50
VIII. PENGUJIAN HIPOTESIS
Hipotesis statistik merupakan dugaan atau pernyataan mengenai satu atau lebih populasi yang perlu diuji kebenarannya. Benar atau tidaknya tidaknya suatu hipotesis statistic belum dapat diketahui dengan pasti, kecuali kita melakukan pengujian dengan menggunakan keseluruhan populasi. Hal ini seringkali tidak mungkin dilakukan karena perlu waktu lama dan biaya yang besar untuk meneliti seluruh populasi apabila populasinya berukuran besar. Oleh karena itu, perlu dilakukan pengambilan sampel yang dapat mewakili populasi. populasi.
Berdasarkan informasi yang diperoleh dari sampel, kemudian dapat ditentukan apakah dugaan mengenai populasi didukung oleh informasi yang diperoleh dari data sampel atau tidak.Karena pernyataan dalam hipotesis bisa benar atau salah, ada dua hipotesis yang komplementer, komplementer, yaitu hipotesis nol ( H 0 ) dan hipotesis alternatif ( H ! ) . Hipotesis nol adalah hipotesis yang akan diuji, yang berkaitan dengan parameter populasi dan berupa pernyataan pernyataan tentang nilai eksak dari parameter tersebut.
Berdasarkan informasi dari sampel, pengambilan keputusan dilakukan dengan memilih satu dari dua keputusan , yaitu
menolak H 0
berarti H 0 tidak didukung oleh data
tidak menolak H 0 berarti H 0 didukung oleh data "roses untuk sampai pada suatu pilihan diantara dua keputusan itu dinamakan pengujian hipotesis stastistik.
#alam pengambilan keputusan kita dapat melakukan dua kesalahan, yaitu !.Kesalahan jenis $ menolak H 0 yang benar. %.Kesalahan jenis $$ tidak menolak H 0 yang salah.
"robabilitas membuat kesalahan jenis $ dilambangkan dengan α dan disebut tingkat signifikasi
5! "robabilitas membuat kesalahan jenis $$ dilambangkan dengan β .
&abel !. Tidak menolak Ho Menolak Ho
Ho benar Keputusan benar Kesalahan tipe $
Ho salah Kesalahan tipe $$ Keputusan benar
Uji hipotesis dengan Alternatif Satu Arah dan Dua Arah.
'isalkan kita melakukan pengujian terhadap parameter θ dengan menggunakan distribusi normal. "enyusunan hipotesis (.
H 0 θ H ! θ
= θ 0
≠ θ 0
B. H 0 θ
≤ θ 0
). H 0 θ
≥ θ 0
H ! θ
> θ 0
H ! θ
< θ 0
( disebut uji dua arah , B dan ) disebut uji satu arah
Hipotesis nol selalu dituliskan dengan tanda sama dengan, sehinnga menspesifikasi suatu nilai tunggal untuk parameter populasi. #engan demikian, probabilitas melakukan kesalahan jenis $ dapat dikendalikan. "enggunaan uji satu arah atau dua arah bergantung pada kesimpulan yang akan ditarik apabila Ho ditolak. *ilayah kritik+wilayah penolakan Ho dapat ditentukan sesudah H! ditentukan.
)ontoh 'isalkan akan diuji keunggulan suatu obat baru. Hipotesis yang dibuat adalah obat baru tersebut tidak lebih baik dari obatobat serupa yang beredar di pasaran dan kemudian mengujinya lawan hipotesis alternati-e bahwa obat baru tersebut lebih unggul dari obat yang beredar di pasaran. Berarti uji yang digunakan adalah uji satu arah dengan wilayah kritiknya berada di ekor kanan.
ote tambahkan gambaran uji satu arah dan dua arah menggunakan kur-a normal
VIII.1. Uji Hio!esis "n!"k Mean Po"lasi
5%
'isalkan kita ingin menguji hipotesis mengenai µ yang merupakan parameter dari distribusi normal.
/angkahlangkah dalam uji hipotesis ini adalah sebagai berikut !. 1usun H 0 dan H ! memakai salah satu cara dibawah ini (. H 0 µ
= µ 0
B. H 0 µ
≤ µ 0
). H 0 µ
≥ µ 0
H ! µ
≠ µ 0
H ! µ
> µ 0
H ! µ
< µ 0
%. "ilih tingkat signifikasi α
2. 3unakan statistik penguji
#as"s I $ 1ampel berasal dari o"lasi normal yang mempunyai -ariansi
σ
%
yang
diketahui Z =
1tatistik ujinya
X − µ 4 0,!6
σ n
#as"s II 1ampel berukuran besar dari o"lasi mempunyai -ariansi
σ
%
diketahui
menggunakan dalil limit pusat6 Z =
1tatistik ujinya
X − µ
→ N ( 0,!)
σ n
#as"s III 1ampel berukuran besar dari populasi yang mempunyai -ariansi
σ
nilainya tidak diketahui melalui suatu penurunan rumus, akhirnya diperoleh ...6 −
Z =
1tatistik ujinya
X − µ S
→ N ( 0,!)
n
7. *ilayah kritik #aerah "enolakan Ho6 (. H 0 ditolak jika
z
B H 0 ditolak jika
z
≥
z α %
≥
atau z ≤ − z α
z α
). H 0 ditolak jika z ≤ − z α 5. Buat kesimpulan. )ontoh
%
%
, tapi
52
8jian standar intelegensia telah diadakan beberapa tahun dengan hasil nilai ratarata 90 dan standar de-iasi :. 1ekelompok mahasiswa yang terdiri atas !00 orang diberi pelajaran yang mengutamakan bidang matematika. Kemudian ujian standar tersebut diberikan pada kelompok mahasiswa ini dengan hasil nilai ratarata 95. (pakah cukup beralasan untuk menyatakan bahwa pengutamaan bidang matematika menaikkan hasil ujian standar ; 8jilah dengan menggunakan α = 0,05 .
µ = 90 , σ = : !. Hipotesis
n = !00
,
x
,
=
95
H 0 µ ≤ 90 H ! µ > 90
%. α = 0,05 2. 1tatistik penguji
Z
=
X − µ
σ
→ N ( 0,!)
n
"erhitungan z =
x − µ 0
σ
=
n
7. *ilayah kritik zα
z
≥
95 − 90 : !00
= >,%5
z α
= z 0,05 = !,>75 .
Keputusan karena z = >,%5 ? !,>75 maka H 0 ditolak.
5. Kesimpulan #engan pengutamaan bidang matematika , nilai ratarata ujian lebih besar dari nilai rata rata standar.
%
#as"s IV$ 1ampel berukuran kecil diambil dari populasi normal dimana -ariansi σ tidak
diketahui 1tatistik penguji
t =
X − µ :
S n
t n
!
−
57 dengan wilayah kritik (. H 0 ditolak jika t ≤ −t α% atau t ≥ t α% B. H 0 ditolak jika t ≥ t α n
−
). H 0 ditolak jika t ≤ t α n
−
!
!
VIII.%. Uji Hio!esis "n!"k &eda Mean '"a Po"lasi
8ntuk membandingkan µ ! dan µ % melalui uji hipotesis , langkahlangkahnya adalah sebagai berikut !. 1usun hipotesis dengan salah satu cara dibawah ini (. H 0 µ!
= µ %
H ! µ!
≠ µ %
B. H 0 µ! ≤ µ %
). H 0 µ! ≥ µ %
> µ %
H ! µ! < µ %
H ! µ!
%. "ilih tingkat signifikasi α 2. 3unakan statistik penguji
#as"s I$ Bila #ua sampel acak diambil dari dua populasi yang saling bebas, berdistribusi
normal dengan -ariansi diketahui, masingmasing
1tatistik pengujinya
Z =
%
σ !
dan
%
σ %
( X − X ) − ( µ − µ ) !
%
σ !% n!
!
+
%
σ %%
4 0,!6
n%
#as"s II $ Bila #ua sampel acak berukuran besar diambil dari dua populasi sebarang yang
saling bebas dengan -ariansi diketahui masingmasing
1tatistik pengujinya
Z =
%
σ !
dan
%
σ %
( X − X ) − ( µ − µ ) !
%
σ !% n!
!
+
%
σ %%
→ N ( 0,!)
n%
% % #as"s III "ada kasus $$, jika n! , n% besar dan σ ! , σ % tidak diketahui , maka melalui
suatu penurunan rumus, diperoleh statistik pengujinya
55 −
Z =
−
5 X ! − X % 6 − 5 µ ! − µ % 6 %
S !
%
n!
+
S %
→ N ( 0,!)
n%
7. *ilayah kritik (. H 0 ditolak jika z ≤ − z α% atau B. H 0 ditolak jika
z
≥
z
≥
z α %
z α
). H 0 ditolak jika z ≤ − z α
5. Buat kesimpulan.
#as"s IV Bila n! dan n% kecil, sampel diambil dari dua populasi normal yang saling
bebas dimana -ariansi populasi tidak diketahui
% #as"s IV.A.
t 1tatistik penguji
=
= σ %% = σ % , maka
( X − X ) − ( µ − µ ) !
%
!
%
! ! S p% + ÷ n! n%
:
t n
! + n% − %
dimana %
S p
=
% #as"s IV.&.
1tatistik penguji
t
=
( n! − !) S!% + ( n% − !) S %% n! + n% − %
≠ σ %% , maka
( X − X ) − ( µ − µ ) !
%
S!% n!
!
+
S %% n%
%
→ t k
5> %
s!% + s%% n! n%÷ k = % % s!% s%% n!÷ n÷% + n! − ! n% − !
dimana
*ilayah kritik (. H 0 ditolak jika t ≤ −t α% atau t ≥ t α% B. H 0 ditolak jika t ≥ t α ). H 0 ditolak jika t ≤ −t α
)ontoh 1eorang ahli agronomi melakukan eksperimen penanaman jagung dalam n! puk dan n%
= 70 petak tanpa pu
= 50 petak dengan pupuk. "emilihan petak dilakukan secara acak diantara @0 petak
yang ada. Hasil panen kwintal+petak 6 ialah tanpa pupuk
hasil panen ratarata >,! dan -ariansi 2,@
dengan pupuk hasil panen ratarata 9,2 dan -ariansi 7,7 (pakah dapat disimpulkan bahwa panen jagung yang diberi pupuk pada waktu penanamannya lebih tinggi daripada jika tidak diberi pupuk ; 3unakan α = 0,05
= 70
, x!
= >,!
% , s!
= 2,@
#engan pupuk n%
= 50
, x%
= 9,2
% , s%
= 7, 7
!. Hipotesis H 0 µ! ≥ µ % H ! µ! < µ % %. α = 0,05 2. 1tatistik penguji
59
Z
=
( X − X ) − ( µ − µ ) !
%
!
% !
S
n!
+
%
% %
S
→ N ( 0,!)
n%
"erhitungan z =
( >,! − 9, 2 ) − 0 2,@ 70
+
7, 7 = −%,9@ 50
7. *ilayah ktitik
− z 0,05 = −!,>75 → H 0 ditolak jika z ≤ −!,>75 Karena A = %,9@ !,>75 maka H 0 ditolak 5. Kesimpulan
"ada α = 0,05 kita cenderung untuk menyatakan bahwa hasil panen jagung yang pada waktu penanamannya diberi pupuk lebih tinggi daripada jika tidak diberi pupuk.
VIII.(. Uji Hio!esis "n!"k Proorsi Po"lasi
/angkahlangkah untuk menguji proporsi populasi adalah sebagai berikut !.1usun hipotesis (. H 0 p = p0
B. H 0 p ≤ p0
). H 0 p ≥ p0
H! p ≠ p0
H! p > p0
H! p < p0
%. "ilih tingkat signifikasi α 2. 3unakan statistik penguji Z
=
− np → N ( 0,!) np ( ! − p ) X
, n cukup besar
7. *ilayah kritik (. H 0 ditolak jika z ≤ − z α% dan z ≥ z α% B. H 0 ditolak jika
z
≥
z α
5: ). H 0 ditolak jika z ≤ − z α
5. Buat kesimpulan. )ontoh "erusahaan gas menyatakan bahwa duapertiga penduduk suatu kota menggunakan gas alam sebagai pemanas rumah selama musim dingin. (pakah cukup alasan untuk menerima pernyataan tersebut bila diantara !000 rumah yang diambil secara acak dikota itu, ternyata >!: rumah meng gunakan gas alam ; 3unakan α = 0,05 .
!:
Hipotesis H 0 p = H! p ≠
% 2 % 2
α = 0,05 1tatistik penguji
z =
x − np np ( ! − p )
=
>!: − ( !000 ) (
( !000 ) (
*ilayah kritik z ≤ − z α% dan
z
≥
% 2
% 2
)
) ( !2 )
z α %
= −2,%9
z α %
= z 0,0%5 = !,@>
Karena A = 2,%9 !,@> maka H 0 ditolak.
Kesimpulan "ernyataan perusahaan gas tersebut tidak benar karena proporsi penduduk yang menggunakan gas alam sebagai pemanas rumah dikota tersebut tidak sama dengan
% 2
.
VIII.). Pen*"jian "n!"k Selisih Proorsi '"a Po"lasi
8ntuk membandingkan proporsi p! dan p% melalui uji hipotesis,langkahlangkahnya adalah sebagai berikut
5@ !. 1usun hipotesis dengan salah satu cara dibawah ini (. H 0 p!
= p%
H! p!
≠ p%
B. H 0 p! ≤ p%
). H 0 p! ≥ p%
> p%
H! p! < p%
H! p!
%. "ilih tingkat signifikasi α
2. 3unakan statistik penguji
( − ) − ( p − p ) Z = → N ( (!− ) (!− ) X! n!
X % n%
X! n!
X! n!
n!
!
+
%
X% n%
X % n%
0,!)
n%
7. *ilayah kritik sama dengan C$$$.2
)ontoh #i suatu 8ni-ersitas, diantara %000 lulusan mahasiswa pria terdapat !!7 orang yang lulus dengan $"K D %,95 , sedangkan diantara !000 lulusan mahasiswa wanita terdapat >! orang lulus dengan $"K D %,95. (pakah dapat disimpulkan bahwa ada beda proporsi yang lulus dengan $"K D %,95 antara mahasiswa pria dan wanita di uni-ersitas tersebut ; 3unakan α = 0,0% .
= p%
H! p!
≠ p%
%. α = 0,0% . 2. 1tatistik penguji
z =
( 0, 059 − 0, 0>!) − 0 = −0,77 0, 059 0,@72 0, 0>! 0,@2@ ( )( ) ( )( ) %000
+
!000
7. *ilayah kritik z ≤ −%,22 dan z ≥ %,22
Karena
−%,22 < z = −0, 77 < %,22 maka H 0 tidak ditolak.
>0 5. Kesimpulan
"ada α = 0,0% tidak ada beda proporsi yang lulus dengan $"K D %,95 antara mahasiswa pria dan wanita di uni-ersitas tersebut.
VIII.+. Uji Hio!esis "n!"k Variansi Po"lasi
8ntuk menguji hipotesis mengenai -ariansi populasi normal , langkahlangkahnya adalah sebagai berikut !.1usun hipotesis dengan salah satu cara dibawah ini
= σ 0% H ! σ % ≠ σ 0%
(. H 0 σ
≤ σ 0% H ! σ % > σ 0%
%
B. H 0 σ
≥ σ 0% H ! σ % < σ 0%
%
). H 0 σ
%
%. "ilih tingkat signifikasi α
2. 3unakan statistik penguji
χ
%
=
( n − !) S % %
σ
:
χ n% ! −
7. *ilayah kritik
≥ χ %n −! % % χ ≥ χ α n !
( . H 0 ditolak jika χ B. H 0 ditolak jika
%
α %
atau
χ %
≤ χ !%−
α n %
−!
−
% % ). H 0 ditolak jika χ ≤ χ ! α n −
−!
5. Buat kesimpulan .
)ontoh "engalaman lalu menunjukkan bahwa waktu yang diperlukan oleh siswa kelas tiga 1ekolah 'enengah (tas 1'(6 untuk menyelesaikan suatu ujian tertentu merupakan -ariable acak normal dengan -ariansi 2> menit. menit ; 3unakan α = 0,05 .
σ %
= 2>
, n = %0
% , s
= %0,%5
>! !. Hipotesis H 0 σ
≥ 2>
H ! σ %
< 2>
%
%. α = 0,05 2. 1tatistik penguji %
χ
=
( n − !) s % σ %
=
( !@ ) ( %0, %5 )
= !0,>:95
2>
7. *ilayah kritik H 0 ditolak jika χ
%
Karena χ
% ≤ χ 0,@5!@ → χ % ≤ !0,!!9
%
= !0,>:95 > !0,!!9 maka H 0 tidak ditolak pada α = 0,05
5. Kesimpulan Cariansi waktu yang diperlukan oleh siswa kelas tiga 1'( untuk menyelesaikan ujian terse but adalah 2> menit.
VIII.,. Pen*"jian Hio!esis "n!"k -a!io Variansi Po"lasi
8ntuk membandingkan -ariansi dua populasi normal melalui uji hipotesis , langkahlangkahnya adalah sebagai berikut !. 1usun hipotesis dengan salah satu cara dibawah ini (. H 0 σ !
%
= σ %%
B. H 0 σ !
%
≤ σ %%
). H 0 σ !
%
≥ σ %%
H ! σ !%
≠ σ %%
H ! σ !%
> σ %%
H ! σ !%
< σ %%
%. "ilih tingkat signifikasi α 2. 3unakan statistik penguji F
=
S !% S %%
:
F υ ,υ !
%
, υ !
= n! − !
, υ %
= n% − !
7. *ilayah kritik (. H 0 ditolak jika F
≤ F υ ,υ
B. H 0 ditolak jika F
≥ F α υ ,υ
). H 0 ditolak jika F
≤ F ! α υ ,υ
5. Buat kesimpulan.
α %
!
!
−
%
%
!
%
atau
F
≥ F !
−
α υ %
! ,υ %
>%
)ontoh 1eorang peneliti ingin menggunakan tikus yang berat lahirnya mempunyai -ariabilitas rendah. &ersedia dua jenis tikus yang berbeda.Kemudian diambil secara acak !0 ekor tikus jenis $ yang mempunyai standar de-iasi 0,2> gram dan !> ekor tikus jenis $$ dengan standar de-iasi 0,:9 gram.
= !0
s!
,
= 0,2>
!. Hipotesis H 0 σ !
≥ σ %%
H ! σ !%
< σ %%
%
n%
,
= !>
,
s%
= 0,:9
%. α = 0,05 .
2. 1tatistik penguji %
( 0,2> ) F = % = = 0,!9!% % s% ( 0,:9 ) s!%
7. *ilayah kritik H 0 ditolak jika F F 0,@5@,!5
=
! F 0,05!5,@
=
! 2,0!
≤ F 0,@5@,!5 .
= 0,22
Karena F = 0,!9!% 0,22 maka H 0 ditolak pada α = 0,05 .
5. Kesimpulan "eneliti akan menggunakan tikus jenis $.
VIII.. In/erensi "n!"k &eda '"a Mean Po"lasi "n!"k Samel &erasan*an
'isalkan kita ingin menguji keefektifan suatu diet dengan menggunakan 9 indi-idu yang diamati bobot badannya dalam kilogram6 sebelum dan sesudah mengikuti program diet itu selama % ming gu. #atanya adalah sebagai berikut
>2
Bobot 1ebelum ( X !i )
! 5:,5
% >0,2
2 >!,9
7 >@,0
5 >7,0
> >%,>
9 5>,9
Bobot 1esudah ( X %i )
>0,0
57,@
5:,!
>%,!
5:,5
5@,@
57,7
Kedua sampel diatas tidak bebas karena pengukuran X !i dan X %i i = !, %, ×××9 diambil dari indi -idu yang sama. "rosedur inferensi untuk persoalan ini adalah sebagai berikut. 'isalkan dua kelompok -ariabel acak berdistribusi normal
, X !n } dan { X !! , X !% , ×××××
, X % n } berelemen sama atau berpasangan. #efinisikan n -ariabel acak baru,yaitu { X %! , X %% , ×××××
= X !i − X %i
Di
.n i = !, %, ××××
Karena X ! dan X % berdistribusi normal,maka Di juga berdistribusi normal.
µ D
=
µ! − µ % dan -ariansi σ D% .
=
D
t
=
! n
n
∑
Di
%
S D
=
i =!
D − µ D S D n
:
t n
! n −!
n
∑ ( Di − D )
%
i =!
!
−
$nter-al kepercayaan ( ! − α ) !00E untuk µ D dapat diperoleh dengan menyatakan P
( −t
α %
< t < t ) = ! − α α %
#engan mensubstitusikan t , diperoleh
P D − t α
%
S D n
< µ D < D + t
α %
S D
÷ = ! − α
n
−t
sd α %
n
< µ D < d + t
α %
sd n
>7
)ontoh /ihat data diatas.
1ebelum ( x!i )
! 5:,5
% >0,2
2 >!,9
7 >@,0
5 >7,0
> >%,>
9 5>,9
1esudah ( x%i )
>0,0
57,@
5:,!
>%,!
5:,5
5@,@
57,7
= x!i − x%i
!,5
5,7
2,>
>,@
5,5
%,9
%,2
di
9
d
=
9
!
∑ d = 2,5 9
i
i =!
∑ ( d − d )
%
i
%
sd
=
#engan α = 0,05 diperoleh t 0,0%5>
i =!
9 −!
= 9, 9
sd
= %,99
= %,779
< >, 0>
/angkahlangkah untuk menguji µ D !. 1usun hipotesis dengan salah satu cara dibawah ini (. H 0 µ D = 0 B. H 0 µ D ≤ 0 ). H 0 µ D H ! µ D
≠0
H ! µ D
>0
%. "ilih tingkat signifikasi α
2. 3unakan statistik penguji t
=
D − µ D S D n
:
t n
!
−
7. *ilayah kritik (. H 0 ditolak jika t ≤ −t α% atau t ≥ t α%
H ! µ D
≥0 <0
>5 B. H 0 ditolak jika t ≥ t α ). H 0 ditolak jika t ≤ −t α
5. Buat kesimpulan
VIII.0. H"b"n*an An!ara In!eral #eer2a3aan dan Pen*"jian Hio!esis
(da kaitan antara rumus inter-al kepercayaan ( ! − α ) !00E dengan daerah penerimaan H 0 pada tingkat signifikasi α untuk pengujian hipotesis dua arah.
"andang inter-al kepercayaan ( ! − α ) !00E untuk mean populasi µ sebagai berikut
x − z α
σ
< µ < x + z
n
%
σ
α
n
%
'isalkan akan diuji hipotesis H 0 µ
= µ 0
H ! µ
≠ µ 0
"ada tingkat signifikasi α , daerah penerimaan untuk uji hipotesis diatas adalah
− z < α
%
X − µ
< z
α
σ
%
n atau X
−z
σ α %
n
< µ < X + z
α %
σ n
Fumus inter-al ini menunjukkan bahwa hipotesis nol µ
= µ 0 tidak ditolak pada tingkat signifi
kasi α bila µ 0 terletak didalam inter-al kepercayaan.
