Informefinal

SUPERFICIES CUÁDRICAS

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

1

4

•

Las superficies cuádricas o simplemente cuádricas con eje central paralelo a los ejes coordenados, tiene por ecuación:

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Ax2+By2+Cz2+Dx+Ey+Fz+G=0

1

4

Es la gráfica de la ecuación:

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 •

–

–

–

 

 

 

+

+

+

 

 

 

=1

o

=1

o

=1

1

4

•

 Nota:

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Para hacer el grafico de  

+

 

=1, se toma z=k y

sus curvas de nivel son las graficas de z=k.

 

+

 

=1 en

1

4

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

1

4

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

•

•

La ecuación es del tipo: 2 2 2 + 2+ 2=0 2    Donde: a>0  b>0 c >0

1

4

El eje del cono 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 corresponde a la variable cuyo coeficiente es negativo. Por lo tanto a esta ecuación: •

2 2 •

+

2 2

−

2 2

=0

Le corresponde el eje Z.

1

4

Trazas: 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Traza

Plano

Elipse

Paralelo al plano xy

Hipérbola

Paralelo al plano xz

Hipérbola

Paralelo al plano yz

1

4

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

1

4

•

La ecuación canónica de la esfera es de la forma:

(x-h)2+ (y-k)2+ (z-l)2=r 2, con r 2>0 •

1

Donde su centro es (h, k, l) y su radio es r .

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

4

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

1

4

•

La ecuación canónica de un elipsoide es de la forma:  −ℎ 2

2

+

( − )2 2

+

− 2

2

=1

Sus elipses. 0 0 1• 1 00 1 0 1trazas 0 1 0 1 1 0son 1 000 1 0 1 0 0 1El 0 1 1elipsoide

es simétrico respecto a cada plano coordenado, entonces igualando a cero cada variable, obtenemos las ecuaciones de las trazas del elipsoide, que son:

 

 +

 

=1

Plano XY: z=0 YZ: x=0

 

 +

   

=1

plano XZ: y=0

 

 +

 

=1

1

4

plano

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

1

4

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

 x

2

a

2



2

 x  2 a

 y

2

b

2



2

 y  2 b

 z

2

c

2

1

2

 z  2 c

1

 x

2

a

2



 y

2

b

2



 z

2

c

2

1

1

4

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

1

4

Características: 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

•

•

Las intercepciones con el eje X con +-a. no hay intercepciones con los ejes Y y Z. Las trazas sobre los planos XY y XZ son, respectivamente, las hipérbolas  

 = 1,  = 0 y

 

 −

 

−

 

 

 −

 

−

 = 1,  = 0 .

 No hay trazas sobre el eje YZ.

1

4

•

La superficie es simétrica con respecto a todos los  planos coordenados, ejes coordenados y al origen. El eje de este hiperboloide es el X, su centro está en el origen y los puntos (±, 0,0) son sus vértices.

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

1

4

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

1

4

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

1

4

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

1

4

1

La ecuación es del tipo:

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011









− 

= 

4

Su representación grafica 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 tiene forma e una silla de montar. La traza sobre el  plano XY es una hipérbola (con cualquier plano horizontal), mientras que la intersección con los otros dos  planos son parábolas (con cualquier plano vertical), que difieren en concavidad. Para una mejor idea véase la siguiente figura. •

1

4

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

1

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