Universidad Carlos III Teoría Microeconómica Hoja de problemas problem as 1: Equilibrio y eficiencia en economías economías de intercambio
x) y vino ( y y). Las 1.- Considere una economía de intercambio con dos individuos, A y B, y dos mercancías, comida ( x A A A A A x y ,y )= x y , preferencias preferencias de A y B se representan, respectivamente, por las siguientes funciones de utilidad: u ( x B B B B B u ( x x y ,y )=2 x + y .
(a) Suponga que se dispone de 3 unidades de x y 10 unidades de y. Dibuje una caja de Edgeworth para esta economía. ¿Es la asignación Z = ((2,4), (1,6)) factible? ¿Es eficiente en el sentido de Pareto? (b) Determine el conjunto de asignaciones eficientes en el sentido de Pareto. (c) Suponga que los agentes poseen unas dotaciones iniciales de estos recursos de ((2,0),(1,10)), que intercambian a precios determinados en el mercado. Calcule la asignación de equilibrio competitivo y compruebe que es eficiente en sentido de Pareto. (d) Suponga que la asignación Z en el apartado a) se acerca más que el equilibrio competitivo de c) a unos objetivos sociales determinados. ¿Es posible encontrar un vector de transferencias entre los agentes que hagan que Z sea sea el nuevo equilibrio competitivo?.
2.- Suponga que se dispone de cantidades fijas de x e y para dividirlas entre los individuos A y B. Para cada uno de los escenarios a), b) y c) que se describen a continuación, se pide: i) Representar curvas de indiferencia; ii) Construir la caja de Edgeworth asociada al problema de asignación de recursos y iii) Determinar el conjunto de asignaciones eficientes.
(a) A los dos individuos les disgustan x e y. (b) A los dos individuos les disgustan x pero les gusta y. (c) Al individuo A le gusta x y le disgusta y, al individuo B le gusta x e y.
3.- Considere el problema de dividir 10 unidades de x y 10 unidades de y entre dos individuos A y B. Las funciones de A A A A A B B B B B x y x y ,y )=Min{2 x , y }. utilidad de ambos individuos son, respectivamente, u ( x , y )=Min { x , 2 y }, u ( x
(a) (b) (c) (d)
Represente las curvas de indiferencia de cada individuo. Construya la caja de Edgeworth asociada a este problema de asignación de recursos. Determine el conjunto de asignaciones eficientes. Suponiendo que el individuo A posee inicialmente las 10 unidades de x y que B posee las 10 unidades de y, determinar los precios de equilibrio competitivo. (e) Suponga que el precio de x sufre un ligero aumento respecto de su nivel de equilibrio. ¿Conseguirán las fuerzas de mercado que el precio de x vuelva a su nivel inicial? Explique su respuesta.
4.- Considere una economía con dos individuos y dos bienes. Las utilidades y dotaciones iniciales son u1=2 x1+ y1, w1=(1/2,1/2), u2= x2+2 y2, w2=(1/2,1/2)
(a) (b) (c) (d)
Encuentre el equilibrio competitivo. ¿Se igualan las RMS entre los dos individuos? ¿Es la asignación de equilibrio eficiente en sentido de Pareto? Suponga que alguien decide que la asignación (x 1,y1)=(3/4,0), (x2,y2)=(1/4,1) es mejor. Muestre qué transferencias de dotaciones iniciales permiten que sea alcanzada en equilibrio competitivo. (Nota: Cuidado con las soluciones esquina.)
5.- En una economía de intercambio hay dos consumidores A y B, con dotaciones iniciales de dos bienes x e y, A A B B A A A (e x ,e y )=(50,60) y (e x ,e y )=(20,10). El individuo A tiene unas preferencias descritas por su función de utilidad u ( x ,y )= A A B B B B B x y . El individuo B tiene función de utilidad u ( x ,y )=min { x ,y }.
(a) Calcule la asignación de equilibrio general competitivo (precios y cantidades de equilibrio) en esta economía. Compruebe que dicha asignación es eficiente. (b) Suponga que se considera que la asignación resultante en (a) es muy desigualitaria. Comente brevemente (sin ningún tipo de cálculo) cómo debería realizarse en general la redistribución para que la asignación final satisfaga el criterio de eficiencia. Justifique su respuesta.
Universidad Carlos III Teoría Microeconómica Hoja de problemas 2: Equilibrio y eficiencia en economías con producción
6.- Considere un agricultor que dispone de 20 hectáreas de tierra ( L) que puede dedicar al cultivo de trigo ( t ) o maíz (m). t 1/2 m Las funciones de producción del trigo y del maíz vienen dadas por t =( L ) y m= L .
(a) Represente la frontera de posibilidades de producción del agricultor. (b) Suponga que las preferencias del agricultor se representan mediante la función de utilidad u(t ,m)=ln(t )+ln(m). Si el granjero utiliza todo lo que produce para consumir. ¿Cuánto producirá de cada uno de los bienes? (c) Suponga que el granjero pude comprar y vender trigo y maíz al precio relativo pw/ pm = 1. ¿Cuánto producirá? ¿Cuánto consumirá?
7.- Suponga que el agricultor del problema anterior, que denotamos por A, intercambia con otro agricultor B que tiene las t m mismas preferencias que A pero cuyas tecnologías son t = L y m= L y que posee 40 hectáreas de tierra.
(a) Suponiendo que A y B intercambian trigo y maíz a precios determinados por el mercado, ¿cuál será la asignación resultante de este intercambio? (b) Describa la estructura del intercambio, e.d., determine cuál de los dos individuos es demandante neto de cada bien. Explique esta estructura en términos de la ventaja comparativa de cada agricultor.
8.- Suponga que se dispone de 24 unidades de tierra ( L) y 4 unidades de capital ( K ) que pueden asignarse a la producción de comida ( x) y de bebida ( y). La producción de los dos bienes depende de los factores de acuerdo con estas ecuaciones: x
x
x x
x= f ( L , K )= L K y y y y y= g ( L , K )=( L +4) K
Además, existen dos consumidores con preferencias descritas del siguiente modo: A
A A
A A
u ( x , y )= x y B B B B B u =( x , y )=( x -14) y
(a) Obtenga la ecuación de la frontera de posibilidades de producción. x x y y A A B B (b) Determine si la asignación {( L ,K ), ( L ,K ), ( x ,y ), ( x ,y )} = {(14,2), (10,2), (5,10), (23,18)} es eficiente en el sentido de Pareto. (c) Suponga que cada individuo es dueño de la mitad de los recursos iniciales. ¿Encuentra alguna dificultad a la hora de calcular el equilibrio competitivo?
9.- Consideremos una economía con dos individuos, A y B, y una empresa. Cada consumidor posee una dotación de 1 i i unidad de tiempo, que puede dedicar al ocio ( l ) o al trabajo ( L ). Además, el consumidor A es propietario de 5/6 de la empresa, mientras que B posee sólo 1/6. Los consumidores tienen preferencias sobre comida ( y) y el ocio (l ) representadas A A A A 2 A B B B B B por las siguientes funciones de utilidad: u (l ,y )=(l ) ( y ), u (l ,y )=(l )( y ). La empresa produce comida con una tecnología dada por la función de producción, y=2 L donde L= LA+ LB:
(a) Se pide determinar el equilibrio competitivo para esta economía. Tome como numerario el precio de la comida. A B (b) Repita el apartado anterior con la función de producción y=( L )2/3( L )1/3. (Sugerencia: Despeje los salarios en A B función de L y L en las condiciones de primer orden del problema de maximización de la empresa y sustituya estas expresiones en la función de beneficios. Esto simplificará mucho los cálculos.) 1/2 (c) Repita el apartado anterior con la función de producción y=L .
(d) Considere la situación tras las elecciones individuales en (c). El Estado considera que el reparto de la comida es poco igualitario y decide confiscar toda la cantidad producida ( y) y repartirla a partes iguales entre los dos individuos ¿Es la asignación resultante de la intervención del Estado eficiente? Justifique la respuesta. (e) Siguiendo con la tecnología definida en (c), determine el salario, los beneficios de la empresa y la asignación resultante del equilibrio competitivo suponiendo que se han transferido acciones del individuo A al B de forma que ahora tanto A como B son propietarios de la mitad de la empresa. Compare esta asignación con la obtenida en el apartado (d).
10.- Suponga que se dispone de 40 unidades de trabajo ( L) y 10 unidades de capital ( K ) que pueden asignarse a la producción de películas de cine ( x) o sardinas ( y). La tecnología de producción de dichos bienes está caracterizada por las 1/2 1/2 1/2 1/2 ecuaciones x=f ( L x ,K x)=L x K x , y=g ( L y ,K y)=2L y K y . Además, existen dos consumidores, A y B, con preferencias A A A A A B B B B 2 B descritas por las funciones de utilidad u ( x ,y ) = x y , u ( x ,y ) = ( x ) ( y ).
(a) Obtenga la ecuación de la frontera de posibilidades de producción y represente gráficamente el conjunto de posibilidades de producción de esta economía. A A B B (b) Considere las asignaciones {( L x ,K x) , ( L y ,K y), ( x ,y ), ( x ,y )} siguientes: {(16,4),(24,6),(4,16),(4,8)} {(22,5.5),(18,4.5),(7,14),(4,4)} (c) Indique si son factibles y si son eficientes en el sentido de Pareto. Para las asignaciones que no sean Paretoeficientes, sugiera en qué dirección deberían cambiar las asignaciones para alcanzar la eficiencia. • •
11.- En una economía existe un solo individuo, A, que salvo 6 horas que tiene que destinar a dormir, dispone de 18 horas al día que puede destinar al ocio o al trabajo. Las preferencias del individuo están representadas por la función de utilidad U A(l A ,x A)=log l A+2log x A, donde l A representa el número de horas de ocio de las que disfruta (por encima de las 6 horas necesarias para dormir) y x A es el número de unidades de un bien de consumo que consume. El individuo no tiene ninguna dotación inicial del bien de consumo, pero existe una empresa que puede producir dicho bien utilizando trabajo como 1/2 input; la función de producción de la empresa es x= f (l x)=(l x) . El individuo es dueño de la empresa. Sean w y p, respectivamente el salario y el precio del bien de consumo. En lo que sigue, suponga que tanto la empresa como el consumidor actúan de manera competitiva.
(a) Halla la función de demanda de trabajo de la empresa, l x(w ,p) y la función de oferta de producto de la empresa, x(w ,p). (b) Halla la función de beneficios de la empresa ( w ,p). (c) Halla las funciones de demanda del bien de consumo y de ocio del individuo, x A(w, p) y l A(w, p), recordando que, siendo dueño de la empresa, tiene derecho a los beneficios calculados en el apartado anterior. (d) Dadas las soluciones a los apartados anteriores, halla las precios y asignaciones de equilibrio walrasiano de esta economía, (w*, p*,l A*, x A*,l x*, x*). (e) Representa cuidadosamente el equilibrio que has encontrado en el partado anterior en un gráfico con l A en el eje horizontal y x A en eje vertical, dibujando: (i) La frontera de posibilidades de producción; (ii) La dotación inicial del individuo; (iii) La curva de indiferencia del individuo que pasa por su asignación de equilibrio y (iv) La recta de precios de equilibrio.
Universidad Carlos III Teoría Microeconómica Hoja de problemas 3: Externalidades 1. Sean A y B dos consumidores en una economía de intercambio, cuyas preferencias vienen dadas por las funciones de utilidad siguientes: A A A A A u (x ,y ) = ! ln x + y B A B A 2 B u (x ,y ) = - " (x ) + y de manera que el consumo que el individuo A hace del bien x produce desutilidad al individuo B (por ejemplo, el humo del tabaco). Suponga que no hay límite en la cantidad de bien x, y que las dotaciones iniciales del bien y suman w y. A
(a) ¿Cuál será la cantidad de x socialmente eficiente? (b) ¿Cómo se vería afectada dicha cantidad por normas sociales o legales que atribuyesen al individuo A el derecho a consumir el bien x o, al contrario, que atribuyesen al individuo B el derecho a no sufrir el mal? A A A B B B (c) Si en este caso los individuos se planteasen maximizar la "utilidad conjunta", dada por u (x ,y )+u (x ,y ), ¿se A habría llegado al mismo nivel de x ? ¿Es general este resultado? Justifique su respuesta.
2. Considere una economía de intercambio con dos individuos ( A y B), un bien privado ( x), y un bien ( y) que produce una externalidad negativa al individuo B si es consumido por el A. Las preferencias de los dos individuos se representan por las funciones de utilidad A A A u (x ,y) =x y B B B u (x ,y) = x -y
Cada uno de los individuos dispone inicialmente de 20 unidades de bien privado. La cantidad inicial de bien y es de 40 unidades. (a) Represente en un diagrama similar a una caja de Edgeworth el conjunto de asignaciones factibles. A B (b) Represente las dos curvas de indiferencia (una para cada individuo) que pasan por el punto ( x ,x ,y) = (20, 20, 40). ¿Es la asignación (20, 20, 40) eficiente? (c) Caracterice el conjunto de asignaciones eficientes. (d) Suponga que los derechos de propiedad sobre el bien y le corresponden al individuo A. Es decir, A puede decidir cuántas unidades de este bien van a consumir los dos individuos. Si los dos individuos actúan de forma independiente, ¿Cuál será la asignación resultante? ¿Cambiaría su respuesta si los derechos de propiedad sobre el bien y correspondieran al individuo B? Si los dos individuos deciden de forma coordinada la cantidad de bien y que van a consumir, ¿entre qué asignaciones espera que se produzca el acuerdo? Señálelas gráficamente.
3. Una acería está situada junto a un río, al que vierte residuos contaminantes como consecuencia de su producción. Río abajo, una piscifactoría ve perjudicada su producción de pescado a causa de la contaminación del río. Cuanto mayor es el nivel de producción de la acería, menor es el beneficio que la piscifactoría puede obtener. Sea X la producción diaria de acero en toneladas, e Y las toneladas de pescado producidas diariamente por la piscifactoría. Los beneficios totales de la 2 2 60Y - Y - XY, donde el último término de acería son # X =96X - X mientras que los beneficios de la piscifactoría son # Y = la función de beneficios de la piscifactoría refleja el efecto negativo de la producción de acero sobre la producción de pescado a causa de la contaminación.
(a) Suponga que cada empresa decide su nivel de actividad, de manera que la acería ignora las consecuencias negativas de su producción sobre la producción de pescado. Obtenga las cantidades producidas de acero y pescado, así como los beneficios resultantes en cada empresa y la suma total de sus beneficios. (b) Suponga que los tribunales obligan a la acería a suspender su producción de forma indefinida a causa de la externalidad negativa que produce a la piscifactoría. Obtenga en este caso los beneficios totales de la piscifactoría.
(c) Suponga por el contrario que los tribunales declaran responsable a la acería de los daños producidos a la piscifactoría por la contaminación. Dado que los beneficios de la piscifactoría en ausencia de externalidad 2 serían # Y = 60Y - Y , la cantidad total con la que la acería tiene que compensar al propietario es igual a XY . Escriba las funciones de beneficio de la acería y de la piscifactoría teniendo en cuenta que la acería debe compensar a la piscifactoría por continuar su actividad. Obtenga las cantidades producidas y los beneficios de cada una de las empresas. (d) Suponga que ambas empresas deciden fusionarse, de manera que maximizan los beneficios conjuntos de ambas actividades. Obtenga las cantidades producidas de acero y pescado, así como el beneficio total de ambas empresas. Use su respuesta en este apartado para comentar sobre las políticas en (b) y (c).
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4. En el ejercicio anterior suponga que existe una segunda piscifactoría cuya función de beneficios es # Z = 60Z - Z - XZ .
(a) Calcule las producciones eficientes en cada una de las piscifactorías y en la acería, así como las cantidades de contaminación que estas asignaciones implican. Calcule las producciones de equilibrio en la situación en que las empresas maximizan su beneficio ignorando cualquier posibilidad de acuerdo. Calcule los beneficios en ambos casos. (b) Suponga que cada una de las piscifactorías negocia simultáneamente y por separado con la acería una reducción de las emisiones respecto de la situación de equilibrio calculada en el apartado anterior. ¿Cuáles son las producciones y beneficios resultantes? Compare con las respuestas en (a). (c) Suponga que la acería tiene la capacidad de realizar una oferta final a las piscifactorías sobre cuánta contaminación emitir a cambio de una compensación económica por cada una de ellas. Si al menos una rechaza la oferta, las empresas actuarán según el equilibrio en (a). Si ambas piscifactorías aceptan, se comprometen todas a actuar según los términos de la oferta. ¿Cuál será la oferta de la acería? Calcule las producciones y beneficios y compare con las respuestas en (a) y en (b). Pista: las piscifactorías aceptarán la oferta si les proporciona por lo menos los mismos beneficios que la situación de equilibrio sin acuerdos. (d) ¿Cómo cambiarían las producciones y los beneficios en (c) si fuera una de las piscifactorías la encargada de hacer la oferta final? ¿Cómo cambiaría si en caso de no aceptarse la oferta las empresas se comportaran como en (b)? Pista: No hace falta resolver, basta con plantear los problemas y observar.
5. En el polígono industrial de una pequeña localidad se han instalado dos empresas X e Y dedicadas a la transformación de conservas de carne y conservas de pescado respectivamente. A medida que se produce en ambas fábricas, los trabajadores aprenden a desarrollar su trabajo de manera más eficiente y este conocimiento permite, para un número de trabajadores dado, aumentar la producción.
Sea K el capital tecnológico generado por ambas empresas, donde K=XY , siendo X e Y las cantidades producidas por cada x 1/2 y 1/2 x y una de las empresas. Las tecnologías de producción de ambas empresas son X=0,5(L +K) , Y=(L +K) , donde L , L son las cantidades de trabajo demandadas por X e Y respectivamente, y K es el capital tecnológico común a ambas empresas. El trabajo es contratado por ambas empresas en un mercado homogéneo al precio de una unidad monetaria por unidad de trabajo contratada. Las empresas venden en mercados competitivos los bienes X e Y a los precios respectivos de 300 y 200 unidades monetarias por unidad de producto. (a) Determine la cantidad producida y el beneficio de cada empresa suponiendo que ambas maximizan x y individualmente sus beneficios (Pista: obtenga las funciones de costes C(X), C(Y) despejando L , L en las funciones de producción respectivas y exprese las funciones de beneficio en función de X e Y ). ¿Es eficiente esta situación? ¿Por qué? (b) ¿Cuál es el beneficio adicional que la empresa X conseguiría si Y aumentara su producción en una unidad? ¿Y el beneficio adicional para Y si X aumentara su producción en una unidad? (c) Suponga que la empresa X compra la empresa Y , de manera que producirá las cantidades de ambos bienes que maximizan su beneficio conjunto. Compare las cantidades producidas y el beneficio obtenido con las cantidades producidas en (a) y la suma de los beneficios que ambas empresas obtenían en (a).
6. Una cofradía de pescadores que tiene los derechos sobre un determinado banco de pesca está considerando cuántas licencias de pesca conceder, teniendo en cuenta que cuesta 20 dólares al mes poner en funcionamiento una barca de pesca, 2 y que los ingresos mensuales totales que pueden obtenerse de la pesca vienen dados por la función f(x) = 10 (10x - x ) donde x es el número de barcas que faenan en el banco de pesca. Se supone que cada barca obtiene los mismos ingresos.
(a) Represente en un solo gráfico (con x en el eje de abcisas) los ingresos medios por barca, así como el ingreso marginal, y el coste de una barca. (b) Si las licencias son gratuitas, ¿cuántas barcas se dedicarán a la pesca? ¿Qué beneficio obtiene cada barca? (c) ¿Cuál es el número de barcas que maximiza los ingresos de la cofradía? (d) Si se quiere limitar el número de barcas a aquellas que maximizan los beneficios totales, ¿qué cantidad mensual debería cobrar la cofradía por cada licencia de pesca?
7. Un banco de pesca en el área de Nueva Inglaterra puede dividirse en dos zonas de acuerdo con la cantidad de pesca existente en cada una de ellas. En la zona A existe un mayor número de peces por km. cuadrado, pero el esfuerzo pesquero está sujeto a fuertes rendimientos decrecientes. El volumen de capturas diario (medido en toneladas) en la zona A sigue la 2 relación F 1=200 X 1 - 2( X 1 ), donde X 1 es el número de barcos que faenan en la zona. En la zona B el número de peces por km. cuadrado es menor, pero los rendimientos decrecientes constituyen un problema menor. La relación entre el volumen 2 de capturas diario en esta zona y el número de barcos que faenan en esta zona ( X 2) es F 2=100 X 2 - ( X 2 ).
El gobierno de los Estados Unidos ha concedido licencias de pesca para faenar en las dos zonas a 100 barcos. El precio del pescado capturado es de 100 $ por tonelada. El coste diario de cada barco es de 1000 $. Responda a las siguientes preguntas. (a) Si a cada barco con licencia se le permite pescar en cualquiera de las dos zonas, ¿Cuántos pescarán en cada zona? ¿Cuál será el valor bruto de las capturas realizadas? (b) Si el gobierno puede decidir en cuál de las dos zonas puede faenar cada uno de los 100 barcos a quienes ha concedido la licencia, ¿Cuántos debería asignar a cada zona? ¿Cuál será ahora el valor bruto de las capturas realizadas? (c) Suponga que otros barcos solicitan licencia para pescar en las aguas de Nueva Inglaterra. Si el objetivo del gobierno es maximizar el valor neto de las capturas, ¿Debería concederlas? Razone su respuesta.
8. En un pequeño condado medieval el señor conde posee todas las tierras (200 hectáreas), mientras que los 18 campesinos no poseen ninguna propiedad. Los campesinos están pensando en hacer una revolución. Para ello cada campesino puede dedicar un esfuerzo ci. El número de hectáreas ( H ) que se apropiarán dependerá del esfuerzo total según la función H =!ci. La función de utilidad de cada campesino es de la forma ui( H ,ci)= H 2(100-ci).
(a) Calcule el equilibrio en que cada campesino aporta voluntariamente una cantidad de esfuerzo. (b) Calcule la asignación óptima del esfuerzo desde el punto de vista de los campesinos. ¿Con cuánta tierra se quedarán los campesinos? Compare con el apartado anterior.
9. Una tienda de discos y una librería situadas en el mismo centro comercial saben que el número de clientes que compran en sus respectivas tiendas depende del dinero invertido en publicidad. Sean d , l las cantidades invertidas en publicidad por la tienda de discos y la librería respectivamente. Las funciones de beneficio de ambas tiendas, que dependen del gasto en 2 2 publicidad, son respectivamente: "d=(60+l )d -2d y "l=(y245+d )l -2l .
(a) Suponga que ambas tiendas creen que las cantidades que cada una invierte en publicidad son independientes. Determine la inversión que cada tienda haría en publicidad y los beneficios respectivos de cada tienda. (b) ¿Podrían ambas tiendas obtener mayores beneficios? Justifique la respuesta. En caso afirmativo, obtenga la cantidad que debería invertir en publicidad cada tienda. Proponga un posible mecanismo que permita maximizar los beneficios totales de ambas tiendas.
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10. Entre dos empleados se produce un resultado x= f (a1,a2)=a1 a2 en donde x es, por ejemplo, el ingreso y ai es el esfuerzo que realiza el empleado i. Los dos empleados deben decidir el esfuerzo simultáneamente. Considere la regla de 2 reparto si( x)= x/2 y las funciones de utilidad ui= si- ai .
(a) ¿Cuál es el esfuerzo que realizan los agentes en equilibrio? ¿Qué valores toman el ingreso y las utilidades? (b) ¿Cuál es el esfuerzo óptimo que cumple a1=a2? ¿Cuáles son los valores de x y de ui? ¿Por qué difieren la respuesta con la obtenida en (i)? (c) Considere la nueva regla de reparto si( x)= D x i . Calcule el valor de Di para que el equilibrio con esta nueva regla sea eficiente. ¿Cómo podría ser posible que se repartiera esta cantidad? Nota: no hay ninguna restricción en los valores de Di.
