Guía nº 3 – Cadenas de Markov (2º semestre 2004) Cadenas de Markov 1. Suponga Suponga que le le clima sólo sólo puede ser ser soleado soleado o nublado nublado y que que las condiciones condiciones del del clima en mañanas sucesivas forman una cadena de Markov con probabilidad de transici transición ón estacio estacionaria narias. s. Supong Supongaa tambié también n que la matriz matriz de transici transición ón es la siguiente: Soleado Nublado Soleado 0.7 0.3 Nublado 0.6 0.4 a) Si un día concreto está nublado, ¿cuál es la probabilidad de que también esté nublado el día siguiente? b) Si un día concreto está soleado, ¿cuál es la probabilidad de que durante los dos días siguientes también esté soleado? c) Si un día concreto está nublado, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno de los tres días siguientes esté soleado? •
2. Consid Considere ere la cade cadena na del del ejerc ejercicio icio 1: a) Si un miércoles hay sol, ¿cuál es la probabilidad de que el sábado siguiente tenga sol? b) Si un miércoles está nublado, ¿cuál es la probabilidad de que el sábado siguiente tenga sol? 3. Consid Considere ere los los datos datos del ejercicio ejercicio 1 y 2: a) Si un miércoles hay sol, ¿cuál es la probabilidad de que el sábado y domingo siguientes tenga sol? b) Si un miércoles está nublado, ¿cuál es la probabilidad de que el sábado y domingo siguientes tenga sol? 4. Cons Conside idere re la cadena cadena del ejerci ejercicio cio 1. Supo Supong ngaa que que la prob probab abili ilida dad d de que un miércoles este con sol es 0,2 y que la probabilidad de que esté nublado es 0,8 a) Determine la probabilidad de que esté nublado el jueves siguiente b) Determine la probabilidad de que esté nublado el viernes c) Determine la probabilidad de que esté nublado el sábado 5. Suponga Suponga que que un estudiante estudiante llegará a tiempo tiempo o tarde a una una clase, clase, y que los los sucesos sucesos de que llegue a tiempo o tarde a clase en días sucesivos forman una cadena de Markov con probabilidad de transición estacionaria. Suponga que si llega tarde un día, entonces la probabilidad de que llegue a tiempo el día siguiente es 0,8. Además, Además, si llega a tiempo un día, entonces, entonces, la probabilidad probabilidad de que llegue tarde al día siguiente es 0,5. a) Si el estudiante llega tarde un día, ¿cuál es la probabilidad de que llegue a tiempo los tres días siguientes? b) Si el estudiante llega tarde un día, ¿cuál es la probabilidad de que llegue a tarde los tres días siguientes? c) Si el estudiante llega a tiempo el primer día de clase,¿cuál es la probabilidad de que llegue a tiempo el cuarto día? d) Si el estudiante estudiante llega tarde el primer día de clase,¿cuál es la probabilidad de que llegue a tiempo el cuarto día?
6. Suponga una cadena de Markov con cuatro estados: 1, 2, 3, 4; y las probabilidades de transición son las que aparecen en la siguiente matriz de un paso: ¼ ¼ 0 1/2 P= 0 1 0 0 ½ 0 ½ 0 ¼ ¼ ¼ ¼ a) Si la cadena está en el estado 3 en el instante n, ¿cuál es la probabilidad de que esté en el estado 2 en el tiempo n + 2? b) Si la cadena está en el estado 1 en el instante n, ¿cuál es la probabilidad de que esté en el estado 3 en el tiempo n + 3? c) Dibuje el diagrama de transición d) Clasifique los estados de la cadena 7. Cada vez que un cliente compra un tubo de pasta de dientes, elige la marca A o la marca B. Suponga que la probabilidad de que elija la misma marca que en la compra anterior es 1/3 y que la probabilidad de que cambie de marca es 2/3. a) Determine la matriz de transición de un paso b) Dibuje le diagrama de transición c) Clasifique los estados de la cadena d) Si la primera compra es de la marca A, ¿cuál es la probabilidad de que la quinta compra sea de la marca B? e) Si la primera compra es de la marca B, ¿cuál es la probabilidad de que la quinta compra sea de la marca B f) Determine las probabilidades de estado estable 8. Suponga que tres niños A, B, C se pasan la pelota uno a otro. Cuando A tiene la pelota, se la pasa a B con probabilidad 0,2 y a C con probabilidad 0,8. Cuando B tiene la pelota, se la pasa a A con probabilidad 0,6 y a C con probabilidad 0,4. Cuando C tiene la pelota, es igualmente probable que se la pase a A o a B. a) Considere este proceso como una cadena de Markov, y calcule la matriz de transición en un paso y en dos pasos. b) Si es igualmente verosímil que cada uno de los tres niños tenga la pelota en un tiempo n concreto, ¿Qué niño tendrá la pelota con mayor probabilidad en el instante de tiempo n + 2? c) Determine las probabilidades de absorción d) Determine las probabilidades de estado estable e) Determine los tiempos esperados de recurrencia 9. Existen dos urnas A y B, conteniendo cada una bolas rojas y verdes. Suponga que la urna A contiene una bola roja y dos verdes y que la urna B contiene ocho bolas rojas y dos verdes. Considere el siguiente proceso: se extrae aleatoriamente una bola de la urna A y se extrae aleatoriamente una bola de la urna B. La bola extraída de la urna A se introduce en la urna B y la bola extraída de la urna B se introduce en la urna A. Esta operación se repite indefinidamente. Demuestre que el número de bolas rojas de la urna A constituye una cadena de Harkov con probabilidades de transición estacionarias y calcule la matriz de transición la cadena 10. Suponga una cadena de Markov con cuatro estados: 1, 2, 3, 4; y las probabilidades de transición son las que aparecen en la siguiente matriz de un paso:
¼ ¼ 0 1/2 P= 0 1 0 0 ½ 0 ½ 0 ¼ ¼ ¼ ¼ a) Determine las clases de la cadena b) Determine los tiempos esperados de recurrencia c) Determina las probabilidades de absorción 11. Suponga una cadena de Markov con cuatro estados: 1, 2, 3, 4; y las probabilidades de transición son las que aparecen en la siguiente matriz de un paso: ¼ ¼ 0 1/2 P= 0 1 0 0 0 0 1 0 ¼ ¼ ¼ ¼ a) Determine las clases de la cadena b) Determine los tiempos esperados de recurrencia c) Determina las probabilidades de absorción 12. Suponga una cadena de Harkov, que presenta las siguientes probabilidades de transición de un paso: 0.1 0.4 0.2 0.1 0.1 0.1 P= 0.2 0.3 0.2 0.1 0.1 0.1 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1 0.1 0 0 1 0 0 0 0.1 0.1 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1 0.1 0.1 0.1 0.4 0.2 a) Determine las probabilidades de absorción b) Dibuje el diagrama de transición c) Determine las clases de la cadena
