1. HOMOMORFISME PADA GRUP
DEFINISI : Suatu Suatu mappin mapping g
dari dari grup grup G into into G* disebut suatu homomorfisme jika untuk
setiap a,b ∈ G,
(ab) =
(a)
(b)
Perhatikan bahwa, pada ruas kiri, yaitu pada
(ab), produk ab dihitung dalam G
dengan menggunakan menggunakan produk dari elemen- elemen G, dan pada ruas kanan, kanan, yaitu (a)
(b), produknya dihitung dengan menggunakan elemen-elemen dalam G *.
Atau, jika
mapping
Contoh : dari grup into grup disebut suatu homomorfisme jika untuk setiap a,b ∈ G, 1. Jika ika
(ab) =
(a)
(x) (x) =e untu untuk k semu semuaa x
into G*, karena
∈ G,
(xy) =e =ee=
(xy)=xy=
merupakan merupakan homomorfis homomorfisme me dari G
(x)
(y). Begitu juga untuk
(x) =x
juga juga meru merupak pakan an homomo homomorfis rfisme me dari dari G into into G *,
untuk setiap x ∈ G, karena
(b)
(x)
(y)
2. Misalkan Misalkan G grup grup semua bilang bilangan an real terhadap terhadap operasi operasi penjum penjumlahan lahan (yaitu (yaitu untuk a,b ∈ G, ab =(a + b ) dan G * grup dari dari himpunan himpunan semua semua bilangan bilangan real tanpa nol atau R- (0) dengan dengan operasi operasi perkalian perkalian
(yaitu untuk a,b,
∈ G*, ab = a x b)
Didefinisikan
: G G* dengan
Untuk membuktikan bahwa adalah sebagai berikut :
(a) = 2a
merupakan homomorfisme dari G into G *
a-----
(a)
b-----
(b)
ab = a + b ----
Karena untuk setiap a,b
∈
G,
(a + b ) = 2 a + b = 2a x 2 b
(ab) =
(a)
=
(a) x
=
(a)
(b) (b)
(b), terbukti terbukti bahwa
merupakan homomorfisme dari G into G *
Contoh 3 Misal G grup bilanga bilangan n bulat dengan dengan operasi operasi penjumlahan penjumlahan dan G * = G . Untuk bilangan bulat x ∈ G, didefinisikan mapping Amil sebarang x, y ∈ G dan x --- y---
xy = x + y ---
: G -- G* dengan
(x) = 2x
(x) = 2x (y) = 2y
(xy) =
(x + y) = 2 (x + y ) = 2x + 2y
=
(x) +
Karena untuk setiap x,y ∈ G, bahwa bahwa
(y) =
(xy) (xy) =
(x) (x) (x)
(y) (y), (y),be bera rarti rti
merupa merupakan kan suatu suatu homomo homomorfi rfisme sme dari dari G into into G*
Contoh 4. Misalkan G grup bilangan real positif dengan operasi perkalian dan G *grup dari semua bilangan real dengan operasi penjumlahan.
didefinisikan mapping f : G---- G* dengan f(x) = 10log x. Tunjukkan bahwa f suatu homomorfisme ! Jawab : Ambil x,y ∈ G maka f(x) = 10log x, dan f(y) = 10log y .f(xy) =
10
log (xy) (xy) =f(x) + f(y) f(xy) =f (x).f(y)
adalah merupakan homomosfisme dari G into G * Contoh 5. Misalkan G grup bil.real tanpa nol atau R-{0} dengan operasi perkalian. G* ={1,-1},dimana 1.1 = 1 ; (-1) (-1) = 1; 1 (-1) = -1 dan (-1). 1 = -1 G* merupakan grup terhada operasi perkalian didefinisikan
: G----G* dengan
1 −1 Tunjukkan bahwa
>0 x < 0
jika
x
jika
merupakan homomorfisme dari G into G *
Penyelesaian: (i) Ambil x > 0 dan y> 0 x,y (xy) = 1=1. =1.1=
∈ G,
(x) (x).
maka aka
(x). (x).
(iii) Ambil x < 0 dan y< 0 x,y (xy (xy) =1=( =1=(-1 -1). ).((-1) 1)= =
( y) = -1
(x) (x) = -1 dan dan
( y) = -1
(x) (x) = -1 dan dan
( y) = 1
(y) (y)
∈ G, mak maka
(x). (x).
(x) (x) = 1 dan dan
(y) (y)
∈ G, maka maka
(x). (x).
(iv) Ambil x < 0 dan y> 0 x,y (xy (xy) = -1=( -1=(-1 -1). ).1 1=
( y) = 1
(y) (y)
(ii) Ambil x > 0 dan y< 0 x,y ∈ G, maka aka (xy (xy) = -1=1 -1=1.( .(-1 -1)= )=
(x) = 1 dan
(y) (y)
Karena untuk semua kemungkinan x,y atau setiap x,y (xy)=
∈G
berlaku
(y) adalah merupakan homomosfisme dari G into G*
(x)
Contoh 6: a Misalkan G grup semua matrik real c
b
dengan ad - bc dengan
d
≠
0 terhadap
perkalian matrik. Misalkan G * grup bil.real tanpa nol terhadap perkalian. a Didefinisikan f : G ---- G dengan f( c *
b
) : ad –bc
d
≠
0
Tunjukkan bahwa f merupakan homomorfisme dari G into G *
Penyelesaian: a Ambil M1 dan M2dimana M1 = c
a c
f(M1,M2) = f
b
p d r
b
; ad-bc d
q
ap + br = s cp + dr
≠
p 0 dan M2= r
q
; ps-qr ≠ 0
s
+ bs cq + ds
aq
=(ap+br)(cq+ds) – (aq+bs)(cp+dr) = (apcq+apds+brcq+brds)-(aqcp+aqdr+bscp+bsdr) =apds –adqr – bcps +bcqr = (ad- bc) (ps – qr) a =f c
b p
f d r
q
a c
f(M1,M2) = f (M1)f(M2) = f
= f (M1)f(M2)
s
b
p d r
q
=f s c
a
b p
f d r
q
s
Karena f (M1.M2) = f (M1)f(M2) untuk semua M 1, M2 ∈ G Maka f merupakan homomorfisme dari G into G *
2. ISOMORFISME
Definisi : Isomorfisme Isomorfisme yaitu merupakan merupakan suatu homomorfis homomorfisme me satu-satu satu-satu (injektif) (injektif) dari G onto (surjektif) G* atau
disebut isomorfisme jika
sekaligus mapping satu-
satu (into) dan mapping mapping onto (pada) . Lambang dari dari isomorfisme : G
≅
G*
Cara membuktikan dua buah grup isomorfic : 1. Dicari homomorfis homomorfisme me dari dari grup grup yang satu pada grup yang lain 2. Dibuktikan Dibuktikan bahwa identitas identitas homom homomorfism orfismee hanya hanya memuat memuat satu elemen Jika order suatu grup finit dan kecil, kecil, maka maka dua buah buah grup grup itu dapat dapat diselid diselidiki iki apakah isomorfik atau tidak seperti contoh di bawa ini: 1.Misalkan G; modulo 3 (M.3) dengan operasi penjumlahan dan G *; grup simetri segitiga sama sisi yang berupa rotasi. Dari masing-masing grup di buat tabelnya
: M.3 --- G dan mengingat
Jika diadakan pemetaan (0) = I ;
(2) = S2
(1) = S ;
(0) , maka :
e = 0 ; e= I
(1 + 2 ) = S + S2 =
Dan
(1 + 2 ) =
Maka
: M.3 --- G adalah isomorfisme
(1) +
(2)
Cara lain untuk membuktikan Kedua grup isomorfisme adalah: a. homomorfisme dari G-
G*
b. merupakan pemetaan injektif (mapping satu-satu) c. merupakan pemetaan surjektif ( mapping onto)
2.Misalkan G grup semua bilangan bulat dengan operasi penjumlahan, dan G * grup semua bilangan bulat genap dengan operasi penjumlahan . Mapping f ; G - G* didefinisikan f(x) = 2x , apakah f isomorfisme? Jawab: Harus ditunjukkan: ( i)
f suatu homomorfisme : ambil x dan y ∈ G sehingga f(x) = 2x ; f(y) = 2 y f(x) + f(y) = 2 x + 2y
= 2( x + y)
jadi f (x +y) = f(x) + f(y) adalah homomorfisme (ii)
ambil sebarang n,dan m ∈ G dengan n
≠
m
karena f(n f(n) = 2n 2n dan f (m (m ) =2m, =2m,sehingga sehingga : atau jadi f adalah mapping satu-satu
maka 2n f(n f(n)
≠ ≠
2m f (m (m )
(iii)
Ambil sebarang a
∈G
*
, maka a merupakan bil bulat genap, dan a/2
bilangan bulat atau a/2 ∈ G. Jadi untuk a ∈ G* selalu ada b = a/2
∈G
sehingga f(b) = f(a/2) dan
a/2 = b ,jadi f merupakan merupakan onto . dari (i), (ii) dan (iii) terbukti bahwa f ; G - G* : isomorfisme
3.Diketahui G elemen tertentu dalam G. Didefinisikan f : G--- G : f(x) = g x g -1 Buktikan bahwa f isomorfisme dari G - G Penyelesaian: (i) ambil sebarang x,y ∈ G ;
x f(x ) = g x g -1 y f(y) = g y g-1 xy f(xy) = g (xy) g-1
f(xy) = g (xy)g-1= g x e y g-1 = g x g-1 g y g-1 =( g x g -1)( g y g -1)= f(x)f(y)
jadi f(xy) = f(x) f(y),maka f homomorfisme G G
(ii) f injektif jika setiap x,y∈ G
berlaku f(x) = f(y)
x=y
f((x) = g x g-1 dan f(y) = g y g-1 karena f(x) = f(y) maka : ( g x g-1) = ( g y g -1) g-1g x gg -1 = g-1g y gg -1 exe
=eye
jadi x = y
Karena berlaku f(x) = f(y)
(iii) f onto jika setiap y ∈ G, ada x
x = y, maka f injektif (satu – satu)
∈G
sedemikian sehingga f(x) = y
Ambil sebarang y ∈ G , ∃ x = g -1 y g , maka f(x) = f (g -1 y g ) f(g-1y g ) = g((g-1y g ) g -1 = (gg-1) y (gg-1) f(x) = y Jadi f adalah onto Dari (i) ,(ii) dan (iii) terbukti bahwa suatu f isomorfisme
SOAL-SOAL LATIHAN
1. Pemetaan mana yang merupakan homomorfisme, jika merupakan homomorfisme tentukan identitasnya a. G grup grup R-{0 R-{0} } denga dengan n operas operasii perka perkalia lian n G* - G , b. G dan G
*
(x) = x2 ,
x ∈G
seperti pada a , dengan
(x) = 2x
c. G grup grup bilang bilangan an real real dengan dengan operas operasii penju penjumla mlahan han G-- G* ,
(x) = x + 1 , ∀x ∈ G
d. Sepe Seperti rti pada pada c deng dengan an
(x) (x) = 15 x
e. G grup grup abel abelia ian n G ----- G* ,
(x) = 5 x ,
x ∈G
Penyelesaian:
a. G : [ R-{0 -{0}] dan G*--- G ,
x ∈G
(x) = x2 ,
Ambil sebarang a,b ∈ G, maka a -----
(a) = a2 , (b) = b2
b ------
(ab) = a2 b2 =
ab ---- karena
a,b ∈ G berlaku
(ab)=
(a)
(b)
maka homomomfisme identitasnya
adalah 1 [kenapa ?]
b. G dan G * seperti pada a ,dengan ambil x,y ∈ G
: x -----
(x) = 2x (x) = 2x (y) = 2y
y -----
(xy) = 2xy = (2x)y =(
xy-------
(x)y
( Jadi
≠
(x)
(y)
bukan homomorfisme
c.G grup bilangan real dengan dengan operasi penjumlahan penjumlahan G-- G* ,
(x) = x + 1 , ∀x
∈G
Ambil sebarang x,y ∈ G ; x ---- y ----
(x) = x + 1 (y) = y + 1
(x)y
(a)
(b)
xy----
(x+y) = x+y +1= (x + 1) +y
(x)+y = (x + 1) +y Jadi
d. Seperti pada c dengan
≠
(x)
(y)
bukan homomorfisme
(x) = 15 x
Ambil sebarang x,y ∈ G; x ----
(x) = 15 x
y----
(y) = 15 y
xy----
(x+y) =15 (x+ y) y) = 15 x + 15 y = (xy) =
(x) +
(x+y) =
Jadi
(x)
(y)
homomorfisme
= {x∈ G]
Iden Identi tita tass adal adalah ah 0 kare karena na K
(y)
Jika x = 0 ;
(x) = 0} (x) = 15.0 = 0
2. Jika F,G,dan H masing-masing grup : F---- G pemetaan homomorfisme µ :
G--- H pemetaan homomorfisme
Tunnjukkan
µ :
F -- H pemetaan homomorfisme
Bukti : ambil sebarang x,y ∈ F Maka ; ( µ = µ (
(x) = µ ( ( µ
Jadi berati µ
) (xy) = µ ( (x)) µ (
) (xy) = ( µ
( xy)) (y)) = ( µ (x)) ( µ
adalah pemetaan homomorfisme
(y))
(x)) ( µ
(y))
3.Diketahui (G,o) dan (G’, *) adalah dua grup Buktikan
(a-1) = (
:G ---
G’ isomorfisme
(a)) -1 untuk semua a ∈ G
(a)-1 =
AkanakanAkan Akanakan Akan dibuktikan
(a) *
Ambil sebarang a ∈ G ,G grup
∃
Perhatikan a.a-1 = e
a-1.a = e
(e)
(a-1.a) =
(a ) =
( e)
a-1 ∈ G sehingga a.a -1 = a-1.a = e
( a.a-1) =
(a)-1*
(a-1)=
(a) *
(a-1)*
(e)
(e)..(i)
(a)=
(e)..
(ii) Dari (i) dan (ii) diperoleh
Ini Ini bera berart rtii
(a-1) invers dari
(a) *
(a-1) =
(e)
dan
(a-1)*
(a)=
(a) atau
(a-1) =(
(e).
(a))-1 inve invers rs dari dari
[terbukti !]
4.G suatu grup , N subgrup normal dari G : G--G/N didefinisikan oleh Tunjukkan
(x)= Nx,
∀x ∈
G
homomorfisme dari G -- G/N
Bukti : (i) Akan dibuktikan homomorfisme Ambil sebarang x,y ∈ G , maka Sehingga
(x) = Nx dan
(y) = Ny
(x.y ) = N x.y = NN x.y
[karena normal]
= NxNy ...........Nx = xN {teorema} (x.y ) = Ini berarti
(x)
homomorfisme
(y)
(a) (a)
(ii) akan dibuktikan
onto (surjektif)
Ambil sebarang T ∈ G/N , jika T ∈ G/N
T = Nt ,untuk t ∈ G
T= ∀T ∈
Ini berarti
G/N t ∈ G sehingga T =
(t)
(t)
homomorfisme
3. AU AUTO TO MORF RFIS ISM ME
Automorfisme suatu grup G adalah suatu isomorfisme dari G onto dirinya sendiri, yaitu dari G ----- G Contoh a.
Jika Jika G grup bilangan bilangan real
dengan dengan operasi operasi penjum penjumlaha lahan n pemeta pemetaan an T
didefinisikan T: G---- G dengan T(x) = 2(x) - Ambil sebarang x,y ∈ G, x----- T(x) = 2(x), y------ T(y) = 2(y) xy------T(x+y) = 2(x+y) = 2x + 2y= T(x) + T(y) Jadi T merupakan homomorfisme ∈
T (G) ∈
(G) -Ambil sebarang x,y ∈ G,dengan Jadi untuk
x
≠
x
≠
y ,maka T(x)
y maka 2x
≠
≠
T(y), sehingga 2x
≠
2y
2y , T adalah mapping satu-satu
/.,mnbvcx -Ambil p ∈ G, ada q = p/2 ∈ G sehingga p --- T(q) ,jadi T mapping onto Kesimpulannya T:G---G adalah automorfisme
T
b.
Jika grup bilangan real positif dengan operasi perkalian Mapping F:G-----G didefinisikan F(x) --- x2
(i) Ambil x,y ∈ G , F(x) --- x2 , F(y) ----- y2, dan xy xy ---F(xy) --- (xy)2 (xy)2 = x2y2 = F(x)F(y), maka maka F homomorfisme (ii) Ambil sebarang x,y ∈ G,dengan
x
≠
y ,maka T(x)
≠
T(y), sehingga x 2
≠
y2 Jadi untuk (iii) Ambil p∈ G,ada q =
x
≠
p
y maka x2 ∈G
≠
y 2, T adalah mapping satu-satu.
sehingga p = q 2 atau p --- T(q),
jadi T mapping onto Kesimpulannya T:G---G adalah automorfisme
c. Jika G suatu grup, maka T (G) himpunan himpunan autom automorfism orfismee dari G adalah suatu grup. Bukti : akan dibuktikan dibuktikan bahwa T (G) suatu subgrup subgrup dari A(G) juga suatu grup. Misalkan Misalkan : t1,t2,
∈
T (G), maka t1,t2,
maka berlaku: (xy) t1 = (x t1) (y t1) (xy) t2 = (x t2) (y t2) (xy) t1t2 = ((xy) t1) t2 = ((x t1)(y t1) t2 = (x t1 t2)(y t1 t2)
∈A
(G), untuk semua x,y
∈ G,
Jadi t1,t2, ∈ T (G) Supaya T(G) suatu sub grup dari A(G), masih harus dipenuhi bahwa jika t ∈ T (G), maka t-1 ∈ T (G) Misalkan x,y ∈ G, maka (x t -1) (y t -1) t =(x t-1 t) (y t
-1
t) = (x e)(y e)= xy =
((xy)t-1) Jadi (x t-1) (y t -1) =((xy)t-1) ... berarti t-1 ∈ T (G) Dengan demikian T(G) suatu grup dan sekaligus A(G) merupakan grup.
Soal :
1. Berikut ini, maping yang manakah manakah merupakan merupakan automorfisme automorfisme ? a. G grup bilan bilangan gan bulat bulat denga dengan n operasi operasi penju penjumla mlahan han b. G grup grup siklik siklik dengan dengan order order 12, 12, T : x --------- x3 c. G grup S3 , T x ---- x-1 2. Misalkan G grup, H sub grup dari G. T pemetaan automorfisme automorfisme dari G Misalnya pula T (H) = ( T(h)/ h
∈ H).
Buktikan bahwa T(H) subgrup dari G.
3. Misalkan Misalkan G grup, T automo automorfisme rfisme dari G, N sub grup normal normal dari dari G Bukti kan bahwa T(N) subgrup normal dari G.
