GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU ODSEK ZA PLANIRANJE I GRA ĐENJE NASELJA VII semestar URBANA HIDROLOGIJA I METEOROLOGIJA
UVOD U HIDROLOGIJU Skripta
mr Jasna Petrovi ć, dipl. inž.
Beograd, 2001.
PREDGOVOR
Ova skripta predstavljaju najve ći deo predavanja održanih u okvuru predmeta Urbana hidrologija i meteorologija tokom zimskog semestra školske 2000/2001 godine. Nastala su imajući u vidu slabu pokrivenost ovog predmeta udžbeni čkom literaturom. Kao takva, predstavljaju obavezni deo programa za ovaj predmet koji studenti treba da savladaju kako bi uspešno položili ispit. S obzirom na kratak vremenski period u kome su ova skripta nastala, upu ćeniji čitaoci sigurno će naći zamerke na obim izložene materije. Iz istog razloga, autor se izvinjava čitaocima ukoliko u tekstu nai đu na greške i nekonsistentnosti, i bi će zahvalan ako mu se ukaže na sve propuste. U Beogradu, januara 2001. mr Jasna Petrovi ć
SADRŽAJ PRVI DEO: UVOD U HIDROLOGIJU I URBANU HIDROLOGIJU 1. UVOD ........................................................................................................................... 1 1.1 Predmet hidrologije ........................................................................................... 1 1.2 Zadatak hidrologije ............................................................................................ 1 1.3 Hidrološki ciklus ............................................................................................... 2 1.4 Globalni bilans voda .......................................................................................... 3 1.5 Uticaj ljudskih aktivnosti na hidrološki ciklus .................................................. 4 1.6 Specifičnosti hidrološkog ciklusa u urbanim sredinama ................................... 5 1.7 Predmet urbane hidrologije ............................................................................... 6
DRUGI DEO: HIDROLOŠKI PROCESI 2. ATMOSFERSKI PROCESI .......................................................................................... 8 2.1 Atmosfera .......................................................................................................... 8 2.2 Sunčevo zračenje ............................................................................................... 9 2.3 Vodena para ..................................................................................................... 13 2.4 Temperatura vazduha ...................................................................................... 15 2.5 Atmosferski pritisak ....................................................................................... 15 2.6 Vetar ................................................................................................................ 16 2.7 Isparavanje ....................................................................................................... 18 2.8 Padavine .......................................................................................................... 22 2.8.1 Formiranje padavina ............................................................................. 22 2.8.2 Varijacije padavina ................................................................................ 23 2.8.3 Merenje padavina .................................................................................. 24 2.8.4 Obrada podataka o padavinama ........................................................... 25 3. POTPOVRŠINSKI PROCESI .................................................................................... 28 3.1 Zemljišna vlaga ............................................................................................... 28 3.1.1 Osnovni pojmovi .................................................................................... 29 3.1.2 Kretanje vode u nezasi ćenoj sredini ...................................................... 29 3.1.3 Merenje sadržaja zemljišne vlage i potencijala vode u zemljištu .......... 30 3.2 Infiltracija ........................................................................................................ 31 3.3 Podzemne vode ................................................................................................ 32 4. POVRŠINSKI PROCESI ............................................................................................ 34 4.1 Površinski oticaj .............................................................................................. 34 4.2 Hidrogrami proticaja u vodotocima ................................................................. 36 4.3 Efektivna kiša i direktni oticaj ......................................................................... 37
4.4 Merenje površinskih voda ............................................................................... 38 4.4.1 Merenje vodostaja .................................................................................. 38 4.4.2 Merenje brzina ....................................................................................... 39 4.4.3 Prorač un proticaja na osnovu izmerenih brzina ................................... 40 4.4.4 Kriva proticaja ....................................................................................... 41
TREĆI DEO: STATISTIČKA ANALIZA U HIDROLOGIJI 5. STATISTIČKA ANALIZA U HIDROLOGIJI .......................................................... 43 5.1 Slučajne promenljive i njihove raspodele verovatno će ................................... 43 5.1.1 Osnovni pojmovi .................................................................................... 43 5.1.2 U č estalost i funkcija raspodele .............................................................. 45 5.1.3 Statistič ki parametri ............................................................................... 47 5.2 Teorijske raspodele verovatno će za hidrološke veli čine ................................. 50 5.2.1 Normalna raspodela .............................................................................. 50 5.2.2 Log-normalna raspodela ....................................................................... 50 5.2.3 Gama raspodela ..................................................................................... 51 5.2.4 Pirsonova raspodela III tipa .................................................................. 52 5.2.5 Log-Pirson III raspodela ....................................................................... 52 5.2.6 Raspodele ekstremnih vrednosti ............................................................ 53 5.2.6 Eksponencijalna raspodela .................................................................... 53 5.2.7 Prilagođ avanje teorijske funkcije raspodele .......................................... 55 5.3 Statistička analiza hidroloških nizova ............................................................. 55 5.3.1 Hidrološki nizovi .................................................................................... 56 5.3.2 Empirijska raspodela niza ..................................................................... 57 5.3.3 Povratni period ...................................................................................... 59 5.3.4 Prorač un teorijskih funkcija raspodele .................................................. 59 5.3.5 Dijagrami verovatno će .......................................................................... 61 5.3.6 Testiranje slaganja teorijske i empirijske funkcije raspodele ................ 63 ČETVRTI
DEO: HIDROLOŠKE ANALIZE
6. RAČUNSKE KIŠE ..................................................................................................... 65 6.1 Računske visine kiša i ra čunski intenziteti kiša ............................................... 65 6.2 Zavisnosti visina (intenzitet) kiše – trajanje kiše – povratni period ................ 67 6.3 Računski hijetogrami ....................................................................................... 69 7. RAČUNSKI PROTICAJI ........................................................................................... 71 7.1 Metode za odre đivanje merodavnih velikih voda ............................................ 71 7.2 Određivanje računskih proticaja na osnovu ra čunskih kiša ............................. 73 7.3 Određivanje efektivne kiše .............................................................................. 73 7.3.1 Konstantni gubici ................................................................................... 73
7.3.2 Proporcionalni gubici ............................................................................ 74 7.3.3 Hortonova jedna č ina ............................................................................. 74 7.3.4 SCS metoda za efektivnu kišu ................................................................. 75
7.4 Transformacija efektivne kiše u oticaj ............................................................. 7.4.1 Racionalna metoda ................................................................................ 7.4.2 Sintetič ki jedinič ni hidrogrami .............................................................. 7.4.3 Vreme koncentracije .............................................................................. PRILOG A
Statističke tablice
PRILOG B
Obračun gubitaka po SCS metodi
77 77 78 81
PRVI DEO UVOD U HIDROLOGIJU I URBANU HIDROLOGIJU
1. UVOD 1.1 Predmet hidrologije
Hidrologija se definiše kao geofizi čka nauka koja prou čava vode na Zemlji. Ona se bavi njihovim osobinama, prostornom i vremenskom raspodelom i kretanjem u prirodi. Voda, kao najzastupljenija materija na Zemlji, neprestano kruži u prirodi izme đu Zemlje i atmosfere. To beskona čno kruženje vode naziva se hidrološki ciklus. On obuhvata mnogobrojne puteve kojima voda koja pada na površinu Zemlje dospeva do okeana, odakle se isparavanjem ponovo vra ća u atmosferu i snabdeva je vlagom potrebnom za obnavljanje celog procesa. U tom smislu hidrologija se ponekad definiše i kao nauka koja prou čava hidrološki ciklus. Međutim, mnoge fizi čke, hemijske, biološke, ali i primenjene nau čne discipline se bave pojedinim delovima hidrološkog ciklusa (astronomija, fizika oblaka, meteorologija, klimatologija, ekologija, geografija, hidrologija površinskih voda, okeaonografija, geologija i druge). Za hidrotehni čke inženjere najvažniji deo hidrološkog ciklusa predstavlja njegova zemljišna faza, odnosno vode na kopnu i u tlu, pa se taj deo ciklusa najviše izučava u okviru kurseva hidrologije. Najve će dodirne ta čke hidrologija ima sa hidrometeorologijom, koja prevashodno izu čava padavine i isparavanje kao dva najzna čajnija procesa za vodne resurse na Zemlji. 1.2 Zadatak hidrologije
Potrebe čoveka za vodom radi održanja života i proizvodnje hrane postoje još od nastanka prvih civilizacija. Sa porastom stanovništva i razvojem društva potrebe za vodom se stalno pove ćavaju, a širi se i spektar vidova koriš ćenja vode, u koje spadaju snabdevanje stanovništva i industrije vodom, navodnjavanje, proizvodnja hidroenergije, rekreacija i drugi. Pored koriš ćenja vode i problema njene raspoloživosti, ljudska civilizacija odavno ima i problem zaštite od voda. Poplave su oduvek izazivale velike štete i predstavljale elementarne nepogode. U novije vreme dolazi do izražaja i tre ći aspekt odnosa voda i ljudi, a to je pitanje zaštite voda, odnosno zaštite njenog kvaliteta. Dakle, pored problema raspoloživosti voda, javlja se i problem njihove upotrebljivosti. U svim ovim aspektima ljudi su oduvek želeli – a danas je to neophodno – da imaju kontrolu nad vodama: da imaju dovoljno vode za svoje potrebe i da ona pri tome bude zadovoljavaju ćeg kvaliteta, a s druge strane, da se zaštite od štetnih dejstava vode. Iz ovih potreba za kontrolom voda nastale su mnoge hidrotehničke discipline čiji je zadatak da se izgrade objekti koji će omogućiti upravljanje vodama. Zadatak hidrologije je da doprinese analizi problema koli čina, kvaliteta i raspodele voda kako bismo njima upravljali što uspešnije. Hidrologija je dakle nauka koja nalazi primenu u koriš ćenju i kontroli vodnih resursa na površini Zemlje tj. kopnu. Prakti čna primena hidrologije može se na ći u inženjerskim zadacima planiranja, projektovanja i upravljanja radom hidrotehni čkih objekata, vodovodnih sistema, pre čišćavanju i ispuštanju otpadnih voda, navodnjavanju i odvodnjavanju, koriš ćenju vodnih snaga, zaštiti od poplava, 1
plovidbi, eroziji i kontroli nanosa, zaštiti od zaga đivanja, rekreativnog koriš ćenja voda i zaštiti riba i živog sveta. Uloga primenjene (inženjerske) hidrologije jeste da dâ konkretne odgovore na pitanja o količinama i kvalitetu vode u okviru ovih inženjerskih zadataka i da obezbedi osnovu za planiranje vodoprivrednih sistema i njihovo upravljanje. 1.3 Hidrološki ciklus
Voda na Zemlji nalazi se u prostoru koji se naziva hidrosfera i koji se prostire oko 15 km naviše u atmosferu i oko 1 km naniže u litosferu, odnosno Zemljinu koru. Voda u hidrosferi kruži kroz lavirint puteva koji čine hidrološki ciklus (slika 1). Ovaj ciklus predstavlja jedan zatvoren sistem koji nema početak ni kraj i u kome se razni procesi neprekidno odvijaju. Pokretačka snaga kruženja vode u prirodi je energija sun čevog zračenja. Najveći deo vode na Zemlji nalazi se u okeanima (tabela 1), pa je logično da razmatranje hidrološkog ciklusa po čnemo od njih. Površine okeana i mora se zagrevaju pod uticajem toplotne energije sun čevog zračenja tako da dolazi do procesa isparavanja vode. Voda koja isparava postaje deo atmosfere u vidu vodene pare ( čest naziv je i atmosferska vlaga). Zajedno sa kretanjem vazdušnih masa u okviru atmosferskih cirkulacija, kre će se i vodena para pri čemu se formiraju oblaci. Pod povoljnim atmosferskim uslovima, u oblacima dolazi do kondenzacije i stvaraju se padavine. Padavine se vra ćaju u okeane ili direktno ili zaobilaznim putem preko kopna. Sneg se može akumulisati u polarnim predelima ili na visokim planinama i pretvoriti u led, a u tom stanju može ostati veoma dugo. U toplijim krajevima, kiša se može zadržati na vegetaciji (proces intercepcije), odakle se deo zadržane vode može odmah vratiti u atmosferu ispravanjem. Kiša koja dospe do površine zemlje može formirati površinski oticaj ili se može infiltrirati u zemljište. Voda koja se
atmosferska vlaga
padavine na kopno
padavine na okeane
isparavanje sa kopna povr{inski oticaj
isparavanje sa okeana
isparavanje i transpiracija
infiltracija nepropusno tlo
zemlji{na vlaga
podpovr{inski tok podzemne vode
Slika 1. Hidrološki ciklus. 2
povr{inski tokovi podzemni tok
infiltrarala doprinosi pove ćanju sadržaja zemljišne vlage i ima više mogu ćnosti za dalje putovanje. Tu vodu mogu trošiti biljke koje će je kasnije vratiti u atmosferu kroz proces transpiracije. Infiltrarirana voda može te ći kroz nezasićene slojeve tla kao potpovršinski oticaj i dospeti do reka nešto sporije nego površinskim oticanjem. Iz nezasi ćenih slojeva tla voda se može procediti u dublje slojeve (proces perkolacije). Na taj na čin voda dospeva do nivoa podzemnih voda , tj. do zasi ćenog tla, a zatim se ponovo može pojaviti na površini u obliku izvora ili može te ći kao podzemni oticaj i prihranjivati površinske vode. Površinski, potpovršinski i podzemni oticaj se spajaju u površinskim tokovima – rekama i potocima – koji se mogu privremeno zadržavati u jezerima, ali kona čno opet dospevaju do okeana kako bi se hidrološki ciklus nastavio. 1.4 Globalni bilans voda
Procena ukupne koli čine vode na Zemlji u razli čitim oblicima tema je mnogih nau čnih istraživanja još od druge polovine 19. veka. Me đutim, kvantitativni podaci se teško dobijaju, naro čito iznad okeana, tako da su precizne ocene koli čina vode u razli čitim fazama hidrološkog ciklusa još uvek nepoznate. Prema nekim izvorima (Chow, 1988), ukupna koli čina voda na Zemlji se procenjuje na oko 1386 miliona km3. Oko 96.5% ukupne vode na Zemlji nalazi se u okeanima (tabela 1). Kada bi Zemlja bila pravilna lopta, ova koli čina vode bi bila dovoljna da je pokrije do dubine od 2.6 km. Od preostale vode, 1.7% nalazi se zarobljeno u ledu u polarnim predelima, 1.7% u podzemnim vodama i svega 0.1% se nalazi u površinskim vodama i atmosferskoj vodi. Od ukupnih koli čina vode, svega 2.5% su slatke vode, dok su ostale slane. Dve tre ćine slatke vode se nalazi u polarnom ledu, a ve ćina preostale tre ćine u podzemnim vodama na dubinima od 200 do 600 m. Ispod ove dubine ve ćina podzemnih voda je slana. U površinskim vodama se nalazi 0.3% slatkih voda, od čega je u rekama svega 0.03%, a ostalo u jezerima. Iako je sadržaj vode na kopnu i u atmosferi u jednom trenutku relativno mali, ogromne koli čine vode prolaze kroz njih tokom jedne godine. Globalni godišnji bilans voda je prikazan u tabeli 2, gde se može videti da 57% padavina na kopno ispari, dok preostalih 43% formira oticaj ka okeanima, ve ćinom u obliku površinskih voda. U ukupnom isparavanju koje formira atmosfersku vlagu, 90% je isparavanje sa okeana, a svega 10% sa kopna. Tabela 1. Procena koli čina vode na Zemlji. Mesto Okeani Polarni led Ostali led i sneg Podzemne vode slatke slane Jezera slatka slana Močvare Zemljišna vlaga Reke Biološka voda Atmosferska voda Ukupno vode Ukupno slatke vode
Površina (miliona km2) 361.3 16.0 0.3
Zapremina (km3) 1,338,000,000 24,023,500 340,600
134.8 134.8
10,530,000 12,870,000
1.2 0.8 2.7 82.0 148.8 510.0 510.0 510.0 148.8
91,000 85,400 11,470 16,500 2,120 1,120 12,900 1,385,984,610 35,029,210
Procenat ukupne vode 96.5 1.7 0.025 0.76 0.93 0.007 0.006 0.0008 0.0012 0.0002 0.0001 0.001 100 2.5
Procenat ukupne slatke vode 68.6 1.0 30.1 0.26 0.03 0.05 0.006 0.003 0.04 100
3
Tabela 2. Globalni godišnji bilans voda. Okeani
Kopno
Ukupno
361
149
510
Površina
(miliona km2)
Padavine
(km3/god) (mm/god)
405000 1120
107000 720
512000 1000
Isparavanje
(km3/god) (mm/god)
451000 1250
61000 410
512000 1000
Oticaj
(km3/god) (mm/god)
46000 310
Analiza vode u globalnom vodnom bilansu daje uvid u dinamiku hidrološkog ciklusa. Tako se, na primer, može izra čunati vreme koje voda provede u vidu atmosferske vlage. Iz tabele 1 može se videti da ukupna zapremina atmosferske vlage iznosi 12900 km 3. S druge strane, iz tabele 2 se vidi da se ukupno 512000 km3 atmosferske vlage godišnje pretvori u padavine, odnosno da fluks atmosferske vlage iznosi 512000 km3 /god. Prosečno vreme zadržavanja vode u atmosferi može se izra čunati kao odnos zapremine i fluksa atmosferske vlage, dakle kao 12900 / 512000, što iznosi 0.025 godina ili oko 9 dana. Ovako kratko zadržavanje vode u atmosferi je jedan od razloga zašto se ta čne vremenske prognoze ne mogu praviti za više dana unapred. Na sli čan način mogu se izra čunati i vremena zadržavanja vode u drugim fazama hidrološkog ciklusa. 1.5 Uticaj ljudskih aktivnosti na hidrološki ciklus
U globalnom hidrološkom ciklusu ukupna koli čina vode uglavnom ostaje konstantna. Me đutim, globalni hidrološki ciklus nije samo jedan veliki ciklus, ve ć je sastavljen od više međusobno povezanih ciklusa kontinentalne, regionalne ili lokalne razmere. Zbog toga se raspodela vode na kontinentima i unutar slivnih površina stalno menja, što se ispoljava i kroz prostorne i kroz vremenske varijacije. Pored prirodnih varijacija u raspodeli voda, i ljudske aktivnosti uti ču na vodni režim. Ljudi obrađuju zemlju, navodnjavaju biljke, đubre zemljište, kr če šume, crpe podzemne vode, grade brane, bacaju otpatke u reke i jezera, i rade mnoge druge konstruktivne ili destruktivne stvari koje menjaju dinamičku ravnotežu hidrološkog ciklusa i iniciraju nove procese. Tu spada i proces urbanizacije, jer su izgrađeni gradovi i naselja na mestima gde su nekad bile ruralne površine. Urbane sredine su postale mesta gde hidrološki ciklus ima odre đene specifičnosti. Iako se uticaj ljudskih aktivnosti i promena namene zemljišnih površina sve više razmatra u okviru hidrologije u poslednje vreme, jedino je urbanizacija dovela do priznavanja nove grane – urbane hidrologije. Izgradnjom hidrotehni čkih objekata hidrološki ciklus se menja utoliko što se voda ne kre će svojim prirodnim putevima, ve ć onim koji su joj nametnuti. To je ilustrovano primerom na slici 2, gde je prikazan vodotok iz koga se voda zahvata za razli čite namene. Zahvatanje vode se može vršiti direktno iz vodotoka ili iz akumulacija. Na sisteme za navodnjavanje poljoprivrednih površina voda se dovodi da bi se dalje upijala u zemljište i da bi je biljke koristile za transpiraciju. Voda se može zahvatati i za potrebe industrije, odakle se posle prerade ponovo ispušta u vodotok; osnovni problem kod ispuštanja industrijskih otpadnih voda je njihov poslovi čno visok sadržaj zaga đujućih materija. Voda namenjana snabdevanju naselja može se zahvatati iz vodotoka i akumulacija, ali se može i crpeti iz podzemnih voda pomoću bunara. Upotrebljene vode iz naselja, kao i kišne vode prikupljene sa ulica, odvode se iz naselja kanalizacionim sistemom i ispuštaju u vodotoke. Voda u akumulacijama se koristi i za proizvodnju električne energije u hidroelektranama. 4
Akumulacije drastično menjaju vremensku raspodelu voda na slivu. Njihov režim rada zavisi od njihove namene (postoje jednonamenske i višenamenske akumulacije), ali im je uvek cilj da izravnaju neravnomernosti u prirodnom režimu voda. Skoro svaka akumulacija se koristi za zaštitu od poplava kao "objekat" za ublažavanje poplavnih talasa: zadržavanjem poplavnog talasa u akumulaciji smanjuju se maksimalni proticaji i produžava se vreme ispuštanja vode ka nizvodnim oblastima. S druge strane, akumulacije obezbeđuju neophodne minimume vode za nizvodne korisnike u periodima suše. Snabdevanje naselja vodom Navodnjavanje akumulacija
Snabdevanje industrije vodom
Odvo| enje otpadnih voda
Proizvodnja elektri~ne energije
Navodnjavanje
rezervoar
Snabdevanje naselja vodom
vodotok
Odvo| enje otpadnih voda
Slika 2. Primeri za izmenu režima voda pod uticajem ljudskih aktivnosti.
1.6 Specifičnosti hidrološkog ciklusa u urbanim sredinama
Ako se detaljnije razmatra jedna urbana sredina, mogu se uo čiti još neki aspekti promene prirodnog režima voda. Osnovna karakteristika urbanih sredina jeste zna čajno uvećano učešće nepropusnih površina (ulica, krovova i velikih poplo čanih ili asfaltiranih površina). Prirodni putevi dreniranja voda se menjaju i dopunjuju kanalizacionim sistemima, dok se efekti plavljenja ublažavaju retenzionim prostorima i drugim merama odbrane od poplava. U početnim fazama urbanog razvoja upotrebljene vode iz doma ćinstava odvode se u septi čke jame, a sa daljim razvojem grade se sistemi kolektora za prikupljanje otpadnih voda. Što je urbana sredina razvijenija, to je ve ći procenat stanovništva koji je priklju čen na kanalizacioni sistem. Kanalisanje upotrebljenih voda i kanalisanje kišnih voda može se sprovoditi kroz zajedni čke kolektore ( opšti sistem kanalisanja) ili kroz odvojene kolektore ( separacioni sistem kanalisanja). Istorijski gledano, najpre su građeni opšti sistemi, a zatim separacioni. S obzirom da upotrebljene vode iz doma ćinstava i industrije, ali i kišnica, sadrže znatne koli čine zagađujućih materija, u najve ćem broju slučajeva je neophodno da se otpadne vode odvode na postrojenja za pre č iš ćavanje gde se do odre đenog stepena oslobađaju zagađujućih materija, a da se zatim ispuštaju u lokalne vodotoke ili čak u mora i okeane. Na početku urbanog razvoja vodovodni sistemi se snabdevaju iz lokalnih izvora površinskih i podzemnih voda, ali se sa porastom stanovništva i potreba za vodom dalje snabdevanje često mora obezbeđivati i sa udaljenih lokacija. Zato se i vodosnabdevanje i kanalisanje otpadnih voda često prostiru i izvan neposrednih granica urbane sredine. 5
1.7 Predmet urbane hidrologije
Dva aspekta urbanizacije koji imaju najo čigledniji uticaj na hidrološke procese jesu pove ćanje broja stanovnika i povećanje gustine naseljenosti odnosno izgra đenosti. Posledice takvih promena shematski su prikazane na slici 3. Povećanje broja stanovnika dovodi do pove ćanja potreba za vodom. Sa porastom životnog standarda ove potrebe se još više uve ćavaju. Problem obezbe đivanja adekvatnih (po koli činama i kvalietetu) vodnih resursa je prvi glavni hidrološki problem u urbanim sredinama. Sa povećanjem broja stanovnika pove ćava se količina otpadnih voda, naro čito kada su kanalizacioni sistemi ve ć izgrađeni. Što je ve ći procenat stanovništva priklju čenog na kanalizacioni sistem, veće su količine otpadnih voda. Ispuštanjem otpadnih voda u vodotoke pogoršava se kvalitet voda u vodotocima. S druge strane, pove ćana izgrađenost uzrokuje ve ći procenat nepropusnih površina, izmenu prirodnog sistema dreniranja i promenu mikroklime. Zbog pove ćane nepropusnosti ve ći deo pale vode se pretvara u oticaj u poređenju sa uslovima pre urbanizacije, dok se manja koli čina vode infiltrira. Zbog izgradnje kišnih kolektora, regulisanja prirodnih vodotoka ili čak zacevljenja manjih potoka, vode sa gradskih slivova se znatno brže odvode. Ve će su brzine tečenja, a skraćuje se vreme oticanja. Pošto se veće zapremine vode odvode za kra će vreme, maksimalni proticaji su neumitno ve ći. Povećani proticaji i zapremine vode ka problemu plavljenja urbanih sredina, što je drugi glavni hidrološki problem u urbanim sredinama. URBANIZACIJA
povećan broj stanovnika
povećane potrebe za vodom
obezbe đenje potreba za vodom
povećana izgrađenost
povećane otpadne vode
povećane nepropusne površine
smanjena infiltracija i prihranjivanje podzemnih voda
smanjeni bazni protoci u rekama
izmena prirodnog sistema odvodnjavanja
povećan oticaj
6
pove ćana brzina tečenja
povećana erozija
pogoršan kvalitet vode u vodotocima
povećani maksimalni proticaji
ZAŠTITA OD ZAGA ĐENJA
ZAŠTITA OD PLAVLJENJA
Slika 3. Uticaj urbanizacije na hidrološke procese.
promena mikroklime
smanjenje vremena oticanja
Poveećane brzine i pove ćan oticaj stvaraju i problem pove ćane erozije. Materijal koji se spira sa ulica i drugih gradskih površina završava u kanalizacionom sistemu i uti če na probleme kvaliteta voda u vodama-prijemnicima. Promene mikroklime u urbanim sredinama mogu na prvi pogled izgledati nevažno u pore đenju sa promenama u hidrološkom ciklusu koje donosi urbanizacija. Ipak, odre đenu pažnju bi trebalo posvetiti posledicama promena klime kada su pitanju parametri od zna čaja za projektovanje infrastrukture. Na primer, ako je uočen trend pove ćanja intenziteta padavina, to će za posledicu imati potrebu da se utvri veći stepen zaštite od oticaja kišnih voda. Pored već pomenutih efekata urbanizacije na kvalitet voda, postoji i efekat smanjene infiltracije, a time i smanjeno prihranjivanje podzemnih voda. S obzirom da se tokom sušnih perioda bazni proticaji u prirodnim vodotocima formiraju iz podzemnih rezervoara vode, može se o čekivati smanjenje baznih proticaja i malih voda. Nažalost, ovo smanjenje koli čina vode u kombinaciji sa istim ili čak i pove ćanim količinama otpadnih voda daje kao rezultat pove ćane koncentracije zaga đujućih materija u vodotocima. Na žalost, ovakva situacija se ne ublažava mnogo u kišnim periodima. Zajedno sa oteklom kišnom vodom u vodotoke dospeva i sav materijal koji je spran sa ulica, krovova i drugih površina, pa čak i deponija čvrstog otpada. Odlaganje čvrstog otpada na deponije ima negativan uticaj i na kvalitet podzemnih voda. Problem degradacije kvaliteta i površinskih i podzemnih voda u urbanim sredinama je tre ći glavni hidrološki problem. Dakle, osnovni hidrološki problemi urbanih sredina, nastali kao posledica urbanizacije, jesu: − vodosnabdevanje, odnosno obezbe đivanje dovoljnih koli čina vode odgovaraju ćeg kvaliteta; − zaštita od plavljenja kišnim vodama; − zaštita voda od zaga đenja. Od ova tri problema, prvi – vodosnabdevanje – predstavlja širi vodoprivredni problem i izlazi iz okvira inženjerske hidrologije. Preostala dva problema, zaštita od plavljenja i zaga đenja, imaju svoje specifičnosti u urbanoj sredini i predstavljaju glavni predmet izu čavanja u urbanoj hidrologiji.
7
DRUGI DEO HIDROLOŠKI PROCESI
2. ATMOSFERSKI PROCESI 2.1 Atmosfera Atmosfera predstavlja vazdušni omota č oko Zemlje. Ona nema izraženu gornju granicu jer gustina vazduha postepeno opada sa udaljavanjem od Zemlje i na 600 km postaje bezna čajna. Na visini od 300 km ima dovoljno vazduha koji se suprotstavlja meteorima i tera ih da se užare. Me đutim, 90% mase vazduha nalazi se ispod visine od 20 km, a dve tre ćine ispod najviše tačke na svetu – Mont Everesta – na visini od 9 km. Visina (km)
Pritisak (mb) 10
Gustina (kg/dm3)
-4
100 10 10
-9
Termosfera
-3
90
80
10
-2
Mezopauza
10
70 10
-7
-1
Mezosfera
60
50
10
1
-6
Stratopauza
40 10
10
-5
30
20
Stratosfera
10
2
10
-4
Cirus Mont Everest 8882 m
Tropopauza
10
0
a r e f s o n o z O
10
3
10
-3
Troposfera
Kumulonimbus
−100 −90 −80 −70 −60 −50 −40 −30 −20 −10
0
10
20
30
o
C
Slika 4. Promena temperature vazduha u atmosferi sa udaljavanjem od Zemlje. 8
Gustina i pritisak vazduha u atmosferi konstantno opadaju sa pove ćanjem visine; to opadanje je veoma brzo na prvih 20-30 km visine (i gustina i pritisak opadnu za dva reda veli čine), a zatim je sporije. S druge strane, temperatura se menja na nepravilan na čin (slika 4). Prema ovom temperaturnom profilu atmosfera se deli na više slojeva. Najniži deo atmosfere je troposfera u kojoj temperatura opada sa visinom. Granica troposfere se naziva tropopauza, gde dolazi do promene gradijenta temperature. Temperatura vazduha u troposferi opada sa gradijentom koji zavisi od sadržaja vlage u atmosferi. U proseku, taj gradijent iznosi 6.5 oC po kilometru visine. Visina tropopauze se kre će od 16 km na ekvatoru do 8 km na polovima, a prisutne su i sezonske varijacije usled promene pritiska i temperature. U na čelu, tropopauza će biti na većoj visini ako su temperatura na površini i pritisak na nivou mora visoki. Temperatura na tropopauzi varira od –80 oC iznad ekvatora gde je tropopauza najviša, do –40 oC iznad delova kopna koji se protežu ka arkti čkim predelima (kao što su Sibir i Kanada) gde je tropopauza najniža. Troposfera je najvažniji sloj za hidrologe, jer on sadrži prakti čno svu atmosfersku vlagu. Sloj iznad tropopauze naziva se stratosfera, a u njemu su temperature i kretanje vazduha ravnomerniji. Na visinama od 20 do 50 km temperature rastu usled toga što sloj ozona apsorbuje deo sunčevog zračenja i oslobađa deo energije u vidu toplote. Sastav atmosfere. U atmosferi ima najviše azota i kiseonika, a nešto manje argona i drugih gasova (tabela 3). To su nepromenljivi sastojci atmosfere. Me đu sastojcima čija je zastupljenost promenljiva najvažnija je voda, koja se može javiti u sva tri agregatna stanja. Ozon i ugljen-dioksid su važni gasoviti sastojci, a njihove koli čine se mogu menjati u širokim granicama. Ozon je važan jer filtrira sun čevu radijaciju, odnosno spre čava ultraljubičasto zračenje da dospe do površine Zemlje, dok ugljen-dioksid i vodena para apsorbuju zra čenje sa Zemlje (ovom apsorpcijom se pove ćava temperatura atmosfere). Koli čina ugljen-dioksida zavisi od njegove potrošnje na vegetaciji, od apsorpcije na okenima, od produkcije u životinjskom svetu i tokom sagorevanja fosilnih goriva. Promene količina ozona i ugljen-dioksida i njihov uticaj na koli čine i raspodele voda na Zemlji tema su mnogih istraživanja izmena u globalnoj klimi. Na primer, postoje teorije da se koli čina ugljendioksida u atmosferi pove ćava zbog sagorevanja fosilnih goriva, što može dovesti do zagrevanja Zemlje, promene u režimu padavina i isparavanja i uopšte do dramati čne promene klime na Zemlji. Čvrste čestice u atmosferi su čestice prašine, dima, soli i mikroorganizmi. Na njima se sun čevo zračenje rasipa i reflektuje u razli čitim delovima svetlosnog spektra što daje razli čite boje nebu. Ove čestice imaju ulogu i u kondenzaciji vodene pare, formiranju oblaka i nastanku padavina. Tabela 3. Glavni sastojci vazduha. Sastojak Azot Kiseonik Argon Inertni i drugi gasovi
Procentualna zastupljenost u masi 75.51 23.15 1.28 0.06
2.2 Sunčevo zračenje Sunčevo zračenje je glavni izvor energije na površini Zemlje. Ono je pokreta čka snaga hidrološkog ciklusa. Sunce emituje energiju u svemir u obliku kratkih elektromagnetnih talasa. U atmosferi ovo zra čenje najvećim delom pripada talasnim dužinama od 0.17 do 4 mikrona, sa maksimumom na 0.475 mikrona 9
(slika 5). Jačina Sunčevog zračenja zavisi od talasne dužine zra čenja: najjače zračenje pripada delu spektra vidljive svetlosti (od 0.4 do 0.7 mikrona). Polovina ukupne energije koju Sunce emituje pripada upravo ovom delu spektra, a ostatak ultraljubi častom i infracrvenom delu. 10 000
a j n e ~ a r z ) g o m v / e 5 000 ~ W n k ( u S a n i ~ a J
o t s a ~ i b u j l a r t l u
2
0
o v i j l d i v
0.5
o n e v r c a r f n i 1.0
1.5
2.0
2.5
Talasna du`ina (mikrona)
Slika 5. Spektar Sun čevog zračenja. Sunč evo zrač enje na granici atmosfere u jedinici vremena na jedini čnu površinu upravnu na pravac
Sunčevih zraka i na prose čnoj udaljenosti od Zemlje iznosi 1.39 kW/m 2 (1.39 kJ/s/m2). Ova veličina se naziva solarna konstanta. Naravno, ja čina Sunčevog zračenja zavisi od pozicije Zemlje u odnosu na Sunce. Zbog kruženja Zemlje oko Sunca i okretanja oko sopstvene ose, menja se odstojanje Zemlje od Sunca i visina Sunca iznad razmatrane ta čke na Zemlji, čime se uslovljavaju varijacije Sun čevog zračenja po godišnjim dobima i po geografskim širinama. Koli čina energije koja dospeva do neke ta čke na Zemlji zavisi i od dužine dana, koja tako đe zavisi od godišnjeg doba i geografske širine. Samo jedan deo energije koju Sunce emituje dospeva do Zemlje kao direktno zrač enje; preostali deo se reflektuje, apsorbuje ili rasipa u atmosferi ili na površini Zemlje. Smatra se da u prose čnim uslovima 43% Sunčevog zračenja dospe do površine Zemlje, 42% se reflektuje ili rasipa nazad u svemir, a 15% se apsorbuje u atmosferi (slika 6). Količine reflektovanog, rasutog i apsorbovanog zra čenja zavisiće od sastava atmosfere i vrste površine na Zemlji do koje zra čenje stiže. SVEMIR
Dolaze}e sun~evo zra~enje 100
Odlaze}e zra~enje Kratkotalasno 42
Rasipanje u vazduhu
ATMOSFERA Apsorpcija na 15 vodenoj pari, pra{ini, ozonu
Apsorpcija na oblacima Apsorpcija
Refleksija od oblaka
Refleksija od povr{ine zemlje
Dugotalasno 58
Neto emisija od vodene pare i ugljen-dioksida Emisija od oblaka
Apsorpcija na vodenoj pari i ugljen-dioksidu Latentna toplota Vidljiva (osetna) Neto emisija toplota dugotalasnog zra~enja
OKEANI I KOPNO 43 43
Slika 6. Bilans zra čenja (toplotne energije) u atmosferi. Procenat reflektovanog zra čenja u odnosu na ukupno zra čenje naziva se albedo (r ), čije se vrednosti kreću između 0 i 1. Beli oblaci i beo sneg reflektuju veliki procenat dolaze ćeg zračenja, pa je njihova vrednost albeda čak i 0.9. S druge strane, tamne površine dubokih mora apsorbuju ve ćinu zračenja i imaju albedo skoro jednak nuli. U tabeli 4 date su vrednosti albeda za neke vrste površina. 10
Tabela 4. Vrednosti albeda za neke vrste površina. Vrsta površine Albedo Gusta i tamna šuma 0.05 Trava 0.23 Golo zemljište 0.10 – 0.20 Sneg 0.46 – 0.81 Vodena površina 0.04 – 0.39 Količina apsorpcije zračenja zavisi od sastava atmosfere. U apsorpciji naro čitu ulogu imaju vodena para i ugljen-dioksid. Od njihovih koli čina u atmosferi, koje mogu biti veoma razli čite, zavisi i koli čina apsorbovanog zra čenja. Zbog toga u danima sa malom vlažnoš ću vazduha Sunce "ja če peče", a u vlažnim danima slabije. U proseku, vodena para apsorbuje 11% direktnog zra čenja, a ostali gasovi oko 4%. Kratkotalasno dolazeće Sunčevo zračenje se teže apsorbuje od dugotalasnog odlaze ćeg zračenja Zemlje, što je jedan od uzroka tzv. efekta staklene bašte. Rasipanje zračenja u atmosferi je posledica prisustva čestica manjih od talasne dužine zra čenja. U proseku, oko 9% dolaze ćeg zračenja se rasipa nazad u svemir, dok dodatnih 16% rasutog zra čenja dospeva do Zemlje kao difuzno zra čenje. Najlakše se rasipa plava svetlost, zbog čega nebo dobija plavu boju. Tokom izlaska i zalaska Sunca opti čka putanja je najduža, pa se plava svetlost rasipa od zemlje, a crvenkasta svetlost se direktno prima. Deo zračenja koji dospeva do površine Zemlje pripada delu spektra sa kratkim talasnim dužinama. Njegovom apsorpcijom na površini Zemlje dolazi do zagrevanja kopna i mora. Temperatura Zemlje u proseku iznosi 294 K, tako da i ona zra či. Njeno zračenje je dugotalasno i slabije (zbog manjih temperatura nego na Suncu). Opseg talasnih dužina Zemljinog zra čenja je od 4 do 80 mikrona, sa maksimumom na 10 mikrona. Vodena para u atmosferi naro čito apsorbuje zračenja talasnih dužina od 5.5 do 7 mikrona i preko 27 mikrona, ali propušta talase izme đu 8 i 13 mikrona. Merenje radijacije.
Sunčevo zračenje se može meriti radiometrima, aktinometrima ili piroheliometrima. Radiometri mere sun čevo zračenje ako se zaklone sa donje strane; ako se zaklone sa gornje strane, onda mere Zemljino zra čenje. Bez zaklona, radiometri će meriti neto radijaciju, odnosno razliku između Sunčeve i Zemljine radijacije. Prorač un neto zrač enja na površini Zemlje. Neto radijacija koju prima površina Zemlje može se
formulisati bilansnom jedna činom: Rn
= Rns − Rnl
To je razlika neto kratkotalasnog sun čevog (dolazećeg) zračenja Rns i neto dugotalasnog zemljinog (odlazećeg) zračenja Rnl . Kratkotalasna sunčeva radijacija koja stiže na površinu zemlje R s zavisi od zračenja na granici atmosfere Ra i relativne insolacije (osunčanosti) n/ N : R s
n ⎞ = ⎛ ⎜ a + b ⎟ Ra N ⎠ ⎝
gde su a i b empirijski koeficijenti (obi čno a = 0.25 i b = 0.5). Zra čenje na granici atmosfere Ra zavisi od geografske širine i godišnjeg doba (slika 7), a računa se na osnovu astronomskih prora čuna pozicije Sunca u odnosu na Zemlju. Relativna insolacija je odnos stvarnog trajanja sun čevog zračenja n (koje se dobija merenjima) i prose čne dužine dana odnosno prose čno maksimalno moguće trajanje sunčevog zračenja N koje takođe zavisi od geografske širine i godišnjeg doba (slika 8).
11
600 40oS 500
20oS ekvator
400
) m / 300 W ( a R
2
20oN
200 40oN 100
0 J an
Feb
Mar
Apr
Maj
J un
J ul
Avg
Sep
Okt
Nov
Dec
Slika 7. Sunčevo zračenje na granici atmosfere.
16 15
40oS
14 20oS
13
n a d a n i 12 t a s ( N11
ekvator
20oN
10 40oN
9 8 J an
Feb
Mar
Apr
Maj
J un
J ul
Avg
Sep
Okt
Nov
Dec
Slika 8. Dužina dana ili potencijalno dnevno trajanje sun čevog zračenja. Deo dolazećeg zračenja koji se reflektuje od površine Zemlje odre đuje se pomoću koeficijenta refleksije odnoso albeda r , koji zavisi od vrste površine. Neto kratkotalasno sun čevo zračenje tada je jednako: Rns
= (1 − r ) R s
U bilans dugotalasnog zra čenja ulazi dugotalasno zra čenje koje emituje Zemlja Rle i dugotalasno zračenje atmosfere Rla koje je posledica njenog zagrevanja kratkotalasnim sun čevim zračenjem i koje dospeva do površine zemlje: Rnl = Rle − Rla
12
Za ova dugotalasna zra čenja može se primeniti Štefan-Bolcmanov zakon po kome je Rl = εσT a4 , gde je T a apsolutna temperatura površine koja emituje zra čenje u kelvinima, -8
-2
-4
-3
-2
-4
σ Štefan-Bolcmanova konstanta
-1
(koja iznosi 5.67 ⋅ 10 Wm K ili 4.903 ⋅ 10 Jm K dan ), a ε koeficijent emisivnosti kojim se uzima u obzir uticaj prisustva oblaka i apsorpcije na vodenoj pari i ugljen-dioksidu. Empirijska relacija kojom se računa neto dugotalasno zra čenje glasi:
⎛ ⎝
Rnl = σT a4 (0.34 − 0.044 ea ) ⎜ 0.1 + 0.9
n ⎞
⎟
N ⎠
gde je ea vlažnost vazduha odnosno stvarni pritisak vodene pare u mb i n/ N relativna insolacija.
2.3 Vodena para Voda u atmosferi uglavnom se nalazi u gasovitom stanju u vidu vodene pare. Voda u te čnom stanju može se pojaviti kao kiša ili kao kapljice vode u oblacima, a u čvrstom stanju kao sneg, grad ili kristali leda u oblacima. Sadržaj vodene pare u vazduhu ili vlažnost vazduha može se okarakterisati na više na čina. Apsolutna vlažnost vazduha je u stvari gustina vodene pare ρv, odnosno masa vodene pare u jedinici zapremine vazduha na datoj temperaturi. Gustina vlažnog vazduha ρa je zbir gustina suvog vazduha ρ sv i vodene pare ρv:
ρ a = ρ sv + ρ v
(1)
Odnos gustine vodene pare ρv i gustine vazduha ρa predstavlja masu vodene pare u jedinici mase vlažnog vazduha i naziva se specifič na vlažnost (q): q
=
ρv ρa
Pritisak vodene pare je takođe mera sadržaja vodene pare u vazduhu. Prema zakonu idealnog gasa
parcijalni pritisak vodene pare e dovodi se u vezu sa gustinom vodene pare ρv i temperaturom T : e = ρ v Rv T
(2)
gde je Rv je gasna konstanta vodene pare, a T apsolutna temperatura (u K). Sli čne jednačine mogu se napisati i za vlažan vazduh i za suv vazduh. Ako je pritisak vlažnog vazduha p, onda je pritisak suvog vazduha p – e, pa se može napisati: p
= ρ a RaT
p − e = ρ sv R sv T
(3) (4)
gde su Ra i R sv gasne konstante vlažnog i suvog vazduha. Gasna konstanta suvog vazduha iznosi 287 Jkg-1K -1, a njen odnos sa gasnom konstantom vodene pare je: Rv
=
R sv
0.622 gde je 0.622 odnos molekulske težine vodene pare i prose čne molekulske težine suvog vazduha. Vazduh je zasićen (saturisan) kada sadrži maksimalnu mogu ću količinu vodene pare pri odre đenoj temperaturi. Odgovaraju ći pritisak e s naziva se pritiskom vodene pare pri zasićenju (često se može čuti i naziv "pritisak zasićene vodene pare"). Odnos izme đu pritiska vodene pare pri zasi ćenju i temperature vazduha prikazan je na slici 9; na višim temperaturama dolazi do zasi ćenja pri većem sadržaju vlage i obrnuto. Dakle, na nekoj temperaturi T do zasićenja dolazi pri pritisku vodene pare e s; ako se pritisak 13
poveća iznad e s, doći će do kondenzacije (odnosno do sublimacije pri temperaturama ispod 0 oC). Zavisnost pritiska vodene pare pri zasi ćenju od temperature može se izraziti i analiti čki: e s
17.27T ⎫ = 611exp⎧⎨ ⎬ ⎩ 237.3 + T ⎭
gde se temperatura unosi u oC, a e s dobija u Pa. Gradijent krive pritiska vodene pare pri zasi ćenju je onda:
Δ=
de s dT
=
4098e s (237.3 + T ) 2 80 ) 70 b m60 ( e r a 50 p e n 40 e d o v 30 k a s i 20 t i r p
e s
e
(e , T )
10 T d
0 -20
-10
0
10
T
20
30
40
temperatura (oC)
Slika 9. Zavisnost pritiska vodene pare pri zasu ćenju od temperature na površini vode. Relativna vlažnost vazduha je najčešće korišćena mera sadržaja vlage u atmosferi i definiše se kao
odnos stvarnog pritiska vodene pare i pritiska pri zasi ćenju: R =
e e s
Drugim rečima, to je odnos stvarne koli čine vlage u vazduhu i koli čine vlage potrebne za zasi ćenje vazduha na istoj temperaturi. Ovaj odnos se izražava u procentima. Ljudski organizam teško podnosi visoku relativnu vlažnost, naro čito ako je udružena sa visokim temperaturama. Temperatura na kojoj će doći do zasićenja mase nezasićenog vazduha ukoliko se ona hladi pri konstantnom pritisku vodene pare, naziva se t ač ka rose (T d). Drugim rečima, ako pri nekom pritisku vodene pare e temperatura opadne sa T na T d, taj pritisak predstavlja pritisak vodene pare u vazduhu pri zasićenju. Pri daljem hla đenju vazduha dolazi do kondenzacije vodene pare. Deficit saturacije je razlika izme đu pritiska vodene pare pri zasi ćenju e s na temperaturi T i stvarnog pritiska vodene pare e. Deficit saturacije e s – e je praktično količina vodene pare koju vazduh može da primi pri temperaturi T pre nego što postane zasi ćen. Količina vodene pare u atmosferi direktno je povezana sa temperaturom vazduha. Na manjim tempraturama, tj. na ve ćim visinama, sadržaj vodene pare je manji. Raspodela vodene pare na Zemljinoj površini takođe varira sa temperaturom; najmanja je na polovima, a najve ća u ekvatorijalnim predelima. Merenje vlažnosti vazduha.
Vlažnost vazduha se naj češće meri pomoću suvog i vlažnog termometra. Kombinacija ova dva termometra često se naziva psihrometar . Suvi termometar je obi čan živin termometar koji registruje trenutnu temperaturu vazduha. Vlažni termometar je tako đe živin termometar, ali obavijen pamu čnom krpicom čiji se jedan kraj nalazi potopljen u posudi sa destilovanom vodom. Na osnovu empirijskih relacija izme đu razlike temperatura na ova dva termometra i pritiska 14
vodene pare dobijaju se rezultati merenja. Vlažnost vazduha se meri i pomo ću higrometra, koji radi na principu promene dužine vlasi kose pri razli čitoj vlažnosti vazduha.
2.4 Temperatura vazduha Sa hidrološke ta čke gledišta, temperatura vazduha je interesantna zato što uti če na vrstu padavina, na količinu isparavanja i transpiracije, kao i na topljenje snega. Temperature vazduha imaju svoje dnevne i sezonske varijacije. Tokom dana, pod uslovom da nema značajne oblačnosti, minimalne temperature se javljaju ubrzo po izlasku sunca, a maksimalne u ranom popodnevu. Prisustvo oblaka smanjuje koli činu dolazećeg (Sunčevog) zračenja i sprečava odlazak zemljinog zračenja, pa se temperature tokom obla čnog dana kre ću u manjem opsegu. U prostornom smislu, temperature variraju u zavisnosti od geografskog položaja i od nadmorske visine. Prose čno opadanje temperature sa visinom je 0.65 oC na 100 m. Temperature se mere u meteorološkim zaklonima na visini od 2 m od zemlje. Zaklon je neophodan kao zaštita od direktnog sun čevog zračenja, padavina i vetra. Kao instrumenti se koriste živini i alkoholni termometri. Temperature se mogu meriti kontinualno (termografima) ili u odre đenim vremenskim trenucima tokom dana, a beleže se i maksimalna i minimalna dnevna temperatura (pomo ću tzv. maksimalnog i minimalnog termometra). Srednje dnevne temperature se ra čunaju kao prosek svih dnevnih o čitavanja. U našoj zemlji temperature se mere u 7, 14 i 21 čas, a srednja dnevna temperatura se odre đuje kao: t sr,dn
=
t sr,dn
=
t 7 + t 14
+ 2t 21
4 U nedostatku više očitavanja, srednja dnevna temperatura se može odrediti kao prosek maksimalne i minimalne dnevne temperature: t max
+ t min
2 Srednje mesečne temperature, kao i mese čni ekstremi, koriste se za opisivanje temperaturnog režima neke lokacije. U tabeli 5 su prikazani višegodišnji proseci srednjih mese čnih temperatura u Beogradu.
Jan. -0.1
Tabela 5. Prosečne temperature u Beogradu (meteorološka opservatorija Vra čar). Feb. Mart April Maj Jun Jul Avg. Sep. Okt. Nov. Dec. 1.6 6.7 11.9 16.8 20.0 22.0 21.5 17.7 12.4 6.6 2.1
God. 11.6
2.5 Atmosferski pritisak Atmosferski pritisak se definiše kao težina stuba vazduha koji se proteže od nivoa merenja do vrha atmosfere na jedinicu površine. On opada sa visinom, s obzirom da iznad nivoa merenja ima manje vazduha. To se može opisati poznatom jedna činom: dp dz
= −ρ a g
gde je ρa gustina vazduha, a g gravitaciono ubrzanje. Prosečni vazdušni pritisak na nivou mora iznosi 1 bar (ili 10 5 Pa ili 105 N/m2). Merenja pritiska se obično izražavaju u milibarima (mb) kao celobrojni brojevi. U proseku, pritisak opada za 1 mb na 8 m 15
visine. U Beogradu, na lokaciji meteorološke opservatorije na Vra čaru koja se nalazi na nadmorskoj visini od 132 m, pritisci variraju od 990 do 1010 mb. Uobičajena je meteorološka praksa da se visine u atmosferi izražavaju preko njihovih prose čnih pritisaka u milibarima; na primer, vrh stratosfere ili stratopauza se nalazi na visini od 1 mb. Atmosferski pritisak se obi čno meri pomo ću živinog barometra, dok se promene pritiska mogu meriti aneroidnim barometrom. Podaci o pritisku čine osnovu za meteorološke sinopti čke karte na kojima se crtaju izobare (linije jednakog pritiska) koje definišu oblasti visokog i niskog pritiska (anticiklone odnosno depresije). Interpretacijom tih karata nacrtanim na osnovu osmatranja u odre đenim vremenskim intervalima omogućava se identifikacija promena u vremenskim sistemima i formiranje vremenske prognoze. Pored merenja na nivou mora, podaci iz viših slojeva vazduha se crtaju i analiziraju na razli čitim nivoima u atmosferi.
2.6 Vetar Vetar predstavlja strujanje vazduha do kojeg dolazi usled neravnomernog zagrevanja i hla đenja površine Zemlje. Vetar prenosi toplotu i vodenu paru kroz atmosferu kako bi se izravnale razlike u temperaturi i sadržaju vlage. Vetar ima zna čajnu ulogu u procesu isparavanja i u formiranju padavina. Sa inženjerske tačke gledišta vetar je važan kao vid optere ćenja na konstrukcije, kao uzrok vibracija objekata pod uticajem udara i vrtloga, i kao uzrok formiranja talasa na vodenim površinama. Preciznija definicija vetra jeste da je to horizontalna komponenta strujanja vazduha paralelna sa površinom Zemlje. U tom smislu vetar je vektorska veli čina koja se definiše pravcem i ja činom. Pravac vetra je pravac iz kojeg vetar duva (npr. severozapadni vetar je onaj koji duva ka jugoistoku). Meri se pomoću vetrokaza u stepenima od pravca severa, a obi čno se izražava kao jedan od 8 ili 16 standardnih pravaca na kompasu. Brzina vetra se meri anemometrima, a izražava se u razli čitim jedinicama: metrima u sekundi, kilometrima na čas, ili čvorovima. Jedan čvor predstavlja brzinu od jedne nauti čke milje (1852 m) na čas. Pored ovih jedinica, često se koristi i Boforova opisna skala sa gradacijom od 0 do 12 (tabela 6), pa se jačina vetra izražava u boforima.
Naziv vetra tišina lahor povetarac slab vetar umereni vetar jak vetar žestok vetar olujni vetar oluja jaka oluja žestoka oluja vihor orkan
Tabela 6. Boforova skala vetrova. Brzina vetra Boforov broj m/s 0 0 1 0.9 2 2.4 3 4.4 4 6.7 5 9.3 6 12.3 7 15.5 8 18.9 9 22.6 10 26.4 11 30.5 12 34.8
km/h 0 3 9 16 24 34 44 55 68 82 96 110 125
Strujanje vetra uz površinu Zemlje ili prilikom opstrujavanja objekata podleže zakonima mehanike fluida. Pod uticajem oblika i hrapavosti površine formira se grani čni sloj struje vazduha. U ovom sloju 16
brzina struje se menja sa visinom, odnosno rastojanjem od površine. Raspored brzina u grani čnom sloju obično se opisuje logaritamskom funkcijom ( u = a log z + b) ili stepenom funkcijom ( u = az b). Brzina vetra se standardno meri na visini od 10 m; da bi se odredila brzina vetra na nekoj drugoj visini, koriste se gore pomenuti analiti čki oblici. Obi čno se koristi stepeni oblik, prema kome se brzina vetra na drugim visinama može odrediti iz odnosa: b
u ( z )
z ⎞ = ⎛ ⎜ ⎟ u (10) ⎝ 10 ⎠ Vrednost eksponenta b se kreće od 1/7 do 1/5. Optereć enje objekata od vetra. Pritisak u nekoj tački na konturi objekta odre đuje se kao proizvod zaustavnog pritiska ( ρu 2 / 2 ) i koeficijenta pritiska ( C p): p = C p
ρu 2 2
gde je ρ gustina vazduha i u brzina vetra (neporeme ćene struje). Koeficijent pritiska zavisi od oblika opstrujavane površine i položaja posmatrane ta čke na njoj; on takođe zavisi od kinematskih karakteristika vazdušne struje, tj. od Rejnoldsovog broja. Tako, na primer, koeficijent pritiska na prednjoj strani kružnog stuba opstrujavanog vazduhom može biti 1 ili više, dok se sa zadnje strane javlja podpritisak pa je koeficijent pritiska negativan. Kod aerodinami čki oblikovanih objekata, koeficijenti pritiska imaju male vrednosti po celom opstrujavanom profilu. Kada su odre đeni pritisci po konturi opstrujavanog tela, njihovom integracijom može se izra čunati sila dejstva vetra na objekat. Uticaj terena na vetar . Reljef značajno utiče na strujnu sliku vetra. Brzina vetra iznad planina je znatno veća od brzine na istoj visini u ravi čarskim predelima. Na zavetrinskim stranama planina vetar se smanjuje, mada se na tim mestima mogu registrovati velike fluktuacije usled vrtloženja. U uskim dolinama izme đu planina dolazi do poja čanja brzine vetra zbog njegovog horizontalnog usmeravanja. Visina do koje reljef remeti normalnu vazdušnu struju zavisi od mnogo faktora, a grubo se procenjuje na 2.5 visine prepreke toj struji. Za smanjenje uticaja vetra koristi se efekat trenja o objekte. Uspešno ublažavanje vetra može se postići sađenjem šumskih pojaseva u pravcu upravnom na dominantni pravac vetra u regionu. Smatra se da se na zavetrinskoj strani šume može zaštiti zona u dužini od 20 visina šume, a na privetrinskoj od 4 visine šume.
17
2.7 Isparavanje
Isparavanje je jedan od najvažnijih procesa u hidrološkom ciklusu. Ono podrazumeva prelazak vode iz tečnog ili čvrstog stanja u gasovito i njenu difuziju u atmosferu. Na taj na čin se vrši preraspodela toplotne energije između površine zemlje i atmosfere. Voda isparava sa različitih površina, pa se
često
odvojeno posmatra isparavanje sa slobodnih
vodenih površina, sa vlažnog zemljišta ili sa biljaka. Izme đu isparavanja sa ovih površina ne postoje razlike u fizici procesa, ve ć samo u prirodi tih površina. Da bi do isparavanja došlo, neophodno je da postoje: − izvor vlage, − izvor toplotne energije (direktno sun čevo zračenje, toplota iz vazduha, toplota iz zemljišta ili toplota u samoj vodi), i − razlika vlažnosti (pritisaka vodene pare) izme đu površine sa koje voda isparava i atmosfere. Za isparavanje sa slobodne vodene površine potrebno je najpre da postoji dovoljno toplotne energije za pretvaranje vode iz te čnog u gasovito stanje. Energija koja je potrebna molekulima vode da bi prešli u gasovito stanje zove se latentna toplota isparavanja. Kada voda isparava, vazduh iznad vodene površine se zasićuje vodenom parom. Ako vazduh postane potpuno zasi ćen (na datoj temperaturi), isparavanje prestaje. Dakle, da bi se isparavanje odvijalo, potrebno je da postoji deficit vlažnosti izme đu vodene površine i vazduha, a on zavisi od temperatura vazduha i vode. Ukoliko bi se zasi ćen vazduh iznad vodene površine mešao sa suvim vazduhom, isparavanje bi moglo da se nastavi. Zbog toga isparavanje sa vodene površine zavisi i od mogu ćnosti za transportovanje vodene pare od vodene površine, a to znači od vetra koji bi odvodio zasi ćen vazduh od vodene površine. Isparavanje sa kopna podrazumeva isparavanje direktno sa tla i vegetacije. Pored toga, odre đena količina vlage dospeva u atmosferu i procesom transpiracije biljaka, u kome biljke uzimaju vodu iz tla, koriste je i vra ćaju u atmosferu. Proces isparavanja sa površine tla zajedno sa procesom transpiracije niziva se evapotranspiracija. Ona zavisi od istih faktora kao i isparavanje sa slobodne vodene površine (od izvora energije i transporta vodene pare), ali zavisi i od izvora vlage na površini zemljišta. Koli čina evapotranspiracije do koje bi došlo kada bi neka površina tla sa vegetacijom imala neograni čen izvor vlage naziva se potencijalna evapotranspiracija. Ona se može odrediti sli čno kao i isparavanje sa slobodne vodene površine. Me đutim, stvarna evapotranspiracija je manja od potencijalne ukoliko zemljište nema dovoljno vlage. Merenje isparavanja i evapotranspiracije. Direktno merenje isparavanja sa slobodne vodene
površine ili sa tla u prirodi je ideal koji još nije dostignut. Naj češći instrumenti za indirektno merenje isparavanja su različite vrste sudova. Isparitelj klase A je metalni sud prečnika 120 cm i dubine 25 cm koji se puni vodom. Promena nivoa vode se meri mikrometrom. Koli čina isparene vode tokom jednog dana može se odrediti na osnovu promene zapremine vode u ispritelju i visine kiše za taj dan. Ovako izmereno isparavanje je ve će nego što bi bilo isparavanje sa iste površine unutar velikih vodenih površina kao što su jezera ili akumulacije. Zbog toga je neophodno primeniti faktor korekcije za tako velike površine, koji se kreće od 0.7 do 0.8. Jedan od instrumenata koji direktno mere isparavanje je Pišov (Piche) isparitelj. On se sastoji od staklene cevčice sa jednim zatvorenim krajem, dok se na drugom kraju nalazi upijaju ći papir. U cev čici se nalazi voda koja vlaži papir odakle voda isparava. Koli čina isparene vode tokom dana se dobija direktnim očitavanjem sa podele na cev čici. Instrument za merenje evapotranspiracije naziva se lizimetar . To je vodonepropusan sud sa zemljom zasejanom određenom reprezentativnom kulturom. Ispod suda se nalazi ure đaj za merenje težine celog suda, a od dna suda polazi drenažna cev iz koje se voda skuplja u posudu. Pored toga, mere se 18
padavine na površinu lizimetra. Promena težine lizimetra predstavlja promenu zemljišne vlage, a koli čina drenirane vode predstavlja perkolaciju. Bilansiranjem ovih koli čina vode dobija se evapotranspiracija: ET = kiša – perkolacija ± promena zemljišne vlage Prorač un isparavanja metodom bilansa energije (radijacioni metod). Ako se posmatra jedinična
vodena površina sa koje voda isparava (slika 10), u bilans zračenja ulaze neto radijacija Rn, vidljiva toplota H (ona koja se prenosi izme đu vodene površine i vazduha zbog razlike u temperaturama), toplota koja se prenosi izme đu vode i zemljišta G i toplota koja se troši na isparavanje L. Ova poslednja komponenta jednaka je L = λρ E , gde je λ latentna toplota isparavanja (energija po jedinici mase), ρ gustina vode, a E zapremina (sloj) isparene vode. Dakle: Rn − H − G = L neto dugotalasno zra~enje odbijeno
sun~evo zra~enje
sun~evo zra~enje Rnl
e t o l p m o o h t a u d n e z a m v z a a s r
a t o l p j o a t n a a n t v a r n e a t p a i s l
H
L
rRs
Rs
Rn = (1 − r)Rs − Rnl G
razmena toplote sa zemlji{tem
ilans zra~enja: Rn − H − G = L
Slika 10. Bilans energije pri isparavanju sa slobodne vodene površine. Da bi se ovaj metod prora čuna primenio, potrebno je meriti puno veli čina – naročito temperature i neto zračenja – što često nije moguće. Obično se smatra da se komponenta G može zanemariti za kra će vremenske periode, a da je vidljiva toplota H proporcionalna toploti isparavanja L. Odnos ove dve toplote je poznat kao Bovenov odnos β = H / L . Zanemaruju ći komponentu razmene toplote sa zemljom G i uključujući Bovenov odnos u jedna činu bilansa, toplota isparavanja postaje: L = λρ E =
Rn
1+ β
odakle sledi izraz za prora čun sloja isparene vode: E =
Rn
λρ(1 + β)
(1)
Latentna toplota isparavanja λ se malo menja sa temperaturom prema izrazu: λ = 2.501 ⋅ 10 6 − 2370T
gde se temperatura unosi u Celzijusovim stepenima, a latentna toplota isparavanja dobija u J/kg. Bovenov odnos se računa prema jedna čini:
β=γ
T p − T a e p − ea
(2)
gde su T p i e p temperatura i pritisak vodene pare na površini, T a i ea temperatura i pritisak vodene pare u vazduhu, a γ je psihrometrijska konstanta za koju se može usvojiti vrednost od 0.65 mb/ oC. 19
Prorač un isparavanja metodom transfera mase (aerodinami čk i metod). U ovoj metodi uzima se u
obzir da intenzitet isparavanja zavisi od razlike vlažnosti vazduha izme đu vodene površine i vazduha i brzine vetra. U literaturi se može naći niz izraza za prora čun ispravanja koji su po svojoj strukturi sli čni. Oblik te veze je: E = f (u ) ⋅ (e p − ea )
gde su e p i ea pritisci vodene pare na vodenoj površini i u vazduhu, a f (u) je neka funkcija brzine vetra. Da bi se ovakvi izrazi primenili, neophodno je raspolagati podatkom o pritisku vodene pare na površini e p, što se obično ne meri. Zbog toga se on često zamenjuje pritiskom zasićene vodene pare u vazduhu eas koji se može odrediti na osnovu temperature (videti sliku 11). Isparavanje dobijeno ovakvom aproksimacijom je onda: E a = f (u ) ⋅ (e as − e a )
transport vodene pare
razmena toplote sa vazduhom T a temperatura vazduha
ea stvarni pritisak vodene pare u vazduhu eas pritisak vodene pare zasi}enog vazduha stvarni pritisak vodene pare e p na povr{ini
temperatura T p na povr{ini
Slika 11. Objašnjenje oznaka za areodinami čki metod. Funkcija brzine vetra u gornjem izrazu obi čno je linearna, u obliku a(b + u) ili Nu. Jedan od najpoznatijih je izraz Penmana: E = 0.263(0.5 + 0.537u 2 )(e as − e a )
gde se naponi vodene pare unose u mb, a u2 predstavlja brzinu vetra merenu u m/s na visini od 2 m. Isparavanje se dobija u mm/dan. Prorač un isparavanja kombinovanom metodom. Ovaj metod podrazumeva kombinaciju metode
bilansa energije i aerodinamičke metode. Do kombinovanja je došlo jer se aerodinami čki model može primeniti kada izvor energije nije ograničen, a metoda bilansa energije kada transport vodene pare noje ograničen. S obzirom da su oba procesa ograni čena, neophodna je kombinacija. Kao što je već rečeno, prema aerodinami čkom metodu isparavanje se obi čno računa približno kao E a = f (u ) ⋅ (e as − e a )
dok bi "ta čno" isparavanje bilo E = f (u ) ⋅ (e p − ea )
Odnos ovako odre đenih isparavanja je E a E 20
=
eas − ea e p − ea
=
eas − e p + e p − ea e p − ea
= 1−
e p − eas e p − ea
Pritisak vodene pare na površini vode e p je u stvari pritisak zasi ćene vodene pare na temperaturi T p (temperatura na površini), dok se pritisak vodene pare zasi ćenog vazduha eas vezuje za temperaturu T a. Ako se nagib krive zavisnosti pritiska zasi ćene vodene pare i temperature aproksimira sa
Δ=
e p − eas T p − T a
onda gornji izraz postaje: E a E
= 1− Δ
T p − T a e p − ea
S obzirom na definiciju Bovenovog odnosa (2), dobija se: E a E
=1−
Δ γ
β
Prema radijacionom metodu, isparavanje je jednako: E =
Rn
λρ(1 + β)
Eliminišući Bovenov odnos iz ove dve jedna čine, dobija se: γ E a + Δ E =
Rn
γ+Δ
λρ
=
γ E a + Δ E r γ+Δ
Gornja jednačina može se shvatiti i kao ponderisana vrednost isparavanja dobijena na osnovu isparavanja usled uticaja vetra E a i isparavanja usled uticaja zra čenja E r . Evapotranspiracija. Na evapotranspiraciju uti ču isti faktori koji uti ču na isparavanje – izvor
toplotne energije i transport vodene pare. Ovde dolazi do izražaja i tre ći faktor, a to je izvor vlage na površini sa koje voda isparava. Ako se tlo suši, evapotranspiracija bi će manja nego što bi bila da je tlo dobro natopljeno. Prora čun evapotranspiracije se obavlja na sli čan načina kao za isparavanje, uz neophodne izmene kojima se uzima u obzir stanje vegetacije i tla. Najpre se ra čuna tzv. referentna evapotranspiracija ET 0, koja se definiše kao evapotranspiracija sa neograničene površine ravnomerno pokrivene travom jednake visine (12 cm) koja je u potpunosti prekriva tlo i koja uvek ima dovoljno vode. To je prakti čno potencijalna evapotranspiracija ( PET ) za travu kao referentnu kulturu. Da bi se dobila potencijalna evapotranspiracija za neku drugu kulturu, ET 0 se množi koeficijentom kulture k c, koji zavisi od vrste kulture i faze njenog rasta. Stvarna evapotranspiracija dobija se množenjem potencijalne koeficijentom zemljišta k s, čije se vrednosti kreću od 0 do 1. Jedna od metoda prora čuna koja se sve više koristi je metoda Penman-Monteja (PenmanMontieth): ET =
Δ ⋅ Rn + ρC p (eas − ea ) / r a λ[Δ + γ(1 + r s / r a )]
gde je C p specifična toplota vazduha pri konstantnom pritisku (1013 J kg -1 oC-1), r s je otpor tla i kulture, a r a aerodinamički otpor. Ostale veli čine su definisane u prethodnim pasusima. Aerodinami čki otpor se
računa iz empirijskih veza sa brzinom vetra, a otpor tla i kulture predstavlja ve ći problem. Iako je on predmet mnogih istraživanja, za sada se koristi konstantna vrednost za referentnu kulturu, tako da ovako dobijenu evapotranspiraciju treba pomnožiti sa koeficijentom kulture.
21
2.8 Padavine Pod padavinama se podrazumeva taloženje vode iz atmosfere na površinu zemlje. One obuhvataju kišu, sneg i druge oblike u kojima voda dospeva do površine zemlje, kao što su grad ili ledena kiša. Pojave kao što su rosa, magla ili inje tako đe predstavljaju padavine, ali do njih dolazi kondenzacijom zasićenog vazduha u dodiru sa hladnijim površinama na zemlji.
2.8.1 Formiranje padavina Da bi došlo do formiranja padavina, moraju biti ispunjeni slede ći uslovi: −
mora postojati dovoljan izvor vlage, odnosno vodene pare,
−
vazduh sa vodenom parom se mora ohladiti do ta čke kondenzacije,
−
vodena para se mora kondenzovati u kapljice vode ili čestice leda, i
kapljice vode ili čestice leda moraju narasti do dovoljne veli čine da mogu padati na zemlju. Hlađenje vazdušnih masa. Za hlađenje vazdušnih masa neophodno je njihovo podizanje. Tri −
osnovna mehanizma podizanja vazdušnih masa su: − −
frontalno podizanje (kada se topao vazduh podiže preko hladnijeg vazduha preko frontova), orografsko podizanje (kada se vazdušna masa podiže da bi savladala prepreke od planinskih vrhova) i
−
konvektivno podizanje (usled zagrevanja vazduha u kontaktu s tlom vazduh se povla či nagore).
Kondenzacija vodene pare i formiranje oblaka . Zasićenje vazduha vodenom parom nije dovoljno da dođe do kondenzacije vodene pare tj. njenog prelaska u te čno stanje, ve ć bi se hlađenjem vazduh morao dovesti u stanje prezasi ćenosti (supersaturacije). Do hlađenja vodene pare će doći pri podizanju vazdušnih masa u atmosferi. Proces kondenzacije vodene pare potpomažu čestice u vazduhu za koje se molekuli vode vezuju. Takve čestice se predstavljaju jezgra kondenzacije i nazivaju se aerosoli. Kao jezgra mogu poslužiti čestice prašine ili joni soli iz okena koji elektrostati čki privlače molekule vode. Prečnik tih čestica je vrlo mali, od 10 -3 do 10 mikrona (tabela 7). Kondenzacijom vodene pare formiraju se kapljice vode koje čine oblake. Veličina tih kapljica je od 1 do 100 mikrona. Pored kapljica vode, u oblacima se nalaze i kristali leda. Oni se formiraju od kapljica vode kada se temperatura približava ta čki mržnjenja ( čistoj vodi je potrebna veoma niska temperatura, o čak i –40 C, pre nego sto se smrzne, dok se kapljice u oblacima u normalnim uslovima mrznu na
temperaturama od –10 do –20 oC). Kapljice vode se mogu smrznuti samo u prisustvu čestica koje se nazivaju ledena jezgra. Smrznute kapljice zadržavaju sferni oblik i postaju kristali leda. Vodena para se onda može skupljati direktno na površini kristala leda sublimacijom.
Tabela 7. Čestice u procesu kondenzacije i formiranja padavina. Čestica
Tipično jezgro kondenzacije Tipična kapljica u oblaku Velika kapljica u oblaku
Prečnik (mikrona)
Broj
Terminalna 3
na dm
brzina (cm/s)
106
0.0001
10
106
1
50
3
27
0.1
10
Uobičajena granica između kapljice u oblaku i kišne kapi Tipična kišna kap
22
100 1000
70 1
650
Oblaci se klasifikuju prema njihovoj visini (tabela 8). Visoki oblaci se sastoje od kristala leda, srednje visoki od kapljica vode i kristala leda, dok se niski oblaci sastoje prevashodno od kapljica vode od kojih je većina prehlađena. Oblaci koji se veoma intenzivno razvijaju u vertikalnom smislu (kao što su kumulonimbusi) sastoje se od kapljica u nižim slojevima i kristala leda u višim slojevima. Tabela 8. Klasifikacija oblaka. Kategorija
Naziv
Visoki oblaci
cirus cirokumulus
Visina 6–12 km
cirostratus Srednji oblaci
altokumulus altostratus
Niski oblaci
3–6 km
stratus nimbostratus
0–3 km
stratokumulus Oblaci sa visinskim
kumulus
0–2 km
razvojem
kumulonimbus
0–6 km
Formiranje padavina iz oblaka. Kapljice vode i kristali leda u oblacima se uve ćavaju kroz proces kondenzacije i međusobno se sudaraju i spajaju pod uticajem turbulencije u vazduhu, sve dok ne porastu dovoljno da sila gravitacije nadvlada silu uzgona vazdušne struje, tako da one po činju da padaju. Proces rasta kapljica i kristala leda do veličine kišne kapi (oko 1 mm) predstavlja fazu koja u nauci nije razjašnjena do kraja, ve ć postoje različite teorije. Može se zaključiti da intenzitet padavina koje dolaze iz oblaka zavisi od slede ćih faktora: −
od intenziteta zamene vlage koju odnose ve ć formirane padavine novom vodenom parom;
−
od intenziteta kojim se vlaga pretvara iz vodene pare u kapljice vode ili kristale leda dovoljne veličine da po čnu da padaju, što posredno uklju čuje brzinu hlađenja vazduha, brzinu podizanja vazdušnih masa, intenzitet kondenzacije i rasta kapljica, koji opet zavise od koli čine jezgara kondenzacije, turbulencije i vertikalnih brzina vazdušne struje.
Iz ovih razloga nije mogu će doći do pouzdane kvantitativne prognoze padavina.
2.8.2 Varijacije padavina Padavine variraju u vremenu i u prostoru u skladu sa shemom globalne atmosferske cirkulacije (prema kojoj se vazdušne mase kre ću) i u skladu sa lokalnim faktorima. Na padavine ne uti ču samo globalni faktori kao što su geografska širina ili doba godine, ve ć i niz drugih faktora. Unutargodišnja raspodela prose čnih mesečnih padavina za duži niz godina naziva se režimom padavina. Za područ je koje ima više padavina u periodu jesen-zima kaže se da ima morski režim padavina, a za ona koja imaju više padavina u periodu prole će-leto kaže se da imaju kontinentalni režim padavina. Na slici 12 prikazan je režim padavina u Beogradu.
23
90 80
Prosecna godišnja visina padavina: 668 mm
70 ) m60 m ( a n 50 i v a d a 40 p a n i s i 30 V
20 10 0 Jan
Feb
Mar
Apr
Maj
Jun
Jul
Avg
Sep
Okt
Nov
Dec
Slika 12. Unutargodišnji režim padavina u Beogradu (meteorološka opservatorija Vra čar) prikazan preko srednjih mesečnih visina padavina.
2.8.3 Merenje padavina Opšti naziv za ure đaje kojima se meri visina padavina je kišomer . Razlikujemo dve osnovne vrste kišomera: −
neregistrujući kišomer , kojim se meri ukupna visina pale kiše u nekom vremenskom periodu (koriste se nazivi totalizator ili samo kišomer ), i
−
registrujući kišomer , kojim se registruju promene intenziteta kiše tokom vremena (obi čno se naziva pluviograf ili ombrograf ).
Neregistrujući kišomeri se koriste za merenje dnevnih visina padavina ili ukupnih visina padavina za neki duži vremenski period (nedelja ili mesec dana). Po konstrukciji su sli čni, ali su oni koji mere padavine u dužem periodu ve ći kako bi primili ve će količine vode. Sastoje se od metalnog cilindra otvorenog s gornje strane u kome se nalazi levak iz koga se voda prihvata u staklenu posudu sa podelom. Pošto je površina otvora poznata, zapremina vode u sudu se deli sa površinom otvora da bi se dobila visina (sloj) pale kiše. Podela može biti napravljena tako da se o čitavanjem odmah dobija visina kiše. Registrujući kišomeri (pluviografi) mogu biti razli čitih konstrukcija. Najraspostranjeniji tip je pluviograf sa plovkom, koji je kod nas najzastupljeniji u varijanti koja se zove Helmanov pluviograf. On je smešten u metalni cilindar sa levkom, odakle voda odlazi u posudu sa plovkom. Plovak je povezan sa perom koje je naslonjeno na cilindar sa papirnatom trakom. Cilindar je povezan sa satnim mehanizmom i okreće se tako da napravi ceo krug za 24 sata. Kada kiša pada, posuda sa plovkom se puni, plovak se podiže i povlači pero koje ostavlja trag na papirnatoj traci. Kada se posuda napuni, koli čina vode u njoj odgovara visini od 10 mm kiše, a pero stiže do gornjeg kraja trake. Tada se posuda prazni uz pomo ć sifona, a pero se spušta na donji kraj trake. Na ovaj na čin se visina kiše meri kontinualno (tj. sumarna visina kiše), tako da se mogu pratiti promene intenziteta kiše kroz vreme. Pluviograf sa vagom je drugi tip pluviografa koji kontinualno meri padavine. On radi na principu merenja težine vode koja se iz levka dovodi u posudu. Vaga je povezana sa perom naslonjenim na cilindar sa papirnatom trakom.
24
Pluviograf sa klackalicom ili impulsni kišomer sastoji se od levka iz kojeg voda dospeva do klackalice, tj. male posude sa dve komore poznate zapremine koja se može okretati oko svoje osovine. Kada kiša pada, najpre se puni gornja komora, a kada se napuni, klackalica se okre će, puna komora se prazni, a kiša nastavlja da pada u drugu komoru. Pri okretanju klackalice proizvodi se elektri čni impuls koji se može beležiti na papirnatoj traci ili digitalnim putem. Jedan tip ovih kišomera beleži vreme svakog impulsa, a drugi tip beleži broj impulsa u jednakim vremenskim intervalima. Visina kiše u nekom trenutku od početka kiše dobija se sabiranjem broja impulsa do tog trenutka i množenjem sa visinom kiše koja odgovara zapremini jedne komore na klackalici (obi čno oko 0.2 mm). Smatra se da ova vrsta kišomera nije naro čito pouzdana za veoma jake kiše, tj. velike intenzitete. Padavine se mere pomo ću kišomera na lokacijama koje se nazivaju padavinske stanice (često u sklopu meteoroloških i klimatoloških stanica). S obzirom da se pomo ću kišomera prakti čno meri koli čina padavina u jednoj ta čki, jasno je da je poželjno da mreža padavinskih stanica bude što guš ća kako bi bolje upoznali prostorne varijacije padavina. Svetska meteorološka organizacija preporu čuje da se mreža stanica projektuje tako da postoji jedna stanica na svakih 25 km 2. Mreža padavinskih stanica kod nas je relativno gusta (1 stanica na 65 km 2), dok je broj pluviografa veoma mali. Trenutnu u Srbiji radi oko 30 pluviografa, što predstavlja gustinu od jedne stanice na 2000 km 2. Poređenja radi, gustina pluviografske mreže u Velikoj Britaniji iznosi oko 250 km 2 po stanici. Padavine kao izrazito prostorno neravnomeran proces mogu se osmatrati u prostoru pomo ću meteoroloških radara i satelita. Međutim, tačnost ovakvog merenja padavina nije velika jer ni radar ni satelit ne mere padavine direktno. Radar emituje elektromagnetno zra čenje i meri deo koji se vra ća nazad nakon refleksije na oblacima i na padavinama. Koli čina padavina se dobija iz empirijskih veza izme đu refleksivnosti (povratnog zra čenja) i dimenzija kapljica vode u atmosferi, a onda i sa intenzitetom padavina. Takve empirijske veze se uspostavljaju na osnovu kalibracije sa kišomerima na zemlji. Iako greške u merenju koli čine padavina radarom mogu biti veoma velike, radar je veoma koristan za pra ćenje olujnih sistema, a time i za prognozu padavina i oticaja od kišnih voda. Meteorološki sateliti takođe ne mere padavine direktno. Detektori koji se nalaze na ovim satelitima mere jačinu reflektovanog sun čevog zračenja od zemlje i atmosfere u razli čitim delovima spektra. Problem nastaje u činjenici što ovi detektori ne reaguju na zra čenje odbijeno na padavinama, pa se one ne mogu na taj na čin osmatrati. Međutim, vidljivo i infracrveno zra čenje koje se reflektuje od oblaka daje odličnu sliku oblačnosti. Na taj na čin se mogu dobiti podaci o visini oblaka, temperaturama na njihovim gornjim krajevima i sli čno. Prepoznavanje oblaka na satlitskim snimcima nije veliki problem za meteorologe, ali se pokazalo da nije lako razlikovati oblake koji će dati kišu i one koji ne će. Kvantitativni podaci o padavinama dobijeni pomo ću satelitskih snimaka su proizvod empirijskih relacija sa intenzitetom kiše izmerenim na površini zemlje; greške u ovakvom pristupu mogu biti enormne. Ipak, podaci sa satelita su korisni za sagledavanje obla čnih sistema i padavina na ogromnim prostranstvima kao što su okeani i pustinje gde se padavine ina če ne mere.
2.8.4 Obrada podataka o padavinama Vremenska analiza kiša. Podaci sa kišomera koji mere dnevne visine padavina objavljuju se u meteorološkim godišnjacima u vidu godišnjih pregleda. Na osnovu tih podataka dobijaju se mese čne i godišnje sume padavina. Rezultat merenja kiše pluviografima su pluviografske trake na kojima su ucrtane sumarne linije kiša za svaki dan. Pošto one predstavljaju kontinualan zapis, neophodno je izvršiti diskretizaciju. To se može uraditi na više na čina, a to su: −
očitavanje vrednosti sumarne linije kiše u konstantnim vremenskim intervalima,
−
očitavanje vremenskih trenutaka do dostizanja konstantnog priraštaja kiše, i 25
očitavanje prelomnih tačaka sumarne linije, odnosno vremena i odgovaraju ćih visina kiša
−
između kojih se intenzitet kiše nije bitno menjao. Sumarna linija kiše je neopadaju ća linija sa ordinatama koje predstavljaju visinu kiše P u nekom trenutku vremena t od početka kiše (slika 13a). Njen nagib odgovara intenzitetu kiše i:
i=
dP dt
Dijagram promene intenziteta kiše kroz vreme naziva se hijetogram. S obzirom da se podaci o sumarnoj liniji sa pluviografskih traka diskretizuju, intenziteti kiše postaju odnos priraštaja visine kiše i priraštaja vremena:
i=
Δ P Δt
Drugim rečima, računa se prosečni intenzitet kiše u intervalu vremena
Δt ,
dok hijetogram dobija oblik
histograma (slika 13 b).
(a)
(b) i
Δ P
P { i k a n i s i v
Δt
intenzitet ki{e
i =
Δ P Δt
e { i k t e t i z n e t n i
hijetogram
sumarna linija ki{e
vreme t
vreme t
Slika 13. Sumarna linija kiše (kumulativna visina kiše u vremenu) i hijetogram (promena intenziteta kiše kroz vreme).
Da bi se kišne epizode registrovane na nekoj lokaciji me đusobno uporedile, uobi čajena praksa je da se sa pluviografskih traka odre đuju maksimalni priraštaji kiše u određenim intervalima vremena (drugim rečima, maksimalni prosečni intenziteti u tim intervalima vremena). Na primer, pronalazi se maksimalni priraštaj kiše tokom 30 minuta, 60 minuta, 120 minuta i sli čno. Za potrebe ovbakve analize, podaci se često diskretizuju na konstantan vremenski interval od 5 minuta. Zatim se vremenski interval za koji se
traži maksimalni priraštaj (i koji je umnožak od 5 minuta) pomera duž vremenske ose za po 5 minuta dok se ne pronađe maksimalni priraštaj. Ovakva vrsta analize je osnova za statisti čku analizu kiša i za projektovanje raznih hidrotehničkih objekata. Prostorna analiza kiša. Jedna od važnijih informacija potrebnih u hidrološkim analizama jeste zapremina pale vode na neki sliv. Ako se zapremina pale vode podeli sa površinom sliva, dobija se prosečna visina kiše za taj sliv:
P =
26
V p
Na osnovu merenja padavina na više ta čaka unutar sliva ili u njegovoj neposrednoj blizini, zapremina pale vode se može odrediti na više na čina. Najtačniji način jeste konstrukcija izohijeta. Izohijete su linije istih visina padavina. Ukoliko mreža stanica na osnovu kojih se crtaju izohijete nije dovoljno gusta, konstrukcija izohijeta zahteva iskustvo i poznavanje terena i režima padavina. Kada se izohijete nacrtaju, zapremina pale vode se odre đuje tako što se odrede površine sliva izme đu izohijeta i pomnože prose čnom visinom kiše za tu površinu. Najprostiji način, ali i najmanje ta čan, jeste da se izra čuna aritmetič ka sredina visine padavina na razmatranim stanicama. On je ta čniji za stanice koje se me đusobno ne razlikuju mnogo po visinama kiše i relativno ravnomerno su raspore đene po slivu. Metod Tisenovih poligona se najčešće primenjuje u inženjerskoj praksi jer kombinuje jednostavnost i relativnu ta čnost. Osnovna ideja ovog metoda je da svakoj ta čki unutar sliva treba dodeliti visinu kiše sa najbližeg kišomera. Zato se visina kiše sa nekog kišomera primenjuje do polovine rastojanja između njega i nekog drugog kišomera u bilo kom pravcu. Konstrukcija poligona kojim se razgraničavaju pripadajuće površine za svaku kišomernu stanicu po činje crtanjem mreže trouglova kojima se spajaju tačke stanica, a zatim se crtaju simetrale stranica tih trouglova. Ove simetrale će formirati poligone oko pojedinih stanica i odrediti pripadaju će površine. Zapremina pale vode tada se odre đuje kao zbir zapremina pale vode na svaku pripadaju ću površinu, a koje se dobijaju množenjem visine pale kiše na toj stanici sa površinom zatvorenog poligona oko te stanice.
27
3. POTPOVRŠINSKI PROCESI Pod potpovršinskim procesima u hidrološkom ciklusu smatraju se oni koji se odvijaju ispod površine zemlje. Zemljište ili stenska masa kroz koje voda može da te če naziva se porozna sredina . Ukoliko su sve šupljine u poroznoj sredini ispunjene vodom, onda se radi o zasićenoj sredini, a u suprotnom o nezasićenoj. Tečenje vode u poroznoj sredini često se naziva i filtracija. Tri najvažnija potpovršinska procesa sa stanovišta hidrologa su (slika 14): − infiltracija, koja predstavlja upijanje vode sa površine terena i kojom se formira zemljišna vlaga u površinskom sloju tla; − potpovršinski oticaj, ili tečenje u nezasićenoj sredini; − podzemni oticaj, ili tečenje u zasićenoj sredini.
Infiltracija
Podpovr{inski oticaj Nivo podzemnih voda Pozemni oticaj Povr{inske vode
Slika 14. Procesi u potpovršinskoj fazi hidrološkog ciklusa. Procesom infiltracije voda dospeva u zemljište, čime se povećava njegova vlaga. Kada zemljište ne može da primi više vode, dolazi do formiranja nadsloja vode na površini zemljišta, a zatim do površinskog oticanja. Pod infiltracijom se podrazumeva ulazak vode u zemljište, dok se dalje proceđivanje vode u vertikalnom pravcu nadole naziva perkolacijom. Usled postojanja slojeva tla manje vodopropustljivosti i nagiba terena, dolazi do lateralnog kretanja vode kroz nezasi ćene slojeve, što se naziva potpovršinski oticaj. Na sli čan način, tečenje vode u zasi ćenim slojevima čini podzemni oticaj. Potpovršinski i podzemni oticaj može izbiti na površinu terena kao izvor, ili može dospevati do površinskih tokova i prihranjivati ih. Nivo podzemnih voda se definiše kao onaj nivo u zasi ćenoj sredini na kome se voda nalazi pod atmosferskim pritiskom. Ispod nivoa podzemnih voda sredina je zasi ćena i voda se nalazi pod pritiskom većim od atmosferskog. Iznad nivoa podzmenih voda porozna sredina može biti zasi ćena na jednom kraćem delu usled kapilarnog penjanja vode. Taj deo zemljišta se naziva kapilarna zona. Iznad kapilarne zone zemljište je nezasićeno, osim neposredno nakon padavina kada usled infiltracije može do ći do privremenog zasićenja.
3.1 Zemljišna vlaga Voda u nezasićene slojeve zemljišta dospeva infiltracijom usled padavina, a gubi se isparavanjem i kroz proces transpiracije. Bilans voda u ovom sloju je naro čito značajan u okviru navodnjavanja i odvodnjavanja, dve hidrotehni čke discipline kojima se obezbe đuje da zemljište ne postane previše suvo s jedne strane, a s druge da ne bude ni previše vlažno. 28
Pri vlaženju suvog zemljišta, voda se najpre privla či ka površini čestica pod dejstvom elektrostatičkih sila, čime se oko čestica stvara higroskopni sloj vode, a sredina šupljina ostaje ispunjena vazduhom. Ove sile privla čenja su dosta jake, tako da se higroskopna voda teško pomera pod uticajem drugih sila, pa je često nedostupna i za korene sisteme biljaka. Voda koja infiltracijom dospeva u nezasi ćeni sloj zemljišta kreće se pod uticajem dvaju sila: gravitacije i površinskog napona (ili kapilarnih sila). Efekat površinskih napona najbolje se uo čava ako se posmatra stub suvog zemljišta čiji je donji kraj potopljen u vodu. Voda će se penjati kroz suvo zemljište iznad površine vode do visine na kojoj se izjedna čavaju sile gravitacije i površinskih napona. U krupnom pesku ta visina kapilarnog penjanja iznosiće nekoliko milimetara, a u glini čak i nekoliko metara.
3.1.1 Osnovni pojmovi
Zemljište se sastoji od čvrstih čestica zemljišta i šupljina (pora). Procenat zapremine šupljina u ukupnoj zapremini zemljišta naziva se poroznost : n=
V {upljina V ukupno
U zavisnosti od vrste zemljišta, poroznost se kre će u granicama od 0.25 do 0.75 (tabela 9). Deo šupljina u nezasićenoj sredini ispunjen je vodom, a preostali deo vazduhom. Zapremina dela koji je ispunjen vodom u odnosu na ukupnu zapreminu naziva se sadržajem zemljišne vlage:
θ=
V vode V ukupno
Iz prethodnih definicija jasno je da saržaj zemljišne vlage može biti samo manji od ili jednak poroznosti, a ne i ve ći: 0≤θ≤n Sadržaj zemljišne vlage koji se uspostavlja kada se zemljište ocedi posle zasi ćenja do tačke ravnoteže između gravitacije i sila površinskog napona, naziva se poljski kapacitet . Uobičajeno vreme dostizanja poljskog kapaciteta posle zasi ćenja iznosi oko dva dana. Sadržaj zemljišne vlage u zemljištu koje se suši ispod koga će biljke uvenuti bez obzira da li im se dodaje vlaga, zove se tač ka svenjavanja.
Materijal Šljunak Pesak Prašina Glina
Tabela 9. Karakteristike osnovnih tipova zemljišta. Veličina čestica Poroznost (%) Koeficijent filtracije K (cm/s) 25 – 40 10 –1 – 102 > 2 mm 25 – 50 10 –5 – 1 50 μm – 2 mm 35 – 50 10 –7 – 10 –3 2 μm – 50 μm 40 – 70 10 –9 – 10 –5 < 2 μm
3.1.2 Kretanje vode u nezasi će noj sredini
Ako se posmatra jednodimenzionalno te čenje, tj. ono koje se odvija samo u vertikalnom pravcu ( z ) pri čemu se smatra da nema komponenti brzina u horizontalnom pravcu, jedna čina kontinuiteta glasi:
∂θ ∂v + =0 ∂t ∂ z 29
Ona pokazuje da je promena sadržaja vlage posledica promene fluksa vode kroz elementarnu zapreminu. U ovoj jednačini v predstavlja Darsijevu brzinu te čenja, koja se definiše kao proticaj vode kroz jedini čni poprečni presek zemljišta (dakle ceo presek, a ne samo presek šupljina): v=
Q A
Stvarna brzina vode bi se dobila ako se popre čni presek koriguje na površinu šupljina: v s
=
Q nA
Prema Darsijevom zakonu, Darsijeva brzina je proporcionalna gubitku energije po jedinici visine porozne sredine, a koeficijent proporcionalnosti je koeficijent hidrauli čke provodljivosti ili koeficijent filtracije K : v = KI e
Gubitak energije prakti čno je jednak promeni pijezometarskog nivoa Π po visini, s obzirom da se kinetička energija v2/2 g može se zanemariti jer su brzine veoma male: v = − K
∂Π ∂ z
(1)
gde negativni predznak ukazuje da se pijezometarski nivo smanjuje u pravcu te čenja. Ukupna potencijalna energija vode Π sastoji se od gravitacionog i kapilarnog potencijala:
Π = z + ψ
(2)
gde je ψ visina kapilarnog dizanja (slika 15). Pored vrste materijala u zemljištu, visina kapilarnog dizanja zavisiće i od sadržaja vlage u poroznoj sredini. Na slici 414 data je zavisnost visine kapilarnog dizanja od sadržaja vlage za jednu vrstu gline. Na istoj slici se vidi i da koeficijent filtracije K zavisi od sadržaja vlage. z = 0
z 1 Π1
ψ1
z 2
ψ2
Π2
Slika 15. Ukupni potencijal vode u nezasi ćenoj sredini sastoji se od gravitacionog potencijala z i kapilarnog potencijala Ψ.
3.1.3 Merenje sadržaja zemljišne vlage i potencijala vode u zemlji štu
Gravimetrijsko određivanje sadržaja zemljišne vlage je klasi čan i pouzdan metod. Uzima se uzorak zemlje poznate zapremine V , meri se masa uzorka m, a zatim se uzorak suši u pe ćima za uzorke na određenoj temperaturi (100–110 oC) sve dok njegova masa ne postane konstantna u iznosu m s. Masa vode 30
u vlažnom uzorku jednaka je razlici ovako izmerenih masa ( mw = m – m s), a time su odre đeni zapremina vode (V w = mw/ρw) i sadržaj zemljišne vlage (θ = V w/V ). Drugi način merenja je pomo ću neutronskih sondi. U rupu u zemlji stavlja se izvor radioaktivnosti, a emitovani brzi neutroni se usporavaju u sudaru sa jezgrima vodonika u vodi i rasipaju. Broj usporenih neutrona se registruje detektorima. On će zavisiti od broja jezgara vodonika, tako da predstavlja meru količine vode u zemljištu. Instrumenti kojima se meri kapilarni potencijal ili visina kapilarnog dizanja nazivaju se tenziometri. Oni se sastoje od porozne keramičke čašice napunjene vodom koja se postavlja u zemljište, dok je s druge strane povezana sa nekim instrumentom za merenje pritiska (npr. manometrom) Ako se voda nalazi pod atmosferskim pritiskom, a pritisak vode u zemljištu je negativan, voda iz kerami čke čašice će se usisavati u zemljište sve dok se ne postigne ravnoteža pritisaka. Smanjenje vodenog stuba pokazuje onda visinu kapilarnog dizanja. Instrumenti koji se zasnivaju na elektri čnom otporu koriste se od 40-tih godina naovamo. Sastoje se od poroznih gipsanih blokova sa parom elektroda koji se postave u zemljište. Voda iz zemljišta se upija u gips sve dok se ne postigne ravnoteža izme đu pritiska u porama zemlje i gipsa. Tada se meri elektri čni otpor između elektroda, koji je pokazatelj sadržaja vlage u gipsu. Potencijal zemljišne vlage je u direktnoj vezi sa sadržajem vlage u gipsu.
3.2 Infiltracija Količina vode koja će se infiltrirati u zemljište, kao i intenzitet kojim će se infiltrirati, zavisi od velikog broja faktora. To je pre svega stanje na površini zemlje i vegetacija, zatim vrsta tla i njegove karakteristike kao što su poroznost i koeficijent filtracije, i kona čno trenutni sadržaj vlage u zemljištu. Raspored zemljišne vlage po dubini zemljišta tokom infiltracije (slika 16) može se podeliti na četiri zone: zasićena zona se nalazi pri površini, prelazna zona nezasi ćenog zemljišta sa relativno ujedna čenim sadržajem vlage, zona vlaženja u kojoj se sadržaj vlage smanjuje sa dubinom i vlažni front koji predstavlja donju granicu zone vlaženja. Sadr`aj zemlji{ne vlage Zasi}ena zona
Prelazna zona
a Zona vla`enja n i b u D Vla`ni front
Slika 16. Raspored zemljišne vlage tokom infiltracije. Intenzitet infiltracije je brzina kojom se voda infiltrira, i obi čno se izražava u mm/min ili mm/h. Ukoliko bi se na površini zemlje nalazio nadsloj vode, infiltracija bi se odigravala sa maksimalnim mogućim intenzitetom u zavisnosti od sadržaja vlage u zemljištu. To je potencijalna infiltracija ili infiltracioni kapacitet zemljišta. Me đutim, ukoliko na površinu zemlje stiže manje vode nego što se može 31
potencijalno infiltrirati, stvarna infiltracija bi će manja od potencijalne. Ako se intenzitet infiltracije ozna či sa f , a intenzitet kiše sa i, odnos potencijalne i stvarne infiltracije može se formulisati na slede ći način: f stvarno
i < f
⎧ f , =⎨ ⎩ i,
i > f
Ako je poznata promena intenziteta infiltracije kroz vreme f (t ), onda se može odrediti i kumulativna infiltracija (tj. sumarna linija infiltrirane vode) F (t ): t
F (t ) = ∫ f (t ) dt 0
Obrnuto, intenzitet infiltracije je izvod kumulativne infiltracije po vremenu: f (t ) =
dF dt
Hortonova jednač ina infiltracije.
Jednu od prvih jedna čina za proračun infiltracije dao je Horton, koji je pretpostavio da intenzitet infiltracije opada eksponencijalno sa vremenom od po četne infiltracije f o do neke konstantne vrednosti f c: f (t ) = f c
+ ( f o − f c ) e − kt
gde je k koeficijent koji pokazuje brzinu opadanja intenziteta infiltracije. Oblik ove jedna čine prikazan je na slici 17. Kumulativna infiltracija je onda: F (t ) = f c t +
1 k
( f o − f c ) (1 − e −kt ) f o f e j i c a t l i f n i t e t i z n e t n I
k 1
k1
<
k 2
k 2
f c
Vreme
Slika 17. Hortonova jedna čina infiltracije. Merenje infiltracije.
Instrument kojim se meri intenzitet infiltracije naziva se infiltrometar . On se sastoji od metalnog cilindra otvorenog s donje i gornje strane koji se vertikalno utiskuje u tlo. U jednoj varijanti u njega se naliva voda tako da se održava konstantan nadsloj, a meri se koli čina vode koja se doliva kroz vreme. Na taj način se dobijaju ordinate kumulastivne infiltracije F (t ). U drugoj varijanti voda se nalije i meri se opadanje nivoa iznad površine zemlje kroz vreme.
3.3 Podzemne vode Proceđivanje infiltrirane vode ka dubljim slojevima rezultuje u prihranjivanju podzemnih voda. To prihranjivanje zavisiće od geološke strukture i sastava stenske mase. S obzirom da se tlo obi čno sastoji od 32
više slojeva različitih karakteristika, različite su i mogućnosti tih slojeva za zadržavanje podzemnih voda. U principu, što su stenske mase starije, to su više konsolidovane (materijal je zbijeniji) i manja je verovatnoća da mogu da sadrže vodu. Slojevi koji sadrže podzemnu vodu nazivaju se akviferi. Polu porozni slojevi koji dozvoljavaju manje proce đivanje vode u dublje slojeve nazivaju se akvitardima, jer usporavaju perkolaciju. Veoma porozni slojevi su slabo vododrživi, jer se kroz njih voda brzo procedi dublje. Slojevi gline su uglavnom nepropusni, a porozni slojevi izme đu njih se nazivaju ograni čenim akviferima ili izdanima pod pritiskom (stariji naziv je i arteske izdani). Površinski peš čani slojevi se nazivaju neograni čenim akviferima ili izdanima sa slobodnom površinom . Podzemne vode su najve ći rezervoar slatkih voda, pa nije čudo što se veoma često koriste za vodosnabdevanje. Sporo, ali prostorno promenljivo, kretanje podzemne vode kroz heterogeno tlo kao mešavine peščano-šljunčanih i konsolidovanih slojeva obezbe đuje stalan i sporo promenljiv bazni proticaj u ve ćini reka. Merenja podzemnih voda.
Merenje podzemnog i potpovršinskog proticaja nije mogu će osim ako se podzemne vode ne pojave na površini kao izvori. Tada se prticaj može meriti prostom volumetrijskom metodom. Ono što se može meriti jeste nivo podzemnih voda sa slobodnom površinom, odnosno pijezometarske kote za podzemne vode pod pritiskom. Ovi nivoi se osmatraju u bunarima sa plovcima na površini vode koji su povezani sa sistemom za beleženje na površini terena, ili se nivo može meriti pomoću sondi koje se spuštaju u bunare i koje signaliziraju pri nailasku na vodu. Brzine kretanja podzemnih voda mogu se odrediti uz pomo ć trasera. Čest traser je obična so. Određena količina trasera se upušta u uzvodni bunar, a meri se vreme za koje će stići do nizvodnog bunara. Na ovaj na čin se dobija stvarna brzina podzemnih voda, a ne prividna ili Darsijeva. Na ovaj na čin može se odrediti i disperzija zagađujućih materija u transportu podzemnim vodama.
33
4. POVRŠINSKI PROCESI U površinske procese hidrološkog ciklusa spadaju svi oni kojima se padavine koje dospevaju na površinu zemlje preraspodeljuju i kreću do trenutka kada ta voda ponovo dospeva do okeana. Deo padavina koji otiče po površini ili podzemnim putem do vodotoka naziva se oticaj. Pored ovog termina, koristi se i termin efektivne padavine. Preostali deo padavina koji ne dospeva do vodotoka naziva se gubicima. Radi se o gubicima sa gledišta oticaja, jer se voda zapravo ne može izgubiti u hidrološkom
ciklusu. U gubitke spadaju voda koja se zadržava na vegetaciji (proces intercepcije), voda koja je isparila ili su je iskoristile biljke (evapotranspiracija) i voda koja se infiltrirala u zemljište. Pored ovoga, voda se može kraće ili duže vreme zadržavati u površinskim depresijama. Oticaj koji stiže do površinskih voda (teku ćih ili stajaćih, tj. reka ili jezera) može biti površinski, potpovršinski ili podzemni. Poslednja dva su rezultat kretanja vode kroz nezasi ćene odnosno zasi ćene slojeve zemljišta, i odvijaju se sporije od oticaja po površini. U tom smislu oni vrše zna čajnu vremensku preraspodelu voda. Dok površinski oticaj potpuno zavisi od padavina (on se formira neposredno po početku padavina i rezultuje u pove ćanju proticaja u rekama tokom kra ćeg perioda vremena), potpovršinske i podzemne vode predstavljaju veliki rezervoar u kome se infiltrirane padavine zadržavaju, sporo otiču i dospevaju do vodotoka u manjim koli činama ali znatno ravnomernije u vremenu.
4.1 Površinski oticaj Površinski oticaj na padinama sliva predstavlja prostorno vrlo neravnomeran proces. Za njega je karakteristično formiranje privilegovanih puteva vode, odnosno koncentracije oticaja. Te čenje vode po površini u tankom sloju je moguće samo na glatkim površinama, dok u prirodi teren uslovljava koncentrisanje oticaja. S obzirom da će do tečenja vode na površini do ći po zasićenju zemljišta, može se napraviti razlika izme đu zasićenja "odozgo" putem infiltracije i zasi ćenja "odozdo" usled koncentracije potpovršinskog tečenja. Prva vrsta površinskog oticanja obi čno se naziva Hortonovski površinski oticaj, a druga zasićeni površinski oticaj. Zasi ćeni površinski oticaj javlja se pri dnu padina, bliže vodotocima, gde se potpovršinski tokovi približavaju površini terena. Mesta zasi ćenja predstavljaju delove sliva koji zapravo doprinose površinskom oticaju. Formiranjem privilegovanih puteva vode stvara se prakti čno mreža dreniranja sliva, od koje nastaje i re čna mreža. Za površinsko tečenje u principu važe osnovni hidrodinami čki zakoni (Sen-Venanove jedna čine), ali je njihova primena veoma otežana s obzirom na složenost geometrije slivnih površina i karakteristika njihovog pokriva ča. Zbog toga se
često
pribegava raznim uproš ćenjima koji rezultuju u mnoštvu
hidroloških modela oticaja, o kojima će biti kasnije reči.
4.2 Hidrogrami proticaja u vodotocima Kada površinski, potpovršinski i podzemni oticaj stignu do vodotoka, oni formiraju proticaje u njima. Grafička prezentacija promene proticaja u nekom profilu reke tokom vremena je dijagram koji se naziva hidrogram. Hidrogram koji se osmatra na izlaznom profilu nekog sliva odslikava vezu izme đu padavina i oticaja na tom slivu. Ako se posmatra godišnji hidrogram, odnosno promena proticaja unutar godine na nekom slivu, može se uočiti priroda unutargodišnjeg režima proticaja. Na slici 18 dati su primeri godišnjih hidrograma na nekim našim rekama. U našem podneblju godišnje hidrograme karakteriše malovodni period tokom leta i rane jeseni i pojava velikih voda u prole će.
34
9000 8000
Dunav/Pan~evo
7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 J an
Feb
Mar
Apr
Maj
J un
J ul
Avg
Sep
Okt
Nov
Dec
4000 3500
Sava/Sremska Mitrovica
3000 2500 2000 1500 1000 500 0 J an
Feb
Mar
Apr
Maj
J un
J ul
Avg
Sep
Okt
Nov
Dec
1200 1000
Morava/Ljubi~evski Most
800 600 400 200 0 J an
Feb
Mar
Apr
Maj
J un
J ul
Avg
Sep
Okt
Nov
Dec
25
20
Biljanovac/J o{anica
15
10
5
0 J an
Feb
Mar
Apr
Maj
J un
J ul
Avg
Sep
Okt
Nov
Dec
Slika 18. Primeri godišnjih hidrograma tokom 1997. godine za neke reke u Srbiji. 35
Talasi velikih voda su posledica padavina, i to zna čajnijih kišnih epizoda. Deo hidrograma proticaja koji je direktna posledica oticaja usled kiša naziva se direktni oticaj, dok blagopromenljivi proticaj u sušnom periodu predstavlja bazni oticaj, koji potiče od sporopristužu ćeg potpovršinskog i podzemnog oticaja. Talasi proticaja koji su posledlica kišnih epizoda ili topljenja snega (ili kombinacije ovih pojava) obično se izdvajaju iz godišnjeg hidrograma da bi se na njima prou čavala veza između padavina i oticaja. Na hidrogramu oticaja usled jedne kišne epizode (slika 19) mogu se uočiti neke karakteristične tačke: direktan oticaj počinje u tački B, dostiže maksimum u tački C, a završava se u ta čki D. Delovi hidrograma između ovih karakteristi čnih tačaka nazivaju se:
− rastuća grana hidrograma (segment BC), − opadajuća grana hidrograma (segment CD), − recesiona grana hidrograma (segmenti AB i DE). Recesiona grana hidrograma predstavlja bazni proticaj koji se javlja u vodotoku kada nema padavina.
C
j a c i t o r p
Qmax
D
A
E
B T p
T r
vreme
T B
Slika 19. Elementi hidrograma usled jedne kišne epizode.
Karakteristični elementi hidrograma su slede će veličine:
− maksimalni proticaj Qmax, − baza hidrograma T B (predstavlja trajanje direktnog oticaja), − vreme podizanja hidrograma T p (vreme od početka direktnog oticaja do dostizanja maksimalnog B
proticaja),
− vreme opadanja hidrograma
T r (vreme od pojave maksimalnog proticaja do završetka direktnog
proticaja). Odvajanje baznog i direktnog proticaja . Smatra se da bazni proticaji tj. proticaji u sušnom periodu
opadaju eksponencijalno s vremenom i da se recesiona grana hidrograma može aproksimirati jedna činom:
Q (t ) = Qo e 36
− (t −t o ) / k
gde je Qo proticaj u trenutku t o, a k recesioni koeficijent koji ima dimenziju vremena. Gornja jedna čina ukazuje da su logaritmi proticaja linearno zavisni od vremena:
ln Q (t ) = ln Qo
− (t − t o ) / k
Drugim rečima, recesiona grana hidrograma bi će prava linija ako se hidrogram nacrta u semilogaritamskoj razmeri (sa proticajima i logaritamskoj, a vremenom u aritmetickoj razmeri). Ova činjenica se koristi da se na hidrogramu odrede ta čke početka i prestanka direktnog oticaja. Odvajanje baznog od direktnog proticaja (slika 20) počinje identifikacijom tačke B, kao po četka direktnog oticaja. Segment AB se produžava do vremena pojave maksimalnog proticaja (ta čka C'). Zatim se identifikuje tačka D, vreme prestanka direktnog oticaja i ona se spaja sa ta čkom C'.
C
direktan oticaj
j a c i t o r p
Qd
A
D E
B C'
Qb
bazni oticaj vreme
Slika 20. Odvajanje baznog i direktnog oticaja.
4.3 Efektivna kiša i direktni oticaj Efektivna kiša je deo ukupne kiše pale na sliv koji se pretvorio u direktni oticaj. To je dakle onaj
deo kiše koji se nije infiltrirao zemljište ili koji se nije zadržao na površini zemljišta. Razlika izme đu pale kiše i efektivne kiše naziva se gubicima. Površina ispod hidrograma direktnog oticaja predstavlja zapreminu direktnog oticaja V d za jednu kišnu epizodu: T B
V d
= ∫ Q(t ) dt 0
Ukupna visina efektivne kiše jednaka je sloju direktnog oticaja, odnosno zapremini direktnog oticaja po jedinici površine sliva: Pe
=
V d A
Ukupni gubici su razlika pale (bruto) kiše i efektivne (neto) kiše: Pg
= P − Pe 37
Odnos ukupnih visina efektivne i pale kiše naziva se koeficijent oticaja:
η=
Pe P
On je takođe i odnos zapremina otekle vode (zapremine direktnog oticaja) i zapremine pale kiše:
η=
Pe ⋅ A P ⋅ A
=
V d V p
4.4 Merenje površinskih voda Iako je proticaj najvažnija veli čina kada su u pitanju vodotoci, njegovo direktno merenje nije moguće u većini slučajeva. Na izvorima i na veoma malim vodotocima proticaj se može meriti volumetrijski, a na iole ve ćim potocima i rekama to je nemogu će, tako da se obavljaju merenja dubina ili nivoa vode ( vodostaja), a zatim se na osnovu njih odre đuje proticaj. Na manjim vodotocima moguće je konstruisati objekte kao što su suženja ili prelivi na kojima postoji jednoznačna veza između dubina i proticaja definisana poznatim jedna činama. Za ove objekte mora postojati period tariranja tj. paralelnog merenja dubina i proticaja na alternativan na čin da bi se utvrdili koeficijenti koji figurišu u odgovaraju ćim jednačinama (koeficijenti prelivanja i sli čno). Na rekama se kontinualno mere vodostaji, a povremeno se mere brzine toka po popre čnom preseku i proticaj dobija računskim putem. Tako dobijeni proticaji i odgovaraju ći vodostaji se dovode u vezu koja se naziva kriva proticaja, kako bi se pomoću nje odre đivali proticaji na osnovu vodostaja koji se kontinualno mere.
4.4.1 Merenje vodostaja Vodostaj se definiše kao razlika izme đu nivoa vode Z i neke referentne kote Z o (slika 21a).
Referentna kota naziva se kota nule. Kota nule je fiksirana kota sa poznatom nadmorskom visinom. Vodostaj se meri u odnosu na kotu nule i izražava u cm. Ako se nivo vode nalazi na koti nule, vodostaj je 0. Kota nule se obi čno postavlja ispod najnižeg opaženog nivoa vode kako bi vodostaji imali pozitivne vrednosti (slika 21a). Ukoliko do đe do produbljivanja korita, može se desiti da se javljaju i nivoi vode ispod kote nule, pa vodostaji mogu biti i negativni (slika 21 b). Najjednostavniji instrument za merenje vodostaja je vodomerna letva. Ona se postavlja tako da njena kota nule bude ispod najnižeg opaženog vodostaja. Ako se korito produbi, ispod postoje će letve postavlja se tzv. negativna letva. Letva je obično graduisana podeocima od 2 cm, tako da je ta čnost očitavanja 1 cm. U okviru redovnih osmatranja na vodomernim stanicama sa letvama vodostaji se očitavaju jednom dnevno (u 6 sati), a po potrebi (u periodima nailaska talasa velikih voda) i više puta dnevno. Od uređaja za kontinualno merenje vode naj češće se koristi limnigraf sa plovkom. Obi čno se pored reke iskopa plitak bunar sa popre čnom vezom ka reci, tako da je nivo vode u bunaru jednak nivou vode u reci. U bunaru je smešten ure đaj koji se sastoji od plovka, užeta na čijoj jednoj strani se nalazi plovak, kotura preko koga prelazi uže i kontratega na durgoj strani užeta. Pomeranje plovka se prenosi na papirnu traku, tako da se dobija kontinualni zapis promene vodostaja.
38
nivo vode Z
(a)
vodostaj H kota nule Z o
nivo vode Z
vodostaj H kota nule Z o (b)
Z o
H > 0 H < 0
Slika 21. Definicija vodostaja i kote nule: (a) vodostaji se mere od kote nule do nivoa vode; (b) ako se jave nivoi vode ispod kote nule, vodostaji su negativni.
4.4.2 Merenje brzina
Merenja brzina tečenja vode u profilima hidroloških stanica naj češće se nazivaju hidrometrijska merenja. Za merenje brzina u prirodnim vodotocima naj češće se koristi hidrometrijsko krilo. Njegov
glavni deo je elisa na osovini koja je pri čvršćena na metalnu šipku odnosno drža č (slika 22). Kada se krilo spusti u vodu tako da se vodena struja kre će ka elisi, elisa će se okretati brzinom koja zavisi od brzine vodene struje. Broj obrtaja elise je u funkcionalnoj vezi sa brzinom, a ta veza je naj češće višestruka linearna (za razli čite opsege broja obrtaja važe razli čite jednačine). Osovina elise je povezana sa električnim brojačem obrtaja, tako da se prakti čno registruje broj obrtaja u odre đenom vremenskom intervalu, a brzina se ra čuna prema odgovaraju ćoj jednačini. Veličina elise može biti razli čita; manje elise se koriste za manje brzine i vodotoke, a ve će za veće brzine i vodotoke. U zavisnosti od veli čine vodotoka, krilo se može spuštati u vodu na razli čite načine. U potocima u koje se može zagaziti, čovek spušta drža č krila u pojedine ta čke poprečnog preseka toka. Po širini profila se razapne uže kako bi se fiksirala mesta ( vertikale) u kojima se mere brzine, dok se dubina može odrediti pomo ću graduacije na držaču krila. Držač krila se može spuštati u tok i sa mosta. Kod većih vodotoka merenja se moraju vršiti iz čamca vođenog čeličnim užetom razapetim po širini toka ili pomoću žičare. Na veoma velikim vodotocima mesta merenja brzina moraju se odrediti geodetskim
39
metodama, a umesto krila sa elisom koriste se torpeda (dužine oko 2 m), koja pomo ću čeličnih užadi vuče brod.
Slika 22. Hidrometrijsko krilo. Broj tačaka u kojima treba izmeriti brzine zavisi će od veličine vodotoka. Prema preporukama Svetske meteorološke organizacije, rastojanje izme đu dve vertikale ne treba da bude ve će od 1/20 širine vodotoka. Za dubine ve će od 1 m, na vertikali se obi čno uzima pet ta čaka u kojima se mere brzine (pri površini, na 0.2 h, 0.6h, 0.8h i pri dnu, gde je h dubina vodotoka na vertikali), dok se za manje dubine uzima manje tačaka.
4.4.3 Prorač un proticaja na osnovu izmerenih brzina
Merenja brzina, ili hidrometrijska merenja, sprovode se sa glavnim ciljem da se odredi proticaj u profilu stanice pri nekom vodostaju. Proticaj se određuje integrisanjem polja brzina u popre čnom preseku vodotoka: Q = ∫ v( x, y ) dA = A
B h ( x )
∫ ∫
v( x, y ) dx dy
x =0 y =0
gde je A površina popre čnog preseka vodotoka, x rastojanje od leve obale, B širina vodnog ogledala, y dubina merena od površine, a h( x) ukupna dubina na rastojanju x od leve obale. U prakti čnim proračunima proticaja na osnovu izmerenog polja brzina, najpre se vrši integracija po dubini za svaku vertikalu (slika 23). Tako dobijena veli čina naziva se elementarni proticaj (q): q( x) =
h ( x )
∫
v dy
y =0
2
-1
Elementarni protcaj predstavlja proticaj po jedinici širine korita i ima dimenziju L T . Na osnovu njega može se odrediti i srednja brzina na vertikali: v v ( x) =
40
q ( x) h( x)
U drugom koraku integrišu se elementarni proticaji po širini korita kako bi se dobio ukupni proticaj: Q=
B
∫
q( x) dx
x =0
q(x)
q
B
Q = ∫ q(x) dx x
0
B
v
h(x)
y h(x )
vertikala
q(x) = ∫ v(x,y) dx 0
Slika 23. Proračun proticaja integracijom polja brzina.
4.4.4 Kriva proticaja
Uspostavljanje pouzdane veze izme đu osmotrenih vodostaja i odgovaraju ćih proticaja je od suštinskog značaja za hidrološke analize. Zavisnost izme đu vodostaja i proticaja za neku hidrološku stanicu naziva se kriva proticaja. Ona se formira na osnovu rezultata merenja brzina i prora čuna proticaja u poprečnom profilu stanice pri trenutnom vodostaju. Kako bi se pokrio ceo dijapazon mogu ćih proticaja i vodostaja, hidrometrijska merenja treba sprovoditi pri razli čitim vodostajima. Uobičajena je praksa da se ova merenja obavljaju 10–12 puta godišnje. Kada se parovi vrednosti osmotrenih vodostaja i sra čunatih proticaja nanesu na dijagram Q – H (slika 24), oni će se grupisati oko neke krive linije, ali će se neizbežno pojaviti rasipanje ta čaka usled grešaka u merenjima i nepreciznosti u prora čunu proticaja. Provla čenje krive linije kroz tačke može se obaviti matematički uz pomo ć regresione analize, mada se u praksi često radi i ručno jer ovaj postupak zahteva iskustvo. Kriva koja se provu če kroz tačke može se onda definisati na sledeće načine: (a) grafi čki, na dijagramu Q – H , (b) tabelarno, sa parovima odgovaraju ćih vrednosti vodostaja i proticaja ("pisana kriva proticaja"), i (c) analiti čki, u obliku Q = Q( H ). Najčešći analitički oblici krive proticaja su stepene funkcije oblika Q = aH b ili Q = a ( H − H 0 ) b . Korita prirodnih vodotoka su naj češće nestabilna jer pod dejstvom vodene struje dolazi do produbljivanja ili nasipanja korita, čime se menja i hrapavost dna vodotoka. Zbog toga vezu Q( H ) treba često
proveravati. Jedna kriva proticaja može važiti za neki profil duže ili kra će vreme, u zavisnosti od
nestabilnosti korita. Za svaki profil naj češće postoji čitava familija krivih proticaja. Pored nestabilnosti, promena pada linije nivoa tokom neustaljenog te čenja takođe se odražava na zavisnost Q( H ). U ustaljenom tečenju pad dna i pad linije nivoa su jednaki, pa je veza izme đu proticaja i dubina (ili vodostaja) jednozna čna i data Maningovom jedna činom. U neustaljenom tečenju, kao što je prolazak poplavnog talasa, ova veza nije jednozna čna jer se pad linije nivoa menja. U trenutku nailaska poplavnog talasa proticaji i nivoi vode rastu, pa je pad linije nivoa ve ći od pada dna; pri povla čenju poplavnog talasa je obrnuto. Rezultat je pojava petlje u vezi Q( H ), kao u primeru na slici 25. Za isti vodostaj, pri nailasku poplavnog talasa proticaji su ve ći nego pri povla čenju talasa.
41
0
2
6
4
8
10
12
14
150
Q (m3 /s)
H (cm) 140
130
120
110
100
90 Legenda:
80
1975 1976 1977 1978 1979
70
60
Q (m3 /s) 50 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
Slika 24. Kriva proticaja za vodomernu stanicu Bora č na Boračkoj reci.
12 0
12 0
10 0
10 0
80
80
) 60 m c ( j a t s 40 o d o V
) 60 m c ( j a t s 40 o d o V
20
20
0
0
-20
-20
-40
-40
23.11.
24.11. 25.11. 26.11. 22.11.
21.11. 21
22
23
24
datum
25
26.11.
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Proticaj (m3/s)
Slika 25. Pojava petlje na krivoj proticaja tokom prolaska poplavnog talasa (vodostaji i proticaji osmotreni na reci Kolubari kod Slovca tokom novembra 1996. godine).
42
50
TREĆI DEO STATISTI ČKA ANALIZA U HIDROLOGIJI
5. STATISTIČKA ANALIZA U HIDROLOGIJI
Hidrološki procesi odvijaju se u prostoru i vremenu na delimi čno predvidljiv ili deterministi čki način, a delimi čno na slučajan način. Varijacije hidroloških procesa koje su slu čajnog karaktera ponekad dominiraju nad varijacijama koje su deterministi čkog karaktera, pa je tada posmatranje procesa kao čisto slučajnog opravdano. U čisto slučajnom procesu jedan podatak osmatranja procesa ne zavisi od podataka prethodnih ili narednih osmatranja, pa su statisti čke osobine svih osmatranja iste. Ovakav na čin tretiranja hidroloških procesa je pogodan za ekstremne hidrološke pojave kao što su poplave ili suše. Statistička analiza hidroloških nizova zasniva se na teoriji verovatno će i statistike kao matematičkoj disciplini. Ona služi da se opiše slu čajan karakter podataka osmatranja nekog hidrološkog procesa. Pri tome se pažnja usredsre đuje na podatke osmatranja, a ne na fizi čke procese koji su ih proizveli. Zbog toga statistika služi kao sredstvo za opisivanje procesa, a ne za analizu uzro čno-posledičnih veza.
5.1 Slučajne promenljive i njihove raspodele verovatnoće 5.1.1 Osnovni pojmovi
Sluč ajna promenljiva X je promenljiva koja se ponaša po nekom zakonu verovatno će. To zna či da će
ta promenljiva uzimati neke vrednosti sa odre đenom verovatno ćom. Vrednosti koje slu čajna promenljiva uzima predstavljaju rezultate osmatranja (ili opita) i nazivaju se ishodi ili realizacije slučajne promenljive. Oblast definisanosti slučajne promenljive je skup svih mogućih ishoda te slučajne promenljive koji se označava sa Ω. Slučajna promenljiva je diskretna (ili prekidna) ako uzima celobrojne vrednosti, odnosno ako je njen skup svih mogu ćih ishoda pripada skupu celih brojeva. Slu čajna promenljiva je kontinualna (ili neprekidna) ako je njen skup svih mogu ćih ishoda pripada skupu realnih brojeva. Visine kiše, proticaji i vodostaji su primeri kontinualnih slu čajnih promenljivih u hidrologiji. Primeri za diskretne slučajne promenljive su broj dana sa kišom, broj dana sa snegom, broj kišnih epizoda sa visinom kiše iznad neke vrednosti itd. Podskupovi skupa svih mogu ćih ishoda nazivaju se sluč ajni događ aji (slika 26). Na primer, skup svih mogućih ishoda za godišnju visinu padavina kao slu čajnu promenljivu teorijski obuhvata realne brojeve od nule do beskona čnosti (iako je visina kiše u stvarnosti ve ća od neke donje granice i manja od neke gornje granice), dok doga đaj može biti pojava godišnje visine kiše manje od neke vrednosti, kao što je 700 mm. Ishodi ili osmatranja slučajne promenljive mogu uzeti vrednosti iz skupa svih mogu ćih ishoda sa određenom verovatnoćom. Način na koji se odre đene verovatnoće pripisuju ishodima x slučajne promenljive X zove se raspodela verovatnoće. Na primer, ako je X godišnja visina padavina, raspodelom verovatnoće je određena verovatnoća da se visina kiše u posmatranoj godini na đe u nekom intervalu vrednosti, kao što je manje od 600 mm, od 600 do 700 mm itd. 43
Skup svih mogu}ih ishoda Ω
B
A
A∩ B
Slika 26. Doga đaji A i B su podskupovi skupa svih mogu ćih ishoda Ω. Niz osmatranja (ishoda, realizacija) x1, x2, ..., x N slučajne promenljive X naziva se uzorak . Pretpostavlja se da je uzorak deo populacije koja ima nepromenljive statisti čke osobine, dok se osobine jednog uzorka mogu razlikovati od osobina drugih uzoraka. Verovatnoća pojave slučajnog događaja A je verovatnoća da se on realizuje prilikom osmatranja slučajne promenljive. Ta verovatno ća se može proceniti ako se posmatra uzorak od N osmatranja i u njemu uoći N A vrednosti koje ulaze u raspon vrednosti doga đaja A. Relativna frekvencija događaja A tada je N A/ N . Što je veći uzorak (što je ve će N ), to relativna frekvencija postaje bolja ocena verovatno će događaja A. Drugim rečima: P { A} = lim
N →∞
N A N
Verovatnoće događaja koje se procenjuju na osnovu podataka iz uzorka su približne verovatno će, jer zavise od konkretnih osmotrenih vrednosti u uzorku ograni čene dužine. Drugi na čin da se odrede verovatnoće događaja jeste da se podacima iz uzorka prilagodi odre đena funkcija raspodele verovatno će i da se tražene verovatno će odrede iz te funkcije raspodele. Neke od važnih osobina verovatnoće događaja su sledeće:
−
Potpuna verovatno ća: ako se prostor verovatno će podeli na M disjunktnih skupova odnosno
događaja A1, A2, ..., A M koji se međusobno isključuju, tada je: P { A1 } + P { A2 } + K + P { A M } = P {Ω} = 1
Drugim rečima, skup Ω je potpun skup doga đaja, pa se naziva sigurnim ili izvesnim doga đajem.
−
Komplementarnost : ako je skup A komplement skupa A, to jest A
= Ω − A , onda:
P { A} = 1 − P { A}
Komplementarni doga đaj A naziva se i suprotni doga đaj, a P { A} suprotna verovatno ća. Ovaj princip sledi iz prethodnog. Tako đe sledi da je verovatno ća praznog skupa doga đaja jednaka nuli: P {O / } = 1 − P {Ω} = 0
−
Uslovna verovatnoća: posmatrajmo dva doga đaja A i B kao što je prikazano na slici 26 (događaj A može biti da visina kiše u jednoj godini bude manja od 700 mm, a doga đaj B da visina kiše
sledeće godine bude manja od 700 mm). Njihov presek je A ∩ B, koji znači da će se realizovati oba događaja (u primeru sa godišnjim visinama kiša, A ∩ B predstavlja događaj da će visina kiše u dve uzastopne godine biti manja od 700 mm). Verovatno ća da će se realizovati oba događaja P { A ∩ B} naziva se zajednič ka verovatnoća. Verovatnoća da će se realizovati doga đaj 44
B pod uslovom da se doga đaj A već realizovao naziva se uslovna verovatnoća i obeležava kao P { B⏐ A}. Ona je jednaka:
P { B | A} =
−
P { A ∩ B} P { A}
Nezavisnost događ aja: ukoliko realizacija doga đaja B ne zavisi od realizacije doga đaja A, za
ove događaje se kaže da su nezavisni, pa je P { B⏐ A} = P { B}. Za nezavisne doga đaje onda važi: P { A ∩ B} = P { A} ⋅ P {B} Ako se u prethodnom primeru mogu smatrati nezavisnim doga đaji da visina kiše u jednoj i u drugoj godini budu manje od 700 mm, tada je verovano ća da visina kiše u dve uzastopne godine bude manja od 700 mm jednaka kvadratu verovatno će da kiša u jednoj godini bude manja od 700 mm.
5.1.2 U če stalost i funkcija raspodele
Analiza uč estalosti (ili frekvencija) obavlja se tako što se mogu ći opseg vrednosti slučajne promenljive podeli na intervale odnosno klase, a zatim se prebroje podaci iz uzorka koji padaju u svaki od intervala. Broj podataka u svakoj klasi naziva se apsolutna frekvencija. Grafička predstava apsolutnih frekvencija ima oblik histograma (slika 27) na kome svaki stubi ć predstavlja broj podataka u jednoj klasi. Ako se apsolutna frekvencija f i u klasi i podeli sa ukupnim brojem podataka N , dobija se relativna frekvencija: f i*
=
f i N
1000
1000
900
900
800
800
) 700 m m ( e { i k 600 a i s i V 500
700
600
500
400
400
300
300
200
200
1880
1900
1920
1940 Godina
(a) Godi{nje visine ki{a
1960
1980
2000
0 2
4
6 8 10 12 14 16 18 20 Broj podataka (apsolutna frekvencija)
(b) Histogram frekvencija
Slika 27. Godišnje visine kiša u Beogradu (meteorološka opservatorija Vra čar) u periodu 1988–1991. 45
Relativna frekvencija je približno jednaka verovatno ći da se slučajna promenljiva X nađe u klasi i: f i* ≈ P { xi −1 < X ≤ xi }
gde su xi –1 i xi donja i gornja granica klase i. Zbir relativnih frekvencija do odre đene klase i naziva se kumulativna relativna frekvencija : F i*
i
= ∑ f k * k =1
Kumulativna relativna frekvencija je približno jednaka verovatno ći da je slučajna promenljiva manja od gornje granice klase i, F i* ≈ P { X ≤ x i }
Relativna frekvencija i kumulativna relativna frekvencija ra čunaju se na osnovu podataka iz uzorka. Odgovaraju će verovatnoće za celu populaciju predstavljaju grani čne vrednosti frekvencija za veliku dužinu uzorka ( N → ∞) i za veoma malu širinu klase ( Δ x → 0). Tako relativna frekvencija postaje funkcija gustine raspodele: f *
f ( x) = lim
N → ∞ Δ x →0
Δ x
= lim
P { x < X ≤ x + Δ x}
Δ x →0
Δ x
Kumulativna relativna frekvencija postaje funkcija raspodele: F ( x) = lim F * N →∞ Δ x→0
Odnos relativnih i kumulativnih relativnih frekevencija prema funkciji gustine raspodele i funkciji raspodele prikazan je na slici 28. Uzorak
Populacija
(a) Relativne frekvencije
1
(c) Funkcija gustine raspodele
*(xi )
f (x )
0
x
x xi
Δ x
(b) Kumulativne relativne frekvencije
1
F* (xi )
1
F* (xi )
F (x )
F (xi ) *(xi )
F*(xi-1) 0
(d) Funkcija raspodele
xi-1 xi
x
0
xi
Slika 28. Relativne frekevencije za uzorak i funkcija raspodele za populaciju. 46
x
Izvod funkcije raspodele je funkcija gustine raspodele: f ( x) =
dF ( x) dx
Funkcija raspodele se definiše kao verovatno ća da slučajna promenljiva X bude manja ili jednaka nekoj vrednosti x i može se izraziti kao integral funkcije gustine raspodele u tom domenu: x
F ( x) = P { X ≤ x} = ∫ f (u ) du −∞
gde je u pomoćna promenljiva u integraciji. Verovatnoća prevazilaženja je suprotna verovatno ća funkciji raspodele: ∞
P { X > x} = 1 − F ( x) = ∫ f (u ) du x
Verovatnoća da se slučajna promenljiva na đe u nekom intervalu ( xi –1, xi) može se odrediti na slede ći način: P { xi −1
xi
xi
xi −1
xi −1
−∞
−∞
< X ≤ xi } = ∫ f (u ) du = ∫ f (u ) du − ∫ f (u ) du = F ( xi ) − F ( xi−1 )
5.1.3 Statisti čk i parametri
Populacija neke slučajne promenljive može se opisati odre đenim parametrima kao što su srednja vrednosti ili standardna devijacija. Ti parametri su fiksirani, ali su nam obi čno nepoznati. Ukoliko se ti parametri odrede na osnovu uzorka, nazivamo ih statistikama. Statistike će se razlikovati od parametara populacije zbog toga što se naši proračuni zasnivaju na ograni čenom broju podataka iz uzorka. Parametri populacije se definišu kao o čekivana vrednost ili matematič ko oč ekivanje neke funkcije slučajne promenljive. Matemati čko očekivanje predstavlja operator E , čija je matematička definicija: ∞
E [ g ( X )] = ∫ g ( x) f ( x) dx −∞
Prvi od glavnih parametara populacije je srednja vrednost μ, kao matemati čko očekivanje same slučajne promenljive: ∞
μ = E [ X ] = ∫ x f ( x) dx −∞
Srednja vrednost predstavlja prvi momenat funkcije gustine raspodele oko koordinatnog po četka i predstavlja meru centralne tendencije raspodele. Ocena srednje vrednosti na osnovu uzorka je prose čna vrednost podataka iz uzorka: x
=
1
N
∑ xi
N i =1
Još jedna mera centralne tendencije je medijana, koja se definiše kao vrednost slu čajne promenljive za vrednost funkcije raspodele od 0.5 (slika 29): Me
F ( Me) = ∫ f (u ) du −∞
∞
= ∫ f (u ) du = 0.5 Me
Drugim rečima, to je vrednost koja deli površinu ispod funkcije gustine raspodele na dva jednaka dela. 47
Me e
∫ f (u ) du = 0.5 f(x )
−∞ ∞
∫ f (u ) du = 0.5 Me
Me
x
Slika 29. Definicija medijane. Mera odstupanja vrednosti slu čajne promenljive od srednje vrednosti naziva se disperzija ili varijansa σ2, koja predstavlja drugi momenat funkcije gustine raspodele oko srednje vrednosti: ∞
σ 2 = E [( X − μ) 2 ] = ∫ ( x − μ) 2 f ( x) dx −∞
Disperzija se može tuma čiti i kao srednje kvadratno odstupanje od srednje vrednosti. Ocena disperzije na osnovu podataka iz uzorka dobija se kao: S 2
=
1
N
∑ ( xi − x ) 2
N − 1 i =1
U gornjem izrazu u imeniocu stoji N – 1 umesto N kako bi se dobila tzv. nepristrasna ocena disperzije (to je takva ocena koja u proseku nema tendenciju da bude ve ća ili manja od stvarne vrednosti). Disperzija ima dimenzije kvadrata slu čajne promenljive. Koren disperzije se naziva standardna devijacija σ i ona predstavlja meru odstupanja od srednje vrednosti u dimenziji slu čajne promenljive. Na slici 30 prikazan je uticaj veličine standardne devijacije: što je ona ve ća, to je veće rasturanje podataka. Bezdimenzionalni pokazatelj odstupanja naziva se koeficijent varijacije: Cv
=
σ μ
koji se na osnovu uzorka ocenjuje kao S / x . Asimetrija gustine raspodele oko srednje vrednosti se meri tre ćim momentom oko srednje vrednosti:
f (x )
f(x) pozitivna asimetrija Cs > 0
malo σ
negativna asimetrija Cs < 0
veliko σ
μ
(a) Standardna devijacija
x
μ
(b) Koeficijent asimetrije
Slika 30. Uticaj standardne devijacije i koeficijenta asimetrije na oblik gustine raspodele. 48
x
E [( X − μ) ] = 3
∞
∫ ( x − μ) 3 f ( x) dx
−∞
Bezdimenzionalni pokazatelj asimetrije naziva se koeficijent asimetrije: Cs =
3 E [( X − μ) ]
σ3
Nepristrasna ocena koeficijenta asimetrije na osnovu uzorka je: Cs =
N
N
( x − x ) 3 3 ∑ i
( N − 1)( N − 2) S
i =1
Za funkciju gustine raspodele se kaže da ima pozitivnu asimetriju ( Cs > 0) ako je "izdužena" na desnu stranu, odnosno njen mali deo pripada velikim vrednostima slu čajne promenljive (slika 30), dok je negativno asimetrična gustina raspodele je izdužena na levu stranu. Da li je asimetrija pozitivna ili negativna može se oceniti i na osnovu toga da li je maksimalna vrednost funkcije gustine raspodele (koja se naziva mod ) manja ili ve ća od srednje vrednosti. U tabeli 10 dat je pregled formula za parametre populacije i odgovaraju će statistike uzorka.
Tabela 10. Parametri populacije i statistike uzorka. Statistika
Parametar 1. Centralna tendencija Aritmetička sredina ∞
μ = E [ X ] = ∫ x f ( x ) dx
x
=
−∞
1
N
∑ xi N i =1
Medijana x takvo da je F ( x) = 0.5
Percentil od 50%
Geometrijska sredina
⎛ N x ⎞ ⎜∏ i ⎟ ⎝ i =1 ⎠
E [ln X ]
e
1 / N
2. Odstupanja Varijansa (disperzija) 2
2
σ = E [( X − μ ) ]
S 2
=
1
N
∑ ( x i − x ) 2
N − 1 i =1
Standardna devijacija 2
σ=
E [( X − μ) ]
1
S =
N
∑ ( xi − x ) 2
N − 1 i =1
Koeficijent varijacije C v
=
σ μ
C v
=
C s
=
S x
3. Asimetrija Koeficijent asimetrije E [( X − μ) 3 ] C s
=
σ3
N
N
( x − x ) 3 3 ∑ i
( N − 1)( N − 2)S
i =1
49
5.2 Teorijske raspodele verovatno će za hidrološke veli čine U ovom odeljku bi će prikazane neke od naj češće korišćenih teorijskih raspodela u hidrologiji. U tabeli 11 dat je pregled osnovnih karakteristika svake od ovih raspodela – funkcije gustine raspodele, domen definisanosti slučajne promenljive i izrazi za parametre raspodela prema metodi momenata.
5.2.1 Normalna raspodela Normalna raspodela je jedna od najpoznatijih i naj češće korišćenih raspodela čija funkcija gustine raspodele glasi:
⎡ ( x − μ) 2 ⎤ f ( x) = exp⎢− ⎥ 2 σ 2π ⎣ 2σ ⎦ 1
gde su μ i σ parametri raspodele. Uvo đenjem smene z =
x −μ
σ
normalna raspodela postaje standardna normalna raspodela sa funkcijom gustine raspodele
1
f ( z ) =
2π
e−
z2 / 2
− ∞ < z < ∞
koja zavisi samo od vrednosti z (slika 31). Slučajna promenljiva Z = ( X – μ)/σ naziva se standardna normalna promenljiva. Ona se može shvatiti kao normalna slu čajna promenljiva sa srednjom vrednoš ću 0
i standardnom devijacijom 1. Funkcija standardne normalne raspodele F ( z ) =
z
1
−∞
2π
∫
e −u
2
/2
du
gde je u pomoćna promenljiva za integraciju, nema analiti čki oblik. Njene vrednosti su date u prilogu A, a grafički je prikazana na slici 32. Važna osobina normalne raspodele je njena simetri čnost u odnosu na srednju vrednost ( C s = 0). Zbog toga važi: f (− z ) = f ( z ) F ( − z ) = 1 − F ( z )
Normalna raspodela ima ograni čenu primenu u hidrologiji s obzirom da je simetri čna u odnosu na srednju vrednost, dok ve ćina hidroloških promenljivih pokazuje asimetriju. Pored toga, normalno raspoređena slučajna promenljiva kre će se u opsegu [– ∝, ∝], dok je ve ćina hidroloških veli čina nenegativna.
5.2.2 Log-normalna raspodela Ako slučajna veličina Y = ln X (ili Y = log X ) prati normalnu raspodelu, tada se za slu čajnu promenljivu X kaže da prati log-normalnu raspodelu. Log-normalna raspodela ima ve ću primenu u hidrologiji od normalne raspodele. Logaritmovanjem podataka se smanjuje pozitivna asimetrija koja se često uočava kod hidroloških veli čina (zbog toga što se logaritmovanjem veliki brojevi smanjuju relativno
više nego mali brojevi). Ukoliko podaci nakon logaritmovanja i dalje pokazuju zna čajnu asimetriju, log-normalna raspodela nije pogodna za primenu. Pored toga, domen slu čajne promenljive koja prati log-normalnu raspodelu je X > 0, što više odgovara prirodi hidroloških veli čina. 50
0.5
f ( z )
0.4
=
1
2 e− z / 2
2π
0.3 )
z f (
0.2
0.1
0 -3.0
-2.0
-1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
z
Slika 31. Funkcija gustine raspodele standardne normalne raspodele ( μ = 0, σ = 1).
1.0 0.9 0.8 0.7
z
∫
F ( z ) =
0.6
−∞
)
z 0.5 F (
1 2π
2 e−u / 2 du
0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 -3.0
-2.0
-1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
z
Slika 32. Funkcija gustine raspodele standardne normalne raspodele ( μ = 0, σ = 1).
5.2.3 Gama raspodela Pod gama raspodelama podrazumeva se čitav spektar različitih raspodela koje u sebi sadrže gama funkcije. Osnovni oblik gama raspodele ima dva parametra koji daju veoma razli čite oblike funkcije gustine raspodele (slika 33). Funkcija gustine dvoparametarske gama raspodele glasi:
⎛ x ⎞ ⎜ ⎟ f ( x) = βΓ(α) ⎜⎝ β ⎠⎟ 1
α −1
e
−x / β
(1)
Ova raspodela je korisna za primenu kod asimetri čnih hidroloških podataka (pa nestaje potreba za logaritmovanjem kao kod log-normalne raspodele). Ova raspodela je ograni čena sa donje strane u ta čki x = 0 i definisana je za pozitivne vrednosti slu čajne promenljive ( x ≥ 0).
51
1
1
0.9
0.9
0.8
0.8
β=1
0.7
α=1
0.6
α=2
0.7 0.6
)
)
(
(
x 0.5 f
x 0.5 f
0.4 0.3
0.3
α=4
0.2
0.1
0
0 1
2
3
4
5
β=2
0.2
0.1 0
β=1
0.4
α=2
6
7
8
0
x
1
2
3
4
β=4
5
6
7
8
x
Slika 33. Funkcije gustine dvoparametarske gama raspodele za razli čite vrednosti parametara
α i β.
To su ujedno i oblici Pirson III raspodele za vrednost parametra lokacije c jednakom nuli.
5.2.4 Pirsonova raspodela III tipa Čuveni statističar Karl Pirson razvio je čitav sistem raspodela koji obuhvata sedam tipova. Tip III često se naziva i troparametarska gama raspodela, jer se njena funkcija gustine raspodele može dobiti na
osnovu dvoparametarske gama raspodele uvo đenjem trećeg parametra c kao parametra lokacije:
⎛ x − c ⎞ ⎜ ⎟ f ( x) = βΓ(α) ⎜⎝ β ⎠⎟ 1
α −1
e
−( x −c ) / β
(2)
To praktično znaći da je ova funkcija raspodele ograni čena sa donje strane u ta ćki x = c. S obzirom da ima tri parametra koji mogu dati veoma razli čite oblike gustine raspodele, ova raspodela je veoma fleksibilna. Pri određivanju parametara metodom momenata potrebno je upotrebiti prva tri momenta (srednju vrednost, standardnu devijaciju i koeficijent asimetrije). Mnoge raspodele su specijalni slučajevi Pirsonovih tipova raspodela. Tako je normalna raspodela specijalan slučaj Pirson III raspodele kada je koeficijent asimetrije jednak nuli (odnosno parametar α teži beskonačnosti). Pirson III raspodela se često koristi kao raspodela za maksimalne godišnje proticaje. S obzirom da funkcija gustine Pirsonove raspodele III tipa (jedna čina 2) nije integrabilna, za proračun funkcije raspodele moraju se koristiti tablice. Kako ova raspodela ima tri parametra, njeno tabulisanje u zavisnosti od vrednosti ovih parametara nije prakti čno. Zbog toga se za ovu raspodelu tabulišu vrednosti faktora frekvencije: k P
=
x−μ
σ
čime se eliminišu dva parametra. Uticaj tre ćeg parametra unosi se kroz koeficijent asimetrije (s obzirom
da se srednja vrednost, standardna devijacija i koeficijent asimetrije koriste za odre đivanje tri parametra ove raspodele). Na taj na čin tabulišu se vrednosti faktora frekvencije k P u zavisnosti od vrednosti funkcije raspodele i koeficijenta asimetrije. Tabele Pirsonove raspodele date su u prilogu A. 5.2.5 Log-Pirson III raspodela Ako promenljiva Y = ln X (ili Y = log X ) prati Pirson III raspodelu, tada promenljiva X prati log-Pirson III raspodelu. Ova raspodela je naj češće korišćena raspodela za maksimalne godišnje proticaje (u SAD čak 52
predstavlja standard za proračun velikih voda), kao i za minimalne godišnje proticaje. Specijalan slu čaj log-Pirson III raspodele za C sy = 0 jeste log-normalna raspodela.
5.2.6 Raspodele ekstremnih vrednosti Ekstremne vrednosti su izabrane maksimalne ili minmalne vrednosti iz skupa podataka. Na primer, maksimalni godišnji proticaj na nekoj hidrološkoj stanici je najve ća osmotrena vrednost proticaja tokom godine, a maksimalni godišnji proticaji za avaku godinu čine niz ekstremnih vrednosti koje se mogu statistički analizirati. Smatra se da raspodele ekstremnih vrednosti izvu čenih iz skupa podataka koji prate bilo koju raspodelu teže ka jednoj od tri oblika raspodele ekstremnih vrednosti (tip I, tip II i tip III), pod uslovom da je broj izabranih vrednosti veliki. Raspodela ekstremnih vrednosti tipa I često se naziva Gumbelova raspodela, prema statisti čaru koji je razmatrao ovu raspodelu, a tip II se naziva i Frešeova raspodela. Ako se promenljiva x u tipu III zameni sa – x, onda se radi o Vejbulovoj raspodeli. Ova tri oblika raspodele mogu se podvesti pod jedan opšti oblik, nazvan opšta raspodela ekstremnih vrednosti: 1 / k ⎡ ⎛ x − u ⎞ ⎤ F ( x ) = exp ⎢− ⎜1 − k ⎟ ⎥ α ⎝ ⎠ ⎣⎢ ⎦⎥
gde su u,
α
i k parametri koje treba odrediti. Gumbelova raspodela (EV I), koja se dosta koristi u
hidrologiji, dobija se iz opšte raspodele za k = 0 i glasi:
⎡ ⎣
⎛ ⎝
F ( x) = exp⎢ − exp⎜ −
x − u ⎞⎤
⎟ α ⎠⎥⎦
Domen definisanosti slučajne promenljive ovog tipa raspodele je – ∝ ≤ x < ∝. Raspodela EV II se dobija iz opšteg oblika za k < 0 sa domenom definisanosti ( u + α/k ) ≤ x < ∝, a EV III za k > 0 sa domenom definisanosti ∝ < x ≤ (u + α/k ). U sva tri slučaja je
α
> 0. Vejbulova raspodela, koja tako đe nalazi
primenu u hidrologiji u analizi malih voda i kao raspodela prekora čenja iznad nekog praga, ima funkciju raspodele koja glasi:
⎡ ⎛ x − c ⎞ a ⎤ F ( x ) = 1 − exp ⎢− ⎜ ⎟ ⎥ b ⎝ ⎠ ⎣⎢ ⎦⎥ gde je a = 1 / k , b = α / k i c = − (u
(3)
+ α / k ) .
5.2.6 Eksponencijalna raspodela Eksponencijalna raspodela može se posmatrati kao specijalni slu čaj dvoparametarske gama raspodele (jednačina 1) za α = 1 (pri čemu je Γ(α) = 1): f ( x) =
1 −x / β e
β
Ona je takođe i specijalni slučaj Vejbulove raspodele, kada se u jedna čini (3) stavi a = 1 i c = 0. Ponekad se koristi i dvoparametarska eksponencijalna raspodela: f ( x) =
1 −( x −c ) / β e
β
koja je specijalni slučaj raspodele Pirson III (jedna čina 2) za α = 1 i Vejbulove raspodele za a = 1. 53
Tabela 11. Raspodele verovatno će u hidrologiji. Raspodela
Funkcija gustine raspodele
Normalna
f ( x ) =
f ( x ) =
Log-normalna
⎡
1
σ
exp ⎢ −
2π
( x − μ) 2 ⎤ 2σ
⎣
1 xσ y 2 π
2
⎥ ⎦
⎡ ( y − μ y ) 2 ⎤ ⎥ 2 2σ y ⎢⎣ ⎥⎦
exp ⎢ −
Domen
Jednačine za parametre na osnovu momenata uzorka
−∞ < x < ∞
μ = x σ = S x
x > 0
μ y = y σ y = S y
x ≥ 0
β = x
x ≥ 0
α=
gde je y = ln x 1 −x / β e
Eksponencijalna
f ( x ) =
Gama (dvoparametarska)
f ( x ) =
⎛ x ⎞ ⎜ ⎟ βΓ(α) ⎜⎝ β ⎠⎟
Pirson III (troparametarska gama)
f ( x ) =
⎛ x − c ⎞ ⎜ ⎟ βΓ( α) ⎜⎝ β ⎠⎟
Log-Pirson III
Gumbelova (EV I)
β
1
α −1
1
e
−x /β
α−1
⎛ y − c ⎞ ⎟ ⎜ xβΓ( α) ⎜⎝ β ⎠⎟ gde je y = ln x 1
f ( x ) =
f ( x ) =
1
α
⎡ ⎣
exp ⎢ −
( x c ) / e− − β
x
≥c
α=
x 2 2
S x
4 C s2
=
1
,
β=
β=
S x C s
2
C v
,
2
S x x
2
c = x − αβ α−1 y c e −( − ) / β
y
= ln x ≥ c
α= c
x − u ⎞⎤ − exp ⎛ ⎜ ⎟⎥ α ⎝ α ⎠⎦
x − u
−∞ < x < ∞
4 2
C sy
,
β=
S y C sy
2
= y − αβ
α=
S x 6
≈ 0.78S x π u = x − 0.5772α ≈ x − 0.45S x
Neki nizovi hidroloških procesa, kao što je pojava kišnih epizoda, mogu se posmatrati kao Poasonov slučajni proces u kome se doga đaji javljaju trenutno i nezavisno jedni od drugih u vremenu. Vreme izmežu takvih doga đaja
često
se opisuje eksponencijalnom raspodelom
čiji
parametar β
predstavlja srednje vreme pojave takvih doga đaja, a recipročna vrednost parametra β predstavlja prosečni intenzitet javljanja. Eksponencijalna raspodela, kao i Vejbulova, koristi se kao raspodela vrednosti prekoračenja razmatrane veličine iznad nekog praga.
5.2.7 Prilagođ avanje teorijske funkcije raspodele
Funkcijom raspodele definiše se zakon verovatno će po kome slučajna promenljiva X uzima vrednosti iz skupa svih mogu ćih ishoda. Ako se može prona ći teorijska funkcija raspodele koja odgovara podacima iz uzorka, ona se onda može koristiti za odre đivanje verovatnoće događaja koji inače nisu zastupljeni u uzorku. Statistička nauka obiluje razli čitim oblicima teorijskih raspodela, koje u sebi sadrže različit broj parametara. Postupak odre đivanja vrednosti tih parametara na osnovu podataka iz uzorka tako da se teorijska funkcija što bolje slaže sa empirijskim podacima, naziva se prilagođ avanje teorijske raspodele empirijskoj raspodeli. Ocena vrednosti parametara teorijskih raspodela na osnovu uzorka može se zasnivati na razli čitim principima. U statističkoj teoriji razvijene su razli čite metode za ocenu parametara. Najzastupljenija me đu njima je metoda momenata, dok ostale metode obuhvataju metodu maksimalne verodostojnosti, metodu težinskih momenata, metodu najmanjih kvadrata i mnoge druge. Metodu momenata prvi je predložio veliki statisti čar Karl Pirson 1902. godine. U njoj se smatra da je ocena parametara raspodele dobra ako su momenti gustine te raspodele jednaki odgovaraju ćim momentima podataka u uzorku. Iz tog uslova se parametri i odre đuju. U obzir treba uzeti onoliko
Neki nizovi hidroloških procesa, kao što je pojava kišnih epizoda, mogu se posmatrati kao Poasonov slučajni proces u kome se doga đaji javljaju trenutno i nezavisno jedni od drugih u vremenu. Vreme izmežu takvih doga đaja
često
se opisuje eksponencijalnom raspodelom
čiji
parametar β
predstavlja srednje vreme pojave takvih doga đaja, a recipročna vrednost parametra β predstavlja prosečni intenzitet javljanja. Eksponencijalna raspodela, kao i Vejbulova, koristi se kao raspodela vrednosti prekoračenja razmatrane veličine iznad nekog praga.
5.2.7 Prilagođ avanje teorijske funkcije raspodele
Funkcijom raspodele definiše se zakon verovatno će po kome slučajna promenljiva X uzima vrednosti iz skupa svih mogu ćih ishoda. Ako se može prona ći teorijska funkcija raspodele koja odgovara podacima iz uzorka, ona se onda može koristiti za odre đivanje verovatnoće događaja koji inače nisu zastupljeni u uzorku. Statistička nauka obiluje razli čitim oblicima teorijskih raspodela, koje u sebi sadrže različit broj parametara. Postupak odre đivanja vrednosti tih parametara na osnovu podataka iz uzorka tako da se teorijska funkcija što bolje slaže sa empirijskim podacima, naziva se prilagođ avanje teorijske raspodele empirijskoj raspodeli. Ocena vrednosti parametara teorijskih raspodela na osnovu uzorka može se zasnivati na razli čitim principima. U statističkoj teoriji razvijene su razli čite metode za ocenu parametara. Najzastupljenija me đu njima je metoda momenata, dok ostale metode obuhvataju metodu maksimalne verodostojnosti, metodu težinskih momenata, metodu najmanjih kvadrata i mnoge druge. Metodu momenata prvi je predložio veliki statisti čar Karl Pirson 1902. godine. U njoj se smatra da je ocena parametara raspodele dobra ako su momenti gustine te raspodele jednaki odgovaraju ćim momentima podataka u uzorku. Iz tog uslova se parametri i odre đuju. U obzir treba uzeti onoliko momenata koliko teorijska raspodela ima parametara. Tako je za jednoparametarske raspodele dovoljno odrediti prvi momenat teorijske gustine raspodele oko koordinatnog po četka i izjednačiti ga sa srednjom vrednošću uzorka. Za raspodele sa više parametara koristi se disperzija σ2 i koeficijent asimetrije C s kako bi se odredili drugi i treći parametar raspodele. U poslednjoj koloni tabele 11 dati su izrazi za odre đivanje parametara raspodela prema metodi momenata.
5.3 Statistička analiza hidroloških nizova U izučavanju hidroloških procesa najinteresantnije doga đaje predstavljaju ekstremni doga đaji, kao što su izuzetno jake kiše, poplave ili suše. Hidrološke veli čine u ekstremnim doga đajima imaju vrednosti koje se javljaju sa relativno malim verovatno ćama, jer se javljaju relativno retko u pore đenju sa prosečnim vrednostima. Cilj statisti čke analize hidroloških nizova je da se odrede verovatno će pojave ekstremnih događaja. Da bi se ovaj cilj ispunio, postupak statisti čke analize treba da obuhvati slede će korake: 1. Formiranje nizova podataka tako da se zadovolji pretpostavka o njihovoj me đusobnoj nezavisnosti (slučajnosti) i pretpostavka da svi podaci prate istu raspodelu verovatno će (homogenost niza); u praksi se to obi čno postiže formiranjem nizova godišnjih ekstrema (maksimuma ili minimuma). 2. Proračun empirijske raspodele niza. 3. Proračun teorijskih raspodela za razmatrani niz tako što se parametri raspodela odrede na osnovu statistika uzorka. 55
4. Izbor teorijske raspodele koja se najbolje slaže sa empirijskom raspodelom niza; ovaj izbor se obično pravi na osnovu testova saglasnosti empirijske i teorijske raspodele, kao i vizuelnim poređenjem ovih raspodela na dijagramima verovatno će. 5. Proračun verovatno ća pojave zadatih vrednosti razmatrane hidrološke veli čine, ili prora čun vrednosti za zadatu verovatno ću pojave. Vrednosti hidroloških veli čina određene verovatno će pojave često predstavljaju ulazni podatak za projektovanje hidrotehničkih objekata (brana, mostova, propusta, kolektora kišne kanalizacije itd.). Takve vrednosti se često nazivaju merodavnim velič inama za projektovanje. Verovatno ća pojave merodavne veličine ili je definisana propisima, ili se o njoj donosi odluka na osnovu razmatranja dopustivog rizika da se merodavna veličina prevaziđe. Dopustivi rizik zavisiće od mnogih tehni čkih, finansijskih i društvenih faktora vezanih za konkretan hidrotehni čki objekat. Za zna čajnije objekte, kao što su brane, dopustivi rizik biće sigurno manji s obzirom da su takvi objekti skupi i da sa prevazilaženjem merodavnih veli čina dolazi do velikih materijalnih šteta ili čak gubitaka ljudskih života. Manje zna čajni objekti, kao što su propusti, ima će ve ći dopustivi rizik s obzirom da prevazilaženje merodavne veli čine neće usloviti velike materijalne štete.
5.3.1 Hidrološki nizovi
Statistička interpretacija hidroloških nizova zasniva se na pretpostavci da su podaci osmatranja predstavljaju nezavisne događaje. Drugim rečima, zahteva se nezavisnost ili sluč ajnost nizova. Ako su podaci nezavisni, oni se mogu analizirati bez razmatranja redosleda njihove pojave. Ukoliko su uzas topna osmatranja korelisana (međusobno zavisna), statistički aparat za njihovu analizu postaje složeniji jer u analizu ulaze i uslovne verovatno će. Druga pretpostavka za primenu statisti čke analize jeste homogenost niza, koja podrazumeva da svi podaci iz uzorka poti ču iz iste populacije, a time i da imaju istu raspodelu verovatno će (obično se kaže da su podaci jednako raspore đeni). Do nehomogenosti hidroloških podataka može do ći usled prirodnih ili veštačkih promena kao što su lagane promene klimatskih faktora, radovi u slivovima, kr čenje šuma, izgradnja akumulacija itd. Ove promene mogu biti postepene i ogledati se kroz trend u podacima (slika 34a), a mogu biti i nagle kada se ogledaju kao skokovi na hronološkim dijagramima razmatrane veli čine (slika 34 b). Utvr đivanje slučajnosti i homogenosti hidroloških nizova sprovodi se odgovaraju ćim statistič kim testovima. Pretpostavka o nezavisnim i homogenim nizovima u praksi se obi čno ostvaruje formiranjem nizova godišnjih ekstrema (maksimuma ili minimuma). U nizove godišnjih ekstrema ulazi samo jedan doga đaj iz svake godine osmatranja. Mana ovakvog na čina formiranja niza je u tome što druga ili tre ća najveća vrednost u toku godine mogu biti ve će od maksimalnog doga đaja iz neke druge godine, a ipak ne ulaze u niz. Ovaj nedostatak se može prevazi ći formiranjem nizova prekorač enja ili pikova, u koje ulaze sve vrednosti iznad neke bazne vrednosti (odnosno ispod bazne vrednosti za nizove minimuma). Bazna vrednost se obi čno bira tako da u niz u đe bar jedan podatak iz svake godine. Vrednosti koje
čine
niz
pikova moraju biti nezavisne; to zna či da se ne mogu uzeti proticaji iz dva uzastopna dana, jer pripadaju istom meteorološkom doga đaju. Niz pikova se sastoji od razli čitog broja podataka za svaku godinu, zbog čega
raspodela niza pikova nije direktno uporediva sa raspodelom odgovaraju ćeg niza godišnjih ekstrema.
Statistički aparat za odre đivanje funkcije raspodele godišnjih ekstrema na osnovu niza pikova naziva se metoda pikova. Metoda pikova obuhvata tri koraka: (1) odre đivanje raspodele broja pikova u godini dana, (2) određivanje raspodele samih pikova, i (3) kombinacija prethodne dve raspodele u raspodelu godišnjih ekstrema. 56
Poseban slučaj niza pikova predstavlja niz godišnjih prekora č enja, a to je niz sa onoliko pikova koliko ima godina osmatranja (drugim re čima, niz koji se dobija kada se iz uzorka od N godina izdvoji N najvećih događaja).
9.0 8.5 8.0 7.5
) C o ( 7.0 a r u t 6.5 a r e p m 6.0 e T
5.5 hronolo{ki niz
5.0
trend
4.5 4.0 1880
1900
1920
1940
1960
1980
2000
Slika 34a. Godišnji proseci minimalnih dnevnih temperatura u Beogradu (meteorološka opservatorija Vračar) u periodu 1988-1990 koji pokazuju trend pove ćanja.
60
hronolo{ki niz 50
prosek
40 ) s / 3 m ( k 30 o t o r P
20
10
0 1950
1955
1960
1965
1970
1975
1980
1985
1990
1995
2000
Slika 34 b. Srednji godišnji proticaji reke Nišave u Nišu u periodu 1951-1997; tokom 1987-88 izvršena je regulacija korita Nišave kroz Niš što je dovelo do skokovite promene režima.
5.3.2 Empirijska raspodela niza
Pod empirijskom raspodelom niza podrazumevaju se verovatno će koje se dodeljuju svakom podatku u nizu. Ove verovatno će treba da posluže za pore đenje sa verovatnoćama teorijskih raspodela kako bi se utvrdilo da li se teorijska raspodela dobro prilago đava podacima.
57
Verovatnoće podataka u uzorku mogu se najjednostavnije oceniti preko kumulativne relativne frekvencije. Ako je ukupan broj podataka N , a k redni broj podatka u nizu ure đenom po rastu ćem redosledu, tada je kumulativna relativna frekvecija k / N ocena verovatno će da je slu čajna promenljiva X manja ili jednaka vrednosti k -tog podatka:
P { X ≤ x k } = p k =
k N
Međutim, ovakav na čin tretiranja verovatno ća daje verovatno ću 1 da će slučajna promenljiva biti manja od najvećeg člana niza x N . Drugim re čima, tvrdi se da su vrednosti slu čajne promenljive uvek manje od najvećeg člana niza, što nije realno. Ukoliko se umesto gornjeg izraza upotrebi izraz
P { X ≤ x k } = p k =
k − 1 N
nestaje problem ograni čenosti slučajne promenljive sa gornje strane, ali se dolazi do problema ograničenosti s donje strane jer je po ovom izrazu verovatno ća da slučajna promenljiva bude manja od najmanjeg člana (k = 1) niza jednaka nuli. Prethodne dve formule predstavljaju grani čne vrednosti izme đu kojih bi trebalo da se na đu verovatnoće pojedinih članova niza (slika 35). U literaturi su predložene razne formule kojima se pravi "kompromis" između ove dve grani čne vrednosti, pa se zbog toga nazivaju formule kompromisne verovatnoće. Među njima je formula Hejzena, kao prva predložena formula kompromisne verovatno će još 1930. godine:
p k =
k − 0.5 N
Jedna od češće korišćenih formula kompromisne verovatno će je Vejbulova formula:
p k =
k N + 1
koja je nastala na osnovu razmišljanja da ako N tačaka treba da se ravnomerno rasporedi izme đu verovatnoća 0 i 1, onda treba da postoji N – 1 interval između ta čaka i dva intervala na krajevima, što je ukupno N + 1 interval.
1.0
F(x)
0.9
pk = k /N
0.8 0.7 0.6
pk = (k − 1) / N
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0
x1 x2 x3 x4
x5 x6
x7
x8
x9
x10
x
Slika 35. Kumulativne relativne frekvencije za niz od 10 članova i dve grani čne vrednosti verovatno će koje se mogu pripisati k -tom članu niza. 58
5.3.3 Povratni period
Ako se posmatra niz godišnjih maksimuma neke hidrološke veli čine (npr. proticaja), od prevashodnog je interesa razmatranje verovatno će pojave ekstremnih vrednosti (npr. velikih voda koje bi mogle izazvati velike poplave i štete). Drugim re čima, interesuje nas verovatno ća da se prevazi đe neka vrednost xT slučajne promenljive X . Verovatnoća prevazilaženja predstavlja suprotnu verovatno ću funkcije raspodele: P { X > xT } = 1 − F ( xT )
Vreme između pojava doga đaja X > xT takođe predstavlja slučajnu promenljivu τ. Prosečno vreme između pojava doga đaja X > xT je T = E [τ] i naziva se povratni period . Dakle, povratni period je prosečno vreme između dva prevazilaženja vrednosti xT . On se izražava u godinama, s obzirom da razmatramo niz godišnjih maksimuma. Može se pokazati da je verovatno ća prevazilaženja vrednosti xT jednaka recipročnoj vrednosti povratnog perioda:
P { X > xT } =
1 T
Kako verovatnoća prevazilaženja predstavlja suprotnu verovatno ću funkcije raspodele, iz prethodnog izraza sledi:
T =
1 1 − F ( x )
Iz ove definicije može se zaklju čiti da je povratni period jednozna čno povezan sa funkcijom raspodele. Tako, na primer, vrednosti funkcije raspodele od 0.9 odgovara verovatno ća prevazilaženja od 0.1 i povratni period od 10 godina; drugim re čima, vrednost ve ća od xT javiće se u proseku jednom u 10 godina. Ako se posmatra niz godišnjih minimuma, pojava ekstremnih vrednosti se ne karakteriše verovatnoćom prevazilaženja, ve ć verovatnoćom da se javi vrednost manja od neke vrednosti xT , a to je vrednost funkcije raspodele: P { X < xT } = F ( xT )
Povratni period se tada definiše kao prose čno vreme između događaja X < xT , tako da je:
P { X < xT } =
1 T
odnosno
T =
1 F ( x)
5.3.4 Prorač un teorijskih funkcija raspodele
Funkcija raspodele neke hidrološke slu čajne promenljive predstavlja vezu izme đu vrednosti te promenljive i verovatnoće sa kojom se te vrednosti javljaju. Kada se usvoji teorijska raspodela koja najviše odgovara empirijskoj raspodeli uzorka, statisti čke proračune u okviru hidroloških analiza možemo obavljati u dva pravca: 1) proračun verovatno će pojave zadate vrednosti slu čajne promenljive, ili 2) proračun vrednosti slu čajne promenljive zadate verovatno će pojave.
59
U prvom slučaju proračuni se svode na odre đivanje funkcije raspodele F ( x) za zadate vrednosti slučajne promenljive x, odakle se mogu odrediti sve željene verovatno će ili povratni period: P { X < x} = F ( x ) P { X > x} = P ( x ) = 1 − F ( x )
P { x1 < X < x 2 } = F ( x 2 ) − F ( x1 )
T ( x) =
1 P ( x )
=
1 1 − F ( x)
U drugom slučaju, kada treba odrediti vrednosti slu čajne promenljive x za zadatu verovatnoću ili povratni period, koristi se inverzni postupak, tj. inverzna funkcija raspodele x( F ) ili F –1( x): x ( F ) = x (1 − P ) = x (1 − 1 / T ) x ( P ) = x (1 − F ) = x (1 / T ) x (T ) = x (1 / P ) = x[1 /(1 − F )]
U tabeli 12 prikazan je postupak prora čuna u oba pravca za raspodele koje se naj češće koriste u hidrološkim analizama.
Tabela 12. Postupak statističkih proračuna u hidrologiji. Raspodela
Smer
Postupak
→ z =
x − x
TAB
1)
x
⎯ ⎯ ⎯ → F z ( z ) = F ( x)
2)
TAB F ( x ) ⎯ ⎯ ⎯ → z → x = z ⋅ S x + x
1)
x
2)
F ( x) ⎯ ⎯ ⎯ → z → y = z ⋅ S y + y
1)
x
2)
sx F ( x ) ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ →
k P
1)
x
k P =
2)
sy F ( x) ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ →
1)
x
2)
F ( x )
S x
Normalna
→ y = ln x
→ z =
y − y S y
TAB
⎯ ⎯ ⎯ → F z ( z ) = F ( x)
Log-normalna TAB
→
k P =
Pirson III
x − x
TAB za C
sx ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → F ( x)
S x
TAB za C
→ y = ln x
y
→ x = e
→
→ x = k P ⋅ S x + x
y − y S y
TAB za C
sy ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → F ( x)
Log-Pirson III TAB za C
→ y =
x − u α
k P
→ y = k P ⋅ S y + y
→ F ( x ) = G ( y ) = e − e
− y
Gumbelova
60
→ y = − ln( − ln F )
→ x = y ⋅ α + u
→ x = e y
5.3.5 Dijagrami verovatno ć e
Grafička predstava funkcija teorijskih raspodela na dijagramima sa linearnom (aritmeti čkom) podelom za vrednosti slu čajne promenljive i vrednosti funkcije raspodele često nije pogodna za prakti čnu primenu jer se verovatno će ekstremnih vrednosti na takvim dijagramima teško o čitavaju u oblastima gde funkcija raspodele teži nuli ili jedinici. Na slici 36 dat je primer funkcije normalne raspodele za jednu slučajnu promenljivu na dijagramu sa linearnom podelom na obe ose. Ovaj problem se može prevazi ći konstrukcijom dijagrama verovatnoće (ili papira verovatnoće) neke raspodele na kome se ta raspodela prikazuje kao prava linija. To se može posti ći za dvoparametarske raspodele u kojima je mogu će uvesti smenu slučajne promenljive X u obliku standardizovane slu čajne promenljive
čija
funkcija raspodele nema parametre. Takve raspodele su normalna i Gumbelova
raspodela, pa se dijagrami verovatno će ovih raspodela naj češće koriste.
1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 ) x 0.5 (
F
oblasti teškog te{kog oblasti o~itavanja očitavanja verovatno}e će verovatno
0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
x
Slika 36. Dijagram funkcije raspodele sa linearnom podelom na obe ose.
Mogućnost "ispravljanja" funkcije raspodele u pravu liniju krije se u linearnoj vezi izme đu slučajne promenljive i odgovarajuće standardizovane promenljive. Tako ova veza za normalnu raspodelu glasi: X = μ + σ Z gde je Z standardizovana normalna promenljiva, a μ i σ parametri normalne raspodele promenljive X . Na dijagramu X - Z ova zavisnost je prava linija. S obzirom da funkcija raspodele standardizovane normalne promenljive Z nema parametre, odnosno postoji jednozna čna veza između z i F z ( z ) = F x( x), umesto standardizovane promenljive Z mogu se nanositi vrednosti funkcije raspodele. Treba primetiti da se linearna podela za promenljivu Z pretvara u nelinearnu podelu za funkciju raspodele. Ovako konstruisan dijagram naziva se dijagramom normalne verovatno će. Primer dijagrama normalne verovatno će dat je na slici 37. Na dijagramima verovatnoće je uobičajeno da se na ordinatu nanose vrednosti slu čajne promenljive X u nekoj razmeri, dok se na apscisi nalaze vrednosti funkcije raspodele F ( x), odnosno verovatno će P { X ≤ x}. Umesto funkcije raspodele, na apscisu se mogu nanositi i verovatno će P { X > x} ili vrednosti povratnog perioda T , s obzirom da su sve ove veli čine međusobno povezane jednozna čnim vezama.
61
Povratni period T (godina)
2
10
100
1000
Verovatno}a prevazila` enja P{X > x} = 1 − F( x) = 1/ T 0.999
0.99
0.9
0.7
0.5
0.3
0.1
0.01
0.001
900 800
x
a v i j l n e m o r p a n j a ~ u l S
700 600 500 400 300 200 100 0 -3
-2
-1
0
1
2
3
Standardizovana normalna promenljiva z
0.001
0.01
0.1
0.3
0.5
0.7
0.9
0.99
0.999
Funkcija raspodele F (x)
Slika 37. Dijagram normalne verovatno će.
Na sličan način se konstruiše i dijagram Gumbelove raspodele. Za Gumbelovu raspodelu važi veza: X = u + αY
gde je Y standardizovana Gumbelova promenljiva, a u i α parametri Gumbelove raspodele za promenljivu X . Primer dijagrama Gumbelove raspodele prikazan je na slici xx. Može se uo čiti da se on razlikuje od dijagrama normalne raspodele po tome što nije simetri čan oko vrednosti F ( x) = 0.5, ve ć su vrednosti F(x) > 0.5 razvučene. Zbog toga je dijagram Gumbelove raspodele pogodan za prikaz raspodela maksimuma. Od dijagrama normalne raspodele može se konstruisati i dijagram log-normalne raspodele ukoliko se vrednosti slučajne promenljive X nanesu u logaritamskoj razmeri. Na takvom dijagramu log-normalna raspodela se prikazuje kao prava linija. Za raspodelu Pirson III ne može se konstruisati dijagram verovatno će, s obzirom da ova raspodela ima tri parametra i ne postoji standardizovana promenljiva koja je u linearnoj vezi sa originalnom slučajnom promenljivom. Ova raspodela se naj češće prikazuje na dijagramu normalne raspodele. Pošto je poznato da se Pirson III raspodela svodi na normalnu ukoliko je koeficijent asimetrije C s jednak nuli, odstupanje Pirson III raspodele od prave linije na papiru normalne verovatno će ukazaće na stepen asimetričnosti ove raspodele. Na dijagramima verovatnoće normalne ili Gumbelove raspodele mogu se crtati i druge teorijske funkcije raspodele, ali se one tada ne će prikazati kao prave linije. Pored teorijskih ras podela, na dijagrame verovatnoće nanosi se i empirijska raspodela razmatranog niza (uz pomo ć parova vrednosti slu čajne promenljive i odgovarajućih kompromisnih verovatno ća). Ukoliko se tačke empirijske raspodele na dijagramu verovatnoće rasporede oko neke prave linije, to je znak da se razmatrani niz može prilagoditi raspodelom čiji je to dijagram verovatno će. Na slici 38 prikazan je primer niza koji se dobro prilago đava 62
log-normalnoj raspodeli, jer empirijska raspodela približno prati pravu liniju na papiru log-normalne raspodele. 10000 osmotreni niz LN raspodela
1000 ) s / m ( k o t o r P
3
100
Funkcija raspodele F ( x ) 0.005 0.01
0.1
0.3
0.5
0.7
0.9
0.99
0.999
10 -3
-2
-1
0
1
2
3
4
Standardna normalna promenljiva z
Slika 38. Primer niza koji se dobro prilago đava log-normalnoj raspodeli.
5.3.6 Testiranje slaganja teorijske i empirijske fun kcije raspodele
Nanošenjem empirijske raspodele osmotrenog niza na dijagram verovatno će može se steći utisak o tome da li se neka teorijska raspodela dobro slaže sa empirijskom. Približno raspore đivanje tačaka oko prave linije na dijagramu neke od teorijskih raspodela ukazuje na slaganje sa tom raspodelom; ostale teorijske raspodele na tom papiru verovatno će se ne prikazuju kao prave linije, tako da je ocena slaganja otežana. Pored toga, često se dešava da se sve isprobane teorijske raspodele vizuelno dobro slažu sa empirijskom na dijagramu verovatno će, pa je potreban objektivni kriterijum pomo ću kojeg se može utvrditi koja se teorijska raspodela najbolje slaže sa empirijskom. Taj kriterijum obi čno predstavlja meru odstupanja teorijske od empirijske raspodele, a ispituje se kroz odgovaraju će statistič ke testove saglasnosti empirijske i teorijske raspodele. U nastavku se prikazuju dva testa saglasnosti koja se naj češće koriste u hidrološkoj praksi. 2
–test. Ovaj test je pogodan za diskretne slu čajne promenljive i za kontinualne slu čajne
promenljive koje se opisuju preko frekvencija (umesto preko verovatno ća). U ovom testu porede se empirijske i teorijske frekvencije za odre đeni broj klasa u uzorku. Posmatra se statistika: K
χ2 =
∑ i =1
( f i − f ti ) 2 f ti
gde je f i empirijska frekvencija u klasi i, f ti teorijska frekvencija, a K ukupan broj klasa. Pri prora čunu frekvencija u ovom testu treba voditi ra čuna da se uzorak podeli na najmanje pet klasa sa po najmanje pet elemenata. Ako razlike između teorijskih i empirijskih frekvencija nisu velike, vrednost statistike χ2 će biti mala i obrnuto. Osnovna (nulta) hipoteza ovog testa jeste da su empirijska i teorijska raspodela saglasne i ona će biti ispunjena ako je χ2 "dovoljno" malo. Ukoliko je χ2 preveliko da bi se moglo pripisati slu čaju, odbacuje se osnovna hipoteza o slaganju raspodela. Da li je χ2 dovoljno malo, odre đuje 63
se definisanjem regiona prihvatanja i odbacivanja osnovne hipoteze, odnosno neke kriti čne vrednosti za
χ2 kao granice između ova dva regiona (slika 39). Kritična vrednost statistike χ2 određuje se na osnovu praga značajnosti α koji predstavlja verovatno ću da odbacimo osnovnu hipotezu ukoliko je ona ipak tačna: P {χ 2 > χ 2kr } = α Kritična vrednost odre đuje se iz funkcije raspodele statistike χ2; ova statistika prati χ2 –raspodelu, prema kojoj je i dobila ime. Ova raspodela ima jedan parametar, broj stepeni slobode ν, koji se odre đuje na sledeći način:
ν = K − ρ − 1 gde je K broj klasa, a ρ broj parametara teorijske raspodele koja se poredi sa empirijskom. Tabela kritičnih vrednosti statistike χ2 u zavisnosti od praga zna čajnosti α i broja stepeni slobode ν data je u prilogu A. Kriterijum za prihvatanje osnovne hipoteze tada je: H o : χ 2 < χ 2kr
region prihvatanja Ho
region odbacivanja Ho
1− α
α
χ2
kr
χ2
Slika 39. Regioni prihvatanja i odbacivanja osnovne hipoteze o saglasnosti empirijske i teorijske raspodele po χ2 –testu.
Test Kolmogorov-Smirnova . Kao mera odstupanja empirijske i teorijske raspodele, u ovom testu
se koristi statistika Dmax = max F e ( x) − F t ( x) x
gde su F e( x) i F t ( x) empirijska i teorijska funkcija raspodele. Ova statistika predstavlja maksimalno apsolutno odstupanje empirijske i teorijske raspodele od svih članova uzorka. Kao i u prethodnom testu, ova statistika se poredi sa nekom kriti čnom vrednošću Dkr kako bi se ustanovilo da li je odstupanje dovoljno malo. Kriti čna vrednost Dkr će zavisiti od praga zna čajnosti α i od obima uzorka N , s obzirom da empirijska raspodela zavisi od obima uzorka. Tabela kriti čnih vrednosti po testu Kolmogorov-Smirnova u zavisnosti od praga zna čajnosti i obima uzorka data je u prilogu A.
64
ČETVRTI
DEO
HIDROLOŠKE ANALIZE
6. RAČUNSKE KIŠE Rač unska kiša predstavlja kišnu epizodu koja se koristi u projektovanju hidrotehni čkih objekata. Ona obično služi kao ulazni podatak za prora čun proticaja ili drugih veli čina od interesa u razmatranom objektu odnosno sistemu. Ra čunska kiša se može definisati kao visina kiše na nekoj lokaciji ili kao računski hijetogram kojim se definiše promena intenziteta kiše kroz vreme tokom kišne epizode. Računske kiše mogu se odrediti za neku lokaciju na osnovu podataka osmatranja padavina sa obližnje kišomerne stanice, ili na osnovu podataka o padavinama u regionu. Njihova primena je raznovrsna, od koriš ćenja računskih intenziteta kiše za odre đivanje maksimalnih proticaja u kišnim kolektorima prema racionalnoj metodi do koriš ćenja računskih hijetograma kao ulaznih podataka za modele transformacije padavina u oticaj pri projektovanju retenzija u urbanim sredinama ili dimenzionisanja preliva na velikim akumulacijama.
6.1 Računske visine kiša i ra čunski intenziteti kiša Računske visine kiša odre đuju se statističkom analizom osmotrenih kišnih epizoda. Primarnom obradom pluviografskih traka dolazi se do maksimalnih priraštaja kiše (odnosno maksimalnih intenziteta kiše) zabeleženih u zadatim vremenskim intervalima tokom kišnih epizoda. Ovi maksimalni priraštaji određuju se tako što se posmatraju priraštaji kiše u zadatim vremenskim intervalima po čevši od različitih vremena tokom kišne epizode, a zatim se me đu njima bira maksimalni. U tabeli 13 i na slici 40 prikazan je primer jedne kišne epizode radi ilustracije postupka odre đivanja maksimalnog priraštaja kiše za vremenske intervale od 30 minuta, 60 minuta i 120 minuta. Na ovom primeru može se uo čiti da se prosečan intenzitet kiše smanjuje sa pove ćanjem intervala vremena koji se razmatra. Na osnovu ovako odre đenih maksimalnih priraštaja kiše za odre đene intervale vremena (ili trajanja kiše), formiraju se nizovi za statisti čku analizu. Uobičajeno je da se formiraju nizovi visina kiša za sledeća trajanja: 5, 10, 15, 20, 30, 45, 60, 90, 120, 150, 180, 240, 360, 540, 1080 i 1440 minuta, a po potrebi i trajanja duža od jednog dana. Uzimanjem maksimalnog priraštaja u pojedinim godinama za svako trajanje kiše dobijaju se nizovi godišnjih maksimuma. Sprovode ći postupak statističke analize, usvajaju se teorijske raspodele koje se najbolje prilago đavaju empirijskim raspodelama uzoraka maksimalnih visina kiša odre đenog trajanja. Kao rezultat, za svako trajanje kiše dobijaju se visine kiša određenog povratnog perioda ili rač unske visine kiša. Na slici 41 prikazane su raspodele visina kiša različitih trajanja za pluviografsku stanicu Zeleno Brdo u Beogradu. Ukoliko se ovako dobijene ra čunske visine kiša podele sa odgovaraju ćim trajanjem, dolazi se do rač unskih intenziteta kiše. Treba imati na umu da ra čunski intenziteti kiše predstavljaju proseč ne intenzitete tokom razmatranog trajanja.
65
Tabela 13. Primer prora čuna maksimalnih priraštaja kiše trajanja 30, 60 i 120 minuta. Vreme Sumarna linija (min) kiše (mm) 0 0 5 0.1 10 0.3 15 0.9 20 1.0 25 1.2 30 1.4 35 1.9 40 2.3 45 3.4 50 9.3 55 12.3 60 15.0 65 18.7 70 20.2 75 20.8 80 21.4 85 21.7 90 22.0 95 22.2 100 22.4 105 22.8 110 23.2 115 23.4 120 23.6 125 23.7 130 24.1 135 24.2 140 24.5 145 24.6 150 24.7 Maksimalni priraštaj (mm)
Priraštaji na 60 min
30 min
1.4 1.8 1.9 2.5 8.4 11.1 13.6 16.8
120 min
15.0 18.5 19.8 20.0 20.4 20.5
17.9
17.5 12.0 9.4 7.0 3.5 2.2 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.7 1.5 1.3 1.2 1.1 17.9
20.6
20.3 20.1 19.4 13.8 11.1 8.6 5.0 3.9 3.4 3.1 2.9 2.8 20.6
23.6 23.5 23.7
23.4 23.5 23.4 23.3 23.7
30
25
) 20 m m ( e { i 15 k a n i s i V10
17.9 mm
20.6 mm
23.7 mm
5 30 min
60 min
120 min
0 0
30
60
90
120
Vreme (min)
Slika 40. Primer prora čuna maksimalnih priraštaja trajanja 30, 60 i 120 minuta. 66
150
100
1440 min
90
540 min
80
360 min
70
240 min
60
120 min
) m m 50 ( P
60 min 30 min
40
20 min
30
15 min
20
10 min 5 min
10 0
2
5
10
20
50
100
200
povratni period (godina)
Slika 41. Funkcije raspodele visina kiša za pluviografsku stanicu Zeleno Brdo u Beogradu.
6.2 Zavisnosti visina (intenzitet) kiše – trajanje kiše – povratni period Računske visine kiša ili ra čunski intenziteti kiša obično se ne prikazuju u formi kao na slici 41, već u formi dijagrama na kome se na apscisi nalazi trajanje kiše, na ordinati visina ili intenzitet kiše, a povratni period se pojavljuje kao parametar. Drugim re čima, za svaki povratni period konstruiše se zavisnost visine ili intenziteta kiše od trajanja kiše. Na slikama 42 i 43 prikazane su ove zavisnosti za stanicu Zeleno Brdo u Beogradu, formirane na osnovu slike 41. Zavisnosti intenzitet kiše – trajanje kiše – povratni period (tzv. ITP krive) češće se sreću u praksi, što potiče od široke primene racionalne metode u kojoj se maksimalni proticaji u kišnim kolektorima računaju na osnovu intenziteta kiše. Intenzitet kiše na ITP krivama može se naneti u mm/min ili u mm/h; -1 -1 često se, međutim, sreću i vrednosti izražene u ls ha , s obzirom da se proticaj po racionalnoj metodi
tada može dobiti direktnim množenjem sa površinom sliva izraženom u hektarima (uz množenje sa koeficijentom oticaja). Ne treba, međutim, zaboraviti da intenziteti kiše na ITP krivama predstavljaju prose čne intenzitete kiša tokom njihovog trajanja, tako da u primeni s loženijih metoda za prora čun oticaja uzimanje prose čnog intenziteta kiše može dovesti do zna čajnijih grešaka. Zbog toga se preporu čuje da se najpre odrede računske visine kiša sa zavisnosti visina kiše – trajanje kiše – povratni period (tzv. HTP krive), a da se vremenska neravnomernost kiša dodatno uzme u obzir. Za zavisnosti ITP često se traže analitički oblici radi njihove lakše primene. U literaturi se preporučuju razni oblici, a naj češće se koriste sledeća dva:
i=
i=
A (t k + C ) B AT D
(t k + C ) B
gde je i intenzitet kiše, t k trajanje kiše, T povratni period, a A, B, C i D koeficijenti koji se odre đuju regresionom analizom. 67
100 90
200 god 80
100 god
70
50 god
) m 60 m ( e { i 50 k a n i s 40 i v
20 god 10 god 5 god 2 god
30 20 10 0 1
10
100
1000
10000
trajanje ki{e (min)
Slika 42. Zavisnosti visina kiše – trajanje kiše – povratni period (HTP krive) za stanicu Zeleno Brdo u Beogradu.
10
) n i 1 m / m m ( e { i k t e t i z n e t n 0.1 i
200 god 100 god 50 god 20 god 10 god 5 god 2 god
0.01 1
10
100
1000
trajanje ki{e (min)
Slika 43. Zavisnosti intenzitet kiše – trajanje kiše – povratni period (ITP krive) za stanicu Zeleno Brdo u Beogradu.
68
10000
6.3 Računski hijetogrami Kao što je napomenuto u prethodnom odeljku, zbog uticaja vremenske neravnomernosti kiša na veličinu oticaja, ne preporu čuje se direktno koriš ćenje ITP krivih odnosno prose čnih intenziteta kiše tokom njihovog trajanja. Umesto toga, preporu čuje se određivanje računskih visina kiše sa HTP krivih, a potom primena rač unskih hijetograma odnosno rač unskih oblika kiša. Računski oblici kiša služe da se uvede neravnomernost intenziteta ra čunske kiše u vremenu koji bi bio što približniji realnim kišnim epizodama. Razlikujemo dve vrste ra čunskih oblika kiša: 1) sintetički oblici, i 2) statistički oblici. Sintetički oblici računskih kiša nastali su kao rezultat lokalnih istraživanja pojedinih autora ili nekih konceptualnih pristupa. Dva takva oblika prikazana su na slici 44.
e { i k t e t i z n e t n i
e { i k t e t i z n e t n i
vreme
vreme
Slika 44. Neki sintetički oblici računskih kiša: po Sifaldi (levo) i po metodi " Čikago" (desno).
Statistički oblici računskih kiša dobijaju se statističkom obradom osmotrenih hijetograma ve ćeg broja kišnih epozoda. Kišne epizode se razvrstaju po trajanju, a zatim se prikazuju u bezdimenzionalnom obliku, tj. sa bezdimenzionalnim vremenom Potom se za niz vrednosti
τ
τ
= t / t k i bezdimenzionalnom visinom kiše
π
statistički obrađuju bezdimenzionalme ordinate sumarnih linija
kišnih epizoda kako bi se dobile vrednosti
π
= P (t ) / P (t k). π
osmotrenih
različitih verovatnoća pojave. Na taj način se formiraju
bezdimenzionalne sumarne linije računskih kiša različite verovatnoće pojave za zadato trajanje (popularno nazvane π – τ krive), čime se definišu računski oblici kiša. Primer π – τ krivih dat je na slici 45. Oblici kiše kod kojih se najve ći intenziteti javljaju na po četku kiše nazivaju se "napredne" kiše, a oblici kod kojih se najve ći intenziteti javljaju pri kraju trajanja kiše nazivaju se "zakasnele" kiše. Oblik kiše verovatnoće pojave npr. 80% zna či da će se javiti 80% kiša koje su naprednije od nazna čene, tj. imaju u razmatranom trenutku ve ću visinu kiše od kiše ozna čene sa 80%.
69
1 0.9 0.8
10% 20%
0.7 ) k t ( 0.6 P / ) 0.5 t ( P = 0.4
50%
80%
π
90%
0.3 0.2 0.1 0 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5 τ
0.6
0.7
0.8
0.9
= t / tk
Slika 45. Statistički oblici računskih kiša različitih verovatnoća pojave (pluviografska stanica Kraljevo, trajanje kiše 60 minuta).
70
1
7. RAČUNSKI PROTICAJI U sklopu projektovanja hidrotehni čkih objekata, hidrološke analize imaju za cilj odre đivanje merodavnih veličina za dimenzionisanje objekata. Merodavne (ra čunske, projektne) veli čine su najčešće proticaji, nivoi vode i zapremine, u zavisnosti od vrste objekta. Jedan od najvažnijih vodoprivrednih i hidrotehni čkih zadataka je ublažavanje negativnih uticaja velikih voda ili poplava. Veli čina poplava se opisuje maksimalnim proticajem poplavnog talasa, zapreminom poplavnog talasa ili nivoom vode pri kome dolazi do plavljenja. Svaka od ovih veli čina je važna za različite vrste objekata za zaštitu od poplava, a to su pre svega retenzioni prostori (akumulacije, retenzioni bazeni i sl.), nasipi pored reka i objekti kojima se odvode velike vode (kišna kanalizacija, drenažni kanali, prelivi i sl.). Svrha retenzionih prostora je da ublaže poplavne talase tako što
će
smanjiti
maksimalne proticaje, a time i spustiti nivoe vode nizvodno od retenzionog prostora. Objekti kojima se odvode velike vode treba da bezbedno odvedu "višak" vode ka nizvodnim deonicama gde je uticaj poplavnog talasa manji i gde se može lakše kontrolisati. Merodavne veli čine za projektovanje ovih objekata određuju se na osnovu željenog stepena zaštite od poplava ili dopustivog rizika. Osnovu za procenu rizika od poplava predstavlja analiza verovatno će pojave velikih voda. Projektovanje objekata za koriš ćenje voda podrazumeva obezbe đivanje potreba ljudi za vodom. To su pre svega objekti u sistemima za vodosnabdevanje i navodnjavanje. Kako potrebe za vodom stalno rastu sa porastom stanovništva i razvojem društva, one se moraju stalno uskla đivati sa ograničenim raspoloživim količinama i kvalitetom vode. Za razliku od projektovanja objekata za zaš titu od voda gde je osnovni cilj ublažavanje efekata velikih voda, u projektovanju objekata za koriš ćenje voda prevashodno nas interesuju prose čni proticaji i ublažavanje efekata malih voda kada snabdevanje vodom postaje problematično.
7.1 Metode za određivanje merodavnih velikih voda Proračuni velikih voda mogu se zasnivati na razli čitim pristupima i metodama. Izbor metode zavisi od više faktora, od kojih je prvi (ne)postojanje osmotrenih proticaja na razmatranom profilu. Pra ćenje proticaja na rekama, s obzirom da se zasniva na kontinualnom osmatranju vodostaja i merenjima polja brzina u profilima reka, predstavlja naporan i skup proces. Iz tog razloga, hidrološke stanice su znatno zastupljenije na profilima ve ćih slivova, dok manji slivovi ostaju neosmotreni. U hidrološkoj terminologiji slivovi na kojima postoje osmatranja proticaja nazivaju se izuč enim, slivovi na kojima ne postoje osmatranja se nazivaju neizuč enim, dok se slivovi na kojima postoje kratkoro čna osmatranja nazivaju nedovoljno izuč enim. Posebnu klasu neizu čenih slivova predstavljaju gradski slivovi. Na njima su manji prirodni vodotoci obi čno zecevljeni i njihove vode se odvode u kanalizacioni sistem. Merenja u sistemima opšte ili kišne kanalizacije kod nas se ne sprovode sistematski, osim u retkim slu čajevima eksperimentalnih slivova. Izbor metode za prora čun velikih voda zavisi i od zna čaja objekta, odnosno od potencijalne štete koja može nastati usled prevazilaženja kapaciteta objekta. Merodavne velike vode za objekte kod kojih štete od plavljenja nisu velike (kao što su propusti ili sporedni putevi) mogu se odre đivati jednostavnijim empirijskim metodama, jer poznavanje njihovog ta čnog povratnog perioda nije od velike važnosti. S druge strane, za objekte kod kojih su potencijalne štete velike ili postoji opasnost od gubitaka ljudskih života, velike vode bi trebalo ra čunati pouzdanijim metodama koje će omogućiti da se izbor merodavne veličine odredi uz pomo ć optimizacionih metoda. U zavisnosti od raspoloživih podataka, razlikujemo tri osnovna pristupa (koncepta) u prora čunu velikih voda (slika 46):
71
1) koncept osmotrenih proticaja, 2) koncept osmotrenih kiša, i 3) koncept računskih kiša. Koncept osmotrenih proticaja podrazumeva statističku analizu osmotrenih proticaja i sprovodi se na izučenim slivovima. Kao rezultat analize dobija se odre đena teorijska funkcija raspodele verovatno će proticaja. Kod nedovoljno izu čenih slivova na kojima postoje makar i kratkoro čna osmatranja proticaja, nekad je moguće uspostaviti regresione zavisnosti sa proticajima na okolnim stanicama i tako produžiti niz sa kojim će se obaviti statistička analiza. Koncept osmotrenih kiša podrazumeva da su na raspolaganju opaženi hijetogrami ve ćeg broja kišnih epizoda na slivu. Osmotrene kišne epizode se koriste u sprezi sa modelom padavine-oticaj kako bi se dobio niz simuliranih proticaja koji se zatim podvrgavaju statisti čkoj analizi. Ovaj pristup je pogodan za nedovoljno izu čene slivove, s obzirom da se postoje ći podaci mogu iskoristiti za kalibraciju modela. Koncept rač unskih kiša podrazumeva transformaciju ra čunskih kiša u ra čunske proticaje pomo ću modela padavine-oticaj. Za neizu čene slivove ovo je prakti čno jedini mogu ći način za odre đivanje merodavnih proticaja, mada se u praksi koristi i za nedovoljno izu čene slivove. Ključni aspekt ovog pristupa je činjenica da se sračunatim merodavnim proticajima pripisuje povratni period merodavne kiše. S obzirom na izrazitu nelinearnost veze izme đu padavina i oticaja, ovakva pretpostavka u opštem slu čaju nije realna. koncept osmotrenih proticaja
koncept osmotrenih ki{a
osmotreni proticaji
statisti~ka analiza
koncept ra~unskih ki{a
osmotrene ki{e
model oticaja
statisti~ka analiza
simulirani oticaj
ra~unska ki{a
statisti~ka analiza
model oticaja
ra~unski (merodavni) proticaji
Slika 46. Pristupi za odre đivanje merodavnih proticaja.
Postupak proračuna računskih proticaja prema konceptu osmotrenih proticaja svodi se na postupak primene statističke analize opisane u poglavlju 5, pa ovde ne će biti razmatran. Koncepti osmotrenih kiša i računskih kiša imaju zajedni čki element, a to je simuliranje oticaja pomo ću modela padavine-oticaj, o čemu će
72
se govoriti u nastavku.
7.2 Određivanje računskih proticaja na osnovu računskih kiša Transformacija kiše u oticaj zavisi u velikoj meri od veli čine sliva. Za male homogene površine veza padavina i oticaja relativno je jednostavna, pa je primena jednostavnih metoda (kao što je racionalna teorija) sasvim opravdana. Na velikim slivovima na kojima se promene odvijaju sporije i izražavaju u danima ili mesecima, uticaj pojedina čnih faktora na oticaj se uprose čuje tako da se veza izme đu padavina i oticaja relativno jednostavno uspostavlja. Iz tog razloga nije iznena đujuće kada se za vrlo velike slivove dobije i linearna veza izme đu padavina i oticaja. Slivovi koji bi se uslovno mogli nazvati slivovima 2 srednje veličine (do 200–300 km ) predstavljaju najveći problem za uspostavljanje veze padavina i
oticaja. Ovakvi slivovi su, s jedne strane, dovoljno veliki tako da raznovrsnost njihove topografije ili namene njihovih površina i prostorna neravnomernost kiša imaju zn a čajan uticaj na formiranje oticaja, a s druge strane su dovoljno mali tako da se promene odvijaju brzo i treba ih izražavati u satima (ili
čak
minutima za slivove od nekoliko kvadratnih kilometara). Na ovakvim slivovima zna čajnu ulogu imaju i isparavanje, infiltracija, režim podzemnih voda, što dodatno komplikuje njihovo razmatranje. Postupak određivanja računskih proticaja na osnovu ra čunskih kiša sastoji se od tri koraka:
− − −
određivanje računskih kiša, transformacija bruto kiše u neto kišu (odre đivanje efektivne kiše), i transformacija efektivne kiše u hidrogram oticaja.
7.3 Određivanje efektivne kiše Transformacija bruto kiše u neto kišu podrazumeva primenu neke od metoda za prora čun gubitaka. Gubici zavise od karakteristika sliva (namene površina, vegetacije, pedoloških i geoloških karakteristika, reljefa), ali zavise i od konkretne situacije za razmatranu kišnu epizodu, tj. od ukupne visine i intenziteta kiše, trajanja kiše, stanja prethodne vlažnosti na slivu, infiltracionog kapaciteta zemljišta i nivoa podzemnih voda. Zbog toga ne čudi raznovrsnost metoda odre đivanja gubitaka zasnovanih na raznim pojednostavljenjima. Metode za prora čun gubitaka koje
će
ovde biti obra đene su: konstantni gubici, proporcionalni
gubici, Hortonova jedna čina infiltracije i SCS metoda za gubitke.
7.3.1 Konstantni gubici
Funkcija konstantnih gubitaka naziva se
Φ-indeks
i podrazumeva konstantan intenzitet gubitaka
tokom kiše (slika 47): i g (t ) = Φ U primeni ove funkcije gubitaka treba voditi ra čuna da intenzitet gubitaka ne može biti ve ći od intenziteta pale kiše:
⎧Φ, ⎩ i,
i g (t ) = ⎨
i>Φ i<Φ
Intenzitet efektivne kiše je tada:
⎧i − Φ, i > Φ ie (t ) = i (t ) − i g (t ) = ⎨ ⎩ 0, i < Φ 73
efektivna ki{a Fi-indeks
e { i k t e t i z n e t n i
ie
i g
i g
vreme
Slika 47. Funkcija konstantnih gubitaka ili
Φ-indeks.
7.3.2 Proporcionalni gubici
Funkcija proporcionalnih gubitaka pretpostavlja da je intenzitet efektivne kiše u svakom intervalu vremena proporcionalan intenzitetu pale kiše (slika 48), a koeficijent proporcionalnosti je koeficijent oticaja: ie (t ) = η ⋅ i (t )
Intenzitet gubitaka je onda: i g (t ) = (1 − η) ⋅ i (t )
pala ki{a efektivna ki{a
e { i k t e t i z n e t n i
i g
ie
vreme
Slika 48. Funkcija proporcionalnih gubitaka (koeficijent oticaja).
7.3.3 Hortonova jednač ina
O Hortonovoj jedna čini bilo je re či u poglavlju 3. Ona glasi: f (t ) = f c
+ ( f o − f c ) e − kt
gde je f o početna infiltracija, f c infiltracija u zasićeno zemljište i k koeficijent koji pokazuje brzinu opadanja intenziteta infiltracije. Ako se Hortonova jedna čina primenjuje kao funkcija gubitaka (slika 49), onda opet treba voditi ra čuna da li je u nekom intervalu vremena intenzitet kiše manji od infiltracije po ovoj jednačini, jer se tada može infiltrirati onoliko vode koliko pada:
74
⎧ f , i > f i g (t ) = ⎨ ⎩ i, i < f Drugim rečima, intenzitet efektivne kiše je:
⎧i − f , i > f ie (t ) = i (t ) − i g (t ) = ⎨ ⎩ 0, i < f Parametre Hortonove jedna čine trebalo bi odrediti iz terenskih merenja, koja su retko na raspolaganju. Da bi se usvojile realne vrednosti ovih parametara, najbolje je da se Hortonova jedna čina kalibriše zajedno sa modelom oticaja prema slaganju osmotrenih i sra čunatih hidrograma.
efektivna ki{a Hortonova j-na
e { i k t e t i z n e t n i
ie
i g i g
vreme
Slika 49. Hortonova jedna čina kao funkcija gubitaka.
7.3.4 SCS metoda za efektivnu kišu
Američka agencija Soil Conservation Service (SCS) razvila je metod prema kome se efektivna kiša P e određuje prema izrazu:
P e
=
( P − 0.2d ) 2 ( P + 0.8d )
(1)
gde je P ukupna visina kiše, a d maksimalni kapacitet zemljišta u pogledu upijanja. Smatra se da deo brojioca 0.2d predstavlja početne gubitke. Umesto kapaciteta zemljišta d , uvodi se tzv. broj krive CN kao parametar u gornjoj jedna čini. Broj CN je bez dimenzije i vrednosti mu se kre ću između 0 i 100, a njegova veza sa d je data sa:
⎛ 1000 − ⎞ 10 ⎟ ⎝ CN ⎠
d = 25.4⎜
gde se d dobija u milimetrima. Za nepropusne i vodene površine CN je 100, dok je za prirodne površine CN < 100. Veza izme đu P , P e i CN predstavlja dobro poznati SCS dijagram, prikazan na slici 50. Brojevi CN se određuju prema tipu zemljišta i nameni površina, prema klasifikaciji koju je dao SCS. Zemljišta su podeljena u četiri grupe: pesak (grupa A), les i peskovita ilova ča (grupa B), ilova ča (grupa C) i glina (grupa D). Tabela CN brojeva data je u prilogu B. Određivanje hijetograma efektivne kiše ovde se obavlja posredno, preko sumarne linije kiše. Za svaki vremenski interval, ordinata sumarne linije efektivne kiše P e(t ) dobija se prema jedna čini (1) na osnovu ordinate sumarne linije pale kiše P (t ). Pri tome treba voditi ra čuna da ukupna visina kiše mora biti veća od početnih gubitaka (koji iznose 0.2d ), jer se ne može izgubiti više kiše nego što je palo. Dakle: 75
⎧ ( P (t ) − 0.2d ) 2 , P > 0.2d ⎪ + P ( t ) 0 . 8 d ⎪ P e (t ) = ⎨ ⎪ 0, P < 0.2d ⎪ ⎩ Sa ovako određenom sumarnom linijom efektivne kiše, može se konstruisati i hijetogram efektivne kiše (slika 51). 80 70 60 CN = 100
50
) m m40 ( e P
95 90
85
30
80
75
70
20
65
60
10
55
50
0 0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
P (mm)
Slika 50. Dijagram odnosa ukupne i efektivne kiše po SCS metodi.
e { i k a n i s i v
pala ki{a efektivna ki{a
vreme
pala ki{a e { i k t e t i z n e t n i
efektivna ki {a
i g
ie vreme
Slika 51. Proračun efektivne kiše po SCS metodi: sumarna linija efektivne kiše dobija se na osnovu sumarne linije pale kiše (gore), a zatim se konstruišu dogovarajući hijetogrami (dole). 76
7.4 Transformacija efektivne kiše u oticaj
Transformacija efektivne kiše u hidrogram oticaja podrazumeva primenu nekog hidrološkog modela čiji su ulaz efektivne padavine, a izlaz hidrogram oticaja. Ovi modeli mogu biti veoma različiti po svojim osnovnim postavkama, pojednostavljenjima i zahtevima za podacima. U slu čaju kada na posmatranom slivu postoje osmatranja makar kratkog obima, postoji mogućnost da se model padavineoticaj kalibriše za dati sliv, odnosno da se odrede parametri modela sa kojima se rezultati modela najbolje slažu sa osmotrenim hidrogramima oticaja. Tada bi bilo mogu će primeniti koncept osmotrenih kiša za određivanje merodavnih proticaja, koji se smatra pouzdanijim od koncepta računskih kiša. U slučaju slivova na kojima ne postoje osmatranja, pribegava se izradi sintetič kih hidrograma. Pod sintetičkim hidrogramima se podrazumevaju razli čite vrste hidrograma jednostavne forme, najčešće trougaone, čiji se elementi (relevantna vremena i maksimalna ordinata) odre đuju se na osnovu fizičkih karakteristika sliva (vremena koncentracije, površine sliva, dužine toka, nagiba sliva i sli čno) i karakteristika kiše (najčešće trajanja kiše). Sintetički hidrogrami mogu biti hidrogrami direktnog oticaja ili jedinični hidrogrami (hidrogrami direktnog oticaja za jediničnu visinu efektivne kiše).
7.4.1 Racionalna metoda
Racionalna metoda za odre đivanje maksimalnih proticaja na osnovu osmotrenih kiša je jedan od najstarijih modela za vezu između padavina i oticaja i potiče od irskog inženjera Malvanija (Mulvaney, 1850). Ako je intenzitet kiše konstantan u vremenu koje je potrebno da se slivna površina u potpunosti ocedi, maksimalni proticaj je proporcionalan intenzitetu kiše: Q = ηiA
gde je
(2)
η koeficijent oticaja, i intenzitet kiše trajanja t c, a A površina sliva. Trajanje t c je vreme
koncentracije, odnosno vreme potrebno da kiša sa najudaljenije tačke sliva dospe do izlaznog profila sliva. Dakle, smatra se da posle vremena t c od početka kiše ceo sliv učestvuje u formiranju oticaja, tako da se tada dostiže maksimalni oticaj Q. Za intenzitet kiše i se smatra da i da je ravnomeran po površini sliva. Koeficijent oticaja
η zavisi od karakteristika sliva, ali i od karakteristika kiše. On praktično
uključuje sve faktore koji utiču na veličinu oticaja, tako da je njegovo precizno određivanje moguće samo uz detaljno poznavanje karakteristika sliva. Zbog eventualne pogrešne procene koeficijenta oticaja greška u proceni maksimalnog proticaja Q može imati široke granice. Proticaj određen jednačinom (2) predstavlja maksimalnu ordinatu trougaonog hidrograma oticaja prikazanog na slici 52a. Ovaj oblik hidrograma važi za slučaj kada je trajanje kiše jednako vremenu koncentracije. Ako kiša traje duže od vremena koncetracije, maksimalni proticaj se ostvaruje sve dok ne prestane kiša (slika 52 b). Ukoliko je trajanje kiše kraće od vremena koncentracije, nema dovoljno vremena da se oformi oticaj sa celog sliva i da se dostigne maksimalni proticaj prema jednačini (2). U tom slučaju, maksimalni proticaj će biti manji od onog prema jednačini (2) proporcionalno odnosu između trajanja kiše i vremena koncentracije: Q = ηiA
t k t c
Hidrogram oticaja od kiše trajanja manjeg od vremena koncentracije po racionalnoj metodi prikazan je na slici 52c.
77
e {i k t e t i z n e
a) tk = t c
tk = t c t ni
j
a c i t o r p
Qmax= ηiA
t c
e {i
t c
e {i
k t e ti z n e t n
t k
k t e ti z n e t n
b) tk > t c
i
c) tk < t c
t k
i
j
t Qmax= ηiA t k c
j
a ci t o r p
Qmax= ηiA
t c
t c t k
a ci t o r p
t k
t k t c
Slika 52. Hidrogrami oticaja po racionalnoj metodi: a) trajanje kiše jednako vremenu koncentracije, b) trajanje kiše duže od vremena koncentracije.
Zbog pretpostavki o ravnomernom intenzitetu kiše u vremenu i po površini sliva, primena racionalne teorije ima opravdanja za određivanje merodavnih proticaja na veoma malim slivnim površinama (kratkog vremena koncentracije) kao što su deonice puteva, propusti ili i za dimenzionisanje kišnih kolektora u gradovima.
7.4.2 Sinteti čk i jedini čn i hidrogrami
Jedinič ni hidrogram se definiše kao hidrogram direktnog oticaja usled jedinične efektivne kiše (obično 1 mm) koja je ravnomerno raspoređena po površini sliva i konstantnog intenziteta tokom efektivnog trajanja. Za jedno trajanje kiše, jedinični hidrogram ima istu bazu, isto vreme podizanja i opadanja i iste ordinate. Ordinate jediničnog hidrograma u(t ) imaju dimenziju proticaja po jedinici visine efektivne kiše (npr. m3s-1mm-1). Ordinate hidrograma direktnog oticaja Qd (t ) usled efektivne kiše nekog trajanja dobija množenjem ordinata jediničnog hidrograma u(t ) za to trajanje sa visinom efektivne kiše P e (princip proporcionalnosti): Q d (t ) = u (t ) ⋅ P e
78
Jedinični hidrogram za neki sliv može se odrediti na osnovu osmotrenih kišnih epizoda i odgovarajućih hidrograma oticaja, pri čemu kišne epizode treba izabrati vodeći ra čuna o pretpostavkama o ravnomernosti kiše po slivu i u vremenu. Na osmotrenim hidrogramima treba odvojiti bazni i direktni oticaj (jer se za konstrukciju jediničnog hidrograma koristi samo hidrogram direktnog oticaja), a osmotrenu kišu treba razdvojiti na efektivnu kišu i gubitke. Jedinični hidrogram se tada dobija deljenjem ordinata hidrograma direktnog oticaja sa visinom efektivne kiše. Konačni jedinični hidrogram se dobija osrednjavanjem rezultata iz pojedinih epizoda. Ovaj postupak je veoma složen, ali ako se podaci pažljivo odaberu, jedinični hidrogram kao model može dati veoma prihvatljive rezultate. U primeni jediničnog hidrograma važi i princip superpozicije, a to znači da se može primenjivati na kiše dužeg trajanja nego što je trajanje kiše za koje je jedini čni hidrogram konstruisan. Ako je jedinični hidrogram konstruisan za trajanje kiše T , on se obično se primenjuje za kiše čije je trajanje jednako umnošku od T , npr. nT . Tada se kiša podeli na n blokova i za svaki blok trajanja T odredi se hidrogram direktnog oticaja. Ukupni hidrogram od cele kiše dobija se superpozicijom n elementarnih hidrograma od svakog bloka kiše. Na osnovu gore iznetog, jasno je da se jedinični hidrogram može konstruisati samo za slivove na kojima postoje osmatranja kiše i proticaja, odnosno izučene slivove. Na neizučenim slivovima se koriste sintetič ki jedinič ni hidrogrami čija se konstrukcija zasnivaja na transpoziciji podataka sa drugih slivova kroz regionalne veze između karakteristika sliva i karakteristika hidrograma. Kako literatura obiluje različitim regionalnim vezama i bezdimenzionalnim jediničnim hidrogramima, u praksi treba biti veoma obazriv u primeni takvih "gotovih" jediničnih hidrograma. Ove regionalne zavisnosti mogu biti razvijene za neko područ je koje je po reljefu i klimi potpuno različito od razmatranog sliva, a s druge strane se postavlja pitanje u kom stepenu se ove veze prilagođavaju opaženim podacima (autori ovih veza retko crtaju eksperimentalne tačke na dijagramima, a još re đe govore o koeficijentu korelacije sa kojim su odredili neku od ovih zavisnosti). Sintetič ki jedinič ni hidrogram po SCS metodi. Američka agencija SCS je razvila bezdimenzionalni jedinični hidrogram (slika 53) kod koga se vreme izražava u odnosu na vreme podizanja hidrograma T p, a ordinate u odnosu na maksimalnu ordinatu jediničnog hidrograma um. Da bi se ovakav hidrogram primenio, potrebno je poznavati vreme podizanja T p, dok se maksimalna ordinata um određuje iz uslova da površina ispod budućeg jediničnog hidrograma bude jednaka zapremini oticaja od 1 mm (ili 1 cm) kiše. 1.0
neto ki{a
0.8
t k 2
a
b
t p
0.6 m
b
u / u
direktan oticaj
0.4
um
0.2
t k
T p
1.67 T p
T b
0 0
1
2
t/T p
3
4
5
Slika 53. Sintetički jedinični hidrogram po SCS: a) krivolinijski jedinični hidrogram i b) aproksimacija trouglom. 79
Krivolinijski dijagram sa slike 53a najčešće se zamenjuje trougaonim hidrogramom na slici 53 b. Analizom podataka sa velikog broja slivova, SCS predlaže da vreme opadajuće grane trougaonog hidrograma iznosi: T r = 1.67T p
(3)
tako da je ukupna baza hidrograma T B = 2.67 T p. S obzirom da površina ispod trougla treba da bude jednaka zapremini oticaja od 1 mm kiše, maksimalna ordinata jediničnog hidrograma iznosi: B
um
=
2 A 2.67T p
= 0.75
A T p
odnosno: um
=
208.33 A T p
gde je um u ls-1mm-1, A u km2 i T p u časovima. Vreme podizanja T p može se izraziti pomoću vremena kašnjenja sliva t p T p
= t p +
t k
(4)
2
gde je t k trajanje kiše. Vreme kašnjenja t p, prema SCS, može se odrediti na dva načina. Prvi način vezuje t p i fizičke karakteristike sliva, dok drugi način podrazumeva procenu vremena koncentracije sliva t c kao ukupnog vremena putovanja vode po padinama i u vodotoku. Na osnovu analize podataka sa eksperimentalnih slivova, SCS predlaže aproksimaciju t p
≈ 0.6 t c .
Sintetič ki jedinič ni hidrogram u obliku trougla. Brajković i Jovanović (Jovanović, 1989) su predložili modifikaciju sintetičkog hidrograma u obliku trougla prema SCS. Modifikacija se sastoji iz nekoliko elemenata. Prvo, vreme opadajuće grane hidrograma, kao i baza hidrograma, nisu fiksirani kao u izrazu (3), već iznose T r = r T p
i
T b
= (1 + r )T p
gde je r konstanta za dati sliv koja zavisi od veličine sliva i namene površina na slivu. Preporuke za verdnost ovog parametra date su u tabeli 14. Drugo, vreme kašnjenja sliva t p, a koje određuje vreme podizanja hidrograma kroz jednačinu (4), određuje se iz regionalne zavisnosti t p
= at k + t o
(5)
gde su sva vremena izražena u časovima. Smatra se da parametar a zavisi od površine sliva (slika 54), a parametar t o od fizičkih karakteristika sliva:
⎛ LLc ⎞ ⎟ t o = 0.4 L0.67 ⎜ ⎜ I u ⎟ ⎝ ⎠
0.086
gde je L dužina glavnog toka u km, Lc rastojanje od težišta do izlaznog profila sliva u km i I u uravnati nagib sliva u procentima. Gornji izraz je samo jedan od predloženih izraza za t o (Jovanović i sar., 1979).
80
Tabela 14. Preporuke za vrednosti koeficjenta r (odnosa vremena opadanja i podizanja hidrograma). Vrsta površine / metod
Koeficijent r
racionalna teorija
1
urbano, veliki nagib SCS urbano/ruralno ruralno, brdovito ruralno, blagi nagib ruralno, ravno
1.25 1.67 2.25 3.33 5.5 12.0
240
20 0 ) m k ( 16 0 a v i l s a 120 n i { r v o p 8 0
2
40
0
0 .2
0 .3
0 .4
0 .5 0 .6 0 .7
1.0
a
Slika 54. Zavisnost parametra a (jednačina 5) od površine sliva.
7.4.3 Vreme koncentracije
Vreme koncetracije je naj češće korišćen vremenski parametar kada su u pitanju konceptualni modeli oticaja kao što je racionalna metoda i sintetički jedinični hidrogrami. Ono se najčešće definiše kao vreme koje je potrebno deliću vode da dospe od najudaljenije tačke sliva do izlaznog profila sliva, mada ima i drugačijih definicija. Zbog nemogućnosti direktnog merenja vremena koncetracije, ono se obično određuje na osnovu različitih formula predloženih u lietraturi. Te formule mogu dati veoma razli čite rezultate, pa se pri njihovoj primeni preporučuje opreznost. Najpoznatije formule za vreme koncentracije date su u tabeli 15. SCS metod brzine koji se predlaže u novijem izdanju SCS procedure (poslednji red tabele 15) posmatra odvojeno vremena putovanja za površinsko tečenje i tečenje u vodotoku, kao odnos dužine tečenja i brzine putovanja. Vreme koncentracije je tada zbir vremena putovanja svih delova puta te čenja vode. Orijentacione brzine tečenja po pojedinim površinama date su u tabeli 16.
81
Tabela 15. Pregled nekih formula za odre đivanje vremena koncentracije. Metod / autor Kirpich (1940)
Formula za t c (min)
t c
0.77
= 0.0195 L
−0.385
S
L = dužina toka od izvora do izlaza (m) S = prosečan nagib sliva (m/m) FAA (1970)
t c
= 0.7(1.1 − c) L0.5 S −0.333
c = koeficijent oticaja u racionalnoj metodi L = dužina površinskog tečenja (m) S = nagib površine (m/m) Kinematski talas
t c
= 1.36
L0.6 n 0.6 i 0.4 S 0.3
L = dužina površinskog tečenja (m) n = Maningov koeficijent hrapavosti i = intenzitet ef. kiše (mm/min) S = prosečan nagib površine (m/m) SCS metoda kašnjenja
t c
= 0.0136
L0.8 S 0.5
(1000 / CN − 9) 0.7
L = najduži put tečenja na slivu (m) CN = SCS broj krive S = prosečan nagib sliva (m/m) SCS metoda brzina
t c
=
1 60
za površinsko tečenje na razvijenim površinama; formula se rešava iterativno pošto sadrži intenzitet efektivne kiše koji zavisi od vremena koncetracije (uz korišćenje zavisnosti intenzitet kiše – trajanje – povratni period)
za male ruralne slivove; smatra se dobrom za potpuno pokrivene površine, dok za mešovite površine daje precenjeno t c; nastala od pretpostavke da je t c = 1.67 t p
podrazumeva određivanje brzina površinskog tečenja (videti tabelu 16)
Li
∑v
Napomena za ruralne slivove sa jasno izraženim rečnim tokovima i strimim nagibima; za asfaltirane površine ili betonske kanale preporučuje se da se t c pomnoži sa 0.4 formula razvijena za odvodnjavanje aerodroma, a može se koristiti za urbane slivove
i
Li = dužina putanje tečenja (m) vi = prosečna brzina tečenja (m/s)
Tabela 16. Približne prosečne brzine (m/s) površinskog tečenja za proračun vremena koncentracije po SCS metodi brzina. Vrsta površine šume pašnjaci obrađene asfaltirane
82
0−3 0 − 0.46 0 − 0.76 0 − 0.91 0 − 2.59
Nagib sliva (%) 4−7 8 − 11 0.46 − 0.76 0.76 − 0.99 0.76 − 1.07 1.07 − 1.30 0.91 − 1.37 1.37 − 1.68 2.59 − 4.11 4.11 − 5.18
12 − 0.99 − 1.30 − 1.68 − 5.18 −
PRILOG A
STATISTIČKE TABLICE
Tabela 1. Funkcija standardne normalne raspodele. z 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4
.00
.01
.02
.03
.04
.05
.06
.07
.08
0.5000 0.5398 0.5793 0.6179 0.6554
0.5040 0.5438 0.5832 0.6217 0.6591
0.5080 0.5478 0.5871 0.6255 0.6628
0.5120 0.5517 0.5910 0.6293 0.6664
0.5160 0.5557 0.5948 0.6331 0.6700
0.5199 0.5596 0.5987 0.6368 0.6736
0.5239 0.5636 0.6026 0.6406 0.6772
0.5279 0.5675 0.6064 0.6443 0.6808
0.5319 0.5714 0.6103 0.6480 0.6844
0.5359 0.5753 0.6141 0.6517 0.6879
0.6915 0.7257 0.7580 0.7881 0.8159
0.6950 0.7291 0.7611 0.7910 0.8186
0.6985 0.7324 0.7642 0.7939 0.8212
0.7019 0.7357 0.7673 0.7967 0.8238
0.7054 0.7389 0.7704 0.7995 0.8264
0.7088 0.7422 0.7734 0.8023 0.8289
0.7123 0.7454 0.7764 0.8051 0.8315
0.7157 0.7486 0.7794 0.8078 0.8340
0.7190 0.7517 0.7823 0.8106 0.8365
0.7224 0.7549 0.7852 0.8133 0.8389
0.8413 0.8643 0.8849 0.9032 0.9192
0.8438 0.8665 0.8869 0.9049 0.9207
0.8461 0.8686 0.8888 0.9066 0.9222
0.8485 0.8708 0.8907 0.9082 0.9236
0.8508 0.8729 0.8925 0.9099 0.9251
0.8531 0.8749 0.8944 0.9115 0.9265
0.8554 0.8770 0.8962 0.9131 0.9279
0.8577 0.8790 0.8980 0.9147 0.9292
0.8599 0.8810 0.8997 0.9162 0.9306
0.8621 0.8830 0.9015 0.9177 0.9319
0.9332 0.9452 0.9554 0.9641 0.9713
0.9345 0.9463 0.9564 0.9649 0.9719
0.9357 0.9474 0.9573 0.9656 0.9726
0.9370 0.9484 0.9582 0.9664 0.9732
0.9382 0.9495 0.9591 0.9671 0.9738
0.9394 0.9505 0.9599 0.9678 0.9744
0.9406 0.9515 0.9608 0.9686 0.9750
0.9418 0.9525 0.9616 0.9693 0.9756
0.9429 0.9535 0.9625 0.9699 0.9761
0.9441 0.9545 0.9633 0.9706 0.9767
0.9772 0.9821 0.9861 0.9893 0.9918
0.9778 0.9826 0.9864 0.9896 0.9920
0.9783 0.9830 0.9868 0.9898 0.9922
0.9788 0.9834 0.9871 0.9901 0.9925
0.9793 0.9838 0.9875 0.9904 0.9927
0.9798 0.9842 0.9878 0.9906 0.9929
0.9803 0.9846 0.9881 0.9909 0.9931
0.9808 0.9850 0.9884 0.9911 0.9932
0.9812 0.9854 0.9887 0.9913 0.9934
0.9817 0.9857 0.9890 0.9916 0.9936
0.9938 0.9953 0.9965 0.9974 0.9981
0.9940 0.9955 0.9966 0.9975 0.9982
0.9941 0.9956 0.9967 0.9976 0.9982
0.9943 0.9957 0.9968 0.9977 0.9983
0.9945 0.9959 0.9969 0.9977 0.9984
0.9946 0.9960 0.9970 0.9978 0.9984
0.9948 0.9961 0.9971 0.9979 0.9985
0.9949 0.9962 0.9972 0.9979 0.9985
0.9951 0.9963 0.9973 0.9980 0.9986
0.9952 0.9964 0.9974 0.9981 0.9986
0.9987 0.9990 0.9993 0.9995 0.9997
0.9987 0.9991 0.9993 0.9995 0.9997
0.9987 0.9991 0.9994 0.9995 0.9997
0.9988 0.9991 0.9994 0.9996 0.9997
0.9988 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997
0.9989 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997
0.9989 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997
0.9989 0.9992 0.9995 0.9996 0.9997
0.9990 0.9993 0.9995 0.9996 0.9997
0.9990 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998
f(z)
F(z)
1 − F(z)
0
z
z
Za z < 0, koristiti F ( z) = 1 – F ( |z|).
.09
Tabela 2. Funkcija standardne normalne raspodele (vrednosti standardne promenljive z). F ( z)
z
F ( z)
0.001 0.002
-3.0902 -2.8782
0.6 0.7
0.2533 0.5244
0.005
-2.5758
0.75
0.6745
0.01
-2.3263
0.8
0.8416
0.02
-2.0537
0.9
1.2816
0.025
-1.9600
0.95
1.6449
0.05
-1.6449
0.975
1.9600
0.1
-1.2816
0.98
2.0537
0.2
-0.8416
0.99
2.3263
0.25
-0.6745
0.995
2.5758
0.3
-0.5244
0.998
2.8782
0.4
-0.2533
0.999
3.0902
0.5
0.0000
z
Tabela 4. Vrednosti
χ2 za zadatu vrednost funkcije raspodele F , odnosno za zadatu vrednost praga zna čajnosti α F
0.5
0.75
0.9
0.95
0.975
0.99
0.995
α N
0.5
0.25
0.1
0.05
0.025
0.01
0.005
1
0.455
1.32
2.71
3.84
5.02
6.63
7.88
2
1.39
2.77
4.61
5.99
7.38
9.21
10.6
3
2.37
4.11
6.25
7.81
9.35
11.3
12.8
4
3.36
5.39
7.78
9.49
11.1
13.3
14.9
5
4.35
6.63
9.24
11.1
12.8
15.1
16.7
6
5.35
7.84
10.6
12.6
14.4
16.8
18.5
7
6.35
9.04
12.0
14.1
16.0
18.5
20.3
8
7.34
10.2
13.4
15.5
17.5
20.1
22.0
9
8.34
11.4
14.7
16.9
19.0
21.7
23.6
10
9.34
12.5
16.0
18.3
20.5
23.2
25.2
11
10.3
13.7
17.3
19.7
21.9
24.7
26.8
12
11.3
14.8
18.5
21.0
23.3
26.2
28.3
13
12.3
16.0
19.8
22.4
24.7
27.7
29.8
14
13.3
17.1
21.1
23.7
26.1
29.1
31.3
15
14.3
18.2
22.3
25.0
27.5
30.6
32.8
Tabela 4. Vrednosti
χ2 za zadatu vrednost funkcije raspodele F , odnosno za zadatu vrednost praga zna čajnosti α F
0.5
0.75
0.9
0.95
0.975
0.99
0.995
α N
0.5
0.25
0.1
0.05
0.025
0.01
0.005
1
0.455
1.32
2.71
3.84
5.02
6.63
7.88
2
1.39
2.77
4.61
5.99
7.38
9.21
10.6
3
2.37
4.11
6.25
7.81
9.35
11.3
12.8
4
3.36
5.39
7.78
9.49
11.1
13.3
14.9
5
4.35
6.63
9.24
11.1
12.8
15.1
16.7
6
5.35
7.84
10.6
12.6
14.4
16.8
18.5
7
6.35
9.04
12.0
14.1
16.0
18.5
20.3
8
7.34
10.2
13.4
15.5
17.5
20.1
22.0
9
8.34
11.4
14.7
16.9
19.0
21.7
23.6
10
9.34
12.5
16.0
18.3
20.5
23.2
25.2
11
10.3
13.7
17.3
19.7
21.9
24.7
26.8
12
11.3
14.8
18.5
21.0
23.3
26.2
28.3
13
12.3
16.0
19.8
22.4
24.7
27.7
29.8
14
13.3
17.1
21.1
23.7
26.1
29.1
31.3
15
14.3
18.2
22.3
25.0
27.5
30.6
32.8
16
15.3
19.4
23.5
26.3
28.8
32.0
34.3
17
16.3
20.5
24.8
27.6
30.2
33.4
35.7
18
17.3
21.6
26.0
28.9
31.5
34.8
37.2
19
18.3
22.7
27.2
30.1
32.9
36.2
38.6
20
19.3
23.8
28.4
31.4
34.2
37.6
40.0
21
20.3
24.9
29.6
32.7
35.5
38.9
41.4
22
21.3
26.0
30.8
33.9
36.8
40.3
42.8
23
22.3
27.1
32.0
35.2
38.1
41.6
44.2
24
23.3
28.2
33.2
36.4
39.4
43.0
45.6
25
24.3
29.3
34.4
37.7
40.6
44.3
46.9
26
25.3
30.4
35.6
38.9
41.9
45.6
48.3
27
26.3
31.5
36.7
40.1
43.2
47.0
49.6
28
27.3
32.6
37.9
41.3
44.5
48.3
51.0
29
28.3
33.7
39.1
42.6
45.7
49.6
52.3
30
29.3
34.8
40.3
43.8
47.0
50.9
53.7
31
30.3
35.9
41.4
45.0
48.2
52.2
55.0
32
31.3
37.0
42.6
46.2
49.5
53.5
56.3
33
32.3
38.1
43.7
47.4
50.7
54.8
57.6
34
33.3
39.1
44.9
48.6
52.0
56.1
59.0
35
34.3
40.2
46.1
49.8
53.2
57.3
60.3
40
39.3
45.6
51.8
55.8
59.3
63.7
66.8
50
49.3
56.3
63.2
67.5
71.4
76.2
79.5
Tabela 5. Test Kolmogorova-Smirnova: vrednosti statistike Dmax za zadatu vrednost praga zna čajnosti α
α N
0.1
0.05
0.02
0.01
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
0.369 0.352 0.338 0.325 0.314 0.304 0.295 0.286 0.279 0.271 0.265 0.259 0.253 0.247 0.242 0.238 0.233 0.229 0.225 0.221 0.218 0.214 0.211 0.208 0.205 0.202 0.199 0.196 0.194 0.191 0.189
0.409 0.391 0.375 0.361 0.349 0.338 0.327 0.318 0.309 0.301 0.294 0.287 0.281 0.275 0.269 0.264 0.259 0.254 0.250 0.246 0.242 0.238 0.234 0.231 0.227 0.224 0.221 0.218 0.215 0.213 0.210
0.457 0.437 0.419 0.404 0.390 0.377 0.366 0.355 0.346 0.337 0.329 0.321 0.314 0.307 0.301 0.295 0.290 0.284 0.279 0.275 0.270 0.266 0.262 0.258 0.254 0.251 0.247 0.244 0.241 0.238 0.235
0.489 0.468 0.449 0.432 0.418 0.404 0.392 0.981 0.371 0.361 0.352 0.344 0.337 0.330 0.323 0.317 0.311 0.305 0.300 0.295 0.290 0.285 0.281 0.277 0.273 0.269 0.265 0.262 0.258 0.255 0.252
> 40
1.22/√ N
1.36/√ N
1.52/√ N
1.63/√ N
PRILOG B
OBRAČUN GUBITAKA PO SCS METODI
•
Hidrološke grupe tla
Tla se klasifikuju na osnovu upijanja vode na kraju dugotrajne kiše opažene nakon odre đene prethodne vlažnosti tla i mogućnosti bubrenja zemljišta bez uticaja na vegetaciju. Glavne hidrološke grupe tla su: A: (najmanja mogu ćnost oticanja) Sadrži: 1) duboke peskove sa vrlo malo ilova če i gline, i 2) duboki oko porozni les. B: Pretežno peskovita tla manje dubine od grupe A i les manje dubine i slabijeg sastava nego u grupi A, ali grupa kao celina ima nadprose čnu propusnost posle potpune vlažnosti. C: Sadrži plitka tla i tla koja sadrže dosta gline i koloida, ali manje od onih iz grupe D. Grupa ima propusnu moć posle saturacije ispod proseka. D: (velika mogu ćnost oticanja) Grupa sadrži pretežno gline visokog procenta bubrenja ali su sadržana neka plitka tla sa skoro nepropusnom podinom blizu površine. •
Primer proračuna kompleksnog hidrološkog broja s upotrebom težinskih koeficijenata Sastav tla (hidrološka grupa B) Hidrološki Procenat broj CN površina (1) (2) (3) Oranica, obrada u smeru pada, 78 56.2 dobar plodored Mahunjače, obrada po 69 37.5 izohipsama, dobar plodored Livada, stalna 58 6.3 Ukupno: 100.0 Težinski broj = 7337 / 100 = 73.37, usvojeno 73
•
Kompleksni broj (4) = (2) (3) 4384 ⋅
2588 365 7337
Dijagram za odre đivanje neto kiše (prema SCS) 80 70 60 CN = 100
50
) m m40 ( e P
95 90
85
30
80
75
20
70
65
60 55
10
50
0 0
10
20
30
40
50
60 70 P (mm)
80
90
100
110
120
•
Kompleksni hidrološki brojevi u zavisnosti od zemljišta i vegetacije Korišćenje zemljišta ili vegetacija Neobrađeno (ugar) Okopavine
Sitnozrnaste žitarice
Gusto sejane mahunja če ili livade u plodoredu
Pašnjak ili livada (prirodna)
Livada stalna (kultivirana) Šuma (šumske površine)
Poljoprivredne zgrade (salaši, majuri) Putevi (tvrdi i meki)
Legenda:
SR C T C/T
Obrada Hidrološke tla prilike za upijanje SR SR slabo SR dobro C slabo C dobro C/T slabo C/T dobro SR slabo SR dobro C slabo C dobro C/T slabo C/T dobro SR slabo SR dobro C slabo C dobro C/T slabo C/T dobro slabo srednje dobro C slabo C srednje C dobro slabo srede dobro
Hidrološka grupa tla A 77 72 67 70 65 66 62 65 63 63 61 61 69 66 58 64 55 63 51 68 49 39 47 25 6 30 45 36 25 59
B 86 81 78 79 75 74 71 76 75 74 73 72 70 77 72 75 69 73 67 79 69 61 67 59 35 58 66 60 55 74
C 91 88 85 84 82 80 78 84 83 82 81 79 78 85 81 83 78 80 76 86 79 74 81 75 70 71 77 73 70 83
D 94 91 89 88 86 82 81 88 87 85 84 82 81 89 85 85 83 83 80 89 84 80 80 83 79 78 83 79 77 86
72 74
82 84
87 90
87 92
pravolinijska obrada (u smeru pada terena) po izohipsama u terasama po izohipsama i terasama
