hipotesis_estadistica

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HIPOTESIS ESTADISTICA Una hipótesis estadística es un enunciado acerca de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria. Las hipótesis estadísticas a menudo involucran uno o más características de la distribución, como por ejemplo forma o independencia de la variable aleatoria. Es importante recordar que las hipótesis son siempre enunciados relativos a la población o distribución bajo estudio, no enunciados en torno a la muestra. El valor del parámetro de la población especificado en la hipótesis suele determinarse de una de tres maneras: a. Puede resultar de la experiencia o conocimientos pasados del proceso, o incluso de experimentación previa. El objetivo entonces de la prueba de hipótesis suele ser entonces determinar si la situación experimental ha cambiado. b. Este valor puede determinarse a partir de alguna teoría o modelo con respecto al objeto que se estudia. Aquí el objetivo de la prueba de hipótesis es verificar la teoría o modelo. c. Surge cuando el valor del parámetro de la población es resultado de consideraciones experimentales, tales como especificaciones de diseño o ingeniería, o de obligaciones contractuales. En esta situación, el objetivo de la prueba de hipótesis es la prueba de conformidad. Considere los ejemplos: Según el Acta de energía remitida al congreso en 1978, se fijó un impuesto al fabricante de cualquier auto nuevo que diera un promedio cuando mucho de 22.5 millas por galón de gasolina. En consecuencia, un fabricante de autos nuevos podía no querer estimar el millaje promedio por galón de gasolina, sino que le interesaba determinar si dicho millaje excedía las 22.5 millas por galón; esto es, estaba interesado en comprobar las hipótesis: A. La media del millaje no excede las 22.5 millas por galón de gasolina. Contra la hipótesis B. La media del millaje excede las 22.5 millas por galón gasolina.

de

Con la esperanza de obtener información suficiente que apoyara la hipótesis B. Hace tiempo se descubrió accidentalmente que la minoxilina, un fármaco elaborado por la Upjohn Pharmaceutical Company y prescrita para los casos severos de presión sanguínea alta, provocaba el crecimiento del cabello; el medicamento se proporcionaba usualmente en forma de tabletas para controlar la presión sanguínea. Se ha estimado que el 80% de los pacientes tratados con minoxilina experimentan engrosamiento, alargamiento y oscurecimiento del cabello dentro de las tres a seis semanas de haber empezado el tratamiento.

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Como resultado de estos efectos colaterales, Upjohn ha estado investigando las posibilidades de usar minoxilina en forma tópica, un fármaco llamado Rogaine, para tratar la calvicie masculina. Una investigadora realizó un experimento para probar los efectos de Rogaine contra la calvicie, éste se realizó durante un periodo de seis meses para comparar la hipótesis. A. La Rogaine no tiene beneficios terapéuticos para prevenir la calvicie. Contra la hipótesis B. La Rogaine calvicie.

tiene beneficios terapéuticos para prevenir la

El experimento se realizó bajo el supuesto que la La Rogaine no tiene beneficios terapéuticos para prevenir la calvicie, pero con la esperanza de encontrar evidencia de lo contrario. Utilizando dos grupos de personas calvas, el grupo de tratamiento recibió dosis fijas de Rogaine y el otro grupo de control recibió un placebo. Después del periodo experimental de seis meses, la investigadora encontró evidencia para sugerir que la Rogaine tenía beneficios reales para el tratamiento de la calvicie masculina. Entonces ella rechazó la hipótesis A en favor de la B. Al proceso usado por la investigadora se le llama prueba de hipótesis. Existe un medicamento importante en el tratamiento de la hipertensión, el cual tiene una proporción de tratamientos exitosos del 84% y un investigador médico cree haber encontrado un nuevo medicamento para tratar pacientes hipertensos, el cual dice que tiene una mayor proporción de tratamientos exitosos que el medicamento reconocido, y con menos efectos colaterales. Para probar su afirmación el investigador tomo una muestra aleatoria de 60 pacientes con presión sanguínea elevada. La proporción de pacientes con presión sanguínea elevada de la muestra, que recibirán los beneficios terapéuticos del medicamento, se utilizaran para determinar si la proporción de éxitos en la población es mayor de 0.84; el investigador decidió, arbitrariamente, que concluiría que la proporción de éxitos terapéuticos del nuevo medicamento es mayor que 0.84. Si la proporción de pacientes con presión sanguínea elevada en la muestra que obtenía beneficios al tomar el nuevo medicamento es de 0.86 o más, en caso contrario, concluiría que no es más efectivo que el medicamento conocido. Las dos afirmaciones: A. π ≤ 0.84 B. π > 0.84 En la prueba de hipótesis se comienza suponiendo un valor de un parámetro que, a juicio del investigador, sea el más adecuado de acuerdo con la información disponible, a esta suposición se le llama hipótesis nula y se

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representa con Ho. A continuación se define otra hipótesis, llamada hipótesis alternativa, que es la opuesta de lo que se afirma en la hipótesis nula. La hipótesis alternativa se representa como Ha. El procedimiento para probar una hipótesis comprende el uso de datos de una muestra para probar las dos aseveraciones representadas por Ho y Ha. La prueba de hipótesis se parece a un juicio penal. En éste, se parte del supuesto de que el acusado es inocente. La hipótesis nula es de inocencia. Lo contrario de la hipótesis nula es la hipótesis alternativa la cual expresa una creencia de culpabilidad, Por consiguiente, las hipótesis en un juicio criminal se escribirían: Ho: El acusado es inocente Ha: El acusado es culpable Para probar las aseveraciones o hipótesis se lleva a cabo un juicio. El testimonio y las pruebas obtenidas durante el juicio equivalen a la información de la muestra. Si la información de la muestra concuerda con la hipótesis de inocencia, no se puede rechazar la hipótesis nula que el consignado es inocente. Sin embargo, si la información muestral no es consistente con la hipótesis de inocencia, se rechazará la hipótesis nula. En este caso, la acción a tomar se basará en la hipótesis alternativa de que el acusado es culpable. A continuación se describirán los lineamientos para establecer la hipótesis nula y alternativa para tres tipos de situaciones, en los que se emplean normalmente los procedimientos de prueba de hipótesis. Supongamos que determinado modelo de automóvil actualmente funciona con un rendimiento promedio de 12 kilómetros por litro. Un grupo de investigación de producto ha inventado un nuevo carburador, diseñado para aumentar el rendimiento. Para evaluar el nuevo carburador se fabricarán varios de ellos, se instalarán en automóviles y se someterán a pruebas de manejo controladas. Observe que el grupo de investigación de producto busca pruebas para decir que el nuevo carburador aumenta el rendimiento de los kilómetros por litro. En este caso, la hipótesis de investigación es que el nuevo carburador proporcionará una media del rendimiento mayor a los 12 kilómetros por litro, es decir que µ >12. Como lineamiento general, una hipótesis de investigación como ésta debe formularse y proponerse como hipótesis alternativa. Por consiguiente: Ho: µ ≤ 12 Ha: µ >12 Si los resultados de los datos de la muestra indican que no se puede rechazar Ho, los investigadores no pueden decir que el nuevo carburador es mejor. Quizá se deban llevar a cabo más investigaciones y pruebas. Sin embargo si los datos de la muestra indican que se puede rechazar Ho, los investigadores pueden hacer la inferencia que el nuevo carburador aumenta el kilometraje por litro. Entonces se puede proceder a iniciar la producción del nuevo carburador. Un fabricante de bebidas considera que las botellas de 2 litros de sus productos contienen un promedio mínimo de 1999 ml. Se seleccionará una

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muestra de botellas de 2 litros y se medirán sus contenidos para investigar la afirmación del fabricante. Las hipótesis son las siguientes: Ho: µ ≥ 1999 Ha: µ < 1999 Si los resultados de la muestra indican que Ho no se puede rechazar, no se puede dudar de la afirmación del fabricante. Sin embargo, si los datos de la muestra indican que se puede rechazar Ho, se hará la inferencia que el contenido promedio de las botellas es menor a 1999 ml. Se puede considerar una acción pertinente en contra del fabricante. Con base en una muestra de piezas en un embarque que se acaba de recibir, un inspector de control de calidad debe de decidir entre aceptar todo el embarque o regresarlo al proveedor, porque no cumple con las especificaciones. Supongamos que las especificaciones de determinada pieza dicen que la longitud promedio debe de ser de dos pulgadas para cada pieza. Si la longitud promedio de las partes es mayor o menor que la norma de dos pulgadas, las partes causarán problemas de calidad en la operación de ensamblaje. En este caso, se formularan como sigue las hipótesis: Ho: µ = 2 Ha: µ ≠ 2 Si los resultados de la muestra indican que no se puede rechazar Ho, el inspector de control de calidad no tendrá razón para dudar que el embarque cumple con las especificaciones, y lo aceptará. Sin embargo si los datos de la muestra indican que se debe rechazar Ho, la conclusión será que las piezas no cumplen con las especificaciones. En este caso el inspector tendrá las pruebas suficientes para regresar el embarque al proveedor. En resumen las características de la hipótesis nula: 1. Se va a considerar como cierta hasta que se tenga suficiente evidencia de lo contrario. 2. SIEMPRE incluye el signo de igualdad. 3. Es la base para el análisis estadístico de la prueba. Características de la hipótesis alternativa: 1. Es lo contrario a la hipótesis nula ( ≠ , <, >). 2. En general esta hipótesis se establece en términos de lo que se anda buscando evidencia. 3. Es la que define la dirección de la zona de rechazo. Al tomar una decisión en una prueba de hipótesis, hay cuatro posibles resultados que pueden ocurrir; como se ilustra en el siguiente diagrama :

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SITUACION VERDADERA DECISION

LA HIPOTESIS LA Ho ES HIPOTESIS VERDADERA Ho ES FALSA

NO EXISTE NO ERROR RECHAZAR PROB= 1-α α LA HIPOTESIS Confianza de la Ho prueba ERROR DEL RECHAZAR TIPO I LA HIPOTESIS PROB=α α Ho Nivel de Significancia

ERROR DEL TIPO II PROB=β β

NO EXISTE ERROR PROB=1-β Potencia de la Prueba

Dos de los resultados involucran decisiones correctas y dos de las decisiones involucran decisiones incorrectas. Rechazar Ho cuando es verdadera y no rechazar Ho cuando es falsa, son decisiones incorrectas. Rechazar Ho cuando es cierta se llama error Tipo I, y no rechazar Ho, cuando es falsa, se llama error Tipo II. Es necesario tener alguna cantidad que mida la posibilidad de cometer alguno de estos errores. Esta medida es una probabilidad. La probabilidad de rechazar Ho, dado que Ho es verdadera, se define como la probabilidad del error Tipo I y se denota por α . La probabilidad de no rechazar Ho, dado que Ho es falsa, se define como la probabilidad del error tipo II y se denota por β . Por tanto las probabilidades de los errores Tipo I y II están dadas por las proposiciones P (rechazar Ho | Ho verdadera) = α P ( no rechazar Ho | Ho es falsa) = β Propiedades de α 1. El valor de α se fija al escoger la zona de rechazo. 2. Al aumentar el tamaño de la muestra α decrece a la vez

PASOS A SEGUIR EN UNA PRUEBA DE HIPOTESIS 1. Definir la Hipótesis estadística H0 y Ha En la prueba de hipótesis, debemos establecer el valor supuesto o hipotetizado del parámetro de población antes de comenzar a tomar la

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muestra. La suposición que deseamos probar se conoce como hipótesis nula Ho. Con base en los datos muestrales la hipótesis nula se rechaza o no rechaza. Nunca se puede aceptar la hipótesis nula como verdadera para demostrar sin lugar a dudas que la hipótesis es verdadera se tendría que conocer el parámetro de la población. El no rechazo solamente significa que la evidencia muestral no es lo suficientemente fuerte como para llevar a su rechazo. Es importante recordar que, sin importar como se determina el problema, la hipótesis nula siempre lleva el signo de igual ( = ). Supongamos que deseamos probar la hipótesis de que la media de la población es igual a 16. Lo simbolizaríamos y leeríamos “La hipótesis nula es que la media de la población es igual a 16”. Ho: µ = 16 El término hipótesis nula surge de las primeras aplicaciones agrícolas y médicas de la estadística. Con el fin de probar la efectividad un nuevo fertilizante o de una nueva medicina, la hipótesis que se probaba es que no tuvo efecto, es decir no tuvo diferencia entre las muestras tratadas y no tratadas. La hipótesis alternativa describe la conclusión a la que se llegará si se rechaza a la hipótesis nula. También se conoce como hipótesis de investigación. La hipótesis alternativa se acepta si los datos de la muestra proporcionan suficiente evidencia estadística de que la hipótesis nula es falsa. Consideraremos tres hipótesis alternativas posibles: Ha: µ ≠ 16 Ha: µ > 16 Ha: µ < 16 El signo de igual ( = ) nunca aparecerá en la hipótesis alternativa. Porque la hipótesis nula es la declaración que se prueba, y es necesario incluir un valor especifico en los cálculos. La hipótesis alternativa se observa sólo si se demuestra que no es verdadera la hipótesis nula. 2. Establecer la estadística de prueba que sea apropiado. Es un valor que se calcula con base a la información de la muestra, y que se utiliza para determinar si se rechaza la hipótesis nula Existen muchas estadísticas de prueba que pertenecen a una distribución muestral con su propia forma, media y desviación estándar. Z, t, χ2, F Por ejemplo en la prueba de hipótesis para la media, la estadística de prueba Z se calcula por:

7 z=

X−µ

σ n

El valor z se basa en la distribución de muestreo de X , que tiene una distribución normal cuando la muestra es razonablemente grande con µ,σ

n . Así, es posible determinar si la diferencia entre la media

muestral y la media poblacional es importante desde el punto de viste estadístico. 3. Definir el nivel de significancia y la zona de rechazo El nivel de significancia es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera es a lo que se llama error Tipo I. El nivel de significancia se define con la letra griega alfa ( α ).Se le llama también nivel de riesgo. No hay un nivel de significancia que se aplique a todas las pruebas. Se toma la decisión de utilizar los niveles 0.05 ( que con frecuencia se conoce como un nivel del 5%), .01, 0.10, o cualquiera entre 0 y 1 a elección de la persona que realiza la prueba. La zona de rechazo son los valores de la estadística de prueba para los cuales se rechaza la hipótesis nula. La regla de decisión en la prueba de hipótesis, puede establecerse de tres maneras: 1. Regla basada en la estadística de prueba. 2. Regla basada en la probabilidad. 3. Regla basada en la distribución de probabilidad del estadístico utilizado en la prueba. La zona de rechazo tiene una magnitud dada por α y una dirección dada por la hipótesis alternativa. El siguiente ejemplo es de acuerdo a la hipótesis nula que se planteo en base a la media poblacional, y al primer ejemplo de hipótesis alternativa:

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Si µ = 16, existe sólo un 2.5% de oportunidad de que una media muestral produzca un valor de Z < -1.96

Si µ = 16, existe sólo un 2.5% de oportunidad de que una media muestral produzca un valor de Z > 1.96 No rechazar

Zona de rechazo Cola a la izquierda

Zona de rechazo Cola a la derecha 0.95 0.475

0.475

α/2 = 0.025

α/2 = 0.025

µ = 16

-1.96

0

1.96

Zona de no rechazo Existe un 95% de probabilidad de que los resultados muestrales puedan caer entre ± 1.96 si la hipótesis nula es verdadera

4. Calcular la estadística de prueba a partir de los datos muestrales considerando H0 como verdadera 5.

Decidir si H0 se acepta o se rechaza.

6.

Concluir en términos del contexto del problema.

PROBLEMA RESUELTO DE PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA µ ( σ 2 conocida ó n ≥ 30 ) Suponga una variable aleatoria X para designar el peso de un pasajero de avión, que se interesa en conocer el peso promedio de todos los pasajeros. Como hay limitaciones de tiempo y dinero para pesarlos a todos, se toma una muestra de 36 pasajeros de la cual se obtiene una media muestral X = 160 libras. Suponga además que la distribución de los pasajeros tenga una distribución normal con desviación estándar σ = 30. Con un nivel de significancia de .05. ¿ Se puede concluir que el peso promedio de todos los pasajeros es menor que 170 libras? Solución Datos n =36 X = 160 libras σ = 30 α = .05

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1. Establecer la hipótesis Ho: µ ≥ 170 Ha: µ < 170

2. Establecer la estadística de prueba X−µ

σ

Z=

n

3. Definir el nivel de significancia y la zona de rechazo

-1.64 Nivel de significancia = .05 Zona de rechazo = { Z/ Z ≤ -1.64} 4. Calcular la estadística de prueba X−µ

σ n Z = entonces tenemos Z=

la media poblacional esta bajo la hipótesis nula

160 −170 − 10 = = −2 30 5 36

5. Regla de decisión basada en la estadística de prueba Como -2 es menor que -1.64 la hipótesis nula se rechaza con un nivel de significancia de 0.05. Regla de decisión basada en la probabilidad P ( Z < -2 ) = .02275 P ( Z < -1.64) = .05 Como .02275 es menor que .05 la hipótesis nula se rechaza. Regla de decisión basada en la distribución de probabilidad del estadístico utilizado en la prueba.

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162 X =µ −Z

σ n

&&& =170 − (1.64) X

30 = 162 36

&&& =170 − ( 2.0 ) X

30 = 160 36

Como 160 es menor que 162 la hipótesis nula se rechaza. 6. Conclusión Así podemos afirmar: que el peso promedio de todos los pasajeros corresponde a un valor menor de 170 libras con .

PROBLEMAS PROPUESTOS DE PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA CON VARIANZA POBLACIONAL CONOCIDA 1. Se sabe que la duración en horas, de un foco de 75 watts tiene una distribución aproximadamente normal, con una desviación estándar de = 25 horas. Se toma una muestra aleatoria de 20 focos, la cual resulta tener una duración promedio de x = 1014 horas. ¿Se tiene evidencia estadística para decir que la duración promedio de todos los focos de 75 watts es de 51 horas? Pruebe con un nivel de significancia de .05. 2. Un ingeniero civil analiza la resistencia a la comprensión del concreto. La resistencia esta distribuida aproximadamente de manera normal, con una varianza = 1000(psi)2. Al tomar una muestra aleatoria de 12 especimenes, se tiene que x = 3250 psi. Pruebe Ho :

µ = 3265

con un nivel de significancia de .01.

3. En un estudio hecho para determinar el tiempo medio necesario para el montaje de cierta pieza de una maquina, 40 trabajadores hicieron un promedio de 42.5 minutos con una desviación típica de 3.8 minutos: ¿Los datos arrojan evidencia para decir que el tiempo promedio de montaje de cierta pieza es mayor de 44 minutos? Utilice α = .05. 4. Se encuentra que la concentración promedio de zinc que se saca del agua a partir de un muestra de mediciones de zinc en 36 sitios diferentes es de 2.6 gramos por mililitro.. Suponga que la desviación estándar de la población es 0.3. ¿Existe suficiente evidencia estadística

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para decir que la concentración promedio de zinc es menor de 2.9 gramos por mililitro? Utilice α = .05. 5. Se encuentra que la concentración promedio de zinc que se saca del agua a partir de un muestra de mediciones de zinc en 36 sitios diferentes es de 2.6 gramos por mililitro.. Suponga que la desviación estándar de la población es 0.3. ¿Existe suficiente evidencia estadística para decir que la concentración promedio de zinc es menor de 2.9 gramos por mililitro? Utilice α = .05. 6. En un experimento de laboratorio 50 estudiantes de ingeniería midieron por separado el calor especifico del aluminio, obteniendo una media de 0.2210 calarías por grados centígrado y por gramo y una desviación estándar de .0240 ¿Los datos arrojan evidencia suficiente para decir Ho : µ = .2300? utilice un nivel de significancia de .05. 7. Una muestra aleatoria simple de 50 artículos originó una media de muestra de 32 y una desviación estándar muestral de 6. Con un nivel de significancia 0.10 podemos decir la media de la población es 34. 8. Para tratar de estimar la media de consumo por cliente, en un gran restaurante, se reunieron datos de una muestra de 49 clientes durante un periodo de tres semanas. Si la media de la muestra es de $ 22.60 dólares, ¿Existe evidencia para decir que la media de la población es mayor de 25 dólares? Pruebe con α = .05. 9. Una muestra aleatoria de 100 propietarios de automóvil en la ciudad de Bogotá indica que los automóviles recorren anualmente en promedio 25 000 kilómetros con una desviación estándar de 4000 kilómetros. ¿Los datos arrojan evidencia suficiente para decir que el verdadero recorrido promedio anual es mayor de 27000 kilómetros? ¿Existe suficiente evidencia estadística para decir que la concentración promedio de zinc es menor de 2.9 gramos por mililitro? Utilice α = .05.

PROBLEMA RESUELTO DE PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA µ ( σ 2 desconocida y n ≤ 30 ) Una empresa de construcción fue culpada de inflar los comprobantes que registra para los contratos de construcción con el gobierno federal. El contrato estableció que un cierto tipo de trabajo debería promediar US $ 1,150. Por motivos de tiempo, los directivos de sólo 12 agencias del gobierno fueron llamados a dar testimonio ante la corte respecto a los comprobantes de la empresa. Se descubrió a partir del testimonio de una media US $ 1,275 y una

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desviación estándar de US $ 235, ¿ Los datos de la muestra arrojan evidencia para decir que los comprobantes son diferentes de $1150. Pruebe con un nivel de significancia de .05. Solución Datos n =12 X = $1275 s= $ 235 α = .05 1.

Establecer la hipótesis Ho: µ = 1150 Ha: µ ≠ 1150

2. Establecer la estadística de prueba X−µ s n t=

3. Definir el nivel de significancia y zona de rechazo

g.l = 11 -2.201

2.201

Nivel de significancia = .05 Zona de rechazo = { t/t ≤ -2.201 ó t/t ≥ 2.201

4. Calcular la estadística de prueba X−µ s n t=

como la media poblacional esta bajo la hipótesis nula

entonces tenemos t=

1275− 1150 235 125 12 = 67.83 = 1.84

5. Como 1.84 esta entre -2.201 y 2.201 no se rechaza la hipótesis nula a un nivel de significancia de .05 6.

Conclusión No se tiene evidencia suficiente para decir que los comprobantes son diferentes a $ 1150.

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PROBLEMAS PROPUESTOS DE PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA MEDIA CON σ 2 DESCONOCIDA 1. Una máquina produce piezas metálicas de forma cilíndrica. Se toma una muestra de piezas cuyos diámetros son 1.01, 0.97, 1.03, 1.04, 0.99, 0.98, 0.99, 1.01, 1.03 centímetros. Con un nivel de significancia de .01. ¿Pruebe la hipótesis de que el diámetro promedio de piezas de esta máquina es de 1.009? 2. Una muestra aleatoria de 8 cigarrillos de una marca determinada tiene un contenido promedio de nicotina de 2.6 miligramos y una desviación estándar de 0.9 miligramos. ¿Existe suficiente evidencia estadística para decir que el contenido promedio real de nicotina de esta marca de cigarros en particular es de 2.4 miligramos? Con α = .05. 3. Se toma una muestra aleatoria de 12 agujas de tejer en un estudio de la dureza Rockwell de la cabeza de las agujas. Se realizan las mediciones de la dureza para cada una de las 12 piezas, de lo que se obtiene un valor promedio 48.50 con una desviación estándar de 1.5. Suponiendo que las mediciones están normalmente distribuidas, pruebe la hipótesis de que la dureza Rockwell promedio es menor 48.705. Con α = .05. 4. Una muestra aleatoria de 12 alumnas graduadas de una escuela secretarial mecanografió un promedio de 79.3 palabras por minuto con una desviación estándar de 7.8 palabras por minuto. ¿Se tiene evidencia estadística para decir que el número promedio de palabras mecanografiadas por todas las graduadas de esa escuela es menor de 80 con α = .1. 5. Un fabricante de cereales afirma que el peso promedio de cada caja de cereal es de 500 gramos . ¿Los datos que a continuación se le dan apoyan la afirmación del fabricante? Pruebe con α = .10. 506, 508, 499, 503, 504, 510, 497, 512, 514, 505, 493, 496, 506, 502, 509, 496 6. Para determinar el rendimiento anual de ciertos valores, un grupo de inversionistas tomó una muestra de n =10 de esta clase de valores. La media y desviación estándar resultaron:  X = 8.71% y S = 2.1%. ¿Existe evidencia para decir que el verdadero rendimiento anual promedio es igual o mayor 8.5%? con α = .10 7. Un muestreo aleatorio de n =24 artículos en un supermercado presenta una diferencia entre el valor marcado del artículo y el valor real de éste. La media y la desviación estándar de las diferencias entre el precio marcado y el real en los 24 artículos son $37.14 y $6.42 respectivamente. Con un nivel de significancia de .05 pruebe que la

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diferencia media entre el valor marcado y el real por artículo en ese supermercado no es mayor de $40.0. 8. Un contratista ha construido un gran número de casas aproximadamente del mismo tamaño y del mismo precio. El contratista afirma que el valor promedio de estas casas no excede de $35,000 dólares. Un corredor de bienes raíces selecciona aleatoria mente 5 de las casas construidas recientemente por el contratista y averigua los precios que resultan ser: $34,500, $37,000, $36,000, $35,000 y $35,500. ¿Contradicen estas cinco observaciones la afirmación del contratista acerca del valor promedio de sus casas?. Use α =0.05 9. Los siguientes datos corresponden a los pesos en Kg de 15 hombres escogidos al azar: 72, 68, 63, 75, 84, 91, 66, 75, 86, 90, 62, 87, 77, 70, 69. Pruebe la Ho µ ≥ 74 con un nivel de significancia de .05. 10.Se obtiene una muestra de 16 estudiantes con una X = 68 y una varianza de S2 = 9 en un examen de estadística . Hay evidencia suficiente que apoye que la media poblacional de las calificaciones de estadística es mayor de 70 con α = .05.