UNIVERSIDAD DE ATACAMA FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES DEPARTAMENTO DE F´ ISICA
Asignatura: Asigna tura: F´ısica III II I Profesor: Rafael Uribe y Francisco Torres Gu´ Gu´ıa de ond ondas as mec´anicas anicas
a
La siguiente es una selecci´ on on de problemas del cap´ıtulo ıtulo 15 del libro “F´ “F´ısica universitaria de Sears y Zemansky 12
un un caso esta selecci´ on es exhaustiva y es responsabilidad de cada estudiante completar los ejemplos y on Ed.”. En ning´ problemas que aqu´ aqu´ı no se presentan..
Ondas peri´ odicas odicas
1. La rapidez del sonido en aire a 20 grados celcius es de 344 m/s. m/s. a) Calcule la longitud de onda de una onda sonora con frecuencia de 784 H 784 H z , que corresponde a la nota sol de la quinta octava de un piano, y cu´antos antos milisegundos dura cada vibraci´on. on. b) Calcule la longitud de onda de una onda sonora una octava m´as as alta que la nota del inciso a). 2. ¡Tsunami! El 26 de diciembre de 2004 ocurri´o un intenso terremoto en las costas de Sumatra, y desencaden´o olas inmensas (un tsunami) que provocaron la muerte de 200.000 personas. Gracias a los sat´elites elites que observaron observaron esas olas desde el espacio, se pudo establecer blec er que hab´ıa ıa 800 km k m de la cresta de una ola a la siguiente, y que el periodo entre una y otra fue de 1.0 hora. ¿Cu´al al fue la rapidez de esas olas en m/s y en km/h?? ¿Su respuesta m/s y en km/h le ayudar´ ayudar´ıa a comprender por qu´e las olas causaron causaro n tal devastaci´on? on? 3. Luz visible. La luz es una onda, pero no una onda mec´anica. anica. Las cantidades que oscilan son campos el´ectricos ectricos y magn´eticos. eticos. La luz que es visible para los seres humanos tiene longitudes de onda de entre 400 nm (violeta) nm (violeta) y 700 nm (rojo), nm (rojo), en tanto que toda la luz 8 viaja via ja en el vac´ vac´ıo a u una na rapidez c = ales son los l´ımites de la l a frecuencia f recuencia c = 3 × 10 m/s. m/s. a) ¿Cu´ales y el periodo de la luz visible? b) ¿Usando un cron´ometro ometro podr po dr´´ıa usted medir el tiempo que dura una sola vibraci´on on de luz? Descripci´ on on matem´ atica atica de una onda
4. La ecuaci´on on de cierta onda transversal es (6, 5 mm)cos2 y (x, t) = (6, mm )cos2π π
x 28, 28, 0 cm
−
t 0, 0360 s 0360 s
Determine la a) amplitud, b) longitud de onda, c) frecuencia, d) rapidez de propagaci´on y e) direcci´on on de propagaci´on on de la onda.
5. Ciertas ondas transversales en una cuerda tienen rapidez de 8.00 m/s, amplitud de 0,0700 m y longitud de onda de 0,320 m. Las ondas viajan en la direcci´on −x, y en t = 0 el extremo x = 0 de la cuerda tiene su m´aximo desplazamiento hacia arriba. a) Calcule la frecuencia, el periodo y el n´umero de onda de estas ondas. b) Escriba una funci´ on de onda que describa la onda. c) Calcule el desplazamiento transversal de una part´ıcula en x = 0,360 m en el tiempo t = 0,150 s. d) ¿Cu´anto tiempo debe pasar despu´es de t = 0,150 s para que la part´ıcula en x = 0,360 m vuelva a tener su desplazamiento m´aximo hacia arriba? 6. Una onda de agua que viaja en l´ınea recta en un lago queda descrita por la ecuaci´on y(x, t) = (3, 75 cm)cos 0, 450 cm −1 x + 5, 40 s −1 t
donde y es el desplazamiento perpendicular a la superficie tranquila del lago. a) ¿Cu´anto tiempo tarda un patr´on de onda completo en pasar por un pescador en un bote anclado, y qu´e distancia horizontal viaja la cresta de la onda en ese tiempo? b) ¿Cu´al es el n´umero de onda y el n´umero de ondas por segundo que pasan por el pescador? c) ¿Qu´e tan r´apido pasa una cresta de onda por el pescador y cu´al es la rapidez m´axima de su flotador de corcho cuando la onda provoca que ´este oscile verticalmente? 7. ¿Cu´al de las siguientes funciones satisfacen la ecuaci´on de onda? a) y(x, t) = A cos(kx + ωt); b) y(x, t) = A sin(kx + ωt); c) y(x, t) = A(cos kx +cos ωt); d) Para la onda del inciso b), escriba las ecuaciones para la velocidad y la aceleraci´on transversales de una part´ıcula en el punto x. 8. Una onda senoidal se propaga por una cuerda estirada en el eje x. El desplazamiento de la cuerda en funci´on del tiempo se grafica en la figura para part´ıculas en x = 0 y en x = 0,0900 m. a) Calcule la amplitud de la onda. b) Calcule el periodo de la onda. c) Se sabe que los puntos en x = 0 y x = 0,0900 m est´an separados una longitud de onda. Si la onda se mueve en la direcci´on +x, determine la longitud de onda y la rapidez de la onda. d) Si ahora la onda se mueve en la direcci´on −x, determine la longitud de onda y la rapidez de la onda. e) ¿Ser´ıa posible determinar de manera definitiva la longitud de onda en los incisos c) y d) si no supi´eramos que los dos puntos est´an separados una longitud de onda? ¿Por qu´e?
Rapidez de una onda transversal
9. Un extremo de una cuerda horizontal se conecta a una punta de un diapas´on el´ectrico que vibra a 120 H z . El otro extremo pasa por una polea y sostiene una masa de 1 ,50 kg. La densidad lineal de masa de la cuerda es de 0,0550 kg/m. a) ¿Qu´e rapidez tiene una onda transversal en la cuerda? b) ¿Qu´e longitud de onda tiene? c) ¿C´omo cambian las respuestas a los incisos a) y b), si la masa se aumenta a 3 ,00 kg?
10. Un alambre delgado de 75,0 cm tiene una masa de 16,5 g. Un extremo est´a amarrado a un clavo y el otro extremo est´a amarrado a un tornillo que puede ajustarse para variar la tensi´on en el alambre. a) ¿A qu´ e tensi´on (en newtons) debe ajustarse el tornillo para que la onda transversal cuya longitud de onda es de 3 ,33 cm registre 875 vibraciones por segundo? b) ¿Con qu´e rapidez viajar´ıa esta onda? 11. Un oscilador arm´onico simple en el punto x = 0 genera una onda en una cuerda. El oscilador opera con una frecuencia de 40,0 Hz y una amplitud de 3,00 cm. La cuerda tiene una densidad lineal de masa de 50,0 g/m y se le estira con una tensi´o n de 5,00 N . a) Determine la rapidez de la onda. b) Calcule la longitud de onda. c) Describa la funci´on y(x, t) de la onda. Suponga que el oscilador tiene su desplazamiento m´aximo hacia arriba en el instante t = 0. d) Calcule la aceleraci´on transversal m´axima de las part´ıculas de la cuerda. e) Al tratar las ondas transversales en este cap´ıtulo, despreciamos la fuerza de la gravedad. ¿Esa aproximaci´on es razonable en el caso de esta onda? Explique su respuesta. Energ´ ıa del movimiento ondulatorio
12. Cuando despega un avi´on a propulsi´on, produce un sonido con intensidad de 10,0 W/m2 a 30,0 m de distancia. Usted prefiere el tranquilo sonido de la conversaci´on normal, que es de 1,0 µW/m2. Suponga que el avi´on se comporta como una fuente puntual de sonido. a) ¿Cu´al es la distancia m´ınima a la pista de aterrizaje a la que usted podr´ıa vivir para conservar su estado de paz mental? b) ¿Qu´e intensidad del sonido de los aviones experimenta un amigo suyo, quien vive a una distancia de la pista de aterrizaje que es el doble de la distancia a la que usted vive? c) ¿Qu´e potencia de sonido produce el avi´o n en el despegue? 13. Desarrollo de energ´ıa. Imagine que efect´ua mediciones y determina que se est´an propagando ondas sonoras igualmente en todas direcciones desde una fuente puntual y que la intensidad es de 0,026 W/m2 a una distancia de 4,3 m de la fuente. a) Calcule la intensidad a una distancia de 3,1 m de la fuente. b) ¿Cu´anta energ´ıa sonora emite la fuente en una hora si su emisi´on se mantiene constante? Interferencia de ondas, condiciones de frontera y superposici´ on
14. Reflexi´on. Un pulso de onda en una cuerda tiene las dimensiones que se muestran en la figura en t = 0. La rapidez de la onda es de 40 cm/s. a) Si el punto O es un extremo fijo, dibuje la onda total en t = 15 ms, 20 ms, 25 ms, 30 ms, 35 ms, 40 ms y 45 ms. b) Repita el inciso a) para el caso en que O es un extremo libre.
15. Reflexi´on. Un pulso ondulatorio en una cuerda tiene las dimensiones que se muestran en la figura en t = 0. La rapidez de la onda es de 5,0 m/s. a) Si el punto O es un extremo fijo, dibuje la onda total a t = 1,0 ms, 2,0 ms, 3,0 ms, 4,0 ms, 5,0 ms, 6,0 ms y 7,0 ms. b) Repita el inciso a) para el caso en que el punto O es un extremo libre.
16. Interferencia de pulsos triangulares. Dos pulsos ondulatorios triangulares viajan uno hacia el otro por una cuerda estirada, como se muestra en la figura. Los pulsos son id´enticos y viajan a 2,00 cm/s. Los bordes delanteros de los pulsos est´an separados 1,00 cm en t = 0. Dibuje la forma de la cuerda en t = 0,250 s, t = 0,500 s, t = 0,750 s, t = 1,000 s y t = 1,250 s.
17. Dos pulsos se desplazan en sentidos opuestos a 1,0 cm/s en una cuerda tensada, como se ilustra en la figura. Cada cuadro representa 1,0 cm. Dibuje la forma de la cuerda al final de a) 6,0 s, b) 7,0 s, c) 8,0 s.
18. Interferencia de pulsos rectangulares. La figura muestra dos pulsos ondulatorios rectangulares en una cuerda estirada, que viajan uno hacia el otro. Su rapidez es de 1 ,00 mm/s y su peso y su anchura se muestran en la figura. Los bordes delanteros de los pulsos est´an separadas 8,00 mm en t = 0. Dibuje la forma de la cuerda en t = 4,00 s, t = 6,00 s y t = 10,0 s.
19. Dos ondas viajeras que se mueven por una cuerda son id´ enticas, excepto que sus velocidades son opuestas. Obedecen la ecuaci´on y(x, t) = A sin(kx ± ωt), donde el signo m´as-menos del argumento depende de la direcci´on en que viaje la onda. a) Demuestre que la cuerda que vibra est´a descrita por la ecuaci´on ynet = 2A sin kx cos ωt (Sugerencia: utilice las f´ormulas trigonom´etricas para sin(a ± b).) b) Demuestre que la cuerda nunca se mueve en los lugares en que x = nλ/2, donde n es un entero no negativo. Ondas estacionarias en una cuerda
20. Ciertas ondas estacionarias en un alambre se describen con la ecuaci´ on y(x, t) = (ASW sin(kx))sin ωt, si ASW = 2,50 mm, ω = 942 rad/s, y k = 0,750π rad/m. El extremo izquierdo del alambre est´a en x = 0. ¿A qu´e distancias de ese extremo est´an a) los nodos y b) los antinodos de la onda estacionaria? 21. Sean y 1 (x, t) = A cos(k1 x − ω1t) y y 2 (x, t) = A cos(k2 x − ω2t) dos soluciones de la ecuaci´on de onda para la misma v. Demuestre que y(x, t) = y 1 (x, t)+y2(x, t) tambi´en es una soluci´on de la ecuaci´on de onda. 22. Una onda estacionaria en una cuerda est´a dada por la expresi´on: πx y(x, t) = 0, 02 sin( ) cos(πt) 2 con x e y en metros y t en segundos. Encuentre a) las funciones de onda correspondientes a dos ondas que producen esta onda estacionaria, b) la distancia entre nodos en la onda estacionaria, c) una expresi´on para la velocidad de desplazamiento vertical de la cuerda en la posici´on x = 1 m. Modos normales de una cuerda
23. Un alambre con masa de 40,0 g est´a estirado de modo que sus extremos est´an fijos en puntos separados 80,0 cm. El alambre vibra en su modo fundamental con frecuencia de 60,0 Hz y amplitud en los antinodos de 0,300 cm. a) Calcule la rapidez de propagaci´on de ondas transversales en el alambre. b) Calcule la tensi´on en el alambre. c) Determine la velocidad y aceleraci´on transversales m´aximas de las part´ıculas del alambre. 24. Una cuerda de cierto instrumento musical mide 75,0 cm de longitud y tiene una masa de 8,75 g. Se toca en una habitaci´on donde la rapidez del sonido es de 344m/s. a) ¿A qu´e tensi´on debe ajustarse la cuerda de manera que, cuando vibre en su segundo sobretono, produzca un sonido cuya longitud de onda es de 3,35 cm? b) ¿Qu´e frecuencia de sonido produce la cuerda en su modo fundamental de vibraci´on? 25. Una cuerda de viola de 0,5 m de largo y densidad lineal de masa 0,1 g/m, est´a afinada para entregar la nota La, que corresponde a una frecuencia de 440 H z , cuando vibra en su modo fundamental. a) ¿Cu´anto debe reducirse el largo de la cuerda, presionando sobre el puente, para que la frecuencia fundamental de la cuerda suba a 550 H z ?, b) Si la cuerda se desafina y vibra en su modo fundamental a 435,6 Hz , ¿en cu´anto y en qu´e sentido (aumentando o disminuyendo) se debe cambiar la tensi´on de la cuerda, para que recupere la frecuencia fundamental de 440 H z ?
