GUÍA DE ESTUDIO TERCER EXAMEN PARCIAL Pr eparado por : I ng. M ar io René De L eón eón Gar cía
SERIE I
Resuelva:
1. 3. 5. 7.
9.
11.
13.
15.
17.
19. 20.
2. 4. 6. 8.
10.
12.
14.
16.
18.
SERIE II
Resuelva
1. 3.
5.
7. 9. 11.
2. 4.
6.
8. 10. 12.
Guía de estudio para tercer examen parcial
13. 15. 17.
19.
21. 23.
25.
Si
, Despeje “t ” de la ecuación.
14. 16. 18.
20
22. 24.
26.
2
SERIE III
1.
El conteo de un cultivo de bacterias fue de 462 después de 2 horas y de 12,978 después de 5 horas. a) ¿Cuál es la tasa de crecimiento relativo de la población de bacterias? Exprese su respuesta en porcentaje. b) ¿Cuál fue el tamaño inicial del cultivo? c) Determine una fórmula para que pronostique el número de bacterias después de t horas. d) ¿Determine el número de bacterias después de 4 horas? e) ¿Cuándo llegará a 52,000 el número de bacterias?
2.
La vida media del radio 226 es de 1600 años. Suponga que se tiene una muestra de 32 miligramos. a) Obtenga una fórmula para la masa que queda después de t años. b) ¿Cuánto quedará de la muestra después de 3,200 años? c) ¿Después de cuánto tiempo solamente quedarán 12 mg?
3.
El radio 221 tiene una vida media de 30 segundos. ¿ Cuánto tarda en desintegrarse el 90% de la muestra?
4.
En una tumba egipcia se localiza una momia ataviada con ropa de la época, al realizarle un análisis de datación con Carbono 14 a la ropa, se determina que contiene el 60% de lo que debería tener si fuera nueva. Si la vida media del Carbono 14 es de 5,730 años, ¿Cuánto tiempo lleva enterrada la momia?
5.
La ley de enfriamiento de Newton se utiliza en investigaciones de homicidios para determinar el tiempo de muerte. o La temperatura normal del cuerpo es de 37 C, e inmediatamente después de la muerte empieza a enfriarse. Se ha determinado experimentalmente que la constante en la ley de enfriamiento de Newton es aproximadamente de k 0 .1947 . Si la temperatura del entorno es de 16º C y la del cuerpo es ahora de 22º C, ¿hace cuánto fue la muerte?
6.
Un cultivo contiene inicialmente 2,000 bacterias y se duplica cada 20 minutos. a) Determine una fórmula para n( t ) que pronostique el número de bacterias después de t horas. b) c)
7.
Determine el número de bacterias después de 100 minutos. Después de cuántos minutos contendrá el cultivo 5000 bacterias.
El conteo inicial de una muestra de bacterias es de 10,000 y tardo 40 minutos en duplicarse. A partir del momento en que se inicia el cultivo, ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que el número de bacterias sea de 50,000?
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I ng. M ar io RenéDe León Gar cía
Guía de estudio para tercer examen parcial
3
8.
La población de california era de 10.6 millones en 1950 y de 23.7 millones en 1980. Suponga que la población crece exponencialmente. Determine una fórmula para que pronostique la población t años después de 1950 y conteste las siguientes p reguntas: a) ¿Cuál es el tiempo necesario para que se duplique la población? b) ¿Cuál era la población de California en el año 2,000?
9.
En laboratorio se prueba una nueva medicina, la cual se aplica a un grupo de bacterias. Se observó que luego de haber iniciado la prueba, a las 3 horas había 47 bacterias y a las 6 horas 22 bacterias. Determine: a) b) c)
El número de bacterias con que se inició la prueba. Un modelo que pronostique la cantidad de bacterias que existen en términos del tiempo que ha transcurrido luego de haber iniciado la prueba. El tiempo requerido para que el número de bacterias inicial se reduzca a la mitad.
10.
La población de una comunidad crece de acuerdo a un modelo exponencial natural. Si la población es de 10,000 personas después de 3 años y tarda 5 años en duplicarse la población inicial, entonces: a) Calcule la población inicial. b) ¿Cuál será la población a los 10 años.
11.
Una población de peces en un lago es afectada por una enfermedad, de modo que la población se extingue siguiendo un modelo exponencial natural. Si después de una semana quedan 800 peces y seis semanas después quedan 440, ¿cuál era la población inicial? ¿Cuándo quedarán solamente 100 peces?
12.
Un estudio sobre la reproducción de una especie particular de reptiles, determino que la misma tardaba 9 años en triplicar su población, entonces: a) b) c)
13.
Determine la tasa de crecimiento de los reptiles. Formule un modelo exponencial que pronostique la cantidad reptiles existentes, luego que ha transcurrido un tiempo “t”. ¿Cuánto tiempo se requiere para que la población se duplique?
La vida media del radio 226 es de 1590 años, si una muestra tiene 150 miligramos, determine: a) b)
Una función que modele la masa presente después de “t” años. ¿Después de cuántos años habrá sólo 50 miligramos?
14.
Si 250 mg de un elemento radiactivo se desintegra hasta 200 mg en 48 horas, determine la vida media del elemento.
15.
Después de tres días, la masa de una muestra de radón222 se ha desintegrado en un 58% de su masa original. a) ¿Cuál es la vida media del radón222? b) ¿Cuánto tiempo tardará una muestra en desintegrarse, de tal forma que sólo quede 20% de la misma?
16.
Una pieza de madera fue encontrada en una tumba antigua, la cual contenía el 65% del carbono 14 que está presente en los árboles vivos. ¿Hace cuánto tiempo se fabrico el artefacto? La vida media del carbono 14 es de 5,730 años.
17.
La vida media del cobalto radioactivo es de 5.27 años. Suponga que un accidente nuclear ha dejado que el nivel de cobalto radioactivo ascienda en cierta región a 100 veces el nivel aceptable para la vida humana. ¿Cuánto tiempo pasará para que la región vuelva a ser habitable? (Ignore la p osible presencia de otros elementos radioactivos)
18
A las 8:00 horas se inició un estudio sobre Plomo 211, de tal forma que a las 10:00 horas se determinó que la masa aun presente de la sustancia era de 68.04 miligramos y a las 13:00 horas era de 38.186 miligramos. Con esta información determine la vida media del plomo 211 y genere un modelo que determine la cantidad de masa existente a partir de la 8:00 horas.
19.
En Laboratorio se estudia una muestra de Bismuto 210, la que luego de 8 días se ha reducido a un tercio de la cantidad original. Con esta información determine: a) b) c)
Determine un modelo que pronostique la cantidad de Bismuto 210 que queda luego que ha transcurrido un tiempo “t”. La vida media del Bismuto 210. ¿Después de cuánto tiempo quedará únicamente el 15% de la muestra original?
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I ng. M ar io RenéDe León Gar cía
Guía de estudio para tercer examen parcial
4
20.
La vida media del Paladio100 es de 4 días. El primero de este mes una muestra de Paladio 100 fue puesta en condiciones controladas de Laboratorio y se comprobó que después de 20 días la misma había reducido su masa hasta 0.375 gramos. Determine cuantos días se requieren a partir de que se inició la prueba, para que la muestra se reduzca a 0.15 gramos.
21.
Siendo las 8:00 horas, un laboratorio de investigación colocó en observación un nuevo elemento radiactivo. A las 12:00 horas, la cantidad de muestra existente era de miligramos, mientras que a la 24:00 horas la cantidad era de miligramos.
a) b) c) d) e)
Determine la tasa de decaimiento radioactivo. Determine la cantidad de masa existente a las 8:00 horas. Aproxime a una cantidad entera. Determine una función que modele la cantidad de muestra que queda luego que ha transcurrido un tiempo después de las 8:00 horas. Determine la vida media del elemento radiactivo. ¿A qué hora la cantidad de muestra existente será de ?
22.
En un trozo de madera quemada se encontró que el 85.5% del Carbono 14 presente originalmente se había desintegrado. Si la vida media del Carbono 14 es de 5,600 años, determine la edad aproximada del trozo de madera.
23.
Un pavo asado se saca del horno cuando su temperatura ha alcanzado 90º C y se coloca sobre la mesa en una habitación donde la temperatura es de 24º C. a) Si la temperatura del pavo es de 70º C después de media hora, ¿cuál será su temperatura después de 45 minutos? b) ¿Cuándo se habrá enfriado el pavo hasta 35º C?
24.
Una tetera llena de agua se hace hervir en una habitación con una temperatura de 20º C. Después de 15 minutos la temperatura del agua se ha reducido de 100º C a 75º C. Determine la temperatura del agua después de otros 10 minutos. Trace la gráfica de la función de la temperatura.
25.
Un termómetro se lleva de una habitación climatizada, hasta el exterior de la casa. La temperatura ambiente externa es de – 10º Centígrados. Después de 1 minuto de haberlo sacado, el termómetro indica 19.43º C y a los 5 minutos indica 4.71º C. ¿Cuál era la temperatura del ambiente dentro de la casa?
26.
En un laboratorio se estudia un nuevo material para medir su reacción al calor. Una muestra se saca del horno, luego de media hora la temperatura de la muestra es de 76.375ºC y una hora después de esta medición la temperatura es de 47.995ºC. Si la temperatura del medio ambiente es de 20ºC, entonces: a) ¿Qué temperatura tenía la muestra al sacarla del horno? b) ¿Después de cuánto tiempo de haber sacado la muestra del horno, alcanzará una temperatura de 30ºC?
27.
Un medicamento se elimina del organismo de acuerdo a un modelo exponencial. Una dosis inicial de 10 mg se reduce a 5 mg después de cuatro (4) horas y para que el medicamento surta efecto, debe haber un mínimo de 2 mg en el cuerpo. Si a las 12:00 PM una persona toma el medicamento. ¿A qué hora dejará de surtir efecto el medicamento?
28.
Una cepa infecciosa de bacteria se incrementa en número a una tasa de crecimiento relativa de 200% por hora. Cuando un cierto número crítico de bacterias está presente en la corriente sanguínea, la persona se enferma. Si una sola bacteria infecta a una persona, el nivel crítico se alcanza en 24 horas. ¿Cuánto tardará en alcanzarse el nivel crítico, si la misma persona es infectada por 10 bacterias?
29.
El cobalto en su proceso de desintegración es de tal forma que una parte de su masa se convierte en cesio, previo a desintegrarse. Considere una masa de material radiactivo, de tal forma que su composición tiene 75% de cobalto y 25% de Cesio. Si luego de un año la cantidad de mezcla de dicho material se ha reducido al 90.2% de su masa original, de los cuales el 72.9% es de Cobalto. Determine: a) ¿En cuánto tiempo (desde el inicio del experimento) la cantidad de material radiactivo estará al 50/50? b) ¿Qué porcentaje del material radiactivo quedará para esa fecha?
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Guía de estudio para tercer examen parcial x
f ( x )
5 1
3e
x
3
30.
A partir de la grafica de e , trace la gráfica de la función:
31.
En cada caso, grafique la función correspondiente indicando claramente la posición de la asíntota vertical, la nueva posición de los puntos característicos de la función básica y los interceptos con los ejes.
a)
b)
SERIE IV
1.
Determine la amplitud, el periodo, desplazamiento o ángulo de fase, así como la constante de traslación vertical de las funciones siguientes. Luego grafique la función:
a)
c)
e)
2.
d)
En las siguientes figuras se exhiben la graficas de funciones trigonométricas “f” , trazada en un período. Obtenga: a) Su período b) Su amplitud c) Su ángulo de desfase y d) Una fórmula para f de la forma a sen k (x-b) + c ó a cos k (x- b) + c
a)
3.
b)
b)
c)
La altura de la marea, en un lugar particular de la playa, se puede aproximar utilizando la función trigonométrica:
7 t 12 12
f (t ) 0.2 cos
En donde t es en horas y t 0 corresponde a la media noche. Trace la gráfica de la función para un período completo. ¿A qué hora se producirá la marea más alta? ¿A qué hora la altura de la marea será de 0.15 metros?
a) b) c)
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Guía de estudio para tercer examen parcial
6
2.
Para cada una de las graficas de funciones trigonométricas, encuentre:
i) ii) iii) iv)
El valor de la amplitud. El periodo y la constante que modifica el periodo. El ángulo de cambio de fase (constante de traslación horizontal) y la constante de traslación vertical. Indique una ecuación para la grafica dada. a) y
b) y
6
3
5
2
4
1
3 -2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
2
-1
1
-2
1.0
1.5
2.0
2.5
x
-3 -2
-1
1
2
-1
3
x
-4
-2
-5
c)
d) y
-2
1
-1
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-5
SERIE V
Resuelva las siguientes ecuaciones trigonométricas
1. 3.
5. 7. 9. 11.
13
Preparado por:
2. 4.
6. 8. 10. 12.
14.
I ng. M ar io RenéDe León Gar cía
5
x
Guía de estudio para tercer examen parcial
15.
16. 17. 18.
7
SERIE VI
Compruebe las siguientes identidades:
1.
3.
5.
7.
9.
11.
13.
15.
2.
4.
6.
8.
10.
12.
14.
SERIE VII
1.
Dos botes salen al mismo tiempo del mismo puerto. El primero viaja a una velocidad 30 millas por hora en la dirección N 50º E; el segundo viaja a una velocidad de 26 millas por hora en dirección S 70º E. Al final de una hora de viaje, el primer barco presentó problemas mecánicos, por lo que solicitó el a poyo del segundo barco, entonces: a) b)
2.
¿Qué distancia deberá recorrer el segundo barco para asistir al primero? ¿En qué dirección debe viajar el segundo barco para asistir al primero?
El Ingeniero García viaja en su vehículo sobre una carretera recta en dirección norte. En un punto A sobre la carretera ubica un poblado en una dirección ; 68.3 kilómetros adelante, en un punto B sobre la misma carretera, vuelve a ubicar el mismo poblado esta vez con dirección . Ayude al Ingeniero García, ¿calcule la menor longitud que debería tener una carretera que una el pueblo con la carretera?
Preparado por:
I ng. M ar io RenéDe León Gar cía
Guía de estudio para tercer examen parcial 3.
8
Cuando la parte más alta de un rascacielos se observa desde lo alto de un edificio de 50 pies de altura, el ángulo de elevación de de 59º. Cuando se observa el mismo punto del rascacielos desde el pie del mismo edificio, el ángulo de elevación es de 62º. Entonces: a) b) c)
Haga un esquema (dibujo de la situación dada) Encuentre la distancia horizontal entre los dos edificios. Encuentre la altura del rascacielos.
4.
Un faro que gira una vuelta en 48 segundos, está localizado frente a una playa recta. A los cuatro segundos de haber iluminado el punto más cercano sobre la costa, ilumina un punto P sobre la misma costa y otros cuatro segundos después ilumina otro punto Q, también sobre la costa, el cual está a 220 metros de P. Determine la distancia del faro a la costa.
5.
Una montaña se eleva 3,400 pies sobre una planicie, cuya ladera tiene un ángulo de inclinación de 74º. Se debe instalar un cable para teleférico, desde un punto que se encuentra a 800 pies de la base de la montaña, hasta la cima de la misma. Calcule la longitud de cable necesario, suponiendo que se encuentra perfectamente tensado.
6
En la figura se muestra una caja rectangular de dimensiones 8x6x4 pulgadas. Encuentre el ángulo formado por la diagonal de la base y la diagonal de la cara con medidas de 6x4 pulgadas.
7.
Dos barcos salen al mismo tiempo del mismo puerto, localizado en el punto “A”. El primer barco sale con dirección y el segundo en con dirección . Trascurrido un tiempo el segundo barco tiene problemas y se encuentra en un punto “B” a una distancia de 18 kilómetros del punto “A”; en ese momento, el primer barco se encuentra en un punto “C” a una distancia de 15 kilómetros del punto “A”.
a) b)
Determine la distancia que debe navegar el primer barco para dirigirse del punto “C” al punto “B”, para rescatar el segundo barco. Calcule el valor del ángulo .
8.
Dos personas ascienden una colina cuyo ángulo de inclinación es 24º con respecto a la horizontal. Desde un punto P sobre el camino, la persona más atrasada observa un aeroplano en un punto A, cuyo ángulo de elevación desde su posición es de 58º. En el mismo instante, desde otro punto Q, la otra persona que está sobre el camino a 200 metros adelante, observa el mismo aeroplano con un ángulo de elevación 63º. Los tres puntos están en el mismo plano vertical a) Dibuje la figura que representa el caso b) Encuentre la distancia desde el punto P al aeroplano c) Encuentre la distancia desde Q al aeroplano.
9.
Para una nueva carretera debe excavarse un túnel bajo una montaña que tiene una altura de 260 pies. A una distancia de 200 pies al lado izquierdo de la base de la montaña, el ángulo de elevación es de 36 grados. A una distancia de 150 pies, en el lado derecho de la montaña el ángulo de elevación es de 47 grados. Calcule la longitud del túnel.
10.
La órbita de un satélite alrededor de la Tierra, hace que pase directamente por encima de dos estaciones de rastreo que están separadas por 50 millas. Cuando el satélite está entre las dos estaciones, se miden los ángulos de elevación desde A y desde B, y éstos son de 87.0º y 84.2º, respectivamente. a) ¿A qué distancia está el satélite de la estación A? b) ¿A qué altitud sobre el nivel del suelo está el satélite?
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Guía de estudio para tercer examen parcial
9
b
120º 11.
Para la figura adjunta, determine el valor de b para que el área del cuadrilátero sea de 2 10 cm .
b
2
b
12.
Un globo se encuentra a una altitud de 1350 pies sobre lo alto de una montaña que mide 4895 pies. A la par de esta montaña se ve un volcán. Desde el globo, el ángulo de depresión a la cúspide del volcán es de 42º, y desde lo alto de la montaña, el ángulo de elevación a la cúspide del volcán es de 22º. Determine la altura del volcán.
13.
Una antena de radio es sujetada verticalmente por dos cables que se instalan en lados opuestos a la misma. La longitud de los cables desde el punto de anclaje en tierra hacia la parte más alta de la torre es de 10 y 12 metros. Si los puntos de anclaje en tierra de los cables están a nivel de un mismo plano horizontal y la distancia entre estos dos puntos es de 20 metros determine: a) b) c)
14.
Un terreno tiene forma triangular, cuyos lados miden 60, 30 y 36 metros. Calcule: a) b) c)
15.
El ángulo que se forma entre los dos cables en el punto de unión con la torre. El ángulo que se forma entre la horizontal y el cable de longitud más corta. La altura de la torre.
Los ángulos internos del triángulo. La altura del triángulo cuya base es 60 metros. La longitud de la mediana que intercepta con el lado de 36 metros.
Se instalará un poste de tensión eléctrica sobre una colina cuyo ángulo de inclinación es 30º. Se colocará un cable de sujeción que irá desde la parte superior del poste a un punto que se localiza a 8 metros colina abajo. Si el ángulo de elevación desde el punto de sujeción a la parte más alta del poste es de 45º, encuentre: a) b)
La longitud del cable de sujeción. La altura del poste utilizando Ley de Cosenos.
16.
Desde lo alto de un risco que se ubica frente al océano y a una altitud de 300 metros sobre el nivel del mar, un observador ve un bote que se dedica a labores de pesca. En ese instante y en la misma dirección del bote, observa un helicóptero que realiza actividades de vigilancia. El ángulo de elevación del observador al helicóptero es de 45º, mientras que el ángulo de depresión del observador al bote es de 30º. Si el helicóptero se encuentra a una altitud de 600 metros sobre el nivel, ¿cuál es la distancia entre el helicóptero y el bote?
17.
Desde lo alto de un faro situado frente al mar, un observador ve un bote que navega directamente hacia el faro. El observador está a 100 pies sobre el nivel del mar y estima que el ángulo de depresión es de 25°; luego de un tiempo, el ángulo depresión cambió a 40°. Calcule la distancia que recorrió el barco durante el tiempo de observación.
18.
Un poste de alta tensión está sujeto por uno de sus lados por dos cables y , según el esquema adjunto. La longitud del cable más corto es , mientras que y el ángulo entre los dos cables es . Calcule: a) b) c)
La distancia entre los dos cables. La longitud del cable . La magnitud del ángulo .
C
B
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