Hydraulique_Canalisations

CHAPITRE I

HYDRAULIQUE des CA NALISATIO NS. Ecoulement de fluides visqueux dans les conduites Edition 2005 DEME Moussa, Dépt. IT, INP-HB

Mécanique des Fluides Appliquée – Ecoulements en charge dans les canalisations

________________________________________________________________________________

MOTIVATIONS Le chapitre est consacré à l’examen des écoulements des fluides dans les conduites en tenant compte de la variété des vitesses d’écoulement, de la variété des types de fluides notamment les viscosités, et la variété des formes de conduites ou canalisations dans lesquelles ces écoulements ont lieu. Les applications dans le domaine des sciences de l’ingénieur sont nombreuses. L’exposé fera appel à des préréquis théoriques modérés et une grande contribution des résultats expérimentaux. Le problème fondamental qu’il faut résoudre est schématiquement le suivant : •

Connaissant la géométrie d’une conduite ainsi que les caractéristiques des accessoires connexes comme les vannes, les coudes et les éventuels diffuseurs, de même que la demande en débit ainsi que les propriétés du fluide, quelle chute de pression (motrice) est-il nécessaire pour assurer l’écoulement ?

•

De manière alternative, le problème peut aussi se poser sous la forme suivante : Pour une chute de pression imposée, quel débit sommes-nous capable d’assurer ?

•

Faisant usage d’une pompe, et connaissant la charge et la variation de pression qu’elle est susceptible de fournir, quel débit peut-on assurer ?

Dans ce chapitre, les corrélations entre les différents paramètres en cause sont examinées brièvement afin de fournir des éléments de réponses. Les équations régissant la dynamique des fluides (conservation de masse et de quantité de mouvement, équations de l’énergie, 1 er et 2 ème principes, etc., Voir chap. 3, Cours de Mécanique des fluides théorique) constituent la base de l’analyse. Le modèle mathématique qui en résulte n’a pas de solution analytique générale. Quand c’est le cas, écoulement en conduite ou entre deux plaques par exemple, l’expérience montre que les solutions analytiques obtenues diffèrent des résultats expérimentaux selon les conditions d’écoulements, notamment l’importance de la vitesse, du fait notamment d’instabilités et d'agitations associées aux écoulements turbulents non explicitement mises en évidence dans le modèle mathématique de base (équations de Navier-Stokes). On observe en particulier que l’apparition de la turbulence provoque à la fois un changement de la structure et des propriétés des écoulements. Certes, des modèles mathématiques très élaborés existent pour en rendre compte, mais ils compliquent davantage les méthodes de résolution qui deviennent souvent numériques et font en cela appel à des ordinateurs. Seule l’approche intégrale (concept de volume de contrôle) complétée par l’expérimentation sera appliquée dans ce qui suit pour répondre aux questions sus évoquées. Nous aborderons très sommairement la présentation de la turbulence dans les conduites et les écoulements sur ou entre plaques planes, son traitement, ainsi que l’examen de quelques résultats relatifs à la structure de l’écoulement et leurs applications à l’évaluation des pertes de charge dont la connaissance permet d’accéder aux variations de pression dans les écoulements.

1

DEME Moussa, Dépt. IT, INP-HB


________________________________________________________________________________

1.1 L’expérience de Reynolds.  Les faits :  Reynolds montre expérimentalement (figures 1.1–1.3) que les écoulements changent de structures et de propriétés selon la valeur du nombre de Reynolds. En particulier, lorsque le nombre de Reynolds est faible, on observe un écoulement permanent et calme, dit laminaire, s’effectuant sous forme de lames. Des poches fluctuantes apparaissent dans l’écoulement lorsque les nombres de Reynolds sont plus élevés (mais modérés) et l’on a une phase de transition. L’écoulement devient complètement agité, voire chaotique pour des nombres de Reynolds sont plus importants : c’est la turbulence.

Figure 1.1 Schématisation de l’expérience de Reynolds

Figure 1.2 : Comportement d’un filet de colorant : pour (a) l’écoulement laminaire, (b) l’écoulement de transition, (c) l’écoulement turbulent

Figure 1.3 Comportement d’une composante de la vitesse en un point : (a) écoulement laminaire, (b) écoulement de transition avec fluctuations sporadiques, (c) écoulement turbulent avec agitations aléatoires.

Figure 1 : Expérience de Reynolds

2



________________________________________________________________________________

1.2

Valeurs caractéristiques du nombre de Reynolds.

 L’analyse dimensionnelle et la théorie de la similitude permettent de montrer que le nombre de Reynolds exprime le rapport entre les forces de viscosité et les forces d’inertie, par volume unitaire. A partir des équations de la dynamique des fluides, on peut vérifier que : -

Les termes des forces d’inertie sont proportionnels à :

Uc2 Lc

-

Les termes des forces de viscosité sont proportionnels à :

Uc Lc2





où  et , respectivement la masse volumique et la viscosité dynamique du fluide, sont des propriétés intrinsèques du fluide, alors que U c

et

Lc sont des échelles

représentatives de vitesse et de longueur, respectivement. Le nombre de Reynolds s’exprime par :

U  L Re  c c (1.a)  où le rapport  est la viscosité cinématique, une propriété intrinsèque du fluide. Pour les écoulements en conduites cylindriques, la définition la plus usuelle du nombre de Reynolds de l’écoulement s’effectue en utilisant la formulation suivante :

U  D Re   où U Q S est la vitesse moyenne d’écoulement et D le diamètre de la conduite.

(1.b)

 Les conditions d’apparition de la turbulence ont été étudiées avec beaucoup de soins, notamment les effets des conditions d’entrée dans les conduites, rugosités (aspérités), chocs, vibrations extérieures, etc., ainsi que les problèmes de stabilité et de transition d’écoulements laminaires à écoulements turbulents. Il en résulte que la turbulence doit être considérée comme un phénomène naturel et fréquent, qui engendre des comportements aléatoires voire chaotiques de l’écoulement, des modifications de la structure et des propriétés : vitesses, variations de pressions, forces, etc.  Il existe une valeur critique du nombre de Reynolds de transition à partir duquel un écoulement cesse d’être laminaire. Pour les conduites cylindriques, Reynolds propose :

Rec 2000 Dans la pratique, on admet que l’écoulement cesse d’être laminaire si le nombre de Reynolds devient supérieur à 2000. Il est considéré turbulent lorsque le nombre de Reynolds est supérieur à 4000. Toutefois, cette classification reste discutable. On admet dans la pratique la classification suivante : •

Re 2000 :

écoulement laminaire

•

2000 Re 4000 :

écoulement de transition

•

Re 4000 :

écoulement turbulent

3



________________________________________________________________________________

1.4

Traitement semi-empirique de la turbulence.

 Les équations de base de Navier-Stokes régissant le mouvement des fluides s’écrivent, pour un fluide incompressible : u

v w   0 x y z

Continuité :



dV

Quantité de mouvement :

dt



(2) 

p g V

(3)

 Ces équations sont à priori valables aussi bien pour les écoulements laminaires que turbulents. Les solutions fournies par la résolution de ces équations sont conformes aux observations expérimentales lorsque l’écoulement est laminaire. Les écarts entre les solutions de ce modèle et les observations sont significatifs lorsque l’écoulement est turbulent. Aussi, est-il apparu nécessaire d’effectuer un traitement particulier mettant en évidence explicitement les contributions spécifiques de la turbulence.

 Décomposition de Reynolds.  En écoulements turbulents, chacune des composantes de la vitesse tout comme la pression, fluctue de manière aléatoire autour d’une valeur moyenne. Reynolds met en évidence les fluctuations en décomposant les valeurs instantanées des variables, vitesse et pression, en une composante « moyenne » et une composante fluctuante (voir figure 2). Les valeurs instantanées de vitesse et de pression sont alors exprimées sous la forme :

u u u' ,

v v v' ,

w w w' ,

p p p'

où les valeurs « moyennes » de vitesse et de pression sont définies par : 1 u  T

T

 0

u dt ,

1 v  T

T

 0

v dt ,

1 w  T

T

 0

w dt ,

1 p  T

T

p dt  0

T est une période d’intégration choisie suffisamment grande pour prendre en compte un grand nombre de fluctuations turbulentes mais qui doit rester suffisamment petite pour ne pas masquer les instationnarités naturelles du phénomène examiné (marée ou de phénomènes transitoires en conduites, par exemple ). Les composantes fluctuantes se déduisent ainsi par les expressions :

u' u u ,

v' v v ,

w' w w ,

p' p p

Figure 2 : Illustration des vitesses turbulentes, moyenne et fluctuante.

4



________________________________________________________________________________

 On peut vérifier que la moyenne des fluctuations est nulle. Les expériences montrent 

que la distribution des fluctuations de vitesses, V' , est quasi gaussienne. Par contre, la moyenne du carré des fluctuations n’est pas égale à zéro, par exemple, 1 u' 2  T

T

u' 2 dt 0  0

On utilise la racine carrée de la valeur quadratique moyenne pour caractériser l’intensité la turbulence : u' 2 ,

v' 2 ,

w' 2 ,

et

p' 2

Ce sont des valeurs efficaces, dites valeurs RMS ( Root Mean Square). En général, les produits des fluctuations, u' v' ou u' w' etc., ne seront pas non plus nuls dans un écoulement turbulent typique.



Equations dynamiques en écoulement turbulent.

 Dans le traitement des écoulements turbulent, on s’intéresse à l’évolution des valeurs « moyennées » au sens de Reynolds. Notons que les équations de Navier-Stokes sont générales, donc à priori applicables aussi bien aux écoulements laminaires que turbulents. Pour tenir compte des forces dues à la turbulence, Reynolds substitue les décompositions suivantes à la place des variables instantanées des équations de Navier-Stokes :

u u' u ,

v v' v ,

w w' w ,

p p' p

et en fait la moyenne. On obtient : u v w   0 x y z

Continuité :

(4)

Quantité de mouvement :        du p u u u     g x    u' 2   u' v'    u' w'   y  y     dt x x   x    z  z         dv p v v v     gy    v' u'   v' 2     v' w'   y  y  z  z  dt y x   x          dw p w    w   w   gz    w' u'    w' v'    w' 2     y   dt  z x  x  y  z  z    (5.a.b.c)

Les équations (5.a.b.c) ainsi obtenues, appelées équations de Reynolds, sont un modèle mathématique de l’évolution des grandeurs moyennées au sens de Reynolds.  L’équation de continuité est de la même forme qu’en écoulement laminaire. Par contre, des termes supplémentaires apparaissent dans l’équation de quantité de mouvement. Par exemple, selon x, il apparaît trois termes supplémentaires qui traduisent les corrélations entre les fluctuations turbulentes : u' ,  u' v' et  u' w' . Des termes analogues 2

apparaissent dans les directions transversale (y) et verticale (z) : Il s’agit de contraintes virtuelles générées par la turbulence et définies comme des contraintes turbulentes par Reynolds. 5



________________________________________________________________________________

 Les contraintes turbulentes, à priori inconnues, sont des propriétés de l’écoulement et de la géométrie particulière du domaine. Leur détermination fait l’objet des études de modélisation de la turbulence.  Dans le cas d’un écoulement purement à 3 dimensions, les contraintes turbulentes constituent un tenseur de 9 composantes, symétrique, si bien que ce sont 6 inconnues supplémentaires qui interviennent dans les équations (5.a.b.c). Elles doivent être déterminées par des modélisations adéquates.  L’étude de la turbulence près des parois, par exemple, permet de mettre en évidence l’importance relative des contraintes laminaire et turbulence. On distingue 3 zones : -

la sous couche visqueuse où le cisaillement moléculaire est dominant,

-

la couche de transition où les contraintes turbulentes sont dominantes,

-

la zone externe où les 2 types de contrainte sont en compétition.

La contrainte résultante est la somme des contraintes laminaire et turbulente :

1.4 Ecoulement laminaire en conduite.  Rappelons dans ce qui suit quelques résultats de l’écoulement laminaire en conduite. Dans le cas d’un écoulement unidimensionnel en conduite, on peut établir (voir TD) que le gradient de pression est constant et négatif dans le sens de l’écoulement.

Figure 3 : Volume de contrôle pour un écoulement établi en conduite.

 Dans le cas d’une conduite (Figure 3), après simplifications, nous avons :

du 1   rK dr 2

d dp * K  p g z  Cte d x dx

avec

où p* est la pression motrice définie par,

p* p g z

La répartition de vitesse dans la section de conduite est alors donnée par :



1  d  2 u    p g z  R r 2  4 dx 



dp * 2  r 2  u  R  1   R2 4  

(6a,b) 6



________________________________________________________________________________

La vitesse maximale se situe à l’axe et s’exprime par :

R2  d  umax     p g z   4 dx 

* R 2 dp umax  4 dx

(7a,b)

Par intégration de la vitesse locale (équations 6a,b), nous déduisons l’expression du débit : 1 R 4  d R 4 dp *   Q  umax R 2    p   g z    8 dx 2 8   dx 

(8)

La vitesse moyenne se déduit par l’expression :

Q Q 1 U   2  u max S R 2

(9)

 La variation de la pression motrice entre 2 sections distantes de L dans le cas particulier où la conduite serait horizontale, c’est-à-dire z 0 , est : 8LQ p  R 2

(10)

Cette expression a été établie expérimentalement par HAGEN. •

L’équation généralisée de Bernouilli entre deux sections 1 et 2 de la conduite, distantes d’une longueur L, s’écrit :

U 12 p1 U2 p  z 1 2 2  2 z2 hr (11.a) 2g g 2 g g où hr est la perte de charge par frottement (perte d’énergie par unité de poids) sur l’élément de longueur L. Nous en déduisons : 1

p hr z  g

ou

p * hr  g

(11b,c)

En conclusion, la perte de charge détermine la variation de pression dans une conduite. Il est donc important de pouvoir exprimer la perte de charge.

 Relation entre perte de charge et contrainte de cisaillement : •

Appliquons le théorème d’Euler au volume de contrôle délimité par 2 sections d’entrée et sortie, distantes de L , et la surface latérale du tronçon de conduite. Les forces qui interviennent sont la force de pression, la force de gravité (poids) et la force de frottement du fluide sur les parois. Nous avons :

 

p R 2 g R 2  L sin  2R   L  Q   U 1 U2 0 w 

où w est la contrainte de frottement exercée par le fluide sur la paroi. On en déduit une relation explicite entre la perte de charge hr et la contrainte de frottement sur la paroi :

p 2 L z  hr  w g g R

(11.d)

où nous avons posé z L sin (voir figure 3).

7



________________________________________________________________________________



Expression de la contrainte de cisaillement ? 1 p gz  w  R 2 L du La contrainte de cisaillement entre les couches de fluides est (voir TD) :  dr

Nous déduisons de (11.d) que :

La contrainte de cisaillement à la paroi est alors :

du  w  dr

r R

2u max dp * 1 d 1   R  p g z  R  R 2 dx 2 dx

 Coefficient de frottement :  On exprime la perte de charge sous la forme :

U2 L hr   2g D

(12.a)

qui est la formule de Darcy-Weisbach. Le coefficient  est appelé coefficient de frottement ou coefficient de perte de charge.  Les résultats précédents fournissent l’expression du coefficient de frottement ou coefficient de perte de charge, établie par Darcy en écoulement laminaire : 8 64   w2   UD U

64  Re

soit

(12.b)

Les expériences montrent que les solutions ainsi établies (profil de vitesse parabolique, perte de charge, etc.) ne sont valables que si l’écoulement est laminaire.

1.5 Ecoulements turbulents entre 2 plaques ou en conduite. 

Interprétation des tensions (ou contraintes) de Reynolds.

 Considérons maintenant un écoulement turbulent. L’application du principe fondamental de la dynamique permet d’écrire les équations de bilan de la quantité de mouvement sous la forme suivante : yx  du p    gx  xx   zx dt  x x y  z xy yy zy dv p   g y    (13.a,b,c) dt y  x y  z  dw p   yz   gz  xz   zz dt  z  x y  z  En écoulement laminaire, les contraintes moléculaires visqueuses s’expriment par :  u xx 2 x

 v  yy 2 y

 u  v   u  w   ,    xy yx       xz zx   z x  y x   Ce qui conduit aux équations de Navier-Stokes.

 w  zz 2 z

  v  w , yz       zy  z y  

    8



________________________________________________________________________________

Lorsque l’écoulement est turbulent, une comparaison des équations de la quantité de mouvement (équations 5.a,b,c et 13.a,b,c) conduit, pour les contraintes, à :



 u  u' 2 , xx 2 x

 v yy 2 v' 2 , y

 u  v    xy  yx  y x u' v' ,    v  w   yz  zy  z y w' v'  

 w  w' 2 zz 2 z

 u  w    xz  zx   u' w'  z x 

où l’on a supposé, par hypothèse, que :

u' v' v' u' ,

u' w' w' u' ,

v' w' w' v'

 Par analogie, les corrélations entre les fluctuations des composantes de la vitesse locale sont interprétées comme de contraintes générées par le mouvement d’agitation turbulent : ce sont les contraintes turbulentes ou tensions de Reynolds. Ainsi, en écoulements turbulents, la contrainte locale est la somme de la contrainte due au cisaillement moléculaire visqueux et celle due à la turbulence (tension de Reynolds).  Rappelons que les contraintes turbulentes ou tensions de Reynolds sont inconnues, donc 6 inconnues au total ; ce qui pose un problème de modélisation pour la fermeture des équations des valeurs moyennées au sens de Reynolds.



Ecoulement unidimensionnel entre deux plaques planes.

• Tensions de Reynolds :  Considérons un écoulement turbulent unidimensionnel selon la direction x, entre deux 

plaques planes, et uniforme en moyenne, V  u ,0,0 .

Figure 4 ; Ecoulement entre 2 plaques

L’équation dynamique s’écrit : - direction x : 1 p 1  0     zx x z -

direction z :

Posons :

1 p 1  zz 0    z  z

pT p  w' w' ,



avec,

 u  u' w' zx  z

(14 a,b)



avec,

 w' w' zz 

(15 a,b)

alors,

pT 0 z

et

p pT dp   T x x dx

car w' w' est indépendant de x et donc, nous avons :  du 1 pT d      u ' w '   x dz  dz  9



________________________________________________________________________________

Le premier membre ne dépend que de x, alors que le second ne dépend que de z. Il en découle que leur égalité signifie qu’ils sont constants. Par intégration par rapport à z, nous obtenons la contrainte de cisaillement totale,  u u  u' w'   u' w' zx  T  z  z

qui varie linéairement entre sa valeur à la paroi et sa valeur au centre (écoulement entre 2 plaques ou dans une conduite) où elle s’annule. Pour un écoulement entre 2 plaques planes parallèles distantes de 2e, on aura :

 

  T  w 1z   e

(16)

 Rappelons que la contrainte de cisaillement est la somme de la contrainte de cisaillement visqueux et du cisaillement turbulent (tension de Reynolds) ; ce qui s’écrit :

 zx  lam  T  turb  u  , lam   z

avec

(17),  u' w' turb 

 L’importance relative des contraintes de Reynolds,

 u' w' , dépend de la turb 

configuration de l’écoulement particulier examiné. Pour les écoulements sur une plaque plane, l’influence des contraintes turbulentes se limite à une région d’épaisseur , appelée couche limite. -

Très près de la paroi, les effets moléculaires sont dominants et u' w'  0 , du fait de l’amortissement (blocage) des fluctuations verticales par la paroi : u zx  0 z

-

Au fur et à mesure que l’on s’éloigne progressivement de la paroi, les contraintes turbulentes prennent de l’importance et l’on a :  u  u' w' zx  z

-

Loin de la paroi, les contraintes turbulentes deviennent prépondérantes et, zx 0 u' w'

-

Il existe une zone où la contrainte totale de cisaillement est à peu près constante. Cette zone, appelée zone intérieure où zone à contrainte de cisaillement constante, est délimitée par : z 0.15 où z est la distance de la particule fluide considérée mesurée par rapport la paroi.

-

La contrainte totale de cisaillement a sa valeur maximale près de la paroi, zx w 0 , et une valeur minimale l’extérieur de la couche limite. La distribution de

zx est quasiment linéaire : zx w  1 z 

avec,

0. 15  z 1

(18)

10



________________________________________________________________________________ • Distribution universelle de vitesse : 1. Longueur de mélange Hypothèse de Boussinesq :

 A l’instar de la contrainte de cisaillement moléculaire, le cisaillement turbulent est supposé, en première approximation, proportionnel au gradient des vitesses moyennées (loi phénoménologique de type gradient) : u  u  u' w'  soit encore,  (19) t  t t u' w'  t  z z Les coefficients t

et  t

sont interprétés comme des viscosités turbulentes,

dynamique et cinématique, respectivement. Contrairement à la viscosité moléculaire, ces coefficients ne sont pas des propriétés du fluide mais dépendent plutôt de l’écoulement.. Longueur de mélange :

 En faisant une analogie avec les résultats de la théorie cinétique des gaz, Prandtl considère qu’une certaine masse de fluide (les tourbillons) qui se déplace, conserve sa vitesse – c’est-à-dire son identité - sur une certaine longueur l, appelée longueur de mélange, tout en transférant sa quantité de mouvement. Soit u  z 1 la composante horizontale de la vitesse d’une masse (particule) de fluide située à une distance z1 de la paroi. Cette masse de fluide peut être déplacée verticalement à la distance l de z1, sous l’influence des fluctuations verticales de vitesse w’, normales à l’écoulement. La vitesse de cette masse de fluide devient alors u z1 l ou u  z1 l .

Figure 5 : Illustration de la longueur de mélange

La variation absolue de vitesse induite peut être obtenue en appliquant un développement de Taylor au premier ordre. Par exemple :  u u u  z1 u  z1 l l  z l Prandtl suppose que la variation de vitesse est du même ordre que la fluctuation de vitesse horizontale u’ et écrit :  du u' l  dz     l

En outre, il admet que u’ et w’ sont du même ordre, u'  w' . On en déduit que :  u' w'  l2 t 

u u  z z

(20)

11

DEME Moussa, Département. IT, INP-HB


________________________________________________________________________________ Ce qui revient à écrire (voir équation 19) que : u' w' t

 u

,

z

avec

t  l2

u  z

(21)

La quantité  t , coefficient de mélange, selon Boussinesq est définie comme une « viscosité cinématique turbulente ».

 Il reste à exprimer la longueur de mélange introduite par Prandtl (1925). L’expérience montre que la longueur de mélange est de l’ordre du dixième de la distance , normale à l’écoulement, sur laquelle sur la vitesse moyenne présente 99% de variation. Pour les écoulements en canal ou en conduite, la taille des tourbillons est limitée par la distance, notée z, de la paroi. La longueur de mélange n’est pas constante et l’on admet qu’elle est proportionnelle à la distance à la paroi et l’on écrit :

l z

(22)

où 0,41 est la constante universelle de Karmann. 2. Distribution universelle de vitesse  Prandtl admet que la contrainte (tension) de cisaillement est constante à travers tout l’écoulement – ce qui n’est pas juste – et qu’elle est égale à la valeur à la paroi,  zx  w  0 . Nous avons alors : 2

u    zx 0 u' w'  2  z2 z   

Par séparation des variables, il vient :

du 

 0 d z

Ce qui fournit, après intégration :

où,



z

u 1  ln  z C u* 

(23)

u*  0 

(24)

est appelée vitesse de frottement. La distribution de vitesse est donc logarithmique. 3. Profils de vitesse dans les différentes zones :  La vitesse de frottement définie par,   u u*2  0   z

z 0

permet d’exprimer la vitesse sous forme adimensionnelle, ainsi que les distances en utilisant comme échelle de longueur le rapport u* :

u u  , u*

z  u* z  

(24)

L’expérience montre que la forme de la loi du profil de vitesse ainsi que la constante d’intégration C dépendent en fait de la distance par rapport à la paroi. En ce qui concerne les écoulements sur une plaque plane, on peut distinguer 3 zones particulières :

12



________________________________________________________________________________ •

La sous-couche visqueuse ( 0 

z u*



8 )

Très près de la paroi, pour z  0 , l z  0 et le gradient de vitesse reste fini. Dans cette zone, le cisaillement moléculaire prédomine :  u  u 0  0   zx   z z

z  u* u  u* 

et l’on déduit :

•

ou

u  z 

(25)

Le profil de vitesse est linéaire dans cette zone. L’expérience montre que l’épaisseur de cette sous-couche visqueuse est :  L 8 u* z u* e u* La zone à profil de vitesse turbulente logarithmique ( 30  0,2 ):   Dans cette zone, les effets visqueux sont négligeables devant la turbulence, mais l’on z u* e u* reste dans le cas où la longueur de mélange croît linéairement tant que 0,2 ,   alors nous avons :  u  u  u' w'   u' w' zx  T  z  z   z  2  z   du  du T   0 1  u*  1   l 2      e  d z  dz  e  En négligeant les termes visqueux, il vient : du z 1    z  e dz

 

Ce qui donne (en notant que le second membre est peu différent de 1 pour 0 z  0,2 e ) la loi logarithmique du profil de vitesse :



1 u   ln z  C 

•

ou

u 1 u z   ln * C u*    

(26)

La zone centrale : La longueur de mélange peut être supposée à peu près constante, soit l 0,2  e . On a donc :

du z 0,2  e  u*  1  dz e Ceci s’intègre pour donner :

32 u 1  z  1    C u* 0,6  e 

(27)

En raccordant cette expression avec la loi logarithmique en z 0,2  e , on trouve que la constante d’intégration est :

e u* u max 1 0,2  C  11  ln   u* 0, 41  

   

(28)

13



________________________________________________________________________________ •

Profil de vitesse sur l’ensemble du conduit – Vitesse débitante et vitesse de frottement.

 La loi linéaire et la loi logarithmique coïncident à z  11 de sorte que le profil des vitesses peut être donné par une loi composite approchée (pas très précise dans la zone  8  z 30 ) : z u* u 0 z  11 u  z  soit  u*  u u z 1 u 1  11 z  0,2e * u  ln z  5,2 soit  ln * 5,2  0, 41 u* 0, 41   



z 0,2  1 e

32 e u* u u max u max 1 0,2   z  8,13  1   avec, 11  ln    u* u*  e u* 0, 41  

   

En intégrant ces lois sur toute la largeur, on obtient le débit et la vitesse débitante.

14



________________________________________________________________________________

Figure 6 :

Vérification du modèle de la longueur de mélange de Prandtl et de la l oi logarithmique des vitesses à partir des simulations du CTR-NASA/Stanford (Kim et Mansour, 1996 ; Kravchenko, Moin et Moser, 1996)- Source : VIOLLET et Al. Presses ENPC, 1998

15



________________________________________________________________________________

1.6 Ecoulements permanents dans les réseaux de tuyauteries.  On appelle conduite hydraulique une canalisation dans la laquelle l’écoulement est en charge, c’est-à-dire qui remplit toute la section du tuyau. Il n’y a pas de surface libre.  Un réseau de tuyauteries se compose en général d’un certain nombre de tronçons (des tuyauteries régulières), reliés par des jonctions, des coudes, des réservoirs, des appareils, des changements de sections, des robinets, des pompes, etc. Dans un tel réseau, les jonctions, coudes, etc., sont considérés comme des singularités que l’on traite séparément.

 Hypothèses des écoulements en conduite  En dehors des singularités que l’on peut rencontrer, on a affaire à des tronçons élémentaires de conduites caractérisés par leur élancement (le rapport L/D) qui est grand. Après une petite zone d’établissement à l’entrée (zone d’entrée), l’écoulement est similaire d’une section à l’autre et on peut négliger les composantes de vitesse perpendiculaires à la direction de l’écoulement (du moins leur valeur moyenne en cas d’écoulements turbulents).

 Ecoulement de Poiseuille. •

Comme exemple, nous considérons le cas d’un écoulement laminaire dans un tuyau de section circulaire où il est possible de résoudre analytiquement les équations de NavierStokes et dont les résultats ont été déjà présentés.

•

La pression est constante dans chaque section droite mais varie d’une section à l’autre. La vitesse, dans la direction x, a pour seule composante non nulle la composante axiale :

C r 2 D2  u x  r      16  4 

(29)

 CD 4 Q 128 

Le profil de vitesse est parabolique, et le débit total est :

* p*A  p*B 1 dp Le débit total est directement proportionnel au coefficient : C    dx L * où p est la pression motrice. Donc, le débit est proportionnel à la différence de

pression (motrice) entre l’entrée et la sortie du tuyau. La vitesse débitante (vitesse moyenne) vaut :

1 U  S

C D2 u  r  dS  32  



S

1



________________________________________________________________________________

1.6.1

Définitions de la charge.

 Charge en un point. •

La charge une grandeur définie en chaque point de l’écoulement. Elle représente l’énergie mécanique totale du fluide (énergie potentielle de gravité, énergie cinétique et énergie potentielle élastique). Les hydrauliciens l’expriment en unité de « hauteur d’eau » : p V2 H z   (30.a) 2g g mais elle est aussi souvent exprimée en unité de pression : ~

H p g  z gV 2 g  H

(30.b)

En supposant le fluide parfait, en écoulement permanent l’intégration des équations de Navier-Stokes le long d’une ligne de courant conduit au théorème de Bernouilli : la charge se conserve le long de chaque ligne de courant. Lorsque le fluide est visqueux en écoulement permanent, la charge ne se conserve plus et l’on écrit :

H A H B H

La quantité H est appelée « perte de charge ». Dans le cas général, son expression le long d’une ligne de courant, de longueur dl entre A et B, est : B

  H A H B   V  dl    A





où V est le laplacien du vecteur vitesse. On peut vérifier que pour les écoulements permanents en conduites, nous avons : *

*

H A H B  C L  p A p B En conséquence, entre les sections A et B, la perte de charge est la même pour toutes les lignes de courant, mais pas la charge qui varie d’une ligne de courant à l’autre.

1.6.2

Charges dans une conduite - Régime laminaire.

 Comme exemple, nous considérons le cas d’un écoulement laminaire dans un tuyau de section circulaire dont la section peut varier lentement. L’ensemble de la conduite est un tube de courant.

Dans chaque section, on peut monter que la pression motrice p*  p g z est une constante par intégration des équations de Navier-Stokes. Le long de chaque ligne de courant, on a : 1 1 *  *  p  r ,   u 2  r ,  p  p  r ,   u 2  r ,  H  r ,     B 2 2  A  B

2



________________________________________________________________________________  Soient A et B les aires des sections d’entrée et de sortie ; Calculons le flux (débit) d’énergie ou de charge (Voir Approche intégrale – Théorème de transport de Reynolds) : 1 2 * 1 2   u  u dS  p*   u  u dS   H   u dS p   2 2     A B B







où p* et H sont indépendants de la ligne de courant et peuvent sortir de l’intégration. Le terme de l’énergie cinétique fait apparaître le terme : 1  S

u3 dS 3 U S



(31)

qui dépend de la section et du profil de vitesse. La variation globale de la charge est alors :



 

1 H  p*A pB*  AUA2 B UB2 2



ou

p

H 

* A

p*B

g

 U

2 A A

B UB2



2g

On peut donc définir la charge totale qui passe par une section d’aire A par : * A

H A p

1  AU A2 ou 2

HA

p*A U A2  A g 2g

avec

1 u3 A  dA A U3 A



En écoulement laminaire, A 2 (voir TD). Pour l’écoulement turbulent il faudrait en toute rigueur faire l’intégration faisant intervenir l’expression du profil de vitesse.

1.6.3 Ecoulement turbulent- Equations du mouvement..  Ecoulement dans un canal plan infini.

En écoulement permanent établi unidimensionnel, les équations de Reynolds se simplifient : u x

0

* 2 u u' w' 1 p 0   2   x z z

v' w' 0  y * w' 2 1 p 0    z z

Posons, pT p*  w' 2 ; cette quantité que l’appelle pression dynamique est constante dans la direction z. A la paroi, la fluctuation de vitesse w’ est égale à zéro et la pression dynamique se réduit à la pression moyenne.

3



________________________________________________________________________________

 Cas d’une conduite cylindrique de section circulaire.

 On écrit les équations de Reynolds en coordonnées cylindriques (x, r, ). En écoulement permanent établi unidimensionnel, les équations de Reynolds s’écrivent : u x

Continuité :

x

0

Dynamique selon x :

* u' u' 1 p 1   u x  u'x u'r   0   r  x r   x r  r  r r  r 

Dynamique selon r :

* u' u' u' u' 1 p 0   r r  r r  r r r

Dynamique selon  :

u' u' u' u' 0   r   r r r

 La seconde équation dynamique ne s’intègre pas facilement et ne permet pas de définir, comme dans le cas d’un canal plan, une pression dynamique constante dans la section. Soit K le gradient de pression moyenne selon x. Les grandeurs moyennes étant *

1 p homogènes en , K   x , r ne dépend pas de . Dérivant la première et la  x

deuxième équation dynamique par rapport à x, en inversant l’ordre des dérivées, on fait apparaître des dérivées selon des grandeurs moyennes qui s’annulent par homogénéité selon x et l’on obtient   K  x   K  r 0 .

Le gradient de pression moyenne est constant dans chaque section, et c’est une constante dans tout le tronçon de conduite considéré.

•

Charge dans une conduite en régime turbulent.

•

En supposant que la pression moyenne peut être considérée comme constante dans une section, la charge moyenne dans la section est définie par : p* 1 U2 1 u3 H A pA*  AU A2 ou H A  A A A avec A  dA 2 g 2g A U3

 A

Rappelons qu’il y’a une grande différence entre le profil de vitesse en écoulement turbulent et celui trouvé en écoulement laminaire. A 1 pour l’écoulement turbulent.

Figure 7 : Comparaison des profils de vitesse donnant la même vitesse débitante dans une conduite circulaire.

4



________________________________________________________________________________

1.6.4

Estimation des pertes charge linéaires..

 Rayon hydraulique et diamètre hydraulique d’une conduite de section quelconque.  Quand la conduite est de section quelconque, il nécessaire de trouver une dimension caractéristique pour construire le nombre de Reynolds.

Figure 8 : Définition de la section mouillée et du périmètre mouillé

Soit S l’aire de la section de la conduite,  la portion du périmètre où s’exerce le frottement fluide-paroi, appelé périmètre mouillé. On définit le rayon hydraulique ( RH ) et le diamètre hydraulique (DH ) par les formules suivantes : S S RH  , DH 4RH 4   Lorsque la conduite est circulaire et de diamètre D,

S D 2 4 ,

RH D 4 ,

 D,

(30.a)

DH D .

Le nombre de Reynolds est alors défini par :

U  DH U  RH Re  4  

(30.b)

 Considérations d’analyse dimensionnelle.  L’analyse dimensionnelle et la théorie de la similitude permettent de montrer que la perte de charge en conduites entre deux sections peut être étudiée à partir des groupements sans dimension suivants (théorème des pi) :

U DH ,  On établit en particulier que :

U

U

2

2g

,



U DH DH      , L   2g  

H 2

H



DH L (31)

La fonction  est à priori inconnue, mais l’expérience peut nous renseigner sur sa forme. Les expériences ont permis de résoudre la dépendance de la fonction  en DH L . On constate en particulier que la perte de charge est inversement proportionnelle au nombre adimensionnel DH L . On obtient donc :

U  DH  U2 L   H     2g DH    

(32)

Le coefficient  est le coefficient de perte de charge linéaire ou coefficient de frottement.

5



________________________________________________________________________________  Lorsque la tuyauterie est parfaitement lisse, le coefficient  ne dépend que du nombre de Reynolds, Re UDH .  Si par contre la tuyauterie n’est pas parfaitement lisse, ce qui arrive souvent, on introduit dans l’analyse dimensionnelle un paramètre supplémentaire pour représenter l’état de surface de la conduite. On appelle la hauteur moyenne des rugosités de paroi ( rugosité absolue), un nouveau nombre adimensionnel est mis en évidence et la formule de perte de charge (équation 32) devient : U DH U2 L    H    , (33)  2 g DH   DH   La formule de perte de charge linéaire ainsi établie est la formule de Darcy-Weisbach. Le rapport DH est appelé rugosité relative.

 Coefficient de perte de charge en régime laminaire. Pour l’écoulement laminaire en conduite circulaire, écoulement de Poiseuille, on établit expérimentalement (HAGEN) et sur le plan théorique (Poiseuille) que : 64  Re

U  D Re  

avec

(12)

Cette formule n’est valable que pour des conduites cylindriques de section circulaire.

 Equilibre des forces dans la conduite – Vitesse de frottement. Considérons un tronçon de conduite de section quelconque et de longueur dx

Figure 9 : Equilibre des forces dans un tronçon de conduite.

La contrainte exercée sur les parois équilibre le terme moteur que constitue le gradient de pression de sorte que le bilan des forces est :  dx  p S  d p*

d

’où,

p d p* u 2   * dx RH RH

où  est le périmètre mouillé, S la section et p la contrainte sur la paroi. En utilisant la formule de perte de charges linéaires dans les conduites en régime turbulent, il vient :

d p*  u* 2  RH U 2 dx 8

d’où

u* U

 8

(34)

Cette dernière formule, qui relie la vitesse de frottement, la vitesse débitante et le coefficient de perte de charge, est vraie pour toutes les formes de conduite et toutes les conditions d’écoulement.

6



________________________________________________________________________________  Effet des rugosités.  L’épaisseur de la sous-couche visqueuse est très petite et diminue comme l’inverse du nombre de Reynolds. Pour une conduite non spécialement polie, en acier ou en béton, on peut donc toujours trouver un nombre de Reynolds pour lequel cette épaisseur devient comparable à la hauteur moyenne des rugosités de surface (grains de sable, rayures, etc.), notée ( ou k sur la figure 10 ci-après).

Figure 10 : Illustration de la rugosité.

Nikuradse définit une rugosité standard qui serait la rugosité de grains de sable de taille uniforme. On assimile toute autre rugosité, , comme étant équivalente à la taille (diamètre), ks , de grains de sable uniformes qui seraient « collés » à la paroi. La souscouche visqueuse « disparaît » alors et c’est , et non plus u* , qui impose l’échelle de

longueur caractéristique de la loi logarithmique. Le rapport entre  et u* intervient

alors comme critère de classement des régimes de turbulence.

 Perte de charge en régime turbulent.  On distingue trois régimes définis selon la valeur du rapport entre et u* :  u* 5   u*



70

: régime turbulent lisse : régime turbulent purement rugueux sans effet de nombre de Reynolds

u 5  * 70 : régime de transition.   Très près de la paroi, la seule contrainte de cisaillement intervenant est la contrainte visqueuse, de sorte que l’équation dynamique selon x se simplifie sous la forme : * u x  1 p 1    0   r   x r r   r  

qui s’écrit encore : * u x  1 H 1 p 1       r  RH L  x r r   r   Ce qui, pour les très faibles distances à la paroi, s’intègre sous la forme :

u* 2

 R r  u* ux  u*  Cette couche visqueuse existe tant que

 R r  u*

z 



8 .

7



________________________________________________________________________________  Au-delà, on néglige les contraintes visqueuses devant les contraintes turbulentes et on établit la loi logarithmique : R r u* ux 1  ln z  C où, z  u*  



De nombreuses expériences ont été menées pour valider cette loi.  Pour exprimer , la démarche utilisée comporte 2 étapes : La première consiste à établir et caler la loi logarithmique du profil des vitesses, que l’on intègre ensuite pour obtenir la vitesse moyenne. La seconde consiste à exploiter la relation existant entre la vitesse moyenne, la vitesse de frottement et le coefficient de perte de charge .  Pour le régime turbulent lisse en conduite, la vitesse moyenne obtenue après intégration de la loi logarithmique s’écrit : u* R  U 1  1,75  ln   u*     La relation qui existe entre la vitesse de frottement et la vitesse moyenne est :   w u* U   8 Ce qui permet d’écrire :

R u*

1U  D u* U D      Re   2  U   4 2 4 2

Cette relation met en évidence l’influence de  au niveau de la vitesse débitante. En combinant ces relations, on établit alors le résultat théorique suivant : 1 2,0 log 10 Re 





 0,91

(36.a)

Les expériences montrent qu’un meilleur ajustement avec l’expérimentation est obtenu avec la relation :

1 2,0log  0, 80 10 Re  

(36.b)

qui sera utilisée pour évaluer le coefficient de perte de charge .

Cette relation (36.b) n’est applicable qu’en régime turbulent lisse (  u*  5 ) et pour Re 4000 . Pour 10 000 Re 100 000 , on peut retenir que l’ordre de grandeur

de  est de 0,02 et donc U u* 5% .

Selon Swamee et Jain, la relation explicite,

 2

  5,74   2, 0log 10  0,9  (37)   Re    est une approximation de la relation précédente avec une précision meilleure que 1,5%, si 5 10 3 Re 10 5 .

Une autre relation, très simple d’application, a été établie par Blasius : 0,316 Re 1 4

valable pour

4 10 3 Re 10 5

On observe que le coefficient de perte de charge  est indépendant de la rugosité lorsque l’écoulement est turbulent lisse,

8



________________________________________________________________________________  Pour le régime turbulent rugueux en conduite, la vitesse moyenne s’exprime par :

U 1 R   ln  4,75   u* En tenant compte de la relation qui existe entre la vitesse de frottement, la vitesse moyenne et le coefficient de perte de charge, c’est-à-dire u*  U , on peut écrire :

8

8 1 R   ln  4,75   

soit,

8 R  2,0 log 10  1,68  

Les expériences montrent que le meilleur ajustement avec l’expérimentation est obtenu avec la relation : 8 R  2,0 log 10  1,74  

(38)

Cette dernière relation sera utilisée pour évaluer le coefficient de perte de charge  en écoulements turbulents rugueux. Elle n’est applicable que dans les conditions suivantes :

u* 70 

(régime turbulent rugueux)

et

Re 4000

On observe, en écoulement turbulent rugueux, que le coefficient de perte de charge  est indépendant du nombre de Reynolds.  Pour le régime turbulent de transition, 5 

u* 70 , 

Schlichting propose l’approximation suivante : 1  18,7  2,0log 10  R Re  1,74   

(39)

Le raccordement aux deux lois précédentes est obtenu en faisant respectivement tendre  0 (perte d’influence de la rugosité, écoulement turbulent lisse) ou Re  (rugosité dominante, écoulement turbulent rugueux).

9



________________________________________________________________________________

RESUME des lois exprimant les profils de vitesse, la vitesse moyenne et le coefficient de perte de charge dans les tuyauteries cylindriques :

u 1 R u*   r 2    1 2    u* 2     R 

U 1  u* 4

R u*       64 Re

LAMINAIRE

UD Re  2000 

Régime d’écoulement TURBULENT

u  u 1 z   ln  * 5,5 u*    

Lisse

u* U 1 R   ln   u* 4  

u* 5 

  1,75 

1 2,0log 10 Re  0,8 



Transition

1  18 ,7  2, 0log 10   R  1,74   Re 

u* 5  70 

Rugueux



u 1 z   ln  8,5 u*   U 1 R   ln  4,75 u* 4 

u* 70 

1 R  2,0 log 10  1,74  

R 

D , 2

D diamètre de la conduite

, la rugosité absolue  coefficient de perte de charge linaire ou par frottement. u*  0  vitesse de frottement, avec 0 la contrainte de cisaillement à la paroi  la masse volumique du fluide.

10



________________________________________________________________________________

 Conduites industrielles. Les conduites industrielles utilisées dans la pratique, présentent des rugosités inégales et irrégulières : hauteur, forme et densité de répartition des aspérités. Par contre, les conduites à rugosité standard sur lesquelles sont basées les lois précédentes ont des rugosités régulières. Pour généraliser les résultats obtenus en se basant sur la notion de rugosité standard du type « grain de sable » introduite par Nikuradse, on définit une rugosité uniforme équivalente, , différente pour chaque type de paroi de conduite et qui serait la hauteur moyenne des aspérités. Le tableau 3.1 donne à titre indicatif quelques valeurs de , selon les matériaux.  Pour les écoulements laminaires en conduites circulaires, nous avons toujours :

64 Re

Re UD 

avec

(12)

 Pour les écoulements turbulents , la formule de Colebrook (1938) rassemble les formules en écoulements turbulents lisse et rugueux en une seule formule : D 1 2,51   2,0 log 10  H   3,7   Re   H 

(40)

Cette formule sert à tracer le diagramme (harpe) de Moody. Elle est considérée comme une formulation universelle du coefficient de perte de charge pour les conduites industrielles. Il s’agit cependant d’une relation implicite en  dont la détermination nécessite un calcul itératif avec la (méthode du point fixe, par exemple) ou par simple lecture sur l’abaque de Moody, lorsque que l’on connaît D H et de Re . Plus récemment, Haaland (1983) a proposé la formule approchée suivante : 1 ,11   D H  1    6,9  1,8log 10  (41) 3,7    ReH      qui ne diffère pas de plus de 2% de la formule de Colebrook et a l’avantage d’être explicite. Swamme et Jain proposent l’approximation suivante :



1,325

D 5,74   ln  H  0, 9  3,7 ReH  

(42)

Ces valeurs constituent une bonne base d’initialisation pour les calculs itératifs plus fins.

11



________________________________________________________________________________

Tableau 3.1.a : Rugosité équivalente des conduites industrielles.

Type de paroi des conduites

Rugosité uniforme équivalente  (mm)

Tuyau étiré en verre, cuivre, laiton

< 0.001

Tuyau industriel en laiton

0.025 neuf

Tuyau en acier laminé

Tuyau en acier soudé

rouillé

0.05 0.15 à 0.25

incrusté

1.5 à 3.0

neuf

0.03 à 0.1

rouillé

Tuyau en fer galvanisé

0.4 0.15 à 0.20

neuf Tuyau en fonte moulée

Tuyau en ciment Planches non rabotées

0.25

rouillé

1.0 à 2.5

bitumé

0.1

lisse

0.3 à 0.8

brut

< 0.3 1.0 à 2.50

Tuyau en acier rivé

0.9 à 9

Pierre de taille brute

8 à 15

Galerie

90 à 600

12



________________________________________________________________________________

Tableau 3.1.b : Rugosité équivalente de conduites industrielles.

13



________________________________________________________________________________

Tableau 3.1.c : Rugosité équivalente de conduites industrielles.

14



________________________________________________________________________________ Tableau 3.1.d : Rugosité équivalente de conduites industrielles.

15



________________________________________________________________________________

Diagramme de Moody

16



________________________________________________________________________________

Diagramme de Moody

17



________________________________________________________________________________

1.6.5

Utilisation du diagramme de Moody - Problèmes de référence.

 L’écoulement turbulent dans les tuyauteries circulaires en charge est influencé par les cinq paramètres Q, D, H ,  et  qui sont respectivement le débit, le diamètre de la conduite, la perte de charge linéaire, la rugosité absolue (ou équivalente) et la viscosité cinématique. Dans la pratique, on ramène souvent la perte de charge par tronçon à la perte de charge unitaire (par unité de longueur) que l’on notera J e H L , où L est la longueur du tronçon considéré.

 

 La vitesse U 4Q  D 2 , le coefficient de perte de charge ou de frottement , le

nombre de Reynolds, Re 4Q    D , et la rugosité relative, D , peuvent être déterminés à partir de ces paramètres de base. La variation de la pression (ou de la pression motrice) sur un tronçon de conduite sera obtenue à partir du calcul de la perte de charge et de l’application de l’équation de Bernouilli.

 Dans les problèmes, quatre des cinq paramètres doivent être donnés et le cinquième peut être calculé à l’aide des équations de Darcy-Weisbach et de Colebrook-White : Darcy-Weisbach : Colebrook-White :

U2 L H  2g D

ou

Je 

H U 2  L D 2g

1 D 2,51  2,0 log 10   3,7    Re  

où g est l’accélération de la pesanteur. En pratique, trois types de problèmes élémentaires sont à résoudre : 1) Détermination de la perte de charge par frottement H ou de J e H L ; 2) Détermination du débit Q : 3) Détermination du diamètre D.

1.6.5.1 Calcul de la perte de charge régulière (Problème de type 1).  Pour des raisons de commodités, nous désignerons la perte de charge régulière ou de frottement par hr et la charge de charge unitaire est J e hr L . 

Dans ce type de problème, les paramètres de l’écoulement qui doivent être connus sont : Q ou U, D,  et  (ou  et ) auxquels l’on ajoutera la longueur de conduite L et

l’accélération de la pesanteur g.  Le calcul de la perte de perte régulière s’effectue en 3 étapes : i) Calcul du nombre de Reynolds Re 4Q  D et la rugosité relative D ; ii) iii)

Détermination graphique, avec le diagramme de Moody, ou par un calcul numérique approprié de la valeur du coefficient de perte de charge  ; Evaluation de la perte de charge régulière par application de la formule de DarcyWeisbach.

33



________________________________________________________________________________ Exemple : Soit

une

huile

de

masse

volumique,

900 kg m 3

et

de

viscosité

cinématique,

 10 5 m 2 s , coulant dans une conduite circulaire de 200 mm de diamètre et de 500 m de longueur. La conduite, en acier soudé neuf de rugosité absolue 0,25 mm , est descendante et fait un angle de 10° avec l’horizontal. Le débit attendu est Q 0,2 m 3 s et l’accélération gravitationnelle g 9,81 m s 2 . Calculer la perte de charge sur ce tronçon de conduite ainsi que la variation de pression. Solution : Perte de charge : -

Le nombre de Reynolds se calcule comme il suit : Q Q 4  0,2 La vitesse moyenne est : U    2 2 S D 3,14  0,20  4QD UD 6,4 0,2 Le nombre de Reynolds est : Re  2   D   0,00001

 

 

 0,25  mm   0, 00125 D 200  mm 

U 6, 4 m s Re 128000  0, 0013 D

-

La rugosité relative se calcule par :

-

A l’aide du couple de valeurs ( Re 1,310 5 , D 0, 0013 ), on déduit par lecture directe

-

sur le diagramme de Moody, la valeur du coefficient de frottement : 0, 0225 0. Cette valeur peut être aussi déterminée par une méthode numérique itérative. La perte de charge régulière par frottement est calculée avec la relation de DarcyWeisbach : 2  6, 4 500 hr 0,0225  , 2 9,81 0,200

U2 L , hr  2g D

hr 117 m

Variation de pression : -

Appliquons l’équation de Bernouilli généralisée entre les sections d’entrée et de sortie du tronçon de conduite :

U2 p U2 p z 1 1  1  1 z 2 2  2  2 hr 2 g g 2 g g

-

L’écoulement est turbulent ; nous posons 1 2 1 .

-

Le liquide est supposé incompressible et la section est constante : Q U1  S1 U2  S2 , et

U 1 U 2 puisque S1 S 2 . Donc :

p p z1  1 z 2  2 hr g g

-

La variation (chute) de pression est telle que : p1 p  2 z 2 z1 hr soit, g g La conduite est descendante et nous avons : Par conséquent :

p1 p2 p g  z 2 z 1 hr  z2 z 1 L sin 10

p1 p2 p 900 9,81 500 sin 10 117 

 

p 265 000 kg ms 2

34



________________________________________________________________________________

1.6.5.2

Calcul de débit (Problème de type 2)

 Dans ce second type de problème, les paramètres connus sont D, L, hr (ou J e hr L ),  et  (ou  et ). On cherche le débit et l’on en déduit la vitesse. Il faut souligner que la valeur maximale de J e hr L est imposée par la réglementation et va contrôler le débit maximum qu’on peut fournir.

U2 L  L’équation de Darcy-Weisbach, hr  , contient deux inconnues : la vitesse U et le 2g D coefficient de perte de charge . Dans la formule de Colebrook-White, le nombre de Reynolds est par conséquent inconnu et, U et  sont donc les inconnues de cette formule.  Deux démarches peuvent être appliquées pour résoudre ce type de problème : une méthode itérative (Méthode du point fixe) et une démarche analytique. Etre capable de déterminer le coefficient de perte de charge constitue un préréquis.

Exemple de problème : De l’huile de masse volumique,  950 kg m 3 et de viscosité cinématique  2 10 5 m 2 s , coule dans une conduite circulaire de 30 cm de diamètre et de 100 m de longueur. Une perte de charge régulière hr 8 m est imposée, ce qui revient à fixer la chute de pression. La

rugosité absolue relative de la conduite est D 0,0002 et l’accélération de la gravité est

g 9,81 m s . Calculer le débit. 2

Solution : Démarche itérative:

U2 L hr   , 2g D

Nous avons :

1 D 2,51  2,0 log 10       3,7 Re 

et

Il s’agit d’un système de 2 équations à 2 inconnues :  et U, Re UD  peut être évalué dès que la vitesse U est connue. Le calcul itératif s’effectue comme suite. 1. On se donne une valeur arbitraire de  pour initier le processus itératif. A titre indicatif, cette valeur peut être choisie en supposant l’écoulement turbulent rugueux, par exemple. Démarrons avec i 0, 031 . On déduit la valeur de la vitesse correspondante en appliquant l’équation de Darcy-Weisbach :

hr i

U12 L 8,00 m , 2g D

U1  2 g

hr D 8,00 0,3  2 9,81 , 1 L 0,031 100

U1 3,90 m s

Le nombre de Reynolds correspondant est :





Re1 U1 D  3, 90 0,32.10 5 , Re1 6.104 2. Afin de s’assurer que la valeur i d’initialisation est la bonne valeur, on calcule la valeur ii qui est la solution de la formule de Colebrook-White correspondant aux valeurs de

D 0,0002 (donnée) et à la valeur Re1 610 4 obtenue en se donnant i . La lecture du diagramme de Moody fournit alors : ii 0, 021 . On constate que l’écart entre i et ii 0,021 est significatif.

35



________________________________________________________________________________ Dans ce cas, nous retournons à l’étape 1 où nous avons calculé la vitesse U i . On prend cette fois comme valeur de démarrage la dernière valeur calculée, c’est-à-dire que l’on pose ii i 0, 021 . Nous recalculons la vitesse moyenne et le nombre de Reynolds correspondants à cette nouvelle valeur, de même que le coefficient de perte de charge. Nous avons en particulier : h D 8, 00 0,3 Uii  2g r  2 9,81 Uii 4,74 m s 2 L 0,021 100



Reii U 2D  4,74 0,32.10 5

On en déduit :

Comme, D 0, 0002 , le diagramme fournit :



Reii 7 10 4

iii 0, 020 au lieu de ii 0,021

3. En poursuivant le processus en posant i i 1 0,020 , on obtient Ui 4,85 m s , soit

Rei 7,310 4 et i 1 0,020 qui, aux erreurs d’interpolations graphiques près, est la même valeur que celle de départ et peut être retenue comme la solution du problème. On déduit par conséquent :

 

Q US 4U D 2 0,343 m 3 s

U 4,85 m s En général, 4 itérations au maximum suffiront.

Démarche analytique: U2 L hr  , 2g D

1. Nous avons :

  L .

2. Nous multiplions chaque membre de cette expression par gD 3

2

ghr D 3 1 U 2D 2 1   2  Re 2 2 2 2  L  3 gh D 1 2 Posons :  2r  Re 2 , on en déduit :  2 Re  L Introduisons cette dernière expression dans la formule de Colebrook-White. Nous avons : D 2,51   Re   8 log10   3,7  2   Comme  et D sont connus, le nombre de Reynolds peut être calculé et l’on en déduit la On obtient :

vitesse moyenne ainsi que le débit. Dans le cas de l’exemple précédent, nous avons :



3 ghr D3 9,81 8,00  0,3  2 L 2 10 5 2 100

soit

 5,3 10 7

D 2,51  , Re   8 log 10   3,7   2       2,51 0,00002  Nous avons : Re  8 5,310 7 log 10   Re 72500 7  3,7 0, 03  2  5 , 3 10   Comme par définition, Re  UD  4Q   D , nous en déduisons : Re   U  U  72500 210 5 0,3 U 4,84 m s D 2gh D Q US 4U D 2 0,340 m 3 s  2r 0,0201 U L La valeur de précédemment trouvée est quasiment égale à cette valeur analytique.

Comme :













 

36



________________________________________________________________________________

1.6.5.3

Calcul de diamètre (Problème de type 3)

 Dans ce troisième type de problème, les paramètres connus sont Q, L, hr (ou J e hr L ),

et  (ou  et ). On cherche le diamètre de la conduite à mettre en place. U2 L  L’équation de Darcy-Weisbach, hr  , contient trois inconnues, le diamètre D, la 2g D vitesse U et le coefficient de perte de charge . Dans la formule de Colebrook-White, le nombre de Reynolds est par conséquent inconnu, de même que la rugosité relative D .  Nous disposons de deux relations : 2

U L hr   2g D

Equation de Darcy-Weisbach :

1 D 2,51  2,0 log10       3,7 Re 

Formule de Colebrook-White :

Elles suffisent pour résoudre le problème, si l’on fait appel à une démarche itérative. Exemple de problème : De l’huile de masse volumique, 950 kg m 3 et de viscosité cinématique  2 10

5

m s, 2

coule dans une conduite circulaire dont le diamètre est à déterminer. Sur un tronçon de 100 m de longueur, la perte de charge régulière imposée est hr 8 m et les conduites disponibles ont une rugosité absolue 0,06 mm . Quel doit être le diamètre de la conduite si l’on veut assurer une demande Q 0,34 m 3 s . On prendra l’accélération de la gravité est

g 9,81 m s 2 . Solution :

1. Position du problème. Le débit Q est connu. Nous posons : 2

2

U L hr   2g D

Q L hr 8 , 2 g  D5

UD 4Q Re    D

C" Re  (2) D

8 Q 2L D  2   ghr

D 5 C'  (1)

8 Q2L C'  2  ghr

et

5

avec

C" 

4Q 

Les quantités C’ et C’’ sont connues :

C' 

8 Q 2L , 2 ghr

4Q C"  , 

C' 

8

2  3,14 

2  0,34  100 ,

9,81 8

4 0,34 C"  3,14 210 5

C' 0,120 C " 216560

Il faut trouver un diamètre D tel que D et  vérifient simultanément l’équation de DarcyWeisbach et la formule de Colebrook-White. Nous appliquons une démarche itérative.

37



________________________________________________________________________________ 2. On se donne une valeur 1 de démarrage, quelconque. Prenons, par exemple, 1 0,09 . Nous en déduisons :

D1 5 C'  1 ,

D1 0,4 m

C" Re  , D

216560 Re  , 0, 4

La rugosité relative serait donc :

Re1 5, 410 4

D1  0,06 10 3 0,4 0,00015

3. Il faut s’assurer que 1 et D1 vérifient aussi solutions la formule de Colebrook-White. Pour ce faire, on calcule ou on lit sur le diagramme de Moody la valeur de  correspondant à Re1 et D1 0,00015 . 2 0,021

On trouve :

Comme 2 1 , le diamètre D1 précédemment calculé n’est pas le bon diamètre. 4. Nous reprenons la procédure de calcul depuis l’étape 2, en se donnant cette fois comme valeur  de démarrage la dernière valeur obtenue, donc celle trouvée à l’étape 3, soit 2 0, 021 dans notre exemple. L’étape 2 fournit alors :

D2 5 C' 2 5 0,120 0,021 ,

D2 0,302 m

C" Re  , D

Re1 7,22 104



216560 Re  , 0,302



D2 0,06 10 3 0,302 0,0002

Le diagramme de Moody conduit à ;

3 0,020

qui est sensiblement égale à la valeur

précédente. On peut donc considérer que D2 0,302 m est effectivement le diamètre cherché. Dans la pratique, on prendra le diamètre standard du commerce, le plus proche.

38



________________________________________________________________________________

1.6.6 Estimation des pertes charge singulières.  Un système de plusieurs conduites peut présenter des éléments locaux, comme des bifurcations, des jonctions, des élargissements, des contractions ou des coudes. Ces éléments locaux sont à l’origine des pertes de charges locales ou singulières, hs . Entre ces éléments, des pertes de charge réparties (régulières) hl apparaissent à cause de la

viscosité du fluide et de la rugosité des parois. La perte de charge totale H est constituée comme la somme, H hl hs (43)  L’étude simplifiée des pertes de charge locale considère ces dernières comme un phénomène ponctuel ; elles se trouvent donc concentrées en un endroit particulier. La figure 11 montre schématiquement la différence entre les deux types principaux de pertes mécaniques d’énergie.

Figure 11 : Pertes de charge répartie et locale dans la jonction de conduites.

 Schématiquement, comme illustré à la figure 12, à l’endroit x0, un corps immergé perturbe l’écoulement. La répartition à l’amont est typique de l’écoulement turbulent. Le corps immergé perturbe l’écoulement qui devient localement non uniforme avant de se rétablir au bout d’une certaine distance.

Figure 12 : Effet d’une perturbation locale.

Des situations similaires sont provoquées par : -

Un changement de section de la conduite ; Un changement de direction de l’écoulement ; Une entrée et une sortie de conduite d’un réservoir ; Un branchement ou une jonction de conduites ; Des dispositifs de contrôle de débits : vannes, ouvertes ou partiellement fermée ; Des dispositifs de mesure de débit : venturi, diaphragmes, orifices, etc.

39



________________________________________________________________________________  Pour des écoulements turbulents, les pertes de charge réparties sont proportionnelles au carré d’une vitesse. La perte de charge locale est également considérée proportionnelle au carré d’une vitesse type et l’on écrit :

hs K

U2 2g

(44)

U est une vitesse type (vitesse moyenne dans une section de référence) K est un facteur de proportionnalité, appelé coefficient de perte de charge .  K est un coefficient sans dimension qui dépend de l’élément local considéré, notamment : la géométrie de la singularité (type de singularité) ; le nombre de Reynolds : la rugosité relative, D IDELCIK et SINNIGER & HAGEN donnent des valeurs numériques et expressions analytiques de K selon la nature de la singularité locale.

 Elargissements :  On distingue les élargissements brusques et progressifs.

-

Figure 13 : Illustration des élargissements

Pour un élargissement brusque , on obtient analytiquement : 2

 S 1  U12 hs  1     S 2  2g

U2 hs K 1 2g

Si la conduite débouche sur un grand réservoir, S 2  , -

2

 S1  K  1     S2 

(45)

K 1

Pour un élargissement progressif , la perte de charge locale s’exprime par : hs K

2  U 1 U2 

2g

(46)

Le coefficient K dépend de l’ouverture , du rapport des diamètres.

Figure 14 : Coefficient de perte de charge singulière dans un élargissement progressif.

40



________________________________________________________________________________

 Rétrécissements : On distingue les rétrécissements brusques et progressifs.

Figure 15 : Illustration des types de rétrécissements.

•

Pour un rétrécissement brusque , on établit analytiquement : 2

1  U22  hs   1   2g Cc  

2

U2 hs K 2 2g

1  K  C 1   c 

(47)

C c est le coefficient de contraction : C c Sc S 2 , Sc est la section effective (section contractée) du fluide à l’entrée du second tronçon de conduite. Selon Weisbach, C c peut s’exprimer par : 3 C c 0, 63 0,37  S 2 S1 

(48)

où S 1 et S2 sont les sections amont et aval, respectivement. •

•

Si la conduite part d’un réservoir de grande dimension, on a : * Pour un raccordement à angles vifs :

C c 0,60

* Pour un raccordement bien arrondi :

C c 1, 00

K 0,5 K 0,01

Pour un rétrécissement progressif , la perte de charge locale s’exprime par : hs K

2  U 1 U2 

2g

2

1  K  1   sin  Cc  

(49)

 Entrées et Sorties : 

Entrées :

Les figures 16, 17 et 18 montrent des entrées types ; la première présente un tube disposé vers l’amont de longueur L et d’épaisseur d, et ainsi qu’un diamètre intérieur Dh. de la conduite.

Figure 16 : Illustration d’une entrée droite.

41



________________________________________________________________________________



La figure 16(b) représente K hs U 2 2g

selon IDELCIK, en fonction de l’épaisseur

relative de la conduite d Dh et de la longueur relative L Dh . U est la vitesse moyenne dans la conduite, Dh 4Rh , le diamètre hydraulique ( Rh étant le rayon hydraulique, pour les conduites de section circulaire, Dh D , avec D comme diamètre). •

Pour L 0 on obtient K 1 2 .

•

Dans certaines situations spécifiques, on a recours à des valeurs tabulées ou graphiques.

Figure 17 : Illustration d’une entrée courbe.

•

Pour les entrées à direction oblique, la formule de Weisbach peut être appliquée : U2 1 3 2  hs K K   1  cos  sin  90  2g 2 5 5 

Figure 18 : Illustration d’une entrée inclinée.

Si 90, on retrouve la valeur K 1 2 . 

Sorties :

La sortie peut être divergente ou convergente.

Figure 19 : Illustration d’une entrée inclinée.

Pour la sortie divergente, on pose :

U2 hs  K 2g

K *  1 

(51)

où U est la vitesse dans la conduite de diamètre D et,   L Dest donné au tableau suivant.

42



________________________________________________________________________________ Tableau 3.2 : Variation de  en fonction de  L D

La figure 19(a) donne la valeur de  en fonction de  L Det de l’angle de divergence *

.

Figure 19 : a)

*

pour une sortie divergente et b)

*

pour une sortie convergente.

Pour la sortie convergente , la figure 19 (b) donne la valeur de * en fonction de  L D et de l’angle de convergence .

 Changement de direction : Les figures 200(a), (b) et (c) illustrent les « coudes » les plus courants.

Figure 20 : Illustration d’un changement de direction.

 Coude circulaire à 90° et 180°, figure (20.a), figure (21) : VIOLLET et al. proposent les résultats expérimentaux présentés à la figure 21 pour  90et  180où R est le rayon de courbure et DH le diamètre hydraulique.

Figure 21 : Illustration d’un changement de direction à

 90et  180.

43



________________________________________________________________________________ Lorsque  90 , figures 20 (a) et (b), IDELCIK propose une relation prenant en compte la rugosité relative :

U2 hs K 2g

D K 0,21  R c

12

     1 103     D 

(52)

 Coude circulaire progressive, figure 20(b) : Weisbach propose :

3, 5  R     K  0,13 1,85 (53) R  90  c     où R est le rayon de la conduite et R c le rayon de courbure, relation non valable lorsque  90.

U2 hs K 2g

 Coude à angles vifs :

Figure 22 : Illustration d’un changement de direction à angles vifs (a) et variation de K (b).

hs K

U2 2g

K K  

 Branchement :  Les branchements les plus simples peuvent être illustrés par la figure 23.

Figure 23 : Illustration d’un branchement, (a) jonction, (b) bifurcation.

 Jonction (confluent), figure 23(a) : Pour les confluents à sections égales, S1 S 2 S 3 , les coefficients de perte de charge dans chaque branche s’expriment par :

2

K 13

Q2   Q  2 2  1  2 cos   Q   Q3 3 

K23

 Q2  Q2     1 4 1 2cos    Q  Q3   3

   

(54.a) 2

(54.b)

relations valables uniquement si Q2 Q3 0,5 .

44



________________________________________________________________________________ Tenant compte de ces coefficients, la perte de charge dans chaque branche, 1 à 3 et 2 à 3, est calculée par la relation : U 2 hs K 3 2g où U 3 est la vitesse moyenne dans la section 3.  Bifurcation (branchement), figure 23(b) : Pour les bifurcations (branchements) à sections égales, S1 S 2 S 3 , on utilise dans chaque branche les mêmes coefficients de perte de charge que précédemment. Cependant, K 23 devient ici K12 et la perte de charge singulière est calculée avec la relation :

U1 2 2g où U 1 est la vitesse moyenne dans la section 1. hs K

 Dispositifs de mesure de débit : La figure 24 présente deux débitmètres de mesure de débit, un débitmètre à orifice (diaphragme) et un débitmètre de type de Venturi.

Figure 24 : Illustration de débitmètres, (a) débitmètre à orifice, (b) tube de Venturi.

 Débitmètres à orifice, figure 24(a) : La perte de charge singulière s’exprime par : 2  Uc U2 

hs 

2g

2

1  U22    1 C  2g c 

U 2 hs K 2 2g

2

1   K  C 1 c 

(55)

où U2=U1. Les valeurs du coefficient de contraction dépendent de la forme de l’orifice. En général, 0,5 C c 1,00 .  Tube de Venturi, figure 24(b) : Ce dispositif comporte un convergent progressif suivi d’un divergent. La perte de charge singulière occasionnée s’exprime :

hs K

U 22 2g

(56)

où 0,10 K 0,10 .

 Dispositifs de contrôle de débit : La figure 25 illustre trois de ces dispositifs :  Vanne à lentille, figure 25(1) ;  Robinet à boisseau, figure 25(2) ;  Vanne-papillon, figure 25(3).

45



________________________________________________________________________________ Les valeurs indicatives du coefficient de perte de charge en fonction de l’ouverture, rapport X/D ou angle , sont présentées à la figure 25.

Figure 25 :

Illustration de dispositifs de contrôle de débit : (1) vanne à lentille, (2) vanne à boisseau, (3) Vanne -papillon.

Figure 26 : Vanne à lentille (géométrie)

Figure 27 : Vanne-papillon partiellement ouverte, (a) géométrie, (b) coefficient de perte de charge.

Figure 28 : Vanne-papillon complètement ouverte, (a) géométrie, (b) coefficient de perte de charge.

46



________________________________________________________________________________ La figure 29 illustre les allures des lignes de charge et lignes piézométriques à la traversée de quelques singularités.

Ecoulement dans un élargissement brusque

Orifice rentrant (orifice de Borda) :

C c 0,50 , K 1

Orifice à bords vifs :

C c 0,50 , K 0,5

Convergeant,

Ecoulement dans un rétrécissement brusque

Orifice à bords arrondis et polis,

C c 0, 90 , K 0

Ecoulement issu d’une conduite débouchant dans un grand réservoir à l’aval,

K 1,0 .

K 0,01 Divergeant

Ecoulement par un diaphragme placé dans une conduite,

Ecoulement par un diaphragme placé à l’extrémité aval dune conduite.

0, 6 C c 1,00 .

Figure 29 : Illustration des lignes de charges et lignes piézométriques dans quelques singularités.

47



________________________________________________________________________________

Figure 30 : Illustration de quelques singularités, valeurs des coefficients de pertes de charges singulières.

48



________________________________________________________________________________

1.7

Calcul des réseaux de conduites en charge.

1.7.1 Bilan d’énergie dans un circuit.

Les calculs hydrauliques des écoulements dans les conduites en charge jouent un rôle important en raison de leurs nombreuses applications aux systèmes de transport d’eau des plus variés. De tels systèmes sont représentés aux figures 31 (a) et (b), où sont indiqués des éléments types. Les systèmes comportent différentes conduites avec des entrées, des sorties, des coudes, des jonctions, des bifurcations, des pompes, des turbines et autres éléments locaux d’une part et des tronçons prismatiques droits d’autre part.

(a)

(b) Figure 31 :

Systèmes typiques de conduites en charge, (a) prises d’eau de barrage, (b) pompage entre bâche et réservoir.

Le calcul hydraulique de tels systèmes se base sur l’équation de Bernouilli généralisée, qui permet d’établir une relation entre deux points quelconques du système. Si les indices « 1 » et « 2 » désignent deux points quelconques, on a :

H 1 H 2 H

(57)

H étant la perte de charge totale entre les points 1 et 2. H représente la charge locale, qui s’exprime par : p U2 H z   (58) g 2g

où, en point précis de la conduite, z est la distance verticale entre l’axe de la conduite et un niveau de référence fixe, p g la hauteur piézométrique, p la pression,  la masse volumique du fluide, g l’accélération gravitationnelle, et U 2  2g la hauteur de vitesse où U est la vitesse moyenne.

49



________________________________________________________________________________ Pour un circuit complet, il faut définir le volume de contrôle entourant l’ensemble du circuit et faire un bilan d’énergie comptant : •

Les débits de charges entrants et sortants :

H

i

Qi , comptés négativement

quand le débit est entrant et positivement quand le débit est sortant ; •

Les débits de pertes de charges internes (linéaires et singulières) : comptés positivement ;

•

H

i

Qi

Les éventuelles sources d’énergies (pompes, compresseurs,…) qui sont des pertes de charges négatives et les éventuelles turbines qui sont des pertes de charges positives.

Figure 32 : Exemple de volume de contrôle autour d’un circuit. Le signe des débits doit être pris en compte et l’évaluation des charges dépend du sens des débits.

Le choix du volume de contrôle est arbitraire, mais il faut évaluer correctement les débits de charge entrants et sortants en fonction de ce volume. On distingue les pertes de charges locales (singulières) et les pertes de charges réparties (linéaires). Les pertes de charges locales peuvent toujours être exprimées sous la forme d’un produit de la hauteur de vitesse de référence et du coefficient de perte de charge K correspondant

hs K

U2 2g

(44)

D’autre part, les pertes de charge réparties peuvent être exprimées par l’équation de Darcy-Weisbach :

L U2 hl J e  L  D 2g

(33)

Les expressions de K et de  ont été présentées. La détermination du coefficient  fait souvent appel à un calcul itératif. La perte de charge totale est : H hl hs

(43)

50



________________________________________________________________________________

1.7.2 Mise en œuvre pratique des méthodes des pertes de charges.  Conduite de section constante. 1) Sortie à l’air libre On suppose une retenue dans laquelle la vitesse longitudinale est U 0 0 et la surface reste à niveau constant. Cette retenue dispose d’une vidange de fond . Elle consiste en un tronçon de pente négative, suivi d’une pente positive pour se terminer finalement par une sortie à l’air libre.

Figure 33 :

Conduite de vidange d’une retenue avec sortie à l’air libre.

Il s’agit de déterminer les caractéristiques hydrauliques dans le cas d’une conduite de diamètre D constant. On suppose que l’on connaît la longueur L et la section de la conduite ainsi que sa rugosité , sa géométrie (entrée arrondie, coude et sortie à l’air libre) et la dénivellation H entre la surface de la retenue et la sortie de la conduite. Selon l’équation de Bernouilli généralisée rapportée à l’axe de la sortie ( z 0 , p g 0 ),

H 

2

U H 2g

La perte de charge locale est, La somme des pertes de charges locales est :

(59)

hs K n

 0

U2 2g n



hsi 

0

Ki

U2 2g

La perte de charge répartie est :

L U2 hl  D 2g

La perte de charge totale est :

n L  U2 H   Ki  D 2g  0 

Par conséquent :

n   L U 2  H  1   K i   0    D 2 g

Pour une conduite de section S, le débit est :

Q S



2gH n  L    1    Ki   D     0   



51



________________________________________________________________________________ 2) Sortie immergée La figure 34 présente un deuxième cas dans lequel la conduite débouche dans un bassin inférieur. Pour U 0 U u  U où U u est la vitesse dans le bassin aval, le débit est donné par l’expression précédente, H étant maintenant la dénivellation entre les surfaces respectives des bassins.

Figure 34 :

Conduite de vidange d’une retenue avec sortie à l’air libre, la dénivellation H est la différence de niveaux de surface des bassins amont et aval.

Le coefficient de perte de charge singulière à la sortie prismatique de l’eau dans le second bassin est K 2 1 , la vitesse devenant nulle après la sortie. Notons que si U 0 0 ou

U u 0 , on doit tenir compte des hauteurs de vitesses correspondantes et K 2 doit être calculé comme dans le cas d’un élargissement brusque de section.

 Conduite de section variable. Pour la conduite esquissée à la figure 35 qui représente typiquement un système de conduites en série, deux règles de base s’appliquent.

Figure 35 :

•

(b) (a) illustration de conduite en série, (b) Ecoulement en charge dans une conduite variable pour le cas d’une sortie à l’air libre.

Règle n° 1 :

Le même débit Q traverse toutes les conduites. L’équation de continuité impose,

Q U1S1 U2S2 U3S 3 ..... Q U1D1 2 U2D22 U3D32 ..... où Ui sont les vitesses dans chacun des tronçons de section Si .

52



________________________________________________________________________________ •

Règle n° 2 :

La perte de charge totale est égale à la somme des pertes de charge dans chaque tronçon. Ainsi, nous avons : H H 1 H 2 H 3 ... n n  L1 U 2  L2 H  1  K1i  1  2  K 2i  D1 2g  D2  0   0





n U22  L3  3  K 3i 2 g  D3   0



U32  ... 2g 

Comme U 2 et U 3 sont proportionnelles à U 1 (équation de continuité), l’équation précédente peut s’écrire,

U2 H  0 1 1 2 2 3 3 ...  2g

(60)

où les coefficients i sont sans dimension et U est la vitesse moyenne de sortie (1.6.4b). Nous avons,

U2 H  H 2g

(59)

Si le débit Q est donné, on peut calculer chacune des pertes de charges, donc la perte de charge totale. Si la perte de charge totale est donnée, quelques itérations sont nécessaires puisque les coefficients de pertes de charges réparties  1,  2 et  3 dépendent de la vitesse U et du nombre de Reynolds. Démarrer le processus itératif en supposant l’écoulement turbulent rugueux, permet une convergence rapide en 2 ou 3 itérations.

 Système de conduites en parallèle. Le second type de système multiple concerne les conduites en parallèle, figure 36. La règle de base s’appliquant est :

Figure 36 : Illustration de conduites en parallèle - système élémentaire.

•

Règle n° 3 :

La perte de charge entre A et B est la même sur chaque tronçon de conduite, et le débit total est la somme des débits passant dans chaque tronçon : H A B H 1 H 2 H3

(60)

Q Q1 Q2 Q3

(61)

Si la perte de charge totale est connue, il est relativement simple de déterminer chaque débit Qi , puis de les additionner et obtenir le débit total. Le problème inverse consistant à déterminer les débits Qi à partir d’un débit total Q imposé nécessite un processus itératif qui peut être long. i)

Pour exemple, pour un système de 3 conduites, démarrer le processus en posant : Q1 Q 3 . Calculer ensuite la perte de charge correspondant à Q1 et en déduire

Q 2 et Q3 , puis calculer la somme des débits Q1 + Q 2 + Q3 .

53



________________________________________________________________________________ ii)

A priori, la somme Q1 + Q 2 + Q3 doit être égale à Q. Si ce n’est pas le cas, et si on trouve par exemple Q1 Q2 Q3 1,14Q , on retourne à l’étape i) en posant

Q1,nouv Q1 ,ancien 1,14 et on poursuit la procédure. Le processus est convergent.

 Jonction de conduites. A la jonction d’un système de conduites, la règle n°4 applicable est énoncée en 2 parties :

• i)

Règle n° 4 :

Figure 37 : Illustration de jonction de conduites issues de 3 réservoirs.

La somme des débits à un nœud (jonction) est égale à zéro (règle de Kirshoff). Pour ce faire, on affectera un signe au débit en supposant que les débits entrant à la jonction sont négatifs, et ceux sortant sont positifs : (62)

Q1 Q2 Q3 0 ii)

La pression est susceptible de varier dans les conduites, mais la pression au nœud est la même pour toutes les conduites qui y sont branchées, en d’autres termes, la hauteur piézométrique est la même : p hJ zi  i (63) g Dans le cas de la figure 37, nous aurons :

n U1 2 L1 H 1 1  hs 1i z 1 hJ 2 g D1 0



H 2 2 H 3 3

U22 L2 2g D2

n

hs



0 n

2i

z 2 hJ

U32 L3  hs 3i z3 hJ 2 g D3 0



z1 , z 2 et z3 sont les cotes de la surface libre dans chaque château et hsi sont les pertes de charges singulières dans chaque tronçon. •

Nous aboutissons dans cette configuration un système de 4 équations à 4 inconnues, U 1 , U 2 , U 3 et hJ . La procédure est itérative : 1) Se donner une valeur d’essais de hJ . Evaluer U 1 , U 2 et U 3 à partir des expressions des pertes de charges en posant U 2 U U

de manière à avoir les

signes des débits, puis en déduire les débits Q1 , Q 2 et Q3 . 2) Faire la somme, alors on obtient : Q1 Q2 Q3 e , où e est l’erreur commise. Si e est négatif, réduire la valeur d’essai h J , et l’augmenter dans le cas contraire. Lorsque 2 valeurs successives de e changent de signe, déterminer la nouvelle valeur d’essai par interpolation.

54



________________________________________________________________________________

 Calcul de réseau de canalisations.

Un des objectifs attendus avec la présentation des différents cas de référence précédemment présentés est par exemple de calculer les paramètres hydrauliques, débit, pression disponibles en un point, perte de charge et diamètres de conduites à mettre en place dans un réseau d’adduction d’eau potable (AEP) par exemple.

Figure 39 : Illustration d’un réseau d’adduction d’eau potable.

Il est fréquent d’avoir des réseaux maillés, comme illustré à la figure 40. Le calcul est souvent itératif et repose sur quelques règles simples.

Figure 40 : Illustration d’un réseau maillé de conduites.

1) La somme des débits aux jonctions (nœuds) doit être égale à zéro ; 2) Le bilan des pertes de charges dans une boucle fermée est égal à zéro. En d’autres termes, la hauteur piézométrique à chaque nœud doit avoir une valeur unique, identique. 3) Toutes les pertes de charges réparties doivent vérifier la loi de Colebrook-White ou son approximation ainsi que les lois des pertes de charges singulières. En appliquant ces principes, les lois relatives aux charges et pertes de charges ainsi que les principales règles précédemment énoncées à chaque boucle indépendante, l’on parvient à un système d’équations algébriques régissant le débit dans chaque tronçon de conduite. Un tel système est non linéaire et doit être traité par approximations successives (itérations). La méthode traditionnelle de Cross (Méthode, bien connue en RDM, de HardyCross) est applicable, mais n’est plus considérée comme efficace (temps de calcul trop longs). Les procédures de calcul utilisant la méthode itérative de Newton-Raphson ou la méthode du gradient conjugué mise en œuvre dans les moteurs de calcul comme EPANET de l’ONG américaine de protection de l’environnement EPA ou MikeNet et Mike Urban du groupe DHI sont beaucoup plus performantes et mieux adaptées.

55



________________________________________________________________________________ REFERENCES : 1) SINNIGER, R. O., HAGER, W. H., « Constructions Hydrauliques – Ecoulements stationnaires », Traité de Génie Civil de l’Ecole polytechnique fédérale de Lausanne, Volume 15, Presse Polytechniques Romandes, 1989 2) COMOLET, R., « Mécanique expérimentale des fluides, Tome II, Dynamique des fluides réels, Turbomachines », 2e édition, Masson, 1976 3) WHITE, M. Frank, « Fluid Mechanics », 3 e édition, McGraw-Hill, Inc, 1994 4) GRAF, H. W., ALTINAKAR, M. S., « Hydrodynamique, Eyrolles, 1991 5) VIOLLET, P. L., CHABARD, J. L., ESPOSITO, P., LAURANCE, D., « Mécanique des fluides appliquée », Presses de l’école nationale des ponts et chaussées, 1998. 6) Lewis A. ROSSMAN, « EPANET 2 », Water Supply and Water Resources Division, National Risk Management Research Laboratory, Cincinnati, OH 45268 7) Petr INGEDULD, « Modelling of Water Distribution System with MIKE NET », DHI Water & Environment, 2003

56


Hydraulique_Canalisations

Recommend Documents