EFECTO DE LA VISCOSIDAD DE UNA SUSPENSIÓN EN LA CLASIFICACIÓN DE HIDROCICLONES.
LILIANA TRINIDAD LÓPEZ CHALARCA. LISBETH SOFÍA MIRANDA GALVIS.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA, SEDE MEDELLÍN FACULTAD NACIONAL DE MINAS MEDELLIN. 2009.
EFECTO DE LA VISCOSIDAD DE UNA SUSPENSIÓN EN LA CLASIFICACIÓN DE HIDROCICLONES.
LILIANA TRINIDAD LÓPEZ CHALARCA. LISBETH SOFÍA MIRANDA GALVIS. Trabajo Dirigido de Grado presentado como requisito parcial para optar al Título de Ingeniera Química
DIRECTOR: OSCAR JAIME RESTRPO BAENA. Msc, DSc
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA, SEDE MEDELLIN. FACULTAD DE MINAS. MEDELLÍN. 2009. 2
TABLA DE CONTENIDO. TABLA DE FIGURAS......................................................................................................... 4 RESUMEN. ........................................................................................................................ 5 OBJETIVO GENERAL. ...................................................................................................... 6 OBJETIVOS ESPECÍFICOS. ............................................................................................. 6 1. INTRODUCCIÓN. ......................................................................................................... 7 2. CLASIFICACIÓN DE MINERALES EN HIDROCICLONES. ......................................... 8 3. CONCEPTO DE VISCOSIDAD. .................................................................................. 15 3.1. Tipo de fluidos de acuerdo a la aplicación de esfuerzos cortantes. .................. 16 3.1.1.
Fluidos independientes del tiempo....................................................... 16
3.1.2.
Fluidos dependientes del tiempo. ........................................................ 18
3.1.3.
Viscoelásticos. ..................................................................................... 20
3.2. Variación de la viscosidad con la temperatura. ................................................ 21 3.3. Variación de la viscosidad con la presión. ........................................................ 22 3.4. Función de disipación energía mecánica ..................................................... 22 3.5. Reología de suspensiones. .............................................................................. 23 3.5.1. Análisis termodinámico de los cambios de energía interna en la deformación de suspensiones. ........................................................................... 23 3.5.2.
Fuerzas que actúan sobre las partículas suspendidas en un líquido. .. 25
3.5.3.
Viscosidad de la suspensión................................................................ 26
3.5.4.
Electroviscosidad de la suspensión ..................................................... 39
4. EFECTO DE LA VISCOSIDAD EN LA CLASIFICACIÓN DE HIDROCICLONES. ....... 42 CONCLUSIONES. ........................................................................................................... 49 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS. ................................................................................ 50
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TABLA DE FIGURAS.
Figura 1. Esquema de corrientes en un hidrociclón……………………………………………8 Figura 2.Descripción de un hidrociclón………………………………………………………10 Figura 3. Corrientes de flujo al interior del hidrociclón………………………………………12 Figura 4. Geometría del hidrociclón……………………………………………………………13 Figura 5. Curvas de flujo para distintos tipos de comportamiento…………………………16 Figura 6. Ciclo de histéresis para un fluido tixotrópico………………………………………19 Figura 7. Viscosidad aparente de una suspensión cizalle adelgazante…………………27 Figura 8. Forma general de la curva de viscosidad para suspensiones…………………29 Figura 9. Variación de la curva de flujo a medida que se adiciona partículas a una suspensión mineral……………………………………………………………………………….31 Figura 10.
Diagrama de fuerzas para una partícula en el interior del hidrociclón.
Esquema de la velocidad vertical cero…………………………………………………………43
4
RESUMEN.
En el presente trabajo se estudia la relación existente entre la reología de suspensiones poliminerales y la clasificación en hidrociclones. Para ellos se presentan algunos conceptos fundamentales de reología y del comportamiento de las suspensiones;
y
gracias a una extensa revisión bibliográfica se estudian algunos modelos empíricos y semiempíricos existentes para la descripción de la operación de hidrociclones teniendo en cuenta el comportamiento reológico de la alimentación compuesta al menos por dos tipo de minerales, en este caso, arenas de cuarzo y arcillas. De acuerdo a lo antecedentes, se tiene previsto que el comportamiento de los clasificadores hidráulicos tipo hidrociclones deberían ser sensibles a este tipo de alimentación, pero lamentablemente poco trabajo se ha efectuado en este campo. Palabras claves: Reología, viscosidad, suspensiones minerales, clasificación, hidrociclones.
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OBJETIVO GENERAL.
Estudiar la influencia del comportamiento reológico de suspensiones poliminerales en la clasificación de hidrociclones.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS.
Estudiar los conceptos básicos de la reología
Estudiar el comportamiento reológico de las suspensiones
Analizar algunos de los modelos existentes que relacionan la viscosidad de las suspensiones con la clasificación en hidrociclones.
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1. INTRODUCCIÓN.
Gran parte de las sustancias que encontramos en la vida cotidiana son suspensiones o dispersiones, las más comunes son el cemento, la sangre, las salsas, lociones, pomadas, adhesivos, lubricantes y grasas.
En todos estos
casos habría que hablar de una fase discreta (aquella de menor fracción volumétrica), y de una fase continua, de mayor concentración, y en la que está suspendida la fase discreta.
Aunque en ocasiones se tienda a hablar de manera indistinta de dispersiones o de suspensiones, en muchos casos se busca particularizar el caso de dispersiones como aquellos sistemas en los que la fase discreta tiene un tamaño inferior a la micra, sistemas en los que los factores coloidales son significantes. En general, hay que destacar que el comportamiento reológico de este tipo de sistemas es extremadamente complejo, dado el gran número de factores que intervienen: Concentración de la fase dispersa o discreta. Naturaleza de la fase dispersa. Forma, tamaño de partícula y distribución de tamaños de la fase discreta. Efecto de la presencia de aditivos Efecto de la temperatura.
Por este motivo, cada sistema a estudiar podría considerarse como un mundo diferente; a pesar de ello, es posible describir una serie de reglas generales que para la mayoría de sistemas suelen explicar su comportamiento. Con frecuencia en la industria minera se emplean hidrociclones para clasificar suspensiones minerales. La reología de la suspensión es un factor determinante en dicha clasificación ya que afecta de forma directa la eficiencia del proceso de clasificación. Con este trabajo se pretende estudiar el efecto de la reología de las suspensiones en la clasificación en hidrociclones. 7
2. CLASIFICACIÓN DE MINERALES EN HIDROCICLONES.
La clasificación de minerales es un proceso en el cual una corriente mineral se separa en al menos dos corrientes, una enriquecida con partículas de tamaño relativamente mas finas que un tamaño de corte determinado y otra corriente enriquecida con partículas de tamaño mas gruesas que el mismo tamaño de corte (ver figura 1).
Corriente de alimento
Corriente enriquecida con finos Corriente empobrecida de finos
Figura 1. Esquema de corrientes en un hidrociclón.
Debido a que la operación en clasificadores hidráulicos tipo hidrociclón, ocurre en medio acuoso, la separación es muy sensible a la reología de las suspensiones minerales que alimentan al equipo (Kawatra et al., 1996, Gómez, 2005 y Chica, 2009, entre otros), sobre todo a la viscosidad de las dispersiones. Para entender el efecto que presenta la viscosidad en la clasificación de hidrociclones es esencial conocer el funcionamiento de estos equipos. La gran mayoría de los procesos de obtención de materias primas cerámicas requieren en sus etapas iniciales, la clasificación de minerales como método de concentración del material de interés que se va a procesar usando una propiedad intrínseca de los minerales tipo arcillas, la cual consiste en que este mineral se enriquece a medida que disminuye el tamaño de partícula. Para este efecto, el equipo más apropiado para realizar dicha clasificación es el hidrociclón. El hidrociclón ha demostrado ser muy eficiente para corrientes de tamaños finos de separación y también como pre-concentrador (separación por diferencia de densidad) (Bustamante, 1992), de acuerdo al ángulo de cono. Cada vez se usan más en 8
las operaciones de molienda en circuito cerrado, pero también tiene otros usos como el desarenador y espesamiento o decantación. Cuando se tienen procesos de separación de sólido-líquido se emplean hidrociclones pero en cambio si se tienen procesos de sólidogas se utiliza el ciclón (Serna, 2002). Un hidrociclón típico es en general una cámara, con una parte cilíndrica unida a otra cónica (ver figura 2). El aparato tiene una entrada en la sección cilíndrica, generalmente rectangular y en forma de voluta, lo que mejora la hidrodinámica en la corriente de entrada. Por otro lado, posee además dos salidas axiales, en los extremos de su eje central: una en la parte más baja de su sección cónica, llamada salida inferior o ápex (descarga) y otra en el extremo superior; llamada salida superior, rebose o rebalse. La parte superior de la sección cilíndrica está cubierta con una placa la cual es atravesada por un tubo denominado buscador de vórtice (“vortex finder”),
el cual penetra al
hidrociclón y por donde fluye la corriente denominada rebalse (“overflow”). Se asume que una operación de clasificación es ideal, si los productos de descarga y rebalse quedan separados de tal forma que la descarga contenga todo el material de tamaño mayor a un tamaño denominado de corte o de separación, el cual denotamos como d50, y el rebalse contiene todo el material menor a ese tamaño. Los equipos de clasificación como el hidrociclón, difícilmente alcanzan la separación ideal, pues existe la probabilidad de que partículas del mismo tamaño pero con propiedades físicas diferentes, tales como razón de aspecto y densidad, generen respuestas hidrodinámicas equivalentes en el equipo y salgan por la misma corriente. Esto implica que partículas de igual tamaño pueden reportarse en la descarga y en el rebalse, desarrollando ineficiencias en la clasificación.
Existen varios índices para medir la ineficiencia de la clasificación en hidrociclones, entre los que se encuentran, el corto circuito
CC (“by pass”), el índice de claridad de la
separación S.I. (“Sharpness Index”) y la fuga. En una separación ideal, el corto circuito y la fuga deberán ser cero, mientras que el S.I. debe ser unitario.
9
El corto circuito CC, en un hidrociclón clasificador se puede definir bajo las circunstancias en que los finos no llegan a la descarga por efecto de una clasificación, sino que simplemente pasaron por el interior del equipo y no “obedecieron” las leyes de la separación, (Chica 2009).
Figura 2.Descripción de un hidrociclón.
Las corrientes existentes en el interior del hidrociclón, se puede resumir diciendo que, en primer lugar se produce un remolino primario que desde la entrada hasta la salida de su sección cónica recorre el hidrociclón próximo a sus paredes interiores, siendo solamente el fluido cercano a la pared el que sale por el apex, arrastrando al mismo tiempo los sólidos con más masa. El resto del fluido, que suele ser la mayor parte, se desplaza en dirección contraria en un remolino secundario dentro del primario, que tiene una mayor fuerza centrífuga y en el cual son arrastradas las partículas con menos masa. Este remolino secundario sale por el tubo de la parte cilíndrica, siendo en general la mezcla más diluida que la de la entrada, al contrario de lo que sucede con la salida del apex, que es más concentrada que la de la entrada. La alimentación se introduce bajo presión a través de la entrada tangencial, lo cual imparte un movimiento de remolino a la pulpa. 10
Esto genera un remolino o vórtice dentro del ciclón, así como una zona de baja presión a lo largo del eje vertical. (Bustamante, 1992). A lo largo de este eje se desarrolla un núcleo de aire (“air core”), que generalmente se conecta a la atmósfera a través del vórtice de salida, creado en parte por el aire disuelto que sale de la solución en la zona de baja presión. La teoría clásica de la acción del hidrociclón es que las partículas dentro del modelo de flujo están sometidas a dos fuerzas opuestas: una fuerza centrífuga hacia afuera y una fuerza de arrastre que actúa hacia el interior. La fuerza centrífuga que se desarrolla acelera la velocidad de sedimentación de las partículas. Las partículas de sedimentación más rápida se mueven hacia la pared del ciclón donde la velocidad es más baja y emigran hasta el ápice de salida. Debido a la acción de la fuerza de arrastre, las partículas de asentamiento más lento se mueven hacia la zona de baja presión a lo largo del eje del ciclón y son transportadas hacia arriba a través del buscador de remolino hasta el derrame (Gómez, 2005). Como existe una región de flujo descendente y una región interior de flujo ascendente, se origina una envolvente de velocidad axial igual a cero. Esta envolvente se aplica a lo largo de la parte más grande del cuerpo del ciclón
(Figura 3) y las partículas arrojadas fuera
de la envolvente de velocidad axial igual a cero saldrán por la descarga, mientras que las partículas arrastradas hacia el centro por la fuerza de arrastre saldrán en el rebalse. Las partículas que caen sobre la envolvente de la velocidad axial igual a cero tienen igual oportunidad salir por la descarga o por el reblase, y se cree que son las particulas que poseen el d50, o tamaño de corte (Kellsal, 1959).
11
Figura 3. Corrientes de flujo al interior del hidrociclón.
Las ventajas que tiene clasificar mediante hidrociclones es obtener una Clasificación fina, exacta y aguda, ocupa poco espacio, consume relativamente poca energía, requiere menos mantenimiento, puede operar grandes tonelajes, carencia de partes rotativas en el aparato, lo cual implica una amplia gama de materiales para su construcción, no tiene problemas de desequilibrio dinámico, ni de resistencia. Debido a las altas fuerzas centrífugas que se generan, superan las fuerzas cortantes y la viscosidad de suspensiones minerales, acelerando enormemente el proceso de separación, son frecuentemente usados como protección o pre-tratamiento para mejorar el funcionamiento de otros equipos del sistema, como bombas, válvulas, filtros y mallas. (Gómez, 2005) y presenta como desventajas el Limitado intervalo de operación. Sensibles a los cambios de presión y caudal, sensible a los cambios en la dilución y en la distribución granulométrica de los sólidos (reología de la suspensión mineral), no existe un estándar en el estudio de los hidrociclones, varios investigadores han desarrollado diferentes teorías, lo cual conduce a dispersión de datos a la hora de realizar una evaluación definitiva. Pulpas minerales con alto contenido de cuarzo fino y feldespatos, generan mucha abrasión, sobre todo a la altura del apex, más que en tamices o decantadores centrífugos, lo que afecta el tiempo de vida de los hidrociclones. 12
La geometría del hidrociclón se describe en la siguiente figura:
Figura 4. Geometría del hidrociclón.
Donde: Dc: Diámetro del hidrociclón. Di: Diámetro a la entrada done ingresa la pulpa o suspensión. Do: Diámetro del Rebalse o sobre flujo. Du: Diámetro del Apex, o diámetro de la descarga, o del bajo flujo.. Lc: Altura de la sección cilíndrica. Lk: Altura de la sección cónica. Lv: Altura del Vortex Finder. θ: Angulo de la sección cónica. Se sabe que los resultados de la clasificación de los hidrociclones están determinados por varios factores, siendo los más importantes los siguientes (Chica 2009):
Diámetro interno de la sección cilíndrica: mayor capacidad y mayor punto de separación cuanto mayor es este diámetro.
13
Presión de entrada: aumento de la capacidad y ligera disminución del punto de separación al aumentar la presión de entrada.
Diámetro de su vortex finder o tubo interior del rebose: es menor el punto de separación D50, y la capacidad del hidrociclón al disminuir este diámetro.
Contenido de sólidos en la alimentación: el punto de separación D50 será mayor al aumentar la concentración y en muchos casos al mismo tiempo será menos precisa la separación, pudiendo decirse que un hidrociclón que trabaje con el 27% en volumen de sólidos tiene aproximadamente un punto de separación doble que si actúa con el 10% de contenido de esos mismos sólidos.
Diferencia entre las densidades de parte sólida y líquida: esta diferencia entre arena silícea y agua es de 1.64, pero si es mayor, el punto de separación se desplaza a más fino, ocurriendo lo contrario si es más pequeña. Por ejemplo, para sólidos que tengan 7.5 de peso específico, el D50 puede ser la mitad que el de la sílice. Para sólidos con una densidad de 1.4 tendrán un D50 del doble que el de la sílice. Esta propiedad puede ser utilizada para separar sólidos con semejante granulometría, pero con diferente densidad.
Viscosidad: el punto de separación se desplaza de forma importante hacia más grueso al aumentar la viscosidad, sobre todo a partir de viscosidades de fluido superiores a 10 veces la del agua. Esta característica suele estar unida a la concentración de sólidos y sobre todo a la finura de éstos.
Longitudes de la parte cónica y cilíndrica del hidrociclón, forma y diámetro de la entrada, material del que está fabricado el hidrociclón, etc., son otros factores que tienen incidencia en los resultados.
14
3. CONCEPTO DE VISCOSIDAD.
Luego de entender el funcionamiento y la descripción de los equipos de clasificación hidrociclones se debe comprender el concepto de viscosidad. Así inicialmente La Ley formulada por Newton dice que, cuando las capas de un líquido se deslizan entre sí, la resistencia al movimiento depende del gradiente de la velocidad y del área superficial. De este modo, se establece la proporcionalidad existente entre el esfuerzo por unidad de área (F/A) necesario para producir un gradiente de velocidad en un fluido, siendo la constante de proporcionalidad un factor que describe "la capacidad de deslizamiento de un fluido” conocida como viscosidad. Matemáticamente esto es:
F dv A dx
(1)
Donde:
: Esfuerzo por unidad de área o esfuerzo de cizalla, en
.
: Gradiente de velocidad, velocidad de deformación o velocidad de cizalla, en
.
: Viscosidad del fluido, en Poise (p).
Los fluidos que tienen un único valor de viscosidad a temperatura y presión constante para cualquier velocidad de cizalla (independiente del tiempo), se denominan fluidos Newtonianos. Los fluidos se pueden desviar del comportamiento Newtoniano modificando en cierto grado de complejidad la Ley de Newton, su viscosidad se suele representar por η y en ocasiones se conoce como una viscosidad aparente. La ciencia que estudia el comportamiento de los fluidos No Newtonianos es la Reología, el término fue acuñado por Bingham. Etimológicamente reología significa ciencia de los flujos, del griego y
, flujo;
, sabiduría o conocimiento. Así, la reología estudia la deformación y flujo de estos
fluidos sometidos a esfuerzos externos. 15
3.1.
Tipo de fluidos de acuerdo a la aplicación de esfuerzos cortantes.
Existen tres tipos de fluidos no newtonianos según su reacción a esfuerzos cortantes aplicados; independientes del tiempo, dependientes del tiempo y viscoelásticos. 3.1.1. Fluidos independientes del tiempo. En este tipo de fluido, la tasa de deformación es una función monovaluada no lineal del esfuerzo cortante aplicado y no poseen memoria. Al graficar el esfuerzo de cizalla contra la velocidad de fluidos no Newtonianos se obtienen curvas denominadas curvas de flujo que son muy utilizadas para describir el comportamiento reológico de los fluidos.
Figura 5. Curvas de flujo para distintos tipos de comportamiento.
La pendiente en cada punto de las curvas de flujo mide una viscosidad local; lo que equivale a un coeficiente de viscosidad. Los comportamientos que se presentan en la figura anterior son los siguientes:
Comportamiento Dilatante: se presenta cuando al aumentar la velocidad de cizalla se aumenta la viscosidad del fluido.
Comportamiento Plástico: se presenta cuando al someter el material a esfuerzos inferiores a cierto valor umbral, éste almacena energía. Si por el contrario se 16
supera el umbral, el material se deforma continuamente como un fluido, siendo el esfuerzo una función, lineal o no, de la velocidad de deformación.
Comportamiento Pseudoplástico: Se presenta en materiales en los que al aumentar la velocidad de deformación se reduce su viscosidad. Éste es el comportamiento más común a nivel industrial y se puede encontrar marcado en mayor o menor medida dependiendo de la distribución de pesos moleculares y de la estructura del material.
3.1.1.1.
Modelos de flujo
Estos modelos sirven para correlacionar el comportamiento de varios fluidos en un rango de cizalla amplio; aunque en ocasiones no es suficiente un solo modelo para describir el comportamiento de un determinado fluido. Tabla 1. Fluidos No-Newtonianos Independientes del Tiempo.(Naranjo, 1999)
Nombre
Ecuación Constitutiva
Parámetros
k n Ostwald De Waele
n < 1 seudoplástio
k, n
n > 1 dilatante
0 p
0 , p
Casson
0 c
0 , c
Prandtl-Eyring
0 senh 1 ( pE 0 )
0 , pE
Herschell-Bulkley
0 k n
0 , k, n
Sisko
0 k n
0 , k, n
Powell-Eyring
1 0 senh 1 (0 0 )
0 ,1 , 0
Spriggs
0 , 0 ; 0 ( 0 ) n1
0 , 0 , n
Reiner-Phillipoff
0 1 .2 s2
0 , , s
Bingham
17
Williams Ellis
0 1 12 2
1.2 1 c 1.2 1 c 1 c 0 1 1 2 1
0 , , 1 0 , 1 2 ,
0.2 3
Crowley-Kitzes
1
L
0.2 3
L , c1 ,
1
Skelland
Metzner Cross
m 1
0
0
0
1 0 1 m 1 0 1 1 m
0 1 1 p
p
0 , 0 , c, m
0 , , m , 0 , , 1 , p
Cuanto menos parámetros presente un fluido más sencilla será su reología y más aplicable como modelo de ajuste reométrico. 3.1.2. Fluidos dependientes del tiempo. En este tipo de fluido, la tasa de deformación no es una función monovaluada del esfuerzo y varía según el historial de los estados previos. Poseen memoria actual, de corto plazo, que se traduce en una medida de la viscosidad aparente. Si la viscosidad disminuye con el paso del tiempo a determinada velocidad de cizalla se trata de un fluido tixotrópico, si por el contrario aumenta, el fluido se denomina reopéctico, éste último se asocia con la ruptura o formación de agregados coloidales e interacciones que forman una estructura reticular en la muestra. El comportamiento de los fluidos con esta variación de la viscosidad depende en gran medida de la historia y se podrían obtener distintas curvas para una misma muestra, dependiendo del procedimiento experimental.
Un fluido se llama tixotrópico cuando, bajo la acción de una tasa de corte constante (velocidad de cizalla), alguna de sus propiedades decrece isotérmicamente, con marcada dependencia del tiempo que dure la acción cortante, y con capacidad de recuperar su valor inicial una vez cesa dicha acción. La propiedad de más interés sujeta a esos 18
cambios es la viscosidad. Para explicar la tixotropía se asume que el material consiste en una red de moléculas grandes, ligadas por fuerzas elásticas y capaces de resistir pequeños esfuerzos cortantes, pero que ceden si estos aumentan lo suficiente, y degradan en subunidades ó moléculas más pequeñas, que fluyen con facilidad como sustancias
newtonianas.
Si
el
esfuerzo
cesa
el
material
regenera
el
tejido
macromolecuclar y recupera sus resistencias elásticas y sus reologías no-newtonianas. Pero el proceso de reconstrucción no procede por la misma ruta espacio-temporal que el de degradación, y tampoco es obvio esperar que el estado recuperado, al cabo
de
cualquier tiempo sea idéntico al inicial. Hay lazos de histéresis en el proceso repetido de la desagregación-regeneración del material por acciones de corte. (Naranjo, 1999)
En la figura 6, se representa el efecto de la tixotropía y la histéresis asociada a estos comportamientos; se obtiene un valor de viscosidad con el aumento paulatino de la cizalla y se obtiene otro valor diferente con la disminución de la aplicación de la cizalla.
Figura 6. Ciclo de histéresis para un fluido tixotrópico.
19
3.1.3. Viscoelásticos. Fluidos viscoelásticos, son aquellos cuya deformación y tasa de deformación son función del esfuerzo aplicado. Parcialmente elásticos, pueden almacenar energía y pueden cederla según las solicitaciones, creando así esfuerzos y deformaciones remanentes.
La visco elasticidad es la combinación de la viscosidad de un liquido para velocidades de deformación bajas (Ley de newton) y elasticidad de un sólido (Ley de Hooke). Así para un sólido si se aplica un esfuerzo este se deforma hasta que la fuerza cesa y la deformación vuelve a su valor inicial. Si el esfuerzo se le aplica a un fluido viscoso este se deforma, pero no recupera nada de lo que se deforma. Un comportamiento intermedio es el viscoelástico, en el que el cuerpo sobre el que se aplica el esfuerzo recupera parte de la deformación.
Para evaluar la elasticidad de un material se emplea el Número de Débora
De
t
(2)
Donde t es un tiempo característico del proceso de deformación al que se somete el material y T es característica del material. Para De<1 comportamiento viscoso; De >1 comportamiento elástico y para De ≈1 el comportamiento es viscoelástico. 3.1.3.1.
Viscoelasticidad lineal.
Para materiales con comportamiento viscoelástico acurre un fenómeno en el cual a deformaciones muy bajas casi de equilibrio la relación entre el esfuerzo y la deformación es lineal. Al aumentar la deformación se pierde la linealidad de la relación.
La relación entre el esfuerzo de deformación, la deformación y su dependencia con el tiempo vienen dadas por la ecuación constitutiva o ecuación reológica de estado. Para un sistema sometido a una cizalla simple, asumiendo que se cumple el principio de aditividad de cambios secuenciales de deformación (principio de Maxwell-Boltzmann), se tiene que:
20
t
(t ) G(t t ' )
t
d (t ' ) dt ' (3) dt '
(t ) J (t t ' )
d (t ' ) dt ' (4) dt '
Donde t es el tiempo actual, y t' es un instante anterior cualquiera del proceso; se definen G(t) como el módulo de relajación y J(t) como complianza.
La ecuación constitutiva puede ser utilizada para representar la respuesta de los materiales que siguen un comportamiento viscoelástico lineal en distintos tipos de experimentos
con
cizalla
simple.
Entre
los
experimentos
relacionados
con
viscoelasticidad lineal y que buscan caracterizar las sustancias los más conocidos son: • Relajación de esfuerzos. • Ensayo de fluencia. • Recuperación elástica. • Experimentos dinámicos u oscilatorios.
Un fluido puede pasar de pertenecer de una clase a otra, según sean los esfuerzos a los que se le somete, si intensos o débiles, si de corta o larga duración, de manera continua o intermitente.
De acuerdo a lo anterior, la viscosidad de un fluido puede ser afectado por la velocidad de cizalla y el tiempo de aplicación de la cizalla, existen otros factores que afectan la viscosidad tales como, la temperatura y presión, aunque de todos ellos, la velocidad de cizalla es el factor más interesante desde el punto de vista reológico.
3.2.
Variación de la viscosidad con la temperatura.
Por lo general los materiales disminuyen el valor de su viscosidad en forma exponencial al aumentar la temperatura; y cuanto más viscoso sea el fluido, más se ve afectado por 21
variaciones en ésta. Por lo general la ecuación de Arrhenius describe bien la relación entre la viscosidad y la temperatura así:
(5)
Donde:
T: Temperatura absoluta y
A y B: Constantes del fluido estudiado.
Si se conoce la viscosidad del fluido a otra temperatura, la ecuación de Arrhenius también se puede encontrar así:
(6)
3.3.
Variación de la viscosidad con la presión.
Por lo general la viscosidad de los líquidos aumenta exponencialmente con la presión. Para presiones cercanas a la atmosférica estos cambios no son significativos. 3.4.
Función de disipación energía mecánica .
Al graficar el esfuerzo de cizalla vs la tasa de cizalladura, El área debajo de la curva representa la función de disipación de energía mecánica por unidad de volumen (potencia mecánica por unidad de volumen necesaria para genera una deformación permanente). es un escalar y a la vez es una propiedad intensiva del fluido
Potencia mecánica d por unidad de volumen 0
(7) 22
3.5.
Reología de suspensiones.
Una suspensión es una mezcla entre una fase continua que se encuentra en mayor fracción volumétrica y una fase discreta. La fase discreta puede ser aire, gotas de aceite o partículas duras, por lo cual la suspensión recibe el nombre de espuma, emulsión y pulpa, respectivamente. Si se observa el comportamiento reológico de un fluido al cual se le han agregado partículas, se puede verificar fácilmente que la presencia de éstas modifica substancialmente la disipación de energía mecánica a medida que se deforman permanentemente los fluidos a una tasa de cizalladura determinada. Las modificaciones del comportamiento reológico de las suspensiones llegan a ser tan abruptas que si el fluido que forma parte de la suspensión es Newtoniano, la presencia de las partículas puede generar comportamientos no-Newtonianos de la mezcla. Cabe resaltar que la deformación de una suspensión se origina principalmente por la deformación del fluido, el que a su vez le transmite los esfuerzos de contacto a las partículas sólidas, las cuales se ven obligadas a desplazarse implicando colisiones y reorientación de las partículas con el fin de atenuar la disipación de energía. De esta manera, la suspensión se comporta mecánicamente como un fluido al cual se le ha modificado substancialmente las propiedades mecánicas. (Barnes H.A., Hutton
J.F.,
1989) En pocas palabras, una suspensión es un material que de acuerdo a las características de la deformación puede presentar comportamiento tipo fluido, pero es posible que bajo otras circunstancias presente comportamiento tipo sólido, esto depende fuertemente de las condiciones de deformación.
3.5.1. Análisis termodinámico de los cambios de energía interna en la deformación de suspensiones.
Se puede partir de la suposición que la variación de la energía interna en una suspensión generada por un fenómeno de deformación por esfuerzos de contacto puede producir 23
efectos como la variación de los niveles de energía interna en la suspensión y la variación de la distribución de la energía interna. Se sabe que para una suspensión una deformación isotermal afecta sus niveles de energía interna y sin embargo no produce cambios en la distribución. La teoría que sustenta esta afirmación es la llamada “Formación de paquetes de partículas” tienen una distribución de tamaños controlada por la granulometría de la fase dispersa en el fluido Newtoniano. Consideremos el caso de una suspensión de un fluido Newtoniano y un sistema articulado a temperatura constante suponiendo que el sistema está compuesto por una distribución de n paquetes de partículas no necesariamente idénticos (n1,n2,n3….nj) cada uno con energías internas U1,U2,…...Uj) respectivamente; entonces el número total de paquetes de partículas N en la suspensión será: j
N ni (8) i 1
Y la energía interna total del sistema será: U n j U j (9) j
Entonces
la probabilidad de encontrar un paquete de partículas en el estado Uj dentro
del volumen de medición es:
P
j
n N
j
(10)
Ahora bien; si se supone que la distribución de probabilidad de encontrar un paquete de partículas es similar a la distribución granulométrica se puede llegar a la siguiente ecuación:
dU U j d ( f ( x p)) f ( x p) dU j (11) j
j
Donde en el primer término se observa los cambios de energía interna ocasionados por variaciones de la distribución de tamaños de paquetes de energía; esto implica que 24
cambia la distribución de la energía interna en el volumen de la suspensión. El segundo término representa los cabios que se producen por los cambios en los niveles de energía interna conservando la distribución de tamaños de los paquetes de partículas. (Bustamante 1999) Al deformar una suspensión aplicando una tasa de cizalladura constante sin pérdidas de calor por el recipiente, los cambios globales de la energía interna se debe en los cambios en la distribución de energía interna. Si la suspensión es deformada y el calor generado se retira de modo tal que se trabaja isotérmicamente; los cambios en la energía interna se producen en mayor medida por cambios en los niveles de energía y no por la distribución de ella en el seno de la suspensión. La tasa de cambio de los niveles de energía interna que se produce a medida que la suspensión se deforma a diferentes tasas de cizalladura viene dada por:
dU dW 1 F ( x p ) dt dt
(12)
3.5.2. Fuerzas que actúan sobre las partículas suspendidas en un líquido.
En una suspensión coexisten tres clases de fuerzas en diversos grados. Las primeras son de origen coloidal que surgen a partir de las interacciones entre las partículas, como resultado de atracciones o repulsiones entre ellas mismas. Estas fuerzas coloidales se ven controladas por propiedades del fluido como puede ser la polaridad; pero no por la viscosidad. Dichas fuerzas pueden surgir por ejemplo, debido a la presencia de atracciones tipo London- van der Waals entre partículas, por atracciones electrostáticas entre cargas en diferentes partes de las partículas; entre otras razones. Si el resultado neto de ésta fuerza es de atracción, las partículas tienden a flocularse; por el contrario, si el resultado es de repulsión intentan separarse dando origen a una defloculación o dispersión.
25
En segundo lugar tenemos la presencia de fuerzas de origen Brownianas; éstas dependen en gran medida del tamaño de las partículas, para tamaños inferiores a 1 μm tienen gran influencia. Esta fuerza hace que las partículas de las suspensiones se encuentren en constante movimiento. Por último se encuentran las fuerzas de tipo viscoso que son proporcionales a la diferencia entre la velocidad de la partícula y el fluido circundante. Por lo tanto es la viscosidad de la fase continua la determinante en esta situación. Obviamente el comportamiento macroscópico de la reología depende en gran medida del comportamiento microscópico. Es por esto que la presencia de partículas aisladas originan desviación en líneas de flujo y por lo tanto un incremento en la viscosidad. A medida que se aumenta la concentración en una suspensión se origina una mayor resistencia; ya que las partículas se ven forzadas a moverse unas sobre otras. Cuando las partículas se encuentran floculadas se crea una mayor resistencia por los flocs; debido a que parte de la fase continua se adhiere a éstos quedando inmovilizada y por lo tanto se crea un efecto en el cual aparentemente se aumenta la denominada fase volumen y esto da origen a una viscosidad superior a la esperada. Como se mencionó anteriormente una suspensión es definida como una mezcla entre una fase continua y una dispersa; por lo tanto al estudiar la reología de éste tipo de sustancias se encuentra un cierto grado de complejidad; ya que su comportamiento depende en gran medida de la naturaleza de cada una de las fases, la concentración de la fase dispersa, la forma y distribución de tamaños de partícula, entre otros factores.
Por esto las
generalidades en este caso son escasas y se hace necesario estudiar cada sistema por separado, sin embargo se mencionará el efecto esperado para cada uno de estos factores a continuación. 3.5.3. Viscosidad de la suspensión. Una vez entendido el concepto de viscosidad y de lo que es una suspensión se hace énfasis en la reología de suspensiones, o para describirlo de otra forma la viscosidad de las suspensiones.
26
Viscosidad aparente de la suspensión.
La viscosidad de una suspensión es conocida como viscosidad aparente a y queda definida como la razón entre el esfuerzo de cizalladura aplicado y la tasa de cizalladura
generada por la deformación permanente en la suspensión así:
a
Esfuerzo de Cizalladura (13) Tasa de Cizalladura
Esto implica que para cada par , hay un valor de a , así este se lee como la viscosidad aparente que depende de la tasa de cizalladura. Cuando se grafica a vs se obtienen graficas similares a la siguiente: 1 ón gi Re ci l za
Viscosidad New toniana a baja tasa de cizalladura 0
le el ad e nt za ga
Viscosidad aparente [Pa-s]
0.8
0.1
0.047
Viscosidasd New toniana a alta tasa de cizalladura
0.01 0.1
1
10
100
1000
-1
Tasa de cizalladura [s ]
Figura 7. Viscosidad aparente de una suspensión cizalle adelgazante. Para suspensiones cizalle adelgazante (pseudoplástico) se ha encontrado que para tasas de cizalladura muy bajas cercanas a cero y para tasas de cizalladura muy altas en la suspensión permanece constante la viscosidad aparente, estas viscosidades suelen ser definidas con los nombres de viscosidad Newtoniana a baja tasa de cizalladura (o) y viscosidad Newtoniana a alta tasa de cizalladura (), respectivamente. (Bustamante) 27
Si se tiene que
la viscosidad aparente a de una suspensión es monótonamente
decreciente con aumento de la tasa de cizalladura, es decir la tasa de cizalladura se incrementa más rápidamente que el esfuerzo de cizalladura en el proceso de deformación permanente.
A este tipo de fluido se le denomina pseudoplástico ó
fluido cizalle-
adelgazante (“shear thinning”). De manera inversa, si la viscosidad aparente a es monótonamente creciente a medida que aumenta la tasa de cizalladura, se presenta un comportamiento dilatante o cizalleespesante (“shear-thickening”). Se ha encontrado que las suspensiones minerales presentan un comportamiento reológico cizalle-adelgazante tanto para dispersiones en las cuales los tamaños de partícula de los sólidos que forman parte de la pulpa son relativamente gruesos como en dispersiones coloidales y a diferentes fracciones volumétricas de sólidos en las pulpas.
Viscosidad relativa de una suspensión
Como una suspensión está compuesta por una fase líquida o continua y una fase discreta o de partículas, la viscosidad de las suspensiones suele expresarse mediante el uso de un número adimensional (Barrientos y Concha, 1994) llamado viscosidad relativa r, el cual se define como:
r
s f
(14)
Donde s es la viscosidad aparente de la suspensión a una determinada tasa de cizalladura y f
es la viscosidad del fluido que forma parte de la dispersión.
(Bustamante)
3.5.3.1.
Forma general de la curva de viscosidad para suspensiones.
En la figura 8 se presenta el comportamiento general de la curva de viscosidad para suspensiones. A bajas tasas de cizalla se observa una primera meseta Newtoniana, 28
seguida por una región cizalla-adelgazante que termina en una segunda meseta Newtoniana. En algún punto, por lo general sobre la zona Newtoniana, puede presentarse un incremento de la viscosidad si se cumple con las condiciones necesarias. (Barnes H.A., Hutton J.F., 1989)
Figura 8. Forma general de la curva de viscosidad para suspensiones.
La cantidad de material suspendido en el fluido es muy importante a la hora de analizar la curva de flujo. La fracción del espacio de la suspensión que ocupa el material suspendido se denomina la fase volumen (la fracción de volumen por volumen de suspensión). Se emplea ésta fracción en vez de una fracción peso a peso ya que la reología depende en gran medida de las fuerzas hidrodinámicas que actúan en la superficie de las partículas o en la de los agregados de partículas; por lo general de manera independiente de la densidad de dichas partículas.
3.5.3.2.
Viscosidad de la fase continua de una suspensión.
Si a la fase continua se le agregan aditivos o se manipula su temperatura afectando el valor de viscosidad, la suspensión de la cual hace parte también le varía su viscosidad. Es importante destacar que si a la fase continua se le adicionan sustancias miscibles es difícil predecir cómo esto afectará la viscosidad de la suspensión.
29
3.5.3.3.
Viscosidad de la fase dispersa.
Suspensiones diluidas:
Se considera que una suspensión es diluida cuando la fracción volumétrica (concentración volumen por volumen) es inferior al 10%. En una suspensión conformada por un fluido Newtoniano y partículas esféricas rígidas la variación en la viscosidad que genera la presencia de la fase dispersa en la fase continua la describe la ecuación de Einstein. Ésta ecuación supone que las partículas se encuentran tan separadas unas de otras que no sienten la presencia de las demás.
s (1 ) (15) f
Donde φ es la fracción volumétrica de sólidos, f la viscosidad de la fase continua, s la viscosidad de la mezcla resultante y [λ] es la viscosidad intrínseca (para esferas rígidas es 2.5). La ecuación de Einstein se basa en el hecho que la fase dispersa está muy diluida, es decir, unas partículas están tan alejadas de las otras que no interaccionan entre sí.
Si se trabaja con partículas cuya forma es diferente a esferas rígidas se modifican las líneas de flujo produciendo un aumento de la disipación de energía y con esto se logra aumentar la viscosidad; éste aumento viene dado por la viscosidad intrínseca [λ]. Además cuando se tienen partículas no esféricas la suspensión manifiesta un carácter No-Newtoniano. Si estas partículas no son rígidas se deforman con el flujo y además del comportamiento No-Newtoniano pueden presentar viscoelasticidad.
Suspensiones concentradas:
La influencia de la concentración de las partículas sólidas dentro de las suspensiones concentradas, se determina mejor a partir de la máxima fracción de empaquetamiento. Se define la máxima fracción de empaquetamiento como aquella fracción volumétrica de sólidos en la que las partículas poseen un contacto tridimensional entre sí, por lo que el 30
flujo de la suspensión se hace prácticamente imposible; generando un incremento exagerado de la viscosidad. El valor de la máxima fracción de empaquetamiento para cada suspensión depende del arreglo de las partículas dentro de ella.
La ecuación propuesta por Einstein no tiene aplicación para suspensiones concentradas; por ello se han desarrollado muchas correlaciones para la viscosidad y la fracción volumétrica de sólidos, con las que se ha evidenciado un aumento en la viscosidad de la suspensión al aumentar la fracción volumétrica de sólidos. Se ha encontrado que para suspensiones con alta fracción volumétrica de sólidos y tasa de cizalldura tendiendo a cero se desarrolla una viscosidad newtoniana 0 muy grande.
350
Esfuerzo de Cizalladura [Pa]
= 0.40
300 250
= 0.35
200 150 = 0.30
100 = 0.20
50 = 0.10 = 0.01
0 0
200
400
600
800
1000
-1
Tasa de cizalladura [s ]
Figura 9. Variación de la curva de flujo a medida que se adiciona partículas a una suspensión mineral.
Cuando en la suspensión se encuentran presentes partículas de tamaño pequeño, éstas normalmente se ven
sujetas a grandes fuerzas de atracción debido a
una elevada
superficie y una pequeña distancia entre partículas. Estas fuerzas favorecen la agregación y la formación de estructuras que producen un aumento paulatino de la pseudoplasticidad de la suspensión hasta el punto de producir la aparición de un “yield stress” (limite
31
elástico). El “yield stress” puede deberse a que las partículas suspendidas forman una red con fuertes interacciones, que debe ser destruida para que el flujo pueda tener lugar.
El hecho que las partículas más pequeñas sean capaces de interaccionar más fácilmente se traduce en que haga falta una mayor velocidad de cizalla para que se desmorone la estructura y aparezca la zona pseudoplástica. Sin embargo, de igual modo que se puede producir una destrucción de estructuras presentes en la sus pensión, el flujo provocado a elevadas cizalladuras es capaz de inducir la formación de cúmulos de partículas que son las responsables de la aparición de una cierta dilatancia en suspensiones con altas concentraciones de sólidos.
La viscosidad de una suspensión concentrada constituida por una carga con una distribución de partículas ancha pueda ser menor que aquella constituida por otra de una distribución monomodal.
3.5.3.4.
Efecto de la distribución de tamaños en la viscosidad de la suspensión.
Por lo general cuando se tiene una distribución de tamaños en un rango pequeño, la viscosidad a bajas tasas de cizalladura aumenta al disminuir el tamaño de la fase discreta. Lo que ocurre es que cada partícula se rodea por la fase continua, pero el fluido más cercano a la superficie de la partícula se adhiere a ésta y no fluye, sólo es el resto de la fase continua la que queda disponible para el flujo.
Cuando se tiene una distribución de tamaños de partículas más amplia se tiene un efecto más complejo. Cuando a una determinada distribución se le añade una segunda familia de menor tamaño de fase discreta, ello puede conllevar una disminución de la viscosidad, al contrario de lo que se espera. Ello se explica desde el punto de vista que la fase discreta de menor tamaño ocupa los huecos entre las de mayor tamaño, y libera de algún modo fluido
retenido en dichos huecos, provocando un aumento efectivo de la
concentración de fase continua “libre para el flujo”. Sin embargo, una vez ocupados los huecos libres, un aumento en la concentración de finos de la fase dispersa, provoca, un aumento de la viscosidad del sistema. (Barnes H.A., Hutton J.F., 1989). 32
3.5.3.5.
Efecto de la temperatura en la viscosidad de la suspensión.
Una variación en la temperatura del sistema puede provocar cambios tanto en la fase dispersa como en la continua y más aún, en las interacciones que se producen entre las dos. Por lo tanto cada suspensión debe ser estudiada individualmente ya que gradientes de temperatura pueden producir efectos muy particulares y difícilmente explicables. 3.5.3.6.
Efecto de la presencia de aditivos en la viscosidad de la suspensión.
Varios aditivos con la capacidad de modificar la concentración real de la fase dispersa del sistema, afectan notablemente la reología dicho sistema. Cualquier sustancia, que pueda modificar la carga superficial de la fase dispersa, y por tanto su capacidad para atraerse o repelerse, modifica drásticamente el comportamiento reológico de los sistemas constituidos por varias fases.
3.5.3.7.
Modelos de viscosidad considerando las suspensiones como fluidos Newtonianos generalizados.
Una aproximación de la viscosidad para una suspensión es considerando esta como un fluido newtoniano generalizado incompresible. Como se había descrito anteriormente la viscosidad de una suspensión es una función de la fracción volumétrica de sólidos ( tasa de cizalladura ( , el tamaño del sistema particulado ( (
, la
y la forma de las partículas
.
Existen diferentes modelos para determinar la viscosidad de las suspensiones en función de los términos anteriores. (Bustamante, 1999)
2.5.3.7.1. Modelos que dependen de la fracción volumétrica de sólidos (
en
suspensiones diluidas. Cuando se agregan partículas rígidas a un fluido en este se alteran las líneas de flujo, esta perturbación hidrodinámica fue calculada por Einstein para el caso singular de partículas esféricas y de tamaño pequeño en una suspensión diluida, así cuando se tiene 33
una suspensión con una fracción volumétrica de sólidos muy baja es decir esta tiende a cero, Einstein predice la viscosidad eficientemente, se supone que la distancia entre las partículas es lo suficiente para evitar las colisiones entre ellas, no se presenta efecto de empaquetamiento
(16)
Esta no considera efectos generados por el tamaño de partícula, ni las interacciones hidrodinámicas, luego se propone el siguiente modelo por Tomas
(17) Luego este modelo es modificado parcialmente por Jinescu
(18)
Si las partículas son muy pequeñas (< 1 micrón), las fuerzas coloidales entre las partículas comienzan a controlar fuertemente el campo de flujo, y aunque se tenga baja concentración y pequeños cambios de la fracción volumétrica de sólidos se generan cambios muy grandes de la viscosidad de la mezcla, así
finalmente se propone la
siguiente ecuación por Batchelor, eliminando el término al cubo ya que si
era mayor
que 0.2 se apreciaba un error considerable.
(19)
Los modelos presentados anteriormente son aplicables para
suspensiones con las
siguientes características: la fase continua es un fluido Newtoniano, la fase dispersa está conformada por esferas de un único tamaño y la densidad del fluido y las partículas son iguales.
34
2.5.3.7.2. Modelos que dependen de la fracción volumétrica de sólidos en suspensiones concentradas. Se debe tener en cuenta la influencia de las partículas vecinas. Así Ball & Richmond hace un aporte donde supone que los efectos de todas las partículas en una suspensión concentrada es la suma de los efectos de las partículas agregadas secuencialmente, así que diferenciando la ecuación:
(20)
Se tiene la siguiente ecuación:
(21)
Ahora haciendo el remplazo de
cuando
es cero se tiene la siguiente ecuación:
(22)
Como esta ecuación sigue siendo para suspensiones diluidas se hace una modificación a la ecuación anterior quedando de la siguiente forma:
(23)
Así
tendría en cuenta el efecto del empaquetamiento y así
2.5.3.7.3. Modelos que involucran además de la fracción volumétrica de sólidos, el tamaño de las partículas que forman la suspensión. Evenson realizó una aproximación y concluyó que a medida que la amplitud del intervalo de tamaños de las partículas esféricas se aumenta, se produce una reducción de la viscosidad de la suspensión. Luego Tangsathitkulchai & Austin comprueban que la 35
viscosidad de una suspensión está fuertemente afectada cuando se varía la distribución de tamaños del sistema particulado que forma parte de la mezcla. Así ellos encontraron que la viscosidad de las suspensiones varía fuertemente a medida que las partículas cambiaron su parámetro de tamaño KRR. Pero las variaciones con el parámetro m no son significativas. Esto permite concluir que el empaquetamiento de las partículas no es en si un parámetro tan importante en el comportamiento reológico de suspensiones, el cual ha sido la suposición clásica para las anteriores teorías reológicas.
Donde: m: es el módulo de distribución, el cual indica la polidispersidad de tamaños en un sistema particulado. KRR: es el módulo de tamaño en micrones Estos factores se encuentran en la ecuación de Rosin-Rammler que se efectúa para hallar una distribución de tamaño en un sistema:
(24) F(X): es la fracción acumulada más fina que el tamaño x.
Así de esta forma se establece la siguiente ecuación:
*
(25)
2.5.3.7.4. Modelos de viscosidad dependientes de la tasa de cizalladura
Modelo de viscosidad de Cross
Con el fin de encontrar la viscosidad de la suspensión Cross propone la siguiente expresión:
36
(26)
Donde µ∞ y µ0 son las viscosidades Newtonianas a alta y baja tasa de cizalladura respectivamente, y Kc es una constante con unidades de tiempo y h es una constante adimensional.
Modelo de viscosidad de Ellis
Es una alternativa al modelo de Cross, se expresa la anterior ecuación en función del esfuerzo de cizalladura
Luego
(27)
Donde KT será: (28)
Modelo de viscosidad de Carreau
Tiene una estructura similar al modelo de Cross donde Kc es una constante y posee un significado similar al modelo de Cross.
(29)
37
Modelo de viscosidad de la ley de potencia
Esta ley es un caso particular que satisface conjuntamente al modelo de Cross y al modelo de Carreau, cuando µ0
µs y a su vez µs
µ∞ luego cancelando estos términos
de la ecuación de Cross se obtiene:
(30) Y
K
k
0
h
,
h=1-n
c
La ecuación final sería: (31) Conocida como el modelo de ley de potencia, y n es el índice de la ley de potencia y K se le denomina consistencia.
Cabe anotar que este modelo tiene una limitada capacidad de predicción de la viscosidad en las regiones de baja y alta tasa de cizalladura.
De la ecuación anterior se halla la ecuación constitutiva de Ostwald si se multiplica a ambos lados de la ecuación por la tasa de cizalladura:
(32)
Modelo de viscosidad de Sisko.
Este se obtiene si: µ0
µ∞ luego de la ecuación de Cross se llega a:
(33)
38
Y haciendo K , h=1-n h 0
k
c
Se tiene que:
s
K
.n 1
(34)
Ecuación constitutiva de Bingham.
En el caso que una suspensión tenga un índice de ley de potencia igual a cero (n=0), en la ecuación anterior K tendrá unidades de esfuerzo, siendo remplazada por
0
y queda:
(35)
Si la anterior se multiplica a ambos lados por la tasa de cizalladura se tiene la ecuación constitutiva de Bingham:
(36)
Donde
0
es un esfuerzo de cedenci
3.5.4. Electroviscosidad de la suspensión Cuando en una suspensión hay
partículas coloidales con un tamaño menor de 10
micrones se presentan fuerzas de gran importancia como: hidrodinámicas y no hidrodinámicas
que actúan sobre la superficie mineral, afectando la reología de la
suspensión. Las primeras se presentan con el movimiento relativo de las partículas con el líquido que forma la suspensión y la segunda se refieren a fuerzas Brownianas entre las partículas. (Bustamante )
Fuerzas de Van der Waals, fuerzas de doble capa eléctrica, fuerzas de hidratación.
39
El esfuerzo de cedencia indica la transición del comportamiento sólido al comportamiento líquido. Este se puede originar por el equilibrio entre las fuerzas de van der waals y de la doble capa eléctrica, las primeras son fuerzas generalmente atractivas y de largo alcance, producidas por los momentos dipolares de las moléculas en las susperficies de los sólidos, cuya magnitud se puede determinar mediante (Jhonson, et. al. 2000):
FVDW
rAH (37) 12H 2
Donde AH es la constante de Hamaker, r es el radio de las partículas y H es el la distancia entre ellas, asumiendo que r >>> H. Y la segunda son fuerzas de atracción o repulsión generadas por la interacción de las cargas electricas en el líquido cerca de la superficie del sólido de vida a la alta concentración de contraiones en la interface.
La magnitud de esta fuerza se puede expresar como:
FDCE
2r 0 eH 1 e H
(38)
Donde; 0 es la permitividad en el vacío, es la constante dieléctrica en el seno de la solución, es la longitud de Debye, es el potencial eléctrico el cual está ligado fuertemente a la concentración de iones en la solución y e es la carga electrónica.
La longitud de Debye está dada por:
40
2 z n e2 2 0 0KT 1
0.5
(39)
Donde z es la valencia de los iones involucrados, n0 es la concentración en número de iones en el seno de la solución, K la constante de Boltzman y T la temperatura absoluta, esta se presentan cuando hay atracción entre las partículas de la suspensión.
Según Escales et al. (1998) el esfuerzo de cedencia se puede calcular con la siguiente ecuación:
AH 2 0 εkζ 2 e kH (40) 2 1 e kH 12H
0 k struc
Donde kstruc es un término estructural que depende del tamaño de la partícula, la fracción volumétrica de sólidos en suspensión y el número de coordinación medio, AH es
la
constante de Hamaker, o es la permisividad del espacio vacío, es la constante dieléctrica de la suspensión, k es la constante de Boltzmann, e es la carga eléctrica, H es la separación entre dos partículas esféricas idénticas de radio a, siendo a >> H, es el potencial eléctrico (potencial Z) generado por la superficie cargada de cualquier ión o molécula asociada fuertemente. Cuando la magnitud del potencial zeta es alto, la repulsión electrostática entre las partículas ocasiona que los minerales se dispersen fácilmente y formen suspensiones estables. Para bajos potenciales zeta, la fuerza repulsiva entre las partículas se reduce y de esta manera se favorece el acercamiento entre las partículas, lo cual conlleva a un característico asentamiento de las partículas en suspensión. En esta ecuación se puede ver que el esfuerzo de cedencia es máximo cuando =0, este es el punto isoeléctrico. Así mismo el potencial Z depende del pH de la suspensión, también la adición de iones monovalentes a una suspensión mineral disminuye el valor del potencial Z (fuerzas estructurales de hidratación). Luego la reología de la suspensión
41
se ve fuertemente afectada por el potencial Z, la fracción volumétrica de sólidos y la distribución del tamaño del sistema.
Fuerzas hidrófobas
Este tipo de fuerzas se presenta cuando hay adición a la suspensión de surfactantes o tensoactivos adsorbidos por las partículas de una mineral hidrofílico, las moleculas de la especie surfactante conforman una capa con una estructura alineada sobre la superficie adsorbida, las cadenas hidrófobas se orientan hacia el seno de la solución. Esta adsorción modifica las magnitudes del esfuerzo de cedencia.
Fuerzas istéricas y electrostéricas
Estas fuerzas se presentan cuando se adiciona un polímero a una suspensión en medio acuoso. El polímero se adsorbe en la partícula mineral, generando una barrera compresible al acercamiento entre las partículas venciendo las fuerzas de atracción de Van der Waals cuando las partículas se acercan así se obtiene una suspensión dispersa y de baja densidad.
Así se logra ver la gran influencia que presenta la variación del pH, el potencial Z, la fracción volumétrica de sólidos, la distribución de tamaño sobre la viscosidad de la suspensión.
4.
EFECTO DE LA VISCOSIDAD EN LA CLASIFICACIÓN DE HIDROCICLONES.
La viscosidad de la suspensión, juega un rol significante en la clasificación donde se emplean hidrociclones. Una variación en la viscosidad de la suspensión altera
la
velocidad de sedimentación de la partícula y la velocidad de la suspensión en el interior del hidrociclón, afectando de forma directa su comportamiento. Un parámetro importante de la clasificación en hidrociclones es el tamaño de corte d50. La dependencia de la viscosidad con el tamaño de corte d50 fue explicada en un principio por 42
varios autores entre ellos Bradley (1965), quién basándose en la teoría más aceptada hasta ese momento para explicar la operación de hidrociclones, “Teoría del equilibrio de órbita” predice la relación entre el d50 y la viscosidad. Para esta teoría, se asumen condiciones de flujo laminar y establece que cada partícula dentro del hidrociclón tiende a estar en equilibrio entre dos fuerzas opuestas, una de ellas es la fuerza centrífuga que actúa hacia la pared del hidrociclón y la segunda fuerza es la de arrastre del líquido que actúa axialmente. Si se hace variar la viscosidad de la pulpa con la que se alimenta el hidrociclón se afectará el balance de estas fuerzas y se podrá conocer el efecto de la viscosidad sobre el tamaño de corte (Rietema, 1961). En este sentido, la reología de las suspensiones está determinada principalmente las variables siguientes; tasa de cizalladura y esfuerzo cortante, que definen la viscosidad de la suspensión, por las variables operativas del equipo como presión de entrada, que determina los caudales por la descarga y el rebalse, y por las variables propias del material como fracción volumétrica de sólidos y distribución de tamaño de partícula.
Figura 10. (a) Diagrama de fuerzas para una partícula en el interior del hidrociclón. (b) Esquema de la velocidad vertical cero.
Para ésta teoría el diámetro de la partícula permanece en equilibrio en una órbita particular que viene dada por: 43
d
18 *W * r ( s l ) *V t
2
(41)
Donde d: diámetro de la partícula, ρs: densidad de las partículas sólidas, ρl: densidad del líquido, Vt: velocidad tangencial de la partícula, R: radio de la órbita de equilibrio, η: viscosidad del fluido, W: velocidad radial.
Luego la relación encontrada por Bradley para el tamaño de corte d50 y la viscosidad viene dada por: d50 α ηβ
(42)
Pero estas ecuaciones se desarrollaron para alimentos cuyos porcentajes de sólidos eran bajos; es decir, concentraciones volumétricas inferiores al 11%; sin embargo la mayoría de los hidrociclones trabajan con concentraciones superiores a éstas. Cuando
el
contenido de sólidos incrementa se empiezan a presentar interacciones entre partículas. Debido a esto se toma en cuenta la viscosidad y densidad de la suspensión en vez de la del líquido. La viscosidad de la suspensión influye en el mecanismo de separación del hidrociclón y debe ser incluida en la formulación de modelos que representan el tamaño d50. Varios de los modelos desarrollados en el pasado para tamaño de corte en el clasificador contemplan términos de viscosidad; sin embargo muchas de estas ecuaciones se desarrollaron para suspensiones diluidas e hidrociclones con diámetro pequeño, lo que no es comparable con las condiciones normales de una planta. En años posteriores, Lynch & Rao y Plitt utilizaron datos de hidrociclones de diámetro grande y suspensiones con alto porcentaje de sólidos para desarrollar un modelo más versátil para predecir el tamaño de separación situaciones de planta reales. El modelo presentado por Plitt y Linch & Rao se presentan en las ecuaciones 43 y 44 respectivamente: 44
d 50 (c)
K1 * DC0.46 * Di0.46 * D01.21 * exp(0.063 ) Du0.71 * h 0.38 * Q 0.45 * ( s l ) 0,5
(43)
Donde K1: constante, Dc : diámetro interior del ciclon en la parte del vortice , Di: diámetro interior del hidrociclón (cm), Do:diámetro interno del rebose , Du: dimatro interno de la descarga ,Q: caudal de alimentación de la viscosidad (L/min), d50: tamaño de corte en el hidrociclón (micrómetros), h: distancia entre el vértice hallado hasta el tope del orificio de la descarga (cm), : porcentaje en volumen de los sólidos en la pulpa, ρs: densidad del sólido (g/cm3) y ρl: densidad del líquido (g/cm3)
log10 d 50 (c) (0.0173 *w ) (0.0695 * Spig ) (0.0130 *VF ) (0.0048 * Q) K1
(44)
Donde K1: Constante, VF: Diámetro interior del rebose (cm), Spig: Diámetro interno de la descarga (cm), Q: Caudal volumétrico de la alimentación de la suspensión (L/min), d50: Tamaño de corte del hidrociclón (micrómetros), w : Porcentaje en peso de sólidos en la alimentación. Lynch & Rao utilizaron el porcentaje en peso de los sólidos para su modelo; mientras que Plitt uso el porcentaje en volumen de los sólidos (se relaciona mas con la reología de la suspensión que el porcentaje en peso). Los modelos clásicos de Lynch & Rao (1975) y Plitt (1976) no tienen un término de viscosidad explícito; más bien considera su efecto de forma indirecta, por medio de una dependencia con la concentración de sólidos. Además del contenido de sólidos la reología también se ve afectada por la temperatura, la distribución de tamaños y el entorno químico (Shi y Napier- Munn, 1996). Esto sugiere la necesidad de una medición directa de la viscosidad para determinar sus efectos en el rendimiento de la clasificación. En 1996 Kawatra, Bakshi y Rusesky incluyeron un término de viscosidad modificando los modelos de Lynch & Rao y Plitt para predecir el tamaño de corte
con base en la
viscosidad de alimentación en un tiempo real (medición en línea); en su investigación 45
Kawatra, Bakshi y Rusesky trabajaron con suspensiones minerales cuya concentración volumétrica era inferior al 50%,
según
Klimpel (1982) las suspensiones con estas
características presentan un marcado comportamiento Newtoniano. En las ecuaciones 45 y 46 se presentan los modelos modificados de Plitt y Lynch & Rao respectivamente.
d 50 (c)
K 2 * Dc0.46 * D10.6 * 0.41 * 0.35 D00.71 * h 0.38 * Q 0.45 * ( s l ) 0,5
(45)
log10 d50 (c) (0.41* log10 w ) (0.0695 * Spig ) (0.0130 *VF ) (0.0048 * Q) (0.35 log10 ) K3 (46)
Donde K3: es una constante, w : Porcentaje en volumen de sólidos en la alimentación, η: viscosidad del fluido. Los resultados obtenidos para los modelos modificados de Plitt y Linch & Rao por Kawatra, Bakshi y Rusesky muestran a continuación.
Gráfico 1. (a) d50 predicho vs observado para el modelo modificado de Lynch y Rao. (b) d50 predicho vs observado para el modelo modificado de Plitt.
46
Al analizar las gráficas anteriores se observa que ambos modelos tienen un muy buen ajuste para tamaños de corte inferiores a 30 micrómetros; además, se puede observar que el modelo modificado de Lynch y Rao presenta un mejor ajuste de los datos que el planteado para la modificación de Plitt. Estos autores
realizaron su investigación
para hidrociclones con diámetros grandes
(100-380 mm); sin embargo su aplicabilidad a hidrociclones de diámetro pequeño no ha sido comprobada. Son muy escasos los estudios de modelación de hidrociclones de diámetro pequeño (Bradley y tira, 1959; Brookes, 1984; Vallebuona, 1995), y corresponden por lo general a la modificación de las ecuaciones utilizadas para diámetros mayores. La clasificación llevada a cabo en hidrociclones con estos diámetros plantea un desafío técnico importante debido a la alta viscosidad asociadas a estas suspensiones y la alta turbulencia que se presenta dentro de dichos hidrociclones.
En el trabajo realizado por Gómez (2009) se propone un modelo matemático para la clasificación de minerales en hidrociclones de diámetros menores a 100 milímetros.
8 6 7 5 4 k rr H c Do Du 1 2 3 Du * Dc d 50 K * P * * * * * * * Dc Dc Dc Dc Do
(47)
47
Datos estimados según el modelo de d50c
VALIDACIÓN PARA LA ECUACIÓN DEL d50 CORREGIDO -6.0
-6.5
R=0.94009 SD=0.20438
-7.0
-7.5
-8.0
-8.5 -8.5
-8.0
-7.5
-7.0
-6.5
-6.0
-5.5
Datos experimentales de ln(d50/DC)
Gráfico 2. d5o Predicho por el modelo de Gómez vs d5o observado.
Según los resultados obtenidos en este trabajo para las tasas de cizalla en las corrientes de los hidrociclones estudiados se comprueba que los hidrociclones de 100 mm son el punto de corte entre los hidrociclones grandes y los pequeños. De los ensayos realizados por Gómez se estudia la relación existente entre el diámetro de corte d50 y ciertas variables. Así se observa entre otras cosas que en general el tamaño de corte tiende a ser mayor si las relaciones Di/Do y Du/Do son bajas (es decir el Do aumenta), que para definir el rango de operación del hidrociclón y buscar un d50 en una planta industrial primero debe establecerse si el hidrociclón va a estar ubicado en una etapa de Rougher o de refinación; y por último que el tamaño de corte disminuye si el hidrociclón opera con un corto circuito alto. Por lo tanto el valor del diámetro de corte es una variable fuertemente dependiente de la configuración geométrica y operacional del hidrociclón. Cada combinación de las variables planteadas produce efectos únicos en la clasificación, evidenciados en el d50.
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CONCLUSIONES.
La mayor limitación de los modelos existentes
para la clasificación en
hidrociclones es que por lo general no se prestan para extrapolaciones.
No existe
una única teoría donde
se pueda modelar la clasificación en
hidrociclones de diámetros pequeños y grandes ya que para cada uno intervienen diferentes parámetros.
Para la gran mayoría de separaciones en la industria minera se emplean equipos hidrociclones para la clasificación de suspensiones.
Debido a que la clasificación en hidrociclones ocurre en medio acuoso, la separación en estos es muy sensible a la reología de las suspensiones minerales que alimentan al equipo; sobre todo a la viscosidad de las suspensiones.
La reología de la suspensión es un factor de gran importancia que determina la clasificación de minerales en hidrociclones, por esto se hace necesaria la medición de la viscosidad en línea dependiente de diferentes parámetros como la concentración de sólidos, la distribución de tamaños, la forma de la partícula, la temperatura, el medio químico entre otros.
El valor del diámetro de corte es una variable fuertemente dependiente de la configuración geométrica y operacional del hidrociclón.
La viscosidad de las suspensiones afecta de forma directa el tamaño de corte d50, este último influye en la clasificación en hidrociclones; por lo tanto la viscosidad de la suspensión es un factor determinante en la eficiencia de clasificación de suspensiones en hidrociclones.
El desarrollo del presente trabajo nos aportó conocimiento avanzados sobre la reología de suspensiones y como afecta en la clasificación de hidrociclones.
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