incertidumbre.pdf

GUÍA 6

Diego Luis Aristizábal R., M. Sc. en Física Profesor Asociado Escuela de Fïsica Universidad Nacional de Colombia Roberto Fabián Retrepo A., M. Sc. en Física Profesor Asociado Escuela de Fïsica Universidad Nacional de Colombia Carlos Alberto Ramírez M., M. Sc. en Física Profesor Asociado Escuela de Fïsica Universidad Nacional de Colombia

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Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales

Calculando y expresando las incertidumbres Objetivo General 

Hacer análisis de la incertidumbre en los procesos de medición con base en la última versión tanto del VIM (Vocabulario Internacional de Términos Fundamentales y Generales de Metrología — versión 2008 —) como del GUM (Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement —ver corrección 2008 de la version 1995—)

Objetivos específicos  

Definir los términos básicos relacionados con el concepto de incertidumbre con base el VIM y en el GUM. Mostrar el protocolo para calcular y expresar la incertidumbre de una medida de acuerdo al GUM.

Introducción Desde su publicación en 1995 la Guía para la Expresión de la Incertidumbre de Medida o GUM, constituye la referencia necesaria en cada instancia o publicación en la que se habla de la incertidumbre o de aquel parámetro que caracteriza la dispersión asignable razonablemente a la propiedad que se mide. La publicación de este documento en 1995, a través de ISO, fue un momento importante en la historia de la reflexión sobre el concepto de la incertidumbre en metrología y de cómo evaluarla estadísticamente ofreciendo un método relativamente consensuado, independientemente de las controversias que han generado algunas inconsistencias detectadas en él. En todo caso, estas controversias y debates o discusiones sobre la GUM fueron y continúan siendo el origen o motivación de una gran cantidad de publicaciones que en un futuro probablemente se usarán para mejorarla. Paralelamente, la industria y el comercio recibieron en 1995 un documento práctico para caracterizar la incertidumbre, paramétro sin el cual no es posible evaluar adecuadamente la conformidad de los productos y la comparabilidad de las mediciones; la necesidad e importancia de uso se ven reflejados en el desde entonces creciente requisito de que los laboratorios de calibración y ensayo la evalúen e informen y en su uso actual por organismos fiscalizadores de algunos gobiernos. En este resumen aparecerá con color verde la definición tal cual aparece en el VIM o en el GUM; en algunos casos se complementará con una breve explicación. Algo muy importante que se debe reconocer, es que la naturaleza básica del proceso de medición hace que la NO EXACTITUD sea inherente a la misma medición.

Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias, Escuela de Física, Sede Medellín

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Calculando y expresando las incertidumbres La medición El objetivo de una medición es determinar el valor de la magnitud específica a medir denominada mensurando y en ella intervienen varios factores que determinan su resultado:      

El objeto de medición El procedimiento de medición El instrumento de medición El ambiente de medición El observador El método de cálculo

Además del mensurando el resultado de la medición es afectado por la denominada magnitudes de influencia:    

Condiciones ambientales (temperatura, presión, humedad, luminosidad, …) Fluctuaciones breves de los instrumentos de medición. Valores asociados con los patrones de medición Datos de referencia necesarios para completar el proceso de medición.

Una medición comienza con una definición apropiada de:   

El mensurando El método de medición (y su principio de medición: Doppler, termoeléctrico,.. ) El procedimiento de medición: Conjunto de operaciones para realizar la medición con base en un método de medición

La medición es un proceso SALIDA (y) Variable dependiente

ENTRADAS ( xi ) Variables independientes PROCESO DE MEDICIÓN

y=f(x1 ,x2 , …, xn)


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Calculando y expresando las incertidumbres Proceso de estimación de la incertidumbre Toda medición lleva implícita una incertidumbre que según el VIM es un parámetro que caracteriza la dispersión de los valores atribuidos a un mensurando, con base en la información usada. Un resultado de medición se expresa generalmente como un valor medido único y una incertidumbre de la medida:

x ± ux Si la incertidumbre de la medida se considera despreciable para algún propósito, el resultado de la medición puede expresarse como un único valor medido de la magnitud. En muchos campos ésta es la forma usual de expresar un resultado de medición. Las incertidumbres se clasifican en tipo A (provenientes de evaluaciones por mediciones múltiples y análisis estadístico) y tipo B (el resto). Medida directa La medida o medición es directa cuando se dispone de un instrumento de medida que la obtiene. Ejemplos: una longitud medida con una regla, un intervalo de tiempo medido con un cronómetro o una temperatura medida con un termómetro. Las fuentes de la incertidumbre en la medida de una magnitud pueden ser varias. Por ejemplo si se mide un intervalo de tiempo con un cronómetro que indique hasta censtisegundos mediante medidas repetidas, fuentes de incertidumbre son la apreciación del cronómetro (0,01 s) y la desviación estándar de la media: la primera es de tipo B y la segunda de tipo A. Incluso si se tuviera dispo– nible el certificado de calibración del cronómetro, el GUM exige que también se debe introducir la incertidumbre reportada en este, que también es de tipo B. Combinación de las incertidumbres Si una medida es afectada por diferentes fuentes de incertidumbre, se deben combinar estas incertidumbres para reportar un incertidumbre resultante. El GUM las combina en forma geométrica. Por ejemplo supóngase el caso del cronómetro del ejemplo anterior en el cual se supuso tres fuentes de incertidumbre:

u t  u12t  u 22t  u 32t en donde u1t, u2t y u3t son respectivamente las incertidumbres estandarizadas debido respectivamente a las fuentes de incertidumbre: apreciación del cronómetro, a las medidas repetidas y al certificado de calibración.


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Calculando y expresando las incertidumbres Es necesario anotar que la incertidumbre se debe reportar con una cifra significativa. ¿Qué son las incertidumbres estándar? El GUM exige que para combinar las incertidumbres éstas deben estandarizarse y para ello es necesario asignarle un modelo de distribución estadístico a cada fuente de incertidumbre. Algunos ejemplos: 

Distribución gaussiana o normal Medidas repetidas: se asigna el modelo de distribución gaussiana, en cuyo caso la incertidumbre estandarizada corresponde a la desviación estándar de la media. Sean x1, x2, …, xn, n medidas bajo condiciones de repetibililidad de una magnitud X. Como mejor medida se debe reportar la media, n

x 

x i 1

i

n

y como incertidumbre la desviación estándar de la media, y corresponderá a la incertidumbre estándar en la medida de x. n 1 x  xi 2  x  ux   nn  1 i 1

es decir el resultado de la medición se reporta,

x  ux También la incertidumbre indicada en los certificados de calibración generalmente obedece una distribución gaussiana. En la distribución gaussiana se garantiza que el 68 % de las medidadas de la magnitud X bajo condiciones de repetibilidad estarán dentro del rango (figura 1, area roja),

x  ux


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Calculando y expresando las incertidumbres y el 95 % de las medidas estarán dentro del rango (figura 1, área roja más area azul) ,

x  2u x

Figura 1 

Distribución rectangular o uniforme Son ejemplos de fuentes de incertidumbre que se les asigna este modelo de distribución: la apreciación del instrumento, la información técnica sobre la tolerancia de un instrumento y la incertidumbre relacionada con el número finito de cifras significativas de datos tomados de la literatura (siempre y cuando no haya indicios que la incertidumbre en realidad es mayor que la incertidumbre relacionada con la última cifra significativa). En esta distribución la incertidumbre se estandariza así,

ux 

a 12

en donde a corresponde al último dígito significativo (lectura digital), la mínima division del instrumento (lectura análoga), la tolerancia del instrumento, a la última cifra significativa (en un dato de la literatura). En esta distribución cada valor del rango x ± ux tiene la misma probabilidad (figura 2).


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Calculando y expresando las incertidumbres

Figura 2



Distribución triangular En esta distribución el valor del rango x ± ux que se encuentra en el centro tiene mayor probabilidad y ésta disminuye linealmente hacia los extemos del mismo hasta cero (figura 3).

Figura 3


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Calculando y expresando las incertidumbres En esta distribución la incertidumbre se estandariza así,

ux 

a 24

Medida indirecta Una vez obtenida la incertidumbre de las medidas directas, se calculan las de las medidas indirectas. Supóngase una medida indirecta y que se obtiene a partir de medidas directas mediante la expresión matemática:

y=f(x1 ,x2 , …, xn) en donde f es una función de n variables independientes. La incertidumbre combinada de y viene dada por: uC  y  

 c ux 

2

i

i

i

 f    u xi  i  xi 

2

en donde los ci se denominan coeficientes de sensibilidad y se definen como,

ci 

f xi

La expresión para calcular la incertidubre combinda en una medición indirecta se denomina ley de propagación de la incertidumbre y sólo es aplicable para combinar incertidumbres estándar. Se debe anotar que esta expresión sólo es válida cuando las variables consideradas como independientes, xi, no estén, en la práctica, correlacionadas; de no ser así se debe emplear otra expresión más compleja la cual se puede consultar en la GUM.


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Calculando y expresando las incertidumbres Incertidumbre expandida, U Corresponde al producto de una incertidumbre estándar combinada de medida y un factor numérico mayor que uno (denominado factor de cobertura: usualmente se representa por la letra k), U  k uc  y  Cuando se puede atribuir una distribución normal (gausiana) al mensurando y la incertidumbre típica asociada a la estimación de salida tiene la suficiente fiabilidad, debe utilizarse el factor de cobertura usual k = 2. La incertidumbre expandida asociada corresponde a una probabilidad de cobertura de, aproximadamente, un 95%. Estas condiciones se cumplen en la mayoría de los casos. De no ser así se debe hacer un estudio más complejo que involucra el análisis de los denominados grados de libertad y el factor t-student (para esto consultar el GUM). Resultado de la medida del mensurando y El resultado de la medida se reportará como,

y U Presupuesto de incertidumbre Declaración de una incertidumbre de medida, de los componentes de esa incertidumbre, y de su cálculo y combinación NOTA El presupuesto de incertidumbre debería incluir el modelo de medición, estimados de las incertidumbres de medición de las magnitudes en el modelo de medición, covarianzas, tipo de funciones de densidad de probabilidad consideradas, grados de libertad, tipo de evaluación de la incertidumbre y factor de cobertura. El presupuesto de incertidumbre se suele presentar en forma de hoja de cálculo. A coninuación se ilustran varios ejemplos. Ejemplo 1: Para medir la distancia entre dos puntos A y B se hacen 10 mediciones bajo condiciones de repetibilidad con una cinta métrica cuya minima division está en mm y se obtuvieron como resultados, en cm: 120,2; 119,2; 118,3;120,1;120,3;118,7;120,4;119,7;118,7;120,2. Hacer el presupuesto de incertidumbre y reportar la medida con un factor de cobertura de 2.


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Como la medida es directa el modelo es muy simple (diríamos que trivial):

yl El valor de la medida y, distancia entre los puntos A y B, es el promedio de los resultados de las 10 mediciones: y  1,195 8 m

Se considerarán dos fuentes de incertidumbre en la medida de esta longitud: la apreciación del instrumento de medida y la desviación estándar de la media de las medidas repetidas. La incertidumbre estándar asociada con la apreciación del instrumento es (se asume distribución rectangular): u1l 

0,001 m 12

 0,000 288 68 m

La incertidumbre estándar asociada con la repetibilidad en las medidas es la desviación estándar de la media (se asume distribución gaussiana): u2l   l  0,002 489 087 3 m

Hay un sólo coeficiente de sensibilidad: c1  cl 

dy 1 dl

La incertidumbre estándar combinada es:

uc 

cl u1l 2  cl u2l 2



u1l 2  u2l 2

 0,002 505 771 m

En la tabla 1 se ilustra el presupuesto de incertidumbre. En el mismo, en la última fila, se reporta el resultado de la medición.

X1=l = 1,1958 m

Longitud

Incertidumbres Estándar u(xi)

c1=cl=1

Coeficientes de sensibildad

Tabla 1

l±2uc: 1,196

m

cl u2l= 0,00 2 489 087 3

cl u1l=0,000 288 68 m

Contribuciones de cada fuente de incertidumbre

m ± 0,005 m

= [(cl u1l)2+(cl u2l)2 ]1/2 = 0,0025 m

u2l= 0,00 2 489 087 3 m

u1l = 0,000 288 68 m

La incertidumbre combinada uc es: uc

Gaussiana

Rectangular

Apreciación de la cinta métrica Repetibilidad

Tipos de distribución

Fuentes de incertidumbre

La medida de y con un factor de cobertura de 2 se reportará como

Medidas Xi

MENSURANDO S

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Ejemplo 2: Para obtener el periodo P de un péndulo simple se midió con un cronómetro digital que marca hasta centésimas de segundo 10 veces el tiempo que inivirtió en hacer 10 oscilaciones siendo los resultados en s: 22,15; 21,83; 21,92; 22,24; 22,09; 21,40; 21,79; 22,38; 22,21; 21,67. Hacer el presupuesto de incertidumbre y reportar la medida con un factor de cobertura de 2. Aquí la medida es indirecta y el modelo es (el mensurando que se mide indirectamente es y=P): P

t 10

El valor de la medida del tiempo para las 10 oscilaciones es el promedio:

t  21,968 s La medida para el periodo es, P

21,968 s  2,196 8 s 10

Se considerarán dos fuentes de incertidumbre en la medida del tiempo en este experimento: la apreciación del instrumento de medida y la desviación estándar de la media de las medidas repetidas. La incertidumbre estándar asociada con la apreciación del instrumento es (se asume distribución rectangular): 0,01 s u1t   0,002 886 8 s 12

La incertidumbre estándar asociada con la repetibilidad en las medidas es la desviación estándar de la media (se asume distribución gaussiana): u 2t   t  0,095 146 67 s


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Hay un sólo coeficiente de sensibilidad: c1  ct 

dP 1  dt 10

La incertidumbre estándar combinada es: uc 

ct u1t 

2

 ct u 2t 

2

2

2

1  1    u1t    u 2t   0,009 5 19 045 2 s  10   10 

En la tabla 2 se ilustra el presupuesto de incertidumbre. En el mismo, en la última fila, se reporta el resultado de la medición. Ejemplo 3: Para medir la gravedad g se empleó un péndulo simple. Si la medida de la longitud l de este péndulo corresponde a los datos en el ejemplo 1 y la medida de su periodo P corresponde a los datos del ejemplo 2, reportar el valor de la aceleración de la gravedad con un factor de cobertura de 2 empleando el modelo de péndulo simple para pequeñas oscilaciones y hacer un presupuesto de incertidumbre. Aquí la medida es indirecta y el modelo es (el mensurando que se mide indirectamente es y=P):

P  2

l 4 2 l g g P2

La incertidumbre combinada para la medida de la aceleración de la garvedad, ucg es: 2 u cg  cl u cl2  c P u cP

en donde ucl y ucP corresponden a las respectivas incertidumbres combinadas de la longitud y del periodo ya reportadas en los presupuestos de incertidumbre de los ejemplos 1 y 2, es decir,

u cl  0,0025 m

u cP  0,01 s

Tiempo

=

La incertidumbre combinada uc es: uc =

Gaussiana

Rectangular

Apreciación del cronómetro Repetibilidad



P

Tabla 2

P±2uc: 2,20

ct u2t= 0,009 514 667 s

ct u1t= 0,000 288 68 s


s ± 0,02 s

c1= ct= 0,1


[(ct u1t)2+(ct u2t)2 ]1/2 = 0,01 s

u2t= 0,095 146 67 s

u1t= 0,002 886 8 s


La medida de P con un factor de cobertura de 2 se reportará como

21,968 s

X1= t

MENSURANMedidas Xi DOS

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y los coeficientes de sensibilidad cl y cP son,

g 8 2 l cP   3 P P

g 4 2 cl   2 l P

siendo l y P los valores reportados en los presupuestos de incertidumbre de los ejemplos 1 y 2, es decir, P  2,20 s

l  1,196 m

y por lo tanto, cl  8,180 478 s -2

c P  8,905 877 m s -3

Calculando la incertidumbre combinada en la medida de la gravedad se obtiene, ucg 

8,1804785  0, 0025  8,905877  0, 01 2

2

 0, 09137688 m.s2

El valor calculado de la gravedad reemplazando los valosres de l y P en el modelo es, g  9,782 215 m s -2

Por lo tanto el reporte del valor de g con un factor de cobertura de 2 es, g  9,8 m s -2  0,2 m s -2

El valor convencionalmente verdadero reportado en la ciudad de Medellín (donde se realizó el experimento) es 9,78 m s-2 por lo que el porcentaje de error es del 0,20 % . El presupuesto de incertidumbre se ecnuentra en la tabla 3. Se observa en el resultado que aunque el error fue muy bajo la incertidumbre relativa fue mucho más alta: para un 68% de confianza es de 0,9 % y para el 95% de confianza de 1,8 %. Si se analizan bien las medidas se observan unas desviaciones estándar altas comparadas con las apreciaciones de los instrumentos; estas se pueden disminuir sustancialmente siendo más cuidadosos con las medidas.


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En el presupuesto de incertidumbre además de las tablas 1 y 2 se reporta la tabla 3: Mensurandos

Medida

Incertidumbre estándar

Coeficiente de sensibilidad

Longitud

1,196 m

0,0025 m

8,180 478 s–2

Periodo

2,20 s

0,01 s

–8,905 877 m s–3

Gravedad

La incertidumbre combinada:

ucg = 0,09 m s–2

Reporte de la medida de g con un factor de cobertura de 2: 9,8 m s–2 ±0,2 m s–2 Tabla 3

Ejemplo 4: Para determiner la masa m de una muestra se realizan cinco medidas en una balanza digital con apreciación de 0,01 g y se obtienen los siguientes resultados en g: 3 001,01; 3 001,00; 3 001,02; 3 001,02; 3 001,00. Adicionalmente se conoce de la hoja técnica de la balanza que su EMP (Error Máximo Permisible) en el rango de medición entre 2 000 g y 4 100 g es ± 0,03 g. Elaborar un presupuesto de incertidumbre y reportar el valor de la medida con un factor de cobertura de 2. Nota: El EMP de un instrumento de medición es el valor extremo del error permitido por especificacioes, reglamentos, etc. Como la medida es directa el modelo es muy simple (diríamos que trivial):

ym El valor de la medida y, masa de la muetsra, es el promedio de los resultados de las 5 mediciones: y  3 001,01 g

Se considerarán tres fuentes de incertidumbre en la medida de esta masa: la apreciación del istrumento de medida, la desviación estándar de las medidas repetidas y el EMP reportado en la hja técnica. La incertidumbre estándar asociada con la apreciación del instrumento es (se asume distribución rectangular): u1m 

0,01 g 12

 0,002 9 g


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Calculando y expresando las incertidumbres La incertidumbre estándar asociada con la repetibilidad en las medidas es la desviación estándar de la media (se asume distribución gaussiana): u 2m   m  0,004 5 g

La incertidumbre asociada con el EMP (se asume distribución rectangular):

u 3m 

0,06 g 12

 0,017 3 g

Hay un sólo coeficiente de sensibilidad:

c1  c m 

dy 1 dm

La incertidumbre estándar combinada es:

uc 

cm u1m 2  cm u 2m 2  cm u3m 2



u1m 2  u 2m 2  u3m 2

 0,0181 g

En la tabla 4 se ilustra el presupuesto de incertidumbre. En el mismo, en la última fila, se reporta el resultado de la medición. Ejemplo 5: En el laboratorio se dispone de un Diodo Láser de 650 nm de longitud de onda  (reportada por el fabricante) del cual se desconoce los detalles de su información metrológica. Mediante el experimento de difracción de Fraunhofer a través de una rendija rectangular, se pretende verificar el valor de esta longitud de onda. Para medir las distancias se empleó una cinta métrica cuya apreciación es 1 mm y la rendija rectangular empleada es la referencia Pasco OS9165 de niquel de ancho b=0,040 mm cuya tolerancia es ± 0,002 mm. Para una distancia de d=80,0 cm de la rendija a la pantalla se repitió seis veces la medida de la distancia  entre el máximo central y el primer mínimo en el patrón de difracción y se obtuvieron los siguientes valores en cm: 2,6; 2,7; 2,5; 2,5; 2,5; 2,4. Hacer el presupuesto de incertidumbre y reportar la medida con un factor de cobertura de 2. Aquí la medida es indirecta y el modelo es (el mensurando que se mide indirectamente es y=):

Masa

Rectangular

EMP

u3m= 0,0173 g

u2m= 0,004 5 g

u1m = 0,002 9 g


c1=cm=1


cm u3m= 0,0173 g

cm u2m= 0,004 5 g

cm u1m=0,002 9 g


Tabla 4

m±2uc: 3 001,01 g ± 0,04 g

= [(cm u1m)2+(cm u2m)2 +(cm u3m)2]1/2 = 0,018 1 g

Gaussiana

Rectangular

Apreciación de la balanza Repetibilidad



La incertidumbre combinada uc es: uc

3 001,01 g

X1=m =

Medidas Xi

La medida de y con un factor de cobertura de 2 se reportará como

MENSURANDOS

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

b 2d

Las fuentes de incertidumbre que se considerarán son: en el valor de b la tolerancia reportada por el fabricante; en la medida de  la apreciación de la cinta métrica y la desviación estándar de la media debido a medidas repetidas; en la medida de d la apreciación de la cinta métrica. Incertidumbre estándar debido a la tolerancia del ancho b de la rendija reportada por el fabricante (se supone distribución rectangular): ub 

0,004 mm 12

 0,000 000 577 35 m

Incertidumbre estándar debido a la apreciación de la cinta métrica en la medida de  (se supone distribución rectangular): u1 

1 mm  0,000 288 675 m 12

Incertidumbre estándar debido a las medidas repetidas de  (se supone distribucuión gaussiana: por lo tanto es igual a la desviación estándar de la media): u 2  0,000 421 63 m

Incertidumbre estándar debido a la apreciación de la cinta métrica en la medida de d (se supone distribucuión rectangular): ud 

1 mm  0,000 288 675 m 12

El valor promedio de  es:

  0,025 333 3 m El valor del mensurando  es: 

b 0,00004 m  0,0253333 m   0,000 000 633 332 5 m 2d 2  0,80 m


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Los coeficientes de sensibilidad son: c1  cb 

  0,025 33    0,015 833 333 b 2d 2  0,800

c 2  c 

 b 0,000 04    0,000 025  2d 2  0,800

c3  c d 

 b 0,00004  0,02533  2   0,000 000 791 7 2 d 2d 2  0,800 

La incertidumbre estándar combinada de la medida de  es: uc 

cb ub 2  c u1 2  c u 2 2  cd u d 2

 0,000 000 015 7 m

En la tabla 5 se ilustra el presupuesto de incertidumbre. En el mismo, en la última fila, se reporta el resultado de la medición.

Distancia de la rendija a la pantalla, d

 Apreciación de la cinta métrica Rectangular

Gaussiana

Rectangular

Apreciación de la cinta métrica Repetibilidad

Rectangular

Tipos de distribució n

Tolerancia


ud= O,000 002 886 75 m

u2= O,000 421 63 m

u1= O,000 288 675 m

ub= O,000 000 577 35 m


c3= cd= –0,000 000 791

c2= c= 0,000 025

c1= cb= 0,015 833


Tabla 5: (*) En algunas situaciones es conveniente reportar la incertidumbre con dos cifras significativas con el objeto de dar mayor claridad.

La medida de y con un factor de cobertura de 2 se reportará como ±2uc: 633 nm ± 32 nm (*)

cdud= 0,000 000 000 2

cu2= 0,000 000 010

cu1= 0,000 000 007 2

cbub= 0,000 000 009 1


La incertidumbre combinada uc es: uc = [(cb ub)2+(c u1)2 +(c u2)2 +(cdud)2]1/2 = 0,000 000 016 m

X3= d=0,80 m

X2= =0,025 333 3 m

X1= b=0,00004 m

Ancho de la rendija, b

Distancia entre máximo central y primer mínimo,

Medidas Xi

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