UNIVERSIDAD DE ORIENTE NÚCLEO DE MONAGAS ESCUELA DE INGENIERÍA AGRONÓMICA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA AGRÍCOLA HIDRÁULICA
APUNTES TEÓRICO PRÁCTICOS DE HIDRÁULICA CÓDIGO: 0203552
Tema 2 Hidrostática (MANÓMETROS)
Víctor Malavé
Maturín, noviembre 2012
2.- HIDROSTÁTICA En la sección anterior se hizo la definición de Hidrostática como la división de la Hidráulica que estudia el comportamiento de los fluidos (especialmente los líquidos) en condición de reposo.
Los fluidos son sustancias, que dada la fuerza intermolecular que muestran en la naturaleza, pueden cambiar de forma en relación con la forma del recipiente que los contienen, pueden fluir en dependencia a la fuerza que sobre ellos se apliquen, pueden o no ser comprensibles (según si son líquidos o gases), y no soportan esfuerzos cortantes cuando están en equilibrio. En condición de reposo los fluidos ejercen esfuerzos sobre los recipientes que los contienen. Estos esfuerzos, dependiendo de su magnitud pueden comprometer la estabilidad de los recipientes. Un indicador de la magnitud de los esfuerzos que los líquidos ejercen sobre las paredes de los recipientes que los co ntienen es la Presión Hidrostática, o simplemente la Presión. El término Presión hace referencia al resultado de una fuerza actuando de forma distribuida sobre una superficie. En general, la fuerza puede aplicarla un gas o un líquido, igualmente un sólido, y se interpreta que es el peso de un cuerpo la fuerza causante de una presión. El peso causa la fuerza. Ambos términos están ligados al punto que se consideran matemáticamente iguales. El peso de un cuerpo e s su fuerza. La magnitud de la Presión que ejerce un fluido sobre una superficie es función de la dimensión vertical o altura del fluido. Mientras mayor es la altura del fluido cuya interacción sobre una superficie se estudia, mayor es la Pr esión que éste ejerce sobre dicha superficie. La intensidad media de la presión (P) se define como la fuerza ejercida sobre una unidad de área. Para explicar esto considérese F como al fuerza normal causante de la presión (P) total sobre un área finita A, y considérese
dF como
la fuerza sobre un área infinitesimal
dA.
A partir de
estas consideraciones puede formularse la ecuación que describe el cálculo de P: P = dF / dA Luego, partiendo del hecho de la uniformidad de la fuerza en todas las posiciones del área de referencia, la Presión es la sumatoria de todas las dF /dA, quedando expresada como: P=F/A La unidad con la que se trabaja la Presión depende de las unidades con las que se trabajan la Fuerza y el área. Para el SI la presión debe ser expresada como: Pascal = Pa = N/m
2
ó
2
kilo Pascal = kPa = kN/m
En el Sistema Británico las unidades de presión suelen ser libras por pulgada cuadrada 2
(lb/in2 = PSI) o libras por pie cuadrado (lb/ft = PSF). Anteriormente, en el sistema métrico, se utilizaban los bares y milibares para medir la presión: 1 mbar = 100 Pa.
De igual forma, como unidad accesoria está permitido indicar, dentro del SI las unidades de presión en términos del kilogramo fuerza: kgf/m
2
2
ó kgf/cm .
En general las relaciones entre unidades para expresar la Presión pueden ser descritas como sigue a continuación. 2
-5
Pascal = Newton / m = 1,02 * 10 2
2
2
kgf/cm 2
1 kgf/cm = 98.067 N/m = 14,22 lb/in = 10 m H2O = 735,6 mm Hg 1 atm estándar internacional = 101.325 Pa = 1,01 bar 2
2
1 atm métrica = 1 kgf/cm = 0.98066 bar = 14,22 lb/in
Ecuación fundamental de la Hidrostática A continuación se detalla la deducción de la Ecuación Fundamental de la Hidrostática que define la forma cómo calcular la Presión que ejerce un fluido en función de la profundidad o altura del líquido por encima de la superficie sobre la c ual actúa, y en función de su peso específico. La ecuación de donde parte el cálculo de la presión en función del peso específico y de la altura del líquido es al que involucra el empleo de la fuerza sobre la superficie de aplicación. De esta ecuación se deriva la nueva forma de expresión en función de las variables comentadas. P = F/A
P =
*h
En la Figura 1 se detallan los elementos geométricos
Figura 2.- Esquema de desarrollo de Ecuación Fundamental de la Hidrostática
En la proyección vertical del sistema existe equilibrio entre las fuerzas que operan, dada la condición “estática” del fluido. En esta condición no existe fuerza alguna que domine en el eje vertical, permitiendo alcanzar el equilibrio del cuerpo sometido a la presión del fluido. En tal sentido la sumatoria de las fuerzas que operan en sentido vertical es cero: las fuerzas se anulan, tal como lo plantea la expresión siguiente: F=0 Tal como se observa en la Figura 2, operando sobre el objeto tridimensional (de dimensiones mínimas factibles de ser analizadas) aparecen tres fuerzas: dos fuerzas verticales en sentido hacia abajo: (P-dp) y el peso del objeto (dw)
(1)
, y una fuerza vertical en sentido hacia arriba, producto de
la reacción del fluido ubicada debajo del elemento fundamental que se analiza; esta fuerza se derivará de la variable presión (P). El equilibrio entre estas fuerzas se establece a continuación: F=0
(P-dp)*dA + dw - P*dA = 0
Donde: P*dA = F, ya que P = F/dA
La ecuación de equilibrio mostrada arriba se desglosa de la
siguiente manera: (P-dp)*dA = P*dA - dp*dA dw = dV *
;
dV = dA*dZ ;
dZ = h
se sustituyen estos elementos en la ecuación de
equilibrio: F=0
P*dA - dp*dA
+ dA*dZ *
- P*dA
se eliminan los términos semejantes que
aparecen con signos contrarios: F=0
P*dA - dp*dA + dA*dZ *
F=0
- dp*dA + dA*dZ *
F=0
(- dp*dA )/dA + (dA*dZ)/dA *
F=0
-dp
+
dz*
- P*dA
se divide ambos términos de la expresión entre dA:
a continuación se aplica la integral entre el extremo inferior y el
extremo superior del sistema considerado: F=0 El desarrollo de las integrales arriba mostradas se indica a continuación:
(1) Nota: El término diferencial se introduce en este análisis para explicar la formulación de la ecuación fundamental de la hidrostática sobre un elemento unitario mínimo, y luego extrapolar esta función usando como herramienta matemática la “integral” de una función.
F=0
- (P2 – P1) +
F=0
-P2 + P1
+
=
al restar dos presiones (P2-P1) se obtiene un valor de presión:
P2 - P1
*h
* (Z2-Z1) *h
P= *h La ecuación anterior permite calcular la presión que ejerce un fluido sobre un objeto, situado a cierta profundidad “h” medida desde la superficie libre del fluido de interés. Este fluido se distingue del resto de los elementos en la naturaleza, entre otras variables, por su peso específico. Esta presión, así calculada, es lo que se conoce como presión manométrica o presión relativa. Por encima de la superficie libre del fluido opera la atmósfera, y es posible determinar la presión atmosférica. Al sumar la presión atmosférica a la presión manométrica, se calcula la presión absoluta que recibe el objeto de interés:
Pabs = Pmanométrica + Patmosférica Si se mide la presión tomando como referencia el cero absoluto, esta presión así medida se conoce como presión absoluta. Al medirse tomando como referencia la presión atmosférica, la presión así medida recibe el nombre de presión manométrica. Cuando los medidores de presión (distintos al Barómetro) realizan lectura de presión en la atmósfera libre, el valor es cero, por lo que cuando miden la presión de un fluido, lo que hacen es medir la diferencia entre la presión del fluido a la que están conectados y la presión del aire circundante.
Instrumentos empleados para medir presión En general, el nombre que recibe un instrumento con el que se mide la presión dependerá si la presión es atmosférica (Barómetros) o si es manométrica (Manómetros).
Comúnmente
el
nombre genérico de todos los instrumentos utilizados para la medición de la presión es Manómetro.
Barómetro La presión absoluta de la atmósfera se mide mediante un barómetro. Un dispositivo de este tipo, sencillo, se construye con un tubo transparente de longitud superior al 762 mm, hundido verticalmente por un extremo en un recipiente abierto, que contiene mercurio; el extremo superior del tubo debe estar cerrado, y su extremo inferior abierto para que el mercurio contenido en el recipiente pueda ingresar dentro del tubo. Cuando el barómetro trabaja en una localidad ubicada a nivel del mar, el mercurio asciende por el tubo alcanzando una altura aproximada de 762 mm. Cuando el tubo se construye con una longitud superior a los 762 mm, existirá una separación entre el extremo superior del tubo y el nivel del mercurio en su interior. En esta parte superior existirá un vacío. La altura que alcanza el mercurio dentro del tubo depende de la presión a la que esté sometida la superficie libre del líquido en el recipiente: la presión de la atmósfera. El cálculo de la presión atmosférica se ejecuta multiplicando la altura que alcanza el mercurio dentro del tubo, por el peso específico del mismo: P = * h. En este sentido, la lectura del nivel de mercurio permite calcular la presión como altura de presión (de mercurio), la cual puede expresarse en términos de presión usando la ecuación fundamental de la hidrostática.
Manómetros: con este término, en general se identifican los instrumentos con los que se mide presión. Es común observar una diferenciación entre barómetro y manómetro, cuando formalmente esta diferencia no debería existir. A los efectos de estos apuntes se hace énfasis en los Piezómetros. Estos dispositivos permiten hacer mediciones de presiones y diferencias de presiones con alta exactitud. La medición de presiones, en piezómetros, consiste en la lectura de la altura que alcanza el líquido piezométrico, con la cual es posible aplicar la ecuación fundamental de la hidrostática. Para evitar la influencia de la capilaridad, el diámetro del tubo del piezómetro debe tener 13 mm o más. Su construcción puede ser muy sencilla, con sólo un tubo piezométrico y sólo un líquido piezómetro, o complicarse al estar formado por diferentes tubos, con varios líquidos piezométricos. Algunos autores (Giles, 1994) señalan que estos piezómetros, formados por varios tubos y varios líquidos, reciben el nombre de manómetros. Cuando un piezómetro está formado por varios tubos, que comunican dos conductos cuya diferencia de presión es de interés y debe ser medida, los piezómetros reciben el nombre de “diferenciales”, precisamente porque permiten medir diferencia de presiones.
Un ejemplo de piezómetro simple se muestra a continuación:
Figura 3.- Ejemplo de un piezómetro simple. Un piezómetro diferencial se muestra en la Figura 4:
A 5 m S= 0.98 b a
B 3.2 m S = 1.2
3.3 m
S = 0.6
Figura 4.- Ejemplo de un piezómetro diferencial. Otro instrumento de uso común para medir presiones es el llamado manómetro de Bourdon. Consiste en un tubo doblado en forma de arco circular y sección transversal elíptica. Cuando en el interior del tubo actúa la presión atmosférica se marca la posición nula para el arco circular. Cuando actúa una presión mayor en el interior del tubo, éste tiende a estirarse, como se estira una manguera a la que se introduce agua a presión en su interior, ocasionando el movimiento de una aguja articulada hasta cierta posición previamente calibrada, en la cual se puede leer la presión relativa correspondiente. A continuación se incluye una ilustración que se acerca a describir un manómetro
tipo
Bourdon.
La
ilustración
fue
http://www.matematicasypoesia.com.es/metodos/meuweb122.htm
Figura 6.- Manómetro tipo Bourdon.
tomada
de
PROBLEMAS RELATIVOS AL USO DE MANÓMETROS PIEZOMÉTRICOS 1. Calcular la presión en el interior del tubo mostrado en la Figura, al cual se le ha adosado un tubo que funciona como piezómetro.
3.68 m
S = 1.2
A
3.2 m
Figura 7.- Piezómetro simple.
Análisis del problema: Para el cálculo de presión se usa la ecuación fundamental de la hidrostática P = * h. En este problema el peso específico se calcula a partir de la densidad relativa del fluido, dada en la ilustración. La altura se calcula restando los valores de elevación indicados. 3
= S * 1000 = 1200 kgf/m
h = 3.68 m - 3.2 m = 0.48 m P = 1200 * 0.48 = 576 kgf/m2 Otra forma de enfocar el problema es como sigue: Se plantea una ecuación de equilibrio, donde la formulación algebraica de la ecuación resulte igual a cero (la igualdad con el cero denota el equilibrio). Partiendo de la ecuación de equilibrio se despeja la variable solicitada, que en e ste caso es la presión en A. La ecuación de equilibrio se plantea en los tér minos siguientes: La presión que se genera en la columna piezométrica menos la presión en A debe ser igual a cero: P (columna piezométrica) – P(A) = 0 Partiendo de la ecuación d equilibrio se calcula la variable solicitada “P(A)”: P(A) = P (columna piezométrica) P (columna piezométrica) =
* h (columna piezométrica)
3
= 1200 kgf/m
h = 3.68 - 3.2 = 0.48 2
P (columna piezométrica) = 1200 * 0.48 = 576 kgf/m
2.- (Tomado de Giles, 1994): Un recipiente de presión contiene glicerina y posee un manómetro, tal como se muestra en la Figura 8. Determinar la presión en el punto A
103 cm
S = 1.262 Glicerina
Figura 8.- Piezómetro simple para cálculo de presión. Análisis del problema: Se plantea la ecuación de equilibrio, donde se muestre la interacción de las variables de interés, procurando la igual a cero: P(A) – P (columna piezométrica) = 0 De la expresión anterior se despeja la variable de interés: P(A) = P (columna piezométrica) Se calcula la presión que opera en el fondo de la columna piezométrica, donde el líquido que ingresa es glicerina y alcanza una altura de 1.03 m (103 cm). P (columna piezométrica) = * h 3
= S * 1000 kgf/m
3
= 1.262 * 1000 = 1262 kgf/m
h = 1.03 m 2
P (columna piezométrica) = 1262 * 1.03 = 1299.86 kgf/m 2
Para expresar el resultado en kgf/cm se divide el resultado entre 10000 considerando que: 1 m = 100 cm 2
2
2
1m = (100 cm) = 10000 cm
1299.86
*
2
= 0.13 kgf/cm
3.- (Tomado de Giles, 1994) Tal como se muestra en la Figura 9, un depósito abierto, con dos piezómetros laterales, contiene dos líquidos inmiscibles. Encontrar a) la altura de la superficie líquida libre en el piezómetro A; b) la elevación de la superficie del líquido en el piezómetro B, y c) la presión total en el fondo del depósito.
A
B
Elev 2 m
Líquido A S = 0.72
Elev 0.3 m Líquido B Elev 0 m
S = 2.36
Figura 9.- Depósito con líquidos inmiscibles, con piezómetros para cálculo de presión. Análisis del problema: Cada columna se interpreta de forma individual. Para el caso de la columna A, el líquido alcanza igual elevación a la que muestra el líquido A, basado esto en el principio que opera entre vasos comunicantes (1). a) De acuerdo con lo comentado arriba acerca de vasos comunicantes, la elevación del líquido en A es 2 m. b)
Para el cálculo de la elevación en B, primero se considera el principio de vasos comunicantes que operó para el caso anterior, pero adicionando otro elemento. Según esto, la elevación en B se plantea de la siguiente forma: Elev B = 0.3 m + h (debida a la influencia que ejerce el L íquido A sobre el Líquido B, incrementando su altura)
La altura “h” debida a la influencia que ejerce el Líquido A sobre el líquido B se calcula a partir de la ecuación fundamental de la hidrostática, que relaciona Presión, altura (h) y peso específico del fluido que “entra en el piezómetro”. P =
* h
h = P / (1)
Vasos comunicantes es el nombre que recibe un conjunto de recipientes comunicados por su parte inferior y que contienen un líquido homogéneo; se observa que cuando el líquido está en reposo alcanza el mismo nivel en todos los recipientes, sin influir la forma y volumen de estos.
P
es la presión que ejerce el líquido A sobre la superficie del líquido B. El líquido A
muestra una altura sobre el líquido B de 2 m – 0.3 m (dado que los valores indicados son de Elevación, mientras que los valores requeridos para el cálculo corresponden con dimensión vertical). El peso específico de B es el producto de la densidad relativa por 1000. 2
P (líquido A) = (0.72 * 1000) * (2 m – 0.3 m) = 1224 kgf/m h = 1224/(2.36*1000) = 0.519 m
Nótese que para el cálculo de “h” se introduce en la fórmula, el peso específico del fluido que entra en la columna piezométrica B, el cual corresponde con el peso específico del líquido B.
c)
La presión en el fondo del recipiente es la suma de la presión ejercida por el líquido A y la presión ejercida por el líquido B.
Ambas presiones se calculan multiplicando el peso específico de cada líquido por la altura (dimensión vertical) que ocupa en el recipiente: 3
2
P (A) = 720 kgf/m * 1.7 m = 1224 kgf/m 3
2
P (B) = 2360 kgf/m * 0.3 m = 708 kgf/m 2
P (total) = 1932 kgf/m
valor éste que expresado en kN re sulta: 18.95 kN
1932 * 9.81 /1000 = 18.95 kN
4.- (Tomado de Giles, 1994) Con referencia a la Figura 10, las áreas del pistón A y del cilindro B son, respectivamente, 2
de 40 y 4000 cm , y B pesa 4000 kg. Los depósitos y las conducciones de conexión están llenos de aceite de densidad relativa 0.750. ¿Cuál es la Fuerza necesaria para mantener el equilibrio, despreciando el peso de A?
F
XL=5 m
XB
Figura 10.- Sistema hidráulico de transmisión de presiones Análisis del problema: El problema solicita la fuerza F que debe aplicarse para mantener el equilibrio, considerando que el peso del pistón A no interviene e n dicho equilibrio. Este equilibrio se plantea como una relación de presiones. La fuerza que se quiere calcular genera una presión sobre el pistón A, el cual tiene una 2
superficie de 40 cm . Existe otra presión generada por la columna del líquido ubicada debajo del pistón A. Y la última presión que debe equilibrarse es la que genera el peso del cilindro B (4000 kg) sobre la superficie de dicho cilindro en contacto con el líquido (que es 2
de 4000 cm ). La relación de presiones para plantear el equilibrio es como sigue: P (F) + P (A) = P (B) P (F) =? P (A) = * h
P (F) = P (B) - P (A) 2
= 0.750 * 1000 = 750 h = 5 m P (A) = 750*5 = 3750 kgf/m = 0.375 kgf/cm 2
2
2
P (B) = F/A = W/A = 4000 kg/4000 cm = 1 kg/cm
2
P (F) = 1 - 0.375 = 0.625 kgf/cm
partiendo de la presión que genera la fuerza que
se quiere calcular, se despecha dicha fuerza: F = P * A F = 0.625 * 40 = 25 kgf
2
5.- Determinar la presión manométrica en A, en kgf/cm debida a la columna de mercurio (S = 13.57) en el manómetro en U mostrado en la Figura 11.
3.80 m 5 m
3.60 m
Agua a
B
C
3.00 m
S = 13.57
Figura 11.- Piezómetro en forma de U. Análisis del problema: El esquema general que aplica para el desarrollo de este problema consiste primero en la identificación de ciertos tramos del piezómetro llamados “marcos”. Una vez identificados estos marcos, que son las curvas del piezómetro donde existen columnas de igual magnitud vertical ocupada por un líquido uniforme, se procede a su eliminación del sistema con el propósito de que estas magnitudes no intervengan en el planteamiento de la ecuación de equilibrio. Precisamente el planteamiento de la ecuación de equilibrio es el tercer paso. Continúa entonces con el despeje de la variable de interés y los cálculos respectivos. 1.- se identifican los marcos 2.- se eliminan los marcos 3.- se plantea la ecuación de e quilibrio 4.- se despeja la variable de inter és 5.- se procede con los cálculos de las variables que intervienen en la fórmula obtenida en el punto 4. La Figura 11 muestra cómo se eliminan los marcos. En el sistema sobre el cual se trabaja en este ejercicio, sólo existe un marco, que es la curva donde el fluido manométrico (mercurio) muestra ramas vertical de igual magnitud vertical (altura). La eliminación de estas columnas procede toda vez que la columna de la izquierda se cancela con la columna de la derecha, considerando que una se interpreta en un recorrido vertical hacia abajo, mientras que la otra en un recorrido vertical hacia arriba, generando magnitudes de igual valor, pero de signos diferentes en un posible planteamiento de ecuación de equilibrio, razón por la cual se eliminan en la combinación algebraica que corresponde.
3.80 m 5 m
3.60 m
Agua a
B
C
3.00 m
S = 13.57
Figura 12.- Piezómetro en forma de U mostrando el marco eliminado. 3.- se plantea la ecuación de equilibrio. Para esto es necesario identificar los “tramos” que quedaron disponibles luego de la eliminación de los marcos. Para la asignación de los signos a las variables que intervienen en la ecuación de equilibrio se considera que aquellos tramos cuyo recorrido se muestre en vertical hacia abajo, se considerarán positivos, mientras que los que muestren recorrido vertical hacia arriba se les asignan signos negativos. Convencionalmente, es común comenzar la interpretación de los recorridos que hacen los fluidos que intervienen en el sistema, desde la izquierda hacia la derecha. En el caso que ocupa, comenzando en el tubo que contiene agua se plantea la presión presente en dicho tubo, como la primera variable; seguidamente viene un tramo de columna piezométrica ocupada por agua, que mide 0.60 m, mostrando un recorrido vertical hacia abajo (positivo). Le sigue un tramo de columna piezométrica ocupada por mercurio, con un recorrido vertical hacia arriba (negativo). Ecuación de equilibrio: P (agua) + P(a) – P (Hg) = 0 P (agua) = ?
P (agua) = P (Hg) – P(a)
P (Hg) = (Hg) * h (Hg)
3
(Hg) = 13.57 * 1000 = 13570 kgf/m
h (Hg) = (3.80 -3.00) = 0.80 m
P (Hg) = 13570 * 0.80 = 10856 P(a) =
(agua) * h (agua)
3
(agua)= 1000 kgf/m
h (agua) = (3.60 – 3.00) = 0.60 m
P(a) = 1000*0.6 = 600 2
P (agua)= 10856 – 600 = 10256 kgf/m
P (agua) = 10256/10000 = 1.0256 kgf/cm2
