.85 Para: 28 < 𝑓´𝑐 ≤ 56 𝑀𝑃𝑎
Si la cantidad de armadura es lo 0.05 (𝑓´𝑐 − 28) 𝛽1 = 0.85 − suficientemente baja, la fluencia del 7 acero ocurrirá antes que el aplastamiento Para: del hormigón (condición de falla dúctil). 𝑓´𝑐 > 56 𝑀𝑃𝑎 → 𝛽1 = 0.65 Si hay grandes cantidades de armadura, primero ocurrirá el aplastamiento del hormigón, permitiendo que el acero permanezca elástico (condición de falla frágil). El código ACI318 contiene requisitos de tal forma que se pueda asegurar un modo de falla dúctil, limitando la cantidad de armadura de tracción; es decir que existe una armadura máxima para que el diseño a flexión sea dúctil. Para la condición de falla dúctil, 𝑓𝑠𝑢 es igual a 𝑓𝑦 , y la anterior ecuación se transforma en: 𝑘2 𝐴𝑠 𝑓𝑦 𝑀𝑛 = 𝐴𝑠 𝑓𝑦 (𝑑 − ) 𝑘1 𝑘3 𝑓′𝑐 𝑏 No es necesario conocer los valores de 𝑘1 , 𝑘2 y 𝑘3 de forma individual, los ensayos demuestran 𝑘 que 𝑘 𝑘2 varía entre 0.55 a 0.63.Sin embargo, para los propósitos de diseño práctico, se 1 3
recomienda utilizar un método basado en el equilibrio estático. 3.3.4.1.7) Hipótesis de diseño # 6 Los requisitos de ACI 10.2.6 se pueden considerar satisfechos con una distribución rectangular de tensiones equivalente en el hormigón definida de la siguiente manera: Se asumirá una tensión en el hormigón de 𝟎. 𝟖𝟓𝒇′𝒄 uniformemente distribuida en una zona de compresión equivalente limitada por los bordes de la sección transversal y una recta paralela al eje neutro ubicada a una distancia 𝒂 = 𝜷𝟏 𝒄 a partir de la fibra con máxima deformación específica de compresión. La distancia c entre la fibra con máxima deformación específica de compresión y el eje neutro se deberá medir en dirección perpendicular a dicho eje. El factor 𝜷𝟏 se deberá tomar igual a 0.85 para resistencia 𝒇´𝒄 de hasta 28 MPa y se deberá disminuir de forma progresiva en 0.05 por cada 7 MPa de resistencia en exceso de 28 MPa, pero 𝜷𝟏 no se deberá tomar menor que 0.65 para hormigón de resistencia mayor a 56 MPa. El código ACI318 permite usar una distribución o bloque rectangular de tensiones de compresión en reemplazo de las otras distribuciones de tensiones más exactas. El bloque copyright©rcolquea
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rectangular de tensiones equivalente, ilustrado en la figura 3.10, propuesto por Whitney47 supone una tensión uniforme de 𝟎. 𝟖𝟓𝒇′𝒄 en una profundidad 𝒂 = 𝜷𝟏 𝒄. En la figura 3.11 se ilustra la variación de 𝜷𝟏 en función de la resistencia del hormigón, 𝒇′𝒄 . El factor 𝜷𝟏 se define en ACI 10.2.7.3, es necesario para reflejar la variación de la geometría de la curva tensión – deformación para diferentes resistencias del hormigón, los hormigones de resistencia más elevada presentan una geometría más lineal, con menos comportamiento inelástico. Se debe tener en claro que 𝑀𝑛 , se define como el momento resistente teórico o nominal de una sección. Se define que la resistencia útil de un miembro es igual a su resistencia teórica multiplicada por el factor de reducción de resistencia, o sea, ∅𝑀𝑛 . La resistencia utilizable por flexión de un miembro, ∅𝑀𝑛 , al menos debe ser igual al momento factorizado calculado,𝑀𝑢. ∅𝑀𝑛 ≥ 𝑀𝑢 En base a la distribución rectangular de tensiones equivalente de la figura 3.10 y asumiendo que la armadura entra en fluencia antes del aplastamiento del hormigón (𝜖𝑠 > 𝜖𝑦 ), la resistencia nominal al momento 𝑀𝑛 se puede calcular en base a la condición de equilibrio de fuerzas y momentos. De la condición de equilibrio de fuerzas: 𝐶=𝑇 ó 0.85𝑓′𝑐 𝑎𝑏 = 𝐴𝑠 𝑓𝑦 De modo que: 𝑎=
𝐴𝑠 𝑓𝑦 0.85𝑓′𝑐 𝑏
Dónde: 𝜌𝑓𝑦 𝑑 𝐴𝑠 ;𝑎 = 𝑏𝑑 0.85𝑓′𝑐 De la condición de equilibrio de momentos: 𝑎 𝑎 𝑀𝑛 = (𝐶 ó 𝑇) (𝑑 − ) = 𝐴𝑠 𝑓𝑦 (𝑑 − ) 2 2 Y la resistencia útil a flexión es: 𝑎 𝑎 ∅𝑀𝑛 = ∅(𝐶 ó 𝑇) (𝑑 − ) = ∅𝐴𝑠 𝑓𝑦 (𝑑 − ) 2 2 Sustituyendo ecuaciones y 𝐴𝑠 = 𝜌𝑏𝑑 ∅𝑀𝑛 = 𝑀𝑢 Obtenemos la siguiente expresión: 𝑓𝑦 𝜌 𝑀𝑢 = ∅𝑏𝑑2 𝑓𝑦 𝜌 (1 − ) 1.7𝑓′𝑐 𝜌=
47
e
igualamos:
(Whitney, 1942, págs. 251-326) copyright©rcolquea
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Despejando 𝜌 (porcentaje de acero requerido para una viga rectangular) se obtiene la siguiente ecuación, que es la más importante para el diseño de vigas rectangulares. 𝜌 = 0.85
𝑓´𝑐 2𝑀𝑢 (1 − √1 − ) 𝑓𝑦 ∅0.85𝑓´𝑐 𝑏𝑑 2
𝐴
Reemplazando 𝜌 = 𝑏𝑑𝑠 , hallamos el área de acero estrictamente necesaria: 𝐴𝑠 = 0.85
𝑓´𝑐 2𝑀𝑢 (1 − √1 − ) 𝑏𝑑 𝑓𝑦 ∅0.85𝑓´𝑐 𝑏𝑑 2
Reemplazando de acuerdo a la condición de equilibrio de fuerzas obtenemos: 𝐴𝑠 𝑓𝑦 𝑀𝑛 = 𝐴𝑠 𝑓𝑦 (𝑑 − 0.59 ) 𝑓′𝑐 𝑏
Figura 3.10 - Distribución rectangular equivalente de los esfuerzos en el hormigón (ACI)
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0.9 0.8 0.7 0.6
𝛽1
0.5 0.4 0.3
0.2 0.1 0 0
10
20
30
40
50
𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛, 𝑓´𝑐 (MPa)
60
70
80
Figura 3.11 – Factor de resistencia
Se puede notar que el valor 0.59 corresponde a
𝑘2 𝑘1 𝑘3
. Reemplazando 𝐴𝑠 = 𝜌𝑏𝑑, la ecuación se
puede escribir de la siguiente manera de forma adimensional: Si: 𝑓𝑦 𝜔=𝜌 𝑓´𝑐 𝑓𝑦 𝑓𝑦 𝑀𝑛 𝑀𝑛 = 𝜌 (1 − 0.59 𝜌 ) → = 𝜔(1 − 0.59 𝜔) 𝑏𝑑2 𝑓´𝑐 𝑓´𝑐 𝑓´𝑐 𝑏𝑑2 𝑓´𝑐 Como: 𝑀𝑢 ∅ 𝑓𝑦 𝑓𝑦 𝑀𝑢 𝑀𝑢 = 𝜌 (1 − 0.59 𝜌 ) → = 𝜔(1 − 0.59 𝜔) 2 ∅𝑏𝑑 𝑓´𝑐 𝑓´𝑐 𝑓´𝑐 ∅𝑏𝑑 2 𝑓´𝑐 𝑀𝑛 ≥
3.3.5) SECCIONES BALANCEADAS, SECCIONES CONTROLADAS POR TRACCIÓN Y SECCIONES CONTROLADAS POR COMPRESIÓN O SECCIONES FRÁGILES Si un miembro tiene una proporción balanceada de acero es aquella en la cual el acero de tracción teóricamente alcanzará su punto de cedencia, al mismo tiempo en que las fibras extremas del hormigón en compresión alcanza una deformación unitaria de 0.003. Si un miembro de hormigón está controlado por su lado de compresión, es aquella en la cual su deformación unitaria en compresión alcanza 0.003 antes de que el acero ceda, en este caso el miembro puede fallar repentinamente sin previo aviso. A medida que la carga aumenta en este tipo de secciones sus deflexiones no serán muy notable, aun cuando el hormigón queda sometido a esfuerzos de compresión muy altos. copyright©rcolquea
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Los miembros controlados por compresión se llaman también secciones frágiles, obviamente estas secciones deben ser evitadas. Si un miembro de hormigón está controlado por el lado de tracción, es aquella en la que su deformación unitaria en tracción sea al menos igual a 0.005 y la deformación unitaria en el hormigón igual a 0.003, los miembros controlados por tracción se llaman también secciones dúctiles. Para estos miembros el acero cederá antes de que el lado de compresión se aplaste, los miembros de hormigón armado deben ser diseñados bajo estas condiciones por que las deflexiones son grandes y la falla no es repentina, ver figura 3.12.
Figura 3.12 – Deformación unitaria de la sección transversal para cada falla
3.3.6) FACTORES DE REDUCCIÓN DE RESISTENCIA ϕ Los factores de reducción de resistencia se utilizan para tomar en consideración la incertidumbre de que la resistencia de un elemento sea menor que la supuesta debido a: las variaciones en las resistencias de los materiales las imprecisiones de las ecuaciones de diseño
el grado de ductilidad y la confiabilidad requerida del elemento cargado la importancia del elemento dentro de la estructura Las aproximaciones del análisis Las variaciones posibles en sus dimensiones y la colocación de refuerzo La importancia de los miembros en las estructuras.
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UMSS CASO (ACI 9.3) Losas y vigas controladas por tracción Para corte y torsión en vigas Secciones controladas por compresión o columnas Elementos con armadura en espiral Otros elementos armados Para soporte en hormigón Modelo de bielas y tirantes Hormigón estructural simple longitudes de desarrollo de la armadura y longitudes de empalme
HORMIGÓN ARMADO ∅ 0.9 0.75 0.75 0.65 0.65 0.75 0.60 No se requiere factor ∅
Figura 3.13 - Factores de reducción de la resistencia φ para el Método de Diseño por Resistencia
Para losas y vigas dúctiles o controladas por tracción donde 𝜖𝑡 ≥ 0.005, el valor de ∅ para flexión es 0.9; la figura 3.14, que es similar a la figura R.9.3.2 del comentario de la ACI. Un cambio significativo que se oficializo desde el código ACI318-08 es el incremento del factor de resistencia para miembros con estribos espirales, está liberalización fue reconocer el desempeño superior de las columnas con refuerzo en espiral cuando estén sujetas a cargas extraordinarias48. Miembros sujetos a cargas axiales menores o iguales que 0.10𝑓´𝑐 𝐴𝑔 pueden usarse solo cuando 𝜖𝑡 sea mayor a 0.004; si los miembros están sujetos a cargas axiales mayores a 0.10𝑓´𝑐 𝐴𝑔 están controlados por compresión, por lo tanto 𝜖𝑡 es menor que 0.002 y cuándo 𝜖𝑡 está entre 0.002 y 0.005 está en un intervalo de transición lineal, es decir entre las secciones controlas por tracción y las secciones controladas por compresión, recordar que cuándo las secciones están en el dominio de la tracción 𝜖𝑡 es mayor que 0.005. El estudiante debe entender claramente que el uso de miembros a flexión en el intervalo de transición es por lo general antieconómico, por eso es probablemente mejor, si la situación lo permite, aumentar las profundidades del miembro y/o disminuir los porcentajes de acero hasta que 𝜖𝑡 sea igual o mayor que 0.005. Si se sigue el anterior consejo, no sólo los valores de ∅ serán iguales a 0.9, sino que también los porcentajes de acero no serán tan grandes como para causar la aglomeración de las varillas de refuerzo. El resultado será secciones de hormigón ligeramente mayores, deflexiones más pequeñas y la adherencia del refuerzo con el hormigón se incrementará en comparación con miembros con porcentajes altos de acero.
48
(Wigth, 2007) copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO 1
0,95
0,9 0,85 0,8
Espiral del código 2008 0,75
Espiral del código 2005
= 0,65 +
𝑡
− 0,002
250 3
φ
0,7 0,65
= 0,65 +
Otro
0,6
𝑡
− 0,002
250 3
𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎 < 0,10𝑓´𝑐 𝐴𝑔
0,55
𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎
0,5 0,45
𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛
𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛
𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛
0,4
0,35 0
0,001
0,002
0,003
𝑐 = 0,600 𝑑
0,004
0,005
𝑐 = 3/7 𝑑
𝑐 = 0,375 𝑑
0,006
0,007 εt
Figura 3.14 - Variación de φ en función de la deformación neta por tracción, 𝜀𝑡 , y de la relación 𝑐/𝑑𝑡 para armaduras de acero Grado 420 ó 60
FACTOR DE REDUCCIÓN ∅ EN FUNCÍON DE LA DEFORMACIÓN UNITARIA NETA DE TRACCIÓN EN EL ACERO MAS TRACCIONADO La figura 3.14 muestra el factor de reducción de resistencia cuándo 𝜖𝑦 es igual a 0.002, es decir para acero de grado 420, la figura 3.15 muestra el factor de reducción de resistencia para todo tipo de aceros
ACI R.9.3.2
𝜖𝑡 ≥ 0.005
𝜖𝑦 =
𝑓𝑦 ≤ 𝜖𝑡 < 0.005 𝐸𝑠
𝜖𝑡 < 𝜖𝑦 =
𝑓𝑦 𝐸𝑠
Para todo miembro ∅ = 0.9 Para miembros espirales 0.15 ∅ = 0.75 + (𝜖𝑡 − 𝜖𝑦 ) (0.005 − 𝜖𝑦 ) Para otros miembros 0.25 ∅ = 0.65 + (𝜖𝑡 − 𝜖𝑦 ) (0.005 − 𝜖𝑦 ) Para miembros espirales ∅ = 0.75 Para otros miembros ∅ = 0.65
Figura 3.15 – Factor de reducción de resistencia para todo tipo de acero
FACTOR DE REDUCCIÓN ∅ EN FUNCÍON DEL COCIENTE DE LA PROFUNDIDAD DE COMPRESIÓN Y EL PERALTE EFECTIVO DEL ACERO MAS TRACCCIONADO. copyright©rcolquea
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La figura 3.14 también muestra el factor de reducción de resistencia cuándo 𝑐⁄𝑑𝑡 es 0.60, es decir para acero de grado 420, la figura 3.16 muestra el factor de reducción de resistencia para todo tipo de acero. Si 𝑐 ⁄𝑑𝑡 es menor que 0.375 la viga es dúctil y si 𝑐 ⁄𝑑𝑡 es mayor que 0.6 el diseño es frágil.
ACI R.9.3.2
𝑐⁄𝑑𝑡 ≤
3 8
Para todo miembro ∅ = 0.9
3 0.003 ≤ 𝑐⁄𝑑𝑡 < 8 0.003 + 𝑓𝑦 ⁄𝐸𝑠
𝑐⁄𝑑𝑡 >
0.003 0.003 + 𝑓𝑦 ⁄𝐸𝑠
Para miembros espirales 1 5 ∅ = 0.75 + 0.15 − 𝑐⁄𝑑𝑡 3 Para otros miembros 1 5 ∅ = 0.65 + 0.25 − 𝑐 ⁄ 𝑑𝑡 3 Para miembros espirales ∅ = 0.75
Para otros miembros ∅ = 0.65
Figura 3.16 – Factor de reducción de resistencia para todo tipo de acero, para c/dt
AREA DE ACERO MÁXIMO PARA SECCIONES DÚCTILES, 𝜖𝑡 = 0.005 La figura 3.17 muestra las condiciones para el área de acero máximo, para secciones dúctiles, donde la deformación unitaria neta del acero más traccionado es igual a 0.005.
Figura 3.17 - Condición de deformación unitaria, se debe notar que 𝒅𝒕 es el peralte efectivo respecto al acero que está más cerca de la cara de tracción
De la figura 3.17, para una deformación unitaria neta del acero más traccionado 𝜖𝑡 = 0.005, la relación 𝑐⁄𝑑𝑡 = 0.375. Dónde: 𝑐 = 0.375𝑑𝑡
𝑎 = 𝛽1 𝑐 copyright©rcolquea
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Reemplazando c en a: 𝑎 = 𝛽1 0.375𝑑𝑡 Por equilibrio de fuerzas: 0.85𝑓′𝑐 𝑎𝑏 = 𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥𝑡 𝑓𝑦 → 𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥𝑡 =
0.85𝑓′𝑐 𝑎𝑏 𝑓𝑦
El área de acero máximo para vigas que pertenecen al dominio de la tracción: 0.85𝑓′𝑐 𝛽1 0.375𝑑𝑡 𝑏 3 0.85𝛽1 𝑓′𝑐 𝑏𝑑𝑡 𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥𝑡 = → 𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥𝑡 = 𝑓𝑦 8 𝑓𝑦 Como: 𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥𝑡 = 𝜌𝑚𝑎𝑥𝑡 𝑏𝑑𝑡 → 𝜌𝑚𝑎𝑥𝑡 =
3 0.85𝛽1 𝑓′𝑐 8 𝑓𝑦
Se define la cuantía mecánica como: 𝑓𝑦 3 0.85𝛽1 𝑓′𝑐 𝑓𝑦 𝜔𝑚𝑎𝑥𝑡 = 𝜌𝑚𝑎𝑥𝑡 → 𝜔𝑚𝑎𝑥𝑡 = → 𝜔𝑚𝑎𝑥𝑡 = 0.319𝛽1 𝑓´𝑐 8 𝑓𝑦 𝑓´𝑐 La condición para que el acero más traccionado este en el dominio de la tracción o sea un diseño dúctil es:
ACI 10.3.4 EL DISEÑO ES DÚCTIL SI:
ϵt ≥ 0.005 𝑎 𝑎𝑡 3 ≤ = 𝛽 𝑑 𝑑𝑡 8 1
AREA DE ACERO ESTRICTAMENTE MÁXIMA PARA ARMADURA DE FLEXIÓN, 𝜖𝑡 = 0.004 La figura 3.18 muestra las condiciones para el área de acero máximo, para secciones dúctiles, donde la deformación unitaria neta del acero más traccionado es igual a 0.004.
Figura 3.18 - Condición de deformación unitaria para para área de acero máximo
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De la figura 3.18, para una deformación unitaria neta del acero más traccionado 𝜖𝑡 = 0.004, la relación 𝑐⁄𝑑𝑡 = 3/7. Dónde: 3 𝑐 = 𝑑𝑡 𝑎 = 𝛽1 𝑐 7 Reemplazando c en a: 3 𝑎 = 𝛽1 𝑑𝑡 7 Por equilibrio de fuerzas: 0.85𝑓′𝑐 𝑎𝑏 0.85𝑓′𝑐 𝑎𝑏 = 𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥 𝑓𝑦 → 𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥 = 𝑓𝑦 Reemplazando: 3
𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥 =
0.85𝑓′𝑐 𝛽1 7 𝑑𝑡 𝑏 𝑓𝑦
→ 𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥 =
3 0.85𝛽1 𝑓′𝑐 𝑏𝑑𝑡 7 𝑓𝑦
Como: 𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥 = 𝜌𝑚𝑎𝑥 𝑏𝑑𝑡
𝜌𝑚𝑎𝑥 =
3 0.85𝛽1 𝑓′𝑐 7 𝑓𝑦
Se define la cuantía mecánica como: 𝜔𝑚𝑎𝑥 = 𝜌𝑚𝑎𝑥
𝑓𝑦 𝑓´𝑐
Reemplazando: 𝜔𝑚𝑎𝑥 =
3 0.85𝛽1 𝑓′𝑐 𝑓𝑦 3 → 𝜔𝑚𝑎𝑥 = 0.85𝛽1 → 𝜔𝑚𝑎𝑥 = 0.364𝛽1 7 𝑓𝑦 𝑓´𝑐 7
La condición para que el acero más traccionado este en el dominio para que sea una viga simple armada y que el factor de reducción este en un periodo de transición es: ACI 10.3.5 LA SECCIÓN ES SIMPLEMENTE ARMADA SI:
ϵt ≥ 0.004 𝑎 𝑎𝑡 3 ≤ = 𝛽 𝑑 𝑑𝑡 7 1
IMPACTO DEL FACTOR ∅ VARIABLE SOBRE LA CAPACIDAD DE MOMENTO DE LA VIGA El impacto del factor ∅ sobre la capacidad de la viga se muestra en la figura 3.19; en la figura se muestran dos curvas: 1) la primera sin la aplicación del factor ∅ 2) la segunda con la aplicación del factor ∅. El punto A corresponde a una deformación unitaria por tracción, 𝜖𝑡 = 0.005 y 𝜌 = 0.0135, la respectiva cuantía es la máxima para que ∅ = 0.9 ; si la cuantía es mayor que 0.0135 ∅ decrece tan bajo como 0.65. copyright©rcolquea
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El punto B muestra cuando 𝜖𝑡 = 𝜖𝑦 , en este punto el valor de ∅ es igual a 0.65. El punto C corresponde a 𝜖𝑡 = 0.004, que implica a miembros a flexión con cargas axiales bajas, la cuantía en el punto C es la máxima (0.0155) que permite el código ACI318-11. En la figura 3.19 se puede notar que se gana muy poca capacidad de momento al añadir área de acero por encima del punto A, las disposiciones del factor variable ∅ esencialmente permite un valor casi constante de ∅𝑀𝑛 cuando 𝜖𝑡 es menor que 0.005, es importante que el estudiante sepa esto porque por lo general el acero provisto es mayor que el acero requerido. Si la pendiente entre los puntos A y C fuera negativa, el diseñador no podría usar un área mayor, pero se observa que la pendiente es ligeramente positiva, por tanto el diseñador puede aumentar el área de acero con la confianza de que la capacidad de diseño no se reduce. 0,400
Cuántia máxima; 0,0155 0,350
𝑀𝑛 𝑓´𝑐 𝑏𝑑2
Valores de M/f'c bd^2
0,300
𝐶 𝜀𝑡=0,004
0,250
𝑀𝑛 𝑓´𝑐 𝑏𝑑2
0,200
B; 0,0213; 0,21
A; 0,0135; 0,204
𝑡=0,002
𝑡=0,005 0,150
0,100
0,050
𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎 𝑓′𝑐 = 21 𝑀𝑃𝑎 0,000 0,0000
0,0050
0,0100
0,0150
0,0200
0,0250
0,0300
Cuantia de acero ρ=As/bd
Figura 3.19 - Capacidad de resistencia a momento versus cuantía de acero49
Para aceros de 𝑓𝑦 = 525 𝑀𝑃𝑎 y mayores, la pendiente entre los puntos A y B en la figura 3.19 es negativa, es importante al usar acero de refuerzo de alta resistencia verificar su diseño final, para estar seguros de que el acero seleccionado no resulte en una capacidad de momento menor que el valor de diseño. Casi siempre resulta ventajoso limitar la deformación específica neta de tracción en los elementos solicitados a flexión a un mínimo de 0,005, aun cuando el código permite porcentajes de armadura más elevados que producen menores deformaciones netas de tracción. Si las dimensiones del elemento están limitadas pero se requiere resistencia adicional, la mejor
49
(American Concrete Institute, 2008, pág. 125) copyright©rcolquea
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UMSS solución consiste en usar armadura de compresión para limitar la deformación neta de tracción de modo que la sección sea controlada por tracción.
HORMIGÓN ARMADO ACI 10.5.1 Área de acero mínimo para vigas sometidas a flexión: Para:
3.3.7) PORCENTAJE MÍNIMO DE ACERO 1.4 𝑓´𝑐 ≤ 31.36 𝑀𝑃𝑎 → 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 𝑏 𝑑 Debido a requisitos arquitectónicos o 𝑓𝑦 𝑤 funcionales, se seleccionan dimensiones para las Para: vigas que son mucho mayores que las requeridas sólo para resistir los momentos (flexión), estos √𝑓´𝑐 𝑓´𝑐 > 31.36 𝑀𝑃𝑎 → 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 𝑏 𝑑 miembros teóricamente requieren muy poco 4𝑓𝑦 𝑤 refuerzo. Cuantía mínima para vigas sometidas a En la realidad existe un cuarto tipo de falla, que flexión: puede ocurrir en vigas ligeramente reforzadas, Para: está falla ocurre cuando el momento resistente 1.4 último de la sección es menor que su momento 𝑓´𝑐 ≤ 31.36 𝑀𝑃𝑎 → 𝜌𝑚𝑖𝑛 = 𝑓𝑦 de agrietamiento, en este caso la sección fallara tan pronto cuándo se forme la primera grieta y Para: esta falla ocurre repentinamente. √𝑓´𝑐 𝑓´𝑐 > 31.36 𝑀𝑃𝑎 → 𝜌𝑚𝑖𝑛 = Para evitar este tipo de falla la ACI 10.5.1 4𝑓𝑦 específica cierta cantidad mínima de refuerzo ACI 10.5.3 que se debe usarse en cada sección sometida a Establece que el ACI 10.5.1 no debe flexión, sólo donde se requiera refuerzo a cumplirse si y solo si el área de refuerzo tracción a momento negativo o positivo, donde de tensión provisto en cada sección es se necesite refuerzo a compresión no es por lo menos un tercio mayor que el necesario está disposición. En las siguientes área requerida por momento. ecuaciones 𝑏𝑤 representa el ancho del alma de las vigas. La cuantía mínima se encuentra en las tablas que están en el apéndice. El ACI 10.5.4 establece que para losas y zapatas de espesor uniforme, el área mínima de refuerzo por tracción en la dirección del claro está definida por ACI 7.12.2.1, está sección también sirve para refuerzo por contracción y temperatura. 3.3.8) PORCENTAJE DE ACERO DE EQUILIBRIO Se define el porcentaje de acero en equilibrio cuándo la deformación unitaria en la última fibra a compresión es igual a 0.003 y la deformación unitaria neta en el acero más traccionado es igual a 0.002; bajo estas condiciones se da el porcentaje de acero balanceado o equilibrado. Bajo estas condiciones, para carga última, teóricamente la falla está en el dominio de la compresión, la falla será frágil porque primero fallará el hormigón, la figura 3.20 muestra la condición de deformación balanceada.
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Figura 3.20 - Condición de deformación balanceada en flexión 𝑓𝑦
De la figura 3.20, para una deformación unitaria neta del acero más traccionado 𝜖𝑡 = 𝜖𝑦 = 𝐸 , 𝑠
𝑓𝑦
la relación 𝑐⁄𝑑𝑡 = 0.003/ (0.003 + 𝐸 ). 𝑠
Dónde: 0.003
𝑐=
𝑓𝑦
0.003 + 200000
𝑑𝑡
𝑎 = 𝛽1 𝑐
Reemplazando c en a: 𝑎 = 𝛽1
0.003 𝑓𝑦
0.003 + 200000
𝑑𝑡 → 𝑎 = 𝛽1
600 𝑑 600 + 𝑓𝑦 𝑡
Por equilibrio de fuerzas: 0.85𝑓′𝑐 𝑎𝑏 𝑓𝑦
0.85𝑓′𝑐 𝑎𝑏 = 𝐴𝑠𝑏 𝑓𝑦 → 𝐴𝑠𝑏 = Reemplazando: 600
𝐴𝑠𝑏 =
0.85𝑓′𝑐 𝛽1 600+𝑓 𝑑𝑡 𝑏 𝑦
𝑓𝑦
El área de acero estricto máximo para vigas: 𝐴𝑠𝑏 = (
0.85𝑓′𝑐 𝛽1 600 )( )𝑑 𝑏 𝑓𝑦 600 + 𝑓𝑦 𝑡
Como: 𝐴𝑠𝑏 = 𝜌𝑏 𝑏𝑑𝑡 Reemplazando:
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HORMIGÓN ARMADO 0.85𝑓′𝑐 𝛽1 600 𝜌𝑏 = ( )( ) 𝑓𝑦 600 + 𝑓𝑦
Se define la cuantía mecánica balanceada como: 𝜔𝑏 = 𝜌𝑏
𝑓𝑦 𝑓´𝑐
Reemplazando: 𝑓𝑦 0.85𝑓′𝑐 𝛽1 600 600 𝜔𝑏 = ( )( ) → 𝜔𝑏 = 0.85𝛽1 ( ) 𝑓𝑦 600 + 𝑓𝑦 𝑓´𝑐 600 + 𝑓𝑦 Los valores de cuantía balanceada para diferentes resistencias de acero y hormigón se encuentran en el apéndice C. La condición para que el acero más traccionado fluya es:
ACI 10.3.3 EL ACERO A TRACCIÓN FLUYE SI:
ϵt ≥ ϵy 𝑎 𝑎𝑏 600 ≤ = 𝛽1 𝑑 𝑑𝑡 600 + 𝑓𝑦
3.4) DISEÑO DE VIGAS RECTANGULARES Y LOSAS EN UNA DIRECCIÓN 3.4.1) CRITERIOS DE DISEÑO ÓPTIMO A continuación analizaremos las dimensiones, deflexiones, peso de la viga, distribución de aceros, recubrimiento y la separación mínima y máxima de las barras de acero.
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UMSS 3.4.1.1) Dimensiones de la viga Las secciones más económicas para vigas cortas de luces de 6 a 8 metros se obtiene con las 𝑏 relación de 𝑑 = 0.3 ≈ 0.6, para luces mayores, por lo general se obtiene vigas económicas si se usan secciones de gran altura y bases estrechas, las alturas pueden ser de tres o cuatro veces la base. Las dimensiones de las vigas deben ser escogidas cada 25 mm, porque es más fácil construir y más fácil de armar el encofrado, los anchos de las vigas se deben escoger cada 50 mm o 75 mm.
HORMIGÓN ARMADO ACI 9.5.2.1
TABLA 9.5(a) - ALTURAS O ESPESORES MÍNIMOS DE VIGAS NO PREESFORZADAS O LOSAS REFORZADAS EN UNA DIRECCIÓN A MENOS QUE SE CALCULEN Espesor mínimo, h Simpleme Con un nte extremo apoyados continuo
Ambos extremos En voladizo continuos
Elementos que no soporten o estén ligados a divisiones u otro tipo de elementos susceptibles de dañarse debido a deflexiones grandes.
Elementos 3.4.1.2) Deflexiones Losas El tema de deflexiones es muy amplio, las 𝒍 𝒍 𝒍 𝒍 macizas en deflexiones se analizan como el Estado Límite una 𝟐𝟒 𝟐𝟖 𝟏𝟎 𝟐𝟎 último de Servicio (ELUS), el estudiante debe dirección Vigas o investigar este tema, también se debe conocer 𝒍 𝒍 𝒍 𝒍 losas que los programas de análisis estructural como el nervadas 𝟏𝟔 𝟏𝟖.𝟓 𝟐𝟏 𝟖 SAP 15, ETABS 9.6, etc., no calculan las en una deflexiones reales. NOTAS: La sección de la ACI 9.5.2.1 muestra las Los valores dados en esta tabla se deben usar directamente recomendaciones sobre espesores mínimos de en elementos de concreto de peso normal y refuerzo grado 420 Mpa. Para otras condiciones, los valores deben vigas y losas en una sola dirección, si utiliza la (a) Para concreto liviano estructural con densidad w c dentro tabla 9.5 (a) de la ACI 9.5.2.1 no es necesario del rango de 1440 a 1840 kg/m³, los valores de la tabla calcular las deflexiones. El objetivo de limitar deben multiplicarse por (1,65 - 0,0003wc), pero no los espesores es de prevenir las deflexiones que menos 1.09. de 420 Mpa, los valores de esta tabla (b) Parade fy distinto comprometan el uso de la estructura y causen deben multiplicarse por (0,4 + fy /700). daño, al pie de la tabla 9.5 (a) se define una variación del espesor mínimo para concretos de otros pesos y límites de elasticidad diferente. Para miembros que no son de soporte o miembros adheridos, no se puede utilizar la tabla 9.5 (a), porque es más susceptible de ser dañada por grandes deflexiones. Las sugerencias de la tabla 9.5 (a) son por lo general anti económicas, algunos ingenieros recomiendan la altura mínima de una viga como ℎ𝑚𝑖𝑛 = 𝑙/12.
3.4.1.3) Estimación del peso de la viga El peso propio de la viga debe incluirse en el cálculo de vigas a flexión, el peso propio de la viga debe agregarse a la carga muerta, para estimar el peso propio de la viga se debe definir la altura y la base de la viga a analizar y conocer la densidad de peso normal o densidad de equilibrio de hormigón liviano, por lo general el peso propio para concreto de peso normal es de 𝑤𝑐 = 2400 𝑘𝑔𝑓/𝑚3 . El peso propio de una viga rectangular se puede calcular mediante la siguiente expresión: 𝐷𝑜 = 𝑏ℎ𝑤𝑐
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UMSS El valor calculado de peso propio por lo general no es muy exacto debido a las barras de refuerzo, el peso calculado puede tener un error considerable entre 1% a 1.5%.
HORMIGÓN ARMADO ACI 8.5.1 Los valores de 𝑤𝑐 están comprendidos entre 1440 𝑦 2560 𝑘𝑔/𝑚3 ACI 7.7.1
3.4.1.4) Selección de varillas Se recomienda usar varillas menores a 20 mm de diámetro porque son más funcionales, lo ideal es usar varillas de un solo tamaño, aunque por lo general se utilizan varillas de dos tamaños. Las varillas de compresión y estribos son por lo general de diferente tamaño, las consideraciones mencionadas se acatan para facilitar el armado a los trabajadores.
Concreto construido en sitio (no preesforzado) A menos que en 7.7.6 ó 7.7.8 se exija un recubrimiento mayor, el recubrimiento no debe ser menor que: (a) Concreto colocado contra el suelo y expuesto permanentemente a él (b) Concreto expuesto a suelo o a la intemperie: Barras No. 19 a No. 57 Barras No. 16, alambre MW200 ó MD200 y menores (c) Concreto no expuesto a la interperie ni en contacto con el suelo: Losas, muros, viquetas: Barras No. 43 y No. 57 Barras No. 36 y menores Vigas, columnas: Armadura principal, estribos, espirales Cáscaras y placas plegadas: Barra No. 19 y menores Barra No. 16, alambres NW200 ó MD200 y menores
75 mm
50 mm 40 mm
3.4.1.5) Recubrimiento El refuerzo de miembros, en nuestro caso 40 mm vigas sometidas a flexión debe protegerse contra la corrosión y el fuego, para lograr esto el refuerzo se debe poner a una cierta distancia 20 mm desde la cara de hormigón, de manera que exista una capa protectora de hormigón 40 mm llamada recubrimiento. Además el recubrimiento mejora la adherencia entre el hormigón y el refuerzo, la ACI 7.7.1 20 mm proporciona recubrimientos mínimos para refuerzos bajo diferentes condiciones, por 13 mm ejemplo el hormigón expuesto a agua de mar requiere más recubrimiento que el hormigón no expuesto a la interperie, el hormigón de miembros expuestos a sales descongelantes, aguas salobres, agua de mar o rocío de estas fuentes debe tener recomendaciones especiales definidas en ACI del capítulo 4. CASO 1: DISTANCIA MÍNIMA AL BORDE, VARILLAS LONGITUDINALES EN UN NIVEL En la figura 3.21 se muestra la sección transversal de una viga con su respectivo estribo y barras de tracción, de la figura definimos la distancia mínima al borde. Es importante observar que el radio interior mínimo del estribo de 90 grados, doblado alrededor de las varillas longitudinales exteriores, es dos veces el diámetro del estribo, 2∅𝑒𝑠𝑡 , como consecuencia, cuando las varillas longitudinales son menores de 44 mm, habrá un espacio entre el refuerzo a tensión y los estribos, esto se basa en la hipótesis de que la varilla longitudinal exterior está centrada sobre el punto horizontal de tangencia del doblez en la esquina del estribo. La distancia horizontal desde el centro de las varillas longitudinales exteriores al borde del concreto se puede determinar como sigue: 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑎 𝑎𝑙 𝑏𝑜𝑟𝑑𝑒 = 𝑟𝑒𝑐𝑢𝑏𝑟𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 + ∅𝑒𝑠𝑡 + 2∅𝑒𝑠𝑡
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UMSS Las varillas en la parte superior son perchas colocadas en el lado de compresión, su propósito es proveer soporte a los estribos.
HORMIGÓN ARMADO ACI3.3.2 Define el tamaño máximo nominal del agregado grueso 1 𝑥 5 1 ∅𝑚𝑎𝑥𝑎𝑔𝑟 = 𝑚𝑖𝑛 ℎ 3 𝑓 3 {4 𝑆𝑚𝑖𝑛 ACI 7.6.1 La separación mínima para vigas está definida por: ∅ 𝑆𝑜 = 𝑚𝑎𝑥 { 𝑙𝑜𝑛𝑔 25 𝑚𝑚 𝑆𝑜 𝑆𝑚𝑖𝑛 = 𝑚𝑖𝑛 {4 ∅ 3 𝑚𝑎𝑥𝑎𝑔𝑟 ACI 7.6.2 Separación libre entre capas superiores e inferiores: 𝑠 = 25 𝑚𝑚
Figura 3.21 – Distancia mínima al borde, varillas longitudinales en un nivel
ACI 10.6.4 Define el espaciamiento máximo de las barras y está dado por: 280 280 𝑆𝑚𝑎𝑥 = 380 − 2.5𝑐𝑐 ≤ 300 𝑓𝑠 𝑓𝑠
CASO 2: DISTANCIA MÍNIMA AL BORDE, VARILLAS LONGITUDINALES DESFAZADAS 2 Dónde:𝑐𝑐 = 𝑟𝑒𝑐 + ∅𝑒𝑠𝑡 → 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 La figura 3.22 muestras la distribución de 3 varillas longitudinales desfasadas, de la respectiva figura determinaremos la distancia mínima al borde, se observa en la figura que las varillas longitudinales no están distribuidas sobre el punto de tangencia horizontal del estribo, las varillas longitudinales de borde están ubicadas justo en el doblez de estribo, por lo que ya no se considera el espacio entre el estribo y la varilla longitudinal de borde, 2∅𝑒𝑠𝑡 , La distancia horizontal desde el centro de las varillas longitudinales exteriores al borde del concreto se puede determinar como sigue: 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑎 𝑎𝑙 𝑏𝑜𝑟𝑑𝑒 = 𝑟𝑒𝑐𝑢𝑏𝑟𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 + ∅𝑒𝑠𝑡 + ∅𝑙𝑜𝑛𝑔 /2
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Figura 3.22 – Distancia mínima al borde, varillas longitudinales desfazadas
3.4.1.6) Separación, separación mínima y máxima entre varillas El fin principal de la separación mínima es permitir que el hormigón pase entre las varillas longitudinales. Se define la separación máxima para controlar la fisuración, intentan limitar el agrietamiento superficial a un ancho que es generalmente aceptable en la práctica pero que puede variar ampliamente dentro de una estructura dada. Conviene a veces usar recubrimientos y separaciones mayores entre las varillas que los valores mínimos especificados, para reducir así las longitudes de desarrollo. El código ACI 7.6 establece la separación mínima entre varillas longitudinales a tracción, ACI 3.3.2 establece los tamaños máximos permisibles del agregado y el ACI 10.6.4 establece la separación máxima entre varillas que trabajan a tracción. CASO 1: SEPARACIÓN PROVISTA, PARA VARILLAS LONGITUDINALES EN UN NIVEL Determinar la separación provista para el caso 1, es una consecuencia directa de la distancia mínima al borde del caso 1, en el que se define las características de la geometría de las varillas longitudinales, en este caso se considera el espacio entre el estribo y la varilla longitudinal, ver figura 3.23. 𝑆=
𝑏 − 2𝑟𝑒𝑐 − 2∅𝑒𝑠𝑡 − 2 (2∅𝑒𝑠𝑡 −
∅𝑙𝑜𝑛𝑔 2
) − 𝑛∅𝑙𝑜𝑛𝑔
𝑛−1
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Figura 3.23 – Separación para varillas longitudinales en un nivel
CASO 2: SEPARACIÓN PROVISTA, PARA VARILLAS LONGITUDINALES DESFAZADAS Determinar la separación provista para el caso 2, es una consecuencia directa de la distancia mínima al borde, en el que se define las características de la geometría de las varillas longitudinales, en este caso no se considera el espacio entre el estribo y la varilla longitudinal porque no existe ningún espacio, ver figura 3.24. 𝑏 − 2𝑟𝑒𝑐 − 2∅𝑒𝑠𝑡 − 𝑛∅𝑙𝑜𝑛𝑔 𝑆= 𝑛−1
Figura 3.24 – Separación para varillas longitudinales desfasadas
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En los ejercicios resueltos del presente documento, para determinar la separación entre varillas se toma en cuenta que la posición de las varillas está desfasada, es decir se aplica el caso 2. En la figura 3.25 se presenta las maneras de armado de las varillas, la separación libre entre capas y paquetes de varillas.
ACI 8.4 Redistribucíon de momentos elementos sometidos a flexión
en
ACI 8.4.1 Excepto cuándo se empleen valores aproximados delos momentos, se permite redistribuir los momentos mayorados calculados por medio de la teoría elástica, en: %𝑑𝑖𝑠𝑡 = 1000𝜖𝑡 7.5% ≤ %𝑑𝑖𝑠𝑡 ≤ 20% ACI 8.4.2 La redistribución de momentos debe hacerse solo si: 𝜖𝑡 > 0.0075
Figura 3.25 – Separación mínima entre barras
3.4.1.7) Redistribución de momentos La redistribución de momentos depende de una adecuada ductilidad en las zonas de articulación plástica. Estas zonas de articulación plástica se desarrollan en secciones de momento máximo positivo o negativo y provocan un cambio en el diagrama de momentos elásticos. El resultado habitual es una reducción en los valores de los momentos máximos negativos en las zonas de los apoyos, y un incremento en los valores de los momentos positivos entre apoyos con respecto a los calculados por el análisis elástico. La sección de la ACI 8.4 se dan las recomendaciones de distribución de momentos. 3.4.1.8) Cuantía económica de acero La experiencia de varios constructores de hormigón armado ha demostrado que la cuantía ideal de área de acero debe estar alrededor de: 𝑓´𝑐 𝜌 = 0.18 𝑓𝑦 O tal vez: 𝜌 = 0.375𝜌𝑏 copyright©rcolquea
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Para las cuantías mencionadas las secciones transversales de las vigas serán suficientemente grandes como para que las deflexiones sean un problema, pueden usarse mayores porcentajes de acero y secciones más pequeñas de vigas en claros cortos donde las deflexiones no presenten problema, pero cualquiera que sea el porcentaje utilizado, los miembros resultantes deberán revisarse cuidadosamente para detectar deflexiones. No se requieren revisar las deflexiones si se respetan las alturas mínimas del ACI. Si las áreas de acero provisto son bastante pequeñas, será poco problemático acomodar las varillas en las vigas, se evitará el hacinamiento y el vaciado del hormigón será menos dificultoso. Por las varias razones mencionadas, los proyectistas piensan que mantener el porcentaje de acero medianamente bajo dará como resultado buena economía. Desde el punto de vista de la economía y la arquitectura, debe usarse la menor cantidad posible de secciones. EL proyectista para un diseño económico debe seguir los siguientes pasos: Examinar la planta del edificio para decidir dónde colocar las vigas. Generar la viga sujeta al mayor momento flexionante tan pequeña como fuese prácticamente posible (con un porcentaje moderadamente alto de refuerzo). Dimensionar el mayor número de vigas similares con las mismas secciones. Se recomienda en lo posible utilizar dos tipos de varillas, esto para facilitar el armado y no confundir a los trabajadores. 3.4.1.9) Ratio de diseño Se define ratio al cociente entre la resistencia requerida por las solicitaciones de las cargas muertas, vivas y ambientales y la capacidad de resistencia del par interno; el par interno es la resistencia provista por el hormigón y las varillas de acero. El ratio de diseño debe ser menor que la unidad si es así significa que la viga resiste. Del principio de Hormigón Armado: ∅𝑀𝑛 ≥ 𝑀𝑢 Determinamos: 𝑀𝑢 ∅𝑀𝑛 Se presenta tres casos, estos casos solo son recomendaciones: 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 =
𝒓𝒂𝒕𝒊𝒐 ≥ 𝟏 ; 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑓𝑎𝑙𝑙𝑎 𝟎. 𝟗 ≤ 𝒓𝒂𝒕𝒊𝒐 < 𝟏 ; 𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 ó𝑝𝑡𝑖𝑚𝑜 𝒓𝒂𝒕𝒊𝒐 ≤ 𝟎. 𝟗 ; 𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑒𝑐𝑜𝑛ó𝑚𝑖𝑐𝑜
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3.4.2) MÉTODOS PARA DISEÑAR VIGAS SIMPLEMENTE ARMADAS 3.4.2.1) Uso de tablas del apéndice en función de la cuantía geométrica, 𝝆 En el apéndice A se presentan tablas que están de acuerdo a la siguiente ecuación: 𝑓𝑦 𝑀𝑢 = 𝜌𝑓𝑦 (1 − 0.59 𝜌 ) 2 ∅𝑏𝑑 𝑓´𝑐 𝑀
El valor de ∅𝑏𝑑𝑢2 en las tablas del apéndice están en MPa, para utilizar la tabla primero se calcula 𝑀
𝑀
el valor de ∅𝑏𝑑𝑢2 , después se lee el valor de 𝜌 para ∅𝑏𝑑𝑢2 , por ejemplo el valor real está entre 0.0084 y 0.0085, mediante interpolación podemos determinar que el valor real es de 0.00842, pero es conservador usar el valor mayor (0.0085) para calcular el área de acero. Las tablas del apéndice A sólo sirven para secciones rectangulares reforzadas por tracción y se debe inspeccionar el valor de ∅ 3.4.2.2) Uso de tablas del apéndice en función de la cuantía mecánica, 𝝎 En el apéndice B se encuentra la tabla que está en función de la cuantía mecánica, está tabla está de acuerdo a la siguiente ecuación: 𝑓𝑦 𝑀𝑢 = 𝜔(1 − 0.59 𝜔) 𝜔=𝜌 2 ∅𝑏𝑑 𝑓´𝑐 𝑓´𝑐 La primera fila y la primera columna representan los valores de 𝜔, es importante reconocer que para determinar 𝜔 se debe sumar el valor de la primera columna y el valor de la primera fila, 𝑀 los valores centrales representan ∅𝑏𝑑2𝑢𝑓´ . 𝑐
Para diseño: Usando el momento mayorado 𝑀𝑢 , ingresar a la tabla con calcular el porcentaje de acero mediante 𝜌 = 𝜔
𝑓´𝑐 𝑓𝑦
𝑀𝑢 ∅𝑏𝑑2 𝑓´𝑐
; hallar 𝜔 y
.
𝑓𝑦
Para el análisis: Ingresar a la tabla con 𝜔 = 𝜌 𝑓´ ; hallar el valor de 𝑐
𝑀𝑢 ∅𝑏𝑑2 𝑓´𝑐
y resolver para la
resistencia nominal, 𝑀𝑛 . 3.4.2.3) Uso de la ecuación para 𝝆 y área de acero En los ejercicios utilizaremos este método, en las anteriores secciones se desarrolló la siguiente ecuación: 𝜌 = 0.85
𝑓´𝑐 2𝑀𝑢 (1 − √1 − ) 𝑓𝑦 ∅0.85𝑓´𝑐 𝑏𝑑 2
Con este método se puede hallar la cuantía de acero, pero también se puede hallar el área de acero estrictamente necesaria mediante la siguiente ecuación: 𝐴𝑠 = 0.85
𝑓´𝑐 2𝑀𝑢 (1 − √1 − ) 𝑏𝑑 𝑓𝑦 ∅0.85𝑓´𝑐 𝑏𝑑 2
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3.4.3) EJERCICIOS RESUELTOS Ejemplo 3.1 Diseñar una viga simplemente apoyada de sección rectangular con un claro de 6 metros, la viga debe resistir una carga muerta de 10 kN/m sin el peso propio de la viga y una carga viva de 15 kN/m (ver figura 3.26); se sugiere utilizar estribos de 8 mm de diámetro. Determinar la sección económica y el área de acero provisto de tal forma que el ratio sea óptimo.
Figura 3.26 – Viga simplemente apoyada
Datos: 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: 𝑙 = 6 𝑚, 𝑟𝑒𝑐 = 35 𝑚𝑚, ∅𝑒𝑠𝑡 = 8 𝑚𝑚, ∅𝑚𝑎𝑥𝑎𝑔𝑟 =
3 𝑖𝑛 4
𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑓´𝑐 = 21 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝐸𝑠 = 200000 𝑀𝑃𝑎, 𝑤𝑐 = 2400 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 𝐷𝑜 = 10
𝑘𝑔𝑓 𝑚3
𝑘𝑁 𝑘𝑁 , 𝐿 = 15 , ∅ = 09 𝑚 𝑚 𝑎𝑠
Solución: Paso 1: Determinar las dimensiones de la viga Determinar la altura de la viga de tal forma que la sección sea económica (ACI 9.5.2.1) 𝑙 6000 ℎ= = = 500 𝑚𝑚 12 12 Determinar el canto útil de la viga ∅𝑙𝑜𝑛𝑔 20 𝑑 = ℎ − 𝑟𝑒𝑐 − ∅𝑒𝑠𝑡 − = 500 − 35 − 8 − = 447 𝑚𝑚 2 2 Determinar la base de la viga 𝑏 = (1/2)ℎ = 0.5 ∙ 500 = 250 𝑚𝑚 Paso 2: Determinar el momento último Determinar el peso propio de la viga 𝑞𝑣𝑖𝑔𝑎 = 𝑤𝑐 𝑏ℎ = 2400 ∙ 0.25 ∙ 0.5 ∙
9.807 = 2.942 𝑘𝑁/𝑚 1000
Determinar la carga muerta total 𝐷 = 𝐷𝑜 + 𝑞𝑣𝑖𝑔𝑎 = 10 + 2.942 = 12.942 𝑘𝑁/𝑚 Determinar la carga última mayorada o factorizada (ACI 9.2.1) 𝑞𝑢 = 1.2𝐷 + 1.6 𝐿 = 1.2 ∙ 12.942 + 1.6 ∙ 15 = 39.53 𝑘𝑁/𝑚 Determinar el momento último, para una viga simplemente apoyada 𝑞𝑢 𝑙 2 39.53 ∙ 62 𝑀𝑢 = = = 177.887 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 8 8 copyright©rcolquea
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Figura 3.27 – Diagrama de momento
Paso 3: Determinar la cuantía de área de acero Método 1: Mediante tabla del apéndice A 𝑀𝑢 177.887 ∙ 106 = = 3.957 ∅𝑎𝑠 𝑏𝑑 2 0.9 ∙ 250 ∙ 4472 Ingresando a la tabla, interpolando tenemos: 𝑀𝑢 𝜌 ∅𝑎𝑠 𝑏𝑑2 3.928 0.0107 3.957 𝜌 = 0.01078 3.960 0.0108 𝜌 = 0.0108 Método 2: Mediante la tabla del apéndice B 𝑀𝑢 177.887 ∙ 106 = = 0.1884 ∅𝑎𝑠 𝑏𝑑2 𝑓´𝑐 0.9 ∙ 250 ∙ 4472 ∙ 21 𝑀𝑢 ∅𝑎𝑠 𝑏𝑑2 𝑓´𝑐 0.1877 0.1884 0.1885
𝜔
0.215 𝜔 = 0.2159 0.216 𝑓´𝑐 21 𝜔 = 0.2159 𝜌=𝜔 = 0.2159 ∙ = 0.0108 𝑓𝑦 420 Método 3: Mediante la ecuación general 𝜌 = 0.85
𝑓´𝑐 2𝑀𝑢 (1 − √1 − ) 𝑓𝑦 ∅𝑎𝑠 0.85𝑓´𝑐 𝑏𝑑 2
21 2 ∙ 177.887 ∙ 106 √ 𝜌 = 0.85 (1 − 1 − ) = 0.0108 420 0.9 ∙ 0.85 ∙ 21 ∙ 250 ∙ 4472 copyright©rcolquea
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Se puede utilizar cualquier método, la cuantía de acero es la misma en cada método, en el documento utilizaremos el método de la ecuación general por fines académicos: 𝜌 = 0.0108 Paso 4: Determinar la cuantía mínima y requerida (ACI 10.5.1) 1.4 1.4 𝑠𝑖 (𝑓´𝑐 ≤ 31.36 𝑀𝑃𝑎) → 𝜌𝑚𝑖𝑛 = = = 0.003 𝑓𝑦 420 𝑠𝑖 (𝜌 ≥ 𝜌𝑚𝑖𝑛 ) → (𝜌𝑟𝑒𝑞 = 𝜌 = 0.0108) Paso 5: Determinar el área de acero requerido y provisto 𝐴𝑠(𝑟𝑒𝑞) = 𝜌𝑟𝑒𝑞 𝑏𝑑 = 0.0108 ∙ 250 ∙ 447 = 1205.886𝑚𝑚2 𝑛 = 4, ∅𝑙𝑜𝑛𝑔
𝑛𝜋∅𝑙𝑜𝑛𝑔 2 4 ∙ 𝜋 ∙ 202 = 20 𝑚𝑚 → 𝐴𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) = = = 1257 𝑚𝑚2 4 4 𝑠𝑖 (𝐴𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) > 𝐴𝑠(𝑟𝑒𝑞) ) → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒!
Paso 6: Determinar la altura equivalente del bloque de compresión (ACI 10.2.7.1) 𝐴𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) 𝑓𝑦 1257 ∙ 420 𝑎= = = 118 𝑚𝑚 0.85𝑓′𝑐 𝑏 0.85 ∙ 21 ∙ 250 Paso 7: Determinar el factor que relaciona la profundidad del bloque rectangular equivalente de esfuerzos de compresión con la profundidad del eje neutro (ACI 10.2.7.3) 𝑠𝑖 (𝑓´𝑐 ≤ 28 𝑀𝑃𝑎) → (𝛽1 = 0.85) Paso 8: Determinar la distancia desde el eje neutro hasta la última fibra de compresión (ACI 10.2.7.2) 𝑎 118 𝑐= = = 139 𝑚𝑚 𝛽1 0.85 Paso 9: Determinar la deformación unitaria de fluencia, por la ley de Hooke 𝑓𝑦 420 𝜖𝑦 = = = 0.002 𝐸𝑠 200000 Paso 10: Determinar la deformación unitaria del acero más traccionado, verificar si el acero fluye, si la sección es simplemente armada y si está en el dominio de la tracción o es dúctil. 𝑑−𝑐 447 − 139 𝑎 118 𝜖𝑡 = ( ) 𝜖𝑢 = ( ) 0.003 = 0.0066 = = 0.26 𝑐 139 𝑑 447 El acero a tracción fluye? ACI 10.3.3 EL ACERO A TRACCIÓN FLUYE SI:
ϵt ≥ ϵy 𝑎 𝑎𝑏 600 ≤ = 𝛽1 𝑑 𝑑𝑡 600 + 𝑓𝑦
Primer método: 𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 𝜖𝑦 ) → (0.0066 ≥ 0.002) → 𝑓𝑙𝑢𝑦𝑒! copyright©rcolquea
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Segundo método: 𝑎𝑏 600 600 = 𝛽1 = 0.85 = 0.5 𝑑𝑡 600 + 𝑓𝑦 600 + 420 𝑎 𝑎𝑏 𝑠𝑖 ( ≤ ) → (0.26 ≤ 0.5) → 𝑓𝑙𝑢𝑦𝑒! 𝑑 𝑑𝑡 La sección es simplemente armada? ACI 10.3.5 LA SECCIÓN ES SIMPLEMENTE ARMADA SI:
ϵt ≥ 0.004 𝑎 𝑎𝑡 3 ≤ = 𝛽 𝑑 𝑑𝑡 7 1
Primer método: 𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 0.004) → (0.0066 ≥ 0.004) → 𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎! Segundo método: 𝑎𝑡 3 3 = 𝛽1 = 0.85 = 0.36 𝑑𝑡 7 7 𝑎 𝑎𝑡 𝑠𝑖 ( ≤ ) → (0.26 ≤ 0.36) → 𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎! 𝑑 𝑑𝑡 La sección está en el dominio de la tracción?
ACI 10.3.4 EL DISEÑO ES DÚCTIL SI:
ϵt ≥ 0.005
𝑎 𝑎𝑡 3 ≤ = 𝛽 𝑑 𝑑𝑡 8 1
Primer método: 𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 0.005) → (0.0066 ≥ 0.005) → 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛! Segundo método: 𝑎𝑡 3 3 = 𝛽1 = 0.85 = 0.319 𝑑𝑡 8 8 𝑎 𝑎𝑡 𝑠𝑖 ( ≤ ) → (0.26 ≤ 0.319) → 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛! 𝑑 𝑑𝑡 Paso 11: Determinar el factor de reducción de resistencia (ACI 9.3.2) 𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 0.005) → ∅ = 0.9 Paso 12: Determinar la capacidad resistente teórica y real de la sección (ACI 9.3.1) 118 (447 − 2 ) 𝑎 𝑀𝑛 = 𝐴𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) 𝑓𝑦 (𝑑 − ) = 1257 ∙ 420 ∙ = 184.239 𝑘𝑁/𝑚 2 106 copyright©rcolquea
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(447 − 𝑎 ∅𝑀𝑛 = ∅𝐴𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) 𝑓𝑦 (𝑑 − ) = 0.9 ∙ 1257 ∙ 420 ∙ 2 106
118 2
)
= 184.239 𝑘𝑁/𝑚
Paso 13: Determinar la separación provista y verificar con la separación mínima y máxima Separación provista 𝑏 − 2𝑟𝑒𝑐 − 2∅𝑒𝑠𝑡 − 𝑛∅𝑙𝑜𝑛𝑔 250 − 2 ∙ 35 − 2 ∙ 8 − 4 ∙ 20 𝑆= = = 28 𝑚𝑚 𝑛−1 4−1 Separación máxima (ACI 10.6.4) 2 2 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 = ∙ 420 = 280 𝑀𝑃𝑎 𝑐𝑐 = 𝑟𝑒𝑐 + ∅𝑒𝑠𝑡 = 35 + 8 = 43 𝑚𝑚 3 3 280 280 380 − 2.5𝑐𝑐 380 − 2.5 ∙ 43 = 272.5 𝑓𝑠 280 𝑆𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛 = 𝑚𝑖𝑛 { 280 280 300 300 = 300 𝑓𝑠 280 { 𝑆𝑚𝑎𝑥 = 272.5 𝑚𝑚 Separación mínima (ACI 7.6.1) 𝑠𝑜 = 25 𝑚𝑚 ∅𝑙𝑜𝑛𝑔 = 20 𝑚𝑚 4 4 3 𝑠𝑜 = 𝑚𝑎𝑥 { 𝑠𝑚𝑖𝑛 = 𝑚𝑖𝑛 { ∅𝑚𝑎𝑥𝑎𝑔𝑟 = ∙ = 25 𝑚𝑚 25 𝑚𝑚∎ 3 3 4 𝑠𝑚𝑖𝑛 = 25 𝑚𝑚 Verificando 𝑠𝑖 (𝑠𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑆 ≤ 𝑆𝑚𝑎𝑥 ) → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒! 𝑠𝑖 (25 ≤ 28 ≤ 272.5) → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒! Paso 14: Determinar el ratio de diseño 𝑀𝑢 177.887 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 = = = 0.966 → 𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 ó𝑝𝑡𝑖𝑚𝑜 ∅𝑀𝑛 184.239 Paso 15: Detalle de armado
Figura 3.28 – Armado de la sección transversal
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Ejemplo 3.2 Diseñar la viga simplemente apoyada del ejemplo 3.1 (ver figura 3.26); determinar la sección económica y el área de acero provisto de tal forma que el ratio sea óptimo; pero se debe utilizar un método alternativo que consiste en seleccionar una viga para una cuantía de 0.011. Datos: 3 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: 𝑙 = 6 𝑚, 𝑟𝑒𝑐 = 35 𝑚𝑚, ∅𝑒𝑠𝑡 = 8 𝑚𝑚, ∅𝑚𝑎𝑥𝑎𝑔𝑟 = 𝑖𝑛 4 𝑘𝑔𝑓 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑓´𝑐 = 21 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝐸𝑠 = 200000 𝑀𝑃𝑎, 𝑤𝑐 = 2400 3 𝑚 𝑘𝑁 𝑘𝑁 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 𝐷𝑜 = 10 , 𝐿 = 15 𝑚 𝑚 Solución: Paso 1: Determinar las dimensiones de la viga Determinar la altura de la viga de tal forma que la sección sea económica (ACI 9.5.2.1) 𝑙 6000 ℎ= = = 500 𝑚𝑚 12 12 Determinar la base de la viga 𝑏 = (1/2)ℎ = 0.5 ∙ 500 = 250 𝑚𝑚 Paso 2: Determinar el momento último Determinar el peso propio de la viga 𝑞𝑣𝑖𝑔𝑎 = 𝑤𝑐 𝑏ℎ = 2400 ∙ 0.25 ∙ 0.5 ∙
9.807 = 2.942 𝑘𝑁/𝑚 1000
Determinar la carga muerta total 𝐷 = 𝐷𝑜 + 𝑞𝑣𝑖𝑔𝑎 = 10 + 2.942 = 12.942 𝑘𝑁/𝑚 Determinar la carga última mayorada o factorizada (ACI 9.2.1) 𝑞𝑢 = 1.2𝐷 + 1.6 𝐿 = 1.2 ∙ 12.942 + 1.6 ∙ 15 = 39.53 𝑘𝑁/𝑚 Determinar el momento último, para una viga simplemente apoyada 𝑞𝑢 𝑙 2 39.53 ∙ 62 𝑀𝑢 = = = 177.887 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 8 8 Paso 3: Determinamos la sección para la cuantía dada 𝑓𝑦 420 𝜌 = 0.011 𝜔=𝜌 = 0.011 ∙ = 0.22 𝑓´𝑐 21 𝑀𝑢 𝑀𝑢 = 𝜔(1 − 0.59 𝜔) → 𝑏𝑑 2 = 2 ∅𝑎𝑠 𝑏𝑑 𝑓´𝑐 ∅𝑎𝑠 𝜔(1 − 0.59 𝜔)𝑓´𝑐 6 177.887 ∙ 10 𝑏𝑑2 = = 49163194.31 𝑚𝑚3 0.9 ∙ 0.22 ∙ (1 − 0.59 ∙ 0.22)21 Asumimos la base: 𝑏 = 250 𝑚𝑚 Determinamos el peralte efectivo:
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𝑑= ℎ=𝑑+
√ ∅𝑎𝑠 𝜔(1−0.59 𝜔)𝑓´𝑐 𝑏
=√
49163194.31 = 443.455 𝑚𝑚 250
∅𝑙𝑜𝑛𝑔 20 + ∅𝑒𝑠𝑡 + 𝑟𝑒𝑐 = 443.455 + + 8 + 35 = 496.455 ≅ 500 𝑚𝑚 2 2
Paso 4: Determinar la cuantía mínima y requerida (ACI 10.5.1) 1.4 1.4 𝑠𝑖 (𝑓´𝑐 ≤ 31.36 𝑀𝑃𝑎) → 𝜌𝑚𝑖𝑛 = = = 0.003 𝑓𝑦 420 𝑠𝑖 (𝜌 ≥ 𝜌𝑚𝑖𝑛 ) → (𝜌𝑟𝑒𝑞 = 𝜌 = 0.011) Paso 5: Determinar el área de acero requerido y provisto 𝐴𝑠(𝑟𝑒𝑞) = 𝜌𝑟𝑒𝑞 𝑏𝑑 = 0.011 ∙ 250 ∙ 443.455 = 1219.503 𝑚𝑚2 𝑛 = 4, ∅𝑙𝑜𝑛𝑔
𝑛𝜋∅𝑙𝑜𝑛𝑔 2 4 ∙ 𝜋 ∙ 202 = 20 𝑚𝑚 → 𝐴𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) = = = 1257 𝑚𝑚2 4 4 𝑠𝑖 (𝐴𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) > 𝐴𝑠(𝑟𝑒𝑞) ) → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒!
Paso 6: Determinar 𝑎, 𝛽1 , 𝑐, 𝜖𝑦 , 𝜖𝑡 𝑦 ∅ 𝐴𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) 𝑓𝑦 1257 ∙ 420 𝑎= = = 118 𝑚𝑚 (𝐴𝐶𝐼 10.2.7.1) 0.85𝑓′𝑐 𝑏 0.85 ∙ 21 ∙ 250 𝑠𝑖 (𝑓´𝑐 ≤ 28 𝑀𝑃𝑎) → (𝛽1 = 0.85) (𝐴𝐶𝐼 10.2.7.3) 𝑓𝑦 𝑎 118 420 𝑐= = = 139 𝑚𝑚 → 𝜖𝑦 = = = 0.002 (𝐴𝐶𝐼 10.2.7.2) 𝛽1 0.85 𝐸𝑠 200000 𝑑−𝑐 443.455 − 139 𝜖𝑡 = ( ) 𝜖𝑢 = ( ) 0.003 = 0.0066 𝑐 139 𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 𝜖𝑦 ) → (0.0066 ≥ 0.002) → 𝑓𝑙𝑢𝑦𝑒! (ACI 10.3.3) 𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 0.004) → (0.0066 ≥ 0.004) → 𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎! (ACI 10.3.5) 𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 0.005) → (0.0066 ≥ 0.005) → 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛! (ACI 10.3.4) 𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 0.005) → ∅ = 0.9 (𝐴𝐶𝐼 9.3.2) Paso 7: Determinar la capacidad resistente teórica y real de la sección (ACI 9.3.1) 118 (443.455 − 2 ) 𝑎 𝑀𝑛 = 𝐴𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) 𝑓𝑦 (𝑑 − ) = 1257 ∙ 420 ∙ = 202.839 𝑘𝑁/𝑚 2 106 (443.455 − 𝑎 ∅𝑀𝑛 = ∅𝐴𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) 𝑓𝑦 (𝑑 − ) = 0.9 ∙ 1257 ∙ 420 ∙ 2 106
118 2
)
= 182.555 𝑘𝑁/𝑚
Paso 8: Determinar la separación provista y verificar con la separación mínima y máxima Separación provista 𝑏 − 2𝑟𝑒𝑐 − 2∅𝑒𝑠𝑡 − 𝑛∅𝑙𝑜𝑛𝑔 250 − 2 ∙ 35 − 2 ∙ 8 − 4 ∙ 20 𝑆= = = 28 𝑚𝑚 𝑛−1 4−1 Separación máxima (ACI 10.6.4) copyright©rcolquea
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2 2 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 = ∙ 420 = 280 𝑀𝑃𝑎 𝑐𝑐 = 𝑟𝑒𝑐 + ∅𝑒𝑠𝑡 = 35 + 8 = 43 𝑚𝑚 3 3 280 280 380 − 2.5𝑐𝑐 380 − 2.5 ∙ 43 = 272.5∎ 𝑓𝑠 280 𝑆𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛 = 𝑚𝑖𝑛 { 280 280 300 300 = 300 𝑓𝑠 280 { Separación mínima (ACI 7.6.1) ∅ = 20 𝑚𝑚 𝑠𝑜 = 𝑚𝑎𝑥 { 𝑙𝑜𝑛𝑔 25 𝑚𝑚∎ 𝑠𝑚𝑖𝑛
𝑠𝑜 = 25 𝑚𝑚∎ 4 3 = 𝑚𝑖𝑛 {4 ∅𝑚𝑎𝑥𝑎𝑔𝑟 = ∙ = 25 𝑚𝑚 3 3 4
Verificando 𝑠𝑖 (𝑠𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑆 ≤ 𝑆𝑚𝑎𝑥 ) → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒! 𝑠𝑖 (25 ≤ 28 ≤ 272.5) → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒! Paso 9: Determinar el ratio de diseño 𝑀𝑢 177.887 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 = = = 0.974 → 𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 ó𝑝𝑡𝑖𝑚𝑜 ∅𝑀𝑛 182.555 Paso 10: Detalle de armado
Figura 3.29 – Detalle de armado
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Ejemplo 3.3 Analizar una sección transversal rectangular de 400x200 mm, la viga trabaja a momento positivo, tiene 3 barras de 16 mm de diámetro que trabaja a tracción y tiene una armadura de piel en la zona de compresión de 2ϕ12; la resistencia a compresión cilíndrica del hormigón es de 28 MPa y la resistencia a fluencia del acero es de 420 MPa, se pide determinar la capacidad resistente a flexión.(ver figura 3.30).
Figura 3.30 – Sección transversal de la viga
Datos: 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: ℎ = 400 𝑚𝑚, 𝑏 = 200 𝑚𝑚, 𝑟𝑒𝑐 = 35 𝑚𝑚, ∅𝑒𝑠𝑡 = 8 𝑚𝑚, ∅𝑚𝑎𝑥𝑎𝑔𝑟 =
3 𝑖𝑛 4
𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑓´𝑐 = 28 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝐸𝑠 = 200000 𝑀𝑃𝑎 𝑛 = 3, ∅𝑙𝑜𝑛𝑔 = 16 𝑚𝑚 Solución: Paso 1: Determinar el canto útil de la viga 𝑑 = ℎ − 𝑟𝑒𝑐 − ∅𝑒𝑠𝑡 −
∅𝑙𝑜𝑛𝑔 16 = 400 − 35 − 8 − = 349 𝑚𝑚 2 2
Paso 2: Determinar el área de acero provisto 𝑛 = 3, ∅𝑙𝑜𝑛𝑔
𝑛𝜋∅𝑙𝑜𝑛𝑔 2 3 ∙ 𝜋 ∙ 162 = 16 𝑚𝑚 → 𝐴𝑠 = = = 603 𝑚𝑚2 4 4
Paso 3: Verificar el acero mínimo (ACI 10.5.1) 𝑠𝑖 (𝑓´𝑐 ≤ 31.36 𝑀𝑃𝑎) → 𝐴𝑠(min.) = 𝐴𝑠(min.) =
1.4 ∙ 200 ∙ 349 = 232.667 𝑚𝑚2 420
1.4 𝑏𝑑 𝑓𝑦
𝑠𝑖 (𝐴𝑠 ≥ 𝐴𝑠(min.) ) → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒!
Paso 4: Determinar 𝑎, 𝛽1 , 𝑐, 𝜖𝑦 , 𝜖𝑡 𝑦 ∅ 𝐴𝑠 𝑓𝑦 603 ∙ 420 𝑎= = = 53.22 𝑚𝑚 (𝐴𝐶𝐼 10.2.7.1) 0.85𝑓′𝑐 𝑏 0.85 ∙ 28 ∙ 200 𝑠𝑖 (𝑓´𝑐 ≤ 28 𝑀𝑃𝑎) → (𝛽1 = 0.85) (𝐴𝐶𝐼 10.2.7.3) copyright©rcolquea
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𝑓𝑦 𝑎 53.22 420 = = 63 𝑚𝑚 𝜖𝑦 = = = 0.002 (𝐴𝐶𝐼 10.2.7.2) 𝛽1 0.85 𝐸𝑠 200000 𝑑−𝑐 349 − 63 𝜖𝑡 = ( ) 𝜖𝑢 = ( ) 0.003 = 0.0137 𝑐 63 𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 𝜖𝑦 ) → (0.0137 ≥ 0.002) → 𝑓𝑙𝑢𝑦𝑒! (ACI 10.3.3) 𝑐=
𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 0.004) → (0.0137 ≥ 0.004) → 𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎! (ACI 10.3.5) 𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 0.005) → (0.0137 ≥ 0.005) → 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛! (ACI 10.3.4) 𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 0.005) → ∅ = 0.9 (𝐴𝐶𝐼 9.3.2) Paso 5: Determinar la capacidad resistente teórica y real de la sección (ACI 9.3.1) 53.22 (349 − ) 𝑎 2 𝑀𝑛 = 𝐴𝑠 𝑓𝑦 (𝑑 − ) = 603 ∙ 420 ∙ = 81.7 𝑘𝑁/𝑚 2 106 53.22
(349 − 𝑎 ∅𝑀𝑛 = ∅𝐴𝑠 𝑓𝑦 (𝑑 − ) = 0.9 ∙ 603 ∙ 420 ∙ 2 106
2
)
= 73.506 𝑘𝑁/𝑚
Ejemplo 3.4 Averiguar la capacidad resistente de la siguiente viga triangular. Se tiene los siguientes datos 𝑓´𝑐 = 21 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝐴𝑠 = 4∅16 de acuerdo a los principios de la norma ACI-318. Ver la figura 3.31
Figura 3.31 – sección transversal de viga triangular
Datos: 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: ℎ = 500 𝑚𝑚, 𝑏 = 500 𝑚𝑚, 𝑟𝑒𝑐 = 35 𝑚𝑚, ∅𝑒𝑠𝑡 = 8 𝑚𝑚, ∅𝑚𝑎𝑥𝑎𝑔𝑟 =
3 𝑖𝑛 4
𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑓´𝑐 = 35 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝐸𝑠 = 200000 𝑀𝑃𝑎 𝑛 = 4, ∅𝑙𝑜𝑛𝑔 = 16 𝑚𝑚 Solución: Paso 1: Determinar el canto útil de la viga 𝑑 = ℎ − 𝑟𝑒𝑐 − ∅𝑒𝑠𝑡 −
∅𝑙𝑜𝑛𝑔 16 = 500 − 35 − 8 − = 449 𝑚𝑚 2 2
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Paso 2: Determinar el área de acero provisto 𝑛 = 4, ∅𝑙𝑜𝑛𝑔
𝑛𝜋∅𝑙𝑜𝑛𝑔 2 4 ∙ 𝜋 ∙ 162 = 16 𝑚𝑚 → 𝐴𝑠 = = = 804 𝑚𝑚2 4 4
Paso 3: Verificar el acero mínimo (ACI 10.5.1) 𝑠𝑖 (𝑓´𝑐 > 31.36 𝑀𝑃𝑎) → 𝐴𝑠(min.) =
√𝑓´𝑐 𝑏𝑑 4𝑓𝑦
√35 ∙ 500 ∙ 449 = 790.571 𝑚𝑚2 4 ∙ 420 𝑠𝑖 (𝐴𝑠 ≥ 𝐴𝑠(min.) ) → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒! 𝐴𝑠(min.) =
Paso 4: Determinar 𝑎, 𝛽1 , 𝑐, 𝜖𝑦 , 𝜖𝑡 𝑦 ∅ 𝐶 = 𝑇 → 0.85
2𝐴𝑠 𝑓𝑦 𝑎𝑎 2 ∙ 804 ∙ 420 𝑓′𝑐 = 𝐴𝑠 𝑓𝑦 → 𝑎 = √ = √ 2 0.85𝑓′𝑐 0.85 ∙ 35 = 150.69 𝑚𝑚 (𝐴𝐶𝐼 10.2.7.1)
𝑠𝑖 (28𝑀𝑃𝑎 < 𝑓´𝑐 ≤ 56 𝑀𝑃𝑎) → [𝛽1 = 0.85 −
0.05 ′ (𝑓 𝑐 − 28)] 7
0.05 (35 − 28) = 0.8 (𝐴𝐶𝐼 10.2.7.3) 7 𝑎 150.69 𝑐= = = 188 𝑚𝑚 (𝐴𝐶𝐼 10.2.7.2) 𝛽1 0.8 𝑓𝑦 420 𝜖𝑦 = = = 0.002 𝐸𝑠 200000 𝑑−𝑐 449 − 188 𝜖𝑡 = ( ) 𝜖𝑢 = ( ) 0.003 = 0.0042 𝑐 188 𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 𝜖𝑦 ) → (0.0042 ≥ 0.002) → 𝑓𝑙𝑢𝑦𝑒! (ACI 10.3.3) 𝛽1 = 0.85 −
𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 0.004) → (0.0042 ≥ 0.004) → 𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎! (ACI 10.3.5) 𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 0.005) → (0.0042 ≥ 0.005) → 𝑛𝑜 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛! ACI 10.3.4 0.25 𝑠𝑖 (𝜖𝑦 < 𝜖𝑡 < 0.005) → [∅ = 0.65 + (𝜖𝑡 − 𝜖𝑦 ) ] (0.005 − 𝜖𝑦 ) ∅ = 0.65 + (𝜖𝑡 − 𝜖𝑦 )
0.25 (0.005 − 𝜖𝑦 )
= 0.65 + (0.0042 − 0.002)
0.25 (0.005 − 0.002)
∅ = 0.827 (𝐴𝐶𝐼 9.3.2) Paso 5: Determinar la capacidad resistente teórica y real de la sección (ACI 9.3.1) 150.69 (449 − 2 ) 𝑎 𝑀𝑛 = 𝐴𝑠 𝑓𝑦 (𝑑 − ) = 804 ∙ 420 ∙ = 117.7 𝑘𝑁/𝑚 2 106 150.69
(449 − 𝑎 ∅𝑀𝑛 = ∅𝐴𝑠 𝑓𝑦 (𝑑 − ) = 0.9 ∙ 804 ∙ 420 ∙ 2 106
2
)
= 97.341 𝑘𝑁/𝑚 copyright©rcolquea
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3.4.4) REFUERZO ACI 10.6.7 SUPERFICIAL PARA Donde h de una viga o vigueta sea mayor de 900 mm, debe VIGAS CON ℎ > colocarse refuerzo superficial longitudinal uniformemente 900 𝑚𝑚 distribuido en ambas caras laterales del elemento dentro de Las vigas con altura de una distancia h/2 cercana a la cara de tracción. Se puede alma mayor a 900 mm se incluir tal refuerzo en el cálculo de resistencia únicamente si denominan vigas de gran se hace un análisis de compatibilidad de deformaciones para altura, estas vigas tienen determinar los esfuerzos de las barras o alambres tendencia a desarrollar individuales grietas excesivamente anchas en la parte superior de la zona de tracción. Para reducir estas grietas, es necesario agregar algo de refuerzo longitudinal en la zona de tracción por flexión, cerca de las caras verticales del alma, tal como lo muestra la figura 3.32. El ACI 10.6.7 define el refuerzo adicional superficial.
Figura 3.32 – Refuerzo superficial para vigas y viguetas de gran altura La separación máxima 𝒔𝒎𝒂𝒙 entre los refuerzos superficiales está dado por: 𝑠𝑚𝑎𝑥
𝑑/6 = 𝑚𝑖𝑛 {300 𝑚𝑚 1000𝐴𝑏𝑢 𝑑−750
Donde, 𝐴𝑏𝑢 , es el área de una varilla individual, el área total del refuerzo superficial en ambas caras de la viga no debe exceder la mitad del refuerzo a tracción requerido por flexión en la 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞 viga: 𝐴𝑏 ≤ 2 El ACI318-11 no específica el área real del refuerzo superficial, simplemente establece que debe colocarse algún refuerzo adicional cerca de las caras verticales de la zona de tracción para evitar el agrietamiento de la viga. copyright©rcolquea
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Ejemplo 3.5 Diseñar la viga rectangular simplemente apoyada de un claro de 15 metros, ver figura 3.33, la carga muerta es de 7 kN/m sin considerar el peso propio de la viga, la carga viva es 10 kN/m. Se pide determinar la capacidad resistente real de la sección para un ratio óptimo y además verificar si es necesario refuerzo superficial.
Figura 3.33 – Viga simplemente apoyada
Datos: 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: 𝑙 = 15 𝑚, 𝑟𝑒𝑐 = 35 𝑚𝑚, ∅𝑒𝑠𝑡 = 10 𝑚𝑚, ∅𝑚𝑎𝑥𝑎𝑔𝑟 =
3 𝑖𝑛 4
𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑓´𝑐 = 21 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝐸𝑠 = 200000 𝑀𝑃𝑎, 𝑤𝑐 = 2400 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 𝐷𝑜 = 7
𝑘𝑔𝑓 𝑚3
𝑘𝑁 𝑘𝑁 , 𝐿 = 10 , ∅ = 0.9 𝑚 𝑚 𝑎𝑠
Solución: Paso 1: Determinar las dimensiones de la viga Determinar la altura de la viga (ACI 9.5.2.1) 𝑙 15000 ℎ= = = 937.5 𝑚𝑚 ≅ 950 𝑚𝑚 16 12 Determinar el canto útil de la viga ∅𝑙𝑜𝑛𝑔 25 𝑑 = ℎ − 𝑟𝑒𝑐 − ∅𝑒𝑠𝑡 − = 950 − 35 − 10 − = 892.5 𝑚𝑚 2 2 Determinar la base de la viga 𝑏 = (1/2)ℎ = 0.5 ∙ 950 = 475 𝑚𝑚 Paso 2: Determinar el momento último Determinar el peso propio de la viga 𝑞𝑣𝑖𝑔𝑎 = 𝑤𝑐 𝑏ℎ = 2400 ∙ 0.475 ∙ 0.95 ∙
9.807 = 10.621 𝑘𝑁/𝑚 1000
Determinar la carga muerta total 𝐷 = 𝐷𝑜 + 𝑞𝑣𝑖𝑔𝑎 = 7 + 10.621 = 17.621 𝑘𝑁/𝑚 Determinar la carga última mayorada o factorizada (ACI 9.2.1) 𝑞𝑢 = 1.2𝐷 + 1.6 𝐿 = 1.2 ∙ 17.621 + 1.6 ∙ 10 = 37.145 𝑘𝑁/𝑚 Determinar el momento último, para una viga simplemente apoyada 𝑞𝑢 𝑙 2 37.145 ∙ 152 𝑀𝑢 = = = 1044.695 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 8 8
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Figura 3.34 – Diagrama de momento
Paso 3: Determinar la cuantía de área de acero 𝜌 = 0.85
𝑓´𝑐 2𝑀𝑢 (1 − √1 − ) 𝑓𝑦 ∅𝑎𝑠 0.85𝑓´𝑐 𝑏𝑑 2
21 2 ∙ 1044.695 ∙ 106 √ 𝜌 = 0.85 (1 − 1 − ) = 0.008 420 0.9 ∙ 0.85 ∙ 21 ∙ 475 ∙ 892.52 Paso 4: Determinar la cuantía mínima y requerida (ACI 10.5.1) 1.4 1.4 𝑠𝑖 (𝑓´𝑐 ≤ 31.36 𝑀𝑃𝑎) → 𝜌𝑚𝑖𝑛 = = = 0.003, 𝑠𝑖 (𝜌 ≥ 𝜌𝑚𝑖𝑛 ) → (𝜌𝑟𝑒𝑞 = 𝜌 = 0.008) 𝑓𝑦 420 Paso 5: Determinar el área de acero requerido y provisto 𝐴𝑠(𝑟𝑒𝑞) = 𝜌𝑟𝑒𝑞 𝑏𝑑 = 0.008 ∙ 475 ∙ 892.5 = 3421.505 𝑚𝑚2 𝑛 = 7, ∅𝑙𝑜𝑛𝑔
𝑛𝜋∅𝑙𝑜𝑛𝑔 2 7 ∙ 𝜋 ∙ 252 = 25 𝑚𝑚 → 𝐴𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) = = = 3436 𝑚𝑚2 4 4 𝑠𝑖 (𝐴𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) > 𝐴𝑠(𝑟𝑒𝑞) ) → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒!
Paso 6: Determinar 𝑎, 𝛽1 , 𝑐, 𝜖𝑦 , 𝜖𝑡 𝑦 ∅ 𝐴𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) 𝑓𝑦 3436 ∙ 420 𝑎= = = 170 𝑚𝑚 (𝐴𝐶𝐼 10.2.7.1) 0.85𝑓′𝑐 𝑏 0.85 ∙ 21 ∙ 475 𝑠𝑖 (𝑓´𝑐 ≤ 28 𝑀𝑃𝑎) → (𝛽1 = 0.85) (𝐴𝐶𝐼 10.2.7.3) 𝑓𝑦 𝑎 170 420 𝑐= = = 200 𝑚𝑚, 𝜖𝑦 = = = 0.002 (𝐴𝐶𝐼 10.2.7.2) 𝛽1 0.85 𝐸𝑠 200000 𝑑−𝑐 892.5 − 200 𝜖𝑡 = ( ) 𝜖𝑢 = ( ) 0.003 = 0.0104 𝑐 200 𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 𝜖𝑦 ) → (0.0104 ≥ 0.002) → 𝑓𝑙𝑢𝑦𝑒! (ACI 10.3.3) 𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 0.004) → (0.0104 ≥ 0.004) → 𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎!(ACI 10.3.5) 𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 0.005) → (0.0104 ≥ 0.005) → 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛! (ACI 10.3.4 𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 0.005) → ∅ = 0.9 (𝐴𝐶𝐼 9.3.2)
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Paso 7: Determinar la capacidad resistente teórica y real de la sección (ACI 9.3.1) 170 (892.5 − 2 ) 𝑎 𝑀𝑛 = 𝐴𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) 𝑓𝑦 (𝑑 − ) = 3436 ∙ 420 ∙ = 1165.207 𝑘𝑁/𝑚 2 106 (892.5 − 𝑎 ∅𝑀𝑛 = ∅𝐴𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) 𝑓𝑦 (𝑑 − ) = 0.9 ∙ 3436 ∙ 420 ∙ 2 106 𝑀
170 2
)
= 1048.687 𝑘𝑁/𝑚
1044.695
𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 = ∅𝑀𝑢 = 1048.687 = 0.996 → 𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 ó𝑝𝑡𝑖𝑚𝑜
Paso 8: Determinar el ratio de diseño:
𝑛
Paso 9: Necesita refuerzo adicional porque la viga es de gran altura, diseño para un lado de la viga (ACI 10.6.7) Área de acero superficial:
𝐴𝑏 ≤
𝐴𝑠(𝑟𝑒𝑞) 4
≤
3421.505 4
= 855.376 𝑚𝑚2
Área de acero superficial provisto 𝑛𝜋∅𝑙𝑜𝑛𝑔 2 4 ∙ 𝜋 ∙ 162 𝑛 = 4, ∅𝑙𝑜𝑛𝑔 = 16 𝑚𝑚 → 𝐴𝑏(𝑝𝑟𝑜𝑣) = = = 804.248 𝑚𝑚2 4 4 𝐴𝑠(𝑟𝑒𝑞) 𝑠𝑖 (𝐴𝑏(𝑝𝑟𝑜𝑣) ≤ ) → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒! 4 Área de acero superficial provisto unitario y separación provista 𝜋∅𝑙𝑜𝑛𝑔 2 𝜋 ∙ 162 𝑑/2 892.5/2 𝐴𝑏𝑢 = = = 201.062 𝑚𝑚2 𝑆𝑝𝑟𝑜𝑣 = = = 112 𝑚𝑚 4 4 𝑛 4 Separación máxima 892.5 𝑑/6 = 148.75∎ 6 300 𝑚𝑚 𝑆𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛 {1000𝐴 = 𝑚𝑖𝑛 𝑠𝑖 (𝑆𝑝𝑟𝑜𝑣 < 𝑆𝑚𝑎𝑥 ) → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒! 300 𝑚𝑚 𝑏𝑢 1000 ∙ 201.062 = 1410.96 𝑑 − 750 { 892.5 − 750 Paso 10: Detalle de armado
Figura 3.35 – Armadura principal y superficial
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3.4.5) PAQUETES DE BARRAS ACI 7.6.6 Paquetes de barras A veces cuando se requieren cantidades grandes ACI 7.6.6.1 de refuerzo de acero en una viga es muy difícil Los grupos de barras paralelas acomodar todas las varillas en la sección dispuestas en un paquete para trabajar transversal por motivo de la separación mínima, como una unidad, deben limitarse a 4 en tales situaciones se pueden colocar paquetes barras para cada paquete. de varillas o racimos, se limita el paquete a ACI 7.6.6.2 cuatro varillas por problemas de control de grietas, el ACI 7.6.6 define las limitaciones del Los paquetes de barras deben estar uso de paquetes. colocados dentro de estribos ACI 7.6.6.3 En la figura 3.36 se muestra configuraciones típicas para racimos de 2, 3 y 4 varillas, cuando En vigas las barras mayores a No. 36 no los racimos de más de una varilla se usa deben agruparse en paquetes. verticalmente, prácticamente no pueden hacerse gancho o doblarse como si fueran una unidad, si se requieren ganchos en los extremos, es preferible escalonar los ganchos de las varillas individuales dentro del paquete.
Figura 3.36 – Configuración de varillas en paquete
Para calcular las limitaciones de separación y recubrimiento de las varillas, las varillas en paquete se pueden considerar como varillas individuales, el diámetro de la varilla ficticia debe calcularse en función del área total equivalente del grupo. Cuando las varillas individuales de un racimo se cortan dentro del claro de viga, debe terminar en puntos diferentes como lo define el ACI 7.6.6.4. 3.4.6) VIGAS EN VOLADIZO Las vigas en voladizo que soportan cargas de gravedad están sometidas a momentos negativos en toda su integridad, en consecuencia sus varillas se colocan en la parte superior de la viga, lado que está trabajando a tracción, tal como lo muestra la figura 3.37, se puede observar que el momento máximo negativo se presenta en la cara del empotramiento, las varillas no pueden interrumpirse en las caras de los empotramientos, las varillas deben prolongarse o anclarse en el hormigón a cierta distancia más allá de la pared del empotrado.
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Figura 3.37 – Viga en voladizo, momento, deformada y armado
3.4.7) VIGAS CONTINUAS El caso más común en vigas de hormigón armado es que las vigas y losas sean continuas sobre varios apoyos, como el caso presentado en la figura 3.38, es necesario acero en las zonas de tracción, se coloca acero en la parte inferior de las zonas sometidas a momento positivo y en la parte superior de las zonas de momento negativo, en la figura 3.38 se muestra la distribución de acero en cada vano. En la parte superior e inferior se debe colocas armadura de piel o perchas, la armadura de piel debe cubrir todos los vanos, se debe colocar dos varillas en la parte superior y dos varillas en la parte inferior, la armadura de piel sirve para sostener los estribos que trabajan por lo general a corte.
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Figura 3.38 – Viga continua, diagrama de momento, deformada y ubicación de la armadura positiva y negativa
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Ejemplo 3.6 Diseñar la viga continua de 3 vanos, las columnas son de 300x300 mm, los claros se pueden observar en la figura 3.39, la viga debe resistir las siguientes 𝑘𝑁 cargas:𝐷𝑜 = 6.228 𝑚 (𝑠𝑖𝑛 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑜), 𝐿 = 8.8 𝑘𝑁/𝑚. Se pide determinar la capacidad resistente de la sección de tal forma que cumpla las siguientes condiciones: diseño dúctil, radios óptimos y armado de la viga continua.
Figura 3.39 – Viga continua de tres vanos y cargas de servicio
Datos: 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: 𝑟𝑒𝑐 = 25 𝑚𝑚, ∅𝑒𝑠𝑡 = 8 𝑚𝑚, ∅𝑚𝑎𝑥𝑎𝑔𝑟 =
3 𝑖𝑛 4
𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑓´𝑐 = 25 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝐸𝑠 = 200000 𝑀𝑃𝑎, 𝑤𝑐 = 2400 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 𝐷𝑜 = 6.228
𝑘𝑔𝑓 𝑚3
𝑘𝑁 𝑘𝑁 , 𝐿 = 8.8 , ∅ = 0.9 𝑚 𝑚 𝑎𝑠
𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠: 𝑏𝑎𝑠𝑒: 𝑏𝐴 = 300 𝑚𝑚, 𝑏𝐴 = 300 𝑚𝑚, 𝑏𝐶 = 300 𝑚𝑚, 𝑏𝐷 = 300 𝑚𝑚 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎: 𝑡𝐴 = 300 𝑚𝑚, 𝑡𝐵 = 300 𝑚𝑚, 𝑡𝐶 = 300 𝑚𝑚, 𝑡𝐷 = 300 𝑚𝑚 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑒 𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎: 𝑙(𝐴−𝐵) = 7 𝑚, 𝑙(𝐵−𝐶) = 6.5 𝑚, 𝑙(𝐶−𝐷) = 6.2 𝑚 Solución: Paso 1: Determinar la longitud nominal 𝑙𝑛(𝐴) = 𝑙𝑛(𝐴−𝐵) = 6.7 𝑚 𝑏𝐴 + 𝑏𝐵 0.3 + 0.3 =7− = 6.7 𝑚 2 2 𝑙𝑛(𝐴−𝐵) + 𝑙𝑛(𝐵−𝐶) 6.7 + 6.2 𝑙𝑛(𝐵) = = = 6.45 𝑚 2 2 𝑏𝐵 + 𝑏𝐶 0.3 + 0.3 𝑙𝑛(𝐵−𝐶) = 𝑙(𝐵−𝐶) − = 6.5 − = 6.2 𝑚 2 2 𝑙𝑛(𝐵−𝐶) + 𝑙𝑛(𝐶−𝐷) 6.2 + 5.9 𝑙𝑛(𝐶) = = = 6.05 𝑚 2 2 𝑏𝐶 + 𝑏𝐷 0.3 + 0.3 𝑙𝑛(𝐶−𝐷) = 𝑙(𝐶−𝐷) − = 6.2 − = 5.9 𝑚 2 2 𝑙𝑛(𝐴−𝐵) = 𝑙(𝐴−𝐵) −
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Paso 2: Determinar las dimensiones de la viga Determinar la altura de la viga (ACI 9.5.2.1) 𝑙(𝐴−𝐵) 7000 ℎ= = = 378.378 𝑚𝑚 ≅ 400 𝑚𝑚 18.5 12 Determinar el canto útil de la viga ∅𝑙𝑜𝑛𝑔 12 𝑑 = ℎ − 𝑟𝑒𝑐 − ∅𝑒𝑠𝑡 − = 400 − 25 − 8 − = 361 𝑚𝑚 2 2 Determinar la base de la viga 𝑏 = (1/2)ℎ = 0.5 ∙ 400 = 200 𝑚𝑚 ≅ 225 𝑚𝑚 Paso 3: Determinar el momento último Determinar el peso propio de la viga 𝑞𝑣𝑖𝑔𝑎 = 𝑤𝑐 𝑏ℎ = 2400 ∙ 0.4 ∙ 0.225 ∙
9.807 = 2.118 𝑘𝑁/𝑚 1000
Determinar la carga muerta total 𝐷 = 𝐷𝑜 + 𝑞𝑣𝑖𝑔𝑎 = 6.228 + 2.118 = 8.346 𝑘𝑁/𝑚 Determinar la carga última mayorada o factorizada (ACI 9.2.1) 𝑞𝑢 = 1.2𝐷 + 1.6 𝐿 = 1.2 ∙ 8.346 + 1.6 ∙ 8.8 = 24.095 𝑘𝑁/𝑚 Determinar el momento último (ACI 8.3.3) 𝑞𝑢 𝑙𝑛(𝐴) 2 24.095 ∙ 6.72 − 𝑀𝑢(𝐴) = = = −67.603 𝑘𝑁 ∙ 𝑚∎ 16 16 𝑞𝑢 𝑙𝑛(𝐴−𝐵) 2 24.095 ∙ 6.72 + 𝑀𝑢(𝐴−𝐵) = = = 77.26 𝑘𝑁 ∙ 𝑚∎ 14 14 𝑞𝑢 𝑙𝑛(𝐵) 2 24.095 ∙ 6.452 − 𝑀𝑢(𝐵) = = = −100.243 𝑘𝑁 ∙ 𝑚∎ 10 10 𝑞𝑢 𝑙𝑛(𝐵) 2 24.095 ∙ 6.452 − 𝑀𝑢(𝐵) = = = −91.13 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 11 11 𝑞𝑢 𝑙𝑛(𝐵−𝐶) 2 24.095 ∙ 6.22 + 𝑀𝑢(𝐵−𝐶) = = = 57.889 𝑘𝑁 ∙ 𝑚∎ 16 16 2 𝑞𝑢 𝑙𝑛(𝐶) 24.095 ∙ 6.052 − 𝑀𝑢(𝐶) = = = −80.176 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 11 11 𝑞𝑢 𝑙𝑛(𝐶) 2 24.095 ∙ 6.052 − 𝑀𝑢(𝐶) = = = −88.195 𝑘𝑁 ∙ 𝑚∎ 10 10 𝑞𝑢 𝑙𝑛(𝐶−𝐷) 2 24.095 ∙ 5.92 + 𝑀𝑢(𝐶−𝐷) = = = 59.912 𝑘𝑁 ∙ 𝑚∎ 14 14 𝑞𝑢 𝑙𝑛(𝐷) 2 24.095 ∙ 5.92 − 𝑀𝑢(𝐷) = = = −52.423 𝑘𝑁 ∙ 𝑚∎ 16 16
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Figura 3.40 – Diagrama de momento
Paso 4: Determinar el área de acero, el momento lo transformamos en matriz y determinamos las respectivas áreas de acero. − 𝑀𝑢(𝐴) + 𝑀𝑢(𝐴−𝐵) − 𝑀𝑢(𝐵) + 2 𝑀𝑢(𝐵−𝐶) − 𝑀𝑢(𝐶) + 𝑀𝑢(𝐶−𝐷) − [ 𝑀𝑢(𝐷) ]
𝑓´𝑐 (1 − 1 − )𝑏𝑑 𝑓𝑦 ∅0.85𝑓´𝑐 𝑏𝑑 2 √ 67.603 77.26 100.243 2 ∙ 57.889 ∙ 106 88.195 59.912 25 [ 52.423 ] 𝐴𝑠 = 0.85 (1 − 1 − )225 ∙ 361 = 420 √ 0.9 ∙ 0.85 ∙ 25 ∙ 225 ∙ 3612 𝐴𝑠 = 0.85
529.527 611.711 815.527 448.727 𝑚𝑚2 707.162 465.401 [404.028]
Paso 5: Verificar el área de acero mínimo, requerido y provisto (ACI 10.5.1) 1.4 𝑠𝑖 (𝑓´𝑐 ≤ 31.36 𝑀𝑃𝑎) → 𝐴𝑠(min.) = 𝑏𝑑 𝑓𝑦 copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO 1.4 1.4 𝑏𝑑 = ∙ 225 ∙ 361 = 270.75 𝑚𝑚2 𝑓𝑦 420 𝑠𝑖 (𝐴𝑠 ≥ 𝐴𝑠(min.) ) → (𝐴𝑠(𝑟𝑒𝑞) = 𝐴𝑠 ) 𝐴𝑠(min.) =
529.527 611.711 815.527 𝐴𝑠(𝑟𝑒𝑞) = 𝐴𝑠 = 448.727 𝑚𝑚2 707.162 465.401 [404.028] 2∅12 + 1∅20 540 2∅12 + 2∅16 628 2∅12 + 2∅20 854 𝐴𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) = 2∅12 + 2∅12 = 452 𝑚𝑚2 717 2∅12 + 1∅25 540 2∅12 + 1∅20 [2∅12 + 1∅16] [427] 𝑠𝑖 (𝐴𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) > 𝐴𝑠(𝑟𝑒𝑞) ) → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒! Paso 6: Determinar 𝑎, 𝛽1 , 𝑐, 𝜖𝑦 , 𝜖𝑡 𝑦 ∅ 540 628 854 452 ∙ 420 717 540 𝐴𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) 𝑓𝑦 [427] 𝑎= = = 0.85𝑓′𝑐 𝑏 0.85 ∙ 25 ∙ 225
47 55 75 40 𝑚𝑚 (𝐴𝐶𝐼 10.2.7.1) 63 47 [38] 𝑠𝑖 (𝑓´𝑐 ≤ 28 𝑀𝑃𝑎) → (𝛽1 = 0.85) (𝐴𝐶𝐼 10.2.7.3) 47 55 75 40 56 63 65 47 88 𝑓𝑦 𝑎 420 [38] 𝑐= = = 47 𝑚𝑚, 𝜖𝑦 = = = 0.002 (𝐴𝐶𝐼 10.2.7.2) 𝛽1 0.85 𝐸𝑠 200000 74 56 [44]
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56 65 88 361 − 47 0.0164 74 0.0137 56 0.0093 𝑑−𝑐 [44] 𝜖𝑡 = ( ) 𝜖𝑢 = 0.003 = 0.0202 56 𝑐 0.0116 65 0.0164 88 [0.0215] 47 74 56 ( [44] ) 0.0164 0.0137 0.0093 𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 𝜖𝑦 ) → 0.0202 ≥ 0.002 → 𝑓𝑙𝑢𝑦𝑒! (ACI 10.3.3) 0.0116 0.0164 ([0.0215] ) 0.0164 0.0137 0.0093 𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 0.004) → 0.0202 ≥ 0.004 → 𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎! (ACI 10.3.5) 0.0116 0.0164 ([0.0215] ) 0.0164 0.0137 0.0093 𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 0.005) → 0.0202 ≥ 0.005 → 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛! ACI10.3.4 0.0116 0.0164 ([0.0215] ) 𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 0.005) → ∅ = 0.9 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 (𝐴𝐶𝐼 9.3.2) Paso 7: Determinar la separación provista y verificar con la separación mínima y máxima, en − el momento más crítico, 𝑀𝑢(𝐵) Separación provista 𝑏 − 2𝑟𝑒𝑐 − 2∅𝑒𝑠𝑡 − 𝑛∅𝑙𝑜𝑛𝑔 225 − 2 ∙ 25 − 2 ∙ 8 − 64 𝑆= = = 31.667 𝑚𝑚 𝑛−1 4−1 Separación máxima (ACI 10.6.4) 2 2 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 = ∙ 420 = 280 𝑀𝑃𝑎 𝑐𝑐 = 𝑟𝑒𝑐 + ∅𝑒𝑠𝑡 = 25 + 8 = 33 𝑚𝑚 3 3
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280 280 − 2.5𝑐𝑐 380 − 2.5 ∙ 33 = 297.5∎ 𝑓𝑠 280 𝑆𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛 = 𝑚𝑖𝑛 { 280 280 300 300 = 300 𝑓𝑠 280 { Separación mínima (ACI 7.6.1) 𝑠𝑜 = 25 𝑚𝑚∎ ∅ = 25 𝑚𝑚 4 3 𝑠𝑜 = 𝑚𝑎𝑥 { 𝑙𝑜𝑛𝑔 𝑠𝑚𝑖𝑛 = 𝑚𝑖𝑛 {4 ∅𝑚𝑎𝑥𝑎𝑔𝑟 = ∙ = 25 𝑚𝑚 25 𝑚𝑚∎ 3 3 4 Verificando 𝑠𝑖 (𝑠𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑆 ≤ 𝑆𝑚𝑎𝑥 ) → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒! → 𝑠𝑖 (25 ≤ 31.667 ≤ 297.5) → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒! 380
Paso 8: Determinar la capacidad resistente teórica y real de la sección (ACI 9.3.1) 47
∅𝑀𝑛(𝐴)
(361 − 2 ) 𝑎(𝐴) = ∅𝐴𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣)(𝐴) 𝑓𝑦 (𝑑 − ) = 0.9 ∙ 540 ∙ 420 ∙ = 68.891 𝑘𝑁/𝑚 2 106 𝑎(𝐴−𝐵) ∅𝑀𝑛(𝐴−𝐵) = ∅𝐴𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣)(𝐴−𝐵) 𝑓𝑦 (𝑑 − ) 2 ∅𝑀𝑛(𝐴−𝐵) = 0.9 ∙ 628 ∙ 420 ∙
(361 −
55
)
2
106
= 79.168 𝑘𝑁/𝑚 75
∅𝑀𝑛(𝐵)
(361 − 2 ) 𝑎(𝐵) = ∅𝐴𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣)(𝐵) 𝑓𝑦 (𝑑 − ) = 0.9 ∙ 854 ∙ 420 ∙ = 104.43 𝑘𝑁/𝑚 2 106 𝑎(𝐵−𝐶) ∅𝑀𝑛(𝐵−𝐶) = ∅𝐴𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣)(𝐵−𝐶) 𝑓𝑦 (𝑑 − ) 2 ∅𝑀𝑛(𝐵−𝐶) = 0.9 ∙ 452 ∙ 420 ∙
(361 −
40 2
)
106
= 58.262 𝑘𝑁/𝑚 63
∅𝑀𝑛(𝐶)
(361 − 2 ) 𝑎(𝐶) = ∅𝐴𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣)(𝐶) 𝑓𝑦 (𝑑 − ) = 0.9 ∙ 717 ∙ 420 ∙ = 89.303 𝑘𝑁/𝑚 2 106 𝑎(𝐶−𝐷) ∅𝑀𝑛(𝐶−𝐷) = ∅𝐴𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣)(𝐶−𝐷) 𝑓𝑦 (𝑑 − ) 2 ∅𝑀𝑛(𝐶−𝐷) = 0.9 ∙ 540 ∙ 420 ∙
∅𝑀𝑛(𝐷)
(361 − 106
47 2
)
= 68.891 𝑘𝑁/𝑚
(361 − 𝑎(𝐷) = ∅𝐴𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣)(𝐷) 𝑓𝑦 (𝑑 − ) = 0.9 ∙ 427 ∙ 420 ∙ 2 106
38 2
)
= 55.201 𝑘𝑁/𝑚
Paso 9: Determinar el ratio de diseño − 𝑀𝑢(𝐴) 67.603 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜(𝐴) = = = 0.981 → 𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 ó𝑝𝑡𝑖𝑚𝑜 ∅𝑀𝑛(𝐴) 68.891 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜(𝐴−𝐵) =
+ 𝑀𝑢(𝐴−𝐵)
∅𝑀𝑛(𝐴−𝐵)
=
77.26 = 0.976 → 𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 ó𝑝𝑡𝑖𝑚𝑜 79.168
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− 𝑀𝑢(𝐵) 100.243 = = = 0.96 → 𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 ó𝑝𝑡𝑖𝑚𝑜 ∅𝑀𝑛(𝐵) 104.43
𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜(𝐵−𝐶) = 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜(𝐶) 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜(𝐶−𝐷) =
+ 𝑀𝑢(𝐵−𝐶)
∅𝑀𝑛(𝐵−𝐶)
=
57.889 = 0.994 → 𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 ó𝑝𝑡𝑖𝑚𝑜 58.262
− 𝑀𝑢(𝐶) 88.195 = = = 0.988 → 𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 ó𝑝𝑡𝑖𝑚𝑜 ∅𝑀𝑛(𝐶) 89.303 + 𝑀𝑢(𝐶−𝐷)
=
59.912 = 0.87 → 𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑒𝑐𝑜𝑛ó𝑚𝑖𝑐𝑜 68.891
∅𝑀𝑛(𝐶−𝐷) − 𝑀𝑢(𝐷) 52.423 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜(𝐷) = = = 0.95 → 𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 ó𝑝𝑡𝑖𝑚𝑜 ∅𝑀𝑛(𝐷) 55.201
Paso 10: Detalle de armado
Figura 3.41 – Diagrama de momento
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3.4.8) LOSAS MACIZAS EN UNA DIRECCIÓN Las losas de hormigón armado son placas planas soportadas por vigas, muros, columnas de hormigón armado, por muros de ladrillo, por vigas o columnas de acero estructural y por el suelo en el caso de losa de fundación. Las losas de hormigón armado se dividen en dos: losa en una dirección y losa en dos direcciones. Se denomina losa en una dirección porque la flexión es en una dirección, es decir en la dirección perpendicular a los bordes de soporte; pero en realidad, si una losa rectangular esta soportada en los cuatro lados y el lado largo es dos o más veces mayor que el lado corto (ver figura 3.42), la losa se comportara para todo fin práctico, como losa en una dirección y la flexión se desarrollará en la dirección corta. 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑙1 ( = ≥ 2) → 𝑙𝑜𝑠𝑎 𝑒𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑜 𝑙2
Se diseña como una viga plana de 1 metro de ancho
Figura 3.42 – Vista en planta de losa maciza de entrepiso
Se denomina losa en dos direcciones porque la flexión se produce en dos direcciones, si el lado largo es menor o igual al doble del lado corto entonces se diseña como losa en dos direcciones, en el capítulo 7 desarrollaremos el análisis y diseño de losas macizas en dos direcciones. 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑙1 ( = < 2) → 𝑙𝑜𝑠𝑎 𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑜 𝑙2 La losa maciza en una dirección se diseña como una viga plana de 1 metro de ancho o base (ver figura 3.42), suponiendo que la losa consiste en una serie de tales vigas coladas una al lado de la otra. El método de análisis es algo conservador, debido a la restricción lateral proporcionada por las partes adyacentes de la losa.
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UMSS El refuerzo por flexión se coloca perpendicularmente a la dirección larga de la losa o paralela a la dirección larga de la viga de 1 metro de ancho, la separación del refuerzo por flexión está definida por ACI 7.6.5. El espesor de la losa depende de la flexión, la deflexión y los requisitos de esfuerzo cortante, la sección de la ACI 9.5.2.1 define los espesores mínimos de las losas. El hormigón se contrae al endurecerse, ocurren cambios de temperatura que ocasionan expansión y contracción en el hormigón y cuando la temperatura desciende, el efecto de contracción y el acortamiento por temperatura se suman. La sección ACI 7.12 define que el refuerzo por contracción y temperatura debe proporcionarse en la dirección perpendicular al refuerzo principal de la losa de una dirección. La sección ACI 7.12.2.2 define la separación máxima del acero por contracción y temperatura.
HORMIGÓN ARMADO ACI 7.6.5 El refuerzo por flexión no debe estar separado entre centros a más de tres veces el espesor de la losa o 450 mm. 3ℎ𝑓 𝑆𝑚𝑎𝑥 = { 450 𝑚𝑚 ACI 7.12.2.1 El área de acero mínimo por contracción y temperatura es igual a la cuantía por el área total de la sección transversal de la losa (el área total de la sección transversal es bh, donde h es el espesor de la losa y b es 1 metro) y consecuentemente la cuantía de refuerzo de retracción y temperatura debe ser al menos igual a los valores dados a continuación, pero no menos que 0.0014. Para 0.002
𝑓𝑦 = 280 𝑦 350 𝑀𝑃𝑎
𝜌𝑠𝑡𝑚𝑖𝑛 =
Para 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎:
3.5) ANÁLISIS Y DISEÑO DE VIGAS T 𝜌𝑠𝑡𝑚𝑖𝑛 = 0.0018 En estructuras de hormigón armado, el sistema Para 𝑓𝑦 > 420 𝑀𝑃𝑎: de entrepiso para edificios, viviendas, etc. Normalmente consisten en losas y vigas vaciadas 0.0018 ∗ 420 𝜌𝑠𝑡𝑚𝑖𝑛 = monolíticamente, la losa y viga de un sistema de 𝑓𝑦 entrepiso actúan conjuntamente para resistir las ACI 7.12.2.2 cargas o solicitaciones. En la figura 3.43 se El refuerzo de retracción y temperatura muestra un sistema de entrepiso vaciada no debe colocarse con una separación monolíticamente donde se puede observar una mayor de 5 veces el espesor de la losa viga en forma de L y la otra en forma de T, estos ni de 450 mm. casos son comunes en estructuras de hormigón armado, como consecuencia del vaciado monolítico, parte de la losa funciona como ala de la viga T y la sección rectangular es el alma. La figura 3.44 muestra el alma, ala, ancho efectivo y por lógica la altura de una viga T.
Figura 3.43 – Sistema de entrepiso vaciada monolíticamente en el que se genera la viga L y T
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Figura 3.44 – Viga T en 3D, ancho efectivo, alma, ala y altura de la viga
Los estribos del alma se extienden dentro de la losa, tal como lo pueden hacer las varillas principales que resisten a flexión, esto permite el trabajo conjunto de la losa y viga. En la figura 3.45 se muestra una viga T interior continua, el vano central está sometido a momento positivo, cerca de las columnas está sometido a momento negativo (ver sección 1-1, 2-2, 3-3). En la sección 2-2 la parte inferior está a tracción, en cambio en la sección 1-1 y 3-3 la parte superior está a tracción porque existe momento negativo, ver figura 3.46.
VIGA - T
2
3
1
2
3
h-hf h
hf
1
l
C1
l
C2
l
Figura 3.45 – Viga T interior continua, diagrama de momentos en la parte superior, secciones 1-1, 22 y 3-3 de la viga T en la parte inferior
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b
As AREA DE COMPRESIÓN
b
(b-bw)/2
bw
hf
As
h
AREA DE COMPRESIÓN
(b-bw)/2
h-hf
Ac
(b-bw)/2
h
hf h-hf
a
Ac
bw
hf
As
(b-bw)/2
h-hf
(b-bw)/2
a
bw
h
(b-bw)/2
VIGA - T 3-3 MOMENTO NEGATIVO
VIGA - T 2-2 MOMENTO POSITIVO
a
VIGA - T 1-1 MOMENTO NEGATIVO
Ac b
AREA DE COMPRESIÓN
Figura 3.46 – Corte transversal de la viga T, sección 1-1 a momento negativo, sección 2-2 a momento positivo y sección 3-3 a momento negativo
Las vigas T se analizan de manera muy parecida a vigas rectángulares, las especificaciones relacionadas con las deformaciones unitarias en el refuerzo son idénticas. Es conveniente tener valores de 𝜖𝑡 > 0.005 y no debe ser menor que 0.004. En vigas T usted aprenderá que los valores de 𝜖𝑡 son mucho mayores que 0.005, debido a que sus patines de compresión son muy grandes. El eje neutro de las vigas T puede situarse en el patín o en el alma, dependiendo de las proporciones de las losas y almas, por lo tanto se presentan dos casos: Si el eje neutro equivalente se situa en el patín, que es el caso más común para momentos positivos, son aplicados las fórmulas de vigas rectángulares, este caso se muestra en la figura 3.47. Se supone que el hormigón abajo del eje neutro está agrietado y su forma no influye en los cálculos de flexión; pero si se debe tomar en cuenta su peso. La sección arriba del eje neutro es rectángular, en consecuencia se analiza como viga rectángular cuando la profundidad equivalente de compresión es menor que la altura del ala: 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
𝑎 ≤ ℎ𝑓 → 𝑣𝑖𝑔𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 Si el valor calculado de 𝑎 es igual o menor que el espesor del patín, la sección puede suponerse, para todo propósito práctico, como rectangular, aun cuando el valor calculado de 𝑐 sea realmente mayor que el espesor del patín.
Figura 3.47 – Viga T cuándo el esfuerzo de compresión está dentro del patín
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Sin embargo si el eje neutro está abajo del patín, como se muestra en la viga de la figura 3.48, el hormigón de compresión ya no es un rectángulo, más bien tiene la forma de T y las fórmulas de vigas rectangulares ya no se pueden utilizar, en consecuencia se analiza como viga T cuando la profundidad equivalente de compresión es mayor que la altura del ala: 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
𝑎 > ℎ𝑓 →
𝑣𝑖𝑔𝑎 𝑇
Figura 3.48 – Viga T cuándo el esfuerzo de compresión alcanza el alma
Una viga T realmente no tiene que parecerse a una viga T, las secciones transversales de las vigas mostradas en la figura 3.49 muestran este hecho, en estos casos el hormigón en compresión tiene la forma de T y la forma o el tamaño del hormigón en el lado de tracción, que se supone que se agrietará, no influye en los momentos teóricos resistentes. Sin embargo, la forma, el tamaño y el peso del hormigón de tracción influyen en la magnitud de las deflexiones y el peso propio incide en el momento último solicitante.
Figura 3.49 – Diversas secciones transversales de viga T
3.5.1) ANCHO EFECTIVO DE LA VIGA T La distribución de esfuerzos de compresión por flexión en las alas de un conjunto de vigas paralelas es variable, en el alma el esfuerzo de compresión es mayor que en las alas (ver figura 3.50). Si la distancia entre las vigas es grande es evidente que la teoría de flexión simple no es aplicable en forma estricta, las tensiones longitudinales de compresión en el ala cambian con la distancia desde el alma de la viga. Se ve cómo las tensiones son mayores en las zonas cercanas al alma y disminuyen hacia el plano paralelo a los nervios y ubicado entre ellos. Esta reducción es debida a las deformaciones de corte en el ala.
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HORMIGÓN ARMADO ACI 8.12.2 (figura 3.7) El ancho efectivo de la losa usada como ala de viga T no debe exceder a: 𝑙 ⁄4 16ℎ 𝑏 ≤ 𝑚𝑖𝑛 { 𝑓 + 𝑏𝑤 𝑏𝑤 + 𝑠 ACI 8.12.4 (figura 3.6)
Figura 3.50 – Distribución de esfuerzos de compresión por flexión
En vigas aisladas, en las que solamente se utilice la forma T para proporcionar con el ala un área adicional de compresión debe tener las siguientes dimensiones: 𝑏𝑤 ℎ𝑓 ≥ 𝑏 ≤ 4𝑏𝑤 2
En la figura 3.51 se observa para propósitos de diseño, la distribución de esfuerzos de compresión rectangular equivalente, está distribución de fuerzas proporciona una fuerza de compresión igual a la fuerza desarrollada por la distribución de fuerzas variable de la figura 3.50.
Figura 3.51 – Distribución de esfuerzos de compresión por flexión rectangular equivalente
En consecuencia; en lugar de considerar una distribución de esfuerzos variable a tráves del ancho total del patín, el código ACI 8.12.2 propone un ancho menor, supuestamente con una distribución uniforme de resfuerzo, esto para facilitar el diseño.
Figura 3.52 – Vista 3D, ancho efectivo de la viga T
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Figura 3.53 – Ancho efectivo de vigas T y L
Figura 3.54 – Vista magnificada de la viga T de la figura 3.53
Vigas aisladas T, son vigas en las que sólo se utilizan la forma de T, este tipo de viga por lo general se aplica en gradas de edificios con solicitaciones grandes, pasarelas de hormigón armado, este tipo de estructuras se encuentra con frecuencia en pasarelas de avenidas y autopistas. 3.5.2) MÉTODOS DE DISEÑO DE VIGAS T Existen dos métodos de análisis de vigas T, el primero es general y el segundo método es específicamente diseñado para vigas T: 3.5.2.1) Método del par El ejemplo 3.7 y 3.8 ilustran el procedimiento del método del par50, el procedimiento del respectivo método para análisis implica los siguientes pasos: Paso 1. Revise 𝐴𝑠 mínimo según el ACI 10.5.1, usando 𝑏𝑤 como ancho del alma. Paso 2. Calcule 𝑇 = 𝐴𝑠 𝑓𝑦 . Paso 3. Determine el área del hormigón en compresión, 𝐴𝑐 , esforzado a 0.85𝑓´𝑐 . 𝑇 𝐶 = 𝑇 = 0.85𝑓´𝑐 𝐴𝑐 𝐴𝑐 = 0.85𝑓´𝑐 Paso 4. Calcule 𝑎, 𝑐 𝑦 𝜖𝑡 . Paso 5. Calcule ∅𝑀𝑛 . En el ejemplo 3.7, donde el eje neutro se sitúa en el patín, sería lógico aplicar las ecuaciones normales para vigas rectangulares, pero en el ejemplo se utiliza el método del par para entender el ejemplo 3.8. Este procedimiento puede aplicarse para determinar resistencias de diseño en vigas de hormigón armado, con refuerzo a tracción, es decir este procedimiento sirve para vigas de todo tipo de secciones (sección T, L, U, Δ, O, etcétera).
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(McCormac C., 2011, pág. 111) copyright©rcolquea
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Ejemplo 3.7 Determinar la resistencia de diseño de la viga T mostrada en la figura 3.55, con 𝑓´𝑐 = 28 𝑀𝑃𝑎 𝑦 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎. La viga tiene un claro de 9 m y esta colada integralmente con una losa de piso que tiene 100 mm de espesor. La distancia libre entre almas es de 1250 mm.
Figura 3.55 – Sección transversal de la viga
Datos: 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: 𝑙 = 9 𝑚, ℎ𝑓 = 100 𝑚𝑚, 𝑏𝑤 = 250 𝑚𝑚, 𝑠 = 1250 𝑚𝑚, 𝑑 = 600 𝑚𝑚 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑓´𝑐 = 28 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝐸𝑠 = 200000 𝑀𝑃𝑎 𝑛 = 6, ∅𝑙𝑜𝑛𝑔 = 30 𝑚𝑚 Solución: Paso 1: Determinar el ancho efectivo (8.12.2) 𝑙 9000 2250 𝑚𝑚 4 4 𝑏 = 𝑚𝑖𝑛 {16ℎ + 𝑏 = 𝑚𝑖𝑛 { = 𝑚𝑖𝑛 { 1850 𝑚𝑚 16 ∙ 100 + 250 𝑓 𝑤 1500 𝑚𝑚∎ 250 + 1250 𝑏𝑤 + 𝑠 𝑏 = 1500 𝑚𝑚 Paso 2: Verificar el acero mínimo (ACI 10.5.1) 𝑛𝜋∅𝑙𝑜𝑛𝑔 2 6 ∙ 𝜋 ∙ 302 𝑛 = 6, ∅𝑙𝑜𝑛𝑔 = 30 𝑚𝑚 → 𝐴𝑠 = = = 4241 𝑚𝑚2 4 4 1.4 𝑠𝑖 (𝑓´𝑐 ≤ 31.36 𝑀𝑃𝑎) → 𝐴𝑠(min.) = 𝑏 𝑑 𝑓𝑦 𝑤 1.4 𝐴𝑠(min.) = ∙ 250 ∙ 600 = 500 𝑚𝑚2 420 𝑠𝑖 (𝐴𝑠 ≥ 𝐴𝑠(min.) ) → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒! Paso 3: Cálculo de T 𝑇 = 𝐴𝑠 𝑓𝑦 = 4241 ∙ 420 ∙ 103 = 1781.283 𝑘𝑁
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Paso 4: Determinamos 𝐴𝑐
𝑇 1781.238 ∙ 103 𝐴𝑐 = = = 74843.825 𝑚𝑚2 0.85𝑓´𝑐 0.85 ∙ 28 𝐴𝑓 = ℎ𝑓 𝑏 = 100 ∙ 1500 = 150000 𝑚𝑚2 𝑠𝑖 (𝐴𝑐 < 𝐴𝑓 ) → 𝑣𝑖𝑔𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟!
Paso 5: Cálculo de 𝑎, 𝑐 𝑦 𝜖𝑡 𝐴𝑐 74843.825 𝑎= = = 49.896 𝑚𝑚 (𝐴𝐶𝐼 10.2.7.1) 𝑏 1500 𝑠𝑖 (𝑓´𝑐 ≤ 28 𝑀𝑃𝑎) → (𝛽1 = 0.85) (𝐴𝐶𝐼 10.2.7.3) 𝑎 49.896 𝑐= = = 58.701 𝑚𝑚 (𝐴𝐶𝐼 10.2.7.2) 𝛽1 0.85 𝑑−𝑐 600 − 58.701 𝜖𝑡 = ( ) 𝜖𝑢 = ( ) 0.003 = 0.028 𝑐 58.701 𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 𝜖𝑦 ) → (0.028 ≥ 0.002) → 𝑓𝑙𝑢𝑦𝑒! (ACI 10.3.3) 𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 0.004) → (0.028 ≥ 0.004) → 𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎! (ACI 10.3.5) 𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 0.005) → (0.028 ≥ 0.005) → 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛! (ACI 10.3.4) 𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 0.005) → ∅ = 0.9 (𝐴𝐶𝐼 9.3.2) Paso 6: Determinar la capacidad resistente teórica y real de la sección (ACI 9.3.1) 49.896 (600 − 2 ) 𝑎 ∅𝑀𝑛 = ∅𝐴𝑠 𝑓𝑦 (𝑑 − ) = 0.9 ∙ 4241 ∙ 420 ∙ = 1024.33 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 2 106 Ejemplo 3.8 Calcular la resistencia de diseño para la viga T mostrada en la figura 3.56 en el cual 𝑓´𝑐 = 28 𝑀𝑃𝑎 𝑦 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎
Figura 3.56 – Sección transversal de la viga
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Datos: 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: ℎ𝑓 = 100 𝑚𝑚, 𝑏𝑤 = 350 𝑚𝑚, 𝑏 = 750 𝑚𝑚 𝑑 = 750 𝑚𝑚 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑓´𝑐 = 28 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝐸𝑠 = 200000 𝑀𝑃𝑎 𝑛 = 8, ∅𝑙𝑜𝑛𝑔 = 32 𝑚𝑚 Solución: Paso 1: Verificar el acero mínimo (ACI 10.5.1) 𝑛𝜋∅𝑙𝑜𝑛𝑔 2 8 ∙ 𝜋 ∙ 322 𝑛 = 8, ∅𝑙𝑜𝑛𝑔 = 32 𝑚𝑚 → 𝐴𝑠 = = = 6434 𝑚𝑚2 4 4 1.4 𝑠𝑖 (𝑓´𝑐 ≤ 31.36 𝑀𝑃𝑎) → 𝐴𝑠(min.) = 𝑏 𝑑 𝑓𝑦 𝑤 1.4 𝐴𝑠(min.) = ∙ 350 ∙ 750 = 875 𝑚𝑚2 → 𝑠𝑖 (𝐴𝑠 ≥ 𝐴𝑠(min.) ) → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒! 420 Paso 2: Cálculo de T 𝑇 = 𝐴𝑠 𝑓𝑦 = 6434 ∙ 420 ∙ 103 = 2702.272 𝑘𝑁 Paso 3: Determinamos 𝐴𝑐
𝑇 2702.272 ∙ 103 𝐴𝑐 = = = 113540.854 𝑚𝑚2 0.85𝑓´𝑐 0.85 ∙ 28
𝐴𝑓 = ℎ𝑓 𝑏 = 100 ∙ 750 = 75000 𝑚𝑚2
𝑠𝑖 (𝐴𝑐 < 𝐴𝑓 ) → 𝑣𝑖𝑔𝑎 𝑇!
Es obvio que el bloque de esfuerzos debe extenderse debajo del patín para proporcionar el área necesaria de compresión, como se muestra en la figura 3.56. Paso 4: Determinamos el área faltante del alma 𝐴𝑤 = 𝐴𝑐 − 𝐴𝑓 = 113540.854 − 75000 = 38540.854 𝑚𝑚2 Paso 5: Cálculo de la distancia 𝑦 de la parte superior del patín al centro de gravedad 𝐴𝑐 . 𝐴𝑓 𝑦=
ℎ𝑓 2
+ 𝐴𝑤 (ℎ𝑓 + 𝐴𝑓 + 𝐴𝑤
𝐴𝑤 𝑏𝑤
2
)
75000 =
100 2
+ 38540.854 (100 +
38540.854 350
2
)
75000 + 38540.854
𝑦 = 85.662 𝑚𝑚 Paso 6: Cálculo de 𝑎, 𝑐 𝑦 𝜖𝑡 𝐴𝑤 38540.854 𝑎 = ℎ𝑓 + = 100 + = 210.117 𝑚𝑚 (𝐴𝐶𝐼 10.2.7.1) 𝑏𝑤 350 𝑠𝑖 (𝑓´𝑐 ≤ 28 𝑀𝑃𝑎) → (𝛽1 = 0.85) (𝐴𝐶𝐼 10.2.7.3) 𝑎 210.117 𝑐= = = 247.196 𝑚𝑚 (𝐴𝐶𝐼 10.2.7.2) 𝛽1 0.85 𝑑−𝑐 750 − 247.196 𝜖𝑡 = ( ) 𝜖𝑢 = ( ) 0.003 = 0.006 𝑐 247.196 copyright©rcolquea
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𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 𝜖𝑦 ) → (0.006 ≥ 0.002) → 𝑓𝑙𝑢𝑦𝑒! (ACI 10.3.3) 𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 0.004) → (0.006 ≥ 0.004) → 𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎! (ACI 10.3.5) 𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 0.005) → (0.006 ≥ 0.005) → 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛! (ACI 10.3.4) 𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 0.005) → ∅ = 0.9 (𝐴𝐶𝐼 9.3.2) Paso 7: Determinar la capacidad resistente teórica y real de la sección (ACI 9.3.1) (750 − 85.662) ∅𝑀𝑛 = ∅𝐴𝑠 𝑓𝑦 (𝑑 − 𝑦) = 0.9 ∙ 6434 ∙ 420 ∙ = 1795.224 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 106
Figura 3.57 – Sección transversal de la viga
Si el eje neutro queda en el alma, se puede usar el método del par que consiste en un procedimiento de tanteos para el diseño de vigas T o vigas de diversas secciones: Paso 1: Encontrar el ancho efectivo del patín. Paso 2: Cálculo de momento último y momento nominal, suponiendo ∅ = 0.9. 𝑀𝑢 𝑀𝑢 = 1.2𝐷 + 1.6𝐿 𝑀𝑛 = ∅ Paso 3: Suponer un brazo de palanca z igual al mayor de los dos valores: 𝑧 = 0.9𝑑 ℎ𝑓 𝑧=𝑑− 2 Paso 4: Cálculo del área de prueba de acero: 𝑀𝑛 𝐴𝑠 = 𝑓𝑦 𝑧 Paso 5: Cálculo de los valores de 𝐴𝑐 , verificamos si el bloque de esfuerzos se extiende hacia el alma: copyright©rcolquea
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𝐴𝑠 𝑓𝑦 0.85𝑓´𝑐 Paso 6: Cálculo de la distancia 𝑦̅ de la parte superior del patín al centro de gravedad de 𝐴𝑐 . ∑𝑛𝑖=1(𝐴𝑖 𝑦𝑖 ) 𝑦̅ = 𝐴𝑇 𝑧 = 𝑑 − 𝑦̅ 𝑀𝑛 𝐴𝑠 = 𝑓𝑦 𝑧 𝐴𝑐 =
Si hay mucha diferencia del área de acero entre el paso 4 y el paso 6, el valor estimado de z se revisa y se determina una nueva área 𝐴𝑠 , este proceso se repite hasta que los cambios en 𝐴𝑠 sean muy pequeños. Paso 7: Verificar el refuerzo mínimo Paso 8: Cálculo de 𝑐, 𝜖𝑡 . 𝑎 𝛽1 𝑑−𝑐 𝜖𝑡 = ( ) 𝜖𝑢 𝑐 𝑐=
3.5.2.2) Método específico para vigas T Las vigas T son tan comunes que muchos proyectistas prefieren usar un método que está específicamente diseñado para estas vigas. La viga T se divide se divide en dos (ver figura 3.58): Viga imaginaria w, comprende las partes en volado del patín. Viga imaginaria f, comprende el alma de la viga.
Figura 3.58 – División de una viga T en partes rectangulares
La viga T comprende la viga w y la viga f: 𝑉𝑖𝑔𝑎 𝑇 = 𝑉𝑖𝑔𝑎 𝑤 + 𝑉𝑖𝑔𝑎 𝑓 De la figura 3.58 podemos decir que: 𝐴𝑠 = 𝐴𝑠𝑤 + 𝐴𝑠𝑓 De la hipótesis: 𝐶 = 𝑇 Se calcula la compresión de la viga imaginaria w y f: 𝐶𝑤 = 0.85𝑓´𝑐 𝑎𝑏𝑤 copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO 𝐶𝑓 = 0.85𝑓´𝑐 (𝑏 − 𝑏𝑤 )ℎ𝑓
Se calcula la tracción de la viga imaginaria w y f: 𝑇𝑤 = 𝐴𝑠𝑤 𝑓𝑦 𝑇𝑓 = 𝐴𝑠𝑓 𝑓𝑦 En consecuencia tenemos: 𝐶 = 𝐶𝑤 +𝐶𝑓 𝑇 = 𝑇𝑤 + 𝑇𝑓 Igualando la fuerza de compresión y la fuerza de tracción: 𝐶𝑤 +𝐶𝑓 = 𝑇𝑤 + 𝑇𝑓 0.85𝑓´𝑐 𝑎𝑏𝑤 + 0.85𝑓´𝑐 (𝑏 − 𝑏𝑤 )ℎ𝑓 = 𝐴𝑠𝑤 𝑓𝑦 + 𝐴𝑠𝑓 𝑓𝑦 Despejando 𝑎: 𝑎=
𝐴𝑠𝑤 𝑓𝑦 + 𝐴𝑠𝑓 𝑓𝑦 − 0.85𝑓´𝑐 (𝑏 − 𝑏𝑤 )ℎ𝑓 0.85𝑓´𝑐 𝑏𝑤
Sustituyendo: 𝐴𝑠 = 𝐴𝑠𝑤 + 𝐴𝑠𝑓 𝐴𝑠 𝑓𝑦 − 0.85𝑓´𝑐 (𝑏 − 𝑏𝑤 )ℎ𝑓 0.85𝑓´𝑐 𝑏𝑤 Luego se determina el momento nominal 𝑀𝑛 multiplicando la fuerza de compresión o tracción por sus respectivos brazos de palanca: ℎ𝑓 𝑎 𝑀𝑛 = (𝐶𝑤 ó 𝑇𝑤 ) (𝑑 − ) + (𝐶𝑓 ó 𝑇𝑓 ) (𝑑 − ) 2 2 𝑎=
Reemplazando los términos y multiplicando por el factor de reducción de resistencia: Momento nominal reducido en función de la fuerza de compresión: ℎ𝑓 𝑎 ∅𝑀𝑛 = ∅ (0.85𝑓´𝑐 𝑎𝑏𝑤 (𝑑 − ) + 0.85𝑓´𝑐 (𝑏 − 𝑏𝑤 )ℎ𝑓 (𝑑 − )) 2 2 Momento nominal reducido en función de la fuerza de tracción: ℎ𝑓 𝑎 ∅𝑀𝑛 = ∅ (𝐴𝑠𝑤 𝑓𝑦 (𝑑 − ) + 𝐴𝑠𝑓 𝑓𝑦 (𝑑 − )) 2 2 Pasos para diseñar vigas por el método específico de vigas T; la fuerza de compresión suministrada por los rectángulos de los patines en voladizo debe ser equilibrada por la fuerza de tracción generada por 𝐴𝑠𝑓 , mientras que la fuerza de compresión del alma debe ser equilibrada por 𝐴𝑠𝑤 . Paso 1: Encontrar el ancho efectivo del patín.
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Paso 2: Cálculo de momento último. 𝑀𝑢 = 1.2𝐷 + 1.6𝐿 Paso 3: Determinar el área requerida de acero, 𝐴𝑠𝑓 . 𝐴𝑠𝑓 =
0.85𝑓´𝑐 (𝑏 − 𝑏𝑤 )ℎ𝑓 𝑓𝑦
Paso 4: Calcular la resistencia de diseño de los patines en voladizo: ℎ𝑓 𝑀𝑢𝑓 = ∅𝐴𝑠𝑓 𝑓𝑦 (𝑑 − ) 2
ACI 10.6.6 (ver figura 3.59) Cuando las alas de las vigas T están en tracción, parte del refuerzo de tracción por flexión debe distribuirse sobre un ancho efectivo del ala como se define en 8.12 o un ancho igual a 1/10 de la luz, el que sea menor. Si el ancho efectivo del ala excede de 1/10 de la luz se debe colocar algún refuerzo longitudinal en las zonas más externas del ala.
Paso 5: Determinar el momento restante que debe resistir el alma. 𝑀𝑢𝑤 = 𝑀𝑢 − 𝑀𝑢𝑓 Paso 6: Determinar el acero requerido para resistir el momento del paso 4. 𝐴𝑠𝑤 = 0.85
𝑓´𝑐 2𝑀𝑢𝑤 (1 − √1 − ) 𝑏𝑑 𝑓𝑦 ∅0.85𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑2
Paso 7: Determinar el área de acero total requerido: 𝐴𝑠 = 𝐴𝑠𝑤 + 𝐴𝑠𝑓 Paso 8: Verificar el refuerzo mínimo Paso 9: Cálculo de 𝑐, 𝜖𝑡 . 𝑐=
𝑎 𝛽1
𝑑−𝑐 𝜖𝑡 = ( ) 𝜖𝑢 𝑐
3.5.3) ACERO MÍNIMO Y DISEÑO DE VIGAS T PARA MOMENTO NEGATIVO Cuando las vigas T resisten momentos negativos, sus patines estarán trabajando a tracción y la parte inferior de su alma estará trabajando a compresión, ver figura 3.59, naturalmente, en tales situaciones se usarán las fórmulas de diseño para vigas rectangulares, tomando como base el espesor del alma,𝑏𝑤 , el código ACI 10.6.6 establece que si el ancho efectivo es mayor que un décimo del claro, el código requiere que se agregue acero longitudinal adicional en las porciones exteriores del patín. La intención del ACI 10.6.6 es minimizar los tamaños de las grietas de flexión que se presentaran en la superficie superior del patín.
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Figura 3.59 – Viga T con patín en tracción y fondo del alma en compresión ( viga rectangular)
Si el momento resistente de diseño, ∅𝑀𝑛 , es menor que el momento de agrietamiento la viga podría fallar sin previo aviso cuando se presente la primera grieta, para evitar la respectiva falla el ACI 10.5.1 establece el área de acero mínimo. Para miembros estáticamente determinados con sus patines en tracción, 𝑏𝑤 , debe reemplazarse en la expresión de área de acero con el valor mínimo de 𝑏𝑤 𝑦 𝑏. 3.5.4) VIGUETAS EN LOSAS NERVADAS La losa nervada consiste en una combinación monolítica de viguetas regularmente espaciadas y una losa colocada en la parte superior que actúa en una dirección o en dos direcciones ortogonales. En la actualidad los edificios de hormigón armado consisten en sistemas de entrepiso de losas alivianadas o nervadas, son losas en una dirección o dos direcciones conformadas por viguetas en forma de T, por lo general este tipo de entrepiso es una aplicación de vigas T, donde se debe tomar en cuenta la flexión y el corte. El alma de la vigueta debe ser separada por plastoform o ladrillo industrial (ver figura 3.60). En la construcción habitual podemos observar que el sistema de piso o losas están conformados por viguetas pretensadas, este caso no le corresponde a la materia de Hormigón Armado, son viguetas pretensadas por lo tanto este caso se analiza en la materia de Hormigón Pre esforzado; las empresas como PRETENSA se encargan de fabricar las viguetas pretensadas para sistemas de piso o losas.
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ACI 8.13.2 El ancho de las nervaduras y la altura está dado por: 𝑏𝑤 ≥ 100 𝑚𝑚
ℎ ≤ 3.5𝑏𝑤
ACI 8.13.3 El espaciamiento libre entre las nervaduras debe ser: 𝑠 ≤ 750 𝑚𝑚 ACI 8.13.5 Y ACI 8.13.6 (𝑏 − 𝑏𝑤 )/12 El espesor de la losa se define por: ℎ𝑓 ≥ 𝑚𝑖𝑛 {50 𝑚𝑚 𝑝𝑙𝑎𝑠𝑡𝑜𝑓𝑜𝑟𝑚 40 𝑚𝑚 𝑐𝑒𝑟á𝑚𝑖𝑐𝑎
Figura 3.60 – Sección transversal de una losa nervada
Las especificaciones para viguetas en losas nervadas se definen en ACI 8.13, en esta sección podemos encontrar el criterio para definir el ancho de las nervaduras, el espaciamiento libre entre nervaduras, el espesor de losa. La losa debe llevar refuerzo perpendicular a las viguetas que cumpla lo requerido por flexión, considerando las concentraciones de carga, si las hay, pero no menor que el que estipula en ACI 7.12.2.1 que es el refuerzo por temperatura. Un procedimiento alternativo para determinar la altura de la losa nervada se la realiza mediante la equivalencia de inercias entre la viga T de la losa nervada y la losa maciza, la altura de la losa maciza debe estar determinada por ACI 9.5.2.1 y la base debe ser igual al ancho efectivo de la viga T, ver figura 3.61.
Figura 3.61 – Sección transversal de una viga T y una losa maciza
𝐼𝑣𝑖𝑔𝑎 𝑇 = 𝐼𝑙𝑜𝑠𝑎 3
𝑏𝑤 ℎ3 𝑏ℎ𝑓 𝑏ℎ𝑚𝑖𝑛 3 + = … … 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑠 ℎ 12 3 12
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3.5.5) EJERCICIOS RESUELTOS Ejemplo 3.9 Diseñar la viga aislada, de sección en forma de T que tiene un claro de 11 metros, la viga está simplemente apoyada y tiene un ancho efectivo de 500 mm, espesor del ala es de 125 mm, el ancho del alma es de 250 mm y la altura es de 700 mm; la carga muerta sin su peso propio es de 12 Kn/m y la carga viva es de 15kN/m, ver figura 3.62. Se pide determinar la capacidad resistente útil a flexión.
Figura 3.62 – Sección transversal y propuesta de armado
Datos: 3 𝑖𝑛, ∅𝑠𝑒𝑝 = 10 𝑚𝑚 4 ℎ = 700 𝑚𝑚, ℎ𝑓 = 125 𝑚𝑚, 𝑏𝑤 = 250 𝑚𝑚, 𝑏 = 500 𝑚𝑚
𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: 𝑙 = 11 𝑚, 𝑟𝑒𝑐 = 35 𝑚𝑚, ∅𝑒𝑠𝑡 = 10 𝑚𝑚, ∅𝑚𝑎𝑥𝑎𝑔𝑟 =
𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑓´𝑐 = 21 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝐸𝑠 = 200000 𝑀𝑃𝑎, 𝑤𝑐 = 2400 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 𝐷𝑜 = 12
𝑘𝑔𝑓 𝑚3
𝑘𝑁 𝑘𝑁 , 𝐿 = 15 𝑚 𝑚
Solución: Paso 1: Verificar las dimensiones de la viga (ACI 8.12.4) 𝑠𝑖 (ℎ𝑓 ≥ 𝑏𝑤 /2) → (125 𝑚𝑚 ≥ 250/2) → (125 𝑚𝑚 ≥ 125) → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒! 𝑠𝑖 (𝑏 ≤ 4𝑏𝑤 ) → (500 𝑚𝑚 ≤ 4 ∙ 250) → (500 𝑚𝑚 ≤ 1000 𝑚𝑚) → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒! Paso 2: Determinar el canto útil del acero más traccionado y el canto útil ∅𝑙𝑜𝑛𝑔 25 𝑑𝑡 = ℎ − 𝑟𝑒𝑐 − ∅𝑒𝑠𝑡 − = 700 − 35 − 10 − = 642.5 𝑚𝑚 2 2 ∅𝑙𝑜𝑛𝑔 25 𝑑 = ℎ − 𝑟𝑒𝑐 − ∅𝑒𝑠𝑡 − ∅𝑙𝑜𝑛𝑔 − ∅𝑠𝑒𝑝 − = 700 − 35 − 10 − 25 − 10 − = 2 2 𝑑 = 607.5 𝑚𝑚 copyright©rcolquea
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Paso 3: Determinar el momento último Determinar el peso propio de la viga 𝑞𝑣𝑖𝑔𝑎 = 𝑤𝑐 [𝑏ℎ𝑓 + 𝑏𝑤 (ℎ − ℎ𝑓 )] = 2400 ∙ [500 ∙ 125 + 250 ∙ (700 − 125)] ∙ 𝑞𝑣𝑖𝑔𝑎 = 4.854 𝑘𝑁/𝑚 Determinar la carga muerta total 𝐷 = 𝐷𝑜 + 𝑞𝑣𝑖𝑔𝑎 = 12 + 4.854 = 16.854 𝑘𝑁/𝑚 Determinar la carga última mayorada o factorizada (ACI 9.2.1) 𝑞𝑢 = 1.2𝐷 + 1.6 𝐿 = 1.2 ∙ 16.854 + 1.6 ∙ 15 = 44.225 𝑘𝑁/𝑚 Determinar el momento último, para una viga simplemente apoyada 𝑞𝑢 𝑙 2 44.225 ∙ 112 𝑀𝑢 = = = 668.905 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 8 8
9.807 1000
Paso 4: Determinar la cuantía de área de acero suponiendo una viga rectangular de 500 mm de base 𝜌 = 0.85
𝜌 = 0.85
𝑓´𝑐 2𝑀𝑢 (1 − √1 − ) 𝑓𝑦 ∅𝑎𝑠 0.85𝑓´𝑐 𝑏𝑑 2
21 2 ∙ 668.905 ∙ 106 (1 − √1 − ) = 0.011 420 0.9 ∙ 0.85 ∙ 21 ∙ 500 ∙ 607.52
Paso 5: Determinar la cuantía mínima y requerida (ACI 10.5.1) 1.4 1.4 𝑠𝑖 (𝑓´𝑐 ≤ 31.36 𝑀𝑃𝑎) → 𝜌𝑚𝑖𝑛 = = = 0.003 𝑓𝑦 420 𝑠𝑖 (𝜌 ≥ 𝜌𝑚𝑖𝑛 ) → (𝜌𝑟𝑒𝑞 = 𝜌 = 0.011) Paso 6: Determinar el área de acero requerido 𝐴𝑠(𝑟𝑒𝑞) = 𝜌𝑟𝑒𝑞 𝑏𝑑 = 0.008 ∙ 500 ∙ 607.5 = 3346.721 𝑚𝑚2 Paso 7: Verificar si la sección trabaja como viga T (ACI 10.2.7.1) 𝐴𝑠(𝑟𝑒𝑞) 𝑓𝑦 3346.721 ∙ 420 𝑎= = = 157 𝑚𝑚 0.85𝑓′𝑐 𝑏 0.85 ∙ 21 ∙ 500 𝑠𝑖 (𝑎 > ℎ𝑓 ) → (157 > 125) → 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎 𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑣𝑖𝑔𝑎 𝑇! Paso 8: Determinar el área de acero que trabaja con el ala 0.85𝑓´𝑐 ℎ𝑓 (𝑏 − 𝑏𝑤 ) 0.85 ∙ 21 ∙ 125(500 − 250) 𝐴𝑠𝑓(𝑟𝑒𝑞) = = = 1328.125 𝑚𝑚2 𝑓𝑦 420 Paso 9: Determinar el momento nominal de las alas 𝑀𝑛𝑓
(607.5 − ℎ𝑓 = 𝐴𝑠𝑓(𝑟𝑒𝑞) 𝑓𝑦 (𝑑 − ) = 1328.125 ∙ 420 ∙ 2 106
125 2
)
= 304.008 𝑘𝑁 ∙ 𝑚
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Paso 10: Determinar el momento nominal requerido por las solicitaciones 𝑀𝑢 668.905 𝑀𝑛 = = = 743.228 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 ∅𝑎𝑠 0.9 Paso 11: Determinar el momento nominal que debe resistir el alma 𝑀𝑛𝑤 = 𝑀𝑛 − 𝑀𝑛𝑓 = 743.228 − 304.008 = 439.22 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Paso 12: Determinar el área de acero requerido por el alma 𝐴𝑠𝑤(𝑟𝑒𝑞) = 0.85
𝐴𝑠𝑤(𝑟𝑒𝑞)
𝑓´𝑐 2𝑀𝑛𝑤 (1 − √1 − )𝑏 𝑑 𝑓𝑦 0.85𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑 2 𝑤
21 2 ∙ 439.22 ∙ 106 √ = 0.85 (1 − 1 − ) 250 ∙ 607.52 2 420 0.85 ∙ 21 ∙ 250 ∙ 607.5 𝐴𝑠𝑤(𝑟𝑒𝑞) = 2045.546 𝑚𝑚2
Paso 13: Determinar el área de acero requerido y provisto total 𝐴𝑠(𝑟𝑒𝑞) = 𝐴𝑠𝑓(𝑟𝑒𝑞) + 𝐴𝑠𝑤(𝑟𝑒𝑞) = 1328.125 + 2045.546 = 3373.671 𝑚𝑚2 𝑛 = 7, ∅𝑙𝑜𝑛𝑔
𝑛𝜋∅𝑙𝑜𝑛𝑔 2 7 ∙ 𝜋 ∙ 252 = 25 𝑚𝑚 → 𝐴𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) = = = 3436 𝑚𝑚2 4 4 𝑠𝑖 (𝐴𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) > 𝐴𝑠(𝑟𝑒𝑞) ) → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒!
Paso 14: Determinar 𝑎, 𝛽1 , 𝑐, 𝜖𝑦 , 𝜖𝑡 𝑦 ∅ 𝑠𝑖 (𝑓´𝑐 ≤ 28 𝑀𝑃𝑎) → (𝛽1 = 0.85) (𝐴𝐶𝐼 10.2.7.3) 𝐴𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) 𝑓𝑦 − 0.85𝑓´𝑐 ℎ𝑓 (𝑏 − 𝑏𝑤 ) 3436 ∙ 420 − 0.85 ∙ 21 ∙ 125 ∙ (500 − 250) 𝑎= = 0.85𝑓´𝑐 𝑏𝑤 0.85 ∙ 21 ∙ 250 𝑎 = 198 𝑚𝑚 (𝐴𝐶𝐼 10.2.7.1) 𝑓𝑦 𝑎 198 420 𝑐= = = 233 𝑚𝑚, 𝜖𝑦 = = = 0.002 (𝐴𝐶𝐼 10.2.7.2) 𝛽1 0.85 𝐸𝑠 200000 𝑑𝑡 − 𝑐 642.5 − 233 𝜖𝑡 = ( ) 𝜖𝑢 = ( ) 0.003 = 0.0053 𝑐 233 𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 𝜖𝑦 ) → (0.0053 ≥ 0.002) → 𝑓𝑙𝑢𝑦𝑒! (ACI 10.3.3) 𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 0.004) → (0.0053 ≥ 0.004) → 𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎! (ACI 10.3.5) 𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 0.005) → (0.0053 ≥ 0.005) → 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛! (ACI 10.3.4) 𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 0.005) → ∅ = 0.9 (𝐴𝐶𝐼 9.3.2) Paso 15: Determinar la capacidad resistente útil de la sección (ACI 9.3.1) ℎ𝑓 𝑎 ∅𝑀𝑛 = ∅ (0.85𝑓´𝑐 𝑎𝑏𝑤 (𝑑 − ) + 0.85𝑓´𝑐 ℎ𝑓 (𝑏 − 𝑏𝑤 ) (𝑑 − )) 2 2
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∅𝑀𝑛 = 0.9 ∙ (0.85 ∙ 21 ∙ 198 ∙ 250 ∙
(607.5 − 106
198 2
)
+ 0.85 ∙ 21 ∙ 125 ∙ (500 − 250)
(607.5 −
125 2
106
)
)
∅𝑀𝑛 = 678.631 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Paso 16: Determinar el ratio de diseño 𝑀𝑢 668.905 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 = = = 0.986 → 𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 ó𝑝𝑡𝑖𝑚𝑜 ∅𝑀𝑛 678.631 Paso 17: Detalle de armado
Figura 3.63 – Armado de la sección
Ejemplo 3.10 Analizar la sección aislada en forma de T, el ancho efectivo es de 500 mm, el espesor del ala es de 125 mm, el espesor del alma es de 250 mm y la altura es de 700 mm, tiene 6 barras de 25 mm de diámetro que trabaja a tracción (ver figura 3.64). Se pide determinar la capacidad resistente real y teórica o nominal de la sección.
Figura 3.64 – Sección transversal
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Datos: 3 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: 𝑟𝑒𝑐 = 35 𝑚𝑚, ∅𝑒𝑠𝑡 = 10 𝑚𝑚, ∅𝑚𝑎𝑥𝑎𝑔𝑟 = 𝑖𝑛, ∅𝑠𝑒𝑝 = 10 𝑚𝑚 4 ℎ = 700 𝑚𝑚, ℎ𝑓 = 125 𝑚𝑚, 𝑏𝑤 = 250 𝑚𝑚, 𝑏 = 500 𝑚𝑚 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑓´𝑐 = 21 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝐸𝑠 = 200000 𝑀𝑃𝑎 𝐴𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑣𝑖𝑠𝑡𝑜: 𝑛 = 6, ∅𝑙𝑜𝑛𝑔 = 25 𝑚𝑚 Solución: Paso 1: Determinar el canto útil del acero más traccionado y el canto útil ∅𝑙𝑜𝑛𝑔 25 𝑑𝑡 = ℎ − 𝑟𝑒𝑐 − ∅𝑒𝑠𝑡 − = 700 − 35 − 10 − = 642.5 𝑚𝑚 2 2 ∅𝑠𝑒𝑝 10 𝑑 = ℎ − 𝑟𝑒𝑐 − ∅𝑒𝑠𝑡 − ∅𝑙𝑜𝑛𝑔 − = 700 − 35 − 10 − 25 − = 625 𝑚𝑚 2 2 Paso 2: Determinar el área de acero y cuantía provista suponiendo una viga rectangular de 500 mm de base (ACI 10.5.1) 𝑛𝜋∅𝑙𝑜𝑛𝑔 2 6 ∙ 𝜋 ∙ 252 𝑛 = 6, ∅𝑙𝑜𝑛𝑔 = 25 𝑚𝑚 → 𝐴𝑠 = = = 2945 𝑚𝑚2 4 4 𝐴𝑠 2945 𝜌= = = 0.009 𝑏𝑑 500 ∙ 625 1.4 1.4 𝑠𝑖 (𝑓´𝑐 ≤ 31.36 𝑀𝑃𝑎) → 𝜌𝑚𝑖𝑛 = = = 0.003 𝑓𝑦 420 𝑠𝑖 (𝜌 ≥ 𝜌𝑚𝑖𝑛 ) → (𝜌𝑟𝑒𝑞 = 𝜌 = 0.009) Paso 3: Verificar si la sección trabaja como viga T (ACI 10.2.7.1) 𝐴𝑠 𝑓𝑦 2945 ∙ 420 𝑎= = = 139 𝑚𝑚 0.85𝑓′𝑐 𝑏 0.85 ∙ 21 ∙ 500 𝑠𝑖 (𝑎 > ℎ𝑓 ) → (139 > 125) → 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎 𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑣𝑖𝑔𝑎 𝑇! Paso 4: Determinar el área de acero que trabaja con el ala 0.85𝑓´𝑐 ℎ𝑓 (𝑏 − 𝑏𝑤 ) 0.85 ∙ 21 ∙ 125(500 − 250) 𝐴𝑠𝑓 = = = 1328.125 𝑚𝑚2 𝑓𝑦 420 Paso 5: Determinar el área de acero provisto al alma 𝐴𝑠𝑤 = 𝐴𝑠 − 𝐴𝑠𝑓 = 2945 − 1328.125 = 1617.118 𝑚𝑚2 Paso 6: Determinar 𝑎, 𝛽1 , 𝑐, 𝜖𝑦 , 𝜖𝑡 𝑦 ∅ 𝑠𝑖 (𝑓´𝑐 ≤ 28 𝑀𝑃𝑎) → (𝛽1 = 0.85) (𝐴𝐶𝐼 10.2.7.3) 𝐴𝑠 𝑓𝑦 − 0.85𝑓´𝑐 ℎ𝑓 (𝑏 − 𝑏𝑤 ) 2945 ∙ 420 − 0.85 ∙ 21 ∙ 125 ∙ (500 − 250) 𝑎= = 0.85𝑓´𝑐 𝑏𝑤 0.85 ∙ 21 ∙ 250 𝑎 = 152 𝑚𝑚 (𝐴𝐶𝐼 10.2.7.1)
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𝑓𝑦 𝑎 152 420 = = 179 𝑚𝑚, 𝜖𝑦 = = = 0.002 (𝐴𝐶𝐼 10.2.7.2) 𝛽1 0.85 𝐸𝑠 200000 𝑑−𝑐 625 − 179 𝜖𝑡 = ( ) 𝜖𝑢 = ( ) 0.003 = 0.0075 𝑐 179 𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 𝜖𝑦 ) → (0.0075 ≥ 0.002) → 𝑓𝑙𝑢𝑦𝑒! (ACI 10.3.3) 𝑐=
𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 0.004) → (0.0075 ≥ 0.004) → 𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎! (ACI 10.3.5) 𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 0.005) → (0.0075 ≥ 0.005) → 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛! (ACI 10.3.4) 𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 0.005) → ∅ = 0.9 (𝐴𝐶𝐼 9.3.2) Paso 7: Determinar la capacidad resistente teórica y real de la sección (ACI 9.3.1) ℎ𝑓 𝑎 𝑀𝑛 = 0.85𝑓´𝑐 𝑎𝑏𝑤 (𝑑 − ) + 0.85𝑓´𝑐 ℎ𝑓 (𝑏 − 𝑏𝑤 ) (𝑑 − ) 2 2 𝑀𝑛 = 0.85 ∙ 21 ∙ 152 ∙ 250 ∙
(625 −
152 ) 2
106
+ 0.85 ∙ 21 ∙ 125 ∙ (500 − 250)
(625 −
125 ) 2
106
𝑀𝑛 = 686.577 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 ℎ𝑓 𝑎 ∅𝑀𝑛 = ∅ (0.85𝑓´𝑐 𝑎𝑏𝑤 (𝑑 − ) + 0.85𝑓´𝑐 ℎ𝑓 (𝑏 − 𝑏𝑤 ) (𝑑 − )) 2 2 ∅𝑀𝑛 = 0.9 ∙ (0.85 ∙ 21 ∙ 152 ∙ 250 ∙
(625 −
106
152 ) 2
+ 0.85 ∙ 21 ∙ 125 ∙ (500 − 250)
(625 −
125 ) 2
106
)
∅𝑀𝑛 = 617.919 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 3.6) ANÁLISIS Y DISEÑO DE VIGAS L Las vigas L tienen la forma de la escuadra con patín en un solo lado y existen dos tipos de vigas L: secciones simétricas y secciones asimétricas (ver figura 3.65).
Figura 3.65 – Vista 3D del sistema de entrepiso dónde se muestra la viga L
3.6.1) SECCIONES SIMÉTRICAS Estas vigas no tienen libertad para flexionarse lateralmente; es decir sólo se flexionan con respecto a sus ejes horizontales, se tratan como secciones simétricas igual que las vigas T. El ancho efectivo de las vigas L simétricas está definida por el código ACI en la sección 8.12.3. copyright©rcolquea
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Para analizar o diseñar las vigas L simétricas debemos deducir las ecuaciones de equilibrio, la viga L se divide en dos (ver figura 3.66): Viga imaginaria w, comprende las partes voladas del patín. Viga imaginaria f, comprende el alma de la viga.
ACI 8.12.3 (figura 3.66) Para vigas que tengan losa a un solo lado (viga L), el ancho efectivo está 𝑙 ⁄12 + 𝑏𝑤 𝑏 ≤ 𝑚𝑖𝑛 { 6ℎ𝑓 + 𝑏𝑤 𝑏𝑤 + 𝑠/2
Figura 3.66 – División de una viga L en partes rectangulares
La viga L comprende la viga w y la viga f: 𝑉𝑖𝑔𝑎 𝐿 = 𝑉𝑖𝑔𝑎 𝑤 + 𝑉𝑖𝑔𝑎 𝑓 De la figura 3.66 podemos decir que: 𝐴𝑠 = 𝐴𝑠𝑤 + 𝐴𝑠𝑓 De la hipótesis: 𝐶 = 𝑇 Se calcula la compresión de la viga imaginaria w y f: 𝐶𝑤 = 0.85𝑓´𝑐 𝑎𝑏𝑤
𝐶𝑓 = 0.85𝑓´𝑐 (𝑏 − 𝑏𝑤 )ℎ𝑓
Se calcula la tracción de la viga imaginaria w y f: 𝑇𝑤 = 𝐴𝑠𝑤 𝑓𝑦
𝑇𝑓 = 𝐴𝑠𝑓 𝑓𝑦
𝐶 = 𝐶𝑤 +𝐶𝑓
𝑇 = 𝑇𝑤 + 𝑇𝑓
En consecuencia tenemos: Igualando la fuerza de compresión y la fuerza de tracción: 𝐶𝑤 +𝐶𝑓 = 𝑇𝑤 + 𝑇𝑓 0.85𝑓´𝑐 𝑎𝑏𝑤 + 0.85𝑓´𝑐 (𝑏 − 𝑏𝑤 )ℎ𝑓 = 𝐴𝑠𝑤 𝑓𝑦 + 𝐴𝑠𝑓 𝑓𝑦 Despejando 𝑎: 𝑎=
𝐴𝑠𝑤 𝑓𝑦 + 𝐴𝑠𝑓 𝑓𝑦 − 0.85𝑓´𝑐 (𝑏 − 𝑏𝑤 )ℎ𝑓 0.85𝑓´𝑐 𝑏𝑤
Sustituyendo: 𝐴𝑠 = 𝐴𝑠𝑤 + 𝐴𝑠𝑓
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𝐴𝑠 𝑓𝑦 − 0.85𝑓´𝑐 (𝑏 − 𝑏𝑤 )ℎ𝑓 0.85𝑓´𝑐 𝑏𝑤 Luego se determina el momento nominal 𝑀𝑛 multiplicando la fuerza de compresión o tracción por sus respectivos brazos de palanca: ℎ𝑓 𝑎 𝑀𝑛 = (𝐶𝑤 ó 𝑇𝑤 ) (𝑑 − ) + (𝐶𝑓 ó 𝑇𝑓 ) (𝑑 − ) 2 2 𝑎=
Reemplazando los términos y multiplicando por el factor de reducción de resistencia: Momento nominal reducido en función de la fuerza de compresión: ℎ𝑓 𝑎 ∅𝑀𝑛 = ∅ (0.85𝑓´𝑐 𝑎𝑏𝑤 (𝑑 − ) + 0.85𝑓´𝑐 (𝑏 − 𝑏𝑤 )ℎ𝑓 (𝑑 − )) 2 2 Momento nominal reducido en función de la fuerza de tracción: ℎ𝑓 𝑎 ∅𝑀𝑛 = ∅ (𝐴𝑠𝑤 𝑓𝑦 (𝑑 − ) + 𝐴𝑠𝑓 𝑓𝑦 (𝑑 − )) 2 2 3.6.2) SECCIONES ASIMÉTRICAS Son vigas L que pueden flexionarse verticalmente como horizontalmente, es necesario analizar como una sección asimétrica porque existe flexión respecto a los ejes vertical y horizontal, la figura 3.67 muestra una sección asimétrica, se observa que el área de compresión no es simétrica por lo tanto el eje neutro se rota y obviamente la posición del diagrama de deformación unitaria cambia.51
Figura 3.67 – Sección transversal de una viga L y su respectiva diagrama de deformación unitaria
51
(G. MacGregor, 2012, pág. 165) copyright©rcolquea
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3.7) ANÁLISIS Y DISEÑO DE SECCIONES RECTANGULARES CON REFUERZO DE COMPRESIÓN En algunos casos es necesario introducir acero en la zona de compresión, a las vigas sometidas a flexión con acero en compresión y tracción se le denomina secciones con refuerzo de compresión o vigas doblemente armadas. En algunas estructuras de hormigón armado las vigas están limitadas a tamaños pequeños por los requisitos de estética y espacio disponible, esto implica poner un límite al peralte de la viga, otra causa es que la sección en el centro del claro no es la adecuada para soportar el momento negativo en el apoyo, ver figura 3.68. En fin se pone acero en la zona de compresión cuándo el acero requerido por las solicitaciones es mayor que el acero máximo generado para una deformación unitaria de 0.005 en el acero más traccionado. 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
(𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞 ≥ 𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥 ) →
𝑣𝑖𝑔𝑎 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎
c Figura 3.68 – Sección transversal de una viga con acero en compresión y tracción
Para aumentar la capacidad de resistencia a momento de una viga, más que la de una reforzada sólo a tracción con el máximo porcentaje de acero (𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜖𝑡 = 0.005) es necesario introducir otro par resistente en la viga, esto se logra aumentando acero en el lado de tracción y compresión de la viga. Las vigas doblemente reforzadas no solo aumentan la resistencia, sino que también aumenta la ductilidad de la sección, aunque caro pero hace que las vigas sean tenaces y dúctiles. Los códigos de estructuras antisísmicas recomiendan que las vigas sean doblemente reforzadas, porque las respectivas vigas resisten la inversión de esfuerzos causadas por los sismos. 3.7.1) DEFORMACIÓN UNITARIA DEL ACERO DE COMPRESIÓN La resistencia del acero a compresión se denomina 𝑓´𝑠 , el acero de compresión por 𝐴´𝑠 , el peralte del acero de compresión por 𝑑´ y la deformación unitaria neta del acero de compresión por 𝜖´𝑠 . La figura 3.69 muestra el diagrama de deformación unitaria y el par resistente de una sección transversal con refuerzo en compresión. copyright©rcolquea
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Figura 3.69 – Diagrama de deformación unitaria y diagrama de esfuerzos de una viga doblemente armada
Por semejanza de triángulos del diagrama de deformación unitaria encontramos 𝜖´𝑠 . 𝑐 − 𝑑´ 𝜖´𝑠 = ( ) 0.003 𝑐 𝑎 Reemplazando 𝑐 = 𝛽 en la anterior ecuación: 1
𝜖´𝑠 = (1 −
𝛽1 𝑑´ ) 0.003 𝑎
La ley de Hooke define que: 𝑓´𝑠 = 𝐸𝑠 𝜖´𝑠
𝑓𝑦 = 𝐸𝑠 𝜖𝑦
Las vigas doblemente reforzadas se dividen en dos casos, dependiendo si el acero de compresión fluye o no fluye: Caso 1: El acero a compresión fluye, cuando la deformación unitaria del acero de compresión es mayor que la deformación unitaria de fluencia 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
𝜖´𝑠 ≥ 𝜖𝑦 →
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠
𝑓´𝑠 ≥ 𝑓𝑦 →
𝑓´𝑠 = 𝑓𝑦
Otra forma de verificar si el acero de compresión fluye es cuando se cumple la siguiente condición: 𝑑´ ≤ 1/3𝑐 Caso 2: El acero a compresión no fluye, cuando la deformación unitaria del acero de compresión es menor que la deformación unitaria de fluencia 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
𝜖´𝑠 < 𝜖𝑦 →
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠
𝑓´𝑠 < 𝑓𝑦 →
𝑓´𝑠
Otra forma de verificar si el acero de compresión no fluye es cuando se cumple la siguiente condición: 𝑑´ > 1/3𝑐 copyright©rcolquea
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3.7.2) PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS DE VIGAS CON ACERO EN COMPRESIÓN Para el análisis de vigas rectangulares con refuerzo en compresión se divide la viga en dos vigas imaginarias, las vigas imaginarias generan las fuerzas internas tal como lo muestra la figura 3.70.
Figura 3.70 – División de una viga doble armada en vigas imaginarias
Cuando se usa acero de compresión, se supone que el momento resistente último de la viga consta de dos partes: Viga 1: la parte debida a la última capacidad de momento del acero de compresión más la porción equilibrante de acero de tracción. Viga 2: la parte debida a la resistencia del hormigón a compresión más el refuerzo a tracción. 3.7.2.1) Caso 1: El acero de compresión fluye Si el acero de compresión fluye el análisis es directo, porque 𝑓´𝑠 = 𝑓𝑦 , para analizar este caso se divide la viga en dos vigas imaginarias según la figura 3.70. Viga 1 Está compuesta solo por acero en la zona de compresión y en la zona de tracción, no interviene el hormigón. La fuerza generada por el acero de compresión, el acero de compresión fluye entonces se cumple con 𝑓´𝑠 = 𝑓𝑦 . 𝐶´𝑠 = 𝐴´𝑠 𝑓𝑦 La fuerza generada por el acero de tracción es: 𝑇1 = 𝐴𝑠1 𝑓𝑦 Igualando la compresión y tracción: 𝐶´𝑠 = 𝑇1 Reemplazando tenemos: 𝐴´𝑠 𝑓𝑦 = 𝐴𝑠1 𝑓𝑦 Simplificando: copyright©rcolquea
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𝐴´𝑠 = 𝐴𝑠1 El momento generado por la fuerza de tracción es: 𝑀𝑛1 = 𝐴𝑠1 𝑓𝑦 (𝑑 − 𝑑´) El momento equilibrante generada por la fuerza de compresión es: 𝑀𝑛1 = 𝐴´𝑠 𝑓𝑦 (𝑑 − 𝑑´) Viga 2 Está compuesta por hormigón en la zona de compresión y acero en la zona de tracción El área de acero en la zona de tracción es: 𝐴𝑠2 = 𝐴𝑠 − 𝐴𝑠1 Como 𝑓´𝑠 = 𝑓𝑦 entonces 𝐴´𝑠 = 𝐴𝑠1 : 𝐴𝑠2 = 𝐴𝑠 − 𝐴´𝑠 La fuerza de compresión generada por el hormigón es: 𝐶𝑐 = 0.85𝑓´𝑐 𝑎𝑏 La fuerza de tracción generada por el acero es: 𝑇2 = 𝐴𝑠2 𝑓𝑦 Reemplazando: 𝑇2 = (𝐴𝑠 − 𝐴´𝑠 )𝑓𝑦 Igualando la fuerza de compresión y la fuerza de tracción: 𝐶𝑐 = 𝑇2 Reemplazando: 0.85𝑓´𝑐 𝑎𝑏 = (𝐴𝑠 − 𝐴´𝑠 )𝑓𝑦 La profundidad equivalente del bloque de compresión es: (𝐴𝑠 − 𝐴´𝑠 )𝑓𝑦 𝑎= 0.85𝑓´𝑐 𝑏 Momento generado por la fuerza de tracción: 𝑎 𝑀𝑛2 = 𝐴𝑠2 𝑓𝑦 (𝑑 − ) 2 O también: 𝑎 𝑀𝑛2 = (𝐴𝑠 − 𝐴´𝑠 )𝑓𝑦 (𝑑 − ) 2 Momento equilibrante generado por la fuerza de compresión: 𝑎 𝑀𝑛2 = 0.85𝑓´𝑐 𝑎𝑏 (𝑑 − ) 2 Momento nominal real resistente Es el momento generado por ambas vigas imaginarias, al multiplicar por el factor de reducción de resistencia se convierte en el momento real que resiste el momento último. 𝑀𝑛 = 𝑀𝑛1 + 𝑀𝑛2 copyright©rcolquea
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Multiplicando por el factor de reducción de resistencia: ∅𝑀𝑛 = ∅(𝑀𝑛1 + 𝑀𝑛2 ) Momento resistente total debido a las fuerzas de compresión: 𝑎 𝑀𝑛 = 𝐴´𝑠 𝑓𝑦 (𝑑 − 𝑑´) + 0.85𝑓´𝑐 𝑎𝑏 (𝑑 − ) 2 𝑎 ∅𝑀𝑛 = ∅ (𝐴´𝑠 𝑓𝑦 (𝑑 − 𝑑´) + 0.85𝑓´𝑐 𝑎𝑏 (𝑑 − )) 2 Momento resistente total debido a las fuerzas de tracción: 𝑎 𝑀𝑛 = 𝐴´𝑠 𝑓𝑦 (𝑑 − 𝑑´) + (𝐴𝑠 − 𝐴´𝑠 )𝑓𝑦 (𝑑 − ) 2 𝑎 ∅𝑀𝑛 = ∅ (𝐴´𝑠 𝑓𝑦 (𝑑 − 𝑑´) + (𝐴𝑠 − 𝐴´𝑠 )𝑓𝑦 (𝑑 − )) 2 Ejemplo 3.11 Diseñar una sección rectangular de 700x350 mm que debido a las cargas de servicio debe resistir un momento último positivo de 𝑀𝑢 = 1015.357 𝑘𝑁 ∙ 𝑚, ver la figura 3.71, se pide determinar la capacidad resistente útil de la sección.
Figura 3.71 – Sección transversal
Datos: 3 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: 𝑟𝑒𝑐 = 35 𝑚𝑚, ∅𝑒𝑠𝑡 = 8 𝑚𝑚, ∅𝑚𝑎𝑥𝑎𝑔𝑟 = 𝑖𝑛, ∅𝑠𝑒𝑝 = 12 𝑚𝑚 4 ℎ = 700 𝑚𝑚, 𝑏 = 350 𝑚𝑚 𝑘𝑔𝑓 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑓´𝑐 = 21 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝐸𝑠 = 200000 𝑀𝑃𝑎, 𝑤𝑐 = 2400 3 𝑚 𝑆𝑜𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠: 𝑀𝑢 = 1015.357 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Solución:
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Paso 1: Determinar el canto útil Determinar el canto útil del acero más traccionado ∅𝑙𝑜𝑛𝑔𝑡 25 𝑑𝑡 = ℎ − 𝑟𝑒𝑐 − ∅𝑒𝑠𝑡 − = 700 − 30 − 8 − = 649.5 𝑚𝑚 2 2 Determinar el canto útil ∅𝑠𝑒𝑝 12 𝑑 = ℎ − 𝑟𝑒𝑐 − ∅𝑒𝑠𝑡 − ∅𝑙𝑜𝑛𝑔𝑡 − = 700 − 30 − 8 − 25 − = 631 𝑚𝑚 2 2 Determinar el canto útil del acero de compresión ∅𝑙𝑜𝑛𝑔𝑐 𝑑´ = 𝑟𝑒𝑐 + ∅𝑒𝑠𝑡 + = 30 + 8 + 25/2 = 50.5 𝑚𝑚 2 Paso 2: Determinar el factor que relaciona la profundidad del bloque rectangular equivalente de esfuerzos de compresión con la profundidad del eje neutro 𝑠𝑖 (𝑓´𝑐 ≤ 28 𝑀𝑃𝑎) → (𝛽1 = 0.85) (𝐴𝐶𝐼 10.2.7.3) Paso 3: Determinar el momento nominal máximo que puede resistir una viga simplemente armada dominada por tracción (viga imaginaria 2) (ACI 10.3.4) 𝜔𝑚𝑎𝑥𝑡 = 0.319𝛽1 = 0.319 ∙ 0.85 = 0.271 𝑀𝑛2 = 𝜔𝑚𝑎𝑥𝑡 (1 − 0.59𝜔𝑚𝑎𝑥𝑡 )𝑓´𝑐 𝑏𝑑𝑡 2 = 0.271(1 − 0.59 ∙ 0.271)
∙ 21 ∙ 350 ∙ 649.52 = 106
𝑀𝑛2 = 𝑀𝑛𝑚𝑎𝑥 = 706.229 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Paso 4: Determinar el momento nominal requerido por las solicitaciones 𝑀𝑢 1015.357 𝑀𝑛 = = = 1128.174 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 ∅𝑎𝑠 0.9 Paso 5: Verificar si la sección debe ser diseñada con refuerzo de compresión 𝑠𝑖 (𝑀𝑛 > 𝑀𝑛2 ) → (1128.174 > 706.229) → 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎! Paso 6: Determinar el momento nominal que debe resistir la viga imaginaria 1 𝑀𝑛1 = 𝑀𝑛 − 𝑀𝑛2 = 1128.174 − 706.229 = 421.945𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Paso 7: Verificar si el acero de compresión fluye, existen dos métodos para verificar Primer método (ACI 10.3.3) 𝑐𝑡 = 0.375𝑑𝑡 = 0.375 ∙ 649.5 = 243.563 𝑚𝑚 𝑓𝑦 𝑐𝑡 − 𝑑´ 243.563 − 50.5´ 420 𝜖´𝑠 = 𝜖𝑢 = 0.003 = 0.0024 𝜖𝑦 = = = 0.002 𝑐𝑡 243.563 𝐸𝑠 200000 𝑠𝑖 (𝜖´𝑠 ≥ 𝜖𝑦 ) → (0.0024 ≥ 0.002) → 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑓𝑙𝑢𝑦𝑒! → 𝑓𝑦 = 𝑓´𝑠 Segundo método (ACI 10.3.3) 𝑎𝑡 = 0.375𝛽1 𝑑𝑡 = 0.375 ∙ 0.85 ∙ 649.5 = 207.028 𝑚𝑚 𝑠𝑖 (
𝑓𝑦 𝑑´ 1 ≤ (1 − )) → 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑓𝑙𝑢𝑦𝑒! → 𝑓𝑦 = 𝑓´𝑠 𝑎𝑡 𝛽1 600
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𝑠𝑖 (
HORMIGÓN ARMADO 50.5 1 420 ≤ (1 − )) → (0.24 ≤ 0.35) → 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑓𝑙𝑢𝑦𝑒! 207.028 0.85 600
Paso 8: Determinar el área de acero provisto que trabaja a compresión 𝑀𝑛1 421.945 ∙ 106 𝐴´𝑠(𝑟𝑒𝑞) = = = 1730.63 𝑚𝑚2 𝑓𝑦 (𝑑 − 𝑑´) 420(631 − 50.5) 𝑛𝑐 = 4, ∅𝑙𝑜𝑛𝑔𝑐
𝑛𝑐 𝜋∅𝑙𝑜𝑛𝑔𝑐 2 4 ∙ 𝜋 ∙ 252 = 25 𝑚𝑚 → 𝐴´𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) = = = 1963 𝑚𝑚2 4 4 𝑠𝑖 (𝐴´𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) > 𝐴´𝑠(𝑟𝑒𝑞) ) → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒!
Paso 9: Determinar el área de acero provisto que trabaja a tracción (ACI 10.3.4) 3 𝛽1 0.85𝑓′𝑐 𝑏𝑑𝑡 0.85 ∙ 0.85 ∙ 21 ∙ 350 ∙ 649.5 𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥𝑡 = = 0.375 = 3081.96 𝑚𝑚2 8 𝑓𝑦 420 𝐴𝑠(𝑟𝑒𝑞) = 𝐴´𝑠(𝑟𝑒𝑞) + 𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥𝑡 = 1730.63 + 3081.96 = 4812.588 𝑚𝑚2 𝑛𝑡 = 10, ∅𝑙𝑜𝑛𝑔𝑡
𝑛𝑡 𝜋∅𝑙𝑜𝑛𝑔𝑡 2 10 ∙ 𝜋 ∙ 252 = 25 𝑚𝑚 → 𝐴𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) = = = 4909 𝑚𝑚2 4 4 𝑠𝑖 (𝐴𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) > 𝐴𝑠(𝑟𝑒𝑞) ) → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒!
Paso 10: Determinar 𝑎, 𝛽1 , 𝑐, 𝜖𝑦 , 𝜖𝑡 𝑦 ∅ (𝐴𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) − 𝐴´𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) )𝑓𝑦 (4909 − 1963)420 𝑎= = = 198 𝑚𝑚 (𝐴𝐶𝐼 10.2.7.1) 0.85𝑓´𝑐 𝑏 0.85 ∙ 21 ∙ 350 𝑎 198 𝑐 − 𝑑´ 233 − 50.5´ 𝑐= = = 233 𝑚𝑚, 𝜖´𝑠 = 𝜖𝑢 = 0.003 = 0.0023 (𝐴𝐶𝐼 10.2.7.2) 𝛽1 0.85 𝑐 233 𝑠𝑖 (𝜖´𝑠 ≥ 𝜖𝑦 ) → (0.0023 ≥ 0.002) → 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑓𝑙𝑢𝑦𝑒! → 𝑓𝑦 = 𝑓´𝑠 𝑑𝑡 − 𝑐 649.5 − 233 ) 𝜖𝑢 = ( ) 0.003 = 0.0053 𝑐 233 𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 𝜖𝑦 ) → (0.0053 ≥ 0.002) → 𝑓𝑙𝑢𝑦𝑒! (ACI 10.3.3) 𝜖𝑡 = (
𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 0.005) → (0.0053 ≥ 0.005) → 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛! (ACI 10.3.4) 𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 0.005) → ∅ = 0.9 (𝐴𝐶𝐼 9.3.2) Paso 11: Determinar la capacidad resistente útil de la sección (ACI 9.3.1) 𝑎 ∅𝑀𝑛 = ∅ (0.85𝑓´𝑐 𝑎𝑏 (𝑑 − ) + 𝐴´𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) 𝑓𝑦 (𝑑 − 𝑑´)) 2 ∅𝑀𝑛 = 0.9 (0.85 ∙ 21 ∙ 198 ∙ 350 ∙
(631 − 106
198 ) 2
+ 1963 ∙ 420
(631 − 50.5) ) = 1023.12 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 106
Paso 12: Determinar el ratio de diseño 𝑀𝑢 1015.357 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 = = = 0.992 → 𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 ó𝑝𝑡𝑖𝑚𝑜 ∅𝑀𝑛 1023.12 copyright©rcolquea
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Paso 13: Detalle de armado
Figura 3.72 – Armado de la sección
Ejemplo 3.12 Analizar la sección con acero de compresión, la altura es de 600 mm y la base de 300 mm; la armadura de compresión es de 𝐴´𝑠 = 2∅20 y la armadura de tracción es de 𝐴𝑠 = 6∅25, el armado de la sección se muestra en la figura 3.73. Se pide determinar la capacidad resistente a momento positivo de la sección.
Figura 3.73 – Sección transversal y distribución de la armadura
Datos: 3 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: 𝑟𝑒𝑐 = 40 𝑚𝑚, ∅𝑒𝑠𝑡 = 8 𝑚𝑚, ∅𝑚𝑎𝑥𝑎𝑔𝑟 = 𝑖𝑛, ∅𝑠𝑒𝑝 = 12 𝑚𝑚 4 ℎ = 600 𝑚𝑚, 𝑏 = 300 𝑚𝑚 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑓´𝑐 = 21 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝐸𝑠 = 200000 𝑀𝑃𝑎 𝐴𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛: 𝑛𝑐 = 2, ∅𝑙𝑜𝑛𝑔𝑐 = 20 𝑚𝑚 𝐴𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛: 𝑛𝑡 = 6, ∅𝑙𝑜𝑛𝑔𝑡 = 25 𝑚𝑚 copyright©rcolquea
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Solución: Paso 1: Determinar el canto útil Determinar el canto útil del acero más traccionado ∅𝑙𝑜𝑛𝑔𝑡 25 𝑑𝑡 = ℎ − 𝑟𝑒𝑐 − ∅𝑒𝑠𝑡 − = 600 − 40 − 8 − = 539.5 𝑚𝑚 2 2 Determinar el canto útil ∅𝑠𝑒𝑝 12 𝑑 = ℎ − 𝑟𝑒𝑐 − ∅𝑒𝑠𝑡 − ∅𝑙𝑜𝑛𝑔𝑡 − = 700 − 40 − 8 − 25 − = 521 𝑚𝑚 2 2 Determinar el canto útil del acero de compresión ∅𝑙𝑜𝑛𝑔𝑐 𝑑´ = 𝑟𝑒𝑐 + ∅𝑒𝑠𝑡 + = 40 + 8 + 20/2 = 58 𝑚𝑚 2 Paso 2: Determinar el área de acero provisto que trabaja a compresión y tracción 𝑛𝑐 𝜋∅𝑙𝑜𝑛𝑔𝑐 2 2 ∙ 𝜋 ∙ 202 𝑛𝑐 = 2, ∅𝑙𝑜𝑛𝑔𝑐 = 20 𝑚𝑚 → 𝐴´𝑠 = = = 628 𝑚𝑚2 4 4 𝑛𝑐 𝜋∅𝑙𝑜𝑛𝑔𝑐 2 6 ∙ 𝜋 ∙ 252 𝑛𝑡 = 6, ∅𝑙𝑜𝑛𝑔𝑡 = 25 𝑚𝑚 → 𝐴𝑠 = = = 2945 𝑚𝑚2 4 4 Paso 3: Determinar el factor que relaciona la profundidad del bloque rectangular equivalente de esfuerzos de compresión con la profundidad del eje neutro (ACI 10.2.7.3) 𝑠𝑖 (𝑓´𝑐 ≤ 28 𝑀𝑃𝑎) → (𝛽1 = 0.85) Paso 4: Verificar si la sección trabaja como doble armada (ACI 10.3.5) 𝐴𝑠 𝑓𝑦 2945 ∙ 420 𝑎= = = 231 𝑚𝑚 0.85𝑓′𝑐 𝑏 0.85 ∙ 21 ∙ 300 𝑎 231 𝑠𝑖 ( ≥ 0.375𝛽1 ) → ( ≥ 0.375 ∙ 0.85) → (0.43 ≥ 0.319) → 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑡 539.5 Paso 5: Determinar la altura equivalente del bloque de compresión suponiendo que el acero de compresión fluye,𝑓𝑦 = 𝑓´𝑠 (ACI 10.2.7.1) (𝐴𝑠 − 𝐴´𝑠 )𝑓𝑦 (2945 − 628)420 𝑎= = = 182 𝑚𝑚 0.85𝑓´𝑐 𝑏 0.85 ∙ 21 ∙ 300 Paso 6: Verificar si el acero de compresión y tracción fluyen (ACI 10.3.3) El acero de compresión fluye? 𝑠𝑖 ( 𝑠𝑖 (
𝑓𝑦 𝑑´ 1 ≤ (1 − )) → 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑓𝑙𝑢𝑦𝑒! → 𝑓𝑦 = 𝑓´𝑠 𝑎 𝛽1 600
58 1 420 ≤ (1 − )) → (0.32 ≤ 0.35) → 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑓𝑙𝑢𝑦𝑒! 182 0.85 600
Paso 7: Determinar 𝑐, 𝜖𝑦 , 𝜖𝑡 𝑦 ∅ 𝑎 182 𝑑𝑡 − 𝑐 539.5 − 214 𝑐= = = 214 𝑚𝑚, 𝜖𝑡 = ( ) 𝜖𝑢 = ( ) 0.003 = 0.0046 𝐴𝐶𝐼 10.2.7.2 𝛽1 0.85 𝑐 214 copyright©rcolquea
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𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 𝜖𝑦 ) → (0.0046 ≥ 0.002) → 𝑓𝑙𝑢𝑦𝑒! (ACI 10.3.3) 𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 0.005) → (0.0046 ≥ 0.005) → 𝑛𝑜 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛! ACI 10.3.4 𝑠𝑖 (0.002 < 𝜖𝑡 < 0.005) → (∅ = 0.65 + (𝜖𝑡 − 𝜖𝑦 ) ∅ = 0.65 + (𝜖𝑡 − 𝜖𝑦 )
0.25 (0.005 − 𝜖𝑦 )
0.25 ) (𝐴𝐶𝐼 9.3.2) (0.005 − 𝜖𝑦 )
= 0.65 + (0.0046 − 0.002)
0.25 (0.005 − 0.002)
∅ = 0.863 Paso 8: Determinar la capacidad resistente útil de la sección (ACI 9.3.1) 𝑎 ∅𝑀𝑛 = ∅ (0.85𝑓´𝑐 𝑎𝑏 (𝑑 − ) + 𝐴´𝑠 𝑓𝑦 (𝑑 − 𝑑´)) 2 ∅𝑀𝑛 = 0.863 (0.85 ∙ 21 ∙ 182 ∙ 300 ∙
(521 − 106
182 ) 2
+ 628 ∙ 420
(521 − 58) ) = 466.663 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 106
3.7.2.2) Caso 2: El acero de compresión no fluye Si el acero de compresión no fluye el análisis no es directo, debido a que 𝑓´𝑠 es desconocido, también dividiremos la viga en dos vigas imaginarias. Viga 1 La viga imaginaria 1 está formada por solo acero en la cara de tracción y compresión, no interviene el hormigón. La fuerza generada por el acero de compresión, el acero de compresión no fluye entonces se cumple con 𝑓´𝑠 ≤ 𝑓𝑦 , naturalmente para cálculos utilizar 𝑓´𝑠 . 𝐶´𝑠 = 𝐴´𝑠 𝑓´𝑠 Del diagrama de deformación unitaria, por proporción de triángulos tenemos: 𝜖´𝑠 𝑐 − 𝑑´ 𝑐 − 𝑑´ = → 𝜖´𝑠 = 0.003 0.003 𝑐 𝑐 La ley de Hooke define que: 𝑓´𝑠 = 𝐸𝑠 𝜖´𝑠 Reemplazando la deformación unitaria del acero de compresión en la anterior ecuación: 𝑐 − 𝑑´ 𝑓´𝑠 = 𝐸𝑠 0.003 𝑐 Según ACI 8.5.2, el módulo de elasticidad del acero se define como 𝐸𝑠 = 200000 𝑀𝑃𝑎 𝑐 − 𝑑´ 𝑐 − 𝑑´ 𝑓´𝑠 = 200000 0.003 → 𝑓´𝑠 = 600 𝑐 𝑐 𝑎 Reemplazando 𝑐 = 𝛽 en la anterior ecuación: 1
𝑎
𝑓´𝑠 = 600
𝛽1
− 𝑑´ 𝑎 𝛽1
→ 𝑓´𝑠 =
600(𝑎 − 𝛽1 𝑑´) 𝑎 copyright©rcolquea
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La fuerza generada por el acero de tracción es: 𝑇1 = 𝐴𝑠1 𝑓𝑦 Igualando la compresión y tracción: 𝐶´𝑠 = 𝑇1 Reemplazando tenemos: 𝐴´𝑠 𝑓´𝑠 = 𝐴𝑠1 𝑓𝑦 Despejando 𝐴𝑠1 : 𝐴𝑠1 = 𝐴´𝑠
𝑓´𝑠 𝑓𝑦
El momento generado por la fuerza de tracción es: 𝑀𝑛1 = 𝐴𝑠1 𝑓𝑦 (𝑑 − 𝑑´) El momento equilibrante generada por la fuerza de compresión es: 𝑀𝑛1 = 𝐴´𝑠 𝑓´𝑠 (𝑑 − 𝑑´) Viga 2 Está compuesta por hormigón en la zona de compresión y acero en la zona de tracción El área de acero en la zona de tracción es: 𝐴𝑠2 = 𝐴𝑠 − 𝐴𝑠1 Como 𝑓´𝑠 < 𝑓𝑦 entonces 𝐴𝑠1 = 𝐴´𝑠
𝑓´𝑠 𝑓𝑦
, reemplazando: 𝐴𝑠2 = 𝐴𝑠 − 𝐴´𝑠
𝑓´𝑠 𝑓𝑦
La fuerza de compresión generada por el hormigón es: 𝐶𝑐 = 0.85𝑓´𝑐 𝑎𝑏 La fuerza de tracción generada por el acero es: 𝑇2 = 𝐴𝑠2 𝑓𝑦 Reemplazando: 𝑇2 = (𝐴𝑠 − 𝐴´𝑠
𝑓´𝑠 )𝑓 𝑓𝑦 𝑦
Simplificando: 𝑇2 = 𝐴𝑠 𝑓𝑦 − 𝐴´𝑠 𝑓´𝑠 Igualando la fuerza de compresión y la fuerza de tracción: 𝐶𝑐 = 𝑇2 Reemplazando: 0.85𝑓´𝑐 𝑎𝑏 = 𝐴𝑠 𝑓𝑦 − 𝐴´𝑠 𝑓´𝑠 Reemplazando 𝑓´𝑠 en la anterior ecuación: 0.85𝑓´𝑐 𝑎𝑏 = 𝐴𝑠 𝑓𝑦 − 𝐴´𝑠
600(𝑎 − 𝛽1 𝑑´) 𝑎
Realizando operaciones: copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO 0.85𝑓´𝑐 𝑏𝑎2 = 𝐴𝑠 𝑓𝑦 𝑎 − 600𝐴´𝑠 𝑎 + 600𝐴´𝑠 𝛽1 𝑑´
Dando la forma de la ecuación general de segundo grado, 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, resulta: (0.85𝑓´𝑐 𝑏)𝑎2 + (600𝐴´𝑠 −𝐴𝑠 𝑓𝑦 )𝑎 − 600𝐴´𝑠 𝛽1 𝑑´ = 0 Resolviendo la ecuación de segundo grado, encontramos la profundidad equivalente del bloque de esfuerzos de compresión, 𝑎. Otra alternativa resulta de la ecuación: 0.85𝑓´𝑐 𝑎𝑏 = 𝐴𝑠 𝑓𝑦 − 𝐴´𝑠 𝑓´𝑠 Despejando 𝑎 encontramos la profundidad equivalente del bloque de compresión: 𝐴𝑠 𝑓𝑦 − 𝐴´𝑠 𝑓´𝑠 𝑎= 0.85𝑓´𝑐 𝑏 Momento generado por la fuerza de tracción: 𝑎 𝑀𝑛2 = 𝐴𝑠2 𝑓𝑦 (𝑑 − ) 2 O también: 𝑀𝑛2 = (𝐴𝑠 − 𝐴´𝑠
𝑓´𝑠 𝑎 𝑎 ) 𝑓𝑦 (𝑑 − ) → 𝑀𝑛2 = (𝐴𝑠 𝑓𝑦 − 𝐴´𝑠 𝑓´𝑠 ) (𝑑 − ) 𝑓𝑦 2 2
Momento equilibrante generado por la fuerza de compresión: 𝑎 𝑀𝑛2 = 0.85𝑓´𝑐 𝑎𝑏 (𝑑 − ) 2 Momento nominal real resistente Es el momento generado por ambas vigas imaginarias, al multiplicar por el factor de reducción de resistencia se convierte en el momento real que resiste el momento último. 𝑀𝑛 = 𝑀𝑛1 + 𝑀𝑛2 Multiplicando por el factor de reducción de resistencia: ∅𝑀𝑛 = ∅(𝑀𝑛1 + 𝑀𝑛2 ) Momento resistente total debido a las fuerzas de compresión: 𝑎 𝑀𝑛 = 𝐴´𝑠 𝑓´𝑠 (𝑑 − 𝑑´) + 0.85𝑓´𝑐 𝑎𝑏 (𝑑 − ) 2 𝑎 ∅𝑀𝑛 = ∅ (𝐴´𝑠 𝑓´𝑠 (𝑑 − 𝑑´) + 0.85𝑓´𝑐 𝑎𝑏 (𝑑 − )) 2 Momento resistente total debido a las fuerzas de tracción: 𝑎 𝑀𝑛 = 𝐴´𝑠 𝑓´𝑠 (𝑑 − 𝑑´) + (𝐴𝑠 𝑓𝑦 − 𝐴´𝑠 𝑓´𝑠 ) (𝑑 − ) 2 𝑎 ∅𝑀𝑛 = ∅ (𝐴´𝑠 𝑓´𝑠 (𝑑 − 𝑑´) + (𝐴𝑠 𝑓𝑦 − 𝐴´𝑠 𝑓´𝑠 ) (𝑑 − )) 2
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Ejemplo 3.13 Diseñar una sección rectangular de 500x250 mm que debido a las cargas de servicio debe resistir un momento último positivo de 𝑀𝑢 = 397.487 𝑘𝑁 ∙ 𝑚, ver la figura 3.74, se pide determinar la capacidad resistente de la sección.
Figura 3.74 – Sección transversal
Datos: 3 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: 𝑟𝑒𝑐 = 35 𝑚𝑚, ∅𝑒𝑠𝑡 = 8 𝑚𝑚, ∅𝑚𝑎𝑥𝑎𝑔𝑟 = 𝑖𝑛, ∅𝑠𝑒𝑝 = 12 𝑚𝑚 4 ℎ = 500 𝑚𝑚, 𝑏 = 250 𝑚𝑚 𝑘𝑔𝑓 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑓´𝑐 = 28 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝐸𝑠 = 200000 𝑀𝑃𝑎, 𝑤𝑐 = 2400 3 𝑚 𝑆𝑜𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠: 𝑀𝑢 = 397.487 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Solución: Paso 1: Determinar el canto útil Determinar el canto útil del acero más traccionado ∅𝑙𝑜𝑛𝑔𝑡 25 𝑑𝑡 = ℎ − 𝑟𝑒𝑐 − ∅𝑒𝑠𝑡 − = 600 − 35 − 8 − = 444.5 𝑚𝑚 2 2 Determinar el canto útil ∅𝑠𝑒𝑝 12 𝑑 = ℎ − 𝑟𝑒𝑐 − ∅𝑒𝑠𝑡 − ∅𝑙𝑜𝑛𝑔𝑡 − = 600 − 35 − 8 − 25 − = 426 𝑚𝑚 2 2 Determinar el canto útil del acero de compresión ∅𝑙𝑜𝑛𝑔𝑐 𝑑´ = 𝑟𝑒𝑐 + ∅𝑒𝑠𝑡 + = 35 + 8 + 20/2 = 53 𝑚𝑚 2 Paso 2: Determinar el factor que relaciona la profundidad del bloque rectangular equivalente de esfuerzos de compresión con la profundidad del eje neutro 𝑠𝑖 (𝑓´𝑐 ≤ 28 𝑀𝑃𝑎) → (𝛽1 = 0.85) (𝐴𝐶𝐼 10.2.7.3)
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Paso 3: Determinar el momento nominal máximo que puede resistir una viga simplemente armada dominada por tracción (viga imaginaria 2) (ACI 10.3.4) 𝜔𝑚𝑎𝑥𝑡 = 0.319𝛽1 = 0.319 ∙ 0.85 = 0.271 28 ∙ 250 ∙ 444.52 2 𝑀𝑛2 = 𝜔𝑚𝑎𝑥𝑡 (1 − 0.59𝜔𝑚𝑎𝑥𝑡 )𝑓´𝑐 𝑏𝑑𝑡 = 0.271(1 − 0.59 ∙ 0.271) ∙ = 106 𝑀𝑛2 = 𝑀𝑛𝑚𝑎𝑥 = 315.023 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Paso 4: Determinar el momento nominal requerido por las solicitaciones 𝑀𝑢 397.487 𝑀𝑛 = = = 441.652 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 ∅𝑎𝑠 0.9 Paso 5: Verificar si la sección debe ser diseñada con refuerzo de compresión 𝑠𝑖 (𝑀𝑛 > 𝑀𝑛2 ) → (441.652 > 315.023) → 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎! Paso 6: Determinar el momento nominal que debe resistir la viga imaginaria 1 𝑀𝑛1 = 𝑀𝑛 − 𝑀𝑛2 = 441.652 − 315.023 = 126.629 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Paso 7: Verificar si el acero de compresión fluye, existen dos métodos para verificar Primer método (ACI 10.3.3) 𝑐𝑡 = 0.375𝑑𝑡 = 0.375 ∙ 444.5 = 166.688 𝑚𝑚 𝑓𝑦 𝑐𝑡 − 𝑑´ 166.688 − 53´ 420 𝜖´𝑠 = 𝜖𝑢 = 0.003 = 0.00205 𝜖𝑦 = = = 0.0021 𝑐𝑡 166.688 𝐸𝑠 200000 𝑠𝑖 (𝜖´𝑠 ≤ 𝜖𝑦 ) → (0.00205 ≤ 0.0021) → 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑛𝑜 𝑓𝑙𝑢𝑦𝑒! → 𝑓´𝑠 < 𝑓𝑦 𝑓´𝑠 = 𝜖´𝑠 𝐸𝑠 = 0.00205 ∙ 200000 = 409.224 𝑀𝑃𝑎 Paso 8: Determinar el área de acero provisto que trabaja a compresión 𝑀𝑛1 441.652 ∙ 106 𝐴´𝑠(𝑟𝑒𝑞) = = = 829.593 𝑚𝑚2 𝑓𝑦 (𝑑 − 𝑑´) 420(426 − 53) 𝑛𝑐 𝜋∅𝑙𝑜𝑛𝑔𝑐 2 3 ∙ 𝜋 ∙ 202 = = 942 𝑚𝑚2 4 4 > 𝐴´𝑠(𝑟𝑒𝑞) ) → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒!
𝑛𝑐 = 3, ∅𝑙𝑜𝑛𝑔𝑐 = 20 𝑚𝑚 → 𝐴´𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) = 𝑠𝑖 (𝐴´𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣)
Paso 9: Determinar el área de acero provisto que trabaja a tracción (ACI 10.3.4) 3 𝛽1 0.85𝑓′𝑐 𝑏𝑑𝑡 0.85 ∙ 0.85 ∙ 28 ∙ 250 ∙ 444.5 𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥𝑡 = = 0.375 = 2008.77 𝑚𝑚2 8 𝑓𝑦 420 𝐴𝑠(𝑟𝑒𝑞) = 𝐴´𝑠(𝑟𝑒𝑞) + 𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥𝑡 = 829.593 + 2008.77 = 2838.362 𝑚𝑚2 𝑛𝑡 = 6, ∅𝑙𝑜𝑛𝑔𝑡
𝑛𝑡 𝜋∅𝑙𝑜𝑛𝑔𝑡 2 6 ∙ 𝜋 ∙ 252 = 25 𝑚𝑚 → 𝐴𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) = = = 2945 𝑚𝑚2 4 4 𝑠𝑖 (𝐴𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) > 𝐴𝑠(𝑟𝑒𝑞) ) → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒!
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Paso 10: Determinar la distancia desde el eje neutro hasta la última fibra de compresión, considerando que el acero de compresión no fluye y 𝑓´𝑠 < 𝑓𝑦 (ACI 10.2.7.2) (0.85𝑓´𝑐 𝑏𝛽1 )𝑐 2 + (600𝐴´𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) −𝐴𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) 𝑓𝑦 )𝑐 − 600𝐴´𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) 𝑑´ = 0 (0.85 ∙ 28 ∙ 250 ∙ 0.85)𝑐 2 + (600 ∙ 942 − 2945 ∙ 420)𝑐 − 600 ∙ 942 ∙ 53 = 0 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜
5058𝑐 2 − 671500𝑐 − 29970000 = 0 →
𝑐 = 168.041 𝑚𝑚
Paso 11: Determinar 𝑎, 𝜖𝑦 , 𝜖´𝑠 , 𝜖𝑡 𝑦 ∅ 𝑎 = 𝑐𝛽1 = 168.041 ∙ 0.85 = 143 𝑚𝑚 (𝐴𝐶𝐼 10.2.7.1) 𝑐 − 𝑑´ 168.041 − 53 𝜖´𝑠 = 𝜖𝑢 = 0.003 = 0.00205 𝑐 168.41 𝑠𝑖 (𝜖´𝑠 < 𝜖𝑦 ) → (0.00205 < 0.0021) → 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑛𝑜 𝑓𝑙𝑢𝑦𝑒! 𝑑𝑡 − 𝑐 444.5 − 168.041 𝜖𝑡 = ( ) 𝜖𝑢 = ( ) 0.003 = 0.004936 𝑐 168.041 𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 𝜖𝑦 ) → (0.004936 ≥ 0.0021) → 𝑓𝑙𝑢𝑦𝑒! (ACI 10.3.3) 𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 0.005) → (0.004936 ≥ 0.005) → 𝑛𝑜 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛!ACI10.3.4 0.25 𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 0.005) → [∅ = 0.65 + (𝜖𝑡 − 𝜖𝑦 ) ] (𝐴𝐶𝐼 9.3.2) (0.005 − 𝜖𝑦 ) ∅ = 0.65 + (𝜖𝑡 − 𝜖𝑦 )
0.25 (0.005 − 𝜖𝑦 )
= 0.65 + (0.004936 − 0.0021)
0.25 = 0.894 (0.005 − 0.0021)
Paso 12: Determinar la capacidad resistente teórica y real de la sección (ACI 9.3.1) 𝑎 𝑀𝑛 = 0.85𝑓´𝑐 𝑎𝑏 (𝑑 − ) + 𝐴´𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) 𝑓𝑦 (𝑑 − 𝑑´) 2 𝑀𝑛 = 0.85 ∙ 28 ∙ 143 ∙ 250 ∙
(426 −
143 ) 2
106
+ 942 ∙ 420
(426 − 53) = 448.997 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 106
𝑎 ∅𝑀𝑛 = ∅ (0.85𝑓´𝑐 𝑎𝑏 (𝑑 − ) + 𝐴´𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) 𝑓𝑦 (𝑑 − 𝑑´)) 2 ∅𝑀𝑛 = 0.894 (0.85 ∙ 28 ∙ 143 ∙ 250 ∙
(426 − 106
143 ) 2
+ 942 ∙ 420
(426 − 53) ) = 401.603 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 106
Paso 13: Determinar el ratio de diseño 𝑀𝑢 397.487 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 = = = 0.99 → 𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 ó𝑝𝑡𝑖𝑚𝑜 ∅𝑀𝑛 401.603
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Paso 14: Detalle de armado
Figura 3.75 – Armado de la sección
Ejemplo 3.14 Analizar la sección con acero de compresión, la altura es de 600 mm y la base de 300 mm; la armadura de compresión es de 𝐴´𝑠 = 3∅25 y la armadura de tracción es de 𝐴𝑠 = 6∅25, el armado de la sección se muestra en la figura 3.76. Se pide determinar la capacidad resistente a momento positivo de la sección.
Figura 3.76 – Sección transversal y distribución de la armadura
Datos: 3 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: 𝑟𝑒𝑐 = 40 𝑚𝑚, ∅𝑒𝑠𝑡 = 8 𝑚𝑚, ∅𝑚𝑎𝑥𝑎𝑔𝑟 = 𝑖𝑛, ∅𝑠𝑒𝑝 = 12 𝑚𝑚 4 ℎ = 600 𝑚𝑚, 𝑏 = 300 𝑚𝑚 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑓´𝑐 = 21 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝐸𝑠 = 200000 𝑀𝑃𝑎 𝐴𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛: 𝑛𝑐 = 3, ∅𝑙𝑜𝑛𝑔𝑐 = 25 𝑚𝑚 𝐴𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛: 𝑛𝑡 = 6, ∅𝑙𝑜𝑛𝑔𝑡 = 25 𝑚𝑚 copyright©rcolquea
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Solución: Paso 1: Determinar el canto útil Determinar el canto útil del acero más traccionado ∅𝑙𝑜𝑛𝑔𝑡 25 𝑑𝑡 = ℎ − 𝑟𝑒𝑐 − ∅𝑒𝑠𝑡 − = 600 − 40 − 8 − = 539.5 𝑚𝑚 2 2 Determinar el canto útil ∅𝑠𝑒𝑝 12 𝑑 = ℎ − 𝑟𝑒𝑐 − ∅𝑒𝑠𝑡 − ∅𝑙𝑜𝑛𝑔𝑡 − = 700 − 40 − 8 − 25 − = 521 𝑚𝑚 2 2 Determinar el canto útil del acero de compresión ∅𝑙𝑜𝑛𝑔𝑐 𝑑´ = 𝑟𝑒𝑐 + ∅𝑒𝑠𝑡 + = 40 + 8 + 25/2 = 60.5 𝑚𝑚 2 Paso 2: Determinar el área de acero provisto que trabaja a compresión y tracción 𝑛𝑐 𝜋∅𝑙𝑜𝑛𝑔𝑐 2 3 ∙ 𝜋 ∙ 252 𝑛𝑐 = 3, ∅𝑙𝑜𝑛𝑔𝑐 = 25 𝑚𝑚 → 𝐴´𝑠 = = = 1473 𝑚𝑚2 4 4 𝑛𝑐 𝜋∅𝑙𝑜𝑛𝑔𝑐 2 6 ∙ 𝜋 ∙ 252 𝑛𝑡 = 6, ∅𝑙𝑜𝑛𝑔𝑡 = 25 𝑚𝑚 → 𝐴𝑠 = = = 2945 𝑚𝑚2 4 4 Paso 3: Determinar el factor que relaciona la profundidad del bloque rectangular equivalente de esfuerzos de compresión con la profundidad del eje neutro (ACI 10.2.7.3) 𝑠𝑖 (𝑓´𝑐 ≤ 28 𝑀𝑃𝑎) → (𝛽1 = 0.85) Paso 4: Verificar si la sección trabaja como doble armada (ACI 10.3.4) 𝐴𝑠 𝑓𝑦 2945 ∙ 420 𝑎= = = 231 𝑚𝑚 0.85𝑓′𝑐 𝑏 0.85 ∙ 21 ∙ 300 𝑎 𝑠𝑖 ( ≥ 0.375𝛽1 ) → 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑡 231 ( ≥ 0.375 ∙ 0.85) → (0.43 ≥ 0.319) → 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 539.5 Paso 5: Determinar la altura equivalente del bloque de compresión suponiendo que el acero de compresión fluye,𝑓𝑦 = 𝑓´𝑠 (ACI 10.2.7.1) (𝐴𝑠 − 𝐴´𝑠 )𝑓𝑦 (2945 − 1473)420 𝑎= = = 115 𝑚𝑚 0.85𝑓´𝑐 𝑏 0.85 ∙ 21 ∙ 300 Paso 6: Verificar si el acero de compresión fluye (ACI 10.3.3) 𝑓𝑦 𝑑´ 1 𝑠𝑖 ( > (1 − )) → 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑛𝑜 𝑓𝑙𝑢𝑦𝑒! → 𝑓´𝑠 < 𝑓𝑦 𝑎 𝛽1 600 𝑠𝑖 (
60.5 1 420 > (1 − )) → (0.53 > 0.35) → 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑛𝑜 𝑓𝑙𝑢𝑦𝑒! 115 0.85 600
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Paso 7: Determinar la altura equivalente del bloque de compresión, considerando que el acero de compresión no fluye y 𝑓´𝑠 < 𝑓𝑦 (ACI 10.2.7.1) (0.85𝑓´𝑐 𝑏)𝑎2 + (600𝐴´𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) −𝐴𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) 𝑓𝑦 )𝑎 − 600𝐴´𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) 𝑑´𝛽1 = 0 (0.85 ∙ 21 ∙ 300)𝑎2 + (600 ∙ 1473 − 2945 ∙ 420)𝑎 − 600 ∙ 1473 ∙ 60.5 ∙ 0.85 = 0 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜
5355𝑎2 − 353400𝑎 − 45440000 = 0 →
𝑎 = 130.847 𝑚𝑚
Paso 8: Determinar 𝑐, 𝜖𝑦 , 𝜖𝑡 , ∅ y 𝑓´𝑠 𝑎 130.847 𝑑𝑡 − 𝑐 539.5 − 154 𝑐= = = 154 𝑚𝑚, 𝜖𝑡 = ( ) 𝜖𝑢 = ( ) 0.003 = 0.0075 𝛽1 0.85 𝑐 154 𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 𝜖𝑦 ) → (0.0075 ≥ 0.002) → 𝑓𝑙𝑢𝑦𝑒!(ACI 10.3.3) 𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 0.005) → (0.0075 ≥ 0.005) → 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛! (ACI 10.3.4) 𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 0.005) → ∅ = 0.9 (𝐴𝐶𝐼 9.3.2) 𝛽1 𝑑´ 0.85 ∙ 60.5 𝑓´𝑠 = (1 − ) 𝐸𝑠 0.003 = (1 − ) 200000 ∙ 0.003 = 364.19 𝑀𝑃𝑎 𝑎 130.847 Paso 9: Determinar la capacidad resistente teórica y real de la sección, cuándo el acero de compresión no fluye (ACI 9.3.1) 𝑎 𝑀𝑛 = 0.85𝑓´𝑐 𝑎𝑏 (𝑑 − ) + 𝐴´𝑠 𝑓´𝑠 (𝑑 − 𝑑´) 2 𝑀𝑛 = 0.85 ∙ 21 ∙ 130.847 ∙ 300 ∙
(521 −
130.847 2
106
)
+ 1473 ∙ 364.19
(521 − 60.5) = 566.19 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 106
𝑎 ∅𝑀𝑛 = ∅ (0.85𝑓´𝑐 𝑎𝑏 (𝑑 − ) + 𝐴´𝑠 𝑓´𝑠 (𝑑 − 𝑑´)) 2 ∅𝑀𝑛 = 0.863 (0.85 ∙ 21 ∙ 130.847 ∙ 300 ∙
(521 −
130.847
106
2
)
+ 1473 ∙ 364.19
(521 − 60.5) ) 106
∅𝑀𝑛 = 543.633 𝑘𝑁 ∙ 𝑚
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3.7.3) EJERCICIOS RESUELTOS Ejemplo 3.15 Diseñar la viga aislada, de sección en forma de T que debe resistir un momento positivo de 𝑀𝑢 = 905.389 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 y tiene un ancho efectivo de 500 mm, espesor del ala es de 125 mm, el ancho del alma es de 250 mm y la altura es de 700 mm, verificar si necesita armadura de compresión, ver figura 3.77. Se pide determinar la capacidad resistente a flexión.
Figura 3.77 – Sección transversal y propuesta de armado
Datos: 3 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: 𝑟𝑒𝑐 = 35 𝑚𝑚, ∅𝑒𝑠𝑡 = 8 𝑚𝑚, ∅𝑚𝑎𝑥𝑎𝑔𝑟 = 𝑖𝑛, ∅𝑠𝑒𝑝 = 12 𝑚𝑚 4 ℎ = 700 𝑚𝑚, ℎ𝑓 = 125 𝑚𝑚, 𝑏𝑤 = 250 𝑚𝑚, 𝑏 = 500 𝑚𝑚 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑓´𝑐 = 28 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝐸𝑠 = 200000 𝑀𝑃𝑎 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠: 𝑀𝑢 = 905.389 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Solución: Paso 1: Verificar las dimensiones de la viga 𝑠𝑖 (ℎ𝑓 ≥ 𝑏𝑤 /2) → (125 𝑚𝑚 ≥ 250/2) → (125 𝑚𝑚 ≥ 125) → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒! 𝑠𝑖 (𝑏 ≤ 4𝑏𝑤 ) → (500 𝑚𝑚 ≤ 4 ∙ 250) → (500 𝑚𝑚 ≤ 1000 𝑚𝑚) → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒! Paso 2: Determinar el canto útil Determinar el canto útil del acero más traccionado ∅𝑙𝑜𝑛𝑔𝑡 40 𝑑𝑡 = ℎ − 𝑟𝑒𝑐 − ∅𝑒𝑠𝑡 − = 700 − 35 − 8 − = 637 𝑚𝑚 2 2 Determinar el canto útil ∅𝑠𝑒𝑝 12 𝑑 = ℎ − 𝑟𝑒𝑐 − ∅𝑒𝑠𝑡 − ∅𝑙𝑜𝑛𝑔𝑡 − = 700 − 35 − 8 − 40 − = 611 𝑚𝑚 2 2 Determinar el canto útil del acero de compresión copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO 𝑑´ = 𝑟𝑒𝑐 + ∅𝑒𝑠𝑡 +
∅𝑙𝑜𝑛𝑔𝑐 = 35 + 8 + 14/2 = 50 𝑚𝑚 2
Paso 3: Determinar el factor que relaciona la profundidad del bloque rectangular equivalente de esfuerzos de compresión con la profundidad del eje neutro 𝑠𝑖 (𝑓´𝑐 ≤ 28 𝑀𝑃𝑎) → (𝛽1 = 0.85) (𝐴𝐶𝐼 10.2.7.3) Paso 4: Verificar si la sección trabaja como viga T, se debe hallar el acero máximo que puede resistir una viga simplemente armad de sección rectangular 3 𝛽1 0.85𝑓′𝑐 𝑏𝑑 0.85 ∙ 0.85 ∙ 28 ∙ 500 ∙ 611 𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥 = = 0.375 = 5518.094 𝑚𝑚2 8 𝑓𝑦 420 𝑎=
𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥 𝑓𝑦 5518.094 ∙ 420 = = 195 𝑚𝑚 0.85𝑓′𝑐 𝑏 0.85 ∙ 28 ∙ 500
𝑠𝑖 (𝑎 > ℎ𝑓 ) → (195 > 125) → 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎 𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑣𝑖𝑔𝑎 𝑇! Paso 5: Determinar el área de acero máximo que puede resistir la sección T [0.375𝛽1 𝑑𝑏𝑤 + (𝑏 − 𝑏𝑤 )ℎ𝑓 ]0.85𝑓 ′ 𝑐 𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥 = 𝑓𝑦 𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥 =
[0.375 ∙ 0.85 ∙ 611 ∙ 250 + (500 − 250)125]0.85 ∙ 28 = 4600.714 𝑚𝑚2 420
Paso 6: Determinar el área de compresión 𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥 𝑓𝑦 4600.714 ∙ 420 𝐴𝑐 = = = 81189.063 𝑚𝑚2 ′ 0.85𝑓 𝑐 0.85 ∙ 28 Paso 7: Determinar la altura equivalente del área de compresión (ACI 10.2.7.1) 𝑎=
𝐴𝑐 − (𝑏 − 𝑏𝑤 )ℎ𝑓 81189.063 − (500 − 250)125 = = 194.756 𝑚𝑚 𝑏𝑤 250
Paso 8: Determinar el centro de gravedad del área de compresión 𝑎(𝐴𝑐 − ℎ𝑓 ) + 𝐴𝑐 ℎ𝑓 194.756(81189.063 − 125) + 81189.063 ∙ 125 𝑦= = = 142.1 𝑚𝑚 2𝐴𝑐 2 ∙ 81189.063 Paso 9: Determinar el momento nominal que puede resistir la viga simplemente armada, dominada por tracción 4600.714 ∙ 420(611 − 142.1) 𝑀𝑛2 = 𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥 𝑓𝑦 (𝑑 − 𝑦) = = 906.093 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 106 𝑀𝑛2 = 𝑀𝑚𝑎𝑥 Paso 10: Determinar el momento nominal requerido por las solicitaciones 𝑀𝑢 905.389 𝑀𝑛 = = = 1005.988 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 ∅𝑎𝑠 0.9 Paso 11: Verificar si la sección debe ser diseñada con refuerzo de compresión 𝑠𝑖 (𝑀𝑛 > 𝑀𝑛2 ) → (1005.988 > 906.093) → 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎! copyright©rcolquea
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Paso 12: Determinar el momento nominal que debe resistir la viga imaginaria 1 𝑀𝑛1 = 𝑀𝑛 − 𝑀𝑛2 = 1005.988 − 906.093 = 99.949 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Paso 13: Verificar si el acero de compresión fluye, existen dos métodos para verificar 𝑐𝑡 = 0.375𝑑𝑡 = 0.375 ∙ 637 = 238.875 𝑚𝑚 𝑓𝑦 𝑐𝑡 − 𝑑´ 238.875 − 50´ 420 𝜖´𝑠 = 𝜖𝑢 = 0.003 = 0.0024 𝜖𝑦 = = = 0.0021 𝑐𝑡 238.875 𝐸𝑠 200000 𝑠𝑖 (𝜖´𝑠 ≥ 𝜖𝑦 ) → (0.0024 ≥ 0.0021) → 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑓𝑙𝑢𝑦𝑒! → 𝑓´𝑠 = 𝑓𝑦 Paso 14: Determinar el área de acero provisto que trabaja a compresión 𝑀𝑛1 99.949 ∙ 106 𝐴´𝑠(𝑟𝑒𝑞) = = = 424.195 𝑚𝑚2 𝑓𝑦 (𝑑 − 𝑑´) 420(611 − 50) 𝑛𝑐 = 3, ∅𝑙𝑜𝑛𝑔𝑐
𝑛𝑐 𝜋∅𝑙𝑜𝑛𝑔𝑐 2 3 ∙ 𝜋 ∙ 142 = 14 𝑚𝑚 → 𝐴´𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) = = = 462 𝑚𝑚2 4 4 𝑠𝑖 (𝐴´𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) > 𝐴´𝑠(𝑟𝑒𝑞) ) → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒!
Paso 15: Determinar el área de acero provisto que trabaja a tracción 𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥𝑡 = 4600.714 𝑚𝑚2 𝐴𝑠(𝑟𝑒𝑞) = 𝐴´𝑠(𝑟𝑒𝑞) + 𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥𝑡 = 424.195 + 4600.714 = 5024.91 𝑚𝑚2 𝑛𝑡 = 4, ∅𝑙𝑜𝑛𝑔𝑡
𝑛𝑡 𝜋∅𝑙𝑜𝑛𝑔𝑡 2 4 ∙ 𝜋 ∙ 402 = 40 𝑚𝑚 → 𝐴𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) = = = 5027 𝑚𝑚2 4 4 𝑠𝑖 (𝐴𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) > 𝐴𝑠(𝑟𝑒𝑞) ) → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒!
Paso 16: Determinar 𝑎, 𝑐, 𝐴𝑐 , 𝜖´𝑠 , 𝜖𝑡 𝑦 ∅ (𝐴𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) − 𝐴´𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) )𝑓𝑦 − (𝑏 − 𝑏𝑤 )ℎ𝑓 0.85𝑓 ′ 𝑐 𝑎= (𝐴𝐶𝐼 10.2.7.1) 0.85𝑓´𝑐 𝑏𝑤 (5027 − 462)420 − (500 − 250)125 ∙ 0.85 ∙ 28 𝑎= = 192.22 𝑚𝑚 0.85 ∙ 28 ∙ 250 𝑎 192.22 𝑐= = = 226 𝑚𝑚 (𝐴𝐶𝐼 10.2.7.2) 𝛽1 0.85 𝐴𝑐 = (𝑏 − 𝑏𝑤 )ℎ𝑓 + 𝑎𝑏𝑤 = (500 − 250)125 + 192.22 ∙ 250 = 80554.132 𝑚𝑚2 𝑐 − 𝑑´ 226 − 50´ 𝜖𝑢 = 0.003 = 0.0023 𝑐 226 𝑠𝑖 (𝜖´𝑠 ≥ 𝜖𝑦 ) → (0.0023 ≥ 0.002) → 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑓𝑙𝑢𝑦𝑒! → 𝑓𝑦 = 𝑓´𝑠 𝜖´𝑠 =
𝑑−𝑐 611 − 226 ) 𝜖𝑢 = ( ) 0.003 = 0.0051 𝑐 226 𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 𝜖𝑦 ) → (0.0051 ≥ 0.002) → 𝑓𝑙𝑢𝑦𝑒! (ACI 10.3.3) 𝜖𝑡 = (
𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 0.005) → (0.0051 ≥ 0.005) → 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛! (ACI 10.3.4) 𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 0.005) → ∅ = 0.9 (𝐴𝐶𝐼 9.3.2) copyright©rcolquea
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Paso 17: Determinar la capacidad resistente de la sección (ACI 9.3.1) 𝑎 ∅𝑀𝑛 = ∅ (0.85𝑓´𝑐 𝑎𝑏 (𝑑 − ) + 𝐴´𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) 𝑓𝑦 (𝑑 − 𝑑´)) 2 ∅𝑀𝑛 = 0.9 (0.85 ∙ 28 ∙ 80554.132 ∙
(611 − 142.1) (611 − 50) + 462 ∙ 420 ) 6 10 106
∅𝑀𝑛 = 906.99 𝑘𝑁 ∙ 𝑚
Paso 18: Determinar el ratio de diseño 𝑀𝑢 905.389 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 = = = 0.998 → 𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 ó𝑝𝑡𝑖𝑚𝑜 ∅𝑀𝑛 906.99 Paso 19: Detalle de armado
Figura 3.78 – Armado de la sección
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Ejemplo 3.16 Diseñar la viga aislada, de sección en forma de T que debe resistir un momento positivo de 𝑀𝑢 = 382.313 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 y tiene un ancho efectivo de 400 mm, espesor del ala es de 100 mm, el ancho del alma es de 200 mm y la altura es de 500 mm, verificar si necesita armadura de compresión, ver figura 3.79. Se pide determinar la capacidad resistente a flexión.
Figura 3.79 – Sección transversal y propuesta de armado
Datos: 3 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: 𝑟𝑒𝑐 = 40 𝑚𝑚, ∅𝑒𝑠𝑡 = 10 𝑚𝑚, ∅𝑚𝑎𝑥𝑎𝑔𝑟 = 𝑖𝑛, ∅𝑠𝑒𝑝 = 10 𝑚𝑚 4 ℎ = 500 𝑚𝑚, ℎ𝑓 = 100 𝑚𝑚, 𝑏𝑤 = 200 𝑚𝑚, 𝑏 = 400 𝑚𝑚 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑓´𝑐 = 28 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝐸𝑠 = 200000 𝑀𝑃𝑎 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠: 𝑀𝑢 = 382.313 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Solución: Paso 1: Verificar las dimensiones de la viga (ACI 8.12.4) 𝑠𝑖 (ℎ𝑓 ≥ 𝑏𝑤 /2) → (100 ≥ 200/2) → (100 𝑚𝑚 ≥ 100) → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒! 𝑠𝑖 (𝑏 ≤ 4𝑏𝑤 ) → (400 𝑚𝑚 ≤ 4 ∙ 200) → (400 𝑚𝑚 ≤ 800 𝑚𝑚) → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒! Paso 2: Determinar el canto útil Determinar el canto útil del acero más traccionado ∅𝑙𝑜𝑛𝑔𝑡 32 𝑑𝑡 = ℎ − 𝑟𝑒𝑐 − ∅𝑒𝑠𝑡 − = 500 − 40 − 10 − = 434 𝑚𝑚 2 2 Determinar el canto útil ∅𝑠𝑒𝑝 10 𝑑 = ℎ − 𝑟𝑒𝑐 − ∅𝑒𝑠𝑡 − ∅𝑙𝑜𝑛𝑔𝑡 − = 500 − 40 − 10 − 32 − = 413 𝑚𝑚 2 2 Determinar el canto útil del acero de compresión ∅𝑙𝑜𝑛𝑔𝑐 𝑑´ = 𝑟𝑒𝑐 + ∅𝑒𝑠𝑡 + = 40 + 10 + 14/2 = 57 𝑚𝑚 2 copyright©rcolquea
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Paso 3: Determinar el factor que relaciona la profundidad del bloque rectangular equivalente de esfuerzos de compresión con la profundidad del eje neutro (ACI 10.2.7.3) 𝑠𝑖 (𝑓´𝑐 ≤ 28 𝑀𝑃𝑎) → (𝛽1 = 0.85) Paso 4: Verificar si la sección trabaja como viga T, se debe hallar el acero máximo que puede resistir una viga simplemente armad de sección rectangular 3 𝛽1 0.85𝑓′𝑐 𝑏𝑑 0.85 ∙ 0.85 ∙ 28 ∙ 400 ∙ 413 𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥 = = 0.375 = 2983.925 𝑚𝑚2 8 𝑓𝑦 420 𝑎=
𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥 𝑓𝑦 2983.925 ∙ 420 = = 132 𝑚𝑚 0.85𝑓′𝑐 𝑏 0.85 ∙ 28 ∙ 400
𝑠𝑖 (𝑎 > ℎ𝑓 ) → (132 > 100) → 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎 𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑣𝑖𝑔𝑎 𝑇! Paso 5: Determinar el área de acero máximo que puede resistir la sección T [0.375𝛽1 𝑑𝑏𝑤 + (𝑏 − 𝑏𝑤 )ℎ𝑓 ]0.85𝑓 ′ 𝑐 𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥 = 𝑓𝑦 𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥 =
[0.375 ∙ 0.85 ∙ 413 ∙ 200 + (400 − 200)100]0.85 ∙ 28 = 2625.296 𝑚𝑚2 420
Paso 6: Determinar el área de compresión 𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥 𝑓𝑦 2625.296 ∙ 420 𝐴𝑐 = = = 46328.75 𝑚𝑚2 0.85𝑓 ′ 𝑐 0.85 ∙ 28 Paso 7: Determinar la altura equivalente del área de compresión (ACI 10.2.7.1) 𝑎=
𝐴𝑐 − (𝑏 − 𝑏𝑤 )ℎ𝑓 46328.75 − (400 − 200)100 = = 131.644 𝑚𝑚 𝑏𝑤 200
Paso 8: Determinar el centro de gravedad del área de compresión 𝑎(𝐴𝑐 − ℎ𝑓 ) + 𝐴𝑐 ℎ𝑓 131.644(46328.75 − 100) + 46328.75 ∙ 100 𝑦= = = 101.614 𝑚𝑚 2𝐴𝑐 2 ∙ 46328.75 Paso 9: Determinar el momento nominal que puede resistir la viga simplemente armada, dominada por tracción 2625.296 ∙ 420(413 − 101.614) 𝑀𝑛2 = 𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥 𝑓𝑦 (𝑑 − 𝑦) = = 343.341 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 106 𝑀𝑛2 = 𝑀𝑚𝑎𝑥 Paso 10: Determinar el momento nominal requerido por las solicitaciones 𝑀𝑢 382.313 𝑀𝑛 = = = 424.793 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 ∅𝑎𝑠 0.9 Paso 11: Verificar si la sección debe ser diseñada con refuerzo de compresión 𝑠𝑖 (𝑀𝑛 > 𝑀𝑛2 ) → (424.793 > 343.341) → 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎! Paso 12: Determinar el momento nominal que debe resistir la viga imaginaria 1 𝑀𝑛1 = 𝑀𝑛 − 𝑀𝑛2 = 424.793 − 343.341 = 81.451 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 copyright©rcolquea
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Paso 13: Verificar si el acero de compresión fluye, existen dos métodos para verificar 𝑐𝑡 = 0.375𝑑𝑡 = 0.375 ∙ 434 = 162.75 𝑚𝑚 𝑓𝑦 𝑐𝑡 − 𝑑´ 162.75 − 57´ 420 𝜖´𝑠 = 𝜖𝑢 = 0.003 = 0.00195 𝜖𝑦 = = = 0.0021 𝑐𝑡 162.75 𝐸𝑠 200000 𝑠𝑖 (𝜖´𝑠 ≤ 𝜖𝑦 ) → (0.00195 ≤ 0.0021) → 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑛𝑜 𝑓𝑙𝑢𝑦𝑒! → 𝑓´𝑠 < 𝑓𝑦 𝑓´𝑠 = 𝐸𝑠 𝜖´𝑠 = 200000 ∙ 0.00195 = 389.862 𝑀𝑃𝑎 Paso 14: Determinar el área de acero provisto que trabaja a compresión 𝑀𝑛1 81.451 ∙ 106 𝐴´𝑠(𝑟𝑒𝑞) = = = 586.864 𝑚𝑚2 𝑓´𝑠 (𝑑 − 𝑑´) 389.862(413 − 57) 𝑛𝑐 = 4, ∅𝑙𝑜𝑛𝑔𝑐
𝑛𝑐 𝜋∅𝑙𝑜𝑛𝑔𝑐 2 4 ∙ 𝜋 ∙ 142 = 14 𝑚𝑚 → 𝐴´𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) = = = 616 𝑚𝑚2 4 4 𝑠𝑖 (𝐴´𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) > 𝐴´𝑠(𝑟𝑒𝑞) ) → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒!
Paso 15: Determinar el área de acero provisto que trabaja a tracción 𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥𝑡 = 2625.296 𝑚𝑚2 𝐴𝑠(𝑟𝑒𝑞) = 𝐴´𝑠(𝑟𝑒𝑞) + 𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥𝑡 = 586.864 + 2625.296 = 3212.16 𝑚𝑚2 𝑛𝑡 = 4, ∅𝑙𝑜𝑛𝑔𝑡
𝑛𝑡 𝜋∅𝑙𝑜𝑛𝑔𝑡 2 4 ∙ 𝜋 ∙ 402 = 32 𝑚𝑚 → 𝐴𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) = = = 3217 𝑚𝑚2 4 4 𝑠𝑖 (𝐴𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) > 𝐴𝑠(𝑟𝑒𝑞) ) → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒!
Paso 16: Volvemos a determinar 𝐴𝑐 , 𝑎 𝑦 𝑦 𝐴𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) 𝑓𝑦 − 𝐴´𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) 𝑓´𝑠 3217 ∙ 420 − 616 ∙ 389.862 𝐴𝑐 = = = 46683.95 𝑚𝑚2 0.85𝑓´𝑐 0.85 ∙ 28 𝐴𝑐 − (𝑏 − 𝑏𝑤 )ℎ𝑓 46683.95 − (400 − 200)100 𝑎= = = 133.42 𝑚𝑚 (𝐴𝐶𝐼 10.2.7.1) 𝑏𝑤 200 𝑎(𝐴𝑐 − ℎ𝑓 2 ) + 𝐴𝑐 ℎ𝑓 133.42(46683.95 − 1002 ) + 46683.95 ∙ 100 𝑦= = = 102.42 𝑚𝑚 2𝐴𝑐 2 ∙ 46683.95 Paso 17: Determinar 𝑐, 𝜖´𝑠 , 𝑓´𝑠 , 𝜖𝑡 𝑦 ∅ 𝑎 133.42 𝑐 − 𝑑´ 157 − 57´ 𝑐= = = 157 𝑚𝑚, 𝜖´𝑠 = 𝜖𝑢 = 0.003 = 0.00191 𝛽1 0.85 𝑐 157 𝑠𝑖 (𝜖´𝑠 < 𝜖𝑦 ) → (0.00191 < 0.002) → 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑛𝑜 𝑓𝑙𝑢𝑦𝑒! → 𝑓´𝑠 < 𝑓𝑦 𝑓´𝑠 = 𝐸𝑠 𝜖´𝑠 = 200000 ∙ 0.00191 = 382.116 𝑀𝑃𝑎 𝑑−𝑐 413 − 157 𝜖𝑡 = ( ) 𝜖𝑢 = ( ) 0.003 = 0.00489 𝑐 157 𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 𝜖𝑦 ) → (0.00489 ≥ 0.002) → 𝑓𝑙𝑢𝑦𝑒! (ACI 10.3.3) 𝑠𝑖 (𝜖𝑡 ≥ 0.005) → (0.00489 ≥ 0.005) → 𝑛𝑜 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛!ACI10.3.4 𝑠𝑖 (𝜖𝑦 < 𝜖𝑡 < 0.005) → ∅ = 0.891 (𝐴𝐶𝐼 9.3.2) copyright©rcolquea
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Paso 18: Determinar la capacidad resistente teórica y real de la sección (ACI 9.3.1) 𝑀𝑛 = 0.85𝑓´𝑐 𝐴𝑐 (𝑑 − 𝑦) + 𝐴´𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) 𝑓´𝑠 (𝑑 − 𝑑´) 𝑀𝑛 = 0.85 ∙ 28 ∙ 46683.95 ∙
(413 − 102.42) (413 − 57) + 616 ∙ 382.116 = 428.841 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 6 10 106
𝑎 ∅𝑀𝑛 = ∅ (0.85𝑓´𝑐 𝑎𝑏 (𝑑 − ) + 𝐴´𝑠(𝑝𝑟𝑜𝑣) 𝑓´𝑠 (𝑑 − 𝑑´)) 2 ∅𝑀𝑛 = 0.891 (. 85 ∙ 28 ∙ 46683.95 ∙
(413 − 102.42) (413 − 57) + 616 ∙ 382.116 ) 6 10 106
∅𝑀𝑛 = 382.02 𝑘𝑁 ∙ 𝑚
Paso 19: Determinar el ratio de diseño 𝑀𝑢 382.313 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 = = = 1.001 → 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎 𝑓𝑎𝑙𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑐𝑜 ∅𝑀𝑛 382.02 Paso 20: Detalle de armado
Figura 3.80 – Armado de la sección
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3.8) PROBLEMAS PROPUESTOS Problema 3.1 ¿Cuáles son las ventajas del método de diseño por resistencia en comparación con el método de diseño alternativo por esfuerzos permisibles? Problema 3.2 ¿Cuál es el propósito de los factores de reducción de resistencia? ¿Por qué son ellos menores para columnas que para vigas? Problema 3.3 ¿Cuáles son las hipótesis básicas de la teoría de diseño por resistencia? Problema 3.4 ¿Por qué especifica el código ACI que un cierto porcentaje mínimo de refuerzo sea usado en vigas? Problema 3.5 En un análisis hiperestático en vigas, a veces es necesario redistribuir los momentos elásticos: según el ACI en qué casos, cómo y hasta que porcentaje se debe redistribuir? Problema 3.6 ¿Qué es el ancho efectivo de una viga T?¿Qué cosa representa? Problema 3.7 ¿Qué factores afectan la selección de las dimensiones del alma de una viga T? Problema 3.8 Si se colocan varillas adicionales de refuerzo sólo en el lado de compresión de una viga de concreto reforzado, ¿aumentará en forma considerable la resistencia a flexión de la viga? Explique su respuesta. Problema 3.9 Determine el momento nominal útil de la sección si 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝑓´𝑐 = 28 𝑀𝑃𝑎
Problema 3.10 Calcule los valores de 𝑀𝑛 , de las secciones que se dan en la siguiente tabla Varillas 𝑏(𝑚𝑚) 𝑑(𝑚𝑚) 𝑓𝑦 ( 𝑀𝑃𝑎) 𝑓𝑦 ( 𝑀𝑃𝑎) 300 600 35 350 3∅36 320 600 28 350 3∅36 350 530 24 420 3∅25 400 660 42 420 3∅32
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Problema 3.11 Calcule la capacidad resistente de la sección si 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝑓´𝑐 = 24 𝑀𝑃𝑎
Problema 3.12 Calcule la capacidad resistente de la sección si 𝑓𝑦 = 350 𝑀𝑃𝑎, 𝑓´𝑐 = 28 𝑀𝑃𝑎
Problema 3.13 Calcule la capacidad resistente de la sección si 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝑓´𝑐 = 28 𝑀𝑃𝑎
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Problema 3.14 Diseñe las secciones rectangulares para las vigas, cargas y valores dados en la siguiente tabla. Los pesos de las vigas no están incluidos en las cargas indicadas. Esboce las secciones transversales de las vigas, incluyendo los tamaños de las varillas, arreglos y separaciones, la viga está simplemente apoyada. Use h=d+60 mm. 𝑓𝑦 ( 𝑀𝑃𝑎) 𝑓´𝑐 ( 𝑀𝑃𝑎) 𝐶𝑙𝑎𝑟𝑜 𝑙( 𝑚) 𝐷𝑜 (𝑘𝑁/𝑚) 𝐿(𝑘𝑁/𝑚) 𝜌 420 28 8 30 41 𝜖𝑡 = 0.0075 0.18𝑓´𝑐 420 28 9 30 30 𝑓𝑦 350 21 9 44 44 0.5𝜌𝑏 420 28 10 30 26 0.5𝜌𝑏 420 21 7.5 26 22 𝜖𝑡 = 0.005 Problema 3.15 Diseñe las secciones rectangulares para las vigas y cargas mostradas en las figuras correspondientes. Los pesos de las vigas no se incluyen en las cargas dadas, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝑓´𝑐 = 28 𝑀𝑃𝑎. Las cargas vivas deben colocarse donde ocasionen las condiciones más severas en las secciones consideradas. Escoja los tamaños de las vigas para el momento más grande (positivo o negativo) y luego seleccione el acero requerido para el momento máximo positivo y para el momento máximo. Finalmente esquematice la viga y muestre las posiciones aproximada de las varillas. 𝑘𝑁 𝑘𝑁 0.18𝑓´𝑐 𝐷𝑜 = 20 , 𝐿 = 15 ,𝜌 = 𝑚 𝑚 𝑓𝑦
𝐷𝑜 = 20
𝑘𝑁 𝑘𝑁 , 𝐿 = 30 , 𝜌 = 0.5𝜌𝑏 𝑚 𝑚
Problema 3.16 Diseñe la losa en una dirección mostrada en la figura acompañante que debe soportar una carga viva de 10 kN/m2. No use la limitación de espesor para deflexiones del ACI y suponga que el concreto pesa 23.5 kN/m3. Suponga que 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝑓´𝑐 = 28 𝑀𝑃𝑎. Use 𝜌 = 𝜌𝑚𝑎𝑥
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Problema 3.17 Calcule la capacidad resistente de la sección si 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝑓´𝑐 = 28 𝑀𝑃𝑎. Revise cada sección para ver si es dúctil.
Problema 3.18 Calcule la capacidad resistente de la sección si 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝑓´𝑐 = 28 𝑀𝑃𝑎. Revise cada sección para ver si es dúctil.
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Problema 3.19 Calcule la resistencia de diseño ∅𝑀𝑛 para una de las vigas T mostradas si 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝑓´𝑐 = 35 𝑀𝑃𝑎 y la sección tiene un claro simple de 8 m. ¿Es 𝜖𝑡 ≥ 0.005?
Problema 3.20 Determine la cantidad de refuerzo requerido para cada viga T mostrada en la figura acompañante si 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝑓´𝑐 = 28 𝑀𝑃𝑎, claro simple de 6 m, 𝑀𝐷 = 270 𝑘𝑁 ∙ 𝑚, 𝑀𝐿 = 680 𝑘𝑁 ∙ 𝑚
Problema 3.21 Determine el área de acero de refuerzo requerido para la viga T mostrada si 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝑓´𝑐 = 28 𝑀𝑃𝑎 𝑦 𝑀𝑢 = 475 𝑘𝑁 ∙ 𝑚.
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Problema 3.22 Determine el área de acero de refuerzo requerido para la viga T mostrada si 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝑓´𝑐 = 28 𝑀𝑃𝑎 𝑦 𝑀𝑢 = 1200 𝑘𝑁 ∙ 𝑚.
Problema 3.23 Una viga continua de cuatro luces y de sección rectangular constante está apoyada en A,B,C,D y E, determine las dimensiones que se necesitan para la sección de concreto de esta viga, utilizando 𝑑 = 1.75𝑏 y encuentre el refuerzo requerido en todas las secciones críticas del momento. Utilice una cuantía máxima de acero de 𝜌 = 0.5𝜌𝑏 , 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝑓´𝑐 = 35 𝑀𝑃𝑎. Los momentos mayorados que resultan del análisis son: 𝐸𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑎𝑝𝑜𝑦𝑜𝑠, 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑢(𝐴) = 124.735 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑢(𝐵) = 199.305 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑢(𝐶) = 181.68 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑢(𝐷) = 199.305 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑢(𝐸) = 124.735 𝑘𝑁 ∙ 𝑚
𝐸𝑛 𝑒𝑙 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑢𝑧, 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑢(𝐴−𝐵) = 142.361 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑢(𝐵−𝐶) = 124.735 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑢(𝐶−𝐷) = 124.735 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑢(𝐷−𝐸) = 142.361 𝑘𝑁 ∙ 𝑚
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APÉNDICE A) TABLA DE RESISTENCIA VERSUS CUANTÍA GEOMÉTRICA
Tabla A.1 Unidades del SI fy(MPa)= 420 f´c(MPa)= 21 ρ ρmin por temperatura y contracción
ρmin por flexión
0,0018 0,0019 0,0020 0,0021 0,0022 0,0023 0,0024 0,0025 0,0026 0,0027 0,0028 0,0029 0,0030 0,0031 0,0032 0,0033 0,0034 0,0035 0,0036 0,0037 0,0038 0,0039 0,0040 0,0041 0,0042 0,0043 0,0044 0,0045 0,0046 0,0047 0,0048 0,0049 0,0050 0,0051 0,0052 0,0053 0,0054 0,0055 0,0056 0,0057 0,0058
𝑀𝑢 𝑏𝑑 2 0,740 0,780 0,820 0,860 0,900 0,940 0,979 1,019 1,058 1,098 1,137 1,176 1,215 1,254 1,293 1,332 1,371 1,409 1,448 1,486 1,524 1,563 1,601 1,639 1,677 1,714 1,752 1,790 1,827 1,865 1,902 1,939 1,976 2,013 2,050 2,087 2,123 2,160 2,197 2,233 2,269
ρ 0,0059 0,0060 0,0061 0,0062 0,0063 0,0064 0,0065 0,0066 0,0067 0,0068 0,0069 0,0070 0,0071 0,0072 0,0073 0,0074 0,0075 0,0076 0,0077 0,0078 0,0079 0,0080 0,0081 0,0082 0,0083 0,0084 0,0085 0,0086 0,0087 0,0088 0,0089 0,0090 0,0091 0,0092 0,0093 0,0094 0,0095 0,0096 0,0097 0,0098 0,0099
Valores a utilizar: Mu(KNm)10^6 b y d en mm. 𝑀𝑢 ρ 𝑏𝑑 2 2,305 0,0100 2,342 0,0101 2,378 0,0102 2,413 0,0103 2,449 0,0104 2,485 0,0105 2,521 0,0106 2,556 0,0107 2,592 0,0108 2,627 0,0109 2,662 0,0110 2,697 0,0111 2,732 0,0112 2,767 0,0113 2,802 0,0114 2,837 0,0115 2,871 0,0116 2,906 0,0117 2,940 0,0118 2,974 0,0119 3,009 0,0120 3,043 0,0121 3,077 0,0122 3,111 0,0123 3,145 0,0124 3,178 0,0125 3,212 0,0126 3,245 0,0127 3,279 0,0128 3,312 0,0129 3,345 0,0130 3,379 0,0131 3,412 0,0132 3,445 0,0133 3,477 0,0134 3,510 0,0135 3,543 3,575 3,608 3,640 3,672
𝑀𝑢 𝑏𝑑 2 3,704 3,736 3,768 3,800 3,832 3,864 3,895 3,927 3,958 3,989 4,020 4,051 4,082 4,113 4,144 4,175 4,205 4,236 4,266 4,296 4,326 4,356 4,386 4,416 4,446 4,476 4,505 4,535 4,564 4,593 4,622 4,652 4,680 4,709 4,738 4,767
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Tabla A.2 Unidades del SI fy(MPa)= 420 f´c(MPa)= 28 ρ ρmin por temperatura y contracción
ρmin por flexión
0,0018 0,0019 0,0020 0,0021 0,0022 0,0023 0,0024 0,0025 0,0026 0,0027 0,0028 0,0029 0,0030 0,0031 0,0032 0,0033 0,0034 0,0035 0,0036 0,0037 0,0038 0,0039 0,0040 0,0041 0,0042 0,0043 0,0044 0,0045 0,0046 0,0047 0,0048 0,0049 0,0050 0,0051 0,0052 0,0053 0,0054 0,0055 0,0056 0,0057 0,0058
𝑀𝑢 𝑏𝑑 2 0,744 0,785 0,825 0,866 0,906 0,946 0,987 1,027 1,067 1,107 1,147 1,187 1,227 1,266 1,306 1,346 1,385 1,424 1,464 1,503 1,542 1,581 1,621 1,660 1,698 1,737 1,776 1,815 1,853 1,892 1,930 1,969 2,007 2,045 2,083 2,122 2,160 2,198 2,235 2,273 2,311
ρ 0,0059 0,0060 0,0061 0,0062 0,0063 0,0064 0,0065 0,0066 0,0067 0,0068 0,0069 0,0070 0,0071 0,0072 0,0073 0,0074 0,0075 0,0076 0,0077 0,0078 0,0079 0,0080 0,0081 0,0082 0,0083 0,0084 0,0085 0,0086 0,0087 0,0088 0,0089 0,0090 0,0091 0,0092 0,0093 0,0094 0,0095 0,0096 0,0097 0,0098 0,0099
Valores a utilizar: Mu(KNm)10^6 b y d en mm. 𝑀𝑢 ρ 𝑏𝑑 2 2,349 0,0100 2,386 0,0101 2,424 0,0102 2,461 0,0103 2,498 0,0104 2,536 0,0105 2,573 0,0106 2,610 0,0107 2,647 0,0108 2,684 0,0109 2,721 0,0110 2,758 0,0111 2,795 0,0112 2,831 0,0113 2,868 0,0114 2,904 0,0115 2,941 0,0116 2,977 0,0117 3,014 0,0118 3,050 0,0119 3,086 0,0120 3,122 0,0121 3,158 0,0122 3,194 0,0123 3,230 0,0124 3,266 0,0125 3,301 0,0126 3,337 0,0127 3,373 0,0128 3,408 0,0129 3,444 0,0130 3,479 0,0131 3,514 0,0132 3,549 0,0133 3,585 0,0134 3,620 0,0135 3,655 0,0136 3,689 0,0137 3,724 0,0138 3,759 0,0139 3,794 0,0140
𝑀𝑢 𝑏𝑑 2 3,828 3,863 3,897 3,932 3,966 4,000 4,034 4,068 4,102 4,136 4,170 4,204 4,238 4,271 4,305 4,338 4,372 4,405 4,438 4,472 4,505 4,538 4,571 4,604 4,636 4,669 4,702 4,734 4,767 4,799 4,832 4,864 4,896 4,928 4,961 4,993 5,025 5,056 5,088 5,120 5,151
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251
UMSS
HORMIGÓN ARMADO Continuación ρ 0,0141 0,0142 0,0143 0,0144 0,0145 0,0146 0,0147 0,0148 0,0149 0,0150 0,0151 0,0152 0,0153 0,0154
𝑀𝑢 𝑏𝑑 2 5,183 5,215 5,246 5,277 5,309 5,340 5,371 5,402 5,433 5,464 5,494 5,525 5,556 5,586
ρ 0,0155 0,0156 0,0157 0,0158 0,0159 0,0160 0,0161 0,0162 0,0163 0,0164 0,0165 0,0166 0,0167 0,0168
𝑀𝑢 𝑏𝑑 2 5,617 5,647 5,678 5,708 5,738 5,768 5,799 5,829 5,858 5,888 5,918 5,948 5,977 6,007
ρ 0,0169 0,0170 0,0171 0,0172 0,0173 0,0174 0,0175 0,0176 0,0177 0,0178 0,0179 0,0180 0,0181
𝑀𝑢 𝑏𝑑 2 6,036 6,066 6,095 6,124 6,154 6,183 6,212 6,241 6,270 6,298 6,327 6,356 6,384
copyright©rcolquea
252
UMSS
HORMIGÓN ARMADO
8.000 𝑓𝑦 ⁄𝑓´ = 420/35 𝑐
𝑓𝑦 ⁄𝑓´ = 350/35 𝑐
𝑓𝑦 𝑓´𝑐
= 280/28
7.000
𝑓𝑦 ⁄𝑓´ = 280/28 𝑐
Valores de Mu/ϕbd^2 MPa
6.000
𝑓𝑦 ⁄𝑓´ = 420/21 𝑐
5.000 𝑓𝑦 ⁄𝑓´ = 280/21 𝑐
4.000 𝑓𝑦 ⁄𝑓´ = 350/21 𝑐
3.000 𝑀𝑢 = 𝜌𝑓𝑦 ∅𝑏𝑑 2
𝑓
1 − 0.59 𝜌 𝑓´𝑦
𝑐
2.000
𝜌
1.000
3 𝑓´ max,= 0,85𝛽1 𝑐 8 𝑓𝑦
𝜌 𝑚𝑖𝑛=
0.000 0.0000
0.0050
0.0100
0.0150
0,25 𝑓´𝑐 1,4 ≥ 𝑓𝑦 𝑓𝑦
0.0200
0.0250
0.0300
0.0350
CuantÍa de acero ρ=As/bd
Capacidad por momento de secciones rectangulares con refuerzo de tracción, la deformación máxima es para 𝜖𝑡 = 0.00552
52
(McCormac C., 2011, pág. 669) copyright©rcolquea
253
UMSS
HORMIGÓN ARMADO
APÉNDICE B) TABLA DE CUATÍA MECÁNICA VERSUS RESISTENCIA – Resistencia a la flexión Mu/φf'cbd2 ó Mn/φf'cbd2 de secciones rectangulares sólo con armadura de tracción ω 0,000 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,00
0,0000
0,0010
0,0020
0,0030
0,0040
0,0050
0,0060
0,0070
0,0080
0,0090
0,01
0,0099
0,0109
0,0119
0,0129
0,0139
0,0149
0,0158
0,0168
0,0178
0,0188
0,02
0,0198
0,0207
0,0217
0,0227
0,0237
0,0246
0,0256
0,0266
0,0275
0,0285
0,03
0,0295
0,0304
0,0314
0,0324
0,0333
0,0343
0,0352
0,0362
0,0371
0,0381
0,04
0,0391
0,0400
0,0410
0,0419
0,0429
0,0438
0,0448
0,0457
0,0466
0,0476
0,05
0,0485
0,0495
0,0504
0,0513
0,0523
0,0532
0,0541
0,0551
0,0560
0,0569
0,06
0,0579
0,0588
0,0597
0,0607
0,0616
0,0625
0,0634
0,0644
0,0653
0,0662
0,07
0,0671
0,0680
0,0689
0,0699
0,0708
0,0717
0,0726
0,0735
0,0744
0,0753
0,08
0,0762
0,0771
0,0780
0,0789
0,0798
0,0807
0,0816
0,0825
0,0834
0,0843
0,09
0,0852
0,0861
0,0870
0,0879
0,0888
0,0897
0,0906
0,0914
0,0923
0,0932
0,10
0,0941
0,0950
0,0959
0,0967
0,0976
0,0985
0,0994
0,1002
0,1011
0,1020
0,11
0,1029
0,1037
0,1046
0,1055
0,1063
0,1072
0,1081
0,1089
0,1098
0,1106
0,12
0,1115
0,1124
0,1132
0,1141
0,1149
0,1158
0,1166
0,1175
0,1183
0,1192
0,13
0,1200
0,1209
0,1217
0,1226
0,1234
0,1242
0,1251
0,1259
0,1268
0,1276
0,14
0,1284
0,1293
0,1301
0,1309
0,1318
0,1326
0,1334
0,1343
0,1351
0,1359
0,15
0,1367
0,1375
0,1384
0,1392
0,1400
0,1408
0,1416
0,1425
0,1433
0,1441
0,16
0,1449
0,1457
0,1465
0,1473
0,1481
0,1489
0,1497
0,1505
0,1513
0,1521
0,17
0,1529
0,1537
0,1545
0,1553
0,1561
0,1569
0,1577
0,1585
0,1593
0,1601
0,18
0,1609
0,1617
0,1625
0,1632
0,1640
0,1648
0,1656
0,1664
0,1671
0,1679
0,19
0,1687
0,1695
0,1703
0,1710
0,1718
0,1726
0,1733
0,1741
0,1749
0,1756
0,20
0,1764
0,1772
0,1779
0,1787
0,1794
0,1802
0,1810
0,1817
0,1825
0,1832
0,21
0,1840
0,1847
0,1855
0,1862
0,1870
0,1877
0,1885
0,1892
0,1900
0,1907
0,22
0,1914
0,1922
0,1929
0,1937
0,1944
0,1951
0,1959
0,1966
0,1973
0,1981
0,23
0,1988
0,1995
0,2002
0,2010
0,2017
0,2024
0,2031
0,2039
0,2046
0,2053
0,24
0,2060
0,2067
0,2074
0,2082
0,2089
0,2096
0,2103
0,2110
0,2117
0,2124
0,25
0,2131
0,2138
0,2145
0,2152
0,2159
0,2166
0,2173
0,2180
0,2187
0,2194
0,26
0,2201
0,2208
0,2215
0,2222
0,2229
0,2236
0,2243
0,2249
0,2256
0,2263
0,27
0,2270
0,2277
0,2283
0,2290
0,2297
0,2304
0,2311
0,2317
0,2324
0,2331
0,28
0,2337
0,2344
0,2351
0,2357
0,2364
0,2371
0,2377
0,2384
0,2391
0,2397
0,29
0,2404
0,2410
0,2417
0,2423
0,2430
0,2437
0,2443
0,2450
0,2456
0,2463
0,30
0,2469
0,2475
0,2482
0,2488
0,2495
0,2501
0,2508
0,2514
0,2520
0,2527
Mn / f'c bd2 = ω (1 – 0,59 ω), siendo ω = ρ fy / f'c Para el diseño: Usando el momento mayorado Mu, ingresar a la tabla con Mu / φ f'c bd2; hallar ω y calcular el porcentaje de acero ρ = ω f'c/fy. Para la investigación: Ingresar a la tabla con ω = ρ fy / f'c; hallar el valor de Mn / f'c bd2 y resolver para la resistencia nominal, Mn.
Alternativa de cálculo propuesto por las notas de la ACI53.
53
(Portland Cement Association, 2008, pág. 7.3) copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO
APÉNDICE C) VALORES DE ρ BALANCEADA, ρ CUANTÍA PARA LOGRAR DIVERSOS VALORES DE εt Y ρ MÍNIMA PARA FLEXIÓN. Todos los valores son para secciones rectángulares con refuerzo a tensión f'c(MPa) 21 28 35 42 fy(MPa) β1 0,85 0,85 0,8 0,75 ρ balanceada 0,0369 0,0493 0,0580 0,0652 ρ cuando εt=0,004 0,0232 0,0310 0,0364 0,0410 280 ρ cuando εt=0,005 0,0203 0,0271 0,0319 0,0359 ρ cuando εt=0,0075 0,0155 0,0206 0,0243 0,0273 ρ nínima para flexión 0,0050 0,0050 0,0053 0,0058 ρ balanceada 0,0274 0,0365 0,0429 0,0483 ρ cuando εt=0,004 0,0186 0,0248 0,0291 0,0328 350 ρ cuando εt=0,005 0,0163 0,0217 0,0255 0,0287 ρ cuando εt=0,0075 0,0124 0,0165 0,0194 0,0219 ρ nínima para flexión 0,0040 0,0040 0,0042 0,0046 ρ balanceada 0,0213 0,0283 0,0333 0,0375 ρ cuando εt=0,004 0,0155 0,0206 0,0243 0,0273 420 ρ cuando εt=0,005 0,0135 0,0181 0,0213 0,0239 ρ cuando εt=0,0075 0,0103 0,0138 0,0162 0,0182 ρ nínima para flexión 0,0033 0,0033 0,0035 0,0039 ρ balanceada 0,0156 0,0208 0,0245 0,0276 ρ cuando εt=0,004 0,0125 0,0167 0,0196 0,0221 520 ρ cuando εt=0,005 0,0109 0,0146 0,0172 0,0193 ρ cuando εt=0,0075 0,0083 0,0111 0,0131 0,0147 ρ nínima para flexión 0,0027 0,0027 0,0028 0,0031 54 Valores de cuantía para condiciones importantes propuesta por McCormac .
54
(McCormac C., 2011, pág. 685) copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO
CAPÍTULO 4: ANÁLISIS Y DISEÑO DE SECCIONES A CORTE 4.1) INTRODUCCIÓN En la actualidad el objetivo del proyectista de estructuras de Hormigón Armado es diseñar miembros dúctiles que den aviso de fallas, para lograr esta meta el código ACI318-11 establece valores de cortante con factores de seguridad mayores con respecto a los valores que gobierna la falla por flexión, las fallas por cortante ocurren repentinamente sin previo aviso; por lo tanto las vigas se diseñan para fallar por flexión bajo cargas considerablemente menores a aquellas que causarían la falla por corte, es decir se mayora el factor de seguridad de cortante para que la falla por cortante no fuese posible.
Figura 4.1 – Fisuras a causa de fuerzas cortantes
4.2) COMPORTAMIENTO DE VIGAS A CORTE De acuerdo a la mecánica de materiales si se produce cortante en un plano de un miembro, al mismo tiempo se producirá en otro plano un esfuerzo principal de tracción, los respectivos esfuerzos serán de igual magnitud, consecuentemente el hormigón fallará por tracción antes de que alcance su resistencia al cortante porque la resistencia del hormigón a tracción es menor que su resistencia a corte. De acuerdo a las notas de resistencia de materiales, se define que las secciones elásticas homogéneas, donde los esfuerzos son proporcionales a las deformaciones unitarias, se presentan esfuerzos de corte y flexión definida por las siguientes expresiones: 𝑀𝑐 𝑉𝑄 𝑓= ,𝑣 = 𝐼 𝐼𝑏 Se puede dar el caso de que los esfuerzos no están localizada en una fibra extrema o en el eje neutro, en este caso la viga está sometida a esfuerzos de flexión y corte, estos esfuerzos combinados generan compresión y tracción llamados esfuerzos principales, los esfuerzos combinados están dados por la siguiente expresión: 𝑓 𝑓 2 √ 𝑓𝑝 = ∓ ( ) + 𝑣 2 2 2 Los esfuerzos diagonales principales de tensión, llamados tensión diagonal, ocurren en diferentes ángulos y lugares por lo que el hormigón debe tener mucho cuidado, si la tensión copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO
diagonal es muy grande se debe reforzar el alma mediante barras de acero. Hasta el momento se presentó un análisis referente a tensión diagonal en vigas de hormigón simple, pero si se considera vigas de hormigón armado la situación es diferente. 4.2.1) RESISTENCIA DE UNA VIGA ELÁSTICA NO AGRIETADA La viga mostrada en la figura 4.2, resiste cargas primarias que se traducen en momentos internos y fuerzas normales y cortantes internos.
Figura 4.2 – Fuerzas internas de una viga simplemente apoyada
De acuerdo al diagrama de cuerpo libre de la figura 4.2(d) se observa que la diferencial de momento respecto a la diferencial de la posición genera la cortante 𝑉, según la teoría clásica de vigas homogéneas y no fisuradas el refuerzo cortante en vigas, 𝑣, de una sección transversal de una viga sometida a cargas gravitacionales, se determina mediante la siguiente ecuación:
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HORMIGÓN ARMADO 𝑣=
𝑉𝑄 𝐼𝑏
Dónde: 𝑉: 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠 𝑄: 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑜 𝐼: 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎 𝑏: 𝐴𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 La figura 4.3 genera la ecuación que describe la distribución del esfuerzo cortante en una viga de sección transversal rectangular maciza: 𝑉 ℎ 2 𝑣 = [( ) − 𝑦12 ] 2𝐼 2
Figura 4.3 – Distribución de esfuerzo cortante
La figura 4.3 muestra los esfuerzos cortantes horizontales que tienen una forma parabólica (figura 4.3 (c)) y esfuerzos de corte verticales con un esfuerzo máximo en el eje neutro de la viga (figura 4.3 (b)), es decir que los esfuerzos por corte máximos se obtiene cuando 𝑦1 es igual a cero. En la figura 4.3(d) se muestra una vista isométrica con los respectivos esfuerzos de corte. La fuerza de cortante máxima se presenta en el eje neutro de la sección transversal y está dado por la siguiente ecuación: 3𝑉 𝑣𝑚𝑎𝑥 = 2𝐴 Los esfuerzos cortantes horizontales y verticales se muestran en la figura 4.4, los esfuerzos de la respectiva figura están sujetos a esfuerzos combinados debido a flexión y corte. Los más grandes u más pequeños esfuerzos que actúan en un elemento son llamados esfuerzos principales máximos, los esfuerzos principales y los planos en los que actúan son hallados usando el método de círculo de Mohr.
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HORMIGÓN ARMADO
Figura 4.4 – Etapa de la resistencia última
También se demuestra que los esfuerzos principales máximos de un elemento cortado se encuentran a un ángulo de 45º, tal como se puede ver en la figura 4.5, la respectiva figura muestra las superficies en las que actúan los esfuerzos principales de tracción en la viga elástica, homogénea y no fisurada, la orientación de los elementos de la figura 4.4 indica la trayectoria de los esfuerzos. Las fisuras que se presentan en la figura 4.5 son verticales e inclinadas, la primera debida a esfuerzos de flexión que empiezan en la parte inferior de la viga y las fisuras inclinadas se deben a esfuerzos combinados de flexión y corte, también conocidas como fisuras de corte o fisuras de tensión diagonal.55
Figura 4.5 – Fuerzas cortantes y normales en una viga homogénea no fisurada
En las secciones de Hormigón Armado las fisuras por flexión se presentan por lo general antes que los esfuerzos principales máximos alcancen los valores críticos. Una vez que las fisuras ocurren, los esfuerzos de tracción a lo largo de las fisuras alcanzan el valor de cero, por tal motivo es necesaria una redistribución de esfuerzos que tiene como resultado un conjunto de fisuras diagonales.
55
(G. MacGregor, 2012, pág. 246) copyright©rcolquea
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4.2.2) ESFUERZO DE CORTE PROMEDIO ENTRE FISURAS El estado inicial de las fisuras se presentan con esfuerzos verticales, las fisuras se extienden de manera diagonal al incrementarse la carga, la figura 4.6 muestra una viga simplemente apoyada fisurada, se toma una porción entre dos fisuras para determinar el esfuerzo promedio de corte entre fisuras, para tal objetivo se analiza el diagrama de cuerpo libre de la figura 4.6.(c). Equilibrio de fuerzas horizontales, la fuerza de tracción en la fibra inferior del lado izquierdo se define como: 𝑀 𝑇= 𝑑 La fuerza de tracción en la fibra inferior derecha es: 𝑀 + ∆𝑀 𝑇 + ∆𝑇 = 𝑑 Igualando las fuerzas de tracción de las fibras inferiores tenemos: 𝑀 𝑀 + ∆𝑀 𝑇 = 𝑇 + ∆𝑇 → = 𝑑 𝑑 Simplificando se tiene: ∆𝑀 ∆𝑇 = 𝑑
Figura 4.6 – Esfuerzo promedio entre dos fisuras
Equilibrio de momentos, sumatoria de momentos en el lado derecho de la línea de acción de la fuerza de compresión: 𝑀 + 𝑉 ∙ ∆𝑥 = 𝑀 + ∆𝑀 → ∆𝑀 = 𝑉 ∙ ∆𝑥 Incremento de la fuerza de tensión, reemplazando las expresiones deducidas tenemos: 𝑉 ∙ ∆𝑥 ∆𝑇 = 𝑑
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UMSS Esfuerzo cortante promedio, se analiza la parte sombreada de la figura 4.6.(c) que se visualiza mejor en la figura 4.6.(b), se deduce que la fuerza transversal ∆𝑇 se transfiere a través del esfuerzo cortante horizontal o flujo de corte que va de derecha a izquierda en la fibra superior del elemento de la figura 4.6.(b). El valor promedio del esfuerzo cortante es: ∆𝑇 𝑣= 𝑏𝑤 ∙ ∆𝑥 Sustituyendo ∆𝑇 en 𝑣 se tiene: 𝑉 𝑣= 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 Donde 𝑑≅ 0.9𝑑 𝑦 𝑏𝑤 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑙𝑚𝑎. El código ACI318-11 reemplaza la variable 𝑑 por el peralte efectivo 𝑑, esto con el objetivo de simplificar los cálculos, por tanto el esfuerzo cortante promedio queda de la siguiente manera56: 𝑉 𝑣= 𝑏𝑤 𝑑
HORMIGÓN ARMADO ACI 8.6.1 Para hormigón liviano de arena de peso normal: 𝜆 = 0.85 Para otros hormigones de peso liviano: 𝜆 = 0.75 Interpolar con base en fracciones volumétricas, cuando una porción de los agregados finos de peso liviano es reemplazada por agregado fino de peso normal: 0.75 ≤ 𝜆 < 0.85 Interpolar linealmente para el hormigón que contiene agregado fino de peso normal y una combinación de agregados gruesos de peso normal y de peso liviano: 0.85 ≤ 𝜆 ≤ 1.0 Para hormigón de peso normal: 𝜆=1 Si se especifica 𝑓𝑐𝑡 : 𝑓𝑐𝑡 𝜆= ≤ 1.0 0.56√𝑓𝑐
4.3) HORMIGÓN DE PESO LIGERO,𝝀 El ACI318-11 toma en cuenta el efecto del hormigón con agregado ligero sobre la resistencia al cortante mediante el término 𝜆, en el respectivo capítulo es frecuente observar el termino 𝜆√𝑓´𝑐 , también se observa el respectivo término con frecuencia en los capítulos de longitud de desarrollo y torsión. Si el fraguado es con hormigón de peso normal entonces 𝜆 = 1, este factor es una mejora muy lógica del código para considerar el efecto del agregado ligero a la resistencia a corte. El factor de reducción de resistencia 𝜆 se especifica en ACI 8.6. 4.4) AGRIETAMIENTO POR CORTANTE EN VIGAS DE HORMIGÓN ARMADO Las grietas pueden desarrollarse en las almas de las vigas de hormigón armado, las grietas pueden ser secundarias, grietas por flexión cortante, grietas iniciales o por flexión, ver figura 4.7. Para que las grietas se generen el momento debe ser mayor que el momento de agrietamiento y el esfuerzo cortante debe ser bastante grande. Las grietas forman ángulos de aproximadamente 45º respecto al eje longitudinal de la viga y con frecuencia se inicia en la parte superior de una grieta por flexión, ocasionalmente una grieta inclinada se desarrollará independientemente de la grieta por flexión, tales grietas son llamadas grietas por cortante en el alma. Las grietas por cortante por lo general se generan cerca de los puntos de inflexión de las vigas continuas o cerca de los apoyos simples, porque cerca de los apoyos se generan momentos pequeños y cortantes grandes, este tipo de grietas se forma cerca de la mitad de la altura de las 56
(G. MacGregor, 2012, pág. 248) copyright©rcolquea
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secciones y se prolonga cerca de la cara de tracción, este tipo de grietas se muestra en la figura 4.8.
Figura 4.7 – Grietas por flexión – cortante
Figura 4.8 – Grietas por cortante en el alma
En el eje neutro los esfuerzos de flexión son nulos y los esfuerzos cortantes alcanzan sus esfuerzos máximos, entonces los esfuerzos cortantes determinara que ocurre con las grietas en esa zona. Si la grieta se desarrolla el miembro fallará, a menos que la sección agrietada de hormigón resista. Si no existe refuerzo en el alma, los siguientes factores podrán transmitir el esfuerzo cortante:57 La resistencia al cortante de la sección no agrietada arriba de las grietas se estima entre el 20% y 40% de la resistencia total. La trabazón del agregado, es decir, la fricción desarrollada debido a la trabazón del agregado sobre la superficie del hormigón a los lados opuestos de las grietas se estima entre el 33% y 50% de la resistencia total. La resistencia del refuerzo longitudinal a una fuerza de fricción llamada acción de espiga se estima entre el 15% y 25% de la resistencia total. Un comportamiento tipo arco atirantado que en las vigas de gran peralte es producido por las varillas longitudinales que actúan como tirante y por el hormigón no agrietado arriba y a los lados de las grietas que actúan como arco.58
57 58
(G. MacGregor, 2012, págs. 222-223) (Taylor, 1974, págs. 43-47) copyright©rcolquea
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4.5) REFUERZO DE CORTE EN EL ALMA En miembros estructurales tales como las vigas de entrepiso se genera debido a las solicitaciones fuerzas de cortante factorizadas muy grandes, si no reforzamos el alma con estribos entonces las grietas se incrementarán de tal forma que se presentan fallas en la parte crítica que se encuentra a una distancia igual al peralte efectivo con respectivo a la cara de apoyo. Se necesita reforzar el alma cuando el cortante último debido a las solicitaciones sea mayor a la resistencia útil del hormigón a corte: ∅𝑉𝑐 𝑉𝑢 > → 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 2 4.5.1) TIPOS DE REFUERZO Se debe reforzar el alma de la viga mediante estribos que por lo general rodean el perímetro generado por el refuerzo longitudinal debido a flexión, existen diverso tipos de refuerzo como la forma de U, forma O, a continuación se describirá los tipos de estribos y su aplicación particular, de esta forma el diseñador podrá definir el tipo de estribo en función del tipo de estructura. Los estribos cerrados deben estar compuestos por un solo tramo de barra continua con ganchos de 90 ó 135 grados yuxtapuestos en sus extremos, o bien por uno o dos tramos de barra continua con empalmes clase B (ACI 7.11.3); los estribos cerrados constituidos por un solo tramo de barra continua y ganchos yuxtapuestos en sus extremos no son prácticos de colocar. Las varillas llamadas colgantes o conocidas también como armadura de piel son usualmente del mismo diámetro que los estribos, se coloca la armadura de piel en el lado de compresión para anclar los estribos, ver figura 4.9 al 4.14. El doblado de los estribos alrededor de los colgantes reduce los esfuerzos de aplastamiento bajo los ganchos, si estos esfuerzos son muy grandes, el hormigón se aplasta y los estribos se desgarran. 4.5.1.1) ESTRIBOS ABIERTOS PARA VIGAS CON TORSIÓN DESPRECIABLE Estribos de rama múltiple; inhiben la separación en el plano de las varillas longitudinales, ver figura 4.9.
Figura 4.9 – Estribo de rama múltiple
Estribos anchos; por lo general son preferibles para vigas anchas, ver figura 4.10 copyright©rcolquea
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Figura 4.10 – Estribos anchos
Otros estribos, ver figura 4.11.
Figura 4.11 – Estribos anchos
4.5.1.2) ESTRIBOS CERRADOS PARA VIGAS CON TORSIÓN CONSIDERABLE Estribos con empalme de traslape; son estribos que se describen en el ACI 12.13.5, son apropiados para miembros muy peraltados, en particular para aquellos cuyo peralte varia gradualmente, pero no satisfacen los requerimientos sísmicos.
Figura 4.12 – Estribos con empalme de traslape
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Estribo cerrado con ganchos a 135º; son muy utilizados por la facilidad de armado.
ACI 7.11.3 Los estribos cerrados se deben formar de una sola pieza con sus ganchos extremos colocados superpuestos abrazando la misma barra longitudinal, o se deben formar de una o dos piezas unidas mediante un empalme por traslapo clase B (longitud de traslapo de 1.3𝑙𝑑 ) o anclándolas de acuerdo con ACI 12.13. ACI 11.4.2
Figura 4.13 – Estribos de uso común
Los valores de 𝑓𝑦 y 𝑓𝑦𝑡 usados en el diseño del refuerzo para cortante no debe exceder 420 MPa, excepto que el valor no debe exceder 550 MPa para refuerzo electrosoldado de alambre corrugado.
Estribos cerrados por confinamiento; se llama estribo confinado porque la viga funciona monolíticamente con la losa, por lo tanto el hormigón puede estar confinado por un lado o ambos lados, dependiendo si la viga es de esquina o central.
Figura 4.14 – Estribos cerrados confinados
4.5.1.3) CONTROL DEL ANCHO DE GRIETAS DIAGONALES El ancho de las grietas diagonales está directamente relacionado con la deformación unitaria en los estribos, por lo tanto el ACI 11.4.2 no permite que el refuerzo exceda de 420 MPa, cuando se limita el ancho de grietas, se realiza una mayor trabazón en el agregado. La limitación de 420 MPa no se aplica a la malla de alambre corrugado soldada, porque el uso de alambre de alta resistencia ha sido realmente satisfactorio, las pruebas han demostrado que los anchos de grietas inclinadas de cortante, bajo condiciones de carga de servicio, son menores para mallas de alambre de alta resistencia que los que ocurren para vigas con estribos de grado 420, por las consideraciones mencionadas el esfuerzo máximo para mallas de alambre corrugado soldada es de 550 MPa.
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4.5.2) COMPORTAMIENTO DE LAS VIGAS CON REFUERZO EN EL ALMA El comportamiento real de las vigas con refuerzo del alma no tiene una teoría clara por la complejidad del mismo, la teoría que se ha utilizado ampliamente por más de 100 años es la analogía de la armadura, define que la viga de hormigón armado con refuerzo de corte se comporta como una armadura estáticamente determinada de cuerdas paralelas con nudos articulados; de tal forma que la cuerda superior de la armadura se identifica como el hormigón de la zona de compresión por flexión y la cuerda inferior de la armadura como el refuerzo por tracción debido a flexión, el alma de la viga está compuesto por estribos y actúa como cuerdas verticales de la armadura a tracción y por las porciones de hormigón entre las grietas de tensión diagonal con una inclinación de 45º respecto al eje neutro actúan como miembros diagonales de compresión.59Se utiliza el término refuerzo del alma con referencia al refuerzo por cortante, la armadura descrita se presenta en la figura 4.15. El código ACI recomienda poner refuerzo por corte en el alma en casi todas las vigas importantes, el código define el área de acero mínimo en el alma para todos los miembros que trabajan a flexión porque la teoría de la analogía de la armadura no está bien definida. Los ensayos experimentales de laboratorio demuestran que la falla por refuerzo cortante no ocurre antes que la falla por flexión en miembros poco peraltada, por lo referido las fuerzas cortantes se distribuyen mejor en secciones anchas. 4.5.2.1) GRIETAS DIAGONALES Las grietas diagonales ocurrirán en las vigas con refuerzo de cortante bajo casi las mismas cargas con que ocurren en las vigas del mismo tamaño sin dicho refuerzo. El refuerzo cortante se manifiesta sólo después de que las grietas han empezado a formarse, cuando ocurre lo mencionado las vigas deben tener suficiente refuerzo de cortante para resistir la fuerza cortante no resistida por el hormigón. Cuándo se desarrolla una grieta por cortante en una viga, sólo un poco de esfuerzo cortante puede ser transferido a través de la grieta, al menos que se use refuerzo en el alma para salvar la abertura de la fisura, la barra de acero mantiene junta la pieza de hormigón en ambos lados de la grieta impidiendo que se separen, al mantener junta la pieza de hormigón se mantiene varios beneficios: El refuerzo de acero que pasa a través de las grietas toma el cortante directamente. El refuerzo impide que las fisuras se magnifiquen y permite que el hormigón transfiera el esfuerzo cortante a través de las grietas mediante la trabazón del agregado. Los estribos helicoidales o zunchos aumentan la resistencia y la ductilidad de la viga, también estos estribos impiden el desprendimiento del recubrimiento del hormigón porque atan a las barras longitudinales. El mantener unido el hormigón en ambos lados de la fisura permite que las grietas lleguen a la zona de compresión.
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(McCormac C., 2011, pág. 225) copyright©rcolquea
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Figura 4.15 – Analogía de la armadura
4.5.2.2) TIPOS DE REFUERZO A CORTE Los diferentes tipos de armadura de corte permitidos por el código ACI se describen a continuación y se muestran en la figura 4.16: Estribos a 90º; son estribos perpendiculares al eje neutro, su uso es el más frecuente por la facilidad de armado y la economía, ver figura 4.16.(a). Estribos de malla de alambre soldada; son refuerzos electrosoldados de alambre que son perpendiculares al eje neutro del elemento, ver figura 4.16.(b). Estribos inclinados; forman un ángulo de 45º o más con respecto al refuerzo longitudinal de tracción, son más eficientes para resistir el cortante e impedir o atrasar la formación de grietas diagonales, porque son perpendiculares a las grietas diagonales, pero no son muy prácticos por los altos costos que representan las mismas, ver figura 4.16.( c). Barras longitudinales a tracción dobladas; las mismas se pueden doblar a 30º como mínimo y a 45º usualmente. El proyectista promedio considera rara vez el hecho que pueden resistir la tensión diagonal porque hay muy pocas barras dobladas y pueden estar mal ubicadas, ver figura 4.16.(d). Combinación de estribos; es la combinación de estribos a 90º y barras longitudinales a tracción dobladas a 45º usualmente, son muy resistente, ver figura 4.16.(e). Estribos helicoidales o zunchos; son cerrados y circulares, este tipo de estribos presentan mayor ductilidad por lo tanto son muy usuales para estructuras antisísmicas, ver figura 4.16.(f).
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Figura 4.16 – Estribos cerrados confinados
4.6) SEGURIDAD ESTRUCTURAL Los requisitos para el diseño al corte se representan en términos de fuerza y no de esfuerzo, de tal forma que es compatible con las condiciones de diseño por el Estado Límite Último de Resistencia, las cuales se expresan en términos de cargas, momentos y fuerzas. En consecuencia usando la definición básica de diseño por resistencia tenemos: 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 ≥ 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑅𝑒𝑞𝑢𝑒𝑟𝑖𝑑𝑎 ∅𝑉𝑛 ≥ 𝑉𝑢 La resistencia nominal al corte, 𝑽𝒏 , se calcula como: 𝑉𝑛 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠 𝑉𝑐 : 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 ℎ𝑜𝑟𝑚𝑖𝑔ó𝑛 𝑉𝑠 : 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 Sustituyendo términos tenemos: ∅𝑉𝑐 + ∅𝑉𝑠 ≥ 𝑉𝑢 ∅: 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 (∅ = 0.75) 𝑉𝑢 : 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑢𝑒𝑟𝑑𝑜 𝑎 𝑙𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 La resistencia nominal a la fuerza de corte proporcionada por el refuerzo de corte se determina mediante la siguiente ecuación: 𝑉𝑢 𝑉𝑠 ≥ − 𝑉𝑐 ∅
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4.7) DISEÑO POR CORTANTE 4.7.1) RESISTENCIA DEL HORMIGÓN AL CORTANTE Los investigadores elaboraron una gran cantidad de investigación sobre el tema de cortante y de la tensión diagonal en las vigas no homogéneas de hormigón armado, pero nadie ha podido proporcionar una explicación convincente de la mecánica de falla, por lo tanto las ecuaciones que se describan a continuación se basan en la experimentación. Si 𝑉𝑢 se divide entre el área efectiva de la viga 𝑏𝑤 𝑑, el resultado se denomina esfuerzo cortante medio, este refuerzo no es igual al refuerzo de tensión diagonal, sino que sirve meramente como indicador de su magnitud, si este indicador excede un cierto valor, se considera necesario emplear un refuerzo por cortante en el alma. El código ACI318-11 presenta las ecuaciones de diseño en términos de fuerza y no de esfuerzo, el ACI 11.2.1.1 recomienda la ecuación que se utiliza únicamente para elementos sometidos a corte y flexión, la resistencia al cortante suministrada por el hormigón, 𝑉𝑐 , se considera igual a una resistencia de esfuerzo cortante medio (normalmente 0.17𝜆√𝑓´𝑐 ) multiplicada por el área efectiva de la sección transversal del miembro, 𝑏𝑤 𝑑, donde 𝑏𝑤 es el ancho de una viga rectangular o del alma de una viga T o de una viga I. 𝑉𝑐 = 0.17𝜆√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑 Las pruebas en vigas han mostrado algunos hechos interesantes acerca de la ocurrencia de grietas a diferentes valores del esfuerzo cortante medio. Donde se presentan momentos máximos se presentan extensas grietas de flexión, aun cuando se proporcione el suficiente acero longitudinal del refuerzo, como consecuencia el área no agrietada se reduce considerablemente y la resistencia del hormigón puede ser tan baja como 0.16𝜆√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑. Por otra parte, en las zonas donde el momento es pequeño, la sección transversal se encontrara sin grietas o muy ligeramente agrietada y una porción grande de la sección transversal está disponible para resistir el cortante, para el caso respectivo las pruebas demuestran que 𝑉𝑐 alcanza 0.29𝜆√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑 antes de que ocurra la falla por cortante.60 La sección del ACI 11.2.1.2 ofrece otra ecuación alternativa que toma en cuenta los efectos del refuerzo longitudinal como la magnitud del momento y de la fuerza cortante, este es un análisis más detallado, este valor debe calcularse separadamente para cada punto que se considere en la viga. 𝑉𝑢 𝑑 𝑉𝑐 = (0.16𝜆√𝑓´𝑐 + 17𝜌𝑤 ) 𝑏 𝑑 ≤ 0.29𝜆√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑 𝑀𝑢 𝑤 Las variables de la respectiva ecuación se describen a continuación: 𝐴𝑠 𝜌𝑤 = : 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑏𝑤 𝑑 𝑀𝑢 : 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒 𝑠𝑖𝑚𝑢𝑙𝑡á𝑛𝑒𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝑉𝑢 𝑉𝑢 : 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑉𝑢 𝑑 <1 𝑀𝑢 60
(McCormac C., 2011, pág. 221) copyright©rcolquea
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Con la ecuación detallada puede verse que 𝑉𝑐 aumenta conforme se incrementa la cantidad de refuerzo representada por 𝜌𝑤 . Si aumentamos la cantidad de acero la longitud y el ancho de las grietas se reducen. Si las grietas se mantienen más estrechas, queda más hormigón para resistir el cortante, por tanto habrá más resistencia al cortante por fricción (llamada trabazón de agregado) en los lados de las grietas. La expresión más detallada y complicada puede usarse más fácilmente mediante computadora, la razón es porque los valores de 𝜌𝑤 , 𝑉𝑢 , 𝑀𝑢 cambian constantemente a lo largo de la luz, requiriendo el cálculo en numerosas posiciones. Por lo general normalmente utilizan la ecuación alterna. 4.7.1.1) LÍMITE PARA √𝒇´𝒄 Las condiciones que gobiernan la mecánica y lógica de vigas sometidas a corte dependen de √𝑓´𝑐 y han sido verificadas experimentalmente para elementos de hormigón con resistencias de hasta 69 MPa, por falta de datos experimentales el código ACI 11.1.2 limita la resistencia característica del hormigón, excepto en el ACI 11.1.2.1. Se debe tener en cuenta que antes del código 2002 el área mínima de la armadura transversal era independiente de la resistencia del hormigón, pero los ensayos recientes han demostrado que en los elementos de hormigón de alta resistencia es necesario aumentar la armadura transversal mínima, con el objeto de impedir fallas bruscas por corte cuando se produce fisuras inclinadas, en consecuencia para considerar la situación descrita, los requisitos de armadura transversal mínima ahora dependen de √𝑓´𝑐 . 4.7.2) RESISTENCIA DEL ACERO AL CORTANTE La fuerza cortante máxima 𝑉𝑢 en una viga no debe exceder la capacidad de esfuerzo cortante de diseño ∅𝑉𝑛 de la sección transversal, por tanto según el principio de diseño se define: ∅𝑉𝑛 ≥ 𝑉𝑢 El valor de ∅𝑉𝑛 puede descomponerse en la sumaRe de la resistencia del hormigón ∅𝑉𝑐 más la resistencia del acero a cortante ∅𝑉𝑠 , entonces la ecuación anterior queda así; ∅𝑉𝑐 + ∅𝑉𝑠 ≥ 𝑉𝑢 La experimentación ha demostrado que una viga no fallará por el ensanchamiento de las grietas de tensión diagonal, hasta que los estribos que pasan las grietas estén esforzados a sus esfuerzos de fluencia. 4.7.2.1) ESTRIBOS VERTICALES En análisis que se presenta se supone que se ha desarrollado en una grieta de tensión diagonal y que ha llegado a la zona de compresión pero no hasta la fibra superior, como se muestra en la figura 8.17, además se supone que los estribos que cruzan la grieta han cedido. La resistencia nominal por cortante 𝑉𝑠 de los estribos que cruzan la grieta puede calcularse con la siguiente expresión: 𝑉𝑠 = 𝐴𝑣 𝑓𝑦 𝑛 Dónde: 𝑛: 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑟𝑢𝑧𝑎 𝑙𝑎 𝑔𝑟𝑖𝑒𝑡𝑎 𝐴𝑣 : 𝑒𝑠 𝑒𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜 𝑎𝑙 𝑐𝑟𝑢𝑧𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑔𝑟𝑖𝑒𝑡𝑎 copyright©rcolquea
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Si se usa un estribo en forma de U, 𝐴𝑣 es igual a 2 veces el área de la sección transversal de la varilla del estribo. Si se usa un estribo en forma de UU, 𝐴𝑣 es igual a 4 veces el área de la sección transversal de la varilla de estribo. Si se supone conservadoramente que la proyección horizontal de la grieta es igual al peralte efectivo 𝑑 de la sección, si y solo si la grieta tenga una inclinación de 45º, el número de estribos que cruza la grieta puede determinarse mediante la siguiente expresión, donde 𝑠 es la separación de centro a centro de los estribos: 𝑑 𝑛= 𝑠 Reemplazando: 𝑑 𝑉𝑠 = 𝐴𝑣 𝑓𝑦 𝑠
Figura 4.17 – Resistencia a cortante de estribos verticales
Se ha definido que: ∅𝑉𝑐 + ∅𝑉𝑠 ≥ 𝑉𝑢 En el diseño esta expresión se expresa como: ∅𝑉𝑠 ≥ 𝑉𝑢 −∅𝑉𝑐 𝑉𝑢 𝑉𝑠 ≥ −𝑉𝑐 ∅ La resistencia a corte provista por los estribos es: 𝑑 𝑉𝑠 = 𝐴𝑣 𝑓𝑦 𝑠 Reemplazando: 𝑑 𝑉𝑢 𝐴𝑣 𝑓𝑦 ≥ −𝑉𝑐 𝑠 ∅ Despejando 𝐴𝑣 y realizando operaciones: (𝑉𝑢 − ∅𝑉𝑐 )𝑠 𝐴𝑣 ≥ ∅𝑓𝑦 𝑑 copyright©rcolquea
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4.7.2.2) ESTRIBOS INCLINADOS A continuación se deducirá la expresión para obtener el área de acero requerida de estribos inclinados, se recomienda observar la figura 4.18 y aplicar las relaciones trigonométricas para poder deducir. Según la figura 4.18 y 4.19 alfa es el ángulo entre los estribos inclinados con respecto a la varilla longitudinal de la sección, beta es el ángulo de las fisuras con respecto a la varilla longitudinal, beta por lo general es de 45º.
Figura 4.18 – Diagrama de fuerzas resistentes a corte de estribos inclinados
Figura 4.19 – Amplificación de la figura anterior
El número de estribos que cruza la fisura está definida por: 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑠𝑢𝑟𝑎 𝑛= 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑠𝑢𝑟𝑎 Reemplazando valores de acuerdo a la figura 4.19, tenemos: 𝑑 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝑑 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑛= 𝑠 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛼 La fuerza inclinada de todos los estribos que cruzan la fisura es: 𝐹 = 𝐴𝑣 𝑓𝑦 𝑛 copyright©rcolquea
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𝑑 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝑑 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 ) 𝑠 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛼 La fuerza cortante resistida por los estribos, 𝑉𝑠 , es la componente vertical de la fuerza inclinada 𝐹, es decir: 𝐹 = 𝐴𝑣 𝑓𝑦 (
𝑉𝑠 = 𝐹 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛼 Reemplazando variables tenemos: 𝑑 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝑑 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑉𝑠 = 𝐴𝑣 𝑓𝑦 ( ) ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑠 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛼 Simplificando se determina la fuerza de resistencia a cortante de estribos inclinados, la ecuación está definida en ACI 11.4.7.4: 𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑉𝑠 = 𝐴𝑣 𝑓𝑦 𝑑 ( ) 𝑠 Dónde: 𝛼: 𝑒𝑠 𝑒𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑦 𝑒𝑙 𝑒 𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑎 𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛 𝑠: 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑎 𝑎𝑙 𝑒 𝑒 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙 Se ha definido que: ∅𝑉𝑐 + ∅𝑉𝑠 ≥ 𝑉𝑢 En el diseño esta expresión se expresa como: ∅𝑉𝑠 ≥ 𝑉𝑢 −∅𝑉𝑐 → 𝑉𝑠 ≥
𝑉𝑢 −𝑉 ∅ 𝑐
La resistencia a corte provista por los estribos es: 𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑉𝑠 = 𝐴𝑣 𝑓𝑦 𝑑 ( ) 𝑠 Reemplazando: 𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑉𝑢 𝐴𝑣 𝑓𝑦 𝑑 ( ) ≥ −𝑉𝑐 𝑠 ∅ Despejando 𝐴𝑣 y realizando operaciones: (𝑉𝑢 − ∅𝑉𝑐 )𝑠 𝐴𝑣 ≥ ∅𝑓𝑦 𝑑(𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝛼) La ACI 11.4.7.5 recomienda la relación que determina la resistencia del acero a corte, donde el refuerzo para cortante consiste en una barra individual ó en un solo grupo de barras paralelas, todas dobladas a la misma distancia del apoyo: 𝑉𝑠 = 𝐴𝑣 𝑓𝑦 𝑠𝑒𝑛𝛼 ≤ 0.25√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑
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4.8) REQUISITOS DEL CÓDIGO ACI Se presenta una lista detallada de los requisitos del código que controlan el diseño de refuerzo del alma que resistan a cortante: 4.8.1) REQUERIMIENTO MÍNIMO A CORTANTE El ACI 11.4.6.1 requiere el uso de refuerzo del alma cuando la fuerza cortante factorizada 𝑉𝑢 excede la mitad de la resistencia del hormigón a cortante, ∅𝑉𝑐 4.8.2) REFUERZO MÍNIMO A CORTANTE Cuando se requiere refuerzo por cortante, el código establece que la cantidad provista debe situarse entre ciertos límites claramente especificados tanto inferiores como superiores. Si la cantidad de refuerzo es baja, éste puede fluir o bien romperse inmediatamente después de la formación de una grieta inclinada. Tan pronto como se desarrolla una grieta diagonal, la tensión tomada previamente por el hormigón se transmite al refuerzo del alma, para evitar que los estribos se rompan en ese momento, sus áreas deben tener por lo menos el valor mínimo61. La ACI 11.4.6.3 especifica una cantidad mínima de refuerzo del alma para proveer una resistencia última al cortante no menor que 0.062√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑠/ 𝑓𝑦𝑡 . Esta disposición deberá impedir una falla repentina por cortante de la viga cuando se presenten grietas inclinadas, la resistencia por cortante calculada con esta expresión no puede ser menor que 0.35𝑏𝑤 𝑠/𝑓𝑦𝑡 . 𝐴𝑣,𝑚𝑖𝑛
0.062√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑠 0.35𝑏𝑤 𝑠 = ≥ 𝑓𝑦𝑡 𝑓𝑦𝑡
ACI 11.4.6.1 11.4.6.2 Debe Se permite colocarse que los unrequisitos área mínima mínimos de de refuerzo cortante de, 11.4.6.1 refuerzo parapara cortante, 𝐴𝑣,𝑚𝑖𝑛 en todo sean ignorados se demuestra por elemento de siconcreto reforzado medio de ensayos que 𝑀 y 𝑉𝑛 sometido a flexión (pre esforzado y no 𝑛 requeridos puede desarrollarse pre esforzado) donde 𝑉𝑢 exceda cuando 0.5∅𝑉𝑐 , se suprime excepto en: el refuerzo para cortante. Dichos ensayosydeben simular efectos a) Zapatas losas sólidas de b)asentamiento diferencial, Elementos alveolares con flujo una plástico,altura retracción y variación de total sin incluir el afinado temperatura, basados en una de piso, no mayor de 315 mm y evaluación realista de la ocurrencia unidades alveolares donde 𝑉 de no dichos efectos en condiciones 𝑢 de es mayor de 0.5∅𝑉𝑐𝑤. servicio. c) Losas nervadas de concreto con ACI 11.4.6.3 viguetas definidas en 8.13 d) Vigas h no mayor que para 250 Cuando se con requiera refuerzo mm. cortante, de acuerdo con 11.4.6.1 o para e) Vigas integradas conpermita losas con ℎ resistencia y cuando 11.5.1 que no mayor de 600 mm, y no la torsión sea despreciada, 𝐴𝑣,𝑚𝑖𝑛 para mayor el mayor de 2.5 veces elementos preque esforzados (excepto en el espesor del ala, ó 0.5 el lo previsto por 11.4.6.4) y veces no pre ancho alma. esforzados se del debe calcular mediante: ACI 11.4.5.1 0.062√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑠 0.35𝑏𝑤 𝑠 = ≥ 𝑓𝑦𝑡de El𝐴𝑣,𝑚𝑖𝑛 espaciamiento 𝑓𝑦 del refuerzo 𝑓𝑦𝑡 cortante colocado perpendicularmente al eje del elemento no debe exceder de 𝑑/2 en elementos de hormigón no pre esforzado, ni de 600 mm. ACI 11.4.5.3 Donde 𝑉𝑠 sobrepase 0.33√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑 las separaciones máximas dadas en 11.4.5.1 y 11.4.5.2 se deben reducir a la mitad. ACI 11.4.7.9 𝑉𝑠 no debe considerarse mayor que 0.66√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑
El proyectista puede considerar que no es necesario el refuerzo mínimo por cortante, pero estudios por daños sísmicos en estos últimos años han demostrado cantidades muy grandes de fallas por cortante en las estructuras de hormigón armado y se cree que el refuerzo mínimo puede mejorar considerablemente la resistencia de tales estructuras a las fuerzas sísmicas. Este requisito de refuerzo mínimo por cortante se puede pasar por alto si por medio de pruebas se demuestra que las resistencias requeridas por flexión y cortante pueden obtenerse sin el refuerzo por cortante, esta recomendación está en el ACI 11.4.6.2. 61
(McCormac C., 2011, pág. 228) copyright©rcolquea
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4.8.3) SEPARACIÓN MÁXIMA DE ESTRIBOS VERTICALES Un estribo no puede tomar un cortante apreciable a menos que lo cruce una grieta inclinada, es decir en una grieta diagonal por lo menos debe existir una barra, de esta forma se evitará que la viga falle. Entonces para garantizar que toda grieta a 45º sea interceptada debe existir al menos un estribo por lo tanto para que se cumpla lo mencionado se debe cumplir la recomendación de separación máxima de la ACI 11.4.5.1 y la ACI 11.4.5.3 Si la separación es más pequeña las grietas inclinadas serán más pequeñas. Otra ventaja de limitar la separación máxima de los estribos está en que los estribos soportarán la barras longitudinales de la viga, y de esta forma se reduce la posibilidad de que el acero pueda pandearse, desgarrar el recubrimiento del hormigón o que este se deslice. 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑑/2 𝑆𝑖 𝑉𝑠 ≤ 0.33√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑 → 𝑆𝑚𝑎𝑥 = { 600 𝑚𝑚 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑑/4 𝑆𝑖 𝑉𝑠 > 0.33√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑 → 𝑆𝑚𝑎𝑥 = { 300 𝑚𝑚 La recomendación de la ACI 11.4.7.9 dice que en ningún caso se permite de que 𝑉𝑠 exceda el valor de 0.66√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑, está recomendación dice que la resistencia a cortante de una viga no puede incrementarse indefinidamente aumentando más acero, es decir que al poner más acero no significa que la resistencia del par aumente, porque el hormigón eventualmente se desintegrará sin importar cuánto refuerzo se hubiese agregado. El lector puede entender la existencia de un límite superior si pondera la condición del hormigón arriba de las grietas, entre mayor sea el cortante transferido por el refuerzo cortante al hormigón superior, mayor será la probabilidad de una falla en ese hormigón por una combinación de compresión y cortante. 𝑉𝑠 ≤ 0.66√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑 4.8.4) LONGITUDES DE DESARROLLO PARA ESTRIBOS VERTICALES Para que los estribos desarrollen sus resistencias de diseño, deben estar adecuadamente anclados. Los estribos pueden ser cruzados por grietas de tensión diagonal en diversos puntos a lo largo de sus alturas, por lo tanto estas grietas pueden cruzar muy cerca de los bordes de tracción y compresión de los miembros, entonces los estribos deben poder desarrollar sus resistencias de fluencia a lo largo de toda su longitud. Si se tiene refuerzo de compresión, el enganchamiento de los estribos alrededor de estas varillas ayudará a impedir el pandeo de las mismas. Los estribos deben ponerse tan cerca de las caras de tracción y compresión como lo permita el recubrimiento y las varillas longitudinales. Lo ideal es que las terminales de los estribos tengan ganchos doblados a 135º o 180º alrededor de las varillas longitudinales, las longitudes de desarrollo se especifican en la sección ACI 7.1 y 12.13. A continuación detallaremos los requisitos de los estribos: Los estribos con dobleces a 90º y extensiones de 6𝑑𝑏 en sus extremos libres puede usarse para varillas de 16 mm y menores, ver figura 4.20.(a). Las pruebas de laboratorio han mostrado que los dobleces a 90º con extensiones a 6𝑑𝑏 no deben usarse en varillas de
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19 mm o mayores, a menos que 𝑓𝑦𝑡 sea ACI 12.13.2.1 de 280 𝑀𝑃𝑎 o menor, porque tienden a Para barras Nº 16 y alambre MD200 y zafarse bajo grandes cargas. menores y para barras Nº 19, Nº 22 y Si 𝑓𝑦𝑡 es mayor que 280 𝑀𝑃𝑎, puede Nº 25 con 𝑓𝑦𝑡 igual a 280 MPa o usarse varillas de 19, 22 y 25 mm con menos, un gancho estándar alrededor dobleces a 90º si las extensiones son de del refuerzo longitudinal 12𝑑𝑏 , ver figura 4.20(b). La razón de esta ACI 12.13.2.2 restricción es que no se puede doblar Para estribos Nº 19, Nº 22 y Nº 25 con estas varillas con resistencias más altas 𝑓𝑦𝑡 mayor que 280 MPa, un gancho de apretadamente alrededor de las varillas estribo estándar abrazando una barra longitudinales. longitudinal más una longitudinal más Los estribos con dobleces a 135º y una longitud embebida entre el punto extensiones de 6𝑑𝑏 puede usarse para medio de la altura del elemento y el varillas de 25 mm y menores, ver figura extremo exterior del gancho igual o 4.20.(c). mayor que 0.17𝑑𝑏 𝑓𝑦 /(𝜆√𝑓´𝑐 ) En el medio la mayoría de los proyectistas utilizan estribos cerrados con ganchos de 5 𝑐𝑚 𝑜 5∅𝑒𝑠𝑡 doblados en ángulos de 135º.
Figura 4.20 – Detalles de estribos
4.8.5) CÁLCULO DE LA MÁXIMA FUERZA DE CORTE MAYORADO, 𝑽𝒖 . Cuando la reacción de una viga causa compresión en el extremo de un miembro en la misma dirección que la fuerza cortante externa, la resistencia por cortante de esa parte del miembro aumenta. Las pruebas en tales miembros de hormigón armado han mostrado que en general, cuando existe una fuerza cortante que varía gradualmente (como en el caso de un miembro uniformemente cargado), la primera grieta ocurre a una distancia d desde la cara del apoyo. Por tanto es permisible, según la sección de la ACI 11.1.3.1, disminuir un poco la fuerza cortante calculada en una distancia d desde la cara del apoyo. Si una carga concentrada se aplica en esta región, tal reducción de la fuerza cortante no se permite. Tales cargas se transmiten directamente
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al apoyo por encima de las grietas de 45º, con el resultado de que no se permite una reducción en la fuerza cortante extrema para propósitos de diseño. Si la reacción tiende a producir tracción en esta zona, no se permite ninguna reducción en el refuerzo cortante, porque las pruebas han mostrado que puede ocurrir un agrietamiento en la cara del apoyo o aun dentro de él. La figura 4.21.(a), 4.21.(b), 4.21.(c) muestran ejemplos de condición de apoyo aplicables a estas tres condiciones, es decir, situaciones donde está permitido considerar como sección crítica a aquella sección que está a una distancia d medida desde la cara del apoyo.
Figura 4.21 – Condiciones típicas del apoyo para localizar la fuerza 𝑉𝑢
Las condiciones en las que no está permitido la reducción de la fuerza cortante y el valor a considerar para el diseño debe ser aquel que se produce en la cara del apoyo, son: Elementos a porticados por un elemento de tracción, ver figura 4.22(a). Elementos cargados cerca de la parte inferior (cargas no aplicadas en o cerca de la cara superior del elemento), ver figura 4.22.(b). Elementos cargados de tal manera que la fuerza de corte presente un cambio abrupto entre la cara del apoyo y la distancia d a partir de la cara de apoyo, ver figura 4.22.(c).
Figura 4.22 – Condiciones de apoyo para localizar la fuerza 𝑽𝒖 en la cara del apoyo
En todos estos casos la sección de corte crítico se debe tomar en la cara del apoyo debido a que las cargas actúan cerca de la cara inferior de la viga.
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4.8.6) RESTRICCIONES PARA VIGAS DE GRAN PERALTE, VOLADIZOS CORTOS Y LAS MÉNSULAS La experimentación ha demostrado que las vigas de hormigón armado de proporciones normales con suficiente refuerzo en el alma, que las fuerzas cortantes no tienen un efecto significativo en la capacidad por flexión de las vigas. Sin embargo, los experimentos con vigas de gran peralte, muestran que las fuerzas cortantes grandes suelen impedir el desarrollo de las capacidades de flexión plenas. Como consecuencia, los requisitos del código ACI318-11 dados en los párrafos precedentes no son aplicables a vigas cuyos claros libres divididos entre su altura sean menores que cuatro o para regiones de vigas que están cargadas con cargas concentradas dentro de una distancia del apoyo igual al doble del peralte del miembro y que están cargadas en una cara y apoyadas en la cara opuesta, está situación permite que se generen puntales de compresión entre las cargas y los apoyos. Para los miembros con puntales de compresión el código en su apéndice A provee un método alterno de diseño, que se llama el diseño de ¨puntal y tirante¨. Si la carga se aplica a través de los lados o la parte inferior de tales miembros, su diseño a corte debe manejarse como en vigas ordinarias. Los miembros que requieren un análisis especial descrito en los párrafos precedentes son las vigas de gran peralte o altura, los voladizos cortos y las ménsulas (las ménsulas son miembros que se proyectan de los lados de las columnas y que se usan para soportar vigas o trabes, ver figura 4.23), los requisitos especiales para el diseño de ménsulas a corte se muestran en las sección de la ACI 11.7.
Figura 4.23 – Ménsula que soporta la reacción de la viga
4.8.7) REQUISITOS PARA VIGUETAS La sección de la ACI 8.13.8 permite una fuerza cortante de 1.1𝑉𝑐 para las costillas de las viguetas de construcción, donde hay vigas T con almas ahusadas con poca separación. Para el incremento de 10% en 𝑉𝑐 , las proporciones de las viguetas deben cumplir los requisitos de la ACI 8.13. En la sección de la ACI 8.13.2 y ACI 8.13.3 se estipula que las costillas no deben ser menores a 100 mm de ancho y tener peraltes mayores de 3.5 veces el ancho mínimo de las costillas, las cuales no deben estar separadas libremente a más de 750 mm. copyright©rcolquea
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4.9) PROCEDIMIENTO DE DISEÑO PARA LA ARMADURA DE CORTE Las separaciones máximas entre los estribos verticales se dieron previamente, pero no se dijo nada acerca de las separaciones mínimas, los estribos deben estar espaciados lo suficiente para permitir el paso del agregado, además deben ser razonablemente pocos para mantener dentro de límites sensatos la mano de obra requerida para fabricarlos y colocarlos. Por lo tanto normalmente se usan separaciones mínimas de 75 o 100 mm. Generalmente se usan estribos Nº 6 para viviendas y Nº 8 o Nº 10 para edificios, para evitar confusiones no deben emplearse en la misma viga estribos del mismo diámetro. Es muy conveniente dibujar el diagrama 𝑉𝑢 y marcarlo cuidadosamente con los valores de elementos tales como ∅𝑉𝑐 , ∅𝑉𝑐 /2 y 𝑉𝑢 a una distancia 𝑑 de la cara del apoyo. Algunos proyectistas colocan el primer estribo a una distancia de la mitad de la separación calculada desde la cara, otros ponen el primer estribo a 50 mm desde la cara del apoyo. Desde un punto de vista práctico, los estribos usualmente se colocan con un espaciamiento centro a centro en múltiplos de 75 o 100 mm, lo respectivo para simplificar el trabajo de campo. La tabla 4.1 presenta un resumen de los pasos requeridos en el diseño de los estribos verticales, para cada paso se indica el número de la sección aplicable al código ACI318-1162. ¿Es necesario el refuerzo por cortante? Problema 4.1 Dibuje el diagrama de 𝑉𝑢 Problema 4.2 Calcule 𝑉𝑢 a una distancia 𝑑 del apoyo (con ciertas excepciones) Problema 4.3 Calcule ∅𝑉𝑐 = 0.17∅𝜆√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑 (o use el método alterno) Problema 4.4 Se necesitan estribos si 𝑉𝑢 > 1/2∅𝑉𝑐 (con algunas excepciones en losas, zapatas, miembros cortos, unidades de núcleo hueco, vigas reforzadas con fibra de acero y viguetas) Diseño de los estribos 1. Calcule la separación teórica entre estribos 𝑠 = 𝐴𝑣 𝑓𝑦 𝑑/𝑉𝑠 donde 𝑉𝑠 = (𝑉𝑢 − ∅𝑉𝑐 )/∅ 2. Determine la separación máxima para proveer un área mínima de refuerzo por cortante 𝑠 =
𝐴𝑣 𝑓𝑦 0.062√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑
ACI 11.1.3.1 y R11.1.3.1 ACI 11.2.1.1 y ACI 11.2.2.1 ACI 11.4.6.1
ACI 11.4.7.2 ACI 11.4.6.3
𝐴𝑣 𝑓𝑦
pero no más que 0.35𝑏
3. Calcule la separación máxima: 2 ≤ 600 𝑚𝑚, si 𝑉𝑠 ≤
𝑤
ACI 11.4.5.1
0.33√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑 𝑑
4. Calcule la separación máxima: 4 ≤ 300 𝑚𝑚, si 𝑉𝑠 >
ACI 11.4.5.3
0.33√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑 5. 𝑉𝑠 no puede ser > 0.66√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑 6. Separación mínima práctica ≈ 75 𝑜 100 𝑚𝑚.
ACI 11.4.7.9
Tabla 4-1 Resumen de los pasos necesarios para los estribos verticales
62
(McCormac C., 2011, pág. 234) copyright©rcolquea
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La tabla 4.2 se utiliza para determinar el área de estribos verticales requerida 𝐴𝑣 o la separación 𝑠 en algunas secciones determinantes a lo largo del elemento, incluyendo las secciones críticas. Área de requerida
𝑉𝑢 ≤ 1/2∅𝑉𝑐 estribos Ninguna
Separación Requerida -------de los estribos,𝑠 Máxima --------
∅𝑉𝑐 ≥ 𝑉𝑢 > 1/2∅𝑉𝑐 𝑏𝑤 𝑠 0.35𝑏𝑤 𝑠 0.062√𝑓´𝑐 ≥ 𝑓𝑦 𝑓𝑦 𝐴𝑣 𝑓𝑦 𝐴𝑣 𝑓𝑦 ≤ 0.062√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 0.35𝑏𝑤 𝑑 ≤ 600 𝑚𝑚 2
𝑉𝑢 > ∅𝑉𝑐 (𝑉𝑢 − ∅𝑉𝑐 )𝑠 ∅𝑓𝑦 𝑑 ∅𝐴𝑣 𝑓𝑦 𝑑 𝑉𝑢 − ∅𝑉𝑐 𝑑 2
≤ 600 𝑚𝑚 para
𝑉𝑠 ≤ 0.33√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑 𝑑 4
≤ 300 𝑚𝑚 para
𝑉𝑠 > 0.33√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑 Tabla 4-2 Requisitos de resistencia a corte
La figura 4.24 se ilustran los requisitos de resistencia a corte:
Figura 4.24 – Requisitos de refuerzo a corte
4.10) SEPARACIÓN ECONÓMICA DE LOS ESTRIBOS Cuando se requieren estribos en un miembro de hormigón armado, el código especifica las 𝑑 separaciones permisibles máximas entre 4 y 𝑑/2. Por otra parte, usualmente se considera que las separaciones de estribos menores de 𝑑/4 no son económicas. Muchos proyectistas usan un 𝑑 𝑑 máximo de tres separaciones diferentes en una viga, estas son 4 , 3 , 𝑑/2. Es posible obtener fácilmente un valor de ∅𝑉𝑠 para cada tamaño y cada tipo de estribos para cada una de estas separaciones.63 𝑑 𝑑 𝑑
Observe que el número de estribos es igual a 𝑑/𝑠 y que si usamos separaciones de 4 , 3 , 2 podemos ver que 𝑛 es igual a 4, 3 o 2, por lo tanto el valor de ∅𝑉𝑠 se puede calcular para cualquier 63
(Neville, 1984, págs. 3-12 y 3-16) copyright©rcolquea
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separación, tamaño y tipo de estribo. Por ejemplo para estribo Nº 8 separados a 𝑑/2 con ∅ = 0.75 y 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎. ∅𝐴𝑣 𝑓𝑦 𝑑 0.75 ∙ 2 ∙ 50.26 ∙ 420 ∙ 𝑑 = = 63327.6 𝑁 𝑠 𝑑/2 Los valores de ∅𝑉𝑠 indicados en la tabla 4.3 se pueden usar para seleccionar la armadura de corte. Observar que los valores de ∅𝑉𝑠 son independientes de las dimensiones del elemento y de la resistencia del hormigón. ∅𝑉𝑠 =
Resistencia al corte, ∅Vs (N) Separación
Estribos en U Nº 6
Estribos en U Nº 8
Estribos en U Nº 10
Grado 280 Grado 420 Grado 280 Grado 420 Grado 280 Grado 420 d/2
23750.44
35625.66
42223.01
63334.51
65973.45
98960.17
d/3
35625.66
53438.49
63334.51
95001.76
98960.17
148440.25
d/4
47500.88
71251.32
84446.01
126669.02
131946.89
197920.34
Tabla 4-3 Resistencia al corte ∅𝑽𝒔 en función del tamaño de barra y la separación
4.10.1) RATIO DE DISEÑO Se define ratio al cociente entre la resistencia requerida por las solicitaciones de las cargas muertas, vivas y ambientales, y la capacidad de resistencia del par interno y; el par interno es la resistencia provista por el hormigón y las varillas de acero. El ratio de diseño debe ser menor que la unidad si es así significa que la viga resiste. Del principio de Hormigón Armado: ∅𝑉𝑛 ≥ 𝑉𝑢 Determinamos: 𝑉𝑢 ∅𝑉𝑛 𝑉𝑢 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 = ∅𝑉𝑐 + ∅𝑉𝑠 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 =
Se presenta tres casos: 𝒓𝒂𝒕𝒊𝒐 ≥ 𝟏 ; 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑓𝑎𝑙𝑙𝑎 𝟎. 𝟗 ≤ 𝒓𝒂𝒕𝒊𝒐 < 𝟏 ; 𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 ó𝑝𝑡𝑖𝑚𝑜 𝒓𝒂𝒕𝒊𝒐 ≤ 𝟎. 𝟗 ; 𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑒𝑐𝑜𝑛ó𝑚𝑖𝑐𝑜 4.11) RESISTENCIA AL CORTANTE DE MIEMBROS SOMETIDOS A FUERZAS AXIALES Los elementos de hormigón armado sometidos a fuerzas cortantes pueden estar al mismo tiempo cargados con fuerzas axiales de compresión o de tracción debido al viento, sismo. Cargas gravitacionales aplicados a miembros horizontales o inclinados. Estas fuerzas pueden afectar la resistencia a corte de los miembros. Las cargas de compresión tienden a impedir que se formen grietas en el miembro, consecuentemente proveen a los miembros de mayores áreas de compresión y por lo tanto de copyright©rcolquea
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mayores resistencias a corte. Cuando existe una compresión axial considerable, puede usarse la siguiente ecuación para calcular la capacidad de carga por cortante de un miembro de hormigón, la respectiva ecuación está definida en ACI 11.2.1.2: 𝑉𝑐 = 0.17 (1 +
𝑁𝑢 ) 𝜆√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑 14𝐴𝑔
Las cargas de tracción tienden a formar más grietas en el miembro, proveen a los miembros menos área de compresión y por lo tanto tienden a reducir la resistencia a corte. Para un miembro sometido a una fuerza de tracción axial considerable, la capacidad por cortante del hormigón puede determinarse con la siguiente expresión, la respectiva ecuación está definida en ACI 11.2.2.3: 𝑉𝑐 = 0.17 (1 +
0.29𝑁𝑢 ) 𝜆√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑 ≥ 0 𝐴𝑔
En la anterior expresión la carga axial 𝑁𝑢 es negativa si la carga es de tracción. Es importante 𝑁 notar que si el valor calculado de 𝐴𝑢 para usarse en esta ecuación es de 3.45𝑀𝑃𝑎 o mayor, el 𝑔
concreto habrá perdido su capacidad para resistir el corte. Para determinar la capacidad resistente de corte para un miembro sometido a una fuerza de compresión considerable se puede utilizar una ecuación alternativa. En esta ecuación puede 𝑉 𝑑 sustituirse un momento revisado, 𝑀𝑚 , en vez de 𝑀𝑢 en la sección considerada y 𝑀𝑢 no debe ser 𝑢
mayor a 1.0. 𝑉𝑢 𝑑 )𝑏 𝑑 𝑀𝑢 𝑤 Las condicionantes posteriores de la anterior ecuación están definidas en ACI 11.2.2.2 Dónde: 4ℎ − 𝑑 𝑀𝑚 = 𝑀𝑢 − 𝑁𝑢 ( ) 8 Sin embargo, 𝑉𝑐 no debe tomarse mayor que: 𝑉𝑐 = (0.16𝜆√𝑓´𝑐 + 17𝜌𝑤
𝑉𝑐 = 0.29𝜆√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑 √1 +
0.29𝑁𝑢 𝐴𝑔
𝑁
La cantidad 𝐴𝑢 debe expresarse en 𝑀𝑃𝑎. Cuando 𝑀𝑚 calculado es negativo, 𝑉𝑐 debe calcularse 𝑔
por medio de la anterior ecuación dada en ACI 11.2.2.3. 4.12) REQUISITOS PARA EL DISEÑO POR CORTANTE EN VIGAS DE GRAN PERALTE También llamadas vigas altas, son secciones que necesitan un análisis más profundo, en estas vigas se introduce el concepto de bielas y tirantes, porque en las vigas de gran altura se produce puntales y tensores y la deformación unitaria debe seguir el modelo no lineal. La sección de la ACI 11.7.1 exige requisitos especiales para el diseño de vigas de gran peralte 𝑙 con valores ℎ𝑛 iguales o menores que cuatro o las regiones de la viga cargadas con cargas copyright©rcolquea
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concentradas dentro de una distancia 2ℎ del apoyo que estén cargados en una cara y soportados sobre la otra, para que puedan desarrollarse puntales de compresión entre las cargas y los soportes, ver figura 4.25.(a). 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑛 ≤ 4→ 𝑣𝑖𝑔𝑎 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑛 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 ℎ Si las cargas se aplican por los lados o por el fondo del miembro (como en el caso en que las vigas se conectan por sus lados o por su parte inferior), como se ilustra en la figura 4.25.(b) y 4.25.(c), debe seguirse las especificaciones normales descritas en los párrafos anteriores de este capítulo, sea el miembro de gran peralte o no.
Figura 4.25 – Casos de vigas de gran peralte
Los ángulos que forman las grietas inclinadas en los miembros a flexión de gran peralte, medidos desde la vertical, son usualmente mucho más pequeños que 45º, en algunas ocasiones son casi verticales, por lo tanto cuando se requiere refuerzo en el alma este tendrá que estar menos separado que en las vigas de peralte normal, además el refuerzo del alma tiene que ser tanto vertical como horizontal. Estas grietas casi verticales indican que las fuerzas principales de tensión son principalmente horizontales, por lo que el refuerzo horizontal es particularmente efectivo para resistirlas. Las disposiciones detalladas por el código ACI318-11 para vigas de gran peralte se detallaran a continuación: ACI 11.7.2: Las vigas altas deben ser diseñadas usando el análisis no lineal como lo permite al ACI 10.7.1 ó bien, el Apéndice A. En todo caso, debe colocarse refuerzo mínimo distribuido de acuerdo con ACI11.7.4. ACI 11.7.3: La resistencia nominal al cortante 𝑉𝑛 para viga de gran peralte no excederá a 0.83√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑. ACI 11.7.4.1: El área del refuerzo por cortante 𝐴𝑣 perpendicular al claro debe igualar 𝑑 al menos a 0.0025𝑏𝑤 𝑠 y 𝑠 no debe ser mayor que 5 𝑜 300 𝑚𝑚; 𝑠 es la separación del refuerzo por cortante o torsión medida en una dirección paralela al refuerzo longitudinal. ACI 11.7.4.2: El área del refuerzo por cortante 𝐴𝑣ℎ paralelo al claro debe igualar al 𝑑 menos a 0.0025𝑏𝑤 𝑠2 y 𝑠2 no debe ser mayor que 5 𝑜 300 𝑚𝑚; 𝑠2 es la separación del refuerzo por cortante medida en una dirección perpendicular al refuerzo longitudinal.
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4.13) EJERCICIOS RESUELTOS Ejemplo 4.1 Seleccionar estribos Nº 10 en forma de O para la viga mostrada en la figura 4.26, para la cual 𝐷 = 58 𝑘𝑁/𝑚 (el peso propio está tomada en cuenta) y 𝐿 = 87 𝑘𝑁/𝑚, el hormigón es de peso normal, 𝑓´𝑐 = 28 𝑀𝑃𝑎 𝑦 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎.
Figura 4.26 – Viga y sección transversal
Datos: 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: 𝑙𝑛 = 6 𝑚, 𝑑 = 600 𝑚𝑚, 𝑏𝑤 = 375 𝑚𝑚, ℎ = 650 𝑚𝑚, ∅𝑒𝑠𝑡 = 10 𝑚𝑚 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑓´𝑐 = 28 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝜆 = 1 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠: 𝐷 = 58
𝑘𝑁 𝑘𝑁 , 𝐿 = 87 , ∅ = 0.75 𝑚 𝑚
Solución: Paso 1: Determinar la fuerza cortante en la cara del apoyo 𝑞𝑢 = 1.2𝐷 + 1.6𝐿 = 1.2 ∙ 58 + 1.6 ∙ 87 = 208.8 𝑘𝑁/𝑚 𝑙𝑛 6 𝑉𝑢 = 𝑞𝑢 = 208.8 ∙ = 624.4 𝑘𝑁 2 2 Paso 2: Determinar la fuerza cortante a una distancia 𝑑 del apoyo (ACI 11.1.3.1 y R 11.1.3.1) Procedimiento 1
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HORMIGÓN ARMADO 𝑙𝑛
𝑉𝑢𝑑 = ( 2
−𝑑 𝑙𝑛 2
6
) 𝑉𝑢 = ( 2
− 600/1000 6
) 624.4 = 501.12 𝑘𝑁
2
Procedimiento 2 𝑉𝑢𝑑 = 𝑉𝑢 − 𝑞𝑢 𝑑 = 624.4 − 208.8 ∙ 600/1000 = 501.12 𝑘𝑁 Paso 3: Determinamos la resistencia útil a corte del hormigón (ACI 11.2.1.1) 600 ∅𝑉𝑐 = 0.17∅𝜆√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑 = 0.17 ∙ 0.75 ∙ 1 ∙ √28 ∙ 375 ∙ = 151.8 𝑘𝑁 1000 Paso 4: Verificar si se necesita estribos (ver figura 4.27) (1/2∅𝑉𝑐 ≤ 𝑉𝑢𝑑 ) → 𝑠𝑒 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑖𝑡𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 (0.5 ∙ 151.8 ≤ 501.12) → (75.9 ≤ 501.12 ) → 𝑠𝑒 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑖𝑡𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 Paso 5: Determinar la separación teórica entre estribos (ACI 11.4.7.2) 𝑉𝑢𝑑 − ∅𝑉𝑐 501.12 − 151.8 𝑉𝑠 = = = 465.76 𝑘𝑁 ∅ 0.75 2𝜋∅2𝑒𝑠𝑡 2 ∙ 𝜋 ∙ 102 𝐴𝑣 = = = 157.08 𝑚𝑚2 4 4 𝐴𝑣 𝑓𝑦 𝑑 157.08 ∙ 420 ∙ 600 𝑠= = = 84.988 𝑚𝑚 𝑉𝑠 465.76 ∙ 1000
Figura 4.27 – Diagrama de fuerzas cortantes
Paso 6: Determinar la separación máxima (ACI 11.4.5.1 y ACI 11.4.5.3) 𝑑/4 𝑉𝑠 > 0.33√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑 → 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛 { 300 𝑚𝑚 600 465.76 > 0.33 ∙ √28 ∙ 375 ∙ 1000 (465.76 > 392.89) → 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛 { 600/4 300 𝑚𝑚 150 𝑚𝑚∎ (465.76 > 392.89) → 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛 { 300 𝑚𝑚
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Paso 7: Determinar la separación provista para el acero provisto 𝑠 84.988 𝑚𝑚∎ 𝑠𝑟𝑒𝑞 = 𝑚𝑖𝑛 {𝑠 = 𝑚𝑖𝑛 { 𝑚𝑎𝑥 150 𝑚𝑚 𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣 = 80 𝑚𝑚 (𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣 < 𝑠𝑟𝑒𝑞 ) → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒! Paso 8: Determinar la separación máxima para proveer un área mínima (ACI 11.4.6.3) 𝐴𝑣 𝑓𝑦 𝐴𝑣 𝑓𝑦 𝑠𝑚𝑎𝑥 = ≤ 0.062√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 0.35𝑏𝑤 𝑠𝑚𝑎𝑥 =
𝑠𝑚𝑎𝑥
157.08 ∙ 420
0.062 ∙ √28 ∙ 375 = 536.25 𝑚𝑚 ≤ 502.66 𝑚𝑚
≤
157.08 ∙ 420 0.35 ∙ 375 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 502.66 𝑚𝑚
Paso 9: Determinar la separación provista para el acero mínimo 𝑠𝑚𝑎𝑥 502.66 𝑚𝑚 𝑠𝑟𝑒𝑞.𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛 { 𝑑/2 = 𝑚𝑖𝑛 { 300 𝑚𝑚∎ 600 𝑚𝑚 600 𝑚𝑚 𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣.𝑚𝑎𝑥 = 300 𝑚𝑚 (𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣.𝑚𝑎𝑥 < 𝑠𝑟𝑒𝑞.𝑚𝑎𝑥 ) → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒! Paso 10: Determinar la resistencia máxima a corte del refuerzo (ACI 11.4.7.9) (𝑉𝑠 ≤ 0.66√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑) → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 600 (465.76 ≤ 785.79) → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 465.76 ≤ 0.66 ∙ √28 ∙ 375 ∙ 1000 Paso 11: Determinar la distribución de los estribos, los estribos se deben distribuir a partir de 50 mm desde la cara de apoyo. Longitud desde la cara del apoyo hasta la mitad de la resistencia útil del hormigón 𝑉𝑢 − 0.5∅𝑉𝑐 𝑙𝑛 624.4 − 75.9 6 𝑥1 = ∙ = ∙ = 2.636 𝑚 𝑉𝑢 2 624.4 2 Longitud desde la cara del apoyo hasta la resistencia del hormigón 𝑉𝑢 − ∅𝑉𝑐 𝑙𝑛 624.4 − 151.8 6 𝑥2 = ∙ = ∙ = 2.273 𝑚 𝑉𝑢 2 624.4 2 Paso 12: Determinar la resistencia provista por el refuerzo ∅𝐴𝑣 𝑓𝑦 𝑑 0.75 ∙ 157.08 ∙ 420 ∙ 600/1000 ∅𝑉𝑠 = = = 371.101 𝑘𝑁 𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣 80 Paso 13: Determinar el ratio de diseño ∅𝑉𝑛 = ∅𝑉𝑐 + ∅𝑉𝑠 = 151.8 + 371.101 = 522.901 𝑘𝑁 𝑉𝑢𝑑 501.12 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 = = = 0.958 0.9 ≤ 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 ≤ 1 → 𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 ó𝑝𝑡𝑖𝑚𝑜 ∅𝑉𝑛 522.901
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Paso 14: Detalle de armado
Figura 4.28 – Detalle de armado
Ejemplo 4.2 La figura 4.29 muestra la sección transversal de una viga T que está simplemente apoyada. La viga soporta una carga muerta uniforme distribuida de servicio (sin factorizar) de 20 kN/m, incluye su peso propio y una carga viva uniforme distribuida de 24 kN/m, diseñar los estribos verticales de la sección T. El hormigón es de peso normal y la resistencia característica es de 25 MPa, la resistencia a fluencia del acero a flexión es de 420 MPa y la resistencia a fluencia de los estribos es de 300 MPa. Use cargas y factores de resistencia de la sección 9.2.1 y 9.3.2.3 del código ACI.
Figura 4.29 – Elevación y sección transversal de la viga
Datos: 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: 𝑏 = 900 𝑚𝑚, 𝑏𝑤 = 300 𝑚𝑚, ℎ𝑓 = 150 𝑚𝑚, 𝑑 = 610 𝑚𝑚, 𝑙 = 10 𝑚 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑓´𝑐 = 25 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦𝑡 = 300 𝑀𝑃𝑎, ∅ = 0.75, 𝜆 = 1 copyright©rcolquea
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𝑘𝑁 , 𝐿 = 24 𝑘𝑁/𝑚 𝑚
Solución: Paso 1: Determinar el diagrama de fuerzas cortante, para el caso 1 𝑞𝑢 = 1.2𝐷 + 1.6𝐿 = 1.2 ∙ 20 + 1.6 ∙ 24 = 62.4 𝑘𝑁/𝑚
Figura 4.30 – Diagrama de fuerzas cortantes para el caso 1
Paso 2: Determinar el diagrama de fuerzas cortante, para el caso 2 𝑞𝑢 = 1.2𝐷 = 1.2 ∙ 20 = 24 𝑘𝑁/𝑚
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Figura 4.31 – Diagrama de fuerzas cortantes para el caso 2
Paso 3: Envolvente de fuerzas cortantes, cortante a una distancia 𝑑 desde la cara
Figura 4.32 – Envolvente de fuerzas cortantes
𝑉𝑢𝑑 = 279.792 𝑘𝑁 copyright©rcolquea
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Paso 4: Determinamos la resistencia útil a corte del hormigón (ACI 11.2.1.1) 610 ∅𝑉𝑐 = 0.17∅𝜆√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑 = 0.17 ∙ 0.75 ∙ 1 ∙ √25 ∙ 300 ∙ = 116.663 𝑘𝑁 1000 Paso 5: Verificar si se necesita estribos (ver figura 4.34) (1/2∅𝑉𝑐 ≤ 𝑉𝑢𝑑 ) → 𝑠𝑒 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑖𝑡𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 (0.5 ∙ 116.663 ≤ 279.792) → (58.33 ≤ 279.792 ) → 𝑠𝑒 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑖𝑡𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 Paso 6: Determinar la separación teórica entre estribos (ACI 11.4.7.2) 𝑉𝑢𝑑 − ∅𝑉𝑐 279.792 − 116.663 𝑉𝑠 = = = 217.506 𝑘𝑁 ∅ 0.75 2𝜋∅2𝑒𝑠𝑡 2 ∙ 𝜋 ∙ 102 𝐴𝑣 = = = 157.08 𝑚𝑚2 4 4 𝐴𝑣 𝑓𝑦 𝑑 157.08 ∙ 420 ∙ 610 𝑠= = = 132.16 𝑚𝑚 𝑉𝑠 217.506 ∙ 1000
Figura 4.33 – Diagrama de fuerzas cortantes
Paso 7: Determinar la separación máxima (ACI 11.4.5.1 y ACI 11.4.5.3) 𝑑/2 𝑉𝑠 ≤ 0.33√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑 → 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛 { 600 𝑚𝑚 610 217.506 ≤ 0.33 ∙ √25 ∙ 300 ∙ 1000 (217.506 ≤ 301.95) → 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛 { 610/2 600 𝑚𝑚 305 𝑚𝑚∎ (217.506 ≤ 301.95) → 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛 { 600 𝑚𝑚 Paso 8: Determinar la separación provista para el acero provisto 𝑠 132.16 𝑚𝑚∎ 𝑠𝑟𝑒𝑞 = 𝑚𝑖𝑛 {𝑠 = 𝑚𝑖𝑛 { 𝑚𝑎𝑥 305 𝑚𝑚 𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣 = 130 𝑚𝑚 (𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣 < 𝑠𝑟𝑒𝑞 ) → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒!
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Paso 9: Determinar la separación máxima para proveer un área mínima (ACI 11.4.6.3) 𝐴𝑣 𝑓𝑦𝑡 𝐴𝑣 𝑓𝑦𝑡 𝑠𝑚𝑎𝑥 = ≤ 0.062√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 0.35𝑏𝑤 𝑠𝑚𝑎𝑥 =
157.08 ∙ 300
≤
157.08 ∙ 300 0.35 ∙ 300
0.062 ∙ √25 ∙ 300 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 506.71 𝑚𝑚 ≤ 448.8 𝑚𝑚 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 448.8 𝑚𝑚
Paso 10: Determinar la separación provista para el acero mínimo 𝑠𝑚𝑎𝑥 448.8 𝑚𝑚 𝑠𝑟𝑒𝑞.𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛 { 𝑑/2 = 𝑚𝑖𝑛 { 305 𝑚𝑚∎ 600 𝑚𝑚 600 𝑚𝑚 𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣.𝑚𝑎𝑥 = 300 𝑚𝑚 (𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣.𝑚𝑎𝑥 < 𝑠𝑟𝑒𝑞.𝑚𝑎𝑥 ) → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒! Paso 11: Determinar la resistencia máxima a corte del refuerzo (ACI 11.4.7.9) (𝑉𝑠 ≤ 0.66√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑) → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 610 217.506 ≤ 0.66 ∙ √25 ∙ 300 ∙ 1000 (217.506 ≤ 603.9) → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 Paso 12: Determinar la distribución de los estribos, los estribos se deben distribuir a partir de 50 mm desde la cara de apoyo. Longitud desde la cara del apoyo hasta la mitad de la resistencia útil del hormigón 𝑉𝑢 − 0.5∅𝑉𝑐 𝑙𝑛 312 − 0.5 ∙ 116.663 10 𝑥1 = ∙ = ∙ = 4.804 𝑚 𝑉𝑢 − 𝑉𝑢(𝑙=5𝑚) 2 312 − 48 2 Longitud desde la cara del apoyo hasta la resistencia del hormigón 𝑉𝑢 − ∅𝑉𝑐 𝑙𝑛 312 − 116.663 10 𝑥2 = ∙ = ∙ = 3.7 𝑚 𝑉𝑢 − 𝑉𝑢(𝑙=5𝑚) 2 312 − 48 2 Paso 13: Determinar la resistencia provista por el refuerzo ∅𝐴𝑣 𝑓𝑦 𝑑 0.75 ∙ 157.08 ∙ 300 ∙ 610/1000 ∅𝑉𝑠 = = = 165.84 𝑘𝑁 𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣 130 Paso 14: Determinar el ratio de diseño ∅𝑉𝑛 = ∅𝑉𝑐 + ∅𝑉𝑠 = 116.633 + 165.84 = 282.502 𝑘𝑁 𝑉𝑢𝑑 279.792 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 = = = 0.99 ∅𝑉𝑛 282.502 0.99 ≤ 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 ≤ 1 → 𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 ó𝑝𝑡𝑖𝑚𝑜
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Paso 15: Detalle de armado
Figura 4.34 – Detalle de armado
Ejemplo 4.3 Seleccionar separaciones para estribos de 10 mm de diámetro en forma de U para una viga T con 𝑏𝑤 = 250 𝑚𝑚, 𝑑 = 500 𝑚𝑚, el diagrama de fuerzas cortantes se muestra en la figura 4.35, la resistencia a fluencia del refuerzo es de 420 𝑀𝑃𝑎 y la resistencia característica del hormigón es de 21 𝑀𝑃𝑎. El hormigón es de peso normal.
Figura 4.35 – Diagrama de fuerzas cortantes
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Datos: 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: 𝑏𝑤 = 250 𝑚𝑚, ℎ = 550 𝑚𝑚, 𝑑 = 500 𝑚𝑚, 𝑙 = 8 𝑚 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑓´𝑐 = 21 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, ∅ = 0.75, 𝜆 = 1 Solución: Paso 1: Envolvente de fuerzas cortantes, cortante a una distancia 𝑑 desde la cara 𝑉𝑢𝑑 = 273.75 𝑘𝑁 Paso 2: Determinamos la resistencia útil a corte del hormigón (ACI 11.2.1.1) 500 ∅𝑉𝑐 = 0.17∅𝜆√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑 = 0.17 ∙ 0.75 ∙ 1 ∙ √21 ∙ 250 ∙ = 73.035 𝑘𝑁 1000 Paso 3: Verificar si se necesita estribos (ver figura 4.36) (1/2∅𝑉𝑐 ≤ 𝑉𝑢𝑑 ) → 𝑠𝑒 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑖𝑡𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 (0.5 ∙ 73.035 ≤ 273.75) → (36.52 ≤ 273.75 ) → 𝑠𝑒 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑖𝑡𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 Paso 4: Determinar la separación teórica entre estribos (ACI 11.4.7.2) 𝑉𝑢𝑑 − ∅𝑉𝑐 273.75 − 73.035 𝑉𝑠 = = = 267.62 𝑘𝑁 ∅ 0.75 𝐴𝑣 𝑓𝑦 𝑑 157.08 ∙ 420 ∙ 500 2𝜋∅2𝑒𝑠𝑡 2 ∙ 𝜋 ∙ 102 𝐴𝑣 = = = 157.08 𝑚𝑚2 𝑠 = = = 123.26 𝑚𝑚 4 4 𝑉𝑠 267.62 ∙ 1000
Figura 4.36 – Diagrama de fuerzas cortantes
Paso 5: Determinar la separación máxima (ACI 11.4.5.1 y ACI 11.4.5.3) 𝑑/4 𝑉𝑠 > 0.33√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑 → 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛 { 300 𝑚𝑚 500 267.62 > 0.33 ∙ √21 ∙ 250 ∙ 1000 (267.62 > 189.03) → 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛 { 500/4 300 𝑚𝑚 125𝑚𝑚∎ (267.62 > 189.03) → 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛 { 300 𝑚𝑚 copyright©rcolquea
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Paso 6: Determinar la separación provista para el acero provisto 𝑠 123.26 𝑚𝑚∎ 𝑠𝑟𝑒𝑞 = 𝑚𝑖𝑛 {𝑠 = 𝑚𝑖𝑛 { 𝑚𝑎𝑥 125 𝑚𝑚 𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣 = 120 𝑚𝑚 (𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣 < 𝑠𝑟𝑒𝑞 ) → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒! Paso 7: Determinar la separación máxima para proveer un área mínima (ACI 11.4.6.3) 𝐴𝑣 𝑓𝑦 𝐴𝑣 𝑓𝑦 𝑠𝑚𝑎𝑥 = ≤ 0.062√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 0.35𝑏𝑤 𝑠𝑚𝑎𝑥 =
𝑠𝑚𝑎𝑥
157.08 ∙ 420
0.062 ∙ √21 ∙ 250 = 928.81 𝑚𝑚 ≤ 753.984 𝑚𝑚
≤
157.08 ∙ 420 0.35 ∙ 250 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 753.984 𝑚𝑚
Paso 8: Determinar la separación provista para el acero mínimo 𝑠𝑚𝑎𝑥 753.984 𝑚𝑚 𝑠𝑟𝑒𝑞.𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛 { 𝑑/2 = 𝑚𝑖𝑛 { 250 𝑚𝑚∎ 600 𝑚𝑚 600 𝑚𝑚 𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣.𝑚𝑎𝑥 = 250 𝑚𝑚 (𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣.𝑚𝑎𝑥 < 𝑠𝑟𝑒𝑞.𝑚𝑎𝑥 ) → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒! Paso 9: Determinar la resistencia máxima a corte del refuerzo (ACI 11.4.7.9) (𝑉𝑠 ≤ 0.66√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑) → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 500 (267.62 ≤ 378.06) → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 267.62 ≤ 0.66 ∙ √21 ∙ 250 ∙ 1000 Paso 10: Determinar la distribución de los estribos, los estribos se deben distribuir a partir de 50 mm desde la cara de apoyo. Longitud desde la cara del apoyo hasta la mitad de la resistencia útil del hormigón 𝑉𝑢(𝑙=2) − 0.5∅𝑉𝑐 105 − 0.5 ∙ 73.035 𝑥1 = 𝑙1 + 𝑙1 ( )=2+2∙( ) = 3.304 𝑚 𝑉𝑢(𝑙=2) 105 Longitud desde la cara del apoyo hasta la resistencia del hormigón 𝑉𝑢(𝑙=2) − ∅𝑉𝑐 105 − 73.035 𝑥2 = 𝑙1 + 𝑙1 ( )=2+2∙( ) = 2.609 𝑚 𝑉𝑢(𝑙=2) 105 Paso 11: Determinar la resistencia provista por el refuerzo ∅𝐴𝑣 𝑓𝑦 𝑑 0.75 ∙ 157.08 ∙ 420 ∙ 500/1000 ∅𝑉𝑠 = = = 206.167 𝑘𝑁 𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣 120 Paso 12: Determinar el ratio de diseño ∅𝑉𝑛 = ∅𝑉𝑐 + ∅𝑉𝑠 = 73.035 + 206.167 = 279.202 𝑘𝑁 𝑉𝑢𝑑 2273.75 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 = = = 0.98 ∅𝑉𝑛 279.202 0.9 ≤ 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 ≤ 1 → 𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 ó𝑝𝑡𝑖𝑚𝑜
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Paso 13: Las separaciones teóricas en puntos diversos en la viga se calculan en la siguiente tabla: Distancia desde la cara
mm 500 1000 2000 2000 4000
∅𝑉𝑐
𝑉𝑢
kN. 73.035 73.035 73.035 73.035 0
𝑉𝑠 =
kN. 273.75 247.5 195 105 0
𝑉𝑢 − ∅𝑉𝑐 ∅
𝑆𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑎 requerida Separación 𝐴 𝑣 𝑓𝑦 𝑑 Separación máxima provista 𝑠= 𝑉𝑠
kN. 267.62 232.62 162.62 42.62 0
mm 123.26 141.81 202.85 773.97 900
mm 125 125 125 250 250
mm 120 120 120 250 250
Tabla 4-4 Separación versus longitud
Paso 14: En la figura 4.37 se muestra un resumen de los resultados de los cálculos precedentes, en donde la línea negra continua representa las separaciones máximas entre estribos permitidas por el código y la línea punteada representa las separaciones teóricas calculadas requeridas.
RESUMEN DE LOS RESULTADOS (Separación/longitud) SEPARACIÓN TEÓRICA REQUERIDA 4000, 900
SEPARACION MÁXIMA PERMITIDA POR EL ACI 2000, 773.97
2000, 202.85 1000, 141.81 500, 123.26 500, 125
0
500
4000, 250
2000, 125
1000, 125
1000
2000, 250
1500
2000
2500
3000
3500
4000
Figura 4.37 – Detalle de armado
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Ejemplo 4.4 Para la sección mostrada en la figura 4.38 en el cual 𝑓´𝑐 = 21 𝑀𝑃𝑎, peso normal (𝜆 = 1): a) Determinar 𝑉𝑐 si ninguna carga axial está presente usando la ecuación alternativa simple. b) Determinar 𝑉𝑐 usando la ecuación alternativa simple si el miembro está sometido a una carga axial de compresión de 53380 𝑁. c) Repetir el inciso b usando la ecuación alternativa revisada del ACI. En la sección considerada, suponga que 𝑀𝑢 = 40670 𝑘𝑁 ∙ 𝑚𝑚 𝑦 𝑉𝑢 = 177.930 𝑘𝑁. Use 𝑀𝑚 en lugar de 𝑀𝑢 . d) Calcular 𝑉𝑐 si la carga de 53380 𝑁 es de tracción
Figura 4.38 – Sección transversal de la viga
Datos: 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: 𝑑 = 575 𝑚𝑚, 𝑏𝑤 = 350 𝑚𝑚, ℎ = 650 𝑚𝑚 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑓´𝑐 = 21 𝑀𝑃𝑎, 𝜆 = 1 Solución: Paso 1: A) Determinar la resistencia del hormigón si no existe carga axial (ACI 11.2.1.1) 575 𝑉𝑐 = 0.17𝜆√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑 = 0.17 ∙ 1 ∙ √21 ∙ 350 ∙ = 156.781𝑘𝑁 1000 Paso 2: B) Determinar la resistencia del hormigón si la carga axial de compresión es de 53380 𝑁 (ACI 11.2.1.2). 𝐴𝑔 = 𝑏𝑤 ℎ = 350 ∙ 650 = 227500 𝑚𝑚2 𝑁𝑢 53380 575 ) 𝜆√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑 = 0.17 ∙ (1 + ) ∙ 1 ∙ √21 ∙ 350 ∙ 14𝐴𝑔 14 ∙ 227500 1000 = 159.409 𝑘𝑁
𝑉𝑐 = 0.17 (1 +
Paso 3: C) Repetir el inciso b usando la ecuación alternativa revisada del ACI (ACI 11.2.2.2) 𝑀𝑢 = 40670 𝑘𝑁 ∙ 𝑚𝑚 𝑦 𝑉𝑢 = 177.930 𝑘𝑁 ∅2𝑙𝑜𝑛𝑔 252 𝐴𝑠 1472.622 𝐴𝑠 = 𝑛𝜋 = 3∙𝜋∙ = 1472.622 𝑚𝑚2 , 𝜌𝑤 = = = 0.007 4 4 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 350 ∙ 575 copyright©rcolquea
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( ) 4ℎ − 𝑑 8 𝑀𝑚 = 𝑀𝑢 − 𝑁𝑢 ( ) = 40670 − 53380 ∙ = 27.158𝑘𝑁 ∙ 𝑚 8 1000 𝑉𝑢 𝑑 177.930 ∙ 0.575 𝑓= ≤1 𝑓= ≤ 1 → 3.77 ≤ 1 𝑀𝑚 27.158 𝑉𝑐 = (0.16𝜆√𝑓´𝑐 + 17𝜌𝑤 𝑓)𝑏𝑤 𝑑 ≤ 0.29𝜆√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑 𝑉𝑐 = (0.16 ∙ 1 ∙ √21 + 17 ∙ 0.007 ∙ 1)350 ∙ 575/1000 ≤ 0.29 ∙ 1 ∙ √21 ∙ 350 ∙ 575/1000 𝑉𝑐 = 172.594 𝑘𝑁 ≤ 267.45 𝑘𝑁 𝑉𝑐 = 172.594 𝑘𝑁 Paso 4: D) Determinar la resistencia del hormigón si la carga de 53380 𝑁 es de tracción (ACI 11.2.2.3) 0.29𝑁𝑢 𝑉𝑐 = 0.17 (1 + ) 𝜆√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑 ≥ 0 𝐴𝑔 𝑉𝑐 = 0.17 (1 +
0.29 ∙ −53380 575 ) ∙ 𝜆 ∙ √21 ∙ 350 ∙ ≥0 227500 1000 𝑉𝑐 = 146.113 𝑘𝑁
Ejemplo 4.5 Un elemento comprimido con estribos de diseño para las condiciones de carga indicadas. Sin embargo, en el diseño original no se consideró el hecho de que bajo una inversión de la dirección de la carga horizontal (viento), la carga axial, debido a los efectos combinados de las cargas gravitatorias y laterales, se transforma en 𝑃𝑢 = 45 𝑘𝑁 y no hay prácticamente ninguna variación de los valores de 𝑀𝑢 𝑦 𝑉𝑢 el hormigón es de peso normal. Verificar los requisitos de armadura de corte para la columna: a) Para las cargas de diseño originales b) Para la carga axial reducida
Figura 4.39 – Sección transversal de la columna
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Datos: 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: 𝑡 = 400 𝑚𝑚, 𝑏𝑤 = 300 𝑚𝑚, 𝑟𝑒𝑐 = 30 𝑚𝑚, 𝑠 = 160 𝑚𝑚 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑓´𝑐 = 28 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦 = 280 𝑀𝑃𝑎, ∅𝑙𝑜𝑛𝑔 = 20 𝑚𝑚, ∅𝑒𝑠𝑡 = 10 𝑚𝑚, ∅ = 0.75, 𝜆 = 1
𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠: 𝑀𝑢 = 120 𝑘𝑁 ∙ 𝑚, 𝑃𝑢 = 720000 𝑁, 𝑉𝑢 = 89 𝑘𝑁 Solución: A. Para las cargas de diseño originales Paso 1: Determinar la resistencia al corte proporcionado por el hormigón (ACI 11.2.1.2) 𝑁𝑢 = 𝑃𝑢 = 720000 𝑁 ∅𝑙𝑜𝑛𝑔 20 𝑑 = 𝑡 − (𝑟𝑒𝑐 + ∅𝑒𝑠𝑡 + ) = 400 − (30 + 10 + ) = 350 𝑚𝑚 2 2 𝐴𝑔 = 𝑡𝑏𝑤 = 400 ∙ 300 = 120000 𝑚𝑚2 𝑁𝑢 ) 𝜆√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑 14𝐴𝑔 720000 350 = 0.75 ∙ 0.17 ∙ (1 + ) ∙ 1 ∙ √28 ∙ 300 ∙ = 101.2 𝑘𝑁 14 ∙ 120000 1000 ∅𝑉𝑐 ≥ 𝑉𝑢 → 101.2 ≥ 89
∅𝑉𝑐 = ∅ ∙ 0.17 (1 +
Paso 2: Verificar si la sección requiere armadura mínima de corte 0.5∅𝑉𝑐 < 𝑉𝑢 < ∅𝑉𝑐 → 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑎 0.5 ∙ 101.2 < 89 < 101.2 → 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑎 50.6 < 89 < 101.2 → 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑎 Paso 3: Determinar la separación máxima para proveer un área mínima (ACI 11.4.6.3) 2𝜋∅2𝑒𝑠𝑡 2 ∙ 𝜋 ∙ 102 𝐴𝑣 = = = 157.08 𝑚𝑚2 4 4 𝐴𝑣 𝑓𝑦 𝐴𝑣 𝑓𝑦 𝑠𝑚𝑎𝑥 = ≤ 0.062√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 0.35𝑏𝑤 𝑠𝑚𝑎𝑥 =
157.08 ∙ 280
≤
157.08 ∙ 280 0.35 ∙ 300
0.062 ∙ √28 ∙ 300 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 446.87 𝑚𝑚 ≤ 418.88 𝑚𝑚 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 418.88 𝑚𝑚
Paso 4: Determinar la separación provista para el acero mínimo 𝑠𝑚𝑎𝑥 418.88 𝑚𝑚 𝑑/2 𝑠𝑟𝑒𝑞.𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛 { = 𝑚𝑖𝑛 { 175 𝑚𝑚∎ 600 𝑚𝑚 600 𝑚𝑚 𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣.𝑚𝑎𝑥 = 175 𝑚𝑚 (𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣.𝑚𝑎𝑥 < 𝑠𝑟𝑒𝑞.𝑚𝑎𝑥 ) → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒!
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Paso 5: Determinar el ratio de diseño ∅𝑉𝑛 = ∅𝑉𝑐 = 101.2 𝑘𝑁 𝑉𝑢 89 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 = = = 0.879 ∅𝑉𝑛 101.2 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 ≤ 0.9 → 𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑒𝑐𝑜𝑛ó𝑚𝑖𝑐𝑜 B. Para la carga axial reducida Paso 6: Determinar la resistencia al corte proporcionado por el hormigón (ACI 11.2.1.2) 𝑁𝑢 = 𝑃𝑢 = 45000 𝑁 𝑁𝑢 ∅𝑉𝑐 = ∅ ∙ 0.17 (1 + ) 𝜆√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑 14𝐴𝑔 45000 350 = 0.75 ∙ 0.17 ∙ (1 + ) ∙ 1 ∙ √28 ∙ 300 ∙ = 72.737 𝑘𝑁 14 ∙ 120000 1000 Paso 7: Verificar si la sección requiere armadura mínima de corte 𝑉𝑢 ≥ ∅𝑉𝑐 → 𝑅𝑒𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑒 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 89 ≥ 72.737 → 𝑅𝑒𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑒 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 Paso 8: Determinar la separación máxima (ACI 11.4.5.1 y ACI 11.4.5.3) 𝑉𝑢 − ∅𝑉𝑐 𝑑/2 ≤ 0.33√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑 → 𝑠𝑚𝑎𝑥 = { 600 ∅ 89 − 72.737 350/2 ≤ 0.33√28 ∙ 300 ∙ 350/1000 → 𝑠𝑚𝑎𝑥 = { 600 0.75 175∎ 21.684 ≤ 183.35 → 𝑠𝑚𝑎𝑥 = { 600 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 175 𝑚𝑚 Paso 9: Determinar la separación provista para el acero mínimo 𝑠 160∎ 𝑠𝑟𝑒𝑞 = 𝑚𝑖𝑛 {𝑠 = 𝑚𝑖𝑛 { 𝑚𝑎𝑥 175 (𝑠 < 𝑠𝑟𝑒𝑞 ) → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒! Paso 10: Determinar el ratio de diseño 2𝜋∅2𝑒𝑠𝑡 2 ∙ 𝜋 ∙ 102 𝐴𝑣 = = = 157.08 𝑚𝑚2 4 4 ∅𝐴𝑣 𝑓𝑦 𝑑 0.75 ∙ 157.08 ∙ 280 ∙ 350/1000 ∅𝑉𝑠 = = = 72.158 𝑘𝑁 𝑠 160 ∅𝑉𝑛 = ∅𝑉𝑐 + ∅𝑉𝑠 = 72.737 𝑘𝑁 + 72.158 𝑘𝑁 = 144.896 𝑘𝑁 𝑉𝑢 89 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 = = = 0.614 ∅𝑉𝑛 144.896 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 ≤ 0.9 → 𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑒𝑐𝑜𝑛ó𝑚𝑖𝑐𝑜
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Ejemplo 4.6 Determinar la separación requerida de los estribos en U verticales para una viga con tracción axial. El momento debido a la carga muerta es de 60 𝑘𝑁 ∙ 𝑚, momento debido a la carga viva es de 45 𝑘𝑁 ∙ 𝑚, cortante debido a la carga muerta es de 57𝑘𝑁, el cortante debido a la carga viva es de 40𝑘𝑁, la fuerza de tracción debido a la carga muerta es de 10𝑘𝑁 y la fuerza de tracción debida a la carga viva es de 65 𝑘𝑁. El hormigón es de agregado liviano y arena, no se específica 𝑓𝑐𝑡 . Datos: 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: ℎ = 450 𝑚𝑚, 𝑑 = 400 𝑚𝑚, 𝑏𝑤 = 250 𝑚𝑚 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑓´𝑐 = 25 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦 = 280 𝑀𝑃𝑎, ∅ = 0.75, 𝜆 = 0.85
𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠: 𝑀𝐷 = 60 𝑘𝑁 ∙ 𝑚, 𝑀𝐿 = 45 𝑘𝑁 ∙ 𝑚, 𝑉𝐷 = 57 𝑘𝑁, 𝑉𝐿 = 40 𝑘𝑁 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛: 𝑁𝐷 = −10 𝑘𝑁, 𝑁𝐿 = −65 𝑘𝑁 Paso 1: Determinamos las cargas mayoradas (ACI 9.2.1) 𝑀𝑢 = 1.2𝑀𝐷 + 1.6𝑀𝐿 = 1.2 ∙ 60 + 1.6 ∙ 45 = 144 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑉𝑢 = 1.2𝑉𝐷 + 1.6𝑉𝐿 = 1.2 ∙ 57 + 1.6 ∙ 40 = 132.4 𝑘𝑁 𝑁𝑢 = 1.2𝑁𝐷 + 1.6𝑁𝐿 = 1.2 ∙ −10 + 1.6 ∙ −65 = −116000 𝑁 Paso 2: Determinar la resistencia del hormigón si la carga de 116000 𝑁 es de tracción (ACI 11.2.2.3) 𝐴𝑔 = ℎ𝑏𝑤 = 450 ∙ 250 = 112500 𝑚𝑚2 0.29𝑁𝑢 ) 𝜆√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑 ≥ 0 𝐴𝑔 0.29 ∙ −116000 400 ∅𝑉𝑐 = 0.75 ∙ 0.17 (1 + ) ∙ 0.85 ∙ √25 ∙ 250 ∙ ≥0 112500 1000 ∅𝑉𝑐 = 37.984 𝑘𝑁 ∅𝑉𝑐 = 0.17 (1 +
Paso 3: Verificar si se necesita estribos (1/2∅𝑉𝑐 ≤ 𝑉𝑢 ) → 𝑠𝑒 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑖𝑡𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 (0.5 ∙ 37.984 ≤ 273.75) → (18.99 ≤ 132.4 ) → 𝑠𝑒 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑖𝑡𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 Paso 4: Determinar la separación teórica entre estribos (ACI 11.4.7.2) 𝑉𝑢 − ∅𝑉𝑐 132.4 − 37.984 𝑉𝑠 = = = 125.89 𝑘𝑁 ∅ 0.75 2𝜋∅2𝑒𝑠𝑡 2 ∙ 𝜋 ∙ 102 𝐴𝑣 = = = 157.08 𝑚𝑚2 4 4 𝐴𝑣 𝑓𝑦 𝑑 157.08 ∙ 280 ∙ 400 𝑠= = = 139.75 𝑚𝑚 𝑉𝑠 125.89 ∙ 1000 Paso 5: Determinar la separación máxima (ACI 11.4.5.1 y ACI 11.4.5.3) 𝑑/2 𝑉𝑠 ≤ 0.33√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑 → 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛 { 600 𝑚𝑚 400 125.89 ≤ 0.33 ∙ √25 ∙ 250 ∙ 1000 copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO (125.89 ≤ 165) → 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛 { 400/2 600 𝑚𝑚 (125.89 ≤ 165) → 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛 {200𝑚𝑚∎ 600 𝑚𝑚
Paso 6: Determinar la separación provista para el acero provisto 𝑠 139.75 𝑚𝑚∎ 𝑠𝑟𝑒𝑞 = 𝑚𝑖𝑛 {𝑠 = 𝑚𝑖𝑛 { 𝑚𝑎𝑥 200 𝑚𝑚 𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣 = 130 𝑚𝑚 (𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣 < 𝑠𝑟𝑒𝑞 ) → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒! Paso 7: Determinar la separación máxima para proveer un área mínima (ACI 11.4.6.3) 𝐴𝑣 𝑓𝑦 𝐴𝑣 𝑓𝑦 𝑠𝑚𝑎𝑥 = ≤ 0.062 ∙ 𝜆 ∙ √𝑓´𝑐 𝑏𝑤 0.35𝑏𝑤 𝑠𝑚𝑎𝑥 =
157.08 ∙ 280
≤
157.08 ∙ 280 0.35 ∙ 250
0.062 ∙ 0.85 ∙ √25 ∙ 250 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 567.51 𝑚𝑚 ≤ 502.66 𝑚𝑚 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 502.66 𝑚𝑚
Paso 8: Determinar la separación provista para el acero mínimo 𝑠𝑚𝑎𝑥 502.66 𝑚𝑚 𝑠𝑟𝑒𝑞.𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛 { 𝑑/2 = 𝑚𝑖𝑛 { 200 𝑚𝑚∎ 600 𝑚𝑚 600 𝑚𝑚 𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣.𝑚𝑎𝑥 = 200 𝑚𝑚 (𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣.𝑚𝑎𝑥 < 𝑠𝑟𝑒𝑞.𝑚𝑎𝑥 ) → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒! Paso 9: Determinar la resistencia máxima a corte del refuerzo (ACI 11.4.7.9) (𝑉𝑠 ≤ 0.66√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑) → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 400 125.89 ≤ 0.66 ∙ √25 ∙ 250 ∙ 1000 (125.89 ≤ 330) → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 Paso 10: Determinar la resistencia provista por el refuerzo ∅𝐴𝑣 𝑓𝑦 𝑑 0.75 ∙ 157.08 ∙ 280 ∙ 400/1000 ∅𝑉𝑠 = = = 101.498 𝑘𝑁 𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣 130 Paso 11: Determinar el ratio de diseño ∅𝑉𝑛 = ∅𝑉𝑐 + ∅𝑉𝑠 = 37.984 + 101.498 = 139.48 𝑘𝑁 𝑉𝑢 132.4 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 = = = 0.95 0.9 ≤ 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 ≤ 1 → 𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 ó𝑝𝑡𝑖𝑚𝑜 ∅𝑉𝑛 139.48
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Ejemplo 4.7 Verificar los requisitos de corte en el entrepiso nervurado uniformemente cargado que se muestra en la figura 4.41 y 4.42. La carga muerta es de 4 𝑘𝑁/𝑚2 (toma en cuenta el peso propio), la carga viva es de 6 𝑘𝑁/𝑚2; además la armadura longitudinal supuesta inferior y superior es de 2∅16 𝑦 ∅ 16𝑐 225 𝑚𝑚 respectivamente.
Figura 4.40 – Losa nervurada
Figura 4.41 – Corte A-A
Datos: 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: 𝑙𝑛 = 6 𝑚, ℎ = 350 𝑚𝑚, ℎ𝑓 = 100 𝑚𝑚, 𝑑 = 302 𝑚𝑚, 𝑏1 = 125 𝑚𝑚, 𝑏2 = 170.5 𝑚𝑚, 𝑠 = 500 𝑚𝑚, 2∅16 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑓´𝑐 = 21 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦 = 280 𝑀𝑃𝑎, ∅ = 0.75, 𝜆 = 1 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠: 𝐷 = 4
𝑘𝑁 𝑘𝑁 ,𝐿 = 7 2 2 𝑚 𝑚
Solución: Paso 1: Determinar la carga última mayorada o factorizada (ACI 9.2.1) 𝑞𝑢 = (1.2𝐷 + 1.6 𝐿) ∙ (𝑠 + 𝑏1 ) = (1.2 ∙ 4 + 1.6 ∙ 7) ∙ (0.5 + 0.125) = 10 𝑘𝑁/𝑚 Paso 2: Determinar el refuerzo de corte mayorado a una distancia 𝑑 del apoyo (ACI 11.1.3.1 y R11.1.3.1) 𝑙𝑛 6 𝑉𝑢 = 𝑞𝑢 − 𝑞𝑢 𝑑 = 10 ∙ − 10 ∙ 0.302 = 26.98 𝑘𝑁 2 2 Paso 3: Determinar la resistencia al corte proporcionado por el hormigón, de acuerdo con la sección de la ACI 8.13.8, 𝑉𝑐 se puede aumentar en un 10%. 𝑏1 + 𝑏2 125 + 170.5 𝑏𝑤 = = = 147.75 𝑚𝑚 2 2 copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO 302 = 28.678 𝑘𝑁 1000 ∅𝑉𝑐 > 𝑉𝑢 → 𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑒 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 28.678 > 26.98 → 𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑒 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒
∅𝑉𝑐 = 1.1 ∙ 0.17∅𝜆√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑 = 1.1 ∙ 0.17 ∙ 0.75 ∙ 1 ∙ √21 ∙ 147.75 ∙
Paso 4: Alternativamente, calcular 𝑉𝑐 usando la ecuación (11-5) Calcular la cuantía de acero de tracción 𝑛𝜋∅2𝑙𝑜𝑛𝑔 2 ∙ 𝜋 ∙ 162 𝐴𝑠 = = = 402.124 𝑚𝑚2 4 4 𝐴𝑠 402.124 𝜌𝑤 = = = 0.011 𝑏1 𝑑 125 ∙ 302 Momento en la cara del apoyo y a una distancia 𝑑 del apoyo 𝑙𝑛2 62 𝑀𝑢 = 𝑞𝑢 = 10 ∙ = 32.727 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 11 11 𝑙𝑛2 𝑑2 𝑙𝑛 𝑑 62 0.3022 6 ∙ 0.302 𝑀𝑢 = 𝑞𝑢 + 𝑞𝑢 − 𝑞𝑢 = 10 + 10 − 10 = 24.123 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 11 2 2 11 2 2 Verificar el factor de momento 26.98 ∙ 0.302 (𝑐 < 1) → ( < 1) → 0.338 < 1 24.123 Reemplazando en la ecuación (11-5) de la ACI 11.2.2.1 𝑉𝑢 𝑑 ∅𝑉𝑐 = 1.1∅ (0.16𝜆√𝑓´𝑐 + 17𝜌𝑤 ) 𝑏 𝑑 ≤ 1.1∅0.29𝜆√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑 𝑀𝑢 𝑤 26.98 ∙ 0.302 ∅𝑉𝑐 = 1.1 ∙ 0.75 ∙ (0.16 ∙ 1 ∙ √21 + 17 ∙ 0.011 ∙ ) 147.75 ∙ 302/1000 24.123 ≤ 1.1 ∙ 0.75 ∙ 0.29 ∙ 1 ∙ √21 ∙ 147.75 ∙ 302/1000 ∅𝑉𝑐 = 29.243 𝑘𝑁 ≤ 48.92 𝑘𝑁 ∅𝑉𝑐 = 29.243 𝑘𝑁 ∅𝑉𝑐 > 𝑉𝑢 → 𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑒 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 29.243 > 26.98 → 𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑒 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 Paso 5: Determinar el ratio de diseño ∅𝑉𝑛 = ∅𝑉𝑐 = 29.243 𝑘𝑁 𝑉𝑢 26.98 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 = = = 0.923 ∅𝑉𝑛 29.243 0.9 ≤ 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 ≤ 1 → 𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 ó𝑝𝑡𝑖𝑚𝑜
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4.14) PROBLEMAS PROPUESTOS Problema 4.5 ¿El código ACI provee los siguientes valores límite para el cortante en miembros sometidos sólo a cortante y flexión: 0.17√𝑓´𝑐 , 0.33√𝑓´𝑐 , 0.66√𝑓´𝑐 . ¿Qué representa cada uno de estos valores límite? Problema 4.6 ¿Defina las regiones D y C? Problema 4.7 ¿Cuál es el método que idealiza un modelo más realista para diseñar las regiones D? Problema 4.8 ¿Por qué el código ACI adopta un factor de reducción de 0.75 y comente sobre el factor λ? Problema 4.9 ¿Por qué limita el código ACI el refuerzo máximo de fluencia de diseño que puede usarse en los cálculos de diseño para el refuerzo por cortante a 420 MPa (sin incluir la malla soldada de alambre)? Problema 4.10 ¿Si 𝑓´𝑐 = 21 𝑀𝑃𝑎, 𝑉𝑢 = 60 𝑘𝑙𝑏 𝑦 𝑏𝑤 = 0.5𝑑, seleccione una sección rectangular de viga sin usar refuerzo en el alma . Use un concreto ligero con arena ? Problema 4.11 Para las vigas y cargas dadas, seleccione la separación entre estribos si 𝑓´𝑐 = 21 𝑀𝑃𝑎 y 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎. Las cargas muertas mostradas incluyen los pesos de las vigas. No considere el movimiento de cargas vivas. Use estribos Nº 10.
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Problema 4.12 Analizar el vano central, si la carga viva es 1.5 veces la carga muerta, determinar estas cargas para que la viga interior de la figura pueda resistir.
𝑘𝑔𝑓
𝑓´𝑐 = 240 𝑐𝑚2 𝑓𝑦 = 4200 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚2 𝑟𝑒𝑐 = 3 𝑐𝑚 ∅𝑒𝑠𝑡 = 8 𝑚𝑚
𝑫 =? , 𝑳 =?
Problema 4.13 Utilizando los coeficientes de la ACI diseñar la viga a flexión y corte.
𝑘𝑔𝑓 𝑐𝑚2 𝑓𝑦 = 4000 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚2 𝑓´𝑐 = 225
𝑟𝑒𝑐 = 2.5 𝑐𝑚
Problema 4.14 La figura muestra el vano interior de una viga continua. El cortante en los bordes del vano es ∓𝑞𝑢 𝑙/2 y el cortante en la mitad del vano es de 𝑞𝑢 𝑙/8 A) Dibuje la envolvente de la fuerza cortante B) Diseñe los estribos usando 𝑓´𝑐 = 18 𝑀𝑃𝑎 𝑦 𝑓𝑦 = 280 𝑀𝑃𝑎
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Problema 4.15 La figura muestra un marco rígido y cargas factorizadas actuando en el marco. La fuerza horizontal de 31 𝑘𝑁 puede actuar desde la izquierda o la derecha. 𝑓´𝑐 = 21 𝑀𝑃𝑎 𝑦 𝑓𝑦 = 280 𝑀𝑃𝑎 A) Diseñe los estribos en la biga B) Se requiere estribos en la columna? Si es así, diseñe los estribos para la columna.
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CAPÍTULO 5: ANÁLISIS Y DISEÑO DE SECCIONES A TORSIÓN 5.1) INTRODUCCIÓN El proyectista hasta hace unas décadas atrás probablemente no se preocupaba por el momento de torsión, pero ahora ya no ocurre la misma situación, ya que la mayoría de las estructuras de hormigón armado están sujetas hasta cierto grado a la torsión. Años atrás los factores de seguridad adoptadas por las normas de diseño para corte y flexión eran elevadas o grandes, que los efectos de torsión podían casi siempre despreciarse, excepto en casos extremos. Actualmente, los factores de seguridad son menores que antes, esto genero miembros de menor tamaño, por lo tanto la torsión se ha vuelto un problema común. En muchas estructuras de concreto se puede apreciar la torsión; como las trabes principales de los puentes, que son torcidas por las vigas transversales y por las losas, las secciones cajón en puentes curvos, como es el caso del puente de Scotland, ver figura 5.1; se presenta en los edificios donde el borde de una losa de piso y sus vigas están soportados por una viga de fachada, las escaleras espirales, en las trabes de terrazas y dónde se aplican ¨excéntricamente¨ grandes cargas a las vigas.
Figura 5.1 – Kylesku bridge, scotland (1984)
Los terremotos pueden producir fuerzas de torsión peligrosos en edificios, especialmente en estructuras asimétricas donde el centro de masa y el centro de rigidez no coinciden. Cuándo un miembro de hormigón simple está sometido a torsión pura, se agrietará y fallará a lo largo de líneas espirales a 45º debido a la tensión diagonal que corresponde a los esfuerzos de torsión, aunque los esfuerzos de tensión diagonal producidos por la torsión son muy similares a los producidos por el cortante, los primeros se presentan en todas las caras del miembro, como resultado, se suman en un lado a los esfuerzos causados por el cortante y se restan en el otro.64 Actualmente se ha tenido más reportes de fallas estructurales atribuidas a torsión, por tal motivo se ha investigado mucho más este fenómeno, mejorando de esta forma la noción del comportamiento de los miembros estructurales sometidos a torsión; el código ACI incluye 64
(White R.N, 1974, págs. 423-424) copyright©rcolquea
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requisitos muy específicos para el diseño de miembros de hormigón armado sometidos a torsión o a torsión combinada con corte y flexión. Se debe tomar en cuenta que las fuerzas de corte y momentos de torsión máxima pueden presentarse en las zonas en que los momentos de flexión son pequeños, en tales casos, puede ser de particular importancia la interacción del cortante con la torsión. 5.2) COMPORTAMIENTO DE SECCIONES A TORSIÓN 5.2.1) COMPORTAMINETO DE VIGAS A TORSIÓN DE HORMIGÓN SIMPLE Según la teoría de la elasticidad y las hipótesis básicas de la teoría de vigas, los esfuerzos de flexión y torsión producen siempre una distorsión de la sección transversal, a este caso se la conoce como torsión uniforme, la distorsión se puede despreciar para secciones llenas, es decir las secciones llenas se las analiza con la teoría de torsión uniforme. Las secciones de paredes delgadas sean las mismas abiertas o cerradas la distorsión no puede ser ignorada, este caso se conoce como torsión no uniforme. En el documento estudiaremos el comportamiento de secciones llenas y huecas con torsión uniforme: 5.2.1.1) TORSIÓN UNIFORME A continuación se deducirá una ecuación correspondiente a torsión uniforme pura en secciones prismáticas, la cual nos llevará a resultados más exactos; para el análisis no se debe tomar en cuenta la hipótesis inicial de la conservación de las secciones planas, experimentalmente se sometió a torsión un prisma de goma de sección cuadrada, se observó que la sección no permanece plana, sino toma un cierto alabeo. 5.2.1.1.1) TORSIÓN PURA EN SECCIONES PRISMÁTICAS Este problema fue resuelto por Saint Venant de forma muy elegante mediante la teoría de la elasticidad. Aquí se verá en su representación diferencial. Si tomamos un cuerpo elástico y lo sujetamos de tal modo que no pueda desplazarse como cuerpo rígido, entonces todo corrimiento en sus puntos será originado solamente por las deformaciones. Consideremos algún punto 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧) del sólido así fijado como se muestra en la figura 5.2, dado que los corrimientos de los diferentes puntos son distintos, las proyecciones de los corrimientos son funciones de las coordenadas del punto: 𝑢 = 𝑓1 (𝑥, 𝑦, 𝑧) { 𝑣 = 𝑓2 (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑤 = 𝑓3 (𝑥, 𝑦, 𝑧)
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Figura 5.2 – Fuerzas internas de una viga simplemente apoyada
Se considera un elemento diferencial sometido a los esfuerzos que se muestran en la figura 5.3, explicamos la convención por medio de un ejemplo: 𝑋𝑧 , la letra fundamental 𝑋 indica la dirección del eje sobre el cual se toma la proyección de la tensión, el subíndice 𝑧 indica la orientación de la normal exterior al elemento que se considera, consecuentemente 𝑋𝑧 se lee: Proyección sobre el eje 𝑥 de la tensión que actúa sobre el área elemental de normal exterior 𝑧.
Figura 5.3 – Tensiones en un elemento diferencial
Desarrollando la ecuación de equilibrio de tensiones en el eje 𝑥: ∑ 𝑋 = 0, despreciando las fuerzas de masa y las oscilaciones elásticas tenemos: 𝜕𝑋𝑦 𝜕𝑋𝑥 𝜕𝑋𝑧 (𝑋𝑥 + 𝑑𝑥) 𝑑𝑦𝑑𝑧 − 𝑋𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧 + (𝑋𝑦 + 𝑑𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑧 − 𝑋𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑧 + (𝑋𝑧 + 𝑑𝑧) 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 − 𝑋𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 0 Simplificando se obtiene: copyright©rcolquea
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De la misma manera desarrollamos ∑ 𝑌 = 0, ∑ 𝑍 = 0: 𝜕𝑌𝑥 𝜕𝑌𝑦 𝜕𝑌𝑧 + + =0 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
𝜕𝑍𝑥 𝜕𝑍𝑦 𝜕𝑍𝑧 + + =0 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
De resistencia de materiales sabemos que: 𝑋𝑧 = 𝑍𝑥 , 𝑌𝑧 = 𝑍𝑦 , 𝑋𝑦 = 𝑌𝑥 . Si tomamos el anterior plano de tensiones, con las mismas convenciones de la figura anterior, el momento torsor que provoca las tensiones en el plano se puede expresar como: 𝑀𝑧 = ∫ (𝑋𝑧 𝑦 − 𝑌𝑧 𝑥)𝑑𝐴 𝐴
Se considera que los ejes coordenados están situados en el centro de corte, ver figura 5.2, se deben a continuación establecer relaciones entre los corrimientos (𝑢, 𝑣, 𝑤) y la distorsión angular en cada uno de los planos elementales, para simplificar Timoshenko propuso las siguientes relaciones: 𝑢 = −𝑦𝜙; 𝑣 = 𝑥𝜙 Dónde 𝜙 es una función cuyo significado se explicará más adelante. Adicionalmente se tienen las distorsiones de las áreas elementales en el plano 𝑥𝑧: 𝛾𝑥𝑧 y en el plano 𝑦𝑧: 𝛾𝑦𝑧 : 𝛾𝑥𝑧 =
𝜕𝑢 𝜕𝑤 + 𝜕𝑧 𝜕𝑥
𝛾𝑦𝑧 =
𝜕𝑣 𝜕𝑤 + 𝜕𝑧 𝜕𝑦
El cambio de los corrimientos 𝑢, 𝑣 con respecto al eje 𝑧 sobre el cual actúa el torsor se obtiene derivando: 𝜕𝑣 𝜕𝜙 =𝑥 = 𝑥𝜙 ´ 𝜕𝑧 𝜕𝑧
𝜕𝑢 𝜕𝜙 = −𝑦 = −𝑦𝜙 ´ 𝜕𝑧 𝜕𝑧
Donde 𝜙 ´ representa el cambio de rotación por unidad de longitud. La ley de Hooke para las distorsiones establece: 𝛾𝑥𝑧 =
𝑋𝑧 𝐺
𝛾𝑦𝑧 =
𝑌𝑧 𝐺
Reemplazando la última y penúltima ecuación en la ecuación de distorsiones, se tiene: 𝑋𝑧 𝜕𝑤 = −𝑦𝜙 ´ + 𝐺 𝜕𝑥
𝑌𝑧 𝜕𝑤 = 𝑥𝜙 ´ + 𝐺 𝜕𝑦
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Derivando la primera ecuación respecto de 𝑦 y la segunda respecto de x y restando se obtiene: 𝜕𝑋𝑧 𝜕𝑌𝑧 − = −2𝐺𝜙 ´ 𝜕𝑦 𝜕𝑥 La última ecuación y la ecuación de 𝑀𝑧 proporcionan una relación entre el torsor externo y los esfuerzos de la sección, pero son dos ecuaciones y tres incógnitas (𝑋𝑧 , 𝑌𝑧 𝑦 𝜙), para resolver se aumentara la función de tensiones de Airy, 𝜓, se propondrá una función 𝜓 que cumpla las siguientes condiciones: 𝜕𝜓 𝜕𝜓 𝑌𝑧 = − 𝜕𝑦 𝜕𝑥 Está función reduce dos variables a una sola, sustituyendo las ecuaciones se obtiene la ecuación de Poisson: 𝑋𝑧 =
𝜕 2𝜓 𝜕 2𝜓 𝑇 ´ + = −2𝐺𝜙 = 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝐺𝐼𝑑
∇2 𝜓 = −2𝐺𝜙 ´
Dónde: 𝑥, 𝑦: 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝐺: 𝑀ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 Reemplazando la ecuación que depende de la función de Airy en 𝑀𝑧 tenemos: 𝑀𝑧 = ∫ ( 𝐴
𝜕𝜓 𝜕𝜓 𝑦+ 𝑥) 𝑑𝐴 𝜕𝑦 𝜕𝑥
Aplicando el teorema de Green, la ecuación se transforma en: 𝑀𝑧 = 2 ∬ 𝜓𝑑𝑥𝑑𝑦 Significa que el torsor aplicado es igual a dos veces el área bajo la función 𝜓. En vez de resolver la ecuación de Poisson en forma cerrada se puede resolver por analogía con una membrana, la ecuación de Poisson también se usa para caracterizar el campo de desplazamientos de una membrana delgada sometida a presión. Esta analogía fue propuesta por Prandtl, la técnica consiste en considerar la deformación hipotética de una membrana delgada que está cubriendo una sección transversal igual a la que resiste el momento torsor 𝑀𝑧 . En vez someterla a torsión, se somete a la membrana a una presión externa 𝑞 que se aplica debajo de ella. El equilibrio de esta membrana esta expresado por una ecuación idéntica a la ecuación de Poisson, pero en este caso, la función 𝜓 representa el desplazamiento vertical de la membrana. La ecuación diferencial para la superficie de la membrana es: 𝜕 2𝑧 𝜕 2𝑧 𝑞 + 2=− 2 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑆 Dónde: 𝑧: 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑚𝑏𝑟𝑎𝑛𝑎 copyright©rcolquea
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𝑥, 𝑦: 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑚𝑏𝑟𝑎𝑛𝑎 𝑞: 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑚𝑏𝑟𝑎𝑛𝑎 𝑆: 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑
Figura 5.4 – Membrana inflada sobre una sección sólida
De la anterior ecuación se ve también que: 𝑞 = −2𝐺𝜙 ´ 𝑆 𝑧=𝜓 Sin embargo, nos interesa hallar las tensiones de la sección, se presenta de acuerdo a la analogía de Prandtl. Tracemos por un punto arbitrario A de la sección de la figura 5.5 un contorno cerrado cualquiera BC, la tangente AT y la normal interior 𝐴 𝑣 al contorno. Las fuerzas axiales en un punto, siguen la dirección de la tangente de la membrana deformada en ese punto, con eso en mente, podemos partir de las componentes en dirección del eje 𝑥 y 𝑦, 𝑋𝑧 y 𝑌𝑧 respectivamente, y hallar una expresión de la tensión tangencial total 𝑡. La proyección de la tensión total 𝑡 en dicho punto, sobre la tangente 𝐴𝑇, será: −
𝑡 (𝑇) = 𝑋𝑧 cos(𝑥𝑇) + 𝑌𝑧 cos(𝑦𝑇)
Figura 5.5 – Tensión tangencial en un contorno cerrado
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Dónde 𝑥𝑇 es el ángulo que forma el eje 𝑥 con 𝑇 cuyo coseno es igual a 𝑦𝑣 que es el ángulo que forma 𝑦 con 𝑣, de la misma manera para 𝑦𝑇 y 𝑦𝑣: cos(𝑥𝑇) = + cos(𝑦𝑣)
cos(𝑦𝑇) = −cos(𝑥𝑣)
Reemplazando variables en 𝑡 (𝑇) : 𝜕𝜓 𝜕𝜓 𝜕𝜓 𝑡 (𝑇) = cos(𝑥𝑣) + cos(𝑦𝑣) 𝑡 (𝑇) = 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑣 Esta es la propiedad generalizada de la función de tensiones de Airy, la proyección de la tensión total sobre una dirección cualquiera 𝑇 es igual a la derivada de la función 𝜓 respecto de la normal 𝑣 en esa dirección. Consideremos ahora la superficie de la membrana deformada y secciones por una serie de planos a intervalos iguales paralelas al contorno, ver figura 5.6. La fórmula anterior muestra también que el valor de la tensión tangencial total es igual a la derivada de la función 𝜓 en el punto dado: 𝜕𝜓 𝑡= = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝜓 𝜕𝑣
Figura 5.6 – Curvas de nivel de una membrana
Para resolver la ecuación se analizará un elemento plano y rectangular como la figura 5.7, teniendo una placa rectangular como la que se muestra en la figura, no necesitaremos las dimensiones en el eje axial 𝑧 ya que sólo se realizara el análisis en el plano. La membrana con presión se la aplica sobre la superficie del plano 𝑥𝑦 achurada. De acuerdo al diagrama de cuerpo libre, la membrana solo presentará fuerzas axiales, esto permite despreciar los efectos en las extremidades de la membrana.
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Figura 5.7 – Elementos rectangulares sometidos a torsión
El desplazamiento 𝑧 también se muestra en la figura 5.8 y se asume una distribución parabólica con 𝑍𝑜 en su punto máximo, por lo tanto, la forma del campo de desplazamientos puede ser aproximada por la parábola 𝑧 = 𝐴𝑦 2 donde el coeficiente 𝐴 es constante y depende de las 𝛿 condiciones de borde, si el ancho de la placa es 𝑒 se tendrá el máximo 𝑍𝑜 cuando 𝑦 = 2, de esta manera: 𝛿2 𝑍𝑜 𝑍𝑜 = 𝐴 → 𝐴 = 4 2 4 𝛿 El desplazamiento en el plano 𝑦𝑧 de la membrana será: 𝑍𝑜 𝑧 = 4 2 𝑦2 𝛿 Derivando el desplazamiento respecto de 𝑦: 𝜕𝑧 𝑍𝑜 = 8 2𝑦 𝜕𝑦 𝛿 Que varía linealmente dado que la función es de segundo orden, entonces el esfuerzo 𝑋𝑧 que es la pendiente de la membrana será: 𝑍𝑜 𝑋𝑧 = 𝜏 = 8 2 𝑦 𝛿 𝛿
Y el esfuerzo de cizallamiento máximo será cuando 𝑦 = 2: 𝜏𝑚𝑎𝑥 = 4
𝑍𝑜 𝛿
Figura 5.8 – Diagrama de cuerpo libre de una membrana con presión
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El flujo de corte puede ahora ser visualizado dado que las características de la pendiente de la membrana son conocidas. De acuerdo a la figura 5.8, la altura o 𝑍𝑜 puede ser obtenida utilizando la analogía entre la torsión aplicada externamente y el volumen debajo de la membrana. El 2 volumen bajo la membrana es 𝑉 = 3 𝛿𝑍𝑜 𝐿, por tanto sustituyendo y reordenando términos da: 3 𝑀𝑧 4 𝛿𝐿 “La disposición de tensiones es análoga a la pendiente de la membrana” 𝑍𝑜 =
5.2.1.2) TORSIÓN UNIFORME EN SECCIONES CERRADAS DE PAREDES DELGADAS Los resultados hallados anteriormente pueden aplicarse también a secciones cerradas, el hecho de que la sección sea de paredes delgadas implica que la tensión de cizallamiento a través del espesor de la sección puede ser asumida como constante, el error ha sido cuantificado por Vlassov y es menos del 10%. En la figura 5.9 se describe a una sección cerrada de paredes delgadas sobre la cual se aplica un momento de torsión, se sabe de los desarrollos anteriores que las tensiones de cizallamiento están directamente relacionados con las pendientes de la membrana, por tanto, la pendiente de la membrana dentro del espesor permanece constante y está dentro del agujero, es cero dado que no hay esfuerzos de corte.
Figura 5.9 – Sección cerrada de paredes delgadas
Usando la analogía de la membrana: copyright©rcolquea
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𝑍𝑜 → 𝑍𝑜 = 𝜏𝛿 𝛿 Para que se mantenga el equilibrio, el momento de torsión externo 𝑇𝑢 = 𝑀𝑧 se debe equilibrar con los momentos causados por el flujo de corte, siendo 𝑟 el brazo y 𝑠 la coordenada curvilínea, recordando además las relaciones básicas. 1 𝑑𝐴𝑜 = 𝑟𝑑𝑠 → 2𝑑𝐴𝑜 = 𝑟𝑑𝑠 2 Dónde 𝐴𝑜 es el área encerrada por la línea media Γ se tiene: 𝜏=
𝑀𝑧 = 𝑇 = ∮ 𝜏 ⋅ 𝛿 ∙ 𝑟 ∙ 𝑑𝑠 = ∮ 2 ∙ 𝜏 ∙ 𝛿 ∙ 𝑑𝐴𝑜 = 2𝜏 ∙ 𝛿 ∙ 𝐴𝑜 Despejando y presentando: 𝑇 2𝐴𝑜 Que es la conocida ecuación de Brendt, que usamos en los cálculos de torsión en Hormigón Armado. 𝜏∙𝛿 =
𝜏 ∙ 𝛿: 𝑓𝑙𝑢 𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙, 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑒𝑛 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛.
El diseño para torsión está basada en la anterior ecuación que es una consecuencia basada en la analogía de una cercha espacial para un tubo de pared delgada, según el investigador Hsu 65 una viga sometida a torsión se idealiza como un tubo de pared delgada en el que se desprecia el núcleo de concreto de la sección transversal de la viga sólida. 5.2.2) COMPORTAMIENTO DE VIGAS A TORSIÓN DE HORMIGÓN ARMADO 5.2.2.1) TORSIÓN PURA Cuándo un elemento de hormigón armado es cargado a torsión pura, esfuerzos cortantes y los esfuerzos principales se desarrollan tal como se muestra en la figura 5.10(a) y (b). Una o más fisuras inclinadas se desarrollan cuando el máximo esfuerzo principal de tracción alcanza la resistencia a tracción del hormigón, ver figura 5.10(c). La capacidad de resistencia a torsión está dada por los estribos y aceros longitudinales, no se toma en cuenta la resistencia a torsión del hormigón, lo mencionado es la diferencia más importante en comparación del diseño a corte. Además la adición de acero longitudinal sin estribos tiene poco efecto en la resistencia de una viga cargada a torsión pura.
65
(Hsu, 1968) copyright©rcolquea
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Figura 5.10 – Esfuerzos principales y fisuras debido a torsión pura
Una viga rectangular con aceros longitudinales y estribos cerrados puede resistir el incremento de carga después de que las fisuras se generen, la resistencia última o capacidad resistente será la misma en vigas macizas y huecas si y solo si tengan la misma cantidad de refuerzo, lo cual indica que la resistencia de un elemento de hormigón armado fisurado cargado a torsión pura está gobernado por la superficie exterior o tubo de hormigón que contiene el refuerzo. En la figura 5.11 se presenta el diagrama de la torsión en función del ángulo de torsión, claramente se puede observar que si el ángulo de torsión crece entonces la sección llegara a una zona de propagación inestable de fisuras. En la figura se presenta los puntos A, B y C, consecuentemente se dividen en tres zonas que se describen a continuación:66
66
(G. MacGregor, 2012, pág. 323) copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO TORSIÓN/ÁNGULO DE FISURACIÓN 300
SECCIÓN NO AGRIETADA
Torsión, T (in-kips)
250
C
200
A 150
B SECCIÓN AGRIETADA
100 50 0 0
0.02
0.04 0.06 Ángulo de torsión, θ (deg/in)
0.08
0.1
Figura 5.11 – Curva de torsión para viga rectangular
PUNTO A: Es el límite de rango elástico, a la primera fisura que se genera entonces el comportamiento deja de ser elástico. ZONA A-B: Empieza a presentarse las fisuras, la propagación de fisuras es estable, estamos en la zona del meso nivel, la figura 5.12 muestra la sección en la zona A-B.
Figura 5.12 – Propagación estable de fisuras
PUNTO B: la resistencia es tomada por el acero longitudinal y transversal. PUNTO C: se presenta la falla por la propagación inestable de fisuras, ver figura 5.13. copyright©rcolquea
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Figura 5.13 – Propagación inestable de fisuras
5.2.2.2) COMBINACIÓN DE TORSIÓN, FLEXIÓN Y CORTE Raras veces la torsión se presenta sola, generalmente es acompañada de momentos flectores y fuerzas cortantes, tal como se muestra en la figura 5.14, resultados de ensayos de vigas sin estribos, cargados con varias relaciones de torsión y corte muestra que la envolvente de estos datos tiene forma de la cuarta parte de una elipse, la cual se expresa por: 𝑇𝑐 2 𝑉𝑐 2 ( ) +( ) =1 𝑇𝑐𝑢 𝑉𝑐𝑢 Dónde, 𝑇𝑐𝑢 = 1.6√𝑓´𝑐 𝑥 2 𝑦 y 𝑉𝑐𝑢 = 2.68√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑 (𝑓´𝑐 𝑒𝑛 𝑝𝑠𝑖). Estas vigas fallan poco después de las fisuras inclinadas.67
67
(G. MacGregor, 2012, pág. 325) copyright©rcolquea
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Figura 5.14 – Esfuerzo de corte y fisuras debido a torsión combinada
5.3) TIPOS DE REFUERZO La adición de refuerzo torsional no cambia la magnitud de torsión que generará grietas de tensión diagonal, pero impide que los miembros se rompan en pedazos. Como resultado, serán capaces de resistir momentos de torsión considerables sin fallar. Los estribos normales tipo U no son satisfactorios, deben cerrarse soldando sus extremos para formar un lazo continuo, como se ilustra en la figura 5.15 (a), o bién doblando sus extremos alrededor de una varilla longitudinal, como se muestra en la figura 5.15 (b). Hace años atrás era común usar estribos en forma de U traslapados, dispuestos como se muestra en la figura 5.16, pero tal arreglo no resulta satisfactorio. El comentario R11.5.4.1 del ACI, dice que los miembros sometidos principalmente a torsión, pierden su recubrimiento lateral de hormigón por desconchado bajo fuertes pares torsionales, si esto ocurre, los estribos U traslapados de la figura 5.16 no serán efectivos y se tendrá una falla prematura por torsión.
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Figura 5.15 –Estribos cerrados (éstos son frecuentemente imprácticos)
Figura 5.16 – Estribos U traslapados que se usan como refuerzo por torsión, pero que no son satisfactorios
Un tipo de refuerzo por torsión mucho mejor consiste en estribos U, cada uno anclado adecuadamente a una varilla superior, como los mostrados en la figura 5.17. Las pruebas han demostrado que el uso de estribos de torsión con gancho a 90º conduce al desconchamiento del hormigón del lado de los ganchos. El uso de ganchos a 135º, tanto en los estribos U como en las varillas superiores, es muy útil para reducir esta avería. Cuando deben usarse vigas de almas anchas (digamos mayores a 600 mm), suelen emplearse estribos de ramas múltiples. En tales casos, las ramas exteriores de los estribos se deben diseñar por cortante y torsión, mientras que las ramas interiores se diseñan sólo por cortante vertical.
Figura 5.17 – Sin hormigón de confinamiento en ninguno de los dos lados, ganchos a 135º necesarios en ambos extremos de la varilla superior.
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Figura 5.18 – Confinamiento lateral proporcionado por la losa en el lado derecho, gancho a 90º permitido en ese lado para la varilla superior.
Figura 5.19 – Confinamiento lateral proporcionado en ambos lados por la losa de hormigón, ganchos a 90º permitidos en ambos extremos de la varilla superior.
5.4) ANALOGÍA DE LA CERCHA ESPACIAL Como ya se mencionó, los esfuerzos de torsión se suman a los esfuerzos cortantes en un lado de un miembro y se restan en el otro lado. Esta situación en una viga hueca esta ilustrada en la figura 5.20(a). Los esfuerzos de torsión son bastante pequeños cerca del centro de una viga sólida. Debido a esto se supone que las vigas huecas (suponiendo que los espesores de pared cumplen ciertos requisitos del ACI) tienen casi exactamente las mismas resistencias por torsión que las vigas sólidas con las mismas dimensiones exteriores. En las secciones sólidas y huecas, los esfuerzos cortantes debido a la torsión 𝑇𝑢 están concentrados en un “tubo” exterior del miembro, mientras que los esfuerzos cortantes debidos a 𝑉𝑢 eran repartidos a través del ancho de la sección sólida en una sección sólida, y en un tubo exterior del miembro en secciones huecas, como se muestra en la figura 5.20(a) y 5.20(b). En consecuencia, los dos tipos de esfuerzos cortantes (debido a la fuerza cortante y a la torsión) se combinan usando una expresión de raíz cuadrada.
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Figura 5.20 – Esfuerzos de torsión y cortantes en una viga hueca y sólida
Después del agrietamiento, se supone que la resistencia por torsión del hormigón es despreciable. Las grietas por torsión tienden a describir espirales alrededor de los miembros huecos o sólidos, localizados aproximadamente en ángulos de 45º con respecto a los bordes longitudinales de esos miembros. Se supone que la torsión es resistida por una armadura espacial imaginaria situada en el “tubo” exterior de hormigón del miembro, una armadura de la analogía de una cercha espacial se muestra en la figura 5.21. El acero longitudinal en las esquinas del miembro y los estribos transversales cerrados actúan como miembros a tensión en la “armadura”, mientras que el concreto diagonal entre los estribos actúa como puntal a compresión. El hormigón agrietado es aun capaz de tomar esfuerzos de compresión. En conclusión el modelo de diseño utilizado para explicar la resistencia de elementos de hormigón armado a momento de torsión, utilizada por el código ACI3318-1168 es la analogía de una cercha espacial en un tubo de pared delgada. En la analogía del tubo de pared delgada se asume que la resistencia por el flujo de corte alrededor del perímetro de la sección transversal, centrada aproximadamente en los estribos cerrados, tal como se muestra en la figura 5.21(a). En un tubo cerrado de pared delgada, el flujo de cortante es, 𝑞 = 𝜏 ∙ 𝑡, donde 𝑡 es el espesor de la pared delgada. El flujo de cortante 𝑞 debido a torsión actúa según se muestra en la figura 5.21(a) y es constante en todos los puntos alrededor del perímetro. La trayectoria está a lo largo de la mitad del espesor de la pared. En cualquier punto a lo largo del perímetro del tubo, el 𝑇 esfuerzo cortante debido a torsión es 𝜏 = 2∙𝐴 𝑡, ecuación que se ha deducido en secciones 𝑜
anteriores. Una vez que la viga de hormigón armado se ha agrietado debido a torsión, el tubo es idealizado como cercha espacial hueca formada por estribos cerrados, barras longitudinales en las esquinas y diagonales de compresión en el hormigón, las mismas aproximadamente siguen la trayectoria del eje longitudinal de los estribos, las cuales se muestran en la figura 5.21(b). 68
(American Concrete Institute, 2011) copyright©rcolquea
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Figura 5.21 – Analogía del tubo de pared delgada y armadura espacial imaginaria
5.5) TORSIÓN CRÍTICA Se deducirá la torsión crítica o torsión de agrietamiento, es esencial entender la torsión de agrietamiento porque se aplica en estructuras de compatibilidad, donde la torsión respectiva es la torsión de diseño, el caso se presenta en sistemas de entrepiso, específicamente en vigas de borde con vaciado monolítico.69 El refuerzo por torsión no es necesario cuando no existen fisuras por torsión, el esfuerzo principal de tracción 𝜎1 , es igual al esfuerzo de corte 𝜏, tal como lo muestra la figura 5.21. En la sección de torsión uniforme se ha deducido la siguiente ecuación: 𝑇 𝜏𝑡 = 2𝐴𝑜 Expresando en función de flujo de corte se tiene: 𝑇 𝑞= 2𝐴𝑜 El esfuerzo unitario que actúa dentro de las paredes del tubo es: 69
(G. MacGregor, 2012) copyright©rcolquea
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𝑞 𝑡
Consecuentemente: 𝑇 2𝐴𝑜 𝑡 Para poder aplicar a una sección sólida solo es necesario definir en función del tubo equivalente, el área 𝐴𝑜 representa el área encerrada por el flujo de corte y debe ser una fracción del área encerrada por el perímetro exterior de la sección transversal de hormigón 𝐴𝑐𝑝 . El área 𝐴𝑜 es: 𝜏=
𝐴𝑜 = 𝑥𝑜 𝑦𝑜 𝐴𝑜 : Á𝑟𝑒𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑙í𝑛𝑒𝑎 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑢𝑏𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑 𝑑𝑒𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎. Expresando en función de la base, altura y espesor de la pared delgada: 𝑡 𝑡 𝐴𝑜 = (𝑏 − 2 ) (ℎ − 2 ) 2 2 Simplificando: 𝐴𝑜 = (𝑏 − 𝑡)(ℎ − 𝑡) El valor de 𝑡 puede ser aproximado como una fracción de la relación
𝐴𝑐𝑝 𝑃𝑐𝑝
, dónde:
𝐴𝑜 : Á𝑟𝑒𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑙í𝑛𝑒𝑎 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑢𝑏𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑 𝑑𝑒𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎. 𝐴𝑐𝑝 : á𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜 𝑃𝑐𝑝 : 𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜 Para elementos sólidos de secciones transversales rectangulares, el valor de 𝑡 es 1 1 aproximadamente de 6 𝑎 4 de la menor dimensión: 𝑡=
1 𝑏 4
𝑝𝑎𝑟𝑎
𝑏 = 1/2 ℎ
Reemplazando: 1 1 1 1 ℎ 𝐴𝑜 = (𝑏 − 𝑏) (ℎ − 𝑏) → 𝐴𝑜 = (𝑏 − 𝑏) (ℎ − ∙ ) 4 4 4 4 2 3 7 21 𝐴𝑜 = ( 𝑏) ( ℎ) → 𝐴𝑜 = 𝑏ℎ 4 8 32 Reemplazando 𝐴𝑐𝑝 = 𝑏ℎ, se obtiene: 21 𝐴𝑜 = 𝐴 32 𝑐𝑝 Mejorando el cociente multiplicador se obtiene el área antes del agrietamiento: 2 𝐴𝑜 = 𝐴𝑐𝑝 3 El espesor de la pared antes del agrietamiento se aproxima a: 3 𝐴𝑐𝑝 𝑡= 4 𝑃𝑐𝑝 copyright©rcolquea
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Sustituyendo en la ecuación fundamental: 𝑇𝑃𝑐𝑝 𝑇 𝑇 𝜏= →𝜏= 2 → 𝜏 = 𝐴 2 3 𝑐𝑝 2𝐴𝑜 𝑡 𝐴𝑐𝑝 2 𝐴 3
𝑐𝑝 4 𝑃 𝑐𝑝
Se supone que el agrietamiento torsional ocurrirá cuando el esfuerzo principal de tracción alcance la resistencia por tracción del hormigón en compresión-tracción biaxial. Este valor de agrietamiento se toma igual a 0.33𝜆√𝑓′𝑐 , es decir: 𝜎 = 𝜏 = 0.33𝜆√𝑓′𝑐 Reemplazando: 0.33𝜆√𝑓′𝑐 =
𝑇𝑃𝑐𝑝 𝐴2𝑐𝑝 √ → 𝜙𝑇 = 𝜙0.33𝜆 𝑓′ ( ) 𝑐𝑟 𝑐 𝐴2𝑐𝑝 𝑃𝑐𝑝
La última expresión es la torsión crítica o de agrietamiento real o minorada 5.6) CUÁNDO SE REQUIERE REFUERZO DE TORSIÓN SEGÚN EL ACI Una vez que ocurre el agrietamiento, se supone que el hormigón tiene una resistencia despreciable a la torsión (éste no es el caso en el diseño por cortante, donde se supone que el hormigón toma la misma cantidad de cortante antes de agrietarse). El artículo ACI 11.5.1.1 para elementos aislados con alas y para elementos construidos monolíticamente con una losa, el ancho sobresaliente del ala utilizado para calcular 𝐴𝑐𝑝 y 𝑃𝑐𝑝 debe cumplir con ACI 13.2.4, excepto que las alas puedan descontarse cuando 𝐴2𝑐𝑝 /𝑃𝑐𝑝 calculado para una viga con alas es menor al calculado para la misma viga ignorando las alas. La figura 5.22 muestra una viga L monolítica dónde el ancho sobresaliente de las alas debe ser menor o igual a cuatro veces el espesor del ala.
Figura 5.22 – Parte del ala sobresaliente efectivo para torsión
Para miembros aislados con patines o sin ellos, 𝐴𝑐𝑝 es igual al área de las secciones transversales completas (incluida el área de abertura en los miembros huecos) y 𝑃𝑐𝑝 representa los perímetros de las secciones transversales completas.
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Si los esfuerzos de torsión son menores que aproximadamente un cuarto del par de agrietamiento 𝑇𝑐𝑟 de un miembro, no reducirán apreciablemente sus resistencias por cortante o flexión. Se supone que el agrietamiento por torsión ocurre cuando el esfuerzo principal de tracción alcanza el valor de 0.33𝜆√𝑓′𝑐 . La sección ACI 11.5.1, se establece que los efectos de torsión pueden despreciarse en miembros no pre esforzados si: 𝐴2𝑐𝑝 1 𝑇𝑢 < 𝑇𝑐𝑟 → 𝑇𝑢 < 𝜙0.083𝜆 √𝑓′𝑐 ( ) 4 𝑃𝑐𝑝 La sección ACI 11.5.1 también establece que se permite despreciar los efectos de la torsión para elementos no pre esforzado que están sometidos a tracción axial o fuerzas de compresión: 𝐴2𝑐𝑝 𝑁𝑢 𝑇𝑢 < 𝜙0.083𝜆√𝑓′𝑐 ( ) √1 + 𝑃𝑐𝑝 0.33𝐴𝑔 𝜆√𝑓´𝑐 Cuando se tiene una torsión considerable, puede resultar más económico seleccionar una viga de mayor sección, de manera que no tenga que usarse un refuerzo de torsión. Una viga así puede resultar más económica que una menor con los estribos cerrados y el acero longitudinal adicional requerido en el diseño por torsión. En otras ocasiones, tal procedimiento puede no ser económico y algunas veces las consideraciones arquitectónicas pueden dictar el uso de secciones menores. 5.7) TIPOS DE MOMENTOS TORSIONALES En la materia de análisis estructural se aprendió que si una parte de una estructura estáticamente indeterminada “cede” cuando se aplica una fuerza particular en esa parte, la magnitud de la fuerza que esa parte tendrá que resistir se reducirá apreciablemente. Por ejemplo: si tres hombres cargan un tronco sobre sus hombros (situación estáticamente indeterminada) y uno de ellos baja un poco su hombro bajo la carga, ocurrirá una importante redistribución de las fuerzas internas en la “estructura” y este hombre tendrá que soportar una carga mucho menor. Por otra parte, si dos hombres cargan un tronco sobre sus hombros (situación estáticamente determinada) y uno de ellos baja ligeramente su hombro, no habrá ningún cambio o casi ninguno en la distribución de fuerzas en la estructura. En las estructuras determinadas e indeterminadas ocurren casos similares cuando están sometidos a momentos de torsión; estas acciones se denominan torsión de equilibrio y torsión de compatibilidad respectivamente.70 5.7.1) TORSIÓN DE EQUILIBRIO Conocido también como torsión determinada o isostática, hay sólo una trayectoria a lo largo de la cual un momento de torsión se puede transmitir a los soportes. Este momento de torsión no puede reducirse por medio de una redistribución de fuerzas internas o por un giro del miembro. La torsión de equilibrio se muestra en la figura 5.23, que muestra una viga de borde que soporta un techo de hormigón, la viga de borde debe diseñarse para resistir el momento de torsión total calculado; también se muestra una viga en volado empotrada con una carga excéntrica y una viga T invertida que sirve de soporte para las losas adyacentes, lo respectivo son ejemplos de torsión de equilibrio.
70
(McCormac C., 2011, pág. 466) copyright©rcolquea
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Figura 5.23 – Ejemplos de torsión de equilibrio
A continuación veremos el diagrama de momento debido a torsión de la figura 5.23(c), la misma es una estructura con torsión de equilibrio, en la figura 5.23(a) vemos el diagrama de torsión dónde la torsión en los extremos es la misma o simétrica, el caso solo sucede cuando la torsión es distribuida en la viga de forma constante, si es variable el diagrama de torsión ya no será simétrico. En la figura 5.23(b) vemos la torsión total o diagrama solo en la parte superior.
Figura 5.24 – Torsión de la viga A-B de la estructura vista en la figura 5.23(c)
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5.7.2) TORSIÓN DE COMPATIBILIDAD Conocido como torsión indeterminada o hiperestático, el momento de torsión en una región dada de una estructura estáticamente indeterminada se puede reducir considerablemente si esa parte de la estructura se agrieta bajo la torsión y “cede” o gira, el resultado será una redistribución de fuerzas en la estructura. La torsión de compatibilidad se muestra en la figura 5.25, la razón del nombre es en el sentido de que parte de la estructura bajo consideración se tuerce para mantener las deformaciones de la estructura compatibles. Se puede reducir los momentos del sistema de entrepiso de la figura 5.25, como resultado de la redistribución de las fuerzas internas. En consecuencia el momento de torsión usado para diseño en la viga de fachada puede reducirse, siempre y cuando la viga, viguetas y losa se vacíen monolíticamente; si las viguetas de la figura 5.25 son pre-fabricadas no se puede redistribuir los momentos elásticos.
Figura 5.25 – Torsión de compatibilidad
En dónde es posible una redistribución o reducción de la torsión en una estructura estáticamente indeterminada, el momento factorizado 𝑇𝑢 se puede reducir como sigue en los miembros no preesforzados, de acuerdo con la sección 11.5.2.2 del ACI permite reducir el momento de torsión máximo factorizado, al siguiente valor: 𝑆í 𝑇𝑢 ≥ 𝜙0.33𝜆√𝑓′𝑐 (
𝐴2𝑐𝑝 𝑡𝑜𝑟𝑠𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 𝐴2𝑐𝑝 )→ 𝜙0.33𝜆√𝑓′𝑐 ( ) 𝑃𝑐𝑝 𝑃𝑐𝑝
En otras palabras, el par aplicado puede limitarse a un momento calculado de agrietamiento del miembro. Si el par calculado para un miembro es mayor que el valor anterior, éste puede usarse en el diseño, expresando en forma lógica tenemos: 𝐴2𝑐𝑝 𝐴2𝑐𝑝 𝑡𝑜𝑟𝑠𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 𝑆í 𝜙0.083𝜆 √𝑓′𝑐 ( ) ≤ 𝑇𝑢 < 𝜙0.33𝜆√𝑓′𝑐 ( ) → 𝑇𝑢 𝑃𝑐𝑝 𝑃𝑐𝑝 Si los momentos de torsión se reducen como se describió aquí, será necesario redistribuir estos momentos a los momentos adyacentes. El comentario del ACI (R11.5.2.1 y R11.5.2.2) ciertamente dice que cuando la disposición de las estructuras impone rotaciones por torsión considerables dentro de una longitud corta de un miembro (como cuando un par grande está situado cerca de la columna rígida), deberá usarse un análisis más exacto.
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ACI 11.5.1(c): Si los miembros de hormigón reforzado están sujetos a fuerzas axiales de tracción o de compresión, 𝑇𝑐𝑟 debe calcularse con la siguiente expresión en la cual 𝑁𝑢 es la fuerza axial factorizada tomada como positiva si la fuerza es de compresión y negativa si es de tracción. 𝐴2𝑐𝑝 𝑁𝑢 𝑆í 𝑇𝑢 ≥ 𝜙0.083𝜆√𝑓′𝑐 ( ) √1 + 𝑃𝑐𝑝 0.33𝐴𝑔 𝜆√𝑓´𝑐 𝑡𝑜𝑟𝑠𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑜
→
0.083𝜆√𝑓′𝑐 (
𝐴2𝑐𝑝 𝑁𝑢 ) √1 + 𝑃𝑐𝑝 0.33𝐴𝑔 𝜆√𝑓´𝑐
Figura 5.26 – Diagramas de torsión de compatibilidad
En la figura 5.26(a) se muestra una viga simplemente apoyada con carga puntual, consecuentemente en la figura 5.26(b) se muestra el diagrama de momento, y en la figura 5.26(c) se muestra una estructura hiperestática en base a la viga simplemente apoyada, en la misma existe torsión de compatibilidad. El nudo A es monolítico. En la figura 5.26(d) se muestra los momentos de torsión de la viga CD, el momento en el punto A, 𝑀𝐴 , se convierte en momento de torsión de la viga CD, el momento en A se distribuye a los puntos C y D en función de la magnitud del punto A hacia los apoyos del tramo CD. La figura 5.26(e) muestra el diagrama de momento del tramo AB y el diagrama de momento de torsión del tramo CD. copyright©rcolquea
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5.8) LÍMITE DEL ANCHO DE FISURAS Las dimensiones de los miembros sometidos a corte y torsión están limitadas por el código ACI, con el objetivo de reducir el agrietamiento y prevenir el aplastamiento de la superficie del hormigón causado por los esfuerzos inclinados de compresión. Esto se logra con las ecuaciones siguientes: El esfuerzo de corte debido al corte directo es: 𝑉𝑢 𝜏𝑣 = 𝑏𝑤 𝑑 El esfuerzo de corte debido a torsión es: 𝑇𝑢 𝜏𝑡 = 2𝐴𝑜 𝑡 Para una sección de hormigón armado, 𝐴𝑜 después del agrietamiento se toma como 0.85𝐴𝑜ℎ y 𝐴 𝑡 = 𝑃𝑜 , por tanto 𝜏𝑡 es: 𝜏𝑡 =
𝑇𝑢 𝑃ℎ 1.7𝐴2𝑜ℎ
La parte de la izquierda representa los esfuerzos cortantes debidos a la fuerza de cortante y torsión, la suma de estos dos esfuerzos en un miembro no debe exceder el esfuerzo que ocasionan el agrietamiento por cortante (0.66√𝑓′𝑐 según R11.5.3 del ACI). En estas expresiones, 𝑉𝑐 = 0.17𝜆√𝑓′𝑐 𝑏𝑤 𝑑 (ecuación 11-3 del ACI). Expresando los términos descritos en una ecuación para secciones sólidas: 2
𝑉 2 𝑇𝑃 𝑉 √( 𝑢 ) + ( 𝑢 ℎ2 ) ≤ 𝜑 ( 𝑐 + 0.66√𝑓′𝑐 ) 𝑏𝑤 𝑑 𝑏𝑤 𝑑 1.7𝐴𝑜ℎ Expresando los términos descritos en una ecuación para secciones huecas: 𝑉𝑢 𝑇𝑢 𝑃ℎ 𝑉𝑐 ( )+( ) ≤ 𝜑( + 0.66√𝑓′𝑐 ) 2 𝑏𝑤 𝑑 𝑏𝑤 𝑑 1.7𝐴𝑜ℎ Existe una condición para secciones huecas que está en función del espesor de la pared: 𝑆í (𝑡 <
𝐴𝑜ℎ 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑇𝑢 𝑃ℎ 𝑇𝑢 )→ ( = ) 2 𝑃ℎ 1.7𝐴𝑜ℎ 1.7𝐴𝑜ℎ
Si no cumple la condición se debe aumentar de sección o la resistencia característica del hormigón. La sección ACI 11.5.4.4 para secciones huecas, es que la distancia de la línea central del refuerzo 0.5𝐴 transversal por torsión a la cara interior de la pared no debe ser menor que 𝑃 𝑜 , en esta expresión, 𝑃ℎ es el perímetro de la línea central del refuerzo de torsión cerrado más externo, mientras que 𝐴𝑜ℎ es el área de la sección transversal del miembro encerrado por esta línea central, las letras 𝑜ℎ derivan del inglés outside hoop que significa aro exterior de estribos.
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5.9) DISEÑO DEL REFUERZO POR TORSIÓN La hipótesis básica para determinar el área de estribos y barras longitudinales a torsión es la analogía de la cercha espacial, tema del que se comentó mucho en anteriores casos. La figura 5.27 muestra la analogía del tubo de pared delgada, con el flujo de corte y el área encerrada por el flujo de corte, 𝐴𝑜 .71
Figura 5.27 – Analogía del tubo de pared delgada
La figura 5.28 muestra la analogía del reticulado espacial dónde las fuerzas resistentes 𝑉1 , 𝑉2 , 𝑉3 𝑦 𝑉4 corresponden a la cara 1, cara 2, cara 3 y cara 4 respectivamente.
Figura 5.28 – Analogía del reticulado espacial
5.9.1) RESISTENCIA A TORSIÓN DE LOS ACEROS TRANSVERSALES (𝑨𝒕 ) De la teoría de torsión uniforme se ha deducido que: 𝑇 𝜏𝑡 ⏟ = 2𝐴𝑜 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 La hipótesis básica es convertir el flujo de corte en fuerzas resistentes, por equilibrio tenemos las fuerzas resistentes de la figura 5.28: 𝑉2 = 𝑉4 𝑉1 = 𝑉3 𝑇 𝑇 𝑉2 = 𝑉4 = 𝑦𝑜 ; 𝑉1 = 𝑉3 = 𝑥 2𝐴𝑜 2𝐴𝑜 𝑜 Estas fuerzas son resistidas por estribos. 71
(G. MacGregor, 2012) copyright©rcolquea
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Analizamos una fisura de la cara 2, los estribos sueldan las fisuras, debemos determinar el número de estribos que intersecta la fisura, ver figura 5.29:
Figura 5.29 – Diagrama de cuerpo libre para el equilibrio vertical de la cara 2
Por trigonometría de la figura 5.29 definimos que: 𝑦𝑜 1 = tan 𝜃 → 𝑙𝑓 = 𝑦𝑜 → 𝑙𝑓 = 𝑦𝑜 cot 𝜃 𝑙𝑓 tan 𝜃 Número de estribos que intersecta en la fisura: 𝑙𝑓 𝑦𝑜 cot 𝜃 𝑛= = 𝑠 𝑠 La fuerza resistente a la fisura es 𝑉2, la misma está definida por: 𝑉2 = 𝑛𝐴𝑡 𝑓𝑦𝑡 Reemplazando la anterior ecuación: 𝑦𝑜 cot 𝜃 𝑉2 = 𝑉4 = 𝐴𝑡 𝑓𝑦𝑡 𝑠 Torsión total incluida por el flujo de corte:
𝑉1 = 𝑉3 =
𝑥𝑜 cot 𝜃 𝐴𝑡 𝑓𝑦𝑡 𝑠
𝑇𝑛 = 𝑉1 𝑦𝑜 + 𝑉2 𝑥𝑜 Reemplazando variables: 𝑇𝑛 =
𝑥𝑜 cot 𝜃 𝑦𝑜 cot 𝜃 𝐴𝑡 𝑓𝑦𝑡 𝑦𝑜 + 𝐴𝑡 𝑓𝑦𝑡 𝑥𝑜 𝑠 𝑠
Factorizando tenemos: 𝑇𝑛 =
𝐴𝑡 𝑓𝑦𝑡 cot 𝜃 (𝑦 ⏟ 𝑜 𝑥𝑜 + 𝑥𝑜 𝑦𝑜 ) 𝑠 2𝐴𝑜
El código ACI requiere que el área de los estribos 𝐴𝑡 usados para resistir la torsión se calcule con la ecuación que sigue: 𝐴𝑡 𝑓𝑦𝑡 𝑇𝑛 = 2𝐴𝑜 cot 𝜃 𝑠 Generalmente está ecuación se escribe de la siguiente forma: copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO 𝐴𝑡 𝑇𝑛 = 𝑠 2𝐴𝑜 𝑓𝑦𝑡 cot 𝜃
El refuerzo transversal se basa en la resistencia 𝑇𝑛 por momento de torsión, que es igual a 𝑇𝑢 /𝜙, 𝜙 para torsión es igual a 0.75. El término 𝐴𝑜 representa el área total encerrada por la trayectoria del flujo cortante alrededor del perímetro del tubo, está área se define en términos de 𝐴𝑜ℎ , que es el área encerrada por los estribos cerrados más externos. La figura 5.30 ilustra esta definición de 𝐴𝑜ℎ para varias secciones transversales de las vigas, el valor de 𝐴𝑜 se puede determinar por análisis o tomarse igual a 0.85𝐴𝑜ℎ .
ACI 11.5.3.6 𝑇𝑛 debe calcularse por medio de: 2𝐴𝑜 𝐴𝑡 𝑓𝑦𝑡 𝑇𝑛 = 𝑐𝑜𝑡 𝜃 𝑠 Donde 𝐴𝑜 debe determinarse por análisis, excepto que se permite tomar 𝐴𝑜 igual a 0.85𝐴𝑜ℎ ; 𝜃 no debe tomarse menor a 30º ni mayor que 60º. Se puede tomar 𝜃 igual a: 45º en elementos no preesforzados o con un preesforzado menor al indicado en (b), ACI 11.5.5.2 Donde se requiera refuerzo para torsión de acuerdo con 11.5.5.1, el área mínima de estribos cerrados debe calcularse como: 𝑏 𝑠 (𝐴𝑣 + 2𝐴𝑡 ) = 0.062√𝑓´𝑐 𝑤 𝑓 𝑦𝑡
Pero no debe ser menor de (0.35𝑏𝑤 𝑠)/ 𝑓𝑦𝑡 ACI 11.5.6.1 El espaciamiento del refuerzo transversal para torsión no debe exceder el menor valor entre 𝑃 𝑦 300 𝑚𝑚. 8
Figura 5.30 – Valores de 𝑨𝒐𝒉
El término 𝜃 representa el ángulo de las diagonales de compresión del hormigón en armadura espacial análoga, no debe ser menor que 30º o mayor que 60º y puede tomarse igual a 45º, de acuerdo a la sección ACI 11.5.3.6. 5.9.1.1) ÁREA MÍNIMA DE ESTRIBOS DE TORSIÓN Y CORTE La sección ACI 11.5.5.2 define que donde se requiere refuerzo para torsión de acuerdo con 11.5.5.1, el área mínima de estribos cerrados se debe calcular con una expresión como sigue: 𝑏𝑤 𝑠 (0.35𝑏𝑤 𝑠) (𝐴𝑣 + 2𝐴𝑡 ) = 0.062√𝑓´𝑐 ≥ 𝑓𝑦𝑡 𝑓𝑦𝑡
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𝐴𝑣 : es el área de refuerzo requerido por cortante en una distancia 𝑠 que representa la distancia entre estribos. Recuerde que en el diseño por cortante, el área 𝐴𝑣 que se obtiene es para ambas ramas de un estribo de dos (o para todas las ramas de un estribo de cuatro, etc.). 𝐴𝑡 : que representa el área de los estribos necesaria por torsión, es para sólo una rama de estribo. 𝐴𝑣 + 2𝐴𝑡 : es el área total de ambas ramas del estribo, para estribos de dos ramas necesario por cortante más torsión. Según el comentario R11.5.3.8 del ACI, las áreas requeridas de estribos por cortante y torsión se suman como sigue para un estribo de dos ramas: 𝐴𝑣+𝑡 𝐴𝑣 2𝐴𝑡 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 ( )= + 𝑠 𝑠 𝑠 Según el ACI 11.5.6.1, la separación del refuerzo transversal de torsión no debe ser mayor que 𝑃 ó 300 𝑚𝑚, dónde 𝑃ℎ es el perímetro de la línea central del refuerzo transversal cerrado más 8 externo. 𝑑
𝑑
Se debe también recordar las separaciones máximas entre estribos por cortante de 2 𝑦 4 dadas en las secciones 11.4.5.1 y 11.4.5.3 del ACI. 5.9.2) RESISTENCIA A TORSIÓN DE LOS ACEROS LONGITUDINALES (𝑨𝒍 ) En la figura 5.31 se muestra las fuerzas internas de la combinación de momento y torsión, en la figura 5.31(a) se muestra las fuerzas resistentes de las varillas longitudinales a torsión, las cuatro varillas están trabajando a tracción. En la figura 5.31(b) se muestra las fuerzas resistentes a momento (efecto flector), las dos varillas superiores están trabajando a compresión y las dos varillas inferiores trabajan a tracción. La figura 5.31(c) muestra el resultado de la combinación de las fuerzas resistentes de torsión y flexión, el resultado de las varillas superiores depende de la diferencia de tracción en torsión y compresión en flexión, en cambio el resultado de las varillas inferiores es la suma de fuerzas de tracción, por lo tanto las fuerza resultante será más grande.
Figura 5.31 – Fuerzas internas de la combinación de torsión y momento
Para deducir la armadura longitudinal de torsión analizamos la cara 2 de la figura 5.32:
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Figura 5.32 – Lado de la armadura espacial, reemplazado por la fuerza 𝑽𝟐 de corte
De la trigonometría del triángulo rectángulo de la figura 5.32 deducimos lo siguiente: 𝑉2 = tan 𝜃 → 𝑁2 = 𝑉2 cot 𝜃 → 𝑁1 = 𝑉1 cot 𝜃 𝑁2 Considerando todas las caras definimos: 𝑁 = 2(𝑁2 + 𝑁1 ) Reemplazando variables: 𝑁 = 2(𝑉2 cot 𝜃 + 𝑉1 cot 𝜃) Reemplazando 𝑉2 y 𝑉1 en la anterior ecuación: 𝑦𝑜 cot 𝜃 𝑥𝑜 cot 𝜃 𝑁 = 2( 𝐴𝑡 𝑓𝑦𝑡 cot 𝜃 + 𝐴𝑡 𝑓𝑦𝑡 cot 𝜃) 𝑠 𝑠 Factorizando términos: 𝑁=2
cot 2 𝜃 𝐴𝑡 𝑓𝑦𝑡 (𝑦𝑜 + 𝑥𝑜 ) 𝑠 𝐴
Multiplicando la anterior ecuación por el cociente de 𝐴𝑜 : 𝑜
cot 𝜃 𝑁=2 𝐴𝑡 𝑓𝑦𝑡 cot 𝜃 (𝑦𝑜 + 𝑥𝑜 ) 𝑠
𝐴𝑜 𝐴 ⏟𝑜 𝐴𝑟𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜
𝐴𝑜 cot 𝜃 (𝑦𝑜 + 𝑥𝑜 ) 𝑁 = 2 𝐴𝑡 𝑓𝑦𝑡 cot 𝜃 ⏟𝑠 𝐴𝑜 𝑇𝑛
La fuerza resistente a torsión es: 𝑁 = 𝐴𝑙 𝑓𝑦
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Igualando ecuaciones tenemos: cot 𝜃 (𝑦𝑜 + 𝑥𝑜 ) 𝐴𝑙 𝑓𝑦 = 𝑇𝑛 𝐴𝑜 cot 𝜃 2 (𝑦𝑜 + 𝑥𝑜 ) 𝐴𝑙 𝑓𝑦 = 𝑇𝑛 ⏟ 𝐴𝑜 2 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜
𝐴𝑙 𝑓𝑦 = 𝑇𝑛
cot 𝜃 1 2(𝑦𝑜 + 𝑥𝑜 ) ⏟ 𝐴𝑜 2 𝑃
Despejando 𝐴𝑙 y acomodando la ecuación: 𝑇𝑛 𝑃ℎ cot 𝜃 𝐴𝑙 = 2𝐴𝑜 𝑓𝑦 Reemplazando 𝑇𝑛 en la anterior ecuación obtenemos: 𝑓𝑦𝑡 𝐴𝑡 𝐴𝑙 = 𝑃ℎ ( ) cot 2 𝜃 𝑠 𝑓𝑦 Se obtuvo el área de acero longitudinal que se debe aumentar cuando hay torsión.
ACI 11.5.3.7 El área adicional de refuerzo longitudinal necesario para resistir torsión, 𝐴𝑙 , no debe ser menor que: 𝑓𝑦𝑡 𝐴𝑡 𝐴𝑙 = 𝑃ℎ ( ) 𝑐𝑜𝑡 2 𝜃 𝑠 𝑓𝑦 Donde 𝜃 debe tener el mismo valor usado en la ecuación de ACI 11.5.3.6 y 𝐴𝑡 debe tomarse como la cantidad 𝑠 calculada con la ecuación de ACI 11.5.3.6 sin modificarla de acuerdo con 11.5.5.2 ó 11.5.5.3; 𝑓𝑦𝑡 se refiere al refuerzo transversal cerrado para torsión y 𝑓𝑦 al refuerzo longitudinal de torsión. ACI 11.5.5.3 Donde se requiera refuerzo para torsión de acuerdo con 11.5.5.1, el área mínima total de refuerzo longitudinal para torsión, 𝐴𝑙,𝑚𝑖𝑛 debe calcularse como: 𝑓𝑦𝑡 0.42√𝑓´𝑐 𝐴𝑐𝑝 𝐴𝑡 𝐴𝑙,𝑚𝑖𝑛 = − ( ) 𝑃ℎ 𝑓𝑦 𝑠 𝑓𝑦
5.9.2.1) ÁREA MÍNIMA DE REFUERZO 𝐴 LONGITUDINAL PARA TORSIÓN, Donde 𝑠𝑡 no debe tomarse menor que 𝑨𝒍,𝒎𝒊𝒏 0.175𝑏𝑤 ;𝑓𝑦𝑡 se refiere al refuerzo 𝑓𝑦𝑡 Se ha encontrado que los especímenes de transversal cerrado para torsión y 𝑓𝑦 al hormigón armado con menos de refuerzo longitudinal de torsión. aproximadamente 1% de refuerzo por torsión por volumen, cargados a torsión pura, fallan tan pronto como ocurre el agrietamiento por torsión, el porcentaje es menor para miembros sometidos a torsión y a cortante. La ecuación que sigue, que proporciona un área total mínima de refuerzo longitudinal por torsión, se basa en usar aproximadamente 0.5% de refuerzo de torsión por volumen. 𝐴𝑙,𝑚𝑖𝑛 = El valor de
𝐴𝑡 𝑠
0.42√𝑓´𝑐 𝐴𝑐𝑝 𝑓𝑦𝑡 𝐴𝑡 − ( ) 𝑃ℎ 𝑓𝑦 𝑠 𝑓𝑦
no debe tomarse menor que
0.175𝑏𝑤 𝑓𝑦𝑡
de acuerdo con la sección 11.5.5.3 del ACI.
𝐴𝑡 0.175𝑏𝑤 ≥ 𝑠 𝑓𝑦𝑡 5.10) RATIO DE DISEÑO Se define ratio al cociente entre la resistencia requerida por las solicitaciones de las cargas muertas, vivas y ambientales y la capacidad de resistencia del par interno; el par interno es la resistencia provista por las varillas longitudinales y transversales. El ratio de diseño debe ser menor que la unidad si es así significa que la viga resiste. Del principio de Hormigón Armado: copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO ∅𝑇𝑛 ≥ 𝑇𝑢
Determinamos: 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 = 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 = ∅
𝑇𝑢 ∅𝑇𝑛 𝑇𝑢
𝐴𝑡 𝑓𝑦𝑡 𝑠
2𝐴𝑜 cot 𝜃
Se presenta tres casos: 𝒓𝒂𝒕𝒊𝒐 ≥ 𝟏 ; 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑓𝑎𝑙𝑙𝑎 𝟎. 𝟗 ≤ 𝒓𝒂𝒕𝒊𝒐 < 𝟏 ; 𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 ó𝑝𝑡𝑖𝑚𝑜 𝒓𝒂𝒕𝒊𝒐 ≤ 𝟎. 𝟗 ; 𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑒𝑐𝑜𝑛ó𝑚𝑖𝑐𝑜 5.11) CONDICIONES ADICIONALES DEL ACI El código ACI presenta otros requisitos adicionales que se mencionaran a continuación:72 Localización de la torsión de diseño (ACI 11.5.2.4); las secciones localizadas a una distancia 𝑑 de la cara del soporte, pueden diseñarse para el par de torsión a una distancia 𝑑. Sin embargo, si existe un par concentrado dentro de esta distancia, la sección critica de diseño estará en la cara del soporte. Máxima resistencia a fluencia del refuerzo (ACI 11.5.3.4); la resistencia de diseño por fluencia del refuerzo de torsión para miembros no preesforzados no debe ser mayor que 420 MPa. El propósito de este valor máximo es limitar el ancho de las grietas diagonales. Refuerzo longitudinal para torsión en la zona de compresión por flexión (ACI 11.5.3.9); la tracción longitudinal creada por los momentos de torsión es parcialmente compensada en la zona de compresión por la flexión de los miembros. En estas zonas, el área calculada del refuerzo longitudinal por torsión puede reducirse en una cantidad igual a 𝑀𝑢 , en esta expresión, 𝑀𝑢 es el momento factorizado que actúa en la sección en 0.9𝑑𝑓 𝑦
combinación con 𝑇𝑢 . Sin embargo, el refuerzo proporcionado no debe ser menor que los valores mínimos requeridos en las secciones 11.5.5.3 y 11.5.6.2 del ACI. Espaciamiento máximo y distribución de las barras longitudinales (ACI 11.5.6.2); El refuerzo longitudinal debe distribuirse alrededor del perímetro interior de los estribos cerrados y debe espaciarse a no más de 300 𝑚𝑚. Debe colocarse por lo menos una varilla en cada esquina de los estribos para proporcionar anclaje para las ramas del estribo. Estas varillas deben ser del 𝑁º 10 o mayores en tamaño y deben tener diámetros no menores que 0.042 veces la separación entre estribos. Longitud de desarrollo del refuerzo de torsión (ACI 11.5.6.3); el refuerzo de torsión debe proporcionarse para una distancia no menor que 𝑏𝑡 + 𝑑 más allá del punto en que teóricamente ya no se requiere. El término 𝑏𝑡 representa el ancho de aquella parte de la sección transversal del miembro que contiene los estribos cerrados de torsión. 5.12) LA APLICACIÓN DEL MÉTODO DEL DISEÑO DEL CÓDIGO ACI PARA LA TORSIÓN Mapa de cálculo de los pasos para el diseño a torsión mediante el código ACI. 72
(McCormac C., 2011, pág. 472) copyright©rcolquea
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1. Calcule el diagrama de momento de flexión factorizado o la envolvente para el miembro. 2. Seleccione 𝑏, 𝑑, y ℎ basado en el máximo momento flexionante. Para los problemas de torsión, son preferible las secciones profundas y estrechas. 3. Dado b y h, dibuje el diagrama de envolventes final (𝑉𝑢 , 𝑀𝑢 , 𝑇𝑢 ), calcule el área de refuerzo requerido para flexión. 4. Determine si la torsión debe ser considerada. La torsión debe ser considerada si cumple la condición de la siguiente ecuación. De otra manera el estribo debe ser diseñado de acuerdo al capítulo de corte de este libro. ACI 11.5.1 𝑇𝑢 ≥ ∅0.083𝜆√𝑓´𝑐 (
𝐴2𝑐𝑝 ) → 𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑎𝑟 𝑎 𝑡𝑜𝑟𝑠𝑖ó𝑛 𝑃𝑐𝑝
5. Determine si el caso implica torsión de equilibrio o de compatibilidad. Si lo es lo más reciente, la fuerza de torsión puede reducirse al valor dado por la ecuación, en las secciones 𝑑 desde las caras de los soportes. Si el momento de torsión es reducido, los momentos y cortes en los otros integrantes deben estar aclimatados consecuentemente, es decir se debe redistribuir los esfuerzos. ACI 11.5.2 𝐴2𝑐𝑝 𝑇𝑢 = ∅0.33𝜆√𝑓´𝑐 ( ) 𝑃𝑐𝑝 6. Cálculo de las propiedades de sección. R11.5.3.6 𝐴𝑜ℎ : á𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑙í𝑛𝑒𝑎 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑎𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜𝑠 𝐴𝑜ℎ = 𝑥𝑜 𝑦𝑜 𝐴𝑜 : á𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢 𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝐴𝑜 = 0.85𝐴𝑜ℎ 𝑃ℎ : 𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑙í𝑛𝑒𝑎 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑜𝑟𝑠𝑖ó𝑛 𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑚á𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 𝑃ℎ = 2(𝑥𝑜 + 𝑦𝑜 ) 7. Revise si la sección es bastante grande para la torsión. Si la combinación de 𝑉𝑢 y 𝑇𝑢 excede los valores dados por las ecuaciones, amplíe la sección. ACI 11.5.3.1 2
𝑉 2 𝑇𝑃 𝑉 √( 𝑢 ) + ( 𝑢 ℎ2 ) ≤ ∅ ( 𝑐 + 0.66√𝑓´𝑐 ) → 𝐸𝑛 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑠ó𝑙𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑏𝑤 𝑑 𝑏𝑤 𝑑 1.7𝐴0ℎ 2
𝑉𝑢 2 𝑇𝑢 𝑃ℎ 𝑉𝑐 ( ) +( ) ≤ ∅ ( + 0.66√𝑓´𝑐 ) → 𝐸𝑛 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 ℎ𝑢𝑒𝑐𝑎𝑠 𝑏𝑤 𝑑 𝑏𝑤 𝑑 1.7𝐴20ℎ 8. Determine el área de estribos requeridos para el esfuerzo al corte. Para facilitar la adición de estribos para el esfuerzo al corte y la torsión, haga cálculos de la forma: ACI 11.4.7.2 𝐴𝑣 𝑉𝑠 = 𝑠 𝑓𝑦𝑡 𝑑 9. Compute el área de estribos requeridos para la torsión utilizando las siguientes 𝐴 ecuaciones, otra vez, estos serán computados en términos de 𝑠𝑡. ACI 11.5.3.6 𝑇𝑛 ≥
𝑇𝑢 ∅
𝐴𝑡 𝑇𝑛 = 𝑠 2𝐴𝑜 𝑓𝑦𝑡 𝑐𝑜𝑡𝜃 copyright©rcolquea
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10. Sume las cantidades requeridas del estribo y seleccione los estribos. El área de los estribos debe exceder el área de acero mínimo .Su espaciamiento y la posición debe satisfacer las secciones del código ACI 11.5.4.3, 11.5.6.1 y 11.5.6.3. Los estribos deben estar cerrados. R 11.5.3.8 y ACI 11.5.5.2 𝐴𝑣+𝑡 𝐴𝑣 2𝐴𝑡 𝑏𝑤 𝑠 0.35𝑏𝑤 𝑠 = + → 𝐴𝑣 + 2𝐴𝑡 = 0.062√𝑓´𝑐 ,𝑦 ≥ 𝑠 𝑠 𝑠 𝑓𝑦𝑡 𝑓𝑦𝑡 ACI 11.5.4.3 – En secciones huecas a torsión, la distancia desde el eje del refuerzo transversal para torsión hasta la cara interior de la pared de la sección hueca no debe ser 𝐴 menor que 0.5 𝑃0 . 𝑡≥
𝑏𝑤 𝑠 𝑓𝑦
ACI 11.5.6.1 – El espaciamiento del refuerzo transversal para torsión no debe exceder 𝑃 𝑑 el menor valor entre 8 𝑦 300 𝑚𝑚 o bien 𝑑/2 y 4 según ACI 11.4.5.1 y ACI 11.4.5.3. ACI 11.5.6.3 – El refuerzo para torsión debe disponerse en una distancia al menos (𝑏𝑡 + 𝑑) más allá del punto en que se requiera por análisis. ACI 11.5.3.4 – Los esfuerzos máximos de fluencia no deben exceder los 420 𝑀𝑃𝑎. 11. Diseñe el refuerzo longitudinal para la torsión y súmelo el refuerzo provisto para la flexión. El refuerzo longitudinal para la torsión debe exceder el mínimo dado y debe satisfacer las secciones del código ACI 11.5.4.3, 11.5.6.2. ACI 11.5.3.7 y ACI11.5.5.3. 𝑓𝑦𝑡 𝐴𝑡 𝐴𝑙 = ( ) 𝑃ℎ ( ) cot 2 𝜃 𝑠 𝑓𝑦
𝐴𝑙,𝑚𝑖𝑛 =
0.42√𝑓´𝑐 𝐴𝑐𝑝 𝑓𝑦𝑡 𝐴𝑡 − ( ) 𝑃ℎ 𝑓𝑦 𝑠 𝑓𝑦
𝐴𝑡 0.175𝑏𝑤 ≥ 𝑠 𝑓𝑦𝑡 ACI 11.5.4.3 – El refuerzo longitudinal para torsión debe ser desarrollado en ambos extremos. ACI 11.5.6.2 – El refuerzo longitudinal requerido para torsión debe estar distribuido a lo largo del perímetro del estribo cerrado con un espaciamiento máximo de 300 𝑚𝑚. Las barras longitudinales o tendones deben estar dentro de los estribos. Debe haber al menos una barra longitudinal o tendón en cada esquina de los estribos. Las barras longitudinales deben tener un diámetro de al menos 0.042 veces el espaciamiento entre estribos, pero no menos de diámetro 𝑁𝑜. 10.
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5.13) EJERCICIOS RESUELTOS Ejemplo 5.1 Diseñar el refuerzo por torsión necesario para la viga mostrada en la figura, si 𝑓´𝑐 = 28 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝑇𝑢 = 40.6 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 y 𝑉𝑢 = 267 𝑘𝑁. Recubrimiento libre de 30 𝑚𝑚, estribos de 12 𝑚𝑚 de diámetro y un área de acero requerida por flexión de 2271 𝑚𝑚2 . Seleccionar para el refuerzo de flexión varillas de 25 mm, se especifica concreto de peso normal.
Figura 5.33 – Sección transversal
Datos: 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: 𝑏𝑤 = 400 𝑚𝑚, ℎ = 650 𝑚𝑚, 𝑟𝑒𝑐 = 30 𝑚𝑚, 𝜙𝑒𝑠𝑡 = 12 𝑚𝑚, 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 = 25 𝑚𝑚, 𝐴𝑠 = 2155 𝑚𝑚2 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑓´𝑐 = 28 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦𝑡 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝜆 = 1 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠: 𝑉𝑢 = 260000 𝑁, 𝑇𝑢 = 50 𝑘𝑁 ∙ 𝑚, 𝜑𝑐 = 𝜑𝑡 = 0.75 Solución: Paso 1: Se necesita refuerzo de torsión? (ACI 11.5.1) 𝐴𝑐𝑝 : Área encerrada por el perímetro exterior de la sección transversal de concreto, 𝑐 significa concreto y 𝑝 significa perímetro de la sección transversal. 𝐴𝑐𝑝 = 𝑏𝑤 ⋅ ℎ = 400 ∙ 650 = 260000 𝑚𝑚2 𝑃𝑐𝑝 : Perímetro exterior de la sección transversal. 𝑃𝑐𝑝 = 2 ( 𝑏𝑤 + ℎ) = 2(400 + 650) = 2100 𝑚𝑚 Considerar la torsión si cumple la condición: 𝑇𝑢 ≥ ∅0.083𝜆√𝑓´𝑐 (
𝐴2𝑐𝑝 ) → 𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑎𝑟 𝑎 𝑡𝑜𝑟𝑠𝑖ó𝑛 𝑃𝑐𝑝
2600002 50 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 ≥ 0.75 ∙ 0.083 ∙ 1 ∙ √28 ( ) /106 → 𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑎𝑟 𝑎 𝑡𝑜𝑟𝑠𝑖ó𝑛 2100 50 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 ≥ 10.603 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 → 𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑎𝑟 𝑎 𝑡𝑜𝑟𝑠𝑖ó𝑛 Paso 2: Calculo de las propiedades de sección (R11.5.3.6) 𝐴𝑜ℎ : Área encerrada por la línea central de los estribos cerrados más externos: 𝑥𝑜 = 𝑏𝑤 − 2 𝑟𝑒𝑐 − 𝜙 𝑒𝑠𝑡 = 400 − 2 ∙ 30 − 12 = 328 𝑚𝑚 copyright©rcolquea
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𝑦𝑜 = ℎ − 2 𝑟𝑒𝑐 − 𝜙 𝑒𝑠𝑡 = 650 − 2 ∙ 30 − 12 = 578 𝑚𝑚 𝐴𝑜ℎ = 𝑥𝑜 ⋅ 𝑦𝑜 = 328 ⋅ 578 = 189584 𝑚𝑚2 𝐴𝑜 : Área total encerrada por la trayectoria de flujo cortante: 𝐴𝑜 ≔ 0.85 ⋅ 𝐴𝑜ℎ = 0.85 ⋅ 189584 = 161146.4 𝑚𝑚2 𝑃ℎ : Perímetro de la línea central de refuerzo por torsión cerrado más externo: 𝑃ℎ = 2 (𝑥𝑜 + 𝑦𝑜 ) = 2 (328 + 578) = 1812 𝑚𝑚 𝑑: Peralte efectivo de la viga: 𝑑 ≔ ℎ − 𝑟𝑒𝑐 − 𝜙𝑒𝑠𝑡 − 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 /2 = 650 − 30 − 12 − 25/2 = 595.5 𝑚𝑚 Paso 3: Es la sección de concreto suficientemente grande como para soportar la torsión? (ACI 11.5.3.1) 595.5 𝑉𝑐 = 0.17𝜆√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑 = 0.17 ∙ 1 ∙ √28 ∙ 400 ∙ = 214.274 𝑘𝑁 1000 2
𝑉𝑢 2 𝑇𝑢 𝑃ℎ 𝑉𝑐 √( ) +( ) ≤ 𝜑𝑡 ( + 0.66√𝑓´𝑐 ) → 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 2 𝑏𝑤 𝑑 𝑏𝑤 𝑑 1.7𝐴𝑜ℎ 2
260000 2 50 ∙ 106 ∙ 1812 214.274 ∙ 103 √( ) +( ) ≤ 0.75 ∙ ( + 0.66√28) 400 ∙ 595.5 1.7 ∙ 1895842 400 ∙ 595.5 1.84 ≤ 3.294 → 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 Paso 4: Determinar el refuerzo transversal requerido por torsión (ACI 11.4.3.6) 𝑇𝑢 50 𝐴𝑡 𝑇𝑛 𝑇𝑛 = = = 66.667 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝜃 = 45° → = 𝜑𝑡 0.75 𝑠 2𝐴𝑜 𝑓𝑦𝑡 cot 𝜃 𝐴𝑡 66.667 ∙ 106 𝑚𝑚2 = = 0.425 → 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑟𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 𝑠 2 ∙ 161146.4 ∙ 420 ∙ cot 45 𝑚𝑚 Paso 5: Calculo del área de refuerzo requerido por cortante (ACI 11.4.7.2) (1/2𝜑𝑐 𝑉𝑐 ≤ 𝑉𝑢 ) → 𝑠𝑒 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑖𝑡𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 (0.5 ∙ 0.75 ∙ 214.274 ≤ 260) → (80.35 ≤ 260 ) → 𝑠𝑒 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑖𝑡𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 𝑉𝑢 − 𝜑𝑐 𝑉𝑐 260 − 0.75 ∙ 214.274 𝑉𝑠 = = = 132.393 𝑘𝑁 𝜑𝑐 0.75 𝐴𝑣 𝑉𝑠 132.393 ∙ 103 𝑚𝑚2 = = = 0.529 → 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜 𝑠 𝑓𝑦𝑡 𝑑 420 ∙ 595.5 𝑚𝑚 Paso 6: Selección de estribos, el área de los estribos debe exceder el mínimo (ACI 11.5.5.2 y R 11.5.3.8) Refuerzo total y separación requerida en el alma para 2 ramas 𝐴𝑇 𝐴𝑡 𝐴𝑣 𝑚𝑚2 =2 + = 2 ∙ 0.425 + 0.529 = 1.514 → 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜 𝑠 𝑠 𝑠 𝑚𝑚
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𝑠=
∅2𝑒𝑠𝑡
2𝜋
4
𝐴𝑇 𝑠
=
2∙𝜋∙
122 4
1.514
= 149.368 𝑚𝑚 → 𝑠𝑖 𝑢𝑠𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 𝑁º 12
Separación máxima permisible entre estribos Separación máxima entre estribos a corte: 𝑑/2 𝑉𝑠 ≤ 0.33√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑 → 𝑠𝑚𝑎𝑥.𝑐 = 𝑚𝑖𝑛 { 600 𝑚𝑚 595.5 595.5/2 (132.393 ≤ 0.33 ∙ √28 ∙ 400 ∙ ) → 𝑠𝑚𝑎𝑥.𝑐 = 𝑚𝑖𝑛 { 600 𝑚𝑚 1000 (130.402 ≤ 482.625) → 𝑠𝑚𝑎𝑥.𝑐 = 𝑚𝑖𝑛 {297.75 𝑚𝑚∎ 600 𝑚𝑚 Separación máxima entre estribos considerando corte y torsión: 𝑃ℎ 1812 226.5 𝑚𝑚∎ 8 8 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛 { = 𝑚𝑖𝑛 { = 𝑚𝑖𝑛 { 300 𝑚𝑚 300 𝑚𝑚 300 𝑚𝑚 297.75 𝑚𝑚 𝑠𝑚𝑎𝑥.𝑐 297.75 𝑚𝑚 Separación provista: 𝑠 149.368 𝑚𝑚 ∎ 𝑠𝑟𝑒𝑞 = min {𝑠 = min { → 𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣 = 150 𝑚𝑚 𝑚𝑎𝑥 226.5 𝑚𝑚 Verificar el área mínima de estribos: 2𝜋∅2𝑒𝑠𝑡 2 ∙ 𝜋 ∙ 122 = = 226.195 𝑚𝑚2 4 4 0.062√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣 0.35𝑏𝑤 𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣 𝐴𝑇.𝑚𝑖𝑛 = ≥ 𝑓𝑦𝑡 𝑓𝑦𝑡 𝐴𝑇 =
𝐴𝑇.𝑚𝑖𝑛 =
0.062 ∙ √28 ∙ 400 ∙ 150 0.35 ∙ 400 ∙ 150 ≥ 420 420
𝐴𝑇.𝑚𝑖𝑛 = 46.87 𝑚𝑚2 ≥ 50 𝑚𝑚2 𝐴𝑇 ≥ 𝐴𝑇.𝑚𝑖𝑛 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 → 𝒆∅𝟏𝟐𝒄/𝟏𝟓𝟎 𝒎𝒎 Paso 7: Determinar el refuerzo longitudinal por torsión (ACI 11.5.3.7 y ACI 11.5.5.3) 𝐴𝑡 𝑓𝑦𝑡 420 𝐴𝑙 = 𝑃ℎ cot 2 𝜃 = 0.425 ∙ 1812 ∙ ∙ cot 2 45 = 892.415 𝑚𝑚2 𝑠 𝑓𝑦 420 𝐴𝑡 0.425 0.42√𝑓´𝑐 𝐴𝑐𝑝 𝑓𝑦𝑡 𝑠 0.175 ∙ 400 = 𝑚𝑎𝑥 {0.425∎ 𝐴𝑙.𝑚𝑖𝑛 = 𝑥 = 𝑚𝑎𝑥 0.175𝑏 = 𝑚𝑎𝑥 { − 𝑥𝑃ℎ 𝑤 0.167 𝑓𝑦 𝑓𝑦 420 𝑓 { 𝑦𝑡 𝐴𝑙.𝑚𝑖𝑛 =
0.42 ∙ √28 ∙ 260000 420 − 0.425 ∙ 1812 ∙ = 483.375 𝑚𝑚2 420 420 2 𝐴 𝐴𝑙.𝑟𝑒𝑞 = 𝑚𝑎𝑥 { 𝑙 = 𝑚𝑎𝑥 {892.415 𝑚𝑚 2∎ 𝐴𝑙.𝑚𝑖𝑛 483.375 𝑚𝑚 copyright©rcolquea
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Paso 8: Ratio de torsión 𝐴𝑣 𝑠 = 0.529 ∙ 150 = 79.35 𝑚𝑚2 𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑣 𝐴𝑇 − 𝐴𝑣 226.195 − 79.35 𝐴𝑡 𝐴𝑡 = = = 73.42 𝑚𝑚2 𝜑𝑡 𝑇𝑛 = 𝜑𝑡 2𝐴 𝑓 cot 𝜃 2 2 𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣 𝑂 𝑦𝑡 𝐴𝑣 =
𝜑𝑡 𝑇𝑛 = 0.75 ∙
73.42 cot 45 ∙ 2 ∙ 161146.4 ∙ 420 ∙ = 49.69 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 150 106 𝑇𝑢 50 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 = = = 1.006 𝜑𝑡 𝑇𝑛 49.69
Paso 9: La armadura longitudinal requerida para torsión se debe distribuir alrededor del perímetro de los estribos, con una separación máxima de 300 𝑚𝑚. Las barras longitudinales deben estar dentro de los estribos, debe haber al menos una barra longitudinal en cada esquina de los estribos Lecho inferior: 𝐴𝑙.𝑟𝑒𝑞 892.415 𝐴𝑖𝑛𝑓.𝑟𝑒𝑞 = 𝐴𝑠 + = 2155 + = 2452.472 𝑚𝑚2 3 3 𝐴𝑖𝑛𝑓.𝑝𝑟𝑜𝑣 = 2454 𝑚𝑚2 → 5∅25 Lecho medio: 𝐴𝑙.𝑟𝑒𝑞 892.415 = = 297.472 𝑚𝑚2 3 3 𝐴𝑚𝑒𝑑.𝑝𝑟𝑜𝑣 = 308 𝑚𝑚2 → 2∅14
𝐴𝑚𝑒𝑑.𝑟𝑒𝑞 =
Lecho superior: 𝐴𝑙.𝑟𝑒𝑞 892.415 = = 297.472 𝑚𝑚2 3 3 𝐴𝑠𝑢𝑝.𝑝𝑟𝑜𝑣 = 308 𝑚𝑚2 → 2∅14
𝐴𝑠𝑢𝑝.𝑟𝑒𝑞 =
La armadura longitudinal de torsión se debe anclar adecuadamente
Figura 5.34 – Armado de la sección
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Ejemplo 5.2 Diseñar la viga mostrada en la figura soporta su peso propio mas una carga concentrada. La longitud de la viga es de 1.35 𝑚 y soporta una carga concentrada como se muestra en la figura.
Figura 5.35 – Viga en volado
Datos: 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: 𝑙 = 1.35 𝑚, 𝑟𝑒𝑐 = 30 𝑚𝑚, 𝜙𝑒𝑠𝑡 = 10 𝑚𝑚, 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 = 20 𝑚𝑚 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑓´𝑐 = 21 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦𝑡 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝜆 = 1, 𝑤𝑐 = 2400
𝑘𝑔𝑓 𝑚3
𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠: 𝑃𝐷 = 60 𝑘𝑁, 𝑃𝐿 = 60 𝑘𝑁, 𝜑𝑐 = 0.75, 𝜑𝑡 = 0.75, 𝜑𝑓 = 0.9 Solución: Paso 1: Seleccionar 𝑏, 𝑑 y ℎ. (ACI 9.5.2.1) 𝑙 135 ℎ𝑚𝑖𝑛 = = = 168.75 𝑚𝑚 → ℎ = 600 𝑚𝑚, 𝑏𝑤 = 0.5ℎ = 0.5 ∙ 600 = 300 𝑚𝑚 8 8 𝑑 = ℎ − 𝑟𝑒𝑐 − 𝜙𝑒𝑠𝑡 − 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 /2 = 600 − 30 − 10 − 20/2 = 550 𝑚𝑚 Paso 2: Determinar el diagrama de esfuerzos internos (𝑀𝑢 , 𝑉𝑢 , 𝑇𝑢 ), además determine el área de refuerzo requerido para flexión. 10 𝑞𝑣𝑖𝑔𝑎 = 𝑤𝑐 ℎ𝑏𝑤 = 2400 ∙ 0.3 ∙ 0.6 ∙ = 4.236 𝑘𝑁/𝑚 1000 𝑞𝑢 = 1.2𝑞𝑣𝑖𝑔𝑎 = 1.2 ∙ 4.236 = 5.084 𝑘𝑁/𝑚 𝑃𝑢 = 1.2𝑃𝐷 + 1.6𝑃𝐿 = 1.2 ∙ 60 + 1.6 ∙ 60 = 168 𝑘𝑁 Se analiza la viga en volado y se obtiene el diagrama de momentos, cortantes y momento de torsión:
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Figura 5.36 – Diagrama de esfuerzos internos
Los esfuerzos de diseño: 𝑇𝑢 = 25.2 𝑘𝑁 ∙ 𝑚, 𝑉𝑢 = 174.87 𝑘𝑁, 𝑀𝑢 = 206.24 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Determinar el área de acero estrictamente necesario: 𝜌 = 0.85
𝜌 = 0.85
𝑓´𝑐 2𝑀𝑢 (1 − √1 − ) 𝑓𝑦 𝜑𝑓 0.85𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑 2
21 2 ∙ 206.24 ∙ 106 (1 − √1 − ) = 0.0065 420 0.9 ∙ 0.85 ∙ 21 ∙ 300 ∙ 5502 1.4 1.4 = = 0.0033 𝑓𝑦 420 3 𝑓´𝑐 3 21 = 0.85𝛽1 = 0.85 ∙ 0.85 ∙ = 0.013 8 𝑓𝑦 8 420
𝛽1 = 0.85 𝜌𝑚𝑖𝑛 = 𝜌𝑚𝑎𝑥
(𝜌𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝜌 ≤ 𝜌𝑚𝑎𝑥 ) → 𝜌𝑟𝑒𝑞 = 𝜌 (0.0033 ≤ 0.0065 ≤ 0.013) → 𝜌𝑟𝑒𝑞 = 0.0065 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞 = 𝜌𝑟𝑒𝑞 𝑏𝑤 𝑑 = 0.0065 ∙ 300 ∙ 550 = 1074.307 𝑚𝑚2 Verificar la ductilidad: 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞 𝑓𝑦 1074.307 ∙ 420 𝑎 84.259 𝑎= = = 84.259 𝑚𝑚 𝑐 = = = 99.129 𝑚𝑚 0.85𝑓´𝑐 𝑏𝑤 0.85 ∙ 21 ∙ 300 𝛽1 0.85
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HORMIGÓN ARMADO 𝑑−𝑐 550 − 99.129 ) 𝜀𝑐 = ( ) 0.003 = 0.014 𝑐 99.129 𝜀𝑡 ≥ 0.005 → 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛
𝜀𝑡 = (
Paso 3: Se necesita refuerzo de torsión? (ACI 11.5.1) 𝐴𝑐𝑝 = 𝑏𝑤 ⋅ ℎ = 300 ∙ 600 = 180000 𝑚𝑚2 𝑃𝑐𝑝 = 2 ( 𝑏𝑤 + ℎ) = 2(300 + 600) = 1800 𝑚𝑚 Considerar la torsión si cumple la condición: 𝐴2𝑐𝑝 𝑇𝑢 ≥ 𝜑𝑡 0.083𝜆√𝑓´𝑐 ( ) → 𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑎𝑟 𝑎 𝑡𝑜𝑟𝑠𝑖ó𝑛 𝑃𝑐𝑝 1800002 25.2 kN ∙ m ≥ 0.75 ∙ 0.083 ∙ 1 ∙ √21 ( ) /106 → diseñar a torsión 1800 25.2 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 ≥ 5.13 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 → 𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑎𝑟 𝑎 𝑡𝑜𝑟𝑠𝑖ó𝑛 Paso 4: Determine si el caso implica torsión de equilibrio o de compatibilidad? (ACI 11.5.2) “La viga debe ser analizada como torsión de equilibrio” Paso 5: Calculo de las propiedades de sección (R11.5.3.6) 𝑥𝑜 = 𝑏𝑤 − 2 𝑟𝑒𝑐 − 𝜙𝑒𝑠𝑡 = 300 − 2 ∙ 30 − 10 = 230 𝑚𝑚 𝑦𝑜 = ℎ − 2 𝑟𝑒𝑐 − 𝜙𝑒𝑠𝑡 = 600 − 2 ∙ 30 − 10 = 530 𝑚𝑚 𝐴𝑜ℎ = 𝑥𝑜 ⋅ 𝑦𝑜 = 230 ⋅ 530 = 121900 𝑚𝑚2 𝐴𝑜 = 0.85 ⋅ 𝐴𝑜ℎ = 0.85 ⋅ 121900 = 103615 𝑚𝑚2 𝑃ℎ = 2 (𝑥𝑜 + 𝑦𝑜 ) = 2 (230 + 530) = 1520 𝑚𝑚 Paso 6: Es la sección de concreto suficientemente grande como para soportar la torsión? (ACI 11.5.3.1) 550 𝑉𝑐 = 0.17𝜆√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑 = 0.17 ∙ 1 ∙ √21 ∙ 400 ∙ = 128.541 𝑘𝑁 1000 2
√(
𝑉𝑢 2 𝑇𝑢 𝑃ℎ 𝑉𝑐 ) +( ) ≤ 𝜑 ( + 0.66√𝑓´𝑐 ) → 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑡 𝑏𝑤 𝑑 𝑏𝑤 𝑑 1.7𝐴2𝑜ℎ 2
174870 2 25.2 ∙ 106 ∙ 1520 128.541 ∙ 103 √( ) +( ) ≤ 0.75 ∙ ( + 0.66√21) 300 ∙ 550 1.7 ∙ 1219002 300 ∙ 550 1.84 ≤ 2.85 → 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 Paso 7: Determinar el refuerzo transversal requerido por torsión (ACI 11.4.3.6) 𝑇𝑢 25.2 𝑇𝑛 = = = 33.6 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝜑𝑡 0.75 𝐴𝑡 𝑇𝑛 𝜃 = 45° → = 𝑠 2𝐴𝑜 𝑓𝑦𝑡 cot 𝜃 copyright©rcolquea
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𝐴𝑡 33.6 ∙ 106 𝑚𝑚2 = = 0.386 → 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑟𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 𝑠 2 ∙ 103615 ∙ 420 ∙ cot 45 𝑚𝑚 Paso 8: Calculo del área de refuerzo requerido por cortante (ACI 11.4.7.2) 𝑉𝑢1 = 166.78 𝑘𝑁, 𝑙1 = 1.2 𝑚 𝑉𝑢 − 𝑉𝑢1 174.87 − 166.78 𝑉𝑢𝑑 = 𝑉𝑢 − 𝑑 = 174.87 − ∙ 0.55 = 171.162 𝑘𝑁 𝑙1 1.2 (1/2𝜑𝑐 𝑉𝑐 ≤ 𝑉𝑢𝑑 ) → 𝑠𝑒 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑖𝑡𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 (0.5 ∙ 0.75 ∙ 128.541 ≤ 171.162) → (48.20 ≤ 171.162 ) → 𝑠𝑒 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑖𝑡𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 𝑉𝑢𝑑 − 𝜑𝑐 𝑉𝑐 171.162 − 0.75 ∙ 128.541 𝑉𝑠 = = = 99.675 𝑘𝑁 𝜑𝑐 0.75 𝐴𝑣 𝑉𝑠 99.675 ∙ 103 𝑚𝑚2 = = = 0.431 → 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜 𝑠 𝑓𝑦𝑡 𝑑 420 ∙ 550 𝑚𝑚 Paso 9: Selección de estribos, el área de los estribos debe exceder el mínimo (ACI 11.5.5.2 y R 11.5.3.8) Refuerzo total y separación requerida en el alma para 2 ramas 𝐴𝑇 𝐴𝑡 𝐴𝑣 𝑚𝑚2 =2 + = 2 ∙ 0.386 + 0.431 = 1.204 → 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜 𝑠 𝑠 𝑠 𝑚𝑚 𝑠=
2𝜋
∅2𝑒𝑠𝑡 4
𝐴𝑇 𝑠
=
2∙𝜋∙
102 4
1.204
= 130.51 𝑚𝑚 → 𝑠𝑖 𝑢𝑠𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 𝑁º 10
Separación máxima permisible entre estribos Separación máxima entre estribos a corte: 𝑑/2 𝑉𝑠 ≤ 0.33√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑 → 𝑠𝑚𝑎𝑥.𝑐 = 𝑚𝑖𝑛 { 600 𝑚𝑚 550 550/2 (99.675 ≤ 0.33 ∙ √21 ∙ 300 ∙ ) → 𝑠𝑚𝑎𝑥.𝑐 = 𝑚𝑖𝑛 { 600 𝑚𝑚 1000 (99.675 ≤ 249.52) → 𝑠𝑚𝑎𝑥.𝑐 = 𝑚𝑖𝑛 {275 𝑚𝑚∎ 600 𝑚𝑚 Separación máxima entre estribos considerando corte y torsión: 𝑃ℎ 1520 190 𝑚𝑚∎ 8 8 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛 { = 𝑚𝑖𝑛 { = 𝑚𝑖𝑛 { 300 𝑚𝑚 300 𝑚𝑚 300 𝑚𝑚 275 𝑚𝑚 𝑠𝑚𝑎𝑥.𝑐 275 𝑚𝑚 Separación provista: 𝑠 130.51 𝑚𝑚 ∎ 𝑠𝑟𝑒𝑞 = min {𝑠 = min { → 𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣 = 130 𝑚𝑚 𝑚𝑎𝑥 190 𝑚𝑚 Verificar el área mínima de estribos: 2𝜋∅2𝑒𝑠𝑡 2 ∙ 𝜋 ∙ 102 𝐴𝑇 = = = 157.08 𝑚𝑚2 4 4 copyright©rcolquea
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𝐴𝑇.𝑚𝑖𝑛 = 𝐴𝑇.𝑚𝑖𝑛 =
0.062√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣 0.35𝑏𝑤 𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣 ≥ 𝑓𝑦𝑡 𝑓𝑦𝑡
0.062 ∙ √21 ∙ 300 ∙ 130 0.35 ∙ 300 ∙ 130 ≥ 420 420
𝐴𝑇.𝑚𝑖𝑛 = 26.38 𝑚𝑚2 ≥ 32.5 𝑚𝑚2 𝐴𝑇 ≥ 𝐴𝑇.𝑚𝑖𝑛 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝒆∅𝟏𝟎𝒄/𝟏𝟑𝟎 𝒎𝒎 Paso 10: Determinar el refuerzo longitudinal por torsión (ACI 11.5.3.7 y ACI 11.5.5.3) 𝐴𝑡 𝑓𝑦𝑡 420 𝐴𝑙 = 𝑃ℎ cot 2 𝜃 = 0.386 ∙ 1520 ∙ ∙ cot 2 45 = 586.788 𝑚𝑚2 𝑠 𝑓𝑦 420 𝐴𝑡 0.386 𝑠 0.386∎ 𝑥 = 𝑚𝑎𝑥 0.175𝑏 = 𝑚𝑎𝑥 {0.175 ∙ 300 = 𝑚𝑎𝑥 { 𝑤 0.125 420 { 𝑓𝑦𝑡 𝐴𝑙.𝑚𝑖𝑛 = 𝐴𝑙.𝑚𝑖𝑛 =
0.42√𝑓´𝑐 𝐴𝑐𝑝 𝑓𝑦𝑡 − 𝑥𝑃ℎ 𝑓𝑦 𝑓𝑦
0.42 ∙ √21 ∙ 180000 420 − 0.386 ∙ 1520 ∙ = 238.076 𝑚𝑚2 420 420 2 𝐴 𝐴𝑙.𝑟𝑒𝑞 = 𝑚𝑎𝑥 { 𝑙 = 𝑚𝑎𝑥 {586.788 𝑚𝑚 2∎ 𝐴𝑙.𝑚𝑖𝑛 238.076 𝑚𝑚
Paso 11: Ratio de torsión 𝐴𝑣 𝑠 = 0.431 ∙ 130 = 56.03 𝑚𝑚2 𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑣 𝐴𝑇 − 𝐴𝑣 157.08 − 56.03 𝐴𝑡 = = = 50.525 𝑚𝑚2 2 2 𝐴𝑡 𝜑𝑡 𝑇𝑛 = 𝜑𝑡 2𝐴 𝑓 cot 𝜃 𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣 𝑂 𝑦𝑡 𝐴𝑣 =
𝜑𝑡 𝑇𝑛 = 0.75 ∙
50.525 cot 45 ∙ 2 ∙ 103615 ∙ 420 ∙ = 25.37 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 130 106 𝑇𝑢 25.2 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 = = = 0.993 𝜑𝑡 𝑇𝑛 25.37
Paso 12: La armadura longitudinal requerida para torsión se debe distribuir alrededor del perímetro de los estribos, con una separación máxima de 300 𝑚𝑚. Las barras longitudinales deben estar dentro de los estribos, debe haber al menos una barra longitudinal en cada esquina de los estribos Lecho superior: 𝐴𝑙.𝑟𝑒𝑞 586.788 𝐴𝑠𝑢𝑝.𝑟𝑒𝑞 = + 𝐴𝑠.𝑟𝑒𝑞 = + 1074.307 = 1221.004 𝑚𝑚2 4 4 copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO 𝐴𝑠𝑢𝑝.𝑝𝑟𝑜𝑣 = 1253 𝑚𝑚2 → 4∅20
Lecho medio: 3𝐴𝑙.𝑟𝑒𝑞 3 ∙ 586.788 𝐴𝑚𝑒𝑑.𝑟𝑒𝑞 = = = 220.045 𝑚𝑚2 𝐴𝑚𝑒𝑑.𝑝𝑟𝑜𝑣 = 226 𝑚𝑚2 → 2∅12 8 8 Lecho inferior: 3𝐴𝑙.𝑟𝑒𝑞 3 ∙ 586.788 𝐴𝑖𝑛𝑓.𝑟𝑒𝑞 = = = 220.045 𝑚𝑚2 𝐴𝑖𝑛𝑓.𝑝𝑟𝑜𝑣 = 226 𝑚𝑚2 → 2∅12 8 8 La armadura longitudinal de torsión se debe anclar adecuadamente
Figura 5.37 – Armado de la sección
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Ejemplo 5.3 Diseñar una viga de borde de hormigón prefabricada, no pretensada, para una combinación de corte y torsión. Los elementos de la cubierta están simplemente apoyados en la entalladura horizontal de la viga de borde. Las vigas de bordes están conectadas a las columnas para transferir la torsión. No hay continuidad entre las vigas de borde.
Figura 5.38 – Vista parcial del sistema de cubierta prefabricado
Datos: 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: 𝑟𝑒𝑐 = 40 𝑚𝑚, 𝜙𝑒𝑠𝑡 = 10 𝑚𝑚, 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 = 25 𝑚𝑚 𝑘𝑔𝑓 𝑚3 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠: 𝐿𝑜 = 1.436 𝑘𝑁/𝑚2 , 𝐷𝑜 = 3.064 𝑘𝑁/𝑚2 , 𝜑𝑐 = 0.75, 𝜑𝑡 = 0.75, 𝜑𝑓 = 0.9
𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑓´𝑐 = 35 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦𝑡 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝜆 = 1, 𝑤𝑐 = 2400
𝐷𝑜 : Carga debido a la te doble+aislación+cubierta Los elementos de la cubierta son unidades tipo Te doble (TT) de 3 metros de ancho y 600 mm de profundidad. El diseño de estas unidades no se incluye en este ejemplo. A modo de apoyo lateral, extremos alternados de los elementos de la cubierta están fijados a las vigas de apoyo. Solución:
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Paso 1: De la figura definimos las dimensiones de la sección
Figura 5.39 – Corte A-A
ℎ = 800 𝑚𝑚, 𝑏𝑤 = 400 𝑚𝑚, ℎ1 = 200 𝑚𝑚, 𝑏1 = 275 𝑚𝑚, 𝑏2 = 75 𝑚𝑚, 𝑏3 = 150 𝑚𝑚 𝑙ℎ = 9 𝑚, 𝑙𝑣 = 18 𝑚, ⏟ 𝑐1 = 400 𝑚𝑚, 𝑐2 = 400 𝑚𝑚 , 𝑡 = 3/8𝑖𝑛 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎
Paso 2: Determinar el diagrama de esfuerzos internos (𝑀𝑢 , 𝑉𝑢 , 𝑇𝑢 ), además determine el área de refuerzo requerido para flexión. Carga distribuida mayorada sobre la viga (ACI 9.2.1) 𝑞𝑣𝑖𝑔𝑎 = 𝑤𝑐 (ℎ𝑏𝑤 + 𝑏3 (ℎ1 + 𝑡)) = 2400 ∙ (0.3 ∙ 0.6 + 0.15 ∙ (0.2 + 0.09375)) ∙
10 = 8.204 𝑘𝑁/𝑚 1000
Se asume que la carga de las doble Te sobre la viga de borde es uniforme. 𝑙𝑣 𝐷1 = 𝐷𝑜 = 3.064 ∙ 18/2 = 27.576 𝑘𝑁/𝑚 2 𝐷 = 𝑞𝑣𝑖𝑔𝑎 + 𝐷1 = 8.204 + 27.576 = 35.78 𝑘𝑁/𝑚 𝑙𝑣 = 1.436 ∙ 18/2 = 12.924 𝑘𝑁/𝑚 2 𝑞𝑢 = 1.2𝐷 + 1.6𝐿 = 1.2 ∙ 35.78 + 1.6 ∙ 12.924 = 63.614 𝑘𝑁/𝑚 Momento en el centro de la luz 𝐿 = 𝐿𝑜
𝑀𝑢 =
𝑞𝑢 𝑙ℎ 2 63.614 ∙ 92 = = 644.95 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 8 8
Corte en el extremo 𝑞𝑢 𝑙ℎ 63.614 ∙ 9 = = 286.265 𝑘𝑁 2 2 Carga de torsión mayorada 𝑉𝑢 =
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𝑡𝑢 = 1.2𝐷1 + 1.6𝐿 = 1.2 ∙ 27.576 + 1.6 ∙ 12.924 = 53.77 𝑘𝑁/𝑚 Excentricidad de las reacciones de la Te doble respecto del eje de la viga perimetral 𝑏1 = 275 𝑚𝑚 Momento torsor en el extremo 𝑙ℎ 9 𝑇𝑢 = 𝑡𝑢 𝑏1 = 53.77 ∙ ∙ 0.275 = 66.54 𝑘𝑁/𝑚 2 2 La sección crítica para la torsión está a una distancia 𝑑 a partir de la cara del apoyo. (ACI 11.5.2.4) 𝑑 = ℎ − 𝑟𝑒𝑐 − 𝜙𝑒𝑠𝑡 − 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 /2 = 800 − 40 − 10 − 25/2 = 737.5 𝑚𝑚 La sección critica para corte también está a una distancia d a partir de la cara de apoyo (ACI 11.1.3.1) La sección crítica se encuentra a 𝑥 medida a partir del eje de la columna 𝑏𝑤 400 𝑥=𝑑+ = 737.5 + = 937.5 𝑚𝑚 2 2 𝑦: Distancia a partir del centro de la luz a la sección critica 𝑙ℎ 9 𝑦 = − 𝑥 = − 0.9375 = 3.563 𝑚 2 2 Cortante y torsión de la sección crítica 𝑦 3.563 𝑇𝑢 = 𝑇𝑢 𝑙 = 66.54 ∙ 9 = 52.677 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 2
2
𝑉𝑢 = 𝑉𝑢
𝑦 𝑙
= 286.265 ∙
2
3.563 9
= 226.626 𝑘𝑁
2
Determinar el área de acero estrictamente necesario: 𝜌 = 0.85
𝜌 = 0.85
𝑓´𝑐 2𝑀𝑢 (1 − √1 − ) 𝑓𝑦 𝜑𝑓 0.85𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑 2
35 2 ∙ 644.95 ∙ 106 (1 − √1 − ) = 0.0083 420 0.9 ∙ 0.85 ∙ 35 ∙ 400 ∙ 737.52
0.05 0.05 (𝑓´𝑐 − 28) = 0.85 − (35 − 28) = 0.8 7 7 1.4 1.4 3 𝑓´𝑐 3 35 = = = 0.0033 𝜌𝑚𝑎𝑥 = 0.85𝛽1 = 0.85 ∙ 0.80 ∙ = 0.021 𝑓𝑦 420 8 𝑓𝑦 8 420 𝛽1 = 0.85 −
𝜌𝑚𝑖𝑛
(𝜌𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝜌 ≤ 𝜌𝑚𝑎𝑥 ) → 𝜌𝑟𝑒𝑞 = 𝜌 (0.0033 ≤ 0.0083 ≤ 0.021) → 𝜌𝑟𝑒𝑞 = 0.0083 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞 = 𝜌𝑟𝑒𝑞 𝑏𝑤 𝑑 = 0.0083 ∙ 400 ∙ 737.5 = 2454.62 𝑚𝑚2 Verificar la ductilidad: copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞 𝑓𝑦 2454.62 ∙ 420 = = 86.634 𝑚𝑚 0.85𝑓´𝑐 𝑏𝑤 0.85 ∙ 35 ∙ 400 𝑎 86.634 𝑐= = = 108.292 𝑚𝑚 𝛽1 0.8 𝑑−𝑐 737.5 − 108.292 𝜀𝑡 = ( ) 𝜀𝑐 = ( ) 0.003 = 0.0174 𝑐 108.292 𝜀𝑡 ≥ 0.005 → 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑎=
Paso 3: Se necesita refuerzo de torsión? (ACI 11.5.1) 𝐴𝑐𝑝 = 𝑏𝑤 ⋅ ℎ + ℎ1 𝑏3 = 400 ∙ 800 + 200 ∙ 150 = 350000 𝑚𝑚2 𝑃𝑐𝑝 = 2 ( 𝑏𝑤 + ℎ) + 2𝑏3 = 2(400 + 800) + 2 ∙ 150 = 2700 𝑚𝑚 Considerar la torsión si cumple la condición: 𝐴2𝑐𝑝 𝑇𝑢 ≥ 𝜑𝑡 0.083𝜆√𝑓´𝑐 ( ) → 𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑎𝑟 𝑎 𝑡𝑜𝑟𝑠𝑖ó𝑛 𝑃𝑐𝑝 3500002 52.677 kN ∙ m ≥ 0.75 ∙ 0.083 ∙ 1 ∙ √35 ( ) /106 → diseñar a torsión 2700 52.677 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 ≥ 16.71 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 → 𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑎𝑟 𝑎 𝑡𝑜𝑟𝑠𝑖ó𝑛 Paso 4: Determine si el caso implica torsión de equilibrio o de compatibilidad? (ACI 11.5.2) “La viga de borde se debe diseñar para la totalidad del momento torsor mayorado, ya que este se requiere para mantener el equilibrio”
Paso 5: Calculo de las propiedades de sección (R11.5.3.6) 𝑥𝑜 = 𝑏𝑤 − 2 𝑟𝑒𝑐 − 𝜙𝑒𝑠𝑡 = 400 − 2 ∙ 40 − 10 = 310 𝑚𝑚 𝑦𝑜 = ℎ − 2 𝑟𝑒𝑐 − 𝜙𝑒𝑠𝑡 = 800 − 2 ∙ 40 − 10 = 710 𝑚𝑚 𝑥1 = 𝑏𝑤 + 𝑏3 − 2 𝑟𝑒𝑐 − 𝜙𝑒𝑠𝑡 = 400 + 150 − 2 ∙ 40 − 10 = 460 𝑚𝑚 𝑥2 = 𝑏3 = 150 𝑚𝑚 𝑦1 = ℎ − ℎ1 = 800 − 200 = 600 𝑚𝑚 𝑦2 = 𝑦𝑜 − 𝑦1 = 710 − 600 = 110 𝑚𝑚 𝐴𝑜ℎ = 𝑥𝑜 ⋅ 𝑦𝑜 + 𝑥2 𝑦2 = 310 ⋅ 710 + 150 ∙ 110 = 236600 𝑚𝑚2 𝐴𝑜 = 0.85 ⋅ 𝐴𝑜ℎ = 0.85 ⋅ 236600 = 201110 𝑚𝑚2 𝑃ℎ = (𝑥𝑜 + 𝑦𝑜 + 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑥1 + 𝑥2 ) = (310 + 710 + 110 + 600 + 460 + 150) = 2340 𝑚𝑚
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Figura 5.40 – Eje de los estribos
Paso 6: Es la sección de concreto suficientemente grande como para soportar la torsión? (ACI 11.5.3.1) 737.5 𝑉𝑐 = 0.17𝜆√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑 = 0.17 ∙ 1 ∙ √35 ∙ 400 ∙ = 296.691 𝑘𝑁 1000 2
𝑉 2 𝑇𝑃 𝑉 √( 𝑢 ) + ( 𝑢 ℎ2 ) ≤ 𝜑𝑡 ( 𝑐 + 0.66√𝑓´𝑐 ) → 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑏𝑤 𝑑 𝑏𝑤 𝑑 1.7𝐴𝑜ℎ 2
226626 2 52.677 ∙ 106 ∙ 2340 296.691 ∙ 103 √( ) +( ) ≤ 0.75 ∙ ( + 0.66√35) 400 ∙ 737.5 1.7 ∙ 2366002 400 ∙ 737.5 1.50 ≤ 3.68 → 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 Paso 7: Determinar el refuerzo transversal requerido por torsión (ACI 11.4.3.6) 𝑇𝑢 52.677 𝐴𝑡 𝑇𝑛 𝑇𝑛 = = = 70.237 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝜃 = 45° → = 𝜑𝑡 0.75 𝑠 2𝐴𝑜 𝑓𝑦𝑡 cot 𝜃 𝐴𝑡 70.237 ∙ 106 𝑚𝑚2 = = 0.416 → 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑟𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 𝑠 2 ∙ 201110 ∙ 420 ∙ cot 45 𝑚𝑚 Paso 8: Calculo del área de refuerzo requerido por cortante (ACI 11.4.7.2) (1/2𝜑𝑐 𝑉𝑐 ≤ 𝑉𝑢 ) → 𝑠𝑒 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑖𝑡𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 (0.5 ∙ 0.75 ∙ 296.691 ≤ 226.626) → (111.26 ≤ 226.626 ) → 𝑠𝑒 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑖𝑡𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 𝑉𝑢 − 𝜑𝑐 𝑉𝑐 226.626 − 0.75 ∙ 296.6911 𝑉𝑠 = = = 5.477 𝑘𝑁 𝜑𝑐 0.75 𝐴𝑣 𝑉𝑠 5.477 ∙ 103 𝑚𝑚2 = = = 0.018 → 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜 𝑠 𝑓𝑦𝑡 𝑑 420 ∙ 737.5 𝑚𝑚
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Paso 9: Selección de estribos, el área de los estribos debe exceder el mínimo (ACI 11.5.5.2 y R 11.5.3.8) Refuerzo total y separación requerida en el alma para 2 ramas 𝐴𝑇 𝐴𝑡 𝐴𝑣 𝑚𝑚2 =2 + = 2 ∙ 0.416 + 0.018 = 0.849 → 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜 𝑠 𝑠 𝑠 𝑚𝑚 𝑠=
2𝜋
∅2𝑒𝑠𝑡 4
𝐴𝑇
=
2∙𝜋∙
𝑠
102 4
0.849
= 184.97 𝑚𝑚 → 𝑠𝑖 𝑢𝑠𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 𝑁º 10
Separación máxima permisible entre estribos Separación máxima entre estribos a corte: 𝑑/2 𝑉𝑠 ≤ 0.33√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑 → 𝑠𝑚𝑎𝑥.𝑐 = 𝑚𝑖𝑛 { 600 𝑚𝑚 737.5 737.5/2 (5.477 ≤ 0.33 ∙ √35 ∙ 400 ∙ ) → 𝑠𝑚𝑎𝑥.𝑐 = 𝑚𝑖𝑛 { 600 𝑚𝑚 1000 (5.477 ≤ 575.93) → 𝑠𝑚𝑎𝑥.𝑐 = 𝑚𝑖𝑛 {368.75 𝑚𝑚∎ 600 𝑚𝑚 Separación máxima entre estribos considerando corte y torsión: 𝑃ℎ 2340 292.5 𝑚𝑚∎ 8 8 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛 { = 𝑚𝑖𝑛 { = 𝑚𝑖𝑛 { 300 𝑚𝑚 300 𝑚𝑚 300 𝑚𝑚 368.75 𝑚𝑚 𝑠𝑚𝑎𝑥.𝑐 368.75 𝑚𝑚 Separación provista: 𝑠 184.97 𝑚𝑚 ∎ 𝑠𝑟𝑒𝑞 = min {𝑠 = min { → 𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣 = 180 𝑚𝑚 𝑚𝑎𝑥 292.5 𝑚𝑚 Verificar el área mínima de estribos: 𝐴𝑇 =
2𝜋∅2𝑒𝑠𝑡 2 ∙ 𝜋 ∙ 102 = = 157.08 𝑚𝑚2 4 4 𝐴𝑇.𝑚𝑖𝑛 =
𝐴𝑇.𝑚𝑖𝑛 =
0.062√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣 0.35𝑏𝑤 𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣 ≥ 𝑓𝑦𝑡 𝑓𝑦𝑡
0.062 ∙ √35 ∙ 400 ∙ 180 0.35 ∙ 400 ∙ 180 ≥ 420 420
𝐴𝑇.𝑚𝑖𝑛 = 62.88 𝑚𝑚2 ≥ 60 𝑚𝑚2
𝐴𝑇 ≥ 𝐴𝑇.𝑚𝑖𝑛 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 → 𝒆∅𝟏𝟎𝒄/𝟏𝟖𝟎 𝒎𝒎
Paso 10: Determinar la disposición de los estribos Debido a que en el centro de la luz tanto el corte como la torsión son nulos, y que se asume que varían linealmente hasta llegar al valor máximo en la sección critica, el punto donde debe comenzar la separación máxima de los estribos se puede determinar por proporcionalidad simple. 𝑠 0.18 𝑦= ∙ 3.563 = 2.253 𝑚 → 𝐷𝑖𝑔𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑎 2.3 𝑚 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑢𝑧 𝑠𝑚𝑎𝑥 0.2925
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Paso 11: Determinar el refuerzo longitudinal por torsión (ACI 11.5.3.7 y ACI 11.5.5.3) 𝐴𝑡 𝑓𝑦𝑡 420 𝐴𝑙 = 𝑃ℎ cot 2 𝜃 = 0.416 ∙ 2340 ∙ ∙ cot 2 45 = 972.895 𝑚𝑚2 𝑠 𝑓𝑦 420 𝐴𝑡 0.416 0.42√𝑓´𝑐 𝐴𝑐𝑝 𝑓𝑦𝑡 𝑠 0.416∎ 𝑥 = 𝑚𝑎𝑥 0.175𝑏 = 𝑚𝑎𝑥 {0.175 ∙ 400 = 𝑚𝑎𝑥 { 𝐴𝑙.𝑚𝑖𝑛 = − 𝑥𝑃ℎ 𝑤 0.167 𝑓𝑦 𝑓𝑦 420 { 𝑓𝑦𝑡 𝐴𝑙.𝑚𝑖𝑛 =
0.42 ∙ √35 ∙ 350000 420 − 0.416 ∙ 2340 ∙ = 1097.73 𝑚𝑚2 420 420 2 𝐴 𝐴𝑙.𝑟𝑒𝑞 = 𝑚𝑎𝑥 { 𝑙 = 𝑚𝑎𝑥 { 972.895 𝑚𝑚 𝐴𝑙.𝑚𝑖𝑛 1097.73𝑚𝑚2 ∎
Paso 12: Ratio de torsión 𝐴𝑣 𝑠 = 0.018 ∙ 180 = 3.24 𝑚𝑚2 𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑣 𝐴𝑇 − 𝐴𝑣 157.08 − 3.24 𝐴𝑡 𝐴𝑡 = = = 76.92 𝑚𝑚2 → 𝜑𝑡 𝑇𝑛 = 𝜑𝑡 2𝐴 𝑓 cot 𝜃 2 2 𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣 𝑂 𝑦𝑡 𝐴𝑣 =
𝜑𝑡 𝑇𝑛 = 0.75 ∙
76.92 cot 45 ∙ 2 ∙ 201110 ∙ 420 ∙ = 54.14 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 180 106 𝑇𝑢 52.677 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 = = = 0.973 𝜑𝑡 𝑇𝑛 54.14
Paso 13: La armadura longitudinal requerida para torsión se debe distribuir alrededor del perímetro de los estribos, con una separación máxima de 300 𝑚𝑚. Las barras longitudinales deben estar dentro de los estribos, debe haber al menos una barra longitudinal en cada esquina de los estribos. A la mitad de la luz Lecho superior: 𝐴𝑙.𝑟𝑒𝑞 1097.73 𝐴𝑠𝑢𝑝.𝑟𝑒𝑞 = = = 274.43 𝑚𝑚2 𝐴𝑠𝑢𝑝.𝑝𝑟𝑜𝑣 = 308 𝑚𝑚2 → 2∅14 4 4 Lecho medio superior: 𝐴𝑙.𝑟𝑒𝑞 1097.73 𝐴𝑚𝑒𝑑.𝑟𝑒𝑞.𝑠𝑢𝑝 = = = 274.43 𝑚𝑚2 𝐴𝑚𝑒𝑑.𝑝𝑟𝑜𝑣.𝑠𝑢𝑝 = 308𝑚𝑚2 → 2∅14 4 4 Lecho medio inferior: 𝐴𝑙.𝑟𝑒𝑞 1097.73 𝐴𝑚𝑒𝑑.𝑟𝑒𝑞.𝑖𝑛𝑓 = = = 274.43 𝑚𝑚2 𝐴𝑚𝑒𝑑.𝑝𝑟𝑜𝑣.𝑖𝑛𝑓 = 308 𝑚𝑚2 → 2∅14 4 4 Lecho inferior: 𝐴𝑙.𝑟𝑒𝑞 1097.73 𝐴𝑖𝑛𝑓.𝑟𝑒𝑞 = + 𝐴𝑠.𝑟𝑒𝑞 = + 2454.62 = 2729.053 𝑚𝑚2 4 4 𝐴𝑖𝑛𝑓.𝑝𝑟𝑜𝑣 = 2763 𝑚𝑚2 → 2∅25 + 3∅25 + 2∅14
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En un extremo del tramo, proveer la armadura de torsión longitudinal más al menos 1/3 de la armadura de flexión positiva. Lecho inferior: 𝐴𝑙.𝑟𝑒𝑞 𝐴𝑠.𝑟𝑒𝑞 1097.73 2454.62 𝐴𝑖𝑛𝑓.𝑟𝑒𝑞 = + = + = 1092.64 𝑚𝑚2 4 3 4 3 𝐴𝑖𝑛𝑓.𝑝𝑟𝑜𝑣 = 1290 𝑚𝑚2 → 2∅25 + 2∅14 La armadura longitudinal de torsión se debe anclar adecuadamente
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Paso 14: Detalle de armado D
e
E
14 c/ 23
e
14 c/ 21
F e
e
11x18
E
25 c/ 25
1713 e
e
10 c/18 18
e
e
25 c/ 26
15x29 10 c/29 19
14 c/ 24
F
1317
11x18 e 10 c/18 20
860,0
40,0
900,0
Figura 5.41 – Vista longitudinal de la viga de borde A-B
D-D 40,0 14 (L=912) 21
2
14 (L=892) 22
2
2
14 (L=892) 24
14 (L=892) 22
2
10 c/18 18
14 (L=892) 23
e 2
2
25 (L=892) 25
14 (L=892) 24
55,0
2
40,0 14 (L=912) 21
14 (L=892) 22
10 c/29 19
14 (L=892) 23
3 2
2
e
80,0
2
40,0 14 (L=912) 21
20,0
80,0
e
80,0
2
F-F
E-E
20,0
2
5 40,0
2
2
10 c/18 20
14 (L=892) 23
14 (L=892) 24
20,0
5
D
14 c/ 22
25 (L=452) 26
25 (L=892) 25 55,0
2
25 (L=892) 25 55,0
Figura 5.42 – Vista transversal de la viga A-B
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TABLA DE ACEROS Elementos
Número Símbolo (cm)
Longitud (cm)
B (cm)
C (cm)
D (cm)
E (cm)
Nº B B A
En un elemento
Total
Longitud tolal (cm)
Masa (kg)
18
10
219.0
31.0
71.0
31.0
71.0
12
12
2628.00
16.21
19
10
219.0
31.0
71.0
31.0
71.0
16
16
3504.00
21.62
20
10
219.0
31.0
71.0
31.0
71.0
12
12
2628.00
16.21
21
14
911.6
890.6
2
2
1823.20
22.06
B
22
14
892.0
892.0
2
2
1784.00
21.59
B
23
14
892.0
892.0
2
2
1784.00
21.59
B
24
14
892.0
892.0
2
2
1784.00
21.59
B
25
25
892.0
892.0
2
2
1784.00
68.68
B
26
25
452.0
452.0
3
3
1356.00
52.21
E
C
Nombre
Posición Diámetro
Masa Total
B B A E
C
D
B B A E
C
D
B
A
D
B
TORSION DE EQUILIBRIO
1
261.76
Figura 5.43 – Vista transversal de la viga A-B
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HORMIGÓN ARMADO Ejemplo 5.4 Detalle de armado del sistema de viguetas con losa de la figura adjunta soporta una carga de 15.66 𝑘𝑁⁄𝑚2 y las cargas muertas factorizadas y las otras cargas aplicadas sobre la viga suman 16 𝑘𝑁⁄𝑚. Diseñar la viga A-B del eje 1 a flexión corte y torsión (verificar si el diseño es para torsión de compatibilidad o equilibrio). Tomar 𝑓´𝑐 = 25 𝑀𝑃𝑎 y 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎 para estribos y barras longitudinales, los estribos deben ser cerrados, sistema de entrepiso debe ser vaciado monolíticamente y el hormigón es densidad normal.
Figura 5.44 – Vista en planta y corte transversal 1-1
Datos: 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: ℎ = 500 𝑚𝑚, 𝑏𝑤 = 650 𝑚𝑚, ℎ𝑓 = 115 𝑚𝑚, 𝑐1 = 600 𝑚𝑚, 𝑐2 = 600 𝑚𝑚, 𝑙𝑛𝐴𝐵 = 600 𝑚𝑚, 𝑙𝑛12 = 600 𝑚𝑚, ∅𝑒𝑠𝑡 = 10 𝑚𝑚, ∅𝑙𝑜𝑛𝑔 = 20 𝑚𝑚, 𝑟𝑒𝑐 = 30 𝑚𝑚
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𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑓´𝑐 = 25 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦𝑡 = 420 𝑀𝑃𝑎, ∅𝑓 = 0.9, ∅𝑐 = 0.75, ∅𝑡 = 0.75, 𝜆 = 1, 𝐸𝑠 = 200000 𝑀𝑃𝑎, 𝑤𝑐 = 2400
𝑘𝑔𝑓 𝑚3
𝑘𝑁 → 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑦 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖𝑑𝑎, 𝑚2 𝑘𝑁 = 16 → 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑟𝑑𝑒 𝑦 𝑒𝑙 𝑚𝑢𝑟𝑜 𝑚
𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠: 𝑞𝑣𝑖𝑔𝑢𝑒𝑡𝑎 = 15.66 𝑞𝑣𝑖𝑔𝑎
Figura 5.45 – Sección transversal de la viga a diseñar
Solución: Paso 1: Determinar el ancho efectivo y el peralte de la viga 6ℎ𝑓 + 𝑏𝑤 6 ∙ 115 + 650 = 1340 𝑚𝑚𝑚 6500 𝑙𝑛𝐴𝐵 + 650 = 1191.67 𝑚𝑚∎ 𝑏 = 𝑚𝑖𝑛 12 + 𝑏𝑤 = 𝑚𝑖𝑛 12 𝑏 = 1192 𝑚𝑚 9000 𝑙𝑛12 + 650 = 5150 𝑚𝑚 { { 2 + 𝑏𝑤 2 ∅𝑙𝑜𝑛𝑔 20 𝑑 = ℎ − 𝑟𝑒𝑐 − ∅𝑒𝑠𝑡 − = 500 − 30 − 10 − = 450 𝑚𝑚 2 2 Paso 2: Determinar los esfuerzos internos, es decir el momento último, cortante último y momento torsor último (𝑀𝑢 , 𝑉𝑢 , 𝑇𝑢 ); además calcule el área de refuerzo requerido para flexión. Las cargas se transmiten a la viga mediante viguetas, sin embargo por simplicidad se asume como si fuera una carga distribuida. La reacción de todas las viguetas por unidad de longitud está dada por: 𝑙𝑛12 9 𝑘𝑁 𝑞𝑣𝑖𝑔𝑢𝑒𝑡𝑎 = 𝑞𝑣𝑖𝑔𝑢𝑒𝑡𝑎 = 15.66 ∙ = 70.47 2 2 𝑚 Incluyendo la carga directamente aplicada sobre la viga, la carga total será: 𝑘𝑁 𝑞𝑢 = 𝑞𝑣𝑖𝑔𝑢𝑒𝑡𝑎 + 𝑞𝑣𝑖𝑔𝑎 = 70.47 + 16 = 86.47 𝑚 ESFUERZOS INTERNOS DE LA VIGA A-B (ACI 8.3.3) Momentos últimos Momento negativo exterior: copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO 𝑀𝑢𝐴_ =
2 −𝑞𝑢 𝑙𝑛𝐴𝐵 −86.47 ∙ 6.52 = = −228.335 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 16 16
Momento positivo: 2 𝑞𝑢 𝑙𝑛𝐴𝐵 86.47 ∙ 6.52 = = 260.954 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 14 14 Primer momento negativo interior:
𝑀𝑢𝐴𝐵 =
𝑀𝑢𝐵_
2 −𝑞𝑢 𝑙𝑛𝐴𝐵 −86.47 ∙ 6.52 = = = −365.336 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 10 10
Cortantes últimos Cortante exterior en el punto A y cortante a una distancia 𝑑 de la cara del apoyo: 𝑙𝑛𝐴𝐵 6.5 𝑉𝑢𝐴 = 1.15𝑞𝑢 = 1.15 ∙ 86.47 ∙ = 323.182 𝑘𝑁 2 2 𝑉𝑢𝐴𝑑 = 𝑉𝑢𝐴 − 𝑞𝑢 𝑑 = 323.182 − 86.47 ∙ 0.45 = 284.27 𝑘𝑁 Cortante interior en el punto B y cortante a una distancia 𝑑 de la cara del apoyo: 𝑙𝑛𝐴𝐵 6.5 𝑉𝑢𝐵 = 𝑞𝑢 = 86.47 ∙ = 281.028 𝑘𝑁 2 2 𝑉𝑢𝐵𝑑 = 𝑉𝑢𝐵 − 𝑞𝑢 𝑑 = 281.028 − 86.47 ∙ 0.45 = 242.116 𝑘𝑁 ESFUERZOS INTERNOS DE LA VIGUETA 1-2 (ACI 8.3.3) Momentos últimos Momento negativo exterior: 2 −𝑞𝑣𝑖𝑔𝑢𝑒𝑡𝑎 ∙ 1 𝑚 ∙ 𝑙𝑛12 −15.66 ∙ 1 ∙ 92 𝑀𝑢1_ = = = −52.853 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 24 24 Momento positivo: 2 𝑞𝑣𝑖𝑔𝑢𝑒𝑡𝑎 ∙ 1 𝑚 ∙ 𝑙𝑛12 15.66 ∙ 1 ∙ 92 = = 115.315 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 11 11 Primer momento negativo interior:
𝑀𝑢12 =
𝑀𝑢2_ =
2 −𝑞𝑣𝑖𝑔𝑢𝑒𝑡𝑎 ∙ 1 𝑚 ∙ 𝑙𝑛12 −15.66 ∙ 1 ∙ 92 = = −126.846 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 10 10
Cortantes últimos Cortante exterior en el punto 1: 𝑉𝑢1 = 1.15𝑞𝑣𝑖𝑔𝑢𝑒𝑡𝑎 ∙ 1 𝑚 ∙
𝑙𝑛12 9 = 1.15 ∙ 15.66 ∙ 1 ∙ = 81.041 𝑘𝑁 2 2
Cortante interior en el punto 2: 𝑉𝑢2 = 𝑞𝑣𝑖𝑔𝑢𝑒𝑡𝑎 ∙ 1 𝑚 ∙
𝑙𝑛12 9 = 15.66 ∙ 1 ∙ = 70.47 𝑘𝑁 2 2
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Figura 5.46 – Diagrama de momentos y cortantes de la vigueta 1-2
TORSIÓN DE LA VIGA A-B El momento último negativo 1 de la vigueta actúa como momento torsor de la viga de borde, el momento de la vigueta se convierte en una torsión distribuida por metro de ancho de la viga A-B: 𝑡 ´ = −𝑀𝑢1− = 52.853 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 La torsión en los extremos de la viga A-B es: 𝑙𝑛𝐴𝐵 6.5 𝑇𝑢𝐴 = 𝑡 ´ = 52.853 ∙ = 171.771 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 2 2 𝑇𝑢𝐵 = 𝑇𝑢𝐴 = 171.771 𝑘𝑁 ∙ 𝑚
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Figura 5.47 – Diagrama de esfuerzos internos de la viga de borde A-B
Debido a la excentricidad entre los centros de gravedad de la viga y columna, y el momento y cortante de la vigueta están en la cara derecha de la viga de borde, se debe determinar la resultante del momento torsor en el centroide de la viga de borde A-B. Diagrama de cuerpo libre de esfuerzos distribuidos en la sección transversal de la viga A-B:
Figura 5.48 – Diagrama de cuerpo libre inicial
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Diagrama de cuerpo libre de esfuerzos distribuidos en la sección transversal de la viga de borde A-B y resultante en el centroide de la columna.
Figura 5.49 – Diagrama de cuerpo libre medio
𝑏𝑤 𝑐1 𝑐1 − ) + 𝑉𝑢1 (𝑏𝑤 − ) 2 2 2 0.65 0.6 0.6 𝑀𝑟 = 52.853 + 16 ∙ 1 ∙ ( − ) + 81.04 ∙ (0.65 − ) = 81.617 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 2 2 2 𝑉𝑟 = 𝑞𝑣𝑖𝑔𝑎 ∙ 1𝑚 + 𝑉𝑢1 = 16 ∙ 1 + 81.041 = 97.041 𝑘𝑁 𝑀𝑟 = 𝑡´ + 𝑞𝑣𝑖𝑔𝑎 ∙ 1𝑚 ∙ (
Diagrama de cuerpo libre de esfuerzos distribuidos en la sección transversal de la viga de borde A-B, resultantes en el centroide de la viga.
Figura 5.50 – Diagrama de cuerpo libre final o resultante
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𝑏𝑤 0.65 = 52.853 + 81.041 ∙ = 79.191 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 2 2 El momento torsor calculado 𝑀𝑡 se convierte en una torsión distribuida sobre la viga de borde A-B debido a la redistribución de esfuerzos de torsión; si la viga de borde no se diseña para resistir 𝑀𝑟 y 𝑀𝑡 la misma colapsará. 𝑀𝑡 = 𝑡´ + 𝑉𝑢1
𝑡´ = 𝑀𝑡 = 79.191 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 La torsión en los extremos de la viga de borde A-B es: 𝑙𝑛𝐴𝐵 6.5 𝑇𝑢𝐴 = 𝑡 ´ = 79.191 ∙ = 257.37 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 2 2 𝑇𝑢𝐵 = 𝑇𝑢𝐴 = 257.37 𝑘𝑁 ∙ 𝑚
Figura 5.51 – Diagrama de momento torsor redistribuido
DISEÑO A FLEXIÓN DE LA VIGA A-B La viga A-B se debe diseñar como viga L porque el vaciado es monolítico. Para momento negativo exterior: 𝑀𝑢𝐴_ = −228.335 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝜌 = 0.85
𝜌 = 0.85
𝑓´𝑐 2𝑀𝑢𝐴_ (1 − √1 − ) 𝑓𝑦 ∅𝑓 0.85𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑2
25 2 ∙ 228.335 ∙ 106 (1 − √1 − ) = 0.0048 420 0.9 ∙ 0.85 ∙ 25 ∙ 650 ∙ 4502 𝜌𝑚𝑖𝑛 =
1.4 1.4 = = 0.0033 𝑓𝑦 420
3 𝑓´𝑐 3 25 𝜌𝑚𝑎𝑥 = 0.85𝛽1 = 0.85 ∙ 0.85 ∙ = 0.016 8 𝑓𝑦 8 420
𝛽1 = 0.85 (𝜌𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝜌 ≤ 𝜌𝑚𝑎𝑥 ) → 𝜌𝑟𝑒𝑞 = 𝜌
(0.0033 ≤ 0.0048 ≤ 0.016) → 𝜌𝑟𝑒𝑞 = 0.0048 copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞𝐴_ = 𝜌𝑟𝑒𝑞 𝑏𝑤 𝑑 = 0.0048 ∙ 650 ∙ 450 = 1409.48 𝑚𝑚2
𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞𝐴_ 𝑓𝑦 1409.48 ∙ 420 𝑎 42.86 = = 42.86 𝑚𝑚 → 𝑐 = = = 50.42 𝑚𝑚 0.85𝑓´𝑐 𝑏𝑤 0.85 ∙ 25 ∙ 650 𝛽1 0.85 𝑑−𝑐 450 − 50.42 𝜀𝑡 = ( ) 𝜀𝑐 = ( ) 0.003 = 0.0238 𝑐 50.42 𝜀𝑡 ≥ 0.005 → 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 Para momento positivo:
𝑎=
𝑀𝑢𝐴𝐵 = 260.954 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 → 𝜌 = 0.85
𝜌 = 0.85
𝑓´𝑐 2𝑀𝑢𝐴𝐵 (1 − √1 − ) 𝑓𝑦 ∅𝑓 0.85𝑓´𝑐 𝑏𝑑 2
25 2 ∙ 260.954 ∙ 106 (1 − √1 − ) = 0.0029 420 0.9 ∙ 0.85 ∙ 25 ∙ 1192 ∙ 4502 1.4 1.4 = = 0.0033 𝛽1 = 0.85 𝑓𝑦 420 3 𝑓´𝑐 3 25 = 0.85𝛽1 = 0.85 ∙ 0.85 ∙ = 0.016 8 𝑓𝑦 8 420
𝜌𝑚𝑖𝑛 = 𝜌𝑚𝑎𝑥
(𝜌 < 𝜌𝑚𝑖𝑛 ) → 𝜌𝑟𝑒𝑞 = 𝜌𝑚𝑖𝑛 → (0.0029 < 0.0033) → 𝜌𝑟𝑒𝑞 = 0.0033 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞𝐴𝐵 = 𝜌𝑟𝑒𝑞 𝑏𝑤 𝑑 = 0.0033 ∙ 1192 ∙ 450 = 1788 𝑚𝑚2 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞𝐴𝐵 𝑓𝑦 1788 ∙ 420 = = 29.65 𝑚𝑚 0.85𝑓´𝑐 𝑏 0.85 ∙ 25 ∙ 1192 𝑎 ≥ ℎ𝑓 → 𝑣𝑖𝑔𝑎 𝐿; 29.65 ≥ 115 → 𝑣𝑖𝑔𝑎 𝐿
𝑎=
𝑎 29.65 𝑑−𝑐 450 − 34.88 = = 34.88 𝑚𝑚 → 𝜀𝑡 = ( ) 𝜀𝑐 = ( ) 0.003 = 0.0357 𝛽1 0.85 𝑐 34.88 𝜀𝑡 ≥ 0.005 → 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 Para momento negativo en el primer apoyo interior:
𝑐=
𝑀𝑢𝐵_ = −365.336 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 → 𝜌 = 0.85
𝜌 = 0.85
𝑓´𝑐 2𝑀𝑢𝐵_ (1 − √1 − ) 𝑓𝑦 ∅𝑓 0.85𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑 2
25 2 ∙ 365.336 ∙ 106 (1 − √1 − ) = 0.008 420 0.9 ∙ 0.85 ∙ 25 ∙ 650 ∙ 4502 1.4 1.4 = = 0.0033 → 𝛽1 = 0.85 𝑓𝑦 420 3 𝑓´𝑐 3 25 = 0.85𝛽1 = 0.85 ∙ 0.85 ∙ = 0.016 8 𝑓𝑦 8 420
𝜌𝑚𝑖𝑛 = 𝜌𝑚𝑎𝑥
(𝜌𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝜌 ≤ 𝜌𝑚𝑎𝑥 ) → 𝜌𝑟𝑒𝑞 = 𝜌 → (0.0033 ≤ 0.008 ≤ 0.016) → 𝜌𝑟𝑒𝑞 = 0.008 copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞𝐵_ = 𝜌𝑟𝑒𝑞 𝑏𝑤 𝑑 = 0.008 ∙ 650 ∙ 450 = 2331.413 𝑚𝑚2
𝑎=
𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞𝐵_ 𝑓𝑦 2331.413 ∙ 420 𝑎 70.89 = = 70.89 𝑚𝑚 → 𝑐 = = = 83.402 𝑚𝑚 0.85𝑓´𝑐 𝑏𝑤 0.85 ∙ 25 ∙ 650 𝛽1 0.85 𝑑−𝑐 450 − 83.402 𝜀𝑡 = ( ) 𝜀𝑐 = ( ) 0.003 = 0.0132 𝑐 83.402 𝜀𝑡 ≥ 0.005 → 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛
Paso 3: Se necesita refuerzo de torsión? (ACI 11.5.1) ℎ − ℎ𝑓 500 − 115 = 385 𝑚𝑚∎ ℎ𝑏 = 𝑚𝑖𝑛 { ={ 4ℎ𝑓 4 ∙ 115 = 460 𝑚𝑚 𝐴𝑐𝑝 = 𝑏𝑤 ℎ + ℎ𝑏 ℎ𝑓 = 650 ∙ 500 + 385 ∙ 115 = 369275 𝑚𝑚2 𝑃𝑐𝑝 = 2 ((𝑏𝑤 + ℎ𝑏 ) + (ℎ𝑓 + ℎ𝑏 )) = 2((650 + 385) + (115 + 385)) = 3070 𝑚𝑚 𝐴2𝑐𝑝 𝑇𝑢𝐴 ≥ ∅𝑡 0.083𝜆√𝑓´𝑐 ( ) → 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑒 𝑟𝑒𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑜𝑟𝑠𝑖ó𝑛 𝑃𝑐𝑝 3692752 257.37 ≥ 0.75 ∙ 0.083 ∙ 1 ∙ √25 ∙ ( ) /106 → 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑒 𝑟𝑒𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑜𝑟𝑠𝑖ó𝑛 3070 257.37 ≥ 13.825 → 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑒 𝑟𝑒𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑜𝑟𝑠𝑖ó𝑛 Paso 4: Determine si el caso implica torsión de equilibrio o de compatibilidad? (ACI 11.5.2) Si las viguetas son pre-fabricadas se convierte en apoyo simple, por lo tanto se convierte en torsión de equilibrio. Torsión de equilibrio distribuido sobre la viga A-B: 𝑡𝑒 = 𝑀𝑟 − 𝑀𝑡 = 81.617 − 79.191 = 2.426 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Solicitaciones que provocan la torsión de equilibrio sobre la viga A-B:
Figura 5.52 – Torsión de equilibrio de l a viga de borde A-B
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𝑙𝑛𝐴𝐵 6.5 = 2.43 ∙ = 7.89 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 → 𝑇𝑢𝐵 = 𝑇𝑢𝐴 = 7.89 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 2 2 La viga y vigueta deben ser vaciadas monolíticamente, por lo tanto se debe diseñar como torsión de compatibilidad: Según el artículo ACI 11.5.2.2 se puede reducir la torsión última debida a solicitaciones, si y solo si la torsión es de compatibilidad: 𝑇𝑢𝐴 𝐴2𝑐𝑝 𝑇𝑢 = 𝑚𝑖𝑛 { ∅𝑡 0.33𝜆√𝑓´𝑐 ( ) 𝑃𝑐𝑝 𝑇𝑢𝐴 = 𝑡𝑒
257.37 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑇𝑢 = 𝑚𝑖𝑛 {
3692752
0.75 ∙ 0.33 ∙ 1 ∙ √25 ∙
(
3070 106
)
= 54.968 𝑘𝑁 ∙ 𝑚∎
Diagrama de torsión de compatibilidad o resistencia fisurada:
Figura 5.53 – Torsión de compatibilidad de la viga de borde A-B
𝑙𝑐 = 𝑙𝑛𝐴𝐵 − 2𝑑 = 6500 − 2 ∙ 450 = 5600 𝑚𝑚 2𝑇𝑢 2 ∙ 54.968 𝑡𝑐 = = = 19.631 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑙𝑐 5.6 La torsión es de compatibilidad por lo tanto se debe redistribuir los momentos de la vigueta 1-2: Momentos de redistribución: 𝑀𝑟𝑒𝑑1_ = −𝑡𝑐 − 𝑀𝑢1_ = −19.631 − (−52.853) = 33.221 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑟𝑒𝑑2_ =
−𝑀𝑟𝑒𝑑1_ −33.221 = = −16.611 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 → 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑠𝑡𝑖𝑔𝑎𝑟 𝑜𝑢𝑟𝑛𝑎𝑙𝑠 2 2 𝑀𝑟𝑒𝑑1_ − 𝑀𝑟𝑒𝑑2_ 𝑙𝑛12 𝑀𝑟𝑒𝑑12 = 𝑀𝑟𝑒𝑑1_ − ( ) 𝑙𝑛12 2 copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO 𝑀𝑟𝑒𝑑12 = 33.221 − (
33.221 − (−16.611) 9 ) ∙ = 8.305 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 9 2
Momentos fisurados: 𝑀𝑓𝑖𝑠1_ = −𝑡𝑐 = −19.631 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑓𝑖𝑠2_ = 𝑀𝑢2_ + 𝑀𝑟𝑒𝑑2_ = −126.846 + (−16.611) = −143.457 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑓𝑖𝑠12 = 𝑀𝑢12 + 𝑀𝑟𝑒𝑑12 = 115.315 + 8.305 = 123.62 𝑘𝑁 ∙ 𝑚
Figura 5.54 – Re-distribución de momentos de la vigueta 1-2
Paso 5: Determinar las propiedades de la sección (R11.5.3.6) 𝑥𝑜 = 𝑏𝑤 − 2𝑟𝑒𝑐 − ∅𝑒𝑠𝑡 = 650 − 2 ∙ 30 − 10 = 580 𝑚𝑚 𝑦𝑜 = ℎ − 2𝑟𝑒𝑐 − ∅𝑒𝑠𝑡 = 500 − 3 ∙ 30 − 10 = 430 𝑚𝑚 𝐴𝑜ℎ = 𝑥𝑜 𝑦𝑜 = 580 ∙ 430 = 249400 𝑚𝑚2 𝐴𝑜 = 0.85𝐴𝑜ℎ = 0.85 ∙ 249400 = 211990 𝑚𝑚2 𝑃ℎ = 2(𝑥𝑜 + 𝑦𝑜 ) = 2(580 + 430) = 2020 𝑚𝑚
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Figura 5.55 – Propiedades geométricas de la viga A-B
Paso 6: Es la sección de hormigón lo suficientemente grande como para soportar la torsión? (ACI11.5.3.1) 450 𝑉𝑐 = 0.17𝜆√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑 = 0.17 ∙ 1 ∙ √25 ∙ 650 ∙ = 248.625 𝑘𝑁 1000 2
𝑉𝑢𝐴𝑑 2 𝑇𝑢 𝑃ℎ 𝑉𝑐 √( ) +( ) ≤ ∅𝑡 ( + 0.66√𝑓´𝑐 ) → 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 2 𝑏𝑤 𝑑 𝑏𝑤 𝑑 1.7𝐴𝑜ℎ 2
2
284.27 ∙ 103 54.968 ∙ 106 ∙ 2020 248.625 ∙ 103 √( ) +( ) ≤ 0.75 ∙ ( + 0.66√25) 650 ∙ 450 1.7 ∙ 2494002 650 ∙ 450 1.43 ≤ 3.11 → 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 Paso 7: Determinar el refuerzo requerido por torsión (ACI 4.3.6) 𝑇𝑢 54.968 𝐴𝑡 𝑇𝑛 𝑇𝑛 = = = 73.29 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝜃 = 45° → = ∅𝑡 0.75 𝑠 2𝐴𝑜 𝑓𝑦𝑡 cot 𝜃 𝐴𝑡 73.29 ∙ 106 𝑚𝑚2 = = 0.4116 → 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑟𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 𝑠 2 ∙ 211990 ∙ 420 ∙ cot 𝜃 𝑚𝑚 Paso 8: Calculo del área de refuerzo requerido por cortante (ACI 11.4.7.2) Estribos de corte para el apoyo A (1/2∅𝑐 𝑉𝑐 ≤ 𝑉𝑢𝐴𝑑 ) → 𝑠𝑒 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑖𝑡𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 (0.5 ∙ 0.75 ∙ 248.625 ≤ 284.27) → (93.234 ≤ 284.27 ) → 𝑠𝑒 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑖𝑡𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 𝑉𝑢𝐴𝑑 − ∅𝑐 𝑉𝑐 284.27 − 0.75 ∙ 248.625 𝑉𝑠𝐴 = = = 130.402 𝑘𝑁 ∅𝑐 0.75 𝐴𝑣 𝑉𝑠𝐴 130.402 ∙ 103 𝑚𝑚2 = = = 0.69 → 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜 𝑠𝐴 𝑓𝑦𝑡 𝑑 420 ∙ 450 𝑚𝑚 Estribos de corte para el apoyo B (1/2∅𝑐 𝑉𝑐 ≤ 𝑉𝑢𝐵𝑑 ) → 𝑠𝑒 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑖𝑡𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 copyright©rcolquea
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(0.5 ∙ 0.75 ∙ 248.625 ≤ 242.116) → (93.234 ≤ 242.116 ) → 𝑠𝑒 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑖𝑡𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 𝑉𝑢𝐵𝑑 − ∅𝑐 𝑉𝑐 242.116 − 0.75 ∙ 248.625 𝑉𝑠𝐵 = = = 74.196 𝑘𝑁 ∅𝑐 0.75 𝐴𝑣 𝑉𝑠𝐵 74.196 ∙ 103 𝑚𝑚2 = = = 0.393 → 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜 𝑠𝐵 𝑓𝑦𝑡 𝑑 420 ∙ 450 𝑚𝑚 Paso 9: Selección de estribos, el área de los estribos debe exceder el mínimo (ACI 11.5.5.2 y R 11.5.3.8) Refuerzo total y separación requerida en el alma para 2 ramas Estribos de corte para el apoyo A: 𝐴𝑇 𝐴𝑡 𝐴𝑣 𝑚𝑚2 =2 + = 2 ∙ 0.4116 + 0.69 = 1.513 → 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜 𝑠𝐴 𝑠 𝑠𝐴 𝑚𝑚 𝑠𝐴 =
2𝜋
∅2𝑒𝑠𝑡 4
𝐴𝑇
=
𝑠𝐴
2∙𝜋∙
102 4
1.513
= 103.812 𝑚𝑚 → 𝑠𝑖 𝑢𝑠𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 𝑁º 10
Estribos de corte para el apoyo B: 𝐴𝑇 𝐴𝑡 𝐴𝑣 𝑚𝑚2 =2 + = 2 ∙ 0.4116 + 0.393 = 1.216 → 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜 𝑠𝐵 𝑠 𝑠𝐵 𝑚𝑚 𝑠𝐵 =
2𝜋
∅2𝑒𝑠𝑡
𝐴𝑇 𝑠𝐵
4
=
2∙𝜋∙
102 4
1.216
= 129.206 𝑚𝑚 → 𝑠𝑖 𝑢𝑠𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 𝑁º 10
Separación máxima permisible entre estribos Separación máxima entre estribos a corte en el punto A: 𝑑/2 𝑉𝑠𝐴 ≤ 0.33√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑 → 𝑠𝑚𝑎𝑥.𝑐𝐴 = 𝑚𝑖𝑛 { 600 𝑚𝑚 450 450/2 (130.402 ≤ 0.33 ∙ √25 ∙ 650 ∙ ) → 𝑠𝑚𝑎𝑥.𝑐𝐴 = 𝑚𝑖𝑛 { 600 𝑚𝑚 1000 225 𝑚𝑚∎ (130.402 ≤ 482.625) → 𝑠𝑚𝑎𝑥.𝑐𝐴 = 𝑚𝑖𝑛 { 600 𝑚𝑚 Separación máxima entre estribos a corte en el punto B: 𝑑/2 𝑉𝑠𝐵 ≤ 0.33√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑 → 𝑠𝑚𝑎𝑥.𝑐𝐵 = 𝑚𝑖𝑛 { 600 𝑚𝑚 450 450/2 (74.196 ≤ 0.33 ∙ √25 ∙ 650 ∙ ) → 𝑠𝑚𝑎𝑥.𝑐𝐵 = 𝑚𝑖𝑛 { 600 𝑚𝑚 1000 (74.196 ≤ 482.625) → 𝑠𝑚𝑎𝑥.𝑐𝐵 = 𝑚𝑖𝑛 {225 𝑚𝑚∎ 600 𝑚𝑚 Separación máxima entre estribos considerando corte y torsión:
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𝑃ℎ 2020 252.5 𝑚𝑚 8 8 𝑠𝑚𝑎𝑥𝐴 = 𝑚𝑖𝑛 { = 𝑚𝑖𝑛 { = 𝑚𝑖𝑛 { 300 𝑚𝑚 300 𝑚𝑚 300 𝑚𝑚 225 𝑚𝑚∎ 𝑠𝑚𝑎𝑥.𝑐𝐴 225 𝑚𝑚 𝑃ℎ 2020 252.5 𝑚𝑚 8 8 𝑠𝑚𝑎𝑥𝐵 = 𝑚𝑖𝑛 { = 𝑚𝑖𝑛 { = 𝑚𝑖𝑛 { 300 𝑚𝑚 300 𝑚𝑚 300 𝑚𝑚 225 𝑚𝑚∎ 𝑠𝑚𝑎𝑥.𝑐𝐵 225 𝑚𝑚 Separación provista: 𝑠𝐴 103.812 𝑚𝑚 ∎ 𝑠𝑟𝑒𝑞𝐴 = min {𝑠 = min { → 𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣𝐴 = 100 𝑚𝑚 𝑚𝑎𝑥𝐴 225 𝑚𝑚 𝑠𝐵 129.206 𝑚𝑚 ∎ 𝑠𝑟𝑒𝑞𝐵 = min {𝑠 = min { → 𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣𝐵 = 130 𝑚𝑚 𝑚𝑎𝑥𝐵 225 𝑚𝑚 Verificar el área mínima de estribos: 𝐴𝑇 =
2𝜋∅2𝑒𝑠𝑡 2 ∙ 𝜋 ∙ 102 = = 157.08 𝑚𝑚2 4 4
Para A: 𝐴𝑇.𝑚𝑖𝑛𝐴 =
0.062√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣𝐴 0.35𝑏𝑤 𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣𝐴 ≥ 𝑓𝑦𝑡 𝑓𝑦𝑡
0.062 ∙ √25 ∙ 650 ∙ 100 0.35 ∙ 650 ∙ 100 ≥ 420 420 2 2 = 47.976 𝑚𝑚 ≥ 54.167 𝑚𝑚 → (𝐴𝑇 ≥ 𝐴𝑇.𝑚𝑖𝑛𝐴 ) → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒! 𝐴𝑇.𝑚𝑖𝑛𝐴 =
𝐴𝑇.𝑚𝑖𝑛𝐴 Para A:
𝐴𝑇.𝑚𝑖𝑛𝐵 =
0.062√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣𝐵 0.35𝑏𝑤 𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣𝐵 ≥ 𝑓𝑦𝑡 𝑓𝑦𝑡
0.062 ∙ √25 ∙ 650 ∙ 130 0.35 ∙ 650 ∙ 130 ≥ 420 420 = 62.369 𝑚𝑚2 ≥ 70.417 𝑚𝑚2 → (𝐴𝑇 ≥ 𝐴𝑇.𝑚𝑖𝑛𝐵 ) → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒! 𝐴𝑇.𝑚𝑖𝑛𝐵 =
𝐴𝑇.𝑚𝑖𝑛𝐵
𝑷𝑨𝑹𝑨 𝑨: 𝒆∅𝟏𝟎𝒄/𝟏𝟎𝟎 𝒎𝒎
𝑷𝑨𝑹𝑨 𝑩: 𝒆𝟏𝟎∅𝒄/𝟏𝟑𝟎𝒎𝒎
Paso 10: Determinar el refuerzo longitudinal por torsión (ACI 11.5.3.7 y ACI 11.5.5.3) 𝐴𝑡 𝑓𝑦𝑡 420 𝐴𝑙 = 𝑃ℎ cot 2 𝜃 = 0.4116 ∙ 2020 ∙ ∙ cot 2 45 = 831.385 𝑚𝑚2 𝑠 𝑓𝑦 420 𝐴𝑡 0.4116 𝑠 0.4116∎ 𝑥 = 𝑚𝑎𝑥 0.175𝑏 = 𝑚𝑎𝑥 {0.175 ∙ 650 = 𝑚𝑎𝑥 { 𝑤 0.270 420 { 𝑓𝑦𝑡 𝐴𝑙.𝑚𝑖𝑛 =
0.42√𝑓´𝑐 𝐴𝑐𝑝 𝑓𝑦𝑡 − 𝑥𝑃ℎ 𝑓𝑦 𝑓𝑦 copyright©rcolquea
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𝐴𝑙.𝑚𝑖𝑛 =
0.42 ∙ √25 ∙ 369275 420 − 0.4116 ∙ 2020 ∙ = 1014.99 𝑚𝑚2 420 420 2 𝐴 𝐴𝑙.𝑟𝑒𝑞 = 𝑚𝑎𝑥 { 𝑙 = 𝑚𝑎𝑥 { 831.385 𝑚𝑚2 𝐴𝑙.𝑚𝑖𝑛 1014.99 𝑚𝑚 ∎
Paso 11: Ratio de torsión 𝐴 Para el caso más crítico, para B: 𝐴𝑣 = 𝑠 𝑣 𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣𝐵 = 0.393 ∙ 130 = 51.035 𝑚𝑚2 𝐵
𝐴𝑡 =
𝐴𝑇 − 𝐴𝑣 157.08 − 51.035 𝐴𝑡 = = 53.023 𝑚𝑚2 → ∅𝑡 𝑇𝑛 = ∅𝑡 2𝐴 𝑓 cot 𝜃 2 2 𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣𝐵 𝑂 𝑦𝑡 ∅𝑡 𝑇𝑛 = 0.75 ∙
53.023 cot 45 ∙ 2 ∙ 211990 ∙ 420 ∙ = 54.472 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 130 106 𝑇𝑢 54.968 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 = = = 1.009 ∅𝑡 𝑇𝑛 54.472
Paso 12: La armadura longitudinal requerida para torsión se debe distribuir alrededor del perímetro de los estribos, con una separación máxima de 300 𝑚𝑚. Las barras longitudinales deben estar dentro de los estribos, debe haber al menos una barra longitudinal en cada esquina de los estribos A la mitad de la luz, A-B Lecho inferior: 𝐴𝑙.𝑟𝑒𝑞 1014.99 𝐴𝑖𝑛𝑓.𝑟𝑒𝑞 = 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞𝐴𝐵 + = 1788 + = 2041.75 𝑚𝑚2 4 4 𝐴𝑖𝑛𝑓.𝑝𝑟𝑜𝑣 = 2286 𝑚𝑚2 → 6∅20 + 2∅16 Lecho medio: 3𝐴𝑙.𝑟𝑒𝑞 3 ∙ 1014.99 𝐴𝑚𝑒𝑑.𝑟𝑒𝑞 = = = 380.621 𝑚𝑚2 𝐴𝑚𝑒𝑑.𝑝𝑟𝑜𝑣 = 402 𝑚𝑚2 → 2∅16 8 8 Lecho superior: 3𝐴𝑙.𝑟𝑒𝑞 3 ∙ 1014.99 𝐴𝑠𝑢𝑝.𝑟𝑒𝑞 = = = 380.621 𝑚𝑚2 𝐴𝑠𝑢𝑝.𝑝𝑟𝑜𝑣 = 402 𝑚𝑚2 → 2∅16 8 8 Para el punto A: Lecho superior: 𝐴𝑙.𝑟𝑒𝑞 1014.99 𝐴𝑠𝑢𝑝.𝑟𝑒𝑞 = 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞𝐴_ + = 1409.48 + = 1663.224 𝑚𝑚2 4 4 𝐴𝑖𝑛𝑓.𝑝𝑟𝑜𝑣 = 1655 𝑚𝑚2 → 4∅20 + 2∅16 Lecho medio: 3𝐴𝑙.𝑟𝑒𝑞 3 ∙ 1014.99 𝐴𝑚𝑒𝑑.𝑟𝑒𝑞 = = = 380.621 𝑚𝑚2 𝐴𝑚𝑒𝑑.𝑝𝑟𝑜𝑣 = 402 𝑚𝑚2 → 2∅16 8 8 Lecho inferior: 3𝐴𝑙.𝑟𝑒𝑞 3 ∙ 1014.99 𝐴𝑖𝑛𝑓.𝑟𝑒𝑞 = = = 380.621 𝑚𝑚2 𝐴𝑖𝑛𝑓.𝑝𝑟𝑜𝑣 = 402 𝑚𝑚2 → 2∅16 8 8 copyright©rcolquea
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Para el punto B: Lecho superior: 𝐴𝑙.𝑟𝑒𝑞 1014.99 = 2331.413 + = 2585.16 𝑚𝑚2 4 4 𝐴𝑖𝑛𝑓.𝑝𝑟𝑜𝑣 = 2688 𝑚𝑚2 → 6∅20 + 4∅16
𝐴𝑠𝑢𝑝.𝑟𝑒𝑞 = 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞𝐵_ +
Lecho medio: 3𝐴𝑙.𝑟𝑒𝑞 3 ∙ 1014.99 𝐴𝑚𝑒𝑑.𝑟𝑒𝑞 = = = 380.621 𝑚𝑚2 𝐴𝑚𝑒𝑑.𝑝𝑟𝑜𝑣 = 402 𝑚𝑚2 → 2∅16 8 8 Lecho inferior: 3𝐴𝑙.𝑟𝑒𝑞 3 ∙ 1014.99 𝐴𝑖𝑛𝑓.𝑟𝑒𝑞 = = = 380.621 𝑚𝑚2 𝐴𝑖𝑛𝑓.𝑝𝑟𝑜𝑣 = 402 𝑚𝑚2 → 2∅16 8 8 La armadura longitudinal de torsión se debe anclar adecuadamente
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B
16 L=764 13
C
A-A
1
4
2
20 L=286 15
16 L=775 12
20 L=269 17 6
EJEMPLO TORSIÓN DE COMPATIBILIDAD Posición: 1.1.1 Número de elementos: 1
2
16 L=269 14
A
2
Paso 13: Detalle de armado
14 2
17 6 13 2
1
20 9
16 (L=764)
38,5
65
2
A 5
16x13 e
60,0
16 L=764 13
12 2 10 c/10/13 9
B
6
20 L=214 16
9x22 e 650,0
10 c/22 10
10 20
C 5
19x10 e
Elementos
10 c/10 11
Nombre
Nº
TORSION DE COMPATIBILIDAD
1
60,0
710,0
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Figura 5.56 – Vista longitudinal de la viga de borde A-B
A-A
B-B 12 2
14 2
16 (L=775)
C-C 12 2
4
11,5
11,5
11,5
13 2
2
38,5
16 (L=764) 13
16 (L=764)
6
10 e 10 c/22 16 (L=764) 13
2
38,5
65,0
11 e
13 2
16 (L=764) 13
10 c/10
50,0
10 c/13
50,0
9 e
16 (L=764)
50,0
20 (L=269)
17 6 13 2
12 2 16 (L=775) 20 (L=286) 15
16 (L=775)
16 (L=269)
16 (L=764)
2
38,5
65,0
16 (L=764) 13
65,0
Figura 5.57 – Vista transversal de la viga A-B TABLA DE ACEROS Elementos
Número Símbolo (cm)
Longitud (cm)
B (cm)
C (cm)
D (cm)
E (cm)
Nº
En un elemento
Total
Longitud tolal (cm)
Masa (kg)
Masa Total
B
9
10
217.0
58.0
43.0
58.0
43.0
17
17
3689.00
22.76
10
10
217.0
58.0
43.0
58.0
43.0
10
10
2170.00
13.39
11
10
217.0
58.0
43.0
58.0
43.0
20
20
4340.00
26.78
12
16
775.2
763.2
2
2
1550.40
24.50
B
13
16
764.0
764.0
4
4
3056.00
48.28
B
14
16
269.0
269.0
2
2
538.00
8.50
15
20
286.0
268.0
4
4
1144.00
28.26
B
16
20
214.0
214.0
6
6
1284.00
31.71
B
17
20
269.0
269.0
6
6
1614.00
39.87
E A
C
B
Nombre
Posición Diámetro
B
E A
C
B
D
B
E A
C
B
D
A
D
B
1
A
TORSION DE COMPATIBILIDAD
244.05
B
Figura 5.58 – Vista transversal de la viga A-B copyright©rcolquea
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5.14) PROBLEMAS PROPUESTOS Problema 5.1 ¿Cuáles son los límites de la norma ACI sobre el ancho de fisuras? Problema 5.2 ¿Cuál es la relación torsión-flexión según la ACI? Problema 5.3 ¿Cuál es el método que idealiza un modelo más realista para diseñar las regiones D? Problema 5.4 ¿Cuál es el área mínima de estribos en torsión que debe colocarse en las vigas, dónde y en qué casos? Problema 5.5 ¿Cuál es el peralte mínimo teórico total para la viga mostrada si no se usa refuerzo de tensión? La sección transversal no se muestra, pero es rectangular, con 𝑏 = 500 𝑚𝑚 y el peralte debe determinarse. La carga concentrada se localiza en el extremo del voladizo a 200 𝑚𝑚 a un lado del centro de la viga, 𝑓´𝑐 = 28 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, todo en concreto ligero.
Problema 5.6 ¿Determine la separación teórica de estribos cerrados Nº 12 O a una distancia 𝑑
desde la cara del apoyo para la viga de borde mostrada en la ilustración acompañante si 𝑓´𝑐 = 28 𝑀𝑃𝑎 y 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎. 𝑇𝑢 es igual a 36 𝑝𝑖𝑒 − 𝑘𝑙𝑏 en la cara del apoyo y se supone que varía a lo largo de la viga proporcionalmente al cortante. Recubrimiento libre de 35 𝑚𝑚 y concreto de peso normal. Problema 5.7 Determine la separación teórica de estribos cerrados Nº 12 O a una distancia 𝑑 desde la cara del apoyo para la viga mostrada si la carga actúa a 150 𝑚𝑚 del eje de la viga. Suponga que la torsión es igual a la carga uniforme multiplicada por las 75 𝑚𝑚. 𝑓´𝑐 = 21 𝑀𝑃𝑎 y 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, todos los concretos de agregado ligero. Suponga que el valor de la torsión varía desde un máximo en el apoyo a 0 en el centro de la viga, así como el cortante. Recubrimiento de 3.5 𝑐𝑚.
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Problema 5.8 ¿Es adecuada la viga mostrada para resistir un 𝑇𝑢 = 20 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 y una 𝑉𝑢 = 260 𝑘𝑁 si 𝑓´𝑐 = 28 𝑀𝑃𝑎 y 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎?. Las varillas mostradas se usan además de las que se proporcionan para el momento de flexión.
Problema 5.9 Para la viga T de la figura que está sometido a momento positivo, dadas las dimensiones, armado de la sección, propiedades de los materiales, para un concreto de peso normal. ¿se pide determinar el momento máximo flector resistente, el cortante máximo resistente y el momento torsor máximo resistente?. 𝑓𝑦 = 4200 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚2 𝑘𝑔𝑓 𝑓´𝑐 = 240 𝑐𝑚2 𝑟𝑒𝑐 = 2.5 𝑐𝑚
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Problema 5.10 Diseñar la viga C-D a flexión, corte y torsión para una cuantía máxima a flexión de 𝜌 = 0.012. Las columnas del pórtico de la figura son de 30x30 cm.
𝑓´𝑐 = 245 𝑘𝑔𝑓 ⁄𝑐𝑚2 , 𝑓𝑦 = 4000 𝑘𝑔𝑓⁄𝑐𝑚2 , 𝑟𝑒𝑐 = 2.5 𝑐𝑚, ∅𝑒𝑠𝑡 = 8 𝑚𝑚. Problema 5.11 Diseñar la viga A-B A torsión, corte y flexión para las condiciones geométricas y mecánicas que se observan en la figura.
𝑓´𝑐 = 235 𝑘𝑔𝑓 ⁄𝑐𝑚2 , 𝑓𝑦 = 4200 𝑘𝑔𝑓⁄𝑐𝑚2 , 𝑟𝑒𝑐 = 2.5 𝑐𝑚, ∅𝑒𝑠𝑡 = 8 𝑚𝑚. Problema 5.12 Diseñar la viga A-B A torsión, para las condiciones geométricas y mecánicas que se observan en la figura. La sección transversal de la viga es de 20x40 y las columnas son de 25x25 cm respectivamente.
𝑓´𝑐 = 230 𝑘𝑔𝑓 ⁄𝑐𝑚2 , 𝑓𝑦 = 4200 𝑘𝑔𝑓 ⁄𝑐𝑚2 , 𝑟𝑒𝑐 = 3 𝑐𝑚, ∅𝑒𝑠𝑡 = 8 𝑚𝑚. copyright©rcolquea
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CAPÍTULO 6: INTEGRIDAD ESTRUCTURALDESARROLLO DE LA ADHERENCIA INTRODUCCIÓN En el capítulo estudiaremos las consideraciones que se da en ACI 7.13 y el capítulo 12 del ACI, la idea básica es relacionar las consideraciones de integridad estructural y longitudes de desarrollo del capítulo 12 del ACI, de tal forma que exista compatibilidad entre el hormigón y el acero. En la figura 6.1 se presenta una falla a tensión en un empalme, la falla fue originado por la carencia de integridad y compatibilidad del acero y hormigón, es decir la adherencia no se ha desarrollado correctamente.
Figura 6.1 – Falla por falta de adherencia
La varilla de acero se debe deformar en la misma medida que el hormigón, con el objeto de evitar la separación de los dos materiales cuando están sujetos a la acción de las solicitaciones. El módulo de elasticidad, la ductilidad y la resistencia de fluencia o la ruptura del refuerzo, también deben ser considerablemente más altas que las del hormigón. Materiales como el latón el aluminio, el hule o el bambú, no son adecuados para desarrollar la adhesión requerida entre el refuerzo y el hormigón. El acero y las fibras de vidrio sí poseen las cualidades principales necesarias. La resistencia de adherencia es el resultado de la combinación de varios parámetros, tales como la adhesión mutua entre el hormigón y el acero y la presión que ejerce el hormigón endurecido en la varilla, debida a la contracción del hormigón al secarse. Además de esto, la trabazón y fricción que ocasionan los micros movimientos de la varilla en tracción, entre las corrugaciones de su superficie y el hormigón, resulta en un incremento de la resistencia al deslizamiento. El efecto total que producen estos factores se conoce como adherencia. En resumen, la resistencia de adherencia es controlada por los siguientes factores principales73: 1. Adhesión entre el hormigón y los elementos de refuerzo. 73
(G. Nawy, 1984, págs. 409-410) copyright©rcolquea
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2. El efecto de sujeción que resulta al secarse y contraerse el hormigón que rodea a la varilla y las dovelas de cortante que se forman entre las corrugaciones de la varilla y el hormigón en el que está ahogada. 3. La fricción que resiste al deslizamiento y la trabazón que se produce cuando el elemento de refuerzo es sujeto a esfuerzos de tracción. 4. La calidad y resistencia del hormigón a la tracción y compresión. 5. El efecto de anclaje mecánico que se obtiene en los extremos de las varillas por medio de la longitud de desarrollo, los empalmes, los ganchos y las barras cruzadas. 6. El diámetro, la forma y la separación del refuerzo, debido a que afectan el desarrollo de grietas. 6.1) COMPORTAMIENTO ADHERENCIA
DEL
DESARROLLO
DE
LOS
ESFUERZOS
DE
6.1.1) ADHERENCIA DE ANCLAJE En vigas de hormigón armado, el momento flector generado por las solicitaciones es resistido por el par resistente, donde la fuerza de compresión es resistida por el hormigón, y la fuerza de tracción es resistida por el acero, como se muestra en la figura 6.2.
Figura 6.2 – Esquema de esfuerzos de adherencia de una viga simplemente apoyada
La figura 6.2 muestra la varilla que se mantiene en equilibrio debido a la acción de las fuerzas de adherencia, si estas fuerzas desaparecen, el refuerzo se desprenderá del hormigón y la fuerza de tracción 𝑇 disminuirá a cero, entonces no existe adherencia y la viga colapsará. Los esfuerzos de adherencia son fuerzas que varían a lo largo de todos los puntos de la barra, se desarrollaran en toda la superficie del refuerzo, el diagrama de cuerpo libre con el esfuerzo de adherencia se muestra en la figura 6.3.
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Figura 6.3 – Relación entre los cambios de esfuerzo en una barra y los esfuerzos de adherencia
La fuerza de tracción en el acero del lado izquierdo de la barra es: 𝑇1 = 𝑓𝑠1 𝐴𝑏 La fuerza de tracción en el acero del lado derecho es: 𝑇2 = 𝑓𝑠2 𝐴𝑏 La fuerza promedio de adherencia de la barra mostrada es: 𝑇𝑎𝑣𝑔 = 𝜇𝑎𝑣𝑔 𝐴𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 → 𝑇𝑎𝑣𝑔 = 𝜇𝑎𝑣𝑔 𝜋𝑑𝑏 𝑙 Considerando que 𝑓𝑠2 > 𝑓𝑠1 , el esfuerzo promedio de adherencia 𝜇 deberá actuar en la superficie para mantener el equilibrio. De la sumatoria de fuerzas paralelas a la barra se obtiene: ∑ 𝑇𝑖 = 0 → 𝑇2 = 𝑇1 + 𝑇𝑎𝑣𝑔 Sustituyendo variables en la última ecuación: 𝑓𝑠2 𝐴𝑏 = 𝑓𝑠1 𝐴𝑏 + 𝜇𝑎𝑣𝑔 𝜋𝑑𝑏 𝑙 Despejando el esfuerzo de adherencia tenemos: ∆𝑓𝑠
𝑓𝑠2 𝐴𝑏 − 𝑓𝑠1 𝐴𝑏 = 𝜇𝑎𝑣𝑔 𝜋𝑑𝑏 𝑙 →
𝜋𝑑𝑏 2 4
⏞ ⏞𝑏 (𝑓𝑠2 − 𝑓𝑠1 ) 𝐴 𝑓𝑠2 𝐴𝑏 − 𝑓𝑠1 𝐴𝑏 = 𝜇𝑎𝑣𝑔 → = 𝜇𝑎𝑣𝑔 𝜋𝑑𝑏 𝑙 𝜋𝑑𝑏 𝑙 ∆𝑓𝑠
𝜋𝑑𝑏 2
∆𝑓𝑠 𝑑𝑏 𝜋𝑑𝑏 𝑙 4𝑙 Si se toma 𝑙 como una pequeña longitud diferencial, la ecuación resultará de la siguiente forma: ∆𝑓𝑠 𝜇𝑎𝑣𝑔 = 𝑑 4𝑑𝑥 𝑏 𝜇𝑎𝑣𝑔 =
4
=
6.1.2) ADHERENCIA POR FLEXIÓN Considerando una longitud entre dos fisuras de una viga simplemente apoyada que soporta una carga puntual en el centro del vano, tal como se muestra en la figura 6.4(a), el diagrama de momentos en la figura 6.4(b), el diagrama de fuerzas en la barra de la figura 6.4(c) y diagrama de fuerzas de la sección en la figura 6.4(d).
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Figura 6.4 – Esfuerzo de adherencia promedio en vigas
Realizando la sumatoria de fuerzas paralelas, resulta que: ∑ 𝑇𝑖 = 0 → 𝑇2 = 𝑇1 + 𝑇𝑎𝑣𝑔 Sustituyendo variables tenemos: 𝑇2 = 𝑇1 + 𝜇𝑎𝑣𝑔 𝜋𝑑𝑏 𝑑𝑥 → ⏟ 𝑇2 − 𝑇1 = 𝜇𝑎𝑣𝑔 𝜋𝑑𝑏 𝑙 → 𝜇𝑎𝑣𝑔 = ∆𝑇
Reemplazando la fuerza de tracción del acero ∆𝑇 =
∆𝑀 𝑗𝑑
∆𝑇 𝜋𝑑𝑏 𝑑𝑥
en la anterior ecuación se tiene:
∆𝑀
∆𝑀 𝜋𝑑𝑏 𝑑𝑥 𝜋 ∙ 𝑑𝑏∙ 𝑑 ∙ 𝑑𝑥 Reemplazar el momento que es igual a 𝑉𝑑𝑥 en la anterior ecuación se tiene: 𝑉𝑑𝑥 𝑉 𝜇𝑎𝑣𝑔 = → 𝜇𝑎𝑣𝑔 = 𝜋 ∙ 𝑑𝑏∙ 𝑑 ∙ 𝑑𝑥 𝜋 ∙ 𝑑𝑏∙ 𝑑 En caso de existir más de una barra, el perímetro de la barra 𝜋 ∙ 𝑑𝑏 puede expresarse como la sumatoria de perímetros, entonces la ecuación del esfuerzo de adherencia es igual a: 𝑉 𝜇𝑎𝑣𝑔 = ∑(𝜋 ∙ 𝑑𝑏 ) 𝑑 𝜇𝑎𝑣𝑔 =
𝑗𝑑
→ 𝜇𝑎𝑣𝑔 =
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6.1.3) MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE LA ADHERENCIA Para que la fuerza en el acero pueda ser transmitida al hormigón, es necesario que diferentes mecanismos se activen entre los dos materiales. Las clases de mecanismos que intervienen en la transferencia de la carga dependen del tipo de barra. En las barras lisas embebidas en hormigón la transferencia entre el hormigón y el acero se realiza a través de la adherencia y una pequeña cantidad de fricción. Estos dos mecanismos se pierden rápidamente cuando la barra es cargada a tracción, debido a que el diámetro de la barra disminuye levemente con la relación de Poison, por esta razón las barras lisas no son usadas como refuerzo. Pero en caso de utilizarse, se deben utilizar ganchos, arandelas y tuercas en el extremo de la barra lisa embebida de hormigón. En las barras corrugadas embebidas de hormigón la transferencia entre el hormigón y el acero es a través de la adherencia, fricción y apoyo en las protuberancias. Los dos mecanismos se pierden rápidamente quedando solamente la transferencia por apoyo en las protuberancias de la barra tal como se muestra en la figura 6.5(a). Los esfuerzos de apoyo que actúan en el hormigón son iguales y opuestos a los del acero, las cuales se muestran en la figura 6.5(b).
Figura 6.5 – Mecanismos de transferencia de la adherencia
En la figura 6.5(c) y 6.5(d) se muestra como en el mecanismo de transferencia genera apoyos en las protuberancias, las protuberancias generan reacciones que actúan en la masa del hormigón, las reacciones se dividen en radial y longitudinal, la componente longitudinal es la copyright©rcolquea
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que efectivamente realiza la transferencia de la fuerza, mientras que la radial produce esfuerzos circunferenciales que pueden agrietar el hormigón. La fuerza radial produce esfuerzos de tracción circunferencial alrededor de las barras, si las barras no tienen suficiente recubrimiento las hendiduras aparecerán paralelas a estas y se propagaran hacia la superficie exterior de la viga, las fisuras producidas por las fuerzas radiales generalmente se manifiestan en los lugares donde las barras de tracción son ancladas. En la figura 6.6 se puede observar tres secciones transversales de vigas de hormigón armado donde el hendimiento radial descrito en el anterior párrafo se presenta próximas a las caras traccionadas y se propaga desde las barras hacia el exterior de las secciones74. Para garantizar la adherencia las varillas se fabrican con corrugaciones, la adherencia química y la fricción entre las corrugaciones son insignificantes y la adherencia se debe primordialmente al apoyo sobre las costillas de la corrugación. Con base en pruebas, los patrones de agrietamiento en el concreto muestran que los esfuerzos de apoyo están inclinados respecto al eje de las varillas en aproximadamente 45º a 80º (el ángulo es afectado apreciablemente por la forma de las costillas). Como se muestra en la figura 6.5(a), se desarrollan fuerzas iguales y opuestas entre las varillas de refuerzo y el hormigón. Estas fuerzas internas se deben a la acción de cuña de las costillas al apoyarse contra el hormigón. Ocasionan esfuerzos de tracción en una porción cilíndrica de hormigón alrededor de cada varilla. Es un efecto parecido al que se da en un tubo de hormigón lleno de agua que presiona radialmente contra la pared del tubo, sometiéndola a tensión, si la tensión llega a ser muy alta el tubo se agrieta. De manera similar, si los esfuerzos de adherencia en una viga llegan a ser muy grandes, el hormigón alrededor de las varillas se separa y eventualmente la separación se extenderá hasta el lado y/o la parte inferior de la viga. Si cualquiera de estos tipos de separaciones llega hasta el extremo de la varilla, está se deslizará y la viga fallará. Cuanto más cercana sea la separación entre varillas y menor sea el recubrimiento, más delgado será el cilindro de hormigón alrededor de cada varilla y más probable será la falla debido a la ruptura de la adherencia.
74
(G. MacGregor, 2012, pág. 373) copyright©rcolquea
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Figura 6.6 – Tipos de falla por adherencia
La carga que produce el desarrollo de las hendiduras o la compresión diametral está en función de: 1. La mínima distancia de la barra a la superficie del hormigón o a la barra contigua, cuando la distancia es más pequeña, más pequeña es la distancia de fractura. 2. La resistencia a la tracción del hormigón. 3. Al incrementarse el esfuerzo de adherencia promedio las fuerzas que acuñan también aumenta ocasionando la falla por compresión diametral. La resistencia a la compresión a lo largo de las varillas depende de un buen número de factores, tales como el espesor del recubrimiento del hormigón, el espaciamiento de las varillas, los tipos de agregados que se usen, el efecto del confinamiento transversal de los estribos, etc. Como hay tantas variables, es imposible hacer pruebas de adherencia que sean válidas para los diferentes casos de estructuras. No obstante, el ACI ha tratado de hacer esto mismo con ecuaciones, que se describirán en las siguientes secciones. 6.1.4) LONGITUD DE DESARROLLO Debido a que el esfuerzo de adherencia varía a lo largo de la longitud de la barra anclada en la zona de tracción, el código ACI utiliza el concepto de longitud de desarrollo en lugar del concepto de esfuerzo de adherencia. La longitud de desarrollo (𝑙𝑑 ) es la longitud más corta de barra en la cual el esfuerzo de la barra puede incrementarse de cero hasta el esfuerzo de fluencia (𝑓𝑦 ).
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La longitud de desarrollo puede expresarse en términos del valor último del esfuerzo de adherencia promedio establecido anteriormente: ∆𝑓𝑠 𝑑𝑏 𝜇𝑎𝑣𝑔 = 4𝑙 Sustituyendo ∆𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 se tiene: 𝜇𝑎𝑣𝑔 =
𝑓𝑦 𝑑𝑏 4𝑙
Despejando 𝑙 se obtiene: 𝑓𝑦 𝑙𝑑 = ( )𝑑 4𝜇𝑎𝑣𝑔,𝑢 𝑏 𝜇𝑎𝑣𝑔,𝑢 : 𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑑ℎ𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 Exista otra fórmula hipotética de longitud de desarrollo que está en función de la resistencia cilíndrica del hormigón, la cual se desarrollará a continuación. Por medio de pruebas se ha verificado que la resistencia de adherencia 𝜇, es una función de la resistencia en compresión del hormigón de tal modo que75: 𝜇 = 𝑘 √𝑓′𝑐 Donde 𝑘 es una constante, si la resistencia de adherencia iguala o excede al esfuerzo de fluencia de una varilla con un área en su sección transversal 𝐴𝑏 , entonces: 𝜋𝑑𝑏 𝑙𝑑 𝜇 ≥ 𝐴𝑏 𝑓𝑦 Sustituyendo variables y ordenando tenemos: 𝐴𝑏 𝑓𝑦 1 𝐴𝑏 𝑓𝑦 𝑙𝑑 = = 𝑘1 𝜋𝑑𝑏 𝑘 √𝑓′𝑐 ⏟ √𝑓′𝑐 𝑘1
Dónde 𝑘1 es función de las propiedades geométricas del elemento de refuerzo y de la relación entre la resistencia de adherencia y la resistencia a compresión del hormigón. 6.2) CORTE Y DOBLADO DE LAS BARRAS DE REFUERZO Las vigas diseñadas hasta ahora se seleccionaron con base a los momentos máximos negativos y positivos, en otros puntos de la viga los momentos fueron menores, aunque es posible variar los peraltes de las vigas en cierta proporción a los momentos flexionantes, normalmente es más económico usar secciones prismáticas y reducir o cortar algo de refuerzo donde los momentos flexionantes son lo suficientemente pequeños. El acero de refuerzo es bastante caro y cortarlo donde es posible hacerlo puede reducir en forma apreciable los costos. Si el momento flexionante disminuye a 50% de su máximo, aproximadamente 50% de las varillas puede cortarse o quizá doblarse hacia arriba o hacia abajo hasta la otra cara de la viga, para hacerlas continuas con el refuerzo en la otra cara. En el siguiente ejemplo se muestra una viga simplemente apoyada con carga uniforme, la viga tiene seis varillas y se quiere cortar dos de ellas cuando el momento decrece un tercio y dos varillas más cuando el momento disminuye
75
(G. Nawy, 1984, pág. 415) copyright©rcolquea
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otro tercio. En este análisis, el momento máximo se divide en tres partes iguales por medio de las líneas horizontales. Si el diagrama de momentos se dibuja a escala, es satisfactorio un método gráfico para encontrar los puntos teóricos de corte, en el ejemplo se compara el procedimiento aproximado versus el procedimiento teórico. La capacidad del procedimiento teórico está dado por el momento último de diseño: 𝜙𝑀𝑛 = 𝜙𝐴𝑠 𝑓𝑦 (𝑑 − 𝑎/2) El momento nominal real no varía exactamente en proporción con el área de las varillas de refuerzo como se ilustra en el ejemplo 6.1, debido a variaciones en la altura del bloque de compresión conforme cambia el área de acero. Sin embargo, el cambio es tan pequeño, que para todos los propósitos prácticos la capacidad por momento de una viga puede suponerse directamente proporcional al área de acero. Se mostrará en este capítulo que las capacidades por momento, calculadas como se ilustra en el problema del ejemplo 6.1, tendrán que reducirse si no son provistas las suficientes longitudes más allá de los puntos teóricos de corte para que las varillas desarrollen sus esfuerzos plenos. Ejemplo 6.1 Para la viga simplemente apoyada mostrada en la figura, determine los puntos teóricos de corte en cada extremo de la viga donde puede cortarse dos varillas y luego determine los puntos teóricos donde dos varillas más pueden cortarse.
Figura 6.7 – Viga simplemente apoyada y sección transversal
Datos: 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: 𝑏𝑤 = 450 𝑚𝑚, ℎ = 750 𝑚𝑚, 𝑑 = 675 𝑚𝑚, 𝑙 = 9 𝑚, 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 = 25 𝑚𝑚, 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑓´𝑐 = 21 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝜆 = 1, 𝜑 = 0.9 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠: 𝑞𝑢 = 65 𝑘𝑁/𝑚 Solución: Paso 1: Determinar el momento máximo 𝑙2 92 𝑀𝑢𝑚𝑎𝑥 = 𝑞𝑢 = 65 ∙ = 658.125 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 8 8
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Paso 2: PROCEDIMIENTO APROXIMADO, de acuerdo a la geometría del diagrama de momentos despejamos las longitudes de las varillas 𝑥1 y 𝑥2 mostrados en la figura siguiente.
Figura 6.8 – Diagrama de momentos
𝑥12 𝑙 2
(2)
𝑥22 𝑙 2
( )
=
2 2 𝑙 2 2 9 2 → 𝑥1 = √ ∙ ( ) = √ ∙ ( ) = 2.598 𝑚 6 6 2 6 2
4 4 𝑙 2 4 9 2 √ √ = → 𝑥1 = ∙( ) = ∙ ( ) = 3.674 𝑚 6 6 2 6 2
2
Paso 3: Determinamos el momento nominal para 6, 4 y 2 varillas Momento nominal cuando la viga tiene seis varillas: 2 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 252 𝑛 = 6 → 𝐴𝑠 = 𝑛𝜋 =6∙𝜋∙ = 2945.243 𝑚𝑚2 4 4 𝐴𝑠 𝑓𝑦 2945.243 ∙ 420 𝑎= = = 154 𝑚𝑚 0.85𝑓´𝑐 𝑏𝑤 0.85 ∙ 21 ∙ 450
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(675 − 𝑎 𝜑𝑀𝑛 = 𝜑𝐴𝑠 𝑓𝑦 (𝑑 − ) = 09 ∙ 2945.243 ∙ 420 ∙ 2 106 Para el respectivo valor no se debe cortar ninguna varilla. Momento nominal cuando la viga tiene cuatro varillas:
154 2
)
= 665.755 𝑘𝑁 ∙ 𝑚
2 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 252 =4∙𝜋∙ = 1963.495 𝑚𝑚2 4 4 𝐴𝑠 𝑓𝑦 1963.495 ∙ 420 𝑎= = = 102.666 𝑚𝑚 0.85𝑓´𝑐 𝑏𝑤 0.85 ∙ 21 ∙ 450
𝑛 = 4 → 𝐴𝑠 = 𝑛𝜋
102.666
(675 − 2 ) 𝑎 𝜑𝑀𝑛 = 𝜑𝐴𝑠 𝑓𝑦 (𝑑 − ) = 09 ∙ 1963.495 ∙ 420 ∙ = 462.886 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 2 106 Cuando el momento disminuye a 462.89 𝑘𝑁 ∙ 𝑚, teóricamente pueden cortarse dos de las seis varillas. Momento nominal cuando la viga tiene dos varillas: 2 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 252 =2∙𝜋∙ = 981.748 𝑚𝑚2 4 4 𝐴𝑠 𝑓𝑦 981.748 ∙ 420 𝑎= = = 51.333 𝑚𝑚 0.85𝑓´𝑐 𝑏𝑤 0.85 ∙ 21 ∙ 450
𝑛 = 2 → 𝐴𝑠 = 𝑛𝜋
51.333
(675 − 2 ) 𝑎 𝜑𝑀𝑛 = 𝜑𝐴𝑠 𝑓𝑦 (𝑑 − ) = 09 ∙ 981.748 ∙ 420 ∙ = 240.968 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 2 106 Cuando el momento disminuye a 240.968 𝑘𝑁 ∙ 𝑚, teóricamente pueden cortarse cuatro de las seis varillas. Determinamos la cuantía de acero para dos varillas: 𝐴𝑠 981.748 𝜌= = = 0.00323, 𝛽1 = 0.85 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 450 ∙ 675 Determinamos la cuantía de acero mínima y máxima para verificar: 1.4 1.4 𝑓´𝑐 21 𝜌𝑚𝑖𝑛 = = = 0.00333, 𝜌𝑚𝑎𝑥 = 0.85 ∙ 𝛽1 ∙ = 0.85 ∙ 0.85 ∙ = 0.03613 𝑓𝑦 420 𝑓𝑦 420 𝜌𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝜌 ≤ 𝜌𝑚𝑎𝑥 → 0.00333 ≤ 0.00323 ≤ 0.03613 → 𝑛𝑜 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒! No cumple la cuantía mínima, pero este valor se considera suficientemente cercano.
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Paso 4: PROCEDIMIENTO TEÓRICO
Figura 6.9 – Diagrama de momentos debido a las solicitaciones versus capacidad
En la figura se muestra el diagrama de momento debido a las solicitaciones y el diagrama de momento cubierto por las barras de acero, tomando en cuenta que el momento provisto por las barras de acero debe ser mayor al momento requerido por las solicitaciones, lo mencionado puede generar variaciones en las distancias de las barras de acero. Realizamos sumatoria de momentos en el apoyo izquierdo para obtener el momento a cualquier distancia del apoyo izquierdo según la figura: 𝑥2 2 Con la anterior expresión se puede determinar la posición de los puntos en la viga donde el momento es 462.886 𝑦 240.97 𝑘𝑁 ∙ 𝑚. Los resultados se muestran en la figura: 𝑀 = 292.5𝑥 − 65
Para 𝑀 = 462.886 𝑘𝑁 ∙ 𝑚: 𝑥2 𝑥 = 6.950 𝑚 462.886 = 292.5𝑥 − 65 → { 𝐴 𝑥 2 𝐵 = 2.049 𝑚 Para 𝑀 = 240.698 𝑘𝑁 ∙ 𝑚: 𝑥2 𝑥 = 8.08 𝑚 240.698 = 292.5𝑥 − 65 → { 𝐴 𝑥 2 𝐵 = 0.92 𝑚 Longitud teórica para dos varillas: copyright©rcolquea
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𝑙 − 2𝑥𝐵 = 9 − 2 ∙ 2.049 = 4.9 𝑚 Longitud teórica para las siguientes dos varillas: 𝑙 − 2𝑥𝐵 = 9 − 2 ∙ 0.92 = 7.16 𝑚 COMENTARIO: Si se emplea el procedimiento aproximado las primeras dos varillas tendrán longitudes iguales a 2𝑥1 = 5.196 𝑚 (en comparación con el valor teóricamente correcto de 4.9 𝑚) y las segundas dos varillas de acuerdo al procedimiento aproximado tendrán longitudes iguales a 2𝑥2 = 7.348 𝑚 (en comparación con el valor teóricamente correcto de 7.16 𝑚). Entonces puede verse que el procedimiento aproximado conduce a resultados bastante razonables. En esta sección se analizaron los puntos teóricos de corte, como se verá en las secciones posteriores de este capítulo, las varillas deben prolongarse a distancias adicionales debido a las variaciones de los diagramas de momento, a los requisitos de anclaje de las varillas. 6.3) LONGITUDES DE DESARROLLO PARA EL REFUERZO A TRACCIÓN Los esfuerzos en las varillas deben transmitirse al hormigón mediante la adherencia entre el acero y el hormigón antes de que se puedan cortar las varillas, en el caso de varillas superiores a momento negativo, las varillas deben prolongarse una cierta distancia dentro del apoyo. Esta distancia llamada longitud de desarrollo o longitud de anclaje (𝑙𝑑 ), puede definirse como la longitud mínima de empotramiento de una varilla que es necesaria para que trabaje a su esfuerzo de fluencia, más cierta distancia adicional para asegurar la tenacidad del miembro. En los años recientes, se han efectuado pruebas más realistas con vigas; las expresiones para longitudes de desarrollo del código ACI que se presentarán en este capítulo se basan primordialmente en las pruebas realizadas en el Instituto Nacional de Estándares y Tecnología y en la Universidad de Texas. Las longitudes de desarrollo usadas para varillas corrugadas en tracción no deben ser menores que los valores calculados con la ecuación 12-1 del ACI o 300 𝑚𝑚. La sustitución en está ecuación, que se da a continuación, proporciona valores en términos de diámetros de varillas 𝑙 (𝑑𝑑 ), esta forma de respuesta es muy conveniente, diciéndose, por ejemplo, 30 diámetros de 𝑏
varillas. La ecuación 12-1 del ACI viene de la siguiente forma: 𝑓𝑦 𝜓𝑡 𝜓𝑒 𝜓𝑠 𝑓𝑦 𝜓𝑡 𝜓𝑒 𝜓𝑠 𝑙𝑑 𝑙𝑑 = ( ) 𝑑 → = ( ) 𝑏 𝑐 +𝐾 𝑐 +𝐾 𝑑𝑏 1.1𝜆√𝑓′𝑐 ( 𝑏𝑑 𝑡𝑟 ) 1.1𝜆√𝑓′𝑐 ( 𝑏𝑑 𝑡𝑟 ) 𝑏
𝑏
A continuación se describe cada uno de los términos de la ecuación, los valores de las variables para diferentes situaciones se da en la tabla 6.1. 1. Posición del refuerzo. Las varillas horizontales que tienen por lo menos 300 𝑚𝑚 de hormigón fresco colocado debajo de ellas, no se adhieren tan bien al hormigón como las varillas situadas cerca del fondo de dicho material, a estas varillas se les denomina varillas superiores. En el vaciado algo de aire y agua excedente tienden a subir hacia la parte superior del hormigón, como consecuencia, el refuerzo no se adhiere tan bien al hormigón debajo y se requieren por ello longitudes de desarrollo mayores. Para tomar en cuenta este efecto se usa el factor 𝜓𝑡 de la posición del refuerzo. 2. Recubrimiento de las varillas. Las varillas de refuerzo recubiertas con epóxido se usan frecuentemente hoy en día para proteger el acero de situaciones severas de corrosión. copyright©rcolquea
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Las cubiertas de los puentes y las losas de los estacionamientos en regiones de clima muy frío están susceptibles a la corrosión. Cuando se usan recubrimientos en las varillas, la adhesión se reduce y las longitudes de desarrollo deben incrementarse. Para tomar este hecho en cuenta, se usa en la ecuación el término 𝜓𝑒 o factor de recubrimiento. 3. Tamaños del refuerzo. Si se usan varillas pequeñas en un miembro para obtener cierta área transversal total, el área superficial total de las varillas será sensiblemente mayor que si se usan varillas de mayor diámetro para obtener la misma área total. Como consecuencia, las longitudes de desarrollo requeridas para las varillas pequeñas, con sus mayores áreas superficiales de adherencia (en proporción con sus áreas transversales) son menores que las requeridas para las varillas de mayor diámetro. Este factor se toma en cuenta con el factor de tamaño del refuerzo 𝜓𝑠 . 4. Agregados de peso ligero. El peso muerto del hormigón se puede reducir sustancialmente sustituyendo el agregado regular de piedra por el de peso ligero. El uso de tales agregados conduce generalmente a hormigón de menor resistencia. Tales hormigones tienen resistencias menores a la rajadura, por lo cual las longitudes de desarrollo tienen que ser mayores. En la ecuación, λ es el factor de modificación del hormigón de peso ligero estudiado en el capítulo 1. 5. Separación entre varillas o dimensiones del recubrimiento. Si el recubrimiento del hormigón o la separación libre entre las varillas son muy pequeños, el hormigón puede 𝑐 +𝐾 rajarse, esta situación se toma en consideración con el término 𝑏𝑑 𝑡𝑟 , se llama término 𝑏
de confinamiento. En la ecuación 𝑐𝑏 representa la menor de las distancias del centro de la varilla en tracción a la superficie más cercana del hormigón o la media separación entre centros del refuerzo. En esta expresión, 𝑘𝑡𝑟 es un factor llamado índice de refuerzo transversal. Se usa para tomar en cuenta la contribución del refuerzo de confinamiento (estribos) a través de los posibles planos de rajaduras. 40𝐴𝑡𝑟 𝐾𝑡𝑟 = 𝑠𝑛 Dónde: 𝐴𝑡𝑟 = área de la sección transversal total de todo el refuerzo transversal que tenga la separación 𝑠 de centro a centro y una resistencia a fluencia 𝑓𝑦𝑡 . 𝑛= número de varillas que van a desarrollarse a lo largo del plano de rajadura. Si el acero está en dos capas, 𝑛 es el mayor número de varillas en una capa individual. 𝑠= separación centro a centro del refuerzo transversal. En la sección 12.2.3 del código ACI permite conservadoramente el uso de 𝐾𝑡𝑟 = 0 y limita 𝑐 +𝐾 el valor de 𝑏𝑑 𝑡𝑟 a un valor máximo de 2.5, se ha encontrado que si se usan valores mayores 𝑏
que 2.5, las longitudes de desarrollo más cortas resultantes incrementan el peligro de fallas por extracción. 𝑐𝑏 + 𝐾𝑡𝑟 < 2.5 𝑑𝑏
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1.
𝜓𝑡 =factor de posición de refuerzo
• Refuerzo horizontal situado de tal manera que más de 300 mm de hormigón fresco es colado en el miembro abajo de la longitud de desarrollo o empalme...............................................................................................................1.3 • Otro refuerzo........................................................................................................1.0
2.
𝜓𝑒 =factor de recubrimiento
• Barras o alambres recubiertas con epóxico y barras con recubrimiento dual de zinc y epóxico, con recubrimiento menor que 3𝑑𝑏 o separación libre menor que 6𝑑𝑏 ...........................................................................1.5 • Todas las otras varillas o alambres recubiertos con epóxido y barras con recubrimiento dual de zinc y epóxico.................................................................................................................1.2 • Refuerzo no recubierto y bañado en cinc.......................................................................................................................1.0 • Sin embargo, el producto de 𝜓𝑡 𝜓𝑒 no tiene que tomarse mayor que...................1.7
3.
𝜓𝑠 =factor de tamaño de refuerzo
• Varillas menores a Nº 19 y alambres corrugados............................................................................................................0.8 • Varillas mayores aNº22........................................................................................1.0
4.
𝜆=factor de hormigón con agregado de peso ligero
• Cuando se usa concreto con agregado ligero, 𝜆 no excederá...............................0.75 𝑓′
• Sin embargo, cuando se especifica 𝑓𝑐𝑡 , 𝜆 se podra tomar igual a 1.8𝑓𝑐
𝑐𝑡
• Pero no mayor que................................................................................................1.0 • Cuando se usa hormigón de peso normal.............................................................1.0
5.
𝑐𝑏 =separación o dimensión del recubrimiento
• Use la mayor, ya sea la distancia del centro de la varilla o alambre a la superficie más cercana de hormigón, o bien la mitad de la separación centro a centro de las varillas o alambre por desarrollar Tabla 6-1 Factores que se utilizan en las expresiones para determinar las longitudes de desarrollo requeridas para varillas corrugadas en tracción (ACI 12.2.4)
Existe más especificación del ACI, para poder determinar la longitud requerida de desarrollo.
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Articulo ACI 12.2.5. Cuando la cantidad de refuerzo de flexión proporcionado excede la cantidad teórica requerida y donde las especificaciones usadas no requieren específicamente que las longitudes de desarrollo 𝑙 se basen en 𝑓𝑦 , el valor de 𝑑𝑑 puede multiplicarse 𝑏
por (𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜 ⁄𝐴𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑜 ). Este factor de reducción no se puede usar para el desarrollo del refuerzo en los soportes para el refuerzo positivo, ni para el desarrollo de los refuerzos por contracción y temperatura, tampoco para situaciones indicadas en R 12.2.5. Articulo ACI 12.2.2. Permite el uso de un enfoque más simple y conservador para ciertas condiciones, se puede utilizar la tabla 6.2 para poder determinar la longitud de desarrollo.
ACI 12.2-Desarrollo de barras corrugadas y de alambres corrugados a tracción ACI 12.2.1 La longitud de desarrollo para barras corrugadas y alambre corrugado en tracción, 𝑙𝑑 , debe determinarse a partir de 12.2.2 ó 12.2.3, con los factores de modificación de 12.2.4 y 12.2.5, pero 𝑙𝑑 no debe ser menor que 300 mm. ACI 12.2.2 Para barras corrugadas o alambres corrugados, 𝑙𝑑 de ser: (utilizar la tabla 6.2) ACI 12.2.3 Para barras corrugadas o alambres corrugados, 𝑙𝑑 de ser: 𝑙𝑑 = (
𝑓𝑦 𝜓𝑡 𝜓𝑒 𝜓𝑠 𝑐𝑏 +𝐾𝑡𝑟 ) 𝑑𝑏
1.1𝜆√𝑓 ′ 𝑐 (
En donde el término tomarse
) 𝑑𝑏
𝑐𝑏 +𝐾𝑡𝑟 𝑑𝑏
no debe
mayor
a 2.5 y 40𝐴𝑡𝑟 𝐾𝑡𝑟 = 𝑠𝑛 En donde 𝑛 es el número de barras o alambres que se empalman o desarrollan dentro del plano de hendimiento. Se puede usar 𝑘𝑡𝑟 = 0 como una simplificación de diseño aún si hay refuerzo transversal presente.
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HORMIGÓN ARMADO Barras 𝑁𝑜. 19 o menores y alambres corrugados
Espaciamiento y recubrimiento
Espaciamiento libre entre barras o alambres que están siendo empalmadas o desarrolladas no menor que 𝒅𝒃 , recubrimiento libre no menor que 𝒅𝒃 , y estribos a lo largo de 𝒍𝒅 no menos que el mínimo del Reglamento o espaciamiento libre entre barras o alambres que están siendo desarrolladas o empalmadas no menor a 𝟐𝒅𝒃 y recubrimiento libre no menor a 𝒅𝒃
𝑓𝑦 𝜓𝑡 𝜓𝑒 (
2.1 𝜆 √𝑓´𝑐
Barras 𝑁𝑜. 22 y mayores
𝑓𝑦 𝜓𝑡 𝜓𝑒
𝑑𝑏 (
)
1.7 𝜆 √𝑓´𝑐
𝑑𝑏 )
Otros casos 𝑓𝑦 𝜓𝑡 𝜓𝑒 (
1.4 𝜆 √𝑓´𝑐
𝑓𝑦 𝜓𝑡 𝜓𝑒
𝑑𝑏 )
(
1.1 𝜆 √𝑓´𝑐
𝑑𝑏 )
Tabla 6-2Ecuaciones simplificadas para la longitud de desarrollo (ACI 12.2.2)
Las longitudes de desarrollo calculadas con las ecuaciones simplificadas son a menudo mucho más largas que las determinadas con la ecuación regular, lo que las hace menos económicas. Se recomienda utilizar la ecuación 12-1 del ACI suponiendo 𝑘𝑡𝑟 = 0, ya que los resultados obtenidos así son solo un poco más conservadores que los obtenidos con la ecuación completa76. Ejemplo 6.2 Las varillas Nº 20 mostradas en la figura están recubiertas con epóxido, el hormigón es de peso normal, determinar las longitudes de desarrollo requeridas para 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎 y 𝑓′𝑐 = 25 𝑀𝑃𝑎, calcular la longitud de desarrollo para las condiciones siguientes: a. Usando las ecuaciones simplificadas b. Usando las ecuación 12-1 del ACI con 𝐾𝑡𝑟 = 0 c. Usando la ecuación completa 12-1 del ACI con el valor calculado de 𝐾𝑡𝑟
Figura 6.10 – Sección transversal
Datos: 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: ℎ = 600 𝑚𝑚, 𝑏𝑤 = 375 𝑚𝑚, 𝑟𝑒𝑐 = 40 𝑚𝑚, 𝜙𝑒𝑠𝑡 = 10 𝑚𝑚, 𝑑𝑏 = 20 𝑚𝑚, 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑓´𝑐 = 25 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝜆 = 1 76
(McCormac C., 2011, pág. 191) copyright©rcolquea
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Solución: Paso 1: Determinamos los factores que interfieren en la longitud de desarrollo Factor de posición del refuerzo. ACI 12.2.4 (a) 𝜓𝑡 = 1 → 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜 Factor de recubrimiento, están recubiertas con epóxido. ACI 12.2.4 (b) 𝑏𝑤 − 2𝑟𝑒𝑐 − 2𝜙𝑒𝑠𝑡 − 𝑛𝑑𝑏 375 − 2 ∙ 40 − 2 ∙ 10 − 4 ∙ 20 𝑠𝑙 = = = 65 𝑚𝑚 𝑛−1 4−1 𝑠𝑙 < 6𝑑𝑏 → 𝜓𝑒 = 1.5 → 65 < 120 → 𝜓𝑒 = 1.5 𝜓𝑡 𝜓𝑒 ≤ 1.7 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 → 1 ∙ 1.5 ≤ 1.7, 1.5 ≤ 1.7 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 Factor de tamaño de refuerzo. ACI 12.2.4 (c) 𝑑𝑏 > 19 𝑚𝑚 → 𝜓𝑠 = 1 Separación o dimensión del recubrimiento. ACI 12.2.3 20 𝑟𝑒𝑐 + 𝜙𝑒𝑠𝑡 + 𝑑𝑏 /2 40 + 10 + = 60 2 𝑠𝑙 + 𝑑𝑏 𝑐𝑏 = 𝑚𝑖𝑛 { = 𝑚𝑖𝑛 { 65 + 20 = 42.5 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 2 2 Paso 2: Determinar las longitudes de desarrollo a. Usando la ecuación simplificada para casos prácticos corrientes. ACI 12.2.2 𝑓𝑦 𝜓𝑡 𝜓𝑒 420 ∙ 1 ∙ 1.5 𝑑𝑏 ≤ 20 𝑚𝑚 → 𝑙𝑑 = ( ) 𝑑𝑏 → 𝑙 𝑑 = ( ) 20 = 1200 𝑚𝑚 2.1 ∙ 1 ∙ √25 2.1𝜆√𝑓′𝑐 𝑙𝑑 = 60 𝑑𝑖á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑏 b. Usando la ecuación 12-1 del ACI con 𝐾𝑡𝑟 = 0. ACI 12.2.3 𝑐𝑏 + 𝐾𝑡𝑟 42.5 + 0 𝑐𝑏 + 𝐾𝑡𝑟 = = 2.125 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 = 𝑚𝑖𝑛 { 𝑑𝑏 20 𝑑𝑏 2.5 𝑙𝑑 = (
𝑓𝑦 𝜓𝑡 𝜓𝑒 𝜓𝑠 1.1𝜆√𝑓′𝑐 (
𝑐𝑏 +𝐾𝑡𝑟 𝑑𝑏
420 ∙ 1 ∙ 1.5 ∙ 1 ) 𝑑𝑏 → 𝑙𝑑 = ( ) 20 = 1078.075 𝑚𝑚 1.1 ∙ 1 ∙ √25 ∙ 2.125 )
𝑙𝑑 = 53.904 𝑑𝑖á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑏 c. Usando la ecuación 12-1 del ACI con valor calculado de 𝐾𝑡𝑟 . ACI 12.2.3 2 𝜙𝑒𝑠𝑡 40𝐴𝑡𝑟 40 ∙ 157.08 𝐴𝑡𝑟 = 2𝜋 = 157.08 𝑚𝑚2 → 𝐾𝑡𝑟 = = = 10.472 𝑚𝑚 4 𝑠𝑛 150 ∙ 4 𝑐𝑏 + 𝐾𝑡𝑟 42.5 + 10.472 𝑐𝑏 + 𝐾𝑡𝑟 = = 2.665 = 𝑚𝑖𝑛 { 𝑑𝑏 20 𝑑𝑏 2.5 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 𝑓𝑦 𝜓𝑡 𝜓𝑒 𝜓𝑠 420 ∙ 1 ∙ 1.5 ∙ 1 𝑙𝑑 = ( ) 𝑑𝑏 → 𝑙𝑑 = ( ) 20 = 916.364 𝑚𝑚 𝑐𝑏 +𝐾𝑡𝑟 1.1 ∙ 1 ∙ √25 ∙ 2.5 1.1𝜆√𝑓′𝑐 ( 𝑑 ) 𝑏 𝑙𝑑 = 45.818 𝑑𝑖á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑏 copyright©rcolquea
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Ejemplo 6.3 El área requerida de acero de refuerzo para viga de hormigón ligero de la figura adjunta es de 1860 𝑚𝑚2. Las varillas superiores de 25 𝑚𝑚 no están recubiertas, determine las longitudes de desarrollo para las siguientes condiciones: a. Usando las ecuaciones simplificadas b. Usando las ecuación 12-1 del ACI con 𝐾𝑡𝑟 = 0 c. Usando la ecuación completa 12-1 del ACI con el valor calculado de 𝐾𝑡𝑟
Figura 6.11 – Sección transversal
Datos: 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: ℎ = 600 𝑚𝑚, 𝑏𝑤 = 375 𝑚𝑚, 𝑟𝑒𝑐 = 30 𝑚𝑚, 𝜙𝑒𝑠𝑡 = 10 𝑚𝑚, 𝑑𝑏 = 25 𝑚𝑚, 𝑛 = 4, 𝑠 = 200 𝑚𝑚, 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞 = 1860 𝑚𝑚2 , 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣 = 1963 𝑚𝑚2 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑓´𝑐 = 25 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝜆 = 0.75 Solución: Paso 1: Determinamos los factores que interfieren en la longitud de desarrollo Factor de posición del refuerzo. ACI 12.2.4 (a) 𝜓𝑡 = 1.3 → 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠 Factor de recubrimiento, no están recubiertas con epóxido. ACI 12.2.4 (b) 𝜓𝑒 = 1.0 𝜓𝑡 𝜓𝑒 ≤ 1.7 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 → 1.3 ∙ 1.0 ≤ 1.7 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 Factor de tamaño de refuerzo. ACI 12.2.4 (c) 𝑑𝑏 > 19 𝑚𝑚 → 𝜓𝑠 = 1 Separación o dimensión del recubrimiento. ACI 12.2.3 𝑏𝑤 − 2𝑟𝑒𝑐 − 2𝜙𝑒𝑠𝑡 − 𝑛𝑑𝑏 375 − 2 ∙ 30 − 2 ∙ 10 − 4 ∙ 25 𝑠𝑙 = = = 65 𝑚𝑚 𝑛−1 4−1 25 𝑟𝑒𝑐 + 𝜙𝑒𝑠𝑡 + 𝑑𝑏 /2 30 + 10 + = 52.5 𝑚𝑚 2 𝑠𝑙 + 𝑑𝑏 𝑐𝑏 = 𝑚𝑖𝑛 { = 𝑚𝑖𝑛 { 65 + 25 = 45 𝑚𝑚 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 2 2 Paso 2: Determinar las longitudes de desarrollo a. Usando la ecuación simplificada para casos prácticos corrientes. ACI 12.2.2
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HORMIGÓN ARMADO 𝑑𝑏 > 20 𝑚𝑚 → 𝑙𝑑 = (
𝑓𝑦 𝜓𝑡 𝜓𝑒 1.7𝜆√𝑓′𝑐
) 𝑑𝑏
𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞 420 ∙ 1.3 ∙ 1.0 1860 → 𝑙𝑑 = ( ) 25 = 2028.827 𝑚𝑚 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣 1963 1.7 ∙ 0.75 ∙ √25
𝑙𝑑 = 81.153 𝑑𝑖á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑏 b. Usando la ecuación 12-1 del ACI con 𝐾𝑡𝑟 = 0. ACI 12.2.3 𝑐𝑏 + 𝐾𝑡𝑟 45 + 0 𝑐𝑏 + 𝐾𝑡𝑟 = = 1.8 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 = 𝑚𝑖𝑛 { 𝑑𝑏 25 𝑑𝑏 2.5 𝑙𝑑 = (
𝑓𝑦 𝜓𝑡 𝜓𝑒 𝜓𝑠 1.1𝜆√𝑓′𝑐 (
𝑐𝑏 +𝐾𝑡𝑟 𝑑𝑏
)
) 𝑑𝑏
𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞 420 ∙ 1.3 ∙ 1 ∙ 1 1860 → 𝑙𝑑 = ( ) 25 = 1741.923 𝑚𝑚 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣 1963 1.1 ∙ 0.75 ∙ √25 ∙ 1.8
𝑙𝑑 = 69.68 𝑑𝑖á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑏 c. Usando la ecuación 12-1 del ACI con valor calculado de 𝐾𝑡𝑟 . ACI 12.2.3 2 𝜙𝑒𝑠𝑡 40𝐴𝑡𝑟 40 ∙ 157.08 𝐴𝑡𝑟 = 2𝜋 = 157.08 𝑚𝑚2 𝐾𝑡𝑟 = = = 7.854 𝑚𝑚 4 𝑠𝑛 200 ∙ 4 𝑐𝑏 + 𝐾𝑡𝑟 45 + 7.854 𝑐𝑏 + 𝐾𝑡𝑟 = = 2.11 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 = 𝑚𝑖𝑛 { 𝑑𝑏 25 𝑑𝑏 2.5 𝑙𝑑 = (
𝑓𝑦 𝜓𝑡 𝜓𝑒 𝜓𝑠 1.1𝜆√𝑓′𝑐 (
𝑐𝑏 +𝐾𝑡𝑟 𝑑𝑏
)
) 𝑑𝑏
𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞 420 ∙ 1.3 ∙ 1 ∙ 1 1860 → 𝑙𝑑 = ( ) 25 = 1483.077 𝑚𝑚 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣 1963 1.1 ∙ 0.75 ∙ √25 ∙ 2.111
𝑙𝑑 = 59.323 𝑑𝑖á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑏 6.4) LONGITUDES DE DESARROLLO PARA VARILLAS EN RACIMO En el caso de que sea necesario utilizar varillas en racimos se requieren mayores longitudes de desarrollo, porque no hay un núcleo de hormigón entre las varillas que proporciona resistencia al deslizamiento. ACI 12.4.1. Establece que las longitudes de desarrollo y empalme en varillas en racimo deben determinarse calculando primero las longitudes necesarias para las varillas individuales, incrementando luego esos valores en 20% para tres varillas y 33% para racimos de cuatro varillas. Cuando se calculan los factores relativos al recubrimiento y la separación libre de un racimo, se considera el área total de las varillas como si fuese el de una sola varilla. En otras palabras, es necesario remplazar el haz de varillas con una varilla ficticia de tal forma que su diámetro forme un área equivalente a la del racimo. Las propiedades de adherencia de las varillas en racimo son en realidad mejores que las de una sola varilla ficticia, al determinar 𝑐𝑏 , el término de confinamiento y el factor 𝜓𝑒 , se considera que la varilla ficticia tiene un centroide que coincide con el racimo de varillas, tal como lo muestra el siguiente ejemplo.
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Ejemplo 6.4 Calcular la longitud de desarrollo requerida para las varillas inferiores en racimo, las varillas no están recubiertas con epóxido y se muestras en la figura adjunta. El hormigón es de peso normal, utilizar la ecuación 12-1 del ACI para 𝐾𝑡𝑟 = 0.
Figura 6.12 – Sección transversal
Datos: 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: ℎ = 550 𝑚𝑚, 𝑏𝑤 = 350 𝑚𝑚, 𝑟𝑒𝑐 = 50 𝑚𝑚, 𝜙𝑒𝑠𝑡 = 10 𝑚𝑚, 𝑑𝑏 = 25 𝑚𝑚 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑓´𝑐 = 28 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝜆 = 1.0 Solución: Paso 1: Determinamos los factores que interfieren en la longitud de desarrollo Factor de posición del refuerzo. ACI 12.2.4 (a) 𝜓𝑡 = 1.0 → 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠 Factor de recubrimiento, no están recubiertas con epóxido. ACI 12.2.4 (b) 𝜓𝑒 = 1.0; 𝜓𝑡 𝜓𝑒 ≤ 1.7 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 → 1.0 ∙ 1.0 ≤ 1.7 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 Factor de tamaño de refuerzo. ACI 12.2.4 (c) 𝑑𝑏 > 19 𝑚𝑚 → 𝜓𝑠 = 1 Diámetro 𝑑𝑏𝑓 de una sola varilla para área de 3 varillas de 25 𝑚𝑚, diámetro ficticio 𝑑𝑏 2 𝑛 = 3 𝐴𝑠 = 𝑛𝜋 = 1472.622 𝑚𝑚2 4 𝑑𝑏𝑓 2 4𝐴𝑠 4 ∙ 1472.622 𝐴𝑠 = 𝑛𝜋 → 𝑑𝑏𝑓 = √ =√ = 43.301 𝑚𝑚 4 𝜋 𝜋 Separación o dimensión del recubrimiento (ver figura). ACI 12.2.3 o Recubrimiento lateral de las varillas 𝑐𝑏1 = 𝑟𝑒𝑐 + 𝜙𝑒𝑠𝑡 + 𝑑𝑏 = 50 + 10 + 25 = 85 𝑚𝑚 o Recubrimiento lateral de las varillas 𝑐𝑏2 = 𝑟𝑒𝑐 + 𝜙𝑒𝑠𝑡 + 0.79𝑑𝑏 = 50 + 10 + 0.79 ∙ 25 = 79.75 𝑚𝑚 o ½de la separación entre centros de las varillas 𝑏𝑤 − 2𝑟𝑒𝑐 − 2𝜙𝑒𝑠𝑡 − 2𝑑𝑏 350 − 2 ∙ 50 − 2 ∙ 10 − 2 ∙ 25 𝑐𝑏3 = = = 90 𝑚𝑚 2 2 copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO 𝑐𝑏1 85 𝑚𝑚 𝑐𝑏 = 𝑚𝑖𝑛 {𝑐𝑏2 = 𝑚𝑖𝑛 {79.75 𝑚𝑚 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 𝑐𝑏3 90 𝑚𝑚
Figura 6.13 – Centroide de un racimo de 3 varillas
Paso 2: Determinar las longitudes de desarrollo Usando la ecuación 12-1 del ACI con 𝐾𝑡𝑟 = 0, es recomendable trabajar con está condición. ACI 12.2.3 𝑐𝑏 + 𝐾𝑡𝑟 79.75 + 0 𝑐𝑏 + 𝐾𝑡𝑟 = = 1.842 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 = 𝑚𝑖𝑛 { 𝑑𝑏𝑓 43.301 𝑑𝑏𝑓 2.5 𝑓𝑦 𝜓𝑡 𝜓𝑒 𝜓𝑠 420 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 𝑙𝑑 = ( ) 𝑑 𝑙 = ( ) 25 = 979.46 𝑚𝑚 𝑏 𝑑 𝑐 +𝐾 1.1 ∙ 1 ∙ √28 ∙ 1.842 1.1𝜆√𝑓′𝑐 ( 𝑏𝑑 𝑡𝑟 ) 𝑏
Para paquetes de 3 barras se debe aumentar 20% a la longitud de desarrollo. ACI 12.4.1 𝑙𝑑 𝑙𝑑 = 1.2𝑙𝑑 = 1.2 ∙ 979.46 = 1175.354 𝑚𝑚 → = 47.014 𝑑𝑖á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑏 6.5) GANCHOS Cuando no se dispone de suficiente espacio para anclar las varillas a tracción prolongándolas según sus longitudes de desarrollo requeridas, pueden emplearse ganchos, los ganchos se consideran inservibles para varillas en compresión y para propósitos de longitud de desarrollo. La figura 6.14 muestra detalles de los ganchos estándar a 90º y 180º especificados en las secciones 7.1 y 7.2 del código ACI. Puede usarse en el extremo libre un gancho a 90º con una extensión de 12 diámetros de varillas (12𝑑𝑏 ) o bien un gancho de 180º con una extensión de 4 diámetros de varilla (4𝑑𝑏 ), pero no menos que 65 mm en el extremo libre, los radios y diámetros mostrados se miden en la parte inferior de los dobleces. El código ACI no especifica que gancho se debe utilizar y porque, pero por lo general los ganchos a 90º se utilizan en vigas y los ganchos de 180º se utilizan en losas. En realidad, los ganchos no proveen un incremento apreciable en la resistencia de anclaje porque el hormigón en el plano del gancho es algo vulnerable al desprendimiento. Esto quiere decir que el aumentar la longitud de las varillas más allá de los ganchos (más allá de 12𝑑𝑏 y 4𝑑𝑏 ), realmente no incrementa la resistencia de anclaje.
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Figura 6.14 – Ganchos a 180° y 90°
La longitud de desarrollo que se requiere para un gancho es directamente proporcional al diámetro de la varilla, la razón de esto es que la magnitud de los esfuerzos de compresión en el hormigón, en el interior del gancho está gobernada por 𝑑𝑏 . El ACI 12.5.2 determina las longitudes de desarrollo que se necesitan en los ganchos de tipo estándar: 0.24𝜓𝑒 𝑓𝑦 𝑙𝑑ℎ = ( ) 𝑑𝑏 𝜆√𝑓′𝑐 El ACI 12.5.1 dice que 𝑙𝑑ℎ no debe ser menor de 150 mm u 8𝑑𝑏 , entonces la longitud de desarrollo está dado por: ( 𝑙𝑑ℎ = 𝑚𝑎𝑥
0.24𝜓𝑒 𝑓𝑦
) 𝑑𝑏 𝜆√𝑓′𝑐 150 𝑚𝑚 8𝑑𝑏
{ El ACI 12.5.2, establece que 𝜓𝑒 en la anterior expresión es igual a 0.75 para agregado ligero, para todos los demás casos 𝜓𝑒 y 𝜆 deben considerarse igual a 1.0. La longitud de desarrollo 𝑙𝑑ℎ , se mide desde la sección crítica de la varilla hasta el borde de los ganchos, tal como se muestra en la figura 6.14.
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La sección ACI 12.5.3 especifica los factores de ACI 12.5.3 modificación que tal vez deban multiplicarse La longitud 𝑙𝑑ℎ en 12.5.2 se puede sucesivamente por 𝑙𝑑ℎ y se resumen en los multiplicar por los siguientes factores incisos (a) a (d). Estos valores tienen aplicación cuando corresponda: sólo para los casos en que se usan ganchos de tipo a) Para ganchos de barras Nº 36 y estándar, el efecto de ganchos con mayores menores, con recubrimiento lateral radios no lo cubre el código y para el diseño de (normal al plano del gancho) no ganchos, no se hace ninguna distinción entre menor de 65 mm, y para ganchos de varillas superiores y otras varillas. 90º, con recubrimiento en la a. Recubrimiento. Cuando los ganchos son extensión de la barra más allá del de varillas del Nº 36 o más pequeña y gancho no menor de 50 mm…….0.7 b) Para ganchos de 90º de barras Nº tienen valores de recubrimiento lateral 36 y menores que se encuentran normal al plano de los ganchos no confinados por estribos menores de 65 mm y si el recubrimiento perpendiculares a la barra que se en las extensiones de la varilla más allá está desarrollando, espaciados a lo de los ganchos de 90º no es menor de 50 largo de 𝑙𝑑ℎ a no mas de 3𝑑𝑏 ; o bien, mm, multiplique por 0.7. rodeado con estribos paralelos a la b. Estribos perpendiculares y paralelos. barra que se está desarrollando y Cuando los ganchos a 90º de varillas Nº espaciados a no más de 3𝑑𝑏 a lo 36 o menores están confinados vertical u largo de la longitud de desarrollo del horizontalmente por estribos a lo largo de extremo del gancho más el su longitud completa de desarrollo 𝑙𝑑ℎ y doblez………0.8 c) Para ganchos de 180º de barra Nº los estribos están separados entre sí a no 36 y menores que se encuentran más de 3𝑑𝑏 (donde 𝑑𝑏 es el diámetro de confinados con estribos la varilla con gancho), multiplique por perpendiculares a la barra que se 0.8, este caso se muestra en la figura 6.15 está desarrollando, espaciados a no y 6.16. más de 3𝑑𝑏 a lo largo de 𝑙𝑑ℎ ….0.8 c. Estribos perpendiculares. Cuando se d) Cuando no se requiera usan ganchos a 180º consistentes en específicamente anclaje o longitud varillas Nº 36 o más pequeñas que se de desarrollo para 𝑓𝑦 , y se dispone confinan con estribos colocados de una cuantía de refuerzo mayor a perpendicularmente a las varillas a las la requerida por que se les provee de longitud de análisis…….. desarrollo y los estribos están separados 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜 ⁄𝐴𝑠 𝑠𝑢𝑚𝑖𝑛𝑖𝑠𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜 entre sí a no más de 3𝑑𝑏 a lo largo de la longitud de desarrollo 𝑙𝑑ℎ del gancho, multiplique por 0.8. d. Si no se requiere en especial longitud de anclaje o de desarrollo para 𝑓𝑦 de las varillas, es permisible multiplicar 𝑙𝑑ℎ por 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜 ⁄𝐴𝑠 𝑠𝑢𝑚𝑖𝑛𝑖𝑠𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜 .
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Figura 6.15 – Estribos colocados perpendicularmente a la barra en desarrollo, espaciados a lo largo de la longitud de desarrollo 𝒍𝒅𝒉
Figura 6.16 – Estribos colocados paralelamente a la barra en desarrollo, espaciados a lo largo del gancho más el doblez
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Ejemplo 6.5 Determinar la longitud de desarrollo o de empotramiento requerida para las varillas recubiertas con epóxido de la viga en volado mostrada en la figura, las varillas superiores de 25 𝑚𝑚 de diámetro no forman paquetes y el hormigón es de densidad normal, calcular para las siguientes condiciones: a. Si las varillas son rectas, suponiendo 𝐾𝑡𝑟 = 0 b. Si se usa un gancho de 180º. c. Si se usa un gancho de 90º.
Figura 6.17 – Viga empotrada y sección transversal
Datos: 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: ℎ = 500 𝑚𝑚, 𝑏𝑤 = 250 𝑚𝑚, 𝑟𝑒𝑐 = 40 𝑚𝑚, 𝜙𝑒𝑠𝑡 = 10 𝑚𝑚, 𝑑𝑏 = 25 𝑚𝑚 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑓´𝑐 = 28 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝜆 = 1.0 Solución: Paso 1: Determinamos los factores que interfieren en la longitud de desarrollo Factor de posición del refuerzo. ACI 12.2.4 (a) 𝜓𝑡 = 1.3 → 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠 Factor de recubrimiento, están recubiertas con epóxido. ACI 12.2.4 (b) 𝑏𝑤 − 2𝑟𝑒𝑐 − 2𝜙𝑒𝑠𝑡 − 𝑛𝑑𝑏 250 − 2 ∙ 40 − 2 ∙ 10 − 3 ∙ 25 𝑠= = = 37.5 𝑚𝑚 𝑛−1 3−1 𝑠 < 6𝑑𝑏 → 𝜓𝑒 = 1.5 → 37.5 < 150 → 𝜓𝑒 = 1.5 1.95 𝜓𝜓 1.5 ∙ 1.3 𝜓𝑡 𝜓𝑒 = 𝑚𝑖𝑛 { 𝑡 𝑒 = 𝑚𝑖𝑛 { = 𝑚𝑖𝑛 { 1.7 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 1.7 1.7 Factor de tamaño de refuerzo. ACI 12.2.4 (c) 𝑑𝑏 > 19 𝑚𝑚 → 𝜓𝑠 = 1 Separación o dimensión del recubrimiento. ACI 12.2.3 25 𝑟𝑒𝑐 + 𝜙𝑒𝑠𝑡 + 𝑑𝑏 /2 40 + 10 + = 62.5 𝑚𝑚 2 𝑠 + 𝑑𝑏 𝑐𝑏 = 𝑚𝑖𝑛 { = 𝑚𝑖𝑛 { 37.5 + 25 = 31.25 𝑚𝑚 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 2 2 Paso 2: Determinar las longitudes de desarrollo a. Si las varillas son rectas, usando la ecuación 12-1 del ACI con 𝐾𝑡𝑟 = 0. ACI 12.2.3 copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO 𝑐𝑏 + 𝐾𝑡𝑟 = 𝑚𝑖𝑛 { 𝑑𝑏
𝑐𝑏 + 𝐾𝑡𝑟 31.25 + 0 = = 1.25 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 𝑑𝑏 25 2.5
𝑓𝑦 𝜓𝑡 𝜓𝑒 𝜓𝑠 420 ∙ 1.7 ∙ 1 𝑙𝑑 = ( ) 𝑑 → 𝑙 = ( ) 25 = 2453.33 𝑚𝑚 𝑏 𝑑 𝑐 +𝐾 1.1 ∙ 1 ∙ √25 ∙ 1.25 1.1𝜆√𝑓′𝑐 ( 𝑏𝑑 𝑡𝑟 ) 𝑏 𝑙𝑑 = 98.13 𝑑𝑖á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑏 b. Usando ganchos de 180º tal como se muestra en la figura y recubierto con epóxido. ACI 12.5.2 0.24𝜓𝑒 𝑓𝑦 0.24 ∙ 1 ∙ 420 𝜓𝑒 = 1.0 → 𝑙𝑑ℎ = ( ) 𝑑𝑏 = ( ) 25 = 476.235 𝑚𝑚 1√28 𝜆√𝑓′𝑐
Figura 6.18 – Gancho de 180º
c. Usando ganchos de 90º tal como se muestra en la figura y recubierto con epóxido. ACI 12.5.2 𝑙𝑑ℎ = 476.235 𝑚𝑚 ≈ 480 𝑚𝑚
Figura 6.19 – Gancho de 90º
COMENTARIO: En este ejemplo el gancho está en una columna, no tienen estribos especiales, si tuviera estribos especiales se aplicaría una reducción de 0.8, se aconseja poner estribos especiales de confinamiento porque de esta forma se reducirá la sección de la columna, porque la longitud de anclaje de 480 𝑚𝑚 es mucho.
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6.6) LONGITUDES DE DESARROLLO PARA VARILLAS DE COMPRESIÓN No se tiene mucha información experimental disponible acerca de los esfuerzos de adherencia y sobre las longitudes necesarias de empotramiento para el acero de compresión. Sin embargo, es obvio que las longitudes de empotramiento deben ser menores que las requeridas para las varillas de tracción, porque no se tienen grietas de tracción que faciliten el deslizamiento y además se tiene un apoyo de los extremos de las varillas sobre el hormigón. La sección del ACI 12.3.2 establece que la longitud de desarrollo básica mínima provista a las varillas de compresión (𝑙𝑑𝑐 ) no debe ser menor que el valor calculado con la siguiente expresión: 0.24𝑓𝑦 𝑙𝑑𝑐 = ( ) 𝑑𝑏 ≥ (0.043𝑓𝑦 )𝑑𝑏 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 200 𝑚𝑚 𝜆√𝑓′𝑐 Dónde 𝜆 se toma como indica 12.2.4 (d) y la constante 0.043 tiene la unidad de mm2/N. La sección del ACI 12.3.3 (a) establece que si se usa más acero de compresión que el requerido por el análisis, 𝑙𝑑𝑐 se puede multiplicar por 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜 ⁄𝐴𝑠 𝑠𝑢𝑚𝑖𝑛𝑖𝑠𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜 . La sección del ACI 12.3.3 (b) establece que si las varillas de compresión están rodeadas por espirales de diámetro no menor de 6 mm y paso no mayor que 100 mm, o para estribos del Nº 13 espaciados a no más de 100 mm centro a centro, el valor de 𝑙𝑑𝑐 se puede multiplicar por 0.75. Por tanto: 𝑙𝑑𝑐 = 𝑙𝑑𝑐 (𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛) 6.7) DESARROLLO DE LA ARMADURA DE FLEXIÓN – REQUISITOS GENERALES La sección del ACI 12.10 contiene requisitos básicos para determinar el desarrollo de la armadura a partir de las secciones de tensión máxima o crítica. Las figuras 6.20 y 6.21 ilustran las secciones críticas típicas y los requisitos de anclaje y terminación de la armadura de flexión especificada por código ACI. La sección del ACI 12.10.4 establece que si las secciones críticas para el desarrollo de la armadura de los elementos solicitados a flexión son las secciones donde los momentos positivos y negativos son máximos (𝑀𝑢− 𝑦 𝑀𝑢+ ); para estas secciones se debe proveer una longitud de anclaje 𝑙𝑑 adecuada más allá de la sección a partir de la cual las barras dobladas o interrumpidas teóricamente ya no son necesarias para soportar flexión. La sección del ACI 12.10.3 requiere que las varillas que se corten o doblen se prolonguen una distancia más allá de sus puntos teóricos de corte a flexión de 𝑑 o 12𝑑𝑏 , la que sea mayor (excepto en los soportes de claros simples y en los extremos libres de vigas en voladizo), el requisito de prolongar la armadura se incluye como una precaución en caso que se produzcan desplazamientos de los momentos máximos de los diagramas de momento debido a la variación de carga, asentamiento de los apoyos y otros cambios imprevistos que puedan afectar los diagramas de momentos.
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Figura 6.20 – Desarrollo de la armadura de flexión para momento negativo
Nota (a) Una parte de la armadura para momento negativo (𝐴− 𝑠 ) debe ser continua (o estar empalmada mediante un empalme clase A o un anclaje mecánico o soldado que satisfaga los requisitos de 12.14.3) en toda la longitud de las vigas perimetrales (7.13.2.2). copyright©rcolquea
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Figura 6.21 – Desarrollo de la armadura de flexión para momento positivo
Nota (b) Una parte de la armadura para momento positivo (𝐴+ 𝑠 ) debe ser continua (o estar empalmada mediante un empalme clase A o un anclaje mecánico o soldado que satisfaga los requisitos de 12.14.3) en toda la longitud de las vigas perimetrales (7.13.2.2). Las secciones del ACI 12.10.1 y 12.10.5 se refieren al desarrollo de la armadura traccionada en una zona solicitada a compresión. Investigaciones realizadas han confirmado la necesidad de limitar la interrupción de la armadura en las zonas solicitadas a tracción, ya que cuando la armadura termina en las zonas traccionadas las fisuras por flexión tienden a abrirse en forma anticipada. Si tanto la copyright©rcolquea
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tensión de corte en la zona donde se interrumpe ACI 12.10.1 la armadura como la tensión de tracción a partir Se permite desarrollar el refuerzo de de las fisuras de flexión. Para limitar las fisuras tracción doblando dentro del alma para diagonales de tracción se debe satisfacer alguna anclarlo o hacerlo continuo con el de las tres alternativas indicadas en la sección del refuerzo de la cara opuesta ACI 12.10.5. ACI 12.10.2 Para minimizar la posibilidad de una falla por Las secciones críticas para el desarrollo cortante, la sección del ACI 12.10.5 establece del refuerzo en elementos sometidos a que por lo menos una de las siguientes flexión son los puntos donde se condiciones debe cumplirse si se cortan varillas presentan esfuerzos máximos y puntos en una zona de tracción: del vano donde termina o se dobla el refuerzo adyacente. Las disposiciones 1. ACI 12.10.5.1; el esfuerzo cortante en el de 12.11.3 deben cumplirse. punto de corte no debe exceder de dos terceras partes de la resistencia de diseño ACI 12.10.3 al cortante 𝜙𝑉𝑛 en la viga, incluyendo la El refuerzo se debe extender más allá resistencia de cualquier refuerzo del punto en el que ya no es necesario cortante.𝜙𝑉𝑛 para resistir flexión por una distancia igual a 𝑑 ó 12𝑑𝑏 , la que sea mayor, 2. ACI 12.10.5.2; debe suministrarse un excepto en los apoyos de vigas área del refuerzo por cortante que exceda simplemente apoyadas y en el extremo la requerida para cortante y torsión para una distancia igual a 0.75𝑑 del punto de libre de voladizos ACI 12.10.4 corte. 3. ACI 12.10.5.3; Cuando se usan varillas El refuerzo continuo debe tener una Nº 36 o menores, las varillas no cortadas longitud embebida no menor que 𝑙𝑑 más allá del punto en donde no se requiere deben proveer el doble del área de acero requerida para la flexión en el punto de refuerzo de tracción para resistir la flexión. corte y el cortante no debe exceder tres cuartos del cortante permisible. ACI 12.10.5 El refuerzo por flexión no debe El efecto combinado del cortante y la flexión terminarse en una zona de tracción, a actuando simultáneamente sobre una viga puede menos que se satisfaga 12.10.5.1, producir una falla prematura debido al sobreesfuerzo del refuerzo por flexión. El 12.10.5.2 ó 12.10.5.3 profesor Erdei explica claramente el desplazamiento del momento y la relación entre la longitud de desarrollo y el desplazamiento del diagrama de momentos. El extinto profesor P.M. Ferguson estableció que, decidamos o no usar el concepto de momento desplazado, es conveniente escalonar los puntos de corte de las varillas y que aún es mejor doblarlas que cortarlas77. 6.7.1) DESARROLLO DEL REFUERZO PARA MOMENTO POSITIVO La sección del ACI 12.11 proporciona varios requisitos para las longitudes del refuerzo por momento positivo. Éstos se resumen brevemente en los siguientes párrafos. 1. ACI 12.11.1; Por lo menos un tercio del acero positivo en las vigas simples y un cuarto en los miembros continuos debe prolongarse a lo largo de la misma cara del elemento hasta el apoyo. En las vigas, dicho refuerzo se debe prolongar, por lo menos 150 mm 77
(McCormac C., 2011, pág. 203) copyright©rcolquea
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dentro del apoyo. El propósito de este requisito es garantizar que el momento resistente de una viga reduzca excesivamente en las parte de las vigas donde los momentos pueden cambiar debido a asentamientos, cargas laterales, etc. 2. ACI 12.11.2; El refuerzo positivo requerido en el párrafo anterior debe (si el miembro es parte de un sistema primario resistente a carga lateral) prolongarse en el apoyo una distancia suficiente para desarrollar el esfuerzo de fluencia en tracción de las varillas en la cara del apoyo. Como resultado de este requisito, es necesario tener varillas inferiores traslapadas en apoyos interiores y usar longitudes adicionales de empotramiento y ganchos en los apoyos exteriores. 3. ACI 12.11.3; Se establece que en los apoyos simples y en los puntos de inflexión, las varillas a tracción por momento positivo deben tener sus diámetros limitados a ciertos tamaños máximos, el propósito de esta limitación es mantener los esfuerzos de adherencia dentro de valores razonables en esas secciones de momentos pequeños y fuerzas cortantes grandes. No se han demostrado que las longitudes de anclaje largas sean totalmente eficaces en el desarrollo de las varillas en una distancia corta, como entre un P.I. y un punto de esfuerzo máximo, situación que podría ocurrir en las vigas cortas fuertemente cargadas con grandes varillas inferiores. Se especifica que 𝑙𝑑 no debe exceder el siguiente valor: 𝑀𝑛 𝑙𝑑 ≤ + 𝑙𝑎 𝑉𝑢 𝑀𝑛 se calcula suponiendo que todo el refuerzo de la sección está sometido a 𝑓𝑦 . 𝑉𝑢 se calcula en la sección 𝑙𝑎 en el apoyo debe ser la longitud embebida más allá del centro del apoyo. 𝑙𝑎 en el punto de inflexión debe limitarse a 𝑑 ó 12𝑑𝑏 , el que sea mayor. Se permite aumentar el valor de
𝑀𝑛 𝑉𝑢
en un 30% cuando los extremos del refuerzo estén
confinados por una reacción de compresión. 6.7.2) DESARROLLO DEL REFUERZO PARA MOMENTO NEGATIVO La sección del ACI 12.12 establece que el refuerzo de tracción por momento negativo requerido debe anclarse apropiadamente en o a través del apoyo del miembro, estos se resumen a continuación: 1. ACI 12.12.1; dice que la tracción en las varillas negativas debe desarrollarse a cada lado de la sección bajo consideración, por longitud de empotramiento, ganchos o anclaje mecánico. Puede usarse ganchos porque se trata de varillas a tracción. 2. ACI 12.12.3; dice que por lo menos un tercio del refuerzo total proporcionado para el momento negativo en el apoyo, debe tener una longitud de empotramiento más allá del punto de inflexión no menor que el peralte efectivo del miembro, que 12 diámetros de varilla o que un dieciseisavo del claro libre del miembro, rigiendo el valor mayor. Las otras varillas de acero negativo deben prolongarse más allá de sus puntos teóricos de corte en una distancia igual al peralte efectivo o a 12 diámetros de la varilla y por lo menos una distancia 𝑙𝑑 desde la cara de apoyo.
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6.8) INTEGRIDAD ESTRUCTURAL En esta sección relacionamos los requisitos dado por ACI 7.13 (integridad estructural) y los requisitos dados por ACI 12 (longitudes de desarrollo), el objetivo es armar los vanos de vigas y losas de tal forma que se alcance la máxima eficiencia, esto se logra desarrollando un armado longitudinal siguiendo unas reglas sencillas. Puede que la estructura sea capaz de soportar de manera segura todas las solicitaciones de diseño convencionales, es posible que sufra daños localizados provocados por cargas localizadas excepcionalmente elevadas como la provocada por las explosiones de gases o líquidos industriales, el impacto de un vehículo y los efectos de vientos de velocidades muy elevadas, en general estas cargas o eventos excepcionales no constituyen consideraciones de diseño. La integridad global de una estructura de hormigón armado ante estas cargas excepcionales se puede mejorar considerablemente introduciendo algunos cambios relativamente menores en los detalles de armado. La intención de la sección del ACI 7.13 es mejorar la redundancia y la ductilidad de las estructuras. Esto se logra colocando, como mínimo, alguna armadura continua u otros métodos para vincular entre sí los elementos de la estructura. La sección del ACI 7.13 no pretende que las estructuras se diseñen para resistir un colapso generalizado provocado por usos indebidos ni para resistir cargas excepcionalmente elevadas que actúan directamente sobre una gran parte de la estructura. El colapso generalizado de una estructura, tal como el que podría provocar un evento como un bombardeo o un alud, están fuera del alcance de todos los métodos de diseño generales. 6.8.1) RECOMENDACIONES PARA CALCULAR LOS PUNTOS DE CORTE DEL REFUERZO 1. Calcular y determinar la cantidad de acero necesaria en los puntos de máximo momento negativo y positivo. 2. De la cantidad de acero calculada en el paso 1 seleccionar las barras positivas y negativas que darán continuidad al elemento en tracción. (Ejemplo: para las barras inferiores la mitad más uno). 3. Los puntos de corte de la armadura restante deben ser determinados. Al seleccionar las longitudes y puntos de corte se debe tener en cuenta los siguientes puntos: a. La integridad estructural. b. La prolongación de las barras hacia los apoyos. c. Efectos adicionales del esfuerzo cortante en las posiciones de interrupción de la armadura. d. La longitud de anclaje y desarrollo de las barras. 4. Determinar la cantidad de estribos para asegurar la integridad estructural. 6.8.2) REGLAS BÁSICAS DE INTEGRIDAD ESTRUCTURAL 1. Barras continuas a. Para vigas perimetrales e interiores. ACI 7.13.2.2 a 7.13.2.5 Para el acero positivo se debe prolongar continuamente por lo menos ¼ de la armadura, pero se recomienda la mitad de la armadura necesaria en la mitad del vano, pero no menos de dos barras, cuyos empalmes se puede realizar solamente en los apoyos. copyright©rcolquea
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Para el acero negativo se debe tener por lo menos 1/6 de la armadura continua a través del pórtico, la cual puede ser empalmada solo en el medio de los vanos, además las barras continuas negativas deben ser por lo menos dos. Estas cuatro barras (dos para momento negativo y dos para momento positivo) por lo general deben estar confinados por estribos cerrados; con ganchos de 50 𝑚𝑚 ó 5∅𝑒𝑠𝑡 doblados en ángulo de 135º. En los puntos donde se interrumpe la continuidad se debe anclar las barras con el gancho estándar de 90º (12𝑑𝑏 ) en el punto de apoyo como viga columna, etc. b. Para viguetas. ACI 7.13.2.1 La norma ACI recomienda la continuidad de una barra de la parte inferior a lo largo de las viguetas, pero en lo posible utilizar dos barras continuas, de la misma manera que en las vigas la continuidad debe terminar con un gancho estándar. 2. Prolongación de las barras superiores e inferiores dentro de los apoyos, la armadura continua debe extender por lo menos 300 𝑚𝑚 dentro del apoyo. ACI 12.2.1 3. Efectos de cortante sobre la armadura de flexión; cuando hay fisuras de corte se aumenta la tensión en acero negativo y positivo, por tal motivo se debe extender la armadura más allá de los puntos teóricos donde dejan de necesitarse. R12.10.2 a. Para momento positivo, el refuerzo interrumpido se debe extender por lo menos una distancia del máximo de 𝑑, 12𝑑𝑏 del punto teórico de interrupción. b. Para momento negativo, la armadura interrumpida se debe extender por lo menos 𝑙
𝑛 una distancia del máximo de 𝑑, 12𝑑𝑏 , 16 más allá del punto de inflexión, el refuerzo
interrumpido se debe extender por lo menos una distancia del máximo de 𝑑, 12𝑑𝑏 del punto teórico de interrupción. 4. Anclaje y longitud de desarrollo del refuerzo a. Momento positivo, las barras interrumpidas se debe extender por lo menos una longitud 𝑙𝑑 del punto de esfuerzo máximo, para las barras continuas la longitud o zona embebida debe ser mayor a 𝑙𝑑 . b. Momento negativo, de la misma manera que para las barras positivas, las barras negativas interrumpidas se deben extender por lo menos una distancia 𝑙𝑑 del punto de esfuerzo mínimo, y por lo menos una distancia 𝑙𝑑 del punto de corte teórico. Para entender de mejor manera las reglas de integridad estructural se recomienda interpretar la figura R12.10.2 del código ACI. El cálculo de los puntos de corte y doblado para todas las varillas aun de una estructura pequeña puede representar un trabajo considerable. Por tanto, el proyectista promedio o más bien el dibujante estructural corta o dobla las varillas siguiendo reglas empíricas que han sido desarrolladas para satisfacer las reglas del código que se presentaron aquí. En el manual CSRI78, se dan tales reglas para tipos diferente de miembros estructurales, como losas sólidas en una dirección, largueros de hormigón, losas en dos direcciones, etc.
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(CRSI Handbook, 2002) copyright©rcolquea
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En el ACI DETAILING MANUAL – 200479, también se dan las reglas de detalles para diferentes sistemas estructurales de hormigón armado. Para facilitar el cálculo del punto teórico de interrupción, se presentan en el apéndice cuatro envolventes de momento negativo y positivo, estas envolventes están en función del momento a una distancia de la cara entre el momento máximo y por su puesto la longitud nominal. En los ejercicios resueltos se utilizaron las envolventes de momento del apéndice para determinar el punto de inflexión y el punto teórico de corte. 6.9) EMPALMES DEL REFUERZO Los empalmes de campo en las varillas de refuerzo suelen ser necesarios debido a las limitaciones en las longitudes de las varillas disponibles, a los requisitos de juntas de construcción y a los cambios de varillas grandes a varillas más pequeñas. Aunque los fabricantes de acero normalmente surten las varillas de refuerzo en longitudes de 12 m., conviene a menudo trabajar en el campo con varillas de longitudes más cortas, necesitando así el uso de empalmes con más frecuencia. El lector debe notar cuidadosamente que el código ACI, en sus secciones 1.2.1(i) y 12.14.1 claramente establece que el proyectista es responsable de las especificaciones de los tipos y posiciones de los empalmes de refuerzo. Los esfuerzos de adherencia juegan una parte importante en la transferencia de las fuerzas de una varilla a otra. Por esto, las longitudes requeridas de empalme se relacionan estrechamente con las longitudes de desarrollo. Los empalmes traslapados no son muy satisfactorios en varias situaciones: 1. Cuando ocasionan hacinamiento. 2. Cuando los traslapes resultan muy largos, como para varillas Nº 30 al 36 de grado 420. 3. Cuando deben usarse varillas Nº 43 a 57 porque la sección del ACI 12.14.2 no permite que estas se empalmen por traslape, excepto en algunas situaciones especiales. 4. Cuando se dejan sobresalir varillas de longitudes muy largas de la estructura existente de hormigón para propósitos de ampliación futura. Para tales situaciones pueden usarse otros tipos de empalmes, tales como los soldados o los hechos con dispositivos mecánicos. Desde el punto de vista de la transferencia de esfuerzos, los buenos conectores mecánicos son los mejores tipos de unión después de los empalmes soldados. Las fallas en los empalmes ocurren repentinamente sin dar aviso y con resultados peligrosos. ACI 12.15.3; los empalmes deben situarse lejos de los puntos de esfuerzo máximo de tracción, además no todas las varillas deben empalmarse en la misma sección, sino que tales posiciones deben ser escalonadas. Si tienen que empalmarse dos varillas traslapadas de diámetros diferentes, la longitud de traslape usado debe ser igual a la longitud requerida para la varilla menor, o bien, a la longitud de desarrollo requerida para la varilla mayor, rigiendo el valor mayor. ACI 12.4.1; la longitud de un empalme traslapado para varillas en racimo debe ser igual a la longitud requerida para las varillas individuales del mismo tamaño, pero incrementada 20% en haces de tres varillas y 33% en racimos de cuatro varillas porque hay un área menor de contacto
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(American Concrete Institute, 2004) copyright©rcolquea
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entre las varillas y el hormigón y por tanto menos adherencia. Además, no se permite que los empalmes individuales dentro del haz se traslapen entre sí. 6.9.1) EMPALMES A TRACCIÓN La sección del ACI 12.15 divide los empalmes a tracción traslapados en dos clases, la A y la B. La clase de empalme por usar depende del nivel de esfuerzo en el refuerzo y del porcentaje de acero que se empalma en una posición dada. Los empalmes de clase A son aquellos donde el refuerzo se traslapa una distancia mínima de 1.0𝑙𝑑 pero no menor de 300 mm y donde la mitad o menos del refuerzo se empalma en cualquier punto. Los empalmes de clase B son aquellos donde el refuerzo se traslapa una distancia mínima de 1.3𝑙𝑑 pero no menos de 300 mm y donde todo el refuerzo se empalma en la misma posición. La sección del ACI 12.15.2 establece que los empalmes traslapados de varillas corrugadas y alambre corrugado en tracción, deben ser de clase B, a menos que: 1. El área de refuerzo provista sea igual a dos o más veces el área requerida por el análisis sobre la longitud entera del empalme. 2. Que la mitad o menos del refuerzo se empalme dentro de la longitud de traslape requerida. En la tabla 6.3 se suministra un resumen de esta información, que es de la tabla R 12.15.2 del comentario ACI. 𝐴𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑜 ∗ 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜 Igual o mayor que 2
Porcentaje máximo de 𝐴𝑠 empalmado en la longitud requerida para dicho empalme 50
100
Clase A
Clase B
Menor que 2
Clase B Clase B *Relación entre el área de refuerzo proporcionado y la requerida por cálculo en la zona de empalme
Tabla 6-3 Empalmes por traslapo en tracción
6.9.2) EMPALMES A COMPRESIÓN Las varillas a compresión pueden empalmarse mediante traslape, mediante apoyo a tope y mediante soldadura o dispositivos mecánicos. La sección del ACI 12.16.1 dice que la longitud mínima de empalme de tales varillas debe ser igual a 0.071𝑓𝑦 𝑑𝑏 , para varillas con 𝑓𝑦 igual a 420 𝑀𝑃𝑎 o menos, (0.13𝑓𝑦 − 24)𝑑𝑏 para varillas con valores superiores de 𝑓𝑦 , pero no menor de 300 𝑚𝑚. Si la resistencia del hormigón es menor que 21 𝑀𝑃𝑎, es necesario incrementar en un tercio los traslapes calculados. La sección del ACI 12.16.2 establece que si la longitud requerida de los empalmes traslapados para varillas a compresión de diferentes tamaños, es la mayor de las longitudes de empalme calculadas para las varillas menores o la longitud de anclaje a compresión, 𝑙𝑑𝑐 de las varillas mayores. Es permitido traslapar varillas Nº 43 y Nº 57 con barras de diámetro Nº 36 y menores. La sección del ACI 12.16.4 establece que la transmisión de fuerzas entre varillas que siempre trabajan a compresión puede hacerse mediante apoyo a tope. La sección del ACI 12.17.4 establece además que cuando se usan empalmes a tope en columnas, en cada cara de la columna debe agregarse un refuerzo adicional que sea capaz de suministrar
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una resistencia a la tracción de por lo menos 25% de la resistencia a la fluencia del refuerzo vertical presente en esa cara. La sección del ACI 12.14.2.1 prohíbe el uso de empalmes traslapados para varillas Nº 36 y Nº 57, con una excepción, cuando las varillas para columnas de esos tamaños están en compresión, se permite conectarlas a las zapatas por medio de espigas de menores tamaños con traslapes, tal como se describe en la sección del ACI 15.8.2.3. 6.10) EJERCICIOS RESUELTOS Ejemplo 6.6 Determinar la longitud de las barras superiores e inferiores para el tramo exterior de la viga continua que se muestra en la figura. La carga mayorada uniformemente distribuida que actúa sobre la viga es 𝑞𝑢 = 87 𝑘𝑁/𝑚 que incluye el peso de la viga, el hormigón es de peso normal, las barras no están recubiertas con epóxido y considerar las siguientes condiciones.
Figura 6.22 – Vano izquierdo
Datos: 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: 𝑙𝑛 = 7.5 𝑚, 𝑏𝑤 = 400 𝑚𝑚, ℎ = 550 𝑚𝑚, 𝑟𝑒𝑐 = 35 𝑚𝑚, 𝜙𝑒𝑠𝑡 = 10 𝑚𝑚 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑓´𝑐 = 28 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝜆 = 1 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠: 𝑞𝑢 = 87 𝑘𝑁/𝑚, 𝜑𝑐 = 0.75, 𝜑𝑓 = 0.9 Solución: Paso 1: Diseño preliminar para la armadura de flexión y corte a. Determinamos los esfuerzos utilizando el método de análisis aproximado para flexión y corte. ACI 8.3.3 Momento negativo en la cara interior de un apoyo exterior: 𝑞𝑢 𝑙𝑛2 87 ∙ 7.52 𝑀1 = = = 305.86 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 16 16 Momento positivo en el tramo exterior 𝑞𝑢 𝑙𝑛2 87 ∙ 7.52 = = 349.55 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 14 14 Momento negativo en la cara exterior del primer apoyo interior 𝑀12 =
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𝑞𝑢 𝑙𝑛2 87 ∙ 7.52 = = 489.37 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 10 10 Cortante en la cara exterior del primer apoyo interior 𝑞𝑢 𝑙𝑛 87 ∙ 7.5 𝑉𝑢 = 1.15 = 1.15 = 375.19 𝑘𝑁 2 2 b. Determinar la armadura requerida y provista por flexión 𝑑 = 0.9ℎ = 0.9 ∙ 550 = 495 𝑚𝑚 𝛽1 = 0.85 Momento negativo en la cara interior de un apoyo exterior 𝑀2 =
𝑓 ′𝑐 2𝑀1 𝐴𝑠 = 0.85 (1 − √1 − )𝑏 𝑑 𝑓𝑦 0.85𝑓 ′ 𝑐 𝜑𝑓 𝑏𝑤 𝑑 2 𝑤 𝐴𝑠 = 0.85
28 2 ∙ 305.86 ∙ 106 (1 − √1 − ) 400 ∙ 495 = 1775.06 𝑚𝑚2 420 0.85 ∙ 28 ∙ 0.9 ∙ 400 ∙ 4952 1.4 1.4 𝑏𝑤 𝑑 = 400 ∙ 495 = 660 𝑚𝑚2 𝑓𝑦 420 3 𝑓´𝑐 3 28 = 0.85𝛽1 𝑏𝑤 𝑑 = 0.85 ∙ 0.85 ∙ 400 ∙ 495 = 3576.38 𝑚𝑚2 8 𝑓𝑦 8 420 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 =
𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥
(𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝐴𝑠 ≤ 𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥 ) → 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞 = 𝐴𝑠 → (660 ≤ 1775.06 ≤ 3576.38) → 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞1 = 1775.06 𝑚𝑚2
𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣1 = 1963 𝑚𝑚2 → 4𝜙25 Momento positivo en el tramo exterior 𝑓 ′𝑐 2𝑀12 𝐴𝑠 = 0.85 (1 − √1 − ) 𝑏 𝑑 = 2056.67 𝑚𝑚2 𝑓𝑦 0.85𝑓 ′ 𝑐 𝜑𝑓 𝑏𝑤 𝑑2 𝑤 1.4 1.4 𝑏𝑤 𝑑 = 400 ∙ 495 = 660 𝑚𝑚2 𝑓𝑦 420 3 𝑓´𝑐 3 28 = 0.85𝛽1 𝑏𝑤 𝑑 = 0.85 ∙ 0.85 ∙ 400 ∙ 495 = 3576.38 𝑚𝑚2 8 𝑓𝑦 8 420 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 =
𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥
(𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝐴𝑠 ≤ 𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥 ) → 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞 = 𝐴𝑠 → (660 ≤ 1775.06 ≤ 3576.38) → 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞12 = 2056.67 𝑚𝑚2
𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣12 = 2236 𝑚𝑚2 → 2𝜙20 + 2𝜙32 Momento negativo en la cara exterior del primer apoyo interior 𝑓 ′𝑐 2𝑀2 𝐴𝑠 = 0.85 (1 − √1 − ) 𝑏 𝑑 = 3022.57 𝑚𝑚2 𝑓𝑦 0.85𝑓 ′ 𝑐 𝜑𝑓 𝑏𝑤 𝑑2 𝑤 1.4 1.4 𝑏𝑤 𝑑 = 400 ∙ 495 = 660 𝑚𝑚2 𝑓𝑦 420 3 𝑓´𝑐 3 28 = 0.85𝛽1 𝑏𝑤 𝑑 = 0.85 ∙ 0.85 ∙ 400 ∙ 495 = 3576.38 𝑚𝑚2 8 𝑓𝑦 8 420 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 =
𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥
(𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝐴𝑠 ≤ 𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥 ) → 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞 = 𝐴𝑠 → (660 ≤ 1775.06 ≤ 3576.38) → 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞2 = 3022.57 𝑚𝑚2 copyright©rcolquea
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𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣2 = 3217 𝑚𝑚2 → 4𝜙32 c. Determinar la armadura requerida y provista por cortante Cortante 𝑉𝑢 a una distancia 𝑑 de la cara del apoyo. ACI 11.1.3.1 𝑉𝑢𝑑 = 𝑉𝑢 − 𝑞𝑢 𝑑 = 375.19 − 87 ∙ 0.495 = 332.12 𝑘𝑁 Resistencia a cortante del hormigón. ACI 11.1.3.1 495 𝜑𝑐 𝑉𝑐 = 0.17𝜑𝑐 𝜆√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑 = 0.75 ∙ 0.17 ∙ 1 ∙ √28 ∙ 400 ∙ = 133.58 𝑘𝑁 1000 Intentamos con estribos cerrados Nº 10 con una separación de 100 𝑚𝑚. 𝑑 495 𝑠 = 100 𝑚𝑚 𝑠𝑚𝑎𝑥 = = = 247.5 𝑚𝑚 𝑠 < 𝑠𝑚𝑎𝑥 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝐴𝐶𝐼 11.5.4.1 2 2 𝜙𝑒𝑠𝑡 2 𝐴𝑣 = 2𝜋 = 157.08 𝑚𝑚2 4 𝜑𝑐 𝐴𝑣 𝑓𝑦 𝑑 0.75 ∙ 157.08 ∙ 420 ∙ 495 𝜑𝑐 𝑉𝑠 = = = 244.93 𝑘𝑁 𝐴𝐶𝐼 11.5.6.2 𝑠 100 ∙ 1000 𝜑𝑐 𝑉𝑛 = 𝜑𝑐 𝑉𝑐 + 𝜑𝑐 𝑉𝑠 = 378.51 𝑘𝑁 𝜑 ⏟ ⏟ 𝑐 𝑉𝑛 ≥ 𝑉 𝑢𝑑 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 378.51
332.12
Distancia a partir del apoyo donde ya no se requieren estribos. ACI 11.5.5.1 𝜑𝑐 𝑉𝑐 𝑉= = 66.79 𝑘𝑁 2 𝑉𝑢 − 𝑉 375.19 − 66.79 = = 3.545 𝑚 𝐷𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑝𝑜𝑦𝑜 𝑞𝑢 87 Usar estribos cerrados Nº 10 con una separación de 100 𝑚𝑚 en toda la luz, el armado se muestra en la figura. 𝑒𝜙10𝑐/100 𝑚𝑚
Figura 6.23 – Armado de la viga
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Paso 2: Longitudes de las barras de la armadura inferior, momento positivo a. Al menos ¼ del acero provisto se debe prolongar dentro del apoyo a una distancia mayor o igual que 150 𝑚𝑚. ACI 12.11.1 Poner una barra longitudinal en cada esquina del estribo. ACI 12.13.3 Al menos dos barras se deben prolongar en la totalidad de la longitud del elemento. En el ejemplo se prolongaran dos barras Nº 20 en toda la luz (más la prolongación de 150 𝑚𝑚 dentro del apoyo), e interrumpir dos barras Nº 32 dentro del tramo. 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣12 = 2236 𝑚𝑚2 𝐴𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡12 = 628 𝑚𝑚2 𝐴𝑠𝑖𝑛𝑡12 = 1608 𝑚𝑚2 𝐴 ⏟𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡12 ≥ 1/4𝐴 ⏟ 𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣12 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 628
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b. A continuación ilustramos los diagramas de corte y momento para el estado de carga que provoca el máximo momento positivo mayorado de acuerdo a la figura del apéndice A:
Figura 6.24 – Diagrama de envolvente de momento y corte
c. Verificar las longitudes de desarrollo de las barras continuas: Determinamos las distancias teóricas de corte desde la cara de la columna de acuerdo al apéndice A: 𝐴𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡12 = 0.281 → Ω𝑖𝑧𝑞 = 0.16 𝑦 Ω𝑑𝑒𝑟 = 0.163 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣12
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Determinamos la distancia desde la cara de la columna hasta el punto teórico de corte, las distancias (3) y (4) respectivamente: Ω𝑖𝑧𝑞 𝑙𝑛 = 0.16 ∙ 7500 = 1200 𝑚𝑚 Ω𝑑𝑒𝑟 𝑙𝑛 = 0.163 ∙ 7500 = 1222.5 𝑚𝑚 Determinamos los factores que interfieren en la longitud de desarrollo o Factor de posición del refuerzo. ACI 12.2.4 (a) 𝜓𝑡 = 1.0 → 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑏 = 20 𝑚𝑚 o Factor de recubrimiento, no están recubiertas con epóxido. ACI 12.2.4 (b): 𝜓𝜓 1.0 ∙ 1.0 1.0 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 𝜓𝑒 = 1.0 𝜓𝑡 𝜓𝑒 = 𝑚𝑖𝑛 { 𝑡 𝑒 = 𝑚𝑖𝑛 { = 𝑚𝑖𝑛 { 1.7 1.7 1.7 o Factor de tamaño de refuerzo. ACI 12.2.4 (c) 𝑑𝑏 > 19 𝑚𝑚 → 𝜓𝑠 = 1 o Separación o dimensión del recubrimiento. ACI 12.2.3 𝑏𝑤 − 2𝑟𝑒𝑐 − 2𝜙𝑒𝑠𝑡 − 114 𝑚𝑚 𝑠𝑙 = = 65.33 𝑚𝑚 4−1 20 𝑟𝑒𝑐 + 𝜙𝑒𝑠𝑡 + 𝑑𝑏 /2 35 + 10 + = 55 𝑚𝑚 2 𝑠𝑙 + 𝑑𝑏 𝑐𝑏 = 𝑚𝑖𝑛 { = 𝑚𝑖𝑛 { 65.33 + 20 = 42.67 𝑚𝑚 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 2 2 o Determinar las longitud de desarrollo de las barras Nº 20 o Usando la ecuación 12-1 del ACI con 𝐾𝑡𝑟 = 0. ACI 12.2.3 𝑐𝑏 + 𝐾𝑡𝑟 42.67 + 0 𝑐𝑏 + 𝐾𝑡𝑟 = = 2.13 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 = 𝑚𝑖𝑛 { 𝑑𝑏 20 𝑑𝑏 2.5 𝑓𝑦 𝜓𝑡 𝜓𝑒 𝜓𝑠 420 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 𝑙𝑑20 = ( ) 𝑑 → 𝑙 = ( ) 20 = 676.471 𝑚𝑚 𝑏 𝑑20 𝑐 +𝐾 1.1 ∙ 1 ∙ √28 ∙ 2.13 1.1𝜆√𝑓′𝑐 ( 𝑏𝑑 𝑡𝑟 ) 𝑏 𝑙𝑑20 = 33.824 𝑑𝑖á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑏 Las dimensiones (3) y (4) deben ser mayores o iguales que 𝑙𝑑 . ACI 12.10.4 Ω𝑖𝑧𝑞 𝑙𝑛 > 𝑙𝑑20 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 Ω𝑑𝑒𝑟 𝑙𝑛 > 𝑙𝑑20 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 1200 > 680 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 1222.5 > 680 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 d. Verificar la longitud de desarrollo de las barras interrumpidas Las dimensiones (1) y (2) debe ser el mayor de los siguientes valores. ACI 12.10.3 𝑑 495 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 495 𝑙𝑒𝑥𝑡 = 𝑚𝑎𝑥 { = 𝑚𝑎𝑥 { = 𝑚𝑎𝑥 { 12𝑑𝑏 12 ∙ 32 384 El momento máximo está a la mitad de la luz, determinamos las distancias desde el centro de la luz hasta el punto teórico de corte 𝑙𝑛 7500 𝑙𝑖𝑧𝑞𝑡 = − Ω𝑖𝑧𝑞 𝑙𝑛 = − 1200 = 2550 𝑚𝑚 2 2 𝑙𝑛 7500 𝑙𝑑𝑒𝑟𝑡 = − Ω𝑑𝑒𝑟 𝑙𝑛 = − 1222.5 = 2527.5 𝑚𝑚 2 2 Determinar la distancia desde el centro de la luz hasta el fin de la barras interrumpida 𝑙𝑖𝑧𝑞 = 𝑙𝑖𝑧𝑞𝑡 + 𝑙𝑒𝑥𝑡 = 3045 𝑚𝑚
𝑙𝑑𝑒𝑟 = 𝑙𝑑𝑒𝑟𝑡 + 𝑙𝑒𝑥𝑡 = 3022.5 𝑚𝑚 copyright©rcolquea
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Determinamos los factores que interfieren en la longitud de desarrollo o Factor de posición del refuerzo. ACI 12.2.4 (a) 𝜓𝑡 = 1.0 → 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑏 = 32 𝑚𝑚 o Factor de recubrimiento, no están recubiertas con epóxido. ACI 12.2.4 (b) 𝜓𝜓 1.0 ∙ 1.0 1.0 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 𝜓𝑒 = 1.0 𝜓𝑡 𝜓𝑒 = 𝑚𝑖𝑛 { 𝑡 𝑒 = 𝑚𝑖𝑛 { = 𝑚𝑖𝑛 { 1.7 1.7 1.7 o Factor de tamaño de refuerzo. ACI 12.2.4 (c) 𝑑𝑏 > 19 𝑚𝑚 → 𝜓𝑠 = 1 o Separación o dimensión del recubrimiento. ACI 12.2.3 𝑏𝑤 − 2𝑟𝑒𝑐 − 2𝜙𝑒𝑠𝑡 − 114 𝑚𝑚 𝑠𝑙 = = 65.33 𝑚𝑚 4−1 32 𝑟𝑒𝑐 + 𝜙𝑒𝑠𝑡 + 𝑑𝑏 /2 35 + 10 + = 61 𝑚𝑚 2 𝑠 + 𝑑 𝑐𝑏 = 𝑚𝑖𝑛 { = 𝑚𝑖𝑛 { 𝑙 𝑏 65.33 + 32 = 48.67 𝑚𝑚 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 2 2 o Determinar las longitud de desarrollo de las barras Nº 32 Usando la ecuación 12-1 del ACI con 𝐾𝑡𝑟 = 0. ACI 12.2.3 𝑐𝑏 + 𝐾𝑡𝑟 48.67 + 0 𝑐𝑏 + 𝐾𝑡𝑟 = = 1.521 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 = 𝑚𝑖𝑛 { 𝑑𝑏 32 𝑑𝑏 2.5 𝑓𝑦 𝜓𝑡 𝜓𝑒 𝜓𝑠 420 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 𝑙𝑑32 = ( ) 𝑑𝑏 → 𝑙𝑑32 = ( ) 32 = 1518.26 𝑚𝑚 𝑐𝑏 +𝐾𝑡𝑟 1.1 ∙ 1 ∙ √28 ∙ 1.521 1.1𝜆√𝑓′𝑐 ( 𝑑 ) 𝑏 𝑙𝑑32 = 47.45 𝑑𝑖á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑙𝑖𝑧𝑞 > 𝑙𝑑32 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑙𝑑𝑒𝑟 > 𝑙𝑑32 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑑𝑏 Determinar la distancia desde la cara de la columna hasta el inicio de la columna interrumpida: 𝑙𝑛 𝑙𝑛 − 𝑙𝑖𝑧𝑞 = 705 𝑚𝑚 − 𝑙𝑑𝑒𝑟 = 727.5 𝑚𝑚 2 2 Las dos barras Nº 32 terminan tentativamente a 710 𝑦 730 𝑚𝑚 de los apoyos exterior e interior, respectivamente. e. La siguiente figura es una ilustración a mayor escala de la parte del diagrama de momentos donde el momento 𝑀𝑢 es positivo, incluyendo los momentos resistentes de diseño para la armadura total, armadura continua y armadura interrumpida: 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣12 𝑓𝑦 𝜙𝑓 𝑀𝑛12 = 𝜙𝑓 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣12 𝑓𝑦 (𝑑 − ) = 376.689 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 2 ∙ 0.85𝑓′𝑐 𝑏𝑤 𝐴𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡12 𝑓𝑦 𝜙𝑓 𝑀𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡12 = 𝜙𝑓 𝐴𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡12 𝑓𝑦 (𝑑 − ) = 114.217 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 2 ∙ 0.85𝑓′𝑐 𝑏𝑤 Como se puede observar, las 2 barras Nº 20 se extienden en la totalidad de la luz, mas 150 𝑚𝑚 que se prolongan dentro de los apoyos, los cálculos anteriores se pueden observar en la siguiente figura:
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Figura 6.25 – Longitud de armadura continua/interrumpida de momento positivo
f. Para las barras Nº 20 verificar los requisitos de anclaje en los puntos de inflexión (P.I.). ACI 12.11.3 Momento nominal para dos barras Nº 20: 𝜙𝑓 𝑀𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡12 114.217 𝑀𝑛 = = = 126.907 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝜙𝑓 0.9 Cortante a la izquierda del P.I.: 𝑉𝑢𝑃.𝐼. = 𝑉𝑢 − 𝑞𝑢 0.1𝑙𝑛 = 375.19 − 87 ∙ 0.1 ∙ 7.5 = 309.938 𝑘𝑁 𝑀𝑛 240 𝑚𝑚 12𝑑𝑏 𝑙𝑎 = 𝑚𝑎𝑥 { = 𝑚𝑎𝑥 { 𝑙𝑑20 ≤ + 𝑙𝑎 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 495 𝑚𝑚 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 𝑑 𝑉𝑢𝑃.𝐼. 126907 676.47 ≤ + 495 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 676.47 ≤ 904.46 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 309.938 g. Los puntos tentativos de interrupción de la armadura no se encuentran en una zona traccionada por flexión, en caso contrario se debe satisfacer las condiciones definidas por ACI 12.10.5. Las secciones tentativas elegidas para interrumpir la armadura inferior satisfacen todos los requisitos de anclaje exigidos por el código. Las dos barras Nº 32 de 6060 mm se tendrían que colocar de forma asimétrica dentro del tramo. Para asegurar la correcta colocación de las barras Nº 32 sería prudente especificar para ambas una longitud de copyright©rcolquea
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7100 mm; de este modo las barras se colocarían de forma asimétrica ( a 700 mm de la cara del apoyo), al final de este ejemplo ilustramos la disposición de la armadura recomendada. Paso 3: Longitudes de las barras de la armadura superior a. A continuación ilustramos los diagramas de corte y momento para el estado de carga que provoca el máximo momento negativo mayorado de acuerdo a la figura del apéndice A:
Figura 6.26 – Envolvente de momento negativo
b. Requisitos de anclaje para las 4 barras Nº 25 en el apoyo exterior Como mínimo 1/3 de la armadura negativa provista en un apoyo se debe prolongar más allá del punto de inflexión una distancia 𝑙𝑒𝑥𝑡 , las cuatro barras Nº 25 pasan el punto de inflexión. ACI 12.12.3 𝑑 495 𝑚𝑚 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 12𝑑𝑏 𝑙𝑒𝑥𝑡 = 𝑚𝑎𝑥 { = 𝑚𝑎𝑥 { 300 𝑚𝑚 𝑙𝑛 468.75 𝑚𝑚 16 El punto de inflexión está a 0.146𝑙𝑛 (ver apéndice A) de la cara del apoyo, la longitud (5) está dado por: 𝑙𝑖𝑧𝑞 = 0.146𝑙𝑛 + 𝑙𝑒𝑥𝑡 = 0.146 ∙ 7500 + 495 = 1725 𝑚𝑚 Determinamos los factores que interfieren en la longitud de desarrollo o Factor de posición del refuerzo. ACI 12.2.4 (a) copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO 𝜓𝑡 = 1.3 → 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑏 = 25 𝑚𝑚 o Factor de recubrimiento, no están recubiertas con epóxido. ACI 12.2.4 (b) 𝜓𝜓 1.3 ∙ 1.0 1.3 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 𝜓𝑒 = 1.0 𝜓𝑡 𝜓𝑒 = 𝑚𝑖𝑛 { 𝑡 𝑒 = 𝑚𝑖𝑛 { = 𝑚𝑖𝑛 { 1.7 1.7 1.7 o Factor de tamaño de refuerzo. ACI 12.2.4 (c): 𝑑𝑏 > 19 𝑚𝑚 → 𝜓𝑠 = 1 o Separación o dimensión del recubrimiento. ACI 12.2.3 𝑏𝑤 − 2𝑟𝑒𝑐 − 2𝜙𝑒𝑠𝑡 − 𝑛𝑑𝑏 𝑛 = 4 𝑠𝑙 = = 70 𝑚𝑚 𝑛−1 25 𝑟𝑒𝑐 + 𝜙𝑒𝑠𝑡 + 𝑑𝑏 /2 35 + 10 + = 57.5 𝑚𝑚 2 𝑠𝑙 + 𝑑𝑏 𝑐𝑏 = 𝑚𝑖𝑛 { = 𝑚𝑖𝑛 { 70 + 25 = 47.5 𝑚𝑚 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 2 2 o Determinar las longitud de desarrollo de las barras Nº 25 Usando la ecuación 12-1 del ACI con 𝐾𝑡𝑟 = 0. ACI 12.2.3 𝑐𝑏 + 𝐾𝑡𝑟 47.5 + 0 𝑐𝑏 + 𝐾𝑡𝑟 = = 1.9 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 = 𝑚𝑖𝑛 { 𝑑𝑏 25 𝑑𝑏 2.5 𝑓𝑦 𝜓𝑡 𝜓𝑒 𝜓𝑠 420 ∙ 1.3 ∙ 1 ∙ 1 𝑙𝑑25 = ( ) 𝑑 → 𝑙 = ( ) 25 = 1234.26 𝑚𝑚 𝑏 𝑑25 𝑐 +𝐾 1.1 ∙ 1 ∙ √28 ∙ 1.9 1.1𝜆√𝑓′𝑐 ( 𝑏𝑑 𝑡𝑟 ) 𝑏
𝑙𝑑25 = 49.37 𝑑𝑖á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑏 La dimensión (5) debe ser mayor o igual que 𝑙𝑑25 . ACI 12.12.2: 𝑙𝑖𝑧𝑞 > 𝑙𝑑25 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 c. Anclaje en la columna exterior Todas las barras Nº 25 se anclaran en la columna mediante ganchos normales. Determinar la longitud de desarrollo de los ganchos, determinamos los factores de longitud de desarrollo. ACI 12.5: 𝜓𝑒 = 1.0 0.24𝜓𝑒 𝑓𝑦 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞1 𝑙𝑑ℎ25 = ( ) 𝑑𝑏 = 430.64 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣1 𝜆√𝑓′𝑐 8𝑑𝑏 = 200𝑚𝑚 𝑙⏟ → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑑ℎ25 ≥ 𝑚𝑖𝑛 { 150 𝑚𝑚 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 430.64
La profundidad total requerida para la columna es: 𝑙𝑑ℎ25 + 𝑟𝑒𝑐 = 465.64 𝑚𝑚 d. Requisitos de anclaje para las 4 barras Nº 32 en la columna interior Como mínimo 1/3 de la armadura negativa provista en un apoyo se debe prolongar más allá del punto de inflexión una distancia 𝑙𝑒𝑥𝑡 , las cuatro barras Nº 32 pasan el punto de inflexión. ACI 12.12.3 𝑑 495 𝑚𝑚 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 12𝑑𝑏 𝑙𝑒𝑥𝑡 = 𝑚𝑎𝑥 { = 𝑚𝑎𝑥 { 384 𝑚𝑚 𝑙𝑛 468.75 𝑚𝑚 16 El punto de inflexión está a 0.240𝑙𝑛 (ver apéndice A) de la cara del apoyo, la longitud (6) esta dada por: 𝑙𝑑𝑒𝑟 = 0.240𝑙𝑛 + 𝑙𝑒𝑥𝑡 = 0.240 ∙ 7500 + 495 = 2295 𝑚𝑚 Determinamos los factores que interfieren en la longitud de desarrollo copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO o Factor de posición del refuerzo. ACI 12.2.4 (a) 𝜓𝑡 = 1.3 → 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑏 = 32 𝑚𝑚 o Factor de recubrimiento, no están recubiertas con epóxido. ACI 12.2.4 (b) 𝜓𝜓 1.3 ∙ 1.0 1.3 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 𝜓𝑒 = 1.0 𝜓𝑡 𝜓𝑒 = 𝑚𝑖𝑛 { 𝑡 𝑒 = 𝑚𝑖𝑛 { = 𝑚𝑖𝑛 { 1.7 1.7 1.7 o Factor de tamaño de refuerzo. ACI 12.2.4 (c) 𝑑𝑏 > 19 𝑚𝑚 → 𝜓𝑠 = 1 o Separación o dimensión del recubrimiento. ACI 12.2.3 𝑏𝑤 − 2𝑟𝑒𝑐 − 2𝜙𝑒𝑠𝑡 − 𝑛𝑑𝑏 𝑛 = 4 𝑠𝑙 = = 60.67 𝑚𝑚 𝑛−1 32 𝑟𝑒𝑐 + 𝜙𝑒𝑠𝑡 + 𝑑𝑏 /2 35 + 10 + = 61 𝑚𝑚 2 𝑠𝑙 + 𝑑𝑏 𝑐𝑏 = 𝑚𝑖𝑛 { = 𝑚𝑖𝑛 { 60.67 + 32 = 46.33 𝑚𝑚 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 2 2 o Determinar las longitud de desarrollo de las barras Nº 32 Usando la ecuación 12-1 del ACI con 𝐾𝑡𝑟 = 0. ACI 12.2.3 𝑐𝑏 + 𝐾𝑡𝑟 46.33 + 0 𝑐𝑏 + 𝐾𝑡𝑟 = = 1.448 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 = 𝑚𝑖𝑛 { 𝑑𝑏 32 𝑑𝑏 2.5
𝑙𝑑25 = (
𝑓𝑦 𝜓𝑡 𝜓𝑒 𝜓𝑠
420 ∙ 1.3 ∙ 1 ∙ 1 ) 𝑑 → 𝑙 = ( ) 32 = 2073.134 𝑚𝑚 𝑏 𝑑35 𝑐 +𝐾 1.1 ∙ 1 ∙ √28 ∙ 1.448 1.1𝜆√𝑓′𝑐 ( 𝑏 𝑡𝑟 ) 𝑑𝑏
𝑙𝑑32 = 64.78 𝑑𝑖á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑏 La dimensión (6) debe ser mayor o igual que 𝑙𝑑32 . ACI 12.12.2: 𝑙𝑑𝑒𝑟 > 𝑙𝑑32 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 e. La siguiente figura es una ilustración a mayor escala de la parte del diagrama de momentos donde el momento 𝑀𝑢 es negativo, incluyendo los momentos resistentes de diseño, además de las longitudes de corte de las varillas superiores. 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣1 𝑓𝑦 𝜙𝑓 𝑀𝑛1 = 𝜙𝑓 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣1 𝑓𝑦 (𝑑 − ) = 335.167 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 2 ∙ 0.85𝑓′𝑐 𝑏𝑤 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣2 𝑓𝑦 𝜙𝑓 𝑀𝑛2 = 𝜙𝑓 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣2 𝑓𝑦 (𝑑 − ) = 515.64 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 2 ∙ 0.85𝑓′𝑐 𝑏𝑤
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Figura 6.27 – Longitud de armadura continua/interrumpida de momento negativo
Paso 4: Resumen: la siguiente figura ilustra las longitudes seleccionadas para las barras de la armadura superior e inferior.
Figura 6.28 – Armado de la viga
COMENTARIO: Si esta viga fuera parte del sistema principal que resiste las cargas laterales, las dos barras inferiores Nº 20 que se prolongan dentro de los apoyos de deberían anclar de manera que pudieran desarrollar la tensión de fluencia de las barras en la cara de los apoyos. En la columna exterior el anclaje se puede materializar mediante un gancho normal. El ancho de apoyo mínimo (profundidad total de la columna) requerida para anclar una barra Nº 25 terminada en un gancho normal depende de la longitud de anclaje 𝑙𝑑ℎ . copyright©rcolquea
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Ejemplo 6.7 Una viga T que soporta una carga muerta de 𝐷 = 27𝑘𝑁/𝑚 y una carga viva 𝐿 = 10.33 𝑘𝑁/𝑚 (incluye peso propio), tres vanos continuos de 6 𝑚 que van de centro a centro de columnas cuadradas de 250 𝑚𝑚, diseñar a flexión y corte efectuando un esquema de armado con las indicaciones necesarias para su puesta en obra.
Figura 6.29– Geometría de los vanos
Figura 6.30 – Sección transversal de la viga
Datos: 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: 𝑏𝑤 = 250 𝑚𝑚, ℎ = 500 𝑚𝑚, 𝑑 = 450 𝑚𝑚, ℎ𝑓 = 150 𝑚𝑚 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑓´𝑐 = 21 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦𝑡 = 420 𝑀𝑃𝑎 𝜆 = 1 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠: 𝐷 = 27.89
𝑘𝑁 𝑘𝑁 , 𝐿 = 10.33 , 𝜑 = 0.75, 𝜑𝑓 = 0.9 𝑚 𝑚 𝑐
Solución: Paso 1: Definimos las longitudes nominales 𝑙𝑛𝐴𝐵 = 5.75 𝑚 𝑙𝑛𝐵𝐶 = 5.75 𝑚 𝑙𝑛𝐶𝐷 = 5.75 𝑚 𝑙𝑛𝐴 = 𝑙𝑛𝐴𝐵 = 5.75 𝑚 𝑙𝑛𝐴𝐵 + 𝑙𝑛𝐵𝐶 𝑙𝑛𝐵𝐶 + 𝑙𝑛𝐶𝐷 𝑙𝑛𝐵 = = 5.75 𝑚 𝑙𝑛𝐵 = = 5.75 𝑚 𝑙𝑛𝐷 = 𝑙𝑛𝐶𝐷 = 5.75 𝑚 2 2 Paso 2: Determinar los momentos y cortantes últimos 𝑞𝑢 = 1.2𝐷 + 1.6𝐿 = 1.2 ∙ 27.89 + 1.6 ∙ 10.33 = 50𝑘𝑁/𝑚 𝑀𝑢𝐴 =
2 2 𝑞𝑢 𝑙𝑛𝐴 50 ∙ 5.752 𝑞𝑢 𝑙𝑛𝐵 50 ∙ 5.752 = = 103.32 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑢𝐵𝐼 = = = 165.312 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 16 16 10 10
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HORMIGÓN ARMADO 2 2 𝑞𝑢 𝑙𝑛𝐶 50 ∙ 5.752 𝑞𝑢 𝑙𝑛𝐵 50 ∙ 5.752 = = 150.28 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑢𝐵𝐷 = = = 150.28 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 11 11 11 11 2 2 𝑞𝑢 𝑙𝑛𝐶 50 ∙ 5.752 𝑞𝑢 𝑙𝑛𝐷 50 ∙ 5.752 = = = 165.312 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑢𝐷 = = = 103.32 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 10 10 16 16
𝑀𝑢𝐶𝐼 = 𝑀𝑢𝐶𝐷
𝑀𝑢𝐴𝐵 =
2 𝑞𝑢 𝑙𝑛𝐴𝐵 14
=
50∙5.752 14
= 118.08 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑢𝐵𝐶 =
𝑀𝑢𝐶𝐷 𝑉𝑢𝐴 = 1.15 𝑉𝑢𝐶 = 1
𝑞𝑢 𝑙𝑛𝐴 2
𝑞𝑢 𝑙𝑛𝐶 2
= 1.15
=1
50∙5.75 2
50∙5.75 2
2 𝑞𝑢 𝑙𝑛𝐵𝐶 16
=
50∙5.752 16
= 103.32 𝑘𝑁 ∙ 𝑚
2 𝑞𝑢 𝑙𝑛𝐶𝐷 50 ∙ 5.752 = = = 118.08 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 14 14
= 165.312 𝑘𝑁
= 143.749 𝑘𝑁
𝑉𝑢𝐵 = 1
𝑉𝑢𝐷 = 1.15
𝑞𝑢 𝑙𝑛𝐵 2
𝑞𝑢 𝑙𝑛𝐷 2
=
50∙5.75 2 50∙5.75 1.15 2
=1
= 143.749 𝑘𝑁 = 165.312 𝑘𝑁
Figura 6.31 – Diagrama de momentos y cortantes
Paso 3: Determinar el ancho efectivo 𝑙𝑛𝐴 5750 𝑏𝑒 = 𝑚𝑖𝑛 { = 𝑚𝑖𝑛 { 4 = 1438 𝑚𝑚 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 4 16ℎ𝑓 + 𝑏𝑤 16 ∙ 150 + 250 = 2650 𝑚𝑚 Paso 4: Diseño preliminar de la armadura de flexión 1.4 1.4 𝛽1 = 0.85 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 𝑏𝑤 𝑑 = 250 ∙ 450 = 375 𝑚𝑚2 𝑓𝑦 420 a. Momento negativo en el apoyo A
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𝑀𝑢𝐴 = 114.8 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝜑𝑓 Capacidad máxima de la sección a momento negativo 𝜔𝑡 = 0.319𝛽1 = 0.319 ∙ 0.85 = 0.271 𝑀𝑛𝐴 =
𝑀𝑛𝑡 = 𝜔𝑡 (1 − 0.59𝜔𝑡 )𝑓 ′ 𝑐 𝑏𝑤 𝑑 2 = 0.271(1 − 0.59 ∙ 0.271)21 ∙ 250 ∙ 4502 ∙ 106 = 242.15 𝑘𝑁 ∙ 𝑚
𝑀𝑛𝐴 < 𝑀𝑛𝑡 → 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑜 Determinar el acero provisto 𝑓 ′𝑐 2𝑀𝑢𝐴 𝐴𝑠 = 0.85 (1 − √1 − )𝑏 𝑑 𝑓𝑦 0.85𝑓 ′ 𝑐 𝜑𝑓 𝑏𝑤 𝑑 2 𝑤 𝐴𝑠 = 0.85
21 2 ∙ 103.32 ∙ 106 (1 − √1 − ) 250 ∙ 450 = 651.839 𝑚𝑚2 420 0.85 ∙ 21 ∙ 0.9 ∙ 250 ∙ 4502
(𝐴𝑠 > 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 ) → 𝐶𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 → 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣𝐴 = 829 𝑚𝑚2 → 2𝜙12 + 3𝜙16 b. Momento positivo en el vano AB 𝑀𝑢𝐴𝐵 = 131.2 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝜑𝑓 Capacidad máxima de la sección a momento negativo 𝜔𝑡 = 0.319𝛽1 = 0.319 ∙ 0.85 = 0.271 𝑀𝑛𝐴𝐵 =
𝑀𝑛𝑡 = 𝜔𝑡 (1 − 0.59𝜔𝑡 )𝑓 ′ 𝑐 𝑏𝑒 𝑑 2 = 0.271(1 − 0.59 ∙ 0.271)21 ∙ 1438 ∙ 4502 ∙ 106 = 1392.85 𝑘𝑁 ∙ 𝑚
𝑀𝑛𝐴𝐵 < 𝑀𝑛𝑡 → 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑜 Determinar el acero provisto 𝐴𝑠 = 0.85
𝑓 ′𝑐 𝑓𝑦
(1 − √1 −
2𝑀𝑢𝐴𝐵 )𝑏 𝑑 0.85𝑓 ′ 𝑐 𝜑𝑓 𝑏𝑒 𝑑 2 𝑒
21 2 ∙ 118.08 ∙ 106 √ 𝐴𝑠 = 0.85 (1 − 1 − ) 1438 ∙ 450 = 703.16 𝑚𝑚2 420 0.85 ∙ 21 ∙ 0.9 ∙ 1438 ∙ 4502 (𝐴𝑠 > 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 ) → 𝐶𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 → 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣𝐴𝐵 = 804 𝑚𝑚2 → 4𝜙16 Verificar si trabaja como viga rectangular 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣𝐴𝐵 𝑓𝑦 804 ∙ 420 𝑎= = = 13.16 𝑚𝑚 0.85𝑓 ′ 𝑐 𝑏𝑒 0.85 ∙ 21 ∙ 1438 𝑎 < ℎ𝑓 → 𝑣𝑖𝑔𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 c. Momento negativo en el apoyo B 𝑀𝑢𝐵𝐼 = 138.68 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝜑𝑓 Capacidad máxima de la sección a momento negativo 𝜔𝑡 = 0.319𝛽1 = 0.319 ∙ 0.85 = 0.271 𝑀𝑛𝐵𝐼 =
𝑀𝑛𝑡 = 𝜔𝑡 (1 − 0.59𝜔𝑡 )𝑓 ′ 𝑐 𝑏𝑤 𝑑 2 = 0.271(1 − 0.59 ∙ 0.271)21 ∙ 250 ∙ 4502 ∙ 106 = 242.15 𝑘𝑁 ∙ 𝑚
𝑀𝑛𝐴 < 𝑀𝑛𝑡 → 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑜 Determinar el acero provisto copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO 𝑓 ′𝑐 2𝑀𝑢𝐵𝐼 𝐴𝑠 = 0.85 (1 − √1 − )𝑏 𝑑 𝑓𝑦 0.85𝑓 ′ 𝑐 𝜑𝑓 𝑏𝑤 𝑑 2 𝑤 𝐴𝑠 = 0.85
21 2 ∙ 165.312 ∙ 106 (1 − √1 − ) 250 ∙ 450 = 1097.903 𝑚𝑚2 420 0.85 ∙ 21 ∙ 0.9 ∙ 250 ∙ 4502
(𝐴𝑠 > 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 ) → 𝐶𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 → 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣𝐵 = 1168 𝑚𝑚2 → 2𝜙12 + 3𝜙20 d. Momento positivo en el vano BC 𝑀𝑢𝐵𝐶 = 114.8 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝜑𝑓 Capacidad máxima de la sección a momento negativo 𝜔𝑡 = 0.319𝛽1 = 0.319 ∙ 0.85 = 0.271 𝑀𝑛𝐵𝐶 =
𝑀𝑛𝑡 = 𝜔𝑡 (1 − 0.59𝜔𝑡 )𝑓 ′ 𝑐 𝑏𝑒 𝑑 2 = 0.271(1 − 0.59 ∙ 0.271)21 ∙ 1438 ∙ 4502 ∙ 106 = 1392.85 𝑘𝑁 ∙ 𝑚
𝑀𝑛𝐵𝐶 < 𝑀𝑛𝑡 → 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑜 Determinar el acero provisto 𝑓 ′𝑐 2𝑀𝑢𝐵𝐶 𝐴𝑠 = 0.85 (1 − √1 − )𝑏 𝑑 𝑓𝑦 0.85𝑓 ′ 𝑐 𝜑𝑓 𝑏𝑒 𝑑 2 𝑒 21 2 ∙ 103.32 ∙ 106 √ 𝐴𝑠 = 0.85 (1 − 1 − ) 1438 ∙ 450 = 614.26 𝑚𝑚2 420 0.85 ∙ 21 ∙ 0.9 ∙ 1438 ∙ 4502 (𝐴𝑠 > 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 ) → 𝐶𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 → 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣𝐵𝐶 = 628 𝑚𝑚2 → 2𝜙16 + 2𝜙12 Verificar si trabaja como viga rectangular 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣𝐵𝐶 𝑓𝑦 628 ∙ 420 𝑎= = = 10.276 𝑚𝑚 0.85𝑓 ′ 𝑐 𝑏𝑒 0.85 ∙ 21 ∙ 1438 𝑎 < ℎ𝑓 → 𝑣𝑖𝑔𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 e. Momento negativo en el apoyo C 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣𝐶 = 1168 𝑚𝑚2 → 2𝜙12 + 3𝜙20 f. Momento positivo en el vano CD 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣𝐶𝐷 = 804 𝑚𝑚2 → 4𝜙16 g. Momento negativo en el apoyo D 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣𝐷 = 854 𝑚𝑚2 → 2𝜙12 + 3𝜙16 Paso 5: Determinar la armadura requerida y provista para cortante 450 𝜑𝑐 𝑉𝑐 = 0.17𝜑𝑐 𝜆√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑 = 0.75 ∙ 0.17 ∙ 1 ∙ √21 ∙ 250 ∙ = 65.73 𝑘𝑁 𝐴𝐶𝐼 11.1.3.1 1000 a. Apoyo A Cortante 𝑉𝑢 a una distancia 𝑑 de la cara del apoyo. ACI 11.1.3.1 𝑉𝑢𝐴𝑑 = 𝑉𝑢𝐴 − 𝑞𝑢 𝑑 = 165.312 − 50 ∙ 0.450 = 142.812 𝑘𝑁 Separación máxima. ACI 11.4.5 copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO 𝜑𝑐 𝑉𝑠 = 𝑉𝑢𝐴𝑑 − 𝜑𝑐 𝑉𝑐 = 142.812 − 65.73 = 77.08 𝑘𝑁 𝑑/2 𝜑𝑐 𝑉𝑠 < 0.33𝜑𝑐 √𝑓′𝑐 𝑏𝑤 𝑑 → 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛 { 600 𝑚𝑚
450/2 77.08 < 0.33 ∙ 0.75√21 ∙ 250 ∙ 450/1000 → 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛 { 600 𝑚𝑚 225 𝑚𝑚 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 77.08 < 127.60 → 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛 { 600 𝑚𝑚 Área de acero mínimo. ACI 11.6.3 √𝑓′𝑐 𝑏𝑤 𝑠𝑚𝑎𝑥 √21 ∙ 250 ∙ 225 0.062 = 38.05 𝑚𝑚2 𝑓𝑦𝑡 420 = 𝑚𝑎𝑥 250 ∙ 225 𝑏𝑤 𝑠𝑚𝑎𝑥 0.35 = 46.875 𝑚𝑚2 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 0.35 { 420 𝑓𝑦𝑡
0.062 𝐴𝑣𝑚𝑖𝑛 = 𝑚𝑎𝑥
{ Probamos con estribos Nº 6
𝜙𝑒𝑠𝑡 2 𝐴𝑣 = 2𝜋 = 56.549 𝑚𝑚2 4 (𝐴𝑣 > 𝐴𝑣𝑚𝑖𝑛 ) → 𝐶𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 → 𝑒𝜙6𝑐/220 𝑚𝑚 Área de acero requerido 𝐴𝑣 𝜑𝑐 𝑓𝑦𝑡 𝑑 56.55 ∙ 0.75 ∙ 420 ∙ 450 𝑠= = = 103.99 𝑚𝑚 → 𝑒𝜙6𝑐/100 𝑚𝑚 𝜑𝑐 𝑉𝑠 77.08 ∙ 1000 b. Apoyo B Cortante 𝑉𝑢 a una distancia 𝑑 de la cara del apoyo. ACI 11.1.3.1 𝑉𝑢𝐵𝑑 = 𝑉𝑢𝐵 − 𝑞𝑢 𝑑 = 143.749 − 50 ∙ 0.450 = 121.249 𝑘𝑁 Separación máxima. ACI 11.4.5 𝜑𝑐 𝑉𝑠 = 𝑉𝑢𝐵𝑑 − 𝜑𝑐 𝑉𝑐 = 121.249 − 65.73 = 55.518 𝑘𝑁 𝑑/2 𝜑𝑐 𝑉𝑠 < 0.33𝜑𝑐 √𝑓′𝑐 𝑏𝑤 𝑑 → 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛 { 600 𝑚𝑚 450/2 55.518 < 0.33 ∙ 0.75√21 ∙ 250 ∙ 450/1000 → 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛 { 600 𝑚𝑚 225 𝑚𝑚 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 55.518 < 127.60 → 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛 { 600 𝑚𝑚 Área de acero mínimo. ACI 11.6.3 √𝑓′𝑐 𝑏𝑤 𝑠𝑚𝑎𝑥 √21 ∙ 250 ∙ 225 0.062 = 38.05 𝑚𝑚2 𝑓𝑦𝑡 420 = 𝑚𝑎𝑥 250 ∙ 225 𝑏𝑤 𝑠𝑚𝑎𝑥 0.35 = 46.875 𝑚𝑚2 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 0.35 { 420 𝑓𝑦𝑡
0.062 𝐴𝑣𝑚𝑖𝑛 = 𝑚𝑎𝑥
{ Probamos con estribos Nº 6
𝜙𝑒𝑠𝑡 2 𝐴𝑣 = 2𝜋 = 56.549 𝑚𝑚2 (𝐴𝑣 > 𝐴𝑣𝑚𝑖𝑛 ) → 𝐶𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 → 𝑒𝜙6𝑐/220 𝑚𝑚 4 copyright©rcolquea
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Área de acero requerido 𝐴𝑣 𝜑𝑐 𝑓𝑦𝑡 𝑑 56.55 ∙ 0.75 ∙ 420 ∙ 450 𝑠= = = 144.382 𝑚𝑚 → 𝑒𝜙6𝑐/140 𝑚𝑚 𝜑𝑐 𝑉𝑠 55.518 ∙ 1000 Paso 6: Distribución de acero a flexión y corte
Figura 6.32 – Armado de la viga
Paso 7: Determinar los puntos de interrupción de la armadura en el vano central típico, momento positivo BC a. Determinar las longitudes de desarrollo de las barras. ACI 12.2 𝜓𝑡 = 1.0 𝜓𝑒 = 1.0 𝜓𝑡 𝜓𝑒 < 1.7 → 𝐶𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑑𝑏 = 16 𝑚𝑚 𝑓𝑦 𝜓𝑡 𝜓𝑒 420 ∙ 1 ∙ 1 ( ) 𝑑𝑏 ( ) 16 = 698.297 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 𝑙𝑑16 = 𝑚𝑎𝑥 { 2.1𝜆√𝑓′𝑐 = 𝑚𝑎𝑥 { 2.1 ∙ 1 ∙ √21 300 𝑚𝑚 300 𝑚𝑚 𝑑𝑏 = 12 𝑚𝑚 𝑓𝑦 𝜓𝑡 𝜓𝑒 420 ∙ 1 ∙ 1 ( ) 𝑑𝑏 ( ) 12 = 523.723 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 𝑙𝑑12 = 𝑚𝑎𝑥 { 2.1𝜆√𝑓′𝑐 = 𝑚𝑎𝑥 { 2.1 ∙ 1 ∙ √21 300 𝑚𝑚 300 𝑚𝑚 b. Definir la armadura continua y de interrupción 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣𝐵𝐶 = 628 𝑚𝑚2 𝐴 ⏟𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝐵𝐶 = 402 𝑚𝑚2 𝐴 ⏟𝑠𝑖𝑛𝑡𝐵𝐶 = 226 𝑚𝑚2 2𝜑16
2𝜑12
𝐴𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝐵𝐶 ≥ 1/2𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣𝐵𝐶 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 402 ≥ 314 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 Se decide que las barras que van continuas son 2𝜑16, las barras continuas se deben empalmar en los apoyos c. Definir el tipo de empalme para las barras continuas según la siguiente tabla: ACI 12.15.2 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞𝐵𝐶 = 614.226 𝑚𝑚2 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣𝐵𝐶 = 1.022 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞𝐵𝐶 De la tabla de ACI 12.15.2 el empalme es de clase B 𝑙𝑑16 1.3 = 453.89 𝑚𝑚𝑙𝑒 = 460 𝑚𝑚 2 copyright©rcolquea
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d. Determinar el punto de interrupción de la armadura que va continua Determinamos las distancias teóricas de corte desde la cara de la columna de acuerdo al apéndice A: 𝐴𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝐵𝐶 = 0.64 → Ω = 0.27 Ω𝑙𝑛𝐵𝐶 = 0.27 ∙ 5750 = 1552.5 𝑚𝑚 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣𝐵𝐶 e. Determinar la longitud de la barra interrumpida. ACI 12.10.3 Longitud de extensión 𝑑𝑏 = 12 𝑚𝑚 𝑑 450 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 450 𝑙𝑒𝑥𝑡 = 𝑚𝑎𝑥 { = 𝑚𝑎𝑥 { = 𝑚𝑎𝑥 { 12𝑑𝑏 12 ∙ 12 144 Con lo anterior podemos calcular la longitud desde la cara del apoyo a punto de inicio de la armadura interrumpida Δ = Ω𝑙𝑛𝐵𝐶 − 𝑙𝑒𝑥𝑡 = 1552.5 − 450 = 1102.5 𝑚 Longitud de la barra interrumpida 𝑙𝑖𝑛𝑡 = 𝑙𝑛𝐵𝐶 − 2Δ = 5750 − 2 ∙ 1102.5 = 3545 mm f. Verificar que la armadura debe extenderse por lo menos una distancia 𝑙𝑑 del punto de momento máximo. ACI 12.10.4 𝑙𝑖𝑛𝑡 > 𝑙𝑑12 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 3545/2 > 523.723 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 ⏟ 2 1772.5 g. Verificar el momento positivo en el punto de inflexión. ACI 12.11.3 Calculamos el momento nominal en el punto de inflexión, para acero continuo: 𝐴𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝐵𝐶 𝑓𝑦 𝑀𝑛 = 𝐴𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝐵𝐶 𝑓𝑦 (𝑑 − ) = 72.784 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 2 ∙ 0.85𝑓′𝑐 𝑏𝑤 Cortante en el punto de inflexión en el vano central, el punto de inflexión está a 0.146𝑙𝑛 (ver apéndice A) 𝑉𝑢𝑃.𝐼. = 𝑉𝑢𝐵 − 𝑞𝑢 0.146𝑙𝑛𝐵𝐶 = 143.749 − 50 ∙ 0.146 ∙ 5.75 = 101.774 𝑘𝑁 192 𝑚𝑚 12𝑑𝑏 𝑙𝑎 = 𝑚𝑎𝑥 { = 𝑚𝑎𝑥 { 450 𝑚𝑚 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 𝑑 𝑙𝑎 < 0.146𝑙𝑛𝐵𝐶 → 450 < 839.5 𝑚𝑚 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 No mayor que la longitud a la cual se extienden las barras pasado el punto de inflexión 𝑀𝑛 𝑙𝑑16 ≤ + 𝑙𝑎 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑉𝑢𝑃.𝐼. 72784 698.297 ≤ + 450 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 698.297 ≤ 1165.15 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 101.774 h. Verificar que el cortante en el punto terminal no exceda los dos tercios de la resistencia nominal real a corte. ACI 12.10.5.1 Se debe verificar la condición siempre y cuando el refuerzo por flexión se termina en una zona de tracción 𝑙𝑛𝐵𝐶 − 2 ∙ 0.146𝑙𝑛𝐵𝐶 > 𝑙𝑖𝑛𝑡 → 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 5750 − 2 ∙ 0.146 ∙ 5750 > 3545 mm → 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 ⏟ 4071 𝑚𝑚
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Calculamos la Resistencia a corte en el punto donde termina la armadura interrumpida utilizando los estribos especificados para la zona y su separación respectiva: 𝐴𝑣 𝜑𝑐 𝑓𝑦𝑡 𝑑 56.549 ∙ 0.75 ∙ 420 ∙ 450/1000 𝜑𝑐 𝑉𝑛 = 𝜑𝑐 𝑉𝑐 + = 65.73 + = 122.987 𝑘𝑁 𝑠 140 Calcular el cortante en el punto de interrupción de la armadura de 2𝜑12 𝑉𝑢2𝜑12 = 𝑉𝑢𝐵 − 𝑞𝑢 Δ = 143.749 − 50 ∙ 1.102 = 88.625 𝑘𝑁 2𝜑𝑐 𝑉𝑛 → 𝑛𝑜 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 3 88.625 < ⏟ 2/3 ∙ 122.987 → 𝑛𝑜 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑉𝑢2𝜑12 <
81.99
Entonces se requiere estribos adicionales en el punto donde se interrumpe la armadura 2𝜑𝑐 𝑉𝑛 𝑉𝑢2𝜑12 − = 6.633 𝑘𝑁 3 2𝜑𝑐 𝑉𝑛
𝐴𝑣𝑎𝑑 𝑉𝑢2𝜑12 − = 𝑠 𝜑𝑐 𝑓𝑦𝑡 𝑑
3
=
6.633 𝑚𝑚2 = 0.047 0.75 ∙ 420 ∙ 450/1000 𝑚𝑚
La armadura provista era 𝑒𝜑6𝑐/ 140 𝑚𝑚 𝐴𝑣 56.549 𝑚𝑚2 = = 0.404 𝑠 140 𝑚𝑚 La nueva armadura será: 𝐴𝑣𝑎𝑑 𝐴𝑣 𝑚𝑚2 + = 0.047 + 0.404 = 0.451 𝑠 𝑠 𝑚𝑚 𝐴𝑣 56.549 𝑠 = 𝐴𝑣𝑎𝑑 𝐴𝑣 = = 125.464 𝑚𝑚 → 𝑒𝜑6𝑐/ 120 𝑚𝑚 0.451 + 𝑠
𝑠
Paso 8: Determinar el punto de interrupción de la armadura negativa del apoyo B a. Determinar las longitudes de desarrollo de las barras. ACI 12.2 𝜓𝑡 = 1.3 𝜓𝑒 = 1.0 𝜓𝑡 𝜓𝑒 < 1.7 → 𝐶𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑑𝑏 = 20 𝑚𝑚 𝑓𝑦 𝜓𝑡 𝜓𝑒 420 ∙ 1.3 ∙ 1 ( ) 𝑑𝑏 ( ) 20 = 1134.73 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 𝑙𝑑20 = 𝑚𝑎𝑥 { 2.1𝜆√𝑓′𝑐 = 𝑚𝑎𝑥 { 2.1 ∙ 1 ∙ √21 300 𝑚𝑚 300 𝑚𝑚 𝑑𝑏 = 12 𝑚𝑚 𝑓𝑦 𝜓𝑡 𝜓𝑒 420 ∙ 1.3 ∙ 1 ( ) 𝑑𝑏 ( ) 12 = 680.84 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 𝑙𝑑12 = 𝑚𝑎𝑥 { 2.1𝜆√𝑓′𝑐 = 𝑚𝑎𝑥 { 2.1 ∙ 1 ∙ √21 300 𝑚𝑚 300 𝑚𝑚 b. Definir la armadura continua y de interrupción 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣𝐵 = 1168 𝑚𝑚2 𝐴𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝐵 = 226 𝑚𝑚2 ⏟ 𝐴𝑠.𝑃𝐼.𝐵 = 314 𝑚𝑚2 ⏟ 𝐴𝑠𝑖𝑛𝑡𝐵 = 628 𝑚𝑚2 ⏟ 2𝜑12
1𝜑20
2𝜑20
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HORMIGÓN ARMADO 𝐴𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝐵 ≥ 1/3𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣𝐵 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒
226 ≥ 389.33 → 𝑛𝑜 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 Se necesita que por lo menos 1/3 de la armadura negativa total pase el punto de inflexión, para cumplir la condición se adopta que 2𝜑12 + 1𝜑20 pasan por el punto de inflexión, pero 2𝜑12 son armaduras continuas. c. Definir el tipo de empalme para las barras continuas según la siguiente tabla: ACI 12.15.2 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣𝐵 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞𝐵 = 1097.903 𝑚𝑚2 = 1.064 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞𝐵 De la tabla de ACI 12.15.2 el empalme es de clase B 𝑙𝑑12 1.3 = 442.546 𝑚𝑚𝑙𝑒 = 450 𝑚𝑚 2 d. Determinar el punto de interrupción de la armadura interrumpida Determinamos las distancias teóricas de corte desde la cara de la columna de acuerdo al apéndice A: 𝐴𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝐵 + 𝐴𝑠.𝑃𝐼.𝐵 = 0.462 → Ω = 0.115 Ω𝑙𝑛𝐵 = 0.115 ∙ 5750 = 661.25 𝑚𝑚 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣𝐵 e. Determinar la longitud de la barra interrumpida. ACI 12.10.3 Longitud de extensión de la armadura que pasa el punto de inflexión (1𝜑20) 𝑑𝑏 = 20 𝑚𝑚 𝑑 450 450 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 12𝑑𝑏 12 ∙ 20 𝑙𝑒𝑥𝑡1𝜑20 = 𝑚𝑎𝑥 { = 𝑚𝑎𝑥 { 5750 = 𝑚𝑎𝑥 { 240 𝑙𝑛𝐵 359.4 16 16 Longitud de extensión de la armadura que pasa el punto de interrupción teórica (2𝜑20) 𝑑 450 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 450 𝑙𝑒𝑥𝑡2𝜑20 = 𝑚𝑎𝑥 { = 𝑚𝑎𝑥 { = 𝑚𝑎𝑥 { 12𝑑𝑏 12 ∙ 20 240 Con lo anterior podemos calcular la longitud desde la cara del apoyo al punto final de la armadura interrumpida, para la armadura que pasa el punto de inflexión (1𝜑20), el punto de inflexión está a 0.146𝑙𝑛 desde la cara de apoyo. De acuerdo al apéndice A se tiene: Δ1𝜑20 = 0.240𝑙𝑛𝐵 + 𝑙𝑒𝑥𝑡1𝜑20 = 0.240 ∙ 5750 + 450 = 1830 𝑚𝑚 Determinar la distancia desde la cara de apoyo al punto final de la armadura interrumpida, 2𝜑20 Δ2𝜑20 = Ω𝑙𝑛𝐵 + 𝑙𝑒𝑥𝑡2𝜑20 = 0.115 ∙ 5750 + 450 = 1111.25 𝑚𝑚 Longitud de la barra interrumpida1𝜑20 𝑙𝑖𝑛𝑡1𝜑20
𝑐1 = 250 𝑚𝑚 = 2Δ1𝜑20 + 𝑐1 = 2 ∙ 1830 + 250 = 3910 mm
Longitud de la barra interrumpida 2𝜑20 𝑙𝑖𝑛𝑡2𝜑20 = 2Δ2𝜑20 + 𝑐1 = 2 ∙ 1111.25 + 250 = 2472.5 mm
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f. Verificar que la armadura debe extenderse por lo menos una distancia 𝑙𝑑 del punto de momento máximo. ACI 12.10.4 𝑃𝑎𝑟𝑎 1𝜑20 0.240𝑙𝑛𝐵 + 𝑙𝑒𝑥𝑡1𝜑20 − Ω𝑙𝑛𝐵 > 𝑙𝑑20 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 0.240 ∙ 5750 + 450 − 0.115 ∙ 5750 > 1134.73 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 ⏟ 1168.75
𝑃𝑎𝑟𝑎 2𝜑20 Δ2𝜑20 > 𝑙𝑑20 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 1111.25 > 1134.73 → 𝑛𝑜 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 No cumple! Entonces se debe volver a calcular la longitud para 2𝜑20 𝑙𝑖𝑛𝑡2𝜑20 = 2𝑙𝑑20 + 𝑐1 = 2 ∙ 1134.73 + 250 = 2520 mm Paso 9: Para momento positivo vano lateral AB a. Determinar las longitudes de desarrollo de las barras. ACI 12.2 𝜓𝑡 = 1.0 𝜓𝑒 = 1.0 𝜓𝑡 𝜓𝑒 < 1.7 → 𝐶𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑑𝑏 = 16 𝑚𝑚 𝑓𝑦 𝜓𝑡 𝜓𝑒 420 ∙ 1 ∙ 1 ( )𝑑 ( ) 16 = 698.297 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 𝑙𝑑16 = 𝑚𝑎𝑥 { 2.1𝜆√𝑓′𝑐 𝑏 = 𝑚𝑎𝑥 { 2.1 ∙ 1 ∙ √21 300 𝑚𝑚 300 𝑚𝑚 b. Definir la armadura continua y de interrupción 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣𝐴𝐵 = 804 𝑚𝑚2 ⏟ 𝐴𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝐴𝐵 = 402 𝑚𝑚2 ⏟ 𝐴𝑠𝑖𝑛𝑡𝐴𝐵 = 402 𝑚𝑚2 2𝜑16
2𝜑16
𝐴𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝐴𝐵 ≥ 1/2𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣𝐴𝐵 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 402 ≥ 402 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 Se decide que las barras que van continuas son 2𝜑16, las barras continuas se deben empalmar en los apoyos g. Debido a que es un vano lateral, si no se puede extender las barras ni con su longitud mínima de embebido de 300 mm dentro de los apoyos debemos utilizar ganchos. ACI 12.5. 𝜓𝑒 = 1.0 𝑑𝑏 = 16 𝑚𝑚 0.24𝜓𝑒 𝑓𝑦 ( ) 𝑑𝑏 351.942 𝑚𝑚 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 𝜆√𝑓′ 𝑐 𝑙𝑑ℎ16 = 𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑎𝑥 { 150 𝑚𝑚 150 𝑚𝑚 128 𝑚𝑚 { 8𝑑𝑏 Atención! La longitud de anclaje mínima es de 351.942 𝑚𝑚, la longitud de columna requerida es de 351.942 + 50 𝑚𝑚, pero la columna es de 250 𝑚𝑚, lo cual implica utilizar los factores dados por ACI 12.5.3. En el ejercicio por razones constructivas se utilizará una longitud de anclaje del máximo de 8𝑑𝑏 𝑦 150 𝑚𝑚 y un gancho de 90º. Se recomienda ver el armado entre vigas perimetrales y vigas de arriostre. 150 𝑚𝑚 150 𝑚𝑚 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 𝑚𝑎𝑥 { = 𝑚𝑎𝑥 { 8𝑑𝑏 128 𝑚𝑚 copyright©rcolquea
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c. Determinar el punto de interrupción de la armadura que va continua Determinamos las distancias teóricas de corte desde la cara de la columna de acuerdo al apéndice A: 𝐴𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝐴𝐵 = 0.5 → Ω = 0.21 Ω𝑙𝑛𝐵𝐶 = 0.21 ∙ 5750 = 1207.5 𝑚𝑚 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣𝐴𝐵 d. Determinar la longitud de la barra interrumpida. ACI 12.10.3 Longitud de extensión 𝑑𝑏 = 16 𝑚𝑚 𝑑 450 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 450 𝑙𝑒𝑥𝑡 = 𝑚𝑎𝑥 { = 𝑚𝑎𝑥 { = 𝑚𝑎𝑥 { 12𝑑𝑏 12 ∙ 16 192 Con lo anterior podemos calcular la longitud desde la cara del apoyo a punto de inicio de la armadura interrumpida Δ = Ω𝑙𝑛𝐴𝐵 − 𝑙𝑒𝑥𝑡 = 1207.5 − 450 = 757.5 𝑚 Longitud de la barra interrumpida 𝑙𝑖𝑛𝑡 = 𝑙𝑛𝐴𝐵 − 2Δ = 5750 − 2 ∙ 757.5 = 4235 mm e. Verificar que la armadura debe extenderse por lo menos una distancia 𝑙𝑑 del punto de momento máximo. ACI 12.10.4 𝑙𝑖𝑛𝑡 > 𝑙𝑑16 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 4235/2 > 698.297 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 ⏟ 2 2117.5 f. Verificar el momento positivo en el punto de inflexión. ACI 12.11.3 Calculamos el momento nominal en el punto de inflexión, para acero continuo: 𝐴𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝐴𝐵 𝑓𝑦 𝑀𝑛 = 𝐴𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝐴𝐵 𝑓𝑦 (𝑑 − ) = 72.784 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 2 ∙ 0.85𝑓′𝑐 𝑏𝑤 Cortante en el punto de inflexión en el vano lateral, el punto de inflexión está a 0.1𝑙𝑛 (ver apéndice A) 𝑉𝑢𝑃.𝐼. = 𝑉𝑢𝐴 − 𝑞𝑢 0.1𝑙𝑛𝐴𝐵 = 143.749 − 50 ∙ 0.1 ∙ 5.75 = 136.562 𝑘𝑁 192 𝑚𝑚 12𝑑𝑏 𝑙𝑎 = 𝑚𝑎𝑥 { = 𝑚𝑎𝑥 { 450 𝑚𝑚 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 𝑑 𝑙𝑎 < 0.1𝑙𝑛𝐴𝐵 → 450 < 575 𝑚𝑚 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 No mayor que la longitud a la cual se extienden las barras pasado el punto de inflexión 𝑀𝑛 𝑙𝑑16 ≤ + 𝑙𝑎 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑉𝑢𝑃.𝐼. 72784 698.297 ≤ + 450 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 698.297 ≤ 982.97 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 136.562 g. Verificar que el cortante en el punto terminal no exceda los dos tercios de la resistencia nominal real a corte. ACI 12.10.5.1 Se debe verificar la condición siempre y cuando el refuerzo por flexión se termina en una zona de tracción, ver apéndice A. 𝑙𝑛𝐴𝐵 − 0.1𝑙𝑛𝐴𝐵 − 0.104𝑙𝑛𝐴𝐵 > 𝑙𝑖𝑛𝑡 → 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 5750 − 0.1 ∙ 5750 − 0.104 ∙ 5750 > 4235 mm → 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 ⏟ 4577 𝑚𝑚
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Calculamos la Resistencia a corte en el punto donde termina la armadura interrumpida utilizando los estribos especificados para la zona y su separación respectiva: 𝐴𝑣 𝜑𝑐 𝑓𝑦𝑡 𝑑 56.549 ∙ 0.75 ∙ 420 ∙ 450/1000 𝜑𝑐 𝑉𝑛 = 𝜑𝑐 𝑉𝑐 + = 65.73 + = 145.89 𝑘𝑁 𝑠 100 Calcular el cortante en el punto de interrupción de la armadura de 2𝜑16 𝑉𝑢2𝜑16 = 𝑉𝑢𝐴 − 𝑞𝑢 Δ = 165.312 − 50 ∙ 0.7575 = 127.437 𝑘𝑁 2𝜑𝑐 𝑉𝑛 → 𝑛𝑜 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 3 127.438 < ⏟ 2/3 ∙ 145.89 → 𝑛𝑜 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑉𝑢2𝜑12 <
97.26
Entonces se requiere estribos adicionales en el punto donde se interrumpe la armadura 2𝜑𝑐 𝑉𝑛 𝑉𝑢2𝜑16 − = 30.17 𝑘𝑁 3 2𝜑𝑐 𝑉𝑛
𝐴𝑣𝑎𝑑 𝑉𝑢2𝜑16 − = 𝑠 𝜑𝑐 𝑓𝑦𝑡 𝑑
3
=
30.17 𝑚𝑚2 = 0.213 0.75 ∙ 420 ∙ 450/1000 𝑚𝑚
La armadura provista era 𝑒𝜑6𝑐/ 100 𝑚𝑚 𝐴𝑣 56.549 𝑚𝑚2 = = 0.565 𝑠 100 𝑚𝑚 La nueva armadura será: 𝐴𝑣𝑎𝑑 𝐴𝑣 𝑚𝑚2 + = 0.213 + 0.565 = 0.778 𝑠 𝑠 𝑚𝑚 𝐴𝑣 56.549 𝑠 = 𝐴𝑣𝑎𝑑 𝐴𝑣 = = 72.65 𝑚𝑚 → 𝑒𝜑6𝑐/ 70 𝑚𝑚 0.778 + 𝑠 𝑠 La armadura provista era 𝑒𝜑6𝑐/ 140 𝑚𝑚 𝐴𝑣 56.549 𝑚𝑚2 = = 0.404 𝑠 140 𝑚𝑚 La nueva armadura será: 𝐴𝑣𝑎𝑑 𝐴𝑣 𝑚𝑚2 + = 0.213 + 0.404 = 0.617 𝑠 𝑠 𝑚𝑚 𝐴𝑣 56.549 𝑠 = 𝐴𝑣𝑎𝑑 𝐴𝑣 = = 91.679 𝑚𝑚 → 𝑒𝜑6𝑐/ 90 𝑚𝑚 0.617 + 𝑠
𝑠
Paso 10: Determinar el punto de interrupción de la armadura negativa del apoyo A a. Determinar las longitudes de desarrollo de las barras. ACI 12.2 𝜓𝑡 = 1.3 𝜓𝑒 = 1.0 𝜓𝑡 𝜓𝑒 < 1.7 → 𝐶𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑑𝑏 = 16 𝑚𝑚
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𝑓𝑦 𝜓𝑡 𝜓𝑒 420 ∙ 1.3 ∙ 1 ( ) 𝑑𝑏 ( ) 16 = 907.786 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 𝑙𝑑16 = 𝑚𝑎𝑥 { 2.1𝜆√𝑓′𝑐 = 𝑚𝑎𝑥 { 2.1 ∙ 1 ∙ √21 300 𝑚𝑚 300 𝑚𝑚 𝑑𝑏 = 12 𝑚𝑚 𝑓𝑦 𝜓𝑡 𝜓𝑒 420 ∙ 1.3 ∙ 1 ( ) 𝑑𝑏 ( ) 12 = 680.84 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 𝑙𝑑12 = 𝑚𝑎𝑥 { 2.1𝜆√𝑓′𝑐 = 𝑚𝑎𝑥 { 2.1 ∙ 1 ∙ √21 300 𝑚𝑚 300 𝑚𝑚 b. Definir la armadura continua y de interrupción 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣𝐴 = 829 𝑚𝑚2 𝐴 ⏟𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝐴 = 226 𝑚𝑚2 𝐴 ⏟𝑠.𝑃𝐼.𝐴 = 201 𝑚𝑚2 𝐴 ⏟𝑠𝑖𝑛𝑡𝐵 = 402 𝑚𝑚2 2𝜑12
𝐴𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝐴 ≥
1𝜑16
1 3𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣𝐴
→ 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒
2𝜑16
226 ≥ 276.33 → 𝑛𝑜 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒
Se necesita que por lo menos 1/3 de la armadura negativa total pase el punto de inflexión, para cumplir la condición se adopta que 2𝜑12 + 1𝜑16 pasan por el punto de inflexión, pero 2𝜑12 son armaduras continuas. h. Debido a que es un vano lateral, si no se puede extender las barras ni con su longitud mínima de embebido de 300 mm dentro de los apoyos debemos utilizar ganchos. ACI 12.5. La longitud de desarrollo 𝑙𝑑ℎ está dado por ACI 12.5.2: 𝜓𝑒 = 1.0 𝑑𝑏 = 16 𝑚𝑚 0.24𝜓𝑒 𝑓𝑦 ( ) 𝑑𝑏 351.942 𝑚𝑚 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 𝜆√𝑓′𝑐 𝑙𝑑ℎ16 = 𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑎𝑥 { 150 𝑚𝑚 150 𝑚𝑚 128 𝑚𝑚 { 8𝑑𝑏 Atención! La longitud de anclaje mínima es de 351.942 𝑚𝑚, la longitud de columna requerida es de 351.942 + 50 𝑚𝑚, pero la columna es de 250 𝑚𝑚, lo cual implica utilizar los factores dados por ACI 12.5.3. Si se cumple que el recubrimiento lateral en la columna es mayor a 65 𝑚𝑚 y si el recubrimiento en la extensión de la barra es mayor a 50 𝑚𝑚, entonces utilizar un factor de 0.7: 0.7𝑙𝑑ℎ16 = 246.36 𝑚𝑚
Figura 6.33 – Vista en planta con espaciamiento
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La sección de columna se elevó a 300𝑥300 𝑚𝑚 porque la anterior sección no cumple las condiciones necesarias, en los ganchos inferiores de momento positivo se deben considerar estas condiciones de armado y no así las calculadas. 0.7𝑙𝑑ℎ16 < 250 𝑚𝑚 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 246.36 < 250 𝑚𝑚 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 c. Determinar el punto de interrupción de la armadura interrumpida Determinamos las distancias teóricas de corte desde la cara de la columna de acuerdo al apéndice A: 𝐴𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝐴 + 𝐴𝑠.𝑃𝐼.𝐴 = 0.651 → Ω = 0.05 Ω𝑙𝑛𝐴 = 0.05 ∙ 5750 = 287.5 𝑚𝑚 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣𝐴 d. Determinar la longitud de la barra interrumpida. ACI 12.10.3 Longitud de extensión de la armadura que pasa el punto de inflexión (1𝜑16) 𝑑𝑏 = 16 𝑚𝑚 𝑑 450 450 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 12𝑑𝑏 12 ∙ 16 𝑙𝑒𝑥𝑡1𝜑16 = 𝑚𝑎𝑥 { = 𝑚𝑎𝑥 { 5750 = 𝑚𝑎𝑥 { 192 𝑙𝑛𝐴 359.4 16 16 Longitud de extensión de la armadura que pasa el punto de interrupción teórica (2𝜑16) 𝑑 450 𝑔𝑜𝑏𝑖𝑒𝑟𝑛𝑎 450 𝑙𝑒𝑥𝑡2𝜑16 = 𝑚𝑎𝑥 { = 𝑚𝑎𝑥 { = 𝑚𝑎𝑥 { 12𝑑𝑏 12 ∙ 16 192 Con lo anterior podemos calcular la longitud desde la cara del apoyo al punto final de la armadura interrumpida, para la armadura que pasa el punto de inflexión (1𝜑16), el punto de inflexión está a 0.164𝑙𝑛 desde la cara de apoyo. De acuerdo al apéndice A se tiene: Δ1𝜑16 = 0.164𝑙𝑛𝐴 + 𝑙𝑒𝑥𝑡1𝜑16 = 0.164 ∙ 5750 + 450 = 1393 𝑚𝑚 Determinar la distancia desde la cara de apoyo al punto final de la armadura interrumpida, 2𝜑16 Δ2𝜑16 = Ω𝑙𝑛𝐴 + 𝑙𝑒𝑥𝑡2𝜑16 = 0.05 ∙ 5750 + 450 = 737.5 𝑚𝑚 Longitud de la barra interrumpida 1𝜑16 𝑙𝑖𝑛𝑡1𝜑16
𝑐1 = 250 𝑚𝑚 = Δ1𝜑16 + 250𝑚𝑚 + 12𝑑𝑏 = 1393 + 250 + 12 ∙ 16 = 1835 mm
Longitud de la barra interrumpida 2𝜑16 𝑙𝑖𝑛𝑡2𝜑16 = Δ2𝜑16 + 250𝑚𝑚 + 12𝑑𝑏 = 737.5 + 250 + 12 ∙ 16 = 1179.5 mm e. Verificar que la armadura debe extenderse por lo menos una distancia 𝑙𝑑 del punto de momento máximo. ACI 12.10.4 𝑃𝑎𝑟𝑎 1𝜑16 0.164𝑙𝑛𝐴 + 𝑙𝑒𝑥𝑡1𝜑16 − Ω𝑙𝑛𝐴 > 𝑙𝑑16 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 0.164 ∙ 5750 + 450 − 0.05 ∙ 5750 > 907.786 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 ⏟ 1105.5
𝑃𝑎𝑟𝑎 2𝜑16 Δ2𝜑16 > 𝑙𝑑16 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 737.5 > 907.786 → 𝑛𝑜 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 copyright©rcolquea
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No cumple! Entonces se debe volver a calcular la longitud para 2𝜑16 𝑙𝑖𝑛𝑡2𝜑16 = 𝑙𝑑16 + 250𝑚𝑚 + 12𝑑𝑏 = 907.786 + 250 + 12 ∙ 16 = 1349.79 mm Paso 11: Determinar la distribución de la armadura de corte a. Apoyo A Debido a la corrección en el apoyo A se deben colocar estribos 𝑒𝜑6𝑐/70 𝑚𝑚, a continuación se colocará la armadura mínima de 𝑒𝜑6𝑐/220 𝑚𝑚, por lo tanto se debe calcular hasta que lugar debe ir la armadura de 𝑒𝜑6𝑐/70 𝑚𝑚. Se recuerda también que ese lugar debe estar más allá del punto de interrupción de la armadura positiva 2𝜑16, la cual está a 760 𝑚𝑚 del apoyo. La resistencia a corte del hormigón es: 𝜑𝑐 𝑉𝑐 = 65.731 𝑘𝑁 La resistencia que genera 𝑒𝜑6𝑐/220 𝑚𝑚 es: 𝐴𝑣 𝜑𝑐 𝑓𝑦𝑡 𝑑 56.549 ∙ 0.75 ∙ 420 ∙ 450/1000 𝜑𝑐 𝑉𝑠 = = = 36.435 𝑘𝑁 𝑠 220 El punto 𝑥se mide desde la cara de la columna A hasta el inicio de la armadura mínima: 𝑉𝑢𝐴 − (𝜑𝑐 𝑉𝑐 + 𝜑𝑐 𝑉𝑠 ) 𝑥= 𝑙𝑛𝐴𝐵 = 1174.796 𝑚𝑚 𝑉𝑢𝐴 + 𝑉𝑢𝐵 𝑥 > 760 𝑚𝑚 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 b. Apoyo B La resistencia que genera 𝑒𝜑6𝑐/220 𝑚𝑚 es: 𝐴𝑣 𝜑𝑐 𝑓𝑦𝑡 𝑑 56.549 ∙ 0.75 ∙ 420 ∙ 450/1000 𝜑𝑐 𝑉𝑠 = = = 36.435 𝑘𝑁 𝑠 220 El punto 𝑥 se mide desde la cara de la columna B hasta el final de la armadura mínima: 𝑉𝑢𝐵 − (𝜑𝑐 𝑉𝑐 + 𝜑𝑐 𝑉𝑠 ) 𝑥= 𝑙𝑛𝐴𝐵 = 773.633 𝑚𝑚 𝑉𝑢𝐴 + 𝑉𝑢𝐵 𝑥 > 760 𝑚𝑚 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 El punto 𝑥 se mide de la cara del apoyo B hacia la izquierda 𝑉𝑢𝐵 − (𝜑𝑐 𝑉𝑐 + 𝜑𝑐 𝑉𝑠 ) 𝑥= 𝑙𝑛𝐵𝐶 = 831.655 𝑚𝑚 𝑉𝑢𝐴 + 𝑉𝑢𝐶 𝑥 > 1100 𝑚𝑚 → 𝑛𝑜 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 La distancia 𝑥 se mide de la cara de la columna B hasta el inicio de la armadura mínima, la anterior verificación no cumple entonces el estribo mínimo debe empezar a colocarse a 1100 𝑚𝑚 de la cara de la columna B.
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Paso 12: Armado de la viga y planilla de aceros. Las longitudes de barras calculadas se han redondeado, de tal forma que sean números enteros, las dimensiones redondeadas se reflejan en el plano. Se realizó los cálculos en apoyo A, vano AB, apoyo B y vano BC, del apoyo C hasta el apoyo D los cálculos se reflejan, por lo tanto la armadura será igual al lado izquierdo.
Figura 6.34 – Plano en elevación – lado izquierdo
Figura 6.35 – Secciones transversales – lado izquierdo
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Figura 6.36 – Plano en elevación – lado derecho
Figura 6.37 – Secciones transversales – lado derecho
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6.11) PROBLEMAS PROPUESTOS Problema 6.1 ¿Qué son las varillas superiores? ¿Por qué sus longitudes de desarrollo requeridas son mayores que si no fuesen varillas superiores? Problema 6.2 ¿Por qué los recubrimientos y el espaciamiento de las varillas afectan las longitudes de desarrollo requeridas? Problema 6.3 ¿Por qué la capacidad de anclaje de un gancho estándar no aumenta al extender la varilla más allá del extremo del gancho? Problema 6.4 ¿Dónde y porque se deben ubicar los empalmes a tracción en una viga perimetral? Problema 6.5 ¿En qué se diferencia el armado de una viga perimetral y la viga intermedia? Problema 6.6 ¿Interprete el articulo ACI 12.10.5? Problema 6.7 ¿Están suficientemente ancladas las varillas no recubiertas de Nº 25 mostradas con sus ganchos a 90º? 𝑓´𝑐 = 28 𝑀𝑃𝑎 y 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎. El recubrimiento superior es de 50 𝑚𝑚, se usa horimigón de peso normal y 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞 = 1375 𝑚𝑚2.
Problema 6.8 En la columna mostrada, las varillas inferiores de la columna son del Nº25 y las superiores son del Nº 20. Las varillas están unidas por estribos separados a 300 𝑚𝑚 entre centros. Si 𝑓´𝑐 = 28 𝑀𝑃𝑎 y 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, ¿Cuál es la longitud mínima de empalme traslapado requerida? Considere concreto de peso normal para la columna de 300 𝑚𝑚 𝑥 300 𝑚𝑚.
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Problema 6.9 Los cálculos indican que se requieren 1450.60 𝑚𝑚2 de acero superior o negativo para la viga mostrada. Se han escogido tres varillas Nº 25. ¿Son satisfactorios las longitudes de desarrollo mostradas de 1350 𝑚𝑚 si 𝑓´𝑐 = 28 𝑀𝑃𝑎 y 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎? Las varillas están separadas entre sí a 75 𝑚𝑚 centro a centro con 75 𝑚𝑚 de recubrimiento lateral y superior medido desde el c.g. de las varillas. Use 𝐾𝑡𝑟 = 0.
Problema 6.10 Determine los traslapes de los empalmes a compresión necesarios para una columna de hormigón armado de 350 𝑚𝑚 𝑥 350 𝑚𝑚 con estribos (cuyas áreas efectivas exceden de 0.0015 ℎ𝑠 como se describe en la sección 12.17.2.4 del código) para los casos siguientes. Se tienen ocho varillas longitudinales Nº 25 separadas uniformemente alrededor de la columna. A) 𝑓´𝑐 = 28 𝑀𝑃𝑎 y 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, B) 𝑓´𝑐 = 17 𝑀𝑃𝑎 y 𝑓𝑦 = 350 𝑀𝑃𝑎. Problema 6.11 Si la carga viva es el doble de la muerta, determinar la carga viva que puede resistir la viga, para una cuantía máxima en simple armado, además diseñar a corte y determinar las longitudes de las barras de tal forma que cumpla las condiciones de adherencia, elaborar detalle de armado.
𝑓´𝑐 = 245 𝑘𝑔𝑓 ⁄𝑐𝑚2 , 𝑓𝑦 = 4200 𝑘𝑔𝑓⁄𝑐𝑚2 , 𝑟𝑒𝑐 = 3.0 𝑐𝑚, ∅𝑒𝑠𝑡 = 8 𝑚𝑚. Problema 6.12 Diseñar la viga A-D a flexión, corte y torsión para una cuantía máxima a flexión de 𝜌 = 0.012. Las columnas del pórtico de la figura son de 30x30 cm, también se pide determinar la longitudes de las barras positivas y negativas de tal forma que cumpla las condiciones de adherencia.
𝑓´𝑐 = 245 𝑘𝑔𝑓 ⁄𝑐𝑚2 , 𝑓𝑦 = 4000 𝑘𝑔𝑓⁄𝑐𝑚2 , 𝑟𝑒𝑐 = 2.5 𝑐𝑚, ∅𝑒𝑠𝑡 = 8 𝑚𝑚. copyright©rcolquea
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Problema 6.13 Diseñar la viga A-B A torsión, corte y flexión para las condiciones geométricas y mecánicas que se observan en la figura de tal forma que cumpla las condiciones de integridad estructural, elaborar el plano constructivo y planilla de acero.
𝑓´𝑐 = 235 𝑘𝑔𝑓 ⁄𝑐𝑚2 , 𝑓𝑦 = 4200 𝑘𝑔𝑓⁄𝑐𝑚2 , 𝑟𝑒𝑐 = 2.5 𝑐𝑚, ∅𝑒𝑠𝑡 = 8 𝑚𝑚. Problema 6.14 Diseñar la viga A-C A flexión, corte y torsión dimensionar la viga A-C con detalle constructivo de tal forma que cumpla las condiciones de integridad estructural y adherencia.
𝑓´𝑐 = 230 𝑘𝑔𝑓 ⁄𝑐𝑚2 , 𝑓𝑦 = 4200 𝑘𝑔𝑓 ⁄𝑐𝑚2 , 𝑟𝑒𝑐 = 3 𝑐𝑚, ∅𝑒𝑠𝑡 = 8 𝑚𝑚. Problema 6.15 Considerar todos los requisitos de integridad estructural para determinar la distribución y posicionamiento de la armadura de la viga del eje B del pórtico de la figura. Tomar 𝑓´𝑐 = 21 𝑀𝑃𝑎 y 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎
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APÉNDICE A) ENVOLVENTES PARA DIFERENTES VANOS
Figura 6.38 – Envolvente de momento para vano típico interior (Coeficientes de momento: -1/11, +1/16, -1/11)
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Figura 6.39 – Envolvente de momento para vano exterior con soporte exterior construida de manera integral con la columna (Coeficientes de momento: -1/16, +1/14, -1/10)
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Figura 6.40 – Envolvente de momento para vano exterior con soporte exterior construida de manera integral con una viga spandrel o viga maestra (Coeficientes de momento: -1/24, +1/14, -1/10)
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Figura 6.41 – Envolvente de momento para vano exterior con soporte exterior con discontinuidad (Coeficientes de momento: 0, +1/11, -1/10)
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CAPÍTULO 7: ANÁLISIS Y DISEÑO DE LOSA EN DIRECCIONES
DOS
7.1) INTRODUCCIÓN Cuándo las losas están soportadas por columnas dispuestas en hileras, de manera que las losas sufren deflexiones en dos direcciones, se denominan losas en dos direcciones. Los sistemas de entrepiso normalmente se construyen de concreto colado en sitio, las losas y placas en dos direcciones, son aquellos tableros en los cuales la relación entre la luz larga y luz corta es menor que dos, si la respectiva relación es mayor que dos entonces se clasifica como losas en una dirección, que fueron analizados en el capítulo 3. 𝑙𝑙𝑎𝑟𝑔𝑎 ≤ 2 → 𝑙𝑜𝑠𝑎 𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑙𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎 𝑙𝑙𝑎𝑟𝑔𝑎 > 2 → 𝑙𝑜𝑠𝑎 𝑒𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑙𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎 En el análisis y diseño de losas de entrepiso es necesario entender la mecánica del concreto estructural, en nuestro caso la mecánica del concreto reforzado, en ocasiones se pueden presentar fallas por fisuras inclinadas en una placa después de una falla por corte, la respectiva fallas se muestra en la figura 7.1.
Figura 7.1 – Losa sin vigas, falla por transferencia de cortante
De acuerdo a una fotografía de J.G.MacGregor80 (ver figura 7.2) se puede observar las líneas de fisuras en una losa limitada en sus cuatro bordes, el objetivo es evitar la densidad de fisuras y para evitar se planteara las bases teóricas de análisis y diseño.
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(G. MacGregor, 2012) copyright©rcolquea
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Figura 7.2 – Líneas de fluencia en una losa apoyada en sus cuatro lados.
El nivel actual de conocimientos permite evaluar razonablemente la capacidad de flexión, la capacidad a cortante del sistema losa – columna y el comportamiento en condiciones de servicio que depende del control de deflexiones y agrietamientos. A continuación conoceremos la cronología de la evolución para el análisis y diseño de losas en los últimos 40 años. Hasta el principio de la década de 1950, el análisis del comportamiento en flexión de las losas se basó en los principios de la teoría clásica de la elasticidad81. La teoría de las deflexiones pequeñas en placas, suponiendo al material homogéneo e isotrópico, fue la base de las recomendaciones del reglamento ACI82, presentadas en tablas de coeficientes para los momentos. Esta obra desarrollada por Westergaard que permitía distribuir los momentos de forma empírica. En 1943 Johansen presentó su teoría de las líneas de fluencia para evaluar la capacidad de las losas al colapso, desde entonces se emprendieron investigaciones extensas sobre el comportamiento último de las losas de concreto reforzado. Los estudios de muchos investigadores, como los de Ockeleston, Mansfield, Rahanitsyn, Powell, Wood, Sawczuk, Gamble – Sozen – Siess y Park, contribuyeron en gran medida a comprender mejor el comportamiento en el estado límite de las losas y placas en la falla bajo cargas de servicio. 7.1.1) MÉTODOS DE ANÁLISIS Se presenta diferentes métodos para el análisis y diseño de losas y placas en dos direcciones. 7.1.1.1) El planteamiento semielástico de ACI El planteamiento del ACI proporciona dos alternativas para analizar y diseñar una losa en dos direcciones con marcos o un sistema de placas: el método de diseño directo y el método del marco equivalente. 7.1.1.2) Teoría de las líneas de fluencia En tanto que el planteamiento semielástico del reglamento se aplica a casos y formas estándar, y por ello tiene inherente un factor de seguridad excesivamente grande con relación a la capacidad, la teoría de las líneas de fluencia es una teoría plástica que es fácil de aplicar a formas 81 82
(G. Nawy, 1984) (American Concrete Institute, 2011) copyright©rcolquea
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y condiciones de frontera irregulares. A condición de que se respeten las limitaciones de servicio, la teoría de las líneas de fluencia de Johansen es el planteamiento más simple que puede utilizar el proyectista y representa el comportamiento verdadero de las losas y placas de concreto reforzado. Permite evaluar los momentos flexionantes a partir de un mecanismo supuesto de colapso, que es función de las cargas externas y la forma del tablero de piso. 7.1.1.3) Teoría al límite para placas El interés por desarrollar una solución al límite se transformó en una necesidad debido a la posibilidad de encontrar variación en el campo de colapso que puede originar una carga menor de falla. Por esto, se buscó una solución de frontera superior que necesitará un mecanismo válido al proporcionarle la ecuación del trabajo, así como una solución de frontera inferior que requiera que el campo de esfuerzos cumpla en todas partes con la ecuación diferencial de equilibrio, esto es: 𝜕 2 𝑀𝑥𝑦 𝜕 2 𝑀𝑦 𝜕 2 𝑀𝑥 − 2 + = −𝑤 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑦 2 En donde 𝑀𝑥 , 𝑀𝑦 y 𝑀𝑥𝑦 son los momentos flexionantes y 𝑤 la intensidad unitaria de la carga. El esfuerzo variable permite que la solución de la frontera inferior aún sea válida. Wood, Park y otros investigadores han proporcionado predicciones más precisas de las cargas de colapso. En las soluciones del estado límite, se supone que la losa es totalmente rígida hasta su colapso. El autor realizó investigaciones posteriores en Rutger en las que se incorporaron los efectos de la deflexión bajo la acción de niveles altos de carga y los efectos de fuerza de membrana a compresión, para predecir la carga de colapso. 7.1.1.4) Método de las franjas Hillerborg propuso este método como un intento de ajustar el refuerzo a conjunto de franjas y transformó la losa en franjas de vigas que se interceptan, de ahí el nombre de “método de franjas”. Excepto por la teoría de las líneas de fluencia de Johansen, la mayor parte de las otras soluciones son de frontera inferior. La solución de frontera superior de Johansen puede dar la carga de colapso más alta, a condición de que se utilice un mecanismo de falla válido al predecir la carga de colapso83. 7.1.2) TIPOS DE LOSAS Las losas en dos direcciones pueden reforzarse incorporando vigas entre las columnas, aumentando el espesor de las losas alrededor de las columnas (ábacos) y ensanchando las columnas bajo las losas (capiteles de columna), estos casos se muestran en la figura 7.3. Losa unidireccional con vigas, la figura 7.3(a) muestra el sistema de entrepiso de una losa unidireccional con viga. Placa plana, con el paso del tiempo y la evolución de la tecnología, las vigas sobre las líneas que unen las columnas comenzaron a desaparecer gradualmente. El sistema de losa resultante, compuesto por losas macizas apoyadas directamente sobre columnas, se denomina placa plana (figura 7.3(c)). La placa plana en dos direcciones es un sistema muy eficiente y económico, y en la actualidad es el sistema más utilizado para 83
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construcciones de múltiples pisos tales como hoteles, dormitorios, edificios de departamentos y hospitales. En comparación con otros sistemas de entrepiso/cubierta de hormigón, las placas planas se pueden construir en menos tiempo y con menores costos de mano de obra debido a que el sistema utiliza losa encofrados y disposiciones de armadura más simples, y la altura de piso se reduce automáticamente. Las placas planas posiblemente presenten problemas en la transferencia de la fuerza cortante en el perímetro de las columnas, en otras palabras, existe el peligro de que las columnas penetren en las losas, como resultado, a menudo es necesario aumentar los tamaños de las columnas o de las losas o bien usar crucetas de cortante. Las crucetas de cortante consisten en perfiles I o canales de acero colocados en la losa sobre columnas. Si bien este procedimiento puede parecer caro, la cimbra sencilla requerida para las placas planas compensa ampliamente el costo adicional de las crucetas. Sin embargo, para grandes cargas industriales o claros grandes, se requiere otro tipo de sistemas de piso. Losas planas, se muestra en la figura 7.3(d), las losas planas incluyen las losas de concreto reforzado en dos direcciones con capiteles, con ábacos o con ambos (ver figura 7.4). Estas losas son muy satisfactorias para cargas pesadas y grandes claros, Aunque la cimbra es más cara que para las placas planas, las losas planas requieren menores cantidades de concreto y refuerzo para las mismas cargas y los mismos claros. Son particularmente económicas para bodegas, estacionamientos y edificios industriales, así como para estructuras similares donde los ábacos o capiteles visibles sean aceptables. Losa en dos direcciones con vigas, en la figura 7.3(b) se muestra respectiva losa, este tipo de sistema de piso obviamente se usa donde su costo es menor que el de las losas o placas planas. En otras palabras, cuando las cargas o los claros o ambos son muy grandes, el espesor de la losa y el tamaño de columna requeridos para las placas o losas planas son de tal magnitud que es más económico usar losas en dos direcciones con vigas, a pesar del mayor costo de la cimbra o encofrado. Losas nervadas en dos direcciones, que se muestra en la figura 7.3(e), consisten en filas de viguetas o nervios de hormigón perpendiculares entre sí con cabezales macizos sobre las columnas (los cuales son necesarios para proveer resistencia a corte). Habitualmente las viguetas o nervios se forman usando encofrados cuadrados normalizados tipo casetones. Alrededor de las columnas no se colocan casetones, formando así los cabezales macizos. Para los propósitos del diseño, las losas nervuradas se consideran como losas planas en las cuales los cabezales macizos actúan como ábacos. Los sistemas con losas nervadas permiten reducir considerablemente la carga permanente con respecto a los sistemas con losas planas convencionales, por tal motivo también se las conoce como losas alivianadas, ya que es posible minimizar la altura de las losas gracias a que la separación entre los nervios es pequeña. En consecuencia, este sistema es particularmente ventajoso cuando se desea cubrir grandes luces o soportar cargas elevadas sin utilizar ábacos de gran altura ni vigas de apoyo. Además, la geometría formada por los nervios suele ser deseable desde el punto de vista arquitectónico. Para analizar este tipo de losas es necesario linealizar la carga distribuida por unidad de área en un metro de ancho por unidad de ancho efectivo, y se diseña como sistema de vigas T que dependen del ancho efectivo, espesor del alma, espesor del bloque de compresión y la altura. copyright©rcolquea
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Figura 7.3 – Sistema de losas
Figura 7.4 – Detalle de los ábacos
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7.2) ANÁLISIS DE LOSAS EN DOS DIRECCIONES Las losas en dos direcciones se flexionan bajo las cargas quedando su superficie en forma de plato, de modo que ocurre flexión en las dos direcciones principales. En consecuencia, deben reforzarse en ambas direcciones con lechos de varillas de refuerzo perpendiculares entre sí. Un análisis elástico teórico de tales losas es muy complejo, debido a su naturaleza altamente indeterminada. Se requieren técnicas numéricas tales como el de diferencias finitas, método de los elementos finitos, pero estos métodos requieren el manejo de un software como SAFE 12.0.0 que analiza u diseña sistemas de losas, en todo caso estos métodos no se pueden utilizar de forma manual. Los métodos descritos en este capítulo pueden hacerse a mano o con hojas de cálculo simples y son lo suficientemente exactos para la mayoría de los problemas de diseño. En realidad el hecho de que ocurre una gran redistribución de esfuerzos en las losas bajo grandes cargas hace innecesario el diseño basado en análisis teóricos. En consecuencia, el diseño de losas en dos direcciones se basa generalmente en coeficientes empíricos de momento, los que si bien no predicen exactamente las variaciones de los esfuerzos, conducen al proporcionamiento de losas con factores de seguridad globales satisfactorios. En otras palabras si se coloca demasiado refuerzo en una parte de la losa y muy poco en alguna otra parte, el comportamiento resultante de la losa probablemente seguirá siendo satisfactorio. La cantidad total de refuerzo en una losa parece ser más importante que su colocación exacta84. El proyectista puede utilizar métodos más exactos, como soluciones numéricos, método de las líneas de fluencia, siempre que se demuestre claramente que se cumplan todos los criterios necesarios de seguridad y servicio. 7.3) ESTADO LÍMITE ÚLTIMO DE SERVICIO EN LOSAS El estado límite último de servicio se refiere a las limitaciones de espesor y consideraciones de rigidez para evitar deflexiones grandes en las losas, es importante que los diferentes tipos de losas en dos direcciones o su similar de una dirección queden a nivel, es decir con deflexiones razonablemente pequeñas, para evitar las deflexiones grandes el código ACI318-11 pone condiciones de altura y rigidez que se debe cumplir. Para cumplir las condiciones del código ACI el proyectista tiene dos opciones: Calcular las deflexiones para queden dentro de ciertos límites. Que utilice ciertos espesores mínimos especificados en el ACI 9.5.3. Los cálculos de deflexiones para losas en dos direcciones son bastante complicados, por lo que la mayoría de los proyectistas usan los espesores mínimos del ACI. 7.3.1) LOSA SIN VIGAS INTERIORES Para una losa sin vigas interiores con luces entre sus apoyos y con una relación de la luz larga a su luz corta no mayor de dos, el espesor mínimo puede tomarse de la tabla 7.1 de este capítulo (tabla 9.5(c) del código ACI). ACI 9.5.3.2, define los espesores mínimos de losas en dos direcciones sin vigas interiores, los valores seleccionados de la tabla no deben ser menores que los siguientes valores: 1. Losas sin ábacos en tableros, 125 𝑚𝑚. 2. Espesores de losas con ábacos fuera de los tableros, 100 𝑚𝑚.
84
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280 420 520
Sin ábacos ℶ Paneles exteriores Sin vigas Con vigas de borde de borde° ∗ 𝑙𝑛 𝑙𝑛 36 33 𝑙𝑛 𝑙𝑛 30 33 𝑙𝑛 28
𝑙𝑛 31
Paneles interiores 𝑙𝑛 36
Con ábacos ℶ Paneles exteriores Sin vigas Con vigas de borde de borde° 𝑙𝑛 𝑙𝑛 36 40
Paneles interiores 𝑙𝑛 40
𝑙𝑛 33
𝑙𝑛 33
𝑙𝑛 36
𝑙𝑛 36
𝑙𝑛 31
𝑙𝑛 31
𝑙𝑛 34
𝑙𝑛 34
ℵ Para valores de esfuerzos de fluencia del acero de refuerzo entre los valores dados en la tabla, el espesor mínimo se determinará por interpolación lineal. ℶ Los ábacos se definen en las secciones 13.3.7 y 13.2.5 del ACI. ° Losas con vigas entre columnas a lo largo de bordes exteriores. El valor de 𝛼𝑓 para la viga de borde no será menor que 0.8. ∗ Para construcción en dos direcciones 𝑙𝑛 es la longitud del claro libre en la dirección larga, medida cara a cara de los apoyos en las losas sin vigas y cara a cara de las vigas u otros apoyos en otros casos.
Tabla 7-1 Espesores mínimos de losas sin vigas interiores
En la tabla 7.1 se dan algunos valores con valores deprimidos, según ACI 13.3.7 y 13.2.5 para ser un tablero deprimido debe cumplir las siguientes condiciones: Extenderse horizontalmente en cada dirección desde la línea central del soporte no menos que 1/6 de la distancia, centro a centro, de los apoyos en esa dirección. Proyectarse verticalmente debajo de la losa una distancia no menor que 1/4 del espesor de aquella desde el tablero deprimido. 𝑙𝑛 : es la longitud del claro libre en la dirección larga de la construcción en dos direcciones, medida cara a cara entre los soportes de las losas sin vigas y cara a cara de las vigas o de los otros soportes. Con frecuencia se construyen losas sin vigas interiores entre columnas, pero con vigas de borde alrededor del perímetro del edificio, las vigas exteriores son de gran ayuda para rigidizar las losas y reducir las deflexiones en los tableros exteriores de la losa, la rigidez de losas con vigas de borde se expresan como función de 𝛼𝑓 . 𝐸𝑐𝑏 𝐼𝑏 𝛼𝑓 = 𝐸𝑐𝑠 𝐼𝑠 𝛼𝑓 : Representa la relación de la rigidez a flexión (𝐸𝑐𝑏 𝐼𝑏 ) de una sección de viga, a la rigidez a flexión de la losa (𝐸𝑐𝑠 𝐼𝑠 ) cuyo ancho es igual a la distancia entre los ejes de los tableros a cada lado de la viga. Si no se usan vigas, entre las placas planas, 𝛼 será igual a 0. 𝐸𝑐𝑏 : Módulo de elasticidad del concreto de la viga. 𝐸𝑐𝑠 : Módulo de elasticidad del concreto de la losa. 𝐼𝑏 : Momento de inercia total respecto al eje centroidal de una sección formada por la viga y la losa a cada lado de la viga, que se extiende a una distancia igual a la proyección de la viga arriba
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o debajo de la losa (la que sea mayor) pero sin exceder cuatro veces el espesor de la losa (ACI 13.2.4) ℎ3
𝐼𝑠 : Momento de inercia de la sección total de la losa respecto al eje centroidal e igual a 12 veces el ancho de la losa. 7.3.2) SECCION EFECTIVA DE UNA VIGA Para los sistemas de losas con vigas entre sus apoyos, las vigas deben incluir partes de la losa a modo de alas, como se ilustra en la figura 7.5. La constante de diseño y los parámetros de rigidez utilizados con el Método de Diseño Directo y el Método del Pórtico Equivalente se basan en las secciones de viga efectiva.
Figura 7.5 – Sección efectiva de una viga
7.3.3) LOSA CON VIGAS INTERIORES Las losas con vigas interiores son de uso común en la industria de la construcción, más aún las losas nervadas con vigas interiores y losas con viguetas preesforzadas con vigas interiores entre las columnas. ACI 9.5.3.3, el respectivo artículo define los espesores mínimos de losas con vigas interiores, las variables que se presentan en el artículo están las longitudes de los claros, las formas de los tableros, las rigideces a flexión de las vigas si éstas se usan, los esfuerzos de fluencia del acero. 𝑙𝑛 : La luz libre en la dirección larga, medida cara a cara, de a) las columnas para losas sin vigas y b) las vigas para losas con vigas. 𝛽: Relación entre la luz libre larga a la luz libre corta. 𝛼𝑓𝑚 : Valor promedio de las relaciones de las rigideces de viga a losa, en todos los lados de un tablero. En las ecuaciones para determinar el espesor mínimo, la cantidad 𝛽 se usa para tomar en cuenta el efecto de la forma del tablero sobre su deflexión, mientras que el efecto de las vigas está representado por 𝛼𝑓𝑚 . Si no hay vigas como en el caso de las losas planas, 𝛼𝑓𝑚 será igual a 0.
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Para 𝛼𝑓𝑚 ≤ 0.2
Los espesores mínimos se obtienen como se hizo para las losas sin vigas interiores, con claros entre sus soportes, ACI 9.5.3.2.
Para 0.2 ≤ 𝛼𝑓𝑚 ≤ 2
El espesor no debe ser menor que 125 mm o bien
ℎ=
Para 𝛼𝑓𝑚 > 2
𝑓𝑦 𝑙𝑛 0.8 + 1400 36 + 5𝛽(𝛼𝑓𝑚 − 0.2)
El espesor no debe ser menor que 90 mm o bien
ℎ=
𝑓𝑦 𝑙𝑛 0.8 + 1400 36 + 9𝛽
ACI 9.5.3.3(d), para tableros con bordes discontinuos el artículo respectivo requiere que se usen vigas de borde, que tengan una relación mínima de rigidez 𝛼𝑓 igual a 0.8 o bien, que los espesores mínimos de las losas, determinados con las ecuaciones se incrementen 10%. El proyectista puede usar losas de menores espesores que los requeridos por el código ACI descritos en los párrafos anteriores, si se calculan las deflexiones y se encuentran que son iguales o menores que los valores límite. 7.4) MÉTODOS DE DISEÑO SEGÚN EL CÓDIGO ACI El ACI 13.5.1.1 especifica dos métodos para diseñar losas en dos direcciones para cargas de gravedad, éstos son el método de diseño directo y el método del marco equivalente. 7.4.1) MÉTODO DE DISEÑO DIRECTO ACI 13.6, el respectivo artículo da un procedimiento con el cual puede determinarse un conjunto de coeficientes de momento, en efecto, el método consiste en un análisis por distribución de momentos de un solo ciclo de la estructura base en: Las rigideces por flexión estimadas de las losas, vigas (si existen) y columnas. Las rigideces por torsión de las losas y vigas (si existen) transversales a la dirección en que los momentos por flexión están siendo determinados. Algunos tipos de coeficientes de momentos se han usado satisfactoriamente por muchos años en el diseño de losas, sin embargo, no conducen a resultados satisfactorios en losas con dimensiones y patrones de carga asimétricos. 7.4.2) MÉTODO DEL MARCO EQUIVALENTE En este método, una porción de la estructura se considera aislada, y se analiza de manera parecida a un pórtico, en este método se usan las mismas rigideces que se usaron en el método directo del ACI. El método del marco equivalente, que es muy satisfactorio para marcos simétricos, así como para estructuras de dimensiones o cargas no comunes.
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7.4.3) DISEÑO PARA CARGAS LATERALES El código ACI permite una considerable libertad para que el proyectista modele los sistemas de losas en dos direcciones para cargas laterales. El método debe satisfacer el equilibrio y la compatibilidad geométrica y debe concordar razonablemente con los datos de prueba. Los efectos de agrietamiento y los parámetros tales como la relación de alargamiento de la losa y la relación de las dimensiones de la luz de columna a losa deben considerarse (sección R13.5.1.2 del ACI). 7.5) MÉTODO DIRECTO SEGÚN EL CÓDIGO ACI 7.5.1) FRANJAS DE COLUMNA Y FRANJA CENTRAL Los momentos de diseño se deben distribuir a través de cada tablero. Los tableros se dividen en franjas de columna y franja central, como se muestra en la figura 7.6 y se estiman en cada franja los momentos positivos y negativos. La franja de columna es una losa con un ancho a cada lado 1 del eje de la columna igual a 4 de la menor dimensión del tablero, 𝑙1 o 𝑙2 . Incluye vigas si éstas existen. La franja central es la parte de la losa entre las dos franjas de columna. Puede suponerse que la parte de los momentos asignada a las franjas de columna y a la franja central, está uniformemente repartida sobre las franjas. El porcentaje del momento asignado a una franja de columna depende de la rigidez efectiva de esa franja y de la relación de 𝑙 alargamiento 𝑙2 , donde: 1
𝑙1: es la longitud del claro, centro a centro, de los soportes en la dirección en que se están determinando los momentos. 𝑙2 : es la longitud del claro, centro a centro, de los soportes en la dirección transversal a 𝑙1. La figura 7.6(a) muestra las franjas de columna y franja central solamente en una dirección, la figura 7.6(b) muestra un análisis similar en la dirección perpendicular, el análisis resultante conducirá a los momentos en ambas direcciones.
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Figura 7.6 – Definición de las franjas de diseño (ACI 13.3.4)
7.5.2) LIMITACIONES DEL MÉTODO DIRECTO DEL ACI Para que los coeficientes de momento determinados por el método directo de diseño sean aplicables, el código ACI 13.6.1 establece que deben cumplirse las siguientes limitaciones, a copyright©rcolquea
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menos que un análisis teórico muestre que la resistencia proporcionada, después de aplicar los factores 𝜙 apropiados de reducción de capacidad, sea suficiente para soportar las cargas anticipadas y se cumplan todas las condiciones de servicio, tales como los límites en las deflexiones: 1. Tiene que haber por lo menos tres claros continuos en cada dirección. 2. Los tableros deben ser rectangulares, con la longitud del lado mayor de cualquier tablero no mayor que 2.0 veces la longitud del lado menor, midiendo las longitudes de centro a centro de los apoyos. 3. Las longitudes de claros sucesivos en cualquier dirección no deben diferir en más de un tercio del claro más grande. 4. Las columnas no deben estar situadas con una excentricidad mayor que 10% de la longitud del claro en la dirección de la excentricidad desde cualquier eje entre las líneas centrales de columnas sucesivas. 5. La carga viva no factorizada no deberá ser mayor que dos veces la carga muerta no factorizada. Todas las cargas deben ser de gravedad y deben estar distribuidas uniformemente sobre un tablero completo. 6. Si un tablero está soportado en todos sus lados por vigas, la rigidez relativa de esas vigas en las dos direcciones perpendiculares, determinada con la siguiente expresión, no deberá ser menor que 0.2 ni mayor que 5.0. 𝛼𝑓1 𝑙22 0.2 ≤ ≤ 5.0 𝛼𝑓2 𝑙12 7. No está permitida la redistribución de momentos negativos. La figura 7.7 muestra las condiciones.
Figura 7.7 – Condiciones para la aplicación del análisis por coeficientes
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7.5.3) DISTRIBUCIÓN DE MOMENTOS EN LOSAS Para carga uniforme, el momento de diseño total 𝑀𝑜 para un tramo de la franja de diseño se calcula simplemente aplicando la expresión correspondiente a momento estático: 𝑞𝑢 𝑙2 𝑙𝑛2 𝑀𝑜 = 8 Donde: 𝑘𝑔𝑓
𝑞𝑢 : carga última de la combinación mayorada de carga permanente y sobrecargas ( 𝑚2 ), 𝑞𝑢 = 1.2𝐷 + 1.6𝐿. 𝑙𝑛 : la luz libre en la dirección de análisis, se define de manera directa si las columnas u otros elementos de apoyo tienen sección transversal rectangular. El código ACI define algunas consideraciones que se anuncian a continuación: ACI 13.6.2.5; en la figura 7.8 se define lo que es la cara del apoyo. Una limitación requiere que la luz libre no se tome menor que 65% de la luz medida entre los centros de los apoyos. Los apoyos circulares o en forma de polígono regular deben tratarse como apoyos cuadrados que tengan la misma área. ACI 13.6.2.4; la longitud 𝑙2 es simplemente la luz (entre centros) transversal a 𝑙𝑛 . Sin embargo, cuando se considera un tramo adyacente a un borde y paralelo al mismo, para calcular 𝑀𝑜 se debe sustituir 𝑙2 por la distancia entre el borde y el eje del panel de losa considerado.
Figura 7.8 – Secciones críticas para determinar los momentos negativos de diseño
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7.5.3.1) Momentos mayorados negativos y positivos El momento estático total de un tramo se divide en momentos de diseño positivos y negativos como se ilustra en la figura 7.9, en la respectiva figura se ilustran los momentos en el tramo extremo de una placa plana o una losa plana sin vigas de borde (sistemas de losa sin vigas entre sus apoyos interiores y sin viga de borde). Para otras condiciones el momento estático total 𝑀𝑜 se distribuye como se indica en 7.9. La distribución de momentos de un tramo central se muestra en la figura 7.9, y la tabla 7.2 muestra la distribución de momentos negativos y positivos para un tramo extremo. La tabla se encuentra en la sección de la ACI 13.6.3.3.
Figura 7.9 – Momentos en las franjas de diseño
Momento mayorado
Momento interior factorizado negativo Momento factorizado positivo Momento exterior factorizado negativo
(1) (2) Borde Losa con exterior no vigas entre restringido todos los soportes 0.75 0.70
(3) (4) Placas planas y losas planas Sin viga Con viga de borde de borde 0.70 0.70
(5) Borde exterior totalmente restringido 0.65
0.63
0.57
0.52
0.50
0.35
0
0.16
0.26
0.30
0.65
Tabla 7-2 Distribución de los momentos estáticos totales para un tramo extremo
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7.5.3.2) Momentos mayorados en las franjas de columna Los momentos mayorados positivos y negativos a ser resistidos por una franja de columna, dependen de la rigidez relativa de las vigas y la losa y de la relación ancho – luz del panel en la dirección analizada. Hay una excepción a esta regla cuando un apoyo tiene un ancho transversal importante. Se requiere que la franja de columna en la parte externa de un tramo exterior resista el momento negativo mayorado total que actúa en la franja de diseño, a menos que se provean vigas de borde. Cuando el ancho transversal de un apoyo es mayor o igual que tres cuartos (3/4) del ancho de la franja de diseño, el artículo del ACI 3.6.4.3 requiere que el momento negativo mayorado se distribuya uniformemente en la franja de diseño o a lo largo de 𝑙2 . El porcentaje de los momentos mayorados totales negativos y positivos a ser resistidos por una franja de columna se pueden determinar usando las tablas de los siguientes artículos. ACI 13.6.4.1; momento negativo mayorado interior. La tabla 7.3 contiene las variables para determinar el porcentaje del momento interior negativo de diseño que debe resistir la franja de columna, alternativamente se puede usar la ecuación en lugar de la interpolación lineal. 𝑙2 0.5 1.0 2.0 𝑙1 𝑙2 75 75 75 𝛼𝑓1 = 0 𝑙1 𝛼𝑓1
𝑙2 ≥ 1.0 𝑙1
90
75
45
Tabla 7-3 Porcentaje del momento interior negativo de diseño que debe resistir la franja de columnas.
En lugar de la tabla 7.3, el porcentaje de momento negativo interior que debe ser resistido por la franja de columnas (%− 𝑐𝑜𝑙 𝑖𝑛𝑡 ) puede determinarse mediante: 𝑙2 𝑙2 %− 𝑐𝑜𝑙 𝑖𝑛𝑡 = 75 + 30 (𝛼𝑓1 ) (1 − ) 𝑙1 𝑙1 ACI 13.6.4.2; momento negativo exterior mayorado. La tabla 7.4 contiene las variables para determinar el porcentaje del momento exterior negativo de diseño que debe resistir una franja de columna. 𝑙2 /𝑙1 𝛼𝑓1
𝑙2 =0 𝑙1
𝑙2 𝛼𝑓1 ≥ 1.0 𝑙1
0.5
1.0
2.0
𝛽𝑡 = 0
100
100
100
𝛽𝑡 ≥ 2.5
75
75
75
𝛽𝑡 = 0
100
100
100
𝛽𝑡 ≥ 2.5
90
75
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Tabla 7-4 Porcentaje del momento exterior negativo de diseño que debe resistir la franja de columnas.
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El porcentaje del momento exterior negativo de diseño resistido por la franja de columnas (%− 𝑐𝑜𝑙 𝑒𝑥𝑡 ) dado en la tabla 7.4 puede encontrarse mediante: 𝑙2 𝑙2 %− 𝑐𝑜𝑙 𝑒𝑥𝑡 = 100 − 10𝛽𝑡 + 12 (𝛼𝑓1 ) (1 − ) 𝑙1 𝑙1 En la tabla 7.4 𝛽𝑡 es la relación de la rigidez de torsión de una sección de viga de borde, a la rigidez de flexión de ancho de losa igual a la longitud de la viga de centro a centro de los soportes: 𝐸𝑐𝑏 𝐶 𝛽𝑡 = 2𝐸𝑐𝑠 𝐼𝑠 Siendo 𝐼𝑠 el momento de inercia de la sección de losa efectiva en la dirección de 𝑙1 y que tiene un ancho igual a 𝑙2 , es decir, 𝐼𝑠 =
𝑙2 ℎ3 12
.
La constante 𝐶 se relaciona con la rigidez torsional de la sección transversal efectiva de la viga de borde. Se calcula dividiendo la sección de la viga en los rectángulos que la componen, cada uno de ellos con una dimensión menor 𝑥 y una dimensión mayor 𝑦, y sumando las contribuciones de todas las partes mediante la siguiente ecuación: 0.63𝑥 𝑥 3 𝑦 𝐶 = ∑ (1 − ) 𝑦 3 La viga se puede subdividir de manera tal de maximizar 𝐶, según la figura 7.10. y2
hw = 4hf hf hw
y2 x2
y1
x2 y1
(1)
(2) x1
x1
c1
Usar el mayor valor de C calculado de (1) y (2)
Viga de borde (ACI 13.2.4)
Figura 7.10 – Ayuda para simplificar el cálculo de C, constante de la sección transversal que define las propiedades torsionales
ACI 13.6.4.4; momentos positivos. La tabla 7.5 contiene las variables para determinar el porcentaje de momento positivo de diseño que debe resistir la franja de columna. 𝑙2 /𝑙1
0.5
1.0
2.0
𝑙2 =0 𝑙1
60
60
60
𝑙2 ≥ 1.0 𝑙1
90
75
45
𝛼𝑓1 𝛼𝑓1
Tabla 7-5 Porcentaje del momento positivo de diseño que debe resistir la franja de columnas.
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Para el momento positivo de diseño ya sea en un claro interior o en un claro exterior (tabla 7.5), el porcentaje resistido por la franja de columna (%+ ) es: 𝑙2 𝑙2 %+ = 60 + 30 (𝛼𝑓1 ) (1.5 − ) 𝑙1 𝑙1 𝑙
En las tres ecuaciones anteriores, si 𝛽𝑡 > 2.5, use 2.5 y si 𝛼𝑓1 𝑙2 > 1.0, use 1. 1
ACI 13.6.5; en la respectiva sección del código se requiere que a la viga se le asigne 85% del 𝑙 𝑙 momento de la franja de columnas si 𝛼𝑓1 𝑙2 ≥ 1.0. Si 𝛼𝑓1 𝑙2 tiene un valor entre 1.0 y 0, el 1
1
momento asignado a la viga se determina por interpolación lineal entre 85% y 0%. La parte del momento no asignado a la viga se asigna a la losa en la franja de columnas. ACI 13.6.6; en la respectiva sección del código se requiere que la porción de los momentos de diseño no resistidos por las franjas de columnas sean asignadas a la correspondiente franja media central. Tal franja media se diseñara para resistir la totalidad de los momentos asignados a sus dos medias franjas centrales. Para las losas con vigas entre sus apoyos, la distribución depende de la rigidez relativa de las vigas y la losa; si hay vigas de borde, la relación entre la rigidez torsional de la viga de borde y la rigidez flexional de la losa también afecta la distribución, la figura 7.11 muestra la forma de evaluar la rigidez relativa 𝛼.
Figura 7.11 – Secciones efectivas de viga y de losa para el cálculo de la relación de rigidez 𝜶
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7.6) CONSIDERACIONES DE DISEÑO 7.6.1) DISEÑO DE UNA PLACA INTERIOR PLANA El procedimiento especificado en el capítulo 13 del código ACI es aplicable no sólo a placas planas, sino también a losas planas, a losas con casetones y a losas planas bidireccionales con vigas. Los pasos necesarios para efectuar el diseño se dan a continuación, el orden de los pasos puede tener variaciones según el tipo de losa a diseñar: 1. Estimar el espesor de la losa cumpliendo los requisitos del código. 2. Determinar el espesor requerido por cortante. 3. Calcular los momentos estáticos totales que tienen que resistirse en las dos direcciones. 4. Estimar los porcentajes de los momentos estáticos que son positivos y negativos y repartir los valores resultantes entre las franjas de columnas y central. 5. Seleccionar el refuerzo.
FRANJA
POSICIÓN
Algunas veces los momentos son muy pequeños y de este modo los valores de 𝜌 son pequeños, para tales casos los proyectistas usan el mínimo por temperatura y contracción de 0.0018𝑏ℎ. En realidad, el refuerzo por temperatura incluye varillas arriba y en el fondo de la losa. En la región de momento negativo, algunas de las varillas de acero positivo se han extendido hacia la región de soporte y están también disponibles como acero de temperatura y contracción. La selección de las varillas de refuerzo es el paso final en el diseño de una placa plana, la figura 13.3.8 de código ACI (dada aquí como la figura 7.12) muestra las longitudes mínimas de las varillas de refuerzo para losas de placas planas y losas planas con ábacos. Esta figura muestra que parte del refuerzo positivo debe llevarse hasta la zona de los soportes. PORCENTAJE MÍNIMO As EN LA SECCIÓN
SIN ÁBACOS
CON ÁBACOS
ARRIBA
0.3ln
0.2ln
0.20ln
0.33ln
0.33ln
0.20ln
0.20ln
50
150 mm
150 mm ABAJO
FRANJA DE COLUMNA
0.3ln RESTO,
Varilla continuas
50 Se permiten traslapes en esta zona
0.22ln
0.22ln
0.22ln
0.22ln
50
FRANJA CENTRAL
ARRIBA
Por lo menos dos varillas (ACI 13.3.8.5)
ABAJO
150 mm RESTO, 50
150 mm
max. 0.15ln
150 mm
max. 0.15ln
Claro libre: ln
Claro libre: ln
Cara del soporte
Cara del soporte
Claro l: centro a centro
Claro l: centro a centro
? Eje del soporte exterior
? Eje del soporte
? Eje del soporte exterior
(losa sin continuidad)
interior(continuidad de la losa)
(losa sin continuidad)
Figura 7.12 – Extensiones mínimas para el refuerzo en losas sin vigas (ACI 12.11.1)
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7.6.2) COLOCACIÓN DE LAS CARGAS VIVAS Los momentos en una losa continua de piso son afectados considerablemente por las diferentes posiciones o patrones de las cargas vivas. Sin embargo, el procedimiento usual es calcular los momentos estáticos totales, suponiendo que todos los tableros están sometidos a carga viva plena. Cuando se usan patrones de carga diferentes, los momentos pueden cambiar tanto que es posible que ocurra un sobreesfuerzo en la losa. Se mencionará algunos criterios de carga que recomienda el código ACI: ACI 13.7.6.2, el respectivo artículo establece que si una carga viva variable no factorizada no excede en tres cuartas partes a la carga muerta no factorizada o si es de un tipo tal que todos los tableros quedan cargados simultáneamente, es permisible suponer que la carga viva total sobre el área entera causará valores máximos del momento en todo el sistema de la losa. ACI 13.7.6.3, establece que para otras condiciones de carga puede suponerse que el momento positivo máximo en el centro de un tablero ocurrirá cuando tres cuartas partes de toda la carga viva factorizada se coloque sobre el tablero en estudio y sobre tableros alternos. Puede suponerse además que el momento máximo negativo en un soporte ocurrirá cuando tres cuartas partes de la carga viva factorizada se coloquen solamente en los paneles adyacentes. ACI 13.7.6.4, el momento determinado como se describió en el último párrafo, no debe ser menor que los momentos obtenidos cuando las cargas vivas factorizadas se coloquen en cada tablero. El proyectista en funciones debería poseer una copia del Manual de Diseño CRSI85 ya que las tablas contenidas ahí son de gran ayuda en el diseño de losas. 7.7) CORTE EN LOSAS En las losas en dos direcciones soportadas por vigas o muros, las fuerzas cortantes se calculan a una distancia 𝑑 de las caras de los muros o vigas. El valor de 𝜙𝑉𝑐 es como en el caso de vigas, 𝜙0.17𝜆√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑. Generalmente la fuerza cortante no es un problema en este tipo de losas. En losas y placas planas soportadas directamente por columnas, la fuerza cortante puede ser un factor crítico en el diseño, en casi todas las pruebas de tales estructuras, las fallas se han debido a cortante o tal vez al cortante con torsión, estas condiciones son especialmente serias alrededor de las columnas externas. La figura 7.13 muestra las ubicaciones críticas para la resistencia a corte de una losa, es el caso de columna interior, columna de borde y columna de esquina, en todo caso las columnas de borde son más críticas.
85
(CRSI Handbook, 2002) copyright©rcolquea
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Figura 7.13 – Ubicaciones críticas para la resistencia a corte en losas
7.7.1) CONSIDERACIONES DE RESISTENCIA A CORTE EN LOSAS Hay dos tipos de cortante que deben considerarse en el diseño de losas y placas planas: el cortante directo (en un sentido) y el cortante por penetración (en dos sentidos). Para el análisis del cortante directo, se considera que la losa actúa como una viga ancha entre los apoyos, las secciones críticas se toman a una distancia 𝑑 de la cara de la columna o de su capitel. Para el cortante por penetración, la sección crítica se toma a una distancia 𝑑/2 de la cara de la columna, capitel o ábaco y la resistencia cortante es: 𝜙𝑉𝑐 = 𝜙0.33𝜆√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑 La figura 7.14 muestra los dos tipos de corte sobre una columna interior, además de las consideraciones para localizar el corte crítico. La figura 7.15 muestra las secciones críticas de transferencia de corte en losas planas con ábacos.
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Figura 7.14 – Corte directo en un apoyo sobre columna interior
Figura 7.15 – Secciones críticas de transferencia de corte en las losas planas
Si los esfuerzos cortantes son demasiado grandes alrededor de las columnas interiores, es posible incrementar la resistencia por cortante de las losas tanto como 75%, usando crucetas de cortante. Una cruceta de cortante, como se define en la sección del ACI 11.11.4, consiste en cuatro vigas I o canales, armadas en cruz y colocadas en las losas, como se muestra en la figura 7.16(e). Otro tipo de refuerzo por cortante en losas permitido por ACI 11.11.3 implica el uso de grupos de varillas dobladas o alambres. Una posible disposición de tales varillas se muestra en la figura 7.16(d).
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Las varillas se doblan a 45º a través de las grietas potenciales de tensión diagonal y se tienden a lo largo del fondo de las losas, en las distancias necesarias para que desarrollen plenamente su resistencia.
Figura 7.16 –Área tributaria, sección crítica y tipos de refuerzo por cortante
7.7.2) TRANSMICIÓN DE MOMENTOS Y CORTANTES ENTRE LOSAS Y COLUMNAS En muchas ocasiones la carga máxima que una losa en dos direcciones puede soportar, depende de la resistencia de la unión entre la columna y la losa. No sólo se transfiere la carga por cortante de la losa a la columna a través de un área alrededor de la columna, sino también por medio de momentos que tienen que transferirse. La situación con los momentos es generalmente más crítica en las columnas exteriores. copyright©rcolquea
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Si existen momentos que deben transferirse, éstos ocasionarán esfuerzos cortantes en la losa, además, deben considerarse las fuerzas cortantes que resultan de la transferencia de los momentos en el diseño del refuerzo lateral de las columnas, es decir, estribos y espirales, como se indica en la sección 11.10.1 del ACI. Cuando las columnas soportan losas sin vigas, es decir, losas o placas planas, la situación de la transferencia de carga entre las losas y las columnas es extremadamente crítica. Tal vez si no se diseñan las áreas y posiciones exactas del refuerzo por flexión correctamente para toda la losa, la redistribución inelástica de los momentos (sección 13.6.7 del ACI) todavía permita que el sistema se comporte adecuadamente; pero si el diseño de la resistencia por cortante es incorrecto, los resultados pueden ser catastróficos. La gravedad del problema se muestra en la figura 7.17, donde puede verse que si no hay viga de fachada, el momento total de la losa exterior tiene que transferirse a la columna. La transferencia se efectúa tanto por flexión como por fuerza cortante excéntrica, esta última localizada a una distancia de aproximadamente 𝑑/2 de la cara de la columna.
Figura 7.17 –Transferencia del momento negativo en un apoyo exterior de losa sin vigas
La sección del ACI 13.6.3.6 establece que para la transferencia de momento entre la losa y el borde de columna, el momento por carga de gravedad por transferirse, deberá ser de 0.3𝑀𝑜 (donde 𝑀𝑜 es el momento estático factorizado). Cuando las cargas de gravedad, las cargas de viento, las cargas sísmicas u otras fuerzas laterales ocasionan la transferencia de un momento desbalanceado entre una losa y una columna una parte del momento igual a 𝛾𝑓 𝑀𝑢 será transferido por flexión, de acuerdo con la sección 13.5.3.2 del ACI86. Con base a pruebas y experiencia, se debe considerar que esta transferencia tiene lugar dentro de un ancho efectivo de la losa entre las líneas que están situadas a 1.5 veces el espesor de la losa o del ábaco, en las caras opuestas externas de la columna o capitel. El valor de 𝛾𝑓 debe tomarse igual a: 86
(McCormac C., 2011) copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO 𝛾𝑓 =
1 2
𝑏
1 + 3 √𝑏1 2
Los valores de 𝑏1 y 𝑏2 se muestran en la figura 7.18, 𝑏1 es la longitud del perímetro por cortante (𝑐1 + 𝑑) que es perpendicular al eje de flexión y 𝑏2 es la longitud del perímetro por cortante (𝑐2 + 𝑑) paralelo al eje de flexión. Además, 𝑐1 es el ancho de la columna perpendicular al eje de flexión, mientras que 𝑐2 es el ancho de la columna paralela al eje de flexión. El resto del momento desbalanceado, llamado 𝛾𝑣 𝑀𝑢 por el código ACI, debe transferirse por excentricidad del cortante respecto al centroide de la sección crítica: 𝛾𝑣 = 1 − 𝛾𝑓
Figura 7.18 – Parámetros para 𝒃𝟏 y 𝒃𝟐
7.7.2.1) Tensiones de corte y resistencia al corte Suponiendo que las tensiones de corte debidas a la transferencia de momento por excentricidad del corte varían linealmente respecto del baricentro de la sección crítica definida en el ACI R11.11.7.2, las tensiones de corte mayoradas en las caras de la sección crítica debidas al corte directo 𝑉𝑢 y al momento no balanceado transferido por excentricidad del corte 𝛾𝑣 𝑀𝑢 son (ver figura 7.19):
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Figura 7.19 – Distribución de las tensiones de corte por transferencia de momento por excentricidad de corte en una unión losa – columna
𝑉𝑢 𝛾𝑣 𝑀𝑢 𝑐 + 𝐴𝑐 𝐽 𝑉𝑢 𝛾𝑣 𝑀𝑢 𝑐´ = − 𝐴𝑐 𝐽
𝑣𝑢1 = 𝑣𝑢2
Dónde: 𝐴𝑐 : área de la sección transversal de hormigón que resiste transferencia de corte, igual al perímetro 𝑏𝑜 multiplicado por la altura efectiva 𝑑. 𝐽: propiedad de la sección crítica análoga al momento de inercia polar de los segmentos que componen el área 𝐴𝑐 . 𝑐 y 𝑐´: distancias desde el eje baricéntrico de la sección crítica y el perímetro de la sección crítica en la dirección de análisis considerada. La figura 7.20 contiene expresiones para determinar 𝐴𝑐 , 𝑐, 𝑐´, 𝐽/𝑐 y 𝐽/𝑐´ para columnas de sección rectangular, y la figura 7.21 para columna interiores de sección circular. ACI 11.11.7.2, establece que la tensión de corte máxima 𝑣𝑢1 no debe ser mayor que 𝜙𝑣𝑛 . El valor de 𝑣𝑛 se determina de la siguiente manera: a. Para losas sin armadura de corte: 𝜙𝑣𝑛 = 𝜙𝑣𝑐 , siendo 𝜙𝑣𝑛 el menor valor entre: 2 𝜙𝑣𝑐 = 𝜙0.17 (1 − ) 𝜆√𝑓´𝑐 𝑏𝑜 𝑑 𝛽
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Donde 𝛽 es la relación del lado largo al lado corto de la columna, la carga concentrada, o el área de reacción. 𝛼𝑠 𝑑 𝜙𝑣𝑐 = 𝜙0.083 (2 + ) 𝜆√𝑓´𝑐 𝑏𝑜 𝑑 𝑏𝑜 Donde 𝛼𝑠 es 40 para columnas interiores, 30 para columnas de borde y 20 para columnas de esquina. 𝜙𝑣𝑐 = 𝜙0.33𝜆√𝑓´𝑐 𝑏𝑜 𝑑 b. Para losas con armadura de corte que no sean conectores de corte, 𝜙𝑣𝑛 se calcula según ACI 11.11.3: 𝐴𝑣 𝑓𝑦 𝜙𝑣𝑛 = 𝜙 (0.17𝜆√𝑓´𝑐 + ) ≤ 𝜙0.51𝜆√𝑓´𝑐 𝑏𝑜 𝑠 Donde 𝐴𝑣 es el área total de armadura de corte provista en los lados de la columna. El área de armadura de corte requerida debido a la tensión de corte 𝑣𝑢1 en su respectivo lado de la columna es: (𝑐 + 𝑑)𝑠 𝐴𝑣 = (𝑣𝑢1 − 𝜙𝑣𝑐 ) 𝜙𝑓𝑦 Siendo (𝑐 + 𝑑) un ancho efectivo de viga y 𝑣𝑐 = 0.17√𝑓´𝑐 . Sin embargo R11.12.3 recomienda colocar la armadura en forma simétrica en todos los lados de la columna. Así, suponiendo armadura de corte simétrica en todos los lados de la columna, el área requerida 𝐴𝑣 se puede calcular como: 𝑏𝑜 𝑠 𝐴𝑣 = (𝑣𝑢1 − 𝜙𝑣𝑐 ) 𝜙𝑓𝑦 Siendo 𝐴𝑣 el área total de armadura de corte requerida que debe extender a partir de los lados de la columna y 𝑏𝑜 el perímetro de la sección crítica ubicada a una distancia 𝑑/2 del perímetro de la columna. Con armadura simétrica en todos los lados de la columna, la armadura que se extiende a partir de los lados de la columna con menor tensión de corte calculada proporciona resistencia torsional en la franja de losa perpendicular a la dirección de análisis. c. Para losas con conectores de corte 𝜙𝑣𝑛 se calcula como: 𝜙𝑣𝑛 = 𝜙0.33𝜆√𝑓´𝑐 ≥ 𝑣𝑢1 𝑉𝑢 𝛾𝑣 𝑀𝑢 𝑐 𝑣𝑢1 = + ≤ 𝜙0.33𝜆√𝑓´𝑐 𝑏𝑜 𝑑 𝐽
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B
Caso A
Área de la sección crítica, 𝐴𝑐 (𝑏1 + 2𝑏2 )𝑑
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Módulo de la sección crítica 𝐽 ⁄𝑐
𝐽 ⁄𝑐 ´
𝑐
𝑐´
𝑏1 𝑑(𝑏1 + 6𝑏2 ) + 𝑑 3 6
𝑏1 𝑑(𝑏1 + 6𝑏2 ) + 𝑑 3 6
𝑏1 2
𝑏1 2
2(𝑏1 + 𝑏2 )𝑑
𝑏1 𝑑(𝑏1 + 3𝑏2 ) + 𝑑 3 3
𝑏1 𝑑(𝑏1 + 3𝑏2 ) + 𝑑 3 3
𝑏1 2
C
(2𝑏1 + 𝑏2 )𝑑
2𝑏1 2 𝑑(𝑏1 + 2𝑏2 ) + 𝑑 3 (2𝑏1 + 𝑏2 ) 6𝑏1
2𝑏1 2 𝑑(𝑏1 + 2𝑏2 ) + 𝑑 3 (2𝑏1 + 𝑏2 ) 6(𝑏1 + 𝑏2 )
𝑏1 2 2𝑏1 + 𝑏2
𝑏1 2 𝑏1 (𝑏1 + 𝑏2 ) 2𝑏1 + 𝑏2
D
(𝑏1 + 𝑏2 )𝑑
𝑏1 2 𝑑(𝑏1 + 4𝑏2 ) + 𝑑 3 (𝑏1 + 𝑏2 ) 6𝑏1
𝑏1 2 𝑑(𝑏1 + 4𝑏2 ) + 𝑑 3 (𝑏1 + 𝑏2 ) 6(𝑏1 + 2𝑏2 )
𝑏1 2 2(𝑏1 + 𝑏2 )
𝑏1 (𝑏1 + 2𝑏2 ) 2(𝑏1 + 𝑏2 )
Figura 7.20 – Propiedades de las secciones para el cálculo de las tensiones de corte – columnas rectangulares
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𝐴𝑐 = 𝜋(𝐷 + 𝑑)𝑑
(𝐷 + 𝑑) 𝑐 = 𝑐´ = 2
𝐽 𝐷 + 𝑑 2 𝑑3 = 𝜋𝑑 ( ) + 𝑐 2 3
Figura 7.21 – Propiedades de las secciones para el cálculo de las tensiones de corte – columnas circulares interiores
7.8) MOMENTOS FACTORIZADOS EN COLUMNAS Y MUROS Si existe una carga desbalanceada en dos claros adyacentes, el resultado será un momento adicional en la conexión de las paredes y columnas a las losas. El código en la sección del ACI 13.6.9.2 proporciona la ecuación aproximada listada al final de este párrafo para considerar los efectos de tales situaciones. Esta ecuación en particular se obtuvo para dos claros adyacentes, uno mayor que el otro. Se supuso que el claro mayor estaba cargado con carga muerta más media carga viva y que se aplicó sólo carga muerta al claro menor. 𝑀𝑢 = 0.07[(𝑞𝐷𝑢 + 0.5𝑞𝐿𝑢 )𝑙2 𝑙𝑛2 − 𝑞´𝐷𝑢 𝑙2´ (𝑙𝑛´ )2 ] Donde 𝑞´𝐷𝑢 , 𝑙2´ , 𝑙𝑛´ son para el claro corto. El valor resultante aproximado debe usarse en columnas interiores para la transferencia del momento desbalanceado por carga de gravedad, a menos que se use un análisis teórico más exacto. 7.9) ABERTURAS EN LOS SISTEMAS DE LOSAS De acuerdo a la sección de ACI 13.4 del código pueden usarse aberturas en los sistemas de losas si se proporciona una resistencia adecuada y si se satisfacen todas las condiciones de servicio del ACI, incluyendo las deflexiones. 1. Si las aberturas se localizan en el área común a la intersección de las franjas centrales, será necesario proporcionar la misma cantidad total de refuerzo en la losa que se usaría si no tuviera una abertura. 2. Para aberturas en la intersección de las franjas de columnas, el ancho de las mismas no deberá ser mayor que un octavo del ancho de la franja de columna en cualquier claro. Una cantidad de refuerzo igual al interrumpido por la abertura, debe colocare en los lados de ésta. 3. Las aberturas en un área común a una franja de columna y a una franja central, no deben interrumpir más de un cuarto del refuerzo de cualquier franja. Una cantidad de refuerzo igual a la interrumpida se debe colocar alrededor de los lados de la abertura. 4. Deben cumplirse los requisitos de cortante de la sección 11.11.6 del ACI. La figura 7.22 muestra las aberturas permitidas por la norma para sistema de losa sin vigas, las aberturas dependen de la ubicación de las mismas en las franjas. copyright©rcolquea
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Figura 7.22 – Aberturas permitidas en los sistemas de losas sin vigas para 𝒍𝟐 > 𝒍𝟏
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7.10) EJERCICIOS RESUELTOS Ejemplo 7.1 Diseñar un sistema de entrepiso de losa maciza en dos direcciones con vigas interiores y exteriores, utilizar el método directo del ACI, la geometría de la losa se muestra en la figura, la carga viva es de 3.84 𝑘𝑁/𝑚2 , se pide tomar en cuenta algunas cargas adicionales. Calcular el área de acero. Sólo considerar las cargas gravitacionales, la resistencia característica del hormigón es la misma para vigas y losas
Figura 7.23 – Planta tipo de losa con vigas
Datos: 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: 𝑟𝑒𝑐 = 25 𝑚𝑚, 𝑏 = 300 𝑚𝑚, ℎ = 500 𝑚𝑚, ∅𝑒𝑠𝑡 = 8 𝑚𝑚 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑓´𝑐 = 21 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦𝑡 = 420𝑀𝑃𝑎 𝑘𝑁 , 𝜑 = 0.9, 𝜑𝑐 = 0.75 𝑚3 𝑓 𝐾𝑁 𝐾𝑁 𝐾𝑁 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠: 𝐷1 = 0.25 2 , 𝐷2 = 1.20 2 , 𝐷3 = 4.38 , 𝑚 𝑚 𝑚 𝐷1 : 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑙é𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝐷2 : 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑙𝑎𝑠 𝑓𝑢𝑡𝑢𝑟𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝜆 = 1, 𝑤𝑐 = 24
𝐿𝑜 = 3.84
𝐾𝑁 𝑚2
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𝐷3 : 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎𝑙 𝑚𝑢𝑟𝑜 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝐿𝑜 : 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑣𝑖𝑣𝑎 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑖𝑠𝑜 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟: 𝑙𝑠𝑢𝑝 = 3.65 𝑚 𝑙𝑖𝑛𝑓 = 4.25 𝑚 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑒 𝑒𝑠, 𝑣𝑒𝑟 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 7.23: 𝑙12
𝑙𝐴𝐵 = 5.5 𝑚 𝑙𝐵𝐶 = 6 𝑚 𝑙𝐶𝐷 = 5.5 𝑚 = 4.8 𝑚 𝑙23 = 4.8 𝑚 𝑙34 = 4.8 𝑚 𝑙45 = 4.8 𝑚
Dimensiones de las columnas, ver figura 7.23: COLUMNA (c) 1A 1B 1C 1D 2A 2B 2C 2D 3A 3B 3C 3D 4A 4B 4C 4D 5A 5B 5C 5D
BASE, en dirección x (b), mm ALTURA, en dirección y (t), mm 300 500 500 300 300 500 500 300 300 500 500 300 300 500 500 300 300 500 500 300
300 300 300 300 500 300 300 500 500 300 300 500 500 300 300 500 300 300 300 300
Longitudes nominales entre columnas de borde y esquina, ver figura 7.23: 𝑙𝑛𝐴𝐵 = 5.1 𝑚
𝑙𝑛𝐵𝐶 = 5.5 𝑚
𝑙𝑛𝐶𝐷 = 5.1 𝑚
𝑙𝑛12 = 4.4 𝑚 𝑙𝑛23 = 4.3 𝑚 𝑙𝑛34 = 4.3 𝑚 𝑙𝑛45 = 4.4 𝑚 Se debe diseñar las franjas de columna y central en la dirección este -oeste y luego las franjas de columna y central en la dirección norte -sur; pero en el respectivo ejemplo se diseñara detalladamente la franja de columna este -oeste de los ejes 1 y 2, las franjas restantes estarán determinados en planillas de acuerdo a los mapas de cálculo definidos en el tema. La distribución de las franjas se muestra en la figura 7.24 y 7.25.
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Figura 7.24 – Franja este – oeste: losa con vigas
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Figura 7.25 – Franja norte – sur: losa con vigas
Solución:
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Paso 1: Para aplicar el Método Directo se debe cumplir con ACI 13.6.1, el respectivo artículo se verificará en el ejemplo de losa sin vigas porque las condiciones no cambian. Además de 𝛼
𝑙2
dichas comprobaciones se requiere cumplir con ACI 13.6.1.6 (0.2 ≤ 𝛼𝑓1 𝑙22 ≤ 5.0), para 𝑓2 1
cumplir la condición respectiva se escogerán todas las vigas de la misma dimensión, por lo tanto se puede utilizar el método directo. Paso 2: Seleccionar el espesor de la losa y las dimensiones de la viga. Determínanos el espesor de la losa mediante un tanteo, el espesor inicial de la losa depende del criterio del diseñador. a. Determinamos el espesor de losa suponiendo que es un entrepiso con vigas de borde (sin vigas interiores). ACI TABLA 9.5(c). 𝑙𝑛𝐴𝐵 5.1 𝑚 𝑙𝑛𝐵𝐶 5.5 𝑚∎ 𝑙𝑛𝐶𝐷 5.1 𝑚 𝑙𝑛 5.5 𝑙𝑛 = 𝑚𝑎𝑥 𝑙𝑛12 = 𝑚𝑎𝑥 4.4 𝑚 → ℎ𝑚𝑖𝑛 = = = 166.667 𝑚𝑚 33 33 4.3 𝑚 𝑙𝑛23 4.3 𝑚 𝑙𝑛34 { 4.4 𝑚 { 𝑙𝑛45 b. Para seleccionar el espesor de una losa con vigas entre columnas interiores, se reduce arbitrariamente 15%, para tener en cuenta el efecto rigidizador de las vigas interiores. ℎ𝑜 = ℎ𝑚𝑖𝑛 (1 − 0.15) = 166.667(1 − 0.15) = 141.667 𝑚𝑚 Se intentara con ℎ𝑓 = 140 𝑚𝑚 De acuerdo a las condiciones de servicio se asumen todas las vigas de: 𝑏 = 300 𝑚𝑚 ℎ = 500 𝑚𝑚 La geometría de la viga central y de borde quedara de la siguiente forma: (ver figura 7.26)
Figura 7.26 – Sección transversal de la viga de borde L y viga central T
El módulo de elasticidad del hormigón está dado por: 𝐸𝑐𝑠 = 4700√𝑓´𝑐 = 4700√21 = 2.154 ∙ 104 𝑀𝑃𝑎 𝐸𝑐𝑠 : 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑜𝑠𝑎
𝐸𝑐𝑏 = 𝐸𝑐𝑠 = 2.154 ∙ 104 𝑀𝑃𝑎
𝐸𝑐𝑏 : 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎
Determinamos la inercia de la viga de borde y central. Inercia de la viga de borde: copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO ℎ−ℎ𝑓
𝑦=
𝑦=
(0.5 −
(ℎ − ℎ𝑓 )𝑏 (
2
(ℎ − ℎ𝑓 )𝑏 + (𝑏 + ℎ − ℎ𝑓 )ℎ𝑓
0.5−0.14 0.14)0.3 ( 2 ) +
0.14 + 2
(0.3 + 0.5 − 0.14)0.14 (
0.5 − 0.14)
(0.5 − 0.14)0.3 + (0.3 + 0.5 − 0.14)0.14 3
𝐼𝑏𝑏
ℎ𝑓
) + (𝑏 + ℎ − ℎ𝑓 )ℎ𝑓 ( 2 + ℎ − ℎ𝑓 )
= 0.295 𝑚
2
𝑏(ℎ − ℎ𝑓 ) ℎ − ℎ𝑓 ℎ𝑓 (𝑏 + ℎ − ℎ𝑓 )ℎ𝑓 3 = + 𝑏(ℎ − ℎ𝑓 ) ( − 𝑦) + + (𝑏 + ℎ − ℎ𝑓 )ℎ𝑓 (ℎ − 𝑦̂ − ) 12 2 12 2
𝐼𝑏𝑏
2
2 (0.3 + 0.5 − 0.14)(0.14)3 0.3(0.5 − 0.14)3 0.5 − 0.14 = + 0.3(0.5 − 0.14) ( − 0.295) + 12 2 12 0.14 2 + (0.3 + 0.5 − 0.14)0.14 (0.5 − 0.295 − ) = 0.00443 𝑚4 2
Inercia de la viga central: ℎ−ℎ𝑓
𝑦=
𝑦=
(ℎ − ℎ𝑓 )𝑏 (
(0.5 − 0.14)0.3 (
2
ℎ𝑓
) + (𝑏 + 2(ℎ − ℎ𝑓 )) ℎ𝑓 (
+ ℎ − ℎ𝑓 )
(ℎ − ℎ𝑓 )𝑏 + (𝑏 + 2(ℎ − ℎ𝑓 )) ℎ𝑓 0.5−0.14 )+ 2
0.14 + 2
(0.3 + 2(0.5 − 0.14))0.14 (
0.5 − 0.14)
(0.5 − 0.14)0.3 + (0.3 + 2(0.5 − 0.14))0.14 3
𝐼𝑏𝑐
𝐼𝑏𝑐 =
2
2
(𝑏 + 2(ℎ − ℎ𝑓 )) ℎ𝑓 𝑏(ℎ − ℎ𝑓 ) ℎ − ℎ𝑓 = + 𝑏(ℎ − ℎ𝑓 ) ( − 𝑦) + 12 2 12 2 ℎ𝑓 + (𝑏 + 2(ℎ − ℎ𝑓 )) ℎ𝑓 (ℎ − 𝑦 − ) 2
= 0.322 𝑚
3
2 0.3(0.5 − 0.14)3 0.5 − 0.14 (0.3 + 2(0.5 − 0.14))0.143 + 0.3(0.5 − 0.14) ( − 0.322) + 12 2 12 0.14 2 + (0.3 + 2(0.5 − 0.14))0.14 (0.5 − 0.322 − ) = 0.00524 𝑚4 2
Determinamos el cociente de rigidez entre la viga y la losa. ACI 13.6.1.6 Para la viga de borde 1, el ancho de la losa que trabaja con la viga de borde es: 𝑏𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎.1 = 2.55 𝑚
𝐼𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎.1 =
𝛼𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎.1 =
𝑏𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎.1 ℎ𝑓 3 12
=
2.55∙0.143 12
= 5.831 ∙ 10−4 𝑚4
𝐸𝑐𝑏 𝐼𝑏𝑏 2.154 ∙ 104 ∙ 0.00443 = = 7.597 𝐸𝑐𝑠 𝐼𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎.1 2.154 ∙ 104 ∙ 5.831 ∙ 10−4
Para la viga de borde A, el ancho de la losa que trabaja con la viga de borde es: 𝑏𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎.𝐴 = 2.9 𝑚
𝐼𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎.𝐴 =
𝛼𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎.𝐴
𝑏𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎.𝐴 ℎ𝑓 3 12
=
2.9∙0.143 12
= 6.631 ∙ 10−4 𝑚4
𝐸𝑐𝑏 𝐼𝑏𝑏 2.154 ∙ 104 ∙ 0.00443 = = = 6.68 𝐸𝑐𝑠 𝐼𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎.𝐴 2.154 ∙ 104 ∙ 6.631 ∙ 10−4
Para la viga interior a lo largo del eje 2, el ancho de la losa que trabaja con la viga interior es: 𝑏𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎.2 = 4.8 𝑚
𝐼𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎.2 =
𝑏𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎.2 ℎ𝑓 3 12
=
4.8∙0.143 12
= 0.0013 𝑚4 copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO 𝛼𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎.2 =
𝐸𝑐𝑏 𝐼𝑏𝑐 2.154 ∙ 104 ∙ 0.00524 = = 4.777 𝐸𝑐𝑠 𝐼𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎.2 2.154 ∙ 104 ∙ 0.0013
Para la viga interior a lo largo del eje B, el ancho de la losa que trabaja con la viga interior es: 𝑏𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎.𝐵 = 5.75 𝑚
𝐼𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎.𝐵 =
𝛼𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎.𝐵
𝑏𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎.𝐵 ℎ𝑓 3 12
=
5.75∙0.143 12
= 0.0011 𝑚4
𝐸𝑐𝑏 𝐼𝑏𝑐 2.154 ∙ 104 ∙ 0.00524 = = = 3.988 𝐸𝑐𝑠 𝐼𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎.𝐵 2.154 ∙ 104 ∙ 0.0011
Determinamos la altura mínima para un panel típico. ACI 9.5.3.3 Panel de esquina, 1-2-A-B 𝑙𝑛𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 = 5.1 𝑚
𝛼𝑓𝑚 =
𝑙𝑛𝑐𝑜𝑟𝑡𝑜 = 4.4 𝑚 𝛽 =
𝛼𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎.1 + 𝛼𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎.2 + 𝛼𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎.𝐴 + 𝛼𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎.𝐵 7.597 + 4.77 + 6.68 + 3.988 = = 5.76 4 4 𝑓𝑦
𝑆í 𝛼𝑓𝑚
𝑙𝑛𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 5.1 = = 1.159 𝑙𝑛𝑐𝑜𝑟𝑡𝑜 4.4
420
𝑙𝑛𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 (0.8 + 1400) 5100 (0.8 + 1400) > 2.0 → ℎ𝑚𝑖𝑛 = 𝑚𝑎𝑥 { = 𝑚𝑎𝑥 { = 120.8 𝑚𝑚∎ 36 + 9𝛽 36 + 9 ∙ 1.159 90 𝑚𝑚 90 𝑚𝑚 ⇒ ℎ𝑚𝑖𝑛 = 120.8 𝑚𝑚
Panel de borde, 1-2-B-C 𝑙𝑛𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 = 5.5 𝑚
𝛼𝑓𝑚 =
𝑙𝑛𝑐𝑜𝑟𝑡𝑜 = 4.5 𝑚 𝛽 =
𝛼𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎.1 + 𝛼𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎.2 + 𝛼𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎.𝐵 + 𝛼𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎.𝐵 7.597 + 4.77 + 2 ∙ 3.988 = = 5.087 4 4 𝑓
𝑆í 𝛼𝑓𝑚
𝑙𝑛𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 5.5 = = 1.222 𝑙𝑛𝑐𝑜𝑟𝑡𝑜 4.5
420
𝑦 𝑙𝑛𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 (0.8 + 1400 ) 5500 (0.8 + 1400) > 2.0 → ℎ𝑚𝑖𝑛 = 𝑚𝑎𝑥 { = 𝑚𝑎𝑥 { = 128.7 𝑚𝑚∎ 36 + 9𝛽 36 + 9 ∙ 1.222 90 𝑚𝑚 90 𝑚𝑚 ⇒ ℎ𝑚𝑖𝑛 = 128.7 𝑚𝑚
Panel de borde, 2-3-A-B 𝑙𝑛𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 = 5.1 𝑚
𝛼𝑓𝑚 =
𝑙𝑛𝑐𝑜𝑟𝑡𝑜 = 4.3 𝑚 𝛽 =
𝑙𝑛𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 5.1 = = 1.186 𝑙𝑛𝑐𝑜𝑟𝑡𝑜 4.3
𝛼𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎.2 + 𝛼𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎.2 + 𝛼𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎.𝐴 + 𝛼𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎.𝐵 4.77 + 4.77 + 6.68 + 3.988 = = 5.055 4 4
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HORMIGÓN ARMADO 𝑓𝑦
𝑆í 𝛼𝑓𝑚
420
𝑙𝑛𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 (0.8 + ) 5100 (0.8 + 1400) 1400 > 2.0 → ℎ𝑚𝑖𝑛 = 𝑚𝑎𝑥 { = 𝑚𝑎𝑥 { = 120.19 𝑚𝑚∎ 36 + 9𝛽 36 + 9 ∙ 1.186 90 𝑚𝑚 90 𝑚𝑚 ⇒ ℎ𝑚𝑖𝑛 = 120.19𝑚𝑚
Panel interior, 2-3-B-C 𝑙𝑛𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 = 5.5 𝑚
𝛼𝑓𝑚 =
𝑙𝑛𝑐𝑜𝑟𝑡𝑜 = 4.5 𝑚 𝛽 =
𝑙𝑛𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 5.5 = = 1.222 𝑙𝑛𝑐𝑜𝑟𝑡𝑜 4.5
𝛼𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎.2 + 𝛼𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎.2 + 𝛼𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎.𝐵 + 𝛼𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎.𝐵 2 ∙ 4.77 + 2 ∙ 3.988 = = 4.382 4 4 𝑓𝑦
𝑆í 𝛼𝑓𝑚
420
𝑙𝑛𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 (0.8 + ) 5500 (0.8 + 1400) 1400 > 2.0 → ℎ𝑚𝑖𝑛 = 𝑚𝑎𝑥 { = 𝑚𝑎𝑥 { = 128.7 𝑚𝑚∎ 36 + 9𝛽 36 + 9 ∙ 1.222 90 𝑚𝑚 90 𝑚𝑚 ⇒ ℎ𝑚𝑖𝑛 = 128.7 𝑚𝑚
Entonces se concluye que el espesor elegido (ℎ𝑓 =0.14m) es adecuado. Paso 3: Calcular los momentos en la franja a lo largo del eje 2-DIRECCIÓN ESTE-OESTE. 𝑙1: Dirección paralela al eje 2 𝑙2 : Dirección perpendicular al eje 2 Los paneles 2A-2B y 2C-2D son paneles de borde, el panel interior es 2B-2C, las luces de los paneles se muestran en la figura 7.24. Como la estructura es simétrica se siguen los cálculos para el panel 2A-2B y 2B-2C, a continuación se desarrollará las filas de las planillas de cálculo que se mostrarán al final. Fila 1: Distancia entre ejes paralelo al eje 2, 𝑙1 𝑙1 = 𝑙𝐴𝐵 = 5.5 𝑚 Fila 2: Longitud nominal libre, 𝑙𝑛 𝑙𝑛 = 𝑙𝑛𝐴𝐵 = 5.1 𝑚 Fila 3: Ancho perpendicular a la franja 2, 𝑙2 𝑙2 = 4.8 𝑚 Fila 4.a: Área de influencia del panel 2A-2B 𝑙𝑛 𝑙2 = 5.1 ∙ 4.8 = 24.48 𝑚2 Fila 4.b: Reducción de la carga viva según ASCE7-05-Sección 4.8 Se puede reducir las cargas vivas menores a 4.79 𝑘𝑁⁄𝑚2 que actúan en paneles que tienen un área mayor a 37.16 𝑚2 𝐾𝐿𝐿 = 1
Para losa en dos direcciones
𝐴𝑇 = 𝑙𝐵𝐶 𝑙2 = 6 ∙ 4.8 = 28.8 𝑚2
Área de influencia para el panel más grande 𝑘𝑁 𝑠𝑖 (𝐾𝐿𝐿 𝐴𝑡 < 37.16𝑚2 ) ⇒ (1 ∙ 28.8 < 37.16) ⇒ 𝐿 = 𝐿𝑜 = 3.84 2 𝑚 No se puede reducir la carga viva entonces la carga viva se mantiene en 3.84 𝑘𝑁⁄𝑚2 copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO
Fila 4.c: Determinar la carga última 𝑤𝑢 = 1.2(ℎ𝑓 𝑤𝑐 +𝐷1 + 𝐷2 ) + 1.6 𝐿 = 1.2(0.14 ∙ 24 + 0.25 + 1.2) + 1.6 ∙ 3.84 𝑤𝑢 = 11.916
𝑘𝑁 𝑚2
Fila 5: Momento estático básico Para el panel 2A-2B 𝑤𝑢 𝑙2 𝑙𝑛 2 11.916 ∙ 4.8 ∙ 5.12 𝑀𝑜.2𝐴_2𝐵 = = = 185.961 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 8 8 Para el panel 2B-2C 𝑤𝑢 𝑙2 𝑙𝑛 2 11.916 ∙ 4.8 ∙ 5.52 𝑀𝑜.2𝐵_2𝐶 = = = 216.275 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 8 8 Fila 6: Coeficientes de momentos mayorados negativos y positivos. ACI 13.6.3 Para el panel 2A-2B. ACI 13.6.3.3 (1) Borde exterior no restringido
(2)
(3)
(4)
(5)
Losa sin vigas entre Losa con vigas entre los apoyos interiores todos los Sin viga de Con viga de borde apoyos borde
Borde exterior totalmente restringido
Momento negativo mayorado interior
0,75
0,7
0,7
0,7
0,65
Momento positivo mayorado
0,63
0,57
0,52
0,5
0,35
Momento negativo mayorado interior
0
0,16
0,26
0,3
0,65
Tabla 7-6 Coeficientes de momento para un vano final
Determinamos los porcentajes de la tabla 7.6. 𝑃𝑚𝑛𝑚𝑖 = −0.7
𝑃𝑚𝑝𝑚𝑓 = 0.57
𝑃𝑚𝑛𝑚𝑒 = −0.16
𝑃𝑚𝑛𝑚𝑖 : 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑃𝑚𝑝𝑚𝑓 : 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑃𝑚𝑛𝑚𝑒 : 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 Para el panel 2B-2C. ACI 13.6.3.2 𝑃𝑚𝑛𝑚 = −0.65
𝑃𝑚𝑝𝑚 = 0.35
𝑃𝑚𝑛𝑚 : 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑃𝑚𝑝𝑚 : 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟𝑎𝑑𝑜 Fila 7.a: Momentos negativos y positivos Para el panel 2A-2B. ACI 13.6.3.3 𝑀𝑛𝑚𝑖 = 𝑃𝑚𝑛𝑚𝑖 𝑀𝑜.2𝐴_2𝐵 = −0.7 · 185.961 = −130.173 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO 𝑀𝑝𝑚𝑓 = 𝑃𝑚𝑝𝑚𝑓 𝑀𝑜.2𝐴_2𝐵 = 0.57 · 185.961 = 105.998 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑛𝑚𝑒 = 𝑃𝑚𝑛𝑚𝑒 𝑀𝑜.2𝐴_2𝐵 = −0.16 · 185.961 = −29.754 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑛𝑚𝑖 : 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑀𝑝𝑚𝑓 : 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
𝑀𝑛𝑚𝑒 : 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 Para el panel 2B-2C. ACI 13.6.3.2 𝑀𝑛𝑚 = 𝑃𝑚𝑛𝑚 𝑀𝑜.2𝐵_2𝐶 = −0.65 · 216.275 = −140.579 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑝𝑚 = 𝑃𝑚𝑝𝑚 𝑀𝑜.2𝐵_2𝐶 = 0.35 · 216.275 = 75.696 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑛𝑚 : 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑀𝑝𝑚 : 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟𝑎𝑑𝑜 Fila 7.b: Redistribución del momento no balanceado. ACI 13.6.3.4 La norma ACI permite realizar una redistribución de momentos cuando la diferencia entre momentos negativos es grande (>15%), es decir cuando el momento desbalanceado es grande. El momento desbalanceado es la diferencia entre dos momentos negativos, para el caso del nudo 2B tenemos: ∆𝑀2𝐵 = |𝑀𝑛𝑚 | − |𝑀𝑛𝑚𝑖 | = 140.57 − 130.17 = 10.406 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑠𝑖 (
∆𝑀2𝐵 10.406 < 0.15) = ( < 0.15) ⇒ "𝑛𝑜 𝑟𝑒𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖𝑟 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠" ⏟ |𝑀𝑛𝑚𝑖 | 130.173 0.08
En este caso el momento desbalanceado es menor al 15% pero de todas maneras se efectuara la redistribución a manera de ejemplo. 𝑘𝑙: Rigidez de la losa 𝑘𝑣: Rigidez de la viga 𝑘𝑐: Rigidez de la columna Rigidez de la losa 2A-2B 4 𝐸𝑐𝑠 𝐼𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎.2 4 ∙ 2.154 ∙ 107 ∙ 0.001 𝑘𝑙2𝐴_2𝐵 = = = 1.719 ∙ 104 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑙𝐴𝐵 5.5 Rigidez de la viga 2A-2B 4 𝐸𝑐𝑏 𝐼𝑏𝑐 4 ∙ 2.154 ∙ 107 ∙ 0.00524 = = 8.213 ∙ 104 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑙𝐴𝐵 5.5 Rigidez de la losa 2B-2C 4 𝐸𝑐𝑠 𝐼𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎.2 4 ∙ 2.154 ∙ 107 ∙ 0.001 𝑘𝑙2𝐵_2𝐶 = = = 1.576 ∙ 104 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑙𝐵𝐶 6 Rigidez de la viga 2A-2B 𝑘𝑣2𝐴_2𝐵 =
4 𝐸𝑐𝑏 𝐼𝑏𝑐 4 ∙ 2.154 ∙ 107 ∙ 0.00524 = = 7.528 ∙ 104 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑙𝐵𝐶 6 Rigidez de la columna superior 2B. 𝑘𝑣2𝐵_2𝐶 =
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HORMIGÓN ARMADO 𝑐2𝐵.𝑡 𝑐2𝐵.𝑏 3 0.3 · 0.53 = = 0.003 𝑚4 12 12 4 𝐸𝑐𝑏 𝐼𝑐 4 · 2.154 · 107 · 0.003 = = = 7.376 ∙ 104 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑙𝑠𝑢𝑝 3.65 𝐼𝑐 =
𝑘𝑐𝑠𝑢𝑝
Rigidez de la columna inferior 2B. 𝑘𝑐𝑖𝑛𝑓 =
4 𝐸𝑐𝑏 𝐼𝑐 4 · 2.154 ∙ 107 · 0.003 = = 6.335 ∙ 104 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑙𝑖𝑛𝑓 4.25
Determinar el factor de distribución para el panel 2A-2B 𝑘𝑙2𝐴_2𝐵 + 𝑘𝑣2𝐴_2𝐵 𝐹𝐷2𝐴_2𝐵 = 𝑘𝑙2𝐴_2𝐵 + 𝑘𝑣2𝐴_2𝐵 + 𝑘𝑙2𝐵_2𝐶 + 𝑘𝑣2𝐵_2𝐶 + 𝑘𝑐𝑠𝑢𝑝 + 𝑘𝑐𝑖𝑛𝑓 𝐹𝐷2𝐴_2𝐵 =
1.719 · 104 + 8.213 · 104 1.719 · 104 + 8.213 · 104 + 1.576 ∙ 104 + 7.528 · 104 + 7.376 · 104 + 6.335 · 104 𝐹𝐷2𝐴_2𝐵 = 0.303
Determinar el factor de distribución para el panel 2B-2C 𝑘𝑙2𝐵_2𝐶 + 𝑘𝑣2𝐵_2𝐶 𝐹𝐷2𝐵_2𝐶 = 𝑘𝑙2𝐴_2𝐵 + 𝑘𝑣2𝐴_2𝐵 + 𝑘𝑙2𝐵_2𝐶 + 𝑘𝑣2𝐵_2𝐶 + 𝑘𝑐𝑠𝑢𝑝 + 𝑘𝑐𝑖𝑛𝑓 𝐹𝐷2𝐵_2𝐶
1.576 · 104 + 7.528 · 104 = 1.719 · 104 + 8.213 · 104 + 1.576 · 104 + 7.528 · 104 + 7.376 · 104 + 6.335 · 104 𝐹𝐷2𝐵_2𝐶 = 0.278
Determinar el factor de distribución para las columnas 𝑘𝑐𝑠𝑢𝑝 + 𝑘𝑐𝑖𝑛𝑓 𝐹𝐷𝐶 = 𝑘𝑙2𝐴_2𝐵 + 𝑘𝑣2𝐴_2𝐵 + 𝑘𝑙2𝐵_2𝐶 + 𝑘𝑣2𝐵_2𝐶 + 𝑘𝑐𝑠𝑢𝑝 + 𝑘𝑐𝑖𝑛𝑓 𝐹𝐷𝐶 =
7.376 · 104 + 6.335 · 104 = 0.419 1.719 · 104 + 8.213 · 104 + 1.576 · 104 + 7.528 · 104 + 7.376 · 104 + 6.335 · 104
En la figura 7.27 se muestra los factores de distribución determinados.
RESUMEN 0.303
0.419
0.278
Figura 7.27 – Factores de distribución del nudo 2B
El momento desbalanceado que va a la losa 2A-2B es: 𝐹𝐷2𝐴_2𝐵 · ∆𝑀2𝐵 = 0.303 · 10.406 = 3.156 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 copyright©rcolquea
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El momento desbalanceado que va al centro de la losa 2A-2B es: 𝐹𝐷2𝐴_2𝐵 ∆𝑀2𝐵 0.303 · 10.406 = = 1.578 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 2 2 El momento desbalanceado que va a la losa 2B-2C es: 𝐹𝐷2𝐵_2𝐶 ∆𝑀2𝐵 = 0.278 · 10.406 = 2.893 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 El momento desbalanceado que va al centro de la losa 2B-2C es: 𝐹𝐷2𝐵_2𝐶 ∆𝑀2𝐵 0.278 · 10.406 = = 1.447 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 2 2 Fila 7.c: Suma de momentos Los momentos negativos y positivos para el vano 2B-2C y 2A-2B 𝐹𝐷2𝐴_2𝐵 ∆𝑀2𝐵 𝑀𝑝𝑚𝑓 − = 105.998 − 1.578 = 104.42 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 2 𝑀𝑛𝑚𝑖 − 𝐹𝐷2𝐴_2𝐵 ∆𝑀2𝐵 = −130.173 − 3.156 = −133.329 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑛𝑚 + 𝐹𝐷2𝐵_2𝐶 ∆𝑀2𝐵 = −140.579 + 2.893 = −137.686 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝐹𝐷2𝐵_2𝐶 ∆𝑀2𝐵 𝑀𝑝𝑚 + = 75.696 + 1.447 = 77.143 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 2 Fila 8: Carga factorizada debido a la viga Se coloca el peso de la porción de la viga debajo el espesor de la losa y cualquier otra carga que actué directamente sobre la viga 𝑘𝑁 𝑤𝑣 = 1.2 (ℎ − ℎ𝑓 ) 𝑏 𝑤𝑐 = 1.2(500 − 140) · 300 · 24 = 3.11 𝑚 Fila 9: Momento estático debido a la viga Para el panel 2A-2B 𝑀𝑜𝑣.2𝐴_2𝐵
𝑤𝑣 𝑙𝑛𝐴𝐵 2 3.11 · 5.12 = = = 10.113 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 8 8
Para el panel 2B-2C 𝑤𝑣 𝑙𝑛𝐵𝐶 2 3.11 · 5.52 𝑀𝑜𝑣.2𝐵_2𝐶 = = = 11.761 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 8 8 Fila 10.a: Momentos negativos y positivos de la viga Para el panel 2A-2B. ACI 13.6.3.3 𝑀𝑛𝑚𝑖𝑣 = 𝑃𝑚𝑛𝑚𝑖 𝑀𝑜𝑣.2𝐴_2𝐵 = −0.7 · 10.113 = −7.079 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑝𝑚𝑓𝑣 = 𝑃𝑚𝑝𝑚𝑓 𝑀𝑜𝑣.2𝐴_2𝐵 = 0.57 · 10.113 = 5.764 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑛𝑚𝑒𝑣 = 𝑃𝑚𝑛𝑚𝑒 𝑀𝑜𝑣.2𝐴_2𝐵 = −0.16 · 10.113 = −1.618 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Para el panel 2B-2C. ACI 13.6.3.2 𝑀𝑛𝑚𝑣 = 𝑃𝑚𝑛𝑚 𝑀𝑜𝑣.2𝐵_2𝐶 = −0.65 · 11.761 = −7.645 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑝𝑚𝑣 = 𝑃𝑚𝑝𝑚 𝑀𝑜𝑣.2𝐵_2𝐶 = 0.35 · 11.761 = 4.116 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Fila 10.b: Redistribución de momentos negativos de la viga. ACI 13.6.3.4 copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO ∆𝑀𝑣2𝐵 = |𝑀𝑛𝑚𝑣 | − |𝑀𝑛𝑚𝑖𝑣 | = 7.645 − 7.079 = 0.566 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 ∆𝑀𝑣2𝐵 0.566 𝑠𝑖 ( < 0.15) = ( < 0.15) ⇒ "𝑛𝑜 𝑟𝑒𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖𝑟 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠" ⏟ |𝑀𝑛𝑚𝑖𝑣 | 7.079 0.08
En este caso el momento desbalanceado es menor al 15% pero de todas maneras se efectuara la redistribución a manera de ejemplo. El momento desbalanceado que va a la viga 2A-2B es: 𝐹𝐷2𝐴_2𝐵 ∆𝑀𝑣2𝐵 = 0.303 · 0.566 = 0.172 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 El momento desbalanceado que va al centro de la viga 2A-2B es: 𝐹𝐷2𝐴_2𝐵 ∆𝑀𝑣2𝐵 0.303 · 0.566 = = 0.086 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 2 2 El momento desbalanceado que va a la viga 2B-2C es: 𝐹𝐷2𝐵_2𝐶 ∆𝑀𝑣2𝐵 = 0.278 · 0.566 = 0.157 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 El momento desbalanceado que va al centro de la viga 2B-2C es: 𝐹𝐷2𝐵_2𝐶 ∆𝑀𝑣2𝐵 0.278 · 0.566 = = 0.079 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 2 2 Fila 10.c: Suma de momentos debido a la viga Los momentos negativos y positivos para el vano 2B-2C y 2A-2B 𝐹𝐷2𝐴_2𝐵 ∆𝑀𝑣2𝐵 𝑀𝑝𝑚𝑓𝑣 − = 5.764 − 0.086 = 5.678 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 2 𝑀𝑛𝑚𝑖𝑣 − 𝐹𝐷2𝐴_2𝐵 ∆𝑀𝑣2𝐵 = −7.079 − 0.172 = −7.251 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑛𝑚𝑣 + 𝐹𝐷2𝐵_2𝐶 ∆𝑀𝑣2𝐵 = −7.645 + 0.157 = −7.487 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝐹𝐷2𝐵_2𝐶 ∆𝑀𝑣2𝐵 𝑀𝑝𝑚𝑣 + = 4.116 + 0.079 = 4.195 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 2 Fila 11.a: Momentos en la columna, según la ecuación del ACI 13-14. Para la columna 2B 𝑙 𝑙 5.1 𝑚 5.1 𝑚∎ 𝑙𝑛 = 𝑚𝑎𝑥 { 𝑛𝐴𝐵 = 𝑚𝑎𝑥 { 𝑙′𝑛 = 𝑚𝑖𝑛 { 𝑛𝐴𝐵 = 𝑚𝑎𝑥 { 𝑙′ = 𝑙2 = 4.8 𝑚 𝑙𝑛𝐵𝐶 𝑙 5.5 𝑚∎ 5.5 𝑚 2 𝑛𝐵𝐶 2
𝑀𝑐 = 0.07 ((1.2(ℎ𝑓 𝑤𝑐 + 𝐷1 + 𝐷2 ) + 0.5 ∙ 1.6 𝐿)𝑙2 𝑙𝑛 2 − 1.2(ℎ𝑓 𝑤𝑐 + 𝐷1 + 𝐷2 )𝑙 ′ 2 𝑙 ′ 𝑛 ) 𝑀𝑐 = 0.07((1.2(0.14 · 24 + 0.25 + 1.2) + 0.5 · 1.6 · 3.84)4.8 · 5.52 − 1.2(0.14 · 24 + 0.25 + 1.2)4.8 · 5.12 ) 𝑀𝑐 = 39.447 𝑘𝑁 ∙ 𝑚
Fila 10.c: Momento generado de la sumatoria de momentos de la losa y viga Para la columna 2B 𝑀𝑐 = |𝑀𝑛𝑚 + 𝐹𝐷2𝐵_2𝐶 ∆𝑀2𝐵 + 𝑀𝑛𝑚𝑣 + 𝐹𝐷2𝐵_2𝐶 ∆𝑀𝑣2𝐵 | − |𝑀𝑛𝑚𝑖 − 𝐹𝐷2𝐴_2𝐵 ∆𝑀2𝐵 + 𝑀𝑚𝑛𝑖𝑣 − 𝐹𝐷2𝐴_2𝐵 ∆𝑀𝑣2𝐵 |
𝑀𝑐 = |−137.686 − 7.487| − |−133.329 − 7.251| = 4.594 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Los resultados se reflejan en la tabla 7.7. copyright©rcolquea
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Paso 4: Calcular los momentos en la franja a lo largo de las columnas del eje 1-DIRECCIÓN ESTE – OESTE. Ahora analizamos una franja de borde, en el paso anterior se analizó una franja central, en una franja de borde se debe considerar la recomendación del ACI 13.6.2.4, donde el valor de 𝑙2 es igual a 2.9 m de acuerdo a la figura 7.24. Fila 1: Distancia entre ejes paralelo al eje 1, 𝑙1 𝑙1 = 𝑙𝐴𝐵 = 5.5 𝑚 Fila 2: Longitud nominal libre, 𝑙𝑛 𝑙𝑛 = 𝑙𝑛𝐴𝐵 = 5.1 𝑚 Fila 3: Ancho perpendicular a la franja 2, 𝑙2 𝑙2 = 2.55 𝑚 Fila 4.a: Área de influencia del panel 2A-2B 𝑙𝑛 𝑙2 = 5.1 · 2.55 = 13.005 𝑚2 Fila 4.b: Reducción de la carga viva según ASCE7-05 (Sección 4.8) Se puede reducir las cargas vivas menores a 4.79𝑘𝑁⁄𝑚2 que actúan en paneles que tienen un área mayor a 37.16 𝑚2 . 𝐾𝐿𝐿 = 1
Para losa en dos direcciones
𝐴𝑇 = 𝑙𝐵𝐶 𝑙2 = 6 · 2.55 = 15.3 𝑚2
Área de influencia para el panel más grande 𝑘𝑁 𝑠𝑖 (𝐾𝐿𝐿 𝐴𝑡 < 37.16𝑚2 ) ⇒ (1 ∙ 15.3 < 37.16𝑚2 ) ⇒ 𝐿 = 𝐿𝑜 = 3.84 2 𝑚 No se puede reducir la carga viva entonces la carga viva se mantiene en 3.84 𝑘𝑁⁄𝑚2 Fila 4.c: Determinar la carga última 𝑤𝑢 = 1.2(ℎ𝑓 𝑤𝑐 + 𝐷1 + 𝐷2 ) + 1.6 𝐿 = 1.2(0.14 · 24 + 0.25 + 1.2) + 1.6 · 3.85 = 11.916
𝑘𝑁 𝑚2
Fila 5: Momento estático básico Para el panel 1A-1B 𝑤𝑢 𝑙2 𝑙𝑛 2 11.916 · 2.55 · 5.12 𝑀𝑜.1𝐴_1𝐵 = = = 98.792 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 8 8 Para el panel 1B-1C 𝑤𝑢 𝑙2 𝑙𝑛 2 11.916 · 2.55 · 5.52 𝑀𝑜.1𝐵_1𝐶 = = = 114.896 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 8 8 Fila 6: Coeficientes de momentos mayorados negativos y positivos. ACI 13.6.3 Para el panel 1A-1B. ACI 13.6.3.3 Los porcentajes se generan de la tabla 7.6. 𝑃𝑚𝑛𝑚𝑖 = −0.7
𝑃𝑚𝑝𝑚𝑓 = 0.57
𝑃𝑚𝑛𝑚𝑒 = −0.16
Para el panel 1B-1C. ACI 13.6.3.2 𝑃𝑚𝑛𝑚 = −0.65
𝑃𝑚𝑝𝑚 = 0.35
Fila 7.a: Momentos negativos y positivos copyright©rcolquea
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Para el panel 1A-1B. ACI 13.6.3.3 𝑀𝑛𝑚𝑖 = 𝑃𝑚𝑛𝑚𝑖 𝑀𝑜.1𝐴_1𝐵 = −0.7 · 98.792 = −69.154 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑝𝑚𝑓 = 𝑃𝑚𝑝𝑚𝑓 𝑀𝑜.1𝐴_1𝐵 = 0.57 · 98.792 = 56.311 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑛𝑚𝑒 = 𝑃𝑚𝑛𝑚𝑐 𝑀𝑜.1𝐴_1𝐵 = −0.16 · 98.792 = −15.807 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Para el panel 1B-1C. ACI 13.6.3.2 𝑀𝑛𝑚 = 𝑃𝑚𝑛𝑚 𝑀𝑜.1𝐵_1𝐶 = −0.65 · 114.896 = −74.683 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑝𝑚 = 𝑃𝑚𝑝𝑚 𝑀𝑜.1𝐵_1𝐶 = 0.35 · 114.896 = 40.214 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Fila 7.b: Redistribución del momento no balanceado. ACI 13.6.3.4 La norma ACI permite realizar una redistribución de momentos cuando la diferencia entre momentos negativos es grande (>15%), es decir cuando el momento desbalanceado es grande. El momento desbalanceado es la diferencia entre dos momentos negativos, para el caso del nudo 1B tenemos: ∆𝑀1𝐵 = |𝑀𝑛𝑚 | − |𝑀𝑛𝑚𝑖 | = |−74.683| − |−69.154| = 5.528 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 ∆𝑀1𝐵 5.528 𝑠𝑖 ( < 0.15) = ( < 0.15) ⇒ "𝑛𝑜 𝑟𝑒𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖𝑟 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠" ⏟ |𝑀𝑛𝑚𝑖 | 69.154 0.08
En este caso el momento desbalanceado es menor al 15% pero de todas maneras se efectuara la redistribución a manera de ejemplo. 𝑘𝑙 : Rigidez de la losa 𝑘𝑣 : Rigidez de la viga 𝑘𝑐 : Rigidez de la columna Rigidez de la losa 1A-1B 4 𝐸𝑐𝑠 𝐼𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎.1 4 ∙ 2.154 · 107 ∙ 5.831 · 10−4 𝑘𝑙1𝐴_1𝐵 = = = 9.134 ∙ 103 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑙𝐴𝐵 5.5 Rigidez de la viga 1A-1B 4 𝐸𝑐𝑏 𝐼𝑏𝑏 4 ∙ 2.154 · 107 ∙ 0.00443 𝑘𝑣1𝐴_1𝐵 = = = 6.939 ∙ 104 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑙𝐴𝐵 5.5 Rigidez de la losa 1B-1C 4 𝐸𝑐𝑠 𝐼𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎.1 4 ∙ 2.154 · 107 ∙ 5.831 · 10−4 𝑘𝑙1𝐵_1𝐶 = = = 8.373 ∙ 103 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑙𝐵𝐶 6 Rigidez de la viga 1A-1B 4 𝐸𝑐𝑏 𝐼𝑏𝑏 4 ∙ 2.154 · 107 ∙ 0.0443 = = 6.36 ∙ 104 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑙𝐵𝐶 6 Rigidez de la columna superior 𝑘𝑣1𝐵_1𝐶 =
𝑐1𝐵.𝑡 𝑐1𝐵.𝑏 3 0.3 · 0.53 𝐼𝑐 = = = 0.003 𝑚4 12 12
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HORMIGÓN ARMADO 𝑘𝑐𝑠𝑢𝑝 =
4 𝐸𝑐𝑏 𝐼𝑐 4 ∙ 2.154 · 107 ∙ 0.003 = = 7.376 ∙ 104 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑙𝑠𝑢𝑝 3.65
Rigidez de la columna inferior 𝑘𝑐𝑖𝑛𝑓 =
4 𝐸𝑐𝑏 𝐼𝑐 4 ∙ 2.154 · 104 ∙ 0.003 = = 6.335 ∙ 104 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑙𝑖𝑛𝑓 4.25
Determinar el factor de distribución para el panel 2A-2B 𝑘𝑙1𝐴_1𝐵 + 𝑘𝑣1𝐴_1𝐵 𝐹𝐷1𝐴_1𝐵 = 𝑘𝑙1𝐴_1𝐵 + 𝑘𝑣1𝐴_1𝐵 + 𝑘𝑙1𝐵_1𝐶 + 𝑘𝑣1𝐵_1𝐶 + 𝑘𝑐𝑠𝑢𝑝 + 𝑘𝑐𝑖𝑛𝑓 𝐹𝐷1𝐴_1𝐵 =
9.134 ∙ 103 + 6.939 ∙ 104 9.134 ∙ 103 + 6.939 ∙ 104 + 8.373 ∙ 103 + 6.36 ∙ 104 + 7.376 ∙ 104 + 6.335 ∙ 104
= 0.273
Determinar el factor de distribución para el panel 2B-2C 𝑘𝑙1𝐵_1𝐶 + 𝑘𝑣1𝐵_1𝐶 𝐹𝐷1𝐵_1𝐶 = 𝑘𝑙1𝐴_1𝐵 + 𝑘𝑣1𝐴_1𝐵 + 𝑘𝑙1𝐵_1𝐶 + 𝑘𝑣1𝐵_1𝐶 + 𝑘𝑐𝑠𝑢𝑝 + 𝑘𝑐𝑖𝑛𝑓 𝐹𝐷1𝐵_1𝐶 =
8.373 ∙ 103 + 6.36 ∙ 104 9.134 ∙ 103 + 6.939 ∙ 104 + 8.373 ∙ 103 + 6.36 ∙ 104 + 7.376 ∙ 104 + 6.335 ∙ 104
= 0.25
Determinar el factor de distribución para las columnas 𝑘𝑐𝑠𝑢𝑝 + 𝑘𝑐𝑖𝑛𝑓 𝐹𝐷𝐶 = 𝑘𝑙1𝐴_1𝐵 + 𝑘𝑣1𝐴_1𝐵 + 𝑘𝑙1𝐵_1𝐶 + 𝑘𝑣1𝐵_1𝐶 + 𝑘𝑐𝑠𝑢𝑝 + 𝑘𝑐𝑖𝑛𝑓 7.376 ∙ 104 + 6.335 ∙ 104 = 0.477 9.134 ∙ 103 + 6.939 ∙ 104 + 8.373 ∙ 103 + 6.36 ∙ 104 + 7.376 ∙ 104 + 6.335 ∙ 104 Los factores de distribución se muestran en la figura 7.28. 𝐹𝐷𝐶 =
RESUMEN 0.273
0.477
0.25
Figura 7.28 – Factores de distribución del nudo 1B
El momento desbalanceado que va a la losa 1A-1B es: 𝐹𝐷1𝐴_1𝐵 ∆𝑀1𝐵 = 0.273 · 5.528 = 1.509 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 El momento desbalanceado que va al centro de la losa 1A-1B es:
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𝐹𝐷1𝐴_1𝐵 ∆𝑀1𝐵 0.273 · 5.528 = = 0.755 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 2 2 El momento desbalanceado que va a la losa 1B-1C es: 𝐹𝐷1𝐵_1𝐶 ∆𝑀1𝐵 = 0.25 · 5.528 = 1.384 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 El momento desbalanceado que va al centro de la losa 1B-1C es: 𝐹𝐷1𝐵_1𝐶 ∆𝑀1𝐵 0.25 · 5.528 = = 0.692 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 2 2 Fila 7.c: Suma de momentos Los momentos negativos y positivos para el vano 1B-1C y 1A-1B 𝐹𝐷1𝐴_1𝐵 ∆𝑀1𝐵 𝑀𝑝𝑚𝑓 − = 56.311 − 0.755 = 55.557 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 2 𝑀𝑛𝑚𝑖 − 𝐹𝐷1𝐴_1𝐵 ∆𝑀1𝐵 = −69.154 − (0.273 · 5.528) = −70.664 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑛𝑚 + 𝐹𝐷1𝐵_1𝐶 ∆𝑀1𝐵 = −74.683 + 1.509 = −73.299 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝐹𝐷1𝐵_1𝐶 ∆𝑀1𝐵 𝑀𝑝𝑚 + = 40.214 + 0.692 = 40.905 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 2 Fila 8: Carga factorizada debido a la viga más el peso del muro El peso que soporta la viga es su peso propio y el peso del muro 𝑤𝑣 = 1.2 ((ℎ − ℎ𝑓 )𝑏 𝑤𝑐 + 𝐷3 ) = 1.2((0.5 − 0.14)0.3 · 24 + 4.38) = 8.366
𝑘𝑁 𝑚
Fila 9: Momento estático debido a la viga Para el panel 1A-1B 𝑀𝑜𝑣.1𝐴_1𝐵 =
𝑤𝑣 𝑙𝑛𝐴𝐵 2 8.366 · 5.12 = = 27.201 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 8 8
Para el panel 1B-1C 𝑤𝑣 𝑙𝑛 2 8.366 · 5.52 = = 31.635 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 8 8 Fila 10.a: Momentos negativos y positivos de la viga Para el panel 1A-1B. ACI 13.6.3.3 𝑀𝑜𝑣.1𝐵_1𝐶 =
𝑀𝑛𝑚𝑖𝑣 = 𝑃𝑚𝑛𝑚𝑖 𝑀𝑜.1𝐴_1𝐵 = −0.7 · 27.201 = −19.041 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑝𝑚𝑓𝑣 = 𝑃𝑚𝑝𝑚𝑓 𝑀𝑜.1𝐴_1𝐵 = 0.57 · 27.201 = 15.505 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑛𝑚𝑒𝑣 = 𝑃𝑚𝑛𝑚𝑒 𝑀𝑜.1𝐴_1𝐵 = −0.16 · 27.201 = −4.352 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Para el panel 1B-1C. ACI 13.6.3.2 𝑀𝑚𝑛𝑣 = 𝑃𝑚𝑛𝑚 𝑀𝑜.1𝐵_1𝐶 = −0.65 · 31.635 = −20.563 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑝𝑚𝑣 = 𝑃𝑚𝑝𝑚 𝑀𝑜.1𝐵_1𝐶 = 0.35 · 31.635 = 11.072 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Fila 10.b: Distribución de momentos negativos de la viga. ACI 13.6.3.4 ∆𝑀𝑣1𝐵 = |𝑀𝑛𝑚𝑣 | − |𝑀𝑛𝑚𝑖𝑣 | = 20.563 − 19.041 = 1.522 𝑘𝑁 ∙ 𝑚
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𝑠𝑖 (
∆𝑀𝑣1𝐵 1.522 < 0.15) = ( < 0.15) ⇒ "𝑛𝑜 𝑟𝑒𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖𝑟 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠" ⏟ |𝑀𝑛𝑚𝑖𝑣 | 19.041 0.08
En este caso el momento desbalanceado es menor al 15% pero de todas maneras se efectuara la redistribución a manera de ejemplo. El momento desbalanceado que va a la viga 1A-1B es: 𝐹𝐷1𝐴_1𝐵 ∆𝑀𝑣1𝐵 = 0.273 · 1.522 = 0.416 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 El momento desbalanceado que va al centro de la viga 1A-1B es: 𝐹𝐷1𝐴_1𝐵 ∆𝑀𝑣1𝐵 0.273 · 1.522 = = 0.208 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 2 2 El momento desbalanceado que va a la viga 1B-1C es: 𝐹𝐷1𝐵_1𝐶 ∆𝑀𝑣1𝐵 = 0.25 · 1.522 = 0.381 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 El momento desbalanceado que va al centro de la viga 1B-1C es: 𝐹𝐷1𝐵_1𝐶 ∆𝑀𝑣1𝐵 0.25 · 1.522 = = 0.19 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 2 2 Fila 10.c: Suma de momentos debido a la viga Los momentos negativos y positivos para el vano 1B-1C y 1A-1B 𝐹𝐷1𝐴_1𝐵 ∆𝑀𝑣1𝐵 𝑀𝑝𝑚𝑓𝑣 − = 15.505 − 0.208 = 15.297 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 2 𝑀𝑛𝑚𝑖𝑣 − 𝐹𝐷1𝐴_1𝐵 ∆𝑀𝑣1𝐵 = −19.041 − 0.416 = −19.456 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑛𝑚𝑣 + 𝐹𝐷1𝐵_1𝐶 ∆𝑀𝑣1𝐵 = −20.563 + 0.381 = −20.182 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝐹𝐷1𝐵_1𝐶 ∆𝑀𝑣1𝐵 𝑀𝑝𝑚𝑣 + = 11.072 + 0.19 = 11.263 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 2 Fila 11.a: Momentos en la columna, según la ecuación del ACI 13-14. Para la columna 1B 𝑙 𝑙 5.1 𝑚 5.1 𝑚∎ 𝑙𝑛 = 𝑚𝑎𝑥 { 𝑛𝐴𝐵 = 𝑚𝑎𝑥 { 𝑙′𝑛 = 𝑚𝑖𝑛 { 𝑛𝐴𝐵 = 𝑚𝑎𝑥 { 𝑙′2 = 𝑙2 = 2.55 𝑚 𝑙𝑛𝐵𝐶 𝑙𝑛𝐵𝐶 5.5 𝑚∎ 5.5 𝑚 2
𝑀𝑐 = 0.7 ((1.2(ℎ𝑓 𝑤𝑐 + 𝐷1 + 𝐷2 ) + 0.5 ∙ 1.6 𝐿)𝑙2 𝑙𝑛 2 − 1.2(ℎ𝑓 𝑤𝑐 + 𝐷1 + 𝐷2 )𝑙 ′ 2 𝑙 ′ 𝑛 ) 𝑀𝑐 = 0.7((1.2(0.14 · 24 + 0.25 + 1.2) + 0.5 · 1.6 · 3.85)2.55 · 5.52 − 1.2(0.14 · 24 + 0.25 + 1.2)2.55 · 5.12 )
𝑀𝑐 = 20.956 𝑘𝑁 ∙ 𝑚
Fila 10.b: Momento generado de la sumatoria de momentos de la losa y viga Para la columna 1B 𝑀𝑐 = |𝑀𝑛𝑚 + 𝐹𝐷1𝐵_1𝐶 ∆𝑀1𝐵 + 𝑀𝑛𝑚𝑣 + 𝐹𝐷1𝐵_1𝐶 ∆𝑀𝑣1𝐵 | − |𝑀𝑛𝑚𝑖 + 𝐹𝐷1𝐴_1𝐵 ∆𝑀1𝐵 + 𝑀𝑛𝑚𝑖𝑣 + 𝐹𝐷1𝐴_1𝐵 ∆𝑀𝑣1𝐵 |
𝑀𝑐 = |−73.299 − 20.182| − |−70.664 − 19.456| = 3.361 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Los resultados se reflejan en la tabla 7.8.
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Paso 5: Calcular los momentos en la franja a lo largo de las columnas del eje B. DIRECCIÓN NORTE – SUR Los cálculos son iguales al paso 3, los resultados se reflejan en la planilla de cálculo (ver tabla 7.9). Paso 6: Calcular los momentos en la franja a lo largo de las columnas del eje A. DIRECCIÓN NORTE – SUR. Los cálculos son iguales al paso 4, los resultados se reflejan en la planilla de cálculo (ver tabla 7.10) Paso 7: Distribuir los momentos negativos y positivos a las franjas de columnas (losas y vigas), franjas medias; además determinar la armadura provista. DIRECCIÓN ESTE – OESTE. Momentos
Franjas medias
Franjas de columnas
Momento de viga
Momento de losa
Figura 7.29 – Procedimiento de distribución
7. a. Dividir la losa en franjas medias y de columna, según la figura 7.24. ACI 13.2.1 y ACI 13.2.2. 7. b. Dividir los momentos entre las franjas medias y de columna, los resultados se reflejan en la tabla 7.11. ACI 13.6.4 Fila 1: Son los momentos calculados en las tablas 7.7 y 7.8, se utiliza el momento más grande Fila 2: Determinamos el coeficiente de momento mayorado negativo y positivo en franjas de columna. ACI 13.6.4 i. Momento negativo exterior mayorado. ACI 13.6.4.2 1) Para la franja de losa 1 Donde 𝑥 es el lado corto del rectángulo y 𝑦 es el lado largo, hay varias posibilidades de escoger, la condición es que la forma genere la máxima constante torsional (C), ver figura 7.30.
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Figura 7.30 –Posibilidades para determinar la constante torsional
La máxima constante torsional ocurre para la configuración de la figura 7.31.
Figura 7.31 –Configuración para la máxima constante torsional
𝑦1 = ℎ = 0.5 𝑚
𝑦2 = 0.36 𝑚
𝑥2 = ℎ𝑓 = 0.14 𝑚
3
𝑥1 = 𝑏 = 0.3 𝑚
3
𝑥1 𝑥1 𝑦1 𝑥2 𝑥2 𝑦2 ) + (1 − 0.63 ) 𝑦1 3 𝑦2 3 0.3 0.33 · 0.5 0.14 0.143 · 0.36 𝐶 = (1 − 0.63 ) + (1 − 0.63 ) = 0.00305 𝑚4 0.5 3 0.36 3 Determinar la relación entre la rigidez a torsión de la sección de la viga de borde y la rigidez a flexión de una franja de losa cuyo ancho es igual a la longitud de la luz de la viga medida centro a centro de los apoyos. 𝐶 = (1 − 0.63
𝛽𝑡𝑜 =
𝐸𝑐𝑏 𝐶 2.154 · 104 ∙ 0.00305 = = 2.613 2 𝐸𝑐𝑠 𝐼𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎.1 2 ∙ 2.154 · 104 ∙ 5.831 · 10−4
Interpolando de acuerdo a la tabla del ACI 13.6.4.2 𝛽𝑡𝑜 = 2.613 𝑙2 = 4.8 𝑚 𝛼𝑓1 =
𝐼𝑏𝑏 𝐸𝑐𝑏 𝐼𝑠 𝐸𝑐𝑠
=
𝑙1 = 5.5 𝑚
0.00443·2.154·104 0.001·2.154·104
𝑙2 𝑙1
𝑃𝑐𝑜𝑙_𝑒𝑥𝑡_𝑛𝑒𝑔_1𝐴_1𝐵 𝑃𝑐𝑜𝑙_𝑒𝑥𝑡_𝑛𝑒𝑔_1𝐴_1𝐵
𝐼𝑠 = 𝑙
𝑙2 ℎ𝑓 3 12
= 0.001𝑚4
4.8
𝛼𝑓1 𝑙2 = 4.036 ∙ 5.5 = 3.522
= 4.036
𝑠𝑖(𝛽𝑡𝑜 > 2.5) ⇒ 𝛽𝑡 = 2.5
= 0.873 1
𝑙2
𝑙
𝑠𝑖 (𝛼𝑓1 𝑙 > 1) ⇒ (3.522 > 1) ⇒ 𝛼𝑓1 𝑙2 = 1 1
1
𝑙2 𝑙2 = 100 − 10 𝛽𝑡 + 12 (𝛼𝑓1 ) (1 − ) 𝑙1 𝑙1 4.8 = 100 − 10 · 2.5 + 12 · 1 (1 − ) = 76.527 5.5 copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO 2) Para la franja de losa 2 La máxima constante torsional ocurre para la configuración de las figura 7.32.
Figura 7.32 –Configuración para la máxima constante torsional
𝑦1 = ℎ = 0.5 𝑚
𝑦2 = 0.36 𝑚 𝑥2 = ℎ𝑓 = 0.14 𝑚
𝑥1 = 𝑏 = 0.3 𝑚
𝑥1 𝑥1 3 𝑦1 𝑥2 𝑥2 3 𝑦2 ) + 2 (1 − 0.63 ) 𝑦1 3 𝑦2 3 0.3 0.33 · 0.5 0.14 0.143 · 0.36 𝐶 = (1 − 0.63 ) + 2 (1 − 0.63 ) = 0.0033𝑚4 0.5 3 0.36 3 Determinar la relación entre la rigidez a torsión de la sección de la viga de borde y la rigidez a flexión de una franja de losa cuyo ancho es igual a la longitud de la luz de la viga medida centro a centro de los apoyos. 𝐶 = (1 − 0.63
𝛽𝑡𝑜 =
𝐸𝑐𝑏 𝐶 2.154 · 104 ∙ 0.0033 = = 1.502 2 𝐸𝑐𝑠 𝐼𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎.2 2 ∙ 2.154 · 104 ∙ 0.001
Interpolando de acuerdo a la tabla del ACI 13.6.4.2 𝛽𝑡𝑜 = 1.502 𝑙2 = 4.8 𝑚 𝛼𝑓1 =
𝐼𝑏𝑐 𝐸𝑐𝑏 𝐼𝑠 𝐸𝑐𝑠
=
𝑙1 = 5.5 𝑚
0.00524·2.154·104 0.0011·2.154·104
𝑙2 𝑙1
= 0.873
𝑙2 ℎ𝑓 3
𝑙
12
=
4.8·0.143 12
= 0.0011𝑚4
4.8
𝛼𝑓1 𝑙2 = 4.77 ∙ 5.5 = 4.169
= 4.777
𝑠𝑖(𝛽𝑡𝑜 < 2.5) ⇒ (𝛽𝑡 = 𝛽𝑡𝑜 = 1.502)
𝐼𝑠 = 1
𝑙2
𝑙
𝑠𝑖 (𝛼𝑓1 𝑙 > 1) ⇒ (4.169 > 1) ⇒ 𝛼𝑓1 𝑙2 = 1 1
1
𝑙2 𝑙2 𝑃𝑐𝑜𝑙_𝑒𝑥𝑡_𝑛𝑒𝑔_2𝐴_2𝐵 = 100 − 10 𝛽𝑡 + 12 (𝛼𝑓1 ) (1 − ) 𝑙1 𝑙1 4.8 𝑃𝑐𝑜𝑙_𝑒𝑥𝑡_𝑛𝑒𝑔_2𝐴_2𝐵 = 100 − 10 · 1.502 + 12 · 1 (1 − ) = 86.512 5.5 3) Para la franja de losa 3 Se utiliza el mismo porcentaje de la franja 2, porque la geometría es la misma. ii. Momento positivo mayorado. ACI 13.6.4.4 1) Para la franja de losa 1 𝑙2 = 4.8 𝑚
𝑙1 = 5.5 𝑚
𝑙2 𝑙1
= 0.873
𝐼𝑠 =
𝑙2 ℎ𝑓 3 12
=
4.8·0.143 12
= 0.001 𝑚4 copyright©rcolquea
502
UMSS 𝛼𝑓1 =
HORMIGÓN ARMADO
𝐼𝑏𝑏 𝐸𝑐𝑏 𝐼𝑠 𝐸𝑐𝑠
=
0.00443·2.154·104 0.001·2.154·104
𝑙
4.8
𝛼𝑓1 𝑙2 = 4.036 ∙ 5.5 = 3.52
= 4.036
1
𝑙2 𝑙2 > 1) ⇒ (3.522 > 1) ⇒ 𝛼𝑓1 = 1 𝑙1 𝑙1 𝑙2 𝑙2 4.8 𝑃𝑝𝑜𝑠1𝐴_1𝐵 = 60 + 30 (𝛼𝑓1 ) (1.5 − ) = 60 + 30 · 1 (1 − ) = 78.818 𝑙1 𝑙1 5.5 2) Para la franja de losa 2 𝑠𝑖 (𝛼𝑓1
𝑙2 = 4.8 𝑚 𝛼𝑓1 =
𝐼𝑏𝑐 𝐸𝑐𝑏 𝐼𝑠 𝐸𝑐𝑠
𝑙1 = 5.5 𝑚 =
𝑙2
= 0.873
𝑙1
0.00524·2.154·104 0.0011·2.154·104
𝐼𝑠 =
𝑙2 ℎ𝑓 3 12
=
4.8·0.143
= 0.0011 𝑚4
12
𝑙
4.8
𝛼𝑓1 𝑙2 = 4.77 ∙ 5.5 = 4.169
= 4.777
1
𝑙2 𝑙2 𝑠𝑖 (𝛼𝑓1 > 1) ⇒ (4.169 > 1) ⇒ 𝛼𝑓1 = 1 𝑙1 𝑙1 𝑙2 𝑙2 4.8 𝑃𝑝𝑜𝑠2𝐴_2𝐵 = 60 + 30 (𝛼𝑓1 ) (1.5 − ) = 60 + 30 · 1 (1 − ) = 78.818 𝑙1 𝑙1 5.5 3) Para la franja de losa 3 Se utiliza el mismo porcentaje de la franja 2, porque la geometría es la misma. iii. Momento negativo mayorado interior. ACI 13.6.4.1 1) Para la franja de losa 1 𝑙2 = 4.8 𝑚 𝛼𝑓1 =
𝐼𝑏𝑏 𝐸𝑐𝑏 𝐼𝑠 𝐸𝑐𝑠
𝑙2
𝑙1 = 5.5 𝑚
𝑙1
0.00443·2.154·104
=
0.001·2.154·104
= 0.873
𝐼𝑠 =
= 4.036
𝑙2 ℎ𝑓 3
4.8·0.143
=
12
𝛼𝑓1
12
𝑙2
= 0.001 𝑚4
= 4.036 ∙
𝑙1
4.8 5.5
= 3.522
𝑙2 𝑙2 > 1) ⇒ (3.522 > 1) ⇒ 𝛼𝑓1 = 1 𝑙1 𝑙1 𝑙2 𝑙2 4.8 𝑃𝑐𝑜𝑙_𝑖𝑛𝑡_𝑛𝑒𝑔_1𝐴_1𝐵 = 75 + 30 (𝛼𝑓1 ) (1 − ) = 75 + 30 · 1 (1 − ) = 78.818 𝑙1 𝑙1 5.5 2) Para la franja de losa 2 𝑠𝑖 (𝛼𝑓1
𝑙2 = 4.8 𝑚 𝛼𝑓1 =
𝐼𝑏𝑐 𝐸𝑐𝑏 𝐼𝑠 𝐸𝑐𝑠
𝑙1 = 5.5 𝑚 =
𝑙2 𝑙1
0.00524·2.154·104 0.0011·2.154·104
= 0.873 = 4.777
𝐼𝑠 =
𝑙2 ℎ𝑓 3 12
=
4.8·0.143
𝑙
12
= 0.0011 𝑚4 4.8
𝛼𝑓1 𝑙2 = 4.77 ∙ 5.5 = 4.169 1
𝑙2 𝑙2 > 1) = (4.169 > 1) ⇒ 𝛼𝑓1 = 1 𝑙1 𝑙1 𝑙2 𝑙2 4.8 𝑃𝑐𝑜𝑙_𝑖𝑛𝑡_𝑛𝑒𝑔_2𝐴_2𝐵 = 75 + 30 (𝛼𝑓1 ) (1 − ) = 75 + 30 · 1 (1 − ) = 78.818 𝑙1 𝑙1 5.5 3) Para la franja de losa 3 Se utiliza el mismo porcentaje de la franja 2, porque la geometría es la misma debido a que 𝑙 𝛼𝑓1 𝑙2 otorga la misma división de momento interior negativo que la observada antes en la 𝑠𝑖 (𝛼𝑓1
1
división de momento positivo. copyright©rcolquea
503
UMSS
HORMIGÓN ARMADO
Fila 3: Momentos en las franjas de columnas y media para momento negativo exterior Momento negativo exterior mayorado de la franja 1 𝑃𝑚𝑛𝑚𝑒 𝑀𝑜.1𝐴_1𝐵 𝑃𝑐𝑜𝑙_𝑒𝑥𝑡_𝑛𝑒𝑔_1𝐴_1𝐵 % = −0.16 · 98.792 ∙ 0.76527 = −12.096 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Momento negativo exterior mayorado de la franja 2 𝑃𝑚𝑛𝑚𝑒 𝑀𝑜.2𝐴_2𝐵 𝑃𝑐𝑜𝑙_𝑒𝑥𝑡_𝑛𝑒𝑔_2𝐴_2𝐵 % = −0.16 · 185.961 ∙ 0.86512 = −25.741 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Fila 4.a: Momento en las franjas de columna distribuido entre viga y losa para momento negativo exterior. ACI 13.6.5.2. Momento negativo exterior mayorado de la franja 1 𝑙2 = 4.8 𝑚
𝑙1 = 5.5 𝑚
𝐼𝑠 =
𝑙2 ℎ𝑓 3 12
= 0.001 𝑚4 𝛼𝑓1 =
𝐼𝑏𝑏 𝐸𝑐𝑏 𝐼𝑠 𝐸𝑐𝑠
= 4.036
𝑙
𝛼𝑓1 𝑙2 = 3.522 1
𝑙2 > 1) ⇒ 𝑃𝑣𝑖𝑔𝑎_1𝐴_1𝐵 = 85 𝑃𝑙𝑜𝑠𝑎_1𝐴_1𝐵 = 100−𝑃𝑣𝑖𝑔𝑎_1𝐴_1𝐵 = 100 − 85 = 15 𝑙1 𝑃𝑚𝑛𝑚𝑒 𝑀𝑜.1𝐴_1𝐵 𝑃𝑐𝑜𝑙_𝑒𝑥𝑡_𝑛𝑒𝑔_1𝐴_1𝐵 % 𝑃𝑣𝑖𝑔𝑎_1𝐴_1𝐵 % = −12.096 ∙ 0.85 = −10.282 𝑘𝑁 ∙ 𝑚
𝑠𝑖 (𝛼𝑓1
𝑃𝑚𝑛𝑚𝑒 𝑀𝑜.1𝐴_1𝐵 𝑃𝑐𝑜𝑙_𝑒𝑥𝑡_𝑛𝑒𝑔_1𝐴_1𝐵 %𝑃𝑙𝑜𝑠𝑎_1𝐴_1𝐵 % = −12.096 ∙ 0.15 = −1.814 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Momento negativo exterior mayorado de la franja 2 𝑙2 = 4.8 𝑚
𝑙1 = 5.5 𝑚
𝐼𝑠 =
𝑙2 ℎ𝑓 3 12
= 0.001 𝑚4 𝛼𝑓1 =
𝐼𝑏𝑐 𝐸𝑐𝑏 𝐼𝑠 𝐸𝑐𝑠
= 4.777
𝑙
𝛼𝑓1 𝑙2 = 4.169 1
𝑙2 > 1) ⇒ 𝑃𝑣𝑖𝑔𝑜_2𝐴_2𝐵 = 85 𝑃𝑙𝑜𝑠𝑎_2𝐴_2𝐵 = 100−𝑃𝑣𝑖𝑔𝑎_2𝐴_2𝐵 = 100 − 85 = 15 𝑙1 𝑃𝑚𝑛𝑚𝑒 𝑀𝑜.2𝐴_2𝐵 𝑃𝑐𝑜𝑙_𝑒𝑥𝑡_𝑛𝑒𝑔_2𝐴_2𝐵 % 𝑃𝑣𝑖𝑔𝑎_2𝐴_2𝐵 % = −25.741 ∙ 0.85 = −21.879 𝑘𝑁 ∙ 𝑚
𝑠𝑖 (𝛼𝑓1
𝑃𝑚𝑛𝑚𝑒 𝑀𝑜.2𝐴_2𝐵 𝑃𝑐𝑜𝑙_𝑒𝑥𝑡_𝑛𝑒𝑔_2𝐴_2𝐵 % 𝑃𝑙𝑜𝑠𝑎_2𝐴_2𝐵 % = −25.741 ∙ 0.15 = −3.861 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Fila 4.b: Momento debido a las cargas en la viga para momento negativo exterior Momento negativo exterior mayorado de la franja 1 𝑃𝑚𝑛𝑚𝑒 𝑀𝑜.1𝐴_1𝐵 = −4.352 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Momento negativo exterior mayorado de la franja 2 𝑃𝑚𝑛𝑚𝑒 𝑀𝑜.2𝐴_2𝐵 = −1.618 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Fila 5: Momento total en losas y vigas para momento negativo exterior Momento negativo exterior mayorado de la franja 1 𝑀𝑣𝑖𝑔𝑎_1𝐴_1𝐵_𝑛𝑒𝑔 = 𝑃𝑚𝑛𝑚𝑒 𝑀𝑜.1𝐴_1𝐵 𝑃𝑐𝑜𝑙_𝑒𝑥𝑡_𝑛𝑒𝑔_1𝐴_1𝐵 % 𝑃𝑣𝑖𝑔𝑎_1𝐴_1𝐵 % + 𝑃𝑚𝑛𝑚𝑒 𝑀𝑜.1𝐴_1𝐵 𝑀𝑣𝑖𝑔𝑎_1𝐴_1𝐵_𝑛𝑒𝑔 = −10.282 − 4.352 = −14.634 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑙𝑜𝑠𝑎_1𝐴_1𝐵_𝑛𝑒𝑔 = 𝑃𝑚𝑛𝑚𝑒 𝑀𝑜.1𝐴_1𝐵 𝑃𝑐𝑜𝑙_𝑒𝑥𝑡_𝑛𝑒𝑔_1𝐴_1𝐵 %𝑃𝑙𝑜𝑠𝑎_1𝐴_1𝐵 % = −1.814 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Momento negativo exterior mayorado de la franja 2 𝑀𝑣𝑖𝑔𝑎_2𝐴_2𝐵_𝑛𝑒𝑔 = 𝑃𝑚𝑛𝑚𝑒 𝑀𝑜.2𝐴_2𝐵 𝑃𝑐𝑜𝑙_𝑒𝑥𝑡_𝑛𝑒𝑔_2𝐴_2𝐵 % 𝑃𝑣𝑖𝑔𝑎_2𝐴_2𝐵 %𝑃𝑚𝑛𝑚𝑒 𝑀𝑜.2𝐴_2𝐵 𝑀𝑣𝑖𝑔𝑎_2𝐴_2𝐵_𝑛𝑒𝑔 = −21.879 − 1.618 = −23.497 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑙𝑜𝑠𝑎_2𝐴_2𝐵_𝑛𝑒𝑔 = 𝑃𝑚𝑛𝑚𝑒 𝑀𝑜.2𝐴_2𝐵 𝑃𝑐𝑜𝑙_𝑒𝑥𝑡_𝑛𝑒𝑔_2𝐴_2𝐵 % 𝑃𝑙𝑜𝑠𝑎_2𝐴_2𝐵 % = −3.861 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Fila 6: Área de acero requerido para momento negativo exterior copyright©rcolquea
504
UMSS
HORMIGÓN ARMADO
Área de acero requerido de viga y losa de la franja 1 𝑏 = 0.3 𝑚
∅ = 0.9
𝜌𝑣𝑖𝑔𝑎_1𝐴_1𝐵_𝑛𝑒𝑔
𝜌𝑣𝑖𝑔𝑎_1𝐴_1𝐵_𝑛𝑒𝑔 = 0.85
𝑑 = ℎ − 50 𝑚𝑚 = 0.45 𝑚
𝑓 ′𝑐 2 𝑀𝑣𝑖𝑔𝑎_1𝐴_1𝐵_𝑛𝑒𝑔 106 = 0.85 (1 − √1 − ) 𝑓𝑦 ∅ 0.85 𝑓 ′ 𝑐 𝑏 𝑑 2
21 2(14.634) ∙ 106 (1 − √1 − ) = 0.00063 420 0.9 · 0.85 · 21 · 300 · 4502
𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞_𝑣𝑖𝑔𝑎_1𝐴_1𝐵_𝑛𝑒𝑔 = 𝜌𝑣𝑖𝑔𝑎_1𝐴_1𝐵_𝑛𝑒𝑔 𝑏 𝑑 = 0.00063 · 300 · 450 = 85.397𝑚𝑚2 𝑏 = 1.35 𝑚 𝜌𝑙𝑜𝑠𝑎_1𝐴_1𝐵_𝑛𝑒𝑔
∅ = 0.9
𝑑 = ℎ − 30 𝑚𝑚 = 0.11 𝑚
𝑓′𝑐 2 𝑀𝑙𝑜𝑠𝑎_1𝐴_1𝐵_𝑛𝑒𝑔 106 = 0.85 (1 − √1 − ) = 0.00029 𝑓𝑦 ∅ 0.85 𝑓 ′ 𝑐 𝑏 𝑑 2
𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞_𝑙𝑜𝑠𝑎_1𝐴_1𝐵_𝑛𝑒𝑔 = 𝜌𝑙𝑜𝑠𝑎_1𝐴_1𝐵_𝑛𝑒𝑔 𝑏 𝑑 = 0.00029 · 1350 · 110 = 43.488 𝑚𝑚2 Área de acero requerido de viga y losa de la franja 2 𝑏 = 0.3 𝑚 𝜌𝑣𝑖𝑔𝑎_2𝐴_2𝐵_𝑛𝑒𝑔 = 0.85
∅ = 0.9
𝑑 = ℎ − 50 𝑚𝑚 = 0.45 𝑚
𝑓′𝑐 2 𝑀𝑣𝑖𝑔𝑎_2𝐴_2𝐵_𝑛𝑒𝑔 106 (1 − √1 − ) = 0.00101 𝑓𝑦 ∅ 0.85 𝑓 ′ 𝑐 𝑏 𝑑 2
𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞_𝑣𝑖𝑔𝑎_2𝐴_2𝐵_𝑛𝑒𝑔 = 𝜌𝑣𝑖𝑔𝑎_2𝐴_2𝐵_𝑛𝑒𝑔 𝑏 𝑑 = 0.00101 ∙ 300 · 450 = 136.515 𝑚𝑚2 𝑏 = 2.4 𝑚 𝜌𝑜𝑠𝑎_2𝐴_2𝐵_𝑛𝑒𝑔 = 0.85
∅ = 0.9
𝑑 = ℎ − 30 𝑚𝑚 = 0.11 𝑚
𝑓 ′𝑐 2 𝑀𝑙𝑜𝑠𝑎_2𝐴_2𝐵_𝑛𝑒𝑔 106 (1 − √1 − ) = 0.00035 𝑓𝑦 ∅ 0.85 𝑓 ′ 𝑐 𝑏 𝑑2
𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞_𝑙𝑜𝑠𝑎_2𝐴_2𝐵_𝑛𝑒𝑔 = 𝜌𝑙𝑜𝑠𝑎_2𝐴_2𝐵_𝑛𝑒𝑔 𝑏 𝑑 = 0.00035 ∙ 2400 · 110 = 92.478 𝑚𝑚2 Fila 7: Área de acero mínimo para momento negativo exterior. Área de acero mínimo de viga y losa de la franja 1 1.4 1.4 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛_𝑣𝑖𝑔𝑎_1𝐴_1𝐵_𝑛𝑒𝑔 = 𝑏𝑑= 300 · 450 = 450𝑚𝑚2 𝑓𝑦 420 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛_𝑙𝑜𝑠𝑎_1𝐴_1𝐵_𝑛𝑒𝑔 = 0.0018 𝑏 ℎ𝑓 = 0.0018 · 1350 · 140 = 340.2 𝑚𝑚2 Área de acero mínimo de viga y losa de la franja 2 1.4 1.4 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛_𝑣𝑖𝑔𝑎_2𝐴_2𝐵_𝑛𝑒𝑔 = 𝑏𝑑= 300 · 450 = 450𝑚𝑚2 𝑓𝑦 420 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛_𝑙𝑜𝑠𝑎_2𝐴_2𝐵_𝑛𝑒𝑔 = 0.0018 𝑏 ℎ𝑓 = 0.0018 · 2400 · 140 = 604.8 𝑚𝑚2 Fila 8,9 y 10: Área de acero elegido, provisto y separación para momento negativo exterior Área de acero elegido, provisto y separación de viga y losa de la franja 1 copyright©rcolquea
505
UMSS
HORMIGÓN ARMADO
De viga 𝑛=4 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣 = 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 =
𝑑𝑏 = 12 𝑚𝑚 𝑛 𝜋 𝑑𝑏 2 4
= 452.389 𝑚𝑚2
𝑏 = 0.3 𝑚
4@12 𝑠=
𝑏−2 𝑟𝑒𝑐−2∅𝑒𝑠𝑡 −𝑛 𝑑𝑏 𝑛−1
= 62 𝑚𝑚
𝑚𝑎𝑥(𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞_𝑣𝑖𝑔𝑎_1𝐴_1𝐵_𝑛𝑒𝑔 , 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛_𝑣𝑖𝑔𝑎_1𝐴_1𝐵_𝑛𝑒𝑔 ) = 0.995 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣
De losa 𝑛=7
𝑑𝑏 = 8 𝑚𝑚
𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣 = 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 =
𝑛 𝜋 𝑑𝑏
2
4
𝑏 = 1.35 𝑚
7@8 𝑏
= 351.858 𝑚𝑚2
𝑠 = 𝑛 = 192.857 𝑚𝑚
𝑚𝑎𝑥(𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞_𝑙𝑜𝑠𝑎_1𝐴_1𝐵_𝑛𝑒𝑔 , 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛_𝑙𝑜𝑠𝑎_1𝐴_1𝐵_𝑛𝑒𝑔 ) = 0.967 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣
Área de acero elegido, provisto y separación de viga y losa de la franja 2 De viga 𝑛=4 𝑑𝑏 = 12 𝑚𝑚 4@12 𝑏 = 0.3 𝑚 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣 = 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 =
𝑛 𝜋 𝑑𝑏 2 4
= 452.389 𝑚𝑚2
𝑠=
𝑏−2 𝑟𝑒𝑐−2∅𝑒𝑠𝑡 −𝑛 𝑑𝑏 𝑛−1
= 62 𝑚𝑚
𝑚𝑎𝑥(𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞_𝑣𝑖𝑔𝑎_2𝐴_2𝐵_𝑛𝑒𝑔 , 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛_𝑣𝑖𝑔𝑎_2𝐴_2𝐵_𝑛𝑒𝑔 ) = 0.995 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣
De losa 𝑛 = 12
𝑑𝑏 = 8 𝑚𝑚
𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣 = 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 =
𝑛 𝜋 𝑑𝑏 2 4
= 603.186 𝑚𝑚2
12@8
𝑏 = 2.4 𝑚
𝑏
𝑠 = 𝑛 = 200 𝑚𝑚
𝑚𝑎𝑥(𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞_𝑙𝑜𝑠𝑎_2𝐴_2𝐵_𝑛𝑒𝑔 , 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛_𝑙𝑜𝑠𝑎_2𝐴_2𝐵_𝑛𝑒𝑔 ) = 1.003 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣
Además según ACI 13.3.6, en la losa de esquina se debe reforzar en la parrilla inferior y la parrilla superior, para resistir un momento igual al momento positivo máximo en el panel de esquina y extender la armadura hasta 1/5 de la longitud más larga. Los resultados para todas las franjas se reflejan en la planilla de cálculo (ver tabla 7.11) COMENTARIO: Los cálculos anteriores se resumen en la tabla 7.11, el procedimiento anterior se debe repetir para momento positivo del vano extremo, primer momento negativo interior y momento positivo vano central; los cálculos respectivos se reflejan en la tabla 7.11, es de vital importancia la interpretación de la tabla y se debe recordar que la tabla 7.11 es para la dirección este -oeste. El análisis y diseño de la losa con vigas calculado anteriormente solo toma encuentra la mitad del entrepiso, porque la otra mitad es idéntico, es decir todos los cálculos se reflejan en un espejo. Paso 8: Distribuir los momentos negativos y positivos a las franjas de columnas (losas y vigas), franjas medias; además determinar la armadura provista. DIRECCIÓN NORTE – SUR. Los cálculos son iguales al paso 7, los resultados se reflejan en la planilla de cálculo (ver tabla 7.12). copyright©rcolquea
506
UMSS
HORMIGÓN ARMADO
TABLA 1: LOSA CON VIGAS INTERIORES Y EXTERIORES D1+D2= 1,45 MPa hlosa= 0,14 m Lo= 3,84 MPa hviga= 0,5 m KLL= 1 bviga= 0,3 m wc= 24 kN/m^3 CALCULO DE LOS MOMENTOS POSITIVOS Y NEGATIVOS EN LA FRANJA ESTE - OESTE: FRANJA DE LOSA 2 - TABLA 1 COLUMNA A2 B2 C2 D2 Fila 1 L1 [m] 5,5 6 5,5 2 Ln [m] 5,1 5,5 5,1 3 L2 [m] 4,8 4,8 4,8 4 a) Area de inf.=ln*l2 [m^2] 24,48 26,4 24,48 b) L reducida [kN/m2] 3,84 3,84 3,84 c) wu [kN/m2] 11,916 11,92 11,916 5 Mo=1/8*wu*L2*Ln^2 (kNm) 185,96 216,3 185,96 6 Coeficienttes de M 7 a) Momentos (-) y (+) (kNm) b) Distribución M (-) (kNm) c) Suma (-) y (+) (kNm) 8 Carga fact. viga, wv (kN/m) 9 Mo viga=1/8*wv*Ln^2 (kNm) 10 a) Momentos (-) y (+) (kNm) b) Distribución M (-) (kNm) c) Suma (-) y (+) (kNm) 11 Momentos en la columna a) De la formula (ACI 13-14) b) De la losa y viga
-0,16 0,57 -0,7 -29,75 106,00 -130,17 0 -1,578 -3,156 -29,75 104,42 -133,33 3,11 10,11 -1,62 5,76 -7,08 0 -0,09 -0,172 -1,62 5,68 -7,25 5,50 31,4
-0,65 0,35 -140,58 75,70 2,893 1,447 -137,69 77,15 3,11 11,76 -7,64 4,12 0,157 0,08 -7,49 4,19 5,10 4,80 39,45 4,60
-0,65 -140,58 0 -140,58
-7,64 0 -7,64 5,50
-0,7 0,57 -0,16 -130,17 106,00 -29,75 -3,156 -1,578 0 -133,33 104,42 -29,75 3,11 10,11 -7,08 5,76 -1,62 -0,172 -0,09 0 -7,25 5,68 -1,62 5,10 4,80 39,45 7,65 31,4
Tabla 7-7 Losa con vigas interiores y exteriores
copyright©rcolquea
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UMSS
HORMIGÓN ARMADO
TABLA 2: LOSA CON VIGAS INTERIORES Y EXTERIORES muro= 4,38 kN/m D1+D2= 1,45 MPa hlosa= 0,14 m Lo= 3,84 MPa hviga= 0,5 m KLL= 1 bviga= 0,3 m wc= 24 kN/m^3 CALCULO DE LOS MOMENTOS POSITIVOS Y NEGATIVOS EN LA FRANJA ESTE - OESTE: FRANJA DE LOSA 1 - TABLA 2 COLUMNA A1 B1 C1 D1 Fila 1 L1 [m] 5,5 6 5,5 2 Ln [m] 5,1 5,5 5,1 3 L2 [m] 2,55 2,55 2,55 4 a) Area de inf.=ln*l2 [m^2] 13,005 14,03 13,005 b) L reducida [kN/m2] 3,84 3,84 3,84 c) wu [kN/m2] 11,916 11,92 11,916 5 Mo=1/8*wu*L2*Ln^2 (kNm) 98,79 114,9 98,79 6 Coeficienttes de M 7 a) Momentos (-) y (+) (kNm) b) Distribución M (-) (kNm) c) Suma (-) y (+) (kNm) 8 Carga fact. Viga+muro, wv (kN/m) 9 Mo viga=1/8*wv*Ln^2 (kNm) 10 a) Momentos (-) y (+) (kNm) b) Distribución M (-) (kNm) c) Suma (-) y (+) (kNm) 11 Momentos en la columna a) De la formula (ACI 13-14) b) De la losa y viga 20,2
-0,16 -15,81 0 -15,81
-4,35 0 -4,35
0,57 56,31 -0,755 55,56 8,37 27,20 15,50 -0,21 15,30
-0,7 -69,15 -1,509 -70,66
-0,65 -74,69 1,384 -73,31
-19,04 -0,416 -19,46 5,50
-20,56 0,381 -20,18 5,10 2,55 20,96 3,37
0,35 40,22 0,692 40,91 8,37 31,64 11,07 0,19 11,26
-0,65 -74,69 0 -74,69
-20,56 0 -20,56 5,50
-0,7 0,57 -0,16 -69,15 56,31 -15,81 -1,509 -0,755 0 -70,66 55,56 -15,81 8,37 27,20 -19,04 15,50 -4,35 -0,416 -0,21 0 -19,46 15,30 -4,35 5,10 2,55 20,96 5,14 20,2
Tabla 7-8 Losa con vigas interiores y exteriores
copyright©rcolquea
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UMSS
HORMIGÓN ARMADO
TABLA 3: LOSA CON VIGAS INTERIORES Y EXTERIORES D1+D2= 1,45 MPa hlosa= 0,14 m Lo= 3,84 MPa hviga= 0,5 m KLL= 1 bviga= 0,3 m wc= 24 kN/m^3 CALCULO DE LOS MOMENTOS POSITIVOS Y NEGATIVOS EN LA FRANJA NORTE - SUR: FRANJA DE LOSA B - TABLA 3 COLUMNA B1 B2 B3 Fila 1 L1 [m] 4,8 4,8 2 Ln [m] 4,5 4,5 3 L2 [m] 5,75 5,75 4 a) Area de inf.=ln*l2 [m^2] 25,875 25,88 b) L reducida [kN/m2] 3,84 3,84 c) wu [kN/m2] 11,916 11,92 5 Mo=1/8*wu*L2*Ln^2 (kNm) 173,43 173,4 6 Coeficienttes de M 7 a) Momentos (-) y (+) (kNm) b) Distribución M (-) (kNm) c) Suma (-) y (+) (kNm) 8 Carga fact. viga, wv (kN/m) 9 Mo viga=1/8*wv*Ln^2 (kNm) 10 a) Momentos (-) y (+) (kNm) b) Distribución M (-) (kNm) c) Suma (-) y (+) (kNm) 11 Momentos en la columna a) De la formula (ACI 13-14) b) De la losa y viga
-0,16 -27,75 0 -27,75
-1,26 0 -1,26
29
0,57 -0,7 98,86 -121,4 -1,37 -2,74 97,49 -124,14 3,11 7,87 4,49 -5,51 -0,06 -0,124 4,43 -5,64 4,50
-0,65 0,35 -112,73 60,70 2,74 1,37 -109,99 62,07 3,11 7,87 -5,12 2,76 0,124 0,06 -4,99 2,82 4,50 5,75 25,04 -14,79
-0,65 -112,73 0 -112,73
-5,12 0 -5,12
Tabla 7-9 Losa con vigas interiores y exteriores
copyright©rcolquea
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UMSS
HORMIGÓN ARMADO
TABLA 4: LOSA CON VIGAS INTERIORES Y EXTERIORES muro= 4,38 kN/m D1+D2= 1,45 MPa hlosa= 0,14 m Lo= 3,84 MPa hviga= 0,5 m KLL= 1 bviga= 0,3 m wc= 24 kN/m^3 CALCULO DE LOS MOMENTOS POSITIVOS Y NEGATIVOS EN LA FRANJA NORTE - SUR: FRANJA DE LOSA A - TABLA 4 COLUMNA A1 A2 A3 Fila 1 L1 [m] 4,8 4,8 2 Ln [m] 4,4 4,3 3 L2 [m] 2,9 2,9 4 a) Area de inf.=ln*l2 [m^2] 12,76 12,47 b) L reducida [kN/m2] 3,84 3,84 c) wu [kN/m2] 11,916 11,92 5 Mo=1/8*wu*L2*Ln^2 (kNm) 83,63 79,87 6 Coeficienttes de M 7 a) Momentos (-) y (+) (kNm) b) Distribución M (-) (kNm) c) Suma (-) y (+) (kNm) 8 Carga fact. Viga+muro, wv (kN/m) 9 Mo viga=1/8*wv*Ln^2 (kNm) 10 a) Momentos (-) y (+) (kNm) b) Distribución M (-) (kNm) c) Suma (-) y (+) (kNm) 11 Momentos en la columna a) De la formula (ACI 13-14) b) De la losa y viga 16,6
-0,16 -13,38 0 -13,38
-3,24 0 -3,24
0,57 47,67 -0,947 46,72 8,37 20,25 11,54 -0,23 11,31
-0,7 -58,54 -1,893 -60,43
-0,65 -51,92 1,893 -50,03
-14,17 -0,458 -14,63 4,40
-12,57 0,458 -12,11 4,30 2,90 13,09 -12,93
0,35 27,95 0,947 28,90 8,37 19,34 6,77 0,23 7,00
A4
-0,65 -51,92 0 -51,92
-12,57 0 -12,57 5,50
Tabla 7-10 Losa con vigas interiores y exteriores
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510
UMSS
HORMIGÓN ARMADO N
SUBDIVISION DE LOS MOMENTOS A LAS FRANJAS MEDIAS Y DE COLUMNA: FRANJAS ESTE OESTE--TABLA 5 b= f'c= fy= dviga= dlosa= h= φ=
300 21 420 450 110 140 0,9
mm Mpa Mpa mm mm mm
3
2-3
2
1-2
FRANJA DE COLUMNA
FRANJA MEDIA
FRANJA DE COLUMNA
FRANJA MEDIA
2,4 A3
2,4
2,4 A2
2,4
Fila COLUMNA 1 MOMENTO NEGATIVO EXTERIOR
-29,75
2 Coeficiente 3 Momento a las franjas de columna y media 4 a) Momento en las franjas de columna distribuido entre viga y losa (kN m)
0,068 -2,01
b) Momento debido a las cargas en la viga (kN m) Momento total en losas y vigas (kN m) CUANTIAS Área de acero requerido (mm^2) Área de acero mínimo (mm^2) Área de acero elegido Área de acero provisto (mm^2) Separación (mm) Ratio 1 MOMENTO POSITIVO-VANO EXTREMO
5 6 10 11 12 13 14
2 Coeficiente 3 Momento a las franjas de columna y media 4 a) Momento en las franjas de columna distribuido entre viga y losa (kN m)
5 6 10 11 12 13 14
0,865 -25,73 losa 0,15 -3,8595
0,106 11,02
0,789 82,4 losa 0,15 12,3585 12,3585 0,00114 301 605 12Ф8 603 200 1,00332
0,106 -14,5
b) Momento debido a las cargas en la viga (kN m) Momento total en losas y vigas (kN m) CUANTIAS Área de acero requerido (mm^2) Área de acero mínimo (mm^2) Área de acero elegido Área de acero provisto (mm^2) Separación (mm) Ratio 1 MOMENTO POSITIVO-VANO CENTRAL
5 6 10 11 12 13 14
5 6 10 11 12 13 14
b) Momento debido a las cargas en la viga (kN m) Momento total en losas y vigas (kN m) CUANTIAS Área de acero requerido (mm^2) Área de acero mínimo (mm^2) Área de acero elegido Área de acero provisto (mm^2) Separación (mm) Ratio
0,0675 -2,0081
0,865 -25,73 losa 0,15 -3,8595
-4,0181 0,00037 97 605 12Ф8 603 200 1,00332
0,106 8,139
0,1055 11,0165
0,1055 11,0165 losa 0,15 12,3585 22,033 0,00206 543 605 12Ф8 603 200 1,00332
12,3585 0,00114 301 605 12Ф8 603 200 1,00332
losa 0,15 -1,8135 -5,7254 0,00052 139 605 12Ф8 603 200 1,00332
0,1055 -14,526
0,1055 -14,526
viga 0,85 -92,344 -7,49 -16,296 -99,83 0,00151 0,00460 399 620 605 450 12Ф8 2Ф12+2Ф16 603 628 200 54,6667 1,00332 0,98726 77,15
0,1055 11,0165
viga 0,85 70,0315 5,68 75,71 1275 0,00078 449 8,3045 450 4Ф12 452 57,3333 0,99558 B2
0,211 11,7222
0,789 43,8 losa 0,15 6,5745
22,7387 0,00212 561 605 12Ф8 603 200 1,00332
6,5745 0,00108 160 340 7Ф8 352 192,857 0,96591
0,789 -108,6
0,1055 -14,526
0,211 -15,468
viga 0,85 -92,344 -7,49 -16,296 -99,83 0,00151 0,00460 399 620 605 450 12Ф8 2Ф12+2Ф16 603 628 200 57,3333 1,00332 0,98726 77,15
0,1055 8,13896
0,1055 8,13896
losa 0,15 9,1305
0,789 60,87
losa 0,15 -8,676 -29,994 0,00283 746 605 15Ф8 753 160 0,9907
-8,676 0,00143 212 340 7Ф8 352 192,857 0,96591
0,211 8,63243
losa 0,15 9,1305
16,2779 0,00151 399 605 12Ф8 603 200 1,00332
viga 0,85 -49,164 -20,18 -69,35 0,00314 423 450 4Ф12 452 57,3333 0,99558 40,91
0,1055 8,13896
viga 0,85 51,7395 4,19 9,1305 55,93 0,00084 1375 0,00053 222 331 605 7,70053 450 12Ф8 4Ф12 603 452 200 57,3333 1,00332 0,99558
viga 0,85 37,2555 15,30 52,55 725 0,00096 312 14,6045 450 4Ф12 452 57,3333 0,99558 B1 B -73,31 0,789 -57,84
losa 0,15 -16,296
-29,052 0,00273 722 605 15Ф8 753 160 0,95883
viga 0,85 -10,277 -4,35 -14,63 0,00064 87 450 4Ф12 452 57,3333 0,99558
-1,8135 0,00029 44 340 7Ф8 352 192,857 0,96591
-137,7
losa 0,15 -16,296
viga 0,85 51,7395 4,19 9,1305 55,93 0,00084 1375 0,00053 222 331 605 7,70053 450 12Ф8 4Ф12 603 452 200 57,3333 1,00332 0,99558
0,765 -12,09
55,56
0,789 82,4
-137,7
0,789 60,87
0,235 -3,7154
104,42
viga 0,85 70,0315 5,68 75,71 1275 0,00078 449 8,3045 450 4Ф12 452 57,3333 0,99558 B3
0,789 -108,6
0,0675 -2,01 viga 0,85 -21,871 -1,62 -23,49 0,00104 140 450 4Ф12 452 57,3333 0,99558
-3,8595 0,00035 93 605 12Ф8 603 200 1,00332
104,42
COLUMNA 1 PRIMER MOMENTO NEGATIVO INTERIOR
2 Coeficiente 3 Momento a las franjas de columna y media 4 a) Momento en las franjas de columna distribuido entre viga y losa (kN m)
0,0675 -2,01 viga 0,85 -21,871 -1,62 -23,49 0,00104 140 450 4Ф12 452 57,3333 0,99558
-3,8595 0,00035 93 605 12Ф8 603 200 1,00332
b) Momento debido a las cargas en la viga (kN m) Momento total en losas y vigas (kN m) CUANTIAS Área de acero requerido (mm^2) Área de acero mínimo (mm^2) Área de acero elegido Área de acero provisto (mm^2) Separación (mm) Ratio
2 Coeficiente 3 Momento a las franjas de columna y media 4 a) Momento en las franjas de columna distribuido entre viga y losa (kN m)
-29,8
1 FRANJA DE COLUMNA DE BORDE 1,35 A1 A -15,8
0,789 32,28 losa 0,15 4,842
16,7714 0,00156 411 605 12Ф8 603 200 1,00332
viga 0,85 27,438 11,26 4,842 38,70 0,00079 758,33 0,00067 118 229 340 13,9626 450 7Ф8 4Ф12 352 452 192,857 57,3333 0,96591 0,99558
Tabla 7-11 Subdivisión de momentos a las franjas
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511
UMSS
HORMIGÓN ARMADO N
SUBDIVISION DE LOS MOMENTOS A LAS FRANJAS MEDIAS Y DE COLUMNA: FRANJAS NORTE SUR--TABLA 6 b= f'c= fy= dviga= dlosa= h= φ=
300 21 420 450 110 140 0,9
mm Mpa Mpa mm mm mm
C
B-C
B
A-B
FRANJA DE COLUMNA
FRANJA MEDIA
FRANJA DE COLUMNA
FRANJA MEDIA
2,4 C1
3,6
2,4 B1
3,1
Fila COLUMNA 1 MOMENTO NEGATIVO EXTERIOR
-27,75
2 Coeficiente 3 Momento a las franjas de columna y media 4 a) Momento en las franjas de columna distribuido entre viga y losa (kN m)
0,087 -2,414
b) Momento debido a las cargas en la viga (kN m) Momento total en losas y vigas (kN m) CUANTIAS Área de acero requerido (mm^2) Área de acero mínimo (mm^2) Área de acero elegido Área de acero provisto (mm^2) Separación (mm) Ratio 1 MOMENTO POSITIVO-VANO EXTREMO
5 6 10 11 12 13 14
2 Coeficiente 3 Momento a las franjas de columna y media 4 a) Momento en las franjas de columna distribuido entre viga y losa (kN m)
5 6 10 11 12 13 14
0,826 -22,92 losa 0,15 -3,438
0,1545 15,062
0,1545 -19,18
b) Momento debido a las cargas en la viga (kN m) Momento total en losas y vigas (kN m) CUANTIAS Área de acero requerido (mm^2) Área de acero mínimo (mm^2) Área de acero elegido Área de acero provisto (mm^2) Separación (mm) Ratio 1 MOMENTO POSITIVO-VANO CENTRAL
5 6 10 11 12 13 14
5 6 10 11 12 13 14
b) Momento debido a las cargas en la viga (kN m) Momento total en losas y vigas (kN m) CUANTIAS Área de acero requerido (mm^2) Área de acero mínimo (mm^2) Área de acero elegido Área de acero provisto (mm^2) Separación (mm) Ratio
0,087 -2,4143
0,826 -22,92 losa 0,15 -3,438
-4,8243 0,00029 116 907 18Ф8 904 200 1,00332
0,691 67,37
0,1545 9,5898
0,1545 15,0622
viga 0,85 57,2645 4,43 10,1055 61,69 0,00093 1102,5 0,00074 246 366 605 9,60384 450 12Ф8 4Ф12 603 452 200 57,3333 1,00332 0,99558 C2
0,1545 15,0622
losa 0,15 -1,4565 -6,0761 0,00043 147 781 16Ф8 804 193,75 0,97139
0,1545 15,0622
viga 0,85 57,2645 4,43 10,1055 61,69 0,00093 1102,5 0,00074 246 366 605 9,60384 450 12Ф8 4Ф12 603 452 200 57,3333 1,00332 0,99558 B2
30,1244 0,00187 741 907 18Ф8 904 200 1,00332
0,309 14,4376
0,691 32,29 losa 0,15 4,8435
29,4998 0,00213 728 781 16Ф8 804 193,75 0,97139
4,8435 0,00079 118 340 7Ф8 352 192,857 0,96591
-124,1 0,1545 -19,18
0,1545 -19,18
viga 0,85 -72,913 -5,64 -12,867 -78,55 0,00119 0,00357 314 482 605 450 12Ф8 2Ф12+2Ф14 603 534 200 56 1,00332 0,90262 62,07
0,691 -85,78
0,1545 -19,18
0,309 -18,674
viga 0,85 -72,913 -5,64 -12,867 -78,55 0,00119 0,00357 314 482 605 450 12Ф8 2Ф12+2Ф14 603 534 200 56 1,00332 0,90262 62,07
0,1545 9,58982
0,1545 9,58982
losa 0,15 6,4335
0,691 42,89
losa 0,15 -6,264 -37,853 0,00276 941 781 20Ф8 1004 155 0,93725
-6,264 0,00103 152 340 7Ф8 352 192,857 0,96591
0,309 8,92902
losa 0,15 6,4335
19,1796 0,00118 468 907 18Ф8 904 200 1,00332
viga 0,85 -35,496 -14,63 -50,13 0,00224 303 450 4Ф12 452 57,3333 0,99558 28,90
0,1545 9,58982
viga 0,85 36,4565 2,82 6,4335 39,27 0,00059 1125 0,00046 156 232 605 9,41176 450 12Ф8 4Ф12 603 452 200 57,3333 1,00332 0,99558
viga 0,85 27,4465 11,31 38,76 666,67 0,00077 230 15,8823 450 4Ф12 452 57,3333 0,99558 A2 2 -60,43 0,691 -41,76
losa 0,15 -12,867
-38,359 0,00240 949 907 20Ф8 1004 180 0,94522
viga 0,85 -8,2535 -3,24 -11,49 0,00050 68 450 4Ф12 452 57,3333 0,99558
-1,4565 0,00024 35 340 7Ф8 352 192,857 0,96591
losa 0,15 10,1055
losa 0,15 -12,867
viga 0,85 36,4565 2,82 6,4335 39,27 0,00059 1125 0,00046 156 232 605 9,41176 450 12Ф8 4Ф12 603 452 200 57,3333 1,00332 0,99558
0,726 -9,71
46,72
0,691 67,37
-124,1
0,691 42,89
0,274 -3,6661
97,49
losa 0,15 10,1055
0,691 -85,78
0,087 -2,41 viga 0,85 -19,482 -1,26 -20,74 0,00091 123 450 4Ф12 452 57,3333 0,99558
-3,438 0,00031 83 605 12Ф8 603 200 1,00332
97,49
COLUMNA 1 PRIMER MOMENTO NEGATIVO INTERIOR
2 Coeficiente 3 Momento a las franjas de columna y media 4 a) Momento en las franjas de columna distribuido entre viga y losa (kN m)
0,087 -2,41 viga 0,85 -19,482 -1,26 -20,74 0,00091 123 450 4Ф12 452 57,3333 0,99558
-3,438 0,00031 83 605 12Ф8 603 200 1,00332
b) Momento debido a las cargas en la viga (kN m) Momento total en losas y vigas (kN m) CUANTIAS Área de acero requerido (mm^2) Área de acero mínimo (mm^2) Área de acero elegido Área de acero provisto (mm^2) Separación (mm) Ratio
2 Coeficiente 3 Momento a las franjas de columna y media 4 a) Momento en las franjas de columna distribuido entre viga y losa (kN m)
-27,75
A FRANJA DE COLUMNA DE BORDE 1,35 A1 1 -13,38
0,691 19,97 losa 0,15 2,9955
18,5188 0,00133 452 781 16Ф8 804 193,75 0,97139
2,9955 0,00049 72 340 7Ф8 352 192,857 0,96591
viga 0,85 16,9745 7,00 23,97 658,33 0,00048 142 16,0835 450 4Ф12 452 57,3333 0,99558
Tabla 7-12 Subdivisión de momentos a las franjas
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HORMIGÓN ARMADO
Paso 9: Diseño de las vigas Como se vio en los capítulos anteriores las vigas se debe diseñar a: Flexión Cortante Integridad estructural Adicionalmente las vigas de borde se deben diseñar a torsión a. Diseño a flexión de las vigas según consideraciones dadas en la norma ACI318S-08. b. Diseño a torsión. En este ejemplo se ha calculado los momentos negativos del borde 1A - 2B - 3A, el mismo análisis debe efectuarse para las franjas del otro sentido y así obtener los momentos 1A - 1B 1C - 1D. El diagrama de torsión se calcula de la misma manera que se calcula el diagrama de cortante en una viga simple apoyada sometida a una carga distribuida, ver figura 7.33. Según ACI 11.5.1 y 11.5.2.4 se requiere refuerzo de acero si: 𝑡𝑢 < 0.083 𝜆√𝑓′𝑐
𝐴𝑐𝑝 2 𝑃𝑐𝑝
Para el torsor localizado a una distancia d. Para una viga de borde 𝐴𝑐𝑝 y 𝑃𝑐𝑝 están definidas en ACI 13.2.4 y las propiedades se determinan de la figura 7.26. 𝐴𝐶𝑃 = 0.3 ∙ 0.5 + 0.36 ∙ 0.14 = 0.2004 𝑚2 𝐴𝐶𝑃 = 200400𝑚𝑚2 𝑃𝑐𝑝 = (0.3 + 0.36)2 + (0.14 + 0.36)2 𝑃𝑐𝑝 = 232 𝑚 = 2320 𝑚𝑚 2004002 −6 10 2320 𝑇𝑢 < 6.58 𝐾𝑁 ∙ 𝑚 El torsor en cualquiera de las caras de apoyo es menor 6.58 𝑘𝑁 ∙ 𝑚, entonces no se diseña a torsión. 𝑇𝑢 < 0.83 ∙ 1 ∙ √21
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513
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HORMIGÓN ARMADO
𝑡(𝑘𝑁 ∙ 𝑚)
𝑡(𝑘𝑁 ∙ 𝑚/𝑚)
𝑡(𝑘𝑁 ∙ 𝑚) 𝐷𝑖𝑎𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑟𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠
Figura 7.33 –Diagrama de momentos torsores
c. Cortante 𝑙
Como en todos los casos 𝛼1 𝑙2 ≥ 1, entonces el articulo ACI 13.6.8.1 requiere que las vigas 1
sean diseñadas al cortante que le corresponden según áreas tributarias definidas por líneas a 45°. Las vigas se diseñan para resistir todo el cortante ya que se desprecia el cortante que resisten las losas.
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Ejemplo 7.2 Diseñar un sistema de entrepiso de losa maciza en dos direcciones sin vigas interiores y exteriores, utilizar el método directo del ACI, la geometría de la losa se muestra en la figura, la carga viva de uso residencial es de 1.92 𝑘𝑁/𝑚2 , se pide tomar en cuenta algunas cargas adicionales, la losa se extiende 0.1 𝑚 más allá de la cara exterior de la columna y soporta una carga debido al muro exterior de cerramiento de 4.38 𝑘𝑁/𝑚. Calcular el área de acero. Sólo considerar las cargas gravitacionales, la resistencia característica del hormigón es la misma para columnas y losas.
Figura 7.34 – Planta tipo de losa sin vigas
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HORMIGÓN ARMADO 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: 𝑟𝑒𝑐 = 25 𝑚𝑚, ∅𝑒𝑠𝑡 = 8 𝑚𝑚 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑓´𝑐 = 25 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦𝑡 = 420𝑀𝑃𝑎, 𝑘𝑁 𝜆 = 1, 𝑤𝑐 = 24 3 , 𝜑𝑓 = 0.9, 𝜑𝑐 = 0.75 𝑚 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠: 𝐷1 = 0.2
𝐾𝑁 𝑚2
, 𝐷2 = 1.0
𝐾𝑁 𝑚2
, 𝐷3 = 4.38
𝐾𝑁 𝑚
𝐾𝑁
, 𝐿𝑜 = 1.92 𝑚2
𝐷1 : 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑙é𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝐷2 : 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑙𝑎𝑠 𝑓𝑢𝑡𝑢𝑟𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝐷3 : 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎𝑙 𝑚𝑢𝑟𝑜 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝐿𝑜 : 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑣𝑖𝑣𝑎 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑒 𝑒𝑠, 𝑣𝑒𝑟 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 7.34: 𝑙12
𝑙𝐴𝐵 = 5.5 𝑚 𝑙𝐵𝐶 = 6 𝑚 𝑙𝐶𝐷 = 5.5 𝑚 = 4.8 𝑚 𝑙23 = 4.8 𝑚 𝑙34 = 4.8 𝑚 𝑙45 = 4.8 𝑚
Dimensiones de las columnas, ver figura 7.34: COLUMNA (c) 1A 1B 1C 1D 2A 2B 2C 2D 3A 3B 3C 3D 4A 4B 4C 4D 5A 5B 5C 5D
BASE, en dirección x (b), mm 300 500 500 300 300 500 500 300 300 500 500 300 300 500 500 300 300 500 500 300
ALTURA, en dirección y (t), mm 300 300 300 300 500 300 300 500 500 300 300 500 500 300 300 500 300 300 300 300
Longitudes nominales entre columnas de borde y esquina, ver figura 7.34: 𝑙𝑛𝐴𝐵 = 5.1 𝑚 𝑙𝑛𝐵𝐶 = 5.5 𝑚 𝑙𝑛𝐶𝐷 = 5.1 𝑚 𝑙𝑛12 = 4.4 𝑚 𝑙𝑛23 = 4.3 𝑚 𝑙𝑛34 = 4.3 𝑚 𝑙𝑛45 = 4.4 𝑚 Se debe diseñar las franjas de columna y central en la dirección este -oeste y luego las franjas de columna y central en la dirección norte -sur; pero en el respectivo ejemplo se diseñara detalladamente la franja de columna este -oeste de los ejes 1 y 2, las franjas restantes estarán determinados en planillas de acuerdo a los mapas de cálculo definidos en el tema. La distribución de las franjas se muestra en la figura 7.35 y 7.36. copyright©rcolquea
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Figura 7.35 – Franja este – oeste: losa sin vigas
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Figura 7.36 – Franja norte – sur: losa con vigas
Solución: copyright©rcolquea
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Paso 1: Verificar el método de diseño. ACI 13.6.1 ACI 13.6.1.1: Existe más de tres vanos en cada dirección? En la figura 7.34 se puede notar más de 3 vanos en cada dirección, por lo tanto cumple. ACI 13.6.1.2: Los paneles de las losas deben ser rectangulares, con una relación entre la luz larga y corta medida centro a centro de los apoyos del panel no mayor a 2 ni menor de 1. 𝑙𝑙𝑎𝑟𝑔𝑎 = 6 𝑚 → 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 7.34 𝑙𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎 = 4.8 𝑚 → 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 7.34 𝑙𝑙𝑎𝑟𝑔𝑎 6 1≤ ≤ 2 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 1 ≤ ≤ 2 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 ⏟ 𝑙𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎 4.8 1.25
ACI 13.6.1.3: Las longitudes de luces contiguas medidas centro a centro de los apoyos en cada dirección no deben diferir de la luz larga en más de un tercio. 𝑙𝑙𝑎𝑟𝑔𝑎 2 6 2 ≥ → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 ≥ → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 ⏟ 3 𝑙𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎 3 4.8 1.25
ACI 13.6.1.4: Las columnas pueden estar desalineadas hasta un 10 por ciento de la luz (medido en la dirección de des alineamiento) con respecto a cualquier eje que pase por el centro de columnas sucesivas. Según la figura 7.34 todas las columnas están perfectamente alineadas. ACI 13.6.1.5: Todas las cargas deben ser únicamente gravitacionales y estar uniformemente distribuidas en todo el panel, la carga viva no mayorada no debe exceder de 2 veces la carga muerta mayorada. Para la respectiva verificación asumimos una altura tentativa de losa: 𝑘𝑁 ℎ𝑓 = 180 𝑚𝑚 𝐷 = 𝐷1 + 𝐷2 + 𝑤𝑐 ℎ𝑓 = 0.2 + 1 + 2400 ∙ 0.18 = 5.52 2 𝑚 𝑘𝑁 𝐿 = 1.92 2 𝐿 ≤ 2𝐷 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒! 1.92 ≤ ⏟ 2 ∙ 5.52 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒! 𝑚 11.04 ACI 13.6.1.6: La respectiva sección no se aplica porque no tenemos vigas. ACI 13.6.1.7: La respectiva sección no se aplica porque no se aplica la redistribución de momentos. Paso 2: Seleccionar el espesor de la losa. a. Determinamos el espesor de losa para limitar las deflexiones de los paneles. ACI 9.5(c). Panel 1-2-A-B (esquina) 𝑙𝑛 5100 𝑙𝑛 = max(𝑙𝑛𝐴𝐵 , 𝑙𝑛12 ) = max(5.1,4.4) = 5.1 𝑚 ℎ𝑚𝑖𝑛 = = = 170 𝑚𝑚 30 30 Panel 1-2-B-C (borde) 𝑙𝑛 5500 𝑙𝑛 = max(𝑙𝑛𝐵𝐶 , 𝑙𝑛12 ) = max(5.5,4.4) = 5.5 𝑚 ℎ𝑚𝑖𝑛 = = = 183.33 𝑚𝑚 30 30 Panel 2-3-A-B (borde) 𝑙𝑛 5100 𝑙𝑛 = max(𝑙𝑛𝐴𝐵 , 𝑙𝑛23 ) = max(5.1,4.3) = 5.1 𝑚 ℎ𝑚𝑖𝑛 = = = 170 𝑚𝑚 30 30 copyright©rcolquea
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Panel 2-3-B-C (interior) 𝑙𝑛 = max(𝑙𝑛𝐵𝐶 , 𝑙𝑛23 ) = max(5.5,4.3) = 5.5 𝑚 ℎ𝑚𝑖𝑛 =
𝑙𝑛 5500 = = 166.667 𝑚𝑚 30 33
Adoptamos un espesor de 180 𝑚𝑚. b. Verificar el espesor para corte en las columnas B2 y B1 que son críticas, el respectivo procedimiento se detallara en el último paso por razones didácticas. ACI 11.11 c. La verificación de corte del último paso cumple, entonces el espesor de losa se mantiene, entonces la carga última también se mantiene. 𝑞𝑢 = 9.696 𝑘𝑁/𝑚2 d. Calcular la rigidez alfa para las vigas exteriores. ACI 13.6.1.6 En el ejemplo no existe vigas exteriores por lo tanto no existen los valores de alfa Paso 3: Calcular los momentos en la franja a lo largo del eje 2-DIRECCIÓN ESTE-OESTE. 𝑙1: Dirección paralela al eje 2 𝑙2 : Dirección perpendicular al eje 2 Los paneles 2A-2B y 2C-2D son paneles de borde, el panel interior es 2B-2C, las luces de los paneles se muestran en la figura 7.35. Como la estructura es simétrica se siguen los cálculos para el panel 2A-2B y 2B-2C, a continuación se desarrollará las filas de las planillas de cálculo que se mostrarán al final. Fila 1: Distancia entre ejes paralelo al eje 2, 𝑙1 𝑙1 = 𝑙𝐴𝐵 = 5.5 𝑚 Fila 2: Longitud nominal libre, 𝑙𝑛 𝑙𝑛 = 𝑙𝑛𝐴𝐵 = 5.1 𝑚 Fila 3: Ancho perpendicular a la franja 2, 𝑙2 𝑙2 = 4.8 𝑚 No se puede reducir la carga viva entonces la carga viva se mantiene en 1.92 𝑘𝑁⁄𝑚2 Fila 4: Determinar la carga última 𝑤𝑢 = 1.2(ℎ𝑓 𝑤𝑐 +𝐷1 + 𝐷2 ) + 1.6 𝐿 = 1.2(0.18 ∙ 24 + 0.2 + 1. ) + 1.6 ∙ 1.92 𝑤𝑢 = 9.696
𝑘𝑁 𝑚2
Fila 5: Momento estático básico Para el panel 2A-2B 𝑤𝑢 𝑙2 𝑙𝑛 2 9.696 ∙ 4.8 ∙ 5.12 𝑀𝑜.2𝐴_2𝐵 = = = 151.316 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 8 8 Para el panel 2B-2C 𝑤𝑢 𝑙2 𝑙𝑛 2 9.696 ∙ 4.8 ∙ 5.52 = = 185.982 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 8 8 Fila 6: Coeficientes de momentos mayorados negativos y positivos. ACI 13.6.3 Para el panel 2A-2B. ACI 13.6.3.3 𝑀𝑜.2𝐵_2𝐶 =
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HORMIGÓN ARMADO (1) Borde exterior no restringido
(2)
(3)
(4)
(5)
Losa sin vigas entre Losa con los apoyos interiores vigas entre todos los Sin viga de Con viga de borde apoyos borde
Borde exterior totalmente restringido
Momento negativo mayorado interior
0,75
0,7
0,7
0,7
0,65
Momento positivo mayorado
0,63
0,57
0,52
0,5
0,35
Momento negativo mayorado interior
0
0,16
0,26
0,3
0,65
Tabla 7-13 Coeficientes de momento para un vano final
Determinamos los porcentajes de la tabla 7.13. 𝑃𝑚𝑛𝑚𝑖 = −0.7
𝑃𝑚𝑝𝑚𝑓 = 0.52
𝑃𝑚𝑛𝑚𝑒 = −0.26
Para el panel 2B-2C. ACI 13.6.3.2 𝑃𝑚𝑛𝑚 = −0.65
𝑃𝑚𝑝𝑚 = 0.35
Fila 7: Momentos negativos y positivos Para el panel 2A-2B. ACI 13.6.3.3 𝑀𝑛𝑚𝑖 = 𝑃𝑚𝑛𝑚𝑖 𝑀𝑜.2𝐴_2𝐵 = −0.7 · 151.316 = −105.921 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑝𝑚𝑓 = 𝑃𝑚𝑝𝑚𝑓 𝑀𝑜.2𝐴_2𝐵 = 0.52 · 151.316 = 78.684 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑛𝑚𝑒 = 𝑃𝑚𝑛𝑚𝑒 𝑀𝑜.2𝐴_2𝐵 = −0.26 · 151.316 = −39.342 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Para el panel 2B-2C. ACI 13.6.3.2 𝑀𝑛𝑚 = 𝑃𝑚𝑛𝑚 𝑀𝑜.2𝐵_2𝐶 = −0.65 · 185.982 = −114.389 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑝𝑚 = 𝑃𝑚𝑝𝑚 𝑀𝑜.2𝐵_2𝐶 = 0.35 · 185.982 = 61.594 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Si los momentos negativos varían en menos del 20%, el diseño se realiza con el valor más grande, de lo contrario se efectuara una redistribución. ∆𝑀2𝐵 = |𝑀𝑛𝑚 | − |𝑀𝑛𝑚𝑖 | = 114.389 − 105.921 = 8.468 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑠𝑖 (
∆𝑀2𝐵 8.468 < 0.20) = ( < 0.20) ⇒ "𝑛𝑜 𝑟𝑒𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖𝑟 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠" ⏟ |𝑀𝑛𝑚𝑖 | 105.921 0.079
Fila 8: Momentos en la columna, según la ecuación del ACI 13-14. Para la columna 2B 𝑙 𝑙 5.1 𝑚 5.1 𝑚∎ 𝑙𝑛 = 𝑚𝑎𝑥 { 𝑛𝐴𝐵 = 𝑚𝑎𝑥 { 𝑙′𝑛 = 𝑚𝑖𝑛 { 𝑛𝐴𝐵 = 𝑚𝑖𝑛 { 𝑙′ = 𝑙2 = 4.8 𝑚 𝑙𝑛𝐵𝐶 𝑙𝑛𝐵𝐶 5.5 𝑚∎ 5.5 𝑚 2 2
𝑀𝑐 = 0.07 ((1.2(ℎ𝑓 𝑤𝑐 + 𝐷1 + 𝐷2 ) + 0.5 ∙ 1.6 𝐿)𝑙2 𝑙𝑛 2 − 1.2(ℎ𝑓 𝑤𝑐 + 𝐷1 + 𝐷2 )𝑙 ′ 2 𝑙 ′ 𝑛 ) 𝑀𝑐 = 0.07((1.2(0.18 · 24 + 0.2 + 1.0) + 0.5 · 1.6 · 1.92)4.8 · 5.52 − 1.2(0.18 · 24 + 0.2 + 1.0)4.8 · 5.12 ) copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO 𝑀𝑐 = 25.049 𝑘𝑁 ∙ 𝑚
Por lo tanto para diseñar las columnas interiores dividir el momento de la columna interior entra las columnas superior e inferior en proporción de su rigidez, el momento desbalanceado de 25.049 de la misma manera se debe dividir entre las columnas superior e inferior en razón de su rigidez. Los resultados se reflejan en la tabla 7.14. Paso 4: Calcular los momentos en la franja a lo largo de las columnas del eje 1-DIRECCIÓN ESTE – OESTE. Ahora analizamos una franja de borde, en el paso anterior se analizó una franja central, en una franja de borde se debe considerar la recomendación del ACI 13.6.2.4, donde el valor de 𝑙2 es igual a 2.65 m de acuerdo a la figura 7.35. Fila 1: Distancia entre ejes paralelo al eje 1, 𝑙1 𝑙1 = 𝑙𝐴𝐵 = 5.5 𝑚 Fila 2: Longitud nominal libre, 𝑙𝑛 𝑙𝑛 = 𝑙𝑛𝐴𝐵 = 5.1 𝑚 Fila 3: Ancho perpendicular a la franja 1, 𝑙2 𝑙2 = 2.65 𝑚 No se puede reducir la carga viva entonces la carga viva se mantiene en 1.92 𝑘𝑁⁄𝑚2 Fila 4: Determinar la carga última 𝑤𝑢 = 1.2(ℎ𝑓 𝑤𝑐 + 𝐷1 + 𝐷2 ) + 1.6 𝐿 = 1.2(0.18 · 24 + 0.2 + 1.0) + 1.6 · 1.92 = 9.696
𝑘𝑁 𝑚2
Fila 5: Momento estático básico Para el panel 1A-1B 𝑤𝑢 𝑙2 𝑙𝑛 2 9.696 · 2.65 · 5.12 𝑀𝑜.1𝐴_1𝐵 = = = 83.539 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 8 8 Para el panel 1B-1C 𝑤𝑢 𝑙2 𝑙𝑛 2 9.696 · 2.65 · 5.52 𝑀𝑜.1𝐵_1𝐶 = = = 97.157 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 8 8 Fila 6: Coeficientes de momentos mayorados negativos y positivos. ACI 13.6.3 Para el panel 1A-1B. ACI 13.6.3.3 Los porcentajes se generan de la tabla 7.13. 𝑃𝑚𝑛𝑚𝑖 = −0.7
𝑃𝑚𝑝𝑚𝑓 = 0.52
𝑃𝑚𝑛𝑚𝑒 = −0.26
Para el panel 1B-1C. ACI 13.6.3.2 𝑃𝑚𝑛𝑚 = −0.65
𝑃𝑚𝑝𝑚 = 0.35
Fila 7: Momentos negativos y positivos Para el panel 1A-1B. ACI 13.6.3.3 𝑀𝑛𝑚𝑖 = 𝑃𝑚𝑛𝑚𝑖 𝑀𝑜.1𝐴_1𝐵 = −0.7 · 83.539 = −58.477 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO 𝑀𝑝𝑚𝑓 = 𝑃𝑚𝑝𝑚𝑓 𝑀𝑜.1𝐴_1𝐵 = 0.52 · 83.539 = 43.44 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑛𝑚𝑒 = 𝑃𝑚𝑛𝑚𝑐 𝑀𝑜.1𝐴_1𝐵 = −0.26 · 83.539 = −21.72 𝑘𝑁 ∙ 𝑚
Para el panel 1B-1C. ACI 13.6.3.2 𝑀𝑛𝑚 = 𝑃𝑚𝑛𝑚 𝑀𝑜.1𝐵_1𝐶 = −0.65 · 97.157 = −63.152 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑝𝑚 = 𝑃𝑚𝑝𝑚 𝑀𝑜.1𝐵_1𝐶 = 0.35 · 97.157 = 34.005 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Si los momentos negativos varían menos del 20%, el diseño se realiza con el valor más grande, de lo contrario se efectuara una redistribución. ∆𝑀1𝐵 = |𝑀𝑛𝑚 | − |𝑀𝑛𝑚𝑖 | = |−63.152| − |−58.477| = 4.675 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 ∆𝑀1𝐵 4.675 𝑠𝑖 ( < 0.2) = ( < 0.20) ⇒ "𝑛𝑜 𝑟𝑒𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖𝑟 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠" ⏟ |𝑀𝑛𝑚𝑖 | 58.477 0.079
Fila 8: Momentos en la columna, según la ecuación del ACI 13-14. Para la columna 1B 𝑙 𝑙 5.1 𝑚 5.1 𝑚∎ 𝑙𝑛 = 𝑚𝑎𝑥 { 𝑛𝐴𝐵 = 𝑚𝑎𝑥 { 𝑙′ = 𝑚𝑖𝑛 { 𝑛𝐴𝐵 = 𝑚𝑖𝑛 { 𝑙′2 = 𝑙2 = 2.65 𝑚 𝑙𝑛𝐵𝐶 𝑙𝑛𝐵𝐶 5.5 𝑚∎ 𝑛 5.5 𝑚 2
𝑀𝑐 = 0.7 ((1.2(ℎ𝑓 𝑤𝑐 + 𝐷1 + 𝐷2 ) + 0.5 ∙ 1.6 𝐿)𝑙2 𝑙𝑛 2 − 1.2(ℎ𝑓 𝑤𝑐 + 𝐷1 + 𝐷2 )𝑙 ′ 2 𝑙 ′ 𝑛 ) 𝑀𝑐 = 0.7((1.2(0.18 · 24 + 0.2 + 1.0) + 0.5 · 1.6 · 1.92)2.65 · 5.52 − 1.2(0.18 · 24 + 0.2 + 1.0)2.65 · 5.12 )
𝑀𝑐 = 13.829 𝑘𝑁 ∙ 𝑚
Los resultados se reflejan en la tabla 7.15. Fila 9: Peso del muro mayorado 𝑤𝑚𝑢𝑟𝑜 = 1.2𝐷3 = 1.2 ∙ 4.38 = 5.256 𝑘𝑁/𝑚 Fila 10: Momento estático debido al muro Para el panel 1A-1B 𝑀𝑜𝑚.1𝐴_1𝐵
𝑤𝑚𝑢𝑟𝑜 𝑙𝑛𝐴𝐵 2 5.256 · 5.12 = = = 17.089 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 8 8
Para el panel 1B-1C 𝑤𝑚𝑢𝑟𝑜 𝑙𝑛𝐵𝐶 2 5.256 · 5.52 𝑀𝑜𝑚.1𝐵_1𝐶 = = = 19.874 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 8 8 Fila 11: Momentos negativos y positivos debido al muro Para el panel 1A-1B. ACI 13.6.3.3 𝑀𝑛𝑚𝑖𝑚 = 𝑃𝑚𝑛𝑚𝑖 𝑀𝑜𝑚.1𝐴_1𝐵 = −0.7 · 17.089 = −11.962 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑝𝑚𝑓𝑚 = 𝑃𝑚𝑝𝑚𝑓 𝑀𝑜𝑚.1𝐴_1𝐵 = 0.52 · 17.089 = 8.886 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑛𝑚𝑒𝑚 = 𝑃𝑚𝑛𝑚𝑒 𝑀𝑜𝑚.1𝐴_1𝐵 = −0.26 · 17.089 = −4.443 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Para el panel 1B-1C. ACI 13.6.3.2 𝑀𝑛𝑚𝑚 = 𝑃𝑚𝑛𝑚 𝑀𝑜𝑚.1𝐵_1𝐶 = −0.65 · 19.874 = −12.918 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑝𝑚𝑚 = 𝑃𝑚𝑝𝑚 𝑀𝑜𝑚.1𝐵_1𝐶 = 0.35 · 19.874 = 6.956 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 copyright©rcolquea
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Fila 12: Suma de momentos en la columna Momento generado de la sumatoria de momentos de la losa, los momentos en las columnas interiores se asumen iguales a los momentos desbalanceados en los nudos. La ecuación de la fila 8 no se aplica porque no hay carga viva. Para la columna 1B 𝑀𝑐𝑚 = |𝑀𝑛𝑚𝑚 | − |𝑀𝑛𝑚𝑖𝑚 | = |−12.918| − |−11.962| = −0.956 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Los resultados se reflejan en la tabla 7.15. Fila 13: Momentos totales en la columna 𝑀𝑐 + 𝑀𝑐𝑚 = 13.829 − 0.956 = 12.873 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Paso 5: Calcular los momentos en la franja a lo largo de las columnas del eje B. DIRECCIÓN NORTE – SUR. Los cálculos son iguales al paso 3, los resultados se reflejan en la planilla de cálculo (ver tabla 7.16) Paso 6: Calcular los momentos en la franja a lo largo de las columnas del eje A. DIRECCIÓN NORTE – SUR. Los cálculos son iguales al paso 4, los resultados se reflejan en la planilla de cálculo (ver tabla 7.17) Paso 7: Distribuir los momentos negativos y positivos a las franjas de columnas, franjas medias; además determinar la armadura provista. DIRECCIÓN ESTE – OESTE. 7. a. Dividir la losa en franjas medias y de columna, según la figura 7.35. ACI 13.2.1 y ACI 13.2.2. 7. b. Dividir los momentos entre las franjas medias y de columna, los resultados se reflejan en la tabla 7.18. ACI 13.6.4 Fila 1: Son los momentos calculados en la tabla 7.14 y 7.15, se utiliza el momento más grande. Fila 2: Determinamos el coeficiente de momento mayorado negativo y positivo en franjas de columna. ACI 13.6.4 i. Momento negativo exterior mayorado. ACI 13.6.4.2 1) Para la franja de losa 1 Interpolando de acuerdo a la tabla del ACI 13.6.4.2 𝛽𝑡 = 0 𝑙2 = 4.8 𝑚 𝑙1 = 5.5 𝑚
𝑙2 𝑙1
= 0.873
𝑙
4.8
𝛼𝑓1 = 0 𝛼𝑓1 𝑙2 = 0 ∙ 5.5 = 0 1
𝑙2 𝑙2 𝑃𝑐𝑜𝑙_𝑒𝑥𝑡_𝑛𝑒𝑔_1𝐴_1𝐵 = 100 − 10 𝛽𝑡 + 12 (𝛼𝑓1 ) (1 − ) 𝑙1 𝑙1 4.8 𝑃𝑐𝑜𝑙_𝑒𝑥𝑡_𝑛𝑒𝑔_1𝐴_1𝐵 = 100 − 10 · 0 + 12 · 0 (1 − ) = 100 5.5 Dado los valores de la parte superior y utilizando la tabla de la sección del ACI 13.6.4.2, el 100% del momento negativo exterior es asignado a la franja de la columna. 2) Para la franja de losa 2 Interpolando de acuerdo a la tabla del ACI 13.6.4.2 copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO 𝑙2
𝛽𝑡 = 0 𝑙2 = 4.8 𝑚 𝑙1 = 5.5 𝑚
ii.
𝑙1
= 0.873
𝑙
4.8
𝛼𝑓1 = 0 𝛼𝑓1 𝑙2 = 0 ∙ 5.5 = 0 1
𝑙2 𝑙2 𝑃𝑐𝑜𝑙_𝑒𝑥𝑡_𝑛𝑒𝑔_2𝐴_2𝐵 = 100 − 10 𝛽𝑡 + 12 (𝛼𝑓1 ) (1 − ) 𝑙1 𝑙1 4.8 𝑃𝑐𝑜𝑙_𝑒𝑥𝑡_𝑛𝑒𝑔_2𝐴_2𝐵 = 100 − 10 · 0 + 12 · 0 (1 − ) = 100 5.5 3) Para la franja de losa 3 Se utiliza el mismo porcentaje de la franja 2, porque la geometría es la misma. Momento positivo mayorado. ACI 13.6.4.4 1) Para la franja de losa 1 𝑙2 = 4.8 𝑚
𝑙1 = 5.5 𝑚
𝑙2 𝑙1
= 0.873
𝑙
4.8
𝛼𝑓1 = 0 𝛼𝑓1 𝑙2 = 0 ∙ 5.5 = 0 1
𝑙2 𝑙2 4.8 𝑃𝑝𝑜𝑠1𝐴_1𝐵 = 60 + 30 (𝛼𝑓1 ) (1.5 − ) = 60 + 30 · 0 (1.5 − ) = 60 𝑙1 𝑙1 5.5 Dado los valores de la parte superior y la respectiva tabla, el 60% del momento se asigna a la franja de columna y el 40% entre las dos medias franjas adyacentes (20% a cada lado). Cuando la franja es de borde el 40% va a la franja media. 2) Para la franja de losa 2 𝑙2 = 4.8 𝑚
𝑙1 = 5.5 𝑚
𝑙2 𝑙1
= 0.873
𝑙
4.8
𝛼𝑓1 = 0 𝛼𝑓1 𝑙2 = 0 ∙ 5.5 = 0 1
𝑙2 𝑙2 4.8 𝑃𝑝𝑜𝑠2𝐴_2𝐵 = 60 + 30 (𝛼𝑓1 ) (1.5 − ) = 60 + 30 · 0 (1.5 − ) = 60 𝑙1 𝑙1 5.5 3) Para la franja de losa 3 Se utiliza el mismo porcentaje de la franja 2, porque la geometría es la misma. iii. Momento negativo mayorado interior. ACI 13.6.4.1 1) Para la franja de losa 1 𝑙2 = 4.8 𝑚
𝑙1 = 5.5 𝑚
𝑙2 𝑙1
= 0.873
𝑙
4.8
𝛼𝑓1 = 0 𝛼𝑓1 𝑙2 = 0 ∙ 5.5 = 0 1
𝑙2 𝑙2 4.8 𝑃𝑐𝑜𝑙_𝑖𝑛𝑡_𝑛𝑒𝑔_1𝐴_1𝐵 = 75 + 30 (𝛼𝑓1 ) (1 − ) = 75 + 30 · 0 (1 − ) = 75 𝑙1 𝑙1 5.5 Dado los valores de la parte superior y la respectiva tabla, el 75% del momento va a la franja de columna y el 25% restante a la franja media. 2) Para la franja de losa 2 𝑙2 = 4.8 𝑚
𝑙1 = 5.5 𝑚
𝑙2 𝑙1
= 0.873
𝑙
4.8
𝛼𝑓1 = 0 𝛼𝑓1 𝑙2 = 0 ∙ 5.5 = 0 1
𝑙2 𝑙2 4.8 𝑃𝑐𝑜𝑙_𝑖𝑛𝑡_𝑛𝑒𝑔_2𝐴_2𝐵 = 75 + 30 (𝛼𝑓1 ) (1 − ) = 75 + 30 · 0 (1 − ) = 75 𝑙1 𝑙1 5.5 3) Para la franja de losa 3 Se utiliza el mismo porcentaje de la franja 2, porque la geometría es la misma debido a 𝑙 que 𝛼𝑓1 𝑙2 otorga la misma división de momento interior negativo que la observada antes 1
en la división de momento positivo. copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO
Fila 3: Momentos en las franjas de columnas y media para momento negativo exterior Momento negativo exterior mayorado de la franja 1 𝑃𝑚𝑛𝑚𝑒 𝑀𝑜.1𝐴_1𝐵 𝑃𝑐𝑜𝑙_𝑒𝑥𝑡_𝑛𝑒𝑔_1𝐴_1𝐵 % = −0.26 · 83.539 ∙ 1 = −21.72 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Momento negativo exterior mayorado de la franja 2 𝑃𝑚𝑛𝑚𝑒 𝑀𝑜.2𝐴_2𝐵 𝑃𝑐𝑜𝑙_𝑒𝑥𝑡_𝑛𝑒𝑔_2𝐴_2𝐵 % = −0.26 · 151.316 ∙ 1 = −39.342 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Fila 4: El peso del muro a lo largo del eje de columna 1 causa momento en el borde de la franja de columna. Momento negativo exterior mayorado de la franja 1 𝑃𝑚𝑛𝑚𝑒 𝑀𝑜𝑚.1𝐴_1𝐵 𝑃𝑐𝑜𝑙_𝑒𝑥𝑡_𝑛𝑒𝑔_1𝐴_1𝐵 % = −0.26 · 17.089 ∙ 1 = −4.4431 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Fila 5: Momento total en las franja, suma de los momentos distribuidos más el momento del muro. Momento negativo exterior mayorado de la franja 1 𝑀1𝐴_1𝐵_𝑛𝑒𝑔 = (𝑀𝑜.1𝐴_1𝐵 + 𝑀𝑜𝑚.1𝐴_1𝐵 )𝑃𝑚𝑛𝑚𝑒 𝑃𝑐𝑜𝑙_𝑒𝑥𝑡_𝑛𝑒𝑔_1𝐴_1𝐵 % 𝑀1𝐴_1𝐵_𝑛𝑒𝑔 = −(83.539 + 17.089) ∙ 0.26 ∙ 1 = −26.163 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Momento negativo exterior mayorado de la franja 2 𝑀2𝐴_2𝐵_𝑛𝑒𝑔 = 𝑃𝑚𝑛𝑚𝑒 𝑀𝑜.2𝐴_2𝐵 𝑃𝑐𝑜𝑙_𝑒𝑥𝑡_𝑛𝑒𝑔_2𝐴_2𝐵 % = −0.26 · 151.316 ∙ 1 = −39.342 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Fila 6: Área de acero requerido para momento negativo exterior Área de acero requerido de losa de la franja 1 𝑏 = 1.45 𝑚
∅ = 0.9
𝜌𝑙𝑜𝑠𝑎_1𝐴_1𝐵_𝑛𝑒𝑔
𝜌𝑙𝑜𝑠𝑎_1𝐴_1𝐵_𝑛𝑒𝑔 = 0.85
𝑑 = ℎ𝑓 − 30 𝑚𝑚 = 150 𝑚𝑚
𝑓 ′𝑐 2 𝑀1𝐴_1𝐵_𝑛𝑒𝑔 = 0.85 (1 − √1 − ) 𝑓𝑦 ∅ 0.85 𝑓 ′ 𝑐 𝑏 𝑑 2
25 2 (26.163) ∙ 106 (1 − √1 − ) = 0.00208 420 0.9 · 0.85 · 25 · 1450 · 1502
𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞_𝑙𝑜𝑠𝑎_1𝐴_1𝐵_𝑛𝑒𝑔 = 𝜌𝑙𝑜𝑠𝑎_1𝐴_1𝐵_𝑛𝑒𝑔 𝑏 𝑑 = 0.00208 · 1450 · 150 = 452.143 𝑚𝑚2 Área de acero requerido de losa de la franja 2 𝑏 = 2.4 𝑚
∅ = 0.9
𝜌𝑜𝑠𝑎_2𝐴_2𝐵_𝑛𝑒𝑔 = 0.85
𝜌𝑜𝑠𝑎_2𝐴_2𝐵_𝑛𝑒𝑔 = 0.85
𝑑 = ℎ𝑓 − 30 𝑚𝑚 = 150 𝑚𝑚 𝑓′𝑐 𝑓𝑦
(1 − √1 −
2 𝑀𝑙𝑜𝑠𝑎_2𝐴_2𝐵_𝑛𝑒𝑔 ) ∅ 0.85 𝑓 ′ 𝑐 𝑏 𝑑 2
25 2 (39.342) ∙ 106 (1 − √1 − ) = 0.00189 420 0.9 · 0.85 · 25 · 2400 · 1502
𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞_𝑙𝑜𝑠𝑎_2𝐴_2𝐵_𝑛𝑒𝑔 = 𝜌𝑙𝑜𝑠𝑎_2𝐴_2𝐵_𝑛𝑒𝑔 𝑏 𝑑 = 0.00189 ∙ 2400 · 150 = 681.129 𝑚𝑚2 Fila 7: Área de acero mínimo para momento negativo exterior. Área de acero mínimo de losa de la franja 1 copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛_𝑙𝑜𝑠𝑎_1𝐴_1𝐵_𝑛𝑒𝑔 = 0.0018 𝑏 ℎ𝑓 = 0.0018 · 1450 · 150 = 469.8𝑚𝑚2
Área de acero mínimo de losa de la franja 2 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛_𝑙𝑜𝑠𝑎_2𝐴_2𝐵_𝑛𝑒𝑔 = 0.0018 𝑏 ℎ𝑓 = 0.0018 · 2400 · 150 = 777.6 𝑚𝑚2 Fila 8,9 y 10: Área de acero elegido, provisto y separación para momento negativo exterior Área de acero elegido, provisto y separación de losa de la franja 1 𝑛=6 𝑑𝑏 = 10 𝑚𝑚 6@10 𝑏 = 1.45 𝑚 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣 = 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 =
𝑛 𝜋 𝑑𝑏 2 4
𝑏
= 471.239 𝑚𝑚2
𝑠 = 𝑛 = 241.667 𝑚𝑚
𝑚𝑎𝑥(𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞_𝑙𝑜𝑠𝑎_1𝐴_1𝐵_𝑛𝑒𝑔 , 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛_𝑙𝑜𝑠𝑎_1𝐴_1𝐵_𝑛𝑒𝑔 ) = 0.997 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣
Área de acero elegido, provisto y separación de losa de la franja 2 𝑛 = 10
𝑑𝑏 = 10 𝑚𝑚 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣 =
𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 =
𝑛 𝜋 𝑑𝑏 2 4
𝑏 = 2.4 𝑚
10@10
= 785.398 𝑚𝑚2
𝑏
𝑠 = 𝑛 = 240 𝑚𝑚
𝑚𝑎𝑥(𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞_𝑙𝑜𝑠𝑎_2𝐴_2𝐵_𝑛𝑒𝑔 , 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛_𝑙𝑜𝑠𝑎_2𝐴_2𝐵_𝑛𝑒𝑔 ) = 0.99 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣
Además según ACI 13.3.6, en la losa de esquina se debe reforzar en la parrilla inferior y la parrilla superior, para resistir un momento igual al momento positivo máximo en el panel de esquina y extender la armadura hasta 1/5 de la longitud más larga. Los resultados para todas las franjas se reflejan en la planilla de cálculo (ver tabla 7.18) COMENTARIO: Los cálculos anteriores se resumen en la tabla 7.18, el procedimiento anterior se debe repetir para momento positivo del vano extremo, primer momento negativo interior y momento positivo vano central; los cálculos respectivos se reflejan en la tabla 7.18, es de vital importancia la interpretación de la tabla y se debe recordar que la tabla 7.18 es para la dirección este -oeste. El análisis y diseño de la losa sin vigas calculado anteriormente solo toma en cuenta la mitad del entrepiso, porque la otra mitad es idéntico, es decir todos los cálculos se reflejan en un espejo. Paso 8: Distribuir los momentos negativos y positivos a las franjas de columnas, franjas medias; además determinar la armadura provista. DIRECCIÓN NORTE – SUR. Los cálculos son iguales al paso 7, los resultados se reflejan en la planilla de cálculo (ver tabla 7.19).
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HORMIGÓN ARMADO
TABLA 1: LOSA SIN VIGAS INTERIORES Y EXTERIORES D1+D2= L=
1,2 kN/m 1,92 kN/m
hlosa=
0,18 m
wc= 24 kN/m^3 CALCULO DE LOS MOMENTOS POSITIVOS Y NEGATIVOS EN LA FRANJA ESTE - OESTE: FRANJA DE LOSA 2 - TABLA 1 COLUMNA A2 B2 C2 D2 Fila 1 L1 [m] 5,5 6 5,5 2 Ln [m] 5,1 5,5 5,1 3 L2 [m] 4,8 4,8 4,8 4 Carga última wu [kN/m2] 9,696 9,696 9,696 5 Mo=1/8*wu*L2*Ln^2 (kNm) 151,32 176 151,32 6 Coeficienttes de M 7 a) Momentos (-) y (+) (kNm) 11 Momentos en la columna De la formula (ACI 13-14)
-0,26 -39,34 -39
0,52 -0,7 78,69 -105,92 5,50
-0,65 0,35 -114,4 61,59 5,10 4,80 25,05
-0,65 -114,39 5,50
-0,7 -105,9 5,10 4,80 25,05
0,52 -0,26 78,69 -39,34 -39,3
Tabla 7-14 Losa sin vigas interiores y exteriores
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HORMIGÓN ARMADO
TABLA 2: LOSA SIN VIGAS INTERIORES Y EXTERIORES muro= 4.38 kN/m D1+D2= 1.2 kN/m hlosa= 0.18 m L= 1.92 kN/m wc= 24 kN/m^3 CALCULO DE LOS MOMENTOS POSITIVOS Y NEGATIVOS EN LA FRANJA ESTE - OESTE: FRANJA DE LOSA 1 COLUMNA A1 B1 C1 Fila 1 L1 [m] 5.5 6 2 Ln [m] 5.1 5.5 3 L2 [m] 2.65 2.65 4 Carga última wu [kN/m2] 9.696 9.696 5 Mo=1/8*wu*L2*Ln^2 (kNm) 83.54 97.16 6 Coeficienttes de M 7 Momentos (-) y (+) (kNm) 8 Momentos en la columna De la formula (ACI 13-14) 21.7 9 Peso del muro, wm (kN/m) 10 Mo muro=1/8*wm*Ln^2 (kNm) 11 Momentos (-) y (+) (kNm) 12 Suma mometos col 4.44 13 Momentos totales en col. 26.2
-0.26 -21.72
0.52 43.44
-4.44
5.26 17.09 8.89
-0.7 -58.48 5.50
-0.65 -63.15 5.10 2.65 13.83
-11.96
-12.92
0.35 34.01
-0.65 -63.15 5.50
5.26 19.87 6.96
-0.96 12.9
-0.7 -58.48 5.10 2.65 13.83
-12.92
-11.96
D1 5.5 5.1 2.65 9.696 83.54 0.52 -0.26 43.44 -21.72 21.72 5.26 17.09 8.89
-4.44
-0.96 12.9
4.44 26.2
Tabla 7-15 Losa sin vigas interiores y exteriores
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HORMIGÓN ARMADO
TABLA 3: LOSA SIN VIGAS INTERIORES Y EXTERIORES D1+D2= L= wc=
1.2 kN/m 1.92 kN/m 24 kN/m^3
hlosa=
0.18 m
CALCULO DE LOS MOMENTOS POSITIVOS Y NEGATIVOS EN LA FRANJA NORTE - SUR: FRANJA DE LOSA B
COLUMNA Fila 1 L1 [m] 2 Ln [m] 3 L2 [m] 4 Carga última wu [kN/m2] 5 Mo=1/8*wu*L2*Ln^2 (kNm) 6 Coeficienttes de M 7 a) Momentos (-) y (+) (kNm) 8 Momentos en la columna De la formula (ACI 13-14)
B1
B2 4.8 4.5 5.75 9.696 141.12 -0.26 -36.69
36.7
0.52 73.38
B3 4.8 4.5 5.75 9.696 141.12
-0.7 -98.78 4.50
-0.65 0.35 -91.73 49.39 4.50 5.75 12.52
-0.65 -91.73 4.50
4.50 12.52
5.75
Tabla 7-16 Losa sin vigas interiores y exteriores
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HORMIGÓN ARMADO
TABLA 4: LOSA SIN VIGAS INTERIORES Y EXTERIORES muro= D1+D2= L= wc=
4.38 1.2 1.92 24
kN/m kN/m kN/m kN/m^3
hlosa=
0.18 m
CALCULO DE LOS MOMENTOS POSITIVOS Y NEGATIVOS EN LA FRANJA NORTE - SUR: FRANJA DE LOSA A
COLUMNA Fila 1 L1 [m] 2 Ln [m] 3 L2 [m] 4 Carga última wu [kN/m2] 5 Mo=1/8*wu*L2*Ln^2 (kNm) 6 Coeficienttes de M 7 Momentos (-) y (+) (kNm) 8 Momentos en la columna De la formula (ACI 13-14) 9 Peso del muro, wm (kN/m) 10 Mo muro=1/8*wm*Ln^2 (kNm) 11 Momentos (-) y (+) (kNm) 12 Suma mometos col 13 Momentos totales en col.
A1
A2
A3
4.8 4.4 3 9.696 70.39 -0.26 -18.3
0.52 36.60
4.8 4.3 3 9.696 67.23 -0.7 -49.27 4.40
18.3
-3.31 3.31 21.6
5.26 12.72 6.61
4.30 7.45
-8.90
-0.65 -43.70 3.00
-7.90 1.01 8.5
0.35 23.53
5.26 12.15 4.25
-0.65 -43.7 4.40
4.30 7.45
3.00
-7.90 7.90 15.4
Tabla 7-17 Losa sin vigas interiores y exteriores
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HORMIGÓN ARMADO N
SUBDIVISION DE LOS MOMENTOS A LAS FRANJAS MEDIAS Y DE COLUMNA: FRANJAS ESTE OESTE--TABLA 5 f'c= 25 Mpa fy= 420 Mpa dlosa= 150 mm h= 180 mm φ= 0,9 Fila COLUMNA 1 MOMENTO NEGATIVO EXTERIOR 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0,2 15,7
7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Coeficiente Momento a las franjas de columna y media 0,13 -14,3 Momento por el muro (kN m) Momento total en losas y vigas (kN m) CUANTIAS Área de acero requerido (mm^2) Área de acero mínimo (mm^2) Área de acero elegido Área de acero provisto (mm^2) Separación (mm) Ratio MOMENTO POSITIVO-VANO CENTRAL Coeficiente Momento a las franjas de columna y media Momento por el muro (kN m) Momento total en losas y vigas (kN m) CUANTIAS Área de acero requerido (mm^2) Área de acero mínimo (mm^2) Área de acero elegido Área de acero provisto (mm^2) Separación (mm) Ratio
2,4
1 -39,34
0 0
-39,34 0,00197 708 778 10Ф10 790 240 0,98481 78,69 0,6 47,21
0,2 12,3
2 FRANJA DE COLUMNA 2,4 A2
1-2 FRANJA MEDIA 2,4
-39,34 0 0 0 0,00000 0 778 10Ф10 790 240 0,98481
0,2 15,74
47,21 0,00237 853 778 11Ф10 864 218,182 0,98727 B3
COLUMNA 1 PRIMER MOMENTO NEGATIVO INTERIOR 2 3 4 5 6
2-3 FRANJA MEDIA
-39,34
Coeficiente Momento a las franjas de columna y media 0 0 Momento por el muro (kN m) Momento total en losas y vigas (kN m) CUANTIAS Área de acero requerido (mm^2) Área de acero mínimo (mm^2) Área de acero elegido Área de acero provisto (mm^2) Separación (mm) Ratio MOMENTO POSITIVO-VANO EXTREMO Coeficiente Momento a las franjas de columna y media Momento por el muro (kN m) Momento total en losas y vigas (kN m) CUANTIAS Área de acero requerido (mm^2) Área de acero mínimo (mm^2) Área de acero elegido Área de acero provisto (mm^2) Separación (mm) Ratio
3 FRANJA DE COLUMNA 2,4 A3
1 -39,34
0 0
-39,34 0,00197 708 778 10Ф10 790 240 0,98481 78,69 0,2 15,74
31,476 0,00157 564 778 10Ф10 790 240 0,98481
0,6 47,21
0 0
1,000 -21,72 -4,44 -26,163 0,00217 472 470 6Ф10 472 241,667 1,000 43,44
0,4 17,38
0,600 26,06 8,89 34,9461 0,00292 635 470 9Ф10 707 161,111 0,89816 B1
0 0 0 778 10Ф10 790 240 0,98481
0,2 15,74
47,21 0,00237 853 778 11Ф10 864 218,182 0,98727 B2
1 FRANJA DE COLUMNA DE 1,45 A1 A -21,72
33,114 0,00165 594 778 10Ф10 790 240 0,98481
B -114,39 0,75 -85,79
-114,39 0,125 -14,3
-85,79 0,00439 1582 778 14Ф12 1583 171,429 0,99937 61,59 0,6 36,95 36,95 0,00184 664 778 10Ф10 790 240 0,98481
0,125 -14,3 -28,598 0,00142 512 778 10Ф10 790 240 0,98481
0,2 12,32
0,125 -14,3
-85,79 0,00439 1582 778 14Ф12 1583 171,429 0,99937 61,59 0,2 12,32
24,636 0,00122 440 778 10Ф10 790 240 0,98481
0,75 -85,79
-63,15
0,6 36,95 36,95 0,00184 664 778 10Ф10 790 240 0,98481
0,25 -15,8
0,750 -47,36 -12,92 -60,278 0,00515 1120 470 11Ф12 1244 131,818 0,90032 34,01
0,4 13,6
0,600 20,41
-30,086 0,0015 539 778 10Ф10 790 240 0,98481
0,2 12,32 25,922 0,00129 463 778 10Ф10 790 240 0,98481
20,41 0,00168 366 470 6Ф10 471 241,667 0,99788
Tabla 7-18 Subdivisión de momentos a las franjas
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HORMIGÓN ARMADO
SUBDIVISION DE LOS MOMENTOS A LAS FRANJAS MEDIAS Y DE COLUMNA: FRANJAS NORTE SUR--TABLA 6 f'c= 25 Mpa fy= 420 Mpa dlosa= 150 mm h= 180 mm φ= 0,9 Fila
COLUMNA 1 MOMENTO NEGATIVO EXTERIOR 2 3 4 5 6
7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0
7 8 9 10 1 2 3 4 5 6
0,2 14,68
7 8 9 10
0,2 9,878
7 8 9 10
Coeficiente Momento a las franjas de columna y media Momento por el muro (kN m) Momento total en losas y vigas (kN m) CUANTIAS Área de acero requerido (mm^2) Área de acero mínimo (mm^2) Área de acero elegido Área de acero provisto (mm^2) Separación (mm) Ratio
0 0
0,6 44,03
0,125 -11,5
0 0 0 0,00000 0 1166 15Ф10 1178 240 0,98981
0,2 14,68
A-B FRANJA MEDIA 3,1
1 -36,69
0 0
-36,69 0,00183 659 778 10Ф10 790 240 0,98481 73,38 0,2 14,68
29,352 0,00097 523 1166 15Ф10 1178 240 0,98981
0,6 44,03
0,2 14,68
A FRANJA DE COLUMNA DE 1,45 A1 1 -18,30
0 0
1,000 -18,3 -3,31 -21,607 0,00178 388 470 6Ф10 472 241,667 0,996 36,60
0,4 14,64
0,600 21,96 6,61 28,5742 0,00237 516 470 7Ф10 550 207,143 0,93818 A2
0 0 0 1004 13Ф10 1021 238,462 0,98335
44,03 0,00221 794 778 10Ф10 790 240 1,00506 B2
29,316 0,00112 523 1004 13Ф10 1021 238,462 0,98335
2 -98,78 0,75 -74,09
-98,78 0,125 -12,3
-74,09 0,00377 1357 778 12Ф12 1357 200 1 49,39 0,6 29,63
0,125 -12,3 -24,695 0,00081 439 1166 15Ф10 1178 240 0,98981
0,2 9,878
29,63 0,00147 530 778 10Ф10 790 240 0,98481 C3
COLUMNA 1 PRIMER MOMENTO NEGATIVO INTERIOR 2 3 4 5 6
1 -36,69
B FRANJA DE COLUMNA 2,4 B1 -36,69
44,03 0,00221 794 778 10Ф10 790 240 1,00506 C2
Coeficiente Momento a las franjas de columna y media 0,125 -12,3 Momento por el muro (kN m) Momento total en losas y vigas (kN m) CUANTIAS Área de acero requerido (mm^2) Área de acero mínimo (mm^2) Área de acero elegido Área de acero provisto (mm^2) Separación (mm) Ratio MOMENTO POSITIVO-VANO CENTRAL Coeficiente Momento a las franjas de columna y media Momento por el muro (kN m) Momento total en losas y vigas (kN m) CUANTIAS Área de acero requerido (mm^2) Área de acero mínimo (mm^2) Área de acero elegido Área de acero provisto (mm^2) Separación (mm) Ratio
3,6
-36,69 0,00183 659 778 10Ф10 790 240 0,98481 73,38
COLUMNA 1 PRIMER MOMENTO NEGATIVO INTERIOR 2 3 4 5 6
B-C FRANJA MEDIA
-36,69
Coeficiente Momento a las franjas de columna y media Momento por el muro (kN m) Momento total en losas y vigas (kN m) CUANTIAS Área de acero requerido (mm^2) Área de acero mínimo (mm^2) Área de acero elegido Área de acero provisto (mm^2) Separación (mm) Ratio MOMENTO POSITIVO-VANO EXTREMO Coeficiente Momento a las franjas de columna y media Momento por el muro (kN m) Momento total en losas y vigas (kN m) CUANTIAS Área de acero requerido (mm^2) Área de acero mínimo (mm^2) Área de acero elegido Área de acero provisto (mm^2) Separación (mm) Ratio
C FRANJA DE COLUMNA 2,4 C1
N
0,75 -74,09
-49,27 0,125 -12,3
-74,09 0,00377 1357 778 12Ф12 1357 200 1 49,39 0,2 9,878
19,756 0,00065 351 1166 15Ф10 1178 240 0,98981
0,6 29,63
0,25 -12,3
0,750 -36,95 -8,90 -45,854 0,00387 841 470 8Ф12 905 181,25 0,92928 23,53
0,4 9,412
0,600 14,12 4,25 18,3718 0,00151 329 470 6Ф10 471 241,667 0,99788 A3
-24,665 0,00094 439 1004 13Ф10 1021 238,462 0,98335
0,2 9,878
29,63 0,00147 530 778 10Ф10 790 240 0,98481 B3
19,29 0,00074 343 1004 13Ф10 1021 238,462 0,98335
3 -91,73 0,75 -68,8 -68,8 0,00349 1257 778 12Ф12 1357 200 0,92631
-91,73 0,125 -11,5
0,125 -11,5 -22,933 0,00075 407 1166 15Ф10 1178 240 0,98981
0,75 -68,8
-43,70 0,125 -11,5
-68,8 0,00349 1257 778 12Ф12 1357 200 0,92631
0,25 -10,9 -22,391 0,00086 398 1004 13Ф10 1021 238,462 0,98335
0,750 -32,78 -7,90 -40,676 0,00341 742 470 7Ф12 791 207,143 0,93805
Tabla 7-19 Subdivisión de momentos a las franjas
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Paso 9: Verificar el cortante en las columnas exteriores para la combinación de cortante u flexión. Las columnas críticas pueden ser A2 y B1, según la figura 7.38 la columna B1 tiene un área tributaria más grande, de todas maneras se debe verificar las dos columnas. A manera de ejemplo se verificara detalladamente la columna B1 Panel de borde lateral, ℎ𝑓 = 180 𝑚𝑚 𝑤𝑢 = 9.696
𝑘𝑁 𝐾𝑁 𝐷 = 4.38 𝑟 = 100 𝑚𝑚 𝑎 = 500 𝑚𝑚 𝑏 = 300 𝑚𝑚 3 𝑚2 𝑚 0.56l 0.5l d/2
b
r
d/2
0.44l
d/2
a
Figura 7.37 – Área de influencia de la columna B1
1. Procedimiento para determinar el área de influencia y área crítica: El área delimitada por los puntos E-F-G-H está cargado con la carga viva, el máximo momento en el eje perpendicular al eje 1-1 (eje B) no será utilizado porque corresponde a una carga viva ubicado solo a un lado de la columna B1, se asumen líneas de cortante cero en los paneles de borde o de esquina a una distancia de 0.44𝑙 de los centros de las columnas de borde o de esquina, los cálculos se reflejan en la figura 7.38. a. Determinar las condiciones del área de influencia
Figura 7.38 – Área de influencia de las columnas del eje B
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0.56𝑙𝑛𝐴𝐵 = 0.56 ∙ 5.5 = 3.08 𝑚 0.5𝑙𝑛𝐵𝐶 = 0.5 ∙ 6 = 3𝑚 0.44𝑙𝑛12 = 0.44 ∙ 4.8 = 2.112𝑚 b. Longitudes de área de influencia vertical y horizontal 𝑏 0.3 𝑣 = 0.44𝑙𝑛12 + + 𝑟 = 2.112 + + 0.1 = 2.362 𝑚 2 2 ℎ = 0.56𝑙𝑛𝐴𝐵 + 0.5𝑙𝑛𝐵𝐶 = 3.08 + 3 = 6.08 𝑚 c. Longitudes del área crítica vertical y horizontal, ver figura 7.39. 𝑑 0.15 𝑙𝑣 = + 𝑏 + 𝑟 = + 0.3 + 10 = 0.475 𝑚 2 2 𝑙ℎ = 𝑑 + 𝑎 = 0.15 + 0.5 = 0.65 𝑚
Figura 7.39 – Área crítica de la columna B1
d. Perímetro crítico 𝑏𝑜 = 2𝑙𝑣 + 𝑙ℎ = 2 ∙ 0.475 + 0.65 = 1.6 𝑚 e. Determinar área de influencia y critica Área de influencia: 𝐴𝑖 = 𝑣ℎ = 2.362 ∙ 6.08 = 14.361 𝑚2 Área crítica: 𝐴𝑐 = 𝑙𝑣 𝑙ℎ = 0.475 ∙ 0.65 = 0.309 𝑚2 f. Localizar el centroide del perímetro de corte alrededor del eje z-z. De la figura 7.40 tenemos las dimensiones del perímetro crítico
Figura 7.40 – Centro del perímetro de corte de la columna B1
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Figura 7.41 – Centroide del perímetro de corte
Las fuerzas que resisten al cortante se desarrollan a lo largo del perímetro de acuerdo a la figura 7.41, en vez de trabajar con las fuerzas distribuidas se trabaja con sus resultantes que se ubican a la mitad de cada lado. Realizando suma de momentos en el punto indicado en la figura 7.41 tenemos: 𝑙
0.475
2𝑙𝑣 𝑑 2𝑣 2 ∙ 0.475 ∙ 0.15 ∙ 2 ∑𝑀 𝑦= = = = 0.141𝑚 ∑ 𝐹 2𝑙𝑣 𝑑 + 𝑙ℎ 𝑑 2 ∙ 0.475 ∙ 0.15 + 0.65 ∙ 0.15 𝑙ℎ 0.65 𝑥𝑐𝑔 = = = 0.325 𝑚 2 2 Los valores calculados se reflejan en la figura 7.41. 2. Determinar la cortante última a. Cortante de superficie 𝑉𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 = (𝐴𝑖 − 𝐴𝑐 )𝑤𝑢 = (14.361 − 0.309)9.696 = 136.25 𝑘𝑁 b. Cortante debido al muro 𝑉𝑚𝑢𝑟𝑜 = (ℎ − 𝑙ℎ )𝑤𝑢 = (6.08 − 0.65)9.696 = 23.783 𝑘𝑁 c. Cortante última 𝑉𝑢_𝐵1 = 𝑉𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 + 𝑉𝑚𝑢𝑟𝑜 = 136.25 + 23.783 = 160.034 𝑘𝑁 3. Determinar la resistencia del concreto a corte. ACI 11.11.2.1 𝛼𝑠 = 40 → 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠 𝛼𝑠 = 30 → 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑟𝑑𝑒 𝛼𝑠 = 20 → 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 max(𝑎, 𝑏) 0.5 𝛽= = = 1.667 min(𝑎, 𝑏) 0.3 2 2 𝑉𝑐1 = 0.17 (1 + ) 𝜆√𝑓 ′ 𝑐 𝑏𝑜 𝑑 = 0.17 (1 + ) 1√25 ∙ 1.6 ∙ 0.15 ∙ 103 𝛽 1.667 𝑉𝑐1 = 448.8𝑘𝑁 𝛼𝑠 𝑑 30 ∙ 0.15 𝑉𝑐2 = 0.083 ( + 2) 𝜆√𝑓 ′ 𝑐 𝑏𝑜 𝑑 = 0.083 ( + 2) 1√25 ∙ 1.6 ∙ 0.15 ∙ 103 𝑏𝑜 1.6 𝑉𝑐1 = 479.325 𝑘𝑁 𝑉𝑐3 = 0.33𝜆√𝑓 ′ 𝑐 𝑏𝑜 𝑑 = 0.331√25 ∙ 1.6 ∙ 0.15 ∙ 103 = 396 𝑘𝑁
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𝑉𝑐1 448.8 𝑘𝑁 𝑉𝑐 = 𝑚𝑖𝑛 {𝑉𝑐2 = 𝑚𝑖𝑛 {479.325 𝑘𝑁 𝑉𝑐3 396 𝑘𝑁∎ 4. Verificar la resistencia a corte. a. Resistencia a corte del concreto 𝑉 ⏟𝑐 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 ⏟𝑢_𝐵1 < ∅𝑉 160.034
297
b. Aunque 𝜙𝑉𝑐 > 𝑉𝑢 en las columnas se debe reconocer que para el cálculo de 𝑉𝑢 no se consideró el cortante debido a la flexión, de ahí se recomienda que: ∅𝑉𝑐 297 ≥ 1.8 𝑎 2 → ≥ 1.8 𝑎 2 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 ⏟ 𝑉𝑢_𝐵1 160.034 1.856
La sección parece ser adecuada pero debe pasar otras verificaciones, por ahora utilizar ℎ = 0.18 𝑚. 5. Cálculo del momento que se transfiere de la losa a la columna. Para losas diseñadas por el método directo el momento que transfiere la losa a la columna es de 0.3𝑀𝑜 , de la tabla 3 fila 5 𝑀𝑜 = 141.12 𝑘𝑁 ∙ 𝑚. Momento que se transfiere a la columna es 𝑀𝑧−𝑧 = 0.3𝑀𝑜 = 0.3 ∙ 141.12 = 42.336 𝑘𝑁 ∙ 𝑚, se ignora los momentos de la porción de volado. Los momentos alrededor del eje w-w vienen de las franjas paralelas al borde, exactamente de la tabla 2 y fila 7. En la fila 8 tenemos el momento cuando está cargada una losa y otra no, como la verificación a corte implica todas las losas cargadas, se debe utilizar los momentos de la tabla 2 fila 7: 63.15 − 58.48 = 4.67 𝑘𝑁 ∙ 𝑚. De la tabla 2 fila 12 encontramos que los momentos no balanceados de la columna son −0.96 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 debidos al muro, los momentos totales entonces serán 𝑀𝑤−𝑤 = 4.67 + 0.96 = 5.63 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 En resumen tenemos los siguientes valores: 𝑀𝑧−𝑧 = 42.336 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑤−𝑤 = 5.63 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 6. Cálculo de la fracción de momento que se transmite por flexión y corte alrededor del eje zz a. Análisis para el momento alrededor del eje z-z. ACI 13.5.3.2. 𝑏1𝑧𝑧 = min(𝑙𝑣 , 𝑙ℎ ) = min(0.457,0.65) = 0.457 𝑚 𝑏2𝑧𝑧 = max(𝑙𝑣 , 𝑙ℎ ) = max(0.457,0.65) = 0.65 𝑚 1 1 𝛾𝑓𝑧𝑧 = = = 0.637 2 𝑏1𝑧𝑧 2 0.457 1 + 3 √𝑏 1+ √ 2𝑧𝑧
3
0.65
Podemos incrementar 𝛾𝑓𝑧𝑧 si cumplimos con la sección del ACI 13.5.3.3 (a) 𝑉𝑢_𝐵1 160.034 ≤ 0.75 → ≤ 0.75 → 𝑆𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟 ⏟ 297 ∅𝑉𝑐 0.54
Por lo tanto 𝛾𝑓𝑧𝑧 = 1 𝑦 𝛾𝑣𝑧𝑧 = 1 − 𝛾𝑓𝑧𝑧 = 1 − 1 = 0 b. Momentos transferidos por flexión y corte alrededor del eje z-z. 𝛾𝑓𝑧𝑧 𝑀𝑧𝑧 = 1 ∙ 42.336 = 42.336 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝛾𝑣𝑧𝑧 𝑀𝑧𝑧 = 0 ∙ 42.336 = 0 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO c. Ancho de transferencia en la dirección del momento 𝑀𝑧𝑧 𝑏𝑡𝑧 = 𝑎 + 3ℎ = 0.5 + 3 ∙ 0.18 = 1.04 𝑚 d. Cuantía de acero para 𝛾𝑓𝑧𝑧 𝑀𝑧𝑧 𝜌𝑧𝑧 = 0.85
𝜌𝑧𝑧 = 0.85
2 ∙ 𝛾𝑓𝑧𝑧 𝑀𝑧𝑧 ∙ 106 𝑓′𝑐 (1 − 1√1 − ) 𝑓𝑦 𝜑0.85𝑓′𝑐 𝑏𝑡𝑧 𝑑 2
25 2 ∙ 42.336 ∙ 106 (1 − 1√1 − ) = 0.005037 420 0.9 ∙ 0.85 ∙ 25 ∙ 1040 ∙ 1502
e. Área de acero para el ancho de transferencia 𝐴𝑠𝑧𝑧 = 𝜌𝑧𝑧 𝑏𝑡𝑧 𝑑 = 0.005037 ∙ 1040 ∙ 150 = 785.781 𝑚𝑚2 𝐴𝑠 : Área de acero provista por el método directo para la columna especificada en sentido norte sur 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞 : Área de acero requerida en el ancho de transferencia. Ancho de franja:𝑏 = 2.4 𝑚 𝐴𝑠 790 𝑏𝑡𝑧 = 1040 = 342.33 𝑚𝑚2 𝑏 2400 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 → 342.33 ≥ 785.782 → 𝑛𝑜 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜
𝐴𝑠 = 790 𝑚𝑚2 → 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞 = 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞 ≥ 𝐴𝑠𝑧𝑧
f. Área de acero que debemos cubrir en el ancho de transferencia Determinar el número de barras que necesitamos con una separación de 240 𝑚𝑚. 𝑏𝑡𝑧 1040 𝑛𝜋𝑑𝑏 2 5 ∙ 𝜋 ∙ 102 𝑛= = = 4.333 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣 = = = 392.7 𝑚𝑚2 𝑠 240 4 4 𝐴𝑠𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝐴𝑠𝑧𝑧 − 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣 = 785.781 − 393 = 393.082 𝑚𝑚2 Entonces proveer 𝜙10𝑐/120 𝑚𝑚 en la región del ancho efectivo. g. Verificar la ductilidad en el ancho de transferencia. ACI 13.5.3.3 (b) 𝐴𝑠𝑧𝑧 𝑓𝑦 785.781 ∙ 420 𝑎= = = 14.933 𝑚𝑚 0.85𝑓′𝑐 𝑏𝑡𝑧 0.85 ∙ 25 ∙ 1040 𝑎 14.933 𝑐= = = 17.569 𝑚𝑚 𝛽1 0.85 𝑑−𝑐 150 − 17.569 𝜀𝑡 = ( ) 0.003 = ( ) 0.003 = 0.023 ≥ 0.01 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑐 17.569
Está en el dominio de la tracción, no se necesita considerar otra transferencia de momento debido a cortante. 7. Cálculo de la fracción de momento que se transmite por flexión y corte alrededor del eje ww. a. Análisis para el momento alrededor del eje w-w. ACI 13.5.3.2. 𝑏1𝑤𝑤 = max(𝑙𝑣 , 𝑙ℎ ) = max(0.457,0.65) = 0.65 𝑚 𝑏2𝑤𝑤 = min(𝑙𝑣 , 𝑙ℎ ) = min(0.457,0.65) = 0.475 𝑚 1 1 𝛾𝑓𝑤𝑤 = = = 0.562 2 𝑏1𝑤𝑤 2 0.65 1 + 3 √𝑏 1+ √ 2𝑤𝑤
3
0.475
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HORMIGÓN ARMADO Podemos incrementar 𝛾𝑓𝑤𝑤 si cumplimos con la sección del ACI 13.5.3.3 (b) 𝑉𝑢_𝐵1 160.034 ≤ 0.4 → ≤ 0.4 → 𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟 ⏟ 297 ∅𝑉𝑐 0.54
Por lo tanto 𝛾𝑓𝑤𝑤 = 0.562 𝑦 𝛾𝑣𝑤𝑤 = 1 − 𝛾𝑓𝑤𝑤 = 1 − 0.562 = 0.438 b. Momentos transferidos por flexión y corte alrededor del eje w-w. 𝛾𝑓𝑤𝑤 𝑀𝑤𝑤 = 0.562 ∙ 5.63 = 3.163 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝛾𝑣𝑤𝑤 𝑀𝑤𝑤 = 0.438 ∙ 5.630 = 2.467 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 c. Ancho de transferencia en la dirección del momento 𝑀𝑤𝑤 𝑏𝑡𝑤 = 𝑏 + 𝑟 + 1.5ℎ = 0.3 + 0.1 + 1.5 ∙ 0.18 = 0.67 𝑚 d. Cuantía de acero para 𝛾𝑓𝑤𝑤 𝑀𝑤𝑤 𝜌𝑤𝑤 = 0.85
𝜌𝑤𝑤 = 0.85
2 ∙ 𝛾𝑓𝑤𝑤 𝑀𝑤𝑤 ∙ 106 𝑓′𝑐 (1 − 1√1 − ) 𝑓𝑦 𝜑0.85𝑓′𝑐 𝑏𝑡𝑤 𝑑 2
25 2 ∙ 3.163 ∙ 106 (1 − 1√1 − ) = 0.000558 420 0.9 ∙ 0.85 ∙ 25 ∙ 670 ∙ 1502
e. Área de acero para el ancho de transferencia 𝐴𝑠𝑤𝑤 = 𝜌𝑤𝑤 𝑏𝑡𝑤 𝑑 = 0.000558 ∙ 670 ∙ 150 = 56.097 𝑚𝑚2 𝐴𝑠 : Área de acero provista por el método directo para la columna especificada en sentido norte sur 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞 : Área de acero requerida en el ancho de transferencia. Ancho de franja:𝑏 = 1.45 𝑚 𝐴𝑠 1244 𝑏𝑡𝑧 = 670 = 347.283 𝑚𝑚2 𝑏 1450 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 → 347.283 ≥ 56.097 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜
𝐴𝑠 = 1244 𝑚𝑚2 → 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞 = 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞 ≥ 𝐴𝑠𝑤𝑤
8. Verificar los esfuerzos cortantes. ACI R11.11.7.2 y ACI 11.11.7.2 a. Datos compilados de los pasos anteriores y esfuerzo de cortante mayorado máximo. 𝑉𝑢 𝛾𝑣1 𝑀𝑢1 𝐶 𝛾𝑣2 𝑀𝑢2 𝐶 𝑣𝑢 = + + 𝑏𝑜 𝑑 𝐽𝑐1 𝐽𝑐2 𝑉𝑢_𝐵1 = 160.034 𝑘𝑁, 𝑀𝑧𝑧 = 42.336 𝑘𝑁 ∙ 𝑚, 𝑀𝑤𝑤 = 5.63 𝑘𝑁 ∙ 𝑚, 𝑏𝑜 = 1.6 𝑚, 𝑑 = 0.15 𝑚, 𝛾𝑣𝑧𝑧 = 0, 𝛾𝑣𝑤𝑤 = 0.438 b. Determinar el esfuerzo de cortante mayorado máximo. 𝐽𝑐𝑤𝑤 : propiedad de la sección crítica supuesta, análoga al momento polar de inercia. 𝑏1 = max(𝑙ℎ , 𝑙𝑣 ) = max(0.65,0.475) = 0.65 𝑚 𝑏2 = min(𝑙ℎ , 𝑙𝑣 ) = min(0.65,0.475) = 0.475 𝑚 𝑏1 𝑑 3 𝑑𝑏1 3 𝑏1 2 𝐽𝑐𝑤𝑤 = + + 2𝑏2 𝑑 ( ) 12 12 2
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HORMIGÓN ARMADO 0.65 ∙ 0.153 0.15 ∙ 0.653 0.65 2 𝐽𝑐𝑤𝑤 = + + 2 ∙ 0.475 ∙ 0.15 ( ) 12 12 2 = 18667187500 𝑚𝑚4 𝑏1 𝑉𝑢𝐵1 𝛾𝑣𝑤𝑤 𝑀𝑤𝑤 2 𝑣𝑢 = + 𝑏𝑜 𝑑 𝐽𝑐𝑤𝑤 650 3 0.438 ∙ 5.630 ∙ 106 ∙ 2 160.034 ∙ 10 𝑣𝑢 = + = 0.7098 𝑀𝑃𝑎 ⏟1600 ∙ 150 ⏟ 18667187500 0.666
0.0429
c. Determinar la resistencia a corte del concreto y estribos. 𝜙𝑣𝑛 = 𝜙𝑣𝑐 + 𝜙𝑣 ⏟𝑠 = 𝜙𝑣𝑐 0: ∄𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜
𝜙𝑉𝑐 297 × 103 𝜙𝑣𝑐 = = = 1.2375 𝑀𝑃𝑎 𝑏𝑜 𝑑 1600 ∙ 150 d. Verificar 𝜙𝑣𝑐 > 𝑣𝑢 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒
1.2375 > 0.7098 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒
Paso 10: Verificar el cortante en la columna interior para la combinación de cortante más flexión. Las columnas a verificar es la B2 Panel de borde lateral, ℎ𝑓 = 180 𝑚𝑚 𝑘𝑁 𝑎 = 500 𝑚𝑚 𝑏 = 300 𝑚𝑚 𝑑 = 150 𝑚𝑚 𝑚2 1. Procedimiento para determinar el área de influencia y área crítica. a. Determinar las condiciones del área de influencia de acuerdo a la figura 7.42 𝑤𝑢 = 9.696
Figura 7.42 – Área de influencia de las columnas del eje B
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HORMIGÓN ARMADO 0.56𝑙𝑛𝐴𝐵 = 0.56 ∙ 5.5 = 3.08 𝑚 0.5𝑙𝑛𝐵𝐶 = 0.5 ∙ 6 = 3𝑚 0.56𝑙𝑛12 = 0.56 ∙ 4.8 = 2.688 𝑚 0.5𝑙𝑛23 = 0.5 ∙ 4.8 = 2.4 𝑚 b. Longitudes de área de influencia vertical y horizontal 𝑣 = 0.56𝑙𝑛12 + 0.5𝑙𝑛23 = 2.688 + 2.4 = 5.088 𝑚 ℎ = 0.56𝑙𝑛𝐴𝐵 + 0.5𝑙𝑛𝐵𝐶 = 3.08 + 3 = 6.08 𝑚 c. Longitudes del área crítica vertical y horizontal, ver figura 7.43. 𝑙𝑣 = 𝑑 + 𝑏 = 0.15 + 0.3 = 0.45 𝑚 𝑙ℎ = 𝑑 + 𝑎 = 0.15 + 0.5 = 0.65 𝑚 d. Perímetro crítico 𝑏𝑜 = 2(𝑙𝑣 + 𝑙ℎ ) = 2 ∙ (0.45 + 0.65) = 2.2 𝑚 e. Determinar área de influencia y critica Área de influencia 𝐴𝑖 = 𝑣ℎ = 5.088 ∙ 6.08 = 30.935 𝑚2 Área crítica 𝐴𝑐 = 𝑙𝑣 𝑙ℎ = 0.45 ∙ 0.65 = 0.292 𝑚2
Figura 7.43 – Área de influencia crítica de la columna B2
f. Localizar el centroide del perímetro de corte Dado que el perímetro de corte es continuo el centroide pasa a través de los puntos medios de cada lado. 2. Determinar la cortante última a. Cortante de superficie 𝑉𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 = (𝐴𝑖 − 𝐴𝑐 )𝑤𝑢 = (30.935 − 0.292)9.696 = 297.11 𝑘𝑁 b. Cortante debido al muro 𝑉𝑚𝑢𝑟𝑜 = 0 𝑘𝑁 c. Cortante última 𝑉𝑢_𝐵2 = 𝑉𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 + 𝑉𝑚𝑢𝑟𝑜 = 297.11 + 0 = 297.11 𝑘𝑁 3. Determinar la resistencia del concreto a corte. ACI 11.11.2.1 copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO 𝛼𝑠 = 40 → 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠 𝛼𝑠 = 30 → 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑟𝑑𝑒 𝛼𝑠 = 20 → 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 max(𝑎, 𝑏) 0.5 𝛽= = = 1.667 min(𝑎, 𝑏) 0.3 2 2 𝑉𝑐1 = 0.17 (1 + ) 𝜆√𝑓 ′ 𝑐 𝑏𝑜 𝑑 = 0.17 (1 + ) 1√25 ∙ 2.2 ∙ 0.15 ∙ 103 𝛽 1.667 𝑉𝑐1 = 617.1 𝑘𝑁 𝛼𝑠 𝑑 40 ∙ 0.15 𝑉𝑐2 = 0.083 ( + 2) 𝜆√𝑓 ′ 𝑐 𝑏𝑜 𝑑 = 0.083 ( + 2) 1√25 ∙ 2.2 ∙ 0.15 ∙ 103 𝑏𝑜 2.2 𝑉𝑐1 = 674.4 𝑘𝑁 𝑉𝑐3 = 0.33𝜆√𝑓 ′ 𝑐 𝑏𝑜 𝑑 = 0.33 ∙ 1 ∙ √25 ∙ 2.2 ∙ 0.15 ∙ 103 = 544.5 𝑘𝑁
𝑉𝑐1 617.1 𝑘𝑁 𝑉𝑐 = 𝑚𝑖𝑛 {𝑉𝑐2 = 𝑚𝑖𝑛 { 674.4 𝑘𝑁 𝑉𝑐3 544.5 𝑘𝑁∎ 4. Verificar la resistencia a corte. a. Resistencia a corte del concreto 𝑉 ⏟𝑐 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 ⏟𝑢_𝐵2 < ∅𝑉 297.11
408.375
b. Aunque 𝜙𝑉𝑐 > 𝑉𝑢 en las columnas se debe reconocer que para el cálculo de 𝑉𝑢 no se consideró el cortante debido a la flexión, de ahí se recomienda que: ∅𝑉𝑐 408.375 ≥ 1.2 → ≥ 1.2 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 ⏟ 𝑉𝑢_𝐵2 297.11 1.374
5. Cálculo del momento que se transfiere de la losa a la columna. Los momentos alrededor del eje w-w vienen de las franjas de losa 2, exactamente de la tabla 1 y fila 7. En la fila 8 tenemos el momento cuando está cargada una losa y otra no, como la verificación a corte implica todas las losas cargadas, se debe utilizar los momentos de la tabla 1 fila 7: 114.39 − 105.92 = 8.48 𝑘𝑁 ∙ 𝑚. Los momentos alrededor del eje z-z vienen de las franjas de losa B, exactamente de la tabla 3 y fila 7, se debe utilizar los momentos de la respectiva fila: 98.79 − 91.73 = 7.05 𝑘𝑁 ∙ 𝑚. En resumen tenemos los siguientes valores: 𝑀𝑧−𝑧 = 7.05 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑤−𝑤 = 8.48 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 6. Cálculo de la fracción de momento que se transmite por flexión y corte alrededor del eje z-z. a. Análisis para el momento alrededor del eje z-z. ACI 13.5.3.2. 𝑏1𝑧𝑧 = min(𝑙𝑣 , 𝑙ℎ ) = min(0.45,0.65) = 0.45 𝑚 𝑏2𝑧𝑧 = max(𝑙𝑣 , 𝑙ℎ ) = max(0.45,0.65) = 0.65 𝑚 1 1 𝛾𝑓𝑧𝑧 = = = 0.643 2 𝑏1𝑧𝑧 2 0.45 1 + 3 √𝑏 1+ √ 2𝑧𝑧
3
0.65
Podemos incrementar 𝛾𝑓𝑧𝑧 si cumplimos con la sección del ACI 13.5.3.3 (a) copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO 𝑉𝑢_𝐵2 297.11 ≤ 0.4 → ≤ 0.4 → 𝑁𝑜 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟 ⏟ ∅𝑉𝑐 408.375 0.7275
Por lo tanto 𝛾𝑓𝑧𝑧 = 0.643 𝑦 𝛾𝑣𝑧𝑧 = 1 − 𝛾𝑓𝑧𝑧 = 1 − 0.643 = 0.357 b. Momentos transferidos por flexión y corte alrededor del eje z-z. 𝛾𝑓𝑧𝑧 𝑀𝑧𝑧 = 0.643 ∙ 7.05 = 4.535 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝛾𝑣𝑧𝑧 𝑀𝑧𝑧 = 0.357 ∙ 7.05 = 2.515 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 c. Ancho de transferencia en la dirección del momento 𝑀𝑧𝑧 𝑏𝑡𝑧 = 𝑎 + 3ℎ = 0.5 + 3 ∙ 0.18 = 1.04 𝑚 d. Cuantía de acero para 𝛾𝑓𝑧𝑧 𝑀𝑧𝑧 𝜌𝑧𝑧 = 0.85
𝜌𝑧𝑧 = 0.85
2 ∙ 𝛾𝑓𝑧𝑧 𝑀𝑧𝑧 ∙ 106 𝑓′𝑐 (1 − 1√1 − ) 𝑓𝑦 𝜑0.85𝑓′𝑐 𝑏𝑡𝑧 𝑑 2
25 2 ∙ 4.535 ∙ 106 (1 − 1√1 − ) = 0.0005153 420 0.9 ∙ 0.85 ∙ 25 ∙ 1040 ∙ 1502
e. Área de acero para el ancho de transferencia 𝐴𝑠𝑧𝑧 = 𝜌𝑧𝑧 𝑏𝑡𝑧 𝑑 = 0.0005153 ∙ 1040 ∙ 150 = 80.385 𝑚𝑚2 𝐴𝑠 : Área de acero provista por el método directo para la columna especificada en sentido norte sur, de la tabla 6 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞 : Área de acero requerida en el ancho de transferencia. Ancho de franja:𝑏 = 2.4 𝑚 𝐴𝑠 1357 𝑏𝑡𝑧 = 1040 = 588.033 𝑚𝑚2 𝑏 2400 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 → 588.033 ≥ 80.385 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜
𝐴𝑠 = 1357 𝑚𝑚2 → 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞 = 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞 ≥ 𝐴𝑠𝑧𝑧
No se necesita aumentar armadura, con el acero inicial por flexión es suficiente. 7. Cálculo de la fracción de momento que se transmite por flexión y corte alrededor del eje ww. a. Análisis para el momento alrededor del eje w-w. ACI 13.5.3.2. 𝑏1𝑤𝑤 = max(𝑙𝑣 , 𝑙ℎ ) = max(0.45,0.65) = 0.65 𝑚 𝑏2𝑤𝑤 = min(𝑙𝑣 , 𝑙ℎ ) = min(0.45,0.65) = 0.45 𝑚 1 1 𝛾𝑓𝑤𝑤 = = = 0.555 2 𝑏1𝑤𝑤 2 0.65 1+ √ 1+ √ 3 𝑏 2𝑤𝑤
3
0.45
Podemos incrementar 𝛾𝑓𝑤𝑤 si cumplimos con la sección del ACI 13.5.3.3 (b) 𝑉𝑢_𝐵2 297.11 ≤ 0.4 → ≤ 0.4 → 𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟 ⏟ ∅𝑉𝑐 408.375 0.728
Por lo tanto 𝛾𝑓𝑤𝑤 = 0.555 𝑦 𝛾𝑣𝑤𝑤 = 1 − 𝛾𝑓𝑤𝑤 = 1 − 0.555 = 0.445 b. Momentos transferidos por flexión y corte alrededor del eje w-w. 𝛾𝑓𝑤𝑤 𝑀𝑤𝑤 = 0.555 ∙ 8.48 = 4.708 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝛾𝑣𝑤𝑤 𝑀𝑤𝑤 = 0.445 ∙ 8.48 = 3.772 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO c. Ancho de transferencia en la dirección del momento 𝑀𝑤𝑤 𝑏𝑡𝑤 = 𝑏 + 3ℎ = 0.3 + 3 ∙ 0.18 = 0.84 𝑚 d. Cuantía de acero para 𝛾𝑓𝑤𝑤 𝑀𝑤𝑤 𝜌𝑤𝑤 = 0.85
𝜌𝑤𝑤 = 0.85
2 ∙ 𝛾𝑓𝑤𝑤 𝑀𝑤𝑤 ∙ 106 𝑓′𝑐 (1 − 1√1 − ) 𝑓𝑦 𝜑0.85𝑓′𝑐 𝑏𝑡𝑤 𝑑 2
25 2 ∙ 4.708 ∙ 106 (1 − 1√1 − ) = 0.0006633 420 0.9 ∙ 0.85 ∙ 25 ∙ 840 ∙ 1502
e. Área de acero para el ancho de transferencia 𝐴𝑠𝑤𝑤 = 𝜌𝑤𝑤 𝑏𝑡𝑤 𝑑 = 0.0006633 ∙ 840 ∙ 150 = 83.579 𝑚𝑚2 𝐴𝑠 : Área de acero provista por el método directo para la columna especificada en sentido norte sur 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞 : Área de acero requerida en el ancho de transferencia. Ancho de franja:𝑏 = 2.4 𝑚 𝐴𝑠 1583 𝑏𝑡𝑧 = 840 = 554.05 𝑚𝑚2 𝑏 2400 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 → 554.05 ≥ 83.579 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜
𝐴𝑠 = 1583 𝑚𝑚2 → 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞 = 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞 ≥ 𝐴𝑠𝑤𝑤
8. Verificar los esfuerzos cortantes. ACI R11.11.7.2 y ACI 11.11.7.2 a. Datos compilados de los pasos anteriores y esfuerzo de cortante mayorado máximo. 𝑉𝑢 𝛾𝑣1 𝑀𝑢1 𝐶 𝛾𝑣2 𝑀𝑢2 𝐶 𝑣𝑢 = + + 𝑏𝑜 𝑑 𝐽𝑐1 𝐽𝑐2 𝑉𝑢𝐵2 = 297.11 𝑘𝑁, 𝑀𝑧𝑧 = 7.05 𝑘𝑁 ∙ 𝑚, 𝑀𝑤𝑤 = 8.48 𝑘𝑁 ∙ 𝑚, 𝑏𝑜 = 2.2 𝑚, 𝑑 = 0.15 𝑚, 𝛾𝑣𝑧𝑧 = 0.357, 𝛾𝑣𝑤𝑤 = 0.445 b. Determinar el esfuerzo de cortante mayorado máximo. 𝐽𝑐𝑧𝑧 : Propiedad de la sección crítica supuesta, análoga al momento polar de inercia alrededor del eje zz. 𝑏1 = min(𝑙ℎ , 𝑙𝑣 ) = min(0.65,0.45) = 0.45 𝑚 𝑏2 = max(𝑙ℎ , 𝑙𝑣 ) = max(0.65,0.475) = 0.65 𝑚 2𝑏1 𝑑 3 2𝑑𝑏1 3 𝑏1 2 𝐽𝑐𝑧𝑧 = + + 2𝑏2 𝑑 ( ) 12 12 2 2 ∙ 450 ∙ 1503 2 ∙ 150 ∙ 4503 450 2 𝐽𝑐𝑧𝑧 = + + 2 ∙ 650 ∙ 150 ( ) 12 12 2 = 12403125000 𝑚𝑚4 𝐽𝑐𝑤𝑤 : Propiedad de la sección crítica supuesta, análoga al momento polar de inercia alrededor del eje ww. 𝑏1 = max(𝑙ℎ , 𝑙𝑣 ) = max(0.65,0.45) = 0.65 𝑚 𝑏2 = min(𝑙ℎ , 𝑙𝑣 ) = min(0.65,0.45) = 0.45 𝑚 copyright©rcolquea
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𝐽𝑐𝑤𝑤
2𝑏1 𝑑3 2𝑑𝑏1 3 𝑏1 2 𝐽𝑐𝑤𝑤 = + + 2𝑏2 𝑑 ( ) 12 12 2 2 ∙ 650 ∙ 1503 2 ∙ 150 ∙ 6503 650 2 = + + 2 ∙ 450 ∙ 150 ( ) 12 12 2 = 21490625000 𝑚𝑚4 𝑏1 𝑏2 𝑉𝑢_𝐵2 𝛾𝑣𝑤𝑤 𝑀𝑤𝑤 2 𝛾𝑣𝑧𝑧 𝑀𝑧𝑧 2 𝑣𝑢 = + + 𝑏𝑜 𝑑 𝐽𝑐𝑤𝑤 𝐽𝑐𝑧𝑧
6 297.11 ∙ 103 0.455 ∙ 8.480 ∙ 10 ∙ 𝑣𝑢 = + ⏟ ⏟ 21490625000 2200 ∙ 150 0.900
650 2
+
0.357 ∙ 7.050 ∙ 106 ∙
450 2
⏟ 12403125000
0.057
0.046
𝑣𝑢 = 1.0033 𝑀𝑃𝑎 Los esfuerzos cortantes debido a la transferencia por flexión se determinan de la siguiente manera: 0.046 + 0.057 = 0.10267 1.0033 Los respectivos esfuerzos representan el 10.267% de los cortantes totales. c. Determinar la resistencia a corte del concreto y estribos. 𝜙𝑣𝑛 = 𝜙𝑣𝑐 + 𝜙𝑣 ⏟𝑠 = 𝜙𝑣𝑐 0: ∄𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜
𝜙𝑉𝑐 408.375 × 103 𝜙𝑣𝑐 = = = 1.238 𝑀𝑃𝑎 𝑏𝑜 𝑑 2200 ∙ 150 d. Verificar 𝜙𝑣𝑐 > 𝑣𝑢 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒
1.238 > 1.0033 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒
Paso 11: Verificar el cortante en la columna de esquina para la combinación de cortante más flexión. La columna a verificar es la A1 Panel de borde lateral, ℎ𝑓 = 180 𝑚𝑚 𝑘𝑁 𝑘𝑁 𝐷 = 4.38 𝑎 = 300 𝑚𝑚 𝑏 = 300 𝑚𝑚 𝑑 = 150 𝑚𝑚 3 𝑚2 𝑚 i. COMO CORTANTE EN DOS DIRECCIONES 1. Procedimiento para determinar el área de influencia y área crítica. a. Determinar las condiciones del área de influencia según la figura 7.44 𝑤𝑢 = 9.696
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Figura 7.44 – Área de influencia de las columnas del eje A1
0.44𝑙𝑛𝐴𝐵 = 0.44 ∙ 5.5 = 2.42 𝑚 0.44𝑙𝑛12 = 0.44 ∙ 4.8 = 2.112𝑚 b. Longitudes de área de influencia vertical y horizontal 𝑏 0.3 𝑣 = 0.44𝑙𝑛12 + + 𝑟 = 2.112 + + 0.1 = 2.362 𝑚 2 2 𝑎 0.3 ℎ = 0.44𝑙𝑛𝐴𝐵 + + 𝑟 = 2.42 + + 0.1 = 2.67 𝑚 2 2 c. Longitudes del área crítica vertical y horizontal, ver figura 7.45. 𝑑 0.15 𝑙𝑣 = + 𝑏 + 𝑟 = + 0.3 + 0.1 = 0.475 𝑚 2 2 𝑑 0.15 𝑙ℎ = + 𝑎 + 𝑟 = + 0.3 + 0.1 = 0.475 𝑚 2 2 d. Perímetro crítico 𝑏𝑜 = 𝑙𝑣 + 𝑙ℎ = 0.475 + 0.475 = 0.96 𝑚 e. Determinar área de influencia y critica Área de influencia 𝐴𝑖 = 𝑣ℎ = 2.362 ∙ 2.67 = 6.307 𝑚2 Área crítica 𝐴𝑐 = 𝑙𝑣 𝑙ℎ = 0.475 ∙ 0.475 = 0.226 𝑚2
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Figura 7.45 – Área de influencia crítica de la columna A1
f. Localizar el centroide del perímetro de corte 2. Determinar la cortante última
Figura 7.46 – Distribución de esfuerzos de corte
De acuerdo a la figura 7.46 podemos determinar el centroide del perímetro de corte. 𝑙
475
𝑣 ∑ 𝑀 𝑙𝑣 𝑑 2 475 ∙ 150 ∙ 2 𝑥̅ = = = = 119 𝑚𝑚 ∑𝐹 2𝑙𝑣 𝑑 2 ∙ 475 ∙ 150 𝑥̅ = 𝑦̅ a. Cortante de superficie 𝑉𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 = (𝐴𝑖 − 𝐴𝑐 )𝑤𝑢 = (6.307 − 0.226)9.696 = 58.961 𝑘𝑁 b. Cortante debido al muro 𝑉𝑚𝑢𝑟𝑜 = (ℎ − 𝑙ℎ − 𝑣 − 𝑙𝑣 )𝐷3 = (2.67 − 0.475 − 2.362 − 0.475)4.38 𝑉𝑚𝑢𝑟𝑜 = 17.879 𝑘𝑁 c. Cortante última 𝑉𝑢_𝐴1 = 𝑉𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 + 𝑉𝑚𝑢𝑟𝑜 = 58.961 + 17.879 = 76.84 𝑘𝑁 3. Determinar la resistencia del concreto a corte. ACI 11.11.2.1
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HORMIGÓN ARMADO 𝛼𝑠 = 40 → 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠 𝛼𝑠 = 30 → 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑟𝑑𝑒 𝛼𝑠 = 20 → 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 max(𝑎, 𝑏) 0.3 𝛽= = =1 min(𝑎, 𝑏) 0.3 2 2 𝑉𝑐1 = 0.17 (1 + ) 𝜆√𝑓 ′ 𝑐 𝑏𝑜 𝑑 = 0.17 (1 + ) 1√25 ∙ 0.95 ∙ 0.15 ∙ 103 𝛽 1 𝑉𝑐1 = 363.375 𝑘𝑁 𝛼𝑠 𝑑 20 ∙ 0.15 𝑉𝑐2 = 0.083 ( + 2) 𝜆√𝑓 ′ 𝑐 𝑏𝑜 𝑑 = 0.083 ( + 2) 1√25 ∙ 0.95 ∙ 0.15 ∙ 103 𝑏𝑜 0.95 𝑉𝑐1 = 305.025 𝑘𝑁 𝑉𝑐3 = 0.33𝜆√𝑓 ′ 𝑐 𝑏𝑜 𝑑 = 0.33 ∙ 1 ∙ √25 ∙ 0.95 ∙ 0.15 ∙ 103 = 235.125 𝑘𝑁
𝑉𝑐1 363.375 𝑘𝑁 𝑉𝑐 = 𝑚𝑖𝑛 {𝑉𝑐2 = 𝑚𝑖𝑛 { 305.025 𝑘𝑁 𝑉𝑐3 235.125 𝑘𝑁∎ 4. Verificar la resistencia a corte. a. Resistencia a corte del concreto 𝑉 ⏟𝑐 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 ⏟𝑢_𝐴1 < ∅𝑉 76.84
176.342
b. Aunque 𝜙𝑉𝑐 > 𝑉𝑢 en las columnas se debe reconocer que para el cálculo de 𝑉𝑢 no se consideró el cortante debido a la flexión, de ahí se recomienda que: ∅𝑉𝑐 176.342 ≥ 1.8 → ≥ 1.8 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 ⏟76.84 𝑉𝑢_𝐴1 2.295
5. Cálculo del momento que se transfiere de la losa a la columna. El ACI 13.6.3.6 dice que el momento que se transfiere de la losa a una columna de borde es 0.3𝑀𝑜 , sin embargo no expresa mayor precisión, en el ejemplo expresamos la misma cantidad para una columna de esquina. Para la franja 1: de la tabla 2, fila 5 𝑀𝑜 = 70.39 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 → 𝑀𝑧𝑧 = 0.3𝑀𝑜 = 0.3 ∙ 70.39 = 21.117 𝑘𝑁 ∙ 𝑚. Para la franja A: de la tabla 4, fila 5 𝑀𝑜 = 83.54 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 → 𝑀𝑤𝑤 = 0.3𝑀𝑜 = 0.3 ∙ 83.54 = 25.062 𝑘𝑁 ∙ 𝑚. En resumen tenemos los siguientes valores: 𝑀𝑧−𝑧 = 21.117 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑤−𝑤 = 25.062 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 6. Cálculo de la fracción de momento que se transmite por flexión y corte alrededor del eje z-z. a. Análisis para el momento alrededor del eje z-z. ACI 13.5.3.2. 𝑏1𝑧𝑧 = min(𝑙𝑣 , 𝑙ℎ ) = min(0.475,0.475) = 0.475 𝑚 𝑏2𝑧𝑧 = max(𝑙𝑣 , 𝑙ℎ ) = max(0.475,0.475) = 0.475 𝑚 1 1 𝛾𝑓𝑧𝑧 = = = 0.6 2 𝑏1𝑧𝑧 2 0.475 1 + 3 √𝑏 1+ √ 2𝑧𝑧
3
0.475
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HORMIGÓN ARMADO Debido a que la columna es cuadrada, se puede tomar 𝛾𝑣 = 0.4, los factores de corte y flexión serán lo mismo en cualquier dirección porque la columna es cuadrada. Podemos incrementar 𝛾𝑓𝑧𝑧 si cumplimos con la sección del ACI 13.5.3.3 (a) 𝑉𝑢_𝐴1 76.84 ≤ 0.5 → ≤ 0.5 → 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟 ⏟ ∅𝑉𝑐 176.342 0.436
Por lo tanto 𝛾𝑓𝑧𝑧 = 1 𝑦 𝛾𝑣𝑧𝑧 = 1 − 𝛾𝑓𝑧𝑧 = 1 − 1 = 0 b. Momentos transferidos por flexión y corte alrededor del eje z-z. 𝛾𝑓𝑧𝑧 𝑀𝑧𝑧 = 1 ∙ 21.117 = 21.117 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝛾𝑣𝑧𝑧 𝑀𝑧𝑧 = 0 ∙ 21.117 = 0 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 c. Ancho de transferencia en la dirección del momento 𝑀𝑧𝑧 𝑏𝑡𝑧 = 𝑎 + 𝑟 + 1.5ℎ = 0.3 + 0.1 + 1.5 ∙ 0.18 = 0.67 𝑚 d. Cuantía de acero para 𝛾𝑓𝑧𝑧 𝑀𝑧𝑧 𝜌𝑧𝑧
𝜌𝑧𝑧
2 ∙ 𝛾𝑓𝑧𝑧 𝑀𝑧𝑧 ∙ 106 𝑓′𝑐 = 0.85 (1 − 1√1 − ) 𝑓𝑦 𝜑0.85𝑓′𝑐 𝑏𝑡𝑧 𝑑 2
25 2 ∙ 21.117 ∙ 106 √ = 0.85 (1 − 1 1 − ) = 0.00385 420 0.9 ∙ 0.85 ∙ 25 ∙ 670 ∙ 1502
e. Área de acero para el ancho de transferencia 𝐴𝑠𝑧𝑧 = 𝜌𝑧𝑧 𝑏𝑡𝑧 𝑑 = 0.00385 ∙ 670 ∙ 150 = 387.174 𝑚𝑚2 𝐴𝑠 : Área de acero provista por el método directo para la columna especificada en sentido correspondiente. 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞 : Área de acero requerida en el ancho de transferencia. Ancho de franja:𝑏 = 1.45 𝑚 𝐴𝑠 472 𝑏𝑡𝑧 = 670 = 218.097 𝑚𝑚2 𝑏 1450 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 → 218.097 ≥ 387.174 → 𝑛𝑜 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜
𝐴𝑠 = 472 𝑚𝑚2 → 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞 = 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞 ≥ 𝐴𝑠𝑧𝑧
f. Área de acero que debemos cubrir en el ancho de transferencia Determinar el número de barras que necesitamos con una separación de 240 𝑚𝑚. 𝑏𝑡𝑧 670 𝑛𝜋𝑑𝑏 2 3 ∙ 𝜋 ∙ 102 𝑛= = = 2.792 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣 = = = 235.6 𝑚𝑚2 𝑠 240 4 4 𝐴𝑠𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝐴𝑠𝑧𝑧 − 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣 = 387.174 − 235.6 = 151.555 𝑚𝑚2 Entonces proveer 2𝜙10𝑐/340 𝑚𝑚 en la región del ancho efectivo. 7. Cálculo de la fracción de momento que se transmite por flexión y corte alrededor del eje ww. a. Análisis para el momento alrededor del eje w-w. ACI 13.5.3.2. 𝑏1𝑤𝑤 = max(𝑙𝑣 , 𝑙ℎ ) = max(0.475,0.475) = 0.475 𝑚 𝑏2𝑤𝑤 = min(𝑙𝑣 , 𝑙ℎ ) = min(0.475,0.475) = 0.475 𝑚
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HORMIGÓN ARMADO 𝛾𝑓𝑤𝑤 =
1 2
𝑏1𝑤𝑤
1 + 3 √𝑏
2𝑤𝑤
=
1 2
= 0.6 0.475
1 + 3 √0.475
Podemos incrementar 𝛾𝑓𝑤𝑤 si cumplimos con la sección del ACI 13.5.3.3 (b) 𝑉𝑢_𝐴1 76.84 ≤ 0.5 → ≤ 0.5 → 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟 ⏟ ∅𝑉𝑐 176.343 0.435
Por lo tanto 𝛾𝑓𝑤𝑤 = 1 𝑦 𝛾𝑣𝑤𝑤 = 1 − 𝛾𝑓𝑤𝑤 = 1 − 0 = 0 b. Momentos transferidos por flexión y corte alrededor del eje w-w. 𝛾𝑓𝑤𝑤 𝑀𝑤𝑤 = 1 ∙ 25.062 = 25.062 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝛾𝑣𝑤𝑤 𝑀𝑤𝑤 = 0 ∙ 25.062 = 0 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 c. Ancho de transferencia en la dirección del momento 𝑀𝑤𝑤 𝑏𝑡𝑤 = 𝑏 + 𝑟 + 1.5ℎ = 0.3 + 0.1 + 1.5 ∙ 0.18 = 0.67 𝑚 d. Cuantía de acero para 𝛾𝑓𝑤𝑤 𝑀𝑤𝑤 𝜌𝑤𝑤
𝜌𝑤𝑤 = 0.85
2 ∙ 𝛾𝑓𝑤𝑤 𝑀𝑤𝑤 ∙ 106 𝑓′𝑐 √ = 0.85 (1 − 1 1 − ) 𝑓𝑦 𝜑0.85𝑓′𝑐 𝑏𝑡𝑤 𝑑 2
25 2 ∙ 25.062 ∙ 106 (1 − 1√1 − ) = 0.0046 420 0.9 ∙ 0.85 ∙ 25 ∙ 670 ∙ 1502
e. Área de acero para el ancho de transferencia 𝐴𝑠𝑤𝑤 = 𝜌𝑤𝑤 𝑏𝑡𝑤 𝑑 = 0.0046 ∙ 670 ∙ 150 = 463.099 𝑚𝑚2 𝐴𝑠 : Área de acero provista por el método directo para la columna especificada correspondiente. 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞 : Área de acero requerida en el ancho de transferencia. Ancho de franja:𝑏 = 1.45 𝑚 𝐴𝑠 472 𝑏𝑡𝑤 = 670 = 218.097 𝑚𝑚2 𝑏 1450 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 → 218.097 ≥ 463.099 → 𝑛𝑜 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜
𝐴𝑠 = 472 𝑚𝑚2 → 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞 = 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞 ≥ 𝐴𝑠𝑤𝑤
f. Área de acero que debemos cubrir en el ancho de transferencia Determinar el número de barras que necesitamos con una separación de 240 𝑚𝑚. 𝑏𝑡𝑤 670 𝑛𝜋𝑑𝑏 2 3 ∙ 𝜋 ∙ 102 𝑛= = = 2.792 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣 = = = 235.6 𝑚𝑚2 𝑠 240 4 4 𝐴𝑠𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝐴𝑠𝑤𝑤 − 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣 = 463.099 − 235.6 = 227.479 𝑚𝑚2 Entonces proveer 3𝜙10𝑐/220 𝑚𝑚 en la región del ancho efectivo. 8. Verificar los esfuerzos cortantes. ACI R11.11.7.2 y ACI 11.11.7.2 a. Datos compilados de los pasos anteriores y esfuerzo de cortante mayorado máximo. 𝑉𝑢 𝛾𝑣1 𝑀𝑢1 𝐶 𝛾𝑣2 𝑀𝑢2 𝐶 𝑣𝑢 = + + 𝑏𝑜 𝑑 𝐽𝑐1 𝐽𝑐2 𝑉𝑢𝐵2 = 76.84 𝑘𝑁, 𝑀𝑧𝑧 = 21.117 𝑘𝑁 ∙ 𝑚, 𝑀𝑤𝑤 = 25.062 𝑘𝑁 ∙ 𝑚, 𝑏𝑜 = 0.95 𝑚, 𝑑 = 0.15 𝑚, 𝛾𝑣𝑧𝑧 = 0, 𝛾𝑣𝑤𝑤 = 0 copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO b. Determinar el esfuerzo de cortante mayorado máximo. 𝐽𝑐𝑧𝑧 : Propiedad de la sección crítica supuesta, análoga al momento polar de inercia alrededor del eje zz. 𝑏1 = min(𝑙ℎ , 𝑙𝑣 ) = min(0.475,0.475) = 0.475 𝑚 𝑏2 = max(𝑙ℎ , 𝑙𝑣 ) = max(0.475,0.475) = 0.475 𝑚 2 𝑏1 𝑑 3 𝑑𝑏1 3 𝑏1 𝐽𝑐𝑧𝑧 = + + 𝑏2 𝑑 ( − 𝑥̅ ) + 𝑏2 𝑑𝑥̅ 2 12 12 2 2 475 ∙ 1503 150 ∙ 4753 475 𝑐= + + 475 ∙ 150 ( + 119) + 475 12 12 2 ∙ 150(119)2 = 3482723750 𝑚𝑚4 𝐽𝑐𝑤𝑤 : Propiedad de la sección crítica supuesta, análoga al momento polar de inercia alrededor del eje ww. 𝑏1 = max(𝑙ℎ , 𝑙𝑣 ) = max(0.475,0.475) = 0.475 𝑚 𝑏2 = min(𝑙ℎ , 𝑙𝑣 ) = min(0.475,0.475) = 0.475 𝑚 𝐽𝑐𝑤𝑤 = 𝐽𝑐𝑧𝑧 𝑉𝑢_𝐴1 𝛾𝑣𝑤𝑤 𝑀𝑤𝑤 𝑥̅ 𝛾𝑣𝑧𝑧 𝑀𝑧𝑧 𝑥̅ 𝑣𝑢 = + + 𝑏𝑜 𝑑 𝐽𝑐𝑤𝑤 𝐽𝑐𝑧𝑧 𝑣𝑢 =
76.84 ∙ 103 0 ∙ 25.062 ∙ 106 ∙ 119 0 ∙ 21.117 ∙ 106 ∙ 119 + + ⏟ ⏟ 3482723750 ⏟ 3482723750 960 ∙ 150 0.5336
0
0
𝑣𝑢 = 0.5336 𝑀𝑃𝑎 c. Determinar la resistencia a corte del concreto y estribos. 𝜙𝑣𝑛 = 𝜙𝑣𝑐 + 𝜙𝑣 ⏟𝑠 = 𝜙𝑣𝑐 0: ∄𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜
𝜙𝑉𝑐 176.343 × 103 𝜙𝑣𝑐 = = = 1.238 𝑀𝑃𝑎 𝑏𝑜 𝑑 950 ∙ 150 d. Verificar 𝜙𝑣𝑐 > 𝑣𝑢 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 1.238 > 0.5336 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 ii. COMO CORTANTE EN UNA DIRECCION 1. Procedimiento para determinar el área de influencia y área crítica. a. Determinar las condiciones del área de influencia según la figura 7.47
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Figura 7.47 – Área de influencia de las columnas A1
0.44𝑙𝑛𝐴𝐵 = 0.44 ∙ 5.5 = 2.42 𝑚 0.44𝑙𝑛12 = 0.44 ∙ 4.8 = 2.112𝑚 b. Longitudes de área de influencia vertical y horizontal 𝑏 0.3 𝑣 = 0.44𝑙𝑛12 + + 𝑟 = 2.112 + + 0.1 = 2.362 𝑚 2 2 𝑎 0.3 ℎ = 0.44𝑙𝑛𝐴𝐵 + + 𝑟 = 2.42 + + 0.1 = 2.67 𝑚 2 2 c. Longitudes del área crítica vertical y horizontal, ver figura 7.48. 𝑑 𝑓 = √𝑟 2 + 𝑟 2 + √𝑎2 + 𝑏 2 + 2 150 𝑓 = √1002 + 1002 + √3002 + 3002 + = 640.685 𝑚𝑚 2 𝑙𝑣 = √𝑓 2 + 𝑓 2 = √640.6852 + 340.6852 = 906.066 𝑚𝑚 𝑙ℎ = 𝑙 𝑣 d. Perímetro crítico 𝑏𝑜 = √𝑙𝑣 2 + 𝑙ℎ 2 = √906.0662 + 906.0662 = 1281 𝑚𝑚 e. Determinar área de influencia y critica Área de influencia 𝐴𝑖 = 𝑣ℎ = 2.362 ∙ 2.67 = 6.307 𝑚2 Área crítica: 𝑙ℎ 0.906 𝐴𝑐 = 𝑙𝑣 = 0.906 ∙ = 0.41 𝑚2 2 2
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Figura 7.48 – Área de influencia crítica de la columna A1
2. Determinar la cortante última a. Cortante de superficie 𝑉𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 = (𝐴𝑖 − 𝐴𝑐 )𝑤𝑢 = (6.307 − 0.41)9.696 = 57.168 𝑘𝑁 b. Cortante debido al muro 𝑉𝑚𝑢𝑟𝑜 = (ℎ − 𝑙ℎ − 𝑣 − 𝑙𝑣 )𝐷3 = (2.67 − 0.906 − 2.362 − 0.906)4.38 = 16.924 𝑘𝑁 c. Cortante última 𝑉𝑢_𝐴1 = 𝑉𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 + 𝑉𝑚𝑢𝑟𝑜 = 57.168 + 16.924 = 74.092 𝑘𝑁 3. Determinar la resistencia del concreto a corte. 𝑉𝑐 = 0.17𝜆√𝑓 ′ 𝑐 𝑏𝑜 𝑑 = 0.17 ∙ 1 ∙ √25 ∙ 1281 ∙ 150/103 = 163.375 𝑘𝑁 4. Verificar la resistencia a corte. a. Resistencia a corte del concreto 𝑉𝑢_𝐴1 < ∅𝑉 ⏟𝑐 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 ⏟ 74.092
122.495
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Ejemplo 7.3 Diseñar un sistema de entrepiso de losa maciza en dos direcciones sin vigas interiores y exteriores, utilizar el método directo del ACI, se pide diseñar el ejemplo 7.2 bajos las condiciones geométricas y mecánicas del respectivo ejemplo, realizar el análisis y diseño mediante software y realizar una comparación entre el método manual y el programa.
Figura 7.49 – Planta tipo de losa sin vigas
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Datos: 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: 𝑟𝑒𝑐 = 25 𝑚𝑚, ∅𝑒𝑠𝑡 = 8 𝑚𝑚 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑓´𝑐 = 25 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦𝑡 = 420𝑀𝑃𝑎, 𝑘𝑁 𝜆 = 1, 𝑤𝑐 = 24 3 , 𝜑𝑓 = 0.9, 𝜑𝑐 = 0.75 𝑚 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠: 𝐷1 = 0.2
𝐾𝑁 𝑚2
, 𝐷2 = 1.0
𝐾𝑁 𝑚2
, 𝐷3 = 4.38
𝐾𝑁 𝑚
𝐾𝑁
, 𝐿𝑜 = 1.92 𝑚2
𝐷1 : 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑙é𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝐷2 : 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑙𝑎𝑠 𝑓𝑢𝑡𝑢𝑟𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝐷3 : 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎𝑙 𝑚𝑢𝑟𝑜 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝐿𝑜 : 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑣𝑖𝑣𝑎 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑒 𝑒𝑠, 𝑣𝑒𝑟 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 7.49: 𝑙𝐴𝐵 = 5.5 𝑚 𝑙𝐵𝐶 = 6 𝑚 𝑙12 = 4.8 𝑚
𝑙23 = 4.8 𝑚
𝑙𝐶𝐷 = 5.5 𝑚
𝑙34 = 4.8 𝑚
𝑙45 = 4.8 𝑚
Dimensiones de las columnas, ver figura 7.49: COLUMNA (c)
BASE, en dirección x (b), mm
ALTURA, en dirección y (t), mm
1A 1B 1C 1D 2A 2B 2C 2D 3A 3B 3C 3D 4A 4B 4C 4D 5A 5B 5C 5D
300 500 500 300 300 500 500 300 300 500 500 300 300 500 500 300 300 500 500 300
300 300 300 300 500 300 300 500 500 300 300 500 500 300 300 500 300 300 300 300
Longitudes nominales entre columnas de borde y esquina, ver figura 7.49: 𝑙𝑛𝐴𝐵 = 5.1 𝑚 𝑙𝑛12 = 4.4 𝑚
𝑙𝑛𝐵𝐶 = 5.5 𝑚
𝑙𝑛23 = 4.3 𝑚
𝑙𝑛𝐶𝐷 = 5.1 𝑚
𝑙𝑛34 = 4.3 𝑚
𝑙𝑛45 = 4.4 𝑚
Paso 1: Seleccionar el espesor de la losa. Determinamos el espesor de losa para limitar las deflexiones de los paneles. ACI 9.5(c). De acuerdo al ejemplo 7.2 adoptamos un espesor de 180 𝑚𝑚. copyright©rcolquea
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Paso 2: Análisis estructural mediante elementos finitos El análisis estructural se modelará en ETABS 2013 mediante el método de elementos finitos, para tal análisis mostramos las figuras 7.50 y 7.51 que describen la geometría de la estructura en el respectivo programa.
Figura 7.50 – Vista en planta de la estructura
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Figura 7.51 – Vista de la elevación A
Paso 3: Reporte del proyecto, se presenta un informe generado por el programa ETABS 2013 de los datos de entrada y salida sobresalientes en el análisis estructural. El modelo estructural considera cargas muertas (D), cargas vivas (L) y carga de viento estático (W) según la norma ASCE7-10, el análisis estructural será en 3D y será mediante el método de elementos finitos. La carga de viento solo se considera en el modelo para ver la incidencia de la misma, al diseñar la losa por el método directo la carga de viento no será considerada. El reporte generado por ETABS 2013 está en inglés, se realizó la respectiva traducción y edición para un mejor entendimiento. La entrada de datos y la salida de resultados de ETABS 2013 se la presentan en un reporte del proyecto generado por el respectivo programa:
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LOSA SIN VIGAS 15/10/2013
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1. Datos de la estructura Este capítulo provee información de la geometría del modelo, incluyendo artículos como etiquetas de piso, las coordenadas de los puntos y la conectividad del elemento. a. Datos de piso Altura mm 3000 3000 3000 4500 0
Nombre STORY4 STORY3 STORY2 STORY1 BASE
Elevación mm 13500 10500 7500 4500 0
Piso Empalme maestro Similar a de piso Yes None No No STORY4 No No STORY4 No No STORY4 No No None No
Tabla 7-20 Datos de piso
b. Masa Incluye elementos Yes
Incluye masa añadida Yes
Incluye cargas No
Sólo lateral Yes
Conglome rado de piso Yes
Tabla 7-21 Fuente de masa Piso STORY1 STORY2 STORY3 STORY4
Diafragm Masa Y Masa X kg a kg DPISO1 DPISO2 DPISO3 DPISO4
30129,22 25159,59 25159,59 15220,35
30129,22 25159,59 25159,59 15220,35
XCM m 8,5 8,5 8,5 8,5
YCM m Acumulativo Acumulativo 9,6 9,6 9,6 9,6
30129,22 25159,59 25159,59 15220,35
30129,22 25159,59 25159,59 15220,35
XCCM YCCM XCR m m m 8,5 8,5 8,5 8,5
9,6 9,6 9,6 9,6
8,5 8,5 8,5 8,5
Tabla 7-22 Centro de masa y rigidez Piso STORY4 STORY3 STORY2 STORY1
Masa X Centro Diafragm Masa Y Momento Y Centro de Masa X kg de masa a kg masa m de inercia m kN-m-s2 DPISO4 15220,35 15220,35 1167,118 8,5 9,6 DPISO3 25159,59 25159,59 1961,745 8,5 9,6 DPISO2 25159,59 25159,59 1961,745 8,5 9,6 DPISO1 30129,22 30129,22 2359,058 8,5 9,6
Tabla 7-23 Sumario de masa por diafragma
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YCR m 9,6 9,6 9,6 9,6
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HORMIGÓN ARMADO Piso STORY4 STORY3 STORY2 STORY1 BASE
UX kg UY kg 158949,2 158949,2 168888,4 168888,44 168888,4 168888,44 173858,1 173858,07 14908,87 14908,87
UZ kg 0 0 0 0 0
Tabla 7-24 Sumario de masa por piso
2. Propiedades El capítulo prove información de las propiedades para materiales, secciones de marco, secciones tipo placa y enlaces. a. Materiales Nombre
Tipo
E Mpa
v
A615Gr60 CONC H25
Rebar Concrete Concrete
199947,98 24821,13 23413,57
0,3 0,2 0,2
Peso unitaria kN/m3 76,9729 23,5616 23,536
Resistencia de diseño Fy=413,69 Mpa, Fu=620,53 Mpa Fc=27,58 Mpa Fc=25 Mpa
Tabla 7-25 Propiedades del material – sumario Nombre
E MPa
ν
α 1/C
G MPa
H25 CONC
23413,57 24821,13
0,2 0,2
9,9E-06 9,9E-06
9755,65 10342,14
Peso unitario kN/m3 23,536 23,5616
Masa unitaria kg/m³ 2401 2400,68
Fc MPa
Peso liviano?
25 27,58
No No
Tabla 7-26 Propiedades del material – concreto Nombre
E MPa
α 1/C
A615Gr60
199948
1,17E-05
Peso unitario kN/m3 76,9729
Masa unitaria kg/m³ 7849,047
Fc MPa
Peso liviano?
413,69
620,53
Tabla 7-27 Propiedades del material – refuerzo
b. Secciones tipo marco Nombre Material COL30X30 CONC COL30X50 H25 COL50X30 CONC VIGAFICTICIA H25
Forma Concrete Rectangular Concrete Rectangular Concrete Rectangular Concrete Rectangular
Tabla 7-28 Secciones tipo marco – sumario
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Nombre
Material
COL30X30 CONC COL30X50 H25 COL50X30 CONC VIGAFICTICIA H25
Forma
t3 mm
t2 mm
Concrete Rectangular Concrete Rectangular Concrete Rectangular Concrete Rectangular
300 300 500 10
300 500 300 10
Área cm² 900 1500 1500 1
AS2 AS3 J cm4 I22 cm4 cm² cm² 750 750 114075 67500 1250 1250 281737 312500 1250 1250 281737 112500 0,8 0,8 0,1 0,1
Tabla 7-29 Secciones tipo marco (parte 1 de 2) Nombre
I33 cm4
S22 cm³
S33 cm³
COL30X30 COL30X50 COL50X30 VIGAFICTICIA
67500 112500 312500 0,1
4500 12500 7500 0,2
4500 7500 12500 0,2
Z22 cm³ Z33 cm³ 6750 18750 11250 0,3
6750 11250 18750 0,3
R22 mm
R33 mm
86,6 86,6 144,3 86,6 86,6 144,3 2,9 2,9
Tabla 7-30 Secciones tipo marco (parte 2 de 2)
c. Secciones Shell Nombre Losa 18
Tipo de diseño Slab
Tipo de elemento
Material
Shell - thin
H25
Espesor total mm 180
Tabla 7-31 Secciones Shell – sumario Nombre
Material
Tipo de losa
Losa 18
H25
Uniform
Tipo de Espesor elemento de losa Shell-thin 180
Tabla 7-32 Secciones Shell – sumario
3. Asignaciones El capítulo contiene una lista de las asignaciones aplicadas al modelo. a. Asignaciones a marcos
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Piso
Etiqueta
Piso 4 Piso 4 Piso 4 Piso 4 Piso 4 Piso 4 Piso 4 Piso 4 Piso 4 Piso 4 Piso 4 Piso 4 Piso 4 Piso 4 Piso 4 Piso 4 Piso 4 Piso 4 Piso 4 Piso 4 Piso 3 Piso 3 Piso 3 Piso 3 Piso 3
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14 C15 C16 C17 C18 C19 C20 C1 C2 C3 C4 C5
Nombre único 48 36 40 44 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 100 104 108 112 49 37 41 45 53
Tipo de diseño Columna Columna Columna Columna Columna Columna Columna Columna Columna Columna Columna Columna Columna Columna Columna Columna Columna Columna Columna Columna Columna Columna Columna Columna Columna
Tipo de sección Concreto rectangular Concreto rectangular Concreto rectangular Concreto rectangular Concreto rectangular Concreto rectangular Concreto rectangular Concreto rectangular Concreto rectangular Concreto rectangular Concreto rectangular Concreto rectangular Concreto rectangular Concreto rectangular Concreto rectangular Concreto rectangular Concreto rectangular Concreto rectangular Concreto rectangular Concreto rectangular Concreto rectangular Concreto rectangular Concreto rectangular Concreto rectangular Concreto rectangular
Sección de análisis COL 30X30 COL 30X30 COL 30X30 COL 30X30 COL 50X30 COL 50X30 COL 50X30 COL 50X30 COL 50X30 COL 50X30 COL 50X30 COL 50X30 COL 50X30 COL 50X30 COL 30X50 COL 30X50 COL 30X50 COL 30X50 COL 30X50 COL 30X30 COL 30X30 COL 30X30 COL 30X30 COL 50X30 COL 50X30
Método de diseño Marco de concreto Marco de concreto Marco de concreto Marco de concreto Marco de concreto Marco de concreto Marco de concreto Marco de concreto Marco de concreto Marco de concreto Marco de concreto Marco de concreto Marco de concreto Marco de concreto Marco de concreto Marco de concreto Marco de concreto Marco de concreto Marco de concreto Marco de concreto Marco de concreto Marco de concreto Marco de concreto Marco de concreto Marco de concreto
Sección de diseño COL 30X30 COL 30X30 COL 30X30 COL 30X30 COL 50X30 COL 50X30 COL 50X30 COL 50X30 COL 50X30 COL 50X30 COL 50X30 COL 50X30 COL 50X30 COL 50X30 COL 30X50 COL 30X50 COL 30X50 COL 30X50 COL 30X50 COL 30X30 COL 30X30 COL 30X30 COL 30X30 COL 50X30 COL 50X30
Tabla 7-33 Asignaciones a marcos – secciones
b. Asignaciones tipo shell Piso
Etiqueta
Nombre único
Sección
STORY4 STORY3 STORY2 STORY1
F14 F14 F14 F14
1 2 3 4
LOSA18 LOSA18 LOSA18 LOSA18
Tabla 7-34 Asignaciones a losas – sumario
Piso
Etiqueta
Nombre único
Sección
STORY4 STORY3
F14 F14
1 2
LOSA18 LOSA18
STORY2 STORY1
F14 F14
3 4
LOSA18 LOSA18
Tabla 7-35 Asignaciones a losas – secciones
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4. Cargas El capítulo contiene información de la carga aplicada al modelo.
a. Cargas paternas Nombre
Tipo
Factor multiplicador de peso
DEAD LIVE
Dead Live
1 0
VIENTO X
Wind
0
Auto carga
ASCE 7-05
Tabla 7-36 Cargas paternas
b. Carga de viento automática Carga paterna
Método de carga
Piso superior
Piso inferior
VIENTOX
Shell objects
STORY 4
BASE
Velocidad Incluye Tipo de del viento parapeto exposición mph NO
70
B
I
Kzt
G
Kd
1
1
0,85
0,85
Tabla 7-37 Viento automático – ASCE 7-05 ASCE 7-05 Cálculo de la carga de viento Este cálculo presenta las cargas del viento laterales generadas automáticamente para el patrón de carga de VIENTOX según ASCE 7-05, está calculado por ETABS. Parámetros de exposición Exposición de = Objetos tipo Shell Categoría de exposición = B Dirección de viento= 0 degrees (viento en la dirección del eje global x) Piso superior = STORY4 Piso inferior= BASE Incluye parapeto = No Factores y coeficientes Sólido/grueso Área Ratio = 0,2 Gradiente de altura, z g [ASCE Tabla 6-2]
zg = 1200
Exponente emperical, α [ASCE Tabla 6-2]
α=7
Coeficiente de exposición de la presión de viento, Kz; [ASCE Tabla 6-3]
𝑘𝑧 =
2
2
𝑍 𝛼 2.01 ( ) 𝑍𝑔
15 𝛼 2.01 ( ) 𝑍𝑔
Para 15ft ≤ z ≤ zg
𝑘𝑧 =
Para z ≤ 15 ft
Factor topográfico, Kzt [ASCE 6.5.7.2] Kzt = 1 copyright©rcolquea
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Factor de dirección, K d [ASCE 6.5.4.4] Kd = 0,85 Factor de importancia, I [ASCE 6.5.5] I = 1 Factor de ráfaga, G [ASCE 6.5.8]
G = 0,85
Carga lateral Presión de velocidad, q z [ASCE 6.5.10 Eq. 6.15] 𝑞𝑧 = 0.00256 𝐾𝑧 𝐾𝑧𝑡 𝐾𝑑 𝑉 2 𝐼 Diseño de la presión de viento, p [ASCE 6.5.12.2.1 Eq. 6.17] 𝑝 = 𝑞𝐺 𝐶𝑝
c. Cargas aplicadas Cargas de área Piso
Etiqueta
Nombre único
Carga paterna
Dirección
Carga kN/m²
STORY4 STORY3 STORY2 STORY1 STORY4 STORY3 STORY2 STORY1
F14 F14 F14 F14 F14 F14 F14 F14
1 2 3 4 1 2 3 4
DEAD DEAD DEAD DEAD LIVE LIVE LIVE LIVE
Gravity Gravity Gravity Gravity Gravity Gravity Gravity Gravity
1,2 1,2 1,2 1,2 1,92 1,92 1,92 1,92
Tabla 7-38 Carga de shell – uniforme
d. Combinación de cargas Nombre COMBO1 COMBO2 COMBO2 ENVOLVENTE ENVOLVENTE
Carga Caso/Combo DEAD DEAD LIVE COMBO2 COMBO1
Factor de escala 1,4 1,2 1,6 1 1
Tipo
Auto
Linear Add Linear Add
No No No No No
Envelope
Tabla 7-39 Combinaciones de carga
5. Resultados del análisis La sección contiene los resultados del análisis a. Resultados de piso Piso STORY4 STORY3 STORY2 STORY1 BASE
Carga Caso/Combo VIENTOX VIENTOX VIENTOX VIENTOX VIENTOX
Dirección
Máximo mm
X X X X Y
4 3,6 2,8 1,6 0
Promedio mm 4 3,6 2,8 1,6 0
Ratio 1 1 1 1
Tabla 7-40 Piso max/prom Desplazamientos
6. En la figura 7.52 se presenta la estructura deformada en 3D debido a la carga muerta copyright©rcolquea
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Figura 7.52 – Estructura en 3D, deformada debido a la carga muerta
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7. En la figura 7.53 se presenta el diagrama de momento M11 debido a la combinación 2 (COMBO2=1.2D+1.6L) en kN*m.
Figura 7.53 – Diagrama de momento M11
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8. En la figura 7.54 se presenta el diagrama de momento M22 debido a la combinación 2 (COMBO2=1.2D+1.6L) en kN*m.
Figura 7.54 – Diagrama de momento M22
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Paso 4: En el paso anterior se realizó el análisis estructural de la estructura a diseñar, en este paso exportaremos las cargas, geometría, propiedades mecánicas de los materiales del primer piso al programa SAFE 12.0.0 para su posterior diseño. Sólo exportamos todas las condiciones del primer piso al respectivo programa, el diseño del primer piso se replicará al piso 2 y 3, el diseño de la cubierta se debe hacer de manera independiente porque la carga de la cubierta es distinto. Al momento de exportar el SAFE 12.0.0 no considera las cargas de viento, sismo, es decir las cargas laterales, por más que exportemos las cargas laterales el programa no considerara en el diseño. Además el objetivo es realizar una comparación entre el método manual y mediante el SAFE 12.0.0, donde las cargas solo deben ser gravitacionales y la carga debe ser uniforme en todo el sistema de entrepiso. En la figura 7.55 se observa el sistema de entrepiso exportado al programa SAFE 12.0.0.
Figura 7.55 – Sistema de entrepiso exportado con su respectiva carga debido al peso de muro exterior
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Paso 5: Definir las franjas con las mismas dimensiones del ejemplo 7.2 en el programa SAFE 12.0.0, las figuras 7.57 y 7.58 presentan las franjas en las dos direcciones.
Figura 7.56 – Franja este – oeste: losa sin vigas en SAFE 12.0.0
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Figura 7.57 – Franja norte – sur: losa con vigas en SAFE 12.0.0
Paso 6: Resultados El programa SAFE 12.0.0 analiza y diseña cualquier tipo de sistema de entrepiso, en el respectivo ejemplo una losa sin vigas exteriores e interiores. La figura 7.58 presenta el diagrama de momentos de acuerdo a la combinación 2 (COMBO2=1.2D+1.6L) en la dirección este – oeste, en la figura generada en SAFE 12.0.0 podemos observar el diagrama de momentos por franja positivo máximo y negativo máximo.
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Figura 7.58 – Momento por franja este – oeste (kN*m): losa sin vigas en SAFE 12.0.0
La figura 7.59 presenta el diagrama de momentos de acuerdo a la combinación 2 (COMBO2=1.2D+1.6L) en la dirección norte– sur, en la figura generada en SAFE 12.0.0 podemos observar el diagrama de momentos por franja positivo máximo y negativo máximo.
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Figura 7.59 – Momento por franja norte – sur (kN*m): losa con vigas en SAFE 12.0.0
La figura 7.60 presenta el área de acero requerido de acuerdo a la combinación 2 (COMBO2=1.2D+1.6L) en la dirección este – oeste, en la figura generada en SAFE 12.0.0 podemos observar el área de acero requerido por franja, positivo y negativo.
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Figura 7.60 – Acero requerido de la franja este – oeste (mm2): losa sin vigas en SAFE 12.0.0
La figura 7.61 presenta el área de acero requerido de acuerdo a la combinación 2 (COMBO2=1.2D+1.6L) en la dirección norte– sur, en la figura generada en SAFE 12.0.0 podemos observar el área de acero requerido por franja, positivo y negativo.
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Figura 7.61 – Acero requerido de la franja norte – sur (mm2): losa con vigas en SAFE 12.0.0
Paso 7: Plano constructivo. El programa SAFE 12.0.0 genera planos de detalle con las respectivas escalas, y las longitudes de las varillas positivas y negativas de acuerdo a la norma de diseño empleada. La figura 7.61 muestra el plano del acero superior.
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Figura 7.62 – Plano de acero superior generada por SAFE 12.0.0 (sin editar)
La figura 7.63 muestra el plano de acero inferior generada por SAFE 12.0.0, el respectivo presenta un formato propuesto por el programa pero que no es conocido en nuestro medio, por lo tanto es necesario editar el plano en SAFE o Autocad, de tal forma que tenga un formato conocido por el constructor.
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Figura 7.63 – Plano de acero inferior generada por SAFE 12.0.0 (sin editar)
Paso 8: Comparación entre el método directo manual y el método directo del SAFE12.0.0 En el respectivo paso se realizara una comparación entre el método manual del ejemplo 7.2 y el método mediante el programa SAFE 12.0.0, debemos aclarar que los momentos por franja del programa SAFE están calculados por el método de elementos finitos, el diseño del SAFE está basado en franjas, se utiliza plenamente el método directo de la norma ACI318-08, también el programa respeta las longitudes de las varillas propuestas por la norma ACI318-08, para estudiar el análisis mediante el método elementos finitos se recomienda leer Mecánica y Diseño de Concreto Estructural87. El principal objetivo del ejemplo es realizar una comparación entre los métodos empleados e interpretar las ventajas y desventajas de cada método y posteriormente sacar conclusiones. 87
(G. MacGregor, 2012) copyright©rcolquea
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De acuerdo a las figuras presentadas de los resultados generamos una tabla de comparación de los dos métodos (ver tabla 7.41), compararemos los momentos y aceros requeridos en ambos métodos de la franja media A-B, franja central B en la dirección norte – sur. Dirección norte – sur
Franja
Método Directo del ejemplo 7.2 Momento Acero requerido (kN*m) (mm2) 36.69 778 44.03 794 74.09 1357 29.63 778 68.8 1257 0 1004 29.316 1004 24.665 1004 19.29 1004 22.391 1004
Franja de borde B
Momento negativo B1 Momento positivo B1-B2 Momento negativo B2 Momento positivo B2-B3 Momento negativo B3 Momento negativo A1B1 Momento positivo A1B1-A2B2 Momento negativo A2B2 Momento positivo A2B2-A3B3 Momento negativo A3B3
Franja de columna AB
SAFE 12.0.0 Momento Acero requerido (kN*m) (mm2) 42.29 777.6 38.45 777.60 73.045 1322.674 25.6 777.60 60.38 1086.991 2.66 1004 39.5 1004 22.2 1004 27.50 1004 17.35 1004
Tabla 7-41 comparación del método manual versus SAFE 12.0.0
La figura 7.64 y 7.65 muestra una comparación entre los dos métodos de área de acero requerido, la comparación es de la franja B, de la respectiva figura se puede notar claramente que el programa SAFE 12.0.0 requiere menos acero que el método manual.
COMPARACIÓN DE MOMENTOS (kn*m) SAFE 12.0.0
80
70
73.045
Método manual 74.09 68.8
MOMENTO
60 60.38
50 40 30 20
42.29 36.69
44.03 38.45 25.6
29.63
10 0 Momento negativo Momento positivo Momento negativo Momento positivo Momento negativo B1 B1-B2 B2 B2-B3 B3 MOMENTO DE LA FRANJA B
Figura 7.64 – Comparación de momentos
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COMPARACIÓN DE ACERO REQUERIDO (mm2) 1600
SAFE 12.0.0 - Acero requerido
Método manual-acero requerido
ACERO REQUERIDO
1400 1200
1322.67
1357
1257
1000
1086.991
800 600
777.6
777.6
778
794
777.6
778
400 200 0 Momento negativo Momento positivo Momento negativo Momento positivo Momento negativo B1 B1-B2 B2 B2-B3 B3 MOMENTO DE LA FRANJA B
Figura 7.65 – Comparación del acero requerido
Paso 9: Conclusiones y recomendaciones A continuación acotaremos algunas consideraciones teóricas sobre el análisis; en el diseño de hormigón armado usamos actualmente métodos elásticos para analizar las estructuras cargadas con cargas últimas o factorizadas. Tal procedimiento puede no parecer correcto pero da resultados satisfactorios, entonces podríamos preguntarnos ¿Por qué no usamos análisis último o inelástico en las estructuras? La respuesta es que nuestra teoría u nuestras pruebas no son lo suficientemente avanzadas. En realidad, ningún método de análisis, elástico o inelástico, da resultados exactos debido a los efectos desconocidos del flujo plástico, de los asentamientos, de la contracción, de la mano de obra, etc. También se darán algunas consideraciones sobre métodos de análisis para poder entender la mecánica del respectivo ejemplo; las estructuras estáticamente indeterminadas se pueden analizar ‘exactamente o aproximadamente’, a pesar del creciente uso de las computadoras para efectuar análisis exacto, se siguen usando métodos aproximados, tanto o más veces que antes, por varias razones como: la estructura puede ser tan complicada que no se encuentre nadie que tenga el conocimiento para hacer el análisis exacto o no se dispone del software adecuado. Los valores calculados usando los coeficientes ACI para vigas y losas continuas son usualmente algo mayores que los que se obtienen con un análisis exacto88. Conclusiones El programa SAFE 12.0.0 genera menos acero requerido que el método manual. Los momentos generados del SAFE 12.0.0 en algunos casos son mayores que del método manual, pero por lo general los momentos de diseño generados por SAFE 12.0.0 son menores respecto del Método directo del ACI (ver figura 7.65). El objetivo es validar el ejemplo 7.2, en función a las conclusiones podemos decir que la diferencia entre ambos métodos es mínima tanto para acero requerido y momento de diseño, por lo tanto el ejemplo queda validado. Se debe tener mucho cuidado en el manejo del programa, la incidencia de las condiciones de discretización de la losa puede generar variaciones grandes. 88
(McCormac C., 2011, pág. 437) copyright©rcolquea
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Recomendaciones De acuerdo a las conclusiones podemos afirmar que el software genera varillas de refuerzo requerido más económico que el método manual, se recomienda diseñar losas mediante un software. El análisis y diseño de losas mediante software debe ser validado de acuerdo a la experiencia del calculista, se debe adoptar el uso de software considerando que en cada etapa se haga un análisis de cada paso. Las longitudes calculadas por el programa SAFE 12.0.0 de las varillas están determinados de acuerdo a la norma ACI318-08, por lo tanto estás longitudes no presentan ninguna variación en comparación con el método manual. El cálculo de las longitudes de desarrollo para losa sin vigas es moroso por lo tanto se recomienda diseñar mediante el programa SAFE 12.0.0, y generar el plano por el respectivo programa, exportar a AutoCAD en formato dwg para su posterior edición. 7.11) MÉTODO DEL PORTICO EQUIVALENTE 7.11.1) DISTRIBUCIÓN DE MOMENTOS PARA MIEMBROS NO PRISMÁTICOS La mayor parte de los problemas de distribución de momentos que hasta ahora hemos tratado, han tenido que ver con miembros prismáticos en los cuales se usaron factores de transporte de ½, momentos de empotramiento para cargas uniformes de 𝑤𝑢 𝑙 2 ⁄8, factores de rigidez 𝐼 ⁄𝑙 , etc. Si se tienen miembros no prismáticos, entonces ninguno de los valores anteriores es aplicable. Los factores de transporte, los momentos de empotramiento, etc., se pueden obtener mediante varios métodos, tales como el de área momento y el de la analogía de la columna. Sin embargo, existen tablas en donde pueden obtenerse muchos de estos valores. Las tablas A.16 a A.20 del apéndice A del libro titulado Diseño de Concreto Reforzado - McCormac89 abarcan la mayor parte de los casos encontrados con el método del pórtico equivalente. 7.11.2) INTRODUCCIÓN La diferencia entre el método directo de diseño y el método del marco equivalente está en la determinación de los momentos longitudinales en los claros del marco rígido equivalente. En tanto que el método directo de diseño implica un ciclo de distribución de momentos, el método del marco equivalente implica varios ciclos de distribución normal de momentos. Los momentos de diseño obtenidos por cualquiera de los dos métodos se distribuyen de la misma manera en las franjas de columnas que en las franjas centrales. Recordemos que el intervalo en que el método directo de diseño puede aplicarse, está limitado a una razón máxima de la carga viva a la muerta de 2 a 1, y a una razón máxima del claro longitudinal al claro transversal de 2 a 1. Además, las columnas no deben estar descentradas más de 10% de la longitud del claro en la dirección de la excentricidad respecto a cada eje entre las líneas centrales de columnas sucesivas. En el método del pórtico equivalente no hay tales limitaciones. Esto resulta muy importante, puesto que muchos sistemas de pisos no cumplen las limitaciones especificadas en el método directo de diseño. El análisis por cualquiera de los dos métodos dará casi los mismos momentos en aquellas losas que satisfacen los requisitos del método directo de diseño. En tal caso es más sencillo usar el método directo de diseño.
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Figura 7.66 – Franja equivalente a un pórtico
El método del pórtico equivalente implica el análisis elástico de un marco estructural que consiste en una fila de columnas equivalentes y de losas horizontales con una longitud de un tablero y con un ancho transversal igual a la distancia entre las líneas centrales de los tableros a cada lado de las columnas en consideración. Por ejemplo, puede extraerse para su análisis la franja sombreada del sistema de piso mostrado en la figura 7.66, y la combinación de losa y viga puede analizarse de modo que actúe como un elemento de viga como parte de un marco estructural (véase también la figura 7.67). Esta hipótesis modela en forma aproximada el comportamiento real de la estructura. Es una manera razonablemente exacta para calcular momentos en el marco estructural completo, los cuales pueden entonces distribuirse a la losa y a las vigas. Este proceso se desarrolla en ambas direcciones. Es decir, se hace en la franja sombreada en la figura 7.66 y en todas las franjas paralelas a está. Luego, se desarrolla en franjas que son perpendiculares a estas franjas, de ahí el término de sistema de piso en dos direcciones.
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Figura 7.67 – Pórtico equivalente para la franja sombreada de la figura 7.66 por carga vertical
Para las cargas verticales, cada piso, junto con las columnas arriba y debajo de éste, se analiza por separado. En este análisis los extremos alejados de las columnas se consideran empotrados. La figura 7.67 muestra una viga de losa típica equivalente. Deben cumplirse los mismos espesores mínimos de losas dadas por la norma ACI que para el método directo de diseño. Los peraltes deben revisarse por cortante en las columnas y en otros apoyos, como lo especifica la sección 11.12 de la norma ACI. Una vez calculados los momentos, es necesario revisar la transferencia del cortante por momento en los apoyos. El análisis del pórtico se hace para la carga viva total del diseño aplicada en todos los claros, a menos que la carga viva existente no factorizada de diseño exceda 0.75 veces la carga muerta no factorizada (artículo 13.7.6 del código ACI). Cuando la carga viva es mayor que 0.75 veces la carga muerta, se usa un patrón de carga con tres cuartas partes de la carga viva para calcular los momentos y las fuerzas cortantes. Se supone que el momento máximo positivo en el centro de un claro ocurre cuando se aplican las tres cuartas partes de la carga total de diseño en ese tablero y en los claros alternos. Se supone que el momento máximo negativo en la losa en un apoyo, ocurre cuando se aplican las tres cuartas partes de la carga viva total de diseño sólo en los tableros adyacentes. Los valores así obtenidos no deben ser menores que los calculados, suponiendo una carga viva plena en todos los claros. 7.11.3) PROPIEDADES DE LAS VIGAS LOSAS Las partes del marco son las losas, vigas, ábacos, columnas, etc. Nuestro primer objetivo es calcular las propiedades de las vigas losas y de la columna, es decir los factores de rigidez, los factores de distribución, los factores de transporte y los momentos de empotramiento. Para simplificar este trabajo, la sección 13.7.3.1 de la ACI permite que las propiedades de los miembros del marco se basen en sus momentos de inercia totales y no en sus secciones transformadas o agrietadas. A pesar del uso de las dimensiones totales de los miembros, los cálculos implicados en la determinación de las propiedades de los miembros no prismáticos es aún un trabajo laborioso, y por tanto, veremos que el uso de tablas existentes es de gran ayuda. En la figura 7.68(a) se muestra una losa plana con columnas. Las secciones transversales de la estructura se muestran en la parte (b) de la figura para la losa, y en la parte (c) para la columna. copyright©rcolquea
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En la sección 2-2 se muestra una sección ficticia que tendrá una rigidez aproximadamente equivalente a la de la losa y de la columna real. Se da también una expresión para el 𝐼 de la sección equivalente. En esta expresión, 𝑐2 es el ancho de la columna en una dirección perpendicular a la dirección del claro, y 𝑙2 es el ancho de la viga losa. El momento de inercia total en la cara del apoyo, se calcula y se divide entre (1 − 𝑐2 ⁄𝑙2 )2. Esto aproxima el defecto del gran incremento en peralte proporcionado por la columna en la distancia en que la losa y la columna están en contacto.
𝑙2 𝑙𝑛 3 𝐼1 = 12 𝐼2 =
𝐼1 𝐶
2
(1 − 𝑙 2 ) 2
Figura 7.68 – Sistema de losa sin vigas
7.11.4) PROPIEDADES DE LAS COLUMNAS Se supone que la longitud de una columna va del punto medio del espesor de la losa de un piso, al punto medio del espesor de la losa en el siguiente piso. Para cálculos de rigideces, los momentos de inercia de las columnas se basan en sus dimensiones totales. Así, si se tienen capiteles, el efecto de sus dimensiones debe usarse para esas partes de las columnas. Las columnas se suponen infinitamente rígidas dentro del espesor de las losas. Con un diagrama de rigidez de columna, la rigidez por flexión 𝑘𝑐 de la columna puede determinarse con el método de la viga conjugada o con otros métodos. En la tabla A.20 del apéndice del libro de McCormac se dan los valores de 𝑘𝑐 para varios casos típicos de columnas.
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Al aplicar la distribución de momentos a un marco particular, necesitamos las rigideces de la viga de losa, de los miembros a torsión y de la columna equivalente, para poder calcular los factores de distribución. Con este fin son necesarios la columna equivalente, la viga de losa equivalente y los miembros a torsión en un nodo en particular. En nuestro análisis haremos referencia a la figura 7.69, donde se supone que se tiene una columna arriba y otra abajo del nodo considerado. Así, se supone que la rigidez de la columna (𝑘𝑐 ) incluye la rigidez de la columna superior (𝑘𝑐𝑡 ) y de la columna inferior (𝑘𝑐𝑏 ). Entonces, ∑ 𝑘𝑐 = 𝑘𝑐𝑡 + 𝑘𝑐𝑏 . De manera similar, se supone que la rigidez torsional total es igual a la de los miembros a torsión en ambos lados del nodo (∑ 𝑘𝑡 = 𝑘𝑡1 + 𝑘𝑡2 ). Para un marco exterior, el miembro a torsión estará localizado en un solo lado. Se determinó la siguiente expresión aproximada para la rigidez (𝑘𝑡 ) del miembro a torsión, usando un análisis tridimensional para varias configuraciones de la losa (R13.7.5 del ACI) 9𝐸𝑐𝑠 𝐶 𝑘𝑡 = ∑ 𝑐 3 𝑙2 (1 − 𝑙 2 ) 2
En esta fórmula, 𝐶 debe determinarse con la siguiente expresión dividiendo la sección transversal del miembro a torsión en partes rectangulares y sumando los valores de 𝐶 de las diferentes partes. 𝑥 𝑥3𝑦 𝐶 = ∑ (1 − 0.63 ) 𝑦 3
Figura 7.69 – Encuentro entre viga y columna
Si no hay una viga unida a la columna considerada, se usará como viga efectiva una parte de la losa igual al ancho de la columna o capitel. Si una viga está conectada a la columna, se supondrá una viga T o una L con patines de anchos iguales a la proyección de la viga arriba o debajo de la losa, pero no mayor que cuatro veces el espesor de la losa. La flexibilidad de la columna equivalente es igual al recíproco de su rigidez, como sigue: 1 1 1 1 1 1 = + = + 𝑘𝑒𝑐 ∑ 𝑘𝑐 ∑ 𝑘𝑡 𝑘𝑒𝑐 𝑘𝑐𝑡 + 𝑘𝑐𝑏 𝑘𝑐 + 𝑘𝑡 Si despejamos de esta expresión la rigidez equivalente de la columna y multiplicamos por 𝑘𝑐 , se obtiene:
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(𝑘𝑐𝑡 + 𝑘𝑐𝑏 )(𝑘𝑡 + 𝑘𝑡 ) (𝑘𝑐𝑡 + 𝑘𝑐𝑏 ) + (𝑘𝑡 + 𝑘𝑡 ) Un examen de esta breve deducción muestra que la flexibilidad a torsión del nodo columna losa, reduce la capacidad del nodo para transmitir momentos. 𝑘𝑒𝑐 =
Después de que se obtiene el valor de 𝑘𝑒𝑐 , los factores de distribución pueden calcularse como sigue; con referencia nuevamente a la figura 7.69: 𝑘𝑏1 𝐷𝐹 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎 2 − 1 = 𝑘𝑏1 + 𝑘𝑏2 + 𝑘𝑒𝑐 𝑘𝑏2 𝐷𝐹 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎 2 − 3 = 𝑘𝑏1 + 𝑘𝑏2 + 𝑘𝑒𝑐 𝑘𝑒𝑐 /2 𝐷𝐹 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 𝑘𝑏1 + 𝑘𝑏2 + 𝑘𝑒𝑐 Ejemplo 7.4 Usando el método del pórtico equivalente, determinar los momentos de diseño para la franja sombreada de la estructura de placa plana que se muestra en la figura 7.70 si 𝑓´𝑐 = 28 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, y (carga muerta o factorizada) 𝐷 = 5.746 𝑘𝑁/𝑚2 y (carga viva no factorizada) 𝐿 = 3.95 𝑘𝑁/𝑚2 . La longitud de las columnas=2.85 𝑚.
Figura 7.70 – Losa sin vigas
Datos: 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: 𝑙1 = 6.6 𝑚, 𝑙2 = 5.4 𝑚, 𝑐1 = 375 𝑚𝑚, 𝑐2 = 375 𝑚𝑚 copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑓´𝑐 = 28 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝜆 = 1, 𝜑 = 0.75 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠: 𝐿 = 3.95
𝑘𝑁 , 𝐷 = 5.746 𝑘𝑁/𝑚2 𝑚2
Solución: Paso 1: Determinamos el espesor requerido por las limitaciones de peralte. ACI 9.5.3 Suponemos que esto ya se ha hecho y que se ha seleccionado una losa con: ℎ = 200 𝑚𝑚
𝑑 = 170 𝑚𝑚
Paso 2: Revisamos el cortante directo para la columna exterior 𝑞𝑢 = 1.2𝐷 + 1.6𝐿 = 1.2 ∙ 5.746 + 1.6 ∙ 3.95 = 13.215 𝑘𝑁/𝑚2 𝑉𝑢 para un 1 metro de ancho: 𝑙1 5.4 𝑘𝑁 𝑉𝑢 = 𝑞𝑢 ( − 𝑐1 − 𝑑) = 13.215 ( − 0.375 − 0.17) = 36.408 2 2 𝑚 𝜑𝑉𝑐 = 𝜑0.17𝜆√𝑓´𝑐 𝑏𝑑 = 0.75 ∙ 0.17 ∙ 1√28 ∙ 1000 ∙ 170/1000 = 114.693 𝜑𝑉𝑐 > 𝑉𝑢 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒
𝑘𝑁 𝑚
114.693 > 36.408 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒
Paso 3: Revisamos el cortante en dos direcciones alrededor de las columnas interiores 𝑉𝑢 = 𝑞𝑢 (𝑙2 𝑙1 − (𝑐1 + 𝑑)2 ) = 13.215(6.6 ∙ 5.4 − (0.375 + 0.17)2 ) = 467.064 𝑘𝑁 𝜑𝑉𝑐 = 𝜑0.33𝜆√𝑓´𝑐 4(𝑐1 + 𝑑)𝑑 = 0.75 ∙ 0.33 ∙ 1√28 ∙ 4(375 + 170) ∙ 170/1000 = 485.35 𝑘𝑁 𝜑𝑉𝑐 > 𝑉𝑢 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒
485.35 > 467.064 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒
Paso 4: Usando las tablas del apéndice del libro de McCormac, determinamos los factores de rigidez y los momentos de empotramiento para los claros de 6.6 𝑚. ℎ3 2003 𝐼𝑠 = 𝑙2 = 6600 = 3600000000 𝑚𝑚2 12 12 𝐸𝑐𝑠 = 4700√𝑓´𝑐 = 4700√28 = 24870.062 𝑀𝑃𝑎 Con referencia a la table A.16 del apéndice de McCormac, observe que los valores de 𝐶 son dimensiones de las columnas como se muestra en las figuras que acompañan a las tablas A.16 a A.19 del apéndice. 𝐶1𝐴 = 375 𝑚𝑚 𝐶2𝐴 = 𝐶1𝐴 𝐶1𝐵 = 𝐶1𝐴 𝐶2𝐵 = 𝐶1𝐴 𝐶1𝐴 0.375 𝐶1𝐵 0.375 = = 0.057 = = 0.057 𝑙1 6.6 𝑙1 6.6 Interpolando en la tabla (observando que A es para el extreme cercano y B para el alejado). Los valores de la tabla son muy aproximados. 𝑘𝐴𝐵 = 4.05 𝑘𝐴𝐵 =
𝑘𝐴𝐵 𝐸𝑐𝑠 𝐼𝑠 4.05 ∙ 24870.062 ∙ 3600000000/106 = = 54940.229 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑙1 6600
𝐹𝐸𝑀𝐴𝐵 = 0.084𝑞𝑢 𝑙2 𝑙1 2 = 0.084 ∙ 13.215 ∙ 5.4 ∙ 6.62 = 261.117 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 copyright©rcolquea
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Factor de transporte 𝐶𝐴𝐵 = 0.503
𝐶𝐵𝐴 = 𝐶𝐴𝐵
Paso 5: Determinar la rigidez de la columna 𝑐1 𝑐2 3 375 ∙ 3753 𝐼𝑐 = = = 1647949218.75 𝑚𝑚4 12 12 𝐸𝑐𝑐 = 𝐸𝑐𝑠 = 24870.062 𝑀𝑃𝑎 Usando la table A.20 del apéndice del libro de McCormac 𝑙𝑛 2.65 𝑙𝑐 = 2.85 𝑚 𝑙𝑛 = 𝑙𝑐 − ℎ = 2.85 − 0.2 = 2.65 𝑚 = = 0.93 𝑙𝑛 = 𝑙𝑢 𝑙𝑐 2.85 Con referencia a la figura dada con la table A.20 ℎ 200 ℎ 200 𝑎 100 𝑎= = = 100 𝑚𝑚 𝑏= = = 100 𝑚𝑚 = =1 2 2 2 2 𝑏 100 𝑘𝐴𝐵𝑐 = 4.81 𝑝𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑝𝑜𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑘𝑐𝑏 =
𝑘𝐴𝐵𝑐 𝐸𝑐𝑐 𝐼𝑐 4.81 ∙ 24870.062 ∙ 1647949218.75 /106 = = 69170.5 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑙𝑐 2850 𝑘𝑐𝑡 = 𝑘𝑐𝑏 = 69170.5 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝐶𝐴𝐵 = 0.55 𝑝𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑝𝑜𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛
Paso 6: Se determina la rigidez torsional de la sección de la losa (ver figura 7.71)
Figura 7.71 – Sección de rigidez torsional
𝑥 = ℎ = 200 𝑚𝑚
𝑦 = 𝑐1 = 375 𝑚𝑚
3
𝑥 𝑥 𝑦 200 2003 375 𝐶 = (1 − 0.63 ) ( ) = (1 − 0.63 )( ) = 664000000 𝑚𝑚4 𝑦 3 375 3 𝑘𝑡 =
9𝐸𝑐𝑠 𝐶 𝑐
3
(𝑙2 (1 − 𝑙 2 ) ) 2
=
9𝐸𝑐𝑠 𝐶 𝑐
3
(𝑙2 (1 − 𝑙 2 ) ) 2
=
9 ∙ 24870.06 ∙ 664000000 /106 375 3
= 34155.9 𝑘𝑁 ∙ 𝑚
(5400 (1 − 5400) )
Paso 7: Cálculo de 𝑘𝑒𝑐 , la rigidez de la columna equivalente (𝑘𝑐𝑡 + 𝑘𝑐𝑏 )(𝑘𝑡 + 𝑘𝑡 ) (2 ∙ 69170.5 )(2 ∙ 34155.9) 𝑘𝑒𝑐 = = = 45730.51𝑘𝑁 ∙ 𝑚 (𝑘𝑐𝑡 + 𝑘𝑐𝑏 ) + (𝑘𝑡 + 𝑘𝑡 ) (2 ∙ 69170.5 ) + (2 ∙ 34155.9) En la figura 7.72 se muestra un resumen de los valores de rigideces
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Figura 7.72 – Rigideces en vigas y columnas
Paso 8: Calculamos luego los factores de distribución y los momentos balanceados (véase la figura 7.73). No se muestra los momentos en la parte superior e inferior de las columnas, pero esto podría hacerse fácilmente multiplicando los momentos balanceados de las columnas en los nodos de las losas, por el factor de transporte para las columnas que es de 0.55. 𝑘𝑒𝑐
𝐷𝐹𝐴 =
2
𝑘𝑒𝑐 + 𝑘𝐴𝐵 𝑘𝑒𝑐
45730.51
=
2
45730.51 + 54940.23
= 0.227
45730.51
2 = = 0.147 𝑘𝑒𝑐 + 2𝑘𝐴𝐵 45730.51 + 2 ∙ 54940.23 𝑘𝐴𝐵 45730.51 𝐷𝐹𝐴 = = = 0.546 𝑘𝑒𝑐 + 𝑘𝐴𝐵 45730.51 + 54940.23 𝑘𝐴𝐵 45730.51 𝐷𝐹𝐴 = = = 0.353 𝑘𝑒𝑐 + 2𝑘𝐴𝐵 45730.51 + 2 ∙ 54940.23
𝐷𝐹𝐴 =
2
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Figura 7.73 – Momentos balanceados del pórtico equivalente
𝑀𝐴 = 122.5 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝐵 = 305.11 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝐶 = 305 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝐷 = 121.61 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 En la figura 7.74 se da un resumen de los valores de los momentos para el ejemplo. Los momentos positivos mostrados en cada claro se suponen iguales a los momentos del centro del claro de una viga simple, más el promedio de los momentos negativos en los extremos. Esto es correcto si los momentos extremos de un claro en particular son iguales, y es aproximadamente correcto si los momentos son desiguales: 𝑞𝑢 𝑙2 𝑙1 2 𝑀𝐴 + 𝑀𝐵 13.215 ∙ 5.4 ∙ 6.62 122.5 + 305.11 𝑀𝐴𝐵 = −( )= −( ) = 174.762 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 8 2 8 2 𝑞𝑢 𝑙2 𝑙1 2 𝑀𝐵 + 𝑀𝐶 13.215 ∙ 5.4 ∙ 6.62 305.11 + 305 𝑀𝐵𝐶 = −( )= −( ) = 83.512 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 8 2 8 2 𝑞𝑢 𝑙2 𝑙1 2 𝑀𝐶 + 𝑀𝐷 13.215 ∙ 5.4 ∙ 6.62 305 + 121.61 𝑀𝐶𝐷 = −( )= −( ) = 175.262 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 8 2 8 2 Los momentos negativos mostrados en las figuras 7.73 y 7.74 se calcularon en los ejes de los apoyos. En tales apoyos, la sección transversal de la viga losa es muy grande, debido a la presencia de la columna. Sin embargo, en la cara de la columna la sección transversal es mucho menor y la sección del ACI 13.7.7 estipula que debe diseñarse refuerzo negativo para el momento en esa posición. (Si la columna no es rectangular, se reemplaza por una columna cuadrada con la misma área total y el momento se calcula en la cara de la columna ficticia).Como la relación de carga muerta a carga viva no factorizadas es menor que 0.75, la sección 13.7.6.2 del ACI permite un solo análisis con carga viva para todos los claros. No se requiere ningún análisis de patrón de cargas. copyright©rcolquea
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-61.5
-0.26
-3.51
0.227
-57.7
-3.51
-261.1 -73.58 31.2 -4.42 2.86 -0.4 0.4 -305
0.546 -0.26
0.353
0.227
121.61 -0.78 1.43 -8.71 15.6 -147 261.1
13.37
0.13
1.04
12.2
D
-61.5
0.147
12.2
1.04
0.353 0.13
-261.1 -26.52 15.6 -7.02 1.43 -0.91 -278.5
0.147
-12.9
273.59 0.4 -0.52 2.86 -3.51 26.52 -13.26 261.1
0.353 13.37
0.147
-9.9
-2.6
-0.4
-261.1 146.2 -13.2 7.4 -3.5 1.9 -0.5 0.3 -122.5
0.353
-0.4
61.65
0.13
0.8
3
57.72
0.546 -12.9
0.227
57.72
3
0.8
0.13
61.65
0.227
Factores de transporte (C.O.) de vigas=0.503
-2.6
305.11 -0.91 1.04 -7.02 3.8 -26.5 73.6 261.1
C
-9.9
B
0.147
A
-57.7
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Figura 7.74 – Diagrama de momentos en los ejes de la columna
7.12) ANÁLISIS Y DISEÑO DE ESCALERAS 7.12.1) CLASIFICACIÓN DE ESCALERAS SEGÚN SU APOYO LONGITUDINAL 7.12.1.1) Escalera de un tramo Son escaleras que se encuentran apoyadas en los extremos y llevan el acero principal a lo largo del eje longitudinal y el acero de distribución perpendicular a la escalera, este tipo de escaleras por lo general se diseña como una losa en una dirección con armadura superior e inferior. Por su tipo de apoyo las escaleras de un tramo se puede clasificar en dos: escaleras simplemente apoyadas y escaleras empotradas, las mismas se muestran en la figura 7.75.
Figura 7.75– Escalera de un tramo
7.12.1.2) Escalera de dos o más tramos En el diseño de escaleras se puede trabajar en forma recta o inclinada, ya que ambos casos dan el mismo resultado, pero se debe tener cuidado al proyectar las cargas, este tipo de escalera por lo general se diseña como losa en una dirección con armadura superior, armadura inferior y armadura por retracción y temperatura. Existen dos tipos de escaleras de dos tramos o más: escaleras de dos tramos sin desplazamiento vertical y escalera con desplazamiento horizontal, la primera es de uso común, las respectivas escaleras se muestran en la figura 7.76.
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Figura 7.76– Escalera de tres tramos
7.12.2) CARGAS EN ESCALERA Carga muerta (D), una escalera común está conformado por peso propio de la losa, peso propio de los peldaños, peso del contra piso, peso del piso, peso de instalaciones sanitarias y eléctricas, y finalmente se debe considerar el peso de las barandas y pasamanos. Se debe considerar el peso en función el peso específico del material y también se debe consultar al fabricante de los materiales. Carga viva (L), la carga viva se determina según la utilización de la estructura, las cargas viva están definidas en el código ASCE7-10, la carga viva en escalera es mucho mayor al de la carga viva en habitaciones, ya que la escalera y los pasillos son críticos en casos extremos de emergencia, como ejemplo se puede citar un incendio. 7.12.3) DIMENSIONAMIENTO Para dimensionar una escalera se debe considerar factores como la luz de la escalera, altura de entrepiso, número de peldaños, cada peldaño está compuesto por huella y contrahuella, lo respectivo debe seguir normas de funcionalidad definidas por el arquitecto. Se debe resaltar que la huella es el plano horizontal en el que se debe pisar al subir las gradas, la contra huella es el plano vertical perpendicular a la huella, lo respectivo se refleja en la figura 7.77.
Figura 7.77– Partes de una escalera
La fórmula que comúnmente se utiliza para la dimensión de peldaños en una escalera está dado por: 𝐻 + 2𝐶𝐻 = 600 𝐴 640 𝑚𝑚 Dónde: 𝐻: longitud en sentido de la circulación de la contrahuella, cuyo valor mínimo es de 250 mm. 𝐶𝐻: Es la altura de la contrahuella, como alturas mínimas de contrahuella tenemos: copyright©rcolquea
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ALTURA DE CONTRA HUELLA
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Edificios con mucho transito...130 a150 mm Edificios y viviendas con transito medio...150 a175 mm Edificios y viviendas con poco tránsito...200 mm
También se da algunas recomendaciones para anchos mínimos de escaleras:
ANCHO MÍNIMO DE ESCALERAS
Edificios en general...1.2 m Viviendas...1 m
Escaleras secundarias...0.80 m Escalera en caracol...0.60 m
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Ejemplo 7.5 Diseñar la escalera, dimensionar, calcular los momentos del diseño, seleccionar el refuerzo y realizar el plano constructivo. Las dimensiones están definidas por el arquitecto y se reflejan en la figura.
Figura 7.78 – Geometría de la escalera
Datos: 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: 𝑙 = 4.4 𝑚, 𝑙1 = 1 𝑚, 𝑙2 = 1 𝑚 𝑏 = 1.2 𝑚, ℎ𝑜 = 2.7 𝑚, 𝑟𝑒𝑐 = 30 𝑚𝑚, 𝜙𝑒𝑠𝑡 = 8 𝑚𝑚, 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 = 10 𝑚𝑚 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑓´𝑐 = 25 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝜆 = 1, 𝐸𝑠 = 200000 𝑀𝑃𝑎, 𝑤𝑐 𝑘𝑔𝑓 3 = 2400 2 , 𝜙𝑚𝑎𝑥𝑎𝑔𝑟 = 𝑖𝑛 𝑚 4 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠: 𝐿 = 4.79 𝑘𝑁/𝑚2 , 𝜑 = 0.9 Solución: Paso 1: Dimensionar la escalera a. Determinar la longitud de la huella considerando 8 peldaños según la figura 7.78: 𝑙 − (𝑙1 + 𝑙2 ) 4400 − (1000 + 1000) 𝑁𝑝𝑒𝑙𝑑𝑎ñ𝑜𝑠 = 8 𝐻 = = = 300 𝑚𝑚 𝑁𝑝𝑒𝑙𝑑𝑎ñ𝑜𝑠 8 copyright©rcolquea
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b. Determinar la altura de la contrahuella 640 − 𝐻 640 − 300 𝐶𝐻 = = = 170 𝑚𝑚 2 2 Por lo tanto usar en cada tramo 8 peldaños con una huella de 300 mm y contra huella de 170 mm. c. Determinar el espesor de la escalera considerando el estado límite último de servicio. ACI 9.5.2.1 𝑙 − (𝑙1 + 𝑙2 ) 4400 − (1000 + 1000) ℎ𝑚𝑖𝑛 = = = 120 𝑚𝑚 20 20 Entonces la altura de la losa es de 120 mm. d. Determinar la altura de losa equivalente (ver figura 7.78). 𝐶𝐻 ℎ 170 120 ℎ𝑒𝑞 = + = + = 222.93 𝑚𝑚 𝐻 300 2 2 √𝐶𝐻 2 +𝐻 2
√1702 +3002
Paso 2: Determinar las solicitaciones Solicitaciones estáticas sobre la escalera: 𝑘𝑁 𝑘𝑁 𝑘𝑁 𝑘𝑁 𝐷𝑦𝑒𝑠𝑜 = 0.294 2 , 𝐷𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑝𝑖𝑠𝑜 = 0.588 2 , 𝐷𝑝𝑖𝑠𝑜 = 0.588 2 , 𝐷𝑙𝑢𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 = 0.098 2 𝑚 𝑚 𝑚 𝑚 𝐷𝑜 = 𝐷𝑦𝑒𝑠𝑜 + 𝐷𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑝𝑖𝑠𝑜 + 𝐷𝑝𝑖𝑠𝑜 + 𝐷𝑙𝑢𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 = 0.294 + 0.588 + 0.588 + 0.098 = 𝐷𝑜 = 1.568
𝑘𝑁 𝑚2
Carga muerta sobre el descanso: 𝐷𝑑𝑒𝑠𝑐𝑎𝑛𝑠𝑜 = 𝑤𝑐 ℎ + 𝐷𝑜 = 23.4 ∙ 0.12 + 1.568 = 4.392
𝑘𝑁 𝑚2
Carga muerta sobre la escalera: 𝐷𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑒𝑟𝑎 = 𝑤𝑐 ℎ + 𝐷𝑜 = 23.4 ∙ 0.22 + 1.568 = 6.815
𝑘𝑁 𝑚2
Solicitaciones dinámicas sobre las escaleras: ASCE 7-10 𝑘𝑁 𝐿 = 4.79 2 𝑚 Paso 3: Determinar la carga última en la losa de descanso y escalera Descanso: 𝑞𝑢𝑑 = 𝑚𝑎𝑥 {
1.4𝐷𝑑𝑒𝑠𝑐𝑎𝑛𝑠𝑜 = 𝑚𝑎𝑥 { 1.2𝐷𝑑𝑒𝑠𝑐𝑎𝑛𝑠𝑜 + 1.6𝐿
1.4 ∙ 4.392 = 6.15
𝑘𝑁 𝑚2
1.2 ∙ 4.392 + 1.6 ∙ 4.79 = 12.935
𝑘𝑁 ∎ 𝑚2
Escalera: 1.4𝐷𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑒𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 = 𝑚𝑎𝑥 { = 𝑚𝑎𝑥 { 1.2𝐷𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑒𝑟𝑎 + 1.6𝐿
1.4 ∙ 6.815 = 9.541
𝑘𝑁 𝑚2
1.2 ∙ 6.815 + 1.6 ∙ 4.79 = 15.842 copyright©rcolquea
𝑘𝑁 ∎ 𝑚2 593
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Paso 4: Determinar el momento flector generado por las solicitaciones Para la determinación de momentos flectores se utiliza cualquier método de análisis estructural conocido, la alternativa más usual en la actualidad es el método de elementos finitos, el método respectivo es utilizado por la mayoría de los programas, pero en el ejemplo se utilizara el método aproximado de coeficientes. Determinar la hipotenusa de la escalera: ℎ𝑜 2 2.7 2 𝑙 = √( ) + (𝑙 − (𝑙1 + 𝑙2 ))2 = √( ) + (4.4 − (1 + 1))2 ) = 2.754 𝑚 2 2 Momento negativo en la cara interior del apoyo A 𝑞𝑢𝑑 𝑙12 12.935 ∙ 12 = = 1.437 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 9 9 Momento positivo en el centro del tramo AB 𝑀𝑢− =
𝑞𝑢𝑑 𝑙12 12.935 ∙ 12 = = = 0.359 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 36 36 Momento negativo en la cara exterior del apoyo B 𝑀𝑢+
𝑞𝑢𝑑 𝑙12 12.935 ∙ 12 = = = 1.078 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 12 12 Momento negativo en la cara interior del apoyo B 𝑀𝑢−
𝑞𝑢𝑒 𝑙 15.842 ∙ 2.7542 = = 13.347 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 9 9 Momento positivo en centro del tramo BC 𝑀𝑢− =
𝑞𝑢𝑒 𝑙 15.842 ∙ 2.7542 = = = 10.01 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 12 12 Momento negativo en la cara interior del apoyo C 𝑀𝑢+
𝑞𝑢𝑒 𝑙 15.842 ∙ 2.7542 = = 13.347 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 9 9 Momento negativo en la cara exterior del apoyo C 𝑀𝑢− =
𝑞𝑢𝑑 𝑙12 12.935 ∙ 12 = = 1.078 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 12 12 Momento positivo en el centro del tramo CD 𝑀𝑢− =
𝑞𝑢𝑑 𝑙12 12.935 ∙ 12 = = = 0.359 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 36 36 Momento negativo en la cara interior del apoyo D 𝑀𝑢+
𝑀𝑢− =
𝑞𝑢𝑑 𝑙12 12.935 ∙ 12 = = 0.616 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 21 21
Paso 5: Determinar el área mínima de acero por contracción y temperatura, verificar separación. 𝑏𝑤 = 1000 𝑚𝑚 Determinar el área de acero mínimo por cada metro de ancho. ACI 7.12.2.1 copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO 𝑆í 350 𝑀𝑃𝑎 < 𝑓𝑦 ≤ 420 𝑀𝑃𝑎 → 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0.0018 ∙ 𝑏𝑤 ∙ ℎ
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0.0018 ∙ 1000 ∙ 120 = 216 𝑚𝑚2 𝑏𝑤 1000 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣 = 251 𝑚𝑚2 𝑛 = 5 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 = 8 𝑚𝑚 𝑠 = = = 250 𝑚𝑚 𝑛−1 5−1 𝜙8𝑐 /250 𝑚𝑚 Verificar el espaciamiento máximo. ACI 7.12.2.2 5ℎ 5 ∙ 120 = 600 𝑚𝑚 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛 { = 𝑚𝑖𝑛 { → 𝑆 ≤ 𝑠𝑚𝑎𝑥 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒! 450 𝑚𝑚 450 𝑚𝑚 ∎ Paso 6: Diseño preliminar para la armadura de flexión. a. Deformación unitaria 𝑓𝑦 𝜀𝑦 = = 0.002 𝐸𝑠 b. Determinar la armadura requerida y provista por flexión 𝑑 = ℎ − 𝑟𝑒𝑐 − 𝜙𝑒𝑠𝑡 − 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 = 72 𝑚𝑚 𝛽1 = 0.85 Acero de refuerzo para los respectivos momentos 𝑓 ′𝑐 2𝑀𝑢 𝐴𝑠 = 0.85 (1 − √1 − )𝑏 𝑑 𝑓𝑦 0.85𝑓 ′ 𝑐 𝜑𝑓 𝑏𝑤 𝑑 2 𝑤 1.437 0.359 1.078 13.347 2 ∙ 10.01 ∙ 106 13.347 1.078 0.359 25 [ 0.616 ] 𝐴𝑠 = 0.85 1− 1− 1000 ∙ 72 = 420 √ 0.85 ∙ 25 ∙ 0.9 ∙ 1000 ∙ 722
(
63.835 15.871 47.788 634.531 466.221 𝑚𝑚2 634.531 47.788 15.871 [ 27.243 ]
) (𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝐴𝑠 ) → 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞 = 𝐴𝑠
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216 216 216 634.531 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞 = 466.221 𝑚𝑚2 634.531 216 216 [ 216 ] 𝑏𝑤 1000 𝑆𝑖 𝑛 = 5(𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠) 𝑠 = = = 250 𝑚𝑚 𝑛−1 5−1 5𝜙8𝑐/250 𝑚𝑚 251 5𝜙8𝑐/250 𝑚𝑚 251 5𝜙8𝑐/250 𝑚𝑚 251 6𝜙12𝑐/200 𝑚𝑚 679 2 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣 = 471 𝑚𝑚 = 6𝜙10𝑐/200 𝑚𝑚 6𝜙12𝑐/200 𝑚𝑚 679 251 5𝜙8𝑐/250 𝑚𝑚 251 5𝜙8𝑐/250 𝑚𝑚 [251] [ 5𝜙8𝑐/250 𝑚𝑚 ] c. Determinar la altura equivalente del bloque de compresiones 4 4 4 11 𝐴𝑠 𝑓𝑦 𝑎= = 8 𝑚𝑚 0.85𝑓´𝑐 𝑏 11 4 4 [4] d. Determinar la distancia desde el eje neutro hasta la última fibra de compresión 5 5 5 13 𝑎 𝑐= = 9 𝑚𝑚 𝛽1 13 5 5 [5] e. Determinar la deformación unitaria neta de tracción en el refuerzo de acero extremo de tracción.
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0.0414 0.0414 0.0414 0.0134 𝑑−𝑐 𝜀𝑡 = 𝜀𝑢 = 0.0207 > 0.005 → 𝜙 = 0.9 𝑐 0.0134 0.0414 0.0414 [0.0414] f. Verificar la separación máxima por agrietamiento y la separación mínima 2 2 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 = 420 = 280 𝑀𝑃𝑎 𝑐𝑐 = 𝑟𝑒𝑐 + 𝜙𝑒𝑠𝑡 = 38 𝑚𝑚 3 3 280 280 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 380 − 2.5𝑐𝑐 < 300 = 285 𝑚𝑚 ⏟ 𝑓𝑠 ⏟ 𝑓𝑠 285
𝑠𝑚𝑖𝑛 = 𝑚𝑖𝑛 { 𝑠𝑚𝑖𝑛 ≤
25 𝑚𝑚 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔
300
25 𝑚𝑚 = 𝑚𝑖𝑛 {12 𝑚𝑚 25 𝑚𝑚
4 𝜙 3 𝑚𝑎𝑥𝑎𝑔𝑟 ⏟ 𝑠 ≤ 𝑠𝑚𝑎𝑥 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒
200 𝑚𝑚
Figura 7.79 – Armado de la escalera
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7.13) PROBLEMAS PROPUESTOS Problema 7.1 Realizar una lectura del libro de Hormigón Armado de Pedro Jiménez Montoya, Álvaro García Meseguer y Francisco Morán Cabre de la página 539 al 583 y posteriormente responder las siguientes preguntas: Realice de forma breve y concisa un esquema o tabla resumen de los métodos de cálculo clásico, es decir los métodos de cálculo en rotura y los métodos simplificados considerando los siguientes aspectos: o Principios del método o Campo de aplicación o Limitaciones del método ¿Cuál es la importancia de la armadura en el efecto arco? ¿Enuncie el teorema del límite inferior de la teoría de la plasticidad? ¿Cómo se obtiene la configuración de rotura en el método de las líneas de rotura? ¿Cuál es la relación del método de líneas de rotura con los elementos finitos? ¿A qué se llama banda o franja? ¿A qué se llama panel? Caracterice los tipos de placas que existe en la construcción de Hormigón Armado ¿Cuál es la diferencia en el comportamiento estructural de una placa sobre apoyos puntuales y una placa apoyada sobre su contorno? En caso de que la estructura este sometida a solicitaciones laterales o sísmicas, ¿cuál de los métodos simplificados de cálculo deberíamos considerar y porque? ¿Cómo se transmiten los momentos entre la placa y los soportes en una placa sobre apoyos puntuales? ¿Hasta qué distancia del borde interior de un apoyo extremo debe extenderse la armadura superior en una banda central? ¿Con que propósito se calcula la rigidez de los soportes?
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Problema 7.2 Diseñar el sistema de entrepiso con vigas de 250x500 mm, las columnas de esquina son 300x300 mm, las columnas de borde y central son de 500x400 mm, las columna están ubicados de acuerdo a la figura. Las solicitaciones debido al peso propio mas acabados 𝑘𝑁 suman 2 𝑘𝑁/𝑚2 y una carga viva de 4 𝑚2 , la altura de entrepiso es de 2.65 m, con una resistencia característica de 21 𝑀𝑃𝑎 y la resistencia a fluencia del acero es de 420 𝑀𝑃𝑎.
Problema 7.3 Diseñar el sistema de entrepiso con vigas exteriores de 250x500 mm las columnas de esquina son 300x300 mm, las columnas de borde y central son de 500x400 mm, las columna están ubicados de acuerdo a la figura. Las solicitaciones debido al peso propio mas 𝑘𝑁 acabados suman 1.92 𝑘𝑁/𝑚2y una carga viva de 4.65 𝑚2 , la altura de entrepiso es de 2.8 m. El vaciado es con concreto normal con una resistencia característica de 25 𝑀𝑃𝑎 y la resistencia a fluencia del acero es de 420 𝑀𝑃𝑎.
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Problema 7.4 Diseñar la losa maciza en la dirección larga por el método de diseño directo del ACI. El entrepiso no tiene vigas interiores. 𝑓´𝑐 = 240 𝑘𝑔𝑓⁄𝑐𝑚2 , 𝑓𝑦 = 4200 𝑘𝑔𝑓⁄𝑐𝑚2 , 𝑟𝑒𝑐 = 2.0 𝑐𝑚
Problema 7.5 Diseñar la franja central de la losa A en la dirección corta por el método directo del ACI, considerar el espesor de losa maciza igual a 130 mm, las vigas interiores son de 250x500 mm, considerar la redistribución de momentos si todas las columna son 250x250 mm y la altura de entrepiso de 3 m 𝑓´𝑐 = 250 𝑘𝑔𝑓⁄𝑐𝑚2 , 𝑓𝑦 = 4200 𝑘𝑔𝑓⁄𝑐𝑚2 , 𝑟𝑒𝑐 = 2.0 𝑐𝑚
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Problema 7.6 Diseñar la losa de esquina en la luz corta por el método directo del ACI, las vigas son de 250x550 mm, también verificar la transferencia de momento y cortante para la columna de esquina de 250x250 mm. 𝑓´𝑐 = 230 𝑘𝑔𝑓⁄𝑐𝑚2 , 𝑓𝑦 = 4200 𝑘𝑔𝑓⁄𝑐𝑚2 , 𝑟𝑒𝑐 = 2.0 𝑐𝑚
Problema 7.7 Diseñar la losa nervada de esquina en dos direcciones, diseñar a flexión y corte en ambas direcciones utilizando el método directo del ACI, las vigas son de 25x40 cm, utilizar casetones de 50/60 cm, y finalmente elaborar un plano constructivo. 𝑓´𝑐 = 250 𝑘𝑔𝑓⁄𝑐𝑚2 , 𝑓𝑦 = 4200 𝑘𝑔𝑓⁄𝑐𝑚2 , 𝑟𝑒𝑐 = 2.3 𝑐𝑚
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CAPÍTULO 8: COLUMNAS:
CARGA AXIAL Y FLEXIÓN COMBINADAS
8.1) INTRODUCCIÓN Las columnas son los miembros verticales a compresión de los marcos estructurales, que sirve para apoyar a las vigas cargadas. Transmiten las cargas de los pisos superiores hasta la planta baja y después al suelo, a través de la cimentación. Puesto que las columnas son elementos a compresión, la falla de una columna en un lugar crítico puede causar el colapso progresivo de los pisos concurrentes y el colapso total último de la estructura completa90.
Figura 8.1 – Columna en construcción
Como se verá en las secciones subsecuentes, el reglamento del ACI requiere que en el diseño de miembros a compresión se utilicen factores de reducción de la resistencia 𝜙, considerablemente menores que los factores 𝜙 para la flexión, el cortante o la torsión, porque se necesita una reserva adicional de resistencia para diseñar los miembros en compresión. Los principios de la compatibilidad de esfuerzos y deformaciones que se aplicaron en el análisis y diseño de las vigas, se aplican de igual forma a las columnas, sin embargo, se introduce un factor nuevo: la adición de una fuerza axial externa a los momentos de flexión, en consecuencia, es necesario hacer un ajuste de ecuaciones de equilibrio de fuerzas y momentos que se
90
(G. Nawy, 1984, pág. 321) copyright©rcolquea
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desarrollaron para las vigas, con el objeto de tomar en cuenta a la compresión y a la flexión combinadas. Como en el caso de las vigas, la resistencia de las columnas se calcula con los principios básicos siguientes: 1. Existe una distribución lineal de las deformaciones en la sección transversal de la columna. 2. No hay deslizamiento entre el acero y el concreto (la deformación en el acero y en el concreto en contacto es la misma). 3. Para el propósito de los cálculos de resistencia, la deformación máxima permisible del concreto en la falla es 0.003. 4. La resistencia a tracción del concreto es despreciables y no se considera en los cálculos. 8.1.1) TIPOS DE COLUMNAS 8.1.1.1) POR LA POSICIÓN DE LA CARGA Se clasifican como columnas cargadas axialmente y cargadas excéntricamente, según se muestra en la figura 8.2 y 8.3 respectivamente. Columnas cargadas axialmente, estas columnas no soportan momento, ver figura 8.2; sin embargo, en la práctica se debe diseñar a todas las columnas para resistir alguna excentricidad, no previstas o accidentales que se puede producir en la etapa constructiva.
Figura 8.2 – Columna con carga axial
Columnas con carga excéntrica, son columnas sujetas a momento y a carga axial simultáneamente, el momento se puede convertir en una carga P y una excentricidad 𝑒, como se muestra en la figura 8.3(a) y 8.3(b). El momento puede ser uniaxial, cuando existe flexión en uno de los ejes 𝑥 o 𝑦, 𝑀𝑢𝑥 o 𝑀𝑢𝑦 . El momento es biaxial cuando existe flexión con respecto a los dos ejes 𝑥 y 𝑦, 𝑀𝑢𝑥 y 𝑀𝑢𝑦 .
Figura 8.3 – Columnas con cargas excéntricas
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8.1.1.2) POR LA RIGIDEZ Y DIMENSIONES DE LA COLUMNA Las columnas de hormigón pueden clasificarse en las tres siguientes categorías: Pedestales o bloques cortos a compresión, si la altura de un miembro vertical a compresión es menor que tres veces su dimensión lateral más pequeña, puede considerarse como un pedestal. La sección de la ACI 2.2 y 10.14 establece que un pedestal puede diseñarse con concreto simple o sin refuerzo, con un esfuerzo máximo de diseño a compresión igual a 0.85𝜙𝑓´𝑐 𝐴1 , donde 𝜙 es 0.65. Si la carga total aplicada al miembro es mayor que 0.85𝜙𝑓´𝑐 𝐴1 será necesario ya sea incrementar el área de la sección transversal del pedestal o bien diseñarlo como una columna de concreto reforzado. Columnas cortas de concreto reforzado, si una columna de concreto reforzado falla debido a la falla inicial del material, se clasifica como columna corta. La carga que puede soportar está regida por las dimensiones de su sección transversal y por la resistencia de los materiales de que está construida. Consideramos que una columna corta es un miembro más bien robusto con poca flexibilidad. Columnas largas o esbeltas de concreto reforzado, a medida que las columnas se hacen más esbeltas, las deformaciones por flexión también aumentarán, así como los momentos secundarios resultantes. Si estos momentos son de tal magnitud que reducen significativamente la capacidad de la carga axial de la columna, ésta se denomina larga o esbelta. Cuando una columna está sometida a momentos primarios (aquellos momentos causados por las cargas aplicadas, rotaciones en los nudos, etc.), el eje del miembro se flexiona lateralmente, dando por resultado momentos adicionales iguales a la carga de la columna multiplicada por la deflexión lateral; estos momentos se llaman momentos secundarios o momentos 𝑃∆. Una columna que tiene momentos secundarios grandes se llama columna esbelta y es necesario dimensionar su sección transversal para la suma de los momentos primarios y secundarios. El propósito del ACI es permitir diseñar las columnas como columnas cortas si el efecto secundario o efecto 𝑃∆ no reduce su resistencia en más de 5%. Los efectos de esbeltez pueden despreciarse en aproximadamente 40% de todas las columnas no arriostradas y en aproximadamente 90% de aquellas arriostradas contra desplazamiento lateral.91 Sin embargo, estos porcentajes probablemente disminuyen año tras año, debido al uso creciente de columnas más esbeltas diseñadas con el método de resistencia, usando materiales más resistentes y con una mejor noción del comportamiento por pandeo de las columnas. 8.1.1.3) POR EL TIPO DE ESTRIBO Una columna de concreto simple puede soportar muy poca carga, pero su capacidad de carga aumenta mucho si se le agregan varillas longitudinales. La capacidad de tales miembros puede aumentar considerablemente si se les provee restricción lateral en forma de estribos cerrados estrechamente separados o espirales helicoidales enrolladas alrededor del refuerzo longitudinal. Columna con estribos, son columnas que tienen una serie de estribos cerrados, como se muestra en la figura 8.4, tales estribos son muy efectivos para aumentar la resistencia de 91
(Portland Cement Association, 2008, págs. 11-13) copyright©rcolquea
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la columna. Impiden que las varillas longitudinales se desplacen durante la construcción y resisten la tendencia de las mismas varillas a pandearse hacia afuera bajo, lo que causaría que el recubrimiento exterior de concreto se quiebre o se desconche. Generalmente, las columnas con estribos son cuadradas o rectangulares, pero pueden ser octogonales, redondas, con forma de L, etc.
Figura 8.4 – Estribos cerrados
Columna zunchada o en espiral, se denomina a columnas con estribos en forma de espiral continua helicoidal, hecha con varillas o alambrón grueso y se enrolla alrededor de las varillas longitudinales, tal como se muestra en la figura 8.5.
Figura 8.5 – Estribos en espiral
Las espirales son más efectivas que los estribos para incrementar la resistencia de una columna. Conforme el concreto dentro de la espiral tiende a expandirse lateralmente bajo la carga de compresión, en la espiral empieza a desarrollarse un esfuerzo de tensión de aro y la columna no fallará hasta que la espiral ceda o se rompa, permitiendo el resquebrajamiento del concreto interior. Las espirales, si bien acrecientan la resistencia de las columnas debido al aumento de la elasticidad, aumentan apreciablemente los costos. Como consecuencia, generalmente se usan sólo en columnas grandes con exceso de carga y en columnas en zonas sísmicas debido a su resistencia considerable a las cargas sísmicas. Columnas compuestas, son columnas de concreto reforzadas longitudinalmente con perfiles de acero, que pueden o no estar rodeados por varillas de acero estructural, o pueden constar de perfiles tubulares de acero estructural rellenos con concreto, comúnmente llamadas columnas lally (columna tubular llena de hormigón). copyright©rcolquea
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8.2) CAPACIDAD POR CARGA AXIAL PURA DE LAS COLUMNAS En la práctica no existen las columnas cargadas en forma axial perfecta, pero el análisis de tales miembros proporciona un punto de partida excelente para explicar la teoría del diseño de columnas reales con cargas excéntricas. Desde hace varias décadas se sabe que los esfuerzos en el concreto y en las varillas de refuerzo de una columna que soporta una carga a largo plazo no pueden calcularse con exactitud. Podría pensarse que tales esfuerzos se pueden determinar multiplicando las deformaciones unitarias por los módulos de elasticidad apropiados, pero está idea no es factible en la práctica por que el módulo de elasticidad del concreto varía con la carga, flujo plástico y la contracción. Aunque los esfuerzos en columnas no pueden predecirse en el intervalo elástico con ningún grado de exactitud, varias décadas de pruebas han mostrado que la resistencia última de las columnas sí se puede estimar muy bien. Además se han demostrado que las proporciones de las cargas vivas y muertas, la duración de la carga y otros aspectos, tienen poca influencia en la resistencia última. Cuando una columna está sometida a una carga axial concéntrica, 𝑃, la deformación longitudinal, 𝜖, se desarrolla uniformemente, tal como se muestra en la figura 8.6(a). Debido a que el acero y el hormigón están adheridos, las deformaciones del acero y hormigón son iguales.
Figura 8.6 – Resistencia de una columna cargada axialmente
Para cualquier deformación en la columna es posible calcular los esfuerzos en el hormigón y en el acero utilizando los diagramas esfuerzo – deformación de los dos materiales, tal como se muestra en la figura 8.6(b) y 8.6(c). La fuerza axial del hormigón es: 𝑃𝑐 = 𝑓𝑐 𝐴𝑐 El esfuerzo 𝑓𝑐 = 𝐶𝑓´𝑐 donde 𝐶 es igual a 0.85, y el área neta de hormigón es igual a (𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 ), sustituyendo estos valores se tiene: 𝑃𝑐 = 0.85𝑓´𝑐 (𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 ) La fuerza axial en el acero es: 𝑃𝑠 = 𝑓𝑦 𝐴𝑠𝑡 La carga total en una columna se encuentra reconociendo la respuesta no-lineal de los dos materiales, es decir: 𝑃𝑜 = 𝑃𝑐 + 𝑃𝑠 Reemplazando ecuaciones se tiene: copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO 𝑃𝑛 = 0.85𝑓´𝑐 (𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 ) + 𝑓𝑦 𝐴𝑠𝑡
Dónde: 𝑃𝑛 : es la resistencia nominal o teóric a a la carga axial con una excentricidad igual a cero. 𝑓´𝑐 : Resistencia característica del hormigón 𝐴𝑔 : Área bruta de la sección transversal de la columna. 𝐴𝑠𝑡 : Área total del refuerzo longitudinal. 𝑓𝑦 : Esfuerzo de fluencia del refuerzo. 8.3) PRECAUCIONES DE SEGURIDAD PARA COLUMNAS Los valores 𝜙 especificados en la sección de la ACI 9.3.2 para usarse en columnas son bastante menores que los estipulados para la flexión y el cortante (0.9 y 0.75 respectivamente). Se especifica un valor de 0.65 para columnas con estribos y 0.75 para columnas zunchadas. La falla de una columna es generalmente un asunto más delicado que la falla de una viga, porque una columna generalmente soporta una mayor parte de una estructura que una viga; es más difícil colar el concreto en una columna que en una viga; la resistencia a la falla de una viga depende normalmente del esfuerzo de fluencia del acero de tracción, que es una propiedad que se controla con mucha precisión en los talleres de laminado, por otra parte, la resistencia a la falla de una columna está estrechamente relacionada con la resistencia última del concreto, un valor que es muy variable; como consecuencia, son convenientes valores menores de 𝜙 para columnas. Es imposible que una columna quede cargada perfectamente en forma axial. Aun si las cargas pudiesen en un momento dado centrarse perfectamente, no se quedaría en su lugar. El viento y otras cargas laterales ocasionan que las columnas se flexionen, y las columnas en los edificios con marcos rígidos están sometidas a momentos, aun cuando el marco soporte sólo cargas de gravedad. 8.4) RESISTENCIA DE COLUMNAS CORTAS CON POCA EXCENTRICIDAD El término 𝑒 representa la distancia a la que la carga axial 𝑃𝑢 tendría que estar situada desde el centro de la columna para producir el momento último, 𝑀𝑢 . Así: 𝑀𝑢 𝑃𝑢 𝑒 = 𝑀𝑢 → 𝑒 = 𝑃𝑢
Figura 8.7 – Carga aplicada a una excentricidad mínima
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No obstante, hay muchas situaciones donde no hay momentos calculados para las columnas de una estructura. Por muchos años el código específico que tales columnas debían ser diseñadas para ciertos momentos mínimos, aun cuando no se hubieran calculado ningún momento. Estos valores mínimos fueron de: 0.05ℎ 𝑚𝑖𝑛 { → Para columnas zunchadas (estribos en espiral). 25 𝑚𝑚 0.10ℎ 𝑚𝑖𝑛 { → Para columnas con estribos cerrados. 25 𝑚𝑚 Dónde ℎ representa el diámetro exterior de las columnas redondas o el ancho de columnas cuadradas o rectangulares. En el código actual de la ACI, las excentricidades mínimas no están especificadas, pero el mismo objetivo se alcanza requiriendo que las capacidades teóricas por carga axial se multipliquen por un factor algunas veces llamado 𝛼, que es igual a 0.85 para columnas zunchadas y 0.8 para columnas con estribos. Según la sección de la ACI 10.3.6, la capacidad de carga axial de las columnas no debe ser mayor que los siguientes valores: Para columnas zunchadas ( 𝜙 = 0.75) 𝜙𝑃𝑛𝑚𝑎𝑥 = 0.85𝜙[0.85𝑓´𝑐 (𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 ) + 𝑓𝑦 𝐴𝑠𝑡 ] Para columnas con estribos ( 𝜙 = 0.65) 𝜙𝑃𝑛𝑚𝑎𝑥 = 0.80𝜙[0.85𝑓´𝑐 (𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 ) + 𝑓𝑦 𝐴𝑠𝑡 ] Debe quedar claro que las expresiones anteriores pueden usarse sólo cuando el momento es bastante pequeño o cuando no hay un momento calculado. Las columnas cortas pueden diseñarse completamente con estas expresiones siempre que los valores 𝑒 queden bajo los límites descritos. 8.5) COLUMNAS ZUNCHADAS Si una columna corta con estribos se carga hasta que falle, parte del recubrimiento de hormigón se desprenderá y a menos que los estribos estén poco separados entre sí, las varillas longitudinales se pandearán casi inmediatamente al desaparecer su soporte lateral (el recubrimiento de hormigón). Tales fallas a menudo pueden ser repentinas y han ocurrido con frecuencia en estructuras sometidas a cargas sísmicas. Cuando las columnas zunchadas se cargan hasta fallar, la situación es muy diferente. El recubrimiento del concreto se desconchará pero el núcleo permanecerá firme y si el zunchado es de paso pequeño, el núcleo será capaz de resistir una cantidad apreciable de carga adicional más allá de la carga que da lugar al desconcha miento. El zunchado con paso reducido conjuntamente con las varillas longitudinales forman una jaula que confina en forma muy efectiva al concreto. Como consecuencia, el desconchado del recubrimiento de una columna zunchada provee una advertencia de que ocurrirá una falla si la carga se incrementa más. La práctica estadounidense no toma en cuenta ningún exceso de capacidad que pueda darse después del desconcha miento ya que considera que una vez que éste ocurre, la columna perderá su utilidad, por lo menos desde un punto de vista de los ocupantes del edificio. Por esta razón, el zunchado se diseña con un poco más de resistencia que el recubrimiento que se supone que va a resquebrajarse. El desconcha miento da un aviso de una falla inminente y luego la columna tomará un poco más de carga antes de fallar. Diseñar el zunchado con un poco más de resistencia copyright©rcolquea
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que el recubrimiento no aumenta mucho la resistencia útil de la columna, pero conduce a una falla gradual o dúctil92. La resistencia del recubrimiento está dada por la siguiente expresión, en donde 𝐴𝑐 es el área del núcleo cuyo diámetro se considera igual a la distancia entre los bordes exteriores de la espiral: 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑢𝑏𝑟𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = 0.85𝑓´𝑐 (𝐴𝑔 − 𝐴𝑐 ) Considerando que la tensión de aro estimada que se produce en las espirales es debida a la presión lateral del núcleo y por pruebas, puede demostrarse que el acero del zunchado es por lo menos el doble de efectivo para aumentar la capacidad última de la columna como el acero longitudinal93. Por consiguiente, la resistencia de la espiral puede calcularse aproximadamente por la siguiente expresión, en donde 𝜌𝑠 es el porcentaje de acero espiral: 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎𝑙 = 2𝜌𝑠 𝐴𝑐 𝑓𝑦 Igualando estas expresiones y despejando el porcentaje requerido de acero en espiral, obtenemos: 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑢𝑏𝑟𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎𝑙 0.85𝑓´𝑐 (𝐴𝑔 − 𝐴𝑐 ) = 2𝜌𝑠 𝐴𝑐 𝑓𝑦 𝜌𝑠 = 0.425
𝑓´𝑐 (𝐴𝑔 − 𝐴𝑐 ) 𝑓´𝑐 = 0.45(𝐴𝑔 /𝐴𝑐 − 1) 𝐴𝑐 𝑓𝑦 𝑓𝑦
Para que la espiral sea un poco más resistente que el concreto desconchado, la sección de la ACI 10.9.3 específica el porcentaje mínimo de espiral con la expresión que sigue en donde 𝑓𝑦 es la resistencia de fluencia especificada del refuerzo espiral hasta 700 MPa. Una vez que se ha determinado el porcentaje requerido de acero de espiral, ésta puede seleccionarse con la expresión que sigue, en donde 𝜌𝑠 está dada en términos del volumen de acero en una vuelta: 𝑉𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎𝑙 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎 𝜌𝑠 = = 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑛ú𝑐𝑙𝑒𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑛 𝑝𝑎𝑠𝑜 𝑠 𝑉𝑛ú𝑐𝑙𝑒𝑜 𝑎𝑠 𝜋(𝐷𝑐 − 𝑑𝑏 ) 4𝑎𝑠 (𝐷𝑐 − 𝑑𝑏 ) 𝜌𝑠 = = 𝜋𝐷𝑐2 𝐷𝑐2 𝑠 𝑠 4
Dónde: 𝐷𝑐 : Diámetro del núcleo de extremo a extremo de la espiral. 𝑎𝑠 : Área de la sección transversal de la varilla espiral figura 8.8.
92 93
𝑑𝑏 : es el diámetro de dicha varilla, ver
(McCormac C., 2011, pág. 261) (Park, 1975, págs. 25,119-121) copyright©rcolquea
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Figura 8.8 – Propiedades geométricas de zunchos
8.6) CONDICIONES DEL CÓDIGO ACI Algunas de las limitaciones más importantes son las siguientes: 1. ACI 10.9.1, el porcentaje de refuerzo longitudinal no debe ser menor que 1% del área transversal total de una columna, se cree que si la cantidad de acero es menor que 1%, habrá una posibilidad bien definida de que ocurra una falla no dúctil repentina, como en el caso de una columna de concreto simple. El valor mínimo de 1% de acero reduce también el flujo plástico y la contracción y provee alguna resistencia a la flexión a la columna. 𝐴𝑠𝑡 (𝜌 = ) ≥ 0.01 𝐴𝑔 La sección de la ACI 10.8.4 permite el uso de menos de 1% de acero si la columna se hubiera hecho más grande que lo necesario para soportar las cargas, por razones arquitectónicas o de otra índole. En otras palabras, una columna se puede diseñar con 1% de acero longitudinal para soportar la carga factorizada y entonces puede agregarse más concreto sin incrementar el refuerzo ni la capacidad calculada de carga. En la práctica real el porcentaje de acero para tales miembros debe ser 0.005 como mínimo absoluto. 2. ACI 10.9.1, el porcentaje máximo de acero no debe ser mayor que 8% del área transversal total de la columna. Este valor máximo se estipula para prevenir el hacinamiento de las varillas. En la práctica, es algo difícil ajustar más de 4% o 5% de acero en el encofrado y lograr que penetre el concreto en la cimbra y alrededor de las varillas. Cuando el porcentaje de acero es alto, se incrementa la posibilidad de que se formen cavidades alveolares en el concreto, si esto ocurre, puede haber una reducción sustancial en la capacidad de carga de la columna. Usualmente el porcentaje de refuerzo no debe exceder 4% cuando las varillas van a empalmarse por traslape. Se recomienda disponer las varillas en racimos cuando el porcentaje de acero es muy alto. 𝐴𝑠𝑡 (𝜌 = ) ≤ 0.08 𝐴𝑔 3. ACI 10.9.2, el número mínimo de varillas longitudinales permisibles en miembros a compresión es como sigue: a. 4 varillas con estribos rectangulares o circulares. b. 3 varillas con estribos triangulares. copyright©rcolquea
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c. 6 varillas con estribos en espiral. En el caso de que hubiera menos de 8 varillas en un arreglo circular, la orientación de las varillas puede alterar la resistencia de momentos en columnas excéntricamente cargadas, este aspecto debe considerarse en el diseño según el comentario de la ACI (R10.9.2). Sección mínima, el código no provee directamente un área de sección transversal mínima de la columna, pero para proveer el recubrimiento necesario fuera de los estribos o espirales y para proveer la separación necesaria entre varillas longitudinales de una cara de la columna a la otra, es obvio que son necesarios diámetros o anchos mínimos de aproximadamente 200 mm a 250 mm. ACI 7.10.5.1, cuando se usan columnas con estribos, éstos no deberán ser menores al Nº 10, siempre que las varillas longitudinales sean menores al Nº 32 . El tamaño mínimo es el Nº 13 para varillas longitudinales mayores que el Nº 32 y para varillas en racimos. También puede usarse alambre corrugado o malla de alambre soldado con un área equivalente. 𝑆𝑖 (𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 ≤ 𝑁º 32) → (𝜙𝑒𝑠𝑡 = 𝑁º 10) 𝑆𝑖 (𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 > 𝑁º 32) → (𝜙𝑒𝑠𝑡 = 𝑁º 13) ACI 7.10.5.2, la separación centro a centro de los estribos no deberá ser mayor que 16 veces el diámetro de las varillas longitudinales, 48 veces el diámetro de los estribos, ni que la menor dimensión lateral de la columna. 16𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 𝑠 = 𝑚𝑖𝑛 { 48𝜙𝑒𝑠𝑡 𝑏 𝑡 ACI 7.10.5.3, los estribos deben colocarse de tal manera que cada varilla longitudinal de esquina y alternada tengan soporte lateral suministrado por la esquina de un estribo con un ángulo incluido no mayor de 135º. Ninguna varilla debe localizarse a una distancia mayor de 150 mm a cada lado de una varilla soportada lateralmente de esta manera. Si las varillas longitudinales se colocan en círculo, pueden ponerse estribos redondos alrededor de ellas y las varillas no tienen que ligarse o restringirse individualmente de otra manera. La figura 8.9 muestra las disposiciones de estribo para varias secciones transversales de columnas. Hay poca evidencia acerca del comportamiento de las varillas empalmadas y de las varillas en racimo. Por esta razón, la sección de la ACI (R7.10.5) del comentario establece que es aconsejable proveer estribos en cada extremo de las varillas empalmadas con traslape y provee recomendaciones relativas a la colocación de los estribos en los sitios de empalmes a tope y de varillas dobladas escalonadas. Los estribos no deben colocarse a más de medio espaciamiento arriba de la parte superior de una zapata o losa ni a más de medio espaciamiento debajo de la varilla de refuerzo inferior en una losa o en un panel de plataforma. Cuando se conectan vigas a una columna desde cuatro direcciones, el último estribo en la columna puede estar debajo del refuerzo inferior de cualquiera de las vigas.
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Figura 8.9 – Disposiciones típicas de estribos
8. ACI 7.10.3, establece que los requisitos para los estribos laterales pueden pasarse por alto si las pruebas y el análisis estructural muestran que las columnas son suficientemente resistentes sin ellos y que tal construcción es factible. 9. ACI 7.10.4, establece que las espirales no deben tener diámetros menores de 10 mm y que la separación libre entre las vueltas de las espirales no debe ser menor de 25 mm o mayor de 75 mm. Si se requieren empalmes en las espirales, deben proveerse por soldadura o por traslapes de las varillas espirales o alambres corrugados sin recubrimiento con una longitud de 48 diámetros o 300 mm, la que sea menor. 8.7) COMENTARIOS SOBRE EL DISEÑO ECONOMICO DE COLUMNAS Para el diseño de columnas por lo general el acero cuesta más que el hormigón, por lo que el porcentaje de refuerzo longitudinal usado en las columnas de hormigón armado es un factor principal que incide en la economía de la estructura, por lo tanto se recomienda que bajo condiciones normales de carga debe usarse un porcentaje de refuerzo que varía entre 1.2% a 2%. 1.2% ≤ 𝜌𝑒𝑐𝑜𝑛𝑜𝑚𝑖𝑐𝑎 ≤ 2% Para llegar a una cuantía requerida de 1.2% a 2% se debe usar columnas de mayor tamaño y hormigón de alta resistencia, la respectiva recomendación por lo general se da en edificios altos, copyright©rcolquea
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en edificios menores a los 10 pisos la secciones y cuantías de refuerzo por lo general son pequeñas, es decir secciones de 200 mm a 400 mm para una cuantía económica. A continuación se generaran recomendaciones o criterios para obtener columnas económicas desde varios puntos de enfoque: Concreto de alta resistencia, se puede utilizar más en columnas que en vigas. Bajo cargas ordinarias, el 30% ó 40% de las secciones transversales de las vigas trabajan a compresión, mientras que el 60% a 70% trabaja a tracción y supuestamente está agrietado, esto significa que si se usa concreto de alta resistencia para una viga, 60% a 70% del concreto se desperdicia. Sin embargo para una columna la situación es diferente porque un porcentaje mucho mayor de su sección transversal trabaja a compresión. Como consecuencia, es muy económico usar concretos de alta resistencia en columnas. Resistencia a fluencia del acero, las varillas de refuerzo del grado 60 son generalmente las más económicas para columnas en la mayoría de las estructuras, sin embargo las varillas del grado 75 pueden resultar más económicas en estructuras de gran altura, en particular cuando se usan en combinación con concretos de alta resistencias. Estribos económicos, las columnas con estribos son más económicas que las columnas zunchadas, en particular para columnas rectangulares o cuadradas. Por supuesto, las columnas zunchadas, los concretos de alta resistencia y los porcentajes altos de acero ahorran espacio de piso. A menos que las dimensiones mínimas de las columnas o los diámetros de las varillas longitudinales controlen la separación entre los estribos, la selección de mayores tamaños que sean prácticos para usarse en estribos aumentará su separación y reducirá su número. Esto puede dar como resultado algún ahorro. Separación entre columnas, en edificios de poca altura, las losas de piso son a menudo algo delgadas y así las deflexiones pueden ser un problema, como consecuencia, deben usarse claros cortos y por ende separaciones cortas entre columnas. A medida que los edificios son más altos, las losas de piso son más gruesas para ayudar a proveer estabilidad lateral. Para tales edificios, las deflexiones de las losas no serán mucho problema y las columnas pueden colocarse con separaciones mayores entre ellas. Variación de columna de piso a piso, debe usarse el menor número posible de diferentes tamaños de columnas en un edificio, no es económico variar el tamaño de una columna de piso a piso para satisfacer las diferentes cargas que debe soportar. Esto quiere decir que el proyectista puede seleccionar un tamaño de columna para el piso superior de un edificio de varios pisos (usando el menor porcentaje de acero posible) y luego continuar usando ese mismo tamaño verticalmente hacia abajo en tantos pisos como sea posible aumentando el porcentaje de acero piso por piso según se requiera. Esta consistencia de tamaños proveerá ahorros considerables en los costos de mano de obra. 8.8) DISEÑO DE COLUMNAS CORTAS SOMETIDOS A CARGA AXIAL Y FLEXIÓN 8.8.1) CARGA AXIAL Y FLEXIÓN Todas las columnas están sometidas a cierta flexión y fuerzas axiales, por lo que es necesario diseñarlas para que resistan ambas solicitaciones. Las columnas se flexionarán bajo la acción de los momentos y éstos tenderán a producir compresión en un lado de las columnas y tracción en el otro. Según sean las magnitudes relativas de los momentos y las cargas axiales, hay varias formas en que las secciones pueden fallar. La figura 8.10 muestra una columna que soporta una carga 𝑃𝑛 , en las diversas partes de la figura, copyright©rcolquea
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la carga se coloca cada vez con mayor excentricidad, produciendo así momentos cada vez mayores, hasta que finalmente la columna está sujeta a un momento flexionante tan grande que el efecto de la carga axial es insignificante, a continuación se analizará cada uno de los seis casos en función de la figura 8.10, se supone que la falla de la columna ocurre cuando la deformación unitaria a compresión en el concreto alcanza el valor de 0.003. a) Carga axial grande con momento despreciable; para esta situación, la falla ocurre por aplastamiento del concreto, habiendo alcanzado todas las varillas de refuerzo en la columna su esfuerzo de fluencia en compresión. b) Carga axial grande y momento pequeño, tal que toda la sección transversal está en compresión: cuando una columna está sujeta a un momento flexionante pequeño, la columna entera trabaja a compresión, pero la compresión será más grande en un lado que en el otro. El esfuerzo máximo de compresión en la columna será de 0.85𝑓´𝑐 , y la falla ocurrirá por aplastamiento del concreto, con todas las varillas trabajando a compresión. c) Excentricidad mayor que en caso (b), por lo que empieza a desarrollarse tracción en un lado de la columna; si la excentricidad aumenta un poco respecto al caso precedente, empezará a desarrollarse tracción en un lado de la columna y lógicamente los aceros de ese lado estarán trabajando a tracción, pero con un valor menor al correspondiente al esfuerzo de fluencia. En el lado opuesto en acero estará en compresión. La falla ocurre por aplastamiento del concreto en el lado de compresión. d) Condición de carga balanceada; a medida que aumenta la excentricidad, se llega a una condición en que las varillas de refuerzo en el lado de tracción alcanzan sus esfuerzos de fluencia al mismo momento que el concreto en el lado opuesto alcanza su compresión máxima de 0.85𝑓´𝑐 . Esta condición se llama condición de carga balanceada. e) Momento grande con carga axial pequeña; si la excentricidad aumenta aún más, la falla se inicia por la fluencia de las varillas en el lado de tracción de la columna, antes que el aplastamiento del concreto. f) Momento grande sin carga axial apreciable; para esta condición, la falla ocurre como en una viga.
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Figura 8.10 – Columna sometida a carga con excentricidades cada vez mayores
8.8.2) CENTROIDE PLASTICO La excentricidad de la carga de una columna es la distancia de la carga al centroide plástico de la columna. El centroide plástico representa la posición de la fuerza resultante producida por el acero y el concreto, es el punto en la sección transversal de la columna a través del cual la carga resultante de la columna debe pasar para producir una deformación unitaria uniforme en el instante de la falla. Para localizar el centroide plástico, se supone que todo el concreto está trabajando a un esfuerzo de compresión de 0.85𝑓´𝑐 y todo el acero a 𝑓𝑦 en compresión. En secciones simétricas, el centroide plástico coincide con el centroide de la sección transversal de la columna, mientras que en secciones no simétricas, el centroide plástico puede localizarse tomando momentos.
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Ejemplo 8.1 Determinar el centroide plástico de la columna T mostrada en la figura 8.11 si 𝑓´𝑐 = 28 𝑀𝑃𝑎 𝑦 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎.
Figura 8.11 – Columna asimétrica
𝑏1 = 150 𝑚𝑚 𝑏2 = 200 𝑚𝑚 ℎ1 = 100 𝑚𝑚 ℎ2 = 200 𝑚𝑚 ℎ3 = 100 𝑚𝑚 𝑑 ´ = 75 𝑚𝑚 Solución: Paso 1: El centroide plástico se sitúa sobre el eje x como se muestra en la figura 8.11 debido a la simetría. La columna se divide en dos rectángulos, el izquierdo de 400mm x 150 mm donde 𝐶1 es la compresión total en el rectángulo izquierdo de concreto, y el lado derecho de 200mm x 200 mm donde 𝐶2 es la compresión total en el rectángulo derecho y 𝐶´𝑠 es la compresión total de las varillas de refuerzo. 400 𝐶1 = 0.85𝑓´𝑐 𝑏1 ℎ = 0.85 ∙ 28 ∙ 150 ∙ = 1428 𝑘𝑁 1000 200 𝐶2 = 0.85𝑓´𝑐 𝑏2 ℎ2 = 0.85 ∙ 28 ∙ 200 ∙ = 952 𝑘𝑁 1000 Paso 2: Al calcular 𝐶´𝑠 , se sustrae el concreto donde las varillas están ubicadas; es decir: 2 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 252 𝐴𝑠𝑡 = 𝑛𝜋 = 4𝜋 = 1963.50 𝑚𝑚2 4 4 1963.5(420 − 0.85 ∙ 28) 𝐶´𝑠 = 𝐴𝑠𝑡 (𝑓𝑦 − 0.85𝑓´𝑐 ) = = 777.94 𝑘𝑁 1000 Paso 3: Determinar la compresión total 𝑃𝑛 = 𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶´𝑠 = 1428 + 952 + 777.94 = 3157.94 𝑘𝑁
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Paso 4: Tomando momentos respecto al borde izquierdo de la columna, determinado el centroide plástico ∑ 𝑀𝑛 = 0 → −𝐶1 𝑥1 − 𝐶2 𝑥2 − 𝐶´𝑠 𝑥´𝑠 + 𝑃𝑛 𝑥 = 0 −1428 ∙ 75 − 952 ∙ 250 − 777.94 ∙ 175 + 3157.94𝑥 = 0 → 𝑥 = 152.39 𝑚𝑚 8.8.3) DESARROLLO DE LOS DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN Si se aplica una carga axial de compresión a un miembro corto de concreto, éste quedará sometido a una deformación unitaria uniforme o acortamiento, como se muestra en la figura 8.12(a). Si un momento sin ninguna carga axial se aplica al mismo miembro, el resultado será una flexión respecto al eje neutro del miembro, tal que la deformación unitaria será proporcional a la distancia del eje neutro. Esta variación lineal de la deformación se muestra en la figura 8.12(b). Si se aplican al mismo tiempo una carga axial y un momento, el diagrama resultante de deformación unitaria será una combinación de dos diagramas lineales que también será lineal, como se muestra en la figura 8.12(c). Como resultado de esta linealidad, podemos suponer ciertos valores numéricos para la deformación unitaria en una parte de la columna y determinar las deformaciones unitarias en otras partes por medio de interpolación lineal.
Figura 8.12 – Deformaciones unitarias en la columna
Una columna alcanza su última capacidad cuando el concreto alcanza una deformación unitaria a compresión de 0.003. Si el acero más cercano al lado de tracción extrema de la columna alcanza la deformación unitaria de fluencia o aún más cuando el concreto alcanza una deformación unitaria de 0.003, se dice que la columna está controlada a tracción; de lo contrario está controlada a compresión. El punto de transición entre estas regiones es el punto de equilibrio. Para columnas, la definición de carga balanceada es la misma que para vigas, es decir, una columna que tiene una deformación unitaria de 0.003 en su lado de compresión, al mismo 𝑓𝑦
tiempo que su acero de tracción en el otro lado tiene una deformación unitaria de 𝐸 . Aunque no 𝑠
es difícil impedir una condición balanceada en vigas al requerir que las deformaciones unitarias del acero a tracción se conserven muy por encima de
𝑓𝑦 𝐸𝑠
no es así en columnas. Así, para las copyright©rcolquea
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columnas no es posible prevenir fallas repentinas a compresión o fallas balanceadas. En toda columna existe una situación de carga balanceada donde una carga última 𝑃𝑏𝑛 colocada con una excentricidad 𝑒𝑏 producirá un momento 𝑀𝑏𝑛 , donde las deformaciones unitarias se alcanzarán simultáneamente. En algunas ocasiones, los miembros sometidos a carga axial y flexión tienen disposiciones asimétricas del refuerzo. Si éste es el caso, usted debe recordar que la excentricidad debe medirse correctamente desde el centroide plástico de la sección. En este capítulo se obtuvieron valores de 𝑃𝑛 sólo para columnas rectangulares con estribos. La misma teoría podría servir para las columnas redondas, pero los cálculos matemáticos serían algo más complicado debido al arreglo circular de las varillas y los cálculos de distancias serían bastante tediosos. Se han desarrollado varios métodos aproximados que simplifican considerablemente las operaciones. Quizás el más conocido sea el propuesto por Charles Whitney, en el cual se usan columnas rectangulares equivalentes para remplazar a las circulares, este método da resultados que concuerdan muy estrechamente con los resultados de las pruebas. 8.8.3.1) CONCEPTOS Y SUPOSICIONES Por estática se pueden determinar fácilmente los valores de 𝑃𝑛 y 𝑀𝑛 para una columna dada con un cierto conjunto de deformaciones unitarias. Sin embargo, el preparar una curva de interacción con una calculadora de mano para una columna solamente, es muy tedioso. Imagine el trabajo involucrado en una situación de diseño en donde es necesario considerar diversos tamaños, resistencias del concreto y porcentajes del acero. Consecuentemente, los proyectistas recurren casi siempre a programas y a diagramas de interacción generados por computadora, o a tablas para los cálculos de columnas. Los diagramas de interacción son obviamente muy apropiados para estudiar las resistencias de las columnas con proporciones variables de cargas axiales y de momentos. Cualquier combinación de cargas que quede dentro de la curva es satisfactoria, mientras que una combinación que caiga fuera de la curva representa una falla. Si una columna está cargada hasta la falla con sólo una carga axial, la falla ocurrirá en el punto A del diagrama (ver figura 8.13). Al movernos sobre la curva desde el punto A, la capacidad por carga axial disminuye conforme aumenta la proporción de momento flexionante. En la parte inferior de la curva, el punto C representa la resistencia por flexión del miembro sometido sólo a momento, sin presencia de carga axial. Entre los puntos extremos A y C, la columna falla debido a una combinación de carga axial y de flexión. El punto B se llama punto balanceado y representa el caso de carga balanceada, donde en teoría ocurre simultáneamente una falla por compresión y la fluencia del acero en tracción. Remítase al punto D en la curva, las líneas punteadas horizontal y vertical para este punto indican una combinación particular de momento y carga axial que causará la falla de la columna. Una línea radial trazada del punto O a cualquier punto sobre la curva de interacción (como el D en este caso), representará una excentricidad constante de carga, es decir, una relación constante de momento a carga axial. Podría sorprender la forma de la parte inferior de la curva de B a C, donde la flexión predomina. De A a B sobre la curva la capacidad por momento de una sección aumenta conforme disminuye la carga axial, pero ocurre justo lo contrario de B a C. Sin embargo, analizando la situación con detenimiento, se verá que después de todo, el resultado es realmente lógico. La parte de la curva de B a C representa el intervalo de fallas a tracción. Cualquier carga axial de compresión en ese copyright©rcolquea
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intervalo tiende a reducir los esfuerzos en las varillas de tracción, con el resultado de que puede resistirse un momento mayor.
Figura 8.13 – Diagrama de interacción de columna
8.8.4) MODIFICACIONES DEL CÓDIGO ACI A LOS DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN DE COLUMNA Si generamos diagramas de interacción para cada tipo de sección, seguramente el resultado sería un conjunto de curvas, como se definió anteriormente los diagramas de interacción se simplificaron para facilitar el diseño de secciones sometidas a carga axial y momento, para usar tales curvas y obtener valores de diseño, tendrían que pasar por tres modificaciones como se especifica en el código ACI. Estas modificaciones son: a) ACI 9.3.2, especifica factores de reducción de resistencia o factores 𝜙 𝜙 = 0.65 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 𝜙 = 0.75 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 𝑧𝑢𝑛𝑐ℎ𝑎𝑑𝑎𝑠 Que deben multiplicarse por los valores de 𝑃𝑛 . b) ACI 9.3.2.2; la segunda modificación también se refiere a los factores 𝜙. El código especifica valores de 0.65 y 0.75 para columnas con estribos y zunchadas, respectivamente. Si una columna tiene un momento muy grande y una carga axial muy pequeña, de modo que se ubica en la parte inferior de la curva entre los puntos B y C (ver la figura 8.13), el uso de estos valores pequeños de 𝜙 es poco razonable. Por ejemplo, para un miembro en flexión pura (punto C en la misma curva) la 𝜙 especificada es de 0.9, pero si el mismo miembro tiene una carga axial añadida muy pequeña, 𝜙 se reduce inmediatamente a 0.65 y 0.75. Por consiguiente, la sección de la ACI 9.3.2.2 establece que cuando los miembros sometidos a carga axial y flexión tienen deformaciones unitarias netas de tracción (𝜖𝑡 ) entre los límites para secciones controladas a compresión y secciones controladas a tracción, se sitúan en la zona de transición para 𝜙. En esta zona es permisible aumentar 𝜙 linealmente de 0.65 o 0.75 a 0.9 a medida que 𝜖𝑡 aumenta del límite controlado a compresión a 0.005. copyright©rcolquea
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c) ACI 10.3.6; las cargas permisibles máximas de las columnas se especificaron sin importar cuán pequeños fueran sus valores 𝑒. Como consecuencia, la parte superior de cada curva de interacción de diseño se muestra como una línea horizontal que representa el valor apropiado de: 𝑃𝑢 = 𝜙𝑃𝑛𝑚𝑎𝑥 = 0.85𝜙[0.85𝑓´𝑐 (𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 ) + 𝑓𝑦 𝐴𝑠𝑡 ] 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 𝑧𝑢𝑛𝑐ℎ𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑃𝑢 = 𝜙𝑃𝑛𝑚𝑎𝑥 = 0.80𝜙[0.85𝑓´𝑐 (𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 ) + 𝑓𝑦 𝐴𝑠𝑡 ] 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 Estas fórmulas se desarrollaron para dar resultados aproximadamente equivalentes a los de las cargas aplicadas con excentricidades de 0.10ℎ para columnas con estribos y 0.05ℎ para columnas zunchadas. 8.8.5) PROCEDIMIENTOS DE DISEÑO 8.8.5.1) DISEÑO DE COLUMNAS USANDO LOS ÁBACOS DE LA ACI Si los diagramas de interacción individuales para columna se preparan como se describió en las secciones anteriores, sería necesario tener un diagrama para cada sección transversal diferente de columna, para cada conjunto diferente de grados de concreto, de acero y para cada colocación diferente de las varillas; el resultado sería un número astronómico de diagramas. Sin embargo, el número puede reducirse considerablemente si los diagramas se representan gráficamente con ordenadas de 𝑘𝑛 = 𝑃𝑛 /𝑓´𝑐 𝐴𝑔 (en lugar de 𝑃𝑛 ) y con abscisas de 𝑅𝑛 = 𝑃𝑛 𝑒/𝑓´𝑐 𝐴𝑔 ℎ (en lugar de 𝑀𝑛 ). Los diagramas resultantes normalizados de interacción pueden usarse para secciones transversales con dimensiones ampliamente variables. El ACI ha preparado curvas normalizadas de interacción de esta manera para las diferentes situaciones de la sección transversal y de disposición de las varillas que se muestran en la figura 8.14 y para grados diferentes de acero y concreto.
Figura 8.14 – Disposición de varillas para utilizar los ábacos de la ACI
Los diagramas se reproducen en el ACI Design Handbook94 dónde se presentan algunos otros para las situaciones dadas en las partes a), b) y c) de la figura 8.14. Observe que estos diagramas del ACI no incluyen las tres modificaciones descritas en la última sección.
94
(Institute, American Concrete, 1997) copyright©rcolquea
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Con objeto de usar correctamente estos diagramas, es necesario calcular el valor de 𝛾 (gamma), el cual es igual a la distancia del centro de las varillas en un lado de la columna al centro de las varillas en el otro de la misma, dividida entre ℎ, que es la altura de la sección de la columna (ambos valores se toman en la dirección de la flexión). Usualmente el valor de 𝛾 obtenido se sitúa entre un par de curvas y se tiene que efectuar una interpolación de las lecturas de las curvas entre amabas. Advertencia Asegúrese de que la ilustración de la columna en el lado derecho superior de la curva de interacción usada concuerda con la columna que se está considerando. En otras palabras, ¿se tienen varillas en dos caras de la columna o sobre las cuatro caras? Si se seleccionan las curvas equivocadas, las respuestas pueden ser incorrectas. Aunque existen varios métodos para seleccionar tamaños de columnas, el método de ensayo y error es tan bueno como cualquier otro. Con este procedimiento el proyectista estima lo que considera un tamaño razonable de columna y luego determina el porcentaje de acero requerido para ese tamaño de columna a partir del diagrama de interacción 8.8.5.2) DISEÑO DE COLUMNAS USANDO EL MÉTODO GENERAL El método general es muy usual para situaciones académicas, porque al practicarlo se puede entender la esencia de la mecánica de materiales en el análisis y diseño de columnas, el método plantea un diseño manual de tal forma que se genera un diagrama de interacción para cada sección con su respectiva resistencia de los materiales y distribución de las varillas de refuerzo. La ventaja del método es que se acomoda a cualquier tipo de sección, por ejemplo puede ser circular, rectangular, en cruz, etc. Otra ventaja del método es que se puede aplicar a cualquier tipo de distribución de varillas de refuerzo longitudinal, por ejemplo un armado en una columna rectangular de 4𝜙16 + 2𝜙12, para el respectivo armado se determinará la resistencia nominal de la columna, el método de las tablas de la PCA no permite armados combinados con diferentes varillas de refuerzo, el método de los ábacos de la ACI si lo permite. Para desarrollar los ábacos de la ACI y las tablas de la PCA, se aplicó el método general, el comité de la ACI planteo armados tipos para después generar diagramas de interacción, pero los respectivos diagramas fueron simplificados para diferentes cuantías de acero, resistencia cilíndrica del concreto, sección, resistencia a fluencia del acero y tipo de armado. En la práctica laboral se recomienda utilizar el método de la PCA o los ábacos de la ACI, si y solo si el proyectista entiende la teoría de las columnas. El método general requiere la distribución de varillas de refuerzo, es decir el área tentativa de acero, la resistencia de los materiales y la sección; dado los datos se procede a determinar los diagramas de interacción para cada uno de los momentos, 2 en el caso de columnas biaxial y 1 en el caso de columna uniaxial, finalmente se determina el ratio de diseño para ver si la columna es óptima, sobredimensionado o falla. Se sigue la lógica de ensayo y error. El método de los ábacos de la ACI requiere los mismos datos que el método general, la diferencia es que los diagramas de interacción ya están elaborados en los ábacos, simplemente se debe ingresar con coeficientes de geometría y materiales y determinar la resistencia nominal de momento y carga axial, finalmente también se determina el ratio de diseño para medir el grado de optimización.
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El método de las tablas de la PCA requiere sólo la distribución de las varillas de refuerzo, y no requiere el área de las varillas, es decir no requiere 𝐴𝑠𝑡 , esa es la gran ventaja de la PCA con respecto a los demás métodos, lógicamente requiere los datos de la sección que se determina con un breve predimensionado y la resistencia de los materiales, el área de refuerzo se la determina en procedimiento de cálculo. El método general aplica las suposiciones de diseño planteadas en la sección 10.2 de la norma ACI318, y una de las hipótesis más resaltantes puede ser el de la sección de la ACI 10.2.4 y dice: El esfuerzo en el refuerzo cuando sea menor que 𝑓𝑦 debe tomarse como 𝐸𝑠 veces la deformación unitaria del acero. Para deformaciones unitarias mayores que las correspondientes a 𝑓𝑦 , el esfuerzo se considera independiente de la deformación unitaria e igual a 𝑓𝑦 . Las suposiciones de diseño se pueden esquematizar en la figura 8.15, cuando la sección está sometido a un momento de flexión, no detallaremos las suposiciones porque las mismas fueron detalladas en el capítulo de flexión de vigas.
Figura 8.15 – Suposiciones de diseño, diagrama de esfuerzos y deformaciones
La figura 8.16 muestra una serie de deformaciones unitarias para un cierto número de puntos correspondientes a la etapa de transición que pertenece a un diagrama de interacción. En general, los estados de transición se definen como sigue:
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Figura 8.16 – Distribuciones de deformaciones correspondientes a los siete estados del diagrama de interacción
1º estado, para excentricidad igual a cero, 𝑒 = 0 2º estado, para excentricidad mínima, 𝑒𝑚𝑖𝑛 = 10%ℎ 3º estado, deformación unitaria del acero más traccionado igual a cero, 𝜀𝑠 = 0 4º estado, deformación unitaria del acero más traccionado igual a la mitad de la deformación de fluencia, 𝜀𝑠 = 1/2𝜀𝑦 5º estado, deformación unitaria del acero más traccionado igual a la deformación de fluencia, 𝜀𝑠 = 𝜀𝑦 6º estado, deformación unitaria del acero más traccionado igual a 0.005, 𝜀𝑠 = 0.005 7º estado, deformación unitaria del acero más traccionado mucho mayor a 0.005, 𝜀𝑠 > >> 0.005 El método general sigue un procedimiento sencillo de siete estados ya detalladas, los 2 primeros estados siguen un paso no muy diferente, pero los últimos cinco tienden a seguir pasos similares, los siete estados generan siete puntos, con los respectivos puntos se puede dibujar el diagrama de interacción de 𝜙𝑃𝑛 versus 𝜙𝑀𝑛 . copyright©rcolquea
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La sección transversal de una columna y la distribución de deformaciones se muestran en la figura 8.17, se muestra 𝑛 capas de refuerzo, la capa 1 tiene la deformación 𝜀𝑠1 y el área de acero 𝐴𝑠1 y la última capa tiene la deformación 𝜀𝑠𝑛 y el área de acero 𝐴𝑠𝑛 .
Figura 8.17 – Notación y convención de signos para diagrama de interacción
Donde: 𝜀𝑠𝑖 : es la deformación de la 𝑖 = 1 … 𝑛 capa 𝑑𝑖 : es el peralte efectivo de la 𝑖 = 1 … 𝑛 capa Los pasos son: 1. Determinar los peraltes efectivos para cada capa de refuerzo. Los peraltes efectivos se pueden ver en la figura 8.17. 2. Determinar las áreas de refuerzo para cada capa. Para cada peralte efectivo existe un área de refuerzo, el área de refuerzo se muestra en la figura 8.17. 3. Determinar la deformación unitaria para cada capa de refuerzo, se debe definir si la deformación unitaria fluye o no fluye. Determinar la profundidad del bloque de compresión y la profundidad equivalente. 1º estado: 𝑐 = 𝑑1 → 𝑎 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑎𝑟𝑖𝑜 2º estado: 𝑐 = 𝑑1 → 𝑎 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑎𝑟𝑖𝑜 3º estado: 𝑐 = 𝑑1 → 𝑎 = 𝑐𝛽1 4º estado: 𝑐 = 3/4𝑑1 → 𝑎 = 𝑐𝛽1 5º estado: 𝑐 = 3/5𝑑1 → 𝑎 = 𝑐𝛽1 6º estado: 𝑐 = 3/8𝑑1 → 𝑎 = 𝑐𝛽1 7º estado: 𝛼 = 𝛽10.85𝑓´𝑐 ℎ 𝛾 = −𝜀𝑐𝑢 𝐸𝑠 𝐴𝑠𝑛 𝑑𝑛
𝛽 = 𝐴𝑠𝑛 (𝜀𝑐𝑢 𝐸𝑠 − 0.85𝑓´𝑐 ) − (∑ 𝑓𝑠𝑖 𝐴𝑠𝑖 ) 𝑐=
−𝛽 + √𝛽2 − 4𝛼𝛾 2𝛼
→ 𝑎 = 𝑐𝛽1
Determinar la deformación unitaria Si la capa de refuerzo está en la zona de compresión, la deformación unitaria se la 𝑐−𝑑 determina mediante la siguiente relación: 𝜀𝑠𝑖 = ( 𝑐 𝑖 ) 𝜀𝑐𝑢 copyright©rcolquea
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Si la capa de refuerzo está en la zona de tracción, la deformación unitaria se la determina 𝑑 −𝑐 mediante la siguiente relación: 𝜀𝑠𝑖 = (𝑑 𝑖 −𝑐) 𝜀𝑠 1
4. Determinar la fuerza de tracción o compresión de cada capa de refuerzo, las respectivas fuerzas generara los momentos resistentes y los brazos de momento se medirán con respecto al centro plástico. La fuerza de compresión del concreto está dado por: 𝐶𝑐 = 0.85𝑓´𝑐 𝑎ℎ Las fuerzas de tracción o de compresión depende si la capa de refuerzo fluye o no 𝑓𝑦
Si la capa fluye: (𝜀𝑠𝑖 ≥ 𝐸 ) → 𝑓𝑠𝑖 = 𝑓𝑦 𝑠
𝑓𝑦
Si la capa no fluye: (𝜀𝑠𝑖 < 𝐸 ) → 𝑓𝑠𝑖 = 𝜀𝑠𝑖 𝐸𝑠 𝑠
5. Determinar las fuerzas de tracción y de compresión La fuerza de compresión generada por una capa de refuerzo está dado por: (𝑑𝑖𝑥 < 𝑎) → 𝑇𝑠𝑖 = 𝑓𝑠𝑖 𝐴𝑠𝑖 − 0.85𝑓´𝑐 𝐴𝑠𝑖 La fuerza de tracción generada por una capa de refuerzo está dado por: (𝑑𝑖𝑥 ≥ 𝑎) → 𝑇𝑠𝑖 = 𝑓𝑠𝑖 𝐴𝑠𝑖 6. Determinar la fuerza axial resistente 𝑛
𝜙𝑃𝑛𝑖 = 𝜙 (𝐶𝑐 ± ∑ 𝑇𝑠𝑖 ) 𝑖=1
7. Determinar el momento nominal resistente. 𝑛
ℎ 𝑎 ℎ 𝜙𝑀𝑛𝑖 = 𝜙 (𝐶𝑐 ( − ) ± ∑ 𝑇𝑠𝑖 ( − 𝑑𝑖 )) 2 2 2 𝑖=1
8. Determinar la excentricidad.𝑒𝑖 =
𝜙𝑀𝑛𝑖 𝜙𝑃𝑛𝑖
8.8.5.3) DISEÑO DE COLUMNAS USANDO LAS TABLAS DE LA PCA En la sección anterior mencionamos las ventajas y desventajas de cada método, es necesario recordar que el método de la PCA es el más aconsejable para situaciones prácticas, la ventaja es que se puede determinar el área de acero requerido y la desventaja es que no se puede aplicar a una distribución con refuerzos de diferente diámetro. El procedimiento de la PCA sigue el método de contorno de cargas de Bresler, las tablas de la PCA se muestran en el apéndice A95, los coeficientes se desarrollaron para armados que se muestran en la figura 8.18. Es necesario definir la cantidad de varillas de refuerzo y la distribución de las mismas, se debe conocer las dimensiones de la sección y la resistencia de los materiales. Los pasos a seguir se desarrollan de la siguiente manera: Determinar las suposiciones o parámetros que definen el rumbo del análisis El rumbo de análisis depende de las dimensiones de la sección y de la magnitud de los momentos. 𝑀𝑜𝑦 1 − 𝛽 𝑀𝑢𝑦 𝑀𝑢𝑥 𝑀𝑢𝑦 𝑀𝑢𝑥 1 − 𝛽 ≤ → ( )+ ≤ 1 → 𝑀𝑜𝑦 = 𝑀𝑢𝑦 + 𝑀𝑢𝑥 ( ) 𝑀𝑜𝑥 𝑀𝑜𝑦 𝑀𝑜𝑥 𝛽 𝑀𝑜𝑦 𝑀𝑜𝑥 𝛽 𝑀𝑢𝑥 𝑀𝑢𝑦 𝑀𝑢𝑥 𝑀𝑢𝑦 1 − 𝛽 𝑀𝑜𝑥 1 − 𝛽 > → + ( ) ≤ 1 → 𝑀𝑜𝑥 = 𝑀𝑢𝑥 + 𝑀𝑢𝑦 ( ) 𝑀𝑜𝑥 𝑀𝑜𝑦 𝑀𝑜𝑥 𝑀𝑜𝑦 𝛽 𝑀𝑜𝑦 𝛽 95
(PORTLAND CEMENT ASSOCIATION - PCA, 1966) copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO Se debe asumir con criterio el valor de 𝛽
t g
t g
b
b
t g
t g
b
b
t g
t g
b
b
t g
t g
b
t g
10
b
10
t g
b
t g
b
t g
b
t g
b
t g
b
b
Figura 8.18 – Armados que se pueden diseñar mediante las tablas de la PCA
Determinar el momento proyectado en 𝑥 ó 𝑦 y los coeficientes de carga, momento y factor de recubrimiento. Momento proyectado: 𝑀𝑜𝑦 1 − 𝛽 𝑀𝑜𝑦 = 𝑀𝑢𝑦 + 𝑀𝑢𝑥 ( ) 𝑀𝑜𝑥 𝛽 copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO 𝑀𝑜𝑥 = 𝑀𝑢𝑥 + 𝑀𝑢𝑦
𝑀𝑜𝑥 1 − 𝛽 ( ) 𝑀𝑜𝑦 𝛽
𝑃
Coeficiente de carga axial: 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑃𝑢 = 𝜙𝑓´𝑢𝑡𝑏 𝑐
Coeficiente de momento: en la figura 8.18 se muestra que el lado 𝑡 es paralelo a la dirección de flexión: 𝑀𝑜𝑦 𝑀𝑜𝑥 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑀𝑜𝑦 = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑀𝑜𝑥 = 2 𝜙𝑓´𝑐 𝑏𝑡 𝜙𝑓´𝑐 𝑏𝑡 2 Factor de recubrimiento: ver la figura 8.18 𝑡 − 2𝑟𝑒𝑐 − 2𝜙𝑒𝑠𝑡 − 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 𝑔= 𝑡 Determinar la cuantía mecánica 𝑞, utilizando las tablas de la PCA del apéndice A 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑃𝑢 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑀𝑜𝑥,𝑦 } → 𝑞 𝑔 Determinar el área de acero requerido, provisto y la cuantía mecánica provista 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 2 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣 𝑓´𝑐 𝜌𝑟𝑒𝑞 = 𝑞 → 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞 = 𝜌𝑟𝑒𝑞 𝑡𝑏 → 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣 = 𝑛 ∙ 𝜋 ∙ → 𝜌𝑝𝑟𝑜𝑣 = 𝑓𝑦 4 𝑡𝑏 𝑓𝑦 𝑞𝑝𝑟𝑜𝑣 = 𝜌𝑝𝑟𝑜𝑣 𝑓´𝑐 Recalcular el momento provisto proyectado en 𝑥 ó 𝑦 Determinar el 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑀𝑜𝑥 o el 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑀𝑜𝑦 utilizando las tablas de la PCA. 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑃𝑢 𝑞𝑝𝑟𝑜𝑣 } → 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑀𝑜𝑦,𝑥 → 𝑀𝑜𝑦,𝑥 = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑀𝑜𝑦,𝑥 𝜙𝑓´𝑐 𝑏𝑡 2 𝑔 Verificar la condición inicial 𝑀𝑢𝑦 𝑀𝑢𝑥 𝑀𝑢𝑥 𝑀𝑢𝑦 ≤ → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒! ≤ → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒! 𝑀𝑜𝑥 𝑀𝑜𝑦 𝑀𝑜𝑦 𝑀𝑜𝑥 Determinar el valor de 𝛽 mediante tablas de la PCA que se encuentran en el apéndice A. Determinar las variables para utilizar las tablas 𝑃𝑢 𝑃𝑢 𝑃𝑜 } → 𝛽 𝑃𝑜 = 0.85𝑓´𝑐 𝐴𝑔 + 𝐴𝑠𝑡 𝑓𝑦 → 𝜌 𝑃𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑣 𝑔 Determinar el ratio de diseño mediante el método del contorno de cargas de la PCA 𝑀𝑢𝑦 𝑀𝑢𝑥 𝑀𝑢𝑦 𝑀𝑢𝑥 1 − 𝛽 ≤ → ( )+ ≤1 𝑀𝑜𝑥 𝑀𝑜𝑦 𝑀𝑜𝑥 𝛽 𝑀𝑜𝑦 𝑀𝑢𝑥 𝑀𝑢𝑦 𝑀𝑢𝑥 𝑀𝑢𝑦 1 − 𝛽 > → + ( )≤1 𝑀𝑜𝑥 𝑀𝑜𝑦 𝑀𝑜𝑥 𝑀𝑜𝑦 𝛽
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8.8.6) FACTOR DE REDUCCIÓN DE CAPACIDAD Como se describió anteriormente, el valor de 𝜙 puede ser mayor que 0.65 para columnas con estribos, o 0.75 para columnas zunchadas, si 𝜀𝑡 es mayor que 𝑓𝑦 ⁄𝐸𝑠 . Los valores más bajos de 𝜙 son aplicables a las secciones controladas en compresión por sus ductilidades más pequeñas. Tales secciones son más sensibles a la resistencia variable del concreto que las secciones controladas por tracción. La sección de la ACI 9.3.2.2 establece que 𝜙 para una columna particular puede aumentar linealmente de 0.65 o 0.75 a 0.90 a medida que se incrementa la deformación unitaria 𝜀𝑡 a tracción desde la deformación unitaria controlada en compresión 𝑓𝑦 ⁄𝐸𝑠 a aquella controlada en tracción de 0.005.
Figura 8.19 – Variación de 𝝓
8.8.7) COLUMNAS SOMETIDAS A FLEXIÓN BIAXIAL Muchas columnas están sometidas a flexión biaxial, es decir, a flexión con respecto a ambos ejes. Las columnas en las esquinas de los edificios donde las vigas y las trabes concurren con las columnas desde dos direcciones son los casos más comunes, pero existen otros tales como aquellos donde las columnas se cuelan monolíticamente, como si fueran partes de marcos en ambas direcciones o donde las columnas soportan vigas de fachada muy pesadas. Los estribos de puentes casi siempre están sometidos a flexión biaxial. Las columnas circulares tienen simetría polar y así la misma capacidad última en todas direcciones. Por consiguiente, el proceso de diseño es el mismo, independientemente de las direcciones de los momentos. Si existe flexión respecto a los ejes 𝑥 y 𝑦, el momento biaxial puede calcularse combinando los dos momentos o sus excentricidades como sigue96: 2
𝑀𝑢 = √(𝑀𝑢𝑥 )2 + (𝑀𝑢𝑦 ) O bien, 𝑒 = √(𝑒𝑥 )2 + (𝑒𝑦 )
2
Para formas distintas de la circular, es necesario considerar los efectos de la interacción tridimensional. Siempre que sea posible, conviene diseñar con sección circular las columnas
96
(McCormac C., 2011) copyright©rcolquea
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sometidas a flexión biaxial. Si es necesario usar columnas cuadradas o rectangulares para tales casos, el refuerzo debe colocarse uniformemente alrededor de los perímetros. Lógicamente podría pensarse que sería posible determinar 𝑃𝑛 para una columna cargada biaxialmente mediante ecuaciones de estática, tal procedimiento conduce a la respuesta correcta, pero las operaciones matemáticas son tan complejas debido a la forma del lado comprimido de la columna, que el método no resulta práctico. Se recomienda dos métodos para el diseño combinado a flexión biaxial y carga axial: el Método de las Cargas Recíprocas y el Método del Contorno de Cargas. A continuación se presentan ambos métodos, junto con una extensión del Método del Contorno de las Cargas (Método del Contorno de las Cargas de la PCA). 8.8.7.1) RESISTENCIA CON INTERACCIÓN BIAXIAL Un diagrama de interacción uniaxial define la resistencia a la combinación de carga y momento en un único plano de una sección solicitada por una carga axial 𝑃 y un momento uniaxial 𝑀. La resistencia a la flexión biaxial de una columna cargada axialmente se puede representar esquemáticamente como una superficie formada por una serie de curvas de interacción uniaxial trazadas en forma radial a partir del eje 𝑃 (ver figura 8.20). Los datos para estas curvas intermedias se obtienen variando el ángulo del eje neutro (para configuraciones de deformación específica supuestas) con respecto a los ejes principales (ver figura 8.21(c))97. La dificultad asociada con la determinación de la resistencia de las columnas armadas solicitadas a combinaciones de carga axial y flexión biaxial es fundamentalmente de naturaleza aritmética.
Figura 8.20 –Superficie de interacción biaxial
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En la figura 8.21(a) la sección se somete a flexión solo con respecto al eje 𝑥, donde 𝑀𝑛𝑜𝑥 = 𝑃𝑛 𝑒𝑦 . La curva correspondiente en el diagrama de interacción de resistencias aparece como el caso (b) en el diagrama de interacción de la figura 8.20. De modo similar, en la figura 8.21(b) la sección se somete a flexión solo con respecto al eje 𝑦, donde 𝑀𝑛𝑜𝑦 = 𝑃𝑛 𝑒𝑥 , la curva correspondiente en el diagrama de interacción de resistencias aparece como caso (a) en el esquema tridimensional de la figura 8.20.
Figura 8.21 – Flexión biaxial con respecto a un eje diagonal
En la figura 8.22(a) se ilustra la curva de momentos 𝑀𝑛𝑥 y 𝑀𝑛𝑦 bajo una carga constante, y la figura 8.22(b) muestra la curva 𝑃 − 𝑀 con ángulo constante (𝜆) donde se define un contorno de falla de carga axial más flexión uniaxial.
Figura 8.22 – Superficie de interacción con ángulo y carga constante
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8.8.7.2) SUPERFICIES DE FALLA La resistencia nominal de una sección solicitada a flexión biaxial y compresión es una función de tres variables, 𝑃𝑛 , 𝑀𝑛𝑥 y 𝑀𝑛𝑦 , las cuales se pueden expresar en términos de una carga axial actuando con excentricidades que van de la siguiente manera según la figura 8.23: 𝑀𝑛𝑦 𝑀𝑛𝑥 𝑒𝑥 = 𝑒𝑦 = 𝑃𝑛 𝑃𝑛
Figura 8.23 – Simbología utilizada para carga biaxial
Una superficie de falla se puede describir como una superficie generada graficando la carga de falla 𝑃𝑛 en función de sus excentricidades 𝑒𝑥 y 𝑒𝑦 , o de sus momentos flectores asociados 𝑀𝑛𝑥 y 𝑀𝑛𝑦 . Se han definido tres tipos de superficies de falla: Superficie de falla 𝑆1 : se define mediante una función que depende de las variables 𝑃𝑛 , 𝑒𝑥 y 𝑒𝑦 , esta superficie se ilustra en la figura 8.24(a). Superficie de falla recíproca 𝑠2 : para generar la superficie 𝑆2 (1⁄𝑃𝑛 , 𝑒𝑥 , 𝑒𝑦 ) se utiliza la recíproca o inversa de la carga axial nominal 𝑃𝑛 como se ilustra en la figura 8.24(b). Superficie de falla 𝑆3 : se ilustra en la figura 8.24(c), se obtiene relacionando la carga axial nominal 𝑃𝑛 con los momentos 𝑀𝑛𝑥 y 𝑀𝑛𝑦 para producir la superficie 𝑆3 (𝑃𝑛 , 𝑀𝑛𝑥 , 𝑀𝑛𝑦 ).
Figura 8.24 – Superficies de falla
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8.8.7.3) MÉTODO DE LAS CARGAS RECÍPROCAS DE BRESLER Este método aproxima la ordenada 1⁄𝑃𝑛 en la superficie 𝑆2 (1⁄𝑃𝑛 , 𝑒𝑥 , 𝑒𝑦 ) mediante una ordenada correspondiente 1⁄𝑃´𝑛 en el plano 𝑆´2 (1⁄𝑃´𝑛 , 𝑒𝑥 , 𝑒𝑦 ), el cual se define por los puntos característicos A, B y C como se indica en la figura 8.25. Para cualquier sección transversal en particular, el valor de 𝑃𝑜 (correspondiente al punto C) es la resistencia a la carga bajo compresión axial pura; 𝑃𝑜𝑥 (corresponde al punto B) y 𝑃𝑜𝑦 (corresponde al punto A) son las resistencias a la carga bajo excentricidades uniaxiales 𝑒𝑦 y 𝑒𝑥 , respectivamente. Cada punto de la superficie verdadera se aproxima mediante un plano diferente; por lo tanto, la totalidad de la superficie se aproxima usando un número infinito de planos.
Figura 8.25 – Método de las cargas recíprocas
La expresión general para la resistencia a la carga axial para cualquier valor de 𝑒𝑥 y 𝑒𝑦 es la siguiente: 1 1 1 1 1 ≈ = + − 𝑃𝑛𝑖 𝑃´𝑛𝑖 𝑃𝑛𝑥 𝑃𝑛𝑦 𝑃𝑜 Reordenando las variables se obtiene: 𝑃𝑛𝑖 =
1 1 𝑃𝑛𝑥
1
1
+𝑃 −𝑃 𝑛𝑦
𝑜
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Dónde: 𝑃𝑛𝑥 : Máxima resistencia a la carga uniaxial de la columna con un momento de 𝑀𝑛𝑥 = 𝑃𝑛 𝑒𝑦 𝑃𝑛𝑦 : Máxima resistencia a la carga uniaxial de la columna con un momento de 𝑀𝑛𝑦 = 𝑃𝑛 𝑒𝑥 𝑃𝑜 : Máxima resistencia a la carga axial sin momentos aplicados. Resultados experimentales han demostrado que esta ecuación será razonablemente exacta si la flexión no gobierna en el diseño, la ecuación sólo se debe usar si: 𝑃𝑛 ≥ 0.1𝑓′𝑐 𝐴𝑔 8.8.7.4) MÉTODO DEL CONTORNO DE LAS CARGAS DE BRESLER Este método se aproxima a la superficie 𝑆3 (𝑃𝑛 , 𝑀𝑛𝑥 , 𝑀𝑛𝑦 ) mediante una familia de curvas correspondientes a valores constantes de 𝑃𝑛 , tal como se ilustra en la figura 8.26, estas curvas se pueden considerar como contorno de las cargas.
Figura 8.26 – Contorno de cargas de Bresler para 𝑷𝒏 constante en la superficie de falla 𝑺𝟑
La expresión general para estas curvas se aproxima por medio de una ecuación de interacción adimensional de la forma: copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO 𝛽
𝑀𝑛𝑦 𝑀𝑛𝑥 𝛼 ( ) +( ) = 1.0 𝑀𝑛𝑜𝑥 𝑀𝑛𝑜𝑦 Dónde: 𝑀𝑛𝑥 = 𝑃𝑛 𝑒𝑦 : es la resistencia nominal o teórica al momento flector biaxial en dirección del eje 𝑥, con excentricidad únicamente en 𝑒𝑦 . 𝑀𝑛𝑦 = 𝑃𝑛 𝑒𝑥 : es la resistencia nominal o teórica al momento flector biaxial en dirección del eje 𝑦, con excentricidad únicamente en 𝑒𝑥 . 𝑀𝑛𝑜𝑥 : es la resistencia nominal o teórica al momento flector uniaxial en dirección del eje 𝑥. 𝑀𝑛𝑜𝑦 : es la resistencia nominal o teórica al momento flector uniaxial en dirección del eje 𝑦. 𝛼, 𝛽: Exponentes que dependen de la geometría de la sección transversal de la columna, cantidad, distribución y posición del refuerzo y la resistencia de los materiales. Bresler indica que es razonable suponer 𝛼 = 𝛽; por lo tanto, la ecuación anterior se convierte en: 𝛼
𝑀𝑛𝑦 𝑀𝑛𝑥 𝛼 ( ) +( ) = 1.0 𝑀𝑛𝑜𝑥 𝑀𝑛𝑜𝑦 Lo cual se representa gráficamente en la figura 8.26. Para utilizar la ecuación de Bresler o la figura 8.26 aún es necesario determinar el valor de 𝛼 para la sección considerada. Bresler indico que, típicamente, 𝛼 variaba entre 1.15 y 1.55 y que un valor de 1.5 era razonablemente exacto para la mayoría de las secciones cuadradas y rectangulares con armadura uniformemente distribuida. Fijando 𝛼 igual a la unidad, la ecuación de interacción se vuelve lineal: 𝑀𝑛𝑦 𝑀𝑛𝑥 + = 1.0 𝑀𝑛𝑜𝑥 𝑀𝑛𝑜𝑦 Como se ilustra en la figura 8.27, la ecuación de Bresler con 𝛼 = 1 siempre se obtendrá valores conservadores, ya que subestima la capacidad de la columna especialmente para el caso de cargas axiales elevadas o bajos porcentajes de armadura. Sólo se debería usar cuando: 𝑃𝑛 < 0.1𝑓′𝑐 𝐴𝑔
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Figura 8.27 – Curvas de interacción para el método del contorno de las cargas de Bresler
8.8.7.5) MÉTODO DEL CONTORNO DE LAS CARGAS DE LA PCA El enfoque de la PCA descrito a continuación fue desarrollado como una extensión o ampliación del Método del Contorno de las Cargas de Bresler. Se eligió la ecuación de Bresler como el método más viable en términos de exactitud, practicidad y potencial de simplificación. En la figura 8.28 se ilustra un contorno de carga típico según Bresler para una cierta 𝑃𝑛 . En el método de la PCA, el punto B se define de manera tal que las resistencias nominales al momento biaxial 𝑀𝑛𝑥 y 𝑀𝑛𝑦 tienen la misma relación que las resistencias al momento uniaxial 𝑀𝑛𝑜𝑥 y 𝑀𝑛𝑜𝑦 . Por lo tanto, el punto B se da: 𝑀𝑛𝑥 𝑀𝑛𝑜𝑥 = 𝑀𝑛𝑦 𝑀𝑛𝑜𝑦 Cuando el contorno de carga de la figura 8.28 se hace adimensional toma la forma indicada en la figura 8.29, y el punto B tendrá las coordenadas 𝑥 e 𝑦 iguales a 𝛽. Si se grafica la resistencia a la flexión en términos de los parámetros adimensionales 𝑃𝑛 ⁄𝑃𝑜 , 𝑀𝑛𝑥 ⁄𝑀𝑛𝑜𝑥 , 𝑀𝑛𝑦 ⁄𝑀𝑛𝑜𝑦 (estos dos últimos llamados momentos relativos), la superficie de falla generada 𝑆4 (𝑃𝑛 ⁄𝑃𝑜 , 𝑀𝑛𝑥 ⁄𝑀𝑛𝑜𝑥 , 𝑀𝑛𝑦 ⁄𝑀𝑛𝑜𝑦 ) adopta la forma típica ilustrada en la figura 8.30. La ventaja de expresar el comportamiento en términos relativos es que los contornos de la superficie de la figura 8.29 (es decir, la intersección formada por los planos 𝑃𝑛 ⁄𝑃𝑜 constante y la superficie) para los propósitos de diseño se puede considerar simétricos respecto del plano vertical que bisecta los dos planos coordenados. Aún para las secciones que son rectangulares o en las cuales la armadura no está uniformemente distribuida, esta aproximación permite obtener valores con precisión suficiente para el diseño. La relación entre 𝛼 y 𝛽 se obtiene reemplazando las coordenadas del punto B de la figura 8.28 en la ecuación de Bresler, y resolviendo para 𝛼 en función de 𝛽. Así se obtiene: copyright©rcolquea
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log 0.5 log 𝛽
Figura 8.28 – Contorno de cargas de la superficie de falla 𝑺𝟑 sobre un plano de 𝑷𝒏 constante
Figura 8.29 – Contorno de cargas adimensionales para 𝑷𝒏 constante
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Figura 8.30 – Superficie de falla 𝑺𝟒 (𝑷𝒏 ⁄𝑷𝒐 , 𝑴𝒏𝒙 ⁄𝑴𝒏𝒐𝒙 , 𝑴𝒏𝒚 ⁄𝑴𝒏𝒐𝒚 )
En consecuencia la ecuación de Bresler se puede escribir como: log 0.5
log 0.5
𝑀𝑛𝑦 log 𝛽 𝑀𝑛𝑥 log 𝛽 ( ) +( ) = 1.0 𝑀𝑛𝑜𝑥 𝑀𝑛𝑜𝑦 Para simplificar el diseño, en la figura 8.31 se grafican las curvas generadas por la ecuación de Bresler en función de 𝛽, Observar que cuando 𝛽 = 0.5 (su límite inferior), la ecuación de Bresler es una recta que une los puntos en los cuales los momentos relativos son iguales a lo largo de los planos coordenados. Cuando 𝛽 = 1.0 (su límite superior), la ecuación de Bresler toma la forma de dos rectas, cada una de ellas paralela a uno de los planos coordenados.
Figura 8.31 – Relación de resistencia al momento biaxial
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Los valores de 𝛽 se calcularon usando un bloque de tensiones rectangular y los principios 𝑏 básicos de equilibrio. Se halló que los que los parámetros 𝛾, ℎ 𝑦 𝑓´𝑐 no afectaban demasiado los valores de 𝛽. La máxima diferencia en 𝛽 fue de alrededor de 5% para valores de 𝑃𝑛 ⁄𝑃𝑜 comprendidos entre 0.1 y 0.9. La mayoría de los valores de 𝛽, especialmente en el rango de 𝑃𝑛 ⁄𝑃𝑜 más utilizado, no presentaron diferencias mayores al 3%. En vista de estas pequeñas diferencias, sólo se desarrollaron envolventes de los valores de 𝛽 más bajos para los valores de 𝑓𝑦 y diferentes disposiciones de las barras, tal como se ilustra en el apéndice B98. Por simples consideraciones geométricas se puede demostrar que la ecuación de la recta superior de la figura 8.32 es: 𝑀𝑛𝑦 𝑀𝑛𝑜𝑦 𝑀𝑛𝑦 𝑀𝑛𝑥 1 − 𝛽 𝑆í ( > )→ ( )+ =1 𝑀𝑛𝑥 𝑀𝑛𝑜𝑥 𝑀𝑛𝑜𝑥 𝛽 𝑀𝑛𝑜𝑦 O de otra manera:
𝑀𝑛𝑜𝑦 1 − 𝛽 )( ) + 𝑀𝑛𝑦 = 𝑀𝑛𝑜𝑦 𝑀𝑛𝑜𝑥 𝛽 Para las secciones rectangulares con armadura igualmente distribuida en todas sus caras, la anterior ecuación se puede aproximar como: 𝑏 1−𝛽 𝑀𝑛𝑥 ( ) ( ) + 𝑀𝑛𝑦 ≈ 𝑀𝑛𝑜𝑦 ℎ 𝛽 Por simples consideraciones geométricas se puede demostrar que la ecuación de la recta inferior de la figura 8.32 es: 𝑀𝑛𝑦 𝑀𝑛𝑜𝑦 𝑀𝑛𝑦 1 − 𝛽 𝑀𝑛𝑥 𝑆í ( < )→ + ( )=1 𝑀𝑛𝑥 𝑀𝑛𝑜𝑥 𝑀𝑛𝑜𝑥 𝑀𝑛𝑜𝑦 𝛽 𝑀𝑛𝑥 (
O de otra manera:
𝑀𝑛𝑜𝑥 1 − 𝛽 𝑀𝑛𝑥 + 𝑀𝑛𝑦 ( )( ) = 𝑀𝑛𝑜𝑥 𝑀𝑛𝑜𝑦 𝛽 Para las secciones rectangulares con armadura igualmente distribuida en todas sus caras, la anterior ecuación se puede aproximar como: 𝑏 1−𝛽 𝑀𝑛𝑥 + 𝑀𝑛𝑦 ( ) ( ) ≈ 𝑀𝑛𝑜𝑥 ℎ 𝛽
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(American Concrete Institute, 2008) copyright©rcolquea
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Figura 8.32 – Aproximación bilineal de un contorno de carga adimensionalizado
Para las ecuaciones de diseño se debe seleccionar la relación 𝑏⁄ℎ ó ℎ⁄𝑏 y se debe suponer el valor de 𝛽. Para las columnas poco cargadas 𝛽 generalmente variará entre 0.55 y alrededor de 0.7. Por lo tanto, en general una buena opción para iniciar un análisis de flexión biaxial consiste en tomar un valor de 𝛽 igual a 0.65. 8.9) EJERCICIOS RESUELTOS Ejemplo 8.2 Diseñar una columna cuadrada con estribos para soportar una carga axial 𝑃𝑢 = 2600 𝑘𝑁, si 𝑓′𝑐 = 28 𝑀𝑃𝑎 𝑦 𝑓𝑦 = 350 𝑀𝑃𝑎. Suponga inicialmente 2 % de acero longitudinal. Solución: Paso 1: Selección de las dimensiones de la columna De la hipótesis básica tenemos: 𝜙𝑃𝑛 ≥ 𝑃𝑢 → 𝜙𝑃𝑛 ≥ 2600 𝑘𝑁 → 𝜙𝑃𝑛 = 0.8𝜙[0.85𝑓´𝑐 (𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 ) + 𝑓𝑦 𝐴𝑠𝑡 ] 2600 ∙ 103 = 0.8 ∙ 0.65[0.85 ∙ 28(𝐴𝑔 − 0.02𝐴𝑔 ) + 350 ∙ 0.02𝐴𝑔 ] → 𝐴𝑔 = 164886 𝑚𝑚2 Usar una columna de 400𝑥400 𝑚𝑚 (𝐴𝑔 = 160000 𝑚𝑚2 ). 𝑡𝑥 = 400 𝑚𝑚, 𝑡𝑦 = 400 𝑚𝑚 Paso 2: Selección de varillas longitudinales 2600 ∙ 103 = 0.8 ∙ 0.65[0.85 ∙ 28(160000 − 𝐴𝑠𝑡 ) + 350 ∙ 𝐴𝑠𝑡 ] → 𝐴𝑠𝑡 = 3654 𝑚𝑚2 Área de acero provisto 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 2 252 𝐴𝑠𝑡 = 𝑛 ∙ 𝜋 ∙ =8∙𝜋∙ = 3926.99 𝑚𝑚2 4 4 Use ocho varillas del #25 Paso 3: Verificar la separación máxima y mínima. Definición de estribos. ACI 7.10.5.1 copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 ≤ 𝑁º 32 → 𝜙𝑒𝑠𝑡 ≥ 𝑁º 10 → 𝜙𝑒𝑠𝑡 = 10 𝑚𝑚 Determinar la separación mínima. ACI 7.6.3 40 𝑚𝑚 ∎ 40 𝑚𝑚 1.5 ∙ 25 = 37.5 𝑚𝑚 𝑆𝑚𝑖𝑛 = 𝑚𝑎𝑥 { 1.5𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 = 𝑚𝑎𝑥 { 4 3 4/3𝜙𝑚𝑎𝑥𝑎𝑔𝑟 ∙ = 25.4 𝑚𝑚 3 4 Determinar la separación máxima. ACI 7.10.5.3 𝑆𝑚𝑎𝑥 = 150 𝑚𝑚 Separación provista: 275 𝑆𝑥 = 𝑆𝑦 = − 25 = 162.5 𝑚𝑚 2
𝑆⏟ 𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑆 𝑚𝑎𝑥 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 ⏟𝑥 = 𝑆𝑦 ≤ 𝑆⏟ 40
162.5
150
Paso 4: Diseño de estribos. Determinar la separación máxima entre estribos. ACI 7.10.5.2 48𝜙𝑒𝑠𝑡 48 ∙ 10 = 480 𝑚𝑚 16𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 𝑆𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛 { = 𝑚𝑖𝑛 {16 ∙ 25 = 400 𝑚𝑚 𝑡𝑥 400 𝑚𝑚 𝑡𝑦 400 𝑚𝑚∎ Por lo tanto distribuir 𝜙10𝑐/400 𝑚𝑚 en toda la longitud de la columna, la figura 8.33 muestra el armado de la sección. Paso 5: Verificamos los límites de la cuantía de acero. ACI 10.9.1 (0.01 ≤ 𝜌 ≤ 0.08) → (0.01 ≤ 0.023 ≤ 0.08) → 𝐶𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 ACI 10.9.2: (Número de varillas=8) > (número mínimo de varillas=4)
Figura 8.33 – Sección transversal
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Ejemplo 8.3 Diseñar una columna corta cuadrada para las siguientes condiciones: 𝑃𝑢 = 2669 𝑘𝑁, 𝑀𝑢𝑥 = 108 𝑘𝑁 ∙ 𝑚, 𝑓′𝑐 = 28 𝑀𝑃𝑎 𝑦 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎. Coloque las varillas uniformemente alrededor de las cuatro caras de la columna .Diseñar mediante los ábacos de la ACI. 𝑘𝑁 3 Datos: 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑓´𝑐 = 28 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝜆 = 1, 𝑤𝑐 = 24 𝑚3 , 𝜙𝑚𝑎𝑥𝑎𝑔𝑟 = 4 𝑖𝑛, 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠: 𝑃𝑢 = 2669 𝑘𝑁, 𝑀𝑢𝑥 = 108 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Solución: Paso 1: Aproximar las dimensiones de la sección. Suponga que la columna tendrá un esfuerzo promedio de compresión de aproximadamente: 𝐴𝑔𝑟𝑒𝑞 =
𝑃𝑢 2669 ∙ 103 = = 158869.0476 𝑚𝑚2 0.6𝑓´𝑐 0.6 ∙ 28
Ensaye una columna de 400𝑥400 𝑚𝑚 (𝐴𝑔 = 160000 𝑚𝑚2 ) con las varillas colocadas como se muestra en la figura 8.34.
Figura 8.34 – Sección transversal
𝑡𝑥 = 500 𝑚𝑚, 𝑡𝑦 = 300 𝑚𝑚 La sección trabaja como columna o viga?. ACI 10.3.5 (𝑃𝑢 ≥ 0.1𝑓´𝑐 𝐴𝑔 → 2669000 ≥ ⏟ 0.1 ∙ 28 ∙ 160000) → 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 → 𝜙 = 0.65 448000
Por lo tanto la sección trabaja como columna.
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Paso 2: Determinar el cociente de la distancia entre aceros extremos y el borde. 𝑡𝑦 − 2𝑡´𝑦 400 − 2 ∙ 62.5 𝛾𝑦 = = = 0.6875 𝑡𝑦 400 Paso 3: Determinar la resistencia nominal a cargas axiales para una excentricidad dada a lo largo del eje 𝑥. 𝛾𝑦 = 0.6875 La excentricidad está dado por: 𝑀𝑢𝑥 108 ∙ 106 𝑒𝑦 = = = 40.464 𝑚𝑚 𝑃𝑢 2669 ∙ 103 Determinar la resistencia nominal requerida a cargas axiales. 𝑃𝑢 2669 𝑃𝑛 = = = 4106.154 𝑘𝑁 𝜙 0.65 Determinar los coeficientes para ingresar a los ábacos: 𝐾𝑛𝑥 = 𝑅𝑛𝑥 =
𝑃𝑛 4106.154 ∙ 103 = = 0.916 𝑓′𝑐 𝐴𝑔 28 ∙ 160000
𝑃𝑛 𝑒𝑦 4106.154 ∙ 103 ∙ 40.464 = = 0.0927 𝑓′𝑐 𝐴𝑔 𝑡𝑦 28 ∙ 160000 ∙ 400
Determinar la cuantía de acero mediante el diagrama de interacción R4-60.6 para 𝛾 = 0.6, trazar una línea horizontal que parte de 𝐾𝑛𝑥 y trazar una línea vertical que parte de 𝑅𝑛𝑥 , la intersección de ambas líneas nos genera la cuantía de acero. 𝜌 = 0.025 Determinar la cuantía de acero mediante el diagrama de interacción R4-60.7 para 𝛾 = 0.7. 𝜌 = 0.022 Interpolando entre los valores dados en las gráficas R4-60.6 y R4-60.7. 𝛾𝑦 0.6 0.6875 0.7
𝜌 0.025 𝜌 = 𝟎. 𝟎𝟐𝟑 0.022
Área de acero requerido 𝐴𝑠𝑡 = 𝜌𝑡𝑥 𝑡𝑦 = 0.023 ∙ 400 ∙ 400 = 3680 𝑚𝑚2 Área de acero provisto 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 2 252 𝐴𝑠𝑡 = 𝑛 ∙ 𝜋 ∙ =8∙𝜋∙ = 3926.99 𝑚𝑚2 4 4 Use ocho varillas del #25 Paso 4: Verificar la separación máxima y mínima. Definición de estribos. ACI 7.10.5.1 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 ≤ 𝑁º 32 → 𝜙𝑒𝑠𝑡 ≥ 𝑁º 10 → 𝜙𝑒𝑠𝑡 = 10 𝑚𝑚 copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO Determinar la separación mínima. ACI 7.6.3 40 𝑚𝑚 ∎ 40 𝑚𝑚 1.5 ∙ 25 = 37.5 𝑚𝑚 𝑆𝑚𝑖𝑛 = 𝑚𝑎𝑥 { 1.5𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 = 𝑚𝑎𝑥 { 4 3 4/3𝜙𝑚𝑎𝑥𝑎𝑔𝑟 ∙ = 25.4 𝑚𝑚 3 4 Determinar la separación máxima. ACI 7.10.5.3 𝑆𝑚𝑎𝑥 = 150 𝑚𝑚 Separación provista: 275 𝑆𝑥 = 𝑆𝑦 = − 25 = 162.5 𝑚𝑚 2
𝑆⏟ 𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑆 𝑚𝑎𝑥 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 ⏟𝑥 = 𝑆𝑦 ≤ 𝑆⏟ 40
150
162.5
Paso 5: Diseño de estribos. Determinar la separación máxima entre estribos. ACI 7.10.5.2 48𝜙𝑒𝑠𝑡 48 ∙ 10 = 480 𝑚𝑚 16𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 16 𝑆𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛 { = 𝑚𝑖𝑛 { ∙ 25 = 400 𝑚𝑚 𝑡𝑥 400 𝑚𝑚 𝑡𝑦 400 𝑚𝑚∎ Por lo tanto distribuir 𝜙10𝑐/400 𝑚𝑚 en toda la longitud de la columna. Paso 6: Verificamos los límites de la cuantía de acero. ACI 10.9.1 (0.01 ≤ 𝜌 ≤ 0.08) → (0.01 ≤ 0.023 ≤ 0.08) → 𝐶𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 ACI 10.9.2: (Número de varillas=8) > (número mínimo de varillas=4) Ejemplo 8.4 Seleccionar la sección y armadura de una columna corta que resista la carga factorizada y momento de 𝑃𝑢 = 1100 𝑘𝑁, 𝑀𝑢𝑥 = 75 𝑘𝑁 ∙ 𝑚, 𝑀𝑢𝑦 = 150 𝑘𝑁 ∙ 𝑚. Si 𝑓′𝑐 = 21 𝑀𝑃𝑎 𝑦 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎 diseñar usando los diagramas de interacción de columnas de la ACI y/o el método de carga reciproca de Bresler. Datos: 𝑘𝑁 3 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑓´𝑐 = 21 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝜆 = 1, 𝑤𝑐 = 24 3 , 𝜙𝑚𝑎𝑥𝑎𝑔𝑟 = 𝑖𝑛, 𝑚 4 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: 𝑟𝑒𝑐 = 25 𝑚𝑚, 𝜙𝑒𝑠𝑡 = 10 𝑚𝑚 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠: 𝑃𝑢 = 1100 𝑘𝑁, 𝑀𝑢𝑥 = 75 𝑘𝑁 ∙ 𝑚, 𝑀𝑢𝑦 = 150 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Solución: Paso 1: Aproximar las dimensiones de la sección, establecer el área mínima requerida de la columna para una cuantía de acero mínimo: 𝑃𝑢 1100 ∙ 103 𝐴𝑔𝑚𝑖𝑛 = = = 109126.984 𝑚𝑚2 0.4(𝑓´𝑐 + 𝑓𝑦 𝜌𝑚𝑖𝑛 ) 0.4(21 + 420 ∙ 0.01) En función al área requerida mínima establecemos una sección de 500𝑥300 𝑚𝑚 tal como se muestra en la figura 8.35, por tanto el área bruta es:
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Figura 8.35 – Sección transversal
𝑡𝑥 = 500 𝑚𝑚, 𝑡𝑦 = 300 𝑚𝑚 𝐴𝑔 = 𝑡𝑥 𝑡𝑦 = 500 ∙ 300 = 150000 𝑚𝑚2 𝐴𝑔𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝐴𝑔 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 La sección trabaja como columna o viga?. ACI 10.3.5 (𝑃𝑢 ≥ 0.1𝑓´𝑐 𝐴𝑔 → 1100000 ≥ ⏟ 0.1 ∙ 21 ∙ 150000) → 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 → 𝜙 = 0.65 315000
Por lo tanto la sección trabaja como columna. Paso 2: Dimensionar la armadura o refuerzo y verificar la cuantía mínima, se debe seguir las siguientes suposiciones: Acero longitudinal en cada esquina. ACI 10.9.2 o Para estribos circulares o rectangulares poner 4 barras. o Para estribos triangulares poner 3 barras o Para estribos en espiral poner 6 barras La separación máxima entre barras longitudinales no debe ser mayor a 150 𝑚𝑚. ACI 7.10.5.3 Aumentar el número de barras donde se tenga mayor momento. De las suposiciones podemos concluir la distribución de barras longitudinales.
Figura 8.36 – Distribución de barras longitudinales
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HORMIGÓN ARMADO 𝑛 = 14, 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 = 20 𝑚𝑚
Determinamos el área de acero y cuantía provista. 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 2 202 𝐴𝑠𝑡 4398.23 𝐴𝑠𝑡 = 𝑛𝜋 = 14 ∙ 𝜋 ∙ = 4398.23 𝑚𝑚2 𝜌 = = = 0.029 4 4 𝑡𝑥 𝑡𝑦 300 ∙ 500 Verificamos los límites de la cuantía de acero. ACI 10.9.1 (0.01 ≤ 𝜌 ≤ 0.08) → (0.01 ≤ 0.029 ≤ 0.08) → 𝐶𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 Paso 3: Determinar el cociente de la distancia entre aceros extremos y el borde. 𝑡𝑥 − 2𝑟𝑒𝑐 − 2𝜙𝑒𝑠𝑡 − 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 500 − 2 ∙ 25 − 2 ∙ 10 − 20 𝛾𝑥 = = = 0.82 𝑡𝑥 500 𝑡𝑦 − 2𝑟𝑒𝑐 − 2𝜙𝑒𝑠𝑡 − 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 300 − 2 ∙ 25 − 2 ∙ 10 − 20 𝛾𝑦 = = = 0.70 𝑡𝑦 300 Paso 4: Determinar la resistencia nominal a cargas axiales para una excentricidad dada a lo largo del eje 𝑥. 𝛾𝑦 = 0.7 La excentricidad está dado por: 𝑒𝑦 =
Para la respectiva columna
𝑒𝑦 𝑡𝑦
=
𝑀𝑢𝑥 75 ∙ 106 = = 68.182 𝑚𝑚 𝑃𝑢 1100 ∙ 103 𝑒𝑦 68.182 = = 0.227 𝑡𝑦 300 68.182 300
= 0.227, por tanto, se grafica una línea que parte del 68.182
origen y que pasa por un conjunto de valores supuestos para 𝐾𝑛 y 𝑅𝑛 en la proporción de 300 entre sí. En este caso, 𝐾𝑛 se hizo igual a 300 y 𝑅𝑛 = 0.227 ∙ 300 = 68.1. Después se dibujó una línea de ese punto de intersección al origen del diagrama de interacción R3-60.7. Finalmente, se determinó la intersección de esta línea con 𝜌 = 0.029 y se leyó el valor de 𝐾𝑛 𝑦 𝑅𝑛 . Este último valor nos permite calcular 𝑃𝑛 . 𝑅𝑛𝑥 = 0.179 2
𝑃𝑛𝑥 =
𝑅𝑛𝑥 𝑓′𝑐 𝑡𝑥 𝑡𝑦 0.179 ∙ 21 ∙ 500 ∙ 3002 /103 = = 2480.94 𝑘𝑁 𝑒𝑦 68.182
Paso 5: Determinar la resistencia nominal a cargas axiales para una excentricidad dada a lo largo del eje 𝑦. 𝛾𝑥 = 0.82 La excentricidad está dado por: 𝑀𝑢𝑦 150 ∙ 106 𝑒𝑥 = = = 136.364 𝑚𝑚 𝑃𝑢 1100 ∙ 103 𝑒𝑥 136.364 = = 0.273 𝑡𝑥 500 copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO 𝑒𝑥
Dibujando una línea de
𝑡𝑥
= 0.273 constante en el diagrama de interacción R3-60.8
determinamos 𝑅𝑛𝑦 para 𝛾𝑥 = 0.80. 𝑅𝑛𝑦 = 0.203 Dibujando una línea de
𝑒𝑥 𝑡𝑥
= 0.273 constante en el diagrama de interacción R3-60.9 del
apéndice A determinamos 𝑅𝑛𝑦 para 𝛾𝑥 = 0.90. 𝑅𝑛𝑦 = 0.214 Interpolando entre ellas obtenemos 𝑅𝑛𝑦 para 𝛾𝑥 = 0.82 𝑅𝑛𝑦 0.203 𝒙 = 𝟎. 𝟐𝟎𝟓𝟐 0.214
𝛾𝑥 0.8 0.82 0.9
𝑅𝑛𝑦 = 0.2052 𝑃𝑛𝑦
𝑅𝑛𝑥 𝑓′𝑐 𝑡𝑦 𝑡𝑥 2 0.2052 ∙ 21 ∙ 300 ∙ 5002 /103 = = = 2370.06 𝑘𝑁 𝑒𝑥 136.364
Paso 6: Determinar la resistencia nominal a cargas axiales para excentricidad cero. ACI 10.3.6.1 (0.85 ∙ 21 ∙ (150000 − 4398.23) + 4398.23 ∙ 420) 103 𝑃𝑜 = 4446.248𝑘𝑁
𝑃𝑜 = 0.85𝑓´𝑐 (𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 ) + 𝐴𝑠𝑡 𝑓𝑦 =
Paso 7: Determinar la resistencia nominal requerida a cargas axiales para una excentricidad dada a lo largo de ambos ejes. 𝑃𝑢 1100 𝑃𝑛 = = = 1692.308 𝑘𝑁 𝜙 0.65 Paso 8: Determinar la resistencia nominal provista a cargas axiales para una excentricidad dada a lo largo de ambos ejes 1 1 𝑃𝑎 = 1 = = 1666.404 𝑘𝑁 1 1 1 1 1 + − + − 𝑃 𝑃 𝑃 2480.94 2370.06 4446.248 𝑛𝑥
𝑛𝑦
𝑜
Verificar el ratio de diseño 𝑃𝑛 1692.308 = = 1.016 𝑃𝑎 1666.404 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 > 1 → 𝑓𝑎𝑙𝑙𝑎 El diseño falla, pero el código ACI acepta un falla del 4% para los casos más desfavorables, el ratio genera una falla de 1.6%, por lo tanto se acepta el diseño de la columna corta. Entonces armamos la columna con 14𝜙20 distribuidas en ambas direcciones, ver figura 8.37. 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 =
Paso 9: Verificar la separación máxima y mínima. Definición de estribos. ACI 7.10.5.1 copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 ≤ 𝑁º 32 → 𝜙𝑒𝑠𝑡 ≥ 𝑁º 10
𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 > 𝑁º 32 → 𝜙𝑒𝑠𝑡 ≥ 𝑁º 13
𝜙𝑒𝑠𝑡 = 10 𝑚𝑚 Determinar la separación mínima. ACI 7.6.3 40 𝑚𝑚 ∎ 40 𝑚𝑚 1.5 ∙ 20 = 30 𝑚𝑚 𝑆𝑚𝑖𝑛 = 𝑚𝑎𝑥 { 1.5𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 = 𝑚𝑎𝑥 { 4 3 4/3𝜙𝑚𝑎𝑥𝑎𝑔𝑟 ∙ = 25.4 𝑚𝑚 3 4 Determinar la separación máxima. ACI 7.10.5.3 𝑆𝑚𝑎𝑥 = 150 𝑚𝑚 Separación provista horizontal: 𝑡𝑥 − 2𝑟𝑒𝑐 − 2𝜙𝑒𝑠𝑡 − 𝑛𝑥 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 𝑛𝑥 − 1 Separación provista vertical:
𝑆𝑥 =
𝑛𝑥 = 5 500 − 2 ∙ 25 − 2 ∙ 10 − 5 ∙ 20 = = 82.5 𝑚𝑚 5−1 𝑛𝑦 = 4
𝑆𝑦 =
𝑡𝑦 − 2𝑟𝑒𝑐 − 2𝜙𝑒𝑠𝑡 − 𝑛𝑦 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 300 − 2 ∙ 25 − 2 ∙ 10 − 4 ∙ 20 = = 50 𝑚𝑚 𝑛𝑦 − 1 4−1
Verificar: 𝑆⏟ ⏟𝑥 ≤ 𝑆⏟ 𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑆 𝑚𝑎𝑥 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 40
82.5
150
𝑆⏟ ⏟ 𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑆⏟𝑦 ≤ 𝑆 𝑚𝑎𝑥 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 40
50
150
Paso 10: Verificar la máxima fuerza de compresión axial admisible. ACI 10.3.6.2 𝜙𝑃𝑛(max) = 0.8𝜙[0.85𝑓´𝑐 (𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 ) + 𝑓𝑦 𝐴𝑠𝑡 ] 𝜙𝑃𝑛(max) = 0.8 ∙ 0.65[0.85 ∙ 21(150000 − 4398.23) + 420 ∙ 4398.23]/103 = 2312.049𝑘𝑁
𝑃𝑢(max) = 1100 𝑘𝑁 𝑆𝑖𝜙𝑃𝑛(max) ≥ 𝑃𝑢(max) → 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 Paso 11: Diseño a corte Determinar la resistencia al corte proporcionado por el hormigón. ACI 11.2.1.2 𝑃𝑢 = 1100 𝑘𝑁 Suponemos que la fuerza de corte (𝑉𝑢 = 50 𝑘𝑁) está orientado en la dirección 𝑥, no existe fuerza cortante en la dirección 𝑦. 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 𝑑 = 𝑡𝑥 − (𝑟𝑒𝑐 + 𝜙𝑒𝑠𝑡 + ) = 455 𝑚𝑚 𝑏𝑤 = 𝑡𝑦 = 300 𝑚𝑚 𝜑 = 0.75 2 𝑃𝑢 𝜑𝑉𝑐 = 𝜑0.17 (1 − ) 𝜆√𝑓´𝑐𝑐 𝑏𝑤 𝑑 14𝐴𝑔 1100 ) 1√21 ∙ 300 ∙ 455/103 = 79.712 𝑘𝑁 14 ∙ 150000 Verificar si se requiere estribo.
𝜑𝑉𝑐 = 0.75 ∙ 0.17 (1 −
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HORMIGÓN ARMADO 𝑉𝑐 𝑆𝑖 𝜑𝑉 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒, 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 ⏟𝑐 ≥ 𝑉⏟𝑢 ≥ 𝜑 ⏟ 2 79.712
50
39.856
Determinar la separación máxima entre estribos. ACI 7.10.5.2 48𝜙𝑒𝑠𝑡 48 ∙ 10 = 480 𝑚𝑚 16𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 16 𝑆𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛 { = 𝑚𝑖𝑛 { ∙ 20 = 320 𝑚𝑚 𝑡𝑥 500 𝑚𝑚 𝑡𝑦 300 𝑚𝑚∎ Por lo tanto distribuir 𝜙10𝑐/300 𝑚𝑚 en toda la longitud de la columna, no existe estribo de confinamiento porque no existe solicitación sísmica. Paso 12: Empalmes de barras corrugadas a compresión. ACI 12.16.1 𝑑𝑏 = 20 𝑚𝑚 𝑆𝑖 (𝑓´𝑐𝑐 ≥ 21𝑀𝑃𝑎 𝑦 𝑓𝑦 ≤ 420 𝑀𝑃𝑎) → (𝑙𝑒𝑚𝑝 = 0.071𝑓𝑦 𝑑𝑏 ) 𝑙𝑒𝑚𝑝 = 0.071𝑓𝑦 𝑑𝑏 = 0.071 ∙ 420 ∙ 20 = 596.4 𝑚𝑚 𝑙𝑒𝑚𝑝 ≥ 300 𝑚𝑚 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑒𝑚𝑝 = 600 𝑚𝑚
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Figura 8.37 – Plano de detalle de la columna
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Ejemplo 8.5 Validar el ejemplo 8.4 tomando en cuenta las cargas, materiales y armado del respectivo ejemplo, generar el diagrama de interacción mediante 7 estados (método general) y determinar el ratio de diseño. Datos: 𝑘𝑁 3 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑓´𝑐 = 21 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝜆 = 1, 𝑤𝑐 = 24 3 , 𝜙𝑚𝑎𝑥𝑎𝑔𝑟 = 𝑖𝑛, 𝑚 4 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: 𝑏 = 500 𝑚𝑚, 𝑡 = 300 𝑚𝑚, 𝑟𝑒𝑐 = 25 𝑚𝑚, 𝜙𝑒𝑠𝑡 = 10 𝑚𝑚, 𝑛 = 10, 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 = 20 𝑚𝑚, 𝐴𝑠𝑡 = 4398.23 𝑚𝑚2 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠: 𝑃𝑢 = 1100 𝑘𝑁, 𝑀𝑢𝑥 = 75 𝑘𝑁 ∙ 𝑚, 𝑀𝑢𝑦 = 150 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Solución: Paso 1: Verificar si la columna trabaja a compresión
Figura 8.38 – sección transversal
La sección trabaja como columna o viga?. ACI 10.3.5 (𝑃𝑢 ≥ 0.1𝑓´𝑐 𝐴𝑔 → 1100000 ≥ ⏟ 0.1 ∙ 21 ∙ 150000) → 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 → 𝜙 = 0.65 315000
Por lo tanto la sección trabaja como columna, la armadura provista es: 𝑛 = 14, 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 = 20 𝑚𝑚 Determinamos el área de acero y cuantía provista. 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 2 202 𝐴𝑠𝑡 4398.23 𝐴𝑠𝑡 = 𝑛𝜋 = 14 ∙ 𝜋 ∙ = 4398.23 𝑚𝑚2 𝜌 = = = 0.029 4 4 𝑡𝑥 𝑡𝑦 300 ∙ 500 Paso 2: Determinar el diagrama de interacción para momento en 𝑥, 𝑀𝑢𝑥
Figura 8.39 – peraltes efectivos para 𝑴𝒖𝒙
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Determinar peraltes efectivos según la figura 8.39. 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 20 𝑑4𝑦 = 𝑟𝑒𝑐 + 𝜙𝑒𝑠𝑡 + = 25 + 10 + = 45 𝑚𝑚 2 2 𝑡 − 2𝑑4𝑦 300 − 2 ∙ 45 𝑑3𝑦 = 𝑑4𝑦 + = 45 + = 115 𝑚𝑚 3 3 𝑡 − 2𝑑4𝑦 300 − 2 ∙ 45 𝑑2𝑦 = 𝑑3𝑦 + = 115 + = 185 𝑚𝑚 3 3 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 20 𝑑1𝑦 = 𝑡 − 𝑟𝑒𝑐 − 𝜙𝑒𝑠𝑡 − = 300 − 25 − 10 − = 255 𝑚𝑚 2 2 Determinar las áreas de acero para cada capa 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 2 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 2 2 𝐴𝑠4 = 5𝜋 = 1570.796 𝑚𝑚 𝐴𝑠3 = 2𝜋 = 628.319 𝑚𝑚2 4 4 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 2 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 2 2 𝐴𝑠2 = 2𝜋 = 628.319 𝑚𝑚 𝐴𝑠1 = 5𝜋 = 1570.796 𝑚𝑚2 4 4 1) 1º estado, para excentricidad igual a cero, 𝑒 = 0 𝜙𝑃𝑛𝑜 = 𝜙[0.85𝑓´𝑐 (𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 ) + 𝑓𝑦 𝐴𝑠𝑡 ] 𝜙𝑃𝑛𝑜 = 0.65[0.85 ∙ 21(150000 − 4398.23 ) + 420 ∙ 4398.23 ]/103 = 2890.061𝑘𝑁
𝜙𝑀𝑛𝑜 0 = = 0 𝑚𝑚 𝜙𝑃𝑛𝑜 2890.064 2) 2º estado, para excentricidad mínima, 𝑒𝑚𝑖𝑛 = 10%𝑡 𝜙𝑃𝑛𝑚𝑎𝑥 = 0.8𝜙[0.85𝑓´𝑐 (𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 ) + 𝑓𝑦 𝐴𝑠𝑡 ] 𝜙𝑀𝑛𝑜 = 0 𝑘𝑁 ∙ 𝑚
𝑒𝑜𝑦 =
0.65[0.85 ∙ 21(150000 − 4398.23 ) + 420 ∙ 4398.23 ] 103 = 2312.049 𝑘𝑁 𝑒𝑚𝑖𝑛𝑦 = 0.1𝑡 = 0.1 ∙ 300 = 30 𝑚𝑚
𝜙𝑃𝑛𝑚𝑎𝑥 = 0.8 ∙ 𝜙𝑃𝑛𝑚𝑎𝑥
𝜙𝑀𝑛𝑚𝑖𝑛 = 𝜙𝑃𝑛𝑚𝑎𝑥 𝑒𝑚𝑖𝑛𝑦 = 2312.049 ∙ 0.03 = 69.361 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 3) 3º estado, deformación unitaria del acero más traccionado igual a cero, 𝜀𝑠 = 0
Figura 8.40 – Diagrama de deformación unitaria para 𝜺𝒔 = 𝟎
𝛽1 = 0.85
𝜀𝑐𝑢 = 0.003
𝑐 = 𝑑1𝑦 = 255 𝑚𝑚 𝑎 = 𝑐𝛽1 = 255 ∙ 0.85 = 216.75 𝑚𝑚 copyright©rcolquea
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Deformación en las capas: Capa 4: 𝑐 − 𝑑4𝑦 255 − 45 𝜀𝑠4 = ( ) 𝜀𝑐𝑢 = ( ) 0.003 = 0.0025 𝑐 255 𝑆𝑖 (𝜀𝑠4 ≥ 𝑆𝑖 (𝜀𝑠4 ≥
𝑓𝑦 𝑓𝑦 ) → 𝑓𝑠4 = 𝑓𝑦 ; 𝑆𝑖 (𝜀𝑠4 < ) → 𝑓𝑠4 = 𝜀𝑠4 𝐸𝑠 𝐸𝑠 𝐸𝑠
𝑓𝑦 ) → 𝑓𝑠4 = 𝑓𝑦 𝐸𝑠
𝑆𝑖 (0.0025 ≥
420 ) → 𝑓𝑠4 = 420 𝑀𝑃𝑎 ⏟ 200000 0.0021
Capa 3: 𝑐 − 𝑑3𝑦 255 − 115 𝜀𝑠3 = ( ) 𝜀𝑐𝑢 = ( ) 0.003 = 0.0016 𝑐 255 𝑆𝑖 (0.0016 <
𝑆𝑖 (𝜀𝑠3 <
𝑓𝑦 ) → 𝑓𝑠3 = 𝜀𝑠3 𝐸𝑠 𝐸𝑠
420 ) → 𝑓𝑠3 = 0.0016 ∙ 200000 = 329.412 𝑀𝑃𝑎 ⏟ 200000 0.0021
Capa 2: 𝑐 − 𝑑2𝑦 255 − 185 𝜀𝑠2 = ( ) 𝜀𝑐𝑢 = ( ) 0.003 = 0.0008 𝑐 255 (0.0008 <
𝑆𝑖 (𝜀𝑠2 <
𝑓𝑦 ) → 𝑓𝑠2 = 𝜀𝑠2 𝐸𝑠 𝐸𝑠
420 ) → 𝑓𝑠2 = 0.0008 ∙ 200000 = 164.706 𝑀𝑃𝑎 ⏟ 200000 0.0021
Capa 1: 𝑐 − 𝑑1𝑦 255 − 255 𝜀𝑠1 = ( ) 𝜀𝑐𝑢 = ( ) 0.003 = 0 𝑐 255 (𝜀𝑠1 <
𝑓𝑦 420 ) → 𝑓𝑠1 = 𝜀𝑠1 𝐸𝑠 (0 < ) → 𝑓𝑠1 = 0 ∙ 200000 = 0 𝑀𝑃𝑎 ⏟ 𝐸𝑠 200000 0.0021
Tensión en las capas: Capa 4: 𝑆𝑖(𝑑4𝑦 ≥ 𝑎) → 𝑇𝑠4 = 𝑓𝑠4 𝐴𝑠4 ; 𝑆𝑖(𝑑4𝑦 < 𝑎) → 𝑇𝑠4 = 𝑓𝑠4 𝐴𝑠4 − 0.85𝑓´𝑐 𝐴𝑠4 𝑆𝑖(𝑑4𝑦 < 𝑎) → 𝑇𝑠4 = 𝑓𝑠4 𝐴𝑠4 − 0.85𝑓´𝑐 𝐴𝑠4 (45 < 216.75) → 𝑇𝑠4 =
(420 ∙ 1570.796 − 0.85 ∙ 21 ∙ 1570.796) = 631.696𝑘𝑁 103
Capa 3: 𝑆𝑖(𝑑3𝑦 ≥ 𝑎) → 𝑇𝑠3 = 𝑓𝑠3 𝐴𝑠3 ; 𝑆𝑖(𝑑3𝑦 < 𝑎) → 𝑇𝑠3 = 𝑓𝑠3 𝐴𝑠3 − 0.85𝑓´𝑐 𝐴𝑠3 𝑆𝑖(𝑑3𝑦 < 𝑎) → 𝑇𝑠3 = 𝑓𝑠3 𝐴𝑠3 − 0.85𝑓´𝑐 𝐴𝑠3 copyright©rcolquea
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(115 < 216.75) → 𝑇𝑠3 =
(329.412 ∙ 628.319 − 0.85 ∙ 21 ∙ 628.319) = 195.76𝑘𝑁 103
Capa 2: 𝑆𝑖(𝑑2𝑦 < 𝑎) → 𝑇𝑠2 = 𝑓𝑠2 𝐴𝑠2 − 0.85𝑓´𝑐 𝐴𝑠2 (185 < 216.75) → 𝑇𝑠2 =
(164.706 ∙ 628.319 − 0.85 ∙ 21 ∙ 628.319) = 92.272𝑘𝑁 103
Capa 1: (255 ≥ 216.75) → 𝑇𝑠1 =
𝑆𝑖(𝑑1𝑦 ≥ 𝑎) → 𝑇𝑠1 = 𝑓𝑠1 𝐴𝑠1
0 ∙ 1570.7966 = 0𝑘𝑁 103
Tensión del concreto: 𝐶𝑐 = 0.85𝑓´𝑐 𝑎𝑏 = 0.85 ∙ 21 ∙ 216.75 ∙
500 = 1934.494 𝑘𝑁 103
Determinar la fuerza axial resistente: 𝜙𝑃𝑛3 = 𝜙(𝐶𝑐 + 𝑇𝑠1 + 𝑇𝑠2 + 𝑇𝑠3 + 𝑇𝑠4 ) = 0.65(1934.494 + 0 + 92.272 + 195.76 + 631.696) 𝜙𝑃𝑛3 = 1855.244 𝑘𝑁
Determinar el momento nominal: 𝑡 𝑎 𝑡 𝑡 𝑡 𝑡 𝜙𝑀𝑛3 = 𝜙 (𝐶𝑐 ( − ) + 𝑇𝑠1 (𝑑1𝑦 − ) + 𝑇𝑠2 (𝑑2𝑦 − ) + 𝑇𝑠3 ( − 𝑑3𝑦 ) + 𝑇𝑠4 ( − 𝑑4𝑦 )) 2 2 2 2 2 2 0.65 (1934.494 ( 𝜙𝑀𝑛3 =
300 2
−
216.75 2
) + 0 (255 −
300
300
300
2
2
2
) + 92.272 (185 −
) + 195.76 (
− 115) + 631.696 (
300 2
− 45))
106
𝜙𝑀𝑛3 = 102.006𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Determinar la excentricidad: 𝑒3𝑦 =
𝜙𝑀𝑛3 𝜙𝑃𝑛3
=
102006 1855.244
= 54.983 𝑚𝑚
4) 4º estado, deformación unitaria del acero más traccionado igual a la mitad de la deformación de fluencia, 𝜀𝑠 = 1/2𝜀𝑦
Figura 8.41 – Diagrama de deformación unitaria para 𝜺𝒔 = 𝟏/𝟐𝜺𝒚 copyright©rcolquea
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3 3 𝑑1𝑦 = ∙ 255 = 191.25 𝑚𝑚 4 4 𝑎 = 𝑐𝛽1 = 191.25 ∙ 0.85 = 162.563 𝑚𝑚 Deformación en las capas: Capa 3: 𝑐 − 𝑑4𝑦 191.25 − 45 𝜀𝑠4 = ( ) 𝜀𝑐𝑢 = ( ) 0.003 = 0.0023 𝑐 191.25 𝛽1 = 0.85 𝜀𝑐𝑢 = 0.003 𝑐 =
𝑆𝑖 (𝜀𝑠4 ≥
𝑓𝑦 ) → 𝑓𝑠4 = 𝑓𝑦 𝐸𝑠
𝑆𝑖 (0.0023 ≥
420 ) → 𝑓𝑠4 = 420 𝑀𝑃𝑎 ⏟ 200000 0.0021
Capa 3: 𝑐 − 𝑑3𝑦 𝑓𝑦 191.25 − 115 𝜀𝑠3 = ( ) 𝜀𝑐𝑢 = ( ) 0.003 = 0.0012 𝑆𝑖 (𝜀𝑠3 < ) → 𝑓𝑠3 = 𝜀𝑠3 𝐸𝑠 𝑐 191.25 𝐸𝑠 𝑆𝑖 (0.0012 <
420 ) → 𝑓𝑠3 = 0.0012 ∙ 200000 = 239.216 𝑀𝑃𝑎 ⏟ 200000 0.0021
Capa 2: 𝜀𝑠2 = (
𝑐 − 𝑑2𝑦 191.25 − 185 ) 𝜀𝑐𝑢 = ( ) 0.003 = 9.8039 ∙ 10−5 𝑐 191.25 (𝜀𝑠2 <
(9.8039 ∙ 10−5 <
𝑓𝑦 ) → 𝑓𝑠2 = 𝜀𝑠2 𝐸𝑠 𝐸𝑠
420 ) → 𝑓𝑠2 = 9.8039 ∙ 10−5 ∙ 200000 = 19.608 𝑀𝑃𝑎 ⏟ 200000 0.0021
Capa 1: 𝜀𝑠1 = (𝜀𝑠1 <
𝑓𝑦 ) → 𝑓𝑠1 = 𝜀𝑠1 𝐸𝑠 ; 𝐸𝑠
1 𝑓𝑦 1 420 = = 0.0011 2 𝐸𝑠 2 200000
(0.0011 <
420 ) → 𝑓𝑠1 = 0.0011 ∙ 200000 = 210 𝑀𝑃𝑎 ⏟ 200000 0.0021
Tensión en las capas: Capa 4: 𝑆𝑖(𝑑4𝑦 < 𝑎) → 𝑇𝑠4 = 𝑓𝑠4 𝐴𝑠4 − 0.85𝑓´𝑐 𝐴𝑠4 (45 < 162.563) → 𝑇𝑠4 =
(420 ∙ 1570.796 − 0.85 ∙ 21 ∙ 1570.796) = 631.696𝑘𝑁 103
Capa 3: 𝑆𝑖(𝑑3𝑦 < 𝑎) → 𝑇𝑠3 = 𝑓𝑠3 𝐴𝑠3 − 0.85𝑓´𝑐 𝐴𝑠3 copyright©rcolquea
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(115 < 162.563) → 𝑇𝑠3 =
(239.216 ∙ 628.319 − 0.85 ∙ 21 ∙ 628.319) = 139.088𝑘𝑁 103
Capa 2: 𝑆𝑖(𝑑2𝑦 ≥ 𝑎) → 𝑇𝑠2 = 𝑓𝑠2 𝐴𝑠2 (185 ≥ 162.563) → 𝑇𝑠2 =
(19.608 ∙ 628.319) = 12.32𝑘𝑁 103
Capa 1: 𝑆𝑖(𝑑1𝑦 ≥ 𝑎) → 𝑇𝑠1 = 𝑓𝑠1 𝐴𝑠1 → (255 ≥ 162.563) → 𝑇𝑠1 =
210 ∙ 1570.796 = 329.86𝑘𝑁 103
Tensión del concreto: 𝐶𝑐 = 0.85𝑓´𝑐 𝑎𝑏 = 0.85 ∙ 21 ∙ 162.563 ∙
500 = 1450.87 𝑘𝑁 103
Determinar la fuerza axial resistente: 𝜙𝑃𝑛4 = 𝜙(𝐶𝑐 − 𝑇𝑠1 + 𝑇𝑠2 + 𝑇𝑠3 + 𝑇𝑠4 ) = 0.65(1450.87 − 329.867 + 12.32 + 139.088 + 631.696) 𝜙𝑃𝑛4 = 1237.67 𝑘𝑁
Determinar el momento nominal: 𝑡 𝑎 𝑡 𝑡 𝑡 𝑡 𝜙𝑀𝑛4 = 𝜙 (𝐶𝑐 ( − ) + 𝑇𝑠1 (𝑑1𝑦 − ) + 𝑇𝑠2 (𝑑2𝑦 − ) + 𝑇𝑠3 ( − 𝑑3𝑦 ) + 𝑇𝑠4 ( − 𝑑4𝑦 )) 2 2 2 2 2 2 𝜙𝑀𝑛4 0.65 (1450.87 ( =
300 2
−
162.563 2
) + 329.867 (255 −
300 2
) + 12.32 (185 −
300 2
) + 139.08 (
300 2
− 115) + 631.696 (
106
𝜙𝑀𝑛4 = 133.878𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Determinar la excentricidad: 𝑒4𝑦 =
𝜙𝑀𝑛4 𝜙𝑃𝑛4
=
133878 1237.67
= 108.169 𝑚𝑚
5) 5º estado, deformación unitaria del acero más traccionado igual a la deformación de fluencia, 𝜀𝑠 = 𝜀𝑦
Figura 8.42 – Diagrama de deformación unitaria para 𝜺𝒔 = 𝜺𝒚
copyright©rcolquea
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300 2
− 45))
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HORMIGÓN ARMADO 3 3 𝑑1𝑦 = ∙ 255 = 153 𝑚𝑚 5 5 𝑎 = 𝑐𝛽1 = 153 ∙ 0.85 = 130.05 𝑚𝑚
𝛽1 = 0.85 𝜀𝑐𝑢 = 0.003 𝑐 = Deformación en las capas: Capa 4:
𝑐 − 𝑑4𝑦 153 − 45 𝜀𝑠4 = ( ) 𝜀𝑐𝑢 = ( ) 0.003 = 0.0021 𝑐 153 𝑆𝑖 (𝜀𝑠4 ≥
𝑓𝑦 ) → 𝑓𝑠4 = 𝑓𝑦 𝐸𝑠
𝑆𝑖 (0.0021 ≥
420 ) → 𝑓𝑠4 = 420 𝑀𝑃𝑎 ⏟ 200000 0.0021
Capa 3: 𝑐 − 𝑑3𝑦 153 − 115 𝜀𝑠3 = ( ) 𝜀𝑐𝑢 = ( ) 0.003 = 0.0007 𝑐 153 𝑆𝑖 (0.0007 <
𝑆𝑖 (𝜀𝑠3 <
𝑓𝑦 ) → 𝑓𝑠3 = 𝜀𝑠3 𝐸𝑠 𝐸𝑠
420 ) → 𝑓𝑠3 = 0.0007 ∙ 200000 = 149.02 𝑀𝑃𝑎 ⏟ 200000 0.0021
Capa 2: 𝑑2𝑦 − 𝑐 185 − 153 𝜀𝑠2 = ( ) 𝜀𝑠1 = ( ) 0.0021 = 0.0007 𝑑1𝑦 − 𝑐 255 − 153 (0.0007 <
𝑆𝑖 (𝜀𝑠2 <
𝑓𝑦 ) → 𝑓𝑠2 = 𝜀𝑠2 𝐸𝑠 𝐸𝑠
420 ) → 𝑓𝑠2 = 0.0007 ∙ 200000 = 131.765 𝑀𝑃𝑎 ⏟ 200000 0.0021
Capa 1: 𝜀𝑠1 = (𝜀𝑠1 ≥
𝑓𝑦 ) → 𝑓𝑠1 = 𝑓𝑦 ; 𝐸𝑠
𝑓𝑦 420 = = 0.0021 𝐸𝑠 200000 (0.0021 ≥
420 ) → 𝑓𝑠1 = 420 𝑀𝑃𝑎 ⏟ 200000 0.0021
Tensión en las capas: Capa 4: 𝑆𝑖(𝑑4𝑦 < 𝑎) → 𝑇𝑠4 = 𝑓𝑠4 𝐴𝑠4 − 0.85𝑓´𝑐 𝐴𝑠4 (45 < 130.05) → 𝑇𝑠4 =
(420 ∙ 1570.796 − 0.85 ∙ 21 ∙ 1570.796) = 631.696𝑘𝑁 103
Capa 3: 𝑆𝑖(𝑑3𝑦 < 𝑎) → 𝑇𝑠3 = 𝑓𝑠3 𝐴𝑠3 − 0.85𝑓´𝑐 𝐴𝑠3 (115 < 130.05) → 𝑇𝑠3 =
(149.02 ∙ 628.319 − 0.85 ∙ 21 ∙ 628.319) = 82.416𝑘𝑁 103 copyright©rcolquea
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Capa 2: 𝑆𝑖(𝑑2𝑦 ≥ 𝑎) → 𝑇𝑠2 = 𝑓𝑠2 𝐴𝑠2 → (185 ≥ 130.05) → 𝑇𝑠2 =
131.765 ∙ 628.32 = 82.79𝑘𝑁 103
Capa 1: 𝑆𝑖(𝑑1𝑦 ≥ 𝑎) → 𝑇𝑠1 = 𝑓𝑠1 𝐴𝑠1 → (255 ≥ 130.05) → 𝑇𝑠1 =
420 ∙ 1570.796 = 659.73 𝑘𝑁 103
Tensión del concreto: 𝐶𝑐 = 0.85𝑓´𝑐 𝑎𝑏 = 0.85 ∙ 21 ∙ 130.05 ∙
500 = 1160.696 𝑘𝑁 103
Determinar la fuerza axial resistente: 𝜙𝑃𝑛5 = 𝜙(𝐶𝑐 − 𝑇𝑠1 − 𝑇𝑠2 + 𝑇𝑠3 + 𝑇𝑠4 ) = 0.65(1160.696 − 659.734 − 82.79 + 82.416 + 631.696) = 735.984𝑘𝑁
Determinar el momento nominal: 𝑡 𝑎 𝑡 𝑡 𝑡 𝑡 𝜙𝑀𝑛5 = 𝜙 (𝐶𝑐 ( − ) + 𝑇𝑠1 (𝑑1𝑦 − ) + 𝑇𝑠2 (𝑑2𝑦 − ) + 𝑇𝑠3 ( − 𝑑3𝑦 ) + 𝑇𝑠4 ( − 𝑑4𝑦 )) 2 2 2 2 2 2 0.65 (1160.69 ( 𝜙𝑀𝑛5 =
300 2
−
130.05 2
) + 659.73 (255 −
300
300
300
2
2
2
) + 82.79 (185 −
) + 82.41 (
− 115) + 631.696 (
300 2
− 45))
106
𝜙𝑀𝑛5 = 156.008𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Determinar la excentricidad: 𝑒5𝑦 =
𝜙𝑀𝑛5 𝜙𝑃𝑛5
=
156008 735.984
= 211.972 𝑚𝑚
6) 6º estado, deformación unitaria del acero más traccionado igual a 0.005, 𝜀𝑠 = 0.005
Figura 8.43 – Diagrama de deformación unitaria para 𝜺𝒔 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟓
3 3 𝑑1𝑦 = ∙ 255 = 95.625 𝑚𝑚 𝜀𝑠 = 0.005 8 8 𝑎 = 𝑐𝛽1 = 95.625 ∙ 0.85 = 81.281 𝑚𝑚 𝜙 = 0.9
𝛽1 = 0.85 𝜀𝑐𝑢 = 0.003 𝑐 =
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Deformación en las capas: Capa 3: 𝑐 − 𝑑4𝑦 95.625 − 45 𝜀𝑠3 = ( ) 𝜀𝑐𝑢 = ( ) 0.003 = 0.0016 𝑐 95.625 𝑆𝑖 (0.0016 <
𝑆𝑖 (𝜀𝑠4 <
𝑓𝑦 ) → 𝑓𝑠4 = 𝜀𝑠4 𝐸𝑠 𝐸𝑠
420 ) → 𝑓𝑠4 = 0.0016 ∙ 200000 = 317.647 𝑀𝑃𝑎 ⏟ 200000 0.0021
Capa 3: 𝑑3𝑦 − 𝑐 115 − 95.625 𝜀𝑠3 = ( ) 𝜀𝑠 = ( ) 0.005 = 0.0006 𝑑1𝑦 − 𝑐 255 − 95.625 𝑆𝑖 (0.0006 <
𝑆𝑖 (𝜀𝑠3 <
𝑓𝑦 ) → 𝑓𝑠3 = 𝜀𝑠3 𝐸𝑠 𝐸𝑠
420 ) → 𝑓𝑠3 = 0.0006 ∙ 200000 = 121.569 𝑀𝑃𝑎 ⏟ 200000 0.0021
Capa 2: 𝜀𝑠2 = ( (𝜀𝑠2 ≥
𝑑2𝑦 − 𝑐 185 − 95.625 ) 𝜀𝑠 = ( ) 0.005 = 0.0028 𝑑1𝑦 − 𝑐 255 − 95.625
𝑓𝑦 420 ) → 𝑓𝑠2 = 𝑓𝑦 → (0.0028 ≥ ) → 𝑓𝑠2 = 420 𝑀𝑃𝑎 ⏟ 𝐸𝑠 200000 0.0021
Capa 1: 𝜀𝑠1 = 𝜀𝑠 = 0.005 → (𝜀𝑠1 ≥
𝑓𝑦 420 ) → 𝑓𝑠1 = 𝑓𝑦 → (0.005 ≥ ) → 𝑓𝑠1 = 420 𝑀𝑃𝑎 ⏟ 𝐸𝑠 200000 0.0021
Tensión en las capas: Capa 4: 𝑆𝑖(𝑑4𝑦 < 𝑎) → 𝑇𝑠4 = 𝑓𝑠4 𝐴𝑠4 − 0.85𝑓´𝑐 𝐴𝑠4 (45 < 81.281) → 𝑇𝑠4 =
(317.647 ∙ 1570.796 − 0.85 ∙ 21 ∙ 1570.796) = 470.92𝑘𝑁 103
Capa 3: 𝑆𝑖(𝑑3𝑦 ≥ 𝑎) → 𝑇𝑠3 = 𝑓𝑠3 𝐴𝑠3 (115 ≥ 81.281) → 𝑇𝑠3 =
(121.569 ∙ 628.319) = 76.384𝑘𝑁 103
Capa 2: 𝑆𝑖(𝑑2𝑦 ≥ 𝑎) → 𝑇𝑠2 = 𝑓𝑠2 𝐴𝑠2 → (185 ≥ 81.281) → 𝑇𝑠2 =
420 ∙ 628.319 = 263.894𝑘𝑁 103
Capa 1:
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𝑆𝑖(𝑑1𝑦 ≥ 𝑎) → 𝑇𝑠1 = 𝑓𝑠1 𝐴𝑠1 → (255 ≥ 81.281) → 𝑇𝑠1 =
420 ∙ 1570.796 = 659.73𝑘𝑁 103
Tensión del concreto: 500 = 725.435 𝑘𝑁 103
𝐶𝑐 = 0.85𝑓´𝑐 𝑎𝑏 = 0.85 ∙ 21 ∙ 81.281 ∙ Determinar la fuerza axial resistente:
𝜙𝑃𝑛6 = 𝜙(𝐶𝑐 − 𝑇𝑠1 − 𝑇𝑠2 − 𝑇𝑠3 + 𝑇𝑠4 ) = 0.9(725.435 − 659.734 − 263.894 − 76.384 + 470.92) 𝜙𝑃𝑛6 = 176.709𝑘𝑁
Determinar el momento nominal: 𝑡 𝑎 𝑡 𝑡 𝑡 𝑡 𝜙𝑀𝑛6 = 𝜙 (𝐶𝑐 ( − ) + 𝑇𝑠1 (𝑑1𝑦 − ) + 𝑇𝑠2 (𝑑2𝑦 − ) + 𝑇𝑠3 ( − 𝑑3𝑦 ) + 𝑇𝑠4 ( − 𝑑4𝑦 )) 2 2 2 2 2 2 0.9 (725.43 ( 𝜙𝑀𝑛6 =
300 2
−
81.28
300
300
300
2
2
2
2
) + 659.73 (255 −
) + 263.89 (185 −
) + 76.38 (
− 115) + 470.92 (
300 2
− 45))
106
𝜙𝑀𝑛6 = 188.965𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Determinar la excentricidad: 𝑒6𝑦 =
𝜙𝑀𝑛6 𝜙𝑃𝑛6
=
188965 176.709
= 1069.36 𝑚𝑚
7) 7º estado, deformación unitaria del acero más traccionado mucho mayor a 0.005, 𝜀𝑠 > >> 0.005
Figura 8.44 – Diagrama de deformación unitaria para 𝜺𝒔 >>> 𝟎. 𝟎𝟎𝟓
𝛽1 = 0.85 𝜀𝑐𝑢 = 0.003 𝜙 = 0.9 Por iteración obtenemos el esfuerzo de la capa 3, la respectiva capa no fluye es por esto que debemos determinar el esfuerzo: 𝑓𝑠3 = 183.94050 𝑀𝑃𝑎 500 𝛼 = 𝛽1 0.85𝑓´𝑐 𝑏 = 0.85 ∙ 0.85 ∙ 21 ∙ 3 = 7.586 𝑘𝑁/𝑚𝑚 10 𝛽 = 𝐴𝑠4 (𝜀𝑐𝑢 𝐸𝑠 − 0.85𝑓´𝑐 ) − (𝑓𝑦 𝐴𝑠1 + 𝑓𝑦 𝐴𝑠2 + 𝑓𝑠3 𝐴𝑠3 ) copyright©rcolquea
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1570.796(0.003 ∙ 200000 − 0.85 ∙ 21) (420 ∙ 1570.796 + 420 ∙ 628.319 + 183.940 ∙ 628.319) − 103 103 = −124.762𝑘𝑁
𝛾 = −𝜀𝑐𝑢 𝐸𝑠 𝐴𝑠4 𝑑4𝑦 = −0.003 ∙ 200000 ∙ 1570.796 ∙ 𝑐=
45 = −42.412 𝑘𝑁 ∙ 𝑚𝑚 103
−𝛽 + √𝛽 2 − 4𝛼𝛾 −(−124.762) + √(−124.762)2 − 4 ∙ 7.586 ∙ (−42.412) = = 83.444 𝑚𝑚 2𝛼 2 ∙ 7.586
𝑎 = 𝑐𝛽1 = 83.444 ∙ 0.85 = 70.927 𝑚𝑚 Deformación en las capas: Capa 4: 𝑐 − 𝑑4𝑦 𝑓𝑦 83.444 − 45 𝜀𝑠4 = ( ) 𝜀𝑐𝑢 = ( ) 0.003 = 0.00138 𝑆𝑖 (𝜀𝑠4 < ) → 𝑓𝑠4 = 𝜀𝑠4 𝐸𝑠 𝑐 83.444 𝐸𝑠 420 ) → 𝑓𝑠4 = 0.0013821 ∙ 200000 = 276.429 𝑀𝑃𝑎 ⏟ 200000
𝑆𝑖 (0.0013821 <
0.0021
Capa 3: 𝑑3𝑦 − 𝑐 𝑓𝑦 115 − 83.444 𝜀𝑠3 = ( ) 𝜀𝑠 = ( ) 0.005 = 0.00092 𝑆𝑖 (𝜀𝑠3 < ) → 𝑓𝑠3 = 𝜀𝑠3 𝐸𝑠 𝑑1𝑦 − 𝑐 255 − 83.444 𝐸𝑠 𝑆𝑖 (0.0009197 <
420 ) → 𝑓𝑠3 = 0.0009197 ∙ 200000 = 183.9405 𝑀𝑃𝑎 ⏟ 200000 0.0021
Capa 2: 𝑑2𝑦 − 𝑐 185 − 83.444 𝜀𝑠2 = ( ) 𝜀𝑠 = ( ) 0.005 = 0.003 𝑑1𝑦 − 𝑐 255 − 83.444 (𝜀𝑠2 ≥
𝑓𝑦 420 ) → 𝑓𝑠2 = 𝑓𝑦 → (0.003 ≥ ) → 𝑓𝑠2 = 420 𝑀𝑃𝑎 ⏟ 𝐸𝑠 200000 0.0021
Capa 1: 𝜀𝑠1 = 𝜀𝑠 = 0.005 → (𝜀𝑠1 ≥
𝑓𝑦 420 ) → 𝑓𝑠1 = 𝑓𝑦 → (0.005 ≥ ) → 𝑓𝑠1 = 420 𝑀𝑃𝑎 ⏟ 𝐸𝑠 200000 0.0021
Tensión en las capas: Capa 4: 𝑆𝑖(𝑑4𝑦 < 𝑎) → 𝑇𝑠4 = 𝑓𝑠4 𝐴𝑠4 − 0.85𝑓´𝑐 𝐴𝑠4 (45 < 70.927) → 𝑇𝑠4 =
(276.429 ∙ 1570.796 − 0.85 ∙ 21 ∙ 1570.796) = 406.175𝑘𝑁 103
Capa 3: 𝑆𝑖(𝑑3𝑦 ≥ 𝑎) → 𝑇𝑠3 = 𝑓𝑠3 𝐴𝑠3 copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO (183.9405 ∙ 628.319) = 115.573𝑘𝑁 103
(115 ≥ 70.927) → 𝑇𝑠3 = Capa 2:
𝑆𝑖(𝑑2𝑦 ≥ 𝑎) → 𝑇𝑠2 = 𝑓𝑠2 𝐴𝑠2 → (185 ≥ 70.927) → 𝑇𝑠2 =
420 ∙ 628.319 = 263.894𝑘𝑁 103
Capa 1: 𝑆𝑖(𝑑1𝑦 ≥ 𝑎) → 𝑇𝑠1 = 𝑓𝑠1 𝐴𝑠1 → (255 ≥ 70.927) → 𝑇𝑠1 =
420 ∙ 1570.796 = 659.73𝑘𝑁 103
Tensión del concreto: 𝐶𝑐 = 0.85𝑓´𝑐 𝑎𝑏 = 0.85 ∙ 21 ∙ 70.927 ∙
500 = 633.026 𝑘𝑁 103
Determinar la fuerza axial resistente: 𝜙𝑃𝑛7 = 𝜙(𝐶𝑐 − 𝑇𝑠1 − 𝑇𝑠2 − 𝑇𝑠3 + 𝑇𝑠4 ) = 0.9(633.026 − 659.734 − 263.894 − 115.537 + 406.175) = 0𝑘𝑁
Determinar el momento nominal: 𝑡 𝑎 𝑡 𝑡 𝑡 𝑡 𝜙𝑀𝑛7 = 𝜙 (𝐶𝑐 ( − ) + 𝑇𝑠1 (𝑑1𝑦 − ) + 𝑇𝑠2 (𝑑2𝑦 − ) + 𝑇𝑠3 ( − 𝑑3𝑦 ) + 𝑇𝑠4 ( − 𝑑4𝑦 )) 2 2 2 2 2 2 0.9 (633.02 (
300
𝜙𝑀𝑛7 =
2
−
70.927 2
) + 659.73 (255 −
300
300
300
2
2
2
) + 263.89 (185 −
) + 115.54 (
− 115) + 406.17 (
300 2
− 45))
106
𝜙𝑀𝑛7 = 177.936𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Determinar la excentricidad: 𝜙𝑀𝑛7 177936 𝑒7𝑦 = = = −97978762031.14 𝑚𝑚 𝜙𝑃𝑛7
0.0 …
Diagrama de interacción: Nº 1 2 3 4 5 6 7
Condición 𝑒=0 𝑒𝑚𝑖𝑛 = 10%𝑡 𝜀𝑠 = 0 𝜀𝑠 = 1/2𝜀𝑦 𝜀𝑠 = 𝜀𝑦 𝜀𝑠 = 0.005 𝜀𝑠 >> 0.005
𝜙 0.65 0.65 0.65 0.65 0.65 0.9 0.9
𝑒𝑦 (𝑚𝑚)
𝜙𝑃𝑛𝑦 (𝑘𝑁)
𝜙𝑀𝑛𝑥 (𝑘𝑁 ∙ 𝑚) 0 2890.061 0 30 2312.049 69.361 54.983 1855.244 102.006 108.169 1237.67 133.878 211.972 735.984 156.008 1069.36 176.709 188.965 97978… 0 177.936 Tabla 8-1 Resultados de los estados
𝑃𝑛𝑦 (𝑘𝑁)
𝑀𝑛𝑥 (𝑘𝑁 ∙ 𝑚)
4446.248 3556.998 2854.222 1904.107 1132.284 196.343 0
0 106.71 156.932 205.965 240.013 209.962 197.706
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HORMIGÓN ARMADO
Diagrama de interacción 5000000 4500000 4000000
Carga axial (N)
3500000 3000000 2500000 2000000 1500000 1000000 500000
0 0
50000
100000
-500000
150000
200000
250000
300000
Momento (N*m)
Diagrama nominal
Diagrama de diseño
Punto de control
Figura 8.45 – Diagrama de interacción para 𝑴𝒖𝒙
Determinar 𝑀𝑜𝑥 por medio de interpolación: 𝜙𝑃𝑛𝑦 (𝑘𝑁)
1237.67 1100 735.984
𝜙𝑀𝑛𝑥 (𝑘𝑁 ∙ 𝑚) 𝑀𝑜𝑥
133.878 = 𝟏𝟑𝟗. 𝟗𝟓𝟎𝟖 156.008
Paso 3: Determinar el diagrama de interacción para momento en 𝑦, 𝑀𝑢𝑦
Figura 8.46 – peraltes efectivos para 𝑴𝒖𝒚
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HORMIGÓN ARMADO 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 20 = 25 + 10 + = 45 𝑚𝑚 2 2 𝑏 − 2𝑑5𝑥 500 − 2 ∙ 45 𝑑4𝑥 = 𝑑5𝑥 + = 45 + = 147.5 𝑚𝑚 4 4 𝑏 − 2𝑑5𝑥 500 − 2 ∙ 45 𝑑3𝑥 = 𝑑4𝑥 + = 147.5 + = 250 𝑚𝑚 4 4 𝑏 − 2𝑑5𝑥 500 − 2 ∙ 45 𝑑2𝑥 = 𝑑3𝑥 + = 250 + = 352.5 𝑚𝑚 3 4 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 20 𝑑1𝑥 = 𝑏 − 𝑟𝑒𝑐 − 𝜙𝑒𝑠𝑡 − = 500 − 25 − 10 − = 455 𝑚𝑚 2 2 𝑑5𝑥 = 𝑟𝑒𝑐 + 𝜙𝑒𝑠𝑡 +
𝐴𝑠5 = 4𝜋
𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 2 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 2 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 2 = 1256.637 𝑚𝑚2 𝐴𝑠4 = 2𝜋 = 628.319 𝑚𝑚2 𝐴𝑠3 = 2𝜋 = 628.319 𝑚𝑚2 4 4 4
𝐴𝑠2 = 2𝜋
𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 2 4
= 628.319 𝑚𝑚2 𝐴𝑠1 = 4𝜋
𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 2 4
= 1256.637 𝑚𝑚2
1) 1º estado, para excentricidad igual a cero, 𝑒 = 0 𝜙𝑃𝑛𝑜 = 𝜙[0.85𝑓´𝑐 (𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 ) + 𝑓𝑦 𝐴𝑠𝑡 ] 𝜙𝑃𝑛𝑜 = 0.65[0.85 ∙ 21(150000 − 4398.23 ) + 420 ∙ 4398.23 ]/103 = 2890.061𝑘𝑁
𝜙𝑀𝑛𝑜 0 = = 0 𝑚𝑚 𝜙𝑃𝑛𝑜 2890.061 2) 2º estado, para excentricidad mínima, 𝑒𝑚𝑖𝑛 = 10%𝑡 𝜙𝑃𝑛𝑚𝑎𝑥 = 0.8𝜙[0.85𝑓´𝑐 (𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 ) + 𝑓𝑦 𝐴𝑠𝑡 ] 𝜙𝑀𝑛𝑜 = 0 𝑘𝑁 ∙ 𝑚
𝜙𝑃𝑛𝑚𝑎𝑥 = 0.8 ∙
𝑒𝑜𝑥 =
0.65[0.85 ∙ 21(150000 − 4398.23 ) + 420 ∙ 4398.23 ] 103 𝜙𝑃𝑛𝑚𝑎𝑥 = 2312.049 𝑘𝑁
𝑒𝑚𝑖𝑛𝑦 = 0.1𝑡 = 0.1 ∙ 500 = 50 𝑚𝑚 𝜙𝑀𝑛𝑚𝑖𝑛 = 𝜙𝑃𝑛𝑚𝑎𝑥 𝑒𝑚𝑖𝑛𝑦 = 2312.049 ∙ 0.05 = 115.602 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 3) 3º estado, deformación unitaria del acero más traccionado igual a cero, 𝜀𝑠 = 0
Figura 8.47 – Diagrama de deformación unitaria para 𝜺𝒔 = 𝟎 copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO
𝛽1 = 0.85 𝜀𝑐𝑢 = 0.003 𝑐 = 𝑑1𝑥 = 455 𝑚𝑚 𝑎 = 𝑐𝛽1 = 455 ∙ 0.85 = 386.75 𝑚𝑚 Deformación y tensión en las capas: 𝑓𝑠 (𝑀𝑃𝑎) 420 405.495 270.33 135.165 0
𝜀𝑠 0.0027 0.002 0.0014 0.0007 0
Capa 5 4 3 2 1
𝑇𝑠 (𝑘𝑁) 505.357 243.564 158.638 73.711 0
Tensión del concreto: 𝐶𝑐 = 0.85𝑓´𝑐 𝑎𝑡 = 0.85 ∙ 21 ∙ 386.75 ∙
300 = 2071.046 𝑘𝑁 103
Determinar la fuerza axial resistente: 𝜙𝑃𝑛3 = 𝜙(𝐶𝑐 + 𝑇𝑠1 + 𝑇𝑠2 + 𝑇𝑠3 + 𝑇𝑠4 + 𝑇𝑠5 ) 𝜙𝑃𝑛3 = 0.65(2071.046 + 0 + 73.711 + 158.638 + 243.564 + 505.357) = 1984.005𝑘𝑁
Determinar el momento nominal: 𝑏 𝑎 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 𝜙𝑀𝑛3 = 𝜙 (𝐶𝑐 ( − ) + 𝑇𝑠1 (𝑑1𝑥 − ) + 𝑇𝑠2 (𝑑2𝑥 − ) + 𝑇𝑠3 ( − 𝑑3𝑥 ) + 𝑇𝑠4 ( − 𝑑4𝑥 ) + 𝑇𝑠5 ( − 𝑑5𝑥 )) 2 2 2 2 2 2 2 𝜙𝑀𝑛3 0.65 (2071.0 ( =
500 2
−
386.75 2
) + 0 (455 −
500
500
2
2
) + 73.71 (352.5 −
) + 158.63 (
500 2
− 250) + 243.56 (
500 2
− 147.5) + 505.35 (
500 2
− 45))
106
𝜙𝑀𝑛3 = 164.705 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Determinar la excentricidad: 𝑒3𝑥 =
𝜙𝑀𝑛3 𝜙𝑃𝑛3
=
164705 1984.005
= 83.016 𝑚𝑚
4) 4º estado, deformación unitaria del acero más traccionado igual a la mitad de la deformación de fluencia, 𝜀𝑠 = 1/2𝜀𝑦
Figura 8.48 – Diagrama de deformación unitaria para 𝜺𝒔 = 𝟏/𝟐𝜺𝒚 copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO
3 3 𝛽1 = 0.85 𝜀𝑐𝑢 = 0.003 𝑐 = 𝑑1𝑥 = ∙ 455 = 341.25 𝑚𝑚 4 4 𝑎 = 𝑐𝛽1 = 341.25 ∙ 0.85 = 290.063 𝑚𝑚 Deformación y tensión en las capas: 𝑓𝑠 (𝑀𝑃𝑎) 420 340.659 160.44 20.769 210
𝜀𝑠 0.0026 0.0017 0.0008 0.0001 0.0011
Capa 5 4 3 2 1
𝑇𝑠 (𝑘𝑁) 505.357 202.827 89.592 13.05 263.894
Tensión del concreto: 𝐶𝑐 = 0.85𝑓´𝑐 𝑎𝑡 = 0.85 ∙ 21 ∙ 290.063 ∙
300 = 1553.285 𝑘𝑁 103
Determinar la fuerza axial resistente: 𝜙𝑃𝑛4 = 𝜙(𝐶𝑐 − 𝑇𝑠1 − 𝑇𝑠2 + 𝑇𝑠3 + 𝑇𝑠4 + 𝑇𝑠5 ) 𝜙𝑃𝑛4 = 0.65(1553.28 − 263.894 − 13.05 + 89.592 + 202.827 + 505.357) = 1348.176𝑘𝑁
Determinar el momento nominal: 𝑏 𝑎 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 𝜙𝑀𝑛4 = 𝜙 (𝐶𝑐 ( − ) + 𝑇𝑠1 (𝑑1𝑥 − ) + 𝑇𝑠2 (𝑑2𝑥 − ) + 𝑇𝑠3 ( − 𝑑3𝑥 ) + 𝑇𝑠4 ( − 𝑑4𝑥 ) + 𝑇𝑠5 ( − 𝑑5𝑥 )) 2 2 2 2 2 2 2 𝜙𝑀𝑛4 0.65 (1553.28 ( =
500 2
−
290.063 2
) + 263.894 (455 −
500 2
) + 13.05 (352.5 −
500
500
2
2
) + 89.592 (
− 250) + 202.827 (
500 2
− 147.5) + 505.357 (
106
𝜙𝑀𝑛4 = 222.866 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Determinar la excentricidad: 𝑒4𝑥 =
𝜙𝑀𝑛4 𝜙𝑃𝑛4
=
222866 1348.176
= 165.309 𝑚𝑚
5) 5º estado, deformación unitaria del acero más traccionado igual a la deformación de fluencia, 𝜀𝑠 = 𝜀𝑦
Figura 8.49 – Diagrama de deformación unitaria para 𝜺𝒔 = 𝜺𝒚 copyright©rcolquea
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500 2
− 45))
UMSS
HORMIGÓN ARMADO
3 3 𝑑1𝑥 = ∙ 455 = 273 𝑚𝑚 5 5 𝑎 = 𝑐𝛽1 = 273 ∙ 0.85 = 232.05 𝑚𝑚 Deformación y tensión en las capas: 𝛽1 = 0.85 𝜀𝑐𝑢 = 0.003 𝑐 =
𝑓𝑠 (𝑀𝑃𝑎) 420 275.824 50.549 183.462 420
𝜀𝑠 0.0025 0.0014 0.0003 0.0009 0.0021
Capa 5 4 3 2 1
𝑇𝑠 (𝑘𝑁) 505.357 162.09 31.761 65.732 527.788
Tensión del concreto: 𝐶𝑐 = 0.85𝑓´𝑐 𝑎𝑡 = 0.85 ∙ 21 ∙ 232.05 ∙
300 = 1242.628 𝑘𝑁 103
Determinar la fuerza axial resistente: 𝜙𝑃𝑛5 = 𝜙(𝐶𝑐 − 𝑇𝑠1 − 𝑇𝑠2 + 𝑇𝑠3 + 𝑇𝑠4 + 𝑇𝑠5 ) 𝜙𝑃𝑛5 = 0.65(1242.62 − 527.788 − 65.732 + 31.761 + 162.06 + 505.357) = 844.204𝑘𝑁
Determinar el momento nominal: 𝑏 𝑎 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 𝜙𝑀𝑛5 = 𝜙 (𝐶𝑐 ( − ) + 𝑇𝑠1 (𝑑1𝑥 − ) + 𝑇𝑠2 (𝑑2𝑥 − ) + 𝑇𝑠3 ( − 𝑑3𝑥 ) + 𝑇𝑠4 ( − 𝑑4𝑥 ) + 𝑇𝑠5 ( − 𝑑5𝑥 )) 2 2 2 2 2 2 2 𝜙𝑀𝑛5 0.65 (1242.62 ( =
500 2
−
232.05 2
) + 527.788 (455 −
500 2
) + 65.732 (352.5 −
500 2
) + 31.761 (
500 2
− 250) + 162.06 (
500 2
− 147.5) + 505.357 (
106
𝜙𝑀𝑛5 = 264.358 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Determinar la excentricidad: 𝑒5𝑥 =
𝜙𝑀𝑛5 𝜙𝑃𝑛5
=
264358 844.204
= 313.145 𝑚𝑚
6) 6º estado, deformación unitaria del acero más traccionado igual a 0.005, 𝜀𝑠 = 0.005
Figura 8.50 – Diagrama de deformación unitaria para 𝜺𝒔 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟓 copyright©rcolquea
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500 2
− 45))
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3 3 𝑑1𝑥 = ∙ 455 = 170.625 𝑚𝑚 𝜀𝑠 = 0.005 8 8 𝑎 = 𝑐𝛽1 = 170.625 ∙ 0.85 = 145.031 𝑚𝑚 𝜙 = 0.9 Deformación y tensión en las capas: 𝛽1 = 0.85 𝜀𝑐𝑢 = 0.003 𝑐 =
𝑓𝑠 (𝑀𝑃𝑎) 420 81.319 279.121 420 420
𝜀𝑠 0.0022 0.0004 0.0014 0.0032 0.005
Capa 5 4 3 2 1
𝑇𝑠 (𝑘𝑁) 505.357 51.09 175.377 263.894 527.788
Tensión del concreto: 𝐶𝑐 = 0.85𝑓´𝑐 𝑎𝑡 = 0.85 ∙ 21 ∙ 145.031 ∙
300 = 776.642 𝑘𝑁 103
Determinar la fuerza axial resistente: 𝜙𝑃𝑛6 = 𝜙(𝐶𝑐 − 𝑇𝑠1 − 𝑇𝑠2 − 𝑇𝑠3 + 𝑇𝑠4 + 𝑇𝑠5 ) 𝜙𝑃𝑛6 = 0.9(776.642 − 527.7888 − 263.89 − 175.377 + 51.094 + 505.357) = 329.431𝑘𝑁
Determinar el momento nominal: 𝑏 𝑎 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 𝜙𝑀𝑛6 = 𝜙 (𝐶𝑐 ( − ) + 𝑇𝑠1 (𝑑1𝑥 − ) + 𝑇𝑠2 (𝑑2𝑥 − ) + 𝑇𝑠3 ( − 𝑑3𝑥 ) + 𝑇𝑠4 ( − 𝑑4𝑥 ) + 𝑇𝑠5 ( − 𝑑5𝑥 )) 2 2 2 2 2 2 2 𝜙𝑀𝑛6 0.9 (776.642 ( =
500 2
−
145.031
500
2
2
) + 527.7888 (455 −
) + 263.894 (352.5 −
500
2 106
) + 175.377 (
500 2
− 250) + 51.094 (
500 2
− 147.5) + 505.357 (
𝜙𝑀𝑛6 = 343.73 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Determinar la excentricidad: 𝑒6𝑥 =
𝜙𝑀𝑛6 𝜙𝑃𝑛6
34373
= 329.431 = 1043.405 𝑚𝑚
7) 7º estado, deformación unitaria del acero más traccionado mucho mayor a 0.005, 𝜀𝑠 > >> 0.005
Figura 8.51 – Diagrama de deformación unitaria para 𝜺𝒔 >>> 𝟎. 𝟎𝟎𝟓 copyright©rcolquea
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500 2
− 45))
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𝛽1 = 0.85 𝜀𝑐𝑢 = 0.003 𝜙 = 0.9 Por iteración obtenemos el esfuerzo de la capa 3 y 4, las respectivas capas no fluyen es por esto que debemos determinar el esfuerzo: 𝑓𝑠4 = 55.29077 𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑠3 = 370.19384 𝑀𝑃𝑎 300 𝛼 = 𝛽1 0.85𝑓´𝑐 𝑡 = 0.85 ∙ 0.85 ∙ 21 ∙ 3 = 4.552 𝑘𝑁/𝑚𝑚 10 𝛽 = 𝐴𝑠5 (𝜀𝑐𝑢 𝐸𝑠 − 0.85𝑓´𝑐 ) − (𝑓𝑦 𝐴𝑠1 + 𝑓𝑦 𝐴𝑠2 + 𝑓𝑠3 𝐴𝑠3 + 𝑓𝑠4 𝐴𝑠4 ) 𝛽=
1256.63(0.003 ∙ 200000 − 0.85 ∙ 21) (420 ∙ 1256.63 + 420 ∙ 628.319 + 370.19 ∙ 628.31 + 55.29 ∙ 628.319) − 103 103 𝛽 = −327.47𝑘𝑁
𝛾 = −𝜀𝑐𝑢 𝐸𝑠 𝐴𝑠5 𝑑5𝑥 = −0.003 ∙ 200000 ∙ 1256.63 ∙ 𝑐=
45 = −33929.201 𝑘𝑁 ∙ 𝑚𝑚 103
−𝛽 + √𝛽 2 − 4𝛼𝛾 −(−327.47) + √(−327.47)2 − 4 ∙ 4.552 ∙ (−33929.201) = = 129.503 𝑚𝑚 2𝛼 2 ∙ 4.552
𝑎 = 𝑐𝛽1 = 129.503 ∙ 0.85 = 110.078 𝑚𝑚 Deformación y tensión en las capas: 𝑓𝑠 (𝑀𝑃𝑎) 391.511 55.291 370.19384 420 420
𝜀𝑠 0.00195 0.00027 0.001851 0.0034 0.005
Capa 5 4 3 2 1
𝑇𝑠 (𝑘𝑁) 469.556 34.74 232.6 263.894 527.788
Tensión del concreto: 𝐶𝑐 = 0.85𝑓´𝑐 𝑎𝑡 = 0.85 ∙ 21 ∙ 129.503 ∙
300 = 589.465 𝑘𝑁 103
Determinar la fuerza axial resistente: 𝜙𝑃𝑛7 = 𝜙(𝐶𝑐 − 𝑇𝑠1 − 𝑇𝑠2 − 𝑇𝑠3 + 𝑇𝑠4 + 𝑇𝑠5 ) 𝜙𝑃𝑛7 = 0.9(589.465 − 527.788 − 263.89 − 232.6 + 34.74 + 469.556) = −0.00000 … 𝑘𝑁
Determinar el momento nominal: 𝑏 𝑎 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 𝜙𝑀𝑛7 = 𝜙 (𝐶𝑐 ( − ) − 𝑇𝑠1 (𝑑1𝑥 − ) − 𝑇𝑠2 (𝑑2𝑥 − ) − 𝑇𝑠3 ( − 𝑑3𝑥 ) + 𝑇𝑠4 ( − 𝑑4𝑥 ) + 𝑇𝑠5 ( − 𝑑5𝑥 )) 2 2 2 2 2 2 2 𝜙𝑀𝑛7 0.9 (589.465 ( =
500 2
−
110.078
500
2
2
) + 527.788 (455 −
) + 263.89 (3525.5 −
500
2 106
) + 232.6 (
500 2
− 250) + 34.74 (
500 2
− 147.5) + 469.556 (
𝜙𝑀𝑛7 = 314.989 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Determinar la excentricidad: 𝜙𝑀𝑛7 314989 𝑒7𝑥 = = = −452684482522.001 … . 𝑚𝑚 𝜙𝑃𝑛7
0.00000 …
Diagrama de interacción: copyright©rcolquea
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500 2
− 45))
UMSS Nº 1 2 3 4 5 6 7
HORMIGÓN ARMADO 𝑒𝑥 (𝑚𝑚) 𝜙𝑃𝑛𝑥 (𝑘𝑁) 𝜙𝑀𝑛𝑦 (𝑘𝑁 ∙ 𝑚) 𝜙 0.65 0 2890.061 0 0.65 50 2312.049 115.602 0.65 83.016 1984.005 164.705 0.65 165.309 1348.176 222.866 0.65 313.145 844.204 264.358 0.9 1043.405 329.431 343.73 0.9 -45268… 0 314.989 Tabla 8-2 Resultados de los siete estados
Condición 𝑒=0 𝑒𝑚𝑖𝑛 = 10%𝑡 𝜀𝑠 = 0 𝜀𝑠 = 1/2𝜀𝑦 𝜀𝑠 = 𝜀𝑦 𝜀𝑠 = 0.005 𝜀𝑠 >> 0.005
𝑃𝑛𝑥 (𝑘𝑁) 4446.248 3556.998 3052.316 2074.117 1298.776 366.035 0
𝑀𝑛𝑦 (𝑘𝑁 ∙ 𝑚) 0 177.85 253.392 342.87 406.705 381.923 349.988
Diagrama de interacción 5000000 4500000 4000000
Carga axial (N)
3500000 3000000 2500000 2000000 1500000 1000000 500000 0 -500000
0
50000 100000 150000 200000 250000 300000 350000 400000 450000
Momento (N*m)
Diagrama nominal
Diagrama de diseño
Punto de control
Figura 8.52 – Diagrama de interacción para 𝑴𝒖𝒚
Determinar 𝑀𝑜𝑦 por medio de interpolación: 𝜙𝑃𝑛𝑥 (𝑘𝑁)
𝜙𝑀𝑛𝑦 (𝑘𝑁 ∙ 𝑚)
1348.176 1100 844.204
𝑀𝑜𝑦 = 𝟐𝟒𝟑. 𝟐𝟗𝟖𝟑𝟐
222.866 264.358
Paso 4: Verificar si la sección resiste, se verificara mediante tres métodos i. Método del contorno de cargas de la PCA Calculamos el valor de 𝛽 mediante las gráficas de la PCA, utilizar la gráfica C.1 del apéndice B. Primeramente se debe calcular las siguientes variables: (0.85 ∙ 21 ∙ 150000 + 4398.23 ∙ 420) 𝑃𝑜 = 0.85𝑓´𝑐 𝐴𝑔 + 𝐴𝑠𝑡 𝑓𝑦 = = 4524.756𝑘𝑁 103 copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO
𝑓𝑦 𝑃𝑢 1100 420 = = 0.243 𝜌 = 0.029 𝑞 = 𝜌 = 0.029 = 0.586 𝑃𝑜 4524.756 𝑓´𝑐 21 Ingresando a la gráfica obtenemos: log(0.5) log(0.5) 𝛽 = 0.5625 𝛼= = = 1.205 log(𝛽) log(0.5625) Utilizando la ecuación general: 𝑀𝑢𝑥
(
𝑀𝑜𝑥
𝛼
) +(
𝑀𝑢𝑦 𝑀𝑜𝑦
𝛼
1.205
75
) ≤1→( ) ⏟139.9508
+(
150
1.205
)
243.29832
≤ 1 → 𝑛𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒!
1.0301
Usando la ecuación de aproximación bilineal 𝑀𝑜𝑦 = 500 𝑚𝑚 𝑀𝑜𝑥 = 300 𝑚𝑚 𝑀𝑢𝑦 𝑀𝑢𝑥 𝑀𝑢𝑦 𝑀𝑢𝑥 1 − 𝛽 ≤ → ( )+ ≤1 𝑀𝑜𝑥 𝑀𝑜𝑦 𝑀𝑜𝑥 𝛽 𝑀𝑜𝑦 75 150 75 1 − 0.5625 150 ≤ → ( )+ ≤ 1 → 𝑛𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒! ⏟ 500 ⏟ ⏟ 300 139.9508 0.5625 243.29832 0.25
ii.
0.3
1.0333
Método del contorno de las cargas de Bresler Como no hay datos disponibles, se elige un valor conservador 𝛼 = 1.0. Se evaluara la ecuación conservadora: 𝑀𝑢𝑥 𝑀𝑜𝑥
+
𝑀𝑢𝑦 𝑀𝑜𝑦
≤1→
75
⏟ 139.9508
+
150 243.29832
≤ 1 → 𝑛𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒!
1.1524
iii.
Método de las cargas recíprocas de Bresler Mediante interpolación determinamos 𝑃𝑛𝑥 𝜙𝑀𝑛𝑥 (𝑘𝑁 ∙ 𝑚)
69.361 75 102.006 Mediante interpolación determinamos 𝑃𝑛𝑦
𝑃𝑛𝑥
𝜙𝑀𝑛𝑦 (𝑘𝑁 ∙ 𝑚)
𝜙𝑃𝑛𝑥 (𝑘𝑁) 2312.0490 = 𝟐𝟐𝟑𝟑. 𝟏𝟒𝟏𝟖𝟕 1855.2440 𝜙𝑃𝑛𝑦 (𝑘𝑁) 2312.0490 = 𝟐𝟎𝟖𝟐. 𝟐𝟒𝟓𝟏𝟕 1984.005
115.602 𝑃𝑛𝑦 150 164.705 Definimos la carga requerida y axial máxima 𝑃𝑢 1100 𝑃𝑛 = = = 1692.308 𝜙 0.65 𝑃𝑜 = 0.85𝑓´𝑐 (𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 ) + 𝐴𝑠𝑡 𝑓𝑦 0.85 ∙ 21 ∙ (150000 − 4524.756) + 4524.756 ∙ 420 𝑃𝑜 = = 4446.248𝑘𝑁 103 1 𝑃𝑛 ≤ 1 1 1 → 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒! + − 𝑃 𝑃 𝑃 𝑛𝑥
𝑛𝑦
𝑜
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HORMIGÓN ARMADO 1692.308 ≤
1 1
1
1
+ 2082.24517 − 4446.248 ⏟ 2233.14187
→ 𝑛𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒!
1422.188
𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 =
𝑃𝑛 1 𝑃𝑛𝑥
1
+𝑃 −𝑃 𝑛𝑦
≤1→
1 𝑜
1692.308 ≤ 1 → 𝑛𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒! ⏟ 1422.188 1.1899
El diseño mediante los tres métodos falla, pero el código ACI sólo acepta un falla del 4% para los casos más desfavorables, el ratio más favorable mediante el método de contorno de cargas de la PCA genera una falla de 3.01%, por lo tanto se acepta el diseño de la columna corta, los demás métodos generan ratios más desfavorables Ejemplo 8.6 Validar el ejemplo 8.4 y 8.5 tomando en cuenta las cargas, materiales del respectivo ejemplo, diseñar aplicando las tablas de la PCA, finalmente realizar una comparación del ejemplo 8.4, 8.5 y 8.6. Datos: 𝑘𝑁 3 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑓´𝑐 = 21 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝜆 = 1, 𝑤𝑐 = 24 3 , 𝜙𝑚𝑎𝑥𝑎𝑔𝑟 = 𝑖𝑛, 𝑚 4 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: 𝑡𝑥 = 500 𝑚𝑚, 𝑡𝑦 = 300 𝑚𝑚, 𝑟𝑒𝑐 = 25 𝑚𝑚, 𝜙𝑒𝑠𝑡 = 10 𝑚𝑚, 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠: 𝑃𝑢 = 1100 𝑘𝑁, 𝑀𝑢𝑥 = 75 𝑘𝑁 ∙ 𝑚, 𝑀𝑢𝑦 = 150 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Solución: Paso 1: Predimensionar la armadura y verificar si trabaja en la zona de compresión. De las suposiciones del ejemplo 8.4 podemos concluir que utilizaremos 14 barras longitudinales, distribuidas según la figura 8.53: 𝑛 = 14
Figura 8.53 – sección transversal
La sección trabaja como columna o viga?. ACI 10.3.5 (𝑃𝑢 ≥ 0.1𝑓´𝑐 𝐴𝑔 → 1100000 ≥ ⏟ 0.1 ∙ 21 ∙ 150000) → 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 → 𝜙 = 0.65 315000
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HORMIGÓN ARMADO
Por lo tanto la sección trabaja como columna. Paso 2: Determinar las suposiciones o parámetros que definen el rumbo de análisis 𝑀𝑜𝑦 = 𝑡𝑥 = 500 𝑚𝑚 𝑀𝑜𝑥 = 𝑡𝑦 = 300 𝑚𝑚 𝑀𝑢𝑦 𝑀𝑢𝑥 𝑀𝑢𝑦 𝑀𝑢𝑥 1 − 𝛽 ≤ → ( )+ ≤1 𝑀𝑜𝑥 𝑀𝑜𝑦 𝑀𝑜𝑥 𝛽 𝑀𝑜𝑦 𝑀𝑢𝑦 75 150 𝑀𝑢𝑥 1 − 𝛽 ≤ → ( )+ ≤ 1 → 𝑒𝑚𝑝𝑒𝑧𝑎𝑟 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑀𝑜𝑦 ⏟ 500 ⏟ 300 𝑀𝑜𝑥 𝛽 𝑀𝑜𝑦 0.25
0.3
𝛽 = 0.60 → 𝑎𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑜 Paso 3: Determinar el momento proyectado en 𝑦 y los coeficientes de carga, momento y factor de recubrimiento. Momento proyectado en 𝑦: 𝑀𝑜𝑦 1 − 𝛽 𝑀𝑢𝑥 𝑀𝑢𝑦 500 1 − 0.6 ≤ → 𝑀𝑜𝑦 = 𝑀𝑢𝑦 + 𝑀𝑢𝑥 ( ) = 150 + 75 ( ) = 233.333 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀𝑜𝑥 𝑀𝑜𝑦 𝑀𝑜𝑥 𝛽 300 0.6
Coeficiente de carga axial: 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑃𝑢 =
𝑃𝑢 1100 ∙ 103 = = 0.537 𝜙𝑓´𝑐 𝑡𝑥 𝑡𝑦 0.65 ∙ 21 ∙ 500 ∙ 300
Coeficiente de momento: 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑀𝑜𝑦 =
𝑀𝑜𝑦 233.333 ∙ 106 = = 0.228 𝜙𝑓´𝑐 𝑡𝑦 𝑡𝑥 2 0.65 ∙ 21 ∙ 300 ∙ 5002
Factor de recubrimiento: 𝑡𝑥 − 2𝑟𝑒𝑐 − 2𝜙𝑒𝑠𝑡 − 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 500 − 2 ∙ 25 − 2 ∙ 10 − 20 𝑔𝑥 = = = 0.82 𝑡𝑥 500 Paso 4: Determinar la cuantía mecánica 𝑞, utilizamos la tabla Nº 18 del apéndice A. 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑃𝑢 = 0.537 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑀𝑜𝑦 = 0.228} → 𝑞 = 0.58637 𝑔𝑥 = 0.82 La tabla 8.3 muestra el modo de utilizar la respectiva tabla; la segunda fila tabula el coeficiente 𝑃𝑢 , la segunda columna tabula el factor de recubrimiento, y la primera columna tabula la cuantía mecánica, los valores centrales indican el factor de momento.
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HORMIGÓN ARMADO 𝑃𝑢 /𝜙𝑓′𝑐 bt
q ,08
,10
,12
,14
,16
,18
,20
,25
,30
,35
,40
,50
,60
,70
,80
,90
1,0
g 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9
= 𝟒𝟐𝟎
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 1,40 ,036 ,036 ,037 ,043 ,044 ,046 ,051 ,052 ,055 ,058 ,060 ,064 ,065 ,068 ,072 ,072 ,076 ,081 ,079 ,084 ,090 ,095 ,102 ,111 ,111 ,120 ,131 ,126 ,137 ,150 ,141 ,154 ,168 ,171 ,188 ,205 ,198 ,222 ,242 ,223 ,254 ,278 ,249 ,285 ,313 ,275 ,315 ,345 ,300 ,344 ,378
,055 ,056 ,058 ,062 ,064 ,067 ,069 ,071 ,075 ,076 ,079 ,084 ,082 ,086 ,092 ,088 ,093 ,099 ,094 ,100 ,107 ,110 ,118 ,126 ,125 ,135 ,145 ,140 ,152 ,164 ,154 ,168 ,182 ,180 ,202 ,219 ,206 ,233 ,254 ,232 ,263 ,287 ,257 ,292 ,319 ,283 ,321 ,352 ,308 ,350 ,384
,072 ,074 ,076 ,078 ,081 ,084 ,084 ,088 ,092 ,090 ,095 ,099 ,096 ,102 ,107 ,103 ,108 ,115 ,108 ,115 ,122 ,123 ,132 ,141 ,137 ,149 ,159 ,150 ,165 ,177 ,163 ,181 ,195 ,189 ,211 ,228 ,215 ,241 ,261 ,240 ,270 ,294 ,265 ,298 ,326 ,290 ,327 ,358 ,315 ,356 ,390
,086 ,089 ,092 ,092 ,096 ,099 ,098 ,102 ,106 ,104 ,109 ,114 ,109 ,116 ,121 ,115 ,122 ,128 ,120 ,129 ,135 ,133 ,144 ,153 ,147 ,159 ,169 ,159 ,174 ,186 ,172 ,189 ,203 ,198 ,218 ,235 ,223 ,247 ,268 ,248 ,276 ,300 ,271 ,305 ,332 ,294 ,333 ,364 ,317 ,361 ,396
,098 ,101 ,104 ,104 ,108 ,111 ,109 ,114 ,118 ,114 ,120 ,125 ,119 ,126 ,131 ,125 ,132 ,138 ,130 ,138 ,145 ,143 ,153 ,161 ,155 ,167 ,178 ,168 ,182 ,194 ,180 ,196 ,210 ,204 ,225 ,242 ,228 ,254 ,275 ,251 ,282 ,306 ,274 ,309 ,338 ,297 ,335 ,370 ,320 ,362 ,401
,108 ,111 ,114 ,113 ,117 ,120 ,118 ,123 ,127 ,123 ,129 ,133 ,128 ,134 ,140 ,133 ,140 ,146 ,138 ,146 ,153 ,149 ,160 ,169 ,161 ,174 ,185 ,173 ,188 ,201 ,185 ,200 ,217 ,208 ,229 ,248 ,231 ,256 ,279 ,254 ,283 ,310 ,277 ,309 ,340 ,300 ,336 ,370 ,323 ,362 ,401
,115 ,118 ,121 ,119 ,123 ,127 ,124 ,129 ,133 ,129 ,134 ,139 ,133 ,140 ,146 ,138 ,145 ,152 ,142 ,150 ,158 ,154 ,164 ,173 ,165 ,177 ,189 ,177 ,190 ,204 ,188 ,204 ,219 ,211 ,230 ,249 ,234 ,257 ,280 ,257 ,283 ,310 ,280 ,310 ,340 ,302 ,336 ,370 ,325 ,362 ,400
,119 ,122 ,125 ,123 ,127 ,131 ,128 ,132 ,137 ,132 ,137 ,143 ,137 ,143 ,149 ,141 ,148 ,155 ,146 ,153 ,161 ,157 ,166 ,176 ,168 ,179 ,190 ,179 ,192 ,205 ,191 ,205 ,220 ,213 ,232 ,250 ,236 ,258 ,280 ,258 ,284 ,310 ,281 ,310 ,340 ,303 ,336 ,370 ,326 ,362 ,400
,119 ,122 ,126 ,123 ,127 ,132 ,127 ,132 ,138 ,131 ,137 ,144 ,135 ,142 ,150 ,139 ,147 ,156 ,143 ,152 ,162 ,154 ,165 ,177 ,164 ,178 ,191 ,175 ,191 ,206 ,186 ,204 ,221 ,208 ,230 ,250 ,230 ,257 ,280 ,252 ,283 ,310 ,274 ,310 ,339 ,296 ,336 ,369 ,319 ,362 ,399
,117 ,120 ,124 ,121 ,125 ,129 ,125 ,129 ,135 ,129 ,134 ,140 ,132 ,139 ,146 ,136 ,144 ,152 ,140 ,148 ,157 ,150 ,161 ,172 ,160 ,173 ,186 ,171 ,185 ,201 ,181 ,198 ,216 ,202 ,223 ,246 ,224 ,249 ,276 ,246 ,275 ,307 ,267 ,301 ,337 ,289 ,328 ,368 ,312 ,354 ,398
,114 ,116 ,119 ,117 ,121 ,125 ,121 ,125 ,130 ,125 ,130 ,135 ,129 ,134 ,141 ,132 ,139 ,146 ,136 ,144 ,152 ,146 ,155 ,165 ,156 ,167 ,180 ,166 ,179 ,194 ,176 ,192 ,208 ,197 ,216 ,238 ,218 ,242 ,267 ,239 ,267 ,297 ,261 ,293 ,327 ,282 ,319 ,358 ,304 ,345 ,388
,100 ,102 ,105 ,105 ,107 ,110 ,109 ,112 ,116 ,113 ,117 ,121 ,117 ,121 ,126 ,121 ,126 ,132 ,125 ,131 ,137 ,135 ,142 ,151 ,145 ,154 ,164 ,155 ,166 ,178 ,165 ,178 ,192 ,185 ,202 ,220 ,205 ,226 ,249 ,226 ,251 ,278 ,247 ,276 ,308 ,268 ,302 ,338 ,290 ,327 ,368
,078 ,079 ,081 ,083 ,085 ,087 ,088 ,090 ,093 ,093 ,096 ,099 ,098 ,101 ,105 ,103 ,107 ,111 ,107 ,112 ,117 ,119 ,125 ,131 ,129 ,137 ,146 ,140 ,149 ,160 ,150 ,161 ,174 ,171 ,186 ,202 ,191 ,210 ,230 ,212 ,235 ,259 ,232 ,259 ,288 ,253 ,284 ,317 ,275 ,310 ,347
,046 ,047 ,048 ,052 ,053 ,055 ,058 ,060 ,062 ,064 ,066 ,068 ,070 ,073 ,075 ,076 ,079 ,082 ,082 ,086 ,089 ,096 ,101 ,105 ,108 ,115 ,121 ,121 ,128 ,137 ,132 ,141 ,152 ,154 ,167 ,181 ,175 ,192 ,209 ,196 ,216 ,238 ,217 ,241 ,267 ,238 ,266 ,296 ,259 ,291 ,325
,011 ,012 ,012 ,018 ,019 ,020 ,025 ,026 ,027 ,031 ,033 ,034 ,038 ,039 ,041 ,044 ,046 ,048 ,050 ,053 ,055 ,066 ,069 ,073 ,081 ,085 ,090 ,095 ,101 ,107 ,109 ,116 ,124 ,134 ,144 ,156 ,157 ,171 ,186 ,179 ,196 ,216 ,200 ,222 ,245 ,222 ,247 ,274 ,243 ,272 ,303
,003 ,004 ,004 ,010 ,011 ,012 ,017 ,018 ,020 ,033 ,036 ,038 ,049 ,052 ,056 ,065 ,069 ,073 ,080 ,085 ,091 ,108 ,117 ,125 ,134 ,146 ,158 ,159 ,174 ,190 ,181 ,200 ,221 ,203 ,226 ,250 ,225 ,252 ,280
,017 ,019 ,020 ,033 ,035 ,039 ,048 ,052 ,057 ,079 ,085 ,091 ,108 ,117 ,126 ,135 ,148 ,160 ,160 ,176 ,193 ,183 ,203 ,225 ,206 ,230 ,255
,017 ,019 ,021 ,048 ,052 ,057 ,078 ,085 ,092 ,107 ,116 ,127 ,135 ,148 ,161 ,161 ,178 ,195 ,185 ,206 ,227
Tabla 8-3 coeficientes para momento último uniaxial
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673
,016 ,019 ,021 ,047 ,052 ,059 ,077 ,085 ,094 ,106 ,117 ,128 ,134 ,148 ,163
UMSS
HORMIGÓN ARMADO
Paso 5: Determinar la cuantía geométrica y mecánica provista, y verificar la cuantía mínima y máxima. Cuantía de acero requerida 𝑓´𝑐 21 𝜌𝑟𝑒𝑞 = 𝑞 = 0.58637 = 0.029 𝑓𝑦 420 Área de acero requerido 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞 = 𝜌𝑟𝑒𝑞 𝑡𝑥 𝑡𝑦 = 0.029 ∙ 500 ∙ 300 = 4397.775 𝑚𝑚2 Área de acero provisto 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 2 202 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣 = 𝑛 ∙ 𝜋 ∙ = 14 ∙ 𝜋 ∙ = 4398.23 𝑚𝑚2 4 4 Cuantía geométrica provista 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣 4398.23 𝜌𝑝𝑟𝑜𝑣 = = = 0.029 𝑡𝑥 𝑡𝑦 500 ∙ 300 Cuantía mecánica provista 𝑓𝑦 420 = 0.029 = 0.586 𝑓´𝑐 21 Verificamos límites de la cuantía de acero 𝑞𝑝𝑟𝑜𝑣 = 𝜌𝑝𝑟𝑜𝑣
(0.01 ≤ 𝜌𝑝𝑟𝑜𝑣 ≤ 0.08) → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒! Paso 6: Determinar el momento provisto proyectado en 𝑦, determinar el 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑀𝑜𝑦 utilizando la tabla #14 del apéndice A. 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑃𝑢 = 0.537 𝑞𝑝𝑟𝑜𝑣 = 0.586 } → 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑀𝑜𝑦 = 0.23729 𝑔𝑥 = 0.82 La tabla 8.4 muestra el procedimiento para determinar 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑀𝑜𝑦 .
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HORMIGÓN ARMADO 𝑃𝑢 /𝜙𝑓′𝑐 bt
q ,08
,10
,12
,14
,16
,18
,20
,25
,30
,35
,40
,50
,60
,70
,80
,90
1,0
g 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9
= 𝟒𝟐𝟎
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 1,40 ,036 ,036 ,037 ,043 ,044 ,046 ,051 ,052 ,055 ,058 ,060 ,064 ,065 ,068 ,072 ,072 ,076 ,081 ,079 ,084 ,090 ,095 ,102 ,111 ,111 ,120 ,131 ,126 ,137 ,150 ,141 ,154 ,168 ,171 ,188 ,205 ,198 ,222 ,242 ,223 ,254 ,278 ,249 ,285 ,313 ,275 ,315 ,345 ,300 ,344 ,378
,055 ,056 ,058 ,062 ,064 ,067 ,069 ,071 ,075 ,076 ,079 ,084 ,082 ,086 ,092 ,088 ,093 ,099 ,094 ,100 ,107 ,110 ,118 ,126 ,125 ,135 ,145 ,140 ,152 ,164 ,154 ,168 ,182 ,180 ,202 ,219 ,206 ,233 ,254 ,232 ,263 ,287 ,257 ,292 ,319 ,283 ,321 ,352 ,308 ,350 ,384
,072 ,074 ,076 ,078 ,081 ,084 ,084 ,088 ,092 ,090 ,095 ,099 ,096 ,102 ,107 ,103 ,108 ,115 ,108 ,115 ,122 ,123 ,132 ,141 ,137 ,149 ,159 ,150 ,165 ,177 ,163 ,181 ,195 ,189 ,211 ,228 ,215 ,241 ,261 ,240 ,270 ,294 ,265 ,298 ,326 ,290 ,327 ,358 ,315 ,356 ,390
,086 ,089 ,092 ,092 ,096 ,099 ,098 ,102 ,106 ,104 ,109 ,114 ,109 ,116 ,121 ,115 ,122 ,128 ,120 ,129 ,135 ,133 ,144 ,153 ,147 ,159 ,169 ,159 ,174 ,186 ,172 ,189 ,203 ,198 ,218 ,235 ,223 ,247 ,268 ,248 ,276 ,300 ,271 ,305 ,332 ,294 ,333 ,364 ,317 ,361 ,396
,098 ,101 ,104 ,104 ,108 ,111 ,109 ,114 ,118 ,114 ,120 ,125 ,119 ,126 ,131 ,125 ,132 ,138 ,130 ,138 ,145 ,143 ,153 ,161 ,155 ,167 ,178 ,168 ,182 ,194 ,180 ,196 ,210 ,204 ,225 ,242 ,228 ,254 ,275 ,251 ,282 ,306 ,274 ,309 ,338 ,297 ,335 ,370 ,320 ,362 ,401
,108 ,111 ,114 ,113 ,117 ,120 ,118 ,123 ,127 ,123 ,129 ,133 ,128 ,134 ,140 ,133 ,140 ,146 ,138 ,146 ,153 ,149 ,160 ,169 ,161 ,174 ,185 ,173 ,188 ,201 ,185 ,200 ,217 ,208 ,229 ,248 ,231 ,256 ,279 ,254 ,283 ,310 ,277 ,309 ,340 ,300 ,336 ,370 ,323 ,362 ,401
,115 ,118 ,121 ,119 ,123 ,127 ,124 ,129 ,133 ,129 ,134 ,139 ,133 ,140 ,146 ,138 ,145 ,152 ,142 ,150 ,158 ,154 ,164 ,173 ,165 ,177 ,189 ,177 ,190 ,204 ,188 ,204 ,219 ,211 ,230 ,249 ,234 ,257 ,280 ,257 ,283 ,310 ,280 ,310 ,340 ,302 ,336 ,370 ,325 ,362 ,400
,119 ,122 ,125 ,123 ,127 ,131 ,128 ,132 ,137 ,132 ,137 ,143 ,137 ,143 ,149 ,141 ,148 ,155 ,146 ,153 ,161 ,157 ,166 ,176 ,168 ,179 ,190 ,179 ,192 ,205 ,191 ,205 ,220 ,213 ,232 ,250 ,236 ,258 ,280 ,258 ,284 ,310 ,281 ,310 ,340 ,303 ,336 ,370 ,326 ,362 ,400
,119 ,122 ,126 ,123 ,127 ,132 ,127 ,132 ,138 ,131 ,137 ,144 ,135 ,142 ,150 ,139 ,147 ,156 ,143 ,152 ,162 ,154 ,165 ,177 ,164 ,178 ,191 ,175 ,191 ,206 ,186 ,204 ,221 ,208 ,230 ,250 ,230 ,257 ,280 ,252 ,283 ,310 ,274 ,310 ,339 ,296 ,336 ,369 ,319 ,362 ,399
,117 ,120 ,124 ,121 ,125 ,129 ,125 ,129 ,135 ,129 ,134 ,140 ,132 ,139 ,146 ,136 ,144 ,152 ,140 ,148 ,157 ,150 ,161 ,172 ,160 ,173 ,186 ,171 ,185 ,201 ,181 ,198 ,216 ,202 ,223 ,246 ,224 ,249 ,276 ,246 ,275 ,307 ,267 ,301 ,337 ,289 ,328 ,368 ,312 ,354 ,398
,114 ,116 ,119 ,117 ,121 ,125 ,121 ,125 ,130 ,125 ,130 ,135 ,129 ,134 ,141 ,132 ,139 ,146 ,136 ,144 ,152 ,146 ,155 ,165 ,156 ,167 ,180 ,166 ,179 ,194 ,176 ,192 ,208 ,197 ,216 ,238 ,218 ,242 ,267 ,239 ,267 ,297 ,261 ,293 ,327 ,282 ,319 ,358 ,304 ,345 ,388
,100 ,102 ,105 ,105 ,107 ,110 ,109 ,112 ,116 ,113 ,117 ,121 ,117 ,121 ,126 ,121 ,126 ,132 ,125 ,131 ,137 ,135 ,142 ,151 ,145 ,154 ,164 ,155 ,166 ,178 ,165 ,178 ,192 ,185 ,202 ,220 ,205 ,226 ,249 ,226 ,251 ,278 ,247 ,276 ,308 ,268 ,302 ,338 ,290 ,327 ,368
,078 ,079 ,081 ,083 ,085 ,087 ,088 ,090 ,093 ,093 ,096 ,099 ,098 ,101 ,105 ,103 ,107 ,111 ,107 ,112 ,117 ,119 ,125 ,131 ,129 ,137 ,146 ,140 ,149 ,160 ,150 ,161 ,174 ,171 ,186 ,202 ,191 ,210 ,230 ,212 ,235 ,259 ,232 ,259 ,288 ,253 ,284 ,317 ,275 ,310 ,347
,046 ,047 ,048 ,052 ,053 ,055 ,058 ,060 ,062 ,064 ,066 ,068 ,070 ,073 ,075 ,076 ,079 ,082 ,082 ,086 ,089 ,096 ,101 ,105 ,108 ,115 ,121 ,121 ,128 ,137 ,132 ,141 ,152 ,154 ,167 ,181 ,175 ,192 ,209 ,196 ,216 ,238 ,217 ,241 ,267 ,238 ,266 ,296 ,259 ,291 ,325
,011 ,012 ,012 ,018 ,019 ,020 ,025 ,026 ,027 ,031 ,033 ,034 ,038 ,039 ,041 ,044 ,046 ,048 ,050 ,053 ,055 ,066 ,069 ,073 ,081 ,085 ,090 ,095 ,101 ,107 ,109 ,116 ,124 ,134 ,144 ,156 ,157 ,171 ,186 ,179 ,196 ,216 ,200 ,222 ,245 ,222 ,247 ,274 ,243 ,272 ,303
,003 ,004 ,004 ,010 ,011 ,012 ,017 ,018 ,020 ,033 ,036 ,038 ,049 ,052 ,056 ,065 ,069 ,073 ,080 ,085 ,091 ,108 ,117 ,125 ,134 ,146 ,158 ,159 ,174 ,190 ,181 ,200 ,221 ,203 ,226 ,250 ,225 ,252 ,280
,017 ,019 ,020 ,033 ,035 ,039 ,048 ,052 ,057 ,079 ,085 ,091 ,108 ,117 ,126 ,135 ,148 ,160 ,160 ,176 ,193 ,183 ,203 ,225 ,206 ,230 ,255
,017 ,019 ,021 ,048 ,052 ,057 ,078 ,085 ,092 ,107 ,116 ,127 ,135 ,148 ,161 ,161 ,178 ,195 ,185 ,206 ,227
Tabla 8-4 coeficientes para momento último uniaxial
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,016 ,019 ,021 ,047 ,052 ,059 ,077 ,085 ,094 ,106 ,117 ,128 ,134 ,148 ,163
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𝑀𝑜𝑦 = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑀𝑜𝑦 𝜙𝑓´𝑐 𝑡𝑦 𝑡𝑥 2 = 0.23729 ∙ 0.65 ∙ 21 ∙ 300 ∙
5002 = 242.926𝑘𝑁 ∙ 𝑚 106
Paso 7: Determinar el momento proyectado paralelo, momento proyectado en 𝑥, determinar el 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑀𝑜𝑥 utilizando la tabla #20 del apéndice A. Factor de recubrimiento: 𝑡𝑦 − 2𝑟𝑒𝑐 − 2𝜙𝑒𝑠𝑡 − 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 300 − 2 ∙ 25 − 2 ∙ 10 − 20 𝑔𝑦 = = = 0.70 𝑡𝑦 300 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑃𝑢 = 0.537 𝑞𝑝𝑟𝑜𝑣 = 0.586 } → 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑀𝑜𝑥 = 0.22614 𝑔𝑦 = 0.70 𝑀𝑜𝑥 = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑀𝑜𝑥 𝜙𝑓´𝑐 𝑡𝑥 𝑡𝑦 2 = 0.22614 ∙ 0.65 ∙ 21 ∙ 500 ∙
3002 = 138.906 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 106
Paso 8: Verificar si la condición inicial se cumple 𝑀𝑢𝑥 𝑀𝑢𝑦 75 150 ≤ → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒! → ≤ → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒! ⏟ 𝑀𝑜𝑥 𝑀𝑜𝑦 138.906 ⏟ 242.926 0.5399
0.6175
Paso 9: Determinar el valor de 𝛽 mediante las tablas de la PCA, utilizar la tabla #7 del apéndice A. Primeramente se debe calcular las siguientes variables: (0.85 ∙ 21 ∙ 150000 + 4398.23 ∙ 420) 𝑃𝑜 = 0.85𝑓´𝑐 𝐴𝑔 + 𝐴𝑠𝑡 𝑓𝑦 = = 4524.756𝑘𝑁 103 𝑃𝑢 1100 = = 0.243 𝑃𝑜 4524.756 Ingresando a la tabla #7 del apéndice B obtenemos: 𝑃𝑢 = 0.243 𝑃𝑜 → 𝛽 = 0.5834 𝜌𝑝𝑟𝑜𝑣 = 0.029 𝑔𝑦 = 0.70 } Paso 10: Determinar el ratio de diseño mediante el método del contorno de cargas de la PCA 𝑀𝑢𝑦 𝑀𝑢𝑥 𝑀𝑢𝑦 𝑀𝑢𝑥 1 − 𝛽 ≤ → ( )+ ≤1 𝑀𝑜𝑥 𝑀𝑜𝑦 𝑀𝑜𝑥 𝛽 𝑀𝑜𝑦 75 1 − 0.5834 150 ( )+ ≤ 1 → 𝑛𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒! ⏟ 138.906 0.5834 242.926 1.00303
La sección no resiste, pero el código ACI acepta un falla del 4% para los casos más desfavorables, el ratio genera una falla de 0.303%, por lo tanto se acepta el diseño de la columna corta.
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Paso 11: Realizar una comparación de los tres métodos que se desarrollan en el ejemplo 8.3, 8.4 y 8.5. La tabla 8.5 presenta un resumen de los métodos con sus respectivos ratios. Método Método de la ACI Método general Método de la PCA
Sección y refuerzo
Ratio
500𝑥300_14𝜙20 1.016 500𝑥300_14𝜙20 1.0301 500𝑥300_14𝜙20 1.00303
Porcentaje de falla
%admisible de falla
Es óptimo?
1.6% 3.01% 0.303%
4% 4% 4%
Óptimo Óptimo Óptimo
Tabla 8-5 Resumen de resultados
Comparando los tres métodos se puede concluir lo siguiente: La diferencia entre los ratios para el ejercicio analizado es mínima, por lo tanto se ha validado los métodos. El método general es el más laborioso porque el diagrama de interacción se genera manualmente, pero es recomendable para situaciones académicas. El método general y el método de la ACI permite trabajar con diferentes varillas de refuerzo, y no así el método de la PCA. En el método general y el método de la PCA la variable 𝛽 influye en el cálculo, es decir no se tiene gráficas y tablas para algunas situaciones particulares, a veces la respectiva variable causa incertidumbre, pero el método de la ACI no requiere el valor de 𝛽 por lo que es más cómodo. La diferencia de ratios de los métodos analizados aumenta si y sólo sí la variable 𝛽 aumenta, el valor de 𝛽 aumenta si la cuantía de acero disminuye. Se puede recomendar lo siguiente: La diferencia de ratios de los diferentes métodos no siempre estará en 4%, se puede generar variaciones de hasta 40%, la variación depende del factor 𝛽, para la situación más conservadora se recomienda usar 𝛽 = 0.5. No es lo mismo utilizar el método del contorno de las cargas de Bresler y el método del contorno de las cargas de la PCA. Se recomienda aumentar el número de estados en el método general, de esta manera se tendrá más precisión al interpolar. Se recomienda utilizar el método con los ábacos de la ACI si es que no se quiere tener complicaciones con la variable 𝛽, y se sugiere generar ecuaciones para determinar el valor 𝛽 para situaciones académicas.
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8.10) COLUMNAS ESBELTAS 8.10.1) INTRODUCCIÓN Cuando una columna se flexiona o deflexiona lateralmente una cantidad ∆, su carga axial genera un momento adicional en la columna igual a 𝑃∆. Este momento se superpone a cualquier momento que exista ya en la columna. Si este momento 𝑃∆ es de tal magnitud que reduce considerablemente la capacidad por carga axial de la columna, ésta se denomina columna esbelta. La sección de la ACI 10.10.2 establece que el diseño deseable de un miembro a compresión debe basarse en un análisis teórico de la estructura que tome en cuenta los efectos de las cargas axiales, momentos, deflexiones, la duración de cargas, las dimensiones variables de los miembros, las condiciones en los extremos, etc. Si no se usa tal procedimiento teórico, el código ACI 10.10.5 provee un método aproximado para determinar los efectos de esbeltez. Este método, que se basa en los factores antes mencionados para realizar un análisis “exacto”, supone un amplificador de momento 𝛿, que debe multiplicarse por el mayor momento en el extremo de la columna denotado como 𝑀2 y ese valor debe usarse en el diseño. Si ocurre flexión en ambos ejes, 𝛿 debe calcularse separadamente para cada dirección y los valores obtenidos deben multiplicarse por los valores de los momentos respectivos99. A continuación desarrollaremos la mecánica y comportamiento, en la columna con extremo articulado de la figura 8.54 la carga axial actúa excéntricamente, los momentos en los extremos de la columna son:𝑀 = 𝑃𝑒
Figura 8.54 – Carga axial en columna deflectada
Al aplicarse la carga 𝑃, la columna se deflexiona lateralmente una cantidad 𝛿 tal como se muestra en la figura 8.54, al flexionarse lateralmente una cantidad 𝛿, la carga axial genera una 99
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cantidad adicional igual a 𝑃𝛿 que se denomina momento de segundo orden. Del equilibrio de momentos de la figura 8.55, el momento a la mitad de la altura resulta: 𝑀𝑐 = 𝑃(𝑒 + 𝛿)
Figura 8.55 – Diagrama de cuerpo libre
En la figura 8.56 se muestra el diagrama de interacción de una columna de hormigón armado, el diagrama respectivo proporciona el combinación de carga axial y momento que causará la falla en una columna corta. La línea O-A representa el momento de extremo de la figura 8.56, el momento denotado por 𝑀𝑐 = 𝑃𝑒, la línea es denominada curva de carga – momento en el extremo. La curva O-B representa el momento a la mitad de la altura de la columna que se encuentre en la figura 8.56, el respectivo momento está dado por 𝑀𝑐 = 𝑃(𝑒 + 𝛿), está curva es denominada curva de máximo momento y carga axial de la columna en el extremo.
Figura 8.56 – Carga y momento en una columna
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La fallar ocurre cuando la curva de máximo momento y carga axial intersecta con el diagrama de interacción de la columna, consecuentemente cuando ocurre la falla la combinación de momento y carga axial se encontrara en el punto B, debido al incremento del momento máximo por la deflexión la capacidad de la columna para resistir la carga axial es reducida de A a B, está reducción de capacidad es debido al efecto de esbeltez100. 8.10.1.1) PANDEO EN COLUMNAS ELÁSTICAS CARGADAS AXIALMENTE En la figura 8.57 se muestra de manera sencilla tres estados de equilibrio de una bola.
Figura 8.57 – Estados de equilibrio
Equilibrio estable, se presenta cuando en la superficie cóncava la bola se desplace y vuelva a su posición inicial, la misma se muestra en la figura 8.57(a). Equilibrio neutral, sucede cuando la superficie plana hace que cualquier perturbación desplace la bola sin que ésta se caiga, se muestra en la figura 8.57(b). Equilibrio inestable, ocurre cuando en la superficie convexa la bola se caiga bajo cualquier tipo de perturbación y nunca pueda recobrar su posición inicial, se muestra en la figura 8.57(c). Estados de equilibrio similares a los de la bola se presente en la columna de la figura 8.58(a). Si la columna retorna a su posición inicial después de ser empujada por una fuerza, entonces la columna está en equilibrio estable. Si la columna permanece deformada se dice que está en equilibrio neutral, pero si está se deforma continuamente, entonces la columna está en equilibrio inestable.
Figura 8.58 – Equilibrio de una columna doblemente articulada
100
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En la figura 8.58(b) se muestra una porción de columna que se encuentra en estado de equilibrio neutro, la ecuación diferencial de la columna fue planteada originalmente por Leonard Euler en el año 1744: 𝑑2𝑦 𝐸𝐼 = 2 = −𝑝𝑦 𝑑𝑥 La solución de la ecuación diferencial es: 𝑛2 𝜋 2 𝐸𝐼 𝑃𝑐 = 𝑙2 Dónde: 𝜋: Constante de pi. 𝐸: Módulo de elasticidad 𝐼: Momento de inercia de la sección transversal 𝑙: Longitud de la columna entre puntos de apoyo 𝑛: Modo de pandeo de la columna o número de medias curvas senoidales en las que la columna se deforma. En la figura 8.59 se muestran casos con 𝑛 = 1, 2 𝑦 3 medias ondas senoidales.
Figura 8.59 – Número de medias curvas senoidales
El valor más bajo de 𝑃𝑐 ocurre con 𝑛 = 1, esto se ilustra en la figura 8.59 y es conocida como carga de pandeo de Euler. Si la columna fuera incapaz de moverse lateralmente a media altura, como se muestra en la figura 8.59 el valor de 𝑃𝑐 ocurre con 𝑛 = 2.
12 𝜋 2 𝐸𝐼 𝑃𝑐 = 𝑙2
22 𝜋 2 𝐸𝐼 𝑃𝑐 = 𝑙2
Figura 8.60 – Posibles soluciones de ecuación de Euler
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Otra manera de interpretar la ecuación de Euler es a través del concepto de longitud efectiva de columna que es la longitud de una columna articulada que tiene la misma carga de pandeo, la misma se define como: 𝑙 1 𝑘𝑙 = 𝑘= 𝑛 𝑛 Reemplazando el factor 𝑘 en la ecuación de Euler: 1 2
𝑃𝑐 =
(𝑘) 𝜋 2 𝐸𝐼 𝑙2
→ 𝑃𝑐 =
𝜋 2 𝐸𝐼 (𝑘𝑙)2
Dónde: 𝑘: Factor de longitud efectiva de columna, el concepto de longitud efectiva de columna puede ser explicado de una manera más clara en la figura 8.61.
Figura 8.61 – Concepto de longitud efectiva en columnas idealizadas
Las columnas arriostradas contra el desplazamiento lateral o que forman parte de pórticos arriostrados o pórticos indesplazables, la longitud efectiva de columna es: 0≤𝑘≤1 Las columnas no arriostradas contra el desplazamiento lateral o que forman parte de pórticos no arriostrados o pórticos desplazables, la longitud efectiva de columna es: 1.0 < 𝑘 ≤ ∞ copyright©rcolquea
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8.10.2) MARCOS CON Y SIN DESPLAZAMIENTO LATERAL Para el piso del edificio en consideración, las columnas de marcos sin desplazamiento lateral deben diseñarse según el ACI 10.10.6, mientras que las columnas de marcos con desplazamiento lateral deben diseñarse según el ACI 10.6.7. Como consecuencia, primero es necesario decidir si tenemos un marco con o sin desplazamiento lateral. Debemos entender que rara vez encontraremos un marco que esté completamente riostrado contra desplazamientos laterales o uno que esté completamente desprovisto de riostras contra el desplazamiento lateral. Por consiguiente, hay que decidir cómo manejar el asunto101. El asunto posiblemente pueda resolverse examinando la rigidez lateral de los elementos de apuntalamiento para el piso en consideración. Se puede observar que una columna en particular se encuentra en un piso donde existe demasiada rigidez lateral provista por muros de cortante, vigas, armaduras de cortante, etc. Al examinar una estructura particular, es necesario darse cuenta de que puede haber algunos pisos sin desplazamiento lateral y otros pisos con desplazamiento lateral. Si no podemos decir mediante una inspección se trata de un marco sin desplazamiento lateral o de uno con desplazamiento lateral, el código ACI proporciona dos formas de hacerlo: ACI 10.10.5.1: dice que el piso de un marco se considera sin desplazamiento lateral si el incremento en los momentos de extremo en las columnas debido a los efectos de segundo orden, equivale a 5% o menos de los momentos de extremo de primer orden. ACI 10.10.5.2: si el valor del así llamado índice de estabilidad que sigue es ≤ 0.05, el comentario establece que el marco se puede clasificar como un marco sin desplazamiento lateral. (Si 𝑉𝑢 es igual a cero, este método no es aplicable) ∑ 𝑃𝑢 ∆𝑜 𝑄= ≤ 0.05 → 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑉𝑢 𝑙𝑐 Dónde: ∑ 𝑃𝑢 : carga vertical total factorizada para todas las columnas en el piso considerado. ∆𝑜 : deflexión lateral de primer orden determinada elásticamente debido a 𝑉𝑢 en la parte superior del piso en cuestión con respecto a la parte inferior de ese mismo piso. 𝑉𝑢 : fuerza cortante horizontal total factorizado del piso considerado. 𝑙𝑐 : altura de un miembro a compresión en un marco medida de centro a centro de los nudos del marco. En un edificio de hormigón armado de tamaño promedio, las excentricidades de carga y los valores de esbeltez son pequeños y se considera que los marcos están riostrados. Sin embargo, que ciertamente en los casos dudosos es preferible optar por la seguridad y considerar que los marcos no están riostrados. 8.10.2.1) DETERMINACIÓN DE LOS FACTORES 𝒌 CON NOMOGRAMAS Antes del análisis con computadora, el uso de los nomogramas fue el método tradicional para determinar longitudes efectivas de columnas. El nomograma de la figura 8.62 es aplicable a marcos riostrados, mientras que el de la figura 8.63 es aplicable a marcos no riostrados. Para usar los nomogramas para una columna particular, se calculan los factores 𝜓 en cada extremo de la columna. El factor 𝜓 en un extremo de la columna es igual a la suma de las 101
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rigidices (∑( 𝑙 )) de las columnas que concurren en ese nudo, incluyendo la columna en consideración, dividida entre la suma de todas las rigidices de las vigas que concurren en el nudo. ∑( 𝜓=
∑(
𝐸𝑐 𝐼𝑐
𝑙𝑐 𝐸𝑣 𝐼𝑣 𝑙𝑣
) )
Si un extremo de la columna está articulado, 𝜓 es teóricamente igual a ∞ y si está empotrado, 𝜓 = 0. Como es prácticamente imposible lograr un empotramiento perfecto, 𝜓 usualmente se toma igual a 1.0 en vez de 0 para los empotramientos supuestos. Cuando el extremo de la columna está soportado por una zapata pero no está rígidamente conectado a ella, 𝜓 es teóricamente infinito, pero usualmente se toma igual a 10 en los diseños prácticos. Uno de los valores 𝜓 se denomina 𝜓𝐴 y el otro 𝜓𝐵 . Después de calcular estos valores, se obtiene el factor 𝑘 de longitud efectiva trazando una línea recta entre 𝜓𝐴 y 𝜓𝐵 . El punto de intersección de esta recta con el eje medio del nomograma nos da el valor de 𝑘.
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Figura 8.62 – Factores de longitud efectiva para elementos comprimidos en pórticos indesplazables
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Figura 8.63 – Factores de longitud efectiva para elementos comprimidos en pórticos desplazables
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8.10.2.2) DETERMINACIÓN DE FACTORES 𝒌 MEDIANTE ECUACIONES En lugar de usar nomogramas para determinar los valores de 𝑘, existe un método alterno que consiste en el uso de ecuaciones relativamente simples. Estas ecuaciones, que estaban en el comentario R10.12.1 del código ACI318-05, son particularmente útiles con programas de computadora. Para miembros a compresión riostrados, un límite superior para el factor de longitud efectiva puede tomarse como el menor valor determinado de las dos ecuaciones siguientes en donde 𝜓𝐴 y 𝜓𝐵 son los valores descritos anteriormente para los nomogramas (comúnmente llamados nomogramas de Jackson y Moreland). 0.7 + 0.05(𝜓𝐴 + 𝜓𝐵 ) ≤ 1.0 𝑘 = 𝑚𝑖𝑛 { 0.85 + 0.05𝜓𝑚𝑖𝑛 ≤ 1.0 Dónde: 𝜓 𝜓𝑚𝑖𝑛 = 𝑚𝑖𝑛 { 𝐴 𝜓𝐵 El valor de 𝑘 para los miembros a compresión no riostrados y restringidos en ambos extremos puede determinarse con el valor apropiado dado por las siguientes dos ecuaciones, en donde 𝜓𝑚 es el promedio de 𝜓𝐴 𝑦 𝜓𝐵 . 20 − 𝜓𝑚 𝑆𝑖 𝜓𝑚 < 2 → 𝑘 = √1 + 𝜓𝑚 20 𝑆𝑖 𝜓𝑚 ≥ 2 → 𝑘 = 0.9√1 + 𝜓𝑚 El valor del factor de longitud efectiva para los miembros a compresión no riostrados que están articulados en un extremo, se puede determinar con la siguiente expresión, en donde 𝜓 es el valor en el extremo restringido: 𝑘 = 2.0 + 0.3𝜓 En código ACI 10.10.6.3 establece que 𝑘 debe tomarse igual a 1.0 para miembros a compresión en marcos apuntalados contra desplazamientos laterales, a menos que un análisis teórico muestre que puede usarse un valor más pequeño. En el último párrafo de la sección R10.10.6.3 del comentario, se dice que el uso de nomogramas o de las ecuaciones recién presentadas, es satisfactorio para justificar valores de 𝑘 menores que 1.0 en marcos riostrados. 8.10.2.3) CONSIDERACIÓN DE LOS EFECTOS DE LA ESBELTEZ Se establecen límites para la esbeltez tanto de pórticos in desplazables como para pórticos desplazables, incluyendo métodos de diseño permitidos para cada rango de esbeltez. Se establecen límites inferiores para la esbeltez, por debajo de los cuales los momentos de segundo orden se pueden despreciar y sólo es necesario considerar la carga axial y los momentos de primer orden para seleccionar la sección transversal y la armadura de las columnas (diseño de columnas cortas). En las estructuras de concreto armado los efectos de esbeltez se pueden despreciar en más del 90 % de las columnas de los pórticos desplazables y en alrededor del 40 % de las columnas de los pórticos desplazables. Cuando los efectos de esbeltez son moderadas se permite un análisis aproximado de los efectos de la esbeltez que se basa en un factor de amplificación de los momentos. Cuando la relación de esbeltez de la columna es elevada se requiere un análisis de segundo orden más exacto, que copyright©rcolquea
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considere el comportamiento no lineal del material y la fisuración, así como los efectos de la curvatura y del desplazamiento lateral del elemento, la duración de las cargas, la contracción y la fluencia lenta y la interacción de las fundaciones. La figura 8.64 resume los límites de la relación de esbeltez para pórticos arriostrados y no arriostrados, junto con los métodos permitidos para considerar la esbeltez de la columna102.
Pórtico desplazable
ku /r=22
Pórtico no desplazable
Despreciar esbeltez
Yes
Yes
No Magnificación de momento ACI 10.10.7
ku /r = 34-12(M1/M2)*
No Análisis no lineal de segundo orden ACI 10.10.3
Análisis no lineal de segundo orden ACI 10.10.4
Magnificación de momento ACI 10.10.6
Los momentos totales, incluyendo los efectos de segundo orden no debe exceder 1.4 veces los momentos debidos a los efectos de primer orden. ACI 10.10.2.1
Yes Diseño para momento total
No Revisar el sistema estructural
∗ (34 − 12(𝑀1 ⁄𝑀2 )) ≤ 40 Figura 8.64 – Consideración de columnas esbeltas
8.10.2.3.1) ANÁLISIS DE PRIMER ORDEN USANDO PROPIEDADES ESPECIALES DE LOS MIEMBROS Antes de calcular los amplificadores de momento para una estructura en particular, es necesario hacer un análisis de primer orden de la estructura. Las propiedades de la sección del miembro usadas para tal análisis deben tener en cuenta la influencia de las cargas axiales, la presencia de regiones agrietadas en los miembros y el efecto de la duración de las cargas. En lugar de hacer tal análisis, la sección de la ACI 10.10.4.1 permite el uso de las siguientes propiedades para los miembros de la estructura. Estas propiedades se pueden usar para marcos con o sin desplazamiento lateral. a) Módulo de elasticidad, determinado con la siguiente expresión dada en la sección de la ACI 8.5.1: 𝐸𝑐 = 𝑤𝑐1.5 0.043√𝑓´𝑐 Para valores de 𝑤𝑐 entre 1440 𝑦 2560 𝑘𝑔𝑓/𝑚3 o 𝐸𝑐 = 4700√𝑓´𝑐 para concreto de peso normal. 102
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b) Momento de inercia, donde 𝐼𝑔 =momento de inercia de la sección total de concreto respecto al eje centroidal despreciando el refuerzo, ACI 10.10.4.1 Tipo de sección Vigas Columnas Muros no agrietados Muros agrietados Placas planas y losas planas
Momento de inercia 0.35𝐼𝑔 0.70𝐼𝑔 0.70𝐼𝑔 0.35𝐼𝑔 0.25𝐼𝑔
Tabla 8-6 Inercia de las secciones
c) Área, determinado 1.0𝐴𝑔 Como alternativa para las ecuaciones aproximadas anteriormente citadas para columnas y muros, el código permite el siguiente valor más complejo para el momento de inercia de elementos a compresión: 𝐼 = (0.8 + 25
𝐴𝑠𝑡 𝑀𝑢 𝑃𝑢 ) (1 − − 0.5 ) 𝐼𝑔 ≤ 0.875𝐼𝑔 𝐴𝑔 𝑃𝑢 ℎ 𝑃𝑜
𝑃𝑢 y 𝑀𝑢 deben tomarse de la combinación de carga en estudio, o conservadoramente pueden tomarse como los valores de 𝑃𝑢 y 𝑀𝑢 que conduzca al valor más bajo de 𝐼. En ningún caso debe tomarse un valor de 𝐼 para los miembros a compresión menor que 0.35𝐼𝑔 . 𝑃𝑜 es la resistencia teórica de la carga axial concéntrica. Para miembros a flexión (vigas y placas planas y losas planas) se permite la siguiente ecuación aproximada: 𝑏𝑤 𝐼 = (0.10 + 25𝜌) (1.2 − 0.2 ) 𝐼𝑔 ≤ 0.5𝐼𝑔 𝑑 Para miembros continuos a flexión, se permite usar el valor promedio de 𝐼 de las secciones de momento positivo y negativo. En ningún caso el valor de 𝐼 requerido para miembros a flexión debe ser tomado menor que 0.25𝐼𝑔 . 8.10.2.3.2) RADIO DE GIRO 𝐼𝑔
En general el radio de giro, 𝑟, es: 𝑟 = √𝐴
𝑔
En particular, para los elementos de sección rectangular 𝑟 se puede tomar igual a 0.30 por la dimensión en la dirección en la cual se está considerando la estabilidad, mientras que para los elementos de sección circular se puede tomar igual a 0.25 por el diámetro de la sección103, como se ilustra en la figura 8.65.
103
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Figura 8.65 – Radio de giro, 𝒓
8.10.2.3.3) LONGITUD NO APOYADA DE ELEMENTOS EN COMPRESIÓN, 𝒍𝒖 La longitud no apoyada de un elemento en compresión, 𝑙𝑢 , es la distancia libre entre apoyos laterales en la dirección de análisis, como se ilustra en la figura 8.66.
Figura 8.66 – Longitud no apoyada, 𝒍𝒖
8.10.2.3.4) LONGITUD EFECTIVA DE ELEMENTOS EN COMPRESIÓN, 𝒍𝒆 La ecuación básica de Euler para la carga crítica de pandeo se puede expresar como: 𝜋 2 𝐸𝐼 𝑃𝑐 = (𝑙𝑒 )2 Dónde la longitud efectiva 𝑙𝑒 es igual a 𝑘𝑙𝑢 . La longitud efectiva de la columna 𝑘𝑙𝑢 es la que se utiliza para estimar las resistencias de las columnas esbeltas, es la que define las condiciones de vínculo y la condición de pórtico arriostrado y no arriostrado tal como lo muestra la figura 8.67 y 8.68 respectivamente.
Figura 8.67 – Longitud efectiva, 𝒍𝒆 (pórtico arriostrado) copyright©rcolquea
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La longitud efectiva está comprendida entre 𝑙𝑢 /2 y 𝑙𝑢 , como se indica en la figura 8.67(c), siempre que esté impedido el desplazamiento lateral de un extremo de la columna con respecto de otro. La longitud efectiva varía entre 𝑙𝑢 e infinito, como se indica en la figura 8.68 (c). Si los elementos que restringen el movimiento (vigas o losas) son muy rígidos en relación a la columna, el pandeo se aproximará al esquema ilustrado en la figura 8.68(b). En cambio, si los elementos que restringe el movimiento son bastante flexibles, la columna se aproximará a una condición articulada en ambos extremos, y posiblemente la estructura se aproximaría a la inestabilidad.
Figura 8.68 – Longitud efectiva, 𝒍𝒆 (pórtico no arriostrado)
8.10.2.3.5) COMO EVITAR COLUMNAS ESBELTAS El diseño de columnas esbeltas es considerablemente más complicado que el diseño de columnas cortas. Como consecuencia, es apropiado considerar el uso de ciertas dimensiones mínimas de manera que las columnas no resulten esbeltas. De este modo, tales columnas pueden evitarse casi completamente en los edificios de tamaño medio. Si se supone 𝑘 igual a 1.0, usualmente la esbeltez puede despreciarse en columnas de marcos riostrados si 𝑙𝑢 ⁄ℎ se mantiene igual a 10 o menos en la planta baja y o 14 o menos para los pisos arriba de la planta baja. Para determinar estos valores, se supone que hay poca resistencia al momento en la conexión de la zapata a la columna y que las columnas de la planta baja están flexionadas en forma de curvatura simple. Si la conexión zapata – columna se diseña con una resistencia apreciable al momento, el valor máximo indicado de 𝑙𝑢 ⁄ℎ de 10 debe aumentarse aproximadamente a 14 o al mismo valor usado en los pisos superiores. Si tenemos un marco no riostrado y se supone 𝑘 = 1.2, probablemente es necesario tomar 𝑙𝑢 ⁄ℎ igual a 6 o menor. Así, para una altura libre de piso de 3 𝑚, hay que usar una ℎ mínima de aproximadamente 3000⁄6 = 500 𝑚𝑚 en la dirección de la flexión para evitar columnas esbeltas.
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8.10.3) FALLA POR MATERIAL Y FALLA POR ESTABILIDAD Dependiendo de las características y dimensiones de una columna esbelta, se puede presentar una falla en el material o una falla de estabilidad general de la columna. En la figura 8.69 se muestra el diagrama de interacción de una columna corta, con los dos tipos de falla enunciados para tres diferentes longitudes de columnas.
Figura 8.69 – Fallas en una columna por material y estabilidad
Para una columna de moderada longitud, curva O-B, la deflexión se hace significativa reduciendo la capacidad de carga de columna, esta columna falla cuando la curva O-B intercepta al diagrama de interacción en el punto B, este tipo de falla es conocida como falla en material. 𝜕𝑀
Si la columna es muy esbelta, ésta puede alcanzar una deflexión 𝛿 para lo cual el valor de 𝜕𝑃 tiende a infinito o se hace negativo, cuando ocurre esto la columna se hace inestable, ya que con mayor excentricidad la capacidad de momento descenderá, este tipo de falla es conocida como falla de estabilidad.
8.10.4) MÉTODOS DEL CÓDIGO ACI PARA EL TRATAMIENTO DE LOS EFECTOS DE ESBELTEZ El código ACI permite la determinación de los efectos de segundo orden mediante uno de los tres métodos: Análisis no lineal de segundo orden (ACI 10.10.3); tal análisis debe considerar la no linealidad de los materiales, la curvatura del miembro y la deriva lateral, la duración de la carga, los cambios volumétricos en el hormigón debido al flujo plástico, la contracción copyright©rcolquea
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y la interacción del cimiento o del apoyo. La técnica de análisis debe predecir las cargas últimas dentro del 15% de los resultados experimentales en estructuras de concreto reforzado estáticamente indeterminadas. Esta técnica requeriría software complejo de computadora que ha sido demostrado que satisface el requisito de exactitud de 15% anteriormente citado. Análisis elástico de segundo orden (ACI 10.10.4); esta técnica es más simple que el método no lineal porque usa las rigideces de los miembros inmediatamente antes de la falla. Los valores de 𝐸𝑐 , y los momentos de inercia se definen en el código ACI. Lo más probable es que este método también requeriría un análisis de computadora. Procedimiento de amplificación de momentos (ACI 10.10.5); se dan diferentes procedimientos para este método para estructuras con desplazamiento lateral y sin desplazamiento lateral. En el documento desarrollaremos el respectivo procedimiento. 8.10.5) AMPLIFICACIÓN DE MOMENTOS DE COLUMNAS EN MARCOS SIN DESPLAZAMIENTO LATERAL 8.10.5.1) CURVAS DE INTERACCIÓN DE COLUMNAS ESBELTAS Para discutir los efectos de ciertos factores en la resistencia de una columna, se debe utilizar diagramas de interacción para columnas esbeltas. La construcción de diagramas de interacción para columnas esbeltas puede ser realizada a partir de los diagramas de interacción de columnas cortas de la misma sección transversal. La forma de construcción del diagrama de interacción de una columna esbelta doblemente articulada es ilustrada en la figura 8.70(a) y sigue el procedimiento que se explica a continuación. La línea 𝑂 − 𝐵1 muestra la curva de carga axial-momento máximo para una columna con esbeltez 𝑙 ⁄ℎ = 30 y una excentricidad dada 𝑒1 . Esta columna falla cuando la curva carga – momento intercepta el diagrama de interacción en el punto 𝐵1, pero en el momento de la falla, la carga y el momento en el extremo de la columna, dónde no se presentan los efectos de segundo orden) están dados por el punto 𝐴1 . Si este proceso es repetido, tomando en cuenta varias excentricidades, se consigue el diagrama de interacción para una columna esbelta uniendo con una línea segmentada los puntos 𝐴1 , 𝐴2 , etc. Se puede seguir el mismo procedimiento utilizando distintas relaciones de esbeltez 𝑙 ⁄ℎ, con lo que se consigue una familia de diagramas de interacción para una columna de hormigón armado de sección transversal constante pero con diferentes alturas. La familia de curvas muestra las cargas y los momentos máximos que producen la falla de una columna esbelta dada, una familia de diagramas de interacción para una columna esbelta se muestra en la figura 8.70(b) para columnas de la misma sección transversal, pero de esbeltez diferente.
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Figura 8.70 – Construcción de diagramas de interacción de columnas esbeltas
8.10.5.2) MAGNIFICADOR DE MOMENTO PARA ELEMENTOS ARTICULADOS EN SUS EXTREMOS Y CARGADOS SIMÉTRICAMENTE La construcción de diagramas de interacción para columnas esbeltas no es un método eficiente para el diseño debido a que en la práctica se tienen muchas dificultades, por lo tanto, es más sencillo calcular un magnificador de momento, que multiplicado por el momento de primer orden se determine el momento de diseño. En la figura 8.71 se muestra la columna sometida a momentos de extremo 𝑀𝑜 , la respectiva columna se desplaza una cantidad,𝛿𝑜 , que es de primer orden. Cuando se aplican las cargas axiales la deflexión a media altura de la columna se incrementa una cantidad 𝛿𝑎 , entonces la deflexión final a medio tramo es:
Figura 8.71 – Momentos en una columna deflectada
𝛿 = 𝛿𝑜 + 𝛿𝑎 copyright©rcolquea
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La deflexión total es de segundo orden y la forma de la deformada final de la columna se aproxima a la mitad de la curva senoidal. Debido a que la deformada se asumió como la mitad de una curva senoidal, entonces el diagrama 𝑃𝛿 es también de forma senoidal. Observando que la deformada es simétrica, la deflexión 𝛿𝑎 puede ser hallada tomando el momento alrededor del apoyo de la porción del diagrama 𝑀/𝐸𝐼 entre el soporte y la mitad de la columna, el área de esta porción es: 𝑃 𝑙2 Á𝑟𝑒𝑎 = ( (𝛿𝑜 + 𝛿𝑎 )) 𝐸𝐼 2𝜋 𝑙
Y su centro de gravedad está localizado a 𝜋 desde el soporte, por tanto: 𝑃 𝑙2 𝑙 𝑃𝑙 2 (𝛿 )) 𝛿𝑎 = ( + 𝛿𝑎 ( ) → 𝛿𝑎 = 2 (𝛿𝑜 + 𝛿𝑎 ) 𝐸𝐼 𝑜 2𝜋 𝜋 𝜋 𝐸𝐼 Dónde 𝑃𝐸 =
𝜋 2 𝐸𝐼 𝑙2
que es la carga crítica de pandeo de Euler, por tanto: 𝛿𝑎 = (𝛿𝑜 + 𝛿𝑎 )
𝑃 𝑃𝐸
Despejando 𝛿𝑎 : 𝛿𝑎 = 𝛿 − 𝛿𝑜 Reemplazando 𝛿𝑎 : 𝛿 − 𝛿𝑜 = (𝛿𝑜 + 𝛿 − 𝛿𝑜 )
𝑃 𝛿𝑜 →𝛿= 𝑃 𝑃𝐸 1+𝑃
𝐸
El momento de segundo orden es: 𝑀𝑐 = 𝑀𝑜 + 𝑃𝛿 Sustituyendo 𝛿 en el momento de segundo orden: 𝛿𝑜 𝑀𝑐 = 𝑀𝑜 + 𝑃 𝑃 1+𝑃
𝐸
Para el momento primario de la figura 8.71(b), la deflexión inicial puede calcularse a través de: 𝛿𝑜 = 𝑃
Sustituyendo 𝛿𝑜 y 𝑃 = (𝑃 ) 𝐸
𝜋 2 𝐸𝐼 𝑙2
𝑀𝑜 𝑙 2 8𝐸𝐼
en la ecuación de segundo orden: 𝑀𝑜 𝑙2
𝑃
𝑀𝑜 (1 + 0.23 𝑃 ) 𝑃 𝜋 2 𝐸𝐼 𝐸 𝑀𝑐 = 𝑀𝑜 + ( ) 2 ( 8𝐸𝐼 𝑃 ) → 𝑀𝑐 = 𝑃 𝑃𝐸 𝑙 1+ 1+ 𝑃𝐸
𝑃𝐸
El coeficiente 0.23 depende de la forma del diagrama primario de momentos 𝑀𝑜 , por lo tanto 𝑃 el término (1 + 0.23 𝑃 ) es igual a 1, entonces: 𝐸
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𝑀𝑐 = 𝑀𝑜
⏞ 𝑃 (1 + 0.23 𝑃 ) 𝐸
𝑃
⏟
1+𝑃
→ 𝛿𝑛𝑠 =
𝐸
1 𝑃
1+𝑃
→ 𝑀𝑐 = 𝛿𝑛𝑠 𝑀𝑜
𝐸
𝛿𝑛𝑠
Dónde: 𝛿𝑛𝑠 : es el magnificador de momentos no desplazable. La ecuación de 𝛿𝑛𝑠 sobrestima el valor real del magnificador de momento para la columna sometida a momentos iguales en ambos extremos, pero se aproxima a los valores reales cuando los momentos en los extremos son desiguales. Como procedimiento alternativo podríamos tomar los momentos en la columna, calcular la deflexión lateral, aumentar el momento en 𝑃∆, recalcular la deflexión lateral y el momento aumentado, etc. Si bien dos ciclos serían suficientes, este procedimiento sería muy tedioso e impráctico. 8.10.5.3) EFECTO DE MOMENTOS DE EXTREMO DESIGUALES EN LA RESISTENCIA DE L A COLUMNA Hasta ahora solo se consideró columnas con extremos articulados sometidos a momentos iguales en sus dos extremos, ahora tendremos momentos en los extremos, entonces el momento máximo por flexión 𝑃𝛿 ocurre en la sección donde el momento por carga aplicada, 𝑃𝑒, es también máximo; como resultado, estas dos cantidades pueden sumarse directamente, como se muestra en la figura 8.72:
Figura 8.72 – Efecto de momentos desiguales en los extremos 𝑀
𝑀
Las excentricidades en los extremos 𝑒1 = 𝑃1 y 𝑒2 = 𝑃2 no son iguales, por lo tanto la posición de la deflexión de segundo orden, no necesariamente coincide con la deflexión por momento primario, ver figura 8.72. Cuando los momentos de extremo son diferentes, el máximo valor de 𝛿 ocurre en algún punto de la columna, mientras que el valor máximo de la excentricidad 𝑒 copyright©rcolquea
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ocurre en uno de los extremos de la columna, consecuentemente 𝑒𝑚𝑎𝑥 y 𝛿𝑚𝑎𝑥 no pueden sumarse directamente104. En la figura 8.72(b) y (c) se pueden identificar los dos casos, el primero consiste en una columna esbelta con excentricidad pequeña en los extremos, donde el valor máximo de la suma 𝑒 + 𝛿 probablemente ocurre en un punto intermedio de la columna; el segundo, para columnas cortas o columnas con grandes excentricidades en los extremos, el valor máximo de la suma 𝑒 + 𝛿 ocurrirá en uno de los extremos de la columna. Los tipos de comportamiento descritos en el párrafo anterior pueden ser vistos en los diagramas de interacción de columnas esbeltas de las figuras 8.73(a) y (b).
Figura 8.73 – Efecto de la relación 𝑴𝟏 ⁄𝑴𝟐 en el diagrama de interacción de las columnas esbeltas
Comparando los diagramas de la figura 8.73, se nota que las columnas sometidas a momentos desiguales en sus extremos, pero del mismo sentido generan doble curvatura haciendo que la relación de esbeltez 𝑙/ℎ no influye de forma significativa en el diagrama de interacción. Cuando el momento es aplicado solo en uno de los extremos, figura 8.73(a), la máxima 𝑒 + 𝛿 ocurre entre los extremos para pequeñas excentricidades y en unos extremos para grandes 𝑙 excentricidades para la misma relación de esbeltez ℎ = 20. En caso de curvatura reversa con 𝑒1 = −𝑒2, ver figura 8.73(b), el rango de columna esbelta es bien pequeño, por lo que columnas con esbeltez 𝑙 ⁄ℎ = 20 sometidas a curvatura reversa no tienen efecto de esbeltez. En el diseño de columnas con el procedimiento del magnificador de momento 𝛿, columnas sujetas a momentos de extremo desiguales, como se muestra en la figura 8.74(a) son reemplazadas por columnas similares sujetas a momentos de extremo iguales a 𝐶𝑚 𝑀2 , como se muestra en la figura 8.74(b), los momentos 𝐶𝑚 𝑀2 son designados de tal manera que el máximo momento magnificado es el mismo en ambas columnas. 104
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La expresión del factor equivalente de momento 𝐶𝑚 fue originalmente deducido para el diseño de columnas de acero y fue adoptado sin cambio alguno para el diseño de columnas de hormigón: 𝑀1 𝐶𝑚 = 0.6 + 0.4 ≥ 0.40 𝑀2
Figura 8.74 – Diagrama de momento equivalente
Dónde: 𝑀1 : momento de extremo menor. 𝑀2 : momento de extremo mayor. 𝑀1 𝑀2 𝑀1 𝑀2
: +, positivo si la columna es de curvatura simple, ver figura 8.75(a). : -, negativo si la columna es de curvatura doble, ver figura 8.75(b).
𝑴
Figura 8.75 – Convención de signos para la relación 𝑴𝟏 columnas esbeltas 𝟐
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La ecuación de 𝐶𝑚 solamente se aplica a columnas en pórticos arriostrados cargadas axialmente y con momentos en sus extremos, en todos los demás casos, incluyendo columnas con cargas transversales entre sus extremos y columnas solo con carga axial concéntrica (sin momentos en los extremos), 𝐶𝑚 es tomado como 1.0. 8.10.5.4) PROCEDIMIENTO DE DISEÑO PARA MARCOS SIN DESPLAZAMIENTO LATERAL Como hemos visto, es posible calcular aproximadamente el momento amplificado debido a deflexión lateral usando la expresión (1 − 𝑃⁄𝑃𝑐 ). La sección de la ACI 10.10.6 establece que el momento de diseño factorizado para columnas esbeltas sin desplazamiento se incrementa usando la siguiente expresión: 𝑀𝑐 = 𝛿𝑛𝑠 𝑀2 Dónde: 𝑀𝑐 : es el momento amplificado o aumentado. 𝑀2 : es el momento factorizado final mayor en un momento a compresión. La sección de la ACI 10.10.6.5 establece que en el caso que los momentos de diseño sean pequeños, se provee un valor mínimo de 𝑀2 : 𝑀2,𝑚𝑖𝑛 = 𝑃𝑢 (15 + 0.03ℎ) Dónde ℎ está en mm, así como el número 15. La sección de la ACI 10.10.6 establece que se debe utilizar un amplificador de momento 𝛿 para estimar el efecto de la curvatura del miembro entre los extremos de los miembros a compresión, tal como se explicó en las secciones anteriores: 𝐶𝑚 𝛿𝑛𝑠 = ≥ 1.0 𝑃 1 − 0.75𝑃 𝑐
La determinación del amplificador de momento 𝛿𝑛𝑠 consiste en los siguientes cálculos: 1. Determinar el módulo de elasticidad del concreto, 𝐸𝑐 = 4700√𝑓´𝑐 . ACI 8.5.1. 2. Determinar el momento de inercia total de la sección transversal de la columna respecto al eje centroidal bajo consideración, 𝐼𝑔 . 3. Determinar el módulo de elasticidad del acero, 𝐸𝑠 = 200000𝑀𝑃𝑎. 4. Determinar el momento de inercia del refuerzo respecto al eje centroidal de la sección105 (la suma de cada área de varilla multiplicada por el cuadrado de su distancia al eje centroidal del miembro a consideración), 𝐼𝑠𝑒 . 5. Determinar el factor de reducción de rigidez causada por cargas axiales sostenidas y es aplicable solamente a marcos sin desplazamiento lateral, 𝛽𝑑𝑛𝑠 . 𝛽𝑑𝑛𝑠 =
𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 𝑠𝑜𝑠𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎
Siempre se supone que tiene signo positivo y nunca se permite que exceda de 1.0. 6. Determinar la rigidez, 𝐸𝐼. ACI 10.10.6.1 Las dos expresiones dadas para 𝐸𝐼 en el código se desarrollaron tomando en cuenta el flujo plástico, las grietas, etc. Si el tamaño de la columna y el de las varillas ya se ha 105
(G. MacGregor, 2012, pág. 575) copyright©rcolquea
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seleccionado o estimado, 𝐸𝐼 se puede calcular con la siguiente expresión, que es particularmente satisfactoria para columnas con altos porcentajes de acero. 0.2𝐸𝑐 𝐼𝑔 + 𝐸𝑠 𝐼𝑠𝑒 𝐸𝐼 = 1 + 𝛽𝑑𝑛𝑠 La expresión alternativa dada a continuación para 𝐸𝐼, es probablemente la mejor expresión que se puede usar cuando los porcentajes de acero son bajos, observe también que esta expresión es la que se usa cuando el refuerzo no se ha seleccionado previamente. 0.4𝐸𝑐 𝐼𝑔 𝐸𝐼 = 1 + 𝛽𝑑𝑛𝑠 7. Se calcula la carga de pandeo de Euler: 𝜋 2 𝐸𝐼 𝑃𝑐 = (𝑘𝑙𝑢 )2 8. Determinar el factor de modificación, respecto del que se discutió en las secciones anteriores, 𝐶𝑚 . ACI 10.10.6.4 𝑀1 𝐶𝑚 = 0.6 + 0.4 ≥ 0.40 𝑀2 8.10.6) AMPLIFICACIÓN DE LOS MOMENTOS EN LAS COLUMNAS DE MARCOS CON DESPLAZAMIENTO LATERAL Las pruebas han mostrado que aunque las deflexiones laterales en marcos no riostrados son más bien pequeñas, sus cargas de pandeo son mucho menores que lo que serían si los marcos estuviesen riostrados. Como consecuencia, las resistencias por pandeo de las columnas de un marco sin riostrar pueden aumentarse decididamente (tal vez por un factor de dos o tres) proporcionando un arriostramiento adecuado. Cuándo se tienen marcos con desplazamientos laterales, es necesario decidir para cada combinación de carga cuál de las cargas causa un desplazamiento lateral apreciable (probablemente las cargas laterales) y cuál no. Los momentos de extremo factorizados que causan desplazamientos laterales se designan 𝑀1𝑠 y 𝑀2𝑠 , éstos se determinan mediante un análisis de primer orden y no tienen que ser amplificados. La sección de la ACI 10.10.7 establece que el amplificador de momentos 𝛿𝑠 puede determinarse mediante uno de los siguientes métodos establecidos por el código: 1. ACI 10.10.7.3, el magnificador de momentos puede calcularse mediante la siguiente ecuación: 1 𝛿𝑠 = ≥ 1.0 1−𝑄 Dónde: 𝑄: es el índice de estabilidad. Si el valor calculado de 𝛿𝑠 es > a 1.5 será necesario calcular 𝛿𝑠 mediante la sección de la ACI 10.10.7.4 o por análisis de segundo orden. 2. ACI 10.10.7.4, con el segundo método los momentos amplificados con desplazamiento lateral pueden calcularse con la siguiente expresión: 1 𝛿𝑠 = ≥ 1.0 ∑𝑃 1 − 0.75 ∑𝑢𝑃 𝑐
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Dónde: ∑ 𝑃𝑢 : es la suma de todas las cargas verticales en el nivel estudiado. ∑ 𝑃𝑐 : es la suma de todas las cargas de pandeo de Euler para todas las columnas resistentes con desplazamiento lateral en el nivel con los valores 𝑘 determinados como se describe en la sección de la ACI 10.10.7.2. Esta fórmula refleja el hecho de que las deflexiones laterales de todas las columnas en un nivel en particular son iguales y entonces las columnas son interactivas. Con cualquiera de los métodos anteriores que se use para determinar los valores de 𝛿𝑠 , los momentos de diseño que deben usarse se deben calcular con las expresiones siguientes. 𝑀1 = 𝑀1𝑛𝑠 + 𝛿𝑠 𝑀1𝑠 𝑀2 = 𝑀2𝑛𝑠 + 𝛿𝑠 𝑀2𝑠 Algunas veces el punto de máximo momento en una columna esbelta estará entre sus extremos. El comentario (R10.10.2.2) del ACI dice que la amplificación de momento para este caso puede evaluarse usando el procedimiento descrito para marcos sin desplazamiento lateral (ACI 10.10.6).
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EJERCICIOS RESUELTOS Ejemplo 8.7 Columnas esbeltas en un pórtico in desplazable con losas nervadas en una dirección, diseñar las columnas A3 para el primer piso del edificio de oficinas de 10 pisos que se muestra en la figura. La luz libre del primer piso es de 6.4 𝑚, y en todos los demás pisos es de 3.4 𝑚. Suponer que las cargas horizontales que actúan en el edificio son provocados por el viento, y que las cargas permanentes son las únicas de larga duración, las cargas de viento se calculan de acuerdo con ASCE7-10. Los demás datos necesarios son los siguientes, además de la geometría del edificio.
Figura 8.76 – Planta tipo del edificio
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Figura 8.77 – Planta tipo del edificio
Datos: Materiales: 𝑓´𝑐𝑣 = 25 𝑀𝑃𝑎(𝑣𝑖𝑔𝑎)
𝑓´𝑐𝑐 = 42 𝑀𝑃𝑎(𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎)
𝜆 = 1, 𝑤𝑐 = 24
𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑦𝑡 = 420𝑀𝑃𝑎
𝑘𝑁 3 , 𝜙𝑚𝑎𝑥𝑎𝑔𝑟 = 𝑖𝑛, 𝐸𝑠 = 200000 𝑀𝑃𝑎 3 𝑚 4
Geometría: 𝑣𝑖𝑔𝑎: 𝑏𝑏 = 600 𝑚𝑚, ℎ𝑏 = 500 𝑚𝑚, 𝑐𝑜𝑙. 𝑒𝑥𝑡. 𝑏 = 500 𝑚𝑚, 𝑡 = 500 𝑚𝑚 𝑃𝑖𝑠𝑜 𝑡í𝑝𝑖𝑐𝑜: 𝑙2 = 3.9 𝑚 − 𝐿𝑢𝑧 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒 → 𝑙𝑢2 = 𝑙2 − ℎ𝑏 = 3.4 𝑚 𝑃𝑖𝑠𝑜 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟: 𝑙1 = 6.9 𝑚 − 𝐿𝑢𝑧 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒 → 𝑙𝑢1 = 𝑙1 − ℎ𝑏 = 6.4 𝑚 𝐸𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑚𝑢𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒: ℎ𝑤 = 300 𝑚𝑚 Cargas: 𝐷𝑛𝑙 = 4.118
𝐾𝑁 𝑚2
, 𝐷 = 1.532
𝐾𝑁 𝑚2
, 𝐿𝑟 = 1.436
𝐾𝑁 𝑚
𝐾𝑁
, 𝐿 = 2.394 𝑚2
𝐷𝑛𝑙 : 𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑛𝑒𝑟𝑣𝑖𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑜𝑠𝑎 − 𝐷: 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑚𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 𝐿: 𝑆𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑖𝑠𝑜 − 𝐿𝑟 : 𝑆𝑜𝑏𝑟𝑒𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑖𝑚𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 Solución: Paso 1: Cargas axiales y momentos flectores mayorados y no mayorados de la columna A3 del primer piso (Preferentemente se debe modelar mediante un programa). Para la COLUMNA A3
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Carga axial Momento flector (kN-m) (Kn) Superior Inferior 3193.823 107.11 54.233 355.858 41.081 20.744 53.379 0 0 35.586 1.491 5.83
Caso de carga
Carga permanente (D) Sobrecarga de entrepiso (L)* Sobrecarga en la cubierta (Lr) Viento (W)+Ecuación Nº Combinación de cargas 9 - 1. 1 1,4D 4471.3522 149.954 9 - 2. 2 1,2D+1,6L+1,6Lr 4487.3668 194.2616 3 1,2D+0,5L+1,6Lr 4095.923 149.0725 9 - 3. 4 1,2D+1,6Lr+0,8W 3946.4628 129.7248 5 1,2D+1,6Lr-0,8W 3889.5252 127.3392 6 1,2D+0,5L+0,5Lr+1,6W 4094.1437 151.4581 9 - 4. 7 1,2D+0,5L+0,5Lr-1,6W 3980.2685 146.6869 8 0,9D+1,6W 2931.3783 98.7846 9 - 6. 9 0,9D-1,6W 2817.5031 94.0134 *Incluye la reducción de la sobrecarga de acuerdo con ASCE 7-10
75.9262 98.27 75.4516 69.7436 60.4156 84.7796 66.1236 58.1377 39.4817
M
M 1/
2
0.506 0.506 0.506 0.538 0.474 0.56 0.451 0.589 0.42
TIPO DE CURVATURA
UMSS
DC DC DC DC DC DC DC DC DC
Tabla 8-7 Resultados de las combinaciones de la columna A3
Paso 2: Determinar si el pórtico en el primer piso es in desplazable o desplazable (arriostrado o no arriostrado). ACI10.10.5.2. Se determina si el piso es arriostrado o no en función al índice de estabilidad del piso, los resultados de un análisis elástico de primer orden en base a las propiedades seccionales son los siguientes: a) ∑ 𝑃𝑢 : carga vertical total en el primer piso correspondiente al caso de carga lateral para el cual ∑ 𝑃𝑢 es máximo. Para el caso las cargas totales del edificio son: 𝐷 = 166234.49 𝑘𝑁, 𝐿 = 16053.632 𝑘𝑁, 𝐿𝑟 = 2677.829 𝑘𝑁, 𝑊 = 0 𝑘𝑁 La sumatoria de carga máxima se determina en base a la ecuación (9-4) del ACI: ∑ 𝑃𝑢 = 1.2𝐷 + 0.5𝐿 + 0.5𝐿𝑟 + 1.6𝑊 ∑ 𝑃𝑢 = 1.2 ∙ 166234.49 + 0.5 ∙ 16053.632 + 0.5 ∙ 2677.829 + 1.6 ∙ 0 = 208847.119 𝑘𝑁 b) Determinar el corte de piso mayorado en el primer piso correspondiente a las cargas de viento. 𝑊 = 1442.558 𝑘𝑁 𝑉𝑢𝑠 = 1.6𝑊 = 1.6 ∙ 1442.56 = 2308.096 𝑘𝑁 c) Determinar la deformación relativa de primer orden entre la parte superior e inferior del primer piso debida a 𝑉𝑢𝑠 .
∆𝑝𝑖𝑠𝑜1 = 0.75 𝑚𝑚 ∆𝑝𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎𝑏𝑎𝑗𝑎 = 0.0 𝑚𝑚 ∆𝑜 = 1.6(∆𝑝𝑖𝑠𝑜1 − ∆𝑝𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎𝑏𝑎𝑗𝑎 ) = 1.6(0.75 − 0) = 1.2 𝑚𝑚 d) Determinar el índice de estabilidad
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𝑙𝑐 = 𝑙1 −
∑ 𝑃𝑢 ∆𝑜 ℎ𝑏 0.5 = 6.9 − = 6.65 𝑚 𝑆í ≤ 0.05 → pórtico indesplazable 2 2 𝑉𝑢𝑠 𝑙𝑐 208847.119 ∙ 1.2 𝑆í ≤ 0.05 → "𝑝ó𝑟𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑏𝑙𝑒" ⏟ 2308.096 ∙ 6650 0.0163
Paso 3: Diseño de la columna A3 a) Determinar si es necesario considerar los efectos de esbeltez i. Determinar 𝑘 usando el nomograma de la figura 8.62. ACI R10.10.1 𝑏 = 500 𝑚𝑚 𝑡 = 500 𝑚𝑚 → 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 Determinar la inercia de la columna. ACI 10.10.4.1 𝐼𝑔𝑐 =
𝑏𝑡 3 12
=
500∙5003 12
= 5208333333.333 𝑚𝑚4
𝐼𝑐 = 0.7𝐼𝑔𝑐 = 3645833333.333 𝑚𝑚4
Determinar el módulo de elasticidad de la columna. ACI 8.5.1 𝐸𝑐 = 4700√𝑓´𝑐𝑐 = 4700√42 = 30459.481 𝑀𝑃𝑎 𝑏𝑣 = 600 𝑚𝑚 ℎ𝑣 = 500 𝑚𝑚 → 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎 Luz entre ejes de columnas y vigas ℎ𝑣 0.5 𝑙𝑐.𝑠𝑢𝑝 = 𝑙2 = 3.9 𝑚 𝑙𝑐.𝑖𝑛𝑓 = 𝑙1 − = 6.9 − = 6.65 𝑚 𝑙𝑣 = 8.4 𝑚 2 2 Determinar la inercia de la viga. ACI 10.10.4.1 𝐼𝑔𝑣 =
𝑏𝑣 ℎ𝑣 3 12
=
600∙5003 12
= 6250000000 𝑚𝑚4
𝐼𝑣 = 0.35𝐼𝑔𝑣 = 2187500000 𝑚𝑚4
Determinar el módulo de elasticidad de la viga. ACI 8.5.1 𝐸𝑣 = 4700√𝑓´𝑐𝑣 = 4700√25 = 23500 𝑀𝑃𝑎 Determinar la relación de los elementos de compresión con respecto a los elementos a flexión. ∑(𝐸𝑐 𝐼𝑐 /𝑙𝑐 ) 𝜓𝐴 = ∑(𝐸𝑣 𝐼𝑣 /𝑙𝑣 ) 𝐸𝑐 𝐼𝑐
𝜓𝐴 =
+
𝐸𝑐 𝐼𝑐
𝑙𝑐.𝑠𝑢𝑝 𝑙𝑐.𝑖𝑛𝑓 𝐸𝑣 𝐼𝑣 𝑙𝑣
30459.481∙3645833333.333
=
3900
+
30459.481∙3645833333.333 6650
= 7.382
23500∙2187500000 8400
𝜓𝐵 = 1.0 Columna esencialmente empotrada en la base Determinar el factor de longitud efectiva 𝑘, para pórticos riostrados. ACI Fig.R10.10.1 ii.
𝑘 = 0.86 Longitud sin soporte lateral de un elemento en compresión. ACI 10.10.1.1
iii.
𝑙𝑢1 = 6.4 𝑚 Radio de giro, la columna a diseñar está en la parte exterior. ACI 10.10.1.2
iv.
𝑟 = 0.3𝑏 = 0.3 ∙ 500 = 150 𝑚𝑚 Determinar si es necesario considerar la esbeltez copyright©rcolquea
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La combinación más crítica es la Nº 9, la columna para la respectiva combinación se deforma con curvatura doble, y los momentos mínimo y máximo son: 𝑀1 = 39.4817 𝑘𝑁 ∙ 𝑚
𝑀2 = 94.0134 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀1 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒 → − 𝑀2 •
Si
∑ 𝑃𝑢 ∆𝑜 𝑉𝑢𝑠 𝑙𝑐
≤ 0.05 →
𝑘𝑙𝑢1 𝑟
𝑀
≤ 𝑚𝑖𝑛 {
𝑘𝑙𝑢1 𝑟
2
→ 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑎𝑟 𝑒𝑠𝑏𝑒𝑙𝑡𝑒𝑧
40
•100 ≥
•
34 − 12 𝑀1
𝑘𝑙𝑢1 𝑟
𝑀
34 − 12 𝑀1 > 𝑚𝑖𝑛 { 2 → 𝑚é𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜𝑠 40
> 100 → 𝐴𝑛á𝑙𝑖𝑠𝑖𝑠 𝑃 − ∆
𝑀1 𝑘𝑙𝑢1 34 − 12 ( ) ≤ 𝑚𝑖𝑛 { 𝑀2 → 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑎𝑟 𝑒𝑠𝑏𝑒𝑙𝑡𝑒𝑧 𝑟 40 39.4817 1 ∙ 6400 ≤ 𝑚𝑖𝑛 {34 − 12 (− 94.0134 ) = 39.039∎ → 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑎𝑟 𝑒𝑠𝑏𝑒𝑙𝑡𝑒𝑧 ⏟ 150 40 36.693 𝑀
Para la columna A3, deformada con curvatura simple, el menor valor de 34 − 12 𝑀1 se obtiene 2
de la combinación de cargas Nº 8: 𝑀1 = −58.1377 𝑘𝑁 ∙ 𝑚
𝑀2 = 98.7846 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀1 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒 → 𝑀2 •
Si
∑ 𝑃𝑢 ∆𝑜 𝑉𝑢𝑠 𝑙𝑐
≤ 0.05 →
𝑘𝑙𝑢1 𝑟
𝑀
≤ 𝑚𝑖𝑛 {
𝑘𝑙𝑢1 𝑟
2
→ 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑎𝑟 𝑒𝑠𝑏𝑒𝑙𝑡𝑒𝑧
40
•100 ≥
•
34 − 12 𝑀1
𝑘𝑙𝑢1 𝑟
𝑀
34 − 12 𝑀1 > 𝑚𝑖𝑛 { 2 → 𝑚é𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜𝑠 40
> 100 → 𝐴𝑛á𝑙𝑖𝑠𝑖𝑠 𝑃 − ∆
𝑀1 𝑘𝑙𝑢1 34 − 12 100 ≥ > 𝑚𝑖𝑛 { 𝑀2 → 𝑚é𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑟 40 58.1377 1 ∙ 6400 100 ≥ > 𝑚𝑖𝑛 {34 − 12 ( 98.7846 ) = 26.938∎ → 𝑚é𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜𝑠 ⏟ 150 40 36.693
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Esto significa que no es necesario considerar la esbeltez para la columna A3 si esta se deforma con curvatura doble, sin embargo, para ilustrar el procedimiento de diseño, incluyendo la consideración de los efectos de esbeltez para columnas arriostradas, asumir que se deforma con curvatura simple. b) Determinar el momento magnificado 𝑀𝑐 , incluyendo los efectos de esbeltez para cada combinación de cargas. Se realizará el procedimiento de cálculo para la combinación de cargas Nº 6. 𝑈 = 1.2𝐷 + 0.5𝐿 + 0.5𝐿𝑟 + 1.6𝑊 Momento mínimo y máximo para la combinación de carga Nº 6 𝑀1 = −84.7796 𝑘𝑁 ∙ 𝑚
𝑀2 = 151.4581 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀1 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒 → 𝑀2 Determinar el factor de corrección que relaciona el diagrama de momentos existente. ACI 10.10.6.4 𝑀1 84.7796 0.6 + 0.4 0.6 + 0.4 = 0.824∎ 𝐶𝑚 = 𝑚𝑎𝑥 { = 𝑚𝑎𝑥 { 𝑀2 151.4581 0.4 0.4 Determinar la relación entre la máxima carga axial sostenida mayorada dentro de un piso y la máxima carga axial mayorada asociada con la misma combinación de carga. ACI 10.10.6.2. 𝑃𝐷 = 3193.823 𝑘𝑁 𝑃𝐿 = 355.858 𝑘𝑁 𝑃𝐿𝑟 = 53.379 𝑘𝑁 𝑃𝑊 = 35.58 𝑘𝑁 1.2𝑃𝐷 𝛽𝑑𝑛𝑠 = 1.2𝑃𝐷 + 0.5𝑃𝐿 + 0.5𝑃𝐿𝑟 + 1.6𝑃𝑊 1.2 ∙ 3193.823 𝛽𝑑𝑛𝑠 = = 0.936 1.2 ∙ 3193.823 + 0.5 ∙ 355.858 + 0.5 ∙ 53.379 + 1.6 ∙ 35.58 Determinar la rigidez. ACI 10.10.6.1 0.4𝐸𝑐 𝐼𝑔𝑐 (0.4 ∙ 30459.481 ∙ 3645833333.333)/109 𝐸𝐼 = = = 32775.53 𝑘𝑁 ∙ 𝑚2 1 + 𝛽𝑑𝑛𝑠 1 + 0.936 Determinar la carga crítica a pandeo. ACI 10.10.6 𝜋 2 𝐸𝐼 𝜋 2 ∙ 32775.53 = = 10678.066 𝑘𝑁 (𝑘𝑙𝑢1 )2 (0.86 ∙ 6.4)2 Determinar el factor de amplificación de momento. ACI 10.10.6 𝑃𝑐 =
𝑃𝑢 = 4094.1437 𝑘𝑁 𝐶𝑚 0.824 𝛿𝑛𝑠 = 𝑚𝑎𝑥 {1 −
𝑃𝑢 0.75𝑃𝑐
= 𝑚𝑎𝑥 {1 −
4094.1437
= 1.6856
0.75∙10678.066
1 1 Verificar el requisito del momento mínimo. ACI 10.10.6.5 (15 + 0.03 ∙ 500) 𝑀2.𝑚𝑖𝑛 = 𝑃𝑢 (15 + 0.03𝑡) = 4094.1437 = 122.824 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 103 𝑀2 151.4581∎ 𝑀2 = 𝑚𝑎𝑥 { = 𝑚𝑎𝑥 { 𝑀2.𝑚𝑖𝑛 122.824 copyright©rcolquea
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El momento magnificado es: 𝑀𝑐 = 𝛿𝑛𝑠 𝑀2 = 1.6856 ∙ 151.4581 = 255.303 𝑘𝑁 La siguiente tabla resume el cálculo de los momentos amplificados para la columna A3 para todas las combinaciones de cargas. Nº 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Pu Kn 4471,352 4487,367 4095,923 3946,463 3889,525 4094,144 3980,269 2931,378 2817,503
M2 kN*m 149,954 194,2616 149,0725 129,7248 127,3392 151,4581 146,6869 98,7846 94,0134
𝛽𝑑𝑛𝑠
1 0,854 0,936 0,971 0,985 0,936 0,963 0,981 1,02
EI kN*m2 31728,626 34225,665 32782,452 32193,092 31962,572 32775,567 32328,37 32039,789 31411,239
Pc Kn 10337 11150,5 10680,3 10488,3 10413,2 10678,1 10532,4 10438,4 10233,6
Cm
𝛿𝑛𝑠
0,80253 0,80235 0,80246 0,81505 0,78978 0,8239 0,78031 0,83541 0,76798
1,8961 1,7314 1,6421 1,6357 1,5733 1,6856 1,5728 1,3355 1,2134
M2,min kN*m 134,141 134,621 122,878 118,394 116,686 122,824 119,408 87,9413 84,5251
Mc kN*m 284,33 336,34 244,8 212,18 200,35 255,3 230,71 131,92 114,08
Tabla 8-8 Momentos amplificados de la columna A3, para todas las combinaciones
c) Determinar la armadura requerida i. Diseño a carga axial y flexión biaxial Verificar si la sección trabaja como columna o viga. ACI 10.3.5 𝐴𝑔 = 𝑏𝑡 = 500 ∙ 500 = 250000 𝑚𝑚2
𝑆𝑖 0.1𝑓´𝑐𝑐 𝐴𝑔 ≤ 𝑃𝑢 → 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎
𝑆𝑖 ⏟ 0.1 ∙ 42 ∙ 250000 ≤ 4487.3668 → 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 1050
Determinar y verificar la cuantía provista para la columna de 600𝑥600𝑚𝑚, intentar con 8 barras 𝑁º 25. ACI 10.9.1 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 2 252 𝑛 = 8 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 = 25 𝑚𝑚 𝐴𝑠𝑡 = 𝑛𝜋 = 8𝜋 = 3926.991 𝑚𝑚2 4 4 𝐴𝑠𝑡 3926.991 𝜌𝑝𝑟𝑜𝑣 = = = 0.0157 𝑆𝑖 0.01 ≤ 𝜌𝑝𝑟𝑜𝑣 ≤ 0.08 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑏𝑡 500 ∙ 500 Verificar la separación máxima y mínima. Definición de estribos. ACI 7.10.5.1 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 ≤ 𝑁º 32 → 𝜙𝑒𝑠𝑡 ≥ 𝑁º 10
𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 > 𝑁º 32 → 𝜙𝑒𝑠𝑡 ≥ 𝑁º 13
𝜙𝑒𝑠𝑡 = 10 𝑚𝑚 𝑟𝑒𝑐 = 30 𝑚𝑚 Determinar la separación mínima. ACI 7.6.3 40 𝑚𝑚 ∎ 40 𝑚𝑚 1.5 ∙ 25 = 37.5 𝑚𝑚 𝑆𝑚𝑖𝑛 = 𝑚𝑎𝑥 { 1.5𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 = 𝑚𝑎𝑥 { 4 3 4/3𝜙𝑚𝑎𝑥𝑎𝑔𝑟 ∙ = 25.4 𝑚𝑚 3 4 Determinar la separación máxima. ACI 7.10.5.3: 𝑆𝑚𝑎𝑥 = 150 𝑚𝑚 𝑏 − 2𝑟𝑒𝑐 − 2𝜙𝑒𝑠𝑡 − 𝑛𝑥 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 500 − 2 ∙ 30 − 2 ∙ 10 − 3 ∙ 25 𝑆𝑥 = = = 172.5 𝑚𝑚 𝑛𝑥 − 1 3−1 copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO Separación provista vertical: 𝑛𝑦 = 3 𝑆𝑦 =
𝑡 − 2𝑟𝑒𝑐 − 2𝜙𝑒𝑠𝑡 − 𝑛𝑦 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 500 − 2 ∙ 30 − 2 ∙ 10 − 3 ∙ 25 = = 172.5 𝑚𝑚 𝑛𝑦 − 1 3−1 Verificar:
𝑆⏟ ⏟𝑥 ≤ 𝑆⏟ 𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑆 𝑚𝑎𝑥 → 𝑛𝑜 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 172.5
40
𝑆⏟ ⏟ 𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑆⏟𝑦 ≤ 𝑆 𝑚𝑎𝑥 → 𝑛𝑜 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒
150
40
150
172.5
Verificar la máxima fuerza de compresión axial admisible. ACI 10.3.6.2 𝜙𝑃𝑛(max) = 0.8𝜙[0.85𝑓´𝑐𝑐 (𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 ) + 𝑓𝑦 𝐴𝑠𝑡 ] 𝜙𝑃𝑛(max) = 0.8 ∙ 0.65[0.85 ∙ 42(250000 − 3926.991) + 420 ∙ 3926.991]/103 = 5425.754𝑘𝑁
𝑃𝑢(max) = 4487.3668 𝑘𝑁
𝑆𝑖𝜙𝑃𝑛(max) ≥ 𝑃𝑢(max) → 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎
La verificación del diseño se lo realizará en PCACOL, a continuación se muestra el diseño en el respectivo programa considerando la esbeltez. General Information: FileName:C:\Users\minedu\Desktop\DISEÑO DE COLUMNAS\A3_ARRIOSTRADO\A3_ARRIOSTRADO.col Project: APOYO DIDÁCTICO-Column: A3-Engineer: RCA-Code: ACI 318-02-Units: Metric Run Option: Investigation-Slenderness: Not considered-Run Axis: X-axis-Column Type: Structural Material Properties: f'c=42 MPa-fy=420 MPa-Ec=30459.5 MPa-Es=200000 MPa-Ultimate strain=0.003 mm/mm-Beta1= 0.745431 Section: Rectangular: Width=500 mm-Depth=500 mm-Gross section area Ag=250000 mm^2 Ix=5.20833e+009 mm^4-Iy=5.20833e+009 mm^4-Xo=0 mm-Yo=0 mm Reinforcement: Rebar Database: prEN 10080-Confinement: Tied; #6 ties with #25 bars, #6 with larger bars. phi(a)=0.8, phi(b)=0.9, phi(c)=0.65-Layout: Rectangular Pattern: All Sides Equal (Cover to longitudinal reinforcement)-Total steel area, As = 3928 mm^2 at 1.57% 8 #25 Cover = 30 mm Factored Loads and Moments with Corresponding Capacities: (see user's manual for notation) No.
Pu
Mux
fMnx
kN
kN-m
kN-m
fMn/Mu
1
4471.4
284.3
391.3
1.376
2
4487.4
336.3
389.7
1.159
3
4095.9
244.8
425.3
1.737
4
3946.5
212.2
436.8
2.059
5
3889.5
200.4
440.9
2.201
6
4094.1
255.3
425.5
1.667
7
3980.3
230.7
434.3
1.883
8
2931.4
131.9
490.8
3.721
9
2817.5
114.1
494.6
4.336
*** Program completed as requested! ***
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HORMIGÓN ARMADO Diseño a corte Las fuerzas cortantes debido a la carga muerta y de viento son: 𝐷 = 3193.823 𝑘𝑁 𝑊 = 24.811 𝑘𝑁 Se considera la combinación (9-6) de la norma ACI: 𝑈 = 0.9𝐷 + 1.6𝑊 Determinar la resistencia al corte proporcionado por el hormigón. ACI 11.2.1.2
𝑃𝑢 = 0.9𝐷 = 0.9 ∙ 3193.823 = 2874.441 𝑘𝑁 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 𝑑 = 𝑏 − (𝑟𝑒𝑐 + 𝜙𝑒𝑠𝑡 + ) = 447.5 𝑚𝑚 𝑏𝑤 = 𝑏 = 500 𝑚𝑚 𝜑 = 0.75 2 𝑃𝑢 𝜑𝑉𝑐 = 𝜑0.17 (1 − ) 𝜆√𝑓´𝑐𝑐 𝑏𝑤 𝑑 14𝐴𝑔 2874.441 𝜑𝑉𝑐 = 0.75 ∙ 0.17 (1 − ) 1√42 ∙ 500 ∙ 447.5/103 = 184.732 𝑘𝑁 14 ∙ 250000 Verificar si se requiere estribo. La carga última de corte es: 𝑉𝑢 = 1.6𝑊 = 1.6 ∙ 24.811 = 39.698 𝑘𝑁 𝑆𝑖 𝜑𝑉 ⏟𝑐 ≥ 184.732
𝑉⏟𝑢 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒, 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 39.698
Determinar la separación máxima entre estribos. ACI 7.10.5.2 48𝜙𝑒𝑠𝑡 48 ∙ 10 = 480 𝑚𝑚 16𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 𝑆𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛 { = 𝑚𝑖𝑛 {16 ∙ 25 = 400 𝑚𝑚 ∎ 500 𝑚𝑚 𝑏 500 𝑚𝑚 𝑡 Por lo tanto distribuir 𝜙10𝑐/400 𝑚𝑚 en toda la longitud de la columna, no existe estribo de confinamiento porque no existe solicitación sísmica. iii. Empalmes de barras corrugadas a compresión. ACI 12.16.1 𝑑𝑏 = 25 𝑚𝑚 𝑆𝑖 (𝑓´𝑐𝑐 ≥ 21𝑀𝑃𝑎 𝑦 𝑓𝑦 ≤ 420 𝑀𝑃𝑎) → (𝑙𝑒𝑚𝑝 = 0.071𝑓𝑦 𝑑𝑏 ) 𝑙𝑒𝑚𝑝 = 0.071𝑓𝑦 𝑑𝑏 = 0.071 ∙ 420 ∙ 25 = 745.5 𝑚𝑚 𝑙𝑒𝑚𝑝 ≥ 300 𝑚𝑚 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑒𝑚𝑝 = 750 𝑚𝑚
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Figura 8.78 – Plano de detalle de la columna A3_arriostrado
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Ejemplo 8.8 Diseñar las columnas C1 para el primer piso del edificio de oficinas de 12 pisos ilustrado en la figura. La luz libre del primer piso es de 4 metros, y en todos los demás pisos es de 3.1 metros. Suponer que las cargas horizontales que actúan en el edificio son provocadas por el viento y que las cargas permanentes son las únicas cargas de larga duración. Los demás datos necesarios son los siguientes: (la dirección de análisis es de norte a sur o sur a norte)
Figura 8.79 – Planta tipo del edificio
Figura 8.80 – Planta tipo del edificio
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Datos: Materiales: 𝑓´𝑐𝑣 = 25 𝑀𝑃𝑎(𝑣𝑖𝑔𝑎) 𝑓´𝑐𝑐 = 42 𝑀𝑃𝑎(𝑐𝑜𝑙. ) 𝜆 = 1, 𝑤𝑐 = 24
𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑦𝑡 = 420𝑀𝑃𝑎
𝑘𝑁 3 , 𝜙𝑚𝑎𝑥𝑎𝑔𝑟 = 𝑖𝑛, 𝐸𝑠 = 200000 𝑀𝑃𝑎 3 𝑚 4
Geometría: 𝑣𝑖𝑔𝑎: 𝑏𝑏 = 600 𝑚𝑚, ℎ𝑏 = 500 𝑚𝑚 𝑐𝑜𝑙. 𝑒𝑥𝑡. 𝑏 = 550 𝑚𝑚, 𝑡 = 550 𝑚𝑚 𝑐𝑜𝑙. 𝑖𝑛𝑡. 𝑏 = 600 𝑚𝑚, 𝑡 = 600 𝑚𝑚 𝐿𝑢𝑧 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑝𝑖𝑠𝑜𝑠: 𝑃𝑖𝑠𝑜 𝑡í𝑝𝑖𝑐𝑜: 𝑙2 = 3.6 𝑚 − 𝐿𝑢𝑧 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒 → 𝑙𝑢2 = 𝑙2 − ℎ𝑏 = 3.1 𝑚 𝑃𝑖𝑠𝑜 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟: 𝑙1 = 4.5 𝑚 − 𝐿𝑢𝑧 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒 → 𝑙𝑢1 = 𝑙1 − ℎ𝑏 = 4.0 𝑚 𝐸𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑜𝑠𝑎: ℎ𝑓 = 175 𝑚𝑚 𝐾𝑁
Cargas: 𝐷 = 1.436 𝑚2 , 𝐿𝑟 = 1.436
𝐾𝑁 𝑚
𝐾𝑁
, 𝐿 = 2.394 𝑚2
𝐷: 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑚𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎
𝐿: 𝑆𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒𝑝𝑖𝑠𝑜𝑠 − 𝐿𝑟 : 𝑆𝑜𝑏𝑟𝑒𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎 La carga de viento se calcula de acuerdo con ASCE7-10 Solución:
M1s
M2s
TIPO DE CURVATURA
Momento inferior debido al viento
M2ns 33,4068 45,3384 33,8544 28,6344 28,6344 33,8544 33,8544 21,4758 21,4758
M 2
Momento superior debido al viento
M1ns 66,0548 90,0264 67,0584 56,6184 56,6184 67,0584 67,0584 42,4638 42,4638
M 1/
Momento inferior debido a cargas gravitatorias
Carga permanente (D) Sobrecarga de entrepiso (L)* Sobrecarga en la cubierta (Lr) Viento (W)+Ecuación Nº Combinación de cargas M1 M2 9 - 1. 1 1,4D 3876,0022 66,0548 33,4068 33,4068 66,0548 9 - 2. 2 1,2D+1,6L+1,6Lr 3909,454 90,0264 45,3384 45,3384 90,0264 3 1,2D+0,5L+1,6Lr 3547,8576 67,0584 33,8544 33,8544 67,0584 9 - 3. 4 1,2D+1,6Lr+0,8W 3555,3748 75,1656 179,1848 75,1656 179,185 5 1,2D+1,6Lr-0,8W 3211,6164 38,0712 -121,916 38,0712 -121,92 6 1,2D+0,5L+0,5Lr+1,6W 3849,5355 104,1528 334,9552 104,153 334,955 9 - 4. 7 1,2D+0,5L+0,5Lr-1,6W 3162,0187 29,964 -267,2464 29,964 -267,25 8 0,9D+1,6W 2835,4741 79,5582 322,5766 79,5582 322,577 9 - 6. 9 0,9D-1,6W 2147,9573 5,3694 -279,625 5,3694 -279,63 *Incluye la reducción de la sobrecarga de acuerdo con ASCE 7-10
Momento superior debido a cargas gravitatorias
Carga axial Momento flector (kN-m) (Kn) Superior Inferior 2768,573 47,182 23,862 328,724 20,88 10,44 38,255 0 0 214,849 23,184 188,188
Momento mayor
Caso de carga
Momento menor
Paso 1: Cargas axiales y momentos flectores mayorados y no mayorados de la columna C1 del primer piso (Preferentemente para obtener los datos se debe realizar un modelo estructural mediante un programa). Como se trata de un pórtico simétrico, las cargas gravitatorias no provocarán una deformación lateral apreciable. Para la COLUMNA C1
0,506 DC 0,504 DC 0,505 DC 18,547 150,55 0,419 DC -18,55 -150,55 -0,31 SC 37,094 301,101 0,311 DC -37,09 -301,1 -0,11 SC 37,094 301,101 0,247 DC -37,09 -301,1 -0,02 SC
Tabla 8-9 Resultados de las combinaciones de la columna C1
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Paso 2: Determinar si el pórtico en el primer piso es in desplazable o desplazable (arriostrado o no arriostrado). ACI10.10.5.2. Se determina si el piso es arriostrado o no en función al índice de estabilidad del piso, los resultados de un análisis elástico de primer orden en base a las propiedades seccionales son los siguientes: a) ∑ 𝑃𝑢 : carga vertical total en el primer piso correspondiente al caso de carga lateral para el cual ∑ 𝑃𝑢 es máximo. Para el caso las cargas totales del edificio son: 𝐷 = 79600.926 𝑘𝑁, 𝐿 = 8856.409 𝑘𝑁, 𝐿𝑟 = 1201.02 𝑘𝑁, 𝑊 = 0 𝑘𝑁 La sumatoria de carga máxima se determina en base a la ecuación (9-4) del ACI: ∑ 𝑃𝑢 = 1.2𝐷 + 0.5𝐿 + 0.5𝐿𝑟 + 1.6𝑊 ∑ 𝑃𝑢 = 1.2 ∙ 79600.926 + 0.5 ∙ 8856.409 + 0.5 ∙ 1201.02 + 1.6 ∙ 0 = 100549.826 𝑘𝑁 b) Determinar el corte de piso mayorado en el primer piso correspondiente a las cargas de viento. 𝑊 = 1346.032 𝑘𝑁 𝑉𝑢𝑠 = 1.6𝑊 = 1.6 ∙ 1346.032 = 2153.651 𝑘𝑁 c) Determinar la deformación relativa de primer orden entre la parte superior e inferior del primer piso debida a 𝑉𝑢𝑠 .
∆𝑝𝑖𝑠𝑜1 = 7 𝑚𝑚 ∆𝑝𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎𝑏𝑎𝑗𝑎 = 0.0 𝑚𝑚 ∆𝑜 = 1.6(∆𝑝𝑖𝑠𝑜1 − ∆𝑝𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎𝑏𝑎𝑗𝑎 ) = 1.6(7 − 0) = 11.2 𝑚𝑚 d) Determinar el índice de estabilidad ∑ 𝑃𝑢 ∆𝑜 ℎ𝑏 0.5 𝑙𝑐 = 𝑙1 − = 4.5 − = 4.25 𝑚 𝑆í > 0.05 → "𝑝ó𝑟𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑏𝑙𝑒" 2 2 𝑉𝑢𝑠 𝑙𝑐 100549.826 ∙ 11.2 𝑆í > 0.05 → "𝑝ó𝑟𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑏𝑙𝑒" ⏟2153.651 ∙ 4250 0.123
Paso 3: Diseño de la columna C1 a) Determinar si es necesario considerar los efectos de esbeltez i. Determinar 𝑘 usando el nomograma de la figura 8.63. ACI R10.10.1 𝑏 = 550 𝑚𝑚 𝑡 = 550 𝑚𝑚 → 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 Determinar la inercia de la columna. ACI 10.10.4.1 𝐼𝑔𝑐 =
𝑏𝑡 3 550 ∙ 5503 = = 7625520833.333 𝑚𝑚4 𝐼𝑐 = 0.7𝐼𝑔𝑐 = 5337864583.333 𝑚𝑚4 12 12 Determinar el módulo de elasticidad de la columna. ACI 8.5.1
𝐸𝑐 = 4700√𝑓´𝑐𝑐 = 4700√42 = 30459.481 𝑀𝑃𝑎 𝑏𝑣 = 600 𝑚𝑚 ℎ𝑣 = 500 𝑚𝑚(𝑣𝑖𝑔𝑎) Luz entre ejes de columnas y vigas ℎ𝑣 0.5 = 4.5 − = 4.25 𝑚 𝑙𝑣 = 7.2 𝑚 2 2 Determinar la inercia de la viga. ACI 10.10.4.1 𝑙𝑐.𝑠𝑢𝑝 = 𝑙2 = 3.6 𝑚 𝑙𝑐.𝑖𝑛𝑓 = 𝑙1 −
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𝐼𝑔𝑣
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𝑏𝑣 ℎ𝑣 3 600 ∙ 5003 = = = 6250000000 𝑚𝑚4 𝐼𝑣 = 0.35𝐼𝑔𝑣 = 2187500000 𝑚𝑚4 12 12 Determinar el módulo de elasticidad de la viga. ACI 8.5.1 𝐸𝑣 = 4700√𝑓´𝑐𝑣 = 4700√25 = 23500 𝑀𝑃𝑎
Determinar la relación de los elementos de compresión con respecto a los elementos a flexión. ∑(𝐸𝑐 𝐼𝑐 /𝑙𝑐 ) 𝜓𝐴 = ∑(𝐸𝑣 𝐼𝑣 /𝑙𝑣 ) 𝐸𝑐 𝐼𝑐
𝜓𝐴 =
+
𝐸𝑐 𝐼𝑐
𝑙𝑐.𝑠𝑢𝑝 𝑙𝑐.𝑖𝑛𝑓 𝐸𝑣 𝐼𝑣
30459.481∙5337864583.333 3600
=
+
30459.481∙5337864583.333 4250
= 11.684
23500∙2187500000
𝑙𝑣
7200
𝜓𝐵 = 1.0 Columna esencialmente empotrada en la base Determinar el factor de longitud efectiva 𝑘, para pórticos no riostrados. ACI Fig.R10.10.1 ii.
𝑘 = 1.9 Longitud sin soporte lateral de un elemento en compresión. ACI 10.10.1.1
iii.
𝑙𝑢1 = 4 𝑚 Radio de giro, la columna a diseñar está en la parte exterior. ACI 10.10.1.2
𝑟 = 0.3𝑏 = 0.3 ∙ 550 = 165 𝑚𝑚 iv. Determinar si es necesario considerar la esbeltez Para estructuras no riostradas no es necesario definir el momento mínimo y máximo. • Si
∑ 𝑃𝑢 ∆𝑜 𝑉𝑢𝑠 𝑙𝑐
𝑘𝑙𝑢1 𝑟
< 22 → 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑎𝑟 𝑒𝑠𝑏𝑒𝑙𝑡𝑒𝑧
> 0.05 →• 22 ≤ •
𝑘𝑙𝑢1 𝑟
𝑘𝑙𝑢1 𝑟
≤ 100 → 𝑚é𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜𝑠
> 100 → 𝐴𝑛á𝑙𝑖𝑠𝑖𝑠 𝑃 − ∆
𝑘𝑙𝑢1 ≤ 100 → 𝑀é𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑟 1.9 ∙ 4000 22 ≤ ≤ 100 → 𝑀é𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜𝑠 ⏟ 165 22 ≤
46.06
Por lo tanto es necesario considerar los efectos de esbeltez. b) Determinar el momento magnificado 𝑀2 , incluyendo los efectos de esbeltez para cada combinación de cargas, aplicando el análisis aproximado de ACI 10.10.7. Se realizará el procedimiento de cálculo para la combinación de cargas Nº 4 y 5. 𝑈 = 1.2𝐷 + 1.6𝐿𝑟 ± 0.8𝑊 ∑ 𝑃𝑢 : carga vertical total en el primer piso correspondiente al caso de carga lateral para el cual ∑ 𝑃𝑢 es máximo. Para el caso las cargas totales del edificio son: copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO 𝐷 = 79600.926 𝑘𝑁, 𝐿 = 8856.409 𝑘𝑁, 𝐿𝑟 = 1201.02 𝑘𝑁, 𝑊 = 0 𝑘𝑁 La sumatoria de carga máxima se determina en base a la ecuación del ACI: ∑ 𝑃𝑢 = 1.2𝐷 + 1.6𝐿𝑟 + 0.8𝑊 ∑ 𝑃𝑢 = 1.2 ∙ 79600.926 + 1.6 ∙ 1201.02 + 0.8 ∙ 0 = 98519.569 𝑘𝑁 Determinar el corte de piso mayorado en el primer piso correspondiente a las cargas de viento. 𝑊 = 1346.032 𝑘𝑁 𝑉𝑢𝑠 = 0.8𝑊 = 0.8 ∙ 1346.032 = 1076.826 𝑘𝑁 Determinar la deformación relativa de primer orden entre la parte superior e inferior del primer piso debida a 𝑉𝑢𝑠 .
∆𝑝𝑖𝑠𝑜1 = 7 𝑚𝑚 ∆𝑝𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎𝑏𝑎𝑗𝑎 = 0.0 𝑚𝑚 ∆𝑜 = 0.8(∆𝑝𝑖𝑠𝑜1 − ∆𝑝𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎𝑏𝑎𝑗𝑎 ) = 0.8(7 − 0) = 5.6 𝑚𝑚 Determinar el índice de estabilidad. ACI 10.10.5.2 ∑ 𝑃𝑢 ∆𝑜 98519.569 ∙ 5.6 ℎ𝑏 0.5 𝑙𝑐 = 𝑙1 − = 4.5 − = 4.25 𝑚 𝑄= = = 0.1206 2 2 𝑉𝑢𝑠 𝑙𝑐 1076.826 ∙ 4250 Determinar el magnificador de momento. ACI 10.10.7.3 1 1 𝛿𝑠 = 𝑚𝑎𝑥 {1 − 𝑄 = 𝑚𝑎𝑥 {1 − 0.1206 = 1.137∎ 1 1 Para la deformación lateral de norte a sur (combinación de carga Nº 4) 𝑀2𝑠 = 150.55 𝑘𝑁 ∙ 𝑚, 𝑀2𝑛𝑠 = 28.6344 𝑘𝑁 ∙ 𝑚, 𝑃𝑢 = 3555.3748 𝑘𝑁 𝑀2 = 𝑀2𝑛𝑠 + 𝛿𝑠 𝑀2𝑠 = 28.6344 + 1.137 ∙ 150.55 = 199.821 𝑘𝑁 ∙ 𝑚
Para la deformación lateral de sur a norte (combinación de carga Nº 5)
𝑀2𝑠 = −150.55 𝑘𝑁 ∙ 𝑚, 𝑀2𝑛𝑠 = 28.6344 𝑘𝑁 ∙ 𝑚, 𝑃𝑢 = 3211.6164 𝑘𝑁 𝑀2 = 𝑀2𝑛𝑠 + 𝛿𝑠 𝑀2𝑠 = 28.6344 + 1.137 ∙ −150.55 = −142.553 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 La siguiente tabla resume el cálculo de los momentos amplificados para la columna C1 para todas las combinaciones de cargas.
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Índice de estabilidad
Magnificador de momento
Q
𝛿
0 0 0 0,118 0,118 0,125 0,125 0,089 0,089
0 0 0 1,134 1,134 1,143 1,143 1,098 1,098
Momento inferior
Carga axial Momento flector (kN-m) (Kn) luz Corte (D) 79600,926 0 (L) 8856,409 0 (Lr) 1201,02 0 (W)+0 1346,032 Δ𝑜 Vu Nº Combinación de cargas ∑ 𝑃𝑢 Kn mm Kn 1 1,4D 111441,3 0 0 2 1,2D+1,6L+1,6Lr 111613 0 0 3 1,2D+0,5L+1,6Lr 101870,95 0 0 4 1,2D+1,6Lr+0,8W 97442,743 5,5 1076,8256 5 1,2D+1,6Lr-0,8W 97442,743 5,5 1076,8256 6 1,2D+0,5L+0,5Lr+1,6W 100549,83 11,25 2153,6512 7 1,2D+0,5L+0,5Lr-1,6W 100549,83 11,25 2153,6512 8 0,9D+1,6W 71640,833 11,25 2153,6512 9 0,9D-1,6W 71640,833 11,25 2153,6512 Cargas
Momento inferior debido al viento
HORMIGÓN ARMADO Momento inferior debido a cargas gravitatorias
UMSS
M2ns kN-m 33,4068 45,3384 33,8544 28,6344 28,6344 33,8544 33,8544 21,4758 21,4758
M2s kN-m 0 0 0 150,5504 -150,5504 301,1008 -301,1008 301,1008 -301,1008
M2 kN-m 33,4068 45,3384 33,8544 199,42324 -142,1544 377,99215 -310,2834 352,02968 -309,0781
Tabla 8-10 Momentos amplificados de la columna C1, para todas las combinaciones
c) A fin de poder realizar una comparación, calcular nuevamente el momento amplificado usando el método del factor de amplificación de momento descrito en ACI 10.10.7.4. i. Determinar la carga crítica de pandeo para las 12 columnas exteriores Para cada una de las 12 columnas exteriores a lo largo de las líneas de columnas 1 y 4 (es decir, las columnas en las cuales en la dirección de análisis concurre una viga), en el punto 3(a) se determinó que 𝑘 es igual a 1.9. 𝑘 = 1.9 Determinar la relación entre la máxima carga axial sostenida mayorada dentro de un piso y la máxima carga axial mayorada asociada con la misma combinación de carga. ACI 10.10.6.2 𝛽𝑑𝑛𝑠 = 0, es cero para estructura no arriostrada, debido a que las cargas laterales son de corta duración. Determinar la rigidez. ACI 10.10.6.1 0.4𝐸𝑐 𝐼𝑔𝑐 (0.4 ∙ 30459.481 ∙ 7625520833.333)/109 𝐸𝐼 = = = 92907.764 𝑘𝑁 ∙ 𝑚2 1 + 𝛽𝑑𝑛𝑠 1+0 Determinar la carga crítica a pandeo. ACI 10.10.6 𝜋 2 𝐸𝐼 𝜋 2 ∙ 92907.764 = = 15875.396 𝑘𝑁 (𝑘𝑙𝑢1 )2 (1.9 ∙ 4)2 ii. Para cada una de las columnas exteriores A2, A3, F2 y F3, es decir, las columnas en las cuales en la dirección de análisis concurren dos vigas. Determinar la relación de los elementos de compresión con respecto a los elementos a flexión. 𝑃𝑐𝑒1 =
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HORMIGÓN ARMADO 𝜓𝐴 = 𝐸𝑐 𝐼𝑐
𝜓𝐴 =
𝐸𝑐 𝐼𝑐
𝑙𝑐.𝑠𝑢𝑝
2
∑(𝐸𝑐 𝐼𝑐 /𝑙𝑐 ) ∑(𝐸𝑣 𝐼𝑣 /𝑙𝑣 )
30459.481∙5337864583.333
+𝑙
𝑐.𝑖𝑛𝑓
𝐸𝑣 𝐼𝑣
3600
=
2
𝑙𝑣
+
30459.481∙5337864583.333 4250
= 5.842
23500∙2187500000 7200
𝜓𝐵 = 1.0 Columna esencialmente empotrada en la base Determinar el factor de longitud efectiva 𝑘, para pórticos no riostrados. ACI Fig.R10.10.1 𝑘 = 1.73 Determinar la carga crítica a pandeo. ACI 10.10.6 𝜋 2 𝐸𝐼 𝜋 2 ∙ 92907.764 = = 19148.712 𝑘𝑁 (𝑘𝑙𝑢1 )2 (1.73 ∙ 4)2 Para cada una de las 8 columnas interiores Determinar 𝑘 usando el nomograma de la figura. ACI R10.10.1 𝑃𝑐𝑒2 =
iii.
𝑏 = 600 𝑚𝑚 𝑡 = 600 𝑚𝑚 → 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 Determinar la inercia de la columna. ACI 10.10.4.1 𝑏𝑡 3 600 ∙ 6003 = = 10800000000 𝑚𝑚4 𝐼𝑐 = 0.7𝐼𝑔𝑐 = 7560000000 𝑚𝑚4 12 12 Determinar el módulo de elasticidad de la columna. ACI 8.5.1
𝐼𝑔𝑐 =
𝐸𝑐 = 4700√𝑓´𝑐𝑐 = 4700√42 = 30459.481 𝑀𝑃𝑎 𝑏𝑣 = 600 𝑚𝑚 ℎ𝑣 = 500 𝑚𝑚(𝑣𝑖𝑔𝑎) Luz entre ejes de columnas y vigas ℎ𝑣 0.5 = 4.5 − = 4.25 𝑚 2 2 Determinar la inercia de la viga. ACI 10.10.4.1 𝑙𝑐.𝑠𝑢𝑝 = 𝑙2 = 3.6 𝑚 𝑙𝑐.𝑖𝑛𝑓 = 𝑙1 −
𝐼𝑔𝑣
𝑙𝑣 = 7.2 𝑚
𝑏𝑣 ℎ𝑣 3 600 ∙ 5003 = = = 6250000000 𝑚𝑚4 𝐼𝑣 = 0.35𝐼𝑔𝑣 = 2187500000 𝑚𝑚4 12 12 Determinar el módulo de elasticidad de la viga. ACI 8.5.1 𝐸𝑣 = 4700√𝑓´𝑐𝑣 = 4700√25 = 23500 𝑀𝑃𝑎
Determinar la relación de los elementos de compresión con respecto a los elementos a flexión. ∑(𝐸𝑐 𝐼𝑐 /𝑙𝑐 ) 𝜓𝐴 = ∑(𝐸𝑣 𝐼𝑣 /𝑙𝑣 ) 𝐸𝑐 𝐼𝑐
𝜓𝐴 =
𝑙𝑐.𝑠𝑢𝑝
2
𝐸𝑐 𝐼𝑐
30459.481∙7560000000
𝑐.𝑖𝑛𝑓
3600
+𝑙
𝐸𝑣 𝐼𝑣 𝑙𝑣
=
2
+
30459.481∙7560000000
23500∙2187500000
4250
= 8.274
7200
𝜓𝐵 = 1.0 Columna esencialmente empotrada en la base
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Determinar el factor de longitud efectiva 𝑘, para pórticos no riostrados. ACI Fig.R10.10.1 𝑘 = 1.82 Determinar la relación entre la máxima carga axial sostenida mayorada dentro de un piso y la máxima carga axial mayorada asociada con la misma combinación de carga. ACI 10.10.6.2 𝛽𝑑𝑛𝑠 = 0, es cero para estructura no arriostrada, debido a que las cargas laterales son de corta duración. Determinar la rigidez. ACI 10.10.6.1 0.4𝐸𝑐 𝐼𝑔𝑐 (0.4 ∙ 30459.481 ∙ 10800000000)/109 𝐸𝐼 = = = 131584.959 𝑘𝑁 ∙ 𝑚2 1 + 𝛽𝑑𝑛𝑠 1+0 Determinar la carga crítica a pandeo. ACI 10.10.6 𝜋 2 𝐸𝐼 𝜋 2 ∙ 131584.959 = = 24504.353 𝑘𝑁 (𝑘𝑙𝑢1 )2 (1.82 ∙ 4)2 Determinar la sumatoria de cargas críticas de pandeo 𝑛𝑒1 = 12, Nº de columnas con una viga en la dirección norte sur. 𝑛𝑒2 = 4, Nº de columnas con dos vigas en la dirección norte sur. 𝑛𝑖 = 8, Nº de columnas con dos vigas en la dirección norte sur. 𝑃𝑐𝑖 =
iv.
∑ 𝑃𝑐 = 𝑛𝑒1 𝑃𝑐𝑒1 + 𝑛𝑒2 𝑃𝑐𝑒2 + 𝑛𝑖 𝑃𝑐𝑖 ∑ 𝑃𝑐 = 12 ∙ 15875.396 + 4 ∙ 19148.712 + 8 ∙ 24504.353 = 463134.422 𝑘𝑁 v. A continuación se presenta el cálculo detallado para las combinaciones Nº 4 y 5. Determinar el magnificador de momento. ACI 10.10.7.4 1 1 = 1.3899∎ ∑ 𝑃𝑢 97442.743 ∑ 𝑃𝑢 = 97442.743 𝑘𝑁 𝛿𝑠 = 𝑚𝑎𝑥 {1 − = 𝑚𝑎𝑥 {1 − 0.75 ∑ 𝑃 0.75∙463134.422 𝑐
1 1 Para la deformación lateral de norte a sur (combinación de carga Nº 4)
𝑀2𝑠 = 150.55 𝑘𝑁 ∙ 𝑚, 𝑀2𝑛𝑠 = 28.6344 𝑘𝑁 ∙ 𝑚, 𝑃𝑢 = 3555.3748 𝑘𝑁 𝑀2 = 𝑀2𝑛𝑠 + 𝛿𝑠 𝑀2𝑠 = 28.6344 + 1.389 ∙ 150.55 = 237.886 𝑘𝑁 ∙ 𝑚
Para la deformación lateral de sur a norte (combinación de carga Nº 5)
𝑀2𝑠 = −150.55 𝑘𝑁 ∙ 𝑚, 𝑀2𝑛𝑠 = 28.6344 𝑘𝑁 ∙ 𝑚, 𝑃𝑢 = 3211.6164 𝑘𝑁 𝑀2 = 𝑀2𝑛𝑠 + 𝛿𝑠 𝑀2𝑠 = 28.6344 + 1.389 ∙ −150.55 = −180.617 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 La siguiente tabla resume el cálculo de los momentos amplificados para la columna C1 para todas las combinaciones de cargas.
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Nº 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Combinación de cargas
∑ 𝑃𝑢
𝛿
Kn 1,4D 111441,3 1,2D+1,6L+1,6Lr 111613 1,2D+0,5L+1,6Lr 101870,95 1,2D+1,6Lr+0,8W 97442,743 1,2D+1,6Lr-0,8W 97442,743 1,2D+0,5L+0,5Lr+1,6W 100549,83 1,2D+0,5L+0,5Lr-1,6W 100549,83 0,9D+1,6W 71640,833 0,9D-1,6W 71640,833
0 0 0 1,3899 1,3899 1,4074 1,4074 1,2598 1,2598
Momento inferior
(D) (L) (Lr) (W)+-
Carga axial (Kn) 79600,926 8856,409 1201,02 0
Momento inferior debido al viento
Cargas
Momento inferior debido a cargas gravitatorias
HORMIGÓN ARMADO
Magnificador de momento
UMSS
M2ns kN-m 33,4068 45,3384 33,8544 28,6344 28,6344 33,8544 33,8544 21,4758 21,4758
M2s kN-m 0 0 0 150,5504 -150,5504 301,1008 -301,1008 301,1008 -301,1008
M2 kN-m 33,4068 45,3384 33,8544 237,88656 -180,6178 457,62745 -389,9187 400,81502 -357,8634
Tabla 8-11 Momentos amplificados de la columna C1, para todas las combinaciones
ACI 10.10.7.3 M2 𝛿 Kn kN-m 9 - 1. 1 1,4D 3876,0022 0,000 33,407 9 - 2. 2 1,2D+1,6L+1,6Lr 3909,454 0,000 45,338 3 1,2D+0,5L+1,6Lr 3547,8576 0,000 33,854 9 - 3. 4 1,2D+1,6Lr+0,8W 3555,3748 1,134 199,423 5 1,2D+1,6Lr-0,8W 3211,6164 1,134 -142,154 6 1,2D+0,5L+0,5Lr+1,6W 3849,5355 1,143 377,992 9 - 4. 7 1,2D+0,5L+0,5Lr-1,6W 3162,0187 1,143 -310,283 8 0,9D+1,6W 2835,4741 1,098 352,030 9 - 6. 9 0,9D-1,6W 2147,9573 1,098 -309,078 *Incluye la reducción de la sobrecarga de acuerdo con ASCE 7-10
Ecuación Nº
Combinación de cargas
Momento mayor
Magnificador de momento
Carga permanente (D) Sobrecarga de entrepiso (L)* Sobrecarga en la cubierta (Lr) Viento (W)+-
Carga axial (Kn) 2768,573 328,724 38,255 214,849 Pu
Momento mayor
Caso de carga
Magnificador de momento
La siguiente tabla resume el cálculo de los momentos amplificados para la columna C1 para todas las combinaciones de cargas, compara los dos métodos de la ACI.
ACI 10.10.7.4 𝛿 M2 kN-m 0,000 33,407 0,000 45,338 0,000 33,854 1,390 237,887 1,390 -180,618 1,407 457,627 1,407 -389,919 1,260 400,815 1,260 -357,863
Tabla 8-12 Momentos amplificados de la columna C1, comparación de los dos métodos
d) Determinar la armadura requerida i. Diseño a carga axial y flexión biaxial copyright©rcolquea
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Verificar si la sección trabaja como columna o viga. ACI 10.3.5 𝐴𝑔 = 𝑏𝑡 = 550 ∙ 550 = 302500 𝑚𝑚2 𝑆𝑖 0.1𝑓´𝑐𝑐 𝐴𝑔 ≤ 𝑃𝑢 → 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎
𝑆𝑖 ⏟ 0.1 ∙ 42 ∙ 302500 ≤ 3909.454 𝑘𝑁 → 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 1270.5
Determinar y verificar la cuantía provista para la columna de 550𝑥550𝑚𝑚, intentar con 8 barras 𝑁º 25. ACI 10.9.1 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 2 202 𝑛 = 10 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 = 20 𝑚𝑚 𝐴𝑠𝑡 = 𝑛𝜋 = 10𝜋 = 3141.593 𝑚𝑚2 4 4 𝐴𝑠𝑡 3141.593 𝜌𝑝𝑟𝑜𝑣 = = = 0.0104 𝑆𝑖 0.01 ≤ 𝜌𝑝𝑟𝑜𝑣 ≤ 0.08 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑏𝑡 550 ∙ 550 Verificar la separación máxima y mínima. Definición de estribos. ACI 7.10.5.1 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 ≤ 𝑁º 32 → 𝜙𝑒𝑠𝑡 ≥ 𝑁º 10
𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 > 𝑁º 32 → 𝜙𝑒𝑠𝑡 ≥ 𝑁º 13
𝜙𝑒𝑠𝑡 = 10 𝑚𝑚 𝑟𝑒𝑐 = 30 𝑚𝑚 Determinar la separación mínima. ACI 7.6.3 40 𝑚𝑚 ∎ 40 𝑚𝑚 1.5 ∙ 20 = 30 𝑚𝑚 𝑆𝑚𝑖𝑛 = 𝑚𝑎𝑥 { 1.5𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 = 𝑚𝑎𝑥 { 4 3 4/3𝜙𝑚𝑎𝑥𝑎𝑔𝑟 ∙ = 25.4 𝑚𝑚 3 4 Determinar la separación máxima. ACI 7.10.5.3: 𝑆𝑚𝑎𝑥 = 150 𝑚𝑚 Separación provista horizontal: 𝑛𝑥 = 3 𝑏 − 2𝑟𝑒𝑐 − 2𝜙𝑒𝑠𝑡 − 𝑛𝑥 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 550 − 2 ∙ 30 − 2 ∙ 10 − 3 ∙ 20 𝑆𝑥 = = = 205 𝑚𝑚 𝑛𝑥 − 1 3−1 Separación provista vertical: 𝑛𝑦 = 4 𝑆𝑦 =
𝑡 − 2𝑟𝑒𝑐 − 2𝜙𝑒𝑠𝑡 − 𝑛𝑦 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 550 − 2 ∙ 30 − 2 ∙ 10 − 4 ∙ 20 = = 130 𝑚𝑚 𝑛𝑦 − 1 4−1
Verificar: 𝑆⏟ ⏟𝑥 ≤ 𝑆⏟ 𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑆 𝑚𝑎𝑥 → 𝑛𝑜 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 40
205
150
𝑆⏟ ⏟ 𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑆⏟𝑦 ≤ 𝑆 𝑚𝑎𝑥 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 40
130
150
Verificar la máxima fuerza de compresión axial admisible. ACI 10.3.6.2 𝜙𝑃𝑛(max) = 0.8𝜙[0.85𝑓´𝑐𝑐 (𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 ) + 𝑓𝑦 𝐴𝑠𝑡 ] 𝜙𝑃𝑛(max) = 0.8 ∙ 0.65[0.85 ∙ 42(302500 − 3141.593) + 420 ∙ 3141.593]/103 = 6243.413 𝑘𝑁
𝑃𝑢(max) = 3909.454 𝑘𝑁
𝑆𝑖𝜙𝑃𝑛(max) ≥ 𝑃𝑢(max) → 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎
La verificación del diseño se lo realizará en PCACOL, a continuación se muestra el diseño en el respectivo programa considerando la esbeltez.
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General Information: FileName:C:\Users\minedu\Desktop\DISEÑODECOLUMNAS\C1_NOARRIOSTRADO Project: APOYO DIDÁCTICO-Column: C1-Engineer: RCA-Code: ACI 318-02-Units: Metric Run Option: Investigation-Slenderness: Not considered-Run Axis: X-axis-Column Type: Structural Material Properties: f'c=42 MPa-fy=420 MPa-Ec=30459.5 MPa-Es=200000 MPa-Ultimate strain=0.003 mm/mm Beta1=0.745431 Section: Rectangular: Width=550 mm-Depth=550 mm-Gross section area, Ag=302500 mm^2 Ix=7.62552e+009 mm^4 Iy=7.62552e+009 mm^4 Xo=0 mm
Yo=0 mm
Reinforcement: Rebar Database: prEN 10080 Confinement: Tied; #6 ties with #25 bars, #6 with larger bars-phi(a)=0.8, phi(b)=0.9, phi(c)=0.65-Layout: Rectangular Pattern: Sides Different (Cover to longitudinal reinforcement) Total steel area, As=3140 mm^2 at 1.04% Top Bars
3#20
Cover (mm)
30
Bottom
Left
Right
3#20
2#20
2#20
30
30
30
Factored Loads and Moments with Corresponding Capacities: (see user's manual for notation) No.
Pu
Mux
fMnx
kN
kN-m
kN-m
fMn/Mu
1
3876.0
33.4
572.7
17.143
2
3909.5
45.3
571.5
12.605
3
3547.9
33.9
582.2
17.198
4
3555.4
199.4
582.1
2.919
5
3211.6
-142.2
-587.9
4.136
6
3849.5
378.0
573.6
1.518
7
3162.0
-310.3
-588.5
1.897
8
2835.5
352.0
594.7
1.689
*** Program completed as requested! ***
ii.
Diseño a corte Las fuerzas cortantes debido a la carga muerta y de viento son: 𝐷 = 2768.574 𝑘𝑁 𝑊 = 24.811 𝑘𝑁 Se considera la combinación (9-6) de la norma ACI: 𝑈 = 0.9𝐷 + 1.6𝑊 Determinar la resistencia al corte proporcionado por el hormigón. ACI 11.2.1.2 𝑃𝑢 = 0.9𝐷 = 0.9 ∙ 2768.574 = 2491.717 𝑘𝑁 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 𝑑 = 𝑏 − (𝑟𝑒𝑐 + 𝜙𝑒𝑠𝑡 + ) = 497.5 𝑚𝑚 𝑏𝑤 = 𝑏 = 550 𝑚𝑚 2 𝑃𝑢 𝜑𝑉𝑐 = 𝜑0.17 (1 − ) 𝜆√𝑓´𝑐𝑐 𝑏𝑤 𝑑 14𝐴𝑔
𝜑 = 0.75
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HORMIGÓN ARMADO 2491.717 ) 1√42 ∙ 550 ∙ 497.5/103 = 225.962 𝑘𝑁 14 ∙ 302500 Verificar si se requiere estribo. La carga última de corte es: 𝑉𝑢 = 1.6𝑊 = 1.6 ∙ 24.811 = 39.698 𝑘𝑁
𝜑𝑉𝑐 = 0.75 ∙ 0.17 (1 −
𝑆𝑖 𝜑𝑉 ⏟𝑐 ≥ 225.962
𝑉⏟𝑢 39.698
→ 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒, 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜
Determinar la separación máxima entre estribos. ACI 7.10.5.2 48𝜙𝑒𝑠𝑡 48 ∙ 10 = 480 𝑚𝑚 16𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 16 𝑆𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛 { = 𝑚𝑖𝑛 { ∙ 20 = 320 𝑚𝑚 ∎ 550 𝑚𝑚 𝑏 550 𝑚𝑚 𝑡 Por lo tanto distribuir 𝜙10𝑐/320 𝑚𝑚 en toda la longitud de la columna, no existe estribo de confinamiento porque no existe solicitación sísmica. iii. Empalmes de barras corrugadas a compresión. ACI 12.16.1 𝑑𝑏 = 20 𝑚𝑚 𝑆𝑖 (𝑓´𝑐𝑐 ≥ 21𝑀𝑃𝑎 𝑦 𝑓𝑦 ≤ 420 𝑀𝑃𝑎) → (𝑙𝑒𝑚𝑝 = 0.071𝑓𝑦 𝑑𝑏 ) 𝑙𝑒𝑚𝑝 = 0.071𝑓𝑦 𝑑𝑏 = 0.071 ∙ 420 ∙ 20 = 596.4 𝑚𝑚 𝑙𝑒𝑚𝑝 ≥ 300 𝑚𝑚 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑒𝑚𝑝 = 600 𝑚𝑚
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Figura 8.81 – Plano de detalle de la columna C1_no arriostrado
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8.11) PROBLEMAS PROPUESTOS Problema 8.1 Responder el cuestionario de columnas esbeltas Defina una columna esbelta y la implicación que tiene esa característica respecto a la resistencia ¿Se puede utilizar los diagramas de interacción vistos en el apéndice x para el diseño de columnas esbeltas? ¿Si, no, bajo qué condiciones? ¿Qué objetivo persigue el método de momentos magnificados y cuál es la idea que lo sustenta? ¿Cuál es la diferencia entre momento 𝑃 − 𝛿 y momentos 𝑃 − Δ? ¿Por qué considera que la resistencia de una columna que se deforma en simple curvatura es diferente de una columna que se deforma en doble curvatura? ¿Cuál resiste más? ¿Qué es un análisis de 1º orden? ¿Qué es un análisis de segundo orden? ¿Cuál es la diferencia? Dé por lo menos 2 razones por las cuales (o casos concretos en los cuales) se dice que: una columna esbelta contribuye a la capacidad resistente de una estructura, en cambio una columna corta disminuye la capacidad resistente de una estructura. En pocas palabras la esbeltez aumenta la resistencia. Defina pórtico desplazable y pórtico no desplazable ¿Deberíamos nosotros aplicar la reducción de rigidez de los elementos estructurales que dice la norma ACI 10.11.1 a nuestro análisis estructural (SAP o ETABS) para diseñar con el método de magnificación de momentos? ¿Por qué al calcular por el método de magnificación de momentos en un pórtico desplazable, no se toma en cuenta al parámetro 𝑐𝑚 que se tomó para los pórticos no desplazables? ¿Qué significa 𝑐𝑚 ? ¿Qué se toma en su lugar en los pórticos desplazables?
Problema 8.2 Calcule la capacidad de carga de la columna cuadrada corta cargada concéntricamente de 600 mm reforzada con 12 varillas Nº 25.𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝑓´𝑐 = 28 𝑀𝑃𝑎. Problema 8.3 Calcule la capacidad de carga de una columna circular corta cargada concéntricamente de∅ = 600 mm, con 6 varillas Nº 25. 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝑓´𝑐 = 28 𝑀𝑃𝑎. En los problemas 8.4 a 8.6 diseñe columnas para carga axial sólo para las condiciones descritas, incluya el diseño de estribos o espirales y un croquis de las secciones transversales seleccionadas, incluyendo la colocación de las varillas. Se supone que todas las columnas son cortas y no están expuestas a la intemperie. Los tamaños de cimbra o encofrado están en incrementos de 50 mm.
Problema 8.4 Columna cuadrada con estribos; 𝑃𝐷 = 600 𝑘𝑁, 𝑃𝐿 = 800 𝑘𝑁, 𝑓´𝑐 = 24 𝑀𝑃𝑎 𝑦 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎: Inicialmente suponga 𝜌𝑔 = 0,02. Problema 8.5 Columna cuadrada lo más pequeña posible con estribos; 𝑃𝐷 = 700 𝑘𝑁, 𝑃𝐿 = 800 𝑘𝑁, 𝑓´𝑐 = 28 𝑀𝑃𝑎 𝑦 𝑓𝑦 = 300 𝑀𝑃𝑎. Problema 8.6 Columna redonda zunchada; 𝑃𝐷 = 700 𝑘𝑁, 𝑃𝐿 = 800 𝑘𝑁, 𝑓´𝑐 = 35 𝑀𝑃𝑎 𝑦 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎. Inicialmente suponga 𝜌𝑔 = 0,03. Problema 8.7 Localice el centroide plástico si 𝑓´𝑐 = 28 𝑀𝑃𝑎 𝑦 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎.
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Problema 8.8 Localice el centroide plástico si 𝑓´𝑐 = 28 𝑀𝑃𝑎 𝑦 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎.
Problema 8.9 Usando las ecuaciones de la estática, determine los valores de 𝑃𝑛 y 𝑀𝑛 para la columna mostrada, suponiendo que tiene una deformación unitaria de −0.003 en el borde derecho y una deformación unitaria de +0.002 en el borde izquierdo. 𝑓´𝑐 = 28 𝑀𝑃𝑎 𝑦 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎
Problema 8.10 Use las curvas de interacción del apéndice x para seleccionar el refuerzo de las columna corta mostrada para 𝑃𝑛 = 500 𝑘𝑙𝑏 𝑦 𝑒𝑥 = 150 𝑚𝑚, con 𝑓´𝑐 = 28 𝑀𝑃𝑎 𝑦 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎.
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Problema 8.11 Use las curvas de interacción del apéndice x para determinar el valor de 𝑃𝑛 de las columna corta mostrada con una excentricidad en y de 250 mm, con 𝑓´𝑐 = 28 𝑀𝑃𝑎 𝑦 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎.
Problema 8.12 Usando los monogramas de la figura x, determine los factores de longitud efectiva para las columnas CD y DE para el marco riostrado mostrado. Suponga que las vigas son de 300x500 mm y que las columnas son de 300x400 mm. Para las columnas use 0.7 de los momentos de inercia totales y para las vigas 0.35 de los momentos de inercia totales. Suponga que las columnas están empotradas en la base. Diseñar la columna CE.
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Problema 8.13 Usando los monogramas de la figura x, determine los factores de longitud efectiva para las columnas AB y BC del marco no riostrado mostrado. Suponga que todas las vigas son de 300x500 mm y que todas las columnas son de 300x400 mm. Para las columnas use 0.7 de los momentos de inercia totales y para las vigas 0.35 de los momentos de inercia totales. Suponga que los extremos alejados de las vigas están empotrados. Diseñar la columna AB.
Problema 8.14 La columna con estribos mostrada va a usarse en un marco riostrado. La flexión es alrededor de su eje 𝑦 con los momentos factorizados mostrados y 𝑙𝑢 es de 4.8 𝑚. Si 𝑘 = 1.0, 𝑓´𝑐 = 28 𝑀𝑃𝑎 𝑦 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, seleccione el refuerzo requerido. Suponga 𝑃𝐷 = 60 𝑘𝑙𝑏.
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APÉNDICE A) TABLAS PARA CONSTANTE 𝛽 PARA EL DISEÑO BIAXIAL Y COEFICIENTES PARA MOMENTO ÚLTIMO UNIAXIAL-TABLAS DE LA PCA TABLA 1 - ESQU EMA DE TABLAS PARA BETA Y MOMEN TO Tabla N° barras Código N° barras 𝛽 Momento Código 2-2-4,
t g
3
8
t g
2-3-6,
t g
4
9
t g
2-4-8,
t g
-
10
t g
2-5-10,
t g
5
11
t g
4-3-10,
-
16
4-4-12,
7
17
4-5-14,
-
18
5-3-12,
-
19
5-4-14,
-
20
5-5-16,
-
21
b
b
10
2-10-20,
-
12
t g
b
b
3-3-8,
6
13
t g
b
b
t g
15
b
b
t g
-
b
b
10
3-5-12, b
b
t g
Tabla 𝛽 Momento
3-4-10,
-
14
t g
b
b
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HORMIGÓN ARMADO TABLA 2 - RAN GE OF 𝛽 COEFFICIEN TS Four bar case only (table 3) 𝑃𝑢 ⁄𝑃𝑜
𝜌
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
0,04
0,05
0,06
𝜌
H A L H A L H A L H A L H A L H A L H A L H A L
0 0,92 0,87 0,82 0,91 0,87 0,82 0,89 0,85 0,77 0,88 0,82 0,73 0,87 0,79 0,71 0,83 0,74 0,67 0,75 0,68 0,63 0,71 0,64 0,6
0,1 0,79 0,74 0,71 0,76 0,71 0,67 0,74 0,69 0,64 0,72 0,68 0,62 0,7 0,65 0,61 0,67 0,63 0,58 0,63 0,59 0,55 0,6 0,57 0,54
0,2 0,68 0,66 0,63 0,66 0,64 0,61 0,64 0,62 0,59 0,63 0,6 0,58 0,62 0,59 0,56 0,6 0,57 0,55 0,57 0,55 0,53 0,55 0,53 0,51
0,3 0,64 0,63 0,61 0,63 0,61 0,59 0,61 0,59 0,57 0,6 0,58 0,56 0,59 0,57 0,55 0,58 0,56 0,55 0,56 0,55 0,54 0,57 0,56 0,54
0,4 0,63 0,62 0,6 0,62 0,6 0,59 0,61 0,6 0,58 0,61 0,59 0,58 0,6 0,59 0,57 0,61 0,59 0,57 0,61 59 0,57 0,62 0,59 0,56
0,5 0,65 0,63 0,62 0,64 0,63 0,62 0,64 0,63 0,61 0,64 0,63 0,61 0,64 0,62 0,6 0,65 0,62 0,6 0,66 0,62 0,59 0,67 0,62 0,58
0,6 0,67 0,66 0,65 0,67 0,66 0,64 0,67 0,65 0,63 0,68 0,65 0,63 0,68 0,65 0,62 0,69 0,65 0,61 0,7 0,75 0,6 0,71 0,65 0,59
0,7 0,7 0,69 0,67 0,7 0,68 0,66 0,71 0,68 0,65 0,72 0,68 0,64 0,72 0,68 0,63 0,74 0,68 0,62 0,76 0,68 0,61 0,77 0,69 0,6
0,8 0,75 0,72 0,69 0,76 0,72 0,67 0,77 0,72 0,66 0,78 0,72 0,65 0,79 0,72 0,64 0,82 0,73 0,63 0,86 0,74 0,62 0,89 0,75 0,62
0,9 0,84 0,78 0,71 0,87 0,78 0,69 0,9 0,79 0,67 0,92 0,8 0,66 0,93 0,8 0,66 0,96 0,82 0,64 0,99 0,85 0,68 0,99 0,87 0,7
0,7 0,7 0,69 0,67 0,7 0,69 0,66 0,7 0,68 0,65 0,7 0,68 0,65 0,71 0,68 0,64 0,71 0,68 0,63 0,72 0,68 0,62 0,73 0,68 0,61
0,8 0,73 0,72 0,69 0,74 0,71 0,68 0,74 0,71 0,67 0,74 0,71 0,66 0,75 0,71 0,65 0,75 0,71 0,63 0,76 0,7 0,61 0,76 0,7 0,61
0,9 0,79 0,77 0,71 0,8 0,76 0,69 0,81 0,76 0,67 0,81 0,75 0,66 0,82 0,75 0,65 0,83 0,75 0,64 0,84 0,75 0,65 0,84 0,75 0,66
Four bar case only (tables 4-7) 𝑃𝑢 ⁄𝑃𝑜
0 0,1 0,2 0,3 0,4 H 0,87 0,75 0,69 0,67 0,65 0,01 A 0,8 0,71 0,67 0,64 0,63 L 0,75 0,67 0,65 0,62 0,61 H 0,84 0,73 0,68 0,67 0,65 0,015 A 0,77 0,69 0,65 0,63 0,62 L 0,71 0,65 0,62 0,6 0,6 H 0,81 0,71 0,67 0,66 0,64 0,02 A 0,74 0,67 0,64 0,62 0,62 L 0,68 0,63 0,61 0,58 0,6 H 0,8 0,7 0,66 0,66 0,54 0,025 A 0,72 0,66 0,63 0,61 0,62 L 0,66 0,72 0,6 0,57 0,59 H 0,78 0,68 0,66 0,65 0,63 0,03 A 0,71 0,65 0,62 0,6 0,51 L 0,64 0,62 0,59 0,56 0,59 H 0,75 0,67 0,66 0,65 0,63 0,04 A 0,68 0,63 0,61 0,59 0,61 L 0,62 0,59 0,57 0,56 0,58 H 0,71 0,56 0,66 0,63 0,64 0,05 A 0,64 0,61 0,59 0,59 0,61 L 0,6 0,57 0,54 0,55 0,58 H 0,68 0,65 0,65 0,62 0,65 0,06 A 0,62 0,6 0,58 0,58 0,61 L 0,58 0,56 0,52 0,55 0,57 H= Hi ghes t of coeffi ci ents from ta bl es i ndi ca ted H= Hi ghes t of coeffi ci ents from ta bl es i ndi ca ted L= Lowes t of coeffi ci ents from ta bl es i ndi ca ted
0,5 0,66 0,65 0,63 0,66 0,64 0,63 0,66 0,64 0,62 0,66 0,54 0,62 0,66 0,64 0,61 0,66 0,64 0,61 0,67 0,64 0,6 0,67 0,64 0,59
0,6 0,67 0,67 0,65 0,67 0,66 0,64 0,67 0,66 0,64 0,68 0,66 0,63 0,68 0,66 0,63 0,68 0,66 0,62 0,69 0,66 0,61 0,69 0,66 0,6
copyright©rcolquea
730
UMSS
HORMIGÓN ARMADO TABLA 3- CONSTANTES DE DISEÑO PARA FLEXIÓN BIAXIAL 4 BARS t
gt
𝝆 = 𝑨 𝒔𝒕
𝒕𝒃 𝒕 . 𝟐𝟓 ≤ 𝒃 ≤ 𝟒. 𝟎
gb
b
9
𝟒𝟐𝟎 𝑴𝑷𝒂
7
9
𝟑𝟓𝟎 𝑴𝑷𝒂
7
9
𝟐𝟖𝟎 𝑴𝑷𝒂
7
𝒇𝒚 𝒈
𝒇´𝒄 𝝆
𝑷𝒖
𝟐𝟖 𝑴𝑷𝒂 𝑷𝒐
.010 .015 .020 .025 .030 .040 .060 .080 .010 .015 .020 .025 .030 .040 .060 .080 .010 .015 .020 .025 .030 .040 .060 .080 .010 .015 .020 .025 .030 .040 .060 .080 .010 .015 .020 .025 .030 .040 .060 .080 .010 .015 .020 .025 .030 .040 .060 .080
.00 .84 .86 .87 .86 .85 .79 .72 .67 .90 .88 .86 .5 .82 .76 .69 .65 .85 .86 .85 .81 .78 .73 .67 .64 .89 .87 .85 .80 .76 .71 .65 .62 .85 .82 .77 .73 .71 .67 .63 .60 .88 .85 .79 .75 .72 .68 .63 .60
.10 .79 .76 .73 .71 .69 .66 .61 .58 .77 .73 .70 .68 .66 .63 .59 .57 .76 .73 .70 .68 .66 .63 .59 .57 .73 .69 .67 .64 .63 .60 .57 .55 .72 .69 .66 .64 .63 .60 .57 .56 .71 .67 .64 .62 .61 .58 .55 .54
.20 .68 .65 .64 .62 .61 .59 .56 .54 .66 .64 .62 .60 .59 .57 .55 .54 .67 .64 .62 .60 .59 .57 .55 .54 .65 .62 .60 .59 .58 .56 .54 .53 .65 .63 .61 .60 .58 .57 .53 .52 .63 .61 .59 .58 .56 .55 .53 .53
.30 .64 .62 .60 .59 .58 .57 .56 .57 .63 .61 .59 .58 .57 .56 .55 .55 .63 .61 .59 .58 .57 .56 .56 .56 .62 .60 .58 .57 .56 .55 .56 .57 .62 .60 .57 .56 .55 .55 .55 .54 .61 .59 .57 .56 .55 .56 .56 .56
.40 .62 .61 .60 .60 .60 .61 .61 .61 .62 .60 .5 .58 .57 .58 .60 .62 .61 .60 .60 .59 .59 .59 .59 .58 .61 .59 .58 .59 .59 .60 .60 .61 .61 .60 .59 .58 .58 .57 .57 .56 .60 .59 .59 .59 .58 .58 .58 .58
.50 .64 .64 .64 .64 .64 .64 .64 .64 .62 .62 .63 .63 .64 .65 .66 .67 .64 .63 .62 .62 .62 .62 .61 .61 .63 .63 .63 .63 .63 .63 .63 .63 .63 .62 .61 .61 .60 .60 .59 .58 .62 .62 .61 .61 .61 .60 .60 .60
.60 .67 .66 .67 .67 .67 .67 .68 .68 .67 .67 .67 .68 .68 .69 .70 .71 .66 .65 .65 .65 .64 .64 .64 .63 .66 .65 .65 .65 .65 .65 .66 .66 .65 .64 .63 .63 .62 .61 .60 .59 .65 .64 .63 .63 .63 .62 .62 .61
𝟒𝟐 𝑴𝑷𝒂 .70 .69 .70 .70 .70 .71 .71 .72 .73 .70 .70 .71 .72 .72 .74 .76 .77 .68 .68 .67 .67 .67 .67 .66 .66 .68 .68 .68 .68 .68 .69 .69 .70 .67 .66 .65 .64 .63 .62 .61 .60 .67 .66 .65 .65 .65 .64 .63 .63
.80 .74 .75 .75 .76 .77 .78 .81 .83 .75 .76 .77 .78 79 .82 .86 .89 .71 .71 .71 .71 .71 .71 .71 .72 .72 .72 .72 .72 .73 .73 .75 .77 .69 .67 .66 .65 .64 .63 .62 .62 .69 .68 .67 .67 .66 .66 .65 .66
.90 .84 .86 .88 .90 .92 .95 .99 .99 .84 .87 .90 .92 .93 .96 .99 .99 .78 .78 .79 .80 .81 .84 .86 .87 .78 .79 .80 .82 .84 .86 .90 .95 .71 .69 .67 .66 .66 .64 .68 .71 .72 .70 .69 .68 .68 .70 .76 .79
.00 .82 .85 .87 .87 .87 .83 .75 .71 .92 .91 .89 .88 .87 .82 .73 .69 .84 .86 .87 .85 .81 .77 .71 .67 .91 .89 .88 .85 .81 .75 .69 .65 .85 .86 .81 .77 .74 .70 .65 .62 .90 .88 .84 .79 .75 .71 .66 .62
.10 .78 .76 .74 .72 .70 .67 .63 .60 .76 .73 .71 .69 .67 .65 .61 .58 .75 .73 .71 .69 .67 .65 .61 .58 .73 .70 .68 .66 .64 .62 .59 .57 .72 .70 .68 .66 .64 .62 .59 .57 .71 .68 .66 .64 .62 .60 .57 55
.20 .68 .66 .64 .63 .62 .60 .57 .55 .67 .65 .63 .62 .60 .59 .56 .55 .67 .65 .63 .62 .60 .58 .56 .54 .65 .63 .61 .60 .59 .57 .55 .54 .66 .64 .62 .61 .60 .58 .53 .51 .64 .62 .60 .59 .58 .56 .54 .53
.30 .64 .63 .61 .60 .59 .58 .56 .57 .64 .62 .60 .59 .58 .57 .55 .54 .64 .62 .60 .58 .57 .56 .55 .55 .63 .61 .59 .58 .57 .56 .56 .57 .62 .61 .60 .59 .59 .58 .57 .56 .61 .60 .59 .59 .58 .58 .58 .58
.40 .63 .62 .61 .61 .60 .60 .60 .60 .63 .61 .60 .59 .59 .59 .61 .62 .62 .61 .60 .60 .59 .59 .58 .58 .62 .60 .60 .59 .59 .59 .59 .60 .62 .61 .60 .59 .59 .58 .57 .56 .61 .60 .59 .59 .58 .58 .58 .58
.50 .65 .64 .64 .64 .64 .63 .64 .64 .64 .64 .64 .64 .64 .64 .65 .66 .64 .64 .63 .63 .62 .62 .61 .61 .64 .63 .63 .63 .62 .62 .62 .63 .64 .63 .62 .62 .61 .61 .60 .59 .63 .62 .62 .62 .61 .61 .60 .60
.60 .67 .67 .67 .67 .67 .67 .67 .68 .67 .67 .67 .67 .67 .68 .69 .70 .66 .66 .66 .65 .65 .65 .64 .64 .66 .66 .66 .66 .66 .66 .66 .66 .66 .65 .64 .64 .64 .63 .62 .61 .65 .65 .64 .64 .64 .63 .63 .63
.70 .70 .70 .70 .70 .71 .71 .72 .73 .70 .70 .71 .71 .72 .73 .74 .76 .69 .68 .68 .68 .68 .68 .68 .68 .69 .69 .69 .69 .69 .69 .70 .70 .68 .67 .67 .66 .66 .65 .64 .63 .68 .67 .67 .66 .66 .66 .65 .65
.80 .74 .75 .75 .76 .77 .78 .80 .82 .75 .76 .77 .78 .78 .80 .83 .85 .72 .72 .72 .72 .72 .72 .73 .73 .72 .73 .73 .73 .74 .74 .75 .76 .70 .70 .69 .68 .68 .67 .66 .65 .71 .70 .70 .69 .69 .68 .68 .68
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.90 .80 .81 .82 .83 .84 .86 .88 .90 .82 .83 .84 .86 .87 .89 .92 .94 .80 .80 .81 .81 .82 .84 .88 .91 .80 .81 .82 .83 .84 .86 .91 .95 .75 .74 .73 .72 .71 .71 .71 .70 .75 .74 .74 .73 .73 .73 .73 .74
731
UMSS
HORMIGÓN ARMADO TABLA 4- CONSTANTES DE DISEÑO PARA FLEXIÓN BIAXIAL 6 BARS t
gt
𝝆 = 𝑨 𝒔𝒕
𝒕𝒃 𝒕 . 𝟐𝟓 ≤ 𝒃 ≤ 𝟒. 𝟎
gb
b
9
𝟒𝟐𝟎 𝑴𝑷𝒂
7
9
𝟑𝟓𝟎 𝑴𝑷𝒂
7
9
𝟐𝟖𝟎 𝑴𝑷𝒂
7
𝒇𝒚 𝒈
𝟐𝟖 𝑴𝑷𝒂
𝒇´𝒄
𝝆 𝑷𝒖 𝑷𝒐 .00 .10 .20 .30 .40 .50 .60 .70 .80 .90
.010 .015 .020 .025 .030 .040 .060 .080 .010 .015 .020 .025 .030 .040 .060 .080 .010 .015 .020 .025 .030 .040 .060 .080 .010 .015 .020 .025 .030 .040 .060 .080 .010 .015 .020 .025 .030 .040 .060 .080 .010 .015 .020 .025 .030 .040 .060 .080
.82 .82 .80 .78 .75 .72 .66 .64 .85 .81 .77 .74 .72 .70 .66 .64 .81 .79 .76 .74 .72 .68 .64 .62 .82 .78 .74 .72 .70 .67 .63 .62 .79 .76 .72 .69 .67 .65 .62 .60 .80 .75 .72 .69 .67 .64 .62 .61
.75 .73 .70 .68 .66 .64 .63 .61 .73 .70 .68 .67 .65 .63 .62 .62 .73 .70 .67 .65 .64 .62 .59 .58 .71 .68 .65 .64 .63 .62 .61 .59 .70 .67 .65 .64 .62 .60 .57 .56 .69 .65 .63 .63 .62 .60 .58 .56
.67 .65 .65 .64 .63 .61 .59 .58 .67 .65 .64 .64 .63 .62 .61 .60 .66 .64 .63 .61 .60 .59 .56 .55 .65 .64 .63 .62 .61 .60 .58 .57 .65 .63 .61 .60 .59 .57 .54 .53 .65 .62 .61 .60 .59 .57 .56 .55
.65 .64 .62 .62 .61 .60 .59 .59 .65 .64 .63 .63 .62 .61 .60 .59 .63 .62 .60 .59 .59 .58 .58 .58 .64 .62 .61 .60 .59 .58 .58 .59 .63 .60 .58 .57 .56 .56 .55 .55 .62 .60 .59 .58 .57 .57 .57 .58
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.65 .65 .65 .65 .65 .65 .65 .66 .64 .64 .64 .64 .65 .66 .66 .67 .64 .64 .64 .63 .63 .63 .63 .62 .64 .64 .64 .64 .65 .65 .65 .66 .64 .63 .62 .62 .61 .61 .60 .59 .63 .63 .63 .62 .62 .62 .62 .62
.67 .67 .67 .67 .67 .67 .68 .68 .67 .67 .67 .68 .68 .68 .69 .69 .66 .66 .66 .66 .66 .65 65 .65 .67 .67 .67 .67 .67 .67 .67 .67 .65 .64 .64 .63 .63 .62 .61 .60 .66 .65 .65 .65 .64 .64 .64 .63
.69 .69 .69 .69 .70 .70 .70 .70 .69 .70 .70 .70 .70 .71 .71 .72 .69 .68 .68 .68 .68 .68 .68 .68 .69 .69 .69 .69 .69 .69 .69 .69 .67 .66 .65 .65 .64 .63 .62 .61 .68 .67 .67 .67 .66 .66 .66 .66
.73 .73 .73 .73 .73 .74 .75 .75 .73 .73 .74 .74 .75 .73 .76 .76 .72 .71 .71 .71 .71 .70 .70 .70 .72 .72 .72 .72 .71 .72 .72 .72 .70 .68 .67 .66 .66 .65 .64 .64 .70 .70 .69 .69 .69 .68 .68 .68
.79 .80 .81 .81 .81 .81 .83 83 .79 .79 .80 .80 .81 .81 .82 .83 .77 .76 .76 .76 .76 .77 .76 .75 .77 .77 .76 .76 .77 .76 .75 .75 .72 .71 .69 .69 .69 .68 .67 .68 .74 .73 .72 .70 .70 .68 .71 .72
.00 .82 .82 .81 .80 .78 .75 .70 .66 .87 .84 .81 .78 .76 .73 .69 .66 .81 .81 .78 .76 .75 .71 .66 .63 .85 .81 .78 .75 .73 .70 .65 .63 .81 .77 .75 .72 .69 .66 .63 .61 .83 .79 .75 .73 .70 .66 .63 62
𝟒𝟐 𝑴𝑷𝒂 .10 .20 .75 .68 .73 .66 .71 .65 .69 .64 .68 .63 .65 .62 .63 .60 .62 .58 .74 .67 .72 .66 .70 .65 .68 .64 .67 .64 .64 .63 .63 .61 .62 .60 .73 .66 .71 .65 .68 .63 .67 .62 .65 .61 .63 .59 .60 .57 .58 .56 .72 .66 .69 .65 .67 .63 .65 .62 .64 .61 .63 .60 .61 .58 .60 .57 .71 .66 .68 .64 .65 .62 .64 .61 .63 .60 .61 .58 .58 .54 .57 .52 .70 .65 .67 .63 .65 .61 .63 .60 .63 .59 .61 .58 .58 .56 .57 .55
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.40 .64 .63 .62 .62 .62 .62 .62 .62 .64 .63 .62 .61 .61 .61 .61 .62 .63 .62 .62 .61 .61 .60 60 .60 .63 .62 .61 .61 .61 .61 .61 .62 .63 .62 .61 .60 .60 .59 .58 .58 .62 .61 .60 .60 .60 .60 .59 .59
.50 .65 .65 .65 .65 .65 .64 .64 .65 .65 .65 .64 .64 .64 .65 .65 .65 .65 .65 .64 .64 .64 .63 .63 .63 .65 .64 .64 .64 .64 .64 .64 .64 .64 .64 .63 .63 .62 .62 .61 .60 .64 .64 .63 .63 .63 .62 .62 .62
.60 .67 .67 .67 .67 .67 .67 .67 .67 .67 .67 .67 .67 .67 .67 .68 .68 .67 .67 .66 .66 .66 .66 .66 .66 .67 .67 .67 .66 .66 .67 .67 .67 .66 .66 .65 .65 .64 .64 .63 .62 .66 .66 .66 .65 .65 .65 .65 .65
.70 .69 .69 .69 .69 .69 .70 .70 .70 .69 .69 .70 .70 .70 .70 .71 .72 .69 .69 .69 .69 .69 .68 .68 .68 .69 .69 .69 .69 .69 .69 .69 .69 .68 .68 .67 .67 .66 .66 .65 .64 .68 .68 .68 .68 .68 .68 .67 .67
.80 .73 .73 .73 .74 .74 .74 .75 .75 .73 .74 .74 .74 .75 .75 .76 .76 .72 .72 .72 .72 .71 .71 .71 .71 .72 .72 .72 .72 .72 .72 .72 .72 .71 .70 .70 .69 .69 .68 .67 .67 .72 .71 .71 .71 .70 .70 .69 .69
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.90 .79 .79 .80 .80 .81 .81 .83 .84 .79 .80 .80 .81 .82 .83 .84 .84 .78 .77 .78 .77 .78 .78 .78 .78 .78 .78 .78 .78 .78 .78 .77 .78 .76 .75 .74 .74 .73 .73 .72 .71 .76 .75 .74 .74 .73 .73 .72 .71
732
UMSS
HORMIGÓN ARMADO TABLA 5- CONSTANTES DE DISEÑO PARA FLEXIÓN BIAXIAL 10 BARS t
𝝆 = 𝑨 𝒔𝒕
gt
𝒕𝒃 𝒕 . 𝟐𝟓 ≤ 𝒃 ≤ 𝟒. 𝟎
gb
b
9
420 MPa
7
9
𝟑𝟓𝟎 𝑴𝑷𝒂
7
9
𝟐𝟖𝟎 𝑴𝒑𝒂
7
𝒇𝒚 𝒈
𝒇´𝒄 𝝆
𝑷𝒖
𝟐𝟖 𝑴𝑷𝒂 𝑷𝒐
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HORMIGÓN ARMADO TABLA 6- CONSTANTES DE DISEÑO PARA FLEXIÓN BIAXIAL 8 BARS t
gt
𝝆 = 𝑨 𝒔𝒕
𝒕𝒃 𝒕 . 𝟐𝟓 ≤ 𝒃 ≤ 𝟒. 𝟎
gb
b
9
𝟒𝟐𝟎 𝑴𝑷𝒂
7
9
𝟑𝟓𝟎 𝑴𝑷𝒂
7
9
𝟐𝟖𝟎 𝑴𝑷𝒂
7
𝒇𝒚 𝒈
𝟐𝟖 𝑴𝑷𝒂
𝒇´𝒄
𝑷𝒖
𝝆
𝑷𝒐
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HORMIGÓN ARMADO TABLA 7- CONSTANTES DE DISEÑO PARA FLEXIÓN BIAXIAL 12 BARS t gt
𝝆 = 𝑨 𝒔𝒕
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gb
b
9
𝟒𝟐𝟎 𝑴𝑷𝒂
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𝟐𝟖𝟎 𝑴𝑷𝒂
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𝒇𝒚 𝒈
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𝟐𝟖 𝑴𝑷𝒂 𝑷𝒐
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.80 .72 .72 .72 .72 .72 .72 .73 .73 .73 .73 .73 .73 .73 .74 .74 .74 .71 .71 .70 .70 .70 .70 .70 .69 .72 .72 .72 .72 .71 .71 .71 .71 .70 .69 .68 .67 .67 .65 .64 .63 .70 .70 .69 .68 .67 .67 .65 .65
.90 .78 .78 .78 .78 .78 .78 .77 .77 .78 .78 .78 .78 .78 .78 .78 .77 .76 .76 .75 .75 .75 .75 .76 .75 .77 .76 .75 .75 .75 .75 .74 .74 .72 .70 .69 .67 .67 .65 .65 .67 .73 .70 .69 .69 .69 .67 .68 .70
.00 .79 .79 .77 .75 .74 .71 .67 .64 .83 .79 .76 .74 .73 .71 .68 .66 .78 .76 .74 .72 .70 .67 .65 .62 .80 .76 .74 .72 .70 .67 .65 .65 .77 .74 .71 .68 .67 .65 .61 .59 .78 .74 .72 .69 .67 .64 .63 .61
𝟒𝟐 𝑴𝑷𝒂 .10 .20 .73 .68 .71 .67 .69 .66 .68 .65 .67 .64 .66 .63 .64 .62 .62 .61 .73 .69 .71 .68 .69 .67 .68 .66 .68 .65 .67 .64 .66 .63 .65 .62 .71 .67 .69 .65 .68 .63 .66 .62 .65 .61 .63 .60 .60 .58 .59 .57 .71 .68 .69 .66 .68 .65 .67 .64 .67 .63 .65 .63 .63 .62 .62 .61 .70 .65 .67 .63 .65 .61 .64 .60 .63 .59 .60 .57 .57 .54 .56 .53 .69 .66 .68 .64 .66 .63 .65 .61 .63 .61 .62 .60 .60 .58 .59 .57
.30 .66 .65 .65 .64 .62 .62 .60 .59 .66 .65 .65 .64 .64 .63 .62 .61 .64 .63 .62 .61 .60 .58 .58 .58 .65 .64 .63 .62 .62 .61 .59 .59 .63 .61 .59 .58 .57 .57 .56 .56 .64 .62 .61 .60 .59 .58 .58 .58
.40 .64 .63 .63 .62 .62 .62 .61 .61 .65 .64 .63 .63 .62 .61 .61 .62 .64 .63 .63 .62 .62 .62 .61 .61 .64 .63 .62 .62 .61 .61 .61 .61 .63 .62 .62 .61 .61 .60 .59 .59 .63 .62 .62 .61 .61 .61 .61 .61
.50 .65 .65 .65 .65 .64 .64 .64 .64 .65 .65 .65 .64 .64 .64 .65 .65 .65 .65 .65 .65 .64 .64 .64 .63 .65 .65 .64 .64 .64 .64 .64 .64 .65 .64 .64 .63 .63 .63 .62 .61 .65 .64 .64 .64 .64 .64 .63 .63
.60 .67 .67 .67 .67 .67 .67 .67 .67 .67 .67 .67 .67 .67 .67 .67 .68 .67 .67 .66 .66 .66 .66 .66 .65 .67 .67 .66 .66 .66 .66 .66 .66 .66 .66 .66 .65 .65 .65 .64 .64 .67 .66 .66 .66 .66 .66 .65 .65
.70 .69 .69 .69 .69 .69 .69 .70 .70 .69 .69 .70 .70 .70 .70 .70 .71 .69 .69 .68 .68 .68 .68 .68 .68 .69 .69 .69 .69 .69 .69 .69 .69 .68 .68 .68 .67 .67 .67 .66 .65 .68 .68 .68 .68 .68 .67 .67 .66
.80 .72 .72 .72 .73 .73 .73 .73 .73 .73 .73 .73 .73 .73 .74 .74 .74 .72 .72 .72 .72 .71 .71 .71 .71 .72 .72 .72 .72 .72 .72 .72 .72 .71 .70 .70 .69 .69 .68 .67 .66 .71 .71 .70 .70 .69 .69 .68 .68
copyright©rcolquea
.90 .78 .78 .78 .78 .77 .77 .77 .77 .78 .78 .78 .78 .78 .78 .78 .78 .78 .77 .77 .77 .76 .76 .76 .76 .77 .77 .77 .77 .77 .77 .77 .77 .75 .74 .73 .72 .71 .70 .69 .70 .76 .75 .74 .74 .74 .72 .72 .69
735
UMSS
HORMIGÓN ARMADO TABLA 8 - COEFICIENTES PARA MOMENTO ULTIMO UNIAXIAL t g
4 BARRAS
Coef. = 𝑀𝑢 /𝜙𝑓′𝑐
b𝑡 2
𝑞 = 𝜌𝑓𝑦 /𝑓′𝑐
Coef. = 𝑀𝑢 /𝜙𝑓′𝑐 b𝑡 2
𝜌 = 𝐴 𝑠𝑡 /𝑏𝑡
4 BARRAS
b
,08
,10
,12
,14
,16
,18
,20
,25
,30
,35
,40
,50
,60
,70
,80
,90
1,0
g 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9
𝑃𝑢 /𝜙𝑓′𝑐 bt
= 𝟐𝟖𝟎
𝑃𝑢 /𝜙𝑓′𝑐 bt q
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 1,40 ,036 ,036 ,037 ,043 ,044 ,046 ,050 ,052 ,055 ,058 ,060 ,064 ,065 ,068 ,073 ,072 ,076 ,082 ,079 ,084 ,091 ,097 ,104 ,114 ,114 ,124 ,136 ,132 ,144 ,158 ,149 ,164 ,181 ,184 ,204 ,226 ,219 ,244 ,271 ,254 ,284 ,316 ,289 ,324 ,361 ,324 ,364 ,406 ,359 ,404 ,451
,054 ,056 ,059 ,062 ,064 ,068 ,069 ,072 ,077 ,076 ,080 ,086 ,083 ,088 ,095 ,090 ,096 ,104 ,097 ,104 ,113 ,114 ,124 ,136 ,132 ,144 ,158 ,149 ,164 ,181 ,167 ,184 ,203 ,202 ,224 ,248 ,236 ,264 ,293 ,271 ,304 ,338 ,306 ,344 ,383 ,341 ,384 ,428 ,376 ,424 ,473
,072 ,076 ,080 ,079 ,084 ,089 ,086 ,092 ,098 ,093 ,100 ,107 ,100 ,108 ,116 ,107 ,116 ,125 ,114 ,124 ,134 ,132 ,144 ,156 ,149 ,163 ,179 ,166 ,183 ,201 ,184 ,203 ,224 ,219 ,243 ,269 ,253 ,283 ,314 ,288 ,323 ,359 ,323 ,363 ,404 ,358 ,403 ,449 ,393 ,443 ,494
,089 ,093 ,097 ,096 ,101 ,106 ,103 ,109 ,115 ,110 ,117 ,124 ,117 ,125 ,133 ,124 ,133 ,142 ,131 ,141 ,151 ,148 ,161 ,174 ,165 ,181 ,196 ,183 ,201 ,219 ,200 ,221 ,241 ,235 ,261 ,286 ,270 ,301 ,331 ,305 ,341 ,376 ,340 ,381 ,421 ,375 ,421 ,466 ,410 ,461 ,511
,104 ,108 ,112 ,111 ,116 ,121 ,118 ,124 ,130 ,125 ,132 ,139 ,132 ,140 ,148 ,139 ,148 ,157 ,146 ,156 ,166 ,163 ,176 ,188 ,181 ,196 ,211 ,198 ,216 ,233 ,216 ,236 ,256 ,251 ,276 ,301 ,286 ,316 ,346 ,321 ,356 ,391 ,356 ,396 ,436 ,391 ,436 ,481 ,426 ,476 ,526
,115 ,119 ,123 ,122 ,127 ,132 ,129 ,135 ,141 ,136 ,143 ,150 ,143 ,151 ,159 ,150 ,159 ,168 ,157 ,167 ,177 ,175 ,187 ,200 ,192 ,207 ,222 ,210 ,227 ,245 ,227 ,247 ,267 ,262 ,287 ,312 ,297 ,327 ,357 ,332 ,367 ,402 ,367 ,407 ,447 ,402 ,447 ,492 ,437 ,487 ,537
,124 ,128 ,132 ,131 ,136 ,141 ,138 ,144 ,150 ,145 ,152 ,159 ,152 ,160 ,168 ,159 ,168 ,177 ,166 ,176 ,186 ,183 ,196 ,208 ,201 ,216 ,231 ,218 ,236 ,253 ,236 ,256 ,276 ,271 ,296 ,321 ,306 ,336 ,366 ,341 ,376 ,411 ,376 ,416 ,456 ,411 ,456 ,501 ,446 ,496 ,546
,129 ,133 ,137 ,136 ,141 ,146 ,143 ,149 ,155 ,150 ,157 ,164 ,157 ,165 ,173 ,164 ,173 ,182 ,171 ,181 ,191 ,188 ,201 ,213 ,206 ,221 ,236 ,223 ,241 ,258 ,241 ,261 ,281 ,276 ,301 ,326 ,311 ,341 ,371 ,346 ,381 ,416 ,381 ,421 ,461 ,416 ,461 ,506 ,451 ,501 ,551
,131 ,135 ,139 ,138 ,143 ,148 ,145 ,151 ,157 ,152 ,159 ,166 ,159 ,167 ,175 ,166 ,175 ,184 ,173 ,183 ,193 ,191 ,203 ,216 ,208 ,223 ,238 ,226 ,243 ,261 ,243 ,263 ,283 ,278 ,303 ,328 ,313 ,343 ,373 ,348 ,383 ,418 ,383 ,423 ,463 ,418 ,463 ,508 ,453 ,503 ,553
,127 ,133 ,139 ,134 ,140 ,148 ,140 ,148 ,156 ,146 ,156 ,165 ,153 ,163 ,174 ,159 ,171 ,183 ,166 ,179 ,192 ,183 ,198 ,215 ,199 ,218 ,237 ,216 ,238 ,260 ,233 ,257 ,282 ,267 ,297 ,327 ,302 ,336 ,372 ,336 ,376 ,417 ,371 ,416 ,462 ,405 ,456 ,507 ,440 ,495 ,552
,122 ,126 ,131 ,128 ,133 ,139 ,133 ,140 ,148 ,140 ,148 ,156 ,146 ,155 ,165 ,152 ,162 ,173 ,158 ,169 ,182 ,174 ,188 ,203 ,190 ,207 ,225 ,206 ,226 ,246 ,223 ,245 ,268 ,256 ,283 ,312 ,290 ,322 ,356 ,323 ,361 ,401 ,358 ,401 ,445 ,392 ,440 ,490 ,426 ,480 ,534
,105 ,108 ,112 ,111 ,115 ,119 ,117 ,121 ,127 ,122 ,128 ,135 ,128 ,135 ,142 ,134 ,142 ,150 ,140 ,149 ,158 ,155 ,166 ,178 ,170 ,184 ,198 ,185 ,201 ,219 ,201 ,220 ,240 ,233 ,257 ,282 ,265 ,294 ,324 ,298 ,332 ,367 ,331 ,370 ,411 ,365 ,409 ,454 ,399 ,448 ,498
,080 ,082 ,085 ,087 ,089 ,092 ,093 ,096 ,100 ,099 ,103 ,108 ,105 ,110 ,115 ,111 ,117 ,123 ,117 ,123 ,131 ,132 ,141 ,150 ,147 ,158 ,170 ,162 ,175 ,189 ,178 ,193 ,209 ,209 ,229 ,250 ,240 ,265 ,292 ,272 ,302 ,334 ,305 ,340 ,376 ,338 ,378 ,419 ,371 ,416 ,462
,047 ,049 ,050 ,054 ,056 ,058 ,061 ,063 ,066 ,068 ,071 ,074 ,075 ,078 ,082 ,082 ,085 ,090 ,088 ,093 ,098 ,105 ,111 ,118 ,121 ,129 ,137 ,136 ,146 ,157 ,152 ,164 ,177 ,183 ,200 ,217 ,214 ,236 ,258 ,246 ,272 ,300 ,278 ,309 ,341 ,310 ,346 ,384 ,343 ,384 ,426
,012 ,012 ,013 ,019 ,020 ,021 ,026 ,027 ,029 ,034 ,035 ,037 ,041 ,042 ,045 ,048 ,050 ,053 ,055 ,057 ,061 ,072 ,076 ,081 ,089 ,095 ,101 ,106 ,113 ,122 ,123 ,132 ,142 ,155 ,168 ,183 ,187 ,204 ,223 ,218 ,241 ,264 ,250 ,277 ,306 ,282 ,314 ,347 ,315 ,351 ,390
q ,08
,10
,12
,14 ,004 ,004 ,004 ,012 ,012 ,013 ,019 ,020 ,021 ,037 ,039 ,042 ,055 ,058 ,063 ,072 ,077 ,083 ,089 ,096 ,104 ,124 ,134 ,145 ,157 ,171 ,186 ,189 ,208 ,228 ,221 ,245 ,269 ,254 ,281 ,311 ,286 ,318 ,352
,16
,18
,20
,25 ,019 ,020 ,022 ,037 ,040 ,043 ,055 ,059 ,064 ,089 ,097 ,106 ,124 ,135 ,147 ,158 ,173 ,189 ,191 ,210 ,231 ,224 ,247 ,273 ,256 ,285 ,315
,30
,35 ,019 ,020 ,022 ,054 ,059 ,065 ,090 ,098 ,107 ,124 ,136 ,149 ,159 ,174 ,191 ,192 ,212 ,233 ,225 ,250 ,276
,40
,50 ,019 ,020 ,022 ,054 ,060 ,066 ,090 ,099 ,109 ,124 ,137 ,152 ,159 ,176 ,194
,60
,70
,80
,90
1,0
g 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9
= 𝟒𝟐𝟎
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 1,40 ,035 ,036 ,037 ,043 ,044 ,046 ,050 ,052 ,055 ,058 ,060 ,064 ,065 ,068 ,073 ,072 ,076 ,082 ,079 ,084 ,091 ,097 ,104 ,113 ,114 ,124 ,136 ,132 ,144 ,158 ,149 ,164 ,181 ,184 ,204 ,226 ,219 ,243 ,270 ,253 ,283 ,315 ,288 ,323 ,360 ,323 ,363 ,405 ,357 ,402 ,450
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,127 ,133 ,138 ,134 ,140 ,147 ,140 ,148 ,156 ,146 ,155 ,165 ,153 ,163 ,173 ,159 ,170 ,182 ,165 ,178 ,191 ,182 ,197 ,213 ,198 ,217 ,236 ,215 ,236 ,258 ,232 ,255 ,280 ,265 ,295 ,325 ,300 ,334 ,370 ,334 ,374 ,414 ,368 ,413 ,459 ,403 ,453 ,504 ,437 ,492 ,549
,125 ,129 ,134 ,130 ,136 ,142 ,136 ,143 ,150 ,142 ,150 ,158 ,148 ,157 ,166 ,154 ,164 ,175 ,160 ,171 ,183 ,175 ,189 ,204 ,191 ,208 ,225 ,207 ,226 ,247 ,223 ,245 ,268 ,256 ,283 ,312 ,289 ,322 ,355 ,320 ,360 ,399 ,356 ,399 ,444 ,390 ,439 ,488 ,425 ,478 ,532
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copyright©rcolquea
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736
,018 ,020 ,022 ,054 ,060 ,067 ,089 ,100 ,111 ,125 ,139 ,154 ,159 ,177 ,196
UMSS
HORMIGÓN ARMADO TABLA 9 - COEFICIENTES PARA MOMENTO ULTIMO UNIAXIAL t g
6 BARRAS
Coef. = 𝑀𝑢 /𝜙𝑓′𝑐
b𝑡 2
𝑞 = 𝜌𝑓𝑦 /𝑓′𝑐
Coef. = 𝑀𝑢 /𝜙𝑓′𝑐 b𝑡 2
𝜌 = 𝐴 𝑠𝑡 /𝑏𝑡
6 BARRAS
b
,08
,10
,12
,14
,16
,18
,20
,25
,30
,35
,40
,50
,60
,70
,80
,90
1,0
g 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9
𝑃𝑢 /𝜙𝑓′𝑐 bt
= 𝟐𝟖𝟎
𝑃𝑢 /𝜙𝑓′𝑐 bt q
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 1,40 ,036 ,036 ,037 ,043 ,044 ,046 ,051 ,052 ,055 ,058 ,060 ,064 ,065 ,068 ,073 ,072 ,076 ,082 ,079 ,084 ,091 ,097 ,104 ,112 ,114 ,124 ,134 ,131 ,143 ,155 ,148 ,163 ,176 ,182 ,200 ,217 ,216 ,236 ,256 ,247 ,270 ,294 ,272 ,299 ,326 ,297 ,327 ,357 ,322 ,355 ,388
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,120 ,122 ,125 ,124 ,128 ,131 ,129 ,133 ,137 ,134 ,138 ,143 ,138 ,144 ,149 ,143 ,149 ,155 ,148 ,154 ,161 ,159 ,168 ,176 ,171 ,181 ,191 ,182 ,194 ,206 ,194 ,207 ,221 ,217 ,234 ,251 ,241 ,261 ,281 ,264 ,287 ,311 ,287 ,314 ,341 ,311 ,341 ,371 ,334 ,367 ,401
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q ,08
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,12
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,70
,80
,90
1,0
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= 𝟒𝟐𝟎
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 1,40 ,036 ,036 ,037 ,043 ,044 ,046 ,051 ,052 ,055 ,058 ,060 ,064 ,065 ,068 ,073 ,072 ,076 ,081 ,079 ,084 ,090 ,097 ,103 ,112 ,114 ,123 ,134 ,131 ,142 ,155 ,147 ,161 ,176 ,178 ,198 ,217 ,203 ,234 ,256 ,228 ,264 ,289 ,253 ,294 ,321 ,277 ,322 ,352 ,301 ,350 ,384
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,119 ,123 ,127 ,123 ,128 ,133 ,128 ,133 ,139 ,132 ,138 ,145 ,136 ,143 ,151 ,140 ,148 ,157 ,145 ,153 ,163 ,156 ,167 ,178 ,167 ,180 ,193 ,178 ,193 ,208 ,189 ,206 ,223 ,211 ,233 ,253 ,234 ,260 ,283 ,257 ,287 ,312 ,280 ,314 ,342 ,303 ,341 ,372 ,326 ,368 ,402
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copyright©rcolquea
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737
,018 ,020 ,023 ,048 ,054 ,061 ,076 ,085 ,095 ,104 ,116 ,128 ,131 ,146 ,162
UMSS
HORMIGÓN ARMADO TABLA 10 - COEFICIENTES PARA MOMENTO ULTIMO UNIAXIAL t g
8 BARRAS
Coef. = 𝑀𝑢 /𝜙𝑓′𝑐
b𝑡 2
𝑞 = 𝜌𝑓𝑦 /𝑓′𝑐
Coef. = 𝑀𝑢 /𝜙𝑓′𝑐 b𝑡 2
𝜌 = 𝐴 𝑠𝑡 /𝑏𝑡
8 BARRAS
b
,08
,10
,12
,14
,16
,18
,20
,25
,30
,35
,40
,50
,60
,70
,80
,90
1,0
g 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9
𝑃𝑢 /𝜙𝑓′𝑐 bt
= 𝟐𝟖𝟎
𝑃𝑢 /𝜙𝑓′𝑐 bt q
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 1,40 ,036 ,036 ,037 ,043 ,044 ,046 ,051 ,052 ,055 ,058 ,060 ,064 ,065 ,068 ,072 ,072 ,076 ,081 ,079 ,084 ,089 ,096 ,103 ,109 ,113 ,121 ,129 ,130 ,139 ,147 ,144 ,154 ,163 ,170 ,182 ,195 ,195 ,211 ,226 ,220 ,238 ,258 ,244 ,266 ,288 ,268 ,293 ,319 ,292 ,321 ,349
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1,0
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= 𝟒𝟐𝟎
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 1,40 ,036 ,036 ,037 ,043 ,044 ,046 ,051 ,052 ,055 ,058 ,060 ,063 ,065 ,068 ,072 ,072 ,076 ,080 ,079 ,083 ,089 ,096 ,102 ,109 ,110 ,119 ,128 ,123 ,134 ,145 ,137 ,149 ,161 ,162 ,179 ,194 ,188 ,208 ,226 ,213 ,237 ,257 ,238 ,266 ,288 ,259 ,293 ,319 ,280 ,321 ,349
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,112 ,115 ,118 ,116 ,120 ,123 ,120 ,124 ,128 ,124 ,129 ,134 ,128 ,134 ,139 ,132 ,138 ,144 ,136 ,143 ,150 ,146 ,155 ,163 ,156 ,166 ,176 ,166 ,178 ,189 ,176 ,189 ,202 ,196 ,212 ,228 ,216 ,235 ,254 ,236 ,258 ,280 ,255 ,281 ,306 ,275 ,303 ,332 ,295 ,326 ,358
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copyright©rcolquea
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738
,016 ,018 ,020 ,046 ,050 ,055 ,074 ,082 ,090 ,100 ,112 ,125 ,125 ,139 ,155
UMSS
HORMIGÓN ARMADO TABLA 11 - COEFICIENTES PARA MOMENTO ULTIMO UNIAXIAL t g
10 BARRAS
Coef. = 𝑀𝑢 /𝜙𝑓′𝑐
b𝑡 2
𝑞 = 𝜌𝑓𝑦 /𝑓′𝑐
Coef. = 𝑀𝑢 /𝜙𝑓′𝑐 b𝑡 2
𝜌 = 𝐴 𝑠𝑡 /𝑏𝑡
10 BARRAS
b
,08
,10
,12
,14
,16
,18
,20
,25
,30
,35
,40
,50
,60
,70
,80
,90
1,0
g 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9
𝑃𝑢 /𝜙𝑓′𝑐 bt
= 𝟐𝟖𝟎
𝑃𝑢 /𝜙𝑓′𝑐 bt q
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 1,40 ,036 ,036 ,037 ,044 ,044 ,046 ,051 ,052 ,054 ,058 ,060 ,063 ,065 ,068 ,071 ,072 ,076 ,079 ,079 ,083 ,087 ,095 ,101 ,105 ,110 ,116 ,122 ,124 ,132 ,139 ,138 ,147 ,156 ,164 ,176 ,188 ,190 ,205 ,220 ,213 ,233 ,252 ,234 ,257 ,282 ,256 ,282 ,309 ,277 ,306 ,337
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q ,08
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,70
,80
,90
1,0
g 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9
= 𝟒𝟐𝟎
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 1,40 ,036 ,036 ,037 ,043 ,044 ,046 ,051 ,052 ,054 ,058 ,060 ,063 ,065 ,068 ,071 ,072 ,075 ,079 ,078 ,082 ,087 ,093 ,098 ,105 ,107 ,114 ,122 ,121 ,130 ,139 ,134 ,145 ,155 ,158 ,175 ,188 ,180 ,201 ,218 ,201 ,226 ,245 ,223 ,250 ,273 ,244 ,274 ,300 ,265 ,298 ,327
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,111 ,114 ,116 ,115 ,118 ,121 ,118 ,122 ,127 ,122 ,127 ,132 ,126 ,131 ,137 ,129 ,135 ,142 ,133 ,140 ,146 ,142 ,150 ,159 ,151 ,161 ,171 ,160 ,172 ,183 ,169 ,182 ,196 ,187 ,203 ,220 ,205 ,224 ,244 ,223 ,245 ,268 ,241 ,266 ,292 ,258 ,287 ,316 ,276 ,308 ,340
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,115 ,118 ,122 ,118 ,122 ,126 ,122 ,126 ,131 ,125 ,130 ,136 ,128 ,134 ,140 ,131 ,138 ,145 ,134 ,142 ,149 ,143 ,152 ,161 ,151 ,162 ,173 ,159 ,172 ,184 ,168 ,183 ,196 ,185 ,203 ,220 ,202 ,224 ,243 ,219 ,245 ,267 ,236 ,265 ,290 ,254 ,286 ,314 ,271 ,306 ,338
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copyright©rcolquea
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,016 ,017 ,019 ,044 ,048 ,052 ,072 ,078 ,084 ,099 ,107 ,115 ,124 ,136 ,146 ,146 ,161 ,176 ,166 ,185 ,204
739
,015 ,017 ,019 ,043 ,048 ,053 ,070 ,077 ,084 ,097 ,106 ,116 ,122 ,134 ,146
UMSS
HORMIGÓN ARMADO TABLA 12 - COEFICIENTES PARA MOMENTO ULTIMO UNIAXIAL t g
Coef. = 𝑀𝑢 /𝜙𝑓′𝑐 b𝑡 2
MAXIMO: 10 BARRAS
10
10
Coef. = 𝑀𝑢 /𝜙𝑓′𝑐 b𝑡 2
𝜌 = 𝐴 𝑠𝑡 /𝑏𝑡
MAXIMO: 10 BARRAS
𝑞 = 𝜌𝑓𝑦 /𝑓′𝑐
b
,08
,10
,12
,14
,16
,18
,20
,25
,30
,35
,40
,50
,60
,70
,80
,90
1,0
g 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9
𝑃𝑢 /𝜙𝑓′𝑐 bt
= 𝟐𝟖𝟎
𝑃𝑢 /𝜙𝑓′𝑐 bt q
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 1,40 ,036 ,036 ,037 ,044 ,044 ,045 ,051 ,052 ,053 ,058 ,059 ,061 ,065 ,066 ,068 ,071 ,073 ,076 ,077 ,080 ,083 ,092 ,096 ,100 ,106 ,111 ,117 ,119 ,125 ,133 ,131 ,139 ,148 ,154 ,166 ,178 ,176 ,191 ,206 ,197 ,215 ,233 ,217 ,239 ,259 ,237 ,263 ,286 ,256 ,284 ,312
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q ,08
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,60
,70
,80
,90
1,0
g 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9
= 𝟒𝟐𝟎
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copyright©rcolquea
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740
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UMSS
HORMIGÓN ARMADO TABLA 13- COEFICIENTES PARA MOMENTO ULTIMO UNIAXIAL t g
8 BARRAS
Coef. = 𝑀𝑢 /𝜙𝑓′𝑐
b𝑡 2
𝑞 = 𝜌𝑓𝑦 /𝑓′𝑐
Coef. = 𝑀𝑢 /𝜙𝑓′𝑐 b𝑡 2
𝜌 = 𝐴 𝑠𝑡 /𝑏𝑡
8 BARRAS
b
,08
,10
,12
,14
,16
,18
,20
,25
,30
,35
,40
,50
,60
,70
,80
,90
1,0
g 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9
𝑃𝑢 /𝜙𝑓′𝑐 bt
= 𝟐𝟖𝟎
𝑃𝑢 /𝜙𝑓′𝑐 bt q
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= 𝟒𝟐𝟎
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,100 ,104 ,107 ,106 ,111 ,115 ,112 ,118 ,122 ,117 ,124 ,130 ,123 ,131 ,137 ,128 ,137 ,144 ,134 ,144 ,151 ,148 ,160 ,170 ,161 ,176 ,187 ,175 ,192 ,205 ,188 ,208 ,223 ,215 ,239 ,258 ,242 ,270 ,293 ,269 ,301 ,327 ,295 ,332 ,362 ,322 ,362 ,396 ,348 ,393 ,430
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,117 ,120 ,123 ,122 ,126 ,130 ,127 ,132 ,137 ,133 ,138 ,144 ,138 ,145 ,151 ,143 ,151 ,157 ,149 ,157 ,164 ,162 ,172 ,181 ,175 ,187 ,198 ,188 ,202 ,215 ,201 ,217 ,232 ,228 ,248 ,266 ,254 ,278 ,300 ,281 ,308 ,334 ,307 ,338 ,368 ,333 ,368 ,402 ,360 ,399 ,436
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copyright©rcolquea
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741
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UMSS
HORMIGÓN ARMADO TABLA 14- COEFICIENTES PARA MOMENTO ULTIMO UNIAXIAL t g
10 BARRAS
Coef. = 𝑀𝑢 /𝜙𝑓′𝑐
b𝑡 2
𝑞 = 𝜌𝑓𝑦 /𝑓′𝑐
Coef. = 𝑀𝑢 /𝜙𝑓′𝑐 b𝑡 2
𝜌 = 𝐴 𝑠𝑡 /𝑏𝑡
10 BARRAS
b
,08
,10
,12
,14
,16
,18
,20
,25
,30
,35
,40
,50
,60
,70
,80
,90
1,0
g 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9
𝑃𝑢 /𝜙𝑓′𝑐 bt
= 𝟐𝟖𝟎
𝑃𝑢 /𝜙𝑓′𝑐 bt q
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 1,40 ,036 ,036 ,037 ,043 ,044 ,046 ,051 ,052 ,055 ,058 ,060 ,064 ,065 ,068 ,073 ,072 ,076 ,081 ,079 ,084 ,090 ,097 ,104 ,111 ,114 ,123 ,132 ,131 ,142 ,153 ,148 ,161 ,173 ,179 ,194 ,208 ,207 ,225 ,243 ,234 ,255 ,277 ,261 ,286 ,311 ,288 ,316 ,345 ,314 ,346 ,378
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= 𝟒𝟐𝟎
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copyright©rcolquea
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742
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UMSS
HORMIGÓN ARMADO TABLA 15- COEFICIENTES PARA MOMENTO ULTIMO UNIAXIAL t g
12 BARRAS
Coef. = 𝑀𝑢 /𝜙𝑓′𝑐
b𝑡 2
𝑞 = 𝜌𝑓𝑦 /𝑓′𝑐
Coef. = 𝑀𝑢 /𝜙𝑓′𝑐 b𝑡 2
𝜌 = 𝐴 𝑠𝑡 /𝑏𝑡
12 BARRAS
b
,08
,10
,12
,14
,16
,18
,20
,25
,30
,35
,40
,50
,60
,70
,80
,90
1,0
g 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9
𝑃𝑢 /𝜙𝑓′𝑐 bt
= 𝟐𝟖𝟎
𝑃𝑢 /𝜙𝑓′𝑐 bt q
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 1,40 ,036 ,036 ,037 ,043 ,044 ,046 ,051 ,052 ,055 ,058 ,060 ,064 ,065 ,068 ,072 ,072 ,076 ,081 ,079 ,084 ,089 ,096 ,103 ,109 ,112 ,121 ,128 ,127 ,137 ,146 ,142 ,153 ,164 ,172 ,185 ,199 ,199 ,216 ,233 ,226 ,247 ,267 ,252 ,277 ,301 ,276 ,305 ,335 ,300 ,332 ,366
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,12
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= 𝟒𝟐𝟎
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copyright©rcolquea
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743
,016 ,018 ,020 ,045 ,051 ,056 ,074 ,082 ,090 ,102 ,112 ,123 ,130 ,142 ,156
UMSS
HORMIGÓN ARMADO TABLA 16- COEFICIENTES PARA MOMENTO ULTIMO UNIAXIAL t g
10 BARRAS
Coef. = 𝑀𝑢 /𝜙𝑓′𝑐
b𝑡 2
𝑞 = 𝜌𝑓𝑦 /𝑓′𝑐
Coef. = 𝑀𝑢 /𝜙𝑓′𝑐 b𝑡 2
𝜌 = 𝐴 𝑠𝑡 /𝑏𝑡
10 BARRAS
b
,08
,10
,12
,14
,16
,18
,20
,25
,30
,35
,40
,50
,60
,70
,80
,90
1,0
g 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9
𝑃𝑢 /𝜙𝑓′𝑐 bt
= 𝟐𝟖𝟎
𝑃𝑢 /𝜙𝑓′𝑐 bt q
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 1,40 ,036 ,036 ,037 ,043 ,044 ,046 ,051 ,052 ,055 ,058 ,060 ,064 ,065 ,068 ,073 ,072 ,076 ,082 ,079 ,084 ,091 ,097 ,104 ,113 ,114 ,124 ,136 ,132 ,144 ,158 ,149 ,164 ,180 ,184 ,203 ,224 ,218 ,243 ,267 ,253 ,282 ,310 ,287 ,321 ,353 ,322 ,358 ,394 ,356 ,396 ,436
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= 𝟒𝟐𝟎
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copyright©rcolquea
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744
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UMSS
HORMIGÓN ARMADO TABLA 17- COEFICIENTES PARA MOMENTO ULTIMO UNIAXIAL t g
12 BARRAS
Coef. = 𝑀𝑢 /𝜙𝑓′𝑐
b𝑡 2
𝑞 = 𝜌𝑓𝑦 /𝑓′𝑐
Coef. = 𝑀𝑢 /𝜙𝑓′𝑐 b𝑡 2
𝜌 = 𝐴 𝑠𝑡 /𝑏𝑡
12 BARRAS
b
,08
,10
,12
,14
,16
,18
,20
,25
,30
,35
,40
,50
,60
,70
,80
,90
1,0
g 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9
𝑃𝑢 /𝜙𝑓′𝑐 bt
= 𝟐𝟖𝟎
𝑃𝑢 /𝜙𝑓′𝑐 bt q
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 1,40 ,036 ,036 ,037 ,043 ,044 ,046 ,051 ,052 ,055 ,058 ,060 ,064 ,065 ,068 ,073 ,072 ,076 ,082 ,079 ,084 ,091 ,097 ,104 ,112 ,114 ,124 ,134 ,131 ,143 ,155 ,148 ,163 ,176 ,182 ,200 ,216 ,214 ,234 ,253 ,243 ,266 ,289 ,272 ,298 ,326 ,300 ,331 ,361 ,328 ,363 ,397
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= 𝟒𝟐𝟎
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copyright©rcolquea
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745
,017 ,019 ,022 ,049 ,054 ,060 ,080 ,089 ,098 ,109 ,122 ,136 ,138 ,154 ,172
UMSS
HORMIGÓN ARMADO TABLA 18- COEFICIENTES PARA MOMENTO ULTIMO UNIAXIAL t g
14 BARRAS
Coef. = 𝑀𝑢 /𝜙𝑓′𝑐
b𝑡 2
𝑞 = 𝜌𝑓𝑦 /𝑓′𝑐
Coef. = 𝑀𝑢 /𝜙𝑓′𝑐 b𝑡 2
𝜌 = 𝐴 𝑠𝑡 /𝑏𝑡
14 BARRAS
b
,08
,10
,12
,14
,16
,18
,20
,25
,30
,35
,40
,50
,60
,70
,80
,90
1,0
g 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9
𝑃𝑢 /𝜙𝑓′𝑐 bt
= 𝟐𝟖𝟎
𝑃𝑢 /𝜙𝑓′𝑐 bt q
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= 𝟒𝟐𝟎
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copyright©rcolquea
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746
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UMSS
HORMIGÓN ARMADO TABLA 19- COEFICIENTES PARA MOMENTO ULTIMO UNIAXIAL t g
10 BARRAS
Coef. = 𝑀𝑢 /𝜙𝑓′𝑐
b𝑡 2
𝑞 = 𝜌𝑓𝑦 /𝑓′𝑐
Coef. = 𝑀𝑢 /𝜙𝑓′𝑐 b𝑡 2
𝜌 = 𝐴 𝑠𝑡 /𝑏𝑡
10 BARRAS
b
,08
,10
,12
,14
,16
,18
,20
,25
,30
,35
,40
,50
,60
,70
,80
,90
1,0
g 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9
𝑃𝑢 /𝜙𝑓′𝑐 bt
= 𝟐𝟖𝟎
𝑃𝑢 /𝜙𝑓′𝑐 bt q
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 1,40 ,036 ,036 ,037 ,043 ,044 ,046 ,051 ,052 ,055 ,058 ,060 ,064 ,065 ,068 ,073 ,072 ,076 ,082 ,079 ,084 ,091 ,097 ,104 ,113 ,114 ,124 ,136 ,132 ,144 ,158 ,149 ,164 ,181 ,184 ,204 ,225 ,219 ,243 ,269 ,253 ,283 ,313 ,288 ,323 ,356 ,322 ,361 ,399 ,357 ,400 ,442
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= 𝟒𝟐𝟎
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copyright©rcolquea
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747
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UMSS
HORMIGÓN ARMADO TABLA 20- COEFICIENTES PARA MOMENTO ULTIMO UNIAXIAL t g
14 BARRAS
Coef. = 𝑀𝑢 /𝜙𝑓′𝑐
b𝑡 2
𝑞 = 𝜌𝑓𝑦 /𝑓′𝑐
Coef. = 𝑀𝑢 /𝜙𝑓′𝑐 b𝑡 2
𝜌 = 𝐴 𝑠𝑡 /𝑏𝑡
14 BARRAS
b
,08
,10
,12
,14
,16
,18
,20
,25
,30
,35
,40
,50
,60
,70
,80
,90
1,0
g 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9
𝑃𝑢 /𝜙𝑓′𝑐 bt
= 𝟐𝟖𝟎
𝑃𝑢 /𝜙𝑓′𝑐 bt q
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= 𝟒𝟐𝟎
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copyright©rcolquea
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748
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UMSS
HORMIGÓN ARMADO TABLA 21- COEFICIENTES PARA MOMENTO ULTIMO UNIAXIAL t g
16 BARRAS
Coef. = 𝑀𝑢 /𝜙𝑓′𝑐
b𝑡 2
𝑞 = 𝜌𝑓𝑦 /𝑓′𝑐
Coef. = 𝑀𝑢 /𝜙𝑓′𝑐 b𝑡 2
𝜌 = 𝐴 𝑠𝑡 /𝑏𝑡
16 BARRAS
b
,08
,10
,12
,14
,16
,18
,20
,25
,30
,35
,40
,50
,60
,70
,80
,90
1,0
g 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9
𝑃𝑢 /𝜙𝑓′𝑐 bt
= 𝟐𝟖𝟎
𝑃𝑢 /𝜙𝑓′𝑐 bt q
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g 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9
= 𝟒𝟐𝟎
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 1,40 ,036 ,036 ,037 ,043 ,044 ,046 ,051 ,052 ,055 ,058 ,060 ,064 ,065 ,068 ,072 ,072 ,076 ,081 ,079 ,084 ,090 ,096 ,103 ,112 ,112 ,121 ,133 ,127 ,139 ,153 ,143 ,156 ,172 ,173 ,191 ,210 ,203 ,226 ,248 ,230 ,260 ,286 ,257 ,294 ,323 ,283 ,326 ,359 ,310 ,357 ,393
,055 ,056 ,058 ,062 ,064 ,067 ,069 ,072 ,076 ,076 ,079 ,084 ,082 ,087 ,093 ,089 ,094 ,101 ,095 ,101 ,109 ,111 ,119 ,128 ,126 ,136 ,148 ,141 ,154 ,167 ,156 ,171 ,186 ,185 ,206 ,224 ,212 ,239 ,261 ,239 ,271 ,297 ,265 ,303 ,332 ,292 ,333 ,366 ,318 ,364 ,400
,072 ,074 ,077 ,078 ,081 ,085 ,085 ,088 ,093 ,091 ,095 ,101 ,097 ,103 ,108 ,103 ,110 ,116 ,109 ,116 ,124 ,125 ,134 ,143 ,139 ,151 ,162 ,153 ,168 ,181 ,167 ,185 ,199 ,194 ,217 ,235 ,221 ,249 ,270 ,247 ,279 ,304 ,274 ,310 ,339 ,300 ,340 ,373 ,327 ,370 ,406
,087 ,089 ,092 ,093 ,096 ,100 ,099 ,103 ,108 ,105 ,110 ,115 ,111 ,117 ,123 ,116 ,124 ,130 ,122 ,130 ,138 ,136 ,147 ,156 ,149 ,163 ,174 ,163 ,179 ,191 ,176 ,194 ,209 ,203 ,225 ,243 ,229 ,256 ,277 ,256 ,286 ,311 ,281 ,316 ,345 ,306 ,346 ,379 ,331 ,376 ,413
,099 ,102 ,105 ,104 ,109 ,112 ,110 ,115 ,119 ,115 ,122 ,127 ,121 ,128 ,134 ,126 ,134 ,141 ,132 ,140 ,148 ,145 ,156 ,165 ,158 ,171 ,182 ,172 ,187 ,199 ,185 ,202 ,216 ,211 ,232 ,250 ,236 ,262 ,284 ,260 ,292 ,318 ,285 ,322 ,351 ,310 ,350 ,385 ,334 ,379 ,418
,109 ,112 ,115 ,114 ,118 ,122 ,119 ,124 ,129 ,125 ,130 ,135 ,130 ,137 ,142 ,135 ,143 ,149 ,140 ,149 ,156 ,153 ,164 ,173 ,165 ,179 ,190 ,178 ,194 ,207 ,190 ,208 ,223 ,215 ,237 ,257 ,240 ,266 ,290 ,264 ,294 ,322 ,289 ,323 ,355 ,313 ,351 ,387 ,337 ,379 ,419
,116 ,119 ,122 ,121 ,125 ,129 ,126 ,131 ,135 ,131 ,136 ,142 ,135 ,142 ,148 ,140 ,148 ,155 ,145 ,154 ,162 ,158 ,168 ,178 ,170 ,182 ,194 ,182 ,196 ,210 ,194 ,210 ,226 ,219 ,239 ,259 ,243 ,267 ,291 ,267 ,295 ,323 ,292 ,323 ,355 ,316 ,351 ,387 ,340 ,379 ,419
,120 ,123 ,126 ,125 ,129 ,133 ,130 ,134 ,139 ,134 ,140 ,145 ,139 ,145 ,152 ,144 ,151 ,158 ,149 ,157 ,164 ,161 ,171 ,180 ,173 ,184 ,196 ,185 ,198 ,212 ,197 ,212 ,228 ,221 ,240 ,260 ,245 ,268 ,291 ,269 ,296 ,323 ,293 ,324 ,355 ,317 ,352 ,387 ,342 ,380 ,418
,120 ,124 ,128 ,124 ,129 ,134 ,128 ,134 ,140 ,133 ,139 ,147 ,137 ,145 ,153 ,142 ,150 ,159 ,146 ,156 ,166 ,157 ,169 ,181 ,169 ,183 ,197 ,180 ,197 ,213 ,192 ,211 ,229 ,215 ,238 ,260 ,239 ,266 ,292 ,262 ,295 ,323 ,286 ,323 ,355 ,310 ,351 ,386 ,334 ,379 ,418
,118 ,121 ,125 ,122 ,126 ,131 ,126 ,131 ,137 ,130 ,136 ,143 ,134 ,141 ,149 ,139 ,146 ,154 ,143 ,151 ,161 ,153 ,164 ,176 ,164 ,177 ,191 ,175 ,191 ,207 ,187 ,204 ,223 ,209 ,231 ,254 ,232 ,259 ,286 ,255 ,286 ,319 ,279 ,314 ,351 ,302 ,342 ,384 ,326 ,370 ,416
,115 ,117 ,121 ,118 ,122 ,126 ,122 ,127 ,132 ,126 ,132 ,137 ,130 ,136 ,143 ,134 ,141 ,149 ,139 ,146 ,155 ,149 ,159 ,169 ,159 ,171 ,184 ,170 ,184 ,199 ,181 ,197 ,215 ,203 ,224 ,246 ,226 ,250 ,277 ,248 ,278 ,309 ,271 ,305 ,341 ,295 ,333 ,373 ,318 ,360 ,405
,101 ,103 ,106 ,105 ,108 ,111 ,110 ,113 ,117 ,114 ,118 ,122 ,118 ,123 ,128 ,122 ,128 ,134 ,127 ,133 ,139 ,137 ,145 ,154 ,148 ,157 ,168 ,158 ,170 ,183 ,169 ,182 ,197 ,190 ,208 ,227 ,212 ,234 ,258 ,234 ,260 ,289 ,256 ,287 ,320 ,279 ,314 ,351 ,302 ,341 ,383
,078 ,079 ,081 ,083 ,085 ,088 ,089 ,091 ,094 ,094 ,097 ,100 ,099 ,102 ,106 ,104 ,108 ,113 ,109 ,113 ,119 ,120 ,127 ,134 ,132 ,140 ,148 ,143 ,152 ,163 ,154 ,165 ,178 ,175 ,191 ,207 ,197 ,216 ,237 ,219 ,242 ,268 ,241 ,269 ,298 ,263 ,295 ,329 ,286 ,322 ,361
,046 ,047 ,048 ,052 ,054 ,055 ,059 ,060 ,062 ,065 ,067 ,069 ,071 ,074 ,076 ,077 ,080 ,083 ,083 ,087 ,090 ,097 ,102 ,107 ,110 ,117 ,123 ,123 ,131 ,139 ,135 ,144 ,155 ,158 ,171 ,185 ,180 ,197 ,215 ,202 ,223 ,246 ,224 ,249 ,276 ,247 ,276 ,307 ,269 ,302 ,338
,011 ,012 ,012 ,018 ,019 ,020 ,025 ,026 ,027 ,032 ,033 ,035 ,038 ,040 ,042 ,045 ,047 ,049 ,051 ,053 ,056 ,067 ,070 ,074 ,082 ,087 ,091 ,097 ,103 ,109 ,111 ,118 ,126 ,136 ,148 ,159 ,161 ,175 ,191 ,184 ,202 ,222 ,207 ,229 ,253 ,229 ,255 ,283 ,252 ,282 ,314
,003 ,004 ,004 ,011 ,011 ,013 ,017 ,019 ,020 ,034 ,036 ,039 ,050 ,053 ,057 ,066 ,070 ,075 ,081 ,086 ,093 ,110 ,119 ,128 ,138 ,150 ,162 ,163 ,179 ,195 ,187 ,206 ,227 ,210 ,233 ,258 ,233 ,260 ,290
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,017 ,019 ,021 ,033 ,036 ,040 ,049 ,053 ,058 ,080 ,086 ,094 ,110 ,119 ,129 ,138 ,151 ,164 ,164 ,181 ,198 ,189 ,210 ,231 ,213 ,237 ,264
,017 ,019 ,021 ,048 ,053 ,059 ,079 ,087 ,095 ,110 ,119 ,130 ,138 ,152 ,165 ,165 ,183 ,200 ,190 ,212 ,234
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,017 ,019 ,021 ,048 ,054 ,060 ,078 ,087 ,960 ,108 ,120 ,132 ,138 ,152 ,167
UMSS ECUACIONES DE CONSTANTES DE DISEÑO BIAXIAL
HORMIGÓN ARMADO Fig. 5B Fy = 4200 kg/cm2 4 BARRAS APÉNDICEB) DIAGRAMA PARA CONSTANTE 𝛽 PARA EL DISEÑO BIAXIALÁBACOS DE LA PCA 1 0.95
0.9 0.85 0.8 0.75 0.7
0.65 0.6 0.55 0.5 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
𝑃𝑢 𝑃𝑜 Ref.Ec C.1-Constante para el diseño biaxial-Disposición con 4 barras, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎 (Ec. 1)
y = ((a + cx + ex2 + gx3 + ix4)/(1 + bx + dx2 + fx3 + hx4 + jx5))/2 + 0.5
(Ec. 2)
y = ((a + cx + ex2 + gx3 + ix4 + kx5)/(1 + bx + dx2 + fx3 + hx4 + jx5))/2 + 0.5
(Ec. 3)
y = ((a + cx + ex2 + gx3 + ix4 + kx5)/(1 + bx + dx2 + fx3 + hx4 + jx5))/2 + 0.5
(Ec. 4)
y = ((a + cx + ex2 + gx3 + ix4 + kx5)/(1 + bx + dx2 + fx3 + hx4 + jx5))/2 + 0.5 (Ec. 5)
y = ((a + cx + ex2 + gx3 + ix4 + kx5)/(1 + bx + dx2 + fx3 + hx4 + jx5))/2 + 0.5
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Fig. 6B
ECUACIONES DE CONSTANTES DE DISEÑO BIAXIAL
UMSS
HORMIGÓN ARMADO Fy = 4200 kg/cm2 8 BARRAS
1 0.95 0.9 0.85 0.8 0.75
0.7 0.65 0.6 0.55 0.5 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Pu Po
Ref.EcC.2-Constante para el diseño biaxial-Disposición con 8 barras, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎 (Ec. 1)
y = (a + bx + cx2 + dx3 + ex4 + fx5 + gx6 + hx7 + ix8 + jx9 + kx10 )/2 + 0.5
(Ec. 2)
y = ((a + cx + ex2 + gx3 + ix4 + kx5)/(1 + bx + dx2 + fx3 + hx4 + jx5))/2 + 0.5
(Ec. 3)
y = ((a + cx + ex2 + gx3 + ix 4 + kx5)/(1 + bx + dx2 + fx3 + hx4 + jx5))/2 + 0.5
(Ec. 4)
y = ((a + cx + ex2 + gx3 + ix4 + kx5)/(1 + bx + dx2 + fx3 + hx4 + jx5))/2 + 0.5
(Ec. 5)
. . . . . . y = ((a + cx0 5 + ex + gx1 5 + ix2 + kx2 5)/(1 + bx0 5 + dx + fx1 5 + hx2 + jx2 5))/2 + 0.5)
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Fig. 7B
ECUACIONES DE CONSTANTES DE DISEÑO BIAXIAL
Fy = 4200 kg/cm2 HORMIGÓN ARMADO 12 -Adelante BARRAS
UMSS 1 0.95 0.9 0.85 0.8 0.75 0.7 0.65 0.6 0.55 0.5 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Pu Po
Ref.Ec C.3-Constante para el diseño biaxial-Disposición con 12 o más barras uniformemente espaciadas, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎 (Ec. 1)
y = ((a + cx + ex2 + gx3 + ix4)/(1 + bx + dx2 + fx3 + hx4 + jx5))/2 + 0.5
(Ec. 2)
y = ((a + cx + ex2 + gx3 + ix4 + kx5)/(1 + bx + dx2 + fx3 + hx4 + jx5))/2 + 0.5
(Ec. 3)
y = ((a + cx + ex2 + gx3 + ix4 + kx5)/(1 + bx + dx2 + fx3 + hx4 + jx5))/2 + 0.5 .
.
.
.
.
(Ec. 4)
y = ((a + cx0 5 + ex + gx1 5 + ix2)/(1 + bx0 5 + dx + fx1 5 + hx2 + jx2 5))/2 + 0.5
(Ec. 5)
y = ((a + cx + ex2 + gx3 + ix4 + kx5)/(1 + bx + dx2 + fx3 + hx4 + jx5))/2 + 0.5
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Fig. 8B
ECUACIONES DE CONSTANTES DE DISEÑO BIAXIAL
Fy = 4200 kg/cm2 HORMIGÓN 6,8 y 10ARMADO BARRAS
UMSS 1 0.95 0.9 0.85 0.8 0.75 0.7 0.65 0.6 0.55 0.5 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Pu Po
Ref.Ec C.4-Constante para el diseño biaxial-Disposición con 6, 8 y 10 barras, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎 (Ec. 1)
y = ((a + cx + ex2 + gx3 + ix4 + kx5)/(1 + bx + dx2 + fx3 + hx4 + jx5))/2 + 0.5
(Ec. 2)
y = ((a + cx + ex2 + gx3 + ix4 + kx5)/(1 + bx + dx2 + fx3 + hx4 + jx5))/2 + 0.5
(Ec. 3)
y = ((a + cx0 5 + ex + gx1 5 + ix2 + kx2 5)/(1 + bx0 5 + dx + fx1 5 + hx2 + jx2 5))/2 + 0.5
(Ec. 4)
y = ((a + cx0 5 + ex + gx1 5 + ix2 + kx2 5)/(1 + bx0 5 + dx + fx1 5 + hx2 + jx2 5))/2 + 0.5
(Ec. 5)
y = ((a + cx + ex2 + gx3 + ix4 + kx5)/(1 + bx + dx2 + fx3 + hx4 + jx5))/2 + 0.5
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CAPÍTULO 9: MUROS DE CORTANTE 9.1) INTRODUCCIÓN Desde hace mucho se ha producido la utilidad de los muros en la planeación estructural de edificios de niveles múltiples. Cuando los muros se colocan en posiciones ventajosas dentro de una construcción, pueden ser muy eficientes para resistir las cargas laterales producidas por el viento o los sismos. Estos muros se han denominado muros de cortante debido a que con frecuencia gran parte de la carga lateral de edificio, si no es que toda, y la fuerza cortante horizontal se transfieren. Los edificios de niveles múltiples se han hecho más altos y esbeltos, por lo que, con esta tendencia el análisis de muros de cortante es una parte importante del diseño, en la figura 9.1 se muestra un edificio que se encuentra en Nueva York, donde se puede ver el muro de cortante con abertura que está destinado a resistir fuerzas horizontales.
Figura 9.1 – Vista del muro de cortante en el edificio
Con frecuencia los muros a cortante contienen numerosas aberturas. El ingeniero estructural será afortunado si dichas aberturas forman un patrón sistemático. En los laboratorios de investigación y desarrollo de la Asociación de Cemento Portland en Skokie, Illinois, han contribuido mucho al estado actual de compresión de los muros de cortante. Ciertos aspectos originados en la resistencia sísmica y respuesta elastoplástica de muros cortantes acoplados y sus componentes se han estudiado en la Universidad de Canterbury106. El uso de muros cortantes o su equivalente se hace imperativo en determinados edificios elevados a fin de poder controlar las deflexiones de entrepiso, provocadas por la carga lateral. 106
(Paulay, 1988, pág. 633) copyright©rcolquea
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Los muros cortantes bien diseñados en las áreas sísmicas tienen un buen historial. No sólo pueden proporcionar seguridad estructural adecuada, sino que también pueden dar gran protección contra daño no estructural costoso durante las perturbaciones sísmicas moderadas. 9.2) CRITERIOS DE DISEÑO107 En edificios altos es necesario proveer una rigidez adecuada para resistir las fuerzas laterales causadas por viento y sismo. Cuando tales edificios no son adecuadamente diseñados para estas fuerzas, pueden presentarse esfuerzos muy altos, vibraciones y deflexiones laterales cuando ocurran las fuerzas. Los resultados pueden incluir no solo severos daños a los edificios, sino también considerables molestias a sus ocupantes. Cuando los muros de concreto reforzado, con sus grandes rigideces en sus planos se colocan en ciertas localidades convenientes y estratégicas, pueden a menudo usarse económicamente para proporcionar la resistencia necesaria a cargas horizontales. Tales muros, llamados muros de cortante, son en efecto vigas en voladizo vertical de gran peralte que proporciona estabilidad lateral a las estructuras al resistir a las fuerzas cortantes y momentos flexionantes en sus planos causados por las fuerzas laterales. Como la resistencia de los muros de cortante es casi siempre controlada por sus resistencias a flexión, el nombre parece no ser muy apropiado. Sin embargo, es cierto que en algunas ocasiones pueden requerir algún refuerzo cortante para prevenir las fallas por tensión diagonal. En verdad que uno de requisitos básicos de los muros de cortante diseñados para fuerzas sísmicas elevadas es asegurar el diseño controlado por flexión más bien que el diseño controlado por cortante. La práctica usual es suponer que las fuerzas laterales actúan en los niveles de los pisos. Las rigideces horizontales de las losas de los pisos son muy grandes comparadas con las rigideces de los muros y columnas. Se supone entonces que cada piso se desplaza en su plano horizontal como un cuerpo rígido. La figura 9.2 muestra la planta de un edificio sometido a fuerzas horizontales. Las fuerzas laterales, generalmente de cargas eólicas o sísmicas, se aplican a las losas de los pisos y techo del edificio y esas losas, actuando como grandes vigas, transfieren las cargas principalmente a los muros de cortante A y B. Si las fuerzas laterales vienen de la otra dirección (perpendicular), son resistidas principalmente por los muros de cortante C y D.
Figura 9.2 – Vista en planta de un piso soportado por muros de cortante
107
(McCormac C., 2011, pág. 545) copyright©rcolquea
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Los muros deben ser suficientemente rígidos para limitar las deflexiones a valores razonables. Se usan comúnmente los muros de cortante en edificios con losas de piso de placa plana. De hecho, esta combinación de losas y muros es el tipo más común de construcción usado actualmente en edificios altos de apartamentos y otros tipos de edificios residenciales. Los muros de cortante salvan las distancias verticales totales de entre pisos. Si los muros son cuidadosa y simétricamente colocados en planta, resistirán eficientemente las cargas verticales y laterales sin interferir considerablemente con los requisitos arquitectónicos. Se han construido edificios de concreto reforzado de hasta 70 niveles con muros de cortante como su fuente primaria de rigidez lateral. En la dirección horizontal pueden usarse muros de cortante totales, es decir, que corran sobre toda la longitud de los paneles o crujías. Cuando las fuerzas son menores, ellos tienen que correr solo sobre longitudes parciales de los paneles. Los muros de cortante pueden usarse para resistir solo fuerzas laterales o adicionalmente como muros de carga. Además pueden encerrarse para encerrar elevadores, escaleras y tal vez cuartos sanitarios, como se muestra en la figura 9.3. Estas estructuras mostradas tipo caja son muy satisfactorias para resistir fuerzas horizontales.
Figura 9.3 – Muros de cortante alrededor de elevadores y escaleras
Otro posible arreglo de muros de cortante se muestra en la figura 9.4. Aunque estos también pueden necesitarse en la dirección larga del edificio, no se han incluido en esta figura. En la mayoría de los casos no es posible usar muros de cortante sin aberturas para puertas, ventanas y penetraciones para servicios mecánicos. Sin embargo, con una planificación cuidadosa, es posible situar estas aberturas de manera que no afecten seriamente las rigideces o esfuerzos en los muros. Cuando las aberturas son pequeñas, sus efectos son menores, pero este no es el caso cuando están presentes grandes aberturas, si las aberturas son considerables se recomienda utilizar el método de bielas y tirantes. Existe casos o muros que pueden ser cortos o esbeltos, en el caso de muro cortos se debe seguir un tratamiento especial mediante el método de bielas y tirantes. Generalmente, las aberturas (ventanas, puertas, etc.), se colocan en las filas verticales y simétricas en los muros sobre la altura de la estructura. Las secciones de muro en los lados de abertura se unen entre sí por medio de vigas encerradas en los muros, por las losas de los pisos o por una combinación de ambas. Como puede verse, el análisis estructural de tal situación es
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extremadamente complicado. Si bien los diseños de los muros de cortante son generalmente efectuados por la experiencia previa del proyectista.
Figura 9.4 – Vista en planta del entrepiso con muros de corte
Cuando se considera una construcción resistente a sismo mediante un análisis apropiado, debe recordarse que las partes relativamente rígidas de la estructura a traerán fuerzas mucho mayores que las partes más flexibles. Una estructura con muros de cortante de concreto reforzado será muy rígida y atraerá grandes fuerzas sísmicas. Si estos son frágiles y fallan, el resto de la estructura no será capaz de tomar el impacto. Pero si son dúctiles (lo serán si son reforzados apropiadamente), serán muy efectivos en resistir las fuerzas sísmicas. Frecuentemente, los edificios altos de concreto reforzado se diseñan con muros de cortante para resistir fuerzas sísmicas, y tales edificios se han comportado bastante bien en sismos recientes. Durante un sismo, los muros de cortante apropiadamente diseñados limitaran considerablemente los daños a los marcos estructurales. Ellos también minimizaran los daños a las partes no estructurales de un edificio, como ventanas, puertas, cielos rasos y muros divisorios. La figura 9.5 muestra un muro de cortante sometido a una fuerza lateral 𝑉𝑢 . El muro es en realidad una viga en voladizo de ancho h y peralte total 𝑙𝑤 . En la parte (a) de la figura el muro esta flexionado por 𝑉𝑢 de izquierda a derecha, por lo que se requieren varillas de tracción a la izquierda o lado de tracción. Si 𝑉𝑢 se aplica desde la derecha como se muestra en la parte (b) de la figura, se requerirán varillas de tracción en el extremo derecho del muro. Se ve entonces que un muro de cortante necesita refuerzo de tracción de ambos lados, ya que 𝑉𝑢 puede actuar desde cualquier dirección. Para cálculos de cortante horizontal, el peralte de la viga del extremo de comprensión del muro al centro de gravedad de las varillas de tracción se estima como aproximadamente igual a 0.8 veces la longitud 𝑙𝑤 del muro, de acuerdo con la sección 11.10.4 del ACI. (Si se obtiene un mayor valor de d mediante un análisis apropiado de compatibilidad de deformaciones, puede usarse.)
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Figura 9.5 – Muro de cortante
El muro de cortante actúa como una viga vertical en voladizo y al proporcionar soporte lateral queda sometido a flexión y fuerzas cortantes. Para tal muro, la fuerza cortante máxima 𝑉𝑢 y el momento de flexion máximo 𝑀𝑢 se calculan en la base. Si se calculan esfuerzos de flexión, su magnitud será afectada por la carga axial de diseño 𝑁𝑢 y por tanto, su efecto deberá incluirse en el análisis. La fuerza cortante es más importante en muros con relaciones pequeñas de altura a longitud. Los momentos son más importantes en muros altos, particularmente en aquellos con refuerzo distribuido uniformemente. Es necesario proporcionar a los muros de cortante refuerzo cortante tanto horizontal como vertical. El comentario (R11.9.9) establece que en muros de poca altura el refuerzo cortante horizontal es menos efectivo y el refuerzo cortante vertical es más efectivo. En muros de gran altura la situación es al revés. El refuerzo cortante vertical contribuye a la resistencia cortante de un muro por medio del cortante por fricción. Se colocan las varillas de refuerzo alrededor de todas las aberturas, ya sea que el análisis estructural las considere necesarias o no. Tal práctica es necesaria para prevenir grietas por tensión diagonal, que tienden a desarrollarse en forma radial desde las esquinas de las aberturas. 9.3) REQUISITOS DEL ACI PARA MUROS DE CORTANTE 1. La fuerza cortante factorizada de la viga debe ser igual o menor que la resistencia de diseño por cortante del muro. 𝜑𝑉𝑛 ≥ 𝑉𝑢 2. La resistencia de diseño por cortante del muro es igual a la resistencia de diseño por cortante del concreto más la del refuerzo por cortante. 𝜑𝑉𝑐 + 𝜑𝑉𝑠 ≥ 𝑉𝑢 3. ACI 11.9.3; la resistencia por cortante 𝑉𝑛 en cualquier sección horizontal en el plano del muro no debe tomarse mayor que 0.83√𝑓𝑐, ℎ𝑑 𝑉𝑛,𝑚𝑎𝑥 = 0.83√𝑓𝑐, ℎ𝑑
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4. ACI 11.9.4; al diseñar las fuerzas cortantes horizontales en el plano de un muro, 𝑑 debe tomarse igual a 0.8𝑙𝑤 donde 𝑙𝑤 es la longitud horizontal del muro entre las caras de los apoyos, a menos que pueda justificarse un valor mayor por medio de un análisis de compatibilidad de deformaciones. 5. ACI 11.9.5; la sección 11.2.1 del ACI establece que a menos que se haga un cálculo más detallado (como se describe en el siguiente párrafo), el valor usado de la resistencia nominal por cortante 𝑉𝑐 no debe ser mayor que 0.17λ√𝑓𝑐, ℎ𝑑 en los muros sometidos a una carga 𝑁𝑢 de comprensión axial factorizada. Si un muro está sometido a una carga 𝑁𝑢 de tracción, el valor de 𝑉𝑐 no debe ser mayor que el valor obtenido con la siguiente ecuación: 0.29𝑁𝑢 𝑉𝑐 = 0.17 (1 + ) 𝜆√𝑓𝑐, 𝑏𝑤 𝑑 ≥ 0 𝐴𝑔 6. ACI 11.9.6; usando un análisis más detallado, el valor de 𝑉𝑐 se tomara como el menor valor que se obtenga al sustituir en las dos ecuaciones que siguen, en donde 𝑁𝑢 es la carga axial factorizada normal a la sección transversal que se presente simultáneamente con 𝑉𝑢 . Se tiene que 𝑁𝑢 se considerara positiva para compresión y negativa para tracción. 𝑁𝑢 𝑑 0.27𝜆√𝑓𝑐, ℎ𝑑 + 4𝑙𝑤 𝑁 𝑉𝑐 = 𝑚𝑖𝑛 𝑙𝑤 (0.1𝜆√𝑓𝑐, + 0.2 𝑙 𝑢ℎ) 𝑤 [0.05𝜆√𝑓𝑐, + ] ℎ𝑑 𝑀𝑢 𝑙𝑤 − { 𝑉𝑢 2 La primera de estas ecuaciones se formuló para predecir la resistencia del agrietamiento inclinado en cualquier sección de un muro de cortante, que corresponda a un esfuerzo principal de tensión de aproximadamente 0.33λ√𝑓𝑐, en el centroide de la sección transversal del muro. La segunda ecuación fue formulada para corresponder a la presencia de un esfuerzo de tracción por 𝑀 flexión de 0.5λ√𝑓𝑐, en una sección 𝑙𝑤 /2 arriba de la sección investigada. Si 𝑉𝑢 − 𝑙𝑤 /2 resulta 𝑢
negativo, la segunda ecuación no tendrá sentido y no será utilizada. 𝑀𝑢 𝑁𝑢 𝑑 𝑆í ( − 𝑙𝑤 /2 ) 𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑜 𝑐𝑒𝑟𝑜 → 𝑉𝑐 = 0.27𝜆√𝑓𝑐, ℎ𝑑 + 𝑉𝑢 4𝑙𝑤 7. ACI 11.9.7; los valores de 𝑉𝑢 calculados con las dos ecuaciones anteriores a una distancia de la base igual a 𝑙𝑤 /2 o bien ℎ𝑤 /2 (la que sea menor), son aplicables a todas las secciones entre esta sección y la de la base del muro. 8. ACI 11.9.8; si la fuerza cortante factorizada 𝑉𝑢 es menor que 𝜑𝑉𝑐 /2 calculada como se indicó en los dos párrafos anteriores, será necesario proporcionar una cantidad mínima de refuerzo tanto horizontal como vertical, como se describió en la sección 11.9.9 de la ACI o en el capítulo 14 del código. Si 𝑉𝑢 es mayor que 𝜑𝑉𝑐 /2 el refuerzo del muro de cortante debe diseñarse como se indica en la sección 11.9.9 de la ACI. 9. ACI 11.9.9.1; si la fuerza cortante factorizada 𝑉𝑢 excede la resistencia por cortantes 𝜑𝑉𝐶 , el valor de 𝑉𝑠 debe determinarse con la siguiente expresión, en la que 𝐴𝑣 es el refuerzo por cortante horizontal y 𝑠 es la separación del refuerzo por torsión o por cortante, en una dirección perpendicular al refuerzo horizontal. copyright©rcolquea
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𝐴𝑣 𝑓𝑦 𝑑 𝑠 De acuerdo a las condiciones de diseño podemos determinar el área requerida de refuerzo horizontal: 𝑉𝑢 = 𝜑𝑉𝑐 + 𝜑𝑉𝑠 𝐴𝑣 𝑓𝑦 𝑑 𝐴𝑣 𝑉𝑢 − 𝜑𝑉𝑐 𝑉𝑢 = 𝜑𝑉𝑐 + 𝜑 → = 𝑠 𝑠 𝜑𝑓𝑦 𝑑 10. ACI 11.9.9.2; la cantidad de refuerzo por cortante horizontal 𝜌𝑡 (como porcentaje del área total vertical de concreto) no deberá ser menor que 0.0025. 𝜌𝑡 ≥ 0.0025 11. ACI 11.9.9.3; la separación máxima del refuerzo 𝑠2 por cortante horizontal no deberá 𝑙 ser mayor que 5𝑤 , 3ℎ 𝑜 450 𝑚𝑚. 𝑙𝑤 5 𝑠2.𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛 { 3ℎ 450 𝑚𝑚 12. ACI 11.9.9.4; la cantidad de refuerzo por cortante vertical 𝜌𝑙 (como porcentaje del área total de concreto) no deberá ser menor que el valor dado por la siguiente ecuación, en la que ℎ𝑤 es la altura total el muro. ℎ𝑤 𝜌𝑙 = 0.0025 + 0.5 (2.5 − ) (𝜌𝑡 − 0.0025) 𝑙𝑤 No debe ser menor que 0.0025 pero tampoco mayor que el refuerzo por cortante horizontal requerido 𝜌𝑡 . ℎ𝑤 0.0025 + 0.5 (2.5 − ) (𝜌𝑡 − 0.0025) } 𝑚𝑎𝑥 ≤ 𝜌𝑙 ≤ 𝜌𝑡 𝑙𝑤 0.0025 En los muros altos, el refuerzo vertical es mucho menos eficaz que en los muros bajos. Este hecho se refleja en la ecuación anterior, donde para muros con una relación de altura a longitud menor a 0.5, la cantidad de refuerzo vertical necesaria es igual al refuerzo horizontal requerido. Si la relación es mayor que 2.5, solo se requiere una cantidad mínima de refuerzo vertical (es decir, 0.0025𝑠ℎ). 13. ACI 11.9.9.5; la separación máxima del refuerzo por cortante vertical, no deberá ser 𝑙 mayor que 3𝑤 , 3ℎ, 450 𝑚𝑚. V𝒔 =
𝑙𝑤 3 𝑠1 = 𝑚𝑖𝑛 { 3ℎ 450 𝑚𝑚
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9.4) ANALISIS DE MUROS DE CORTE Es prácticamente imposible modelar de forma exacta los edificios, existen muchos factores que no se considera a cabalidad en los modelos estructurales, estos factores pueden ser: No linealidad geométrica y de material Alteración de las propiedades del material con el tiempo. No homogeneidad del material. Efecto de temperatura y de construcción incremental. La definición precisa de las solicitaciones externas y de las condiciones de apoyo (interacción suelo estructura), etc. Pero en ingeniería civil nos conformamos con modelos idealizados que responden de manera aceptable en todos los años que la humanidad va construyendo, de tal forma que este dentro los límites económicos y la herramienta disponible para el análisis traduzcan el comportamiento real de la edificación. De esta manera es usual aceptar un análisis lineal, suponiendo un material homogéneo, sin considerar el efecto constructivo incremental. Las fuerza dinámicas debidas al viento son en la mayor parte de las veces asimiladas como fuerzas estáticas equivalentes, de esta forma habrá que cuantificar las solicitaciones debidas al viento y juzgar sobre su carácter estático o dinámico de la estructura del edificio, teniendo en cuenta las condiciones de seguridad y confort humano. Comentamos que en la actualidad existen muchas maneras de análisis, desde el punto de vista dimensional, puede ser en 3D, 2D, por ejemplo el Sap 2000 analiza por defecto en 3 dimensiones, pero también se puede analizar en 2 dimensiones, un ejemplo de análisis en 2D es el pórtico equivalente presentado en el capítulo de losas. Desde el punto de vista de la sección transversal, para definir las propiedades mecánicas de cada elemento se pueden considerar los siguientes tipos de secciones: sección bruta, sección neta, sección homogeneizada, sección fisurada, el empleo de una sección u otra va a depender del tipo de análisis estructural por el que se opte. Según el Eurocódigo 2 se considera las siguientes idealizaciones del comportamiento estructural: análisis elástico lineal, análisis elástico lineal con redistribución limitada (o elastoplástico), análisis plástico, análisis no lineal. La idealización tridimensional puede ser hecha considerando directamente la edificación bajo el concepto tridimensional, en este caso es usual considerar las losas con rigidez infinita para deformación en su propio plano, como también despreciar la rigidez a flexión de las losas, se dice entonces, que tales losas son asimiladas a diafragmas. Eventualmente aquella rigidez a flexión puede ser considerada, de forma aproximada, idealizando fajas de losa que trabajen como elementos tipo emparrillado o por medio de discretizaciones en elementos finitos de flexión de placa. Las columnas pared y cajas de ascensores pueden también ser discretizados en elementos finitos, pero más fácilmente idealizados en elementos unidimensionales, tomando en cuenta la deformación por cortante de la sección transversal utilizando para este fin los coeficientes de forma (para distintas secciones transversales del elemento).
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Para poder idealizar un muro de corte como un elemento unidimensional se debe considerar los efectos de los sistemas mecánicos, a continuación desarrollaremos las condiciones para definir la deformación por cortante y flexión. Los efectos mecánicos correspondientes a la energía de deformación por efecto de la fuerza cortante y momento flexionante, para el caso de muros de corte, se obtiene a partir de la energía específica de deformación, resolviendo la siguiente ecuación: 𝑈 = ∭ 𝑈𝑒 𝑑𝑉 𝑉
9.4.1) ENERGÍA DE DEFORMACIÓN POR EFECTO DEL MOMENTO FLECTOR Los esfuerzos normales de una sección sometida a flexión, se calcula mediante la relación: 𝑀𝑧 𝑦 𝜎𝑧 = 𝐼𝑧 Donde: 𝑀𝑧 : momento flector. 𝑦: distancia al eje neutro de la fibra en cuestión. 𝐼𝑧 : Momento de inercia La energía específica se define como: 𝑈𝑒 = 𝑈𝑀 =
1 𝜎𝜀 2 𝑧 𝑧 𝑀𝑧 𝑦 2
1(
1 𝜎𝑧 𝑈𝑒 = 𝑈𝑀 = 𝜎𝑧 = 2 𝐸 2
𝐼𝑧
𝐸
)
=
1 𝑀𝑧 2 𝑦 2 2 𝐼𝑧 2 𝐸
1 𝑀𝑧 2 𝑦 2 𝑈𝑀 = ∭ 𝑈𝑒 𝑑𝑉 = ∫ 𝑑𝑙 ∬ 𝑑𝐴 2 𝑉 0 𝐴 2 𝐼𝑧 𝐸 1
1
𝑈𝑀 = ∫ 𝑑𝑙 0
1 𝑀𝑧 2 ∬ 𝑦 2 𝑑𝐴 2 𝐸𝐼𝑧 2 𝐴 1
2
𝑝𝑒𝑟𝑜 ∬ 𝑦 2 𝑑𝐴 = 𝐼𝑧 1
𝐴 𝑀𝑧 2
1 𝑀𝑧 1 𝑈𝑀 = ∫ 𝐼 𝑑𝑙 = ∫ 𝑑𝑙 𝑧 2 0 𝐸𝐼𝑧 2 2 0 𝐸𝐼𝑧 9.4.2) ENERGÍA DE DEFORMACIÓN POR EFECTO DE LA FUERZA CORTANTE La fuerza cortante que actúa paralelamente a las fibras en cuestión lo propuso Dmitri Zhuravski: 𝑉𝑦 𝑀 𝜏= 𝐼𝑥 𝑏𝑥 Donde: 𝑉𝑦 : es la fuerza cortante 𝑀: momento estático del área generada entre la fibra en cuestión y la fibra más alejada de la sección. 𝐼𝑥 : momento de inercia en torno al eje 𝑥. 𝑏𝑥 : ancho de la fibra en cuestión De acuerdo a la ley Hooke: copyright©rcolquea
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HORMIGÓN ARMADO 𝜏 = 𝐺𝛾 → 𝛾 =
𝜏 𝐺
La energía específica será: 𝑈𝑒 = 2
𝑈𝑒 =
1 𝜏𝛾 2
𝑉𝑦 𝑀 2
1 (𝐼
1𝜏 = 2𝐺 2
𝑥 𝑏𝑥
)
=
𝐺
1 𝑉𝑦 2 𝑀2 2 𝐼𝑥 2 𝑏𝑥 2 𝐺
Recordemos que 𝐼𝑥 = 𝐴𝜌2 siendo 𝜌 el radio de giro: 1 𝑉𝑦 2 𝑀2 2 𝐼𝑥 𝐺𝐴𝜌2 𝑏𝑥 2
𝑈𝑒 = Calculando la energía de deformación total:
1
𝑈𝑉 = ∭ 𝑈𝑒 𝑑𝑉 = ∫ 𝑑𝑙 ∬ 𝑉
0
𝐴
1 𝑉𝑦 2 𝑀2 𝑑𝐴 2 𝐼𝑥 𝐺𝐴𝜌2 𝑏𝑥 2
El coeficiente de forma 𝑘 es: 𝑀2
𝑘=∬
𝑑𝐴 𝐼𝑥 𝜌2 𝑏𝑥 2 El coeficiente de forma vale 1.2 para secciones rectangulares, 1.03 para secciones triangulares, 10/9 para secciones circulares y para perfiles se toma la relación 𝐴𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 /𝐴𝑎𝑙𝑚𝑎 . Por tanto la energía de deformación por cortante será: 𝐴
1 𝑘𝑉𝑦 2 𝑈𝑉 = ∫ 𝑑𝑙 0 2 𝐺𝐴 1
Ejemplo 9.1 Calcular el coeficiente de forma de un rectángulo, coeficiente de forma que también se utiliza en muros de corte. Paso 1: El coeficiente de forma está definido por: 𝑀2 𝑘=∬ 𝑑𝐴 2 2 𝐴 𝐼𝑥 𝜌 𝑏𝑥 Paso 2: Determinar el momento estático 𝑀 (ℎ − 𝑦)𝑏 ℎ ℎ−𝑦 = → 𝑏𝑦 = 𝑏 𝑏𝑦 ℎ 𝑀=
(ℎ − 𝑦) (ℎ − 𝑦)𝑏 (ℎ − 𝑦) 𝑏𝑦 (ℎ − 𝑦) 𝑏 (ℎ − 𝑦) [𝑦 + (ℎ − 𝑦)2 (ℎ + 𝑦) [𝑦 + ]= ]= 6 2 6ℎ 2 12ℎ 𝑀2 =
𝑏2 (ℎ − 𝑦)4 (ℎ + 𝑦)2 144ℎ2
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Paso 3: Determinar 𝐼𝑥 , 𝜌2 𝐼𝑥 =
𝑏ℎ3 12
𝐼𝑥 = 𝐴𝜌2 →
𝑏ℎ3 ℎ2 = 𝑏ℎ𝜌2 → 𝜌2 = 12 12
Paso 4: Determinar el coeficiente de forma 𝑘 Reemplazando valores: 𝑀2
𝑘=∬ 𝐴 𝑏2
𝑘=∬ 𝐴
(ℎ − 𝑦)4 (ℎ + 144ℎ2 𝑏ℎ3 ℎ2 (ℎ−𝑦)2 𝑏 2 12 12
𝑘= 𝑘=
ℎ2
𝑦)2
𝐼𝑥 𝜌2 𝑏𝑦 2
𝑑𝐴 = ∬ 𝐴
𝑑𝐴 1 (ℎ − 𝑦)2 (ℎ + 𝑦)2 𝑑𝐴 = ℎ5 𝑏
1 ∬ (ℎ2 − 2ℎ𝑦 + 𝑦 2 )(ℎ2 + 2ℎ𝑦 + 𝑦 2 )𝑑𝐴 ℎ5 𝑏 𝐴
1 𝑦=ℎ 𝑥=𝑏 2 ∫ ∫ (ℎ − 2ℎ𝑦 + 𝑦 2 )(ℎ2 + 2ℎ𝑦 + 𝑦 2 )𝑑𝑥𝑑𝑦 ℎ5 𝑏 𝑦=0 𝑥=0 1 ℎ5 𝑏 6 5 𝑘 = 5 (ℎ 𝑏 + ) = = 1.2 ℎ 𝑏 5 5
9.4.3) DEFORMACIÓN POR FLEXIÓN Y CORTANTE PARA MUROS DE CORTE Para deducir las deformaciones primero debemos definir el teorema de Castigliano. En el año 1870, el ingeniero ferroviario italiano Alberto Castigliano publicó en dos partes su trabajo sobre la variación de la energía de deformación de los sistemas elásticos. Los teoremas I y II de su trabajo se conocen frecuentemente como primer y segundo teorema de Castigliano. Primer teorema de Castigliano: ´La derivada parcial de la energía de deformación con respecto a la fuerza axial es igual al desplazamiento en su punto de aplicación cuya dirección es la misma de dicha fuerza´. 𝜕𝑈 = 𝛿𝑖 𝜕𝑃𝑖 Segundo teorema de Castigliano: ´En un cuerpo elástico 𝑘 conformado como un sistema consecutivo, la derivada parcial de la energía de deformación respecto a la fuerza es igual al desplazamiento en un punto de aplicación y la misma dirección de dicha fuerza´. 𝜕𝑈 = 𝑃𝑖 𝜕𝛿𝑖 Dado el teorema de Castigliano se deducirá la deformación por cortante y flexión en una sección prismática empotrada que se muestra en la figura 9.6, la misma corresponde a una sección en volado o la idealización de un muro de corte, es decir las deformaciones de la figura 9.6 son para vigas en volado y muros de corte.
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Figura 9.6 – Idealización de una viga en volado o muro de corte
De acuerdo a la figura 9.6 determinamos las reacciones ∑ 𝑀𝐴 = 0 → 𝑀𝐴 − 𝑃𝐿 = 0 → 𝑀𝐴 = 𝑃𝐿 ∑ 𝐹𝑦 = 0 → 𝐴𝑦 − 𝑃 = 0 → 𝐴𝑦 = 𝑃 ∑ 𝐹𝑥 = 0 → 𝐴𝑥 = 0 Definimos las ecuaciones de momento y cortante: ∑ 𝑀𝑥 = 0 → −𝑀 + 𝑀𝐴 − 𝑃𝑥 = 0 → 𝑀 = 𝑀𝐴 − 𝑃𝑥 → 𝑀 = 𝑃𝐿 − 𝑃𝑥 ∑ 𝑉𝑥 = 0 → −𝑉 + 𝑃 = 0 → 𝑉 = 𝑃 Determinar la energía de deformación por flexión 1
𝑈𝑀 == 2 ∫ 0
1𝑀2 𝑑𝑥 2𝐸𝐼
Aplicando el teorema de Castigliano hallamos la deformación por flexión 𝑙
𝛿𝑀 = 2 ∫ 0
𝑀 𝜕𝑀 2 𝑙 ( ) 𝑑𝑥 = ∫ (𝑃𝐿 − 𝑃𝑥)𝑥 𝑑𝑥 𝐸𝐼 𝜕𝑃 𝐸𝐼 0
2 𝑙 2 𝑃𝑙 3 𝑃𝑙 3 2) (𝑃𝐿𝑥 𝛿𝑀 = ∫ − 𝑃𝑥 𝑑𝑥 = ( − ) 𝐸𝐼 0 𝐸𝐼 2 3 𝑃𝑙 3 𝛿𝑀 = 3𝐸𝐼 Determinar la energía de deformación por corte 𝑙
𝑈𝑉 = 2 ∫ 0
1 𝑘𝑉 2 𝑑𝑥 2 𝐺𝐴
Aplicando el teorema de Castigliano hallamos la deformación por corte 𝑙
𝛿𝑉 = 2𝑘 ∫ 0
𝑙 𝑉 𝜕𝑉 𝑃 2𝑘 𝑙 2𝑘𝑃𝐿 (1) 𝑑𝑥 = ( ) 𝑑𝑥 = 2𝑘 ∫ ∫ 𝑃 𝑑𝑥 = 𝐺𝐴 𝜕𝑃 𝐺𝐴 0 𝐺𝐴 0 𝐺𝐴 2𝑘𝑃𝑙 𝛿𝑉 = 𝐺𝐴
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Ejemplo 9.2 De acuerdo a la figura 9.6 (asumiendo una viga en volado) verificar que el efecto del momento es mucho mayor que el efecto de corte si la sección transversal es de 200*400, la luz de 3 m, una carga 𝑃 = 10 𝑘𝑁, y la resistencia del hormigón 𝑓´𝑐 = 21 𝑀𝑃𝑎. Datos: 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: ℎ = 400 𝑚𝑚, 𝑏 = 200 𝑚𝑚, 𝑙 = 3 𝑚 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑓´𝑐 = 21 𝑀𝑃𝑎, 𝜇 = 0.16 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠: 𝑃 = 10 𝑘𝑁 Solución: Paso 1: Determinar el módulo de elasticidad lineal, módulo de corte, inercia y área 𝐸𝑐 = 4700√𝑓´𝑐 = 4700√21 = 21540 𝑀𝑃𝑎 𝐸𝑐 21540 𝐺= = = 9284𝑀𝑃𝑎 2(1 + 𝜇) 2(1 + 0.16) 𝑏ℎ3 200 ∙ 4003 𝐼= = = 1.067 ∙ 109 𝑚𝑚4 12 12 𝐴 = 𝑏ℎ = 𝑏ℎ = 200 ∙ 400 = 80000 𝑚𝑚2 𝑘 = 1.2 Paso 2: Determinar la deformación por flexión y cortante 𝑃𝑙 3 10000 ∙ 30003 𝛿𝑀 = = = 3.917 𝑚𝑚 3𝐸𝑐 𝐼 3 ∙ 21540 ∙ 1.067 ∙ 109 2𝑘𝑃𝐿 2 ∙ 1.2 ∙ 10000 ∙ 3000 𝛿𝑉 = = = 0.097 𝑚𝑚 𝐺𝐴 9284 ∙ 80000 𝛿𝑇 = 𝛿𝑀 + 𝛿𝑉 = 3.917 + 0.097 = 4.014 𝑚𝑚 𝛿𝑀 %𝛿𝑀 = 100 = 97.585% 𝛿𝑇 𝛿𝑉 %𝛿𝑉 = 100 = 2.415% 𝛿𝑇 El porcentaje de deformación por corte es despreciable entonces no se considera la deformación por cortante en vigas.
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Ejemplo 9.3 De acuerdo a la figura 9.7 (muro de corte) verificar que el efecto del momento es similar que el efecto de corte si la sección transversal es de 200*3000, la altura de 3.5 m, una carga 𝑃 = 1068 𝑘𝑁, y la resistencia del hormigón 𝑓´𝑐 = 21 𝑀𝑃𝑎.
Figura 9.7 – Muro de corte
Datos: 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: ℎ = 3000 𝑚𝑚, 𝑏 = 200 𝑚𝑚, 𝑙 = 3.5 𝑚 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑓´𝑐 = 21 𝑀𝑃𝑎, 𝜇 = 0.16 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠: 𝑃 = 1468 𝑘𝑁 Solución: Paso 1: Determinar el módulo de elasticidad lineal, módulo de corte, inercia y área 𝐸𝑐 = 4700√𝑓´𝑐 = 4700√21 = 21540 𝑀𝑃𝑎 𝐸𝑐 21540 𝐺= = = 9284𝑀𝑃𝑎 2(1 + 𝜇) 2(1 + 0.16) 𝑏ℎ3 200 ∙ 30003 𝐼= = = 4.5 ∙ 1011 𝑚𝑚4 12 12 𝐴 = 𝑏ℎ = 𝑏ℎ = 200 ∙ 3000 = 600000 𝑚𝑚2 𝑘 = 1.2 Paso 2: Determinar la deformación por flexión y cortante 𝑃𝑙 3 1468 ∙ 103 ∙ 35003 𝛿𝑀 = = = 2.165 𝑚𝑚 3𝐸𝑐 𝐼 3 ∙ 21540 ∙ 4.5 ∙ 1011 2𝑘𝑃𝐿 2 ∙ 1.2 ∙ 1468 ∙ 103 ∙ 3500 𝛿𝑉 = = = 2.214 𝑚𝑚 𝐺𝐴 9284 ∙ 600000 𝛿𝑇 = 𝛿𝑀 + 𝛿𝑉 = 2.165 + 2.214 = 4.378 𝑚𝑚 𝛿𝑀 𝛿𝑉 %𝛿𝑀 = 100 = 49.439% %𝛿𝑉 = 100 = 50.561% 𝛿𝑇 𝛿𝑇 El porcentaje de deformación por corte no es despreciable. copyright©rcolquea
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9.5) EJERCICIO RESUELTO Ejemplo 9.4 Diseñar el muro de concreto reforzado mostrado en la figura, si 𝑓´𝑐 = 28 𝑀𝑃𝑎 y 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎. La carga axial es nula.
Figura 9.8 – Muro de corte sujeta a carga horizontal
Datos: 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: ℎ = 200 𝑚𝑚, ℎ𝑤 = 4.2 𝑚, 𝑙𝑤 = 3 𝑚 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑓´𝑐 = 25 𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝜆 = 1.0, 𝜑 = 0.75 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠: 𝑉𝑢 = 1068 𝑘𝑁, 𝑁𝑢 = 0 𝑘𝑁 Solución: Paso 3: ¿Es satisfactorio el espesor del muro?. ACI 11.9.3 Peralte efectivo del muro. ACI 11.9.4 𝑑 = 0.8𝑙𝑤 = 0.8 ∙ 3000 = 2400 𝑚𝑚 𝜑𝑉𝑛.𝑚𝑎𝑥 = 0.83𝜑𝜆√𝑓´𝑐 ℎ𝑑 = 0.83 ∙ 0.75 ∙ 1.0 ∙ √25 ∙ 200 ∙
2400 = 1494 𝑘𝑁 1000
𝑆í 𝜑𝑉𝑛.𝑚𝑎𝑥 > 𝑉𝑢 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 Paso 4: Determinar la Resistencia a corte del muro. ACI 11.9.6 Calcule 𝑉𝑢 y 𝑀𝑢 para el menor valor desde la base. ACI 11.9.7 𝑙𝑤 3000 = = 1.5 𝑚∎ 2 2 𝑦 = 𝑚𝑖𝑛 { ℎ𝑤 4200 = = 2.1 𝑚 2 2 Determinar el momento para calcular 𝑉𝑐 𝑀𝑢 = 𝑉𝑢 (ℎ𝑤 − 𝑦) = 1068(4.2 − 1.5) = 2883.6 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Determinar la resistencia del concreto a cortante
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HORMIGÓN ARMADO 0.27𝜆√𝑓𝑐, ℎ𝑑 + 𝑆í
𝑀𝑢 𝑙𝑤 − > 0 → 𝑉𝑐 = 𝑚𝑖𝑛 𝑉𝑢 2
𝑆í
𝑁𝑢 𝑑 4𝑙𝑤 𝑁
[0.05𝜆√𝑓𝑐, + {
𝑙𝑤 (0.1𝜆√𝑓𝑐, + 0.2 𝑙 𝑢ℎ) 𝑤
𝑀𝑢 𝑉𝑢
𝑙𝑤
−
] ℎ𝑑
2
𝑀𝑢 𝑙𝑤 𝑁𝑢 𝑑 − ≤ 0 → 𝑉𝑐 = 0.27𝜆√𝑓𝑐, ℎ𝑑 + 𝑉𝑢 2 4𝑙𝑤 0.27𝜆√𝑓𝑐, ℎ𝑑 +
𝑀𝑢 𝑙𝑤 2883.6 3 ( − > 0) → ( − > 0) → 𝑉𝑐 = 𝑚𝑖𝑛 ⏟1068 𝑉𝑢 2 2 1.2
[0.05𝜆√𝑓𝑐,
+
𝑁𝑢 ) 𝑤ℎ
𝑙𝑤 (0.1𝜆√𝑓𝑐, + 0.2 𝑙 𝑀𝑢 𝑉𝑢
{
0.27𝜆√𝑓𝑐, ℎ𝑑 +
𝑁𝑢 𝑑 4𝑙𝑤
−
𝑙𝑤 2
] ℎ𝑑
𝑁𝑢 𝑑 4𝑙𝑤 𝑁
𝑉𝑐 = 𝑚𝑖𝑛
[0.05𝜆√𝑓𝑐,
+
𝑙𝑤 (0.1𝜆√𝑓𝑐, + 0.2 𝑙 𝑢ℎ)
{
𝑤
𝑀𝑢
−
𝑉𝑢
𝑙𝑤
] ℎ𝑑
2
2400 0 ∙ 2400 + = 648 𝑘𝑁∎ 1000 4 ∙ 3000 0/1000 𝑉𝑐 = 𝑚𝑖𝑛 3000 ∙ (0.1 ∙ 1.0√25 + 0.2 3000∙200) 2400 [0.05 ∙ 1.0√25 + ] 200 ∙ = 720 𝑘𝑁 6 2883.6∙10 3000 1000 3 − { 0.27 ∙ 1.0√25 ∙ 200 ∙
1068∙10
2
Paso 5: ¿Es necesario el refuerzo por cortante?. ACI 11.9.8 𝜑𝑉𝑐 0.75 ∙ 648 𝑆í ≤ 𝑉𝑢 → 𝑠𝑒 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑖𝑡𝑎 𝑟𝑒𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 → 𝑆í ≤ 1068 → 𝑠𝑒 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑖𝑡𝑎 𝑟𝑒𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 ⏟ 2 2 243
Paso 6: Seleccione el refuerzo horizontal por cortante. ACI 11.9.9.1 Determinar la resistencia requerida para que trabaje con el refuerzo. 𝑉𝑢 − 𝜑𝑉𝑐 1068 − 0.75 ∙ 648 𝑉𝑠 = = = 776 𝑘𝑁 𝜑 0.75 Determinar la separación teórica de estribos. Intentamos con varilla horizontal Nº 12. Se colocará dos capas de varillas horizontales con la separación calculada, por tanto 𝐴𝑣 : dos veces el área de la varilla. Además determinar 𝑠2 : separación vertical entre varillas horizontales. 2 2𝜋𝜙𝑒𝑠𝑡 2 ∙ 𝜋 ∙ 122 = = 226.195 𝑚𝑚2 4 4 𝐴𝑣 𝑓𝑦 𝑑 226.195 ∙ 420 ∙ 2400 𝑠2 = = = 293.82 𝑚𝑚 𝑉𝑠 776/1000 Determinar la separación vertical máxima entre estribos horizontales y verificar. ACI 11.9.9.3
𝐴𝑣 =
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𝑙𝑤 3000 = 1500 𝑚𝑚 5 𝑠2.𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛 { = 𝑚𝑖𝑛 { 5 3 ∙ 200 = 600𝑚𝑚 3ℎ 450 𝑚𝑚∎ 450 𝑚𝑚 𝑠2 293.82∎ 𝑠2.𝑟𝑒𝑞 = 𝑚𝑖𝑛 {𝑠 = 𝑚𝑖𝑛 { → 𝑠2.𝑝𝑟𝑜𝑣 = 290 𝑚𝑚 2.𝑚𝑎𝑥 450 Verificar la cuantía mínima del refuerzo horizontal. ACI 11.9.9.2 𝐴𝑣 226.195 𝜌𝑡 = = = 0.0039 → 𝑆í 𝜌𝑡 ≥ 0.0025 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒! ℎ𝑠2.𝑝𝑟𝑜𝑣 200 ∙ 290 Armar con barras Nº 12 cada 290 mm, 𝜙12𝑐/290 𝑚𝑚 Paso 7: Diseñe el refuerzo vertical por cortante. ACI 11.9.9.4 ℎ𝑤 0.0025 + 0.5 (2.5 − ) (𝜌𝑡 − 0.0025) 𝜌𝑙 = 𝑚𝑎𝑥 { 𝑙𝑤 0.0025 4200 𝜌𝑙 = 𝑚𝑎𝑥 {0.0025 + 0.5 (2.5 − 3000) (0.0039 − 0.0025) = 0.00327∎ 0.0025 𝜌⏟𝑙 ≤ 𝜌⏟𝑡 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒! 0.00327
0.0039
Intentamos con varillas verticales Nº 12, por tanto 𝐴𝑣 : dos veces el área de la varilla. Además determinar 𝑠1 : separación horizontal entre estribos verticales. 𝐴𝑣 226.195 𝑠1 = = = 345.869 𝑚𝑚 ℎ𝜌𝑙 200 ∙ 0.00327 Determinar la separación vertical máxima entre estribos horizontales y verificar. ACI 11.9.9.5. 𝑙𝑤 3000 = 1000 𝑚𝑚 3 𝑠1.𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛 { = 𝑚𝑖𝑛 { 3 3 ∙ 200 = 600𝑚𝑚 3ℎ 450 𝑚𝑚∎ 450 𝑚𝑚 𝑠1 345.869∎ 𝑠1.𝑟𝑒𝑞 = 𝑚𝑖𝑛 {𝑠 = 𝑚𝑖𝑛 { → 𝑠1.𝑝𝑟𝑜𝑣 = 340 𝑚𝑚 1.𝑚𝑎𝑥 450 Armar con barras Nº 12 cada 340 mm, 𝜙12𝑐/340 𝑚𝑚 Paso 8: Determinar el ratio de diseño Determinar la resistencia provista por el refuerzo 𝜑𝐴𝑣 𝑓𝑦 𝑑 𝜑𝑉𝑠 = = 𝑠2.𝑝𝑟𝑜𝑣
0.75∙226.195∙420∙2400 290
1000
= 589.67𝑘𝑁
Ratio: 𝜑𝑉𝑛 = 𝜑𝑉𝑐 + 𝜑𝑉𝑠 = 0.75 ∙ 648 + 589.67 = 1075.67 𝑘𝑁 𝑉𝑢 1068 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 = = = 0.993 → 𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 ó𝑝𝑡𝑖𝑚𝑜 𝜑𝑉𝑛 1075.67 copyright©rcolquea
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Paso 9: Diseñar el refuerzo vertical por flexión 𝑀𝑢 = 𝑉𝑢 ℎ𝑤 = 1068 ∙ 4.2 = 4485.6 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝐴𝑠 = 0.85
𝐴𝑠 = 0.85
𝜙 = 0.9
𝑓´𝑐 2𝑀𝑢 (1 − √1 − ) ℎ𝑑 𝑓𝑦 𝜙0.85𝑓´𝑐 ℎ𝑑 2
25 2 ∙ 4485.6 ∙ 106 (1 − √1 − ) 200 ∙ 2400 = 5587.126 𝑚𝑚2 420 0.9 ∙ 0.85 ∙ 25 ∙ 200 ∙ 24002 𝐴𝑠.𝑚𝑖𝑛 =
𝐴𝑠.𝑚𝑎𝑥 =
1.4 1.4 ℎ𝑑 = 200 ∙ 2400 = 1600 𝑚𝑚2 𝑓𝑦 420
3 𝑓´𝑐 3 25 0.85𝛽1 ℎ𝑑 = 0.85 ∙ 0.85 200 ∙ 2400 = 7741.071 𝑚𝑚2 8 𝑓𝑦 8 420
𝐴𝑠.𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝐴𝑠 ≤ 𝐴𝑠.𝑚𝑎𝑥 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒! Determinar el área de acero provisto: 2 𝑛𝜋𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 12 ∙ 𝜋 ∙ 252 𝑐𝑜𝑛 12𝜙25 → 𝐴𝑠 = = = 5890.486 𝑚𝑚2 4 4 El centroide del grupo de varillas en uno u otro extremo del muro es aproximadamente de 150 𝑚𝑚 del extremo del muro. Suponiendo que se producen todas las varillas de la tracción, la fuerza de tracción resultante también se localiza a 150 𝑚𝑚 del extremo del muro. El valor supuesto de 𝑑 = 0.8𝑙𝑤 fue excesivamente conservador, entonces calculamos nuevamente el peralte efectivo: 𝑑 = 𝑙𝑤 − 150 𝑚𝑚 = 2850 𝑚𝑚. Para el nuevo peralte calculamos el área de acero necesario:
𝐴𝑠 = 0.85
𝐴𝑠 = 0.85
𝑓´𝑐 2𝑀𝑢 (1 − √1 − ) ℎ𝑑 𝑓𝑦 𝜙0.85𝑓´𝑐 ℎ𝑑 2
25 2 ∙ 4485.6 ∙ 106 (1 − √1 − ) 200 ∙ 2850 = 4517.574 𝑚𝑚2 420 0.9 ∙ 0.85 ∙ 25 ∙ 200 ∙ 28502
Determinar el área de acero provisto: 2 𝑛𝜋𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 10 ∙ 𝜋 ∙ 252 𝑐𝑜𝑛 10𝜙25 → 𝐴𝑠 = = = 4908.739 𝑚𝑚2 4 4 Como consecuencia utilizar 10 varillas Nº 25 en cada extremo, tal como se muestra en la figura:
Figura 9.9 – Armado del muro de corte
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9.6) PROBLEMAS PROPUESTOS Problema 9.1 Qué criterios se debe considerar para la ubicación de muros de corte. Problema 9.2 Que consideraciones de diseño se considera cuando el muro de corte está sometido a fuerza axial. Problema 9.3 Cuál es la diferencia entre un muro de corte y columna. Problema 9.4 En qué casos de muros de corte se debe utilizar el método alternativo de bielas y tirantes. Problema 9.5 Se puede magnificar los momentos en un muro de corte esbelto. Problema 9.6 Realice un diagrama de interacción entre fuerza axial y momento para un muro de corte en forma de L. Si es posible asumir las dimensiones Problema 9.7 Diseñe el muro de concreto reforzado mostrado si 𝑓´𝑐 = 28 𝑀𝑃𝑎 y 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎.
Problema 9.8 Repita el problema 9.7 si ℎ𝑤 = 250 𝑚𝑚 y si 𝑓´𝑐 = 21 𝑀𝑃𝑎
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CAPÍTULO 10: MÉTODO DE BIELAS Y TIRANTES 10.1) INTRODUCCIÓN Este método presenta un método alternativo para el diseño de miembros de concreto reforzado con discontinuidades geométricas y de fuerzas. El método es también muy útil para el diseño de vigas de gran peralte para los cuales la hipótesis habitual de distribución lineal de deformaciones unitarias no es válida. Este método de diseño, comúnmente conocido como el diseño de biela y del tirante. En la figura 10.1 se muestra una viga de gran altura en un edificio, se muestra que la columna no tiene continuidad hacia las plantas inferiores, la fuerza de la columna central debe distribuirse a las columnas laterales, para diseñar la viga de gran altura se debe necesariamente utilizar el método de bielas y tirantes.
Figura 10.1 – Viga de gran altura
Otro caso en donde se aplica el método de bielas y tirantes se muestra en la figura 10.2, la respectiva muestra un encepado de pilotes de cimentación (discontinuidad geométrica de cambio de sección entre pilares y cimentación); uno de los objetivos del capítulo es mostrar las bases del método para diseñar elementos en 3D y 2D, el cabezal de pilotes mostrado en la figura copyright©rcolquea
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contiene un modelo de bielas y tirantes en 3D, la idea es conocer las bases y posteriormente investigar cada caso a detalle mediante la bibliografía. En la figura 10.2 se puede mostrar el procedimiento del método de bielas y tirantes, el procedimiento actual implica cumplir los siguientes pasos: Identificar las zonas D, (se detalla en las secciones siguientes), es decir identificar las acciones que inciden en la región D. Modelo estructural, se debe modelar la estructura en un software, el modelo debe ser tridimensional o bi-dimensional, se debe identificar el flujo de tensiones, el modelo debe ser mediante el método de elementos finitos. Idealizar el entramado, conociendo el flujo de tensiones se define las bielas y tirantes del entramado. Diseño, se provee le refuerzo en las bielas y tirantes en función de las fuerzas del entramado idealizado. Los pasos mencionados serán desarrollados en las secciones siguientes y ejemplos.
Figura 10.2 – Pasos del método
10.2) NOTA HISTÓRICA Las limitaciones de los procedimientos puramente empíricos se están volviendo cada vez más aparentes, lo que aumenta la demanda de desarrollo de modelos de diseño claros. Se ha aplicado la teoría de la plasticidad al diseño de miembros sometidos a corte y torsión, específicamente en los trabajos de Thurlimann (1975, 1983) y Nielsen (1978,1984) y sus colaboradores. Esto también conformó la base para los modelos de bielas y tirantes siguiendo los trabajos de Schlaich et al. (1987,2001). Los modelos de bielas y tirantes han constituido una valiosa herramienta de diseño desde los orígenes del diseño del hormigón armado, según lo demuestra el empleo de modelos reticulados para el diseño al corte, por ejemplo, en los trabajos de Ritter copyright©rcolquea
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(1899), Morsch (1909,1912,1922), Rausch (1938,1953) entre otros. Esto es particularmente cierto en el caso de las regiones con discontinuidad (regiones D), las cuales no han sido tratadas adecuadamente en los códigos aun cuando un diseño y detallado incorrecto de estas regiones ha llevado algunas estructuras a la falla [Breen (1991), Podolny (1985)]. El desarrollo de modelos de bielas y tirantes presenta una oportunidad única de avanzar hacia la unificación del concepto de diseño, abarcando las regiones D y las regiones B con modelos similares. Además, la aplicación de modelos de bielas y tirantes enfatiza el rol esencial del detallado dentro del diseño. Todo esto fue señalado en el informe sobre corte presentado por el comité ASCE-ACI 445(1998)108. En consecuencia, el apéndice A de ACI 318 refleja este desarrollo internacional y por lo tanto es consistente con algunos otros códigos como los códigos Modelo CEB-FIP, el EC, el Código Canadiense, el AASHTO, así como con las recientes recomendaciones FIP y el nuevo código alemán DIN 1045-1. 10.3) BASES DEL MÉTODO El método de bielas y tirantes tiene su fundamento en la teoría de la plasticidad. En general, esta teoría supone que el material tiene un comportamiento rígido plástico, es decir, no se deforma hasta que llega a una tensión (tensión de fluencia) a partir de la cual se deforma sin incremento de tensión. También guarda relación con dos principios: Principio de Saint Venant (1797-1886) A cierta distancia de la sección donde actúa un sistema de fuerzas, la distribución de tensiones es prácticamente independiente de la distribución del sistema de fuerzas, siempre que su resultante y el momento resultante sean iguales. ACI RA.1; el principio de Saint Venant señala que los esfuerzos debidos a cargas axiales y flexión se acercan a una distribución lineal a una distancia aproximadamente igual a la altura total del elemento, ℎ, medida desde la discontinuidad. Principio de Santiago Bernoulli (1654-1705) Se refiere a que las secciones transversales de una barra que se deforma por flexión permanecen planas y normales a las fibras deformadas. Las secciones planas sometidas a flexión, se mantienen planas durante la deformación. 10.4) VIGAS DE GRAN PERALTE La sección 10.7 del código del ACI define a una viga de gran peralte como un miembro que a) Está cargada en una cara y está sustentada en la cara opuesta de modo que pueden desarrollarse bielas de comprensión entre la carga y los apoyos. b) Tiene un claro libre no mayor que cuatro veces su peralte total o tiene una región donde se localizan cargas concentradas a menos del doble del peralte del miembro desde el apoyo. Las trabes de transferencia son un tipo de viga de gran peralte que se presentan con cierta frecuencia. Estos miembros se usan para transferir cargas en sentido lateral desde una o más columnas a otras columnas. Algunas veces los muros de carga también se comportan como vigas de gran peralte.
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(ACI internacional SP-208, 2002) copyright©rcolquea
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Las vigas de gran peralte comienzan a agrietarse para cargas que varían de 3 a 2 𝑃𝑢 . Como resultado, los análisis elásticos no tienen mucho valor para nosotros, excepto en un aspecto: las grietas nos dicen algo acerca de la manera en que están distribuidos los esfuerzos que causan las grietas. En otras palabras, suministran información en cuanto a cómo se cargan las cargas después del agrietamiento. 10.5) CLARO DE CORTANTE Y REGIONES DE COMPORTAMIENTO La relación del claro de cortante de una viga entre su peralte efectivo determina como fallara la viga cuando este sobrecargada. El claro de cortante de una viga especifica se muestra en la figura 10.3, donde se representa con el símbolo a. Esta es la distancia de la carga concentrada mostrada a la cara del apoyo. Si la viga sustenta solo una carga uniforme, el claro de cortante es el claro libre de la viga.
Figura 10.3 – Claro de cortante
Cuando los claros de cortante son largos, se los denomina regiones B. Estas son las regiones para las cuales es aplicable la teoría acostumbrada de vigas –las secciones planas permanecen planas antes y después de la flexión–La letra B significa ya sea viga o Bernoulli (el presento la teoría lineal de las deformaciones unitarias para las vigas). En algunas situaciones la teoría acostumbrada de vigas no es aplicable. Si los claros de cortante son cortos, las cargas son resistidas principalmente por la acción de arco en vez de la acción de viga. Las localidades donde esto ocurre se llaman regiones D. La letra D representa discontinuidad o perturbación. En estas regiones las secciones planas antes de la flexión no permanecen planas después de la flexión, y las fuerzas obtenidas con los diagramas acostumbrados de cortante y de momento y la teoría de vigas de primer orden son incorrectas. Las regiones D son aquellas partes de los miembros localizadas, cerca de las cargas concentradas y las reacciones. También incluyen nudos y cartelas y otros sitios donde se presentan cambios repentinos en la sección transversal del miembro tales como los orificios que están presentes en los miembros. De acuerdo con el principio de St. Venant, las perturbaciones locales tales como aquellas causadas por las cargas concentradas tienden a disiparse en una distancia aproximadamente igual al peralte del miembro. La figura 10.4 muestras varias regiones típicas B y D. Usted debe observar que los autores usaron el principio de St. Venant en esta figura para mostrar el alcance de las regiones D. Para más ejemplos el lector debe examinar también las figuras.R.A.1.1.y R.A.1.2 en el apéndice A del código del ACI.
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Figura 10.4 – Regiones B y D
10.6) LA ANALOGIA DE LA ARMADURA Si los claros de cortante son muy cortos, tienden a desarrollarse grietas inclinadas que se extienden de las cargas concentrados a los apoyos. Esta situación se ilustra en la figura 10.5. En efecto, el flujo de cortante horizontal desde el refuerzo longitudinal a la zona de comprensión ha sido interrumpido. Como resultado, el comportamiento del miembro ha cambiado del de una viga al de un arco atirantado, donde las varillas de esfuerzo actúan como los tirantes de un arco. En el capítulo cuatro de este documento (corte), se hizo referencia a la descripción de las vigas de concreto reforzado de Ritter – Morsch con el método de la analogía de la armadura. De acuerdo con esa teoría, una viga de concreto reforzado con refuerzo para cortante se comporta bastante como una armadura de cuerdas paralela estáticamente determinada de nodos con pasadores. Se considera que el bloque de comprensión del concreto es la cuerda superior de la “armadura ficticia“, mientras que se considera que el refuerzo en tensión actúa como la cuerda inferior. Se dice que el alma de la “armadura” consciente en los estribos actúa como miembros en tensión vertical, mientras que se supone que las partes del concreto entre las grietas diagonales actúan como miembros a compresión diagonal109.
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(McCormac C., 2011) copyright©rcolquea
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Figura 10.5 – Grietas de cortante
Figura 10.6 – Analogía de la armadura
En la figura 10.6, el concreto a comprensión y los estribos se muestran con líneas punteadas. Estas líneas representan los centros estimados de gravedad de esas fuerzas. Por otro lado, las fuerzas de tensión se representan con líneas continuas debido a que estas fuerzas actúan claramente a lo largo de las líneas de las varillas de refuerzo. 10.7) DEFINICIONES Un modelo de puntal y tirante es un modelo de armadura de una región D donde, el miembro se representa mediante una armadura idealizada de puntuales y tirantes. Un tirante es un miembro a tensión en modelo de puntal y tirante. Una biela es un miembro a comprensión en modelo de puntal y tirante que representa la resultante del campo a comprensión. Un nodo en un modelo de puntal y tirante es el punto donde los puntales, los tirantes y las fuerzas concentradas se intersectan en el nodo. La zona nodal es el volumen del concreto alrededor de un nodo que se supone que transfiere las fuerzas desde los puntales y los tirantes a través del nodo. 10.7.1) TIPOS DE BIELA Biela prismática; se encuentra en los casos en que existe una limitación física o mecánica a la disposición de las compresiones.
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Figura 10.7 – Biela prismática
Biela en abanico; se producen cuando hay posibilidad de dispersión de los campos de compresiones. Por ejemplo el caso de apoyo extremo de una viga.
Figura 10.8 – Biela en abanico
Biela en botella; se produce al existir posibilidad de dispersión bidimensional de las compresiones, como en las carga sobre macizos.
Figura 10.9 – Biela en botella
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10.8) REQUISITOS DEL CODIGO ACI PARA EL DISEÑO DE BIELA Y TIRANTE Varios de los más importantes requisitos del código para el diseño de bielas y tirante son los siguientes. Resistencia de los puntales 1. La resistencia del diseño de una biela, un tirante o una zona nodal, 𝜑𝐹𝑛 , debe ser cuando menos tan grande como la fuerza en el puntal o el tirante o la zona nodal 𝜑𝐹𝑛 ≥ 𝐹𝑢 En la sección del ACI 9.3.2, 𝜑 se especifica como 0.75 para los miembros de las bielas y los tirantes. 2. ACI A.3.1; la resistencia nominal a compresión de la biela que no contiene refuerzo longitudinal debe tomarse como el menor valor en los dos extremos de la biela de acuerdo a la siguiente ecuación 𝐹𝑛𝑠 = 𝑓𝑐𝑒 𝐴𝑐𝑠 Donde 𝐴𝑐𝑠 es el área de la sección transversal en un extremo de un puntal tomada perpendicular al eje y 𝑓𝑐𝑒 es la resistencia a comprensión efectiva del concreto (𝑀𝑃𝑎) en un puntal o una zona nodal. Su valor debe tomarse como el menor de (a) y (b) como sigue: a) ACI A.3.2; resistencia a comprensión efectiva del concreto en las bielas 𝑓𝑐𝑒 = 0.85 𝛽𝑠 𝑓𝑐, βs es un factor que se usa para estimar el efecto del agrietamiento y el confinamiento del refuerzo sobre la resistencia del concreto de las bielas. Los valores de βs se dan en la ACI A.3.2: ACI A.3.2.1-Para una biela de sección transversal uniforme a lo largo de su longitud……..βs = 1.0 ACI A.3.2.2-Para las bielas ubicadas de tal manera que el ancho de la sección media de la biela es mayor que el ancho en los nodos (bielas en forma de botella): (a) Con refuerzo que cumpla con A.3.3……βs = 0.75 (b) Sin refuerzo que cumpla con A.3.3…….βs = 0.65𝜆 Donde 𝜆 está definido en ACI 8.6.1. ACI A.3.2.3- Para las bielas en elementos sometidos a tracción, o alas en tracción de los elementos…….βs = 0.4 ACI A.3.2.4- Para todos los demás casos…….βs = 0.60𝜆 βs Varía de 0.4 a 1.0, y su significado y efecto son similares a βl en los bloques rectangulares de esfuerzo que se estudiaron con mucha frecuencia para vigas y columnas anteriormente en este libro. b) Resistencia con presión efectiva del concreto en las zonas nodales 𝑓𝑐𝑒 = 0.85 𝛽𝑛 𝑓𝑐, βn Es un factor que se usa para estimar el efecto del anclaje de los tirantes sobre la resistencia compresión efectiva del concreto de la zona nodal los valores se especifican para diferentes situaciones en la sección ACI A.5.2 y varían de 0.6 a 1.0, dependiendo del número de tirantes y de lo que limite a la zona nodal. ACI A.5.2.1-En zonas nodales limitadas por bielas o áreas de apoyo, o ambas…….βn = 1.0 copyright©rcolquea
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ACI A.5.2.2-En zonas nodales que anclan un tensor……..βn = 0.8 ó ACI A.5.2.3-En zonas nodales que anclan dos o más tensores………βn = 0.60 Resistencia de los tirantes Siguiendo las disposiciones del ACI 318 en su apéndice A-4, la resistencia nominal de un tirante debe determinarse con la siguiente expresión 𝐹𝑛𝑡 = 𝐴𝑡𝑠 𝑓𝑦 + 𝐴𝑡𝑝 (𝑓𝑠𝑒 + ∆𝑓𝑝 ) Donde: 𝐴𝑡𝑠 : Área de refuerzo sin presfuerzo en un tirante 𝑓𝑦 : Resistencia a la fluencia del refuerzo sin presfuerzo. 𝐴𝑡𝑝 : Área del acero presforzado en un tirante 𝑓𝑠𝑒 : Esfuerzo efectivo en el refuerzo presforzado después de las perdidas. ∆𝑓𝑝 : Incremento en el esfuerzo en el acero presforzado debido a cargas factorizadas. El código en su sección A.4.1 establece que es permisible usar ∆𝑓𝑝 = 420 𝑀𝑃𝑎 para refuerzo presforzado adherido y 70 𝑀𝑃𝑎 para refuerzo presforzado sin adherencia. Pueden usarse otros valores si se pueden justificar por análisis. 10.9) SELECCIÓN DE UN MODELO DE ARMADURA Cuando se usa el método de biela y tirante para las regiones D, se piensa que los resultados son más conservadores pero más realistas que los resultados obtenidos con la teoría acostumbrada de vigas. Para diseñar para una región D de una viga, es necesario aislar la región como un cuerpo libre, determinar las fuerzas que actúen en ese cuerpo, y luego seleccionar un sistema o modelo de armadura para transferir las fuerzas por la región. Una vez que se haya identificado la región D y sus dimensiones se han determinado, se supone que se extiende a una distancia h a cada lado de la discontinuidad, o hasta la cara del apoyo si ese valor es menor que el peralte. Los esfuerzos en las fronteras de la región se calculan con la expresión acostumbrada para carga axial y flexión combinados, 𝑃/𝐴 ± 𝑀𝑐/𝐼. Los valores resultantes deben dividirse entre el factor de reducción de capacidad 𝜑 para las fuerzas cortantes (0.75) para obtener los esfuerzos nominales requeridos. El proyectista necesita representar las regiones D de los miembros, que fallan en cortante, con algún tipo de modelo antes de comenzar el diseño. El modelo seleccionado para vigas con refuerzo para cortante es el modelo de la armadura, ya que es el mejor de todos disponible en este momento. Con el método de puntal y tirante, las fuerzas son resistidas por una fuerza interna idealizada tal como la triangular esbozada en la figura 10.10. El miembro y los nudos de esta armadura están diseñadas de modo que tengan capacidad para resistir las fuerzas calculadas. Por supuesto, la armadura seleccionada debe ser más pequeña que la viga que le encierra, y debe darse a todo el acero de refuerzo de recubrimiento adecuado. Para una primera ilustración, en la figura 10.10 se muestra una viga corta de gran peralte que sustenta una carga concentrada.
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Figura 10.10 – Viga corta de gran peralte con el modelo de entramado
Se puede definir dos tipos de zonas nodales: zonas nodales hidrostáticas y zonas nodales extendidas; se llama zona nodal hidrostática porque los esfuerzos en el plano son iguales en todas la direcciones, y una zona nodal extendida es aquella parte de un elemento acotada por la intersección del ancho efectivo, 𝑤𝑠 , y el ancho efectivo del tensor, 𝑤𝑡 , se sugiere revisar el comentario RA.1 del ACI para poder entender de mejor manera la definición de zonas nodales. En la figura 10.11 se muestran diversos tipos de nodos. Debe observar que tiene que haber cuando menos tres fuerzas en cada nudo por equilibrio. Este es el número de fuerzas necesarias para el equilibrio estático así como el mayor número que puede presentarse en un estado de equilibrio estático determinado.
Figura 10.11 – Diferentes tipos de nodos de armadura
Si más de tres fuerzas concurren en el mismo nodo cuando se esboza una armadura, el proyectista necesitara hacer combinaciones de ellas de alguna manera de modo que solamente se consideren tres fuerzas que concurran en el nodo. En la figura 10.12 se muestran dos modelos posibles de puntal y tirante para una viga de gran peralte que sustenta dos cargas concentradas. En la parte a) de la figura, cuatro fuerzas concurren en la posición de cada carga concentrada. Como tales, no podemos determinar todas las fuerzas. En la parte b) de la figura se muestra una armadura alternativa, en la cual solo concurren tres fuerzas en cada nodo.
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Figura 10.12 – Dos armaduras de bielas y tirantes supuestas adicionales
Usted puede ver que las hipótesis de la trayectoria de las fuerzas que intervienen en las armaduras descritas pueden variar un poco entre los diferentes proyectistas. Como resultado, no hay una solución correcta para un miembro específico diseñado por el método de bielas y tirantes. 10.10) ANGULOS DE LOS PUNTALES EN LOS MODELOS DE ARMADURAS Para esbozar la armadura, es necesario establecer la pendiente de los diagonales (el ángulo 𝜃 en la figura 10.12 que se mide desde la cuerda a tensión: el refuerzo para tensión). De acuerdo con Schlaich y Weischede, el ángulo de las trayectorias de los esfuerzos varia de aproximadamente 68𝑜 si 𝑙/𝑑 ≥ 10 a aproximdamente 55𝑜 si 𝑙/𝑑 = 2.0. Una práctica bastante común, que generalmente es satisfactoria, es suponer una pendiente 2 vertical a 1 horizontal para los puntales. Esto conducirá a un valor de 𝜃 = 630 56′ . Las dimensiones seleccionadas para el modelo de armadura deben caber en la región D considerada, de modo que tal vez sea necesario ajustar los ángulos.
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10.11) PROBLEMAS RESUELTOS Ejemplo 10.1 Determinar la armadura requerida para la viga de transferencia simplemente apoyada ilustrada en la figura. La única columna ubicada a la mitad de la luz solicita a la viga con una carga permanente de 800 𝑘𝑁 y una sobrecarga de 1112 𝑘𝑁
Figura 10.13 – Viga de borde
Datos: 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: ℎ = 1500 𝑚0, 𝑏𝑤 = 500 𝑚𝑚, 𝑡1 = 500 𝑚𝑚, 𝑡2 = 400 𝑚𝑚, 𝑙𝑛 = 3.6 𝑚, 𝑟𝑒𝑐 = 50 𝑚𝑚
24𝑘𝑁 , 𝜆 = 1.0, 𝜑 = 0.75 𝑚3 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠: 𝐿 = 1112 𝑘𝑁, 𝐷 = 800 𝑘𝑁
𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑓´𝑐 = 28𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝑤𝑐 = Solución:
Paso 1: Determinar la carga mayorada y las reacciones. ACI 9.2.1 Determinar la carga muerta debido al peso propio y la carga muerta dada, por lo tanto la carga mayorada es: 𝐷𝑜 = ℎ𝑏𝑤 (𝑙𝑛 + 𝑡2 )𝑤𝑐 = 1.5 ∙ 0.5(3.6 + 0.4)24 = 72 𝑘𝑁 𝑃𝑢 = 1.2(𝐷 + 𝐷𝑜 ) + 1.6𝐿 = 1.2(800 + 72) + 1.6 ∙ 1112 = 2825.6 𝑘𝑁 Las reacciones o cortantes en los nudos son: 𝑃𝑢 2825.6 𝑅𝐴 = = = 1412.8 𝑘𝑁 2 2
𝑅𝐵 = 𝑅𝐴 = 1412.8 𝑘𝑁
Paso 2: Determinar si la viga satisface la definición correspondiente a “viga de gran altura”. ACI 10.7.1 y ACI 11.7.1. 𝑙𝑛 3.6 𝑆𝑖 < 4 → 𝑣𝑖𝑔𝑎 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑛 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑆𝑖 < 4 → 𝑣𝑖𝑔𝑎 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑛 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 ⏟ ℎ 1.5 2.4
El elemento es una viga de gran altura y se diseñará usando el apéndice A de la norma ACI. copyright©rcolquea
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Paso 3: Verificar la máxima capacidad de corte de la sección transversal 𝑉𝑢 = 𝑅𝐴 = 1412.8 𝑘𝑁 Determinar el peralte efectivo 𝜙𝑒𝑠𝑡 = 12 𝑚𝑚, 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 = 25 𝑚𝑚 𝑑 = ℎ − 𝑟𝑒𝑐 − 𝜙𝑒𝑠𝑡 − 𝑑 = 1500 − 50 − 12 −
𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 2
25 = 1425.5 𝑚𝑚 2
Determinar la resistencia admisible del concreto 1425.5 = 2347.77𝑘𝑁 1000 Verificar el cortante máximo que puede resistir la sección. ACI 11.7.3 𝜑𝑉𝑛 = 𝜑0.85√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑 == 0.75 ∙ 0.85√28 ∙ 500 ∙ 𝑆𝑖 𝜑𝑉𝑛 > 𝑉𝑢 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒
2347.77 > 1412.8 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒
Paso 4: Establecer el modelo del reticulado. ACI A.2.1 Asumir que los nodos coinciden con los ejes de las columnas (apoyos), y que están ubicados a 125 𝑚𝑚 del borde superior o inferior de la viga como se ilustra en la figura 10.14. El modelo de bielas y tirantes consiste cn dos bielas (A-C y B-C), un tirante (A-B) y tres nodos (A, B y C). Además, las columnas en A y B actúan como bielas representando reacciones. La biela vertical en la parte superior del nodo C representa la carga aplicada.
Figura 10.14 – Reticulado preliminar
𝑙𝑛 𝑡2 3.6 0.4 + = + = 2 𝑚, 𝑣𝑟 = ℎ − 2𝑑´ = 1.5 − 2 ∙ 0.125 = 1.25 𝑚 2 2 2 2 Determinar las dimensiones del reticulado: Longitud de las bielas diagonales: 𝑑 ´ = 125 𝑚𝑚, ℎ𝑟 =
𝑏𝑟 = √ℎ𝑟2 + 𝑣𝑟2 = √20002 + 12502 = 2358.495 𝑚𝑚 Esfuerzo en las bielas diagonales
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𝑏𝑟 2358.495 = 1412.8 = 2665.67 𝑘𝑁 𝑣𝑟 1250 Esfuerzo en el tirante horizontal ℎ𝑟 2000 𝑓ℎ = 𝑅𝐴 = 1412.8 = 2260.48 𝑘𝑁 𝑣𝑟 1250 Verificar el ángulo entre los ejes de las bielas y el tirante que concurren al nodo A. ACI A.2.5 Ángulo entre las bielas diagonales y el tirante horizontal: 𝑣𝑟 1.25 𝛼 = tan−1 ( ) = tan−1 ( ) = 32º 𝑆𝑖 𝛼 > 25º → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 32º > 25º → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 ℎ𝑟 2 𝑓𝑑 = 𝑅𝐴
Paso 5: Determinar la resistencia efectiva del hormigón (𝑓𝑐𝑢 ) para las bielas, suponiendo que se dispone armadura de acuerdo con la sección ACI A.3.3 para resistir las fuerzas de tracción transversal (hendimiento). Ver paso 9. Para las “bielas en forma de botella” A-C y B-C Factor para tener en cuenta el efecto del refuerzo de confinamiento y la fisuración en la resistencia efectiva a la compresión. 𝛽𝑠 = 0.75 de acuerdo con la sección de ACI A.3.2.2(a) 𝑓𝑐𝑢1 = 0.85𝛽𝑠 𝑓´𝑐 = 0.85 ∙ 0.85 ∙ 28 = 17.85 𝑀𝑃𝑎 Observar que esta resistencia efectiva a la compresión no puede ser mayor que la resistencia de los nodos en ambos extremos de la biela. ACI A.3.1 La sección transversal de las bielas verticales A, B y C es uniforme en toda su longitud. ACI A.3.2.1. 𝛽𝑠 = 1.0 Entonces la resistencia efectiva del concreto es: 𝑓𝑐𝑢2 = 0.85𝛽𝑠 𝑓´𝑐 = 0.85 ∙ 1.0 ∙ 28 = 23.8 𝑀𝑃𝑎 Paso 6: Calcular la resistencia efectiva del concreto (𝑓𝑐𝑢 ) para las zonas nodales A, B y C La zona nodal C está limitada por tres bielas, de modo que se trata de una zona nodal C-C-C. ACI A.5.2. Factor para calcular el efecto del anclaje de los tirantes en la resistencia efectiva a la compresión de una zona de nodo: 𝛽𝑛 = 1.0 de acuerdo con la sección de la ACI A.5.2.1 𝑓𝑐𝑢3 = 0.85𝛽𝑠 𝑓´𝑐 = 0.85 ∙ 1.0 ∙ 28 = 23.8 𝑀𝑃𝑎 Las zonas nodales A y B están limitadas por dos bielas y un tirante. Para los nodos C-C-T: 𝛽𝑛 = 0.8 de acuerdo con la sección de la ACI A.5.2.2 𝑓𝑐𝑢4 = 0.85𝛽𝑠 𝑓´𝑐 = 0.85 ∙ 0.80 ∙ 28 = 19.04 𝑀𝑃𝑎 Paso 7: Verificar la resistencia en el nodo C Asumir que el nodo C se forma una zona nodal hidrostática. Esto significa que las caras de la zona nodal son perpendiculares a los ejes de las respectivas bielas, y que las tensiones en todas las caras son idénticas. copyright©rcolquea
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Para satisfacer el criterio de resistencia para las tres bielas y el nodo, la mínima dimensión de la cara nodal se determina en base al menor valor de resistencia, 𝑓𝑐𝑢 . El mismo valor de resistencia también se usará para los nodos A y B. Determinar la resistencia efectiva de diseño del hormigón a la compresión. 𝑓𝑐𝑢1 17.85 ∎ 𝑓𝑐𝑢2 𝑓𝑐𝑢 = 𝑚𝑖𝑛 { = 𝑚𝑖𝑛 { 23.8 23.8 𝑓𝑐𝑢3 19.04 𝑓𝑐𝑢4 La longitud de la cara horizontal de la zona nodal C se calcula como: 𝑃𝑢 2825600 𝐶ℎ = = = 422.125 𝑚𝑚 𝜑𝑓𝑐𝑢 𝑡1 0.75 ∙ 17.85 ∙ 500 𝑡1 debe ser menor o igual que el ancho de la columna Las longitudes de las demás caras, perpendiculares a las bielas diagonales, se pueden abtener aplicando proporcionalidad: 𝑓𝑑 2665.67 𝐶𝑑 = 𝐶ℎ = 422.125 = 398.232 𝑚𝑚 𝑃𝑢 2825.6 Paso 8: Verificar la geometría del reticulado En el nodo C
Figura 10.15 – Geometría del nodo C
El centro de la zona nodal está ubicado a 112.57 𝑚𝑚 a partir de la parte superior de la viga, lo cual coincide razonablemente con el valor de 125 𝑚𝑚 inicial supuesto. En el nodo A El tirante horizontal debería ejercer una fuerza en este nodo para crear una tensión de 17.85 𝑀𝑃𝑎. Por lo tanto, el tamaño de la cara vertical de la zona nodal es: 𝑓ℎ 2260480 𝐴𝑣 = = = 337.7 𝑚𝑚 𝜑𝑓𝑐𝑢 𝑏𝑤 0.75 ∙ 17.85 ∙ 500 copyright©rcolquea
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El centro del tirante está ubicado a 𝐴𝑣 ⁄2, a partir de la parte inferior de la viga. 𝐴𝑣 ⁄2 = 337.7⁄2 = 168.85 𝑚𝑚 Este valor se aproxima razonablemente al valor de 125 𝑚𝑚 supuesto originalmente, de manera que no es necesario realizar otra iteración. 𝑉𝑢 1412800 𝐴ℎ = = = 211.063 𝑚𝑚 𝜑𝑓𝑐𝑢 𝑏𝑤 0.75 ∙ 17.85 ∙ 500
Figura 10.16 – Geometría del nodo A
Paso 9: Disponer armadura vertical horizontal para resistir el hendimiento de las bielas diagonales. ACI A.3.3.1 El ángulo entre los tirantes verticales y las bielas es 90º-28º=62º sin 𝛼𝑖 = sin 62º = 0.8829 REFUERZO VERTICAL: Intentar con dos barras Nº 12 solapadas separadas 300 𝑚𝑚. Entre centros (para acomodar la armadura longitudinal del tirante diseñada en el paso siguiente). 𝜙𝑒𝑠𝑡.𝑣 = 12 𝑚𝑚
𝑠ℎ = 300 𝑚𝑚
𝐴𝑠𝑣 = 4𝜋
𝜙𝑒𝑠𝑡.𝑣 2 122 = 4𝜋 = 452.3389 𝑚𝑚2 4 4
𝐴𝑠𝑣 452.339 sin 𝛼𝑖 = 0.8829 = 0.002663 𝑏𝑤 𝑠ℎ 500 ∙ 300 REFUERZO HORIZONTAL: Intentar con barras horizontales Nº 16 separadas cada 300 𝑚𝑚. entre centros. 𝜌𝑣 =
sin 𝛼𝑖 = sin 28º = 0.469
𝜙𝑒𝑠𝑡.ℎ = 12 𝑚𝑚
2
𝑠𝑣 = 300 𝑚𝑚
2
𝜙𝑒𝑠𝑡.ℎ 12 = 2𝜋 = 226.195 𝑚𝑚2 4 4 𝐴𝑠ℎ 226.195 𝜌ℎ = sin 𝛼𝑖 = 0.469 = 0.000707 𝑏𝑤 𝑠𝑣 500 ∙ 300 𝜌𝑣 + 𝜌ℎ = 0.002663 + 0.000707 = 0.00337 𝐴𝑠ℎ = 2𝜋
𝑆𝑖 𝜌𝑣 + 𝜌ℎ > 0.003 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒
0.00337 > 0.003 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 copyright©rcolquea
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Paso 10: Proveer armadura horizontal para el tirante. ACI A.4.1 𝑓ℎ 2260480 𝐴𝑠.𝑟𝑒𝑞 = = = 7176.127 𝑚𝑚2 𝜑𝑓𝑦 0.75 ∙ 420 Seleccionar 16 barras Nº 25 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 2 252 = 16𝜋 = 7853.982 𝑚𝑚2 4 4 Estas barras se deben anclar adecuadamente. El anclaje se ha de medir a partir del punto donde el tirante abandona la zona nodal extendida, como se ilustra en la figura 10.17. 𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔 = 25 𝑚𝑚 𝑛 = 16
𝐴𝑠 = 𝑛𝜋
Figura 10.17 – Desarrollo de la armadura del tirante dentro de la zona nodal extendida
Determinar la distancia 𝑥. 𝐴𝑣 337.7 = = 316.578 𝑚𝑚 2 tan 28º 2 ∙ 0.53336 Espacio disponible para embeber barras rectas 𝑡2 400 𝑙𝑎 = 𝑥 + 𝐴ℎ + − 𝑟𝑒𝑐 = 316.578 + 211.063 + − 50 = 677.641 𝑚𝑚 2 2 La longitud 𝑙𝑎 no es adecuada para desarrollar una barra 𝑁º 25 recta. Longitud de desarrollo para una barra Nº 25 con un gancho normal de 90º. ACI 12.5.2 0.24𝜓𝑒 𝑓𝑦 0.24 ∙ 1.0 ∙ 420 𝜓𝑒 = 1.0 𝑑𝑏 = 25 𝑚𝑚 𝑙𝑑ℎ = 𝑑𝑏 = 25 = 476.235 𝑚𝑚 1.0√28 𝜆√𝑓´𝑐 tan 28º = 0.53336
𝑥=
𝑆𝑖 𝑙𝑑ℎ < 𝑙𝑎 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 476.235 < 677.641 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 Nota: Los ganchos a 90º deben estar encerrados dentro de la prolongación de la armadura de la columna en la viga de transferencia (figura 10.18). Si se provee un recubrimiento adecuado y confinamiento transversal. La longitud de desarrollo del gancho normal se podría reducir aplicando los factores de modificación indicados en la sección ACI 12.5.3. copyright©rcolquea
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Es posible obtener esquemas con menor grado de congestión de las armaduras, ya sea soldando el acero de las armaduras a placas de apoyo o bien usando acero de pretensado. Comentarios: La discrepancia en la ubicación vertical de los nodos provoca una diferencia despreciable en los esfuerzos en el reticulado (aproximadamente 1.5%). Por tanto, no es necesario realizar otra iteración. Para este problema se podría haber seleccionado varios modelos de bielas y tirantes alternativos. En la figura 10.19 se ilustra un reticulado alternativo.
Figura 10.18 – Detalle de la armadura del tirante
Figura 10.19 – Modelo de bielas y tirantes alternativo
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Ejemplo 10.2 Diseñar la ménsula de la columna de hormigón armado de 400𝑥400 𝑚𝑚. que se muestra en la figura. Para una fuerza vertical última 𝑉𝑢 = 266.893 𝑘𝑁 y una fuerza horizontal última 𝑁𝑢 = 53.379 𝑘𝑁. Asumir 𝑓´𝑐 = 35𝑀𝑃𝑎, y armaduras de acero grado 60.
Figura 10.20 – Diseño de una ménsula
Datos: 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: ℎ1 = 250 𝑚𝑚, ℎ2 = 250 𝑚𝑚, 𝑏 = 400 𝑚𝑚, 𝑡 = 400 𝑚𝑚, 𝑏1 = 250 𝑚𝑚, 𝑟𝑒𝑐 = 50𝑚𝑚
𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑓´𝑐 = 35𝑀𝑃𝑎, 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎, 𝜆 = 1.0, 𝜑 = 0.75 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠: 𝑉𝑢 = 627 𝑘𝑁, 𝑁𝑢 = 53 𝑘𝑁 Solución:
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Paso 1: Establecer la geometría de un reticulado tentativo y calcular la demanda de fuerza en los elementos.
Figura 10.21 – Disposición del reticulado
Paso 2: Proveer armadura para los tirantes. ACI A.4.1 La resistencia nominal de los tirantes se debe tomar como: 𝐹𝑛𝑡 = 𝐴𝑠𝑡 𝑓𝑦 + 𝐴𝑝𝑡 (𝑓𝑠𝑒 + ∆𝑓𝑝 ) Dónde el último término se puede ignorar si la armadura no es pretensada. TIRANTE AB 𝐹𝑢 = 205.953 𝑘𝑁 𝐹𝑢 205953 𝐴𝑠𝑡 = = = 653.819 𝑚𝑚2 𝜑𝑓𝑦 0.75 ∙ 420 Seleccionar 4 barras Nº 16 𝑑𝑏 = 16 𝑚𝑚 𝑛 = 4 TIRANTE CD
𝑑𝑏 2 162 𝐴𝑠𝑡 = 𝑛𝜋 = 4𝜋 = 804.248 𝑚𝑚2 4 4
𝐹𝑢 = 53.379 𝑘𝑁 𝐹𝑢 53379 𝐴𝑠𝑡 = = = 169.457 𝑚𝑚2 𝜑𝑓𝑦 0.75 ∙ 420
Seleccionar 2 barras Nº 12 𝑑𝑏 2 122 𝑑𝑏 = 12 𝑚𝑚 𝑛 = 2 𝐴𝑠𝑡 = 𝑛𝜋 = 2𝜋 = 226.195 𝑚𝑚2 4 4 TIRANTE BD y DF 𝐹𝑢 = 414.574 𝑘𝑁 copyright©rcolquea
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𝐹
414574
𝐴𝑠𝑡 = 𝜑𝑓𝑢 = 0.75∙420 = 1316.108 𝑚𝑚2 proveer acero adicional además de la armadura vertical 𝑦
de las columnas. Esta armadura se puede añadir en forma de una barra longitudinal, o en forma de una barra doblada en el nodo B, que también se puede usar como tirante AB. Por lo tanto la armadura que resistirá el respectivo tirante está dado por: Seleccionar 4 barras Nº 16 (las mismas del tirante AB)+armadura vertical de la columna. 𝑑𝑏𝑐 = 25 𝑚𝑚 𝑛𝑐 = 4 columna 𝑑𝑏𝑡𝐴𝐵 = 16 𝑚𝑚 𝑛𝑡𝐴𝐵 = 4 tirante AB 𝑑𝑏𝑡𝐴𝐵 2 𝑑𝑏𝑐 2 162 252 𝐴𝑠𝑡 = 𝑛𝑡𝐴𝐵 𝜋 + 𝑛𝑐 𝜋 = 4𝜋 + 4𝜋 = 2767.743 𝑚𝑚2 4 4 4 4 La diferencia de 2768.743 𝑚𝑚2 − 1316.108𝑚𝑚2 = 1451.635 𝑚𝑚2 esta provista para resistir las solicitaciones de la columna. Paso 3: Calcular los anchos de las bielas y la armadura de hendimiento Los procedimientos que se muestran a continuación se simplificaron, porque se sabe que las condiciones consideradas gobiernan. Se asume que se colocará armadura de acuerdo con la sección ACI A.3.3: Factor para tener en cuenta el efecto del refuerzo de confinamiento y la fisuración en la resistencia efectiva a la compresión. 𝛽𝑠 = 0.75 de acuerdo con la sección de la ACI A.3.2.2(a) 𝑓𝑐𝑢 = 0.85𝛽𝑠 𝑓´𝑐 = 0.85 ∙ 0.75 ∙ 35 = 22.313 𝑀𝑃𝑎 Calcular el ancho de las bielas 𝑃𝑢 = 307.372 𝑘𝑁 𝑃𝑢 307372 𝑤𝐴𝐶 = = = 45.919 𝑚𝑚 𝜑𝑓𝑐𝑢 𝑡 0.75 ∙ 22.313 ∙ 400 BIELA BC 𝑃𝑢 = 395.002 𝑘𝑁 𝑃𝑢 395002 𝑤𝐵𝐶 = = = 59.011 𝑚𝑚 𝜑𝑓𝑐𝑢 𝑡 0.75 ∙ 22.313 ∙ 400 BIELA CE 𝑃𝑢 = 604.068 𝑘𝑁 𝑃𝑢 604068 𝑤𝐶𝐸 = = = 90.244 𝑚𝑚 𝜑𝑓𝑐𝑢 𝑡 0.75 ∙ 22.313 ∙ 400 BIELA DE 𝑃𝑢 = 94.302 𝑘𝑁 𝑃𝑢 94302 𝑤𝐷𝐸 = = = 14.088 𝑚𝑚 𝜑𝑓𝑐𝑢 𝑡 0.75 ∙ 22.313 ∙ 400 El ancho de las bielas cabrá dentro de la columna de hormigón. Disponer armadura horizontal de confinamiento para resistir el hendimiento de las bielas. ACI A.3.3.1 El ángulo que forman las bielas diagonales respecto de los estribos cerrados horizontales es 59º. BIELA AC
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REFUERZO HORIZONTAL: Disponer estribos Nº 12 separados cada 150 𝑚𝑚. entre centros. sin 𝛼𝑖 = sin 59º = 0.857 𝜙𝑒𝑠𝑡.ℎ = 12 𝑚𝑚
𝑠𝑣 = 150 𝑚𝑚
𝜙𝑒𝑠𝑡.ℎ 2 122 = 2𝜋 = 226.195 𝑚𝑚2 4 4 𝐴𝑠ℎ 226.195 𝜌ℎ = sin 𝛼𝑖 = 0.857 = 0.003231 𝑏𝑤 𝑠𝑣 400 ∙ 150 𝑆𝑖 𝜌ℎ > 0.003 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 0.003231 > 0.003 → 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝐴𝑠ℎ = 2𝜋
Figura 10.22 – Detalle de armado
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10.12) PROBLEMAS PROPUESTOS Problema 10.1 Diseñar la viga del ejemplo 10.1 utilizando un modelo de bielas y tirantes alternativo mostrado en la figura, utilizar las mismas condiciones de materiales y cargas. Comparar y discutir
Problema 10.2 Diseñar la viga simplemente apoyada cargada con dos cargas concentradas factoradas de 952 𝑘𝑁 ubicada cada 1/3 de la luz nominal de la viga, la luz nominal es de 3.6 𝑚, como se ilustra en la figura. La viga tiene un ancho de 350 𝑚𝑚 y una altura total de 1.20 𝑚. La longitud de la placa de apoyo bajo cada una de las cargas concentradas es de 400 𝑚𝑚 y su ancho es el mismo de la viga, es decir, 350 𝑚𝑚. Usar 𝑓´𝑐 = 28 𝑀𝑃𝑎 y 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎. Despreciar el peso propio de la viga.
Problema 10.3 Una viga T de hormigón con extremos entallados es soportada por una viga T invertida. El alma tiene 250 𝑚𝑚 de ancho y la sección tiene una altura total de 475 𝑚𝑚 (ver figura). La viga T invertida también tiene una altura de 475 𝑚𝑚 y un ancho de asiento de 175 𝑚𝑚 (ver figura). Las vigas T están ubicadas con una separación de 3000 𝑚𝑚 sobre la longitud de la viga T invertida y tienen una longitud de 9600 𝑚𝑚. Hay una sobrecarga de 4.79 𝑘𝑁/𝑚2 y una carga permanente supuesta de 0.48 𝑘𝑁/𝑚2 La resistencia del hormigón es 38 𝑀𝑃𝑎. La armadura tiene una tensión de fluencia igual a 420 𝑀𝑃𝑎.
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Problema 10.4 En la figura se ilustra la ménsula a diseñar y sus cargas. La resistencia del hormigón es 35 𝑀𝑃𝑎. La armadura tiene una tensión de fluencia igual a 420 𝑀𝑃𝑎, el hormigón es de peso normal.
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Problema 10.5 En la figura se ilustra la ménsula a diseñar y sus cargas. La resistencia del hormigón es 28 𝑀𝑃𝑎. La armadura tiene una tensión de fluencia igual a 420 𝑀𝑃𝑎, el hormigón es de peso normal.
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