Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Matemática Campus Santiago
Guía de Ejercicios MAT-024 1. Calcular Calcular
ˆ
xyds, donde γ es el arco de la parábola y 2 = 2 px, entre los puntos de intersección de ésta con
γ
la parábola x2 = 2 py . 2. Calcular Calcular
ˆ
2y ds donde γ es el primer arco de la cicloide x = a(t − sen t), y = a(1 − cos t).
γ
ˆ 3. Calcular Calcular la integral integral (x y ) ds, donde γ es la circunferencia x + y = ax. ˆ y ds, donde γ es una parte de la espiral de Arquímedes r = 2 θ, compren4. Calcular Calcular la integral integral arctan 2
−
2
γ
x
γ
dida dentro de un círculo de radio R con el centro en el origen de coordenadas.
5. Calcular Calcular la integral integral
ˆ
(x + y) ds, donde γ es el arco situado en el primer octante de la curva intersección
γ
de la circunferencia x2 + y 2 + z 2 = R2 con el plano y = x. 6. Calcule Calcule
ˆ
x dx + y dy + ( x + y − 1) dz , donde γ es el segmento de recta desde el punto (2, 3, 4) al punto
γ
(1, 1, 1). 1). 7. Sea F( F(x, y ) =
1
2 C = (x, y). Calcule
2
2
ln(x + y ), −
arctan . Suponga que y x
f (x, y) =
ˆ
F · dr +
γ1
ˆ
0), B = (x, 0) y x > 0 y ponga A = (1, 0),
F · dr
γ2
donde γ 1 es el segmento de recta que une A con B y γ 2 es el segmento de B a C . 8. Calcular Calcular
ˆ
y2 dx + z 2 dy + x2 dz , donde γ es la curva intersección de la esfera x2 + y 2 + z 2 = R2 con el
γ
cilindro x2 + y2 = Rx, con R > 0 y z ≥ 0, siendo recorrida en sentido contrario al sentido de las manecillas del reloj si se mira desde el origen de coordenadas. 9. Calcule Calcule
ˆ
F · dr donde F( F(x , y , z) = (z , x , y) y γ es la curva intersección del paraboloide z = x2 + y 2 con
γ
el plano z = 2x, orientada en el sentido de las manecillas del reloj mirada desde el origen. 10. Calcular Calcular
ˆ
F · dr donde F = (−yz,xz,xy) y γ es la curva intersección de las superficies z = 3 − 2x2 y
γ
z = x2 + 3y2 , orientada en el sentido de las manecillas del reloj mirada desde el origen.
11. Sea F =
y
−x
, . Calcular el trabajo realizado por F sobre el círculo unitario orientado x2 + y 2 x2 + y2
positivamente. ¿Es conservativo este campo?. 12. Calcular el trabajo realizado por el campo F =
y
−x
, x2 + y2 x2 + y 2
sobre el astroide x(t) = cos3 (t),
y (t) = sen3 (t), t ∈ [0, 2π].
RGP
13. Mediante el Teorema Teorema de Green evaluar
ˆ
(y2 + x3 ) dx + x4 dy
γ
donde γ es la frontera del cuadrado de lado uno, con vértice inferior izquierdo en el origen, orientada positivamente. 14. utilizand utilizandoo el Teorema Teorema de Green Green en un contorno contorno adecuado, adecuado, calcule
ˆ γ
x−2 − 2y (x − 2)2 + (y − 1)2 y2
donde γ es el arco de la elipse 4(x − 2)2 + A=
3 2
,0
4
dx +
y−1 − 2y (x − 2)2 + (y − 1)2
dy
= 1 comprendido en el primer cuadrante que une los puntos
y B = (2, 2). 2).
15. Utilizando el Teorema Teorema de Green en un contorno adecuado, calcule
ˆ
(x + 1) ex+y dx + x(1 + ex+y ) dy
γ
donde γ es el arco de la circunferencia x2 + y2 = 1 comprendido en el semiplano superior. 16. Sean
= (2x f (x) − 2x3 ) y2 + 6x2 y = y f (x) + 2 x3
P (x, y ) Q(x, y )
donde f (x) es un polinomio de grado dos. a )
Hallar Hal lar f (x) de manera que
˛
P (x, y)dx + Q(x, y) dy = 0
γ
sobre cualquier curva cerrada. b)
Para la función función encontrada encontrada en el partado partado (a) hallar
ˆ
P (x, y)dx + Q(x, y ) dy
β
donde β es cualquier curva que va desde A = (0 , 0) a B = (2 , 1). 1). 17. Calcular Calcular
2
2
ˆ (n + y ) dx + (n + x ) dy γ
(xy − n)2
donde n ∈ N, en los casos siguientes: a ) b)
γ es el polígono ABCD de vértices A = ( −7, 1), 1), B = (−13, 5), 5), C = (−6, 8) y D = (−1, 4). 4). γ es cualquier curva que pertenece al cuarto cuadrante que une los los puntos M =
1 1 2
N = (3 , −5). 5).
RGP
,
−
2
y
