Resumen: Principio de superposición
Katy Ana Aruachan Fajardo José Carlos León González
Dr. Franklin Edwin Peniche Blanquicett
Universidad de Córdoba Montería, Córdoba 20 de agosto de 2014
Principio de superposición El principio de superposición a nivel cuántico se describe tomando como punto de partida resultados del experimento de Stern y Gerlach, utilizando la notación de Dirac y sentando analogías con el estado de polarización de onda de luz monocromática. Este experimento presenta un esquema como se aprecia en la figura 1.
En este la parte marcada como horno emiten átomos de plata que tras pasar por el colimador sale un haz que se propaga en dirección horizontal, seguidamente interactúa con un campo magnético no uniforme generado por el imán, para finalmente ser detectado en una placa metálica donde se sintetizan dejando una huella. Con este experimento se buscaba determinar la componente del momento magnético de los átomos en la dirección del gradiente del campo. Puesto que según la electrodinámica clásica cuando estos pasan por la región del campo magnético sufren una desviación con respecto a la componente z del momento magnético de los átomos y el gradiente del campo. Una de las consideraciones hechas para estudio, es que el momento angular del átomo de plata es debido al electrón más externo, puesto que se asume que los 46 electrones restantes ubicados en las capas más internas del mismo, presentan una distribución de carga simétrica con momento angular neto nulo. Así considerando a S como el momento angular de dicho electrón, su vector momento magnético se expresa como sigue: μ=
Con
−|e| S me c c
como la velocidad de la luz,
e
y
me
la carga y la masa del electrón,
respectivamente. Así mismo también se consideró que la componente de la fuerza promedio ejercida sobre el átomo es debida a la componente z del gradiente del campo magnético
F z=
∂ B z −|e| ∂ B z ∂ ( μ . B )=μ z = S ∂z ∂ z me c ∂ z
Desde el punto de vista clásico se esperaba con este experimento que todos los valores entre
–μ
y
μ , siendo
μ
μz
toma μ .
la norma del vector
Contrario a lo esperado, los resultados mostraron concretamente dos haces de igual intensidad, que se desvían la misma proporción pero en sentido contrario, mostrando que la componente z del momento angular puede tomar dos valores ± ¿ s z∨¿ , donde se pudo establecer que s z =±
ℏ 2 , con
ℏ=
h −27 −16 2 π , siendo ℏ=1,0546 × 10 erg−s=6,5822×10 eV −s
Datos que siempre se obtuvieron al realizar este experimento. Anterior a los estudios realizados por Stern y Gerlach, se conocieron resultados experimentales que indicaban que el momento angular de un electrón ligado a un átomo tomaba valores determinados por Lz =mh , con −L ≤ m≤ L , donde L=0, 1, 2,…
entero positivo. Como en este experimento se obtuvieron dos
valores distintos de cero y múltiplos semienteros de
ℏ , se concluyó que
S
es
un nuevo momento angular diferente al momento angular orbital, al que se le llamó momento angular intrínseco o de espín. A estas medidas experimentales de S z , se le asoció una incertidumbre Δ S z elegida igual a la mitad del ancho de la distribución, de este modo: Sz =
ℏ ± Δ Sz 2π
y
Sz =
−ℏ ± ΔS z 2π
Hallazgo que fue corroborado en 1927 por Phips y Taylor. Por otro lado haciendo uso de los resultados experimentales de Stern y Gerlach, se pueden apreciar claras diferencias entre la mecánica clásica y la mecánica cuántica, ya que haciendo uso de una estructura experimental semejante a la utilizada en dicho experimento se puede medir cualquier componente del momento angular de espín (normal a la dirección de propagación).
Considerando el esquema de la fig. 2 se denota el imán como
y
x−¿ S¿ z−¿ ¿ S¿
componentes
z(x)
y
a
de momento angular de espín positiva y negativa
respectivamente. Al suprimir el haz hace pasar por un segundo imán
I x ( I z)
x+ ¿ S¿ z+ ¿ ¿ S¿
z−¿ S¿
después del primer imán
( I z ) , se
( I x ) , de donde emergen componentes
x+ ¿ S¿
x−¿ S ¿ , esta última se suprime y se hace pasar el haz, por un tercer imán
( I z ) , de donde se esperaría que sólo emergieran componente z positiva (
+ℏ 2
), pero contrario a eso la evidencia experimental muestra componentes tanto positivas como negativas de z. Frente a esto se asumió que la observación o medición que se realiza sobre sistemas cuánticos (sistemas microscópicos) generan grandes alteraciones sobre el mismo, efecto que no se aprecia frecuentemente de manera significativa en estudios sobre sistemas macroscópicos realizados en mecánica clásica. Para explicar el resultado obtenido, se asume que el surgimiento de componentes de z positiva y negativa, es debido a la interacción con el campo magnético de los imanes usados en el montaje experimental. Por resultados como este es que surge la necesidad de desarrollar un nuevo camino para conocer los fenómenos atómicos, representado en la mecánica cuántica, ya que las herramientas que la mecánica clásica brindaba no eran suficientes para describirlos. Otro rasgo importante que se puede mencionar sobre las grandes diferencias entre la mecánica cuántica y la clásica, están los llamados observables incompatibles de la mecánica cuántica, lo que hace alusión a que la determinación
de uno de ellos acaba con la estabilidad del otro. Así también se puede encontrar el concepto de observables compatibles, para el caso contrario. Conceptos que no tiene validez en estudios de la mecánica clásica. Con la inclusión de nuevas teorías con la mecánica cuántica, también surgió una nueva forma de simbolizarlas y un nuevo espacio en el cual trabajar, llamado espacio de kets (notación de Dirac), en este los estados de espín del electrón de cualquier átomo quedan descritos por el ket z−¿>¿ ¿ S¿
en el haz
z+ ¿>¿ ¿ S¿
en el haz
z+ ¿ S¿
y
z−¿ S¿ . Dentro de cada ket se incluyen las variables con los
observables que caracterizan el estado cuántico del sistema. Para entender un poco la descripción de los estados cuánticos a través del espacio de kets y su estructura básica, se recurre a sentar una analogía con los estados de polarización de ondas monocromáticas de luz. Se puede decir que una onda está polarizada linealmente cuando su vector del campo eléctrico oscila a lo largo de una dirección normal a la de su propagación. Para una onda polarizada en dirección de z i ( ky−wt )
E=E 0 R {e
Con
E0
ez }
amplitud de la onda,
R
la parte real y
ez
vector unitario.
Un haz de luz polarizado linealmente se puede obtener al hacer incidir un haz no polarizado en un filtro polaroide normal a la dirección de propagación, tal como se muestra en la figura 3.
De otra parte en la figura 4 se logra apreciar un caso semejante al de la figura 2, en esta ocasión del tercer filtro emerge un haz de luz a pesar de que previamente se había polarizado la luz en esa dirección e z .
Para brindar una respuesta satisfactoria a inquietudes surgidas al respecto, se hace uso del principio de superposición ondulatorio, teniendo en cuenta que los vectores unitarios que caracterizan los estados de polarización están relacionados de la siguiente manera
e w=
1 1 ez+ ex √2 √ 2
e v=
−1 1 ez+ ex √2 √2
ez=
−1 1 e w− e v √2 √2
Relaciones que permiten expresar un estado de polarización lineal
ez
como
una superposición de estados de polarización lineal ( e w y e v ), en la que el peso de cada componente es igual al cuadrado de los coeficientes de los estados que se superponen. Así el haz emergente del primer filtro (Fig. 4) se puede expresar como la superposición de dos haces polarizados linealmente e w y e v E=E 0 R { ei ( ky−wt ) e z }=
E0
√2
R {ei ( ky−ωt ) e w }−
E0
√2
R { ei (ky −ωt ) e v }
Sentando una correspondencia entre los estados de espín del electrón y los de polarización, se tiene ¿ S z + ¿↔ e z ¿ S z −¿ ↔ e x ¿ S x +¿ ↔ e w ¿ S x −¿↔ e v Suponiendo que el espacio de ket satisface la propiedad de adición, se pueden expresar las siguientes relaciones ¿ S x +¿=
1 1 ∨S z +¿+ ∨S z −¿ √2 √2
¿ S x −¿=
−1 1 ∨S z +¿+ ∨S z −¿ √2 √2
Esto ayuda a explicar el hecho de que emerjan componentes de z tanto positiva como negativa del tercer imán (fig. 2). Ahora puesto que los estados de espín asociados al observable S x son diferentes del observable S y , se utilizan escalares complejos para los coeficientes en la superposición. Se puede establecer una correspondencia como la siguiente S y +↔(e z +i e x )/ √ 2 S y −↔( e z−i e x )/ √ 2 O de forma característica para los estados de la componente y de espín ¿S y± ≥
|
|
1 i S z +¿ ± S z −¿ √2 √2
Siguiendo con la analogía con los estados de polarización para este caso una onda de luz polarizada circularmente se puede expresar como una superposición
de dos haces de igual intensidad en direcciones mutuamente ortogonales, pero con fase relativa de
±
π 2 . Esto es π
1 i (ky−ωt ) 1 i (ky−ωt+ 2 ) E=E 0 R { e ez+ e ex } √2 √2 se logra apreciar que la diferencia de fase entre la onda con polarización lineal e z con respecto a e x es de 90 ° , puesto que e iπ /2=i= √−1 , entonces se puede reescribir así: E=E 0 R {ei ( ky−ωt ) {
1 i e z + e x }} √2 √2
Del mismo modo el espacio vectorial utilizado para describir los estados de espín del electrón se define en el campo de los complejos, ya que si los coeficientes de los estados que se superponen fuesen reales no sería posible construir estados de espín diferentes para las otras componentes. ¿ S z + ¿=
1 1 ∨S x +¿− ∨S x −¿ √2 √2
¿ S z −¿=
1 1 ∨S x +¿+ ∨S x −¿ √2 √2
Tras observar las estas igualdades, es posible que no se logre apreciar diferencia alguna entre los estados de ¿ S z + ¿ y ¿ S z −¿ que expresa la superposición, pero note que la primera ecuación puede ser escrita como ¿ S z + ¿=
1 1 ∨S x +¿+e iπ ∨S x −¿ , con e iπ =−1 √2 √2
Con ello se puede identificar una fase de
π
para el primer estado y una nula
para el otro, es así como se consigue diferenciar un estado de otro y es lo que hace diferente cada estado en la superposición. Los planteamientos hasta ahora tratados dan a conocer un principio muy importante para el estudio de los fenómenos cuánticos, llamado principio de
superposición en el cual se establece que cualquier estado cuántico puede ser indicado como una superposición de otros estados cuánticos. Para el caso del experimento de Stern-Gerlach, cualquier estado de espín se puede representar como la superposición de dos estados asociados a las componentes cartesianas. Este principio no alcanza a predecir el estado en el que se encuentra el sistema puesto que para establecerlo se hace necesario interactuar con él, lo que provocaría una alteración en dicho estado, lo máximo que brinda este principio es la probabilidad de que dicho sistema emerja en un estado o en otro.
