CURSO: DINÁMICA DOCENTE: ING. DARWIN QUENTA FLORES ESTUDIANTE: CHALCO CACHICATARI DENIS JUAN SEMESTRE: CUARTO GRUPO: A CODIGO: 114264
RESUMEN
En muchos casos de movimiento vibratorio las fuerzas externas son muy significantes por tanto consideraremos ahora el análisis incluido de las resistencias creadas por algunas sustancias como el agua aceite o simplemente el aire de medio ambiente. A estas fuerzas lo definiremos como fuerza de amortiguación viscosa; la cual estará dada por la siguiente expresión:
̇ Haciendo el análisis de un sistema con amortiguamiento (que veremos más adelante) y utilizando la segunda ley de newton podremos obtener la siguiente ecuación:
̈ ̇
El cual podemos observar que se trata de una ecuación diferencial lineal homogénea de coeficientes constantes; y podemos darle una solución esa ecuación. Cada caso posible en la ecuación no representará un tipo de sistema para el movimiento vibratorio: -Sistema sobre amortiguado.- que tiene una solución general de la siguiente forma:
-sistema críticamente amortiguado.- que tiene una solución general de la siguiente forma:
-sistema sub-amortiguado.- que tiene una solución general de l a siguiente forma:
El estudio del comportamiento grafico de posición vs tiempo se dará más adelante.
INTRODUCCIÓN
En el ámbito ingenieril, el ingeniero enfrenta una gran diversidad de problemas, ya sea con los cambios físicos o químicos que la naturaleza le presenta; entre ellos están el agua, los vientos, los sismos, problemas de corrosión entre otros; para resolver dichos problemas, el ingeniero, debe realizar un estudio sobre ellos para dar una solución satisfactoria.
En el presente documento estudiaremos los movimientos que pueden presentarse en obra (sismos, vientos, etc). Por ende es necesario tener una idea sobre la dinámica;
en general
trataremos sobre uno de los temas más importantes de esta rama, que son los movimientos vibratorios, el cual nos ayudara a comprender mejor algunos fenómenos observados en la naturaleza.
Para la eficaz comprensión del tema demostraremos alguna expresiones matemáticas ya existentes como: el sistema sobre amortiguado; el sistema críticamente amortiguado y el sistema sub-amortiguado, tratando de comprender el comportamiento del fenómeno. Presentaremos también ejemplos ilustrativos del tema, tratando siempre de relacionar con el campo del ingeniero civil que es el principal objetivo del presente trabajo.
VIBRACIÓN LIBRE VISCOSA AMORTIGUADA
I) DEFINICION.Los sistemas vibratorios considerados en las primeras partes del capítulo se supusieron libres de amortiguamiento. En realidad, todas las vibraciones se amortiguan en cierto grado gracias a las fuerzas de fricción. Estas fuerzas pueden deberse a fricción seca, entre cuerpos rígidos, a fricción fluida, cuando un cuerpo rígido se mueve en un fluido, o a fricción interna entre las moléculas de un cuerpo aparentemente elástico. En muchos casos la amortiguación se produce por la resistencia creada por una sustancia como el agua, aceite o aire; en la cual vibre el sistema. Si el cuerpo se mueve lentamente a través de esta sustancia la resistencia al movimiento es directamente proporcional al módulo de la velocidad del cuerpo. El tipo de fuerza desarrollada en estas condiciones se llama fuerza de amortiguación viscosa. Como ejemplo, considérese de nuevo un cuerpo de masa m suspendido de un resorte de constante k, donde se supondrá que el cuerpo está conectado al émbolo de un amortiguador. La
̇
magnitud de la fuerza de fricción que ejerce el fluido de los alrededores sobre el émbolo es iguala , donde la constante c, expresada en N s/m o lb s/ft y que se conoce como coeficiente de
amortiguamiento viscoso, depende de las propiedades físicas del fl uido y de la construcción del amortiguador. La ecuación de movimiento es:
POSICIÓN DE EQUILIBRIO
X
̇
̈
Por la segunda ley de newton tenemos
∑ ̇ ̈ ̈ ̇ Y cuando
La ecuación obtenida es una “ecuación diferencial lineal homogénea de coeficientes constantes”,
al cual le trataremos de dar una solución satisfactoria; según la teoría:
Y por la fórmula de Baskara obtenemos
√ ( ) √ ()
Ahora analizaremos la raíz buscando un valor
( ) √ Donde
que hace que el radical sea igual cero:
es coeficiente de amortiguamiento crítico.
Para darle una solución a la ecuación diferencial dependerá del valor de c, entonces tendremos 3 casos:
Caso 1.- cuando
cumplirá para una de las condiciones de la ecuación diferencial
(las raíces son reales y diferentes); entonces el sistema fundamental de soluciones es:
El movimiento que describe esta solución es no vibratorio por tanto el efecto de amortiguamiento es tan fuerte que al desplazar el bloque y dejarlo libre solo regresa a su posición inicial sin oscilar. Se le conoce como SISTEMA SOBRE-AMORTIGUADO.
Caso2 .- cuando
cumplirá para una de las condiciones de la ecuación diferencial (las
raíces son iguales); entonces el sistema fundamental de soluciones es:
Esta situación se conoce como SISTEMA CRÍTICAMENTE AMORTIGUADO ya que c toma el valor mínimo para que el sistema sea no vibratorio.
Caso 3.- cuando
cumplirá la tercera condición de la ecuación diferencial (raíces
pertenecen a los complejos); entonces el sistema fundamental de soluciones será: ,
En este caso el sistema se conoce como SISTEMA SUB-AMORTIGUADO. Dónde:
√ Al sustituir
La constante
y recordando
√
obtenemos:
se conoce como el factor de amortiguamiento y
circular de la vibración amortiguada.
como frecuencia
Considerando la sustitución de los coefi cientes como en el movimiento armónico simple podemos obtener una nueva ecuación para el sistema sub amortiguado que viene dada por la siente expresión:
Donde D y
son constantes, por lo general determinadas a partir de las condiciones
iniciales del problema.
Ahora observaremos las gráficas x vs t de los sistemas estudiados
Si utilizamos la frecuencia natural amortiguada puede escribirse como:
Como libre,
.
, el periodo de vibración amortiguada
el periodo de vibración amortiguada,
, será mayor que el de vibración
