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GUÍA DE APRENDIZAJE UNIDAD 11:: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Objetivos espec!icos : Co"p#e$%e# c&"o '(s t(s(s %e c("bio p)e%e$ se# "o%e'(%os )s($%o '( p#i"e#( * se+)$%( %e#iv(%( E,p#es(# * co"p#e$%e# '( %e!i$ici&$ %e ec)(ci&$ %i!e#e$ci('C'(si!ic(# '(s ec)(cio$es %i!e#e$ci('es Co"p#e$%e# e' si+$i!ic(%o %e so')ci&$ %e )$( ec)(ci&$ %i!e#e$ci(' %(%( E$co$t#(# e' i$te#v('o %e e,iste$ci( %e )$( so')ci&$ Disti$+)i# e$t#e !("i'i( %e so')cio$es * so')ci&$ p(#tic)'(# Reco$oce# c)($%o )$( ec)(ci&$ %i!e#e$ci(' %e p#i"e# o#%e$ p)e%e se# #es)e't( po# sep(#(ci&$ %e v(#i(b'es Reso've# ec)(cio$es %i!e#e$ci('es 'i$e('es )s($%o !(cto#es %e i$te+#(ci&$ Co"p#e$%e# e' t.#"i$o %e /ec)(ci&$ e,(ct(/ Obte$e# '( so')ci&$ +e$e#(' %e )$( ec)(ci&$ e,(ct( Co"p#e$%e# c&"o 'os ".to%os %e s)stit)ci&$ p)e%e$ se# )s(%os p(#( si"p'i!ic(# '(s ec)(cio$es %i!e#e$ci('es %e p#i"e# o#%e$ Reso've# p#ob'e"(s p'($te(%os %es%e !sic( 0)e p)e%($ se# "o%e'(%os po# ec)(cio$es %i!e#e$ci('es %e p#i"e# o#%e$ I$te#p#et(# '(s so')cio$es * +#!ic(s e$ t.#"i$os %e )$ p#ob'e"( %(%o Us(# )$ p(0)ete %e so!t2(#e (p#opi(%o p(#( #eso've# ec)(cio$es %i!e#e$ci('es o#%i$(#i(s %e p#i"e# o#%e$ 1- PRERE3UISI4OS Los te"(s $eces(#ios p(#( est( )$i%(% so$ : Do"i$io %e !)$cio$es %e )$( v(#i(b'e Co$oci"ie$to %e #e+'(s * ".to%os %e %e#iv(ci&$ e i$te+#(ci&$ bsicos De#iv(%( co"o )$( #(5&$ %e c("bio L( p#i"e#( %e#iv(%( co"o pe$%ie$te %e #ect( t($+e$te Not(cio$es %e '( %e#iv(%( P#i"e#( %e#iv(%( * c#eci"ie$to6%ec#eci"ie$to M($ejo %e %i!e#e$ci('es Ec)(cio$es e,po$e$ci('es * 'o+(#t"ic(s 7- MA4ERIAL DE APO8O AU4OR: ZILL DENNIS G9 CULLEN9 MIC;AEL R- M(te"tic(s Av($5(%(s p(#( I$+e$ie#( 9 Mc+#(2< ;i''- M.,ico- =t(- e%ici&$- 7>17-4(b'( %e i$te+#('es * !&#")'(s e,t#(%( %e' te,to So!t2(#e "(te"tico C('c)'(%o#( co$ CAS ?- AC4I@IDADES ESPECÍFICAS U$( 'ect)#( co"p#esiv( %e '(s %e!i$icio$es9 e$)$ci(%os9 * eje"p'os %es(##o''(%os e$ c'(se
ECUACIONES DIFERENCIALES – NIVEL 4
GUIA UNIDAD 1
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E'(bo#(ci&$ +#)p(' %e+#)p(' '(s #esp)est(s %e '( +)(9 j)sti!ic(ci&$ %e c(%( et(p( %e' %es(##o''o %e eje#ciciosDisc)si&$ sob#e p#oce%i"ie$tos9 #es)'t(%osE'(bo#(ci&$ %e i$!o#"e %e t#(b(jo i$te+#(%o# sob#e p#ob'e"(s %e (p'ic(ci&$ e$ '( I$+e$ie#( S)ste$t(ci&$ %e' t#(b(jo i$te+#(%o# po# +#)pos e$ '( sesi&$ %e c'(ses * ($'isis c#tico %e 'os #es)'t(%os=- ME4ODOLOGÍA DE 4RAAJO E' %oce$te %)#($te '( c'(se %e!i$i# 'os co$ceptos $eces(#ios p(#( e' %es(##o''o %e '( +)(- P(#( 'o c)(' es i"p#esci$%ib'e 0)e e' est)%i($te ($('ice '( teo#( co$ ($te#io#i%(% p(#( !(ci'it(# e' p#oceso e$seB($5(<(p#e$%i5(jeE$ c'(se 'os est)%i($tes o#+($i5($ e0)ipos %epe$%ie$%o %e' $"e#o %e est)%i($tes po# c)#so p(#( %es(##o''(# '(s (ctivi%(%es %e '( +)( p#op)est( E' %oce$te #e('i5( e' co$t#o' %e (ctivi%(%es * %es(##o''o %e +)( - AC4I@IDADES PRE@IAS e,t#(c'(se P(#( #e!o#5(# 'os p#e##e0)isitos #eso've# 'os si+)ie$tes p#ob'e"(s -1 Dete#"i$(# '(s si+)ie$tes %e#iv(%(s : Hcos?K ?K Hcos H HH Q T V W > X YY Q W [ cos cos \ ?]K -7 F("i'i( %e c)#v(s Obte$+( '( !("i'i( %e c)#v(s+#(!0)e'(s p(#( 'os co$ v('o#es %eso!t2(#e ^W _?9 _79"(te"tico _19 >9 19 79 ?-e$ )$( ve$t($( 0)e co$te$+( e' %o"i$io Sie$%o !,W, se$,^9 ('+$ D:`,6 _? a,a? 9 * e' #($+o R:`!,6 _=a!,a= -? A p(#ti# %e '( +#!ic( %e '( !)$ci&$ W d \ ?[ ? %ete#"i$(# : ( Los si+$os %e '( pe$%ie$te %e '( #ect( t($+e$te e$ 'os p)$tos c)*(s (bcsis(s so$ ,W<19>91979? b Los i$te#v('os %e c#eci"ie$to * %ec#eci"ie$to c Los p)$tos ",i"os * "$i"os % @e#i!ic(# ($('tic("e$te
π
π
y
6
5
4
3
2
1
−3
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−1
1
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4
−1
ECUACIONES DIFERENCIALES – NIVEL 4
GUÍA UNIDAD 1
?
-= U$ (vi&$ 0)e v)e'( o#i5o$t('"e$te ( )$( ('tit)% %e 1"i''( * ( )$( #(pi%e5 %e >> fghh kl p(s( %i#ect("e$te sob#e )$( est(ci&$ %e #(%(#C('c)'e '( #(pi%e5 ( '( c)(' '( %ist($ci( %es%e e' (vi&$ ( '( est(ci&$ se i$c#e"e$t( c)($%o est ( 7 "i''(s %e '( est(ci&$m- RE@ISInN DE CONCEP4OS 1-1 CONCEP4OS E IDEAS SICAS P(#( #eso've# )$ p#ob'e"( %e i$+e$ie#(9 es $eces(#io e'(bo#(# )$( e,p#esi&$ "(te"tic( e$ t.#"i$os %e v(#i(b'es o !)$cio$es9 es %eci# se obtie$e )$ "o%e'o "(te"tico %e' p#ob'e"( %(%oE' p#oceso %e est#)ct)#(# e'"(te"tico"o%e'o9 #eso've#'o e i$te#p#et(# e' #es)'t(%o e$ t.#"i$os %e' p#ob'e"( %(%o se co$oce co"o "o%e'(%o E'p#ob'e"(s"o%e'(%oL(#e0)ie#e e,pe#ie$ci( '( c)(' se 'o+#(# "e%i($te '( %isc)si&$ * ($'isis %e v(#ios eje"p'os * "o%e'os- co"p)t(%o#( p)e%e ( "e$)%o (*)%(# e$ '( so')ci&$ pe#o #(#( ve5 e$ '( c#e(ci&$ %e 'os SISTEMA FÍSICO
MODELO MATEMÁTICO
SOLUCIÓN MATEMÁTICA
INTERPRETACIÓN FÍSICA
Fi+ 1- Mo%e'(ci&$ M)cos co$ceptos !sicos9 t('es co"o '( ve'oci%(% * (ce'e#(ci&$ co$tie$e$ %e#iv(%(s po# 'o t($to )$ "o%e'o es''("(( "e$)%o )$( ec)(ci&$ 0)e co$tie$e %e#iv(%(s %e )$( !)$ci&$ %esco$oci%(U$ "o%e'o %e este tipo se ec)(ci&$ %i!e#e$ci('Po# s)p)esto9+#(!ic(#'(9 se 0)ie#e(''(# e$co$t#(# )$(%e '(so')ci&$ )$( !)$ci&$ 0)ee$s(tis!(ce '(!sicos ec)(ci&$ 9 e,p'o#(# s)s p#opie%(%es9 v('o#es "is"(9 e i$te#p#et(#'( t.#"i$os %e#ec)##i# t(' "($e#( 0)e se p)e%( e$te$%e# e' co"po#t("ie$to !sico e$ e' p#ob'e"( %(%oSi$ e"b(#+o ($tes %e ( 'os ".to%os %e so')ci&$9 p#i"e#o se %ebe %e!i$i# ('+)$os co$ceptos bsicos $eces(#iosU$( ec)(ci&$ %i!e#e$ci(' o#%i$(#i( EDO es )$( ec)(ci&$ 0)e co$tie$e )$( o "s %e#iv(%(s %e )$( !)$ci&$ %esco$oci%(9 '( c)(' sep)e%e s)e'eco$te$e# %e$o"i$(#'( "is"( *, ('+)$(s *t si '( !)$cio$es v(#i(b'e i$%epe$%ie$te L(co$st($tesec)(ci&$ t("bi.$ v(#i(b'eveces %epe$%ie$te9 co$oci%(s %e ,es e'o ttie"po 9 * t Eje"p'o 1 EDOs o#%i$(#i(s L(s ec)(cio$es %i!e#e$ci('es 19 7 * ? so$ o#%i$(#i(s 1 W]K7 7 \=Wqdr T \W[ ? u ECUACIONES DIFERENCIALES – NIVEL 4
GUÍA UNIDAD 1
=
Eje"p'o 7 Mo%e'os %e ec)(cio$es %i!e#e$ci('es
w uxkx W \wy z{|H{ |}~ H •] z€~•] = ux‚x ƒ ‚u …„ † W ‡ z|~ˆ€|• ‰~| ƒz Š‹ŒŒrxx ŒTŒxx ŒŒŽxx W ŒŒu ~{K~Kˆ|{ H z{•~ m
L(s ec)(cio$es %i!e#e$ci('es p(#ci('es EDP so$ (0)e''(s 0)e i$vo')c#($ %e#iv(%(s p(#ci('es %e )$( !)$ci&$ %esco$oci%( % e7 o "s v(#i(b'es- Po# eje"p'o : Y[€[ W Y[€[ \7 Y€ Y Y H Se%e#iv(%( %ice 0)e0)e)$((p(#ece ec)(ci&$e$%i!e#e$ci(' es %eE' co$cepto o#%e$ $ si%e'( %e#iv(%( e$.si"( %e '( !)$ci&$ %esco$oci%( esEDOS '(EDOS "(*o#%e '( ec)(ci&$o#%e$ %( )$( c'(si!ic(ci&$ ti' %e$t#o %e '(s p#i"e# o#%e$9 se+)$%o o#%e$9 ect‘As '( ec)(ci&$ 1 es %e p#i"e# o#%e$9 '( 7 %e se+)$%o o#%e$ * ? %e te#ce# o#%e$U$( ec)(ci&$ %i!e#e$ci(' es 'i$e(' si '( v(#i(b'e %epe$%ie$te * s)s %e#iv(%(s so'o (p(#ece$ e$ co"bi$(cio$es (%itiv(s %e pote$ci( )$o 9 $o#"('"e$te tie$e$ e' si+)ie$te !o#"(to ’ : {“ r””T {“q„ r”–”–T —{„ Tr {˜W™ š %o$%e {“9{“q„9‘9{„9{˜9™9 %epe$%e$ so'o %e' v(#i(b'e i$%epe$%ie$te ›,œPo# eje"p'o: ž Ÿ d W Ÿ ]|K9 ‡] €K{ ‡¡ H =¢ ¡~HK V• |K{ r £ = \‹lx¤x[ \7¤W >9 ‡] €K{ ‡¡ H 7¢ ¡~HK V• |K{ E$p#i"e#( est( )$i%(% se co$si%e#(#($ EDOS %e'( p#i"e#o o#%e$4('es ec)(cio$es so'("e$te co$tie$e$ '( %e#iv(%( * p)e%e$ co$te$e# v(#i(b'e %epe$%ie$te * ('+)$(s !)$cio$es %e v(#i(b'e i$%epe$%ie$te- Po# 'o t($to se '(s p)e%e esc#ibi# co"o ’ 99¥ W > !o#"( i"p'cit( ¦ ¥ W 9 !o#"( e,p'cit( 1-1-1 So')ci&$ %e )$( ED U$( !)$ci&$ *W!, se ''("( so')ci&$ %e )$( ec)(ci&$ %i!e#e$ci(' %(%( e$ ('+$ i$te#v('o (bie#to ( a , a b si !, est %e!i$i%( * es %i!e#e$ci(b'e e$ %ico i$te#v('o * es t(' 0)e (' s)stit)i# '( !)$ci&$ * s) %e#iv(%( '( ec)(ci&$ se co$vie#te e$ )$( i%e$ti%(%- L( c)#v( e' +#!ico %e '( !)$ci&$ se ''("( c)#v( c)#v( so')ci&$E'%e!i$ici&$ i$te#v('oo›Iœi$te#v('o e$ e' c)('%e e,iste$ci(e,iste o es Esto v'i%(i"p'ic( '( so')ci&$ %e )$(co$oce#se ec)(ci&$e'%i!e#e$ci(' i$te#v('o %e 0)e %ebe %o"i$io %ese'(''("( so')ci&$ %e '( EDECUACIONES DIFERENCIALES – NIVEL 4
GUÍA UNIDAD 1
Eje"p'o ?@e#i!ic(ci&$ %e )$( so')ci&$ ? ]•€ˆ|&K W r HH[[ \7 HH W> H W r 1 H[[ W r 7 H H r 7\7 r 1 r W > r7\7\7 W > >W> Eje"p'o =C)#v(s = so')ci&$ []K tie$e '( so')ci&$ W ˆ\ˆ•] 9 %o$%e c es )$( co$st($te L((#bit#(#i(9 ec)(ci&$esto%i!e#e$ci(' §\ W es )$( !("i'i( %e so')cio$es- C(%( v('o# %e c 9 po# eje"p'o 9 >- o 7 9 %( )$( c)#v( so')ci&$10
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9 8 7 6
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5 4 3 2 1
−14 −13 −12 −11 −10 −9
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−1 −1
x 1
2
3
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5
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1 2 13
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c=0.5
−4 −5 −6 −7
c=0
−8 −9 −10
Fi+ 7- C)#v(s so')ci&$ L(so')ci&$ so')ci&$+e$e#(' 0)e co$tie$e )$( co$st($te (#bit#(#i( c se ''("( so')ci&$ +e$e#(' %e '( EDOGeo".t#ic("e$te9 '( so')ci&$ %e )$( EDO es )$( !("i'i( %e ")c(s c)#v(s so')ci&$9 )$( po# c(%( v('o# %e '( co$st($te cSip(#tic)'(# se e'i+e )$$o v('o# espec!ico c se obtie$e(#bit#(#i('o 0)e se %e$o"i$( so')ci&$ so')ci&$p(#tic)'(# %e '( EDO- U$( so')ci&$ co$tie$e $i$+)$(%eco$st($te U$( !)$ci&$ * W !,p(#( se ''("( so')ci&$ e$ ve5 %e%e '( ec)(ci&$ e$ '( ec)(ci&$ s(tis!(ce '( ec)(ci&$ to%( so')ci&$ e$ e' e,p'cit( i$te#v('ot('¨I© 0)e es )$((' s)stit)i#'( so')ci&$ e,p'icit( e$ ¨I©- %i!e#e$ci('9 Eje"p'o So')ci&$ e,p'cit( De"ost#(# 0)e *, W cos=, se$=, es )$( so')ci&$ e,p'icit( %e '( EDO /1m W > P#oce%e"os ( %e#iv(# *, p(#( ve#i!ic(# 0)e se( so')ci&$ %e '( EDO ¨*©
¨,©
ECUACIONES DIFERENCIALES – NIVEL 4
GUÍA UNIDAD 1
m
¥ W\=]K==cos= / W\1mˆ•]=\1m]K= A' s)stit)i# e$ '( EDO : \1mˆ•]=\1m]$=,1mˆ•]=1m]$=,W> Co"o esto es v'i%o p(#( c)('0)ie# v('o# %e ›,œ9 '( !)$ci&$ es )$( so')ci&$ e,p'icit(Se%e!i$e %ice)$(0)eo)$( #e'(ci&$ F,9 *W> es )$( so')ci&$ so')ci&$ i"p'cit( %e '( ec)(ci&$ %i!e#e$ci(' e$ e' i$te#v('o ¨ I © si i"p'cit( "s so')cio$es e,p'icit(s e$ ¨I©Eje"p'o m So')ci&$ i"p'cit( Most#(# 0)e rT W > es )$( so')ci&$ i"p'cit( %e '( EDO 1 rT Tr rT 1W> A' %e#iv(# e$ !o#"( i"p'cit( se tie$e : 1 Tr ‹ Tr rT W > 1 Tr rT rT Tr W > 1rT Tr rT 1W> Co"o se (p#eci( se obtie$e '( EDO o#i+i$('1-1-7 P#ob'e"( %e v('o# i$ici(' E$%e )$( '( "(*o#( %e 'os c(sos '( $ic( so')ci&$ %e )$ p#ob'e"( %(%o9 po# e$%e )$( so')ci&$ p(#tic)'(# se obtie$e so')ci&$ +e$e#(' po#co$st($te )$( co$%ici&$ i$ici(' ˜ W ˜ 9 co$'(v('o#es %(%os ˜ * 0)e˜ 9 eso'( c)#v( es )s(%o p(#( %ete#"i$(# )$ v('o# %e '( (#bit#(#i( cGeo".t#ic("e$te co$%ici&$ si+$i!ic( so')ci&$ po%#( p(s(# po# e' p)$to ˜ 9˜ - U$( ec)(ci&$ %i!e#e$ci(' co$ )$( co$%ici&$ i$ici(' se ''("( p#ob'e"( %e v('o# i$ici('- Es %eci# '( !o#"( ¥ W 9 ˜ W ˜ 1> Eje"p'o šP#ob'e"( š %e v('o# i$ici(' ‡¡ª HH W ? z« ª > W 7 L( so')ci&$ +e$e#(' es W ˆ dr - De est( so')ci&$ (p'ic($%o '( co$%ici&$ i$ici(' ,W > 9 *W? se obtie$e : 7Wˆ˜ 9ˆW7 L( so')ci&$ p(#tic)'(# es W 7dr
ECUACIONES DIFERENCIALES – NIVEL 4
GUÍA UNIDAD 1
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2
1
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Fi+ ?- C)#v( so')ci&$ p(s( po# >97
1-1-? P(sos %e "o%e'(ci&$ Ao#( co$si%e#(#e"os )$ p#ob'e"( !sico bsico 0)e se "ost#(# co$ 'os p(sos tpicos %e "o%e'(ci&$P(so L( t#($sici&$ %e )$( sit)(ci&$ !sic( ( s) !o#")'(ci&$ "(te"tic( "o%e'o "(te"tico 1: P(so po# )$!sic( ".to%o "(te"tico P(so 7:?: '('( so')ci&$ i$te#p#et(ci&$ %e' #es)'t(%o Esto pe#"iti# obte$e# '( $(t)#('e5( * p#op&sito %e '(s %eec)(cio$es %i!e#e$ci('es * s)sse p)e%e (p'ic(cio$esE'".to%o p(so 7 #e0)ie#e )$ s&'i%o co$oci"ie$to * b)e$ e$te$%i"ie$to 'os ".to%os %e so')ci&$9 e'e+i# e' p(#( t#(b(j(# ( "($o o "e%i($te co"p)t(%o#(4e$e# esto e$ c)e$t(9 * sie"p#e ve#i!ic(# 'os #es)'t(%os %e '( co"p)t(%o# e$ b)sc( %e e##o#es p)e%e$ se# po# e$t#(%(s !('s(s1-7 ECUACIONES DE @ARIALES SEPARALES M)c(s EDOS ti'es p)e%e$ se# #e%)ci%(s ( '( !o#"( HH W y 1 Po# "($ip)'(cio$es ('+eb#(ic(s- E$to$ces se p)e%e i$te+#(# ("bos '(%os %e '( ec)(ci&$ sep(#($%o 'os %i!e#e$ci('es9 obte$ie$%o ¬HW¬yHˆ 7 Si+e$e#(' ! * + so$ !)$cio$es co$ti$)(s9 '(s i$te+#('es e$ 7 e,iste$9 * ')e+o %e ev(')(#'(s se obtie$e )$( so')ci&$ ".to%o est$ %e so')ci&$ se ''("( %e v(#i(b'es9 * 1 se ''("( )$( ec)(ci&$ sep(#(b'e9 po#0)e e$%e 17 '(sEstev(#i(b'es sep(#(%(s co$sep(#(ci&$ s)s %i!e#e$ci('esEje"p'o ’ EDO sep(#(b'e -1 COS(x) y ·dy + y· ·SIN(x)·dx = 0 dy COS(x) = - y· ·SIN(x)·dx y ECUACIONES DIFERENCIALES – NIVEL 4
GUÍA UNIDAD 1
’ dy COS(x) = - ·SIN(x)·dx y - COS(x) y ·dy = - ·SIN(x)·dx ! - ! COS(x) " y dy = " - ·SIN(x) dx 1 COS(x) - = + C y # 1 COS(x) $ SOLVE%- = + C& y' y 1 y = - COS(x) + C
Eje"p'o ¦EDO ¦ sep(#(b'e co$ v('o# i$ici(' dy = ·*(y + 1)·COS(x) dx V,. I/,2 y(3)=0 dy = COS(x)·dx ·*(y + 1) ! 1 dy = 5 COS(x) dx " ·*(y + 1) *(y + 1) = SIN(x) R6678,97: 6, ;,. /,2 *(0 + 1) = SIN(3) + C SOLVE(*(0 + 1) = SIN(3) + C& C) C = 1 (y + 1)
1<
= SIN(x) + 1
SOLVE((y + 1)
1<
= SIN(x) + 1& y)
ECUACIONES DIFERENCIALES – NIVEL 4
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¦ y = SIN(x) + ·SIN(x)
Fi+ =- C)#v( so')ci&$ p(s( po# 9>
Eje"p'o 1> P#ob'e"( %e "e5c'(s L('( %i!e#e$ci( #(pi%e5 %ee$t#e c("bio'( #(5&$ %e '( c($ti%(% %e )$( s)st($ci( e$ )$ co"p(#ti"ie$to co$ #especto (' tie"po es i+)(' ( %e e$t#(%( * '( #(5&$ %e s('i%(A W c($ti%(% %e s)st($ci( H® W ƒ{¯•K H |Ky~]•\ƒ{¯•K H ]{|H{ H ƒ{¯•K H |Ky~]• W °g ±ˆg ƒ{¯•K H ]{|H{ W ° ±ˆ Do$%e 3 #ep#ese$t( e' c()%(' vo')"e$6t * c #ep#ese$t( '( co$ce$t#(ci&$ %e '( s)st($ci( "(s(6vo')"e$ S)po$+( 0)e )$( so')ci&$ s('i$( co$ ?^+ %e s(' po# 'it#o se i$t#o%)ce e$ )$ t($0)e 0)e co$te$( o#i+i$('"e$te =>> 'it#os %e (+)( * 7>^+ %e s('Si '( so')ci&$ e$t#( ( #(5&$ %e 1> 'it#os6"i$)to9 '( "e5c'( set($0)e "($tie$e )$i!o#"e #evo'vi.$%o'(9 * '( "e5c'( s('e co$ '( "is"( #(5&$9 %ete#"i$e '( "(s( %e s(' e$ e' %esp).s %e 1> "i$)tosP(so 1- Est(b'ece# e' "o%e'o Se( A e' $"e#o %e ^i'o+#("os %e s(' e$ e' t($0)e9 t "i$)tos %esp).s %e i$ici(# e' p#oceso se (p'ic( e' si+)ie$te p'($te("ie$to R(pi%e5 %e c("bio %e A W #(5&$ %e e$t#(%( _ #(5&$ %e s('i%(
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1>
At es e' $"e#o %e ^i'o+#("os %e s(' e$ e' t($0)e %esp).s %e )$ tie"po t E$to$ces te$e"os: dA() = 8.8.>/ d6 :, /?.6: - 8.8.>/ :, @6 :,6 d L B() ? B0 ? 8.8.>/ :, /?.6: = 10··· = · 7/ L 7/
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GUÍA UNIDAD 1
11 - 40·LN(A - 100) = + C C LN(A - 100) = - -40 40 -C<40 , d6H7: :,76/6 7 C A8,7: 6x8/6/,2 - <40 -A + 100 = C· - <40 A = C· - 100 y 0 ? d6 :, /,76/6 6/ 6, /@6& :J A(0) = 0 U:/d 6: /d>/ /,& /:.: 6//.7:2 0<40 0 = C·
- 100 0<40 SOLVE(0 = C· + 100& C) C = 11K0 S:7: 6/ , :,>/2
- <40 A = - 11K0·
+ 100
- 10<40 A(10) = - 11K0·
+ 100 = K1·?
Fi+ - C)#v( so')ci&$ <"e5c'(s ECUACIONES DIFERENCIALES – NIVEL 4
GUÍA UNIDAD 1
17
P(so ?- I$te#p#et(ci&$ %e' #es)'t(%o SeE$ve#i!ic( (p#o,i"(%("e$te 0)e '( c($ti%(% i$ici(' %e s(' es %e 7> ^+* e$ 1> "i$ '( c($ti%(% es %e 7’1 ^+e' i$te#v('o >ata1>> "i$ c#ece "s #pi%o '( c($ti%(% %e s(' "ie$t#(s 0)e p(#( t²1>> "i$ '( #(pi%e5 %e c#eci"ie$to es "e$o# 'e$to E$se ve#i!ic( )$ tie"poco$#e'(tiv("e$te "(*o# ( 7m> "i$ 9 se est(bi'i5( '( c($ti%(% %e s(' e$ )$ v('o# %e 17>> ^+- Lo c)(' q¶µ 'i" 17>>\11=> uQ³´ q¶µ W17>>\>W17>> 'i" 17>>\11=> 'i" uQ³´ uQ³´ Eje"p'o 11 Pob'(ci&$ U$o %e 'os p#i"e#os i$te$tos %e "o%e'(# "(te"tic("e$te e' c#eci"ie$to %e"o+#!ico 'o i5o 4o"(s M('t)sE$ ese$ci(9 e' "o%e'o "('t)si($o s)po$e 0)e '( t(s( %e c#eci"ie$to %e )$( pob'(ci&$ c#ece %e !o#"( ( '( pob'(ci&$ tot(' P t9 e$ c)('0)ie# "o"e$to t- E$ t.#"i$os "(te"ticos est( ip&tesisp#opo#cio$(' se p)e%e e,p#es(# %P W ^P ·•H• }]|ˆ• H •}{ˆ|&K %t %o$%e ^ es )$( co$st($te %e p#opo#cio$('i%(%Est( ec)(ci&$ %i!e#e$ci(' ($ se )ti'i5( co$ ")c( !#ec)e$ci( p(#( "o%e'(# pob'(cio$es %e b(cte#i(s * %e ($i"('es pe0)eBos %)#($te co#tos i$te#v('osL(est)%i($tes9 pob'(ci&$e$%ee''os(Boest)%i($tes "(t#ic)'(%os e$ '( c(##e#( %e I$+e$ie#( Civi' e$ e' (Bo 7>>š es %e š’7 7>>’ es %e ’17 est)%i($tes * e$ e' (Bo 7>>¦ es %e ’?= est)%i($tes9 e$to$ces '( #(pi%e5 co$3)e#e"os 0)e '( pob'(ci&$ c("bi( es p#opo#cio$(' ( '( c($ti%(% %ee$est)%i($tes "(t#ic)'(%os e$%e%ico i$st($te%ete#"i$(# '( c($ti%(% %e est)%i($tes 0)e (b# e' (Bo 7>1= * '( c($ti%(% est)%i($tes 0)e (b( e$ e' (Bo 7>>79 to"($%o 'os %(tos %e' (Bo 7>>š * %e' 7>>¦P(so 1- Est(b'ece# e' "o%e'o %P W ^P %t E$P> pob'(ci&$ %o$%e: i$ici(' E'E' (Bo 7>>š p(#( tW> (Bo 7>>¦ p(#( tW7 PP >Wš’7 7W’?= P(so 7- So')ci&$ "(te"tic( Sep(#o v(#i(b'es 1 %P W ^%t p ¬ 1p %PW¬^%t '$P W^t PWPo ¸u
ECUACIONES DIFERENCIALES – NIVEL 4
GUÍA UNIDAD 1
1?
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P
y = 782exp(0.0321x); 0.0 <= x <= 10
t 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Fi+ m- C)#v( so')ci&$
P(so ?- I$te#p#et(ci&$ %e' #es)'t(%o Co"o *( se tie$e 'os v('o#es $eces(#ios #ee"p'(5("os e' tie"po %e siete (Bos %ete#"i$(# e' $"e#o %e est)%i($tes p#o*ect(%os P W š’7˜-˜d[„½¾¿À W¦š¦ Es %eci# e$ e' (Bo 7>1= (b# ¦š¦ est)%i($tes (p#o,i"(%("e$te9 * (Bos ($tes (b(: PWš’7 ˜-˜d[„½¾Áq PW mm ES4UDIAN4ES Eje"p'o 17 Le* %e e$!#i("ie$to %e Ne2to$ Se+$ '( 'e* e"p#ic( %e Ne2to$ (ce#c( %e' e$!#i("ie$to9 '( #(pi%e5 co$ 0)e se e$!#( )$ objeto es p#opo#cio$(' ( '(t%i!e#e$ci( e$t#e'( te"pe#(t)#( s) te"pe#(t)#(%e'*objeto '( %e' "e%io 0)e 'e #o%e(9t9 40)e" eses'('(te"pe#(t)#( te"pe#(t)#(co$st($te ("bie$teSi 4 #ep#ese$t( e$ e' "o"e$to %e' "e%io 0)e 'o #o%e( * %4 6%t es '( #(pi%e5 co$ 0)e se e$!#( e' objeto9 '( 'e* %e Ne2to$ %e' e$!#i("ie$to se t#(%)ce e$ '( ec)(ci&$ H H W Š\f ECUACIONES DIFERENCIALES – NIVEL 4
GUÍA UNIDAD 1
1=
e$c)"p'i# %o$%e0)e^ es4 ²)$(4 "co$st($te %e p#opo#cio$('i%(% e$ co$sec)e$ci( ^ a >- Co"o s)p)si"os 0)e e' objeto se e$!#(9 se %ebe ¢C ')e+o %e e''o se 'o co'oc( e$ )$ c)(#to c)*( U$te"pe#(t)#( "et(' C se c('ie$t( (st( ('c($5(# )$( te"pe#(t)#( %e 11’ ¢C9 ')e+o %e (be# t#($sc)##i%o t#es "i$)tos )$( se+)$%( "e%ici&$ %( )$( es %e 7¦ ¢ te"pe#(t)#( %e ¦¦ C Ãc)$to tie"po 'e to"(#( (' "et(' ''e+(# ( '( te"pe#(t)#( %e' "e%ioÄ C)($%o > W11’ ¢C 9 co"o "e$cio$( 0)e ')e+o %e t#es "i$)tos '( te"pe#(t)#( es ¦¦ ¢z e$to$ces '( ec)(ci&$ %i!e#e$ci(' 0)e%( e,p#es(%( co"o: H W Š\7¦ > W 11’ ¢C ? W¦¦ H Co"o se p)e%e obse#v(# '( ec)(ci&$ es )$( EDO 'i$e(' 0)e se p)e%e #eso've# po# "e%io %e' ".to%o %e \7>9 v(#i(b'es sep(#(b'es *( 0)e (* )$ p#o%)cto e$ %ic( ec)(ci&$ Š t("bi.$ se %ebe "e$cio$(# 0)e '( @D es '( te"pe#(t)#(9 * '( @I es e' tie"poL)e+o %e #eco$oce# '( ec)(ci&$ #eso've"os: H H HW Š\7¦ \7¦ WŠH H WŠ¬H ¬ \7¦ '$\7¦ WŠz > W11’ z W K ’¦ '$\7¦ WŠ'$’¦ ? W¦¦ Š W 1? ÅK š>’¦Æ '$\7¦ W ÇÅ1? K š>’¦ÆÈ'$’¦ \7¦WÅ‹h“ɶÊË6dÆu-h“½¾ \7¦WÅ‹h“ɶÊË6dÆu ±’¦ W7¦’¦ q˜-˜½±u
ECUACIONES DIFERENCIALES – NIVEL 4
GUÍA UNIDAD 1
1
Fi+ š- C)#v( so')ci&$ _te"pe#(t)#( Co"o e$ '($osec)(ci&$ %i!e#e$ci(' $o%ees posib'e %ete#"i$(# e'po#tie"po e,(cto e$+)i("os e' 0)e po# se e$!#( *(%e0)e'( (t(b'( %espej(# e'%ete#"i$(# tie"po 0)e%( )$ 'o+(#it"o )$ $"e#o $e+(tivo 'o c)(' $os "e%io p(#( e' tie"po %e e$!#i("ie$to t T 0.00000 118.00000 10.00000 68.99028 20.00000 46.96879 30.00000 37.07390 40.00000 32.62784 50.00000 30.63009 60.00000 29.73245 70.00000 29.32911 80.00000 29.14788 90.00000 29.06645 100.00000 29.02986 110.00000 29.01342 120.00000 29.00603
Eje"p'o 1? @(ci(%o %e )$ t($0)e E$%e )$i%#o%i$"ic(9 '( 'e* %e 4o##ice''i est(b'ece 0)e '( ve'oci%(% v %e !')jo s('i%( %e' (+)( ( t#(v.s (+)je#o %e bo#%es (+)%os e$ e' !o$%o %e )$( t($0)e ''e$o co$ (+)( (st( )$( ('t)#( es i+)(' ( '( ve'oci%(% %e )$ objeto e$ este c(so )$( +ot( %e (+)(9 0)e c(e 'ib#e"e$te %es%e )$( ('t)#( esto es9 ÌW 7yÎ %o$%e + es '( (ce'e#(ci&$ %e '( +#(ve%(%S)po$+("os 0)e )$ t($0)e ''e$o %e (+)( se %ej( v(ci(# po# )$ (+)je#o9 po# '( (cci&$ %e '( +#(ve%(%3)e#e"os %ete#"i$(# '( p#o!)$%i%(%9 9 %e' (+)( 0)e 0)e%( e$ e' t($0)e e$ e' "o"e$to tSi e' #e( t#($sve#s(' %e' (+)je#o es A > e$ pies c)(%#(%os9 * '( ve'oci%(% %e' (+)( 0)e s('e %e' t($0)e es Ìe$Wpies e$ piespo#po#se+)$%ose+)$%o9As9e'sivo')"e$ %e (+)( 0)e s('e %e' t($0)e9 po# se+)$%o es ÌW® 7yÎcbicos ˜ 7yÎ9 @ t #ep#ese$t( (' vo')"e$ %e' (+)( e$ e' t($0)e e$ c)('0)ie# "o"e$to t9 HÏ W \®˜ 7yÎ H ECUACIONES DIFERENCIALES – NIVEL 4
GUÍA UNIDAD 1
1m
%o$%e e' si+$o "e$ose$i$%ic( 0)e @0)eestpo%#( %is"i$)*e$%oObs.#vese 0)e $ot(s(te$e"os e$Si e'c)e$t( '( es t(' posibi'i%(% %e !#icci&$ e' (+)je#o9 c()s(# )$( #e%)cci&$ %e '( %e !')jot($0)e 0)e e' vo')"e$ %e' (+)( e$ c)('0)ie# "o"e$to t se e,p#es( co"o Ï W ® Ð Î9 %o$%e A2 es e' #e( %e '( s)pe#!icie s)pe#io# %e' (+)( 9 e$to$ces HÏ W ®Ð HÎ H H Se i+)('( est(s 7 ec)(cio$es * se obtie$e HÎ ®˜ H W \ ®Ð 7yÎ 3)e i$%ic( '( ('t)#( %e' (+)( e$ c)('0)ie# "o"e$to t4o"($%o e$ c)($t( '( !#icci&$ * '( co$t#(cci&$ %e '( co##ie$te ce#c( %e' (+)je#o 0)e #e%)ce$ e' vo')"e$ %e (+)( 0)e s('e %e' t($0)e po# se+)$%o ( c®˜ 7yÎ %o$%e ˆ> a ˆ a 1- E' "o%e'o %e EDO es
HÎ W \ˆ ®˜ Í 7yÎ H ®Ð S)po$+( 0)e est( s('ie$%o (+)( %e )$ t($0)e c)bico ''e$o ( t#(v.s %e )$ (+)je#o ci#c)'(# %e 7 p)'+(%(s %e #(%io 0)e est( e$ e' !o$%o- Dete#"i$( )$( ec)(ci&$ %i!e#e$ci(' p(#( '( ('t)#( [ %e' (+)( (' tie"po t p(#( e' t($0)e c)bico 0)e se ")est#( e$ '( !i+)#( ’- 4o"(# e' v('o# %e +W?7pies6]y * cW1- C('c)'(# e' tie"po $eces(#io p(#( v(ci(# e' t($0)e -
Fi+ ’- 4($0)e c)bico co$ (+)je#o r =
dh dt dh dt dh dt ECUACIONES DIFERENCIALES – NIVEL 4
=−
1 100
=
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3600 =
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450
2
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1
12
6 1
pies
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Ah
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6
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π
A0
2
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36
1
(
π
100 36
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3600
2(32) h )
( h)
( h)
GUÍA UNIDAD 1
1š
L( co$%ici&$ i$ici(' es >W 1> * '( co$%ici&$ !i$(' se# c)($%o W> HÎ W \ Ò H Ñ Î => ¬ Ñ HÎÎ W ¬\ =>Ò H 7Ñ Î W \ =>Ò z 7Ñ 1 >W\ =>Ò >z z W 7Ñ 1> 7Ñ Î W \ =>Ò 7Ñ 1> Î W ‹Ñ 1>\ ¦>>Ò [ 11
h(pies)
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
−100 −1
t(seg) 100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000 1100
Fi+ ¦- C)#v( so')ci&$ _ D#e$(%o po# )$ o#i!icio E' tie"po %e v(ci(%o co##espo$%e c)($%o W >9 po# t($to > W ‹Ñ 1>\ ¦>>Ò [ W ¦>>ÒÑ 1> Ó ¦>9¦ ]y ECUACIONES DIFERENCIALES – NIVEL 4
GUÍA UNIDAD 1
1’
Eje"p'o 1= Ci#c)itos e'.ct#icos Los ci#c)itos %e p#i"e# o#%e$ so$ ci#c)itos 0)e co$tie$e$ so'("e$te )$ co"po$e$te 0)e ('"(ce$( e$e#+(9 0)e p)e%e est(# co"p)esto po# )$ co$%e$s(%o# o )$ i$%)cto#9 * 0)e se p)e%e %esc#ibi# co$ )$( ec)(ci&$ %i!e#e$ci(' %e p#i"e# o#%e$Los %os posib'es tipos %e ci#c)itos %e p#i"e# o#%e$ p)e%e$ se#: Ci#c)ito Resisto#e*i$%)cto# c(p(cito# Ci#c)ito RCRI 99 #esisto# C)($%o e$%ese#ievo't(je so'o(co$tie$e )$)$#esisto# * )$ i$%)cto#* 9%e''( se+)$%( 'e*IR %ees i+)(' ¹i#co!! est(b'ece 0)e '((p'ic(%oEts)"( )$%e '(sci#c)ito c(%(s t#(v.s %e i$%)cto#L%i6%t #esisto# (' vo't(je Co"o se 'o i$%ic( e$ '( +#!ic( HH| ƒ|W‡ E$#esp)est( L * R so$%e''(ssiste"(co$st($tes co$oci%(s co"o i$%)ct($ci( * #esiste$ci( #espectiv("e$te9 '( co##ie$te it es '( Ci#c)ito RC L(est(b'ece"os c(%( %e vo't(je ( t#(v.s)$ ci#c)ito %e )$ c(p(cito# es 0t6C9 %o$%e 0'e*es%e'(¹i#co!!c(#+( %e' c(p(cito#9 e$to$ces 0)e p(#( RC )ti'i5("os '( se+)$%( ƒ| z1 †W‡ L(t#($s!o#"( co##ie$tee$i *'('(ec)(ci&$ c(#+( 0 se%i!e#e$ci(' #e'(cio$($'i$e(' "e%i($te iW %06%t co"o se ")est#( e$ '( ec)(ci&$ ($te#io# * se ƒ H†H z1 †W‡ U$( !)e$te %e 17vo'ts se co$ect( ( )$ ci#c)ito e$ se#ie co$ )$( i$%)ct($ci( %e 167; * )$( #esiste$ci( %e 1> o"ios- Dete#"i$(# '( co##ie$te i9 si e' ci#c)ito i$ici('"e$te est( %ese$e#+i5(%oL1 FUENTE1
0.5H
12 Vrms 60 Hz 0° R1 10Ω
Fi+ 1>- Ci#c)ito RL co$ !)e$te co$ti$)( P(#( #eso've# est( ec)(ci&$ )ti'i5("os '( si+)ie$te !o#")'(: HH| ƒ|W‡ 17 HH| 1>|W17 [˜u 9 'o P#i"e#o ")'tip'ic("os '( ec)(ci&$ %i!e#e$ci(' po# 79 * se obse#v( 0)e e' !(cto# i$te+#($te es s)stit)i"os e$ '( ec)(ci&$ H| 7>|W7= H ECUACIONES DIFERENCIALES – NIVEL 4
GUÍA UNIDAD 1
1¦
H| W7=\7>| H H| WH 7=\7>| 1 H|W¬H ¬ 7=\7>| \ '$|\m 7> W® Se %espej( i obte$e"os | W Ô ˆ q[˜u { ˆ•KH|ˆ|•K |K|ˆ|{ ] |>W > P#ece%e"os ( #e"p'(5(# * po# co$si+)ie$te '( #esp)est( es: > W m ˆ ˆ W \ m | W m \ m q[˜u L(+#($%e co##ie$te tie$e )$ co"po#t("ie$to e,po$e$ci(' %ec#ecie$te 9 po# t($to ')e+o %e )$ tie"po #e'(tiv("e$te '( co##ie$te se est(bi'i5( e$ m6 ("pe#ios1.4 1.3
i(A)
1.2 1.1 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 −0.1 −0.2
t(seg) 0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
−0.3 −0.4
Fi+ 11- C)#v( so')ci&$
-?obse#v( 0)e '( co##ie$te c#ece #pi%("e$te * se est(bi'i5( e$ 17 ("pe#ios %esp).s %e (p#o,i"(%("e$te se+)$%osECUACIONES DIFERENCIALES – NIVEL 4
GUÍA UNIDAD 1
7>
1-? ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN U$( ec)(ci&$ %i!e#e$ci(' o#%i$(#i( %e p#i"e# o#%e$ e$ )$( ec)(ci&$ %i!e#e$ci(' o#%i$(#i( %o$%e i$te#vie$e$ %e#iv(%(s %e p#i"e# o#%e$ #especto ( )$( v(#i(b'e i$%epe$%ie$te4ie$e '( si+)ie$te !o#"(: {„ HH {˜ W } 1 Do$%e {„9{˜ } so'o %epe$%e$ %e '( v(#ib('e i$%epe$%ie$te ,9 $o (si %e *L( c)(' se esc#ibi# e$ '( !o#"( c($o$c( %ivi%ie$%o po# { „9 co"o: H ¼ W ° 7 H Sio"o+.$e( es i+)(' ( >9 '( ec)(ci&$ %i!e#e$ci(' se '( %e$o"i$(#( co"o ec)(ci&$ %i!e#e$ci(' 'i$e(' %e p#i"e# o#%e$ Sico"p'et(-es %i!e#e$te %e >9 '( ec)(ci&$ se# %e$o"i$(%( co"o Ec)(ci&$ Di!e#e$ci(' 'i$e(' %e p#i"e# o#%e$ 1-?-1 F(cto# I$te+#($te A p(#ti# %e '( si+)ie$te ec)(ci&$: H ¼ W ° H Se 0)ie#e %ete#"i$(# Õ %e "o%o 0)e e' '(%o %e#eco %e '( ec)(ci&$ ")'tip'ic(%( Õ HH Õ¼ W Õ° Es c'(#o 0)e p(#( esto Õ %ebe s(tis!(ce# Õ¥ WÕ¼ ¥ W Õ¼ es )$( ec)(ci&$ %i!e#e$ci(' sep(#(b'e9 0)e P(#( (''(# t(' !)$ci&$9 #eco$oce"os 0)e '( ec)(ci&$ Õ po%e"os esc#ibi# co"o Ö„ HÕ W ¼H- A' i$te+#(# ("bos '(%os obte$e"os: Õ W ×Ørr 1-?-7 M.to%o p(#( #eso've# ec)(cio$es 'i$e('es Esc#ib( '( ec)(ci&$ e$ !o#"( c($&$ic( est$%(# H ¼ W ° H ;(''e e' !(cto# i$te+#($te Õ "e%i($te '( !&#")'( Õ W ×Ørr b,E
b,E
ECUACIONES DIFERENCIALES – NIVEL 4
GUÍA UNIDAD 1
71
M)'tip'i0)e '( ec)(ci&$ e$ !o#"( c($&$ic( po# Õ *9 #eco#%($%o 0)e e' '(%o i50)ie#%o es p#ecis("e$te r Õ9 obte$+(: Õ HH Õ¼ W Õ° H Õ W Õ° H I$te+#e '( 'ti"( ec)(ci&$ * %espej(# '( v(#i(b'e %epe$%ie$te : W Õ1 Ù¬Õ°HzÚ Eje"p'o 1
dy B·x - y = dx M(x) = 1 U,97: , >.7, d6 . /6?./6 5(-1) dx = ,8,7: d , 6>/ 8. 6, . /6?./6 -x dy -x -x B·x · - ·y = · dx -x dy -x ·x · - ·y = dx M.6d67: /6?.. ! d -x ! ·x (6 ·y) dx = " 6 dx " dx -x ! ·x y6 - y = " 6 dx ·x -x 6 y6 = + C # ·x $ % -x 6 ' SOLVE%y 6 = + C& y' B·x 6 = + C 6
x y
ECUACIONES DIFERENCIALES – NIVEL 4
GUÍA UNIDAD 1
77
Eje"p'o Eje"p'o 1m P#ob'e"( %e "e5c'(s c()%('es %i!e#e$tes U$ %ep&sito0)eco$tie$e >%is)e'to 'it#os %e>91s('")e#( co$po#1^+'it#o%e( s('#(5&$%is)e't( e$'it#ose''(-po#Se "i$)to i$t#o%)ce* '(e$"e5c'(9 e' %ep&sito s('")e#( co$tie$e ^+ %e s(' %e 1 bie$ #ev)e't(9 se %ej( s('i# ( )$( t(s( %e 7> 'it#os po# "i$)to;(''(# '( c($ti%(% %e s(' *t e$ e' %ep&sito e$ )$ i$st($te c)('0)ie#(1F '6"i$
C iW >91 ^+6' 7> '6"i$
Cs W Ä
Fi+ 17- Recipie$te co$ c()%('es %isti$tos N)est#( i$c&+$it( esto%o *t90)e'( c($ti%(% %e s('%e '0)i%o e$ e' t($0)e p(#( )$ tie"po%(%o- 0)e e$t#($ 1 '6"i$ * se Obse#ve"os ($te e' vo')"e$ i# %is"i$)*e$%o9 pie#%e$ 7> '6"i$9 'o 0)e i$%ic( )$( p.#%i%( $et( %e '6"i$Po# e$%e9 ( )$ tie"po se (b#$ pe#%i%o 'it#os * e' vo')"e$ #e"($e$te se#: t
t
t
v (t ) = 50 − 5t
Obse#ve"os 0)e9 %(%( '( b)e$( (+it(ci&$ 0)e #ecibe e' co$te$i%o %e' t($0)e9 es #(5o$(b'e co$si%e#(# 0)e '( co$ce$t#(ci&$ e$ e' "is"o es )$i!o#"e9 * po# 'o t($to i+)(' ( '( co$ce$t#(ci&$ ( '( s('i%(Co$ce$t#(ci&$ e$ e' t($0)e =
y (t )
V (t )
y (t )
=
50 − 5t
= C S (t )
@e("os (o#( c)' es '( v(#i(ci&$ %e '( c($ti%(% tot(' %e s(' e$ e' t($0)ePo# )$ '(%o se #ecibe )$ co##o %e 1 '6"i$ ( >9 1 ^+6' e' p#o%)cto e$t#e estos %os v('o#es $os %( '( c($ti%(% %e s(' 0)e se v(v(#i(b'e +($($%oe$ e'po#tie"po "i$)to-* 0)ePo#ve$%# ot#o '(%o9%(%(s('epo#%e't($0)e )$ co##o %e 7> '6"i$9 ( )$( co$ce$t#(ci&$ 6>< e' p#o%)cto e$t#e ("bos $os %(# '( c($ti%(% %e s(' 0)e se pie#%e po# "i$)to- Po# 'o t($to * t
dy dt
= 15 × 0,1 − 20
@(#i(ci&$ %e s(' W e$t#(%( < s('i%( dy
+
20
t
y
50 − 5t
=
o#%e$($%o '( EDO: dt 50 5t y 1,5 > W 1 L( co$%ici&$ i$ici(' $os %ice 0)e e$ )$ tie"po %e ce#o '( co$ce$t#(ci&$ %e' t($0)e es 1^+ L( !)$ci&$ 9 es 7>6>< - P(#( (p'ic(# e' !(cto# i$te+#($te : −
P t
*
t
ECUACIONES DIFERENCIALES – NIVEL 4
GUÍA UNIDAD 1
7? 20
u=e
∫ 50−5t dt
=e
− 4 log( 50 −5 t )
= (50 − 5t )
−4
8 ")'tip'ic($%o e' !(cto# po# '( ($te#io# ec)(ci&$ %i!e#e$ci(' 0)e%(: 50 − 5t ) − 4
dy
dt
+ (50 − 5t )
20
−4
50 − 5t
y = 1,5(50 − 5t )
−4
⇒
d
dt
[(50 − 5t )
−4
y ] = 1,5(50 − 5t )
−4
⇒
⇒ (50 − 5t ) − 4 y = −0,5(50 − 5t ) −3 + C ⇒ y = −0,5(50 − 5t ) + C (50 − 5t ) 4
Ap'ic($%o '( co$%ici&$ i$ici(' $os 0)e%(: *> W 1 W _7 >=C C W 7m6>= W =91m1> 1> qÔ⇒
=−
−
+
1.4 1.3
×
×
−6
−
4
y(kg)
1.2 1.1 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 −0.1 −0.2
t(seg) 0.05
0.10
0.15
−0.3 −0.4
Fi+ 1?- C)#v( so')ci&$ <"e5c'(s Eje"p'o 1š Ci#c)ito RC co$ !)e$te v(#i(b'e qÂu9 se co$ect( )$( #esiste$ci( %e 7> o"ios * )$ c(p(cito# %e >->1 !(#(%ios - Se U$( !)e$te %e ‡ W7>> (s)"e 0)e e' c(p(cito# i$ici('"e$te se e$c)e$t#( %esc(#+(%oDete#"i$e '( c(#+( * '( co##ie$te e$ c)('0)ie# tie"po- Ãc)(' es '( c(#+( ",i"( * e$ 0)e "o"e$to se p#o%)ceÄ P(so 1- Est(b'ece# e' "o%e'o De (c)e#%o co$ e' p#ob'e"( se tie$e: H† 1 † W ‡ H ƒz ƒ H† 1 † W 7>>qÂu H 7>>9>1 7> ECUACIONES DIFERENCIALES – NIVEL 4
GUÍA UNIDAD 1
7=
H† † W 1>qÂu H Es )$( ec)(ci&$ 'i$e(' %e p#i"e# o#%e$9 po# 'o t($to 'o #eso've"os )ti'i5($%o e' !(cto# i$te+#($teDo$%e € W ×Âu €WÂu ÅH†H †Æ Âu W 1>qÂuÂu H † Âu W1> H †W1>z qÂu Ao#( co"o i$ici('"e$te e' c(p(cito# est( %esc(#+(%o 0>W> e$to$ces p#oce%e"os (: >W1>>zq˜ zW> E$to$ces se i$c')*e 0)e '( c(#+( p(#( c)('0)ie# i$st($te %e tie"po es: †W1> qÂu L)e+o co"o iW ‚u9 e$to$ces '( co##ie$te p(#( c)('0)ie# i$st($te %e tie"po es: |W HH 1>qÂu | W1> qÂu \>qÂu Po# )'ti"o %ete#"i$(#e"os '( c(#+( ",i"( * e' i$st($te e$ 0)e oc)##e %† W> Q 1> qÂu \> qÂu W > % 1>\>qÂu W > W >-7 ]y Po# 'o co$si+)ie$te te$e"os: †>97 W1>>97q± ˜-[ †w{>97 W>9š?m ˆ•€w
ECUACIONES DIFERENCIALES – NIVEL 4
GUÍA UNIDAD 1
7 q(col) 0.9 0.8
(x,y) = (0.2,0.736)
0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
−0.1 −0.1
t(seg) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0
Fi+ 1=- C)#v( so')ci&$ _c(#+( c(p(cito# 1-= @ARIACInN DE PARME4ROS Este ".to%o es %e'(+#($ )ti'i%(% p(#( #eso've# ec)(cio$es 'i$e('es %eec)(ci&$ o#%e$ s)pe#io#9 este e'sev('o# b(s( e$%e '(to%(s i%e('(s%e co$oce# t($ so'o % e '( so')ci&$9 po%e"os s)stit)i#'( e$ '( %(%( * (''(# i$c&+$it(s9 (0) se i')st#( e' ".to%o p(#( '(s ec)(cio$es %e p#i"e# o#%e$: L( so')ci&$ +e$e#(' %e H ¼ W ° 1 H 4ie$e '( !o#"( W ÛkÛÜ Do$%e k W ˆ„ es )$( so')ci&$ o"o+.$e( %e '( ec)(ci&$ 1 c)($%o ° W>9 * '( so')ci&$ p(#tic)'(# Ü W Ì„ p(#( )$( !)$ci&$ (%ec)(%( ÌA' co$oce# '( !o#"( %e '( so')ci&$ o"o+.$e(9 po%e"os %ete#"i$(# '( !)$ci&$ i$c&+$it( Ü po# )$( s)stit)ci&$ %i#ect( e$ '( ec)(ci&$ o#i+i$(' * %(# )$( ec)(ci&$ sep(#(b'e %o$%e p)e%e (''(#se ÌEje"p'o 1’ @(#i(ci&$ %e p(#"et#os Se (p'ic( este p#oce%i"ie$to p(#( %ete#"i$(# '( so')ci&$ +e$e#(' %e: H ? W [9 ²> 7 H ( Dete#"i$e )$( so')ci&$ $o t#ivi(' k %e '( ec)(ci&$ sep(#(b'e H ? W>9 ²> ? H !o#"(
ECUACIONES DIFERENCIALES – NIVEL 4
GUÍA UNIDAD 1
7m
H W \ ? HH W \ ?H ¬ H W ¬\ ?H '$ W\?'${ k W ˆd b S)po$ie$%o 0)e 7 tie$e )$( so')ci&$ %e '( !o#"( Ü W Ýrr 9 s)stit)*( esto e$ '( ec)(ci&$ 7 HÌ 1d \ ?ÌÞ ? Ìd W [ H HÌ 1d W [ H HÌ W  H c Ao#(9 se i$te+#( p(#( obte$e# v, ¬HÌW¬ÂH Ô ÌW m % L( so')ci&$ +e$e#(' es W k Ü Ô W ˆd m 1d W ˆd md 1- ECUACIONES DIFERENCIALES EßAC4AS 1--1 De!i$ici&$ %e Ec)(ci&$ Ec)(ci&$ E,(ct( U$( ec)(ci&$ ·9HV9HW> e,(ct(co$ si e,iste )$( !)$ci&$ 99es''("(%( pote$ci(' %e '(%i!e#e$ci(' ec)(ci&$ %i!e#e$ci('9 c)*( %i!e#e$ci('escoi$ci%e ·9HV9H9 %eci#: !)$ci&$ HW> H W YY H YY H Œà W ·9 * Œà WV9 Œr ŒT
ECUACIONES DIFERENCIALES – NIVEL 4
GUÍA UNIDAD 1
7š
Si ·9V9 ŒáŒr 9 ŒâŒT so$ co$ti$(s e$ )$ #ect$+)'o %e p'($o<,* E$to$ces ·H VH W > es e,(ct( e$ si * so'o si ŒáŒT W ŒâŒr K ƒ 1--7 M.to%o p(#( #eso've# Ec)(cio$es Di!e#e$ci('es E,(ct(s R
R
Si · HVH W > es e,(ct(9 e$to$ces ŒàŒr W · Se i$te+#( est( 'ti"( ec)(ci&$ co$ #especto ( p(#( obte$e#: 9 W ¬·9 Y y 1 Si · HVH W > es e,(ct(9 e$to$ces ŒàŒT W V Se i$te+#( est( 'ti"( ec)(ci&$ co$ #especto ( * p(#( obte$e#: 9 W ¬V9 YÎ 7 Se co"p(#( 1 * 7 p(#( %ete#"i$(# +* 9 * , L( so')ci&$ %e ·H VH W > est( %(%( %e "($e#( i"p'cit( po#: 9 W z Eje"p'o 1¦ Ec)(ci&$ e,(ct(
, ,
# 1 $ %PQ + ·y ·x'·dx + (·y·x - COS(y))·dy = 0 x V,. /,2 y = 4xy
y(1)=3
Nx = 4xy
& 8. , / 6: / EDO 6x
! # 1 $ F = %PQ + ·y ·x' dx " x F = LN(x) + x ·y + ?(y) ! F = " (·y·x - COS(y)) dy F = x ·y - SIN(y) + (x) C78./d ,: d: //6: :,>/ @6d 2 x ·y - SIN(y) + LN(x) = C R678,9/d ;,. /, ECUACIONES DIFERENCIALES – NIVEL 4
GUÍA UNIDAD 1
7’ 1 ·3 - SIN(3) + LN(1) = C 3
= C
x ·y - SIN(y) + LN(x) = 3
1-m FAC4ORES DE IN4EGRA IN4EGRACCInN De!i$ici&$ Se %e$o"i$( !(cto# i$te+#($te € 9 ( c)('0)ie# !)$ci&$ t(' 0)e ")'tip'ic($%o po# e''( '( ec)(ci&$
%i!e#e$ci(' o#%i$(#i( %e '( !o#"( ·M9HMRVM9 H W > se obtie$e '( ec)(ci&$ %i!e#e$ci(' e,(ct(: €M9·M9HMR€M9VM9 HW> E$ +e$e#(' '( e,p#esi&$ %e )$ !(cto# i$te+#($te se obtie$e #eso'vie$%o '( ec)(ci&$ e$ %e#iv(%(s p(#ci('es: Y€ W €ÅYV \ Y·Æ ·M9 Y€ \ VM9 Y YM YM Y C(sos P(#tic)'(#es C(so e$ e' 0)e e' !(cto# i$te+#($te %epe$%e %e )$( e,p#esi&$ co$oci%( 5,9* E$ este c(so e' !(cto# i$te+#($te se obtie$e "e%i($te:
C(so e$ e' 0)e e' !(cto# i$te+#($te so'o %epe$%e %e '( v(#i(b'e i$%epe$%ie$te ECUACIONES DIFERENCIALES – NIVEL 4
,
GUÍA UNIDAD 1
7¦
E$ este c(so e' !(cto# i$te+#($te se obtie$e "e%i($te: C(so e$ e' 0)e !(cto# i$te+#($te so'o %epe$%e '( v(#i(b'e %epe$%ie$te E$ este c(so e' !(cto# i$te+#($te se obtie$e "e%i($te:
*
Eje"p'o 7> Ec)(ci&$ $o e,(ct( L( ec)(ci&$ %i!e#e$ci(' $o 'i$e(' %e p#i"e# o#%e$: H7[ ? \ 7>H W > [
No es e,(ct(9 si %e!i$i"os ( · W M9 V W 7M[ ? [ \ 79 se %ete#"i$($ '(s %e#iv(%(s p(#ci('es ·T W M * Vr W =M- Co"o po%e"os obse#v(# $o es e,(ct(9 p(#( po%e# co$ve#ti# se )ti'i5( c)('0)ie#( %e '(s si+)ie$tes !o#")'(s %epe$%ie$%o %e' !(cto# 0)e se %esee e$co$t#(#: 1
ÕM W ×
ãä •åæ r å
7
Õ W ×
åæ •ãä T ã
P(#( $)est#o c(so )ti'i5(#e"os '( !&#")'( 7 *( 0)e e' !(cto# 0)e v("os ( e$co$t#(# $o %ebe 0)e%(# e$ !)$ci&$ %e * : Vr \ ·T = M \ M ? W W · M E$to$ces e' !(cto# 0)e e$co$t#("os es
×äT
W d ç è T W çè T W d
U$( ve5 e$co$t#(%o e' !(cto# se 'o ")'tip'ic( ( to%( '( ec)(ci&$ po# e' %ico !(cto#: M Þ 7M [ d ? Â \ 7>d H W > Desp).s %e (be# ")'tip'ic(%o se ve#i!ic( 0)e '( ec)(ci&$ obte$i%( es e,(ct(1-šECUACIONES 1-šECUACIONES CON@ER4ILES SUS4I4UCIONES L(s ec)(cio$es %i!e#e$ci('es 0)e so$ "s !ci'es %e po%e# #eso've# "e%i($te '( co$ve#si&$ ( v(#i(b'es sep(#(b'es so$ !ci'es %e #eco$oce# *( 0)e est(s so$ ec)(cio$es %i!e#e$ci('es o"o+.$e(s9 e,iste$ v(#i(s !o#"(s %e %e!i$i# este tipo %e ec)(cio$es p(#( 'o c)(' te$e"os: 1-š-1 Ec)(ci&$ Di!e#e$ci(' ;o"o+.$e( ;o"o+.$e( U$( Ec)(ci&$ Di!e#e$ci(' O#%i$(#i( %e P#i"e# O#%e$ %e '( !o#"(: ¥ W Z M ECUACIONES DIFERENCIALES – NIVEL 4
GUÍA UNIDAD 1
?>
Se %ice 0)e es o"o+.$e( si (' (ce# e' c("bio %e v(#i(b'e W € ±9 %o$%e € es )$( $)ev( !)$cio$ i$c&+$it(9 T e$ '( e,p#esi&$ %e r es posib'e9 "e%i($te ('+eb#(9 e'i"i$(# to%os 'os t.#"i$os e$ 9 es %eci#: ‹ W € P(#( po%e# #eco$oce# est(s ec)(cio$es se %ebe te$e# e$ c)e$t(: 4($to e$ e' $)"e#(%o# co"o e' %e$o"i$(%o# %e ‹Tr e' +#(%o %e 'os t.#"i$os %ebe$ se# e' "is"oReso')ci&$ Reso')ci&$ %e ec)(cio$es o"o+.$e(s U$( ec)(ci&$ %i!e#e$ci(' o#%i$(#i( o"o+.$e( p)e%e #eso've#se )s($%o '( si+)ie$te est#(te+i(: Se c("bi(: W €± ( ¥ ¥ W € ±€§ e$ '( ec)(ci&$ %i!e#e$ci('Se si"p'i!ic( * %espej( € : '( $)ev( ec)(ci&$ %i!e#e$ci(' %ebe se# %e v(#i(b'es sep(#(b'es Se #es)e've '( $)ev( ec)(ci&$ %i!e#e$ci(' p(#( € po# v(#i(b'es sep(#(b'esT E$ '( so')ci&$ se c("bi( € po# r Eje"p'o 71 Ec)(ci&$ o"o+.$e(
- y·dx + (x + *(x·y))·dy = 0 y = PQ x y = ·x dy = d·(·x) dy = d·x + ·dx y # x # x·y $$ - PQ·dx + %PQ + *%PQ''·dy = 0 x % x % '' x :6 ::y6 ,: ;,.6: d6 y
B< ·dx
* + 1 dx PQ·d = PQ B< x ! B< ! 1 ! 1 " d + PQ d = - PQ dx " " x
ECUACIONES DIFERENCIALES – NIVEL 4
GUÍA UNIDAD 1
?1 < · LN() + PQ = - LN(x) + C # y $< ·%PQ' # y $ x LN%PQ' + PQ = - LN(x) + C x
1-š-7 Ec)(cio$es %e '( Fo#"( éêéë Wìíëîê C)($%o (' '(%o %e#eco %e '( ec)(ci&$ Tr W 9 se p)e%e e,p#es(# co"o )$( !)$ci&$ %e '( co"bi$(ci&$ %e {} %o$%e * so$ co$st($tes9 es %eci#9 H W ™{}9 H E$to$ces '( s)stit)ci&$ es: ¯W{} t#($s!o#"( '( ec)(ci&$ e$ )$( ec)(ci&$ sep(#(b'eEje"p'o 77 ( b
dy PQ = (x - y + ) dx :6 .6,9 6, :?6/6 7 d6 ;.,62 9 = x - y d9 dy PQ = 1 - PQ dx dx dy d9 PQ = 1 - PQ dx dx S6 .6678,9 6/ , 6/ /6..2 dy PQ = T(x - y) + dx d9 1 - PQ = (9 + ) dx d9 - PQ = (9 + ) - 1 dx d9 PQ = 1 - (9 + ) dx ECUACIONES DIFERENCIALES – NIVEL 4
GUÍA UNIDAD 1
?7 ! 1 - PQ d9 = 5 1 dx " (9 + ) 1 PQ = x + C 9 + 1 PQ = x + C x - y +
1-š-? Ec)(ci&$ %e e#$o)''i L( Ec)(ci&$ %e e#$o)''i es )$( ec)(ci&$ %e p#i"e# o#%e$ '( "is"( 0)e se p)e%e esc#ibi# e$ '( !o#"(: H ¼W°“ H Do$%e * so$ co$ti$)(s e$ )$ i$te#v('o (9b * es )$ $)"e#o #e('9 es )$( ec)(ci&$ %e e#$o)''iE$ e' c(so %e 0)e $W> o 19 '( ec)(ci&$ %e e#$o)''i es )$( ec)(ci&$ 'i$e(' '( "is"( 0 se p)e%e #eso've# "e%i($te '( s)stit)ci&$ p(#( to%os 'os v('o#es %e $9 '( s)stit)ci&$ Ì W „q“ Esto (ce 0)e ec)(ci&$ %e e#$o)''i se t#($s!o#"e e$ )$( %e ec)(ci&$ 'i$e(' co"o se p)e%e %e"ost#(# e$ '( si+)ie$te ec)(ci&$: q“ HH ¼„q“ W ° 1 A' (ce# ÌW „q“ * )s(# '( #e+'( %e '( c(%e$( HÌ W1\Kq“ H H H De "o%o 0)e '( ec)(ci&$ 1 se co$vie#te e$: 1 HÌ ¼ÌW° 1\K H Co"o 161< es so'o )$( co$st($te9 '( 'ti"( ec)(ci&$ obte$i%( es 'i$e('Eje"p'o 7? P,E 3,E
$
$
dy B PQ = y·(x·y - 1) dx 4 y = x·y - y y + y = x·y
4
ECUACIONES DIFERENCIALES – NIVEL 4
GUÍA UNIDAD 1
?? / = 4 -B ; = y -4 ; = - B·y ·y - B·y
-4 -4 4 ·(y + y) = (- B·y )·x·y
- B·y
-4 -B ·y - B·y = - B·x
; - B·; = - B·x :6 6/6 / 6>/ ,/6, 6/ ; y :6 .6:6,;6 / . /6?./6 9 = EWM(5 -B dx) 9 =
- B·x
- B·x - B·x
·(; - B·;) =
- B·x ·(- B·x)
·(; - B·;) = - B·x·
- B·x
d - B·x - B·x PQ·( ·;) = - B·x· dx
- B·x
! - B·x ·; = " - B·x· dx
- B·x
- B·x - B·x ·; = x· + PQ + C B
# - B·x $ % - B·x - B·x ' SOLVE% ·; = x· + PQ + C& ;' B B·x 1 ; = C· + x + PQ B y
-B
B·x 1 = C· + x + PQ B
1 B·x 1 PQ = C· + x + PQ B B y
ECUACIONES DIFERENCIALES – NIVEL 4
GUÍA UNIDAD 1
?=
š- AC4I@IDADES 8 EJERC EJERCICIOS ICIOS PROPUES4OS š-;o"o+.$e( 1 E$ '( si+)ie$te t(b'(9 c'(si!i0)e '( Ec)(ci&$ Di!e#e$ci('9 po# 'os c#ite#ios %e 4ipo9 O#%e$9 Li$e('i%(%9 o No ;o"o+.$e(9 e$ '( 'ti"(i$%epe$%ie$tes co')"$( i$%i0)e v(#i(b'e %epe$%ie$te * '( o '(s v(#i(b'es e$ est('( !)$ci&$ !)$ci&$:i$c&+$it(9 (c'(#($%o (%e"s c)' es '( ECUACInN NO 4IPO ORDEN LINEAL ;OMOGïNEA DIFERENCIAL ;OMOGïNEA @-D- @-IH ?W[r H Þ H †Þ †]K W q[ud H [ [ † Y €[ Y €[ W > YŸ Y ¼[ H» \¼H¼W> =» Y€ \ÅY€Æ[ W? Y Y š-ec)(ci&$ )$o %e 'os p#ob'e"(s9 ve#i!i0)e 0)e '( !)$ci&$ o !)$cio$es 0)e se %($ so$ )$( so')ci&$ %e '( 7 E$ c(%(%i!e#e$ci(':
( §\W[ W ? [ b §§7§\?W> „ W qdr 9 [ W r š-? D(%( '( EDO %e se+)$%o o#%e$ : ð \ 7ñ W>
( Co"p#ob(# 0)e '( so')ci&$ es W uz„ cos7z[]K7 b Co"o se#( '( so')ci&$ p(#tic)'(#9 si se tie$e$ '(s co$%icio$es i$ici('es9 >W1 * ñ>W<19 c A*)%(#se %e so!t2(#e p(#( +#(!ic(# '( so')ci&$ p(#( e' i$te#v('o >ata= š-= Dete#"i$(# si '( ec)(ci&$ es sep(#(b'e * (''e s) so')ci&$ : T W „q[rx x r dT š- Obte$e# '( so')ci&$ +e$e#(' ( Tr \7Wdò b Tr \?7[ W d \= c Tr =\q[r W > > W 1 š-m Res)e'v( '( ec)(ci&$ %i!e#e$ci(' ¥ \t($W]K9 ECUACIONES DIFERENCIALES – NIVEL 4
GUÍA UNIDAD 1
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laborar un modelo matemát!o "ue de#!rba el !om$ortamento de la !ar%a & la !orrente en un !r!uto #ere 'RC( o 'RL( !on nterru$tore# & )uente# * !orrente !ontnua o !orrente alterna+ & !on ,alore# n!ale# "ue de#!rbe la !ar%a &-o !orrente en el !r!uto. En!uentre la #olu!/n de d!0o $roblema !on ,alore# n! ale#. Ident)"ue el t1rmno !orre#$ondente al e#tado tran#toro *r1%men tran#toro+ & al e#tado e#table *e#tado e#ta!onaro+de la !ar%a "*t+ & al !orrente *t+. 2ra)"ue la #olu!/n !on e#!ala# ade!uada# * tem$o# no ne%at,o#+ a$l!ando #o)t3are matemát!o A$l!ar el $ro%rama MULTISIM $ara !on#trur4 #mular el modelo )5#!o de !r!uto el1!tr!o & obtener la# #e6ale# de !orrente & ,olta7e. Com$arar la# %rá)!a# obtenda# $ara , alda!/n del modelo a$l!ado. U#ar la #olu!/n d el modelo & la tabla de ,alore# *$ara $rede!r al%uno# ,alore# *8ue #u!ede # t 9 mu& %rande+.
ECUACIONES DIFERENCIALES – NIVEL 4
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