EJEMPLO 2.2 EL PROBLEMA DE DISTRIBUCIÓN DE COSMIC COMPUTER COMPANY CCC tiene tres plantas de ensamblaje de microcomputadoras en San Francisco, Los Ángeles y Phoenix. La planta de Los Ángeles tiene una capacidad de producción mensual de 2000 unidades. Cada una de las plantas de San Francisco y Phoenix puede producir un máximo de 1700 unidades al mes. Las microcomputadoras de CCC se venden a través de cuatro tiendas detallistas localizadas en San Diego, Barstow, Tucson y Dallas. Los pedidos mensuales de los vendedores al menudeo son de 1700 unidades en San Diego, 1000 en Barstow, 1500 en Tucson y 1200 en Dallas. La tabla 2.1 contiene el costo de embarque de una microcomputadora desde cada planta de ensamblaje hasta cada una de las distintas tiendas minoristas. Su trabajo es formular un modelo matemático para encontrar el programa de embarque de mínimo costo. TABLA 2.1 Costo de embarque ($/unidad) PLANTAS TIENDAS SAN DIEGO BARSTOW TUCSON San Francisco 5 3 2 Los Ángeles 4 7 8 Phoenix 6 5 3
DALLAS 6 10 8
Antes de formular este problema matemáticamente, es posible dibujar un diagrama de redes esquemático para representar los diversos componentes del problema, como se ilustra en la figura 2.1.Los siete círculos, o nodos, representan las tres plantas y las cuatro tiendas al menudeo. Cada arco indica que las computadoras pueden embarcarse desde la planta hasta la tienda minorista asociada. Además de los nodos y arcos, el diagrama de redes incluye los datos del problema. En este caso, los números que están junto a los nodos correspondientes a las tiendas al menudeo indican el número de computadoras solicitadas allí. Finalmente, los números que están junto a cada arco representan el costo de embarque de una computadora de la planta correspondiente a la tienda asocia .Todos los aspectos importantes de este problema se incluyen en este diagrama de redes y, como verá, el diagrama simplifica la formulación matemática posterior. PASO 1. IDENTIFICACIÓN DE LAS VARIABLES DE DECISION. Después de los pasos de la formulación del problema, su primera tarea es identificar las variables de decisión. Para hacerlo, hágase las siguientes preguntas: 1. ¿Qué elementos afectan los costos y/o ganancias? 2. ¿Qué elementos puede escoger y/o controlar libremente? 3. ¿Qué decisiones tiene que tomar?
4. ¿Cuáles son los elementos cuyos valores, cuando se conocen, constituyen una solución (en este caso, un programa de embarque)? En otras palabras, ¿qué información tendría que proporcionar a las plantas de ensamblaje para que ellos supieran cómo distribuir sus productos? Las respuestas a todas estas preguntas pueden conducirlo a identificar doce variables de decisión, correspondientes al número de microcomputadoras por embarcar desde cada una de las tres plantas de ensamblaje hasta cada una de las cuatro tiendas minoristas. Podría referirse a ellos con nombres simbólicos 𝑋1 , 𝑋2 , … … , 𝑋12.Pero recuerde que al trabajar con variables, es útil usar un nombre simbólico que en cierta manera le recuerde la cantidad representada. Por ejemplo, podría definir: San/Tuc = el número de microcomputadoras por embarcar de la planta de ensamblaje en San Francisco a la tienda detallista en Tucson.
Plantas
Tiendas detallistas San Diego D1
5 San Francisco 1700
S1
1700
4 6
Barstow 3 D2
7
1000
Los Ángeles 5 2000
S2
2 8
Phoenix 1700
S3
Figurra 2.1 La red de la distribución de CCC
Tuscon D3
3
1500
6 10 00 8 0
Dallas D4
1200
O 𝑋13 = El número de microcomputadoras por embarcar de la planta de ensamblaje #1(San Francisco) a la tienda detallista #3 (Tucson). O 𝑋𝑆𝑇 = El número de microcomputadoras por embarcar de la planta de ensamblaje en San Francisco a la tienda detallista en Tucson. TABLA 2.2 Variables de decisión para el ejemplo 2.2 PLANTAS TIENDAS SAN DIEGO BARSTOW TUCSON DALLAS San Francisco XSS XSB XST XSD Los Ángeles XLS XLB XLT XLD Phoenix XPS XPB XPT XPD
Para este ejemplo, se utiliza la última notación. Los doce nombres simbólicos se representan en la tabla 2.2. En términos de diagrama de redes de la figura 2.1, cada una de estas variables de decisión denota el número de computadoras por embarcar junto al arco correspondiente, como se ilustra en la figura 2.2. PASO 2. IDENTIFICACIÓN DE LA FUNCIÓN OBJETIVO Si recordamos el procedimiento usado en la sección 2.1, puede especificar la función objetivo de la manera siguiente: Forma verbal:
Minimizar costos de embarque desde todas las plantas a todas las tiendas
𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐷𝑒𝑠𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 ∶ 𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 (𝑒𝑚𝑏𝑎𝑟𝑞𝑢𝑒) + (𝑒𝑚𝑏𝑎𝑟𝑞𝑢𝑒) + ( 𝑒𝑚𝑏𝑎𝑟𝑞𝑢𝑒 ) 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑆𝐹 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝐿𝐴 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑃ℎ𝑜𝑒𝑛𝑖𝑥
Tiendas detallistas
Plantas
San Diego (S) D1
XSS San Francisco (S) 1700
S1
XLS XPS
Barstow (B) XBS
Los Ángeles (L) 2000
XLB
S2
XST XPT
Phoenix (P) S3
D2
1000
XPB XLT
1700
1700
XLD
Tuscon (T) D3
1500
XSD Dallas (D)
XPD
D4
1200
Figura 2.2 Variables de decisión para el problema de distribución de CCC EJEMPLO ESPECÍFICO. Para obtener una expresión matemática de cada uno de estos tres costos de embarque, trabaje con un ejemplo específico. Suponga que la planta de San Francisco embarca 500 microcomputadoras a San Diego, 200 a Barstow, 400 a Tucson y 300 a Dallas. Esto es, 𝑋𝑆𝑆 = 500, 𝑋𝑆𝑆 = 200, 𝑋𝑆𝑇 = 400 𝑦 𝑋𝑆𝐷 = 300. Recordemos Los costos de transportación por unidad dados en la tabla 2.1, Costo de embarque desde SF = 5(500) + 3(200) + 2(400) + 6(300) = 5700 En general, cuando las unidades 𝑋𝑆𝑆 , 𝑋𝑆𝐵 , 𝑋𝑆𝑇 , 𝑦 𝑋𝑆𝐷 son enviadas desde San Francisco, costo de embarque desde SF= 5𝑋𝑆𝑆 + 3𝑋𝑆𝑆 + 2𝑋𝑆𝑇 + 6𝑋𝑆𝐷
Procediendo de manera similar para que costo de transportación desde Los Ángeles y desde Phoenix, llegamos al siguiente costo de transportación total: Matemáticas Minimizar
(5𝑋𝑆𝑆 + 3𝑋𝑆𝐵 + 2𝑋𝑆𝑇 + 6𝑋𝑆𝐷 ) + (4𝑋𝐿𝑆 + 7𝑋𝐿𝐵 + 8𝑋𝐿𝑇 + 10𝑋𝐿𝐷 ) + (6𝑋𝑃𝑆 + 5𝑋𝑃𝐵 + 3𝑋𝑃𝑇 + 8𝑋𝑃𝐷 )
PASO 3. IDENTIFICACIÓN DE LAS RESTRICCIONES Para identificar las restricciones, hágase las siguientes preguntas: 1. Qué le impide elegir valores arbitrarios para las variables? (Analizando la función objetivo dada, usted puede minimizar el costo establecido cada variable en cero. ¿Qué le impide hacer esto?) 2. ¿Qué limitaciones físicas o lógicas se requieren para que los valores de las variables constituyan una solución aceptable? Para contestar ambas preguntas, observe la figura 2.2, que le debe llevar a identificar los siguientes grupos de restricciones: 1. El embarque total de cada planta no debe exceder de su capacidad. Estas limitaciones están asociadas con cada uno lo correspondiente a la planta de la figura 2.2. 2. El embarque total recibido por cada tienda al por menor debe satisfacer su demanda. Estas restricciones están asociadas con cada nodo correspondiente a una tienda detallista y a su demanda en la figura 2. 2. En este ejemplo, ''satisfacer'' significará ''ser exactamente igual a''. Sin embargo, en algunas situaciones puede significar ''al menos igual a''. Sin embargo, en algunas situaciones, puede significar ''al menos igual a''. Siempre que surjan tales ambigüedades, asegúrese de aclararlas antes de formular el problema. 3. El embarque de cada planta hasta cada tienda detallista debe ser un número completo no negativo, a menudo denominado entero no negativo, porque no puede enviar parte de una computadora. Observe que los dos primeros grupos de restricciones son limitaciones físicas y que el tercero es una limitación lógica. Lo que resta es convertir estas restricciones desde su descripción verbal a matemáticas, usando variables de decisión y datos del problema. Para hacerlo, observe que existe una restricción de capacidad asociada con cada uno de los tres nodos de la figura 2.2 correspondiente a estas tres plantas. Por ejemplo, el número de unidades embarcadas desde la planta de San Francisco no puede
exceder su capacidad de 1700. Ahora bien, use la técnica de descomposición para expresar el número de unidades embarcadas desde San Francisco como una suma de términos individuales. De la figura 2.2, los cuatro arcos que salen del nodo correspondiente a la planta de San Francisco proporcionan la siguiente descomposición: 𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 { 𝑒𝑚𝑏𝑎𝑟𝑐𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 } = { }+ 𝑒𝑚𝑏𝑎𝑟𝑐𝑎𝑑𝑎𝑠 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑆𝑎𝑛 𝐷𝑖𝑒𝑔𝑜 𝑆𝑎𝑛 𝐹𝑟𝑎𝑛𝑐𝑖𝑠𝑐𝑜 {
𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 }+ 𝑒𝑚𝑏𝑎𝑟𝑐𝑎𝑑𝑎𝑠 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝐵𝑎𝑟𝑠𝑡𝑜𝑤
{
𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 }+ 𝑒𝑚𝑏𝑎𝑟𝑐𝑎𝑑𝑎𝑠 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑇𝑢𝑐𝑠𝑜𝑛
𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 { } 𝑒𝑚𝑏𝑎𝑟𝑐𝑎𝑑𝑎𝑠 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝐷𝑎𝑙𝑙𝑎𝑠 Por tanto, la restricción de capacidad correspondiente a este nodo es: 𝑋𝑆𝑆 + 𝑋𝑆𝐵 + 𝑋𝑆𝑇 + 𝑋𝑆𝐷 ≤ 1700 Un proceso similar, con referencia al diagrama de redes de la figura 2.2, conduce al siguiente grupo de restricciones de capacidad: 𝑋𝑆𝑆 + 𝑋𝑆𝐵 + 𝑋𝑆𝑇 + 𝑋𝑆𝐷 ≤ 1700
(San Francisco)
𝑋𝐿𝑆 + 𝑋𝐿𝐵 + 𝑋𝐿𝑇 + 𝑋𝐿𝐷 ≤ 2000
(Los Ángeles)
𝑋𝑃𝑆 + 𝑋𝑃𝐵 + 𝑋𝑃𝑇 + 𝑋𝑃𝐷 ≤ 1700
(Phoenix)
Para identificar las restricciones de demanda, observe que existe una de tales restricciones asociadas con cada uno de los cuatro nodos de la figura 2.2, correspondiente a las cuatro tiendas al detalle. Por ejemplo, el número de unidades enviadas a la tienda detallista de San Diego debe ser exactamente 1700. Ahora use la técnica de descomposición para expresar el número de unidades embarcadas a San Diego como una suma de términos individuales. De la figura 2.2, los tres arcos que entran al nodo correspondiente a la tienda detallista de San Diego proporcionan la siguiente descomposición: 𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 { 𝑒𝑚𝑏𝑎𝑟𝑐𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 } = { }+ 𝑒𝑚𝑏𝑎𝑟𝑐𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑆𝑎𝑛 𝐹𝑟𝑎𝑛𝑐𝑖𝑠𝑐𝑜 𝑆𝑎𝑛 𝐹𝑟𝑎𝑛𝑐𝑖𝑠𝑐𝑜
{
𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 }+ 𝑒𝑚𝑏𝑎𝑟𝑐𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝐿𝑜𝑎𝑠 𝐴𝑛𝑔𝑒𝑙𝑒𝑠 {
𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 } 𝑒𝑚𝑏𝑎𝑟𝑐𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑃ℎ𝑜𝑒𝑛𝑖𝑥
Por tanto, la restricción de demanda corresponde a este nodo es: 𝑋𝑆𝑆 + 𝑋𝐿𝑆 + 𝑋𝑃𝑆 ≤ 1700 Un proceso similar, nuevamente con referencia al diagrama de redes de la figura 2.2, conduce al siguiente grupo de restricciones de demanda: 𝑋𝑆𝑆 + 𝑋𝐿𝑆 + 𝑋𝑃𝑆 = 1700
(San diego)
𝑋𝑆𝐵 + 𝑋𝐿𝐵 + 𝑋𝑃𝐵 = 1000
(Barstow)
𝑋𝑆𝑇 + 𝑋𝐿𝑇 + 𝑋𝑃𝑇 = 1700
(Tucson)
𝑋𝑆𝐷 + 𝑋𝐿𝐷 + 𝑋𝑃𝐷 = 1700
(Dallas)
Finalmente, cada embarque (Variable de decisión) debe ser no negativo y entero: 𝑋𝑆𝑆 , 𝑋𝑆𝐵 , 𝑋𝑆𝑇 , 𝑋𝑆𝐷 , 𝑋𝐿𝑆 , 𝑋𝐿𝐵 , 𝑋𝐿𝑇 , 𝑋𝐿𝐷 , 𝑋𝑃𝑆 , 𝑋𝑃𝐵 , 𝑋𝑃𝑇 , 𝑋 𝑃𝐷 ≥ 0 𝑦 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 Si juntamos todas las piezas, el modelo matemático completo es el siguiente: FORMULACIÓN MATEMÁTICA DEL PROBLEMA DE TRANSPORTACIÓN DE CCC. Minimizar (5𝑋𝑆𝑆 + 3𝑋𝑆𝐵 + 2𝑋𝑆𝑇 + 6𝑋𝑆𝐷 ) + (4𝑋𝐿𝑆 + 7𝑋𝐿𝐵 + 8𝑋𝐿𝑇 + 10𝑋𝐿𝐷 ) + (6𝑋𝑃𝑆 + 5𝑋𝑃𝐵 + 3𝑋𝑃𝑇 + 8𝑋𝑃𝐷 ) Condicionado por: RESTRICCIONES DE CAPACIDAD 𝑋𝑆𝑆 + 𝑋𝑆𝐵 + 𝑋𝑆𝑇 + 𝑋𝑆𝐷 ≤ 1700
(San Francisco)
𝑋𝐿𝑆 + 𝑋𝐿𝐵 + 𝑋𝐿𝑇 + 𝑋𝐿𝐷 ≤ 2000
(Los Ángeles)
𝑋𝑃𝑆 + 𝑋𝑃𝐵 + 𝑋𝑃𝑇 + 𝑋𝑃𝐷 ≤ 1700
(Phoenix)
RESTRICCIONES DE DEMANDA 𝑋𝑆𝑆 + 𝑋𝐿𝑆 + 𝑋𝑃𝑆 = 1700
(San diego)
𝑋𝑆𝐵 + 𝑋𝐿𝐵 + 𝑋𝑃𝐵 = 1000
(Barstow)
𝑋𝑆𝑇 + 𝑋𝐿𝑇 + 𝑋𝑃𝑇 = 1700
(Tucson)
𝑋𝑆𝐷 + 𝑋𝐿𝐷 + 𝑋𝑃𝐷 = 1700
(Dallas)
RESTRICCIONES LOGICAS
𝑋𝑆𝑆 , 𝑋𝑆𝐵 , 𝑋𝑆𝑇 , 𝑋𝑆𝐷 , 𝑋𝐿𝑆 , 𝑋𝐿𝐵 , 𝑋𝐿𝑇 , 𝑋𝐿𝐷 , 𝑋𝑃𝑆 , 𝑋𝑃𝐵 , 𝑋𝑃𝑇 , 𝑋 𝑃𝐷 ≥ 0 𝑦 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 TABLA 2.1 Costo de embarque ($/unidad) TIENDAS SAN DIEGO BARSTOW TUCSON San Francisco 0 800 0 Los Ángeles 1700 0 0 Phoenix 0 200 1500 PLANTAS
El costo de embarq ue total asociado con esta solución óptima es $23 100 .
DALLAS 900 300 0
CARACTERISTICAS CLAVE El problema de CCC ilustra los siguientes puntos claves además de las técnicas de formulación de problemas previamente cubiertas.
√ El uso de un diagrama esquemático, tanto para ilustrar el problema como para ayudar a su formulación matemática.
√ La necesidad de resolver ambigüedades que surgen con respecto a la interpretación de las restricciones objetivas impuestas sobre el problema. Por ejemplo, ''satisfacer la demanda'' puede significar exactamente igual a o al menos.
√La técnica de agrupamiento, que es la identificación de grupos de restricciones, cada una de las cuales pertenece a un aspecto particular del problema, como la satisfacción de demandas. La ventaja de agrupar es que, después de formular la restricción de demanda de un detallista, se le facilitará formular todas las restricciones de ese grupo porque todas tienen la misma estructura matemática.
