Încălzirea şi răcirea apei
În această lucrare dorim să găsim cele mai optime soluţii privind modul în care funcţionează un termoplonjon. termoplonjon. Este, de exemplu, mai economic să oprim funcţionarea termoplonjonului termoplonjonului în timpul nopţii, iar apoi să îl pornim, dimineaţa, înainte de a avea nevoie, sau să permitem termostatului să controleze temperatura toată noaptea? Înainte să vorbim despre modul în care se răceşte apa, vom studia încălzirea apei. Presupunem că avem un bazin plin cu apă rece care este încălzită electric, de un dispozitiv dispozitiv complet scufundat în apă. Pentru a schiţa această situaţie vom presupune că temperatura apei este aceeaşi peste tot, înăuntrul cilindrului. cilindrului. În practică temperatura apei va fi mai mare în apropierea încălzitorului, care deseori ajunge doar la jumătatea cilindrului.
De asemenea, căldura este produsă la o valoare constantă q, într-un timp T , astfel încât totalul de căldură furnizată este dat de:
Experimentele arată că necesarul de căldură pentru schimbarea temperaturii, temperaturii, unui lichid de masă m, prin , este proporţională atât cu m cât şi cu :
Prin urmare , unde constanta de proporţionalitate proporţionalitate pentru lichid se numeşte căldură specifică, notată cu c. Prin urmare: (1) 1
Acum căldura este o formă de energie, iar unitatea de măsură pentru energie în SI este Joule, J. Rata la care se transferă energia se numeşte putere, şi dacă energia este înlocuită cu 1 J/s obţinem puterea de 1 Watt, W: 1 J/s=1 W. (De exemplu un ceainic electric cu puterea de 2 KW, produce 2000 J pe secundă). Din (1) rezultă că unitatea de măsură pentru căldura specifică, c, este J/kgC , unde C-grade Kelvin. Pentru apă, şi, astfel, putem estima în cât timp un termoplonjon, cu puterea de 3 KW, încălzeşte 100 kg apă de la 15 oC la 60o C. Înlocuind aceste valori în (1) obţinem: Corespunde această valoare cu realitatea? Un cilindru obişnuit are capacitatea de 100 kg apă, dar timpul obţinut anterior, este probabil prea mare. Deci, ce presupuneri eronate am făcut în modelarea procesului? Nu am luat în calcul carcasa cilindrului, dar ţinând cont în calcule de materialul din care este produsă aceasta, va creşte timpul obţinut! Altă presupunere făcută a fost că toată apa din cilindru este încălzită, dar în fig. 2.5. se observă că, în majoritatea cazurilor, doar jumătate din cilindru este încălzit. Deoarece apa rece coboară, iar cea caldă urcă, încălzitorul este plasat în partea superioară a cilindrului, şi de fapt încălzeşte doar o cantitate de 50 kg de apă, m=50 kg. Obţinem timpul de încălzire, T=52 min 30 s, ceea ce convine mai mult. Pentru a aduce modelul mai aproape de realitate, trebuie să luăm în consideraţie carcasa cilindrului şi împrejurimile. Acum căldura furnizată de încălzitor= căldura cedată apei+căldura cedată împrejurimilor. Dacă presupunem că temperatura apei este aceeaşi cu a carcasei cilindrului, iar mc, este masa carcasei cu care intră în contact apa încălzită, atunci: ,
(2)
unde indicele w se referă la apă, iar cc este căldura specifică a materialului din care este confecţionată carcasa şi am neglijat căldura pierdută în împrejurimi. De exemplu, dacă , şi mc=5 kg, atunci timpul necesar încălzirii apei de la 15oC la 60o C este dat de:
Aşadar, căldura cedată carcasei este relativ nesemnificativă. Trebuie să găsim cel mai economic mod de a folosi un termoplonjon. Pentru a analiza problema trebuie, în primul rând, să observăm ce se întâmplă când încălzitorul este oprit şi apa se răceşte. Pentru a analiza răcirea apei, vă propun să realizaţi următorul experiment. Experiment 2
Luaţi o cană cu apă fierbinte şi introduceţi un termomentru în cană. Citiţi temperatura iniţială şi la fiecare 20 minute timp de 2 ore. Reprezentaţi grafic datele, unind punctele printr-o curbă cu înclinare mică. Măsuraţi panta curbei în punctele corespunzătoare celor 20 minute şi comparaţi cu graficul corespunzător temperaturii. Graficul final va fi, aproximativ, o linie dreaptă şi ilustrează legea lui Ne wton pentru răcire, care spune: Cantitatea de căldură schimbată de un corp solid cu un fluid (gaz sau lichid) este proporţională cu diferenţa de temperatură dintre solid si fluid, cu suprafaţa solidului care schimbă căldura şi cu timpul cât durează acest schimb de căldură. Matematic:
(3) unde k este o constantă pozitivă. Revenind la situaţia răcirii apei în interiorul termoplonjonului, trebuie să găsim cea mai apropiată valoare pentru k . În cazul în care q reprezintă rata de pierdere a căldurii, o alternativă pentru exprimarea legii răcirii este să presupunem că q este proporţională cu aria suprafeţei, a, şi cu diferenţa de temperatură . Deci, , unde constanta j este coeficientul de transfer al căldurii şi depinde de natura suprafeţei corpului încălzit şi de mediul înconjurător. Dacă h este căldura totală furnizată iniţial, atunci
Din (2),
rezultă: (4)
deci constanta k , din (3) are valoarea Soluţia lui (4) este ilustrată în Fig. 2.6. . La t=0,
=
.
3
, obţinând
0
(5)
Ştiind că descreşte exponenţial, putem observa că panta curbei este mai mare când este mai mare. Permițând apei să se răcească până chiar înainte să avem nevoie de apa caldă din nou, înseamnă că răcirea are loc progresiv, din ce în ce mai lent. Pierderile de căldură, în decurs de un timp, trebuie să fie mai mici, aşadar trebuie furnizată mai puţină căldură de către termoplonjon. Aşadar, este mai economic să oprim încălzitorul până în momentul în care avem nevoie de apă caldă. Dar cu cât mai economic? Metoda I : Să presupunem că termoplonjonul, descris anterior, menţine apa la 45 oC. Dacă este oprit la ora 11 p.m. noaptea, atunci din (5), diferenţa de temperatură la 7 a.m. dimineaţa este dată de: . Dacă
, atunci folosind valorile de mai sus, obţinem
Deci diferenţa de temperatură este aproximativ de 12 oC, de unde apa s-a răcit la 45-12=33oC. Folosind (2) şi (1), timpul necesar pentru a creşte temperatura la 33 oC este: , de unde T 40 min. Un încălzitor de 3 KW foloseşte 3.2/3=2 unităţi de electricitate când este pronit pentru 40 minute (o unitate de electricitate este consumată de un dispozitiv cu o putere de 1 KW timp de o oră). Aşadar această metodă foloseşte două unităţi de electricitate. Metoda II: De această vom permite termostatului să controleze temperatura pe parcursul nopţii. Să presupunem că termostatul se porneşte la 42 o C şi se opreşte la 45 oC. Timpul necesar pentru a ridica temperatura cu 3 oC, este: , adică T 3min şi 30s. Timpul necesar pentru ca apa să se răcească de la 45 oC la 42oC, este dat de (5) prin , deci t =24 min şi 30s. Aşadar sistemul parcurge cu ciclu de încălzire-răcire la fiecare 28 min, fapt ilustrat în Fig. 2.7.
4
În 8 ore şi 40 minute sistemul metodei I se răceşte şi încălzeşte o singură dată, iar sistemul metodei a II-a trece prin 19 cicluri. Încălzitorul a fost pornit de (19.3min 30s)=66 min şi 66.5 30s. Prin urmare, încălzitorul de 3 KW foloseşte 3 ⋅ unităţi=3.325 unităţi de electricitate. 60 Deci, prima metodă economiseşte cel puţin o unitate de electricitate pe noapte, la costul de 4 penny per unitate. Nu este semnificativ, dar merită 14 lire pe an!
5
