Inequações Quadráticas
Uma inequação quadrática (inequação do 2 o grau), na incógnita x, é uma expressão do 2 o grau que pode ser escrita numa das seguintes formas: a) ax2 bx c
0
b) ax2 bx c 0
Onde a, b e c são números reais e
a0
c) ax2 bx c 0 d) ax2 bx c 0
Para resolver uma inequação do 2º grau, deve-se estudar o sinal da função da equação correspondente. Para tal, seguimos os seguintes passos: 1. Igualar a sentença do 2º grau a zero e achar a(s) raiz(es), se existir(em); 2. Localizar (se existir) a(s) raiz(es) da equação no eixo x; 3. Esboçar o gráfico da função correspondente 4. Estudar o sinal da função correspondente, tendo como possibilidades:
Exemplo:
Resolve graficamente a inequação
2
x 4 0 .
Resolução:
2
x 4 0 2
x 4 0
x
2
4 0
x
2
4
x 4 x1
2
x2
2
Professor: Valdomiro A. de Araújo
S
x R : 2 x 2 ou
S . : x 2; 2
e-mail: valdomirodearaujo@gm
[email protected] ail.com
Exercícios: Resolve, graficamente, as seguintes inequações:
a) x 2 2 x 3 0 d) x g)
2
5x
x
j ) 2 x 2 m) x 2 p ) x
2
s) 4 x
2
b)
0
e) x
9x 8
0
2
4x 7
2
3
h) x
n) x 1
2x 3
4x 1
q) 12 x
2
t) 9 x
1
0
2
2
2
c)
0
0
9x
f)
0
i)
k) 1 x2
3x
2
4 x 11x 6
2
x
x
2
6x 0
10 x
25 0
x6 0
l) x x2 2
o) x x 4 4 x 4
3 x
25 x 12
12 x 1
v) 4 x 2 1 4 x
w) x 2 9 6 x
y ) 9 x 2 12 x 4 0
z) x 3 x 0
0
r) 6 x
0
2
u) 4 x
2
5x
4 0
12 x 7
0
x) x 2 8 x 16 0
Resolução analítica de Inequações Quadráticas
Exemplo: resolve, analiticamente a seguinte inequação x 2 6 x 5 0 1º - Achar as raízes da equação correspondente 2º - Factorizar o 1º termo, escrevendo na forma a x x1 x x2 3º - Construir uma tabela na qual serão representados cada factor correspondente da expressão quadrática.
Zeros: x
2
6x 5
0
2
b 4ac
x 1
2
b
2a
2
6 4 1 5 36 20 16
6 16
2
6 4 2
x1 1 x2
5
Factorização:
x
2
6x 5
x 1 x 1
Professor: Valdomiro A. de Araújo
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Tabela: x
;1
1;5
5;
x 1
_
+
+
x 5
_
_
+
x 1 x 5
+
_
+
x 1 x 5 0 S.: x 1;5
Para o aluno: Resolve a inequação anterior, com sentido inverso (>). Exercícios Resolve, analiticamente, as seguintes inequações:
a) x
2
2x 3
2
5x
d) x g)
b)
0
m) x 2 2
3x
2
4 x 11x 6
e) x
x2 9 x 8 0
j ) 2 x 2
p ) x
0
2
4x 7
4x 1
0
c) f)
2
9x
x
2
i)
k) 1 x2
l) x x2
q) 12 x
2
2
25 0
x2 x 6 0
o) x x 4 4 x 4
3 x
25 x 12
6x 0
10 x
h) x 2 3 0
n) x 1
2x 3
0
0
r) 6 x
2
5x
4 0
s) 4 x 2 1 0
t ) 9 x 2 12 x 1 0
u ) 4 x 2 12 x 7 0
v) 4 x 2 1 4 x
w) x 2 9 6 x
x) x 2 8 x 16 0
y ) 9 x
2
12 x 4
0
Professor: Valdomiro A. de Araújo
z) x
3
x0
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Função Exponencial x Chama-se função exponencial a uma aplicação f : R R tal que f x a , onde:
aR a 0 e a 1
O número a é chamado de base e o número x , de expoente.
Gráfico da função exponencial O gráfico de uma função exponencial pode ser crescente ou decrescente, dependendo do valor da base. Se a base a for maior do que 1
a 1 ,
a função é crescente. Se a base for um
número real entre o zero e o um 0 a 1 , a função é decrescente.
Exemplos:
(1.1)Estudo da função exponencial x
Consideremos a função exponencial genérica y a . Fazer o estudo da função significa indicar o domínio, o contradomínio, os zeros da função, a variação do sinal da função, a variação da função (monotonia) e a ordenada na origem.
Domínio da função (D.f.): é o intervalo, no eixo das abcissas, para o qual a função está definida, isto é, é o intervalo de existência da função, no eixo das abcissas. Normalmente, para a função exponencial, o domínio da função é o conjunto R .
D. f : x R
Professor: Valdomiro A. de Araújo
ou
x ;
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Contradomínio da função (C.D.): é o intrvalo, no eixo da ordenadas, para o qual a função está definida, isto é, é o intervalo de existência da função, no eixo das ordenadas. Normalmente, para a função exponencial, o contradomínio da função é o conjunto R .
C.D.: y R
ou
y 0;
Zeros da função: são os pontos onde o gráfico da função dada intercepta o eixo das abcissas, isto é, o(s) valor(es) de x , quando y 0 . Normalmente, a função exponencial não tem zeros.
Variação do sinal da função: indica-nos os intervalo em que a função tem sinal positivo, ou negativo, isto é, onde a função encontra-se na parte positiva do eixo das ordenadas ou na parte negativa do eixo das ordenadas. Normalmente, a função exponencial tem sinal positovo em todo o seu domínio. y 0,
x D. f .
Variação da função (monotonia): indica-nos os intervalos onde a função é crescente ou decrescente, isto é, os intervalos de crescimento ou de decrescimento a função. Para a função exponencial podemos encontrar os seguintes casos: a) Função crescente em todo o seu domínio
a 1
b) Função decrescente em todo o seu domínio 0 a 1
Ordenada na origem: Ordenada na origem é o ponto
0; y , ou seja, é o ponto onde o gráfico da função intersepta o
eixo das ordenadas. A ordenada na origem tem sempre, como abcissa, o ponto x 0 . x
Exemplo: Considera a função y 2 . A ordenada na origem é o ponto x
y 2
y2
0
y
0; y . Portanto, temos:
1
Logo, a ordenada na orígem é y 1 .
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