Darpublic
www.darpublic.com
Deret dan Transformasi Fourier Deret Fourier Koefisien Fourier. Suatu fungsi periodik dapat diuraikan menjadi komponenkomponen sinus. Penguraian ini tidak lain adalah pernyataan fungsi periodik kedalam deret Fourier. Jika f(t) adalah fungsi periodik yang memenuhi persyaratan Dirichlet, maka f(t) dapat dinyatakan sebagai deret Fourier : ∞
∑ [a n cos(nω0 t ) + bn sin(nω0 t )]
f (t ) = a 0 +
(1)
n =1
yang dapat kita tuliskan sebagai ∞
a n2 + bn2 (cos(nω 0 t − θ n ) )
∑
f (t ) = a 0 +
n =1
(2)
Koefisien Fourier a0, an, dan bn ditentukan dengan hubungan berikut: a0 =
1 T0
an =
2 T0
bn =
2 T0
T0 / 2
∫−T / 2 f (t )dt 0
T0 / 2
∫−T / 2 f (t ) cos(nω 0 t )dt
; n>0
(3)
0
T0 / 2
∫−T / 2 f (t ) sin(nω0 t )dt
; n>0
0
Hubungan (3) dapat diperoleh dari (1). Misalkan kita mencari an; kita kalikan (1) dengan cos(kωot) kemudian kita integrasikan antara −To/2 sampai To/2 dan kita akan memperoleh To / 2
To / 2
o
o
∫−T / 2 f (t ) cos(kωo t )dt = ∫−T / 2 a 0 cos(kω o t )dt To / 2 −To / 2 a n cos(nω 0 t ) cos(kω o t )dt + To / 2 n =1 + bn sin(nω 0 t ) cos(kω o t )dt −To / 2 ∞
∑
∫
∫
Dengan menggunakan kesamaan tigonometri 1 1 cos(α − β) + cos(α + β) 2 2 1 1 cos α sin β = sin(α − β) + sin(α + β) 2 2
cos α cos β =
maka persamaan di atas menjadi To / 2
To / 2
∫−T / 2 f (t ) cos(kωot )dt = ∫−T / 2 a0 cos(kωot )dt o
o
an 2 −To / 2 (cos(( n − k )ω0t ) + cos(( n + k )ωot ) )dt + b To / 2 n =1 + n ( ) sin(( n − k ) ω t ) + sin(( n + k ) ω t ) dtdt 0 o 2 −To / 2 ∞
∑
∫
To / 2
∫
Sudaryatno Sudirham, “Deret dan Transformasi Fourier”
1/15
Darpublic
www.darpublic.com
Karena integral untuk satu perioda dari fungsi sinus adalah nol, maka semua integral di ruas kanan persamaan ini bernilai nol kecuali satu yaitu an 2
oleh karena itu
∫−T / 2 (cos((n − k )ω 0 t ))dt =
an =
To / 2 o
2 To
an yang terjadi jika n = k 2
To / 2
∫−T / 2 f (t ) cos(nω 0 t )dt o
Pada fungsi-fungsi yang sering kita temui, banyak diantara koefisien-koefisien Fouriernya bernilai nol. Keadaan ini ditentukan oleh kesimetrisan fungsi f(t) . Kita akan melihatnya dalam urain berikut ini.
Kesimetrisan Fungsi Simetri Genap. Suatu fungsi dikatakan mempunyai simetri genap jika f(t) = f(−t). Salah satu contoh fungsi yang memiliki simetri genap adalah fungsi cosinus, cos(ωt) = cos(−ωt). Untuk fungsi semacam ini, dari (1) kita dapatkan f (t ) = a0 +
∞
∑ [an cos(nω0t ) + bn sin(nω0t )]
dan
n =1 ∞
f (−t ) = a0 +
∑ [an cos(nω0t ) − bn sin(nω0t )] n =1
Kalau kedua fungsi ini harus sama, maka haruslah bn = 0, dan f(t) menjadi f (t ) = a o +
∞
∑ [a n cos(nω 0 t )]
(4)
n =1
v(t)
CONTOH-1: Tentukan deret Fourier dari bentuk gelombang deretan pulsa berikut ini.
T
A −T/2 0
T/2 To
Penyelesaian : Bentuk gelombang ini memiliki simetri genap, amplitudo A, perioda To , lebar pulsa T. ao =
1 To
∫−T / 2
an =
2 To
T /2
=
T /2
Adt =
At To
T /2
= −T/ 2
AT ; bn = 0 ; To 2A
∫−T / 2 A cos(nω o t )dt = To ωo n sin nωo t −T / 2
nπT A 2 sin πn To
T /2
2 A nπT = sin πn To
Untuk n = 2, 4, 6, …. (genap), an = 0; an hanya mempunyai nilai untuk n = 1, 3, 5, …. (ganjil). f (t ) = =
∞ AT 2 A nπT + sin To n =1, ganjil nπ To
∑
cos(nω o t )
∞ AT 2A (− 1)( n−1) / 2 cos(nω o t ) + To n=1, ganjil nπ
∑
Sudaryatno Sudirham, “Deret dan Transformasi Fourier”
2/15
Darpublic
www.darpublic.com
Pemahaman : Pada fungsi yang memiliki simetri genap, bn = 0. Oleh karena itu sudut fasa harmonisa tanθn = bn/an = 0 yang berarti θn = 0o. Simetri Ganjil. Suatu fungsi dikatakan mempunyai simetri ganjil jika f(t) = −f(−t). Contoh fungsi yang memiliki simetri ganjil adalah fungsi sinus, sin(ωt) = −sin(−ωt). Untuk fungsi semacam ini, dari (1) kita dapatkan − f (−t ) = −a 0 +
∞
∑ [− a n cos(nω0 t ) + bn sin(nω0 t )] n =1
Kalau fungsi ini harus sama dengan f (t ) = a 0 +
∞
∑ [a n cos(nω0 t ) + bn sin(nω0 t )] n =1
maka haruslah a 0 = 0 dan a n = 0
⇒
f (t ) =
∞
∑ [bn sin(nω 0 t )]
(5)
n =1
CONTOH-2: Carilah deret Fourier dari bentuk gelombang persegi di samping ini.
v(t) A
T t
Penyelesaian: Bentuk gelombang ini memiliki simetri ganjil, amplitudo A, perioda To = T.
−A
ao = 0 ; an = 0 ; T 2 T /2 A sin(nω o t )dt + − A sin(nω o t )dt 0 / 2 T T 2A T /2 T = − cos(nω o t ) 0 + cos(nω o t ) T / 2 Tnω o
bn =
∫
∫
)
(
=
(
A 1 + cos 2 (nπ) − 2 cos(nπ) nπ
)
Untuk n ganjil cos(nπ) = −1 sedangkan untuk n genap cos(nπ) = 1. Dengan demikian maka A (1 + 1 + 2) = 4 A untuk n ganjil ∞ 4A nπ nπ ⇒ v(t ) = sin(nω o t ) A nπ n = 1 , ganjil (1 + 1 − 2) = 0 untuk n genap bn = nπ bn =
∑
Pemahaman: Pada bentuk gelombang dengan semetri ganjil, an = 0. Oleh karena itu sudut fasa harmonisa tanθn = bn/an = ∞ atau θn = 90o. Simetri Setengah Gelombang. Suatu fungsi dikatakan mempunyai simetri setengah gelombang jika f(t) = −f(t−To/2). Fungsi dengan sifat ini tidak berubah bentuk dan nilainya jika diinversi kemudian digeser setengah perioda. Fungsi sinus(ωt) misalnya, jika kita kita inversikan kemudian kita geser sebesar π akan kembali menjadi sinus(ωt). Demikain pula halnya dengan fungsi-fungsi cosinus, gelombang persegi, dan gelombang segitiga.
Sudaryatno Sudirham, “Deret dan Transformasi Fourier”
3/15
Darpublic
www.darpublic.com − f (t − To / 2) = − a0 + = − a0 +
∞
∑ [− an cos(nω0 (t − π)) − bn sin(nω0 (t − π))]
n =1 ∞
∑ [− (−1)n an cos(nω0t ) − (−1)n bn sin(nω0t )] n =1
Kalau fungsi ini harus sama dengan f (t ) = a 0 +
∞
∑ [a n cos(nω0 t ) + bn sin(nω0 t )] n =1
maka haruslah ao = 0 dan n harus ganjil. Hal ini berarti bahwa fungsi ini hanya mempunyai harmonisa ganjil saja.
Deret Fourier Bentuk Eksponensial Deret Fourier dalam bentuk seperti (1) sering disebut sebagai bentuk sinus-cosinus. Bentuk ini dapat kita ubah kedalam cosinus seperti (2). Sekarang bentuk (2) akan kita ubah ke dalam bentuk eksponensial dengan memanfaatkan hubungan cos α =
e jα + e − jα . 2
Dengan menggunakan relasi ini maka (2) akan menjadi f (t ) = a0 +
∞
∑ n =1
∞
an2 + bn2 (cos( nω0t − θn ) ) e j ( nω0t −θ n ) + e − j ( nω0t −θ n ) 2
= a0 +
∑
= a0 +
a 2 + b2 ∞ a 2 + b2 n j ( nω 0 t − θ n ) n − j ( nω 0 t − θ n ) n + n e e 2 n =1 2 n =1
an2 + bn2
n =1 ∞
∑
(6)
∑
Suku ketiga (6) adalah penjumlahan dari n = 1 sampai n =∞. Jika penjumlahan ini kita ubah mulai dari n = −1 sampai n = −∞, dengan penyesuaian an menjadi a−n , bn menjadi b−n , dan θn menjadi θ−n, maka menurut (3) perubahan ini berakibat a −n = b− n =
2 T0
∫−T / 2 f (t ) cos(−nω 0 t )dt = T0 ∫−T / 2 f (t ) cos(nω 0 t )dt = a n
2 T0
∫−T / 2 f (t ) sin(−nω 0 t )dt = − T0 ∫−T / 2 f (t ) sin(nω 0 t )dt = −b
tan θ − n =
2
T0 / 2
T0 / 2
0
0
2
T0 / 2
T0 / 2
0
(7)
0
b− n − b n = ⇒ θ − n = −θ n a −n an
Dengan (7) ini maka (6) menjadi a2 + b2 −∞ a 2 + b 2 n n n n j ( nω0 t − θ n ) j ( nω0t − θ n ) f (t ) = e + e n = −1 2 2 n =0 ∞
∑
∑
(8)
Suku pertama dari (8) merupakan penjumlahan yang kita mulai dari n = 0 untuk memasukkan a0 sebagai salah satu suku penjumlahan ini. Dengan cara ini maka (8) dapat ditulis menjadi
Sudaryatno Sudirham, “Deret dan Transformasi Fourier”
4/15
Darpublic
www.darpublic.com
f (t ) =
a2 + b2 n n e − jθ n 2 n = −∞ +∞
∑
+∞ j ( nω0t ) e = c n e j ( nω0t ) n = −∞
∑
(9)
Inilah bentuk eksponensial deret Fourier, dengan cn adalah koefisien Fourier yang mungkin berupa besaran kompleks. cn =
a n2 + bn2 2
e − jθ =
a n − jbn 2
(10)
an2 + bn2
cn =
dan ∠cn = θn dengan 2 −b b θn = tan −1 n jika an < 0; θn = tan −1 n a n an
(11) jika an > 0
Jika an dan bn pada (3) kita masukkan ke (10) akan kita dapatkan cn =
a n − jbn 1 = 2 T0
T0 / 2
∫−T / 2 f (t ) e
− jnωn t
(12)
dt
0
dan dengan (12) ini maka (9) menjadi f (t ) =
+∞
+∞
1
T0 / 2
∑ c n e j (nω t ) = ∑ T0 ∫−T / 2 f (t ) e − jnω t dt e j (nω t ) 0
n = −∞
n = −∞
o
0
(13)
0
Persamaan (11) menunjukkan bahwa 2|cn| adalah amplitudo dari harmonisa ke-n dan sudut fasa harmonisa ke-n ini adalah ∠cn. Persamaan (10) ataupun (12) dapat kita pandang sebagai pengubahan sinyal periodik f(t) menjadi suatu spektrum yang terdiri dari spektrum amplitudo dan spektrum sudut fasa. Persamaan (9) ataupun (13) memberikan f(t) apabila komposisi harmonisanya cn diketahui. Persamaan (12) menjadi cikal bakal transformasi Fourier, sedangkan persamaan (13) adalah transformasi baliknya. CONTOH-3: Carilah koefisien Fourier cn dari fungsi pada contoh-10.1. Penyelesaian : 1 cn = To =
T /2
∫−T / 2A e
A nω o To
− jnωo t
A dt = To
e − jnωo t − jnω o
e jnωoT / 2 − e − jnωoT / 2 j
T /2
−T / 2
= 2 A sin (nω o T / 2 ) nω T o o
Transformasi Fourier Spektrum Kontinyu. Deret Fourier, yang koefisiennya diberikan oleh (12) hanya berlaku untuk sinyal periodik. Sinyal-sinyal aperiodik seperti sinyal eksponensial dan sinyal anak tangga tidak dapat direpresentasikan dengan deret Fourier. Untuk menangani sinyalsinyal demikian ini kita memerlukan transformasi Fourier dan konsep spektrum kontinyu. Sinyal aperiodik dipandang sebagai sinyal periodik dengan perioda tak-hingga. Jika diingat bahwa ω0 = 2π/T0 , maka (13) menjadi Sudaryatno Sudirham, “Deret dan Transformasi Fourier”
5/15
Darpublic
www.darpublic.com ∞
f (t ) =
1
T0 / 2
∑ T0 ∫−T / 2 f (t ) e − jnω t dt e jnω t
n = −∞
0
0
0
1 ∞ = 2π n = −∞
T0 / 2
∑ ∫−T / 2 f (t ) e
− jnω0t
0
(14)
dt ω 0 e jnω0t
Kita lihat sekarang apa yang terjadi jika perioda T0 diperbesar. Karena ω0 = 2π/T0 maka jika T0 makin besar, ω0 akan makin kecil. Beda frekuensi antara dua harmonisa yang berturutan, yaitu ∆ω = (n + 1)ω 0 − nω 0 = ω 0 =
2π T0
juga akan makin kecil yang berarti untuk suatu selang frekuensi tertentu jumlah harmonisa semakin banyak. Oleh karena itu jika perioda sinyal T0 diperbesar menuju ∞ maka spektrum sinyal menjadi spektrum kontinyu, ∆ω menjadi dω (pertambahan frekuensi infinitisimal), dan nω0 menjadi peubah kontinyu ω. Penjumlahan pada (14) menjadi integral. Jadi dengan membuat T0 → ∞ maka (14) menjadi f (t ) =
1 2π
∞
−∞
∞
∫ ∫−∞
1 f (t ) e − jωt dt e jωt dω = 2π
∞
∫−∞ F (ω) e
jωt
dω
(15)
dengan F(ω) merupakan sebuah fungsi frekuensi yang baru, sedemikian rupa sehingga F (ω) =
∞
∫−∞ f (t ) e
− j ωt
(16)
dt
dan F(ω) inilah transformasi Fourier dari f(t), yang ditulis dengan notasi F [ f (t )] = F (ω)
Proses transformasi balik dapat kita lakukan melalui persamaan (15). f (t ) = F −1 (ω)
CONTOH-4: Carilah transformasi Fourier dari bentuk gelombang pulsa di samping ini. Penyelesaian :
v(t)
A −T/2
0
T/2
Bentuk gelombang ini adalah aperiodik yang hanya mempunyai nilai antara −T/2 dan +T/2, sedangkan untuk t yang lain nilainya nol. Oleh karena itu integrasi yang diminta oleh (16) cukup dilakukan antara −T/2 dan +T/2 saja. F (ω) =
T /2
A e − jωt dt = −
∫−T / 2
= AT
A − jωt e jω
T /2
= −T / 2
A e jωT / 2 − e − jωT / 2 ω / 2 j2
sin(ωT / 2) ωT / 2
Kita bandingkan transformasi Fourier (16) F (ω) =
∞
∫−∞ f (t ) e
− j ωt
dt
dengan koefisien Fourier
Sudaryatno Sudirham, “Deret dan Transformasi Fourier”
6/15
Darpublic
www.darpublic.com cn =
a n − jbn 1 = 2 T0
T0 / 2
∫−T / 2 f (t ) e
− jnωnt
(17)
dt
0
Koefisien Fourier cn merupakan spektrum sinyal periodik dengan perioda T0 yang terdiri dari spektrum amplitudo |cn| dan spektrum sudut fasa ∠cn, dan keduanya merupakan spektrum garis (tidak kontinyu, memiliki nilai pada frekuensi-frekuensi tertentu yang diskrit). Sementara itu transformasi Fourier F(ω) diperoleh dengan mengembangkan perioda sinyal menjadi tak-hingga guna mencakup sinyal aperiodik yang kita anggap sebagai sinyal periodik yang periodenya tak-hingga. Faktor 1/T0 pada cn dikeluarkan untuk memperoleh F(ω) yang merupakan spektrum kontinyu, baik spektrum amplitudo |F(jω)| maupun spektrum sudut fasa ∠ F(ω). CONTOH-5: Gambarkan spektrum amplitudo dari sinyal pada contoh-4. Penyelesaian : Spektrum amplitudo sinyal aperiodik ini merupakan spektrum kontinyu |F(jω)|. F (ω) = AT
sin(ωT / 2) ωT / 2
|F(ω)| -5 ω
0 0
Pemahaman: Sinyal ini mempunyai simetri genap. Sudut fasa harmonisa adalah nol sehingga spektrum sudut fasa tidak digambarkan. Perhatikan pula bahwa |F(ω)| mempunyai spektrum di dua sisi, ω positif maupun negatif; nilai nol terjadi jika sin(ωT/2)=0 yaitu pada ω = ±2kπ/T (k = 1,2,3,…); nilai maksimum terjadi pada ω = 0, yaitu pada waktu nilai sin(ωT/2)/(ωT/2) = 1. CONTOH-6: Carilah transformasi Fourier dari f(t) = [A e−αt ] u(t) dan gambarkan spektrum amplitudo dan fasanya. Penyelesaian : F (ω) =
∞
∫−∞
Ae −αt u (t )e − jωt dt =
e −( α + jω)t =−A α + jω ⇒ F (ω) =
∞
= 0
∞
∫0
Ae −( α + jω)t dt
A untuk α > 0 α + jω
| A| α 2 + ω2
⇒ θ(ω) = ∠F ( jω) = − tan −1
Sudaryatno Sudirham, “Deret dan Transformasi Fourier”
ω α
7/15
Darpublic
www.darpublic.com
θ(ω) +90o 90
|F(ω) 25 A/α |
−90o
ω
Pemahaman: Untuk α < 0, tidak ada transformasi Fourier-nya karena integrasi menjadi tidak konvergen.
Transformasi Balik Pada transformasi Fourier transformasi balik sering dilakukan dengan mengaplikasikan relasi formalnya yaitu persamaan (15). Hal ini dapat dimengerti karena aplikasi formula tersebut relatif mudah dilakukan CONTOH-7: Carilah f(t) dari F (ω) = 2πδ(ω)
Penyelesaian : ∞
1 2π
f (t ) =
=
∫−∞
α+
∫α
−
2πδ(ω) e jωt dω =
1 2π
0+
∫0
−
2πδ(ω) e jωt dω
δ(ω)(1) dω = 1
Pemahaman : Fungsi 2πδ(ω) adalah fungsi di kawasan frekuensi yang hanya mempunyai nilai di ω=0 sebesar 2π. Oleh karena itu e jωt juga hanya mempunyai nilai di ω=0 sebesar e j0t =1. Karena fungsi hanya mempunyai nilai di ω=0 maka integral dari −∞ sampai +∞ cukup dilakukan dari 0− sampai 0+, yaitu sedikit di bawah dan di atas ω=0. Contoh ini menunjukkan bahwa transformasi Fourier dari sinyal searah beramplitudo 1 adalah 2πδ(ω). CONTOH-8: Carilah f(t) dari F ( jω) = 2πδ(ω − α)
Penyelesaian : f (t ) =
1 2π
∞
∫−∞
= e jαt
2πδ(ω − α ) e jωt dω =
α+
∫α
−
1 2π
α+
∫α
−
2πδ(ω − α) e jωt dω
δ(ω − α) dω = e jαt
Pemahaman : Fungsi 2πδ(ω−α) adalah fungsi di kawasan frekuensi yang hanya mempunyai nilai di ω=α sebesar 2π. Oleh karena itu e jωt juga hanya mempunyai nilai di ω=α sebesar
Sudaryatno Sudirham, “Deret dan Transformasi Fourier”
8/15
Darpublic
www.darpublic.com
ejαt. Karena fungsi hanya mempunyai nilai di ω=α maka integral dari −∞ sampai +∞ cukup dilakukan dari α− sampai α+, yaitu sedikit di bawah dan di atas ω=α. CONTOH-9: Carilah f(t) dari F (ω) =
πA [u (ω + α) − u (ω − α)] α
Penyelesaian : f (t ) =
1 2π
1 = 2π =
∞ πA j ωt ∫−∞ α [u (ω + α) − u(ω − α)] e dω
πA A e jωt [ 1] e jωt dω = −∞ α 2α jt
∫
∞
A e 2α
jαt
−e jt
− jαt
=
A e αt
jαt
−e j2
α
−α − jαt
=A
sin(αt ) αt
Pemahaman: Dalam soal ini F(ω) mempunyai nilai pada selang −α<ω<+α oleh karena itu e jωt juga mempunyai nilai pada selang frekuensi ini juga; dengan demikian integrasi cukup dilakukan antara −α dan +α. Hasil transformasi balik f(t) dinyatakan dalam bentuk sin(x)/x yang bernilai 1 jika x→0 dan bernilai 0 jika x→∞. Jadi f(t) mencapai nilai maksimum pada t = 0 dan menuju nol jika t menuju ∞ baik ke arah positif maupun negatif. Kurva F(ω) dan f(t) digambarkan di bawah ini. f(t) A F(ω)
−β
0
+β ω
t
Dari Transformasi Laplace ke Transformasi Fourier Untuk beberapa sinyal, terdapat hubungan sederhana antara transformasi Fourier dan transformasi Laplace. Sebagaimana kita ketahui, transformasi Laplace didefinisikan melalui (8.1) sebagai F ( s) =
∞
∫0
f (t )e − st dt
(18)
dengan s = σ + jω adalah peubah frekuensi kompleks. Batas bawah integrasi adalah nol, artinya fungsi f(t) haruslah kausal. Jika f(t) memenuhi persyaratan Dirichlet maka integrasi tersebut di atas akan tetap konvergen jika σ = 0, dan formulasi transformasi Laplace ini menjadi F (s) =
∞
∫0
f (t )e − jωt dt
Sudaryatno Sudirham, “Deret dan Transformasi Fourier”
(19)
9/15
Darpublic
www.darpublic.com
Sementara itu untuk sinyal kausal integrasi transformasi Fourier cukup dilakukan dari nol, sehingga transformasi Fourier untuk sinyal kausal menjadi F (ω) =
∞
∫0
f (t ) e − jωt dt
(20)
Bentuk (20) sama benar dengan (19), sehingga kita dapat simpulkan bahwa untuk sinyal f (t ) kausal dan dapat di - integrasi berlaku F (ω) = F ( s ) σ=0
(21)
Persyaratan “dapat di-integrasi” pada hubungan (21) dapat dipenuhi jika f(t) mempunyai durasi yang terbatas atau cepat menurun menuju nol sehingga integrasi |f(t)| dari t=0 ke t=∞ konvergen. Ini berarti bahwa pole-pole dari F(s) harus berada di sebelah kiri sumbu imajiner. Jika persyaratan-persyaratan tersebut di atas dipenuhi, pencarian transformasi balik dari F(ω) dapat pula dilakukan dengan metoda transformasi balik Laplace. CONTOH-10: Dengan menggunakan metoda transformasi Laplace carilah transformasi Fourier dari fungsi-fungsi berikut (anggap α, β > 0). a). f 1 (t ) = A e −αt u (t ) b). f 2 (t ) = δ(t )
[
]
c) f 3 (t ) = A e −αt sin βt u (t )
Penyelesaian: a). f1 (t ) = Ae −αt u (t ) → fungsi kausal dan dapat di - integrasi A → pole p1 = −α (di kiri sumbu imag) s+α 1 → F (ω) = jω + α
→ F ( s) =
b). f 2 (t ) = δ(t ) → fungsi kausal dan dapat di - integrasi → F ( s ) = 1 → F (ω) = 1
[
]
c). f 3 (t ) = A e −αt sin β t u (t ) → fungsi kausal, dapat di - integrasi → F (s) = → F (ω) =
A (s + α) 2 + β 2 A
→ pole p = −α ± jβ (di kiri sumbu im)
( jω + α) + β 2
2
=
a α + β − ω 2 + j 2αω 2
CONTOH-11: Carilah f(t) dari F (ω) =
2
10 ( jω + 3)( jω + 4)
Penyelesaian : Jika kita ganti jω dengan s kita dapatkan F (s) =
10 ( s + 3)(s + 4)
Pole dari fungsi ini adalah p1 = −3 dan p2 = −4, keduanya di sebelah kiri sumbu imajiner. Sudaryatno Sudirham, “Deret dan Transformasi Fourier”
10/15
Darpublic
www.darpublic.com
F (s) =
k k 10 = 1 + 2 ( s + 3)(s + 4) s + 3 s + 4 → k1 =
10 s+4
s = −3
= 10 ; k 2 =
10 = −10 s + 3 s = −4
10 10 ⇒ F ( s) = − s+3 s+4
Transformasi balik dari F(ω) adalah :
[
]
f (t ) = 10 e −3t − 10 e −4t u (t )
Sifat-Sifat Transformasi Fourier Kelinieran. Seperti halnya transformasi Laplace, sifat utama transformasi Fourier adalah kelinieran.
[ [
]
[
]
: F f1 (t ) = F1 (ω) dan F f 2 (t ) = F2 (ω) maka : F Af1 (t ) + Bf 2 (t ) = AF1 (ω) + BF2 (ω)
Jika
]
(22)
CONTOH-12: Carilah transformasi Fourier dari v(t) = cosβt. Penyelesaian: Fungsi ini adalah non-kausal; oleh karena itu metoda transformasi Laplace tidak dapat di terapkan. Fungsi cosinus ini kita tuliskan dalam bentuk eksponensial.
[ ]
[
e jβ t + e − jβ t 1 1 jβ t + F e − jβt = Fe 2 2 2
F[cosβ t ] = F
]
Dari contoh-8 kita ketahui bahwa F e jωt = 2πδ(ω − β) Jadi F [cosβt ] = πδ(ω − β) + πδ(ω + β) Diferensiasi. Sifat ini dinyatakan sebagai berikut df (t ) = jωF (ω) dt
(23)
F Persamaan (15) menyatakan
1 ∞ F (ω) e jωt dω 2 π −∞ df (t ) d 1 ∞ 1 → = F (ω) e jωt dω = − ∞ dt dt 2π 2π ∞ 1 jωF (ω) e jωt dω = − ∞ 2π df ( t ) → F = jωF (ω) dt f (t ) =
∫
∫
∫−∞ dt (F (ω) e ∞
d
j ωt
)
dω
∫
Sudaryatno Sudirham, “Deret dan Transformasi Fourier”
11/15
Darpublic
www.darpublic.com
Integrasi. Sifat ini dinyatakan sebagai berikut:
F ∫
t
−∞
F (ω) f ( x)dx = + πF (0)δ(ω) jω
(24)
Suku kedua ruas kanan (24) merupakan komponen searah jika sekiranya ada. Faktor F(0) terkait dengan f(t); jika ω diganti dengan nol akan kita dapatkan ∞
∫−∞ f (t )dt
F ( 0) =
CONTOH-13: Carilah transformasi Fourier dari f(t) = Au(t). Penyelesaian: Metoda transformasi Laplace tidak dapat diterapkan untuk fungsi anak tangga. Dari contoh (10.b) kita dapatkan bahwa F[δ(t )] = 1 . Karena fungsi anak tangga adalah integral dari fungsi impuls, kita dapat menerapkan hbungan (24) tersebut di atas.
F[u (t )] = F ∫ δ( x)dx = t
−∞
1 + πδ(ω) jω
Pembalikan. Pembalikan suatu fungsi f(t) adalah mengganti t dengan −t. Jika kita membalikkan suatu fungsi, maka urutan kejadian dalam fungsi yang baru berlawanan dengan urutan kejadian pada fungsi semula. Transformsi Fourier dari fungsi yang dibalikkan sama dengan kebalikan dari transformasi Fourier fungsi semula. Secara formal hal ini dapat dituliskan sebagai Jika F [ f (t ) ] = F (ω)
maka
F [ f ( −t )] = F ( −ω)
(25)
Menurut (16) F [ f ( −t ) ] = ∫
∞
−∞
f (−t ) e − jωt dt
→ F[ f (−t )] = F[ f (τ)] = − =
−∞
∫∞ ∞
;
Misalkan − t = τ
f (τ) e jωτ dτ
∫−∞ f (τ) e
− jωτ
dτ = F (−ω)
Sifat pembalikan ini dapat kita manfaatkan untuk mencari transformasi Fourier dari fungsi signum dan fungsi eksponensial dua sisi. CONTOH-14: Carilah transformasi Fourier dari fungsi signum dan eksponensial dua sisi berikut ini. v(t) u(t)
1
v(t) e−α(−t) u(−t)
−u(−t)
0
1
e−αt u(t)
t −1
signum : sgn(t) = u(t) − u(−t)
00 eksponensial dua sisi : e−α| t | = e−αt u(t) + e−α(−t) u(−t)
Sudaryatno Sudirham, “Deret dan Transformasi Fourier”
t
12/15
Darpublic
www.darpublic.com
Penyelesaian : Contoh-13 memberikan F[u (t )] =
1 + πδ(ω) maka jω
F[sgn(t )] = F[u (t ) − u (−t )] =
[
]
Contoh-10.a memberikan F e −αt u (t ) =
[
] [
1 maka α + jω
F e −α|t| = F e −αt u (t ) + e − α ( −t ) u (−t ) =
2 jω
]
1 1 2α + = 2 α + jω α + j (−ω) α + ω 2
Komponen Nyata dan Imajiner dari F(ω). Pada umumnya transformasi Fourier dari f(t), yaitu F(ω), berupa fungsi kompleks yang dapat kita tuliskan sebagai F (ω) =
∞
∫−∞ f (t ) e
− j ωt
dt =
∞
∞
∫−∞ f (t ) cosωt dt − j ∫−∞ f (t ) sinωt dt
= A(ω) + jB (ω) = F (ω) e jθω
dengan A(ω) =
∞
∫−∞ f (t ) cos ωt dt
B(ω) = −
;
F (ω) = A 2 (ω) + B 2 (ω)
;
∞
∫−∞ f (t ) sin ωt dt
(26)
B(ω) θ(ω) = tan −1 A(ω)
(27)
Jika f(t) fungsi nyata, maka dari (26) dan (27) dapat kita simpulkan bahwa 1. Komponen riil dari F(ω) merupakan fungsi genap, karena A(−ω) = A(ω). 2. Komponen imajiner F(ω) merupakan fungsi ganjil, karena B(−ω) =− B(ω). 3. |F(ω)| merupakan fungsi genap, karena |F(−ω)| = |F(ω)|. 4. Sudut fasa θ(ω) merupakan fungsi ganjil, karena θ(−ω) =− θ(ω). 5. Kesimpulan (1) dan (2) mengakibatkan : kebalikan F(ω) adalah konjugat-nya, F(−ω) = A(ω) − jB(ω) = F*(ω) . 6. Kesimpulan (5) mengakibatkan : F(ω) × F(−ω) = F(ω) × F*(ω) = |F(ω)|2. 7. Jika f(t) fungsi genap, maka B(ω) = 0, yang berarti F(ω) riil. 8. Jika f(t) fungsi ganjil, maka A(ω) = 0, yang berarti F(ω) imajiner. Kesimetrisan. Sifat ini dinyatakan secara umum sebagai berikut. Jika F [ f (t ) ] = F (ω) maka F [F (t ) ] = 2 π f ( −ω)
(28)
Sifat ini dapat diturunkan dari formulasi transformasi balik. 2π f (t ) =
∞
∫−∞ F (ω) e
j ωt
dω → 2π f (−t ) =
∞
∫−∞ F (ω) e
Jika t dan ω dipertukarkan maka : 2π f (−ω) =
Sudaryatno Sudirham, “Deret dan Transformasi Fourier”
∞
− j ωt
dω
∫−∞ F (t ) e
− j ωt
dω
13/15
Darpublic
www.darpublic.com
Pergeseran Waktu. Sifat ini dinyatakan sebagai berikut. Jika F [ f (t ) ] = F (ω) maka F [ f (t − T )] = e − jωT F (ω)
(29)
Sifat ini mudah diturunkan dari definisinya. Pergeseran Frekuensi. Sifat ini dinyatakan sebagai berikut. Jika F − 1 [F (ω)] = f (t ) maka F −1 [F (ω − β)] = e jβt f (t )
(30)
Sifat ini juga mudah diturunkan dari definisinya. Penskalaan. Sifat ini dinyatakan sebagai berikut. Jika F[ f (t )] = F (ω) maka F[ f (at )] =
1 ω F |a| a
(31)
Ringkasan Tabel-1 berikut ini memuat pasangan transformasi Fourier sedangkan sifat-sifat transformasi Fourier termuat dalam Tabel-2. Tabel-1. Pasangan transformasi Fourier. Sinyal Impuls Sinyal searah (konstan) Fungsi anak tangga Signum Exponensial (kausal)
f(t)
F(ω)
δ(t)
1
1
2π δ(ω)
u(t)
1 + πδ(ω) jω
sgn(t)
2 jω
(e )u (t )
1 α + jω
− αt
2α
Eksponensial (dua sisi)
e − α |t|
Eksponensial kompleks
e jβt
2 π δ( ω − β)
Cosinus
cosβt
π [δ(ω − β) + δ(ω + β)]
Sinus
sinβt
− jπ [δ(ω − β) − δ(ω + β) ]
α + ω2 2
Sudaryatno Sudirham, “Deret dan Transformasi Fourier”
14/15
Darpublic
www.darpublic.com
Tabel-2. Sifat-sifat transformasi Fourier. Sifat
Kawasan Waktu
Kawasan Frekuensi
f(t)
F(ω)
A f1(t) + B f2(t)
AF1(ω) + BF2(ω)
df (t ) dt
jωF(ω)
Integrasi
∫−∞ f ( x)dx
F (ω) + π F (0) δ(ω) jω
Kebalikan
f (−t)
F(−ω)
Simetri
F (t)
2π f (−ω)
Pergeseran waktu
f (t − T)
e − jωT F (ω)
Pergeseran frekuensi
e j β t f (t)
F(ω − β)
Penskalaan
|a| f (at)
ω F a
Sinyal Kelinieran Diferensiasi t
Sudaryatno Sudirham, “Deret dan Transformasi Fourier”
15/15
