BABINI
IA SUCINTA MATEMÁTICA
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C R E A C I Ó N
ESPA SA-CALPE,
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L a C O L E C C I Ó N A U S T R A L p u b lic a : Los libros de que se hablarlos libros de éxito perman en te; los libros, libros, que usted desea ba leer ; los libros libros que aún no había leído porque eran caros o circulaban en malas ediciones sin garantía; los libros de cuyo conoc i m i e n t o n i n g u n a p e r s o n a c u l t a p u e d e p r e s c i n d i r ; lo lo s libros que marcan una fecha capital en la historia de l a l i t e r a t u r a y d e l p e n s a m i e n t o ; l o s li li b r o s c lá lá s ic ic o s — d e a y e r , d e h o y y d e s ie ie m p r e — . L a C O LE L E CC CC IÓ IÓ N A U S T R A L ofrece ediciones íntegras autorizadas, bellamente pres e n t a d a s , m u y e c o n ó m i c a s. s. . L a 1 C OL OL EC EC CI CI Ó N A U S T R A L publica libros para todos los lectores y un libro para el gusto de cada lector
JOSÉ BABINI C o n l a p u b l i c a c i ó n d e HISTORIA SUCINTA DE LA MATEBabini, la COLECCI COLECCIÓN ÓN AUST RA L cum MÁTICA, po r José Babini, p l e , u n a v e z m á s , su m i s i ó n r ! d i v u l g a d o r a d e t o d o s los aspectos de la cultura general. José Babini, el conocido profesor argentino, qj.gs* de cuyas obras ya enriq u e c e n n u e s t r o c a t á l o g o : ArqÜLÍmedes e Historia sucinta expe*ft ft& & en la m ate ria, q ue un e a de la ciencia, es un expe* sus grandes conocimientos y a una singular aptitud interpretativa de los fenómenos científicos un absoluto d o m i n i o d e l le le n g u a j e ^ ^ u n c l a r o y s e g u r o e s t i lo lo d e e s critor que ayuda m e j o r a p r e c i a c ió ió n p a r a t o d a suerte de lectores ' t e m a r i o q u e t r a t a e n e s ta ta o b ra ra , en la que en formá^:r formá^:resbozada. b re ve y sin detalles t éc nicos ex po n e e l (desarrol (desarrollo lo histórico histórico de la la M atem ática, desde la Antigtjéaad hasta los comienzos del presente s ig lo s , S e h a d i c h o — r e c u e r d a e l a u t o r — q u a la la v i d a está impregnada de matemática, y nunca cqitio ahora e l h o m b r e , í £ yf yfv e e n p e r m a n e n t e c o n t a c t o c o n d os os m u n d o s s a t u r a d ó s d e m a t e m á t i c a : l a t é c n i c a y la la e c o n o m í a ” . d e s p u és é s d e d e te t e n e r s e e n l o s si s i st st em em a s d e n u m e r a c i ó n ^ p r o fe f e s o r B ab a b in in i r es e s en e n a e l p e rí r í o d o c lá lá si sic o d e l a M a t e í ú a t i c a — s us us g ra r a n d e s p r o p u l so s o r e s : E u c li li d e s, s, A r q u í u í e á e s — , y p a s a n d o p o r u n / in in t er e r m e d io io e n e l q u e a n a l iz iz a e l a p o r t e o r i e n t a l y e l á r a b e a l a m a t e m á t i c a occidental hasta fines de la Edad Media, se detiene en l a m a t e m á t i c a r e n a c e n t i s ta t a — l o s a l g eb e b r i st s t a s it it a l ia ia n o s d e l s ig ig l o x v i — , l o s l o g a r i tm t m o s y l as a s f ra r a c c io io n e s d e c i m a l e s — e l Á l g e b r a , l a T r i g o n o m e t r í a y l a G e o m e tr t r ía ía — para introducirnos en la matemática moderna, siendo notable el capítulo que dedica a la matemática ilumi n i s t a /q u e a b r e n u e v o s c a m i n o s a l a ~ d e l s i g lo lo x i x , e n él que la Matemática, en un esfuerzo extraordinario, sup eró a los ve in titrés siglos siglos an teriores, Újadependizán Újadependizán ^ose de la filosofía y del mundo exterior, y deTa cien cia~IíatúraT7'“K cia~IíatúraT7'“K astar^pro bár q ue justífxca" justífxca"""e ""ell n o m b re —en s i n g u l a r — c o n q u e h o y s e l a d e s ig i g n a , h a b i en e n d o c o n f iigurado su Estructura científica, abstracta, fundada bajo e l s i g n o d e l T ig & i’, l i’, p o r l o q u e — c o m o t e r m i n a a u g u r a l m en te el autoi autoir^ r^— —: “El siglo x x v er á e leva rse esa es t u c t u r a c o n u n c a r á c t e r a ú n m á s a b s t r a ct ct o , s i c a b e ”
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E S P A S A - C A L P E ,
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HISTORIA SUCINTA DE LA MATEMÁTICA
COLECCIÓN AUSTRAL N.° 1142
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JOSÉ BABINI
HISTORIA SUCINTA DE LA MATEMÁTICA /
TERCERA
EDICIÓN
ESPASA-CALPE, S. A. MADRID •i
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Ediciones especialmente autorizadas por el autor para la C O L E C C IÓ N
AUSTRA L
Prim era edición: edición: 18 - X I I - 1962 Segunda Segunda edición: 22 - V I - 1953 Tercera ed ición : 14, - X I - 1969 O
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Espasa-Calpe, S. A., 1952
Depósito Depósito legal: M . 22.874— 22.874— 1969
Printed in Spain Acab ado de im p ri m ir el día 14 de noviem bre de de 1969 1969 Talleres tipográficos de la Editorial Espasa-Calpe, S. A* i Ríos Rosas, 26. Madrid
ÍNDICE INTRODUCCIÓN
Página3
1. — — E l ic o n t a r . . . .'.................................................. .' .................................................. ' ......... 2. -— Los sistemas de nu m era ción ................................ 3. — Medidas de de áreas y de de volúm enes ...................... 4. — Los proble problemas mas aritmé aritmé ticos y algeb raico s ..........
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E L P E R I O D O C L Á S IC O
5. — La cult cultur ura a grie gr iegg a ................... ....................... 6. — La matemática matemática del del período período helénico................ 7 —-L .—-Los os joni jo nios os ................ - .................... .................... ................... 8. — Los pitagóricos pitagó ricos .....: ......................... ............... 9.-— Los eleatas.............. eleatas....... .............. ............... ............... ........... ..................... 10. — L a Academia y el L ice ic e o................................... ................................... 11. > — Los tres problemas problemas clásic clá sicos os... ....... ....... ....... ........ ....... ....... ....... ..... .. 12. — La edad edad de oro de de la matemática gr g r i e g a ......... 13. — — Euclide Euclidess y los los « E l e m e n t o s » ’ .......... ............ 14. —^Ar —^Arqu quím ímed edes es.............. . . . . ............... . ............ 15. — La matemática matemática g r ie g a ..................................... ..................................... 16. — Epígonos y comentarista comentaristas. s. Diof D iofaxi axito to................ i
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INTERMEDIO
17.— L a m atem ática en en O ccidente ccidente hasta finés finés de de la
A lta lt a Ed Edad ad M edia ed ia................................ ............................................ ............ 18. — El aporte orien ori ental tal ...................... .................... ............... ............... ............... 19. — La ma mate temá máti tica ca ára ár a b e ; ..... 1 20. — La época de 1^ tran transm smis isió ión n............ ................. 21. — — E l despertar matem mat emátic ático*....................... o*.................................
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IN D ICE
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LA MATEMÁTICA RENACENTISTA 22. 23. 24. 25.
— E l renacimiento renacimiento de de la ma matem temáti ática ca ................... — Los algebristas italianos del del siglo x v i. .... ........ — Los logaritmos logaritm os y las fracciones decimales decim ales ..... — E l álgebra, álgeb ra, la trigono trig onome metría tría y la geometrí geom etría. a. . .
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LA MATEMÁTICA MODERNA 26. — La geometría ana analítica lítica ....... .........................•; 27. — L a teor te oría ía de los los núm número eros, s, las probabilidades y la geometría proyectiva ................................. 28. — E l análisis análisis infinitesimal: los los precursores precur sores ......... 29. — E l análisis infinitesimal: los los fundador fund adores......... es......... 30. — E l análisis infinitesimal: los los continu con tinuado adores... res...,. ,.
31. 32. 33. 34.
LA MATEMÁTICA ILUMINISTA ■i — Euler Eul er y la sistematizac sistematización ión del del aná anális lisis is ............ — El siglo de oro oro de de la matemática franc fra nces esa a ..... — El renacimi renacimiento ento de de la geom ge ometr etría ía ..................... — La física físic a matemática......................................
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EL SIGLO XIX 35. 36. 37. 38. 39.
— Gauss y las las geomet geometrías rías no eucl euclid idia iana nas. s. . . . . . . . . 115 ....................... .120 -r—La aritmetización del ^análisis. ....................... — La geometría geometría proyectiva ........ ............... . . 12 124 4 —-La historia de la matemática ............ . . . . . . 126 — El álgebra y la la teor teoría ía de de los grup grupos os T. . . . . . . . . . . 3^28 40. — La matemática a fin fines del del siglo x ix. ix . ...... ....... 130 *
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a l f a b é t ic o
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INTRODUCCIÓN (*)
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§ 1,— tEL CONTAR ‘
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Se ha señalado con razón que la vida humana está como ^imp ^impreg regnad nada/ a/de de matemática. mate mática. En efecto efe cto,, g ra n p arte ar te de los los j u i c i os /de comparación qu que e el hombre hom bre form for m ula , así como ciertos gestos y actitudes de la vida diaria, aludem consciente e inconscientemente, a juicios aritméticos y a propiedades geométricas; sin olvidar que el hombre, en especial el hombre contemporáneo, vive en permanente contacto con dos mundos saturados de matemática: la técnica y la economía. Pero Pe ro la actividad activid ad qu que e m ejor ejo r comprueba la densidad de la atmósfera matemática que rodea al hombre, es sin duda el contar, proceso que a la par de frecuente, se presenta en el hombre tan arráigádo como el pensar y el hablaiyy cuyo origen ha de verse, pues, en la lejana "y confusa penumbra que envuelve al origen del hombre y de sus sus mitos. mito s. ( * ) Este Es te libro comprende un ,esbo esbozo zo,, ,, brev br eve e y sin detalles técnicos, del desarrollo histórico de la matemática, desde la antigüedad hasta comienzos del siglo XX. Sigue en líneas generales nuestra Historia de la matemática (escrita en colaboración con Julio R e y P a s t o r y publicada por esta misma editorial, Buenos Aires, 1952), obra a la cual remitimos los lectores que desean comple y , en especial, conocer los fundamentos hismentar ese desarrollo y, tóricos tóri cos y lo^ caracteres carac teres d$ la ’ matemática actual. : ’
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La etnografía, que al estudiar los pueblos primitivos actuales arroja, por comparación, alguna luz sobre el hombre prehistórico, no hace sino comprobar este hecho. Así, én el léxico de todos los pueblos primitivos se señala un conjunto de palabras, más o menos extensos, que puede puede considerarse cons iderarse (como (como la form a rudimentaria rudim entaria de un sistema de numeración hablada. Igualmente, aparece en los pueblos primitivos una gran variedad de procedimientos de cómputos que no se presentan, como entre nosotros, bajo la forma de una correspondencia de tipo cuantitativo entre el con jun ju n to de o b jeto je toss a contar con tar y un conjunto,, concreto concr eto o abstracto, de referencia; sino como relación cualitativa de uns^signo/a uns^signo/a la cosa cos a \siguiñeada/ \siguiñeada/, siem ie m pre b ajo e l ( im perio de la imagen concreta, pues el ejemplo abstracto no cabe en la mentalidad primitiva. Por último, ciertos objetos materiales: hojas secas, piedrecilla^, etc., pueden hacerse intervenir para facilitar los cómputos; objetos que, a su vez, pueden considerarse los precursores de los instrumentos primitivos de ¡calcular: ¡calc ular: las cuerdecillas cuerdec illas con nudos nudos (de las que el ejemplo más conocido es el «quipo» peruano) y los ába cos de bolillas o botones, que se quiere hacer descender de aquéllas. Tales dispositivos adquirieron una difusión universal, en el tiempo y en el espacio. Se ha explicado este hecho considerando la cuerdecilla con nudos como una heren her encia cia de la las_ civilizac civ ilizacion iones es agrícolas agríc olas m atriar atr iarca ca-les, y admitiendo como centro de difusión la actual región de China, donde aún se encuentra en 'uso el ábaco. , , , I § 2.— LOS SISTEMAS SISTEMAS DE DE NUME NUMERA RACIÓ CIÓN N
La historia, por su parte, comprueba la simultaneidad del hablar y del contar, pues con los primeros sistemas de escrituras conocidos: el de los antiguos sume rios y el de los egipcios, allá por el cuarto milenio antes
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de Cristo, aparecen también los primeros sistemas escrito s de numeración. Y precisamente, uno de los los sistemas de numeración de los antigqos sumerios es el sistema sexagesimal que todavía hoy utilizamos en las medidas de los ángulos y del tiempo. Una observación empírica es que todos los sistemas conocidos de numeración tienen por base el número 10 o un número relacionado con él: 5, 20, 60...; hecho cuya explicación, plausible^ es que los dedos de las manos constituyen, en el contar y en el calcular, el recurso aux iliar iliar más prim itivo. i Con tales sistemas de numeración el hombre no sólo ha podido escribir los números enteros sino operar con ellos, por lo menos en el caso de las operaciones más simples. Recursos de otra índole, muy variados, permitieron expresar y operar con las fracciones. En este sentido es característico el sistema de los egipcios que operaban exclusivamente con fracciones de numerador 1, hecho que les obligó a descomponer una fracción cualquiera en suma de fracciones de numerador unitario. Esta descomposición, que para nosotros hoy no deja de constitu ir úná úná interes inte resan ante te ^puesiáórL aritm arit m ética, étic a, fu e resue res uelta lta por los egipcios en forma empírica, y en uno de los documentos matemáticos más antiguos que se conocen: el papiro pap iro Rhind, de principios princ ipios del Isegu Isegund ndo o m ilenio antes de Cristo, aparecen descompuestas en suma de fracciones de numerador unitario las primeras 50 fracciones de numerador 2 y denominador impar. En los sistemas de numeración, como en el contar, la inventiva humana se manifiesta a través de una gran varie va rieda da d de form as y de proc proceso esos. s. A lre de d or del del .perno/ constituido por, la base igual a 10, se encuentran sistemas de base 5, 5, como en la nu m erac er ac ión ió n . r o m a n a ; de base 60, eomo en el sistema de los antiguos sumerios; de| base 20, eomo en la cronología maya. Igual variedad encontramos en la representación gráfica de los signos. i
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numéricos: jeroglíficos, signos especiales, letras del alfabeto, etc., así como en los procedimientos de lectura: aditivo, sustractivo, multiplicativo, posicional.
§ 3,— Me d i d a s
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d e á r e a s y d e v o l ú me n e s
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Geometría, en griego, significa «medida de la tierra». En efecto, una antigua opinión, transmitida por H e r q d o t o ^ atribu atri buye ye el origen orig en de la geom etría etr ía a la la necesid necesidad" ad" de medir, en el antiguo Egipto, las tierras de labranza/ cuya extensión podía modificarse después de cada crecida del Nilo, cpn el objeto de fijar equitativamente el impuesto a pagar al rey. Mas no sólo sólo la medida d(e la tie t ie r r a pudo haber hab er sido el origen de los conocimientos geométricos, pues el hombre ha de construir tambiéA su vivienda y su tumba, sus sus grane gra neros ros y sus canales canales ; asimismo asim ismo ha de edificar edific ar y decorar los templos y los altares en que adora a sud dioses y venera a sus antepasados; y, sobre todo, como ser singularmente atraído por las cosas del cielo, el hombre siente la necesidad de contemplar los astros, de medir y de prever sus movimientos, pues, según los astrólogos, en ellos anida el secreto de su nacimiento, de su destino y de su muerte. Es probable que de todas esas actividades humanas haya ha ya surgido surg ido la necesidad necesidad . de fija fi ja r los los conocimientos conocimien tos geom geo m étrico étr icos s 'que 'qu e se encuentran encuentran en los los docu d ocume mentos ntos:: pa~ piros y tablillas cuneiformes, de las antiguas civilizaciones egipcia y de la antigua Mesopotamia.Y Esos conocimientos comprenden el área de las figuras planas más simples, el volumen de algunos poliedros, la relación dada por el teorema de Pitágoras, por lo menos en el caso del triá tr ián n g u lo sencil sen cillo lo de lados lados 3, 4, 4, 5; caso conocido por todas las culturas antiguas; y. algunas nociones relativas a la semejanza y a las figuras circulares. E n tr e esto estos s últimos conocimientos se destac destaca, a, el que *
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se refiere a la medida del circulé, problema que los antiguos resolvieron aproximadameiite y que, bajo el nombre más técnico de «cuadratura del círculo» preocupó y a p a s ion io n ó a los lo s m a t e m á t ic o s ( y aún aú n h o y a los que qu e no lo son) hasta su solución lograda en 1882. § 4.--- LOS PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
. • Así como el contar y los sistemas de numeración contienen en germen las nociones fundamentales de la arit ■mética, y las, medidas de áreas y de volúmenes representan los primeros rudimentos de una ciencia geométrica, los orígenes de la tercera rama elemental de la matemática: el álgebra, deben verse en esa colección de problemas, adivinanzas, recreaciones matemáticas, etcétera, que se encuentran en las colecciones o antologías de los pueblos antiguos. El origen folklórico de tales problemas puede comprobarse si se observa que , .algunos .algu nos |de ellos, ellos, en for fo r m a idén id énti tica ca o muy seme se mejan jante, te, se encuentran $n épocas y lugares completamente alejados entre sí y sin aparente contacto científico, de ahí que esa semejanza sólo puede explicarse mediante la' transmisión oral, a la manera de «semillas que lleva el vien to», favorecida, favorec ida, por el carácter carácter recreativo, recreativo, enigmáenigm ático y a veces sorprendente del problema. Es claro que los riiás antiguos documentos que contienen tales problemas son los papiros egipcios y las tablillas mesopotámicas. Mientras que en los primeros esos problemas poseen un carácter preferentemente aritmético, en las segundas, ellos aparecen envueltos en una atmósfera más abstracta, de tal índole que algunos historiadores de la matemática no vacilan en hablar de «álgebra babilonia». Los problemas egipcios incluyen casos de proporcionalidad, de regla de tres, de repartición proporcional, así como problemas de progresiones aritméticas y geo 1
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métricas y algunos problemas algebraicos de primer grado. Se trata en todos los casos de problemas concretos de los que se da la solución correcta, aunque no siempre es fácil advertir cómo se llegó a ella. En cambio, en los textos babilonios últimamente descifrados, que en verdad verda d pertenece^ a . la antigua antig ua civiliz civ ilizac ación ión su meria, se trata de problemas de primero y de segunde grado, y aunque son, en general, problemas geométricos, en ellos el acento incide más en las operaciones aritm éticas qpe. qpe. en la interpretación interpretación geométrica. P o r supuesto que, lo mismo que en los problemas egipcios, se trata siempre de casos numéricos concretos, cuya solución se da mediante reglas sin explicación ni demostrac tr ación ión alguna. alguna. '
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§ 5.— L a c u l t u r a g r i e g a
Entre la época de los papiros egipcios (las tablillas cun eiform eifo rmes es son son má más s antigu ant iguas as aún) aún ) y la época a la que pertenecen las primeras noticias de un saber griego, transcurre más de un milenio, lapso en el cual el mar Egeo es teatro de acontecimientos en gran parte todavía desconocidos. Es la época en que la antigua civilización egea de Creta, de Micenas, de Troya, se derrumba; es la época en que la introducción del hierro aporta una era de destrucción extraordinaria que torna dudosa la posibilidad de que alguna vez se conozca con cierta precisión la historia de este período, de cuyas brumas surgen, como primera manifestación de una nueva cultura, los poemas homéricos. Las primeras manifestaciones del genio griego han despertado y aún despiertan cierto sentimiento de asombro, pues parecen surgidas de la nada, como obra de un milagro. Mas el actual desconocimiento, casi total, de lo ocurrido entre los siglos xvu y vil a. de C., nos oblig ob liga a a ser cauteloso cautelosos. s. Y yunque yunque pueda pueda ser aven av en-turado, es muy posible afirmar qi^ie nuestra creencia en el llamado «milagro griego» no sea sino el fruto de aquel desconocimiento, pues es más plausible admitir que, durante aquella lejana y confusa época, los grie-
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gos mantuvieran, ya directamente o ya por intermedio de los fenicios, contactos culturales con los pueblos de Egipto y de la Mesopotamia, adquiriendo sus conocimientos, que además pueden haber sido más avanzados de los que revelan los escasos documentos hasta hoy hallados y descifrados; que admitir un estancamiento definitivo en estos conocimientos en el estado en que hoy los conocemos y que por tanto el saber griego naciera así, casi de la nada, como por generación espontánea. i i Pero cualquiera* que sea el aporte oriental a la ciencia griega, sea aquel aporte entre legendario e informe que los mismos griegos reconocían, sea un aporte más sólido y concreto’ como el que podrían denunciar futuras investigaciones arqueológicas, es indudable que la ciencia griega adquirió caracteres propios, muy distintos de los que revelan nuestros actuales conocimientos de las culturas egipcia y babilonia; caracteres propios que se ponen claramente de manifiesto sobre todo en la matemática griega. Si adoptamos para esta ciencia los mismos períodos en que habitualmente se divide la historia de la cultura griega, podemos considerar: 1. p U n p e r ío d o helénico , que llega hasta la muerte de A l e j a n d r o el Grande y de A r i s t ó t e l e s , y cuya culminación es el siglo de Pericles. En ese período, sacudido por las guerras médicas y las guerras del Pelopo neso, la matemática se desarrolla en conexión con las escuelas filosóficas, de las que toma algunosde sus fundamentos : permanentes un unos, tran t ransitor sitorios ios o tr o s ; 2. ° Un U n período perío do helenístico que llega hasta principios de la era cristiana y en el que la matemática cobra autonomía y logra sus mejores realizaciones: en un mundo en el cuat la cultura griega se cristaliza en centros como Alejandría, Pérgamo, Rodas, y la dominación romana inicia su expansión, nacen las más grandes crea-
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ciones de la matemática griega por obra de E u c l A r q u ím í m e d e s y A p o l o n io io , y
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id e s ,
3.° Un períod per íodo o greco-romano y de la decadencia que comprende los primeros siglos de la era cristiana y en los que la matemática no encuentra sino epígonos y comentaristas. Gon el fin de este período encuentra1taftibién su fin el mundo clásico y, de acuerdo a los cánones de la historiografía, se inicia la Alta Edad Media. §
6 .—
L a m a t e m á t i c a d e l p e r í o d o h e l é n ic ic o i
Mientras que hoy, a 30 ó 40 siglos de distancia, conservamos en los papiros egipcios y en las tablillas cuneiformes documentos originales de las contribuciones matemáticas de los antiguos pueblos orientales, nada de eso ocurre con las contribuciones griegas, a pesar de ser mucho más recientes, pues de las escasas producciones matemáticas sobrevividas hasta hoy, sólo disponemos copias y compilaciones tardías, a veces posteriores en varios siglos a los escritos originales, cuando no meras traducciones, especialmente árabes. Esto es particularmente cierto para el período helé nico, pues de los escritos anteriores a E u c l i d e s sólo se conserva un fragmento escrito por el peripatético E u d e m o de Rodas, de la segunda mitad del siglo IV an tés de C., \^ue se refiere a la obra de HIPÓCRATES de Quío, matemático1de la segunda mitad del siglo V an an-tes dé Cristo. De ahí que la historia de la matemática de este período haya sido reconstruida sobre la base de fuentes indirectas, informaciones dispersas en autores de la época o posteriores, y especialmente de los escritos de los comentaristas del último período de la ciencia griega. De estos escritos cabe destacar un resumen histó-
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rico que aparece en un libro de P r o c l o , , del siglo V, que en líneas generales señala el proceso seguido por la matemática griega durante este período.
§ 7 .— L o s
j o n i o s
La matemática griega se inicia con el mismo nombre con que se inicia la filosofía griega: el de T a l e s de Mileto, uno de los «siete sabios», y primero también entre los miembros de la llamada escuela jónica. T a l e s , como los demás miembros de esa escuela, fue un filós ofo de la la natura leza, ,un «fis ió lo g o » que a| tra vés de observaciones empíricas sobre los seres, sobre las cosas y sobre los fenómenos, especialmente meteorológicos, llegó a una concepción de que todo el universo estaba sometido a un proceso y a una transformación continua, como si algo viviente lo habitase («todo está lleno de dioses») ; proceso y transformación cuya causa y d e v e n i r v e en el a g u a ( « e l a g u a es el p r in c ip io de t o das las cosas, pues todo proviene del agua y todo s q reduce a ella»).
Dentro del campo estrictamente científico sus contribuciones son vagas e inciertas, atribuyéndose su fama a que predijo un eclipse de sol (que se ha supuesto ser el de 585 a. de C.). También son dudosas las noticias acerca de sus contribuciones a la matemática, en especial vinculadas con la geometría. Esas contribuciones se refieren a algunos teoremas geométricos y a un par de problemas prácticos, cuyo interés reside esencialmente me nte en que en ellos se |alude a propiedade propie dades s gene ge nera rales les de rectas, a igualdades de*ángulos, a semejanza de figur a s ; es decir, a cuestiones totalm ente distintas distin tas de los conocimientos conocim ientos geom geo m étrico s egipcios~ y que, por tai| tai|to to,, muestran ya la hueva fisonomía que lleva él sello inconfundible de la geometría griega.
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§ 8.— LOS PITAG PITAGÓR ÓRICO ICOS S
Si el aporte de los filósofos naturalistas de Mileto a la matemática no tiene hoy sino un valor histórico, muy distinto es el aporte a la matemática de los filósofos pitagóricos y eleatas, de las colonias griegas de Italia. El pensamiento filosófico que, en íntima conexión con el problema cosmológico, había nacido en las colonias de Asia Menor, al trasladarse a las colonias italianas adquiere otro carácter, vinculándose ahora con los problemas metafísico y gnoseológico. Primera en el tiempo y en importancia para la matemática, es la escuela pitagórica fundada en Crotona en la segunda mitad del siglo VI a. de C. y cuyo jefe se considera tradicionalmente P i t á g o r a s , figura figura semilegensem ilegendaria y semirreal, probablemente nativo de la isla de Samos. Se dice que estuvo en Egipto, más dudoso es que conociera a T a l e s y v i s i t a r a Babi Ba bilon lonia ia,, y que r e gres gr esad ado o a ku ku isla natal nata l y en desacuerdo desacu erdo1 1con con el régi ré gim m en político en ella imperante, se dirigiera a Italia, donde fundó en Crotona una escuela de carácter a la vez místico y político, científico y religioso. Esa escuela, especie de hermandad y de secta secreta, se dedicó a estudios filosóficos y científicos, pero también intervino en las luchas políticas que en definitiva trajeron su destrucción y posiblemente la de su jefe a principios del 1 — 1 siglo V. El secreto y el misterio con que se rodeaban los dogmas y las enseñanzas de la escuela, así como el carácter exclusivamente verbal de éstos y la obligación de atribuir todos los descubrimientos al jefe de la escuela, tornan difícil averiguar en qué consisten efectivamente las contribuciones de P i t á g o r a s , o mejor de los pitagóricos, a la matemática. En verdad el secreto acerca de los estudios científicos y filosóficos de la escuela pitagórica no se mantuvo rigurosamente, pues su influencia
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se hizo sentir antes de que F i l o l a o los hiciera conocer en el siglo iv. Puede haber contribuido a $u divulgación algunas delaciones, aunque es más probable que ella fuera una consecuencia de las luchas políticas en cuyo seno la escuela encontró su disolución.
Frente al pensamiento de los jonios, el pitagorismo presenta una nota característica y original en la naturaleza especial del elemento primordial que trae a primer plano como principio de todas las cosas, principio que es ahora el número, o quizá mejor, la omnipotencia y om n ipre ip rese sen n cia ci a del núme nú mero ro en todas las cosas. A s í nos dice F i l o l a o : «Todo lo que se conoce tiene un número, sin el cual nacía puede comprenderse o conocerse»; principio que, algo más 'prudente, A r i s t ó t e l e s precisa: «Los llamados pitagóricos, que empezaron a ocuparse de investigaciones matemáticas en las qué progresaron grandemente, fueron conducidos por estos estudios a admitir como principio de todas las cosas existentes, aquellos en que se fundan las ciencias matemáticas. Y como en estas ciencias los primeros principios que se encuentran son, por esencia, los números, creyeron encontrar en éstos más analogías con lo que existe ti ocurre en el mundo, que las que pueden encontrarse con la tierra, el aire y el fuego... Habiendo comprobado luego que las propiedades y las relaciones de las armonías musica musicale les* s* corresponden a razones numéricas n uméricas y que ta tam mbién en otros fenómenos naturales se encuentran correspondencias semejantes con los números, se convencieron aún más que los números constituyen los elementos de todas las cosas y que en los cielos hay proporción y a rm o n ía.» ía .» Ten T en ta tad d o se esta es tarí ría a en v e r en esta doct do ctri rin n a la leja le jan na precursora de la concepción actual que busca y encuentra relaciones cuantitativas en los fenómenos naturales, pero en verdad su significado es más limitado. El número que los pita p itagó góric rico o s conciben como como un ]elemento sub yace ya cen n te en toda tod a la real re alid idad ad m at ater eria ial, l, no es nuest nu estro ro e n t e ,,
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ideal y abstracto, sino un elemento natural constitutivo de todos todos los los cuerp cuerpos, os, imaginad imag inados os por ellos ellos como como fo r m a dos por «puntos materiales» o «mónadas» cuya distribución y orden caracterizan a cada eüerpc. Los términos geométricos: cuadrado y cubo , con que aún hoy designamos a ciertos números, así como numerosas denominaciones : números triang tria ngula ulares res,, cuadrangulares,, cuadrangulares,, piramidales, etc., que se encuentran en la geometría griega, hablan a las claras de esta naturaleza corporal de los números. A la sombra sombra de tal concepció concepción n meta me tafís físic ica a y al lado de una mística de los números, nace la matemática como ciencia. Es i entonces cuando se la bautiza (matemáti- ca, ca, de acuerdo con la acepción más difundida significa «ciencia por excelencia»; matemáticos eran los miembros «científicos» de la secta pitagórica) y se establece su primera división en ramas. La matemática estudiaba cuánto,. Los cuántos, es deo bien los cuántos , o bien el cuánto,. cir, la cantidad discreta, podía a su vez estudiarse en sí (aritmética) y en relación con otra ( m ú s i c a ) ; ; mientras que, por su parte, el cuánto, es decir la cantidad continua podía estudiarse fija (geometría) o móvil (astrono m í a ) , , llegándose llegá ndose así a la clasificació clasific ación n del sab s aber er en el clásico quadrivium latino, que perduro en la enseñanza durante dos milenios. De esos cuatró campos del saber, los pitagóricos se ocup ocupar aron on espec especial ialment mente e de aritmé tica y de g e o m e tr ía : propiedades elementales de los números, de algunas sucesiones cesiones sencil sencillas las y de de las las proporciones propor ciones en a r it m é t i c a ; propiedades depolígonos y poliedros, en especial comparación'de figuras planas, en geometría. Entre estas últimas cabe destacar el célebre teorema llamado de Ei tágoras/que expresa la conocida relación entre los cuadrados construidos sobre los los lados lados de de un un, triá tr ián n g u lo re ctá ng ulo. ■'* : Aunque,i no es fácil asegurar con qué método y con • 11 i qué qué grado grad o de generalida gene ralidad d demostraron el teorema, es
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indudable que esa demostración constituyó un magno triunfo de la escuela, aunque luego, como boomerang, se volvió en contra de ella. Fue en efecto, a través de un simple caso particular del teorema de Pitágoras que se puso de manifiesto la existencia de los irracionales, es decir, de cosas que no podían expresarse mediante números (enteros y fraccionarios), y que por tanto no cabían en la concepción pitagórica. Este hecho, unido a la crítica de los eleatas, contribuyó a asestar un golpe de muerte a la doctrina.
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§ 9.---Los ELEATAS
En la prim p rim era er a mitad del .siglo sig lo v floreció florec ió en las las colonias italianas otra escuela filosófica, cuyo fcentro fue la ciudad de Elea, fundada por emigrados griegos que huían de la invasión persa. Fue uno de sus fundadores J e n ó f a n e s , poeta y filósofo, espíritu sarcástico y crítico que influyó sin duda en la tendencia de la escuela filosófica de Elea que se caracteriza por la introducción del sentido crítico, no sólo en contra de las doctrinas anteriores, sino como principio sistemático de elaboración científica. El fundador d^ la escuela fue P a r m é n i d e s de Elea, con quien se presenta un nuevo protagonista en el pensamiento reflexivo: el juego de la razón con¡ el proceso dialéctico del pensar, surgiendo, como primer producto de ese proceso, la distinción entre la apariencia y la esencia de las cosas. Según P a r m é n i d e s , frente a la realidad sens sensib ible le que que percibimos percibimos”” eambiante eambiante y e f ímera, existe la realidad eterna, inmutable e inmóvil del ser. La ciencia ha de buscar esta realidad oculta detrás de las apariencias del mundo de los sentidos y distinser). Sin guir la verdad (el ser) de la opinión (el no ser). duda que en su poema Sobre la naturaleza , escrito en tono profético y alegórico, P a r mé n id e s no indica el camino para llegar a \% yelda yel dad* d* pero pe induda indu da * ro ~ po r es menos i
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ble que con los eleatas se inicia la crítica del conocimiento y se intrbduce en la construcción científica un rigor lógico que, más allá del empirismo de los jonios y del m istic is ticis ism m o de los p ita it a góri gó rico cos s busca y tr a t a de enen con trar en' el poder racional racio nal del del hombre el cará c arácter cter de permanencia que otorga al conocimiento su esencia, su objetividad. La eficacia con que ese poder puede esgrimirse se comprueba en su discípulo Ze n ó n de Elea, autor de los clásicos argumentos en contra de la pluralidad y del movimiento, que durante mucho tiempo fueron considerados como paradojas, pero que hoy son interpretados cómo crítiéas dirigidas a demostrar lo absurdo de las concepciones pitágóricas que hacían de los cuerpos suma de puntos, del tiempo suma de instantes, y del movimiento suma de pasajes de un punto a otro. Además de los aportes de orden lógico y metodológico que la escuela de Elea significó para la matemática, esa escuela, en especial a través de los argumentos de Z e n ó n , puso en evidencia el peligro que para esa ciencia entrañaba el manejo de la pluralidad infinita, de ahí que es probable que uno de los resultados de la crítica eleata fuera esa característica de los matemáticos griegos posteriores que, a veces mediante hábiles recursos técnicos, eliminaron o reprimieron el infinito de la matemática.
§ 10.— L a A c a d e m i a y e l L i c e o A mediados del del siglo sig lo V a. de C. C., Aten A ten as se con vierte vie rte en el centro cultural y político del mundo griego. Como fruto de madurez intelectual, y en conexión con acontecimientos tecim ientos políti po lítico cos s y sociales, sociales, se produce a fines de de siglo un característico movimiento cultural: la «época de los sofistas»,, en el que sobresale con rasgos originales la figura de Só c r a t e s , cuya prédica se perpetúa a
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través de su discípulo P l a t ó n . Éste funda, ya en el siglo IV, lá Academia de la cual se desprenderá A r i s t ó t e l e s , quien a su vez funda el Liceo, constituyéndose así los dos grandes centros de la filosofía griega que influ yero ye ron n decid de cidid idam amen ente te ep todo tod o el pensam pen samien iento to g r ieg ie g o , y por tanto también en la matemática. La influencia de P l a t ó n y de la Academia sobre la matemática es singularmente importante, en virtud del elevado concepto que la escuela platónica tenía de esa ciencia y del papel que ella desempeña, tanto en la ar¿ monía del universo como en la formación humana. Numerosas son las consideraciones de orden matemático que aparecen en los Diálogos de P l a t ó n . Por lo demás su cosmología, de un pitagorismo acentuado, se funda sobre las proporciones, los polígonos y los poliedros regulares, sólidos estos últimos que durante mucho tiempo^se llamaron «cuerpos platónicos». Se atribu yen a P l a t ó n aportes metodológicos a la matemática y hasta algún aporte técnico; contribuyendo su prédica al progreso de los conocimientos matemáticos, en especial en campos nuevos, como en el de los irracionales, o en campos poco trillados, como en el de la geometría sólida. Por último, es indudable que el idéálismo platónico contribuyó a destacar el carácter ideal de los objetos y verdades matemáticas. Numerosos son los nombres de geómetras vinculados, directa o indirectamente, con la escuela de P l a t ó n . De algunos de ellos se tienen escasas o, a veces, ninguna noticia, pero de otros se conocen algunas de sus contribuciones matemáticas. Entre estos últimos se destacan E u d o x o de Cnidó, de la primera mitad del siglo IV an an-tes de C., el máximo matemático del período helénico, a quien se atribuye una teoría general de las proporciones, independiente de la circunstancia de ser las cantidades conmensurables o no; un método de demostración, hoy'denominado «método dé exhaución», que sustituye con igual vigov las actuales demostraciones en
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las que se hace uso del concepto infinitesimal de lím ite ; y en conexión cone xión con ambas amb as cuestion cues tiones es un impo im port rtan ante te enunciado relativo a la teoría de las magnitudes, hoy denominado «postulado de Arquímedes» y a veces «postulado de EudoxoArquímedes». En cambio, ni A r i s t ó t e l e s ni su escuela parecen haberse ocupado especialmente de matemática, probablemente debido a que esta ciencia en su época estaba lo suficientemente constituida como para no merecer su atención, que se dirigió principalmente a los restantes sectores del saber científico, algunos conexos con la matemática, como la mecánica y la astronomía, que no habían alcanzado aún ese estado de perfección. Con todo, A r i s t ó t e l e s con sus investigaciones lógicas, fijó las bases sobre las cuales se ordena y se edifica una ciencia deductiva, tal cual cual es la m a tem te m á tica tic a ; sin olvid olv idar ar que a través de la tarea encomendada a su discípulo E u d e m o de Rodas, se redactó la primera «historia de la matem ática», ática », algunos fragm fra gmento entoss de la cual cual llega lleg a ron hasta nosotros.
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§» 11.-- Los TRES TRES PR PRO OBLEM LEMAS CLÁSI LÁSICO COS S
La matemática griega, alimentada y fundamentada por las concepciones filosóficas cíe las escuelas a cuya sombra nació, debió gran parte de* su crecimiento y desarrollo a ciertos problemas“concretos que sirvieron de centros de atracción y de estímulo para los investigadores, polarizando muchos de los conocimientos matemáticos de los griegos. En este sentido fueron interpretados el teorema de Pitágoras y la construcción de los poliedros regulares, pero el hecho se torna evidente si se consideran tres problemas muy especiales, que en gran medida contribuyeron al desarrollo de la matemática del.período helénico; ellos son: la duplicación del ciibo, la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo. i
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El problema de la duplicación del cubo o «problema de Délos», del nombre de la isla, sede de una de las leyendas que dio origen al problema, consiste geométricamente en determinar el lado de un cubo de vplumeq doble del de un cubo de lado dado. E l problem pr oblema a de Ja trisecc tris ección ión del ángulo, ángulo, es es dec de c ir: ir : d ividir un ángulo cualquiera en tres partes iguales, ha de haber nacido naturalmente, y si llamó la atención fue seguramente por la desconcertante discrepancia entre la sencillez de sus términos y la imposibilidad de resolverlo con los recursos comunes de la geometría, imposibilidad tanto más llamativa cuanto que con esos recursos podía dividirse un ángulo cualquiera en 2, 4, 8... partes y que también podían trisecarse algunos ángulos especiales, como el recto, pl llano, etc. En cuanto al problema de la cuadratura del círculo, nacido seguramente de la necesidad práctica de calcular el área del círcülo, consiste geométricamente en determinar el lado de un cuadrado equivalente a un círculo de radio dado. Un p rim er , rasgo rasg o comú común n de estos tres t res problemas problem as es que no encuadraban dentro de la geometríade polígonos y poliedros, de segmentos, círculos y cuerpos redondos que lentamente se iba elaborando, y que su solución sólo podía obtenerse utilizando otras figuras u otros recursos que iban más allá /de las construcciones fundadas sobre las intersecciones de rectas y circunferencias o, como se dijo posteriormente, construcciones exclusivamente con regla y compás. En segundo lugar, y esto ha de haber llamado la atención a los geómetras griegos, algunos de los métodos que resolvían uno de los problemas resolvía también otro de ellos, hecho que revelaba una relación entre esos problemas que escapaba, y escapó, a los matemáticos griegos. Entre los investigadores que se ocuparon de esos problemas recordemos a H i p ó c r a t e s de Quío, del si^lo v
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antes de C., que puede considerarse como el primer matemático «profesional» y que se dcupó del problema de la duplicación del cubo convirtiénáolo en un problema de geometría plana; y del problema de la cuadratura del círculo, con el cual se vinculan sus célebres «lúnulas» cuadrables, es decir, ciertas*figuras mixtilíneas equivalentes a figuras poligonales que podían construirse con regla y compás, Si H i p ó c r a t e s redujo el problema de la duplicación del cubo a un problema plano, A r q u it i t a s de Tarento lo recondujo al espacio, dando del problema una extraordinaria solución mediante la intersección de tres super ficieb. / 1 El problema de la cuadratura del círculo, encarado por H i p ó c r a t e s de Quío a través de la búsqueda de figuras circulares cuadrables, fue enfocado por algunos sofistas contemporáneos: A n t i f ó n , B r i s o n , desde otro punto de vista (polígonos inscritos y circunscritos a la circunferencia) que, infructuoso entonces, resultó fértil más adelante. A otro sofista: H lPIAS de Elis, de fines fines del sig lo V, V, se se debe una una curva ciue le pe rm itió re so lve r el pro blem a de la trisección del ángulo y que más tarde se denominó cuadratriz, cuadratriz, pues por obra de D i n o s t r a t o , matemático del siglo iv a. de C., se demostró que con esa curva podía rectificarse la circunferencia, vale d e H r , resolver un problema equivalente al de la cuadratura del círculo. Por último, cabe citar a M e n e c m o , también del siglo IV, a quien se atribuye el descubrimiento de las có-
nicas, que son las curvas más simples después de la circunferencia y que deben su nombre genérico al hecho de obtenerse obtene rse como como secciones secciones cónicas cónicas,, vale val e decir de cir A secc se ccio io-nes de un cono circular. Debido a su origen las tres cónicas que pueden obtenerse se denominaron «sección del cono acutángulo, sección del cono rectángulo y sección del conci obtusángulo», aunque aunqu e desd de sde¡ e¡ A p o l o n i o adopta
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ron el nombre actual de elipse, parábola e hipérbola, respectivamente. No sólo M e n e c m o habría descubierto las cónicas, sino que habría estudiado una serie de propiedades de las m isma s, po r lo menos las las suficientes como pa ra darí una sen cilla solución solución del pro blem a de Délos Délos m edian te la i n ¿ tersección de dos de esas curvas.
§ 12.— L a
edad de
oro
de l a
m a t e m á t i c a g r ie g a
A l iniciarse el siglo siglo III a, de C. las condiciones políticas y culturales del mundo mediterráneo han cambiado radicalmente. En la península italiana un pequeño pueblo, ya convertido en la mayor potencia de Italia, había iniciado una expansión que lo convertiría en un gran imperio, mientras que en el mundo griego las expediciones, conquistas y muerte de A l e j a n d r o modificaban com pletame pleta mente nte su fisonomía. fisonomía. , Si bien el incipiente imperio que fundara A l e j a n d r o , desapareció con él, la idea de imperio universal que él enca rnara y que había había tratad o de realiz ar a rr a ig ó en el campo de la cultura, cultura, pues pues la cultura grie ga , a fa v o r de de ~ un rápid o derrum be del del im pe rio pers persa, a, se se extend ió fá cilmente por todo el Oriente, helenizándolo. Por otra parte, las campañas de A l e j a n d r o , a la par
que ampliaron el horizonte geográfico de los griegos, dilatar dila taron on extrao ext raord rdina inariam riam ente en te sus conocim conocimien iento^. to^. U n ( fecundo intercambio se establece entre Oriente y Occidente, mientras que los centros intelectuales se extienden y se desplazan. Ya Atenas había perdido su predominio político, ahora pierde su supremacía cultural y en el mundo griego de Oriente surgen nuevos focos de irradiación de la cultura griega, entre los que sobresale Alejandría, gran emporio del comercio mediterráneo, fundada en 332. que a fines del siglo ni ya cuenta con medio med io millón de habitantes. habitan tes. \
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Al unlversalizarse, el idioma griego contribuyó al intercambio y a la difusión de la cultura, sirviendo de vehículo a todos los intelectuales del mundo helenizado y favo fa vore reci cien end d o al p rog ro g reso re so de la ciencia, cienc ia, a la sazón en una etapa de franca especializacióri y diversificación. Esta etapa, cuyos comienzos pueden verse en en el siglo V, cobra impulso en el siglo IV caracterizando a este perío pe ríodo do helenístic hele nístico, o, en el cual se se m ultiplic ult iplican an las ^escuelas médicas y filosóficas, y las diferentes ciencias: matemática, astronomía, geografía, mecánica, cobran independencia y personalidad. Por ot¡ra parte, los príncipes de los estados helenísticos dispensaron una amplia protección a las artes j a las ciencias. Tal protección fue singularmente importante en el caso de las ciencias, pues permitió no sólo ofrecer a los hombres de ciencia las condiciones de seguridad y de bienestar que facilitaran su dedicación exclusiva a la investigación y a la enseñanza, sino que permitió la adquisición de materiales e instrumental necesarios para la tarea científica. Modelo de esta corte de mecenas fue la de los Ptolomeos de Egipto, que convirtieron al gran puerto comercial de Alejandría en el centro científico científico más más importante,' y ’ también el más duradero, del mundo griego. En Alejandría se construyen la Biblioteca y el Museo, donde centenares de sabios y estudiosos enseñan, traba jan ja n , in v e s t iga ig a n ; se levan lev anta tan n obse ob serv rvat ator orio ios s para pa ra estu es tu d iar ia r los fenómenos celestes; se erigen establecimientos especiales en los que se concentran los enfermos que ofrecen así a los médicos un rico campo de observación y de estudio, etc. Con este ambiente científico de Alejandría se vinculan dirécta o indirectamente las tres figuras máximas de la matemática antigua: E u c l i d e s , ARQUÍMEDES y y A p o l o n i o , cuyo brillo ppr sí solo justifica que a este período se lo califique de «ejdad de oro» de la matemática griega.
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§ 13.— E u c l i d e s
y l o s
«E l e m e n t o s »
Casi nada se sabe de E u c l i d e s , fuera de las noticias que menciona P r o c l o en su resumen histórico, según el cual E u c l i d e s fue un sabi<)> alejandrino que floreció hacia el 300 a. de C., que publicó numerosas obras científicas, destacándose entre ellas los célebres Elementos, cuya importancia científica y didáctica se pone en’evidencia ante el hecho de que hasta hace pocos años eran‘ aún utilizados como texto escolar. Por lo demás, ese tratado fue siempre considerado como sinónimo de geometría, y su extraordinaria difusión le permite rivalizar con las obras cumbres de la literatura universal: la Biblia, la Divina Comedia, el Quijote ... Los Elementos no contiene toda la geometría griega, ni es un un resumen de toda tod a e l l a ; sin duda duda contien con tiene e una una gran parte de la matemática que los griegos anteriores a E u c l i d e s y el propio E u c l i d e s elaboraron, pero esa parte no fue tomada al azar, sino seleccionada de acuerdo a un criterio prefijado que convierte a ese conjunto de conocimientos en un sistema. sistema. Esta tendencia al sistema es tan vigorosa en E u c l i d e s , y tan rígido es su resultado, que no sólo no se conocen Elementos posteriores a los de E u c l i d e s , sino que éstos han servido de modelo a un tipo de construcción científica, de método científico, que usado desde entonces en la matemática, se extendió y se extiende actualmente a otros sectores científicos. Por supuesto que los Elementos , ni por su contenido ni por su orientación, son fruto exclusivo de E u c l i d e s ; su contenido proviene en gran parte de los pitagóricos y de EUDOXO7 y en su su or ien tac ión han han influido es pec ialmente P l a t ó n y A r i s t ó t e l e s . Del platonismo, del cual era adepto, E u c l i d e s tomó la independencia de la ciencia de toda finalidad práctica y por tanto la abstracción y la p r i m a c í a del de l c o n o c e r s o b r e el h a c e r ; de A r i s t ó t e -
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LES tomó el riguroso método deductivo, la separación entre principios y teoremas, y la distinción de los principios en definiciones y axiomas.
El método euclideo, que actualmente se prefiere denominar método axiomático, consiste en denunciar previamente los supuestos e hipótesis básicos sobre los que se construirá la ciencia, y edificar luego ésta en forma rigurosamente deductiva. Este método es de difícil realización, tanto por la elección de las hipótesis básicas como por po r el desa d esarrol rrollo lo deductivo, dedu ctivo, (Je ahí que _la crít cr ític ica a moderna haya denunciado que en lo|s Elementos el método axiomático no aparece revestido de todas las precauciones necesarias, ni cumple con todas las exigencias que le impone la lógica; circunstancias que evidentemente no disminuyen el mérito de E u c l i d e s de haber aplicado por primera vez, hace 23 siglos, un método fecundo para la ciencia, en una construcción geométrica cuyas líneas generales pasamos a reseñar. Los Elementos Comprenden 13 libros, la mayoría de los cuales se abre con una serie de definiciones (el vocablo utilizado por E u c l i d e s es más bien bien «t ér m in os »), a las que en el libro I se agregan los axiomas, qué E u c l i distribuye en dos grupos: postulados y'nociones des comunes. Las definiciones de E u c l i d e s no han de entenderse en un sentido lógico estricto. Son más bien simples menciones o descripciones sumarias de los objetos de lo que luego se ocupará la ciencia geométrica y hasta algunas de ellas sólo tienen sentido en vista del desarrollo histórico anterior a E u c l i d e s . De manera "que esas definiciones no deben ser tomadas ni como enunciados básicos ni como juicios de existencia; tal función la desempeñan en los Elementos los axiomas, vale decir: los postulados y las nociones comunes. Los postulados, que en la versión más segura son cinco, constitu yen ye n los fund fu ndam ament entos os específic espe cíficame amente nte geomé geo métri tricos cos,, y han sido elegidos de tal manera que su función consiste
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esencialmente en fijar la existencia, de modo único, de los entes fundamentales: punto, recta y circunferencia, con los que se construirán las figuras geométricas. En efecto, tres de esos postulados aseguran la existencia y unicid un icidad ad de la recta, rect a, es decir, dec ir, de un segm seg m ento en to p r o longado indefinidamente cuando se dan dos de sus puntos; un cuarto postulado fija esa existencia para una circunferencia de centro y radio dados; mientras que un quinto postulado establece las condiciones para que dos rectas determinen un punto. (Las condiciones respectivas para que dos circunferencias o úna circunferencia y una recta tengan puntos comunes no hán sido postuladas por E u c l id e s .) Así como los postulados fijan, o pretenden fiiar, la existencia de las rectas, circunferencias y sus posibles intersecciones, y por tanto se refieren a entes exclusiva y específ esp ecífica icame mente nte geom ge om étric ét ricos os,, las nociones nocio nes comunes fijan, o pretenden fijar, las operaciones entre «cosas», es decir, entre magnitudes, sean geométricas o no. Los primeros cuatro libros de los Elementos coml prenden las proposiciones más importantes de geometría plana elemental referentes a triángulos, paralelo gramos, equivalencias, teorema de Pitágbras (con el que se cierra el libro I), circunferencias e inscripción, y circu cir cuns nscr crip ipció ción n de políg po lígon onos os regu re gu lare la res s : todo tod o esto, clacla ro es, dentro de los medios admitidos por los postulados. Los dos libros siguientes, V y VI, se refieren a la proporcionalidad, tratando el V la teoría teo ría general de las las proporciones atribuida a E u d o x o , y el V I la aplicació aplicación n de esa teoría a las magnitudes geométricas. Los tres tres libros libros sig sigui uient entes es,, V II , V I I I y IX , se se refier refieren en a la aritmética o, más exactamente, a la teoría de los números, pues en ellos sólo se trata de números eptei^os positivos. La aparente vinculación con la geometría reside en el hecho que en todas las proposiciones, los números están representados por segmentos. En ellos se trata de la teoría elemental de la divisibilidad, de la des
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composición en factores primos, de las proporciones y progres progresione iones; s; geom étricas, cerrándose el libro I X con una hermosa proposición de sabor pitagórico, en la que E u c l i d e s da la expresión de los números perfectos (ig u a les a 1p. suma de sus sus d ivi so re s m en ore s que é l) pares. E l lib l ibro ro X de lo!s Elementos, el más extenso y el más
difícil de todos, trata de los irracionales, y en él se clasifica, mas no se calcula, una serie de combinaciones de expresiones racionales e irracionales, de la índole que se presentaría en nuestra álgebra con raíces cuadradas. ' Los tres últimos libros, dedicados a la geometría del espa espaci cio, o, so son de factu fac tura ra in i n fe r io r a los los anteriores. ante riores. E l X I estudia algunas propiedades generales de las rectas y plano pla nos; s; el X I I , que trat tr at a de cuestiones cuestiones planas planas y del espacio, incluye los teoremas para cuya demostración se hace hace uso del del métod método o de exhau ción; y el X I I I , qu q comprende también una serie de propiedades de geometría plana y del espacio, tiene por finalidad la construcción y compar com paraci ación ón de los cinco polie po liedr dros os reg re g u lare la res s insc in scri rito tos s en una una esfera. esfera . Y con con la demostración demo stración que no pueden existir otros poliedros regulares, además de los cinco conocidos, se cierran los Elementos de E u c l i d e s . Ta T a l es, es, a gran gr ande des s rasg ra sgos os,, el conten con tenido ido de la obra ob ra más importante de E u c l i d e s . Por grande que haya sido el aporte de los matemáticos anteriores, queda siempre para E u c l i d e s el mérito de haber aplicado, por primera vez, un método que resultó fecundo para la matemática y para pa ra la ciencia cien cia ,en ,en gene ge nera ral, l, y el de habe ha berr estr es truc uctu tura rado do sistemáticamente, con ese método, en forma orgánica y ordenada, ordenad a, una una g ran ra n cant ca ntid idad ad de cono co nocim cimien iento tos s m a tete máticos, en especial de geometría plana. Además, en los Elementos, E u c l i d e s acentúa una nota característica y permanente permanente de de la m atem at em ática át ica : su su carácter caráct er abstracto ab stracto y su absoluta absolut a indepe ind epend ndenc encia ia de toda tod a aplic ap licac ación ión prác pr ácti tica ca o concreta. En los Elementos no figura ni una aplicación concreta, ni un ejemplo numérico, ni se alude a instru N ú m. 1142.—2
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mentó geométrico alguno. Todo su interés y su finalidad residen en el conocimiento mismo. Pero én matemática conocer es demostrar, y los E l e - mentos nos ofrecen el primer ejemplo, en gran escala, de ese fecundo juego de la razón que se da en las demostraciones matemáticas, creador de nuevos conocimientos que se presentan atraídos por la irresistible fuerza del raciocinio y cuya única finalidad es el conocimiento mismo. Sin duda que para nuestros gustos actuales, las demostraciones de E u c l i d e s son áridas, encuadradas en, moldes formales demasiado uniformes y rígido ríg idos, s, algo pedantes ; pero per o con con todo es inneg inn egab able le que qu e en el orden lógico, en los recursos deductivos y en los métodos de demostración, ha de verse otro de los méritos de los Elementos de E u c l i d e s . No obstante ser los Elementos un conjunto sistemático y sistematizado de conocimientos, es claro que no representa el conjunto de todos los conocimientos matemáticos que poseían los griegos de la época de E u c l i no podían contener d e s . Por lo pronto, lo^ Elementos sino aquellos conocimientos compatibles con el método euclideo, es decir: que podían deducirse de los postulados que, explícita o implícitamente, le servían de fundamento. Por eso no hay en ese tratado mención alguna de los tres tre s "problemas clásicos ya citados, ya que todas las investigaciones realizadas sobre los mismos exigían recursos que iban más allá de esos postulados. Tampoco podían contener los Elementos todas las propiedades que se dedujeran de aquellos postulados. Además de la imposibilidad material que esa inclusión implicaba, hubo omisiones, deliberadas unas, forzosas otras. Entre estas últimas, constituidas por las propiedades desconocidas en tiempos de E u c l i d e s o que éste no estudiara o no hubiera podido deducir, son singularmente importantes las que se refieren a la geometría de la medida (comparación de áreas y de volúmenes), campo 'en el que los Elementos se muestran muy limitados.
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Finalmente existía otro grupo de conocimientos matemáticos, a principios del siglo III, que no podían estar incluidos en los Elementos. Nos referimos en primer lugar a la llamada «logística», vale decir, los conocimientos de aritmética (sistema de numeración, reglas operatorias), necesarios para las aplicaciones riuméri cas de la vida diaria o de otras ciencias; y en segundo lugar, a aquel conjunto de conocimientos de ciencia natural que por su fácil geometrización se construyó en íntima conexión con la matemática, ya por su origen, ya por po r sus sus inve in vest stig iga a d ores or es,, ya por po r su métod mé todo. o. E se conco n jun ju n to compre com prend ndía ía la astro as trono nomí mía, a, la óptic óp tica a y la cinem cin emáática. Como único ejemplo de esa conexión anotemos que las nociones de geometría esférica (propiedades geométricas de la esfera) eran entonces incumbencia de los astrónomos y no de los geómetras. Además de los Elementos , indudablemente su obra máxima, se deben o atribuyen a EpcLiDES otras obras. Algunos editores antiguos agregarop a los 13 libros de ios Elementos que hemos reseñado, dos libros más que luego se comprobó que se debían a autores posteriores. En cambio, entre las restantes obras que se consideran de E u c l id e s , algunas de las cuales se han perdido, figuran escritos de índole estrictamente geométrica, y hasta que parecen haber sido complementos de los Elementos, y otro ot ros s relacio rela ciona nado dos s con aquellos aque llos sector sec tores es cient cie ntífi ífico cos s que por su índole los griegos incluían en su matemática: acústica, astronomía, óptica, mecánica. I
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i § 14.— A A r q u íme d e s
A r q u í MEDES, sin duda la figura máxima de la matemática griega, es al mismo tiempo una de las más altas cumbres de la matemática y de la ciencia de todos los tiempos. ím e d e s , nacido en Siracusa en 287 a. de C. y A r q u íme
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muerto en 212 a. de C. en el saqueo que siguió a la caída de esa ciudad en manos de los rostíanos, dedicó toda su vid vi d a a la la inve in vest stig igac ació ión n científica. científica . Su vid vi d (a, como la de otros grandes sabios, fue embellecida o deformada por la imaginación popular, vistiéndola con anécdotas más o menos verosímiles y exaltándola con elogios tales que a veces la rodearon de una atmósfera sobrenatural. Hasta su muerte fue envuelta por cierta atmósfera novelesca y narrada de diversas maneras. El acto del soldado romano que atraviesa con su espada al viejo sabio absorto en una investigación geométrica, no ha dejadcp de excitar la imaginación, llegándose hasta a convertirlo en un símbolo. La fama de A r q u ím e d e s hoy sobrevive, po por su vida sino por su obra. Obra de caracteres propios y originales que denuncia sobre todo a un investigador. Sus escritos son verdaderas memorias científicas, trabajos originales en los que se da por conocido todo lo producido antes sobre el tema y se aportan elementos nuevos, propios. De ahí la aparente inconexión de sus escritos en lo que atañe a los temas; de ahí también que ninguno se destaque especialmente; todos son igualmente importantes, todos son originales y representan una nueva contribución, ya una idea, ya un método. En sus escritos siguió rigurosamente el .método' euéli deo de fijar previamente las hipótésis que postulaba, a las que seguían los teoremás cuidadosamente elaborados y term te rmin inad ados os,, sin que en g ener en era a l se a d v iert ie rta a en ellos el método de descubrimiento, qué parece a veces hasta deliberadamente ocultado, hecho que unido a la dificultad intrínseca del tema en muchas ocasiones, hace su lectura pesada y difícil. La índole misma de los trabajos de A r q u ím e d e s y el hecho de que probablemente algunos de sus escritos se han perdido, impide encontrar entre ellos nexo lógico o cronoló cron ológico gico alguno. alguno. P ero er o con con eso esos s esc ritos rit os , A r q u ím e d e s ha intervenido con eficacia en todos los campos de la i
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ma temática temática g r ie g a ; ya en en sus ramas ramas e st ric ta s : geom etría y aritmética; ya en astronomía y en ciertos sectores de la física que los griegos geometrizaron, como la estática y la hidrostática. Analizaremos someramente los escritos de A r q u íím m e d e s siguiendo este orden.
Copsi dere deremo mos, s, en en p rim er lugar lug ar el escri e scrito to De la esfera y del cilindro, cilindro, por su vinculación directa con los E l e - mentos de E u c l i d e s , de los que puede considerarse un complemento, pues trae una serie de teoremas relativos a áreas y volúmenes de cuerpos redondos que no fig;ura ban en los Elementos, Elementos, algunos de los cuales están hoy incorporados a nuestra geometría elementál. Entre esos teoremas figura el que expresa la relación entre las áreas y voljúmenes de la esfera y del cilindro circunscrito, cuya figura A r q u ím í m e d e s deseó que se grabara sobre su tumba. En cierto sentido, una continuación del escrito anterior la constituye el trabajo De los conoides y de los esferoides en el que A r q u ím í m e d e s estudió las propiedades de algunos cuerpos redondos, incluidos hoy en las cuádricas de revolución. Ha de agregarse que en las demostraciones de estos trabajos, así como en otras semejantes que figuran en otros escritos, A r q u íím me d e s hace uso de recursos que implican conceptos que hoy aparecen en nuestro análisis infinitesimal. De sus trabajos de geometría plana recordemos: D e vlas espirales, espirales, uno de sus escritos más difíciles,'"en el que estudia las propiedades de la curva que hoy llamamos mos «es « esp p ira l de A rqu rq u ím edes ed es»» ; el escrito Cuadratura de la parábola, parábola, en el que por primera vez se da la equivalencia en^re una figura mixtilínea y otra poligonal, demostrando la equivalencia entre un segmento de parábola y un triángulo; y el trabajo De la medida del círculo, círculo, uno de los más breves de A r q u íím m e d e s , pero probablemente uno de los más importantes, pues no sólo demuestra con él la equivalencia entre el problema de la cuadratura del círculo con el de la rectificación de la circunferencia, sino que, además, da una importante
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solución aproximada de esos problemas, que involucra interesantes consideraciones aritméticas. Ta T a m b ién ié n figur fig uran an cuest cu estion iones es arit ar itm m étic ét icas as,, de o tra tr a índo ín do-le, en uno de los escritos más originales de A r q u ím ím e d e s , comúnmente denominádo El Arenario. Arenario. Se trata de un trabajo dedicado al hijo del tirano de Siracusa, del cual era preceptor, y cuya finalidad era probar que el número de granos de arena que llenara todo el universo podía contarse, sobre todo, nombrarse. Este escrito posee un triple interés: a ) como A r q u í m e d e s necesitará manejar números muy grandes, créa para este fin un sistema de numeración especial con el cual podrá contar y denominar esos números; 6) ál hacer alusión al universo que deberá llenar con granos de arena elige un universo de dimensiones mayores que el que ordinariamente concebían los astrónomos de la época : el univer univ erso so ideado por A r i s t a r c o de Samos, que algunos historiadores actuales denominan «el Copérnico de la antigüedad», pues es autor de un sistema heliocéntrico cén trico : precisamente precisam ente el interés inte rés de El Arenario reside en el hecho de ser uno de los escritos que nos ha quedado que hace mención de ese sistema, y c ) c ) E l Arenal Arenal- - rio, rio, por último, es el único escrito en que A r q u íím me d e s demostró poseer conocimientos astronómicos completos, y en él expone exp one un p roce ro ced d imie im ient nto o inge in geni nios oso o para par a d e t e rminar el diámetro aparente del Sol, dando un valor bastante tan te aproxima aprox imado do del del mismo. mismo. i Ta T a les le s son las más impo im port rtan ante tes s contri con tribu bucio ciones nes e s tric tr ici i tamente matemáticas que se deben a A r q u íím m e d e s . Sin embargo podemos aún mencionar sus trabajos sobre la estática, que en la concepción antigua quedaban incluidos en la matemática. Son ellos: el escrito denominado Del equilibrio de los planos, planos, en el que enuncia la ley del equilibrio de la palanca; y el escrito De los cuerpos flo f lo t a n t e s , en el que se estudia científicamente el equilibrio br io de los cuerpos cuerpos sum ergidos ergi dos y se enuncia enuncia eh eh célebre céleb re principio que hoy lleva su nombre.
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Mencionemos, por último, uno de los trabajos más originales e interesantes del sabio de Siracusal una larga carta dirigida a E r a t ó s t e n e s , hoy conocida con el título abreviado Método , en la que A r q u í m e d e s expone un procedimiento, mezcla de consideraciones geométricas y riiecánicas, mediante el cuál llegaba a descubrir propiedades (áreas, volúmenes, centros de gravedad) que luego demostraba rigurosamente con recursos estrictamente geométricos. En definitiva, puede decirse que A r q u í m e d e s lleva la matemática griega a su nivel máximo. Sin duda que él encontró ya y a una ciencia madura, a la que agregó nuevos capítulos y en la que mejoró los existentes. Pero en esta obra de complemento y de perfeccionamiento confirió a la ciencia una mayor flexibilidad haciendo más maleable el rígido sistema euclideo, y una mayor riqueza y autonomía, pues en A r q u í m e d e s han desaparecido casi totalmente los lazos que hasta entonces habían mantenido ligadas la matemática griega con la filosofía griega. Esta mayor libertad y autonomía, sin descuido del rigor, que se muestra en la elección de los postulados, en las aplicaciones y problemas, en sus incursiones por el campo de los números y de la matemática aproximada, hacen de A r q u í m e d e s un gran matemático, en el sentido sentido actua actuall y permanente del del vocablo vocablo ( * ) . i
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§ 15.--- L a MATEMÁTICA GRIEGA El tercer gran matemático del período alejandrino es A p o l o n i o de Perga, de cuya vida se tienen muy escasas noticias, considerándose que floreció hacia comienzos del siglo I I a. de C. í m e d e s y de su (* ) Para Pa ra un análisis análisis más detallado detallado de de A r q u ím obra puede verse, de esta misma colección, nuestro Arguímedes, Rueños ^.ires, 1948,
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Así como en la historia de la matemática el nombre de E u c l i d e s está está indisolubl indisolublemente emente ligado ligado al de de su sus C e mentos, el nombre de A p o l o n i o lo está con el fie sus Cónicas, Cónicas, que, por lo demás, es el único (y aun incompleto) de sus escritos que poseemos. En esta obra, a la que debe su merecida fama de gran matemático, A p o LONIO estudia en forma exhaustiva las propiedades de esas curvas, a través de una teoría general de las mismas y de algunas de sus propiedades especiales más importantes. Con E u c l i d e s , A r q u íím m e d e s y A p o l o n i o la matemática griega llega a su apogeo, de ahí que podamos reseñar ahora cuáles han sid(j> sus características. La primera nota materqática que aporta el espíritu griego es la demostración: las propiedades matemáticas dejan de ser hechos para convertirse en conocimientos. Esa demostración, con que los griegos otorgan a la matemática su sello característico y permanente, arranca de las críticas eleatas, se elabora en el seno de las discusiones de los. sofistas y encuentra su elemento constructivo en el órgano aristotélico. L a .segund .segunda a nota nota matem ática permanente que que aporap ortan los griegos es la abstracción. abstracción. Pero la abstracción de la matemática griega tiene caracteres específicos, rasgos propios conferidos por el pitagorismo que la vio nacer. Este jtipo especial de abstracción de la matemática griega, semejante a la de las ciencias naturales actuales, es el que le confiere sus notas características. Hace de ella una matemática «táctil» apegada a los cuerpos naturales, una matemática de figuras, como se comprueba con su concepción corporal y geométrica de los números. Este carácter táctil de la matemática griega explica también su predilección por lo finito y su preocupación por eliminar, elimin ar, o por lo [men [menos os,, re p rim ri m ir el infinito infinit o en sus demostraciones.
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Esa ábstraccióri de la matemática griega, abstracción que inicia sus primeros balbuceos, es la que explica también que la matemática no baya logrado grandes generalizaciones entre los griegos.} Es una matemática que va a la caza, no de teorías generales, sino de problemas singulares, aunque a veces las nociones previas que la solución de esos problemas exige son tantas y tan complejas, que de por sí pueden considerarse como constituyendo un sistema, tal como ocurre con los E l e - mentos. ( Esta predilección por el problema y la correlativa despreocupación por una teoría general, les impidió ver el proceso y la continuidad en su totalidad, y por tanto les pcultó la importante noción de variabilidad, mostrándose así otra característica de la matemática griega : su su estatismo, estatism o, su cará ca rácte cterr más más estático que din d inám ám ico, más cinemático que cinético. Este carácter estático de la matemática griega se debe en gran parte a la influencia dél platonismo que, por lo demás, se ha ejercido también tam bién en otros aspectos aspectos de esta ciencia:. cienc ia:. A sí, sí , al acenacen tuar el carácter ideal de los objetos matemáticos ha conferido a éstos una de sus notas permanentes; pero al mismo tiempo, en conexión con su teoría de las ideas, ha arrojado esos objetos en un transmundo, lejos de todo contacto y vinculación con este mundo sublunar de los hombres y de las cosas. De ahí el destierro á que se condenara a la aritmética práctica (la «logística» de los griegos) ; de ahí su inapli_ cabilidad a la ciencia natural, con las escasas excepciones que muestran las consideraciones geométricas de la astronomía, óptica y estática griegas que, bien examinadas, más que ramas de la ciencia natural, deben entenderse como ramas de la misma matemática griega, pues poseen todos los caracteres que hemos descubierto en esa matemática.
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JOSÉ — E p í g o n o s § 16. —
y c o m e n t a r i s t a s .
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f ant o
En el período helenístico, además de los «tres grandes», cabe aún mencionar a E r a t ó s t e n e s de Círene, contemporáneo, aunque más joven, de A r q u ím í m e d e s , que fue bibliotecario en Alejandría y sabio de actividad múltiple: geógrafo, matemático, filólogo. En matemática su contribución más importante es una resolución del problema de Délos, de interés, pues con ella dio ln historia del problema y de los intentos anteriores para resolverlo. Ta T a m b ién ié n dier di eron on soluciones solucion es a ese prob pr oblem lema a otros otr os dos matemáticos de este período: N i c o m e d e s y D i o c l e s . Queda la discutida figura de H e r ó n de Alejandría, de identificación y ubicación difíciles, aunque es probable que haya vivido en esa ciudad en el siglo I a. de C., ocupándose principalmente de cuestiones de|mecánica y geometría prácticas. Pero, no obstante tal finalidad, i ' mostró un amplio conocimiento de la geometría ¿riega, como lo confirman los agregados y perfeccionamientos a los Elementos ' .qu .que se le le atrib a tribuy uyen en.. Prue Pr ueba ba cabal de ello ello es el teorema,que teorema,qu e por prim pr imera era vez aparece apa rece'' en sus sus escritos, que expresa la relación entre el triángulo y sus lados.1La demostración de esa relación, que hoy expresamos algebraicamente mediante la llamada «fórmula de H e rón ró n », constituye cons tituye uno /de los los más más hermosos teo t eore re-mas geométricos de los griegos. Al iniciarse la era cristiana, la matemática griega entra en tra en un un período de crista cri staliza lizació ción n y de( crisis, crisis , en el el que ya no figuran creadores, sino epígonos, glosadores y com co m enta en taris rista tas, s, de los que citar cit arem emos os únicam úni cament entee los más importantes. De fines del siglo i, o comienzos del II, es N i c o m a c o de Gerasa, autor de una obra aritmética, de escaso valor científico, pero importante por haber sido el libro que durante tocja la Edad Media sirvió para la ense
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ñanza de la aritmética. Contemporáneo de N i c o m a c o es M e n e l a o de Alejandría, con el cual llega a su culminación el estudio griego de la geometría esférica. Con M e n e l a o hace su aparición el «triángulo esférico», importante figura que M e n e l a o estudia siguiendo un camino semejante al recorrido por E u c l i d e s al estudiar los triángulos planos, mostrando las analogías y las diferencias entre las dos clases de triángulos. Con esta labor de M e n e l a o se vinculan los trabajos matemáticos de la figura científica más importante de esta época: Claudio P t o l o m e o , el sistematizador de la astronomía antigua que sentó los fundamentos científicos de la concepción geocéntrica que se mantuvo durante 14 sigl si glos os.. . I La contribución matemática de P t o l o m e o está diseminada en sus escritos astronómicos, en especial en el primer libro de su célebre Sintaxis matemática (más conocida como Almagesto ) , que reúne todas las cuestiones preliminares necesarias para el estudio racional de los fenómenos celestes. En este sentido una exigencia fundamental requería la determinación de una «tabla de cuerdas» correspondientes a los .distintos arcos, partes alícuotas de la circunferencia. Esta obra iniciada por el gran astrónomo H i p a r c o de Nicea, que habría introducido en la astronomía griega la división sexagesimal de los babilonios, fue continuada y perfeccionada por P t o l o m e o , quien utilizó también los resultados de M e n e l a o para el análisis de los triángulos esféricos; de manera que en el Almagesto puede verse la primera sistematización de lo que hoy llamamos «trigonometría plana y esférica». En muchas de las expresiones que en él figuran, basta cambiar la palabra «cuerda» por la locución «doble del seno del arco mitad», para obtenerse expresiones de nuestra trigonometría. Después de P t o l o m e o cabe citar la última figura matemática importante vinculada con la escuela de Ale ja j a n d r ía : P a p p u s , cuya Colección jpwtemática es un resu
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men de todos los conocimientos anteriores con agrega dos, c rí r í ti ti ca c a s y c or or r e c ci ci o ne n e s d e l a ut u t o r, r, de de un v a lo l o r in in e s t iimable por las informaciones históricas y bibliográficas que contiene acerca de la matemática griega. También de im po rtan cia histórica, ipor su sus numerosas numerosas n oticias referentes a autores anteriores, es la parte matemática del Co m enta rio a Los «E le m e n to s » de Euclides del ya mencionado P r o c l o de B iza iz a n cio ci o , del sigl si glo o V. ' t (
De las consideraciones anteriores hemos excluido intencionadam tenciona damente ente una figura figu ra matemática, matem ática, que que por pre < sentarse aislada en el conjunto de la matemática griega, preferimos tratarla también aisladamente. Es D i o f a n t o de Alejandría, probablemente del siglo III, que más que un cultor de la aritmética y sobre todo de la geometría, como lo fueron los científicos griegos, debe considerarse un precursor del álgebra y en cierto sentido, más vinculado con la matemática de los pueblos orientales que con la de los griegos. La obra más importante de D i o f a n t o es su A r i t m é - tica, tica, por su novedad y originalidad única en toda la literatura matemática griega, pues en lugar de enunciar teoremas y proposiciones, no trae sino problemas, en su mayoría, entre números abstractos.
E n la resolución de eso esos problemas, problemas, algunos muy d i f í ciles que pertenecen al hoy llamado «análisis indeterminado»,^ D i o f a n t o aplica cierto simbolismo semejante al actual de los polinomios con una letra, y utiliza métodos diferentes para cada caso particular,“pero esos métodps y los recur rec urso sos s a u xili xi lia a res re s de que D i o f a n t o echa mano son tan ingeniosos y fecundos, que confieren a toda la obra una peculiar fisonomía .algebraica que la caracteriza y distingue de los demás escritos griegos. Claro es que la habilidad e ingeniosidad de D i o f a n t o no son casuales ; se fundan fund an sobre el conocim con ocimient iento o de una una gran gr an cantidad de propiedades aritméticas que revelan en él un cabal matemático, ftí .
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17. — — L a i
Oc c i d e n t e h a s t a f i n e s d e l a A l t a E d ad M e d i a
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En el mundo romano, la matemática no tuvo cabida, por lo menos entendida en el sentido griego. En las enciclopedias, a las que fueron tan afectos los polígrafos romanos, no figuraba de la matemática sino las nociones destinadas a las aplicaciones: ya los conocimientos aritméticos útiles para satisfacer las necesidades de la vida diaria o las exigencias de las transacciones comerciales o, a lo sumo, para alguna cuestión tribuna licía p ya 'l 'los conocimientos conocimientos geométricos geom étricos requeridos requ eridos por la agrimensura y la agricultura, conocimientos que se limitaban a unas cuantas fórmulas empíricas o aproximadas para la determinación de las áreas de las figuras planas. 1 Pero con la decadencia y división del imperio (siglo IV) y con con el fin del im p erio er io de Occid Oc cident ente e (s ig lo V ) se nota en los escritores romanos cierta reacción favo 1jtable a lob textos griegos. Así, a mediados del siglo v el cartaginés Marciano C a p e l l a escribe una enciclopedia sobre las siete Artes liberales , es decir: gramática, dialéctica y retórica (trivium), geometría, aritmética, astronomía y música (cuadrivium), que gozó de gran estimación y difusión durante la Edad Media. En ella la geometría se reduce a las definiciones de los Elem en
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con el enunciado del primer problema; y la aritmética a unas cuantas nociones de carácter neopita górico. Entre los enciclopedistas posteriores a Ca p e l l a , r e cordemos a Severino B o e c i o , que entre las numerosas obras antiguas que parece haber compilado figura una de carácter aritmético, que no es sino la versión de la tu vo g ran ra n d ifu if u s ión ió n en A r i t m é t i c a de NlCOMACO y que tuvo la época medieval; a Ca s i o d o r o , en cuya enciclopedia figura, además de un resumen de la aritmética de ^Bo e c i o , otro de los Elementos dé E u c l i d e s ; y el famoso I s i d o r o de Sevilla que en su obra, de finalidad etimológica, considera todas las disciplinas de su época, su clasificación, así como da la definición de sus términos técnicos. El próximo nombre ya no pertenece a la cuenca del Mediterráneo. Es el del inglés B e d a el Venerable de fines del siglo vil que, además de su obra como historiador eclesiástico, se le deben algunos escritos sobre los elementos del cálcul cálculo o numérico. numérico. A la larga lar ga,, las enseñanzas de B e d a han de haber influido sobre A l c u i n o de York, del siglo VIH, que desempeñó un;papel importante en el llamado «renacimiento carolingio», pues fue uno de los pocos maestros a los que acudió Ca r l o m a g n o para mejorar el estado general de ignorancia de su reino. Se debe a A l c u n i o un escrito «para desarrollar el ingenio de los jóvenes», mezcla de problemas aritméticos y geométricos, en generpl muy simples, con cuestiones místicas y recreativas qpe poco tienen que ver con la matemática. Si al escaso v a lor lo r científico científic o de eso esos s problemas problem as se a g r e T ga el hecho de qué A l c u in i n o fue considerado como uno de los hombres más sabios de su tiempo, es fácil advertir el bajo nivel a que había descendido la matemática en Occidente. Sin embargo, en los siglos siguientes descendió aún más, cuando a raíz de la muerte de
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C a r l o m a g n o desaparece también el «renacimiento ca r o l i ng n gii o » .
Pero pronto asomará un nuevo despertar, favorecido por los vientos que venían del Oriente. 1,1
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18.— E l § 18.— E
aporte
oriental
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El aporte oriental a la matemática durante el primer milenio de nuestra era proviene de tres centros culturales distintos: chino, hindú, árabe; distintos también fueron su valor y su influencia. En este sentido parece ser la matemática china la que ejerció menor influencia, por lo menos ante la escasa documentación existente al respectó. En efecto, de los documentos existentes se desprende que la matemática china no difiere esencialmente de la de los antiguos pueblos orientales en lo que se refiere al nivel de los conocim no cimien ientos tos : un sistema siste ma de numeración num eración,, el empleo emp leo del ábaco de uso inmemorial en China, el conocimiento del teorema de Pitágoras en el caso clásico 3, 4, 5, fórmulas empíricas y aproximadas para las áreas y volúmenes de figuras simples, y una colección de problemas, de interés muy dispar, de aritmética y de geometría. Como único dato interesante, mencionemos la presencia de cuadrados mágicos, que parecen de origen muy antiguo entre los chinos. i De los libros matemáticos chinos posteriores al siglo X, es difícil deslindar lo que pertenece a los chinos de lo que pudo ser importado de o^ras culturas: hindú o árabe. En cambio, a la matemática hindú se deben aportes originales importantes, así como una notable influencia sobre la matemática árabe y, por intermedio de ésta, sobre la matemática occidental. Pero la ausencia de indicaciones de fechas en casi toda la literatura hindú, unida a la circunstancia de es
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tar en verso los escritos matemáticos, redactados en un lenguaje confuso y místico y vinculados con cuestiones astronómicas y religiosas sin demostraciones y sólo con ejemplos numéricos, toma difícil, no solamente precisar la época de esos escritos, sino también valorar la originalidad y el mérito de los mismos. Sin duda, hay en la matemática hindú una propensión mayor hacia los números que hacia las figuras; de ahí que sus contribuciones más importantes se refieran a la aritmética, al álgebra y a la trigonometría. Sin embar, go, los conocimientos más antiguos que se atribuyen a los hindúes están vinculados con la geometría: aparecen en unos comentarios teológicos relacionados con los himnos sagradoá y con la práctica de los sacrificios, que se suponen de una época comprendida entre los siglos VIII y I I a. de C. Entre esos comentarios figuran escritos que contienen reglas para la construcción de los altares destinados a los sacrificios, con un complemento que trae reglas para la construcción de cuadrados y de rectángulos. rectán gulos. 1 Pero estas construcciones geométricas ya no se presentan en las obras hindúes posteriores, que aparecen en el período llamado astronómico y matemático, transcurrido entre los siglos IV y XII de nuestra era. Las obras más antiguas de este período son de carácter astronómico y de evidente influencia griega. Su importancia matemática, además de su influencia en el mundo islámico, reside en el hecho de que en esas obras aparecen por primera vez algunas de las hoy llamadas «funciones circulares», de tanta aplicación en la trigonometría y en toda la matemática. Mayor desarrollo de esos conceptos aparecen en los matemáticos hindúes posteriores, de los que citamos únicamente los tres más renombrados: A r y a b h a t a , BRAHMAGUPTA y B HAS HAS KARA. [ Además de ocuparse de las funciones circulares, (nac ido en 476) se ocu ocupó pó de cuestiones a rit ri t A r y a b h a t a (nacido
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méticas y sobre todo de «análisis indeterminado» en un sentido distinto del de D i o f a n t o y más próximo al actual. También se ocuparon de análisis indeterminado sig lo v i l ) , a quien quien se debe debe además B r a h m a g u p t a (del siglo la mención de las propiedades del cuadrilátero inscrip tibie; y B h a s k a r a (siglo (sig lo x i i ) , cuya cuya obra es sin sin duda duda la más importante de la matemática hindú* aunque en ella sean visibles las influencias, no sólo griegas, sino árabes y hasta chinas. Además de los aportes individuales, se deben a la matemática hindú dos aportes colectivos de gran trascendencia: la contribución al simbolismo algebraico y el sistema de numeración posicional de base 10. El álgebra de los hindúes es en general retórica, vale decir, sin símbolos ni abreviaturas, pero en las obras más recientes hacen su aparición cierto simbolismo y el uso de iniciales, que le confieren el aspecto de álgebra sincopada '(etapa intermedia entre el álgebra retórica y la actual .sim .s im b ó lica li ca). ). E n tre tr e las innov inn ovac acion iones es que p r e senta el álgebra de los hindúes, citemos el uso de sílabas diferentes para indicar incógipLitas distintas, cosa que no ocurría en D i o f a n t o ; la distinción entre números positivos y negativos, que interpretaban como créditos y débitos y que diferenciaban simbólicamente; y sobre todo el uso del cero, no sólo como cifra numérica, ^sino también como símbolo operatorio. En cuanto al sistema' de numeración posicional, usado por los hindúes en sus cálculos aritméticos y astronómicos mediante el empleo de diez signos especiales que, modificados, constituyen nuestro sistema de numeración^ su origen ha suscitado controversias. Hay que descartar, desde luego, el origen árabe como la usual locución de «cifras arábigas» puede hacer suponer (los árabes han sido los trasmisores, no los creadore do res) s) ; y descartado descartado también tamb ién que que los los hindúes hayan ha yan sido los creadores del sistema posicional (lo poseyeron los sumerios y los mayas), queda aún por discutirse el i
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origen del sistema posicional de base 10 que en definitiva dio lugar al nuestro actual. Ese origen pu^de ser hindú y muy antiguo, como sostienen algunos, fundados en la interpretación de un texto religioso anterior a la era cristiana, o puede ser griego, como sostienen otros, admitiendo que el sistema haya nacido en el seno de los neoplatónicos desterrados en Persia, desde donde se habría difundido hacia el Este y hacia el Oeste. En definitiva, la importancia y originalidad de la contribución hindú a la matemática se pone de, manifiesto, si se considera que, con los hindúes, penetra en la matemática el aprovechamiento de la fuerza latente que encierran las cifras y sus operaciones, así,como el gusto por las transformaciones y por las combinaciones; y que además adem ás se deben a los ma matem temát ático icos s hindúes, como aportes particulares, la introducción de las funciones circulares, el uso del cero y métodos de análisis indeterminado. La matemática árabe merece un párrafo especial.
§ 19.— L a m a t e m á t i c a á r a b e
El movimiento histórico denominado Islamismó, qfie se inicia con la «hégira» de 622, ha desempeñado un papel singular en el desarrollo de la ciencia durante el primer milenio de la era cristiana. Cuando Cuando a mediados mediados del siglo sigl o v m los los árabe árabes, s, que que por entonces dominan la mayor parte del mundo civilizado desde el Pamir hasta los Pirineos, detiénen sus conquistas bélicas y su expansión política, la fisonomía del Islam se modifica. El contacto y las relaciones que los árabes establecieron con pueblos y regiones que eran o habían sido centros de grandes culturas, unido a ciertos factores aportados por el mismo Islam,: la tolerancia que en general los conquistadores demostraron hacia los habitantes de las regiones sometidas, en especial
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hacia cristianos y judíos; la atmósfera de libre discusión y libertad de opinión nacida con las polémicas religiosas y controversias teológicas surgidas en el seno del Islam, y la existencia de numerosas cortes que protegían y favorecían los estudios científicos, contribuyó a que a fines del siglo VIII el mundo islámico se encontrara en poáesióh de todos los elementos necesarios para el desarrollo de una gran cultura científica, cultura que desarrolló efectivamente y qué logró su mayor esplendor entre los siglos i x a XI, y de la cual reseñáremos a continuación el aspecto matemático. La primera manifestación cultural de la actividad científica dedos árabes se pone de relieve en las traducciones al árabe de obras hindúes y griegas. Las primeras obras viáculadas con lá matemática que se tradu jer je r o n al árab ár abe, e, tod to d a vía ví a en el s iglo ig lo v i i i , fueron las obras hindúes del período astronómico, con las que probablemente los árabes éntrarían en contacto con las cifras hindúes. Durante el siglo ix y los siguientes empezaron a aparecer las traducciones al árabe de las obras griegas, y algo después sus comentarios. Entre las traducciones de obras griegas citemos las de E u c l i d e s , Á r q u í m e d e s , A p o l o n i o , H e r ó n , P t o l o m e o , P a p p u s , D i o f a n t o , etcétera. Con estas traducciones los árabes entraron en posesión de buena parte de la matemática griega e hindú; posesión que ya desde comienzos del siglo ix empezó a dar sus frutos. La primera figura que aparece en la matemática árabe ára be es de uno de los más grandes gran des sabios del I s l a m : el geógrafo, astrónomo y matemático A l - K h u w a r i z m i , de cuya vida poco se sabe, fuera de que trabajaba en la biblioteca del califa en la primera mitad del siglo ix. Su obra matemática revela influencias hindúes y griegas, estas últimas tanto en el sentido de E u c l i d e s como en el de D i o f a n t o . Ültimamente se quiso ver en ella también influencias de la antigua matemática babilonia. i
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A su vez, esa esa obra influyó infl uyó notablem n otablemente, ente, no sólo sólo en la ciencia del Islam, sino en la ciencia occidental cristiana p o s t e r io r . ■ ' Se le debe una Aritmética, conocida sólo a través de su versión latina, que contribuyó a la difusión en el mundo árabe de las cifras hindúes y del cero y que, como en las aritméticas posteriores, contiene las reglas de las cuatro operaciones con enteros y fracciones y una serie de problemas. Pero sin duda el libro de mayor importancia e influencia de A l - K h u w a r i z m i es lo que podr po dríam íam os |cons co nsiiderar «literalmente» el primer tratado algebraico: es un trabajo cuyo título, de traducción aproximada: S o bre el calculo mediante la restauración y la reducción, contiene *el término árabe « a lg a b a r» que dio dio luego nacimiento cimien to a nuestro nuestro vocablo vocablo «á lg e b r a » ; así como como del del nombre de de su su autor surgió la la palabra «a « a lg o ritm ri tm o ». En ese «álgebra», qué es retórica y en la que la incógnita se designa con la palabra «cosa», nombre con que más tarde pasó a Occidente, aparecen transformaciones de tipo algebraico para la resolución de ecuaciones, tratándose éstas siempre con casos particulares concretos y de coeficientes enteros y positivos. Contemporáneo de A l - K h u w a r i z m i fue T h a b i t b. QURRA, traductor e investigador, cuya contribución más interesante es un método para encontrar números ami- i gos, gos, es decir, números, cada uno de los cuales es suma de los divisores del otro (una pareja de números amigos es, por ejemplo, 220 y 284). Algo posterior a los dos anteriores es A b u K a m i l , que floreció hacia el 900, algebrista que perfeccionó la obra de A l - K h u w a r i z m i y que es uno uno de los p rim ri m eros er os m a tete máticos que trata algebraicamente problemas geométric tr icos os.. , | En gran medida contribuyeron al progreso de la matemática en el Islam los astrónomos. En cierto sentido puede decirse que no hay entre los árabes matemáticos
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puros: ante todo son astrónomos. Ya desde la primera época de la expansión árabe, las prescripciones religiosas plantearon a los astrónomos una serie de problemas de orientación y determinación de fechas y de horas, que exigieron la instalación de observatorios y el perfeccionamiento de las tablas e instrumentos utilizados, así como el estudio e investigación de las cuestiones astronómicas y matemáticas conexas. Es a los astrónomos a quienes se debe la introducción y am ampli pliac ación ión de las func fu ncio ione nes s circ ci rcu u lare la res s y el p e r fe c c io namiento de las tablas de las mismas; y también a muchos astrónomos se deben investigaciones de carácter matemático, surgidas de la lectura y del estudio de los antiguos astrónomos griegos e hindúes. i * Entre los astrónomos árabes que influyeron en el progreso de la matemática, citemos a A l - M a h a n i , muerto hacia 874, que además de traducir obras de E u c l i d e s y de A r q u ím í m e d e s , puso en ecuación (algebraica) el problema (geométrico) de A r q u ím í m e d e s de dividir una esfera en dos segmentos esféricos de razón dada. Por su parte las funciones circulares deben mucho al grupo de astrónomos: A l - H a b a s h , contemporáneo del anterior; A l -B a t t a n i , el Albategnius de los latinos, de fines dél siglo ix y comienzos del x, y A b u A l - W a f a , de la secunda mitad del siglo X. A ellos ellos se debe debe l a ,am amplia pliación ción de las funciones circulares a las seis funciones actualmente en uso y de sus primeras relaciones. Debemos sin embargo agregar que si bien 1k trigonometría trigonometría plana y e s féri fé ric c a continu con tinuó ó desarr des arroll ollán ándo dose se entr en tre e los a s trón tr ón o mos y matemáticos árabes, esas funciones no encontraron eco en los astrónomos árabes y cristianos posteriores hasta mediados del siglo XV. Tam Ta m bién bi én se ocuparon, en medid me dida a dist di stin inta ta,, de m a tete mática las tres figuras científicas más grandes de este primer período de la ciencia del Islam: A l - B i r u n i , I b n S i n a e I b n A l - H a y t a m , todos contemporáneos. i
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La contribución matemática más importante de A l B i r u n i , de la la prim p rim era er a m itad ita d del siglo sig lo xi, xi , se refie re fiere re a ,1a construcción de los polígonos regulares y su tratamiento algebraico. De I b n S i n a , el Avicena de los latinos, sólo interesan algunas contribuciones aritméticas, mientras que I b n A l - H a y t a m , el Alhazen de los occidentales, se ha ocupado de distintas cuestiones aritméticas y geométricas. Vinculado con sus importantes investigaciones sobre óptica, se conoce un «problema de Alhazen», que algebraicamente conduce a una ecuación de cuarto gra ¿ do que Alhazen resolvió mediante la intersección de una circunferencia con una hipérbola. Entre los matemáticas del Oriente islámico durante el siglo xi, citemos a A i^-K a r k h i , en quien no se nota la influencia hindú, y el celebrado Ornar K h a y y a m , asas trónomo y matemático, probablemente el autor dé las * célebres cuartetas Rubaiyat. Como matemático se le debe un importante estudio algebraico y geométrico de las ecuaciones, hasta de tercer grado; y como astrónomo se le conoc conoce, e, por po r ser el au tor de una una refo re form rm a del del calenca lendario, tan exacta como la gregoriana, o más, según alguna interpretación. Durante el siglo xn, la ciencia comienza a entrar en decadencia en el Oriente islámico, pero en cambio en ese siglo la ciencia árabe culmina en la península ibérica; donde por motivos políticos el movimiento cultural se había iniciado más tarde que en Oriente. En la Iberia musulmana no abundan los matemáticos: citemos únicamente al astrónomo J a b i r I b n A f l a h , del siglo X I I , que alguna vez se confundió con el célebre, aunque inexistente; químico Geber de los latinos, y hasta se utilizó la semejanza de su nombre con la palabra «álgebra» para atribuirle haber inventado y dado nombre a esa rama de la matemática. Su contribución más importante a la matemática se refiere a la trigonometría esférica, donde existe un teorema llamado ¿lguna vez «teorema de Géber».
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Después del siglo xii, y durante algunos siglos más, la ciencia árabe continuó dando señales de vida, aunque con escasa o ninguna resonancia en el mundo cristiano. Así, durante la época del dominio mongol encontramos al sabio enciclopédico N a s i r A l -D í n (si (sigl glo o x m ), aut autor de numerosas obras, entre las que s¿ cuentan traducciones y elaboraciones de autores matemáticos griegos. Es de interés señalar que se le debe una «demostración» del postulado de Euclides, único intento situado cronológicamente entre los realizados por los antiguos griegos y los que realizarán los hombres del Renacimiento y de la Edad Ed ad Mode Mo derna rna.. Pero en la época de N a s i r A l - D i n , la ciencia árabe había ya dejado de desempeñar su papel en el desarrollo de la ciencia mundial. Con todo, la cultura árabe, tan unificada por laife y por el idioma, y tan diversificada por los aportes que le dieron vida y la heterogeneidad de los pueblos que puso en contacto, fue el único movimiento cultural creador y de gran envergadura de fines del primer milenio y comienzos del actual. En el aspecto matemático se le debe el haber sentado las bases del álgebra y sistematizado la trigonometría, y sobre todo haber conservado y transmitido el saber matemático antiguo, que en manos de los griegos había logrado tan alto njvel, y que al pasar al mundo occiden v tal ta l en el Renacimiento, Renacim iento, en especial especial por interm int erm edio ed io de los árabes, volverá a cobrar altura.
§ 20 20..— L a é p o c a d e l a t r a n s m i s i ó n
Cuando a partir del siglo XI la cultura árabe comienza a mostrar signos de decadencia, en el mundo cristiano asoma un despertar cultural: tanto en Oriente como en Occidente. Si en el Oriente el llamado «renacimiento biz b izan anti tin n o» no m ostr os tró ó m a y o r o r igin ig in a lid li d a d y v i g o r , en especial tratándose de matemática, en Occidente, ese
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despertar, lento y con alternativas en sus comienzos, adquirió luego mayores impulsos para empalmar con el Renacimiento de los siglos XV y x v i y dar da r vida vi da,, más t a r de, al gran movimiento cultural de la Edad Moderna. En sus comienzos ese proceso cultural fue estimulado, y en c ier ie r t o sentido sent ido acele ac elera rado do por po r influen infl uencia cias s árab ár abes es que se ejerc ieron ier on a través trav és de un triple trip le conducto: conducto: las las costas costas del Mediterráneo oriental durante las Cruzadas, Sicilia y España Esp aña.. Aunque discutible, esa influencia puede ya notarse en x , G e r b e r t o de Aurillac, de la segunda mitad del siglo x, más tarde Papa, en cuyos escritos matemáticos, de escaso valor, aparecen las cifras hispanoarábigas (sin el cero). En cambio, es indiscutible la influencia árabe surgida de los contactos entre musulmanes y cristianos, ya y a a tra tr a v és de las Cruzada Cru zadas, s, ya en S icil ic ilia ia o en España Esp aña.. Esos contactos permitieron a los cristianos advertir el valor del saber, propio o ajpno, acumulado por }os árabes, iniciándose entonces una era de transmisión de ese saber a través de traducciones, en gran parte del árabe al latín, aunque también del hebreo al latín, como del árabe al hebreo, y, en menor medida, del griego al latín. Encontramos traductores en los viajeros que estuvieron en Oriente, así como en Sicilia, donde bajo los reyes normandos se produjo un intenso intercambio entre las culturas árabe, griega y latina; pero el centro más activo de traducciones fue España.Aquí encontramos parejas de traductores que trabajan en colaboración, traduciendo, por ejemplo, uno del árabe al castellano y el otro otr o del castellano castellano al al la t ín ; también encontr encontramos amos verd ve rd a deras escuelas de traductores, como la de Toledo, dirigida por G e r a r d o de Cremona, del siglo XII, de la que se han catalogado no menos de 87 obras traducidas. La obra de los traductores puso a disposición de los sabios occidentales el saber griego y el saber árabe, y esta circunstancia, unida' a la atmósfera cultural
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siglos xii y XIII,
§ 21.— E l De s p e r
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matemático
En el mundo occidental, el despertar matemático sé inicia en el siglo siglo x m po r obra de Leona rdo de Pisa P isa o L e o n a r d o P i s a n o , también apodado Fibonacci (hijo de B on a cci), cc i), nacido hacia ha cia 1170 1170 y m uerto ue rto después de JL240. Durante su juventud había residido en Argelia y recorrido la cuenca mediterránea, sobre todo en las zonas de influencia árabe, con cuya cultura se puso en contacto, en especial a través del idioma y de la matemática. A l reconocer reconocer las las vent ve ntaja aja s del del empleo empleo de las las cifr ci fra a s aráar ábigas en los cálculos numéricos frente a los procedimientos de la época, al regresar a su patria, en 1202, publicó su principal obra: L í b e r A b a d , que en 1228 amplió y reelaboró. El título del libro no alude al ábaco como instrumento auxiliar en los cálculos, sino, por extensión, a los cálculos mismos, que L e o n a r d o enseña a realizar a la manera «algorítmica» con las cifras arábigas, y no a la manera de los abacistas con los números romanos. Sin v habe ha berr sido en verda ver dad d L e o n a r d o el introductor en Europa de esas cifras, es indudable que fue él quien divulgó su uso y mostró sus ventajas. Claro que no por ello quedaron desterrados de inmediato las cifras romanas, que continuaron, con suerte variable, a ser utilizadas en los cálculos comerciales, así como el cálculo con el ábaco, manteniéndose durante mucho tiempo una lucha entre abacistas y algorítmicos. Pero además de ese mérito y de la indiscutible originalidad qüe L e o n a r d o muestra eii el tratamiento de las cuestiones matemáticas, se le debe el no menor de haber hecho conocer en su conjunto el feaber aritmético y al
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gebr ge braic aico o de los los árab árabes. es... Adem Ad em ás del L í b e r A b a d , en el que L e o n a r d o trata en forma retórica cuestiones de aritmética y álgebra, escribió un tratado geométrico y otros escritos menores ^n los que, sin embargo, muestra L e o n a r d o s u s dotes rqatemáticas originales. Del mismo siglo que L e o n a r d o , aunque algo posterior, es Giovanni Ca m p a n o de Novara, a quien §e qiebe una traducción'de los Elementos, con comentarios. Esta traducción constituyó el primer texto impreso de EUCLId e s (Venezia, 1482), y en sus comentarios demuestra C a m p a n o ser más que un mero traductor. Citemos únicamente que se le debe el intento, seguramente el primero, de fundar la aritmética de los números naturales sobre un sistema de axiomas y de postulados. Tam Ta m bién bi én al siglo sig lo x i i i pert pe rten enec ece e un au tor to r (o a u to re s ) de identidad discutida: J o r d a n u s Nemorarius, a quien (o quienes) se atribuye, además de varios escritos importantes sobre mecánica y astronomía, escritos aritméticos y geométricos dé no escaso valor; y SACROBOSCO (nombre latinizado de John de Hollywood), más conocido por su obra astronómica, pero que es también autor de un texto elemental de aritmética que mucho contribuyó a la difusión de las cifras arábigas y de la numeración decimal. Además de la obra de los matemáticos citados, contribuyó al renacimiento, científico de la época la peculiar atm ósfe ra intelectual intelectual del del siglo x m , en el el que que la la cultura medieval occidental alcanza su apogeo. En los siglos siguientes esta atmósfera cultural irá lentamente modificándose: el espíritu medieval, bajo el signo del humanismo, se convertirá en el espíritu moderno, una de cuyas notas será precisamente la aceleración del progreso científico. Durante esos siglos, que para la matemática van desde el xiv hasta fines del xvi, fecha en que se inicia para §sta ciencia una nueva era, la labor matemática se cqp
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cretará a completar y perfeccionar la aritmética, el álgebra y la trigonometría. Durante los siglos xiv y xv los progresos fueron escasos. La figura matemática más importante del siglo xiv x iv es la la de uno de de los los «M aes tros de P a r ís » : Nicolás O r e s m e , en cuyas obras asoma la noción de representación gráfica de funciones, o mejor, fenómenos de una variable, así como otros conceptos matemáticos de los que puede considerarse precursor. En el siglo XV, además; del nombre del célebre Nicolás C u s a n ©, que también se ocupó de matemática, debemos citar los de los astrónomos Georg P e u r b a c h y su discípulo Johannes Müller, llamado ej R e g i o m o n t a n o . Con ellos progresa la trigonometría, debiéndose a R e g i o m o n t a n o el primer tratado de trigonometría en latín que tuvo influencia duradera. En cambio, a fines del siglo XV y durante el XVI, en pleno Renacimiento, los progresos fueron mayores.
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§ 2 2. 2 .— E l , r e n a c i m i e n t o d e l a m a t e m á t i c a i
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Dos acontecimientos culturales del siglo xv tuvieron amplia repercusión en el desarrollo de la matemática. El primero fue la invención de la imprenta con tipos movibles, que facilitó extraordinariamente la transmisión y la difusión de los escritos científicos, circunstancia que, combinada con el «renacimiento de los clásicos», puso al alcance de los estudiosos los grandes monumentos científicos de la antigüedad. Ya dijimos que la versión latina de Ca m p a n o fue la primera edición impresa de los Elementos de E u c l i d e s , en ,1482, pero fue especialmente durante el siglo XVI cuando se dieron principalmente a la imprenta las obras matemáticas clásicas, de manera que al finalizar ese siglo, ya en idioma original o ya en versión latina, estaban a disposición de los estudiosos los escritos más importantes entonces conocidos de A r q u ím ... í m e d e s , A p o l o n io i o , D i o f a n t o ... Mientras tanto, aparecen los primeros escritos matemáticos impresos de los contemporáneos, el primero de los cuales es la llamada Aritm ética «de Treviso», aparecida en esta ciudad en 1478, y el más importante, probablemente, es un escrito de Johann W i d m a n n , de 1489, cuya mayor novedad reside en que en su segunda parte aparecen por po r primera prim era vez los los signos signos 4 y — , aunque no no en la forma puramente simbólica con que hoy se utilizan.
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Otro acontecimiento cultural del siglo XV, de influencia en el desarrollo de la matemática, fue la conjunción feliz que, especialmente en suelo italiano, se realizó entre la ciencia, la técnica y el arte, bajo el signo común del humanismo, y que puede simbolizarse en una de las figuras cumbres del Renacimiento: L e o n a r d o d a V i n c i / Así es cómo, especialmente por obra de artistas, las antiguas consideraciones griegas y árabes sobre la óptica geométrica dieron origen a una rama de la geom etría et ría : la p e r s p e c t i v a Las primeras obras europeas con este título, del siglo x i i i , son reelaboraciones de la óptica de I b n A l - H a y t a m que, sobre la de E u c l i d e s , tenía la ventaja de considerar los rayos visuales como partiendo de los objetos y no del ojo, como los consideraba el geómetra griego. Pero durante los siglos xiv y xv, la perspectiva va perdiendo su antiguo significado físico o físicogeométrico para convertirse en una rama de la geometría, cuyo problema capital es la intersección con un plano (el cuadro) de las rectas que partiendo de los distintos puntos del espacio llegan hasta el ojo. Es explicable que este problema geométrico haya surgido en el seno del arte pictórico, y en una época en que muchos pintores trataban de investigar los fundamentos científicos de su propio arte. A esos pintores y a tal tendencia pertenecen Filippo B r u n e l l e s c h i , Lorenzo G h i b e r t i , y especialmente León Battistá A l b e r t i , típica figura del humanismo renacentista a quien se debe, entre otras obras, un escrito en latín y en vulgar en el que resume las consideraciones de la época sobre la geometría aplicada al dibujo y a la pintura. Estas consideraciones dieron lugar, algo más tarde, a un tratado especial, el primero en su género, escrito también en lengua vulgar, del pintor P i e r o D e l l a Fr a n c e s c a.
Ta T a m b ién ié n L e o n a r d o d a V i n c i y, ya en el sigl si glo o xvi, Albrecht DÜRER, se ocuparon de perspectiva y de, otras
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cuestiones matemáticas. Pero la figura matemática más importante vinculada con el mundo de técnicos y artistas del Renacimiento italiano es la de Lúea P a c i o l i , discípulo de P i e r o D e l l a F r a n c e s c a . E l mérito principal de P a c i o l i , fuera del entusiasmo que muestra por la matemática en todos sus escritos, consiste en haber ofrecido, especialmente en su Summa impresa en 1494, un arqueo del saber matemático de su tiempo, que sirve admirablemente de jalón para apreciar los programas realizados desde L e o n a r d o P i s a n o y p a r a m e d ir ta m b ié n los lo s avan av an ces ce s que qu e se h a rá n en el futuro. Es una obra de carácter enciclopédico, cuyo ob je j e t o p r in c i p a l f u e p o n e r a q u el s a b er a d is p o s ic ió n de los técnicos, de los artistas y de los comerciantes, por lo cual utilizó la lengua vulgar. Consignemos sólo dos detalles de la obra de P a c i o l i en
su aspecto algebraico: el de dar, sin mayores especificaciones, como «imposible» la resolución de la ecuación de j > tercer gfadó, y la terminología y abreviaturas utilizadas que caracterizan la etapa, en la evolución del simbolismo algebraico, que se ha denominado álgebra sincopada.
Sin embargo, en este último sentido son más originales les las las aportaciones aporta ciones de un francés franc és de fines fines del del siglo sig lo x v : Nicolás C h u q u e t , que en una obra escrita en 1484 expone interesantes cuestiones de álgebra y utiliza un simbolismo bastante avanzado. Desgraciadamente, por haber permanecido inédita, esta obra ha ejercido escasa influencia.
§ 23.— L os I
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A los algebristas italianos del siglo xvi debe la matemática el importante aporte del estudio y resolución de las ecuaciones de tercero y de cuarto grado. Esta contribución se realiza en la primera mitad del siglo, en circunstancias difíciles de precisar, dada la costumbre de
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la época de mantener el secreto de los descubrimientos científicos con el objeto de prevalecer sobre los adversarios en los torneos y justas, a veces públicas, que se realizaban y en los qúe se planteaban problemas científicos. Se atribuye a Scipione D a l F e r r o , profesor'de Bo logna,, el haber sido el primero en resolver uno de los tipos de la ecuación de tercer grado, hacia principios del siglo X V I ; pero ni se conoce esta pretendida solución de D a l F e r r o ni se ha logrado encontrar, no obstante las búsquedas, una libreta de apuntes en la que habría consignado esa solución, que de existir y ser correcta, se habría dado el caso, nada frecuente por cierto, de malograr voluntariamente una celebridad y una prioridad indiscutibles. El hecho es que por esa época empiezan a aparecer entre las cuestiones propuestas a calculistas y algebristas italianos problemas que conducen a ecuaciones de tercer grado (cúbicas), figurando entre los proponentes un discípulo de D a l F e r r o . En estas justas interviene uno de los matemáticos más importantes del siglo: Nic coló T a r t a g l i a , quien, estimulado sin duda por esas cuestiones, encuentra por su cuenta la regla para resolver las ecuaciones cúbicas" logrando un decisivo tfiuúfo, en un desafío matemático, sobre el discípulo de D a l F e r r o . La fama que entonces conquista T a r t a g l i a llega a oídos de otro matemático italiano, entonces profesor en Milano, Gerolamo Ca r d a n o , curioso personaje que gozó de fama también como médico, astrólogo y alquimista, que, conocida la solución de T a r t a g l i a , perfeccionó la cuestión, probablemente con la ayuda de uno de sus discípulos: Ludovico F e r r a r i , de valor singular como matemático, pues se le debe la resolución de la ecuación de cuarto grado. El desarrollo de este proceso científico no se realizó sin incidentes personales, que culminaron en una ruidosa polémica entre T a r t a g l i a y F e r r a r i , de mediados de siglo, en la que según costumbre de la época, ambos adversarios se lanzaron «carte
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les» de desafío, con una serie de cuestiones propuestas (no sin improperios). De estos carteles, que se imprimían y difundían profusamente, hubo en esta polémica una docena: seis «carteles» y seis «contracarteles», de interés matemático relativo, aunque ellos ofrecen la única colaboración matemática escrita de F e r r a r i . A los algebristas algebrista s italianos del del siglo x v i que que acabamo acabamos, s, de menciona^ depe aún sumarse la importante figura del boloñés Rafael B o m b e l l i , autor de un Álgebra (publicada en 1572) que contiene los resultados logrados por los algebristas anteriores, y además la consideración de un caso especial (hoy llamado el «caso irreducible») que había resistido hasta entonces a todos los esfuerzos y que B o m b e l l i logra resolver mediante la introducción de recursos algebraicos, cuyo hallazgo lo conv co nvier ierten ten eiji el precursor, precu rsor,,, si n o (el inven inv ento tor, r, de los los números imaginarios, que recién se sistematizaron el siglo pasado.
§ 24.----- LOS LOGARITMOS Y LAS FRACCIONES DECIMALES
Entre las aritméticas y álgebras aparecidas en el siglo XVI se destaca una Aritmética de Michael S t i f e l , de 1544, en la que, además de otros progresos, asoma el éoncepto de logaritmo, ya como operación inversa de la potenciación, ya como uría correspondencia entre los términos de una progresión aritmética y una geométrica, con su correlativa correspondencia entre las operaciones que se realizan con los términos de ambas progresiones. Es posible que estas ideas influyeran en los matemáticos que trataban de simplificar las operaciones aritméticas, en vista sobre todo de las necesidades astronómicas, para lo cual recurrían a medios variados. Pero serán los logaritmos los que resolverán totalmente la cuestión, y han sido sin duda aquellas exigencias prácticas las que hicieron que la logaritmación, que es en N ú m . 1142.—3 i
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verdad la operación inversa de la exponenciación, naciera antes de que se constituyere esta operación directa. Ta T a m b i é n es p o s ib ible le que qu e a q u e lla ll a p re reo o c u p a c ión ió n p o r e n contrar recursos que facilitaran las operaciones aritméticas explique que los logaritmos se hayan descubierto, independiente y casi contemporáneamente, por dos autores distintos, y que esos descubrimientos se publicaran en fechas muy cercanas; son esos autores el escocés N a p ie i e r y el suizo BÜRGI, y esas publicaciones dé 1614 y 1620, r e s p e c t iv a m e n t e . Job Jo b st BÜRGI, que fue un hombre versado en cuestio-
nes de matemática, astronomía y mecánica, y sobre todo un hábih calculis calculista, ta, utiliza u tiliza para sus «lo «l o g a ritm ri tm o s » el procedimiento de las dos progresiones, tomando como razón de la progresión geométrica (nuestra «base» actual) un número algo mayor que la unidad, pero muy próximo a ella. El proceso seguido por John N a p i e r , que se destacó también en otras ramas de la matemática, es esencialmente distinto. Ante todo calculó los logaritmos de los senos de los ángulos y no de números, utilizando como «b a s e » un número número también próxim pró ximo o a la uni unida dad, d, pero p ero ahora algo menor (para evitar los números negativos). Adem Ad emás, ás, y esto es es un gran gra n progr pro gres eso o teórico, teórico , iiptrod iipt roduj ujo,, o,, los logaritmos (el nombre es de él) mediante una ingeniosa concepción cinemática, con la que implícitamente tuvo en cuenta la propiedad de ser continua la función logarítmica, circunstancia que no aparece cuando se consideran los logaritmos como los términos de una sucesión discreta, tal como es la progresión aritmética. Los «logaritmos» de BÜRGI y de N a p ie i e r se aproximan a los logaritmos hoy llamados naturales. Los logaritmqs decimales, que son los que se utilizan actualmente en la práctica, nacieron, en cambio, de una entrevista entre N a p i e r y B r i g g s , a raíz de que este último insinuara la conveniencia de adaptar los logaritmos al sistema de
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numeración. Las primeras tablas de.logaritmos decimales, calculadas por B r i g g s , aparecieron en 1624.
Esto nos lleva a hablar de la introducción en los cálculos aritméticos de las fracciones decimales, y^por ende de los números decimales. En contra de lo que podría parecer, esa introducción no resultó ser una consecuencia natural del sistema decimal de numeración,, pues la obvia observación de que la sudesión de potencias de 10 era tan válida en el sentido ascendente como en el descendente, no fue reconocida de inmediato./ Aunque el uso de las fracciones decimales y la notación respectiva fueron el resultado de una obra lenta y anónima, un gran impulso en tal sentido fue ejercido por po r un uno de los grandes gran des sabios de esta ép é p o ca : Sim S imón ón S t e v i n , célebre sobre todo por sus investigaciones sobre estática, y que en' un folleto de 1585 se propuso hacer conocer «una «un a especie de a ritm ri tm étic ét ica a », con con lo qu que «tod «to d os los cálculos que se presentan en los negocios humanos» pueden realizarse con números enteros, «sin fracciones», mostrando cómo para las fracciones decimales son válidas las mismas reglas que para los números enteros. Y es interesante interesa nte destacar destaca r que que en en este mismo fo lleto lle to S t e v i n muestra'las ventajas del sistema decimal, no sólo en las fracciones, sino en la adopción de un sistema de pesos y medidas, adelantándose un par de siglos a la idea del sistema métrico decimal. Si bien da notación decimal decima l comenzó a usarse desde fines del siglo XVI, no se generalizó hasta principios del siglo xviil, y simbolismo (el de ^ t e v i n era poco feliz) fue tan variado que aun hoy no esnxniforme. s u
Otro algoritmo, es decir combinación de operaciones, nace en esta época: el de las llamadas «fracciones continuas», que estaba implícitamente en el procedimiento de E u c l i d e s para la determinación del máximo común divisor de dos números, pero que el siglo xvi extiende a los números irracionales (raíces cuadradas), dando así nacimiento a uno de los primeros algoritmos infinitos.
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Aunque pueden encontrarse precursores, el u¡3o sistemático de las fracciones continuas para la determinación (aproximada) de raíces cuadradas fue introducido por el profesor en la Universidad de Óologna Pietro Antonio C a t a l d i , en 1613. § 25.— E l
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Además de la resolución de las ecuaciones de tercero y de cuar cu arto to gr grad ado, o, y laj laj crea cr eaci ción ón de nuevos algo al gori ritm tmos os,, el siglo X V I v e completar^ y perfeccionar el álgebra y la trigonometría, mientras comienzan a asomar las primeras consideraciones de carácter infinitesimal que darán lugar en el siglo siguiente a una de las más grandes conquistas científicas de todos los tiempos: el análisis infinitesimal. Poco a poco, a través de las aritméticas y álgebras que van publicándose en Europa, aparecen los símbolos algebraicos, pero el mayor progreso algebraico se debe al francés Frangois V i é t e , más conocido por su apellido latinizado Vieta, sin duda el más grande de los matemáticos de la segunda mitad del siglo xvi. En'lina de sus obras, de 1591, V i é t e expone los principios fundamentales del álgebra, no sólo considerando el método analítico y sus etapas,, en el sentido antiguo, sino estableciendo la serie de postulados en que han de fundarse las transformaciones algebraicas. Agrega que la debilidad de los antiguos analistas fue la de ejercitar sus facultades sobre los números, es decir, hacer lo que éT llama «logística numerosa», dando a la palabra «logística» la acepción griega; mientras que lo que debe hacerse — continúa— continúa— es una nueva nueva log ístic ís tic a : la la «logístic «log ística a speciosa», comparando entre sí las magnitudes. Es en esta «logística speciosa» donde reside uno de sus mayores méritos, pues ella trae consigo la importante innovación de utilizar en las cuestiones cantidades cuales
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quiera y por tanto introducir en el álgebra el uso de las letras. En ésta 1 y o t r a s o b ra ras, s, V i é t e desarrolla casi todo el algoritmo algebraico actual, otorgándole unidad y orden lógicos, no obstante el lenguaje óscuro y difícil que utiliza, agravado por el excesivo número de helenismos y n e o lo g ism is m o s q u e intr in tro od u ce. En la teoría de las ecuaciones se le deben algunos progresos, pero en este campo son más importantes las contribuciones de Albert GiRARD, discípulo y editor de S t e v i n , entre las cuales cabe citar su afirmación, sin demostrarla, que toda ecuación tiene tantas raíces como indica su grado, enunciado que constituye el llamado «teorema fundamental del álgebra», cuya primera demostración rigurosa aparecerá siglo y medio después.
Si dejl álgebra pasamos a la trigonometría, debemos recordar que, todavía en la primera mitad del siglo xvi, esta rama de la matemática sigue vinculada con la astronomía. Así, en la célebre De revolutionihus de COPÉR Nico, de 1543 (como en su antecesora: el Almagesto de P t o l o m e o ) , tres capítulos están dedicados a las funciones circulares. De ellos, dos~_habían aparecido el año anterior en un escrito del editor de C o p é r n i c o , George Joachim, Joach im, de apellid ape llido o desconocido, desconocido , pero pe ro llamado llam ado R h a e t t cus, del lugar de su|nacimiento. A R h a e t i c u s se debe el estudio sistemático de las seis funciones circulares que, por primera vez en Europa, aparecen definidas mediante los lados del triángulo rectángulo. En esta época es cuando aparece por primera vez la palabra «trigonometría», cuyo mayor progreso se logra también por la obra de V i é t e , en cuyos escritos no sólo aparecen las relaciones fundamentales entre las funciones circulares de los ángulos y de sus múltiplos, sino también los principales teoremas; aunque en forma distinta de la actual, de la trigonometría plana y esférica. Frente a estos importantes progresos del álgebra y de la trigonometría, el siglo XVI no señala progresos
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semejan sem ejantes tes en el el cam campo po de la geom ge om etría, etr ía, donde donde las mam a yor y ores es contri con tribu bucio cione nes s han de v ers er s e en los com co m enta en tari rios os y vers ve rsio ion n es de las anti an tigu gua a s obra ob ras s g eom eo m étri ét rica cas s de los griegos. Entre los comentaristas y traductores debemos citar a Brancesco M a u r o l y c o , quizá el más grande de los geómetras del siglo, a quien se debe también la aplicación, en forma rudimentaria, del «método de inducción completa» para la demostración de ciertas propiedades de los números. El principio de inducción completa, que está implícito en algunas demostraciones de E u c l i d e s , es considerado por M a u r o l y c o , y otros matemáticos posteriores, como un principio lógico, mientras que hoy se ve en él una propiedad característica de la sucesión de los números naturales. La perspectiva, rama de la geometría entonces en formación form ación,, encontró encontró un sistem siste m atiza at izado dorr teórico, t eórico, i en Gui i dubaldo D e l M o n t e y un d ivu iv u lga lg a d o r prác pr áctic tico o en Jacobo Jac obo B a r o z z i , apodado il Vignola, Vignola, por el nombre de su pueblo natal, que por la celebridad y fama que gozó su obra convirtió este nombre en sinónimo de arquitectura. Agreguemos que es en este siglo que el problema de la cuadratura del círculo adquiere un renovado vigor, y que probablemente data de esta época la fama, generalmente basada sobre la ignorancia de los términos dpi mismo, que gozó el problema hasta fines del siglo pasado. En tal sentido, además de la labor dé algunos calculistas que expresaron el valor de iz hpsta con 35 decimales, debe destacarse la obra de V i é t e , que fue también hábil geómetra, al cual se debe la primera expresión con ver gen te de ese ese célebre número m edian te, su desarrollo en producto infinito.
Para terminar de caracterizar el siglo XVI agreguemos que en él se introduce la matemática en Extremo Oriente, en especial por obra de los misioneros jesuitas, y que apar ap arec ece e en el Nulevo Mundo Mu ndo el p r im e r lib li b r o im preso de matemática: una modesta aritmética mercantil publicada en México en 1556.
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Con el siglo XVI puede decirse que se cierra un nuevo período en el desarrollo de la matemática: es el período que va desde la decadencia griega hasta el advenimiento de la ciencia moderna, advenimiento que significa para la matemática la iniciación de una nueva era, en la que aún vivimos, de constantes e ininterrumpidos progresos y creaciones. En aquel período, que transcurre entre los principios de la era cristiana y los comienzos del siglo XVII, la matemática ha conquistado un nuevo territorio: el álgebra, diferente en su forma y en su contenido de la geometría, tan brillantemente cultivada por los griegos. En esta nueva rama la abstracción matemática adquiere una jerarquía superior, como si se elevara respecto de la abstracción geométrica de los griegos. Los objbtos matemáticos dejan de ser números particulares, que cuentan o miden las cosas del mundo; de jan ja n de ser figur fig uras as que aluden a los cuerpos cuerp os y obje ob jeto tos s naturales; los objetos matemáticos son ahora las letras, esas especies de la «logística speciosa» de V i é t e , son los símbolos algebraicos que no se refieren a un número particular o a una cantidad geométrica especial, sino a todos los números, a todas las cantidades. El carácter simbólico que el álgebrá confiere a la matemática muestra algunas notas permanentes de ésta, que la geometría griega había ocultado. Ante todo, su carácter de ciencia ideál se torna específica: los objetos matemáticos pertenecen sí a una esfera especial que está desvinculada del mundo exterior, pero que también lo está del mundo de las «ideas» platónicas; es un mundo con notas especiales; inespacialidad, atemporalidad, y tip ti p o de abstra abs tracció cción n específica. Por otra parte, los recursos del álgebra permiten unificar la aritmética aplicando un molde común a las propiedades de los números, cualesquiera sean éstos, y conferir a la matemática métodos de una generalidad tal que la geometría no podía permitirse. i
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Es claro que un teorema geométrico es general, pero esa generalidad es limitada. Si demostramos el desarrollo del cuadrado de una supia mediante la conocida descomposición de un cuadrado en dos cuadrados y dos rectángulos, esa demostración no sólo está limitada en el sentido de la naturaleza de los sumandos; que han de ser exclusivamente segmentos, sino también porque ella muestra únicamente un a descomposición del cuadrado de una suma, precisamente aquella indicada en la figura. En cambio, la identidad algebraica que expresa el cuadrado de un binomio como suma de dos cuadrados y de un doble producto, es general en el amplio sentido que sus letras «vacías» permiten ser llenadas con cualquier contenido: sean números o medidas, sea cual fuere su naturaleza o la naturaleza de las magnitudes cu yas ya s cant ca ntid idad ades es miden. Esta amplitud del contenido de los símbolos algebraicos permitirá que la matemática adquiera un carácter dinámico, opuesto al carácter estático que le confería la geometría, y facilitará el planteo y la solución de un nuevo tipo de problemas que bien pronto abordará la matemática: los problemas de la continuidad y de la variabilidad, cuyo dinamismo interno será legislado por el análisis infinitesimal. En resumen, puedo decirse que al comienzo del siglo X V I I los matemáticos disponen d o dos grandes instrum tru m entos ent os : la geom geo m etría et ría de los antiguos, con con su su estru es tru ctura rígida y algo pesada, pero rigurosa; y el álgebra, con su conjunto de reglas flexibles y maleables y con su gran poder algorítmico. Uno de los primeros triunfos de la matemática del siglo xvii se logrará con el acercamiento de ambos instrumentos.
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i ' El siglo X V I I fue de una fecundidad maravillosa para la ciencia; baste pensar que es el siglo de G a l i l e o , de D e s c a r t e s , de H u y g e n s , de N e w t o n , de L e i b n i z . Para la matemática, las condiciones adecuadas a tal fecundidad eran particularmente favorables. Por un lado, la geometría de los antiguos, olvidada en Occidente durante siglos, había renacido: las grandes obras griegas de í m e d e s , de A p o l o n io i o , de D i o f a n t o , E u c l i d e s , de A r q u ím de P a p p u s , estaban, ahora en versiones auténticas adis posición de los estudiosos. Por otra parte, el álgebra y la trigonometría habían adquirido cierta madurez que revelaba la autonomía de esos conocimientos, y_al mismo tiempo ponía de manifiesto sus posibilidades como instrumentos algorítmicos. Los resultados de tales condiciones favorables se harán sentir m.uy pronto, pues el siglo xvn verá ante todo una admirable conjunción del álgebra y de la geometría con el nacimiento de una nueva rama de la matemática: la geometría analítica, que produce en esa ciencia una verdadera resolución, acertadamente comparada con la revolución industrial, y que implícitamente muestra la armonía y unidad internas, de la misma; en segundo lugar nace el análisis infinitesimal; ya como algoritmo del infinito, ya como indispensable instrumento para el
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estudio de los fenómenos naturales; y si eso no fuera aún bastante, el siglo xvn asiste al advenimiento de la teoría de los números, del cálculo de probabilidades, de la geometría proyectiva. El advenimiento de la geometría analítica va unido con el nombre del gran pensador francés René D e s c a r t e s , aunque su obra en este campo está indisolublemente vinculada con la de sus predecesores y pontem ,, / poráneos, como acontece en todas las grandes creaciones. Pero en D e s c a r t e s esta vinculación es muy difícil de establecer, no sólo por su escasa propensión a reconocer los méritos ajenos, siendo casi imposible averiguar por sus escritos cuáles autores conoce, sino principalmente por el lugar y el papel que atribuye a la matemática en el campo de los conocimientos. Una de las ca ract ra cter erís ísti tica cas s del del pensami pensa mient ento o cartes car tesian iano o es lo (que que po pop dría llamarse su «afán cósmico», es decir, un anhelo de generalización y de absoluto que le hace perseguir la estructuración de una física general, capaz de explicar completamente todo lo que el universo contiene en la tierra y en los cielos, meta que cree alcanzar con sus Principios de 1644, aunque ese afán se nota desde 1619, fecha de sus primeros descubrimientos matemáticos. De ahí que para D e s c a r t e s la matemática no sea un fiií fii í en en s í : la considera consid era como modelo modelo de la la ciencia, ciencia, a la que dictará sus preceptos lógicos; servirá por eso admirablemente, a manera de cobayo, para ensayar su método, pero no será más que eso: un método. El uso que D e s c a r t e s hace de los los términos términos «m a te m á tic a s y «m a tem te m á tica ti ca s »
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y en la o t r a ‘se está tan suje su jeto to a cier ci erta tas s reg re g las la s y c iert ie rta as letras, que en lugar de dar una ciencia que eduque la mente se convierte en un arte oscuro y confuso que la tu rb a » ; y de ahí que que la vinculación vinculac ión que establec esta blecerá erá entre las dos..ramas será precisamente la de tomar «lo mejor del análisis geométrico y del álgebra, corrigiendo los defectos del uno por el otro». Es que D e s c a r t e s aspira a una ciencia única, a una ciencia integral, de la cual «las mátemáticas» constituirán, como él dice, «la envoltura». Esta ciencia unitaria será la «matemática universal» —ahora en singular, restituyendo al vocablo su valo r etimo lógico— que ha de de explicar «todo «to do aquello que pueda preguntarse acerca del orden y de la medida, no importando que las medidas deban buscarse en números, figuras, astros, sonidos o cualquier otro objeto». Esta tendencia hacia una ciencia universal explica también el juicio, a veces hasta despectivo, que le merece a D e s c a r t e s la matemática pura y el factor negativo que asigna al carácter formal de esta ciencia. ^ «Son disciplinas disciplinas — dice dice— — muy abstractas que que no parecen parecen tet ener ningún uso», en cuyos problemas «acostumbran a entretenerse geómetras y calculistas ociosos». Al referirse a lap cuestiones de la teoría de los números, las tilda de «muy inútiles», que a veces «pueden ser mejor resueltas por un hombre paciente que examine cuidadosamente la sucesión de los números». En cambio, D e s c a r t e s ve una finalidad de la matemática en el método .demostrativo y en sus aplicaciones. Así, nos dirá en el Discurso de 1637: «Las matemáticas tienen invenciones sutilísimas que pueden servir tanto para satisfacer a los curiosos como para facilitar todas las artes y disminuir el trabajo humano», asombrándose más adelante «que siendo sus fundamentos tan sólidos y estables no se hubiera edificado sobre ellos nada más importante», mientras que de la práctica matemática que él há experimentado no esperará otra cosa •
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«que acostumbrar mi mente a nutrirse de verdades y no satisfacerse con falsas razones». Además, parece que mucho antes de la aparición del Discurso se había apartado de la matemática, pues en 163 1630 escr es crib ibe: e: «E n cuanto a los los problemas, estoy est oy tan cansado de las matemáticas y me ocupo tan poco de ellas, que ya no sabría tomarme el trabajo de resolverlos por mi cuenta.» Sin embargo, no obstante esta desestimación de D e s c a r t e s hacia la matemática pura y el carácter formal que el álgebra introducía en ella; no obstante el desapego que D e s c a r t e s le demuestra, su afán cósmico, su ansia de unificación lo lleva a realizar, quizá sin advertirlo, una revolución en aquella ciencia abstracta que él desvalorizó. Pues eso es su gran aporte a la matemática: la unificación del álgebra con la geometría. El único escrito matemático publicado por D e s c a r es la Géométrie, Géométrie, tercero y último de los «ensayos» t e s que figuran como apéndices de su célebre Discurso del método . En ese escrito, ya el primer capítulo del primer libro, cuyo título es «Cómo el cálculo de la aritmética se relaciona con las operaciones de la geometrías, geometrías, habla claramente de la unificación que realizará D e s c a r t e s . En efecto, una diferencia esencial entre los elementos geométricos (segmentos) y los elementos algebraicos (letras), que impedía su comparación es que mientras que con las letras pueden realizarse las operaciones aritméticas en número ilimitado obteniéndose nuevas combinaciones binac iones de— de—letras, con los los segmentos segm entos tales com b inaciones quedan limitadas a las líneas, superficies y sólidos, es decir, a casos en que la «dimensión» del resulta su ltado do no supe su pera ra al número númer o 3, pues en los demás demá s [Cas [Caso os ese resultado, por no poderse expresar mediante figuras geométricas, deja de ser inteligible. Ahora bien, pará eliminar tal limitación, D e s c a r t e s utiliza un recurso técnico de una simplicidad asombrosa: el segmento unitario, es decir, un segmento arbi
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J ’ I trario que, adoptado como unidad y operando convenientemente con él, permite que toda combinación de segmentos, cualquiera sea su «dimensión», se reduzca a un segmento único. En verdad esa unidad irá sobreentendida, y de hecho ni ella ni sus operaciones aparecerán, pues, y ésta es la segunda etapa del genial proceso de D e s c a r t e s , bastará indicar con una letra a cada uno de los datos, e indicar el resultado con las respectivas combinaciones de las letras, de acuerdo con las letras letr as del álgebra. álgeb ra. ' < De ahí que a cada problema geométrico corresponderá una cierta relación entre letras, es decir, una ecuación, y el estudio o resolución de esta ecuación dará entonces lugar a la solución o análisis del problema geométrico. En esta correspondencia entre el álgebra y la geometría reside en definitiva la índole de las cuestiones que más tarde constituirá la «geometría analítica», y en ella está enlarvado el fundamental concepto de «coordenada», pues ni este nombre ni los ejes figuran en los escrito^ de D e s c a r t e s . De acuerdo con estos principios, D e s c a r t e s , en el primer libro de su Geometría , exponq la manera de realizar las operaciones aritméticas elemenjtales y sus combinaciones con segmentos, terminando con un «Ejemplo tomado de Pappus», en el que con legítimo orgullo muestra la excelencia de su método al resolver en general problemas que los antiguos sólo habían podido resolver en casos particulares. En el segundo libro estudia las curvas planas (algebraicas) mediante su método, destacándose entre los problemas que tráta el de la determinación de las n o r - males a las curvas planas, «problema que me atrevo a decir que es el más útil y general, no sólo que yo conozca, ¿ino aún que yo haya anhelado jamás conocer en Geometría». Ha de destacarse el valor teórico de esta determinación de D e s c a r t e s , pues ella resuelve, con recursos puramente algebraicos, una cuestión de análisis
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infinitesimal; aunque no es en este valor teórico en que se funda la afirmación anterior, sino en la existencia de aplicaciones aplicacion es de ese ese problem prob lema a a la la física. físic a. Y en .efecto, .efecto, pocas páginas más allá, D e s c a r t e s aplica el problema de la determinación de las normales a la construcción de lentes. El tercer libro de la Geometría es, en verdad, un tratado de álgebra con las propiedades y transformaciones, I entonces conocidas y algunas nuevas, de las ecuaciones algebraicas, y con la introducción de algunos perfección namientos en el simbolismo algebraico que' reducen notablemente su diferencia con el actual. Si en la Geometría de D e s c a r t e s la aplicación del álgebra a la geometría aparece más bien como un método, en otro matemático francés del siglo XVII, Pierre F e r m a t , esa aplicación se presenta más naturalmente como un recurso técnico. F e r m a t , que no obstante sus ocupaciones oficiales, dedicó eficazmente su tiempo libre a la matemática, ha dejado vinculado su nombre a varias ramas de esta ciencia. Profundo conocedor de las obras clásicas griegas, es probable que su estudio de A p o l o n i o , de quien reconstruyó algunas obras perdidas, tuviera como consecuencia una memoria publicada en 1679 (aunque escrita antes de 1637), en la que aparecen los principios fundamentales del método de las coordenadas, si no en forma tan extensa como en D e s c a r t e s , por lo menos en forma tan clara o más. Además, vinculándolas con esos problemas de aplicación del álgebra a la geometría, F e r m a t trató también otras cuestiones de índole puramente algebraica (eliminación, racionalización, etc.). El método de las coordenadas, fundamento de la ulterior geometría analítica, no tuvo difusión inmediata, por cuanto el escrito de D e s c a r t e s no sólo figuraba como apéndice de una obra de carácter no exclusivamente matemático, sino que se había editado en Holanda y en francés; pero cuando a mediados de siglo apa
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reció la versión latina con comentarios, ese método se difundió y perfeccionó rápidamente La aplicación del álgebra a la geometría tratada por D e s c a r t e s lo fue a problemas de geometría plana (sus escasas extensiones al espacio no habían sido felices), pero ya hacia 1679 aparece la primera idea de las coordenadas en el espacio, idea que logfó su desarrollo a mediados del siglo siguiente. I
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§ 27.— L a
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t e o r í a de l o s
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Y LA GEOMETRÍA PROYECTIVA
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En los ihárgenes de una versión latina de lá A r i t m é - tica de D i o f a n t o publicada en el siglo x v i i , así como en su correspondencia, nos encontramos con notas y resultados de las investigaciones que F e r m a t realizó en el campo de los números naturales, investigaciones que han de considerarse como las inaugurales de una nueva rama de la matemática, hoy llamada «teoría de los números». F e r m a t tuvo plena conciencia de la importancia de esas investigaciones y de la novedad que comportaban. Así dice en sus comentarios: «La teoría de los números enteros, que es muy hermosa y sutil, no fue conocida hasta hoy...», y en otro lugar, «la aritmética tiene un dominio propio, la teoría de los números enteros que ha sido apenas esbozada por E u c l i d e s y no cult cu ltiv iva a d a suficientemente por los que le siguieron». Se deben a F e r m a t métodos y resultados importantes en este nuevo campo. Entre los resultados consignados en los márgenes de la Aritmética de D i o f a n t o figura la proposición, hoy célebre, que afirma la imposibilidad de hallar cuatro números enteros positivos x, y, zy n (con n mayor mayor que 2), tales que x 7l + yn = z/n. La celebridad de esta proposición reside en el hecho de que hoy, a tres siglos de F e r m a t , no se ha logrado dar una demostra
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ción de esa comprobación ni comprobar su falsedad. F e r m a t la enuncia con motivo del problema de descomponer un cuadrado en suma de dos cuadrados diciendo: « P o r otro ot ro lado, lado, es es impo im posible sible descomponer un cubo cubo en suma de dos cubos, o un bicuadrado en suma de dos bicuadrados, o en general cualquier potencia en suma de dos potencias de igual exponente, con excepción del cuadrado. He encontrado una demostración de esa proposición realmente maravillosa, pero el margen del libro es demasiado estrecho para contenerla.» Actualmente se ha demostrado la proposición de F e r m a t para extensas categorías de números, entre los que están los exponentes menores que 100, de manera que de ser falsa esa proposición, la descomposición de una potencia en suma de dos potencias de igual exponente debería verificarse para exponentes muy grandes, circunstancia que reduce aún más la posibilidad de encontrar por comprobación directa números que satisfagan a la igualdad anterior,ypor tanto comprobar la falsedad de la proposición de F e r m a t . En este nuevo campo, como en otros de la ciencia, las investigaciones fueron provocadas y estimuladas por la .costumbre de la época de dirigirse los matemáticos propuestas y cuestiones como desafío, a veces públicos. De ahí que muchas contribuciones científicas* de la época figuran en la correspondencia de los sabios, correspondencia que se tramitaba mediante intermediarios científicos, entre los los cua cuale les s desarrollaron ex tra tr a oror dinaria y eficaz actividad: en Francia el padre franciscano Marin M e r s e n n e , m atem at emát ático ico él mismo, mismo, y~ en Inglaterra Henry Ol d e n b o u r g , que fue secretario de la Royal Society. En otra rama de la matemática, F e r m a t fue de los iniciadores: en el llamado «cálculo de las probabilidades», cuyos primeros problemas, que se resuelven en el siglo xvn, se refieren a los juegos de azar. El primero de esos problemas es el «problema de los dados», nacido
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de la siguiente observación, realizada por un jugador: si se tira un dado 4 veces consecutivas, la probabilidad de que aparezca un 6 es mayor que la del caso contrario; mientras que si se tiran 24 veces consecutivas dos dados simultáneamente, la probabilidad de que aparezca un doble 6 es menor que la del caso contrario. Ante esta circunstancia, que reputaba paradójica, el jugador consultó al célebre P a s c a l , quien a su vez piropuso la cuestión a F e r m a t . El otro problema es el «problema de las partidas», que consiste en averiguar cómo debe dividirse la apuesta entre dos jugadores de igual habilidad, si se suspende la partida antes de finalizar, conociendo el número de puntos que cada jugador había conquistado antes de suspenderse el juego. En forma distinta, aunque con resultados concordantes, F e r m a t y P a s c a l resolvieron la cuestión. El nombre de Blaise P a s c a l está ligado, como el de F e r m a t , al de varios capítulos de la matemática. Con él se inicia el cálculo mecánico,, pues a los dieciocho años inventa la primera máquina de sumar que se conoce, máquina que luego él perfeccionó y que más tarde L e i b n i z mejoró. Aún muy joven, P a s c a l contribuye al resurgimiento de la geometría pura, descubriendo un teorema que hoy lleva su nombre, pero que entonces fue llamado «el exagrama místico», aunque según confesión propia, ese teorema, que se refiere a las cónicas, y otras propiedades de esas curvas que aparecen en un escrito de 1640, le habían! sido inspirados por Girard D e s a r g u e s , a quien conoció en las reuniones científicas que se celebraban entonces en la celda del padre M e r s e n n e y que más t a r de dieron nacimiento a la Academia de Ciencias de Francia. D e s a r g u e s fue un ingeniero militar y arquitecto, que no obstante su propia confesión de no interesarse en las investigaciones científicas sino en la medida «que puedan ofrecer al espíritu un medio de lograr algún conocí
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miento de las cosas, que puedan traducirse en actos para la conservación de la salud o en las aplicaciones y en las prácticas de algún arte», se le puede considerar como el primer cultor de una de las ramas de la matemática más alejadas de la realidad: la hoy llamada geometría pro yec y ecti tiva va.. ■ Preocupado por los problemas prácticos de la construcción de relojes de sol y del corte de piedras, se ocupó de perspectiva, sobre la que publicó dos breves trabajos, y de propiedades geométricas, dando sobre estos temas un curso de lecciones que, a pedido de sus discípulos, se publicaron en 1639. En este escrito y en algunos posteriores, De s a r g u e s expone conceptos e ,id^as originales que hoy forman parte de la geometría pro yect ye ctiv iva a. Aunque apreciada por sus contemporáneos, la obra de D e s a r g u e s no tuvo influencia alguna. El estilo oscuro con que se présentaba las nuevas ideas y su terminología, pero sobre todo el deslumbrante y atractivo efecto que en esa época ejercían los métodos analíticos (geometría analítica, análisis infinitesimal) sobre los matemáticos, hizo que las propiedades proyectivas de las figuras, cuyo.estudio iniciara tan brillantemente D e s a r g u e s , permanecieran como olvidadas. Deberá pasar más de un siglo para que ellas vuelvan a ser objeto de estudios sistemáticos y constituir entonces definitivamente una rama autónoma de la matemática.
§ 28.— E 28.— E l
a n á l is i s
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pr e c u r s o r e s
En nuestra concepción actual, la esencia del método infinitesimal reside enila idea de paso al l í m i t e , hija a su vez de~Ia~concépcionde sucesion indefinida. indefinida. Mientras que esta concepción está como enlarvada u oculta bajo expresiones aparentemente anodinas, como por ejemplo cuando se dice que a todo número sigue otro o cuando
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habla de magnitudes continuas, en los algoritmos modernos el paso al límite muestra al descubierto su carácter de operación independiente y suficientemente amplia como para constituir el núcleo de una rama autónoma e importante de la matemática. De ahí también que puedan encontrarse rastros de los métodos infinitesimales en todas las etapas cíe la evolución matemática. 1 Esos métodos asoman en las críticas de los eleatas y en algunasraígü^é^acionés de los sofistas, y adquieren catego ca tegoría ría y rig ri g o r científicos científicos en la téor té oríá íáw wde la las propor propo r c i on e s 'y e h e l l n e tod tod o de exha exhauc uciióri óri de K ü d o x ó , y sobre sob re todd~éh~lnánós de^I^' q ü i m e d e s , qué le permiten deducir rigurosam rigur osam ente resultados que' qu e' hoy se obtienen con con nuestros algorit alg oritm m os” ¡Infinitesi ¡Infinitesimales. males. Este Es te hecho hecho sindica a A RQUÍMEDÉs como el prec pr ecur urso sorr en la antig an tigüe üeda dad d decios mét"ódüs“ in'firñ in'firñtés tésimál imáles, es, y es ind in d u d a b leq le q u é la la lectura de liiñ liiñTi Tiob oble leas as por dos ma matem temátic áticos os del del R enac en acim imien iento to y modernos ha de haber influido poderosamente en el advenimiento de los nuevos métodos. Nuevamente asoman consideraciones acerca del infinito nit o con la la introducción introducc ión del del cero como símb s ímbokT okT opera op era-torio, ad ad^c ^com om o eií e L cálcul cálculo o de las las prim primer eras as^ ^ series convergentes que aparecen ya en Or e s m e . Más 'érdn 'ér dn á^rd á^ rdm m trüls trü ls cTdado "adósame "adósamelo lodos dos infinitesimales, qué dio lugar al surgimiento del análisis infinitesimal, se debe a las exigencias de la astronomía y mecánica renacientes, que encontraron en esos métodos su instrumento indispensable; indispens able; y a ! estudio estudio de las las c u t o s que el método de las coordenadas extendió y facilitó. íme d e s que Johan Es siguiendo las huellas de A r q u ím nes K e p l e r escribe su obra mátemática más importante dé 1615. Llevado por razones más de orden práctico...que teórico, K e p l e r se propuso comparar la capacidad de los toneles para vino entonces én mso, para lo cual estudia la cubatura (volum (vo lumen en)) de numerosos cuerpos de de rota rota cióh7^bTeni3os cióh7^bTen i3os KabTeAdó~ KabTeAdó~gfra gfra^ ^ cónicas alre al red d ese
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dor de ejes paralelos a los ejes de las mismas. De esta Tn TnaTaéra“ d ésUríb'e íb'e ~y~ des i gn á, geñerálm geñe rálmeriTé eriTé con nomb no mbres res derivados de frutas, más de 90 cuerpos. Recurriendo directamente a expresiones de carácter «infinitesimal», admitiendo «como si» las figuras estuvieran compuestas de infinitas figuras infinitamente pequeñas de áreas o volúmenes conocidos, K e p l e r evita el engorroso aunque riguroso método de exhaución de los antiguos y logra dar la cuadratura y cubatura de figuras conocidas y de otras nuevas, aunque no siempre con éxito. éx ito. A l afirmar, afirm ar, además además,, que lo los toneles toneles austríacos eran los más convenientes, pues con igual material encerraban un mayor volumen, K e p l e r esboza las condiciones, ya indicadas por Or e s m e , de la variación de una cantidad en las proximidades de su máximó. Concepciones semejantes a, las de K e p l e r , y tam ta m bién bi én ím e d e s , se vinculadas con las investigaciones de A r q u ím encuentran en el jesuato Bonaventura Ca v a l i e r i , que además de ocuparse de trigonometría y de aplicaciones de los logaritmos, a cuya difusión contribuyó notablemente, en Italia, es autor de un método para calcular áreas y volúmenes fundado en los «indivisibles», método que ocupa un lugar intermedio entre las rigurosas concepciones de A r q u ím pr oced edim imie ient ntos os i íme d e s y los nuevos proc infinitesimales que surgirán hacia la mitad del siglo. Sin definir el término, Ca v a l i e r i adopta los indivisibles de la filosofía escolástica, es/decir, los enteá no homogéneos, sino de una dimensión menor, con el continuo del cual forman parte; así, los puntos son los indivisibles de las líneas, y las líneas lo son de las figuras planas. Pero para Ca v a l i e r i los indivisibles no son sino una manera de expresarse y referirse a los elementos de dos figuras que él compara y que, mediante una cierta técnica algebraica, le permiten cajlcular sus áreas o volúmenes. La falta de rigor está suplida por la exactitud de los resultados; el hecho es que el lenguaje de los indivisibles se ma mantu ntuvo vo durante dura nte casi medio me dio siglo. sigl o. . ,
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Ca v a l i e r i pertenecía perten ecía al al círculo círculo científico científico form ado ad o p or; or ; los discípulo^ y amigos de Ga l i l e o ; de ese círculo se ocuparon de cuestiones infinitesimales Vincenzo V i v i a li s t a T o r r i c e l l i , cuyas imporn i , y en especial E v a n g e lis tantes investigaciones matemáticas de carácter infinitesimal se pusieron en evidencia al publicarse recientemente sus obras completas. Mayor influencia sobre el desarrollo de los métodos infinitesimales tuvo el estudio de una curva especial en el que intervinieron casi todos los matemáticos de la primera mitad del siglo XVII. Se trata de la cicloide (el nombre es de Ga l i l e o ), es decir, la curva descrita por un punto de una circunferencia que rueda, sin resbalar, sobre una recta, y de cuyas propiedades se ocuparon Ga l i l e o , M e r s e n n e , T o r r i c e l l i , V i v i a n i , R o b e r v a l , De s c a r t e s , P a s c a l , F e r m a t , H u y g e n s , W r e n , W a l l i s , a veces a jtravés de polémicas, desafíos y controversias. Giles Personne de R o b e r v a l se ocupó de numerosas cuestiones vinculadas con los métodos infinitesimales. Se le debe un método cinemático para construir las tangentes a todas las curvas planas conocidas en su época, a las que él añadió alguna otra, ocupándose, además, en el cálculo de áreas y volúmenes, así como en la determinación de centros de gravedad y de longitudes de aruna concepción semejante a la Vcos de curva, utilizando | I de los indivisibles, aunque algo más próxima a la de los «infinitamente pequeños». Con métodos semejantes estudia P a s c a l numerosas propiedades de la cicloide, que él llamaba «roulette», y que constituyeron el tema de un desafío que lanzó públicamente en 1658 a todos los matemáticos de la época. Las contribuciones de F e r m a t al análisis infinitesimal alcanzan a todas las ramas del mismo y revelan su gran habilidad algorítmica. F e r m a t traduce algebraicamente la idea, ya enunciada por Or e s me m e y por K e PLER, acerca de la anulación de la variación en las pro ximidades* de los los ináxim iná ximos os y mínimos, mín imos, aplica apl icand ndo o la idea id ea
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a la determinación de las j:angentes a las curvas. Explotando con habilidad la suma de términos en progresión geométrica, calculó el área encerrada por varias curvas. Ta T a m b ién ié n calculó longit lon gitud udes es de arcos de curva cu rva redu re ducie cienndo en algunos casos casos este problem prob lema, a, al ante an terio rior, r, lo que mostraba la analogía algebraica de ambos problemas. Mientras el estudio de estas cuestiones geométricas: tangentes, longitudes de arcos, áreas, volúmenes, centros de gravedad, iban proporcionando los elementos para los futuros algoritmos del cálculo diferencial y del cálculo integral, hacían su aparición otros algoritmos infinitos. Con la pretensión de demostrar la cuadratura del círculo, el jesuíta belga Gregorius Sa i n t V i n c e n t publica una voluminosa obra en la que aparece la suma de la serie g eo m étric ét ric a' convergente, ya utilizada por tr as nociones infin inf inite itesim sim ales ale s inte in teres resan ante tes. s. F e r m a t , y o tras Entre los que se ocuparon en refutar sus pretendidas demostraciones, figura uno de los más grandes sabios del del siglo x v n : Christi Christiaan aan H u y g e n s que, además de su labor como físico y astrónomo, ha realizado diversas investigaciones matemáticas, algunas en conexión con sus trabajos físicos y otras independientes. Se le debe el primer tratado sobre el cálculo de probabilidades, fundado sobre la correspondencia entre F e r ma t y P a s c a l ; y en conexión con sus investigaciones mecánicas enriqueció el estudio de las curvas con la llamada «teo ría de las evolutas», teoría que figura en su célebre fj f j o r o l o g i u m o s cü la tori to riu u m de 1673, y que abre un nuevo capítulo de la geometría diferencial: de la curvatura de las curvas planas. Las series fueron introducidas sistemáticamente en el análisis por John W a l l i s , uno de los más originales matemáticos de su época. Se ocupó de álgebra, de la te o ría de las las parálelas, parálelas, y de las las cóni cónica cas, s, que por p rim era vez consideró no ya gomo secciones de un cono, sino
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como curvas cuyas ecuaciones en coqrdenadas cartesianas nas son son de segundo grad gr ado o Su obra más más impo im porta rta nte nt e es la Arithmetica infinitorum infinitorum de 1655, en la que aparece el actual símbolo de infinito y el uso e interpretación de las potencias de exponente no natural, es decir, no entero positivo. Calculó el área encerrada por una curva cuya ecuación era una potencia de exponente cualquiera, extendiendo ese resultado a toda suma o serie de potencias. Al aplicar este método a un caso particular, y en forma forma bastante curiosa, llegó al imp ortante orta nte result res ultaado de desarrollar el número rz en un producto infinito más simple que el que había dado V i é t e . ,Vinc Vi ncu u lad la d o a ese resultado, el primer presidente de la Royal Society, William (Lord) B r o u n c k e r , encontró, no se sabe por qué medios, un notable desarrollo de en fracción continua infinita. ^ Otra consecuencia importante del método de W a l l i s fue el establecimiento de la importante «serie logarítmica», y con ella de la determinación del área de un sector de hipérbola equilátera, que hasta entonces no había podido ser calculada. En este sentido el paso decisivo fuedado por Nicolaus M e r c a t o r con su Loga- rithmotechnia dé 1668. Con el nombre de Isaac B a r r o w cerramos la lista de los precursores y predecesores de los dos grandes fundadores del análisis infinitesimal: N e w t o n y L e i b n i z . La importancia de B a r r o w en el surgimiento de los nuevos métodos es indiscutible; por un lado se le debe un método para la determinación de las tangentes a las curvas planas, que no difiere del actual sino en la notación y que, en definitiva, involucra el importante concepto de derivada; derivada; por el otro lado, B a r r o w fue el .rpaestro de N e w t o n , a quien,en 1669 cedía su cátedra de Cambridge para dedicarse a la teología; las frecuentes discusiones entre maestro y discípulo, la colaboración de ambos ( N e w t o n revisó y corrigió una de las tu
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ediciones de una obra de Ba r r o w ), ), son hechos que com tribuyen a asignar gran importancia a la influencia de B a r r o w en las concepciones futuras. — E l § 29. —
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in f in it e s im a l
: los
f u nd a d o r e s
La obra de los precursores y predecesores de N e w t o n y de L e i b n i z prepara y allana el camino para que éstos logren, con su propia labor, dar nacimiento al análisis infinitesimal como rama propia y autónoma de la matemática. Aquellos precursores y predecesores habían tratado y resuelto numerosos problemas relativos a las tres ramas que luego constituirán la nueva disciplina : cálc cálcul ulo o d iferen cial, cálculo cálculo inte gra l, a lgo ritm os infinitos. De cálculo diferencial se habían ocupado al estudiar la determinación de las rectas tangentes, curvatura y problemas de máximo y mínimo; de cálculo integral se habían ocupado en las numerosas determinaciones de áreas, volúmenes, longitudes de arcos y centros de gravedad; y en cuanto a los algoritmos infinitos, se habían ocupado de series, de productos infinitos y de fracciones continuas infinitas. Pero, en general, faltó en ellos una noción que most r a r a Ja unificación de todos esos esos métodos, tal como la proporcionará más adelante la noción de lím i te ; faltó en ellos todo carácter riguroso, pues sus métodos carecían de toda demostración, entendida en el sentido lógico con que aparecía en los métodos de Jos antiguos. Esos métodos rigurosos subyacían bajo la mole de casos particulares resueltos con procedimientos también particulares o cuya generalidad no se demostraba, y en los que las consideraciones geométricas estaban constantemente mezcladas con desarrollos algebraicos. Está etapa empírica de la evolución del análisis infinitesimal será superada en parte por la obra de N e w t o n y de L e i b n i z , aunque en verdad hasta el siglo nq surgirá sur girá ese aná-
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lisis estructurado con el mismo rigor lógico con que los antiguos edificaron su geometría. Por eso, en el desarrollo de los métodos infinitesimales, N e w t o n y L e i b n i z representan una etapa, sin duda alguna muy importante, de un largo proceso continuo, nacido al amparo y con el auxilio de las nuevas concepciones surgidas en la matemática moderpa, que prosiguió hasta mediados del siglo pasado y, con nuevas orientaciones, todavía en la actualidad. 1 L a labor Ima matem temática ática dé Isaac N e w t o n , íntimamente vinculada con sus investigaciones de filosofía natural, no se limita a las cuestiones infinitesimales, sino que abarca amplias zonas del álgebra y de la geometría. Así, en sus célebres Piñncipia de 1687, dedica un par de secciones del primer libro a estudiar propiedades, algunas nuevas, de las cónicas en forma geométrica. También es de índole geométrica su Enumeratio linearum tertii ordinis, ordinis, terminado en 1695, pero aparecido en 1704. En este libro se inicia el estudio dé las curvas algebraicas, es decir, de las curvas cuya ecuación en coordenadas cartesianas es de naturaleza algebraica, y en él N e w t o n , después de haber demostrado algunas propiedades generales de esas curvas, estudia en particular las cúbicas (curvas cuya ecuación es de tercer grado), dando su generación, su clasificación y su aplicación en la resolución de ecuaciones. En gran parte está también dedicado a la resolución de ecuaciones su Arithmetica universalís (aparecida en 1707, pero que resume lecciones dictadas entre 1673 y 1683) que, no obstante su título, es en verdad un tratado de álgebra que generaliza y mejora los conocimientos de la época relativos a la resolución algebraica de problemas geométricos, a la eliminación algebraica, y a la teoría general de las ecuaciones. Entre las obras que tratan de métodos infinitesimales, figura De Analysis per Aequationes Numero Teruni- norum Infinitas que estaba lista en 1669, pero que na
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se public pu blicó ó hasta has ta 171 1711, aunque su conten con tenido ido era er a conocido conoci do . antes de esa fecha mediante la correspondencia científica. Ese escrito, como indica el título, trata de series, aunque en él el algoritmo no es estudiado en sí sino como un recurso para calcular longitudes de curvas y áreas, mediapte el procedimiento de desarrollar en serie la ordenada. En De Analysis, Analysis, entre otros desarrollos en serie nuevos e importantes, aparece el teorema general del binomio, que es la generalización para exponentes cualesquiera de la fórmula bien conocida del desarrollo de la potencia de un binomio para exponentes enteros y positivos, generalización a la que, con propiedad histórica, debe llamarse «Binomio de Newton». Como dijimos, en este tratado las series no son estudiadas como algoritmo autónomo, §ino como recurso para determinar cuadraturas aplicando la regla general de los exponentes dada por W a l l i s , pero lo novedoso de N e w t o n es que partiendo del resultado obtenido y aplicándole el método de las tangentes de R a r r o w , vuelve a encontrar la función de la que partió, con lo que queda desatado el nudo gordiano del nuevo análisis; es decir, que los problemas de la tangente y de la cuadratura son inversos uno de otro. Pero la contribución más original e importante de N e w t o n a los métodos infinitesimales es su ««método de las fluxiones», que constituyó el tema de un tratado escrito en 1671, pero que no fue publicado, traducido, hasta 1736. Del carácter general del método ya da cuenta N e w t o n en una carta de 1672, al decir «que puede aplica rse no sólo sólo al trazado de tangentes' a cualquier cua lquier curva, curva , sea sea geom ge om étrica étr ica o mecáni mecánica.. ca..., ., sino sino tambiéíi tam biéíi para par a resolver cualquier clase de problemas sobre curvatura, áreas, longitudes, centros de gravedad, etc.», agregando que ha «entrelazado ese método con aquel otro método que consiste en trabajar con las ecuaciones reduciéndolas a serie series s infi infini nita tas» s».. • En efecto, el método de las fluxiones con su esencia
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y notació not ación n propias, prop ias, no es sino un, métod mé todo o p a ra t r a t a r los problemas del actual análisis infinitesimal. Es un método de naturaleza geométricomecánica, pues supone que todas las magnitudes geométricas son engendradas por movimientos de velocidades diferentes, mientras el tiempo «fluye continua y uniform un iform em ente» en te» ; de de ahí que que el tiempo, que actúa como telón de fondo, no aparezca explícitamente, sino implícitamente en las velocidades, en las velocidades de las velocidades, etc. Las magnitudes engendradas son las «fluentes», sus velocidades son las «fluxiones», mientras que N e w t o n denomina «momento» al producto del incremento del tiempo por la respectiva fluxión. Para las fluxiones sucesivas, N e w t o n introdujo una notación característica, que aún se usa en mecánica, que consiste en colocar puntos encima de la letra que indica la correspondiente fluente. Es fácil advertir que las fluxiones y momentos de N e w t o n no son sino las «derivadas» y «diferenciales» actuales. Con su método de las fluxiones, N e w t o n resuelve una serie de problemas y aplicaciones geométricas que corresponden a nuestro cálculo diferencial, cálculo integral y a nuestras ecuaciones diferenciales ordinarias y con con deriv ad as parc iales. ’ jj Ta T a m b i é n asom as om a en N e w t o n , yunque expresada en forma oscura, la importante noción de límite al introducir en un tratado de 1704 la expresión de «razón de los incrementos evanescentes», introducción que obedecía ál intento de levantar ciertas objeciones de orden técnico que su método suscitaba.
Mientras en Inglaterra, por obra especialmente de N e w t o n , el análisis infinitesimal lograba nuevos resultados y adquiría las primeras notas que le conferían unidad y autonomía, en el continente y por obra de Golptfried ¡ W ilhel ilh elm m L e i b n i z tal unidad y autonomía se acentuaban. Si la obra matemática de N e w t o n fue la dé un «filósofo natural», la de L e i b n i z fue la de un «filósofo y algorítmico». Su preocupación por la claridad de.
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los conceptos y el aspecto formal de la matemática, le permitieron, entre otros descubrimientos, crear el simbolismo adecuado para el nuevo algoritmo. Además de sus contribuciones especiales al análisis infinitesimal, la labor matemática de L e i b n i z se ha extendido a la teoría de los números, al cálculo mecánico (perfeccionó la máquina de calcular de P a s c a l X al álgebra, a la combinatoria, y puede considerársele iniciador de varias ramas de la matemática: el cálculo geométrico, la teoría de los determinantes, la lógica matemática, la topología... Por lo, demás, en la multiforme labor de L e i b n i z se cuenta la de haber estimulado los estudios científicos promoviendo la fundación de periódicos científicos, academias, etc. Las consideraciones infinitesimales de L e i b n i z , que ya y a se encuent encu entran ran en m anus an uscr crito itos s de 1673, part pa rten en de la consideración de un triángulo especial (el «triángulo característico», como él lo llama), que ya figuraba en B a r r o w , pero que L e i b n i z dice que toma de P a s c a l . Mediante consideraciones sobre este triángulo y susisei mejantes, reconoció que el problema de la tangente y el de la cuadratura son inversos y encontró relaciones entre las sumas de los elementos geométricos que preludian nuestras fórmulas de cálculo integral. Aunque ya desde 1676 está en posesión de las reglas y fórm fó rm u las la s más simple sim ples s del cálculo infin inf inite itesim simal al,, la p r i mera publicación de L e i b n i z sobre el tema es de 1684, y se r efie ef iere re al cálculo d ife if e ren re n cia ci a l. Es una m emor em oria ia muy breve en la que aparecen definidas las diferenciales en forma actual y las reglas comunes de diferenciación de las expresiones racionales e irracionales. En 1686 aparecen los primeros escritos de L e i b n i z relativos al cálculo integral, y por primera vez aparece publicado en ese año nuestro actual signo «integral». Posteriormente, aparecieron otras cuestiones originales, como el teorema de las. diferenciales sucesivas de un producto que hoy lleva su nombre, interviniendo por lo
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HISTORIA SUCINTA SUCINTA DE DE LA MATEMÁTI MATEMÁTICA* CA*
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I demás L e i b n i z en todos los problemas de índole geomé tricomecánica que interesaban a los matemáticos de la época. La circunstancia, que hoy nos parece natural y lógi ca, de que en la segunda mitad del siglo xvii los tiempos estaban ya maduros para que naciera el análisis infinitesimal, y el hecho de que éste naciera por obra de dos sabios insignes, én forma independiente y casi contemporánea, provocó entonces una cuestión de prioridad que degeneró en una larga y lamentable polémica iniciada por los autores principales y proseguida durante todo el siglo x v i i i entre los matemáticos ingleses y los los contin con tinent entale ales. s. Ta T a l con co n trov tr over ersi sia a tuvo tu vo como resulta resu ltado do un aisl ai slam am ient ie nto o de cada bando y la consiguiente falta de cooperación científica. Como en definitiva los métodoseran los mismos, diferenciándose únicamente en la notación, resultaba que cada bando, al ceñirse exclusivamente a su propia notición, impedía en muchos casos que sus progresos fueran, cohocidos y asimilados por los del bando contrario. Pero en esta situación eran los ingleses los que llevaban las de perder, dada la evidente ventaja de la notación de L e i b n i z frente a la de N e w t -ó n , nacida de una mente más física que algorítmica. Y cuand cuando o lo los ingleses, para term te rm inar in ar con tal estado de cosas, que representaba para ellos una situación de atraso frente a los progresos continentales, crean la «Analytical Society» en 1813, puede decirse que la célebre, aunque malhadada polémica, terminó.
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Los mjétodos infinitesimales de N e \ y t o n y de L e i b n i z no se hicieron conocer hasta las últimas décadas del siglo XVII, pero la difusióñ de las nuevas ideas fue muy lenta. El carácter novedoso de las mismas, las notacio
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nes inusitadas y diferentes, su publicación en memorias aislada aisladas s y fra g m e n ta ria s ; todo con tribuyó a que que los los nuevos métodos no se extendieran rápidamente, de manera que a fines del siglo xvn, además de sus autores, eran muy pocos los matemáticos que estaban enterados de esos métodos, y sobre todo muy pocos los que estaban en condiciones de aplicarlos. Entre estos últimos figuran dos B e r n o u l l i , nombre que campeará en la matemática en un lapso de casi dos siglos.
La familia Bernoulli, de origen holandés, pero residente en Suiza, proporcionó durante los siglos xvn, xviii y XIX XIX más de una decena de m atem at emát ático icos, s, de los cuales tres muy importantes: J a c o b (I) (hay dos Jacob); su hermano J o h a n n (I) (hay tres Johann), y un hijo de éste, D a n i e l (I) (hay dos Daniel). Además, vinculado con los Bernoulli, se presenta el más grande de los matemáticos del siglo xv x v in : Leonhard Leon hard E u l e r . La obra matemática de J a c o b se reparte pór igual entre los nuevos métodos infinitesimales y el cálculo de las probabilidades. En el primer campo se ocupó de series y de las propiedades de numerosas cuevas, en una de las cuales (la espiral logarítmica) descubrió que se reproduce en varias otras curvas derivadas de ella, hecho que lo llevó a imitar el gesto de A r q u ím í m e d e s , p idiendo que en su tumba se grabase esa curva con la.le yenda yen da Eadem mutata resurgo. Se le debe la primera resolución con demostración del problema (propuesto por L e i b n i z ) de la curva tal, que un punto sobre ella cae con movimiento uniforme respecto de la vertical (curva isócrona). En enconada emú -1 lación científica con su hermano J o h a n n , fueron propuestos y resueltos numerosos problemas de aplicación de los métodos infinitesimales a la geometría y a la mecánica. Así J o h a n n propuso en 1696 el problema de la curva de tiempo mínimo (braquistócrona) que fue resuelto, entre otros, por J a c o b , mientras que éste propu
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so la ecuación diferencial que hoy lleva el nombre de Bernoulli y que fue resuelta por J o h a n n . El problema de las trayectorias isogonales y en particular ortogonales (familia de curvas que cortan a las curvas de otra familia bajo ángulo constante) fue propuesto en 1694 por J o h a n n , pero al principio pasóúnad vertido y fue reiterado por L e i b n i z en 1716 «para tantear el pulso a los matemáticos ingleses». El problema de los isoperímetros (curvas o arcos de igual igu al longitud long itud que cumplen cumplen ciertas ciert as propiedades propied ades de má má_ xim xi m o o m ínim ín im o ), que fu e propu pro puest esto o por po r Ja c o b y estuest udiado por ambos hermanos, provocó una agria disputa entre ellos que continuó, aun después de la muerte de ot ros s ma matem temáti áticos cos.. Ja c o b , entre Jo h a n n y otro Muchos de estos problemas son los que darán origen a la importante disciplina que hoy llamamos «Cálculo de variaciones». La obra más irpportante de Ja c o b ‘es su Ars Conjec- tandi, tandi, apa a pare reci cida da en 1713 1713,, en la que que el cálculo cálc ulo de las probabilidades adquiere autonomía científica. Se compone pone de cuatro parte p artes s : la prim pri m era er a reproduce reprodu ce con con valio va lio sos comentarios la obra de H u y g e n s sobre el t e m a ; la segunda es un tratado de combinatoria y en ella aparece la expresión que da la suma de las potencias de igual exponente de los primeros números naturales, en v la que figuran ciertos ciert os coeficientes constantes, constantes, hoy ho y denominados «números de Bernoulli»; la tercera parte se refiere a los juegos de azar, y la cuarta, incompleta, aplica «las doctrinas precedentes a cuestiones civiles, moraleá y ‘económ econ ómicas» icas»,, y en ella ella aparece apa rece la hoy ho y llamada llamad a «ley de los grandes números». En cuanto a J o h a n n , a su labok de físico matemático ha de agregarse su contribución k la matemática, en gran parte conexa, o mejor en oposición, a la de su hermano Ja c o b y hasta has ta a la de su h ijo ij o D a n i e l . Esa contribución se refiere especialmente a la teoría de las series, al cálculo integral y a la integración de ecuaciones
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diferenciales. Un original e interesante mptodo de integración por series, expuesto en 1694, da nacimiento a una una serie ser ie (a veces designad desig nada a hoy con con el el nombre nomb re de « serie de Bernoulli») que no es sino un caso particular de la im portantísima «serie, de T ay lor ». Con el nombre de J o h a n n B e r n o u l l i está íntimamente vinculado al del marqués de L ’ H ó p i t a l , único francés que durante mucho tiempo estuvo en condiciones de resolver los problemas que L e i b n i z y los B e r NOULLI proponían a los géómetras de la época. L ’ H ó p i t a l es autor del primer tratado sistemático de cálculo diferencial aparecido anónimo en 1696 y con nombre de autor desde 1716, en cuyo título aparecen los «infinitamente pequeños». El hallazgo reciente de los apuntes de las lecciones de B e r n o u l l i y, sobre sob re todo, la correspondencia de éste con el marqués, muestran que el libro del marqués no contiene sino las lecciones que, a pedido de éste, B e r n o u l l i le impartiera, y las enseñanzas que por correspondencia siguió remitiéndole. Las lecciones de B e r n o u l l i comprenden también el cálculo integral, que el marqués no publicó, pues se había enterado de que L e i b n iz i z pensaba hacerlo directamente. Esas lecciones de cálculo integral, impartidas al marqués durante los años 169192, de publicarse, hubieran constituido a su vez el primer tratado sistemático de esa parte del análisis. Agreguemos que en su libro de 1696 aparece la hoy comúnme comúnmente nte llama llamada da «r eg la de L ’H óp ital» ita l» para el cálcucálculo de límites indeterminados, regla cuya paternidad reivindicó B e r n o u l l i después de la muerte del marqués. En It a lia li a se ocuparon1de ocuparon1de los los nuevos nuevos métodos inf i nfin inite ite-simales Jacopo KiCCATi, que dejó su nombre vinculado a una ecuación diferencial, y el conde de E a g n a n o , más original, cuyas importantes contribuciones sobre las rectificaciones de arcos de elipse y de hipérbola pueden considerarse como el punto de partida de las hoy llamadas «funciones elípticas».
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En Alemania el único matemático de esta época, con excepción de L e i b n i z , que se ocupó de lós nuevos métodos, sin mayor éxito, fue Ehrenfried Walter von T s c h i r n h a u s e n , más conocido por su método de transformación de ecuaciones con el cual lograba resolver las ecuacion ecuaciones es 'hasta 'hasta de cuarto cuart o grado. grado . P arec ar ece e que L e i b n i z había previsto la imposibilidad de resolver ecuaciones de grado superior al cuarto por esé método, aunque parece que también él, como otros matemáticos de los siglos XVII y x v m , se ilusio ilu sionó nó en reso re solv lve e r a lgeb lg eb raic ra ica a m en te la ecuación de quinto grado. «Nadie hasta hoy dio una fórmula general para la solución de las ecuaciones de grado grad o superior su perior —dic dice— e— ; creo haber encontrado un m étodo adecuado y puedo probarlo, pero aún no he podido vencer al fastidio provocado por los tediosos cálculos numéricos.» En Inglaterra, después de las fluxiones, el acontecimiento matemático más notable es la crítica que el filósofo George B e r k e l e y dirige a los nuevos métodos en su The Ancdyst de 1734, o «discurso dirigido a un matemático infiel, donde se examina si el objeto, principios e inferencias del análisis moderno son concebidos más claramente o son “ deducidos deducidos con con m ayor ay or evid encia enc ia que los misterios de la religión y los asuntos de la fe». El «matemático infiel» era el célebre astrónomo Ed mund H a l l e y , que también se ocupó de matemática; sin duda uiij libre pensador y ep cierto sentido activo; de ahí la «infidelidad» de que lo acusa B e r k e l e y , pues por el hecho de ser reputado un gran matemático y por ello uno de los grandes_maestros de la razón, utilizaba indebidamente su autoridad opinando y decidiendo sobre cuestiones ajenas a su incumbencia y sobre las cuales no tenía derecho alguno. Hábil polemista, B e r k e l e y se dirige entonces hacia los objetos mismos de la ciencia que H a l l e y profesa, mostrando triunfalmente que aquellos que se quejan sin razón de la incomprensi bilidad científica de la religión, aceptan una ciencia que N ú m . 11 42 42.— .— 4
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en su raíz misma es incomprensible y cuyas conclusiones se apoyan en raciocinios que la lógica no acepta. Y si bien la finalidad de B e r k e l e y no es tanto criticar los nuevos métodos como vindicar los misterios de la fe, la crítica contra aquellos métodos es pertinente, aguda y decisiva. En efecto, los nuevos métodos, tanto en la forma dada por N e w t o n como en la de los matemáticos continentales, estaban envueltos en principios oscuros, vagos y contradictorios, y por tanto expuestos a la crítica incisiva que le dirigiera B e r k e l e y . Esa crítica era inobjetable desde el punto de vista técnico; no lo fue, en cambio, la teoría de «compensación de errores», en la que se embarcó B e r k e l e y impresionado sin duda por el hecho aparentemente paradójico de que fundándose sobre principios y demostraciones tan deleznables, los nuevos métodos lograran resultados exactos como lo comprobaba el extraordinario triunfo de la mecánica newtoniana. Hay que agregar que en esa teoría de la compensación de errores, B e r k e l e y no se encuentra solo, pues más tarde fue adoptada por matemáticos y hast ha sta a por po r gran gr ande des s ma matem temát ático icos. s. La influencia de la crítica de B e r k e l e y se hizo sentir en forma más o menos visible en todos los matemáL ticos ingleses contemporáneos o inmediatos sucesores de N
e w t o n.
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De ellos, el más antiguo es Abraham D e M o i v r e , de origen francés, pero residente en Londres desde la revocación del edicto de Nantes. Se ocupó de distintas cuestiones matemáticas,introdujo el estudio de las llamadas «series recurrentes» y se le debe una importante fórmula, conocida hoy por su nombre, que, si bien él la expuso en forma trigonométrica, forma actualmente parte de la teoría de lod números complejos. D e M o i v r e completó ^también estudios algebraicos realizados por un matemático brillante, Roger C o t e s , desgraciadamente muerto muy joven. Contemporáneo de los anteriores es Brook T a y l o r > que se ocupó de físi
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ca y de matemática, y que en una obra de 1715, en la que hace uso sistemático de las hoy llamadas «diferencias cias .fin ita s», s» , Ida la impo im porta rtante nte série sér ie que que hoy h oy lleva su nombre. También se ocupó de diferencias finitas James S t i r l i n g , que dejó su nombre vinculado a una fórmula para el cálculo aproximado de n i (producto de los números naturales sucesivos desde 1 hasta n ) cuando n es muy grande. De geometría, de álgebra y de análisis infinitesimal, así como de física y de astronomía, se ocupó el último matemático inglés de este período, quizá el más importante de é l : Colín Colín M a c l a u r i n , que. que. para pa ra escapar esca par a las críticas de B e r k e l e y volvió a los clásicos métodos de los geómetrás antiguos, con lo que si bien logró hacer más rigurosas sus demostraciones, contribuyó indirectamente a aumentar el aislamiento de los matemáticos ingleses fíente a los continentales. De su Treatise on Fluxions (en dos volúmenes, de 1737 y 174¿), que es un tratado sistemático del cálculo fluxional con sus aplicaciones geométricas y mecánicas, declaró L a g r a n g e que era «una obra de geometría que puede compararse a todo lo que A r q u ím í m e d e s nos legó de más hermoso y más ingenioso».
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§ 31. — — E u l e r
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Si con luna sola palabra se quisiera caracterizar a la matemática del siglo de las luces, diríamos que el siglo x v in fue fu e el el siglo del del alg oritm orit m o, §1 siglo en el que el análisis, tanto tant o el algebr alge braic aico o como el| infinitesima infinite simal, l, adad quiere vida propia y tiñe a toda la matemática de un marcado carácter formal, aunque no riguroso. En cierto sentido, el análisis se independiza de la geometría y de la ciencia natural; mientras que en el siglo anterior, la geometría analítica y los métodos infinitesimales habían servido de instrumentos analíticos para la solución de problemas geométricos o para la investigación de las leyes naturales, naturales, en el el siglo sig lo x v m el análisis, aun aun prosiguiendo esos fines, se estudia además por sí mismo, y hasta la geometríá y los fenómenos naturales llegan a 'serv 'se rvirle irle de pretex pre textos tos para nuevos nuevos desarrollos desa rrollos y para nuevos problemas analíticos. Este carácter puramente algorítmico de la matemática vuelve a perderse a fines de siglo, cuando la geometría y la física penetran nuevamente en el campo de la matemática, aunque con nuevos rasgos: la geometría ha adquirido la jerarquía de geometría pura y la física se ha convertido en física matemática. La figura representativa senta tiva d el1 el 1período período algorítm algo rítm ico es Leonhard E u l e r , mientras que en Ir 1geometría pura y en la física ma
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temática son casi exclusivamente los matemáticos franceses los que mantienen el cetro en el período comprendido entre E u l e r y G a u s s .
En este siglo de la razón, también en la matemática la razón muestra mu estra una una confianza excesiva. A su dispo dis posisición los símbolos algebraicas y el algoritmo infinitesimal, no duda de que todo problema analítico puede resolverse ; que que toda ecuación ecuación algeb alg ebraic raica a tenga ten ga soluc solució ión, n, que toda ecuación diferencial puede integrarse y que toda serie puede sumarse. A esta confian confianza za en el el poder pod er del símbolo, símbolo, confianza que en definitiva resultó beneficiosa, pues los excesos fueron luego corregidos, agrega E u l e r una capacidad de calculista pocas veces igualada y una fecundidad pro¡ digiosa. La publicación de la enorme mole de sus escritos, en parte aún inéditos, fue emprendida hace unos cuarenta años, habiéndose publicado hasta la fecha 26 de los 69 volúmenes proyectados. Formado en el ambiente de los Bernoulli, E u l e r , que nunca fue profesor, desarrolló su intensa actividad científica en su mayor parte gracias a la protección de las cortes de San Petersburgo y de Berlín, a cuyas publicaciones académicas dio vida durante muchos años casi por sí solo. Esa actividad no decayó un solo instant ta nte e ; al contrario contr ario,, la m^ta m^tad d de su sus escritos son son fru fr u to s de los últimos años de su vida, cuando totalmente ciego dictaba sus trabajos. Esa actividad se ha manifestado en todos los cámpos de la ciencia materíiática y de la física. Sus memorias, más de un millar, tratan de aritmética y de la teoría de los números, de álgebra, de probabilidades, de cálculo infinitesimal, de geometría, de mecánica racional racional y aplicada, de astronomía, de fí s i ca, de geografía matemática y algunas también de filosofía. En la teoría de los números, es probable que su má xim x im a cont co ntrib ribuc ución ión se refi re fier era a a los números núm eros p r im o s : la actual teoría analítica de los números primos puede de i
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cirse que se inicia con una notable identidad encontrada por E u l e r que vincula los números primos con la serie de las potencias de los recíprocos. Además, en una carta a Christian G o l d b a c h reconoció, sin demostrarlo, la verdad de la la «co njetur njet ura a de Gold G old ba ch »: todo núm ero par es suma de dos números primos, teorema que aún aguarda demostración. En álgebra, dio métodos originales de eliminación y de descompo descomposició sición n en fracc fra ccion iones es parciales parc iales *simples. En especial se ocupó de la teoría de las ecuaciones. Con la esperanza de dar un método general para resolver ecuaciones de cualquier grado, halló un nuevo método para resolver la ecuación de cuarto grado, distinto al de FERRARI ; método incluido en un procedimiento general válido para las ecuaciones de segundo, de tercero y de cuarto grado, pero nada más. Pero es en el análisis infinitesimal donde aparecen las contribuciones más originales de E u l e r . Por lo pronto, se le deben los primeros tratados sistemáticos de esa disciplina: Introductio in analysis infinitorurri, 1748; Institutiones colculi differentialis, differentialis, 1755; Institutiones calculi integralis, integralis, 17681770, y Methodus inveniendi lineas curvae 'maximi vniniTYiive 'pro'prietate gaudentes , 1744. En su Introductio , E u l e r usa el concepto de función ) en la la for m a en que que se se mantuvo durante mucho mucho t ie m p o : «función de x es toda expresión analítica de una variable obtenida mediante una combinación finita o infinita de símbolos algebraicos o trascendentes». (Esta última distinción le le perten ece.) A veces veces tam tam bién se re firió a la función como toda relación entre x e y tal que se represente en el plano mediante una curva trazada «a mano libre», es decir, una curva continua dentro de la acepción vulgar de la continuidad. En conexión con las funciones trascendentes aparece una de las más notables contribuciones de E u l e r al análisis: los logaritmos como exponentes y su vincu
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lación con los números imaginarios y las funciones circulares. Esta vinculación, dada por las hoy llamadas «fórmulas de Euler», es en verdad la conclusión de un largo pleito iniciado con L e i b n i z acerca de los logaritmos de los números negativos, y al cual E u l e r puso fin, aunque sus explicaciones no fueron entonces entendidas y dura du rant nte e todo el s iglo ig lo'c 'con on tin ti n u a ron ro n las discusiones. discu siones. E l segundo tomo de la Introductio es un tratado de geometría analítica plana y del espacio en la forma general actual. E n Institutiónes calculi differentialis, E u l e r estudia las diferencias finitas, el cálculo diferencial y las series. Su concepto de cociente diferencial no es riguroso, y en el tratamiento de las series maneja con igual desenvoltura series convergentes y divergentes, sin hracer distinción entre ellas, lo que no impide, claro es, que en este tratado también aparezcan contribuciones originales. Sus Institutiónes calculi integralis , libro escrito cuando ya estaba ciego, comprenden tres volúmenes (un cuarto postumo contiene una selección de memorias) que tratan, con numerosas innovaciones y contribuciones origi or igina nales les,, ;los ;los temas comune comunes s del cálc cálculo ulo in te g ra l actual, desde las cuadraturas hasta la integración de ecuaciones diferenciales ordinarias y con derivadas parciales, y nociones de cálculo cálculo de de las variacione varia ciones. s. A este ú ltim lt imo o cálculo, cálculo, tal ta l como. se/conoc se/conocía ía en su época, época, E u l e r dedicó el tratado Methodus inveniendi... El gran favor que los métodos analíticos gozaron, fr e n te a los los geo m étricos duran te todo “el siglo x v i i i , se puso de manifiesto en el hecho de que casi todos los contemporáneos de E u l e r se ocuparon preferentemente de análisis.
En cierto sentido, es una excepción Alexis Claude C l a i r a u t , que siendo aún adolescente se ocupó de las curvas en el espacio, y cuya obra más importante de 1743 se refiere a la forma de la tierra, estableciendo en
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ella las condiciones matemáticas para el equilibrio de los fluidos y sentando los fundamentos de la futura teoría del potencial. Esa obra se basaba |en otra de M a c l a u r i n sobre la atracción de los elipsoides de revolución, y los métodos exclusivamente geométricos de M a c l a u r i n indujeron a Cl a ir i r a u t a utilizar igual recurso en sus demostraciones. Pero M a c l a u r i n y Cl a ir ir a u t figuran entre los últimos matemáticos que resuelven los problemas mecánicos y astronómicos inore geomé trico. Cl a ir i r a u t se ocupó de uno de los problemas célebres de de la épo ép o ca: ca : $1 «pro «p rob b lem a de los los tres cuerp cu erpos», os», del del cual se ocupó también JeanLe Rond D ’ A l e m b e r t , en cierto modo rival de su connacional Cl a i r a u t . D ’A l e m b e r t fue el'redactor de numerosos artículos matemáticos y acerca de cuestiones metodológicas y de los fundamentos de esta ciencia, aparecidos en la gran Ency- clopédie de 1751, en la que, como es sabido, escribió además el «Discurso preliminar». Una contribución importante de D ’ A l e m b e r t fue la solución del «problema de las cuerdas vibrantes», problema del cual se ocuparon otros matemáticos de la época, en especial Daniel Be
r n o u l l i ,
y que desempeñó un notable papel en la * 1 *
futura fevi'sión de los principios del análisis. De los demás matemáticos del siglo x v i i i sólo mencionamos a Edward W a r i n g , autor deUmportantes y originales investigaciones en el campo de los números y de las ecuaciones algebraicas, y que dejó su nombre vinculado a las relaciones entre los coeficientes de una ecuación y la suma de las potencias de igual grado de sus raíces; C r a m e r , que también se ocupó de álgebra, pero en vista especialmente a su utilización en el estudio de las curvas planas, encontrando en ese estudio la regla conocida por qu nombre para la resolución general de sistemas lineales; y Johann Joha nn H e inri in ric c h L a m b e r t , sabio múltiple que se ha ocupado de diversas ramas del saber, y en matemática de variadas cuestiones: de perspectiva, de series, de simbolismo lógico siguiendo las
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ideas de L e i b n i z , de la teoría de las paralelas,, del núm ero 7u 7u, dem ostra ndo nd o qu e no no es fra fr a cc io n a rio ri o , etc. etc. To T o d o s esto es toss m a t e m á t ico ic o s n a c i e r o n y m u r i e r o n en el siglo xviii, que es el siglo de E u l e r ; la generación siguiente es la de L a g r a n g e , y es la generación que asiste a l a R ev e v o l u ci ci ó n f r a n ce ce s a . » i • I § 32.— E l
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matemática
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La preferencia por los métodos analíticos, característica de la matemática del siglo xvm, se acentúa en L a GRANGE, creador de la «mecánica racional», que él llama «mecánica analítica» y que concibe como una rama de la matemática. Joseph Josep h Lou Lo u is L a g r a n g e , de origen francés, pero nacido en Italia, residió casi^toda su vida, desde los treinta años, en Berlín y en París. Con sus escritos contribu yó a dota do tarr a las ramas ram as an anal alíti ítica cass de la m atem at emát átic ica a l de esa generalidad'que las caracterizaba lá vez que las aplicaba a los más variados problemas de mecánica, de astronomía, de probabilidades. En sus primeros traba jos, jos , estand est ando o aún aún en Ita It a lia li a , ya ya.. sentó las bases del cálculo de las variaciones, independizándolo de los problemas geométricos que le habían dado origen, como el problema ^de los los isoperíme isope rímetros, tros, y confiriéndole confiriéndo le una may m ayor or g e i neralidad. E n todas las ramas de la matemática L a g r a n g e descolló: en la teoría de los números, en la teoría de las ecuaciones, donde sus estudios son precursores de la te o ría rí a de los los grupos, y ,en an álisis infin itesim al.
En 1797, estando L a g r a n g e en París, se fundó en esta ciudad la École Polytechnique, de la cual fue profesor durante unos años. Como resultado de sus cursos, L a g r a n g e publicó dos tratados, en 1797 y en 1801, en los que los principios del análisis infinitesimal están expuestos de una manera original, aunque no rigurosa,
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DE
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cuya idea central que lo info rmé, rm é, data en verdad ver dad de 1772. Con el propósito de evitar los infinitamente pequeños o los incrementos evanescentes, y al mismo tiempo con el afán de independizarlo de toda consideración geométrica o mecánica, funda el análisis de una manera algebraica, tomando como fórmula fundamental la «serie de Taylor». Los coeficientes de este desarrollo serán las «derivadas» (el nombre es de L a g r a n g e ) , y con ellas desarrolla desar rolla el cálc cálcul ulo o difer di feren en cia l en form fo rm a finita. En . cuanto al cálculo integral lo considera inverso al cálculo de las derivadas. Aunque tal «método de las derivadas» no eé riguroso, fue mérito de L a g r a n g e haber asignado a la serie de Taylor la importancia central que tiene en el análisis! Este intento de L a g r a n g e de eliminar los infinitésimos y lqs límites, que no fue el único de esa época, encontró opositores entre sus contemporáneos, pero sus objeciones pasaron inadvertidas hasta la época de Ca u c h y .
1 En cuanto a la Mécanique Afialytique, Afialytique, de 1788, digamos simplementei que es una obra que hace época. En ella la mecánica es considerada, más que una ciencia natural, una geometría de cuatro dimensiones (la cuarta dimensión es el tiempo). Partiendo del principio de las velocidades virtuales y utilizando el cálculo de las va v riacio ria cione nes, s, L a g r a n g e erige el sistema íntegro de la mecánica, introduciendo el concepto de potencial, el principio de acción mínima, lascoordenadas generalizadas, etcétera. Obra semejante a la cumplida por L a g r a n g e en mecánica fue la cumplida por Pierre Simón L a pl p l a c e en astronomía. Su Mécanique celeste (cinco volúmenes aparecidos entre 1799 y 1825) comprende todos los descubrimientos realizados por N e w t o n , C l a iirr a u t , D ’A l e m b e r t , E l t l e r , L a g r a n g e y L a pl p l a c e mismo sobre la mecánica del sistema solar, expuestos en forma totalmente analítica, sin más datos de observación que los indis-
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pensa pensable bles. s. L a conocida conocida hipót h ipótesis esis de la nebulosa ya la había expuesto L a pl p l a c e en un tratado de divulgación, con un apéndice sobre historia de la astronomía, en 1796. En forma semejante L a pl p l a c e dio en 1812 una Teoría analítica de las probabilidades, teoría que expuso en 1820 en un Ensayo filosófico sobre las probabili- dades, sin fórmulas matemáticas. p l a c e es un matemático profundo, difícil de leer, L a pl entre cuyas numerosas contribuciones originales sólo mencionamos la llamada «ecua « ecuación ción de Lapla La place ce o lapla < ciana» (ecuación diferencial de segundo orden, con derivadas parciales), que se le presentó en el estudio de la función potencial. De méritos ponderables, aunque inferiores a los de L a g r a n g e y L a p l a c e , es su contemporáneo Adrien Ma rie L e g e n d r e , último de los grandes analistas del tipo de E u l e r y de L a g r a n g e , que alcanzó a conocer y reconocer los los méri m éritos tos del del nuevo grupo gru po de analistas ana listas del .siglo xix del tipo de A b e l y de J a c o b x . Sus contribuciones matemáticas más importantes se refieren a la teoría de los números y al cálculo integral. En el primer campo se le debe un tratado de 1830 en que aparece demostrada por primera vez ( É u l e r la había dado sin demostración) la ley llamada de «reciprocidad de los restos cuadráticos», propiedad que Ga u s s calificara de «joya de la aritmética». En el cálculo integral se le debe, en 1811, las llamadas «integrales elípticas», así denominadas porque perm iten el cálculo cálculo de la lon gitu d de arcos de de elipse elipse,, imp o I sible de calcular mediante las funciones hasta entonces conocidas. Estas integrales elípticas dieron más tarde, po r inversió n, nacimiento a las llamadas llamadas 1«fun cion es elípticas», de manera que en una nueva edición de su obra, aparecida entre 1827 y 1832, L e g e n d r e dio cabida en ella a las investigaciones que en ese campo estaban realizando A b e l y J a c o b p
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Agreguemos que L e g e n d r e , con sus Éléments de Géo- métrie , de 1794, publicó un libro de gran éxito, que tuvo numerosas ediciones y se adoptó como texto en el continente y en los Estados Unidos. Con este libro aparece rev io de los los teore & en la geom etría el trata m iento p revio í mas al de los prob pr oble lem m as (en (e n los Elementos ocurre lo contrario) y la geometría adquiere esa fisonomía entre algebraica y geométrica que hoy caracteriza a nuestra geometría elemental. En un Apéndice , entre otras novedades, trae, la demostración de la irracionalidad de los núméros re y e, agregando esta qbservación profé tic a: «E s probable que el número Tino esté comprend ido en tre los irracionales algebraicos, es decir, que no sea raíz de una ecuación algebraica de un número finito de términos y de coeficientes racionales.» Se ocupó, además, de cuestiones de análisis, de geometría elemental también Lorenzo M a s c h e r o n i , al cual pertenece una Geometría del compás, de 1797, en la que prueba que todas las construcciones ‘con regla y compás pueden realizarse con compás únicamente. (Recientemente se ha descubierto en este tema un precursor danés del siglo x v j i . ) A fines fines del del siglo sig lo x v i i i el estado del análisis infinitesimal se pone de manifiesto en un gran tratado de > Sylvestre Frangois L a c r o i x , en tres gruesos volúmenes aparecidos entre ,1797 y 1800: el primero dedicado al cálculo diferencial y sus aplicaciones geométricas en el que, aunque utiliza el método de L a g r a n g e , no exclu ye el uso uso de los lím lí m ites it es • el segundo segu ndo dedic de dicad ado o al cálculo integral y cálculo de las variaciones, y el tercero dedicado a las diferencias y a las series. Se debe también a L a c r o i x una colección de obras ^didácticas, concernientes a todas las ramas de la matemática, entre las cuales una dedicada al cálculo diferencial e integral, que en 1816 se tradujo al inglés, agregándole en 1820 dos volúmenes de ejercicios.
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Esta traducción significó el fin del ostracismo de los analistas ingleses, el abandono de la notación de las flu xion xi ones es y la corr co rres espo pond ndien iente te adopción adop ción de la notaci not ación ón y de los métod mé todos os de los m atem at emát ático icos s contin con tinent entales ales.. L os traductores de L a c r o i x y prom pr om otor ot ores es del m ovim ov imie ien n to fueron tres jóvenes estudiantes de Cambridge, que fundaron en 1813 la «Analytical Society» con ese propósito. Eran John F . W . H e r s c h Ie l , hijo del célebre astrónomo, y astrónomo él mismoj aunque se ocupó también de matemática y otras ciencias; Charles B a b b a g e , cono , cido como inventpr de máquinas analíticas; y Géórgé proba blemente ente el más matem m atemático ático del* del* grupo, grup o, P e a c o c k , probablem autor de un importante Tratado de álgebra , de 1830 (una segunda segu nda edición edici ón am ampliad pliada a a dos dos .volúmenes es de 18421845), en el que estudia los fundamentos del álgebra, acentuando el carácter simbólico de la misma, y donde, con el nombre de «principio de permanencia de las leyes equivalentes», enuncia un principio que preludia el llamado «principio de permanencia de las leyes formales» de H a n k e l (1867), y que constituye el principio director de todo el análisis algebraico.
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§ 33.— E l
r e n a c im ie n t o
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g e o me t r ía
Mientras que en la primera mitad del siglo XVIII «... la geometría no está de moda y para pasar por científico hay que hacei^ostentación del análisis», como se expresa melancólicamente un geómetra francés de la época; a fines de siglo la geometría pura vuelve por sus fueros, y aunque se la sigue estudiando con los recurkos del análisis, nacen nuevas ramas de la geometría en las que el análisis ya no tiene cabida. Tal es el caso de la «geometría descriptiva», que nace ya con este nombre en 1795, gracias a los esfuerzos de Gaspard M o n g e ; rama de la geometría en la que se da unidad y jerarquía científica a aquella serie de procedimientos surgi
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dos hacia fines del siglo xv para proporcionar a los pintores y arquitectos normas para la mejor realización de sus sus obras. obra s. • M o n g e , que es autor de un método de proyección que lleva su nombre, no se limitó a representar las curvas y s u p e r fic fi c ie s p o r su m éto ét o d o , sin si n o que qu e u t i l i z ó los lo s r e c u r sos del análisis pata estudiar nuevas propiedades de las figuras geométricas, invirtiendo en cierto modo el proceso más usual de la época que consistía en tomar esas figuras como pretextos para estudios y ejercicios ana r líticos. M o n g e fue un gran maestro, de ahí que gran número
de discípulos continuó su obra. Mencionemos a Jean Baptiste Marie M e u s n i e r y Charles Cha rles D u p i n , que se ocuparon de curvatura de las superficies; Charles J. B r i a n CHON que, solo o en colaboración con P o n c e l e t , se ocupó de propiedades de las cónicas, y Lazare Ca r n o t , que además de sus áctividades civiles y militares se ha ocupado de matemática. Así, en análisis es autor de una.Sj Re flexiones sobre sobre la la me tafísica de del cál cálcu culo lo i n f i - nitesimal, nitesimal, de 1^97, en la que sostiene la tesis, ya conocida desde B e r k e l e y , de qué. si los conceptos infinitesimales, no obstante sus imperfecciones, no conducen a resultados erróneos es debido a que los errores que se cometen con ellos se compensan y se anulan. Más feliz v fu e en su sus contrib con tribucio uciones nes geom geo m étrica étr icas, s, con las que puede decirse que se inicia el estudio de las propiedades generales de las figuras, que pronto han de constituir el nuevo cuerpo de doctrina geométrica denominado «geometría proyóctiva». En tal sentido y por su vinculación con la escuela de M o n g e debe citarse a Jean Víctor P o n c e l e t que, al regresar a Francia después de varios años de cautiverio en Rusia, hizo conocer en 1820 un Ensayo sobre las pro- piedade pied ades s pro pr o ye ctiv ct iva a s de las secciones secci ones cónicas cón icas,, que dos años después reprodujo ampliándolo como Tratado de las propiedades proyectivas de las figuras.
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Entre los resultados de P o n c e l e t aparece el llamado «principio, de dualidad», según el cual a cada propiedad geométrica entre ciertos elementos, corresponde otra propiedad geométrica entre otros elementos. Este principio motivó una cuestión de prioridad entre P o n c e l e t y Joseph D iaz ia z G e r g o n n é . En verdad, P o n c e l e t sólo lo había señalado en un caso particular, mientras que G e r g o n n e , que lo bautizó, advirtió su alcance general. Además de su labor como geómetra, mérito indiscutible de G e r g o n n e fue el de haber fundado y dirigido la primera publicación periódica dedicada exclusivamente a la matemática, que desde 1810 y durante unos tres lustros fue la única revista matemática que se publicaba en el mundo. Cuando en 1832 dejó de aparecer, ya ese intento había dejado sus frutos y desde entonces el número de revistas dedicadas exclusiva o parcialmente a la matemática llegó a superar el millar. En cuanto a las sociedades matemáticas, que empiezan a aparecer en la segunda mitad del siglo xix, han de llegar actualmente al medio centenar. .
§ 34.— L a
f ís ic a
matemática
Así como en la segunda mitad del siglo xvm, por obra de M o n g e , la geometría adquirió nueva vida, en la misma época y por obra de otro sabio francés, Joseph F o u r i e r , nace una nueva rama de la ciencia natural, íntimamente vinculada con la matemática: la llamada física matemática, en la que, siguiendo las huellas de L a g r a n g e y de L a p l a c e , se estudian los problemas físicos mediante los recursojs del análisis infinitesimal con el mínimo indispensable de hipótesis físicas. En este sentido la obra más importante de F o u r i e r , que también se ocupó con eficacia de álgebra, es una m em oria de 18 1812 sobre la «teo ría: an alítica del del ca lo r», con la que entran en el análisis las series trigonométri
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cas, hoy llamadas «series de Fourier», y la importante extensión del concepto euleriano de función al admitirse que mediante tales series pueden representarse funcion ciones es arb itraria s. « E ntre nt re los los científicos nacido nacidos s en en el el siglo x v m que se se ocuparon de física matemática, mencionemos a Jean Baptiste B i o t , autor además de uno de los primeros textos de geometría analítica (este nombre proviene de gu stin inJ Jea ean n F r e s n e l que L a c r o i x ) ; Thomas Y o u n g y A u gust aplicaron, especialmente especialmen te el segundo segundo,, el análisis aná lisis .m ateat emático a la teoría ondulatoria de la luz, logrando imponerla frente a la corpuscular; AndréMarie A m p é r e , célebre por sus investigaciones en el campo del electromagnetismo, aunque se le deben también contribuciones científicas exclusivamente matemáticas; Siméon De nis POISSON, que entre en tre numerosas cuestiones de^ m ateat emática pura y de física matemática amplió la aplicación de la ecuación de Laplace a la función potencial; George G r e e n , que aplicó la función potencial (este nombre es de él) fiiera de la gravitación, extendiéndola a problemas de electricidad y de magnetismo, y Gabriel L a m é , nacido* ya en la última década del siglo y que, además de sus trabajos sobre la teoría del calor y la elasticidad, se le deben contribuciones exclusivamente matemáticas.
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EL
§ 35.— G a u s s
y l a s
S IG L O
X IX
geometrías
no
e u c l id ia n a s
El período histórico que comprende los tiempos modernos y el siglo de las luces fue sin duda muy fecundo para la imatemática matemática.. En él se desarrollaron 'va 'v a r ia s ra mas de esa ciencia: la geometría analítica, el cálculo infinitesimal, los métodos de la geometría descriptiva y la física matemática, mientras que ^n él se organizan la teoría de los números, el cálculo de probabilidades y la geometría proyectiva. Mas no puede decirse que alguna de esas ramas se haya constituido definitivamente durante ese período, pues durante él los matemáticos se preocuparon más por los resultados que por los fundamentos, más por los desarrollos que por los principios... Será tarea del siglo xix analizar esos fundamentos y esos principios, introduciendo en la matemática un rigor aun superior al que goz6 esa ciencia en el período clásico de E u c l i d e s y de A r q u í m i d e s , rigor que desde entonces ces constituye una una de su sus notas notas característic caract erísticas. as. A l con ju r o de ese anális an álisis is y de ese r i g o r no sólo se e s tru tr u ctu ct u ran definitivamente todas las ramas nacidas y desarrolladas en los siglos XVII y x v i i i , sino que nacieron otras nuevas: teoría de los grupos, geometrías no euclidianas, teoría de las funciones, hasta que a mediados de siglo esa labor analítica y rigurosa invade a toda la ciencia matemática y surgen sucesivamente la lógica matemática y la teoría de los conjuntos.
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lió
La figura representativa de esta concepción rigurosa de la matemática es Kart Friedrich G a u s s , con el cual se inicia también una pléyade de insignes matemáticos alemanes que llenan llenan todo el siglo sig lo xxx. xxx. ' La labor científica de G a u ,s s se ha extend exte ndido ido a vari va rio os i cam pos: pos : astronomí astronomía, a, físic fís ica a matemática y ma matemá temática tica ; y en ésta a casi cas i todas sus ramas, con con espe es peci cial alid idad ad a la teoría de los números y a la geometría diferencial. Muchos de los descubrimientos de G a u s s fueron realizados por él mucho antes de su publicación, y quedaron registrados y fechados en una «libreta de apuntes» encontrada entre sus papeles después de su muerte. El primer descubrimiento que anota en ella, a la edad dp dieciocho años, es el magnífico hallazgo de la construcción del heptadecágono con regla y compás, problema que más tarde amplió, dando la fórmula del número de lados de los polígonos regulares que pueden construirse con esos recursos. Ya en su tesis del doctorado, G a u s s aporta una contribución fundamental a la matemática al exponer la primera demostración del «teorema fundamental del álgebra», vale decir: que todo polinomio algebraico con una letr le tra a se anula por po r 1<^ menos una vez ve z par p ara a un valo va lorr real o imaginario de la le£ra. En esa memoria dice, sin demostrarlo, que no es posible resolver algebraicamente la ecuación general de quinto grado, proposición que efectivamente se demostró algo más tardé. Poco después G a u s s publicó sus Disquisitiones Arith- meticae, meticae, libro que hace época en la teoría de los números y en el que aparecen notables e importantes contribuciones originales. De igual importancia y originalidad son sus D i s q u i sitiones generales circa superficies curvas , de 1827, con las que funda el estudio de la geometría diferencial de las superficies. Otras contribuciones analíticas de Ga u s s comprenden el estudio éstrictamente riguroso de las series y la i
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introducción de los números complejos en el análisis, el método de los cuadrados mínimos y la ley de distribución de los errores de observación, y como principio metódico, metódico, la exclus exc lusión ión en ma matemá temática tica del «in « infin fin ito ac ac tual», y por tanto la admisión exclusiva del «infinito potencial». Para Ga u s s , en matemática no es permitido el uso del infinito como «de algo completo», pues en verdad, dice él, «el infinito no es sino una manera de hablar...». Por último, G a u s s fue uno de los descubridores de lá geometría no euclidiana, rama a la que bautizó. Esta geometría nació de las investigaciones realizadas originariam naria m ente con con el intento inten to de demostrar dem ostrar el postulado V de los Elementos a partir de los anteriores. Por ser ese postulad postulado o equivalente equivalen te a la prop pr opos osició ición n : «P « P o r un punt punta a de un plano pasa una sola paralela a una recta», al postulado y a toda la cuestión se le llama también «de las paralelas». para lelas». Y a en el el siglo sig lo x viii. vi ii. se había realizado realizad o el importante progreso, desde el punto de vista del método,de do,de prescindir del del postulad postulado o V y pro seg uir construc onstru yendo yen do la g eom eo m e tría tr ía fun fu n d a d a en los postula pos tulados dos a n t e r io res, pero en vista de los extraños resultados a los que se llegaba, que evidentemente contrariaban al «hábito mental» impuesto por los Elementos , se rechazaba la construcción geométrica así obtenida y se justificaba, de esta manera asaz asaz indirecta, indire cta, el postula postulado do V de E u c l i d e s . G a u s s fue en verdad el primero que vio claro. Preocupado po!r la cuestión de las paralelas desde su adolescencia, al principio no publica nada sobre el tema por el temor, como él dice, «a la gritería de los beocios», pero en 1831 se decide a hacerlo, aunque el año siguiente, enterado del trabajo de B o l y a i , abandona ese propósito. Con todo, los papeles encontrados entre sus apuntes comprueban que proyectaba escribir una Geometría no euclidiana , convencido de que la prescindencía del postulado de las paralelas no conducía a ninguna contradicción, tradicción , «aunque a prim era er a vist v ista a mucho muchos s de ,sus re re-
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sultados ofrezcan un aspecto paradójico». Es decir, que su mentalidad matemática, superando los obstáculos que ofrecía la intuición geométrica impuesta por el mundo exterior y el .hábito mental impuesto por los Elementos, le permitió construir, en forma rigurosamente deductiva, un nuevo edificio geométrico. A la misma conclusión de G a u s s , aunque independientemente de él, llegaron otros dos matemáticos pertenecientes a dos países que hasta entonces no habían contribuido al progreso de la matemática: Johann B o l y a i , de Hungría, y Nicholas Ivanovic L o b a c h e w s k i , de Rusia. B o l y a i publicó en 1832 832 (como (como apén dice del p rim er v o lumen de una una obra did áctica del del padre, ta m b ié n f m atemático) una Ciencia absoluta del espacio , en la que expone, como él dice, «un universo creado de la nada». El nombre de «absoluto» que da B o l y a i a sus consideraciones es debido a que ellas se refieren a las propiedades geométricas independientes del postulado, verdades o teoremas que son válidos tanto para la geometría ordinaria como para la geometría más general que él ha construido. La exposición de L o b a c h e w s k i es muy semejante, aunque más constructiva. Su primer trabajo de 1829 se ha perdido; en 1836 aparece en ruso su obra Nuevos
elementos de geometría con una teoría completa sobre las paralelas, paralelas, de la cual da un resumen en alemán en 1840, mientras que en 1855, casi ciego, dicta la exposición más completa de su teoría, que aparece en francés y en ruso rus o @on el títu tít u lo de Pangeometría . Esta primera etapa del proceso que dio lugar al advenimiento de las geometrías no euclidianas, di.o nacimiento a una sola de esas geometrías, la hoy llamada «hiperbólica», en la que por un punto exterior a una recta en un plano hay dos paralelas a la misma. Las nuevas ideas tuvieron al principio una difusión muy lenta; por una parte por ser nuevas y no concordar conl
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las concepciones filosóficas vigentes, y por otra parte debido también a la escasa difusión, y en especial, en el caso de L o b a c h e w s k i , a la difícil lectura de las obras de los dos fundadores matemáticos hasta entonces desconocidos. Felizmente, un grupo selecto de matemáticos de distintos países se esforzaron en hacer conocer estas nuevas ideas, que fueron aceptadas hacia 1870, cuando se habían iniciado en las investigaciones de las geometrías no euclidianas dos nuevas direcciones: las llamadas m étrico-d if erencia erencial l y pro p roy y e ctiv ct iva a. La primera dirección se inicia con uno de los grandes matemáticos del ,siglo pasado: Bemhard R i e m a n n , discípulo y continuador de G a u s s , que completa además el cuadro de las geometrías no euclidianas introduciendo la llamada geometría «elíptica», en la que desde un punto exterior a una recta no existen paralelas a la misma (es claro que la geometría euclidiana, que es entonces la geom geo m etría etr ía «par «p arab ab ólica óli ca », es el el caso caso intermedio y, y, por tanto, el de la paralela única). Las ideas fundamentales de R i e m a n n , qué permitieron encarar el problema de las nuevas geometrías desde un nuevo punto de vista muy superior, figuran en la célebre disertación de 1854, publicada en 1867: Sobre las hiplóte'sis en las que se funda la geometría, geometría, en la que analiza de la manera más general posible el comportamiento infinitesimal de una multiplicidad de un número cualquiera de dimensiones. En es¿ disertación aparece la importante distinción entre «infinito» e «ilimitado», que debía desempeñar singular papel en la teoría física de la relativida relat ividad. d. — .< Además de su contribución a los fundamentos de la geometría, se deben a R i e m a n n notables aportes en distintas ramas de la matemática: teoría de la integración, ción, funciones d( d(e va ria b le compleja, teo ría analít an alítica ica de los números primos, etc.
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) § 36. — L a 36 . —
a r it m e t iz a c ió n
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a n á l is is
El análisis infinitesimal (cálculo diferencial, cálculo integral y cálculo de las variaciones) había adquirido un desarrollo extraordinario durante el siglo xviil, por obra especial de E u l e r y de L a g r a n g e . Pero ese desarrollo, puramente formal y algorítmico, estaba, por así decir, en el aire, pues no estaba fundado sobre sistema conceptual riguroso alguno. Cuando se aludía a sus fun, damentos se hablaba de la «metafísica del cálculo infinitesimal» ; en la teoría de las series el uso de las series divergentes estaba rodeado de misterios y de oscuridades... Ta T a l estado esta do de cosas cosas cam ca m bia bi a en el sigl si glo o x ix , en el que el análisis infinitesimal, sin dejar de progresar en su desarrollo y hasta en forma más rica y variada, ahonda en sus propios principios y encuentra sus bases firmes en la aritmética, eliminando así de su seno toda vaga e inútil «metafísica». Tal es el proceso denominado de «aritmetización del análisis», del cual fue precursor Bernard B o l z a n o y fuer fu ero o n const con stru ruct ctore ores s C a u c h y , A
b e l
, Ja
c o b i ...
En su Analyse algébrique de 1822, C a u c h y dice: «He tratado de dar a los métodos todo el rigor que se exige en geometría, sin acudir jamás a los argumentos tomados de la generalidad del álgebra. Tales argumentos, aunque admitidos comúnmente, sobre todo en el pasaje de las series convergentes a las divergentes y en el de las cantidades reales a tas imaginarias, se me ocurren que no deben ser considerados sino como inducciones adecuabas a veces a hacer presentir la exactitud y la verdad, pero que no están de acuerdo con la exactitud tan reputada de las ciencias matemáticas. Además debe observarse que ellas tienden a atribuir a las fórmulas algebraicas una extensión ilimitada, mientras que en la realidad realidad., ., la may m ayor or p arte ar te de esas esas fórm fó rmula ula^ ^ subsis subsis tejí
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únicamente bajo ciertas condiciones y para determinados dos valores de las las cantidades que que tellas tellas encierran encie rran.. D eterminando esas condiciones y esosl valores, fijando de una manera precisa el sentido de las notaciones que utilizo, toda vaguedad desaparece.» Es decir: vuelta al rigor clásico de la geometría, precisión en las definiciones, delimitación del campo de validez de las fórmulas, eliminación de toda extensión ilegítima; he ahí el programa trazado por C a u c h y y cumplido en sus numerosos libros y memorias, con los que funda el análisis sobre bases más rigurosas que las de sus predecesores; fija claramente la convergencia de las series, y elimina, algo a pesar suyo, las series divergentes del análisis; y sobre todo todo 'da 'da un gran impulso a la teorí teo ría a de las « f u n ciones analíticas» de variable compleja. En la expulsión de las series divergentes, C a u c h y completó la obra iniciada por Niels Henrik A b e l , para quien «las series divergentes son en general una invención ción diabólica diabólica y es es vergonzoso vergonzo so que que qu q u ie r a ' fun darse da rse sobre ellas demostración alguna...; la parte más esencial de, Jas mate matepm pmáti áticas cas está sin base. E s c ier ie r t o que qu e la m a yo y o r part pa rte e de los los result res ultad ados os son son exactos, exact os, p ero er o esto est o es una cosa verdaderamente extraña... En el análisis superior sólo pocas proposiciones están demostradas de una manera indiscutiblemente rigurosa. Constantemente se encuentra la deplorable costumbre de deducir lo general de lo particular, y es sin duda muy notable que con tal manera de proceder no se llegue con más frecuencia a lo que se denomina denominan n pa rado ra doja jas» s».. . En el campo del análisis, A b e l se ha ocupado de series y de teoría de las funciones; con el problema llamado de la tautócrona inaugura una nueva rama del mismo: la llamada teoría de las ecuaciones integrales; y conjun con juntam tament ente e con con Cari Ca ri Gusta Gu stav v J a c o b i , creó y sistematizó el estudio de las «funciones elípticas» obtenidas como funciones inversas de las integrales elípticas. Con jas obrad obrad de A b e l y de J a c o b i sobre las funciones elip
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ticas se vincula un significativo incidente que muestra la evolución que en esta época sufría el concepto de la matemática frente al de la ciencia natural. Como Pois SON, al comentar la obra de J a c o b i sobre las funciones elípticas, recordara un reproche que F o u r i e r había dirigido a A b e l y a Ja c o b i por no ocuparse de cuestiones de física matemática, J a c o b i se expresa en una carta: « P o i s s o n no debía haber reproducido una desgraciada frase de F o u r i e r , que nos reprocha, a A b e l y a mí, por po r no ocuparnos ocuparno s del m ovim ov imie ient nto o del calor. calo r. Es cierto que F o u r i e r estima que la finalidad principal de la matemática es la utilidad pública y la explicación de los fenómenos naturales, pero un filósofo como él debiera saber que la única finalidad de la ciencia es el honor del espíritu humano y que, en consecuencia, una cuestión de la teoría de los números tiene un valor tan grande como una cuestión del sistema de los mundos.» No deja de ser sintomático que mientras de esta manera ne ra el .análisis mostraba su independencia fr e n te a la ciencia natural, casi contemporáneamente' las geometrías no euciidianas proclamaban su liberación del yugo del espacio físico: en verdad, el grito de autonomía de la. m atem ate m ática átic a ya se había lanzad lanzado. o. El continuador de la obra de A b e l y de Ja c o b i sobre las funciones elípticas es otro de los grandes análistas del ri^or: Karl W e i e r s t r a s s , creador además de una segunda dirección en el estudio de las funciones analíticas devariable compleja (la primera estaba dada por las investigaciones de Ca u c h y y de R i e m a n n ). Se debe a W e i e r s t r a s s un ejemplo, que impresionó a los matemáticos de la época, de función continua sin derivada en ninguno de sus puntos. Además, se ocupó de cuestiones vinculadas con los fundamentos de la aritmética, dando en 1863 la demostración del «teorema final de la aritmética», según el cual no existe ningún sistema de números complejos de más de dos unidades (los números complejos ordinarios son de dos unidades) que sa
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tisfaga a todas las propiedades formales de las operaciones aritméticas elementales; y considerando en 1873 una fundamentación de los números reales, problema que no había sufrido modificaciones esenciales desde la teoría (basada en magnitudes geométricas) de E u d o x o . En este campo fue más feliz Richard D e d e k i n d , que, además de ocuparse de la teoría de los números, es autor de dos notables trabajos, de 1872 y de 1888, sobre «la continuidad y los números irracionales» y sohre «la esencia y significado de los números», respectivamente. En el primero de esos trabajos expone el hoy muy usado «méto¡do de las cortaduras». En Francia el analista más importánte de esta época es Charles H e r m i t e , con cuyo nombre está vinculada la resolución del célebre y clásico problema de la cuadratura del círculo. Es a raíz de una investigación de H e r m it i t e , de 1873, que el alemán Perdinand L i n d e m a n n , en 1882, dio el toque final a la cuestión, quedando demostrado definitivamente que con regla y compás no podía cuadrarse (encon (enc ontra trarr un un cuadrado cuadrado equ eq u iva len te) te ) un círculo de radio dado. Ter T erm m inem in em os menci me nciona onando ndo que en I t a l i a la intr in tro oducción del nuevo análisis se debe a los esfuerzos de tres jóve jó ven n es m atem at emát ático icos s de mediado med iados s de s i g l o : Fran Fr ance cesc sco o el ice e Ca s o r a t i . B r i o s c h i , Enrico B e t t i y F elic La aritmetización del análisis, completado a mediados del siglo xix, consistió, en definitiva, en agregar a las operaciones aritméticas una nueva operación, de índole lí m ite it e , operación que en verdad especuliar: el paso al lím taba oculta en los umbrales de la aritmética (teoría de los números) y de la geometría (magnitudes irracionales) en sus dos formas características: mediante el infinito numerable y el infinito continuo, respectivamente. A tra vés vé s de una una corre co rrecta cta definición definición y de un un adecuado adecuado uso de esta operación, aquellos mjétodos infinitesimales, iniciados por N e w t o n y por L e i b n iz i z y continuados por los B e r n o u l l i , E u l e r y L a g r a n g e , encontraron una
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base firme y segura, de índole aritmética, en la que sustentarse. Pero esta aritmetización del análisis no sólo aventó las brumas metafísicas que durante todo el siglo XVIII habían oscurecido los fundamentos del análisis, sino que desbrozó el camino que debía conducir a nuevos desarrollos, aplicando el pdso al límite a las funciones de varia va riabl ble e real rea l o compl compleja eja** y aclarando aclarando el significado de los algor alg oritm itm os del del análisis clá cl á sico si co : series, series, produc producto^ to^ infinitos infin itos,, frac fr accio cione nes s continuas infinitas, infin itas, deír deíriv ivada ada,, in ¿ tegral. Se advirtió así que estos algoritmos no eran sino casos particulares de la aplicación del nuevo proceso a cierta s operacion operaciones es aritméticas aritmé ticas la serie y la integral integr al son combinaciones de paso al límite con la suma; el producto infinito es una combinación de paso al límite con la multiplicación; la derivada lo es con la división, etcéte etc étera ra,, y por p or tanto que esa esa nueva operación o peración pod podía ía aplicarse a todo proceso algebraico o funcional, dando así nacimiento a nuevos y fecundos algoritmos. Será tarea del análisis, .durante la segunda' mitad del siglo xix, la de profundizar la investigación de los algoritm os clás clásic icos osy y~ ~ crear crea r estos estos nuevos nuevos algoritm algo ritmos. os.
§ 37 37..— L a
g e o m e t r ía
pr o y e c t iv a
Con P o n c e l e t se había iniciado el estudio sistemático de las propiedades proyectivas de las figuras, pero ni su definición de proyectividad contemplaba todas las transformaciones gráficas de las figuras, ni sus métodos de demostración poseían ese rigor lógico que entonces se iba imponiendo en la matemática. Constituir y organizar con ese material una rama científica de la matemática, completa y rigurosa, será la obra de un grupo $e geómetras del siglo XIX, en su mayor part£ alemanes.
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i u s , que, no obsCitemos a August Ferdinand M o b iu tante estudiar la geometría vinculada con la mecánica y con las coordenad coord enadas, as, intr in trod od u jo una una serie se rie de conceptos concepto s útiles para la geometría proyectiva; y a dos de los más grandes geómetras de este período: Michel C h a s l e s y Jacob St e i n e r . C h a s l e s publicó en 1837 una obra importante, conocida como su A p e r g u h i s t o r i q u e , que contenía investigaciones en las que se pone, como fundamento de la geometría, principios generales concernientes a las tra tr a nsfo ns form rm acio ac ion n es de la la^s figura fig uras. s. Pero Pe ro,, ,, en el sentido de la «geometría sintétic^.» (es decir: el estudio de las propiedades geométricas sin el auxilio de las coordenadas), progresos más notables debemos a S t e i n e r , que 'en 1832 dio a publicidad un tratado sobre el «desarrollo sistemático de la dependencia mutua de las estructuras geométricas», en el que «descubre los órganos mediante los cuales las formas más diferentes del mundo espacial se conectan entre sí». A St e i n e r prebcupó «el fantasma del imaginarismo», como él decía, esto es, las cuestiones que planteaban la introducción de los elementos imaginarios en geometría tría!, !, pero pe ro'' tanto él como Ch a s l e s y otros geómetras anteriores, utilizaron esos elementos sin dar de ellos una definición precisa. En este sentido puede considerarse como fundador de la teoría moderna del imaginarismo geométrico a C h . P a u l u s , que dio las bases de esa teoría a mediados de siglo. Eliminadas las coordenadas e introducido en forma precisa el imaginarismo, la geometría proyectiva pudo organizarse como rama autónoma: su organizador es Karl Georg Christian von St a u d t con su Geometría d e po p o s ició ic ión n de 1847, y en especial con sus trabajos complementarios de la misma de 1856, 1857 y 1860. Entre los progresos realizados por la geometría pro yect ye ctiv iva a , inm in m edia ed iata tam m ente en te después después de St a u d t , sólo citamos la demostración de que las propiedades métricas de las figuras (distancias, ángulos, etc.) pueden subordi
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narse nars e a la las^ propiedades gráficas, lograd logr ada a por A r th u r C a y l e y . La consecuencia más notable de esta demostración es que a través de ella pueden reencontrarse las geometrías no euclidianas, que pueden entonces estudiarse siguiendo esta «dirección métricoproyectiva». De ahí también la frase de C a y l e y : «La geometría pro ye y e c t iva iv a es toda tod a la g e o m e tría tr ía.» .» § 38.— L a
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Acabamos de citar la importante obra de C h a s l e s de 1837, cuyo título alude a un trabajo de índole histérica; en efecto, la primera parte del Apergu historique es una excelente historia de la geometría, desde los griegos hasta P o n c e l e t . Aunque nos inclinamos a considerar la historia de la matemática como rama de la historia de la ciencia más que de la matemática, el caso de C h a s l e s , matemático que se ha ocupado de la historia de su propia disciplina, nos lleva a una breve digresión para reseñar rápidamente la evolución de esta rama de la historia de la cultura.'. Recordemos al peripatético E u d e m o , ya y a mencionado, mencio nado, y señalem señ alemos os que desde el R enac en acim imie ient nto o muchos muchos m a tete máticos demostraron un interés histórico, ya editando y an anota otand ndo o obras obr as clásicas, y a reco re cons nstru truye yend ndo o obras obr as p e rdidas. Pero la primera historia de la matemática que merezca tal nombre es de la segunda mitad del siglo x v i i i y es la de Jean Je anÉ Éti tien enn n e M o n t u c l a , que en 1758 publica una Historia de las matemáticas que trata de toda la matemática d'esde la antigüedad hasta su tiempo. 1 En la primera mitad del siglo xix, además de C h a s l e s , podemos citar a Guglielmo L l B R i , que en 1838^1841 dio una Historia de las ciencias matemáticas en Italia. Mientras tanto empezaban a aparecer libros dedicados, en especial, a la matemática griega o del Oriente. Así,
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Henry Thomas C o l e b r o o k e , que residió mucho tiempo en la India, füe de los primeros en hacer conocer la matemática hindú; Georg Heinrich Ferdinand N e s s e l m a n se ocupó especialmente de matemática griega y fue : uno uno de los los primeros prim eros en ed e d ita it a r pbras pbras de matem ma temátic áticos os árabes; August E i s e n l o h r fue el primer editor del Papiro Rhind, en 187Y... Entre los numerosos historiadores de la matemática de la segunda mitad del siglo xix, o que llegaron hasta nuestro siglo, destaquemos los más importantes: Her mánn H a n k e l , ya citad cit ado, o, que además adem ás de su obra ob ra como matemático se le debe una excelente historia antigua y ; m ed iev al; al ; Hieronymus Georg Ge org Z e u t h e n , discípulo de C h a s l e s eri geometría y autor de penetrantes estudios históricos sobre la matemática griega; Johan Ludvig H e i b e r g , historiador de la ciencia antigua y editor de los grandes matemáticos griegos, y Paul T a n n e r x , autor de tres grandes obras sobre la ciencia griega y de numerosas memorias científicas sobre temas históricos que se han reunido después de su muerte en 11 volúmenes. 1 . • | Term Te rm inem in em os esta rese re seña ña con la nómina nóm ina de tre tr e s h ist is t o riadores que, además de su labor histórica, tienen en su favor la fundación y dirección de publicaciones periódicas dedicadas a la historia de la matemática. El más "antiguo es el príncipe Baldassarre B o n c o m p a g n i , especialista en matemática/medieval, que organizó una biblioteca rica en manuscritos y fundó y dirigió desde 1868 hasta 1887 un Bidlettino di bibliografía e di storia delle scienze matematiche e fisiche. fisiche. En cierto sentido, esta labor bibliográfica fue continuada por la Bibliothe- ca mathematica fundada y dirigida hasta la primera guerra mundial por Gustaf E n e s t r o m , publicación periódica que puede considerarse como el complemento del tratado de historia de la matemática más completo publicado hasta hoy: las célebres Lecciones sobre la his toria de la matemática (cuatro gruesos volúmenes apa-
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recido s entre 1880 y 1908) de M o rit z Ca n t o r , qu q ue j u rante su vida también dirigió un par de publicaciones periódicas dedicadas a la historia de la matemática.
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l os
grupos
Durante el siglo xix los progresos del álgebra no le fueron en zaga a los del análisis o a los de la geometría. El primer progreso importante relacionado con la teoría de las ecuaciones algebraicas consistió en la demostración de la imposibilidad de resolver la ecuación de quinto grado ( y de grafio superior) mediante radicales. La primera demostración, en forma restringida, de esa imposibilidad se debe a Paolo R u f f i n i , que la hizo conocer en su tratado sobre las ecuaciones de 1798, que amplió y mejoró en escritos posteriores. La primera demostración rigurosa y general se debe a A b e l y es de 1826. El estudio de la resolubilidad de las ecuaciones algebraicas de grado superior que había sido iniciadoj por G a u s s para las ecuaciones llamadas «binomias», entra con R u f f i n i en una nueva dirección,, que dio lugar a uno de los conceptos fundamentales de la matemática contemporánea: el concepto de «grupo» hoy extendido también a la física teórica. El estudio sistemático de la teoría de los grupos, en su sentido técnico actual, se inicia con Evariste G a l o i s , uno de los matemáticos precoces de mayor genio, cuya vida breve y agitada fue digna de la época romántica en la que le tocó actuar. Muchos matemáticos de la época se ocuparon de esa teoría, apareciendo en 1870 el primer tratado sobre su aplicación a las ecuaciones algebraicas, escrito por Caín i l i e J o r d á n . Por su parte, se debe al noruego Matius Sophus L i e la creación de la teoría de los grupos continuos de trans
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formaciones y su aplicación a la integración de las ecuaciones diferenciales, mientras que Félix K l e i n , con su famoso «Programa de Erlangen» de 1872, sistematizó toda la geometría mediante la teoría de los grupos. En conexión con la teoría de los gfupos se desarrolló otro capítulo del álgebra de hoy: la «teoría de*las formas» invariantes respecto de cierto grupo de transformaciones. Puede considerarse como el fundador de estos estudios George B o o l e , célebre también por haber iniciado con The Laws of Thought de 1854 las investigaciones de lógica simbólica. Entre los cultores del estudio de la teoría de las formas pueden mencionarse C a y l e y y James Jam es Joseph S y l v e s t e r en Inglaterra, H e r m i t e en Francia, B r i o s c h i en Italia, y K l e i n y P u d o lf F r i e d rich A. C l e b s c h en Alemania. En otra direcc direcció ión n progresó el álgebra del del siglo x i x : en el análisis de los conceptos fundamentales, dando lugar a nuevos sistemas de entes matemáticos, cuyas operaciones no satisfacen totalmente a las leyes ordinarias del del álgebra ordina ria. ' El sistema más antiguo y más simple es «el álgebra vectorial», nacida del intento de extender al espacio la representación represe ntación “ geom geo m étrica étr ica plana dé los los números complejos ordinarios. En este «cálculo geométrico», como también se le llama, la labor más importante fue realizada por William ítowan H a m i l t o n , autor de un sistema de números de cuatro unidades: los «cuaternios», que goza de la importante propiedad de constituir el único sistema que conserva todas las propiedades de las operáciones aritméticas fundamentales con la excepción de la conmutatividad de la multiplicación; y Hermann G. G r a s s m a n n , originalísimo hombre de ciencia que en su Teoría de la extensión de 1844, en forma abstracta y en c iert ie rto o sentido sentid o inusit inu sitad ada, a, fund fu nda a las bases de un cálculo geométrico muy general. Se ocupó de álgebra y de análisis vectorial el norteamericano Josiah Willard G i b b s , conocido también p o r ' " N ú m. l l é k —5
JO J O S É B AB I N 1
I Z O
sus estudios de quimicafísica, mientras que Benjamín P e i r c e , también norteamericano pero cronológicamente anterior a G i b e s , se ocupó de estudiar y comparar analíticamente las distintas «álgebras», estudios en lols que fue seguido por su hijo Charles S. P e i r c e , que se ocupó, además, de lógica matemática.
— L a § 40. —
m a t e m á t i c a a f in e s
del
s ig i g l o x i x c
Con el advenimiento de las geometrías no euclidianas, la aritmetización del análisis, la sistematización'de la I geometría y el nacimiento de nuevas «álgebras», no se agota la lista de los progresos logrados en la matemática tic a durante dura nte el siglo s iglo x ix . P a r a tener ten er una una 1idea más o menos cabal del estado de esta ciencia a principios del siglo xx, resumiremos brevemente otras conquistas realizadas en el siglo xix, ya en antiguos sectores, ya en nuevos campos. La teoría de los números tan brillantemente iniciada por G a u s s , encontró un digno continuador en el sucesor de G a u s s en la cátedra de Gottingen: Peter Gustav Lejeune D i r i c h l e t , a quiei^ se debe la aplicación de los métodos infinitesimales a esa rama de la matemática, estudiando en especial con estos recursos las propiedades de la sucesión de los números primos. Se ocupó de teoría de los números Ernst Eduard K u m m e r , también excelente analista y geómetra, que hizo progresar más que ningún otro el estudio de la ecuación de Fermat, introduciendo en esos estudios los llamados «números ideales». Sucesor y discípulo de K u m m e r fue otro gran cultor de la teoría de los números: Leopold K r o n e c k e r , que desarrolló la teoría de los llamados «cuerpos de números». Con K r o n e c k e r se inicia una tendencia acerca de los fundamentos de la matemática que en el siglo XX adoptó el nombre de «intuicionista». Según K r o n e c k e r , toda la matemática debía fundarse sobre el concepto de
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X31
número natural, único tipo de números de existencia indudable. Pero mientras que para los intuicionistas actuales los númerós naturales son el resultado de una «intuición básica», para K r o n e c k e r lo eran de un acto de fe. « E l bue buen Dios creó creó el número número natural — decía— , el resto es obra humana.» Pasando al campo geométrico y dejando de lado numerosos progresos realizados en la geometría elemental, destaquemos que la geometría analítica alcanza en el siglo xix lina generalidad que, sin duda, no sospechó su fundador dos siglos antes. Se inicia este proceso con Julius P l ü C K E R , cuyo primer tratado de geometría analítica es de 18281831, y en el que el concepto de coordenada se generaliza y adquiere la categoría de una correspondencia cualquiera entre números y elementos geométricos. Al principio, la geometría sintética y la geometría analítica se enfrentaron como enemigas; en cierta ocasión S t e i n e r declaró que no escribiría más para el Journal de Crelle si P l ü CKER continuaba colaborando en é l ; pero má más s tarde, el método de las coordenadas coorden adas y el método de las proyecciones se combinaron armoniosamente, para dar lugar a una «geometría algebraica» o una «teoría geométrica de las ecuaciones», en la que encontraron encon traron cabida la la te oría or ía de las las form as y los^ m étoét odos infinitesimales. En estos estudios, en los que contribuyeron todos los geómetras de la segunda mitad del siglo xix, se destaca una escuela italiana en la que sobresalen entre los iniciadores Corrado S e g r e y E u g e nio B e r t i n i , y entr en tre e sus sus orga or gani niza zad d ores or es F e d e x igo ig o E n r i q u e s , conocido también por sus estudios epistemológicos y de historia de la ciencia. Por analogía con el número de ecuaciones y de variables del álgebra, en esta geometría algebraica no hay limitación alguna en el número de dimensiones de una «variedad algebraica» y del espacio o hiperespacio en el que se la estqdia. El estudio de las curvas en los es es
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JO J O S É B A B I N I
pacios pluridimensionales, aunque con dirección preferentemente proyectiva, fue iniciado por William King dom Cl i f f o r d y Giusepp Gius eppee V e r o n e s e con trabajos de 1878 18 78 y 1882, resp re spect ectiva ivam m ente. en te. , En cuanto a los progresos del análisis y de la teoría de las funciones en la segunda mitad del siglo xix, nos limitaremos a algunos nombres e ideas. De los continuadores de la obra de W e i e r s t r a s s citamos a Her mann Amandus S c h w a r z y Goste Gos te Magn Ma gnus us M i t t a g L e f f l e r > este último, además, gran promotor de los es, tudios matemáticos en los países escandinavos, mediante la fundación de un instituto y de un periódico científicos. De series se ocupó ThomasJean S t i e l t j e s , tema del cual se ocupó también el más brillante de los matemáticos de esta época: Henri PoiNCARÉ, a quien se deben numerosos libros y más de 1.500 memorias sobre los más variados temas de todos los sectores de la matemática, de la física matemática, de la astronomía y de la epistemología. Mientras tanto, el análisis superior se enriquecía con nuevos algoritmos: las ecuaciones integrales e integro diferenciales, el cálculo funcional, de los que citamos sólo los nombres de sus iniciadores: Eric Ivan F r e d h o l m , Máxime B o c i í e r y V i t o V o l t e r r a . Ter T erm m inem in em o s este capítul cap ítulo, o, y con él nuest nu estra ra reseña res eña de la historia de la matemática, con las investigaciones realizadas en la matemática durante el siglo XIX én sus dos campos extremos: los fundamentos y las aplicaciones. Las cuestiones concernientes a los fundamentos de la matemática que nacieron en el siglo XIX, aunque maduraron en el siglo XX, son: la teoría de los conjuntos, la lógica matemática y la axiomática. La teoría de los conjuntos es obra de Georg Ca n t o r , quien llegó a ella a través de cuestiones técnicas. En 1872 ya había dado a conocer una concepción propia del
tiíSTÓRIÁ SUCINTA DE LA MATEMÁTICA
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número irracional; casi diez años después inició sus investigaciones sobre los conjuntos, que culminan con la «teoría de los conjuntos transfinitos» de 1897. En esas investigaciones aparecen conceptos importantes, algunos fundamentales para la matemática. Ciertas parado jas ja s nacidas nacida s de esa t e o r ía fu eron er on uno de los puntos pun tos de partida de la cuestión acerca de los fundamentos de la matemática que se agitó en el primer tercio del siglo XX. XX. La lógica matemática, con la que se vincula uno de los bandos en lucha en aquella cuestión, tuvo su origen en un proyecto de L e i b n i z de someter los entes lógicos a un cálculo semejante al cálculo algebraico. Tal «cálculo lógico», que sólo fue esbozado po,r L e i b n i z , no logró una realización satisfactoria hasta Giuseppe P e a n o , en especial con su Formulario mathematico de 1891, en el que una feliz introducción de la expresión simbólica de las ideas fundamentales permite escribir con símbolos una proposición cualquiera, y someter además esas proposiciones a un cálculo formal sujeto a leyes determinadas. A l sentarse estas estas ideas como como fun f undam dam entó ent ó ' de la matemática, el simbolismo lógico como cálculo pasó a segundo plano, mientras que se ponían de relieve las conexiones entre la lógica y la matemática. E n 1este este sent sentic icio io so son importa im portantes ntes las las inve stigac stig acion iones es de Friedrich Gottlob F r e g e , realizadas entre 1879 y 1893, pero difundidas más tardé, con las que se inicia la tendencia logicista que convierte a la matemática en una rama de la lógica. En otra dirección P e a n o y su escuela atac at acar aron on a los fundamentos de la matemática: en el análisis y admisión de los postulados fundamentales de la aritmética y de la geom ge omet etrí ría. a. E n este est e sentid sen tido o es im p o rta rt a n t e la fundamentación axiomática de la aritmética, o mejor de la teoría de |os números naturales, que hizo conocer P e a n o en 1889. Estas investigaciones conducirían poco después al «método axiomático», que, si bien gozaba de
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la honrosa tradición euclidea, el siglo xix lo marcaría con el propio sello riguroso, convirtiéndolo en un método totalmente diferente al utilizado por E u c l i d e s .
El propulsor y sistematizador del método axiomático es David H i l b e r t , sin duda el más grande entre los matemáticos de su época. H i l b e r t ha impreso su sello y ha dejado su huella en todas las cuestiones vitales de la matemática, desde el análisis de los fundamentos de esta ciencia, a cuya discusión representó la tendencia formalista, hasta sus capítulos más especializados. Es ya y a fam fa m oso os o el discurso discu rso pronu pro nuncia nciado do por po r H i l b e r t en el Congreso de París de 1900 sobre «los problemas de la matemática», en el que señaló la existencia de 23 cuestiones referentes a Id matemática que esperaban entonces solución. Gran pa^te de la matemática del siglo xx ha surgido del estudio de esos problemas, la ma yo y o r ía de los cuales están actu ac tualm almen ente te resuelto resu eltos. s. < t sus ideas sobre el: método métod o axiom ax iom ático át ico H i l b e r t expuso su en sus célebres Fundamentos de la geometría de 1899, en los que no sólo enuncia y clasifica los axiomas sobre los que se funda la geometría, sino que aborda la importante cuestión de la contradicción y de la independencia de los axiomas escogidos. Para ello recurre a geometrías artificiales cuyos elementos son números, funciones, etc., con los que H i l b e r t no hace sino desplazar la dificultad al reducir la cuestión de la compatibilidad de los axiomas de la geometría a la de los axiomas de la aritm ética. étic a. Y aparece así una de las las cuestiones que han preocupado a los matemáticos del siglo xx que intervinieron en la cuestión de los fundamentos de su ciencia y en la que desempeñó un papel primordial el mismo H i l b e r t . En cuanto a las aplicaciones de la matemática, recordemos que a mediados del siglo xix la matemática y la ciencia natural se independizaron mutuamente, aunque esta última aplicó cada vez con mayor extensión e intensidad los métodos matemáticos, circunstancia que1no
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dejó de tener su efecto sobre la primera. Así encontramos los nombres del astrónomo Friedrich Wilhelm B e s s e l y del físico teórico George Gabriel S t o r e s vinculados con ciertas funciones y fórmujas del análisis matemático. Por su parte, la matemática proporcionó distintas ramas científicas de aplicaciones prácticas: los métodos de proyección para la representación en el plano de las figuras y de los cuerpos del espacio se sistematizaron desde este punto de vista en los métodos de la actual geometría descriptiva por obra obra inicial inicial de de W ilh e lm - F i e d l e r ; mientra mie ntras s nací nacía, a, 1también tamb ién fundada sobre la geo g eom m etría et ría proyectiva, la «estática gráfica», cuyos métodos bien pronto superaron a los de la estática analítica y cuya primera sistematización se debe a Karl C u l m a n n . Tam T am b ién ié n el estud est udio io teór te óric ico o del cálculo de las p rob ro b a bilidades encontró aplicaciones importantes; así, en la segunda mitad del siglo las probabilidades se aplican a la teoría cinética de los gases, iniciándose así un triunfal ingreso del concepto de probabilidad en el campo de la física, que se ha intensificado en tal medida que en ciertas concepciones contemporáneas ese concepto invade el campo íntegro de ios fenómenos naturales. Por su parte, los métodos estadísticos permitieron una aplicación de las probabilidades a los fenómenos sociales, aplicación que se extendió a los fenómenos biológicos, en especial por obra de Francis G a l t o n y de K a r l P e a r s o n , con el último de los cuales se inaugura una nueva rama científica: la biometría. Term Te rm inem in em os esta reseñ res eña a del sig si g lo x i x con la menci me nción ón de una rama peculiar de la matemática, constituida desde fines de siglo bajo la influencia de las ideas de K l e i n y por obra especial de Cari R u n g e : la matemática de aproximación. Partiendo del supuesto de queden toda aplicación práctica de la matemática el objetivo final es un resultado numérico, y que éste, por esencia, ha de ser aproximado, se ha organizado un cuerpo de doctrina
I
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JOSÉ ÉABÍÑi
y
un campo propio de investigaciones, en los que se reúnen los métodos numéricos, gráficos y mecánicos que tienden a obtener los resultados numéricos con la apro xim x im a c ión ió n deseada. ( Los métodos numéricos incluyen todo lo referente a las aproximaciones numéricas, uso y construcción de tablas, y los variados procedimientos aproximados que se han ideado para la resolución numérica de los problemas de análisis algebraico o infinitesimal. Es claro que tales métodos no son todos del siglo XIX, pero este siglo los ha agrupado y perfeccionado mientras aportaba nuevos métodos y nuevas ideas en el cálculo aproximado. Citemos entre estos últimos el método, quizá el más cómodo en su género, que Cari Heinrich G r á f f e ideó en 1837 para la resolución numérica aproximada de las ecuaciones algebraicas de grado cualquiera. Los métodos gráficos se proponen resolver los mismos problemas anteriores o la mayoría de ellos, objetivo que se logra por un doble camino: o bien mediante trazados gráficos en los que para cada problema particular Ciertas construcciones geométricas realizadas con los datos permiten obtener gráficamente los resultados; o bien, mediante «tablas gráficas» o «nomogramas», con los que, construido de una vez por todas el nomograma de una determinada fórmula, una simple lectura permite obtener los valores numéricos que la satisfacen. Dentro del primer tipo citemos, por su aplicación práctica, los métodos de integración gráfica; en cuanto al'segundo tipo, señalemos que ha dado nacimiento a una rama de la matemática aproximada: la «nomografía», sistematizada especialmente por obra de Maurice D ’ O c a g n e , cu yos yo s p rim ri m ero er o s tra tr a b a jos jo s sobre sob re el tem te m a son de 1891. Por su parte, los métodos mecánicos incluyen la variada gama de las máquinas de calcular y máquinas analíticas, los numerosos tipos de reglas de cálculo y círculos calculadores, y los importantes y útiles aparatos de integración (planímetros, intégrafos, analizado
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t i l S T Ón Ón i A ' S U C I N T A D É' É' L Á M Á T ÉM A T I C Á
1S7
res armónicos, etc.). Citemos, entre las primeras, las interesantes máquinas algebraicas de Leonardo T o o r r e s Q u e v e d o (para no citar las ultrarrápidas máquinas contemporáneas), y entre los últimos, el primer intégrafo (aparato que dibuja la curva integral) comercializado, el inventado por Bruno A b d a n k - A b a k a n o w i c z . * Un juicio, por somero que sea, acerca de la matemática del siglo xix, revela que el esfuerzo realizado por esa ciencia en este siglo ha sido tan extraordinario que ha superado a los esfuerzos que realizara en los veintitrés siglod interiores. Con él la matemática se ha independizado tanto de las concepciones filosóficas como de] mundo exterior y de la ciencia natural; ha logrado una unidad unidad que justifica el nombre — en singular— singular— con con que que en genera gen erall hoy ho y se se la designa desig na ; y ha configurado configura do una soberbia estructura científica, vale decir abstracta, fundada bajo el signo del rigor. El siglo xx verá elevarse esa estructura con un carácter aún más abstracto, s i cabe ( * ) . • 1 (* ) L o m i s m o qu q u e a l c o m i e n z o de d e e s ta t a r e se se ñ a , v o l v e m o s a r e m i t i r a l l e c t o r a l a o b r a a l l á c i ta t a d a , c u y o s d os os ú l t i m o s c a p í t u l o s , r e d a c t a d o s p o r R e y P a s t o r , e x p o n e n l a ín ín d o l e y lo s c a r a c t e r e s de la matemática actual.
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ÍNDICE ALFABÉTICO
Los números se refieren a los parágrafos \
,
A A A A A A
b d a n k b e l bu bu l
-B
, A K
-A
b a k a n o w ic z
Bruno (1852-1Ó00)
;
Niel Niels, s, Hen Henrik ri k (1802-1829) (1802-1829) ; 32, 32, 36, 36, 39 39. l
-W
af a
l b e r t i,
40.
19. (940-c . 997) ; 19.
(fl. (fl. c. 900) ; 19.
amil
a t t a n i
A l -B i r
,
(c .
858-929) ; 19.
León Battista (1404-1472) ; 22. (973-104 (973 -1048?) 8?) ; 19. 19.
uni
de York (c. 735-804) ; 17. l e j a n d r o el Grande (356-323) ; 5, 12.
A A
l c u in o
A A A A A A
l
A l - H a b a s h (m. (m. c. 864) 864) ; 19. 19.
- K a r k h i (m. entre 1019 y 1029) ; 19. l - K h u w a r i z m i (primera mitad del siglo l - M a h a n i (m. c. 874) 874) ; 19. m p e r e , André-Marie (1775-1836) ; 34. n t i f ó n ( s . v a. de C.) ; 11. p o l o n io
22, 26.
ix) ; 19.
de Perga (ñ. c. 190 a. de C.) ; 5, 11, 12, 15, 19
de Samos (aprox. 310-230) ; 14. r i s t ó t e l e s , de Estagirá (384-322) ; 5, 8, 10, 13. r q u í m e d e s de Si Siracus cu sa (287(287-212) 212) ; 5, 12, 12, 14, 15, 15, 16, 16, 19, 19, 22 26, 28, 30, 35. A r q u i t a s de Taras (s. iv a. de C.) ; 11.
A A A
r is t a r c o
A
r ya b h at a
(n. 476?)
;
18. 18.
.
,
B a b b a g e , Charles (4792-1871) ; 32. B a r o z z i , Jacobo = i l V i g n o l a (1507-1573) ; 29. B a r r o w , Isaac (1630-1677) ; 28, 29. B e d a , el Venerable (c. 673-765) ; 17. B e r k e l e y , Geor Georgge (1685-1753) ; 30, 30, 337 337 B e r n o u l l i , Daniel (1700-1782) ; 30, 31, 36. B e r n o ü l l i , Ja Jacob cob (16 (1654-1 -17 705) ; 30, 36. B e r n o u l l i , Joh Johan ann n (16 (1667-1 -17 748) ; 30, 36.
25. 25.
B e r t i n i , Eug-enio (1846-1933) ; 40. B e s s e l , Friedrich Wilhelm (1784-1846) B e t t i , Enrico (1823-1892) ; 36. B h a s k a r a ( s . x i i ) ; 18. J e a n - B a p t ist is t e (1774 (17 74-1 -186 862) 2) ; 34. B i o t , Je
; 40.
BÓCHER, Máxime (1867-1918) ; 40. B o e c i o , Severino (c. 480-524) ; 17.
Jo h an n (1802-1 (180 2-186 860) 0) ; 35. B o l y a i , Joh (1781-1848) 48) ; 36 36. B o l z a n o , B e m a rd (1781-18 B o m b e l l i , Rafael (entre 1530 y 1579) ; 23. (1821-18 -1894) 94) B o n c o m p a g n i , pr íncip e B a lda ss ar re (1821 B o o l e , Georg-e (1815-186 (181 5-1864) 4) ; 39. i 59 8?)) ; 18. B r a h m a g u p t a (n. 598? B r i a n c h o n , Ch arles-J ules (1785-1864) ; 33. 33. B r i g g s , H e n r y (1556-16 (1556-1630) 30) ; 24. 24. B r i o s c h i , Francesco (1824-1897) ; 36, 39. C .) ; 11. B r i s ó n ( s . i v a', de C. B r o u n c k e r (L o rd ), W illia m (1620 (1620-1 -1684 684)) ; 28 28. B r u n e l l e s c h i , Filippo (1377-1446) ; 22. B ü r g i , Jo J o b st (1552-1 (155 2-1632 632)) ; 24.
; 38. 38. .
C a m p a n o , Giovanni (fl. c. 1260) ; 21, 22. C a n t o r , Georg; (1845-1918) ; 40. C a n t o r , Moritz (1829-1920) ; 38. C a p e l l a , Marciano (s. v) ; 17. C a r d a n o , Gerola Ge rolam m o (1501-1576) ; 23. (74 2-814) 14) ; 17. 17. i C a r l o m a g n o (742-8 C a r n o t , L a za re -N ico las -M ar gu er ite (175 (17533-18 1823 23)) ; 33 33. 490 -580) 0) ; 17. C a s i o d o r o ( c . 490-58 C a s o r a t i , Felice (1835-1890) ; 36. C a t a l d i , Pietro Antonio (1552-1626) ; 24. st in -L o u is (1789-1857) ; 32, 36 36. C a u c h y , A g u stin C á v a l i e r i , Bonaventura (1598-1647) ; 28. C a y l e y , Arthur (1821-1899) ; 37, 39. C l a i r a u t , Alexis Claude (1713-1765) ; 21, 32. C l e b s c h , Rudolf Friedrich Alfred (1833-1872) ; 39. (1845-1 -1879 879)) ; 40 40¿ C l i f f o r d , W illia m K in gd om (1845 Thomaís (1765-1837) (1765-1837) ; 38. 38. C o l e b r o o k e , H e n ry Thomaís C o p é r n i c o , Nicolás (1473-1543) ; 25. C o t e s , R o g e r (1682-1716) ; 30. 30. , 1 C r a m e r , G a b r ie l'(1704l'(1704-175 1752) 2) ; 31. ; C u l m a n n , Karl (1821-1881) ; 40. ic o lá s (1401-1 (1401-1464) 464) ; 21. 21. C u s a n o , N ico C h a s l e s , Michel (1793-1880) ; C h u q u e t , Nicolás (fl. c. 1484)
37, 38.
; 22.
I
H I S T O R IA IA
SUCINTA
DE
LA
M ATE M AT ICA
1 41 41
D ’ A l e m b e r t , J e a n - L e R o n d (1717 (17 17-17 -1783 83)) ; 31, 32. D a l F e r r o , Sc ipion ip ion e (c. 1465-1526) ; 23 23. D e d e k i n d , Ju liu li u s W i lh e l m R ic h a r d (1831 (18 31-19 -1916 16)) ; 36. D e l M o n t e , Gu idubald idu bald o (1545-1607) ; 25 25. D e M o i v r e , A b ra h a m (1667-1754) (1667-1754) ; 30. 1 D e s a r g u e s , Girard (1593-1661) ; 27. D e s c a r t e s , R en e (1596-1650) (1596-165 0) ; 26, 26, 28. 28. D i n o s t r a t o (d. iv a. de C.) ; 11. 1 D i o c l e s ( s . i i a. de p . ) ; 16. D i o f a n t o de Alejandría (s. m ? ) ; 16, 18, 19, 22, 26, 27. D i r i c h l e t = L e j e u n e D i r i c h l e t , Peter Gustav (1805-
1859) ; 40. D ’ O c a g n e , Maurice (1862-1938) ; 40. D u p i n , C ha rles rle s (1784-1873) (1784-1873) ; 33 33. D Ü r e r , A lb re c h t (1471-15 (1471-1528) 28) ; 22 22. E E E E E
i s e n l o h r , August (1832-1902) ; 38. n e s t r o m , Gustaf (1852-1923) ; 38. n r i q u e s , F e d e rig o (1871-1946 (1871-1946)) ; 40 40. r a t ó s t e n e s de Cirene (aprox. 280-192) ; 14, 16. u c l i d e s de Alejandría (fl. c. 300 a. de C.) ; 5,'6,
12, 13, 14,
15, 16, 17, 19, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 35, 40. E u d e m o de Ro da s (s. iv a. de C.) C. ) ; 6, 10, 10, 38. 38. * E u d o x o de Cnido Cn ido (390-337 ó 408-355) 408-3 55) ; 10, 13, 13, 28, 28, 36. E u l e r , Leonhard (1707-1783) ; 30, 31, 32, 36. F a g n a n o , G iulio Ca rio, conde de (1682(1682-1766) 1766) ; 30. 30. F e r m a t , Pierre (1601-1665) ; 26, 27, 28. F e r r a r i , Ludovico (1522-1565) ; 23, 31. Ott o W ilhel ilh elm m (1832-191 (1832-1912) 2) : 40 40. F i e d l e r , Otto F i l o l a o de T a r a s (fl. c. 400 a. de C.) ; 8. 8. v F o u r i e r , Jose Jo seph ph (1768 (17 68-18 -1830 30)) ; 34, 36. 36. F r e d h o l m , E ri c Iv a n (1866(1866-1927 1927)) ; 40. F r e g e , F rie d ric h Go ttlob (1848(1848-192 1925) 5) ; 40 40. F r e s n e l , A ug u stin -Je an (1788-1 (1788-1827) 827) ; 34 34, G a l i l e o , Galilei (1564-1642) ; 26, 28. , G a l o i s , Evariste (1811-1832) ; 39. G a l t o n , Francis (1822-1911) ; 40. G a u s s , K a r l F ri e d ric h (1777-1855) (1777-1855) ; 31, 31, 32, 32, 35, 35, 39, 39, 40. 40. G e r a r d o de Cremona (c. 1114-1187) ; 20. G e r b e r t o de Aurillac (c. 930-1003) ; 20. G e r g o n n e , Jose Jo seph ph D ia z (1771 (17 71-18 -1859 59)) ; 33. 33. G h i b e r t i , Lorenzo (1378-1455) ; 22. J o s ia h W i l l a r d (183 (1 839-1 9-190 903) 3) ; 39. 39. G i b e s , Jo G i r a r d , Albert (1595-1632) ; 25. G o l d b a c h , Christian (1690-1764) ; 31,
1
^1 4 2
JOSÉ BA&IN1
G r a f f e , Cari Heinrich (1799-1873) ; 40. G r a s s m a n n , H erm an n G un th er (1809 (1809-1 -1877 877)) ; 39 39. G r e e n , Georg-e (1793-1841) ; 34.
Ed m un d (1656-1742) ; 30. 30. a m i l t o n , W illia m R ow an (1805 (1805-1 -1865 865)) ; 39. a n k e l , H er m an n (1839-1873) ; 32, 32, 38 38. e i b e r g , Joh J oh a n L u d v i g (1854 (18 54-1 -192 928) 8) ; 38. 38. e r m i t e , C h ar les (1822-1901) ; 36, 39 39. H e r o d o t o de Halicarnaso (aprox. 484-425) ; 3. H e r ó n de Alejandría (c. 100 a. de C.) ; 16, 19. H e r s c h e l , 'John Fred erick W illiam (1792 (1792-1 -1871) 871);; 32 32. H H H H H
a l l e y ,
H i l b e r t , David (1862-1943) ; 40. H i p a r c o de ISfice ISficea a (fl. e n t r e 161 161 y 127) ; 16 16. H i p i a s de Elis (fl. c. 420 a. de C.) ; 11. H i p ó c r a t e s de Quío (fl. c. 440 a. de C.) ; 6 , 11. H ó p i t a l , Guillaume Guillaume Fran ^ois An toine, marqués p it a l
H u yg e n
I
de L ’H ó-
(1661-17 (166 1-1704) 04) ; 30. s , C h ris tia an (1629-1695) ; 26, 26, 28 28, 30 30.
I b n A l - H a y t a m (965-1039) ; 19, 2 2 . I b n S i n a (980-103 (980 -1037) 7) ; 19. I s i d o r o de S e v illa il la (c. (c. 570-636) 570-636) ; 17. 17.
J a b i r I b n A f l a h J a c o J e n ó - Jord - Jo r d
( s . x i i ) ;
19.
C a ri G us tav Jaco b (1804-1851) (1804-1851) ; 32 32, 36 36. f a n e s de C olo fon (c. 430-después de 355) 355) ; 9. 9. á n , Camille (1838-1922); 39.
b i,
a n u s
, N e m o r a r i u s
( s . x i i i ) ; 21.
K e p l e r , Jo h a n n es (1 5 7 1 -1 6 3 0 ); 28. K h a y y a m , Ornar (c. 1040-c. 1131) ; 19. K l e i n , F é l i x (1839-19 (1839-1925) 25) ; 39, 39, 40 40. K r o n e c k e r , L eo p old ol d (1823-1891) ; 40 40. K u m m e r , E rn s t E du ar d (1810^ (1810^18 1893) 93) ; 40. L a L a L a L a L a L e L e
|
¡
i
, S y lv e s tr e F ra n go is (1765(1765-1843 1843)) ; 32, 34. g r a n g e , Jos J os ep h L o u is de (1736 (17 36-1 -181 813) 3) ; 30, 31, 32, 34, 36. m b e r t , Jo h a n n H e in r ic h (1728 (17 28-17 -1777 77)) ; 31. 31. m e , G ab rie l (1795-1870) (1795-1870) ; 34. 34. p l a c e , Pierre Simón de (1749-1827); 32, 34. g e n d r e , Adrien Marie (1752-1833) ; 32. i b n i z , G o tt fr ie d W ilh el m (1646-1716) (1646-1716) ; 26, 27, 27, 28, 28, 29, 29, 30, 30,
I
c r o ix
_ i L e o n a r d o d a V i n c i (14 (1 4 5 2-15 -1 51 9 ) ; 22. . L e o n a r d o P i s a n o ( c . 1170-después de 1240) ; 21, 22. L i b r i , G u glie lm o (1802-18 (1802-1869) 69) ; 38 38. L i e , M a tiu s Sophu s (1842-1899) ; 39. 39.
! I
31, 36, 40.
i
,, ,
HI H I S T O R I A S U C I N T A DE L A M A T E M Á T I C A
1 4 3
L i n d e m a n n , Ferdinand (1852-1939) ; 36. L o
b a c h e w s k i,
N ich olas ola s Iva Iv a n ov ic (1793(1793-185 1856) 6) ; 35 35.
M a c l a u r i n , Colín (1698-1746) ; 30, 31. M a s c h e r o n i , Lorenzo (1750-1800) ; 32.
M a u r o l y c o , Francesco (1494-1575) ; 25. , M e n e c m o ( s . i v a. de C.) ; 11. M e n e l a o de Alejandría (fines del s. i) ; 16. M e r c a t o r ( = K a u f m a n n ) , Nicolaus (c. 1620-1687) M e r s e n n e , Marín (1588-1648) ; 27, 28. J e a n B a p t is t e M a r i e (1754(17 54-179 1793) 3) ; 33. M e u s n i e r , Je Gos te M ag agnu nu s (1846-1 (1846-1927 927)) ; 40. 40. M i t t a g - L e f f l e r , Goste (17900-18 1868 68)) ; 37 37. M o b i u s , A u gu st Fe rd ina n d (179 M o n g e , Gaspard (1746-1818) ; 33, 34. J e a n - É tie ti e n n e (1725(17 25-179 1799) 9) ; 38. 38. M o n t u c l a , Je
N N N N N N
a p ie r asir e s s e l e w t o
Joh n (1550-1 (155 0-1617 617)) ; 24. 24. , John (12 01-127 1274) 4) ; 19. 19. A l - D i n (1201m a n , G eorg H ein rich Fe rdin an d (1811 (1811-18 -1881) 81) ; (1642 2 [j u l. ], 1643 [g r e g ‘.]-1727) ; 26 26, n , Isa ac (164
30, 32, 36. de Gerasá (fines del s. i) ; 16, 17. ic o m a o o 100 a. a . de d e C .) ; 16. 16. i c o m e d e s ( c . 100
Ol d Or e P P P P
; 28.
H e n ry (16267-1678) (16267-1678) ; 27 27. N ic o lá s (1313-1382) ; 21, 21, 28. |
e n b o u r g s m e
,
38. 38. 28, 28, 29, 29,
,
Lúea (1445-1514) ; 22. a p p u s de Alejandría (fl. c. 300) ; 16, 19, 26. E lea a (fl. c. 475 475 a. de C . ) ; 9. a r m e n i d e s de Ele a s c a l , Blaise (1623-1662) ; 27, 28, 29. a c io l i,
P a u l t j s , Ch. (mediados del s. xix) ; 37. P e a c o c k , George (1791-1858) ; 32.
P P P P P P P P P P P P P P
Giuseppe (1858-1932) ; 40. (1857-1936) ; 40. 40. e a r s o n , K a r L (1857-1936) e i r c e , Benjamín (1809-1880) ; 39. arle less S. (1839-1914) ; 39. 39. e i r c e , C h ar (1423 -1461)) ; 21. 21. —e u r b a c h , Georg- (1423-1461 ie r o D e l l a F r a n o e s c a (1416-1492) ; 22. i t á g o r a s de Samos (fl. c. 532 a. de C.) ; 8. l a t ó n (428-348) ; 10, 13. Ju liu s (1801-1 (180 1-186 868) 8) ; 40. 40. l ü c k e r , Juliu o i n c a r é , H e n ri (1854-1912) (1854-1912) ; 40. o i s s o n , Simeón Denis (1781-1840); 34, 36. J éan n V í c t o r (1788-1 (178 8-1867 867)) ; 33, 37, 38. o n c e l e t , Jéa r o c l o de Bizancio (410-485) ; 6, 13, 16. (m ediado iadoss del s* s* i i ) ; 16, 16, 1 9 , 25. t g l o m e o , Clau dio (med eano
,
1
JOSÉ BAB1N1
1 4 4
(14 36-1476 476)) ; 21. R e g i o m o n t a n o (1436-1 R e y P a s t o r , Ju J u lio li o (1888 (18 88-19 -1962 62)) ; 1, 40. 1 (151 4-1577) 77) ; 25. 25. | R h a e t i c u s (1514-15 J a c o p o (167 (1 676-1 6-175 754) 4) ; ¿0. R i c c a t i , Ja R i e m a n n , G eo rg F rie d ric h B ern ha rd (182 (18266-18 1866 66)) ; 35 35, 36. (1602-1675) ; 28 28. R o b e r v a r , G iles Pe rs on n e de (1602-1675) R u f f i n i , P a o lo (1765-1822) ; 39. 39. , R u n g e , Cari (1856-1927) ; 40.
Sa c r o b o s c o (primera mitad del s. xill) ; 21. S a i n t V i n c e n t , G re go riu s (1584-1667) (1584-1667) ; 28 28. S c h w a r z , Hermann Amandus (1845-1921) ; 40. S e g r e , C u rra do (1836-1924) (1836-1924 ) ; 40. 40. , (47 0-39 399) 9) ; 10. 10. S ó c r a t e s (470S t a u d t , K a r l G eo rg C hr istia n v on (179 (17988-18 1867 67)) ; 37. J ac ob (1796 (17 96-18 -1863 63)) ; 37, 40. S t e i n e r , Jac Si m ón (1548-1620) (1548-162 0) ; 24, 24, 25. 25. ' S t e v i n , Sim T h o m a s -J e a n (1856 (18 56-18 -1894 94)) ; 40. 40. S t i e r t j e s , Th S t i f e r , M ic h a el (1486-1567) ; 24. 24. S t i r r i n g , Ja J a m es (1692 (16 92-17 -1770 70)) ; 30. (1818-1903 1903)) ; 40 40. S t o k e s , G eo rge G ab riel (1818S y r v e s t e r , Ja m es Jose Jo se ph (1814 (18 14-18 -1897 97)) ; 39. 39.
,
T a b e s de Mileto (fl. c. 585 a. de C.) ; 7, 8. T a n n e r y , Paul (1843-1904) ; 38. T a r t a g r i a , N ic c ol ó (14997-1557) (14997-1557) ; 23. 23. 30. T a y r o r , B ro o k (1685-1731) ;. 30. T h a b i t b. Q u r r a (827-901) ; 19. T o r r e s Q i j e m s d o , Leonardo (1852-1936) ; 40. T o r r i c e b b i , E v a n g e lis ta (1608-1647) ; 28. , » i (1651-17 -1708) 08);; 30 30. T s c h i r n h a u s e n , E h ren fried W a lte r von (1651 V e r o n e s e , Giuseppe (1854-1917) : 40. V i Ét e , F ra n § o is (1540-1603) (1540-1603) ; 25, 25, 28. V i v i a n i , Vincenzo (1622-1703) ; 28. (1860-1940) ; 40. 40. V o b t e r r a , V it o (1860-1940)
W W W
a b r í s John Jo hn (1616 (16 16-17 -1703 03)) ; 28, a r i n g , E d w a rd (1734-1 (1734-1798) 798) ; e i e r s t r a s s , K a r l (1815-1897)
29. 31 31. ; 36, 36, 40. 40.
WlDMANN, Johann (fl. c. 1489) ; 22. W
r e n
Y
oung
Ze Ze
(1632-1723) ; 28 28. , C h ris to p h er (1632-1723) , Th T h o m á s (1773 (17 73-18 -1829) 29) ; 34.
n ó n de u t h e n,
E le a (fl. c. 460 460 a. a. de C.) ; .9. .9. H ieron ym us G eo rg (1839 (1839-1 -1920 920)) ; 38. 38.
t
9
ÍND ICE
DE A U T O R E S H AS TA
DE EL
LA
COLECCIÓN
NÚ ME RO
AUSTRAL
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• Volumen extra 321Malvaloca. Doña Clari- AJRAGO, Domingo F. ABENTOFÁEL, Almchaíar nes. 1195E1 filósofo autodidacto. 426Grande8 astrónomos anALLISON PEERS, E. E. ABOUT, Edmond teriores a Newton. 671E1 misticismo español. • 723E1 723 E1 rey re y de las montañas. * 543Grandes astrónomos. RÍOS, José 1408Casamientos parisien- AM AD O R DE LOS RÍOS, )e Newton a Laplace.) 693Vida del marqués de ses. * gistoria de mi juvenSan tillan a. 1418E1 hombre de la oreja tud. (Viaje por España. AM OR , Guadal Guadalupe upe rota. 18061809.) 1277Antología poética. ADR ANT ES^ Duquesa |ie ARCIPRESTE DE HITA 495Portugal a principios del ANACREONTE y otros 98Libro de buen amor. sigl siglo o x ix . 1332Poetas Uncos griegos. AKÉNE, Paul AN D RE IEV, León Leóniidas das ABREU GÓMEZ, Emilio 205La cabra de oro. 1003L.as leyendas del Popol 996Sacbka 996Sacbka Y e guie guie v. • ARISTÓTELES 1046Los espectros. Vuh. 239La política. * 1159Las tinieblas y otros ABSHAGEN, Kari H. 296.Moral. (La gran moral. cuentos. 1303Ei almirante Canaria. * Moral a Eudemo.) * 1226 12 26E E1 1 misterio y otros cuencuen - 318Moral a Nicómaco. • ADLER, Alfredo tos. 775Conocimiento del hom399Metafísica. * bre. * ANÓNIMO 803ÉÍ arte poética. 5Poema del Cid. • A F A N ASEE ASEEV, Alejandro Alejandro N. ARNICHES, Carlos 859Cuentos 859Cuentos popula po pulare» re» rusos. rusos. 59Client 9Clien t os y leyend le yendas as de la I193E1 santo de la Isidra. Es AGUTRRE, Juan Francisco vieja Ilusia. mi hombre. 156Lazarillo do Tornes. 709-Dife * -Difecurso históricio. histó ricio. 1223E1 E1 am igo M elqu íad es. AIMARI), Gustavo Prólog o de Gregorio La señorita de Trevélez. farañón.) 276Los tramperos del Ar AK NO LD , Matt Matthe hew w 337La historia de los nobles kansas. * 989Poesía y poetas ingleses. AK SAK OV , S. S. T. caballeros Oliveros de AR NO ULD , Lui Luis Castilla y Artús Dalgar 1237Almas prisioneras. * 849Recuerdos de la vida de estudiante. be. be . AR QU ÍLOC O y otros ros 359Li 59Libr br o del esforzado cab a- 1332Poetas líricos griegos. ALCALÁ GALLANO, Antonio ,1048Recuexdos de un anciallero don Tristón de Leo AR RIE TA , Rafael Rafael Alber Alberto to nís. * no. * 291Antología poética. 374La historia del rey Ca- 406Centuria porteña. ALCEO y otros 1332Poetas líricos griegos. ñamar y del infante Tu ASSOLLAN T, Alfredo Alfredo rián, su hijo. La des ALFONSO, Enrique 386Aventuras del capitón Cor corán. • 964... Y llegó la vida. * truición de Jerusalem. 396La vida de Estebanillo AUN ÓS, Eduardo Eduardo AL IGH IERI, Dant Dante e 875E1 Convivio. * 275Estampas de ciudades. • González. * 1056La 1056La Div ina Comedia. Comedia. * 416 41 6E1 E1 conde Par tinu ple s. AUSTEN, Jane Roberto el Diablo. ClaALONSO, Dámaso Dámaso 823Persuasión. • ra ades. Clarmonda. 1039La abadía de Nortban 595Hijos de la ira. 1290Oscura noticia. Hom622Cuento» populares y leger . * ■=>=> ye n d as de Irlanda. 1066Orgullo y prejuicio. * bre y Dios. ALONSO DEL REAL, Carlos 663-Viaje a través de los AVEIXANEDA, Alonso F. de 1396Realidad y leyenda de 603Ei Quijote. * mitos irlandeses. las amazonas. * 712 71 2N N a la y Damavanti. (Ep i- AVE R CIIENKO, CIIENKO, Arcadl Arcadlo o AL SIN SIN A FUERTES, F., y PRE sodio del Mahabharata.) 1349Memorias de un simple. 892Cnentos del Cáucaso. Los niños. ~L AT , C. E. i 1037El mundo de la mecá- 1197Poenxa de Fernán Gon- AZARA, Félix de nica. 1402Viajes por la América zález. meridional. * ALTAMIRANO, Ignacio Ma- 1264Hitopadeza o Provechosa enseñanza. nuel AZORÍN 1294E1 cantar de Roldán. 36Lecturas españolas. 108E1 Zarco. ALTOLAGUIRRE, M. 47Trasuntos de España. 1341Cuen.tos populares litua1219Antolo^ía de la poesía nos. * 67Españoles en Paría. romántica española. * ANÓNIMO, y KELIJER, GoU 153Don Juan. ÁLVAREZ, G. £ried 164 64E Ell paisaje de Es pañ a vis1157Mat 1157Mateo eo Ale mán. mán . 1372Leyendas y cuentos del to por los españoles. ÁLVAREZ QUINTERO, Serafolklore suizo. Siete le- 226Visión de España. fín y Joaquín yendas. 248Tomáa Rueda. 124Puebla de las Mujeres. ANZOÁTEGUI, Ignacio B. 261E1 escritor. El genio alegre. 1124 11 24Ant Antolo olo gía poética. 1 380Capricho.
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ÍNDICE DE AUTORES 420Los dos Luises y otros ensayos. 461Blanco en azul. (Cuentos.) 475De Granada a Castelar. 491Las 491La s confesiones confesiones de lín peque qu e fio filósofo. filósofo. 525María Fontán. (Novela rosa.) 551Los clásicos redivivos. Los clásicos futuros. 568El políti político. co. 611IJn pueblecito: Riofrío de Ávila. 674Rivas y Larra. 747Con Cervantes. * 801Una hora de España. 830E1 caballero inactual. 910Pueblo. 951La cabeza de Castilla. 1160Salvadora de Olbena. 1202España. 1257Andando y pensando. Nota s de un transeúnt transeúnte. e. 1288De un transeúnte. , 1314Historia y vida.* BA BI NI, Jos José 847Arquímedes. ^ 1007 Historia sucinta de la ciencia. * 1142Historia sucinta de la matemática. BAELLIE FRASER, Jaime 1062Viaje a Persia. BAL ME S, Jaime Jaime 35Carta 35C artass a un escéptico escéptico en materia de religión. * 71E1 criterio. * BALZAC, Honorato de 77Los pequeños burgueses. burgueses. 793Eugenia Grandet. * BALLANTYNE, Roberto M. 259La isla de coral. * 517Los^ 517Los^ mercaderes mercade res de piepie les. * BALLESTEROS BERETTA, Antonio 677Figuras imperiales: Alfonso fonso V I I el Empera Emperador. dor. Colón. Fernando el Católico. Carlos V. Felipe II. BAQUÍLIDES y otros 1332Poetas líricos griegos. B A R N O U W , A . J. J. 1050Breve historia de Holanda. * BAROJA, Pío 177La leyenda de Jaun de Alzate. 2 0 6 6 L as as i n q u i e t u d e s d e Shanti Andía. * 230Fantasías vascas. 256 25 6E1 E1 gran torbellin o del mundo. * 288Las veleidades de la for tuna. 320Los amores tardíos.
331El mundo es ansí. 346Zalacaín el aventurero. 365La casa de Aizgorri. 377 37 7E1 E1 mayorazgo mayo razgo de Labra L abra z. 398La feria de los discretos.* discretos.* 445Los últimos románticos. 471Las tragedias grotescas. 605E1 Laberinto de las Sirenas. * 620Paradox, rey. * 720Aviraneta o La vida de un conspirador. * 1100Las noches del Buen Retiro. * 1174Aventuras, inventos y mixtificaciones de Silvestre Paradox. * 1203La obra de Pello Yarza. 1241Los pilotos de altura. * 1253La estrella del capitán Chuñista. * 1401Juan Van Hallen. * BARRIOS, Eduardo 1120Gran señor y rajadia blos. * B A S A V E F. D E L V A L L E , Agustín 1289Filo 1289Filosof sofía ía del Quijote. Quij ote. * 1336Filosofía del hombre.* 1391Visión de Andalucía. BASHKIRTSEFF, María 165Diario de mi vida. B A U D E L A I R E , C. 885Pequeños poemas en prosa. Crítica de arte. BAYO, Ciro 544Lazarillo español. * BEAUMARCHAIS, P. A. Carón de 728E 72 8E1 1 casamiento casamie nto de Fígaro. 1382E1 barbero de Sevilla. BÉCQUER, Gustavo A. 3Rimas y leyendas. 788Desde mi celda. BENAVENTE, Jacinto 34Los intereses creados. Señora ama. 84La Malquerida. La noche noche del sábado. 94Cartas de mujeres. 305La fuerza bruta. bru ta. Lo cursi. cursi. 387 38 7A A1 fin, mujer. L a honrahon radez de la cerradura. 450La comida de las fieras. Al natural. 550Rosas 550Rosas de otoño. Pe pa Doncel. 701Titania. La infanzón a. 1293Campo 1293Campo de arm iño. La ciudad alegre y confiada. * BENET, Stephen Vincent 1250Historia sucinta de los Estados Unidos. BENEYTO, Juan 971España 971España y el problem a de Europa. *
BENITO, José de 1295Estampas de España e Indias. * BENOIT, Fierre 1113La señorita de la Fer té. * 1258 125 8La La cast ellan a del L f baúo. * BERCEO, Gonzalo de 344Vida de Sancto Sancto Dom ingo de Silos. Vida de Sancta Oria, virgen. 716Milagros de Nuestra Señora. BERDIAEFF, Nicolás 26E1 cristianismo y el problema del comunismo. 61E1 cristianismo y la lucha de clases. BE RG ER AC , Cyra Cyrano no de ¿ 287Viaje a la Luna. Historia cómica cómica de de l¿s Estad os e Imperios del Sol. * B E R K E L E Y , J. J. 1108Tres diálogos entre Hilas y Filonús. BER LIOZ , Héctor Héctor 992Beethoven. BE RN ÁR D EZ , Fran Franci cissco Luis Luis 610Antología poética. * BJOERNSON, Bjoernstjerne 796SynnoeveSolbaklten. BLASCO IB ÁÑ E Z, Vi Vicen cente 341Sangre y arena. * 351La barraca. 361Arroz y tartana. * 390Cuentos valencianos. 410Cañas y barro. * 508Entre naranjos. * 581La condenada y otros cuentos. BO ECIO , Seve Severi rino no 394La consolación de la filosofía. B O R D E A U X , H en en ri ri 809Yamilé. BOSSUET, J. B.( 564Oraciones fúnebres. * BO SW ELL, Jame Jamess 899La vida del doctor Samuel Johnson. * BOUGAXNVTLLE, L. A. de 349 34 9Viaje Viaje alrededor del mun do. * BOYD CORREL, A., y MAC DONALD, Philip 1057La rueda oscura. * BRET HARTE, Francisco 963Cuentos del Oeste. * 1126Maruja. 1156Una noche en vagón cama. BRINTON, Crane 1384Las vidas de Talley i¡and.* BRONTE, Charlotte 1182Jane Eyre. *
ÍN D IC E D E A U T O R E S
BR UN ET IÉR É, Fern Ferna ando ndo CAMPO AMO R, Ramón Ramón de. CASTRO VIEJO, José José María, y 783E1 783 E1 carácte car ácterr esencial de la 238Doloras. Cantares. Los CUNQUEIRO, Alvaro literatura francesa. pequeños poemas. 1318Viaje por los montes y B UC E , Pear Pearll S. S. CANC ELA, Artur Arturo o chimeneas de Galicia. 1263Mujeres sin cielo. * 423Tres relatos porteños. Caza y cocina gallegas. BU NIN, Iván Iván Tres cuentos de la ciu- CA TA LIN A, Seve Severo 1359Sujodol. El maestro. dad. 1239La mujer. * BU RT ON , Rober Roberto to 1340Campanarios y rascacie- CEBES, TEOFRASTO, EPIC 669Anatomía de la melanlos. TETO colía. CAÑÉ, Miguel 733La tabla de Cebes. CaB U S CU, Franci Francia a X. 255Juvenilia y otras páginas racteres morales morales.. Enqui 1229Tres procésela célebres. * argentinas. ridión o máximas. BUTLER, Samuel , CANILLEROS, Conde de CELA, Camilo José 285Erewhon. * 1168Tres testigos de la con- 1141Viaje a la Alcarria. BYR ON, Lord Lord quista del Perú. CERVANTES, Miguel de 111E 11 1E1 1 corsario. La ra. ra . E l sitio CÁNOVAS DE L CASTILLO, CASTILLO, 29Novelas ejemplares. * de Corinto. Mazeppa. Antonio 150Don Quijote de la ManCA BE ZA S, Juan Ant Antoni onio o 988La campana de Huescha. * 1183Rubén Darío. * ca. * 567Novelas ejemplares. * Arturo ro 1313«Clarín», el provinciano CAP DE VIL A, Artu 686Entremeses. universal. * 97Córdoba del recuerdo. 774E1 cerco de Numancia. CADALSO, José 222Las invasiones inglesas. El gallardo español. 1078Cartas marruecas. 352Primera antología de 1065Los trabajos de Persiles CALDERÓN DE LA BARCA, mis versos. * y Sigismundo. * 506Tierra mía. Pedro CÉSAR, Julio 39Ei alcalde de Zalameai 607Rubén Darío. «Un Bat 121Comentarios de la gueLa vida es sueño. * do Rei». rra de las Galias. * 289E1 289 E1 mágico má gico prodigioso. prodig ioso. 810E1 padre Castañeda. * CICERÓN , Casa con dos puertas, 905 905 La dulce patria. 339Los oficios. mala es de guardar. 970E1 hombre de Guaya- CIEZA DE LEÓN, P. de 384La devoción de la cruz. quil. 507La crónica del Perú. • El gran teatro del mun- CARLYLE, Tomás CLARÍN (Leopoldo Alas) do. 472Los primitivos reyes de 444jA 444jAdi dios os,, «C or de ra»!, y 496El mayor monstruo del Noruega. otros cuentos. Recue rdos. * mundo. E l príncipe príncipe conscons- 906 Recuerdos. CLERMONT, Emilio 1009Los héroes. * 816Laura. * tante. 593No hay burlas con el 1079Vida de Schiller. COLOMA, P. Lula 413Pequeñeces. * Emilio o amor. El médico de su CAR RÉR E, Emili 891Antología poética. honra. * 421Jeromín. * 435La reina mártir. * ÚS9A secreto agravio, secre- CASARES, Julio ta venganza. La dama 469Crítica profana. Vallé- COLÓN, Cristóbal duende. isriclán, riclán, Azorí Az orín n y R icar ic ar-- 633Los cuatro viajes del Aldo León. * mirante y su testamenCALVO SOTELO, Joaquín to. * .1238La visita que no tocó el 1305Cosas del lenguaje. * CONCOLORCORVO timbre. ^Nuestros ángeleá. 1317Crítica efímera. * 609E1 lazarillo de ciegos caCASON A, Alejandr Alejandro o CAMACHO, Manuel minantes. * 1281 128 1 Desistimie Desist imiento nto español de 1358WE1 caballero de las espuelas de oro. Retablo CONSTANT, Benjamín la empresa imperial. 9 3 8 A d o l f o . ----- jovi jo vial al.. * k CAM BA , Juli Julio o CASTELAR, Emilio COOPER, Fenimore 22Londres. 794Ernesto. * I 1386E1 cazador de ciervos. • 269La ciudad automática. 1409E 140 9E1 1 último últi mo mohicano. mohic ano. • 295Ave 295Aventur nturas as de una peseta. peseta. GASTELO BRANCO, Camilo 582 Am or de perdición. perdición. * CORNEILLE, Pedro 343La casa de Lúculo. CAST IGLIONE , Baltasa Baltasarr 813E1 Cid. Nicomedes. 654Sobre casi todo. 549E1 cortesano. * CORTÉS, Hernán 687Sobre casi nada. 547Cartas de relación de la 714Un año en el otro mun- CASTILLO SOLÓRZANO 1249La Garduña de SeviConquista de México. * do. lla y anzuelo de las bol- COSSÍO, Francisco de 740Playas, ciudades y monsas. * 937Aurora y los hombres. tañas. CASTRO, Guillen de COSSÍO, José María de 754La rana viajera. 791Alemania. * 583 L a s m o c e d a d e s d e l 490Los toros en la poesía. Cid. * 762Romances de tradición 1282 12 82 Millónes Milló nes al horno. oral. de CAM OEN S, Luis de 1 CASTRO, Miguel de 924Vida del soldado español 1138Poesía española. (Notas 1068Los Lusiadas. * de asedio.) Miguel de Castro. * CAMÓN AZNAR, José Rosalía COSSÍO, Manuel Bartolomé 1399Ei arte desde su esencia. CASTRO, Rosalía 243Obra poética. 500E1 Greco. * 1421Dios en San ,Pablo.
ÍNDICE DE AUTORES CO URT ELINE , Jorg Jorge e 1357Los señores cliupatintas. CO USIN , Vícto Víctorr 696Necesidad de la filosofía. CRAWLEY, C. W., WOOD HOUSE, C. C. M., M., HEU RTL EY, W. A., y DARBY, H. C. 1417Breve historia de Grecia. CROCE, Benedetto 41Breviario de estética. CRO WTH ER, J. J. G. G. 497Humphry Davy . Michae Michaell Faraday. (Hombres de ciencia británicos del siglo X IX .) 509J 509 J.. Prescott Joule. W . Thompson. J. J. Clerk Ma xwell. (Ho mb mbres res de cien ciencia cia británicos del del siglo siglo x ix .) * 518T. Alva Edison. J. Hen ry. (Hombres de ciencia norteamericanos del siglo xrx.) 540Benjamín Franklin. J. W illard Gibbs. Gibbs. (Hombres de ciencia norteamericanos del siglo xix.) * CRUZ, Sor Juana Inés de la 12Obras escogidas. CU EV A, Juan Juan de la 895E1 infamador. Los siete infantes de Lara. CUI, César 758La música en Rusia. CUNQUEIRO, Alvaro, y CAS TROV3EJO, José José María 1318Viaje por ios montes y chimeneas de Galicia. Caza y cocina gallegas. CURIE, Eya 451La v ida heroica heroica de María Curie, descubridora del radium, contada por su hija. * CHAMLSSO, Adalberto Adalberto de 852El hombre que vendió su sombra. CHAM IZO, Luis Luis 1269E1 miajón de los cas* túos. C H A T E A U B R I A N D , V iz conde de 50Atala. René. El último Abencerraje. 1369Vida de Raneé. CHEJOV, Antón P. 245E1 jardín de los cerezos. 279La cerilla sueca. 348Historia de mi vida. 418Historia de una anguila. 753Los campesinos y otros cuentos. 838La señora del perro y otros cuentos. 923La sala número seis. CIIER BU LIEZ , Víct Víctor or 1042E1 conde K.ostia. •
CHESTERTON, Gilbert K. 20Santo Tomás de Aqu ino. 125La esfera y la cruz. * 170Las paradojas de míster Pond. 523Charlas. * 625Alarma 62 5Alarmass y digresiones. digresiones. CHJHIKOV, E. 1426E1 payaso rojo. CHMELEV, Iván 95E1 camarero. CHOC CH OCAN AN O, José José Santos Santos 751Antología poética¿ * CHRÉTE CHRÉTEEN EN D E TRO YES 1308Perceval o El cuento del grial. m DAN A, R. E. 429Dos años al pie del mástil. DARBY, H. C., CRAWIEY, C. W ., W OO DHO USE , C. C. M., y HEURTLEY, W. A. 1417Breve 1417Breve historia hi storia de Grecia. DAR ÍO, Rubén Rubén 19Azul... 118Cantos dje vida y esperanza. 282Poema del otoño. 404Prosas profanas. 516E1 canto errante. 860Poemas en prosa. 871Canto a la Argentina. Oda a Mitre. Canto épico a las glorias de Chile. 880Cuentos. 1119Los raros. * DAUDET, Alfonso 738Carta8 desde mi molino. 755Tartarín de Tarascón. 972Recuerdo8 972Recuerdo8 de un hombre homb re de letras. 1347Cuentos del lunes.' * 1416Fulanito. * D’AUREVILLY, J. Barbey Bar bey 968E1 caballero Des Tou ches. DÁVALOS, Juan Carlos 617Cuentos y relatos del Norte argentino. DAVIDNEEL, Alejandra 1404Místicos y magos del Tí bet. * DEFOE, Daniel 1292 12 92Ave Aven n turas de Robinsón Robinsó n Crusoe. * 1298Nuev 1298Nuevas as aven turas de Robinsón Crusoe. * DELEDDA, Graada 571Cósima. DE LF IN O, Augusto Mario 463Fin de siglo. DELGADO, J. M. 563Juan María. * DEMAISO N, André André 262E1 libro de los animales llamados salvajes. DEMÓSTENES 1392Antología de discursos.
DESCARTES, René 6Discurso 6Discurso del método. M editaciones metafísicas. DÍAZCAÑABATE, Antonio 717Historia de una taberna. %' i D Í A Z D E G U Z M Á N , R uy uy 519La Argentina. * D ÍA Z DEL CASTILLO, CASTILLO, Bern Bernal al 1274Historia verdadera de la conquista de la Nueva España. * DÍA ZP LA JA , Guil Guilllermo ermo 297Hacia un concepto de la literatura literatur a española. española. 1147Introducción al estudio del romanticismo español. * 1221Federico García Lorca.* DICKENS, Carlos 13E1 grillo del hogar. 658E1 reloj del señor Hum phrey. > 717Cuentos de Navidad. * 772Cuentos de Boz. DICKSON, C. 757Murió como.una dama. * DIDEROT, D. , 1112Vida de Séneca. * DIEGO, Gerardo 219Primera antología de sus versos. (19181941.) 1394Segunda 1394Segunda antología antolo gía de sus versos. (19411967.) * DIEHL, Carlos 1309TJna república de patricios: Venecia. * 1324Grand 1324Grandeza eza y serv idum bre de Bizancio. * D INI Z, Julio ulio 732La mayorazguita de Los Cañaverales. * DONOSO, Armando 376Algunos cuentos chilenos. (Antología de cuentistas chilenos.) DONOSO CORTÉS, Juan 864Ensayo sobre el catolicismo, el liberalismo y el socialismo. • D ’ORS, Eugenio Eugenio 465E1 valle de Josafat. DOSTOYEVSKJ, Fedor 167Stepantchikovo. 267E1 jugador. 322Noches blancas. El diario de Raskólnikov. 1059E1 ladrón honrado. 1093Nietochka Nezvanova. 1254Una 1254Una histo ria mo lesta . Corazón débil, j 1262Diario de un escritor. * DROZ, Gustavo 979Tristezas y sonrisas. DUHAMEL, Georges 928Confesión de medianoche.
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DE
A U T O RE S
DUM AS , Alej Alejand andro ro FLORO, Lucio Anneo ESQUILO 882Tres maestros: Miguel 224La Orestiada. Prometeo 1115Gestas 1115Gestas romanas. rom anas. Ángel, Ticiano, Rafael. FORNER, Juan Pablo encadenado. D UN CAN, Davi David d ESTÉBANEZ CALDERÓN, S. 1122Exequias de la lengua 887La hora ein la sombra. castellana. 1 188Esce 188Escenas nas andaluza andaluzas. s. EQA DE QUEIROZ, J. M. FÓSCOLO, Hugo EURÍPIDES 898Tjdtimas cartas de Jaco 209La ilustre casa de Rami 432Alcestis. Las bacantes. res * E l cíclope. cíclope. , bo Ortiz. 623Electra. Ifigenia enlTáu FO UIL LÉ E, Alfred ECKERMANN, J. P. Alfredo o 973Conversaciones con Goeride. Las troyanas. troyanas. , 846Aristóteles y su polémithe. ca contra Platón. 653Orestes. Medea. Anaró ECHAGÜE, Juan Pablo maca. FOURNIER D’ALBE, y JONES, T. W . 453Tradiciones, leyendas y EYZAGUIRRE, Jaime 641Ventura de Ped ro de 663Efestos. 663Efestos. Qu o va dimus. dimus. cuentos argentinos. Valdivia. Kermes. 1005La tierra del hambre. FALLA, Manuel de FRANKLIN, Benjamín EHINGE R, H. H. 950Escritos Sobre música y 1092Clásicos de la música. 171E1 Ubro del hombre de bien. EICH END OR FF, José osé de de músicos. 926Episodios de una vida FARMER, Laurcnce, y HEX FRAY MOCHO < tunante. 'l'ER, George J. 1103Tierra de matreros. ELIOT, George 1137¿Cuál es su alergia? FROMENT1N, Eugenio 949Silas Marner. * FAULKNER, W. 1234Domingo. * 493Santuario. EL.VAS, Fidalgo de FÜLÓPMILLER, René 1099Expedición 1099Expedición de de Hernand Hern ando o FERNÁN CABALLERO 548Tres episodios de una 56La famiba de Alvareda. vida. de Soto a Florida. 364La gaviota. * 840Teresa 840Teresa de Ávil a, la santa santa EMERSON, R. W. FERNÁNDEZ DE VELASCO del éxtasis. 1032Ensayos escogidos. ENCINA, Juan de la V PIMENTEL, B. 930Francisco, el santo del 1266Van Gogh. * 662Deleite de la discreción. amor. 1371Goya en zigzag. 1041jCanta, 41jCanta, muchacha, muchacha , canta! Fácil escuela de la agu- 10 deza. EPICTETO, TEOFRASTO, 1265Agustín, el santo del inFERNÁND EZ F LÓ R E Z, CEBES telecto. Ignacio, el santo 733Enquiridión o máximas. Wenceslao de la voluntad de poder. Caracteres morales. La 145Las gafas del diablo. 1373E1 gran oso. * 225La novela número 13. * 1412Antonio, el santo de la tabla de Cebes.; •renunciación. ERASMO, Desiderio 263Las siete columnas. * 682Coloquios. * 284E1 secreto de Barba G A B R I E L Y G A L Á N , J o s é 1179Elogio de la locura. Azul. * María ER CILLA, Alonso Alonso'd 'de e 325E1 hombre que compró 808Castellanas. Nuevas castellanas. Extremeñas. * 722La Araucana. un automóvil. 1342 * Im pre sio n¿ s de un G A IB IB R O I S D E B A L L E S ERCKMANNCHÁTRIAN TEROS, Mercedes 486Cuentos de orillas del hombre de buena fe. Rhin. 1 1411María de Molina. Tres (19141919.) * 1343 43 * * Im pre sio ne s de un veces reina. * , 912 912Hist Historia oria de un quinto de 13 Manuel 1813. hombre de buena fe. CÁL VE Z, Manuel 355Elgaucho deLosCerrillos. 945Waterloo. * (19201936.) ♦ 433E1 mal metafísico. * 1413E1 141 3E1 amigo Fritz. Frit z. • 1356E1 bosque animado. * 1010Tiempo de odio y angus1363E1 malvado Carabel. * ESPINA, Antonio tia. * 174Luis Candelas, el bandi- FERNÁNDEZ MORENO, B. 204Antología 19151947. * 1064Han tocado a degüello. do de Madrid. (18401842.) * 290Ganivet. El hombre y la FIGUEIREDO, Fidelino de obra. 692La lucha por la expresión. 1144Bajo la garra anglo 741Bajo 741 Bajo las cenizas cenizas del tedio. francesa. * ESPINA, Concha 1131La niña de Luzmela. 850*Historia literaria de 1205Y así cayó don Juan Portugal. (Introducción Manuel... 18501852. * 1158La rosa de los vienhistórica. La lengua y GALLEGOS, Rómulo tos. * 168Doña Bárbara. * literatura portuguesas. 1196Altar mayor. * 1230La esfinge maragata. * Era medieval: De los los 192Cantaclaro. * ESPINOSA, Aurelio M. orígenes a 1502.) 213Canaima. * 585Cuentos populares de 861**Historia literaria de 244Reinaldo 3 ° l ar* * España. * Portugal. (Era clásica: 307Pobre negro. ESPINOSA (hijo), Aurelio M. 338La trepadora. * 15021825.) * 645Cuentos populares de 878***Historia literaria de 425Sobre la misma tierra. * Castilla. Portugal. (Era románti- 851 851La La rebelión y otros otros cuenESP RO NCE DA, José de de ca: 1825actualidad.) tos. 917Poesías líyicas. El estu- FLAUBERT, Gustavo 902Cuentos venezolanos. diante de Salamanca. 1259Tres cuentos» i 1101-E1 for^sterQ, * *
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ÍNDICE DE AUTORES
5ANIVET, Ángel
126Cartas finlandesas. Hombres del Norte. 139Ideárium 139Ideárium español. El porvenir de España. GARCÍA DE LA HUERTA, Vicente 684Raquel. Agamenón ven ado. A GÓMEZ, Emilio 162Poemas arabigoandalu ces. 513Cinco poetas musulmanes. * 1220Silla del Moro. Nuevas escenas andaluzas. SARCIA ICAZBALCETA, J. 1106Fray Juan de Zumó rraga. * GARCÍA GARCÍA M ER CAD AL, J. 1180Estudiantes, sopistas y picaros. * SARCIA MORENTE, Manuel 1302Idea de la hispanidad. * GARCIASOL, Ramón de 1430Apelación al tiempo. SAR CIA Y B ELL IDO , Anto Antoni nio o 515España y los españoles hace dos mil años, según la geografía de Strabon.* 744La España del siglo i de nuestra era, según según P. Me la y C. Plinio. * 1375Veinticinco estampas de la España antigua. * GARIN, Nicolás 708La primavera de la vida. 719Los colegiales. 749Los estudiantes. 883Los ingenieros. * GASKELL, Isabel C. 935Mi prima Filis. 1053María Barton. * 1086Cranford. * GAUTIER, Teófilo 1425La novela de una momia. JAYA ÑUÑO, Juan Antonio 1377E1 santero de San Sa turio. JELIO, Aulo 1128Noches 1128Noches óticas. (Sel ección.) GÉRARD, Julio 367El matador de leones. GEBBON, Edward 915Autobiografía. HL, Martín 447Una novena en la sierra. GIRAUDOUX, Jean I267La escuela de los indiferentes. 1395Simón el patético. iOBINEAU, Conde de 893La danzarina de Sha xnakha xnakha y otras novelas nove las asiáticas.
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IQ36-E1 {len^ciraien^o. *
GOETHE, J. J. W . GONZÁLEZ DE MENDOZA, 60Las afinidades electi- P ., ., y P É R E Z D E A Y A L A , M . vas. * 689E1 Concilio de Trento. 449Las cuitas de Werther. G O N Z Á L E Z M A R T Í N E Z , E n 608Fausto. rique 752Egmont. 333Antología poética. 1023Hermann y Dorotea. GONZÁLEZ OBREGÓ¡N, L. 1038Memorias de mi niñez. * 494México viejo vi ejo y anecdótico. 1055Memorias de la Univer- GO NZÁL EZRUA NO , Cé César 1285Baudelaire. * sidad. * 1076Memorias del joven es- GORKI, Máximo critor. * 1364Varenka Olesova. Malva 1096Campaña de Francia. y otros cuentos. cuento s. ■* Cercó de Maguncia. * GOSS, Madeleine GOGOL, Nicolás Nicolás 587Sinfonía inconclusa. La 173Tarás Bulba. Nochehistoria de Franz Schu buena. bert. * . 746Cuentos ucranios. GOSS, Madeleine, y HAVEN 907 90 7E1 E1 retrato, retra to, y otros cuen- SCH AUF FLE R, Robe Robert rt ‘ tos. 670Brahms. Un maestro en GOLDONI, Carlos la música. * 1025La posadera. GOSSE, Philip GOLDSMITH, Oliverio 795Los corsarios corsarios berberiscos berbe riscos.. 869E 86 9E1 1 vicario de Wake Wa kefie field. ld. * Los piratas del Norte. GOMES DE BRITO, Bernardo Historia de la piratería. 825Historia trágicomaríti- 814Los 814Los piratas del Oeste. ma. * Los piratas de Oriente.* G Ó M E Z D E A V E L L A N E D A , GRACIÁN, Baltasar Gertrudis 49E1 héroe. El discreto. 498 49 8Anto Anto logía. (Poe sías y 258Agudeza y arte de ingecartas amorosas.) nio. I* GÓMEZ DE LA SERNA, Ra- 400El Criticón. * món | GRANADA, Fray Luis de 14La mujer de ámbar. 642Introducción 642Introducción del símbolo sím bolo 143Greguerías. Selección de la fe. * 19101960. 1139Vida 1139Vida del venerable venerab le maesma es308Los muertos y las muertro Juan de Ávila. tas. * GU ÉR AR D, Alber Alberto to 427Don Ramón María del 1040Breve historia de FranValleInclán. * cia. GUER RA JUNQUEIRO, JUNQUEIRO, A. 920Goya. * 1213Los simples. 1171Quevedo. * 1212Lope viviente. GUERTSEN, A. I. 1299Piso bajo. 1376¿Quién 1376¿Quién es ctdpable? * 1310Cartas a las golondrinas. GU EV AR A, Anto Antoni nio o de de Cartas a mí mismo. * 242Epístolas familiares. 759Menosprecio de corte y 1321Caprichos. * alabanza de aldea. 1330E1 homb hombre re p e r d i d o . _ 1380Nostalgias de Madrid. * GUICCIARDINI, Francisco 786De la vida política y civil. civil. 1400E1 circo. * GOMPERTZ, M., y MASSIN GUINNARD, A. 191Tres años de esclavitud GHAM, H. J. 529L 529 La a panera de de Eg ipto . entre los patagones. GUNT HER , John John La Edad de Oro. GONCOURT, Edmundo de 1030Muerte, no te enorgullezcas. * 873Los 873Los hermanos Z era eragañgañ o. * GUY, Alain 1427Ortega y Gasset, crítico GONCOURT, E., y J. de de Aristóteles. 853Renata Mauperin. * 916Germinia Lacerteux. * . HARDY, Thomas 25?La bien amada. GÓNGORA, Luis de 75Antolo 5An tología. gía. 1432Lejos del mundanal ruiG O N Z Á L E Z £ E C L AV A V IJ IJ O , do. * HATCH, Alden, y WALSKE, 4 Ku7 1104Relación
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ÍNDICE DE AUTORE S
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I I D
E ü
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HAVEN SCHAUFFLER, Ro HUDS ON, G. E. JONES, V. W., y FOURNIER bcrt, y GOSS, Madeleine I182 I182E E1 1 ombú omb ú y otros cuentos D ’ A L B E 670Brahms. Un maestro en 663Hermes. Efestos. Quo rioplatenses. la música. * HU GO , Víct Víctor or vadimus. HA WT HO RN E, Nathan thaniiel 619Hernani. El rey se di- JOVELLANOS 819Cuento 819Cuentoss de la N ue va vierte . 1367Espectáculos y diversioHolanda. 652Literatura y filosofía. nes públicas. El castillo 1082La letra roja. * 673Cromwell. * de Bellver. H E A R D E R , H . , y W A L E Y , 1374BugJargal. * JUAN MANUEL, Infante don D.P. HUMBOLDT, Guillermo de 676E1 conde Lucanor. 1393Breve historia de Italia .* 1012Cuatro ensayos sobre Es- JUNCO, Alfonso HEARN, Lafcadio paña y América. * 159Sangre de Hispania. 217Kyvaidan. HU RE T, Jule ules JUVENAL 1029 10 29E E1 1 rom an ce de la V ía 1075La Argentina. 1344Sátiras. Láctea. IBARBOUROU, Juana de KANT, Emmanuel HE BBE L, C. F. 612Lo bello y lo sublime. 265Poemas. 569Los Nibelimgos. IBSEN, H. La paz perpetua. HEBR EO, León León 193Casa de muñecas. Juan 648Fundamentación de la 704Diálogos de amor. * _ Ga brie br iell Borkm Bo rkman ann, n, me tafísica de las cosHEG EL, G. F. F. ICAZA, Carinen de tumbres. ^ 594De lo bello y sus sus formas.* formas.* 1233Yo, la reina. * KA RR , Alfons Alfonso o 726Sistema 726Sistema de las artes. ( A r- INStJA, Alberto 942La Penélope normanda. quitectura, escultura, 82Un corazón burlado. KELLER, Gottfried pintura y música.) 316 31 6E1 E1 neg ro que ten ía el 383Los tres honrados peine773Poética. * alma blanca. * ros y otras novelas. HEINE, Enrique J 328La sombra de Pe.ter KELLER, Gottfried, y ANÓ184Noches florentinas. Wald. * NIMO 952Cuadros de viaje. * TRIAR TE, Tomás de de 1372Siete leyendas. LeyenHENNINGSEN, C. F. 1247Fábulas Hterarias. das y cuentos del fol730Zumalacáxregui. * IRIBAR RE N, Manu Manuel el klore suizo. HE RC ZE G, Fran Franci cissco 1027E1 príncipe de Viana. * KEYSERLING, Conde de 66La familia Gyurkovics.* IRVING, 'Washington 92La vida íntima. HERNÁNDEZ, José 186Cue 186Cuento ntoss de la Alh am 1351La angustia del mundo. 8Martín Fierro. bra. * KIERKEGAARD, Soren 476La vida de Mahoma. * HE RNÁ ND EZ, Mig Miguel uel 158E1 concepto de la angus908E1 rayo que no cesa. 765Cuentos del antiguo tia. RESSE, Hermann Nueva York. 1132 11 32 Dia rio de un seductor. 925Gertrudis. ISAACS, Jorge KINGSTON, KINGSTON, W . H. G. 1151A una hora de media- 913TMaría. * 375A 375A lo largo del Amazon as.* ISÓ ISÓ GRATES 1 474Salvado del mar. * noche. 412Discursos históricopolí KIPL ING, Rudya Rudyard rd HESSEN, J. 107Teoría del conocimiento. cos. 821Capitanés valientes. * KIRKPATRICK, F. A. H E U R T L E Y , W . A . , D A R B Y , JACOT, Luís 130Los conquistadores espaH. C., CRAWLEY., C. W., y 1167E1 Universo y la Tierra. 1189Materia y vida. * WOODHOUSE, C. M. ñoles. * 6Ei1 m un do de l pe ns a KITCHE N, Fred 1417Breve historia de Grecia. 1216E Fred 831A la par de nuestro herHEXTER, George J., y FAR miento, mano el buey. * ME R, Lauren Laurence ce JAMESON, Egon 93De la nada a millona- KL EIS T, Heinric Heinrich h yon 1137¿Cuál es su alergia? HEY SE, Paul Paul rios. 865Michael Kohlhaas. ' 982E1 982 E1 camino de la felicidad. felicid ad. JAMMES, Francia KOESSLER, Berta 9Rosario al Sol. 1208Cuentan los araucanos... HOFFMANN 894Los Robinsónes vascos. KO ROL ENKO , Vlad Vladim imir iro o 863Cuentos. * JANINA, Condesa Olga 1133 113 3 E1 día del juicio. Novelas. Novel as. HOMERO 782Los recuerdos de una co- KOTZEBUE, Augusto de 1004Odisea. * saca. 572De Berlín a París en 1207Ilíada. * JENOFONTE 1804. * HORACIO 79La expedición de los diez K S C H R M I S V A R A , y L I 643Odas. HO RIA , Vint Vintil ila a 1 mil (Anábasis). IISINGTAO Lidia a R. de de 215La ira de Caúsica. El 1424Dios ha nacido en el exi- JU E NA SÁNCH EZ, Lidi lio. * 1114Poesía popular y tradicírculo de tiza. cional americana. americ ana. L* KUPRIN, Alejandro HO W IE, Edit Edith h JOKAI, Mauricio 1164E1 regreso do Ñola. 1389E1 brazalete de rubíes y 1366La casa de piedra. 919La rosa amarilla. I otras novelas y cuentos.* IIUAR TE , Jua Juan JOLY, Henri LABIN, Eduardo 599Examen de ingenios 812Obras clásicas de la filo- 575La liberación de la ener£>ara las ciencias. * sofía. * gía atómica. .
ÍN D I C E D E A U T O R E S
LA CONDAMINE, Carlos María de 268Viaje a la América meridional. LAERCIO, Diógenes 879*V idas de loa loa filósofos más ilustres. 936**Vidas de los filósofos más ilustres. 97 8* ** Vidas Vida s de los los filósof filósofos os más ilustres. LA FAYETTE, Madame de 976L.a princesa de Cléves. C A Í N E N T R A jLGO, Pedro 784La generación del 98. *' 911Dos biólogos: Claudio Bernard y Ramón y Cajal. 1077Menéndez Pelayo. * 1279La aventura de leer. * LA M AR TIN E, Alfon Alfonso so dé dé 858GrazieIla. 922Rafael. 983Jocelyn. * ( 1073Las confidencias. * LAMB, Carlos 675Cuentos basados en el teatro de Shakespeare. * LA PLA CE , P. S. 688Rreve historia de la astronomía. L A R B A U D , Va Va l é r y 40Fermina Márquez. Márquez. L A R O C H E F O U CA U LD , F. de 929Memorias. * L A R R A , Mariano Mariano Jo José de 306Artículos de costumbres. LARRETA, Enrique 74La gloria de don Ramiro. *
85-ccZogoibi».
247Santa 247Santa Mar ía del Buen Airé". Tiempos iluminados. 382La calle de la Vida y de la Muerte. 411Tenía 411Tenía que suce der... Las dos fundaciones de Buenos Aires. 438 43 8E1 E1 linye ra. Pasió n de Roma. 510La que buscaba Don Juan. Á r temía. temía. Disc ursos. 560Jerónimo y su almohada. Notas diversas. 700La naranja. 921Orillas del Ebro. * 1210Tres fiilms. 1270Clamor. 1276E1 Gerardo. * LATORRE, Mariano 680Chile, país de rincones. * LATT TM QRE , Owen y Eleo Eleonor nor 994Breve historia de China. •
LEÓN, Fray Luis de LOZANO, C. 51La perfecta casada. 1228His 1228Historia toriass y leyenda s. 522De ios nombres de Cris- L U C I A N O 1175Diálogos de los dioses. to. * LEÓ N, Ricardo Ricardo Diálogos de los muertos. 370Jauja. LUCRECIO 391 ¡Desperta, ferrol 1403De la naturaleza de las 481Casta de hidalgos. cosas. * 521E1 amor de los amores. * LUGONES, Leopoldo 561 56 1Las La s s iete vidas de Tomá s 200Antología poética. * Portolés.l 232Romancero. LUIS XIV S90E1 hombre nuevo. * 1291AIcalá de ios Zegríes. * 705 Memorias sobre el arte LEOPARDI de gobern gob ernar, ar, i f LU LIO , Raim Raimund undo o ClDiálogos. LERMONTOF, M. L 889Libro del Orden de Ca148Un héroe de nuestro ballería. Príncipes y ju tiempo. LER OU X, Gus Gustó* tó* LUMMIS^ ckrlos F. 293La esposa del Sol. * 514Los exploradores espa378La muñeca sangrienta. ñoles del piglo xvi. * LYTTON, Bulwer 392 39 2 La máquina máquin a de asesinar. asesinar. LEUMANN, Cario» Alberto 136 13 6Lo Loss últim os d ías de 72La vida victoriosa. Pompeya. * LEVENE, Ricardo MA CE ETWANG 303La cultura histórica y el 805Cuentos chinos de trasentimiento de la naciodición antigua. nalidad. * 1214Cuentos humorísticos 702Historia de las ideas soorientales. ciales argentinas. * M A C D O N A L D , P h i li li p , y 1060Las Indias no eran colo- BOYD CORREL, A. nias. 1057La rueda oscura. * LEVTLLIER, Roberto M A CELA CELAD D O, Antonio Anton io 91Estampas virreinales 149Poesías completas. * americanas. MA CH ADO , Manu Manuel el 419Nuevas estampas virrei131Antología. nales: Am or con dolor se M AC H AD O, Manuel Manuel y Antonio Antonio paga. 260La duquesa de de Ben améjí. LÉVIPROVENIAL, E. La prima Fernanda. 1161La civilización árabe en Juan de Manara. * España. 706 Las adelfas. El hombre LI HSINGTAO, y KSCHE que murió en la guerra. MJSVARA 1011La Lola se va a los puer215El círculo de tiza. La ira tos. Desdichas de la forde Caúsica. tuna o Julianillo Valcár LINKLATER, Kric cel. * 631 Mar M aría ía Es tuaxdo. M A C H A D O Y Á ty V A R E Z, LISZT, Frou Antonia 576Chopin. 745Cantes flamencos. LISZT , Franso, y VA G N E R , MACHADO DE ASSÍS, JoaRicardo quina M. 763Correspondencia. 1246Don Casmurro. * LOEBEL, Josef MAETERLINCK, Mauricio 997SaIvadocea de vidas. 385La vida de los termes. LONDON, Joefc 557La vida de las hormi766Colmillo blanco. * gas. LÓPEZ LBOJt, Juan Jasé 606La vida de las abejas. * 1034La agonía, del psicoaná- MAEZXU, María de lisis. 330Antología. 330Antología. Siglo x x . LO TA KANG Prosistas españoles. * 787Antología de cuentistas HAEZTU, Ramiro de chinos. 31Don Quijote, Don Juan LOTJ, Picrre y La Celestina. 1198Ramuncho. * 777España y Europa. LOWES DICKINSON, G. MAGDALEÑO, Mauricio 6 8 5 U n « b a n q u e t e » m o - 844La tierra grande. * derno. 931E1 resplandor. *
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ME LVIL LE , Hermán Hermán M AR E CH AL, Leop Leopol oldo do MAISTRE, Javier de 953Taipi. * ! 962Viaje alrededor de mi 941Antología poética. MÉNDEZ PEREIRA, O. cuarto. La joven sibe- M AR ÍAS , Juli Juliá án 166Núñez de Balboa. El te804Filosofía española acriana. soro del Dabaibe. tual. MAISTRE, José de 991Migucl de Unamuno. * M E N É N D E Z P E L A Y O , M . 345Las veladas de San Pe 251San 251San Isidoro, Cervantes y 1071E1 tema del hombre. * tersburgo. * otros estudios. M AL LE A, Edua Eduard rdo o 1206Aquí y ahora. 102Historia de una pasión 1410E1 oficio del pensa- 350Poetas de la corte de don Juan II. * miento. * argentina. 597E1 abate Marchena. Antoni nio o 202Cuentos para una ingle- M AR I CHA LAR, Anto sa desesperada. 78Riesgo y ventura del du- 691La Celestina. * 715Historia de la poesía ar402Rodeada está de sueño. que de Osuna. gentina. M AR ÍN, Juan Juan 502Todo verdor perecerá. 820Las cien mejores poesías 1090LaoTsze o El universis 602E1 retorno. líricas de la lengua casmo mágico. MANACORDA, Telmo tellana. * 613Fructuoso Rivera. 1165Confucio o El humanis MENÉNDEZ PIDAL, Ramón M ANR IQUE , Góm Gómez !i mo drdact drd actiza izante nte.. 1188Buda o La negación del 28Estudios litferarios. * 665Regimien.to de príncipes 55Los romances de Amériy otras obras. mundo. * ca y otros estudios. M ANR IQU E, Jor Jorge MARMIER, Javier 100Flor nueva de romances 592A través de los ^trópi135Obra completa. viejos. * MA NSILL A, Luci Lucio o V. cos. * 110Antología de prosistas 113Una excursión a los in- M ÁR MO L, José ¡ 1018Amalia. * españoles. * dios ranqueles. * 120De Cervantes y Lope de MANTOVANI, Juan MAR QUEN A, Eduard Eduardo o Vega. 967Adolescencia. Forma- 1140En Flandes se ha puesción y cultura. 172Idea imperial de Carto el sol. Las hijas del los V. MANZONI, Alejandro Cid.* 943E1 943 E1 conde conde de Carmagno Car magnola. la. MARRYAT, Federico 190Poesía árabe y poesía europea. * M A Ñ A CA CAI, Jorge Jorge 956Los cautivos del bos250E1 idioma español en sus 252Martí, el apóstol. * que. * primeros tiempos. MAQ UIAVELO, N. M AR TÍ, José 280La lengua de Cristóbal 69E1 príncipe. (Comentado 1163Páginas escogidas. * Colón. p o r N a p o l e ó n B o n a MARTÍNEZ SIERRA, Grego300Poesía juglaresca y juparte.) I rio glares. * MARAGALL, Juan 1190Canción de cuna. 501Castilla. La tradición, el 998Elogios. 1231Tú eres la paz. *_ idioma. * M AR AÑÓ N, Greg Gregor orio io 1245E1 amor catedrático. 62E1 condeduque de Oli- M A S S I N G H A M , H . ' J . , y 800Tres poetas primitivos. 1000E1 Cid Campeador. * v a re s. * 1 1 GOMPERTZ, M. 129Don Juan. 529La Edad de Oro. La pa- 1051De primitiva lírica española y antigua épica. 140Tiempo viejo y tiempo nera de Egipto. 1110Miscelánea histérico nuevo. MAURA, Antonio literaria. 231Discursos conmemorati185Vida e historia. 1260Los españoles en la his196Ensayo biológico sobre vos. toria. * Enrique IV de Castilla MAURA GAMAZO, Gabriel 1268Los Reyes Católicos y y su tiempo. ' 240Rincones de la histOr otros estudios. 360E1 «Empecinado» visto ria. * 1271Los españoles en la liteMAUROIS, André por un inglés. ratura. 408Amiel. * 2Disraeli. * 600Ensayos liberales. 750Diario. (Estados Unidos, 1275Los godos y la epopeya española. * 661Vocación y ética y otros 1946.) j 1 1énsayos. énsayos. 1204Siempre ocurre lo ines- 1280España, eslabón entre la Cristiandad y el Islam. 710Españoles fuera de Esperado. 1286E1 Padre Las Casas y paña. I 1255En busca de Marcel Vitoria, con otros te1111Raíz 1111Raíz y decoro de España. Proust. * mas de los siglos xvi y 1201La medicina y nuestro 1261La comida bajo los castiempo. X V II. taños. * MARCO AURELIO 1301En torno a la lengua M AY O RA L, Fran Franci cissco 756Soliloquios o reflexiones 897HÍ8toria del sargento vasca. morales. * Mayoral. 1312Estudios de lingüística. MARC O Y, Paul MED RANO, S. W . MENÉNDEZ PIDAL, Ramón 163Viaje por los valles de la 960 960E1 E1 libert lib ertad ador or José de San y otros quina. * Martín. * 1297Seis temas peruanos. MARCU, Valeríu MELEAGRO y otro» MERA, Juan León 530Maquiavelo. * 1332Poetas líricos griegos. 1035Cumandé. 0
ÍN D IC E D E A U T O R E S
MEREJKOVSKY, Dimltri 30Vida de Napoleón. * 737E1 misterio de Alejandro I. * 764E1 fin de Alejandro I. * 884Compañeros eternos. * MÉRIMÉE, Próspero 152Mateo Falcone y otros cuentos. 986La Venus de lile. 1063Crónica dél reinado de Carl Carlos os IX . * 1143Carmen. Doble error. MESA, Enrique de 223Antología poética. MESONERO ROMANOS, Ramón de 283Escenas matritenses. M E U M A N N , E. E. 578Introducción a la estética actual. 778Sistema de estética. MIEL!, Aldo 431Lavoisier y la formación formación de la teoría química moderna. 485Volta y el desarrollo de la electricidad. 1017Breve historia de la biología. MILTON, John 1013E1 paraíso perdido. * M ILI., Stua Stuart rt 83Autobiografía. M IL L A U, Fran Franci cisc sco o 707Descripción 707Descripción de la provin vincia del Rio de la Plat a (1772). DIQ UE LA RE N A, Jacinto 854Don Adolfo, el libertino. libertino. MIR LAS, León León 1227Helen Keller. MIRÓ, Gabriel 1102Glosás de Sigiienza. M ISTR AL , Fede Federi rico co 806Mireya. MISTRAL, Gabriela 503T ernura. 1002Desolación. * MOLI É RE 106Ei ricachón en la corte. El enfermo de apren sión. 948Tartufo. Don Juan o El convidado de piedra. MOLINA, Tirso de 73E1 vergonzoso en palacio. El burlador de Sevilla. * 369La prudencia en la mu je r. E l condenado. conde nado.'' por po r desconfiado. 442La gallega gallega MariHerná n dez. La firmeza firmeza en la hermosura. 1405Los cigarrales de Tole *
MONCADA, Francisco de 405Expedición de los catalanes y aragoneses contra turcos y griegos. MONTAIGNE, Miguel de 903Ensayos escogidos. MO NTE RDE , Fran Franci cisc sco o 870Moctezuma II, señor del Anahuac. MO NTESQ UIEU, Barón Barón de de 253Grandeza y decadencia de los romanos. 862Ensayo sobre el gusto. MOORE, Tomás 1015E1 epicúreo. M OR AN I>, Paul 16Nueva York. MO RAT ÍN, Leandro Leandro FernánFernández de 335La comedia nueva o El café. El sí de las niñas. MORETO, Agustín 119E1 lindo don Diego. No puede ser el guardar una mujer. MOUREMARIÑO, Luis 1306Fantasías reales. Almas de un protocolo. * MU ÑOZ , Rafael Rafael F. 178Se 178 Se llevaron lleva ron el cañón para Bachimba. 896jVámonos con Pan cho Villa! * M UR RA Y, Gilb ilbert 1185Esquilo. * MUSSET, Alfredo de 492Cuentos: Mirní Pinsón. El lunar. Croisilles. Pedro y Camila. NAPOLEÓN m 798Ideas napoleónicas. NAVARRO Y LEDESMA, F. 401E1 ingenioso hidalgo Miguel de Cervantes Saa vedra. * NER UDA , Ja Jan 397Cuent 397Cuentos os de la M alá NERVAL, Gerardo de 927Silvia. La mano encantada. Noches de octubre. ÑERVO, Amado 32La amada inmóvil. 175Plenitud. 21 ISerenid ISe renidad. ad. 311Elevación. 373Poemas. 434E1 arquero divino. 458Perlas negras. Místicas. NEWTON, Isaac 334Selección. NIET ZSC IIE, Fede Federi rico co 356E1 origen de la tragedia. NODIER, Carlos 933Recuerdos de juventud. NOE L, Eugenio Eugenio 1327España nervio a nervio,*
NOVALIS 1008Enrique de Ofterdingen. NOVAS CALVO, Lino 194 19 4Pe Pedr dro o Blanco, el N e grero. * 573Cayo Canas. NOVO, Salvador 797Nueva grandeza mexicana. NtJÑEZ CABEZA DE VACA, Alvar 304^Naufragios y comentarios. * OBOGADO, Carlos 257Los poemas de Edgar Ifoe. 848Patria. Ausencia. OB LIGA DO , Pedro Pedro Miguel Miguel 1 1176Antología poética. OBLIGADO, Rafael 197Poesías. * OBREGÓN, Antonio de 1194Villon, poeta del viejo París. * O’HENRY 1184Cuentos de Nueva York. 1256E1 alegre mes de mayo y otros cuentos. * OPPENIIEIMER, R., y otros 987Hombre y ciencia. * ORDÓÑE? DE CEBALLOS, Pedro 695Viaje del mundo. * ORTEGA Y GASSET, José 1La rebelión de las masas.* 11E1 tema de nuestro tiempo. 45Notas. 101E1 libro de las misiones. 151Ideas y creencias.* 181Tríptico: Mirabeau o El político. Kant. Goethe. 20 lMocedade lMoc edades. s. 1322Velázquez. * 1328La caza y los toros. 1333Goya. 1338Estudios sobre el amor.* 1345España invertebrada. 1350Meditaciones del Qui jote jo te.. Idea Id eass sobre la no vela. * 1354Meditación 1354Meditación del pu eblo eb lo jove jo ven. n. 1360Meditación de la técnica. 1365En torno a Galileo. * 1370Espíritu de la letra. * 1381 13 81E E1 1 espectador, espectado r, tomo tom o I. * 1390E1 espectador, tomo II. 1407 14 07E E1 1 espectador, tomos I I I y IV. * 1414E1 espectador, tomos V y VI. * 1420 14 20E E1 1 espectador, espectador, tomos V I I y V III. * OSOR OS ORIIO LIZA RA ZO , J. A. 947E1 hombre bajo la tierra. * 1
ÍNDICE DE AUTORES
OVIDIO, Publio 1
ÍNDICE DE AUTORES
1107Sartre y su existenciá lisruo. QU INCE Y, Tomás Tomás de 1169Confesiones de un comedor de opio inglés * 1355E1 asesinato, considerado como una de las bellas artes. El coche correo inglés. QUINTANA, Manuel José 388Vida de Francisco Piza rro. 826Vidas de españoles célebres: El Cid. Guzmán el Bueno. Roger de Lauria. 1352Vidas de españoles célebres: E l príncipe ,de Via Vi a na. Gonzalo de Córdoba. RACEME, Juan 839Athalia. 839Athalia. A ndrómaca. RADA Y DELGADO, Juan de Dios de la 281Mujeres célebres de España y Portugal. (Primera selección.) 292Mujeres célebres de España y Portugal. Portugal. (Segu nda selección.) RAINIER, P. W. 724África del recuerdo. * R A M Í R E Z C A B A ÑA Ñ A S , J. 358Antología de cuentos mexicanos. RAM ÓN Y CAJAL, Sant Santia iago go 90Mi infancia y juventud. * 187Charlas de café. * 214E1 mundo visto a los ochenta años, * 227Los tónicos de la voluntad. * 241Cuentos de vacaciones.* 1200La psicología de los artistas. RAM OS, Samu Samuel el 974Filosofía de la vida artística. 1080E1 perfil del hombre y la cultura en México. RANDOLPH, Marión 817La mujer que amaba las lilas. 837E1 buscador de su muer te. * RAVA GE, M. E. E. 489Ci 489Cinco nco hombres de Fran cfort. * REGA MOLINA, Horacio 1186 11 86Anto Antolog logía ía poética. poética. REID, Mayue 317Los tiradores de rifle. * REISNER, May 664La casa de telarañas. * RENARD, Jules 1083Diario. RENOUVIER, Charles 932Deecarteg?
REY PASTOR, Julio 301La ciencia y la técnica en el descubrimiento de América. REYES, Alfonso 901Tertulia de Madrid. 954Cuatro ingenios. 1020Trazos de historia literaria. 1054Medallones. RE Y LES, Carlos Carlos 88Ei gaucho Florido. 208E1 embrujo de Sevilla. REYNOLDS LONG, Amelia 718La sinfonía del crimen. 977Crimen en tres tiempos. 1187E1 manuscrito de Poe. 1353Una vez absuelto... * RIB AD EN E YR A, Pedr Pedro o de 634Vida de Ignacio de Lo yola. * RICKERT, H. 347Cienci 347Ciencia a cultura cu lturall y ciencia ciencia natural. * RIQUER, Martín de 1397Caballeros andantes españoles. RTVAS, Duque de 46Romarices. * 656Sublevación de Nápoles capitaneada por Masa nielo.* 1016Don Alvaro o La fuerza del sino. ROD ENBA CH, Jorge Jorge 829Brujas, la muerta. RODEZNO, Conde de 841 84 1Ca Carl rlos os V II , duq ue de Madrid. RODÓ, José Enrique 866Ariel. ROJAS, Fernando de 195La Celestina. ROJAS, Francisco de 104Del rey abajo, ninguno. Entre bobos anda el juego ju ego.. ROM ANONE S, Cond Conde e de 770Doña María Cristina de Habsburgo y Lorena. 1316Salamanca. Conquistador de riqueza, gran señor. 1348Amadeo de Saboya. * ROMERO, Francisco 940E1 hombre y la cultura. ROMERO, José Luis 1117De Herodoto a Polibio. 1 ROSENKRANTZ, Palle 534Los gentileshombres de Lindenborg. * ROSTAND, Edmundo 1116Cyrano de Bergerac. * ROUSSELET, Luis 327Viaje a la India de los jnahara jna harajahs jahs..
ROUSSELOT, Xavier 965San Alberto, Santo Tomás y San Buenaventura. RUEDA, Lope de 479Eufemia. Armelina. El deleitoso. RUIZ DE ABARCÓN, Juan 68La verdad sospechosa. Los pechos pechos privilegiados. p rivilegiados. RUIZ GUIÑAZÚ, Enrique 1155La tradición de América. * RUSKIN, John 958Sésamo y lirios. RUS SEL L, Bert Bertra rand nd 23La conquista de la felicidad. 1387Ensayos 6obre educación. * RUSSELL WALLACE, A. de 313Viaje al archipiélago archipiélago mama layo. SÁE NZ H A YES, Ric Ricar ardo do 329De 329De la amistad en la vid a y en los libros. SAFO y otros 1332Poetas líricos griegos. SAID ARMESTO, Víctor 562La leyenda de Don Jua n.* SAINTFIERRE, Beraardino de 393Pablo y Virginia. SA INTE BEU VE , Carlo Carloss de de 1045Retratos contemporáneos. 1069Voluptuosidad. * 1109Retratos de mujeres. SA INZ DE ROB LES, F. C. — 114E1 E1 «o tr o» Lope de Veg a. 1334Fabulario español. SALINAS, Pedro 1154Poemas escogidos. SALOMÓN 464E1 Cantar de los Cantares. res. (Versión de fray Lu is de León.) SAL TEN , Félix Félix 363Los hijos de Bambi. 371Bambi. (Historia de una vida del bosque.) 395Renni, «el salvador». * SALUSTIO, Cayo 366La conjuración de Cati lina. La guerra de Ju gurta. SAMÁ NIEGO Féli Félix x María 632Fábulas. i SAN AGUSTÍN 559Ideario. * 1199Confesiones. * SAN FRANCISCO DE ASÍS 468Las florecillas. El cántico del Stijl. * SAN FRANCI FRANCISCO SCO DE CA PU A 678Vida de Santa Catalina de Sienát *
ÍNDICE DE AUTORES
452Las alegres comadres de SOFOVICH, Luisa SAN JUAN DE LA 1CHUZ 326Obras escogidas. Windsor. La comedia de 1162Biografía de la Gioconda. SÁN CH EZSÁ EZ, Bra Brauli ulio las equivocaciones. SOLALINDE, Antonio G. 596Primera antología de 488Los dos hidalgos de Ve 154Cien romances escogicuentos brasileños. * rona. Sueño de una nodos. SAND, George che de San Juan. 169Antología de Alfonso X 959Juan de la Roca. Roca . • 635A buen fin no hay mal el Sabio. * SANDERS, George principi principio. o. Tra bajo s de SOLÍS, Antonio 657Crimen en mis manos. * amor perdidos. * 699Historia de la conquista 736Coriolano. SANTA CRUZ DE DUEÑAS, de Méjico. * 769 76 9E1 E1 cuento de invierno. inviern o. Melchor de SOLOGUB, Fedor 672Floresta española. 792Cimbelino. 1428E1 trasgo. 828Julio César. Pequeños SANTA MARINA, Luya SOPEÑA, Federico 157Cisneros. poemas. 1217Vida 1217Vida y obra de Fr an z SANTA TERESA DE JESÚS 872A vuestro gusto. Liszt. 86Las moradas. 1385E1 rey Ricardo II. La 372Su vida. * vida y la muerte del rey SOREL, Cecilia ' Juan. 1192Las bellas horas de mi 636Camino de perfección. vida. * 999Libr 999 Libro o de las .fun dacioda cio- 1398La tragedia de RicarSOU BR IER , Jacqu Jacqueá eá do III . Enriq Enr ique ue V II I o nes. * SANTILLANA, Marqués de Todo es verdad. * 867Monjes y bandidos. • 552Obras. 1406La primera parte del rey SOU VIRON , José José María SANTO TOMÁS DE AQUINO Enrique IV. La segunda 1178La luz no está lejos. * p a r t e d e l r e y E n r i - SPENGLER, O. 310Suma teológica. (Selección.) i 721E1 hombre y la técnica que IV. * SANTO TOMÁS MORO 1419La vida del rey Enriy otros ensayos. 1153Utopía. que V. Pericles, príncipe 1323Años decisivos. * SANZ EGAÑA, Cesáreo SPIN ELL I, Marcos Marcos de Tiro. * 1283Kistoria y bravura del SIIAW, Bernard 834Misión sin gloria. * toro de lidia. * 615E1 615 E1 carro carr o de las manzanas. manz anas. SPRAN GER , Eduardo Eduardo SARMIENTO, Domingo F. 824 82 4** Cultu ra y educación. 630Héroes. Cándida. 1058Facundo. * 640Matrimonio desigual. * (Par te histórica histórica.) .) SCOTT, Walter SITE SITEEN, EN , Monseñor Fulton J. 876**Cultura y educación. 466E1 pirata. ^ 1304E1 comunismo y la con(Parte temática.) temática.) 877Ei anticuario. * ciencia occidental. * STAÉL, Madame de 1232Diario. SH ELL EY, Perc Percy y B. 616Reflexiones sobre la paz. SCHIAPARELLI, Juan V. 655 55Alem Alem ania. an ia. 1224Adonais y otros poemas 526Lá astronomía en el Anbreves. 742Diez años de destieSIBIR IAK , Mamin Mamin | tiguo Testamento. rro. * SCHILLER, J. C. F. 739Los millones. * STARK, L. M., PRICE, PRICE, G. A , 237La educación estética del SEENKXEWICZ, Enrique EULL, A. V., y otros hombre. 767Narraciones. * 944Ciencia y civilización. * SCHLESINGER, E. C. 845En vano. STARKJE, Walter 955La zarza ardiente. * 886Hania. Orso. El manan- 1362Aventuras de un irlandés SCHMIDL, Ulrico tial. en España. * 424Derrotero y viaje a Es- S I G Ü E N Z A Y G Ó N G O R A , STENDHAL paña y las Indias. Carlos/ de 10Armancia. 1033Infortunios de Alonso SCHULTEN, Adolf 789Victoria Accoramboni, 1329Los cántabros y astu Ramírez. duquesa de Bracciano. res y su guerra con SILIÓ, César 815*Historia de la pintura Roma. * ] 64Don Á1varo var o de Lu na y en Italia. (Escuela floSEIFERT, Adele su tiempo. * rentina. Renacimiento. 1379Sombras en la noche. * SELVA, José Asunción De Giotto a Leonardo. SÉNECA 827Poesías. Vida de Leonardo de 389Tratados morales. SILVA VALDÉS, Fernán Vinci.) SHAKE SPEARE, Willi William am i 538Cuentos del Uruguay. * 855**Historia de la pintura 27Hamlet. SIMMEL, Georges en Italia. (De la belleza 54E1 rey Lear. 38Cultura 38Cultura femenina y otros ideal en la antigüedad. 87Otelo, el moro de Vene ensayos. Del bello ideal moderno. cia. La tragedia de Ro- S I M Ó N I D E S D E C EO EO S y Vida de Miguel Ángel.) * meo y Julieta. otros 909Vida de Rossini. Rossin i. i 109E1 mercader de Vene 1332Poetas líricos griegos. 1 15 15 2 2 V id id a d e N a p o l e ó n . cia. La tragedia.de Mác SLOC UM, Joshua Joshua (Fragmentos.) * beth. 532A bordo del «Spray». * 1248Diarió. 116La tempestad. La doma SÓFOCLES STERPSE, Laurence de la bravia. 835Ayante. 835Ayante. Electra. Las tra 332Viaje sentimental por 127Antonio y Cleopatra. quinianas. Francia e Italia. i
ÍNDICE DE AUTORES
STEVENSON, Robert L. 7La isla del tesoro. 342Aventuras 342Aventuras de David Bal four. * 566La flecha negra. * 627Cuentos de los mares del Su.r. 666A través de las praderas. 776E1 extraño caso del doct o r J e k y l l y m í st st e r Hyde. Olalla. 1118E1 príncipe Otón. * 1146E1 muerto vivo. * 1222E1 tesoro de Franchard. Las desventuras de John Nicholson. STO KO WS KI, Leop Leopol oldo do 591Música para todos nosotros. * STONE, I. P. de 1235Burbank, el mago de las plantas. STORM, Theodor 856E1 856 E1 lago de Imm en. i STORNI, Alfonsina 142Antología poética. STRINDBERG, Augusto 161E1 viaje de Pedro el Afortunado. ' SUÁREZ, S. J., Francisco 381Introducción a la metafísica. * 1209Investigaciones metafísicas. * 1273Guerra. Intervención. Paz internacional. * SWIFT, Jonatán 235Viajes de Gulliver. * SYLVESTER, E. 483Sobre la índole del hombre. 934Yo, tú y el mundo. TÁCITO 446Los Anales: AugustoTiberio. * 462Historia8. * 1085Los Anales: ClaudioNe rón. * TAINE, Hipólito A. 115* 115 * Filosofía del arte. 448Viaje a los Pirineos. * 505**FiIosofía del arte. * 1177Notas sobre París. * TALB OT, Ilake Ilake 690A1 borde del abismo. * TAM A YO Y BAUS, M. 545La locura de amor. Un drama nuevo. * TASSO, Torcuato Torcuato 966Noches. TEJA ZABRE, A. 553Morelos. * TELEKI, José 1026La corte de Luis XV. TEÓCRITO y otros 1332Poetas líricos griegos.
TEOFRASTO, EPICTETO, CEBES 733Caracteres morales. En quiridión o máximas. La tabla de Cebes. TERENCIO AFER, Publio 729La Andriana. La suegra. El atormentador de sí mismo. 743Los hermanos. El eunuco. Formión. TERTULIANO, Q. S. 768Apología contra los gentiles. THACKERAY, W. M. 542Catálifaa. 1098E1 viudo Lovel. 1218Compañeros del homb re . * TBTER RY, Agustín Agustín 589Relatos de los tiempos merovingios. * THO REA U, Henr Henry y D. 904Waldjen o Mi vida entre bosques y lagunas. * TICKNOR, Jorge 1089Diario. TIEGHEM, Paul van 1047Compendio de historia literaria de Europa. .* TIMONEDA, Juan 1129E1 patrañuelo. TIRTEO y otros 1332Poetas líricos griegos. TOEPFFER, R. 779La biblioteca de mi tío. TOLSTOI, León 554Los cosacos. 586Sebastopol. TORRES BODET, Jaime 1236Poesías escogidas. TORRES VILLARROEL 822Vida. * TOVAR, Antonio 1272Un libro sobre Platón. TURGU ENEFF , Ivón Ivón 117Relatos/ de un cazador. 134Anuchka. Fausto. 482LÍuvia de primavera. Remanso de paz. * TW AIN, Mark Mark 212Las aventuras de Tom Sawyer. 649E1 hombre que corrompió a una ciudad y otros cuentos. 679Fragmentos del diario de Adán. Diario de Eva. 698Un 698Un reportaje repo rtaje sensacional y otros cuentos. 713Nuevos cuentos. 1049 10 49Tom Tom'' Saw yer, yer , detective. detectiv e. Tom Sawyer, en el extranjero. UNAMUNO, Miguel de 4Del sentimiento trágico de la vida. vida . *
33Vida de Don Quijote y Sancho. * 70Tres novelas ejemplares y un prólogo. 99Niebla. 112Abel Sánchez. 122La 'tía Tula. 141Amor y pedagogía. 160Andanzas y visiones españolas. * 179Paz en la guerra. * 199E1 espejo de la muerte. 221Por tierras de Portugal y de España. 233Contra esto y aquello. 254San Manuel Bueno, mártir y tres historias más. 286Soliloquios y conversaciones. í 299Mi religión y otros ensayos breves. 312La agonía del cristianismo. 323Recuerdos de niñez y de mocedad. 336De mi país. 403En torno al casticismo. 417E1 caballero de la Triste Figura. , { 440La 440La dignidad humana. 478Viejos y jóvenes. 499Almas 499Almas de jóvenes. 570Soledad. 601Antología poética. 647E1 otro. El hermano Juan. * 703Algunas consideraciones sobre la literatura hispanoamericana. 781E1 Cristo de Velázquez. 900Visiones y comentarios. UP DE GRAFF, F. W. 146Cazador 146Cazadores es de cabezas cabeza s del de l Amazonas. * URABAYEN, Félix 1361Bajo los robles navarros. URIBE PIEDRAIIÍTA, César 314Toá. VALDÉS, Juan de 216Diálogo de la lengua. VAL LE, R. H. 477Imaginación de México. VALLEARIZPE, Artemio de 53Cuentos del México antiguo. 340Leyendas 340Leyendas mexican as. 881En México y en otros si glos. 1067Fray Servando. * _ 1278De la Nueva España. VA LLE IN CLÁN, Ramón del 105Tirano Bandjeras. 271Corte de amor. 302Flor de santidad. La media noche. 415Voces de gesta. Cuento de abril.
ÍNDICE DE AUTORAS
430Sonata 430Sonata de prima vera. Sonata de estío. 441Sonata de otoño. Sonata de invierno. 460Los cruzados de lla a Causa. 480E1 resplandor de la ho > gü e ra . 520Gerifaltes de antaño. 555Jardín umbrío. 621Claves líricas. 651Cara de Plata. 667Águila de blasón. 681Romance de lobos. 811La lámpara maravillosa. 1296La corte de los milagros.* milagro s.* 1300Vi 130 0Viva va (m (mii dueñ du eño.1 o.1** i 1307LiUces de bobemia. 1311Baza de espadas. * 1315Tablado de marionetas.* 1320Divinas palabras. 1325Retablo de la avaricia, la lujuria y la muerte. * 133 I L a marquesa marqu esa Rosalinda. 1337Martes de Carnñval. * VAL LER YRAD OT, Ren René 470Madame Pasteur. (Elogio de un librito libr ito,, por Gregorio Marañón.) VAN P£>íE 176La serie sangrienta. VARIOS 319Frases. 1166Relatos diversos de cartas de jesuítas. (1634 1648.) VASCONCELOS, José 802La raza cósmica. * 961La sonata mágica. 1091Filosofía estética. VÁZQUEZ, Francisco 512Jomada de Omagua y Dorado. (Historia de Lope de Aguirre, Aguir re, sus sus crímecrímenes y locuras.) VEGA, El inca Garcilaso de la 324Comentarios reales. (Selección.) VEGA, Garcilaso de la 63Obras. VEGA, Lope Félix de 43Peribáñez y el comendador de Ocaña. La Estrella de Sevilla. * 274Poesías líricas. (Selección.) 294E1 mejor alcalde, el rey. F.uenteovejuna. 354E1 perro del hortelano. El arenal de Sevilla. 422La Dorotea. * 574La dama boba. La niña niña de plata. * 638El caballero de Olmedo. El amor enamorado. 842Arte nuevo de hacer comedias. La discreta enamorada. enamorada. < •.
1225Los melindres de Beli sa. El villano en su rincón. * 1415El sembrar en buena tierra. Quien todo lo quiere. * VEGA, Ventura de la 484E1 hombre de mundo. La muerte de César. * VELA, Fernando • I 98 984 4E E1 grano de pimienta. pimienta. VÉLEZ DE GUEVARA, Luis 975E1 Diablo Cojuelo. VERGA, G. 1244Los Malasangre. * VER LAINE, Paul Paul 1088Fies 1088Fiestas tas galantes. R om anan zas sin palabras. Sensatez. VICO, Giambattista 836Autobiografía. VIGNY, Alfredo de 278Servidumbre y grandeza militar. 748CinqMars. * 1173Stello. * VDLLALÓN, Cristóbal de 246Viaje de Turquía. * 264E 26 4E1 1 crotalón. crota lón. * 1 VILLAURRUTIA, Marqués I de 57Cristina de Suecia. VTLLEBOEUF, André André 1284Serenat 1284Serenat as sin gu ita rra. * VILLIE VILLIERS RS DE LTSLEAD AM , Conde de 833Cuentos crueles. * VIN CI, Leonardo Leonardo de de 35 3Aforism 3Afor ismos. os. 650Tratado de la pintura. * VIRGILIO 203Églogas. Geórgicas. I022La Eneida. * VITORIA, Francisco de 618Relecciones sobre los indios y el derecho de guerra. VIVES, Luis 128Diálogos. 138Instrucción de la mujer cristiana. 272Tratado del alma. * VOSSLER, Carlos 270Algunos caracteres de la cultura española. 455Formas literarias en los pueblos románicos. 511Introducción a la literatura española del Siglo de Oro. 565Fray Luis de León. 624Estampa 624Estampass del mundo románico. 644Jean Racine. 694La Fontaine y sus fábulas.
771Escritores y poetas de España. W AG NER , Ricar Ricardo do 785Epistolario a Ma tilde Wasendonk. 1145La poesía y la música en el drama del futuro. WAGNER, Ricardo, y LISZT, Franz 763Correspondencia. WAKATSUKI, Fukuyiro 103Tradicio 103Tradiciones nes japonesas. W A L E Y , D . P. y H E A R DER, H. 1393Breve historia de Italia. * WALSH, William Thomas 504Isabel la Cruzada. * WALSHE, Seamus, y IIATCII, A l den den 1335Corona de gloria. Vida del papa Pío XII. * WALLON, H. 539Juana de Arco. * WASSERMANN, Jacob 1378¡Háblame del Dalai La mal Faustina. WASSÍLIEW, A. T. 229Ochrana. * WAST, Hugo 80E1 camino de las llamas. WATSON WATT, R. A. 857A través de la casa del tiempo o El viento, la lluvia y seiscientas millas más arriba. WE CHS BER G, Josep oseph h 697Buscando un pájaro azul. * WELLS, H. G. 407La lucha por la vida. * WfflTNEY, Phyllis A. 584E1 rojo es para el asesinato. * WlL .DE , José José Antonio Antonio 457Buenos Aires desde setenta años atrás. WTLDE, Óscar 18E1 ruiseñor y la rosa. 65E1 abanico de lady Win dermere. La importancia de llamarse Ernesto. 604Una mujer sin importancia. Un marido ideal. * 629E1 crítico como artista. Ensayos. * 646Balada de la cárcel de Reading. Poemas. 683E1 fantasma de Canter ville. El crimen de Arturo Savile. WTLSON, Mona 790La reina Isabel. WILSON, Sloan 780Viaje a alguna parte. * W ISEM AN , Card Carden enal al 1028Fabiola. *
Í N D IC IC E D E A U T O R E S 1097**Las novelas de la la qu ieW O O D H O U S E , C . M ., ., H E U R ZAMORA VICENTE, Alonso bra: Bea triz o La vida T L E Y , W . A . , D A R B Y , H . 1061Presencia de los clásicos. apasionada. * 1287Voz de la letra. C., y C RA W LE Y, C. C. W . 1319E1 E1 chiplich andle. (A c 1417Breve historia de Gre- ZO RR ILLA, José ción picaresca.) * 180Don Juan Tenorio. El cia. ZUROV, Leonid W Y N D H A M L E W I S; S; D , B . puñal del godo. 42Carlos de Euxopa, em439Leyendas y tradiciones. 1383E1 cadete. Stefan fan 614Antología de poesías líri- ZW EI G , Ste perador de Ocoiden 273Brasil. * cas. * te. * 541Una partida de ajedrez. "WYSS, Juan Rodolfo 1339 1339E E1 1 zapate ro y el rey. * Una carta. 437E1 Robinsón suizo. * 1346Traidor, 1346Traidor, inconfeso y mármá rYA N E Z, Agus Agustí tín n 1149La curación por el espítir. La calentura. 577Melibea, Isolda y Alda Z U N Z U N E G U I , Juan A nt ritu. Introducción. Mes nt o en tierras cálidas. nio de mer. YEBES, Condesa de 914E1 barco de la muerte. * 1172Nuevos momentos este727Spínola el de las las lanzas y 981La úlcera. • lares de la humanidad. otros retratos históricos. 1084*Las novelas de la quie- 1181La curación por el es pí Ana de Austria, Luisa bra: Ramón o La vida ritu: Mary BakerEddy Sigea. Rosmithal. S. Freud. * baldía. *
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E X P L I C A C I Ó N D E LOS C O L O R E S DE LA ‘‘COLECCIÓN AUSTRAL" Serie AZUL,: Novelas y cuentos en general. Serie VERDE: Ensayos y Filoso Fil osofía fía.. ** Serie ANARANJADA: Biografía^* y vidas novelescas. Serie NKGRÁ: Viajes y reportajes. Serie AMARILLA: •p Libr Libros os polí políti tico coss y docu docum mento entoss de de la épo época. ca. #Serie VIOLETA: Teatro Teat ro y poesía poesía.. 0 * ' Serie GR GRIS: IS: _ Clásicos. Serie ROJA: Novelas policiacas, de aventuras y femeninas. Serie Serie MAR RÓN : 1 Ciencia y técnica. Clásicos de la ciencja. ÚLTIMOS VOLÚMENES EN VENTA 1388. 138 8.— — PLAU TO: An fitrión La comedia de la olla. 1403 14 03.— .— TITO TITO LUCRECIO LUCRECIO CARO: CARO: De la na tur alez a de las cosas. * 1406.—WILLIAM SHAKESPEARE: La primera parte del rey Enrique IV La segunda parte del rey Enrique IV. 1413 14 13..— ERCK MAN NCHATRIAN: El am igo Fritz. Fritz. 1417. 141 7.— — W . A. HEURTLEY, H. C. C. DARBY, C. C. W . C ílA W L E Y y C. M. WOODHOUSE: Breve historia de G f
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1428.— 1428. — FEDOR SOLO GUB: El trasgo . * 1432 14 32..— THOMAS HARDY: L ejos del mu nda nal ruido. * 1436. 14 36.— — JOS OSÉ É LARRÁ Z: ¡Don Q uijancho, maestro! * , 1437. 143 7.— — CARLOS NODIER: NODIER: El Hada de las M iga jas. * 1 1 4 4 1 .— R A MÓ M Ó N GÓ GÓ ME ME Z DE L A S ER E R NA N A : E l t or o r er er o C a ra ra c h o . ----- 144 1443. 3.— — ALFREDO DE VIG NY : Dafnis Chatterton. * 1444 14 44.. — AUGUSTE BAILLY: Mazarino. * 1445. 144 5. — JU AN JACOBO JACOBO ROUS SEAU: Contrato social. 1460 14 60..— JUAN RAMÓN JIMÉNE JIMÉNEZ^ Z^ Segun da an toldjía po ét ic a ( 1 8 9 8 1 9 1 8 ) . * 1 / 1470 14 70..— PEDR PEDRO O LAÍN ENTRALGO: ENTRALGO: Gregorio/ M ara ñó n: 0 Vida, o bra y persona. * 1480. 1480. — JOSÉ JOSÉ CAMÓN AZN AR : E l pas tor Quijótiz. 1481 14 81.. — RAM ÓN DE GARCIASOL: Claves de Esp aña: C e rvantes y el “ Quijote” . * 1494. 149 4.— — JOS OSÉ É CAMÓN AZN AR : Hitler Ariad na Lü tero . '
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Volumen extra. Véase la lista completa en las ú l t i m a s p á g i n a s d el t e x t o
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