1.-Objetivos.1.1. Objetivos generales.Estudio de la ley de Hooke Estudio del movimiento oscilatorio
1.2.Objetivos específicos: Verificación de la ley de Hooke Determinación de la constante de rigidez de un resorte por la aplicación de la ley de Hooke Determinación de la ley de Hooke mediante movimiento oscilatorio.
2. Fundamento teórico.2.1. Método estático.-
El resorte se construye a partir de un alambre de sección uniforme arrollada en forma de hélice cilíndrica, la característica principal de este dispositivo es que, cuando se ejerce una fuerza sobre el resorte, éste puede sufrir deformaciones (compresión o elongación), al cesar la fuerza el resorte recupera su longitud natural. La fuerza requerida para estirar o comprimir un resorte es proporcional a su elongación o compresión siempre y cuando no sobrepase el límite elástico, este enunciado se conoce como ley de Hooke
Cuando aplica una fuerza F sobre el resorte, esta es proporcional al desplazamiento, es decir F = kx A su vez, el resorte ejerce una fuerza recuperadora; que es proporcionad y opuesta al desplazamiento, esto es: F'=-kx La primera ecuación es la expresión matemática de la ley de Hooke, la constante K se denomina constante de rigidez o elástica de los resortes, y depende fundamentalmetnte del
material del que esta fabricado el resorte, el grosos del mismo ekl radio de enrollamiento y el numero de espiras que tiene. Esta ecuación es válida mientras el resorte no sufra deformaciones permanentes, en la siguiente figura se muestra la variación de la fuerza aplicada con respecto al desplazamiento antes de llegar a la deformación.
Cuando del resorte se cuelga un objeto, este ejerce la fuerza de su peso (es decir F = mg ) y el resorte se estira una distancia x, entonces: F= mg = kx Si repetimos este procedimiento con distintos objetos de masas conocidas (en consecuencia pesos) y midiendo las elongaciones xi; lograremos un conjunto de valores experimentales (Wi, xi), los cuales deben seguir la tendencia de la recta mostrada en la siguiente gráfica, en donde la pendiente constante de elasticidad del resorte.
En el experimento, luego de colgarse el resorte, se emplea un plato para soportar las pesas que se irán colocando, La parte inferior del plato se toma como el cero para la medición de las respectivas elongaciones; si bien el plato tiene cierto peso (W p) y en consecuencia este estira al resorte cierta distancia X p , esto no modifica la validez de la ecuación dada, por cuanto al asignar el valor de cero a X p, los ejes se trasladan como muestra la gráfica, la cual es equivalente a la primera curva, por ello no consideraremos el peso del plato.
Con el propósito de obtener la ecuación experimental de la ley de Hooke, los diferentes pesos que se colocan sobre el plato W1 , W2, W4, etc. producen diferentes alargamientos x1, x2, x4, etc. este conjunto de pares de datos ( ), mediante ajuste por mínimos cuadrados, proporciona la ecuación experimental buscada, la cual tomará la forma de:
∗, ∗ ∗ = ∗
Para que esta ecuación sea equivalente a la primera, el termino experimental "a" debe ser cero o más próximo a cero. Pues, debido a errores experimentales (errores aleatorios). El término "a" puede ser distinto de cero; sin embargo, a través de una prueba de significación debe verificarse que no diferencia significativamente de cero, con lo cual se validará la ecuación y en consecuencia la ley de Hooke. La pendiente de la recta b, es igual a la constante de elasticidad del resorte.
2.2. Método dinámico.La constante de elasticidad del resorte, K puede también obtenerse por el método dinámico. Para esto se considere un objeto de masa M, unido a un resorte de constante K y de nasa m despreciable; cuando el objeto este en equilibrio estático, las fuerzas que actúen sobre el son su peso W y la fuerza de resorte representa la elongación del resorte, en , donde consecuencia:
=
Si de plazamos el objeto de su punto de equilibrio hasta una posición ; y lo soltamos del reposo, la partícula se moverá hacia arriba y debajo de la posición de equilibrio O, generando un movimiento oscilatorio de amplitud .
Con el propósito de analizar e1 movimiento oscilatorio del objeto, consideremos un punto cualquiera, como el denominado P, en la figura para un tiempo t. Al desplazamiento, OP denominaremos, x. medido desde
= ( ) ∑ = = = ( ) = ( ) = = = = 0 = = = 0
el punto de equilibrio (O). Las fuerzas que actúan sobre el objeto en dicho punto son: el peso, W, y la fuerza del resorte, , con el convenio de signos asumido en la figura. positivo hacia abajo, la sumatoria de fuerza s ( ) resulta.:
De donde: operando entre ecuaciones
Ordenando:
Puesto que la aceleración, es igual a:
la expresión se escribe:
Ordenando dicha expresión como:
y denominando
resulta:
la ecuación
Esta expresión es una ecuación diferencial lineal de segundo orden y define el movimiento el armónico simple. La característica de este tipo de movimiento es que la aceleración es proporcional al desplazamiento, y de sentido opuesto, además independiente de la aceleración de la gravedad.
cos
= sin = = sin Bcos = = = = sin Bcos = 0
Existen dos soluciones particular que satisfacen esta ecuación son: y . La solución general se obtiene rnultiplicando las soluciones por las constantes A y B y luego sumando estas: Las constantes A y B dependen de las condiciones iníciales del movimiento, para ello diferenciando una vez la expresión anterior para obtener la velocidad,
Las condiciones iníciales son: dan como resultado:
y
Para
.
, estas en las dos anteriores ecuaciones
= = = 0 = 0 = Bcos = = Bcos = = = cos = 1 = 0.2, (2 2)…………. = 2 = 4 y
En nuestro caso,
para
, entonces se escribe:
Esta ecuación proporciona la posición del objeto para cualquier tiempo t, el término, y es denomina amplitud de oscilación con
mediante un análisis de la
ecuación se muestra que se obtiene , cuando lo cual ocurre cuando , esto señala el que objeto retorna al mismo lugar cada determinado tiempo, a este se denomina periodo de oscilación, T, en consecuencia:
De donde la constante de elasticidad del resorte resulta:
Ecuación que nos permitirá determinar la constante de elasticidad del resorte a través de las medidas de masa m y periodo de oscilación T. En el caso que la masa del resorte, m, no sea despreciable en comparación a la masa del objeto oscilante, M, debemos considerar que la aceleración de las espiras del resorte varia linealmente desde un extremo fijo hasta el extremo móvil; además, el sistema se comporta como si la masa oscilante fuese M' = M + m /2 y estuviese concentrado en el extremo del resorte. Entonces obtenemos la ecuación:
= 4 2
La determinación de K por este método no requiere la medicion de las masa del objeto oscilante, y la del resorte, medidas que no plantean dificultad: sin embargo, en la medida del periodo T. esta magnitud puede resultar muy pequeña y la desviación en la manipulación del cronómetro (e = 0.20 s) resulta significativa. Para evitar este problema, es decir, para que el error en la determinación del periodo sea lo más pequeña posible, es conveniente medir el tiempo para n oscilaciones, , de modo que;
=
Entre las magnitudes a medir. M. m y tn; es este último el cual tiene mayor incidencia en el error para la determinación de k; razón por la cual conviene estimar el número de oscilaciones, n. de manera de no rebasar cierto error prefijado en la determinación de k (E k ) En la realización del experimento, el instructor le asignará cierto error relativo porcentual para la determinación de k, con esta magnitud puede obtenerse el error relativo del periodo y luego estimar el número de oscilaciones, n, esto se realiza del siguiente modo.
A la expresión,
=
aplicando logaritmos naturales, diferenciando y
transformando las diferenciales se obtiene
= 2 12 2
Luego Et se escribe:
1 1 = ̅ = 2 ̅ 2 2 = / √ = / √ . (∆ = 0,1) = =
El error relativo del periodo E t se determina a partir de la anterior ecuación; para ello es necesario determinar M, m, EM Y E m. Para este fin se deben medir repetidas veces M y m (5 veces) y a partir de las siguientes expresiones pueden conocerse estos términos ,
=
Segundo, medir las masas M y m una sola vez, esta única medida se constituye en los valores medios y , mientras que como una aproximación de los errores y de toma la máxima desviación de la balanza , conocido también como precisión o resolución de la balanza. En esta ocasión, decidiremos por esta segunda alternativa. Diferenciando la ecuación : transformando a errores, dividiendo y multiplicando por T el segundo miembro, se obtiene: ETn= n T ET
Puesto que
= / √
, donde N, es el número de veces que se medirá tn (N = 5) y
/
con N-1 grados de libertad, tomando la aproximación: = e = 0,2 s (máxima desviación del cronómetro), estas consideraciones en la anterior ecua ción resolviendo para el número de oscilaciones, n, se obtiene.
Mejor:
= /√ ≥ /√
Esto en virtud a que n debe ser un número entero y la operación a realizar a partir de la ecuación dada no resulta un número entero y conviene tomar el entero superior más próximo con el propósito de no rebasar error establecido. Finalmente, el periodo puede estimarse aproximadamente midiendo una o dos veces el tiempo de oscilaciones, t10, de manera que:
≅ 10
En el uso de t /2, debe cuidarse de emplear la misma probabilidad en todos los cálculos y se recomienda 95% de probabilidad.
3. Materiales.
Resorte Reglas Cronómetro Balanza Juego de pesas Prensa Cinta adhesiva
4. Procedimiento.4.1 Método estático
1. Cuelgue verticalmente el resorte 2. Coloque en la parte inferior del resorte, el plato que soportará las pesas 3. Si la separación de las espiras del resorte no es uniforme (el resorte esta torcido) cuelgue una carga (pesa) inicial de modo de corregir esta dificultad. 4. Señale la parte inferior del plato como el cero. 5. Coloque en el plato una pesa (m).
6. A partir del cero (punto 4) mida la respectiva elongación xi. 7. Retire la pesa y verifique que la parte inferior del plato retome al cero, es decir, que el resorte no sufra de formación permanente. 8. Para distintas masas (pesas) o combinación de ellas, repita l os pasos 5 a 7. 9. Mida las masas de las distintas pesas. 4.2 Método dinámico.-
1. Elija la masa del cuerpo oscilante de tal modo que las oscilaciones del resorte no sean demasiado rápidas. 2. Desplace la masa oscilante una pequeña distancia hacia abajo y suéltelo. 3. Mida dos veces el tiempo para 10 oscilaciones, luego obtenga el promedio y la varianza luego determine el periodo aproximado. 4. Mida 5 veces la masa del resorte, m. y la de la masa oscilante. M, calcule sus promedios y sus errores con una probabilidad del 95%^ 5. Calcule el error revivo del periodo a partir de las ecuaciones dadas 6. Calcule el numero de oscilaciones mediante las ecuaciones dadas donde e = 0.2 s. N = 5 y emplee el valor de t /2; para dos grados de libertad (N – 1) y el 95% de probabilidad. 7. Mida el tiempo tn tres veces para el número de oscilaciones n calculado en el paso 6
5. Cálculos y gráficos.-
Tablas de datos Método estático
Nº 1 2 3 4 5
Masa M (g) Elongación x (cm) Constante k (N/m) 52,2 1,1 46,5 71,9 1,45 48,5 106,8 2,1 49,7 142,5 3 46,4 178,7 4,05 42,1
Calculando: La grafica W vs x Peso(W) X(m) 0,01 0,51 0,68 0,01 0,02 1,08 0,03 1,37 0,04 1,76
0.045 0.04 0.035 0.03 o s e P
0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 0 0 0.5 y = 0.0282x - 0.0095 R² = 0.9964
1
1.5
2
x
Método dinámico
+− = 173.+−8+− =0.1300.1+−0.1
Error prefijado para k: Masa del resorte: Masa del cuerpo oscilante:
E%=2%
Tiempo de 10 oscilaciones t10 (s) 1 7,31
2 7,28
promedio 7,3
− 1 1∗10 − ̅ = 12 ̅ 2 = 12 [46. 0.0822 1∗100.3003 0.17382 ] = 9.7∗10− 2 2 1.98∗10− ≥ 0. 73∗9.2.1732∗0.∗10−2 ∗ √ 5 = 35.06
Calculando E T
E T=
Periodo aproximado T (s) 0,73
Calculando numero de oscilaciones
tiempo de n oscilaciones tn1 25,37
tn2 25,52
0.725+−0.005
Periodo T=
tn3 25,33
tn4 25,37
tn5 25,15
t prom 25,35
Constante elástica 46.82N/m
Cuestionario:
1. En un grafico F vs x ¿Cuál es el dignificado del área bajo la curva?, ¿Cuál es el significado de la pendiente? El área representa el trabajo realizado por el r esorte. La pendiente representa el valor numérico de la constante K. 2. ¿Que sucede si excedemos el límite de la elasticidad del resorte? Se deforma el resorte y tal vez ya no pueda oscilar . 3. Como se calcula la constante equivalente de dos resortes acolados: a) En serie b)En paralelo Para resorte en serie
Para resorte en paralelo:
1 = 1 1 =
4. Si un resorte de longitud L y constante de rigidez K se divide en dos partes iguales, ¿ cuál será el valor de la constante de rigidez de cualquiera de estas dos porciones de resortes? ¿igual al original? , ¿menor? , ¿mayor? , Justifique su respuesta. Va ser mayor porque tiene menor número de espira 5. ¿Si el Experimento se realiza en la luna, el valor de k obtenido por el método estático será igual obtenido en la tierra?, ¿mayor? , ¿menor? ¿Por qué? Va ser igual porque se podría decir que es una propiedad intensiva del resorte. 6. En general ¿De qué factores depende la constante elástica k del resorte?
Depende del tipo de material, radio de arrollamiento, sección transversal y numero de espiras. 7. Mencione por lo menos 10 ejemplos de piezas o equipos de que funcionan en base a un resorte, estime además para cada caso el valor de la constante k. 8. Un cuerpo de masa 0.1kg cuelga verticalmente de un resorte. Se retira de el haciendo descender 0.1m bajo su posición de equilibrio y se suelta de modo que oscila con M.A.S con periodo de 2.00s encuentre: a) la constante elástica del resorte, b) la aceleración del cuerpo cuando la posición es de 0.05m. Hallando K:
= 4 = 42 0.1 = 0.98/ 12 ℎ = 12 ℎ 12 1 1 ℎ ℎ = 2 2 2 1 1 0. 1 ∗9. 7 75∗0. 0 50. 1 ∗9. 7 75∗0. 1 ∗0. 9 8∗0. 0 5 ∗0. 9 8∗0. 1 = 2 2 2 0.1 = 1. 0 2/ 1 . 0 2 = 2ℎ = 2∗0.5 = 1.04/2 Hallando la aceleración
CONCLUSIONES
Durante el experimento se pudo comprobar que se puede obtener experimentalmente la constante de rigidez K, y además por dos métodos distintos. En el método estático pudimos comprobar que la grafica de W – x es una recta y que la pendiente es la constante de rigidez. En el método estático se pudo determinar que se puede o no tomar en cuenta la masa del resorte, ya que en muchos casos es despreciable y en otros no, pero se puede calcular si se toma o no en cuenta la constante de rigidez. Bibliografías Practica fisica1 de Alfredo Alvares Cossío y Eduardo Huayta Condori
Nombre: Apellido: Docente: Ing. Roberto Parra Grupo: L Fecha: 20 de noviembre2014
