HARMONİK KUVVETLERLE ZORLANMIŞ SÖNÜMSÜZ SİSTEMİN TİTREŞİMİ DENEY NO:5 HAZIRLAYAN 071155015 LATİF EMRE ÇEVİK Deney Yapılış Tarihi: 09.12.2011 Rapor Sunuş Tarihi: 16.12.2011 Grup No: 09 Grup Üyeleri: 071155015 LATİF EMRE ÇEVİK 071155017 FUAT DERİNGÖZ 071155022 ADEM GÜLAL 071155023 ERHAN ÇAY 071155030 SEFA KOCA DENEY SORUMLUSU Arş.Gör. CEYDA ÜNAL GAZİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
1
İÇİNDEKİLER 1 .Deneyin amacı……………………………………………………………..4 2. Titreşim…………………………………………………………………….4 3. Deney Düzeneğinin Tanıtılması ve Anlatılması………………………….9 4. Ölçüm sonuçları ve Hesaplamalar……………………………………….11 5.Hata Analizi……………………………………………………………….15 6. Sonuç………………………………………………………………………16
2
.SEMBOLLER: θ = Açısal yer değiştirme ..
q =Açısal ivme ω = Diskin dönme açısal hızı a = Balanssız kütlenin dönme merkezine uzaklığı mu = Balanssız kütle
n = Platform üzerindeki disk sayısı
x =Titreşim genliği m =Kütle
f = Frekans T = Periyod
M eq =Çubuk+motor ünitesi+disk sisteminin kütlesi J A =Aynı sistemin kütlesel atalet momenti
k eq =Eşdeğer yay katsayısı Feq =Eşdeğer kuvvet genişliği r = Frekans oranı
w = Zorlayıcı kuvvet frekansı w n = Sistemin doğal frekansı R = Dinamik büyütme faktörü
x
= Sistemin sönüm faktörü
3
1.DENEYİN AMACI
Mekanik titreşimler deneyi titreşim teorisi bilgilerinin daha iyi kavranmasına yardımcı olmak ve deneysel beceri kazandırmak amacıyla yapılmaktadır. Bir sistemin titreşimi sırasında sistem üzerine dış kuvvet uygulanırsa, sistemin titreşimi zorlanmış titreşim olarak isimlendirilir. Titreşen bütün fiziksel sistemlerde sürtünme ve sönümlenme etkisi az da olsa vardır. Bu yüzden sistem hareketinin, homojen çözümden gelen kısmı zamanla yok olur. Kısa bir süre sonra, sistem zorlama kuvvetinin frekansında titreşir. Bu deneyde harmonik kuvvetle zorlanmış, dikdörtgen kesitli bir kirisin zorlanmış titreşimi incelenecek ve analitik sonuçlarla karşılaştırılacaktır
2.TİTREŞİM Titreşim dinamiğin bir alt kolu olup tekrarlanan hareketler ile ilgilenir. Bu konu içeriğinde mekanik yapilar ile ilgili titreşim problemleri ele ahnmakla birlikte titreşim iletişimin temelinde bulunmaktadır. (Kulak zarı ve ilişkili mekanizma işitme işlemini gerçekleştirmek amacı ile titreşir, dil ve ses telleri konuşmak için titreşir). Müzikal enstrümanların birçoğunda, özellikle telli enstrümanlarda, titreşim istenilen bir olaydır. Diğer taraftan titreşim birçok mekanik sistem için istenmeyen, bazı durumlarda da yıkıcı bir durumdur. Örneğin uçak gövdesindeki titreşimler yorulmaya neden olur ve sonuç olarak hasara yol açar. Deprem kaynaklı titreşimler binalarda çatlaklara ve hasarlara sebep olabilir. Günlük hayatta titreşim sıkça karşılaşılan bir etkidir ve genellikle titreşim seviyelerinin azaltılması temel ilgi alanıdır. Titreşim, cisimlerin sabit bir referans eksene veya nominal bir pozisyona (denge konumu)
4
göre tekrarlanan hareketi olarak ifade edilir. Titreşim her yerde mevcut olan ve miihendislik tasarımlarının yapısını etkileyen bir olgudur. Titreşim karakteristikleri miihendislik tasarımları için belirleyici faktör olabilir. Titreşim bazen zararlı olabilir ve kaçınılmalıdır, bazen de oldukça yararhdır ve istenilir. Her iki durumda da titreşimin nasıl analiz edileceği, ölçüleceği ve kontrol edileceği miihendislik için önemli bir bilgidir.
TİTREŞİMİN SINIFLANDIRILMASI Titreşim problemleri aşağıdaki şekilde sınıflandırılabilir. 1. Sönümsüz ve sönümlü titreşimler: Eğer sistemde sürtünme veya benzeri dirençler sebebi ile enerji kaybı ve sönümüne sebep olacak bir etki yok ise titreşim problemi sönümsüz (undamped) olarak adlandinhr. Eğer sistemde söniim mevcut ise sistem sönümlü (damped) olarak adlandinhr. Titreşim problemlerini incelerken söniim ihmal edilerek çöziim basitleştirilebilir, fakat söniim etkileri özellikle rezonans durumu için oldukça önemlidir. 2. Serbest ve zorlanmış titreşimler: Eğer sistem ilk şartlar neticesinde titreşiyor ise (t>0 için sisteme etki eden dış zorlama yok) sistem titreşimlerine serbest titreşim adi verilir. Eğer sistem dış zorlama etkisi ile titreşiyor ise oluşan titreşimlere zorlanmış titreşim adi verilir. 1. Lineer ve lineer olmayan (nonlinear) titreşimler: Eğer titreşim yapan sistemin turn bileşenleri doğrusal (lineer) davranışa sahip ise oluşan titreşimlere lineer titreşim adı verilir. Eğer sistem elemanlanndan herhangi bin doğrusal olmayan davranışa sahip ise oluşan titreşimlere lineer olmayan (nonlinear) titreşim adı verilir. Bu tip sistemlerin hareketini ifade eden diferansiyel denklemler lineer olmayan formdadır. Birçok titreşim sistemi, büyük titreşim genlikleri için lineer olmayan davranışa sahiptir. TİTREŞİM ANALİZİ Bir titreşim sistemi cevabi zorlamalara (excitations) ve sistem parametrelerine (kiitle, dirennlik ve sönüm) bağlı olan dinamik bir sistemdir. Zorlama ve cevap zamana bağlıdır. Titreşim analizi belirtilen bir dış zorlamaya bağlı olarak sistem cevabının belirlenmesidir. Bu analiz matemgeatik modelleme, hareket denklemlerinin oluşturulması (derivation of the governing equations of motion), hareket denklemlerinin çözümü ve sistem cevabının yorumlanması aşamalarını içerir.
5
Matematiksel modellemenin amaci hareket denklemlerini oluşturmak amaci ile sisteme ait turn önemli karakteristik özellikleri sunmaktır. Matematik model, sistem özelliklerine göre lineer veya lineer olmayan biçimde olabilir. Eğer sisteme ait matematik model lineer ise siiperpozisyon prensibi uygulanabilir. Lineer sistemlerde fi(t) ve f2(t) şeklindeki bağımsız girdilere verilen cevap sırasıyla xi(t) ve x2(t) ise, f(t)=fi(t)+f2(t) şeklindeki bir girdiye karşılık sistem cevabi x(t)=xi(t)+x2(t) dir. Matematik model oluşturulduktan sonra, dinamik prensipleri hareket denklemini oluşturmak amaci ile kullamhr. Bu amaçla, turn dış zorlamalan, reaksiyon kuvvetlerini ve atalet kuvvetlerini içerecek şekilde kütlelere ait Serbest Cisim Diyagramları oluşturulur. D'Alembert prensibi, Newton'un 2. yasasi, Lagrange veya Hamilton prensibi gibi yöntemler hareket denklemlerini oluşturmak amaci ile kullamhr. Sistem cevabını analitik (closed-form) veya niimerik olarak elde etmek amaci ile hareket denklemleri değişik yöntemler kullamlarak çözülür ve sonuç olarak sisteme ait yer değiştirme (displacement), hiz (velocity) veya ivme (acceleration) cevaplan elde edilir.
Rezonans: Mühendislikte teknik olarak; “genliğin sonsuza gitmesi” şeklinde açıklanır. Periyodik bir etkinin altında olan sistemde salınımlar olduğunu biliriz. Salınımlar esnasında sistemin normal durumuna göre yaptığı yer değiştirme miktarına genlik denir. Bu salınımlar eğer sistemin doğal frekansına eşit olursa, sistemin genliği sonsuza dek artma eğilimi gösterir; bu olaya rezonans denir. Salınıma neden olabilecek etkiler çok çeşitli olabilir. Örnek vermek gerekirse; kesintili rüzgar etkisi altındaki bir köprü, deprem dalgaları nedeniyle oluşan salınım etkisi altındaki bir bina veya alternatif gerilim etkisi altındaki elektriksel bir sistem rezonansa uğrayabilir. Doğrusal sistemlerin rezonansa girebilmesi için, salınım genliğinin, uygulanan kuvvetle doğru orantılı olması gerekir. Eğer uygulanan kuvvetin frekansı sistemin doğal frekansına eşitse rezonans gerçekleşir. Kesintili rüzgar etkisi altındaki bir köprüyü ele alacak olursak, rüzgarın ani ve değişken esmesinin neden olduğu titreşim ve salınımlar sonucunda köprünün doğal frekansı ile köprünün maruz kaldığı periyodik rüzgar frekansı birbirine eşitlenebilir. Bunun neticesinde salınım genliği sonsuza gitmeye başlayacağından köprü rezonansa uğrayarak bir süre sonra yıkılacaktır. Bunun gerçek bir örneği 1940 yılında Washington’da yapılmış olan Tacoma köprüsünde yaşanmıştır. Bu köprü rüzgar etkisiyle rezonansa girerek yıkılmıştır.
6
Depremlerde binaların yıkılmasına neden olan da rezonans olayıdır. Salınımlar binanın doğal frekansına eşit olduğunda, bina artan genliğe ve bunun neden olduğu gerilime dayanamayarak yıkılır. Rezonansa uğrayan bir nesnenin zarar görmemesi mümkün değildir. Fakat nesnenin rezonansa girmesi alınacak önlemlerle engellenebilir. Bu önlem yapının salınımlarıyla titreşimi sönümleyebilmesidir. Günümüzde inşa edilen mimari yapılarda, 9 şiddetine varan oranlarda depreme dayanıklı esneklik toleransı uygulanabiliyor. Bu sayede binalar 9 şiddetine kadar depremin neden olduğu salınımları sönümleyerek, yapının doğal frekansıyla titreşim frekansının eşitlenmesi engelleniyor. Özellikle Japonya‘da binalar 9 şiddetine dayanıklı inşa edilir çünkü bu bölgede çok büyük ve aktif fay hatları yer aldığından sık sık depremler yaşanır. Depremde sadece binalar değil, zemin de rezonansa girebilir. Örneğin, ıslak toprak bir zeminde, depremin yol açtığı periyodik kuvvetler altında kum tanecikleri birbirleri üzerinden kayarak ara boşluklara yerleşebilir. Bu durumda zemin ara boşlukları daha az olan bir kum yığınına dönüşür ve boşlukları dolduran suyun bir kısmı yukarı çıkıp kum yığınının üzerini kaplar. Eğer böyle bir zemine oturmuş binalar varsa, öne-arkaya yatabilir veya bütünüyle kayabilirler. Bazı durumlarda bina depreme dayanıklı olsa dahi, zeminin rezonansa uğrayıp kayması sonucu yıkılabilirler. Periyodik Titreşim: Makinelerde karşılaşılan titreşimlerde hareket genellikle bir süre sonra kendini tekrar eder. Bu türden titreşime 'periyodik titreşim' denir. Hareketin kendisini tekrar ettiği zaman aralığına 'periyot' denir. Periyot T ile gösterilir. Periyodik titreşimin bir periyotluk bölümüne 'salınım' denir. Birim zamandaki salınım sayısına O titreşimin 'frekansı' denir. Frekansla periyot arasındaki ilişki, f = l/T şeklinde gösterilir. Frekans birimi salınım sayısı/zaman olup SI birim sisteminde salınım/saniye'dir. Salınım/saniye olarak ifade edilen frekans biriminin adı Herts (Hz)'dir. Genlik: Titreşen cismin denge konumundan olan maksimum yer değiştirmesidir. (m) Frekans:Titreşim hareketinin birim zamandaki tekrarlanan sayısına frekans denir. (Hz) Periyot: Titreşim hareketinin kendini tekrarlama süresine periyot denir. (s) Periyodik titreşim zaman içinde bütün özellikleri değişmeden kendisini tekrar ediyorsa buna durağan periyodik titreşim denir. En basit durağan periyodik titreşim 'harmonik titreşim' dir. Bu tür titreşimde hareket bir sinüs dalgası şeklinde değişir. Harmonik titreşim hareketi, hareketi tanımlayan koordinat x ve zaman t cinsinden (t = O uygun zamanda seçilerek)
7
x = xo sin wt Şeklinde bir sinüs fonksiyonu olarak yazılabilir. Burada xo titreşim genliğidir, l harmonik titreşimde hareketin ortalama değerden en fazla ayrıldığı miktara 'genlik' denir. Dolayısı ile denklem ile tanımlanan titreşimin genliği xo’dır.
Harmonik titreşim matematiksel olarak
aşağıdaki formüllerle de tanımlanabilir. x = A sin (wt + φ ) x = A cos wt x = A cos (wt +φ) x =
A 2 + B 2 sin (wt + φ )İlk üç ifade sinüs fonksiyonunun zamana göre kaydırılmış
halleridir. Son ifade ise: B φ = tan -1 ( ) A
olduğundan bir sinüs fonksiyonu şeklinde yazılabilir.w terimine 'dairesel frekans' denir. Dairesel frekans (radyan/saniye) birimiyle ifade edilir
8
3.
DENEY DÜZENEĞİNİN TANITILMASI
Şekil 1. Titreşim deneyi düzeneği Deney düzeneği şekil l'de görüldüğü gibi bir ucundan taşıyıcı gövde çerçeveye rulmanlı bir yatak yardımıyla mafsallı bulunan ve diğer ucundan ise helisel bir yay yardımıyla gövde çerçeveye asılı bulunan dikdörtgen kesitli bir çubuktan meydana gelmiştir. Çubuk üzerine bir motor ünitesi tespit edilmiş bulunmaktadir. Zorlayici kuvveti sağlamak amacıyla motor tarafından kayışla tahrik edilen iki adet dengesizliğe sahip disk sistemi motor ünitesine bağlanmıştır. Ayrıca ünite üzerine ilave kütleler bağlanabilecek şekilde bir bağlama elemanı takılmıştır. Zorlayici kuvvetin frekansı bir hız kontrol ünitesi yardımıyla ayarlanabilmektedir. Çubuğun ucunun titreşim hareketini kaydetmek amacıyla gövde çerçeveye bir kayıt ünitesi tespit edilmiş bulunmaktadir. Kayıt ünitesi üzerine kayıt kağıdı takılı bulunan ve yavaşça döndürülen silindir ile çubuğun ucuna bağlı bulunan ve kağıt ile temasta tutulan bir yazıcı kalemden oluşmuştur. Silindirin dönme hareketini veren motoru yine hız kontrol ünitesi yardımıyla işletilmektedir. Kayıt kağıdının serbest ucuna küçük bir ağırlık takılarak düşey doğrultuda ilerlemesi gerçekleştirilmiştir. Deney düzeneğinin titrşim sistemi modeli Şekil 2'de gösterildiği gibi kurulabilir. Buna göre sistem elemanlarını açık olarak tanımlayacak olursak: a) A noktasında mafsallı, boyu L, kütlesi m olan ve rijit kabul edilen çubuk elemanı. b) Çubuğun C noktasından asılı bulunduğu ve yay katsayisi k olan yay elemanı. c) Çubuğa D noktasında tespit edilmiş bulunan ve dengelenmemiş diskler taşıyan ve toplam kütlesi M olan motor elemanı. Sonuç olarak sistem, ideal titreşim elemanları cinsinden bir kütle-yay elemani sistemi olmaktadir. Basit olarak bir dinamik sistemin statik denge konum etrafında yapacağı salınım hareketini "titreşim" olarak tanimlayabiliriz.
9
Bir titreşim sisteminin harekete (titreşime) geçirilmesi sisteme bir enerji girişi yapılarak gerçekleştirilebilir. Pratik olarak bu durum aşağıda sıralanan yollarla olabilir: a) Bir başlangıç yer değiştirmesi verilerek; yani potansiyel enerji girişi yapılarak: "Deney düzeneğinde çubuk elemanı ucundan 10-15 mm çekilerek serbest bırakılır" b) Bir başlangıç hızı verilerek; yani kinetik enerji girişi yapılarak: "Deney düzeneğinde kütle üzerine vurularak yani bir darbe (ani kuvvet) uygulayarak" c) Bir zorlayıcı kuvvet uygulayarak: "Deney düzeneğinde motor ünitesi çalıştırılarak bağlı disklerin döndürülmesiyle ortaya çıkan merkezkaç kuvvetle gerçekleştirilir". Yukarıda sıralanan yollardan (a) ve (b) nin ayn ayn veya birlikte uygulanmasi durumunda sistemin yapacağı titreşim hareketi "serbest titreşim" olarak adlandinhr. Bu durumda titreşim hareketi zamanla azalarak söner. Yani sistem başlangıçtaki statik denge konumuna döner. Ancak (c) yolunun uygulanmasi durumunda ise sistem kuvvet etki ettiği sürece titreşimine devam eder. Bu durumdaki titreşim hareketi "zorlanmış titreşim" olarak adlandinhr. Zorlanmış titreşim durumunda sistemde ortaya çıkacak olan en önemli olay "rezonans"dir. Deney düzeneğinde (damper elemanı bağlı değilken yapılması daha uygun) zorlanmış titreşim gösterisi yapılarak rezonans hızı (d/dak olarak) ölçülecektir.
10
. 4. ÖLÇÜM SONUÇLARI VE HESAPLAMALAR Geometrik Buyuklukler Çubuk elemanının boyu Motor Ünitesinin konumu Yay elemanının konumu
L = 0.75 m L2 = 0.475 m L3 =0.66 m
Kutlesel Buyuklukler
M = 4.930 + 0.4n kg = 6,53kg m = 1.922 kg
Yay Katsayisinin Tayini Deneyde kullamlacak olan helisel yay elemaninin yay katsayısını belirlemek amaciyla yay elemani düzenek çerçevesindeki tespit yerine bağlanır. Yayın diğer serbest ucu ise üzerine kütlelerin bağlanabileceği bir çubuğa bağlanır. Çubuk çerçevenin alt kısmı içerisinde kayar şekilde yataklanmış bulunmaktadır. Bu düzenleme yayın uzama doğrultusunun korunması ve hassas uzama ölçümünün sağlanması için yapılmıştır. Uzama miktarını ölçmek için bir verniyer ölçeği (cetveli) mevcuttur. Yay katsayısını belirlemek için mevcut kütleler kullanılarak yay yüklenir ve her bir yükleme durumunda karşılık gelen uzama miktarı ölçülerek kaydedilir. Bu sonuçlar kullanılarak yay için kuvvet-uzama grafıği çizilir. Bu değişim grafıği elastik sınır içerisinde kaldığından bir doğru olacaktır. Bu doğrunun eğiminden ilgili yay katsayısı elde edilir. 400 gr şeklinde 4 tane ağırlık koyarak (toplam 1.6 kg) yayın çizici ucundaki yer değişimi ölçtük. Çizici ucu ile ölçtüğümüz yer değiştirmeye bağlı olarak yayın eşdeğer yer değiştirmesini hesapladık. F= k.x
denkleminden
11
k:yay sabiti
Kütle (kg)
Kuvvet (N)
Yaydaki yer değişim (m)
0,4
3,924
0,008
490,5
0,8
7,848
0,012
654
1,2
11,772
0,017
692,47
1,6
15,696
0,022
713,45
toplam:
2550,43
ortalama:
637,61
(N/m)
Ortalama değerden k sabitimizi 637.61olarak secebiliriz.
12
Doğal Frekans hesabı: Hareket genliği sonsuza giderken yani rezonans durumunda D - ω2 = 0 şartı oluşur. D=
kL 2 2 æ1 2 2ö ç mL + ML1 ÷ è3 ø
D=( 637,61x (0,66²)) / (⅓ (1,922 x (0,75²) +(6,53 x (0,475² )) = 151.46 s -2 D = ω2 ====> ω = √151.46 = 12.30 rad/s =
w n,teorik
motor hızı (rpm)
disk hızı (rad/sn)
frekans oranı
115,00
12,04
0,98
2,00
120,00
12,57
1,02
6,00
121,00
12,67
1,03
6,00
122,00
12,78
1,04
8,00
123,00
12,88
1,05
14,00
124,00
12,99
1,06
30,00
125,00***
13,09
1,06
38,00***
126,00
13,19
1,07
26,00
127,00
13,30
1,08
17,00
130,00
13,61
1,11
8,00
135,00
14,14
1,15
3,50
genlik
Doğal frekans değeri genliğin en büyük olduğu 125,00 rpm dedir. .
13
Buna göre:
wn ,deneysel =
125 x2p = 13, 09rad / s 60
olur
İki frekans değeri arasındaki fark gerçekte sistemin sönümsüz olmamasından kaynaklanmaktadır. Sönüm oranı:
14
5. HATA ANALIZI
x 100= % 6
15
6.SONUÇ Bu deneyde harmonik kuvvetle zorlanmış, dikdörtgen kesitli bir kirisin zorlanmış titreşimi incelenecek ve analitik sonuçlarla karşılaştırıp gözlemler yaptık. Deneyi yapmadan önce rezonans değerinin hızla doğru orantılı olduğu kanısı vardı.Deney sırasında krank milinin döndürülmesi esnasında bunun doğru olmadığını gördük. Kirişin üzerinde inceleme yaparken önce çizici yardımıyla k yay sabitini bulmayı öğrendik. Sonra motor tarafından döndürülen ve kütle dengesizliğine sahip olan alüminyum diskin hızını takometre yardımı ile tesbit ettik.Her hız için çizici yardımıyla ayrı ayrı genlikler elde ettik.En yüksek genlik yani rezonans durumunu veren hız ortalarda bir değerde çıktı.
Teorik ve deneysel sonuçların aynı çıkmamasının birçok nedeni olabilir.Bunlardan bazıları: -Çizideki hatalar: Bunlar kalemin ve kağıdın birbirine iyi tema etmemesi,kağıdın eğik veya yanlış tutulması… -Takometre ile hız ölçümündeki hatalar -Motor devrinin yanlış değerde verilmesi,okunması -Uzunluk ölçüm hataları: Bunlar çizici kağıdındaki uzunlukların yanlış ölçülmesi,kiriş boyunun yanlış ölçülmesi -Direçlerin ve sürtünmelerin hesaba katılmaması -Ortam şartları ‘dır . Ayrıca Deney Sorumlusu Arş.Gör. Ceyda Ünal hocamıza deneydeki yardımlarından dolayı teşekkür ederiz.
16
