Universidad Autónoma de Querétaro
Guía de álgebra para curso propedéutico de la Facultad de Química, 2011 Academia Física-Matemáticas
Guía de álgebra para curso propedéutico de la Facultad de Química, 2011
Contenido
Calendario de actividades. .................................................................................................................. 1 Sesión I: Introducción al álgebra. ........................................................................................................ 2 Sesión II. Operaciones fundamentales con polinomios. ................................................................... 10 A.
Reglas de los exponentes exponent es y radicales. radicales . ................................... ................. ................................... .................................. ............................... .............. 10
B.
Operaciones Operacio nes fundamentales. fundament ales. ................................. ................ .................................. ................................... ................................... ............................ ........... 18
Sesión III. Productos notables y factorización. .................................................................................. 20 Sesión IV. Ecuaciones de primer grado. ............................................................................................ 26 Sesión V. Sistemas de ecuaciones lineales. ....................................................................................... 31 A.
Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. incógnitas . ................................. ................ ................................... ...................... 31
B.
Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. ................... ............................ .................. .................. ............... ...... 37
Sesión VI. Ecuaciones de segundo grado. ......................................................................................... 39 Sesión VII. Logaritmos. ...................................................................................................................... 43 Bibliografía. ....................................................................................................................................... 47
Guía de álgebra para curso propedéutico de la Facultad de Química, 2011
Contenido
Calendario de actividades. .................................................................................................................. 1 Sesión I: Introducción al álgebra. ........................................................................................................ 2 Sesión II. Operaciones fundamentales con polinomios. ................................................................... 10 A.
Reglas de los exponentes exponent es y radicales. radicales . ................................... ................. ................................... .................................. ............................... .............. 10
B.
Operaciones Operacio nes fundamentales. fundament ales. ................................. ................ .................................. ................................... ................................... ............................ ........... 18
Sesión III. Productos notables y factorización. .................................................................................. 20 Sesión IV. Ecuaciones de primer grado. ............................................................................................ 26 Sesión V. Sistemas de ecuaciones lineales. ....................................................................................... 31 A.
Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. incógnitas . ................................. ................ ................................... ...................... 31
B.
Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. ................... ............................ .................. .................. ............... ...... 37
Sesión VI. Ecuaciones de segundo grado. ......................................................................................... 39 Sesión VII. Logaritmos. ...................................................................................................................... 43 Bibliografía. ....................................................................................................................................... 47
Guía de álgebra para curso propedéutico de la Facultad de Química, 2011
Calendario de actividades.
SESIONES FECHA NÚMERO
NOMBRE
I
Introducción al álgebra
12 de febrero
II
Operaciones fundamentales con polinomios
19 de febrero
III
Productos notables y factorización
26 de febrero
IV
Ecuaciones de primer grado
5 de marzo
V
Sistemas de ecuaciones lineales
12 de marzo
VI
Ecuaciones de segundo grado
19 de marzo
VII
Logaritmos
26 de marzo
VIII
Examen final
2 de abril
1
Guía de álgebra para curso propedéutico de la Facultad de Química, 2011
Sesión I: Introducción al álgebra. 1. Traducir de lenguaje común a lenguaje algebraico. algebraico. a.
El cociente de la suma de dos números sobre tres
b.
El cociente de la suma de dos números sobre 3 veces el primer sumando
c.
La diferencia de los números es mayor m ayor que su cociente
d.
El triple del cuadrado de la diferencia de un binomio
e.
La suma del doble de un número con otro número
f.
La mitad de la raíz de un número
g.
La diferencia de dos números multiplicada por otro
h.
El cuadrado del triple de un número
i.
El cociente del doble del cubo de la diferencia de dos números sobre el triple de su producto
j.
La mitad de la diferencia de 2 números
k.
El cociente de la suma de dos números, sobre su diferencia
l.
El cubo de la semidiferencia semidiferencia de dos números
m. El cubo de la raíz cuadrada de la suma de 2 números n.
El cuadrado del doble de un número
o.
El producto de la suma de dos números por su diferencia
p.
El triple producto del cuadrado de un número por otro
q.
Número de días de x semanas
r.
Páginas que me faltan para leer de un libro de x páginas si ya he leído 25
s.
El cuadrado de un número menos su mitad
t.
Un número sumado a 8 es igual a 36
u.
La mitad de un número más 7 es igual a 15
v.
La cuarta parte de un número más 12 es igual al número
w. El cubo de un número menos su cuadrado es 100
2
Guía de álgebra para curso propedéutico de la Facultad de Química, 2011
2. Selecciona la respuesta correcta: a. ¿Cuál es la expresión que corresponde a: “los cuadrados de dos números enteros consecutivos”?
1)
x 2 , ( x2
2)
x 2 , x2
3)
x 2 , 1 x , 2 x
4)
x , 2 x , 3x
5)
x 2 ,2 x 2 ,3x 2
1), ( x 2
2
1 , x 2
2
2
2)
2
2
2
2
b. Si x es un número entero positivo impar, el tercer número impar que viene después de x, será: 1)
x 2
2)
x 3
3)
x 4
4)
x 5
5)
x 6
c. El Club popular Cuau-cuau mete m goles en su primer partido, m-5 en el segundo y m+10 en el tercero. ¿Cuántos goles convierte en el cuarto partido si en total hizo 4m goles? 1) 2m 5 2) 2m 5 3) m 15 4) m 5 5) m 5
3
Guía de álgebra para curso propedéutico de la Facultad de Química, 2011
d. En un gallinero hay P pollos. Se enfermó la mitad y luego la mitad del resto. Los pollos sanos son: 1) 2) 3) 4) 5)
p 2
p 4
p 3
p 6
0
e. Un alumno debe resolver 3m 2n ejercicios de algebra. De estos resultan n m correctos. ¿Cuántos ejercicios incorrectos tuvo? 1) 4m 3m 2) 2m n 3) 3m 2n 4) n 2m 5) 3n 4m
f.
El “ triple del cuadrado de la diferencia entre a y el cuádruplo de b” en lenguaje algebraico es :
1)
3a b 2
2) 3a 2 3) 3a 2
4b 2
4b
2
4) 3a 4b
2
5) 3(a b 4 ) 2
4
Guía de álgebra para curso propedéutico de la Facultad de Química, 2011
g. Si a es la mitad de b y b es igual a 4, entonces, el doble de a mas el triple de b es: 1) 12 2) 14 3) 16 4) 18 5) 20
h. La mitad de z aumentada en el producto de 18 por w, se expresa por: 1) 2) 3) 4) 5)
i.
z 2
18w
z 18 w 2
z 2
18w 2
z 18 w 2 1 2
z 18w
Después de subir x kilogramos, Lorena pesó 50 kilogramos. ¿Cuál era su peso anterior? 1) x kg 2) 50 kg 3)
x 50 kg
4)
x 50 kg
5)
50 x kg
5
Guía de álgebra para curso propedéutico de la Facultad de Química, 2011
j.
Si Rafael es 10 años mayor que Jessica. ¿Qué edad tiene Rafael si hace x años Jessica tenía 10 años? 1) x años 2) 10 años 3)
x 20 años
4)
20 x años
5)
x 20 años
k. ¿En cuál(es) de las siguientes ecuaciones, n toma un valor perteneciente a los números naturales? I.
n5 2
II.
2n 3 7
III.
3n 5 10
1) Sólo I 2) Sólo I y II 3) Sólo I y III 4) Sólo II y III 5) I, II y III
l.
Si el doble de 3x es 36, entonces. ¿Cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera (s)? I.
El doble de 3x es igual al triple de 2x
II.
La mitad de 3x es igual al cuadrado de 3
III.
El doble de x es igual al triple de 3 1) Sólo I 2) Sólo II 3) Sólo I y II 4) Sólo I y III 5) Sólo II y III
6
Guía de álgebra para curso propedéutico de la Facultad de Química, 2011
a x
m. Si las dimensiones de un rectángulo son
y
a x
entonces su área quedará
expresada por: 1)
a x 2
2)
a x 2
3) 2a b 4) a 2
x2
5) a 2
b2
3. Realiza los siguientes ejercicios.
a. 3x – 2 b. x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 c.
x3 - y3
d. x2 + (x + 1)2
4. Resuelve los siguientes problemas. a. El precio de 1 kg de naranjas es x pesos. Expresa en lenguaje algebraico: a) Lo que cuestan 5 kg de naranjas. b) Lo que cuesta ½ kg de naranjas. c) El dinero que devolverán si se paga con 50 pesos y se compran 3 kg de naranjas. b. Si un bolígrafo cuesta p pesos y un lapicero, q pesos, expresa en función de p y q: a) El precio de 4 lapiceros b) El precio de 5 bolígrafos c) El precio de 3 bolígrafos y 2 lapiceros d) d) El precio de 10 bolígrafos y 1 lapicero c. Determina la expresión algebraica del perímetro de un triángulo donde las longitudes de sus lados son 3 números consecutivos. d. Determina la expresión algebraica del perímetro de un rectángulo que cumple que la medida de la
7
Guía de álgebra para curso propedéutico de la Facultad de Química, 2011
base es el doble que la altura. Si la altura mide 4 cm, ¿cuánto mide el perímetro? e. Determina la expresión algebraica del área de un rectángulo cuyas dimensiones suman 8 cm. f.
Calcula la expresión algebraica del área de un triángulo cuya base es 2/3 de la altura. Hallar el valor numérico para el caso en que la altura mida 4 cm.
g. Expresa en lenguaje algebraico el perímetro de un rectángulo de dimensiones a y b. ¿Cuál es el valor numérico para el caso de tener a = 3 cm y b = 5 cm? h. Expresa en lenguaje algebraico el perímetro de un triángulo isósceles cuyo lado igual es 2/3 del lado desigual.
5. Transformar en enunciados verbales las siguientes expresiones algebraicas:
a. b. c. d.
ab 2
a b 2
ab 2
a b
;b
0
e. 2n 1 f. g.
2a 7
2 7
n 5n 5
h. n 10
2
i.
n 13
j. 4n 8 k. 5n 2 l.
n6
3n 22 5 8
Guía de álgebra para curso propedéutico de la Facultad de Química, 2011
m. n.
x2
1
x3 2n 1
n3
1
,n
3
o. 5 x 1 9 p. q.
x 5 12 x 5
26
r.
a ba b
s.
x x 2 x 4 1202
t.
3x 2 x 5 x 4
u.
x2
v.
x 8 5
7 x 12 0
2x
2
x3
9
Guía de álgebra para curso propedéutico de la Facultad de Química, 2011
Sesión II. Operaciones fundamentales con polinomios. A. Reglas de los exponentes y radicales.
I.
Producto, Cociente, potencia de potencia de bases iguales
II.
Exponentes negativos
III.
Exponente cero
IV.
Exponentes fraccionarios y su conversión a radical
V.
Suma, resta, producto, cociente y raíz enésima de radicales
VI.
Aplicaciones de los exponentes, notación científica
1. Simplifica. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. n. o. p. q.
10
Guía de álgebra para curso propedéutico de la Facultad de Química, 2011
r. s.
t. u.
v.
w.
x.
y.
z.
aa. 2. Simplifica las siguientes expresiones y expresa el resultado empleando únicamente exponentes positivos. a. b. c. d. e. f. g.
11
Guía de álgebra para curso propedéutico de la Facultad de Química, 2011
h. i. j. k. l. m. n. o. p. q. r. s. t. u. v. w. x. 12
Guía de álgebra para curso propedéutico de la Facultad de Química, 2011
3. Escribe las siguientes expresiones en su forma exponencial.
a. b. c. d. e. f. g. h.
4. Cambia a la notación con radical las siguientes expresiones. a. b. c. d. e.
5. Cambia a la notación con radical y simplifica de ser posible las siguientes expresiones. a. b. c. d. e. f. g. h.
13
Guía de álgebra para curso propedéutico de la Facultad de Química, 2011
i. j.
6. Simplifica las expresiones siguientes.
a. b. c. d. e. f. g. h. i. j.
7. Simplifica las expresiones siguientes.
a. b. c. d. e. f.
8. Convierte cada número a notación científica. a. 54 000 000 (mujeres trabajadoras en E.U.A.) b. 1 900 000 000 (dólares gastados en camas de
14
Guía de álgebra para curso propedéutico de la Facultad de Química, 2011
agua y accesorios en un año) c. 0.00024 (probabilidad de que se presente un póker en una mano) d. 0.05 (gramos de una amiba) e. 0.02 (gramos de un hepatocito) f.
0.00000009 (longitud de onda de un rayo X en centímetros)
g. 0.000 000 000 000 000 000 000 167 248 (gramos de la masa de un protón) h. 30 000 000 000 cm/s (velocidad de la luz en el vacío) i.
149 700 000 km (distancia entre Sol y Tierra)
j.
0.000 000 1 mm equivalen a un angstrom
9. Convierte cada número a la notación normal. a. 1.53 x 102
(libras de carne consumidas por
persona por año en E.U.A.) b. 6.85 x 109 (fortuna estimada, en dólares, de las cinco mujeres más adinerados) c. 3.31 x 104 (velocidad del sonido en el aire) d. 7.96 x 105 e. 3.7 x 10-4 f.
4.12 x 10-5
g. 1 x 100 h. 5.345 x 1012 i.
5.345 x 10-9
j.
75.6 x 10-4
15
Guía de álgebra para curso propedéutico de la Facultad de Química, 2011
10. En los ejercicios siguientes usa la notación científica para calcular las respuestas. a. La velocidad del sonido en el aire es de 3.31 x 104 centímetros por segundo. Calcula esa velocidad en centímetros por hora. b. Si la masa de un protón es 0.000 000 000 000 000 000 000 167248 g, calcula la masa de un millón de protones. c. La velocidad de la luz en el vacío es, aproximadamente 30 000 000 000 centímetros por segundo. Calcula esa velocidad en km/h. d. El planeta Plutón queda, aproximadamente, a 3 574 000 000 millas de la Tierra. Si una nave espacial pudiera viajar a 18 000 millas por hora, ¿cuánto tardaría en llegar a Plutón? e. Las distancias en astronomía se miden en parsecs donde 1 parsec = 2.06 x 105 AU. Por lo tanto 1 parsec = (2.06 x 105) * (1.5 x 108) kilómetros. Escrito en notación científica ¿A cuántos kilómetros equivale esto? f.
La distancia que la luz recorre en un año se llama año luz. La estrella más cercana, Próxima Centauri, se encuentra a 4.22 años luz. En notación científica y con dos lugares decimales, ¿A cuántos kilómetros equivale esto?
16
Guía de álgebra para curso propedéutico de la Facultad de Química, 2011
11. Simplifica la expresión y racionaliza el dominador cuando sea apropiado.
a. b. c.
d.
e.
12. Simplifica la expresión.
a. b. c. d. e.
17
Guía de álgebra para curso propedéutico de la Facultad de Química, 2011
B. Operaciones fundamentales.
I.
Suma
II.
Resta
III.
Multiplicación
IV.
División
1. Expresa como polinomio. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. n. o. p.
2
3
5
2
4x y 8x y
2
q.
1 4
63a b 5
r.
3 0
45a b c
25 w z 5wz
4
9
18
Guía de álgebra para curso propedéutico de la Facultad de Química, 2011
s.
4p
2
2
3s r
v.
w.
4 3
18s r 2
9k h
2
2
2
18k h 27kh 3
9k h 6x
3
11x
2
4b
3
3
x2
b 2 3b 7 b 1
16t
2
16t
9t 5
4t 5 4
y.
4
3x 2
3
x.
27s r 4
u.
3
6p 3
t.
p
13d 16d
2
3d
3
4d 3
19
Guía de álgebra para curso propedéutico de la Facultad de Química, 2011
Sesión III. Productos notables y factorización. 1. Desarrolla los siguientes productos notables. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. n. o. p. q. r. s. t. u. v. w. x. y. z.
20
Guía de álgebra para curso propedéutico de la Facultad de Química, 2011
2. Resuelve los siguientes ejercicios. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. n. o. p. q. r. s. t.
v. w. x. u.
21
Guía de álgebra para curso propedéutico de la Facultad de Química, 2011
3. Factorización. a. a2 + ab b. b+b2 c. a3 + a2 + a d. a3 + a2 + a e. 96 – 48 mn2 + 144 n3 f.
x – x2 + x 3 – x 4
g. a(x + 1) + b( x +1) h. ( a+3 )( a+1) – 4( a+1) i.
3x(x – 2) – 2y(x – 2)
j.
a( n + 2 ) + ( n + 2 )
k. a 4 + a 2 + 1 l.
a 4 + 2 a 2+ 9
m. 25 a 4 + 54 a 2 b2 +49 b 4 n. a2 + ab + ax +bx o. 4a3 – 1 – a2 + 4ª p. 3x3 – 9 ax2 – x + 3a q. x2 – a +x – ax2 r.
4ax3 – 4a2b + 3bm – 3amx
s. n2x – 5a2y2 – n2y2 + 5a2 x t.
4am3 – 12amn – m2 +3n
u. 3 a2 – 7 b2x + 3ªx – 7ab2 v. 3ax – 2by – 2bx – 6 a +3ay + 4b w. 3x3 +2axy +2ay2 – 3 xy2 – 2ax2 – 3x2y x. m 4 + 2m2 n2 + n4 y. 4 a 4 + 12a 2 b 2 + 9 b 4 z. 4 a 8 – 28 a 4 b 4 + 49 b 8 aa. 1 + a 3 bb. 1 – a 3 cc. x3 + y3
22
Guía de álgebra para curso propedéutico de la Facultad de Química, 2011
dd. m3 – n3 ee. a 3 – 1 ff. 1 + a 3 gg. 27 a 3 – b3 hh. 64 + a6 ii. a 3 – 125 jj. 1 – 216 m3 kk. x 8 + 4x 4 + 4 ll. 16 m 4 – 24m 2 n 2 + 9 n 4 mm.
25 x 4 – 139 x 2 y 2 + 81 y 4
4. Factoriza los binomios siguientes, cuando sea posible.
a.
x
2
b.
y
2
c.
9w
1 ( x 1)( x 1)
2
9
64
d. 16k 4 81t 2 e. 144a 2 b4 2
f.
4h
g.
64r
6
9z
4
121s
2
h. (a b) 2 c 2 4
i.
256x y
j.
(m n)
k.
q
l.
225u
4
4
2
z8
p4
12
81w 4
8
4
16v w
m. 100a 2 b 4 c 6
10
169d
n. 14. x 4 y 4 o. 6s 6 p.
10
k
14
t
10
h
23
Guía de álgebra para curso propedéutico de la Facultad de Química, 2011
q.
w
5
z
7
r.
36x y
6
s.
81 196t
t.
a 4 16
8
49z
4
6
5. Factoriza los trinomios siguientes. a. x 2 + 7 x + 10 b. x 2 – 5 x + 6 c. x 2 + 3 x – 2 d. c 2 + 5 c – 24 e. a 2 + 7 a + 6 f.
c 2 – 13 c – 14
g. x 2 + 15 x + 54 h. a 2 + 7 a – 60 i.
m 2 – 20 m – 300
j.
m 2 – 2 m – 168
k. c 2 + 24 c + 135 l.
x 2 + 12 x – 364
m. y 2 + 50 y + 336 n. n 2 + 43 n +432 o. m 2 – 8m – 1008
6. Factoriza los trinomios siguientes: a. 2x2 + 3x – 2 b. 3 x2 – 5 x – 2 c. 6 x2 + 7 x + 2 d. 5x2 + 13 x – 6 e. 20y 2 + y – 1 24
Guía de álgebra para curso propedéutico de la Facultad de Química, 2011
f.
8a2 – 14 a – 15
g. 16 m + 15 m2 – 15 h. 2a2 + 5 a + 2 i.
m – 6 + 15 m2
j.
9x2 – 8 a – 12
k. 15x 2 2 13x l.
2
18w
3w 10
m. 6 z 2 17z 12 n.
4p
2
9 12x
o. 6k 2h 2 17khj 12 j 2 p. 9t 2 3t 2 q. 6u 2v 2 uvz 12z 2 2
2
r.
8 x z 6 xyz 9 y z
s.
21d
t.
2b
4
2
3
10d
2
16d
5b 4
25
Guía de álgebra para curso propedéutico de la Facultad de Química, 2011
Sesión IV. Ecuaciones de primer grado. 1. Encontrar la solución a las siguientes ecuaciones lineales. a. 5 + 6x = 2 b. 4b + 1 = -18 c. 5 - 2d = 9 d. - 3f + 1 = 4 e. (3t - 1) + 7 = 8t - (3 - 2t) f.
18c - 3 = 0
g. 13 - h = 13 h. - 2 - 5g = 0 i.
2k + 7 = 12 - 3k
j.
(8v-5) + (6-7v) - 1 = 7 - (v-1) + (4v+4)
k. (3w - 8) - (4 - 9w) + 3 = 7w - 2 - (5w + 9 - 3) l.
-(4x-6+5x) + (9-5x+3-2x) = 7x - (1 - 6x)
m. 12y = 3(3y - 5) n. 5j - 9 = 3j + 5 o. - 4x = 7 - 6x p. 5m – 3.2 = 2m + 2.8 q. 5n - 2n + 12 = 35 - 4n – 9 r. 3ñ - 15 + 2ñ - 14 = ñ – 11 s. 2(b + 2) - 5(2b - 3) = 3 t.
7 - 6(c - 1) + 3(3 - 4c) = 7 + (7c - 4)
u. -2(d + 7)-(3d + 5)=2d+(4d-9+3d)-(d - 3) v.
48p - 13 + 12p = 72p - 3 - 24p
w. 5s + (4 - s) = 9 - (s - 6) x. 3z - 1 = 2(z - 1)
26
Guía de álgebra para curso propedéutico de la Facultad de Química, 2011
y. 21 - [5g - (3g - 1)] - g = 5g – 12 z. 2[7p - 2(p - 1)] + 3(4p + 7) = 5 - (p - 1)
2. Obtén la solución de cada uno de los siguientes ejercicios. a. 3[2 - (3j - 6)] + 4[6j - (1 - 2j)] = 4 - 5j b. 3[2x - (5x + 2)] + 1 = 3x - 9(x -3) c. 34 - 52(12n - 34) + 235 = 32 + 101(35n - 1) d. 2 - {2m + [2m - (2 - 2m)]} = 2 e. 8(6f - 14)-7(12 - 5f)+(23f + 2)-(2f + 65) = 0 f.
8{2 - [q + 2(q - 3)] + 1} = 3 - (8 - 3q)
g. (2v - 4)² + 6v - 3 = 4v² - (3v - 1) h. (3x - 3)² - (2x - 7) = (3x - 5)(3x + 5) i.
2c/7 = ¾
j.
2 - {k - [6k - (1 - 2k)]} = 100
k. 240h - [24 - (6h + 8) - (5 - 2h )] = 3-(8h - 12) l.
(t - 3)² - (t - 2)² = 5
m. (w + 3)² + 4 = (w - 2)² + 5w – 2 n. b/5 = ½
3. Resuelve las siguientes ecuaciones.
a. b. c. d.
27
Guía de álgebra para curso propedéutico de la Facultad de Química, 2011
e. f. g. h. i. j. k. l. m. n. o. p. q. r. s. t.
28
Guía de álgebra para curso propedéutico de la Facultad de Química, 2011
4. Resolución de problemas que implican ecuaciones de primer grado a. Un número multiplicado por 5 sumado con el mismo número multiplicado por 6 da 55. ¿Cuál es el número? b. ¿Qué número se debe restar de p+2 para obtener 5? c. El doble de un número aumentado en 12 es igual a su triple disminuido en 5. ¿Cuál es el número? d. Tres números impares consecutivos suman 81. ¿Cuáles son los números? e. El doble de un número más el triple de su sucesor, más el doble del sucesor de éste es 147. Hallar el número. f.
Las dimensiones de un rectángulo están en la razón 3:5 y su perímetro es 140 m. Calcular el largo y en ancho.
g. Si el lado de un cuadrado es aumentado en 8 unidades, su perímetro se triplica. ¿Cuánto mide el lado? h. Hernán tiene el doble de dinero que Gladis y el triple que María. Si Hernán regalara $ 14 a Gladys y $ 35 a María, los tres quedarían con igual cantidad. ¿Cuánto dinero tiene cada uno? i.
El numerador de una fracción excede en dos unidades al denominador. Si al numerador se le suma 3, la fracción queda equivalente a
j.
4 3
. Hallar la fracción.
Dividir 1080 en dos partes tales que la mayor disminuida en 132 equivalga a la menor aumentada en 100.
k. La cabeza de un pez corresponde al tercio de su peso total, la cola a un cuarto del peso y el resto del cuerpo pesa 4 kg 600 gramos. ¿Cuánto pesa el pez? l.
La diferencia entre dos números es 38. Si se divide el mayor de los números por el menor, el cociente es 2 y queda un resto de 8. Determina los números.
m. Separa el número 180 en dos partes tales que dividiendo la primera por 11 y la segunda por 27, la suma de los cocientes sea 12. n. Un trozo de alambre de 28 cm de largo se ha doblado en forma de ángulo recto. Determina la distancia entre ambos extremos del alambre, si uno de los lados del ángulo formado mide 12 cm. o. Al preguntársele a Pitágoras por el número de sus alumnos, dio la siguiente respuesta: “L a mitad de mis alumnos estudia matemáticas, la cuarta parte estudia física, la séptima parte 29
Guía de álgebra para curso propedéutico de la Facultad de Química, 2011
aprende f ilosofía y aparte de éstos hay tres niños muy chicos” ¿Puedes deducir cuántos alumnos tenía el famoso matemático griego? p. Al comprar 3 kg de tomates y 4 kg de papas, una dueña de casa pagó $ 119. ¿Cuánto vale el kg de tomates, sabiendo que es $ 14 más caro que el kg de papas? q. La entrada para una función de teatro al aire libre vale $60 adultos, y $25 niños. La recaudación arrojó un resultado de 280 asistentes y fue de $ 14.000. ¿Cuántos niños asistieron a la función? r.
En un tratado del álgebra escrito por el célebre matemático Leonhard Euler, publicado en 1770 aparece el siguiente problema: “En una hostería se alojan 20 personas entre hombres y
mujeres. Cada hombre paga 8 monedas por su hospedaje y cada mujer 7 del mismo valor, ascendiendo el total de la cuenta a 144 monedas. Se pregunta cuántos hombres y cuántas mujeres son”
s. Silvia compra un pañuelo, una falda, y un abrigo en $ 5050 . Calcula los precios respectivos, si la falda vale 25 veces más que el pañuelo, y el abrigo, el triple de la falda. t.
Se cuenta que la legendaria fundadora de Praga, la reina Libussa de Bohemia, eligió a su consorte entre tres pretendientes, planteándoles el siguiente problema: ¿cuántas ciruelas contenía un canasto del cual ella sacó la mitad del contenido y una ciruela más para el primer pretendiente; para el segundo la mitad de lo que quedó y una ciruela más y para el tercero la mitad de lo que entonces quedaba y tres ciruelas más?, si con esto el canasto se vació, ¿puedes calcularlo tú?
30
Guía de álgebra para curso propedéutico de la Facultad de Química, 2011
Sesión V. Sistemas de ecuaciones lineales. A. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Métodos:
I.
Suma y/o resta
II.
Sustitución
III.
Igualación
IV.
Determinante
V.
Gráfico
1. Resuelve los siguientes sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas por cualquiera de los métodos anteriormente mencionados.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
31
Guía de álgebra para curso propedéutico de la Facultad de Química, 2011
h.
i.
j.
k.
l.
m.
n.
o.
p.
q.
r.
s.
32
Guía de álgebra para curso propedéutico de la Facultad de Química, 2011
t.
u.
v.
2. Utiliza dos ecuaciones lineales con dos incógnitas para resolver los siguientes problemas. a. Un avión pequeño puede cargar 950 libras de equipaje distribuidas en dos compartimientos de carga. En un vuelo, el avión va totalmente cargado con 150 libras más en un compartimiento que en el otro. ¿Cuánto equipaje hay en cada compartimiento? b. Una parte de $80 000 se invirtió a una tasa de interés del 10, y el resto al 12%. Si los ingresos anuales por esas inversiones fueron $900 ¿Cuánto se invirtió a cada tasa? c. Un automóvil recorre 50 millas en el mismo tiempo en que un avión viaja 180 millas. La velocidad del avión es 143 millas por hora mayor que la del automóvil. Calcula la velocidad del automóvil. d. Un automóvil y un camión salen de La Gloria al mismo tiempo, en direcciones opuestas. Cuando están a 350 millas de distancia entre ellos, el automóvil ha recorrido 70 millas más que el camión ¿Qué distancia recorrió el automóvil? e. Un fabricante de bicicletas produce vehículos de carrera y de montaña, con los costos unitarios de fabricación que aparecen a continuación: Modelo
Costo de materiales
Costo de mano de obra
carreras
$255
$260
montaña
$270
$290
La empresa ha considerado un presupuesto de $159 000 para gastos de mano de obra y $130 750 para materiales. ¿Cuántas bicicletas de cada tipo se pueden fabricar? 33
Guía de álgebra para curso propedéutico de la Facultad de Química, 2011
f.
Un campesino tiene a algunos de sus animales bajo una dieta estricta. Cada animal debe recibir 15 gramos de proteínas y 7.5 gramos de carbohidratos. El campesino emplea dos mezclas alimenticias que contienen los nutrientes que tenemos en la siguiente tabla: Mezcla
Proteínas
Carbohidratos
A
12%
9%
B
15%
5%
¿Cuántos gramos debe usar de cada mezcla para proporcionar las cantidades correctas de nutriente a cada animal? g. Dos máquinas pueden cepillar placa de latón. Una máquina tiene $600 de costo de mantenimiento y $4 de costo por placa. La otra máquina tiene costos de mantenimiento de $1000 y costo por placa de $2. Calcula el punto de equilibrio. h. Un impresor cuenta con dos prensas. En una, los costos de arreglo son de $2100, y se puede imprimir determinado libro en $59.80 cada ejemplar. La otra prensa tiene costos de arreglo de $3500, y puede imprimir el mismo libro en $59.50. Determina el punto de equilibrio. i.
Un vendedor puede elegir entre dos opciones de salario: a) Una comisión directa del 7%, o b) $1500 mensuales + comisión del 2%. ¿Cuánto debe vender esa persona para obtener la misma retribución en cualquier plan? Si vende menos ¿Qué plan le conviene? Si vende más ¿Cuál de los dos planes es mejor?
j.
Si dos ángulos son complementarios, su suma es 90°. Si uno de dos ángulos complementarios mide 16° más que el otro, calcula el valor de cada ángulo.
k. La fórmula para convertir grados Fahrenheit (F) en grados Celsius (C) es:
¿Cuándo será la temperatura en grados Celsius la misma que en grados Fahrenheit? l.
Se quiere obtener 1 lingote de oro de 1 kg de peso y ley de 900 milésimas, fundiendo oro de 975 milésimas y oro de 875 milésimas. ¿Qué cantidad hay que fundir de cada clase?
m. Un comerciante compró dos relojes distintos por 18 €. y los vendió por 19,35 €. ¿Cuánto pagó por cada reloj si en la venta del primero ganó un 20% y en la del segundo perdió un 5%? n. Se tienen dos soluciones de la ecuación ax + by = 15. La primera x = 2 e y = -1
34
y la
Guía de álgebra para curso propedéutico de la Facultad de Química, 2011
segunda solución x = -2 e y = -29. Calcula a y b. o. Dos líquidos de densidades 0,7 kg/L y 1,3 kg/L se mezclan obteniéndose un líquido de densidad 0,9 kg/L. Halla la cantidad de líquido que hay que tomar de cada clase para obtener una mezcla de 30 L. p. Un vinatero poseía 760 litros de vino de $82.50/litro. Por tener poca salida comercial decidió mezclarlo con cierta cantidad de otro vino de $72/litro. ¿Qué cantidad del segundo vino ha de mezclar con el primero para que la mezcla resulte a $75 el litro? q. Se ha comprado alcohol de quemar a $25/litro y se ha mezclado con otro de $27//litro. Halla la cantidad que entra de cada clase para obtener 100 litros de mezcla de $25.50/litro. r.
Dos grifos han llenado un depósito de 31 m3 corriendo el uno 7 horas y el otro 2 horas. Después llenan otro depósito 27 m 3 corriendo el uno 4 horas y el otro 3 horas. ¿Cuántos litros vierte por hora cada grifo?
s. Un depósito se llena por un grifo en 5 horas y por otro en 2 horas. ¿Cuánto tardará en llenarse abriendo los dos grifos a la vez? t.
Dos grifos alimentan simultáneamente un depósito tardando 2'4 horas en llenarlo. Si se abriera cada grifo por separado el primero tardaría 2 horas menos que el segundo. ¿Cuánto tiempo tardaría cada uno de ellos en llenarlo de manera independiente?
u. En una peluquería se hace una mezcla para un tinte. Si añadiésemos 4ml a la cantidad utilizada del producto A, el volumen sería el mismo que un tercio del producto B. Por otro lado, el doble del volumen de A es lo que le falta al B para medir 250 ml. ¿Qué cantidad se usa de cada producto? a)
47.6 ml de producto A y 154.8 ml de B
b) 774/5 ml de A y 238/5 de B
c) No está la respuesta v. Una piscifactoría cultiva en sendos tanques truchas y doradas. Si se colectara un tercio de las truchas y la mitad de las doradas se obtendrían 184 peces. Por otro lado, si se colectara la quinta parte de las truchas y la cuarta parte de las doradas obtendríamos 98 peces. ¿Cuántos peces de cada especie hay en cada tanque? a)
270 doradas y el resto truchas
b) 248 doradas y 180 truchas
c) No está la respuesta
35
Guía de álgebra para curso propedéutico de la Facultad de Química, 2011
w. Un depósito A contiene 32 litros de una solución de alcohol al 25% en volumen. Otro depósito B contiene 50 litros de solución de alcohol al 40% en volumen. Hallar el volumen que se debe extraer de cada uno de ellos para obtener 40 litros de solución de alcohol al 30% en volumen. x. Un depósito A contiene 40 L de una solución salina con una cantidad de sal de 80 kg. Otro depósito B contiene 120 L de una solución con 60 kg de sal disuelta. Hallar el volumen que se debe extraer de cada uno de ellos para obtener 30 L de solución cuya concentración sea de 1.5 kg/L. y. Una aleación contiene un 10% de zinc y un 20% de cobre. Hallar el número de kilogramos de zinc y cobre que se deben alear con 100 kg de la aleación dada, para obtener una tercera aleación con un 20% de zinc y un 24% de cobre. z. Una aleación cuya masa es de 600 kg está compuesta por 100 kg de cobre y 50 kg de estaño. Otra aleación de 1000 kg está compuesta por 300 kg de cobre y 150 kg de estaño. Hallar las masas de cobre y de estaño que se deben mezclar con las dos aleaciones dadas para obtener una tercera aleación con un 32% de cobre y un 28% de estaño. Los % son en masa. aa. Se tiene una solución de HCl con una concentración al 50% y otra al 80%. ¿Qué cantidad de cada una se debe mezclar para obtener 100 ml de una solución al 68%? Los tantos por ciento son en volumen. bb. En un examen de 20 preguntas la nota de Juan ha sido un 8. Si cada acierto vale un punto y cada error resta dos puntos, ¿cuántas preguntas ha acertado Juan?, ¿cuántas ha fallado? cc. La cifra de las decenas de un número de dos cifras es doble que la cifra de las unidades. Halla ese número sabiendo que si le sumamos el número formado por sus cifras cambiadas de lugar el resultado es 99. dd. Dos compañeros de BUP hacen un trabajo de historia y lo tienen que pasar a máquina. Si lo hacen los dos juntos, tardan 12 horas, pero Pepe, mecanografiándolo todo él sólo, invierte 10 horas más que Paco. ¿Cuánto tiempo tardaría cada uno por separado?
36
Guía de álgebra para curso propedéutico de la Facultad de Química, 2011
B. Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.
Métodos:
I.
Suma y/o resta-sustitución
II.
Determinantes
III.
Gráfico
1. Resuelve los siguientes problemas. a. Un artista hace tres tipos de estatuas de cerámica, con un costo mensual de $6500 por 180 estatuas. Los
costos de fabricación de los tres tipos son $50, $40 y $30, respectivamente. Si
vende sus estatuas a $200, $120 y $90, respectivamente, ¿cuántas de cada tipo debe fabricar para obtener $12100 de ingresos mensuales? b. En cada uno de tres alimentos, la unidad de peso tiene los nutrientes que se muestran en la tabla. ¿Cuántas unidades de peso de cada uno se deben ingerir para obtener exactamente 11 gramos de grasas, 6 gramos de carbohidratos y 10 gramos de proteínas? Alimento Grasas Carbohidratos Proteínas A
1
1
2
B
2
1
1
C
2
1
2
c. Un fabricante de ropa produce sacos, camisas y pantalones. En la tabla siguiente vemos el tiempo necesario para cortar, cose y empacar cada prenda. ¿cuántas prendas de cada una debe producir para llenar todas las horas disponibles de trabajo? Actividad
Sacos
Corte
20 min 15 min
10 min
115 horas
Costura
60 min 30 min
24 min
280 horas
6 min
65 horas
Empaque 5 min
Camisas Pantalones Tiempo disponible
12 min
d. Una fábrica produce tres tipos de balones de futbol, con un costo mensual de $24,250 por cada 1125 balones. Los costos de fabricación de los tres tipos de balones son $40, $30 y $20.
37
Guía de álgebra para curso propedéutico de la Facultad de Química, 2011
Estos balones se venden en $160, $120 y $100, respectivamente. ¿Cuántos balones de cada tipo se fabrican si la ganancia mensual es de $92,750? e. El dueño de una tienda quiere mezclar cacahuates de $15 el kg, almendras de $ 45 kg y nueces de la India de $45 el kg, para obtener 50 kg de una mezcla que pueda vender a $15 el kg. Usó 15 kg menos de almendras que de cacahuates. ¿Cuántos kilogramos de cada producto debe utilizar?
38
Guía de álgebra para curso propedéutico de la Facultad de Química, 2011
Sesión VI. Ecuaciones de segundo grado.
1. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas puras: a. b. c. d. e. f. g. h.
i. j.
2. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas mixtas: a. b. c. d. e. f. g. h.
3. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas completas: a.
39
Guía de álgebra para curso propedéutico de la Facultad de Química, 2011
b. c. d. e. f. g. h. i. j.
k. l. m. n.
o. p. q. r. s. t. u. v. w. x.
y. z.
40
Guía de álgebra para curso propedéutico de la Facultad de Química, 2011
4. Resolución de problemas a través de ecuaciones cuadráticas. a. La suma de dos números es 10 y la suma de sus cuadrados es 58. Halle ambos números. b. El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho. Si el ancho aumenta 3 m y el largo aumenta 2 m, el área se duplica. Halle el área original de la sala. c. Halle el área y perímetro del triángulo rectángulo mostrado. Las dimensiones están en metros.
2x – 5 x+3
x-4 d. Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 m². e. Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m². f.
Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 75 m, sabiendo que es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden 36 m y 48 m respectivamente.
g. Halla un número entero sabiendo que la suma con su inverso es
.
h. Dos caños A y B llenan juntos una piscina en dos horas, A lo hace por sí solo en tres horas menos que B. ¿Cuántas horas tarda a cada uno separadamente? i.
Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medidas en centímetros tres números pares consecutivos. Halla los valores de dichos lados.
j.
Una pieza rectangular es 4 cm más larga que ancha. Con ella se construye una caja de 840 cm 3 cortando un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquina y doblando los bordes. Halla las dimensiones de la caja.
k. Un caño tarda dos horas más que otro en llenar un depósito y abriendo los dos juntos se llena en 1 hora y 20 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarlo cada uno por separado? l.
Un automovilista recorre 240 km a velocidad constante. Si la velocidad hubiera sido de 5 km menos por hora hubiera empleado 12 minutos más en su recorrido: ¿cuál fue su velocidad? 41
Guía de álgebra para curso propedéutico de la Facultad de Química, 2011
m. Los integrantes de una agrupación juvenil compraron un tostador de pan por $240. El dinero que pagó cada integrante equivale al número de personas aumentado en 14. ¿Entre cuántos integrantes compraron el tostador? n. Si cada uno de los lados opuestos de un cuadrado se duplica y cada uno de los otros lados opuestos se disminuye 2 m, el área del rectángulo resultante supera en 32m2 al área del cuadrado original. Encuentre la longitud del lado del cuadrado. o. Pedro Antonio compró cierto número de relojes por $192. Si el precio de cada reloj es ¾ del número de relojes, ¿cuántos relojes compró? p. ¿Cuánto debe medir el diámetro (d) de una pizza para que tenga la misma área que dos pizzas de 12 cm de radio? ¿Se come más con una pizza de 18 cm de radio o con dos de 12 cm de radio? q. De una hoja de cartón de 72 cm de largo y 48 cm de ancho, se desea cortar un margen de ancho constante de modo tal que la hoja que quede tenga una superficie igual a los cinco octavos de la hoja dada. ¿qué ancho debe tener ese margen? r.
Un conjunto de personas alquiló un micro en $1200. Como 3 personas no fueron, las demás debieron abonar $20 más de lo convenido. ¿cuántas viajaban originalmente?
s. Un inversor compra acciones por $18750; se reserva 15 y vende el resto a $17400, ganando $40 por acción vendida sobre su precio de costo. ¿cuántas acciones compró? t.
Un tren, por una nevada, debió marchar a 5 km/h más despacio que su velocidad habitual. De esa manera tuvo un retraso de 1 hora en 280 km de recorrido. ¿cuál es su velocidad habitual?
u. Halle dos fracciones inversas si su suma es trece sextos.
42
Guía de álgebra para curso propedéutico de la Facultad de Química, 2011
Sesión VII. Logaritmos. 1. Usando la Definición simbólica del logaritmo encontrar el valor faltante a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. n. o. p. q. r. s. t.
2. Usando las leyes de los logaritmos simplifica las siguientes operaciones. a.
43
Guía de álgebra para curso propedéutico de la Facultad de Química, 2011
b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. n. o.
3. Resolver las siguientes ecuaciones a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m.
44
Guía de álgebra para curso propedéutico de la Facultad de Química, 2011
n. o.
4. Resuelve los siguientes problemas. a. Calcule el pH de una disolución de ácido perclórico 0.03 M. b. Calcule el pH de una disolución 0.05 M de hidróxido de sodio. c. Para determinar la concentración de alcohol en la sangre de un automovilista, se utiliza la siguiente ecuación:
donde R indica el riesgo (dado como porcentaje), x es la concentración de alcohol en la sangre y k una constante. d. Una concentración de 0.04 de alcohol en la sangre produce un riesgo del 10% ( R=10) de sufrir un accidente, ¿cuál es el valor de la constante? e. Utilice el valor de k e indique cuál es el riesgo para diferentes concentraciones de alcohol (0.17, 0.19. 0.25). f.
Con el mismo valor de k indique la concentración de alcohol correspondiente a un riesgo del 100%.
g. Si la ley establece que las personas con un riesgo del 20% o mayor de sufrir un accidente no deben conducir vehículos, ¿con cuál concentración de alcohol en la sangre debe un conductor ser arrestado y multado? h. Cierta colonia de bacterias crece de acuerdo con la ley de crecimiento no inhibido.
Si la cantidad de bacterias se duplica en tres horas, ¿cuánto tiempo tardará la colonia en triplicar su número? i.
¿Cuál es la magnitud de un terremoto cuya lectura sismográfica es de 0.1 milímetros a una distancia de 100km del epicentro? Utiliza la siguiente ecuación:
45
Guía de álgebra para curso propedéutico de la Facultad de Química, 2011
Donde M es la magnitud, x los milímetros que tiene una magnitud M(x) y de un terremoto de nivel cero a una distancia de 100km del epicentro). j.
(lectura
El devastador terremoto de México en 1985 midió 8.1 en la escala de Richter. ¿Cómo se compara este terremoto con el terremoto de Haití en 2010 que midió 7.3 en la escala de Richter?
46
