Investigación de Operaciones Avanzada
IOA Guía de Repaso
CMM
1.- La función de producción de una empresa es
P(l , k ) 80l 3 / 4 k 1/ 4 ,
en donde l y k
representan el número de unidades de mano de obra y de capital utilizados y P es el número de unidades elaboradas del producto. Cada unidad de mano de obra tiene un costo de $60 y cada unidad de capital cuesta $200 y la empresa dispone de $40.000 destinados a producción. a) Usando el método de Lagrange determine el número de unidades de mano de obra y de capital que la empresa debe emplear a fin de obtener una producción máxima. ¿Cuál es la producción máxima? b) Demuestre que cuando la mano de obra y el capital están en sus niveles máximos, la razón de sus productividades marginales es igual a la razón de sus costos unitarios. 2.- Un trozo de alambre de longitud L se corta en dos partes; una parte se dobla para formar un cuadrado y con la otra se forma una circunferencia. ¿Dónde se deberá hacer el corte para que la suma de las áreas del cuadrado y del círculo sea un mínimo? 3.- Un producto en particular es producido por dos empresas, X e Y. Actualmente, la empresa X goza del 70% de mercado y la empresa Y del 30%. Un análisis reciente indica que de un año a otro, el 20% de los consumidores de la empresa X cambiaron a la empresa Y y 10% de los consumidores de la empresa Y cambiaron a X. Suponga que esta tendencia continúa. a) Determine la matriz de transición de este proceso de Markov. b) ¿Qué porcentaje de mercado tendrá la empresa Y dentro de dos años? c) Suponga que un consumidor es actualmente cliente de la empresa X, y el próximo año cliente de la empresa Y, ¿cuál es la probabilidad de que al año subsiguiente este mismo consumidor vuelva a ser cliente de la empresa X? d) ¿Qué porcentaje de mercado tendrá la empresa X a largo plazo? 4.- En una encuesta de opinión acerca de un programa de TV, 60% de los entrevistados declaró que les gustaba el programa, mientras que 40% afirmó lo contrario. El mismo grupo fue entrevistado 1 semana después, y entonces 65% dijo que les gustaba el programa, pero 35% que no. Nuevamente, una semana más tarde, 68% afirmó que les gustaba el programa. a) Determine la matriz que represente el cambio de opinión b) En el largo plazo, si se entrevista al grupo sobre el mismo programa, ¿cuál sería el porcentaje que exprese su preferencia por él? 5.- Se está estudiando la disposición de cajas de un supermercado. Se ha hecho un estudio preliminar y se tiene la siguiente información. Hay dos tipos de clientes que entran al supermercado: clientes normales, que llegan a una velocidad media de 144 clientes por hora y hacen sus compras (llenan sus carros) en un tiempo promedio de 10 minutos. Un segundo tipo de clientes es el de clientes rápidos, que llegan a una velocidad de 72 clientes por hora y hacen sus compras (llenan sus carros) en un tiempo promedio de 4 minutos. Todos estos tiempos son promedios y corresponden a variables aleatorias exponenciales y las distribuciones de las llegadas son Poisson. Se estima que los clientes rápidos pasan siempre por las llamadas cajas Expresas, donde son atendidos de manera que el tiempo medio de atención por cliente es de 1,8 minutos. El 15% de los clientes normales se atiende en la caja expresa, y el resto de los clientes normales se atienden en las cajas normales con un tiempo medio de atención de 4 minutos por cliente. a) Determine el número mínimo de cajas para que los sistemas estén en equilibrio. b) Determine el tiempo medio de estadía de un cliente normal en el supermercado. c) Determine el valor esperado del número total de clientes que están haciendo cola en el supermercado. d) Se ha determinado que el tiempo medio de espera de un cliente expreso en las colas es demasiado. Calcule el número de cajas expresas que deben colocarse para que sea, al menos, 50% menor que el actual.
6.- Considere una oficina donde llegan clientes según una distribución Poisson con una frecuencia de 60 clientes por hora. La oficina tiene tres ventanillas y el tiempo promedio de atención en cada ventanilla es de dos minutos. Evalúe los siguientes sistemas: I.- Colas paralelas del tipo M/M/1: DG/∞/∞ II.- Cola única del tipo M/M/c: DG/∞/∞ Para cada uno de los sistemas determine: a) El valor esperado del número de clientes que hacen cola b) El valor esperado del tiempo en la cola 7.- Una empresa de lavado de automóviles funciona sólo con una sola máquina. Los autos llegan siguiendo una distribución de Poisson, con 5 autos por hora y pueden esperar en el estacionamiento de la instalación, se dispone de 8 estacionamientos. El tiempo de servicio sigue una distribución exponencial con un tiempo de servicio de 15 minutos. Determine: a) La probabilidad de que un cliente que llegue se retire por no haber estacionamiento desocupado. b) La probabilidad de que un cliente que llega sea atendido de inmediato. c) El valor esperado del número autos en los estacionamientos antes de recibir atención. d) El tiempo esperado en los estacionamientos antes de que lo atiendan e) El flujo de clientes que se pierden por estar lleno el estacionamiento
