Identidades Trigonométricas Identidades Trigonométricas: Es una igualdad que relaciona funciones trigonométricas de uno o más arcos, que se verifica para cualquier valor que se asigne a estos arcos y que no figuren logaritmos ni exponenciales. 1.Identidades Pitagoricas. 1.1. Sen 2 Cos 2 1 ; de donde: 1.2. Sen 2 1 Cos 2 Sen 1 Cos 2 1.3. Cos 2 1 Sen 2 Cos 1 Sen 2 1.4. 1 Tg 2 Sec 2 ; 1.5. 1 Ctg 2 Csc 2
5.Identidades Auxiliares. 5.1.Sen 3 x Cos 3 x Senx Cosx1 Senx.Cosx 5.2.Sen 4 x Cos 4 x 1 2 Sen 2 x.Cos 2 x 5.3.Sen 6 x Cos 6 x 1 3Sen 2 x.Cos 2 x 5.4.Sen 8 x Cos 8 x 1 4 Sen 2 x.Cos 2 x 2 Sen 4 x.Cos 4 x 5.5.Sen10 x Cos 10 x 1 5Sen 2 x.Cos 2 x 5 Sen 4 x.Cos 4 x 5.6.Sen 12 x Cos 12 x 1 6 Sen 2 x.Cos 2 x 9 Sen 4 x.Cos 4 x 2 Sen 6 x.Cos 6 x 5.7.Sen 14 x Cos 14 x 1 7 Sen 2 x.Cos 2 x 14Sen 4 x.Cos 4 x 7 Sen 6 x.Cos 6 x
5.8.Tgx Ctgx Secx.Cscx
5.9.Sec 2 x Csc 2 x Sec 2 x.Csc 2 x 4 4 2 5.10.Sen x Cos x 2 Sen x 1 Senx 1 Cosx 5.11. Senx 1 Cosx 5.12.
5.20.1 Senx Cosx 21 Senx1 Cosx 4 4 2 2 5.21.Csc x Ctg x 1 2Csc xCtg x 6 6 2 2 5.22.Csc x Ctg x 1 3Csc xCtg x
5.23..Sec 8 x Tg 8 x 1 4 Sec 2 xTg 2 x 2 Sec 4 x.Tg 4 x 5.24..Csc 8 x Ctg 8 x 1 4Csc 2 xCtg 2 x 2Csc 4 x.Ctg 4 x
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Consideraciones para Resolver Problemas con Identidades 1. Verificación de Identidades: 1.1. Para demostrar identidades será necesario trabajar sólo con uno de los miembros, de preferencia el más complejo. 1.2. Transformar el miembro escogido en términos de Seno y Coseno. 1.3.Hacer uso de productos notables algebraicos. 1.4.Cuando haya términos repetidos, puede ser útil ú til factorizar. factorizar. 1.5.Si hubiera productos indicados, desarrollarlos y simplificar simplificar hasta ha sta donde sea posible. 1.6.Hacer uso de identidades fundamentales y auxiliares. 2. Problemas de Simplificación: 2.1.En este tipo de aplicaciones de lo que se trata es de reducir al máximo la expresión con ayuda de las identidades iden tidades fundamentales o las auxiliares. 2.2.Aplicar lo aprendido en las la s demostraciones demostraciones anteriores. an teriores. 3. Problemas Condicionales: 3.1.Dada una condición, de lo que se trata ahora es de calcular o de reducir una expresión trigonométrica específica. 3.2.Para este tipo de problemas, se puede trabajar indistintamente con el dato, así como con la expresión a determinarse. 3.3.También se puede expresar la ecuación condicional en términos de la ecuación que se uiere hallar o viceversa. 4. Eliminación de Ángulos: 4.1. Cuando se Elimina un solo Arco: En este caso se necesit ne cesitan an dos condiciones y como é stas son ecuaciones trigonométricas, de cada condición se obtiene una función trigonométrica que junto con los valores que estas generan, se reemplazan en la identidad fundamental más conveniente. Si se tuviese que trabajar simultáneamente con ambas condiciones, expresarlas en términos de Seno y Coseno para realizar luego con ellas la operación más conveniente, de tal manera que se elimine el arco que permita hallar una función trigonométrica que junto con los valores que de ésta se calculen, sean reemplazados en una de dichas condiciones. 4.2. Cuando se Eliminan dos Arcos: En este caso se necesitan tres condiciones, tales que se relacionen dichos arcos. De la combinación de dos de ellas, se trata en lo posible de calcular las funciones trigonométricas de dichos arcos, los cuales se reemplazan adecuadamente en la tercera condición. Recordar que para eliminar arcos, se necesita siempre una condición más que el número de arcos a eliminarse. Eliminar ángulos implica, determinar una relación algebraica independiente de toda función trigonométrica, que se obtiene a partir p artir de las relaciones dadas.
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Suma y Diferencia de ngulos 1.Suma y Diferencia de Ángulos: Cuando un ángulo está formado por la suma algebraica de dos o más se denomina den omina ángulo compuesto; así A + B o A – B 2.Fórmulas Fundamentales: 2.1. Sen(x y) =Sen x .Cos y Cos x .Sen y 2.2. Cos(x y) = Cos x .Cos .Co s y Sen x .Sen y Tgx Tgy 2.3. Tg ( x y ) 1 Tgx.Tgy
2.4. Ctg ( x y )
Ctgx.Ctgy 1 Ctgy Ctgx
3.Fórmulas Auxiliares: 3.1. Sen(x +y).Sen(x – y) = Sen 2x – Sen 2y = Cos 2y – Cos 2x 3.2. Cos(x +y).Cos(x +y).Cos(x – y) = Cos 2x – Sen 2y = Cos 2y – Sen 2x 3.3. Sen(x +y).Cos(x – y) = Sen x .Cos x + Sen y .Cos y 3.4. Sen(x – y).Cos(x +y) = Sen x .Cos x – Sen y .Cos y Sen( x y ) Tgx Tgy 3.5. Sen ( x y ) Tgx Tgy Cos ( x y ) 1 Tgx.Tgy 3.6. Cos ( x y ) 1 Tgx.Tgy 3.7. Tg ( x y ) 3.8. Tg ( x y ) 3.9. Tgx Tgy
Sen2 x Sen2 y Senx.Cosx Seny.Cosy 2 2 Sen x Sen y Senx.Cosx Seny.Cosy Sen( x y )
Cosx.Cosy Sen( y x ) 3.10. Ctgx Ctgy Senx.Seny
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Suma y Diferencia de ngulos
1. Fórmulas Auxiliares: 1.1. Ctgx Tgy
Cos ( x y) Senx.Cosy
; 1.2. Ctgx Tgy
Cos ( x y ) Senx.Cosy
1.3. Tg(x y) Tgx Tgy Tgx.Tgy.Tg(x y) 1.4. Senx Cosx 2 .Sen( x 45) 1.5. 3.Senx Cosx 2.Sen( x 30) 1.6. Senx 3.Cosx 2.Sen( x 60) 1.7. Sen(x+y+z)=Senx.Cosy.Cosz+Seny.Cosx.Cosz+Senz.Cosx. Sen(x+y+z)=Senx.Cosy.Cosz+Seny.Cosx.Cosz+Senz.Cosx.Cosy–Senx.Sen Cosy–Senx.Sen y .Sen z 1.8. Cos(x+y+z)=Cosx.Cosy.Cosz–Cosx.Seny.Senz–Cosy Cos(x+y+z)=Cosx.Cosy.Cosz–Cosx.Seny.Senz–Cosy.Senx.Senz–Cos .Senx.Senz–Cos z .Sen x .Sen y 1.9. Sen(x + y + z) = Cos x .Cos y .Cos z (Tg x + Tg y + Tg z – Tg x .Tg y .Tg z) z) 1.10. Cos(x + y + z) = Sen x .Sen y .Sen .Sen z (Ctg x .Ctg y .tg .tg z – CTg x – Ctg y – Ctg z)
2.Fórmulas Adicionales: 2.1.. Si: A = a Sen x + b Cos x;x; a b R, x es variable, se se cumple: 2 2 2 2 Amáx = a b Amín = a b También: a Sen x + b Cos x = a2 b2 Sen(x + ) donde: Sen
b a b 2
2
Cos
2.2. Si x + y + z = 180° 2.2.1. Tg x + Tg y + Tg z = Tg x . Tg y .Tg z 2.2.2. Ctg x .Ctg y + Ctg y .Ctg z + Ctg x .Ctg z = 1 2.3. Si x + y + z = 90° 2.3.1. Tg x .Tg y + Tg y . Tg z + Tg x .Tg z = 1 2.3.2. Ctg x + Ctg y + Ctg z = Ctg x .Ctg y .Ctg z 2.4. Funciones Trigonométricas de Ángulos Ángu los Negativos 2.4.1. Sen (–x) = –Sen (x) Ctg (–x) = –Ctg (x) 2.4.2. Cos (–x) = Cos (x) Sec (–x) = Sec (x) 2.4.3. Tg (–x) = –Tg (x) (x) Csc (–x) = –Csc (x)
2.Relaciones Auxiliares: Relacionando “Tg2” con un triángulo rectángulo obtenemos: 2
1 + Tg
2Tg 2T g 2
1 - Tg
a).Sen2
2Tg 1 Tg 2
; b).Cos2
1 Tg 2 1 Tg 2
c). 8 Sen4 x = 3 – 4 Cos 2x + Cos 4x ; d). 8 Cos4 x = 3 + 4 Cos 2x + Cos 4x 3 Cos 4 x 5 3Cos 4 x e). Sen 4 x Cos 4 x ; f). Sen 6 x Cos 6 x 4
8
g). Ctg x + Tg x = 2 Csc 2x ; h). Ctg x – Tg x = 2 Ctg 2x i). Tg x = Csc 2x – Ctg 2x ; j). Ctg x = Csc 2x + Ctg 2x 3.Observaciones: 3.1. Primera: n Cos Cos 2 Cos 4 ...Cos 2
3.2. Segunda: 3.2.1.Sen Cos 4
3.3. Tercera:
4
3 Cos 4
Tg Ctg 2Csc 2
4
Sen 2 (
2
( n 1)
n 1)
Sen
;3.2.2.Sen Cos 6
Ctg Tg 2Ctg 2
6
5 3 Cos4 8
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Funciones Trigonométricas Trigonométricas del ngulo Triple 1.Funciones Trigonómetricas Trigonómetricas del Ángulo Triple: Triple: 1). Sen3 x 3Senx 4 Sen x 3
2). Cos3 x 4Cos x 3Cosx 3
3). Tg 3 x
3 3Tg x Tg x
1 3Tg 2 x Ctg x 3 Ctg x 3
4) Ctg 3 x
3 Ctg 2 x 1
2.Relaciones Auxiliares: 1). Sen3 x Senx(2Cos 2 x 1) 2). Cos3 x Cosx( 2Cos 2 x 1)
2 Cos 2 x 1 Cos x 2 2 1
3) Tg 3 x Tgx.
4). Sen3 x 4Senx.Sen(60º x ).Sen(60º x ) 5). Cos3 x 4Cosx.Cos(60º x ).Cos(60º x ) 6). Tg 3 x
Tgx.Tg (60º x).Tg (60º x)
7). Ctg 3 x Ctgx.Ctg (60º x).Ctg (60º x)
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Funciones Trigonométricas Trigonométricas del ngulo Triple 1.Funciones Trigonómetricas Trigonómetricas del Ángulo Triple: Triple: 1) Sen
3) Tg
x
1 Cosx
2
x
2
2
1 Cosx 1 Cosx
1) 1 Cosx 2Sen
4) Ctg 7) Ctg
x 2 x 2
2
x 2
Cscx Ctgx =
1 Cos x
; 2) Cos
; 4) Ctg
x 2 x
2 1 Cosx
1 Cosx
2
; 2) 1 Cosx 2Cos
; 5) Tg
x 2
; 8) Ctg
Sen x
1 Cosx
=
x 2
2
x
; 3) Tg
2
1 Cos x
; 6) Tg
Sen x =
x 2
Cscx Ctgx
x 2
=
Sen x 1 Cos x
Sen x 1 Cos x
2.Relaciones Auxiliares: 1) Sen
x 2
+ Cos
x 2
=
1 Sen x
; 2) Sen
x 2
– Cos
x 2
=
1 Sen x
x π 2 2 Cosx ; Para x 0 ; = 2 2 2 n 2 2 x π 4) 2Cos n = 2 2 2 2 2 Cos x ; Para x 0 ; 2 2 3) 2 Sen
Transformaciones Trigonométricas 1.Transformaciones de Suma o Diferencia a Producto (A>B). Existe la necesidad de convertir expresiones en factores, con la finalidad de simplificar ecuaciones algebraicas. Para ello deberán utilizarse procedimientos algebraicos de la factorización a las funciones trigonométricas. También es conveniente deducir las conversiones de productos en sumas o diferencias, pues muchas veces se tendrá que reagrupar términos par volverlos a factoriz fa ctorizar. ar. 2.Relaciones Fundamentales: A B A B .Cos 2 2 A B A B SenA SenB 2Cos .Sen 2 2 A B A B CosA CosB 2Cos .Cos 2 2 A B A B CosA CosB 2Sen .Sen 2 2
1). SenA SenB 2Sen
3.Transformaciones de Producto Producto a Suma o Diferencia (A>B). 1. 2SenA.CosB Sen A B Sen A B 2. 2SenB.CosA Sen A B Sen A B 3. 2CosA.CosB Cos A B Cos A B 4. - 2SenA.SenB Cos A B Cos A B 5. TgA TgB 6. TgA TgB 7. TgA TgB 8. TgA TgB
SenA CosA SenA
SenB CosB SenB
CosA CosB SenA.CosB CosA.SenB CosA.CosB SenA.CosB CosA.SenB
CosA.CosB Sen A B Sen A B 9. TgA TgB ;10.TgA TgB CosA.CosB CosA.CosB
