VIBRACIONES MECÁNICAS SOLUCIÓN DE EJERCICIOS CON MATLAB
sistema con un grado de libertad sistema con n grados de libertad
Autores
MARCELO GAMBOA RUSSEL BELLIDO ARANGO MIGUEL DE LA CRUZ QUISPE GIOVANNI ATAUCUSI CHOQUECAHUA CLEVER
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ´ CRISTOBAL DE HUAMANGA FACULTAD DE INGENIER´IA DE MINAS GEOLOG´IA Y CIVIL ´ PROFESIONAL DE ESCUELA DE FORMACION ´ INGENIERIA CIVIL
´ PRACTICA 3 Curso ´ DINAMICA (IC-244) Docente Ing Cristian Castro Perez Estudiantes 1. 2. 3. 4.
Marcelo Gamboa, Russel Bellido Arango, Miguel De La Cruz Quispe, Giovanni Ataucusi choquecahua, Clever Ayacucho - Per´ u 2013
Contenido 1
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3
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Conceptos previos 1.1 Leyes de Newton . . . . . . . . . . . . . 1.2 Vibración . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Grados de libertad . . . . . . . . . . . . 1.4 Sistemas discretos y Sistemas continuos 1.5 Vibraciones libres y forzadas . . . . . . 1.6 Rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Tipos de excitación dinámica . . . . . .
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Sistemas de vibración con un grado de libertad 2.1 Vibración libre no amortiguada . . . . . . . 2.2 Vibración libre amortiguada . . . . . . . . . 2.2.1 Amortiguamiento crítico . . . . . . . 2.2.2 Amortiguaiento mayor que el crítico 2.2.3 Amortiguaiento menor que el crítico 2.3 Movimiento forzado no amortiguado . . .
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2 2 3 3 4 4 4 5
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6 6 9 10 12 12 14
Sistemas de vibración con n grado de libertad 3.1 Movimiento libre sin amortiguamiento de n grados de libertad . . . . 3.2 Ecuación de Lagranqe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Movimiento libre con amortiguamiento de n grados de libertad . . . 3.4 Movimiento forzado sin amortiguamiento de n grados de libertad . . 3.5 Determinación de los periodos y modos . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Movimiento amortiguado de n grados de libertad . . . . . . . . . . . 3.6.1 OSCILACIÓN-MODOS DE VIBRACIÓN DE LOS EDIFICIOS 3.7 Ejercicio de aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1 Solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.2 Solución numérica para 10 pisos . . . . . . . . . . . . . . . . .
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16 16 18 20 21 23 26 27 30 30 34
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40 40 40 41 42
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Programa para el cálculo 4.1 Interfaz general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Interfaz "Sistema Forzado Amortiguado con 1 grado de libertad " 4.1.2 Interfaz "Sistema Libre Amortiguado con 1 grado de libertad " . . 4.1.3 Interfaz "Sistema con n grado de libertad " . . . . . . . . . . . . . Conclusión
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CONTENIDO
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Apreciación crítica
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Conceptos previos
Veremos a continuación una serie de conceptos dinámicos utilizados habitualmente en el estudio de vibraciones.
1.1
Leyes de Newton
1ra Ley de Newton: "Todo cuerpo permanece en su estado de reposo, o movimiento uniforme rectilíneo, a menos que sea obligado a cambiar ese estado debido a la aplicación de cualquier tipo de fuerzas." Esta primera ley de Newton se conoce también con el nombre de Ley de Inercia.
2da Ley de Newton: "La fuerza que actúa sobre un cuerpo y causa su movimiento, es igual a la tasa de cambio de la cantidad de movimiento del cuerpo."
Definición 1.1
F= Donde I P: cantidad de movimiento del cuerpo. I F: Fuerza externa. I Además P = mv, de donde se obtiene que:
dP dt
(1.1)
3
Definición 1.2
(1.2)
F = ma
Donde: I a: aceleración
3ra Ley de Newton: "A toda acción se opone siempre una reacción de igual magnitud; o las acciones mutuas entre dos cuerpos son siempre iguales y opuestas."
1.2
Vibración
Es un movimiento oscilatorio que aparece, por lo general, en los sistemas mecánicos sometidos a la acción de fuerzas variables con el tiempo. Distinguiremos entre vibración y oscilación. La diferencia entre ellas radica en que la vibración implica la existencia de energía potencial elástica, mientras que la oscilación no.
k
1.3
m
F(t)
Grados de libertad
El número de grados de libertad de un sistema, desde el punto de vista de la dinámica, corresponde al número mínimo de coordenadas necesarias para definir la posición en el espacio y en el tiempo de todas las partículas de masa del sistema. Por ejemplo, el sistema de la Figura ?? tiene 2 grados de libertad, que son las dos coordenadas x1 y x2 que definen la posición de cada uno de los bloques con respecto a sus posiciones de referencia.
Conceptos previos
x1 k
1.4
m
x2 k
m
Sistemas discretos y Sistemas continuos
Se denominan sistemas discretos aquéllos que pueden ser definidos mediante un número finito de grados de libertad y sistemas continuos aquéllos que necesitan infinitos grados de libertad para ser exactamente definidos.
1.5
Vibraciones libres y forzadas
El movimiento mecánico puede ser clasificado en dos grandes grupos, los cuales son vibraciones libres y vibraciones forzados. Vibraciones libres son las que se producen al sacar un sistema de su posición de equilibrio y dejarlo oscilar libremente. Vibraciones forzadas son aquéllas que se producen por acción de fuerzas dependientes del tiempo.
1.6
Rigidez
Todo cuerpo elástico que sea sometido a fuerzas externas, ya sean estáticas o dinámicas , sufre una deformación. La rigidez se define como la relación entre estas fuerzas externas y las deformaciones que ellas inducen en el cuerpo. Toda estructura se ve afectada numerosas veces durante su vida por efectos dinámicos que van desde magnitudes despreciables, hasta efectos que pueden poner en peligro su estabilidad. Dentro de los tipos de excitación dinámica que pueden afectar una estructura, más específicamente en este caso sería como afecta a los edificios.
5
Resortes en serie
Resortes en paralelo
1.7
Tipos de excitación dinámica
Toda estructura se ve afectada numerosas veces durante su vida por efectos dinámicos que van desde magnitudes despreciables, hasta efectos que pueden poner en peligro su estabilidad. Dentro de los tipos de excitación dinámica que pueden afectar una estructura, o un elemento estructural, se cuenta (véase la figura ) entre otros:
1.
Causada por equipos mecánicos. Dentro de este grupo están los efectos causados por maquinarias y equipos que tengan componentes que roten o se desplacen periódicamente.
2.
Causado por impacto. El hecho de que una masa sufra una colisión con otra, induce una fuerza impulsiva aplicada sobre las dos masas, la cual induce vibraciones.
3.
Causadas por el viento. La intensidad de las presiones que ejercen el viento sobre las estructuras varía en el tiempo. Esto induce efectos vibratorios sobre ellas.
4.
Causadas por olas. El efecto sobre las estructuras de los movimientos del terreno producidos por la ocurrencia de un sismo conduce a vibraciones importantes de la estructura.
2 2.1
Sistemas de vibración con un grado de libertad
Vibración libre no amortiguada
Aunque la perdida de energía en sistemas vibratorios siempre esta presente, existe ocasiones en las que la frecuencia de la vibración libre conocida como frecuencia natural se ve casi inalterada al despreciar el amortiguamiento, entonces se puede eliminar este efecto y considerarlo como un sistema sin amortiguamiento. El resultado es un modelo simple de analizar y que además proporcionara una serie de conclusiones importantes. El cálculo de la frecuencia natural es de gran importancia ya que nos permite conocer la frecuencia a la cuál un sistema no debe ser excitado porque aparecería el efecto de la resonancia manifestándose como grandes amplitudes de vibración. Por otro lado, puesto que un sistema vibratorio tiene tantas frecuencias naturales como sea el número de grados de libertad, en este caso nos enfocaremos solo al caso de un sistema de un solo grado de libertad y calcular entre otras cosas la frecuencia natural o de resonancia.
Vibración libre no amortiguada
k
k
m
k m
m Bajo el supuesto de que la fuerza ejercida para deformar el resorte, ya sea en tención o en com-
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prensión, es proporcional a la deformación y siendo que K la constante de proporcionalidad o rigidez, podemos determinar la fuerza que ejerce el resorte por medio de:
Definición 2.1
Fr = kx
(2.1)
Donde: I Fr = fuerza ejercida por el resorte(N) I k = rigidez del resorte (N/m) I x = desplazamiento relativo entre los dos extremos del resorte (m) La fuerza inercial que se tiene en la masa m debido ala aceleración a, esta dada, según la segunda ley de newton, por:
Definición 2.2
F = mx¨
(2.2)
Donde: I F = fuerza inercial que obra sobre la masa (N) I m = masa (kg) I x= ¨ aceleración de la masa (m/s2 ) Esta fuerza inercial obra en la dirección contraria a la dirección de la aceleración. Aplicando el procedimiento de ?cuerpo libre? en la masa, figura 1.b se obtienen las dos fuerzas que obran sobre la masa, correspondientes a la fuerza ejercida por el resorte y la fuerza inercial. Por lo tanto, aplicando el principio de D’Alembert:
Definición 2.3
F − Fr = mx¨ − kx = 0
(2.3)
Asi se obtiene la siguiente ecuación de equilibrio correspondiente a una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden:
Definición 2.4
mx¨ − kx = 0
(2.4)
Sistemas de vibración con un grado de libertad
Dividendo por m y llamado w2n la constante k/m, se obtiene: x¨ + w2n x = 0 Y la solución de esta ecuación diferencial es: x(t) = Asen(wnt) + B cos(wnt) DondeAyB depende de las condiciones iniciales que indujeron el movimiento. Por lo tanto, si se definex0 como el desplazamiento que tenia la masa en el movimiento t = oyV como su velocidad también en el tiempo t = 0, se obtiene: x0 = Asen(wn 0) + B cos(wn 0) Ahora deribando la ecuación de la solución : x˙ = Awn cos(wnt) + Bwn sen(wnt) Que al tiempo t=0 es igual a: v0 = Awn cos(wn 0) + Bwn sen(wn 0) = Awn Y entences: A=
v0 wn
Por lo tanto la solución de la ecuación(2-5) se convierte en: Definición 2.5
x(t) =
v0 sen(wnt) + x0 cos(wnt) wn
(2.5)
Donde: I v0 = velocidad de la masa en el instante t=0 (m/s) I x0 = desplazamiento de la masa en el instante t=0 (m) I wn = frecuencia natural del sistema (rad/s) El haber introducido un desplazamiento y una velocidad iniciales a la masa ase que esta oscile con un movimiento periódico a partir del momento (t = 0) en que se introdujeron estas condiciones iniciales. En la figura 1.c se presenta el gráfico del desplazamiento de la masa con respecto al tiempo, correspondiente a la solución de la ecuación de movimiento. Puede verse que se trata de un movimiento periódico. Esta periodicidad hace que el valor de x 2π sea el mismo cada segundos. Por lo tanto, es posible definir los siguientes términos: wn r I wn =
k :frecuencia natural del sistema por radiaciones por segundo (rad/s) m
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I f=
wn :frecuencia natural del sistema en ciclos por segundo o Hertz (Hz o 1/s) 2π
I T=
2π 1 = : periodo natural del sistema en segundos (s) wn f
Estas relaciones se han enmarcado para resaltar su importancia.
2.2
Vibración libre amortiguada
Los movimientos oscilatorios tienden a disminuir con el tiempo hasta desaparecer. Esto se debe al amortiguamiento que se presenta, el cual hace que parte de la energía se disipe. Las causas de este amortiguamiento están asociadas con diferentes fenómenos dentro de los cuales se puede encontrar la fricción de la masa sobre la superficie de apoyo, el efecto del aire que rodea la masa, el cual tiene a impedir que ocurra el movimiento, la no linealidad del material de resorte, entre otros. Existen numerosas maneras de describir matemáticamente el efecto de fricción. Dentro de estos modelos, uno de los más utilizados es el que se conoce como amortiguamiento viscoso. En el amortiguamiento viscoso la fuerza de amortiguamiento es directamente proporcional a la velocidad relativa entre los extremos del amortiguador, lo cual se puede describir por medio de la siguiente ecuación: Fa = −cx˙ Donde: I Fa : fuerzaproducidaenelamortiguamiento I c : constantedeamortiguamiento(N.s/m) I x˙ : velocidadrelativaentrelosextremosdeamortiguador(m/s)
k
c
m
En la figura se muestra la misma lineal amortiguado de un grado de libertad. El grado de libertad esta descrito por la ordenada X, la cual indica la posición de la masa m. a esta masa, colocada sobre una fricción, está conectado un resorte con constante de rigidez k y un amortiguador cuyo constante es C.
Sistemas de vibración con un grado de libertad
De la aplicación del procedimiento de cuerpo libre figura 2.b de la masa, se obtiene las tres fuerzas que obran sobre ella, correspondientes a la fuerza del resorte Fr = kx; la fuerza inercial producida por la aceleración de la masa, F = mxy ˙ por la fuerza ejercida por el amortiguador dada en la ecuación Fa = cx. ¨ Utilizando el principio de D Alembert puede plantearse la siguiente ecuación Fr + Fa + F = 0 Y al reemplazar las definiciones de las diferentes fuerzas; lo cual conduce a la siguiente ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden: mx¨ + cx˙ + kx) = 0 La ecuación característica de la ecuación anterior es: mλ2 + cλ + k = 0 Cuyas raíces son: √ −c − c2 − 4mk λ1 = 2m Y √ −c + c2 − 4mk λ2 = 2m Por lo tanto la solución de la ecuación diferencial de equilibrio del sistema, es: Definición 2.6
x(t) = Aeλ1t + Beλ2t
(2.6)
Donde: I A = constante que depende de las condiciones iniciales del movimiento. I B = constante que depende de las condiciones iniciales del movimiento. I e = base de los logaritmos neperianos. Existen tres casos de solución para la ecuación anterior dependiendo del valor del radical de la ecuación , los cuales se presentan a continuación.
2.2.1
Amortiguamiento crítico
Cuando el radical dela ecuación λ1 yλ2 es igual a cero la cantidad de amortiguamiento c, se denomina amortiguamiento crítico y se define como cc y se obtiene así: cc 2 − 4mk = 0 Por lo tanto:
11
√ cc 2 = 2 mk = 2mwn Definiendo ξcomo el coeficiente de amortiguamiento crítico, igual al cociente c/cc entonces: c = 2mξwn Que al ser remplazado en las raices de la ecuacione sauciliares se obtiene: q 2 λ1 = −ξ + 1 − ξ wn Y q 2 λ2 = −ξ − 1 − ξ wn Ahora, los tres casos de interés se han convertido en ξ = 1, ξ ≥ 1yξ ≤ 1 , que se denomina amortiguamiento igual, mayor y menor del crítico, respectivamente. Para el caso de amortiguamiento igual al críticoξ = 1. λ1 = λ2 = −wn Debido a la doble raíz la solución para el movimiento X, es del tipo: −wn t
x(t) = Ae−wn t + Be Remplazando las condiciones iniciales se obtiene: Definición 2.7
x(t) = [x0 + t(v0 + x0 wn )] e−wnt
(2.7)
Donde x0 y v0 son el desplazamiento y la velocidad inicial respectivamente.
x x0 0
v0
t
Éste es un movimiento a periódico no hay oscilación, como puede verse en la figura Este es el caso en el cual el sistema regresa de la manera mas rápida a su condición de reposo
Sistemas de vibración con un grado de libertad
2.2.2
Amortiguaiento mayor que el crítico
En el caso ξ > 1 . Tomando los valores de λ1 y λ2 de la solución de las ecuaciones auciliares e introduciéndolos en la ecuación solución se obtiene: √ √ ξ2 −1wt ξ2 −1wt e−ξwn t x(t) = Ae + Be A y B son constantes arbitrarias que dependen de las condiciones iniciales. En este caso el movimiento también es aperiódico como en el caso de amortiguamiento crítico, con la diferencia que el movimiento decrece más lentamente que cuando se tiene amortiguamiento igual al crítico.
2.2.3
Amortiguaiento menor que el crítico
Corresponde a la posibilidad de mayor interés por cuanto se presenta vibración. La gran mayoría de aplicaciones prácticas en vibraciones están rígidas por este caso debido al hecho de que la gran mayoría de los sistemas estructurales tiene valores de amortiguamiento bajos. En este caso . Tomando los valores de y de las ecuaciones (2-22) y (2-23) puede verse que la parte interna de los radicales es negativa, por lo tanto la solución es imaginaria: √ h √ 2 i 2 x(t) = e−ξwn t Ae 1−ξ wn t + Be− 1−ξ wn t Aplicando la transformación de Euler, la cual se expresa como: eiy = cos(y) + isen(y) Y eiy = cos(y) − isen(y) Se obtiene una forma no imaginaria de la ecuación anterior: h √ 2 √ 2 i 1−ξ wn t 1−ξ wn t x(t) = e−ξwn t C cos + Dsen Al resolver las constantes C y D para las condiciones iniciales de desplazamiento inicial y velocidad inicial se obtiene: v0 + ξx0 wn −ξwn t x(t) = e x0 cos (wd t) + Dsen (wd t) wd Donde wd se conoce como la frecuencia amortiguada y está definida por: q wd = wn 1 − ξ2 El movimiento disminuye la amplitud exponencialmente como se muestra en la figura 2-8. La porción oscilatoria tiene un periodo un poco mayor que el que tendría un sistema no amortiguado con la misma rigidez y masa. Td =
2π 2π = p wd wn 1 − ξ2
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Respuestas de un sistema de amortiguamiento menor del crítico.
Ejemplo 2.1 Una caja tiene una masa de 1000kg es soltada desde un metro de altura sobre el centro de la luz de una viga simplemente apoyada de masa despreciable. la viga tiene una luz de longitud L = 10M y su sección tiene 0.2m de ancho por 0.5m de largo. está construida de un material cuyo modulo de elasticidad es E = 25000MPa (ver figura). El sistema en conjunto tiene una frecuencia natural de 50rad/s se desea encontrar la máxima amplitud del sistema dado que ahora tiene un amortiguamiento de c = 5000N.s/m
El coeficiente de amortiguamiento critico. Se obtiene de: ξ=
5000 c = = 0.05 2mwn 2 ∗ 1000 ∗ 50
Dado que el coeficiente de amortiguamiento critico es menor que la unidad. El movimiento esta descrito por: v0 + ξx0 wn −ξwn t x(t) = e x0 cos (wd t) + Dsen (wd t) wd Al remplasar los valores apropiados. Se obtiene: 2.5t 4.43 x=e sen (wd t) wd Donde: wd = wn
q q 1 − ξ2 = 50 1 − (0.05)2 = 49.94rad/s
El máximo movimiento ocurre para sen(wd t) = 1.osea para wd t = /pi/2 . lo cual corresponde a t = 0.0315s
Sistemas de vibración con un grado de libertad
La amplitud en este instante es: x=e
−2.5×0.0315
4.43 0.9243 × 4.43 ×1 = = 0.082m 49.94 49.94
Y la máxima fuerza inercial que se produce es: F = 0.082k = 205000N
2.3
Movimiento forzado no amortiguado
En la figura se presenta un sistema de un grado de libertad a cuya masa se le aplica una fuerza que varía en el tiempo con una periodicidad constante. Esta fuerza periódica puede describirse por medio de F0 sin(Ωt), de donde podemos deducir que su máximo valor es F0 y tiene una frecuencia de Ω rad s
m k
m
F(t)
kx
Del diagrama de cuerpo libre obtenemos la siguiente ecuación de movimiento mx¨ + kx = F0 sin(Ωt) La solución de esta ecuación diferencial no homogénea de segundo orden se divide en dos partes: una solución homogénea y una solución particular x = xc + x p la solución homogénea correspondiente ya se resolvió en la sección anterior xc = A sin(ωnt + φ) Ahora, por el método de coeficientes indeterminados; suponemos que x p = X sin(Ωt) Calculando la segunda derivada con respecto al tiempo y sustituyendo en la ecuación del movimiento tendremos: k F0 sin(Ωt) −XΩ2 sin(Ωt) + (X sin(Ωt)) = m m factorizando Ωt y resolviendo X tendremos: X=
F0 /m (k/m) − Ω2
15
X=
F0 /k 1 − (Ω/ωn )2
Luego xp =
F0 /k 1 − (Ω/ωn )2
sin(Ωt)
Además se define al movimiento estático como: δ0 = F0 /k Entonces la solución será x = A sin(ωnt + φ) +
δ0 1 − (Ω/ωn )2
sin(Ωt)
3 3.1
Sistemas de vibración con n grado de libertad
Movimiento libre sin amortiguamiento de n grados de libertad
La ecuación matricial para el caso de oscilaciones libres, es en general: [M]{u} ¨ + [C]{u} ˙ + [K]{u}
(3.1)
= 0
Donde [M] = matriz de masas [C] = matriz de amortiguamiento [K] = matriz de rigidez {u}
: vector de coordenadas
Veamos un ejemplo De donde obtendremos el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales m1 x¨1 + (k1 + k2 )x1 − k2 x2 + (c1 + c2 )x˙1 − c2 x˙2
= 0
m2 x¨2 − k2 x1 + (k2 + k3 )x2 − k3 x3 − c2 x˙1 + (c2 + c3 )x˙2 − c3 x˙3
= 0
m3 x¨3 − k3 x2 + k3 x3 − c3 x˙2 + c3 x˙3
= 0
Luego las matrices serán:
m1 [M] = 0 0
0 m2 0
0 0 m3
−c2 c2 + c3 −c3
0 −c3 c3
−k2 k2 + k3 −k3
0 −k3 k3
c1 + c2 [C] = −c2 0 k1 + k2 [K] = −k2 0
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Ahora nos avocaremos a la solución del sistema de ecuaciones diferenciales Tenemos, para vibración libre, el siguiente sistema de n ecuaciones simultáneas diferenciales, de equilibrio: [M]{u} ¨ + [K]{u}
(3.2)
= 0
donde las matrices [M] y [K] son las matrices de masa y de rigidez respectivamente, y además ambas son positivamente definidas, lo cual quiere decir que para la posición de equilibrio, la energía potencial del sistema es cero. Se postula que la solución del sistema anterior de ecuaciones diferenciales simultáneas es del tipo: n o {Ui (t)} = φ(i) fi (t) lo cual corresponde a una solución separable en un vector de amplitudes, n o φ(i) , y una función del tiempo, fi (t) . Al derivar dos veces contra el tiempo la ecuación 3.2 se obtiene la siguiente ecuación de aceleraciones: n o U¨ i (t) = φ(i) f¨i (t) Reemplazando las dos últimas ecuaciones, tenemos: n o n o [M] φ(i) f¨i (t) + [K] φ(i) fi (t) = {0} Es decir, tenemos n ecuaciones del tipo: ! n
∑ mi j φ j
(i)
n
f¨i (t) +
j=1
∑ ki j φ j
! (i)
fi (t) = 0
j=1
que es equivalente, para cualquier ecuación i, a la solución clásica de ecuaciones diferenciales por el método de separación de variables: n
f¨i (t) − = fi (t)
∑ ki j φ j (i) j=1 n
∑ mi j φ j (i)
j=1
En esta última ecuación podemos ver que el lado derecho no depende del tiempo, mientras que el izquierdo si. Esto quiere decir que ambos lados son iguales a una constante, que denominamos arbitrariamente como w2i . Por lo tanto la ecuación se convierte en dos ecuaciones, una para la parte que depende del tiempo, y otra para la parte que no: f¨i (t) + ω2i fi (t) = 0 y n
∑
j=1
ki j − ωi 2 mi j φ j (i) = 0
Sistemas de vibración con n grado de libertad
Luego nos queda fi (t) = Ai sin(ωit) + Bi cos(ωit) y n o [K] − ωi 2 [M] φ(i) = {0} Esta última ecuación corresponde a un sistema de ecuaciones simultáneas homogéneo, el cual por definición sólo tiene solución no trivial si el determinante de la matriz de coeficientes es cero: [K] − ωi 2 [M] = 0 Esta expresión se denomina, entonces, el determinante del sistema de ecuaciones diferenciales simultáneas. Al expandir este determinante encontramos un polinomio de orden 2n, con potencias pares únicamente, y con w2 como variable. Esta ecuación se llama ecuación característica o ecuación de frecuencias. Las o raíces de esta ecuación son las frecuencias naturales del sistema que se denominan valores característicos o valores propios, o "eigenvalores". Debido a que las matrices [M] y [K] son positivamente definidas, se puede probar que las raíces de la ecuación característica son siempre reales y positivas. Estas raíces se ordenan de menor a mayor así: ω1 2 < ω2 2 < ... < ωn 2 Y las raíces cuadradas de estos términos son las llamadas frecuencias naturales del sistema, en radianes por segundo. A la frecuencia más pequeña, w1 , se le denomina frecuencia fundamental. Ahora debemos determinar los valores de las amplitudes de este movimiento armónico n o φ(i) , reemplazando los valores de w2i en la ecuación, para obtener así o sistemas de ecuaciones del tipo: n o [K] − ωr 2 [M] φ(i) = {0} Con r = 1, 2, ..., n
3.2
Ecuación de Lagranqe
Aplicando los principios de D’Alambert y Hamilton, Lagrange logró demostrar lo que se conoce con el nombre de ecuación de Laqranqe: d ∂Ec ∂Ec ∂E p − + = Pi (t) dt ∂x˙i ∂xi ∂xi Con este principio obtendremos las ecuaciones de movimiento de cada cuerpo Ejemplo 3.1 Supongamos que tenemos un edificio como el mostrado en la figura. Estamos interesados en la respuesta del edificio en la dirección x únicamente. La rigidez de cada uno de los pisos es igual y se denomina k. La masa de los pisos inferiores es el doble, para cada uno que el de la cubierta la cual se denomina m.
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La matriz de masa del sistema es el siguiente
m 0 0 U3 [M] = 0 2m 0 U2 0 0 2m U1 Y la matriz de rigidez obtenida por el método de la ecuación de Lagrange, es la siguiente
k [K] = −k 0
−k 2k −k
U3 0 −k U2 2k U1
Luego las ecuaciones del movimiento son m 0 0 k U¨ 3 0 2m 0 U¨ 2 + −k ¨ 0 0 2m U1 0
0 U3 0 = −k U2 0 2k U1 0
−k 2k −k
Ahora procedemos a encontrar la solución de la respuesta del sistema para diferentes condiciones iniciales [K] − ωi 2 [M] = 0 Al reemplazar las matrices [K] y [M], tenemos k − ω2 m −k 0
−k 2k − ω2 2m −k
0 −k 2k − ω2 2m
=0
Lo cual nos genera la ecuación característica −4m3 ω6 + 12km2 ω4 − 9k2 mω2 − k3 = 0 Resolviendo, tendremos (y considerando que ω1 es el menor) ω21 = 0.134
k m
ω22 =
k m
ω23 = 1.866
k m
Ahora calculemos los modos con n o [K] − ωi 2 [M] φ(i) = {0} Reemplazando, tenemos k − ω2r m −k 0
−k 2k − ω2r 2m −k
(r) 0 φ3 (r) −k φ 2(r) 2 2k − ωr 2m φ1
0 = 0 0
De donde considerando que φ1 = 1.00, tendremos los siguientes modos n o 2 φ(1) = 1.732 1
n o −1 φ(2) = 0 1
2 n o φ(3) = −1.732 1
Sistemas de vibración con n grado de libertad
3.3
Movimiento libre con amortiguamiento de n grados de libertad
Cuando se trataron los sistemas de un grado de libertad se discutieron los diferentes tipos de amortiguamiento y su tratamiento matemático. Desde este punto de vista hay razones poderosas para adoptar la idealización de amortiguamiento viscoso dado que la solución de la ecuación diferencial de equilibrio dinámico es la más sencilla de tratar. Cuando intentamos extender estos conceptos a sistemas de varios grados de libertad nos encontramos que en aras de obtener una solución matemática expedita, la relación entre el modelo matemático y el fenómeno físico es más imperfecta. Un sistema de varios grados de libertad donde hay amortiguamiento viscoso tendría el siguiente sistema de ecuaciones de equilibrio en vibración libre: [M] {x} ¨ + [C] {x} ˙ + [K] {x} = {0} El procedimiento para obtener las matrices de masa [M] y de rigidez [K] ha sido tratado en los capítulos anteriores. El procedimiento para definir los coeficientes de la matriz de amortiguamiento [C] consiste, desde un punto de vista análogo al empleado para determinar las matrices de masa y rigidez, en imponer una velocidad unitaria a uno de los grados de libertad, mientras que la velocidad de los otros grados de libertad se mantiene como cero. De esta forma se obtienen unas fuerzas internas de amortiguamiento en todos los grados de libertad, las cuales provienen de la velocidad del grado de libertad seleccionado. Esas fuerzas corresponden a las constantes de la columna de la matriz de amortiguamiento del grado de libertad seleccionado. Realizando esta operación sistemáticamente para cada uno de los grados de libertad, se obtiene la matriz de amortiguamiento [C] del sistema estructural: [C] =
C1,1 C1,2 C2,1 C2,2 .. .. . . Cn,1 Cn,2
... ... .. . ...
C1,n C2,n .. . Cn,n
En general lo que se conoce acerca del amortiguamiento de los materiales estructurales, o de los elementos estructurales construidos con estos materiales, hace que el procedimiento descrito sea difícil de aplicar en los casos prácticos, dado el gran número de incógnitas que existen alrededor del tema. Usualmente se emplean procedimientos por medio de los cuales se realizan aproximaciones basadas en casos de estructuras similares en las cuales se conoce el amortiguamiento debido a mediciones o ensayos experimentales. Estos procedimientos, en general, utilizan el concepto de amortiguamiento modal que se presenta a continuación. Si la matriz [C] es desacoplada por los modos de vibración, tendíamos entonces que: [Φ]T [C] [Φ] = [2ξi ωi ] donde la matriz [2ξi ωi ] es una matriz diagonal y ξi es el amortiguamiento viscoso asociado con el modo i. Este tipo de amortiguamiento en el cual la matriz de amortiguamiento [C] es desacoplable por los modos de vibración obtenidos de las matrices de masa [M] y rigidez [K], únicamente; se conoce con el nombre de amortiguamiento clásico. En este momento se estaría planteando una matriz de amortiguamiento cuya única ’virtud es que es posible desacoplarla, pero que tiene poca relación con el fenómeno físico que trata de describir. Dadas las imprecisiones en que se
21
incurriría en esta situación, no tiene mucho sentido tratar de obtener la matriz [C] de la manera descrita y no se comete un error grave, dados los órdenes de magnitud de los errores, si este amortiguamiento se introduce en la ecuación desacoplada del sistema. Por lo tanto el procedimiento comúnmente empleado consiste en definir un amortiguamiento modal; el cual es propio del modo en su ecuación diferencial desacoplada, por lo tanto la ecuación se convierte en: η¨ i + 2ξi ωi η˙ i + ωi 2 ηi = 0 Si suponemos, ahora, que la matriz de amortiguamiento tiene una forma tal que sea una combinación lineal de las matrices de masa [M] y de rigidez [K], de la siguiente manera: [C] = α [M] + β [K] Luego α + βωi 2 es una matriz diagonal. Dado que cada uno de los términos de la diagonal de esta matriz corresponde a 2ξi ωi , entonces el amortiguamiento ξi ; en cada una de las ecuaciones desacopladas es: α βωi ξi = + 2ωi 2
3.4
Movimiento forzado sin amortiguamiento de n grados de libertad
El siguiente sistema de vibración representa una edificación donde las rigideces Ki representan a la suma de todas las rigideces de todas las columnas del entrepiso respectivo y las masas mi es igual a la masa del piso más la masa del medio entrepiso superior adyacente y la masa del piso inferior inmediato. Las fuerzas Fi representan a las fuerzas horizontales (sismo, viento, etc.) que actúan sobre cada masa mi y producen desplazamientos laterales del piso i.
Sistemas de vibración con n grado de libertad
Donde:
mi
= masa del entrepiso
ki
= constante de rigidez lateral del entrepisoi
Fi
= fuerza horizontal aplicada al pisoi
Vi
= fuerza cortante del entrepisoi
xi
= desplazamiento lateral del pisoi
Por equilibrio de fuerzas: ∑F = 0 mi x¨i + vi − vi+1 = Fi mi x¨i + ki (xi − xi−1 ) − ki+1 (xi+1 − xi ) = Fi mi x¨i − ki+1 xi+1 + (ki + ki+1 )xi − ki xi−1 = Fi Lo que se requiere determinar son las características de la estructura y estas son independientes del tipo de excitación, por tanto podemos hacer Fi = 0
23
mi x¨i − ki+1 xi+1 + (ki + ki+1 )xi − ki xi−1 = 0
i = 1, i = 2, i = 3, .. . i = n,
m1 x¨1 − k2 x2 + (k1 + k2 )x1 = 0 m2 x¨2 − k3 x3 + (k2 + k3 )x3 − k2 x1 = 0 m3 x¨3 − k4 x4 + (k3 + k4 )x3 − k3 x2 = 0 mn x¨n − kn+1 xn+1 + (kn + kn+1 )xn − kn xn−1 = 0
Haciendo un cambio de variable xi = φi sin ωt x˙i = φi ω cos ωt x¨i = −φi ω2 sin ωt Remplazando y agrupando convenientemente tenemos
(k1 + k2 ) − m1 ω2 −k2 0 .. . 0
−k2 (k2 + k3 ) − m2 ω2 −k3 .. . 0
0 −k3 (k3 + k4 ) − m3 ω2 .. . 0
... ... ... .. . −kn
0 0 0 −kn k n − mn ω 2
Descomponiendo la matriz
(k1 + k2 ) −k2 0 ... −k2 (k2 + k3 ) −k3 ... 0 −k3 (k3 + k4 ) . . . .. .. .. .. . . . . 0 0 0 −kn
0 0 0
−kn kn
φ1 φ2 φ3 φ4 φ5
−ω2
m1 0 0 .. . 0
0 m2 0 .. . 0
0 0 m3 .. . 0
... ... ... .. . 0
0 0 0
0 mn
φ1 φ2 φ3 φ4 φ5
=
Ecuación dinámica [K] [φ] − ω2 [m] [φ] = 0 Al reemplazar cada una de estas soluciones en (4.3) obtenemos una ecuación de valores característicos donde es imposible obtener los valores absolutos de los desplazamientos, a menos que se conozca uno de ellos con certeza. Asumimos un valor para uno de estos desplazamientos y encontramos las demás respuestas en función de la asumida, por lo tanto solo es posible conocer la relación que existen entre los desplazamientos relativos de los pisos para cada periodo de vibración.
3.5
Determinación de los periodos y modos
Para la determinación de las formas de modo utilizaremos el método matricial. DIRECCIÓN X:
0 0 0 0 0
Sistemas de vibración con n grado de libertad
Normalicemos los pesos y las rigideces con respecto al último nivel.
1.0943m 0 0 0 1.4282m 0 [M] = 0 0 1.4188m 0 0 0
1.49612k −k [K] = 0 0
−k 2k −k 0
0 −k 2k −k
0 0 0 m
0 0 −k k
De la ecuación dinámica [K] − ω2 [M] = 0 1.49612 − 1.0943λ −1 −1 2 − 1.4282λ 0 −1 0 0
0 −1 2 − 1.4188λ −1
0 0 −1 1−λ
Igualamos a cero el determinante d esta matriz. y con la ayuda de programas de computo encontramos las raíces. El método de Chio es apropiado para realizar los cálculos manualmente ya que permite desarrollar determinantes de orden grande por medio de determinantes de segundo orden. Luego de evaluar el determinante e igualar loa cero obtenemos los siguientes raíces que resuelven la ecuación: λ1 = 0.0672 λ2 = 0.7105 λ3 = 1.8083 λ4 = 2.8912 Inicialmente para agilizar los cálculos, normalizamos las masas y rigideces respecto al nivel 4, luego las frecuencias para cada modo i se halla mediante la siguiente expresión: r k ωi = λi m Donde k = 437.332T n/cm y m =
265.066 980
ω1 = 10.4238 s−1 ω2 = 33.8941 s−1 ω3 = 54.0726 s−1 ω4 = 68.3724 s−1
T1 = 0.6028 s T 2 = 0.1854 s T3 = 0.1162 s T4 = 0.0919 s
Para el cálculo de las formas de modo reemplazamos cada valor de lambda en la ecuación: [K] − ω2 [m] {φ} = {0} Para resolver esta ecuación de valores característicos hemos asumido φ1 = 1, y a partir de esta condición hemos obtenido los demás valores de φ.
25
Por ejemplo para la primera forma de modo λ1 = 0.0672, reemplazamos este valor, y obtenemos:
1.4226 −1 0 0
−1 1.9040 −1 0
0 −1 1.9047 −1
φ 0 1 φ2 0 φ3 −1 φ4 0.9328
0 0 = 0 0
φ1 = 1 φ2 = 1.4226 φ3 = 1.7086 φ4 = 1.8316 1.8316 1.7086 φ1 = 1.4226 1
−1.0082 −0.2919 φ2 = 0.7186 1
0.8892 −0.7188 φ3 = −0.4827 1 −0.8032 1.2781 φ4 = −1.3395 1
Normalicemos los pesos y las rigideces con respecto al último nivel.
1.0943m 0 [M] = 0 0
1.593k −0.87605k [K] = 0 0
0 1.4282m 0 0
0 0 0 0 1.4188m 0 0 m
−0.87605k 1.87605k −k 0
[K] − ω2 [m] = 0
0 −k 2k −k
0 0 −k k
Sistemas de vibración con n grado de libertad
haciendo λ =
ω2 m k
1.593 − 1.0943λ −0.87605 0 0
−0.87605 0 1.87605 − 1.4282λ −1 −1 2 − 1.41188λ 0 −1
0 0 −1 1−λ
Resolviendo el sistema λ1 = 0.0802 λ2 = 0.7796 λ3 = 1.7930 λ4 = 2.5261
r ωi = Donde k = 192.848T n/cm y m =
k λi m
265.066 980
ω1 = 7.5619 s−1 ω2 = 23.5765 s−1 ω3 = 35.7547 s−1 ω4 = 42.4394 s−1
T1 = 0.8309 s T2 = 0.2665 s T3 = 0.1757 s T4 = 0.1481 s
Reemplazando los valores con λ en la siguiente ecuación [K] − ω2 [m] {φ} = {0}
2.3381 2.1506 φ1 = 1.7183 1
0.7409 −0.5875 φ3 = −0.4213 1
3.6
−1.0519 −0.2318 φ2 = 0.4885 1
−0.9432 1.4394 φ4 = −1.3371 1
Movimiento amortiguado de n grados de libertad
Consideremos un sistema de varios grados de libertad sometida a una excitación sísmica, la cual es representada generalmente como una aceleración horizontal.
27
Para plantear la ecuación de equilibrio dinámico del sistema de n grados de libertad podemos empezar por analizar las fuerzas que actúan sobre la masa mi en cierto instante en que la masa y la base están moviéndose. El caso mas sencillo de analizar es aquel en el cual las fuerzas y rigideces de amortiguamiento son respectivamente proporcionales al desplazamiento ya la velocidad de la masa con respecto a la base , siendo K y C las correspondientes constantes de proporcionalidad , que se se supone no cambian con el tiempo. Este conjunto constituye un sistema lineal. Planteamos el diagrama de cuerpo libre de la masa m: Para el equilibrio de fuerzas
∑F = 0 de donde obtenemos [m] {u} ¨ + [C] {u} ˙ + [K] {u} = − {m} u¨g La solución de este sistema de n ecuaciones diferenciales nos dará la respuesta dinámica de una estructura elástica de n grados de libertad sujeta al movimiento de su base. Debido a que los modos de vibración constituyen un conjunto completo, en un instante el desplazamiento de cualquiera de las masas puede expresarse como la suma de los desplazamientos debido a la participación de cada uno de los modos naturales , este permite reducir la solución de un sistema de n grados de libertad a la solución de n sistemas independientes de un grado de libertad, esta es una propiedad de los modos que permite expresar cualquier vector del espacio vectorial por ellas definida como una combinación lineal de las formas modales y ciertas funciones. Previamente debemos resolver el problema de valores propios o característicos, para determinar las frecuencias naturales y sus correspondientes formas de modo.
3.6.1
OSCILACIÓN-MODOS DE VIBRACIÓN DE LOS EDIFICIOS
Los edificios, al igual que todos los cuerpos materiales, poseen distintas formas de oscilar, modos de vibrar ante las cargas dinámicas, daremos la mayor prioridad en este trabajo, en la eventualidad de un sismo según sea su intensidad, pueden afectar la misma en mayor o menor medida. Estas formas de vibrar se conocen como modos de vibración que en este tema solo daremos a conocer las vibraciones-oscilaciones más comunes que se pueden describir ya que la vibración en edificios una infinidad de maneras y direcciones de vibrar las cuales por ende son muy complejas.
Sistemas de vibración con n grado de libertad
En la figura se muestra los modos más comunes en una vibración y oscilación debido a un sismo.
OSCILACIÓN: MODOS DE VIBRACIÓN MÁS COMUNES EN EDIFICIOS Las oscilaciones ?modos de vibración más comunes en edificios que daremos a conocer se dan por los sismos que dan de acuerdo con la intensidad que se produzca. MODO N°01
En la forma más básica, estas estructuras oscilan de un lado hacia otro o mejor dicho se ladea. A este fenómeno se conoce como el modo fundamental, tal como lo muestra la siguiente figura. 3.6.1.1
El movimiento en la base de la Figura, es mucho menor que en la parte superior. Esto ocurre muy a menudo por los fuertes vientos que soportan los edificios pero cuando ocurre un sismo, este movimiento de vibración de la estructura se ve incrementado. Este fenómeno percibir ya que la gente que se encuentran en los pisos superiores perciba un movimiento mayor que la gente ubicada en pisos inferiores, principalmente cuando los sismos ocurren a gran distancia o profundidad.
29
MODO N°02 Este segundo modo consiste en una oscilación hacia arriba y hacia abajo de forma contraria la cual se muestra en la siguiente figura.
3.6.1.2
Este tercer modo tiene una forma generalizada de vibración que describe la siguiente figura.
MODO N° 04
Este modo de vibración es un caso específico ya que se produce por las fuerzas a las que se ve sometido los edificio que relacionan el peso de este con las aceleraciones que se producen en el terremoto, por lo tanto, en cada instante de tiempo estas fuerzas cambian.
3.6.1.3
Sistemas de vibración con n grado de libertad
De ahí que el valor de aceleración máxima, que ocurre en un instante de tiempo muy corto (fracciones de segundo), por lo que ella sola no es suficiente para causar daños severos a las estructuras. La complejidad en el movimiento sísmico provoca que los edificio roten o produzcan una torsión en el edificio, ese movimiento desgasta las uniones, ya que un edificio no está diseñado para rotar. A medida que van ocurriendo más sismos los edificios se vuelven más vulnerables. Lo anterior es debido al comportamiento inelástico de los materiales cuando son sometidos a fuerzas de gran magnitud, por lo que guardan en memoria el deterioro que van sufriendo a lo largo del tiempo.
• En estos modos tenemos que tener en cuenta mucho el fenómeno de la ductilidad que es básico en los diseños de las construcciones. Eso garantiza que el edificio trabaje en una forma elástica, y así no se producen rupturas frágiles. Normalmente los muros de abajo tienen una mayor exigencia que los de arriba, pero estos últimos se deforman más, porque oscilan más.
3.7
Ejercicio de aplicación
Resolver según lo explicado el caso de un edificio de 02 pisos hasta 10 pisos (según el intervalo que defina), donde cada piso tiene 10000 Kg de masa y el valor de cada ki es de 5000Kg/s2 . Obtener los valores propios λi de la matriz A = M −1 K, utilizando un sistema √ algebraico para resolver ecuaciones. Además, determinar las frecuencias correspondientes wi = −λ y los periodos Ti = 2πωi en segundos. Mostrar los resultados en una gráfica que considere número de pisos, frecuencias naturales y los periodos para cada situación particular considerada en su solución.
3.7.1
Solución
En este problema se realizará un modelado de un edificio de 10 pisos, donde se verá gráficamente el comportamiento dinámico de la estructura. Para analizar matemáticamente, el edificio se representa mediante masa?resorte, a partir de la cual se puede analizar el comportamiento dinámico del edificio. Para este problema tenemos los siguientes datos:
31
Masa de cada piso = 10000 Kg. Valor de K = 5000Kg/s2 En el siguiente gráfico se observa el edificio de 10 pisos con su respectiva representación masaresorte y sus desplazamientos.
Del gráfico del lado derecho tenemos la siguiente ecuación:
Sistemas de vibración con n grado de libertad
Ordenando la matriz se tiene:
De la ecuación dinámica: mx − kx = 0 ∼ = mu − ku = 0 Se tiene que: u = x sin ωt u¨ = −xω2 sin ω Reemplazando en la ecuación mu¨ − ku = 0 −mxω2 sin ωt + kx sin ωt = 0 sin ωt(−mxω2 + kx) = 0 x(k − ω2 ) = 0 Reemplazando en la matriz se tiene:
33
En la ecuación anterior se tenía : k − mω2 ahora se hará el cambio de variable por el auto valor, para lo cual se demostrará:
Hallando el determinante: det|(ω2 − λ)I| = det(B − Iλ) = 0 det|(ω2 − λ)I| = 0 (ω2 − λ)detI = 0 ω2 − λ = 0 ω2 = λ por lo tanto se puede sustituir el valor de ω2 por el auto valor λ, y se tiene:
Sistemas de vibración con n grado de libertad
Luego se saca la determinante de esta matriz, para luego sacar los valores de ? que son los autovalores, y luego se saca las frecuencias naturales. Existen métodos numéricos para resolver este tipo de sistemas, sin embargo son muy tediosos. De esta manera se puede generalizar para n pisos, sin embargo hallar la determinante de una matriz grande es tedioso, peor aun hallar el polinomio característico, sin embargo existe en la actualidad programas que pueden resolver con facilidad, el mas apropiado es el MATLAB (Laboratorio de Matrices), por que las matrices se generan automáticamente, así como los autovalores y es mas directo el cálculo a comparación de los restos de programas como el Visual Basic. Una vez sacado los autovalores se calcula el periodo y la frecuencia con las siguientes relaciones. ω=
√ λ
T=
2π ω
3.7.2
Solución numérica para 10 pisos
Del planteamiento del problema tenemos que todas las masas de cada piso son iguales, asi como también la rigidez elástica son iguales, por lo tanto todas las masas se denotará por (m) y todas la rigidez (k). Rescribiendo y ordenando la ecuación anterior tenemos:
Escribiendo matricialmente se tiene:
35
Reemplazando con sus respectivos valores numéricos tenemos:
Reemplazando ω2 por el autovalor λ , se tiene:
Sistemas de vibración con n grado de libertad
De donde operando esta matriz, se tiene el siguiente polinomio de grado 10 1 × 1040 x10 + 9.5 × 1040 x9 + 3.8 × 1041 x8 + 8.5 × 1041 x7 + 1.13 × 1042 x6 − 9.38 × 1041 x5 + 4.69 × 1041 x4 − 1.34 × 1041 x3 + 1.9 × 1040 x2 − 1.07 × 1039 x + 9.76 De donde se obtiene los siguientes autovalores y frecuencias naturales y sus respectivos periodos, en la siguiente tabla se observa estos datos.
Hallando los modos y sus gráficos: Hallando las formas modales paraλ = 0.011, se tiene la siguiente matriz numérica.
Haciendo ϕ1 = 1 se tiene el siguiente resultado y su gráfica. Primera forma de modo T1 = 59.9 s.
37
Sistemas de vibración con n grado de libertad
En el campo de la dinámica es necesario utilizar este tipos de programas ya que son muy útiles ya que en la carrera de ingeniería civil está muy relacionado con lo técnico tanto en la computación y el manejo de los diferentes programas. Con este método podemos analizar dinámicamente compara lo diferentes datos que obtenemos en los diferentes tipos de edificios que estudiamos; para cual necesitamos datos iníciales como altura inicial, base inicial, peso, cargas distribuidas, inercia, elasticidad. La forma convencional de almacenar las variables en memoria al principio del programa se declaran las variables y se reserva la cantidad de memoria necesaria. Este es el sistema que hemos utilizado hasta el momento en todos los ejercicios y ejemplos.
4 4.1 4.1.1
Programa para el cálculo
Interfaz general
Interfaz "Sistema Forzado Amortiguado con 1 grado de libertad "
Interfaz general
Programa para el cálculo
Interfaz con aplicación
4.1.2
Interfaz "Sistema Libre Amortiguado con 1 grado de libertad "
Interfaz general
41
Interfaz con aplicación
4.1.3
Interfaz "Sistema con n grado de libertad "
Interfaz general
Programa para el cálculo
Interfaz con aplicación
Interfaz con aplicación
5
Conclusión
Que la vibración es un movimiento oscilatorio que aparece, por lo general en los sistemas mecánicos sometidos a la acción de fuerzas variables con el tiempo.
El número de grados de libertad de un sistema, desde el punto de vista de la dinámica, corresponde al número mínimo de coordenadas necesarias para definir la posición en el espacio y en el tiempo.
Las vibraciones libres se producen al sacar un sistema de su posición de equilibrio y dejarlo oscilar libremente.
Vibraciones forzadas son aquéllas que se producen por acción de fuerzas dependientes del tiempo.
La rigidez es la relación entre las Fuerzas externas y las deformaciones que ellas inducen en el cuerpo.
Toda estructura se ve afectada durante su vida por efectos dinámicos.
Una Excitación dinámica en edificios es causada por equipos mecánicos, impacto de las fuerzas oscilatorias, por explosiones, por el viento, y por sismos, etc.
Los edificios, al igual que todos los cuerpos materiales, poseen distintas formas de vibrar ante cargas dinámicas que, en la eventualidad de un terremoto, pueden afectar la misma en mayor o menor medida.
El movimiento en la base de una estructura, es mucho menor que en la parte superior y esto ocurre muy a menudo por los fuertes vientos que soportan los edificios.
Cuando ocurre un terremoto o un sismo en un edificio de varios pisos, este movimiento de vibración de la estructura se va incrementado en cada nivel de la estructura. Y Este fenómeno lo percibe la gente que se encuentran en los pisos superiores en un movimiento mayor, que la gente ubicada en pisos inferiores.
La complejidad en el movimiento sísmico provoca que los edificios roten o produzcan una torsión en el edificio.
Los movimientos oscilatorios tienden a disminuir con el tiempo hasta desaparecer.
Conclusión
Si los movimientos oscilatorios en una construcción no llegan a disminuir, entonces el edificio llegara a un punto crítico llamado resonancia, haciendo que la construcción no soporte y llegue a quebrarse.
Desplazamiento de cualquiera de las masas puede expresarse como la suma de los desplazamientos debido a la participación de cada uno de los modos naturales.
Impacto ambiental. Se define impacto ambiental como la "Modificación del ambiente ocasionada por la acción del hombre o de la naturaleza?. Un huracán o un sismo pueden provocar impactos ambientales. El sismo afecto en gran medida el medio ambiente del país. Como efectos directos del sismo se tuvieron grandes derrumbes y deslizamientos de tierra afectando infraestructura y asentamientos humanos.
Y que tras el movimiento telúrico se reportan daños a personas, alteración a servicios básicos o infraestructura. Los movimientos oscilatorios hacen que una edificación se excite y dicho edificio si no cuentas con los estudios necesarios para amortiguar las fuerzas externas o internas de la naturaleza, llegara a quebrarse. Así generando cambios en el ecosistema de ese lugar. Las alteraciones que genera en el ambiente y en el habitad son incalculables ya que no solo deterioran la infraestructura del contorno sino que también se incrementan las necesidades de servicios básicos, como es la carencia de los alimentos y lo más primordial que es el servicio de agua. Y hay personas que aún viven en campamentos, la reconstrucción de lo afectado por la naturaleza, se hace con la intervención del estado, pero la verdadera fuerza que ha movido la reconstrucción ha sido la propia gente. Los ciudadanos y las empresas han procurado salir adelante, han aprovechado los subsidios estatales y han dado ejemplo de continuar con su vida normal pero ya no con el ambiente adecuado.
45
Muchos de nosotros hemos llegado a pensar que la cantidad reciente de terremotos ha ido en aumento, que todos estos terremotos son debidos al impacto ambiental de las actividades humanas o que simplemente están ocurriendo en más cantidad que antes. La preocupación por este tema es general en todo el mundo, y debido a ello, para la construcción de un edificio se requiere de un estudio global y preventivo sobre los factores que alteran la vida útil de una construcción.
El principal impacto ambiental sobre las personas en un desastre es la pérdida de las condiciones sanitarias que se convierten en riesgos de epidemias, incluyendo la eventual contaminación del agua. Si esta situación no se cubre rápidamente el cólera podría ser un hecho. Esencialmente la pérdida de fauna marina y el cambio del nivel hídrico, tanto marino como subterráneo, son otros de los impactos ambientales relevantes. El impacto ambiental no solo nos afecta a los seres humanos sino también a la flora y fauna de todo el mundo y es triste que por culpa del hombre viéndose obligado por la causa de los desastres naturales ocurridos por movimientos vibratorios y oscilatorios sobre una edificación hace que por su necesidad recurra a la caza de animales indefensos y deforestación de las plantas que nos permiten respirar.
Conclusión
También las grandes perforadoras generan movimientos oscilatorios y vibratorios, así generando un impacto ambiental, trayendo consigo un sin infinidad de cambios en el ecosistema esencialmente en la muerte de nuestra fauna marina y la contaminación de nuestras aguas.
Análisis e interpretación del fenómeno planteado En este apartado del trabajo explicaremos y aplicaremos el marco teórico de nuestro trabajo de investigación. Primero.-Evaluamos en el terreno a construirse, que impacto genera en el ambiente y en su contorno social.
I
Primeramente si la zona o el lugar en donde se va a construir cuenta con vegetación, simplemente se tendrá que arrasar con toda la flora existente en ese lugar.
I
Si en el terreno existen diferentes especies de animales, debido a la construcción tendrán que migrar del lugar, así produciendo un desplazamiento de la fauna, la extensión de insectos y otros microorganismos en el ambiente.
I
También los materiales a usarse, en su mayor parte son contaminantes, generando así un cabio brusco del contorno del ambiente.
I
Las grandes construcciones generan grandes disturbios en su contorno, impidiendo la circulación normal, cierre de accesos de entradas e incremento del tráfico vehicular.
47
Segundo.- Durante la construcción.
I
Las maquinarias a usarse generan en su mayor parte que son de combustión el CO2 , que es un contaminante principal y que genera más cambios en el medio ambiente.
I
Si el terreno es muy rocoso o las dificultades mismas que se presentan en la construcción, obligan a que el constructor use perforadoras y otras máquinas generadoras de vibración, haciendo que este, vibre la tierra y ocasione la muerte de infinidad de peces y de la extensión de nuestra flora y fauna marítima.
I
El uso de maquinarias pesadas que por el sonido que emite, perturba la tranquilidad del lugar.
I
La falta de materiales primordiales, como es el afirmado, tablones, hormigón, arena de asentar y otros, hacen que recurran al medio ambiente y dejando así un vacío o un agujero en la corteza terrestre, un espacio donde que había gran cantidad de árboles.
Tercero.- durante la culminación de la obra.
I
En esta ocasión tomaremos como ejemplo en el acabado de un edificio. En el cual se usaran gran cantidad de materiales que con el pasar del tiempo no llegan a deteriorarse, como por ejemplo; el uso de vidrios para las ventanas de un edificio o residuos plásticos que son sobra de las diferentes instalaciones que se realizan en un edificio, tales como las instalaciones sanitarias, instalaciones eléctricas y otros residuos, que con el pasar del tiempo no se deterioran tan fácilmente.
I
También cuando se hace una remodelación de un edificio, se tendrá que demoler el edificio existente, y ello generando gran cantidad de escombros, en especial de concreto que son materias no transformables, así ocasionando grandes perjuicios en el ambiente, este caso gran cantidad de residuos de concreto se ve por catástrofes naturales, ejemplo un terremoto, o una guerra, etc.
El impacto ambiental que genera el uso de materiales que no sean biodegradables o ecológicas, ha hecho que nuestra sociedad se contamine día a día más, por ello el hombre necesita que desarrollen más investigaciones sobre materiales de construcción que sean ecológicos, que no contaminen más nuestro ecosistema. Y mencionaremos algunas alternativas para la sustitución del hormigón que en un 100% no es biodegrable y es materia prima en toda construcción.
Se ha desarrollado un tipo de hormigón a partir de las cenizas procedentes de la industria, convirtiendo un desecho en una materia prima realmente útil. Esas cenizas son mezcladas con varios productos químicos orgánicos para dar como resultado un material ligero, muy resistente y con unas magníficas propiedades aislantes. Según su creador, para su elaboración no se usan elementos que sí se utilizan en la fabricación del hormigón convencional, tales como el cemento. Este material "verde" podría sustituir al hormigón o a la madera en la construcción. Hormigón ecológico a partir de ceniza
Conclusión
Una investigación realizada por ingenieros concluye que una mezcla confeccionada con escombros de hormigón, obtenidos de las ruinas presentes en una ciudad luego de un terremoto, y otras materias primas autóctonas podría ser muy efectiva para reconstruir y levantar nuevos edificios en el lugar. El material alcanza estándares de resistencia similares a los utilizados en Estados Unidos, siendo además más económico y seguro que otras alternativas. El hormigón reciclado
Los escombros de hormigón que han quedado luego del terremoto, junto a materias primas autóctonas, podrían ser útiles para crear un nuevo material económico y seguro destinado a la reconstrucción de las estructuras perdidas luego del fuerte sismo. El hormigón reciclado llegaría a alcanzar los estándares de resistencia mínima que se exigen en Estados Unidos. Resonancia Nos preguntamos qué es lo que ocurre cuando hay fuerzas externas o internas sobre una construcción y no exista una fuerza restauradora, para que este se estabilice este. 5.0.3.1
El viento (o algunos tipos de sismos) puede llegar a hacer tambalear una estructura como la de un edificio por un efecto conocido como resonancia mecánica. Para una mejor comprensión de este hecho, detallaremos lo que es una resonancia y el efecto que causa, lo explicaremos mediante un ejemplo. Supongamos que el edificio oscile con una amplitud y no deje de incrementarse como es el caso del columpio. Para que un columpio vaya aumentando su amplitud, tenemos que empujarlo cada vez que nos llega a las manos. Es decir, tenemos que empujarlo con la misma frecuencia con la que él oscila. Llega un momento en el que ya no empujamos tan fuerte y aun así va cada vez más rápido y
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no deja de subir. Esto ocurre porque la fuerza externa (nuestro empuje) está en resonancia con el columpio. Es entonces que la única manera de detenerlo es interponernos en su camino, interrumpiendo así su frecuencia de oscilación. Ésta no es una propiedad exclusiva de los columpios, los objetos que oscilan o vibran (resortes, cuerdas, puentes o edificios) son sistemas que puede entrar en resonancia. Cuando estos sistemas están en resonancia oscilan tanto que pueden llegar a destruirse o caerse si no hay una fuerza que los amortigüe.
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Apreciación crítica
De todo lo relacionado a la construcción especialmente en edificaciones, en lo que es la ingeniería civil, a veces equivocadamente pensamos y decimos que una construcción genera cambios beneficios para la sociedad, en el avance tecnológico e infraestructura, pero no nos percatamos a costo de que. Por eso decimos que el hombre, mientras más construya. Traerá consigo grandes perjuicios del ambiente y el cambio total de nuestro contexto. De todo ello el hombre solo es un vividor, hace el uso de los recursos ofrecidos por la naturaleza a cambio de que. Y decimos que el hombre no hace nada por la naturaleza, más y más lo está deteriorando. Debido a que; debido a las grandes construcciones que requieren el uso directo de las materias primas y esto, es una destrucción total del ecosistema. Por otro lado tomando aspectos positivos que genera una construcción, es en la calidad de servicios, ya que el mercado de la construcción civil es cada vez más competitivo y en la mejora progresiva del diseño de la infraestructuras que sean más sismo resistentes, debido al incremento de sismos o catástrofes naturales que a menudo afectan la base de una infraestructura. También el ingeniero civil tiene que optar por otras alternativas en el uso de insumos o materiales, que en su mayor parte no son biodegradables, así generando una contaminación en el ambiente y la pérdida total del terreno. En caso de que ocurra una catástrofe el ingeniero civil debe dar alternativas de uso de los escombros para la reconstrucción parcial o total de la zona afectada en su mayor parte por movimientos de las placas tectónicas, ocasionando así terremotos que consigo trae grandes perjuicios al ser humano y a su habitad. Finalmente el ingeniero civil debe realizar estudios de fenómenos o movimientos naturales, en la zona que se va a construir una edificación de gran envergadura, y siempre respetar las reglas técnicas ya establecidas y no pasarlos por alto, que a futuro nos podrían ocasionar pérdidas humanas o grandes perjuicios en nuestra vida profesional.
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