G E O D E S I A F I S I C A
WEIKKO A. HEISKANEN Director, Instituto Isostático de la Asociación Internacional de Geodesia
HELMUT MORITZ Profesor de Geodesia Superior y Astronomía, Universidad Técnica de Berlín
W. H. FREEMAN AND COMPANY San Francisco y Londres
PREFACIO Casi todas las mediciones geodésicas dependen fundamentalmente del campo de gravedad dela tierra. Por lo tanto, el estudio de las propiedades físicas de dicho campo y de sus aplicaciones geodésicas, las cuales constituyen la base de la geodesia física, representa una parte esencial de la educación de un geodesta. En los diez años que han transcurrido desde que Heiskanen y Vening Meinsz escribieron, “The Earth and Its Gravity Field” (La Tierra y su Campo de Gravedad), la geodesia ha avanzado enormemente. A medida que pasaba el tiempo resultaba cada vez más difícil incorporar los resultados de tales adelantos, tanto teóricos como prácticos, en una nueva edición del citado libro. Era necesario escribir un texto totalmente nuevo y con un enfoque diferente. El gran aumento en la cantidad de información disponible requería que este se limitara concretamente a los aspectos geodésicos; los adelantos teóricos han hecho necesario un mayor énfasis en los métodos matemáticos. Así nació este libro, cuyo propósito es exponer los aspectos teóricos en el sentido en que se emplea la palabra en la expresión “física teórica”. Para comprender este texto, que ha sido escrito para estudiantes de postgrado, se deberá contar con todos los conocimientos matemáticos y físicos requeridos por los departamentos de geodesia física. Los capítulos del 6 al 8 presentan varios temas más especializados y avanzados en los que actualmente se están realizando muchas investigaciones. (Es posible que estos capítulos sean más parcializados que los demás). El lector que logre conocer esta materia a fondo estará en capacidad de iniciar sus propias investigaciones. Para completar el libro, se le ha agregado un capítulo sobre métodos celestes o astronómicos; este material podría formar parte del curso básico. Hemos puesto todo nuestro empeño para hacer de este un libro autosuficiente. Se le han incluido deducciones detalladas cuando ha sido necesario. Los planteamientos se han hecho de forma intuitiva : las explicaciones verbales de los principios se han considerado más importantes que los desarrollos matemáticos formales pero sin omitir estos últimos. Nuestra actitud ha sido mas bien conservadora. No creemos que el concepto del geoide haya pasado a ser obsoleto. Esto no significa, sin embargo, que no estemos conscientes de la importancia de los últimos adelantos teóricos, especialmente los relacionados con el nombre de Molodensky los cuales se tratan en el capítulo 8. Se han omitido intencionalmente aquellas técnicas de observación como las que se utilizan para las observaciones astronómicas o las mediciones gravimétricas ya que no tienen mucha relación con una presentación que, básicamente es teórica. Al final de cada capítulo hay una bibliografía de los trabajos mencionados en el texto, muchos de los cuales podrían resultar útiles para un estudio más detallado; las citas se han hecho por el nombre del autor y el año de publicación –por ejemplo, Kellogg (1929). No ha sido nuestra intención establecer prioridades. Los nombres relacionados con las fórmulas deben considerarse principalmente rótulos o membretes convenientes. Así mismo, se ha indicado la obra de mayor acceso o más completa del autor sobre determinado tema en lugar dela primera. La mayoría de nuestras propias investigaciones que se han incluido en el libro se llevaron a cabo en la Universidad del Estado de Ohio. Deseamos agradecer al Dr. Walter D. Lambert quien revisó cuidadosamente la redacción en inglés de partes del manuscrito.
Diciembre 1966 WEIKKO A. HEISKANEN HELMUT MORITZ
INDICE
1 Principios de la Teoría del Potencial 11. Introducción. Atracción del Potencial. 1 12. Potencial de un Cuerpo Sólido 3 13. Potencial de una Superficie Material 5 14. Potencial de una Doble Capa 6 15. Fórmulas Integrales de Gauss y Green 9 16. Aplicaciones de las Fórmulas Integrales de Green 11 17. Funciones Armónicas. Teorema de Stokes y Principio de Dirichlet 14 18. Ecuación de Laplace expresada en Coordenadas Esféricas 17 19. Armónicas Esféricas 19 110. Armónicas Esféricas de Superficie 20 111. Funciones de Legendre 21 112. Funciones de Legendre del Segundo Tipo 26 113. Teorema de Desarrollo y Relaciones de Ortogonalidad 28 114. Armónicas Esféricas Totalmente Normalizadas 29 1.15. Desarrollo dela Distancia Recíproca en Armónicas Zonales. Fórmula de Descomposición 33 1.16. Solución del Problema de Dirichlet por medio de Armónicas Esféricas. Integral de Poisson 35 1.17. Otros Problemas de Valores Límites 37 1.18. La Derivada Radial de una Función Armónica 38 1.19. La Ecuación de Laplace expresada en Coordenadas Elipsoidales 41 1.20. Armónicas Elipsoidales 43 Referencias 48
2 El Campo de Gravedad de la Tierra 21. Gravedad 49 22. Superficies de Nivel y Líneas de la Plomada 51 2.3. Curvatura de las Superficies de Nivel y delas Líneas de la Plomada 53 2.4. Coordenadas Naturales 58 25. El Potencial e la Tierra en Términos de Armónicas Esféricas 60 26. Armónicas de Grado Inferior 64 27. El Campo de Gravedad del Elipsoide de Nivel 67 28. Gravedad Normal 70 29. Desarrollo del Potencial Normal 74 210. Desarrollo en Serie para el Campo de Gravedad Normal 77 211. Valores Numéricos. El Elipsoide Internacional 82 212. Otros Campos de Gravedad Normal y Superficies de Referencia 84 213. El Campo Anómalo de la Gravedad. Las Ondulaciones Geoidales y las Desviaciones de la Vertical 85 214. Aproximación Esférica. Desarrollo del Potencial de Perturbación en Armónicas Esféricas 90 2.15. Anomalías de la Gravedad 92 2.16. Fórmula de Stokes 95 2.17. Formas Explícitas de la Integral de Stokes. Desarrollo de la Función de Stokes en Armónicas Esféricas 98 2.18. Generalización a un Elipsoide de Referencia Arbitrario 101 2.19. Generalización dela Fórmula de Stokes para N 103 2.20. Determinación de las Constantes Físicas de la Tierra 110 2.21. El Elipsoide Terrestre Medio 112 2.22. Desviaciones de la Vertical. Fórmula de Vening Meinesz 114
2.23. El Gradiente Vertical de la Gravedad. Reducción de Aire Libre al Nivel del Mar 117 2.24. Determinación Práctica del Valor de las Fórmulas Integrales 120 Referencias 126
3 Métodos Gravimétricos 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. 3.8. 3.9.
Reducción de la Gravedad 129 Fórmulas Auxiliares 130 La Reducción de Bouguer 133 Isostasia 136 Reducciones Isostáticas 140 El Efecto Indirecto 144 Otras Reducciones de la Gravedad 146 Efectos Esféricos 150 Determinación Práctica del Geoide 155 Referencias 162
4 Alturas Sobre el Nivel del Mar 4.1. Nivelación con Nivel de Burbuja 164 4.2. Números Geopotenciales y Alturas Dinámicas 166 4.3. La Reducción de la Gravedad de Poincaré y Prey 167 4.4. Alturas Ortométricas 170 4.5. Alturas Normales 174 4.6. Comparación de los Diversos Sistemas de Alturas 176 4.7. Alturas Trianguladas 178 Referencias 182
5 Métodos Astrogeodésicos
5.1. Introducción 183 5.2. Proyecciones hacia el Elipsoide 184 5.3. Proyección de Helmert. Coordenadas Geodésicas y Rectangulares 186 5.4. Reducción delas Observaciones Astronómicas al Elipsoide 190 5.5. Reducción de los Ángulos Horizontales y Verticales y de las Distancias 194 5.6. Reducción de las Coordenadas Astronómicas para la Curvatura de la línea de la Plomada 198 5.7. La Determinación Astrogeodésica del Geoide 202 5.8. Interpolación de las Desviaciones de la Vertical. Nivelación Astrogravimétrica 206 5.9. Transformaciones de las Coordenadas y Desplazamientos del Datum 209 5.10.Determinación del Tamaño de la Tierra 215 5.11.Elipsoides de Mejor Ajuste y el Elipsoide Terrestre Medio 220 5.12.Geodesia Tridimensional 223
Referencias 230
6 Campo de Gravedad Fuera de la Tierra 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. 6.7. 6.8.
Introducción Gravedad Normal – Fórmulas Cerradas Gravedad Normal – Desarrollos en Serie Perturbaciones de la Gravedad – Método Directo Perturbaciones de la Gravedad – Método de Revestimiento Perturbaciones de la Gravedad – Prolongación Ascendente Otras Consideraciones Anomalías de la Gravedad Fuera de al Tierra Referencias
7 Métodos Estadísticos en la Geodesia Física 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6. 7.7. 7.8. 7.9. 7.10.
Introducción La Función de Covarianza Desarrollo de la Función de Covarianza en Armónicas Esféricas Influencia de Zonas Distantes en la Fórmulas de Stokes y de Vening Meinesz Interpolación y Extrapolación de las Anomalías de Gravedad Precisión de los Métodos de Predicción. Predicción Mínima Cuadrática Propagación del Error. Precisión de las Armónicas Esféricas Precisión de las Ondulaciones Geoidales Calculadas con las Anomalías de la Gravedad Precisión de las Anomalías Medias Correlación con la Elevación Referencias
8 Métodos Modernos para Determinar la Configuración de la Tierra 8.1. 8.2. 8.3. 8.4. 8.5. 8.6. 8.7.
Introducción Reducciones de al Gravedad y el Geoide El Problema de Molodensky Ecuaciones Integrales Lineales Aplicación de las Integrales de Green Ecuación Integral para la Capa Superficial Solución de la Ecuación Integral
8.8. 8.9. 8.10. 8.11. 8.12. 8.13.
Interpretación Geométrica Desviaciones dela Vertical Prolongación Descendente hasta el Nivel del Mar Reducción de la Gravedad según la Teoría Moderna Determinación del Geoide con las Anomalías a Nivel del Suelo Repaso Referencias
9 Métodos Astronómicos 9.1. 9.2. 9.3. 9.4. 9.5. 9.6. 9.7. 9.8.
Introducción. Métodos de Observación Determinación del Tamaño de la Tierra con Observaciones de la Luna Efectos Dinámicos del Achatamiento de la Tierra Determinación del Achatamiento a partir de la Precisión Orbitas de los Satélites Artificiales Determinación de las Armónicas Zonales Coordenadas Rectangulares del Satélite y sus Perturbaciones Determinación de las Armónicas Teserales y las Posiciones de las Estaciones
Referencias
CAPITULO 1
1.1.
Introducción. Atracción y Potencial
El propósito de este capítulo es presentar los principios de la teoría del potencial, incluyendo las armónicas esféricas y elipsoidales, en una forma suficientemente detallada para permitir la plena comprensión de los capítulos posteriores. Nuestro objetivo es explicar el significado de los teoremas y de las fórmulas, evitando derivaciones extensas que pueden hallarse en cualquier otra parte del textos sobre la teoría del potencial (léanse las referencias al final de este capítulo). Se ha tratado de hacer una presentación sencilla en lugar de optar por una formal, rigurosa y exacta. Aun así, es posible que el lector considere este capítulo más bien abstracto y hasta más difícil que cualquier otra parte del libro. Como las aplicaciones prácticas ofrecerán más adelante un concepto más concreto de los temas expuestos en este capítulo, tal vez el lector prefiera leerlo por encima la primera vez para luego regresar a él cuando sea necesario. De acuerdo con la ley de la gravitación de Newton, dos puntos cuyas masas están representadas por m1, m2, separados por una distancia l, se atraen con una fuerza equivalente a
F =k
m1m2 l2
(11)
Esta fuerza está orientada a lo largo de la línea que une a los dos puntos; k es la constante gravitacional de Newton. En unidades de egs, dicha constante tiene un valor de
k = 66.7 X 10 −8 cm 2 g −1 sec −2 (12) según las mediciones efectuadas por P. R. Heyl alrededor de 1930. Aunque las masas m1, m2 se atraen mutuamente de una manera completamente simétrica, resulta conveniente denominar una de ellas la masa atrayente y la otra masa atraída. Para mayor sencillez podemos considerar la masa atraída igual a la unidad, y denotar atrayente por medio de m. La fórmula F =k
m l2
(13)
Aunque las masas representan la fuerza que ejerce la masa m sobre una masa unitaria situada a una distancia l de m. Ahora podemos incorporar un sistema de coordenadas rectangulares xyz, y denotar las coordenadas de la masa atrayente m por ξ , η , ζ y las coordenadas del punto atraído P por x, y, z. La fuerza puede representarse mediante un vector con magnitud de F (fig. 11). Los componentes de F pueden expresarse así
km x− ξ x− ξ =−km l2 l l3 km y−η y−η Y =−F cos β=− 2 =−km 3 (14) l l l km z−ζ z−ζ Z=−F cos γ=− 2 =−km 3 l l l X =−F cos α=−
en donde
l= x−ξ 2 y−η 2 z−ζ 2 (15)
Luego incorporamos una función escalar
V =
km , (1 6) l
conocida como el potencial de gravitación. Los componentes X, Y, Z de la fuerza gravitacional F se expresarán por consiguiente así
X =
∂V ∂V ∂V , Y = , Z= , (17) ∂x ∂y ∂z
Esto puede verificarse fácilmente diferenciando (16), dado que
1 ∂l 1 x− ξ ∂ 1 x− ξ =− 2 =− 2 =− 3 ,. .. . .. .. (18) ∂x l l l ∂x l l
El símbolo vectorial de (17) se expresa F = (X,Y,Z) – grad V (17’) Es decir, que el vector de fuerza es el vector de gradiente de la función escalar V. Es de primordial importancia recordar que de acuerdo con (17), las tres componentes del vector F pueden sustituirse por una sola función V. Especialmente cuando estamos considerando la atracción de sistemas de masas puntuales o de cuerpos sólidos, como es el caso de la geodesia, resulta mucho más fácil tratar con el potencial que con las tres componentes de la fuerza. Aun en estos casos complicados son válidas las relaciones (17); la función sería entonces sólo una suma de las contribuciones de las respectivas partículas. De modo que si tenemos un sistema de varias masas puntuales m1, m2, . . . . . . . , m sistema sería la suma de las contribuciones individuales (16): V =
km1 l1
km 2 l2
. .. .. .. . .
km n ln
n
=k ∑ i =1
mi li
n
, que si tenemos el potencial del
(19)
FIGURA 11 Las componentes de la fuerza gravitacional. La figura superior muestra la componente y.
1.2.
Potencial de un Cuerpo Sólido
Supongamos que las masas puntuales se encuentran distribuidas en forma continua en un volumen v (fig. 12) con una densidad de ρ=
dm , (110) dv
en donde dv representa un elemento de volumen y dm un elemento de masa. Por consiguiente la suma (19) se convierte en una integral
dm ρ =k ∭ dv , (111) l l v v En donde l representa la distancia entre el elemento de masa dm = ρ dv y el punto atraído P. V =k
∭
FIGURA 12 Potencial de un cuerpo sólido
Si denotamos las coordenadas del punto atraído por medio de (x, y, z) y las del elemento de masa por medio de ( ξ , η , ζ ), las coordenadas vemos que l está dada nuevamente por (15), y podemos escribir explícitamente V x , y , z =k
∭ v
ρ ξ ,η , ζ 2
x−ξ y−η 2 z−ζ 2
d ξdηdζ , (111’)
puesto que el elemento de volumen está expresado por Esta es la razón por la que tenemos integrales triples en (111) Las componentes de la fuerza de atracción están dadas por (17). Por ejemplo,
η =k ∭ ρ ξ , η , ζ v
∂ 1 d ξdηdζ . ∂x l
Nótese que hemos intercambiado el orden de la diferenciación y de la integración. Si sustituimos (18) en la expresión anterior, obtenemos finalmente
X =−k ∭ v
x−ξ l3
ρd v .
Hay expresiones similares que son válidas para Y y Z. El potencial V es continuo en todo el espacio y se anula cuando tiende a infinito como 1/ l. Esto es obvio por el hecho de que para distancias l muy grandes el cuerpo actúa más o menos como una masa puntual, con el resultado de que su atracción está representada aproximadamente por (16). En consecuencia, los planetas se consideran generalmente masas puntuales en lo que se refiere a la mecánica celeste. Las primeras derivadas de V, es decir, las componentes de la fuerza, también son continuas en todo el espacio, pero no así las segundas derivadas. En los puntos donde la densidad cambia en forma irregular, algunas de las segundas derivadas presentan una discontinuidad. Esto se manifiesta por el hecho de que el potencial V satisface la ecuación de Poisson:
V =−4πkρ (113) En donde V = El símbolo
∂ 2 V ∂2 V ∂ 2 V (114) ∂ x 2 ∂ y2 ∂ z2
, llamado el operador de Laplace, tiene la forma
∂2 ∂2 ∂2 ∂ x 2 ∂ y2 ∂ z2 Analizando (113 y 114) vemos que por lo menos una de las segundas derivadas de V tendrá que ser discontinua junto con ρ . En la parte de afuera de los cuerpos atrayentes, o sea el espacio vacío, la densidad ρ es cero y (113) se convierte en V =0 (115) Esta es la ecuación de Laplace. Sus soluciones se conocen como funciones armónicas. Por consiguiente, el potencial de gravitación constituye una función armónica fuera de las masas atrayentes pero no dentro de las mismas allí satisface la ecuación de Poisson. 1.3.
Potencial de una Superficie Material
Supongamos ahora que las masas atrayentes forman una capa, o revestimiento, sobre cierta superficie cerrada S, con un espesor de cero y una densidad de
k=
dm dS
en donde dS es un elemento de superficie. Este es un caso más o menos imaginario pero aun así de gran importancia teórica. Al igual que (111), el potencial está dado por V =k
∬ S
dm k =k ∬ dS (116) l S l
en donde l representa la distancia entre el punto atraído P y el elemento de superficie dS (fig. 13).
En S el potencial V es continuo, sin embargo existen discontinuidades en las primeras derivadas. A pesar de que las derivadas tangenciales en S (derivadas tomadas a lo largo del plano de la tangente) son continuas, las derivadas normales difieren dependiendo de si nos aproximamos a S desde el interior o desde el exterior.
FIGURA 13 Potencial de una Superficie Material Si es desde el exterior, entonces la derivada normal tiene en S el límite si es desde el interior
dV ∂ 1 =−2π kkk ∬ k dS ; (117a) dn ∂n l S
dV ∂ 1 =+ 2π kkk ∬ k dS . (117b) dn ∂n l S Para efectos de este texto ∂/∂ n denotará la deriva en dirección de la normal exterior n (fig. 13). Por ende vemos que la derivada normal ∂ V /∂ n tiene una discontinuidad en S : ∂V ∂V − =−4π kk (118) ∂n ? ∂n ?
Las siguientes expresiones son generalizaciones de las ecuaciones (117a,b) y representan la discontinuidad en S dela derivada de V a lo largo de una dirección arbitraria m :
∂V =−2πk k cos m , n k ∬ k ∂∂m ∂m S
∂V =+ 2πk k cos m , n k ∬ k ∂∂m ∂m S
1 dS . l
(119a)
1 dS . l
(119b)
en donde (m,n) denota el ángulo entre la dirección m y la normal n. Estas ecuaciones resultan de (117a,b) y de la continuidad de las derivadas tangenciales. Las discontinuidades ocurren únicamente en la superficie S; tanto dentro como fuera de S, el potencial V es en todas partes continuo y sus derivadas satisfacen en todas partes, excepto en la misma S, la ecuación de Laplace para las funciones armónicas, V =0 . En el infinito, el potencial de una superficie se comporta en la misma forma que el potencial de un cuerpo sólido, anulándose como 1/ l para l ∞ . El potencial de las superficies materiales también se conoce como potencial de una sola capa para diferenciarlo del potencial de doble capa que se explica continuación. 1.4. Potencial de una Doble Capa Imagínese un dipolo formado por dos masa puntuales equipotenciales de signos contrarios, +m y –m, separadas por una distancia h pequeña (fig. 14). En gravitación, éste sería un caso enteramente imaginario puesto que no existen masas negativas, no obstante, el concepto matemático resulta útil. En el caso del magnetismo, sin embargo, existen en efecto dipolos reales. El potencial de una masa positiva está dado por
V ¿ =
km l
,
¿ el potencial de la masa negativa por
V −¿ = ¿
Luego el potencial total del dipolo estaría representado por
km h
,
¿ V −¿ =km
1 1 − . l h
¿ ¿ V =V ¿ ¿ Si denotamos la dirección del eje del dipolo por medio den, podemos desarrollar 1/ h para formar una serie de Taylor con respecto a h :
1 1 ∂ 1 1 ∂2 1 2 = − h h −. .. . .. .. h l ∂n l 2 ∂ n2 l
FIGURA 14 Potencial de un Dipolo Al sustituir en la fórmula anterior obtenemos
V =k . mh .
∂ 1 mh 2 ∂ 2 1 −k .. .. .. . .. ∂n l 2 ∂ n2 l
o, si denotamos el producto mh, masa por distancia , por medio de M,
Mh ∂ 2 1 ∂ 1 V =k . M . −k . . .. .. .. . ∂n l 2 ∂ n2 l La cantidad mh = M se conoce como el momento dipolar. Supongamos ahora que la distancia h disminuye indefinidamente y que a la vez aumenta la masa m de modo que el momento dipolar M = mh permanece infinito. En consecuencia, los términos de orden superior tienden a cero cuando h 0 y la expresión para V llega a un limite : V =kM
∂ 1 (120) ∂n l
Este es el potencial de un dipolo. Una doble capa en la superficie S podría considerarse como dos capas sencillas separadas por una distancia h pequeña. La normal n de la superficie intercepta las dos capas en dos puntos P y P’ que se encuentran muy cerca uno del otro y cuyas densidades superficiales tienen la misma magnitud k y signos contrarios (fig. 15). Por tanto, todo par de puntos correspondientes P, P’ forman un dipolo con una densidad dipolar (densidad del momento dipolar) que en la figura anterior está representada por = k (h muy pequeña, k muy grande). Aplicando (120) y sumando una sucesión (integrando) sobre todos los dipolos, los cuales se encuentran distribuidos en forma continua sobre la superficie S, obtenemos V =k
∂ 1 ∂ 1 . dM = k ∬ . dS (121) l ∂n l S
∬ ∂n S
Este es el potencial de la doble capa en la superficie S.
FIGURA 15 El potencial de doble capa como límite del potencial de dos capas sencillas en dos superficies paralelas cercanas. Es continuo en todas partes excepto en la superficie S; allí obtenemos dos limites diferentes para el potencial, dependiendo del lado (interno o externo) de donde nos aproximamos a S : V e=2πkμ
∬ S
V i =−2πkμ
∬ S
∂ 1 dS . (122a) ∂n l
∂ 1 dS . (122b) ∂n l
La diferencia, V e−V i =4πkμ , (123) es la continuidad a la que se encuentra expuesta V en la superficie S cuando pasamos de afuera hacia adentro. Aunque las ecuaciones (122a,b) son similares a las (117a,b) la diferenciación ∂ / ∂ n se refiere a la normal a la superficie en el punto atraído P si, como limite, yace sobre la misma superficie S. En las fórmulas para el potencial de doble capa, y por consiguiente en (122a,b), la diferenciación ∂ / ∂ n se toma a lo largo de la normal a la superficie en el punto atrayente variable que contiene el elemento de superficie dS. En ambos casos, n es por supuesto la dirección de la normal a la superficie hacia fuera. La doble capa deberá distinguirse claramente de la capa sencilla, o revestimiento, siendo esta diferencia la que existe entre el dipolo de la masa y la masa puntual. El comportamiento de ambas cuando van hacia el infinito es el mismo (se anulan como 1/ l), así como el hecho de que son armónicas tanto en el interior como en el exterior de S, satisfaciendo allí la ecuación de Laplace. En la misma S, sin embargo, sus discontinuidades son de naturalezas totalmente diferentes, y son estas mismas discontinuidades las que hacen que esos potenciales imaginarios puedan usarse matemáticamente, especialmente con relación a los teoremas de Green. 1.5. Fórmulas Integrales de Gauss y Green Los teoremas y fórmulas integrales relacionadas de Green son algunas de la ecuaciones básicas de la teoría del potencial; constituyen herramientas indispensables para ciertos problemas en el campo de la geodesia teórica. Fórmula de Gauss. Empezando por la fórmula integral de Gauss,
∭ div F . dv=∬ F n . dS , (124) v
S
en donde v representa el volumen que encierra la superficie S, en la proyección del vector F sobre la normal exterior a la superficie (v. g. la componente normal de F), y div F la llamada divergencia del vector F. Si F tiene las componentes X, Y, Z, es decir, F = (X, Y, Z) entonces div F =
∂ X ∂Y ∂ Z (125) ∂ x ∂ y ∂z
Como la fórmula de Gauss es muy conocida y puede hallarse en cualquier texto de matemáticas para ingeniería o de física matemática, no es necesario desarrollarla aquí. Mas bien trataremos de que se comprenda en forma intuitiva. La fórmula (124) es válida en cualquier campo de vectores, cualquiera que sea su significado físico. El caso en que F es el vector de velocidad de un fluido incomprimible resulta bastante caro. Dentro de la superficie S pueden existir fuentes de flujo donde éste se genera, o sumideros donde éste muere. La intensidad de las fuentes o sumideros se mide por medio de div F. La integral de la izquierda de (124) representa la cantidad de fluido generado (o muere) en el tiempo unitario a través de la superficie S; el lado derecho representa la cantidad de fluido que fluye en el tiempo unitario a través dela superficie S. La fórmula de Gauss (124) expresa el hecho de que ambas cantidades son equivalentes. En el caso en que F es el vector de la fuerza gravitacional, la interpretación intuitiva no es tan obvia, pero muchas veces puede aplicarse la analogía del flujo de fluido. En lo que se refiere a la gravitación las componentes X, Y, Z de la fuerza pueden deducirse de un potencial V utilizando las ecuaciones (17) : X = Por tanto
∂V ∂V ∂V , Y = , Z= , ∂x ∂y ∂z
∂ X ∂ Y ∂ Z ∂ 2 V ∂2 V ∂ 2 V div F = = = V, ∂ x ∂ y ∂ z ∂ x 2 ∂ y2 ∂ z2 de manera que según la ecuación de Poisson (113) div F = 4 πkρ , Esto puede interpretarse de manera que signifique que las masas son las fuentes del campo gravitacional; la intensidad de las fuentes, div F, es proporcional a la densidad de la masa ρ . La parte derecha de (124) se conoce como el flujo de fuerza, en nuestro caso el flujo gravitacional análogo también al flujo del fluido. Para cualquier fuerza cuyas componentes pueden deducirse de un potencial V de acuerdo con las ecuaciones (1 7), es posible expresar la fórmula de Gauss en términos de la función V. Para el momento tomamos el eje x positivo en la dirección de la normal exterior n a la superficie ; entonces la componente normal de F será la componente X: Fn = X. Luego, como ∂ V /∂ x=∂ V /∂ n ; la derivada de V en la dirección de la normal n exterior, vemos que de acuerdo con (17)
F=
∂V ∂n
Incorporando esto y la relación div F =
V a (124), obtenemos
∂V
∭ V . dv=∬ ∂ n . dS . (126) v
S
Esta es la fórmula integral de Gauss para el potencial. Al deducir (126) de (124) únicamente hemos aplicado el hecho de que la fuerza F es la gradiente de una función V. No es necesario dar por sentado que V satisface la ecuación de Poisson para el campo gravitacional. Por lo tanto, la integral de Gauss también es válida para una función arbitraria V que sea suficientemente regular y diferenciable. Fórmulas de Green. Estas fórmulas se deducen de (124) mediante la sustitución X =U
∂V ∂V ∂V , Y =U , Z=U , ∂x ∂y ∂z
en donde U, V son funciones de x, y, z. La componente normal del vector F = (X, Y, Z) está representado por
F n =U
∂V . ∂n
Para poder comprender esto, consideremos nuevamente el eje x que coincide con la normal n. Si aplicamos (125) la divergencia sería,
div F =
∂ U ∂V ∂U ∂V ∂U ∂V U V . ∂x ∂ x ∂ y ∂y ∂z ∂ z
De esta manera (124) pasa a ser
∂ U ∂V ∂U ∂V ∂U ∂V ∂V . dv=∬ U . dS . (127) ∂ x ∂ y ∂y ∂z ∂ z ∂n S
∭ U . V . dv∭ ∂ x v
v
Esta es la primera identidad de Green. Si en esta fórmula intercambiamos las funciones U y V y restamos la ecuación nueva de la original, obtenemos
∂V
∂V
∭ U . V −V . U dv=∬ U ∂ n −V ∂ n dS . (128) v
S
Esta es la segunda identidad de Green. En estas fórmulas hemos dado por sentado que las funciones U, V son continuas y finitas en la región espacial v (v. G. , dentro de la superficie S y en la misma ) y que tienen derivadas parciales continuas y finitas de primer y segundo orden. Es de gran importancia en el caso que
U=
1 , l
en donde l representa la distancia desde un punto fijo P determinado. Si P está fuera de la superficie S, entonces 1/ l es regular dentro y en S, y U satisface las condiciones mencionadas. Sin embargo, si P se encuentra dentro de S o en la misma, entonces 1/ l se torna infinito en algún punto de v y (128) no podrá aplicarse directamente sino que deberá modificarse. Pasando por alto la derivación mencionemos solamente el resultado :
1
∭l v
V . dv=− pV ∬ [ S
1 ∂V ∂ 1 −V ]. dS , (129) l ∂n ∂n l
en donde p = 4 π si P está dentro de S, 2 π si P está en S, 0 si P está fuera de S. Esta es la tercera identidad de Green. Difiere de la segunda (128) en el término –pV. La razón por la que (1 29) tiene diferentes formas dependiendo de que el punto P se halle dentro, en o fuera de S, es el término que contiene ∂/∂ n (1/ l), el cual puede considerarse un potencial de doble capa con discontinuidades en S. Si P está fuera de S, entonces 1/ l es regular en v, y la ecuación (129), con p = 0, es consecuencia inmediata de (128); v es el interior de la superficie S (incluyendo la misma S), y n es la normal S en dirección hacia fuera. La tercera identidad de Green (129) y también resulta válida si v es el exterior de la superficie S y la normal n es la normal interna de S. Si deseamos mantener n como la normal exterior, entonces tenemos que invertir el signo de , obteniendo así :
∭ v
1 1 ∂V ∂ 1 V . dv=− pV −∬ [ −V ]. dS , (129’) l l ∂n ∂n l S
en donde p = 4 π si P está fuera de S, 2 π si P está en S, 0 si P está dentro de S. Esta es la tercera identidad de Green para el exterior de la superficie S. Es válida para las funciones V que, además de satisfacer los requerimientos generales para las identidades de Green, satisfacen asimismo ciertas condiciones en infinito, como el de anularse allí.
1.6.
Aplicaciones de las Fórmulas Integrales de Green
Para mostrar la importancia y la utilidad de las identidades de Green es necesario aplicarlas a casos especiales. 1. En la tercera identidad (129), hacemos que V≡1. De modo que
∂
∬ ∂n S
1 . dS= { 4 π si P está dentro de S, 2 π si P está en S ó 0 si P está fuera de S. (130) l
Estas fórmulas, que a veces resultan útiles , también fueron desarrolladas por Gauss. Pueden considerarse teoremas sobre el potencial de una doble capa con una densidad constante k =1. Un potencial como éste tiene un valor constante dentro de la superficie y es cero fuera de ésta, con la discontinuidad característica (123) en S.
2.
En este caso, V es una función armónica fuera de S : V = 0. Si el punto P también está fuera de S, entonces la tercera identidad (129) resultaría en (p = 4 π ) :
V =−
1 1 ∂V 1 1 ∂ . dS ∬ . dS . (131) ∬ 4 S l ∂n 4 S l ∂n
Esta fórmula demuestra que toda función armónica puede representarse como la suma de un potencial de superficie (1 16) con una densidad de k =−
1 ∂V , 4πk ∂ n =V/ 4πk .
y un potencial de doble capa (121), con una densidad de 3.
V =−
Aquí también V resulta armónica fuera de S. Supongamos además que S sea una superficie donde V = Vo = const., es decir, una superficie de potencial constante V, o sea una superficie equipotencial. De manera que para un punto P fuera de S, aplicamos (131), obtenemos
1 1 ∂V V ∂ 1 . dS ∬ . dS . ∬ 4 S l ∂n 4 S ∂n l
La segunda integral es cero de acuerdo con (130). Por tanto
1 1 ∂V V =− ∬ . dS (132) 4π S l ∂ n Esta fórmula, atribuida a Charles, muestra que toda función armónica puede presentarse como un potencial de una sola capa en cualquiera de sus superficies equipotenciales V = const. Si V es el potencial de Newton de un cuerpo sólido dentro de S, podemos decir que es posible reemplazar cualquier cuerpo sólido por una capa superficial adecuada en una de sus superficies equipotenciales externas S sin cambiar su potencial fuera de S (fig. 16).
Daremos a continuación dos ejemplos algo más elaborados que consideramos sumamente importantes desde el punto de vista de la geodesia física. 4.
En la segunda identidad (128) hacemos que U≡1. Volvemos a obtener la fórmula de Gauss (126) :
∂V
∭ V . dv=∬ ∂ n . dS . v
S
FIGURA 16.
Teorema de Charles. En cualquier punto P fuera de S, el potencial de una capa superficial cuya densidad
−1 k =− 4πk . ∂ V
/∂ n es igual a la del sólido atrayente en sí.
Aplicamos esta fórmula al potencial de gravedad W (gravitación más fuerza centrífuga; refiérase a la sección 21) :
∭W v
. dv=∬ S
∂W . dS . ∂n
La función W satisface una ecuación (26)
W =−4πkρ2ω2 ,
la cual es similar a la ecuación de Poisson (113); ω representa la velocidad angular de la rotación de la tierra S. Tomando en cuenta estas dos relaciones, hallamos que
∭ −4πkρ2ω2 . dv=−∬ gn . dS . v
S
ó M =
1 ω2 g . dS v , (133) ∬ 4πk S n 2πk
en donde
M =∭ ρ . dv v
M es la masa de la tierra y v su volumen. Básicamente, esta ecuación es el motivo por el cual resulta posible determinar la masa de la tierra a partir de la gravedad medida. Nótese que no es necesario conocer la distribución detallada de la densidad en el interior de la tierra.
5.
Consideremos nuevamente la tierra y su potencial de gravedad W y apliquemos la tercera identidad (129) a un punto sobre la superficie terrestre. Entonces p = 2 π , de manera que tenemos
1
∭ l . W . dv2πW−∬ v
S
[
1 ∂W ∂ 1 −W . dS=0 l ∂n ∂n l
]
Haciendo las mismas sustituciones de antes obtenemos
1
∭ l .−4πkρ2ω2 . dv2πW∬ v
S
∂ 1 gn . dS=0 ∂n l l
[ ] W
y según (111),
W =k ∭ v
1 ρ . dv ω 2 x 2 y 2 , l 2
finalmente obtenemos
S
∂ 1 gn dv . dS 2 πω 2 x 2 y 2 2ω2 ∭ =0 ∂n l l l v
[ ]
−2πW∬ W
(134)
Todas las cantidades de esta ecuación hacen referencia a la superficie S.
La ecuación (134) relaciona la superficie S al potencial de gravedad W y a la gravedad g. Si W y g fueran conocidos, sería razonable suponer que la ecuación anterior puede resolverse de alguna forma con respecto a la superficie S. En realidad, podríamos considerar esta ecuación como la base matemática para determinar la superficie física S de la tierra a partir de las mediciones del potencial W y de la gravedad g, de acuerdo con la famosa teoría de Molodensky (refiérase al capítulo 8).
17. Funciones Armónicas. Teorema de Stokes y Principio de Dirichlet
Anteriormente se definieron las funciones armónicas como soluciones de la ecuación de Laplace
V =0 . Específicamente, una función se considera armónica en una región v del espacio si satisface la ecuación de Laplace en todos los puntos de v. Si dicha región consiste en el exterior de determinada superficie cerrada S, entonces tendrá además que anularse como 1/ l para l ∞ . Es posible demostrar que toda función armónica es analítica (en la región donde satisface la ecuación de Laplace); quiere decir, que es continua y tiene derivadas continuas de cualquier orden. La función armónica más sencilla es la que representa la distancia recíproca
1 1 = 2 l x−ξ y− η 2 z−ζ 2 ξ , η , ζ ) y (x, y, z), la cual se considera una función de x, y, z. Es el potencial de una masa puntual m = 1/k, ubicada en el ξ , η , ζ ); comparemos (15) y (16) para km = 1.
entre dos puntos ( punto (
Puede demostrarse fácilmente que 1/ l es armónica. Formamos las siguientes derivadas parciales con respecto a x, y, z de la misma manera que (18) :
x−ζ ; ∂ 1 x−ξ ∂ 1 y− η ∂ 1 ¿ =− 1 , =− 1 , =−¿ l 1 ∂x l ∂y l ∂z l ¿ l l
∂2 1 −l 2 3 x−ξ 2 ∂ 2 1 −l 2 3 y−η 2 ∂ 2 1 −l 2 3 z−ζ 2 = , 2= , 2= l l ∂ x2 l l2 ∂y l2 ∂z l2
Si sumamos las últimas tres ecuaciones y aplicamos la definición de
1 =0 ; l
, hallamos que
(135)
es decir que 1/ l es armónica. El punto ( ξ , η , ζ ), en donde l equivale a cero y 1/ l a infinito, es el único donde no puede aplicarse la deducción anterior; 1/ l no es armónica en este punto exclusivamente. De hecho, el potencial algo más general (16) de una masa puntual arbitraria m también es armónico excepto en ( (135) no cambia al multiplicar ambos lados por km.
ξ
,
η
,
ζ
) dado que
En el exterior de las masas atrayentes, no sólo el potencial de una masa puntual es armónico sino también cualquier otro potencial gravitacional. Consideremos ahora el potencial (111) de un cuerpo extendido. Si se intercambia el orden de la diferenciación y de la integración, hallamos que de acuerdo con (111)
V =k
[
ρ
]
∭ l . dv =k ∭ ρΔ v
v
1 . dv=0 ; l
es decir, que el potencial de un cuerpo sólido también es armónico en cualquier punto P (x, y, z) fuera de las masas atrayentes.
ξ
,
Si P se halla dentro del cuerpo atrayente, la deducción anterior resulta nula puesto que 1/ l pasa a ser infinito para el elemento de masa dm ( η , ζ ) que coincide con P (c, y, z), y (135) deja de ser válida. Esta es la razón por la que el potencial de un cuerpo sólido no es armónico
en su interior y más bien satisface la ecuación diferencial de Poisson (113). De la misma manera podemos demostrar que el potencial (116) de una capa atrayente en una superficie S es armónico en todos sus puntos con excepción de aquellos en la misma S. Por consiguiente, vemos que el potencial (121) de una doble capa es también armónico en todas partes excepto en la superficie S, puesto que le potencial de al doble capa puede considerarse como el límite del potencial combinado de dos capas superficiales contiguas; compárese la fig. 15. De manera que el potencial gravitacional es armónico en todos los puntos donde no hay masas atrayentes y, por consiguiente, lo mismo ocurre con el potencial externo de la tierra si hacemos caso omiso de la atmósfera y la fuerza centrífuga. A esto se le debe la importancia que tienen las funciones armónicas en la geodesia física.
En general, es posible generar la misma función armónica por medio de distintas distribuciones de masa. Un ejemplo bastante conocido es el del potencial externo de una esfera homogénea:
V=
kM l
,
en donde M representa la masa de la esfera y l la distancia desde su centro1. Por tanto, todas las esferas homogéneas concéntricas con la misma masa total M, cualquiera que sea su tamaño, generan el mismo potencial. El potencial es el mismo que si la masa total estuviese concentrada en el centro, puesto que el potencial de una masa puntual se determina también con esta fórmula. Otro ejemplo sería el teorema de Charles (132). Tomemos cualquier potencial V de Newton y denotemos una de sus superficies equipotenciales exteriores por S. Afuera de S, el potencial sería el mismo que le de una capa superficial con una densidad
−
1 ∂V . ; 4πk ∂ n
Véase la fig. 16. Estos son ejemplos particulares del teorema de Stokes. Una función V que sea armónica fuera de una superficie S está determinada por sus valores en S exclusivamente. No obstante, suele haber un número infinito de distribuciones de masa que tienen como potencial externo la función armónica V dada. Por ello resulta imposible determinar las masas generadoras a partir del potencial externo. Este problema inverso de la teoría del potencial no tiene una solución única (problema directo: determinación del potencial a partir de las masas; problema inverso: determinación de las masas a partir del potencial). El problema inverso se presenta en la exploración geofísica con las mediciones gravimétricas: se deducen masas invisibles basándose en las perturbaciones del campo de gravedad. Para determinar el problema en una forma más completa, es necesario contar con información adicional que se obtiene, por ejemplo, por medio dela geología o de mediciones sísmicas. Dada la importancia del teorema de Stokes, haremos aquí una prueba sencilla de su primera parte. Supongamos que determinada distribución de masa genera un potencial V y que S es una superficie que encierra todas las masas. Supongamos además que una distribución diferente de masa dentro de S genera un potencial V’ que asume los mismos valores que la superficie S. Si denotamos la diferencia V’ – V por U, entonces, de acuerdo con nuestra hipótesis, U = 0 en S. Tomando la primera identidad de Green (127) y poniendo una función igual a la otra, obtenemos 2
∭ U . U . dv∭ v
v
2
2
∂U ∂U ∂U ∂x ∂y ∂z
[ ]
. dv=∬ U . S
∂U . dS . ∂n
Esta ecuación se aplica al exterior de S, de manera que v represente la región fuera de S.2 Dado que U = V’ – V, siendo esta la diferencia de dos funciones armónicas, también resulta armónica fuera de S y tenemos que U= 0 en v; además, U =0 en S. Por tanto, el lado derecho y la primera integral del lado izquierdo se anulan, y obtenemos 2
∭
2
∂U ∂U ∂U ∂x ∂y ∂z
2
[ ]
. dv=0
Si solo una de las derivadas de U tiene v otro valor que no sea cero, esta ecuación dejará de ser válida ya que el integrando debe ser siempre positivo cero. De manera que todas las derivadas de U tendrán que ser cero; es decir que U es una constante. Dado que U, como función armónica, tiene que ser cero en infinito, la constante tendrá que ser cero también. Por lo tanto, V’ – V = 0 o sea V’ = V en todo v, que es precisamente lo que se está tratando de demostrar. El teorema de Stokes establece que hay una sola función armónica V que asume determinados valores límites en una superficie S, siempre que dicha función armónica exista. La aseveración de que para valores límites asignados arbitrariamente existe siempre una función V que asume en S los valores límites dados se conoce como el principio de Dirichlet. Tenemos dos casos diferentes : V armónica fuera de S y V armónica dentro de S. El principio de Dirichlet ha sido probado por muchos matemáticos para casos muy generales, por ejemplo, Poincaré y Hilbert; la demostración resulta bastante difícil. El problema de calcular la función armónica (dentro o fuera de S) a partir de sus valores límites en S se conoce comúnmente como el problema de Dirichlet, o el primer problema de los valores límites de la teoría del potencial. Se tratará con mayor detalle en la sección 116. Finalmente quisiéramos hacer notar que no hay función que sea armónica en todo el espacio (excepto en el caso de V ≡ 0) : siempre hay por lo menos una excepción. El potencial de una masa puntual, V = km / l, es singular para l = 0; el potencial de una distribución superficial o de una doble capa en una superficie S es armónico tanto dentro como fuera de S pero no en la misma S.
1
Esto se ve enseguida analizando (239) : en el caso de una simetría esférica, tanto Jnm como Knm deberán ser cero. Ello es posible si U es armónica, puesto que siendo éste el caso las condiciones de regularidad en infinito mencionadas al final de las secciones anteriores quedarán satisfechas. 2
2
1.8. Ecuación de Laplace expresada en Coordenadas Esféricas Las funciones armónicas más importantes son las llamadas armónicas esféricas. Para su determinación, es necesario incluir las coordenadas esféricas: r (vector radial), θ (distancia polar), λ (longitud concéntrica) (fig. 17). Las coordenadas esféricas están relacionadas con las coordenadas rectangulares x, y, z mediante las ecuaciones x = r sin θ cos λ, y = r sin θ sin λ, (136) z = r cos θ o inversamente por 2 2 2 (137)
r= x y z , x 2 y2 , θ=tan−1 z y λ=tan−1 . x
FIGURA 17. Coordenadas esféricas y rectangulares. Para expresar la ecuación de Laplace por medio de las coordenadas esféricas, es necesario determinar primero el elemento de arco (elemento de distancia) ds con estas coordenadas. Para ello, formamos
∂x ∂x ∂x ∂ r ∂ θ ∂λ , ∂r ∂θ ∂λ ∂y ∂y ∂y dy= ∂ r ∂ θ ∂λ , ∂r ∂θ ∂λ ∂x ∂z ∂z dz= ∂ r ∂ θ ∂λ. ∂r ∂θ ∂λ dx =
Diferenciando (136) e incorporándolas la fórmula básica
ds 2 =dx 2 dy 2 dz 2 Obtenemos
ds 2 =dr 2r 2 dθ2 r 2 sin 2 θ . dλ 2 .
(138)
Hubiera sido posible hallar esta conocida fórmula más fácilmente por medios geométricos, pero el método utilizado es más general y además puede aplicarse también a la coordenadas elipsoidales. En (138) no hay términos con dr dθ, dr dλ y dθ dλ. Esto demuestra el hecho de que las coordenadas esféricas son ortogonales: las esferas
r = const., los con los θ = const. y los planos λ = const se intersecan entre sí ortogonalmente. La forma general del elemento de arco expresado en coordenadas ortogonales arbitrarias q1, q2, q3 es
ds 2 =h 21 . dq12h 22 . dq 221h 23 . dq 23 .
(139)
puede demostrarse que el operador de Laplace en estas coordenadas es
V=
1 ∂ h2 h 3 ∂ h3 h1 ∂ h1 h 2 h 1 h 2 h3 ∂ q 1 h 1 ∂ q2 h2 ∂ q 3 h3
[ ]
Para las coordenadas esféricas, tenemos que
q 1 =r , q 2 = θ , q 3 =λ .
(140)
Una comparación de (138) con (139) mostrará que
h1 =1, h 2 =r , h3 =r . sin θ . Si sustituimos esto en (140), obtenemos
V=
1 ∂ 2 ∂V 1 1 ∂ ∂V ∂2 V r sin θ . ∂r ∂ θ r 2 sin 2 θ ∂2 λ r2 ∂ r r 2 sin θ ∂ θ
Al efectuar las diferenciaciones, hallamos
V=
1 ∂ 2 V 2 ∂ V 1 ∂2 V cot θ ∂ V ∂2 V =0 . ∂r2 r ∂r r2 ∂ θ2 r 2 ∂ θ r 2 sin 2 θ ∂ λ 2
(141)
que representa la ecuación de Laplace expresada en coordenadas esféricas. Se obtiene una expresión alterna multiplicando ambos lados por r 2
1 ∂2 V V ∂ V ∂2 V ∂V r 2r cot θ =0 . ∂ r ∂ θ2 ∂ θ sin 2 θ ∂ λ 2 ∂r2 2∂
2
(1 41’)
esta fórmula resulta mucho más conveniente para nuestro trabajo posterior.
1.9. Armónicas Esféricas Trataremos de resolver la ecuación de Laplace (141) o (141’) separando las variables r, θ, λ por medio de una sustitución tentativa V(r, θ, λ) = f (r) Y(θ, λ) (1 42) En donde f es una función de r solamente, y Y es una función de θ y de λ solamente. Al sustituir esto en (1 – 41’) y dividiendo por f Y, obtenemos
1 2 1 ∂2 Y ∂Y 1 ∂2 Y r f ''2 rf ' =− cot θ , f Y ∂ θ2 ∂ θ sin 2 θ ∂ λ 2
en donde las primas denotan una diferenciación con respecto al argumento (r, en este caso). Como la parte izquierda depende solamente de r y al parte derecha solamente de θ y λ, ambos lados deberán ser constantes. Por consiguiente, podemos separar la ecuación en dos:
r 2 f '' r 2 rf ' r −n n1 f r =0,
(1 43)
1 ∂2 Y ∂2 Y ∂Y cot θ n n1Y =0, ∂ θ sin 2 θ ∂ λ 2 ∂ θ2
(1 44)
en donde hemos representado la constante por medio de n (n + 1). Las soluciones de (1 43) están expresadas mediante las funciones
f r =r n
y
f r =r − n1 ;
(1 45)
esto deberá comprobarse por sustitución. Si denotamos las soluciones de (1 44) hasta ahora desconocidas por ecuación de Laplace (1 41) se resuelve por medio de la funciones
V =r n Y n θ , λ
y
V=
Y nθ , λ r n1
(1 46)
Y n θ ,λ
vemos que la
Estas funciones se conocen como las armónicas esféricas sólidas, mientras que las funciones
Y n θ , λ
se conocen como las armónicas
esféricas de superficie (de Laplace). Ambas se llaman armónicas esféricas; del tipo al que se está haciendo referencia por lo general se deduce del contexto. Más adelante veremos que n no es una constante arbitraria sino que tiene que ser entero 0, 1, 2, .......... Si una ecuación diferencial es lineal y conocemos varias soluciones entonces, como es bien conocido, la suma de estas soluciones será también una solución en sí. Por lo tanto podemos concluir que ∞
∞
V =∑ rnY nθ ,λ
y
Y n θ ,λ
n=0
n=0
son también soluciones de la ecuación de Laplace
V=∑
V =0
r n1
(1 47)
; es decir, funciones armónicas.
Lo importante es que toda función armónica –con ciertas restricciones puede expresarse en una de las formas indicadas en (1 47).
110. Armónicos Esféricos de Superficie Ahora tenemos que determinar las armónicas de superficie de Laplace
Y n θ , λ
.
Trataremos de resolver (1 44) por medio de una nueva sustitución tentativa
Y n θ , λ
= g (θ) h (λ), (1 48)
en donde tanto la función g como la h dependen de una sola variable. Efectuando esta sustitución en (1 44) y multiplicando por hallamos que
sin 2 θ/ gh
sin θ h '' sin θ . g ''cos θ . g' n n1sin θ . g =− , g h en donde las primas denotan diferenciación con respecto al argumento : θ en g, λ en h. La parte izquierda es una función de θ solamente, y la derecha es una función de λ solamente. Por lo tanto ambos lados tendrán que ser nuevamente constantes; supongamos que la constante sea 2 . De esta manera se divide la ecuación diferencial parcial (1 44) en dos ecuaciones diferenciales regulares para las funciones g (θ) y h (λ):
sin θ.g' ' (θ) + cos θ.g' (θ) + [n (n + 1) sin θ −
h '' λ m2 h λ =0
m2 .g(θ) = 0; sin θ
m
(1 49)
(1 50)
Las soluciones de la segunda ecuación son las funciones
h λ =cos mλ
y
h λ =sin mλ ,
(1 51)
tal como puede comprobarse por sustitución. La primera ecuación es más difícil. Puede demostrarse que sus soluciones tienen significado físico solamente si n y m son números enteros 1, 2, ........ y si m es menor que o igual a n. Una de las soluciones de (1 49) es la llamada función de Legendre
P nm cos θ
la cual será tratada con más detalle en la siguiente sección. Por tanto
g θ = P nm cos θ
(1 52)
y las funciones
Y n θ , λ =P nm cos θ cos mλ
y
Y n θ , λ =P nm cos θ sin mλ
(1 53)
son soluciones de la ecuación diferencial (1 44) para las armónicas de superficie de Laplace. Dado que esta ecuación es lineal, cualquier combinación lineal de las soluciones (1 53) será también una solución en sí. Dicha combinación lineal tiene la siguiente forma general: n
Y n θ , λ = ∑ [ a nm P nm cos θ cos mλb nm P nm cos θ sin mλ] , m=0
en donde a nm y
bnm
son constantes arbitrarias. Esta es la expresión general para la armónica de superficie
Si incluimos esto en las ecuaciones (1 47), vemos que
Yn
.
m
V r , θ , λ = ∑ r n=0
m
V r , θ , λ = ∑
n=0
n
n
∑ [ a nm P nm cos θ cos mλb nm P nm cos θ sin mλ ] , (1 54a)
m=0
1
n
∑ [ anm P nm cos θ cos mλbnm P nm cos θ sin mλ] , (1 54b)
r n1 m=0
son soluciones de la ecuación de Laplace V =0 ; es decir, funciones armónicas. Además, tal como se ha mencionado anteriormente, son en realidad soluciones muy generales : toda función que sea armónica dentro de determinada esfera podrá desarrollarse para formar una serie (1 54a), y toda función que sea armónica fuera de determinada esfera (como por ejemplo, el potencial gravitacional de la tierra) podrá desarrollarse para formar una serie (1 54b). Así vemos como las armónicas esféricas pueden resultar útiles en la geodesia.
1.11.
Funciones de Legendre
En la sección anterior se definió la función Pnm (cos θ) de Legendre como una solución de la ecuación diferencial de Legendre (1 49). La n denota el grado y m el orden de Pnm . Resulta conveniente transformar la ecuación de Legendre (1 49) sustituyendo t = cos θ (1 55) Para evitar confusiones, utilizamos una raya para indicar que g es una función de t. Por lo tanto, g (θ) = g (t),
dg dg dt = =−g ' t sin θ , dθ dt dθ g '' θ =g '' t sin 2 θ−g '' t cos2 θ . g ' θ =
Si insertamos esto en (1 49), dividimos por sin θ, y luego sustituimos sin 2
[
2
1−t g '' t −2t . g ' t n n1−
θ = 1 t 2 m2 1−t 2
]
obtenemos
. g t =0 .
(1 56)
La función de Legendre g (t) = Pnm (t), definida por
P nm t =
1 2n n !
1−t 2 m/ 2
satisface (1 56). Aparte del factor (1 − t 2 ) m / 2 =
( t − 1) 2
n
d nm 2 t −1n , nm dt
sin m θ
(1 57)
y de una constante, la función Pnm es la (n +m)ésima derivada del polinomio
. De esta manera es posible determinar su valor numérico sin ninguna dificultad. Por ejemplo,
1−t 2 1/ 2 d 2 2 1 P 11 t = t −1= 1−t 2∗2= 1−t 2 =sin θ . 2 2∗1 dt 2 El caso m = 0, tiene especial importancia. A menudo las funciones
P n t =P nθ t P nm t =
P nθ t
se denotan sencillamente por
dn 2 t −1n , n n 2 n ! dt 1
Pn t
. Luego (1 57) da
(1 57’)
Como m = 0, no hay raíz cuadrada, es decir, no hay sin θ. Por lo tanto, las son sencillamente polinomios de t. Se conocen como polinomios de Legendre. Aquí mostramos unos cuantos de los primeros polinomios para n = 0 hasta n = 2.
P p t =1,
P1 t =t ,
3 1 P 2 t = t 2 − t , 2 2
5 3 P 3 t = t 2 − t , 2 2
P4 t =
35 4 15 2 3 t − t , 8 4 8
P 5 t =
63 5 35 3 15 t − t t, 8 4 8
(1 58)
Recordemos que t = cos θ. Los polinomios podrán obtenerse por medio de (1 57’) o más fácilmente usando la fórmula de recursión
P n t =−
mediante la cual es posible calcular
P2
n−1 2n−1 P n−2 t t . P n−1 t , n n
a partir de
P0
y
P1
,
P3
a partir de
P1
(1 59)
y
P2
, etc. En la fig. 18 se muestran las graficadse
los polinomios de Legendre. Las potencias de cos θ pueden expresarse en términos de los cosenos de múltiplos de θ, tales como
1 1 cos 2 θ= cos 2θ , 2 2
1 3 cos 2 θ= cos 3θ cos θ . 4 4
Por consiguiente, también podemos expresar
Pn
(cos θ) en esta forma, obteniendo
3 1 P 2 cos θ = cos 2θ , 4 4 5 3 P 3 cos θ = cos 3θ cos θ , 8 8 35 5 9 P 4 cos θ = cos 4θ cos 2θ , 64 16 64 63 35 15 P 5 cos θ = cos 5θ cos 3θ cos θ , 128 128 64 .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . Si el orden m no es cero, es decir, m = 1, 2, . . . . . , n, las funciones de Legendre
(1 58’)
Pnm (cos θ) se conocen como las funciones asociadas de Legendre.
Estas pueden reducirse fácilmente a polinomios de Legendre por medio de la ecuación
2 m /2
P nm t = 1−t
d m Pn t dt m
,
(1 60)
que se desarrolla de (1 57) y (1 57’). De esta manera es posible expresar las funciones asociadas de Legendre en términos de polinomios de 2 Legendre del mismo grado n. Aquí damos algunas P , escribiendo t = cos θ,
1−t =sin θ :
nm
P 11 cos θ =sin θ
P 21 cos θ =3sin θ cos θ ,
P 22 cos θ =3sin 2 θ ,
P31=sin θ
P 32=15 sin 2 θ cos θ ,
15 3 cos 2 θ− , 2 2
P 33=15 sin 2 θ .
también mencionamos una fórmula explícita para cualquier función de Legendre (polinomio o función asociada) :
(1 61)
2 m/ 2
P nm t =2 1−t −n
r
2n−2k !
∑ −1k k ! n−k ! n−m−2k ! t n−m−2k . (1 62) k=0
donde r representa el número entero más alto ≤ (n m) / 2; v. g. r es (n m) / 2 o (n –m 1) / 2, cualquiera que sea un número entero. Esta fórmula resulta conveniente para la programación de una computadora electrónica. Puesto que es difícil encontrar esta fórmula útil en trabajos publicados hemos incluido aquí su deducción la cual es bastante sencilla y sin complicaciones. La información requerida sobre factoriales puede obtenerse de cualquier colección de fórmulas matemáticas.
FIGURA 18
Polinomios de Legendre como
funciones de t = cos θ. Arriba, n
es par; abajo, n es impar.
El teorema del binomio de Newton da: n
t 2 −1n = ∑ −1k k=0
n
n! n 2n−2k t = ∑ −1k t 2n−2k . k k ! n−k ! k=0
De esta manera se convierte en
P nm t =
1 2
n
1−t 2 m /2 ∑ −1k n k =0
1 t 2n−2k , k ! n−k !
Al suprimirse el factor común n! La résima derivada de la potencia t 8 es
dr r s! t =s s−1 .. .. . .. .. s−r1 t s−r = t s−r . r s−r ! dt Si ponemos r = n + m y s = 2 n – 2k, tenemos
2n−2k ! n−m−2k d nm 2n−2k t = t . nm n−m−2k ! dt Al insertar esto en la expresión anterior para Pnm (t) y notar que el exponente más bajo posible de t es t ó t° = 1, obtenemos (1 62). Las armónicas esféricas de superficie son las funciones de Legendre multiplicadas por cos mλ o sin mλ : Grado 0
P 0 cos θ ;
Grado 1
P 0 cos θ ;
Grado 2
P 2 cos θ ;
y así sucesivamente.
P 11 cos θ cos λ , P 11 cos θ sin λ ;
P 21 cos θ cos λ , P21 cos θ sin λ , P 22 cos θ cos 2λ , P22 cos θ sin 2λ ;
La representación geométrica de estas armónicas esféricas resulta útil. Las armónicas donde m = 0, es decir los polinomios de Legendre, son polinomios de grado n en t, de manera que tienen n ceros. Estos n ceros son todos reales y están situados en el intervalo 1 ≤ t ≤ +1, es decir 0 ≤ θ ≤ π (fig. 18). Las armónicas donde m = 0 cambian por lo tanto de signo n veces en este intervalo; además no dependen de λ . Su representación geométrica es por consiguiente similar al caso a de la fig. 19. Como dividen la esfera en zonas, también se conocen como armónicas zonales.
Las funciones asociadas de Legendre cambian de signo n – m veces en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π. Las funciones cos mλ y sin mλ tienen 2m ceros en el intervalo 0 ≤ λ ≤ 2 π, de manera que la representación geométrica de las armónicas para m ≠ 0 es similar a la del caso b. Dividen la esfera en compartimientos en los que son positivas y negativas alternativamente al igual que un tablero de ajedrez, y se conocen como armónicas t eserales. En el caso particular de n = m degeneran en funciones que dividen la esfera en sectores positivos y negativos, en cuyo caso se conocen como armónicas sectoriales (fig. 19, caso c).
FIGURA 19 Los diferentes tipos de armónicas esféricas : (a) zonales, (b) Teserales, (c) sectoriales.
1.12.
Funciones de Legendre del Segundo Tipo
La función de Legendre no es la única solución de la ecuación diferencial de Legendre (1 56). Hay una función de naturaleza completamente diferente que también satisface esta ecuación. Se le conoce como la función de Legendre del segundo tipo, de grado n y de orden m, y que se denota por
Qnm t
.
Aunque
P nm t
Qnm t
son funciones de naturaleza totalmente diferente, satisfacen relaciones muy similares a las que satisfacen las
.
Las funciones “zonales”
Qn t ≡Q nθ t están definidas por n
y las otras por
1 1t 1 Qn t = P n t ln − ∑ P k −1 t P n−k t , 2 1−t k =1 k
(1 63)
2 m /2
Qnm t =1−t
d m Qn t dt m
La ecuación (1 64)es completamente análoga a (1 60); además, las funciones
.
(1 64)
Qn t
satisfacen la misma fórmula de recursión (1 59) que las
funciones .
Si determinamos el valor de las primeras Q n por medio de (1 63) hallamos que
1 1t Q0 t = ln =tanh−1 t , 2 1−t t 1t −1=t tanh−1 t−1, Q 1 t = ln 2 1−t 3 1 1t 3 3 1 3 Q2 t = t 2− ln − t= t 2 − tanh −1 t− t . 4 4 1−t 2 2 2 2
(1 65)
Estas fórmulas y la fig. 110 muestran que las funciones Q nm son en realidad muy distintas a las funciones Pnm . Por la singularidad ±
∞
en t = (v. G. = 0 ó π) vemos que es imposible sustituir Q nm (cos θ) por Pnm (cos θ)si θ representa la distancia polar, ya que las funciones
armónicas tienen que ser regulares.
No obstante, las hallaremos en la teoría de las armónicas elipsoidales (sección 1 20), la cual se aplica al campo de gravedad normal de la tierra (sección 2 7). Por este motivo necesitamos las funciones de Legendre del segundo tipo como funciones de un argumento complejo. Si el argumento z es complejo tendremos que sustituir la definición (1 63) por
n
1 z1 1 Q z = P z ln − ∑ P k −1 z P n−k z , n n 2 z−1 k =1 k
(1 63’)
en
donde los polinomios de Legendre
Pn z
se definen mediante las mismas fórmulas que en el caso de un argumento real t. Así pues, el único
cambio en comparación con (1 63) es la sustitución de
1 1t ln =t tanh −1 t , 2 1−t .
FIGURA 1 10 Funciones de Legendre del segundo tipo. Arriba n es par; abajo n es impar. 1 z1 −1
ln
2 .
Por
z−1
=coth z ,
específicamente tenemos
1 z1 Q0 z = ln =corh−1 z , 2 z−1 z z1 Q1 z = ln −1=z coth−1 z−1, 2 z−1 (1 65’) 3 1 z1 3 3 1 3 Q2 z = z 2 − ln − z= z 2− coth−1 z− z . 4 4 z−1 2 2 2 2
1.13.
Teorema de Desarrollo y Relaciones de Ortogonalidad
En esta sección trataremos con las armónicas esféricas de superficie. En (1 54a,b) desarrollamos las funciones armónicas en el espacio para formar una serie de armónicas esféricas sólidas. Similarmente es posible desarrollar una función f (θ, λ) arbitraria (por lo menos en sentido muy general) en la superficie de una esfera para formar una serie de armónicas de esfera de superficie :
m
m
n
f θ , λ = ∑ Y n θ , λ = ∑ ∑ [ a nm R nm θ , λ b nm S nm θ , λ ] , (1 66) n=0 en donde hemos utilizado las formas abreviadas3
R nm θ , λ
=
Pnm cos θ cos mλ
n=0 m=0
,
S nm θ , λ = P nm cos θ sin mλ.
(1 67)
Se han usado las establecidas por MacMillan (1930); él utiliza las formas abreviadas C nm θ , λ = Pnm cos θ cos mλ ,
3
y,
S nm θ , λ
=
P nm cos θ sin mλ.
Los símbolos
a nm
y
b nm
son coeficientes constantes que ahora procederemos a determinar. Para ello, son esenciales las llamadas relaciones
de Ortogonalidad. Estas relaciones poco comunes significan que la integral sobre la esfera unitaria del producto de cualesquiera dos funciones diferentes
Rnm
y
S nm
es cero :
∬ R nm θ , λ Rsr θ , λ . dσ=0
Si s ≠ n, r ≠ m o ambos
σ
∬ S nm θ , λ S sr θ , λ . dσ=0 σ
∬ R nm θ , λ S sr θ , λ . dσ=0 σ
En el caso del producto de dos funciones equivalentes
Rnm
ó
S nm
Si s ≠ n, r ≠ m o ambos En cualquier caso
tenemos
4π
∬ [ R nθ θ , λ ]2 . dσ= 2n1 ; σ
2π nm ! ∬ [ R nm θ , λ ] . dσ=∬ [ S nm θ , λ ] . dσ=2n1 n−m ! σ σ 2
(No hay ninguna
S n0
2π
(m ≠ 0). (1 69)
2
, ya que sin 0λ = 0.) En estas fórmulas hemos utilizado la forma abreviada
π
∬ =∫λ=0 ∫θ =0 σ
para la integral sobre la esfera unitaria. La expresión
dσ = sin θ dθ dλ
denota el elemento de superficie de la esfera unitaria o el elemento de ángulo sólido, el cual se define como el área correspondiente en al esfera unitaria. Ahora resulta fácil determinar los coeficientes
Si multiplicamos ambas partes de la ecuación por un
a nm
y
bnm
R sr θ , λ
en (1 66).
e integramos sobre la esfera unitaria, obtenemos
∬ f θ , λ Rsr θ , λ ]. dσ=asr ∬ [ Rsr θ , λ ] 2 . dσ , σ
σ
ya que en el lado derecho de la integral doble se anularán todos los términos, salvo el que tiene n = s, m = r, de acuerdo con las relaciones de Ortogonalidad (1 68). La integral del lado derecho tiene el valor dado en (1 69) de manera que se ha determinado podemos calcular
bsr
multiplicando (1 66) por
S sr θ , λ
e integrando sobre la esfera unitaria. El resultado es
a sr
. En forma similar
2n1 ∬ f θ , λ P n cos θ . dσ ; 4π σ 2n1 n−m ! a nm = ∬ f θ , λ R nm θ , λ . dσ ;⋱ 2π nm ! σ 2n1 n−m ! b nm = ∬ f θ , λ S nm θ , λ . dσ ;⋰ 2π nm ! σ a nθ=
(1 70)
( m ≠ 0 )
Los coeficientes
b nm
a nm
y
pueden por lo tanto
determinarse mediante una integración. Notamos que también es posible hallar directamente las armónicas esféricas de Laplace
Y n θ , λ =
Y n θ , λ
en (1 66) mediante la fórmula
π 2n1 2π f θ ', λ ' P n cos ψ sin θ ' . dθ ' . dλ', ∫ ∫ λ ' =0 θ ' =0 4π
(1 71)
en donde ψ es la distancia esférica entre los puntos (θ,λ) y (θ’,λ’), de modo que (fig. 111)
cos ψ=cos θ . cos θ ' sin θ sin θ '
(1 72)
La ecuación (1 71) puede verificarse fácilmente mediante cálculos directos, sustituyendo
P n cos ψ
de la fórmula de descomposición (1
82) de la sección 15.
1.14.
Armónicas Esféricas Totalmente Normalizadas
Las fórmulas de la sección anterior para el desarrollo de una función a una serie de armónicas de superficie son bastante difíciles de manejar. Si analizamos las ecuaciones (1 69) y (1 70) vemos que hay diferentes fórmulas para m = 0 y m ≠ 0; además, las expresiones son relativamente complicadas y difíciles de recordar.
FIGURA 111 La distancia esférica ψ.
Rnm
Por consiguiente, se ha propuesto reemplazar las armónicas “convencionales”
y
S nm
definidas por (1 67) y (1 57) ó (1 62), por otras
funciones que difieran por un factor constante y sean más fáciles de manejar. Aquí consideramos solamente las armónicas totalmente normalizadas 4 que parecen ser las más convenientes así como las más usadas. Las denotamos por
Rnm
y
S nm
;están definidas por
R nθ θ , λ = 2n1 . R nθ θ , λ ≡ 2n1. P n cos θ ;
R nm θ , λ S nm θ , λ
= 2 2n1
n−m ! nm !
R nm θ , λ S nm θ , λ
(1 73)
( m ≠ 0).
Las relaciones de Ortogonalidad (1 68) son válidas también para estas armónicas totalmente normalizadas, mientras que las ecuaciones (1 69) se simplifican completamente : se convierten en
2 2 1 R nm . dσ=∬ S nm . dσ=1 . ∬ 4π σ σ
(1 74)
Esto significa que el cuadro de medio de cualquier armónica totalmente normalizada es uno, en donde el promedio se calcula sobre la esfera (promedio = integral dividida por el área 4π). Esta fórmula para cualquier m sea esta cero o no.
Si desarrollamos una función arbitraria f (θ, λ) para formar una serie de armónicas totalmente normalizadas, análoga a (1 66), m
f θ , λ = ∑
n
∑ [ a nm Rnm θ , λ b nm S nm θ , λ ] , (1 75)
n=0 m=0
Entonces los coeficientes
a nm b nm estarán dados sencillamente por H
C=W 0 −W ∫ gdH
(1 76)
0
es decir, los coeficientes serán los productos medios de la función y la armónica correspondiente
Rnm
o
S nm
.
La sencillez de las fórmulas (1 74) y (1 76) representa la ventaja principal de las armónicas esféricas totalmente normalizadas, haciéndolas útiles en muchos respectos, aun cuando las funciones
Rnm
y
S nm
(1 73) sean algo más complicadas que las
Rnm
y
S nm
convencionales : tenemos que
4
R nm θ , λ
=
Pnm cos θ cos mλ
,
S nm θ , λ
=
Pnm cos θ sin mλ.
.
Las armónicas totalmente normalizadas han sido sencillamente “normalizadas” en la forma que establece la teoría de las funciones reales; hemos tenido que utilizar esta expresión extraña porque el término “armónicas esféricas normalizadas” ya se ha usado en otras funciones, lamentablemente muchas veces para funciones que no han sido realmente “normalizadas” en el sentido matemático de la palabra. JahnkeEmdeLosch (1960) utiliza una forma diferente de normalización.
En donde n−2k
Pnm(t)=
2n1
r
(l77a)
k
¿
∑ −1 2n−2k !/ k ! n−k ! n−2k !talignl ¿¿ ¿
k =0
para m=0, y
2 2n1 n−m !/ nm !∗2−n 1−t 2 m / 2 n−m−2k r
∑ −1k 2n−2k !/ k ! n−k ! n−2k !talignl ¿¿ ¿
(l77b)
¿
k =0
para m diferente de 0. Esto corresponde a (162): aquí, al igual que en (162), r es el numero entero mas alto ¿ (nm)/2 Hay relaciones entre los coeficientes a b
nm
nm
y b
nm
para armónicas totalmente normalizadas y los coeficientes a
para armónicas convencionales que por supuesto son las inversas de las expresadas en (173):
ng
a
n0
= a
¿¿ ¿¿ ¿ ¿
/
2n1 (178)
¿¿ ¿¿ ¿ ¿ a nm b nm
m diferente de cero
1/2 2n1 nm !/ n− m ! ∗¿ {¿ } ¿{} 115. Desarrollo de la Distancia Reciproca en Armónicas Zonales. Formula de Descomposición
nm
y
La distancia entre dos puntos cuyas coordenadas esféricas son: P(r, θ , λ ), P(r´ θ ´, λ ´ esta representada por l 2 =r 2 r ´ 2−2 rr ´cos ψ (179)
en donde ψ es el ángulo entre los vectores radíales r y r´ (fig. 112), de manera que según (172),
• cos ψ cos θ cos θ + sin θ sin θ cos λ´ λ). Suponiendo que r' < r, podemos escribir 1/l=1/
1
r 2−2 rr ´cos ψr´ 2 = r 1−2αuα 2
en donde hemos utilizado α =r'/r y ,u=cos ψ Esto puede desarrollarse para . formar una serle exponencial con respecto a α . Resulta notable que los coeficientes de α
n
sean las armónicas zonales (convencionales), o polinomios
de Legendre Pn(u)=Pn(cos ψ)
∞
1
t−2αuα 2
= ∑ a n P n u =P 0 u αP1 u .. . .. .. . . , (180) n=0
Por consiguiente, obtenemos
1 r ´n =∑ P cos ψ (181) l n=0 r n1 n ∞
que es una formula importante.
Aun asi sería conveniente expresar P n cos ψ en esta ecuación en términos funciones de las coordenadas esféricas θ,λ y θ´,λ´ que componen ψ de acuerdo con (172). Esto se logra por medio de la formula de descomposición.
Pn(cos ψ)=Pn(cos θ)Pn(cos θ ´) n
2 ∑
m=1
n−m ! [ R θ , λ Rnm θ ,´ λ ´ S nm θ , λ S nm θ ,´ λ ´´ ] (182) nm ! nm
Si sustituimos esto en (181), obtenemos 183 n
∞
1 P cos θ n−m ! ∗r ´ P n cos θ ´ 2 ∑ Rnm θ , λ /r n1 r ´ n R nm θ ,´ λ ´ S nm θ , λ /r n1 r ´ n S n ∑ n1 l n=0 r m=1 nm !
[
El uso de las armónicas totalmente normalizadas simplifica estas formulas. Si reemplazamos las armónicas convencionales de (182) y (183) por armónicas totalmente normalizadas por medio de (173) hallamos que n
1 P n cos ψ = ∑ [ R nm θ , λ R nm θ ,´ λ ´ S nm θ , λ S nm θ ,´ λ ´´ ] ; (1 2n1 m=0
[
]
82') m
m
1 1 =∑ ∑ R nm θ , λ /r n1 r ´ n R nm θ ,´ λ ´ S nm θ , λ /r n1 r ´ n S nm θ ,´ λ ´´ l n=0 m=0 2n1
[
(183') La ultima formula resulta esencial para el desarrollo del campo gravitación de la tierra con armónicas esféricas. 116. Solución del Problema de Dirichiet Por Medio de Armónicas Esféricas. Integral de Poisson En la sección 17 se menciono el problema de Dirichiet, o sea el primer problema de valores limites de la teoría del potencial: con una función arbitraria dada en una superficie S, determinar una función V que sea armónica ya sea dentro o fuera de S y que en S asuma los valores de la función preestablecida. Si la superficie S es una esfera, entonces el problema de Dirichict podrá resolverse fácilmente por medio de armónicas esféricas. Tomemos primero la esfera unitaria, r = 1, y desarrollamos !a función preestablecida, indicada en la esfera unitaria y denotada por V(1,λ,θ), para formar una serie de armónicas de superficie (166);
∞
V(1,λ,θ)=
∑ y n θλ (184)
n=0
habiéndose determinado Y (λ,θ) por medio de (171). las funciones ∞
V(r,λ,θ)=
∑ y n r n θλ (185a)
n=0 ∞
V(r,λ,θ)=
∑ y n θλ / r n1 (185b)
n=0
asumen los valores dados V(1,λ,θ)en la superficie r=1. La serie (184) converge y para r<1 tenemos
r n Y n Y n . y para r> l
Y n /r n1 Y n .
Por tanto 1a serle (l85a) converge cuando r<1 y la serie (l85b) cuando r>1; ademas, se ha determinado que ambas series representan funciones amónicas. Asi pues podemos resolver el problema de Dirichiet por medio de V(r,λ,θ) para
]
el interior de la esfera r = l, y por V(r,λ,θ) para su exterior. En el caso de una esfera de radio arbitrario r •= R. la solución es similar. Desarrollamos la función dada ∞
V(R,λ,θ)=
∑ y n θλ (186)
n=0
Las armónicas de superficie Yn se determinan por
Y n θλ =
x 2n1 2x V R , θ , λ ´ P n cos ψ sin θ ´ dθ ´ dλ´ ∫ ∫ λ=2 λ=0 4π
Luego la serie . ∞
V(r,λ,θ)=
∑
n=0
n
r y n θλ R
resuelve el primer problema para valores limites para el interior y la serie
V(r,λ,θ)=
∞
∑
n=0
R r
1 n
y n θλ (i87b)
lo resuelve para el exterior de la esfera r = R. De manera que siempre sera posible resolver el problema de Dirichiet para la esfera. Obviamenté esto esta estrechamente relacionado con la posibildad de desarrollar una función arbitrarla en la esfera para formar una serie de armónicas esféricas de superficie, y una función armónica en el espacio para formar una serie de armónicas esféricas sólidas. Integral de Poisson: Hay una solución mas directa la cual se explica a continuación. Consideremos solamente el problema exterior que tiene mayor aplicación en la geodesia. Si sustituimos Yn(λ,θ) de (171) en (l87b), Obtenemos
∞
V r , θ , λ = ∑
n=0
R r
n1
π 2n1 2π V R , θ , λ ´ P n cos ψ sin θ ´ dθ ´ dλ´ ∫ ∫ λ=2 θ=0 4π
Esto lo podemos reordenar asi:
1 V r , θ , λ = 4
∞
R ∫λ=2 ∫λ=0 V R , θ , λ ´ ∑ 2n1 r n=0 2x
x
[
n1
(188) Es posible determinar el valor de la suma dentro de los paréntesis rec tangulares. Denotamos la distancia espacial entre los puntos (r,λ,θ) y (R,λ,θ) por l. Luego, de acuerdo con (181)
]
P n cos ψ sin θ ´ dθ ´ dλ´
1 1 1 R l r2 R2 2R cos R n 0 r
n1
Pn cos
Diferenciando con respecto a r obtenemos
r− R cos ψ l3
i =− R
∞
∑ n1
n=0
Rn1 r n1
P n cos ψ
Si multiplicamos esta ecuación por 2Rr, y multiplicamos la expresión para 1/l por R y luego sumamos las dos ecuaciones, obtenemos como resultado
R r 2 − R2 l
2
∞
R = ∑ 2n1 r n=0
n1
P n cos ψ
1a parte derecha es la expresión entre paréntesis rectangulares de (188).Si sustituimos la parte Izquierda, obtenemos finalmente '
V(r,λ,θ)=
π V R , θ ´, λ ´ R r 2 − R 2 2π sen θ ´ dθ´ dλ´ (189) ∫ ∫ λ=0 θ=0 4π l2
Esta es la integral de Poisson. Es una solución explícita del problema de Dirichlet para el exterior de la esfera que tiene muchas aplicaciones en la geodesia física. 117, Otros Problemas de Valores Límites Hay otros problemas de valores límites similares. En el problema de Neumann o sea el segundo problema de valores limites de la teoria del potencial, se da la derivada normal de V con respecto a n en la superficie S en lugar de la función V misma. La derivada normal es la derivada a lo Iargo de la normal superficial n a S en dirección hacia afuera. En el tercer problema de valores Iimites, se da una combinación lineal de V y de su derivada normal
hV+k*aV/an en S. En el caso de la esfera también es posible expresar fácilmente la solución de estos problemas de valores limites en terminos de armónicas esféricas. Consideremos ahora los problemas exteriores solamente, ya que son de especial ínteres en la geodesia. En el problema de Neúmmann desarrollamos los valores dados de aV/an en la esfera r = R para formaruna serie de armónicas de superficie:
∂V ∂n
∞ r=R
= ∑ Y θλ 190 n=0
La función armónica que resuelve el problema de Neinnann para el exterior de la esfera es por lo tanto
∞
V r , θ , λ =−R ∑
n=0
R r
n1
[
Y n θ ,λ n1
]
Para verificarla, podemos diferenciarla con respecto a r. obteniendo ∞
∂V R =∑ ∂ n n=0 r
n1
Y n λ , θ
|Como en el caso de la esfera, la normal coincide con el vector radial tenemos que
∂V ∂n
∂V ∂r
=
r=R
r=R
y por lo tanto vemos que satisface (ll0). El tercer problema de los valores limites es particularmente importante para la geodesia fsica, ya que la determinación de las ondulaciones del geoide a partir de 1as anomalias de la gravedad esprecisamente este tipo de problema. Para resolver el caso general desarrollamos nuevamente la función definida por los valores limites dado; para formar armónicas de superficie: ∞
∂V hV k =∑ Y θ ,λ ∂ n n=0 n La función armónica ∞
V r , λ , θ = R ∑
n=0
R r
n1
Y n λθ h− k / R n1
191
V r. resuelve el tercer problema de valores limites para el exterior de la esfera r=R. Su verificación es totalmente análoga al caso de (191). Al determinar las ondulaciones geoidales, las constantes h, k asumen los valores h=2/R, k=1 de manera que ∞
V r , λ , θ = R ∑
n=0
R r
n1
Y n λθ n−1
(192•)
resuelve el llamado problema de 1os valores 1imites de la geodesia fisica. Como hemos podido apreciar en la sección anterior, también es posible resolver directamente el primer problema de valores limites por medio de la integral de Poisson. Existen asimismo formulas integrales similares para el segundo y tercer problema. La formula integral que corresponde a (l92) para el problema de los valores limites de la geodesia física es 1a integral de Stokes que trataremos con mayor detalle en el Capitulo 2. 118. La Derivada Radial de una Función Armónica Para poder aplicarla mas adelante a problemas relacionados con la gradiente vertical de la gravedad, deduciremos ahora una formula integral para 1a derivada a lo largo del vector radial r de una función armónica arbitraria que denotaremos por V. Una función armonica como esta satisface la integral de Poisson (189):
π V R , θ ´, λ ´ R r 2 − R 2 2π V(r,λ,θ) = sen θ ´ dθ´ dλ´ ∫ ∫ λ=0 θ=0 4π l2
Al formar la derivada radial aV/ar notamos que V(r´,λ´,θ´) no depende de r. De modo que solo necesitamos diferenciar (r2R2)/l2 obteniendo π M r . ψ V R , θ ´, λ ´ ∂ V r , θ , λ R 2π sen θ ´ dθ´ dλ´ ∫ ∫ λ=0 θ =0 ∂r 4π
en donde
M r , ψ ≡
∂ r 2− R2 1 2 3 2 = 2 5R −r − Rr 2 cos ψ−3R cos ψ ∂r l2 l (194)
Si aplicamos esta ecuación a la función armónica especial obtenemos
−
π Mr .ψ R R 2π = ∫λ=0 ∫θ=0 sen θ ´ dθ ´ dλ´ 2 4π r
Multiplicando ambos lados de esta ecuación por V(r,λ,θ) y restándola de (193) nos da
π ∂V R R 2π 2 Vr= ∫λ=0 ∫θ =0 M r , ψ v−Vr sen θ ´ dθ´ dλ ´ ∂r r 4π
en donde Vp=V(r,λ,θ), V=(R, ,λ,θ),
Para hallar la derivada radial en la superficie de una esfera de radio R,tenemos que usar r= R. Luego ( pasa a ser (fig. 131)
l
0=2R sin
ψ 2
y la función M adquiere la forma sencilla
M R , ψ =
1 4R 2 sen
ψ(196)
2
ψ 2
=
2R l 03
Para ψ 0 tenemos M(r, ψ0 y no podemos utilizar la formula original (193) en la superficie de la esfera f = R. En la ) ecuación ransformada (195), sin embargo, tenemos v v. —> 0 para ψ0, y la singularidad de M para ψ 0 sera neutralizada. Siempre que V sea dos veces diferencíable en P. De esta manera obtenemos
π ∂V 1 R 2 2π v−Vr = Vr ∫λ=0 ∫θ =0 sen θ ´ dθ´ dλ ´ 197 ∂r R 2π l0
esta ecuación representa aV/ar en la esfera r = R en términos de V en dicha esfera; de modo que ahora tenemos Vr=(R,θ,λ), V=(R´,θ´,λ´) 198 SoÍución en términos de armónicas esféricas. Podemos expresar Vr como ∞
∂V 1 R =− ∑ ∂r R n=0 r
n1
Y n λθ
199
Una diferenciación nos da ∞ ∂V Rn1 Y n λθ 1100 =− ∑ n1 n1 ∂r r n=0
Para r=R esto se convierte en ∞
∂V 1 =− ∑ α1 Y n θ , λ ∂r R n=0 Esto es el equivalente de (197} en términos de armonicas esféricas. De esta ecuación obtenemos un resultado secundario interesante. La ecuación (1100) podria escribirse ∞
∂V 1 1 =− V p− ∑ nY n θ , λ ∂r R R n=0 Si comparamos esto con (197) vemos que si estuviera en una esfera de radioR . ∞
V p = ∑ Y n θ , λ (1101) n=0
entonces ∞ π R 2 2π v−Vr 1 sen θ ´ dθ ´ dλ´ = ∫ ∫ − ∑ nY n θ , λ (1102) 3 2π λ=0 θ=0 0 R n=0 l
Esta ecuación se formula en su totalidad usando cantidades que hacen referencia a la superficie esférica solamente. Además, para cualquier funcion preestablecida en la superficie de una esfera podemos hallar una función en el espacio que sea armónica fuera de la esfera y asuma los valores de la funcion preestablecida en la misma. Esto se hace resolviendo el problema exterior de Diricnlet. Según esto podemos concluir que (1102) es valida para una función arbitrarla V definida sn la superficie de una esfera. Esto se usara en las secciones 223 y 88. 119. Ecuación de Laplace Expresada en Coordenadas Elipsoidales
Las armónicas esféricas son las mas usadas en geodesia porque son relativamente sencillas y la tierra es casi esférica. Como la tierra se asemeja mas a un elipsoide de revolución es de esperar que las armónicas elipsoidales, las cuales se definen en una forma similar a las armónicas esféricas, sean hasta mas apropiadas. todo se reduce a un asunto de conveniencia la matemática puesto que se pueden usar tanto las armónicas esféricas como las elipsoidales para cualquier cuerpo atrayente, cualquiera que sea su forma. Como son mas complicadas, sin embargo, se usan solo en ciertos casos especiales que no dejan de ser Importantes, especificamente en problemas que requieren el calculo preciso de la gravedad normal.
Para ello, es necesario incluir las coordenadas elipsoidales (µ,λ,θ (Ffg. 114). En un sistema rectangular, el punto P ) tiene las coordenadas x,y,z. Ahora pasamos por P la superficie de un elipsoide de revolución cuyo centro es el origen O, cuyo eje coincide con el eje z y cuya excentriciflad lineal tiene un valor constante E. La coordenada µ es el semieje menor de este elipsoide, θ es el complemento de la latitud reducida" β de P con respecto a este elipsoide (su definición puede verse en 1a ,f1g. 114), y λ es la longitud geocéntrica en el sentido normal de la palabra. estas coordenadas(µ,λ,θ ) estan especialmente adaptadas a un elipsoide de revolución; son distintas a las coordenadas elipsoidales de Lame que hacen referencia a un elipsoide de tres ejes diferentes. Por este,motivo nuestras armónicas elipsoidales son diferentes a las de Lame, las cuales son menos adecuadas para los problemas geodésicos. Las coordenadas elipsoidales (µ,λ,θ estan relacionadas con x. y,z por medio de las ecuaciones )
x= 2 E 2 sen θ cos λ x= 2 E 2 sen θ sen λ 1103
z= cos θ
que pueden leerse de la figura, considerando que P.
2E 2 es el semieje mayor del elipsoide cuya superficie pasa por
Si tomamos µ= const, hallamos
x 2 y 2 z 2 2 2 E 2
que representa un elipsoide de revolución. Para θ= const. Obtenemos
Ck=
R α 2 − α1 2πG
[ J ψ 2 −J ψ1 ]
lo cual representa un hiperboloide de una hoja, y para λ = const. obtenemos el plano meridiano La distancia focal constante E = OF1, la cual es igual para todos los elipsoides µ= const. caracteriza el sistema de coordenadas. Para E = O tenemos las coordenadas esféricas usuales µ=r λθ como caso limite. Para hallar el elemento de arco expresado en coordenadas elipsoidales se procede de la misma forma que con las coordenadas esféricas, ec. (138) y se obtiene,
u 2 E 2 cos2 θ 2 ds= du u 2 E 2 cos θ dθ2 u 2 E 2 sen 2 θdλ2 1104 2 2 u E
El sistema de coordenadas (µ,λ,θ ) es aqui también ortogonal: los productos du, dθ,etc. hacen falta en la ecuación para ds. Si aplicamos θ=q2,µ=q1,λ=q3 tenemos en (139)
h 21 =
u 2 E 2 cos 2 θ , h 2=u 2 E 2 cos θ , h 2 = u 2 E 2 sen 2 θ 2 2 2 3 u E Sí sustituimos esto en (140) obtenemos
V=
2 2 2 ∂ ∂V ∂ ∂V ∂ u E cos θ ∂ V 2 2 u E sen θ sen θ ∂u ∂θ ∂ θ ∂ λ u 2 E 2 sen θ ∂ λ u 2 E 2 cos 2 θ sen θ ∂ u
1
{ [
[
]
]}
Si efectuamos las diferenciaciones y suprimimos el factor común sin θ, obtenemos
V=
1 u 2 E 2 cos 2 θ
(1105)
[
u 2 E 2
2 2 2 ∂2 V ∂ V ∂2 V ∂ V u E cos θ ∂ 2 V 2u cot θ ∂ u ∂ θ2 ∂ u u 2 E 2 sen 2 θ ∂ λ 2 ∂ u2
]
que es la ecuación de Laplace expresada on coordenadas elipsoidales. Se obtiene una expresión alterna haciendo caso omiso del. factor u 2 E 2 cos 2 θ −1
[
0= u 2 E 2
2 2 2 ∂2 V ∂ V ∂2 V ∂ V u E cos θ ∂2 V 2u cot θ 1105´ ∂u ∂ θ2 ∂ u u 2 E 2 sen 2 θ ∂ λ 2 ∂ u2
]
En el caso limite E0, estas ecuaciones se reducen a las expresiones esféricas (141) y (141'). Armónicas Elipsoidales 120 Para resolver (i105) o (l105'l procedemos de manera totalmente ana1oga al método utilizado para resolver la ecuación correspondiente (141') en coordenadas esféricas. Los pasos podrán resumirse de la siguiente manera. Por medio de una sustitución tentativa V(r λθ)=f(r)g(θ)h( λ) separamos 1as variables(r λ θ) para descomponer la ecuacion diferencial parcial original (141') en tres ecuaciones diferenciales regulares (143), (149) y (150).
Para resolver la ecuación dé Laplace; en coordenadas elipsoidales (1105') hacemos la respectiva sustituccion tentativa V(µ λθ)=f(µ)g(θ)h( λ) (1106) Sustituyendo y dividiendo por fgh obtenemos
1 u 2 E 2 cos2 θ h ´´ 0= u E f ´´2 uf ´ g ´´g´cot θ 2 g u E 2 sen 2 θ h
[
2
2
]
La variable λ solo ocurre por el cociente h"/h, que por consiguiente deberá ser constante._ 1esto resulta mas claro si escribimos la ecuación en la forma
1 h ´´ u2 E 2 sen 2 θ 1 2 2 u E f ´´2 uf ´ g ´´g ´cot θ = g h u 2 E 2 cos2 θ f
{
}
El lado izquierdo .depende solamente de µ y θ y el lado derecho solamente de λ Los dos lados no pueden ser exactamente iguales a menos que ambos sean iguales a la misma constante.
h ´´ =−m 2 h
El factor por el que se multiplica h"/h puede descomponerse de la. si guiente manera:
u 2 E 2 cos 2 θ 1 E2 ,: = − u 2 E 2 sen 2 θ sen 2 θ u 2 E 2 Si insertamos las ultimas dos expresiones en la ecuación anterior y combinamos las funciones de la misma variable obtenemos '
1 1 E2 m2 2 2 2 u E f ´´2 uf ´ 2 m =− g´´g ´cot θ f g u E 2 sen 2 θ
Los dos lados son funcionas de diferentes variables independientes y por lo tanto deben ser constantes. Si denotamos dicha constante por n(n+1) obtenemos finalmente . ' 2
[
2
u E f ´´ u 2 uf ´ u − n n1 −
E2 2
u E
2
]
m 2 f u =0 (1107)
m2 sen θg´´ θ cos θg´ θ − n n1 sen θ− g θ =0 sen θ
[
]
(1108)
h ´´ λ m 2 h λ =0 (1109) Estas son las tres ecuaciones diferenciales regulares en que se descompone la ecuacion diferencial parcial (1105) mediante la separacion de variables (1106) La segunda y tercera ecuaciones son las mismas que en el caso esférico, ecuaciones, (149) y (150); la primera ecuación es diferente. las sustituciones
t=cos θ transforman 1a primera y segunda ecuaciones en
[
2
1−r f ´´ r 2 rf ´ r n n1 −
[
1−t 2 f ´´ t 2 tf ´ t n n1 −
m2 1−r 2
m2 1−t 2
]
]
f r =0
f t =0
en donde la raya inidica las funciones f y q están expresadas en términos de los nuevos argumentos r y t. Por las armónicas esféricas ya estamos familiarisados con la sustitución t =cos θ y con la ecu.icion correspondiente para g(t) en donde t=cosθ, las Qmn(t)"^fr) se cancela" por razones obvias, como hmos visto en la sección 112.Para f(r), sin embargo , ambos grupos de funciones Pnm(λ) y Qnm(r) son posibles soluciones; corresponden a1as dos soluciones diferentes, f = rn y f = r −1 n1 en el caso esférico. . , . Finalmente, (11.09) tiene como antes las soluciones cos(mλ) y sen(nλ). Resumimos todas las soluciones individuales:
u u óQnm / i i E E
f u= Pnm i
g u= Pnm cos θ ; h λ =cos m ó senm λ
aqui n y m < n son números enteros 0,1,2,...., como antes. Por lo tanto, las funciones
u P cos θ { cos mλ , senm λ } E nm
v u , θ , λ =P nm i
u P cos θ { cos mλ , senm λ } E nm
v u , θ , λ =Q nm i
son soluciones de la ecuación de Laplace
V =0
es decir, funciones armonicas. Con estas funciones y mediante
combinaciones lineales pdtemos formar' la Serie m
V νθλ = ∑
n
∑
n=0 m=0
u / Pnm (anmPnm(cosθ)cosmλ+hnmPnm(cosθ)senmλ); E
p nm i
m
n
V νθλ = ∑
∑
n=0 m=0
a b / p nm i E E
p nm i
Aquí b es el semieje menor de «n elipsoide arbitrario pero fijo que podra llamarse el elipsoide de referencia (fiq. 115). La división por Pnm(ib/E) Qnm(ib/E) es posible por ser constantes; su proposito es simplificar 1as expresiones y lograr que los coeficientes anm y bnm seran reales. SI la excentricidad E se reduce a cero, las coordenadas elipsoidales se convierten en coordenadas esféricas el elipsoide
u = b se convierten en _la. esfera r = R [porque entonces los. semiejes a y. b sera'n jguales al radio R); y hallamos
u n E u r lim E −¿ 0 = = = P nm b b R i E P nm
i
n
u E r = = , lim E −¿ 0 Q nm b R i E Q nm
i
n1
de manera que la serie (lll1)convierte en (l87a), y (1lllb) se convierte en (187) Por consiguiente, vemos que la n
fuincion Pnm(iu/E)corresponde a ¿
y Onm(iu/E) corresponde.' a r −1 n1 en las armónicas esféricas.
ralignl ¿ ¿ ¿ Por lo tanto la serie (1111a) es armonica en ele interior del elipsoide a=b, y la serie (1111b)es asrmonica en su exterior; este caso es pertinente a la geodesia: Para u=b, las dos series son iguales: m
n
∑ ∑ [ anm pnm ] co cos m λb nm P nm cos θ senm λ (1113)
n=0 m=0
» Ü RIO De manera que 1a solución de1 problema de los valores limites de Dirichlet para el elipsoide revolucion es sencilla, desarrollamos la funcion (b,µ,λ) , dada en el elipsoide u = b, para formar una serie do armonicas esféricas de superficie con los siguientes argumentos: θ= complemento de latitud reducida, λ=longitud geocéntrica. De modo que (lllla) es la solución del problema interior y (1111b)es la solución del problema extenor do Dirichlet. La fo'rmu1a [1113) muestra quye no solo pueden desarrollarse las funciones que se definen en la superficie para formar una sene de armonicas esfericas de superficie. También es posible desarrollar funciones mas bien arbitrarias definidas en una superficie convexa. 46 Cabe hacer notar que en las armonicas esféricas, θ es la distancia.polar, t no es mas que el complemento de la Iatitud geocentrica, mientras_que en las armonicas elipsoidales, θ es el complemento de la latitud reducida..
2 EL CAMPO DE GRAVEDAD DE LA TIERRA gravedad. 21. La fuerza que activa sobre un cuerpo en reposo que se halla sobre la superficie, de la. tierra. es_ la_suma _ vectorial de 1a fuerza gravitacional y la fuerza centrifuga de la rotacion de la tierra. Tomemos un sistema de coordenadas rectangulares donde el origen es al centro de gravedad de la tierra y el eje z coincide con el eje medio de rotación de la tierra (Fig. 21). Los ejes x,y,z se escogen de tal manera que se obtiene un sistema de coordenadas dextrorso: de 1o contrario son arbitrarios. Para mayor conveniencia podemos suponer que el eje x se halla paralelo al plano meridiano de Greenwich (refierase a la sección 24).
.
La fuerza centrifuga f sobre una masa unitaria ésta representada por
f =ω ´ p en donde ω es 1a velocidad angular da 1a rotación de la tierra y
p= x 2 y 2 (21) es la distancia desde el eje de rotación. El vector f de esta fuerza tiene misma dirección del vector
p= x , y,0 y por lo tanto viene dado por
f =ω ´ p= ω 2 x , ω 2 y . 0 22 La fuerza centrifuga puede deducirse tambien de un potencial
1 φ= ω 2 x 2 y 2 23 2 de manera que
f =grad φ≡
∂φ ∂φ ∂φ 24 ∂ x ∂ y ∂z
Si insertamos (23) en (24), obtenemos (22) La fuerza total, o sea la suma vectorial de 1a fuerza gravitacional y la Fuerza centrifuqa, se llama gravedad. El potencial de qravedad, W, es la suma de los potenciales de la fuerza gravítacional, V(lll) y la fuerzacentrffuga Ф:
W =W x , y , z =V φ =k ∭ 1
1 p dr ´ ω 2 x 2 y 2 25 l 2
en dónde la integracicn se extiende por toda la tierra.. Al diferenciar (2.3) hallamos que
≡
∂φ ∂φ ∂φ =2ω2 27 ∂x ∂y ∂z
SÍ combinarnos esto con la ecuación de Poissón (l13) para V obtenemos la ecuación generalizada de Poisson para el potencial de grayedad W: W =+ 4π kp2ω2 (26) Como Ф es una función analitica, las discontinuidades de W son las de V: algunas de las segundas derivadas tienen interrupciones en la discontinuidad de la densidad. El vector de gradiente de W.
g=gradW ≡
∂W ∂W ∂W 27 ∂ x ∂ y ∂z
con las componentes
g z=
∂W x−ξ =−k ∭ pdvω 2 x ∂x p 1
∂W y−η =−k ∭ pdvω 2 y ∂y p 1 ∂W x−ζ gx = =−k ∭ pdv ∂z p 1 gy=
se conoce como el vector de gravedad; es la fuerza total (fuerza gravitacional mas fuerza centrifuga) que actúa sobre una masa unitaria. Como es un vector tiene magnitud y dirección. La magnitud g se denomina gravedad en el sentido mas estricto de la palabra. Tiene la dimensión fisica de una aceleración y se mide en gales (1 gal ='1 cm|i seg"2), en honor a Galileo Galilei. El valor numerico de g es de unos 973 gales en el ecuador y unos 983 gales en los polos. En geodesia frecuentemente conviene utilizar otra unidad el miligal, abreviado mgal (1 mgal = 1*103 gal). La direccion del vector de gravedad es la. dirección de la línea de la plomada, ósea la vertical; como_es por todos conocido su importancia_es esencial para las mediciones geodésicas y astronómicas. Ademas.,de 1a..fuerza centrffuga, hay. otra fuerza que actúa sobre_un...cuerpo en movimiento, la llamada fuerza .de Coriolis. Es proporcional .a 1.a _yelocidad con_respecto a la,tierra, de_manera que para lus cuerpos en reposo sobre la tierra viene a ser_cero. Como en la geodesia tratamos por lo general con instrumentos en reposo con respecto a la tierra, la fuerza de Coriolis no ejerce efecto a uno aquí 'y por lo tanto no es necesario tomarla en cuenta.
22. Superficies de Nivel y Líneas de la Plomada Las superficies .
W x , y , z =W 0=const
(2.9)
en 1as que e1 potencial W es constante, se denominan superficiales equipotenciales o superficies de.nivel., Si diferenciamos el potencial de gravedad W = W(x,y,z) hallamos que
dW =
∂W ∂W ∂W dx dy dz ∂x ∂y ∂z
Según la notación vectorial, utilizando el producto escalar, esto seria:
dW =gradWdx= gdx en donde
dx= dx . dy . dz Si se toma el vector dx a lo largo de la superficie equipotencial W = W0 entonces el potencial permanece constante y W=0, de manera que (210) se convierte en (212) g*dx=0
SÍ e1 producto escalar de dos vectores es cero, entonces dichos. Valores son perpendiculares entre si. Esta ecuación expresa por lo.tanto, el. hecho por todos conocido de que el vector de gravedad es normal a la superficie equipotencial que.pasa por el mismo punto. J Como las superficies de nivel son, por asi decirlo, horizontales en todas partes, comparten el signi focado intiutivo y Fisico de 1a horizontal ; y comparten..tambien. la importancia geodesica de linea de la plomada por ser normales a ella.. Por eso comprendemos por que' se les da tanta importancia a 1as superficies equipotenciales. La superficie de 1os océanos puede considerarse con cierta idealizacion, como parte de determinada superficie de nivel esta superficie equipotencial en particular Fue propuesto por C.F. Gauss, el "Principe de las Matemáticas", como la "figura matematica. de la tierra y mas adelante se le llamo geoide. Esta definición ha resultarlo sumamente apropiada, y todavia muchos la consideran como la superficie fundamental para la geodesia fisica. Si observamos en la ecuación (25)el potencial de gravedad W, vemos que las superficies equipotenciales M(x,y,z) = WQ son bastante complicadas matematicamente. Las superficies de nivel que están completamente fuera de la tierra son por lo menos superficies analiticas, si bien no tienen ninguna expresión ana1itica sencilla, puesto que fuera de la tierra el potencial de gravedad es analitico. Eso no es cierto para el caso de las superficies del .nivel..que.se hallan parcial o totalmente dentro de la tierra, como el geoide por ejemplo Estas ultimas son continuas y "lisa'." (v.q. sin bordes), pero dejan de ser superficies analíticas; en la siguiente seccion veremos que la curvatura de las superficies de nivel interiores cambian en Forma discontinua segun la.densidad. Las lineas que son nórmales a todas las superficies equipotenciales no se precisamente rectas sino 1iogeramente curvas (fig. 22). Se llaman lineasde fuerza o lineas de la plomada. El vector de gravedad en cualquier punto es tangente a la linea de la plomada en dicho punto, por tanto la "dirección del |vector de grvedad, la "vertical", y 1a dirección de la 1inea de la p1omadia son sinónimos. Algiunas veces la misma dirección se conoce la linea de la plomada".
La altura .H de.un .punto.sobre el nivel del mar, (denominada .tambien .la.altura .ortometrica). se mide a lo largo de la linea de la plomada curva, empezando en el geoide (fig. 22). Si tomamos el vector dx a lo largo de la linea de la plomada en la dirección en que aumenta la altura H, entonces su longitud es
∣dx∣=dH y su dirección es contraria al vector de gravedad g, que apunta hacia abajo, de manera 'que el ángulo entre dx y g es de 180 Como
gdx =gdH cos gdx =gdh cos 180=−gdH de acuerdo con la definición del producto escalar, la ecuación (210) se convierte
dW=gdH (213) Esta ecuaci'n relaciona la altura H con el potencial W y es esencial para la teori'a do la determinación e de la altura(capftulo 4). Muestra claramente la interrelacion inseparable que caracteriza a la geodesiala interrelacion de los conceptos geometricos (H) con los conceptos dinamicos (W) Otra forma oe la ecuación (213) es: g=−
∂W (214) ∂H
muestra que la gravedad es el gradiente vertical negativo del potencial W, o sea 1a componenete vertical del vector del vector gradienteW. Las mediciones geodesicas (mediciones con teodolito, nivelación, etc.) hacen referencia casi exclusivamente al sistema de superficies de nivel y de lineas de la plomada del que es parte importanteel geoide. Asi', pues, vemos porque se dice que el proposito de 1a geodesis fisica es determinar las superficies de nivel del campo de gravedad de la tierra, tambien puede decirse, en forma ma's abstracta pero equivalente, que e1 objetivo de la geodesia fisica es determinarla función potencial W(x,y,z). Tal vez.a primera vista e1 lector se sienta sorprendido por esta definición que Fue establecida por Bruns (1878), pero su significado no es difícil de comprender: si se expresa el potencial W como una función de las coordenadas x,y,z, entonces se conocerán todas las superficies de nivel, incluyendo al geoide, y estarán representadas por la ecuación.
W(x,y,z)=const
Curvatura 23. de las Superficies de nivel y de las líneas de la Plomada Recordemos la conocida formula para la curvatura de una curva y "=f(x). Es
1 y2 k= = p 1y 2 1 /2
en donde k es la curvatura, p el radio de la curvatura, y
y´=
d´ y dy , y ´´= 2 dx dx
En el caso especial donde una paralela al eje x es tanqente en el punto P bajo consideración (fig. 23), y' = O, sencillamente se obtiene
1 Fy k= = 2 | p dy
Superficies de Nivel. Consideremos ahora un punto P en una superficie de nivel S. Traemos un sistema local de coordenadas x,y,z cuyo origen es P y cuyo eje z es vertical, esto es, normal a la superficie S.(fig. 24). l.uecgo corta esta superf cié de nivel
w x , y , z =W 0 con el plano x,z haciendo que y = 0
Si comparamos la fi 24 con la 23, vemos que ahora z toma el luqar de y. itanto, en vez de (215) para la curvatura de la intersección de la superficie nivel con.el plano xz tenemos:
K 1=
d2 z 216 dx 2
'
Si diferenciamos W(x,y,z) = Wo con respecto a x, y considerando que y es cero y z ,una funcion de x. obtenemos
W z W z
dz =0 dx
W z 2W z
dz dz 2 d2 z W z W z 2 =0 dx dx dx
en donde los subíndices denotan la diferenciación parcial
W x=
∂W ∂2 W , W xx = , .. . . ∂x ∂ x∂z
Como el eje x es tangente en P, entonces dz/dx = O en P. de modo que
d 2 z W xx = dx 2 W x Como el eje z es vertical, tenemos, según (214),
W z=
∂W ∂ W = =−g ∂z ∂H
Por lo tanto (216) se convierte en
K 1=
W xx g
217
La curvatura de la intersección de la ^pprficie denfvel con el plano yz se determina reemplazando x por y;
K 2=
W yy g
218
La curvatura media J de una superficie en el punto P se define cono la media aritmética de las curvas de las curvas en donde los planos perpendiculares entre si a traves de la normal a la superficie intersectanla superficie fig (2 5)Por consiguiente hallamos
J=−
W xx W yy 1 K K =− 2 2 1 2g
Aunque el signo negativo es solamente una regla convencional. Esta es una expresión para la curvatura media de la superficie de nivel, Mediante la ecuación generalizada de Poisson
W ≡W xx W yy W zz=−4π kp2w2 hallamos
−2 gJ W xx =−4π kp2w 2
Considerando
W z =−g z
W zz =−
∂g ∂g =− ∂z ∂H
Finalmente obtenemos
∂g =−2 gJ 4πp−2w2 ∂H
Esta ecuación importante que relaciona el gradiente vertical de la gravedad con la curvatura media de la superficie de nivel,tambien fue desarrollado por Bruns (1878).Es otro ejemplo notable de la interrelacion de los conceptos geometricos con los dinámicos en la geodesia. líneas de la Plomada. La curvatura de una linea de la plomada es necesario para la reduccion de las observaciones astronomicas al geoide. Una línea de la plomada se define como una curva cuyo vector de elemento
dx= dx . dy , dz tiene la dirección de gravedad
g−W xx , W yy , W zz es decir, que dx y g solamente difieren por un factor de proporcionalidad. se expresa mejor en la forma
dx dy dz = = 221 Wx Wy Wz
En el sistema de coordenadas de la fifí 24, la curvatura de la proyeccion en el plano xz de la línea de la plomada viene dada por
y=
d2x dz 2
esta es la ecuación (215) aplicada al caso que se esta considerando. Segun (221) tenemos
dx W x = dz W z Diferenciamos con respecto a z considerando que y =.0:
d 2x dz
2
=
1 W
2
[
W z W xx W zz
dx dx −W z W zzW zz dz dz
]
En nuestro sistema de coordenadas en particular el vector do gravedad coincide con el eje z, por lo que sus componente x y y, son.cero:
W z =W x=0 La Fig. 24 muestra que tambien tenemos
dz =0 dx Por consiguiente.
d 2 x W x W xx W zx W xz = = = 2 Wz W z z dz 2 W
Considerando Wz = g, Finalmente obtenemos
k 1=
1 ∂g (222a) g ∂x
y en fonna similar,
k 2=
1 ∂g (222b) g ∂y
Estas son las curvaturas de las proyecciones de la linea de la plomada en e1 plano xz y yz, siendo el eje z vertical, es decir que coincide con e1 vector de gravedad. Se conoce la curvatura total k de la linea de la plomada, de acuerdo con la geometría diferencial, aplicando
k= k 21 k 22 =
1 2 2 g g (223) g x z
Para reducir las observaciones astronómica;; (Sec. 56) solamente se necesitaran las curvaturas de la proyección {2 22a,b}. Finalmente, 1as diversas formulas para la curvatura de superficies de nivel y de las lineas de la plomada son equivalentes a la ecuación de un solo vector
gradg=−2 gJ 4π kp−2w 2 ngn1 (224)
en donde n es ei vector unitario a lo largo de la linea de la plomada (su vector tangente unitario) y n1 es el vector unitario a lo largo de la normal principal ala linea de la plomada.
Esto puede comprobarse fácilmente. En el.sistema xyz local utilizado, tenemos n = (0,0,1), n1=(cosα,senα,(1) en donde α es el ángulo entre la normal principal y el eje x(Fig. 26) La componente Z de 224 resulta en la ecuación de Bruns (220), y las componentes horizontales resultan en
∂g ∂g =gk cos α , =gksen α ∂x ∂y La ecuac.ion generalizada de Bruns. 57 Estos son idénticos a (222a,b)puesto que K1=K cosα y K2=K senα, tal como lo demuestra la geometria diferencial. La ecuación 224 se conoce como la ecuación generalizada de Bruns En las publicaciones de Marussi (1949) y de Hottine [1957) podra hallarse mas información acerca de las propiedades de la curvatura y de 1a geometría interna" del campo gravitacional. Coordenadas Naturales 24. El sistema de superficies de nivel y de líneas de la plomada puede usarse como un sistema tridimensional curvilíneo de coordenadas, el cual resulta adecuado para algunos propósitos; estas coordenadas pueden medirse directamente, todo lo contrario de las coordenadas rectangulares x,y,z. La dirección del eje de rotación de la tierra y la posición del plano ecuatorial (normal al eje) están bien definidas astronómicamente. La latitud geográfica Ф de un punto P en el ángulo entre la vertical (dirección de la línea de la plomada) en P y el plano ecuatoria1 (Fig. 27). Consideremos ahora un recto a través de P y paralela a1 eje de la tierra. Esta paralela y la vertical en P definen conjuntamente el plano meridiano de P. 'El ángulo entre estar plano meridiano y el plano meridiano de Greenwich (o algún otro plano fijo) constituye la longitud geográfica λ de P Definición de las coordenadas geográficas Ф y λ de P por medio de una esfera unitaria con centro en P. La 1inea PN paralela al eje de rotación, el plano GPF normal a1 mismo, es decir paralelo al plano ecuatorial: n es e1 vector unitario a lo largo do la línea de la plomada; el plano NPF es el plano meridiano de P, y el plano NPG es para1elo al plano meridiano de Greenwich. Las coordenadas geográficas, latitud Ф y longitud λ , forman dos de las tres coordenadas espaciales de P. Como tercera coordenada podemos tomar la altura ortométrica H de P o su potencial W. El numero geopotencial c = W0W es equivalente a W, en donde W0 es el potencial del geoide. La altura ortométrica H se definió en la sección 22; vease también la figura 22; Las relaciones entre W, C y H están dadas por las ecuaciones H
W =W 0 −∫ gdH =W 0−C 0
H
C=W 0 −W
W
H=−∫
W0
∫ gdH
0
C
dW dC =∫ g 0 g
que resultan de la interseccion de (213). La integral se toma a lo Largo de la linea de la plomada del punto P, empezando en el geoide,(H=0,W=W0)
Las cantidades Ф, ∆, W o Ф, ∆, H se conocen como las coordenadas naturales. A continuación se muestra c'mo estan relacionadas con las coordenadas rectangulares geocéntricas x.y.z de la seccion 21, siendo el eje x paralelo al plano meridiano de Greenwic Observando la Fig. 27 podemos apreciar que el vector unitario de 1a vertical n tiene los co. ponentes xyz
n= cos φ cos φ ,cos φ sen sen φ 226 se entiende que el vector de gravedad g es
g=W x ,W x , W z 227 Por otra parte, como n es el vector unitario que corresponde a g pero en dirección contraria, viene dado por
g g n=− =− : ∣g∣ g
de modo que
g=−gu Esta ecuación, junto con (226) y (227) nos da
−W x =g cos φ cos Λ −W y =g cos φ sen Λ −W z =gsen φ Despejando λ y Ф tenemos finalmente
φ=tan−1 −
Λ=tan−1
−W z 2 z
W W
Wy Wx
W =W x , y , z
2 y
Estas tres ecuaciones relacionan las coordenadas naturales ΛφW con las coordenadas rectangulares x, y, z siempre y cuando se conozca la función W= W (x, y. z). Vemos que ΛФH estan relacionadas con x, y. z, y en una forma considerablemente mas complicada que las coordenadas esféricas de 1a sección 18. Nótese tambien que hay una diferencia de concepto entre la longitud geografica Λ y la longitud geocentrica λ. . . 2S. El Potencial de la Tierra en Términos de Armónicos Esféricas Si obsérvanos en la expresión (25) el potencial de gravedad W, vemos que la parte mas difícil de tratar es el potencial gravítacional V, ya que el potencial centrífugo es una función analitica sencilla.
El potencial gravitacional V.podria manejarse mejor| para muichos propositos si tenemos presente el hecho de que es una_funcion armonica. fuera de las masa atrayentes y que por lo tanto puede desarrollarse hasta formar una serie de armonicas esfericas. Determinamos ahora el valor de los coeficientes de esta serie. El potencial gravitacional V esta representado por la ecuación basica (111)
V =k ∭
dM 230 l
en donde ahora denotaremos el elemento de masa. por dM; la integral se extiende sobre toda la tierra. En esta integral insertamos la expresion (181)
1 r´ n = ∑ n1 p n cos ψ l n=0 r ∞
en donde P. son los polinomios de legendre convencionales, r es el vector radial del punto fijo p en el que se determinara V, r´ es el vector radial del elemento de masa variable dM y ψ es el angulo entre r y r´ [Fig. 29). Como r es una constante con respecto ii la integración sobre la tierra, puede sacarse de la integral. De manera que obtenemos
r ´ n p n cos ψ dM ∞
V=∑
n=0
1 r
n1
∫∫∫
kalignl ∭ ¿ ¿
¿
Si escribimos esto en la forma usual como una serie de armonicas esféricas solidas, ∞
V=∑
n=0
Y n θλ r n1
231
vemos por comparación que la armónica esferica de superficie de Laplace Yn(λ,θ) viene dada por
r ´ n p n cos ψ d ´ 232
∫∫∫
Y θ , λ =kalignl ∭ ¿¿
¿
y su dependencia de θ y λ se manifiesta a través del ángulo ψ, dado que
cos ψ=cos θ cos θ ´ sen θ sen θ cos λ ´ − λ (233)
Las coordenadas esféricas se definieron en la sección 18. Se puede obtener una forma mas explicitá utilizando la formula de descomposición (183´): ∞ n R nm θλ n S nm θλ n 1 1 =∑ ∑ r ´ R θ ´, λ ´ r ´ S nm θ ´, λ ´ nm l n=0 m=0 2n1 r n1 r n1
[
]
Si insertamos esto en la integral (230.) y sacamos los términos que dependen de r,θ,λ obtenemos , (234) n
∞
V=∑
∑
n=0 m=0
[
Anm
R nm θλ r n1
B nm
S nm θλ r n1
]
234
Figura 29
en donde los coeficientes constantes A y B están representados por
2n1 Anm =k ∭ r ´ n R nm θ ´ λ ´ dM 235 tierra
2n1 B nm =k ∭ r ´ n S nm θ ´ λ ´ dM tierra
Estas Formulas son muy simetricas y fáciles de recordar: el coeficiente multiplicado por 2n + 1. de la armónica solida
Rnm θλ r n1 es 1a Integral de la armónica solida Hay una relación similar que es valida para Snm Como el elemento de masa es
dM = pdx ´ dy ´ dz ´ = pr ´ 2 sen θ ´ dr ´ dθ´ dλ´ (236) La determinación misma del valor de las integrales requiere que la densidad p este expresada como una función de r´ ,λ´,θ´.Aunque en la actualidad no se dispone de dicha expresión, esta no afecta la importancia teórica y practica de las armonicas esféricas ya que los coeficientes Anm y Bnm pueden determinarse| con los valores limites de la gravedad en la superficie de la tierra. Este es un problema de valores limites que esta relacionado con los conceptos desarrollados en las secciones 116 y 1L7 y que mas adelante se explicarán en detalle.
Si recordamos 1as aplaciones (173) y (178) entre las armónicas esfericas completamente normal izadas y la'; convencionales, es posible escribir las ecuaciones (234) / (235) en terminos de armonicas convencionales, obteniendo asi: (237)
[
V =∑ ∑ Anm
Rnm θλ Snm θλ Bnm en donde n1 r r n1
]
Ano=K ∭ r n p n cos θ dM n−m ! Anm=2 λ ∭ r n R nm θλ dM (2.38) cuando m es diferente de cero nm !
Bnm=2
n−m ! λ ∭ r n S nm θλ dM nm !
Estas formulas no son tan simetricas como las formulas correspondientes(235). Con respecto a la dinamica de los satelites, el potencial V se expresa a menudo de la forma. n
n
n
λM a V= 1− ∑ ∑ U nm Rnm θλ K nm S nm θλ 2.39 r n=1 m=0 r
{
}
En donde a es el radio ecuatorial de la tierra, de manera que.
Anm=−KMa n J nm Bnm=−KMa n K nm
n diferente de cero 2.40
Los coeficientes completamente normalizados correspondientes
J n0 =
J nm
1 J 2n1 n0
{ } K nm
=
J nm nm ! m sea dif de cero (241) 2 2n1 n−m ! K nm
{ }
Tambien se utilizan . Es obvio que faltarian los términos no zonales (m diferente de 0) en todos estos desarrollos si la tierra tuviera una simetría de revolucion total, puesto que los términos mencionados dependen de la longitud. En cuerpos rotacionalmente simétricos no hay dependencia de lamda porque todas lan longitudes son equivalentes. Las armónicas teserales y sectoriales serán, no obstante, pequeñas puesto que las desviaciones de la simetría de revolución son triviales. Finalmente analicemos la convergencia de (234) o de desarrollos en series equivalentes del potencial de la tierra. Esta serie es un desarrollo por potencias de 1/r. Por consiguiente, cuando mas grande sea r tanto mejor la convergencia. Para r mas pequeños no es necesariamente convergentes. En el caso de un cuerpo arbitrario, puede demostrarse que el desarrollo de V en armónicas esféricas es siempre convergentes fuera de la esfera mas pequeña r=rο que encierra el cuerpo totalmente. Dentro de esta esfera, la serie es por lo generalmente divergente. En algunos caso puede ser parcialmente convergente dentro de la esfera r=rο. Si la tierra fuera un elipsoide homogéneo con aproximaciones las mismas dimensiones, entonces la serie para V seria en efecto convergente en la superficie de la tierra. Dadas las irregularidades de la masa, sin embargo la serie del potencial real V de la tierra deberá considerarse divergente en su superficie. Esto afecta el significado practico del desarrollo armónico de V para la geodesia terrestre; no obstante, además de su valor teórico tiene un gran uso practico en la dinámica de los satélites. No es necesario recalcar que el desarrollo armónicos esféricos, expresando siempre una función armónica, puede representarse solamente el potencial afuera de las masa atrayentes, nunca dentro de las mismas.
ARMONICAS DE GRADO INFERIOR Resulta ilustrativo determinar en forma explicita el valor de los coeficientes de las primeras armónicas esféricas. Para referencia rápida establecemos el primero algunas funciones armónicas convencionales Rnm y Snm, utilizando (158)(161):
R 00=1 R 10=cos θ R 11=sen θ cos λ R 20=3/2 cos 2 θ−1/2 R 21=3 sen θ cos θ cos λ R 22=3 sen 2 θ cos λ S 00=0 S 10=0 S 11=sen θ sen λ S 20=0 S 21=3 sen θ cos θ sen λ
2.42
S 22=3 sen 2 θ sen 2λ Las armónicas sólidas correspondientes rnRnm y rnSm son sencillamente polinomios homogéneos expresados en x, y,z. Po ejemplo, 2
2
2
Ecuación r S 22 =6r sen θ sen λ cos λ=6 rsen θ cos λ rsen θ sen λ =6 xy
En esta forma hallamos
R 00=1 rR10 =z rR11=sen θ cos λ rR 20=1/2x 2 −1/2y 2 z 2 rR 21=3 xz rR 22=3x 2 −3y 2 S 00=0 rS 10=0 rS 11=y rS 20 =0 rS 21=3 yz rS 22=6 yz
343
Si sustituimos estas funciones en la expresión (238)para los coeficientes Anm y Bnm, obtenemos para el termino de cero grado.
Ano=k ∭ dM =kM 244a Es decir el producto de la masa de la tierra por la constante gravitacional. Para los coeficientes de primer grado obtenemos Ecuación
Ano=k ∭ z dM An=k ∭ x dM Bn=k ∭ y dM 244a Y para los coeficientes de segundo grado
1 A= k ∭ x 2 y 2 z 2 dM 2 1 A= k ∭ x ´ z ´ dM B=k ∭ y ´ z ´ dM 244c 2 1 1 A= k ∭ x 2 −y 2 dM B= k ∭ x ´ y ´ dM 2 2 De acuerdo con la mecánica sabemos que
ξ=
1 1 1 x ´ dM η= ∭ y ´ dM ζ= ∭ z ´ dM 245 ∭ M M M
Son las coordenadas rectangulares del centro de gravedad. Si el origen del sistema coordenadas coincide con el centro de gravedad entonces estas coordenadas y por tanto las integrales (244a)son cero. Si el origen r=0 es el centro de gravedad de la tierra, entonces no habrá términos de primer grado en el desarrollo armónico esférico del potencial V. esto es por consiguiente también cierto para nuestro sistema de coordenadas geocéntricas. Las integrales
∭ x ´ y ´ dM ∭ y ´´ z ´ dM ∭ z ´ y ´ dM Son los productos de inercia. Serán cero si los ejes de las coordenadas coinciden con los ejes principales de inercia. Como el eje z es idéntico al eje medio de rotación de la tierra, el cual coincide con el eje de máxima inercia, se anularan por lo meno el segundo y el tercero de estos productos de inercia. Por consiguiente A21 y B22 serán cero, peo no B22, el cual es proporcional al primer producto de inercia; B22 se anularía únicamente si al tierra tuviera una simetría de revolución total o si de por casualidad el eje principal de inercia coincidiera con el meridiano de Greenwich. Las cinco armónicas A10, R11, S11, A21, R21 y B21, S21, todas armónicas de primer grado y las de segundo grado y primer orden que deben anularse de esta manera en cualquier desarrollo armónicos esféricos del potencial de la tierra, se conocen como armónicas esféricas o inadmisibles. Si incluimos los momentos de inercia con respecto a los ejes x,y,z aplicando las definiciones por todos conocidas
A=∭ y 2 z 2 dM B=∭ z 2 x 2 dM 246a C=∭ x 2 y 2 dM Y denotamos el proucto xy de inercia, el cual no puede decirse que se anula, por
D=∭ x ´ y ´ dM 246b
Obtendremos finalmente.
A00=kM A10= A11= B11=0 AB A20 =k −C 2 Ecuaciones 247 A21= B 21=C A22 =1/4k B− A B22=1/2 kD Supongamos ahora que los ejes x y y coinciden con los respectivos ejes principales de inercia de la tierra. (Esto es teóricamente posible ya que en la actualidad los ejes principales de inercia de la tierra solo se conocen aproximadamente). Luego B22=0, y teniendo en cuenta (242) podemos escribir explícitamente
V=
kM k 1 A B 1 3 C− 1−3 cos 2 θ 3/ 4 B− A sen 2 θ cos 2λ 0 4 248 r 2 r 2 r
[
]
En el caso de las coordenadas rectangulares s e supone la forma simétrica.
V=
1 kM k 3 [ BC−2A x 2 C A−2B y 2 AB−2C z 2 ] 0 4 248´ r 2r r
Que se puede obtener fácilmente si se toma en cuenta las relaciones (136)entre las coordenadas rectangulares y las esfericas. Los términos de orden superior a 1/r³pueden omitirse en el caso de distancias mayores (digamos para la distancia a la luna)de amnera que tanto (248) como (248´), pasando pr alto los terminos de orden superior 0/(1/r4) resultan apropiados para muchos propósitos astronomicos. En el caso de distancias planetarias, aun el primer termino, V=kM/r Es por lo general suficiente; representa el potencial de una masa puntual. Por lo tanto, para distancia muy grandes, todos los cuerpos actúan como masas puntuales. Si se usa la forma (239)del desarrollo armonico esferico de V entonces los coeficientes de orden inferior se obtienen aplicando (240)y (247)hallando que
J 10=J 11=K 11=0 AB C− 2 J 20= Ma 2 J 21=K 21=0 AB 4 Ma 2 D ¿ K 22=− 2 Ma 2 ¿ J 22=¿ ¿ La primera de estas formulas muestra qu la suma de una sucesión en (239 normalmete empieza con n=2, las otras realcionan los coeficientes de segundo grado con la mas y los momentos y productos de la inercia de la tierra.
La notación 0(1,r4) se refier a los termino del orden de 1/r4 EL CAMPO DE GRAVEDAD DEL ELIPSOIDE DE NIVEL Como una primera aproximación,la tierra puede considerarse como una esfera; como una segunda aproximación puede considerarse un elipsoide de revolucion. Aunque la tierra no es un elipoide exacto, el campo de gravedad de un elipoide tiene una gran importancia practica porque es mas facil de manejar matemáticamente y las diferencias entre el campo real de gravedad y el campo normal elipsoidal son tan pequeñas que pueden considerarse lineales. Esta division del campo de gravedad de la tierra en uno normal y un campo pequeño pertubador restante simplifica considerablemnte el problema de su determinación; el problema difícilmente se podria resolver de otra forma. Por lo anto suponemos que la configuración normal de la tierra es un elipsoide de nivel, es deci, un elipsoide de revolucion que es una supeficie equipotencial de una campo de gravedad normal. Esta hipótesis es necesaria porque el elipsoide ha de ser la forma normal de geoide, el cual es una superficie equipotencial del campo real de la gravedad. Si denotamos el potencial del campo de gravedad normal por U=U(x,y,z) Vemos que el elipsoide de nivel, siendo este una superficie U=const, corresponde exactamente al geoide, definido omo una superficie W=const. Lo importante aquí es que al por sentado que el elipsoide dad es una supeficie equipotencial del campo de gravedad normal, y al suponer que la masa total es M, determinamos de una manera completa y exclusiva el potencial normal U. La distribución detallada de la densidad dentro del elipsoide, la cual origina el potencial U, es de poca importancia y no es necesario conocerla. Esta determinación resulta posible por el teorema de Stokes. Originalmente se demostro que era solamente valida para el potencial gravitacional V, pero tambien puede aplicarse al potencial de gravedad.
U=V 1/2ω2 x 2 y 2
Si se conoce la velocidad angular w. La prueba se deduce de la seccion 17 con ciertas modificaciones como es obvio. Por lo tanto, la funcion potencial normal U(x,y,z) se determina completamente por medio de: 1. La configuración del elipsoide de revolucion, es decir, sus semiejes a y b. 2. La masa total M 3. La velocidad angular. Ahora efestuaremos los calculos detalladamente. El elipsoide dado So
x 2 y2 z 2 2 =1 251 a2 b Es por definición una superficie equipotencial
U x , y , z =Uo 252 Se considera el elipsoide So como el elipsoide de referencia u =b. En este capitulo y los siguientes denotaremos las coordenadas elipsoidadles θ por θ´´reservando el símbolo θ para la distancia polar esferica. Esta distinciones necesaria porque tanto θ como θ´´se usaran en el mismo contexto. Ademas usaremos
β=90−θ Es al latitud reducida muy utilizada en la geodesia geométrica Como la parte gravitacional V del potencial normal U es armonica fuera del elipsoide So, usamos la seri 1111b el campo b tiene simetría de revolucion y pr consiguiente no depende de la longitud landa, Por lo tanto todos los terminos que no sean razonables y dependan de landa deben ser cero.
Por lo tanto el potencial de gravedad normal total puede expresarse
u Qi b U u , β =∑ AnPn sen β 1/2ω2 u 2 E 2 cos 2 β b Qi p En el elipsoide So tenemos que u=b y U=Uo, por consiguiente
Uo=∑ AnPn sen β 1/2ω2 b 2 E 2 cos2 β Esta ecuación debe ser valida para todos los puntos de So, es decir, para todos los vslores de beta , como
b2 E 2 =a 2
cos 2 β=2/3 1− psen β
Tenemos que ∞
∑ AnPn sen β 1/3ω2 a2−1/3 ω 2 a2 P 2 sen β −Uo=0
n=0
del desarrollo de la anterior concluimos:
V u , β =Uo−1/3ω2 a 2
u E
Qo i
b Qo i E
1/3ω2 a 2
u E
Q2 i
b Q2 i E
p 2 sen β 256
Esta formula es esencialmente la solución del problema 'de Dinctilet para elelipsoide de nivel, pero podemos darle fnrmas mucho ina's convenientes. Como De acuerdo con las expresiones (136) para las coordenadas esféricas y con las ecuaciones (1103) para las coordenadas elipsoidales, hallamos
x 2 y 2 z 2 =r 2 =u 2 E 2 cos2 β
de modo que para los valores
grandes de r tenemos
1 1 1 = 0 3 u r r
tan−1
E E 1 = 0 3 u r r
Para distancias r muy grandes, el primer termino en"(259) es dominante, de modo que asintoticamente
. V = U 0−
1 2 2 E 1 1 w a 0 3 −1 3 tan Eb r r
Según la sección anterior sabemos que
V=
KM 1 0 3 | r r
La comparación de estas dos expresiones muestra que.
1 E KM = U 0 − w 2 a 2 260 −1 3 tan Eb
U 0=
KM b 1 tan−1 w2 a 2 E b 3
san las relaciones deseadas entre la masa M y e1 potencial U 0 Estas relacionas pueden sustituirse en la expresión para V dada por (259) yP2 expresarse como
3 1 p 2 sen β = sen 2 β− 2 2 Fina1mente si agregaramos e1 potencial centrifugo Ф (255), obtenemos el potencial de la gravedad normal U
U u ,3 =
KM E 1 q 1 1 tan−1 w 2 a 2 sen 2 β− w u 2 E 2 cos 2 β E u 2 q 3 2
Las únicas constantes que so presentan en esta formula son a, b, kM, y w. cüncuerria plenamente con el teorema f.tp Stokes. Gravedad Normal 28. El elemento lineal expresado en coordenadas elipsoidales, esta dado por
dv 2 =w 2 duw 2 u 2 E 2 dβ u 2 E 2 cos 2 β dx en donde
w=
u2 E 2 sen 2 β u 2 E 2
263
Por lo tanto tenemos, junto con las lineas de coordenadas: µ = variable β=const λ=const
β= variable µ=const λ=const λ= variable µ=const β=const Las componentes del vector de gravedad normal Γ=gradU A lo largo de estas líneas de coordenadas están dados por
γ=
∂U 1 ∂ U = ∂ su W ∂ u
γ=
1 ∂U ∂U = ∂ s β W u2 E 2 ∂ β
γ=
1 ∂U ∂U = =0 ∂ s λ W u 2 E 2 cos β ∂ λ
La componente Yt es cero puesto que U no contiene λ. Esto tambien resulta obvio por la simetría de la revolucion. A1 efectuar las diferenciaciones parcíales hallamos que:
−Wγu
1 KM w 2 a2 E 2 q ´ 1 2 2 2 sen β− −w u cos β 2 2 2 2 q 6 u E u E 0 2
−wγβ =
w2 a 2
q w 2 u2 E 2 sen β cos β u E q0 2
2
en donde hemos usado
q ´ =−
u 2 E 2 dq u2 u E =3 1 2 1− tan−1 −1 E du E u E
(267) Nótese que que no significa dq/qu; esta notacion se ha adoptado del trabajo deHirvonen (1960), en donde q' es la derivada con respecto a otra variable independiente α , que no estamos usando aqui" .Para el misino elipsoide de nivel S 0 tenemos que u = b, y obtenemos.
γβ 0 =0 (26,8] (Con Frecuencia denotaremos. 1as cantidades que hacen referencia a So por el subindice 0.) Esto también resulta evidente porque en S 0 el vector de gravedad es normal a la superficie de nivel S 0 . Por consiguiente, ademas de la componente λ también la componente β es cero en el elipsoide de referencia u = b.1 _Los otros elipsoides coordenado', u x const. no son superficies equipotenciales U = const, de manera que en general lacomponente no sera cero. Por lo tanto la gravedad total en el elipsoide. S 0 que sencillamente denotaremos por γ, esta' dada por
\ γ=∣γ a ,0∣=
KM a a 2 sen 2 βb 2 cos 2 β
[
1
2 2 1 w2 a 2 b w a E q´0 1 sen 2 β− − cos 2 β KM q 0 2 6 KM
]
ya que las relaciones
u 2E 2= b2E 2=a w 0=
1 2 1 b E 2 sen 2 β = a 2 sen 2 βb 2 cos 2 β a a
son validas en S 0 Si Incluimos la forma abreviada 2
w2 aalignl ¿¿ b m= ¿ KM ¿
270
y la segunda excentricidad l La primera excentricidad es c = E/a.. La prima de e no denota diferenciación sino que sencillamente distingue la segunda excentricidad de la primera.
e ´=
E a 2 −b 2 271 = b b
y eliminamos los terminos constantes al notar que
l=cos 2 βsen 2 β obtenemos
γ=
KM a a 2 sen 2 βb 2 cos2 β
[
1
m ´ eq ´ 0 m eq0 ´ sen 2 β 1−m− cos 2 β 272 3 q0 6 q0
En el ecuador β=0 hallamos.
γ=
KM m eq 0 1−m− 273: ab 6 q0
(274) en 1os polos (β=+90) la gravedad normal está representada por
]
γ 0=
KM a2
1
m eq 0 274 3 q0
La gravedad normal en el ecuador γa y la gravedad normal en el polo, γb satisfacen a relación
2 e´ q´0 a−b γ b − γ a w b = 1 (275) a γ γa 2q 0
que deberá comprobarse por susutitucion. Esta es la forma inflexible de una formula aproximado importante publicada por Clairaut en 1738. Por ello se le conoce como el teorema de Clairaut. Su importancia se explica claramente en la sección 210. Si comparamos la expresión (273) para γ a y U. expresión (274) para γ b con las cantidades encerradas con paréntesis en la formula (272), vemos que es posible escribir γ en la forma simétrica
γ=
aγb sin 2 βbγa cos 2 β 2
2
2
a sin 2 βb cos β
(276)
Finalmente, se incluye en el elipsoide la latitud geográfica, φ , que es el ángulo entre la normal al elipsoide y e1 plano ecuatorial (Fig. 211). Aplicando la conocida formula de la geodesia geométrica
b tan β= tan φ a
(277)
obtenemos
γ=
aγa cos 2 φbγb sin 2 φ
a2 cos2 φb2 sin 2 φ
(278)
Los calcu1os podrá efectuarlos el lector como práctica. Esta formula para 1a gravedad normal en el e1 elipsoide fue desarrollada por Somigliana (1929). Concluiremos esta sección con observaciones sobre e1 gradiente vertical de 1a gravedad en e1 elipsoide de referencia ∂ γ/∂ s u =∂ γ/∂ h . La formula de Bruns (220) aplicada al campo de gravedad normal en donde ρ =0; nos da
∂γ =−2γJ−2ω2 ∂h
(279)
La curvatura media de1 elipsoide está dada por
J=
1 1 1 2 M N
(280)
en donde M y N son los radios principales de curvatura M es el radio en la misma dirección que el meridiano, y N e1 radio normal de la curvatura, tomado en la misma dirección que el primer vertical. Adoptando geométrica 1as formulas
elipsoide de referencia U = Uo Figura 211: Latitud geográfica (elipsoidal) φ , latitud geocéntrica δ , latitud reducida β y sus complementos para un punto P en el elipsoide.
c
M=
1
1e'
2
2
cos φ
2
,
c
N=
1
1e'
2
2
cos φ
2
en donde
c=
a2 b
es el radio de curvatura en el polo. El radio normal de curvatura, N, puede interpretarse geométricamente (Fig. 211), por lo que también se 1i? conoce como 1a "normal terminada por el eje menor" (Bomford. 1962, pag. 497). 29. Desarrollo del Potencial Normal en Armónicas Esféricas Hemos hallado que el potencial gravitacional de la configuración normal de la tierra en términos de armónicas elipsiodales tiene 1a siguiente forma
V=
KM E 1 q tan−1 ω 2 a 2 P2 sin β E u 3 q0
(283)
Ahora deseamos expresar esta ecuación en términos de las coordenadas esféricas r , θ , λ Primero tenemos que establecer una relación entre las coordenadas elipsoidales y las esféricas. Si comparamos las coordenadas rectangulares de estos sistemas de acuerdo con las ecuaciones (136) y (1103), obtenemos
rsin θ cos λ= u 2 E 2 cos β cos λ rsin θ cos λ= u 2 E 2 cos β sin λ r cos θ=usin β Como la longitud λ es la misma en ambos sistemas, con estas ecuaciones podemos determinar fácilmente
cot θ=
u
u2E 2
tan β
(284)
r= u 2 E 2 cos2 β La transformación directa de (283) expresando u y β en términos de r y θ por medio de las ecuaciones (284) es sumamente difícil. Sin embargo el problema puede resolverse fácilmente en una forma indirecta. Desarrollamos tan1(E/u) pira formar una serie exponencial conocida por
3
tan
−1
5
E E 1 E 1 E = − −. .. (285) u u 3 u 5 u
Si insertamos esta serie en la formula (257)
q=
1 u2 E u 13 2 tan−1 −3 2 u E E
[
]
resulta, después de operaciones sencillas, en 3
5
1 E 2 E 3 E7 q=2 − − 3 .5 u 5. 7 u 7. 9 u
[ ]
(286)
Concretamente tenemos ∞
tan−1
E E E n1 = ∑ −1 u u n=1 2n1 u ∞
q=− ∑ −1
n 2n
n=1
E 2n1 2n3 u
2n1
2n1
Insertando esto en (283) obtenemos
kM kM V= u E
∞
1 E ∑ −1 2n1 u n=1 n
2n 1
ω2 a 2 2n E n − −1 ∑ 3q 0 n=1 2n1 2n3 u ∞
2n1
P2 sin β
Si incluimos m. definido por (270), y la segunda excentricidad e' = E/b, hallamos ∞
kM kM E n V= ∑ −1 u n=1 2n1 E u
2n1
[
1−
me ' 2n P sin β 3q 0 2n3 2
]
(287)
Desarrollamos el potencial V en una serie de armónicas esféricas. Dada la simetría de revolución solamente habrán términos zonales, y dada la simetría con respecto al plano ecuatorial solamente habrá armónicas zonales pares. Las armónicas zonales de grado impar cambian de signo para las latitudes negativas y por lo tanto no se incluyen. En consecuencia, la serie tiene la forma t V=
P 2 cos θ P 4 cos θ kM A2 A 4 r r3 r5
(288)
Luego tenemos que determinar los coeficientes A2 , A4 , .Para ello consideramos un punto sobre e1 eje de rotación, afuera del elipsoide. Para dicho punto tenemos que β = 90°, θ = O°, y de acuerdo con (284), u = r. Luego (287) pasa a ser 2n kM 2n me ' 1 n kME ∑ −1 1− r 2n1 2n3 3q 0 r 2n 1 n=1 ∞
V=
y (288) toma la forma
∞ kM A 3 A 4 kM 1 V= 3 5 = ∑ A2n 2n1 r r n=1 r r r
Aquí hemos aplicado el hecho de que para todos los valores de n
P n 1=1;
véase también la Fig. 18. Comparando los coeficientes, de ambas expresiones para V hallamos que
A 2n =−1 n
2n me ' kME 2n 1− 2n1 2n3 3q 0
(289)
Las ecuaciones (288) y (289) proporcionan 1a expresión deseada para el potencial del elipsoide de nivel como una serie de armónicas esféricas. El coeficiente de segundo A 2 es
A 2 =k A−C Esto resulta de (247); tenemos que A = B por motivos de simetría. La C constituye el momento de inercia con respecto al eje de rotación, y A es el momento de inercia con respecto a cualquier eje en el plano ecuatorial. Usando n=1 en (2 89) obtenemos
1 2 me ' A 2 =− kME 2 1− 3 15 q0
Comparando esto con la ecuación anterior, hallamos que
1 2 me ' k C− A= kME 2 1− 3 15 q 0
(290)
Por lo tanto la diferencia entre los momentos principales de inercia se expresa en términos de las "constantes de Stokes" a, b. M y ω . Es posible eliminar qp de las ecuaciones (289) y (290), obteniendo
3 kME 2 C− A (291) A 2n =−1 1−n5n 2n1 2n3 ME 2
n
Si escribimos el potencial V en la forma
kM a V= 1− J 2 r r
[ ]
V=
∞
2
a P 2 cos θ −J 4 r
kM a 1− ∑ J 2n r r n=1
[
2n
P 2n cos θ
4
P 4 cos θ −⋯
]
luego J está dado por
J 2n=−1
n1
3e 2n C−A 1−n5n 2n1 2n3 ME 2
(292).
Aquí hemos incluido la primera excentricidad e = E/a. Para n = 1 esto resulta en la formula importante
J 2=
C−A Ma 2
(292’)
que esta de acuerdo con 1as ecuaciones (249). Finalmente observamos que al eliminar q 0=
1 b Q2 i usando (290), y Uo (260) podemos escribir el desarrollo i E
de V en armónicas elipsoidales, ecuaciones (256), en la forma
V u , β =
i u 15i 1 u kMQ 0 i k C− A− ME 2 Q2 i P sin β E E 2E 3 E 2
(293)
Esto muestra que los coeficientes de las armónicas elipsoidales de los grados cero y dos son funciones de la masa y de la diferencia entre los dos momentos principales de inercia. La ana1ogía con 1os coeficientes armónicos esféricos correspondientes (247) es obvia. 210. Desarrollos en Serie para el Campo de Gravedad Normal Como e1 elipsoide de la tierra es casi una esfera, las cantidades E= a 2 −b 2 , excentricidad lineal
E e= , primera excentricidad (numérica), a E e '= , segunda excentricidad (numérica), b a−b , achatamiento f= a
(294)
y los parámetros similares que caracterizan la desviación de una esfera, son pequeños. Por consiguiente, los desarrollos en serie en términos de estos parámetros o similares resultan convenientes para los cálculos numéricos. Aproximación Lineal. Para que el 1ector pueda entender y aplicar las siguientes formulas prácticas, se considerará primero una aproximación que es lineal en el achatamiento f. Aquí tratamos con fórmulas particularmente sencillas y simétricas que también demuestran claramente la estructura de 1os desarrollos de orden superior. Es conocido que el vector radial r de un elipsoide está dado aproximadamente por
r=a 1− fsin φ
(295)
Como veremos más adelante, la gravedad normal con la misma aproximación, puede escribirse
γ=γ a 1 f ∗sin 2 φ
(296)
Para φ=±90 ° , en los polos, tenemos que a=b y γ=γ b . Por tanto podemos escribir
b=a 1− f , γ b =γ a 1 f ∗ y despejando f y f* obtenemos
a−b a γ b −γ a f ∗¿ γa f=
(297) (298)
de manera que f es el achatamiento definido por (294), y f* es una cantidad análoga que podemos denominar el achatamiento por gravedad. Con esta misma aproximación, (275) se convierte en
5 f f ∗¿ m , 2
(299)
en donde
m=
ω 2 a fuerza centrifuga = γ a gra vedad en
en el
(2100)
ecuador
elecuador
Este es el teorema de Clairaut en su forma original. Es una de las fórmulas más notables de la geodesia física: El achatamiento (geométrico) f (297) puede deducirse de f* y m, que son cantidades netamente dinámicas obtenidas mediante mediciones gravimétricas; es decir, que e1 achatamiento de la tierra puede determinarse de mediciones gravimétricas. Obviamente la formula de Clairaut es solamente una primera aproximación y debe mejorarse incluyendo primero en f los términos elipsoidales de orden superior y, en segundo lugar, tomando en cuenta la desviación del campo de gravedad de la tierra normal. Pero e1 principio sigue siendo el mismo. Desarrollo de segundo orden. Ahora desarrollaremos las formulas cerradas de las dos secciones anteriores para formar series de términos de la segunda excentricidad e’ y del achatamiento f, genera1mente hasta e ' 4 of 2 inclusive. Casi siempre se hace caso omiso do términos del orden de e ' 5 of 3 y superior. Se empieza con la serie 3
5
7
E E 1 E 1 E 1 E = − −, u u 3 u 5 u 7 u
[ ] [ ]
tan−1
3
1 E 2 E q=2 − 3⋅5 u 5⋅7 u q ' =6
1 E 3⋅5 u
2
−
1 E 5⋅7 u
5
3 E 7⋅9 u 4
7
− ,
(2101)
8
1 E − 7⋅9 u
Las primeras dos series ya se han usado en la sección anterior; la tercera se obtiene incorporando 1a serie de tan−1 a la formula cerrada (267) para q’. En el elipsoide de referencia So tenemos que u = b y
E E = =e', u b De modo que
1 1 tan−1 e ' =e ' − e' 3 e' 5 , 3 5 2 6 q 0 = e' 3 1− e ' 2 , 15 7
(2102)
2 3 q ' 0 = e' 2 1− e ' 2 , 5 7 e ' q0 3 =3 1 e ' 2 q0 7
(2103)
También necesitaremos la serie
b=
a
1 2 3 4 =a 1− e' e ' 2 8 1e' 2
Potencial y gravedad. Si sustituimos estas expresiones en las formulas cerradas (261), (273). (274) y (275) obtenemos hasta el orden e’4, inclusive: potencial :
U 0=
kM 1 1 1 1− e ' 2 e ' 4 ω 2 a2 , b 3 5 3
(2104)
gravedad en el ecuador y en el polo:
γ a= γ b=
kM 3 3 1− m− e ' 2 m , ab 2 14 kM a
2
(2105a)
3 1−m− e' 2 m , 7
(2105b)
e1 teorema de Clairaut:
f f ∗¿
5 ω2 b 9 2 1 e ' 2 γa 35
(2106)
2
La razón ω a/ γ a puede expresarse
3 2 ω2 a =m m , γa 2
(2107)
que es una versión más exacta de (2100). De acuerdo con la ecuación (2l05a) hallamos
3 3 9 kM =ab γ a 1 m e ' 2 m m 2 , 2 14 4
(2108)
que da como resultado la masa en términos de la gravedad ecuatorial. Por medio de esta ecuación podemos expresar 1a kM de 1a ecuación (2104) en términos de γ a , obteniendo
1 11 1 2 11 U 0 =aγa 1− e ' 2 m e' 4 − e' 2 m m2 3 6 5 7 4
(2109)
Aquí hemos eliminado ω 2 a 2 sustituyéndolo por kMm/b. Ahora podemos considerar la ecuación (278) para la gravedad normal. Con una operación simple obtenemos
1
bγb −aγa aγb
γ=γ a
1−
a 2 −b 2 a
2
sin 2 φ
sin 2 φ
Se desarrolla el denominador para formar una serie binomia:
1 1 3 =1 x x 2 2 8 1− x Luego se incluye 1a serie abreviada
a 2 −b 2 e ' 2 2 4 = =e ' −e ' , 2 2 a 1e ' bγ b −aγa 5 13 15 =−e' 2 me ' 4 − e' 2 m m 2 aγ a 2 7 4 y, después de la sustitución, obtenemos
1 5 1 13 15 1 5 γ=γ a 1 − e ' 2 m e ' 4 − e' 2 m m 2 sin 2 φ − e ' 4 e' 2 m sin 4 φ 2 2 2 7 4 8 4
[
]
(2110)
También podemos expresar estas cantidades en términos del achatamiento f sustituyendo la ecuación
e ' 2=
1 2
1− f
−1=2f 3f 2
El achatamiento f se utiliza con mucha frecuencia; ofrece una pequeña ventaja sobre la segunda excentricidad e' puesto que es del mismo orden de magnitud que m: el hecho de que m 2 , e ' 2 m , e' 4 sean cantidades de1 mismo orden de magnitud no se aprecia enseguida. De modo que obtenemos
3 3 9 kM =ab γ a 1 m fm m 2 2 7 4
U 0 =aγa 1−
(2111)
2 11 1 4 11 f m− f 2 − fm m 2 3 6 5 7 4
(2112)
5 1 26 15 1 5 γ=γ a 1 − f m f 2 − fm m2 sin 2 φ − f 2 fm sin 4 φ 2 2 7 4 2 2
[
La ultima formula generalmente se abrevia de la siguiente manera
]
(2113)
γ=γ a 1 f 2 sin 2 φ f 4 sin 4 φ ,
(2114)
de modo que tenemos
5 1 26 15 f 2 =− f m f 2− fm m 2 2 2 7 4 1 2 5 f 4 =− f fm 2 2
(2115)
Si sustituimos
1 sin 4 φ=sin 2 φ − sin 2 2φ 4 finalmente obtenemos
γ=γ a 1 f ∗sin 2 φ−
1 f sin 2 2φ 4 4
(2116)
en donde
f ∗¿
γ b −γ a γa
= f 2 f 4
(2117)
es el "achatamiento por gravedad” Coeficientes de las armónicas esféricas. La ecuación (290) para los momentos principales de inercia en seguida da como resultado
C− A 1 2 me ' = − ME 2 3 45 q 0 Si la desarrollamos por medio de (2102) hallamos
C− A 1 1 2 1 2 = 2 e ' − m− e ' 2 m 2 3 7 ME e' 3
Al insertar esto en (292) obtenemos
1 4 1 C− A 1 2 1 = e' − m− e ' e '2 m 2 3 3 3 21 Ma 2 1 1 2 J 2 = f − m− f 2 fm 3 3 3 21
(2118)
1 2 4 1 J 4 =− e ' 4 e ' 2 m=− f 2 fm 5 7 5 7
(2119)
J 2=
Las J superiores corresponden a un orden de magnitud que se ha omitido.
Gravedad sobre el elipsoide. En el caso de una elevación pequeña h sobre el elipsoide, es posible desarrollar la gravedad normal γ h , a esta elevación para formar una serie en términos de h:
γ b =γ
1 ∂2 γ 2 ∂γ h h ∂h 2 ∂ h2
en donde γ y sus derivadas hacen referencia al elipsoide (h = 0). La primera derivada ∂ γ/∂ h está dada por la formula de Bruns (279):
∂γ 1 1 =−γ −2ω2 ∂h M N
(2120)
en donde M, N son los radios principa1es de curvatura del elipsoide, definidos por (28l). Como 3/ 2 1 b b 3 = 2 1e ' 2 cos2 φ = 2 1 e ' 2 cos2 φ ⋯ M a 2 a
1/ 2 1 b b 1 = 2 1e' 2 cos 2 φ = 2 1 e' 2 cos2 φ⋯ N a 2 a
tenemos 3/ 2 2b 1 1 b = 2 22 e ' 2 cos 2 φ = 2 12f cos2 φ M N a a
Aquí nos hemos limitado a términos lineales en f, dado que la elevación h es en sí una cantidad pequeña. Por tanto, después de algunas operaciones sencillas con (2120) hallamos:
2γ ∂γ =− 1 f m−2 fsin 2 φ ∂h a
(2121)
La segunda derivada puede tomarse de la aproximación esférica, la cual se obtiene haciendo caso omiso de e’2 o f:
γ=
2 kM ∂2 γ ∂2 γ 6 kM kM ∂ γ ∂ γ , = =− , = = 4 a2 ∂ h ∂ a a 3 ∂ h2 ∂ a 2 a
De modo que
∂2 γ 6γ = ∂ h2 a 2
(2122)
Por 1o tanto obtenemos
[
γ h = γ 1−
2 3 1 f m−2 fsin 2 φ h 2 h 2 a a
]
(2123)
Usando la ecuación (2113) para γ , también podemos expresar la diferencia γ h − γ en la siguiente forma
γ h − γ=−
2γ a a
[
3γ4 5 1 f m −3f m sin 2 φ h 2 h 2 2 a
]
(2124)
El símbo1o γ h denota 1a gravedad normal para un punto de latitud φ , situado a una altura h sobre el elipsoide;
γ representa la gravedad en el elipsoide mismo para la misma latitud φ , tal como se expresa en (2116) o formulas
equivalentes. En la publicación de Hirvonen (1960) podrán hallarse desarrollos en serie de órdenes superiores así como fórmulas para calcular las diversas cantidades relativas al campo de gravedad normal. 211. Valores numéricos. El Elipsoide Internacional El elipsoide de referencia y su campo de gravedad se determinan enteramente por medio de cuatro constantes. Por 1o general se incluyen tos siguientes cuatro parámetros: a f
γa ω
semieje principal; achatamiento; gravedad ecuatorial; y velocidad angular.
Los valores mas conocidos y usados son los que corresponden al elipsoide internacional: a= f=
6378688.00 metros 1/297000 γ a = 978.049000 gal
ω = 0.72921151 x 10^4 sec^1 Los parámetros geométricos de a y F Fueron determinados por Hayford en 1909 a partir de datos astrogeodesicos do los Estados Unidos que habían sido reducidos isostáticamente. La asamblea de la Asociación Internacional de Geodesia celebrada en Madrid en 1924 los adopto para el elipsoide internacinal. El valor de la gravedad ecuatorial γ a fue calculado por Heiskanen (l928) usamdo también datos gravimétricos reducidos isostaticamente,; La formula correspondiente para la gravedad Internacional,
g γ =978. 0490 10 . 0052884 sin 2 φ−0 . 0000059 sin 2 2φ gal (2126) cuyos coeficientes fueron calculados a partir de valores supuestos para a, f, γ a , mediante 1as ecuaciones de Cassinis (19.10) [ecuaciones (2115), (2116), (2117) fue adoptada por la asamblea de Estocolmo en 1930. Todos los parámetros del elípsoide internacional y su campo de gravedad pueden calcularse a cualquier grado de precisión utilizando (2125), la cual por supuesto expresa únicamente la consistencia interna. En esta forma hallamos que b = 6 356 911 metros, E = 522 9/6.1 metros, e ' 2 = 0.006 768
(2127)
q 0 = 0.000 0/3 8130. q ' 0 = 0.002 699 44.
m = 0.003 449 86. El potencial del elipsoide internacional es Uo = 6 263 978.7 kgal metros
(2128)
El producto de la masa de la tierra y de la constante gravitacional tiene un valor de kM = 3.9863290 x 10^20 cm3 sec^2
(2129)
Como la constante gravitacional tiene un valor de k = 6.67 X 10^8 cm3 g^1 sec^2 la masa de la tierra es M = 5.98 X lO^27 g. Como k no es muy precisa no tendría mucho sentido proporcionar una mayor precisión para M. En e1 caso de las constantes del desarrollo armónico esférico del campo de gravedad normal, hallamos los siguientes valores
J 2=
C− A
=0 . 0010920 Ma 2 J 4 =−0 . 00000243
(2130)
El cambio de la gravedad normal con respecto a la elevación esta expresado por la formula (2124), la cual para el elipsoide internacional pasa a ser
γ b =γ− 0 . 30877−0 . 00045 sin 2 φ h0 . 000072 h 2
(2131)
en donde γ h y γ se miden en gales, y h es la elevación en kilómetros. Aunque ya no podemos considerar al elipsoide internacional como la mejor aproximación de la tierra por medio de un elipsoide, aún puede utilizarse como elipsoide de referencia para fines geodésicos (véase la sección 221 para mayores detalles). Recientemente, la asamblea de la Unión Astronómica Internacional adopto en Hamburgo en 1964 (Fricke et al., 1965) una serie de valores que probablemente se adapte mejor a la situación actual: a= 6378160 metros, f 2 = 0.0010827 kM= 3.98603 x 10^20 cm3 sec^2 El achatamiento correspondiente es f = 1/298.25. El valor de a. el cual es considerablemente menor que el del elipsoide internacional, incorpora determinaciones geodésicas obtenidas recientemente; el cambio en el valor de J 2 y por consiguiente de f, se debe a los resultados proporcionados por los satélites artificiales. Los países de oriente utilizan el elipsoide de Krasowsky: a= 6378245 metros, f= 1/298.3
(2133)
En este libro continuaremos usando los valores (2125) del elipsoide internacional, a menos que se indique lo contrario, ya que la mayoría de 1ª mayoría de los cálculos, tablas, etc. hacen referencia al mismo; además, dichos valores todavía no han sido cambiados oficialmente por la Unión Internacional de Geodesia y geofísica. 212. Otros Campos de Gravedad Normal y Superficies de Referencia Como se menciono anteriormente, e1 campo de gravedad de la tierra se ha divido convenientemente en un campo normal y uno perturbador. El campo normal comprende las características de encala grande, de manera que las desviaciones del verdadero campo de gravedad del campo normal las perturbaciones son pequeñas. Además, el campo normal debe ser matemáticamente sencillo. De lo contrario sería bastante arbitrario. El uso del elipsoide como una superficie de referencia para el campo de gravedad es bastante reciente. No se utilizó oficialmente hasta 1930 cuando la asamblea de la Asociación Internacional de Geodesia en Estocolmo adoptó la
formula teórica de la gravedad (2126) basada en un elipsoide de revolución. Anteriormente se usaban los primeros términos del desarrollo armónico esférico de W como un potencial normal U, es decir, las funciones,
U '=
U ''=
Y0 r Y0 r
Y 2θ , λ r
4
Y 2 θ ,λ r
5
1 2 2 2 ω x y 2
Y 3 θ ,λ r
5
(2134a)
1 2 2 2 ω x y (2134b) 2
Aquí falta la armónica de primer grado porque se escogió el centro de la tierra como el origen de las coordenadas; se omitió la armónica de tercer grado porque se dio por sentado que el campo normal es simétrico con respecto al plano ecuatoria1. Las funciones Y 0 =kM , Y 2 , y , Y 4 supuestamente corresponden al verdadero campo de gravedad do la tierra. Las superficies de referencia correspondientes U = Uo se llaman esferoides de la tierra (1) La superficie
U ' x , y , z =U 0
(2135a)
se conoce como el esferoide de Bruns; la superficie
U '' x , y , z =U 0
(2135b)
es e1 esferoide de Helmert. (1) Un esferoide es (1) cualquier superficie que se asemeje a una esfera: y (2) específicamente, un elipsoide de revolución. En este texto usaremos la palabra "esferoide" en el primer sentido más amplio en lugar del segundo sentido especial. De acuerdo con (248), el esferoide de Bruns esta representado por la ecuación
1 kM k 5 [ BC−2A x 2 C A−2B y 2 AB−2C z 2 ] ω 2 x 2 y 2 =U 0 r 2 2r
(2136)
Sí eliminamos la raíz cuadrada
r= x 2 y 2 z 2 hallamos que es una superficie algebraica de grado 14. E1 esferoide de Helmert es una superficie de grado 22. . . En la practica, estas superficies se aproximan mucho a los elipsoides. Sin embargo, son mucho mas complicadas matemáticamente, de manera que prácticamente es imposible obtener formulas cerradas con ellas. A continuación se dan tres razones a favor del elipsoide como una superficie de referencia en la geodesia física. 1.
Como para las triangulaciones, etc. siempre se utiliza un elipsoide como superficie de referencia, es posible usar el mismo elipsoide como una superficie de referencia tanto geométrica como física.
2.
Las formulas cerradas para el elipsoide de nivel no solo permiten definir en una forma clara y precisa el campo de gravedad normal, sino también efectuar cálculos prácticos con cualquier precisión.
3.
Las funciones (2134a) y (2L34b) pueden considerarse las primeras aproximaciones naturales del campo de gravedad de la tierra. Sin embargo, el desarrollo armónico esférico del potencial de la gravedad no deja de ser mas "natural" que, digamos, un desarrollo en términos de 1as armónicas elipsoidales. Si desarrollamos W para formar una serie de armónicas elipsoidales, entonces e1 elipsoide de nivel constituirá la primera aproximación.
El concepto de superficie de referencia y de su campo de gravedad resultara más claro en "las siguientes secciones, específicamente en la sección 221. 213. El Campo Anómalo de 1a Gravedad, las Ondulaciones Geoidales y las Desviaciones de la Vertical La pequeña diferencia entre el potencial de la gravedad real W y el potencial de la gravedad normal U se denota por T, de modo que
W x , y , z =U x , y , z T x , y , z ;
(2137)
T se conoce como el potencial anómalo, o potencial de perturbación. Comparamos el geoide
W x , y , z =W 0 con un elipsoide de referencia
U x , y , z =W 0
Figura 212. Geoide y elipsoide de referencia del mismo potencial Uo = Wo. Un punto P del geoide se proyecta hacia el punto q del elipsoide por medio de normal elipsoidal (Fig. 212). La distancia PQ entre el geoide y el elipsoide se conoce como la altura geoidal, u ondulación geoidal, y se denota por N.(1) Consideremos ahora e1 vector de gravedad g en el punto P y el vector de gravedad normal γ en el punto Q. El vector de la anomalía de la gravedad g se define como su diferencia:
g=g P −γ Q
(2138)
Un vector se caracteriza por magnitud y dirección. La diferencia en magnitud es la anomalía de la gravedad
g=g P −γ Q
(2139)
la diferencia en dirección constituye la desviación de la vertical. La desviación de la vertical tiene dos componentes, una componente nortesur y ξ una componente esteoeste η (Fig. 213). Como la dirección de la vertical es definida directamente por las coordenadas geográficas de latitud y longitud, 1as componentes ξ y η pueden expresarse fácilmente por medio de las mismas. Las coordenadas geográficas verdaderas del punto geoidal P, que definen la dirección de la línea de la plomada n o del vector de gravedad g, pueden determinarse mediante mediciones astronómicas. Por lo tanto se llaman coordenadas astronómicas
y se han denotado por ΦyΛ . Las coordenadas geográficas elipsoidales dadas por la dirección de la normal elipsoidal n’ se han denotado por φyλ . Resulta obvio que esta ultima es idéntica a la longitud geocéntrica. Por tanto, normal geoidal n, coordenadas astronómicas Φ , Λ ; normal elipsoidal n’, coordenadas "geodésicas" φ , λ ; En la Figura 213 vemos que
ξ= Φ− φ η= Λ−λ cos φ
(2140)
(1) Lamentablemente tenemos aquí un conflicto en la notación. En las publicaciones geodésicas tanto el radio normal de curvatura del elipsoide como la altura geoidal se han denotado por N. Continuaremos haciendo lo mismo ya que es poco probable que se produzcan confusiones.
Figura 213. La desviación de 1ª vertical tal como se ilustra por medio de una esfera unitaria con centro en P. También es posible comparar los vectores g y γ en el mismo punto P. Luego obtenemos el vector de perturbación de la gravedad
δ=g P− γ P
(2141)
De igual forma, la diferencia en magnitud es 1a perturbación de la gravedad
δg=g P −γ P
(2142)
La diferencia en dirección es decir, la desviación de la vertical es la misma que antes, puesto que las direcciones de γ P y γ Q prácticamente coinciden. La perturbación de 1a gravedad resulta en concepto, mucho más sencilla que la anomalía de la gravedad, pero no tiene tanta importancia en la geodesia terrestre. La importancia de la anomalía de la gravedad es que se obtiene directamente: la gravedad g se mide en e1 geoide (o se reduce al mismo, refiérase al capítulo 3) y la gravedad normal se calcula para el elipsoide. Relaciones. Hay varias relaciones matemáticas básicas entre las cantidades que acabamos de definir. Como
U P=U Q
∂U ∂n
Q
N =U Q −γN
tenemos
W P =U P T P=U Q −γNT
Dado que
W P =U Q =W 0
hallamos que
T =γN
(2143)
o
N=
T γ
(2144)
Esta es la conocida formula de Bruns, la cual relaciona la ondulación geoidal con el potencial de perturbación. Luego consideramos la perturbación de la gravedad. Como
g=gra dW γ=gra dU el vector de perturbación de la gravedad (2141) pasa a ser
δ=gra d W −U =gra dT ≡
∂T ∂T ∂T , , ∂ x ∂ y ∂z
(2145)
Luego
g=
∂W ∂U ∂U , γ=− =− ∂n ∂n' ∂n
ya que las direcciones dé las normales n y n’ prácticamente coinciden. Por lo tanto, la perturbación de la gravedad se expresa mediante
δg=g P −γ P =−
∂ W ∂U ∂W ∂U − =− − ∂n ∂n' ∂n ∂ n
O
δg=−
∂T ∂n
(2146)
Como la elevación h se calcula a leí largo de la normal, también podemos escribir
δg=−
∂T ∂h
(2146’)
Si compararnos (2146) con (2145) vemos que la perturbación de la gravedad δg , además de ser la diferencia en magnitud entre el vector de gravedad real y el de gravedad normal es también la componente normal del vector de perturbación de la gravedad δ Veamos ahora la anomalía de la gravedad g . Como
γ P =γ 0 tenemos
∂γ N ∂h
−
∂T ∂γ =δg=g P− γ P =g P− γ Q − N ∂h ∂h
Recordando 1a definición (2139) de la anomalía de la gravedad y tomando en cuenta la formula de Bruns (2144), hallamos las siguientes ecuaciones equivalentes
∂T ∂γ = g− N ∂h ∂h
(2147a)
g=−
∂T ∂ γ N ∂ h ∂h
(2147b)
g=−
∂T 1 ∂ γ T ∂ h γ ∂h
(2147c)
−
δg= g−
∂γ N ∂h
(2147d)
δg= g−
1 ∂γ T =0 γ ∂h
(2147e)
que relacionan las diferentes cantidades del campo de anomalías de la gravedad. Otra forma equivalente seria
∂T 1 ∂ γ − T g=0 ∂h γ ∂h
(2148)
Esta expresión se conoce como la ecuación fundamental de la geodesia física, porque relaciona la cantidad medida g con el potencial anoma1o desconocido T. Tiene la forma de una ecuación diferencial parcial. Si se conociera g en todo e1 espacio, entonces (2148) podría considerarse y resolverse como una ecuación diferencial parcial real. No obstante, como solo se conoce g a lo largo de una superficie (el geoide), la ecuación fundamental (2148) solo puede usarse como condición límite, porque sí sola no es suficiente para calcular T. Por consiguiente, el nombre "ecuación diferencial de geodesia física", que se utiliza en ocasiones para (2148) muchas veces, resulta engañosa. Por lo general damos por hecho que no existen masas fuera del geoide. Esto, por supuesto, no es en realidad cierto. Pero tampoco se hacen observaciones directamente sobre e1 geoide; se hacen sobre la superficie física de la tierra. Al reducir la gravedad medida al geoide, se elimina por medio de cálculos el efecto de las masas fuera del geoide, de manera que en efecto podemos suponer que todas las masas están encerradas por e1 geoide (refiérase a los capítulos 3 y 8). En este caso, como la densidad ρ es cero en todas partes fuera de1 geoide, el potencial anoma1o T allí es armónico y satisface la ecuación de Lap1ace
T=
∂ 2 T ∂2 T ∂ 2 T =0 ∂ x2 ∂ y 2 ∂ z 2
Esta es, desde luego, una ecuación diferencial parcial real, 1a cual es suficiente, si se complementa con la condición límite (2148), para determinar T en todos los puntos fuera del geoide. Si expresamos la condición 1ímite en 1a forma
−
∂T 1 ∂γ T= g ∂n γ ∂ n
(2148')
en donde supuestamente se conoce g para todos los puntos del geoide, vemos que una combinación lineal de T y ∂ T /∂ n estaría representada sobre esa superficie. De acuerdo con la sección 117, la determinación de T constituiría por 1o tanto un tercer problema de valores 1ímites de la teoría del potencial. Si despejamos T, entonces podemos calcular 1a altura geoidal, que es la cantidad geométrica más importante de la geodesia física, mediante la formula de Bruns (2144). Podemos decir por lo tanto que el problema básico de la geodesia física, es la determinación del qeoide a partir de mediciones de la gravedad, es esencialmente un tercer problema de valores límites de la teoría de1 potencial. 214. Aproximación Esférica. Desarrollo del Potencial de Perturbación en Armónicas Esféricas El elipsoide de referencia difiere de una esfera solo por cantidades correspondientes al orden del achatamiento, f = 3 X 103. Por consiguiente, si tratamos al elipsoide de referencia como una esfera en ecuaciones que relacionan las cantidades del campo anómalo, esto podría producir un error relativo del orden de 3x10^3. Este error por lo general es permisible en N, T, Ag, etc. Por ejemplo. El efecto absoluto de este error relativo en la altura geoidal es de orden de 3x10^3 N; como N difícilmente excede los 100 metros, generalmente, se espera que este error sea menor que un metro Como aproximación esférica tenemos que
γ=
2 kM ∂ γ ∂ γ kM 1 ∂ γ , = =−2 30 = =− 2 γ ∂h r r ∂h ∂r r
Le incorporaremos un radio medio R de 1a tierra. Casi siempre se define como radio de una esfera con el mismo volumen que el elipsoide terrestre; de acuerdo con la condición
4 4 4 2 πR = πa b 3 3 obtenemos 4
R= a2 b En forma similar podemos definir un valor medio G de gravedad sobre la tierra. Normalmente se utilizan valores, numéricos de aproximadamente
R=6371 KM ,G=979. 8 gals (2149) Luego
1 ∂γ 2 =− γ ∂h R
(2l50)
2G ∂γ =− ∂h R
(2150')
Como la normal a la esfera constituye la dirección del vector radial r, tenemos con la misma aproximación
∂ ∂ ∂ = = ∂ n ∂ h ∂r Según el teorema de Bruns (2144), podemos sustituir γ por G, y las ecuaciónes (2147) y (2148) se convierten en
2G ∂T = g N ∂h R
(215la)
g=−
∂ T 2G − N ∂r R
(2151b)
g=−
∂T 2 − T ∂r R
(2151c)
δg= g
2G N R
(2151d)
δg= g
2 T R
−
(2l51e)
∂T 2 T g=0 ∂r R
(215lf)
La última ecuación representa la aproximación esférica de la condición límite fundamental. Hay que tener presente el significado) exacto de esta aproximación esférica. Se usa solamente en ecuaciones que relacionan cantidades pequeñas como T, N, g , etc. La superficie de referencia jamás es una esfera en el sentido geométrico, sino siempre un elipsoide. Dado que el achatamiento f es muy pequeño, pueden desarrollarse las formulas elipsoidales para formar series exponenciales en términos de f, y luego se omiten todos "los términos que contienen f, f^2, etc. En esta forma se obtienen formulas que son totalmente va1idas para la esfera, pero solo más o menos validas para el elipsoide de referencia en sí. No obstante, es necesario calcular con un alto grado deprecisión la gravedad normal γ en la anomalía de la gravedad g=g−γ para el elipsoide.
Τn 0, λ Como el potencial anómalo T = W U es una función armónica, puede desarrollarse fácilmente en una serie de armónicas esféricas: ∞
T r , θ , λ = ∑
n=0
R r
n1
T n θ , λ
(2152)
es la armónica de superficie de Laplace de grado n. En e1 geoide, que como aproximación esférica corresponde a la esfera r = R. formalmente tenemos ∞
T =T R , θ , λ = ∑ T n θ , λ
(2152'}
n=0
(no hay que preocuparse aquí por el problema de la convergencia). Si diferenciamos la serie (2152) con respecto a r hallamos que ∞
δg=−
∂T 1 R = ∑ n1 ∂ r r n=0 r
n1
T n θ , λ
(2153)
En el geoide (r = R) esto se convierte en ∞
δg=−
∂T 1 = ∑ n1 T n θ , λ ∂ r R n=0
(2153´)
Esta serie expresa la perturbación de la gravedad en términos de armónicas esféricas. El equivalente de (2151c) fuera de la tierra obviamente es
g=−
∂T 2 − T ∂r r
(2154)
Su significado exacto se tratara al final de la siguiente sección. Al incorporar (2153) y (2152) en esta ecuación, obtenemos: ∞
1 R g= ∑ n−1 r n=0 r
n1
T nθ ,λ
(2155)
En el geoide esto se convierte en ∞
1 g= ∑ n−1T n θ , λ R n=0
(2155')
Este es el desarrollo armónico esférico de la anomalía de 1a gravedad. Nótese que aun si el potencial anómalo T tuviera un termino esférico de primer grado T 1 θ , λ en 1a expresión para g sería multiplicado por e1 factor 11=O, por lo que Ag no podrá tener jamás una armónica esférica de primer grado aun si T tuviera uno. 215. Anomalías de la Gravedad fuera de la Tierra Si una función armónica H viene dada en la superficie de la tierra, entonces, como aproximación esférica, podrían calcu1arse los valores de H fuera de la tierra por medio de la formula integral de Poisson (189)
H P=
R 4π
∫∫
¿
r 2− R2 lλ
Hd σ
σ
¿
El símbolo
∫∫
¿
es la forma abreviada usual para una integral que se extiende sobre 1a esfera unitaria total, o
σ
¿ sobre el ángulo sólido total, que viene a ser lo mismo; dσ denota el elemento de ángulo sólido, definido como el elemento superficie de la esfera unitaria. Por consiguiente, el elemento de superficie de 1a esfera, terrestre r R es R 2 dσ los significados de las demás notaciones pueden determinarse de la Fig. 214. £1 valor de la función armónica en el
Figura 214: Notaciones para la integral, integral de Poisson u sus fórmulas derivadas. El elemento de superficie variable R 2 dσ se denota senci11amente por H, en donde se refiere al punto fijo P. Obviamente, entonces,
l= r 2 R 2 −2 rR cos ψ
(3156)
La función armónica H puede desarrollarse en una serie de armónicas esféricas:
H=
2
∞
R R R H 0 H 1 ∑ r r n=2 r
n1
Hn
Omitimos los términos de grados uno y cero, obtenemos 1a nueva función
H ' =H −
R R H 0 r r
2
∞
H 1= ∑
n=2
R r
n1
Hn
(2157)
Las armónicas de superficie están representadas por
∫∫
¿ Hd σ , H 1 =
3 4π
∫∫
σ
¿ H cos ψdσ
σ
(2158)
1 H 0= ¿ 4π ¿
Según la ecuación (171). Por tanto hallamos, de acuerdo con (2157), expresando H mediante la integral de Poisson y sustituyendo las integrales (2158) por Ho y H1, la formula bás1ca
H ' P=
R 4π
∫∫ ¿
r 2 − R2 l3
1 2R − − 2 cos ψ Hd σ r r
(2159)
σ
¿ La razón de esta modificación de la integra1 de Poisson es que las formulas de la geodesia física resultan mucho mas sencillas si 1as funciones comprendidas contienen armónicas de los grados cero y uno. Es por e11o conveniente comparar estos términos. Esto se hace automáticamente por medio de la integral identificada de Poisson (2159). Ahora aplicaremos estas formulas a las anomalías de 1a gravedad fuera de la tierra. La ecuación. (2155) resulta en
∞
r g= ∑
n=0
R r
n1
n−1 T n θ , λ
Al igual que T n θ , λ es una armónica de superficie de Laplace, también lo es . Por consiguiente, r g , considerada como una función en el espacio, ha de desarrollarse en una serie de armónicas esféricas y por lo tanto es una función armónica. Por tanto podemos aplicar la formula de Poisson r g , obteniendo así
r gr =
R 4π
∫∫ ¿
r 2− R2 l
3
1 3R − − 2 cos ψ R g dσ r r
σ
¿ gr=
R2 4πr
∫∫ ¿
r 2 −R 2 l
3
1 3R − − 2 cos ψ gd σ r r
(2160)
σ
¿ Esta es 1a formula para calcular las anomalías de la gravedad fuera de la tierra a partir de las anomalías de la gravedad en la superficie, o de la prolongada ascendente de las anomalías de la gravedad. Finalmente explicaremos e1 significado exacto de la anomalía de la gravedad Ag p de 1a tierra. Empezaremos por una definición conveniente. Las superficies de nivel del potencial real de gravedad, las superficies W=Const., se conocen frecuentemente como superficies geopotenciales; las superficies de nivel del campo de la gravedad normal, las superficies U=Const., se conocen como superficies esferopotenciales. Consideraremos ahora el punto P fuera de la tierra (Fig. 215) y denotaremos la superficie qeopotencial que pasa por él por medio de W = Wp. También hay una superficie esferopotencial U = Wp de la misma constante Wp. La línea de la plomada normal a través de P corta esta superficie esferopotencial en el punto Q, el cual se dice que corresponde a P. Vemos que las suprficies de nivel W=Wp y U=Wp están relacionadas entre sí en exactamente 1a misma forma que los geoides W = Wo y el elipsoide de referencia U = Wo. Por tanto, si la anomalía de la gravedad esta definida por
g P= gP −γ Q como en la sección 213. entonces todas las deducciones y formulas de esa sección son también validas para la situación actual en donde la superficie geopotencial W = Wp reemplaza al geoide W = Wo y la superficie esferopotencial U = Wp reemplaza al elipsoide U = Wo esta es también 1a razón por 1a que (2154) es válida en P a1 igual que en el geoide.
Nótese que en la sección 213, P es un punto en el geoide, el cual se denota por Po en 1a Fig. 215.
Figura 215. Superficie geopotencial y esferopotencial.
216. Formula de Stokes La ecuación básica (2154),
g=
∂T 2 − T ∂r r
puede considerarse solamente una condición límite, siempre y cuando se conozcan las anomalías de la gravedad g en la superficie de 1a tierra solamente. Sin embargo, por medio de la integral de la prolongación ascendente (2160) ahora es posible calcular las anomalías de la gravedad fuera de la tierra. De esta manera nuestra ecuación básica cambia radicalmente de significado, convirtiéndose en una verdadera ecuación diferencial que puede integrarse con respecto a r.(1) Multiplicando por r2, obtenemos
∂T ∂ 2 rT = r 2 T ∂r ∂r
−r 2 g=r 2
Al integrar la formula
∂ 2 r T =−r 2 g r ∂r entre los límites ∞ y r, hallamos r
r T∣ =−∫ r r
2
2
∞
g r dr
∞
en donde g (r) indica que g es ahora una función de r, calculada a partir de las anomalías de la gravedad de la superficie por medio de la formula (2160). Como esta formula elimina automáticamente las armónicas esféricas de los grados uno y cero de g (r), el potencial anómalo T, tal como se calcula de g (r) no puede contener dichos términos. De modo que tenemos ∞
T =∑
n=2
R r
n1
T n=
R3
Por tanto,
lim r 2 T = lim r ∞
r ∞
r
3
T 2
R4 r
4
T 3
R3 R4 T 2 2 T 4 ⋯ =0 r r
de manera que
r 2 T ∣r∞=r 2 T − lim r 2 T =r 2 T r ∞
Por consiguiente,(2) 2
r
∫ r 2 g r dr
t r T =−
∞
(1)Nótese que esto solamente es posible porque T, además de satisfacer la condición límite, satisface también la ecuación de Laplace AT = 0. (2)E1 hecho de que se utilice r como unn variable de integración y como un límite superior no debería causar dificultad alguna. Y al incorporar la integral de la prolongación ascendente (2160) obtenemos r
R2 r T= ∫ 4π ∞ 2
[ ∬ [∫
∬−
r 3− R2 r l
∞
3
1
3R cos ψ r
] ]
gd σ dr
Si intercambiamos el orden de las integraciones, obtenemos
r2T =
2
R 4π
r
∞
∞
−
3 2 3R r −R r 1 cos ψ dr gd σ r l3
Es posible determinar el valor de la integral entre paréntesis rectangulares mediante métodos convencionales. La integral Indefinida es(1)
∫
−
r 3− R2 r l3
1
3R 2r 2 cos ψ dr = −3l−3P cos ψ ln r− R cos ψ1r3R cos ψ ln r r l
Para valores grandes de r tenemos
l=r 1−
R cos ψ⋯ =r− R cos ψ ⋯ r
y por lo tanto hallamos que a medida que r—> ∞ , 1a parte derecha de la integral indefinida anterior se aproxima a
5R cos ψ−3R cos ψ ln 2 Si restamos esto de la integral indefinida, obtenemos la integral definida, puesto que su límite inferior de integración es infinito. Por lo tanto r
∫ ∞
−
2
3R 2r r− R cos ψ1 r 3− R2 r 1 cos ψ dr = r −3l−R cos ψ 53 ln 3 r l 2r l
De manera que obtenemos
T r , θ , λ =
R ∬ S r , ψ gd σ 4π σ
(2161)
en donde
2R R r− R cos ψ1 Rl R 2 (2162) −3 2 − 2 cos ψ 53 ln l r 2r r r En el mismo geoide tenemos que r = R, y si denotamos T R , θ , λ sencillamente por T, hallamos que R T = ∬ gS ψ dσ (2163a) 4π σ S r , ψ =
(1)Se recomienda al lector efectuar esta integración tonando en cuenta (2156) o comprobar por lo menos el resultado diferenciando la parte derecha con respecto a r. en donde
1 ψ ψ ψ −6 sin 1−5 cos ψ−3cos ψ ln sin sin 2 sin ψ /2 2 2 2 se obtiene de S r , ψ y haciendo que ψ r=R y l=2 Rsin 2
S ψ =
(2164)
Según el teorema de Bruns, N=T/G, finalmente obtenemos
N=
R ∬ gS ψ dσ 4πG σ
(2163b)
Esta formula fue publicada por George Gabriel Stokes en 1894; por lo tanto se le conoce como 1a formula de Stokes o la integra1 de Stokes. Es sin duda alguna la formula mas importante de la geodesia física puesto que permite determinar el geoide a partir de datos gravimétricos. La ecuación (2163a) se denomina también la formula de Stokes y S ψ conoce como la función de Stokes. Esta función y las relacionadas se encuentran tabuladds en la publicación de Lambert y Darling (1936). Utilizando la formula (2161), la cual fue deducida por Pizzetti (1911) y posteriormente por Vening Meinesz (1928), podemos calcular el potencial anómalo T en cualquier punto fuera de la tierra. Al dividir T por la gravedad normal en el punto dado P (teorema de Bruns) obtenemos la separación N P entre la superficie geopotencial W= Wp y la superficie esferopotencial correspondiente U=Wp la cual, fuera de la tierra, toma el lugar de 1a ondulación geoidal N. (Véase la Fig. 215 y las explicaciones al final dé la sección anterior.) Quisiéramos mencionar nuevamente que estas fórmulas se basan en una aproximación esférica; se hace caso omiso de las cantidades de1 orden de 3 X 10"3 N. Esto da como resultado un error probablemente menor que un metro en N, lo cual puede pasarse por alto para la mayoría de 1os propósitos prácticos. Zagrebin, Molodensky y Bjerhammar han desarrollado aproximaciones de grado superior, las cuales toman en cuenta el achatamiento f del elipsoide de referencia; refiérase a Sagrehin (1956), Molodenskii et al. (1962, p.53) y Bjerhammar (1962). Luego vemos de la deducción de la fórmula de Stokes por medio, de una integral de la prolongación ascendente (2 160) que los términos armónicos de los grados uno y cero se suprimen automáticamente en T y N. más adelante se discutirán las de esto. Veremos que la fórmula de Stokes en su forma inferencias original (2163a,b) sólo es valida para un elipsoide de referencia que (1)tiene el mismo potencial Uo=Wo que el geoide,(2)encierra una masa que es numéricamente igual a la de la tierra y (3) cuyo centro es e1 centro de gravedad de la tierra. Como las primeras dos condiciones no están debidamente satisfechas por los elipsoides de referencia utilizados en la actualidad, y difícilmente podrán serlo jamás, será necesario modificar la fórmula de Stokes en el caso de un elipsoide de referencia arbitrario. Finalmente, se supone que T sea armónica fuera del geoide. Esto significa que el efecto de las masas sobre el geoide tendrá que ser eliminado por las debidas reducciones de la gravedad. Esto se tratara en el capituló 3. 217, Formas Explícitas de 1a Integral de Stokes. Desarrollo de la Función de Stokes en Armónicas Esféricas Escribiremos ahora la fórmula de Stokes (2l63b) en una forma más explícita incorporando a la esfera un sistema apropiado de coordenadas.
E1 uso de coordenadas polares esféricas con origen en P ofrece 1a ventaja de que el ángulo ψ que es el argumento de la función de Stokes, es una de las coordenadas, 1a distancia esférica. La otra coordenada es e1 acimut α calculado desde el norte. Sus definiciones pueden apreciarse en la Fig. 216. La práctica común es usar P para denotar tanto un punto fijo la esfera r = R (o en el espacio) como su proyección en la esfera unitaria y no se producen dificultades. Si P coincide con el polo norte, entonces ψ y α son idénticos a β y λ . De acuerdo con la sección 113, el elemento de ángulo sólido estará dado por
dσ=sin ψdψdα
Como todos los puntos de 1a esfera son equivalentes, esta relación es valida para un origen arbitrario P. De la misma manera tenemos que π
2π
∬= ∫ ∫ σ
α=0 ψ=0
Por lo tanto hallamos 2π
R N= ∫ 4πG α=0
π
∫
g ψ , α S ψ sin ψdψ dα
(2165)
ψ=0
como una forma explícita de (2l63b). Al efectuar primero la integración con respecto a α , obtenemos π
2π
1 R N= ∫ ∫ g ψ , α dα S ψ sin ψdψ 2G ψ=0 2π α=0
[
]
La expresión en paréntesis rectangulares es e1 promedio de g a lo largo de un paralelo de, radio esférico ψ . Este promedio 1o denotamos por g ( ψ ) de modo que
Figura 216. Coordenadas polares en la esfera unitaria. 2π
g ψ = 1 ∫ g ψ , α dα 2π α=0 Por consiguiente la formula de Stokes puede escribirse π
R N = ∫ g ψ F ψ dψ G ψ=0
(2165’)
en donde hemos usado
1 S ψ sin ψ = F ψ (2166) 2 Las Funciones S( φ ) y F( φ ) se muestran en la Fig. 217. Otra alternativa es usar las coordenadas geográficas φ , λ . Dado que una aproximación esférica θ es el complemento de la latitud geográfica:
θ=90 °−φ , φ =90 °− θ
Tenemos por tanto
2π
π/ 2
∬ dσ= ∫
∫
σ
cos φdφdλ
λ=0 φ=−π / 2
de modo que la fórmu1a de Stokes se convierte en π/2
2π
R N φ , λ = ∫ 4πG λ' =0
∫
g φ ', λ ' S φ cos φ ' dφ ' dλ'
(2167)
φ ' =−π / 2
Figura 217. Funciones de Stokes S( ψ ) y F( ψ ) en donde φ , λ son las coordenadas gráficas del punto de calculo y φ', λ ' son las coordenadas del elemento variable de superficie dσ La distancia esférica ψ se expresa como una función de estas coordenadas por medio de
ψ=cos−1 [ sin φ sin φ ' cos φ cos φ 'cos λ ' −λ ]
(2168)
La función de Stokes en términos de armónicas esféricas. En la sección 214 hallamos ∞
1 g θ , λ = ∑ n−1T 0 θ , λ R n=0 También es posible expresar g θ , λ directamente como una serie de armónicas de superficie de Laplace: ∞
g θ , λ = ∑ g n θ , λ n=0
Si comparamos estas dos series, obtenemos
g n θ , λ =
n−1 R T n θ , λ , T n= g R n−1 n
de modo que ∞
∞
T = ∑ T n =R ∑ n=0
n=0
gn n−1
Esta ecuación demuestra nuevamente que no debe haber ningún termino de primer grado en el desarrollo armónico esférico de g ; de lo contrario, el termino g n n−1 sería infinito para n=1. Como siempre, daremos ahora por sentado que hacen falta las armónicas de los grados cero y uno. Por lo tanto, empezaremos la suma de la sucesión con n=2. Como de acuerdo con la ecuación (171)
g n=
2n1 ∬ gP n cos ψ dσ 4π σ
la formula anterior pasa a ser ∞
T=
R 2n1 ∑ ∬ gP n cos ψ dσ 4π n=2 n−1 σ
Si intercambiamos el orden de la suma de la sucesión y de 1a integración, obtenemos
T=
R ∬ 4π σ
∞
[∑
n=2
2n1 P cos ψ gd σ n−1 n
]
Al comparar esto con la formula de Stokes (2l63a) hallamos la expresión para función de Stokes en términos de polinomios de Legendre (armónicas zonales): ∞
S ψ = ∑
n=2
2n1 P cos ψ n−1 n
(2169)
En realidad, la expresión analítica (2164) de la función de Stokes pudo haberse deducido en una forma mas sencilla por medio de la suma directa de esta serie, pero estimamos que la deducción demostrada en la Sección anterior es mucho más ilustrativa ya que también muestra información secundaria sobre problemas relacionados importantes. 218. Generalización a un Elipsoide de Referencia Arbitrario. Como hemos visto, la fórmula de Stokes en su forma original elimina las armónicas esféricas de 1os qrados cero y uno en el potencial anómalo T y por consiguiente sólo es válida si dichos términos no se encuentran presentes. Tanto este hecho como la condición Uo=Wo imponen restricciones, en el elipsoide de referencia y en su campo de gravedad normal que difícilmente se satisfacen, en la practica. Por consiguiente generalizaremos la fórmula de Stokes para que pueda aplicarse a un elipsoide de referencia arbitrario, e1 cual únicamente debe satisfacer la condición de que se aproxima tanto al geoide que las desviaciones de este con respecto al elipsoide pueden considerarse lineales. Consideremos ahora el potencial anómalo T en 1a superficie de la tierra. Su expresión en armónicas esféricas de superficie está dada por ∞
T θ , λ = ∑ T n θ , λ n=0
Si separamos los términos de los grados cero y uno podemos escribir
T θ , λ =T o T 1 θ , λ T ' θ , λ
(2170)
En donde ∞
T ' θ , λ = ∑ T n θ , λ
(2171)
n=2
En el caso general, esta función T’ es, en lugar de la T misma, la cantidad dada por la fórmula de Stokes. Resulta igual a T solamente si hacen falta To y T1. De lo contrario tenemos que agregar To y T1 pan poder obtener 1a función T completa. E1 termino de grado cero en el desarrollo armónico esférico del potencial es igual a
kM r
en donde M representa la masa. Por consiguiente, e1 termino de grado cero del potencial anómalo T =WU en la superficie de la tierra (r=R) está representado por
T o=
kδM R
(2172)
en donde
δM= M− M '
(2173) es la diferencia entre la masa M de la tierra y la masa M' del elipsoide, la cual sería cero si ambas masas fueran iguales pero como no conocemos la masa exacta de la tierra, ¿cómo podemos hacer que M’ sea igual a M? Mas adelante veremos que la armónica de primer grado siempre podra considerarse cero. Dando esto por sentado, podemos sustituir (2172) en (2170) y expresar T’ mediante la formula convencional de Stokes (2163a). Asi obtendríamos
T=
kδM R ∬ gS ψ dσ R 4π σ
(2174)
Esta es la generalización de 1a formula de Stokes para T. Resulta valida para un elipsoide de referencia arbitrario cuyo centro coincida con el centro de la tierra.
Términos de primer grado. Los coeficientes de la armónica de primer grado en el potencial W, de acuerdo con (2 44b) y (245), están representados por
kM ζ , kM ξ , kM η en donde ξ , η , ζ son las coordenadas rectangulares del centro de gravedad de la tierra. En el caso del potencial normal U, tenemos las cantidades análogas
kM ' ζ ', kM ' ξ ', kM ' η '
Dado que ξ ', η ', ζ ' son de todos modos muy pequeños, prácticamente equivalen a
kM ζ ', kM ξ ', kM η '
Los coeficientes de la armónica de primer grado en el potencial anómalo T=W son por lo tanto equivalentes a (2175) kM ζ −ζ ' , kM ξ−ξ ' , kM η− η ' Son cero y no hay ninguna armónica de primer grado T 1 θ , λ si el centro del elipsoide de referencia coincide con el centro de gravedad de la tierra, 1º cual suele darse por sentado. En el caso general, de acuerdo con el término de primer grado de (237) hay que fijar r=R y utilizar los coeficientes (2 44b) junto con (245).
T 1 θ , λ =
kM R2
[ ζ−ζ ' P 1 cos θ ξ−ξ ' P 2 cos θ cos λ η− η ' P 2 cos θ sin λ ]
Si consideramos el origen del sistema de coordenadas como el centro del elipsoide de referencia, entonces ξ ' =η ' −ζ ' . Usando P 1 cos θ =cos θ , P 2 cos θ =sin θ y kM = R 2 =G obtenemos la siguiente expresión para la armónica de primer grado T 1 θ , λ =G ξ cos θ sin λη sin θ sin λ ζ cos θ (2176a) Dividiendo por G hallamos la armónica de primer grado de la altura geoidal N 1 θ , λ = ξ cos θ sin λ η sin θ sin λζ cos θ (2176b) en donde ξ ', η ', ζ ' son las coordenadas rectangulares del centro de gravedad de la tierra, siendo el origen el centro del elipsoide de referencia. Al incorporar el vector
ξ= ξ , η , ζ
y el vector unitario de la dirección θ , λ
e= sin θ cos λ , sin θ sin λ ,cos θ
(2l76b) puede escribirse como
N 1 θ , λ = ξ⋅e
(2177)
lo cual se interpreta como la proyección del vector ξ en la dirección θ , λ . Por consiguiente, si los dos centros de gravedad no coinciden, entonces solo tenemos que agregar los términos de primer grado (2l76a) y (2l76b) a la formula generalizada de Stokes (2174) y a su análoga para N (ecuación (2181 de abajo), respectivamente, para obtener la solución mas general para el problema de Stokes, el cálculo de T y N a partir de g . La ecuación (2155') muestra que cualquier valor de T 1 θ , λ es compatible con un campo g dado porque, para n=1, la cantidad {nl)T1 es cero, de modo que T1, cualquiera que sea su valor, no entra del todo en g . Por lo tanto, la solución más general para T y N contiene tres constantes arbitrarias ξ , η , ζ que pueden considerarse constantes de integracion para el problema de Stokes. En la practica, siempre se fija ξ=η=ζ=0 colocando de esta forma el centro del elipsoide de referencia en el centro de la tierra. Esto constituye una gran ventaja de la determinación gravimetrica del geoide en comparación con e1 método astrogeodesico en donde se desconoce la posición del elipsoide de referencia con respecto al centro do la tierra. 219. Generalización de la Fórmula de Stokes para N Desarrollemos primero la formula de Bruns (244) a una elipsoide de referencia arbitrario. Supongamos que
W x , y , z =W ° U x , y , z , =U °
son las ecuaiciones del geoide y del elipsoide, donde generalmente las constantes W o y U 0 son distintas; hemos escrito W o , U 0 en 1ugar de Wo,Uo para que no se confundan con una armónica de grado cero. Al igual que en la sección 213, si nos referimos a la Fig. 212, tenemos pero ahora
W P =U Q −γNT U Q =U °≠W °= W γ de modo que
γN=T − W °−U °
Si denotamos la diferencia entre los potenciales por
δW=W °−U °
obtenemos la siguiente generalización sencilla de 1a formula de Bruns
N=
T −δW γ
(2178)
Asimismo tendremos que desarrollar las ecuaciones (2147ae). Aquellas formulas que contienen N en lugar de T obviamente también son validas para un elipsoide de referencia arbitrario, pero en ese caso la transición de N a T se fectúa por medio de (2178). Por tanto (2147b)
g=−
∂T ∂ γ N ∂ h ∂h
no cambia, sino que (2147c) se convierte en
1 ∂γ ∂T 1 ∂ γ T− δW ∂ h γ ∂h γ ∂h
(2179)
1 ∂γ ∂T 1 ∂γ T = g δW ∂h γ ∂ h γ ∂h
(2180)
g=−
Por lo tanto, la condición límite fundamental ahora es
−
Las aproximaciones esféricas de estas ecuaciones son
T −δW G 2 ∂T 2 g=− − T δW ∂r R R 2 ∂T 2 − − T = g− δW ∂r R R N=
(2178’) (2179’) (2180’)
Diversas formas de la fórmula genera1izada de Stokes. De acuerdo con (2178) tenemos
T =GN δW
Si insertamos esto en (2174) y dividimos por G obtenemos
N=
kδM δW R − ∬ gS ψ dσ RG G 4πG σ
(2181)
Esta es la generalización de 1a formula de Stokes para N. Es valida para un elipsoide de referencia arbitrario cuyo centro coincida con el centro de 1a tierra. Mientras que la formula (2174) para T sólo contiene el efecto de una diferencia de masa δM . la formula (2181) para N contiene, además 1a diferencia potencial δW . Estas formulas también muestran claramente que las integrales sencillas de Stokes (2163a,b) solo son validas si δM = δW =0, es decir, si el elipsoide de referencia tiene el mismo potencial que el geoide y la misma masa que la tierra. De lo contrario, sólo darán N y T hasta las constantes aditivas si fijamos
N 0=
kδM δW − RG G
(2182)
y tomamos en cuenta (217), tenemos
R ∬ gS ψ dσ 4π σ R N = N 0 ∬ gN ψ dσ 4πG σ
T =T 0
(2183a) (2183b)
Es posible obtener de la siguiente manera, formas alternativas de (2181), a veces resultan útiles. Si incorporamos la serie (2152') y (2153') en (2179'), obtenemos ∞
g θ , λ =
1 2 n−1T n θ , λ δW ∑ R n=0 R
(2184a)
como la generalización de (2155'). Si desarrollamos la función g θ , λ en la serie usual de armónicas esféricas de superficie de Laplace, ∞
g θ , λ = ∑ g n θ , λ
(2184b)
n=0
y comparamos los términos constantes (n = 0) (de estas dos ecuaciones, obtenemos
−
1 2 T 0 δW= g 0 R R
en donde, según (171).
g 0=
1 ∬ gd σ 4π σ
(2185)
Si expresamos To por medio de (2172) en términos de δM . obtenemos
g 0=
1 R
2
kδM
2 δW R
(2186)
Ahora podemos despejar δM y δW en las dos ecuaciones para No (2182) y para g o (2186):
kδM= R R g 02 GN 0 δW=R g 0 GN 0
(2187a)
(2187b) La constante No puede expresarse por medio de cualquiera de las siguientes ecuaciones:
R kδM R kδM g 0 =− gd σ ∬ 2G 2 GR 8πG σ 2 GR R δW R δW N 0 =− g 0 =− gd σ ∬ G G 4πG σ G N 0 =−
Al insertarlas en (2183b) obtenemos
R 1 kδM g S ψ − dσ ∬ 4πG σ 2 2 GR R δW N 0 =− g [ S ψ −1 ] dσ ∬ 4πG σ G
[
N 0 =−
]
(2188) (2189)
Estas formulas son totalmente equivalentes a (2181); también son validas para un elipsoide de referencia arbitrario. Si M=M’, aun si U 0 ≠W 0 , tenemos
R 1 g S ψ − dσ ∬ 4πG σ 2 Y si U 0 =W 0 , aun si M ' ≠ M tenemos R N= ∬ g [ S ψ −1 ] dσ 4πG σ N=
[
]
(2188’)
(2189’)
Estas fórmulas son algo más generales que la integral sencilla i1e Stokes, en cuanto a que se ha establecido anteriormente solamente una de las condiciones M’=M, U 0 =W 0 . La ecuación (2188') fue deducida por Pizzetti y la (2189) por Hirvonen. Determinación de No. Si se conocieran con exactitud la masa M de la tierra y el potencial W° del geoide, entonces sería posible calcular No por medio de (2182). Las ondulaciones geoidales N podrían entonces calcularse con precisión mediante la formu1a de Stokes (2l83b). Si aplicamos N al elipsoide de referencia fijo, el geoide estaría representado en forma absoluta, con la debida escala de largo, sin medir una sola distancia. En la práctica obviamente no conocemos los valores de M y W° con suficiente precisión para poder determinar No. Si sólo determinamos el valor de la integral original de Stokes
N '=
R ∬ gS ψ dσ 4πG σ
(2190)
obtenemos entonces, en lugar del geoide S, una superficie S’ paralela al geoide a una distancia No (Fiq. 2l8a). Como ambas superficies son prácticamente esféricas, son geométricamente similares con un alto grado de precisión; es
Figura 218. Dos interpretaciones de la formula de Stokes. (a) N' es la altura sobre el elipsoide V de 1a superficie S’ paralela al geoide. (b)N' es la altura del geoide S sobre el elipsoide modificado E’ paralelo a E. decir, que solamente difieren en escala. Por consiguiente, podemos decir que 1a integral original de Stokes (2190) da como resultado un geoide al que solo le hace falta un factor de escala. Este factor puede determinarse por medio de una sola medición de distancia, mientras se conozca también la constante No. Esto se desarrolla matemáticamente a continuación. Supongamos que P1 y P2 son dos puntos geoidales, y que Q1 y Q2 son sus proyecciones en el elipsoide de referencia (Fig. 219); s representa la distancia entre P1 y P2 a lo largo del geoide, y s’ la distancia entre Q1 y Q2 a lo largo, del elipsoide. Ahora deduciremos, la relación entre s, s' y N. si sustituimos el arco elipsoidal s’=Q1Q2 por uno esférico cuyo radio R sea el radio medio de curvatura, entonces la Fig. 219 demuestra que
ds cos ε ds ' = R N R Como cos ε=1 , tenemos N N N ds=ds ' 1 =ds ' ds ' ds R R R
Al integrar obtenemos Q
2
1 s=s' ∫ Nds (2191) RQ 1
que es la relación deseada entre s, s’ y N. Si insertamos N=No+N', hallamos Q
Q
2
2
1 1 s s−s' = ∫ N 0 N ' ds = ∫ N ' ds N 0 RQ RQ R 1
1
de modo que
Q
2
R 1 N 0 = s−s ' − ∫ N ' ds s sQ 1
(2192)
Figura 219. Determinación de la escala del geoide. La cantidad N’ esta dada por 1a integral de Stokes (2190). Consideremos la distancia s que ha de medirse en el geoide o reducirse a1 mismo. La distancia elipsoidal s’ puede calcularse si se conocen las coordenadas φ , λ de sus puntos extremos Q1 y Q2. De acuerdo con las ecuaciones (2140) obtenemos
φ=Φ−ξ η λ=Λ− cos φ
(2193)
Las coordenadas astronómicas Φ y Λ se miden directamente; 1as componentes ξ y η de la desviación de la vertical pueden calcularse a partir de g por medio de la formula de Vening Meinesz; (refiérase a la sección 222), de modo que se conocerán φ y λ . De esta manera es posible calcular No por medio de (2L92). Vemos que, en principio, una distancia medida s es suficiente para ello. En la practica, se medirán por supuesto muchas distancias y también ángulos, y No se obtendrá por medio de un ajuste adecuado (refiérase a la sección 510). Interpretación de No. Finalmente mencionaremos que No, además de ser la distancia entre S y S' (Fig. 2l8a), tiene otro significado geométrico sencillo (Fig. 218b). El vector radial r del geoide se obtiene con suficiente aproximación agregando la altura geoidal N al vector radial elipsoidal dado por (295):
r=a 1− fsin 2 φ N
Supongamos ahora que el semieje principal α del elipsoide de referencia cambia por δα , y que e1 achatamiento F queda igual. Como el vector radial geocentrico del geoide es independiente del tamaño de1 elipsoide de referencia, no se ve afectado por este cambio. Si diferenciamos la ecuación r, obtenemos
0= δr=δa 1− fsin 2 φ δN=δa δN
de modo que el cambio en el semieje principal del elipsoide de referencia está compensado por un cambio en las ondulaciones geoidales de
δN=−δa
Si el cambio es δα =No, entonces el semieje principal del nuevo elipsoide referencial E' es
a=a ' N 0 y las nuevas ondulaciones geoidales son
N ' = N δN= N − N 0
De acuerdo con (2183b) esto sería
N '=
R ∬ gS ψ dσ 4πG σ
Por lo tanto, al cambiar el semieje principal del elipsoide de referencia por No, las nuevas ondulaciones geoidales estarán dadas por 1a formula original de Stokes. Es decir, los valores N' obtenidos aplicando la formula sencilla de Stokes hacen referencia a un elipsoide con el mismo achatamiento que el elipsoide de referencia original y un semieje principal de a+No. Dado que N’ no contiene armónicas de grado cero, tenemos
∬ N ' dσ=0 σ
(2194a)
El volumen v de la capa entre el elipsoide E’ y el geoide esta dado por
v=∬ N ' R 2 dσ σ
porque R 2 dσ es el elemento de superficie de E’ como una aproximación esférica, de modo que (fig. 218b)
dv= N ' R 2 dσ
Por tanto (2194a) expresa e1 hecho de que el volumen total de esta capa es cero, o que e1 elipsoide nuevo E’ con u' a’=a+No encierra el mismo volumen que el geoide. Interpretación de g 0 . La armónica de grado cero g 0 puede interpretarse en forma análoga. La gravedad g del geoide se obtiene agregando la anomalía de la gravedad g a la gravedad normal representada por (296):
g=γ a 1 f ∗sin 2 φ g
Supongamos ahora que la gravedad ecuatorial normal γ a cambia por δγa , y que el coeficiente f* permanece igual. Como g no se ve afectado por este cambio, a1 diferenciar esta ecuación hallamos.
0= δg=δγ a 1 f ∗sin 2 φ δΔg=δγ a δΔg
de modo que,
δΔg=−δγ a
Con un cambio de δγa = g 0 os valores pasan a ser
γ ' a =γ a g 0 , g ' = g− g 0
Notando la definición (2185) de g 0 , hallamos
∬ g ' dσ=0 σ
(2194b)
lo cual significa que las nuevas anomalías de 1agravedad g ' no contienen armónicas de grado cero. Como ni N’ ni g ' contienen armónicas de grado cero, deberán hacer referencia a un elipsoide que encierra la misma masa que la tierra y que tiene el mismo potencial que el geoide. Este elipsoide tiene el mismo achatamiento que el elipsoide de referencia original, y sus otras constantes son
a ' =a No , γ ' a =γ a g 0
Esta interpretación esta relacionada con las ideas de Ledersteger (1957). 220, Determinación de las Constantes Físicas de la Tierra Masa y potencial. En la sección anterior se determinaron las siguientes ecuaciones fundamentales para la masi y el potencial.
kδM= R R g 0 2 GN 0 δW=R g 0 GN 0
Vamos a resumir ahora como so determinan la masa de la tierra, M, y el potencial del geoide, W°. con estas ecuaciones. Supongamos que un elipsoide de referencia arbitrario pero fijo tiene 1as constantes M’, (masa) y U° (potencial). Calculamos las anomalías de la gravedad g . que hacen referencia a este elipsoide y calculamos g 0 por medio de (2lfl5). Midiendo por lo menos una distancia s, así como la latitud Φ y longitud Λ astronómicas de sus puntos extremos, podemos determinar No, utilizando la formula (2192). Luego se calculan las correcciones y con las ecuaciones anteriores. Finalmente, la masa de la tierra M y e1 potencial geoidal W° se determinan agregando estas correcciones de los valores elipsoidales supuestos M' y U°:
M =M ' δM W °= U °+ δW
La masa se expresa en la forma kM; es decir que la masa se multiplica por la constante gravitacional en lugar de representarse solamente como M dado que no se conoce k con mucha precisión.
Nótese la estrecha relación entre las constantes geométricas y las físicas. Una vez que so conozcan las constantes físicas kM y W°, se conocerá también la escala lineal de la tierra, en otras palabras, su tamaño. A la inversa, es por hallar kM y Wo con la ayuda de mediciones de distancia. Otro hecho significativo es que como se requieren las anomalías de la gravedad en toda la tierra (2185) no es posible determinar las constantes kM y W° a menos que se conozca la gravedad g en toda la tierra. Esto refleja nuevamente el principio general del método gravimetrico principalmente, que es necesario conocer g en todos 1os puntos de la superficie de la tierra. Armónicas superiores. En la sección 25 hallamos la siguiente expresión para el potencial gravitacional V fuera de la tierra: n
∞
kM V =W −Φ= 1− ∑ r n=2
[
∑
m=0
n
a J nm cos mλK nm sinm λ P nm cos θ r
]
En forma similar, el potencial gravitacional normal puede escribirse como n
∞
kM ' U− Φ= 1− ∑ r n=2
[
∑
m=0
n
a J ' nm cos mλ K ' nm sinm λ P nm cos θ r
]
Si tomamos un elipsoide de revolución como nuestra superficie de referencia, entonces todas las K'nm son cero. y de las J'nm solamente las J’no donde n es par tendrán valor distinto de cero (refiérase a la sección 29). Si restamos las ecuaciones anteriores y fijamos r=a, obtenemos
kδM kM T =W −U = − a a
∞
n
∑ ∑ δJnm cos mλδKnm sinm λ P nm cos θ
n=2 m=0
en donde
δJnm = J nm − J ' nm , δKnm =K nm − K ' nm =K nm
esto es posible ya que para los términos de segundo grado y superiores, podemos sustituir e1 factor k’/a por kM/a. Al comparar esto con e1 desarrollo (2152’) de T, vemos que la armónica de superficie de Laplace T n θ , λ , para
n≥2 esta representada por n kM T n θ , λ =− ∑ δJ cos mλδKnm sinm λ P nm cos θ a m=0 nm De acuerdo con 1a aproximación esférica usual, reemplazamos a por R, obteniendo así n
kM T n θ , λ =− R
∑ δJnm cos mλδKnm sinm λ P nm cos θ
m=0
Insertamos esta ecuación, junto con (2172.}, en (2184a) y obtenemos
g θ , λ =−
kM R
2
∞
n
∑ ∑ n−1 δJnm cos mλδKnm sinm λ P nm cos θ −
n=2 m=0
También podemos escribir el desarrollo armónico esférico de g la forma usual (166):
∑ cnm cos mλd nm sinm λ P nm cos θ
2δW (2195a) R (2195b)
n=2 m=0
en donde los coeficientes C nm yd nm están dados por (170):
2n1 ∬ gP n cos θ dσ 4π σ c nm d nm gP nm cos θ
cos mλ sinm λ
{ ¿ } ¿ {}=
R
2
n
∞
g θ , λ = ∑
c n0=
kδM
¿ 2n1 n−m ! ¿ {¿ } ¿{}dσ m≠0 ∬ 2π nm ! σ
(2196)
Las ecuaciones (2195a) y (2i95b) ebviamente son idénticas a (2184a) y (2l84b), las armónicas de superficie de Laplace T n θ , λ y g n θ , λ se escriben explícitamente al igual que en la ecuación (166). Al comparar los coeficientes de (2195a) y de (2195b) vemos que
R2 R2 c nm , δKnm =− d n−1 kM n−1 kM nm Como Jnm =J’nm+Jnm, lugo K nm =K nm Y J’nm=0 para m=0, finalmente obtenemos δJnm =−
R2 c n−1 kM n0 R2 J nm =− c n−1 kM nm R2 K nm =− d n−1 kM nm ¿ }¿ ¿ m≠0 ¿ J n= J ' n−
(2197)
Aquí hemos abreviado los coeficientes zonales Jno Por Jn. Por consiguiente podemos describir la determinación de los coeficientes armónicos esféricos de1 potencial de la tierra de la siguiente manera. Se desarrollan las anomalías de la gravedad g , que deben cubrir la tierra entera para formar una serie de armónicas esféricas, de acuerdo con (2195b) y (2196). Luego calculamos los coeficientes J'n para el elipsoide de referencia usando (292) por ejemplo. De esta manera las formulas (2L97) proporcionaran el resultado deseado. De especial importancia es el coeficiente
J n=
C− A Ma 2
(2198)
que expresa la diferencia entre los momentos principales de inercia de la tierra C es el momento polar y
1 A = A B (2199) 2
en el momento ecuatorial medio de inercia; refiérase a (249). 221 E1 Elipsoide Terrestre Medio Como e1 elipsoide de revolución de nivel y su campo de gravedad se determinan enteramente por medio de cuatro constantes, hay un solo elipsoide que tiene e1 mismo potencial Wo que el qeoide y la misma masa M, la misma diferencia entre los momentos de inercia C A , y la misma velocidad angular ω ; que la tierra; A se define mediante (2199). De acuerdo con (2198) este elipsoide también tiene el mismo coeficiente J2. Puede considerarse en mucho aspectos la, mejor representación de la tierra por medio de un elipsoide; por lo tanto se le conoce como el elipsoide terrestre medio. E1 elipsoide terrestre medio, definido por
W 0 , kM , C− A,ω
o, de una forma equivalente, por
W 0 , kM , f 2 , ω
tiene muchas propiedades convenientes. Como hemos observado en la seccion 219, encierra el mismo volumen que e1 geoide; en la sección 511 veremos que la suma de los cuadrados de las desviaciones N del geoide con respecto al elipsoide terrestre medio es mínima. Si el elipsoide terrestre medio estuviera en una posición absoluta y su centro coincidiera con el centro de gravedad de la tierra, tendría entonces un potencial normal U que en el caso de distancias mayores seríaa prácticamente igual al potencial real W y de 1a tierra.
Esta última propiedad del elipsoide terrestre medio lo hace particularmente adecuado para la astronomía dinámica – por ejemplo, con respecto a la teoría del movimiento de la luna o de los satélites artificiales. El motivo de ello es que para distancias mayores solo resultan efectivas las armónicas hasta el segundo grado, las cuales son iguales para W y U debido a la igualdad de kM (grado 0), la posición absoluta del elipsoide (primer grado), y la igualdad e J 2 (segundo grado, zonal1). Esta definición del elipsoide terrestre medio nos permite proporcionar definiciones precisas del semieje principal a de la tierra de la gravedad ecuatorial γ 0 , etc., para fines geodésicos. De hecho, el ecuador real de la tierra es una curva irregular en lugar de un circulo de radio a, y si midiéramos la gravedad a lo largo del ecuador, obtendríamos muchos valores distintos en lugar de una constante definida γ 0 . Algo similar resulta cierto, por ejemplo, en el caso del achatamiento f = a−b /a . Esta constantes, a, f, γ 0 , etc., deben por lo tanto considerarse parámetros derivados que hacen referencia a un elipsoide idealizado en lugar de directamente a la tierra. Para obtener estas cantidades a partir de valores dados W0, kM, J2, ω resolvemos las dos ecuaciones
1 kM tan−1 e ϖ 2 a 2 , E 3 2 2 me E J 2 = 2 1− 15 qu 3a
W 0=
Con respecto a a y f calculamos γ 0 por medio de (2 73). La primera de estas ecuaciones es (261); la segunda se 2
obtiene de (290) si notamos que J 2 = C − A / Ma . en la practica resulta mas conveniente usar el desarrollo en serie correspondiente (2104), (2118) y (2105ª). Resulta aun mas conveniente usar las formulas diferenciales. Como b=a(1f)podemos aproximar (2111) y (2112) por medio de
3 kM =a 2 γ 0 1− f m 2 2 11 W 0 =aγ0 1− f m 3 6
Despejando a y γ 0 obtenemos a=
γ 0=
W 20 kM
1
1 13 f− m 3 6
kM 1 1 1 f m W0 3 3
Diferenciando estas formulas y haciendo caso omiso de f y m en los coeficientes, hallamos las siguientes como aproximaciones esféricas.
δa=
1 1 1 kδM− δW aδf aγ0 γ0 3
δγ 0 =−
1
2 1 kδM δW γ 0 δf (2200´) a 3 a 2
____________________________________________________________________________________________________________ 1 tamben habrían términos no zonales del segundo grado, por que A≠B, pero serán mucho mas pequeños que J2
Esta puede simplificarse considerablemente aplicando (2182) y (2186)
1 δa=N 0 aδf , 3 1 δγ 0 = g 0 γ 0 δf , 3 De acuerdo con (2118) obtenemos aproximadamente,
3 1 f = J 2 m 2 2 La diferenciación nos proporciona finalmente δf=
3 J (2201) 2 2
Esta ecuación expresa el cambio de acatamiento en términos de la variación de J2; los cambios en a y γ 0 pueden obtenerse de (2200) o (2200´). Cabe recordar, no obstante, que el elipsoide terrestre medio definido en esta forma no es en modo alguno la mejor superficie de referencia para propósitos geodésicos prácticos. Básicamente podemos definirlo empíricamente por medio de determinaciones empíricas de kM, W0 , etc. Sus parámetros cambian cada vez que mejora la calidad o el número de mediciones pertinentes (gravedad, distancia, etc.). Y como gran cantidad de datos numéricos se basa en un elipsoide de referencia hipotético, seria un poco practico cambiarlo con frecuencia. Resulta mucho mejor usar un elipsoide de referencia fijo con parámetros establecidos, que pueden ser mas o menos arbitrarios y siempre y cuando ofrezcan una buena aproximación. A este respecto, incluso el elipsoide internacional podría ser suficiente, aunque tal vez pueda considerarse deseable un cambio por otros motivos. Hay cierto conflicto de intereses entre los geodesias y los astrónomos con respecto al elipsoide terrestre. El geodesta necesita una superficie de referencia permanente, mientras que el astrónomo desea obtener la mejor aproximación de la tierra mediante un elipsoide. La mejor solución es usar un elipsoide de referencia geodésico fijo y calcular de vez en cuando para propósitos astronómicos las “mejores” correspondientes para aplicar a los parámetros supuestos.
222. Desviaciones de la vertical. Formula de Vening Meinesz La formula de Stokes permite calcular las ondulaciones geoidales a partir de las anomalías de la gravedad Vening Meinesz (1928) desarrollo una formula similar para calcular las desviaciones de la vertical a partir de las anomalías de la gravedad.
Figura 220 La relación entra la ondulación geoidal la desviación de la vertical. La figura 2 20 muestra la intersección del geoide y el elipsoide de referencia con un plano vertical azimut arbitrario. Si є es la componente de la desviación vertical en este plano, entonces dN =−ε ds , (2202) o ε=−dN / ds ; (2203) El signo negativo responde a una regla convencional y su significado se explicara mas adelante. En una dirección norte sur tenemos ε=ξ y ds=ds φ =Rd φ ; En una dirección este oeste ε=η y ds=ds λ =R cos φdλ ; En las formulas para ds φ y ds λ hemos utilizado nuevamente la aproximación esférica; de acuerdo con (138), el elemento lineal de la esfera r=R esta dado por
ds 2 =R 2 dφ2 R2 cos 2 φdλ2
Si especializamos (2203) hallamos
ξ=−
1 ∂N dN =− , ds φ R ∂φ
η=−
1 dN ∂N =− (2204) ds λ R cos φ ∂ λ
Lo cual nos muestra la relación entre la ondulación geoidal N y las componentes ξ y η de la desviación de la vertical. Como N esta dado por la integral de Stokes, nuestro problema es diferenciar esta formula con respecto a φ y λ . Para ello usamos la forma (2167). 2π
π/ 2
R N φ , λ = ∫ ∫ g φ `, N S ψ cos φ dφ´ dλ´, 4πG λ =0 φ =−π/ 2 En donde ψ se define como una función de φ , λ , φ `, λ por medio de (2168). La integral del lado derecho de esta formula depende de φ y λ solamente a través de ψ en S ψ . por lo tanto, al diferenciar bajo el signo integral hallamos 2π
π/ 2
dS ψ ∂N R = g φ `, λ cos φ dφ´ dλ ´, (2205) ∫ ∫ ∂ φ 4πG λ =0 φ =−π / 2 dφ Y una formula similar para ∂ N / ∂ λ . Aquí tenemos
∂S ψ ∂ S ψ ∂ ψ = , ∂φ ∂ψ ∂φ
∂S ψ ∂ S ψ ∂ ψ = , (2206) ∂λ ∂ψ ∂λ
Escribiendo (2168) en la forma cos ψ=sen φ sen φ ´ cos φ cos φ `cos λ −λ (2207) Y diferenciando con respecto a φ y λ obtenemos
∂ψ =cos φ sen φ ´ −sen φ cos φ `cos λ −λ ∂φ ∂ψ −sen ψ =cos φ cos φ ´ sen λ − λ ∂φ Ahora incluimos el azimut α , tal como se muestra en la Fig. 216. de acuerdo con el triangulo esférico de la Fig. 2 −sen ψ
21 y aplicando conocidas formulas de la trigonometría esférica obtenemos
−sen ψ cos α=cos φ sen φ ´ −sen φ cos φ `cos λ − λ −sen ψ sen α=cos φ cos φ ´ sen λ − λ (2208) Si insertamos estas en las ecuaciones anteriores hallamos las expresiones sencillas
∂ψ ∂ψ =−cos α , =−cos φ sen α (2209) ∂φ ∂λ
De modo que
∂S ψ ∂S ψ ∂S ψ ∂S ψ =− cos α , =− cos φ sen α ∂φ dψ ∂λ ∂ψ Estas se sustituyen en (2205) y la formula correspondiente para ∂ N / ∂ λ , y con las ecuaciones (2204) finalmente
obtenemos 2π
π/ 2
∂S ψ R ξ φ , λ = g φ `, λ cos α cos φ dφ´ dλ´, ∫ ∫ 4πG λ =0 φ =−π / 2 ∂ψ 2π
η φ , λ =
π/ 2
∂S ψ R g φ `, λ sen α cos φ dφ´ dλ ´, (2210) ∫ ∫ 4πG λ =0 φ =−π/ 2 ∂ψ
Figura 221 La relación entre las coordenadas geográficas y las polares en la esfera.
1 dS g cos αdσ ∫ ∫ 0 4πG dψ 1 dS g sen αdσ (2210) η= ∫ ∫ 0 4πG dψ O expresando en la forma abreviada usual, ξ=
Estas son las formulas de Vening Meinesz. Si diferenciamos la función de Stokes S(), ecuación (2164), con respecto a ψ obtenemos la función de Vening Meinesz
cos ψ /2 1−sen ψ /2 dS =− 8 sen ψ−6 cos ψ /2 −3 3 sen ψ ln [ sen ψ /2 sen 2 ψ /2 ] 2 dψ sen ψ 2 sen ψ /2 (2211) Esto puede verificarse rápidamente usando las identidades trigonométricas elementales. El azimut α esta dado por la formula
tan α=
cos φ sen λ −λ (2212) cos φ sen φ −sen φ cos φ `cos λ −λ
Que es el resultado inmediato de (2208). La forma (2210) es una expresión de (2210`) en términos de las coordenadas geográficas φ y λ . Al igual que con la formula de Stokes (sección 217) podemos usar una expresión en términos de las coordenadas polares esféricas ψ y α :
2π
π
1 ξ ξ ∂S = g ψ , a sen ψdψdα , (210”) ∫ ∫ η 4πG λ =0 ψ=0 η ∂ψ
{}
{}
El lector puede verificar fácilmente si estas ecuaciones proporciona las componentes ξ y η de la desviación con el signo correcto correspondiente a la definición (2140): véase también la Fig. 213. este es el motivo por el cual incluimos el signo negativo en (2203). Cabe anotar que la formula de Vening Meinesz, en la forma en que se encuentra es valida para un elipsoide de referencia arbitrario, mientras que la formula de Stokes tuvo que ser modificada agregando una constante N 0: si diferenciamos la formula modificada de Stokes (2183b) con respecto a φ y λ para obtener la formula de Vening Meinesz, entonces esta constante N0 queda eliminada y obtenemos las ecuaciones (2210`). La aplicación practica de las formulas de Stokes da origen a muchos problemas importantes para los cuales el lector debe referirse a la sección 224 y al capitulo 3. La formula dS/d y las funciones relacionadas se encuentran tabuladas en la publicación de Sollins (1947).
223. El gradiente vertical de la gravedad. Reducción de aire libre al nivel del mar Para la reducción teóricamente correcta de la gravedad al geoide necesitamos el gradiente vertical de la gravedad, ∂ g/∂ h. si g es el valor observado en la superficie de la tierra entonces es posible obtener g0 en el geoide como un desarrollo de Taylor:
g 0 =g−
∂ g …, H ∂h
En donde H es la elevación de la estación gravimetría sobre el geoide. Pasando por alto todos los términos excepto el lineal, tenemos g 1 =g f , (2213) En donde F =−
∂g H (2214) ∂h
Es la reducción del aire libre al geoide. Aquí, al igual que en todo este capitulo, hemos dado por sentado que no hay ninguna masa sobre el geoide, o que se ha eliminado antes, de manera que en realidad esta reducción se lleva a cabo en “aire libre”.
∂g =−2 gJ −2ω2 ∂h
La formula de Bruns (220), con ρ=0, no puede aplicarse directamente para este propósito porque se desconoce la curvatura media J de las superficies de nivel. Por consiguiente, se procede en la forma usual dividiendo ∂ g/∂ h en una parte norma y en una parte anómala
∂g ∂γ ∂ g = (2215) ∂h ∂ h ∂ h
El gradiente normal ∂ γ/∂ h está dado por (279) y (280), o por (2121). Primero consideraremos la parte anómala ∂ g /∂ h . Expresión en términos de g . La ecuación 2155 puede escribirse ∞
g r , θ , λ = ∑
n=0
R r
n2
gn θ , λ .
Si diferenciamos con respecto a r y usando r=R, obtenemos el nivel del mar: ∞
∞
∂g 1 1 2 =− ∑ n2 g 0 =− ∑ ng 0 − g (2216) ∂r R n=0 R n=0 R Ahora podemos aplicar (1102), usando V = g y Y0 = g 0 . El resultado es
2 ∂ g R2 g− gr = ∬ dσ− gr (2217) ∂ r 2π Ì0 R
En esta ecuación, gr hace referencia al punto fijo P en donde hay que calcular ∂ g/∂ r ; I0 es la distancia espacial entre el punto fijo P y el elemento de superficie variable R 2 dσ , expresado en términos de la distancia angular ψ por
I 0 =2 Rsen
ψ . 2
Comparemos la figura 113 de la sección 118; el elemento R 2 dσ no se halla en el punto P`. La formula integral importante (2217) representa el gradiente vertical de la anomalía de la gravedad en términos de la misma anomalía de la gravedad. Como el integrando disminuye rápidamente al aumentar la distancia, es suficiente en esta formula para extender la integración a las cercanías del punto P mientras que en las formulas de Stokes y Vening Meinesz la integración debe incluir la tierra entera si se desea obtener suficiente precisión. Expresión en términos de N. Si diferenciamos la ecuación (2154)
g=−
∂T 2 − T ∂r r
Con respecto a r, obtenemos
dg ∂2 T 2 ∂ T 2 =− 2 − T dr r ∂r r2 ∂r
A esta formula se le agrega la ecuación de Laplace T =0 , que en coordenadas esféricas tiene la forma1
1 ∂2 T 2 ∂ T tan φ ∂ T 1 ∂ 2 T ∂2 T − =0 ∂r2 r ∂ r r 2 ∂ φ r 2 ∂ φ 2 r 2 cos2 φ ∂ λ 2 El resultado, al fijar r=R , es
tan φ ∂ T 1 ∂2 T 1 ∂g 2 ∂2 T (2218) = T− 2 ∂r R2 R ∂ φ ρ 2 ∂ φ 2 R2 cos2 φ ∂ λ 2 Como T =GN , también podemos escribir
G tan φ ∂ N G ∂2 N ∂ g 2G G ∂2 N (2219) = N− ∂r R2 R i ∂ φ R 2 ∂ φ 2 R 2 cos2 φ ∂ λ 2 Esta ecuación expresa el gradiente vertical de la anomalía de la gravedad en términos de la ondulación geoidal N y su primera y segunda derivadas son horizontales. Su valor puede determinarse por medio de una diferenciación numérica usando un mapa de la función 0N no obstante es menos adecuada que (2217) para aplicaciones practicas por que requiere un mapa geoidal local sumamente preciso y detallado, lo cual es prácticamente imposible de conseguir; las inexactitudes de N pueden simplificarse enormemente formando las segundas derivadas. Expresión en términos de ξ y η . De acuerdo con las expresiones (2204) hallamos
∂N ∂N =−Rξ , =−R η cos φ , ∂φ ∂λ De modo que 2 ∂η ∂2 N ∂ξ ∂ N , =−R cos φ , =−R 2 ∂λ ∂ φ ∂ λ2 ∂φ
_______________________________________________________________________________ 1. vease la ecuación (141); sustituya 0=900 φ . Si incorporamos esto en (2219), obtenemos
∂ g 2G G G ∂ξ G ∂2 η (2220) = 2 N ξ tan φ− 2 − ∂r R R R ∂ φ R cos φ ∂ λ
Al incluir las coordenadas rectangulares locales, x, y en el plano tangente tenemos
Rd φ=ds φ =dx , R cos φdλ=ds λ =dy , De modo que (2220) pasa a ser
∂ g 2G G ∂ξ ∂η = 2 N ξ tan φ−G . ∂r R R ∂x ∂y
Puede demostrarse que los primeros dos términos del lado derecho son muy pequeños en comparación con el tercero; por lo tanto
∂g ∂ξ ∂η =−G . (2221) ∂r ∂x ∂ y
Con suficiente precisión. Estas formulas representan el gradiente vertical de la anomalía de la gravedad en términos de las derivadas horizontales de la desviación de la vertical. También es posible determinar su valor por medio de una diferenciación numérica siempre que se disponga de un mapa de ξ y η . Son mas apropiados para aplicaciones practicas que (2219) ya que solo se requieren las primeras derivadas. Para un calculo mas practico refiérase a Mueller (1961). Estas formulas se usaran en la sección 88 224 determinación practica del valor de las formulas integrales El valor de las formulas integrales cono las de Stokes y de Vening Meinesz se determina aproximadamente por medio de sumas de una sucesión. Los elementos de superficie dσ se remplazan por compartimientos pequeños pero finitos q . Los cuales se obtienen subdividiendo la superficie de la tierra en una forma conveniente. Se utilizaran dos métodos convenientes de subdivisión:
1. Plantillas (fig. 222). La subdivisión se efectúa mediante círculos concéntricos y sus radios. La plantilla de material transparente coloca sobre un mapa gravimétrico de la misma escala, de manera que el centro de la plantilla con el punto de calculo P en el mapa. Las coordenadas naturales para este fin son las coordenadas polares ψ y α con origen en P. 2. Líneas cuadriculares (fig. 223). La subdivisión se efectúa por medio de líneas cuadriculares de algún sistema fijo de coordenadas, especialmente de coordenadas geográficas φ , λ . Forman casillas rectangulares por ejemplo de 10`x 10´ o de 1o x 1o. estas casillas se conocen también como cuadrados aunque por lo general no son cuadrados de acuerdo a la definición de geometría plana. Como ejemplo para ilustrar los principios de la integración numérica, consultaremos ahora la formula de Stokes
N=
R ∬ gs ψ dσ 4πG
Figura 222 una plantilla
En sus formas explicitas (2165) para el método de plantilla y (2167) para el método que utiliza casillas fijas. Para cada comportamiento q k las anomalías de la gravedad se remplazan por su valo medio g k en dichos compartimientos. Por consiguiente la ecuación anterior se convierte en N =
R R g k S ψ dσ= ∑ ∬ ∑ g ∬ S ψ dσ (2222) 4πG k 4πG k k
N =∑ C k g k k
λ 36o20` 30´ 40´ 36o50´ 45º30`
30`
γ= 45º10` Figura 223 Casillas formadas por una cuadricula de coordenadas geográficas En donde los coeficientes C k =
R ∬ S ψ dσ (2223) 4πG
Se obtienen mediante la integración del comportamiento qk; no dependen de g . Si el integrando en nuestro caso la función de Stokes S ψ es razonablemente constante en el compartimiento qk que puede reemplazarse por su valor S ψ en el centro de qk. Luego tenemos
S ψ R S ψ ∬ dσ= ∬ R 3 dσ 4πG 4π GR La integral final es sencillamente el área A k del compartimiento. Por lo tanto obtenemos Ck=
C = k
Ak S ψ 4πG
(2224)
Esta forma es mucho mas sencilla, sin embargo cerca del punto de calculo podría se necesario utilizar los coeficientes integrados (2223). Si los compartimientos están formados por las líneas φ=const , λ=const entonces el cálculo de estos coeficientes integrados resulta difícil. Para el método de plantilla, no obstante, donde los compartimientos están formados por las líneas ψ=const ., α=const ., resulta bastante sencillo. Tenemos. α
=
ψ
1
R Ck= ∫ 4πG α=α
∫
1
R α 2− α1 4πG
1
S ψ sen ψdψdα
ψ=ψ1 ψ2
∫ψ S ψ sen ψdψ 1
La función
J ψ =
ψ 1 ψ S ψ sen ψdψ=∫0 F ψ dψ (2225) ∫ 0 2
(Refiriéndose a la sección 217) ha sido tabulada por Lambert y Darling (1936). Por consiguiente obtenemos C = k
R α 2 − α1 2πG
[ J ψ 2 −J ψ1 ] (2226)
Como otro ejemplo, consideraremos ahora la formula (2217) de la sección. Aquí
Ck=
dσ R2 ∬ 2π q G k
En donde
I 0 =2 Rsen
Hallamos
ψ 2
α
=
α 2 −α 1 16 πR
ψ
1
1 Ck= ∫ 16 πR α =α ψ
1
∫
1
ψ=ψ 1
sen 2 ψ /2
2 sen ψ /2 cos ψ /2
1
∫ψ=ψ
sen ψdψdα
1
2
sen ψ /2
dψ=
α 2 −α 1 ψ2 cos ψ /2 ∫ψ1 sen 2 ψ /2 dψ 8πR
Esta integral se resuelve fácilmente sustituyendo u=sen ψ /2 ; obtenemos C k =
α 2 −α 1 2π
1 I 0 .1
−
1 I 0 .2
(2227)
La ventaja del método de plantilla consiste en su gran flexibilidad. La influencia de los compartimientos cerca del punto de calculo P es mayor que la de los compartimientos mas distantes, y el integrando cambia mas rápidamente en la proximidad de P. por lo tanto, se necesita una subdivisión aun mayor alrededor de P. esto puede lograrse fácilmente por medio de plantillas. Además, el cálculo de los coeficientes integrados resulta mas sencillo con el método de plantilla. La ventaja de un sistema fijo de casillas formada por una cuadricula de coordenadas geográficas radica en el hecho de que se necesitan sus anomalías medias de la gravedad para diversos propósitos. Una vez determinadas, estas anomalías medias de las casillas de tamaño estándar pueden almacenarse y procesarse fácilmente por medio de una computadora electrónica. Además, se utiliza la misma subdivisión para todos los puntos de cálculo, mientras que los compartimientos definidos por una plantilla cambia cuando esta se corre al siguiente punto de cálculo. La flexibilidad del método de casilla estándar es limitada por supuesto; sin embargo, es posible utilizar casillas mas pequeñas (5`x5`, por ejemplo) en la proximidad de P y otras mas grandes (1ºx 1º, por ejemplo) a distancias mayores. Generalmente se prefiere este método para los cálculos electrónicos. También es posible combinar los dos métodos, calculando el efecto de la zona interior por medio de una plantilla y utilizando afuera las casillas estándar. Esto podría resultar ventajoso si el integrando cambia demasiado rápido en una casilla de 5`x5`, que normalmente es el tamaño estándar mas pequeño disponible. Efecto de la proximidad. Aun el la zona interior, el método de plantilla podría traer dificultades si el integrando fuera hacia el infinito como ψ 0 . Esto sucede con la formula de Stokes, dado que S ψ =
2 (2228) ψ
para un pequeño. Esto puede verse en la definición (2164) ya que el primer termino es predominante y para un ψ pequeño esta dado por
1 1 2 = = sen ψ / 2 ψ /2 ψ La función de Vening Meinesz pasa a ser infinita también ya que, con el mismo grado de aproximación,
dS ψ 2 =− 2 (2229) dψ ψ
En la formula del gradiente (2217), el integrando
1 I 30
=
1 R ψ3
(2230)
se comporta en forma similar. Por consiguiente resulta conveniente dividir el efecto de esta zona interior, la cual se supone sea un circulo de radio alrededor del punto de calculo. Por ejemplo, la integral de Stokes se convierte de esta manera en
N = N i N e Donde
π
2π
2π ψπ R R ∫ ∫ gS ψ dσ N i= gS ψ dσ Y N e= ∫ ∫ 4πG α=0 ψ=ψ 4πG α=0 ψ=0 0
El radio ψ 0 de la zona interior corresponde a una distancia lineal de unos cuanto kilómetros. Dentro de esta distancia podemos considerar la esfera como un plano usando las coordenadas polares S, α en donde s=Rψ=Rsen ψ=2 Rsen ψ /2 , De modo que el elemento de área se convierte en
R 2 dσ=sdsd α
De acuerdo con esta aproximación podemos usar de (2228) a (2230), haciendo que
2R dS 2R 2 1 = 1 S ψ = , =− 2 , 3 I 0 s3 dψ s s
Tanto en las funciones de Stokes como en las de Vening Meinesz, el error relativo de estas aproximaciones es de 1% 1
para s=10km, y un 3% para s=30km. En el caso de 1/ I 0 es aun menor. Por tanto el efecto de esta zona interior en nuestras formulas integrales pasa a ser
2π
sπ
1 g N i= s dsd α (2231) ∫ ∫ 2πG α =0 s=0 s 2π
sπ
1 g cos α ξ =− sdsd α (2232) ∫ ∫ η i 2πG α=0 s=0 s 2 sen α
{}
{ }
2π sπ g− g p ∂g 1 = sdsd α (2233) ∫ ∫ ∂ h i 2π α=0 s=0 s 3
Para determinar el valor de estas integrales desarrollamos g en una serie de Taylor en el punto de calculo P:
g= g r xg x yg y
1 2 x g xx 2 xyg xv y 2 g yy +… 2!
Las coordenadas rectangulares x, y se definen por x=s cos α , y=ssen α 1
De modo que el eje x apunta hacia el norte. Además tenemos
g s=
∂ g ∂x
p
, g ss=
∂2 g
∂ x2
, etc. p
esta serie de Taylor puede escribirse también
g= g p s g x cos αg v sen α
s2 2 g cos α2g xy cos α sen αg yy sen 2 α .. . 2 xx
Al incorporar esto en las integrales anteriores, podemos determinar fácilmente su valor. Efectuando primero la integración con respecto a α y notando que 2π
∫ dα=2π , 0 2π
2π
2π
∫ sen αdα=∫ cos αdα=∫ sen α cos αdα=0 , 0 2π
0 2π
0
0
0
∫ sen 2 αdα= ∫ cos 2 αdα=π 1 s2 ∫ g p 4 g xx g yy . . . ds , G 0 ∞
Hallamos ∞
N i=
[
]
1 g . . . ξ =− ∫ x ds , η 2G 0 g y . ..
{}
{ }
∞
∂g 1 = ∫ g xx g yy . . . ds . ∂h 4 0
Ahora efectuamos la integración sobre s, reteniendo solamente los términos mas bajos que no se anulan. El resultado es N =− i ξ =− i
s0 2G
g x , η i=−
s0 G s0
2G
g p ; (2234)
g y ; (2235)
∂ g s0 = g xx g yy (2236) ∂h 4
Vemos que el efecto de la zona circular inferior de la formula de Stokes depende, en una primera aproximación, de el valor de g en P; el efecto de la formula de Vening Meinesz depende de las primeras derivadas horizontales de g ; y el efecto en el gradiente vertical depende de las segundas derivadas horizontales. Nótese que la contribución de la zona interior a la desviación total de la vertical tiene la misma dirección que la línea de mayor inclinación de la “superficie de la anomalía de la gravedad” por que el vector planar
O ,= ξ 1 , η 1
Figura 224 Líneas de g constante y líneas de descenso más inclinado. Es proporcional al gradiente horizontal de g ,
grad₧ g= g x , g y La dirección del grad g define la línea de descenso mas inclinado (véase la Fig. 224). Los valore de g x y g y pueden obtenerse de un mapa gravimétrico. Son la inclinaciones de perfiles norte sus y este oeste a través de P. los valores de g x y g yy pueden determinarse ajustando un polinomio en x y y de segundo x
grado a la función de anomalías de la gravedad en la proximidad de P. La influencia de las zonas distantes en las formulas de Stokes y Vening Meinesz refiérase a Hotila (1960). Los geofísicos han desarrollado técnicas numéricas interesantes para la integración y la diferenciación, las cuales resultan útiles para determinar el valor de formulas tales como (2217) y (2236); refiérase a Jung (1961).
3
METODOS GRAVIMETRICOS
31. REDUCCION DE LA GRAVEDAD La gravedad g que se mide en la superficie física de la tierra no puede compararse directamente con la gravedad normal γ que hace referencia a la superficie de l elipsoide. Es necesario efectuar una reducción de g a nivel del mar. Como hay masa sobre el nivel del mar, los métodos de reducción difieren según la forma en que se tratan estas masas topográficas. La reducción de la gravedad permite llevar a cabo tres objetivos principales: 1. la determinación del geoide 2. la interpolación y extrapolación de la gravedad 3. la investigación de la corteza terrestre. Únicamente los dos primeros son de naturaleza geodesica. El tercero es de interés para los geofísicos y los geólogos teóricos que estudian la estructura general de la corteza, y para los geofísicos exploradores que buscan detalles o accidentes de poca profundidad que pudieran indicar la presencia de depósitos minerales
Para usar la formula de stokes en la determinación del geoide es necesario que las anomalías de la gravedad g representen valores limites en el geoide, para lo cual se requieren dos condiciones: primero, que la gravedad g haga referencia al geoide; y, segundo, que no haya masas fuera del geoide (sección 2 13). Por consiguiente by hablando en sentido figurado, la reducción de la gravedad consta de los siguientes pasos: eliminar masas topográficas fuera del geoide completamente o correrlas por debajo del nivel del mar; luego se baja la estación gravimetriíta desde la superficie de la tierra (punto P), hasta el geoide (punto P0, véase la Fig. 31)
Figura 31 Reducción de la gravedad
Para el primer paso hay que conocer la densidad de las masas topográficas lo cual es, por supuesto algo problemático. Mediante este procedimiento de reducción, se eliminan ciertas irregularidades en la gravedad producidas por las diferencias en alturas de las estaciones, facilitando así la interpolación e incluso la extrapolación a las áreas no observadas (sección 710) 32. Formulas auxiliares Calculemos el potencial U y la atracción vertical A de un cilindro circular homogéneo con un radio a y una altura b en un punto P se encuentra arriba del cilindro c>b. luego el potencial estará dado por la formula general (111),
U=k ∭
ρ dv . I
Figura 32 Potencial y atracción de un cilindro circular en un punto externo
Si incorporamos las coordenadas polares s , α en el plano x, y por medio de x=s cos α , y=ssen α (32) Tenemos I= s 2 c−z 2 Y
dv=dxdydz=sdsd α dz
Por lo tanto hallamos que con una densidad p=const , 2π
U=k p
a
b
∫ ∫ ∫
α=0 s=0 z=0
2π
=2πkρ
sdsdzd α 2
s c−z
2
sdsdz
∫ ∫
2
s c− z
α=0 z=0
2
La integración con respecto a s proporciona a
∫ 0
sds
2 a = s 2 c−z ∣ = a 2 c− z 2 −c z 2 0 s c−z 2
De mod0o que tenemos b
U=2πkρ ∫ −cz a2 c− z 2 dz
0
La integral indefinida es 2πkρ multiplicado por
1 2 1 2 1 2 c−z − c− z a2 c−z a2 ln c−z a 2 c− z 2 2 2
Según puede verificarse por medio de una diferenciación. Por consiguiente U finalmente se convierte en
U e=πkρ
2
2
c−z −c2 − c−b a 2 c− z c a2c2 −a2 ln c−b a 2 c−b 2 a 2 ln c a 2 c 2 ¿ (32) righ ¿ ¿ ¿ [ ¿] ¿ ¿¿
En donde el subíndice e indica que p esta externo al cilindro. La atracción vertical a es la derivada negativa de U con respecto a la altura c [comparece con la ecuación (214)]: A=− Diferenciando 32 obtenemos
∂U (32) ∂c 2
A=2πk b a 2 c−b − a 2 c 2 (34) ρ
[
]
P sobre el cilindro. En este caso tenemos que q e c = b y que las ecuaciones (32) y (34) pasan a ser U = πk −b 2 b a 2 b 2 a 2 ln 0 ρ
b a 2 b 2 (35) a
A =2πk ab 2 − a 2 b 2 (36) 0 ρ
P dentro del cilindro. Supongamos ahora que P se encuentra dentro del cilindro, c
U i =U 1 U 2
En donde el subíndice i denota que P se encuentra ahora dentro del cilindro. El termino U1 esta dado por (35) en donde se ha sustituido b por c, y U2 esta dado por la misma formula en donde se ha sustituido b por bc. su suma es
U i =πkρ
2
−c 2 − b−c c a 2 c 2 b−c a 2 b−c c a 2 c 2 a ln a 2
b−c a b−c a ln 2
2
2
a
¿ righ ¿ ¿ ¿ [ ¿] ¿ ¿¿
2
(37)
Podemos ver fácilmente que la atracción es la diferencia A1 – A2: 2
A =2πk 2c−b a 2 c−b − a 2 c 2 (38) i ρ Esta formula también puede obtenerse diferenciando (37) de acuerdo con (33).
[
]
Disco circular. Digamos que el espesor b del cilindro tiende hacia cero, y que el producto
k=b p
Permanece finito. La cantidad k podría considerarse entonces como la densidad de superficie (sección 13) con la que se concentra la materia en la superficie de un circulo de radio a. necesitamos el potencial y la atracción para un punto exterior. Usando
ρ=
k b
En (32) y (34) y dejando que b 0 , obtenemos por medio de métodos de cálculos conocidos U 0 =2πk e ρ
0
A e =2πkρ 1−
a2c2−c (39) c 2
a c2
(310)
Sectores y compartimientos. Las formulas anteriores no se utilizan para cilindros o discos completos si no para sectores y compartimientos como los que se muestran en la figura (222). Para un sector de radio a y ángulo α=
2π (311) n
Figura 33
Potencial y atracción en un punto
α – α1 Un compartimiento de plantilla
α – α2 Figura 34
Tenemos que dividir las formulas anteriores por n. para un compartimiento que subtienden el mismo ángulo y esta delimitado por los radios a 1 y a 2 (Figura 34) obtenemos, en una notación obvia,
Ya que hp es la masa tanto de la coloumna topografica como de su compensación; d es la distancia entre los dos centros de masa ST y SC de la figura 316 (es h de la seccion 14): La condición d 0 se cumple bastante bien si d es pequeña en comparación con la distancia desde la estacion. Por tanto, el efecto combinado de la topografía y de la compensación en la gravedad y potencia se obtiene por medio de (378) y (377) de la siguiente forma:
A T − A C=
hd πκρ R
ψ
(382)
ψ 2
(383)
COS SIN
2
ψ
U T −U C =−hd 2 πκρ sin
2
fig 316
Topografia y compensación como un dipolo
Topografia y compensación para las diferentes reducciones de la gravedad.
fig 317
La figura 317 muestrala distancia d para las diferentes reducciones de la gravedad; tenemos:
PrattHayford: d =
hd 2
AiryHeikanen: d =T
ht 2
Rudzki (invesion): d =h
Helmert (condensación): d =
h 2
Estas son validas para los continentes.
En el caso de los oceanos no hay ni inversion ni condenascion, sino solamente compensación isotatica. En lugar de 3 81 tenemos:
=−h ' ρ−ρω ⋅d ´, en donde pw y h’ son la densida y profundidad del océano, y d’ se calcula de la misma forma que antes dando como resultado:
d '=
PrattHayford:
d ' =T −
AiryHeikanen:
D 2
h ' t ' 2
d ' =0
Rudzki y Helmert:
El signo negativo en 385 indica que la masa se desplaza contraria a la anterior. Para la compensación isostatica según PrattHayford 382, esto se convierte en:
Continentes:
Oceanos:
At − Ac=
− Ac=
h h D πκρ 2R
hD πκ ρ −ρw 2R
ψ
cos
2
ψ
sin
2
cos 2 sin
ψ
2
ψ
2
Estas dos formulas fueron deducidas por Helmert.
Todas esta formulas deberan usarse con relacion a algun sistema que divida la tierra en compartimentos esfericos similares a los de hayford de manera que en realidad
A=∑ A U=∑ U En donde la densidad y la elevación pueden considerarse constantes para cada compartimento.
39. Determinación Practica del Geoide Metodo de reduccion que ha de utilizarse. En principio, todas la reducciones de la gravedad son equivalentes y deberían dar por resultado el mismo geoide si se aplican debidamente y se toma en cuenta el efecto indirecto. No
obstante hay ciertos requisitos que limitan seriamente el numero de reducciones practicas. Los requerimientos principales son: 1.
La reducción debe proporcionar anomalías de la gravedad pequeñas y uniformes para que puedan interpolarse fácilmente y, donde fuere necesario, extrapolarse. En otras palabras, una sola anomalía debe ser lo mas representativa posible de toda la vecindad.
2.
La reducción debe corresponder a un modelo geofísicamente significativo de manera que las anomalias resultantes también puedan ser útiles para interpretaciones geofísicas y geologicas.
3.
El efecto indirecto no debe ser excesivamente grande.
Las anomalías de Bouguer tienen buenas propiedades de interpolación – son grandes pero uniformes y son geofísicas significativas, pero para los propósitos de este manual debemos excluir la reducción de Bouguer en vista de su efecto indirecto excesivamente grande (refiérase a la sección 36). La reducción de Rudzki no tiene efecto indirecto alguno en el geoide, pero cambia el potencial fuera de la tierra, que actualmente tiene la misma importancia que el geoide. Las anomalías de Rudzki no tienen significado geofísico alguno. La reducción por condensación es fácil de calcular, ya que proporciona en forma aproximada las anomalías de aire Ubre y tiene un efecto indirecto insignificante. Tiene cierto significado geofísico que correspondería a un caso extremo de compensación isostatica. las anomalías de aire libre son pequeñas pero dependen demasiado de la topografía, de modo que su interpolación resulta sumamente imprecisa. Las anomalías isostaticas satisfacen los tres requisitos. Los modelos en los que se basan se ciñen mejor a la realidad geológica. Las anomalías isostaticas son pequeñas, uniformes e independientes de la topografía, de manera que son ideales para la interpolación y la extrapolación, y muy representativas. El efecto indirecto es moderado. Por tanto las anomalias de aire libre y las isostáticas deben considerarse como las más apropiadas para los fines actuales. La ventaja principal de las anomalias de aire libre es la fácilidad con que pueden calcularse; su desventaja principal es la dificultad que presentan para interpolación. En el caso de la reducción isostatica es todo lo contrario. Dada la posibilidad actual de utilizar él calculo automático, el trabajo requerido para la reducción isostatica se ha facilitado enormemente. Por otra parte, los datos gravimetricos son escasos y deben procesarse de tal forma que se extraiga de ellos la mayor cantidad de información posible y que sean lo más representativos posibles. Es Lo favorece considerablemente la utilización de la reducción hipostática en la actualidad. Cabe mencionar que también puedo usarse la reducción hipostática conjuntamente con la determinación gravimetrica directa de la superficie física de la tierra, tema que será tratado en oí capitulo 8; refiérase a la sección 811. Datos gravimetricos. Para aplicar los métodos gravimetricos es necesario contar previamente con lo siguiente: 1.
2.
Teóricamente, hay que conocer las anomalías de la gravedad de cada punto sobre la superficie de la tierra; en la practica, es suficiente tener una red gravimetrica densa alrededor de los puntos de calculo y una distribución razonablemente uniforme de mediciones de gravedad afuera. Todas las anomalías de la gravedad deberán convertirse al mismo sistema.
Las mediciones de Ta gravedad absoluta mediante péndulos requieren mucho trabajo y difícilmente se logra la precisión requerida de +l mgal . Por tanto, se prefieren las mediciones de la. gravedad relativa, las cuales pueden efectuarse por medio de péndulos con una precisión de +1 mgal. y mayor y por medio, de gravímetros con una precisión alrededor de +l mgal. Estas mediciones relativas deberian estar enlazadas entre si de manera que referencia a un sistema gravimetrico mundial uniforme. Una estación ó varias en cada pais forman una red de estaciones gravimetricas base, a nivel mundial (Uotila, 1964a). El plano de referencia actual consiste en e1 llamado sistema de Potsdám que ésta basado en mediciones de la gravedad absoluta hechas alrededor de 1900 en el Instituto Geodésico de Potsdám, Alemania.
Este sistema requiere correcciones constantemente, 13 mgals. aproximadamente. Actualmente se están llevando a cabo varias determinaciones absolutas de la gravedad. Para ello se emplean diversas técnicas tales como el uso de péndulos y la observación de cuerpos en caída libre. Los datos gravimetricos se reúnen y procesan en centros ^ como el Instituto Isostatico de Helsinki, la Universidad del Estado de Ohio, yla Oficina Gravimetrica Internacional de Parias. Para un procesamiento automático, los datos se almacenan como valores medios de compartimientos que tienen un tamaño estándar, por ejemplo 5’X 5', 10’ X 10’, 1°X 1°, 2°X 2°, y 5°X 5| El mapa de la Fig. 318 muestra los datos gravimetricos disponibles en 1959. La distribución esta lejos de ser satisfactoria. Se espera poder completar en el futuro las áreas extensas sin levantar que aparecen en los océanos con los resultados obtenidos de mediciones gravimetricas efectuadas en el mar y desde el aire.
Figura 318 Anomalías medias de aire libre de bloques de 5° X 5°, unidad 1 mgal. Calculadas en la Universidad del Estado de Ohio sobre labase de los datos gravimetricos disponibles al 31 de diciembre de 1959. Mientras tanto tenemos que tratar de rellenar los1espacios en blanco con valores extrapolados por medio de técnicas estadísticas (capitulo 7) o por medio de un modelo geofísico o con valores obtenidos utilizando combinaciones de ambos métodos. Uotila (1964b) calculó las anomalías de la gravedad de aire 1ibre que representaban el efecto de la topografía y de su compensación isostatica solamente, de modo que correspondieran a una anomalía isostatica de cero, utilizando un desarrollo armónico esférico hasta el grado 37 y así obtuvo valores medios de 5°X 5°. En la figura 319 se muestra parte de sus resultados. Mientras que Uotila no uso ningún dato gravimetrico real, Kivioja (1964) trato de aplicar a las áreas que no hablan sido levantadas una combinación de datos gravimetricos medidos y de extrapolación geofísica, usando nuevamente un modelo isostataico.
Figura 3 19 Anomalías medias de aire libre de Moques de 5°X 5° calculados por Uotila (1964b) para un modelo matemático
de los diversos autores difieren en cuanto a los datos gravimetricos disponibles y a los métodos utilizados para manejar la distribución no uniforme de los datos. Para mayor información refiérase, por ejemplo, a Heiskanen (1965) y Kaula (1963). Desviaciones de la vertical. La formula de Vening Meinesz (2210) para calcular las desviaciones de la vertical es mucho mas sensible a las anomalías locales de la gravedad alrededor del punto de calculo que la formula de Stokes para las alturas geoidales. Por consiguiente, se necesita una red gravimetrica densa alrededor del punto de calculo. El efecto de las zonas distantes es algo menor que con la formula ríe Stokes pero aun asi es considerable (refiérase a la sección 74), Se requiere una precisión mayor puesto que +0.3" corresponde a unos +40 metros ;en la posición. Esto es mucho mas difícil de lograr que la precisión correspondiente de +10 metros en la altura geoidal.
Para mayores detalles sobre la integración numérica el lector puede referirse nuevamente a 1a sección 224. El efecto de la zona mas ifiterior requiere una evaluación cuidadosa del gradiente horizontal de la gravedad. El radio de esta zona interior varia entre 0.1 y 10 km de acuerdo con los diversos autores y dependiendo también de los datos gravimetricos disponibles y de 1a precisión deseada. Refiérase a Heiskanen ya Vening Meinesz (1950, pags. 25/277).
Fig 320 El geoide Columbus para Europa, hace referencia al elipsoide internncional (f= 1/297). El intervalo de 1as curvr3s de nivel es de 2 metros.
Si se usan las anomalías isostaticas, entonces habria que tomar en cuenta el efecto indirecto, el cual es idéntico a 1a desviación isostaticatopógrafo correpondiente al modelo isostratico utilizado (sección 36). Si se usan las anomalías de aire libre, entonces podrán calcularse las desviaciones de la vertical en la superficie de la tierra en lugar del geoide utilizando los procedimientos de refinamiento descri tos en la sección 89.
Sistema geodésico mundial. Como la determinacion gravimétrica de las alturas geoidales proporciona valores absolutos para un elipsoide dé referencia que coincide con el centro de masa de la tierra, tiene un papel principal en un sistema geodésico mundial. (Heiskanen. '1951; Heiskanen y Vening Meinesz, 1968, capftulo 9).
Esto requiere una combinación con los datos astro geodésicos (refiérase a nuestro capitulo 5). Durante los u1timos cinco años, también se han usado los satélites para reunir datos para un sistema geodésico mundial (refiérase a nuestro capftulo 9).
Figura 321 E1 geoide generalizado de Uotila (1962) calculado a partir de un desarrollo armónico esférico de cuarto grado. La unidad es 1 metro: el achatamiento del elipsoide de referencia, f = 1/298.24.
4 ALTURAS SOBREEL NIVEL DEL MAR
41. Nivelación con Nivel de Burbuja
El principio del nivel, do burbuja os ampliamente conocido. Para medir la diferencia de altura, H , entre dos puntos A y B se colocan miras verticales en cada uno de estos puntos y un nivel (instrumento de nivelación) entre ellas (fig. 41). Como 1a_recta AB es horizontal, la diferencia entre 1as lecturas de las miras l1=AA la diferencia de altura: Para mayores detalles sobro esta técnica de medición, el lector puede referirse a la publicación de Bomford (1962). Si medimos un circuito, es decir, una línea de nivelación cerrada, entonces por lo general 1a suma algebraica do todas las diferencias de altura medidas no será exactamente cero como esperaríamos aun si hubiésemos podido efectuar las observaciones con una precisión perfecta. Este error de cierre, como se llama indica que la nivelación es mas complicada de lo que aparenta ser a primera vista. ^ Veamos esto con mas detalle. La figura 42 muestra los principios; geométricos comprendidos. Digamos que los puntos A y Q se encuentran tan distantes uno del otro que resulta necesario aplicar el procedimiento de la figura 41 repetidamente. Por consiguiente la suma de las diferencias de FIGURA 41
FIGURA 42 Nfve1acion orfometrica.
y
altura niveladas entre A y B no sera igual a la diferencia de las a11 ortometricas HA y Hg. El motivo de esto es que el incremento de nivelación, como seguiremos llamándolo, es distinto al incremento correspondiente dH de hb (fig. 4 2), debido a 1a falta de paralelismo de las superficies Si denotamos el incremento correspondiente al potencial W por dW, de acuerdo con (213) tenemos.
−δ W = gδ n = g ' HB ;
en donde g es la gravedad en la estación de nivelacion y g es la gravedad en Ía línea de la plomada de B en dHb. Por tanto.
HB =
g δ n ≠ δ n; (42) g'
No hay por consiguiente ninguna relación geométrica directa entre el resultado de la nive1aci5n y la altura ortometrica ya que (42) expresa una relacion física. Si no es la altura, entónces ¿que se obtiene directamente por nive1aci6n? Si también se mide la gravedad g. entonces es posible determinar.
δ W = − gδ n;
de manera que obtenemos R
WB − WA = −∑ gδ n,
(4,3)
A
Por consiguiente, la nive1aci6n combinada con las mediciones de la gravedad proporciona las diferencias de potencial, es decir, cantidades físicas. Teóricamente, resulta mas preciso reemplazar la suma de'(43) por una integral, obteniéndose así
B
WB − WA = − ∫ gdn; A
(44)
Nótese que esta integral es independiente del trayecto de integración; en otras palabras, las distintas líneas de nivelación que conectan los puntos A y B (fig. 43)' deberían proporcionar el mismo resultado. Esto es obvio puesto
FIGURA 43 Dos líneas de nivel acción distintas' que conectan A y B; juntas forman un circuito.. Que W es una función de posici8n únicamente; de manera qué para cada punto hay un valor único W correspondiente. Si la línea de nivelaci5n regresa a A, entonces la integral completa deberá ser Cero:
∫ gdn = −Wa + Wa = 0; (45) El símbolo (J) denota una integral sobre un circuito. Por otra parte, la diferencia de altura medida, es decir, la suma de los incrementos de nive1aci6n R
∆RAB = ∑ δ n = ∫ A
B
A
dn; (46)
depende del trayecto de integración y por consiguente no suele ser cero en e1 caso de un circuito:
∫ dn = errordecierre ≠ 0; (47)
En términos matemáticos, dn no es una diferencial perfecta (la diferencial de una función de posición), mientras que dW=gdn si lo es, de modo que se convierte en una diferencial perfecta cuando se multiplica por e1 factor integrante (g). Las diferencias de potencial son por lo tanto el resultado de 1a nivelación combinada con mediciones de la gravedad. Son fundamentales para todo la teoría altimétrica; aun las alturas ortometricas deberán considerarse1 cantidades derivadas de las diferenciar, do potencial.
La nivelación sin mediciones de la gravedad, aunque en la práctica se use, no tiene mucha importancia desde el punto de vista de la precisión, puesto que el uso de las alturas niveladas (4/i) romo tales da origen a ciertas contradicciones (errores de cierre); no SP incluirá aquí.
42. Números Geopotenciales y Alturas Dinámicas Digamos que O es un punto a nivel del mar, es decir, sobre el geoide; por lo \ general se selecciona un punto adecuado sobre la costa. Supongamos que A sea otro punto conectado con o por una linea de nivelación. Luego, mediante la formula (43), es posible determinar la diferencia de potencial entre A y O. La integral
∫
B
A
gdn = W − Wa = C ;
(48) que es la diferencia entre el potencial en el geoide y el potencial en el punto A, se explico en a sección 24 como el numero geopotencial de A. Por ser una diferencia de potencial, el numero geopotencial C es independiente de la línea de nivelación especifica utilizada para relacionar el punto con e1 nivel del mar. Es igual para todos los puntos de una superficie de nivel, por lo tanto, puede considerarse una medida natural de la altura, aun si su dimensión no es de longitud. El numero geopotercial C se mide en unidades de geopotencial (gp.u), en donde 1 g.p.u. = 1 kgal metro =1000 gal metro. Como g = 0.98 kgal, C=gH=0.98H de modo que los numeros geopotenciales en gp.u. son casi iguales a la altura sobre el nivel de mar en metros. Los números geopotcncia1es se adoptaron en 1955 durante una reunión de una de las subcomisiones de la Asociación Internacional: de Geodesia celebrada en Florencia. Anteriormente se habían utilizado las alturas dinámicas, definidas por Hdyn=C/v0 en donde v° es la gravedad normal para una latitud estándar arbitraria, usualmente 45°: v45= 980.6294 gals para el geoide Internacional. Obviamente la altura dinámica difiere del numero geopotencial s51o en escala o en unidad: La divisi6n 'por la consunta 7o en (49) sencillamente convierte algún numero geopotencial a una longitud. Sin embargo, la altura dinámica no tiene significado geopotencial alguno de modo que la división por un v; arbitrario sencillamente interfiere con el verdadero significado físico de una diferencia de potencial. Por lo tanto, generalmente se prefieren los números geopotenciales en lugar de las alturas dinámicas. Corrección Dinámica. Resulta a veces conveniente convertir la diferencia d»:? altura medida ^/u» (46) en una diferencia, de altura dinámica agregándole una pequeña correcci5n.
La ecuacion (49) nos da
∆HAB = HB − HA = =
B
1 ( Cb − Ca ) = 1/ ϒ ∫ gdn; ϒ A
B B g −ϒ 1 ( g − ϒ + ϒ 0)dn = ∫ dn + ∫ dn; ∫ A A ϒ ϒ
de inodo que.
∆H = ∆nAB + DC ; en donde
DC = ∫
B
A
B g−ϒ g−ϒ dn = ∑ δ N ; (411) ϒ ϒ A
es la corrección dinamica. En realidad, la correcci5n dinamica tambien puede usarse para calcular las diferencias de los números geopotenciales. Enseguida se obtiene
Cb − Ca = γ∆N + γ DC ; (4101) 43. La Reducción de la Gravedad de Poincaré y Prey Para convertir los resultados de la nive1acion en alturas ortométricas, necesitamos obtener de (42) la gravedad g’ dentro,de la tierra. Como no es posible medir g’, deber5 calcularse a partir de la gravedad en la superficie. Esto se logra reduciendo los valores medidos de la gravedad de acuerdo con el método dü PoincarS y Prey. Denotamos por Q, el punto en el que se ha de calcular, a', de ¡nodo que q'=gq Supongamos que P sea el punto correspondiente de 1a superficie dr; manera que tanto P como Q están situados en 1<1 misma línea de la plomada (fig. 44). ^ mide 1a gravedad en P, denotada por'^r . . : La forma directa de calcular go sería usando 1a formula
δg dH , Q δh
g = gp − ∫
P
siempre y cuando se conozca el gradiente real de 1a gravedad dg/dh dentro de 1 a tierra. Puede obtenerse por medio de 1a formula do Rruns (220),
δg = −2 gj + 4π kp − 2 w2 , δh conociendo la curvatura media J de las superficies geopotenciales y la densidad p entre P y Q. El Gradiente normal de aire libre esta dada por (279):
δg = −2γ j − 2 w2 , δh (414)
es
a
en donde Jo 1 curvatura media do tas superficies esferopotenciales. Si la aproximacion
gJ = γ J 0,
es suficiente, entonces aplicando (413) y (414) obtenemos
(415)
δ g δγ = + 4π kp, δh δh
Numéricamente, haciendo caso omiso de 1a variación de ^7/c^ según la latiti hallamos para una densidad p
δg = 0.3086 + 0.2238 = −0.0848 gal / km (416 ) δh en donde g est3 expresado en gales y H en kilómetros, Esta formula sencilla, aunque es m5s bien aproximada, en la practica se aplica frecuentemente. La forma exacta de calcular ^ sería usando (412) y (413) con la verdadera curvatura media J de las superficies geopotenciales, pero para esto se requeriría un conocimiento mas extenso de 1a configuración detallada de estas superficies del que se tiene actualmente. La siguiente es otra forma de calcular g que en este caso resulta mas conveniente. Se asemeja a la reducción normal de la gravedad a1 nivel del mar (véase el capítulo 3) y consta de tres pasos: 1. Eliminar todas las masas encima de l
El gradiente de aire libre puede calcularse también con precisión por medio de (2217); las anomalías de la gravedad ' que han de usarse en esta fórmula son las que se obtienen después del paso 2, es decir, aquellas que se refieren al nivel del punto Q. Finalmente notamos que la reducción de PoincarS y ,Prey, conocida can la forma abreviada de reduccion de Prey, proporciona lagravedad real que se mediría dentro de la tierra si fuera posible. Su proposito es por 1o tanto completamente diferente al de las otras reducciones de la gravedad, que es el de dar valores límites en el geoide; vease la sección 37. 44 Alturas Ortométricas Denotamos la intersección del geoide con 1a línea de la plomada a traves del punto P por PQ (FIG 44). Digamos que C es el numero geopotencial de P, en otras palabras,
C = W ° −W , y H su altura ortometrica, es decir, el largo de1 segmento de la líneai de la plomada entre PQ Y P» La integr^cidn en (48) se efectúa a lo largo de 1a línea de la plomada PQ?. Esto esta permitido porque el resultado es independiente del trayecto. Luego obtenemos
H
C = ∫ gdH , C^¡^df{. 0117) 0
Esta ecuación contiene H en una form3 implícita. También es posible obtener H explícitamente, usando
dC = − dW = gdH , dH = −
dW dC = , g g
de donde se obtiene
H = −∫
W
w
C dC dW =∫ , 0 g g
Al igual que artes, la integración se extiende sobre la línea de la plomada. Esta forrnula explícita (418), sin embargo, tiene poco uso practico. Es mejor transfomar (417) de una manera que tal vez al orincipio paraca insigni ficante:
H
C = ∫ gdH − H 0
1 H
∫
H
0
de modo que
C = gH ,
gdH ,
en donde
g=
1 H
∫
H
0
gdH ,
es el valor medio de la gravedad a lo 1argo de la línea de la plómala entre el geoide, punto P0 y el terreno, punto P. Aplicando (419) tenemos a continuaci6n que
H=
C , g
lo cual permite calcular H si se conoce la gravedad media g. Como g no depende mucho de H, 1a ecuación (421) constituye una fórmula practica y no meramente una tautología. Para determinar el valor de (421) es necesario conocer la gravedad media g. LA ecuación (420) puede escribirse
g=
1 H
∫
H
0
g ( z )dz,
en donde g(z) es la gravedad real en el punto variable Q que tiene a altura z (fig. 44). La aproximación m5s sencilla es usando la reducci5n simplificada de Prey de (416):
g ( z ) = g + 0.0848( H − z ), en donde g es la gravedad medida en el punto P del terreno. La integración (422) puede efectuarse ahora enseguida» dando como resultado
g= o
1 H
H
1
∫0 [ g + 0.0848(h − z )]dz = g + H 0.0848 Hz −
z2 , 2
g = g + 0.0424H (g en gales, II en km).
El factor 0.0424 es v51ido para la densidad no. mal p = 2.67 g/cm 3. La formula correspondiente para una densidad constante arbitraria» de acuerdo con (415), es
δγ g = g − 1/ 2 + 2π kp H , δh
(425)
Si usamos g de acuerdo con (424) o (426) en 1a formula basica (421), obtenemos las alturas conocidas como de Helmert: (Helinert, 1890):
H=
C , g + 0.0424h
con C en g.p.u., g en gales, y H en km.
Como hemos visto en la sección 43, esta aproximacion sustituye e1 terreno con una placa infinita de Bouguer de densidad constante y altura h, A menudo resulta suficiente. Algunas veces, en el caso de montañas elevadas y para obtener una precisión mayor, es necesario aplicar a g una reducción de Prey mucho mas exacta, como la de los tres pasos descritos en la seccion 43. Niethammer (1932) desarrolló un método práctico y muy preciso para este fin, en el que se toma en cuenta la topografía y solo se da por sentado que el gradiente de aire Ubre es normal y que la densidad es constante hasta el geoide. También es suficiente calcular g como 1a media de la gravedad g, medida en el punto de superfice P, y de la graveda go, calculada en el punto geoidal correspondiente PQ, por medio de la reducción de Prey:
g = 1/ 2( g + g '), g ^ ^ {g + ^). (427 ) Esto fue propuesto por Mader (1954); da por sentado que la gravedad g varía linealmente a lo largo de la línea de la plomada. Esto por lo general pueda ponerse con suficiente precisión, aun en casos extremos, según lo han de mostrado Mader (1954) y Lederstegar (1055).
Corrección ortometrlca. La corrección ortométrica se agrega a 1a diferencia de altura medida para convertirla en una diferencia de altura ortometrica.
Supongamos que 1a línea de nivelación conecta dos puntos A y B (fig. 45 ^rimero se aplica un truco sencillo:
∆Hab = Hb − Ha = Hb − Ha − Hdymb + Hdyma + ( Hb − Ha ) = ∆Hab + ( Hb − Hdymb) − ( Ha − Hdyma ),
de acuerdo con (410) tenemos
∆Hab = ∆hab + DCab,
Considérenos ahora las diferencias entre 1a altura ortometrica y 1a dinamica ,HaHad y HbHbd. Imaginémonos una línea de nivelación ficticia quo va desde e1 pie AO en el geoide hasta el punto terrestre A a 1o largo de 1inea de la plomada. Obviamente, 1a diferencia de altura medida sería la misma Ha de modo que
Cabe hacer notar los siguientes dos puntos: 1. El eje del elipsoide de referencia es paralelo al eje de rotación de la tierra (porque de lo contrario habría dos polos PN diferentes en la figura 54), pero no tiene que encontrarse necesariamente en una posición absoluta, y su centro coincide con el centro de gravedad de la tierra. 2. Las componentes de desviación Š y n se refieren directamente al punto terrestre donde se efectúan las observaciones astronómicas, y no al geoide.
Si se calculan gravimétricamente las componentes Š y n de la desviación vertical para el geoide usando la fórmula de Vening Meinesz, entonces ‘, ג, h y € se refieren a un elipsoide en una posición absoluta, pero debe tenerse cuidado debido a la curvatura de la línea de la plomada; refiérase también al final de la sección 5-2. Debemos mencionar también que el acimut elipsoidal € (518) hace referencia al objetivo real T, que por lo general no esta en el elipsoide. Para los ca1culos convencionales en un elipsoide, lo deseable es que el acimut haga referencia a un objetivo T0 en el elipsoide, que viene a ser el punto de contacto de la normal que pasa por T. Además, € se refiere a lo que llamamos una sección normal del e1ipsoide y no a una línea geodésica la cual se usa en los ca1culos. En cualquiera de los dos casos, se necesitan reducciones acimutales muy pequeñas; como estas reducciones son meramente problemas de geometría elipsoidal, el lector puede referirse a cualquier texto sobre geodesia geométrica o al de Bomford (1962). Efecto de la migración polar. La dirección del eje de rotación de la tierra no es totalmente fija con respecto a la tierra sino que sufre variaciones muy pequeñas más o menos periódicas. Este fenómeno es el resultado del minuto de diferencia entre los ejes de rotación y de máxima inercia, siendo el ángulo entre estos dos ejes de unos 0.3", Y se asemeja bastante a la presesión de un trompo girando. Este movimiento del polo tiene un período principal de 430 días aproximadamente, el período de Chandler, pero es más bien irregular, debido supuestamente al movimiento de las masas, a las variaciones atmosféricas, etc. (figura 55). El Servicio Internacional de Latitudes que tienen la Unión Astronómica Internacional y 1a Unión Internaciona1 de: Geodesia y Geofísica, observa en forma continua la variación de la latitud en diversas estaciones y determina de esta manera el movimiento del polo. Los resultados se publican como las coordenadas rectangulares del polo instantáneo PN con respecto a un polo medio Pnx (figura 55). Los valores observados astronómicamente de ‘, , y A hacen referencia naturalmente al polo instantáneo PN y por lo tanto tienen que reducirse al polo medio, uti1izando los valores publicados de X y Y. Esto se efectúa por medio de las ecuaciones
Λ
Λ
Λ
= obs – (xcos ג + ysen )ג tan‘+ytan‘ A = Aobs (xcos ג + ysen )ג sec‘ (519) ‘ = ‘obs – xcos ג + ysen ג
FIGURA 55 Movimiento polar
Ahora hacen referencia al polo medio; estos valores se utilizan en geodesia porque no varían con el tiempo. La longitud se calcula en este libro como positiva hacia el este, como se hace usualmente en geodesia; cabe mencionar que en las publicaciones muchas veces estas fórmulas se escriben para longitud oeste, según lo que acostumbran muchos astrónomos. Como los Λ términos de corrección que contienen X y Y son sumamente pequeños {del orden de 0.1"), podemos usar bien sea los valores geodésicos ‘ y ג o los valores astronómicos ‘ Y en estos Λ términos. El término que contiene ‘Gr (la latitud de Greenwich) en la formu1a para generalmente se omite, de modo qué se mantiene fijo el meridiana medio de Greenwich, en 1ugar de la longitud astronómica del mismo Greenwich. No es el propósito de este libro incluir el desarrollo de estas fórmulas; éste puede hallarse en cualquier texto sobre astronomía esférica. No obstante, es interesante notar la gran simi1itud entre la reducción del acimut (513) producida por la "variación cenital" es decir" la desviación de la vertical y la reducción de la latitud de (519) producida por la variación polar. ε , η , 90 º − z , φ En realidad, la geometría es la misma en ambos casos. Las cantidades Corresponden a x, y, ‘,‘Gr ;la diferencia de signo de sin€ y sin ‘ se debe al hecho de que cuando se observa desde el cenit, el acimut se ca1cula en sentido dextrorso y cuando se observa desde el polo, la longitud este se calcula en sentido sinistrorso. 5-5. Reducción de los Ángulos Horizontales y Ver1icales y de las Distancias
Ángulos Horizontales. Para reducir un ángulo horizontal observado ” al elipsoide es importante notar que todo ángulo puede considerarse como 1a diferencia entre dos acimuts: ” = €2-€1
Por consiguiente podemos aplicar la fórmula (513). En la diferencia €2-€1, el término principal η tan‘ queda eliminado, de modo que en el caso de visuales casi horizontales podemos omitir la reducción por completo. Ángulos Verticales. La relación entre la distancia ceni1tal medida Z` y la distancia cenital elipsoidal correspondiente z se determino en la sección 47 La ecuación (449) nos da z = z` + — = z` + Šcos€ + sin€ η en donde € es el acimut del objetivo. Esta ecuación también puede obtenerse analizando la figura 5-4. Líneas Base. La figura 56 ilustra la reducción de las líneas base medidas al elips0ide. Denotemos un elemento de la distancia medida por dl. Tiene una inclinación ß hacia el horizonte local (la superficie geopotencial a nivel que pasa por d1). La componente de desviación en la dirección de la línea medida que contiene el acimut € se denota por — y está dado por (5 16). El elemento ds, que es la componente de dl paralela al elipsoide es ds = dl cos ( ß —) = dl cosß + —dlsinß Si denotamos la proyección de dl en el horizonte local por dl; dl` = dl cosß y observamos que dl sinß = dh tenemos ds = dl`+ —dh si r es el radio de curvatura local del acimut € del elipsoide, entonces podemos demostrar por medio de la geometría diferencial que.
1 R
=
cos 2 α
M
2
sin α N
FIGURA 5 6 Reducción de las líneas base
en donde M y N son, respectivamente, los radios de curvatura norte-sur y este oeste. luego, si ds0 es la proyección de dl en el elipsoide ds Rh h o
ds 0
=
=1
R
R
h
h
ds 0 =ds− ds 0 =dl ' dh− ds 0
Si (523)
R dsdejamos 0
R
R
que
=dψ
tenemos ds 0 =dl ' dh−hd ψ=d h−hd ψ y al efectuar la integración entre los puntos extremos A y B, obtenemos B
s 0 =l ' B h B − A h A −∫A h d ψ (524)
Si 1a elevación h es prácticamente constante a lo largo de la línea, como suele ocurrir con 1as mediciones de la línea base, entonces la aplicación de un teorema de valor medio del calculo integral, resulta en s 0 =l '
Aquí
B
hB−
A h A −h m B
l ' =∫A dl cos β
B − A −h m
B
∫A dψ
es la suma de la dl’ reducida localmente, y hm es la elevación media a lo largo de la línea. Al Expresar d’ en términos de ds0 por -medio de (523) e integrando obtenemos finalmente (525)
s 0 =l '
B h B −h A − A h A −h m −
hm
R
s0
En un sentido estricto de 1a palabra, R, el radio de curvatura elipsoidal local del acimut €., varia ligerarnente a lo 1argo de la 1ínea de A a B. En la práctica, sin embargo, esta permitido reemp1azar el va1or 1ocal de R por su promedio a lo 1argo de la línea, de modo que podemos considerar R en (5-23) como una constante, lo cual nos lleva a (525). Esto viene a ser la aproximación del arco elipsiodal AB por un arco circular cuyo radio R es el promedio de los valores dados por (5 21) a lo largo de AB. Los términos con representan el efecto de la inclinación entre la superficie geopotencial y Ay B la esferopotencial; casi siempre son insignificantes. El término s0hm/R se debe a la convergencia de las normales elipsoidales. Por consiguiente la reducción exacta de las líneas base según (525) requiere la ondulación geoidal N, a través de la altura h encima del elipsoide, y la desviación de la vertical —. Las líneas base se reducen directamente al elipsoide por medio de las normales el elipsoidales rectas, de acuerdo con la proyección de Helmert.
Distancias espaciales. La medición electrónica de la distancia da como resultado distancias espaciales rectas l entre dos puntos A y B (figura 57). Estas distancias pueden usarse ya sea directamente para cálculos en el sistema de coordenadas geodésicas ‘,ג,h, como en la “geodesia tridimensional” (refierase a la sección 512), o pueden reducirse a la superficie del elipsoide para obtener distancias de cuerda l0 o distancias geodésicas s0.
FIGURA 57 Reducción de Distancias espaciales.
Volvemos a aproximarnos al arco elipsoidal A0B0 por medio de un arco circulas de radio R que es el radio de curvatura elipsoidal medio a lo largo de A0B0. si aplicamos la ley de los cosenos al triangulo OAB hallamos que l 2 = Rh 1 2 Rh 2 2 −2 Rh 1 Rh 2 cos ψ .
Con cos ψ=1−2 sin 2
esto se convierte en y con
ψ 2
l 2 = h 2 −h 1 2 4R 2 1
2 1 y la forma abreviada , obtenemos
l 2 = h 2 1
h1
R
1
h2 ψ sin 2 ; R 2
ψ
l 0 =2R sin
h=h −h
h1
2
h2
l 20 R R por tanto la cuerda l0 y el arco s0 están dados por 1
l 2 −h
2
l 0= h h 1 1 (526)
1
2
R
R
(527) −1 l 0 s 0 = Rψ=2R sin
2R
Los refinamientos elipsoidales de estas fórmulas: pueden hallarse en la pub1icación de Rinner (1956). La razón por la cual difieren tanto los procedimientos de reducción para las líneas base y para las distancias medidas e1ectrónicamente es que podemos considerar que las primeras se minen a lo largo de la superficie de la tierra y se reducen por partes, al horizonte local, lo cual comprende la dirección de la vertical, mientras que las distancias espaciales rectas son independientes de la vertical. Por lo tanto, la fórmula de reducción (526) no contiene la desviación de la vertical — . 5-6. Reducción de las coordenadas Astronómicas para la Curvatura de la línea de la Plomada
Λ Las coordenada; astronómicas ‘ y , tal como se observan en la superficie de la tierra, no son exactamente iguales a sus valores correspondientes en el geoide puesto que la línea de la plomada, la, línea de fuerza, no es recta, en otras palabras, porque las superficies; de nivel no son paralelas. Por consiguiente, si deseamos que nuestras coordenadas astronómicas hagan referencia al geoide, tendremos que reducir nuestras observaciones de una manera acorde.
En principio, 1a proyección de Helmert evita la reducción de la curvatura de la línea de la plomada porque no utiliza el geoide directamente, pero si se desea usar u obtener cantidades que hagan referencia al geoide será necesario efectuar dicha reducción. Algunos ejemplos de este caso serian: 1. Las desviaciones gravimétricas generalmente se calculan por medio de la fórmula de Vening Meinesz para el geoide; de modo que hay que reducir las desviaciones gravimétricas hacia arriba al punto terrestre o hay que reducir las observaciones astronómicas hacia abajo al geoide para que las dos cantidades puedan compararse. 2. Si se utilizan observaciones astronómicas para la determinación de1 geoide, deberá aplicarse la misma reducción que se explica en la siguiente sección. Consideremos ahora la proyección de la línea de la plomada en e1 plano meridiano. De acuerdo con la definición conocida de la curvatura de una curva plana, el ángulo entre dos tangentes contiguas de esta proyección de la línea de 1a plomada es dφ=−α 1 dh ,
en donde e signo negativo es convencional y la curvatura está representada por (222a 1: α 1=
1 ∂g g ∂x
.
El eje x es horizontal y apunta hacia el norte. Por lo tanto, el cambio total de latitud a lo largo de la 1ínea de la plomada entre .un punto sobre el
terreno, P; y su proyección en el geoide, P0, está representado por p
p
δφ=∫p dφ=−∫p α 1 dh 0
0
o (5 p 1 ∂g 28a) δφ=−∫ dh p0 g
∂y
En forma similar hallamos para el cambio de longitud, €2 (222b); sustituyendo a
P 1 ∂g δλ cos φ=−∫p dh , (528a) 0 g ∂y En donde el eje y es horizontal y apunta hacia el este. Fórmulas alternas. Hay una estrecha relación entre la reducción de la curvatura de las coordenadas astronómicas y la reducción ortométrica de la nivelación, considerada en la sección 4.4.
FIGURA 58 Curvatura de la línea de la plomada y corrección ortométrica.
La corrección ortométrica d(OC) se ha definido como la cantidad que debe agregarse al incremento de nivelación dn para convertirlo en la diferencia de altura ortométrica dH: d(OC) =dHdn (529)
En la figura 58 vemos que, para un perfil nortesur, la reducción de la curvatura y la corrección ortométrica están relacionadas por la fórmula sencilla ∂ OC (530a) δφ= ∂x
En forma similar hallamos que δ OC (530b) dλ cos φ= δy
De acuerdo con la sección 44, tenemos dC = gdn = dW, H=
C g
Por consiguiente (529) pasa a ser 1
1
d(OC) = dH dC = dH + dW, g g de modo que
δφ=
∂H ∂x
1 ∂W g ∂x
∂H
1 ∂W
∂y
g ∂y
(531) dλ cos φ= Estas ecuaciones relacionan la reducción para la curvatura de la línea de la plomada con la altura ortométrica H y el potencial W. En vista de la forma irregular de las líneas de la plomada resulta sorprendente que existan relaciones generales tan simples como las (530) y (531). Estas relaciones pueden usarrse para hallar fórmulas de cálculo para las reducciones …‘ y … גde la curvatura (Bodemüller, 1957). Tenemos d(OC)= dH =d = dC C dC dC C dC
g
g
C
g− g
g
g
− dg
= o
g
g
g
2
dg
g
dn .
H
g−g
g
g
d OC =− d g
dn .
Si sustituimos esto en (530ª,b) obtenemos δφ=−
H ∂ g
g− g
tan β 1 ,
g ∂x g (5 H ∂g g−g 32) δλ cos φ=− tan β , g ∂y
g
2
En donde hemos dejado que tan ß 2 = , ∂ n 1 = , tan ß ∂n ∂x
∂y
De manera que ß1 y ß2, son los ángulos de inclinación de los perfiles nortesur y esteoeste con respecto al horizonte local; es el valor medio de la gravedad entre el geoide y el terreno. En g estas fórmulas sólo necesitamos este mientras que (528) necesitamos conocer las derivadas horizontales de la gravedad a todo lo largo de la línea de la plomada. En (532) no se usa directamente la forma detallada de las líneas de la plomada como se hace en (528). El valor medio se determina mediante una reducción de Prey de la gravedad medida g. Para g g g … /…x y … /…x proporciones resultados confiables, se que las diferenciaciones numéricas necesita una red densa de gravedad alrededor de la estación, y la reducción de Prey deberá efectuarse cuidadosamente. Los ángulos de inclinación ß1 y ß2 se obtienes de un mapa topografía. El signo de estas correcciones puede determinarse de la siguiente manera. Si g disminuye en la dirección x, entonces las fórmulas (528) y (532) resultaran en …‘>O y la figura 58 muestra que ‘ en P0 es mayor que en P. Φgeoid = Φground + δ‘ Λ geoid= Λground + δΛ (533) para otros métodos de determinar la curvatura de la línea de la plomada refiérase a los trabajos de Arnold (1956, sección C ) y de Ledersteger (1955). γ Curvatura de la línea de plomada normal. Si, en lugar de la gravedad real g, se utiliza la gravedad normal Para calcular la curvatura de la línea de la plomada, hallamos, utilizando
2 2‘ …..) γ = γz (1+f*sin h a
que 2γ a 2γ ∂γ 1 ∂γ f*sin‘cos‘= f*sin‘cos‘, = = ∂x
R ∂φ
∂γ 1 ∂y
=
R
∂γ
R cos φ ∂ λ
R
=0
Por tanto, el integrando en (528ª) no depende de h, de manera que la integración puede efectuarse enseguida. Hallamos
f ∗¿ δ‘normal= h sin2‘ = -0.17” hmm sin2‘ (5 R 34) ¿ δ גnormal = 0
La curvatura de la línea de plomada normal en dirección esteoeste es cero por la simetría de rotación del elipsoide de revolución. La reducción normal 85_34) se aplica muchas veces convencionalmente, pero se usa poco puesto que el efecto de las irregularidades topográficas en la curvatura de la línea de la plomada es muchas veces mayor que la parte “normal “. En montañas altas, la reducción verdadera puede alcanzar varios segundos de arco ( Kobold y hunziker, 1962). Para la aplicación exacta de la reducción normal (534) refiere a la sección 89.
57 La Determinación Astrogeodésica del geoide La forma del geoide puede determinarse si se conocen las desviaciones de la vertical. La ecuación básica es ( 2 202): dN = — ds Al integrar obtenemos B
NB ∫ = N A A — ds En donde — = ξcosα + ηsinα
Es la componente de la desviación de la vertical a lo largo del perfil AB, cuyo acimut es €; véase la ecuación ( 516). Esta formula expresa la ondulación geoidal como una integral de las desviaciones de la vertical a lo largo de un perfil. Como N es una función de posición, esta integral no depende de la forma de la línea que conecta los puntos A y B. esta línea no necesariamente es una geodésica en el elipsoide, y en el caso general € puede ser variable. En la practica, los perfiles norte –sur (— = Š) o este – oeste (— = n) se utilizan con frecuencia. Hay que determinar el valor de la integral (536) por medio de una integración numérica o gráfica. Deberá conocerse la componente de desviación — en suficientes estaciones a lo largo del perfil para que la interpolación entre estas estaciones pueda efectuarse con cierto grado de confiabilidad. Algunas veces se dispone de un mapa de Š y n para determinada área. Estos mapas se construyen mediante interpolación entre estaciones bien distribuidas en las que se ha determinado Š y n. Luego pueden seleccionarse debidamente los perfiles de integración; se pueden formar circuito; para obtener redundancias que deben ajustarse.
Si las componentes de desviación Š y n se obtienen directamente de las ecuaciones
Š=‘-‘0 , n = (0 ג – )ג cos‘ (5-37) Es decir, comparando las coordenadas astronómicas y geodésicas del mismo punto, entonces dicho método se conoce como la determinación astrogeodésica del geoide.
Las coordenadas astronómicas se observan directamente; las coordenadas geodésicas se obtienen de la siguiente manera. Se escoge cierto “punto inicial” p1 en un sistema de triangulación más grande para el que se establece la ondulación N1 y las componentes Š1 y n1 de la desviación de la vertical. En principio se pueden establecer arbitrariamente Š0 ,n0 y N1 ; por lo tanto la posición del elipsoide de referencia con respecto a la tierra es fija. Para efectos de definición, consideremos ahora un caso de gran importancia practica, es decir, aquel donde Š1 = n1 =N1 = 0. Como en este caso el Š1 = n1 = 0 el geoide y el elipsoide tienen la misma normal a la superficie, 5 de modo que como N1= 0 el elipsoide es tangente al geoide debajo de P1 (figura 59). La condición de la tierra determina finalmente la orientación de la red de triangulación ya que la 5
Se hace caso omiso de la curvatura de la línea de la plomada.
ecuación de Laplace (514) da entonces como resultado Δ€1 = n1 tan‘=0. de modo que €1 = A1; es decir que en el punto inicial el acimut geodésico es igual al acimut astronómico. Ahora podemos reducir las distancias y los ángulos medidos al elipsoide y calcular en él la posición de los puntos de la red de triangulación (sus coordenadas geodésicas ‘ y Ν ) en forma usual. Después de medir las coordenadas ‘ y Л astronómicamente en los mismos puntos, podemos calcular las componentes de desviación Š y n con (537). Empezando por el valor supuesto de N1 en el punto inicial P1 (en nuestro caso N1= 0) podemos finalmente calcular las alturas geoidales n de cualquier punto de la red de triangulación aplicando (536) repetidamente. Estas alturas geoidales hacen referencia al elipsoide cuya posición qudo fija al establecer previamente los valores de Š0 ,n0, N0 Y por supuesto de su semieje mayor a y de su achatamiento f. Para emplear un término que se utiliza frecuentemente, estas hacen referencia a un determinado dátum astrogeodesico (a, f, Š0 , n0 y N1).
FIGURA 59 El elipsoide de referencia es Tangente al geoide en P1
Por medio de N y de la altura ortométrica H, se obtiene la altura h, encima del elipsoide (h 0 H+N ), de modo que es posible calcular las coordenadas rectangulares espaciales X, Y, Z por medio de ( 55 ). Pero a menos que ξ y η sean desviaciones absolutas, el origen del sistema de Coordenadas no estará en el centro de la tierra; véase la sección 59. Lo Que parece ser una falla en el procedimiento descrito anteriormente es Que ya se necesitan N, ξ, η para la reducción de los ángulos y distancias medidas al elipsoide. Sin embargo, para este propósito los valores aproximados de N, ξ, η resultan suficientes estos se obtienen llevando a cabo el procedimiento que acaba de explicarse con los ángulos y las distancias sin reducir. También pueden obtenerse valores apropiados para N, ξ, η en otras formas, por ejemplo con la fórmu1a de Stokes. Cabe mencionar que en la práctica muchas veces la componente ηse obtiene de las mediciones acimutales usando (518), η = ( A – α ) cot ‘, ( 538 ) dado Que las mediciones astronómicas; del acimut son mucho más sencillas que las de la longitud. Además. Con frecuencia la longitud y el acimut se miden en e1 mismo punto. Luego la condición de Laplace Δα = Δ ג sin ‘ representa una verificación para la orientación correcta de la red y puede usarse para efectos de ajuste. Las estaciones astronómicas con observaciones de longitud y de acimut se conocen por lo tanto como estaciones de Laplace. La determinación astrogeodésica del geoide fue desarrollada por Helrnert (1880); también. se le' conoce como nivelación astronómica. Comparación con el método de Stokes. Resulta ilustrativo comparar la fórmula de Helmert ¿B¿
N = NA —ds para el método astrogeodésico con la fórmula de 5tokes N=
R
∬
4 nG σ
gS ψ dσ
para el método gravimétrico. Ambos métodos utilizan el vector de gravedad g. Es equivalente a un vector de gravedad normal γ. Las componentes ξ = Δ‘ η= de la desviación de la vertical representan las diferencias de dirección y la anoma1ía de la gravedad Δg representa la diferencia de magnitud de los dos
vectores. La fórmu1a de Helmert determina la ondulación geoidal N a partir de ξy η, es decir por medio de la dirección de g, y la fórmula de Stokes determina N a partir de Δg, es decir por medio de la magnitud de g. Ambas f6rmulas son algo similares: son integrales que contienen —,O, ξ y η, y Δg en forma lineal.
De lo contrario, .las dos fórmulas muestran diferencias marcadas las cuales son características de los respectivos métodos. En la fórmula de Helmert la integración se extiende sobre parte de un perfil.; por lo tanto sólo es necesario conocer la desviación de la vertical en un área limitada, Sin embargo, la posición del elipsoide de referencia con respecto al centro de gravedad de la tierra se desconoce, y puede determinarse solamente por medio del método gravimétrico (sección 510) o análisis de las órbitas satelitales (sección 98), Además el método astrogeodésico solo puede usarse en tierra ya que es imposible efectuar las Mediciones necesarias en el mar, En la fórmula de Stokes, no obstante, la integración debe extenderse sobre toda la tierra. Hay que conocer la anomalía de la gravedad Δg en toda la tierra; sin embargo, es posible efectuar mediciones gravimétricas precisas en el mar. El método gravimétrico proporciona las ondulaciones geoidales absolutas para toda la tierra, en donde el centro del e1ipsoide de referencia coincide con el centro de la tierra. Por consiguiente, de los métodos geodésicos tradicionales, solamente el gravimétrico permite tener un sistema geodésico a nivel mundial. El método astrogeodésico es necesario por ejemplo, para establecer la escala. Ambos métodos deberán combinarse y comp1ementarse por aquella información geodésica que pueda obtenerse de otras formas, especialmente aquellas. que proporcionan los sate1ites artificiales; véase el Capítulo 9. Corrección para la curvatura de la línea de la plomada. En la fórmula (536), las componentes de desviación ξ y ηhacen referencia al geoide. Esto significa .que las observaciones astronómicas de ‘ y Λ deben reducirse al geoide de acuerdo con la sección 56. También es posible, y muchas veces más; conveniente, no aplicar esta corrección para la curvatura dé la línea de la plomada a las coordenadas astronómicas ‘ y Λ sino a las diferencias de la altura geoidal calculadas a partir de las componentes no reducidas de la desviación (Helmert, 1900 y 1.901). Estos valores N, denotados por N', se obtienen utilizando en (537) las coordenadas ‘ y Λ directamente observada; las cuales definen la dirección de la plomada en la estación P de la figura 510. La notación N se ha reservado para las alturas geoidales correctas. dh= dN+ d.H = dN' + dη, Luego de la figura 510 vemos que:
FIGURA 5lO reducción de la nivelación astronómica. en donde h es la altura geométrica del elipsoide. Por tanto vemos que la diferencia entre el elemento no reducido de la altura gordal y el dN’ – dN = dHdη 0 d(OC), (5 39) es igual a la diferencia entre el elemento dH de la altura ortométrica y el incremento de nivelación dn, que es la reduccion ortométrica d(OC). Por consiguiente NB – NA = N’B N’A – OCAB, (540) de manera que podemos aplicar enseguida la ecuación (433) del capítulo anterior: ¿ B ¿ ¿ B ¿g −γ 0 g g B −γ 0 A −γ 0 H BB − γ dη γ N – NAγ = H A , —ds 0 0 0 (541)
En donde γ0 es un valor constante arbitrario que puede escogerse convenientemente, las componentes de desviación — se calculan a partir de los valores terrestres observados ‘ y Λpor medio de (537) y (516). El método astrogeodésico se ha aplicado frecuentemente a la determinación de las secciones geoidales; refiérase por ejemplo a Bomford (1963), Fischer (1961), Galle (1914), Niethammer (1939) Olander (19519, Rice (1962) y Wolf (1956). En el trabajo de Bomford se podrá hallar una explicación de los aspectos prácticos y de la precisión del método (1962, capitulo 5, sección 5). 58. Interpolación de las Desviaciones de la vertical. Nivelación Astrogravimétrica
La fórmula de Helmert (536) para la nivelación astronómica da por sentado que las estaciones donde se conocen las desviaciones de la vertical se encuentran muy cerca entre sí. Por tanto puede construirse un perfil para — por interpolación, y la integración de (536) puede efectuarse numéricamente o gráficamente. Si para A y b en (5 36 ) tomamos dos estaciones astrogeodésicas vecinas y éstas se encuentran tan cerca una de la otra que el perfil geodésico entre ellas puede aproximarse mediante el arco de un círculo, entonces esta fórmula pasa a ser A B N B – NA = s 2 (542) En donde s es la distancia A y B. En esta forma es posible evitar la interpolación; pero esto sólo es aparente puesto que la hipótesis de que el geoide entre A y B forma un arco circular es en sí equivalente a una interpolación, y no necesariamente la mejor. En áreas moderadamente niveladas, por lo general una distancia de unos 25 Km entre estaciones y la aproximación (542) resultan adecuadas; pero en
montañas altas puede que un espaciado de 10 Km o hasta menos no sea suficiente. Como las observaciones astronómicas requieren mucho tiempo, se han ideado formas más eficaces para interpolar entre estaciones asrogeodésicas. Dichos métodos son: medición de distancias cenitales; uso de la balanza de torsión nivelación astrogravimétrica uso de las desviaciones topográficasisostáticas. Ahora trataremos algunos aspectos de estos métodos. Distancias cenitales. Las mediciones de las distancias cenitales pueden usarse. por lo menos teóricamente, para reemplazar las observaciones astronómicas (de GraafHunter, 1913). El principio ya se ha descrito en la sección 4 7. La ecuación básica es (457): —2 - —1 = Z’1 + Z’2 –γ180º (444) en donde Z’1 y Z’2 representan las distancias cenitales medidas en las que se ha corregido el efecto de la refracción atmosférica. El ángulo γ está dado por s R
γ = (544) en donde s es la distancia elipsoidal entre las estaciones 1 y 2, Y R el radio de curvatura medio a lo largo del arco s. La distancia s se obtiene por medio de triangulación o trilateración. la dificultad de este método es, por supuesto, el margen adecuado de error para la refracción atmosférica. Por consiguiente en la actualidad su uso se limita a las montañas altas. Este metado se está aplicando con éxito en los Alpes suizos, donde se han obtenido diferencias de desviación con una precisión de +1" (Kobold. 1951). Mediciones con la balanza de torsión. La balanza de torsión instrumento que mide ciertas combinaciones
2
2
2
2
∂ W ∂ W ∂ W ∂ W − , , , 2 ∂y ∂ x2 ∂ x∂ y ∂ x∂ z ∂ y∂z 2
∂ W
de las segundas derivadas parciales del potencial de la gravedad con respecto al sistema de coordenadas rectangulares con un eje z vertical. Tornemos ahora el eje X en dirección norte y consideremos la cantidad ∂2 W
∂x∂y
en el geoide. Como el potencial normal U es constante a 1o largo del elipsoide, y por consiguiente ∂2 U
∂x∂y
=0
2
2
y el plano xy es tangente al elipsoide, tenemos
∂ T
∂x∂y
=
∂ W ∂ x∂y
2
2
1 ∂ T 1 ∂ T η = Aplicando las relaciones básicas − ξ = , − , G
∂x
G
en donde G es el valor medio de la gravedad, obtenemos a partir de las mediciones con la balanza de torsión.
∂ε ∂y
=
∂η ∂x
∂y
=−
1 ∂2 T G
∂y
,
Por consiguiente conocemos ciertas derivadas horizontales de las componentes de la desviación de la vertical. Es evidente que podemos obtener las diferencias ξ2 – ξ1 y η2 η1 de las componentes de las desviación por medio de una integración apropiada de (545). Los detal les son algo complicados; el lector pu1de referirse a las descripciones que se dan en las publicaciones de Baeschlin (1948) y de Muel1er (1963).
Este método es muy susceptible a las irregularidades topográficas, y las mediciones son algo demoradas. Se usa muy poco hoy día pero tal vez no deba pasarse completamente por alto. Además de su gran interés teórico, puede tener una importancia practica en áreas niveladas en donde no existe o no es posible efectuar un levantamiento gravimétrico detallado, necesario parra la nivelación astrogravimétrica por ejemplo, a lo 1argó de los litora1es. Nivelación astrogravimétrica. Si en la fórmula Vening Meinesz la integración no se extiende sobre toda la tierra sino solamente sobre el área vecina al punto considerado, entonces se producirá un error por haberse omitido las zonas distantes. Este error sin embargo es casi igual para puntos que no se encuentran demasiado distantes, y varía sólo lentamente para los puntos de un perfil corto, de mono que es posible usar las desviaciones gravimétricas calculadas de esta forma para interpolación entre las desviaciones astrogeodésicas. de —’ = ξ’cosα+ η’sinα. (546) Con ξ' y η', obtenidas gravimétricamente, se calculan las componentes —‘ de la forma usual: Las diferencias δ— = — -—‘ (547) entre las desviaciones. astrogeodésicas "correctas" — y los valores gravimétricos aproximados —' varían sólo lentamente y es posible suponer que cambian en forma lineal con la distancia, de modo que pueden calcularse por una interpolación 1ineal δ Β− A δ— P = δ—A + sAp, (548) s AB
donde P es cualquier punto en el perfil entre las estaciones astronómicas B y s es la distancia entre los puntos que corresponden a los subíndices. El procedimiento es por lo tanto el siguiente. En A Y. B se dan las desviaciones astronómicas —A y—B. En estos puntos y en los puntos
Intermedios P2……, Pn se calculan las ecuaciones gravimétricas —A‘,—B‘,—p‘….—n‘ se interpola δ— en los puntos intermedios por medio de (5..48). Luego se calculan las desviaciones deseadas de la vertical — en los puntos intermedios, con referencia al dátum astrogeodésico por medio de —1 =—1‘ + δ—
(5-49)
Esta combinación de desviaciones astrogeodésicas con valores interpolados gravimetricamente se conoce como nivelación astrogravimétrica (Molodenskii al.,1962, capítulo6). Este se considera el mejor método interrelación. Si se utiliza, entonces las estacione astrogeodésicas pueden estar separadas por 100 y hasta 200 Km. en terreno nivelado, pero siendo este el caso será necesario tener una red gravimétrica suficientemente densa que se extienda por lo menos dos veces la distancia entre dos estaciones. La nive1ación astrogravimétrica muestra1a 'gran flexibilidad del método gravimétrico. La fórmula de Vening Meinesz puede aplicarse con dos fines totalmente distintos: si estamos integrando sobre toda la tierra, da como las desviaciones abso1utas de la vertical, proporcionando así la orientación abso1uta de los sistemas astrogeodésicos; si estamos integrando sobre un área limitada, ayuda a interpolar entre las desviaciones astrogeodésicas relativas. Uso de las desviaciones topográficasisostáticas. En (5 49) también calcularse las desviaciones de la vertical —‘ a partir del efecto de la topografía (Helmert, 1900 y 1901). Este método puede mejorarse tomando en cuenta el efecto de la compensación isostática. Para ello no se necesita gravimétrica. Dicho método se ha aplicado con éxito para interrelaciones entre estaciones astrogeodésicas alpinas que no se encuentran demasiado separadas (Niethammer, 1939). No obstante, se ve afectado por las morfologias de densidad desconocida, etc., y representa mucho trabajo. Por consiguiente, se prefiere la nivelación astrogravimétrica cuando las estaciones astrogeodésicas son grandes. 59 Transformaciones de las Coordenadas y Desplazamientos del Dátum Tal como se estableció en la sección 57, un datum geodésico se determina con las dimensiones del elipsoide de referencia (semieje mayor a y achatamiento f) de su y posición con respecto a la tierra o al geoide. Esta posición relativa biene dada por lo general por la ondulación geoidal. N1 y las componentes ξ1, y η1, la desviación de la vertical en un punto inicial P1. En lugar de ξ1, η1 ,N1 podriamos utilizar también las coordenadas geodésicas ‘1,1 ג, h1 de P1 porque ξ1 = ‘1- ‘2 η1 = ( 1 ג 2 ג )cos‘ N1 =h1 – H1
(550)
Hay un método equivalente, aunque superficialmente diferente, en el que se utilizan las coordenadas rectangulares x0, y0, z0 del centro del elipsoide de referencia con respecto al centro de la tierra. Si variamos el dátum geodésico es decir, el elipsoide de referencia y su posición. entonces las coordenadas geodésicas ‘, ג, h y, por consiguiente, las desviaciones de la vertical y las ondulaciones del geoide, ξ=‘-‘, (550) η = ( Λ ג )cos‘, N =h1 – H1 también cambiarán. Como hay tres formas diferentes de fijar el dátum, podemos formular estos cambios en términos de la variación de ξ0, η0 ,N0 o ‘0,0 ג, h0 o x0, y0, z0 Matemáticamente, el problema se reduce sencillamente a una transformación de las coordenadas puesto que cada dátum geodésico corresponde a un sistema distinto de coordenadas geodésicas ‘,ג , h. Digamos que el centro del elipsoide de referencia no coincide con el centro de gravedad de la tierra, sino que el eje del elipsoide se encuentra paralelo al eje de rotación de la tierra. Supongamos un sistema de coordenadas rectangulares X, Y, Z cuyo origen es el centro de gravedad de la tierra (no el centro del elipsoide como antes), en donde los ejes tienen la misma reacción que antes. Digamos que las coordenadas del centro del elipsoide con respecto a este sistema son X0, Y0, Z0 como se indicó anteriormente. Luego, obviamente, es necesario modificar las ecuaciones (55) para que se conviertan en X = x0 + (N + h)cos‘cos ג, Y = y0 + (N + h)cos‘sin ג, (552) 2 Z = z0b + ( N + h)cos‘cos ג, a2
Estas ecuaciones forman el punto inicial para diversas fórmulas diferenciales importante; de transformación de coordenadas. Primero nos preguntamos cómo cambian las coordenadas rectangulares X, Y, Z si variamos las coordenadas geodésicas ‘,ג , h. por las pequeñas cantidades δ‘, δ ג, δh y si alteramos asimismo el dátum geodésico, principalmente el elipsoide de referencia (a, f) y su posición (X0, Y0, Z0) por δa, δf y δx0, δy0, δz0. Nótese que δf y δx0, δy0, δz0 corresponden a una traslación pequeña (desplazamiento paralelo) del elipsoide, donde su eje permanece paralelo al eje de la tierra. La solución de este problema se logra diferenciando (552): Xx ∂ X δa + ∂X ∂X X δX = ∂ δ δf + δ‘ ∂+ δ ג + δh0 0 + ∂a ∂f ∂φ ∂λ ∂h Yy ∂ Y δa + ∂y ∂Y Y δY = ∂δ δf + δ‘ ∂+ δ ג + δh0 0 + ∂a
∂f
∂φ
∂λ
∂h
(553) Z ∂Z ∂Z ∂Z δZ = ∂δ z0 + δa + δf + δ‘∂ Z+ δ ג + δh0 ∂a
∂f
∂φ
∂λ
∂h
Esto que según el teorema de Taylor los cambios pequeños pueden considerarse no diferenciales. En estas fórmulas diferenciales nos consideraremos satisfechos con una aproximación. Como el achatamiento f es pequeño, podemos desarrollar (281) 2 2 1/2 N = (1e’ cos ‘) = (1 e’2cos2‘...) a2 a2 1
2 b b = a(1+f…)(1f cos ‘...)= a(1 f fcos ‘...); 2 2
N = a(1+fsin2‘); 2 N =(12f…) a(1+ fsin ‘…)= a (1 2f + fsin2‘), 2 b
dado que
a2
b = a(1f), e’20 2f…. por consiguiente, las ecuaciones (552) pueden aproximarse po medio de X = x0 + (a+ afsin2‘ + h)cos‘cos ג, Y = y0 + (a+ afsin2‘ + h)cos‘sin ג, Z = z0 + (a2af+ afsin2‘ + h)cos‘cos ( ג 552’) ahora podemos formar las derivadas parciales en (553), por ejemplo 2 ∂X = (1+fsin ‘)cos‘cos ג =cos‘ cos ג,
∂a
la que podemos hacer caso omiso del achatamiento en estos coeficientes. Esto se resume a utilizar una aproximación esférica, análoga a la de la sección 214, para los coeficientes, y solamente para éstos. De igual manera, se obtienen fácilmente todos los coeficientes como derivadas parciales y las ecuaciones (553) pasan a ser δX = δx0 – a sin‘cos ג δ‘ a cos‘sin ג δ ג + cos‘cos ג (δh + δa + a sin2‘δf), (554a) δY = δy0 a sin‘sin ג δ‘ a cos‘cos ג δ ג + cos‘sin ג (δh + δa + a sin2‘δf), (554b) δZ = δz0 – a sin‘ δ‘ +sin‘(δh + δa +a sin2‘δf) 2a sin2‘δf, (554c) Estas fórmulas dan como resultado los cambios en las coordenadas rectangulares X, Y, Z, en términos de la variación en la posiciórr (x0, y0, z0) y las dimensiones (a, f) del elipsoide y en las coordenadas geodésicas ‘,ג , h que hacen referencia al mismo.
Trasformaciónde las coordenadas geodésicas. De las ecuaciones (554) se pueden deducir varias fórmulas importantes para la transformación de las coordenadas. En primer lugar, digamos que la posición de P en el espacio no cambia; es decir, hagamos que δX = δY = δZ = 0 se determina el cambio de las coordenadas geodésicas ‘,ג , h cuando varían las dimenciones del elipsoide de referencia y su posición.
El problema es por lo tanto resolver las ecuaciones (554) para despejar δ‘, δ ג, δh en donde los terminos de la izquierda se igualan a cero. Para obtener δ‘ se multiplica (554a) por sin‘cos ג multiplica (554b) por sin‘cos 554( גc) por cos‘,y luego se suman todas las ecuaciones obtenidas en esta forma. Para δ ג los factores son sin ג, cos ג y O; para δh son cos‘cos ג, cos‘sin ג y sin‘. El resultado es aδ‘ = sin‘cos ג δx0+ sin‘ sin ג δy0 cos‘ δz0 + 2a sin‘cos‘δf, a cos ג δ =גsin גδx0 cos גδy0, (555) δh = cos‘cos ג δx0 cos‘ sin ג δy0 sin‘ δz0 – δa+asin2‘δf, Hemos visto que la traslación del elipsoide también puede expresarse en términos de los cambios en las coordenadas geodésicas δ‘1,δ 1 ג, δh1 de un punto inicial, en lugar de δx0,δy0, δz0 Luego el problema es determinar las variaciones δ‘,δ ג, δh en los otro puntos. Primero se expresa el desplazamiento paralelo (δx0,δy0, δz0 ) del elipsoide en término de los δ‘1,δ (debido otra vez a que la 1 ג δh 1 dados. En las ecuaciones (554), dejamos que δX = δY = δZ = 0 posición de los puntos en el espacio no canbia) y ‘=‘1 1 = ג ג h=h1 Luego obtenemos δx0 = a sin‘1 cos 1 ג δ‘1 + a cos‘1 sin 1 ג δ 1 ג cos‘1 cos 1 ג (δh1 + δa + a sin2‘1δf), (556) δy0 = a sin‘1 sin 1 ג δ‘1 a cos‘1 sin 1 ג δ 1 ג cos‘‘1 cos 1 ג (δh1 + δa + a sin2‘1δf), δz0 = a sin‘1 δ‘1 a cos‘1(δh1 + δa + a sin2‘1δf) +2a sin‘1δ f Estas expresiones para las componentes de desplazamiento δx0,δy0, δz0 se incorporan a las ecuaciones (555), de modo que finalmente se obtiene: δ‘= cos‘1 cos‘ + sin‘1 sin‘cosΔ ג δ‘1 sin‘ sinΔ •גcos‘1 δ 1 ג +(sin‘1 cos‘ cos‘1 sin‘ cosΔ δh 1 )ג δa sin 2 Φ 1 δf a a
+2cos‘(sin‘-sin‘1) δ (557) f cos‘δ =גsin‘1 sinΔ ג δ‘1 + cosΔ •גcos‘1 δ 1 ג cos‘1 δ sinΔ h1 δaג sin 2 Φ 1 δf a a
=δh(cos‘1 sin‘ + sin‘1 cos‘cosΔ )ג δ‘1 + cos‘ sinΔ •גcos‘1 δ 1 ג a +(sin‘ 1 sin‘ + cos‘1 cos‘ cosΔ δh 1 )ג δa sin 2 Φ 1 δf a a δa 2 +(sin ‘-2sin‘1 sin‘) δ f
a
en donde Δ 1 = ג ג ג
Estas fórmulas expresan las variaciones δ‘,δ ג, δh en algún punto vario en términos de las variaciones δ‘1,δ 1 ג δh1 en un punto determinado y los cambios δa y δf de los parámetros del elipsoide de referencia. De esta forma relacionan dos sistemas diferentes de coordenadas geodésicas, Conviene que éstos se encuentren tan cerca uno del otro que sus diferencias pueden considerarse lineales. Matemáticamente, las ecuaciones (557) son formaciones infinitesimales de coordenadas; para el geodesta, representan el efecto de un cambio en el dátum geodésico. Son eluivalentes a las ecuaciones (55). Tanto (555) como (557) son transformaciones infinitesimales de coordenadas geodésicas; difieren solamente en los parámetros que se encuentran para determinar el sistema coordenadas, el dátum geodésico; en (555) el sistema de coordenadas se define por (a, f; x0,y0, z0) y en (557) (a, f; ‘1 1 ג h1 ). conformacion de ξ, η N. Por lo general, las ecuaciones (557) se expresan en términos de las variaciones de las componentes de desviación ξ y η y de la variación geoidal N. Como las coordenadas natulales ‘,Λ,H no se ven afectados por un desplazamiento del dátum y no cambian, obtenemos (551) δ‘ = δξ, δ ג cos‘ = δη, (558) δ =δN, asumiendo que las ecuaciones (557) adoptan la forma
δξ= (os‘1 cos‘ + sin‘1 sin‘cosΔ ג ) δξ1 sin‘ sinΔ גδη1 δN 1 δa (sin‘1 cos‘ cos‘1 sin‘ cosΔ )ג sin 2 Φ 1 δf a a
2cos ‘(sin‘-sin‘1) δ f (559) δη1=sin‘1 sinΔ ג δξ1 + cosΔ ג δη1 δN 1 δa + cos‘1 sinΔ גsin 2 Φ 1 δf a a
δN
= (cos‘1 sin‘ - sin‘1 cos‘cosΔ )ג δ‘1 cos‘ sinΔ ג δη1 a δN 1)ג δa +(sin‘1 sin‘ + cos‘1 cos‘ cosΔ sin 2 Φ 1 δf a a δa 2 +(sin ‘-2sin‘1 sin‘) δ f
a
Estas fórmulas para el efecto de un desplazamiento de1 dátum geodésico se consideran entre las más importantes de la geodesia. Fueron desarrolladas por varios científicos, 6 entre ellos Vening Meinesz. (l950, 1953), y generalmente se conocen por su nombre. Anteriorménte se usaban fórmulas superficialmente similares que habían sido desarrolladas por Helmert pero que estaban basadas en principios geométricos completamente diferentes, y no son apropiadas para la geodesia moderna. 7
Cabe hacer notar que las primeras dos; ecuaciones (559) también pudieron haberse deducido diferenciando la tercera de estas ecuaciones, puesto que (2204) da como una aproximación esférica. Aplicaciones. A modo de ilustración, vamos a aplicar estas fórmulas al caso práctico más importante, la orientación absoluta de un sistema geodésico local, o su conversión a un sistema geodésico mundial (Heiskanen, 1951). Supongamos que se ha calculado una red de triangulación o de trilateración en un dátum geodésico local (a’, f’; ξ’, η’,N’ ). Las cantidades que hacen referencia a este sistema se indicarán por medio de un signo de prima. Por lo tanto ξ’, η’,N’ pertenecen al punto fundamental P1; pueden considerarse como cero o cualquier otro valor. 6
pudiéramos mencionar de GrasHunter en 1929, Krassovsky en 1934 y 1942 y Benford en 1939.
La idea de Helmert se basa en la traslación de líneas geodésicas en el elipsoide que básicamente es un problema bidimensional, mientras que la idea de Vening Meinesz se basa en la traslación del elipsoide en él espacio. Solamente esto ultimo corresponde a la naturaleza esencialmente tridimensional de la geodesia moderna. 7
Supongamos ahora que en e1 Punto inicia1 se conocen la a1tura geoida1 absoluta ξ1 y η1. (En1a siguiente sección se explica cómo determinan.) Los valores absolutos N, ξ, η se refieren en general a un elipsoide distinto (a,f), cuyo centro se encuentra en el centro de gravedad de la tierra. Las cantidades a, f; ξ1, η1,N1 determinan este “sistema geodésico mundial" completamente. Ahora resulta muy fácil transformar el sistema local ( a’, f’; ξ’, η’,N’) al sistema mundial. Haciendo que δ ξ = ξ1 – ξ' δ η = η1 – η ' δa =a – a' δN1 =N1 –N' δf =f –f' (560) se calculan, para todos los puntos del sistema local, s cambios δ ξ, δ η , δN por medio de las ecuaciones (559), Luego, ; ξ, ηN de sistema mundial estarán representados por , ξ =– ξ'+ δ ξ η1 = η’+ δ η N1=N`+ δN Las coordenadas geodésicas en el sistema geodésico mundial ‘=‘’ δξ ג =’ג δηsec ‘ N=N’+δ
Las coordenadas rectangulares geocéntricas X, Y, Z pueden calcularse mediante (55). Para la determinación de las coordenadas x’0, y’0, z’0 del centro del elipsoide de referencia original que define el dátum local (a’, f’; ξ’, η’,N’ ). es un problema afín. Como el dátum nuevo (a, f; ξ, η, N ), el mundial, se encuentra en posición absoluta, tenemos x0 = y0 = z0 = 0 de modo que δx0 = x0 x’0 = x’0, δy0 = y0 y’0 = y’0, (561) δz0 = z0 z’0 = z’0, x’0 = δx0, y’0 = δy0, z’0 = δz0, donde δx0, δy0, δz0 se calculan utilizando (556). Esto resuelve nuestro Problema. 5.10 Determinación del Tamaño de la tierra.
Si usamos el método gravimétrico con un elipsoide de referencia fijo así el centro coincida con el centro de gravedad de la tierra, entonces las variaciones geoidales podrán obtenerse usando (2 183b), (562) R N = N∬ 0 + ΔgS(Ψ)dσ, 4πG σ
La determinación del tamaño de la tierra se reduce a la determinación de la constante No (sección 219). Como hemos visto, No tiene un significado geométrico inmediato: si a representa el radio ecuatorial de un elipsoide de referencia dado, entonces aE = a +N0 (5 63) el radio ecuatorial de un elipsoide cuyo potencial normal U0 es igual al real Wo del geoide, que encierra la misma masa que la tierra, y de el achatamiento f es el mismo. Si el supuesto elipsoide de referencia sea escogido de manera que tenga el mismo valor
C− A
J 2 = 2 Ma
para la tierra, cantidad que hoy día se conoce con exactitud por los satélites artificiales (refiérase al capitulo 9), entonces aE: será el mayor de1 e1ipsoide terrestre medio; refiérase a las secciones 510 y 11 Mediante el método graviétrico sólo podemos determinar el segundo termino de la derecha de la formula anterior, es decir, la integral de Stokes; para determinar N0 necesitamos usar el método astrogeodesico con por lo menos una distancia medida. El principio se ha descrito antes en la sección 219; ahora analizaremos el problema en un a forma más practica. El problema puede formularse concisamente así. Se da por sentado que el geoide gravimetrico es conocido para todo el mundo; está en una posición absoluta pero como N0 no se conoce no se ha determinado su escala. Se conoce el geoide astrogeodesico para parte de la tierra: éte se encuentra en una posición relativa definida por el dátum geodésico local, pero su escala se conoce correctamente. Lo que hay que hacer es adaptar los dos geoides entre sí para poder (1) determinar la escala del geoide gravimétrico y (2) transformar el dátum astrogeodésico local al sistema geodésico mundial.
Supongamos que se utiliza el mismo elipsoide de referencia (a, f) en ambos sistemas [de No ser así, podríamostransformar primero el sistema astrogeodésico a los parámetros del elipsoide de referencia gravimétrica por medio de las fórmulas (559), haciendo que δξ = δη = δ = 0 Si se da por sentado que se conocen. en el punto inicia, entonces es posible calcular las desviaciones E y 17 en el sistema mundial por merlio de estas f.órmulas y compararla~ C(II) las rlesv;a~i9'ne$ qrav;métrica co ~ . rre$ponrl;ent~s obtenidas directrlment" nw'fliilnte la formliJla de Vening Meinr'$2:. Teóricamente, deberfamos ootener el mi sm(1 t'e'sul tado. Si denotamos las df"s viaciones astrogeodé.sicas transform~das (564) por ~.,'1G Y 1as rle5v;aciones gravimétricas directas por ~", ,,", ,dI?lre'r'íamos tener
En la práctica es posible calcular directamente para el punto inicial usando
EL CAMPO GRAVITACIONAL FUERA DE LA TIERRA
Introducción E1 interés práctico que ha surgido son respecto al campo gravitacional de la tierra es de fecha relativamente reciente. Los dos propósitos principales de dichos estudios son (1) la evaluación del efecto que tienen irregularidades gravitacionales en el movimiento dentro del campo de tierra, y (2) la aplicación de las mediciones que se efectúan de la gravedad mediante instrumentos aerotransportados. Dados los cálculos comprendidos, aquí también resulta conveniente definir el geopotencial W y el vector de gravedad: g = grad W (61) El potencial normal U y un vector de gravedad normal γ = grad U (62)
Potencial de perturbación T = W U y el vector de perturbación de la gravedad δ = grad T = g – γ (63)
Por lo general se toma como campo gravitacional normal el campo de un geoide equipotencial apropiado. Esto permite utilizar fórmulas cerradas y ofrece otras ventajas por su sencillez matemática; véase la Sección 212. Por lo tanto primero se calculan U y γ. y luego se obtienen W y g Mediante W = U + T (64)
g = γ + δ (65) Para algunos fines se necesita el vector de gravitación, grad V (fricción pura sin fuerza centrífuga) en lugar del vector de gravedad. El vector gravitacional se calcula a partir del vector de gravedad res e el vector de la fuerza centrífuga:
(66) Usando las notaciones de la Sección 21. El sistema de coordenadas rectangulares x, y, z se usara en este capítulo en la forma usual: es geocéntrico. Los ejes x y yacen en el plano ecuatorial con longitudes de 0° y 90° al este de Greenwich, respectivamente, y el eje z corresponde al eje de rotación de la tierra. El signo de las componentes de g ,y,δ, etc. siempre se escoge de manera tal que sean positivas en la dirección en que aumentan las coordenadas. 62. Gravedad Normal Formulas Cerradas El campo gravitacional de un elipsoide equipotencial se expresa mejor en términos de las coordenadas elipsoidales u,β,λ, introducidas en las Secciones 119 y 27. Están relacionadas con las coordenadas rectangulares x,y,z de la siguiente manera:
(67) Si se conocen x,y,z, entonces será posible calcular u,β,λ por medio de fórmulas cerradas. Primero se calcula Al eliminar β entre estas dos ecuaciones, se obtiene una ecuación cuadrática para u2 , cuya solución es :
(68 a) Luego β esta dada por:
( 68 b) Y para λ sencillamente se tiene que.
(68 c)
Al conocer las coordenadas elipsoidales, el potencial normal U esta dado por:
(69) Sus componentes de γ a lo largo de la líneas de coordenadas son ,según ( 2 65) y (2 66)
(610)
Para obtener las componentes de γ en el sistema x,y,z, se calcula:
Las derivadas parciales de x,y,z con respecto a u,β,λ se obtienen al diferenciar las ecuaciones (67); se tiene que:
Al introducir las componentes
se obtiene
Estas son las fórmulas de una transformación ortogonal de coordenadas rectangulares. Es sabido que la transformación inversa se obtiene sencillamente intercambiando las filas y columnas de la matriz de este sistema de ecuaciones. Así se obtiene:
(612) Este es el resultado de definir estos coeficientes como cosenos directores las ecuaciones (612) “ también pueden obtenerse resolviendo las ecuaciones lineales (611) con respecto a γx , γy , γz por a1gun otro método. Las fórmulas de esta sección son totalmente inflexibles. Es posible desarrollarlas en serie; sin embargo, resulta más conveniente desarrollarlas en coordenadas esféricas, 10 cual se tratará en la siguiente sección.
6.3 Gravedad Norma Desarrollos en Serie En esta sección se usarán las coordenadas esféricas usuales r (radio vector),Ф ( latitud geocéntrica) y . λ (longitud):
(613) de acuerdo con la sección 29 el potencial de la gravitación normal v puede expresarse en la forma:
(614) Luego el potencial de la gravedad normal U estará dado por. U = V + Ф (615)
Donde Ф es el potencial centrifugo. Según ( 292) los coeficientes J2n
(616) Las componentes de γ a lo largo de las líneas de coordenadas están definidas por:
(617) estas componentes concuerdan bastante con las componentes ( 610), puesto que para E = 0 se tiene que u = r, ,β = Ф, W =1. por consiguiente las componentes rectangulares γx , γy , γz se obtienen directamente de (612) al igualar E = 0:
(618) estas ecuaciones son validas también cuando γλ son diferentes de 0, pero en este caso de hecho se tiene que γλ son iguales a cero. Resulta conveniente calcular primero las componentes del vector de gravitación normal. . Г = grad V ( 619) para calcular luego λ sumándole la fuerza centrifuga: γ = Г + grad Ф (620) Expresada con las componentes x,y,z esta ecuación seria:
(620´) El vector Г también es en si interesante puesto que representa el efecto de la atracción gravitacional normal de la tierra sobre un satélite. Las componentes de Г a lo largo de las líneas de coordenadas están dadas análogamente a ( 617) , por:
(621) es fácil ver que la ecuación (618) también resulta valida cuando se reemplazan todas las componentes de γ por las componentes correspondientes de Г. Las componentes ( 6 21) se obtienen diferenciando (614) con respecto a Г y Ф .Después de las operaciones elementales, se halla que
(622) estas ecuaciones son apropiadas para los cálculos numéricos. Como estas serias convergen muy rápidamente, a menudo es suficiente considerar los términos hasta J4. Se puede lograr una ligera modificación introduciendo.
de modo que (623)
si se iguala (624)
se obtiene fácilmente
(625)
estas formulas pueden usarse en lugar de (614) y (622). Al expresar P2n y dP2n / Ф en potencias de cos 2Ф, se obtiene una forma mas explicita, especialmente para cálculos manuales si se sustituye.
con ( 158), se halla que:
estas ecuaciones pueden diferenciarse fácilmente con respecto a Ф, lo cual dP2n / Ф. Al insertar esto en (625) se obtiene, reteniendo solamente los términos hasta n = 2:
(626)
Usando los valores numéricos del elipsoide internacional sección (211), las formulas (623) y (626) pasan a ser:
(628)
Estas expresiones dan como resultado V en unidades de geopotencial (1 u.g.p. = 1000 gal.metros) y Г r y Г Ф . en gals, con una precisión de 1 mgal. Después de calcular Г r y Г Ф y siendo Г λ cero, se obtienen las componentes rectangulares Г x ,Г y, Г z por medio de (618) en donde hay que reemplazar las componentes de γ por las de Г. Si se necesitan las componentes de γ , pueden calcularse usando (620').
64. Perturbaciones de la Gravedad Método Directo Resulta conveniente empezar por las componentes δ Г , δ Ф., δ λ del vector de perturbación de la gravedad δ , ecuación (63), expresadas en las coordenadas esféricas, Г , Ф., λ que se utilizaron en la sección anterior. Análogamente a (617), se tiene que
(629) El potencial de perturbación T puede estresarse en términos de las anomalías del aire libre en la superficie terrestre por medio de la formula de pizzeti , ecuaciones (2161) y (2162).
(630) donde S( r ,ψ.) es la función de Stokes ampliada,
(631) y
en la publicación de Hirvonen y Moritz ( 1963), pag 12 se pueden encontrar desarrollos en serie de orden superior, en (628) se han adoptado las notaciones generales de este trabajo pero la derivación es diferente. Cabe hacer notar que Hirvonen define Г r y Г Ф con signos contrarios y que denota la latitud geocéntrica por ψ.
De acuerdo con (629) hay que diferenciar (630) con respecto a r , Ф aquí puede notarse que la integral del lado derecho de (630) depende de r, Ф, λ solamente a través de la función S (r ,ψ).por tanto al ser Δg resultante con respecto a la diferenciación, se tiene que.
(633) el punto P donde hay que calcular δ tiene las coordenadas Ф, λ; denótese que las coordenadas correspondientes del punto variable P´ a las cuales hace referencia Δg y dσ, por Ф´, λ´ luego, dσ estará expresado por :
(634) ψ, la distancia angular entre P y P´, pasa a ser :
(635) se tiene que
(636) para efectos de comparación cabe hacer notar que la publicación de Hirvonen y Moritz (1963) se utilizan las notaciones δn = δr , δm = δ Ф, δι= δ λ.
Ahora se hace referencia a las derivaciones correspondientes de la Sección 222, que resultaron en la fórmula de Vening Meinesz. Al igual que una aproximación esférica, la cual es suficiente para T, δ, etc., es posible identificar la latitud geocéntrica Ф con la latitud geográfica Ф por tanto, las ecuaciones (636) y (2206) son completamente análogas y se puede usar la (2209) de la Sección 222:
(637)
el azimut α esta dado por la formula (2212)
(638)
por medio de (636) y (637), las ecuaciones (633) pasan a ser (639 a)
(639 b)
Ahora se forman las derivadas de la función de Stokes ampliada (631) con respecto a r y ψl. Al diferenciar (632) se obtiene (640) por medio de estas relaciones auxiliares se tiene que (641)
(642)
Se pude obtener expresiones mas convenientes sise sustituye
(643) (644)
Luego la función de Stokes ampliada (631) y sus derivadas (641) y (642) pasa a ser
(645)
(646 a)
(646 b)
Estas expresiones se utilizan en (630) y (639) para calcular T y δ. La separación Np de la superficie geopotencial que pasa por P, W = Wp, y la superficie esferopotencial correspondiente U = Wp, esta dada según el teorema de Bruns por.
(647) Vease la sección 215 y la figura 2 15. La desviación de la vertical, que es la desviación de la verdadera línea de plomada normal en el punto P, esta representada por sus componentes norte–sur y este–oeste.
(648)
Estas ecuaciones corresponden a (2204). Como y varía muy poco con la latitud y es independiente de la longitud, se tiene que
Y
La comparación entre (629) y (648) muestra que
(649)
Vemos que Np, ξ p, np están dados por las ecuaciones (630~ y (639b), con excepción del factor ±1/γ0. Por consiguiente, estas ecuaciones son ampliaciones de las fórmulas de Stokes y de Vening Meinesz para puntos que están fuera de la tierra y se reducen a estas fórmulas para r = R, t = l. Si escribimos las ecuaciones (649) en la forma δФ = γξ , δλ = γη (649´) vemos que las componentes horizontales de δ están directamente relacionadas con la desviación de la vertical, que es la diferencia en direcci6n de los vectores g y γ. La componente radial, δr, sin embargo, representa la diferencia en magnitud de estos vectores, puesto que al igual que una aproximación esférica. δ r = δg = gp γ p (650) que es la perturbación escalar de la gravedad; véase la Sección 213.
55. Perturbaciones de la Gravedad Método de Recubrimiento Un método alterno para calcular T y δ (Orlin, 1959) se basa en el hecho de que las masas perturbadoras pueden sustituirse por una capa superficial o recubrimiento sobre el elipsoide de referencia, sin cambiar el potencial externo. De acuerdo con un teorema de la teoría del potencial esto es sola lente posible si el geoide encierra la masa total de la tierra. En el caso de la tierra real, esto resulta factible con un buen grado de aproximación.
De acuerdo con la sección 13 el potencial de perturbación se representa en la forma (116) (651)
la superpie S es el elipsoide de referencia, el cual al igual que una aproximación esférica, se considera como una esfera de radio R. ahora hay que determinar la densidad superficial k del recubrimiento. En el elipsoide S (a nivel del mar) la derivada normal de T es la derivad exterior (117 a). (652)
generalmente, de acuerdo con (640)
a nivel del mar(r =R)
por tanto (652) pasa a ser
según (651)
(653) luego de igual a 2πKk = μ (654) de manera que (653) pede expresarse así (655) por ultimo se expresa dT / dn en términos de la anomalía gravimétrica Δ g por medio de la ecuación fundamental de la Geodesia Física (2151 f) (656) obteniendo así (657)
G es la gravedad media a nivel del mar .y N denota la ondulación geoidal. Por lo tanto, la densidad de l recubrimiento puede calcularse si se conocen tanto g como N. Después de expresar k en términos de de acuerdo con (654). el potencial de perturbaci6n (651) pasa a ser.
(658)
dado que como aproximación esférica dS = R2 dσ; los símbolos dσy l tienen el mismo significado que en la sección anterior. Para formar las componentes (629) de la perturbación de la gravedad δ hay que diferenciar (658) exactamente de la misma forma como se diferenció (63C) en la sección anterior. En lugar de
Ahora se tiene que
Y t oma el lugar de g. S e determina las expresiones
(659) las cuales son comparables con (639) las derivadas con respecto a r y ψse determinan usando (6 40), de modo que se tienen.
(660)
Al sustituir (643) y (644), las ecuaciones (658) y (660) pasan finalmente a ser
(661)
(662 a)
(662 b)
Aquí también pueden usarse las ecuaciones (661) y (662b) junto con (647) y (649) para calcular la separación de las superficies geopotencial y esferopotencial correspondientes, y la desviación de la vertical. El método de recubrimiento da por sentado que se conocen las alturas geoidales N, además de las anomalías gravimétricas Δg. 56 Perturbaciones de la GravedadContinuaci6n Ascendente Se aplica la fórmula integral de Poisson (189) a la función armónica T:
(663) En las cercanías de P (Fig. 61), la esfera prácticamente coincide con su plano tangente en F. Como el valor del integrando es muy pequeño a grandes distancias de P, es posible extender la integración al plano tangente en lugar de la esfera. Luego, de acuerdo con la Figura 61.
(664 a)
Se introduce un sistema de coordenadas rectangulares x, y, z con el eje x hacia el norte y el eje y hacia el este en el plano tangente. Luego, también puede escribirse:
(664 b)
el elemento de superficie pasa a ser
Y se tiene además que
por consiguiente (663) pasa a ser la formula del plano
(665)
“formula importante se llama la Integral de continuación ascendente". Permite calcular el valor de la función armónica T en un punto sobre el eje x, y a partir de valores dados de T en el plano, es decir, la continuación ascendente de una función armónica. Tanto T como sus derivadas parciales dT / dx, dT / dy, dT / dz son armónicas. porque si
Entonces también se tiene que
Tanto la integral de continuación ascendente (665). que resulta valida para cualquier función armónica. también puede aplicarse a dT / dx, dT / dy, dT / dz. como T es el potencial de perturbación, sus derivadas parciales son componentes de la perturbación de la gravedad:
Se están usando δx. δy. δ porque esta notación está reservada para las componentes en el sistema geocéntrico global z de coordenadas. el cual no debe confundirse con el sistema local presentado en esta sección. De manera que las de (665) se tienen. (666 a)
(666 b)
Al lado izquierdo de estas ecuaciones, las componentes de δ se refieren al punto elevado P en la integral de la derecha se fijan a nivel del mar y se calculan a partir de la expresiones. (667 a)
(667 b)
que resultan de (649') y (650), aplicadas al nivel del mar, junto con (2151d). Los símbolos R y G denotan, como siempre, el radio medio de la tierra y el valor medio de la gravedad en la superficie de la tierra. Por lo tanto es posible calcular T y .δ por medio de una integral de continuación ascendente si se conocen las ondulaciones geoidales N y las componentes de la desviación ξ; y η en la superficie terrestre. La aproximación al plano es suficiente excepto en el caso de altitudes muy grandes (.>250km). De otro modo se tendría que usar la fórmula esférica (663) para T. Para la componente radial .δr, se puede demostrar que las ecuaciones (674) ó (675) que se dan más adelante, donde .δr reemplaza a.Δg, son validas. No se conocen las fórmulas esféricas correspondientes para la continuación ascendente de las componentes horizontales δФ y δλ. El motivo por el cual la misma fórmula, o sea la integral de continuación ascendente, resulta valida para T y las componentes de δ únicamente en el caso planas es que las derivadas de T son armónicas solamente cuando hacen referencia a un sistema de coordenadas cartesianas. 67. Consideraciones Adicionales Superficie de Referencia. Las fórmulas anteriores para el potencial de perturbación T y el vector de perturbación de la gravedad δ son solamente validas si la superficie de referencia es una esfera. En la práctica, las anomalías gravimétricas se refieren a un elipsoide. Las fórmulas anteriores para T y δ son también válidas para una superficie elipsoida1 de referencia, si se hace caso omiso de un error relativo del orden del achatamiento f = 0.3%, es decir, al igual que una aproximación esférica. Se le recuerda al lector que esto no significa que se está sustituyendo el e1ipsoide por una esfera en un sentido geométrico, sino que en las fórmulas originalmente elípticas se pasan por alto la primera y las potencias superiores del achatamiento, y por ello se convierten formalmente en fórmulas esféricas. Como las anoma1ias gravimétricas, etc., hacen referencia a un e1ipsoide, hay que ser sumamente cuidadosos al ca1cular t que forma parte de las fórmulas de las Secciones 64 y 65. Si se usara una esfera exacta de radio R, como superficie de referencia, entonces se tendría que usar r =.R + H, donde H es la e1evacion del punto de calculo sobre la esfera. En realidad se uti1iza un elipsoide de referencia; luego, nuevamente se tiene que
(668)
pero como H es ahora la elevación sobre el e1ipsoide (o, con suficiente precisión, sobre el nivel del mar), la constante R = 6371 Km. es el radio medio.de la tierra. Por lo tanto, r tal como se calcula en (668) difiere del radio vector geocéntrico r = ( x2 + y2 + z2 )1/2. De hecho, esto es sólo válido para las secciones 64 y 65, y no para las fórmulas de la Sección 63. que únicamente se refieren a las coordenadas esféricas.
Ya se ha mencionado que es posible sustituir la latitud geocéntrica Ф, y latitud geográfica Ф , en lo que respecta a T y δ por ejemplo, Ф = Ф en (635) o (638). Para todos los cálculos relacionados con el campo gravitacional de la tierra, hay que usar las anomalías gravimétricas de aire libre puesto que todos los demás tipos de anomalías gravimétricas corresponden a alguna eliminación o transferencia de masas las cuales cambian el externo. Si, además de Δg, se usan las ondulaciones geoidales N (según recubrimiento) o las desviaciones de la vertical ξ , n (en la continuación ascendente) entonces estas cantidades deberán calcularse a partir de las anomalías de aire libre. como suele hacerse, se utiliza la gradiente normal de aire libre 0.3086 mgal/metro para la reducción de aire libre, entonces las formulas aire libre se refieren exclusivamente a la superficie física de la altura a nivel del terreno) en lugar del geoide (a nivel del mar). Los n calculados a partir de éstos por medio de la fórmula de Stokes las formulas son altura, ζ , que se refieren al terreno en lugar de alturas del mismo. Esta diferencia, no obstante, es insignificante y puede omitirse en la mayoría de los casos, de modo que Δg puede considerarse como una altura nivel del mar (véase la sección 813). No podemos pasar esta diferencia por alto en busca de la mayor presión en montañas altas y empinadas para altitudes H bajas, entonces necesario proceder de otra manera (véanse las Secciones 88 y 810). Se mira la anomalía de aire libre Δg del punto A en el terreno al punto A0 con pendiente a nivel del mar (véase la Figura 62):
(669) para la anomalía a nivel del mar Δg * obtenida así. La gradiente vertical Δg/ dh puede calcularse mediante la fórmula (2217) usando las anomalías a nivel del terreno Δg . También se puede reducir a cualquier otra superficie de nivel W = Wl, por ejemplo la que pasa por F (Fig. 62) usando en lugar de h en (669). Luego, también habrá que usar H1 en lugar de H .para propósitos de escala grande, la reducción a nivel del mar es preferible. Es probable que dicha reducción sólo llegue a ser confidencia en casos excepcionales, de manera que por lo general puede omitirse de las fórmulas en las Secciones 64 hasta 66 puede considerarse como altura de P sobre el nivel del mar o sobre el terreno. Para otros métodos emplear la topografía refiérase a las publicaciones de Arnold (1959), levallois (1960) y Moritz (1966).
Comparación entre Métodos. de todos los métodos descritos en las tres secciones anteriores, las fórmulas del método directo son las más complicadas, pero pueden manejarse bastante bien si se tabu1an las funciones requeridas o si se programan para una computadora automática. Aquí sólo se requieren las anomalías gravimétricas. Si se conocen las alturas geoidales N además de Δg, resulta preferible el método de recubrimiento porque comprende fórmulas un poco más sencillas. Si bien los cómputos son más sencillos en el método de continuación ascendente requiere la mayor cantidad de datos: N para T, Δg Y N para δr, y ξ y η para δФ y δλ . Para tener una mejor idea de la ap1icabi1idad de estos tres métodos, hay que considerar el efecto de las zonas distantes. La tabla 61, tomada de la publicación de Hirvone Moritz (1963, pág. 63), muestra la influencia de la raíz media cuadrática Δ δr , Δ δФ = Δ δλ de las zonas más allá de un radio esférico ψ0 sobre δr, δФ, δλ. El método usado para calcular esta tab1a se describirá en la Sección 74. Los valores de la tabla son validos para todas las altitudes H, desde cero hasta varios cientos de kilómetros. Se admite que para ψ0 > 20° o 30°. la influencia de las zonas distantes disminuye muy lentamente. Por tanto, no parece practico extender la integración mucho más a1la de 20° (Método de recubrimiento) o de 30°(método directo), a menos que se extienda a toda la tierra.
Influencia de la raíz media cuadrática de la zona mas allá de un radio ψ0 , δr, δФ, δλ
puede notarse además que el efecto de las zonas remotas sobre δФ y δλ no como menor en el método de recubrimiento que en el método di recto. La influencia sobre δr es .menor en el método de recubrimiento, pero si se conoce más de Δg, entonces no se deberá calcular δr por este método sino por el de continuación ascendente, donde la influencia de las zonas distantes es específicamente pequeña. Es fácil comprender porqué esta influencia es tan pequeña en el método continuación ascendente. Si H = O. entonces el efecto de las zonas remotas en el método directo y en el de recubrimiento esta dado aún por la tabla 61. el método de continuación ascendente., no obstante. este efecto es cero para P = F. puesto que el valor "calculado" en P es entonces idéntico al .correspondiente en el terreno en F, donde no hay influencia alguna en valores vecinos. Si H es diferente de O, entonces solamente el vecino más cercano a P es alguna importancia en este método. En la próxima sección se 'verá que por lo general es suficiente llegar hasta diez veces la elevación si se utiliza continuación ascendente. Esta también es la razón por la que se puede usar la aproximación al plano en el método de la Sección 66, pero no en los otros métodos que comprenden influencias mucho mayores para las que esta aproximación no resulta válida. En resumen, los siguientes métodos son adecuados para uso práctico: si se conocen Δg, el método directo; si se conocen Δg y N, el método de recubrimiento para las componentes horizontales y el de continuación ascendente.
para la componente vertical de δ y para T; si se conocen Δg, N, ξ, ,η entonces la continuación ascendente para todo. La precisi6n que puede obtenerse es más o menos la misma en los tres métodos si se aplican correctamente, especialmente si se extiende la integraci6n lo suficiente. Los errores típicos de las tres componentes son aproximadamente proporcionales a l / H y son muy pequeños en elevaciones grandes, pero la correlación entre los valores vecinos puede ser considerable. Integraci6n practica. Las fórmulas integrales de este capítulo tienen que evaluarse aproximadamente por medio de sumatorias exactamente en la misma forma como, por ejemplo, las fórmulas de Stokes y Vening Meinesz. Los procedimientos se describieron en la Sección 224. Los detalles del método de continuación ascendente se dan en la sección que sigue. En cuanto al método directo y al de recubrimiento utilizando bloques de tamaño estándar, los siguiente, tamaños pueden considerarse adecuados a unos 45° de latitud. Para diferencias en latitud con el punto de cómputo hasta de ΔФ = 1.5° y una diferencia en longitud de Δλ = 2°, se utilizan bloques de 5' X 5'; afuera de esta zona, hasta ΔФ = 3.5° y Δλ = 4.5°, se utilizan bloques de 20' X 20'; afuera de esta zona, hasta ΔФ = 12.5° y Δλ = 15., se utilizan bloques de 1°X l°; y afuera de esta zona, bloques de 5°X 5°. En el caso de puntos con elevaciones de sólo unos cuantos ki1ometros, algunos bloques de 5' X 5´ quizás no sean suficiente alrededor del punto de cómputo y haya que recurrir a otros medios, ta1es como el uso de una plantilla para la región interna o el uso de gradientes horizontales de la gravedad análogas a las de la formula de Vening Meinesz.
Por consiguiente, los detalles de estas integraciones numéricas son algo complicados; el lector podrá hallar más información en la publicación de Hirvonen y Moritz (1~63). Calculo del vector de gravedad. Después de calcular las componentes δr, δФ, δλ.mediante la integración numérica, es posible transformar1as en coordenadas cartesianas δx, δy, δz. con respecto al sistema mundial de coordenadas. Las ecuaciones de transformación son (618), donde se sustituyen las componentes de γ por las componentes correspondientes de δ es fácil notar que (618) es válida para un vector arbitrario. También se puede formar primero las componentes del vector de gravedad g en coordenadas esféricas por medio de: .gr = γr + δr, gФ = γФ + δФ, gλ = δλ (670)
donde γ r. , γ Ф, γλ, están dados por las fórmulas de la Sección 63, y aplicar luego (618) a g.
Otra posibilidad es usar las componentes de coordenadas elipsoidales de acuerdo con la Sección 62. Para 1as cantidades pequeñas δu, δβ, δλ se puede aplicar aquí también la aproximación esférica, haciendo caso omiso de un error relativo del orden del achatam1ento. Si se pasa por alto el achatamiento, entonces las coordenadas elipsoidales u , β, λ se reducen a las coordenadas esféricas r, Ф, λ de manera que al igual que una aproximación esférica.
. δu = δr, δβ= δ Ф (671) Donde δλ es exactamente la misma en ambos sistemas. Por .tanto, también
δr, δФ, δλ pueden considerarse como componentes de δen coordenadas elipsoidales. Por consiguiente, se tiene que .gu = γ u + δr, gβ = γβ + δФ, gλ = δλ (672)
Y gx, gy gz .se obtienen por medio de,(612), las componentes de g que, sustituyen las componentes correspondientes de γ . Obviamente la aproximación esférica sólo puede usarse para δ , de manera que hay que calcular γ u, γβ, por medio de las formulas exactas (610). El geopotencial W puede calcularse usando (64); el potencial gravitacional V se obtiene restando el potencial centrifugo w2 (x2+ y2 )/2; y el vector de gravitación está dado por (66). Arm6nicas esféricas. El potencial anómalo T y sus derivadas también pueden obtenerse por medio de su desarrollo armónico esférico, en donde los coeficientes se calculan por medio de un análisis armónico de las anomalías gravimétricas (véase la Sección 220). no obstante, como estas series tienen una convergencia lenta, solamente pueden aplicarse cálculos con elevaciones satelitales (unos 1000 Km.). Resultan útiles para el cálculo de las órbitas satelitales; véanse las Secciones de la 96 ,1 la 98. 68. Anomalías Gravimétricas Fuera de la Tierra . Supóngase que haya que calcular g en algún punto P fuera de la tierra (Fig. 63): aquí sólo se tomará en cuenta la magnitud del vector de gravedad. Esto se hace convenientemente añadiendo una corrección la gravedad normal γ . En la sección 213 se estudiaron dos tipos diferentes de dicha corrección, g γ: l. La perturbación de la gravedad δg en la que tanto g como γ se refieren al mismo punto P. 2. La anomalía gravimétrica, Δg. En este caso g se refiere a P pero γ se refiere al punto correspondiente Q situado en la misma línea de plomada que P, y cuyo potencial normal U es igual al potencial real W de P, es decir, UQ = Wp.
esta forma sencilla es suficiente para alturas moderadas. La perturbación de la gravedad se utiliza cuando se conoce la posición espacial de P, es decir, sus coordenadas rectangulares geocéntricas x, y, z, como por ejemplo, en los cómputos de la gravedad a lo largo de trayectorias espaciales u órbitas satelitales. Luego, por lo general, se necesita el vector completo g y no solamente su magnitud g, y los cálculos se efectúan según los métodos descritos en las secciones anteriores. En la Sección 213 : se vio que la diferencia en magnitud δg es prácticamente igual a la componente vertical del vector de perturbación de la gravedad:
δg = δr
I En esta sección se hace referencia a la anomalía gravimétrica Δg. Se usa cuandoquiera que se conozcan las coordenadas naturales (Sección 24).
Especialmente el potencial W de P. Entonces se podrá determinar Q como el punto cuyo potencial normal es igual al valor dado de W; es decir, será posible calcular la altura de Q sobre el elipsoide por medio de una, fórmula elipsoidal como (444) donde C = W0 W. luego la gravedad normal en Q estará dada, por ejemplo, por (2123) En la superficie terrestre, el potencial W se determina mediante nivelación (Sección 41); es por ello que el material básico de la "geodesia gravimétrica lo constituyen las anomalías gravimétricas y no 1as perturbaciones de la gravedad. Si se conoce la altura H1 de P sobre el terreno, entonces el potencial en P podrá obtenerse mediante.
(673) donde Wl es el potencial en el punto terrestre F debajo de P, y g es la gravedad media entre F y P. Por tanto, aun en este caso se conoce W en lugar e las coordenadas rectangulares x,y,z y lo apropiado es usar las anomalías gravimétricas Δg . Este es el caso, por ejemplo, de las mediciones de la gravedad desde el aire, en donde se mide la altura .de la aeronave sobre el terreno. Fórmulas. La fórmula básica es (674)
la cual difiere de (2160) en que las armónicas esféricas de grado 0 y 1 las cuales han sido excluidas aquí, se dejan en la formula actual. Si se hace las sustituciones usuales en (643) y (644) se obtiene.
(675) nuevamente,
donde H es la altura sobre el nivel al que hace referencia las anomalías Δg dadas; véanse los comentarios al respecto en la sección anterior. hasta con alturas de vuelo, es posible usar otra vez la aproximación al plano de la sección 66, de manera que (675) se reduce a una integral de continuación ascendente del tipo (675):
(676) O en las coordenadas polares s y α
(676´) donde
Integración practica. Se pueden volver a usar bloques estándar ( 5´ X 5´ , 10´ X 10´ ó 1° X 1°, digamos), adecuados para cálculos automáticos, o se pueden utilizar plantillas. La integral (676) puede sustituirse entonces por (677)
donde Δgk es la media en kesimo compartimiento. Si se utilizan bloques estándar con lados de ΔФ y Δλ, entonces.
(678) donde Фk y lk se refieren al centro del bloque. Estos coefiencientes son del tipo (2224). Para una plantilla polar, los coeficientes integrados preferibles del tipo (2223) también tienen una forma sencilla si se usa (676´) y las notaciones de la figura 222 ( donde se ha sustituido ψ por s ), se tiene que
y después de integrar,
(679)
donde l1 pertenece al radio interno y l2 al radio externo. Hirvonen (1962) preparo un diseño óptimo para una plantilla. Se construye de tal manera que el error producido por cada compartimento tiene la misma raíz media cuadrática. La tabla 62 contiene los coeficientes de Hirvonen. Los radios S1 y S2 y la elevación H tienen que medirse en la misma unidad.
Tal como se vio en la sección anterior, la continuación ascendente es básicamente un problema local. La contribución principal a las integrales (676) ó (676´) se originan del área alrededor del punto P, dado que la influencia de las regiones distantes es insignificantemente pequeña, considérese el efecto de la zona que esta mas allá de una distancia dada S0 desde P fig 64 de acuerdo con (676), este efecto esta dado por.
por que cuando S es grande se reemplaza 1 = ( S2 + H2 ) ½ por S. si se introduce cierto valor promedio Δg de las anomalías gravimétricas en la zona S > S0 entonces, según el teorema del valor medio del calculo integral, es posible expresar el valor promedio del efecto de esta zona así
Lo cual equivale a
Con esta formula puede verse que S0 debe ser más o menos proporcional a H si se desea obtener el mismo error ε para las diferentes elevaciones H. Por ejemplo, si So = 10H, entonces ε = 0.1 Δg . Si Δg no excede de 10 mgals, entonces ε será menor que 1 mgal. Esto por lo general puede darse por sentado porque se espera que los valores de Δg para la zona S > So tienden a promediarse cuando So tiene un valor alto. Siendo ese el caso, solo es necesario extender la integración hasta 10 veces la elevación. Las consideraciones de la sección anterior también pueden aplicarse en muchos aspectos a la continuación ascendente de las anomalías gravimétricas. Nuevamente, se tendrá que usar anomalías de aire libre que hagan referencia al nivel del terreno o, para mayor exactitud, a alguna superficie de nivel. Si el terreno está sobre el nivel del mar, pero es razonablemente plano, resulta mejor considerar H como la elevación sobre el terreno y no sobre el nivel del mar, porque entonces el terreno podrá considerarse localmente como parte de una superficie de nivel. Para mayor información sobre la precisión, el lector puede referirse a la publicación de Moritz (1962).
El problema inverso, o sea la continuación descendente de las anomalías gravimétricas, ocurre cuando se reduce la gravedad medida a bordo de una aeronave, y también en determinada solución del problema geodésico de los valores límites que se describirá en la Sección 810. No hay una fórmula integral cerrada inversa para (675) o (676), pero es posible resolver el problema de la continuación descendente con el método iterativo de la Sección 810. La continuación ascendente y la descendente también se usan en la exploración geofísica pero aquí el propósito es bastante diferente. Se han desarrollado varios métodos relacionados, algunos de los cuales también pueden aplicarse con fines geodésicos; véanse, por ejemplo, las publicaciones de Jung (1961, Sección 7.22), Oean (195R), Hellderson (1960) y Tsuboi (1961). Referencias Arnold, K. (1959). Zur Bestinlmung der geoidllndulationen aus Freiluftanomalien. Schwerewerte in grossen Hohen über der Erdoberflache. Veroff. Geod. Inst. Potsdam, No. 12. Brovar, V.V. (1963). Computation of the disturbing potential and its deriva tives above the earth. English Transl. of the Iussian journal."Geodesy and Aerophotography" by .AJn. Geophys. Union, ~Io. 3, pp. 1.42144. Dean, W. C. (1958). Frequency analysis for Gravity interpretation Geophysics, v. XXIII, pp. 97127. . Henderson, R. G. (1960). A comprehensive system of automatic computation in magnetic and gravity interpretation. Geophysics, v. XXV, pro 569585.
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METODOS ESTADISTICOS EN LA GEODESIA FISICA 71. introducción Los problemas más importantes de la geodesia física se formulan y resuelven en términos de integrales extendidas a toda la tierra. Un ejemplo típico sería la fórmula de Stokes. Por consiguiente, es necesario conocer, en principio, la gravedad g en todos los puntos de la superficie de la tierra. En realidad, aun en el caso de la red gravimétrica más densa., solo se mide g en relativamente pocos puntos, de modo que para los otros es necesario estimar g mediante interpolación. En muchas partes extensas de los océanos no se ha efectuado absolutamente ninguna observación; estos vacíos tienen que llenarse con algún tipo de extrapolación.
Matemáticamente, no hay diferencia alguna entre la interpolación y la extrapolación: por lo tanto se denotan mediante el mismo término, predicción. La predicción (interpolación o extrapolación) no puede, por supuesto,
proporcionar valores exactos; por tanto, el problema es estimar los errores que pueden esperarse en la gravedad g o en la anomalía gravimétrica Δg. Como Δg se utiliza también para calcular otras cantidades, tales como la ondulación geoidal N o las componentes de la desviación ξ y η , hay que investigar la influencia de los errores de predicción de Δg sobre N., ξ y η, etc. A esto se le conoce como propagaci6n de errores. Además es importante saber qué métodos de predicción proporcionan la mayor precisión, bien sea en Δg o en las cantidades derivadas N., ξ y η, etc. Para poder determinar los "mejores" métodos de predicción, obviamente resulta necesario, haber resuelto primero el problema anterior, conocer el error de predicción de Δg y su influencia en las cantidades derivadas. Hay otro aspecto incluido. En principio, las fórmulas integrales presentadas comprenden siempre integraciones sobre toda la tierra. En la práctica, no obstante, muchas veces las integraciones sólo abarcan un área limitada, ya sea porque no existen mediciones gravimétricas, más allá de la misma o porque si se extienden no se observa prácticamente ningún aumento en la precisión. Después habrá que estimar el efecto de las zonas distantes no tomadas en cuenta. En resumen, se tienen los siguientes problemas: l. Estimación de los errores de interpolación y extrapolación de Δg; 2. Estimaci6n del efecto de estos errores en las cantidades derivadas N., ξ y η, etc. 3. Determinación del mejor método de predicción.' 4. Estimación del efecto de las zonas distantes omitidas. Como los que interesan son los errores promedio y no los individuales, se requieren procedimientos estadísticos. Este es el tema del presente capítulo. 7.
72. La función de Covarianza ,
Es realmente notable que todos los problemas arriba mencionados pueden resolverse mediante una sola función de una variable sin ninguna otro información. Esta es la función de Covarianza de las anomalías gravimétricas. Primero se necesita una medida del tamaño promedio de las anomalías gravimétricas Δg. Si se halla el promedio de Δg en toda la tierra, se obtiene el valor cero:
(71)
El símbolo M representa el promedio sobre toda la tierra (sobre la esfera unitaria), este promedio es igual a la integral sobre la esfera unitaria dividida por su área 4π. La integral es cero si no hay término de grado cero en el
desarrollo de las anomalías gravimétricas Δg en armónicos esféricos, es decir si se usa un elipsoide de referencia con la misma masa que la tierra y con el mismo Potencial que el geoide. Esto se dará por sentado en todo este capítulo2. Evidentemente la cantidad M { Δg }, que es cero, no puede usarse para caracterizar el tamaño promedio de las anomalías gravimétricas. Considérese entonces el cuadrado promedio de Δg
(72)
Se le llama la varianza de las anomalías gravimétricas. Su raíz cuadrada es la anomalía media cuadrática ( r.m.s.):
(73)
la anomalía media cuadrática es una medida muy útil del tamaño promedio de las anomalías gravimétricas; por lo general se da en la forma: r.m.s { Δg}= ± 35 m.gals; Los signos de más y de menos expresan la ambigüedad del signo de la raíz cuadrada e indican que ésta puede ser positiva o negativa. La anomalía media cuadrática es muy intuitiva pero la varianza de Δg es mucho más fácil de manejar matemáticamente y se presenta para una generalización significativa. 1
Se está omitiendo primero la correlación con la elevación.
De no ser ese el caso, es decir si M {Δg} = m diferente de cero entonces es posible formar anomalías gravimétricas nuevas Δg* = Δg – m, restando el valor promedio m. Luego M Δg* = 0 y todos los desarrollos subsiguientes se aplican a es anomalías Δg* “centradas". 2
En lugar del cuadrado promedio de Δ, considérese el producto promedio de las anomalías gravimétricas g Δg Δg´ en cada par de puntos P y P´ que tienen una distancia constante s, de separación. Este producto promedio se llama la Covarianza de las anomalías gravimétricas para la distancia s y se define por . Covs {Δ g} = M {Δ g Δ g´} (74)
E1 promedio se extiende a todos los pares de puntos P y P´ en donde PP' = s = constante.' La Covarianza caracteriza la correlaci6n estadística de las anomalías gravimétricas Δg y Δg´, que viene a ser su tendencia a tener más o menos el mismo tamaño y signo. Si la Covarianza es cero, entonces las anomalías Δg Δg´ no están correlacionadas , o sea que son independientes1 la una de la otra; en otras palabras, ni el tamaño ni el signo de Δg tienen influencia alguna sobre el tamaño o el signo de Δg´. Las anomalías gravirnétricas en puntos que se encuentran muy separados pueden considerarse no correlacionadas o independientes dado que las perturbaciones locales que producen Δg casi no tienen influencia sobre Δg´ y viceversa.
Si se considera la Covarianza como una función de s = PP´, entonces se obtiene la función de Covarianza C(s) mencionada al principio: C(s) = Covs {Δ g} = M {Δ g Δ g´} (PP'=S). (75)
para s = O se tiene que C(O)= M{Δ g 2}= var {Δ g} (751) de acuerdo con (72). La Covarianza para s = O es la varianza:
1
En el sentido estricto de la estadística matemática la correlación cero y la independencia no son exactamente lo mismo, pero en este caso puede hacerse caso omiso de la diferencia.
En la figura 71 se muestra una forma típica de la función C(s) .Para distancias s pequeñas (de 1 Km., por ejemplo) es casi igual a Δg de manera que la Covarianza es casi igua1 a la varianza; en otras palabras, hay una correlación muy fuerte. La Covarianza C(s) disminuye al aumentar s, porque entonces las anomalías Δg y Δg´ se vuelven cada vez más independientes. En el caso de distancias muy grandes, la Covarianza será muy pequeña, pero en general no exactamente cero porque las anomalías gravimétricas no sólo se ven afectadas por las perturbaciones locales de la masa sino también por factores regionales. De. manera que en su lugar puede esperarse una osci1ación entre valores positivos y negativos pequeños1 La determinación práctica de la función de Covarianza C(s) es un tanto problemática. Si tuviera que determinarse con exactitud, sería necesario conocer la gravedad en todos los puntos de la superficie terrestre. Esto obviamente no es así puesto que, si se conociera, entonces la función de Covarianza perdería gran parte de su importancia porque sería posible resolver los problemas con exactitud sin necesidad de estadísticas. De hecho, la función de Covarianza solo puede estimarse usando muestras distribuidas en toda la tierra. Pero en la actualidad hasta eso resulta imposible porque los datos gravimétricos de los océanos son imperfectos o no existen del todo. Para una explicación sobre el muestreo y los problemas relacionados refiérase a la publicación de Kau1a (1963, 1966).
La estimación más completa que se ha hecho hasta la fecha es la de Kaula (1959). Algunos de sus valores se dan en la Tabla 71. Se refieren a las anoma1ías de aire libre. El argumento es la distancia esférica.
(76) que corresponde a una distancia linea1 s medida sobre la superficie terrestre; R es un radio medio de la tierra. La anomalía media cuadrática de aire libre es
(77)
Las covarianzas positivas significan que Δg y Δg´ tienden a tener el mismo tamaño y el mismo signo; las covarianzas negativas significan que Δg y Δg´ tienden a tener el mismo tamaño pero signos opuestos. Cuanto mayor sea esta tendencia, tanto Mayor será C(s); el valor absoluto de C(s), no obstante, jamás podrá exceder la varianza C(O). 1
Puede notarse que C(s) disminuye al aumentar ,s y que para, s/R > 30°, los valores son muy pequeños y oscilan entre positivo y negativo. Para ciertos fines se necesita una función de Covarianza local en lugar: de una global; luego el promedio M se extiende solamente a un área limitada y no a toda la tierra como en el caso anterior. Esta función de Covarianza local resulta útil para estudios más detallados en un área limitada por ejemplo, para problemas de interpolación. Como ejemplo se puede mencionar; que Hirvonen (1962), al investigar la función de Covarianza local de las anomalías de aire libre en Ohio, halló valores numéricos que están debidamente representados por un expresión analítica de la forma . (78)
Donde
(79) Esta función es válida para s < 100 Km. 73 Desarrollo de la Función de Covarianza en Arm6nicos Esféricos Las fórmulas integrales más o menos complicadas de la geodesia física adquieren por lo general una forma mucho más sencilla si se vuelven a escribir en términos de armónicos esféricos. Un buen ejemplo es la fórmula de Stokes (Véase la Sección 217). Lamentablemente esta ventaja teórica se pierde en la mayoría de los casos frente a 1a desventaja de que en la práctica las series pertinentes convergen muy lentamente. En ciertos casos, sin embargo, la convergencia es buena. Por consiguiente, los armónicos esféricos son convenientes en la práctica; en la próxima sección se presenta un caso de éstos. El desarrollo armónicoesférico de las anomalías gravimétricas Δg puede expresarse de muchas formas diferentes, tales como (710)
Donde Δg n (θ,λ) es el armónico de superficie de Laplace de grado n, o más específicamente.
(711) Donde
(712) son los armónicos esféricos convencionales, o en términos de armónicos totalmente normalizados ( vease la sección 114): (713)
en este caso θ es la distancia polar ( complemento de la latitud geocéntrica) y λ es la longitud. Hay que determinar los productos promedio de dos armónicos de Laplace. (714)
Estos productos promedio son.
(715) Dado que el promedio se extiende a toda la tierra, es decir, a toda la esfera unitaria. Primero se toma n´ = n que da el cuadrado promedio del armónico de Laplace de grado n. (716)
Si se inserta (714) y se toma en cuenta las relaciones de ortoganalidad (168) y la normalización (174) se halla fácilmente.
(717) Considérese ahora el producto promedio (715) de dos armónicos de Laplace de diferente grado n´ diferente n debido a la ortogonalidad de los armónicos esféricos, la integral de (715) es cero.
(718)
En términos estadísticos, esto significa que dos armónicos de Laplace de diferente grado no están correlacionados o, en un sentido más amplio son estadísticamente independientes.
En una forma similar a las que se utiliza para las anomalías gravimétricas, también la función de Covarianza C(s) puede desarrollarse en una serie.
de armónicos esféricos. Tómese un punto P arbitrario, pero fijo, como el polo de dicho desarrollo. De esta manera se introducen las coordenadas polares esféricas ψ, (distancia angular desde P) y α (azimut) (Figura 72). La distancia angular ψ, corresponde a la distancia lineal s según (76). Si se desarrolla la función de Covarianza, con el argumento ψ en una serie de armónicos esféricos con respecto al polo P y a las coordenadas ψ, y α, se tiene
que es del mismo tipo que (711). Pero como C depende solamente de la distancia ψ, y no del azimut α, los armónicos esféricos no pueden contener ningún término que dependa explícitamente de α. Los únicos armónicos independientes de α son las funciones zonales.
los cn =cn° son los únicos coeficientes que no son iguales a cero. también se usa la expresión equivalente en términos de armónicos completamente normalizados
(720) los coeficientes de estas series de acuerdo 113 y 114 están dadas por
(721)
(722)
Ahora hay que determinar la relación entre los coeficientes Cn de C(ψ) en (719) y los coeficientes anm y bnm de Δg en (714). Por este motivo se necesita una expresión para C (ψ) en términos de Δg , la cual se obtiene fácilmente escribiendo (75) en una forma mas explicita. Considérense los dos puntos p (θ,λ.) y p´( θ´,λ´) de la figura 72. Su distancia esférica ψ está representada por (723)
En este caso ψ, y el azimut α son las coordenadas polares de p´( θ´,λ´) con respecto al polo p (θ,λ.) El símbolo M en (75) denota el promedio sobre la esfera unitaria. Para calcularlo se necesitan dos pasos. En primer lugar se halla el promedio sobre el circulo esférico cuyo radio es ψ (indicado en la figura 72 por medio de una línea de trazos), manteniendo el polo P fijo y desplazando p´ a lo largo del circulo de manera tal que la distancia PP' permanezca constante. Esto resulta en
Donde C* sigue dependiendo del punto P que se escogió como el polo ψ = 0. en segundo lugar se calcula el promedio de C* sobre la esfera unitaria
esto es igual a la función de Covarianza C(ψ) y el símbolo M en (75) se expresa ahora explícitamente así.
(724) Se ha dado por sentado que las coordenadas θ´,λ´ de esta fórmula están relacionadas con θ, λ por medio de (723) donde, ψ = const. ; pero que de otra manera son arbitrarias; esto expresa, por supuesto, el hecho de que en (75) el promedio se extiende a todos los pares de puntos P y P' para los que PP' = ψ = const. Par calcular los coeficientes Cn, se inserta (724) en (721) obteniendo así.
(725) considerese primero la integración con respecto a α y ψ. Deacuerdo con (171) se tiene que
donde el cambio de las variables de integración es evidente. Por tanto, (725) se convierte en
(726) esto también puede expresarse como (727) Ahora se le inserta (710) que puede escribirse donde el índice de la sumatoria se denota por n´ en lugar de n se obtiene.
Según (718), solamente el termino donde n´=n es distinto de cero, de manera que por (717) se obtiene.
(728)
por tanto Cn es el cuadrado promedio del armónico de Laplace Δg n (θ,λ) de grado n, o su varianza. Los Cn también se conocen como varianzas de grado. ( las covarianzas de grado son cero, debido a (718) b nm de g y c n de C(s) de la forma más sencilla La ecuación (728) relaciona los coeficientes a nm y
a nm y b nm son coeficientes de armónicos totalmente normalizados, mientras que c n son posible. Nótese que coeficientes de armónicos convencionales. De hecho, también pueden usarse los a nm y b nm (convencionales) o
c n (totalmente normalizados); pero obviamente (728) se tornará un poco más complicado. los 7.4.
Influencia de las Zonas Distantes sobre las Fórmulas de Stokes y de Vening Meinesz.
Los desarrollos armónicos esféricos de la sección anterior se usarán ahora para evaluar los efectos de omitir las zonas distantes en los cálculos de la altura geoidal y de la desviaci6n de la vertical. La integral de Stokes (2165) se divide en dos partes: ψ0
2π
R N= ∫ ∫ g S cos ψ sin ψ dψ dα 4πG ψ=0 α=0
(729) π
2π
R ∫ ∫ g S cos ψ sin ψ dψ dα 4πG ψ=0 α=0 Ahora se denota la funci6n de Stokes por S(cosψ) en lugar de S(ψ). Para tener mas adelante en la sección una notación sencilla y coherente. Si la integraci6n no se extiende sobre toda la tierra sino sólo hasta una distancia esférica ψ 0 , entonces
solamente se considera la primera integral de (729). El error δN que resulta al Omitir las zonas que están más allá de ψ=ψ 0 está dado, por 10 tanto, por la segunda integral de (729), π
δN=
2π
R ∫ ∫ g S cos ψ sin ψ dψ dα 4πG ψ=0 α =0
(730)
Si se introduce la función (discontinua), (figura 730):
0
si 0≤ ψ≤ψ o ,
S cos ψ si ψ o ≤ψ≤π , ¿ S cos ψ =¿ {¿ ¿¿ ¿
(731)
Figura 73 La Función
S ( cosψ )
l
Cabe mencionar que la matemática en que se basa la descripción estadística de las anomalías gravimétricas es la teoría de los procesos estocásticos, donde el campo de las anomalías gravimétricas se considera como un proceso estocástico estacionario en una esfera; los desarrollos esféricos armónicos de está sección no son más que el análisis espectral de dicho proceso. El trabajo de Miller (1956) incluye una introducción elemental a los procesos estocásticos (730) puede expresarse en la forma π
δN=
2π
R ∫ ∫ g S cos ψ sin ψ dψ dα 4πG ψ=0 α =0
(732)
La integración puede extenderse ahora formalmente a toda la esfera unitaria porque las zonas con ψψ 0 no contribuyen en nada al valor de la integral. Dado que la función S ( cosψ ) es continua por partes, puede desarrollarse en una serie de polinomios de Legendre (armónicos zonales):
∞
S cos ψ = ∑
n=0
2n1 Q n P n cos ψ . 2
(733)
Por razones formales, los coeficientes de este desarrollo se denotan por medio de (2n + 1)Qn/2. De acuerdo con la Sección 113, ecuación (170), están dados por 2π
π
2n1 2n1 Q n= ∫ ∫ S cos ψ Pn cos ψ sin ψ dψ dα 2 4π α=0 ψ=0 La integración con respecto a α puede efectuarse de inmediato, dando así
2π
∫
dα=2π ,
α =0
π
Qn =
de modo que
∫ S cos ψ P n cos ψ sin ψ dψ
ψ=0
Si se usa (731), finalmente se halla que π
Qn = ∫ S cos ψ P n cos ψ sin ψ dψ
( 7 34)
ψ0
Esta ecuación determina los Qn como funciones del radio limitador ψ 0 . La evaluación de esta integral es un asunto de rutina; se mostrará más adelante.
Ahora se inserta (731) en (732). Después de intercambiar el orden de la integración y la sumatoria, se obtiene ∞
δN=
2π
π
R ∑ 2n1 Q n ∫ ∫ g P n cos ψ sin ψ dψ dα 8πG n=0 α =0 ψ=0
Según (1 71), la integral doble es igual a 4π g n / 2n1 , de modo que
∞
R δN θ , λ = ∑ Q g θ ,λ 2G n=2 n n
(735)
donde es, al igual que antes, el armónico de Laplace de nésimo g .
La ecuación (735) da como resultado el error en N en un punto dado P θ , λ causado por la omisión de las anomalías gravimétricas más allá de un circulo de radio ψ 0 y cuyo centro es P. Si se desea hallar el efecto de la raíz media cuadrática , hay que calcular el promedio M sobre la esfera unitaria:
2
2
= M { δN }= δN R2 = 2 M 4G =
R2
∞
n=2
4G 2
R2 = 2 4G
{ ∑ } n=2
Q n gn
∑
n '=2
Qn ' g n '
∞
n=2 n '=2
∞
M
∞
Q n gn
∞
M
4G 2
{∑ {∑ ∑
2
∞
R
Q n Q n ' gn gn '
} }
∞
Qn Q n ' M { g n g n ' }
∑∑
n=2 n '=2
Las operaciones realizas aquí son obvias . Primero se insertó (7 3 5 ); luego se introdujo otro índice de sumatoria n', para transformar el cuadrado de una suma en una suma doble; finalmente, se intercambió E1 orden de la integración (símbolo M) y la sumatoria. De acuerdo con la ecuación (718) de la sección anterior, todos los M { ∆g n ∆g n ' } son cero excepto cuando n' = n. Por tanto, finalmente se 2
= δ N
R2
obtiene
∞
∑ Q n 2 M { g n 2 }=
4G 2 n=2
R2
∞
∑ Q n2 c n
(736)
4G 2 n=2
De manera que la influencia de la raíz media cuadrática de las zonas distantes sobre la altura geoidal N puede calcularse a partir de las varianzas de grado 0, lo que viene siendo lo mismo, a partir de la función de covarianza. Este es un ejemplo del papel fundamental que desempeña la función de covarianza en los problemas estadísticos de la geodesia física. Las fórmulas para la influencia de las zonas remotas sobre la desviación de la vertical son mucho más difíciles de desarrollar. Por lo tanto, sólo se resumirán los puntos principales; si se desea un desarrollo detallado podrá hallarse en el trabajo de Hirvonen y Mortiz (1963), al cual se hace referencia en el Capítulo 6. De acuerdo con las ecuaciones (2204) y (735) se tiene que
δξ=−
1 ∂ δN 1 =− R ∂φ 2G
δη=−
∞
∂g
∑ Qn∂ φn
n=2
∂ δN 1 1 =− R cos φ ∂ λ 2G
∞
1
∂g
∑ Q n cos φ ∂ λ n n=2
El error medio cuadrático total δ θ de la desviación dé la vertical está dado entonces por
2 ≡ M {δξ 2 δη 2 } δθ =
∞
1 4G
∂ gn ∂ gn '
∞
2 ∑ ∑
n=2 n ' =2
{
Qn Q n ' M
∂φ ∂φ
∂ gn ∂ gn '
1
cos2 φ ∂ λ ∂ λ
}
Puede mostrarse que para un armónico de superficie arbitrario de Laplace Yn de grado n, las siguientes relaciones son válidas:
M M
∂Y n
{ ∂φ
2
∂Y n
1
}
cos 2 φ ∂ λ
∂ Y n ∂ Y n'
{
∂φ ∂φ
2
= n n1 M Y
{ }
∂ Y n ∂ Y n'
1 cos 2 φ ∂ λ ∂ λ
n
2
(737)
}
=0 si n ' ≠n ;
véase también el trabajo de Jeffreys (1962, pág. 135). Por consiguiente, para Y n =g
δ θ2=
1
∞
∑ n n1 Q 2 M g
4G 2 n=2
n
=
{ } n
2
1
n
, se obtiene
∞
∑ n n1 Q n2 cn
4G 2 n=2
(738)
Esta fórmula da como resultado la influencia media cuadrática de las zonas remotas sobre la desviación total de la vertical θ; corresponde a la ecuación (7 36) para N. Los Coeficientes Qn. Para obtener los Qn expresamente como funciones del radio ψ 0 , hay que evaluar la integral (734). Si se sustituye
sin
ψ0 ψ =Z , sin =t 2 2
( 7 39 )
se obtiene π
1
Qn = ∫ S cos ψ P n cos ψ sin ψ dψ =4∫ P n 1−2z2 S 1−2z 2 z dz , ψ0
t
porque
ψ =1−2z 2 , 2 ψ ψ ψ sin ψ dψ=4 sin *cos d = 4z dz 2 2 2 cos ψ=1−2 sin2
Si se intercambian los límites de integración, finalmente se halla t
Qn =4
∫ P n 1−2z 2 S 1−2z2 z dz
(740)
1
La S (1 − 2 z 2 ) significa que en la función de Stokes S cos ψ hay que sustituir cos ψ por 1−2z 2 y sin
ψ 2
por z: 2
1 z
2
2
S 1−2z = −3 ln z 1z 6z ln z 1 z −4−6z10 z ;
(741)
en forma similar, Pn 1−2z 2 significa que el argumento del armónico, zonal Pn [t en las ecuaciones (158)] tiene
2
que sustituirse por 1−2z , por ejemplo.
P 0 1−2z 2 =1, P 1 1−2z2 =1−2z2 , P 2 1−2z 2 =
3 1−2z2 2 − 1 2 2
(742)
Por lo tanto, la integral (740) puede evaluarse aplicando los métodos usuales de integración; se obtiene, por ejemplo,
Q0 =−4t5t 2 6t 3 −7t 4 6t 2 −6t 4 ln t 1t , 28 32 Q1=−2t4t 2 t 3 −14 t 4 −8t 5 t 6 3 3 2 4 6 6t −24 t 8 ln t 1t −2 ln 1t , 53 51 Q2 =2−4t5t 2 14 t 3 − t 4 −30 t 547 t 6 18 t 7 − t 8 2 2 2 4 6 8 6t −24 t 36 t −18 t ln t 1t ,
(743)
En el trabajo de Molodenskii et al. (1962, págs. 148150) pueden hallarse las fórmulas para los Qn hasta n = 8 y una tabla de valores. Si ψ 0 =0 , entonces la función S ( cosψ ) de la ecuaci6n (731) se reduce a la función de Stokes S cos ψ para todos los valores de ψ :
∞
∞
S cos ψ = ∑
n=0
2n1 2n1 Q n P n cos ψ = S cos ψ = ∑ P n cos ψ , 2 n=2 n−1
de modo que
Q0 =Q 1=0,
Qn=
2 n−1
n≥2 si ψ 0=0
(744)
Resultados Numéricos. Como el tamaño de. los Qn disminuye rápidamente al aumentar n, excepto cuando
ψ 0 es pequeño, las series (736) y (738) convergen rápidamente, de manera que por lo general unos cuantos términos son suficientes.
Kaula (1959, pág. 2419) propone los siguientes valores máximos razonables (mgals ) para las varianzas de grado:
c 21=15 , c 3=43 , c 4=30 ,
c 5 =c 6 =c 7=c 8 =25 ,
(745)
los cuales concuerdan con los valores de la función de covarianza de la Tabla 7 1 . Luego, el efecto medio de las anomalías gravimétricas más allá de un radio esférico ψ 0 está dado por la Tabla 72. Los primeros tres valores de
ψ 0 corresponden a distancias lineales de 1000, 1500 y 2000 km. La sumatoria de (736) y (738) se extendió hasta
n = 8. 1
Anteriormente se usó el símbolo para denotar la distancia polar.
Tabla 72
Influencia Media Cuadrática de la Zona Más Allá del Radio ψ 0 sobre la Altura Geoidal N y la Desviación de la Vertical θ.
9.0°
N ±25 m
θ ±2. 4} {} ¿
13.5° 18.0° 30°
21 18 14
2.0 1.8 1.2
ψ0
60°
N ±14 m
θ ±1 .2 } {} ¿
90° 135° 180°
.11 8 0
1.1 0.8 0.0
ψ0
y δ Molodenskii et al. (1962, páq. 167) hizo estimaciones numéricas de δ N θ las cuales son
g aproximadamente 70% más altas. Se basan en valores de c n = armónico obtenido por Zhongolovich en 1952.
n
2
que corresponden a un desarrollo esférico
75. Interpolaci6n y Extrapolaci6n de Anomalías Gravimétricas Tal como se indicó en la Sección 71, el propósito de la predicción (interpolación y extrapolación) es complementar las observaciones gravimétricas que sólo pueden efectuarse en relativamente pocos puntos, estimando los valores de la gravedad o de las anomalías gravimétricas en todos los demás puntos P de la superficie terrestre. Si P se encuentra rodeado por estaciones gravimétricas, es necesario interpolar; si las estaciones gravimétricas se encuentran lejos de P, hay que extrapolar. Aparentemente no hay mucha diferencia entre estos dos tipos de predicciones y en ambos casos la formulación matemática es la misma. Para predecir una anomalía gravimétrica en P, se necesita información sobre la función de la anomalía gravimétrica. La información más importante es, por supuesto, los valores que se observan en ciertos puntos. Además, se necesita cierta información sobre la forma de la función de anomalía. Si las mediciones gravimétricas son muy densas, entonces la continuidad o “regularidad” de la función es suficiente para interpolación lineal, por ejemplo. De lo contrario se podría tratar de usar información estadística sobre la estructura general de las anomalías gravimétricas. En este caso hay que considerar dos tipos de correlación estadística: la autocorrelación de las anomalías gravimétricas la correlaci6n entre ellas, y la correlación de las anomalías gravimétricas con la elevación. Por el momento se hará caso omiso de la correlación con la elevación la Sección 710 estará dedicada a este tema . La autocorrelación se caracteriza por la función de covarianza que se consideró en la Sección 72. Matemáticamente, el propósito de la predicción es hallar una función de las anomalías gravimétricas observadas g1 , g 2 , , g n de manera que la anomalía desconocida g p en P pueda ser aproximada por la función
g p =F g 1 , g 2 , , g n
(746)
g p , En la práctica, sólo se usan funciones lineales de la gi . Si el valor . pronosticado de g p se denota por dicha predicción lineal tendrá la forma n
g P =αp1 g 1 αp2 g2 ⋯αpn g n ≡
∑ αpi i=1
gi
(747)
Los coeficientes α pi dependen Únicamente de la posición relativa de P y de las estaciones gravimétricas 1, 2, ..., n; son independientes de gi . Según la forma como se escojan estos coeficientes, se obtienen los diferentes métodos de interpolación o extrapolación. A continuación se dan algunos ejemplos. Interpolación Geométrica. La “superficie” de anomalías gravimétricas, “tal corno se halla representada en un mapa de anomalías gravimétricas, puede aproximarse por medio de un poliedro, dividiendo el área eh triángulos cuyas esquinas están formadas por las estaciones gravimétricas y pasando un plano por las tres esquinas de cada triángulo (véase la figura 74). Esto es más o menos lo que se hace cuando se construyen las curvas de nivel de un mapa de anomalías gravimétricas por medio de interpolación gráfica.
Analíticamente, esta interpolación puede formularse de la siguiente manera. Supóngase que el punto P se encuentra situado dentro de un triangulo con esquinas 1,2,3 (figura 74). A cada punto se le asigna su valor g como coordenada z, de modo que los puntos 1, 2, y 3 tengan 1as coordenadas “espaciales” (x 1, y1, z1), (x2, y2, z2) y (x3, y3, z3); x y y son coordenadas planares normales. El plano que pasa por 1, 2, 3 tiene la ecuación
x 2− x y3−y 2 − y 2−y x3− x 2 z x 2− x1 y3− y2 − y2− y1 x3− x 2 1 x 3−x y 1− y3 − y3− y x1−x 3 z x 3−x 2 y1− y3 − y3−y 21 x1− x3 2 x 1−x y 2−y1 − y1− y x 2− x 1 z x 1−x 3 y2− y1 − y1− y3 x 2− x1 3
z=
( 7 48 )
Si sustituimos zl, z2, z3 por g1 , g2 , g3 entonces z será el valor interpolado g p en el punto P, que tiene las coordenadas planares x, y. Por tanto,
g P =αp1 g 1 αp2 g2 αp3 g 3
(749)
Aquí g1 denota el valor de g en un punto i y no un armónico esférico. donde los αpi son los coeficientes de zi de la ecuaci6n anterior. l
Representación. Con frecuencia se usa la anomalía medida de una estación gravimétrica 1 para representar toda la vecindad, de manera que
g p≡ g1
(750)
siempre y cuando P esté dentro de cierta vecindad del punto l. En este caso,
αp1 =1, αp2 = αp3 =⋯αpn =0
Este método es más bien general, pero lo suficientemente sencillo y preciso para servir para muchos propósitos.
Figura 74 Interpolación Geométrica
Anomalía Cero. Si no hay ninguna medición gravimétrica en un área extensa por ejemplo, los océanos entonces se usa la estimación
g p≡ 0
(751)
para esa área. En este caso común todos los αpi son cero. Si todas las estaciones gravimétricas conocidas se encuentran distantes. y no se conoce nada mejor. entonces se aplica este método rudimentario de extrapolación, si bien la precisión es deficiente. Para tal efecto, las anomalías isostáticas resultan más convenientes Ninguno de estos tres métodos ofrece una precisión óptima. En la próxima sección se estudiará la precisión de la fórmula general de predicción (747) y se hallarán los coeficientes αpi que proporcionen los resultados más precisos.
76.
Precisión de los Métodos de Predicción Pred1cción MínimoCuadrática.
Para comparar los diversos métodos posibles de predicción, determinar el alcance de sus aplicaciones y hallar el método más exacto, resulta necesario evaluar sus precisiones.
Considérese el caso general de la ecuación (747). La anomalía gravimétrica correcta en P es , el valor pronosticado es: n
g p =∑ αpi gi i=1
La diferencia es el error εP de la predicción, εp= g p − g p= g p−
∑ αpi
gi
i=1
(752)
Si se eleva al cuadrado se halla que
εp2= g p−∑ αpi g i i
g p −∑ αpki g k k
2
(753)
= g p −2 ∑ αpi g P g i ∑ ∑ αpi αpk g i g k i
i
k
Después se calcula el promedio M de esta fórmula sobre el área considerada (sea ésta una región limitada o toda la tierra). Luego, según (75), se tiene que
M { g i g k }=C ik ≡C ik , M { g p g i }=C Pi ≡C Pi , M g
{ } =C 0 ≡C p
2
(754)
0
Estos son valores específicos de la función de covarianza C(s), para s = ik, s = Pi, y s=0; por ejemp1o ik es la distancia entre las estaciones gravimétricas i y k. Las notaciones compendiadas Cik y CPi se explican por sí mismas. Además, se fija 2
{ }
M ε
p
2
=m
P
(755)
De esta manera, mp es el error medio cuadrático de una anomalía gravimétrica pronosticada en P o, en otras palabras, el error típico de predicción M (interpolación o extrapolación).
Al tomar en cuenta todas esta relaciones, se halla que el promedio M de (7 53) es
m 2P =C 0 −2
n
n
n
∑ αpi C Pi∑ ∑ αpi αpk C ik i=1
(756)
i=1 k =1
Esta es la fórmula fundamental para el error típico de la fórmula general de predicción (747). En los casos especiales descritos en la sección anterior, hay que insertar los valores específicos de αpi Como ejemplo, considérese el caso de la representación, ecuación (750); todos los α , son cero excepto por uno. Aquí, (756) da como resultado
m 2P =C 0 −2C Pi C 0 =2C 0−2C Pi Muchas veces no solamente se necesita el error típico mP de predicción sino también la correlación de los errores de predicción εp y ε0 en dos puntos diferentes P y Q, expresada por medio de la “covarianza de los errores” σPQ, la cual se define por
σ Pk = M { ε p ε k }
(757)
(Si los errores εP y εQ no están corre1acinados, entonces la covarianza de los errores σ PQ = 0) Según (752) se tiene que
σ PQ= M
{
n
g P−∑ αPi g i i=1
n
gQ − ∑ αQk g k k =1
n
{
}
n
n
n
= M g P g Q −∑ αPi g Q g i− ∑ αQk g P g k ∑ ∑ αPi αQk g i g k i=1
k =1
i=1 k=1
}
y finalmente n
n
n
n
σ PQ=C PQ −∑ αPi C Q −∑ αQi C Pi ∑ ∑ αPi αQk C ik i =1
i
i =1
(758)
i=1 k =1
Las notaciones se explican por sf mismas; por ejemplo, CPQ = C(PQ).
La Función de Covarianza de los Errores. Los valores de la covarianza de los errores σ PQ para diferentes posiciones de los puntos P y Q. forman una función continua de las coordenadas de P y Q. Esta función se conoce
como la función de covarianza de los errores, o en breve, la función error, y se denota mediante σ (xp, yp, xQ, yQ). Si P y Q son diferentes, entonces sencillamente se tiene
σ x P , y P , x Q , y Q =σ PQ
(759 a)
si P y Q coinciden, entonces (758) se reduce a (756), de modo que
σ x P , y P , x Q , y Q =m2P
(759 b)
es el cuadrado del error típico de predicción en P.
Por consiguiente, las covarianzas de los errores σ PQ pueden considerarse como valores especiales de la función de covarianza de los errores, de la misma manera como las covarianzas CPQ de las anomalías gravimétricas pueden considerarse como valores especiales de la función de covarianza C(s) A modo de repetición, la función de error es la función de covarianza de los errores de predicción, definida como
M { ε p εQ } , mientras que C(s) es la función de covarianza de las anomalías gravimétricas, definida como
M { g P gQ } , El término "función de covarianza", en el sentido más estricto de la palabra, se reserva para C(s). Aplicando (756) y (758), la función de error puede expresarse en términos de la función de covarianza; puede escribirse en forma más explicita n
n
n
n
σ x P , y P , x Q , y Q =C PQ −∑ α Pi C Qi −∑ αQi C Pi ∑ ∑ α Pi αQk C ik (760) i=1
i=1
i=1 k =1
Como puede verse, la función de covarianza tiene un papel esencial en los estudios de precisión. La función de error, por otra parte, es fundamental para los problemas de propagación de errores, como podrá notarse en las siguientes secciones. Predicción MínimoCuadrática. Los valores de σ Pi para el método más preciso de predicción se obtienen minimizando el error típico de predicción expresado por (756) como una función de los α. Las. condiciones familiares necesarias para un mínimo son
∂ m 2p ∂ α pi
n
=−2C Pi 2 ∑ α Pk C ik =0
i=1,2 , , n
k =1
ó
(761) n
∑ C ik α Pk =C Pi ,
k =1
Este es un sistema de n ecuaciones lineales expresadas con n incógnitas σ Pk ; la solución es n
α Pk =∑ C −1 ik C Pi ,
(762)
i=1
−1
donde C ik denotan los elementos de la inversa de la matriz (Cik). Si se inserta (762) en (7 47) se obtiene. n
g P ∑ α Pk k =1
En notación matricial esto se escribe así:
n
n
−1 gk =∑ ∑ C ik C Pi i=1 k =1
gk
g P = CP 1 ,C P2 ,C Pn C 11 C 12 ⋯ C 1n C 21 C 22 ⋯C 2n ⋮ ⋮ ⋮ C n1 C n2 ⋯C nn ¿ righ ¿ ¿ ¿ −1 ¿ g1 g2 ⋮ gn ¿ righ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿¿
(763)
Puede verse que para una predicción óptima es necesario conocer el comportamiento estadístico de las anomalías gravimétricas mediante la función de covarianza C(s). Hay una estrecha relación entre este método óptimo de predicción y el método de ajuste mínimocuadrático. Si bien se refieren a problemas distintos, ambos han sido diseñados de manera que proporcionen los resultados más precisos las ecuaciones lineales (761) corresponden a las "ecuaciones normales” de los cálculos de ajuste. Por lo tanto, las predicciones que se basan en la fórmula (7.63) se conocen como “predicciones mínimocuadráticas". Los detalles podrán hallarse en el trabajo de Kaula (1963) y en el de Moritz (1965 ). Resulta fácil determinar la precisión de la predicción mínimo cuadrática. Los α de la ecuación (762) se insertan en (756) después de efectuar los debidos cambios en los índices de la sumatoria. Esto da como resultado
Se ti ene que
m 2P =C o −2
=C o −2
n
n
n
∑ α Pk C Pk ∑ ∑ α Pk α Pi C ki k=1
i =1 k =1
∑ ∑ C ik−1 C Pi C Pk ∑ ∑ ∑ ∑ C ik−1 C Pi C −1 jl C Pj C kl i
k
i
j
k
l
1 sij=k 0 sij≠k −1 ∑ C jl C kl =δ jk =¿ {¿ } ¿{} l
La matriz σ kl es la matriz unidad. Esta fórmula establece que el producto de una matriz y de su inversa es la matriz unidad. Por tanto, también se tiene que
−1 −1 ∑ ∑ C ik−1 C −1 jl C kl =∑ C ik δ jk =C ij k
l
k
Dado que una matriz no cambia al multiplicarse por la matriz unidad. Por consiguiente se obtiene.
m P2 =C o −2 ∑ ∑ C ik C Pi C Pk ∑ ∑ C −1
i
k
j
−1
=C o −2 ∑ ∑ C ik C Pi C Pk ∑ ∑ C i
k
i
j
−1
ij
−1
ik
C Pi C Pk
−1
=C o −∑ ∑ C ik C Pi C Pk i
k
De manera que el error típico de la predicción mínimocuadrática está dado por
m 2P =C o−
n
n
∑ ∑ C ik−1 C Pi C Pk i=1 k =1
C Pi C Pj
=C 0 − CP 1 , C P2 ,C Pn C 11 C 12 ⋯ C 1n C 21 C 22 ⋯C 2n ⋮ ⋮ ⋮ C n1 C n2 ⋯C nn ¿ righ ¿ ¿ ¿ −1 ¿ C P1 C P2 ⋮ C Pn ¿ righ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿¿
(764)
De igual manera se puede hallar la covarianza de los errores en los puntos P y Q: n
n
−1 α PQ=C PQ −∑ ∑ C ik C Pi C Qk i =1 k=1
=C PQ− CP 1 , C P2 ,C Pn C 11 C 12 ⋯ C 1n C 21 C 22 ⋯C 2n ⋮ ⋮ ⋮ C n1 C n2 ⋯C nn ¿ righ ¿ ¿ ¿ −1 ¿ C Q1 C Q2 ⋮ C Qn ¿ righ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿¿
(765)
Con estas dos fórmulas se determina la función de la covarianza de los errores para la predicción mínimocuadrática. Ambas fórmulas tienen una forma parecida a la de (763) y son adecuadas para cálculos automáticos, de modo que es posible calcular y su precisión al mismo tiempo. Consideraciones Prácticas. La interpolación geométrica (Sección 75) se presta para interpolar las anomalías de punto en una red gravimetrica densa, donde, las distancias entre estaciones son de 10 km. o menos. Si se necesitan anomalías medias para bloques de 5’ x 5’, o más grandes, en lugar de anomalías de punto, entonces una representación como la que se consideró en la sección anterior podría resultar mucho más sencil1a y tener casi la misma precisión. La predicción mínimocuadrática es, por supuesto, más precisa que la interpolación o representación geométricas, pero incremento en la precisión no es impresionante. La ventaja principal .de la predicción mínimo cuadrática es que permite un procesamiento sistemático y puramente numérico de los datos gravimétricos; ya no es necesario elaborar mapas de las anoma1ías gravimétricas. La misma fórmula se aplica tanto a la interpolación como a la extrapolación, de manera que la falta de datos gravimétricos no afecta el método de cálculo, el cual es completamente esquemático. Como se requieren matrices grandes, es esencial contar con una computadora electrónica de alta velocidad. Para mayores detalles prácticos y sobre los cálculos, véase la publicación de Rapp (1964). Cuando las distancias entre estaciones son mayores, de 50 km o más la predicción de los valores de puntos individuales no tiene sentido. En tal caso, es necesario trabajar, por ejemplo, con las anomalías medias de bloques de 1° x 1°. Este será el tema de la Sección 79.
7.7.
Propagación de Errores. Precisión de los Armónicos Esféricos.
Las anomalías gravimétricas son aquellos datos de observación a partir de los cuales se ca1culan otras cantidades de interés geodésico, tales como las ondulaciones geoidales, las desviaciones de la vertical o e1 campo gravitacional externo. Todos estos cálculos se realizan mediante fórmulas integrales. El problema es estimar la precisión de estas cantidades derivadas a partir de la precisión conocida de las anomalías gravimétricas. La teoría del error convencional no incluye este caso directamente. Debe modificarse ligeramente; esto se logra mediante una ampliación natural y lógica de la teoría común de la propagación de errores. Los lectores interesados en el método general pueden referirse a las publicaciones de Mor1tz (1961. 1964a); aquí sólo se expondrán dos casos prácticos que se tratarán en esta sección y en la que sigue. . El primer problema es el siguiente. El campo de las anomalías gravimétricas se desarrolla en una serie de armónicos esféricos completamente normalizados (713):
∞
g θ , λ = ∑
∞
∑ [ a nm Rnm θ , λ b nm S nm θ , λ ]
n=2 m=0
donde
a nm b nm g θ , λ Rnm θ , λ Sn θ , λ
{ ¿ } ¿ {}=
1 4π
2π
(766)
m π
∫ ∫ ¿ { ¿} ¿{}sin θ dθ dλ ¿
λ=0 θ=0
Se conoce la función de covarianza de los errores σ de las anomalías gravimétricas; hay que determinar la precisión de los coeficientes a nm y bnm , es decir. las varianzas y covarianzas de sus errores (errores típicos).
El error individual εp de la anomalía gravimétrica en un punto P cuyas coordenadas son θ y λ, se denota por medio de
ε θ , λ La totalidad de estos errores en todos los puntos de la esfera obviamente forma una función de θ y λ. La función de covarianza de los errores según (159a) y (757), esta dada entonces por
σ θ , λ , θ ', λ ' = M { ε θ , λ ε θ ', λ ' }
(767)
Como el producto promedio de los errores individuales en dos puntos donde las coordenadas son θ, λ y θ’, λ’. La covarianza de los errores σ se consideran aquí como una función de las coordenadas esféricas θ, λ y no como una función de las coordenadas planares x, y. . El efecto de estos errores ε (θ , λ) en el coeficiente a nm , según (766), está representado por π
2π
1 η= ∫ ∫ ε θ , λ Rnm θ , λ sin θ dθ dλ 4π λ=0 θ=0
(768)
a nm La varianza de los errores a nm , el cuadrado de su error típico, Donde n es entonces el error individual de está obviamente dada por
m 2 ≡M { η 2 }
(769)
Como el promedio de los η 2 individuales. Por tanto, hay que hallar primero η 2 . Se tiene que
η = = =
16 π
[∫ ∫
2
λ=0 θ=0
2π
1 16 π 2 1 16 π 2
2
π
2π
1
2
ε θ , λ Rnm θ , λ sin θ dθ dλ
π
]
2π
∫ ∫
λ=0 θ=0 2π π
ε θ , λ Rnm θ , λ sin θ dθ dλ∗ 2π
π
∫ ∫ ε θ ', λ ' R nm θ ', λ ' sin θ ' dθ ' dλ'
λ ' =0 θ '=0
π
∫ ∫ ∫ ∫
λ=0 θ=0 λ' =0 θ ' =0
nm θ , λ R nm θ ', λ ' sin θ sin θ ' dθ dλ dθ ' dλ' ε θ , λ ε θ ', λ ' R
En este caso se han usado dos teoremas muy conocidos del cálculo integral:
1. Los símbolos que denotan las variables de integración en una integral definida no tienen importancia; 2.
pueden sustituirse por cualquier otro símbolo. En este caso, θ, λ se han sustituido por θ’, λ’en la segunda integral. Los productos de las integrales definidas pueden escribirse como una integral múltiple.
Ahora se calcula el promedio de la última ecuación para obtener el error típico m según (769). Se tiene que
1 m = 16 π 2 2
2π
π
2π
π
∫ ∫ ∫ ∫
λ=0 θ=0 λ ' =0 θ ' =0
σ θ , λ , θ ', λ ' R nm θ , λ R nm θ ', λ ' sin θ sin θ ' dθ dλ dθ ' dλ'
El símbolo M se colocó dentro de la integral porque M, por su definición como el promedio sobre la esfera unitaria, es en realidad una integral doble, y el orden de las integrales con límites finitos fijos puede intercambiarse. La definición (767) finalmente proporciona
1 m = 16 π 2 2
2π
π
π
2π
∫ ∫ ∫ ∫
λ=0 θ=0 λ ' =0 θ ' =0
σ θ , λ , θ ', λ ' R nm θ , λ R nm θ ', λ ' sin θ sin θ ' dθ dλ dθ ' dλ'
(770)
a nm Si se desea el error típico del Esta es la fórmula deseada para el error típico del coeficiente esférico armónico b nm , sencillamente hay que sustituir Rnm por la función correspondiente S nm . coeficiente Esta fórmula resuelve así un problema específico de propagación de errores en los cálculos gravimétricos. Al igual que (766), es una fórmula integral. La función de covarianza de los errores σ interviene en una forma básica; de esta manera se ve la importancia fundamental de σ para la propagación de errores. Si se conoce la función de error, entonces será posible hacer la evaluación de la integral (770) sin dificultades teóricas usando, por ejemplo, una integración numérica.
Se obtendrá un resultado particularmente sencillo si a la función de error se le aplican dos hipótesis: 1. 2.
Sólo los errores de puntos vecinos estarán correlacionados significativamente; más allá de cierta distancia no hay correlación alguna. La precisión es la misma para todos los puntos de la superficie terrestre.
Analicemos lo que significan estas hipótesis en la práctica. Las principales faltas de precisión de las anomalías gravimétricas son causadas por la interpolación. Si se pasan por alto los otros errores, entonces se podría calcular la función de covarianza de los errores mediante las fórmulas de la sección anterior. La primera hipótesis es natural dado que en una red gravimétrica razonablemente densa, los errores de interpolación en aquellos puntos que se encuentran bastante separados prácticamente no están correlacionados. La segunda hipótesis es valida para el caso ideal de un cubrimiento uniforme de mediciones gravimétricas en toda la tierra. Sencillamente establece que la precisión es la misma en todos los puntos; sin embargo, la precisión puede ser diferente en las diferentes direcciones, como es el caso de las mediciones para perfiles. El punto crucial que. permite simplificar drásticamente la integral cuádruple (770) es que, según la hipótesis 1, el integrando puede ser significativamente diferente de cero solamente si θ’= θ y λ’= λ, porque la función de error para dos puntos distantes es cero. Por consiguiente, es posible hacer una aproximaci6n (770) por
1 m = 16 π 2 2
2π
π
2π
π
∫ ∫ ∫ ∫
λ=0 θ=0 λ ' =0 θ ' =0
2
σ θ , λ , θ ', λ ' [ Rnm θ , λ ] sin θ sin θ ' dθ dλ dθ ' dλ '
y realizar primero la integración sobre θ’ y λ’. Si se fija 2π
π
∫ ∫
σ θ , λ , θ ', λ ' sin θ ' dθ ' dλ' =
λ ' =0 θ ' =0
S R2
(771)
(R = 6371 km.); de acuerdo con la hipótesis 2, esto será una constante independiente de la posición. La cantidad S se llamará la constante de error en la Sección 79 se mostrará una forma práctica de calcularla y se darán valores numéricos. Luego, la fórmula para m 2 se convierte en
S m = 16 π 2 R 2 2
2π
π
∫ ∫ [ R nm θ , λ ]
2
sin θ dθ dλ
(772)
λ=0 θ=0
Según la ecuación (174), la integral es 4π, de manera que finalmente se obtiene el resultado sencillo
m 2=
S
(773)
4πR2
a nm . Para b nm hay que reemplazar la función R nm por donde m es el error típico de cualquier coeficiente S nm , que obviamente da el mismo resultado.
a nm y b nm Por consiguiente, los errores típicos de todos los coeficientes completamente normalizados son iguales y están dados por (773). a nm y Luego se calcula la covarianza de los errores de dos coeficientes esféricos armónicos diferentes a pq . El error individual η de a nm está dado por (768); el error individual η* de a pq es
1 η∗¿ 4π
2π
π
∫ ∫ ε θ ', λ ' R pq θ ', λ ' sin θ ' dθ ' dλ'
λ ' =0 θ ' =0
a nm y a pq se define como La covarianza de los errores de
ηη∗¿ ¿ . σ a nm , a pq = M ¿ ¿
Si se repite el procedimiento que da (770) como resultado se hallará que
1 σ a nm , a pq = 16 π 2
2π
π
2π
π
∫ ∫ ∫ ∫
λ=0 θ=0 λ' =0 θ ' =0
σ θ , λ , θ ', λ ' R nm θ , λ R pq θ ', λ ' sin θ sin θ ' dθ dλ dθ ' dλ '
En lugar de (772) ahora se tiene que
σa nm , a pq =
S 16 π 2 R 2
2π
π
∫ ∫
λ=0 θ=0
nm θ , λ R pq θ , λ sin θ dθ dλ R
Dada la ortogonalidad de dos armónicos esféricos diferentes, esto es cero. . R pq por S pq para obtener la covarianza de los errores entre Se hubiera obtenido el mismo resultado sustituyendo
a nm y b pq . Por consiguiente, ninguno de los coeficientes a nm y b nm están correlacionados. los coeficientes En realidad, estos resultados sencillos solamente tienen validez cuando es factible la sustitución aproximada que permite pasar de (770) a (772). Como puede verse, en el caso de los armónicos esféricos de grado n muy alto no se cumple, pero es válido para los armónicos de grado más bajo, que son los de mayor interés geodésico. Con estos resultados, es posible calcular fácilmente la precisión de los coeficientes J nm y K nm del potencial gravitacional V (Moritz, 1964a). 7.8.
Precisión de las Ondulaciones Geoidales Calculadas a Partir de las Anomalías Gravimétricas.
Este problema dio origen a la aplicación de las técnicas estadísticas a la geodesia gravimétrica. Dos trabajos básicos (de GraaffHunter, 1915; Hirvonen, 1956) tratan este tema a fondo. El segunda de ellos dio lugar a un intenso desarrollo moderno. . Hay que volver a considerar una red gravimétrica idealizada que sea tanto uniforme como homogénea sobre toda la tierra para estudiar la precisión de la ondulaci6n geoidal N que puede obtenerse con dicha red gravimétrica. Este es un aspecto importante porque el resultado indica cómo debe planificarse un levantamiento gravimétrico para lograr una determinada precisión para N. Por lo tanto se trata en detalle en varios trabajos: de GraaffHunter (1935), Kaula (1957)~ Groten y Moritz (1964).
Por ello se estudiará la propagación de errores en la fórmula de Stokes.
2π
π
R N= ∫ ∫ g ψ , α S ψ sin ψ dψ dα 4πG α=0 ψ=0 Esto se hace en una forma muy similar a la sección. anterior. El error individual de N está dado por π
2π
R η= ∫ ∫ ε ψ , α S ψ sin ψ dψ dα ; 4πG α=0 ψ=0 y su cuadrado se convierte en
R η = 4πG
π
2 2π
∫∫
2
ε ψ , α S ψ sin ψ dψ dα
α=0 ψ=0
ó π
2π
∫ ∫ ε ψ ', α ' S ψ ' sin ψ ' dψ ' dα '
α ' =0 ψ ' =0
R η = 4πG 2
2 2π
π
∫∫
2π
π
∫ ∫
ε ψ , α ε ψ ', α ' S ψ S ψ ' sin ψ sin ψ ' dψ dα dψ ' dα '
α=0 ψ=0 α ' =0 ψ ' =0
Si se calcula el promedio M de ambos lados de esta ecuación se halla que
R m = 4πG 2
2 2π
∫
π
2π
π
∫ ∫ ∫
σ ψ , α , ψ ', α ' S ψ S ψ ' sin ψ sin ψ ' dψ dα dψ ' dα '
α =0 ψ=0 α ' =0 ψ ' =0
(774) Aquí m es el error típico de N y σ θ , λ , θ ', λ ' es la función de error de las anomalías gravimétricas. Esta es la fórmula general para la propagación de errores de la fórmula de Stokes. Es válida para una forma arbitraria de la función de error Esta ecuación puede simplificarse drásticamente una vez más aplicando las dos hipótesis ninguna correlación de errores más allá de cierta distancia pequeña y precisión uniforme que se mencionaron en,.la sección anterior. Se aplicae1 mismo truco que con la ecuación (770). Se fija S ψ ' =S ψ y luego se efectúa la integración sobre ψ ' Usando la constante de error S según (771) se obtiene
S m = 16 π 2 G 2 2
2π
π
∫ ∫ [ S ψ ] 2 sin ψ dψ dα
α=0 ψ=0
La integración con respecto a α puede efectuarse ahora enseguida; finalmente se obtiene
m 2=
π
S S ψ ] 2 sin ψ dψ 2 ∫ [ 8πG ψ=0
Esta fórmula es muy sencilla pero lamentablemente no es válida en esta forma; de hecho el valor que proporciona es ∞ . La razón es que si se reemplaza S ψ ' por S (ψ ) en una forma aproximada hay que suponer que para
ψ ' =ψ también se tiene que S ψ ' =S ψ . Esto no es cierto en la vecindad del origen ψ =0 porque S (ψ ) aumenta rápidamente y es, en efecto, discontinuo en el origen: S ψ ∞ si ψ 0 Por consiguiente hay que excluir el origen empezando la integración en ψ =0 ( ψ 0 pequeño) en lugar de ψ =0 : 2
m =
π
S 2
8πG
∫ [ S ψ ] 2 sin ψ dψ
(775)
ψ=ψ 0
Luego hay que considerar la pequeña vecindad de ψ ψ 0 de otra forma, para lo cual el lector podrá referirse a Groten y Moritz {1964). La integral (775) puede evaluarse de diversas maneras. Una de las posibilidades es tomar las funciones
S (ψ ) y S ψ sin ψ de las tablas de Lambert y Darling (1936), a las que se hace referencia en el capítulo 2, y calcular la integral por integración numérica. En el trabajo de Groten y Moritz antes citado se ha tabulado la integral π
∫ [ S ψ ] 2 sin ψ dψ ψ0
calculada de esta forma para ciertos valores de ψ 0 . También hay una fórmula cerrada para la integral dada en Molodenskii et al., (1962, pág. 157), pero es un tanto complicada. Los valores numéricos de la Tabla 73 se calcularon a base de los resultados, particularmente para la constante de error S, de la siguiente sección. También incluyen la zona central, ψ ψ 0 que se excluye de (775), y que corresponde a aquellos casos en que hay un punto situado arbitrariamente, o una medici6n gravimétrica central del perfil esteoeste en cada bloque de l° x 1°, 2° x 2°, 5° x 5° ó 10° x 10°, sobre toda la superficie de la tierra.
Bloque
l° x 1°
Punto
±1 .5
2° x 2°
±1 .2
Perfil
±5 ±3
5° x 5° .
10° x 10°
±13
±25 ±9
±7
Cabe hacer aquí un último comentario acerca de la constante de error S, la cual no debe confundirse con la función de Stokes S (ψ ) , en problemas generales de propagaci6n de errores. Supóngase que la función de covarianza de los errores σ θ , λ , θ ', λ ' satisface las hipótesis 1 y 2 de la sección anterior y que se puede aplicar el truco de reemp1azar θ ', λ ' por θ , λ en parte del integrando. Esto es posible si la parte específica del integrando cambia lenta y continuamente con θ yλ , que son los casos que se han tratado en las últimas dos secciones. Luego la función de covarianza de los errores solamente entra en la fórmula de propagación de errores por la constante de error S, la cual puede calcularse una sola vez para todos y es independiente del problema específico de la propagación de errores. Por tanto, la función central de S es obvia.
7.9.
.Precisión de las Anomalías Medias
La anomalía gravimétrica media de un bloque rectangular AB C D, cuyos lados son a y b, está expresada por a
g= 1 ∫ ab x =0
b
∫ g x , y dx dy
(776)
y=0
(Fig.75). Esta fórmula inflexible da por sentado que la anoma1fa gravimétrica g está dada en todos los puntos (x,y) dentro del rect~ngulo ABCD. En la practica solo se ha medido g en unos cuantos puntos dentro del rectángulo; el problema es estimar la anomalía media g a partir de estas mediciones. Una manera es interpolar o predecir g en todos los demás puntos del bloque según los métodos de 1a Sección 75 y ca1cular g a partir de estas anomalías de punto estimadas g mediante la fórmula (776).
Figura 75 La Anomalía Media de un Rectángulo.
También puede usarse una forma más directa. Análogamente a (747), es posible aproximar g mediante una combinación lineal de los valores medidos
g1 , g 2 , g n :
n
=α 1 g 1 α 2 g 2 ⋯ α n g n =∑ α i g i g
(777)
i=1
~
como es evidente, e1 error del valor pronosticado ∆g es a diferencia
n
∑ α i g i ε= g− g = g−
(778)
i =1
Si se eleva al cuadrado, se obtiene
2
2
n
n
n
ε = g −2 ∑ α i g i g ∑ ∑ α i α k g i g k i=1
i=1 k =1
Para hallar el error típico m de la anomalía media estimada, se forma el promedio M, obteniendo así n
n
n
−2 ∑ αi C i ∑ ∑ αi α k C ik m 2 =C i=1
(779)
i =1 k=1
La cantidad C ik se define mediante (754); la cantidad
2 M{ g C≡ }
(780)
es el cuadrado medio de la anomalía media del bloque g o su varianza; y
i≡ M { g i C g} es la covarianza entre el punto gi y la anomalía media g
(781)
Estas cantidades pueden expresarse en términos de la función de covarianza C(s). Al insertar (776) en (780) y aplicar la definición. (75) de la func16n de covarianza, se obtiene fácilmente
C≡
1 2
a b
a
2
b
a
b
2
2
∫x =0 ∫y =0 ∫x '=0 ∫y '=0 C x− x ' y− y ' dx dy dx ' dy '
(782) En forma similar
i= C
b 1 a C ∫ ∫ x=0 y=0 ab
2
2
x− x ' y− y ' dx dy
(783)
donde x i , y i son 1as coordenadas del punto donde se mi de gi .
Si sólo hay una anomalía gravimétrica medida g1 en el b1oque, la fórmula de predicci5n (777) se convierte en:
= αΔg1 g
(784)
y la ecuac16n (779) se simplifica a
−2α C i α 2 C o m 2 =C
(785)
donde se ha fijado α1 =α y C 0 =C 0 . El αi en (777) Y el α en (784) pueden escogerse de diferentes maneras. El caso más senci1lo es el de representación directa, α1 =1 . Se hace una aproximación, o representación, directa de la anomalía media E9 por medio de la anomalía medida g1 . La ecuación (7 84) se convierte entonces en
= g1 g
(786)
y (785) se reduce a 2
−2 C i C o m =C
(787)
1 ecuación (7 La ecuaci6n (787) depende de la posición x i , y i de la estación gravimétrica por medio de 1a C
2 83) . También resu1ta útil considerar la varianza del error promedio m para una situación arbitraria de la observaci6n gravimétrica dentro del cuadrado:
2
m =
b 1 a m 2 x 1 , y 1 dx1 dy1 ∫ ∫ x1=0 y1=0 ab
(788)
y C 0 son constantes no sufren cambios, Si se calcula el promedio (787) hay que tener presente que como C mientras que el promedio de C 1 pasa a ser b 1 a dx dy = C C ∫ ∫ ab x1=0 y1=0 1 1 1
Esto se ve enseguida al comparar (782) y (783). Por tanto, sencillamente se obtiene
m 2 =C 0 − C
(789)
Hirvonen (1956), el autor de esta fórmula, la escribió en una forma especialmente elegante e instructiva:
E 2i =G 20 −G 21
(7 – 89’)
En ella usó E s para el error (típico) de representación. El símbolo G s es la anomalía gravimétrica media de la raíz media cuadrática de un bloque cuyo lado es s (usó bloques cuadrados donde a = b = s); lo cual resulta dela 2 definición (780), C=G Por consiguiente, G s es la anomalía media cuadrática de punto que puede considerarse s 2
como una anomalía media de un bloque cuyo lado s = 0; según nuestra notación G o=C 0 . Las fórmulas anteriores pueden aplicarse a otros métodos de predicción asumiendo diferentes valores de
αi . Los valores de αi que minimizan m 2 ecuación (779), pueden hallarse fácilmente (predicción mínimo cuadrática). Todo esto se efectúa a lo largo de líneas similares a las de las Secciones 75 y 76.
Las generalizaciones y ampliaciones son obvias. Además de las varianzas de los errores m 2 , también pueden considerarse las varianzas de los errores de diferentes bloques. Estas pueden usarse para calcular la constante de error S mencionada en las secciones anteriores. Otra ampliación comprende observaciones de perfiles, en donde la gravedad se mide a 10 largo de perfiles en lugar de estaciones de punto. No obstante, como no es el propósito de este libro incluir dichos temas, el lector puede referirse a la publicación de Moritz (1964b). Resultados Numéricos. Sólo se darán algunos valores numéricos del libro de Moritz (1964b) con su explicación correspondiente pero sin f6rmu1as detalladas. Básicamente, las varianzas de los errores m 2 de (785), y las covarianzas correspondientes, se calcularon con diferentes α . Este es el caso donde hay una sola estación gravimétrica en cada bloque. Hay una serie similar de fórmulas para las varianzas y covarianzas de los errores para un perfil gravimétrico medido en cada bloque; también estas fórmu1as se evaluaron. Las integraciones se realizaron sobre la base de las covarianzas estimadas C ψ de la Tabla 71, usando una computadora electr6nica. El autor usó bloques de 1° x 1°, 2° x 2°, 5° x 5° y 10° x10° en una latitud de 45o, de manera que un bloque de 10° x 10° es un rectángulo de 1112 km x 788 km. La Tabla 74 muestra las varianzas y covarianzas de los errores para observaciones gravimétricas de puntos. El primer valor de la línea superior de cada sección (para anomalía cero, representaci6n, etc.) es la varianza de los errores; el segundo valor de la línea superior de cada sección es la covarianza de los errores entre un bloque y su
vecino al este (u oeste); el tercer valor de cada línea superior es la covarianza de los errores entre dos bloques que tienen la misma latitud y que están separados por otro bloque, etc. De manera que la posición relativa de cualesquier dos bloques que se estén considerando estará representada directamente por el lugar que ocupa su covarianza en la tabla. Tabla 74 Var1anzas y Covar1anzas de los Errores (mgal s2). Observaciones de Puntos
El significado de la anomalía cero ( α = O) Y de la representación ( α =1) está claro. El "error típico mínimo" corresponde al valor de α que minimiza a m 2 (785) : α=
1 C C0
(790)
la "constante mínima de error" se refiere al α que minimiza la constante de error S. Para estos primeros cuatro ítems se dio por sentado que la estación gravimétrica estaba en el centro de cada bloque. El último ítem, “representación promedio" se refiere a una posición aleatoria de la estación gravimétrica dentro del bloque. Las varianzas correspondientes de los errores se expresan por medio de (789), mientras que la varianza de los errores para la “representación” está dada por (787). La Tabla 75 muestra los resultados análogos con respecto a 1a precisión de las mediciones gravimétricas para perfiles. “Representación”, “error típico mínimo” y “constante mínima de error” se refieren a perfiles de este a
oeste espaciados uniformemente a través del centro de cada bloque, mientras que "representación promedio" corresponde a una posición aleatoria del perfil esteoeste dentro del bloque. Tabla 75 Varianzas y Covarianzas de los Errores (mgals2).Observac1ones de Perfiles
Las varianzas son obviamente más pequeñas en el caso de una estación. gravimétrica o un perfil situado centralmente. Son más. grandes para otros casos de observaciones. Esto puede apreciarse al comparar "representación", que se ref1ere.al caso central, con “representación promedio”, donde se determina el promedio de las observaciones distribuidas en todo el bloque. N6tese que para bloques más grandes, la ubicación de las observaciones tiene menos influencia. Tabla 76 Constantes de Error S/R2(mgal s2)
Finalmente, la tabla 76 muestra las constantes de. error correspondientes, o más bien las cantidades S/R2, donde R = 6371 km. [ Estas tablas muestran que los diversos métodos de estimación difieren significativamente en cuanto a la precisión y a la correlación de errores. El “error típico mínimo” tiene una corre1ación de errores bastante grande, de manera que no es lo mejor en lo que se refiere a la propagación de errores. Esto lo demuestran claramente las constantes. de error de la Tabla 76; en la sección anterior pudo observarse que la constante de error S, y no el error típico m, es el factor importante en la propagación de errores. De manera que en general debería minimizarse la constante de error en lugar del error típico, pero los resultados de la representación d1recta ( α =1) son casi igualmente buenos. El "error típico mínimo" es notablemente inferior con respecto a la propagación de errores. Produce un α demasiada pequeño; si α < 1 se interpreta como un promedio ponderado de 1a anomalía observada y 1a anomalía cero, entonces se 1e está asignando demasiado peso a 1a anomalía cero, 1a cua1 tiene una corre1ación a1ta . 710.
Correlación con la Elevación
Hasta el momento sólo se ha tomado en cuenta la correlación mutua de las anomalías gravimétricas, su autocorrelación, pasando por alto la correlación con la elevación que en muchos casos es importante. Por consiguiente, nuestras fórmulas sólo son válidas para las anomalías gravimétricas que no están correlacionadas con la elevación, como las isostáticas o hasta cierto punto las anomalías de Bouguer; o para las anomalías de aire libre en áreas de relativamente planas. las anomalías aire libre en montañas deberán tratarse en una forma diferente . la figura 76, según Uotila (1960), muestra la correlación de las anomalías de aire libre con la elevación. Allí, se trazaron las anomalías gravimétricas g en comparación con la elevación h. Si hubiera una dependencia funcional exacta entre g y h, entonces todos los puntos estarían en una recta (o, como es el caso general, en una curva). En realidad solamente hay una relación funcional aproximada, una tendencia general de las anomalías de aire a aumentar proporcionalmente con la elevación; puede haber excepciones, algunas veces hasta grandes. Esto muestra claramente el significado de la correlación. la correlación mutua de las anomalías gravimétricas está representada por la función de autocovarianza (75),
C s = M {g g ' } donde S=PP ' Asimismo pueden formarse las funciones
B s = M { g h' }= M { g ' h } que expresan la correlación entre la gravedad y la elevación, y
( 7 91 )
A s = M { h h ' } ,
( 7 92 ) que es la función de autovarianza de las diferencias de elevación
h=h− M { h } ;
( 7 93 ) el símbolo M{h} denota la elevación media de toda el área considerada. Si g y h no están correlacionadas, entonces la funci5n B(s) es idénticamente cero. De no ser este el caso, entonces también hay que tomar en cuenta la elevación en la interpolación., Es fáci1 ampliar la fórmula de predicción (747) con este fin. Si las predicciones se limitan a aquellas que son lineales tanto en h como g , es posible escribir
g p=∑ α Pi gi∑ β Pi hi−βΔ hp
(794)
donde los coeficientes α Pi , β Pi , y β no dependen de g ni de h .
Figura 76
Correlación de las Anomalías de Aire Libre con la Elevación. Según la terminología estadística, esto equivale a eliminar la tendencia (con respecto a la elevación) por una regresión lineal. En forma similar, (747) es una fórmula autorregresiva. El error de predicción es
ε P = g P − g P = g P βΔhP−∑ α Pi g i −∑ β Pi h i i
Si se eleva al cuadrado y se halla el promedio de la forma usual, se obtiene
m P2 =C o 2βBo β 2 A 0 −2 ∑ α Pi C Pi −2
∑ β i
Pi β
∑ α Pi β Pi i
−2β ∑ β Pi APi ∑ ∑ α Pi α Pk C ik 2 ∑ ∑ α Pi β Pk βik ∑ ∑ β Pi β Pk A ik i
i
k
i
k
i
k
(795)
donde A0 = A(0), B0 = B(0), C0 = C(0), Api = A(Pi), Bpi, = B(Pi), Cpi = C(Pi), Aik = A(ik), Bik = B(ik), Cik = C(ik); siendo P el punto en el que se va a predecir g , y i o k denotan las estaciones gravimétricas conocidas. Esta fórmula, la cual evidentemente, es una ampliación de (756), da como resultado el error típico de predicción si se toma en cuenta la correlación con' la elevación. Resulta fácil hallar una fórmula para la función de covarianza de los errores, generalizando (760), y las fórmulas matriciales correspondientes a (763) usando (765) para una predicción mínimocuadrática que minimice (795); refiérase al trabajo de Moritz (19 63 ) . Cabe hacer notar que en estas fórmulas intervienen las funciones A, B y C pero ninguna otra cant1dad estadística. Aplicación de las Anomalías de Bouguer. El asunto de que si es posible lograr que las anomalías de aire libre sean independientes de la elevación agregando un término que sea proporcional a la elevación es de suma importancia. En otras palabras, ¿en qué momento 1a cantidad
z= g−b h
(796)
con un coeficiente b determinado, no tiene correlación alguna con la elevación? La forma de z es 1a de una anoma1ía de Bouguer; para una verdadera anomalía de Bouguer, según la sección 33, se tiene b=2π k P ( 7 97 ) si la densidad ρ = 2.67 g/cm3, entonces
b =+ 0 .112 mgal /¿ ¿
(797 ’)
La funci6n de covarianza Z(s) de la “anomalía de Bouguer" (796) con la elevac16n se forma de la siguiente manera:
Z s = M { z h ' }= M { g h '−b h h ' }= B s −b A s Si z ha de ser independiente de h, entontes Z(s) deberá ser idénticamente cero. La condición es
B s −b A s ≡0
( 7 98 )
la cual debe satisfacerse para todas las s y cierta constante b. Vemos que la “anomalía de Bouguer” z no está correlacionada con la elevación si las funciones A(s) y B(s) son proporcionales para el área considerada luego, la constante b está representada por
b=
B s As
(799)
Puede mostrarse que esto equivale a la condición de que los puntos de la figura 76 deben estar situados más o menos en línea recta y no en alguna otra curva. Luego, el coeficiente b estará dado por
b=tan α como la inclinación de la línea hacia el eje h.
(7100)
En la práctica estas condiciones se cumplen a menudo bastante bien; y, además, si se calcula b a partir de la ecuación (799) o se determina gráficamente por medio de (7100), se obtiene un valor que se aproxima bastante a la gradiente normal de Bouguer (797’). Si se da por sentado que b depende solamente de la densidad de la roca ρ, entonces se dispondrá de un medio para determinar 1a densidad promedio que muchas veces es difíci1 medir di rectamente. Este es el "método de Nett1eton", el cual se usa para la prospección geofísica: el coeficiente b se determina estadísticamente mediante las ecuaciones (799) o (7100), y 1uego se calcula 1a densidad de la roca ρ a partir de (7 97) . La figura 77 ilustra el principio de este método; véase también el trabajo de Jung (1956, Pág. 600).
Figura 77 Las anomalías de Bouguer que corresponden a diferentes densidades ρ. La mejor densidad es ρ = 2.4 g/cm3 ninguna correlación); para otras densidades, las anomalías de Bouguer están correlacionadas con la elevación (correlación positiva para ρ = 2.2, correlación negativa para ρ = 2.6). Si se cumple 1a condición (798) ,entonces la “anoma1ía de Bouguer” z podrá considerarse una anomalía gravimétrica que no tiene correlación alguna con la elevación; se le puede aplicar directamente la teoría completa de las secciones anteriores. Pero aun cuando no se cumpla esta condición totalmente, las anomalías de Bouguer generalmente están mucho menos correlacionadas con la elevación que las anomalías de aire libre. El hecho de que en (796), la gravedad se reduce a una elevación media y no al nivel del mar, no tiene, importancia en este respecto puesto que es literalmente cuestión de una constante aditiva. Desde este punto de vista estadístico el elemental, también puede hacerse caso omiso de tales refinamientos como, las correcciones del terreno, etc. Por eso es posible considerar la reducción de Bouguer como un medio para obtener aquellas anomalías gravimétricas que dependen menos de la elevación y que por tanto son más representativas que las anomalías de aire libre. Más específicamente, las anomalías de Bouguer toman en cuenta la dependencia en las irregularidades locales de la elevación. Además, las anomalías isostáticas también son, en gran medida, independientes de las características regionales de la topografía. Véase también el Capítulo 3.
REFERENCIAS
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METODOS MODERNOS PARA DETERMINAR LA CONFIGURACION DE LA TIERRA
8.1.
Introducción
En los capítulos anteriores se uti1izó 1o que podría 11amarse e1 en foque conservador a los prob1emas de la geodesia física. Las mediciones geodésicas coordenadas y azirnuts ,astronómicos ,ángu1os horizonta1es, observaciones gravimétricas, etc. se reducen a1 geoide, y el "prob1ema de los valores límites geodésicos" para el geoide se resuelve por medio de la integra1 de Stokes y fórmu1as similares. Luego e1 geoide sirve de base para establecer la posición de puntos de 1a superficie terrestre.
La ventaja de este método es que el geoide es una superficie de nivel, capaz ,de definirse sencillamente en términos del potencial W, físicamente significativo y geodésicamente importante. El geoide representa la formulación matemática más obvia de una superficie horizontal a nive1 del mar. Es por ello que el uso del geoide simplifica los problemas qeodésicos y los hace comprensibles a la intuición geométrica.
La desventaja es que el potencial W en el interior de la tierra y, por tanto, el geoide W = const., depende de la densidad ρ debido d la ecuación de Poisson (26).
W =−4π kρ2w 2
Por consiguiente, para determinar o usar el geoide, hay que conocer la densidad de las masas en todos los puntos entre geoide y el terreno. por lo menos teóricamente. Obviamente esto es imposible y por ende hay que hacer algunas hipótesis acerca de la densidad, lo cual teóricamente no resulta satisfactorio, aun cuando la influencia práctica de estas hipótesis sea, por lo general, muy pequeña.
Por esta razón fue de suma importancia que Molodensky mostrara en 1945 que la superficie física de la tierra podía determinarse a partir de mediciones geodésicas solamente sin usar la densidad de la corteza terrestre. Esto dio lugar a que se abandonara el concepto del geoide. La formulación matemática se vuelve más abstracta y más difícil. Tanto el método gravimétrico como el astrogeodésico pueden modificarse para este propósito. Las anomalías gravirnétricas y 1as desviaciones de la vertical están ahora referidas al terreno y no al nivel del mar; las “anomalías de altura” a niveles del terreno toman el lugar de las ondulaciones geoidales.
Estos adelantos recientes han ampliado considerablemente nuestros conocimientos de los principios de la geodesia física y han introducido a la vez nuevos métodos efectivos para abordar los problemas clásicos. Por consiguiente, su importancia teórica básica casi no se ve disminuida por el hecho de que muchos científicos prefieren retener el geoide por sus ventajas conceptuales y prácticas.
En este capítulo se hará primero un estudio conciso de la determinación convencional del geoide por medio de reducciones de la gravedad para poder comprender mejor las ideas modernas. Después de exponer la teoría de Molodensky, se mostrará como pueden aplicarse los métodos nuevos a los problemas clásicos tales como la reducción de la gravedad o la determinación del geoide. Cabe mencionar que los términos "moderno" y "convencional" se utilizan meramente como rótulos convenientes; no pretenden dar a entender ni valores ni preferencias.
8.2.
Reducciones de la Gravedad y el Geoide
Las integrales de Stokes y de Vening Meinesz, así como otras fórmulas similares dan por sentado que e1 potencial de perturbación T es armónico en el geoide, lo cual significa que no hay masas fuera de éste. Esta hipótesis – ninguna masa fuera de 1a Superficie delimitadora se hace necesaria si se desea tratar cualquier problema de geodesia física como un problema de valores límites de acuerdo con 1a teoría del potencial. La raz6n es que; los problemas de valores límites de 1a teoría del potencial requieren siempre funciones armónicas, es decir, so1uciones de la ecuación de Laplace.
T =0
Se sabe, por ejemplo que la determinación de T o N a partir ,de las anomalías gravimétricas g puede considerarse como un tercer problema de valores límites: véase la Sección 213.
Como hay masas fuera del geoide, es necesario transferirlas hacia el interior del geoide o eliminarlas completamente, antes de que pueda aplicarse la integral de Stokes o las fórmulas relacionadas. Este es el propósito de las diversas reducciones de 1a gravedad . Estas se explicaron extensamente en e1 capítulo 3; por lo tanto, podemos limitarnos a señalar aquellas características teóricas que son pertinentes a nuestra problema actual. Si las masas externas , las masas fuera del geoide, se eliminan o transfieren a su interior, la gravedad cambiará. Además, la gravedad se observa a nivel del terreno pero se necesita con respecto al nivel del mar. Por consiguiente, la reducción de la gravedad requiere que se tomen en cuenta estos deo efectos para obtener así valores límites en el geoide.
Esta llamada regularización del geoide que elimina las masas externas lamentablemente cambia también las superficies de nivel y por lo tanto el geoide en general. Este es el efecto indirecto; el geoide modificado se conoce como cogeoide o geoide regularizado.
81.
El principio de este método puede describirse de la siguiente manera (Jung, 19S6, pág. 578); véase la figura
1. Las masas fuera del geoide se eliminan totalmente o se transfieren a su interior por medio de cálculos. Hay considerar e1 efecto de este procedimiento en e1 valor de la gravedad, g, en la estación P.
2. La estación gravimétrica se traslada desde P hacia el geoide al punto Po Nuevamente se considera el efecto correspondiente en la gravedad
3. El efecto indirecto, la distancia δ N =PoPc , se obtiene dividiendo el cambio en potencial en el geoide, δ W , por la gravedad normal (teorema de Bruns):
δ N=
δW γ
(81)
4. Luego, la estación gravimétrica se traslada desde el punto geoidal Po hacia el geoide, PC. Esto proporciona el valor límite de la gravedad en el cogeoide, g c 5.
La forma del cogeoide se calcula a partir de las anomalías gravimétricas reducidas
gc =g c −γ
(82)
c
por medio de la fórmula de Slokes la cual da corno resultado N =QPC
6. Por último el geoide se determina tomando en cuenta el efecto indirecto. La ondulación geoidal N se obtiene, por lo tanto, así
N c= N c δ N
(83)
A primera vista, podría parecer que las masas entre el geoide y el cogeoide ;tienen qu e1 eliminarse si se da el caso de que el cogeoide se encuentra por debajo del geoide, puesto que 1a fórmula de Stokes se aplica al cogeoide. Sin
embargo, esto no es necesario y no hay que preocuparse por un “efecto indirecto secundario”. El argumento es un tanto técnico para incluirlo aquí; véase Moritz (1965, pág. 26).
Geoide y Cogeoide
Figura 81
En principio. toda reducción de la gravedad que dé como resu1tado valores límites en el geoide también resulta apropiada para la determinación del geoide, siempre y cuando se tome debidamente en cuenta el efecto indirecto. Por consiguiente la selección de un buen método de reducción deberá hacerse según otros puntos de vista, ta1es como el significado geofísico de las anomalías gravimétricas reducidas, la sencillez de los cálculos, la factibilidad de la interpolación entre estaciones gravimétricas, la insignificancia o incluso la ausencia del efecto indirecto, etc. Véase la sección 39
La reducción de Bouguer corresponde a la eliminación comp1eta de las masa externas. En la reducción isostática, estas masas se desplazan verticalmente hacia debajo de acuerdo con alguna teoría de isostasia. En la reducción por condensación de Helbert, las masas externas se comprimen para formar capa superficial sobre el geoide. Según la reducción de Rudzki se transfieren al interior del geoide de manera de manera tal que el potencial en el geoide, y por lo tanto el geoide mismo, no sufra cambio alguno (sin embargo, las superficies del potencial externo y del nivel externo si cambian); de manera que no hay efecto indirecto en este caso.
La reducción de Prey y la de aire libre son bastante diferentes. La reduccion de PoincarePrey (Scccion 43) proporcionan la gravedad real dentro de la tierra; no proporciona los valores límites. La reducción de aire libre, en el contexto actual, requiere que las masas fuera del geoide sean eliminadas previamente; forma parte de todas las reducciones de la gravedad al geoide en lugar de ser una reducción independiente. En la sección 810 se tratará otro aspecto de este problema.
1
Es posible hallar en la publicación de Moritz (1965, Sección 4) la demostración formal basada en la transformación de cierta ecuación integral.
En todos los métodos de reducción es necesario conocer la densidad de las masas encima del geoide. En la práctica esto requiere algún, tipo de hipótesis suponer, por ejemplo, que ρ = 2.67 g/cm3. En 1a reducci6n de aire libre por 1o general se hace una segunda hipótesis la cual s parte de la reducción de la gravedad al geoide: se da por sentado, que la gradiente rea1 de la gravedad de aire libre es igual a la gradiente normal
∂γ =−0 .3086 mgal / metro ∂h
Estas dos hipótesis adulteran los resultados, teóricamente al menos (Moritz, 1962).
Es posible evitar esta segunda hipótesis usando la gradiente real de aire libre tal como se calcula por medio de los métodos indicados en la Sección 223. Las anomalías g que se usan en la fórmula (2217) tienen que ser las anomalías gravirnétricas reducidas en el geoide: la gravedad g después de los pasos 1 y 2 de la descripción anterior, menos la gravedad teórica γ en el elipsoide. Esto supone que en el paso 2 se ha ap1icado primero una reducción preliminar de aire libre usando la gradiente normal.
Desviaciones de la Vertical. El efecto indirecto influye tanto en la desviación de la vertical corno en la altura geoidal. Se halló que
N = N C δ N donde N C es la ondulación del cogeoide, el resultado inmediato de la f6rmula de Stokes, y δ N es el efecto indirecto. Al diferenciar N en una dirección horizonta1 se obtiene la componente de desviación a lo largo de dicha dirección:
∂N ∂ NC ∂ ∂ N ε=− =− − ∂s ∂s ∂s
(84)
Esto significa que se deberá agregar al resultado inmediato de la fórnlu1a de Vening Meinesz, −δ N C /δ S , un término que representa 1a derivada horizontal de; véase también la Sección 36.
En el caso de la reducción de Rudzki, donde e1 donde el efecto indirecto es cero, la fórmula de Vening Meinsz proporcionará desviaciones de la vertical que estarán directamente referidas al geoide.
8.3.
El Problema de Molodenski
Acaba de verse que la reducción de 1a gravedad a nivel del mar requiere que se hagan ciertas hipótesis con respecto a 1a densidad de 1as masas arriba del geoide. Esto también es cierto en e1 caso de otros cá1culos geodésicos cuando se 11evan ,a cabo según 1os métodos convencionales. Para despreciar esto, considérese el problema de calcular las coordenadas geodésicas φ , λ , h , a partir de las coordenadas naturales Φ , Λ , H , según se describe en el Capítulo 5. La altura geométrica h sobre el elipsoide se obtiene el partir de la altura ortométrica H sobre el geoide y la ondulación geoidal N usando
h = H + N. La determinacion de N se explicó el la sección anterior. Para ca1cular H a partir de los resultados de 1ª nivelación, es necesario conocer la gravedad media g a lo largo de la línea de plomada entre el geoide y el terreno (Sección (44). Como la gravedad g no puede medirse dentro de la tierra, se calcula dentro de la reducción de Prey para lo cual hay que conocer la densidad de las masas arriba del geoide. Las coordenadas geodésicas φ y λ se obtienen a partir de las coordenadas, astronómicas Φ y Λ las componentes de la desviación ε y η ; usando
φ=Φ−ε , λ= Λ−η sec φ Las coordenadas Φ y Λ se miden en el terreno; ε y η pueden calcularse con respecto al geoide usando la la fórmula de Vening Meinsz, tomándose en cuenta el efecto indirecto de acuerdo con la sección anterior. Para aplicar las fórmulas anteriores, hay que reducir bien sea Φ y Λ al geoide o ε y η hasta el terreno. En ambos casos esto requiere la reducción de la curvatura de la línea de plomada (Sección 56), que también depende del valor medio g según sus derivadas horizontales. Por tanto, también hay que usar aquí la reducción de Prey. La figura 82 muestra los principios geométricos de dicho método. El punto terrestre P se proyecta nuevamente sobre el elipsoide de acuerdo con el método de Helmert. Sin embargo, la altura geométrica h se determina en este caso usando
h = H∗ξ
(85)
Figura 82 El teluroide. La altura normal H* y la anomalía de altura ξ
donde se ha sustituido la altura ortométrica H por la altura normal H*, y la ondulación geoida1 N por la anomalía da altura ξ . Esto resu1tará c1aro si se considera que la superficie cuyo potencial normal U en todos los puntos Q es igual al potencial real W en su punto P correspondiente de manera tal que UQ = Wp. Donde los puntos P y Q correspondientes se encuentran situados en la misma normal del elipsoide. Esta superficie se llama el teluroide (Hirvonen 1960,1961). La distancia vertical del elipsoide al teluroide constituye la altura normal H* (Sección 45), mientras que la altura geométrica h es la distancia vertical del elipsoide al terreno. La diferencia entre estas dos alturas es por consiguiente la anomalía de altura.
ξ=h− H∗¿ ¿
(86)
que corresponde exactamente a 1a ondulación geopidal N = h H que es la diferencia entre la altura geométrica y la ortométrica. La altura normal H*, y por consiguiente, el teluroide Σ puede determinarse mediante una nivelación combinada con mediciones gravimétricas, de acuerdo con la Sección 45. Primero se calcula el número geopotencial de P, C = Wo Wp, usando
P
C=∫ g dn 0
. donde g es la gravedad me1ida y dn es el incremento de nivelación. Luego se relaciona la altura normal H* con C mediante una expresión analítica como (444) ,
C C C H∗¿ [ 1 1 f m−2f sin φ ] γ0 α α
2
donde γ o es la gravedad normal en el punto elipsoidal Qo. Obviamente, H* es independiente de la densidad.
La altura normal H* de un punto terrestre P es idéntica a la altura sobre el elipsoide, h, del punto Q correspondiente al teluroide. Si 1a función geopotencial W fuese igual a la función potencial normal U de todos los puntos, entonces Q coincidiría Con P, e1 teluroide coincidiría con la Superficie física del la tierra, y altura normal de todos los puntos sería a su altura geométrica. Pero en realidad, Wp ¿ Up; así pues la diferencia
ξρ=hρ−H∗ρ=hυ−h Q no es cero. Esto explica el término "anomalía de altura" para ξ
.
Ahora la anomalía gravimétrica se define como
g=g ρ −γ Q
(87)
es la diferencia entre la gravedad real tal como mide en el terreno y la gravedad normal en el teluroide. La gravedad normal en el teluroide; que se denotará por γ, se calcula a partir de la gravedad normal en el elipsoide, γ0 , mediante la reducción normal de aire libre, pero ahora se aplica hacia arriba:
γ≡γ Q= γ 0
1 ∂2 γ ∂γ 2 H∗ H∗ ⋯ ∂h 2 ∂ h2
(88)
Por ésta razón, las nuevas anomalías gravimétricas (87) se conocen como anomalías de aire libre. Está referidas al nivel del. terreno, mientras que las anomalías gravimétricas convencionales están referidas al nivel del mar. Por consiguiente, las nuevas anomalías de aire libre no tienen nada en común con una reducción de aire libre de la gravedad real al nivel del mar, con excepción del nombre. Hay que tener presente esta diferencia. Una fórmula directa para calcular γ en Q sería (2123),
H∗¿ a ¿ 1−2 1 f m−2f sin 2 φ
H∗¿ 3 ¿¿ 2 ] a
γ= γ 0 ¿ ¿ donde γ0 es el valor correspondiente en el elipsoide.
(89)
La anomalía de altura ξ puede considerarse como la distancia entre la superficie geopotencial W = Wp = const. y la superficie esferopotencial correspondiente U = Wp = const. enel punto P. En la .Sección 216 esta distancia se representó por medio de Np, y se halló que la fórmula de Rruns (2144) también se aplica a esta cantidad. De manera que para ξ = Np se tiene que
ζ=
T γ
(810)
siendo T = Wp Up el potencial de perturbación a nivel del terreno, y γ la gravedad normal en el teluroide. Puede esperarse que ξ esté relacionada con las anomalías a nivel del terreno g mediante una expresi6n análoga a la fórmula de Stokes para la altura geoidal N. Esto es en efecto cierto. Sin embargo, el teluroide no es una superficie de nivel y a cada punto P de la superficie terrestre le corresponde por lo general una superficie geopotencial W = Wp diferente. Por tanto, la relación entre g y ξ según la nueva teoría resulta considerablemente más complicada que para el geoide. El problema comprende una ecuación integral la cual puede resolverse por iteración y donde el primer término está dado por las f6rmula de Stokes. Finalmente cabe mencionar que también es posible trazar unas anomalías de altura ξ arriba del elipsoide. Se
obtiene así una superficie idéntica al geoide sobre los océanos dado que allí ξ = N, y se aproxima mucho al geoide en todas las demás partes. Molodensky denominó esta superficie cuasigeoide. No obstante, no es una superficie de nivel y no tiene significado físico alguno. Debe considerarse como una concesión a los conceptos convencionales que requieren una superficie parecida al geoide. Desde este punto de vista, la altura normal de un punto es su elevación sobre el cuasigeoide, así como la altura ortométrica es su elevación sobre el geoide. 8.1
Ecuaciones Integrales Lineales
En las siguientes secciones se hará so de ecuaciones integrales lineales. Para efectos de esta explicación se hará una breve introducción intuitiva a las ecuaciones integrales lineales par aquellos lectores que no es en familiarizados con este tema. Para mayores detalles, refiérase a los tratados convencionales, tales como el de Courant y Hilbert (1953). Las funciones definidas en la superficie de la tierra son funciones de dos variables (latitud y longitud, por ejemplo). Para mayor sencillez, no obstante, aquí sólo se tratarán las funcionsede una sola variable; esto es suficiente para una comprensión general. Considérese la ecuación
b
∫a K s , t t dt =∫ s Se conoce como ecuación integral lineal del primer tipo. Las funciones ƒ(s) y K (s, t) (llamada el núcleo de la ecuación integral están dadas; el problema es determinar la función desconocida u (t) a partir de esta ecuación. La analogía de esta ecuación integral con el sistema de ecuaciones lineales
n
∑ K 12 u1= j =i
ƒ1
( i = 1,2 . . . , n)
el cual puede escribirse completamente como: K12ui + K12u2 + . . . + K12ui = ƒ1 K12ui + K22u2 + . . . + K12ui = ƒ2 . . . Kn1u1 + Kn2u2 + . . . + Knnun = ƒn1 Resulta obvia. Corresponde a : n
b
La integral
∫i=u para sumar
∑;
las variables s, t hasta los índices i, j.
313 Esto muestra que una ecuación integral lineal puede considerarse análoga a un sistema de ecuaciones lineales. Asimismo, resulta sencillo aproximarse a la ecuación integral (811) pro medio de un sistema de ecuaciones lineales. El intervalo de integración (a,b) puede dividirse en n partes iguales y aplicar. h = b – a n t1 = a +
h 2
t2 = a +
3h 2
t3 = a +
5h 2
. . . , tn = a +
2n−1 h 2
La figura 8 – 3 muestra que la integral puede aproximarse mediante
b
∫a
K s , t t dt =
K(s, t1)u(t1) • h + K (s, t2)u(t2) • h + . . . + K (s, tn)u(tn) • h
Esto no es más que la aproximación normal de un área mediante al suma de rectángulos; aquí s se considera un parámetro fijo. Por tanto, la ecuación integral (811) se convierte aproximadamente en h [K(s . t1)u(t2) + K(s . t2)u(t2) +. . . + K(s . tn)u(tn)] = ƒ (s) Si se hace que s sea consecutivamente igual a t1 , t3 . . . , tn se obtiene h [K(t1 . t1)u(t1) + K(t1 . t2)u(t2) +. . . + K(t1 . tn)u(tn)] = ƒ (t1) h [K(t2 . t2)u(t2) + K(t2 . t2)u(t2) +. . . + K(t2 . tn)u(tn)] = ƒ (t2)
. . . h [K(tn . t1)u(t1) + K(tn . t2)u(t2) +. . . + K(tn . tn)u(tn)] = ƒ (tn) al sustituir h [K(t1 . t2) = Kn . u(t2) = un ƒ (t1)= ƒn el sistema (8 – 13) se convierte en el sistema (8 12) o (812’). Cuando n → ∝, el sistema aproximado de ecuaciones lineales (813) cambia rigurosamente a la ecuación integral (911). Por consiguiente, una ecuación integral lineal puede considerarse como el límite ( n → ∝) de un sistema de ecuaciones lineales. El sistema (813) también puede usarse para una solución aproximada de la ecuación integral (811); los valores de u(t) para t = t1, t2. . . tn pueden calcularse resolviendo (813) e interpolando para obtener los otros argumentos t (de la misma manera que en una tabla de funciones).
314 Las ecuaciones integrales lineales del segundo tipo son considerablemente más importantes teórica y prácticamente. Tienen la forma u(s) +
b
∫a F s ,t u t dt =
ƒ(s)
De hecho, dicha ecuación integral equivale a un sistema de ecuaciones lineales de la forma U1 +
n
∑ K 12 ui= i=1
ƒ1
y puede aproximarse de la manera indicada anteriormente, Como resulta sencillo considerar una ecuación integral lineal como un límite de un sistema de ecuaciones lineales, se ha escogido este método si bien más adelante las ecuaciones integrales se resolverán en una forma diferente, usando un proceso iterativo en lugar de hacer una aproximación usando sistemas de educaciones lineales. 8.2
Aplicación de las identidades de Green
Al aplicar la tercera identidad de Green al geopotencial W en la Sección 1 – 6, se desarolló la fórmula (134),
2πW +
∫s ∫
∂ I I ∂W − dS2 πϖ 2 x 2 y 2 ∂n t t ∂n
[ w
]
2ϖ 2
(816)
dr
∫s ∫∫ l ' = s
Aquí S representa la superficie física de la tierra; l es la distancia entre un punto fijo P, al cual está referido el primer término y el tercero, y el elemento variable de superficie dS; n es la normal a la superficie física en dS; en dirección hacia fuera; ∂W / ∂n es la componente de la normal vectorial de la gravedad a S; el eje z corresponde al eje de rotación de la tierra; ω es al velocidad angular; y l’ es la distancia entre P y el elemento de volumen dv. Los pequeños cambios de notación resultan obvios. Esta ecuación, la cual también obtuvo de GraaffHunter (1960), relaciona la superficie terrestre S con el potencial W y su derivada normal ∂W / ∂n. Constituye la formulación matemática más directa del problema de la determinación gravimétrica de la configuración de la tierra S, en otras palabras, del problema de los valores límites de la geodesia física según Molodensky. Es por ello importante analizar su significado en detalle. El geopotencial W en cualquier punto P se obtiene, salvo por una constante aditiva Wo, mediante una nivelación combinada con mediciones gravimétricas de acuerdo con P
W = Wo ∫O
g dn
315 La componente normal ∂W/ ∂n del vector de gravedad g se determina midiendo que es la magnitud de g, y la latitud y longitud astronómicas, las cuales establecen la dirección de g. Por lo tanto, la única incógnita en (816) es la superficie S en sí, puesto que T, T’, x, y se determinan mediante S y las coordenadas astronómicas de los puntos en cuestión. Puede suponerse entonces que es posible resolver esta ecuación con respecto a S de alguna forma. De esta manera puede verse que una cantidad netamente geométrica – o sea la configuración S puede determinarse únicamente a partir de cantidades físicas relacionadas con el campo gravitacional de la tierra (geopotencial y vector de gravedad). Hasta el momento se ha supuesto que se conoce la constante Wo, la cual puede considerarse como el potencial a nivel del mar. Tal como se mencionó en la Sección 220, está relacionado con la escala lineal de la tierra, véase también Molodenskii et al, (1962ª,pág. 113). Si Wo sólo se conoce aproximadamente, tal como lo es en la actualidad, entonces la configuración de la tierra solo se determina hasta un factor escalar. La medición de una sola distancia (preferiblemente un arco largo) es suficiente para establecer al escala. En principio, no se necesitan otras mediciones de distancias o ángulos, así como tampoco triangulación o trilateración. Por tanto, las mediciones geodésicas necesarias y suficientes para la determinación gravimétrica de la superficie física de la tierra pueden resumirse de la siguiente manera:
1. 2. 3.
Mediciones gravimétricas determinación astronómica de la lattiud y longitud nivelación; y medición de una distancia
4.
Esto es por supuesto el mínimo teórico; en la práctica la triangulación y la trilateración resultan sumamente útiles por la alta precisión relativa que proporcionan. Linealización. La ecuación básica (816) tiene la forma simbólica
F
S ,W ,
∂W ∂n
= 0;
el problema es despejar S. lamentablemente es una ecuación integral no lineal que no puede resolverse directamente. Sin embargo, se le puede aplicar el tratamiento normal que se le da a cualquier ecuación no lineal complicada; se linealiza introduciendo valores aproximados apropiados, de manea que finalmente se obtiene una ecuación lineal ara la desviación de la solución real de la aproximada. El potencial real W se aproxima así por medio de un potencial normal U; la solución aproximada de S es el teluroide t. La desviación de W con respecto a U es el potencial de perturbación Y = W – U, y la desviación de S con respecto a ∑ es la anomalía de altura t. Se procede a la linealización de (816). Como W en esta ecuación es una función bastante arbitraria, también se puede aplicar (816) al potencial normal U, obteniendo así,
316 2πU +
∫s ∫
[
U
∂ I I ∂U dv − dS2 πϖ 2 x 2 y 2 2 2∫∫∫ =0 ∂n t t ∂n l'
]
si esto se resta de la ecuación original (816), se obtiene 2πT +
∫s ∫
∂ I I ∂T − dS=0 ∂n t t ∂n
[ T
]
Esta ecuación es en sí mucho más sencilla que (816). Lo esencial es sin embargo, que en esta ecuación la integración sobre la superficie desconocida S puede sustituirse por una integración sobre el teluroide conocido ∑, obteniendo así. 2πT +
∫s ∫
∂ I I ∂T − d∑ =0 ∂n t t ∂n
[ T
]
(818)
Esto es posible porque dS difiere de d∑ solamente en cantidades del mismo orden que la anomalía de altura ξ : ds =:d∑(I + Aξ + Bξ + . . . )
Por consiguiente, se tiene que A 2 T d∑ γ
T dS = Td∑ +
Si nos limitamos a términos que son lineales en T o ξ = T/γ, entonces se omitirán los términos que contienen T2 y potencias superiores de T, quedando así T dS = T d∑ o, siempre y cuando se multiplique por términos del orden de T. dS = d∑ Nótese que no está permitido sustituir s por ∑ en la ecuación original (8 16) porque W s de un orden de magnitud mayor que T. En (818) la normal n es la normal a la superficie física de la tierra o, con el mismo grado de precisión, la normal al teluroide. De manera que en general no es vertical. Por tal motivo, ∂T/∂n no es igual a ∂T I ∂γ => g r ∂h γ ∂h
[esta es la ecuación (2/147c) aplicada a nivel del terreno], pero contiene, además de ∆g, las componentes ξ y n de la desviación de la vertical. La evaluación misma de ∂T/ ∂n en términos de ∆g, ε, n es un tanto difícil (Molodenskii et al., 1962ª, Capítulo V; Moritz, 1965, pág 13). Como en la siguiente sección se mostrara una solución mucho más conveniente al problema de Molodensky se omitirá su desarrollo dando sólo el resultado que es ∂T I∂γ = −¿ g T γ ξ tan d 1 η tan 3 2 cos 3 . ∂n γ∂h
[
]
(8 21)
donde B1 es el ángulo de inclinación de un perfil nortesur del terreno con respecto a la horizontal; en forma similar, B2 es la inclinación de un perfil esteoeste; B es el ángulo de máxima inclinación del terreno. Si se inserta (821) en (818), se obtiene :
T
Ι ∂ I I ∂ γ cos β − Td ∫∫ 2π ∂n l γ ∂h l
[
]
=
∑
1 I ∫∫ l g− γ ξt tan 31 η tan 32 cos 3d ∑ 2π
[
]
Esta es una ecuación integral lineal del segundo tipo para el potencial de perturbación T o para la anomalía de altura ζ = T/γ. Si se compara con (814) se verá que la función desconocida u está representada ahora por T. La función conocida ∫ está dada por el lado derecho de (8 22), y el núcleo K es igual a –1/2π multiplicado por la expresión en corchetes en al integral del lado izquierdo de (822). Esta ecuación integral también ha sido tratada por Levallois (1958).
Si se desea despejar T en esta ecuación, hay que conocer además de ∆g las componentes de la desviación ξ y η. Como las inclinaciones B1 y B2 son los valores aproximados de las componentes de la desviación suelen ser suficientes. Molodensky incluso logró eliminar ξ y η de (822) de una manera sumamente ingeniosa. Tal como se indicó anteriormente, en la siguiente sección se tratará un método muchísimo más sencillo. Por lo tanto, no se seguirá explicando el método actual y sólo cabe mencionar que la ecuación integral (822) puede resolverse mediante una iteración análoga a la descrita en la Sección 87. Aplicación al geoide. La ecuación integral (822) también puede aplicarse al geoide, siempre y cuando se haya “regularizado” eliminando las masas que se encuentran fuera del mismo. Luego, en lugar del teluroide ∑ se tiene el elipsoide de referencia E; además B1 = B2 = B = 0, y ∂/n = ∂/∂h. Así se obtiene T=
L ∂ I I ∂γ I I g ∫∫ ∂ h l − γ ∂ h l TdE = 2π ∫∫ I dE 2π
[
]
(8
23) Esta ecuación es mucho más sencilla que (822) porque no contiene las componentes de desviación ξ y η. Si el elipsoide de referencia se aproxima mediante una esfera, en otras palabras, se hace una aproximación esférica, la solución de (823) estará dada sencillamente por la fórmula de Stokes. Esto es obvio porque la fórmula de Stokes expresa T en términos de ∆g como aproximación esférica. Si las cantidades elipsoides de (823) se desarrollan en términos de e’2 o un parámetro similar del mismo orden del achatamiento,. Esta ecuación integral puede resolverse iterativamente usando la fórmula de Stokes como una primera aproximación. Es posible hallar de esta forma una solución relativamente sencilla al “problema de Zagrebin”, la determinación del geoide regularizado por medio de un elipsoide de referncia hasta el orden de e’ 2 (Molodenskii et al.. 1962ª, pág, 53).
318 El método de la ecuación integral hace posible en esta forma la solución numérica de los problemas de los valores límites de la geodesia física problema cuya solución por algún otro método puede resultar mucho más complicada y hasta imposible. Además de esta ventaja en la resolución de problemas, también hay una ventaja en la formulación de los mismos. Pro medio de las ecuaciones integrales (822) y (823) se describen completamente los respectivos problemas. La formulación convencional correspondiente sería determinar una función T que afuera de cierta superficie (la de la tierra o del geoide regularizado) satisfaga la ecuación diferencial de Laplace. ∆T = 0
(824a)
y esté sujeta a la condición límite (820),
∂T I ∂ γ − T =− g ∂h γ∂h
(824b)
sobre esta superficie. Obviamente, la formulación mediante una ecuación integral (en lugar de una ecuación diferencial y una condición límite), es mucho más breve; además, en muchos casos el problema se acerca más a su solución. Aún si T no es armónico, en el caso del geoide mismo, todavía resulta posible el método directo de la ecuación integral, mientras que el método convencional ya no puede seguir usándose directamente. La aplicación de una ecuación integral correspondiente a (823) al geoide mismo ofrece una solución matemática directa al problema de las reducciones de la gravedad para determinar el geoide (Moritz, 1965, Sección 4). Por tanto, el método de ecuación integral es eficaz para los problemas clásicos de la geodesia. 86 Ecuación Integral para la Capa Superficial. La ecuación integral (822) tiene la desventaja de que contiene, además de la anomalía gravimétrica ∆g, las componentes de desviación ξ y η. Como se mencionó, es posible transformar (822) de manera que sólo contenga ∆g, pero se vuelve bastante complicado. Es posible obtener una ecuación integral más práctica y sencilla de la siguiente manera. El potencial anómalo T puede expresarse como el potencial de una capa superficial (Sección 13) sobre la superficie de la tierra o, con el mismo grado de precisión, sobre el teluroide:
T =
∫∫
Φ d∑ l
El símbolo θ representa la densidad superficial κ multiplicada por la constante gravitacional. Esta expresión se inserta en la condición límite (820)
−
∂T I ∂γ T= g ∂h γ ∂ h
319 Si se desea diferenciar la ecuación (825) con respecto a h, hay que recordar de la Sección 13 que las derivada del potencial de una capa superficial son discontinuas en la superficie. Para la condición límite obviamente se necesita la derivada exterior, la cual está dada por la ecuación (119a) : ∂T ∂ I =−2πΦ cos 3∫∫ Φ d∑ ∂h ∂ hr l
(826)
donde la dirección de m es ahora la vertical del punto P al cual tanto T en (825) como la condición límite (820) están referidas; por tanto, se ha escrito ∂ /∂hp. El ángulo (m,n) es ahora el ángulo entre esta vertical y la normal a la superficie, que es el ángulo de inclinación B. Al insertar esta expresión en la condición límite, se obtiene : 2πΦ cos 3
∫∫
∂ I l ∂γ I − Φd∑ = g ∂ hr l γτ ∂ hr l
[
]
Las cantidades que están afuera de la integral siempre se toman en el punto P. Si las cantidades adentro de la integral han de hacer referencia a este punto, se marcan específicamente mediante el subíndice P, de lo contrario se tomarán en el elemento de superficie d∑. Resulta ilustrativo comparar esta ecuación con (822). Ambas son ecuaciones integrales lineales del segundo tipo. El coeficiente de T adentro de la integral en (822) evidentemente es muy similar al coeficiente correspondiente de φ en (827). Sin embargo, γ y las derivadas parciales ∂/∂n en (827) están referidos a P. La ventaja de la nueva ecuación integral (827) es que sólo depende de ∆g. Aproximación esférica. Ahora la ecuación integral (827) se escribe como una aproximación esférica. Nótese que esto significa que para la aproximación al elipsoide de referencia, pero no al teluroide, se utiliza una esfera,. Luego se hace una aproximación de los radios egocéntricos de P y de d∑ mediante (véase la figura 84). rP = r + hp, r = R + h
(828)
donde R es un radio medio de la tierra y h es la altura sobre el elipsoide o, con el mismo grado de aproximación , la altura ortométrica o también la normal. Se tiene que I =
r
2
r
r 2 −2r P r cos
r P −r cos ∂ I ∂ I = =− ∂h P l ∂r P l l3
2 I ∂γ = γP ∂ hP rP
320 de modo que después de un simple cálculo se halla que:
r 2 −r 2 ∂ I I ∂γ I 3 1 − = 2 ∂ hp l γp ∂ hp l 2r 1 l 2r 1 l
Figura 84 Aproximación esférica. Por tanto (827) se convierte en: 2 πφ cos β −∫∫
r 2 −r 2 3 1 φd∑ ¿ g 2 rpl 2 rpl 2
el elemento de superficie d dada po d
puede eliminarse observando que la proyección de d
∑
∑
en el horizonte local está
cos β
∑
esto es también igual a: r 2 dσ
donde d
∑
=
es el elemento de ángulo sólido puesto que r es el radio vector de d
dσ
∑
.
r 2 sec βdσ
Así, pues, la ecuación integral se convierte finalmente en: 2 πφ cos β −∫∫
3 2l
r 2 −r 2l 2
2 1
r2 sec β∗vd σ− g rp
(830)
ésta ecuación se resolverá y simplificará en la próxima sección. Si se conoce
φ
Τ= γς=∫∫
, entonces T y
ς
se determinan por medio de (825), que puede escibirse
Φ 2 r sec βdσ . l
aplicación al geoide. La ecuación integral (830) también puede aplicarse al geoide regularizado. Se tiene entonces que h = hp = β = 0, r = rp = R, 321 y (830) se convierte en: 2 πφ−
3R φ ∫∫ l dσ = g 2 0
(832)
donde l 0 =2R sin
vease la figura 113.
ϕ 2
(833)
T y N se expresan en términos de
φ
por medio de (331), que ahora pasa a ser T=GN=R2∫∫
φ dσ l0
(834)
donde G es el valor medio de la gravedad. Al insertar (834) en (832) se halla que
Φ =
1 3 1 3G g T = g v 2π 2R 2π 2R
(835)
Esta expresión de φ en términos de ∆g y N es equivalente a (657) dado que µ = 2πφ. La altura geoidal N esá dada como una aproximación esférica por la fórmula de Stokes.
N =
R ∫ ∫ gS dσ 4−G o
(836)
Esto se inserta en (835), lo cual da como resultado 2πφ = ∆g +
3 ∬ gS dσ 8π o
(837)
Esta fórmula expresa φ en términos de ∆g y es por tanto una solución de la ecuación integral (832) Si se resuelve (835) se hallará que
T =
2R 2 πφ− g 3
(838)
Estas fórmulas sencillas son válidas para el geoide regularizado a una aproximación esférica. 322 8.7.1
Solución de la Ecuación Integral
Antes de resolver la ecuación integral (830) se simplifica, notándose que r = R + h = R
h R
l
difiere de R en menos de 103, lo cual es menor que el error de la aproximación esférica. De modo que puede decirse que:
r2 =R rp
y se obtiene
r2 – r2p = (h – hp) (r + rp) = 2R (h – hp)
2πΦ cos β
∫∫
2 3R R h−hr sec βΦdσ= g 2l l3
(839)
Esta ecuación es mucho más sencilla que (830), pero tiene casi la misma precisión. La expresión para la distancia l también puede simplificarse. Se halla que l2 = r2P + r2 – 2rPr cos ↓ = (R + hp)2 + (R + h)2 – 2(R + hp)( R + h) cos ↓ = 2R2 (1 – cos ↓) + eR(h + hp)( l – cos ↓) + h2p + h2 – 2hph cos ↓ hhr h P h 1 2 h−hp 2 2 r R
= 4R2 sin2
Por las mismas razones anteriores es posible omitir (h + hp) /R y hph/R2., obteniendo así I2 = I2o + (h + hp)2,
hh P
2
I= I o 1
Io
Aquí lo denota la distancia esférica (833) Después de completar estos pesos preliminares, se puede proceder a resolver la ecuación integral (839). El principio básico es utilizar un desarrollo en potencias de las cantidades h h P y tan β Io
323 Estas cantidades tienen el mismo orden de magnitud porque conforme I o → o, entonces obviamente (h hp) / lo se aproxima a tan β’, donde β’ es el ángulo de inclinación en la dirección de lo. Nótese que las cantidades (841) son de un orden de magnitud mayor que h/R en (839). A modo de ejemplo numérico, supóngase n declive moderado de una montaña cuya inclinación es β ) 15º a una elevación h de 1000 metros. Luego h 0.00016, pero tan β = 0.27
R Solución. La solución de (839) se obtiene mediante aproximaciones sucesivas. a)
Como primer paso se omiten las cantidades (841). Luego (839) se convierte en Φo 3R d =G o ∫∫ 2 lo o
2πΦo
(8.42)
donde se ha usado Go = ∆g
(8.43)
y la “aproximación de orden cero” de φ se ha denotado por Φ0. Como (842) tiene la misma forma que (832), su solución está dada por (837), que en la notación actual sería. 2πΦo = Go +
3 ∫ ∫ G o S dσ 8π o
(844)
b) Después de esto, se toman en cuenta las cantidades (841) pero únicamente a la primera potencia; se hace caso omiso de la segunda potencia y de potencias superiores. Luego se le aplicará a φ una pequeña corrección φ1 de manera que como una “aproximación de primer orden”. φ = φ0 + φ1
(845)
Con esta aproximación aún se tiene que 1 = 1o, cosβ = secβ = 1 porque se omiten los términos cuadráticos de la serie
l = l0
cos β =
1
2
Lo
2
1 h−h P =l o 1 . .. 2 lo
[ h−h r
l
1tan 2 β
=1−
]
1 tan 2 β. . . 2
324 Por tanto (839) se convierte en 2π (Φ0 + Φ1)
Φ 0 Φ1 h−h p 3R 2 dσ−−R ∫ 0∫ Φ Φ 1 dσ= g ∫ o∫ 2 l0 Po o
dado que tanto (h hp)/ lo como φ1 son cantidades de primer orden, su producto será omitido en la segunda integral, y se obtiene
2πΦo –
Φo 3R dσ2πΦ1 − ∫ ∫ o 2 Lo
Φo 3R dσ ∫ ∫ o 2 lo
R2
∫o ∫
h−h P l 10
Φ 1 dσ=G o
Los primeros dos términos del lado izquierdo son iguales al lado derecho de acuerdo con (842). Queda entonces
2πΦ1 –
2πΦ1−
Φo h−h P 3R dσ− R 2 ∫o ∫ Φ o dσ=0 ∫ ∫ o 2 lo l 1o
Φ 3R ∫ ∫ l 1 dσ=Go 2 o o
donde
∫o ∫ 2
h−hP Po
Φ o dσ
G1 = R La ecuación (845) es igual a la (842), salvo que se usa φ1 y G1 en lugar de φo y Go. Su solución por tanto está dada por (844) 2πΦ1 = G1 +
3 ∫ ∫ G1 S dσ 8π o
(848)
c) Como paso siguiente se pueden tomar en cuenta los cuadrados de las cantidades (841), omitiendo la tercera potencia y potencias superiores. El procedimiento es básicamente el mismo que en (b). De esta forma se puede proceder a aproximaciones cada vez más altas. Molodensky (Mlodenskii et al . . 1962ª. Pág. 118) ha ideado un método elegante para este fin y también las aproximaciones de segundo y tercer orden. No obstante, las pruebas prácticas han indicado que en la mayoría de los casos la aproximación de primer orden es suficientemente precisa. Por consiguiente, nos limitaremos a esta aproximación. Para obtener T y ζ a partir de φ, se usará (831), donde nuevamente se fija r = R.: T = R2
∫o ∫
Φ sec βdσ=R 2 l
∫o ∫
Φ0 l0
dσR
2
∫o ∫
Φ1 l0
dσ.. . .=T 0 T 1.. .
325 Puesto que tanto φ0 como φ1 satisfacen las ecuaciones de la forma (832) y están relacionadas con T0 y T1 por medio de las ecuaciones dela forma (834), se puede aplicar (838), obteniendo así T0 =
2R 2πΦo−G o 3
T1 =
2R 2πΦ1−G 1 3
Al insertar (844) y (848) se halla que To =
R ∫ ∫ G o S dσ 4π o
T1 =
R ∫ ∫ G1 S dσ 4π o
(849)
De esta manera la fórmula de Bruns, ζ = T/γ, finalmente da como resultado
ζ = ζ0 + ζ1 =
R ∫ ∫ gS dσ 4 πγ o 4 πγ ∫
R
G1 S dσ o∫
(850)
donde, según (847) y (835) G1 =
h−h p 3g R2 g ζ dσ ∫ ∫ o 1 2π 2R 0 l0
(851)
Por consiguiente ζ está de nuevo dado aproximadamente por la fórmula de Stokes; este es el término ζo. Además hay una pequeña corrección ζ1. Los pasos de cálculo son los siguientes: primero, calcular ζ0 mediante la fórmula de Stokes; luego evaluar G1 pro medio de (851); y, finalmente, usar G1 para calcular el término de corrección ζ1 en (8 50). En la próxima sección se verá que el término que contiene ζ0 en (851) incluso puede omitirse sin afectar la precisión. La fórmula integral (851) puede evaluarse según los métodos normales, tal como se explicó en la Sección 224; véase también la publicación Bursa (1965). El método donde se usa el potencial de una capa superficial ficticia para obtener una ecuación integral apropiada, descrito en la sección anterior, puede generalizase a fin de construir otras ecuaciones integrales par el problema de Molodensky. Estas pueden resolverse mediante el método iterativo empleado en la sección actual (Brovar, 1964). 326 8.8 Interpretación geométrica A continuación se escribe una interpretación geométrica de la solución aproximada de Molodensky (850),
ζ =
R ∬ gG ∂ S dσ 4 πγ o
(852)
usando la notación de la Sección 65, se utiliza µ =∆g +
3G ς 2R o
(853)
de modo que (851) toma la forma
G1 =
2 h−h P R μσ d ∬ 2π o l 3o
(854)
Ahora se aplica una transformación cuyo principio fue dado por Molodensky et al. (1962b),. Se escribe (h hP)µ = (h hP )µ + hPµP hPµP = hP(µ µP) + (hµ hPµP) Luego (854) se convierte en
G1 =
−h
− R2 ∬ P dσ 2π o l 3 0
h − h P R2 dσ ∬ 2π o l 30
(855)
Nótese que si se saca hp de la integral, puede denotarse sencillamente por h porque, con excepción de las cantidades que están dentro del signo de integral, todo está referido al punto P. Usando las ecuaciones (1101) y (1102) es posible expresar (855) en términos de armónicos esféricos. Sean los desarrollos esféricosarmónicos de las funciones µ y hµ. µ =
n
∑
n=0
n nh
=∑ h n=0
Luego (855) se convierte en G1 =
327 Si se resta y se suma 1/R veces
n
n
h 1 ∑ n n− R ∑ n h R o 0
n
n
n
n
o
o
h ∑ n =h =∑ h
se obtiene G1 =
h n 1 n n−1 n − ∑ n−1h n ∑ R o R o
()857)
De esta manera G1 puede dividirse en dos partes: G1 = Gµ + G12
Donde n
G11 =
h ∑ n−1 R o
G12 =
−
n =−h
− R2 ∬ 3 2π o l0
n
P
(858)
dσ−
h − h I R2 n−1 h n = ∑ ∬ R o 2π o l 30
P
h R
(859a) h R
(859b
Considérese primero el término G11. Si se escribe ∆g = {∆gn y To = {Tn}nótese que To significa aquí la aproximación de orden cero de la función T y no el armónico de grado cero), se tiene que µn = ∆gn +
3 T 2R n
Por tanto, (859a) se convierte en α
α
h 3h n−1 g 2 ∑ n−1 T n ∑ R o 2R o
Gµ =
α
=
α
h h 3h n2 g n −3 g 2 ∑ n−1 T n ∑ R o R 2R o
Según las ecuaciones (2216) y (2155)se tiene 1 α ∂g 1 α , ∑ n−1 T n = g n2 g n =− ∑ R o ∂g R o
de manera que Gn = h
∂ g 3h − g ∂ h 2R
(860)
Como se agregará G11 a ∆g, de acuerdo con (852) y (858), la cantidad (h/R)∆g, que a lo máximo es del orden de 10 3 ∆g, y lo que queda es Gu = h
328
∂g ∂h
Puede notarse que el término G11 corresponde a la reducción de la anomalía gravimétrica de aire libre del terreno a nivel del mar, mediante la elevación topográfica H. Si se omite otra vez un error relativo de h/R, de acuerdo con (2 217) se tiene
Gu =
−h
g− g R2 ∬ 3 P dσ 2π o l0
(861)
Antes de considerar G12, cabe notar que el término de corrección ζ1, el cual representa el efecto de G1., puede dividirse de la misma forma que G1. ζ1 = ζ11 + ζ12
(862)
Luego ζu =
R R ∂ g ∬ G 11 S dσ=− 4 πγ ∬ h ∂ h S dσ 4 πγ o o
ζ12 =
R ∬ G 12 S dσ 4 πγ o
(863a)
La segunda componente (863b)
puede evaluarse directamente. Debe recordarse que el equivalente de la fórmula de Stokes
ζ =
R ∬ g S dσ 4 πγ o
en términos de armónicos esféricos es
ζn =
R
n−1 γ
gn
Si se sustituye ζ por ζ12, ∆g por G12 y ∆gn por (n 1) (hµ)n/R, de acuerdo con (859b), entonces la conversión de (8 63b) a una expresión en armónicos esféricos sería
(G12)n =
R
n−1 γ
1 R
−
n−1 h n −
1 h n γ
La sumatoria desde n = 0 a ∝ da como resultado la fórmula sencilla
ζ12 =
h γ
(864)
329 Al insertar (853) con G = y esto resulta en ζ12 =
hg 3h − ς γ 2R o
(865)
Como ζ12 se agrega a ζo, nuevamente se introduce un error relativo del orden de h/R solamente si se omite el segundo término del lado derecho de esta ecuación. Por tanto, finalmente se obtiene ζ12 =
g h γ
Este término es tan sencillo como (860) y admite una interpretación geométrica correspondiente. Considérese la derivada de la anomalía de altura ζ. Se halla
∂ς ∂ T l ∂T l ∂γ l ∂T l ∂γ − = − 2 T =− − T ∂h ∂ h γ γ ∂h γ ∂ h γ ∂h γ ∂h
de acuerdo con la ecuación (2147) esto es igual a
∂ς g − ∂h γ
(866)
Por tanto (865) equivale a ς 12=
∂ς h ∂h
(867)
Puede observarse que el término ζ12 corresponde a la reducción de la anomalía de altura del nivel del mar al terreno, y el signo de esta reducción es opuesta al de (860’). Si se usa (863a) y (867), la solución (852) puede escribirse en su forma alterna
ζ =
R ∂ g ∂ς ∬ g− ∂ h h S dσ ∂ h h 4 πγ o
(868)
La interpretación geométrica de esta ecuación resulta obvia por lo indicado anteriormente: las anomalías de aire libre ∆g a nivel del terreno se reducen a nivel del mar para convertirse en ∆g• = ∆g
∂g h; ∂h
(869)
luego la integral de Stokes da como resultado las anomalías de altura a nivel del mar, las cuales se reducen hacia arriba al nivel del terreno agregando el término (867).
330
