MECANICA DE FLUIDOS La mecánica mecánica de fluido s es la rama de la mecánica de medios continuos, rama de la física a su vez, que estudia el movimiento de los fluidos gases y líquidos así como las fuerzas que lo provocan. La característica fundamental que define a los fluidos es su incapacidad para resistir esfuerzos cortantes (lo que provoca que carezcan de forma definida). También estudia las interacciones entre el fluido y el contorno que lo limita. La hipótesis fundamental en la que se basa toda la mecánica de fluidos es la hipótesis del medio continuo La hidráulica es una rama de la mecánica de fluidos y ampliamente presente en la ingeniería que se encarga del estudio de las propiedades mecánicas de los líquidos. Todo esto depende de las fuerzas que se interponen con la masa y a las condiciones a que esté sometido el fluido, relacionadas con la viscosidad de este. ESTRUCTURA ESTRUCTURA DE LA MATERIA
La materia, por lo general, se presenta en los siguientes estados: sólido, líquido y gaseoso.
En el estado sólido las moléculas se encuentran muy cerca unas de otras y por lo tanto las fuerzas de cohesión entre ellas son sumamente intensas. Esto determina que los sólidos posean una forma definida y ocupen un volumen propio. En el estado líquido las moléculas se encuentran dispuestas a mayor distancia que en los sólidos, por lo que las fuerzas de cohesión entre ellas son pequeñas. Esto determina que ocupen un volumen propio, pero que no tengan una forma definida, sino que adopten la del recipiente que los contiene. En el estado gaseoso las distancias entre las moléculas son muy grandes, por lo que las fuerzas de cohesión entre ellas son prácticamente nulas. Esto determina que presenten una tendencia a ocupar el mayor volumen posible al poder expandirse con facilidad. En los líquidos y gases, las fuerzas de cohesión entre las moléculas son muy débiles, por lo que éstas pueden resbalar unas sobre otras fácilmente y se dice comúnmente que fluyen. El nombre fluido se aplica tanto a los líquidos como a los gases. Tanto sólidos como líquidos son poco compresibles, en cambio los gases al estar dispuestos por moléculas muy separadamente, son fácilmente compresibles. Al reducir las distancias intermoleculares disminuiría el volumen del gas.
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PROPIEDADES PROPIEDADES DE L OS FLUIDOS
Se denomina fluidos a aquellos cuerpos que pueden fluir y adoptan la forma del recipiente que los contiene. Los fluidos se dividen en líquidos y gases, dependiendo de sus fuerzas de cohesión interna. La hidrostática es la parte de la Física (Mecánica) que tiene por objeto el estudio del comportamiento y de las propiedades de los fluidos en equilibrio (la hidrodinámica estudia los fluidos en movimiento). Mientras que los líquidos fluyen manteniendo constante su volumen, los gases tienen tendencia a ocupar todo el volumen disponible. Este distinto comportamiento es debido a que en el estado líquido las fuerzas de cohesión intermoleculares son mayores que en los sólidos y, por tanto, las partículas componentes abandonan las posiciones fijas que ocupan en estado sólido aunque mantienen una cierta cohesión que les hace mantener un volumen constante. En el caso de los gases, las fuerzas de cohesión intermoleculares son mucho menores y las partículas pueden moverse libremente en todo el volumen del recipiente que las contiene.
Parte de la Física que se ocupa de la acción de los fluidos en reposo o en movimiento, así como de las aplicaciones y mecanismos de ingeniería que utilizan fluidos. La mecánica de fluidos es fundamental en campos tan diversos como la aeronáutica, la ingeniería química, civil e industrial, la meteorología, las construcciones navales y la oceanografía. oceanografía. La mecánica de fluidos puede subdividirse en dos campos principales: La estática de fluidos, o hidrostática, que se ocupa de fluidos en reposo, y la dinámica de fluidos, que trata de fluidos en movimiento. El término de hidrodinámica se aplica al flujo de líquidos o al flujo de los gases a baja velocidad, en el que puede considerarse que el gas es esencialmente incompresible. La aerodinámica, o dinámica de gases, se ocupa del comportamiento de los gases cuando los cambios de velocidad y presión son suficientemente grandes para que sea necesario incluir los efectos de compresibilidad. compresibilidad. Entre las aplicaciones de la mecánica de fluidos están la propulsión a chorro, las turbinas, los compresores y las bombas. La hidráulica estudia la utilización en ingeniería de la presión del agua o del aceite. Se denomina fluido a un tipo de medio continuo formado por alguna sustancia sustanc ia entre cuyas moléculas hay una fuerza de atracción débil. Los fluidos se caracterizan por cambiar de forma sin que existan fuerzas restitutivas tendentes a recuperar la forma "original" (lo cual constituye la principal diferencia con un sólido deformable). Un fluido es un conjunto de partículas que se mantienen unidas entre ITT
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si por fuerzas cohesivas débiles y/o las paredes de un recipiente; el término engloba a los líquidos y los gases. En el cambio de forma de un fluido la posición que toman sus moléculas varía, ante una fuerza aplicada sobre ellos, pues justamente fluyen. Los líquidos toman la forma del recipiente recipiente que los aloja, manteniendo su propio volumen, mientras que los gases carecen tanto de volumen como de forma propias. Las moléculas no cohesionadas se deslizan en los líquidos, y se mueven con libertad en los gases. Los fluidos están conformados por los líquidos y los gases, siendo los segundos mucho menos viscosos (casi fluidos ideales).
PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS
PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS
COMPRESIBILIDAD
TEMPERATURA
DENSIDAD
PROPIEDADES DE
PRESIÓN DE VAPORIZACION
LOS FLUIDOS PESO ESPECÍFICO
VISCOSIDAD
TENSIÓN SUPERFICIAL
CAPILARIDAD
Peso específico . El peso específico de una sustancia se define como su peso por unidad de volumen, esta definición es considerada hoy día como obsoleta y reprobable, siendo su denominación correcta la de densidad de peso. Se calcula dividiendo el peso de un cuerpo o porción de materia entre el volumen que éste ocupa
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= ú = =
Donde: = peso específico expresado en Kg/m 3 m = masa del cuerpo g = aceleración de la gravedad El peso específico del agua es = 1000 Kg/m 3
La densidad se define como el cociente entre la masa de un cuerpo y el volumen que ocupa.
= = ú
la densidad está expresada en Kg seg 2/m4
La densidad de un cuerpo está relacionada con su flotabilidad , una sustancia flotará sobre otra si su densidad es menor. Por eso la madera flota sobre el agua y el plomo se hunde en ella, porque el plomo posee mayor densidad que el agua mientras que la densidad de la madera es menor, pero ambas sustancias se hundirán en la gasolina, de densidad más baja.
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RELACIÓN ENTRE EL PESO ESPECÍFICO Y LA DENSIDAD. El peso específico y la densidad son evidentemente magnitudes distintas como se ha podido comparar a través de las definiciones que se dieron en la parte de arriba, pero entre ellas hay una íntima relación, que se va a describir a continuación. Se recordará que el peso de un cuerpo es igual a su masa por la aceleración de la gravedad: P=m .g La segunda ley de Newton dice que: entonces
= óó = == = =
por lo que la densidad del agua es
1000 = 9.81 =101.936
Otra forma de cuantificar la densidad o el peso específico de un líquido se hace refiriéndose a los correspondientes al agua, esto es
= =
la cual se conoce como densidad relativa
VISCOSIDAD La viscosidad es la oposición de un fluido a las deformaciones tangenciales, es debida a las fuerzas de cohesión moleculares. Todos los fluidos conocidos presentan algo de viscosidad, siendo el modelo de viscosidad nula una aproximación bastante buena para ciertas aplicaciones. Un fluido que no tiene viscosidad se llama fluido i deal deal . La viscosidad sólo se manifiesta en líquidos en movimiento, se ha definido la viscosidad como la relación existente entre el esfuerzo cortante y el gradiente de velocidad. Esta viscosidad recibe el nombre de viscosidad absoluta o viscosidad dinámica . Generalmente se representa por la letra griega .
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Existe también otra viscosidad, denominada viscosidad cinemática, y se representa por . Para calcular la viscosidad cinemática basta con dividir la viscosidad dinámica por la densidad del fluído
=
Imaginemos un bloque sólido (no fluido) sometido a una fuerza tangencial (por ejemplo: una goma de borrar sobre la que se sitúa la palma de la mano que empuja en dirección paralela a la mesa.) En este caso (a), el material sólido opone una resistencia a la fuerza aplicada, pero se deforma (b), tanto más cuanto menor sea su rigidez. Si imaginamos que la goma de borrar está formada por delgadas capas unas sobre otras, el resultado de la deformación es el desplazamiento relativo de unas capas respecto de las adyacentes, tal como muestra la figura (c)
Deformación de un sólido por la aplicación de una fuerza tangencial.
En el caso de un fluido, consideremos un par de placas de vidrio, lo suficientemente grandes como para despreciar un posible efecto de borde, y separadas una distancia pequeña (y). Entre estas placas introducimos un fluido. Aplicamos una fuerza tangente o de cizalla F a la placa de arriba (I) haciendo que ésta se deslice con respecto a la placa de abajo (II), la cual permanece en reposo.
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El esfuerzo cortante vale
= por otro lado se tiene que el esfuerzo cortante producido por el agua es
por triángulos semejantes por lo que
=
=
=
Donde es la constante de proporcionalidad, la cual es una magnitud característica de la viscosidad del fluido y se conoce como viscosidad dinámica o simplemente viscosidad . Para los cálculos prácticos es más conveniente relacionar la viscosidad dinámica del fluido y su densidad con la fórmula
donde es la viscosidad cinemática
=
en la práctica se utiliza 1 x 10 -6 m2/seg para el agua
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EJERCICIO Un recipiente cilíndrico de 1.00 m de diámetro y 2.00 m de alto pesa 30.00 kg, si se llena con un líquido el conjunto pesa 1500.00 kg, determinar el peso específico del líquido, la densidad y el peso específico relativo o densidad relativa. El peso específico g, es es por definición, la relación relación que existe entre el peso peso de un elemento y su vvolumen; olumen; es decir:
= = ℎ = 150030 =936. 3 1 1 4 42
La densidad es por definición, la relación que existe entre la masa de un elemento y su volumen o también, la relación relación entre el peso específico de un un elemento y la aceleración de la gravedad; es decir,
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936. 3 1 = = 9.81 =95.44
La densidad relativa, o peso específico relativo, rel, es un número adimensional que resulta de la relación entre el peso específico específic o densidad de un elemento y el peso específico o densidad del agua en condiciones normales; es decir,
= = = 936.100031 =0.936
HIDROSTÁTICA La estática de fluidos estudia las condiciones de equilibrio de los fluidos en reposo, y cuando se trata de líquidos, se denomina hidrostática. Desde el punto de vista de ingeniería civil es más importante el estudio de los líquidos en reposo que de los gases. Ecuaciones de Euler Considérese idealmente un elemento de fluido en forma prismática que encierra al punto P, donde la densidad es y la presión p (ver figura siguiente), elija un sistema de coordenadas con el eje z vertical, conviene orientar los lados de la partícula según los ejes del sistema, de tal manera que la presión se incremente en magnitudes diferenciales diferenciales y genere las fuerzas indicadas en la figura
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+ + 12 =+ 12
El primer término de la ecuación es la fuerza y el segundo término se conoce como la variación de la presión en el volumen.
= 12 + 12 =0 12 12 =0 =0 =
Al simplificar y hacer idénticos razonamientos en las restantes direcciones coordenadas, se obtiene el sistema de ecuaciones
= = = ITT
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ECUACIONES DE EULER Se considera que la única fuerza de cuerpo es la debida a la fuerza gravitacional por lo que X = Y = 0, y Z= -g y de las ecuaciones anteriores se tiene:
= 0 = 0 ==
Así se concluye que la presión dentro de un fluido en reposo varía solamente con la coordenada vertical z, y es constante en todos los puntos contenidos en un mismo plano horizontal. De las ecuaciones anteriores se deduce que
==
En el caso de un líquido es posible integrar la ecuación anterior debido a que es constante
= = +=
La ecuación anterior se conoce como ley de Pascal y permite calcular la distribución de presiones hidrostáticas en el seno de un líquido en reposo. Esta presión depende exclusivamente de la coordenada z, es decir, de la altura de cada de cada punto respecto de un nivel cualquiera elegido. Para dos puntos: el 0 coincidiendo con la superficie libre del líquido y otro cualquiera de elevación z (ver figura siguiente)
+ = +
La presión absoluta en el punto considerado es p = pa + (zo -z) ITT
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donde p a representa la presión atmosférica sobre la superficie libre del líquido y (z o -z) la profundidad del punto considerado.
DISPOSITIVOS PARA MEDIR PRESIONES. Un manómetro es un aparato que sirve para medir la presión de los gases contenidos en recipientes cerrados. Existen, básicamente, dos tipos de manómetros: los de líquidos y los metálicos. Los manómetros de líquidos emplean, por lo general, mercurio que llena un tubo en forma de U. El tubo puede estar o abierto por ambas ramas o abierto por una sola. En ambos casos la presión se mide conectando al recipiente que contiene el gas el tubo por su rama inferior y abierta y determinando el desnivel h de la columna de mercurio entre ambas ramas. Si el manómetro es de tubo abierto entonces es necesario tomar en cuenta la presión atmosférica p 0 en la ecuación: Barómetros (miden la presión atmosférica Simples Tubo piezométrico (presiones est. moderadas) ITT
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Manómetros Abiertos (tubos (tubos en forma de U) diferenciales Cerrados (aparatos comerciales)
Experimento de Torricelli Torricelli llenó de mercurio un tubo de 1 m de largo, (cerrado por uno de los extremos) y lo invirtió sobre un cubeta llena de mercurio. Sorprendentemente la columna de mercurio bajó varios centímetros, permaneciendo estática a unos 76 cm (760 mm) de altura. Torricelli razonó que la columna de mercurio no caía debido a que la presión atmosférica ejercida sobre la superficie del mercurio (y transmitida a todo el líquido y en todas direcciones) era capaz de equilibrar la presión ejercida por su peso.
El peso específico del mercurio es de 13570 kg/m 3 aproximadamente
El tubo piezométrico o manómetro es, como su nombre indica, un tubo en el que, estando conectado conectado por uno de los lados a un recipiente en el cual se encuentra un fluido, el nivel se eleva hasta una altura equivalente a la presión del fluido en el punto de conexión u orificio piezométrico, es decir hasta el nivel de carga del mismo.
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MANÓMETROS DIFERENCIALES
pB = pC pB = pA + 1 z1 pC = 2 z2 igualando pA + 1 z1 = 2 z2 pA = 2 z2 - 1 z1
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pB = pC pB = pA + 1 z1 pC = pD + 1 z3 + 2 z2 igualando pA + 1 z1 = pD + 1 z3 + 2 z2 pA - pD = 1 z3 + 2 z2 - 1 z1 pA - pD = 1(z3 - z1 )+ 2 z2
EJERCICIOS 1.- Determinar la altura de agua dentro del recipiente que se muestra en la figura siguiente, considerar que el peso volumétrico del mercurio = 13570 kg/m 3
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entonces
=13570 = = +0.30 = 0.15 + 0.300 = 0.15 = 135700.15 10000.30 =1735.5 1735. 5 ℎ = = 1000 = 1.735735
esta presión la podemos convertir a columna de agua
2.- Determinar la presión manométrica en el punto A de la tubería mostrada en la figura siguiente.
= ITT
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entonces
= + + = 0 0 = + + = = 1000 10000.0.500 13570 135700.0.200 = 3214
3.- Para una presión manométrica en A de - 0.11 kg/cm 2, encontrar la densidad relativa del líquido manométrico B de la siguiente figura
SOLUCIÓN
De la figura se tiene
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1000 =1600 = = 1.61000 = 0.11 =1100 = = + 0.455 17 JCAA
por lo que
por otro lado
= 1100+ 1100+ 1600 16000.0.455 = 380 = 380 = = 380 = = 0 = + 0.388 = 0 380+ 0.38 = 0 380 = 0.38 =1000 1000 = = 1000 = 1
4.- Un aceite de densidad relativa igual a 0.75 está fluyendo a través de la boquilla mostrada en la figura siguiente y desequilibra la columna de mercurio del manómetro en U. Determinar el valor de h si la presión es de 1.40 kg/cm 2.
= 0.750 501000 1000 = 750 =1.40 =14000 = = + 0.0.82525++ ℎ = ℎ ITT
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por tanto
por lo que h = 1.14 m
+ 0.825 + ℎ = ℎ 14000+7500.825+ℎ= 13570ℎ 14000+618.75=13570ℎ750ℎ
5.- Un manómetro diferencial está unido a dos secciones rectas A y B de una tubería horizontal por la que circula agua. La lectura en el manómetro de mercurio es de 0.60 m, siendo el nivel más cercano a A el más bajo. Calcular la diferencia de presiones entre A y B en kg/cm 2, ver figura siguiente
Altura de presión en C = altura de presión en D
= = [ +0.60] + 13.570.60 =0.60+ 13.570.60 = 7.54
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=0.754
Empuje hidrostático sobre superficies planas Se considera un recipiente don un líquido en reposo, donde una de sus paredes tiene una inclinación respecto a la horizontal, tal como se indica en la siguiente figura. Sobre esta pared se delimita una superficie de área A para la cual se desea conocer la fuerza resultante debida a la presión hidrostática, así como su punto de aplicación o centro de presiones.
sabemos que F = pA por lo que dF = pdA = h la fuerza resultante sobre la superficie A
= ℎℎ La integral que aparece en la ecuación anterior es el momento estático del área respecto de la superficie libre del líquido y se puede expresar en términos del área y de la profundidad de su centro de gravedad.
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ℎ = ℎ por lo que F = hg A E = hg A ECUACIÓN DEL EMPUJE HIDROSTÁTICO Punto de aplicación del empuje hidrostático dM = dF y dM = p dA y dM = h dA y
sin= ℎ ℎ= sin
entonces dM = y2 sen dA dM = sen y2 dA
∫ = sisinn ∫ ∫ ∫ =−− = sisinn −− = = = pero
el brazo de palanca es M = F d
por lo tanto
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de donde se tiene que al aplicar la ecuación de trasferencia para segundos momentos de área, genera
−− = + = + = + = + EJERCICIOS
6.- Calcular el empuje hidrostático y el punto de aplicación de una superficie plana que tiene un ancho de 2.00 m como la que se muestra en la figura siguiente.
Punto de aplicación
= ℎ =1000 ℎ = 2.820 = 1.4040 = ℎ= ℎ = 2.0002.2.800 = 5.60 = 1000 10001.1.4005.5.600 = 7840 = +
el momento de inercia de una sección rectangular es
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ℎ 22. 8 = 12 = 12 = 3.6565 = 5.603.61.5 40 + 1.40 = 1.865
como la pared es vertical h g = yg
Método del volumen de la cuña de presiones
la presión en el fondo vale
ℎ=1000 2.80 =2800
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El empuje es igual al área del triángulo por el ancho de la pared
= ℎ2ℎ = 280022.8 2 = 78784040 = 23 ℎ = 23 2.8 = 1.86
7.- Determinar el empuje hidrostático y el punto de aplicación sobre una superficie plana que tienen una inclinación de 60 o y 2.0 m de ancho, ver figura siguiente.
Cálculo de L
sin60 = ℎ = 2.2 = sin2.602 = 2.5454 = ℎ =1000 = ℎ= ℎ = 2.02.2.544 = 5.08 ℎ = 2.22 = 1.1010
Determinación del empuje
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Determinación de y p
= 1000 10001.1.1005.5.088 = 55558888 = + ℎ 2 2 2. 5 4 4 = 12 = 12 = 2.7373 = sin1.601 = 1.27 = 5.082.731.27 + 1.27 = 1.69
8.- Determinar el empuje hidrostático y punto de aplicación, por fórmula y método del volumen de la cuña de presiones, sobre la pared de 3 m de ancho, que se muestra en la figura siguiente.
Por fórmula
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=ℎ =1000 ℎ =0. 50+ 2.25 = 1.75 = 2.533 = 7.5 = 10001.757.5 = 1313121255 25 JCAA
= + ℎ 3 3 2. 5 = 12 = 12 = 3.9191 = ℎ = 1.7575 = 7.53.91.175 + 1.75 = 2.05 9.- Determinar el empuje hidrostático y el punto de aplicación en la compuerta de la figura siguiente, considerar a) compuerta rectangular. b) compuerta triangular.
a) Determinación del empuje
ℎ= sin60 == 10.0.86666 = 0.866866 ℎ =2. 00+ 0.8266 = 2.433433 =ℎ = 10002.4331.201.0 = 292919.19.6
Punto de aplicación
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= + = si2.n0600 = 2.30 = 2.30 + 0.5 = 2.80 ℎ 1. 2 0 0 1. 0 = 12 = 12 = 0.1010 = 1.20.0012.0 8 + 2.80 = 2.829 10.- La compuerta AB de la figura siguiente tiene 1.20 m de ancho y está articulada en el punto A. La lectura manométrica en el punto G es de -0.15 kg/cm 2 y el aceite que ocupa el depósito de la derecha tiene una densidad relativa de 0.75. ¿Qué fuerza horizontal debe aplicarse en el punto B para que la compuerta AB se mantenga en equilibrio?
La presión del aire es de -0.15 kg/cm 2 = -1500 kg/m 2
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convertido a columna de agua es
1500 ℎ = = 1000 = 1.50
Esta altura de presión negativa es equivalente a un descenso del nivel de agua de 1.50 m
En primer lugar, se calcula el empuje debido al agua considerando el nivel imaginario de agua (N.I.A)
= ℎ . . = 5.40 1,50 = 3.90 ℎ = 3.9 0.9 = 3.0 = 1.8001.1.200 = 2.16 = 1000 1000332.2.166 = 64648080 = + ℎ 1. 2 0 1. 8 = 12 = 12 =0.5832 = 2.0.15668323 + 3 = 3.09 = = 0.755 1000 =750
En seguida se calcula el empuje producido por el aceite cuyo peso específico es
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= ℎ = 7507500.0.9002.2.166 = 14145858
el punto de aplicación del empuje se encuentra a 2/3 de la superficie libre del aceite
= 23 1.80 = 1.20
por último se determina la fuerza en el punto B de la compuerta
= + +=0 64800.99 + 14581.20 + 1.80 = 0 = 2592
11.- En la figura siguiente la compuerta ABC está articulada en el punto B y tiene 1.20 m de longitud y una inclinación de 60 o. Despreciando el peso de la compuerta, determinar el momento de desequilibrio debido a la altura de agua sobre la compuerta.
Determinación del empuje 1 ITT
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= ℎ ℎ = 2.720 = 1.35 = si2.n7600 1.2 = 3.7474 = 10001.353.74 = 50504949 = + 3. ℎ 1. 2 3. 1 2 2 = 12 = 12 =3.04 = 3.212 = 1.5656 = 3.7443.1.041.566 + 1.56 = 2.08 = ℎ = 10002.711.2 = 32324040
Punto de aplicación
Determinación de E 2
el brazo de palanca es igual a 0.5 m
Cálculo del momento desequilibrante
/ = / = 5049 50493.3.122.088 3240 32400.5 = 3630.96
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12.- Calcular la altura z a la cual se abrirá la compuerta que se muestra en la figura siguiente, considerar 1.00 m de ancho de la misma, siendo el peso volumétrico del concreto de 2400 kg/m 3
1.- Determinación de las fuerzas actuantes
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= =2400[12 0.91.21.0] = 12129696 = ℎ ℎ = 2 = 1.000 = = 2 =500 = = 10000.91.0 = 900 / = 0 13 0.90 1.20 13 0.45 = 0 12960.300 500 1.20 13 900=0 1296 166.667 600 405+388. 80=0
La sumatoria de momentos deberá ser igual a cero
Z = 0.56 m
En ocasiones se puede obtener el empuje para una superficie inclinada, a partir de obtener el valor de las componentes de dicho empuje obteniendo el valor de la resultante mediante una suma vectorial.
ejemplo: 13.- Determinar el empuje resultante sobre una placa rectangular sumergida en agua de dimensiones de 1.20 x 1.50 m
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En la siguiente figura podemos observar como se determinan las componentes del empuje
Determinación del empuje vertical
= 1500+2800 2 0.7551.1.200 = 19193535
ITT
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Cálculo del empuje horizontal
= 1500+2800 2 1.301.20 = 33335454
Determinación del empuje total
= + = 1935 1935 + 3354 3354 = 38387272..14 Comprobando por fórmula
= ℎ = 10001.50+0.651.201.50 = 38387070
Empujes sobre superficies curvas. Cuando es curva la superficie sobre la que se ejerce presión hidrostática, esta se puede proyectar sobre un sistema triortogonal de planos coordenados, convenientemente dispuesto, de manera que uno de ellos coincida con la superficie libre del líquido. Así se procede a calcular el empuje hidrostático por separado sobre cada proyección. 14.- Determinar el empuje hidrostático y el centro de presiones sobre la superficie cilíndrica AB, mostrada en la figura f igura siguiente. siguiente.
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Determinación del empuje horizontal
= = 1500+2500 2 11 = 20200000 1 = = 1000 4 1 = 39392.2.70
Determinación del empuje vertical
Cálculo del empuje total
= + = 2000 2000 + 392.7 = 20203838..19
15.- En la figura siguiente, un cilindro de 2.40 2.40 m de diámetro cierra cierr a un agujero rectangular en un depósito de 90 cm de ancho. ¿con qué fuerza queda presionado el cilindro contra el fondo del depósito por la acción de los 2.7 m de profundidad de agua?
Solución.
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=ℎ 2
en donde a es el ancho del depósito
El empuje 1 es debido a la acción del agua sobre el cilindro
1. 2 0 0 = 2.102.400.91000 2 0.91000 = 25250000..25 = 1.200 0.600 =1.04 = 1.20 1.04 = 0.16
tan= 1.0.064 =0.5769 = 29.98 =2 = 8 sin sin ITT
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2. 4 0 = 8 1.047sin59.96 = 0.13 = 2 [2.10.0.1660.0.9 + 0.213 0.9] 1000 1000 = 72721.1.8 = = 25250000..25 72721.1.8 = 17177878..45
El empuje 2 es debido a la fuerza vertical hacia arriba sobre el cilindro
FLOTACIÓN En el caso de un cuerpo sólido cualquiera flotando en un líquido existe un estado de equilibrio debido a que el líquido ejerce sobre el cuerpo una presión ascendente de igual magnitud que el peso del cuerpo. Principio de Arquímed A rquímedes. es. "Todo cuerpo sumergido en un líquido experimenta un empuje vertical ascendente igual al peso del volumen desalojado" El punto de aplicación de dicho empuje coincide con el centro de gravedad del volumen desalojado y se conoce con el nombre de centro de flotación o de carena.
Ejercicio 15.- Un cilindro hueco de 1.0 m de diámetro y 1.5 m de altura pesa 400 kg.
ITT
37 JCAA
a) ¿Cuantos kilogramos de plomo de peso específico igual a 11100 kg/m 3 deben unirse al fondo por su parte exterior para que el cilindro flote verticalmente con un metro del mismo sumergido.? sumergido.? b) ¿Cuantos kilogramos se necesitan si se colocan en el interior del cilindro?
16.- Un iceberg de 913 kg/m 3 de peso específico flota en el oceáno ( mar =1025 kg/m3) emerge del agua un volúmen de 594.3 m 3. ¿Cúal es el volumen total del iceberg) 17.- Un bloque de madera de 0.28 gr/cm 3 de densidad y de dimensiones de 20x8x4 cm, flota en el agua. Calcular la fracción de volumen que permanece sumergida. 18.- Un objeto prismático de 30 cm de espesor por 30 cm de ancho y 40 com de longitud, se pesa en el agua a 50 cm de profundidad dando la medida de 5 kg, ¿cuál será su densidad relativa?
HIDRÁULICA BÁSICA UNIDAD II Campos de flujo Un campo de flujo es cualquier región en el espacio donde hay un fluido en movimiento, a condición de que la región o sub-región del flujo este ocupada por el fluido. Es importante mencionar que en cada punto del campo de fluido es posible determinar o especificar una serie de magnitudes físicas, ya sean escalares,
ITT
38 JCAA
vectoriales o tensoriales, que forman a su vez campos independientes o dependientes dentro del flujo. Un campo escalar se define exclusivamente por la magnitud que adquiere la cantidad física a la cual corresponde: presión, densidad, temperatura En un campo vectorial, además de la magnitud, se necesita definir una dirección y un sentido para la cantidad física a la que corresponde; esto es, tres valores escalares. Ejemplos: la velocidad, la aceleración y la rotación. Un campo tensorial está definido se requiere 9 o más componentes escalares, ejemplos: los esfuerzos, la deformación unitaria y los momentos de inercia. El campo de velocidades. velocidades. El análisis del movimiento de una una partícula del fluido que que recorre una curva se puede hacer de dos maneras. a) por el conocimiento del vector de posición r , de la partícula como una función vectorial del tiempo t = r (t) (t) = xi +y j +zk r = donde i j, j ,k son los vectores unitarios según tres ejes de coordenadas ortogonales cualesquiera y ( x,y,z ) las proyecciones son cantidades escalares y funciones del tiempo x = x(t) ; y = y(t) ; z= z(t)
b) por el conocimiento de la curva que recorre la partícula y la función camino recorrido-tiempo. En este caso la posición de la partícula se determina por la longitud del tiempo recorrido, siguiendo la curva (a partir de un punto de origen A), como función escalar del tiempo. S = S(t)
ITT
39 JCAA
El vector velocidad de una partícula fluida se define como la rapidez temporal del cambio de su posición. si la partícula P o de la figura siguiente se desplaza siguiendo la trayectoria C, descrita en cada instante por el vector de posición de la partícula r = x i +y j +zk, la velocidad queda definida por la expresión:
=
donde d r representa representa el vector diferencial de arco, sobre la curva C, que recorre la partícula en el tiempo dt. La velocidad es, entonces, un campo vectorial dentro del flujo y, a desplazarse la partícula según la curva C, es un vector tangente en cada punto a la misma que, en general, depende de la posición de la partícula y del tiempo: ,t) v = v (r ,t) La velocidad en términos de sus componentes según los tres ejes coordenados elegidos, se puede escribir: v = vxi +vy j j +vzk Línea de corriente Aquella familia de curvas que para cada instante de tiempo son las envolventes del campo de velocidades. En mecánica de fluidos se denomina línea de corriente al lugar geométrico de los puntos tangentes al vector velocidad de las partículas de fluido en un instante t determinado. En particular, la línea de corriente que se encuentra en contacto con el agua, se denomina línea de agua .
Tubo de corriente. ITT
40 JCAA
A partir de la definición de línea de corriente se puede definir, para flujos laminares, el concepto de tubo de corriente, como la superficie formada por las líneas de flujo que parten de una curva cerrada. En casos no estacionarios, aunque la línea cerrada no varía, el tubo de corriente y las líneas de corriente sí lo hacen. Por el contrario, para el caso estacionario el tubo de corriente permanece fijo en el espacio a lo largo del tiempo. Clasificación de los flujos
Permanente o no permanente
Si las características hidráulicas en un punto determinado varían de un instante al otro, el flujo es no permanente.
≠ 0 = 0
Por el contrario será un flujo permanente
Uniforme o no uniforme
Si en un instante particular particular el vector velocidad es idéntico en cualquier punto del flujo, se dice que el flujo es uniforme
= 0 ≠ 0
En caso contrario el flujo es no uniforme
uniforme permanente no uniforme uniforme
ITT
41 JCAA
no permanente no uniforme El flujo puede clasificarse unidimensional
como tridimensional, tridimensional, bidimensional bidimensional y
Laminar o turbulento
Esta clasificación es el resultado propiamente propiamente de la viscosidad del fluido. El flujo laminar se caracteriza porque el movimiento de las partículas se produce siguiendo trayectorias separadas perfectamente definidas, sin existir mezcla macroscópica o intercambio transversal entre ellas
En un flujo turbulento, las partículas se mueven sobre trayectorias completamente erráticas, sin seguir un orden establecido. El número de Reynolds ( Re) es un número adimensional utilizado en la mecánica de fluidos, para caracterizar el movimiento de un fluido. Este número recibe su nombre en honor de Osborne Reynolds (1842-1912), quien lo describió en 1883. El número de Reynolds relaciona la densidad, viscosidad, velocidad y dimensión típica de un flujo en una expresión adimensional, que interviene en numerosos problemas de dinámica de fluidos. Dicho número o combinación adimensional aparece en muchos casos relacionado con el hecho de que el flujo pueda considerarse laminar (número de Reynolds pequeño) o turbulento (número de Reynolds grande). Para un fluido que circula por el interior de una tubería circular recta, el número de Reynolds viene dado por:
Donde ITT
= 42 JCAA
Re = es el número de Reynolds V = velocidad media en el tubo, en m/s D = diámetro de la sección del tubo, en m
= viscosidad cinemática del fluido
Si Re < 2000 el flujo es laminar Si Re > 4000 el flujo es turbulento si 2000 > R e < 4000 es un flujo en transición
Compresible o incompresible
Un flujo se considera incompresible si los cambios de densidad de un punto a otro son despreciables; en caso contrario el flujo es compresible
Rotacional o irrotacional
Cuando en un flujo el campo rot v adquiere en alguno de sus puntos valores distintos de cero, para cualquier instante, el flujo se denomina rotacional. Por el contrario, si dentro de un campo de flujo el vector rot v es igual a cero para cualquier punto e instante, el flujo es irrotacional
Leyes de Conservación Conservación Si un sistema no interacciona con su entorno de ninguna manera, entonces determinadas propiedades mecánicas del sistema no pueden cambiar. Algunas veces nos referimos a ellas como "constantes del movimiento". Estas cantidades se dice que son "conservadas" y las leyes de conservación resultante se pueden considerar como los principios fundamentales de la mecánica. En mecánica, ejemplos de cantidades conservativas son la energía, el momento y el momento angular. Las leyes de conservación son exactas para un sistema aislado.
Establecidas aquí como principios de la mecánica, estas leyes de conservación tiene profundas implicaciones en la simetría de la naturaleza, que no hemos visto
ITT
43 JCAA
violadas. Ellas sirven como una fuerte restricción en cualquier teoría sobre cualquier rama de la ciencia. Concepto de gasto o caudal El gasto es el volumen de un líquido que atraviesa una sección por unidad de tiempo, se denomina con la letra Q
=
Principio de conservación de la materia.
Establece que la masa de fluido que en la unidad de tiempo entra a un volumen especificado dentro del flujo, una parte se queda en su interior y el resto sale del volumen. Si el volumen que se estudia es de forma y magnitud constante (volumen de control), el almacenaje no puede ser indefinido. Matemáticamente es preferible tratar con la cantidad neta de masa que sale y que entra, sumadas algebraicamente. Ecuación de la continuidad. La ecuación de la continuidad es una consecuencia del principio de de conservación de la masa. Para un flujo permanente, la masa de fluido que atraviesa cualquier sección de una corriente de fluido por unidad de tiempo es constante. Se considera un flujo a través de un tubo de corriente como el mostrado en la figurea siguiente, siendo las secciones 1 y 2 normales a las líneas de corriente que forman el tubo. Para un valor de la densidad 1 y una velocidad normal V 1, el caudal en masa por unidad de tiempo que atraviesa la sección 1 es 1V1dA1, ya que V1dA1 es el volumen por unidad de tiempo. Análogamente, el caudal en masa que atraviesa la sección 2 es 2V2dA2. Como en un flujo permanente la masa no puede variar con el tiempo, y como no hay paso de fluido a través de la superficie que del tubo de corriente, el caudal en masa a través del tubo de corriente es constante.
=
ITT
44 JCAA
Las densidades 1 y 2 se mantienen constantes en cada sección dA, y las velocidades V 1 y V2 representan las velocidades del fluido en el tubo de corriente en las secciones 1 y 2 respectivamente
integrando
=
o
= = = = =
Si además el fluido f luido es incompresible, la densidad es constante
En la figura siguiente se muestra la bifurcación de un ducto circular que tiene los diámetros indicados, el agua que escurre en el tubo entra por A y sale en C y D. Si la velocidad media en el punto B es de 0.60 m/s y en C de 2.70 m/s. Calcular las velocidades medias en A y D, el gasto total y el gasto en cada uno de los ramales.
ITT
45 JCAA
DA = 15 cm DB = 30 cm
VB = 0.60 m/s
DC = 10 cm
VC = 2.70 m/s
DD = 5 cm
= 4 = 4 0. 1 5 0. 3 0 4 =0. 6 0 4 = 2.395395 / 0. 1 5 = = 2.39595 4 = =0.0424 0. 1 0 = = 4 2.70 =0.0212 = + =0.04240.212=0.0212 = = 0.0.0212055 = 1010..82 / 4
QA = 0.0424 m 3/s ; QB= 0.0424 m 3/s ; QC = 0.0212 m 3/s ; QD = 0.0212 m 3/s Ley de conservación de la energía. ITT
46 JCAA
La ley de la conservación de la energía afirma que la cantidad total de energía en cualquier sistema físico aislado (sin interacción con ningún otro sistema) permanece invariable con el tiempo, aunque dicha energía puede transformarse en otra forma de energía. En resumen, la ley de la conservación de la energía afirma que la energía no puede crearse ni destruirse, sólo se puede cambiar de una forma a otra. En termodinámica, constituye el primer principio de la termodinámica (la primera ley de la termodinámica). termodinámica). Ecuación de la energía Selecciónese un pequeño sistema de fluido que rodea en forma simétrica a una línea de corriente en la cual la fricción es igual a cero y que todas sus partículas en cualquier sección transversal fluyan a la misma velocidad.
Fuerzas que intervienen
Fuerzas de presión Peso propio
Fuerzas de presión
Peso propio
= = + + = =
De la figura tenemos que ITT
47 JCAA
por lo tanto
pero
= sin= = sin sin=
= = = = = = = = = = = =0 ++=0
Aplicando la segunda ley de Newton (F = m a)
dividiendo entre A
dividiendo entre
(ECUACIÓN UNIDIMENSIONAL DE EULER)
ITT
48 JCAA
Tomando la ecuación de Euler para un flujo incompresible y dividiendo entre g, tenemos
++ = 0 (
++ = 0
Ecuación de la energía aplicada a fluidos en movimiento)
Esta ecuación es integrable entre los puntos 1 y 2, considerando que y g son constantes, por lo que el fluido incompresible de densidad uniforme tendrá que:
++ = + + 2 + + = + +
(ECUACIÓN DE BERNOULLI)
+ + =
(ECUACIÓN DE LA ENERGÍA)
EN DONDE p/ = Energía de presión o carga de presión z = Energía potencial o carga de presión V2/2g = Energía cinética o carga de velocidad
ITT
49 JCAA
EJERCICIO Dos tanques de agua, ver figura siguiente, están conectados por una tubería de 1220 m de longitud y 0.25 m de diámetro. El nivel en el recipiente superior está a 37 m por encima del nivel del tanque inferior. El gasto que transporta la tubería es de 0.128 m 3/s. determinar: determinar: a) la pérdida de carga total ( energía disponible para ser disipada) b) la presión que existe en la sección a la mitad de la tubería, si dicha sección se encuentra a la misma elevación que el nivel del tanque inferior, siendo que la mitad de la energía disponible se pierde desde el tanque superior hasta dicha sección.
Aplicando la ecuación de la energía entre los tanques 1 y 2 (superficie libre del agua) tomando como plano horizontal de comparación el punto 3
ITT
50 JCAA
+ 2 + = + 2 + + ℎ 0+0+37=0+0+0+∑ 0+0+37=0+0+0+ ∑ ℎ ∑ ℎ = 37 0. 2 5 = 4 = 4 =0.0491
b) El área de la sección de la tubería es
por lo tanto la velocidad media vale
= = 0.0.0149128 =2.607 ⁄
Aplicando la ecuación de la energía ente la los puntos 1 y 3, considerando que se tiene una pérdida de energía de 18.50 m hasta ese punto .
+ 2 + = + 2 + + ℎ 0+ 0+ 3737 = + 2 + 0 + 18.50 = 2.19.60762 + 18.50 37 = 18.153 =18153
BOMBAS
ITT
51 JCAA
En la figura siguiente se muestra la disposición de las líneas de energía, y de cargas piezométricas, de una instalación de bombeo donde el flujo es permanente.
La ecuación de la energía se escribe como
+ 2 + ℎ− + = + 2 + +ℎ− + 2 + + = + 2 + +ℎ− +ℎ−
Por lo que respecta al termino H ab este se emplea como una energía añadida al flujo y tiene las dimensiones de una longitud. En efecto, por definición de potencia
P=QH donde: =
peso específico del líquido, en kg/m 3
H = Energía total respecto al plano de referencia, en m Q = gasto en la sección considerada en m 3/s P = potencia del líquido en kg m/s por lo tanto tenemos que
ITT
= 52 JCAA
La potencia, es la energía neta por unidad de peso que cede (turbina) o se transmite al líquido (bomba) por efecto de la máquina. La ecuación de la potencia de la bomba se escribe como
en donde
=
n = eficiencia de la bomba k = es un coeficiente que depende de las unidades empleadas
80% bombas tipo casero n= 90 % bombas grandes
75 P en c.v 76 P en H.P k= 102 P en K.W 1 P en kg.m/ kg.m/ss
EJERCICIO La bomba B comunica una altura de 50 m de agua que fluye hacia el punto E, como se muestra en la figura siguiente. si la presión en el punto C es de -0.2 kg/cm2 y la pérdida de carga de D a E es de
ITT
5
, determinar el gasto.
53 JCAA
Aplicando la ecuación de la energía entre C y E, el plano horizontal de comparación es el que pasa por el punto C.
+ 2 + + = 2 + 2 + +ℎ− +0+50=0+ +36+5 − + . . . -2+50=36+0.255 v 302 v30 = 6.86 m/s Q = (6.86)( 0.152)= 0.49 m3/s
Que potencia de bomba en C.V se requiere para producir una carga de H m?
ab=
50
= = 1000750.4950 = 32326.6.6767 ..
EJERCICIO En el sistema mostrado en la figura siguiente, la bomba BC debe producir un gasto de 160 l/s de un aceite de densidad relativa igual a 0.762 hacia el recipiente D, suponiendo que la pérdida de energía entre A y B es de 2.5 m y entre C y D de 6.5 m. a) Que potencia en C.V. debe suministrar la bomba b) Dibujar la línea de alturas totales ITT
54 JCAA
Aplicando la ecuación de la energía entre los puntos A y D (en la superficie del agua), plano de referencia el que pasa por la bomba BC
+ 2 + + = + 2 + +ℎ−− +ℎ− 0+0+12+H ab = 0+0+57+2.5+6.5 Hab = 54 m
La potencia de la bombas será
= = 7620.751654 = 8787..78 ..
EJERCICIO
ITT
55 JCAA
Un aceite de densidad relativa de 0.761 está fluyendo de A a E, según se muestra en la figura siguiente. Las distintas pérdidas de carga pueden suponerse como sigue de A a B = 0.60 V 302/2g de B a C = 9.00 V 302/2g de C a D = 0.40 V 152/2g de D a E = 9.00 V 152/2g
Determinar: a) El gasto b) La presión en el punto C c) La potencia de la bomba en el punto C en C.V tomando como plano de referencia el que pasa por el punto E a) Aplicando la ecuación de la energía en la superficie libre del agua en los puntos A y E, plano horizontal horizontal de comparación el que pasa por E.
+ 2 + = + 2 + +ℎ− +ℎ− +ℎ− +ℎ− 0+0+12=0+0+0+0.60 2 +9.0 2 +0.40 19.62 +9.0 19.62 0+0+12=0+0+0+9.60 2 +9.40 19.62 12 = 0.49 +0.48 ……. 1 = 4 = 16 ……..2
ITT
56 JCAA
Sustituyendo 2 en 1
12 = 0.49 +0.48(16) 12 = 0.49 + 7.6868 = 1.2121 / 0. 0. 3 0 = = 1.21 4 =0.086 b) Aplicando la ecuación de la energía entre A y C, plano de referencia el que pasa por A
+ 2 + = + 2 + + ℎ−− +ℎ− 0+0+0= + 2 + +0.60 2 +9.0 2 0+0+0= +10.6 2 +0.60 1. 2 1 0 = +10.6 19.62 +0.60 = 1.1.39 = 1.39761 =1057.8
c)
La carga hidráulica en C es
y la potencia en C es
ITT
= + 2 + 1. 3 95 1. 2 16 = 761 + 19.62 + 12 = 11.28 57 JCAA
= 75 = 7610.0758611.28 = 9.85 .. EJERCICIO
Si la bomba mostrada en la figura siguiente desarrolla 6 C.V. sobre el flujo.¿ cuál seré el gasto que circula a través del sistema de tuberías?
Aplicando la ecuación de la energía entre los puntos A y B, plano horizontal de comparación el eje de la tubería.
Por otro lado se tiene
+ 2 + + = + 2 + + 2 +0+ = + 2 + 0 2 + 2 = ………..1
= = ++ 0.90 = ++0.90 + 100 + 135700.90 = +1000+900 1000 =11.313………..2
ITT
58 JCAA
Sustituyendo 2 en 1
Se tiene también que
sustituyendo 4 en 3
2 + 2 = 11.313 … . . .3 = = 4 = 4 = 0. 2 0 = 0.25 = 0.64 ………4 0.642 + 2 = 1111..313 0.0303 =11.313…..5 = = 75 = 75 6 ………..6 = 0.750314 pero
sustituyendo 6 en 5
ITT
59 JCAA
75 6 0. 0 03 3 =11.313 0.0314 14.33 0.03 =11.313 Resolviendo la ecuación V20 = 1.2614 m/s
0. 2 0 = =1.2614 4 =0.039
En la siguiente figura se muestra el esquema de una turbina, en las estaciones hidroeléctricas la turbina queda generalmente muy próxima a la sección 2 y las pérdidas en dicha sección son depreciables. En este caso la ecuación para determinar la potencia de la turbina se escribe como:
=
ITT
60 JCAA
EJERCICIO A través de la tubería que se muestra en la siguiente figura circula 0.22 m 3/s de agua y las presiones en A y en B son respectivamente 1.5 kg/cm 2 y -0.35 kg/cm. Determinar la potencia en C.V comunicada por la corriente a la turbina.
Aplicando la ecuación de la energía entre los puntos A y B, plano de referencia el que pasa por el punto B. (se desprecian las pérdidas de energía)
+ 2 + = + 2 + + = 4 = 0.40.3022 =3.11 ⁄ = 4 = 0.40.6022 =0.78 ⁄ 15000 3. 1 1 3500 0. 7 8 1000 + 19.62 +1. 0 = 1000 + 19.62 +0+
Determinación de las velocidades
Hab = 19.96 m
Determinación de la potencia de la turbina
= 75 = 10000.752219.96
ITT
61 JCAA
P = 58.55 C.V
ITT
62 JCAA
ORIFICIOS Y COMPUERTAS
Orificio es toda abertura realizada o existente en un depósito, por debajo del nivel superior del del líquid quido, o, ya sea sea en la pare paredd late latera rall o en el fond fondo. o. La fina finalilida dadd habi habitu tual al de un orif or ific icio io es medi medirr o controlar el flujo.Para hacer una clasificación de los orificios se pueden tener en cuenta algunas características importantes de los mismos, como a) Según el espesor de la pared:
Orificios en pared delgada Orificios en pared gruesa
El espesor de la pared, para los primeros, tiene que ser menor que la mitad de la mínima dimensión del orificio, no debiendo exceder su espesor de 4 a 5 cm. También se considerarán orificios en pared delgada, aquellos que estén tallados a bisel.
b) Según el nivel de la superficie libre:
Orificios de nivel constante Orificios de nivel variable
c) Según el nivel del agua, aguas abajo:
ITT
Orificios libres Orificios sumergidos
63 JCAA
Ecuación general de los orificios
La figura anterior representa un orificio de pared delgada en el lado de un gran depósito que tiene un gasto Q A debido al tirante H, entonces el escurrimiento que se presenta es constante, comparando además que la superficie del depósito sea mucho mayor que la del orificio, las partículas que están muy alejadas de este no tendrán una velocidad significativa y aplicando el teorema de Bernoulli entre las secciones 1 y 2, se tiene
+ 2 + = + 2 + + = 2 = + = = 2 2 = 2 2 = por lo tanto
Velocidad teórica teórica o ecuación ecuación de Torricelli Torricelli
La velocidad real en el chorro será menor que la velocidad teórica debido a la resistencia de fricción que se produce cuando el fluido entra al orificio, a la razón de la velocidad real (VR ) con la velocidad teórica (Vt) se le denomina coeficiente coeficiente de velocidad (C V)
= =
Por lo que la velocidad real en el orificio será: ITT
64 JCAA
= = 2…………. 2 ………….1
Al coeficiente del área A' 0 del chorro de la sección contraída entre el área A 0 del orificio se le denomina coeficiente de contracción (C C)
Entonces
= 2 2
′ = ′ =
Llamando
Cd = coeficiente de descarga o de gasto Cd = C V CC
= 2………2 2 ………2
Que es la ecuación general para determinar el gasto en orificios de pared delgada Los coeficientes de velocidad, contracción y gasto, en un orificio, son función del número de Reynolds , De acuerdo con los resultados de diferentes investigadores, para orificios circulares sus valores tienen la variación mostrada en la figura siguiente.
ITT
65 JCAA
Se observa a que para números de Reynolds R e > 10 5, los coeficientes C V, CC y Cd, son independientes de dicho número y adquieren los valores constantes siguientes: C V = 0.99 CC = 0.605 Cd = 0.60 Si al aplicar la ecuación de Bernoulli para deducir la ley de Torricelli se incluyen las pérdidas de energía nos queda.
+ = 2 = 2 + ℎ ℎ = 2 ………..3 = 2 2 = 2 1 1 ℎ = 2 2 ℎ = 2 1 1
Si se despeja H de la ecuación de velocidad real
sustituyendo en la ecuación 3
Si llamamos
ℎ = ITT
= 1 1 Ecuación general de pérdidas locales
66 JCAA
EJERCICIO Se practica un orificio de pared delgada de 12 cm de diámetro a la profundidad de 2.40 m. Determinar: a) La velocidad teórica y el gasto teórico b) La velocidad real y el gasto real c) El diámetro de la sección contraída
SOLUCIÓN a) Determinación de la velocidad teórica
El gasto gasto teórico es Q =VA =VA
= 2 2 = 29.8112.2.40= 0 = 6.8686 / / 0. 1 2 = 6.866 4 =0.077
b) Determinación de la velocidad real
=
El coeficiente V R se se determina con ayuda de la gráfica del coeficiente de gasto
ITT
67 JCAA
Cálculo del numero de Reynolds
donde
=
R e = número de Reynolds V = velocidad media en el el orificio; en m D = diámetro del orificio; en m v = viscosidad cinemática del agua; en m 2 /s
por lo que C V = 0.99
= 6.1866100.−12 =823200
= 2 2 =0.99 9 29.9.8112.40=6.79 ⁄ = 2 2 0. 1 2 = 0.600 4 19.19.622.40=0.047 ′ = 0. 1 2 2 ′ = 0.611 4 = 0.0068 4 =0.0068 40.0068 = 0.093093 = 40.
Cd = 0.60 (ver gráfica) y el gasto real será de
c) Determinación del diámetro de la sección contraída
CC = 0.61 (ver gráfica)
ITT
68 JCAA
ORIFICIOS CON CONTRACCIÓN INCOMPLETA Se puede decir que existen dos tipos de contracción incompleta en un orificio a) Cuando las paredes o el fondo del recipiente se encuentran a distancias inferiores a 3D (D es el diámetro de los orificios) o bien, a 3a (a, es la dimensión mínima en orificios rectangulares), se dice que la contracción es parcialmente suprimida.
b) Si se llega al caso extremo en que una de las fronteras del recipiente coincide con una arista del orificio, se dice que la contracción es suprimida en esa arista; en tal caso el orificio se apoya sobre la pared del recipiente
En cualquiera de los casos anteriores deben corregirse los valores de los coeficientes de descarga. En el caso de contracción parcialmente suprimida, se puede utilizar la siguiente ecuación empírica
= 1+0.641 ITT
69 JCAA
En donde Cd es el coeficiente de descarga del orificio Cd0 es el coeficiente del gasto del mismo orificio con contracción completa completa Ao el área del orificio AT es el área de la pared en contacto con el agua
EJERCICIO El orificio de pared delgada, mostrado en la figura siguiente, es cuadrado (a = 18 cm) y trabaja con una carga h = 0.5 m. Sobre la superficie libre del líquido actúa una presión de p0 = 1.45 kg/cm 2. Determinar el gasto que descarga el orificio.
SOLUCIÓN Como se puede apreciar, es un orificio de pared parcialmente suprimida debido a que la pared del recipiente se encuentra a una distancia menor de 3a, por lo que el factor de descarga o gasto se tendrá que corregir.
ITT
70 JCAA
= 1+0.641 = 2 2 14 500 ℎ = = 1000 = 14.14.5 = 19.6220.5+14.5=17.16 ⁄ 1660.−18 = 3 088088 800800 = 17.110
Determinación Determinación de la velocidad teórica
Por lo que el número de Reynolds será
de la gráfica se obtiene que Cd = 0.60
Cálculo de las áreas A0 = a2 = (0.18) 2 = 0.032 m 2 AT = (0.3(0.5+0.09+0.1)) = 0.21 m 2 Entonces
Cd = 0.66
0. 0 32 =0.601+0.641 0.21
Cálculo del gasto
= 0.6660.032 32 19.6221515 Q = 0.36 m 3 /s
ITT
71 JCAA
ORIFICIOS CON DESCARGA SUMERGIDA Cuando el orificio descarga a otro tanque cuyo nivel está por arriba del canto inferior del orificio, se dice que la descarga es ahogada o parcial
En el caso de descarga ahogada total se puede establecer una ecuación análoga a la ecuación general, con la única diferencia que la energía total H es entonces H (diferencia de niveles entre los dos recipientes; el gasto será
= 2∆ 2∆
Se recomienda utilizar el mismo coeficiente de gasto Cd que el de un orificio de descarga libre.
Cuando el ahogamiento es parcial, el gasto total descargado por el orificio se puede expresar como la suma de Q1 y Q 2, donde Q1 es el gasto correspondiente a la porción del orificio con descarga ahogada, es decir
= 2 2 = 2 2
y Q2 es el gasto de d e la porción libre del orificio con descarga libre
Schlag propone que C d1 = 0.70 y C d2 = 0.675 en el caso de que el orificio tenga un umbral en el fondo, como en las figuras anteriores . EJERCICIO Determinar el gasto que pasa a través del orificio circular que tiene un diámetro de 15 cm, mostrado en la figura siguiente
ITT
72 JCAA
SOLUCIÓN
En este caso A1 = A2
Cd1 = 0.70 por lo que
Cd2 = 0.675
= 2 2 0. 0 75 75 = = 2 = 2 = 0.0088088
= 0.7000.0.0088 088 19.62222 = 0.0386 = 0.675 750.0.0088 088 19.6221.1.96262 = 0.0368 = + =0.0386+0.0368=0.0754
COMPUERTAS Una compuerta consiste en una placa móvil, plana o curva, que al levantarse permite graduar la altura del orificio que se va descubriendo, a la vez de controlar la descarga producida. El orificio generalmente generalmente se hace hace en el piso de un canal y el borde inferior de la compuerta, por lo que su ancho coincide con el del canal.
ITT
73 JCAA
Determinación Determinación de la ecuación del gasto que pasa bajo una compuerta
Se establece la ecuación de la energía entre una sección 1, aguas arriba de la compuerta y la sección contraída.
= + 2 = + 2 ………1 = = …………2 + 2 = + 2
De la ecuación de la continuidad tenemos que y considerando un ancho b.
sustituyendo 2 en 1
por lo tanto la velocidad
2 = 1 1 2 = 1 1+ 1 + 1 = 1 + 2 2
En donde C V es el coeficiente de velocidad. ITT
74 JCAA
El gasto es
= 1+ 2 2 = 2 2
ECUACIÓN GENERAL DEL GASTO PARA COMPUERTAS
en donde
= 1+ ………3
o bien
1 1 = 2 + 2 +
En la ecuación 3
1 +
sirve para considerar el empleo de y1 en lugar de H.
Si la descarga es sumergida con un tirante y 3 en el canal, aguas abajo de la compuerta, se puede hacer un desarrollo análogo al anterior y se obtiene la misma ecuación general de compuertas. Los coeficientes de velocidad, contracción y gasto los han obtenido experimentalmente muchos investigadores; sin embargo, en ningún caso se han encontrado coincidencias en los resultados. r esultados.
ITT
75 JCAA
Gentillini realizó realizó investigaciones investigaciones en compuertas planas inclinadas inclinadas y radiales con descarga libre. en la figura siguiente se presentan los coeficientes de gasto Cd obtenidos en compuertas planas con un ángulo de inclinación en términos de la relación y 1 /a /a
Con base en las experiencias experiencias de de Gentilini, Knapp propone una ecuación para calcular el coeficiente de velocidad en compuertas verticales con descargas libres en función de a/H, la cual se modifica para que sea congruente y que la dependencia sea con a/y 1 ITT
76 JCAA
=0.960+0.0979
Tiene como límite superior C V = 1, el cual se alcanza para a/y 1 =0.408 Para fines prácticos se recomienda un valor de C c = 0.62 para cualquier relación de a/y1inclusive para descarga sumergida. Cuando el labio inferior de la compuerta se redondea, los coeficientes de contracción y gasto (correspondientes a la arista afilada) se multiplican por un coeficiente que varía de acuerdo con la relación r/a como se muestra a continuación
Para
compuertas
radiales
=0.960+0.0979 Knapp
encontró
una
ecuación
semejante
a
para calcular el coeficiente de velocidad el cual queda también en función del ángulo de inclinación , de la tangente al labio inferior de la compuerta.
= 0.960 960 + 0.0.00161 016155 0.0475
Donde C V tienen nuevamente como límite superior C V = 1. Esta ecuación proporciona valores muy aproximados en compuertas planas e inclinadas al mismo ángulo . En la figura siguiente se presentan los valores del coeficiente de gasto obtenidos por Gentilini en compuertas radiales y en función del ángulo y de la relación y 1 /a /a
ITT
77 JCAA
EJERCICIO En la compuerta mostrada en la figura siguiente calcular: a) La abertura que debe tener para descargar un gasto de 7 m 3 /s b) Con esta misma abertura calcular el gasto que descarga cuando el tirante aguas abajo es de y3 = 1.80 m
ITT
78 JCAA
a) De la ecuación
se despeja a
= 2 2 = 2 2 = 3 19.76222.40 = 0.34
Se propone un valor de Cd = 0.60
= 0.0.3640 =0.566 = 0.2.54660 =4.24
De la gráfica de coeficiente del gasto se obtiene que Cd = 0.57 entonces, se calcula nuevamente "a"
Se obtiene Cd = 0.56
= 0.0.3547 =0.596 = 0.2.54960 =4.03 = 0.0.3546 =0.607 = 0.2.64070 =3.95
por lo tanto se acepta que a = 0.60 m Cálculo de y2
ITT
= =0.960+0.0979 =0.960+0.0979 0.2.64 79 JCAA
C V = 0.98
1 1 = 2 + 2 + 1 0.6 0.56 0.56 1 0. 6 0. 5 6 = 2 2.4 0.98 + 2 2.4 0.98 + 0.98 CC = 0.63
= 0.6330.0.600 = 0.3838 = 2 2 = 2.0.460 = 6 = 1.0.860 = 3 = 0.4330.0.6 19.6222.2.4
b) Cálculo del gasto si la compuerta está ahogada (y 3 = 1.80m)
Se determina
De la gráfica se obtiene que Cd = 0.4
Q = 4.94 m 3 /s
ORIFICIOS DE PARED GRUESA O TUBO CORTO Cuando la pared en el contorno de un orificio no tiene aristas afiladas, el orificio es de pared gruesa o tubo corto como se muestra en la figura siguiente.
ITT
80 JCAA
En este tipo de orificios se observa que el chorro, una vez que ha pasado la sección contraída, tiene todavía espacio dentro del tubo para expandirse y llenar la totalidad de la sección. Entre la sección contraída y la final ocurre un rápido descenso de la velocidad acompañado de turbulencia y fuerte pérdida de energía. La ecuación para calcular la velocidad de salida es la misma que la de los orificios de pared delgada
= 2 2
Donde C V = 0.82 cuando e/D = 3, además siendo ahora C c = 1 y Cd = C v = 0.82 La pérdida de energía será
∆ℎ =0.49
Cuando e/D > 3, empieza a tener influencia la fricción y el tubo corto debe considerarse como un conducto a presión, incluyendo todas sus pérdidas de energía.
ITT
81 JCAA
ITT
82 JCAA
VERTEDORES VERTEDORES Cuando la descarga del líquido se efectúa por encima de un muro o una placa y a superficie libre, la estructura hidráulica en la que ocurre se llama vertedor. Cuando la descarga se realiza sobre una placa con arista aguda, el vertedor se llama de pared delgada. Cuando el contacto entre la pared y la lámina vertiente es más bien toda una superficie, el vertedor es de pared gruesa. El punto o arista más bajo de la pared en contacto con la lámina vertiente, se conoce como cresta del vertedor; el desnivel entre la superficie libre, aguas arriba del vertedor y su cresta, se conoce como carga.
Considérese un vertedor de pared delgada y sección geométrica, como se observa en la figura anterior, cuya cresta se encuentra a una altura w, medida desde la plantilla del canal de alimentación. El desnivel entre la superficie inalterada del agua, antes del vertedor y la cresta, es h y la velocidad uniforme de llegada del agua es V o de tal modo que.
=ℎ+ 2
Si w es grande, la carga de velocidad velocidad es despreciable despreciable y H = h Aplicando la ecuación ecuación de Bernoulli entre los puntos 0 y 1, se tiene
o bien
ITT
ℎ + 2 = ℎ ℎ++ 2 =ℎ+ 2 = + 2
83 JCAA
Si
se desprecia, la velocidad en cualquier punto de la sección es
= 2ℎ 2ℎ = 2 2 2 ℎ ℎ
El gasto que pasa a través tr avés del área elemental de la figura es
considera el efecto de contracción de la lámina vertiente
=2√2ℎ =2√2ℎ ℎ
ITT
84 JCAA
ITT
85 JCAA
UNIDAD IV FLUJO EN CONDUCTOS A PRESIÓN Pérdidas de energía Al desplazarse el líquido de un punto a otro del conducto, la energía total va disminuyendo debido a la fricción ocasionada por el movimiento del agua en la tubería, o por pérdidas locales provocadas por piezas especiales y demás características de una instalación, tales como curvas, válvulas, piezas de derivación, reducción o aumento de diámetro, etc.
ℎ = ℎ + ℎ Cuando se trata de conductos cerrados, el único tipo de energía que puede perderse por razón del movimiento del fluido es la energía de presión, ya que la energía cinética debe permanecer constante si el área es constante para caudal constante, y la energía de posición solo depende de los desniveles topográficos, tal como se ilustra en la figura f igura siguiente
Pérdidas por fricción Al desplazarse una masa líquida por un conducto se originan esfuerzos tangencial es que se oponen al movimiento debido a la influencia de las rugosidades, de la viscosidad del fluido y la turbulencia turbulencia del flujo. Las pérdidas por fricción se presentan a lo largo de su longitud debido a: En régimen de flujo turbulento: mezcla entre las partículas del fluido y rozamiento entre fluido y las fronteras sólidas del conducto que confinan a la vena líquida. En régimen de flujo laminar: rozamiento entre fluido y las fronteras sólidas del conducto que confinan a la vena líquida. No existe mezcla de las partículas. ITT
86 JCAA
Existe un gran número de fórmulas para el cálculo de tuberías con flujo turbulento las cuales se han desarrollado con el objetivo de representar en forma matemática la resistencia al flujo a lo largo de un conducto. Esta resistencia al flujo comprende las fuerzas viscosas y las de fricción. Para conocer el problema de la resistencia resistenci a al flujo es necesario recordar el comportamiento de los fluidos como resultado de las características viscosas del fluido. Reynolds Osborne (1883) con base en los experimentos fue el primero que propuso el criterio para distinguir los tipos de flujo mediante el número que lleva su nombre, el cual permite calcular la preponderancia de las fuerzas viscosas sobre las de inercia. En el caso de de un conducto cilíndrico a presión el número de Reynolds se define como
=
donde: Re = número de Reynolds V = velocidad media en la sección del tubo D = diámetro del tubo = viscosidad cinemática para tuberías: Si Re < 2000 se tiene flujo laminar Si Re > 4000 se tiene flujo turbulento si 2000 < R e < 4000 se tiene flujo en transición. La energía que el fluido gasta en vencer la resistencia al flujo es la pérdida por fricción y está dada por la siguiente ecuación general:
ℎ =
Ecuación de Darcy-Weisbach
donde: hf = = pérdida de energía por fricción; m f = factor de fricción f( , Re) L = longitud de tubería; m
ITT
87 JCAA
D = diámetro de la tubería; m V = velocidad media; m/s g = aceleración de la gravedad; m/s 2 = rugosidad absoluta del material de tubería
Para determinar f se puede utilizar la ecuación de Colebrook-White, la cual relaciona f con el número de Reynolds, pero es un poco difícil resolver esta ecuación ya que es una función implícita de f (se resuelve por métodos iterativos. Poiseuille, en 1846 fue el primero en determinar matemáticamente el factor de fricción de Darcy-Weisbach en flujo laminar y obtuvo una una ecuación para determinar dicho factor , que es
= 64 = 64
la cual es válida para tubos lisos o rugosos.
Para flujo turbulentos y tuberías lisas Blasius determinó la siguiente ecuación:
= 0.3164
Con base a resultados anteriores Moody realiza un diagrama universal que lleva su nombre para determinar el coeficiente de fricción.
ITT
88 JCAA
Ecuación de Colebrook - White (1937, 1939)
1 = 23.7 + 2.5 1
La última ecuación explícita, y por consiguiente la más exitosa, apareció en el año de 1976 y fue desarrollada por los investigadores Prabhata K. Swamee y Akalank K. Jain, siguiendo los pasos por Colebrook y White determinaron que
= 1.3+255.74 3.7 . = 0.2+5 5.74 3.7 .
Guerrero propuso en 1995 la ecuación modificada de Colebrook y White, para el cálculo del coeficiente de pérdidas en flujos turbulentos. Esta es explícita y los resultados obtenidos con ella se ajustan suficientemente bien a los calculados con la fórmula implícita de Colebrook - White ITT
89 JCAA
G = 4.555 y T = 0.8764 G = 6.732 y T = 0.9114 G = 8.982 y T = 0.93
= 0.25+ 3.7 4000 ≤ < 10 10 ≤ ≤ 3 1010 3 10 ≤ ≤ 10
EJERCICIOS 4.1.- Determinar la potencia necesaria de una bomba en HP para conducir 50 toneladas de aceite por hora en una tubería que tiene 10 cm de diámetro y 16 m de longitud, la densidad relativa del aceite es 0.916 y tiene una viscosidad cinemática de 0.00186 m 2/s SOLUCIÓN
ITT
= 50 000 = = = 54. 54 . 5 8 916 =54.58 ℎ =0.0151 1 51 = = 40. =1. 9 1 0.100 ⁄ 0.10 =102.69 <2000 = = 1.0.9010186 = 64 = 102.6469 =0.623 90 JCAA
ℎ = 2 16 1. 9 1 ℎ =0.6230.10 19.62 = 18.44 15118.44 = 3.33 . = − = 9169160.0.076151 . 4.2.- Un aceite de = 800 kg/m3 es bombeado en un tubo de 0.305 m. y 8000 m de longitud, la viscosidad cinemática es de 2.33 x 10 -6 m2/s, la rugosidad absoluta del tubo es de 0.076 cm. El gasto en el tubo es de 221 l/s. Calcular la pérdida de energía por fricción y la potencia que requiere la bomba si su eficiencia es del 75 %. Determinación de la velocidad
= 4 0. 2 21 = = 0.305 =3.02 ⁄ = = 3.2.03230.10305− = 393955 321. 321.88
Cálculo del numero de Reynolds
es flujo turbulento
De acuerdo al diagrama de Moody, f = 0.0245 Cálculo de la pérdida de eneergía
ℎ = 2 8000 3. 0 2 ℎ = 0.0245 245 0.305 19.62 = 298.72 Determinación de la potencia de la bomba
= −
ITT
91 JCAA
= 8000.0.7255217575298. 72 = 938 .
4.3.- Determinar el diámetro de un tubo de acero con rugosidad absoluta igual a 0.0000458 m para transportar un gasto de 0.25 m 3/s de un aceite de viscosidad cinemática igual a 0.00001 m 2/ a una distancia de 3000 m y con una pérdida de energía por fricción de 23 m. Se tiene que
sustituyendo 2 en 1
por otro lado se tiene que
sustituyendo 2 en 3
ITT
ℎ = 2 … … 1 = = 4 ……..2 4 ℎ = 2 16 ℎ = 2 8 ℎ = = ℎ8 8 = ℎ ……. 3 = … … 4
= 4 92 JCAA
= 4 …….. 5
Para determinar el diámetro necesario se propone un valor de f en la ecuación 3 en este caso se propone f = 0.05
de donde se tiene que
8 0. 3000 8 0. 2 5 5 = 3000 239.81 = 0.0.67 = 0.670.05 = 0.51 0.000125 = 31830 = 0.400001 = 31830 0.51 =62413
Se revisa si el factor de fricción propuesto es el adecuado se calcula la rugosidad relativa
− = = 0.0000458 = 8. 9 1 10 0 0.51
del diagrama de Moody se obtiene que f = 0.02
Dado a que el valor obtenido es diferente al valor propuesto se vuelve a calcular el diámetro del tubo utilizando valor obtenido de f, este proceso termina hasta que se se repita el valor de f o el diámetro del tubo. 4.4.- Está fluyendo agua desde el depósito A, a través de una tubería de fierro galvanizado de 10 cm de diámetro y 150 m de longitud hasta el punto B como se muestra en la figura siguiente, ¿Qué presión tendrá que actuar sobre A para que circulen circ ulen 13 l/s.
ITT
93 JCAA
Determinación de la velocidad
4 0. 0 13 = = .01010 = 1.6666 / /
Se aplica la ecuación de la energía entre los puntos A y B, tomando como plano horizontal de comparación el que pasa por el punto A.
+ 2 + = + 2 + + ℎ +0+0= 0+ 19.1.6662 +6+ 0.15010 19.1.6662 6660.0.−100 =166000 = = 1.110
Calculo del factor de fricción
la rugosidad absoluta del fierro galvanizado es de 0.15 mm = 1.5 x 10 -4 m Aplicando la ecuación de Swamee y Jain
por lo que
ITT
= [ 1.325+ 5.7.4] 3.7 − 1. 5 10 5. 7 4 = 3.70.0.100 + 166000. = 0.0232 = 19.1.66662 + 6 + 0.0232 150 1. 6 6 6 232 0.10 19.62 = 1111..03 94 JCAA
=11030
4.5.- Mediante una bomba se transporta agua a través de 305 m de tubería lisa, de 5.1 cm de diámetro hasta un depósito de 3.05 m más elevado que el depósito de alimentación. Despreciando las pérdidas menores, determinar la potencia de la bomba en C.V, si su rendimiento es del 80 % para un caudal de 3.71 l/s.
Determinación de la velocidad del agua
4 0. 0 0371 = = .05151 = 1.8282 / / + 2 + + − = + 2 + + ℎ 0+0+0+− =0+0+3.05+ℎ = = 1.18220.100.−05151 =92820 = 0.3164 =0.018
Se aplica la ecuación de la energía
Según Blasius
por lo que
entonces
ITT
305 1. 8 2 2 ℎ = 0.018 0.051 19.62 = 1818..17 − = 3.05 + 18.17 = 21.22
95 JCAA
y la potencia de la l a bomba será
= − 21. 10000.0.0.8000371 0371 21. 2 2 2 = 1000 75 = 1.312312 ..
Pérdidas locales (en accesorios) •
•
•
Además de las pérdidas de carga continuas o por rozamiento, vimos que se produce otro tipo de pérdidas debido a fenómenos de turbulencia que se originan al paso de líquidos por puntos singulares de las tuberías, como cambios de dirección, codos, juntas, derivaciones, etc, y que se conocen como pérdidas de carga accidentales, accidentales, localizadas o locales (h L), que sumadas a las pérdidas de carga por fricción (h f ) dan las pérdidas de carga totales (h r). Salvo casos excepcionales, las pérdidas de carga localizadas sólo se pueden determinar de forma experimental. Estas pérdidas pueden expresarse en función de la altura cinética corregida mediante un coeficiente empírico K.
ℎ = 2
•
El coeficiente K es adimensional y depende del tipo de singularidad y de la velocidad media en el interior de la tubería. Las pérdidas locales pueden ser por pérdidas por entrada pérdidas por rejilla pérdidas por ampliación Pérdidas locales
pérdidas por reducción pérdidas por cambio de dirección pérdidas por válvula pérdidas por salida pérdidas por bifurcación
ITT
96 JCAA
4.6.- Desde el depósito A cuya superficie libre que está a una cota de 25 m, fluye agua hasta otro depósito B cuya superficie libre está a una cota de 18 m. Los depósitos están conectados por una tubería de 30 cm de diámetro y 30 m de longitud (f = 0.020), seguida por otra tubería de 30 m de longitud y 15 cm de diámetro (f = 0.015), existen dos codos de 90 o en cada tubería (K= 0.5), el coeficiente K en la contracción es de 0.75. Si la cota de contracción brusca es de 16 m, determinar la altura de presión en la tubería de 30 cm y 15 cm en el cambio de sección.
ITT
97 JCAA
