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INSTITUTO DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS GUÍA DE ESTUDIO Y TRABAJO Asignatura : ÁLGEBRA LINEAL Unidad 1: Matrices Guía No.1/4 Autor de la Guía: ICFM
Código : 1521 Tiempo estimado para el desarrollo de la guía : 10 horas Revisado por: ICFM
OBJETIVOS ESPECÍFICOS El Estudiante debe estar en capacidad de:
Resolver sistemas de ecuaciones lineales y matrices
• Aplicar el método de eliminación de Gauss para la resolución de sistemas de
ecuaciones lineales Distinguir los elementos de una matriz y comprender qué es una matriz. Recalcar los términos básicos asociados con matrices. Obtener la matriz traspuesta. Desarrollar las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación de matrices. Conocer cómo obtener la matriz inversa. Utilizar el método de la matriz inversa para la solución de sistemas si stemas de ecuaciones.
1.- PREREQUISITOS: Los temas necesarios para esta unidad son:
Identificación de una ecuación ecuación lineal. Desarrollo de operaciones aritméticas y algebraicas. Ecuaciones de primer grado con una incógnita. Resolución de sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.
2.- MATERIAL NECESARIO IMPRESCINDIBLE:
GROSSMAN, Stanley y FLORES José, Algebra Lineal, 7ma Edición. México: Mc Graw Hill, 2012. 742 p. 9786071507600 KOLMAN, Bernard y HILL, David, Algebra Lineal: Fundamentos y aplicaciones. Primera edición. Colombia: Pearson Education, 2013. 544 p. 9789586992251 Howard Anton. Introducción al Álgebra Lineal. Editorial Limusa. México, 1986. Fórmulas extraída del texto
3.- ACTIVIDADES 3.1.
ACTIVIDADES PREVIAS GUIA 1 (extra clase). (Sin uso de la calculadora)
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12277 12 3434—321 —22321 2 2 − − − − −−
AP1. Efectuar AP1. Efectuar las operaciones:
a) b)
AP2. Resolver AP2. Resolver y representar en forma fraccionaria:
a) b)
AP3. Resuelva AP3. Resuelva la siguiente ecuación.
22 3 x
5
2
x 1
x
6 2
x
7
x 1
AP3. Grafique AP3. Grafique cada uno de los siguientes sistemas e indique el número de soluciones que tiene cada uno de ellos. Justifique sus respuestas. 1)
2 x 3 y
12
4 x 6 y
2)
36
2 x 3 y 3 x y
8
10
3)
2 x
y
4 x
2 y
3
6
2) De acuerdo a los resultados resultados obtenidos en la actividad anterior ¿cuáles son las posibilidades para la solución de un sistema de ecuaciones lineales? AP4. Resuelva AP4. Resuelva el siguiente sistema a) por el método de eliminación, b) por el método de sustitución y c) gráficamente. x
6 2 x
8
y
4
y
x
y
1
3 3
2
x 2 y 2
DESARROLLO Ecuaciones Lineales. Una ecuación lineal es aquella que puede representarse de la siguiente forma general:
donde
,
, ……
⋯
y b son constantes reales.
En una una ecuación lineal no no se encuentran encuentran las las variables variables en forma de productos productos o raíces, las mismas mismas se presentan a la primera potencia y no están como argumento de funciones trigonométricas. trigonométricas. Sistema de Ecuaciones Lineales
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Es un conjunto finito de ecuaciones lineales cuya solución es un grupo de números , , …. , donde …. , , ; los valores antes mencionados satisfacen cada una de las ecuaciones del sistema lineal. Un sistema de ecuaciones es consistente si al menos tiene una solución, cuando no posee solución se le considera inconsistente. En el caso de tener un sistema lineal formado por dos ecuaciones:
Encontrar la solución de este sistema, geométricamente implica determinar el punto de intersección de las rectas. Se pueden generar tres posibles casos graficados en la figura (1), en a) las rectas son paralelas, no existe un punto común entre las dos rectas por lo que el sistema es inconsistente, b) presenta que las rectas tienen un punto común por lo que el sistema se considera que posee una solución única y en c) las rectas coinciden dando como resultado infinitos puntos comunes considerando al sistema con infinito número de soluciones. y l1
y
y
l1 y l2
l2
l2
(a)
x
x
x
l1 (c)
(b)
Fig 1. Dos rectas que no se intersectan, se intersectan en un punto y en un número infinito de puntos
Métodos de Algebra Matricial para resolver sistemas de Ecuaciones lineales. Eliminación Gaussiana La eliminación de Gauss pretende llevar una matriz aumentada del sistema de ecuaciones lineales Fig(3) a una matriz donde sea fácilmente observable las soluciones del sistema.
++++ ++
Fig. 2. Sistema de ecuaciones lineales
Fig. 3. Matriz aumentada del sistema de ecuaciones Mediante este método se llega a obtener una matriz en la forma escalonada por reglones a través de operaciones elementales sobre los renglones de la matriz aumentada, estas operaciones son: 1. Multiplicar una de las filas por un constante diferente de cero. 2. Intercambiar dos filas.
4 3. Sumar un múltiplo de una de las filas a otra. Una matriz escalonada en los renglones es aquella que posee las siguientes propiedades: 1. Si una fila no consta completamente de ceros, entonces el primer número diferente de cero es 1. Denominado 1 principal. 2. Si existen filas que consten completamente de ceros, se agrupan en la parte inferior de la matriz. 3. Si dos filas sucesivas no constan completamente de ceros, el 1 principal de la fila inferior se presenta más hacia la derecha que el 1 principal de la fila superior. Luego de obtener un matriz en la forma escalonada reducida se despejan las variables y se utiliza la técnica de sustitución hacia atrás para encontrar los valores de las incógnitas. Ejemplo 1. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante la eliminación Gaussiana.
2 3 11 4 4 2 3 10
Matriz aumentada sistema.
del
14 21 13 114 2 1 3 10 10 92133 4011 0 3 3 12 10 12133⁄9 4011⁄9 0 3 3 12 10 12133⁄9 4011⁄9 0 0 4⁄3 4⁄3
Operaciones para llegar a una matriz escalonada reducida. Multiplicar la fila 1 por -4 y le sumar a la segunda fila y multiplicar la fila 1 por -2 y sumar a la tercera fila.
Multiplicar la segunda fila por 1/9
Multiplicar la segunda fila por 3 y sumar el producto a la tercera fila
Multiplicar la tercera fila por -4/3 de modo que se obtenga una matriz escalonada reducida.
10 1 13 2 3⁄9 4011⁄9 00 1 1
5
1 13 13⁄9⁄9 4040⁄⁄99 ⁄ 13⁄ 9140 9 22 33 1111 233 1 11
Directamente se puede observar que el valor de mediante sustitución hacia atrás.
Cálculo de
Cálculo de
, los resultados de
y
los obtenemos
MÉTODO DE GAUSS- JORDAN El método de Gauss- Jordan plantea que la matriz aumenta del sistema se transforme en una matriz escalonada por reglones reducida. Este tipo de matriz posee las tres propiedades descritas anteriormente para una matriz escalonada reducida por reglones más una cuarta condición: -
Cada columna que contenga un 1 principal tiene ceros en todas las demás posiciones.
Ejemplo 2 Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss-Jordan.
2 3 11 4 4 2 3 10
A partir de la matriz escalonada por reglones obtenida en el ejemplo 1 se obtiene la matriz escalonada por reglones reducida mediante las operaciones sobre los reglones ya descritas.
10 12133⁄9 4011⁄9 00 1 1 10 21 00 38 0 0 11
Multiplicar a la tercera fila por 13/9 y sumar el producto a la segunda fila, multiplicar a la tercera fila por -3 y sumar a la primera fila.
Multiplicar a la segunda fila por 2 y sumar el producto a la primera fila.
10 01 00 32 0011
6
Al obtener la matriz escalonada reducida por reglones se tiene directamente los valores de , , .
SISTEMAS HOMOGÉNEOS DE ECUACIONES LINEALES Un sistema homogéneo de ecuaciones lineales es aquel en el que las constantes o términos independientes son cero, la representación de un sistema homogéneo de mxn ecuaciones lineales es:
⋯ 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ 0 Fig. 4 Sistema de ecuaciones homogéneo
0 0 0 0
Un sistema de este tipo puede tener una solución, infinito número de soluciones o no tener ninguna …… solución. Cuando , , se tienen una solución trivial o solución cero. Un sistema homogéneo tiene infinito número de soluciones si
>
.
MATRICES Una matriz es un arreglo de elementos que pueden ser números, constantes, dispuestos en m filas y n columnas. Para representar una matriz se utiliza una letra mayúscula. Si se tiene la matriz “A” cada uno de sus elementos es representado como , siendo i el número de fila y j el número de columna a la que pertenece el elemento.
1.1 Longitud de una matriz.- Se representa por el número de filas tamaño de una matriz es m x n.
y el número de columnas n, el
m
1.2 Matriz cuadrada.- Es una matriz cuyo número de filas m es igual al número de columnas n. Los …… elementos que pertenecen a la posición , , forman la diagonal principal de la matriz. 1.3 Matriz identidad.- Es una matriz cuadrada, los elementos de la diagonal principal son uno y los restantes son cero. Se la describe generalmente mediante la letra I. 1.4 Matriz triangular superior. Es una matriz cuadrada donde los elementos que se encuentra en la parte inferior de la diagonal principal son cero. 1.5 Matriz triangular inferior. Es una matriz cuadrada donde los elementos que se encuentra en la parte superior de la diagonal principal son cero.
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1.4 Matriz Transpuesta.- Si A es una matriz de dimensiones m x n, su transpuesta se escribe como y es la matriz de n x m obtenida al intercambiar las filas por columnas.
1.6 Traza de una matriz.- Es un escalar determinado por la sumatoria de los valores correspondientes a los elementos de la diagonal principal de una matriz.
=
Suma de matrices Dos matrices pueden ser sumadas si su número de filas m y de columnas n son iguales respectivamente. El resultado es otra matriz cuyos datos se obtiene al sumar miembro a miembro cada elemento de las matrices. Ejemplo 3: Sean A y B dos matrices determinar la matriz C= A+B
16 34 1 3 6 4 41 02 34 15 43 05 14 21
Multiplicación de una matriz por un escalar
Sea A una matriz el producto α A está dado por la multiplicación de la constante por cada uno de los
elementos de la matriz:
Multiplicación de Matrices
∝ ∝ ()
Sean A y B dos matrices cuyas longitudes son m x n y p x q respectivamente, son multiplicables si el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda; el tamaño de la matriz resultante del producto está determinado por el número de filas de la primera matriz y el número de columnas de la segunda. Si se tiene una matriz A y una matriz B multiplicables, cada elemento de la matriz A*B es calculado mediante la suma de los productos de los elementos de la fila i de la primera matriz por los elementos de la fila j de la segunda. Ejemplo 4. Dadas las matrices A y B verificar si es posible realizar A*B y realizar el producto de las dos matrices.
12 26 40 4 1 4 3 02 17 35 12
8 El tamaño de la matriz A es 2 x 3 y el de la matriz B es 3 x 4, se verifica que el número de columnas de la segunda matriz es igual al número de filas de la segunda, concluimos que las matrices si son multiplicables, dando como resultado una matriz C de longitud 2 x 4. C=A*B
1 ∗12∗14∗7 1 ∗42∗34∗5 1 ∗32∗14∗2 [12 ∗42∗04∗2 ∗46∗00∗2 2 ∗16∗10∗7 2 ∗46∗30∗5 2 ∗36∗10∗2] 4 620 3 28 [488 1 228 2 6 8 18 6 6 ] A∗ B B∗A I A∗A− I A∗B AB − − − Inversa de una matriz.
Si A es una matriz cuadrada y es posible que se encuentre una matriz B que cumpla con la condición , se tiene que A es una matriz invertible y B es la inversa de A. Una matriz invertible tiene solo una inversa.
Un producto de matrices invertibles siempre es invertible y la inversa del producto es el producto de las inversas en orden inverso.
Procedimiento para encontrar la inversa de una matriz. 1. Escribir la matriz aumentada (A|I), 2. Utilizar las operaciones elementales sobre los reglones para poner la matriz A en su forma escalonada reducida por reglones. 3. Verificar si A es invertible:
−
a) Si la forma escalonada reducida por reglones de A es la matriz identidad I, entonces es la matriz que se tiene a la derecha de la barra vertical. b) Si la matriz reducida de A conduce a un renglón de ceros a la izquierda de la barra vertical, entonces A no es invertible. Ejemplo 5. Determine la matriz inversa de A.
1 2 0 23 11 11
9
12 12 10 | 10 01 00 31 1001 10 32 10 | 21 01 00 0 5 1 3 0 1 10 12 1/30 | 2/31 1/30 00 0 5 1 3 0 1 10 12 1/30 | 2/31 1/30 00 0 0 8/3 1/3 5/3 1 10 12 1/30 | 2/31 1/30 00 0 0 1 1/8 5/8 3/8 10 21 00| 5/81 1/80 1/80 0 0 1 1/8 5/8 3/8 10 01 00| 1/45/8 1/81/4 1/81/4 0 0 1 1/8 5/8 3/8 / / / − / // / / /
Multiplicar a la primera fila por -2 y sumar a la segunda, multiplicar a la primera fila por -3 y sumar a la tercera. Las mencionadas operaciones son realizadas simultáneamente sobre la matriz identidad.
Multiplicar a la segunda fila por -1/3.
Multiplicar la segunda fila por 5 y sumar a la tercera.
Multiplicar a la tercera fila por 3/8. Multiplicar la tercera fila por -1/3 y sumar a la segunda.
Multiplicar la segunda fila por -2 y sumar a la primera.
La matriz inversa es:
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante la inversa. Un sistema de ecuaciones lineales, Fig. 5, puede ser representado como una ecuación matricial.
Fig.5 Sistema de ecuaciones lineales
++++ ++
10 Fig 6. Representación matricial del sistema de ecuaciones lineales Al designar las matrices con A, X y B respectivamente, se reemplaza el sistema de ecuaciones lineales inicial por la ecuación matricial:
La matriz A se conoce como matriz de coeficiente.
Si A es una matriz invertible de nxn, entonces para cada matriz B de nx1 el sistema de ecuaciones tiene exactamente una solución dada por:
− 2 2 13 3 7 3 17 1/4 1/4 1/4 − 1/8 5/81/8 1/8 5/8 3/8 − 1/4 1/4 1/4 3 1/8 5/81/8 1/8 ∗ 1 5/8 3/8 7 3 /4 29/89/8 // /
Ejemplo 6. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante la inversa.
1 2 0 23 11 11
Ejemplo 7. Encontrar las corrientes de cada malla del circuito eléctrico.
11
Fig 7.Circuito eléctrico
Fig 8. Corrientes de malla del circuito eléctrico
Malla 1
Malla 2
Malla 3
15 0 15 0 15 0 0 0 0
12
Malla 4
0 0 0 0 0 15 0 0 0 2.1Ω2Ω 3.3.39ΩΩ 4.5.76ΩΩ 6.8Ω 5. 5 3. 3 2. 2 15 3.2.23 3.9.94 12.3.97 4.5.76 00 4.7 5.6 17.1 0
El sistema de ecuaciones para encontrar las corrientes de malla del circuito es:
Asignando valores a las resistencias tenemos:
Para resolver el sistema de ecuaciones utilizamos eliminación Gaussiana. Matriz aumentada
5. 3.35 9.3.34 2.3.29 4.07 150 2.02 4.3.79 12.5.67 17.5.61 00 13.3 0.9.64 0.3.94 4.07 2.70272 2.02 4.3.79 12.5.67 17.5.61 00
Multiplicamos la primera fila por -1/5.5
Multiplicar la primera fila por -3.3 y sumar a la segunda, multiplicar la primera fila por -2.2 y sumar a la tercera.
13
10 7.0.462 0.5.224 4.07 8.2.79272997 00 5.4.272 11.5.682 17.5.61 5.90998 10 0.1 6 0.0.70354 0.60634 2.1.72272128 00 5.4.272 11.5.682 17.5.61 5.90998 10 0.1 6 0.0.70354 0.60634 2.1.72272128 00 00 8.8.91064477 14.8.9063123 12.5.37306 10 0.1 6 0.0.70354 0.60634 2.1.72272128 00 00 8.91064 1.14.0931123 1.5.51337 10 0.1 6 0.0.70354 0.60634 2.1.72272128 00 00 10 1.4.03931874 19.1.51331788 10 0.1 6 0.0.70354 0.60634 2.1.72272128 00 00 10 1.01931 4.1.35713133 . 1.1.059311331. 01.9315133 . 0.0.77035035 0.0.66634634 1.1.22128128 . 0.0.66 0.0.44 2.2.77272272 .
Multiplicar la segunda fila por -1/7.42
Multiplicar la segunda fila por -5.22 y sumar a la tercera, multiplicar la segunda fila por -4.7 y sumar a la tercera Multiplicar la tercera fila por -1/8.1477
Multiplicar la tercera fila por -8.9064 y sumar a la cuarta
Multiplicar la cuarta fila por -1/4.3874
Cálculo de
Cálculo de
Cálculo de
Al resolver el sistema de ecuaciones obtenemos los valores de I1, I2, I3, I4 correspondientes a las corrientes de cada una de las mallas del circuito.
..
14
..
Ejemplo 8.- La lámpara tiene una masa de 15 Kg y es soportada por una polea OA y cables AB y AC. Si la fuerza en la polea actúa a lo largo de estos ejes, determine las fuerzas en OA, AB, y AC por equilibrio.
Diagrama de cuerpo libre
FAB FAC FOA W
∑ 0 ∑ 0
22 1.15.56 6 0.3076 0.2307 0.923 6 3 6 6 3 6 0.6667 0.3333 0.6667 22 336 6 0.2857 0.4287 0.8571 15×9.8 147.15
15
∑ 0 ∑ 0
0.30760.66670.2857 0 0.2307 0.3333 0.4287 0 0.9230.6667 0.8571 147.15 0
El sistema de ecuaciones que se obtuvo de las condiciones de equilibrio es resuelto a continuación mediante el método de Gauss-Jordan.
0.0.0.39207623307 0.0.0.366333667667 0.0.0.428287571857 147.00 15 1 2. 1 674 0. 9 288 0 0.0.9223307 0.0.36333667 0.0.48287571 147.0 15 10 2.0.11674667 0.0.29144288− 00 01 1.2.33381674 1.80.24109288 147.015 00 1.33381 1.81.24102841− 147.015 10 2.11674 0.1.29841288 00 01 2.10674 0.1.79129288 147.015 00 10 1.21841 85.90069 10 2.11674 00 79.110.7903313 0 0 1 85.9069 1 0 0 318.8826 00 10 01 110. 3 13 85. 9 069 .. .
Multiplicar la primera fila por 1/0.3076
Multiplicar la primera fila por 0.2307 y sumar a la segunda fila, multiplicar la primera fila y sumar a la tercera fila. Multiplicar la segunda fila por -1/0.1667
Multiplicar la segunda fila por -1.3333 y sumar a la tercera. Multiplicar la tercera fila por 1/1.7129.
Multiplicar la tercera fila por 1.2841 y sumar a la segunda, multiplicar la tercera fila por 0.9288 y sumar a la primera. Multiplicar la segunda fila por 2.1674 y sumar a la primera.
Las fuerzas que actúan en el sistema son:
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EJERCICIOS PROPUESTOS. AC1.- Mediante un ejemplo indique la forma general de una ecuación lineal. AC2.- Si tengo una matriz A de 4x3 y multiplico por una matriz B de 3x4, la matriz C resultante que dimensiones tendría o no puedo realizar esta operación: 4 3 x 3 AC3.-Dada la siguiente expresión matricial: Escribir en forma de sistema de 7 x 1 0 ecuaciones lineales. 1
2
2 x 3 y 5 z 1 AC4.-Obtener la forma matricial del siguiente sistema: 4 x 4 y 2 z 3
AC5.-Utilice el método de eliminación de Gauss - Jordán para resolver el sistema de ecuaciones dado.
3 2 4 5 13 2 2 3 2
AC6.- Utilice el método de Eliminación Gaussiana para resolver el sistema de ecuaciones del ejercicio AC5. AC7.- Como debe de ser el último renglón de una matriz para que la solución de la matriz sea inconsistente. De un ejemplo. AC8.-Como debe de ser el último renglón de una matriz para que la solución sea infinitas soluciones. De un ejemplo. AC9.-Dada la matriz A encontrar a, b, c, d para que la tr A = 10 y A sea simétrica
3 a b A c1 52 ad W [B 0∗C X/2DT ]
AC10.-Dadas las matrices A, B, C, D encontrar:
a. X=3B*C-D b. Z=2Y-5A donde Y=C*B c.
AC11.-Si la matriz aumentada escalonada tiene la forma:
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1 0 0 a) b) c) d) e)
0
0
3
1
0
1
0
0
4
La solución de sistema de ecuaciones correspondiente es x=3, y=1, z=4 La solución de sistema de ecuaciones correspondiente es x=3, y=1, z=0 El sistema no tiene solución El sistema tiene cantidad infinita de soluciones Ninguna de las anteriores
AC12. Indique las 3 condiciones que debe cumplir una matriz para que sea INVERTIBLE. AC13. Se puede aplicar el método de la matriz inversa para resolver sistema de ecuaciones con una cantidad infinita de soluciones. Justifique su respuesta. AC14. Se puede aplicar el método de matriz inversa para resolver sistema de ecuaciones que no tienen solución o llamada también inconsistente. Justifique su respuesta. AC15. Resuelva el sistema de ecuaciones mediante la inversa utilizando la matriz identidad.
3 2 4 5 13 2 2 3 2
AC16. Utilice el método de Eliminación de Gauss- Jordan para encontrar las posibles soluciones e indique
si el sistema: a) Tiene solución b) No tiene solución o es inconsistente c) Infinitas soluciones
2 4 6 18 4 5 6 24 2 7 12 30
AC17. Utilice el método de Eliminación de Gauss- Jordan para encontrar las posibles soluciones y indique
si el sistema: a) Tiene solución b) No tiene solución o es inconsistente c) Infinitas soluciones
18
2 3 4 2 6 7 15 2 5 10
Con un ejemplo indique en general que dimensiones deber tener una matriz para poder sumar una Matriz A más una Matriz B. Y realice la suma. AC18.
AC19. Demuestre mediante un ejemplo cuando se
multiplica una matriz A por una matriz B, es diferente
al multiplicar una matriz B por una matriz A. (AB ≠BA). Justifique su respuesta. En que condición se cumple al multiplicar una matriz A por una matriz B, me da los mismo multiplicar la matriz B por la matriz A. (AB=BA) y como se llama la matriz que obtengo sea cual sea la forma de multiplica AB o BA. AC20.
PREGUNTAS DE OPCIÓN MÚLTIPLE Señale V si cree que es verdadero, o F si cree que es falso y JUSTIFIQUE LA RESPUESTA
√ 03 √ 6 0
1) , es un ejemplo de ecuación lineal V ( ) F( ) 2) , es un ejemplo de ecuación lineal V ( ) F ( ) 3) , es un ejemplo de ecuación lineal V ( ) F( ) 4) La solución (0,1) es una de las infinitas soluciones para el gráfico adjunto de sistema de ecuaciones V ( ) F( )
5) Los puntos A y B son las soluciones para el sistema de ecuaciones lineales V ( )
F( )
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6) 7) 8)
V ( ) F( ) Siendo Ax=b una representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales, entonces x=b/A V( ) F ( ) V ( ) F( ) Si A es una matriz cuadrada, entonces IA=AI=A La Matriz “3x2” tiene 3 filas
por 2 columnas
EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
CIRCUITOS ELÉCTRICOS
CONCEPTOS PREVIOS: Un circuito eléctrico sencillo es una conexión cerrada de resistencias, baterías y cables. BATERÍA (PILA).- Es una fuente de corriente directa (o voltaje) en un circuito.
RESISTENCIA.- Es un dispositivo (como un foco) que reduce la corriente en un circuito y convierte la energía eléctrica en energía térmica.
CABLES.- Es un conductor que permite el libre flujo de corriente eléctrica.
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CANTIDADES FÍSICAS Corriente
Resistencia
Diferencia de Potencial
I
R
E
ohms
Amperios (A)
Voltios (V)
La diferencia de potencial eléctrico de una batería se considera positiva si se mide de la terminal negativa (-) a la positiva (+), y negativa si va de (+) a (-). La diferencia de potencial eléctrico en una resistencia depende de la corriente que fluye por ella y de la resistencia que ofrece y está dada por la ley de Ohm: V IR
El signo (-) se usa cuando la diferencia en la resistencia se mide en dirección del flujo de corriente y (+) cuando se mide en dirección opuesta. Todos los circuitos eléctricos constan de ciclos de voltaje y nodos de corriente. Un ciclo de voltaje es una conexión cerrada dentro de un circuito.
a
bc
d e
a b c a
c d e c
a c e a
a
21 Un nodo de corriente es un punto donde se encuentran tres o más segmentos de cable: a, c y e. Las leyes físicas que gobiernan el flujo de corriente en un circuito eléctrico:
La conservación de la energía – Ley de voltaje de Kirchhoff (en torno de cualquier ciclo de voltaje, la diferencia total de potencial eléctrico es igual a cero). La conservación de la carga - Ley de corriente de Kirchhoff (en cualquier nodo de corriente, el flujo de todas las corrientes que llegan al nodo es igual al flujo de todas las corrientes que salen del nodo. Esto garantiza que la carga en un nodo no aumenta ni disminuye, de modo que el flujo de corriente es estacionario a lo largo del nodo).
Determinar las corrientes que fluyen por cada segmento del circuito propuesto.
DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATUTA
Una placa cuadrada que da lugar a un sistema de ecuaciones lineales es un modelo sencillo para estimar la distribución de temperatura. La placa se encuentra aislada por arriba y por abajo por lo que el único flujo de calor es a través de la misma placa. Cada lado de la placa se mantiene a una temperatura constante, pero ésta puede ser diferente en cada lado. Para aproximar la temperatura en un punto interior de la placa, utilizamos la regla que promedia las temperaturas de sus cuatro puntos circunvecinos (norte, sur, este y oeste). Ejemplo: Aproximar las temperaturas T i=1, 2, 3,4, en los cuatro puntos interiores igualmente espaciados en la placa. Inaugural 100°
T1
T2
40°
60° T3
T4
0°
T 1
T 3
60 100 T 2
T 3
4 60 T 1
T 4
4
0
T 2
T 4
T 1
100
40 T 4
4 T 3
T 2
4
40 0
22 4T 1
T 1
T 2
4T 2
T 1
160
140
T 4
60
4T 4
40
T 3
T 4
4T 3
T 2
T 3
Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales en matlab tenemos:
T 1 65
T 2 60
Usando el programa ANSYS
T 3 40
T 4 35
23
Aproximar las temperaturas T i=1, 2, 3,4, en los cuatro puntos interiores igualmente espaciados en la placa. 30°
T1
T2 50°
50° T3
T4
0°
INTERPOLACIÓN POLINOMIAL
Si nos dan n puntos distintos (x1, y1), (x2, y2),……. (xn, yn). El polinomio que buscamos tiene la forma: y
a n1 x
n 1
an 2 x
n2
......a1 x
a0
Los n puntos dados pueden utilizarse para obtener un sistema lineal n x n cuyas incógnitas son a
, ,......a
0 a1
1 . Se puede demostrar que este sistema lineal tiene una única solución. En consecuencia,
n
existe un único polinomio de interpolación. Cuando n=3 veamos:
24 (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) donde
1 x2
x
,
1 x3
x
y
a2 x
,
2 x3
x
2
, buscamos el polinomio:
a1 x a0
Sustituyendo los puntos dados en el sistema lineal: 2
a2 x1
2
a2 x2
2
a2 x3
a1 x1
a0
y1
a1 x2
a0
y2
a1 x3
a0
y3
En general existe un único polinomio de interpolación de grado, a lo más, n-1 que pase por n puntos dados. a) Determinar el polinomio cuadrático que interpola los puntos (1,2); (3,3) y (5,8) Al plantear el sistema lineal tenemos: a
2
a1 a0
9 a2
25a2
3a1
2
a0
5a1
3
a0
8
Resolviendo el sistema de ecuaciones en matlab tenemos:
a2 = ½
a1= -3/2
a0= 3
25 Por lo tanto el polinomio cuadrático de interpolación es:
y
1 2
x
2
3 2
x3
Cuya gráfica es:
Como podemos observar efectivamente la función pasa por los puntos (1,2); (3,3) y (5,8) b) Determinar el polinomio cúbico que interpola los puntos (-1,-6); (1,0); (2,8) y (3,34)
ECUACIÓN DE PLANOS
Deduzca la ecuación del plano en el espacio xyz, que pasa por los puntos P (1, 1, 2), Q (1, 2, 0), R (2, 1, 5) Sea:
ax by cz d 0 La ecuación del plano, es preciso determinar los coeficientes a, b, c y la constante d. Como los puntos pertenecen al plano, deben satisfacer la ecuación del plano: 1a 1b 2c d 0 1a 2b d 0 2a 1b 5c d 0 1a 1b 2c
Despejando el término independiente:
1a 2b
d
d
2a 1b 5c
d
26
Obteniendo la matriz aumentada:
1 1 2
d d d
1 2 2
0
1 5
Resolviendo mediante Gauss:
Tenemos:
Tenemos:
1 1 2 0 1 2 0 1 1
1 0 0
El sistema que obtenemos es: a b 2c b 2c
d
c
0
d
De donde c = -d; b=-2d ; a = 3d La ecuación es:
ax by cz d 0 3dx 2dy dz d 0
dividiendo por d : 3 x
2 y
z 1 0
Graficando vemos que efectivamente el plano contiene a los puntos:
1
2
1
2 1
0
d 0 d
d 0 d
27
a) Determinar la ecuación del plano que pasa por: (2,1,4); (1,0,3); (-1,2,4)
CÁLCULO INTEGRAL –FRACCIONES PARCIALES
Usando el método de Gauss calcule las constantes A y B tales que: 1
A
B
x 1 x 2 x 1 x 2
PROBLEMAS DE TRANSPORTE
El gráfico representa los caminos que comunican diversos lugares, con sus respectivas distancias. Encuentre la matriz de distancias más cortas y analice el tipo de matriz.
28 6. BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA PARA REALIZAR LA GUÍA: GROSSMAN, Stanley y FLORES José, Algebra Lineal, 7ma Edición. México: Mc Graw Hill, 2012. 742 p. 9786071507600 KOLMAN, Bernard y HILL, David, Algebra Lineal: Fundamentos y aplicaciones. Primera edición. Colombia: Pearson Education, 2013. 544 p. 9789586992251 Howard Anton. Introducción al Álgebra Lineal. Editorial Limusa. México, 1986. Murray R. Spiegel. (Serie Schaum) Algebra Superior. Editorial Mc GrawHill. México, 1998.
