1 Tema 4 Esfuerzos en Vigas Intensivo UNEFM 2012 TEMA 4. ESFUERZOS EN VIGAS 4.1 INTRODUCCION El principal problema de la resistencia de los materiales es determinar las relaciones entre los esfuerzos y las deformaciones producidas por las fuerzas externas aplicadas a una estructura o elemento. Ya se ha estudiado en los temas anteriores las relaciones entre fuerzas axiales y deformaciones, también también los esfuerzos y deformaciones deformaciones producidos por momentos o pares torsores. En esos casos dicha relación era constante o proporcional y se podía conocer fácilmente. Sin embargo, el esfuerzo y deformación en vigas es un poco más complejo, debido a que los efectos de las fuerzas aplicadas son variables de una a otra sección de la viga. Estos efectos son de dos clases, la fuerza cortante y el momento flexionante. Estos efectos producen dos tipos distintos de esfuerzos en las secciones transversales de las vigas: un esfuerzo normal, directamente proporcional al momento flexionante, y un esfuerzo cortante que depende de la fuerza cortante. Para cumplir con el objetivo de determinar los esfuerzos en vigas, es necesario primeramente determinar la distribución de las reacciones reacciones internas o efectos mencionados mencionados anteriormente como son la fuerza cortante y El momento momento flexionante, con el fin de de obtener los valores máximos de dichas reacciones internas y la posición donde suceden suceden esos valores máximos. 4.2 DEFINICIÓN DEFINICIÓN DE VIGA Es una estructura diseñada diseñada para soportar fuerzas perpendiculares perpendiculares a su eje longitudinal. Estas fuerzas se han de aplicar en un plano que pasa por el centroide de la sección trasversal de la viga de manera que se garantice garantice la ausencia de momentos torsionales en la la viga. 4.3 CLASIFICACIÓN DE LAS CARGAS APLICADAS EN VIGAS. Básicamente, las vigas pueden soportar tres tipos de cargas. Cargas puntuales o concentradas, las cuales están aplicadas sobre un área pequeña en comparación con el área total de la viga y por lo tanto se consideran aplicadas en un punto. Cargas distribuidas, son aquellas cuya área de aplicación no es despreciable con respecto al área total de la viga. Estas cargas distribuidas pueden ser uniformes o variables. En las cargas distribuidas constantes, la intensidad de la carga (w), cuyas unidades están dadas en unidades de fuerza divididas entre unidades de longitud, no varía a lo largo de la carga distribuida. En las cargas distribuidas variables la intensidad de carga(w) puede variar proporcionalmente o no proporcionalmente respecto respecto de la longitud sobre la cual se aplica la carga distribuida. En todos estos casos es necesario determinar la fuerza equivalente de las cargas distribuidas que es igual al área de la carga distribuida, y el punto de aplicación que está ubicado en el centroide de dicha carga, tal como se muestra en las figuras 4-1 y 4-2. L/2
Feq w
L Figura 4-1. Carga Distribuida Uniforme
Ec. 4-1
L/3
2L/3
Feq Tema 4 Esfuerzos en Vigas Intensivo UNEFM 2012
2
Ec. 4.2
W
L Figura 4-2. Carga Distribuida Variable proporcional En las ecuaciones 4.1 y 4.2, w es la intensidad de la carga distribuida, cuyas unidades son N/m o equivalentes; L es la longitud sobre la cual está aplicada la carga distribuida. F eq es la fuerza equivalente de la carga distribuida. Las Cargas de momento, son aquellas producidos por pares de fuerzas aplicados perpendiculares al plano de la viga. En la figura 4-3 se muestra una viga con diferentes cargas aplicadas. Se puede observar cargas distribuidas, una una constante de de intensidad intensidad w1 aplicadas sobre el tramo AB y una carga distribuida variable proporcionalmente con intensidad inicial w 2 e intensidad final nula aplicada sobre El tramo BC. También en D se aplican una carga puntual F1 y un momento M1. F1
w2 w1 A
M1 B
C
D
E
Figura 4-3. Viga sometida a diversos tipos de cargas. 4.4 CLASIFICACIÓN DE LAS VIGAS Las vigas se clasifican en dos grandes grupos: Las vigas estáticamente determinadas o llamadas también isostáticas y las Vigas estáticamente indeterminadas o Vigas Hiperestáticas. En las vigas estáticamente determinadas las reacciones en los apoyos se puede determinar mediante la aplicación de las ecuaciones de equilibrio ya que el número de reacciones incógnitas es igual al número de ecuaciones de equilibrio. Mientras que en las vigas hiperestáticas existen más reacciones incógnitas que ecuaciones de equilibrio disponibles; por tanto, es necesario determinar ecuaciones adicionales mediante relaciones de deformación en la viga. En la figura 4-4 se muestran las representaciones de vigas estáticamente determinadas. La parte (a) corresponde a una viga simplemente apoyada, la (b) a una viga en voladizo o empotrada y la (c) a una viga simplemente apoyada con voladizo en la parte derecha.
L/3
2L/3
Feq Tema 4 Esfuerzos en Vigas Intensivo UNEFM 2012
2
Ec. 4.2
W
L Figura 4-2. Carga Distribuida Variable proporcional En las ecuaciones 4.1 y 4.2, w es la intensidad de la carga distribuida, cuyas unidades son N/m o equivalentes; L es la longitud sobre la cual está aplicada la carga distribuida. F eq es la fuerza equivalente de la carga distribuida. Las Cargas de momento, son aquellas producidos por pares de fuerzas aplicados perpendiculares al plano de la viga. En la figura 4-3 se muestra una viga con diferentes cargas aplicadas. Se puede observar cargas distribuidas, una una constante de de intensidad intensidad w1 aplicadas sobre el tramo AB y una carga distribuida variable proporcionalmente con intensidad inicial w 2 e intensidad final nula aplicada sobre El tramo BC. También en D se aplican una carga puntual F1 y un momento M1. F1
w2 w1 A
M1 B
C
D
E
Figura 4-3. Viga sometida a diversos tipos de cargas. 4.4 CLASIFICACIÓN DE LAS VIGAS Las vigas se clasifican en dos grandes grupos: Las vigas estáticamente determinadas o llamadas también isostáticas y las Vigas estáticamente indeterminadas o Vigas Hiperestáticas. En las vigas estáticamente determinadas las reacciones en los apoyos se puede determinar mediante la aplicación de las ecuaciones de equilibrio ya que el número de reacciones incógnitas es igual al número de ecuaciones de equilibrio. Mientras que en las vigas hiperestáticas existen más reacciones incógnitas que ecuaciones de equilibrio disponibles; por tanto, es necesario determinar ecuaciones adicionales mediante relaciones de deformación en la viga. En la figura 4-4 se muestran las representaciones de vigas estáticamente determinadas. La parte (a) corresponde a una viga simplemente apoyada, la (b) a una viga en voladizo o empotrada y la (c) a una viga simplemente apoyada con voladizo en la parte derecha.
3 Tema 4 Esfuerzos en Vigas Intensivo UNEFM 2012
F1 w
R1
(a)
M
b
R2
R
w
R1 R2 c Figura 4-4. Ejemplos de Vigas estáticamente determinadas. Las vigas estáticamente indeterminadas se muestran en las figura 4 -5. La parte (a) se conoce como viga doblemente empotrada, la cual tiene dos momentos de reacción incógnitos y dos reacciones de fuerza incógnitas, es decir, tiene dos reacciones adicionales al número de ecuaciones de equilibrio que se pueden plantear para la viga. Esta viga es estáticamente indeterminada de grado dos. La viga representada en la parte (b) de la figura se conoce como viga empotrada-apoyada. La (c) es una viga continua, la cual tiene apoyos adicionales. Para poder determinar las reacciones en esta clase de vigas vigas se debe encontrar encontrar ecuaciones adicionales adicionales a partir de las relaciones relaciones de deformación.
M2
M1
R1
R2
w
M
R1
(a)
(b)
R2 W2
W1
R1
R2
R3 (c)
Figura 4-5. Ejemplos de Vigas Estáticamente Indeterminadas Indeterminadas o Hiperestáticas Hiperestáticas
R4
4 Tema 4 Esfuerzos en Vigas Intensivo UNEFM 2012 DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE. Para construir los diagramas de fuerza cortante y momentos flexionantes es necesario primero determinar las reacciones en los apoyos de la viga aplicando las ecuaciones de equilibrio a toda la viga. El siguiente paso es establecer un sistema de referencia donde el origen del eje X, generalmente, se ubica en el extremo izquierdo de la viga con dirección positiva hacia la derecha; el eje Y perpendicular al eje x y positivo hacia arriba. El origen de este sistema coincide con el centro de gravedad de la sección transversal de la viga. Para determinar la distribución de la fuerza cortante y del momento flexionante analizaremos la viga por tramos. Cada tramo está determinado por las cargas aplicadas sobre la viga. Para determinar las ecuaciones de distribución de la fuerza cortante y momento flexionante haremos tantos cortes como tramos tenga la viga. En la figura 4-6 se muestra una viga simplemente apoyada, a la que le vamos a determinar las distribuciones de fuerza cortante y momento flexionante. Estas distribuciones se conocen como diagramas de fuerzas cortantes y momentos flexionantes de la viga. Generalmente se construyen en la parte inmediatamente inferior de la representación de la viga. Obtenidos los diagramas se ubican en ellos los valores máximos y la posición en la cual se presentan. Con estos valores máximos procedemos a calcular los esfuerzos máximos producidos en la viga Ejemplo 4-1. Determinar las ecuaciones de distribución de la fuerza cortante y del momento
flexionante para la viga mostrada en la figura 4-6a. Y Feq 2m
32 kN
W=24 kN/m
X
A
B 4m
C 4m
D 4m
R1
R2
Figura 4-6a SOLUCIÓN: El primer paso es la determinación de las reacciones R1 y R2 aplicando las ecuaciones de equilibrio de fuerzas y equilibrio de momentos respecto del punto A. Para ello, previamente determinamos el valor de la fuerza equivalente de la carga distribuida que esta aplicada sobre el tramo AB, aplicado la ecuación 4-1.
{ΣMA = 0 + } -96.2+R2.8-32.12=0
Ubicada a 2 m del extremo izquierdo R2= 72 kN
5 Tema 4 Esfuerzos en Vigas Intensivo UNEFM 2012 {ΣMc = 0
+ } 96.6-R1.8-32.4=0
R1= 56 kN
Para comprobar que las reacciones han sido bien calculada aplicamos equilibrio de fuerzas en la dirección Y. {ΣFy = 0 } 72-96+56-32=0
0=0
Seguidamente, analizamos la viga por tramos. Realizamos un corte ideal del tramo en un punto cualquiera entre A y B. Tramo AB (0≤X≤4)
Diagrama de Cuerpo Libre del Tramo AB
F’eq
W=24 kN/m
x/2
V
M X
A X
A’
R1
Figura 4-6b. Diagrama de cuerpo libre Tramo AB Siempre que hagamos un corte en la viga y nos quedemos con la porción izquierda, en el área de corte aparecerán dos reacciones internas, la fuerza cortante V y el momento flexionante M, que por convención van a tener las direcciones mostradas en la figura 4-6b. Antes de aplicar las ecuaciones de equilibrio a la porción de viga que estamos analizando debemos de calcular la F’eq, en forma similar a la calculada en la primera parte
Esta F’eq está aplicada a una distancia x/2 del punto B’.
Procedemos a aplicar las ecuaciones de equilibrio, de fuerzas y de momentos, al diagrama de cuerpo libre del tramo AB. Aplicando Sumatoria de Fuerzas en dirección Y e igualando a cero, obtenemos la ecuación de distribución de la fuerza cortante para el tramo AB {ΣFy = 0 } R1 - F’eq – V = 0
V = R1-F’eq
V= 56 - 24x
De manera similar obtenemos la ecuación de distribución del Momento flexionante en el tramo AB al aplicar equilibrio de momentos respecto del punto A’.
6 Tema 4 Esfuerzos en Vigas Intensivo UNEFM 2012 {ΣMA’ = 0
M = 56 X - 12 X2
+ } -R 1.X+24X.X/2+M=0
Evaluamos estas ecuaciones para X= 0 y X= 4 X(m) 0 4
V(kN) 56 -40
M(kN.m) 0 32
Según los valores obtenidos, podemos ver que la fuerza cortante cambia de signo, de un valor positivo a uno negativo. Siempre que haya cambio de signo en el valor de la fuerza cortante, debemos buscar el valor de X para el cual la fuerza cortante se hace cero. Este valor de X lo determinamos igualando a cero la ecuación de fuerza cortante en el tramo AB. V= 56 - 24x = 0
x = 2,33 m
Para este valor de x evaluamos el Momento M = 65,33 kN.m Nota: Siempre que la fuerza cortante cambie de signo debemos determinar el valor del momento en el punto donde la fuerza cortante se hace cero, ya que estamos en presencia de un Momento Flexionante máximo o mínimo relativo.
Tramo BC (4≤X≤8) 2m
X-2
Feq
W=24 kN/m
V
A
B
M X
B’
4m R1
Xm
Figura 4-6c Diagrama de Cuerpo Libre Tramo BC De igual manera que para el primer tramo aplicamos las ecuaciones de equilibrio al diagrama de cuerpo libre del tramo BC. En este caso, la fuerza equivalente de la carga distribuida sobre el tramo AB es igual a la fuerza equivalente total, 96 kN. Aplicando Sumatoria de Fuerzas en dirección Y e igualando a cero, obtenemos la ecuación de distribución de la fuerza cortante para el tramo BC {ΣFy = 0 } R1 - Feq – V = 0
V = R1-Feq
V= - 40 kN
7 Tema 4 Esfuerzos en Vigas Intensivo UNEFM 2012 De manera similar obtenemos la ecuación de distribución del Momento flexionante en el tramo AB al aplicar equilibrio de momentos respecto del punto B’. {ΣB’ = 0
+ } -R1.X+96.(X-2)+M=0
M = 56 X – 96.(X-2)
Evaluamos estas ecuaciones para X= 4 y X= 8 X(m) 4 8
V(kN) - 40 - 40
M(kN.m) 32 -128
Como podemos observar, la ecuación de la fuerza cortante para este tramo es una constante. La ecuación del momento flexionante es una línea recta de pendiente negativa. Cuando hay un cambio de signo en el momento flexionante, estamos en presencia de un punto de inflexión de la curva elástica de la viga. Esto quiere decir que en ese punto se produce un cambio en la concavidad. El punto de inflexión lo calculamos igualando a cero la ecuación de momento flexionante. M = 56 X – 96.(X-2) = 0
X = 4,80 m ( Punto de Inflexión)
Tramo CD (8≤X≤12)
Para analizar este tramo, elegimos la porción derecha de la viga al cortar el tramo CD, tal como se muestra en la figura 4-6d. Es necesario resaltar que las reacciones internas tienen sentidos opuestos a los de las secciones anteriores, es decir, la fuerza cortante V se dirige hacia arriba y el momento flexionante M en sentido horario.
32 kN V X
M D
D’
12-X
Figura 4-6d. Diagrama de Cuerpo Libre Tramo CD De igual manera que para el tramo anterior aplicamos las ecuaciones de equilibrio al diagrama de cuerpo libre del tramo BC. Aplicando Sumatoria de Fuerzas en dirección Y e igualando a cero, obtenemos la ecuación de distribución de la fuerza cortante para el tramo BC {ΣFy = 0 }
V - 32 = 0
V= 32 kN
De manera similar obtenemos la ecuación de distribución del Momento flexionante en el tramo AB al aplicar equilibrio de momentos respecto del punto D’.
8 Tema 4 Esfuerzos en Vigas Intensivo UNEFM 2012 {ΣMD’ = 0
+ } - 32(12- X) - M=0
M = - 32.(12-X)
Evaluamos estas ecuaciones para X= 8 y X= 12
X(m) 8 12
V(kN) 32 32
M(kN.m) -128 0
Cabe resaltar que los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante siempre deben iniciar en cero y terminar en cero porque la viga está en condiciones de equilibrio estático de fuerzas y momentos. En este caso el valor de la fuerza cortante para un infinitésimo antes de x= 12 es de 32 kN. Cuando llegamos al punto final de la viga nos encontramos con una fuerza externa de 32 kN hacia abajo, que sumada a la fuerza cortante de 32 kN hacia arriba entonces la fuerza cortante en el punto final de la viga es igual a cero. Este razonamiento se muestra gráficamente en la figura 46e.
32 kN
VD’+VD-32 = 0 VD=32 – 32 VD= 0 VD’ D VD
Figura 4-6e. Diagrama de Cuerpo Libre Punto D En función de todos los cálculos realizados para cada uno de los tramos procedemos a construir los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga. Esto se muestra en la figura 4-6f. Resumiendo, para construir los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante, se parte de las ecuaciones de equilibrio de fuerza y momento aplicadas tanto a la totalidad de la viga como a porciones de ella, manteniendo la convención de signos para las reacciones internas. En la figura 4-6f se muestra la distribución de la fuerza cortante y el momento flexionante a lo largo de la viga. Están resaltados los valores máximos. Vmax= 56 kN en el punto A; Mmax positivo de 65,33 kN.m en el punto E, Mmax negativo de 128 kN.m en el punto C, el punto de inflexión F a 4,80 m del punto A.
9 Tema 4 Esfuerzos en Vigas Intensivo UNEFM 2012
Feq 2m
32 kN Diagrama de Cargas
W=24 kN/m
X
A
B 4m
C 4m
R1
V (kN)
D 4m
R2
56
32 E
A
B
C
32 D
Diagrama de Fuerza Cortante X(m)
2,33 65,33
-40 M (kN.m)
-40
32 Diagrama de Momento Flexionante B
F
C
D
A
X(m)
4,80
-128
Deflexión Y
Curva elástica B A
C
D
X(m)
Figura 4-6f. Diagrama de Fuerza Cortante y Momento Flexionante y curva elástica para la viga del ejemplo 4-1
RELACIÓN ENTRE LOS DIAGRAMAS DE CARGA, FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE Y CURVA ELÁSTICA. Entre los diagramas existen relaciones bien definidas. El diagrama de carga y el diagrama de fuerza cortante se relacionan de la siguiente manera: Siempre que haya una fuerza puntual aplicada en la viga, en el diagrama de fuerza cortante se va a producir una variación abrupta del valor de la fuerza cortante. Esta variación se producirá en la misma dirección de la fuerza puntual aplicada. Si en el diagrama de carga no hay fuerzas distribuidas entonces en el diagrama de fuerza cortante la distribución es constante. Caso contrario, si en un tramo de la viga hay cargas distribuidas
10 Tema 4 Esfuerzos en Vigas Intensivo UNEFM 2012 entonces en el diagrama de fuerzas cortantes para ese tramo la distribución será variable y de un grado polinómico superior; esto quiere decir que si en el diagrama de carga hay una fuerza distribuida constante o uniforme (de grado igual a 0), en el diagrama de fuerza cortante para ese mismo tramo se presentará una distribución de grado igual a 1(una línea recta inclinada). La diferencia de los valores de fuerza cortante entre dos puntos será igual al área en el diagrama de cargas entre esos mismos puntos. El diagrama de fuerza cortante se relaciona con el diagrama de momento flexionante de forma similar al indicado en el párrafo anterior. Cabe destacar que la ecuación de distribución del momento flexionante es siempre un grado mayor que la ecuación de la distribución del diagrama de fuerza cortante. Esto quiere decir que si derivamos con respecto a X la ecuación del momento flexionante obtendremos la ecuación de la fuerza cortante. Recíprocamente, si integramos la ecuación de la fuerza cortante obtendremos la ecuación del momento flexionante. Si en la viga está aplicado un momento externo, entonces en el diagrama de momento flexionante se va a producir un cambio abrupto del valor del momento flexionante en ese punto. Lo expresado anteriormente se resume en las siguientes ecuaciones:
Ec. 4.3
Ec. 4.4
Ec 4.5
Ec. 4.6
PROBLEMAS PROPUESTOS: Escriba las distribuciones de fuerza cortante y momento flexionante en las vigas de los problemas siguientes. Trace también sus diagramas, indicando los valores en todos los puntos de discontinuidad y dónde sea nula la fuerza cortante. 4.1. Viga cargada como se indica en la figura P-4.1 2m
2m
4.2. Viga cargada como se indica en la figura P-4.2
1m
2m
4m
30 kN/m 30 kN/m A
B R1
Figura P-4.1
15 kN/m
C
A
D
B
R2 R1
Figura P-4.2
C R2
11 Tema 4 Esfuerzos en Vigas Intensivo UNEFM 2012 Resp. Mmáx = 57,6 kN.m 4.3. Viga cargada como se indica en la figura P-4.3 2m
3m
Resp. Mmáx = 83,33 kN.m 4.4. Viga cargada como se indica en la figura P-4.4
2m
2m
4m
2m
10 kN 40 kN.m A
B
C
10 kN/m A
D R2
Figura P-4.3
R1
R1
B
C
Figura P-4.4
D
R2
Resp. MCD = (-4x+28) 28 kN.m
Resp. Mmáx = 25 kN.m
4.5. Viga empotrada como se indica en la figura P-4.5
4.6. Viga empotrada como se indica en la figura P-4.6
2m
3m
L
8 kN/m
w kN/m A
B
C
A
Figura P-4.5
B Figura P-4.6
20 kN
Resp. MBC = (-4x2+20x-40) kN.m
Resp. MAB = (wx3/(6L)-wx2/2) kN.m
FORMULA DE LA FLEXION. La ecuación que nos permite calcular el esfuerzo por flexión en una sección trasversal de la viga. Se determina a partir de relaciones geométricas y aplicación de equilibrio de fuerzas y de la ley de Hooke. Se parte del supuesto que la viga está construida por un material homogéneo y que no sobrepasa el límite de proporcionalidad del material. Además el material presenta el mismo comportamiento atracción y a compresión. Partiendo estas premisas se obtiene la siguiente ecuación:
Ec. 4.7
Donde: Esfuerzo por flexión M: Momento flexionante y: Distancia al eje neutro IEN : Momento de inercia respecto del eje neutro σ:
12 Tema 4 Esfuerzos en Vigas Intensivo UNEFM 2012
En esta ecuación podemos observar que el esfuerzo por flexión es directamente proporcional al momento flexionante (M) y a la distancia y , que es la distancia que hay desde el centroide de la sección trasversal de la viga al punto donde queremos calcular el esfuerzo; el esfuerzo por flexión es inversamente proporcional al momento de inercia de la sección trasversal de la viga(I EN).Este momento de inercia se calcula respecto del eje que pasa por le centroide de la sección trasversal de la viga. DISTRIBUCIÓN DEL ESFUERZO POR FLEXIÓN. El esfuerzo por flexión se distribuye en forma proporcional respecto del eje que pasa por el centroide de la sección transversal de la viga. Dependiendo del signo del momento flexionante en una porción se producirán esfuerzos de tensión y en otra porción esfuerzos de compresión. Hay un plano para el cual el esfuerzo es nulo; en este plano la deformación es cero y recibe el nombre de plano neutro. En el plano neutro esta contenido el eje neutro, que coincide con el centroide de la sección transversal de la viga. Los valores máximos del esfuerzo por flexión se presentan en las fibras más alejadas del eje neutro. La cociente entre el momento de inercia de la sección transversal de la viga y la distancia desde el eje neutro hasta el punto más alejado se conoce como Módulo de Sección (S) , como se muestra en la ecuación 4-8.
Donde:
Ec. 4.8
S: Módulo de Sección c: Distancia más alejada del eje neutro IEN : Momento de inercia respecto del eje neutro Cuando la sección trasversal de la viga es simétrica el centroide se determina por inspección, ubicándose en la mitad de la altura de la sección. Cuando es asimétrica la sección el centroide se determinara por medio de la siguiente ecuación:
∑ ∑
Ec. 4.9
Donde:
YEN: Posición del eje neutro medida desde un punto de referencia : Distancia desde el punto de referencia al centroide del área i Ai: Área i
13 Tema 4 Esfuerzos en Vigas Intensivo UNEFM 2012 El momento de inercia para una sección asimétrica se determinara usando el teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos, cuya ecuación se muestra a continuación:
̅ Donde:
̅
di: Ai: YEN: :
| |
Ec. 4.9
Ec. 4.10
Momento de Inercia Centroidal del área i Distancia desde el centroide del área i al eje neutro Área i Posición del eje neutro medida desde un punto de referencia Distancia desde el punto de referencia al centroide del área i
Las fórmulas para calcular el momento de inercia se muestran en la tabla siguiente
Figura Sección Rectangular Y
Momento de Inercia
Y0 X0
h
C b
X
Sección Circular r C
X0
Tabla 4.1 Momento de Inercia para secciones transversales. En las secciones simétricas El esfuerzo máximo por flexión de tensión es numéricamente igual al esfuerzo máximo por flexión a compresión; caso contrario en las vigas de sección trasversal asimétricas, en las cuales los valores máximos son numéricamente diferentes. Los valores máximos de esfuerzos por flexión se producen en las fibras del material más alejadas del eje neutro.
14 Tema 4 Esfuerzos en Vigas Intensivo UNEFM 2012 Ejemplo 4.2: Una viga de sección rectangular de 160 x240 mm, soporta la carga que se muestra en la figura. Determine el esfuerzo máximo por flexión que se produce. 16 kN 2m
1m
240 mm 7 kN/m A
B Figura Ejemplo 4-2
R1
C R2
160 mm
SOLUCIÓN: El primer paso es la determinación de las reacciones R1 y R2 aplicando las ecuaciones de equilibrio de fuerzas y equilibrio de momentos respecto del punto A. Para ello, previamente determinamos el valor de la fuerza equivalente de la carga distribuida que esta aplicada sobre el tramo AB, aplicado la ecuación 4-1.
{ΣMA = 0
+ } -21 .1,5 + R2 . 3 - 16.2=0
{ΣMc = 0
+ } 21 .1,5 - R1. 3 + 16.1=0
Ubicada a 1,5 m del extremo izquierdo R2= 21,17 kN R1= 15,83 kN
Para comprobar que las reacciones han sido bien calculada aplicamos equilibrio de fuerzas en la dirección Y. {ΣFy = 0 } 15,83 – 21 – 16 + 21,17=0
0=0
Se aplican las relaciones entre el diagrama de carga y el diagrama de fuerza cortante y a partir de éste último procedemos a determinar el momento flexionante máximo.)Ver Figura 4-7 La fuerza cortante en el punto A,VA es igual a la reacción R1 , VA = 15,83 kN La fuerza Cortante en el punto B por la izquierda, VB- = VA+ Área en el diagrama de Carga entre A y B. Esta área es negativa porque la carga distribuida va hacia abajo. VB- = 15,83 kN – 7kN/m . 2 m = 1,83 kN La fuerza cortante en El punto B VB = VB- - 16
VB = 1,83 - 16
VB= - 14,17 kN
La fuerza Cortante en el punto C por la izquierda, Vc- = VB+ Área en el diagrama de Carga entre B y C. Esta área es negativa porque la carga distribuida va hacia abajo. VC- = -14,17 kN – 7kN/m . 1 m =- 21,17 kN La fuerza cortante en El punto C VC = VC- + 21,17
VC = -21,17+ 21,17
VC= 0 kN
15 Tema 4 Esfuerzos en Vigas Intensivo UNEFM 2012
16 kN Diagrama de Cargas W=7 kN/m
X
A
B 2m
1m
R1
V (kN)
C
R2
15,83 Diagrama de Fuerza Cortante
1,83 C
B
A
X(m)
- 14,17
M (kN.m)
17 67
- 21,17
Diagrama de Momento Flexionante
A
B
C
X(m)
Figura 4-7. Diagrama de Fuerza Cortante y Momento Flexionante para la viga del ejemplo 4-2 El momento flexionante máximo se producirá en El punto B, pues ahí hay un cambio de signo en la fuerza cortante. Este momento máximo se calcula mediante el área entre A y B en el diagrama de fuerza cortante. MB=Mmáx = Área bajo la curva en el diagrama de fuerza cortante entre los puntos A y B Mmáx. = Área de un trapecio = (Semisuma de las alturas). Base=((15,83+1,83)/2)*2= 17,67 kN.m Calculamos el momento de inercia
Aplicamos la fórmula de la flexión
16 Tema 4 Esfuerzos en Vigas Intensivo UNEFM 2012 Ejemplo 4.3: Una viga de madera de 120 x 280 mm y 7,5 metros de longitud soporta las cargas indicadas en la figura. Si el esfuerzo máximo admisible es de 8 MPa, determine el máximo valor de w que anula la fuerza cortante bajo P. Determine El valor de P. P
280 mm
W (N/m)
X A
B 6m
C 2m
R1
R2
120 mm
SOLUCIÓN: El primer paso es la determinación de las reacciones R1 y R2 en función de P y w, aplicando las ecuaciones de equilibrio de fuerzas y equilibrio de momentos respecto del punto A. Para ello, previamente determinamos el valor de la fuerza equivalente de la carga distribuida que esta aplicada sobre el tramo AB, aplicado la ecuación 4-1.
{ΣMA = 0
+ } -8w .4 + R2 . 8 - P.6=0
{ΣMc = 0
+ } 8w.4 - R1. 8 + P.2=0
Ubicada a 4 m del extremo izquierdo R2= 4w+0,75P R1= 4w+0,25P
Para comprobar que las reacciones han sido bien calculadas aplicamos equilibrio de fuerzas en la dirección Y. {ΣFy = 0 } R1+R2-P-8w=0
4w+0,75P+4w+0,25P-P-8W=0
0=0
Se aplican las relaciones entre el diagrama de carga y el diagrama de fuerza cortante y a partir de éste último procedemos a determinar el momento flexionante máximo.)Ver Figura 4-7 La fuerza cortante en el punto A,VA es igual a la reacción R1 , VA = 4w+0,25P La fuerza Cortante en el punto B por la izquierda, VB- = 0 (por condición del problema) VB- = VA+ Área en el diagrama de Carga entre A y B. Esta área es negativa porque la carga distribuida va hacia abajo. VB- = 4w+0,25P – 6w = 0
w=0,125P
La fuerza cortante en El punto B VB = 0 – P
(Relación entre P y W) VB = - P
La fuerza Cortante en el punto C por la izquierda, Vc- = VB+ Área en el diagrama de Carga entre B y C. Esta área es negativa porque la carga distribuida va hacia abajo. VC- = -P – 2w
17 Tema 4 Esfuerzos en Vigas Intensivo UNEFM 2012 La fuerza cortante en El punto C VC = VC- + R2 Sustituyendo la relación entre P y W
VC = -P-2w+4w+0,75P
VC= -P-0,25P+0,5P+0,75P
VC=0
P Diagrama de Cargas W N /m
X A
B
C
2 m
6m R1
V (kN)
R2
4w+0,25P Diagrama de Fuerza Cortante C
B
A
X(m)
-P
M (kN.m)
12w+0,75P
- P-2w
Diagrama de Momento Flexionante
A
B
C
X(m)
Figura 4-7. Diagrama de Fuerza Cortante y Momento Flexionante para la viga del ejemplo 4-2 El momento flexionante máximo se producirá en El punto B, pues ahí hay un cambio de signo en la fuerza cortante. Este momento máximo se calcula mediante el área entre A y B en el diagrama de fuerza cortante. MB=Mmáx = Área bajo la curva en el diagrama de fuerza cortante entre los puntos A y B Mmáx. = Área de un triángulo = Base.altura/2=(6(4w+0,25P)/2)
Mmáx.=12w+0,75P
Aplicando la relación entre P y w obtenida anteriormente en la ecuación del M máx. Mmáx.=12.w +0,75.8w
Mmáx.=18w
Calculamos el momento de inercia
18 Tema 4 Esfuerzos en Vigas Intensivo UNEFM 2012 Aplicamos la fórmula de la flexión, donde igualamos el esfuerzo al esfuerzo máximo admisible y despejamos el Momento
Luego igualamos este Momento al Momento máximo en función de w y despejamos w 18w =12,54.103 N.m
w = 696,67 N/m
PROBLEMAS PROPUESTOS 4.7 Una viga empotrada, de 60 mm de ancho 4.8. Determinar El espesor mínimo b de la viga por 200 mm de alto y 6 m de longitud, soporta de la figura P-4.8, de manera que El máximo una carga que varía uniformemente desde cero esfuerzo normal no exceda de 10 MPa. en el extremo libre has 1000 N/m en el 1m 1m 3m empotramiento. Determinar el valor y el signo 1m del esfuerzo por flexión en una fibra situada a 2 kN/m 40 mm del extremo superior de la viga en una sección a 3 m del extremo libre. A B C Resp. σ = 1,13 MPa. R1
Figura P-4.8
200 mm
b
R2
Resp. b= 75 mm 4.9. Una viga simplemente apoyada tiene la 4.10. Para la viga rectangular, indicada en la sección transversal como se indica en la figura figura P-4.10, calcule El valor de P que P P-4.9. Determine el máximo esfuerzo por produzca un esfuerzo máximo por flexión de 10 flexión producido. MPa. 250 mm
6m
20mm
4m
1m
10 kN 5 kN/m
20 mm
300 mm
400 mm
3 kN/m A
B 20mm
R1
Figura P-4.9 R2
A R1
B Figura P-4.10 R2
Resp. σ = 12,7 MPa. Resp. P = 32,5 kN.m
120 mm
19 Tema 4 Esfuerzos en Vigas Intensivo UNEFM 2012 PERFILES COMERCIALES En virtud que, las fibras cercanas al eje neutro están sometidas a esfuerzos por flexión muy pequeños comparado con la parte superior o inferior, si pudiéramos concentrar el área en los extremos superior e inferior, entonces la viga podría resistir esfuerzos mayores, es decir, ser{ia más eficiente. La fórmula de la flexión M=σI/c, muestra que si el área de la sección rectangular (véase la figura 4.8) pudiera distribuirse de manera que la viga siga teniendo la misma altura, pero con la forma indicada en la figura 4.8b, el momento de inercia aumentaría muchísimo y por lo tanto el momento flexionante que podría resistir sería mucho mayor.
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 4.8
El incremento del momento resistente es debido a que hay muchas más fibras a mayor distancia del eje neutro. La sección de la figura 4.8b no es posible porque se debe emplear parte del área en la sujeción, como se muestra en la figura 4.8c. La figura 4.8c representa una sección I de ala ancha ( H o W). Es uno de los perfiles más eficientes, porque además de tener alta resistencia a flexión también puede emplearse como columna. Otro perfil laminado es el ”I” normal, figura 4.8d, es
más antiguo y menos eficiente que el H, y por lo tanto tiende a entrar en desuso. En el anexo se dan las características de los perfiles estructurales. Al escoger una determinada sección para aplicarla como viga es necesario que el momento que puede resistir( Mr=σI/c= σS) debe ser igual o mayor que el momento flexionante máximo aplicado. Esta condición se expresa por la desigualdad:
Que indica que la sección debe elegirse de manera que el módulo resistente sea igual o mayor que la relación del momento flexionante al esfuerzo admisible. En ejemplo a continuación, se mostrará El procedimiento para elegir una sección de viga. Ejemplo 4.4, Seleccionar el perfil W más ligero que pueda soportar la carga que se muestra en la figura, sin exceder el esfuerzo admisible de 120 MPa.
20 Tema 4 Esfuerzos en Vigas Intensivo UNEFM 2012 45 kN Figura Ejemplo 4.4 X A
B
C
2 m
4m R1
R2
Solución: El primer paso es la determinación de las reacciones R1 y R2, aplicando las ecuaciones de equilibrio de fuerzas y equilibrio de momentos respecto del punto A.
{ΣMA = 0
+ } -4 . 45 + R2 . 6 =0
{ΣMc = 0
+ } 2 . 45 - R1. 6 =0
R2= 30 kN R1= 15 kN
Para comprobar que las reacciones han sido bien calculadas aplicamos equilibrio de fuerzas en la dirección Y. {ΣFy = 0 } R1+R2-45=0
30+15-45=0
0=0
Construimos los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante 45kN Diagrama de Cargas X A
B
4 m
2 m
R1
V (kN)
C
R2
15 Diagrama de Fuerza Cortante B
A
C
X(m)
-30
M (kN.m) 60
Diagrama de Momento Flexionante
A B
X(m) C
Figura 4-9. Diagrama de Fuerza Cortante y Momento Flexionante para la viga del ejemplo 4-4
21 Tema 4 Esfuerzos en Vigas Intensivo UNEFM 2012 Los diagramas se construyen a partir de las relaciones entre el diagrama de carga y el diagrama de fuerza cortante, y entre el diagrama de fuerza cortante y el de momento flexionante. En virtud de que sobre la viga no están aplicadas cargas distribuidas, entonces en el diagrama la fuerza cortante es una constante desde el punto A hasta B de valor igual a 15 kN; en el punto B hay una fuerza puntual externa de 45 kN que hace variar la fuerza cortante a – 30 kN, y se mantiene en ese valor durante El tramo BC. En el punto C está aplicada la fuerza puntual de 30 kN hacia arriba, lo cual hace variar la fuerza cortante a cero. En el Diagrama el momento flexionante se comporta linealmente, tomando un valor máximo en El punto B, igual al área bajo la curva en el diagrama de fuerza cortante entre los puntos A y B de valor 60 kN . m. Aplicando la ecuación 4.4, obtenemos el módulo de sección mínimo necesaria para cumplir con las condiciones del problema.
Ubicamos la tabla de perfiles H (o W) y ubicamos aquellos cuyo módulo sea mayor o igual a 500.103mm3, y elegimos la de menor peso, según se pide en el problema. La viga elegida es la del perfil W310 x 39 con S = 549 x 103 mm3. La elección del perfil no termina hasta comprobar que efectivamente la viga soporta los esfuerzos producidos. Para ello partimos del principio que El momento que puede resistir la viga, M R, debe ser mayor o igual a la suma del momento producido por la carga útil, M U, y El momento producido por el peso propio, MPP
al dividir la expresión entre σ obtenemos.
El peso por unidad de longitud para la viga del perfil seleccionado es 0,38 kN/m. El diagrama de cargas, de fuerza cortante y de momento flexionante debido al peso propio de la viga se muestran en la figura Ejemplo 4.4b a continuación. {ΣFy = 0 } R1+R2-45=0
30+15-45=0
0=0
El peso de la viga no modifica el punto donde el momento flexionante es máximo. Por relación de triángulos se determina el valor de la fuerza cortante en el punto B.
22 Tema 4 Esfuerzos en Vigas Intensivo UNEFM 2012
4 m
2 m
0,38kN/N
Diagrama de Cargas
A
B
C
R1=1,14kN
V (kN)
X R2= 1,14 kN
1,14 kN Diagrama de Fuerza Cortante
A
B
C
- 0,38 kN M (kN.m)
X(m)
- 1,14 kN
MPP
Diagrama de Momento Flexionante
A B
X(m) C
Figura 4-7. Diagrama de Fuerza Cortante y Momento Flexionante para la viga del ejemplo 4-4
El MPP se determina calculando el área bajo la curva entre los puntos B y C del diagrama de fuerza cortante.
Por tanto el módulo resistente necesario para este momento es
Sustituyendo este valor en la ecuación de relación, observamos que cumple con la condición
Por lo tanto, la sección elegida es la correcta.
23 Tema 4 Esfuerzos en Vigas Intensivo UNEFM 2012 El esfuerzo real en la viga (σ´) se calcula por la relación
De la cual σ´= 112 MPa. PROBLEMAS PROPUESTOS 4.11 Una viga simplemente apoyada en sus extremos, de 10 m de claro, soporta una carga uniforme de 16 kN/m sobre toda su longitud. Determine El perfil W de la viga más ligera que no excederá un esfuerzo por flexión de 120 MPa. Calcule el esfuerzo real en la viga seleccionada. Resp. W610 X 82; σ = 113 MPa. 4.13. Una viga simplemente apoyada de 12 m de claro, soporta una carga distribuida de 30 kN/m en los seis metros centrales. Elegir la sección más ligera, si El esfuerzo admisible es de 140 MPa. Hallar El esfuerzo real máximo en la viga elegida. RESP. W610 x 125;133 MPa
4.12. Se aplica una carga concentrada de 90 kN en El centro de una viga simplemente apoyada de 8 m de claro. Si el esfuerzo admisible es de 120 MPa, elegir la sección W más ligera. Resp. W530 X 74
4.14. Una viga simplemente apoyada de 10 m de largo soporta una carga de 20 kN/m distribuida uniformemente en toda su longitud y una carga concentrada de 40 kN en su parte media. Si el esfuerzo admisible es de 120 MPa, determine la viga de forma W más ligera que pueda emplearse. Resp. W610 x 125
ESFUERZO CORTANTE EN VIGAS. El esfuerzo cortante está dado por la fórmula
.12 Donde: b: Ancho de la sección Esfuerzo cortante Q: Momento estático de Área I: Momento de Inercia respecto del eje neutro V: Fuerza Cortante
En una sección rectangular b
c y1
Eje Neutro
Figura 4.8 Momento estático de área para una sección rectangular
24 Tema 4 Esfuerzos en Vigas Intensivo UNEFM 2012
∫ , que representa la suma de los momentos con respecto al eje neutro de las áreas diferenciales dA, lo cual es equivalente a ̅ ,es decir, el Q es el momento estático de área igual a
momento estático, respecto del eje neutro, del área parcial A´ situada entre la paralela al eje neutro, a la altura y1, donde se va a calcula el esfuerzo cortante y el borde superior de la sección. La distancia desde el eje neutro hasta el centro de gravedad de A´ es , según se muestra en la figura 4.8.
DISTRIBUCIÓN DEL ESFUERZO CORTANTE EN VIGAS Para una sección transversal rectangular, la ecuación del esfuerzo cortante es la siguiente
( ) La cual describe una parábola cuyo valor máximo se produce para y = 0, tal como se muestra en la figura 4.9. El esfuerzo cortante será máximo en el eje neutro y nulo en los extremos. b
y h
Eje Neutro
Figura 4.9 Distribución del esfuerzo cortante en una sección
Para una sección rectangular de área A el esfuerzo cortante máximo está dado por la fórmula:
Ec. 4.15 LIMITACIONES DE LA FÓRMULA DEL ESFUERZO CORTANTE Se ha supuesto que el esfuerzo cortante es uniforme a lo ancho de viga, lo cual no es rigurosamente cierto pero lo suficientemente aproximado para secciones en las que las fuerzas internas de tensión están distribuidas uniformemente a lo ancho de la sección en sucesiva capas horizontales. Esta condición se cumple en las secciones rectangulares y las de forma de I tal como se muestra en la figura 4.10a, pero no se cumple en las b y c.
25 Tema 4 Esfuerzos en Vigas Intensivo UNEFM 2012
(c) (a)
(b)
E.N.
E.N. E.N.
r
Figura 4.10
En la sección triangular el esfuerzo cortante en el E.N. es máximo en el lado izquierdo y de valor cero en el extremo derecho. Al aplicar la fórmula se obtiene un valor medio del esfuerzo cortante ya sea en el eje neutro o en un plano paralelo a éste. En la figura 4.10c se puede ver otra excepción ya que los esfuerzos cortantes en la superficie deben ser tangentes al círculo, pero en los puntos interiores no se conoce su dirección. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LA FORMULA DEL ESFUERZO CORTANTE EJEMPLO 4.5. Una viga simplemente apoyada de 120 mm de ancho y 180 mm de alto y 6 m de longitud, soporta una carga distribuida uniformemente de 4 kN/m, Determinar: a) El esfuerzo cortante en planos horizontal sucesivos trazados cada 30 mm de la parte superior de la sección, en un punto que dista 1 m del apoyo izquierdo. b) El máximo esfuerzo cortante producido en la viga. Solución: 1m
5 m 180 mm
4 kN/N
Diagrama de Cargas A
C
B R1=12 kN
V (kN)
X R2= 12 kN
12 kN 8 kN
A
120 mm
Diagrama de Fuerza Cortante C
X(m)
B
- 12 kN
Figura 4-11. Diagrama de Carga y Fuerza Cortante para la viga del ejemplo 4-5
26 Tema 4 Esfuerzos en Vigas Intensivo UNEFM 2012
De acuerdo al diagrama, la fuerza cortante para x=1 m es V = 8 kN Parte a) El momento de inercia IEN
Aplicamos las Ecuaciones 4.12 y 4.13 para los puntos a 30 mm bajo el borde superior, como se muestra en la figura 4.12a
(b)
(a) 30 mm
60 mm
60 mm
30 mm
180 mm
180 mm
E.N
E.N
120 mm 120 mm
(d)
(c) 30 mm
30 mm 45mm
90 mm
30 mm
180 mm
180 mm
E.N
E.N
120 mm 120 mm
Figura 4.12
; , para la figura 4.12a tenemos que Y por lo tanto
27 Tema 4 Esfuerzos en Vigas Intensivo UNEFM 2012
; , para la figura 4.12b tenemos que Y por lo tanto Este último esfuerzo también se puede calcular descomponiendo el área A´en dos partes, y sabiendo que el momento estático de un área es igual a la suma de los momentos de cada parte componente,. Es decir, como se muestra en la figura 4.12c.
∑ ; ∑ , para la figura 4.12b tenemos que ∑ Y por lo tanto .
Esta fórmula se puede usar en vigas de sección compuesta, como las vigas I o H. En el eje neutro, es decir a 90 mm del extremo superior, según la figura 4.12d
; , para la figura 4.12b tenemos que Y por lo tanto Otra manera de realizar este último cálculo es usando la ecuación 4.15
Los esfuerzos cortantes a 120 mm y a 150 mm del extremo superior se determinan de manera similar y por ser posiciones simétricas respecto del eje neutro resultan 0,494 MPa y 0,309 MPa respectivamente. El momento estático de un área total respecto del eje neutro es nulo. De allí, que el momento estático de un área parcial entre una línea horizontal a una distancia y y el borde superior, es igual al momento del área parcial entre esa misma línea horizontal y el borde inferior. Por tanto para calcular se puede emplear el área por encima o por debajo de la línea considerada, según sea más sencillo o fácil.
Parte b) El Máximo esfuerzo cortante tiene lugar en El eje neutro donde la fuerza cortante sea máximo. En este caso sucede en los apoyos, donde la fuerza cortante toma su valor máximo de 12 kN.
28 Tema 4 Esfuerzos en Vigas Intensivo UNEFM 2012
Ejemplo 4.6. Una viga tiene una sección I como se indica en la figura 4.13, en una sección donde la fuerza cortante es V= 70 kN. Calcular. a) El máximo esfuerzo cortante, b) El esfuerzo cortante en la unión del alma y los patines. 20 mm Patines Alma
20 mm
200 mm
20 mm
160 mm
Figura 4.13
Solución: Parte a) Calculamos el momento de inercia de la sección mediante la fórmula de Steiner o teorema de los ejes paralelos:
̅ ̅ ̅ ̅
̅ ̅ A2
d2= 110 mm
E.N.
d1= 0 mm
A1 d3= 110 mm
A3
160 mm
Figura 4.14
Calculamos los momentos de inercia centroidales de las áreas 1 y 2 que se muestran en la figura 4.14
29 Tema 4 Esfuerzos en Vigas Intensivo UNEFM 2012
Y sustituyendo en la ecuación de Steiner, obtenemos
Luego procedemos a calcular el esfuerzo cortante máximo que se producirá en el eje neutro, para ello debemos determinar primero el momento estático de área, según se muestra en la figura 4.15, usando la ecuación:
20 mm 100 mm
A2 E.N
160 mm
Figura 4.15
Determinamos el esfuerzo cortante máximo aplicando la ecuación respectiva:
Parte b) El esfuerzo cortante en la unión del alma y los patines presenta una discontinuidad porque b=160 mm al considerar el esfuerzo en el patín y b=20mm en el alma. Se determina de la siguiente manera: En el patín: De la fórmula del esfuerzo cortante los valores son iguales a la parte a excepto b y Q.
30 Tema 4 Esfuerzos en Vigas Intensivo UNEFM 2012 b= 160 mm Q= 20.160.110 = 352.103 mm3
En el alma:
PROBLEMAS PROPUESTOS 4.15 Una viga simplemente apoyada de 4 m de claro, tiene la sección indicada en la figura. Determinar la máxima carga uniformemente distribuida que se puede aplicar a todo lo largo de viga si el esfuerzo cortante está limitado a 100 mm 1,2 MPa.
4.16. La sección mostrada en la figura corresponde a una viga formada al ensamblar dos piezas rectangulares de madera. La viga está sometida una fuerza cortante máxima de 60 kN. Determine el esfuerzo cortante en:(a) El eje neutro. b) La unión entre las dos piezas. 200 mm
150 mm
40 mm
200 mm
100 mm
150 mm 20 mm
Resp. W = 4,60 kN/m Resp. a) 3,28 MPa. b)3,18 Mpa;31,8 MPa. 4.17. Una viga de madera de 90 mm de ancho y 160 mm de altura está sometida a una fuerza cortante vertical de 20 kN. Determinar El esfuerzo cortante en puntos tomados de 20 en 20 mm a lo alto de la viga, a partir de su borde superior.
4.18. Determinar el máximo y mínimo valor del esfuerzo cortante en el patín de la viga que tiene la sección indicada en la figura si V = 100 kN. RESP. 30,5 MPa,23,5 MPa. 20 mm
20 mm
160 mm
160 mm
20 mm
90 mm
120 mm
31 Tema 4 Esfuerzos en Vigas Intensivo UNEFM 2012 DISEÑO POR FLEXIÓN Y POR CORTANTE. En las vigas cortas, fuertemente cargadas, las dimensiones vendrán dadas generalmente por el esfuerzo cortante, mientras que en las vigas largas suele ser siempre el esfuerzo por flexión El que limita la carga o determina las dimensiones de la sección. El esfuerzo cortante tiene mayor importancia en las vigas de madera que en las de acero por la poca resistencia al cortante que presentan aquéllas. EJEMPLO 4.7. Una viga de sección en forma de caja soporta las cargas mostradas en la figura 4.16. Calcule el valor máximo de P si el esfuerzo normal admisible es de 8 MPa y el cortante de 1.2 MPa
120 mm
P
160 mm
4000 N 20 mm
2m
2m
2m
80 mm
A2 160 mm
200 mm 20 mm
R1 =P/2-2000
E.N.
20 mm
R2=P/2+6000 160 mm
V (N)
(P/2-2000)
4000
Figura 4.16
-(P/2+2000)
Solución: Aplicando El teorema de Steiner determinamos el momento de inercia de la sección transversal, para ello descomponemos la sección en dos rectángulos, uno exterior y uno interior.
∑ ̅ ̅ ̅ = 65,71.10 mm 6
3
A partir de las ecuaciones de equilibrio estático se obtiene el valor de las reacciones R 1 y R2 en función de P. Hecho esto, trazamos el diagrama de fuerza cortante como se muestra en la figura 4.16. El máximo valor de fuerza cortante en valor absoluto en función de P vale –(P/2+2000) N.m Calculamos el momento estático Q para El área formada por los tres rectángulos
∑= 160.20.90+2.(80.20).40 = 416.10 mm 3
3
Sustituyendo los valores de V y Q en la ecuación del esfuerzo cortante y despejando P
32 Tema 4 Esfuerzos en Vigas Intensivo UNEFM 2012
=7581,92 N
Que igualamos a la fuerza cortante en función de P que obtuvimos en la primera parte P/2+2000 =7581,92 N
P = 11,16 kN.
Ahora consideremos el esfuerzo por flexión. El momento flexionante máximo se produce en el punto donde se aplica la fuerza P. Mmax = Área en el Diagrama de Cortante entre el extremo derecho y el punto donde se aplica la fuerza P. Mmax = 2(P/2-2000)
5,26.103 N.m M= Igualando los momentos y despejando P, obtenemos 2(P/2-2000) = 5,26.103
P = 9,26 kN
El valor máximo de P es el mínimo de los calculados. P = 9,26 kN PROBLEMAS PROPUESTOS 4.19 Una viga simplemente apoyada de L m de longitud, Soporta una carga uniformemente distribuida de 16 kN/m a todo su largo y tiene la sección mostrada en la figura. Calcule El valor de L que ocasione un máximo esfuerzo por flexión de 40 MPa. En estas condiciones cuánto vale El esfuerzo cortante.
4.20. La viga de patín ancho de la figura, sostiene una carga concentrada W y una uniformemente distribuida de valor total 2W. Determine el valor máximo de W si El esfuerzo por flexión no debe sobrepasar de 10 MPa y El cortante de 800 kPa. RESP. W=2,62 kN W 2m 2W
25 mm
2m
1m
25 mm
R1
R2 20 mm
25 mm
20 mm
180 mm
200 mm 20 mm
Resp. L = 1,77m;
200 mm
