´ Herramientas Utiles Leonardo Leonard o Ignacio Mart´ Mart´ınez Sandoval
´ Algebra Identidades 1 • ( 1+1) = 1 − +1 • 1 + 2 + 3 + · · · + n = ( 2+1) +1) • 1 + 22 + 32 + · · · + n2 = ( +1)(2 6 • 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2 • 1 + a + a2 + · · · + a = −1−1 si a = 1 n
n n
n
n n
n n
n
n
an+1 a
−c = +c = dc entonces ab+ = ab− d d restar arriba y abajo y obtenemos la misma fracci´on. on. El truco de las razones Si
a b
a , b
es decir, podemos sumar o
Factorizaciones y productos notables
• a2 − b2 = (a + b)(a − b) • a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 • a2 − 2ab + b2 = (a − b)2 = ( b − a)2 • a − b = ( a − b)(a −1 + an − 2b + · · · + ab −2 + b −1) p or −b y obtener a • Si n es impar, en la identidad anterior podemos substituir b por − − − − 1 2 2 1 (a + b)(a − a b + ·· · − ab + b ). on de Sophie-Germain: a4 + 4b4 = (a2 + 2b2 − 2ab)(a2 + 2b2 + 2ab) • Factorizaci´on • x3 + y3 + z3 − 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 − xy − yz − zx) • x3 + y3 + z3 − 3xyz == (x + y + z) ( − ) ( −2 ) ( − ) • (x − a)(x − b) = x2 − (a + b)x + ab • (x − a)(x − b)(x − c) = x3 − (a + b + c)x2 + (ab + bc + ca)x − abc n
n
n
n
n
n
n
n
n
+ bn =
n
x y
2
y z
2
z x
2
Las ultimas u ´ ltimas dos identidades nos permiten poner los coeficientes de un polinomio de grado dos o tres en t´erminos erminos de sus ra´ıces. ıces. Estas son algunas de las identidades de Vietta. Si tienes una ecuaci´on on cuadr´atica atica ax2 + bx + c, entonces ra´ıces√ (es decir, los valores valores de x √ 2 sus ra´ 2 para los cuales esta expresi´ on on se hace cero) son −b+ 2ba −4ac y −b− 2ba −4ac .
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Exponentes y logaritmos
Propiedades de los exponentes:
• a0 = 1 • a + = a · a • (a ) = a · • (ab) = a · b • a−1 = 1 b c
b
b c
c
bc
c
c
c
a
El logartimo base a de un n´ umero umero b , que denotaremos por loga b es el n´ umero umero al cual se tiene que elevar a para obtener b . Por ejemplo, log2 8 = 3 pues al elevar 2 a la potencia 3 obtenemos 8. A partir de las propiedades de los exponentes se obtienen las siguentes propiedades para los logaritmos: logaritmos:
• log 1 = 0 • log (b · c) = log b + log • log (b ) = c log b • log log = log a • log ( 1 ) = − log b a a
a
a a c b c
c
a
c
a
b
a b
a
Desigualdades
Los n´ umeros reales se dividen positivos, negativos y el cero. Los positivos se colocan a la umeros derecha del 0 y los negativos a su izquierda. Una multiplicaci´ on on por 1 la podemos pensar ◦ como una rotaci´ on on de 180 centrada en 0 de la recta real. Hacer dos veces esto deja fija la recta real, por lo que ( 1)( 1) = 1 y en general ( a)( a) = a 2 .
−
− −
− −
Estas observaciones nos permiten afirmar que para cualquier real r tenemos r2
≥ 0.
Las desigualdades se pueden sumar, si a > c y b > d entonces a + b > c + d. Multiplicand Multiplicandoo una desigualdad por un n´ umero positivo se preserva y por uno negativo se invierte, es decir, umero si a > b entonces ra > rb si r > 0 y ra < rb si r < 0. El valor absoluto de un n´ umero umero x es su distancia al cero. Como las distancias son positivas, si el n´ umero es negativo entonces se le debe cambiar de signo para hacerlo positivo. Por umero ejemplo, 3 = 3, 2,5 = 2,5, 0 = 0. Podemos calcular la distancia entre dos n´ umeros umeros por x y , lo cual es lo mismo que al mayor restarle el menor. La desigualdad del tri´ angulo angulo dice a + b . que a + b
| | | − | | − | | | ≤ | | | |
| | | |
Algunas desigualdades algebr´ aicas: aicas:
• r2 ≥ 0 entre la media geom´etrica etrica y la media aritm´etica. etica. Para a, b ≥ 0, tenemos • Desigualdad √ + que 2 ≥ ab. La igualdad se da s´ olo olo cuando a = b . • Desigualdad del reacomodo. Si a1 ≥ a2 ≥ ·· · ≥ a y b1 ≥ b2 ≥ ·· · ≥ b entonces: a b
n
2
n
a1 b1 + a2 b2 +
· · · + a b ≥ a1b + a2b −1 + · · · + a b1 n n
n
n
n
Algunas desigualdades desigua ldades geom´etricas: etricas :
• Dado un punto fijo P , el conjunto de puntos cuya distancia a P es constante es una
circunferencia con centro en P . Los puntos interiores tienen una distancia menor a P y los exteriores una mayor.
as corta de P a un punto de l se hace • Dada una recta l y un punto P , la distancia m´as
cuando en l se elige el pie de la perpendicular desde P . A esta longitud se le llama la distancia de P a l
angulo son positivos. El lado m´ as grande es opuesto al angulo as a´ngulo m´ as as • Los lados de un tri´angulo grande, y el m´as as chico es opuesto al ´angulo angulo m´ as as chico.
angulo con lados a, b y c se tienen las desigualdades del tri´ angulo: angulo: a + b > c, • En un tri´angulo b + c > a, c + a > b. Este resultado es invertible, es decir, si los tres n´ umeros umeros reales positivos a , b y c cumplen que a + b > c, b + c > a y c + a > b, entonces se puede hacer un tri´ angulo angulo de lados a, b, c.
atero ABCD se tiene AC · BD ≤ AB · CD + • Desigualdad de Ptolomeo. Para un cuadril´atero BC · DA. La igualdad se da si y s´ olo olo si los v´ertices ertices del cuadril´ cuadrilatero a´tero est´ an an en una circunferencia (decimos que el cuadrl´ atero ate ro es c´ıclico ıcl ico). ).
Notaci´ on on de suma
El s´ımb ımbolo ol o in=1 ai se utiliza para indicar la suma de los n´ umeros umeros a 1 , a 2 , . . . , a n. Por ejemplo, n para escribir la suma de los primeros n n´umeros umeros podemos i=1 i y para escribir la n escribir suma de los primeros n cuadrados podemos escribir i=1 i2 . El uso de i es arbitrario, en realidad se puede usar cualquier s´ımbolo ımbolo que pensamos como un contador. Algunos ejemplos:
10 i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 • 4=1 • =0 2 j − 1 = (−1) + (1) + (3) + (5) + (7) = 15 • 8=5 k(10 − k) = (5 · 5) + (6 · 4) + (7 · 3) + (8 · 2) i
j
k
La notaci´ on de suma tiene las siguientes propiedades: on n i n i n i
1 = n • =1 • =1 c · a = c =1 a • =1 a + b = =1 a + =1 b i
i
i
n i n i
i
i
n i
i
umero umero real x, denotamos por x al mayor entero que sea Parte entera Para un n´ 25 menor o igual a x. Los siguientes ejemplos son ilustrativos: 10,2 = 10, 12 = 12, 6 = 4, 11,5 = 12, 79 = 8, 10000π = 31415 y 10000π = 31416.
− − − −
− √ La notaci´ on on x se lee “parte entera de x”. La parte entera tiene las siguientes propiedades: umero entero, entonces x = x . • Si x es un n´umero • Para cualquier real se tiene que x ≤ x ≤ x + 1. −
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on parte entera es idempotente: x = x. • La operaci´on angulo: x + y ≤ x + y . • Desigualdad del tri´angulo:
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Combinatoria Princip Prin cipios ios b´ asicos asic os de conteo Si existen m formas de hacer una cosa A y n formas de hacer una cosa B entonces:
olo una de las dos) se puede hacer de m + n formas. • Hacer A ´o hacer B (pero s´olo • Hacer A y luego hacer B se puede hacer de mn formas. Permutaciones Si se tienen n objetos distinguibles, entonces se pueden poner en fila de n! formas distintas. La notaci´ on on n! se pronuncia “n factorial” y denota al producto de los primeros n enteros. Adem´ as, as, definimos 0! = 1.
n objetos distinguibles, Combinaciones n Si tenemos n entonces podemos elegir k (0 k nn) n! de ellos de k = k!(n−k)! formas. La notaci´ on on k se pronuncia “n en k”. A los n´ umeros umeros k
≤ ≤
se les conoce como coeficientes binomiales.
Propiedades b´ asicas asicas de los coeficientes coefici entes binomiales bi nomiales n k
= 0 si n es negativo, k es negativo o k > n. • Definimos • = − . +1 ormula de Pascal: +1 = + +1 . • F´ormula +1 +1 = . • +1 +1 • 0 + 1 + · · · + = 2 . n k
n n k
n k
n k n
n k
n k
n
k
n k
n
n n
n
Las siguientes observaciones son sencillas, pero son muy poderosas. Muchas veces estas observaciones nos ayudan a justificar con formalidad por qu´e podemos po demos o no podemos po demos hacer ciertas cosas. as intuitivas de las matem´ as aticas. aticas. Principio de las Casillas Esta es una de las afirmaciones m´ Tomando en cuenta su sencillez es una herramienta muy poderosa. El Principio de las Casillas dice lo siguiente: Si tenemos tenemos n + 1 objetos y n casillas para acomodarlos, entonces en alguna de las casillas deben quedar al menos dos objetos.
El Principio de las Casillas admite las siguientes generalizaciones: objetoss y n cajas, entonces al menos una de esas cajas tiene al menos • Si tenemos kn k n + 1 objeto k + 1 objetos.
• Si tenemos una infinidad de objetos y los acomodamos en una cantidad finita de cajas, entonces una caja tiene una infinidad de objetos.
• (Dual del principio principio de las casillas) Si tenemos n objetos y n +1 cajas, entonces al colocar los ob jetos en las ca jas una caja queda vac´ vac´ıa.
Ejemplo De tres personas, dos son del mismo sexo. Si tenemos 13 personas, hay dos que
nacieron el mismo mes.
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Principio del Doble Conteo Si contando los objetos de un conjunto de una forma obtenemos que son a y cont´ andolos de otra forma obtenemos que son b entonces a = b . andolos Ejemplo Si tenemos n +1 puntos alineados, estos hacen 1 segmento de longitud n, 2 de longitud n 1, 3 de longitud longitud n 2, . . . , n de longitud 1. De modo que en total hacen 1 + 2 + + n
−
−
···
segmentos. Otra forma de contar cu´ antos antos segmentos hacen es ver de cu´ antas antas formas podemos n+1 n(n+1) escoger dos de ellos. Esto se puede de 2 = formas distintas. distintas. Esto Esto demuestr demuestra a que 2 n(n+1) 1 + 2 + + n = 2 .
···
Principio de Invarianza Si tenemos un proceso que deja una variable fija (o hace que tome
siempre valores en un mismo conjunto), entonces con el proceso no podemos llegar a una situaci´ on en la cual esa variable sea distinta (o tome un valor fuera de ese conjunto). on umero 1. El proceso consiste en cada paso en sumar o restar umero Ejemplo Comenzamos con el n´ 2. Lo que se mantiene invariante es la paridad del n´umero umero (siempre es impar), de modo que con este proceso no podemos llegar a 2010. ten emos un conjunto co njunto no n o vac´ vac´ıo de n´ numeros u´meros enteros positivos, Principio del Buen Orden Si tenemos o un conjunto finito de n´ umeros umeros cualesquiera, entonces ese conjunto tiene un m´ınimo, es decir, hay un n´ umero en el conjunto que es el m´as umero as chico de todos los n´ umeros umeros en el conjunto.
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Geome eo metr´ tr´ıa L´ıneas ıne as y puntos punt os
Asumimos como conocido el concepto de l´ınea ınea y punto. Dados dos puntos A y B en una l´ınea ın ea llamamos un rayo desde A a los puntos que estan en la l´ınea en un mismo lado del punto A. A los puntos entre A y B le llamamos el segmento AB . Dos l´ıneas ıneas pueden o no intersectarse. Si no se intersectan, las llamamos paralelas. Si se intersectan en un ´angulo angulo de 90◦ entonces entonces las llamamos perpendiculares perpendiculares.. Si l es perpendicular a m y m es perpendicular a n entonces l es paralela a n.
De hecho m´as as en general, si una l´ınea ınea transversal corta a dos rectas y forma angulos a´ngulos iguales, entonces estas dos rectas son paralelas. El regreso tambi´en en es cierto, si dos rectas son paralelas entonces los ´angulos angulos que hacen con cualquier transversal son iguales.
Tres puntos son colineales (o est´an an alineados) si existe una recta que pasa por los tres. Tres rectas son concurrentes (o se intersectan) si existe un punto que se encuentre en las tres. Tri´ angulos angulos
Un tri´angulo angulo es una figura con tres lados. La suma de los angulos a´ngulos internos de un tri´angulo angulo ◦ es 180 . En la siguiente figura el ´angulo angulo α mide β + + γ . A este ´angulo angulo se le llama el ´angulo angulo externo (o exterior) en A del tri´ angulo angulo ABC .
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Decimos que un tri´angulo angulo es is´ osceles si tiene al menos dos lados iguales. Decimos que es osceles equil´atero atero si tiene sus tres lados iguales (y por lo tanto, un tri´ angulo angulo equil´ atero atero es is´osceles). osceles). En caso de que no suceda ninguna de estas opciones diremos que el tri´ angulo angulo es escaleno. Otra forma de clasificar tri´ angulos angulos es por sus ´angulos. angulos. Un tri´ angulo angulo con todos sus ´angulos angulos ◦ ◦ menores a 90 se llama acut´ angulo. angulo. Un tri´ angulo angulo con un ´angulo angulo de 90 se le llama rect´angulo. angulo. Si tiene un ´angulo angulo obtuso se le llama obtus´ angulo. angulo. En un tri´angulo angulo rect´ angulo se conoce como hipotenusa al lado opuesto al angulo angulo a´ngulo de 90◦ . A los otros dos lados se les conoce como catetos. El Teorema de Pit´ agoras nos dice que la suma del agoras cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Es decir, en la figura siguiente a2 + b2 = c 2 .
Dos tri´ angulos son congruentes si sus tres lados y sus tres ´angulos angulos angulos son iguales respectivamente. Para Para verifi verificar car que dos tri´ triangulos a´ngulos son congruentes congruentes basta verificar verificar alguna de las siguiente siguientess condiciones:
• Criterio LLL: Sus tres lados son iguales. a´ngulos y el lado entre ellos son iguales. • Crietrio ALA: Dos de sus angulos angulo entre ellos son iguales. • Criterio LAL: Dos de sus lados y el ´angulo Enfatizamos que la importancia de los criterios de congruencia es que con que se cumpla alguna de las condiciones arriba mencionadas se tiene que el resto de los lados y angulos a´ngulos son iguales. Decimos que dos tri´angulos angulos son semejantes si tienen sus tres ´angulos angulos iguales y sus lados guardan la misma proporcion. A esta proporci´ on on la llamamos la raz´ on on de semejanza entre los tri´ angulos. Para verificar que dos tri´angulos angulos. angulos son semejantes basta verificar alguna de las siguientes condiciones: on • Criterio LLL: Sus tres lados correspondientes guardan la misma proporci´on angulos son iguales. • Crietrio AA: Dos de sus ´angulos Criterio LAL: Dos de sus lados guardan la misma proporci´ on y el angulo a´ngulo entre esos lados • Criterio es igual.
Si dos tri´ angulos son semejantes en raz´ angulos on on q , entonces la distancia entre parejas de puntos correspondientes corresp ondientes tambi´en en est´an an en raz´on on q , por p or lo que los per´ per´ımetros, alturas, alt uras, medianas, etc., 2 tambi´ ta mbi´en en est´ est an a´n en raz´on on q . Sin embargo, la raz´ on on entre las ´areas areas es q . En un tri´angulo angulo AB C se se toman puntos D sobre AB y E sobre AC . El Teorema de Tales dice que BC es paralela a DE si y s´olo olo si AD = AE . AB AC A continuaci´ on se muestran algunos tri´ on angulos angulos importantes: En un tri´angulo angulo AB C se se tienen las siguientes rectas importantes:
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ertice al punto medio del lado opuesto. • Mediana: Una mediana es la recta que va de un v´ertice Bisectriz riz:: Una bisectri bisectrizz es la recta recta que pasa por un v´ ertice ertice y bisect bisectaa al angulo a´ngulo del • Bisect tri´ angulo angulo que est´ a en ese v´ertice. erti ce.
p or un v´ertice ertice y bisecta al • Bisectriz Exterior: Una bisectriz exterior es la recta que pasa por angulo ´angulo exterior del tri´angulo angulo que est´ a en ese v´ertice erti ce
angulo que pasa • Mediatriz: Una mediatriz es una recta perpendicular a un lado del tri´angulo por el punto medio de ese lado.
angulo que pasa por el • Altura: Una altura es una recta perpendicular a un lado del tri´angulo v´ertice ert ice opuest opu esto. o.
Las medianas de un tri´angulo angulo se cortan dos a dos en proporci´ on 1 : 2 y las tres se intersectan en on un punto, llamado el gravicentro del tri´angulo, angulo, que usualmente se denota por G . Al tri´angulo angulo formado por los tres puntos medios se le conoce como el tri´angulo angulo medial y es semejante al 1 1 tri´ angulo angulo original en raz´ on on 2 , de modo que tiene ´area area 4 del tri´ angulo angulo original. original.
Las tres bisectrices de un tri´angulo angulo se intersectan en un punto llamado el incentro del tri´ anguangulo, que usualmente se denota por I . Existe una circunferencia que es tangente internamente a cada uno de los lados del tri´ angulo. angulo. A esta circunferencia la llamamos el inc´ inc´ırculo de AB C . Su centro es I , de modo que I equidista de los tres lados. Al radio del inc´ inc´ırculo lo llamamos el inradio del tri´angulo angulo y usualmente se denota por r. La bisectriz interna y la externa por un mismo v´ ertice ertice son perpendiculares. Las dos bisectrices externas por p or dos v´ ertices ertices y la bisectriz interna i nterna por el tercer v´ ertice ertice son rectas concurrentes. concurrentes. Las tres mediatrices de un tri´angulo angulo se intersectan en un punto llamado el circuncentro del tri´ angulo, que usualmente se denota por O. Existe una circunferencia que pasa por los tres angulo, v´ertices erti ces del tri´ tri angulo. a´ngulo. A esta circunferencia la llamamos el circunc´ circunc´ırculo de ABC . Su centro es O, de modo que O equidista de los tres v´ertices. ertices. Al radio del circunc´ circunc´ırculo lo llamamos el circunradi circunradioo del tri´ angulo y usualmente se denota por R. angulo
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Las tres alturas se intersectan en un punto llamado el ortocentro del tri´angulo, angulo, que usualmente se denota por H . Al tri´angulo angulo formado por los tres pies de las alturas se le conoce como el tri´ angulo angulo ortico. o´rtico.
La mediatriz y la altura correspondientes a un mismo lado son paralelas. Si en un tri´angulo angulo dos de las siguientes rectas por p or un mismo lado (o v´ertice ertice correspondiente) son la misma: altura, mediana, mediatriz, bisectriz; entonces el tri´ angulo angulo es is´ osceles osceles con los otros dos lados iguales, y por tanto tanto todas esas rectas (por ese lado) son la misma. Por ejemplo, ejemplo, si la mediana por A tambi´en en es perpendicul perp endicular ar a BC (i.e. es altura), entonces AB = AC y entonces la mediana tambi´ en en es la bisectriz y mediatriz. A partir de la observaci´ on anterior, si dos de los puntos O, H , G o´ I coinciden entonces el on tri´ angulo angulo es equil´ atero. atero.
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El Teorema de la Recta de Euler nos dice que G, O y H est´an an alineados en cualquier tri´angulo. angulo.
Circunferencias
Una circunferencia es el conjunto de puntos que equidistan de un punto fijo P . La distancia que tiene P a cada uno de esto puntos se conoce como el radio de la circunferencia. Dados dos puntos A y B sobre la circunferencia, el segmento AB se conoce como una cuerda. Si la cuerda pasa por el centro entonces se llama di´ ametro y mide dos veces el radio. ametro En una circunferencia, la medida del ´angulo angulo que se hace con un v´ertice ertice sobre la circunferencia es la mitad del angulo a´ngulo central. Esto nos dice que angulos a´ngulos que abran un mismo arco del mismo lado miden lo mismo. En particular, si un angulo a´ngulo abre un di´ ametro ametro entonces el ´angulo angulo es recto.
Una tangente es una recta que intersecta a la circunferencia en un solo punto. Si T es el punto de tangencia y RT es una cuerda por T , el ´angulo angulo que hacen (llamado semi-inscrito) es el mismo que el que abre a la cuerda RT en la circunferencia. En particular, las tangentes son perpendiculares al radio que pasa por el punto de tangencia. Las dos tangentes que se pueden trazar desde un mismo punto a una misma circunferencia miden lo mismo. Cuando dos circunferencias se intersectan, la recta que pasa por los dos puntos de intersecci´on on es perpendicular a la recta que une sus centros. Cuad Cu adri ril´ l´ ater at eros os c´ıcli ıc lico coss
Tres puntos no alineados determinan una unica u ´ nica circunferencia, de modo que la situaci´on on en la que cuatro puntos A, B , C , D est´an an en una misma circunferencia es especial. Cuando sucede esto, decimos que los cuatro puntos son conc´ conc´ıclicos o bien que el cuadril´ atero atero ABCD es c´ıcli ıc lico co..
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Supongamos adem´ as as que AC se intersecta con B D en el interior del cuadril´ atero atero en un punto Entonces todas las siguiente siguientess afirmaciones afirmaciones P y que AB se intersecta con CD en un punto S . Entonces son equivalentes, es decir, tan s´olo olo con verificar que sucede una de ellas, inmediatamente sabemos que se cumplen las dem´as: as: atero ABCD es e s c´ıcli ıc lico co.. • El cuadril´atero • Existe un punto O que equidiste a A, B, C y D. = 180◦ • ∠A + ∠C = • ∠B + ∠D = 180◦ • ∠ACB = ∠ADB • ∠BAC = ∠BDC BD C • ∠CB D = ∠CAD DC A = ∠DBA • ∠DCA • Potencia de un punto interior: P A · P C = P B · P D • Potencia de un punto exterior: SA · SB = S C · · SD • Igualdad de Ptolomeo: AC · · BD = AB · CD + BC · · DA
Usamos una terminolo term inologg´ıa similar sim ilar cuando cu ando tenemos te nemos m´ as puntos sobre una misma circunferencia, as por ejemplo, podemos hablar de hex´agonos agono s c´ıclicos ıclic os o decir que tenemos t enemos n puntos punt os conc con c´ıclico ıcl icos. s. Trigo Trigono nome metr´ tr´ıa
En un tri´angulo angulo ABC con a = BC , b = CA y c = AB con circunradio R se cumple lo siguiente: a
b
c
• Ley de senos: sen = sen = sen = 2R • Ley de cosenos: c2 = a2 + b2 − 2ab cos C A
B
C
Adem´ as, as, tenemos las siguientes identidades trigonom´etricas: etricas:
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• sen0◦ = cos90◦ = 0 • cos0◦ = sen90◦ = 1 • sen(−x) = − sen x • cos(−x) = cos x • sen x = cos(90◦ − x) • Seno de una suma: sen(x + y) = sen x cos y + cos x sen y • Coseno de una suma: cos(x + y) = cos x cos y − sen x sen y +tan • Tangente de una suma: tan(x + y) = 1tan −tan tan x
x
y y
Observa que a partir de estas identidades puedes encontrar muchas otras f´ormulas ormulas m´ as, as, por ejemplo, si en la f´ o rmula de seno de la suma de angulo ormula a´ ngulo pones el mismo angulo a´ngulo obtienes sen(2x) = 2 sen sen x cos x. O si quieres encontrar el coseno de una resta x y entonces puedes usar la de coseno de la suma y cambiar y por y y usar las otras identidades para obtener cos(x y) = cos x cos( y) sen x sen( y ) = cos x cos y + sen x sen y .
−
− −
−
−
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−
Teor´ ıa ıa de Numeros u ´ meros Clasificaci´ on o n de los n´ umeros umeros
Llamamos enteros a los n´ umeros con los cuales podemos contar cosas y sus negativos, por umeros ejemplo 1, 2, 3, 10, etc. Llamamos n´ umeros racionales a los n´ umeros umeros umeros que se pueden pueden escribir escribir como una divisi´ divisi´ on on de enteros. A los n´ umeros reales los podemos pensar como todos los n´umeumeros umeros que se pueden escribir en expansi´on on decimal. A los reales que no son racionales, como π , los llamamos llamamos irracionales irracionales.. Los s´ımbolos para denotar denotar a los conjuntos conjuntos de n´ umeros naturales, enteros, racionales y reales son N, Z, Q y R respectivamente. El conjunto de n´ umeros umeros irracionales cionales no tienen su s´ımbolo, ımbolo, pero los podemos denotar denotar por R Q (los reales que no son racionales).
−
\
Ocasionalmente a cualquiera de estos conjuntos los podemos limitar un poco m´ as as especificando que se habla de positivos, negativos, no negativos, etc. Divisibilidad
Para dos n´ umeros umeros enteros a y b diremos que a divide a b si existe un entero k para el cual b = ka k a. Tambi´en en esto e sto se puede decir como b es m´ ultiplo ultiplo de a , a es un divisor de b , entre otras. La notaci´ on on para a divide a b es a b. A partir de este momento s´ olo olo nos referiremos a n´umeros umeros enteros, salvo que expl´ expl´ıcitamente se diga lo contrario.
|
Por definici´on, on, 0 es divisible entre cualquier n´ umero, umero, pues la k correspo cor respondiente ndiente es 0. 0 . As A s´ı m mismo, ismo, 1 divide a todo n´ umero. umero. A los n´ umeros divisibles ente 2 los llamamos pares y a lo n´ umeros umeros umeros enteros que no son pares los llamamos impares (o menos frecuentemente, nones). Como 0 es divisible entre 2, entonces 0 es par. A los n´ umeros que tienen exactamente dos divisores positivos los llamamos primos. De esta umeros forma, 2 es primo, 13 es primo, pero ni 6 ni 1 lo son. La divisibilidad cumple las siguientes propiedades para cualesquiera n´ umeros umeros enteros a = 0, b, c, k, l:
• a|a • Si a|b y b|c entonces a|c. • Si a|b y b|a y a y b son positivos entonces a = b. • Si a|b y a|c entonces a|bk + cl. • Si p es primo y p|n entonces p|n. k
Para dos n´ umeros umeros definimos definimo s su m´ınimo com´ un un m´ ultiplo como el menor entero positivo que es ultiplo m´ ultiplo de ambos. De manera similar, definimos su m´ ultiplo aximo aximo com´ un divisor como el mayor un entero positivo que los divide. Denotamos a estos n´ umeros umeros por [m, n] y (m, n) respectivamente. respectivamente. Si dos n´ umeros umeros tienen como m´aximo aximo com´ un divisor a 1 entonces los llamamos primos relativos. un Si k es el m´aximo aximo com´ un un divisor de m y n entonces k se puede expresar como combinaci´on on lineal de m y n, es decir, existen enteros a y b para los cuales k = am + bn. En muchas ocasiones un n´ umero umero a no divide a un n´ umero umero b, sin embargo, podemos expresar q a + r con 0 r < a , es decir, podemos poner a b como un m´ a b de la forma b = qa ultiplo ultiplo de as un residuo peque˜no no r que est´a entre 0 y a 1. a m´as
≤
−
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Algunos criterios de divisibilidad
umero es divisible entre 1. • Todo n´umero umero es divisible entre 2 si y s´olo o lo si su ultimo u ´ltimo d´ıgito es par. • Un n´umero umero es divisible entre 3 si y s´olo olo si la suma de sus d´ıgitos ıgitos es m´ multiplo u´ltiplo de 3. • Un n´umero umero es divisible entre 4 si y s´olo olo si el n´ umero formado por sus ultimo umero u ´lt imoss dos d os d´ıgitos ıgi tos • Un n´umero es m´ ultiplo ultiplo de 4.
umero es divisible entre 5 si y s´olo o lo si su ultimo u ´ltimo d´ıgito es 0 o´ 5. • Un n´umero umero es divisible entre 6 si y s´olo olo si es divisible entre 2 y 3. • Un n´umero umero es divisible entre 8 si y s´olo olo si el n´ umero formado por sus ultimo umero u ´lt imoss tres t res d´ıgitos ıgi tos • Un n´umero es m´ ultiplo ultiplo de 8.
umero es divisible entre 9 si y s´olo olo si la suma de sus d´ıgitos ıgitos es m´ multiplo u´ltiplo de 9. • Un n´umero umero es divisible entre 11 si al sumar y restar alternadamente sus d´ıgitos se obtiene • Un n´umero un n´ umero divisible entre 11. umero
Un buen ejercicio para practicar los criterios de divisibilidad es ver entre cu´ales ales n´ umeros umeros que tengan criterio es divisible el n´ umero umero 12345678. La cantidad de m´ ultiplos ultiplos de k que existen desde 1 hasta n es
n k
.
Teorema Fundamental de la Aritm´ etica etica
El Teorema Fundamental Fundamental de la Aritm´erica erica dice que todo to do entero se puede descomponer como producto de primos de manera unica u ´nica salvo el orden de los factores. En s´ımbolos, si n es un natural entonces existen k primos p1 , p2 , . . . , pk y exponentes a1 , a2 , . . . , ak para los cuales n = p a11 pa22 pka .
·
·····
k
ak k
pa22 Descomponiendo a m en producto de primos como m = p a11 p f´ormulas: ormulas:
· ····· p p
umero de divisores de m: (a1 + 1)(a2 + 1) . . . (a + 1) • N´umero • Suma de los divisores de m: −1−1 −1−1 . . . −1−1 an entre 1 y m: m(1 − 1 ) . . . (1 − • Primos relativos con m que est´an
se tienen las siguientes
k
a1 +1
p1 p1
a2 +1
p2 p2
ak +1 k
p
pk
p1
1 pk
)
Adem´ as, as, si tambi´en en descomponemos descomp onemos a n en producto de primos como n = p 1b1 p2b2 pensando en que algunos de los exponentes pueden ser 0 entonces tenemos:
· · · · · · p
m´ın( ) ın( ) aximo com´ un un divisor de m y n: p1 • M´aximo · pm´ · · · · · pm´ın( 2 m´ ax( ax( ) ax( ax( ) ax( ın imoo com´ co m´ un un m´ ultiplo ultiplo de m y n: p1 • M´ınim · pm´ · · · · · pm´ax( 2 a1 ,b1
bk k ,
ak ,bk )
a2 ,b2
k
a1 ,b1
a2 ,b2
ak ,bk )
k
Congruencias
Diremos que a y b son congruentes m´odulo odulo un n´ umero umero n si el residuo de dividir ambos n´ umeros umeros entre n es el mismo. Esto es equivalente a que n divida a a b. La notaci´ on on para esto es a b m´ od od n. Por ejemplo, 2009 20 2011 11 m´ od od 2, 10 3 m´ od od 7, 100 1 m´ od od 9, 4 1 m´ od od 5.
≡
≡
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−
≡
− ≡
≡
Ver a los n´ umeros umeros as´ as´ı nos permite permi te enfocarn enf ocarnos os unicamente u´nicam ente en una cantidad ca ntidad finita fin ita de d e t´erminos, ermino s, pues los posibles residuos de dividir un n´umero umero entre n son solamente 0, 1, 2, . . . , n 1.
−
Dado un m´odulo odulo fijo, las congruenci congruencias as se pueden pueden tratar como igualdades igualdades en la may mayor or´´ıa de los casos. Se pueden sumar, restar y multiplicar, pero no siempre se pueden “dividir”. Esto y otras propiedades b´asicas asicas se enlistan a continuaci´ on: on: od n • a ≡ a m´od od n entonces b ≡ a m´ od od n • Si a ≡ b m´od od n y b ≡ c m´ od od n entonces a ≡ c m´ od od n • Si a ≡ b m´od od n y c ≡ d m´ od od n entonces • Si a ≡ b m´od od n ◦ a + c ≡ b + d m´od od n ◦ a − c ≡ b − d m´od od n, en particular, a ≡ b m´ od od n ◦ ac ≡ bd m´od k
k
Diremos que a tiene inverso m´ odulo odulo n si existe un n´ umero umero b para el cual ab 1 m´ od od n . Si a y n son primos relativos entonces a tiene inverso m´ odulo odulo n. En particular, dado un primo p, todos los n´ umeros umeros que no son m´ultiplos ultiplos de p tienen inverso m´odulo odulo p.
≡
Si a tiene un inverso b m´ odulo odulo n y ac menos “dividir” entre a m´odulo odulo n.
≡ d
m´ od od n entonces c
≡ bd
m´ od od n. Esto es m´ as as o
Las congruencias sirven para encontrar f´acilmente acilmente el residuo que deja un n´umero umero al dividirlo entre otro. Para que una igualdad entre enteros se cumpla, se debe cumplir en cualquier m´ odulo. Esto quiere decir que si no existen soluciones para una ecuaci´on odulo. on en enteros para una congruencia, entonces no existe la soluci´ on on en los enteros. Finalmente, se enlistan algunos teoremas m´ as avanzados de las congruencias: as
• Peque˜no no Teorema de Fermat: Si p es primo y a no es m´ ultiplo ultiplo de p entonces a −1 ≡ 1 p
m´ od od p.
od p. • Teorema de Wilson: Si p es primo, entonces ( p − 1)! ≡ −1 m´od an entre • Teorema de Euler: Si φ (n) denota la cantidad de primos relativos con n que est´an ( ) 1 y n, y a es primo relativo con n entonces a od n. ≡ 1 m´od φ n
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