Hipotezy wytężenia materiału Hipotezy wytężenia określają stan fizyczny (stan napr ężenia lub odkształcenia), odpowiadający osiągnięciu w danym punkcie ciała granicy niebezpiecznej [1, 5]. Najcz ęściej granicę niebezpieczn ą k określa się jako granicę sprężystości, granicę plastyczności i wytrzymałość doraźną w odniesieniu do napr ężeń, graniczne odkształcenie przy zarysowaniu betonu lub odkształcenie plastyczne dla stali. Granic ę niebezpieczn ą określa się na ogół za pomocą badań laboratoryjnych, np. jednoosiowe rozci ąganie próbki stalowej, jednoosiowe rozciąganie próbki stalowej, jednoosiowe ściskanie próbki betonowej, trójosiowe ściskanie próbki gruntu itp. Powszechnie przyjmuje si ę, że podstawowym badaniem laboratoryjnym jest próba jednoosiowego rozciągania, odnoszona do napr ężenia σ 0 = σ x ≥ 0 . W przypadku zło żonych stanów naprężeń, jakie mogą powstać w punkcie materialnym odkształcalnego ciała C, pojawia enia zast ę pczego. Takie napr ężenie σ zast ęż enia się problem wprowadzenia skalarnego napr ęż zast, w enia ogólności zależne od sze ściu składowych tensora napr ężeń będzie używane jako miara wyt ęż ęż enia materiału . Temu problemowi po święcono wiele bada ń teoretycznych i do świadczalnych, Przyj ęto w nich, że σ zast zast określa się jako funkcj ę: σ zast (σ σ) , zast ≡ σ 0 lub F (σ ij ) ≡ F (
(5.43)
gdzie σ σ jest macierzą jednokolumnową pisaną we wierszu, podobnie jak notacja Voigta (5.2) (różnica polega na uporz ądkowaniu napr ężeń stycznych): σ =
{σ x , σ y , σ z , τ xy, τ yz, τ zx } = {σ 1 , σ 2 , σ 3 , 0 , 0, 0}.
(5.44)
W dalszym ci ągu omawiania problemów wyt ężenia będziemy przyjmowali algebraiczne uporządkowanie napr ęż ęż eń głównych według ich warto ści: σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 .
(5.45)
Poszczególne hipotezy maj ą bądź interpretację fizykalną, bądź jedynie postać matematyczną. Hipotezy s ą odnoszone na ogół do niezmienników stanu napr ężenia lub odkształcenia. Podstawowa klasyfikacja hipotez obejmuje trzy grupy, por. [5]: A. Hipotezy napr ężeniowe; B. Hipotezy odkształceniowe; C. Hipotezy energetyczne. energetyczne. Dalej wymieniamy tylko wybrane hipotezy i uwag ę skupimy na dwóch hipotezach najczęściej stosowanych.
1
A. Hipotezy naprężeniowe A1. Hipoteza Galileusza maksymalnych napr ęż eń przyjmuje, że o osiągnięciu granicy niebezpiecznej decyduje maksymalne napr ęż enie główne:
σ 1 = k .
(5.46)
Naprężenie zredukowane jest okre ślone wzorem: σ 0 = max (σ 1 , σ , σ 3 ) dla σ 1 > 0 .,
(5.47)
Najczęściej stan niebezpieczny odnosimy do jednoosiowego rozci ągania, określając w ten sposób napr ęż enie zast ę pcze: σ zast ≡ σ 0 = k .
(5.48)
Dalej będziemy hipotezy ilustrowali na przykładzie płaskiego stanu napr ęż eń (PN). W tym stanie w płaszczyźnie ( x, y) naprężenia σ x , σ y ,τ xy mogą przyjmować różne wartości, natomiast naprężenia z indeksami z z założenia zerują się (obszerniej PSN jest dyskutowany w Rozdz. 7): σ z = τ zx = τ zy = 0 .
(5.49)
W płaszczyźnie ( x, y) naprężenia główne, obliczane wzorami znanymi z WM obliczamy jako naprężenia dwuwymiarowe. Wobec konieczno ści rozpatrywania w hipotezach wyt ężenia stanów trójwymiarowych b ędziemy naprężenia główne z WM pisali jako odnosz ące naprężenia nieuporządkowane: σ 1, 2 =
1 2
(σ x + σ y ) ±
1 2
2 (σ x − σ y ) 2 + 4 τ xy
(5.50)
W odniesieniu do hipotezy Galileusza dla PN stosujemy wzór σ o ≡ σ 1 =
1 2
( σ x + σ y ) +
1 2
2 2 ( σ x − σ y ) + 4 τ xy dla σ x + σ y > 0 .
(5.50 PSN)
Hipoteza Galileusza powstała w roku 1632 i ma znaczenie historyczne. Daje ona oceny stanu niebezpiecznego w wielu przypadkach znacznie odbiegaj ące od doświadczeń laboratoryjnych nad wyt ężeniem materiałów. Istotną wadą tej hipotezy jest mo żliwość jej stosowania jedynie do dodatniej warto ści maksymalnego napr ężenia głównego. A2. Hipoteza Clebscha-Rankina W połowie XIX wieku pojawiły si ę propozycje Clebscha i Rankina jako uogólnienie hipotezy Galileusza na ujemne warto ści naprężeń głównych. W hipotezie C-R przyjmuje si ę, że o osiągnięciu stanu niebezpiecznego decyduje b ądź największe, bądź też algebraicznie najmniejsze naprężenie główne: σ 1 = k r , σ 3 = − κ k r , gdzie κ = k c / k r . jest stałą materiałową.
2
(5.51)
W odróżnieniu od hipotezy Galileusza hipoteza CR jest hipotez ą dwuparametrową. Tak jak hipoteza G, również hipoteza CR nie została dostatecznie potwierdzona do świadczeniami na modelach materialnych. A2. Hipoteza Tresci-Guesta największych napr ęż eń stycznych: σ 1 − σ 3 = 2τ max = k ,
(5.52)
a więc naprężenie zredukowane wynosi: σ o = σ 1 − σ 3 .
(5.53)
O wytężeniu materiału ciała odkształcalnego decyduje maksymalna, bezwzględna warto ść podwojonych maksymalnych napr ęż eń stycznych: σ o = max
σ 1 − σ 2 , σ 2 − σ 3 , σ 3 − σ 1
) .
(5.54)
Warunki stanu niebezpiecznego mo żna też napisać dla nieuporządkowanych napr ężeń głównych σ 1 , σ 2, σ 3 stanu bezpiecznego: | σ 1 − σ 2 | ≤ k , | σ 2 − σ 3 | ≤ k , | σ 3 − σ 1 | ≤ k .
(5.55)
W przypadku stanu PN napr ężenia główne można przyjąć jako trójk ę liczb nieuporządkowanych {σ 1 , σ 2, , 0 } sk ąd warunki stanu niebezpiecznego dla hipotezy Tresci-Guesta (TG) określają linie proste, por. Rys.5.4a: σ 1 − σ 2 = k , σ 1 − σ 2 = − k , σ 1 = k , σ 1 = − k , σ 2 = k , σ 2 = − k .
(5.56P)
Na Rys. 5.4a pokazano krzywe graniczne na płaszczy źnie naprężeń głównych ( σ 1, σ 2). Określa ona obszar napr ężeń bezpiecznych dla płaskiego stanu napr ężenia.
Rys. 5.4: a) Krzywa graniczna dla płaskiego stanu napr ężenia, b) Krzywa graniczna dla belki, w odniesieniu do naprężenia normalnego σ i stycznego τ
W zastosowaniu do belek mo żemy przyjąć uproszczone oznaczenia σ x ≡ σ , σ y ≡ 0 , τ xy ≡ τ i na podstawie warunku (5.56P) dochodzimy do postaci: σo =
2
σ + 4τ
2
(5.56B)
3
E. Hipotezy odkształceniowe B1. Hipoteza Saint-Venanta największego wydłu ż enia jest też określana wzorem w przestrzeni naprężeń. Niżej ograniczamy się tylko do podania jednej wersji hipotezy SV. E ε max = σ 1 − ν (σ 2 + σ 3 ) , σ 1 − ν (σ 2 + σ 3 ) = k .
(5.57)
B2. Zmodyfikowana hipoteza SV (hipoteza Saint-Venanta - Grashofa) ogranicza zarówno największe wydłużenia jak też skrócenia i ma posta ć:
(5.58)
E ε max ≡ σ 1 − ν (σ 2 + σ 3 ) = k r , E ε min ≡ σ 3 − ν (σ 1 + σ 2 ) = − k c .
Ta hipoteza jest dwuparametrowa i wymaga danych do świadczalnych dla napr ężeń zast ępczych k r i k c na rozciąganie i ściskanie. Granica niebezpieczna jest osi ągana jeśli jeden z warunków (5.58) jest spełniony. C. Hipotezy energetyczne C1. Hipoteza Beltramiego całkowitej energii spr ęż ystej korzysta ze wzoru (5.32.1), który można odnieść do przestrzeni napr ężeń głównych Φ =
1
2
2
2
[σ 1 + σ 2 + σ 3 − 2ν (σ 1 σ 2 + σ 2 σ 3 + σ 3 σ 1 )] . 2 E
(5.59)
Jeśli ten wzór napiszemy dla stanu jednoosiowego rozci ągania, tj. dla σ 1 = σ , σ 2 = σ 3 = 0 to otrzymujemy: Φ =
1 2 E
σ o
2
2
2
→ σ o = 2 E Φ gr = k .
(5.60)
Wracając do wzoru (5.58) otrzymujemy hipotez ę Beltramiego w postaci: 2
2
2
2
(5.61.1)
σ o = σ 1 + σ 2 + σ 3 − 2ν (σ 1σ 2 + σ 2 σ 3 + σ 3 σ 1 ) ,
lub 2
2
2
2
2
2
2
σ o = σ x + σ y + σ z − 2ν (σ x σ y + σ y σ z + σ z σ x ) + 2 (1 + ν)( τ xy + τ yz + τ zx ) .(5.61.2)
Hipoteza nie znalazła potwierdzenia do świadczalnego toteż nie jest stosowana w obliczeniach inżynierskich C2. Hipoteza Hubera-Misesa-Hencky’ego (HMH) energii odkształcenia postaciowego ma postać Φ f =
1+ ν 3 E
2
σ o ,
co daje 4
2
2
2
2
σ o = σ 1 + σ 2 + σ 3 − σ 1 σ 2 − σ 2 σ 3 − σ 3 σ 1 =
1 2
2
2
2
[(σ1 - σ 2 ) + (σ 2 - σ 3 ) + (σ 3 - σ1 ) ] , (5.62)
lub w odniesieniu do ogólnej postaci tensora napr ężeń: 2
σ o =
1 2
2
2
2
[(σ x − σ y ) 2 + (σ y − σ z ) 2 + (σ z − σ x ) 2 + 6 ( τ xy + τ yz + τ zx ) ] .
(5.62.1)
W przypadku płaskiego stanu napr ężenia (PN)otrzymujemy 2
2
2
2
2
σ o = σ 1 − σ 1σ 2 + σ 2 = σ x − σ x σ y + σ y + 3 τ xy
2
(5.63PSN)
,
a dla belek: 2 σ 2 + 3 τ .
σ o =
(5.63B)
Na Rys. 5.4 b pokazano krzywe graniczne (5.63P) i (5.63B) dla hipotezy HMH . C3. Hipoteza Burzyń skiego (Bu). Ta hipoteza powstała w wyniku prac W. Burzy ńskiego (1928) nad uogólnieniami hipotezy HMH. Z kilku wersji hipotezy przytaczamy tylko tzw. przypadek paraboliczny, por. [5], s. 113: σ o =
1 − ( χ − 1) (σ x + σ y + σ z ) + 2 χ
( χ − 1) 2 (σ x + σ y
+ σ z
2 , ) 2 + 4 χ σ HMH
(5.64)
gdzie: χ = k c / k r , σ 2HMH − wzór (5.63), odpowiadaj ący hipotezie HMH. Hipoteza HMH (Hubera (1904) – Misesa (1913) – Hencky’ego (1924)) jest powszechnie stosowana jako kryterium osi ągnięcia granicy plastyczno ści materiału i wrócimy do niej przy omawianiu teorii plastyczno ści. Hipotezy HMH i TG
Hipotezy Hubera-Misesa-Henckey’ego (w skrócie HMH) i Tresci-Guesta (TG) znajduj ą dość dobre potwierdzenie do świadczalne. Odnosi si ę to do HMH w odniesieniu do stopów metali (stal, aluminium) i betonu w stanach ściskania, oraz hipotezy TG w zakresie rozci ągania betonu. Olbrzymia wartość praktyczna hipotez HMH i TG polega na tym, że dla złożonych stanów naprężeń hipotezy pozwalaj ą ocenić, czy obliczone napr ężenie zastępcze σo nie przekracza wartości granicznej k . Tak więc bezpieczne stany napr ężeń są określane przez nierówno ść σ o ≤ k ,
(5.65)
gdzie k jest przyjmowane jako granica spr ężystości σ spręż lub plastyczności σ plast . Na Rys. 5.4 a,b pokazujemy krzywe graniczne dla płaskiego stanu napr ężenia na płaszczyźnie naprężeń głównych o wektorze wodz ącym σ = { σ 1, σ 2}. Jeśli koniec tego wektora nie osiągnie krzywej granicznej to jeste śmy w bezpiecznym stanie napr ężenia (zakres spr ężysty). Krzywe HMH stosuje si ę dla stopów metali (w tym stal konstrukcyjna i stopy aluminiowe), gdyż lepiej przylega do wyników bada ń doświadczalnych ni ż hipoteza TG. Natomiast hipoteza TG jest stosowana do opisu stanu niebezpiecznego betonu i materiałów kruchych. Na Rys. 5.5 pokazano krzyw ą graniczną dla płaskiego stanu napr ężenia. W obszarze 5
naprężeń ściskających stosuje si ę hipotezę HMH, a przy pojawieniu si ę naprężeń rozciągających przyjmuje się hipotezę TG.
Rys. 5.5. Krzywa graniczna dla płaskiego stanu naprężenia w materiale kruchym.
6
