ALGEBRA II GUÍA COMPLEMENTARIA N° 1 EJERCICIOS RESUELTOS Leyes de composición interna. Propiedades. Sobre el conjunto N se considera la ley: a+b a∗b= 2 Determine si se trata de una ley interna.
1-
Respuesta Recordando la definición y particularizándola para el conjunto IN:
es un ley interna en N si y solo si
:NxN
N
Puede verse que la ley no está definida en el conjunto, para ello basta un contraejemplo. 4 ∈ N, 3 ∈ N y 4 ∗ 3 = 4+3 = 7 ∉ N 2 2 2-
En el conjunto N se consideran las dos leyes siguientes a ∗ b = a + 2b a o b = 2ab a) ¿Son leyes internas? b) ¿Son conmutativas y asociativas? Es distributiva la ley o respecto de la ley ∗?
Respuesta a) Observando la definición de la ley ∗, si se componen dos elementos de N mediante esta ley, se obtiene, el primer elemento más el doble del segundo y como la suma suma y el producto están definidos en N, el resultado es un elemento de N, por lo tanto ∗ es una ley de comp. interna. De forma análoga se analiza el caso de la ley o. b)
y o son conmutativas? Recordando la definición: La l.c.i. es conmutativa sii
a, b
N: a b = b a
En adelante se pondrá l.c.i. o l.i. para referirse a una ley de composición interna. Se toman por separado los dos miembros de la igualdad y se los resuelve. a ∗ b = a + 2b
y b ∗ a = b + 2a
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comparando los resultados anteriores, se observa que a ∗ b ≠ b ∗ a lo cual implica que ∗ no es conmutativa. En forma análoga se hace para el caso de la ley o: Sean a, b elementos cualesquiera de N a o b = 2ab
y
b o a = 2ba
y en virtud de la conmutatividad del producto en N los segundos miembros de ambas expresiones son iguales por lo que se puede afirmar que a o b = b o a luego la ley o es conmutativa.
¿ y o son asociativas? Recordando la definición : La l.c.i. es asociativa sii
a, b, c
N : (a b) c = a (b c)
Se toman por separado ambos miembros de la igualdad anterior y se los resuelve, operando en primer lugar lo que que está encerrado entre paréntesis, paréntesis, de esta manera: (1)
(1)
(1)
(1)
(a ∗ b) ∗ c = (a + 2b) ∗ c = a + 2b + 2c (2)
a ∗ (b ∗ c) = a ∗ (b + 2c) = a + 2(b + 2c) = a + 2b 2b + 4c Observando que los resultados obtenidos son diferentes, se puede asegurar que (a ∗ b) ∗ c ≠ a ∗ (b ∗ c), por lo tanto ∗ no es asociativa. Análogamente se procede para la ley o: (3)
(3)
(4)
(3)
(3)
(4)
(a o b) o c = (2ab) o c = 2.2abc = 4abc a o (b o c) = a o (2bc) = 2a.2bc = 4abc Como en ambos casos los resultados obtenidos son iguales, podemos decir que: (a o b) o c = a o (b o c) lo que significa que la l.i. o es asociativa.
¿ o es distributiva respecto de ? Teniendo en cuenta la definición: o es distributiva respecto de a, b, c
sii
N : (a b) o c = (a o c) (b o c) y a o (b c) = (a o b) (a o c)
Del mismo modo que en los casos anteriores: (3)
(1)
(2)
(a ∗ b) o c = (a +2b) o c = 2(a + 2b).c = 2ac + 4bc (3)
(1)
(2)
(a o c) ∗ (b o c) = (2ac) ∗ (2bc) = 2ac + 2.2bc = 2ac + 4bc Como los resultados obtenidos son iguales, se tiene que o es distributiva respecto de ∗ NOTA: (1) por definición de ∗ (2) por propiedad distributiva del producto respecto de la suma en IN (3) por definición de o (4) por producto en N
2
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Sobre un conjunto A cualquiera se elige como l.c.i. a ∗ b = b, ∀ a,b ∈ A. Determine si esta ley tiene elemento neutro. Respuesta Definición
El conjunto A tiene elemento neutro sii
e A /
a
A: a e = e a = a
Para encontrar el elemento “e” se compone a izquierda y a derecha con un elemento de A cualquiera y se procede del siguiente modo: e∗a=a
a∗e=e
y
De los resultados obtenidos obtenidos se deduce que que a la izquierda, cualquier elemento de A puede ser neutro ya que se obtiene siempre el segundo elemento, cualquiera sea el primero y a la derecha no existe neutro ya que es imposible obtener a. Luego un conjunto A cualquiera en el que se ha definido esta ley no posee neutro, salvo en el caso de que A sea unitario, ya que ese único elemento sería el neutro. 4-
Sea el conjunto V = { V, F} el conjunto de los valores de verdad de dos variables proposicionales. Determine si la conjunción es una ley interna y cuales son sus propiedades. propiedades.
Respuesta Como se trata de un un conjunto conjunto finito, se utiliza para facilitar el análisis una tabla de doble entrada. Recordando que la conjunción solo es verdadera en el caso de que las dos proposiciones lo sean, se obtiene: ∧
V
F
V
V
F
V
F
F
En la tabla se observa que siempre que se compongan dos elementos de V mediante la conjunción se obtiene un un elemento de V, luego la conjunción es una ley interna. ¿La conjunción es conmutativa? En la tabla se observa que tomando dos elementos distintos de V y componiendo en diferente orden se obtiene el mismo resultado, es decir: V∧F≡F
y
F∧V≡F
Se debe tener cuidado cuando se trata de un conjunto finito de considerar todas las posibilidades ¿La conjunción es asociativa? Analicemos todas las formas posibles de tomar tres elementos de V, no todos iguales ya que se trataría de un caso trivial (Por ser conmutativa conmutativa la conjunción, el número de casos a analizar se reducen, ya que es lo mismo (V ∧ V) ∧ F que F ∧ (V ∧ V) ). (V ∧ V) ∧ F ≡ V ∧ F ≡ F V ∧ (V ∧ F) ≡ V ∧ F ≡ F
(V ∧ F) ∧ F ≡ F ∧ F ≡ F V ∧ (F ∧ F) ≡ V ∧ F ≡ F
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(V ∧ F) ∧ V ≡ F ∧ V ≡ F V ∧ (F ∧ V) ≡ V ∧ F ≡ F
(F∧ V) ∧ F ≡ F ∧ F ≡ F F∧ (V ∧ F) ≡ F ∧ F ≡ F
(F ∧ V) ∧ V ≡ F ∧ V ≡ F F ∧ (V ∧ V) ≡ F ∧ V ≡ F
(F ∧ F) ∧ V ≡ F ∧ V ≡ F F ∧ (F ∧ V) ≡ F ∧ F ≡ F
En cada caso el par de de expresiones analizadas son equivalentes y esto se verifica cualesquiera sean los elementos del conjunto, luego la conjunción es asociativa. ¿El conjunto
V
tiene elemento neutro respecto de la conjunción?
En la tabla se observa observa que componiendo componiendo a izquierda y a derecha cualquier elemento de V con V, se obtiene lo mismo, luego V es el neutro (obsérvese que los valores de la primera fila coinciden con los valores dados en la fila de entrada, en este caso la conjunción con V se efectuó por izquierda, izquierda, y los valores de la primera columna columna coinciden con los valores dados en la columna de entrada, en este caso la conjunción con V se efectuó por derecha. ¿La conjunción cumple la propiedad del inverso? Por tratarse de de un conjunto finito se toman todos los elementos y se busca su inverso, si alguno de estos elementos no posee inverso, entonces la ley no verifica esta propiedad. Así Así el elemento F no posee inverso ya que no existe ningún elemento de que compuesto a izquierda y a derecha con F dé el neutro que es V.
Grupos. Subgrupos. 5-
Dados los conjuntos
A=
k 0 0 a
/ k = cte. y a ∈ R
B=
a
0
0 2a
/a∈R
Determine cuales de ellos con la suma ordinaria de matrices tiene estructura de grupo. Respuesta Definición: Sea G ≠∅ y ∗ una l.c.i. en G ( G,∗ ) es un grupo sii verifica: i) ∀ a, b, c ∈ G: (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) ii) ∃ e ∈ G: ∀ a ∈ G: a ∗ e = e ∗ a = a iii) ∀a ∈ G, ∃a' ∈G: a ∗ a' = a' ∗ a = e Si además ∗ es conmutativa se dice que ( G, ∗ ) es un grupo abeliano.
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Para determinar si un conjunto con una ley dada, por ej. (A,+), tiene estructura de grupo se debe analizar si este par constituye un modelo del sistema axiomático de grupo. Para el caso del conjunto A dado: En primer lugar se debe analizar si + es una ley interna en A, para ello sean: k 0 0 a k
k 0
y
0
0 b k 0
+
0 a
elementos de A, es decir k es una cte. y a, b ∈ R
=
0 b
2k
0
0
a+b
∉A
ya que el elemento de la primera fila, primera columna de la matriz obtenida no es la constante k. Luego no se trata de una ley interna en A y esto es suficiente para decir que A junto con esta ley no tiene estructura de grupo. Analicemos ahora para el conjunto B ¿+ es l.c.i. ? Sean
a
a
0
y
0 2a 0
0 2a
b
0 2b
b
+
0
0
=
0 2b
elementos de B, entonces
a+b
0
0 2a+2b
a+b
=
0
∈ B
0 2(a+b)
ya que el elemento de la 2° fila, 2° columna es el doble del elemento de la 1° fila, 1° columna, luego se trata de una ley interna. i) ¿+ es asociativa? Sean: a
0
0
2a
,
b
0
0
2b
c
y
0
0 2c
elementos de B
verifique el alumno que: a
0
0
2a
+
b
0
0
2b
+
c
0
0 2c
a
=
0
0 2a
5
+
b
0
0 2b
+
c
0
0 2c
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ii) ¿B posee neutro respecto de +? Se debe encontrar, si existe, una matriz N ∈ B tal que ∀ A ∈ B : A + N = N + A = A sean
x
N=
y
y A=
z w
a
0
0 2a
debe ocurrir por un lado que A + N = A, o sea: a
0
0 2a
x
+
y
a
=
z w
0
0 2a
efectuando la suma en el primer miembro: a+x z
y
a
=
2ª + w
0
0 2a
y por igualdad de matrices se tiene el siguiente sistema de ecuaciones: a+x=a⇒ x=0 y=0 z=0 2a + w = 2a ⇒ w = 0
x y
luego la matriz
=
z w
0 0 0 0
de igual forma se efectúa a izquierda obteniéndose el mismo resultado, con lo que podemos decir que la matriz buscada es: 0 0
N =
0 0
iii) ¿Todo elemento de B tiene inverso en B respecto de +? Es decir para toda matriz A de B se debe conseguir la matriz A' de B, tal que A + A' = A' + A = N Entonces si A =
a
0
0 2a
y A' =
x
y
z w
sumando a derecha, debe ocurrir que A + A' = N es decir a
0
0 2a
+
x
y
z
w
=
0
0
0
0
a + x = 0 ⇒ x = -a y=0 z=0 2a + w = 0 ⇒ w = -2a o w = 2(-a)
sumando en el primer miembro y por igualdad de matrices se tiene que:
luego
A' =
6
-a
0
0 2(-a)
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En forma análoga, sumando a izquierda se obtiene la misma matriz A' para la matriz A. Luego verifica la propiedad del inverso. De i), ii) y iii) se tiene que (B,+) tiene estructura de grupo. El alumno puede verificar que se trata de un grupo conmutativo. Demuestre que el conjunto
6-
1
1
1 1 ⎯ √3 i, w2 = - ⎯ - ⎯ √3i , A = w1 = - ⎯ + ⎯ √ 2 2 2 2
w3 = 1
de las raíces cúbicas de 1 forman grupo con respecto a la multiplicación de los números complejos. Respuesta Como se trata de un conjunto finito, se confecciona una tabla de doble doble entrada realizando el producto de los números complejos w1, w2 y w3.
.
w1 w2 w3
w1
w2 w3
w1
w2
w3 w1
w2
w3
w1 w2
w3
Trabajando de forma análoga al ejercicio 4 verifique que se cumplen los axiomas axiomas de grupo. grupo.
NOTA: Es importante tener en cuenta que cuando se trata de conjuntos conjuntos infinitos, las demostraciones se realizan para elementos genéricos del conjunto dado, mientras que en el caso de conjuntos finitos, se prueba para todos los elementos y considerando todas las posibilidades. 7-
Demuestre que un grupo en el que dos elementos cualesquiera verifican la condición 2 2 2 (ab) = a b es necesariamente abeliano.
Respuesta: Se debe probar que el grupo es abeliano, es decir que: ∀ a, b ∈ G: ab = ba Usando la definición de potencia se tiene: (ab)2 = (ab)(ab) = abab
y a2b2 = (aa)(bb) = aabb
luego si (ab)2 = a2 b2 (por hip.) abab = aabb
ba = ab
entonces
luego cancelando en el mismo orden ya que se trata de un grupo y todos sus elementos son cancelables, se tiene que por lo tanto el producto producto es conmutativo y el grupo resulta así abeliano.
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Sea G el grupo de los enteros bajo la operación de adición y sea H = 3k / k ∈ Z a) Pruebe que H es un subgrupo de (Z,+) b) Verifique que H es un subgrupo cíclico. Determine su generador
Respuesta: a) Recordando la condición necesaria y suficiente de subgrupo:
Sea (G, ) un grupo y G' un subconjunto de G no vacío. G' es un subgrupo de G
( a, b G'
a b'
G')
En este caso ∗ es la ley + y el inverso corresponde al opuesto. H es un subconjunto de G por la definición de H y además es no vacío ya que si se toma k = 1 entonces 3 . 1 =3 pertenece a H Por otra parte sean 3k y 3k' elementos de H, entonces: 3k + (-3k') = 3k + 3(-k') = 3(k +(- k')) (k +(-k’)) ∈ Z, luego se tiene un elemento de Z multiplicado por 3 lo que significa que se obtuvo un elemento de H, H, de esta manera, H es un subgrupo de Z b) Si se tiene en cuenta la definición de potencia entera de un elemento de un grupo, grupo, para el caso de (Z,+) se tiene:
a
Z, m
N: a0 m = a + a +...+ a (m términos) a-m= 0 (neutro) a = (-a)m
Se puede ver fácilmente que H es un grupo cíclico generado por 3, ya que para k ∈ Z, se tiene que : 3k = 3 + 3 +...+ 3 (k términos) es decir: 301 = 0 que se puede puede escribir como 3.0 32 = 3 que se puede escribir como 3.1 3-1 = 3 + 3 que se puede puede escribir como 3.2 3 = (-3)1 = -3 que se puede escribir como 3.(-1) y así sucesivamente, de modo que 3 k se puede escribir como 3.k
Nota: Se debe tener en cuenta que en este caso 3k = 3.k ya que la potencia está definida en el grupo de k términos. aditivo (Z,+) donde 3k representa la suma de Por otra parte como no existe m ∈ Z+ / 3m = 0, el orden de H es infinito.
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Sea el grupo ( R 2,+ ) y sea H = { ( x,2 y) / y - x = 1 } Determine si H es un subgrupo de IR .
9-
Respuesta: La condición y - x = 1 puede puede expresarse como y = x + 1. Luego, todo elemento (x, y) de H puede expresarse como ( x, x + 1) Sean (x, x + 1) , (x', x' + 1) ∈ H entonces: (x, x + 1) + [- (x', x'+1)] = (x, x + 1) + (-x', -x' – 1) = (x - x', x - x' ) Se puede observar claramente que el resultado obtenido obtenido no es un un elemento de H, ya que no cumple con la condición de que la segunda componente componente sea igual a la primera más uno. Luego H no es un subgrupo.
Anillo. Dominio de Integridad. Cuerpo. que el conjunto R 2x2 con las operaciones suma y producto es un anillo con unidad y con divisores de cero.
10 - Pruebe
Respuesta: Para que (R,+, . ) sea anillo debe ocurrir que: i) (R2x2,+) sea grupo conmutativo En el ejercicio 3 a) de los propuestos se demuestra que (R2x2, +) tiene estructura de grupo, pruebe el alumno que + es conmutativa. ii) (R2x2, . ) sea semigrupo En el ejercicio 3 b) de de los propuestos se demuestra que . es asociativa. iii) . sea distributiva respecto de + Sean
a
b
c
d
,
a’
b’
c’
d’
y
a’’
b’’
c’’
d’’
∈ R2x2
Se debe probar que:
=
a
b
c
d
a
b
c
d
+
.
a’
b’
c’
d’
a’’
b’’
c’’
d’’
.
a’’
b’’
c’’
d’’
+
=
a’
b’
c’
d’
.
a’’
b’’
c’’
d’’
Verifique el alumno esta igualdad. De i), ii) y iii) se tiene que R2x2 con las leyes + y . tiene estructura de anillo. 9
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iv)
Pero además se tiene que en 3 b) de los ejercicios propuestos se demostró demostró que el conjunto de matrices cuadradas de orden 2 tiene neutro neutro con respecto al producto y que dicho elemento es la matriz: 1 0 0 1
v)
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luego esta matriz es la unidad de este anillo
Para probar que tiene divisores de cero, basta encontrar dos matrices A y B de R2x2 tales que: A . B = N (matriz nula) y A ≠ N y B ≠ N
Sean A =
0 1
y
0 0
B=
1
1
0 0
se puede ver fácilmente que: 0 1 0 0
.
1 1 0 0
=
0 0 0 0
y las matrices A y B no son la matriz nula
Busque el alumno otros divisores de cero.
Observación: Este resultado puede generalizarse para matrices de orden n. 11 - Sea
X ≠ ∅ y sea A un anillo
Sea Ax = { f / f: X → A } Ax ≠ ∅ pues se puede definir en A x la función constantemente nula _ O : X → A ya que por ser A un anillo el elemento neutro 0 ∈ A x →0 Se definen en Ax las leyes internas + y . como siguen: (f + g)(x) = f(x) + g(x)
Se debe tener en cuenta que en el primer miembro la suma es en Ax y en el segundo miembro la suma se realiza en el anillo A.
(f . g)(x) = f(x) . g(x)
Del mismo modo que en el caso anterior, en el primer miembro el producto es en A x y en el segundo miembro se trata del producto en A.
Demuestre que (Ax,+,.) es un anillo y tiene unidad solo si A lo tiene. Respuesta: i) Se debe probar que (A x, +) es grupo abeliano Asociatividad 10
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Sean f, g y h funciones de A x, se tiene que: (1)
(1)
( (f + g) + h ) (x) = (f + g)(x) + h(x) = ( f(x) + g(x) ) + h(x) = (2)
(1)
(1)
= f(x) + ( g(x) + h(x) ) = f(x) + (g + h)(x) = ( f + (g + h) )(x)
y por igualdad de funciones resulta ser (f + g) + h = f + (g + h) Nota: (1) por definición de suma en Ax (2) se suman elementos de A y por ser A un anillo dicha ley es asociativa asociativa
Neutro
_ Se ha ha dicho que la función función constantemente constantemente nula nula O ∈Ax _ _ (3) (4) Sea f ∈ Ax : ( f + O )(x) = f(x) + O(x) O(x) = f(x) + 0 = f(x) Nota: _ (3) por definición de la función O (4) por ser 0 el elemento neutro de A
_ y por igualdad de funciones resulta ser f + O = f _ luego O resulta ser el neutro por derecha y de forma análoga se prueba que también lo es a izquierda. Inverso Para toda función f de Ax se trata de encontrar una función f ‘ ∈ Ax tal que: _ f+f’=f'+f=O
Ahora bien, por lo dicho resulta: _ (f' + f ')(x) = O(x) = 0
(a)
por otra parte, según la def. de la suma: (f + f ')(x) = f(x) + f '(x)
(b)
comparando (a) y (b) se tiene que: f(x) + f '(x) = 0 y como esta igualdad ocurre en el anillo A se tiene que: f '(x) = – f(x) Trabajando en forma análoga a izquierda se obtiene el mismo resultado. Entonces se define la función opuesta de f como – f tal que: ( – f)(x) = – f(x) Verifique el alumno la conmutatividad de +, la asociatividad del producto y la distributividad del producto respecto de la suma, usando las propiedades respectivas del anillo A tal cual se hizo para la asociatividad, con lo cual quedaría demostrado que ( A x, + , . ) es un anillo.
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(Ax , + , . ) es un anillo con unidad solo si A lo es Decir que AX tiene unidad solo si A lo tiene, significa que la condición suficiente para que AX sea unitario es que A lo sea. Es decir equivale a probarXel condicional: Si el anillo (A,+,.) tiene unidad, entonces (A ,+,.) tiene unidad. Así, si 1 es la unidad del anillo A, se trata de encontrar una función de A X que tenga relación con este elemento, de modo que resulte neutro para el producto en AX. De acuerdo con esto la función constante C: X → A x→1
es la unidad de Ax
Verifique el alumno. _ _ _ 12 - Halle dos funciones f ≠ O y g ≠ O tales que f . g = O Respuesta: Sean f: R → R y g: R → R dadas por: f(x) = máx(0 , x) =
0 si x < 0 x si x ≥ 0
g(x) =
x si x < 0 0 si x ≥ 0
_ En efecto ∀ x: f(x) . g(x) = 0 o sea que f . g : R → R es la función O que es el cero del anillo. 13 - Sea
n un entero e indiquemos con Z n al conjunto:
{ 0, 1, ..., n-1 } provisto de de las siguientes operaciones: a) Suma: Dados h, k ∈ Zn se pondrá: h ⊕ k = resto de dividir h + k por n (+ es la suma en Z) por ejemplo: si n = 8 será 5 ⊕ 7 = 4 (pues 12 = 1.8+4) b) Producto Dados h, k ∈ Zn se pondrá: h ⊗ k = resto de dividir h . k por n ( . es el producto en Z) por ejemplo: si n = 8 será 3 ⊗5 = 7 (resto de dividir 15 por 8) El conjunto Z n con estas leyes es un anillo conmutativo, con unidad. Se lo llama el anillo de las clases residuales módulo n Verifique esta afirmación cuando: a) n=3 b) n=4
12
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Respuesta: a) para n = 3 se tiene que Z3 = { 0, 1, 2 } De acuerdo a las definiciones de suma y producto dadas arriba se confeccionan las tablas de doble entrada: Así 0 ⊕ 0 = 0 0 ⊕ 1 = 1 0 ⊕ 2 = 2 y 0 ⊗ 0 = 0 0 ⊗ 1 = 0 0 ⊗ 2 = 0 1⊕0=1 1⊕1=2 1⊕2=0 1⊗0=0 1⊗1=1 1⊗2=2 2⊕0=2 2⊕1=0 2⊕2=1 2⊗0=0 2⊗1=2 2⊗2=1 ⊕ 0 1
⊗ 0 1
2
2
0 0 1 2
0 0 0 0
1 1 2 0
1 0 1 2
2 2 0 1
2 0 2 1
verifique el alumno que ( Z3, ⊕) es grupo conmutativo, que ⊗ es asociativa, que ⊗ es distributiva respecto de ⊕ y la conmutatividad conmutatividad de ⊗. 14 - Demuestre
que Zn es un dominio de integridad si y solo si n es primo:
Respuesta: Recordando que: Todo Dominio de Integridad Integridad es un Anillo Conmutativo, con unidad unidad y sin divisores divisores de cero. cero. Si n no es primo hay enteros n1, n2 / 1 < n1 < n y 1 < n2 < n con n1 . n2 = n ( en Z) Pero entonces en Zn será n1 ⊗ n2 = 0 (pues el resto de dividir n1 . n2 = n por n es 0) con n1 y n2 distintos de cero; por lo tanto el anillo tendrá divisores de cero por lo cual no se trata de un dominio de integridad. Por otra parte si n es primo es imposible que x ⊗ y = 0 (en Zn) con x ≠ 0 y y ≠ 0 pues ello significa que 1 < x < n y 1< y < n y x . y divisible por n que es un absurdo pues se ha supuesto n primo. 15 - Demuestre
que la ley cancelativa no vale en Z4 (4 no es primo, luego no se trata de un dominio de integridad)
Para demostrar que una ley no se cumple basta un contraejemplo: 2 ⊗ 2 = 2 ⊗ 0 pero 2 ≠ 0 Ax el anillo de las funciones definidas en el intervalo [0, 1] y a valores en Q. Pruebe que el siguiente subconjunto de A x es un subanillo.
16 - Sea
F = { f / f (1/2) = 0 } Respuesta: 13
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Para probar que (F,+,.) es un subanillo de (Ax,+,.), se debe verificar: i) F ≠ ∅ _ _ Lo cual es cierto ya que la función O pertenece a este conjunto, pues: O(1/2) = 0 ii) F ⊂ Ax pues 1/2 ∈ [ 0,1] y f(1/2) = 0 ∈ A luego los elementos de F, son funciones de [0,1] en A. ii) la condición condición necesaria y suficiente de subanillo, es decir debe cumplirse que: f, g ∈ F ⇒ f – g ∈ F y f . g ∈ F Para ello: (f – g)(1/2) = (f + (-g))(1/2) = f(1/2) + (-g)(1/2) = f(1/2) – g(1/2) = 0 – 0 = 0 Comparando la primera y la última expresión se tiene que f – g ∈ F Además (f . g)(1/2) = f(1/2) . g(1/2) = 0 . 0 = 0 Comparando la primera y última expresión f . g ∈ F De i), ii) y iii) se tiene que (F,+, .) es subanillo subanillo de (Ax,+, .) que el conjunto M = { a + b√n / a, b ∈ R } es un subcuerpo del cuerpo de los números reales.
17 - Demuestre
Respuesta: Para que (M,+,.) sea un subcuerpo de los reales se debe verificar: i) M ≠ ∅ pues 0 ∈ M ya que 0 = 0 + 0 √n ii) M ⊂ R por definición iii) la condición necesaria y suficiente para que sea un subcuerpo Sean a + b √n y c + d√n dos elementos de M luego se debe verificar que: (a + b√n) – (c+d √n) ∈ M y (a + b√n) : (c + d√n) ∈ M Ahora bien: (a + b√n) – (c + d √n) = (a – c) + (b – d)√n ∈ M Por otra parte: (1)
(2)
(a + b√n) : (c + d√n) = (ac – ad √n + bc√n – bd √n ) ⁄ (c - d2 √n2 ) = =
ac – nbd 2
2
c –d n
+
2
bc – ad 2
2
c -d n
2
√n ∈ M
(1) Racionalizando (2) Distribuyendo el denominador
de i), ii) y iii) (M.+,.) es un subcuerpo de R
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EJERCICIOS PROPUESTOS 1-
En los siguientes ítems determine si ∗ es una ley interna en el conjunto dado. a) En N, donde a ∗ b = a/b b) En Z+ donde a ∗ b = ab c) En Z, donde a ∗ b = ab d) En R, donde a ∗ b = a b
2-
Demuestre que el conjunto G = { -1, 1 } con el producto usual en Z tiene estructura de grupo.
3-
Considere el conjunto de las matrices cuadradas de orden 2. Determine cuales de los siguientes pares constituyen un grupo. a) ( R2x2, + )
4-
b) ( R2x2 , . )
Considere el grupo ( R2 , + ). Sean u = (1,2) ; v = (2,-3) y w = (-3,2) elementos de R2. i) Determine gráfica y analíticamente: a) u + v
b) u – w
ii) Halle X tal que: 5-
c) v + w
d) –v – w
e) v – (u + w)
u–v+X=w
Dado el conjunto M = { a, b, c, d } complete la tabla de la ley interna ∗ de modo que: i) b sea el elemento neutro de M respecto de ∗ . ii) a sea el inverso de c respecto de ∗ . iii) (M,∗) sea un grupo. ∗
a
b
c
d
a b c d 6- En R – {0,-1,1} se definen las aplicaciones: f 1(x) = x
f 2(x) = 1/x
f 3(x) = -x f 4(x) = -1/x
a) Demuestre que el conjunto finito A = { f 1, f 2, f 3, f 4 } es un grupo para la ley de de composición de aplicaciones. b) Determine la función h en cada una de las siguientes ecuaciones a) h o f 1 = f 3
b) (f 3 )2 o h = f 4
c) h o (f 1 o f 4)3 = f 2
7- En un grupo abeliano resuelva la ecuación xabxc = bxa 15
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8- Sea G un grupo y sea a ∈ G Sea H = { x / x ∈G y xa = ax } Pruebe que H es un subgrupo de G. 9- Determine si el grupo del ejercicio 6 de los propuestos es un grupo cíclico y en dicho caso determine un generador y su orden. 10- Determine si el conjunto S = { m, p } con la adición y multiplicación definidas por las siguientes tablas tiene estructura de anillo. +
m p
.
m
p
m p
m p p m
m m m p m p
11- Demuestre que el conjunto P = {2x / x ∈ Z } con la adición y producto definidos en Z es un anillo, en tanto que T = { 2x +1 / x ∈ Z } no lo es. 12- En un grupo abeliano aditivo, se define una segunda ley . del siguiente modo: ∀a, b : a . b = 0 a) Muestre que el grupo y esa ley forman un anillo b) ¿Tiene unidad? Justifique c) ¿Tiene divisores de cero? 13- Calcule (a + b + c) 2 en un anillo cualquiera y en un anillo conmutativo. 14- ¿Cuáles de los siguientes subconjuntos de IR son subanillos de R? i) { m / m ∈ Z }
m ii) ⎯ / m, n ∈ Z y n impar n
15- Sea Ax el anillo de la funciones funciones definidas en el intervalo [ 0,1 ] y a valores en Q. ¿Cuáles de los siguientes subconjuntos de Ax son subanillos? i) { f / f(1) = f(0) }
ii) { f / f(0) > 0 }
16- ¿Cuales de los siguientes conjuntos de R 2x2 son subanillos? i)
a b c d
/b=c=0 y a=d
a b
iv)
c d
/b=c
17- ¿Cuales de los siguientes conjuntos son dominios de integridad? i) Todos los enteros pares ii) Todos los enteros impares iii) Los enteros positivos iv) Los polinomios con coeficientes en Z, IR o C v) Los números complejos de la forma n + mi (n y m enteros) con las operaciones usuales en C. 18- Pruebe que en todo dominio de integridad se verifica la ley cancelativa del producto. a.c=b.c y c≠0 ⇒ a=b 19- Analice si las siguientes ternas constituyen un cuerpo. (Q, + , . ) ; (Z, + , . ) ; (R, + , . ) ; (C, + , . ) ; (R 2x2 , + , . ) 16
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20- Dado el anillo conmutativo (M, + , . ) donde M = { 0, 1, 2, 3 } y las leyes + y . están definidas por las siguientes tablas: + 0 1 2 3
.
0 1 2 3
0 1 2 3
0 1 2 3
0 0 0 0
0 1 2 3
1 2 3 0
2 3 0 1
3 0 1 2
0 1 2 3
0 2 0 2
0 3 2 1
Determine si (M, + , .) es un cuerpo. 21- Sea (F, + , . ) un cuerpo. a Recordando que en el grupo (F – {0} , .) se define: = a . b -1 b Demuestre: a
i)
ii )
iii)
b a b a
c
+
d
.
=
b
=
c
ad + bc
=
d c
bd ac bd
⇒
d
a+b b
=
c+d d
y
a+b a
=
c+d c
ALGEBRA DE BOOLE 22- En un álgebra de Boole pruebe c/u de los siguientes enunciados: a) Si x + y = 0 entonces x = y = 0 b) x + x . (y + 1) = x c) x + x . y = x.(x + y) d) x . y' + x' . y = (x + y).(x' + y') 23- Exprese el enunciado dual correspondiente de cada uno de los enunciados del ejercicio anterior y demúestrelos. 24- Simplifique las siguientes expresiones booleanas: a) x . y + [ z . (x' + y')] b) x .y . z + x' + y' + z' c) [(x' . y')' + z].(x + y')' y')' 25- Determine la canónica de las funciones funciones booleanas correspondientes a cada una de las siguientes tablas. a)
x
y
F(x,y)
1 1 0 0
1 0 1 0
0 1 0 0
b)
x
y
F(x,y)
1 1 0 0
1 0 1 0
0 1 0 1 17
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c) x 1 1 1 1 0 0 0 0
y z 1 1 0 0 1 1 0 0
1 0 1 0 1 0 1 0
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F(x,y,z)
d)
0 1 0 1 0 1 1 1
x
y
z
1 1 1 1 0 0 0 0
1 1 0 0 1 1 0 0
1 0 1 0 1 0 1 0
F(x,y,z) 1 1 0 1 1 1 0 0
26- Encuentre la forma canónica dual de las funciones funciones del ejercicio anterior: i) haciendo uso de la tabla. ii) empleando la función complementaria de F. 27- Escriba la forma canónica y la canónica dual de las siguientes funciones booleanas sin emplear tablas. a) F(x, y, z) = (x' . y + x' . z') . (x + y . z)' b) F(x, y, z) = (x + x' . y' + x' . y . z').(x . y + x' . z').(y + x . y . z') c) F(x, y, z) = (x + y) . (x' + y') 28- Obtenga en la forma más simple las funciones booleanas F1, F 2 y F 3 definidas por la siguiente tabla y confeccione la red correspondiente. x
y
z
F1
F2
F3
1 1 1 1 0 0 0 0
1 1 0 0 1 1 0 0
1 0 1 0 1 0 1 0
0 0 0 1 0 1 0 1
1 0 1 0 1 1 0 1
1 0 1 1 0 0 1 0
29- Simplifique las siguientes redes: a)
p
r
q
p
q
q
r p q
p’
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b)
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p
p’
q’
p’
q
c)
q’
q’ p r q
d) x
z
y
x x’
y
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